9 y 10

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.



5. Si el punto    es singular regular, la ecuación ,  , donde  

  1     = → lim 

  = 0   = → lim      se llama ecuación indicial. Los valores r solución de la ecuación indicial se llaman exponentes de la singularidad o raíces   indiciales. Los valores  = 1 ,  =  son exponentes de la     singularidad obtenidos de la ecuación indicial   1      = 0 PORQUE  = 2 es un punto singular s ingular regular de la ecuación diferencial   2    ′′   ′  1    = 0 Hallamos los límites   = lim       y   = lim      . → →  = → lim     = →− lim   2  2 2     = →− lim  

 = →− lim  1  =  21  =  12  = → lim    = →− lim   2 12   = →− lim   2 1    = 2  2 122  = 0 1 4  = 0 Reemplazamos los límites hallados en la ecuación indicial:

  1     = 0   1  12  = 0 (  1  12) = 0 (  12) = 0   Entonces las raíces indiciales son:  = 0,  = 

Así la afirmación es falsa y la razón es verdadera ya que

  2′′  ′  1   = 0

  = 0 ′′   2 ′  12    =   2  = 12  = 2 es un punto singular ya que   ni g(x) son analíticas en dicho punto.

Para ver que es un punto singular regular hallamos

 

   ,  

  2  =   2  2   2  =  1

   es analítica en x=-2.   2 =   2 12   2 =   2 1   + La función   2  es analítica en x=-2. La función

Por tanto la respuesta es la D, la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA 6. El punto

 = 1 es un punto singular regular de la ecuación

  1′′  5 1′     = 0 PORQUE  = 5  =   1 + son funciones analíticas en  = 1.

y

Respuesta: La razón es verdadera ya que Un punto   de una ecuación diferencial de la forma  es ordinario si las dos funciones  son analíticas en ese punto. Es decir, pueden representarse en series de potencias de   con radio de convergencia Si al menos una de ellas no lo es, el punto se dice que es singular.

   = 0



´´  ´ 

   

     > 0.

, se dice singular regular si las funciones    ,     son ambas funciones analíticas en ese Un punto singular punto.

  1′′  5  1′     = 0          5   1  ′′ ′      1      1  = 0   1 ′    1  = 0 ′′   51  1   1  1 ′′   5 1 ′    1  = 0 Entonces

  =  5 1  =   1  = 1 es un punto singular ya que   no es analítica en dicho punto. Para ver que es un punto singular regular hallamos      ,       1  =    1  5 1   1  = 5 Y 5 es una función analítica en x=1.

  1 =   1   1

La función

  es analítica en x=1 puesto que no posee ninguna   1 +

indeterminación.

Así, la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Por tanto la respuesta correcta es A.