9 Transformada de Fourier Ejercicios Resueltos

Tema 9

Transformada de Fourier A continuaci´on introduciremos el concepto de transformada de Fourier continua. De ahora en adelante, denotaremos con j la unidad imaginaria.

9.1

Transformada de Fourier

Sea x(t) una se˜ nal continua. Se define la transformada de Fourier de x, denotada con X(ω), como la funci´on Z ∞ X(ω) = x(t)e−jωt dt (9.1) −∞

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spo

t.co

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que est´a definida en < y toma valores complejos. Para que la transformada de Fourier de una se˜ nal x(t) exista (en forma ordinaria no como funci´on generalizada), x debe satisfacer las siguientes propiedades denominadas condiciones de Dirichlet:

ema

tik.

(1) x(t) es absolutamente integrable, esto es, Z ∞ |x(t)| dt < ∞. w.M

hat

−∞

ww

(2) x(t) posee un n´ umero finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito. Ejemplo 9.1 Sea   −3t, x(t) = t + 1,   3

t≤0 0 1.

Se observa que x(t) no es absolutamente intebrable, por lo tanto su transformada de Fourier no existe. Ejemplo 9.2 Sea x(t) = e−at u(t), con a > 0. Calcular la transformada de Fourier de x(t). Soluci´ on. Es claro que x(t) es continua en < y Z ∞ Z |x(t)| dt = −∞

0

1

∞

e−at < ∞.

2

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Por lo tanto, X(ω) existe y viene dada por Z ∞ X(ω) = x(t)e−jωt dt Z−∞ ∞ = e−at e−jωt dt −∞ Z ∞ = e−(a+jω)t dt −∞

∞ 1 e−(a+jω)t (a + jω) 0 1 . (a + jω)

= − =

Ejemplo 9.3 Calcular la transformada de Fourier de δ(t).

ww w

.Mh atem

atik

.blo

gsp

ot.c

om

Soluci´ on. Como δ(t) no es una funci´on continua en todo < y, adem´as, es una funci´on generalizada, su transformada de Fourier no existe en forma ordinaria. Para remediar esto es conveniente generalizar el concepto de transformada de Fourier, lo cual se har´a simplemente forzando la existencia de la transformada de Fourier de δ(t). La transformada de Fourier de δ(t) viene dada por: Z ∞ X(ω) = δ(t)e−jωt dt −∞ Z ∞ = δ(t) [cos ωt − jsen ωt] dt −∞ Z ∞ Z ∞ = δ(t) cos ωt dt − j δ(t)sen ωt dt −∞

−∞

= cos(0) − jsen (0) = 1. En el ejemplo 9.3 se introdujo la transformada de Fourier generalizada, la cual es muy necesaria para establecer transformadas de Fourier de funciones que no la poseen en forma ordinaria. Definici´ on 9.1 (Transformada Inversa de Fourier) Sea x(t) una se˜ nal cuya transformada de Fourier es X(ω). La transformada inversa de Fourier es el proceso de obtener x(t) a trav´es de X(ω) y se define como: Z ∞ 1 X(ω)ejωt dω. (9.2) x(t) = 2π −∞ Seg´ un (9.2) la transformada inversa de Fourier se traduce a integrar la Funci´on X(ω)e jωt que est´a definida de los reales a los complejos. El siguiente ejemplo ilustra esta afirmaci´on. Ejemplo 9.4 Determine la transformada inversa de Fourier de la funci´ on X(ω) = δ(ω).

3

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Soluci´ on. Se tiene que x(t) = = = = =

Z ∞ 1 X(ω)ejωt dω 2π −∞ Z ∞ 1 δ(ω)ejωt dω 2π −∞ Z ∞  Z ∞ 1 δ(ω) cos ωt dω − j δ(ω)sen ωt dω 2π −∞ −∞ 1 [cos(0) − jsen (0)] 2π 1 . 2π

ww w

.Mh atem

atik

.blo

gsp

ot.c

om

En general, la expresi´on (9.2) no se utiliza para hallar la transformada inversa de Fourier. Normalmente se emplea un procedimiento algebraico el cual se estudiar´a en el Tema 10.

4

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER

9.2

Algunos pares de transformadas de Fourier

En la Tabla 9.1 se observan las transformadas de Fourier de las se˜ nales b´asicas.

Se˜ nal +∞ P

Transformada de Fourier

ak ejkω0 t

2π

k=−∞

+∞ P

ak δ (ω − kω0 )

k=−∞

2πδ (ω − ω0 )

cos ω0 t

π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]

sen ω0 t

π [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] j

gsp

ot.c

om

ejω0 t

.Mh atem

atik

sen W t πt

ww w

δ (t) u (t)

2πδ (ω)

.blo

x (t) = 1

X (ω) =



1 |ω| < W 2 |ω| > W

1 1 + πδ (ω) jω

δ (t − t0 )

e−jωt0

e−at u (t), Re {a} > 0

1 a + jω

te−at u (t), Re {a} > 0

1 (a + jω)2

tn−1 −at e u (t), Re {a} > 0 (n − 1)!

1 (a + jω)n

Tabla 9.1: Pares b´asicos de transformadas de Fourier.

5

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER

9.3

Propiedades de la transformada de Fourier

En la Tabla 9.2 se observan las propiedades de la transformada de Fourier.

Se˜ nal x(t) y (t)

Transformada de Fourier X(ω) Y (ω)

Linealidad

ax (t) + by (t)

aX (ω) + bY (ω)

Desplazamiento en tiempo

x (t − t0 )

e−jωt0 X (ω)

Desplazamiento en frecuencia

ejω0 t x (t)

X (ω − ω0 )

Escalamiento de tiempo y de frecuencia

x (at)

Inversi´ on en el tiempo

x (−t)

1 |a| X

ω a

.Mh atem

atik

.blo

gsp

ot.c

om

Propiedad




X (−ω)

x (t)

X (−ω)

x (t) ∗ y (t)

X (ω) Y (ω)

x (t) y (t)

1 2π X

Diferenciaci´ on en tiempo

d dt x (t)

jωX (ω)

Integraci´ on

Rt

1 jω X

Diferenciaci´ on en frecuencia

tx (t)

d j dω X (ω)

Conjugaci´ on

Multiplicaci´ on

ww w

Convoluci´ on

−∞ x (t) dt

(ω) Y (ω)

(ω) + πX (0) δ (ω)

Tabla 9.2: Propiedades de la transformada de Fourier.

9.4

Magnitud y Fase de una se˜ nal

Definici´ on 9.2 (Magnitud de una se˜ nal) Sea X(ω) la transformada de Fourier de una se˜ nal continua x(t). La magnitud de la se˜ nal x(t) se define como el valor absoluto de su transformada de Fourier; en otras palabras, la funci´ on A(ω) = |X(ω)|

(9.3)

6

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER se define como el espectro de magnitud de x(t).

Definici´ on 9.3 (Fase de una se˜ nal) Sea X(ω) la transformada de Fourier de una se˜ nal continua x(t). La fase de la se˜ nal x(t) se define como el argumento de su transformada de Fourier; en otras palabras, la funci´ on φ(ω) = arg {X(ω)} (9.4)

ww w

.Mh atem

atik

.blo

gsp

ot.c

om

se define como el espectro de fase de x(t).