9-Probabilidad Condicional_Teorema de Bayes Alumnos

Probabilidad Condicional e Independencia Anteriormente, se han considerado experimentos donde las observaciones generalmente están hechas sobre un sólo ensayo, como el lanzamiento de una moneda o de tres monedas, este último podría hacerse lanzando una moneda tres veces y conocer lo que ocurre en los primeros lanzamientos antes de que ocurra el último, de la misma manera puede ocurrir cuando se lanzan las tres monedas simultáneamente, primero se observarán unas antes que otras, esta situación permite al experimentador conocer los resultados parcialmente, entonces, las probabilidades de que ocurran los eventos posteriores cambian, dado que esto hace que el espacio muestra sea reducido. Supóngase, que una compañía desea hacer un perfil social de sus trabajadores, entonces se hace una encuesta al azar donde se pregunta sobre el estado civil del trabajador y el sexo, generalmente al seleccionar de una lista, un nombre al azar, éste puede dar información sobre el sexo de la persona, lo cual permite conocer los resultados parcialmente, quedando pendiente el estado civil y la pregunta sería; ¿Dado que ya conocemos que es mujer cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea soltera? Este tipo de preguntas, donde la respuesta se conoce parcialmente por adelantado, están relacionadas con el concepto de Probabilidad Condicional. Por razones de simplicidad, consideremos el experimento que se ha mencionado en el párrafo anterior y los eventos A y B que se definen enseguida: A= {x | x sea mujer}, B= {x | x sea soltero} Estos dos eventos se pueden representar en un diagrama de Venn, como se muestra en la Figura 9.2. Note que, si la pregunta condicionada a que A ya ocurrió, entonces B, únicamente puede ocurrir si ocurre A ∩ B y el nuevo espacio muestra está dado por A, al cual se le llama espacio muestra reducido, mismo que se denotará por S’. A continuación, una definición de probabilidad condicional es dada.

1

A∩B

A = S’

2

B

S

Instituto Tecnólogico de Cd. Juárez

P (B|A) =

N(A ∩ B) N(S' )

=

P(A ∩ B) P(A)

Figura 9.2 Representación de la Reducción del Espacio Muestral. Definición 9.12 Sean A y B dos eventos definidos sobre un espacio muestral S, entonces la probabilidad condicional de que ocurra uno, dado que el otro ya ocurrió, está dada por la probabilidad de que ocurran los dos juntos, dividida por la probabilidad de que ocurra el evento condicionante. La probabilidad condicional y la fórmula están dadas por: P ( A ∩ B) P (B | A) = , P( A) donde: P (B | A) Es la probabilidad de que ocurra B, dado que A ya ocurrió. Nótese que la probabilidad, se puede condicionar en el otro sentido, es decir dado que ya ocurrió B, cual es la probabilidad de que ocurra A. En la ilustración que se presentó anteriormente parece natural condicionar con el evento hecho de que sea mujer, pero el evento condicionante depende de la naturaleza del problema bajo estudio. Ejemplo 9.5: Supóngase que la empresa que se describió en la ilustración, tiene un total de 500 empleados de los cuales se va a seleccionar uno al azar y hacer un estudio sobre el sexo del empleado y el estado civil. La distribución sobre estas dos variables se muestra en la Tabla 9.2. Calcular las siguientes probabilidades:

3

a) Que el empleado seleccionado sea mujer. b) Que el empleado seleccionado sea casado. c) Que el empleado seleccionado sea mujer, dado que es soltera. d) Que el empleado seleccionado sea casado, dado que es hombre. Tabla 9.2 Distribución de los Empleados por Sexo y Estado Civil. SEXO MUJER HOMBRE TOTAL

ESTADO CIVIL SOLTERO CASADO 100 170 130 100 230 270

TOTAL 270 230 500

Solución: N(M ) a) P (M) =

=

270

=

27

N(S) 500 50 La probabilidad de que el empleado seleccionado sea mujer, es igual a 27/50.

El concepto de probabilidad condicional, nos lleva a poder comparar probabilidad no condicional, lo que se vio inicialmente o que no se conoce absolutamente nada sobre el resultado de un experimento, versus la probabilidad condicional. Si la probabilidad condicional de un evento es diferente a la probabilidad no condicional del mismo, entonces se dice que hay dependencia. Esto conlleva al otro concepto de dependencia, el cual se define a continuación. LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA EVENTOS INDEPENDIENTES Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurra A y B es P(A∩B) = P(A)P(B) Del mismo modo, si A, B y C son eventos mutuamente independientes (todos los pares de eventos son independientes), entonces la probabilidad de que A, B y C ocurran es P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) EJEMPLO: Un equipo de fútbol interviene en dos periodos de tiempo extra durante un juego determinado, de modo que hay tres tiros de monedas al aire. Si la moneda es imparcial, ¿Cuál es la probabilidad de que pierdan los tres tiros? A= perder el primer tiro B= perder el segundo tiro C= perder el tercer tiro Como los tiros son independientes y como la P(ganar) = P(perder) entones: P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)= (.5)(.5)(.5) = .125 Definición Los eventos A y B eventos son independientes, si la probabilidad no condicional de A, es igual a la probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B. Es decir, sí:

P (A | B) = P (A), entonces, A y B son independientes.

Definición Los eventos A y B son independientes, sí sólo si, probabilidad de que ocurran simultáneamente, es igual al producto de las probabilidades de que ocurran individualmente. Es decir, A y B son independientes sí y únicamente sí:

EJEMPLO:

P(A ∩ B) = P(A) • P(B).

TENEMOS LA SIG. TABLA

Hijo en universidad (D) Sin hijo en universidad (E)

Demasiado altos(A) 0.35 0.25

Cantidad correcta(B) 0.08 0.20

Muy poco (C) 0.01 0.11

¿Los eventos D y A son independientes? Explique 1.- Hallar la probabilidad de P(A ∩ D) =

2.- Calcule la P(A\D) =

Definición Sean A y B dos eventos dependientes, si la probabilidad de que ocurra A, condicionada a que ya ocurrió B, es diferente de la probabilidad no condicionada de que ocurra A.

ejemplo 9.6: Supóngase que un ingeniero de control de calidad de una empresa, ha conducido un estudio sobre el tipo de defecto de los artículos producidos en un proceso, encontrando que las razones de los artículos defectuosos son independientes. Las de las causas más importantes están la materia prima, la maquinaria y la mano de obra. Por estudios históricos se encontró que al inspeccionar un producto, la probabilidad de que éste sea defectuoso debido a alguna de las causas anteriores se dan más adelante. Encuentre las siguientes probabilidades de que al inspeccionar un producto sea: a) Defectuoso debido a la materia prima y la mano de obra. b) Defectuoso debido a la mano de obra o la materia prima. c) Defectuoso causado simultáneamente por la materia prima, la mano de obra y la maquinaria. P (la causa sea la materia prima) = 0.03 P (la causa sea la mano de obra) = 0.05 P (la causa sea la maquinaria) = 0.04 Solución: Definamos los eventos de la siguiente manera: A = {defectuoso debido a la materia prima} B = {defectuoso debido a la mano de obra} C = {defectuoso debido a la maquinaria} a) P(A ∩ B) = P(A) • P(B) debido a que A y B son independientes. P(A ∩ B) = (0.03) (0.05) = 0.0015

Teorema de Bayes Supóngase la situación, cuando en un experimento puede ocurrir solamente un evento, por ejemplo en la producción de focos, los cuales pueden ser manufacturados por una de cuatro diferentes líneas, obviamente el artículo es fabricado solamente por una línea, si el experimento consiste en seleccionar un artículo del almacén de productos, entonces puede ocurrir uno y sólo uno de los cuatro eventos, de que provenga de la línea 1, 2, 3 ó 4. A este caso particular se le llama partición y se define más abajo.

A1

A2

A1 ∩ B A4 ∩ B A4

B

A2 ∩ B A3 ∩ B A3

S

i

=1

Figura 9.4 Diagrama de Venn para una Partición con un Evento Definido en S . P (B) = (0.03 )⎜ 1 ⎟ + (0.04 )⎜ 1 ⎟ + (0.02)⎜ 1 ⎟ = 0.03

Ejemplo 9.8: Las resistencias que se usan para fabricar tarjetas para computadoras provienen de tres diferentes plantas, la planta número 1 fabrica el doble que la segunda e igual a la tercera, la primera planta produce 1% de resistencias defectuosas, mientras que la segunda 3% y la tercera 2%. Si al seleccionar una tarjeta al azar, se encontró que ésta fallaba debido a la resistencia defectuosa, a) Calcular la probabilidad de que esta resistencia provenga de la planta número dos, b) Que provenga de la planta número tres. Solución:

a) P (A2 | B) =

P(B | A2)P( A2) ’ P(B)

donde: P (B) = P(B | A1 ) P(A1 ) + P(B | A2 ) P(A2 ) + P(B | A3 ) P(A3 ) P (B) = (0.01)(0.4) + (0.03)(0.2) + (0.02)(0.4) P (B) = 0.004 + 0.006 + 0 .008 = 0.018 P (B) = 0.018 (0.03)(0.2)

= 0.33 0.018 La probabilidad de que la resistencia que falló provenga de la planta número dos es igual a 0.33. P (A2 | B) =

P(B | A3)P( A3 ) P(B) (0.02)(0.4) = 0.44 P (A3 | B) = 0.018 La probabilidad de que la resistencia provenga de la planta número tres, dado que falló, es igual a 0.44. b) P (A3 | B) =

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Suponga que hay 2 eventos, A y B, con P(A) = 0.50, P(B) = 0.60, P(A ∩ B) = 0.40 a) Calcule P (A/B) = b) Calcule P(B/A) = c) Son independientes A y B? 2.- En una encuesta entre alumnos de maestría de Administración se obtuvieron los datos siguientes acerca del principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela donde está inscrito.

Tipo de Estudiante

Tiempo total Tiempo parcial

MOTIVO DE LA SOLICITUD Calidad de Costo o Otros la Escuela Comodidad 421 393 76 400 593 46 821

986

122

Totales 890 1039 1929

a) Elabore una tabla de probabilidad conjunta para estos datos b) Si un alumno es de tiempo completo. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela? c) Si un alumno es de tiempo parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea el motivo principal para elegirla? 2.- 70% del material que se recibió del proveedor A es de buena calidad, mientras que solamente 40% del material que se recibió del proveedor B es de buena calidad. Sin embargo la capacidad de fabricación del proveedor A es limitada, por esta razón solo 30% del material que compra la empresa proviene del proveedor A. El otro 70% proviene del proveedor B. Si se inspecciona un lote de material y se encuentra que es de buena calidad. Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor A. 3.- Cierta compañía elabora objetos con tres tipos de máquinas con diferentes tecnologías. La máquina uno elabora el 30% de la producción, la máquina 2 el 50% de la producción y la tres el 20 % de la producción, se sabe que la máquina uno tiene probabilidad de fabricar un objeto defectuoso de 0.1; la máquina dos de 0.12 y la tres de 0.04. ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto tomado al azar haya sido producido por la máquina uno si se sabe que es defectuoso?

4.- Un analista de una empresa de telecomunicaciones estima la probabilidad de que una nueva empresa planee ofrecer servicios competitivos en los próximos tres años es 0.30 y 0.70 de que no lo haga. Si la nueva empresa tiene estos planes, definitivamente tendría que construirse una nueva instalación de manufactura. Si la nueva empresa no tiene estos planes, todavía queda una probabilidad de 60 por ciento de que se construya una nueva instalación de manufactura por otras razones. a) Suponga que se observa que la nueva empresa ya ha comenzado a trabajar en una nueva instalación de manufactura. Con base en esta información, ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa haya decidido ofrecer servicios competitivos de telecomunicaciones?