9. Mecanica de Fluidos

9. MECÁNICA DE FLUIDOS 9.1 INTRODUCCIÓN Los fluidos son sustancias sustancias que admiten esfuerzos esfuerzos simples pero se deforman bajo la aplicación de esfuerzos cortantes; a diferencia de los sólidos rígidos que no cambian de de forma. En la presente presente lección estudiaremo estudiaremoss la mecánica de fluidos fluidos haciendo haciendo uso básicamente básicamente de la primera y tercera leyes de Newton, Newton, así como del teorema del trabajo y la energía. En la estática de fluidos presentamos los conceptos claves de densidad, peso específico, presión y los principios de Pascal y Arquímedes. En gran parte de nuestro estudio nos referiremos a los líquidos,  pero las definiciones, principios y leyes se aplican en general a todos los fluidos. En dinámica de fluidos estudiaremos básicamente el movimiento de los líquidos. En general, el estudio del movimiento de los líquidos es muy complejo. Sin embargo, en un modelo teórico en el cual consideramos el movimiento de un fluido ideal, ideal, éste estudio es es simple y es el que aquí presentamo presentamos. s. A pesar de ser  un modelo válido para fluidos ideales, en las aplicaciones prácticas existen diversas situaciones físicas en las cuales éste modelo se cumple con mucha aproximación.

9.2 DENSIDAD, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO DENSIDAD La densidad es una propiedad de la materia que nos indica tanto lo “ligero” o “pesado” que es un cuerpo, como el grado de compactibilidad del mismo. Así, la densidad de un cuerpo depende tanto de la masa de los átomos que lo conforman

como de la separación entre ellos. Operacionalmente se expresa coma la razón entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa.

ρ=

m V

(9.1)

En general, la densidad de los fluidos varía con la presión y la temperatura. Sin embargo, en los líquidos la densidad varía muy poco para un amplio rango de valores de presión y temperatura, por lo cual se puede considerar constante, es decir, los líquidos son prácticamente incompresibles. Por ejemplo, el agua varía escasamente su volumen cuando la presión varía de 0 a 10 atmósferas. La densidad se expresa en unidades de masa por unidad de volumen. En el SI, en Kg/m3. Por ejemplo la densidad del agua es, ρagua = 1000 Kg/m3.

DENSIDAD RELATIVA Podemos determinar la relación entre las densidades de dos materiales distintos,  pero, en las aplicaciones prácticas es útil la relación entre la densidad de un material y la densidad del agua, la cual se conoce como la densidad relativa del material. ρ R  =

ρ ρ agua

(9.2)

Por ejemplo, la densidad del mercurio es 13 600 kg/m 3, y su densidad relativa: ρ ρ R Hg = Hg = 13,6 ρ agua  Note qué, la densidad relativa es adimensional (sin unidades).

PESO ESPECÍFICO Es la razón entre el peso del cuerpo y su volumen. Expresado matemáticamente:

γ  =

W V

(9.3)

Se expresa en unidades de peso por unidad de volumen; en el SI, en Nm -3.

Si en la ec. (9.3) usamos: W = m g, teniendo presente que ρ = m/V, obtenemos una relación equivalente:

γ = ρ g

(9.4)

9.3 PRESIÓN Se define como el módulo de la fuerza normal o perpendicular que actúa sobre una determinada superficie. Expresada matemáticamente:  p =

F N , A

(9.5)

 Note qué, de acuerdo con ésta definición la presión es una magnitud escalar y se expresa en unidades de fuerza por unidad de área. En el S.I. la unidad de presión es el Pascal (Pa). 1 Pa = 1N/m 2. Consideremos como ejemplo una fuerza de 100 N aplicada oblicuamente sobre la superficie del cubo de lado, L = 10 cm = 10 -1 m, ver fig. 9.1.

FT

53°

F

53°

A

F

FN

L Fig.9.1 Componentes normal y tangencial de una fuerza oblicua actuando sobre una superficie.

En estas condiciones la presión que ejerce la fuerza F sobre la superficie superior  del cubo es:  p =

F Sen53° 100(4 / 5) = = 8000Pa = 8KPa L2 10 − 2

La presión es una magnitud física que se encuentra en el estudio de sólidos, líquidos y gases.

9.4 PRESIONES HIDROSTÁTICA Y ATMOSFÉRICA PRESIÓN HIDROSTÁTICA Los líquidos en equilibrio ejercen fuerzas perpendiculares sobre los cuerpos que se encuentran parcial o totalmente sumergidos, ver fig.9.2. Estas fuerzas son de naturaleza electromagnética y se deben a la interacción de las moléculas del líquido que se encuentran en “contacto” con las moléculas del cuerpo sumergido.

Fig. 9.2 Fuerzas de presión hidrostática sobre cuerpos

sumergidos dentro de un líquido Siendo éstas fuerzas perpendiculares a las superficies de los cuerpos sumergidos, se les puede asociar una presión, ver fig.9.3. Haciendo uso de las condiciones de equilibrio se puede demostrar que estas presiones (presiones hidrostáticas) dependen de la naturaleza del líquido y de la profundidad.

hA = hB

h phidros = γ h

 phidrosA = phidrosB

hC

∆y

 phidrosC = phidrosB + γ∆y Fig.9.3 Presión hidrostática dentro de un líquido en equilibrio

 phidros = γ h = ρ g h

(9.6)

Donde,

γ , es el peso específico del líquido, h, es la distancia vertical medida desde la superficie libre del líquido hasta donde se desea determinar la presión hidrostática y se le denomina profundidad y,

ρ, es la densidad del líquido. La ecuación (9.6) nos indica que dentro de un mismo líquido en equilibrio la  presión hidrostática aumenta con la profundidad pero es igual en todos los  planos horizontales que se encuentran a igual profundidad.

En un líquido en equilibrio, la diferencia de presiones entre dos puntos separados  por una distancia vertical ∆y, ver fig.9.3, es:

∆ p = γ ∆h = ρ g ∆h

(9.7)

Si hacemos uso de un sistema de referencia y el cálculo diferencial e integral, luego de aplicar la primera condición de equilibrio a un elemento diferencial de volumen del líquido encontramos que: dp = - γ dy = -ρ g dy

(9.8)

Ésta relación se conoce como ecuación fundamental de la hidrostática y se puede aplicar en general a los fluidos en equilibrio.

PRESIÓN ATMOSFÉRICA Las masas de aire que se extienden desde la superficie terrestre hasta el límite de la atmósfera ejercen fuerzas de presión sobre los cuerpos que se encuentran

dentro de la atmósfera; ésta presión se conoce como presión atmosférica, que representaremos por po. La presión atmosférica se puede medir haciendo uso de un dispositivo llamado  barómetro, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1674), ver fig.9.4. Escala Vacío B

H H A

 po

Mercurio

Fig.9.4 El barómetro, dispositivo usado para medir la presión atmosférica. El dispositivo consiste de un tubo de vidrio abierto por un extremo lleno con mercurio el cual se invierte cuidadosamente dentro de una cubeta. Luego que el sistema alcanza el equilibrio se observa qué, al nivel del mar y a 0°C, la columna de mercurio se estabiliza en H = 76 cm. Si aplicamos la ecuación (9.7) entre los  puntos A y B, obtenemos:

∆ pAB = γ Hg H = ρHg g H Note qué:  pB = 0; esto se debe a qué, cuando el tubo se invierte, en ese punto prácticamente se ha hecho el vacío (p = 0) y  pA = po, es la presión atmosférica, pues en planos horizontales la presión es la misma.

∆ pAB = pA – pB = po = ρHg g H,

Reemplazando datos:

po = 1,01 x105 Pa. A este valor de presión se le conoce

como una atmósfera de presión.

9.5 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA En algunas aplicaciones prácticas se simplifican los cálculos evaluando las  presiones respecto a la presión atmosférica, luego, definimos:

PRESIÓN ABSOLUTA como la presión total, medida a partir de la presión cero o vacío, ver fig.9.5.

PRESIÓN MANOMÉTRICA, es la presión medida respecto a la presión atmosférica, es decir, la diferencia entre la presión absoluta o total y la presión atmosférica:  pman = pabs - patm

(9.9)

 Note qué, la presión absoluta siempre es positiva en tanto que, la presión manométrica puede ser positiva o negativa, dependiendo de sí es mayor o menor  que la presión atmosférica, respectivamente.

 p  presión absoluta

 presión manométrica  positiva

 po presión manométrica negativa

presión atmosférica vacío

Fig. 9.5 Sistemas de referencia para la medición de presión: absoluta y manométrica.

En el caso particular de la presión dentro de los líquidos en equilibrio que  presentan superficie libre, la presión absoluta y la presión manométrica en un  punto a una profundidad, h, respectivamente son:  pabs = po + γ h,

 pman = γ h

9.6 PRINCIPIO DE PASCAL Y PRENSA HIDRÁULICA En 1653, el filósofo y científico francés Blaise Pascal (1623-1662) experimentalmente demostró que: “Los incrementos de presión aplicados a un líquido se transmiten sin pérdidas y en todas direcciones en el interior del  líquido y hacia las paredes del recipiente que lo contiene”,

ver fig. 9.6. ∆ p = F/A

F

A

 b

a

 b

c

a c

Fig. 9.6. Los incrementos de presión se transmiten hacia todos los puntos del líquido y las paredes del recipiente.

En la fig.9.6, la presión en los puntos a, b y c, después de aplicar el incremento de  presión, ∆ p, será: p´a = p´ b = pa + ∆ p y p´c = pc + ∆ p Una de las aplicaciones más conocidas del principio de Pascal lo constituye la  prensa hidráulica, ver fig.9.7. Una pequeña fuerza F 1 se aplica en el émbolo de menor sección transversal. Éste incremento de presión se trasmite a través del líquido hasta el émbolo de mayor sección, es decir,

∆ p =

F1 F = 2 A1 A 2

(9.10)

Como resultado, la fuerza F 2 es mucho mayor que la fuerza F 1 ( se puede usar   para elevar un vehículo con un peso W = F 2) siendo el factor multiplicador  A2/A1 , esto es:

 A   F2 =  2    F1 A   1  

F1 A2 A1

F2 F2

Fig.9.7. Prensa Hidráulica

9.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y EMPUJE HIDROSTÁTICO En el siglo III A.C. (287-212 A.C.), el sabio griego Arquímedes (filósofo, físico y matemático) enuncio: “La fuerza resultante debido a las fuerzas de presión hidrostática, denominada empuje hidrostático, que ejercen los líquidos sobre los cuerpos sumergidos tiene la dirección vertical y orientada hacia arriba y su módulo es igual al peso del líquido desalojado” . Expresado matemáticamente:

E = Wlíquido

desalojado

= γ líquido Vlíquido

desalojado

(9.11)

El empuje hidrostático, E, es la fuerza responsable de que algunos cuerpos  puedan flotar y también se le conoce como fuerza de flotación. Así, si el empuje es mayor que el peso del cuerpo sumergido (E > Wcuerpo), éste asciende; en caso contrario (E < Wcuerpo), el cuerpo desciende. Sin embargo si los módulos del empuje y el peso del cuerpo son iguales (E = W cuerpo), el cuerpo flotará y en equilibrio. Éstos resultados se pueden generalizar para los cuerpos sumergidos en un fluido, ver fig. 9.8.

Liquido

Liquido

E E

WC

E aire

WC

WC

E < WC

E = WC

E > WC

Fig.9.8 Empuje hidrostático sobre cuerpos sumergidos en un fluido

En el caso particular que el cuerpo flota en equilibrio con parte de su volumen sumergido en un líquido, V s, ver fig. 9.9, se cumple: E

Liquido

Línea de flotación

vs

WC

Fig. 9.9 Empuje hidrostático sobre un cuerpo parcialmente sumergido en un líquido E = Wc γ líquido Vdesalojado = γ cuerpo Vcuerpo Vdesalojado γ cuerpo ρ cuerpo = = γ líquido ρ líquido Vcuerpo

(9.12)

Como el volumen sumergido es igual al volumen desalojado, la fracción del volumen total del cuerpo que se ha sumergido, V desalojado/Vcuerpo, Vsumergido/Vcuerpo, depende de su densidad relativa.

 Note también que, el punto de aplicación del empuje se encuentra en la misma vertical pero no coincide con el centro de gravedad del cuerpo (punto de aplicación del peso).

9.8 PESO APARENTE Y DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DENSIDAD DE LOS CUERPOS Una de las aplicaciones del principio de Arquímedes consiste en determinar la densidad de los cuerpos, a partir de la densidad de un líquido de densidad conocida. Así por ejemplo, se puede determinar la densidad de una muestra de un material sólido desconocido, pesando la muestra en aire y luego en agua, ver  fig.9.10, o determinar la densidad de un insecto, pesando el insecto primero en aire y luego en alcohol.

F

F’ E

Wc F = Wc

Wc

F’ = Waparente = Wc - E

Fig.9.10 Una muestra sólida es pesada primero en aire y luego en agua.

Como la densidad del aire es aproximadamente mil veces menor que la del agua, se puede despreciar el empuje debido al aire, de modo que al pesar en aire, haciendo uso de un dinamómetro (una balanza de resorte), registramos  prácticamente el peso real del cuerpo, Wc. Sin embargo, al pesar el cuerpo, cuando éste se encuentra sumergido completamente en el líquido (agua), la lectura en el dinamómetro es:

Waparente = Wc – E, Waparente , se conoce como el “peso aparente” del cuerpo. Considerando que el volumen sumergido es igual al volumen total del cuerpo, entonces: E = γ LíquidoV y Wc = γ cuerpoV Usando éstas expresiones en la ecuación del peso aparente, obtenemos:

    Wc  γ líquido γ cuerpo  (9.13)   − W W aparente     c A partir de la cual se puede obtener la densidad del cuerpo.     Wc  ρ líquido ρ cuerpo     Wc − Waparente  

(9.14)

9.9 FLUIDO IDEAL Un fluido se puede considerar ideal si presenta las siguientes características:

FLUIDO INCOMPRESIBLE La densidad del fluido es constante en el tiempo. Los líquidos presentan ésta característica.

FLUJO UNIFORME, ESTABLE O LAMINAR  La velocidad de las partículas y la presión del fluido, presenta el mismo valor al  pasar por un punto determinado de la conducción (tubería, canal, ducto, etc.). Esto sucede para valores de velocidad relativamente bajos, dependiendo de la naturaleza del fluido, y en este caso las trayectorias que describen las partículas en su movimiento o líneas de corriente, no se cruzan entre sí, ver fig.9.11.

vsalida

Fig. 9.11 Flujo uniforme y no uniforme

v’salida

FLUJO NO VISCOSO En el movimiento de un fluido real, existe una fuerza de fricción interna asociada al desplazamiento relativo entre capas adyacentes. Esto se conoce como viscosidad. Si el flujo es a través de una conducción, la fricción del fluido con las  paredes del conducto dan como resultado que las capas de fluido próximas a las  paredes tengan una menor velocidad, ver fig. 9.12. Si el fluido es no viscoso, la velocidad de sus partículas es la misma sobre toda la sección transversal de la conducción.

Flujo

Flujo

Fig. 9.12 Flujo viscoso y no viscoso

FLUJO IRROTACIONAL Si las partículas del fluido en su movimiento no presentan un momento angular  resultante. Experimentalmente esto se verifica observando el movimiento de una rueda de paletas ubicada dentro del fluido. Si la rueda no rota, el flujo es irrotacional, ver fig.9.13.

Flujo

ω≠0

Flujo

Fig. 9.13 Flujo rotacional e irrotacional

ω=0

9.10 CAUDAL O GASTO Se define como caudal al volumen del fluido que pasa por la sección transversal de la conducción en la unidad de tiempo. Expresado matemáticamente: G=

V t

(9.15)

Dónde, “V”, es el volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de la conducción en el tiempo “t". El gasto se expresa en unidades de volumen por  unidad de tiempo. En el S.I., en m3/s. Se puede demostrar qué, para un fluido ideal, una relación equivalente para el caudal es: G=

V =Av t

(9.16)

Donde, “A” es el área de la sección transversal y “v”, la velocidad del fluido en ese punto de la conducción.

9.11 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Si el fluido es ideal, la ecuación de continuidad establece que, “ cualquiera que sea la forma del conducto, el caudal es constante a lo largo de la conducción” ,

esto es, G = A1 v1 = A2 v2

(9.17)

Es decir, G = A v = constante, Una consecuencia inmediata de la ecuación de continuidad es que la velocidad del fluido es mayor en los puntos de la conducción donde la sección se reduce y es mayor en los ensanchamientos, ver fig.9.14.

A2 A1

v2

v1

9.12 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

Fig. 9.14 Flujo ideal a través de una conducción de sección variable

Cuando un líquido que se mueve a través de una conducción de sección transversal y altitud variable, varía la presión a lo largo del mismo. En 1738, El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresión que relaciona la velocidad, la presión y la altitud en cada punto de la conducción. Ésta relación se puede obtener aplicando el teorema del trabajo y la energía, el cual relaciona el trabajo neto con la variación en la energía cinética, al movimiento de una “porción” del líquido cuando éste se encuentra en dos  posiciones diferentes de la conducción. El teorema del trabajo y la energía establece que: mv 22 mv12 Wneto = 2 2

Apliquemos éste teorema al flujo a través de una conducción de altitud variable. Consideremos una “porción” de volumen del líquido que avanza por la conducción, como se muestra en la fig.9.15. El resultado neto de éste movimiento es como si el elemento de volumen, de masa “m”, cambiara de la posición con altitud h 1 a la posición h2, respecto al nivel de referencia.

Δx2

 p2A2 v2

mg Flujo

Δx1  p1A1 h1

mg

h2

v1

v1  Nivel de referencia

Fig. 9.15 Flujo a través de una conducción de altitud Variable.

Así, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas en éste proceso es: Wfuerzasde + Wfuerza de  presión

gravedad

mv 22 mv12 = 2 2

1 1  p1 A1Δx 1 − p 2 A 2 Δx 2 + mgh1 − mgh 2 = mv 22 − mv12 2 2  Notando que: A 1Δx1 = A2Δx2 = V y m = ρlíquidoV, en la ec. anterior, simplificando y ordenando términos con igual subíndice, obtenemos:

1 1  p1 + ρgh 1 + ρv12 = p 2 + ρgh 2 + ρv 22 2 2

(9.18)

Por tanto, a lo largo de la conducción:

1  p + ρgh + ρv 2 = constante 2 Ésta relación se conoce como la Ecuación de Bernoulli. Los dos primeros términos en ésta ecuación se denominan presión estática y el tercer término,  presión dinámica, luego, podemos afirmar que a lo largo de la conducción la suma de las presiones estática y dinámica permanece constante.

La ecuación de Bernoulli, aun cuando se ha obtenido para un líquido, es válida  para todo fluido que pueda ser considerado “ideal”. El trabajo realizado por las fuerzas de presión, es decir, el trabajo realizado por el medio circundante para mover el líquido, es:

Wfuerzas de = p1A1Δx 1 − p 2 A 2 Δx 2 = Δp V  presión

(9.19)

Luego, la rapidez con la cual se realiza éste trabajo o potencia, será: P = ∆ p

V = ∆ p G t

(9.20)

9.13 ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI TOREMA DE TORRICELLI Consideremos un depósito abierto que contiene un líquido, el cual sale a través de un orificio practicado en él a una cierta profundidad, ver fig.9.16. Si se desea obtener la velocidad de salida del líquido, podemos considerar el caso como el flujo de un líquido a través de una conducción en la cual la sección transversal se reduce considerablemente.

 po

2

vsalida

h2 1

 Nivel de referencia

Fig. 9.16 Fuga del líquido de un depósito a través de un orificio

 Note qué, el área de la sección transversal del orificio es mucho menor que la del depósito (A1