9 FA1112 LUOGO RADICI

LUOGO DELLE RADICI

• Introduzione • Regole di Tracciamento (LD) • Applicazioni ed Esempi • Luogo Inverso

Riferimenti Introduzione

• • •

Capitolo 12Testo di Bolzern Capitolo 11 Lewis (download) ....

Richiami Modellistica

Descrizione Prop. Strut. Analisi 1

Analisi 2

Sintesi Prelim. Con. Avanzati

Con. Standard

Introduzione  Una delle tecniche disponibili per l'analisi e la sintesi dei sistemi di controllo in retroazione è quella del metodo del luogo delle radici; tale tecnica è un procedimento che può essere tracciato anche graficamente per la costruzione, a partire dalla FdT di anello, del luogo descritto nel piano complesso dai poli in ciclo chiuso in funzione del guadagno di anello.  Il Luogo delle Radici studia il comportamento dinamico del sistema in ciclo chiuso partendo dalle caratteristiche della FdT in anello aperto  Il Luogo delle Radici considera sistemi senza ritardo di anello.  Il Metodo del Luogo delle Radici è tradizionalmnte complementare alle altre tecniche (p.es. La risposta in Frequenza) e si applica nella sua Versione più comune a sistemi SISO.

Introduzione  In 1949 Evans showed how the characteristic equation could be solved by plotting the locus of points “s” that have a simple relationship with other known points, that is, angles that sum to 180◦.  Evans developed a simple, sequential process, which engineers used to generate sketches in seconds, and a specialized protractor, which supported high accuracy in minutes.  First used by North American Aviation designers and taught at UCLA, the application and instruction of Evans’ new method spread rapidly to other companies and universities.

Definizioni Consideriamo un sistema lineare in retroazione: d

r -

kH(s)

y(s ) =

u

-

K (s ) = k ⋅ H (s )

k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) k ⋅ H (s )G (s ) r (s ) + d (s ) 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) d

r

G(s)

y

u

G(s)

y y(s ) =

kH(s)  Equazione Caratteristica in Ciclo Chiuso:

G (s ) [d (s ) + r (s )] 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s )

D(s ) = 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = 0

 Funzione di Trasferimento di Anello: L(s ) = GOL (s ) = K (s )G (s ) = kH (s )G (s )

Definizioni Definizione – Luogo delle Radici Per un sistema in retroazione si definisce luogo delle radici , il luogo descritto nel piano complesso dalle radici dell'equazione caratteristica al variare del parametro reale k da -  a + . In particolare si parla di:

Luogo Diretto (LD) quando il guadagno varia da 0 < k < ∞ Luogo Inverso (LI) quando il guadagno varia da - ∞ < k < 0 Ovvero:

{

}

"k Î Â1  s Î 1 : éëê1 + GOL (s ) = 0ùûú ,GOL (s ) = kG (s )H (s )

Il guadagno k non è necessariamente il guadagno statico del sistema, come quello usato tradizionalemente la risposta in frequenza m

N (s ) GOL (s ) = =k⋅ D(s )

(s + z ) j

j

,

n

(s + p ) i

i

m £n

Definizioni Esempio:

G (s ) =

1 s -1

0 2 il sistema è asintoticamente Stabile

Definizioni Commenti: Se la risposta in ciclo chiuso non deve avere ascillazioni smorzate, deve essere: 0 < k < 9/4 Se vogliamo la risposta transitoria con una sovraelongazione del 10% si ha:

M P = 0.1 = e (-px /

1-x 2 )



x wn =

x = 0.591 1  wn = 0.846 rad / sec 2

Essendo cos = , si ha: 1 4k - 9 = wn 1 - x 2 = 0.682 2

 k = 2.72

Definizioni

BW≈ 1 rad/sec

Regole di Tracciamento del RL (Diretto) Il Luogo delle Radici è tracciabile mediante ausilio numerico, basato su un certo numero di regole, che ne permette anche il tracciamento grafico approssimato Luogo Diretto ( per k > 0) m

f (k ) = 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = 0

0£k kCR = 2

Regole di Tracciamento del RL (Diretto)

k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = k ⋅

s +1 s 2 - 2s + 2

1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = 0

 s 2 + (k - 2)s + k + 2 = 0

s2

1

s1

k -2

s0 k + 2

Anche in questo caso k = 2 è il k critico sisotool

k +2

Regole di Tracciamento del RL (Diretto)

k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = k ⋅

s -1 s 2 + 2s + 2 1 + k ⋅ G (s ) ⋅ H (s ) = 0



s2

1

s 2 + (k + 2)s + 2 - k = 0 2-k

s1 k + 2 s0

2 -k

k = 2 è il k critico, ma, in questo caso, il sistema in ciclo chiuso è

asintoticamente stabile per valori del guadagni inferiori a quello critico. sisotool

Regole di Tracciamento del RL (Diretto) Regola 10

Gli zeri attraggono i rami del luogo delle radici, i poli li respingono.

Questa regola risulta fondamentale nel progetto e nella fase di sintesi in quanto fornisce indicazioni sul numero e locazione delle singolarità del controllore da introdurre nella FdT in anello aperto G (s ) =

1 k , kH (s ) = k  kG (s ) ⋅ H (s ) = s - 2s + 2 s 2 - 2s + 2 2

H(s) =

1 s

H(s) = s

Regole di Tracciamento del RL (Diretto)

Esempi e Applicazioni

(s - 1)(s - 2) GOL (s ) = k ⋅ (s + 1)(s + 2) 1. Singolarità: Zeri +1, +2; Poli -1, -2 2. Non vi sono Asintoti 3. Vi sono 2 rami che si distaccano dall’asse Reale e poi rientrano dk s2 - 2 = -6 2 = 0  s 2 - 2 = 0  s1,2 =  2 2 ds (s - 3s + 2)

s2

1+k

4. Esiste un kCR, calcolabile con Routh

s1

3(1 - k )

D(s ) = (1 + k )s 2 + 3(1 - k )s + 2(1 + k ) = 0

2(1 + k )

s 0 2(1 + k )

kCR = 1; k < kCR

Esempi e Applicazioni

GOL (s ) = k ⋅

(s - 1)(s + 2) (s + 1)(s 2 + 10s + 100)

1. Singolarità: Zeri +1, -2; Poli -1, -0.5+-j8.66, ci sono 3 rami 2. No. Asintoti = 1 3. Calcolo Angolo di partenza dai poli Complessi e coniugati

q1 = p - q2 - q3 + j1 + j2 q1 @ p - 90 - 114.79 + 109.11 + 124.72 @ 209.04

Esempi e Applicazioni 4. Calcolo Punti di Ingresso/Uscita 1 + GOL (s ) = 0  dk =0 ds



(s + 1)(s 2 + 10s + 100) k= (s - 1)(s + 2) s1 = -10.23,

5. Calcolo k Critico, k < kCR per la stabilità

D(s ) = s 3 + (11 + k )s 2 + (110 + k )s + 100 - 2k = 0 s3

1

110 + k

s2

11 + k

100 - 2k

1110 + 123k + k 2 11 + k

0

s

1

s0

100 - 2k

k < kCR = 50

s2 = 10.5

Esempi e Applicazioni GOL (s ) = k ⋅

s +5 s(s - 1)(s + 7)(s 2 + 3s + 3)

1. Zeri: -5; Poli: 0, +1, -7, -1.5+-j0.866, Il Luogo ha 4 rami 2. No. Asintoti = 4 0  1  7  1. 5  1. 5  5  4 xa    1 5 1 4 p 3 5 7 ya 0 = , ya 1 = p, ya 2 = p, ya 3 = p 4 4 4 4

4. Angolo di Uscita dai Poli Complessi

3. Esiste 1 punto di uscita s(s - 1)(s + 7)(s 2 + 3s + 3) k= , s +5 dk = 0  s = 0.59 ds

q1 = p - q2 - q3 - q4 - q5 + j1  1  3  90  8.95  150  160.89  13.9  144.06

Esempi e Applicazioni Il sistema in ciclo chiuso è sempre INSTABILE

Esempi e Applicazioni GOL (s ) =

s +5 s(s + 0.5)(s 2 + 10s + 100)

1. Zeri: -5; Poli: 0, -0.5, -5+-j8.66, Il Luogo ha 4 rami 2. No. Asintoti = 3

0  0. 5  5  5  5  5. 5   1.83 4 1 3  5  a 0  ,  a1   ,  a 2   3 3

xa 

3. Esiste 1 punto di uscita ed 1 punto di ingresso

s(s + 0.5)(s 2 + 10s + 100) k= s +5 dk = 0  s1 = -8.04, s2 = -0.25 ds

Esempi e Applicazioni 4. Angolo di Uscita dai Poli Complessi

q1 = p - q2 - q3 - q4 + j1

 1    90  117.46  120  90  57.46 5. Calcolo k critico con Routh D(s ) = k (s + 5) + s(s + 0.5)(s 2 + 10s + 100) = 0 D(s ) = s 4 + 10.5s 3 + 105s 2 + (50 + k )s + 5k = 0 s4

1

105

s3

10.5

50 + k

s2 s1 s0

1052.5 - k 10.5 (1052.5 - k )(50 + k ) - 551.25k (1052.5 - k ) 5k

5k 0

5k

0

Esempi e Applicazioni

kCR = 547.39

Esempi e Applicazioni

Esempi ed Applicazioni Esempio di Sintesi

G (s ) =

1 s 2 - 2s + 2

Dato il sistema G(s), progettare un controllore tale che: 1. Il sistema sia asintoticamente stabile 2. L’errore a regime al gradino unitario sia = 0

 Consideriamo una variazione di guadagno. Il luogo delle Radici per k > 0 è dato da:

GOL (s ) = K (s )G (s ) =

k s 2 - 2s + 2

 E’ necessario introdurre un Polo all’origine per soddisfare il requisito di risposta a regime. Un controllore possibile è quindi:

K (s ) =

k s

GOL (s ) = K (s )G (s ) =

k 1 s s 2 - 2s + 2

Esempi ed Applicazioni  Per attirare i rami instabili nel semipiano di parte reale negativa, occorre introdurre uno ZERO (regola 10).

K (s ) = k

(s + z 1 ) s

GOL (s ) = K (s )G (s ) = k

D(s ) = s(s 2 - 2s + 2) + k (s + z 1 ) = 0

(s + z 1 ) s

1 s 2 - 2s + 2

D(s ) = s 3 - 2s 2 + (2 + k )s + kz 1 = 0

 CN di Routh non è soddisfatta ed il sistema in ciclo chiuso è sempre instabile

Esempi ed Applicazioni  La regola 10 suggerisce l’inserimento di almeno un ulteriore zero per "attrarre" il luogo delle radici nel semipiano di parte reale negativa Il nuovo controllore ha la forma:

GOL (s ) = K (s )G (s ) = k

K (s ) = k

(s + z1 )(s + z 2 )

(s + z 1 )(s + z 2 ) s

s

1 s 2 - 2s + 2

D(s ) = s(s 2 - 2s + 2) + k (s + z 1 )(s + z 2 ) = = s 3 + (k - 2)s 2 + [2 + k (z 1 + z 2 )]s + kz 1z 2 = 0 1

2+k(z1+z2)

k-2

kz1z2

(*)

0

0

kz1z2

(*) =

(k - 2)[2 + k (z 1 + z 2 )] - kz 1z 2 (k - 2)

Esempi ed Applicazioni  Il controllore scelto, stabilizza il sistema in ciclo chiuso per valori del guadagno maggiori del kcr, ma è un controllore non causale (due zeri ed un polo).  Risulta necessario aggiungere almeno un polo, “Fuori Banda”, in modo da influenzare il meno possibile la stabilità in ciclo chiuso del sistema.  L’aggiunta di poli fuori dalla banda passante ovvero a frequenza molto maggiore di BW, non influenza in modo sostanziale la risposta in frequenza

K (s ) = k

K (s ) = k

(s + 1)(s + 2) s(s + P )



(s + z1 )(s + z 2 ) s(s + P ) K (s ) ⋅ G (s ) = k ⋅

Uso di SISOTOOL

(s + 1)(s + 2) s(s + P )(s 2 - 2s + 2)

No Pole

Pole = -35

Esempi ed Applicazioni Pole = -100

Pole = -20

Luogo delle Radici Inverso Il luogo delle radici inverso fornisce l'andamento dei poli a ciclo chiuso quando la costante di guadagno k è negativa o quando, pur essendo k positiva, si è in presenza di retroazione positiva. m

(s - z ) j =1

j

n

(s - p ) i =1

m

n

j =1

i =1

å (s - z j ) - å (s - pi ) =  -

1 = - ,k 0 mostra che il sistema in anello chiuso è sempre instabile

Esempi e Applicazioni

Luogo delle Radici Inverso, K < 0 K = -0.45456

Esiste un Intervallo di Stabilità per Il guadagno 3 0> k > 2

K = -0.45456

Dinamica biciclo (Steering) Dv 0 mv 02h s+ j(s ) b b G (s ) = = d(s ) Js 2 - mgh J » mh 2 D » mah

v0 s+ j(s ) av 0 a G (s ) = » d(s ) bh 2 g s h m = 80Kg a = 0.4 m b = 1.02 m h = 0.8 m v 0 = 5 m / sec

G (s ) =

j(s ) s + 12.5 » 2.4510 2 d(s ) s - 12.2625

Retroazione Proporzionale d(s ) = -k ⋅ j(s )

kCRIT = 0.4

Dinamica biciclo (Steering)  Significato del guadagno nel luogo delle radici

J j(t ) +

k>

gb v02

Dhv 0 b

é mhv 2 ù 0 ê k j (t ) + ê k - mgh úú j(t ) = 0 ëê b ûú

 Al diminuire della velocità, occorre un guadagno maggiore per la stabilità in ciclo chiuso.

 Importanza del manubrio nella dinamica e nella stabilità ìïl ¹ 900 ï í ïï P2 - P3 ¹ 0 » r (900 - l) ïî

• • •

d = k1(v 0 )T - k2 (v 0 )j b2 k1(v 0 ) = 2 (v 0 sin l - bg cos l)mac sin l bg k2 (v 0 ) = 2 v 0 sin l - bg cos l

Gli angoli  e  cambiano a causa della presenza del manubrio in funzione di  Velocità di autoallineamento vC = bg cot l Velocità critica per la stabilità

v 0 > vC

Dinamica biciclo (Steering) é ù é ù éMs 2 + Cv s + (K + K v 2 )ù êj(s )ú = ê 0ú T (s ) 0 0 2 0 úû ê ú ê ú êë êë d(s ) úû êë1úû j + A1j + A2j = B1T + B2T d = k1(v 0 )T - k2 (v 0 )j s+ GTj (s ) = B1

A1 =

B2 B1

s 2 + A1s + A2

Dv 0g

J (v 02 sin l - bg cos l) mg 2 (bh sin l - ac cos l) A2 = J (v 02 sin l - bg cos l) Dv 0b B1 = macJ (v 02 sin l - bg cos l) b(hv 02 - acg ) B2 = acJ (v 02 sin l - bg cos l)

Dinamica biciclo (Steering)

j(s ) = T (s )

d(s ) = T (s )

Dinamica biciclo (Maneuvering, Track Following)  La dinamica di manovra riguarda lo scostamento da una traiettoria rettilinea lungo l’asse .  Per piccoli movimenti tali per cui il modello lineare è valido, si ha: h(s ) = y(s ) =

h(s ) s 2 - 11.5341 = 124.14 ⋅ 2 4 T (s ) s (s - 22.2s 3 + 71.37s 2 + 886.4s - 279.2)

v0 s v0 bs

y(s ) d(s )