9-Ecuaciones Diferenciales de Energía

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA En esta clase se obtendrán expresiones para las ecuaciones diferenciales de energía total y energía interna. Con estas ecuaciones se concluye el planteo de las tres leyes de conservación: •

Conservación de la masa

•

Conservación de la Cantidad de Movimiento Movimiento

•

Conservación de la Energía

Por otra parte, estas ecuaciones nos permitirán: •

•

 Ampliar nuestra nuestra capacidad para resolver problemas. Conocer el transporte de energía en un fluido o sólido homogéneo.

2° cuatrimestre de 2015

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA La metodología para hallar estas ecuaciones será aplicar la conservación de energía a un pequeño elemento de volumen  Δ x   Δy   Δz a través del cual circula un fluido

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2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA La metodología para hallar estas ecuaciones será aplicar la conservación de energía a un pequeño elemento de volumen  Δ x   Δy   Δz a través del cual circula un fluido

2° cuatrimestre de 2015

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Se van a considerar considerar los siguientes aportes de energía: 1. El tran transp spor orte te con conve vect ctiv ivo o de ener energí gía a cinét cinétic ica. a. 2. El tra trans nspo port rte e conv convec ecti tivo vo de de ener energí gía a inte intern rna a 3. El ingr ingres eso o y egr egres eso o de de ene energ rgía ía por por conducción en el fluido. 4. Los esfuer esfuerzo zoss que pueden pueden realiz realizar ar traba trabajo jo sobr sobre e el flui fluido do en en movimiento: •

Fuerzas de Presión

•

Fuerzas Viscosas

5. El apor aporte te de las las fuer fuerza zass exte externa rnass (ej. (ej. la fuerz fuerza a de grave gravedad dad))

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3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Velocidad de aumento de las energías cinéticas e interna en el  Δy   Δz: interior del elemento de volumen  Δ x 

  1    x y z     v   u  t   2   2

ˆ



(a)

Para simplificar el planteo de la energía que entra y sale a través de cada una de las caras del elemento de volumen, se define el vector ê:

e ˆ

1 2

  v

2

  u v   pv     v   q ˆ

De esta forma, el vector ê  incluye el transporte convectivo de energía interna y energía cinética , la conducción de calor   en el fluido y el trabajo asociado a las fuerzas de  presión y los procesos moleculares .

4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Entonces, la energía que entra y sale por cada una de las caras del elemento de volumen queda:

 y z e x  x  e x  x   x    x z  e y  y  e y  y   y ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

  x ye z   z   e z   z   z   ˆ



(b)

ˆ

Por último, sólo resta considerar la velocidad con la cual realizan trabajo las fuerzas externas sobre el fluido:

   x y z  v x g  x  v y g  y

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 v z g  z 

(c)

5

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Ahora,

se puede plantear la siguiente igualdad:

(a) = (b) + (c)

  x y z     v   u    y z e x  x  e x  x   x  t    x z  e y  y  e y  y  y   x ye z   z   e z   z   z   2

1

ˆ

2



ˆ

ˆ

ˆ



ˆ

ˆ

ˆ

  x y z   v x g  x  v y g  y  v z  g  z  

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6

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

 Δy   Δz tienda a cero, se Si se hace que el elemento de volumen  Δ x  obtiene:

 e x e y e z       v   u        t     x  y  z     v x g  x  v y g  y  v z  g  z   2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

Reemplazando por las componentes de ê, se podrá obtener la ecuación de energía.

ei ˆ

   v   u vi   pi vi   ii vi    ij v j    ik vk    qi 1

2

2

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ˆ

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7

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   t 

     v     u v x    v     u       x        v     u v y      v     u v z    y  z          p x v x    p y v y    p z v z    y  z    x        xx v x     xy v y     xz v z     x     yx v x     yy v y     yz v z    y  q x q y q z        zxv x     zy v y     zz v z         z      x  y  z        v  g   v  g   v  g   1 2

2

1 2

ˆ

1 2

2

ˆ

2

ˆ

1 2

2

ˆ

8

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

La ecuación anterior puede escribirse de forma más breve empleando notación vectorial:

    v   u        v   u v     pv  t        v     q   v  g  1

2

2

1

ˆ

2

2

ˆ

(d)

Esta ecuación no incluye las formas de energía nuclear, radiactiva, electromagnética o química. 

Si se define la energía potencial por unidad de masa:

 g     2° cuatrimestre de 2015

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9

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Entonces, se cumple:

  v  g     v   

Usando la identidad vectorial:

  ab  a  b  a   b

   v  g       v     v Si se recuerda la ecuación de continuidad:

       v t 

      v  g         v t  2° cuatrimestre de 2015

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10

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Si ϕ≠ f (t) , éste puede entrar en la derivada como constante.

      v  g        v t  

Reemplazando esta expresión en la ecuación (d), se obtiene la ecuación diferencial de energía total:

    v   u          v   u   v  t      pv        v     q 1

2

2

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1

ˆ

2

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2

ˆ

(e)

11

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Sin embargo, por lo general resulta más útil la ecuación de energía interna. Para hallarla, se va a restar la ecuación de energía mecánica a la ecuación (e). 

En la ecuación diferencial de energía mecánica aparecen los siguientes términos:

 t 

   v  1

2

2

     v v 1

2

2

    pv  2° cuatrimestre de 2015

Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen. Velocidad de adición de energía cinética por convección por unidad de volumen. Velocidad de trabajo realizado por la presión del entorno sobre el fluido. Dra. Larrondo - Ing. Grosso

12

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   p   v 

Velocidad de conversión reversible de energía cinética en energía interna.

      v 

Velocidad de trabajo realizado por las fuerzas viscosas sobre el fluido.

    :   v    v  g  2° cuatrimestre de 2015

Velocidad de conversión irreversible de energía cinética en energía interna o calentamiento viscoso.

Velocidad de trabajo realizado por la fuerza externa sobre el fluido.

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13

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Incluyendo la energía potencial por unidad de masa ( ϕ ), de la misma forma que se hizo en la ec. (e), se obtiene la ecuación diferencial de energía mecánica:

    v          v   v     pv  t    p   v        v      :   v  2

1

1

2



2

2

(f)

Restando las ecuaciones (e) - (f), se llega a la ecuación de variación para la energía interna:

   u      u v   p  v     q    :   v  t  ˆ

ˆ

(g) 14

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Comparando las ecuaciones de energía mecánica (ec. f) con la ecuación de energía interna (ec. g), se observa que en ambas ecuaciones se repiten términos con signo opuestos. Estos términos describen la interconversión de energía mecánica y energía interna.

 p  v 

Este término puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el fluido se expande o se contrae. Por lo tanto, representa un modo de intercambio reversible.

  :   v 

Este término siempre es negativo (para fluidos Newtonianos) y en consecuencia representa una degradación irreversible de energía mecánica en energía interna.

2° cuatrimestre de 2015

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15

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

   u      u v   p  v     q    :   v  t  ˆ

ˆ

(g)

Se puede escribir de forma más breve empleando la derivada sustancial:

 D

  u     q   p  v     :   v  ˆ

 Dt 

(h)

Si se considera que û=f (V,T): (i) 16

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

2° cuatrimestre de 2015

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17

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

18

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

2° cuatrimestre de 2015

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19

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

20

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

Para fluidos newtonianos de ρ , µ y k constantes:

 DT  2  k  T    v   C   Dt  En esta ecuación se empleó la siguiente igualdad

(j)

   :   v    v

La función  v  cambiará según el sistema de coordenadas adoptado. Sin embargo, se puede ver que expresión toma para el sistema de coordenadas rectangulares:

  v    v    v    v      v         2            x      y      z      y  x          v    v v      v            x      z   y       z   2

2

2

 y

 x

 z 

 x

2

 y

v

2

2

 x

 z 

 y

 z 

21

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA 

Otras formas de la ecuación de energía interna

Por lo tanto, la función  v  en coordenadas rectangulares queda:

 v    v    v    v       v         2         x      y      z        y  x        Se demuestra que para v    v v      v  fluidos Newtonianos el          producto – (    : v)=µ v   x      z   y       z   es siempre positivo. 2

2

 y

 x

2

2

 z 

 x

 y

v

2

2

 x

 z 

 y

 z 

La última forma de la ecuación de energía que se verá es la de un sólido de propiedades constantes y sin generación interna de calor: “Ecuación de Calor” o “Segunda Ecuación de Fourier” 

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T   k  T    C  t  2

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(k) 22

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna para el caso de un fluido newtoniano de ρ , µ y k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e.

 DT   k  2T    v   C   Dt 

2° cuatrimestre de 2015

(j)

23

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna

En este momento, se conoce la ecuación diferencial que describe el sistema en estudio (ec. j). •

Esta ecuación cumple con la homogeneidad dimensional.

•

El cociente o razón entre un término y otro, no debe tener dimensiones. •

Si se conoce el sentido físico de cada término de la ecuación, se  podría dar alguna interpretación física a los parámetros adimensionales que se formen por este método. •

Los valores de longitud, velocidad y otros parámetros característicos serán los valores más representativos o significativos del sistema en estudio. •

2° cuatrimestre de 2015

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24

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna

Consideraciones: •

•

Los perfiles de velocidad y temperatura se encuentran totalmente desarrollados. Las temperaturas de ambas placas permanecen constantes a T 0 y T 1.

Las variables de la ecuación son:

T  v

t   xi

Las variables adimensionales que se proponen: *

T 

*

t 

 

T   T 0 T 1  T 0 t  v  LeC 

v

*

* *



  xii   x

v

 v

 x xii  L eC 

25

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna

Reemplazando por estas nuevas variables se obtiene:

T 1  T 0   DT   DT    C    C  *  Dt    e    Dt 

*

   v 

k  T   k  2

T   T   1

0

e

2

*2

 T 

*

2

 v   v      v   e  

*

26

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna

Entonces, la ecuación adimensional queda:

T   T    DT 

*

  C 

1

0

  e    Dt     v 

*

 k 

T   T   1

0

e

2

2

 v   T       v   e   *2

*

*

En este momento tenemos una ecuación de variables adimensionales con constantes dimensionales.  Ahora, nuestro objetivo es eliminar las dimensiones de las constantes de esta ecuación. 2° cuatrimestre de 2015

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27

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna

Si se divide toda la ecuación por una de las constantes dimensionales, se obtiene una ecuación totalmente adimensional: *

 DT 

*

 Dt 



k 

*2

  C v e

 T  

 v

*

  C T 1  T 0 e

 v

*

 Ahora, sólo resta hallar que números adimensionales describen este sistema.

 DT * *

 Dt 



k 

 

  T  

  C v e  

2° cuatrimestre de 2015

*2

*

 v



k  v

  C T 1  T 0 e k  v

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 v

28

*

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización *

 DT 



*

 Dt 

 



de la ecuación de energía interna

k 

  v e  C 

*2

 T  

1

1

1

Re

Pr 

Re

Número de Reynolds: Re



Número de Prandlt: Pr   Número de Brinkman: Br 

 

*



 v

2

  v e k T 1  T 0 



k 

 v  C 

1

Br 

Pr 

  v e  

 C  k 



 v

2

k T   T  

29

*

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Finalmente, la ecuación adimensional expresada en función de los números adimensionales hallados queda: *

 DT 

*

 Dt 



1

*2

Re Pr 

 T   *

Br  Re Pr 

 v

*

(l)

Sentido físico de los adimensionales hallados: Número de Reynolds: Re

Re 

  v e



  v e

  v

  2

 F  I  v e e    v  F V    v e   e

2

Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas viscosas

 F  I 



 v

 F V    

2

e

v e

2

30

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Sentido físico de los adimensionales hallados:

Número de Prandlt: Pr  

 C  k 

Efectividad relativa del transporte de momento y el transporte de energía por difusión

  Pr  

 C    



k    



   k 

  



   

  C  2° cuatrimestre de 2015

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  

     k 

  C  31

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Sentido físico de los adimensionales hallados:

Número de Brinkman: Br 

Br  

 v



 v

k T 1  T 0 

 v 2

e

2

k T 1  T 0  e

2





e k  e

2° cuatrimestre de 2015

2

2

Relación entre la generación de calor por efectos viscosos y el calor disipado por conducción

  v

2

e

2

T   T   1

0

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k  e

2

2

2

T   T   1

0

32

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Se propone hallar el perfil adimensional de temperatura de un fluido newtoniano de  ρ ,   y  k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e por la acción de un gradiente de presión en la dirección x.

2° cuatrimestre de 2015

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33

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno: *

 DT 

*

 Dt 



1

*2

Re Pr 

 T  

 y*



 y*



*

1

Br  Re Pr 

 v

*

 T * 

1

 T * 

0

1

2

2

Condiciones de contorno: 1 2

1

2

34

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno:

 Dv

*

*

 Dt 

   p  *

1

*

 y

*

*2

Re



 v  *

1

 g   Fr  ˆ

*

1

 v  1

2

2

0

Condiciones de contorno:

 y

*



1 2

*

 v   1

2

0 35

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Simplificaciones que se asumen para la resolución: Estado estacionario.

•

Los perfiles de temperatura y flujo laminar se encuentran totalmente desarrollados. •

El gradiente de temperaturas se encontrará establecido predominantemente en la coordenada y. •

En cuanto a las dimensiones, se establecerá que el espesor de separación entre  placas es mucho menor que el ancho y largo de las mismas. •

2° cuatrimestre de 2015

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36

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:

 Aplicando estas simplificaciones, las ecuaciones a resolver quedan:

 Dv

*

  Eu    p  *

*

 Dt 

*

1 Re

*2

 v  *

1

 g   Fr  ˆ

Br   v x    T       Dt  Re Pr   y Re Pr     y   *

 DT 

*

2° cuatrimestre de 2015

1

2

*

*2

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*

2

*

37

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Si se trabaja con la componente x* del balance de cantidad de movimiento, se tiene:

1  vx  p 0   Eu   x Re  y 2

*

*

*2

*

Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de velocidad del  fluido:

v x

*

2° cuatrimestre de 2015



Re Eu 2

 p  y  C  y  C   x *

*2

*

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

*

1

2

38

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:

 Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene:

 p 0  Re Eu  x  p 0  Re Eu  x

*

1

*

8

*

1

*

8

1

 C   C  2

1

2

1

 C   C  2

1

2

Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C 2:

 p C    Re Eu  x 2

*

1

*

8

39

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C 1:

C 1

0

Por lo que el perfil adimensional de velocidad queda:

v x

2° cuatrimestre de 2015

*



Re Eu 2

1   p    y   4   x   *

*2

*

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

40

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:

 Ahora que se tiene el perfil adimensional de velocidad, se puede empezar a trabajar con la ecuación de energía interna:

 v x    T    Br  0  y    y   2

*

*

*2

2

*

Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de temperatura en el fluido:

   p T    Br Re Eu    x 

*

*

*

2° cuatrimestre de 2015

2

   y   C  y  C    12

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

*4

*

3

4

41

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:

 Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene: 2

   p   1   Br Re Eu    x          p   0   Br Re Eu    x       *

1 16

*

*

*

12

 C   C  1

2

3

4

2 1 16

12

 C   C  1

2

3

4

Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C 4:

   p C    Re Eu  2 192    x 1

4

Br 

*

*

    

2

42

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido: Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C 3:

C 3

1

Finalmente, el perfil adimensional de temperatura queda:

Br  

  p T   Re Eu  12    x *

*

*

    

2



1

16

  y

*4

 

1 2

  y

*



Entonces, se puede ver que el número de Brinkman representa cuanto se aleja el perfil de temperatura de la linealidad. Ahora, se debe analizar que representa esto físicamente. 43

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA   Adimensionalización

de la ecuación de energía interna Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:

Número de Brinkman: Br 



 v

2

k T 1  T 0 

44

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA  •

•

•

Significado físico de los adimensionales hallados: El número de Reynolds se lo puede entender como la razón de las  fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas. El número de Prandtl representa la razón de la difusividad de momento a la difusividad térmica. El número de Brinkman representa la razón entre la producción de calor por disipación viscosa y la capacidad de eliminarlo por conducción.

2° cuatrimestre de 2015

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

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