9. Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones de Modelado

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. 1. Establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no, comparando con la siguiente ecuación:

 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.  Todos los coeficientes están en función de la variable independiente Solución: La anterior ecuación es una ecuación lineal ordinaria de orden 3.

2. construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real.

Esta ecuación tiene solución imaginaria. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Esta ecuación no tiene solución.

3. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga solo la solución trivial y=0. Explique su razonamiento. y´=y

;

Condición inicial: y (0) = 0

Razonamiento:

Ln l y l= x + c Y= Y (0)=0 0=c 0=c 0=c Y=0 Y=0

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4. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo constante K de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden de solución.  Y(x)= Y´(x)=  Y(x)= Y´(x)=

5. Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de newton. Utilice los datos de la gráfica de la temperatura T(t)para estimar las constantes Tm , To y K en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden:

T (0) = T˳ Aplicación de la ley de enfriamiento de Newton:

De acuerdo con la grafica estimamos la temperatura inicial (T˳) y la temperatura del medio

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De la gráfica obtuvimos:

y

Debemos resolver el problema con valores iníciales por el método de variables separables.

-

= Kt +c

t = 0 min.

Obteniendo esta expresión: Y cuando T= 25, T=

= 25k K= - . 9≈ -0.1 K= -0.1 Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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6. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de 3 gal/ min y cuando la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que hay en el tanque al tiempo t. ¿cuánto vale A (0)?

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X=Agua

Xo=300 Galones

A=Sal

Ao=50 Lb

Cantidad de agua pura que entra

----

Salida solución

-----

Cantidad que entra de sal = (0) (

Cantidad que sale de sal =

)

. +

=0

Haciendo variables separables DT Ln lAl = A(t)= C A(0)=50 lb Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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7. suponga que en un principio un gran depósito de mezclado contiene 300 galones de agua en la que se han disuelto 50 libras de sal. Otra solución de salmuera se bombea hacia el depósito a razón de 3 galones por minuto, y cuando la solución está bien agitada, se bombea hacia afuera sólo 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución entrante es 2 libras por galón, determine una ecuación diferencial para la cantidad de sal A (t) que se encuentra en el tanque en el instante t. Flujo de entrada 3 gal/min de solución 2 lb/ gal de concentración 300 gal de agua + 50 lb de sal

Flujo de

¿Cuál es la cantidad

Salida

de sal (A) en el tanque

3 gal/min de solución

en un tiempo t?

Solución: Sabemos que la cantidad de sal (A) que se encuentra en el tanque en un tiempo t, está dado por la cantidad de sal que entra al recipiente y la cantidad de sal que sale de este; matemáticamente esto es expresado como: = R entrada – R salida Donde la cantidad de sal que entra (R entrada) está dada por: R entrada= 3

*2

=6

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Donde el primer término de esta expresión es la velocidad de entrada de la solución, y el segundo es la concentración de este flujo. Y la cantidad de sal que sale es: R salida = (

) (2

)=

En esta expresión el primer término es la concentración de sal en el flujo de salida, la concentración de esta, está dada por la cantidad de soluto (sal) sobre la cantidad de solvente (agua), y está última varía con el tiempo porque el flujo de salida es menor que el de entrada. Retomando tenemos que: = R entrada – R salida =6

-

Para resolver está ecuación diferencial, entonces tenemos que: =6Llevando la ecuación a la forme estándar: +

=6

Entonces: P(x)= =

f(x)=6

Factor Integrante:

=

= (300+ t)2

Extrapolando con la solución estándar encontramos que: A (t) =

+

A (t) =

+

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dt

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Simplificando:

A (t) =

+ 2(300+t)

8. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ao que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a , donde c es una constante empírica. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cubico que se muestra en la figura. El radio del agujero es de 2 pulg y

Partimos de: En primer lugar podemos obtener el volumen del tanque: Como la altura y el volumen varían con respecto al tiempo, tenemos

Pero

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9 Sustituyendo

9

Pero como el nivel del agua está disminuyendo concluimos.

9. un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura. Determine la ecuación diferencial para la corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado es E(t). Caídas de voltaje: VR= iR ; VL=L E(t): iR + L E(t):R

+L

10. Un circuito en serie de contiene un resistor y un capacitor como se ilustra en la Figura. Determine una ecuación diferencial para la carga q (t) en el capacitor se la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje impreso es E (t).

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De acuerdo a la segunda ley de kirchhoff el voltaje aplicado E (t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas respectivas de voltaje en el circuito. Como la corriente i (t) está relacionada con la carga q (t) en el capacitor mediante

. Sumamos: ;

Caída del resistor

Caída capacitor

11. Caída libre y resistencia del aire Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el de un paracaidista, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercano a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

Kv2

� Dirección Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis positiva Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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mg

El peso actúa sobre el cuerpo hacia abajo (dirección Positiva). La resistencia (k v2) con k>0 actúa para impedir el movimiento, va hacia arriba (dirección Negativa) Utilizando la segunda ley de Newton

Igualo sumatorias de fuerza

12. Un barril cilíndrico de s pies de diámetro y w lb de peso, está flotando en agua como se muestra en la figura 1.3.16a. Después de un hundimiento inicial el barril presenta un movimiento oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical. Utilizando la figura 1.3.16b, defina una ecuación diferencial para establecer el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el barril está en reposo. Use el Principio de Arquímedes: la fuerza de flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril el igual al peso del agua desplazada. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es 62.4lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Solución. Según el Principio de Arquímedes se tiene: La fuerza ascendente del agua sobre el barril = Peso del agua desplazada = (62,4) x (Volumen de agua desplazada) = (62,4) =15,6

(s/2)2 y s 2y

Utilizando la segunda ley de Newton tenemos: = - 15,6 +

=0;

s² y

= 32 pies/seg² y w= el peso del barril en libras

13. Después de que se fija una masa M a un resorte, este se estira S unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio. Después el sistema masa-resorte se pone en movimiento, sea que X (t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas son el peso de la masa y la fuerza restauradora del resorte estirado. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Utilicé la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento X (t) al tiempo t.

 Condición de equilibrio: Mg = k S  Aplicando la segunda ley de Newton ∑F = Ma ; donde a =  Obtenemos Mg – k (x + S ) = M Mg – kx – kS = M  Teniendo en cuenta la condición de equilibrio obtenemos la siguiente ecuación Mg – kx – Mg = M Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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-kx = M +

=0

 Esta ecuación diferencial representa un movimiento armónico simple.  Esta es una ecuación diferencial : 1. Ordinaria 2. De orden 2 3. lineal 4. Homogénea

14. Segunda Ley de Newton y ley de Hooke.

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Después de que se fija una masa a un resorte, éste se estira unidades y cuelga en resorte en la posición de equilibrio como se muestra en la figura. Después el sistema resorte/ masa se pone en movimiento, sea que denote la distancia dirigida del punto de equilibrio de la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa, la fuerza de restauración del resorte estirado y una fuerza de amortiguamiento sobre el sistema masa resorte que es proporcional a la velocidad instantánea de la masa y actúa en dirección contraria al movimiento. Utilice la Ley de Hooke: la fuerza de restauración de Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento . Sin una fuerza de amortiguamiento, la ecuación diferencial es:

Con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, la ecuación diferencial viene ser La ecuación diferencial es:

15. Segunda ley de newton y la ley de la gravitación universal. De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, la aceleración de caída libre a de un cuerpo, tal como el satélite que se muestra en la figura, que está cayendo desde una gran distancia hacia la superficie no es la constante g. Mas bien, la aceleración a es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a=k/r2 donde K es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en la superficie de la tierra, r=R y a=g, para determinar K. Si la dirección positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal para encontrar, una ecuación diferencial para la distancia r. Según la ley de la gravitación universal, la aceleración de caída libre es a

Si

donde, K= Constante de proporcionalidad r= Distancia desde el centro de la tierra

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Si

(En la superficie de la tierra)

Para la superficie de la tierra (La dirección vertical hacia arriba es el eje positivo y el contrario sería el negativo) Si

Despejando a K 2 Constante de Proporcionalidad en la superficie de la tierra

Según la Segunda Ley de Newton F = ma Si la fuerza neta del objeto es igual a la fuerza que ejerce el peso del objeto (La fuerza del peso del objeto es negativa porque el objeto va cayendo, es decir, va en dirección contraria a nuestro eje positivo)

Pero como

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2

La Ecuación diferencial para la distancia r es:

16. Modelo de población. La ecuación diferencial , donde k es una constante positiva, modela la población humana, P (t), de cierta comunidad. Analice e interprete la solución de esta ecuación. En otras palabras, ¿Qué tipo de población piensa que describe esta ecuación diferencial? Solución: Para la solución del ejercicio podemos observar que la ecuación diferencial es de primer orden y de variables separables, debido a que sus dos variables P (población) y t (tiempo) se pueden factorizar como el producto de una función de t por una función de P así:

Separamos las variables:

Integramos:

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1

. Haciendo C igual a

(Propiedades de exponentes)

se obtiene:

Condiciones iníciales: En la desarrollo de una dinámica poblacional se supone que para el tiempo en el cual se aplica el modelo (t=0), la población presente va a ser una población inicial puesto que es necesario partir con una cantidad establecida. t=0;

P(o)=Po

Po: población inicial

Aplicamos las C.I:

Gráficamente, el comportamiento de la población que describe esta solución es el siguiente:

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Análisis e interpretación: Mediante la gráfica podemos observar que la solución de la ecuación diferencial representa a una población con comportamiento periódico, es decir que crece y decrece en intervalos de tiempo. Este tipo de comportamiento en los seres vivos describe algunos fenómenos como la actividad del corazón, respiración, ciclos circadianos, mestruación etc cuyas representaciones gráficas son del tipo sinusoidal. Un tipo de población que describiría esta ecuación diferencial seria la población que padece de tiempos de hambrunas, ya que mientras tengan una cantidad de alimentos suficientes para satisfacer sus necesidades van a encontrarse con buena salud, pero en el momento en que estos comienzan a escacear, gran parte de la población comenzará a sufrir enfermedades hasta el punto en el que algunas personas mueren. Otro tipo de población de seres vivos que describiría sería por ejemplo una población de conejos al acecho de zorros depredadores.

17. Crecimiento poblacional: Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuántos años se triplicará y cuadruplicará? Solución: Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Para responder a estas preguntas lo primero que se debe es plantear una ecuación diferencial de crecimiento poblacional como la siguiente: F(x)= en la cual se sustituye x por P: F(p) = P en donde reagrupando términos obtenemos una ecuación diferencial separable de primer orden como se muestra: F(x)−

=0 Forma estándar de la E.D

De la cual tenemos P(t)=-k y F(t)=0 donde el Factor integrante para esta ED es: (F.I):

=

Obteniéndose una familia uniparamétrica de soluciones: P= C Ahora haciendo uso de las condiciones iníciales t=0 y P puede obtener C

(0)=Po,

se

Po=C Donde C=P0

P(t)=

Sabiendo que la población se duplicó en cinco años se puede despejar K como sigue: P=2Po, t=5 2Po=Po ln(2)=5k k= La solución de la ecuación diferencial original viene dada por: P(t)= Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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a) P(t)=3Po, t=? 3Po= ln(3)= t= t ≈ 7,9 años

b) P(t)=4Po , t=? 4Po= ln(4)= t= t=10 años

18. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas.

Ln l c l= kt+c-------------- c(t)= T=0--------- c=100mg T=6H-------C=0,97(100) Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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C(T)=100 Y T=0 100=C 100= c C(t)=100 97=100 Ln

=6k

K=-5,076* C(t)=100

* t

Si c(t) C=co C(t)=Co T=? C(t)=

/Co=

Ln( =kt -Ln2=kt Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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T =T=T=136,55 h

19. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en un lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en lascaux, Francia. Precise la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determino que 85.5% de su C-14 encontrado en los arboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 años. Sea Ao la muestra de C-14 encontrada en la pieza de madera. Sea la cantidad de C-14 presente en la madera que quedo a través del tiempo. Se soluciona el problema con valores iniciales.

Si se sabe que 5600 es la vida media del C-14, entonces tenemos. (1) Partiendo de Necesitamos hallar el valor de la constante. Usamos el hecho de la ecuación (1).

.

Como se desintegro el 85,5% del C-14, entonces resta un 14,5%, de donde Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Al reemplazar se obtiene: 9 9

Respuesta: la madera hallada en la caverna data de hace 15600 años.

20. Muchos creen que la Sábana Santa de Turín, que muestra el negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado, es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988 el Vaticano otorgó el permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario tenía alrededor de 660 años de antigüedad, una edad consistente con su aparición histórica. Con esta edad determine qué porcentaje de C-14original permanecía en la tela en 1988.

Solución: La cantidad de carbono presente en la tela depende de la cantidad original de este, matemáticamente: αx Para llevar esta expresión a una igualdad es necesario agregar una constante de proporcionalidad, en este caso es la constante de desintegración, entonces tenemos: = kx Llevando la ecuación diferencial a la forma estándar: Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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– kx = 0 Donde: P(x)= -k

f(x)=0 Factor Integrante:

=

=

Extrapolando de la solución estándar tenemos: X (t)= c Para hallar el valor de C, utilizamos la siguiente condición inicial: X (0) = Xo C = Xo La ecuación queda del siguiente modo: X (t) = Xo Para nuestro problema esta será la ecuación que vamos a emplear: Vamos a hallar primero el valor de la constante de desintegración del carbono, para esto conocemos un dato importante, el tiempo de vida media del carbono es de 5600 años. El tiempo de vida media es el tiempo necesario para que una determinada sustancia se desintegre hasta la mitad de la cantidad original. Trasladando esto a términos matemáticos: = Xoe5600k Simplificando y despejando tenemos que k: K= K=1.23*10-4 Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Volviendo a nuestra ecuación y reemplazando el valor de k, tenemos: X (t) = Xo

.

La cantidad inicial de C-14 en la tela era el 100% y el tiempo t=660 años, reemplazando los datos: X (t)=100*

.

X (t)= 92.20%

21. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F y después de 5min indica 30° F ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación?

t min T °F

0

1

5

55

30

= K(T - Tm) = [ Ln (T-5) = Kt + C ]* e T-5= 1. T=

+5

Si t=5 y T=30° 30=

+5

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2.

=

Si t=1 y T=55° 55=

+5

50= [

(

)

= ]*ln

3. K=-0.1733 3 en 2 =

.

= 59.5 T= TO =

+5 .

* 59.5 +5

TO =64.5

22. Al tiempo t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño liquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80 °F. El baño liquido tiene un temperatura controlada . (medida en grados Fahrenheit) dada por , t≥0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k=-0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras como espera que sea la temperatura T (t) de la sustancia química a corto plazo. Y a largo plazo. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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b) Resuelva el problema con valores iníciales. Use un programa grafico para trazar la grafica de T (t) en diferentes intervalos de tiempo. ¿las graficas concuerdan con sus predicciones del inciso a)? Según la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:

Separando diferenciales e integrando tenemos:

Dado que la Tm está dada por: ; para t≥0 Podemos concluir la formula de esta manera:

a) Para k=-0.1 la formula queda: .

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Dado que el problema presenta en su desarrollo funciones exponenciales se esperaría que la temperatura a corto plazo varié notablemente. Y partiendo del planteamiento anterior de las funciones exponenciales, podemos afirmar que la temperatura a largo plazo . casi no varía o tiende a estabilizarse. Porque tiende a cero cuando el tiempo aumenta, por ende la temperatura de la sustancia tiende a 100 para este caso. b) Resolviendo el problema con valores iníciales podemos concluir:

Entonces la ecuación queda: . .

T=

.

Grafica general

En el intervalo t=0s a t=40s Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Grafica en el intervalo t=0 a t=200

23. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 °F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85 °F. Una hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80 °F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón era en ese momento de 98.6 °F. Determine cuantas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver.

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Según el modelo de enfriamiento de NEWTON, la variación de la temperatura con respecto al tiempo, es directamente proporcional al diferencial de temperaturas (TEMP del medio y TEMP del objeto en estudio) por una constante. =K( -

)

Teniendo en cuenta que la

= 70°F se tiene que:

= Resolviendo las integrales: =Kt+C Aplicando

obtenemos:

T – 70 = → T- 70 =

; donde

=

Así pues: T(t) = 70 +

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales : T(0) = 98,6°F ; entonces

T(0)= 98,6 = 70 + 98,6 = 70 +

→

, como

= 1 ; se tienes que:

= 28,6

→T(t) = 70 + Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

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Como la temperatura a la hora del descubrimiento T( )= 85°F y una hora después del descubrimiento la temperatura T( +1)= 80°F, tenemos las dos siguientes ecuaciones: →

(1)

85= 70 + 28,6

(2)

80 = 70 + 28,6

De la ecuación (1) = Aplicando

→

=K

y despejando K tenemos que:

K=Reemplazo K en la ecuación (2): →

80 = 70 + 28,6 Entonces:

=

; al aplicar ln obtenemos:

= →

=

≡ 1,6

Entonces, pasaron aproximadamente 1,6 horas antes de que se encontrara al cadáver.

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

24. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO /CALENTAMIENTO

La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una modificación a la ecuación de la ley de enfriamiento/calentamiento es

Donde k