9.- Aceleración y Curvatura
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COMPONENTES DEL VECTOR ACELERACIÓN Y CURVATURA. VECTOR TANGENTE UNITARIO Sea C una curva suave (es continua y no nula en dicho intervalo) representada por R ( t ) en un intervalo abierto I, el vector tangente unitario T ( t ) en t se define como T (t ) =
V (t ) V (t )
; V (t ) ≠ 0
Si T ( t ) es el vector tangente unitario en P, s es la longitud de arco de C, que parte de un ds punto fijo hasta P y s se incrementa conforme t crece, entonces Dt R ( t ) = T ( t ) dt Como el miembro izquierdo de esta ecuación es el vector velocidad, se tiene ds V ( t ) = T ( t ) (1) (La ecuación expresa el vector velocidad como un escalar por el vector dt ds tangente unitario) y por tanto, V ( t ) = (2) esto es, la rapidez de una partícula es la tasa dt V (t ) de variación de s con respecto a t. De (1) y (2), T ( t ) = V (t ) El coeficiente de T ( t ) ,
ds , se denomina componente tangencial del vector velocidad. dt
EJEMPLO. Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj cuando t = 1 . La derivada R′ ( t ) = ˆi + 2tjˆ . Por tanto, el vector tangente unitario es
V (t )
1 ˆ ˆ (i + 2 j ) (iˆ + 2tjˆ) . Cuando t = 1 ⇒ T (1) = 5 V (t ) 1 + 4t Nota: La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por ese punto y es paralela al vector tangente unitario. EJEMPLO. Hallar T ( t ) y unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice dada π por R ( t ) = 2cos ( t ) ˆi + 2sen ( t ) ˆj + tkˆ en el punto correspondiente a t = . La derivada 4 R′ ( t ) = −2sen ( t ) ˆi + 2cos ( t ) ˆj + kˆ , lo cual implica que T (t ) =
=
1
2
R′ ( t ) = 4 sen2 (t ) + 4cos2 (t ) + 1 = 5 . Por tanto, el vector tangente unitario es
T (t ) =
R′ ( t ) −2sen(t )ˆi + 2cos(t ) ˆj + kˆ π = ⇒ si t = 4 R′ ( t ) 5
1 ⎛ 2ˆ 2 ˆ ˆ⎞ 1 T ( π4 ) = i +2 j + k ⎟ ⇒ T ( π4 ) = (− 2iˆ + 2 ˆj + kˆ) ⎜ −2 2 2 5⎝ 5 ⎠
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π
Usando los números directores a = − 2 , b = 2 , c = 1 y
Pto(x1 , y1 , z1 ) = ( 2, 2, ) es 4 fácil obtener las siguientes ecuaciones paramétricas (con parámetro s):
x = x1 + as = 2 − 2s; y = y1 + bs = 2 + 2s; z = z1 + cs =
π
+s 4 Uno de los vectores ortogonales al vector tangente T ( t ) es T ′ ( t ) . Es decir: T ( t )iT ( t ) = T ( t ) = 1 ⇒ T ( t )iT ′ ( t ) = 0 2
Normalizando el vector T ′ ( t ) se obtiene un vector especial, llamado el vector normal Principal (unitario). Sea C una curva suave (es continua y no nula en dicho intervalo) representada por R ( t ) en un intervalo abierto I. Si T ′ ( t ) ≠ 0 el VECTOR NORMAL PRINCIPAL en t se define como
N (t ) =
T ′(t ) ; T (t ) ≠ 0 T ′(t )
El vector B ( t ) = T ( t ) × N ( t ) se llama BINORMAL UNITARIO a lo largo de C.
Nota: En cada punto de la curva C, los Vectores B ( t ) , T ( t ) , N ( t ) son unitarios y
Ortogonales entre si EJEMPLO. Hallar el vector normal principal para la hélice R ( t ) = 2cos(t )ˆi + 2sen(t ) ˆj + tkˆ R′ ( t ) −2sen(t )ˆi + 2cos(t ) ˆj + kˆ −2cos(t )ˆi − 2sen(t ) ˆj T (t ) = = ⇒ T ′(t ) = R′ ( t ) 5 5 2 T ′(t ) −2cos(t )iˆ − 2sen(t ) ˆj T ′(t ) = ⇒ N(t ) = = = − cos(t )ˆi − sen(t ) ˆj ′ 2 5 T (t )
Observe que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z.
Ahora se expresará el vector aceleración en términos de un vector tangente a la dirección de movimiento y a un vector normal a esta dirección. VECTOR ACELERACIÓN
Si R ( t ) es el vector posición de una curva suave C y N ( t ) existe el vector aceleración A ( t ) está en el plano determinado por N ( t ) y T ( t ) 124 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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COMPONENTE TANGENCIAL Y COMPONENTE NORMAL DEL VECTOR ACELERACIÓN. Si R ( t ) es el vector posición de una curva suave C, para la que existe N ( t ) , las componentes tangencial y normal del vector aceleración vienen dadas por: v ia aT ( t ) = Dt [ v ] = a iT = v v ×a 2 2 = a − aT aN ( t ) = v T ′ = a iN = v A ( t ) = ⎡⎣ AT ( t ) ⎦⎤ + ⎡⎣ AN ( t ) ⎦⎤ Si se resuelve está ecuación para AN ( t ) , y observando que 2
2
AN ( t ) es no negativa, se tiene AN ( t ) = conveniente para calcular AN ( t ) .
A ( t ) − ⎡⎣ AT ( t ) ⎤⎦ la cual es una fórmula 2
2
Nota: aN ( t ) ≥ 0 y La componente normal de la aceleración se llama COMPONENTE CENTRÍPETA DE LA ACELERACIÓN Ejemplo. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la función posición R ( t ) = 3ti − tj + t 2 k v ( t ) = 3ˆi − ˆj + 2tkˆ ⇒ v ( t ) = 10 + 4t 2 ; a(t ) = 2kˆ aT ( t ) =
v ia 4t = v 10 + 4t 2 iˆ ˆj kˆ
v × a = 3 − 1 2t = −2iˆ − 6 ˆj 0 0 2
Y la componente normal es: aN ( t ) =
v ×a 2 10 = v 10 + 4t 2
Nota: se puede utilizar la fórmula alternativa
CURVATURA Sea R ( t ) = f (t )iˆ + g(t ) ˆj + h(t )kˆ la posición de un objeto en el instante t. Supondremos de la
aceleración que R ( t ) es continua, y que R ( t ) nunca es igual al vector cero. Esta última condición asegura que la longitud de arco acumulada s(t) aumenta conforme t aumenta. Nuestra medida de curvatura implicará qué tan rápido cambia el vector tangente. En lugar de trabajar con el vector tangente R′ ( t ) elegimos trabajar con el vector tangente
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unitario T ( t ) =
V (t ) V (t )
Para realizar la tarea de definir curvatura, consideramos la razón de
cambio en el vector tangente unitario. Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por R ( s ) donde s denota el parámetro longitud de arco. Se define la curvatura de C en s como K = también: K =
dT = T (s) o ds
R′(t ) × R′′(t T ′(t ) = Derivamos con respecto a la longitud de arco S, en lugar 3 R′(t ) R′(t
de hacerlo con respecto al tiempo t, ya que queremos que la curvatura sea una propiedad intrínseca de la curva, no de lo rápido que el objeto se mueva a lo largo de la curva. (Imagine el movimiento circular, la curvatura del círculo no depende de que tan rápido el objeto gire alrededor de la curva). EJEMPLO. Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial
⎛1 ⎞ R ( t ) = ( t 2 − 1) iˆ + ⎜ t 3 − t ⎟ ˆj ; t ≥ 0 Determine cada uno de los siguientes vectores: ⎝3 ⎠ V ( t ) , A ( t ) ,T ( t ) y N ( t ) . También obtenga los escalares: V ( t ) , AT ( t ) , AN ( t ) y K ( t ) . Calcule los valores particulares cuando t = 2 . Como V ( t ) = Dt R ( t ) y A ( t ) = DtV ( t ) . V ( t ) = 2tiˆ + ( t 2 − 1) ˆj V ( t ) = 4t 2 + ( t 2 − 1) = t 4 + 2t 2 + 1 = t 2 + 1 2
A ( t ) = 2ˆi + 2tjˆ
A ( t ) = 4 + 4t 2 = 2 1 + t 2 Por tanto,
ds 2 = t + 1 En consecuencia dt
d2s AT ( t ) = 2 = 2t ; dt AN ( t ) =
T (t ) =
V (t ) V (t )
2t ˆ t 2 − 1 ˆ i+ j = 2 t + 1 t2 + 1
A ( t ) − ⎡⎣ AT ( t ) ⎤⎦ = 4 + 4t 2 − 4t 2 = 2 2
2
Con el fin de calcular N ( t ) se emplea la fórmula siguiente,
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N (t ) =
⎡ A ( t ) − ( Dt2 s )T ( t ) ⎤ ⎦ ( Dt s ) K (t ) ⎣ 1 2
⎛ 2t ˆ t 2 − 1 ˆ ⎞ A ( t ) − ( Dt2 s ) T ( t ) = 2iˆ + 2tjˆ − 2t ⎜ 2 i+ 2 j⎟ ⎝ t +1 t +1 ⎠ 2 ⎡(1 − t 2 ) iˆ + 2tjˆ⎤ A ( t ) − ( Dt2 s ) T ( t ) = 2 ⎦ t +1 ⎣ N ( t ) Es igual a un escalar por el vector. Como N ( t ) es un vector unitario, N ( t ) puede obtenerse al dividir el vector entre su módulo. Así, 1 − t 2 ) ˆi + 2tjˆ ( 1 − t2 ˆ 2t ˆ = N (t ) = i+ j 2 2 2 2 2 + + 1 t 1 t (1 − t ) + (2t ) Ahora se calculará la curvatura K ( t ) . Con AN ( t ) = 2 y Dt s = t 2 + 1 se tiene K ( t ) =
(t
2
2
+ 1)
2
Los vectores y escalares solicitados para t = 2 son los siguientes: V ( 2 ) = 4iˆ + 3 ˆj ⇒ V ( 2 ) = 5 4 3 T ( 2 ) = iˆ + ˆj ; 5 5 AN ( 2 ) = 2; A ( 2 ) = 2ˆi + 4 ˆj ; AT ( 2 ) = 4 3 4 2 N ( 2 ) = − ˆi + ˆj ; K ( 2 ) = 5 5 25 La curva requerida y las representaciones de los vectores se muestran en la figura.
EJEMPLO. Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial R ( t ) = tiˆ + et ˆj + tkˆ Determine las componentes tangencial y normal del vector aceleración. Al calcular los vectores y escalares necesarios se obtiene: ds V ( t ) = Dt R ( t ) = iˆ + et ˆj + kˆ ⇒ V ( t ) = 2 + e2t ⇒ = 2 + e2t dt tˆ t A ( t ) = DtV ( t ) = e j ⇒ A ( t ) = e
d2s e 2t e 2t = ⇒ = A t ( ) T dt 2 2 + e 2t 2 + e 2t 127 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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AN ( t ) =
A (t )
2
e4t 2et − ⎡⎣ AT ( t ) ⎤⎦ = e − = 2 + e 2t 2 + e 2t 2
2t
Ejemplo: Demuestre que la curvatura de una recta es idénticamente cero. Para una recta, el vector tangente unitario es una constante, por lo que su derivada es O. Pero, para ilustrar métodos vectoriales, damos una demostración algebraica. Si el movimiento es a lo largo de la recta cuya ecuación paramétrica está dada por: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct Entonces el vector de posición puede escribirse como: R(t ) = x0 , y0 , z0 + t a , b, c ⇒ R′(t ) = V (t ) = a , b, c T (t ) =
a , b, c a2 + b2 + c 2
⇒K =
T ′(t )
=
V (t )
0 a 2 + b2 + c 2
=0
Ejemplo. Determine la curvatura de una circunferencia de radio a. Suponemos que la circunferencia se encuentra en el plano xy, y que tiene centro en el origen, por lo que el vector posición es R ( t ) = a cos(t )ˆi + asen(t ) ˆj V ( t ) = R′ ( t ) = −a s en(t )iˆ + a cos(t ) ˆj V ( t ) = a2 (s en2 (t ) + cos2 (t )) = a T (t ) = K=
V (t )
V (t )
T ′(t ) V (t )
=
=
−a s en(t )ˆi + a cos(t ) ˆj = − s en(t )ˆi + cos(t ) ˆj a
− cos(t )iˆ − sen(t ) ˆj a
=
1 a
Otras fórmulas para la curvatura de una curva plana. Sea φ el ángulo medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde i hasta T (véase la figura).
dT (φ ) dT (φ ) = − s en(φ )iˆ + cos(φ ) ˆj Ahora es un vector Entonces: T (φ ) = cos(φ )iˆ + sen(φ ) ˆj ⇒ dφ dφ unitario y T (φ )i
dT (φ ) dT (φ ) d (φ ) dT (φ ) d (φ ) d (φ ) dT (φ ) = = = = 0 además K = ds d (φ ) ds d (φ ) ds ds dφ
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TEOREMA IMPORTANTE. Considere una curva con ecuación vectorial R ( t ) = f (t )iˆ + g(t ) ˆj + h(t )kˆ es decir, con dos x ′y ′′ − y ′x ′′ ecuaciones paramétricas x = f (t ) y y = g(t ) Entonces: K = en particular, si 3 ⎡⎣(x ′)2 + (y ′)2 ⎤⎦ y ′′
la curva es la gráfica de y = g(x) entonces K =
En la primera fórmula, los 3 ⎡⎣1 + (y ′)2 ⎤⎦ apóstrofos indican derivación respecto a t y respecto a x en la segunda. Ejemplo. Determine la curvatura de la elipse x = 3cos t , y = 2sent en los puntos que corresponden a t = 0 yt =
π
es decir en (3,0) y (0,2) Haga un bosquejo de la elipse en el que 2 se muestre los correspondientes círculos de curvatura. x = 3cos t ⇒ x ′ = −3sent ⇒ x ′′ = −3cos t y = 2sent ⇒ y ′ = 2cos t ⇒ y ′′ = −2sent K=
x ′y ′′ − y ′x ′′ 2 3
⇒K =
6 sen2t + 6cos2 t 3
6
=
⎡⎣(x ′)2 + (y ′) ⎤⎦ ⎡⎣9 sen2t + 4cos2 t ⎤⎦ ⎡⎣5sen2t + 4 ⎤⎦ 6 3 6 2 K (0) = = , K ( π2 ) = = 3 3 4 9 4 9 La figura muestra el círculo de curvatura solicitada.
3
PLANOS NORMAL, OSCULANTE Y RECTIFICANTE
El plano determinado por los vectores N ( t ) normal y B ( t ) binormal, en el punto P sobre la curva C se llama Plano normal de C en P y está formado por todas las rectas que son ortogonales al vector tangente T ( t ) .
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El plano determinado por los vectores tangentes T ( t ) y normal N ( t ) se llama PLANO OSCULANTE de C en P. Es el plano que esta tan cerca que contiene la parte de la curva que está cerca de P.
El plano de T y N se conoce como PLANO OSCULATRIZ (U OSCULADOR) en P. El círculo que está en el plano oscilante de C en P (que tiene la misma tangente que C en 1 P), está en el lado cóncavo de C (hacia donde apunta N ( t ) ) y tiene radio ρ = ; se llama
κ
círculo osculante o circulo de curvatura de C en P.
El círculo oscilante es el que mejor describe la forma en que C se comporta cerca de P; comparte la misma tangente, normal y curvatura en P. El plano determinado por los vectores tangentes T ( t ) y binormal B ( t ) , Se llama PLANO RECTIFICANTE de C en P. TORSIÓN
Sea C una curva suave. La torsión de C mide el grado de torcedura de la Curva, mide el desvío de la curva respecto del plano osculante. Definición: Sea C es una curva suave dada por la función vectorial R ( t ) r. la torsión de C es
el número:
( R ' ( t ) × R '' ( t ) ) τ (t ) =
•
R '' ( t )
R ' ( t ) × R '' ( t )
Ejemplo. Determine T N y B y las componentes normal y tangencial de la aceleración para el movimiento circular uniforme R(t ) = a cos(wt )ˆi + asen(wt ) ˆj R′(t ) −aw s en(wt )ˆi + aw cos(wt ) ˆj T (t ) = = = − s en(wt )ˆi + cos(wt ) ˆj R′(t ) −aw s en(wt )ˆi + aw cos(wt ) ˆj N(t ) =
−w cos(wt )ˆi − w s en(wt ) ˆj T ′(t ) = = − cos(wt )ˆi − s en(wt ) ˆj T ′(t ) −w cos(wt )ˆi − w s en(wt ) ˆj ˆi
ˆj
B(t ) = T (t ) × N(t ) = − senwt cos wt
kˆ
0 = kˆ
− cos wt − senwt 0 AT =
R′(t )iR′′(t ) (−aw s en(wt )ˆi + aw cos(wt ) ˆj )i(−aw 2 cos(wt )ˆi − aw 2 sen(wt ) ˆj ) = =0 aw R′(t )
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ˆi R′(t ) × R′′(t ) = −awsenwt
ˆj aw cos wt
kˆ 0 = a2w 3kˆ
−aw 2 cos wt − aw 2 senwt 0 AN =
R′(t ) × R′′(t ) R′(t )
=
a2w 3 = aw 2 aw
La componente tangencial de la aceleración es O, ya que el objeto se mueve con rapidez uniforme. La componente normal de la aceleración es igual a la magnitud del vector aceleración. EJERCICIOS PROPUESTOS Una partícula se mueve a lo largo de la curva que tiene la ecuación vectorial dada. En cada ejercicio determine los vectores V ( t ) , A ( t ) , T ( t ) y N ( t ) , y los escalares siguientes para un valor arbitrario de t : V ( t ) , AT ( t ) , AN ( t ) y K ( t ) . También obtenga los valores particulares cuando t = t1 .
1) R ( t ) = ( 2t + 3) iˆ + ( t 2 − 1) ˆj; t1 = 2 3) R ( t ) = ( t − 1) iˆ + t 2 ˆj; t1 = 1 5) R ( t ) = et iˆ + e−t ˆj; t1 = 0
2) R ( t ) = ( t − 1) iˆ + t 2 ˆj; t1 = 1 4) R ( t ) = 3t 2iˆ + 2t 3 ˆj; t1 = 1
1 6) R ( t ) = cos t iˆ + sen t ˆj; t1 = π 2 2
2
Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial dada. Calcule las componentes tangencial y normal del vector aceleración y utilícelos para expresar A ( t ) = AT ( t ) T ( t ) + AN ( t ) N ( t ) sin calcular T ( t ) ni N ( t ) . 7)R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj + tkˆ 8) R ( t ) = e −t iˆ + et ˆj + 2tkˆ
9) R ( t ) = ( cos t + t sen t ) iˆ + ( sent − t cos t ) ˆj + 2kˆ, t ≥ 0 10) R ( t ) = 2t 2iˆ + t 2 ˆj + 4tkˆ
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 11) R ( t ) = t 2iˆ + ⎜ t 3 + t ⎟ ˆj + ⎜ t 3 − t ⎟ kˆ 12) R ( t ) = t cos tiˆ + t sen tjˆ + tkˆ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Haga un bosquejo de la curva en el dominio indicado para t . Determine V (t ), A(t ), T (t ) y k en el punto donde t = t1 . 13) R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj; 0 ≤ t ≤ 2; t1 = 1 14) R ( t ) = t 2iˆ + ( 2t + 1) ˆj; 0 ≤ t ≤ 2; t1 = 1 ˆ ˆ ˆ 15) R ( t ) = ti + 2 cos tj + 2 sen tk ;0 ≤ t ≤ 4π ; t1 = π 16) R ( t ) = 5cos tiˆ + 2tjˆ + 5 sen tkˆ;0 ≤ t ≤ 4π ; t1 = π
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t2 ˆ i + 5cos tjˆ + 5 sen tkˆ;0 ≤ t ≤ 4π ; t1 = π 8 2 t 18) R ( t ) = iˆ + 2 cos tjˆ + 2 sen tkˆ;0 ≤ t ≤ 4π ; t1 = π 4 Determine el vector tangente unitario T ( t ) y la curvatura K ( t ) en el punto donde t = t1 17) R ( t ) =
Aplique el TEOREMA IMPORTANTE. 1 1 1 19) u ( t ) = 4t 2iˆ + 4tjˆ; t1 = 20) R ( t ) = t 3iˆ + t 2 ˆj; t1 = 1 2 3 2 π t t 21) z ( t ) = 3cos tiˆ + 4 sen tjˆ; t1 = 22) R ( t ) = e iˆ + e ˆj; t1 = ln 2 4 2 3 23) x ( t ) = 1 − t , y ( t ) = 1 − t ; t1 = 1 24) x ( t ) = senh t , y ( t ) = cosh t; t1 = ln 3 25) x ( t ) = e−t cos t , y ( t ) = e−t sen t ; t1 = 0 26) R ( t ) = t cos tiˆ + t sen tjˆ; t1 = 1 Haga un bosquejo de la curva en el plano xy . Luego, para el punto dado, determine la curvatura, Por último, dibuje el círculo de curvatura en el punto. Sugerencia: para la curvatura, utilizará la segunda fórmula en el teorema. ⎛π 2 ⎞ 2 27) y = 2 x 2 , (1, 2 ) 28) y = x ( x − 4 ) , ( 4, 0 ) 29) y = sen x, ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝4 2 ⎠ 30) y 2 = x − 1, (1, 0 ) 31) y 2 − 4 x 2 = 20, ( 2, 6 ) 32) y 2 − 4 x 2 = 20, ( 2, −6 ) 2 1 1 1 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 33) y = cos 2 x, ⎜ π , ⎟ 34) y = e − x , ⎜ 1, ⎟ 35) y = tan x, ⎜ ,1⎟ ⎝6 2⎠ ⎝ e⎠ ⎝4 ⎠ 36) y = x , (1,1)
37) y = 3 x , (1,1)
3⎞ ⎛ 38) y = tanh x, ⎜ ln 2, ⎟ 5⎠ ⎝
Determine la curvatura κ el vector tangente unitario T , el vector normal unitario N y el vector binormal B en t = t1 . 1 1 π 39) R ( t ) = t 2iˆ + tjˆ + t 3 kˆ; t1 = 2 40) x = sen 3t , y = cos 3t , z = t , t1 = 9 2 3 π π 41) x = 7 sen 3t , y = 7 cos 3t , z = 14t , t1 = 42) R ( t ) = cos3 tiˆ + sen3tkˆ; t1 = 2 3 π ⎛t⎞ 43) R ( t ) = 3cosh ⎜ ⎟ iˆ + tjˆ; t1 = 1 44) R ( t ) = e7 t cos(2t )iˆ + e7 t sen (2t ) ˆj + e7 t kˆ; t1 = 3 ⎝3⎠ 45) R ( t ) = e −2t iˆ + e 2t ˆj + 2 2tkˆ; t1 = 0 46) x = ln t , y = 3t , z = t 2 ; t1 = 2 47) Una partícula se mueve a lo largo de la cúbica alabeada R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj + t 3kˆ . Obtenga una ecuación del plano determinado por los vectores tangente unitario y normal unitario en el plano de la curva donde t = 1 . 132 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
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Determine el punto de la curva en el que la curvatura es máxima. 48) y = ln x 49) y = sen x; −π ≤ x ≤ π 50) y = cosh x 51) y = senh x 52) y = e x 53) y = ln cos x para −
π 2
0; t1 = 1 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
66) Bosqueje la trayectoria de una partícula tal que su vector de posición es R = sen tiˆ + sen 2tjˆ, 0 ≤ t ≤ 2π (deberá obtener una figura con forma de ocho). ¿En qué momento se anula la aceleración? ¿En qué momento el vector aceleración apunta hacia el origen? 67) El vector de posición de una partícula en el instante t ≥ 0 es R ( t ) = ( cos t + t sen t ) iˆ + ( sen t − t cos t ) ˆj a) Demuestre que la rapidez
ds = t . b) Demuestre que aT = 1 y aN = t . dt
68) Si, para una partícula, aT = 0 para toda t , ¿qué puede concluir acerca de su rapidez? Si aN = 0 para toda t , ¿qué puede concluir acerca de su curvatura?
69) Calcule N para la elipse R ( t ) = a cos ωt iˆ + b sen ωt ˆj 70) Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una hélice dada por R ( t ) = sen tiˆ + cos tjˆ + ( t 2 − 3t + 2 ) kˆ , donde la componente k mide la altura en metros por encima del suelo y t ≥ 0 . Si la partícula sale de la elipse y se mueve a lo largo de la recta tangente a la hélice, cuando está 12 metros por encima del suelo, proporcione el vector dirección para la recta.
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71) Un objeto se mueve a lo largo de la curva y = sen 2 x . Sin hacer cálculos, decida dónde aN = 0 . 72) Un perro corre en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno de la circunferencia x 2 + y 2 = 400 (las distancias se miden en pies). En el punto ( −12,16 ) , pies A en el punto, primero en corre a 10 pies seg y acelera a 5 seg 2 . Exprese su aceleración
términos de T y N y luego en términos de iˆ y ˆj 73) Un objeto se mueve a lo largo de la parábola y = x 2 con rapidez constante 4. Exprese
A en el punto ( x, x 2 ) en términos de T y N ..
74) Un automóvil viaja con rapidez constante υ y rodea una curva de nivel, que consideraremos como una circunferencia de radio R . Si el automóvil evita el deslizamiento hacia afuera, la fuerza de fricción horizontal F ejercida por el camino sobre los neumáticos debe, por lo menos, equilibrar la fuerza centrífuga que lo jala hacia afuera. La fuerza F satisface F = μ mg , donde μ es el coeficiente de fricción, m es la masa del automóvil y g es la mυ 2 . Demuestre que υ R , la rapidez límite R después de la cual ocurre el derrape, satisface υ R = μ gR y use esto para determinar vR
aceleración de la gravedad. Así μ mg ≥
para una curva con R = 400 pies y μ = 0.4 . Use g = 32 pies por segundo. s2
75) Considere de nuevo el automóvil del problema 61. Suponga que la curva está cubierta de hielo en su peor punto ( μ = 0 ) , pero que tiene un peralte con un ángulo θ respecto de la horizontal (figura 14). Sea F la fuerza ejercida por el camino sobre el mυ R2 automóvil. Entonces con la rapidez crítica υ R , mg = F cos θ y = F sen θ . R a) Demuestre que υ R = Rg tan θ . b) Determine υ R para una curva con R = 400 pies y θ = 10º .
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76) Demuestre que la segunda fórmula en el teorema A también se puede escribir como κ = y′′ cos3 φ , donde φ es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la gráfica de
y = f ( x ) . 77) Demuestre que, para una curva plana, N apunta hacia el lado cóncavo de la curva. dφ Sugerencia: un método es demostrar que N (φ ) = − sen φ iˆ + cos φ ˆj ds ⎡ dφ ⎤ ⎢⎣ ds ⎥⎦ dφ dφ Luego considere los casos > 0 (la curva se dobla hacia la izquierda) y < 0 (la ds ds
(
)
curva se dobla hacia la derecha).
78) Demuestre que N = B × T Deduzca un resultado similar para T en términos de N y B ⎧0 si x ≤ 0 79) Demuestre que la curva y = ⎨ 3 tiene primeras derivadas continuas y si 0 > x x ⎩ curvatura en todos los puntos.
80) Determine una curva dada por un polinomio P5 ( x ) que proporcione una transición suave entre dos rectas horizontales. Es decir, suponga una función de la forma P5 ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + a4 x 4 + a5 x5 , que proporciona una transición suave entre y = 0 para x ≤ 0 y y = 1 para x ≥ 1 de tal manera que la función, su derivada y la curvatura sean funciones continuas para todos los valores de x . si x ≤ 0 ⎧0 ⎪ y = ⎨ P5 ( x ) si 0 < x < 1 ⎪1 si x ≥ 1 ⎩ Sugerencias: P5 ( x ) debe satisfacer las seis condiciones
P5 ( 0 ) = 0, P5′ ( 0 ) = 0, P5′′ ( 0 ) = 0, P5 (1) = 1, P5′ (1) = 0 y P5′′ (1) = 0 . Utilice estas seis condiciones para determinar a0 ,..., a5 de manera única y de este modo encontrar P5 ( x ) . 81) Determine una curva dada por un polinomio P5 ( x ) que proporcione una transición suave entre y = 0 , para x ≤ 0 y y = x para x ≥ 1.
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82)
Deduzca
la
fórmula
r 2 + 2 ( r ′ ) − rr ′′
para
la
curvatura
en
coordenadas
2
polares κ =
(r
2
+ ( r′)
Use la fórmula k =
)
3 2 2
Donde las derivadas se calculan respecto a θ .
r 2 + 2r ′2 − rr ′′
(r
2
+ r′
3 2 2
)
para determinar la curvatura κ
83) La circunferencia: r = 4cos θ 84) El cardioide: r = 1 + cos θ en θ = 0 . 85) r = θ en θ = 1 π 86) r = 4 (1 + cos θ ) en θ = . 2 3θ 87) r = e en θ = 1 π 88) r = 4 (1 + sen θ ) en θ = . 2 1 89) Demuestre que la curvatura de la curva polar r = e 6θ es proporcional a .. r 2 90) Demuestre que la curvatura de la curva polar r = cos 2θ es directamente proporcional a r para r > 0 .
91) Deduzca la primera fórmula para la curvatura, trabajando directamente con T ′ (t ) .92) Demuestre que el vector unitario binormal B = T × N tiene la propiedad κ= R′ ( t ) que
dB es perpendicular a B . ds
93) Demuestre que el vector unitario binormal B = T × N tiene la propiedad de que
dB ds
es perpendicular a T . dB ds deber ser paralelo a N y, en consecuencia, debe existir un número τ que depende de s dB tal qué = −τ ( s ) N . La función τ ( s ) se denomina la torsión de la curva y mide cuánto ds se dobla la curva del plano determinado por T y N . 95) Demuestre que para una curva plana la torsión es τ ( s ) = 0 .
94) Utilizando los resultados obtenidos en los problemas 92 y 93, demuestre que
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96) Demuestre que para una línea recta R ( t ) = r0 + a0tiˆ + b0tjˆ + c0tkˆ , tanto κ como τ son igual a cero.
97) Una mosca está trepando a lo largo de un alambre helicoidal, de modo que su vector de posición es R ( t ) = 6 cos π tiˆ + 6 sen π tjˆ + 2tkˆ, t ≥ 0 . ¿En qué punto la mosca chocará con la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 100 y qué distancia recorrerá para llegar allí (suponiendo que inició cuando t = 0 )?.
98) La molécula del DNA humano es una hélice doble, cada una con alrededor de 2.9 × 108 vueltas completas. Cada hélice tiene radio de casi 10 angströms y se levanta alrededor de 34 angströms en cada vuelta completa (un angstroms es 10 −8 centímetros). ¿Cuál es la longitud total de tal hélice? 99) Una partícula se encuentra en el punto ( r , 0 ) de la circunferencia con centro en el
origen y radio r , y se mueve sobre la circunferencia con una rapidez angular constante de ω radianes por segundo. Una ecuación de su trayectoria es ˆ cos ωt + ˆjr sen ωt . Esta ecuación describe el movimiento circular uniforme. a) R ( t ) = ir Demuestre que la rapidez de la partícula está determinada por rω . b) Demuestre que si A ( t ) es el vector aceleración, entonces la dirección de A ( t ) es opuesta a la de R ( t ) , además A ( t ) = rω 2 . c) Calcule T ( t ) , N ( t ) , AT ( t ) y AN ( t ) . ¿Cuál es el efecto sobre
AN ( t ) si la rapidez angular se duplica? 100) Cuando κ ( t ) = 0 para toda t , la trayectoria es una línea recta.
101) Una elipse tiene su curvatura máxima en los puntos del eje mayor. 102) La curvatura depende de la forma de la curva y de la rapidez con que uno se mueve a lo largo de la curva. 103) La curvatura de la curva determinada por x = 3t + 4 y y = 2t − 1 es cero para toda t . 104) La curvatura de la curva determinada por x = 2cos t y y = 2 sen t es 2 para toda t .
105) Si T = T ( t ) es un vector tangente unitario para una curva suave, entonces T ( t ) y
T ′ ( t ) son perpendiculares. 106) Si υ = V es la rapidez de una partícula que se mueve a lo largo de una curva dυ es la magnitud de la aceleración. dt 107) Si y = f ( x ) y y ′′ = 0 en todas partes, entonces la curvatura de ésta es cero.
suave, entonces
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108) Si y = f ( x ) y y′′ es una constante, entonces la curvatura de esta curva es constante. 109) Para un movimiento a lo largo de la hélice, N siempre apunta hacia el eje z . 110) T , N y B dependen sólo de la forma de la curva y no de la rapidez del movimiento a lo largo de ella. 111) Si la velocidad del movimiento a lo largo de la curva tiene magnitud constante, entonces no puede haber aceleración. 112) Si V es perpendicular a A , entonces la rapidez de movimiento a lo largo de la curva debe ser constante.
113) Si V es perpendicular a A , entonces la trayectoria del movimiento debe ser una circunferencia. 114) Las únicas curvas con curvatura constante son las líneas rectas y las circunferencias. 115) Las curvas dadas por r1 ( t ) = sen tiˆ + cos tjˆ + t 3 kˆ y r2 ( t ) = sen t 3iˆ + cos t 3 ˆj + t 9 kˆ para
0 ≤ t ≤ 1 son idénticas. 116) Los movimientos a lo largo de las curvas dadas por r1 ( t ) = sen tiˆ + cos tjˆ + t 3 kˆ y r2 ( t ) = sen t 3iˆ + cos t 3 ˆj + t 9 kˆ para 0 ≤ t ≤ 1 son idénticos. 117) La longitud de una curva dada es independiente de la parametrización utilizada para describir la curva. 118) Si una curva está sobre un plano, entonces el vector binormal B debe ser constante. 119) La curva dada como la intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano ax + by + cz = 0 tienen curvatura constante 1. 120) Determine V ( t ) , A ( t ) y κ ( t ) en t = ln 2 . 121) Si R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj + t 3 kˆ es el vector de posición de una partícula móvil en el instante t , determine los componentes tangencial y normal aT y aN , del vector aceleración en t = 1 .
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