86 Adriana Arias Evaluacion Nacional

EVALUACIÓN NACIONAL

Presentado por: ADRIANA ROCIO ARIAS MEJIA Grupo:200611_86

Tutor: HILDER MOSCOTE

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE I PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO BOGOTA D.C., 27 DE NOVIEMBRE COLOMBIA 2015

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 3 OBJETIVOS.............................................................................................................. 4 1. Ejercicio Teoría de Conjuntos .......................................................................... 5 2. Ejercicio Lógica Proposicional: ....................................................................... 8 3. Ejercicio de Inferencia: ..................................................................................... 12 4. Ejercicio de Silogismo ...................................................................................... 18 5. Ejercicio de Falacia ........................................................................................... 20 CONCLUSIONES .................................................................................................... 21 A.

Bibliografía ...................................................................................................... 22

INTRODUCCIÓN Este Trabajo tiene como finalidad la aplicación o utilización de cada uno de los temas vistos durante éste semestre a través del trabajo basado en problemas, todo lo anterior basándonos en las explicaciones obtenidas de cada tema visto. Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. La lógica se suele definir como el estudio de la inferencia válida. Se llama inferencia al proceso de derivar una conclusión de un conjunto de supuestos (premisas). Se dice que un argumento es válido si, en virtud únicamente de su estructura, la verdad de las premisas implica necesariamente la verdad de la conclusión. Este es el punto de partida de muchos manuales de lógica, pero no será el nuestro. Por supuesto, no hay ningún desacuerdo real entre nuestro punto de vista y el suyo, como veremos; sólo hay una diferencia de enfoque. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

OBJETIVOS 

Identificar las características de la teoría de conjuntos para la solución de problemas.



Expresar problemas planteados mediante proposiciones lógicas



Analizar diferentes propuestas de solución



Identificar y emplear claramente las reglas de Inferencia Lógica



Emplear la estructura y funcionamiento conceptual que tipifica los métodos de inferencia



Formular soluciones a problemas planteados mediante la aplicación de reglas de inferencia

1. Ejercicio Teoría de Conjuntos

Aplicar las propiedades y las operaciones con conjuntos y validar los procesos con el uso de Diagramas de Venn para la solución de cada problema: El problema elegido es el Número 1: Se preguntó a 50 docentes de la ECBTI sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de docentes que practican natación, el número de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. Solución: 

Planteamiento:

U= 50 Total Docentes Encuestados A= 20 Docentes que sólo practican futbol B= ? Docentes que sólo practican natación A n B = 12 Docentes que practican futbol y natación Docentes que no practican ninguno de los deportes: 10  De acuerdo a nuestro Planteamiento, el primer diagrama de Venn:



De acuerdo al enunciado podemos despejar x así: 20+12+10+x = 50 42 + x = 50 x = 50 - 42 X= 8

 Entonces la cantidad Docentes que sólo practican natación es: 8 

Teniendo en cuenta lo anterior, el nuevo Diagrama de Venn sería el siguiente:

Al haber despejado la variable X correspondiente a la cantidad de Docentes que sólo practican natación podemos obtener la cantidad de Docentes que practican alguno de dichos deportes: Podemos hacerlo sumando los elementos de los conjuntos así: 20+12+8= 40 O bien tomamos el valor del conjunto universal correspondiente al total de encuestados y le restamos la cantidad de los Docentes que no practican ningún deporte, así: 50 – 10= 40  Obteniendo como respuesta que la cantidad de Docentes que practica alguno de dichos deportes es de 40. Entonces, la respuesta a los interrogantes del problema sería:  ¿Cuántos Docentes sólo practican natación? Rta./ Los Docentes que sólo practican natación son 8  ¿Cuántos Docentes practican alguno de los deportes? Rta./ Los Docentes que practican alguno de los deportes son 40

2. Ejercicio Lógica Proposicional:

Identificar todas las expresiones que considera son proposiciones lógicas simples y también las expresiones que no son proposiciones. El siguiente paso es identificar proposiciones compuestas. Para lograr esta identificación, conviene reescribir el texto resaltando los conectivos lógicos que no están explícitos en la expresión. Declarar las proposiciones simples, asignando una de las últimas letras del alfabeto para identificarlas. Finalmente, expresar en lenguaje simbólico las proposiciones simples, compuestas identificadas; y construir sus tablas de verdad. Determinar si la tabla de verdad es tautología, contradicción o contingencia. Además adjuntar pantallazo del uso del simulador de Tablas de Verdad. El Problema elegido es el Número 8.  Un número es divisible por 2 si la última cifra de dicho número es múltiplo de 2. Un número es divisible por 3 si la suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3. Pero dicho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las cifras de un número no es un múltiplo de 3 si la última cifra de un número es múltiplo de 2. Solución: 

Planteamiento:

p=Un número es divisible por 2 q= La última cifra de dicho número es divisible por 2 r= Un número es divisible por 3 s= La suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3.

De acuerdo al enunciado, la operación lógica que debemos realizar es: [((q→p)˄(s→r))˄ (~p v ~r)]→ (q→~s) Por lo tanto al ser 4 las proposiciones halladas en el problema, nuestra tabla de verdad debe tener 24 filas, lo que corresponde a 16 filas así:

p

q

r

s

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

Para poder resolver la operación lógica debemos despejar del centro hacia afuera, por lo que tendríamos la siguiente tabla:

[((q→p)ᶺ (s→r))ᶺ

~

~

~

(q→

(s→

(~p v

(q→~

(q→p)ᶺ

((q→p)ᶺ (s→r))ᶺ

p

r

s

p)

r)

~r)

s)

(s→r)

(~p v ~r)

VV V V F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

VV V F F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

VV F V F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

VV F F F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VF V V F

F

F

V

V

F

V

V

F

V

VF V F F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

VF F V F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

VF F F F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F V V V V

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F V V F V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F V F V V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F V F F V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F F V V V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

F F V F V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F F F V V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F F F F V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

p q r s



(~p v ~r)]→ (q→~s)

De acuerdo al resultado obtenido en la tabla de verdad podemos decir que dicha tabla es una Tautología, ya que sus valores son verdaderos en cada uno de los casos

11

12 3. Ejercicio de Inferencia:

Identificar (del texto dado), los razonamientos lógicos inductivos y deductivos, y en ellos el tipo de razonamiento. A partir de los razonamientos propuestos para el texto, responder la pregunta: ¿Se verifica la conclusión propuesta? Y presentar argumentos que permitan respaldar veracidad a la respuesta dada. Es decir, a partir de las tablas de verdad y las leyes de inferencia demostrar la validez o no del razonamiento. Además adjuntar pantallazo del uso del simulador de Tablas de Verdad. El Problema elegido es el Número 13. Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso. Solución: PREMISAS: Premisa 1:

Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían

Premisa 2:

Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero.

Premisa 3:

No se devolvió el dinero.

Conclusión:

Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso.

p: El Rector pudo dar el discurso q: Los diplomas llegan a tiempo

13 r: La fiesta de graduación se cancela s: Los Estudiantes se enojan t: Se devuelve el dinero P1: ~p v ~q P2: r ˄ s P3: r → t P4: ~t Conclusión: p

Demostración en Tabla de Verdad [((~p v ~q)→(r ˄ s)) ˄ (r→t) ˄ ~t] →p

14 p

q

r

s

t

~p

~q

~t

V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F

V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F

V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

F F F F F F F F F F F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V

F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V

(~p v ~q) F F F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

(r ^ s)

(r → t)

V V F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F V F F F V F F F

V F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V

((~p v ~q)→ (r^s)) V V V V V V V V V V F F F F F F V V F F F F F F V F F F V F F F

((~p v ~q)→ (r^s))^(r→t) V F V F V V V V V F F F F F F F V F F F F F F F V F F F V F F F

((~p v ~q)→ (r^s))^(r→t)^~t F F F F F V F V F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

[((~p v ~q)→ (r^s))^(r→t)^~t]→p V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

15 

De acuerdo al resultado obtenido en la tabla de verdad podemos decir que dicha tabla es una Tautología, ya que sus valores son verdaderos en cada uno de los casos, por lo tanto el razonamiento es válido

Demostración por Leyes de Inferencia

Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso.

16 Solución: Premisa 1:

Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían

Premisa 2:

Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero.

Premisa 3:

No se devolvió el dinero.

Conclusión:

Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso.

p: El Rector pudo dar el discurso q: Los diplomas llegan a tiempo r: La fiesta de graduación se cancela s: Los Estudiantes se enojan t: Se devuelve el dinero

P1: ((~p v ~q) → (r ˄ s)) P2:

r→ t

P3:

~t

Conclusión: p



Demostrar: p

17 P1: ((~p v ~q) → (r ˄ s)) P2:

r→ t

P3:

~t

________________________ P4: ~t v (~r ˄ ~s)

Adición 3

P5: (p ˄ q) v ~r

Dilema Destructivo 1,2,4

P6: (~p v ~q) ˄ r

Ley Morgan 5

P7: ~p v ~ q

Simplificación 6

P8: p ˄ q

Ley Morgan 7

P9: p

Simplificación 8 Conclusión

Por lo anterior podemos determinar que el razonamiento es válido.

18 4. Ejercicio de Silogismo

Seleccionar uno de los siguientes enunciados e identificar en dicho silogismo las diferentes proposiciones categóricas, y proponer una representación mediante Diagramas de Venn de las diferentes relaciones entre las clases implicadas, según las proposiciones categóricas: El Problema seleccionado es el Número 17. Todos los grandes científicos son graduados universitarios. Algunos grandes atletas son graduados universitarios. Por lo tanto, algunos grandes atletas son grandes científicos. M: Grandes Científicos P: Grandes Atletas S: Graduados Universitarios Entonces:

Todo M es S

Premisa Mayor Universal Afirmativa

Algunos P son S

Premisa Menor Particular Afirmativa

19

Algunos P son M

Conclusión Particular Afirmativa

En éste caso aparece una Universal Afirmativa como Premisa Mayor, una Particular Afirmativa como Premisa Menor y una Conclusión que es una Particular Negativa. Al graficar se encuentra que el conjunto M no es una información atinente para la conclusión. Por lo tanto el Silogismo es Inválido.

20 5. Ejercicio de Falacia

Identificar, clasificar y explicar las diversas falacias de lenguaje contenidas en las siguientes expresiones y el tipo de razonamiento que se utiliza. El problema elegido es el Número 23. Juan ha prometido a su novia, que no va a beber alcohol, para no meterse en líos. Sus amigos le dicen que beba, para no aburrirse, insistiendo en que se lo monta muy bien, cuando bebe. ¿Qué tipo de falacia están usando los amigos de Juan, para convencerle de que beba? SOLUCIÓN: Es una falacia de falsa analogía ya que su argumento se basa en comparar dos situaciones diferentes como si se tratara de la misma, en este caso se pretende insistir en que si Juan no bebe se aburre. Esta insistencia de los amigos de Juan no justifica que él deba beber para estar en un ambiente como ellos lo llaman se lo monta muy bien.

(Youtube)(UNAM.MX)(Wikispaces)

21 CONCLUSIONES

No cabe duda que el Pensamiento Lógico y Matemático hace parte de nuestra vida para las actividades cotidianas, toma de decisiones y solución de problemas. La estrategia de investigación y conocimiento del avance del razonamiento humano a través de la historia, permite tener conceptos más claros del curso de Pensamiento Lógico y Matemático. Las estrategias de motivación mediante los foros colaborativos hacen que hayan ventajas muy plausibles no solo en el corto, sino en el mediano y largo plazo. La motivación del trabajo en grupo es bastante importante, para hacer que el proceso sea más amigable, agradable y productivo.

22

A. Bibliografía

1, M. Q.-L. (s.f.). youtube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=OuHYh1Xw5no 2, M. Q. (s.f.). youtube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=s7_mWDTgYy4 3, M. Q. (s.f.). youtube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=LtzqoInTzvE Campus Virtual UNAD. (s.f.). Obtenido de http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/pluginfile.php/25516/mod_forum/intro/Orien taciones%20Trabajo%20Colaborativo%20Tres.pdf EjemploSde.com. (s.f.). Obtenido de http://www.ejemplosde.com/29-logica/1583ejemplo_de_reduccion_al_absurdo.html UNAM.MX. (s.f.). Obtenido de http://objetos.unam.mx/logica/validezInvalidez/pdf/TeoriaSilogismos.pdf Wikispaces. (s.f.). Obtenido de http://probayest.wikispaces.com/file/view/rrr_conjuntos.pdf Youtube. (s.f.). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=9eOA7bKjkOI Zweigmedia. (s.f.). Obtenido de http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic5.html