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FLUIDOS EN MOVIMIENTO ECUACION DE BERNOULLI

Ing. Lenin Reyes Diaz

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Hay tres formas de energía que se toman siempre en consideración cuando se analiza un problema en flujo de tuberías. Consideremos un elemento de fluido como el que se muestra en la

figura, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Este elemento se localiza a cierta elevación “z”, tiene velocidad "𝑣“ y presión “p"

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Este elemento de fluido posee las siguientes energías. 1. Energía Potencial: Debido a su elevación, con relación a un nivel de referencia. 𝐸𝑃 = 𝑤𝑧

2. Energía Cinética: Debido a su velocidad. 𝑤𝑣 2 𝐸𝐶 = 2𝑔

3. Energía de flujo: Llamada también “Energía de presión o trabajo de Flujo” y representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de cierta sección contra la presión “P”. 𝑤𝑝 𝐸𝐹 = 𝛾

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Por tanto ; la cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido es la suma de “E” 𝑬 = 𝑬𝑭 + 𝑬𝑷 + 𝑬𝑪 𝑬=

𝑤𝑝 𝛾

+ 𝑤𝑧 +

𝑤𝑣 2 2𝑔

Cada uno de estos términos se expresa en unidades de energía:

SI: INGLES:

Newton – metro ( N.m) Pie - libra

(pie-lb)

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Consideremos el elemento de fluido en la siguiente figura que se mueve de la sección 1 a al 2

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI - Se tiene lo sgte: En la sección 1, la energía total es: 𝑬𝟏 =

𝑤𝑝1 𝛾

+ 𝑤𝑧1 +

𝑤𝑣1 2 2𝑔

En la sección 2, la energía total es: 𝑬𝟐 =

𝑤𝑝2 𝛾

+ 𝑤𝑧2 +

𝑤𝑣2 2 2𝑔

- Si no hay energía que se agregue o pierda en el fluido entre las secciones 1 y 2, entonces por el principio de conservación de la energía, se tiene:

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI 𝑬𝟏 = 𝑬 𝟐 𝑤𝑝1 𝛾

+ 𝑤𝑧1 +

𝑤𝑣1 2 2𝑔

=

𝑤𝑝2 𝛾

+ 𝑤𝑧2 +

𝑤𝑣2 2 2𝑔

El peso de el elemento (w) es común en todos los términos, iliminandose. Por tanto la ecuación queda de la siguiente manera; siendo esta la Ecuación de Bernoulli 𝑝1 𝛾

+ 𝑧1 +

𝑣1 2 2𝑔

=

𝑝2 𝛾

+ 𝑧2 +

𝑣2 2 2𝑔

“Cada termino de la ecuación de Bernoulli es una forma de la energía que posee el fluido por unidad de peso del fluido que se mueve en el sistema”

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI 𝑝1 𝛾

+ 𝑧1 +

𝑣1 2 2𝑔

=

𝑝2 𝛾

+ 𝑧2 +

𝑣2 2 2𝑔

La unidad de cada termino es energía por unidad de peso: SI:

INGLES:

𝑁.𝑚 𝑁

𝑙𝑏.𝑝𝑖𝑒 𝑙𝑏

metro (m) ALTURA

pie

En el análisis de flujo de fluidos los términos se expresan por lo común como altura, debido a la altura sobre el nivel de referencia.

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Por tanto: 𝑷 𝜸

: Es la carga de presión

z : Es la carga de elevación 𝒗𝟐 𝟐𝒈

: Es la carga de velocidad

“A la suma de estos tres términos se le denomina “CARGA TOTAL”

Entonces: “La ecuación de Bernoulli se utiliza para determinar los valores de Carga de presión, carga de elevación y cambio de carga de velocidad, conforme el fluido circula a través del sistema”

CONSERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI Diagrama que relaciona los tres tipos de energia:

Conforme el fluido se mueve del punto 1 al 2; la magnitud de cada termino puede cambiar su valor OBSERVAMOS:

- Carga 𝒗𝟐 ≪ 𝒗𝟏 (Debido a que 𝐴1 < 𝐴2 - Carga 𝑷𝟐 ≫ 𝑷𝟏 (Debido a disminución de carga de velocidad por aumento de seccion) Además el cambio real también se ve afectado por el cambio en la carga de elevación

RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

De la misma forma que en la ecuación de continuidad, la

Ecuación de Bernoulli:  Es valida solo para fluidos incompresibles (Porque se supone

que 𝜸 del fluido es el mismo en las dos secciones de interés.)  No puede existir dispositivos mecánicos que agreguen o

retiren energía del sistema entre las dos secciones de interés;

debido a que la ecuación establece que la energía en el fluido es constante.  No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera

de este.

Quien fue Bernoulli? • Daniel Bernoulli (Groninga, 8 de febrero de 1700 Basilea, 17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo. En 1738 publicó su obra 'Hidrodinámica', en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli.

RESUMEN: Ecuación de Bernoulli Constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento, la energía de presión debida a la presión y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Tenemos:

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑷𝟏 + 𝝆𝒗𝟏 + 𝝆𝒈𝒚𝟏 = 𝑷𝟐 + 𝝆𝒗𝟏 + 𝝆𝒈𝒚𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝑷 + 𝝆 + 𝝆𝒈𝒚 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝟐

Ecuación de Bernoulli

En función del peso especifico.

𝑷𝟏 𝟏 𝒗𝟏 𝟐 𝑷𝟐 𝟏 𝒗𝟐 𝟐 + + 𝒚𝟏 = + + 𝒚𝟐 𝜸 𝟐 𝒈 𝜸 𝟐 𝒈 𝑷 𝟏 𝒗𝟐 + + 𝒚 = 𝑪𝒕𝒆 𝜸 𝟐𝒈

FLUJO DESDE UN TANQUE

Otro fenómeno interesante de importancia práctica es la rapidez con la que fluye un líquido por una abertura en un tanque.

FLUJO DESDE UN TANQUE Si consideramos un tanque abierto a la presión atmosférica, con un líquido de densidad ρ lleno hasta una altura h por encima de un orificio lateral perforado a la altura y1 medida desde el fondo del tanque

FLUJO DESDE UN TANQUE La rapidez con la que el líquido abandona el orificio se puede calcular con el uso de la ecuación de Bernoulli.

Para la solución del problema asumimos que el área de la sección transversal del tanque es tan grande comparada con el área de la sección transversal del orificio (A2 >> A1) de modo que el nivel del fluido cae tan lentamente que podemos considerar v2 ≈ 0.

FLUJO DESDE UN TANQUE Ahora sustituimos en la ecuación de Bernoulli teniendo en cuenta que la presión en ambos extremos es Pa, es decir, la presión atmosférica. Pa + ½ρv12 + ρgy1 = Pa + ρgy2 Ecuación con la que se calcula la Velocidad que liquido abandona el orifico

PROBLEMAS DE APLICACION

Ejercicio 1:

Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.4x105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa construcción?.

Ejercicio 1: Solución:

Ejercicio2: En la figura siguiente, existe un flujo de agua a 10°C que va de la sección 1 a la 2. En la sección 1, que tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 325 Kpa, y la velocidad de flujo es de 3.0 m/s. La sección 2 , mide 50 mm de diámetro, y se encuentra a 2.0 m por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay perdida de energía en el sistema, calcule la presión en el punto 2

Ejercicio 2: Solución:

Ejercicio3:

Calcule el flujo volumétrico del agua a 5°C que pasa por el sistema siguiente:

Ejercicio 3: Solución:

Ejercicio4:

Del punto A al Punto B de la tubería de la figura fluye agua a 10°C a razón de 0.37 𝑚3 𝑠 . Si la presión en A es de 66.2 Kpa, Calcule la presión en «B»

Ejercicio 4: Solución:

Ejercicio5: Desde una tubería estándar de acero de 1 pulg cedula 40 fluye Keroseno con peso especifico de 50𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 3 a

razón de 10 𝐺𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛 hacia otra tubería estándar también de acero de 2 pulg cedula 40. Calcule la

diferencia en la presión en los dos tubos.

Ejercicio 5: Solución:

Ejercicio 6 Para el sistema mostrado en la figura. Calcular: a) El flujo volumétrico de agua que sale de la tobera b) La presión en el punto A

Ejercicio 6: Solución:

Ejercicio 7 Para el sistema mostrado en la figura. Calcular: a) El flujo volumétrico que sale de la tobera b) Las presiones en A y B

Ejercicio 7: Solución:

Ejercicio 8 Para el tanque de la siguiente figura, Calcule el flujo volumetrico de agua que sale por la tobera. El tanque esta sellado y hay una presion de 20 psig sobre el agua. La profundidad h es de 8 pies

Ejercicio 8: Solución:

Ejercicio 9 Cual es la profundidad del fluido por arriba de la tobera que se requiere para que circulen 200 gal / min de agua desde el tanque. La tobera tiene 3 pullg de diametro.

Ejercicio 9: Solución:

Ejercicio 10 A través de la tubería de la figura, fluye gasolina (sg = 0.67) a razón de 4.0 𝑝𝑖𝑒 3 𝑠 . Si la presión antes de la reducción es de 60 psig. Calcule la presión en la tubería de 3 pulg.

Ejercicio 10: Solución: