8 Tracción y Compresión Hiperestática

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

1)Dada una estructura compuesta por una barra rígida a flexión y cuatro tirantes de dimensiones y rigideces indicadas en la figura , determinar el esfuerzo normal y el diámetro que han de tener los tirantes de sección circular si se quiere que la barra permanezca horizontal después de la deformación. Datos : P = 5000 kg e = 2600 kg/cm²

SOLUCION : Se aísla la barra rígida y se establecen las ecuaciones de equilibrio:

 Fh = 0

 N1 = N3 . 2/2

 Fv = 0

 N4 + N2 + N3 . 2/2 = 2P

M= 0

 3aN2 + 3aN3 . 2/2 = p . a/2 + p . 5 a/2

Como se trata de un problema hiperestático de GH = 1 , se debe establecer la compatibilidad de deformaciones como se muestra en la figura siguiente :

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

Para que la barra rígida permanezca en posición horizontal una vez deformada , debe verificarse : L2 = L4



N4 .2 a/ F . 2 A = N2 . 2a/ F . A



N4 = 2N2

Resolviendo el sistema se obtiene : N1 = N2 = P/2 N3 = P/ 2 N4 = P Conocidos los esfuerzos normales es posible dimensionar los tirantes de modo que no se supere la tensión admisible del material. DIMENSIONADO DEL TIRANTE 3. 2600 kg/cm²

= 5000 kg/2 d²/4



d = 1,31 cm

Este diámetro es válido para el resto de los tirantes del mismo área o el doble del área.

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

2)Calcular el módulo y la dirección de la carga que debe aplicarse en el nudo A de la estructura para que experimente el desplazamiento indicado en la figura y sea posible la unión con el punto B del pilar. Datos : E = 2,1 . 106 kg/cm² A = 5 cm² ( para todas las barras )

SOLUCION : Estableciendo la compatibilidad de deformaciones mediante el correspondiente diagrama de desplazamientos , se tiene :

L2 = N2 . L2 A.F

=

0,1 cm



N2 = 5250 kg

 =  ( 0,1 cm )² + (0,02 cm )² = 1,0198 .10-1 cm tg = 0,2



 = 11,31º

Conocidos  y  pueden plantearse las siguientes igualdades : cos ( 30 +  ) = L1 = 0,766 .10-1 cm

= N1.L1 /A . E 

N1 = 3482 kg

cos ( 60 -  ) = L3 = 0,673 .10-1 cm

= N3.L3 /A . E 

N3 = 1767,15 kg

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

Una vez calculados los esfuerzos normales que soportan las distintas barras , se obtiene el valor de las fuerzas estableciendo la condición de equilibrio en el nudo.

Py = N2 + N3.cos60º + N1.cos30º = 9149,7 kg Px = N3.sen60º - N1.sen30º = - 211 kg Por lo tanto el valor y la dirección de la carga pedida son : P = Px² + Py² = 9152 kg tg = Px/Py = 0,02305

30º 60º

alfa P

  = 1,32º

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

3)El conjunto de la figura se compone de dos barras de sección circular, dos muelles y un elemento sobre el que se aplica una carga de valor total 2P , que puede tomarse a efectos de cálculo como rígido ( indeformable ). Considerando que cada muelle está sujeto en sus dos extremos a las piezas indicadas en la figura , por lo que pueden trabajar a tracción o compresión y que no hay rozamientos, determinar : a)El esfuerzo normal en cada elemento expresado en función de P. b)El diámetro mínimo de las barras para que no se produzca el fallo. c)Acortamiento o alargamiento de cada muelle. d)Esfuerzo normal encada barra en el caso de actuar solamente un incremento de temperatura en la barra derecha de 80ºC .(Tomar como área de las barras el valor calculado anteriormente ) Datos :  = 10-5 ºC-1 L = 100 cm P = 5000 kg adm = 1500 kg/cm² E = 2,1 . 106 kg/cm² K1 = A . E /L

SOLUCION : 1)ESFUERZO EN CADA ELEMENTO. Es un problema hiperestático de GH = 1.Se trabajará aislando cada uno de los elementos. Elemento rígido :

Condición de equilibrio estático : 2P = X1 + X2

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

Barra y muelle derecho :

Barra y muelle izquierdo :

Condición de deformaciones : La variación total de longitud del conjunto es cero ya que se encuentra entre paredes rígidas. L total = 0 X1.2L + A.E

X1 - X2.L 2K1 A.E

Como K1 = A . E/L

-



X2 K1 5 . X1 = 4 . X2

Con la ecuación : 2P = X1 + X2

el esfuerzo normal en cada barra será :

X1 = 40P/45 = 0,888P X2 = 10P/9

= 1’1111P

2)DIAMETRO MINIMO. La barra más solicitada es la derecha , como las dos deben tener el mismo diámetro se toma ésta como determinante. 1500 kg/cm²  1,1111 . 5000 A A = d²/ 4



d =



2,17 cm

A = 3,703 cm²

TRACCION Y COMPRESION HIPERESTATICA

3)ACORTAMIENTO O ALARGAMIENTO DE CADA MUELLE. Muelle izquierdo : alargamiento :  =

X1 2K1

=

0,888 . 5000 2.(3,703.2,1.106 ) 100

= 0,0285 cm

Muelle derecho : acortamiento :  =

X2 K1

=

1,111 . 5000 3,703.2,1.106 100

= 0,0714 cm

4)ESFUERZOS EN CADA BARRA PARA T = 80ºC. Se trabajará aislando el elemento rígido y aplicando la ecuación de equilibrio estático.

X1 = X2 La condición de compatibilidad de deformaciones es la misma que en el caso anterior o sea que la variación de la longitud del conjunto es cero. -

X1.2L A.E

Operando con X1 = X2 X1.L . 4,5 = LT A.E X1 = X2 = 1382,45 kg

X1 - X2.L 2K1 A.E

-

X2 K1

+ LT