8 razred - Sotirovic - zbirka

_T ('

VELIMIR SOTIRI:iVIC DUSAN TTPOVAC JtiGGS L,,tV JAf{I/"t}V

o

I a,t oa isGe ,tOO oooo OOCG .3OOG

solto corooo ocoocS oocoteo roaaooo c o* Toaao aoooo,foo olooaoooo o.ooooolo O C O a O,| O O a A ooaaoooeel aocooo cooSo oooaooeGcoo | 0 I $ 3 0 303ec o SGCeGOat |r 0 0 a o I & rctseo.O 3 s e I o ., o c o s o sct'loG o aoooosscGoorao )aiFoioaoalo9aoo 0 0 t o o e o B o'o I a c G g,rt.ar^OSO6OaOCCO

Z:WXffi.KA

7OAffiAtrAKA HV,

MATHF/HATKKE SA UPUTST'YTMA

I RESHF{"?$MA

rs9.OOOOOSOaSe3C t*ir4OeOfO3OOOoa

*,'t$co{rocooGo(}e #.€oc3t00aaoG$t ,#, a o e a o o c o I o o c a w's3*otooocoGa+ aoctoo+oooScoo f,caoo300G3caco &ooattooooeeC.o I il o t o I o I o o o o O o {Ftccao9alcoto4t s*al330aooeoGil b occae ooo e.aao ':iSIOCOOOOaOCCS TfOOISIOOCOOOGT rOSttstOllOtlO€A astoolaeooottsc ,rSC$ll3OOOeOSO!* o*oorooooSce*G 1;r€{S3AOeOO{r^OSeo

'l;;:l; :f:f;3 h

a o o c a c o o e a o 3 o I o e o o o o a I o o o 6 a ? C 3 c o e o e o o c o c o o C I C a a o (l G o o o o c e $ C o a I o 3 o e o o o a G G G a c e o o o o o o & o a C o e. o C

t

t

*

,

$oo

iFOS

90t) ii aac oto !- Trot) i F la"t t

,LA VIH RAT,RES) OSNdlVhr{"}i; VASFTTA}fJA, I SBffiAZO\',,1I\JA

t

o o t) * o s G o o o a 3 a o a

o e o

ffi f I

I

I

xAv{}.t} 7,h IZDAVAI{JE U#NSENll{.i; 'HO\"I SAI}, l9$3 .

VELIMIR SOTIROVIC DUSAN LIPOVAC JIIGOSI-AV JANKOV

ZBIRKA ZADATAKA TZ

MATEMATIKE SA UPUTSTVIMA I RESENJIMA

ZAVOD ZA TA)AVAN]E UDZIIENTKA NOVI SAD, 1983.

MILUTiN SRDra, piof€lor

MILOMD

RACIC, profe.or

Dr RATKO TOSIc, domr

Mr ULBOMIR COMIC

DESANKA fOSLON Grafaki

fi:dldt

SLAVK.I'TATIC

Psr€toi svet Vojvodift

odobrio je rDotrcbu orog prauanika svojiD .elenjcm broj 61127,{0 od 16. naja 1980. &

s.dmo mirtj.,ln FbrEjilskq $rejjtu a obct; mr. mdu , rdtrru bfoj {}r5 d x xir D- s, m izd@i j. dLbindo @ s Drcd

l

i

+

PR

E

DGOVOR

Matematika se

ud

resavanjem zadataka. Ova Zblrka zadataka ss

udZbenikom Matematika za VIII raa€d osnovnog vaspitanja i obrazovanja, autora Velimila Sotiroviia, Dusana Lipovca i Jugoslava Jankova, dini celinll. Zbirka sadrzi dva dela: u prvom delu su zadaci, a u drugom rezultati, uputsrva iza neke zadarle. c€lokupno reienje. Zadaci su rasporetleni u 6 celina. Oznake rednog broja zadataka teku od prve do poslednje celine.

Za

reSavanje

ovih zadataka potrebno je pomavati redovan

Skolski

progiarn,

Unapred ograniden obim Zbirke uticao je na broj i izbor zadataka. No i pored toga u Zbirci ima zadataka za sve udenik€ pa i za one koji s€ takmite. Zadaci obelez€ni zvezdicom namenjeni su, prvenstveno, udenicima koji pokazuju ve6u sklonost za matematiku. Oslale zadatke trebalo bi da mogu da rese skoro svi uteniciPosto matematika, prvenstveno, zahteva od uienika: samostalan rad,

planiranje, red, apstrakciju, udubljivanje, napor, istmjnost, kratko i precimo izraZa\a[je, bflo donosenje sudova i zakljuiaka, racionalno, estetsko i harmonijsko rasporetlivanje materijala pri radu, taian, uredan i pr€cizan md - to sve ovo treba uvazavati pri resavanju zadataka. Ameridki matematiaar maalarskog porekla George Polya u svojoj knjizi ,,Kako iu rijesiti matematiaki zadatak", savetuje ird€nicima da trcba: prvo - razumeti zadatak (Sta je nepomato? Sta je zadano? Kako glasi uslov?), drugo - potraziti vezu ianedu zadanog i nepoznaiog (Sastavi plan resavanja. ZnaS li neki slieni zadatak koji je resen?), trece - izvdiri svoj plan (Kontroliii svaki korak u resavanju) i aetvrto - proveriri dobijeno reftnic /Moici li knnrrnli$ti re\enie1) Pokugajte ra-mo$alDo da rexavate ove zadatke.

r_".

I

I. LIIIEARNE JEDNACINE SA JEDNOM NEFOZNATOM L

1.1 Resenie jedmCine. Skup rcseBja jednathe Pokazati daje 5 res€njejednadine 1 :14-n.

2.

Pokaalida - I nije

3.

Ispitati da Ii je: a) 2 resenje jednaiine 5r+11:12x-3.

2x

resenje jed naaine

r\': 2(r+ I)=5.

b) -2 resenje j€dnadine (a+21(a-l)+2 a2: 2, c) 4 resenje jednaaine (3+y)' y(5+I)-9:3, d) 0 resenje jednadine (2r-1)(3r- l),Qt 1Jr:2t2, er o resenje

v v-2 \)+2 Jeonacrne a r t--_J-.

re{enie jednadine

Prodilar

i

a)

}'-7

_13 b+8 ;;_n - I -r* a.

2b,

l) I

resenje jednaiine:

br

y- 3

c)

q=r dr0,5-a et b.1 0 -r1=.. t)

Odrediti skupove resenja jednadina: a) x-5 b) 0 l:3 c) -2-0.2 d) Odrediti:

a) {x b) {}'

x=a} 10.r,:4}

d

l

d)

0.r:0

e)

-1:s

0 0 a:1.

kl

2:z} {rl0.r:o}.

1.2. Ekvivalenciia jedn{Iim. ReSrvanje linerrnih jednelitrr sa jednon n€pozratom '7.

I

Iskazati r€aima teoremu o ekvivalenciji jednaaina koja je data formulama:

L:tvI

-(L:D+M:D)

i D:S+(L:D+L=S).

8. Resiti jednaainer a) 5

3.r-,cb\ 6a-3a-2a-1,3 c) 2+b 8+6: -3 d) 0,7:5]'-2- 1-41,+3 y. Objasniti kako su od datih jednadina nastale njima ekvivalentne jedna6ine.

-5-

l l I

i

)

Resiti jednadine date u zadacima

9-13:

9. a:) x3'-- 2x2+x+x2-x3+x2= -2 b) 6:y3 . y2 -3y ta -2y+2.ts +3y

cl la3l'z l-a4 a'=d la2l'+ar. a3 dl t3bt'z-t-2bl + b t -5brrb-r7 -i8 10. a) 3 (r- 2)-2)c+6:5 b) rr-4r+.{5-4:r-[5-(3 rt] c) 0,5 : a (a' - 2) - a (a' - 3) d) y5-4 y'z Jr-y!-tU'-1t

11.

a) rc0c-5)+(6 x). x:(x')'-(x4+ 1) bl (5-2dt l-al+td 3l \-2a)=a az \2t at) c) Lv'F l)"lr lJ: ' ll {- 2l I | '2y) J)-6 d) (- 36F - 0 - 3b2).( -3):2b -(L -bt.b,bx

12.

a) (a+2\(a t\+2-a'z: -2 b) 0,3 =20+(y+ 5) [y-4)-y, c, 2 (r - lr(Y-lr-x(x -4,-3 d) (s-2)(r+4)+8 s(s+1):2(s

13.

al

x'z-6-(x-2,(x J)

I

3)

2s

t

V \2-e+a)(3-a)-a':(-lf ( 1)' c) (-3)4"..24:1-(l 2y)(t - y)- y(3 2yl d) I -(r- 5) (r+5): I -(r-6)(5 + 4- 30 Odrediti skupove resenja jednadina koje su date u 14.

14. a)

(3

+)c)'2-x

(r-

(5

i

15. zadatku.

+x)-9:3

+(5-y) (s +],)+ l0),-, (1-r,)+,r,2 c, ll+3at{2-3al+(3a- l\2 +3a=a d) 4:(6- 3F -(5 - b) (s +b) +(b +4)2 -bQb+2) b)

15. a)

5)r

r?-(1 4'-(r-t):(-o,tr

b) t2- 3 . {- 2)' :49 - x'z +2x (x +7)- (7 + x)2 c) (a2f -(,a2f -(a+ 5\2 -(5-a\,,t9a d) (6 + y)2 -(r - 6)2 - 23y: t6y +(J - 4)' - 6' + 4)2

II 16. Iskazati

rdima teoremu o ekvivalencti jednaailta koja je data formulom:

L:D + L+M:D+LI

11. Resiti jednaaine:

n)

c,

2+x:5 2t:5+t

b) 1.=d-6 d) 3t -2:4+2y

Objasniti kako su od datih jednaeina nastale njima ekvivalentne jednaCine.

-6-

18. Pokazati da svaka od datih jednaaina ima jednoalan skup resenja:

al 2v-4v-3:7 +6v -2-9v b) 3--x2-+ l.5x- 5 -'rr 'x - x': r':-x2 *0.5xc) 3d +(a+ 8)- 2:(d + 2l+ (2a- l, d) b+(t+(r+

3):(b+(b

2))+ 8

Resiti jednadine date u zadacima 19.

.

II

19

21:

a) x+2 (i! _ 3)= 5 (2- x)-1{1-x) b) Jr (6-y)-(5J,- 30):3:0,1-y (- 1+y)

cl

r 2fr-2tr 2)l=(-2)r'r (-21

d, r o'2- (20

10di

(2x- 5)(1-3r)=

2

0.1-0.5[2-4rl-2arl

-2\ (a - Lx) y):3.I [y 3) c\ 2t (t - lJ-2(t-3)(t +2): t2 al tritll, a2 -t):a-(a-t\{a2 +a+ t)

20. a)

b)

(3x

2(t-y)-(3y-t)Q

. a\ (2-a\2 -a:(3-a\'. b) s -(L\-3)'z -9x -(t 2x\2 c) 6J,(l vf -3{}, \t'z-12-3Y12+3ytd, (ie r 4t)tb- i)-5(2!brr= (3+bl': 22. Dalajejednaiina(5 3rlt-{lx'51+ JY-2r.

2f

al Resili ie korisleci uobicajeni postupak: bl Dala iednaiina se moie resili i mnogo kradim. Pokusajte i tako da uradite

elegantDijim natinom'

!

,:1. foristeci ideju primenjenu pri k€cem naEinu r€Savanja jednadine iz pr€lhodnog zadatka resiti iednaeine: aJ t2.x - lJ'z=5 (l -2r)' bl la-213 +12 alt =a

i(

c)

r-3-(1- 4a+(r- l)a

III 24. Iskazzti r€dima ieoremu o ekYivalenciji jednaiina koja je data formulom: lvl fO + (L:D + L' ltI:D' ld\. 25. ReIiti jednadine:

dt 2a: -41 c) 9:3t; b) 5,v= 10; 2x:6: f) 3c:0. e\ -2:2b; jedna ,; 22t. ^ tt. lt tL ll: b, (/. 9,= t-], t]: cr t4 br rJ. I .Zrr rr ro-ut, ;r-. 1..;p,. ,; ^t p e tedbaeDe. )tl+l . (., /)=(0, - tt 22l a, tr*L dar,h stupo!, Je (tup relenja n.Ima

r+1. PrEserJ. le t)l:b, l{ t. -2r,. !2L ar SabirdDlem jedda.rna '=r-l^y= sistd dobiia r etq!.1@tu & -8^5t+5r:l.odnosoor..rj r r. _ll.brprrojednrtu; pomnorri s I pa eboii s drupon. t t0^r.} b.u,Dr t0. ?r.crprvu kon.cin pomnoziri $ 2. ft. /)={3, lt: d) b=2^a= t ZtA./ podeti! drusu iednaeinu d 2 ili poDnor,, prvu s z tr y)=( r. -lli br ,,.,,=r .z -,,. " r. r,=( .j. ]). a,,". a= =12 - l). 226. a) Stodi *.{ 4a-2h= -4 Jo -2b .. 2, odnosno {a. bJ .t 2. _2ri br rr, rr c) {- l. llid)tZ2,i.)(1,3):0SruprcSebj.jeLrLlj,t.Rl.22?.aS"oa,,"o",r._2O= ^ .to\^a-2b=.1.1^bt=t t4. i),r,,.,'=,-6 c,: c,,..a' (1 l) .,,.,= redraaiM

-(-e,-r2),22t.!)svodis.na'6.'-

r r^ o,+6,E r.'".,'=(1. ,.;,r,.,.', - | tto,-q1

/l l\ -. r.. d-\- . i), "J o= 2^b=J, dr ( 5,=48^7( r=r12. rr. Jr rt8. o,. 22q a)G.r:(0, 2):b)(a,):(1,3)ic) 2r,2s=o^2r-s= 3.(as):( l.l)jdl(:,r):(1 t). 23q-\ao ovunatrh Rhcij. forD'€ * nsreb jednaarDa.,- t., _2.2]|.rta - t b _Jt;) d-.2.0 l.rrl i) ZaDebjnanFm odeovdtuarh vredno.r, a ( i, u tomuti r (rr,; dobija se siim 4=21-i^ -5 . t I r NieBo\o Kienje das wednosia * r n r,=i, n 2., olt=],,:0,"1.unr,"ij'.;e):2x+l;d)k:0,n:2.2]fa)sistebs€svodinaekvilalenr.u korjunkciju (s.

,)=(1,

-

r=0^},=3^rd{ 1); c)

2, 2}. Res.nj€ je (0, 3)j b)

s=1^r:_1^s+_2^t+ 4 _2^ a+ 3 ^r: ,\ ;lrr4 att,lt tta. )at. b), l^d.r zadro

Pnu jednaiiDu ponnoziti sa :1. a drug! sa 2, pa ih sab.at. d=

/0.^bzo.(a,bt rl.

7r

dari skt@ je ervivarenh

/r dr(L,r (;

e a, rl=(j. :).2,,:0.r.".

neDa resenja jer je drusa jedna.im

r -l:c' r r 2 {t+a,r=2tt- at. Za a, tje t,. O (O ?). Zaa= |d Aa 0 )r=0 pa je rtup resenJs )r)lkr Rt.dt za a A 2 s[uD reten,! re trt ai: a u o -21&. t-a. t)lA. Rl. 235l(t.ar , i y irr ,=r_r: ur ._ r.r. c1',=y_i; d) r=j. 236 Ato su r i , ti brcjevi oDda jo x+l=94 f):26y=21 m. n i t. oblik8-0

Fdnaa'na je

"=13,,

ua, Po

itw.:4q.!i!,!1.

n

i p mo€ju bni pri.odni brcjwj, oba pama ili oba nepartra i

-

5t

-

2{0. Ato su a i , stratlie, o[dt je 2.+2b-60\o-b-5, d-18, b-12 U\. F 3 kh/h. aanca 25 Xmib. 2,43. Alo j. r ciln d.s.ti.t, i , cif.a j.dinic. 7ond. j. dvocifrc broj to'-y. 17 t 7l,24..,.3 z.ca i 5 fso& 245. Kob 8 000. utra.it l0O

r>r. Zdb? Beina r.re

Ulel(rlorija. 246. Ako hdrn rldnik 20

i

30 da!n.

'tfi,th,249.

'

,Jto.

ls.L

L'uca

6,

dr radi

: d"4

onda

j.

+

d.sov dncvd uainar.

Zbir Djilnvih Drc