8 Razred - Krug - Zbirka

1

Живорад Ивановић

Срђан Огњановић

МАТЕМАТИКА 8 З б и р к а з а д а т а к а са р е ш е њ и м а з а 8. р а з р е д о сн овн е ш коле Шесто 'издање

КРУГ ЕОГРАЛ, 2 0 1 1 .

Аутори: Живорад Ивановић, професор, педагошки саветник мр Срђан Огпановић, професор Математичке гимназије у Београду МАТЕМАТИКА8 Збирка задатака са решењима за 8. разред основне школе Шесто издање Издавач: „Круг“, Београд, Устаничка 244г, тел. 347 5576, Е-таЛ: кгидсЗооФзћћ.гз За издавача: Маријана Милошевић Рецензенти:

др Предраг Тановић, научни сарадник Мат. института САНУ Мирјана Перовановић, професор Математичке гимназије, Београд Ружица Павлићевић, професор ОШ „Дринка Павловић“, Београд

Уредник: Живорад Ивановић Корице: Иван Чукић Цртежи: Марко Червењак, Иван Каделбург Решењем министра просвете Републике Србије број 650-02-00299/2010-06 од 21. 07. 2010. године, уџбеник је одобрен за издавање и употребу. С1Р - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51 (075.2) (076) ИВАНОВИЋ, Живорад, 1938Математика 8 : збирка задатака са решењима за 8. разред основне школе / Живорад Ивановић, Срђан Огњановић ; [цртежи Марко Червењак, Иван Каделбург]. - 6. изд. - Београд : Круг, 2011 (Лапово : Колор прес). - 157 стр. : граф. прикази, табеле ; 24 с т Тираж 10.000. 18ВК 978-86-7136-193-4 1. Огњановић, Срђан, 1954- [аутор] СОВ138.8К-Ш 183736588 18ВК 978-86-7136-193-4 Тираж: 10 000 примерака Штампа: Колор прес, Лапово

ПРЕДГОВОР

Ова збирка задатака у потпуности прати најновији измењени програм за 8. разред основне школе, који је усвојио Надионални просветни савет 2009. године. Такође, сагласна је са уџбеником за 8. разред истог издавача, чији је аутор Срђан Огњановић. У њој су обрађене следеће наставне целине: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Сличност троуглова, Тачка, права и раван, Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом, Призма, Пирамида, Линеарна функција, Графичко представљање статистичких података, Системи линеарних једначина са две непознате, Ваљак, Купа, Лопта.

Свака од наведених тема обрађена је у посебној глави, а свака глава подељена је на неколико поглавља. На почетку сваке главе или поглавља дате су дефиниције и тврђења која су неопходна за решавање задатака из те области. Задаци су поређани од једноставнијих ка тежим, а на крају сваке главе дат је додатак у коме су задаци на одређени начин сложенији и за чије је решавање потребно уложити више креативности. Рецензенти су пажљиво прочитали цео рукопис, те им се срдачно се захваљујемо на корисним примедбама и сугестијама. Београд, априла 2010. године

Аутори

ГРЧКИ АЛФАБЕТ

А

а

алфа

N

V

ни

В јЈ

бета

2

С

кси

Г

7

гама

0

0

омикрон

д

б

делта

П 7Г

пи

Е

е

епсилон

Р

Р

ро

2

с

зета

Е



фи

к

Ж

капа

X X

хи

А

А

ламбда

Ф ф

пси

ми

Г2 и

омега

М Џ

Садржај 1. СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА.................................................................. 1.1. Талесова теорема.............................. .................................... 1.2. Сличност троуглова.................................................................

, 4

1.3. Примена сличности на правоугли троугао....................................... 1.4. Додатак уз главу I .......................................................... .................

6 7

2. ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН.................................................................. 2.1. Тачка, права и раван - међусобни односи....................................... 2.2. Ортогонална пројекција.................................................................... 2.3. Додатак уз главу I I .............................. .............................................

9 9 13 14

3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ............................................................................................

16

ј

3.1. Решавање линеарне једначине с једном непознатом........................

17

3.2. Примена линеарних једначина с једном непознатом........................ 3.3. Решавање линеарне неједначине с једном непознатом.................... 3.4. Додатак уз главу II I........................................

23 27 31

4. ПРИЗМА..................................................................................................

36

4.1. Површина и запремина призме.......................................................... 4.2. Додатак уз главу IV ...........................................................................

37 44

5. ПИРАМИДА............................................................................................

45

5.1. Површина и запремина пирамиде..................................................... 5.2. Додатак уз главу V ...........................................................................

40 52

6. ЛИНЕАРНА ФУНКНИЈА...................................................................... 6.1. Функција у = кх + п ........................................................................... 6.2. Линеарна функција - систематизација.............................................. 6.3. Додатак уз главу V I...........................................................................

55 55 02 55

7. ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЈБАЊЕ СТАТИСТИЧКИХ ПОДАТАКА

67

I

8. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ . 8.1. Решавање система две линеарне једначине са две непознате........ 8.2. Решавање система две линеарне једначине са две непознате систематизација.................................................................................. 8.3. Додатак уз главу V I I I ........................................................................

71 72

9. ВАЉАК..................................................................................................... 9.1. Површина и запремина ваљка............................................................ 9.2. Додатак уз главу IX ...........................................................................

87 87 90

10. КУПА...................................................................................................... 10.1. Површина и запремина купе.......................................................... 10.2. Додатак уз главу X ...........................................................................

93 93 96

11. ЛОПТА........ ......................................................................................... 11.1. Површина и запремина лопте......................................................... 11.2. Додатак уз главу X I.........................................................................

99 99 100

12. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

103 103 109 112 121 125 130 138 140 146 149 153

РЕШ ЕЊ А.............................................................................................. Сличност троуглова............................................................................. Тачка, права и раван........................................................................... Линеарне једначине инеједначинес једномнепознатом..................... Призма................................................................................................... Пирамида.............................................................................................. Линеарна функција.............................................................................. Графичко представљањестатистичких података........ ..................... Системи линеарних једначина са двенепознате................................ Ваљак.................................................................................................... Купа...................................................................................................... Лопта....................................................................................................

78 84

1. СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА Напретком и усавршаваљем математике условљено је благостање државе. Наполеон1

1.1. ТА Л ЕС О ВА ТЕО РЕМ А

Талесова тпеорема. Ако се две праве х и у пресеку паралелним правим р и Ч, онда је размера било које две дужи једне праве једнака размери одговарајућих дужи друге две праве: ОА _ ОА 1 ~ОВ ~ ОВг ОА као и ОВ

_

АВ АгВ ^ ААг ~ВВ~Х'

1. Дате су три дужи, а, 6 и с. Конструисати четврту пропорционалу за те дужи, тј. дуж х таквуда је а : 6 = с : х , ако је: а) а = 3 с т , 6 = 4 с т , с = 5 с т ; б) а = 7 с т , 6 = 5 с т , с = 6 с т ; в) а = 8 с т , 6 = 3 с т , с = 5 с т . 1 Каро1еоп ВопарагТе (1769-1821), француски император

Текстови задатака

2

у \ (; 2 Ј Дате су дужи а, 6, с и јединична дуж дужине 1сш . Конструисати дуж х ако је: /л ј „2 ( а) а : 6 = ж : с; б )ж = —— ; о 6 ’ а+ 6 г) X = д) х = а -к ; ђ) х = &т &

3.

Дату дуж Д јЗ поделити на:

а) три; једнаких делова.

б) пет;

в) седам;

/I 4.1

Доделити дату дуж у односу:

^

(а )2 :3 ; г) 2 : 3 : 4 ;

... ( (§у'

г) једанаест

в) 3 : 5 ;

6 )1 :4 ; д) 2 : 5 : 3 .

Дата је дуж М И . Конструисати дужи: (а ) А В = ■■ Д/.\ : 5

б) С Б = - М И ; ' 8 ’

в) Е Р = -М 1У ; ' 3

г) С Н = 1 - М И . 5

6 . Израчунати дужину дужи З Б (слика) ако је А В [| СТ> и: а) Д С ^ б с т , С Д = З с т , В Р = б с т ; б) 8 А = 7 с т , 8 С = 2 8 А ,

= 14ст;

в) ДД = б с т , А С = 4 с т , 8 В = 9 с т . Сл. уз зад. 6 7. У трапезу А В С Б продужеци кракова А В и СТ> секу се у тачки М . Ако је А М = 10 с т , А В = 2 с т и М В = 15 с т , израчунати дужину крака С О . 8. У троуглу А В С је дуж В Е паралелна страници А В (слика). Израчунати: а) В С

акоје А С = 12 с т , С И = 4 с т , С Е = 8 с т ;

б) В Е

акоје А С = 15 с т , АО = 3 с т , В С = 25 с т .

9. ) У троуглу А В С права Р Е (Д> 6 А С , Е е В С ) паралелна је правој А В . Израчунати: ч а) С Е ако је СД> = 8 с т , А С = 20 с т , В Е = 6 с т ; б)

СГ> ако је А С = 2 0 с т , В Е = б с т , С Е = 4 с т .

1. Сличност троуглова

Сл. уз зад. 8

10.

3

Сл. уз зад. 10

/ У којем од наведених случајева је В В ' паралелно са С С' (слика): а) А С = 12 с т , В С = З с т , А С ' = 8 с т , А В ' = б с т ; б) А С = 14 с т , А В = б с т , А С ' = 7 с т , А В ' = З с т ; в) А В = б с т , В С = 15с т , А В ' = 9 с т , В 'С ' = 8 с т ?

11. Дужи А В и С В на слици су паралелне. Израчунати дужине дужи ВМ и С М . 0 1,5сш С

12.

У троуглу К В М на слици је М В || М Р .

а) Ако је М К = 7 с т , К М = 2 1 с т и К Р = 1 0 с т , наћи Е Р . б) Ако је К Р = М Р , В Р = б с т и В М = 10 с т , наћи К Р . в) Ако је К Р = 7 с т , К1V = 2 Б Р и МЛГ = 14 с т , наћи К М . г) Ако је К М = 2 5 с т , АТ/У = АГД и К Р = 4 с т , наћи К1 ј .

4

Текстови задатака

1.2.

С Л И Ч Н О С Т ТРО УГЛО ВА

Ако су два троугла А В С и А 1 В 1 С 1 слични, тада су им сви одговарајући углови подударни и одговарајуће странице пропорционалне:

а — а \ , /3 = /?г 7 = 7г , а : 6 : с = ах :

: С1

Ставови о сличности троуглова: Два троугла А В С и А 1В 1С1 су слични ( А А В С ~ Д А ^ б 1!) ако су: (1) два унутрашња угла једног троугла подударни одговарајућим унутрашњим угловима другог (нпр. а = о ц , /3 = /З^); (2) две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог, а унутрашњи углови које образују те странице подударни (нпр. а : аг = 6 : , 7 = 7 ^); (3) све странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог (нрп. а : = к : 61 = с : С\ ); (4) две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог и унутрашњи углови наспрам већих од ових страница једнаки (нпр. ђ : 61 = с : с\ , 7 = 71, с > 6). Коефицијент сличности ових троуглова је /г = — = — = — . «1 &1 С1

13.

Да ли су слични троуглови чије су странице:

а) 4 с т , 5 с т , б с т и 8 т т , 10 т т , 12 т т ; б) З с т , 4 с т , б с т и 9 с т , 1 5 с т , 1 8 с т ? 14. Странице троугла су 4 с т , 3,6 с т и 1,6 с т . Одредити странице њему сличног троугла ако је коефицијент сличности 1,6 (к = 1,6 ). 15.. Странице троугла А В С су а = 20, с = 16. Странице сличног троугла су &1 = 21, = 11,2 . Одредити странице 6 и ој .

1. Сличност троуглова

5

16. / У троуглу основиде а = 30 с т и одговарајуће висине ћ = 45 с т '^уписан је квадрат чија два темена припадају основици троугла, а друга два другим двема страницама троугла. Одредити страницу квадрата. 17. У троуглу основице а = 18 с т и одговарајуће висине ћ = 12 с т уписан је правоугаоник обима 32 с т , чија два темена припадају основици троугла, а друга два страницама троугла. Одредити странице правоугаоника. 18. Основице трапеза су а = 15 с т , 6 = 12 с т а један крак с = 8 с т . Одредити дужину х за коју треба продужити крак с до пресека са продужетком другог крака. 19. Дијагонала трапеза = 25 с т дели другу дијагоналу на одсечке т = 12 с т , п = 8 с т . Одредити дужине делова дијагонале . 20. Основице трапеза су а = 18 с т , 6 = 16 с т , а висина ћ = 9 с т . Одредити висину већег троугла који се добија продужавањем кракова трапеза до њиховог пресека. 21.

Ако су два троугла слична, доказати да су онда:

1° њихове висине пропорционалне одговарајућим страницама; 2° њихови обими пропорционални одговарајућим страницама; 3° њихове површине пропорционалне квадратима одговарајућих страница. 2 2 . Основица једног троугла је а = 30 с т , висина ћа = 24 с т , а основица сличног троугла је а г = 20 с т . Израчунати висину ћп1 другог троугла. 23. На основу страница а = 12 с т , ћ = 15 с т , с = 18 с т датог троугла и обима 5! = 60 с т њему сличног троугла одредити странице сличног троугла. 24.

Странице троугла су а = 4, 6 = 6 и с = 8 . Одредити обим њему

сличног троугла ако је коефицијент сличности к = ј ј . 25. Странице троугла односе се као 2 : 5 : 6 . Најмања страница њему сличног торугла је а\ = б с т . Одредити обим сличног троугла. 26. Права I садржи тежиште Т троугла А В С и паралелна је страници ВС. а) У ком односу та права дели висину која одговара страници В С 1

6

Текстови задатака

б) Колика је дужина одсечка праве I унутар троугла А В С у функцији странице В С ? в) У ком односу су површине троугла А В С и троугла који одсеца права I унутар троугла А В С 1 27. Нека је 8 пресек дијагонала А С и В П трапеза А В С Б . Ако је А В = 9 с т , С Б = 4 с т , А 8 = б с т и З Б = 2 с т , наћи дужине В З и С8. 28. Дат је троугао са страницама а = 7 с т , 6 = 15 с т и с = 12 с т . Троугао је пресечен једном правом паралелном најкраћој страници тако да се добије трапез обима 26 с т . Колике су странице овог трапеза? 29. Нека је Е средиште странице В С квадрата А В С Б странице а = \ / 5 с т и М подножје нормале из на А Е . Израчунати дужину дужи Б М . 30. Нека је Е средиште странице А В квадрата А В С О . Одредити у којој размери дуж О Е дели дијагоналу А С . 31. Тетиве А В и С Б круга секу се у тачки 8 . Ако је В З = 12 с т , 8 С = 4 с т и Б З = 9 с т , наћи А З . 32. У једнакокраком троуглу центар уписаног круга дели висину у размери 12 : 5. Ако је крак 60 с т , наћи дужину основице тог троугла. 1.3. П Р И М Е Н А С Л И Ч Н О С Т И Н А П РА В О У Г Л И ТРОУГАО

Ако су а и В катете, а с хипотенуза правоуглог троугла А В С , ћ = С Б висина која одговара хипотенузи и дели је на дужи В О = р и А Б = д, онда су троуглови А В С , АСТ> и С В Б слични. Из ове сличности се добија: а ’ = с-р,

ћ2 = с • д,

ћ2 = р ■д.

7

1. Сличност троуглова

33.

У правоуглом троуглу су катете: а) а = 3 с т , 6 = 4 с т ;

б) а = 5 с т , 6 = 1 2 с т ;

Израчунати дужину хипотенузе с, њене висине ћ и одсечака р и д на које та висина дели хипотенузу. 34. Нека су а и 6 катете, с хипотенуза, ћ њена висина, а р = ВГЈ и

/А ? "-т-

' 4-7 ;а) А 'В ' = 8 с т , А А ' = 24 с т , В В ' = 18 с т ; —— --------

% Ј

сг

б) А 'В ' = 12 с т , А А ' = 10 с т , В В ' = 5 с т , где су А' и В ' пројекције тачака А и В на раван 7Г, при чему су тачке А и В са исте стране равни тг. , 82. Тачке А и В су са разних страна равни д . пројекције А 'В ' дужи А В на раван тг ако је:

Одредити дужину

ч а | А В = 15 с т , А А ' = 4 с т , В В ' = 8 с т ; б)

А В = 6 с т , АА' = 1с т , В В ' = 2 с т .

83. Дата је дуж А В = 40 сш и дужине нормала А А ' = 45 с т и В В ' = 21 с т из крајева те дужи на раван а . Наћи: в) А0~~' ( а) дужину пројекције А ’В ' ; б) дужину В С , где је С продор праве А В и равни а ; в) дужину В 'С .

'

, \ У

2-; ■

84. Тачка А припада равни тг, а тачка В је -на удаљености 4сш од ' равни 7Г. Израчунати дужину дужи А В и дужину пројекције ове дужи у равни 7г ако је нагибни угао дужи према равни 7г: / / а) 3 0 ; ; / 6 )4 5 ° ; в )6 0 ° . * Тачка А је од равни а удаљена Зсш , а тачка В 8 с т . Колико је растојање тачака А и В ако је дужина нормалне пројекције дужи А В на а једнака 12 с т и ако су: ‘2.. , -.. (Јај А и В са исте стране равни а ; б) 8 ^.

(

-

'''' " ~ "1'

•' ^

А и В са разних страна равни а ? Тачке А и В су са исте стране равни а . Ако је А В = \ / З с т и

б) А 'В ' = — с т , ’ 2 при чему је А 'В ' пројегаЈиј,^, дужи А В на а , одредити угао између праве А В и равни а . ( у \\Г А 'В ' = 1,5 с т ;

14

Текстови задатака

\§Т•

Једна дуж нагнута је према датој равни једанпут под углом од 30°, Одредити однос дужина добијених пројекција те дужи на дату раван. ДРУГИ пут под углом од 45°, а треГчи пут под углом од 60°.

8А Правоугли троугао са катетама а = 15 с т и & = 20 с т чија хипотенуза припада равни а нагнут је према тој равни под углом од 45° . Израчунати површину пројекције овог троугла у равни а. 89. Наћи одстојање средишта дужи А В од равни а која нема са том дужи заједничких тачака, ако је одстојање тачака А и В од равни: \а)ј 5 с т и 9 с т ;

б) 7,4 с т и 2,6 с т .

, 90* Тачке А и В су са разних страна равни тг. Израчунати дужину дужи А В ако је:

Ц)

А 'В ' = З с т , А А ' = 1 с т , В В ' = З с т ;

б) А 'В ' = 5 с т , А А ' = 4 с т , В В ' = 8 сш; в) А!В' = А А ' = 8 с т , В В ' = 7 с т где су А! и В ' пројекције тачака А

[ В на раван п .

Дат је квадар А В С В А \ В х С \ В х (слика). Допуни следеће реченице: Пројекција на раван основе А В С В : а) дужи АС \ је . .. ; б) дужи А В Х је . .. ; ^ в) ДУЖИ А А Х је . . . ; / г) дужи А В је . .. ; д) Дужи В В г је . .. ; Ј} ■ ' ђ) дужи ССх је . .. . ' Сл. уз зад. 91

2.3. 92.

Д О Д А Т А К У З Г Л А В У II

Колико равни одређују:

а) шест правих које се секу у једној тачки; б) осам правих од којих су две по две међу собом паралелне? 93. У равни а дат је правоугаоник А В С В чије су странице 12 с т и 16 с т и ван те равни тачка 3 таква да је З А = 8 В = З С = З В = 26 с т . Колико је одстојање тачке 8 од равни а . 94. Тачка А је удаљена од темена једнакостарничног троугла странице “ з а о . Наћи одстојање тачке А од равни тог троугла.

2. Тачка, права и раван

15

95. У равни а дат је правилни шестоугао странице З с т . Тачка 3 је удаљена од свих темена тог шестоугла по 5 с т . Колико је тачка 5 удаљена од равни а ? 96. У равни а дата је права а и на њој четири разне тачке А , В , С и О . Ван праве а у равни а дате су још три различите тачке Р , 6,

17

3. Линеарне једначине и неједначине

3.1.

РЕ Ш А ВА Њ Е Л И Н ЕА РН Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е С ЈЕ Д Н О М Н ЕП О ЗН А ТО М

103. Решити усмено једначине: ‘< Ј$)Х —3 = 5; х + 7 = —2; ( 3)Ј2 —2 = —1; 2 - 32 = 4;

б) 2 + 4 = 6 ;

в)

2 + 2=1;

г) 2 —3 = —5;

ђ) 2 + 6 = 4;

е)

7 —2 = 5;

ж) 3 —2 = 5;

и)1 2 - 2 = - 3 ;

ј) 22 + 1 = 5;

љ)

к) 3 2 - 1 = 8 ;

4 - 22 = - 2 ; м)6 = 4 - 32;

104. Решити једначине: ( &} 42 —5 + 32 = 22; в)

б) 112 + 1 2 - 132 = 42;

6 - 82 = 7 2 - 3 0 2 ;

г) 7 2 -1 1 —2 2 + 4 = 32 + 18+ 2 - 2 .

( ,7 1 + Р б 1 = - 6;

32

2 7х. 5 ~ ~6~ ’ 8 е) = - 5 ; в)

Т = 7;

? = 6; ђ) X

г) ж)

2

>. Решити усмено једначине: X ч Х б) а > 2 = 2; з =5;

в)

7х ~2 ~~ ~~ 3 _ _5 2

2 1 3 ~~ 2 ’

I ОЈ

б)

^

М 1кз 001в II

». Решити једначине:

6

2

г)

7 =

'

107. Које од следећих једначина су немогуће (немају решења): а)

2 + 1= 2;

б) 0 - 2 = 1 ;

в) 2 + 2 = 2 + 2 ;

г)

л/ж2 = —2 ;

д) 2 - 2 = 2 2 - 7 ;

ђ) - = 1 ? 2

108. Које од следећих једначина су међусобно еквивалентне: Л3 2 2 б) а) 2 Ж~ 4 = 5 ; . 4 “ в) 2 2 = 16;

г)

2 2 _

Дате су једначине: а) 2 —2 = 2 ;

г б)

7

2

4

тГ II (М см 1

32 ~2 ~ Две од њих су међусобно еквивалентне. Одредити те две једначине. г)

18

Текстови задатака

110. Доказати да су једначине: а) 5х —2(х + 5) = х —20 и х = —5; б) х 2 + 1 = (х + I )2 и х = 0 еквивалентне, а једначине в) Зх —6 = 2 и х = —1 нису еквивалентне. 111. Д а ли су еквивалентне једначине: 1 „ 1 а) х —2 = 0 и х + = 2 + х —2 х —2 ’ . (х —I )2 б) ^ = 0 и х - 1 = 0; х —1 в) (х —1)(х —4) = х — 1 и х 1? 112. Дате су једначине 2х — 5 = 13 и Зх2 — 6 = 21. Како се назива прва, а како друга једначина (у односу на степен променљиве)? Решити обе једначине. 113. Које од следећих једначина су идентитети (тј. важе за све х е К): а) 0 • х = 0 ; в) ( х + 1 х д) 5 + 2х = 7х; 114.

б) (х - I )2 = х 2 - 2х + 1 ; 9’

г) 2(г - 3 ) =

3;

5 ) ^ = 7 .

Проверити да ли је број 0 решење једначине: а) х —1 = 2х — 1 ;

б)

х2 = 0 ;

в) Ј х 1 —х = х;

г)

[х — 1| + |х + 1| = 2 .

115. Решити једначине:

а);1 = 12; 116. Решити једначину: . 3 7 13 8.) — -ј- --- — --- ј } х 10 10’

б) 4 = = у/8-, V2

В) % у/Ђ :

I«1

117. Решење једне од следећих једначина је број 3: 2х —5 а) - 1 б) 4 5

;

12.

1-

= 1.

3/ Линеарне једначине и неједначине

в)

1_ х 1 3 “ 3 + 2'

Зх - 1 = 2х + 3;

Која једначина је у питању? Решити једначине (задаци 118-127): 118.)а) 3 = (2 - х) = 6 - {2х + 1);

б) 9 - (8 - х) = 7 - (х - 6)

в) Зх - (15 + 2х - (5х + 11)) = 2ж - 8 ; г) 8(2х - (Зх + 2)) + 18 = 7ж - (Зж - 5(2х - 4)); д) бх - (4х - 5) - 28 = 2х - (5ж + (Зх - (2х - 3))). 119. а) 26х - (20 - (10 - Заг) - 7х) = 30 - (Зх + 7); б) 2х - 3(2х - 3(2х - 3(2х - 3))) = 1 ;

г) х - (2х - (Зж - (4х —5))) = 1. ( 120. а) (4х - 3)(3х + 4) - (2х + 1)(6х - 1) = 1; @1 (Зх - 10) (х - 1) - (х + 1)(3* - 4 ) = 2; (в) (3 - 5х)2 + (1 + 12д)2 = (13ж - 2)2 + 6 ; ј

К' 2( х - 1)(д + 3) + х ( х — 7) = Зж(5 + х) + 10; д)

,у(2 —ж)(3 —х) — (1 —х)(5 —х) -= 0.

12 1 . а) ( З а - 2 ) : 2 = (2а - 1) : 3; б) (х + 1) : (х + 3) = (х — 3) : (х — 2) ; в) (7х + 3) : (7х - 4) = 5(х + 1) : (5х ~ 2); г) у : ( у + 1) = (2у + 1) : (2у - 1). 1 2 2 . а) (ж + 3) : (1 —ж) = - 2 ; б) (х + 7) : (13 - х) = (5 - х) : (5 + х ) ; х +7 3 г) 0,35 : 0,7 = —; 2'I ’ Х —3 ' ' X

х+ 2

ђ) (2х + 1) : (Зх + 2) = (6х + 5) : (9аг + 8). . 2д + 12 123. а) — — — = 2 ,5 ; х + 3 , 2 х -3 х +1

б)

.. г)

х-7 6 2х + 5 ~ ~ 7 ’ Зх — 1 2 —х

1

д) 3 - 2х ~ ~ 2

-4.

Текстови задатака

20 124, а)Јх -

2х - 5

5 2ж

= 4;

6

в)

х + 1 2

2х - 1 “ — Ј-

3

, 2 I Зх х 1> ^ - = 1 “ 2 ;

Х+ 2 о - ^ - 1 х. 5 2 2х —3 а?+ 1 х - 11 .д)/ 5 10 В-Х*

ж+ З 125. ај --- :—

х

0. / ^ ^ > ’ 2

+

4 -а : ( ;(1 Р)ј 4 ( X + ~ >

2(х + 3) — ^ >

. 2 1 х + ?х Д> * + 3 1 “ 3 . 2х + 3 5х - 14 х+ 1 е) - з ------------

\ 5 Г) 6 Ж" 8 (^ х 1 х 10’ ® 3 _ 2 ~ 4

^ 1 , 12. 3

х+ 1 2

- з |з ® - 24 7 4) = 5 Ж; , 1 + 2’

х —1 х + 1 1 —х 1+ х п 126. а) — ---------- Ђ---------- Ђ----------+ 2 = 0, б)

х —4 + 2(х + 1) _ ^ = 5(х - 3) + 2 х _ П а + 43 3 ' 4 “ 2 4х + 4 Зх - 1 _ 5х + 1 ““3 4 _ 7

127. а) -

х-

Зх + 7 б) 8

- ~

X- - )т

/х + 1 V 2

Л

х-1

5х + 7 / Зх + 1 16 V 4 7 х 7х ‘ , с 1-4--- ---------- 1-4 --- р 6х 1+ 4 2 1 + 5х 2 в) -+ 12 24 2 ' 6 х 3+ х 6 —х 1 2 3“ = 3. -+ Xг) 2 ' " 3

Ј

х -1 \ 8

Ј

128. Користећи да је једначина А ■В = 0 еквивалентна са А = 0 или В = 0, решити једначине: а) (х — 1)(х + 1) = 0; б) 2(х —3)(х + 1) = 0; в) (Зх - 1)(х + 2) = 0;

г) 4 (3 х + 1)(х - 3) = 0;

д) (х —2)(х — 1)(х + 1) = 0;

ђ) 5(х + 1)(х —2)(х —3) = 0.

3. Линеарне једначине и неједначине

21

129. Користећи да је једначина — = 0 еквивалентна са Л = 0 и В / 0 , решити . а) ' в)

једначине: х- 1 ----- - = 0 ; ж+ 1 ’ х —2 = 0; (х + 1)(х + 2)

= х + 1

б> ^ т = ° ; ч (х + 1)(ж - 2) = х —1 ^

д ) < ^ = 0: х+ 1

0;

(х + 2)(ж —3)(х + 5) = ^ (х + 2)5

Решити једначине (задаци 130-133): 130. а) (2х - I)2 - (х + I)2 = 0;

б) (Зх - 5)2 - (2х + I)2 = 0;

в) (х + 5) 2 - (х - I )2 = 48;

г) (х - I )2 - (х + I )2 = 2,5 - Зх;

д) (х + I)2 — 1 = х 2 + 2х ;

ђ) (2х + I )2 = 2х (2х - 1) + 6х;

е) (2у —З)2 —А(у + 2)2 + 26г/ = 1. 131. а)

ч2

Зх

0 Ч 1 -0 Ч -Г

(х — 1)(х + 1) (2х + I )2 1 б) ---------т,------------------ т"т---- = 1- —х; 12

х —1 в)

2

х —2

)

\

2

1 —х;

г) (х + 8)2 + (х + З)2 = (х + 12)2 + (х - 5)2 132.

, (х — I )2 2 б) (х —З)2

(х —3)(2х — 5) = 3 — (х —2); 4 (6х —2)(х — 1) = 4: 6

в)Ј ( х + I )2 + (х + 2)2 + (х + З)2 + (х + 4)2 = (2х + 5)2 . 133. а) 1 - - Зх + 2 ( - - 3 ; 2 б) (Зх - I )2 + ^4х - 0

х 4’

\(2х-1) = ^5х + ^

в) (х - 4)2 - (х + З)2 = 3(х - 9);

г) ( + +2) “ ( + +3) ( + - 3

= 1.

22

Текстови задатака

134. а) У једначини (а — 3)х + (а + 1)(3 —х) — х —7 одредити а тако да • х-5 х-2 она оуде еквивалентна Једначини —----------- -— = х — 3. 3

б) Решити једначину

х + 2ш

2

2х —т

4,5 ако је (т —2)2 = ш 2 +

З т о - 17. в) Одредити к тако да једначине 7 = Зж + 10 и к х + 11 = 6 буду еквивалентне. 4 г) Одредити а у једначини 4а + - = х ако је х решење једначине 0

(.х + I )2 —5х = (х + 3)(х + 1) 135. а) Одредити а у једначини (2а —х)(3 —х) = (5 + х)(а + х) — 1 да би она била еквивалентна са једначином (х —З)2 — (х + I )2 = 2(х — 6). б) Одредити т у једначини (5 + х )(т + х) = (2т —х)(3 —х) + 1 тако 2х — 1 х + 1 Зж + 4 = 1да је х решење једначине -------12 9 136.

Дате су једначине: 2а — х х 5 у — = - и — \-V — а = 1. 2 3 2 У а) Решити једначине по х , односно у. б) Одредити а тако да буде х = у.

137. на:

Који елементи скупа А = ( —3, —2, —1,0 ,1 , 2,3} су решења једначиа) х + \х\ = 0 ; в) \х — 1| + |х + 1| = 0 ;

б) х — 1 + \х — 1| = 0 ; г) |ж — 1| = \х + 1)?

Решити једначине (задаци 138-141): 138. а) \2х —3| + 1 = 4;

б) 2\х -

3| + 4 = 8 ;

г) јж—Зј —3 = 2\х—Зј; д) \2х — 7\ + х = 5; е)

—- | х + 1| = 2 ; о

ж) |3х —2| + ж = 11.

139. а) \х — 1| + |ж + 1| = 2; 140. а) 2\/ж2 — 4х + 4 = ж;

в) 141.

,_____________

в) |ж| + 7 = 13 - 2\х\; ђ) \—х + 2| = 2х + 1;

б) [ж - 2|+ |х - 3| + |2ж - 8| = 9. б) а/ 9 —6ж + ж2 + 8 = 2ж;

7

л/9х2 —6ж + 1 + —ж = 15.

у/.ж2 —4ж + 4 —\/4ж2 + 12ж + 9 = —1 .

3. ЈТинеарне једначине и неједначине

3.2.

23

П РИ М ЕН А Л И Н Е А РН И Х ЈЕ Д Н А Ч И Н А С ЈЕ Д Н О М Н Е П О З Н А Т О М

142. Збир четири узастопна природна броја је 866. Који су то бројеви? 143. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 99. Који су то бројеви? 144. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 167. Који су то бројеви? 145. Збир половине и трећине неког броја је за 5 мањи од тог броја. Који је то број? 146. Збир половине, трећине и седмине неког броја за 1 је мањи од тог броја. Који је то број? 147. Марко ће кроз 12 година бити три пута старији него што је био пре шест година. Колико година има Марко сада? 2

148. Нина је првог дана прочитала - једне књиге, а другог дана још 23 0

странице. Ако јој је преостало да прочита још половину књиге, колико та књига има страница? 149. Јован ће кроз 22 године бити четири пута старији него што је био пре осам година. Колико година има Јован сада? 3

150. Ученик је прочитао — књиге и још 112 страница. Ако му је остала још половина књиге, колико књига има страница? 151. Отац има 28 година, а његов син 4 године. Кроз колико година ће отац бити четири пута старији од сина? 152. Отац има 30 година, а син 10 година. Када ће отац бити два пута старији од сина? 153. Мајка има 36 година, а кћи 16 година. Пре колико година је мајка била три пута старија од ћерке? 154. Који број има својство да помножен са 2 добија исту вредност као и када се подели са 2? 155. Брзине двају бициклиста се односе као 4 : 5 . Ако први за четири часа пређе 12 к т мање од другог, одредити којим се брзинама они крећу. 156.

Који броЈ треба додати бројиоцу и имениоцу разломка - да би се 2 7 добио разломак једнак - ? 3

24

Текстови задатака

157. Који број треба одузети од бројиоца и имениоца разломка — да би се добио разломак једнак реципрочној вредности полазног разломка? 158. Ако четвртини једног парног броја додамо збир следећа два узастопна парна броја, добијамо 33. Који су то бројеви? 159. Ако једном броју допишемо са десне стране цифру 6, па тако добијени број поделимо са 9 и добијеном количнику допишемо са десне стране цифру 7, а затим тако настали број поделимо са 13, добићемо 19. Одредити полазни број. 160. Одредити четири узастопна природна броја за које је производ прва два за 38 мањи од производа трећег и четвртог. 161. Елементи скупа А су шест узастопних целих бројева чији је збир 9, а елементи скупа В шест узастопних целих бројева чији је збир —3. Одредити А П В . 3 162. У одељењу су - ученика девојчице. Ако би дошле још четири девојчице, број дечака и девојчица би био једнак. ученика у том одељењу.

Одредити колико је

163. Половина ученика једног одељења има петицу из математике, четвртина четвроку, седмина тројку, а осим њих у одељењу су још три ученика. Колико је свега ученика у одељењу? 164. Ученици једне школе кренули су на екскурзију у 18 једнаких аутобуса, при чему је у сваки аутобус ушло 5 ученика више него што у аутобусу има седишта. Да је у сваки аутобус ушло онолико ученика колико је у њему седишта, била би потребна још три аутобуса, али би у једном од њих остало шест празних седишта. Колико ученика је кренуло на екскурзију? 165. Младен је ушао у берберницу са намером да се подшиша и планирао 6 Је да потроши — новца који је понео. При уласку у берберницу сазнао је да је цена подшишивања снижена за 20%. После шишања, Младен части фризера са 5 динара и остане му још 6 динара. Колико је новца имао Младен? 2

2

166. Када је путник прешао 4 —к т , остало му је још - пута до половине 5 5 пута. Колика је дужина целог пута? 167. Један човек је до десетог у месецу потрошио трећину своје уштеђевине; за следећих десет дана потрошио је две трећине остатка, да би му преостало још 720 динара. Колика је била његова уштеђевина?

3. Линеарне једначине и неједначине

25

168. Из града А у 12 ћ пошао је камион брзином 4 8 к ш /ћ . Кроз 45 т ш са истог места и у истом смеру креће аутобус брзином 80 к т / ћ . У колико часова аутобус стиже камион? 169. У 2040 ћ крене из станице путнички воз који прелази 87 к т за два часа. У 23 ћ крене за њим са исте станице експресни воз који прелази 232 к т за 3 часа. У које ће време експресни воз стићи путнички? 170. По кружној стази крећу се два бициклиста у супротним смеровима. Први бициклиста пређе цео круг за 60 з, а други за 40 з. Почетна удаљеност бициклиста је 100 т . Колики је обим те стазе ако се бициклисти сретну за 20 з? 171. Два брата истовремено полазе из места А у место В . Старији прелази 1 к т за 10 минута, а млађи 1 к т за 12 минута. Ако се зна да је старији стигао 36 минута раније на циљ, колика је удаљеност места А и В1 172. Пифра јединица двоцифреног броја је за 1 мања од цифре десетица, а њихов збир износи — броја. Наћи тај број. 173. Ако неки број помножимо са 2, допишемо иза тог производа цифру 5, па настали број поделимо са 11 и количнику додамо 1, добићемо број два пута већи од полазног. Који је то број? 174. Цифра јединица једног двоцифреног броја је 4. Ако се тај број смањи за 9, добија се број написан истим цифрама у обрнутом поретку. Наћи тај број. 175. Последња цифра једног петоцифреног броја је 4. Када се ова цифра премести на прво место, добија се број за 16 већи од двоструког полазног броја. Који је то број? 176. Воз ј е поред непокретног посматрача прошао за 7 8 , а поред станичне платформе дуге 378 т за 25 8. Колика је брзина и дужина воза? 177. Отац је 30 година старији од сина, а 25 година од ћерке. Колико година има свако од њих ако је отац три пута старији од оба детета заједно? 178. Колико воде треба додати у 150§ 12%-ног раствора сумпорне киселине да би се добио 4%-ни раствор? 179. У извесну количину 80%-ног алкохола додато је 121 воде и добијен је 60%-ни алкохол. Колика је првобитна количина алкохола?

2§Ј

Текстови задатака

180. Мешањем алкохола јачине 60% са алкохолом јачине 90% добијено је 101 алкохола јачине 80%. Колико је узето од сваке врсте алкохола? 181. Странице правоугаоника разликују се за 5 с т . Ако већу од њих продужимо за 3 с т , а краћу смањимо за 1 с т , површина правоугаоника се неће променити. Израчунати дужине страница овог правоугаоника. 182. Једна катета правоуглог троугла има дужину 5 с т , а друга је за 1 с т краћа од хипотенузе. Колика је дужина хипотенузе? 183. Дужине двеју висина једног троугла су 8 с т и 6 с т , а једна од њима одговарајућих страница је 4 с т краћа од друге. Колика је површина тог троугла? 184. Дужина једне тетиве круга је 8 с т . Центар круга је на одстојању од те тетиве за 2 с т мањем од полупречника круга. Колика је дужина полупречника тог круга? 185. Дијагонале једног ромба разликују се за З с т . Ако се краћа дијагонала увећа за 2 с т , а дужа умањи за 4 с т , површина ромба се смањи за б с т 2 . Наћи дијагонале ромба. 186. Ивице квадра се разликују за по 2 с т , а његова запремина је за 20 с т 3 мања од запремине коцке чија је ивица једнака средњој по величини ивици квадра. Колика је ивица те коцке? 187. Основица једнакокраког троугла је 14 с т . Ако је крак за 1 с т дужи од висине троугла, израчунати дужину висине. 188. Од две врсте робе по цени од 1,5 динара и 2,1 динар по килограму треба направити смесу од 32 к§ робе по цени од 1,65 динара по килограму. Колико треба узети од које врсте робе? 189. Колико воде чија је температура 10° треба измешати са 21 воде температуре 48° да би се добила смеса од 33° ? 190. Улазница за музеј стаје 1,50 динара. После снижења цене, број посетилаца се повећао за половину, а приходи су порасли за четвртину. Колико је снижење? 191. Три радника раде неки посао, који би први радник, радећи сам, завршио за 10 дана, други радник за 12 дана, а сва тројица, радећи заједно, за 4 дана. За које би време посао завршио трећи радник радећи сам? 192. Једна од две фабрике може да изврши неку наруџбину 4 дана брже него друга. За колико дана може свака од њих да изврши ту наруџбину ако се зна да при заједничком раду оне за 24 дана изврше пет пута већу наруџбину?

27

3. Линеарне једначине и неједначине

193. За израду неког предмета један радник утроши 7 минута мање него други. Колико предмета изради сваки од њих за 4 часа, ако први за то време изради 28 предмета више него други? 194. Плави и зелени аутобус крену истовремено из града А у град В који је на удаљености 60 к т . Плави аутобус вози просечном брзином 4 0 к т / ћ , а зелени 5 0 к т / ћ . Када зелени аутобус стигне у В , одмах пође натраг. На којој удаљености од града А ће срести плави аутобус? 195. Путник, идући од села ка железничкој станици и прешавши првог сата З к т , утврди да ће, ако буде ишао том брзином, закаснити на воз 40 минута. Због тога је остатак пута прелазио брзином 4 к т / ћ и стигао на станицу 45 минута пре поласка воза. Колико је село удаљено од железничке станице? 196. Два воза саобраћају између два града; први путује од једног до другог града 2 ћ и 48 минута, а други 4 ћ и 40 минута. Брзина првог воза је за 2 6 к т / ћ већа од брзине другог. Одредити растојање између ова два града.

3.3. Р Е Ш А В А Њ Е Л И Н Е А Р Н Е Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е С ЈЕ Д Н О М Н Е П О ЗН А Т О М 197. Проверити истинитост неједнакости:

198. Д а ли су тачне неједнакости: а) З2 > 2 3 ;

б) 25 < 52 ;

в) 43 < 3 4 ;

г) —7 • 62 ^ —8 ■72 ?

199. Који елементи скупа X = { —3, —2, —1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 } су решења неједначина: а) 5х — 1 < —3;

б) ~ + 2 < - 3 ;

в) 1 - 2х > 3;

ЗЗ/ г ) 3 - — 3?

200. За које вредности х је: а) Зх + 1 > 2 х ;

б) 2х Џ Зх ?

28 201.

Текстови задатака

У скупу негативних целих бројева решити неједначине: . 4х — 1 5х —2 1 6) ^ ± 1 - 2 ( 1 + 3) < 1 . — ----------- 2 < ^5

202. Заменити дату неједначину еквивалентном неједначином најједноставнијег облика (тј. облика а, х > а, х < а или х < а, а Е К ): . х —3 б) 2 х - 5 - ( х + 2) < - 5 ; < - 1; в) 1 - ^

2;

г) - - 2 ( х + 1) < 0 ;

д) Зх - 2 < 8(х + 1);

ђ) 2 ( ^ 2 х - - ј - 3 < 0 ;

. х —2 е) 3 -------— < 1 ;

ж )

. 2х

ч

х —1

203. Дате неједначине заменити еквивалентним неједначинама најједноставијег облика: . 2х —3 х . х —1 х б )4 - — > з' 204.

Одредити скуп решења неједначине: а) Зх + 5 < Зх = 2;

б) (х + I)2 < х(х - 3);

в) х(2 —Зх) ^ —3(х — I ) 2 ;

г) —— - > 0.

205. Одредити све природне бројеве који су решења неједначине: а) х + 9 > 4х —3;

б) ^ х - 1 < 0,1х + - ; 4 2

2

в)

- х —1 < 0,2х + 2. О

206. Одредити најмању целобројну вредност променљиве х за коју израз 5х - 10 има вредност већу од вредности израза Зх + 15. _2 Зз) ј | 207. Одредити х тако да разлика вредности израза -------- и -------- није 3 2 мања од —1. 208. У скупу природних бројева решити неједначине: а) - п + 5 > 0;

б) 4п - 1 < 15; в) - З п + 2 < 0; г) - З п < 5п+1.

3. Линеарне једначине и неједначине

29

Решити неједначине (задаци 209-214): 209. а) 5х - 3 < 4х — 1;

б) х + 3 < 4 + 2х;

в) 6ж - 2 < 12х + 19;

г) х - 2,5 > 2 - - . 2

д) 6 —ж < 8 —2 ж < 4ж + 6; 5 — 2х е)

<

10 ~ х

<

ђ)

ж- 3

.

X

„

4 —х

Н~ 3 1 - 1

х;

х 7 7х 1+ 7 . - + 6х +1 , 4 1 + 5х 2 1 2 в ) -----------------------------------< -----------------• 2 24 12 3 6 ’ ^ __ 20х - (10 - Зх) „ 26х - 51 2(1 - Зх) Г ) X —----- —— + . ---------------------- — -----------------------156 ^ 52 13 214. а) (х + 4)(х - 3) + 10 < (х + 2)(х + 3); б) (х + 3)(2х - 1) - (2х + 1)(х - 4) > 0; в) (х - I ) 2 + 7 > (х + 4)2 ; г) (х + 1)(х + 2) + 3(1 - х) < (х - I ) 2 .

30

Текстови задатака

215. Наћи највећи цео број х који задовољава неједначину 2х + 1 Зх — 1 -----------------2 ~ > г ' 216. Наћи најмањи цео број х који задовољава систем неједначина 2 —х 0,5(2д - 5) > — ------1,

4х 0,2(3х - 2) + 3 > — - 0,5(х - 1).

2ј

О

Наћи решења система неједначина: а) х < - 2 , х < —1, -2 ,5 < х ^ 2; б) 1 < х < : 2, 1,5 < х ^ 3 , *• ^ 2,7; в) х + 7, х > 3, 5 ^ х < 11 1

О

А\

1 г) X + ~ 2 ’ —2 < х < 0 , - 1 < х < 3 д) X > 2, х > 14, х 218. Решити следеће системе неједначина: а) х —5 > 0, Зх < 17; х —1 , 1 (1 - 4») > ј * в ) —ј

б ) 2 х — 1 Јг 0, х —4 < 0 ; 7 —52х јј ,

5х 47х 13 х 11 Т + Т Г _ 21^3~21’ . Зх 5 4х —3 , . . г) 3 - — > ------- ----------- ----------- — ,

’

х +1

х+ 2

2

3

’

х

х +1

х +2

6

2

3

.о 2х(2х - 5) •

27

’

ђ) 15х — - > 2(х + 1), 4(х —4) ^ Зх — 14. 0 219. Наћи све целе бројеве х за које важе неједначине: 1 Зх — 14 а) 15х —2 > 2х Н— и 2(х —4) < --- —---- ; 3 2 б) 2(3х - 4) - 16 < 3(4х - 3) и 3(х + 1) < 2х + 4; 2х — 13 2, Зх —20 х в) — —— > 2 - Зх и - ( х - 7) < 11 9 6’ , х — 1 2х + 3 х х+ 5 х + 5 4 —х х+ 1 г> - Г2----------з3 - + б < 2 - Д 2Г и 1 - ^8 + ^ 2 < 3 1 - —

(2х

3. Линеарне једначине и неједначине

31

Решити неједначине (задаци 220-222): 220. а) х| ^ 2;

б) |х| > 3 .

221. а) \х - 2| < 1;

б) \2х 1 1; < 1; д) |3х — 2,5| ^ 2;

в) 3 —х > 5;

б) \ х + 1| - ^ х < 1;

в) \2х - 6| ^ 9 —х;

г) \5х - 1| 5= 4; 222. а) 2х + (ж — 1| > 5; г) х — 1 > \2х — 4 |;

ђ) |5 —2х\ < 1.

д) |2д - 4| < 2 - х .

х 223. Закоје природне бројеве х и у важи једнакост — = У 224. За које вредности непознате а је вредност израза и 17?

2 ~ - ако је у

3. Линеарне једначине и неједначине

35

254. Одредити најмању вредност израза: а)

(х — 2)2 + 4;

в) 3

1 3

б) а;2 -2 2 : + 4; 5;

г) х 2 - Зх + 2,251.

255. Одредити највећу вредност израза: 1 х ----

а) —(ж + I)2 ;

б) 3

в) —х 2 + 6ж — 10;

1 г ) х 2 — 8х + 20 '

2

256. Доказати да за позитивне бројеве а и 6 важе неједнакости: , а 5 а) —Н— џ 2 б) а + - > 2; в) аг + 1 ^ 2а; о а а \ а + 6 г— ., а2 1 г) — — > +акД ) ^ » 1 1 ^ 1 + а4 ^ 2 ; — Iо а е) (а + 6)2 ^ 4а6. 257.

Доказати да за све реалне бројеве х , у, г важе неједнакости: х 2 + у 2 + г2 + 3 а) х 2 + у 2 + г 2 ^ х у + у г + г х ; б) ^ а; + у + г .

258. Доказати да за све реалне бројеве а важи: а) а 2 + 2а + 2 > 0; г) а 2 + а + 1 > 0;

б )а 2 -4 а + 6 > 0 ; в) а 2 - 6а + 11 > 0; д) - а 2 + 2а — 2 < 0.

259. З а правоугли троугао важи: а)

К + г^ /2 Р -

б) - 3* 1 + ^/2 V ( К - полупречник описаног, г - полупречник уписаног круга, Р - површина троугла). Доказати.

4. ПРИЗМА СјиаегИе еГ тиетеИз (Тра-жите и наћи ћете) ' Нови завет

Правилна четворострана призма В = а2; М = 4 аН; Р = 2а{а + 2Н); V = а2Н. Правилни хексаедар (коцка) I) = ал/3, д. = а\р2; Р = 6а2; V = а3; РГЈ = а2Р2. Квадар {правоугли паралелепипед) Р = 2 (аб + ђс + ас); V = абс; д = р а 2 + ђ 2; И = р а 2 + ђ2 + с 2;

Р јо = с р а2 + 62.

4. Призма

37

Правилна тространа призма

М = 3аН: Р = — л/З + ЗаН-

у = °4- Љ н Правилна шестострана призма а/\ В = ^ а 2^ 3 ; М = 6аН\ Р = За(аДз + 2Н)V = \ а 2Н у / 3.

4.1.

П ОВРШ И НА И ЗА П РЕМ И Н А П РИ ЗМ Е

260. Ивица коцке је 4 с т . Израчунати површину дијагоналног пресека, површину и запремину коцке. 2 6 1 / Израчунати површину и запремину коцке ако је: а) површина једне стране 4 с т 2 ; б) дијагонала једне стране 3% /2ст. 2 6 2 Т З б и р дужина свих ивица једне коцке је 48 с т . Израчунати површину и 'Зсшремину те коцке. 263. Одредити однос површине једне стране коцке и површине дијагоналног пресека. 264.

Д ата је површина дијагоналног пресека коцке: а)

64\/2 с т 2 ;

б) 9 \ / 2 с т 2 .

Израчунати површину и запремину те коцке.

38

Текстови задатака

265. Коцка ивице а пресечена је са равни која пролази кроз три темена коцке. Израчунати површину пресека. 266. Израчунати дужину дијагонале и површину квадра чије су дужине ивица: а) а = 2 сш , 6 = 3 с т , с = 6 с т ; б) а = 10 с т , 6 = 22 с т , с = 16 с т . 267. Основне ивице квадра су 7 с т и 24 с т , а висина је 8 с т . Израчунатн површину дијагоналног пресека квадра. 268. Две ивице квадра су 5 с т и б с т , а његова површина 214 с т 2 . Израчунати дужину висине и запремину квадра. 269.

У базену облика квадра димензија 20 т , 15 т и 2,5 т 3 вода до - дубине. Колико хектолитара воде има у базену? 5

налази се

270. Базен облика квадра има димензије 4 т , 4 ,5 т и 2,5т . За које време ће се напунити базен ако у њега сваке секунде утиче 51 воде? 271. Један резервоар има облик квадра димензија 3,5т , 4 т и 5пгУ Колико литара воде он садржи када је пун? 272. Собу облика квадра, дужине 4 ,8 т , ширине 4 т и висине З т , треба окречити. Колика се површина кречи ако се у њој налазе прозор димензија 2 т х 1,5т и врата 2,2т х 1пг? 273. Израчунати дужину дијагонале правилне четворостране призме основне ивице а и висине Н ако је: а) а = 2 с т , I I = 1 с т ;

б) а = 6 с т , Н = 7 с т .

274. Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме ако је основна ивица 4 с т и висина призме 8 с т . 275. Површина правилне четворостране призме је 360 с т 2 , а основна ивица б с т . Израчунати висину и запремину те призме. 276. Површина основе правилне четворостране призме је 36 с т 2 , а дијагонала бочне стране је 10с т . Израчунати површину и запремину те призме. 277. Дијагонала правилне четворостране призме је 15 с т , а дијагонала основе је 9 с т . Колика је површина и запремина те призме? 278. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 5 \ / 2 с т , а површина омотача 120 с т 2 . Израчунати површину и запремину те призме.

'у 39 )

4. Призма

279. Правилна четворострана призма основне ивице а = 8 с т има запремину V = 960 с т 3 . Одредити висину и површину те призме. 280. Израчунати површину и дијагоналу правилне четворостране призме ако је њена запремина 144 0

к <

0

П 4

X

'

п

к

\

к

Сл. 6.1

X

X

/ ц

Сл. 6.2

Решење једначине к х + п = 0, тј. хо = —п / к (за к ф 0) назива се нула линеарне функције. Графици функција /х(х) = к\Х + п\ и /Д х ) = к^х+П 2 су паралелни ако и само ако је к\ = к%.

о II

'

\

Сл. 6.3

у

-------- у;------

Једначина х = с представља праву паралелну О у-оси, сл. 6.4. Сл. 6.4

56

Текстови задатака

6.1. 451.

Ф УНКЦ ИЈА у — к х + п

Које од датих функција су линеарне: а) У = з ® ; г)

6 ) ј/ = ч/ З ж ;

у = ж2 - 2ж + 1;

в)

у = ---------- ;

д) у = Зл/х + 5;

ђ) У = (х - I ) 2 - х 2 ;

е) у = - ? X

452. Д ата је функција: а) у = Зж + 1;

б) у = х-~ 2;

в) у = _ ж + з.

Наћи вредности функције за вредности независно променљиве: —1, 0, 1, 2, 3 и приказати ову функцију одговарајућом таблицом. 453. Функција у = /(ж ) је дата једнакошћу: а) 2х + Зу - 5 = 0;

б) х - 7у + 4 = 0;

в) Зж —6у + 9 = 0. 5 З а вредности независно променљиве ж: —2, 0, —, - израчунати вредности функције у и попунити одговарајућу таблицу. 454. Функција у = / (х) дата је формулом ј'(х) = 2х —3. Одредити: а)/(0);

б) /( 1 ) ;

в )/(-1 );

д)/(2х-1);

ђ) / ( / ( - 2 ) ) ;

е) / ( / ( * ) ) .

г ) / ( г + 1);

4 455. Ако је /( х ) = —х + 1, одредити: 5 а)/(0);

б) / ( —1);

в) / ( | ) ;

г) / ^

а - 1^ .

456. Наћи нуле следећих функција: а) у = х — 1; г)

б)

у = 2х — 7\

2х —у + 3 = 0; д) 15ж

в) у = —4ж - 4;

— 17у + 30 = 0.

457. Представити графички следеће линије: а) V = 1;

б)

у = -2 ;

в) у = 0;

г ) ж = 3;

д )ж = —1;

ђ ) ж = 0.

458. Нацртати графике функција: а) у = X, у = х — 1, у = х + 1; . 1 1 в) У — 2 Ж~ ^ ’ У ==2 а'^ " 1 ’

б) у = - х , у = - ж - 1 , у = -ж + 1 ; г) у = 2ж, у = - 2 ж + 1.

57 459. Дате су функдије у имплицитном облику: а) 2ж —2у + 4 = 0;

б) Зх —у — 4 = 0;

г) 14ж + 7у —21 = 0; д) ^

х

в) 5х - 2 ј/ - 3 = 0 ;

- ^ ј/ + 1 = 0.

Написати ове функције у експлицитном облику, а затим нацртати графике.

њ ихонр

460. Експлицитно задате функције изразити у имплицитном облику: а) у = 5х + 6;

461. Имплицитно задате функције изразити у експлицитном облику: а) 8х —2у + 4 = 0;

б) - 6 х + Зу = -1 2 ;

в) 0,6х + 8 = - 3 у - 2.

462. Само једној од формула 1) х + Зј/ —2 = 0;

2) Зх

3) х - Зу - 2 = 0;

4) 2х —у + 3 = 0

у + 2 — 0;

одговара формула у — Зх + 2. Којој? Заокружити број испред тачног одговора. 463. Д ата је функција х + 2у —4 = 0. а) Представити функцију у експлицитном облику. б) Одредити пресеке графика функције са координатним осама. в) Нацртати график функције. 464. Који од нацртаних графика представља график функције у = 2х + 1 (слика)? а) Т'

б) У

х

X

Сл. уз зад. 464

/

58

Текстови задатака

6. Линеарна функциј

465. Која једначина одговара нацртаном гра.фику (слика)?

У

чУ ©V V® У

•2

а)

б)

■1 у + 2 -1

59

X

х /2 \

-1

®/

\ \2

Сл. уз зад. 167

^

Сл. уз зад. 468

х у

в)

468. Која од једначина: а) у = х + 2;

б) у = х -

— х -ј- 2;

г) у = ~ \\

одговара ком графику на слици?

.

УЈ, 469. Д а ли постоји линеарна функција чији график садржи тачке А( 1 1) В ( —2 , —2) и С (—2 ,0 )? 1 470. Одредити а и 6 тако да график функције у = ах + 6 садржи тачке: 466.

а) 0 (0 ,0 ) и А ( - 1 ,2 );

а)

б) 0 (0 ,0 ) и Б (3 ,6 ).

471. За функцију у = (& - 3)ж + А; одредити А: тако да график функције садржи тачку Л ( 3 ,- 1 ) . Затим нацртати график функције за добијену вредност к. I и д!\9 472. Одредити координате тачке у којој права Зж - 6у = 12 сече О у - осу. 473. Одредити пресечне тачке координатних оса и праве:

в)

а) 2>х — 2у = 12;

б) 2х + 5г/ + 10 = 0.

474. Одредити линеарну функцију чији график садржи задате тачке А и В: а) Д ( 0 ,- 3 ) , 5 (1 ,0 );

б) /1(0,- 2), 5 (3 ,0 );

в) -4(0, —1), 5 ( —1, —2). 475. График једне од функција:

Сл. уз зад. 466

467 . Која од наведених једначина одговара графику на слици:

*) У = ж;

б) у = —х;

') У = х - 2;

д) у = - х - 2 ;

в) у = х + 2 ;^Г ђ) У = —х + 2?

а) у = 2х — 1]

б ) у = 2а: + 1;

г)у= -2х-1-

д )у = ^ ж + |,

в ) у = - 2 х + 1;

садржи тачке 4 ( 1 ,- 1 ) и 5 ( - 1 , 3 ) . Која је то функција?

ЈЈ

60

Текстови задатака

476. Која од наведених једначина одговара графику нацртаном на слици: а) у = - х \ б) у = - х + 1; в) у —

х

1;

г) У — Х + 1; д) у = х - 1 ?

477. Да ли тачке Д (3,0), В { —7,5)

/ 14 \ С ( —4, —— I припадају графику

функције ј/ = - х - 2 1 478. Одредити вредност параметра

тако да права р садржи тачку Р :

а) р: Зу = ах + 14, Р ( 2 ,4);

б) р: у = ах + 3, Р (5 ,2 );

в) Р- у = х + а, Р {3,4);

г) р: Зх — 2у + а = 0, Р { - 1,1).

479.

Одредити једначину праве која садржи пресек праве у = ----х 1 5 2 и у - осе, а паралелна Је правој у = —х — —. 480. Одредити вредност параметра а тако да график функције у = ах + 5 буде паралелан: а) ж-оси;

б) правој у = —х + 3.

481. Одредити вредност параметра к тако да график функције у = {к — 1)д — {к + 1) буде паралелан графику функције у = 2х + 5. За добијену вредност к конструисати график функције. 482. Одредити једначину праве која је паралелна правој р и садржи тачку А: а) Р : у = —х + 3, А{ 1,2);

б) р: у = - 2 х + 5, Л ( - 1 ,3 ) ;

в) Р- У = ^ х + 1, А{4 ,2). 483. Д ата је функција у = кх + 4. Одредити к тако да хо = 2 буде нула ове функције и за добијену вредност нацртати график функције. 484. Д а ли су следеће функције опадајуће или растуће: а ) у = - ж + 4;

б ) у = 2х + 2;

ђ) у

=-З

г) у = 5х = 7; е) х — Зу = 0;

д) Зж - Ау + 11 = 0; ђ) 2х + 2у + 3 = 0; ж) —х — 4у + 1 = 0 ?

х

-5;

6. Линеарна функција

61

485. Одредити све вредности параметра т за које ће дата функција бити растућа: а) Ј /= (2ш —4)а: —3;

б) у = (—7т + 5)х + ш ;

в) У = (—Згте - 11)а; + 2т + 3; д) (2гге - 7)х + Зу — 1 = 0.

г) (5 - гте)а: - 2у + 4 = 0;

486. З а које вредности параметра р је функција растућа, а за које опадајућа: . р 2 1_ п

а) у = о — ~ х + р ; °

б)

Р

у=

—

+ х - р + з?

р —I

487. Нацртати графике функција: а) у = 2х - 4 ;

б) у = - З х + - ; 5

в) У = ~ х + 1;

г) у — —2х — —, 3 и помоћу њих одредити вредности променљиве х за које је функција позитивна и вредности променљиве за које је функција негативна. 488. Испитати графички да ли следеће три једначине имају заједничко решење: а) х - 2у = 0, х + у = 3, За: + 2у = 8; б) х + у = 3, х — у = 1, 2х — у = 6.

Ч'

489. Одредити вредност параметра т тако да график функције садржи координатни почетак: а) у = Зх — т \

б) у = (т - 1)х + 2т - 1;

в) у = т х — - т + 1;

г) 2х - Зу + т + 1 = 0;

д) (т - 2)х -

(1т_х)

у+\ т+

1=°'

Нацртати затим графике ових функција за добијене вредности параметра гте. 490. Права у — к х + 3 садржи тачку М ( —2, 5). Д а ли та права садржи и тачке Д (1,2) и В ( 7,6)? 491. График функције у = —2х + 4 одређује са координатним осама у првом квадранту координатног система један троугао. Израчунати површину тог троугла.

62

Текстови задатака

492. График функдије у = —х + 2 образује са координатним осама троугао. Одредити површину тог троугла ако је јединична дуж једнака 1с т . 493. Наћи једначину праве која садржи тачку В (0,6) и са позитивним деловима координатних оса гради троугао површине 9.

6.2. Л И Н Е А Р Н А Ф УНКЦИЈА - С И С Т Е М А Т И ЗА Ц И ЈА 494. Тачка А( 1, 2) припада графику функције т х —2х = у —т . Одредити т и написати функцију у експлицитном облику. 495. Дата је функција у = (Зто —8)д + 4. Одредити т тако да је х = —2 нула функције. 496. Дате су функције: а) у — —2х + 1;

б) у = Зх + ^ ;

в) Зх + 2у + 6 = 0;

г) —4д + 5у — 1 = 0.

Без цртања графика одредити координате тачке у којој график сече у - осу. 497. У функцији у = (26—1 ) х + ( ћ —

одредити 6 е К тако да график

сече у -осу у тачки —8. 498. Одредити т ( т

Е

К ) тако да функције:

буду опадајуће. 499.

Дате су функције: а) у = Зх —6;

Одредити за које х је у < 0, у 500.

б) 2х —4у + 8 = 0. 0, односно у > 0.

Допуни реченицу:

Графици две линеарне функције су паралелни ако су им једнаки.

63

6. Линеарна функција

501.

Дате су функције: а) у = 2х + 5 ;

б) у = - х + 8; в) у = 2х - 3; ж + у — 3 = 0. Које функције имају паралелне графике? 502.

Дате је скуп функција у — (к - 2)* — (к — 1),

/с е К .

Одредити А: тако да график одговарајуће функције буде паралелан графику функције: а) у = 2х - 6; 503.

б) у = - З х + 8;

в) 5ж - 5у + 10 = 0.

Одредити површину троугла којег гради график функције

са координатним осама. 504. Одредити површину троугла којег образују гг-оса и графици функција:

505. Одредити површину троугла којег образују у -оса и графици функција у = —2х — 1 ж у + Зх — 2. 506. Дата је линеарна функција у — (4т - 6)х - (3ш —2). Одредити т тако да: а) нула функције буде хо = 2; б) график дате функције буде паралелан графику функције у = 10ж + 1; в) тачка М { 3,2) припада графику дате функције. 507. а) Како гласе једначине координатних оса? б) Одредити а тако да права 3х + ау = 12 гради са осама троугао површине 6. 508. Линеарна функција у = Ј{х) дата је са: /(1 ) = —2, /(0 ) = —1. Изразити ову функцију формулом /(ж ) = кх + п. 509. Одредити линеарну функцију у = кх + п тако да тачке А {2, - 1 ) и В { 3,1) припадају њеном графику. 510. Одредити координате пресечне тачке праве у = х — 1 и симетрале другог и четвртог квадранта.

64

Текстови задатака

Сл. уз зад. 511

511. Изразити формулом ј ( х ) = кх + п функције задате графицима са слике. 512. Д ата је права 5х + 2у = 9. Одредити непознату координату тачке ако та тачка припада датој правој: а) А(1, уо) ;

б) В ( х о,3);

в) С ( 1 / 5 , у 0).

513. Одредити вредност реалног параметра 6 тако да права х + Ву = 1 садржи пресечну тачку правих 2х — у = —6 и х + у = 0. 514. Одредити вредност параметра т тако да тачка Л (1,3) припада графику функције у = (т — 1)х — 4та + 1 и за тако добијену вредност та конструисати график функције. 515. У= /

Д ата је функција Ј( х) = 2х + 1. . У= /

Нацртати

графике функција

, У = /(2 ж ), 2/= / ( / ( ж ) ) .

516. Д ата је функција у =

+ ^ ј х + 1 —2а.

а) Одредити вредност параметра а тако да тачка А ( —4,6) припада графику функције. б) Израчунати површину троугла који график гради са координатним осама за добијену вредност а. 517. Д ата је функција ј ( х ) = Зх — 1. Одредити х ако је:

518.

а ) / ( х ) = 2;

б ) / ( х ) = 3;

г ) ! ( х ) = /(2 х + 1);

д ) / ( / ( х ) ) = 5;

в ) / ( х ) = 0;

ђ)/(х)=х. 5 Д ата је функција у = (т — 1)х — то + - , та 6 К . Одредити

вредност параметра та тако да график функције сече О у -осу у тачки чија је ордината —2. З а добијену вредност параметра нацртати график функције.

6. Линеарна функциј,

519.

65

Израчунати / (ж), а затим нацртати график функције у = / ( х ) ако а) / ( х - 1) = 2х - 3; б) / ( 2 х - 1 ) = х ;

520.

в)

К \ х + 2) = х + 1 .

Нацртати графике функција: а) У = И ; г) У = 3 - \ х\ ;

б) у = \х\ + 1; д) у = х - \ х\ ;

е) У =

ж)

6.3.

в) у = \ х - 1|; ђ) У = х + \х\;

у =х +

ДОДА ТАК У З ГЛАВУ VI

521. Израчунати површину петоугла ограниченог правим х — у + 1 = 0, ж + у - 8 = 0 и ж - 2 у - 2 = 0 и координатним осама (у I квадранту). 522. Израчунати површину фигуре коју ограничавају праве у = х - 4 и У 2х + 2 = 0 са координатним осама (у IV квадранту). 523. Израчунати површину четвороугла ограниченог графицима функциЈа У = - 2 ж+ 2

и

у = - - ж + 3 и координатним осама (у првом квадранту).

524. Израчунати површину троугла одређеног графицима функција у = х + 1 и у = —х + 2 и осом О х . 525. Одредити једначине двеју правих које садрже тачку Т ( 3, 4) ако једна од њих садржи координатни почетак и са ж-осом граде троугао површине 14. 526. Наћи све тачке у равни х О у за које важи: а) У + \у\ = х + \х\; б) у - |у| = х - \х\; г) \х\ + 3 = \у + 3 |; д) \у\ — 2 = \х - 2\ .

в) у - \у\ = х + |ж |;

527. Наћи скуп тачака у координатном систему х О у за чије координате важи: а) \х + у\ = 1 ; в) д)

х + \х\ + у + |у| = 16; |®-2/| 4 ,5 с т .

Заокружи слово испред тачног одговора. 712. Дрвени ваљак дужине 3,5 + 720 = х

Нека је Г време које је потребно аутобусу 3 . 1 < + — , т ј . 1 = 1 - ћ. Дакле, аутобус стиже 13 ћ 52,5 т т .

36 = '

163. Из

164. Нека је х број седишта у сваком

Тада је 18(ж + 5) = 21ж — 6 , одакле је х = 32.

кренуло 18 •(32 + 5) = 666 ученика.

170. 600 т .

се добија х = 28.

X

тзтзт

1/12

5 + I = 2 х налазимо х =

169. У 2 ћ следећег дана.

налазимо х = 18 кт.

172. 54.

3. ЈТинеарне једначине и неједначине

115

174. Тражени двоцифрени број се може записати у облику 10д + 4. Дакле, важи (10ж + 4) - 9 = 10 ■4_+ х, одакле се добија х = 5. Тражени број је 54.' 175. Означимо тај број са х4 = 10ж + 4 (при чему је х четвороцифрени број). Тада је 4х = 2-ж4+16, тј. 40000+ж = 2-(10ж+4)+16, одаклеје х = 2104. Полазни број је 21044.

176. Нека је х дужина воза. Тада је — = + х ^ одакле ј е 7 25 х = 147 т . Брзина воза је 75,6 к т /ћ . 177. Означимо са х број година оца. Тада је х = 3(д —30) + 3(ж —25), одакле је х = 33. Отац, дакле, има 33 године, син 3, а ћерка 8. 178. Из (х + 150)-4 = 150-12 следи х = 300§ воде. 179. Ако Је првобитна количина алкохола означена са х, тада је 0,8ж = 0,6(ж + 12), па је х = 36.

180. Из 60х + 90(10 —х) = 80 • 10 налазимо д = — 1и10 —а; = — 1 3 3 181. 9 с т и 4 с т . 182. Из 52 + (с —I)2 = с2 налазимо с = 13 ст. 183. Из а ■8 (а + 4) ■6 2 “ ----- ^----- налазимо а = 12с т , па је Р = 48с т 2. 184. Из 42 + ( г - 2 ) 2 =

г2 налазимо г = 5 с т . 185. Из

_ (х + 2)(х 2

2

1) +6 налазимо х = 5 ст,

па су дијагонале дужине 5 с т и 8 с т . 186. Из а3 = (а - 2)о(а + 2) + 20 налазимо а = 5 с т . 187. Из 72 + ћ2 = (ћ + I)2 налазимо ћ = 24 с т 188.

1,5х + 2,1(32 х) — 1,65-32, х —24. Дакле, треба узети 24к^ прве врсте и 30 8 к§ друге врсте робе. 189. — 1. 190. Нека је х сниже^ве, а а број посетилаца 3 4 пре снижења. Из а • 1,5 = - а • (1,5 —х) • - налазимо х = 0,25 динара.

191. Из

1 1 1 1 10 + 12 + х ~ 4 добиЈа се х = 15 Дана. 192. 8 и 12 дана. 193. 48 и 20. 194. Ако је до сусрета прошло 1 часова, аутобуси су за то време укупно прешли 120 к т . Из једначине 401 + 501 = 120 добија се 1 = —. Према томе, плави аутобус 160

.

је прешао — к т , а то је тражена удаљеност. налази.мо х — 20к:п.

г

2

т —3

195. Из - - - = 1 + -

-

196. 182 к т . 3.3

197. Тачне су неједнакости: б), в) и г). 198. Тачне су неједнакости: а), в). 199. а) -3 , - 2 и -1 ; б) ниједан; в) - 3 и -2 ; г) 3 и 4; д) -2 , -1 , 0, 1 и 2; ђ) 4. 200. а) х > -1 ; б) х % 0. 201. а) { - 3 ,- 2 ,- 1 } ; б) {-3, -2 ,-1 } . 202. а) х < 1; б) х < 2; в) х « -3 ; е ) Ж>12; ж ) д < т 5 .

203. а) х ^

в) (-о о , - ј ; г) (-оо,4).

г) х > б) х < у .

5

д) х > -2;

ђ) х <

8

204. а) 0; б) (-оо,

205. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2; в) 1, 2, 3, 4, 5, 6. 206. 13.

116

Решења задатака

207.

208.

х ^

а) п € { 1 , 2, 3, 4 } ;

г) п е { 1 , 2 , 3 , . . . } .

1 < х < 2; 3

д) -

209.

а) х < 2;

ђ) — 5 < х < —

2 3

6) п е

{ 1, 2 , 3 } ;

б) х > — 1;

в) х >

210.

е) х > 4.

в) п 6 { 1 , 2 , 3 , . . . } ; 7

а) ж < 2;

г) х > 3; б) ж > 6 ;

в) х > 3. 211. а) ж > 3; б) х > 6 ; в) х > 2 . 212. а) ж > — 4; б) х > 2 ; в) ж > 0; г) ж > 1,2; д) х ^ 3. 213. а) 'ж ^ 3; б) х > 1; в) нема решења; 1 4 г) х ^ 11. 214. а) х > — 2; б) ж > — — ; в) х < — - ; г) ж < — 2. 215. ж = — 1.

1

216.

х

=

0

2.

«/^■2,5 Сл. уз зад. 217

217.

а) В. слику. Решења су сви реални бројеви х за које важи — 2,5 < х < — 2;

б) нема решења;

в) 5 ^ х ^ 7;

г) — -

^ х ^ 0;

д) х ^ 50.

218. а) Ре-

шења прве неједначине су сви реални бројеви интервала [5 ,+оо), а друге сви реални бројеви интервала ( — оо, 17/3). Решења система су сви х за које важи х 6 ( — оо, 17/3) П [5, +оо) = [5,17/3). б) х 6Е [1/2,+оо) П ( — оо, 4) = [1/2,4); в) х е ( — оо, — 2/55)П[2/55, +оо) = 0 , тј. систем нема решења; г) х 6 ( — оо, 9/4)П [— 2, +оо) = [-2 ,9 / 4 ); д) х € ( - о о , -1 / 3 5 ) П [-6 7 / 4 ,+оо) = [— 67/4, — 1/35); ђ ) х 6 [7/39,+оо) П (-о о ,2 [ = [7/39,2]. 219. а) х = 1; б) х 6 { — 2, — 1,0}; в) ж е { 2 , 3,4}; г) х 1.

220. а) — 2 ^ х < 2; б) ж < — 3 или х > 3. 221. а) Дата неједначина еквивалентна је неједначини —1 ^ ж — 2 1 , одакле се добија 1 ^ х ^ 3; б) — 1 < х ^ 0; в) 3 — х > 5 или 3 — х < — 5, тј. х е ( — оо, — 2) Џ ( 8 , +оо); г) х е ( — оо,— 3/5] 1Ј [1,+оо); д) х Е ( — оо, 1/6] 1Ј [3/2,+оо); ђ) х 6 (2.3). 222. а) За х ^ 1 имамо: 2д + х — 1 > 5, одакле је х > 2. За д < 1 добија се 2ж — х + 1 > 5, тј. ж > 4; међутим, ово нису решења јер не задовољавају услов х < 1. Дакле, решења полазне неједначине су сви реални бројеви х за које важи ж > 2. б) ж 6 ( — 4/3,0); в) х е [— 3,5]; г) ж € (5/3,3); д) ж = 2. 223. х е {4,6 , 8 , 10}. I) + { 6 , 9 , 12,15}. 224. 3 < 2а - 5 < 17; 4 < а < 11. 225. Позитиван за г/ <

226.

"7 ’

Једнак нули за у

7

и негативан за и > — У 7

123 динара.

3.4 227. 8° 0 .

б) 1° В; 2° А; 3° 0 ; 4° { 3} ; 5° (1/2,4); 6 ° (1/2,4]; 7° [3,4); 228. Тачне су реченице: а), в), д) и е). 229. Тачна је реченица б).

3. Линеарне једначине и неједначине

117

230. а) х = 8; б) х = 6; в) х = л/2; г) х — 2. 2

б) а?! = —, 233.

— 2.

231. а) х \ = 0, х 2 = 2;

232. а), б) Решења су сви реални бројеви.

Дата једначина је еквивалентна редом једначинама:

х - 1994 х - 1995 , х - 1996 х - 1997 х - 1998 — 6------- 1 + — 5---------1 1 4------- 1 + ^ -------- 1 + — 2-------- 1 __ х - 6 х 5 х —4 х —3 х —2 “ 1994 ~ + 1995~ + 1996 _ + 1997 ” + 1998 ” х - 2000 х - 2000 х - 2000 х - 2000 х - 2000 6 + 5 + 4 + -----3---- + ^ -----_ _ х - 2000 х - 2000 х - 2000 ( х - 2000 х —2000 1994 4 1995 4 1996 1 1997 + 1998 {х - 2000) ("1 + 1 + 1 + 1 + 1 — 1---------1---------1---------— ’ \6 5 4 3 2 1994 1995 1996 1997 х — 2000 = 0, па је х = 2000. 234. 18. 235.

Посматрајмо таблицу

Сада Пре

ЗОРАН

Ј ован

X

35 —х

35 - х

х/2

X Како је протекао исти број година и Зорану и Јовану, то је х —(35—х) = 35—х ——, одакле се добија х = 20. Дакле, Зоран има 20, а Јован 15 година. 236.

Посматрајмо таблицу

Сада Пре СЛЕДЕЂЕ ГОДИНЕ

ИВАН

Марко

4х

2х

Зх

X

4х + 1

Зх + 1

Из 4х + 1 + 2х + 1 = 20 налазимо х = 3. Марко сада има 6 година. 237.

Посматрајмо таблицу

118

Решења задатака

НИНА

ИВАН

X

44 — х

Сада Пре

х —

( 44 — х V

X

------ )

2

V

Зх

Касније

2 х —2 \44 — х -------

2

V

)

2)

Како је у оба случаја протекао исти број година, то је Зх

44 — х —

= 2 х-2

44 — I - -

-

Решење је х = 24. Дакле, Нина има 24, а Иван 20 година. 238. а) Означик^са х број минутних поделака који пређе сатна казаљка до првог поклапања са минутном. За то време минутна казаљка пређе 45+х поделака и при том се креће 12 пута брже. Добијамо једначину 12гг = х + 45, одакле је 45 45 1 9 х — — , па. Је прво поклапање после 45 + — = 49— минута. б) Кроз 21 — '11 11 минута. 239. 6 минута. 720 Ако има х дечака, сваки треба да плати ------ динара. По услову задатка

240.

х

је (х - 3 )

720

40

720, одакле је х ■

54

•3, тј. х ( х — 3) = 54 = 9 ■6 , па је

( х је природни број!) х = 9. 241.

Нека је брзина аутобуса х к т / ћ . Из

300

300

х

х + 15

= 1 добијамо гг(ж+15)

=

4500 = 60 ■75, па је х = бО кт/ћ. 242. Означимо део пута који је бициклиста прешао брзином 1 4 к т / ћ са х + 18, а брзином 21 к т / ћ са х. Удаљеност градова А и В је 2 х + 18. Из 2 х + 18 = ( х + 18 х 16 ^ + — ) налазимо х = 27, па је растојање градова А и В једнако 2 2 7 + 18 = 72 кш. 243. х —

6+

Нека је х 3+

х —3

број ораха.

10 10

Први мајмун добија 3 Н------------ , а други 10

. Из

3+ 3+

10

6+

10

+6

10

налазимо х = 243. Сви мајмуни добијају по 27 ораха, па има девет мајмуна.

3. Линеарне једначине и неједначине

244.

119

Нека је х број часова за који би прва цев сама напунила резервоар. Другој

цеви би за то било потребно —х часова, а трећој —х часова. За један час све

2

'5

три цеви, пунећи истовремено резервоар, напуне осмину резервоара. Дакле,

Одавде је х — 20 и - х = 30, па је — I- =— = — + — = — 2 х 20 30 12 напуниће резервоар за 1 2 часова.

Дакле, прве две цеви

245.

Нека је Ката имала х , а Ната 300 —х јаја. Цена по којој је Ката продавала 45 тт 20 „ ЈаЈа Је ттдц------- 1 а Ната — . По услову задатка је 300 — х х - ГЈ 5 = (300 - х ) ■— , 300 — х х тј. 9 х 2 = 4(300 — х ) 2 . Одавде је Зж = 2(300 — х ) или Зж = -2 (3 0 0 — х). У првом случају је х = 120 (300 — х = 180), а у другом случају решење нема смисла. Дакле, Ката је донела 120, а Ната 180 јаја. 246. а) Упутство: разматрати случајеве када је: 1 ° х < — 2, 2° — 2 < х < 1 и 3° х ^ 1. Решење: х € (9/2, +оо); б) ( — оо, — 2) 1Ј (5, +оо). 247.

а) Добијамо \х — 1| + |ж— 3| ^ х + 2. Заа: < 1 имамо 1 — х + 3 — х Џ х + 2,

2

ТЈ- х С д- За 1 ^ х < 3 добија се х — 1 + 3 — х > х + 2 , тј. х < 0 , па у овом случају нема решења. За х ^ 3 имамо х - 1 + х - 3 > ж + 2, тј. ж ^ 6 . Дакле, решења једначине су сви реални бројеви за које важи х € ( — оо, 2/3] 1Ј [6 , +оо). б) - 2 ^ х < 5. 248.

а) Постоје две могућности: 1°2ж — 5 > 0 и ж — 1 > 0; 2° 2ж — 5 < 0 и 5 5 5 х — 1 < 0. У првом случају је х > - и х > 1, тј. ж > - , а у другом х < - и х < 1, тј. х < 1. Решења неједначине су елементи скупа ( — со, 1) Џ (5/2,+оо). б) х € ( — 2 , 3); в) х е ( — оо, — 1 / 2 ) Џ [3, +оо); г) х 6 ( — 2 , 1 ].

249.

2х — 5 а) Дата неједначина еквивалентна је неједначини---------------- 1 > 0, тј. х + 3

х —8 — -ј-д ^ 0.

Посматрајмо два случаја:

1° х ^ 8 , х > — 3;

2° х ^ 8 , х <

—3. Решења неједначине су елементи скупа ( — оо, — 3) Џ [8 , +оо). б) х е [— 1,4); в ) х 6 ( — оо, 2] Џ (5/2, +оо); г ) х 6 ( — оо, 1) (Ј (1,2) Џ (5, +оо); д) х е (1/2,1).

120 250.

Решеља задатака

а) Дата неједначина се за х

0 и х ф — 2 може написати у облику

Ф ~ ј) _ 2 х ( х + 2) па је она за х

5

ф 0 еквивалентна неједначини

5 ( х - 1 ) - 2 ( х + 2) 5(х + 2)

<

0 , тј.

3(ж - 3)

^ ^ 0. Услов х — 3 'Џ 0 и х + 2, •< 0 не важи ни за једно х, па треба 5(ж + 2) да буде х — 3 ^ 0 и ж + 2 > 0 . Решења, дакле, припадају скупу ( — 2,0) 1Ј (0,3] (због услова 1 ^ 0 ). б) ~

' 'ј:ј < 8 , х 6 ( — оо, 3) 1Ј (3,4) 1Ј (5, +оо).

251. а) х ( х — 1) 5= 0, х 6 ( — оо, 0] Л [1, +оо); б) х е [— 1,0) Л [1, +оо); в) х е [ - 1 , 0) 1Ј [1, +оо); г) х 6 ( — оо, 0) 1Ј (1, +оо); д) х < — 1. 252. а) За х /=■ 13 неједначина је еквивалентна неједначини 113 — х\ < 6 , тј. —6 < х ~ 13 < 6 , односно 7 < х < 19. Дакле, решења су сви бројеви скупа (7,13) Џ (13,19); б) х 6 (-о о , 3) Џ (3, 5) Џ (9, +оо).

253. а) х е (—оо, —9/7)Џ(1, +оо); б) х 6 (—2,4/3); в) х е (—оо, 4/3)Џ(8, +оо); г) х 6 (-2 , 0) Џ (1,4); д) х 6 (3,4]. 254. а) Најмања вредност израза једнака је 4, за х = 2. Наиме, због (х—2)2 ^ 0, важи (х —2)2 + 4 Ј? 4; б) х 2 —2ж + 4 = (х —I)2 + 3, па је најмања вредност израза 1 3 3 за х = 1; в) —5 за х = —; г) 0,001 за х = - . 255.

а) Највећа вредност израза једнака је 0, за х = —1; б) 3, за х = - ;

в) како је —х 2 + 6х —10 = ~ (х —З)2 —1, највећа вредност израза је —1, за х = 3; г)

4

256. г)

за х = 4. а) у + —> 2 +=+ о а ^

ао

"Џ 2 о? + 62 > 2аВ (а —6)2 ^ 0;

+=+ а + 6 ^ 2\/ак (у/а — л/б)2 ^ 0,

257. а) х 2 + у 2 + г 2 ^ х у + у г + г х +=> 2ж2 + 2 у 2 + 2г 2 ЈЈ: 2 х у + 2 у г + 2 г х 0 ( х —у ) 2 + ( у ~ г )2 + (г — х ) 2 > 0 . 258. а) Дата неједнакост еквивалентна је са неједнакошћу (а + I ) 2 + 1 > 0, која очигледно важи за све реалне бројеве а ; б) (а — 2 ) 2 + 2 > 0 ; в) (а — З) 2 + 2 > 0 ;

г) ( а + ^ ) +

ј

>

д) -(« - I)2 - 1 < 0.

4. Призма

259.

121

У правоуглом троуглу је г =

К =

његова хипотенуза. Зато је Н + т = —

(

где су о и 6 катете, а с

, па се а) своди на тачну неједнакост

—

а б) се своди на — > — ^----, тј. К\/2 Јј К+ г , односно с\/2 ^ а + 6, г V2 —1 тј. на тачну неједнакост 2(а2 + 62) ^ а2 + 2аб + 62.

^

4.

П РИ ЗМ А 4.1

260. Рд = 1 6 \/2 ст2, Р = 9 6 с т 2, V" = 6 4 с т 3. 261. а) а = 2 с т , Р = 24с т 2, V = 8 с т 3; б) а = З с т , Р = 5 4 с т 2, И = 27с т 3. 262. а = 4 с т , Р = 9 6 с т 2, Р = 6 4 с т 3. 263. а) Дијагонални пресек коцке је правоугаоник (слика). Површина тог правоугаоника је а ■а\Ј2 = а2\ /2 = 64\/2, одакле је а = 8 ст. Површина коцке је Р = 6а2 = 384 с т 2, а запремина V = а3 = 512 с т 3. б) Р = 5 4 с т 2, V = 27с т 3. 264. а2 : с,2л/2 = 1 : \ Д .

Сл. уз зад. 263

265.

Раван сече три стране коцке по њиховим дијагоналама (слика). Пресек

је једнакостранични троугао странице х. Како је х = а\Ј2, то је Р =

2../ 3. а2\ 2

266. а) & = \/а2 + 62 + с2 = 7 с т , Р = 2(аб + 6с + са) = 72 с т 2;

б)