8 Razred - Klett - Zbirka

Бранислав Поповић • Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика 8 Збирка задатака са решењима

Математика 8 Збирка задатака са решењима прво издање Аутори: проф. др Бранислав Поповић, Сања Милојевић, мр Ненад Вуловић Рецензенти: : проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу Милица Вајукић, професор математике, ОШ „Дринка Павловић“ у Београду Графичко обликовање: „Total idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Лектура: Јована Ђокић

Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 [email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: проф. др Бранислав Поповић Вођа пројекта: Александар Рајковић Штампа: Тираж:

© Klett, 2010. ISBN 978- 86-7762-226-8 Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

23

ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака део је уџбеничког комплета за осми разреда издавачке куће KLETT. Састоји се из 11 целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. Током 2009. године Национални просветни савет је усвојио стандарде знања за крај обавезног образовања. Ослањајући се на тај документ сви задаци у збирци су разврстани у четири групе: · А – утврди, у којој се налазе наједноставнији задаци у којима се од ученика захтева да покажу да су разумели појам или да непосредно примене основне формуле. Ови задаци би требало да обезбеде Основни ниво знања из математике, а који је дефинисан Стандардима. · Б – вежбај, у којој се налазе уобичајени задаци у којима се од ученика захтева да покажу да су у стању да одаберу метод за решавање задатка или правећи један до два међукорака примене основне формуле и реше задатак. Ови задаци би требало да обезбеде Средњи ниво знања из математике дефинисан Стандардима. · В – примени, у којој се налазе нешто сложенији (још увек уобичајени) задаци у којима се од ученика захтева да открију пут за решавање задатка комбинујући више формула или правећи више међукорака док не дођу до решења задатка. Ови задаци би требало да обезбеде Напредни ниво знања из математике дефинисан Стандардима. · Г – прошири, у којој се налазе сложени задаци које углавном препоручујемо за додатни рад у школи. Напомињемо да, као што сваки ниво дефинисан Стандардима не садржи све области које се налазе у програму осмог разреда, тако ни свака од 11 целина неће садржати задатке из сваке од четири поменуте групе. Тестови, који се налазе у оквиру одговарајућих целина, дати су са намером да се ученицима понуди могућност да донекле сами провере у којој мери су савладали поједину целину. Уз захвалност рецензентима на сугестијама и саветима који су збирку учинили бољом, свим решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду. 

Аутори

32

САДРЖАЈ Сличност троуглова������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 7 12 Обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 12 Талесова теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 13 Тест��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������11 Тачка, права и раван��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������15 Тачка и права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 22 Тачка и раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 22 Права и раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 23 24 Однос међу равнима. Диедар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 24 Ортогонална пројекција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Рогаљ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 25 Тест��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������21 Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом�������������������������������������������������������������27 Линеарна једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 43 43 Решавање линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . 28 Примена линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . 32 45 47 Линеарнa неједначинa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Решавање линеарних неједначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . 39 48 Тест �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������42 Призма�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������51 Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 62 Површина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 62 Запремина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 62 Коцка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 62 Квадар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 63 Правилна четворострана призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 63 Четворострана призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 64 Правилна тространа призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 64 Тространа призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 64 65 Правилна шестострана призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Тест �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������61 Пирамида�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������67 Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 79 Површина пирамиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 79 Запремина пирамиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 80 Четворострана пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 80 Тространа пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 83 Шестострана пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 85 Тест��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������78

45

Линеарна функција ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 89 100 Линеарна функција у = kх + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 100 График линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Нула функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 101 Цртање и читање графика функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 102 Неке особине графика функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 104 104 Пресек две праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Тест������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 99 Графичко представљање статистичких података����������������������������������������������������������������������������107 113 Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему . 107 113 Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма . . . . 108 Средња вредност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 115 Медијана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 115 Поређење података са средњом вредношћу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 115 Системи линеарних једначина с две непознате �������������������������������������������������������������������������������117 124 Линеарна једначина с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Системи од две линеарне једначине с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . 117 124 124 Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате . . . 118 Решавање система методом замене . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 124 Решавање система методом супротних коефицијената . . . . . . . . . . . . . . 119 125 Примена система линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 125 Тест�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������123 Ваљак�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������127 Ваљак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 132 Површина ваљка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 132 Запремина ваљка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 132 Тест�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������131 Купа ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������135 142 Купа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Површина купе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 142 Запремина купе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 142 Тест�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������141 Лопта �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������147 Лопта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 151 Површина лопте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 151 Запремина лопте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 151 Тест�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������150

45

КАКО ЋЕШ КОРИСТИТИ ЗБИРКУ ЗАДАТАКА (упутство за ученике) Већину задатака у осмом разреду радићеш у свесци.

Слике често олакшавају решавање задатака. Размисли о свакој слици, а тамо где нису нацртане покушај самостално да их скицираш.

Сви задаци у збирци подељени су у четири групе:

У групи А – утврди су задаци којима ћеш обновити основна знања која си научио/ла у свакој лекцији.

У групи Б – вежбај су задаци у којима ћеш најчешће имати неке једноставније примене наученог градива.

У групи В – примени су задаци код којих је потребно да знања која си стекао/ла примениш и повежеш са осталим градивом.

У групи Г – прошири су задаци који су намењени онима који могу, хоће и желе више и служе за додатни рад.

Тестови су дати да провериш колико си савладао/ла одговарајућу област.

Иза сваке области су дата решења или резултати.

6

СЛИЧНОСТ троуглова ОБНАВЉАЊЕ А – утврди

В – примени

1.

9. Дате су дужи АB = 3√3cm, CD = 6√3cm и EF = 12cm. Одреди парове несамерљивих дужи.

Одреди размеру дужи АВ и CD ако је: а) AB = 5cm, CD = 3cm; б) AB = 16cm, CD = 24cm; в) AB = 55cm, CD = 25cm.

2. Размера дужи АВ и CD је 3 . Одреди дуж 4 CD ако је: а) АВ = 6cm; б) АВ = 9cm; в) АВ = 15m. 3. Ако је AB : CD = EF : GH и:  B = 6cm, CD = 8cm и EF = 15cm, а) А одреди дужину дужи GH; б) CD = 24cm, EF = 21сm и GH = 35cm, одреди дужину дужи AB.

Б – вежбај 4. Запиши размере једнаке датим, али тако да чланови размере буду природни бројеви: а) 5 : 1 ; б) 2 : 4; в) 1 1 : 5 . 4 3 4 6 5. Катете правоуглог троугла су у размери 3 : 4. Одреди обим овог троугла ако је мања катета дужине 12cm. 6. Одреди размеру дужи АВ и EF ако је: а) AB : CD = 2 : 5, CD : EF = 4 : 1; б) CD : AB = 4 : 3, CD : EF = 6 : 5. 7. Растојање између два града је 850km. Колико је растојање између тих градова на карти чија је размера 1 : 2 000 000? 8. Конструиши квадрат ако је дата дуж чија је дужина једнака обиму квадрата.

10. Нацртај бројевну праву чија је јединична дуж 3cm. Конструиши дуж чија је дужина:

а) √2;

б)

3 3

;

в) 1 + √5. 4

11. Конструиши једнакостранични троугао ако је дата дуж која је једнака полупречнику уписане кружнице. 12. Конструиши једнакокраки троугао ако је висина која одговара основици 5cm, а висина и основица су у размери 2 : 3. 13. Конструиши правоугаоник чији је обим једнак дужини дате дужи (на пример око 17cm) и чије су странице у размери 2 : 5.

ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА Б – вежбај 1. Израчунај непознате дужи x са слике ако је: а) AB = 2cm, AD = 6cm, AE = 10cm, AC = x; б) AE = 8cm, AC = 6cm, AB = 6cm, AD = x, в) AD = 12cm, DB = 4cm, AE = 18cm, EC = x; г) AD = 8cm, AE = 12cm, AB = 5cm, BC = x; д) AB = 7cm, BC = 3,5cm, AD = 2cm, DE = x; ђ) AB = 9cm, EC = 4cm, BC = 3cm, DB = x.

7

2. Растојањa између сваке две узастопне тачке на правој су једнака. Одреди следеће размере: ; б) OC = ; в) OC = ; а) OA = OD OB BE ; д) EJ = ; ђ) OG = ; г) BG = DI CH OH . е) OI = OG

7. Странице троугла АВС су АВ = 8cm, AC = 10cm, BC = 12cm. У овом троуглу је повучена права која је паралелна са страницом ВС и која сече странице АВ и АС у тачкама D и E. Ако тачка D дели страницу АВ у односу 2 : 3, израчунај обим троугла АDE. 8. Нацртај дуж АВ = 7cm и конструктивно је подели у размери: а) 2 : 3; б) 4 : 5; в) 1 : 3; г) 1 : 2. 9. Нацртај дуж АВ = 10cm и конструктивно је подели у размери: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 4; в) 1 : 3 : 4.

3. Нека је AB || CD || EF. Посматрај слику и: a) и  зрачунаj дужине дужи AC и OF ако је OE = 6cm, OB = 2cm, BD = 3cm и OC = 8cm; б) одреди размере AB , AB И EF . CD EF CD

10. Нацртај дуж a. Конструиши дуж b ако је: а) a : b = 3 : 5; б) a : b = 4 : 3; в) b : a = 6 : 7. 11. Нацртај дуж АВ = 5cm. Конструиши тачку С која је три пута ближа тачки В него тачки А. 12. Нацртај произвољну дуж x. Одреди дужи y и z такве да је y = 3 x и z = 7 x. 5 3

4. Нацртај дуж PQ = 5cm и применом Талесове теореме подели је на: а) 3; б) 4; в) 6; г) 7 једнаких делова. 5. У трапезу ABCD краци AD и BC су продужени тако да се секу у тачки K. Одреди дужину основице CD трапеза ако је AB = 12cm, AD = 2cm и DK = 4cm. 6. Конструиши једнакостранични троугао чији је обим једнак дужини дате дужи.

89

13. Нацртај три дужи a, b и c. Конструиши дуж x такву да је: а) x : a = b : c; б) a : x = b : c; в) a : b = x : c; г) a : b = c : x; д) a ∙ x = b ∙ c; ђ) x = c2 : a; е) x = bc ; ж) x = a ∙ c; з) x = b . a c 14. Конструиши правилан шестоугао чији је обим 7cm. 15. Конструиши правоугаоник чији је обим 15cm ако се његове странице односе као 4 : 3.

Г – прoшири 16. Конструиши једнакокраки троугао ако се основица и висина односе као 3 : 5 и ако је основица једнака датој дужи дужине 4cm. 17. Нацртај произвољан правоугаоник ABCD. Подели страницу АВ на два дела који се односе као АВ : АD. 18. Збир дијагонала ромба је 13cm. Конструиши ромб ако се дијагонале односе као 7 : 2.

3. Да ли је правоугли троугао чији је један оштар угао 22° сличан правоуглом троуглу чији је један оштар угао 68°? 4. Средња линија А1В1 троугла АВС спаја средишта страница ВС и АС. Докажи да су троуглови АВС и СА1В1 слични. 5. Да ли су слични троуглови (дужине страница су изражене у центиметрима): а) OAB и ODC;

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА Б – вежбај 1. Углови троугла АВС су α, β и γ, а углови троугла А’B’C’ су α1, β1 и γ1. Испитај да ли су троуглови АВС и А’B’C’ слични ако је: а) α = 47°, β = 33°, α1 = 33°, β1 = 47°; б) α = 63°, γ = 77°, α1 = 63°, β1 = 50°.



б) OBA и ODC;



в) ABC и PQR;



г) ABC и FED.

2. Који од датих троуглова на слици су слични? Запиши парове пропорционалних страница.

98

В – примени 6. Два јарбола за заставе на светском првенству у фудбалу су висока 40m и 30m. Ако је у 13 часова дужина сенке вишег јарбола 24m, израчунај дужину сенке краћег јарбола. 7. Троуглови АВС и А1В1С1 су слични a = b = c . Странице троугла АВС a1 b1 c1 су 8cm, 10cm и 16cm. Одреди странице троугла А1В1С1 ако је: а) коефицијент сличности троуглова 2; б) коефицијент сличности троуглова 0,2; в) обим троугла А1В1С1 85cm; г) наjдужа страница троугла А1В1С1 20cm; д) најкраћа страница троугла А1В1С1 6cm. 8. Основица једнакокраког троугла мања је од крака за 4cm. Обим тог троугла је 32cm. Израчунај странице њему сличног троугла чији је обим 40cm. 9. Да ли су слични троуглови чије су странице: а) 4cm, 8cm, 10cm и 6cm, 12cm, 15cm; б) 8cm, 12cm, 18cm и 12cm, 18cm, 27cm; в) 5cm, 6cm, 7cm и 8cm, 9cm, 10cm? 10. Да ли су слични троуглови са слике?

11. Дужи АВ и CD секу се у тачки О тако да је АО : ОВ = СО : OD = 2 : 1. Који од ових троуглова су слични: а) ОАС и OBD; б) OAD и OCB; в) ABD и CDB?

1110

12. Краци трапеза AD = 4cm и BC = 4,8cm секу се у тачки Е, тако да је AE = 10cm. Одреди дужину странице BE. 13. У једном правоуглом троуглу катете су 21cm и 28cm. Катете другог правоуглог троугла су 15cm и 20cm. Да ли су ови троуглови слични? 14. Хипотенуза правоуглог троугла је 13cm, а једна катета 12cm. Катете другог правоуглог троугла су 2,5cm и 6cm. Да ли су ови троуглови слични?

Г – прoшири 15. Висина хипотенузе дели хипотенузу на одсечке дужине 9cm и 16cm. Израчунај обим и површину тог троугла. 16. Дата је дуж дужине 1cm. Конструиши дуж чија је дужина: а) √2cm; б) √3cm; в) √6cm; г) 2√2cm; д) 2√3cm; ђ) √15cm.

Тест − Сличност tроуглова 1. Размера дужи АВ и CD је AB : CD = 2 : 5. Ако је CD = 20cm, онда је: а) АВ = 17cm; б) АВ = 12cm; в) АВ = 8cm; г) АВ = 4cm.

5. Ако је AB : CD = 3 : 5 и CD : EF = 4 : 9 онда је размера дужи АВ : EF једнака: а) AB : EF = 4 : 15; б) AB : EF = 15 : 4; в) AB : EF = 14 : 5; г) AB : EF = 5 : 14.

2. Ако је AB : CD = EF : GH, АB = 21cm, CD = 7cm и EF = 15cm, онда је: а) GH = 3cm; б) GH = 4cm; в) GH = 5cm; г) GH = 6cm.

6. Крак једнакокраког троугла два пута је дужи од основице. Обим тог троугла је 40cm. Дужина основице њему сличног троугла чији је обим 60cm је: а) 8cm; б) 10cm; в) 12cm; г) 14cm.



а) EC = 12cm; в) EC = 18cm;

б) EC = 15cm; г) EC = 20cm.

4. Правоугли троугао чији је један угао 22° сличан је другом правоуглом троуглу са углом од: а) 84°; б) 78°; в) 74°; г) 68°.

7. Три троугла имају странице чије су дужине: (први) 6cm, 4cm и 8cm, (други) 2cm, 4cm и 6cm и (трећи) 8cm, 16cm и 12cm. Слични су: а) први и други; б) први и трећи; в) други и трећи; г) сва три.

8. Хипотенуза правоуглог троугла је 26cm, а једна катета 24cm. Дужа катета њему сличног троугла је 12cm, а краћа катета је: а) 6cm; б) 5cm; в) 4cm; г) 3cm.

Решења: 1. в); 2. в); 3. б); 4. г); 5. а); 6. в); 7. б); 8. б).

3. Ако је познато да је DB паралелно са EC (види слику) и AD =16cm, DB = 10cm и AE = 24cm, онда је:

1011

СЛИЧНОСТ tроуглова – решења ОБНАВЉАЊЕ док је друга једнака са пет добијених једнаких делова. Дакле, конструкција се своди на конструкцију правоугаоника чије странице су нам познате.

1.

а) AB : CD = 5 : 3; б) AB : CD = 2 : 3; в) AB : CD = 11 : 5.

2.

а) CD = 8cm; б) CD = 12cm; в) CD = 20m.

3.

а) GH = 20cm;

4.

а) 20 : 1;

5.

O = 48cm.

6.

а) AB : EF = 8 : 5;

7.

42,5cm.

2.

8.

Поделом дате дужи на 4 једнака дела, добијамо дуж која је једнака страници квадрата, па се конструкција своди на конструкцију квадрата чија страница нам је позната.



9.

ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА

б) AB = 14,4cm.

б) 1 : 6;

в) 3 : 2.

б) AB : EF = 9 : 10.

Несамерљиве дужи су АB и EF, као и CD и EF.

10. Конструкције изводимо конструишући правоугли троугао чије су: а) катете једнаке јединичној дужи. Дужина хипотенузе једнака је √2; б) катете једнаке √2 и јединичној дужи, а након тога хипотенузу тог троугла поделимо на три једнака дела; в) к атете једнаке са једном и две јединичне дужи. Хипотенуза тог троугла једнака је √5. Да бисмо конструисали тражену дуж, потребно је још јединичну дуж поделити на 4 једнака дела и на њу додати добијену хипотенузу. 11. Полупречник уписане кружнице (r) и висина једнакостраничног троугла (h) се односе као 1 : 3, па је h = 3r. Како висина дели једнакостраничан троугао на два подударна правоугла троугла са угловима од 30°, 60° и 90°, то страницу троугла добијамо као хипотенузу правоуглог троугла код којег нам је познат крак и два налегла угла (30° и 90°). 12. На основу датог односа конструишемо дуж чија је дужина једнака основици, а затим конструишемо једнакокраки троугао код којег су нам познате основица и висина. 13. Како се обим састоји од две странице a и две странице b, то дуж (од око 17cm) треба поделити на 14 једнаких делова. Једна страница правоугаоника једнака је са два добијена дела,

1.

3. 4.

а) AC = 3 1 cm; 3 в) EC = 6cm; г) DE = 1cm; а) OA = OD BG = г) DI е) OI = OG

б) AD = 8cm; в) BC = 2,5cm; д) DB = 3cm.

1 ; б) OC = 4 ; в) OC = 2 ; 7 OB 3 BE 3 3 ; д) EJ = 9 ; ђ) OG = 3 ; 7 CH 4 OH 4 7. 3

a) AC = 4,8cm, OF = 9,6cm; б) AB = 2 , AB = 1 , EF = 6 . CD 5 EF 3 CD 5 Покажимо поступак за део задатка под в). Остале поделе радимо слично. 1. корак: из тачке P повуцимо произвољну полуправу. 2. корак: нанесимо на њу, почевши од темена P, шест једнаких дужи PC, CD, DE, EF, FG, GH. 3. корак: повуцимо праву QH и кроз тачке C, D, E, F и G још 5 паралелних правих са правом QH. 4. корак: тачке пресека ових правих и дужи PQ деле дуж PQ на 6 једнаких делова.

5.

CD = 8cm.

6.

Применом Талесове теореме дату дуж ћемо најпре поделити на три једнака дела, чиме добијамо страницу једнакостраничног троугла и тако даље.

7.

AD = 3,2cm, AE = 4cm, DE = 4,8cm. Дакле, обим троугла је 12cm.

8.

У сваком од примера дуж АВ ћемо поделити на број једнаких делова једнак збиру чланова размере. Након тога, одвајањем онолико једнаких делова колики је први члан размере добијамо тражену тачку.

9.

Радимо аналогно задатку 6.

10. На једном краку произвољног угла, из темена О, нанесимо онолико јединичних дужи колико је први број дате размере (добијамо тачку А), а након тога још онолико јединичних дужи колики је други члан размере (добијамо тачку B). На другом краку угла, из темена угла, нанесимо дуж a (добијамо тачку C). Повуцимо праву АС и из темена В праву паралелну са АС, која ће сећи други крак угла у тачки D. Дуж CD је тражена дуж b. а)

11. Дуж АВ треба поделити тачком Е у размери АЕ : ЕВ = 3 : 1. 12. За сваку од тражених дужи, дуж x најпре треба поделити на број једнаких делова колико показује именилац разломка, а затим издвојити онолико једнаких делова колико показује бројилац. 13. При конструкцији дужи x, дужи ОА, ОС и CD ће бити једнаке неким од датих дужи у размери, док је дуж АВ тражена дуж x. Дужи ОА, ОС и CD су редом једнаке: а) ОА = b, ОС = c, CD = a; б) ОА = c, ОС = b, CD = a; в) ОА = a, ОС = b, CD = c; г) ОА = b, ОС = a, CD = c; д) ОА = c, ОС = a, CD = b; ђ) ОА = c, ОС = a, CD = c; е) ОА = c, ОС = a, CD = b; ж) ОА = a, ОС = 1, CD = c; з) ОА = b, ОС = c, CD = 1.

14. Применом Талесове теореме дуж чија је дужина 7cm ћемо најпре поделити на шест једнаких делова, чиме добијамо страницу правилног шестоугла.

15. Применом Талесове теореме дуж чија је дужина 15cm ћемо најпре поделити на 14 једнаких делова. Једна страница правоугаоника састоји се од 3 добијена дела, док се друга састоји од 4 добијена дела. 16. Висину h можемо добити као у задатку 13 узимајући да је ОА = 4cm, ОС = 3cm, CD = 5cm, чиме се задатак своди на конструкцију једнакокраког троугла код којег су нам познате основица и висина. 17. Нека је тачка која дели страницу АВ тачка K и АB = a, AD = b. Ако посматрамо слику из задатка 13 и узмемо да је ОB = a, ОС = a, CD = b, имамо да је дуж ОА заправо тражено растојање од тачке А до тачке K у правоугаонику. 18. Применом Талесове теореме дуж чија је дужина 13cm ћемо најпре поделити на 9 једнаких делова. Једна дијагонала састоји се од 7 добијених делова, док се друга састоји од 2 добијена дела.

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА 1.

а) јесу;

2.

Слични су троуглови FDE и MLK и важи FD = FE = DE . ML MK LK

3.

Јесте.

4.

Како је CA1 = CB1 = 1 и како су углови код CA CB 2 темена С једнаки, троуглови су слични.

5.

а) јесу;

6.

18m.

7.

а) 16cm, 20cm и 32cm; б) 1,6cm, 2cm и 3,2cm; в) 20cm, 25cm и 40cm. г) 10cm, 12,5cm и 20cm; д) 6cm, 7,5cm и 12cm.

8.

10cm и 15cm.

9.

а) јесу;

б) нису.

б) нису;

б) јесу;

в) јесу;

г) нису.

в) нису.

1312

10. Нису слични јер је AC = BC = 3 , док је AB = 2 . CD BD 4 BC 3 11. а) слични су; б) нису слични; в) нису слични. 12. Како је AE = BE = 5 и како су углови код DE CE 3 темена Е једнаки, троуглови су слични. 13. Како се оба пара катета односе као 3 : 4, троуглови су слични. 14. Питагорином теоремом добијамо да је дужина другог крака 5cm. Како се оба пара катета односе као 1 : 2, троуглови су слични. 15. Како је c = 25cm, добијамо да је a = 15cm и b = 20cm, па је обим 60cm, а површина 150cm2. 16. Сваку од датих дужи конструишемо тако што најпре конструишемо кружницу чији је пречник (у центиметрима) једнак збиру два природна броја, који у производу дају број који је под кореном. Конструишемо затим нормалу на пречник у тачки пречника која је од једног краја пречника на удаљености (у центиметрима) једнакој једном од два одабрана сабирка. Дуж, део нормале између пречника и кружнице, има тражену дужину. Пречници кругова су: а) 1cm + 2cm = 3cm; б) 1cm + 3cm = 4cm; в) 3cm + 2cm = 5cm; г) 4cm + 2cm = 6cm; д) 4cm + 3cm = 7cm; ђ) 3cm + 5cm = 8cm.

14

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН ТАЧКА И ПРАВА А – утврди 1. Запиши основне геометријске објекте и нацртај (представи) по један пример за сваки од њих. 2. Како су означене тачке, како праве, а како равни на следећој слици?

Б – вежбај 9. Нацртај пет тачака у равни тако да не постоје три колинеарне тачке. Нацртај све праве које оне одређују. Колико их има? 10. Колико правих одређује: а) 7; б) 10; в) 12; г) 33 тачке у равни ако не постоје три колинеарне тачке?

В – примени 11. Дато је осам тачака у равни тако да су тачно три тачке колинеарне. Колико правих оне одређују? 3. Тачке са слике означи са A, B и C, праве са a, d и e, а равни са α, β и δ.

12. Седам тачака је распоређено у равни као на слици. Колико правих оне одређују? а)



б)

4. Нацртај праву a. Нацртај тачке А, B, C и D које припрадају правој а и тачке E, F и G које јој не припадају. 5. У равни је дата права b и тачке А  b, D  b, G  b, H  b и S  b. Нацртај ту праву и тачке поштујући дате услове. 6. Са колико тачака је одређена једна права? 7. Нацртај пет тачака у равни које све припадају једној правој. Како називамо такве тачке? 8. Нацртај три тачке у равни које нису колинеарне. Нацртај све праве које оне одређују. Колико их има?

13. Дато је шест тачака у равни тако да су међу њима три тројке колинеарних тачака. Илуструј цртежом положај ових тачака и одреди колико правих оне одређују.

Г – прoшири 14. Колико је правих одређено са: а) 4; б) 5 тачака у равни?

15

В – примени 15. Колико је најмање тачака потребно у равни да би њима било одређено: а) 3 праве; б) 15 правих; в) 55 правих?

7. Дато је пет тачака у простору А, В, С, D и E. Колико равни одређују ове тачке ако сваке три тачке одређују различите равни?

ТАЧКА И РАВАН

8. Колико равни одређује шест тачака ако сваке три одређују различиту раван?

А – утврди 1. Нацртај (представи) раван β. Нацртај тачке P, Q и R које припрадају равни β и тачке X, Y и Z које јој не припадају. 2. Нацртај (представи) раван α и тачке A, B, C, D и E такве да А  α, B  α, C  α, D  α и E  α.

ПРАВА И РАВАН А – утврди

3. Са колико тачака је одређена једна раван?

1. Нацртај (представи) раван α и праве a, b и c које јој припадају. Запиши математичким симболима да праве a, b и c припадају равни α.

4. Колико равни одређују три колинеарне тачке?

2. Колико има равни којима припада једна одређена права?

Б – вежбај

3. Нацртај (представи) у свесци две праве које су у истој равни и две праве које су мимоилазне.

5. У равни је (на папиру је нацртан) дат правилан: а) троугао; б) четвороугао; в) шестоугао. Колико равни одређују темена тог многоугла и једна тачка која је ван те равни (папира)? 6. На слици је дат квадар ABCDA1B1C1D1.



1716

9. Колико равни одређују четири тачке?

Наведи сва темена квадра која припадају равнима: а) ρ(ADD1); б) ρ(AB1C1); в) ρ(ABD1); г) ρ(CDB); д) ρ(C1BA1); ђ) ρ(DB1C)?

4. Нацртај (представи) праву и раван тако да оне: а) немају заједничких тачака; б) имају једну заједничку тачку; в) имају две заједничке тачке. 5. Која од следећих реченица је тачна: а) Права је нормална на раван ако је нормална на тачно једну праву те равни која садржи тачку продора; б) Права је нормална на раван ако је нормална на бар једну праву те равни која садржи тачку продора; в) Права је нормална на раван ако је нормална на бар две праве те равни које садрже тачку продора; г) Права је нормална на раван ако је нормална на све праве те равни?

Б – вежбај

В – примени

6. Колико је највише равни одређено једном правом и са две тачке ван ње?

15. Колико је највише равни одређено са четири тачке једном правом (тачке су ван праве)?

7. Колико је највише равни одређено са две праве које се секу и једном тачком ван њих? 8. Колико је највише равни одређено са три паралелне праве? 9. Дата је права и тачка ван ње. Колико правих садржи ову тачку и: а) паралелне су са датом правом; б) секу дату праву; в) мимоилазне су са датом правом? 10. У каквом односу су праве које одређују темена квадра:

а) p(A, D) и p(C, D); б) p(A1, B1) и p(D, C); в) p(D1, B) и p(A, C); г) p(A, C1) и p(B, D1)?

11. Да ли пресек праве и равни може бити: а) тачка; б) дуж; в) полуправа; г) права? 12. Нека су права a и раван α паралелне (и a не припада α). Колико правих равни α су: а) паралелне са правом a; б) мимоилазне са правом a? 13. Нацртај коцку ABCDA1B1C1D1. Одреди све правоугле троуглове чија је једна страница ивица ВВ1, а треће теме је теме коцке. 14. Ивица коцке је 6cm. Одреди растојање пресечне тачке дијагонала коцке од равни одређене једном страном коцке.

16. Пет правих се секу у истој тачки. Колико најмање, а колико највише равни одређују ове праве? 17. Колико највише равни је одређено са две паралелне праве и пет тачака које им не припадају? 18. Које ивице квадра из 10. задатка припадају равни: а) ρ(ACD); б) ρ(BDD1); в) ρ(A1C1D)? 19. Одреди све праве којима припадају ивице квадра ABCDA1B1C1D1 такве да (гледај слику из 10. задатка): а) с е секу са правом која је одређена ивицом АD; б) с у мимоилазне са правом која је одређена ивицом CC1; в) с е секу са правом која је одређена теменима А и D1; г) су мимоилазне са правом која је одређена теменима C и A1. 20. Колико равни је највише одређено са две праве које се секу и: а) три; б) четири тачке које им не припадају? 21. Колико равни је највише одређено са две праве које су мимоилазне и три тачке које им не припадају? 22. Дате су две мимоилазне праве. На једној од њих су дате три тачке, а на другој пет тачака. Колико равни је одређено овим тачкама? 23. Нацртај коцку ABCDA1B1C1D1. Одреди све равни којима припадају бар две ивице коцке које: а) се секу са правом AD, а не садрже је; б) су паралелне са правом СС1, а не садрже је; в) које садрже праву А1С1.

1617

Б – вежбај 24. Дата је тачка А у равни α и тачка В која јој не припада. а) Израчунај удаљеност тачке В од тачке А ако је растојање тачке В од равни α 6cm, а растојање тачке А од нормале на раван α из тачке В 8cm; б) Израчунај удаљеност тачке В од равни α ако је растојање тачке А од тачке В 13cm, а растојање тачке А од нормале на раван α из тачке В 12cm;

Г – прoшири 25. Посматрај квадар.

4. Нацртај (представи) три диедра тако да је угао диедра једног од њих оштар, другог прав, а трећег туп. 5. Колико правих диедара можеш да уочиш на коцки? 6. На једној страни диедра дата је тачка А. Колико је тачка А удаљена од ивице диедра ако је од друге стране диедра удаљена 4cm, а угао диедра је: а) 30°; б) 45°; в) 60°? 7. На једној страни диедра дата је тачка P. Колико је тачка P удаљена од друге стране диедра ако је од ивице диедра удаљена 6cm, а угао диедра је: а) 30°; б) 45°; в) 60°?

В – примени

Колико равни је одређено теменима квадра и правом: а) АВ; б) AC; в) DB1?

26. Колико је равни највише одређено са четири паралелне праве?

ОДНОС МЕЂУ РАВНИМА. ДИЕДАР А – утврди 1. Нацртај (представи) две равни које: а) су паралелне; б) се секу; в) су нормалне. 2. Да ли пресек две равни може бити: а) тачка; б) дуж; в) полуправа; г) права? 3. Нацртај (представи) један диедар и означи његове елементе.

1819

8. Колико највише правих одређују: а) три; б) четири равни? 9. Дате су паралелне равни α и β. Које од реченица су тачне: а) Свака права равни α је паралелна свакој правој равни β; б) Свака права равни α је паралелна са само једном правом равни β; в) У равни α и β постоји бесконачно много парова мимоилазних правих од којих једна припада равни α, а друга равни β? 10. Дат је диедар чији је угао 60°. У унутрашњости диедра дата је тачка А која је од обе стране диедра удаљена 20cm. Колико је тачка А удаљена од ивице диедра? 11. У унутрашњости правог диедра дата је тачка Z која је од страна диедра подједнако удаљена. Израчунај удаљеност тачке Z од страна диедра ако је од ивице диедра удаљена 14cm.

12. У унутрашњости правог диедра дата је тачка Q која је од једне стране диедра удаљена 8cm, а од друге 15cm. Колико је та тачка удаљена од ивице диедра? 13. На једној страни правог диедра дата је тачка А, а на другој страни тачка В. Из ових тачака повучене су нормале на ивицу диедра. Нека су подножја нормала из тачака А и В тачке А1 и В1. Израчунај удаљеност тачака А и В ако је: а) АА1 = 3cm, BA1 = 4cm; б) АА1 = 3cm, BB1 = √6cm, A1B1 = 7cm.

ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА Б – вежбај 1. Нацртај (представи) једну раван и две тачке А и В тако да А не припада равни, а В јој припада. Нацртај ортогоналне пројекције тих тачака на ту раван. 2. Дата је дуж АВ. У каквом положају мора бити дуж АВ у односу на раван пројекције да би пројекција била: а) дуж; б) тачка? 3. Дата је дуж АВ. Да ли и када пројекција ове дужи може бити дуж која је: а) краћа од дужи АВ; б) једнака дужи АВ; в) дужа од дужи АВ? 4. Који од следећих геометријских објеката може бити пројекција праве: а) тачка; б) дуж; в) полуправа; г) права? Нацртај сваки од могућих случајева. 5. Тачка А припада равни α. Тачка В је од равни α удаљена 12cm. Ако је дужина дужи АВ = 13cm, израчунај дужину пројекције ове дужи.

6. Тачке А и В су са исте стране равни. Ако су А1 и В1 пројекције ових тачака на раван, израчунај:  ужину пројекције дужи АВ ако је а) д АВ = 5cm, AA1 = 11cm, BB1 = 15cm; б) дужину дужи АВ ако је AA1 = 17cm, BB1 = 23cm, A1B1 = 8cm. 7. Крајње тачке дужи АВ = 26cm су са исте стране равни. Колико је тачка В удаљена од те равни ако је тачка А од те равни удаљена 31cm, а дужина пројекције дужи АВ на ту раван је 10cm?

В – примени 8. Крајње тачке дужи PQ = 8cm су са различитих страна равни β. Ако су тачке P и Q удаљене 1cm и 5cm од равни β, израчунај дужину пројекције дужи PQ на раван β. 9. Пројекције тачака X и Y на раван α су тачке X1 и Y1. Израчунај растојање између тачака X и Y ако је XX1 = 5cm, YY1 = 7cm, X1Y1 = 9cm и ако су тачке X и Y са различитих страна равни α. 10. Тачке А и В су са разних страна равни γ. Тачка А је удаљена од равни γ 3√3cm. Тачка В удаљена је од тачке А 10cm, а пројекције тачака А и В на раван γ су на растојању од 5cm. Израчунај удаљеност тачке В од равни γ. 11. Израчунај дужину пројекције дужи SR = 20cm на раван π ако су тачке S и R удаљене од равни 9cm и 7cm. 12. Права одређена тачкама C и D продире раван и са њом гради угао од 60°. Израчунај дужину пројекције дужи на раван ако је дужина дужи CD = 8cm, а тачке су са исте стране равни.

1918

Б – вежбај 13. Дуж АВ = 10cm продире раван под углом од 30°. Ако је један крај дужи удаљен од равни 1cm, израчунај колико је од равни удаљен други крај равни. 14. Који од следећих геометријских објеката може бити пројекција оштрог угла: а) тачка; б) дуж; в) полуправа; г) права; д) угао? У каквом положају мора бити угао у односу на раван да би се добила одговарајућа пројекција? 15. Који од следећих геометријских објеката може бити пројекција паралелограма: а) тачка; б) дуж; в) троугао; г) четвороугао? У каквом положају мора бити паралелограм у односу на раван да би се добиле одговарајуће (могуће) пројекције?

РОГАЉ А – утврди 1. Колико триедара можеш да уочиш на моделу квадра? Шта су темена тих триедара? Какви су ивични углови ових триедара? 2. Да ли постоји триедар чији су ивични углови: а) 98°, 58°, 76°; б) 110°, 184°, 100°; в) 64°, 11°, 97°; г) 102°, 59°, 161°? 3. Да ли постоји четворострани рогаљ чији су ивични углови: а) 76°, 92°, 100° и 30°; б) 59°, 101°, 120° и 80°; в) 89°, 90°, 91° и 92°?

2120

4. У којим границама може бити трећи ивични угао триедра ако су два ивична угла: а) 30°, 70°; б) 100°, 2°; в) 150°, 120°; г) 48°, 200°; д) 28°30’, 73°49’; ђ) 139°59’28’’, 111°32’’? 5. Ивични углови триедра су прави. На двема ивицама триедра дате су тачке А и С које су од темена триедра удаљене по 24cm. Колико су оне удаљене једна од друге? 6. У којим границама може бити четврти ивични угао четвоространог рогља ако су његова три угла: а) 79°, 58° и 100°; б) 40°, 50° и 60°; в) 16°, 48° и 170°; г) 130°, 175° и 30°? 7. У којим границама може бити пети ивични угао петостраног рогља ако су четири ивична угла 46°, 72°, 100° и 97°?

В – примени 8. На ивицама правог триедра дате су тачке А, В и С, које су од темена триедра удаљене 1cm, √35cm и 3√7cm. Израчунај обим троугла АВС. 9. Колико највише страна може имати рогаљ ако су му сви ивични углови једнаки и износе по: а) 30°; б) 45°; в) 70°; г) 33°? 10. Колико највише целих степени може имати ивични угао: а) тространог; б) четвоространог; в) шестостраног; г) педесетостраног рогља ако су сви ивични углови једнаки? 11. Мере ивичних углова петостраног рогља (у степенима) су изражене са пет узастопних природних бројева. Која је највећа могућа мера ових углова?

Тест − ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН 1. Колико најмање неколинеарних тачака одређују једну раван? а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.

2.

Четири тачке су колинеарне ако: а) припадају једној равни; б) припадају једној правој; в) су на двема правама које се секу.

3. Колико правих одређују темена ромба? а) 4; б) 6; в) 8; г) 10.

4. Колико равни одређују темена једног квадра? а) 6; б) 8; в) 10; г) 12.

6. Ивице једног квадра одређују 12 правих. Колико је међу њима парова мимоилазних (које нису паралелне) правих? а) 6; б) 12; в) 18; г) 24.

7. У унутрашњости правог диедра дата је тачка Q која је од једне стране диедра удаљена 12cm, а од друге 5cm. Колико је та тачка удаљена од ивице диедра? а) 13cm; б) 14cm; в) 15cm; г) 16cm.

8. Пројекције тачака X и Y на раван α су тачке X1 и Y1. Ако је XX1 = 3cm, YY1 = 5cm, X1Y1 = 6cm и ако су тачке X и Y са различитих страна равни, онда је растојање између тачака X и Y: а) 6√3cm; б) 8√3cm; в) 10cm; г) 8cm.

5. Колико правих диедара одређују стране праве призме чија је основа правоугли трапез? а) 6; б) 8; в) 10; г) 12.

Решења: 1. б); 2. б); 3. б); 4. г); 5. в); 6. г); 7. а); 8. в).

2021

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН – решења ТАЧКА И ПРАВА 1.

Тачка

2.

Тачке су означене са W, E и S, праве са y, b и d, а равни са α и γ.

права

раван

3.

12. а) 14;

б) 10.

13. 9 правих.

14. а) Разликујемо три случаја: – ако нема тачака које су колинеарне, онда одређују 6 правих; – ако су 3 тачке колинеарне, онда одређују 4 праве; – ако су све тачке колинеарне, онда одређују једну праву. б) Разликујемо 5 случајева: – ако је свих пет тачака колинеарно, онда одређују једну праву; – ако су четири тачке колинеарне, онда одређују 5 правих; – ако су тачно три тачке колинеарне, онда одређују 8 правих; – ако су две тројке тачака колинеарне (види слику), онда одређују 6 правих;

4.

5.

6.

Са 2 различите тачке.

7.

За пет тачака које припадају једној правој кажемо да су колинеарне.



8.

Три тачке које нису колинеарне одређују 3 праве.

15. а) 3 тачке; б) 6 тачака; в) 11 тачака.

– ако нема тачака које су колинеарне, онда одређују 10 правих.

ТАЧКА И РАВАН 1. 9.

10 правих.

2.

10. а) 21; 11. 26.

б) 45;

в) 66;

г) 528 правих. 3.

Раван је одређена са три неколинеарне тачке.

4.

Бесконачно много равни.

7.

3 равни.

5.

а) 4;

8.

3 равни.

6.

а) A, А1, D, D1; в) A, B, C1, D1; д) C1, B, A1;

9.

а) једна права; б) бесконачно много; в) бесконачно много.

7.

10 равни.

8.

20 равни.

9.

Ако су копланарне, одређују једну раван, ако су некопланарне, одређују 4 равни. У случају да су тачке колинеарне, постоји бесконачно много равни које садрже те тачке.

б) 5;

в) 7. б) A, D, B1, C1; г) A, C, D, B; ђ) D, B1, A1, C.

ПРАВА И РАВАН 1.

a  α, b  α и c  α.

10. а) секу се; в) мимоилазне;

б) паралелне; г) секу се.

11. а) може; б) не може; в) не може; г) може. 12. а) бесконачно много; б) бесконачно много. 13. Има 6 правоуглих троуглова, а то су: АВВ1, CВВ1, DВВ1, A1ВВ1, C1ВВ1, D1ВВ1. 14. 3cm. 15. 8 равни. 16. Најмање једну раван, а највише 10 равни. 17. 21 раван.

2.

Бесконачно много.

4.

а)

18. а) AB, BC, CD, DA; б) BB1, DD1; в) не припада ниједна ивица. 19.



б)

а) CD, DD1; AB и AA1; б) AB, A1B1, AD, A1D1; в) AB, AD, AA1, A1D1, DD1, C1D1; г) AB, AD, BB1, DD1, C1D1, B1C1.

20. а) 8 равни;

б) 13 равни.

21. 7 равни. 22. 15 равни. 23. а) ABB1A1, DCC1D1, ACC1A1, BDD1B1, AD1C1B и A1B1CD; б) ADD1A1, ABB1A1 и BDD1B1; в) A1B1C1D1 и A1C1CA.

в)

24. а) 10cm;

б) 5cm;

25. а) 3 равни;

б) 4 равни;

в) 3 равни.

26. 6 равни. 5.

Тачна је реченица под в).

6.

2 равни.

23 22

ОДНОС МЕЂУ РАВНИМА. ДИЕДАР 1.

а)



б)

ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА 1.

2. 3.



2.



а) м  оже када припада правој која није паралелна са равни пројекције; б) може када припада правој која је паралелна са равни пројекције; в) не може бити дужа од дужи АВ.

4.

Пројекција праве може бити тачка и права.

5.

5cm.

6.

а) 3cm;

7.

Тачка В може бити удаљена од те равни 7cm или 55cm, у зависности од тога да ли је ближа или удаљенија равни од тачке А.

8.

2√7cm.

9.

15cm.

в)

а) не може; в) не може;

б) не може; г) може.

а) м  ора припадати правој која није нормална на раван; б) мора припадати правој која је нормална на раван.

4.

б) 10cm.

10. 2√3cm. 5.

12 правих диедара.

6.

а) 8cm;

б) 4√2cm;

в) 8√3 cm. 3

7.

а) 3cm;

б) 3√2cm;

в) 3√3cm.

8.

а) 3 праве;

9.

Тачне су реченице под б) и в).

б) 6 правих.

10. Удаљена је 40cm. 11. 7√2cm. 12. 17cm. 13. а) АB = 5cm;

24 25

б) АB = 8cm.

11. Ако су тачке S и R са различитих страна равни π, дужина пројекције је 12cm, а ако су са исте стране равни π, дужина пројекције је 6√11cm. 12. 4cm. 13. 4cm. 14. Пројекција оштрог угла може бити: в) полуправа – када је раван којој припада угао нормална на раван пројекције и оба крака угла се пројектују у једну полуправу; г) права – када је раван којој припада угао нормална на раван пројекције и краци угла се пројектују у две различите полуправе; д) угао – када раван којој припада угао није нормална на раван пројекције.

15. Пројекција паралелограма може бити: б) д  уж – када је раван којој припада паралелограм нормална на раван пројекције; г) ч  етвороугао – када раван којој припада паралелограм није нормална на раван пројекције.

РОГАЉ 1.

Осам триедара. Сви ивични углови су прави.

2.

а) постоји; в) не постоји;

б) не постоји; г) не постоји.

3.

а) постоји; в) не постоји.

б) не постоји;

4.



Ако трећи ивични угао триедра означимо са α, онда је: а) 40° < α < 100°; б) 98° < α < 102°; в) 30° < α < 90°; г) н  е постоји триедар чија су два ивична угла 48° и 200°; д) 45°19' < α < 102°19’; ђ) 28°58' 56’’ < α < 109°.

5.

24√2cm.

6.

Ако четврти ивични угао рогља означимо са α, онда је: а) α < 123°; б) α < 150°; в) 106° < α < 126°; г) 15° < α < 25°.



7. Мањи од 45°.



8. 7(2 + √2)cm.



9. а) 11;



10. а) 119°;



11. 69°, 70°, 71°, 72°, 73.



б) 7;

в) 5;

б) 89°;

г) 10.

в) 59°;

г) 7°.

24 25

26

ЛИНЕАРНE ЈЕДНАЧИНe И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ А – утврди 1.

Израчунај бројевну вредност израза: а) 15 : (–3) + 6; б) 2 – 7 ∙ 5; в) (–12 + 3) : (3 – 6); 2 2 г) 25 + ⋅ ( -9 ) ; 3 д) (–2)3 ∙ 3 – 32 ∙ (–2); 2



1 3  2 4 ђ) 5 ⋅ -   : 4 . 3 8  5 5

2. Запиши три произвољна алгебарска израза. 3. Напиши два алгебарска израза с једном променљивом и два алгебарска израза с две променљиве. 4. Израчунај вредност израза 2 5a - b + c : ( -2) за: 3 а) а = –7, b = 6, c = 8; б) а = 1 , b = –1 1 , c = –3. 5 2 5. Напиши алгебарски израз с променљивом а, па израчунај његову вредност за: а) а = –1; б) а = 0; в) а = 1 . 2 6. Испитај тачност следећих бројевних једнакости: а) 5 – 9 = –4; б) 16 : 2 = 5 + 3; в) –9 : 3 = 3; г) 2 ∙ 14 + (–2)2 – 8 = 0; 7 2 3 2 д) 81 ⋅ - ⋅ 4 2 = ( -3) . 3 4 7. Напиши две произвољне једначине у којима је непозната величина а и две произвољне једначине у којима је непозната величина у.

8. Испитај да ли су изрази А(х) и В(х) еквивалентни ако је: а) А(х) = 4х + 7х, В(х) = 11х; б) А(х) = 5 ∙ (2 – х) + 3, В(х) = –5х + 13; 3 в) А(х) = 4х, В(х) = 4x2 . x 9. Одреди израз еквивалентан датом изразу:

а) –2х + 5 + 3х – 6; б) –4 ∙ (3х + 1) + 5х; в) (х + 3)(х – 3) + 9; г) (х + 2)2 – (2х + 1)(4 – 3х).

10. Испитај да ли су једначине еквивалентне: а) 4х – 3 = 8 и 4х = 11; б) 5х + 3 –2х =1 и 3х – 2 = –4; в) 2х = –10 и х = 10; г) 6 ∙ (х + 2) – 4 = 2 и 6х = –6. 11. Повежи линијом еквивалентне једначине: 12х – 5 = 7 • • 2х = –10 –2 ∙ (х + 1) = 8 • • х = 1 (х + 3)2 – х2 = 3 • • 6 ∙ (х + 1) = 0. 12. Испитај које су од датих једначина еквивалентне: а) х + 2 = 4; б) 1 х – 1 = 0; 2 в) 3 – х = 4; г) x + 6 + 5 = 7; 4 д) – 2 х + 1 = 1; 3 3 ђ) 4 ∙ (х + 2) – 1 = –4 1 . 2 2 13. Напиши једну једначину еквивалентну датој једначини: а) 5 ∙ (2 – х) = 6; б) 3x – 1 = 2. 4

27

14. Подвуци линеарне једначине с једном непознатом: а) 4х + 2 = 5; б) 5х2 – 2 = 3; в) 3а – 6 = 5а + 2; г) 1 + 2 = 3y; y д) 4х – 3у – 6 = 2; ђ) 5 ∙ (2х – 3) = 2 ∙ (3 – х). 15. Провери да ли је број 3 решење једначине: а) 5х – 2 = 13; б) 4 – 2х = 5 + 7х. 16. а) П  ровери да ли је х = –2 решење 3x - 2 4 x - 1 + = -5 ; једначине 4 3 б) Провери да ли је х = 1 решење x - 4 x + 3 2 ⋅ ( x - 4) + = . једначине 5 4 5 17. Које од наведених једначина имају решење број –1: а) х – 1 = 0; б) х = –1; 1 в) х + 1 = 0; г) =0; 1+ x д) –х = 1; ђ) 4х + 1 = 5х + 2 ?

Б – вежбај 18. Састави линеарну једначину чије је решење: а) х = 2; б) х = –5; в) х = 0; г) х = 1 . 3 19. За које вредности х дати изрази нису дефинисани: 3+ x 5 ; а) ; б) x x -2 4x + 3 5 ; г) 2 в) ; x -9 ( x + 1)( x - 3) 3x - 4 7 ? д) ; ђ) 2 2 x - 12 x + 36 ( x + 5)

29 28

20. Испитај да ли су еквивалентне једначине и образложи одговор:

x ( x + 3) = 3 и х + 3 = 3; x 2 x + 5) ( = 0 и х + 5 = 0. б) x +5

а)

21. Да ли су еквивалентне једначине: б) | х | = 5 и х = –5? а) х2 = 9 и х = 3; 22. Која од датих једначина је идентитет: а) 2х = 2х; б) 4 ∙ (х –1) = 4х – 4; в) 2х + 1 = 2 ∙ (х + 1); г) (х + 7)2 = х2 + 14х + 49; ђ) 0 ∙ х = 0? д) х = –3;

Решавање линеарних једначина с једном непознатом А – утврди 1. Реши линеарне једначине и провери решења: б) 3х = –14; а) х – 1 = 2; 2 в) –5х = 15; г) 4х – 7 = 17; д) 5х + 2 = –17; ђ) 12 – 8х = –20; е) 2 010х + 2 011 = 2 011. 2. Реши линеарне једначине и провери решења: а) 4х + 5 = 2х – 3; б) 7х – 3 = 5х – 11; в) 25 – 6х – 3 = 4х + 2; г) 3х + 1 = х + 3 1 ; 2 2 2 1 д) 4х – = 3х + . 3 3 3. Милица и Милош су решавали једначину 3х + 2(х – 1) = 1 + 4х. Да ли је неко од њих двоје тачно решио једначину? Уочи грешке.

Б – вежбај Милица

Милош

3x+2(x-1)=1+4x 3x+2x-1=1+4x 5x-1=1+4x 5x-4x=1+1 X=2

3x+2(x-1)=1+4x 3x+2x-2=1+4x 5x-2=1+4x 5x-4x=1-2 X=-1



Реши једначине (4–17) 4.

а) 2 – (3х + 5) = 5 – (3 + 2х); б) 8 – (7х – 6) = 5 – (4х – 6); в) 4 ∙ (х – 3) – 7 ∙ (5х + 4) = 10 – х; г) 5х + 3 – (7х – 2 – ( 4х + 8)) = х + 19; д) 2х – (3х – (4х – (5х – 6))) = 2; ђ) 5 ∙ (х + 2) – 3 ∙ (1 – х) = 6 ∙ (4 + х) – 7; е) 7  – 2 ∙ (3х + 9) – (9х + (4 – (3х + 1))) = = 12 ∙ (х + 1) – 2; ж) 2 ∙ (3х – (5 + (6х – 9))) – 3 ∙ (4х + 7) = = 3 ∙ (4 – (5х + 2) – 1. 1 a = -2 ; 7 b+2 б) = 0; 6 1 в) c + 2011 = 2011; 8 1 1 1 1 г) - a = 1; д) b - = 3 ; 2 2 3 3 2 5 ђ) c + 2 = . 7 7

5. а)

1 1 y -2= ; 3 2 3 1 2 б) y - = ; 4 12 3 1 1 1 1 в) y + = y + . 2 5 5 2

6. a)

3 1 4 2 = ; = б) x 7 x -2 3 2 3 x -9 3 = ; г) = ; в) 3x + 1 2x - 5 2x + 1 5 5 7 - 2x 1 д) = 2,7 : 0,9 ; ђ) =- ; x +1 4x +1 3 е) 5 : (х – 3) = 4 : (2х + 1); ж) (2х + 5) : 4 = (4 – 3х) : 10; 7- x ) : 4. з) (х + 1) : 1 = (1 – 3

7. а)

x x + 3 6x -1 + = ; 5 3 15 x +1 x - 2 б) + = 3 ; 4 2 x -2 x в) + x = - 1 ; 6 2 5x + 4 x 2x - 3 г) + = ; 8 2 4 x x +2 1 д) = ; 3 6 2 x +4 x -6 ђ) = x ; 6 4 1 6 - 5x x - 1 е) = ; 2 8 4 1+ 3 x 3 x 5 + 6 x ж) = ; 3 5 15 4 x - 2 1- 3 x з) = -3,2 . 5 2

8. а)

5 x + 1 10 x + 1 8 x + 1 = ; 3 12 4 3 - 2x 2 - x 3 б) =- x; 10 5 10 x - 2 5x + 8 x в) = 1- ; 6 12 2 3x x - 2 1 x -5 г) ; =1 + 2 6 2 3 3x - 2 4 x + 3 x д) = -1+ ; 5 10 2

9. а)

29 28



5 x - 2 0,5 x - 3 1 =5 . 8 4 2

ђ)

3x + 2 2x + 1 x = - 1; 8 5 20 2x -1 x + 3 б) =3- x ; 4 8 5x 3x - 2 3x + 2 в) = -1 ; 12 4 8 x + 1 2x - 1 3x + 4 г) = - 1; 9 6 12 3 10 - 6 x 3 x + 1 д) = - 1; 5 15 5 5 - 2 x 5 x + 1 x - 3 2 x - 29 ђ) + = ; 3 6 2 9 3 ( x + 2) 7x - 6 7x - 6 + = 5x ; е) 3 6 2 5 ⋅ ( x - 1) 3 x + 2 x +3 ж) = 3x . 3 6 12

10. а)

2 11. а) 2 ⋅ ( 4 x + 3) + ⋅ (2 x + 1) = 2 ; 3 7 ( 2 x + 5) 3 ( 5 x - 7 ) = 10 - 6 x ; б) 3 4

в)

1 3  1 1 1  ⋅  x - 4  - ⋅  - x  = 1;  3  2 16  2 4



г)

5 (5 - 2 x ) 3 7 - 3x - 2 ( x - 2) = - . 12 6 4

37 2 3  1    4 12. а) 1+  - x  - 2  x -  =  - x  + ;    3 26 3 2  2

б)



в) 

1 2  1  1 5  7x + 3 ; ⋅  x + 2 - ⋅  - x  =  2 2 6  4 3 12

;

3130





8- x x -1 33 ; 4 =xг) x 2 2 1 1 x 3 x + 1 5x + 1 6 x + 3 1 4 +1 2 2 = . д) 6 24 12 3 2 3-

13. а) (х + 4)(х – 2) – х(х + 9) = 6; б) 3 – х(х – 3) = (х – 2)(1 – х); в) (3х – 5)(2х – 5) = (х + 1)(6х – 3); г) (4х – 2)(3х + 2) – 15х + 20 = = (6х + 4)(2х + 3); д) (4х + 3)(6х – 1) – (7 – 8х)(2 – 3х) = 7х + 5. 14. а) (х + 4) : (2х – 1) = (х – 3) : (2х + 5); б) (3х + 1) : (6х + 5) = (2х – 1) : (4х – 2); x -7 x -3 = ; в) x+4 x+9 6 x - 2 3x + 5 г) = . 2x -1 x + 8 15. а) (х – 1)2 = (х + 5)2 – 48; б) (х + 2)2 – 3 ∙ (х + 2) = (х – 3)(х + 3); в) (х – 8)(х + 8) = (х + 4)2 – 96; г) (3х – 4)(3х + 4) – 7 = (3х – 1)2; д) (х – 3)2 – (х2 + 3) = 6; ђ) (х + 2)2 – (х + 2)(х – 2) = 8х; е) (2х + 3)2 – (х + 2)(4х – 1) = 3 ∙ (х – 1); ж) (3х + 2)2 – (3х – 1)(3х + 1) = х – 17. 16. а) (3х – 1)2 + (4х + 1)2 = (5х + 2)2; б) (х + 4 )2 – (х – 5)2 = 18х – 15; в) (х + 3)(х – 3) – (х + 3)2 = –12х; г) (х + 2 010)2 – (х – 2 010)2 = 20; д) 4х2 – (2х + 1)(2х – 1) = 5 + 2х; ђ) (х + 2)2 – (х – 4)2 = 6х – 25; е) 5х2 – (3х – 2)(2х + 1) = (2 – х)(2 + х); ж) (х – 1)2 – 4х ∙ (х – 2) = 9 – (2х + 3х2).

2 x + 2) ( x + 1)( x - 1) ( + = 17. а)

2

2



( x + 2) б)



в)

(2 x - 1)



г) 

2

2

2 2 x + 1) ( x + 2) ( = ;

3

2

4

( x - 1)2 ;

-

6

( x + 3)(3 x - 4 ) = 2 ( x + 3) ; 3

9

.

22. Одреди вредност параметра р тако да x -2 +2= x су једначине рх + 7 = 1 1 и 2 2 еквивалентне. 23. Дате су једначине

18. Из формуле за израчунавање површине изрази: а) страницу правоугаоника b (P = a ∙ b); б) полупречник круга r (P = r2π); a⋅b в) катету правоуглог троугла а ( P = ) 2 d ⋅d г) једну дијагоналу ромба d1 ( P = 1 2 ); 2 a+b д) висину трапеза h ( P = ⋅ h ). 2 19. Изрази подвучене величине из формула са којима си се упознао на часовима физике: s v б) a = ; а) v = ; t t

в) F = m ⋅ a ;

г) P =



a⋅t2 д) s = ; 2

ђ)

В – примени

21. Одреди вредност параметра m тако да 2x + 1 3 су једначине -2= и 4 4 mx + 1 = m –3 еквивалентне.

F ; s

1 1 1 = + . R R1 R2

20. Дате су једначине 3х + 10 = 7 и рх + 8 = 3. Одреди вредност параметра р тако да те две једначине буду еквивалентне.

x 1 x 1 + - = 2 5 3 4

1 и (1 - k ) x + 1 = k (1 - 2 x ) . Одреди 2 вредност параметра k тако да те две једначине буду еквивалентне. 24. Ако знаш да је А · В = 0 А = 0 или В = 0, реши једначине: а) (х + 5)(х –2) = 0; б) (2х + 4)(3х – 6) = 0; в) (5х – 1)(3х + 2) = 0; г) (4х – 4)(2х + 5)(3х + 1) = 0; д) х2 – 9 = 0; ђ) х2 – 10х + 25 = 0. 25. Ако знаш да је A = 0 А = 0, В ≠ 0, B реши једначине: x -2 а) =0; x +3 2 x + 10 б) =0; 2x - 3

( x + 5)(3 x - 3) = 0 ; ( x - 2) (5 x + 1)( 4 x - 16) = 0 . г) (6 x - 12)( x + 3) в)

26. Реши једначине (уводећи одговарајућу смену): 1 2 4 а) + = - 1; x x x

3031



2 + x -3 5 в) x +2

б)

3 =9x -3 4 =6x +2

4 ; x -3 2 . x +2



г) 3 · |х – 1| – 4 = 5; д) 2 · |х| – 4 = 11 – |х|; ђ) |2х + 3| – х = 7; е) |4х + 3|+ х – 2 = 6.

27. Одреди вредност променљиве у за 2y - 3 3y - 4 коју је вредност израза 4 2 једнака 5.

33. а) |х + 3| + |3х| = 5; б) |х + 1| + |х – 1| = 4; в) |2х + 1| + |х – 2| = 9; г) |2х – 1| + |3х – 4| = 5.

28. Одреди вредност променљиве х за коју је вредност израза x -2 3- x x +5 једнака изразу х . 3 2 6

34. а)

4 x 2 - 20 x + 25 = 5 ;



б)

9 x 2 - 6 x + 1 = 1;



в)

x 2 - 8 x + 16 - 25 x 2 + 70 x + 49 = 2 .

29. Одреди вредност параметра k у 3 x - 2 kx + 5 5 x + k = тако једначини 4 3 12 да решење једначине буде х = 2. 30. Одреди вредност параметра а у једначини 2a + 4 ax - 15 3 x + 3 7 + a = тако да 3 2 2 4 њено решење буде исто као решење x - 2 x +1 једначине 3 = . 2 4 31. Одреди вредност параметра р у једначини (4х – р – 1)2 + 16 = (р + 3 – 4х)2 тако да њено решење буде исто као решење једначине (13х – 2)2 – (12х + 1)2 = (5х – 3)2 – 52.

Г – прoшири Реши једначине (24–26) 32. а) |х| + 5 = 7 3 ; 4 б) |х + 1| = 2 2 ; 7 в) |2х – 1| = 3;

32 33



Примена линеарних једначина с једном непознатом Б – вежбај 1. Одреди број чија је петострука вредност за 12 већа од његове двоструке вредности. 2. Трећина једног броја мања је за 5 од његове половине. Који је то број? 3. Збир трећине и четвртине неког броја је за 7 мањи од тог броја. Који је то број? 4. Који број има својство да је за 18 већи од збира четвртине, осмине и шеснаестине тог броја? 5. Ако се две трећине неког броја увећају за 3, добиће се исти број као када се почетни број смањи за 5. Који је то број? 6. Ако половини неког броја одузмемо 2, добићемо исто као када трећини тог броја додамо 3. Који је то број?

7. Када број 869 поделимо неким бројем, добијамо количник 27 и остатак 5. Одреди број са којим делимо. 8. Збир три узастопна природна броја је 432. О којим бројевима је реч? 9. Одреди четири узастопна парна броја чији је збир 204. 10. Збир пет узастопних целих бројева је –45. О којим бројевима је реч? 11. Збир три узастопна непарна броја је 717. Који су то бројеви? 12. Мајка има 31 годину, а син 3 године. За колико година ће мајка бити пет пута старија од сина? 13. Отац има 38 година, а ћерка 14 година. Пре колико година је отац био четири пута старији од ћерке? 14. Брат је старији од сестре 6 година. За годину дана биће два пута старији од ње. Колико година сада има брат, а колико сестра? 15. Деда Милован је не пијаци продавао јагоде. До поднева је продао 3 од 4 укупне количине јагода коју је донео на пијацу и остало му је још 25kg. Колико килограма јагода је донео тог дана на пијацу? 16. Када је путник прешао 1 пута, остало 4 му је још 8km до половине пута. Колика је дужина целог пута?

18. Угао при врху једнакокраког троугла је 52°. Одреди мере углова на основици. 19. У једнакокраком троуглу угао на основици је седам пута већи од угла при врху. Одреди мере углова тог троугла. 20. Обим правоугаоника износи 39cm, а једна страница је за 2,5cm мања од друге. Израчунај странице тог правоугаоника. 21. Обим правоугаоника је 200cm. Израчунај површину тог правоугаоника ако је једна страница четири пута дужа од друге странице. 22. Обим једнакокраког троугла је 75cm, крак је два пута дужи од основице. Израчунај дужине страница тог троугла. 23. Обим једнакокраког троугла је 26cm. Ако је основица за 4cm краћа од крака, одреди странице тог троугла. 24. Једна катета правоуглог троугла је 5cm, а друга је за 1cm краћа од хипотенузе. Израчунај дужину хипотенузе. 25. Одреди обим правоуглог троугла ако су дужине његових катета 3х + 2 и 4х – 3, а хипотенузе 5х – 1.

В – примени 26. Када двоструку вредност неког броја увећаш за 5, па све то поделиш са 3, добићеш петину тог броја, увећану за 4. О ком броју је реч?

17. Одреди мере два комплементна угла који се разликују за 18°.

33 32

27. Ако један број саберемо са 5, па тај збир помножимо са 1 , добићемо исто као 3 када деветину тог броја умањимо за 3, па разлику помножимо са 9. О ком броју је реч?

35. Разлика квадрата два узастопна непарна броја је 88. Који су то бројеви?

28. Када једну трећину броја саберемо са 3, па тај збир помножимо са 4, добићемо исто као када шестину тог броја умањимо за 3, па разлику помножимо са 9. Који је то број?

37. Лука ће за 3 године имати дупло више година него што је имао пре 6 година. Колико година Лука има сада?

29. Који број треба додати бројиоцу и имениоцу разломка 2 да би се добио 5 разломак 3 ? 4 30. Који број треба одузети од бројиоца и додати имениоцу разломка 5 да би се 7 добио разломак 1 ? 5 31. Број 36 подели на два сабирка тако да четворострука вредност првог сабирка буде једнака половини другог сабирка. 32. Збир четири узастопна броја дељива са 5 је 170. О којим бројевима је реч? 33. Када се од квадрата неког броја одузме квадрат броја који је за 5 мањи од тог броја, добија се број 95. О ком броју је реч? 34. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 85. Који су то бројеви?

34 35

36. Одреди четири узастопна парна броја ако је производ прва два за 120 мањи од производа трећег и четвртог.

38. Милица ће за 8 година имати три пута више година него што је имала пре 8 година. Колико година Милица има сада? 39. Три сестре заједно имају 40 година. Најстарија је три пута старија од најмлађе, а за 2 године старија од средње. Колико година има свака сестра? 40. Сестра је старија од брата 5 година. Кроз 8 година збир њихових година ће бити 45. Колико година сада има сестра, а колико брат? 41. У једном одељењу има 4 девојчице више него дечака. Ако би из одељења отишло 4 дечака, онда би било дупло више девојчица него дечака. Колико има девојчица, а колико дечака у одељењу? 42. Планинар је прешао 1 пута и још 2km и 3 израчунао да му је остало да пређе још 4 пута. Колика је укупна дужина пута 9 коју је планинар одредио да пређе?

43. На рукометној утакмици за домаћу екипу навијало је 3 гледалаца, 5 за гостујућу екипу 1 гледалаца, а 3 преосталих 500 гледалаца је било неутрално. Колико је било гледалаца на тој утакмици? 44. У школској библиотеци 5 књига је 8 намењено за школску лектиру, 1 12 1 књига су енциклопедије, популарно 6 штиво, а преосталих 450 књига су приручници за наставу. Колико укупно књига има школска библиотека? 45. Српски парламент чине 3 посланика 5 владајуће странке, 3 посланика 10 једне, 2 посланика друге опозиционе 25 странке и 5 посланика националних мањина. Колико посланика је у парламенту? 46. Породица Малинић је првог дана обрала малине са 30% свог малињака. Другог дана обрала је 2 остатка, а 7 трећег дана преосталих 120 ари. Колику површину заузима малињак породице Малинић? 47. Аутомобилиста једног дана пређе 4 9 укупног пута, другог дана 4 остатка 15 пута, а трећег дана преосталих 220km. Колико је дуг пут аутомобилисте?

48. Ученик је првог дана прочитао 3 16 књиге, другог дана 2,4 пута више него првог дана, а трећег дана преосталих 87 страна. Колико страна има та књига? 49. Такмичар у квизу знања има 15 питања. Сваки тачан одговор доноси му 5 поена, а за сваки нетачан губи 2 поена. Колико је такмичар имао тачних одговора ако је на крају сакупио 33 поена? 50. Марко је ученик осмог разреда и има 16 предмета. Ако има само петице и тројке, а одличан успех са просеком 4,5, колико има петица, а колико тројки? 51. Одреди унутрашње углове троугла ако је један угао пет пута мањи од другог, а за 5° мањи од трећег угла. 52. Одреди унутрашње углове четвороугла ако је најмањи угао α, а сваки следећи за 20° већи од претходног. 53. Израчунај унутрашње углове шестоугла ако је A = D, B = E = 1 A, C за 2 10° мањи од A и F за 10° већи од A. 54. Основица једнакокраког троугла је 6cm, а висина која јој одговара је за 1cm краћа од крака. Израчунај обим тог троугла. 55. Израчунај дужине страница троугла чији је обим 62cm, најкраћа страница три пута краћа од најдуже, а средња по величини за 12cm дужа од најкраће странице. 56. Једна страница правоугаоника је 8cm, а друга је за 2cm краћа од дијагонале. Израчунај површину тог правоугаоника.

34 35

57. При повећању странице квадрата за 2cm, његова површина се повећа за 20cm2. Колики је обим тог квадрата? 58. Квадрат и правоугаоник имају једнаке површине. Страница квадрата је за 3cm дужа од једне странице правоугаоника, а за 4cm краћа од друге странице правоугаоника. Одреди странице правоугаоника. 59. Ако једну страницу квадрата повећамо за 8cm, а другу смањимо за 6cm, добићемо правоугаоник чија је површина једнака површини квадрата. Одреди дужину страница квадрата. 60. Странице правоугаоника се разликују за 2cm. Ако сваку страницу повећамо за 4cm, површина правоугаоника се повећа за 56cm2. Израчунај странице тог правоугаоника. 61. Збир дужина катета правоуглог троугла је 27cm. Ако се једна катета смањи за 3cm, а друга повећа за 5cm, површина остаје иста. Израчунај катете троугла. 62. Дијагонале ромба се разликују за 5cm. Ако дужу дијагоналу скратимо за 2cm, а краћу повећамо за 1cm, површина ромба остаје иста. Одреди дијагонале тог ромба, а затим израчунај његову површину. 63. Једна страница правоугаоника је за 3cm дужа од друге странице. Ако дужу страницу скратимо за 2cm, а краћу повећамо за 5cm, површина ће се повећати за 26cm2. Одреди странице тог правоугаоника, а затим израчунај његов обим.

36 37

64. Једна цев напуни базен за 6 сати. Ако базен пуне 2 цеви, оне ће га напунити за 2 сата. Колико је потребно другој цеви, ако само она пуни, да напуни базен? 65. Путнички воз прелази раздаљину између два града за 4 сата. Ако би повећао брзину за 20km/h, исту раздаљину би прешао за 3 сата. Којом брзином се кретао путнички воз и колико је растојање између тих градова? 66. Одређену количину воде, чија је температура 75°С, треба помешати са водом, чија је температура 10°С, да би се добило 80 литара воде, чија је температура 36°С. Колико треба узети од сваке? 67. Ако се 8kg кафе по цени од 500 динара по килограму помеша са одређеном количином кафе по цени од 560 динара по килограму, онда ће цена мешавине бити 520 динара по килограму. Колико треба узети кафе чија је цена 560 динара по килограму?

Г – прoшири 68. Три цеви пуне базен. Прва би сама напунила базен за 10 сати, друга за 6 сати, а трећа за 5 сати. Ако су прва два сата укључене прве две цеви, а после тога све три цеви, после колико времена ће се напунити базен? 69. Три радника раде неки посао. Први радник би, радећи сам, тај посао завршио за 10 дана, други за 15 дана, а трећи за 12 дана. За колико дана ће завршити посао ако су прва два радника започела посао, а трећи им се придружио после три дана?

70. Растојање између Крагујевца и Новог Сада је 180km. Из ова два града два аутобуса су истовремено пошла један другом у сусрет, један просечном брзином од 70km/h, а други од 80km/h. После колико времена ће се срести?

76. Чамац превози путнике по реци низводно 36km, просечном брзином од 12km/h. У повратку, када иде узводно, треба му 45 минута више. Којом брзином се креће чамац када иде узводно?

71. Иван и Борис станују у кућама које су на растојању од 4km. Истовремено крену један другом у сусрет, Иван брзином од 4,5km/h, Борис брзином од 5,5km/h. После колико времена ће се срести? Колико ће Иван тада бити удаљен од куће?

77. Два дечака, који су удаљени 4km један од другог, када би кренули један другом у сусрет, срели би се за 15 минута. Ако би кренули истим смером, један дечак би срео другог за 40 минута. Којим брзинама се крећу дечаци?

72. Два мотоциклиста крећу један за другим у размаку од 12 минута, један брзином од 90km/h, а други брзином од 120km/h. После колико времена ће други стићи првог? 73. Један бициклиста је кренуо из места А у место В у 7 часова, крећући се просечном брзином од 12km/h. У 10 часова кренуо је други бициклиста истим путем, крећући се просечном брзином од 18km/h. У колико часова ће други бициклиста стићи првог? Колико ће километара тада бити удаљени од места А? 74. Срђан је пут од своје куће до спортске хале прешао за 23 минута. Прву половину пута ишао је брзином од 4m/s, затим трећину пута брзином од 3m/s, а остатак пута је ишао брзином од 2m/s. Колико је удаљена Срђанова кућа од спортске хале? 75. Један аутобус креће из Београда ка Будви у 8 часова брзином од 60km/h. После сат времена за њим креће други аутобус. Којом брзином мора да се креће други аутобус да би стигао први у 12 часова?

78. У 21 литар воде треба додати одређену количину алкохола од 80% да би се добио алкохол од 10%. Колико треба додати алкохола од 80%? 79. Колико воде треба додати у 100 грама раствора хлороводоничне киселине од 40% да би се добио раствор од 8%? 80. Мешањем раствора од 70% и 30% сумпорне киселине добија се 400 грама раствора од 35%. Колико треба узети једног, а колико другог раствора?

Линеарнa неједначинa А – утврди 1. Испитај истинитост следећих бројевних неједнакости: а) –8 < 3; б) 0 < –5 ∙ (–2); в) –7 + (–4) > –7 ∙ (–4); г) |–6|> |–2| + |–3|; 1 2 3 д) –1 – < + ; ђ) 2 3 > 3 2 ; 2 3 7

36 37

Б – вежбај

(4 - 5 ) 2

2

> 0;



з)



23 22  2  2 и)   -   < - ;  3  3 3 3

3



8.

е) (–1)101 > (–1)100; 1 1 3 2 ж) ⋅ ( -3) + 4 < ( -5) + ⋅ 23 ; 9 8

(

2

)(

9. Одреди решења неједначине у скупу целих бројева и нађи њихов збир: а) –5 < х ≤ 3; б) |х|< 10.

)

ј) 2 5 - 10 2 5 + 10 ≤ 10 .

2. Напиши три истините и три неистините бројевне неједнакости. 3. Ако је х > у, испитај тачност неједнакости: а) у – х < 0; б) х + 3 > у + 3; в) х ∙ (–3) > у ∙ (–3); г) х ∙ (–2) < у ∙ 2. 4. Упиши у квадратић један од знакова , ≥ тако да добијеш тачне неједнакости за свако k  R: а) k k + 4; б) k – 7 k; 2 в) 2k + 4 2k – 2; г) k 0; д) –k2 – 1 0; ђ) (–k – 1)2 0;

е) (–k)2010

0;

ж)

1 k + 10 10

1 . k +1 10

5. Напиши пет неједначина са једном непознатом. 6. Који елементи скупа А = {–2, –1, – 1 , 0, 2 , 2, 3} припадају 2 3 скупу решења неједначине: а) х > 1; б) х ≤ –2; в) 8х – 3 > 21; г) |х| ≥ 2; д) |х| < 1; ђ) х2 < 2; е) 3х > 6х? 7. Провери да ли број –5 припада скупу решења неједначине: а) –5 ∙ (х – 2) > х + 3; б) 5х – 2 < 6х + 3; в) х2 < 25; г) –12 < х – 6 < 12.

39 38

Дати су скупови А = {х|х  R, x > 2}, B = {х|х  R, –3 ≤ x < 4} и С = {х|х  R, –6 ≤ x ≤ 2}. На бројевној правој представи скупове А, В, С, а затим и скупове А  С, А  В, В  С и А  В  С.

10. Одреди у скупу N решења неједначине: а) х < 8; б) х ≤ 5; в) 2х > 8; г) 5х – 3 < –13; д) 3х ≥ 5х; ђ) 4 – 2х ≥ 7. 11. Одреди у скупу Z– решења неједначине: а) х < –7; б) х ≥ –4; в) 2х + 5 > –12; г) |х| < 7; д) 2 – х ≥ 8; ђ) 3х + 4 > 4. 12. Решење неједначине представи на бројевној правој, користећи интервале реалних бројева: а) х > 5; б) 2х ≥ –8; в) 3х – 1 > 2; г) 0 ≥ 2 + х; 3 д) –7 < х < –2; ђ) –5 1 ≤ х ≤ 1; 2 е) 2 < 2х ≤ 12; ж) |х| < 3; з) –4|х| ≥ –4; и) |х| > 2; ј) 3|х| ≥ 9. 13. Провери које неједначине немају решење: а) х + 4 < х – 1; б) 2х > 5х; 2 г) 2 – 3х > 8 –3х; в) (х + 2) < 4х +4; д) – х2 > 0. 14. Провери које неједначине су тачне за свако х  R: а) 2х + 8 > 2х – 2; б) –2 – 4х > –4х + 2; в) х2 ≥ 0; г) 3х + 3 > 3; д) – х – 2 < 0; ђ) х – 7 < х.

15. Испитај да ли су еквивалентне неједначине: а) х < 2 и х + 1 < 3; б) 2 – 2х < 0 и х < 1; в) 5 – х > 0 и x < 1; 5 г) х – 4 < 2 и 9 – 3х > –9; д) х + 2 > 0 и х2 – 4 > 0. 16. Повежи еквивалентне неједначине: x -5 > 4 • • х2 + 2х < х2 + 20 2 2х – 3 < х + 7 • • 9 – (1 – 2х) < 7 + 3х 1 -2 - x < –5 2 ∙ (3х – ) > 5 • • 2 3

Решавање линеарних неједначина с једном непознатом

5 - 2x - 1< x ; 3 1- x 1 2 x - 1 б) ; + < 3 2 2 4x - 5 x +1 в) ≥0; 4 3 x +5 4- x г) ≤ -2 ; 8 2 3x - 4 2x - 3 д) > 1; 2 4 1- x 2 x + 1 ђ) < 1; 2 3 2x - 3 x е) - ≤ -1; 4 3 6 x + 5 3 3x + 1 ж) + ≤ ; 15 5 3 x +3 x -4 з) -x> ; 6 9 x -3 x +3 2 и) ≥ x. 2 3 3

3. а)

Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој (1– 4)



А – утврди

4. а)

1. а) х – 7 > 2;

в) 2х – 4 ≥ 6;

б) х + 2 < 2; 3 г) –3х + 7 ≤ 4.

Б – вежбај 2.

а) 5х – 2 > 2х + 4; б) 2 ∙ (8 – х) < 26 – 4х; в) 2х – 15 ≤ 4х – 3 ∙ (х + 11); г) 2 ∙ (х – 1) – (4 – х) ≥ 3 ∙ (х – 2); д) 3 – 3 ∙ (х – 2) < 5 – 2 ∙ (8 – х); ђ) 2 ∙ (1 – х) + 8 > 2 ∙ (х – 1); е) 3 ∙ (1 – х) – 2 ∙ (2х – 1) ≤ –9; ж) 3 ∙ (2х + 3) – 2 ∙ (4х – 1) ≤ –1; з) 5х – (4 – (2х + 7)) ≤ 3 – (2х – 9).



x -1 x +2 - x ≤ 1; 2 3 5 y + 1 8 y + 1 10 y + 1 б) < ; 3 4 12 y + 2 y -1 y в) < -2 - ; 3 2 6 a - 2 5a + 8 a г) < 1- ; 6 12 2 3a + 4 2a - 1 a + 1 д) 1 ; ≤ 12 6 9 1 3 z - 5 1+ 3 z ђ) + < 0,2 ; 5 2 5 3z z - 5 1 z - 2 е) ≥1 + ; 2 3 2 6 5 ( z - 1) z + 3 3z + 2 < 3z . ж) 12 6 3

39 38

5. За које вредности променљиве у је y -1 2y + 3 већe од –2? 5 10 6. За које вредности променљиве х је x + 1 1- 2 x + мање од 2? 4 3 7. Одреди најмањи природан број х који задовољава неједначину 1 5 (3 + x ) < -4 . 3 6 8. Одреди све природне бројеве који су решења неједначине (х – 2)2 – (х + 3)(х – 3) ≥ 0. 9. У скупу природних бројева реши 3 1 неједначину x - 1 - 0,1x < . 4 2 10. Нађи заједничка решења неједначина и прикажи их на бројевној правој: а) х < 5 и 2х > –4; б) 3х + 1 > –11 и 4 – 3х > 3 – 2х; в) 5х + 4 > 19 и 2х – 2 > –7; г) x + 1 < 0 и 2x – 2 > 1. 3 5 11. Одреди решења неједначина и прикажи их на бројевној правој: а) –2 < 2х < 4; б) 2 ≤ 3х – 1 ≤ 8; в) –1 < 2x + 1 < 3. 5

В – примени

Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој (12– 13)

12. а)

4140

1  2 1 1 3 1 ⋅ 1 x -  - 1≥ ⋅  x - 2  - 2 x ; 5  3 2 3 4 2





2 (3 y - 1) 3 y - 2 2 y + 1 4 y - 1 < + ; 5 3 3 2 5z - 3 3z - 5 2 < 2z - 5 + 3 . в) z + 8 4 3

б)

13. а) х(х – 4) – х2 + 3 > 7; б) х(3 – х) + 2 > 1 – х2; в) (х – 1)(х + 4) – 6х ≤ х(х – 3) + 2; г) (2х – 5)(х – 1) – (х + 2)(2х – 1) ≤ –13; д) (х + 1)(х + 2) – 3х ≤ (х – 1)2 – 3; ђ) 2х(х + 4) – (х + 4)2 ≤ (х – 2)(х + 3) – х; е) (х + 1)2 – х(х – 3) ≥ 0; ж) (х + 2)2 – (х – 2)2 < 8; з) (х – 2)2 – (х + 4)(х – 4) ≥ 28; и) (х – 3)2 – (х – 1)(х + 1) < –2; ј) (х + 5)2 – (х – 1)2 > 48; к) (х – 1)2 – (х + 4)2 < 15; л) (х + 4)(х – 4) – (х – 2)2 ≥ – 6; љ) (2х – 1)(2х + 1) – (2х – 1)2 ≥ 2; м) (3х + 1)2 + (4х – 1)2 < (5х + 2)2. 14. Реши неједначину у скупу Z –.

x +1 1 - 2 ( x + 3) < 3 2

15. Одреди све негативне целе бројеве за које x - x – 1 није мање од 1 – x . 3 2 4 16. Нађи заједничка решења неједначина (х + 2)2 – (х – 2)2 < –32 и (х – 1)(х + 2) – (х – 3)(х + 4) > 4. 17. У скупу природних бројева нађи заједничка решења неједначина: 2 - x 2x - 3 2x + 1 3x - 2 > -1. ≤1 и 2 4 5 3 18. У скупу целих бројева нађи заједничка решења неједначина: 3x - 4 2x - 3 x -5 x +2 2; д) |2х – 1| ≤ 3;

е) |3х + 1| > 4;

б) |х| ≤ 5; г) |х – 1| < 4; ђ) |4 – х| ≤ 7; ж)|2х – 1 | > 1 . 2 2

20. а) |2х + 1| – х < 3; б) |4 – х| – 2 > 2х + 3. 21. а) 3 ∙ (2х + 1) > 0; б) –2 ∙ (4х – 1) ≤ 0; 5 - 3x в) < 0; 6 5x + 5 > 0; г) 2 3 2 д) (х + 2) ∙ (2х – 4) ≥ 0; ђ) (3х + 5) ∙ (х2 + 2 ) ≤ 0; 3 е) х ∙ (х + 4) > 0; ж) (х – 3) ∙ (2х + 1) ≤ 0; з) (3х – 3) ∙ (х + 4) ≥ 0. 2x -1 x +3 > 0 ; б) 0 ; > 1; 2x + 1 x +1 x+4 д) < -2 ; ђ) (х – 3)(х +4)2 > 0; 2x - 3

22. а)

е)

2x - 3

( x - 2)2

>0.

4041

Тест − Линеарне једначине и неједначине 1. Решење једначине 2х + 5 = 7 је: а) −1; б) 1; в) 2; г) 6.

2. Решење једначине 3 − (2х + 5) = 7(х + 3) − 2(4 − 3х) је: а) −1; б) 1; г) 2 1 . в) − 1 ; 3 2

3. Решeње једначине 5x + 1 – 8x + 1 = 10x + 1 је: 3 4 12 а) између −1 и 1; б) између 1 и 3; в) између 3 и 5; г) између 5 и 7.

4. Вредност параметра р за коју су једначине рх − 1 = 7 1 и 2 2 2 + x − 3 = х − 5 еквивалентне је: 3 а) између −1 и 1; б) између 1 и 3; в) између 3 и 5; г) између 5 и 7.

6. Ако једну страницу квадрата повећамо за 4cm, а другу смањимо за 3cm, добићемо правоугаоник чија је површина једнака површини квадрата. Страница тог квадрата је: а) 6cm; б) 12cm; в) 16cm.

7. Решење неједначине (х − 2)(х + 2) − (х + 2)2 > 4x је: а) х < −1; б) х > −1; в) х < 1; г) х > 1.

8. Заједничка целобројна решења неједначина (х + 3)2 − (х − 3)(х + 2) < 36 и x – 1 < 2x – 3 су: 3 4 а) {−2, −1, 0, 1, 2}; б) {−1, 0, 1}; в) {−1, 0, 1, 2, 3}; г) {−1, 0, 1, 2}.

5. Ученик је првог дана прочитао 2 књиге 5 и закључио да му је преостало још 15 страница до половине књиге. Књига има: а) 25страница; б) 100 страница; в) 150 страница.

Решења: 1. б); 2. а); 3. а); 4. б); 5. в); 6. б); 7. а); 8. г).

42

ЛинеарнЕ једначинЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ – решења 1. 2. 3.

а) 1;

б) –33;

в) 3;

г) 11; д) –6;

На пример: 1) 2 ∙ 3 – 9; 2) 1 + 2 : 1 – 2 ∙ 5; 5 3 2 2 3 2 2 . 3) · + 2 ∙ (8 – 4 ) + 3 7 3 3

1) 5а + 6b;

2)



г) 6х + 5 = 8 – 3х.

22. а), б), г), ђ).

1 2 a − (b + 6 ) . 2 3

5.

На пример: 3а2 + 5(а – 1) – 1 ; 2 1 1 1 а) –7 ; б) – 5 ; в) –2 . 2 2 4

Решавање линеарних једначина с једном непознатом 1.

a) тачно; б) тачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно. 2) –2 – 3а = 1 ; 2

7.

На пример: 1) 4а + 5 = 1;



3) у – (у + 1) = 2;

8.

а) А(х) В(х); б) А(х) В(х); в) А(х) В(х), за х ≠ 0.

9.

а) х – 1, б) –7х – 4; в) х2; г) 7х2 – х.

2

x +3 x +8 − = −1 ; 3 4

20. а) еквивалентне су за х ≠ 0; б) нису еквивалентне.

б) 3 1 . 2

2

в)

б) –3х + 2 = 17;

21. а) не; б) не.

а) –43;

6.

18. На пример: а) 6х = 12;

19. а) х = 0; б) х = 2; в) х = –1 и х = 3; г) х = –3 и х = 3; д) х = –5; ђ) х = 6.

На пример: 1) 5х + 6; 2) 1 (х – 4) + 3; и 2

4.



ђ) 1 29 . 30

1 y +2 =6. 4) y + 2 3

а) х = 2 1 ; б) х = –4 2 ; в) х = –3; г) х = 6; 2 3 д) х = –3 4 ; ђ) х = 4; е) х = 0. 5

2.

а) х = –4; б) х = –4; в) х = 2; г) х = 1 1 ; д) х = 1. 2

3.

Ни Милица ни Милош нису тачно решили. Милица је направила грешку у другом кораку: 3х + 2(х – 1) = 3х + 2х – 1, а Милош у четвртом: 5х – 4х = 1 – 2.





а) х = –5; б) х = 1; в) х = –1 2 ; г) х = 6; 3 д) х = 2; ђ) х = 5; е) х = –1; ж) х = –6.

10. а) да; б) да; в) не; г) да.

5.

а) а = –14; б) b = –2; в) c = 0;

11. I и II, II и I, III и III.



г) a = –1; д) b = 10; ђ) c = –4 1 . 2

12. а) х = 2; б) х = 2; в) х = –1; г) х = 2; д) х = –1; ђ) х = –3; еквивалентне су а), б) и г) и в) и д).

6.

а) y = 7 1 ; б) y = 1; в) y = 1. 2

7.

а) х = 21; б) х = 8; в) х = –2 3 ; г) х = –48; 5 2 д) х = ; ђ) х = 11; е) х = – 17 ; 3 6 17 16 ; з) х = – . ж) х = – 16 11

13. На пример: 14. а), в), ђ). 15. а) да; б) не. 16. а) да; б) не. 17. б), в), д), ђ).

а) 10 – 5х = 6;

4.

б) 3х = 9.

8.

а) х = –8; б) х = 5; в) х = –1; г) х = –2; д) х = 5; ђ) х = 2; е) х = 0 ж) идентитет, ∀ х  R; з) х = –1.

43

9.

а) х = 0; б) х = 1 ; в) х = 8; 3 1 г) х = – ; д) х = 1; ђ) х = 10. 2

23. х = 3 , k = 2 4 . 10 7

10. а) х = 14; б) х = 2 7 ; в) х = –42; г) х = 2; 11 2 д) х = 3 ; ђ) х = 1; е) ∀ х  R; ж) х = –1. 3 11. а) х = – 1 ; б) х = –1; в) х = 8; 2

г) х = 2.

12. а) х = 1; б) ∀ х  R; в) х = –5; г) х = 5; д) ∀ х  R. 13. а) х = –2; б) немогућа; в) х = 1; г) х = 4 ; д) х = 1 . 39 2 14. а) х = – 17 ; б) х = 1 ; в) х = 51; г) х = 11 . 20 2 39

25. а) х = 2;

б) х = –5; в) х = –5 или х = 1; г) х = – 1 или х = 4. 5

1 = t , t = 1, х = 1; x 1 = t , t = 1, х = 4; б) Смена x −3 1 = t , t = 2, х = –1 1 . в) Смена 2 x +2

26. а) Смена

15. а) х = 2; б) х = –7; в) х = 2; г) х = 4; д) х = 0; ђ) х = 2; е) х = –7; ж) х = –2.

27. у = –3 3 . 4

16. а) х = – 1 ; б) немогућа; в) х = 3; г) х = 1 ; 9 402 д) х = –2; ђ) х = –2 1 ; е) х = 2; ж) х = 1. 6

28. Једначина нема решења.

17. а) х = – 1 ; б) х = –1 1 ; в) х = 1 25 ; г) х = 4. 8 2 104 P P 2P 18. а) b = ; б) r = ; ; в) a = a π b 2P 2P г) d1 = ; д) h = . d2 a+b v F ; в) a = ; a m RR F 2s г) s = ; д) a = 2 ; ђ) R = 1 2 . P R1 + R2 t

19. а) s = v ⋅ t , б) t =

20. х = –1, p = 5. 21. х = 5, m = –1. 22. х = 2, p = –2 3 . 4

45 44

б) х = –2 или х = 2; 24. а) х = –5 или х = 2; 1 2 в) х = или х = – ; 5 3 1 г) х = 1 или х = –2 или х = – 1 ; 2 3 д) х = –3 или х = 3; ђ) х = 5.

29. k = –2. 30. х = 5, a = 1. 31. х = 1, p = 6. 32. а) х = –2 3 или х = 2 3 ; 4 4 2 б) х = –3 или х = 1 2 ; 7 7 в) х = 2 или х = –1; г) х = 4 или х = –2; д) х = 5 или х = –5; ђ) х = 4 или х = –3 1 ; 3 2 е) х = 1 или х = –3 . 3 33. а) х = –1 или х = 1 ; 2 2 в) х = –2 или х = 3 1 ; 3 3

б) х = –2 или х = 2;

34. а) х = 0 или х = 5; в) х = –2 1 или х = – 5 . 4 6

б) х = 0 или х = 2 ; 3

г) х = 0 или х = 2.

Примена линеарних једначина с једном непознатом 1.

5х = 2х + 12, х = 4.

2.

1 х = 1 х – 5, х = 30. 3 2

3.

1 х + 1 х = х – 7, х = 16 4 . 3 4 5

4.

х – 18 = 1 х + 1 х + 1 х, х = 32. 4 8 16

5.

2 х + 3 = х – 5, х = 24. 3

6.

1 х – 2 = 1 х + 3, х = 30. 2 3

18. 2α + 52° = 180°, α = 64°. 19. 7γ + 7γ + γ = 180°, γ = 12°, α = 84°. 20. 2а + 2 ∙ (а – 2,5) = 39, а = 11cm, b = 8,5cm. 21. 2 ∙ 4b + 2 ∙ b = 200, b = 20cm, a = 80cm, P = 1 600cm2. 22. а = 15cm, b = 30cm. 23. а = 6cm, b = 10cm. 24. c2 = 52 + (c – 1)2, c = 13cm. 25. (5x – 1)2 = (3x + 2)2 + (4x – 3)2, x = 6, a = 20cm, b = 21cm, c = 29cm, O = 70cm. 26.

2x + 5 1 = x + 4 , х = 5. 3 5

27.

x +5  1  =  x − 3 ⋅ 9 , х = 43. 9  3

7.

869 = 27х + 5, х = 32.

8.

х + х + 1 + х + 2 = 432, х = 143. То су бројеви 143, 144, 145.

9.

2х + 2х + 2 + 2х + 4 + 2х + 6 = 204, х = 24. То су бројеви 48, 50, 52, 54.

29.

2+ x 3 = , х = 7. 5+ x 4

10. х + х + 1 + х + 2 + х + 3 + х + 4 = –45, х = –11. То су бројеви –11, –10, –9, –8, –7.

30.

5− x 1 = , х = 3. 7+ x 5

11. 2х + 1 + 2х + 3 + 2х + 5 = 717, х = 118. То су бројеви 237, 239, 241.

31. Сабирци су х и 36 – х. Тада је 4 x =

12. 31 + х = 5 ∙ (3 + х), х = 4. 13. 38 – х = 4 ∙ (14 – х), х = 6. 14. Ако сестра има х година, брат има х + 6 година. За годину дана брат ће имати х + 7, а сестра х + 1. Тада је х + 7 = 2 ∙ (х + 1), х = 5. Дакле, сестра има 5, а брат 11 година. 15. 3 х + 25 = х, х = 100kg. 4 16.

1 1 x + 8 = x , x = 32km. 4 2

17. α + α + 18° = 90°, α = 36°; 36° и 54°.

1  1  28.  x + 3 ⋅ 4 =  x − 3 ⋅ 9 , х = 234. 3  6 

36 − x , х = 4. 2

Сабирци су 4 и 32. 32. 5х + 5х + 5 + 5х + 10 + 5х + 15 = 170, х = 7. То су бројеви 35, 40, 45, 50. 33. х2 – (х – 5)2 = 95, х = 12. 34. (х + 1)2 – х2 = 85, х = 42. То су бројеви 42 и 43. 35. (2х + 1)2 – (2х – 1)2 = 88, х = 11. То су бројеви 21 и 23. 36. 2х ∙ (2х + 2) = (2х + 4) ∙ (2х + 6) – 120, х = 6. То су бројеви 12, 14, 16 и 18. 37. х + 3 = 2 ∙ (х – 6), х = 15.

44 45

38. х + 8 = 3 ∙ (х – 8), х = 16.

55. 3c + 12 + c + c = 62, c = 10cm, a = 30cm, b = 22cm.

39. Ако најмлађа сестра има х година, најстарија 3х, а средња 3х – 2 година, тада је 3х + 3х – 2 + х = 40, х = 6. Сестре имају 6, 16, односно 18 година.

56. d2 = 82 + (d – 2)2, d = 17cm, b = 15cm, P = 120cm2.

40. х + 13 + х + 8 = 45, х = 12; брат има 12, а сестра 17 година.

58. a2 = (a – 3) (a + 4), a = 12cm, ap = 16cm, bp = 9cm. 59. a2 = (a + 8) (a – 6), a = 24cm.

41. х + 4 = 2 ∙ (х – 4), х = 12. У одељењу је 12 дечака и 16 девојчица.

60. (b + 2)b = (b + 6) (b + 4) – 56, b = 4cm, a = 6cm..

1 4 42. x + 2 + x = x , x = 9km. 3 9

61.

3 1 x + x + 500 = x , x = 7 500 гледалаца. 43. 5 3

62.

a (27 − a ) ( a − 3) (32 − a ) = , a = 12cm и b = 15cm. 2 2

(d1 + 3)(d1 + 1) = d1 (d1 + 5) ,

2 2 d1 = 3cm, d2 = 8cm, P = 12cm2.

44.

5 1 1 x + x + x + 450 = x , х = 3 600 књига. 8 12 6

63. (b + 1) (b + 5) = (b + 3)b + 26, b = 7cm, a = 10cm, O = 34cm.

45.

3 3 2 x + x + x + 5 = x , х = 250 посланика. 5 10 25

64.

46.

30 2 7 x + ⋅ x + 120 = x , х = 240 ари. 100 7 10

47.

4 4 5 x + ⋅ x + 220 = x , х = 540km. 9 15 9

48.

3 3 x + 2,4 ⋅ x + 87 = x , x = 240 страна. 16 16

49. 5х – 2 ∙ (15 – х) = 33, х = 9; 9 тачних и 6 нетачних одговора. 50.

47 46

57. (a + 2)2= a2 + 20, a = 4cm, O = 16cm.

5 x + 3 ⋅ (16 − x ) = 4,5 , х = 12. Марко има 12 16 петица и 4 тројке.

1 1 1 1 + = , смена = t , t = 1 , x = 3. За 3 сата. 3 6 x 2 x

65. v ∙ 4 = (v + 20) ∙ 3, v = 60km/h, s = 240km. 66. 75 ∙ х + 10 ∙ (80 – х) = 36 ∙ 80, х = 32; 32 литра од 75° и 48 литра од 10°. 67. 8 ∙ 500 + х ∙ 560 = (8 + х) ∙ 520, х = 4kg. 68.

2+ x 2+ x x + + = 1 , х = 1, после 3 сата. 10 6 5

69.

x x x −3 + + = 1 , х = 5 дана. 10 15 12

70. 1 сат и 12 минута. 71. 24 минута; 1,8km.

51. α + 5α + α + 5° = 180°, α = 25°, β = 125°, γ = 30°.

72. (t + 0,2) ∙ 90 = t ∙ 120, t = 0,6h; 36 минута.

52. α + α + 20° + α + 40° + α + 60° = 360°, α = 60°. Углови четвороугла су 60°, 80°, 100° и 120°.

73. (t + 3) ∙ 12 = t ∙ 18, t = 6; Како је други кренуо у 10h, а срели су се после 6h, закључујемо да су се срели у 16h. Од места А ће бити удаљени 108km.

53. α + 1 α + α – 10° + α + 1 α + α + 10° = 720°, 2 2 α = 144°. Углови шестоугла су 144°, 72°, 134°, 144°, 72° и 154°.

s s s 74. 2 + 3 + 6 = 1380 , s = 4 320m = 4,32km. 4 3 2

54. b2 = 32 + (b – 1)2, b = 5cm, O = 16cm.

75. 60 ∙ (12 – 8) = v ∙ (12 – 9), v = 80km/h.

76. s = v2 ∙ t2, 36 = v2 ∙ (t1 + 3 ), 4 36 3 + ), v = 9,6km/h. 36 = v2 ∙ ( 12 4 2 s , одакле v1 + v 2 је v1 = 16 – v2. Ако би кренули истим смером, из 4+s s = , а како је t1 = t2 = 2 h, то t1 = t2 имамо 3 v1 v2

77. Ако иду један другом у сусрет, t =

6. 7.

a) {2, 3}; б) {–2}; в) ; г) {–2, 2, 3}; д) {– 1 , 0, 2 }; 2 3 1 2 1 ђ) {–1, – , 0, }; е) {–2, –1, – }. 2 3 2 а) да; б) не; в) не; г) да.

8.

0

1

2 A

је 4 + 2 v2 = 2 (16 – v2), v2 = 5km/h, v1 = 11km/h. 3 3 78. 0,8х = 0,1 ∙ (21 + х), х = 3.

–3

0

4 BA

79. 0,1 ∙ 0,4 = 0,08 ∙ (х + 0,1), х = 0,4kg. 80. 0,7 ∙ х + 0,3 ∙ (0,4 – х) = 0,35 ∙ 0,4; х = 0,05; 50 грама 70% и 350 грама 30%.

–6

0

CB

2

Линеарнa неједначинa 1.

а) тачно; б) тачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно; ђ) нетачно; е) нетачно; ж) тачно; з) тачно; и) тачно; ј) тачно.

2.



На пример: Истините: 1) 3 + 8 > 5 ∙ (–2); 2) (–5)7 < (–5)6; 2 3 2 3 3) ⋅ ≤ : ; 3 7 3 7 Неистините: 1) (–7) ∙ (–6) ≤ –7 + (–6);



2) ( −9) < 0 ; 3) (–3)3 + (–3)2 > –3.

3.

а) тачно; б) тачно; в) нетачно; г) није тачно за свако х и у.

4.

а) k < k + 4; б) k – 7 < k; в) 2k + 4 > 2k – 2; г) k2 ≥ 0; д) –k2 – 1 < 0; ђ) (–k – 1)2 ≥ 0; 1 1 е) (–k)2010 ≥ 0; ж) 10 < 10 . k + 10 k − 10



5.

2

0

–6 AC

–3

0

2

BC

2

На пример: а) х + 4 > 6; б) 2x – 3 < 8; в) 5x + 8 ≤ 2x – 1; 3x + 4 3 − x x x г) + 3 > 4 + ; д) − ≥2. 2 4 2 3

4

AB



A  B  C = .

9.

а) –4; б) 0.

10. а) х  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; б) х  {1, 2, 3, 4, 5}; в) х  {5, 6, 7, 8, ...}; г) х  ; д) х  ; ђ) х  . 11.

а) х  {–8, –9, –10, ...}; б) х  {–4, –3, –2, –1}; в) х  {–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1}; г) х  {–6, –5, –4, –3, –2, –1}; д) х  {–6, –7, –8, –9, ...}; ђ) х  .

46 47

13. а), в), г), д).

12. a) х  (5, ∞);

14. а), в), ђ).

0

5

16. I и III, II и I, III и II.

–4

0

Решавање линеарних неједначина с једном непознатом

в) х  (1, ∞);

0

15. а) да; б) не; в) да, г) да; д) не.

б) х  [–4, ∞);

1

г) х  (–∞, – 2 ]; 3

0

д) х  (–7, –2);

–7

–2

1

6

ж) х  (–3, 3); 0

3

0

1

и) х  (–∞, –2)  (2, ∞); 0

а) х > 2 ; б) х > 1; в) х ≥ 2 3 ; г) х ≤ –1; 5 8 д) х > 2 1 ; ђ) х > – 5 ; е) х ≤ –1 1 ; ж) х ≥ 1; 4 7 2 з) х < 1; и) х ≤ –5.

4.

а) х ≥ –5; в) нема решење; д) а ≥ 2; е) z ≥ – 1 ; 2

б) у > 0; г) а < 8; ђ) z < 3; ж) z > –1.

5.

За сваку вредност променљиве у.

6.

х > –3 2 . 5

7.

х > 2 1 , х = 3. 5

8.

х ≤ 3 1 , х  {1, 2, 3}. 4

9.

х < 2 4 , х  {1, 2}. 13

10. а) х  (–2, 5); б) х  (–4, 1); в) х  (3, ∞); г) нема заједничких решења.

2

ј) х  (–∞, –3]  [3, ∞); –3

49 48

3.

з) х  [–1, 1];

–2



а) х > 2; б) х < 5; в) х ≤ –18; г) сваки реалан број; д) х > 4; ђ) х < 3; е) х ≥ 2; ж) х ≥ 6; з) х ≤ 1.



–1



1

е) х  (1, 6];

–3



2.



0



а) х > 9; б) х < 1 1 ; в) х ≥ 5; г) х ≥ 1. 3



ђ) х  –5 1 ,1 ; 2 0



1.

11. а) х  (–1, 2); б) х  [1, 3]; в) х  (–3, 7). 0

3

12. а) х ≥ 16 ; б) y > 13 ; в) z < 7. 125 74 б) х > – 1 ; 3 в) решење је сваки број х  R ; г) х ≥ 2; д) х ≤ –2; ђ) решење је сваки број х  R ; е) х ≥ – 1 ; ж) х < 1; з) х ≤ – 2; 5 и) х > 2; ј) х > 2; к) х > –3; л) х ≥ 3 1 ; љ) х ≥ 1; м) х > – 1 . 2 11

13. а) х < –1;

14. х > –3,7; х  {–1, –2, –3}. 15. х ≥ –3, х  {–1, –2, –3}. 16. х  ( –∞, –4).

21. а) х  (– 1 , ∞); 2 в) х  (1 2 , ∞); 3

б) х  [ 1 , ∞); 4 г) х  (–∞, –1);

ђ) х  (–∞, –1 2 ]; 3 е) х  (–∞, –4)  (0, ∞); ж) х  [– 1 , 3]; 2 з) х  (–∞, –4]  [1, ∞). д) х  [2, ∞);

22. а) х  (–∞, –3)  (1, ∞); в) х  (– 1 , 3); б) х  (–5, 1 ); 2 2 г) х  (–∞, –1)  (4, ∞); ђ) х  (3, ∞); д) х  ( 2 , 1 1 ); 5 2 е) х  (1 1 , 2)  (2, ∞). 2

17. х  [ 2 , 2 4 ), х  {1, 2}. 13 5 18. х  (–5 1 , 2 1 ), х  {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. 5 4 19. а) х  (–3, 3); б) х  [–5, 5]; в) х  (–∞, –2)  (2, ∞); г) х  (–3, 5); д) х  [–1, 2]; ђ) х  [–3, 11]; е) х  (–∞, –1 2 )  (1, ∞); 3 ж) х  (–∞, 0)  ( 1 , ∞). 2 20. а) х  (–1 1 , 2); 3

б) х  (–∞, – 1 ). 3

49 48

50

ПРИЗМА А – утврди 1.

Колико темена, ивица и страна има: а) тространа призма; б) четворострана призма; в) шестострана призма?

6. На слици четворостране призме уочи два различита дијагонална пресека. (обележити темена квадра са ABCDA1B1C1D1)

2. На свакој од нацртаних призми плавом бојом oзначи све основне ивице, црвеном све бочне ивице, а зеленом све нацртане дијагонале призме.

Б – вежбај 7. На слици правилне шестостране призме уочи један дијагонални пресек који је одређен дужом и један који је одређен краћом дијагоналом основе. (обележити темена призме са ABCDEFA1B1C1D1E1F1

8. Дужине ивица квадра су три узастопна природна броја чији је збир 12cm. Одреди ивице тог квадра и дужине дијагонала страна тог квадра. 3.

Колико дијагонала има: а) тространа призма; б) четворострана призма; в) шестострана призма?

4. Ивице квадра су 6cm, 8cm и 10cm. а) Израчунај дужину свих ивица квадра. б) Израчунај дужину дијагонале квадра. 5. Дијагонала квадра је 13cm. Израчунај дужину треће ивице квадра ако су дужине две ивице 3cm и 12cm.

9.

Израчунај дијагоналу коцке ако је: а) ивица коцке 4cm; б) збир свих ивица коцке 12cm; в) дијагонала једне стране коцке 6cm.

10. Дијагонала коцке је 12cm. Израчунај дужину ивице коцке.

В – примени 11. Збир свих ивица квадра је 160cm. Израчунај ивице квадра ако се оне односе као 2 : 3 : 5.

51

12. Основна ивица правилне шестостране призме је 4cm, а висина 6cm. Израчунај краћу и дужу дијагоналу призме. 13. У правилној шестостраној призми је основна ивица једнака висини. Израчунај: а) краћу дијагоналу призме ако је основна ивица 6cm; б) дужу дијагоналу призме ако је висина 8cm; в) д  ужу дијагоналу призме ако је краћа дијагонала 6√5cm. 14. Колико различитих дијагоналних пресека има квадар? Израчунај површину сваког од тих пресека ако су ивице квадра 5cm, 12cm и 16cm. 15. Ивица коцке је 7cm. Израчунај површину дијагоналног пресека коцке. 16. Основна ивица призме је 24cm, а висина 16cm. Израчунај површину дијагоналног пресека призме ако је призма: а) правилна четворострана; б) правилна шестострана.

ПОВРШИНА ПРИЗМЕ А – утврди 1. Нацртај мрежу призме чија је висина 4cm ако је основа те призме: а) квадрат странице 3cm; б) правоугаоник страница 5cm и 3cm; в) ј еднакостраничан троугао странице 4cm; г) п  равоугли троугао чије су катете 7cm и 5cm. 2. Израчунај површину коцке ако је: а) ивица коцке 6cm; б) површина једне стране коцке 5cm2.

52 53

3. Израчунај површину квадра ако су ивице квадра 4cm, 3cm и 11cm. 4. Две основне ивице квадра су 2m и 6m. Израчунај површину квадра ако је висина квадра 5m. 5. Израчунај површину правилне четворостране призме ако је основна ивица 5cm, а висина 3cm;

Б – вежбај 6. Обим основе правилне четворостране призме је 76cm, а висина 7cm. Израчунај површину призме. 7. Израчунај површину правилне тростране призме ако је основна ивица 12cm, а висина 14cm. 8. Површина једне бочне стране правилне тростране призме је 6cm2. Израчунај површину те призме ако је основна ивица 2cm. 9. Израчунај површину правилне шестостране призме ако је основна ивица 3cm, а висина 10cm. 10. Основна ивица правилне шестостране призме је 4cm, а висина призме је два пута дужа од основне ивице. Израчунај површину призме.

ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ А – утврди 1. Израчунај запремину коцке ако је ивица коцке 3cm. 2. Ивице квадра су 1cm, 7cm и 15cm. Израчунај запремину тог квадра.

3. Површина основе правилне четворостране призме је 169cm2. Израчунај запремину те призме ако је висина призме 6cm. 4. Основна ивица правилне четворостране призме је 11cm, а висина 2cm. Израчунај запремину те призме.

Б – вежбај 5. Збир свих ивица коцке је 48cm. Израчунај запремину те коцке. 6. Две ивице квадра су 3cm и 6cm. Трећа ивица квадра једнака је збиру друге две ивице. Израчунај запремину тог квадра. 7. Основна ивица правилне тростране призме је 4cm, а висина 10cm. Израчунеај запремину те призме. 8. Израчунај запремину правилне тростране призме ако је једна бочна страна квадрат странице 6cm. 9. Израчунај запремину правилне шестостране призме чија је основна ивица 14cm, а висина 3cm. 10. Обим основе правилне шестостране призме је 60cm. Израчунај запремину призме ако је висина једнака основној ивици.

Коцка А – утврди 1. Израчунај површину и запремину коцке ако је: а) основна ивица 3√3; б) обим основе 20cm; в) висина 7cm; г) збир свих ивица 12cm.

2. Површина коцке је 486cm2. Израчунај површину једне стране коцке. 3. Површина коцке је 6cm2. Израчунај дужину ивице коцке. 4. Запремина коцке је 125cm3. Израчунај ивицу коцке. 5. Марко од картона прави моделе шест коцки за игру тако да је ивица сваке коцке 2dm. Колико му је најмање картона потребно да би направио те моделе?

Б – вежбај 6. Израчунај површину коцке ако је: а) површина основе коцке 16cm2; б) п  овршина осног пресека коцке 64√2cm2; 7. Израчунај површину и запремину коцке ако је: a) дијагонала једне стране коцке 3√2cm; б) дијагонала коцке 11√3cm. 8. Површина једне стране коцке је 49cm2. Израчунај запремину коцке. 9. Површина коцке је: а) 600cm2; б) 12cm2. Израчунај запремину коцке 10. Запремина коцке је 729cm3. Израчунај површину коцке.

В – примени 11. Површина дијагоналног пресека коцке је 12√2cm. Израчунај површину и запремину те коцке. 12. Запремина коцке је 216cm3. Израчунај површину дијагоналног пресека коцке.

53 52

Квадар 13. Дата је коцка чија је површина 24cm2. Израчунај површину друге коцке чија је ивица за 3cm дужа од ивице дате коцке. 14. Ивица коцке је 4cm. За колико процената се повећа површина коцке ако се ивица коцке: а) повећа за 2cm; б) повећа 2 пута? 15. Стана је од пластелина направила три коцке чије су ивице 3cm, 4cm и 5cm. Након тога је направила нову коцку, коју је добила тако што је спојила претходне три. Одреди ивицу те нове коцке.

Г – прошири

А – утврди 1. Ивице квадра су a = 7cm, b = 5cm и c = 8cm. Израчунај површину и запремину тог квадра. 2. Ивица коцке је 13cm, а ивице квадра су 12cm, 13cm и 14cm. Упореди површине и запремине коцке и квадра. 3. Дат је квадар ABCDA1B1C1D1. Израчунај површину и запремину тог квадра ако је: а) AB = 1cm, BC = 10cm, BB1 = 6cm; б) AB = 8cm, AD = 2cm, CC1 = 1cm; в) BC = 7cm, C1D1 = 10cm, AA1 = 9cm.

16. Од правоугаоника, чија је дужа страница 18cm, састављен је омотач коцке. Израчунај ивицу и површину те коцке. 17. Мерни бројеви површине и запремине коцке су једнаки. Израчунај ивицу те коцке. 18. Ако се свака ивица коцке повећа за 3cm, њена површина се повећа за 522cm2. Израчунај ивицу коцке пре повећања. За колико процената се промени запремина те призме? 19. Колико пута треба смањити ивицу коцке да би се запремина коцке смањила 64 пута? 20. Колико пута треба повећати ивицу коцке да би се запремина повећала 27 пута?

Б – вежбај 4. Две ивице квадра су 2cm и 5cm. Израчунај површину квадра ако је његова запремина 30cm3. 5. Две ивице квадра су 3cm и 7cm. Израчунај запремину квадра ако је његова површина 62cm2. 6. Површине три стране квадра су 8cm2, 12cm2 и 6cm2. Израчунај површину и запремину тог квадра. 7. Запремина квадра је 630cm3. Израчунај дијагоналу квадра ако су две ивице 7cm и 10cm. 8. Запремина квадра је 660cm3. Израчунај дијагоналу квадра ако су две ивице 11cm и 5cm.

54 55

9. Дат је квадар ABCDA1B1C1D1. Израчунај површину и запремину тог квадра ако је: а) AB = 12cm, BD = 13cm, DD1 = 8cm; б) AB = 8cm, AC1 = 26cm, CC1 = 24cm; в) A1D1 = 3cm, DC = 4cm, DB1 = 13cm; г) A1C = 14cm, BD = 13cm, B1C1 = 11cm.

10. Колико литара воде може да стане у суд у облику квадра чије су димензије 20cm, 60cm и 5cm?

В – примени 11. Збир свих ивица квадра је 96cm. Израчунај површину и запремину квадра ако се ивице квадра односе као 3 : 4 : 5. 12. Једна ивица квадра је 5cm, а друге две се односе као 2 : 3. Колика је запремина квадра ако је његова површина 258cm2? 13. Запремина квадра је 96cm3. Израчунај површину квадра ако се његове ивице односе као 1 : 3 : 4. 14. Мерни бројеви страница квадра су три узастопна броја. Израчунај запремину тог квадра ако је његова површина 292cm2.

Г – прошири 15. На часу ликовног Зоран је од коцке пластелина, чија је ивица 6cm, направио квадар, чије су две ивице 2cm и 9cm. Израчунај трећу ивицу Зорановог квадра.

16. Основа акваријума је правоугаоник, чије су димензије 90cm и 50cm. Висина акваријума је 60cm. Вићентије је сипао воду у акваријум до 4 висине 5 акваријума. Колико литара воде је Вићентије сипао у акваријум? 17. Станојка и Живко желе да ископају канал у облику квадра у својој башти како би наводњавали паприку. Дужина канала треба да буде 30m, ширина 20cm и дубина 10cm. Колико кубних метара земље морају да ископају да би направили канал? 18. Мара у свом дворишту има базен у облику квадра, чија је ширина 3m, дужина 8m и дубина 2m. Колико литара воде може да стане у овај базен? Колико плочица је употребљено за његово поплочавање ако су плочице у облику квадрата странице 25cm?

Правилна четворострана призма А – утврди 1. Израчунај површину и запремину правилне четворостране призме ако је: а) основна ивица 2cm, а висина 4cm; б) обим основе 24cm, а висина 7cm. 2. Израчунај површину и запремину правилне четворостране призме ако је: a) основна ивица 5cm, а дијагонала бочне стране 13cm; б) д  ијагонала бочне стране 8cm, а висина 4cm.

54 55

Б – вежбај 3. Израчунај висину правилне четворостране призме ако је: а) површина призме 702cm2, а основна ивица 13cm; б) запремина призме 728cm3, а основна ивица 9cm. 4. Израчунај основну ивицу правилне четворостране призме ако је запремина призме 450cm3, а висина 2cm. 5. Запремина правилне четворостране призме је 6 804cm3, а површина њене основе 324cm2. Израчунај површину призме. 6. Израчунај површину и запремину правилне четворостране призме ако је: a) површина основе 25cm2, а висина 1cm; б) п  овршина омотача 96cm2, а висина 8cm; в) површина омотача 480cm2, а основна ивица 10cm; г) п  овршина основе 144cm2, а површина омотача 240cm2. 7. Израчунај површину и запремину правилне четворостране призме ако је: а) д  ијагонала основе 16cm, а висина 9cm;  ијагонала призме 9cm, а висина 7cm; б) д  сновна ивица 3√2cm, а дијагонала в) о 10cm; 8. Површина основе правилне четворостране призме је 36cm2, а површина омотача је: а) 192cm2; б) пет пута већа од површине основе. Израчунај запремину призме.

56 57

9. Израчунај површину и запремину правилне четворостране призме ако је основна ивица 7cm, а висина је: а) за 2cm дужа од основне ивице; б) три пута дужа од основне ивице.

10. Израчунај површину правилне четворостране призме ако је основна ивица 6cm, a висина и основна ивица се односе као 2 : 3.

В – примени 11. Површина правилне четворостране призме је 902cm2, а површина основе призме је 121cm2. Израчунај запремину ове призме. 12. Површина правилне четворостране призме је 288cm2, а површина омотача призме 160cm2. Израчунај запремину ове призме. 13. Висина призме је два пута већа од основне ивице. Израчунај површину призме ако је њена запремина 686 cm3. 14. Дужина дијагонале правилне четворостране призме је 12cm. Израчунај површину и запремину призме ако је дијагонала нагнута ка равни основе под углом од: а) 45°; б) 60°; в) 30°.

Г – прошири 15. Дијагонални пресек правилне четворостране призме је квадрат странице 6cm. Израчунај површину и запремину призме. 16. Површина дијагоналног пресека (који садржи дијагоналу основе) правилне четворостране призме је 72√2cm. Израчунај површину и запремину призме ако је: а) висина призме 12cm; б) основна ивица призме 8cm.

В – примени 17. Квадар чије су ивице 3cm, 6cm и 7cm расечен је на две подударне правилне четворостране призме. Израчунај површину и запремину једне тако добијене призме. 18. Марко је од алуминијума направио „чашу“ у облику правилне четворостране призме, чија је унутрашња основна ивица 4cm, а дубина 10cm (без једне основе). У призму је сипао воду до 4 њене 5 висине. Након тога у призму је ставио металну коцку ивице 3cm. Да ли се део воде који је био у призми излио након стављања коцке?

Четворострана призма Б – вежбај 1. Основа призме је ромб. а) И  зрачунај површину и запремину призме ако је висина призме 7cm, а дијагонале основе призме 6cm и 8cm; б) Израчунај површину и запремину призме ако је основна ивица 13cm, једна дијагонала основе 10cm, а висина ромба једнака краћој дијагонали основе; в) И  зрачунај површину и запремину призме ако је основна ивица 18cm и један угао 120°, а висина призме једнака висини ромба; г) И  зрачунај површине дијагоналних пресека призме, чија је висина 9cm, основна ивица 20cm, а дијагонале основе се односе као 3 : 4.

2. Основа призме је једнакокраки трапез. Израчунај површину и запремину призме ако је дато: а) основице трапеза у основи су 12cm и 8cm, висина трапеза 5cm, а висина призме 12cm; б) о  сновице трапеза у основи су 8cm и 16cm, крак 5cm, а висина призме је једнака средњој линији трапеза у основи; в) површина трапеза у основи је 312cm2, разлика основица 14cm, крак 25cm, а висина призме је једнака висини трапеза у основи; г) о  сновице трапеза у основи су 15cm и 3cm, један оштар угао 60°, а висина призме 2dm. 3. Основа призме је правоугли трапез. Израчунај површину и запремину призме ако је дато: а) о  сновице трапеза у основи су 4cm и 20cm, дужи крак 20cm, а висина призме 12cm; б) о  сновице трапеза у основи су 3cm и 11cm, краћи крак 6cm, а висина призме је једнака висини трапеза у основи; в) д  ужа основица трапеза у основи је 13cm, краћи крак 4√3cm, дужи крак 8cm, а висина призме је једнака средњој линији трапеза у основи; г) ј една основица трапеза у основи је 22cm, средња линија 19,5cm, угао између крака и основице 45°, а висина призме 7cm.

56 57

Правилна тространа призма Б – вежбај 1. Израчунај површину и запремину правилне тростране призме ако је висина призме 10cm и: а) основна ивица 8cm; б) обим основе 12cm; в) п  олупречник уписане кружнице √3cm;  олупречник описане кружнице г) п 8√3cm. 2. Израчунај површину и запремину правилне тростране призме ако је висина призме 9cm и: а) површина основе призме 9√3 cm; 4 б) површина омотача призме 54cm2. 3. Израчунај запремину правилне тростране призме ако је основна ивица 16cm, а површина омотача 480cm2. 4. Израчунај површину правилне тростране призме ако је њена запремина 3√3cm, а висина 3cm. 5. Израчунај површину и запремину правилне тростране једнакоивичне призме ако је: а) основна ивица 5cm; б) висина 4√3cm; в) збир свих ивица призме 54cm.

В – примени 6. Површина основе правилне тростране призме је 16√3cm2, а површина омотача 48cm2. Израчунај запремину те призме. 7. Површина правилне тростране призме је 10 · (5√3 + 16)cm2, а основна ивица 10cm. Израчунај запремину те призме.

58 59

8. Површина правилне тростране призме је 32 · (√3 + 15)cm2, а површина основе 16√3cm2. Израчунај запремину призме. 9. Површина правилне тростране призме је 5 · (5√3 + 42)cm2, а површина 2 омотача 105cm2. Израчунај запремину призме. 10. Запремина правилне тростране призме је 432√3cm3, а основна ивица 12cm. Израчунај површину призме. 11. Израчунај површину и запремину правилне тростране призме ако је основна ивица призме 14cm, а основна ивица и висина се односе као 2 : 5. 12. Једна бочна страна правилне тростране призме је квадрат странице 24cm. Израчунај површину и запремину те призме. 13. Дијагонала једне бочне стране правилне тростране призме је 6cm. Израчунај површину и запремину призме ако је висина призме 2√3cm. 14. Израчунај површину и запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 3cm, а дијагонала једне бочне стране 9cm. 15. Дијагонала једне бочне стране је 6√3cm. Израчунај површину и запремину призме ако је дијагонала бочне стране нагнута према равни основе под углом од: а) 30°; б) 60°. 16. Када се омотач правилне тростране призме развије у мрежу, добија се квадрат странице 12cm. Израчунај површину и запремину те призме.

17. Запремина правилне тростране једнакоивичне призме је 18cm3. Израчунај површину те призме.

Г – прошири 18. Правилна тространа једнакоивична призма ABCA1B1C1 пресечена је са равни која садржи темена А и В једне основе и теме С1 друге основе. Израчунај површину пресека призме и равни ако је основна ивица призме 2cm.

Тространа призма Б – вежбај 1. Основна призме је једнакокраки троугао. Израчунај површину и запремину призме ако је: а) о  сновица троугла у основи 14cm, крак 25cm, а висина призме 7cm; б) основица троугла у основи 24cm, висина која одговара основици 5cm, а висина призме 17cm; 2. Основа призме је правоугли троугао. Израчунај површину и запремину призме ако су катете троугла у основи 8cm и 15cm, а висина призме је једнака хипотенузи троугла у основи.

В – примени 3. Основа призме је једнакокраки троугао. Израчунај површину и запремину призме ако је дато: а) к рак троугла у основи је 10cm, висина која одговара основици 8cm, а највећа бочна страна је квадрат; б) разлика крака и основице троугла у основи је 1cm, обим основе 50cm, а висина призме 4cm.



в) основица троугла у основи је 8cm, крак 5cm, а дијагонала веће бочне стране 10cm; г) површине две бочне стране су 36cm2 и 84cm2, а висина призме 12cm.

4. Основа призме је правоугли троугао. Израчунај површину и запремину призме ако је: а) хипотенуза троугла у основи 12cm, један угао основе 45°, а висина призме 6√2cm; б) једна катета троугла у основи 3cm, друга катета за 1cm краћа од хипотенузе, а највећа бочна страна призме је квадрат. 5. Странице троугла у основи тростране призме су 3cm, 4cm и 5cm. Израчунај површину и запремину призме ако је висина призме 3cm.

Правилна шестострана призма Б – вежбај 1. Израчунај површину и запремину правилне шестостране призме ако је висина призме 3cm и: а) основна ивица 4cm; б) обим основе 12cm; в) краћа дијагонала основе 7√3cm; г) дужа дијагонала основе 16cm. 2. Површина основе правилне шестостране призме је 27√3cm, а висина 4cm. Израчунај површину и запремину те призме.

59 58

3. Површина омотача правилне шестостране призме је 504cm2. Израчунај површину и запремину призме ако је: а) висина призме 7cm; б) основна ивица 6cm. 4. Израчунај површину и запремину правилне шестостране једнакоивичне призме чија је основна ивица 18cm. 5. Израчунај дијагонале правилне шестостране призме ако је основна ивица 12cm, а висина 10cm.

В – примени 6. Површина правилне шестостране призме је 360√3cm2, а основна ивица је 6√3cm. Израчунај запремину и површине дијагоналних пресека призме. 7. Запремина правилне шестостране призме је 864√3cm3. Израчунај површину призме ако је: а) висина 9cm; б) основна ивица 4cm. 8. Израчунај површину и запремину правилне шестостране једнакоивичне призме чија је: а) краћа дијагонала основе 4cm; б) дужа дијагонала √5cm; в) површина омотача 54cm2. 9. Запремина правилне шестостране призме чија је висина два пута већа од основне ивице је 81√3cm3. Израчунај површину призме. 10. Запремина правилне шестостране призме је 150√3cm3, а површина омотача 120cm2. Израчунај површину призме.

60 61

11. Унутрашњост фонтане на тргу има облик правилне шестостране призме, чија је основна ивица 2m, а висина 1m. Колико воде може да стане у ту фонтану? 12. Саксија за цвеће има облик правилне шестостране призме, чија је страница 10cm. Колико земље може да стане у ову саксију ако је дубина саксије 40cm?

Г – прошири 13. Основна ивица правилне шестостране призме је √3cm. Израчунај површину и запремину призме ако је: а) површина мањег дијагоналног пресека 12cm2. б) п  овршина већег дијагоналног пресека 6cm2. 14. Израчунај површину и запремину правилне шестостране призме ако је: а) мањи дијагонални пресек квадрат странице 6√3cm; б) већи дијагонални пресек квадрат странице 20cm.

Тест − Призма 1. Дужина ивице коцке је 4cm. Укупна дужина свих ивица те коцке је: а) 16cm; б) 32cm; в) 48cm; г) 96cm.

2. Површинa квадра чије су ивице 4cm, 3cm и 2cm је: а) 24cm2; б) 26cm2; в) 48cm2; г) 52cm2.

3. Основна ивица правилне четворостране призме је 11cm, а висина 2cm. Запремина те призме је: а) 121cm3; б) 242cm3; 3 в) 363cm ; г) 484cm3.

4. Површина коцке је 6cm2. Дужина дијагонале те коцке је: а) 1cm; б) √2cm; в) √3cm; г) 2√2cm.

6. Запремина правилне тростране призме је 100√3cm3, а основна ивица 10cm. Површина те призме је: а) 50√3cm2; б) 10(5√3 + 12)cm2; в) (25√3 + 120)cm2; г) 120cm2.

7. Запремина правилне шестостране призме је 60√3cm2, а висина призме се према основној ивици односи као 5 : 1. Површина те призме је: а) 12√3cm2; б) 120√3cm2; в) 12(√3 + 10)cm2; г) 120cm2.

8. Основна ивица правилне шестостране призме је √3cm. Ако је површина мањег дијагоналног пресека 6cm2, онда је њена запремина: а) 9√3cm3; б) 27cm3; в) 27√3cm3; г) 81cm3.

5. Запремина квадра је 480cm3. Ако су две ивице тог квадра 10cm и 6cm, онда је дијагонала тог квадра: а) √136cm; б) 10√2cm; в) 10√3cm; г) √164cm.

Решења: 1. в); 2. г); 3. б); 4. в); 5. б); 6. б); 7. в); 8. а).

6061

ПРИЗМА – решења 1.

а) 6 темена, 9 ивица, 5 страна; б) 8 темена, 12 ивица, 6 страна; в) 12 темена, 18 ивица, 8 страна.

3.

а) нема дијагонала;

4.

а) 96cm;

5.

4cm.

6.

На пример, ABC1D1 и AC C1A1 .

7.

На пример, ADD1A1 и AC C1A1.

8.

Ивице квадра су 3cm, 4cm, 5cm. Дужине дијагонала страна квадра су 5cm, √34cm,√41cm.

9.

а) 4√3cm.

б) 4;

ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ

б) 10√2cm.

б) √3cm.

в) 3√6cm.

11. 8cm, 12cm, 20cm. 12. 10cm и 2√21cm. б) 8√5cm;

в) 15cm.

9(3√3 + 20)cm2.

10. 48(√3 + 4)cm2.

в) 18.

10. 4√3cm.

13. а) 12cm;

9.

1.

27cm3.

2.

105cm3.

3.

1014cm3.

4.

242cm3.

5.

64cm3.

6.

162cm3.

7.

40√3cm3.

8.

54√3cm3.

9.

882√3cm3.

10. 1500√3cm3.

14. 100cm2, 208cm2, 12√281cm2.

Коцка

15. 49√2cm2. 16. а) 384√2cm2; б) Постоје два дијагонална пресека. Површина пресека којег формирају краћа дијагонала основе и висина је 384√3cm2, а површина пресека којег формирају дужа дијагонала основе и висина је 768cm2.

ПОВРШИНА ПРИЗМЕ 2.

а) 216cm2;

3.

178cm2.

4.

104cm2.

5.

110 cm2.

6.

1 254cm2.

7.

72(√3 + 7)cm2.

8.

2(√3 + 9)cm2.

б) 30cm2.

1.

а) P = 162cm2, V = 81√3cm3; б) P = 150cm2, V = 125cm3; в) P = 294cm2, V = 343cm3; г) P = 6cm2, V = 1cm3.

2.

81cm2.

3.

1cm.

4.

5cm.

5.

1,44m2.

6.

а) 96cm2;

7.

a) P = 54cm2, V = 27cm3; б) P = 726cm2, V = 1331cm3.

8.

343cm3.

9.

а) 1 000cm3;

10. 486cm2.

б) 384cm2.

б) 2√2cm3.

11. P = 72cm2, V = 24√3cm3.

13. 152cm2.

12. 36√2cm2.

14. 336cm3.

13. 150cm2.

15. 12cm.

14. а) повећа се за 125%; б) повећа се за 300%.

16. 216 литара воде. 17. 0,6m2.

15. 6cm. 16. Ивица коцке је 4,5cm. Површина коцке је 121,5cm2.

18. 48 000 литара воде. Употребљено је 1 088 плочица.

17. 6cm.

Правилна четворострана призма

18. 13cm. Повећа се за приближно 86,44%. 19. Треба је смањити 4 пута. 20. Треба је повећати 3 пута.

Квадар 1.

P = 262cm2, V = 280cm3.

2.

Kоцка има већу и површину и запремину.

3.

а) P = 152cm , V = 60cm ; б) P = 52cm2, V = 16cm3; в) P = 446cm2, V = 630cm3.

4.

P = 62cm2.

5.

V = 21cm3.

6.

P = 52cm2, V = 24cm3.

7.

1.

а) P = 40cm2, V = 16cm3; б) P = 240cm2, V = 252cm3.

2.

a) P = 290cm2, V = 300cm3; б) P = 32 · (3 + 2√3)cm2, V = 192cm3.

3.

а) 7cm; б) 8 80 cm. 81

4.

15cm.

5.

2 160cm2.

6.

a) P = 70cm2, V = 25cm3; б) P = 114cm2, V = 72cm3; в) P = 680cm2, V = 1 200cm3; г) P = 528cm2, V = 720cm3.

√230cm.

7.

а) P = 32 · (8 + 9√3)cm2, V = 1 152cm3; б) P = 144cm2, V = 112cm3; в) P = 12 · (3 + 8√2)cm2, V = 144cm3.

8.

√290cm.

8.

а) 288cm3;

9.

а) P = 392cm2, V = 480cm3; б) P = 768cm2, V = 1152cm3; в) P = 192cm2, V = 144cm3; г) P = 2 · (77√3 + 36)cm2, V = 396cm3.

9.

а) P = 350cm2, V = 441cm3; б) P = 686cm2, V = 1 029cm3.

2

3

б) 270cm3.

10. 168cm2.

10. 6 литара.

11. 1 815cm3.

11. P = 376cm2, V = 480cm3.

12. 320cm3.

12. 270cm3.

13. 490cm2.

63 62

14. а) P = 72 · (1 + 2√2)cm2, V = 216√2cm3; б) P = 36 · (1 + 2√6)cm2, V = 108√3cm3; в) P = 36 · (3 + 2√6)cm2, V = 324cm3.

6.

32√3cm3.

7.

400√3 cm3. 3

8.

320√3cm3.

9.

175√3 cm3. 4

15. P = 36 · (1 + 2√2)cm2, V = 108cm3. 16. а) P = 360cm2, V = 432cm3; б) P = 416cm2, V = 576cm3. 17. P = 102cm2, V = 63cm3. 18. Након стављања коцке није било изливања воде.

Четворострана призма 1.

а) P = 188cm , V = 168cm ; б) P = 760cm2, V = 1 200cm3; в) P = 972√3cm2, V = 4 374cm3; г) 216cm2 и 288cm2.

2.

а) P = 4 · (85 + 6√29)cm2, V = 600cm3; б) P = 480cm2, V = 432cm3; в) P = 2 448cm2, V = 7 488cm3; г) P = 12 · (70 + 9√3)cm2, V = 1 080√3cm3.

3.

а) P = 960cm2, V = 1 728cm3; б) P = 264cm2, V = 252cm3; в) P = 66 · (5 + 2√3)cm2, V = 484√3cm3; г) P = (503 + 35√2)cm2, V = 682,5cm3.

2

10. 72 · (6 + √3)cm2. 11. P = 98 · (15 + √3)cm2, V = 1 715√3cm3. 12. P = 288 · (6 + √3)cm2, V = 3 456√3cm3. 13. P = 12 · (√3 + 3√2)cm2, V = 36cm3.

3

14. P = 9 · (√3 + 12√2)cm2, V = 27√6 cm3. 2 2 15. а) P = 243√3 cm2, V = 729 cm3; 2 2 б) P = 189√3 cm2, V = 243√3 cm3. 2 4 16. P = 8(18 + √3)cm2, V = 48√3cm3. 17. 6 · (6 + √3)cm2. 18. √7cm2.

Правилна тространа призма 1.

а) P = 16 · (15 + 2√3)cm2, V = 160√3cm3; б) P = 8 · (15 + √3)cm2, V = 40√3cm3; в) P = 18 · (10 + √3)cm2, V = 90√3cm3; г) P = 144 · (5 + 2√3)cm2, V = 1 440√3cm3.

2.

а) P = 9 · (18 + √3)cm2, V = 81√3 cm3; 4 2 2 б) P = 2 · (27 + √3)cm , V = 9√3cm3.

3.

640√3cm .

4.

2 · (9 + √3)cm .

5.

а) P = 25 · (6 + √3)cm2, V = 125√3 cm3; 4 2 б) P = 24 · (6 + √3)cm2, V = 144cm3; в) P = 18 · (6 + √3)cm2, V = 54√3cm3.



64 65

Тространа призма 1.

а) P = 784cm2, V = 1 176cm3; б) P = 970cm2, V = 1 020cm3.

2.

P = 800cm2, V = 1 020cm3.

3.

а) P = 480cm2, V = 576cm3; б) P = 440cm2, V = 480cm3; в) P = 132cm2, V = 72cm3; г) P = 3(68 + √187 ) cm2, V = 9√187cm3. 2



3

2

4.

а) P = 72(3 + √2)cm2, V = 216√2cm3; б) P = 72cm2, V = 30cm3.

5.

P = 48cm2, V = 18cm3.

Правилна шестострана призма 1.

а) P = 24(3 + 2√3)cm2, V = 72√3cm3; б) P = 12(3 + √3)cm2, V = 18√3cm3; в) P = 21(6 + 7√3)cm2, V = 220,5√3cm3; г) P = 24(3 + 4√3)cm2, V = 288√3cm3.

2.

P = 48(3√3 + 4√2)cm2, V = 108√3cm3.

3.

а) P = 72(7 + 6√3)cm2, V = 1 512√3cm3; б) P = 36(14 + 3√3)cm2, V = 756√3cm3.

4.

P = 972(2 + √3)cm2, V = 8 748√3cm3.

5.

26cm и 2√133cm.

6.

V = 162√3cm3. Површина мањег дијагоналног пресека је 18cm2, а површина већег дијагоналног пресека је 12√3cm2.

7.

а) P = 48(9 + 4√3)cm2; б) P = 48(18 + √3)cm2.

8.

а) P = 16(2 + √3)cm2, V = 32cm3; б) P = 3(2 + √3)cm2, V = 3√3 cm3; 2 в) P = 27(2 + √3)cm2, V = 81√3 cm3. 2

9.

27(4 + √3)cm2.

10. 15(8 + 5√3)cm2. 11. Приближно 10 380 литара воде. 12. Приближно 10 380cm3 земље. 13. а) P = 33√3cm2, V = 18√3cm3; б) P = 9(2 + √3)cm2, V = 27 cm3. 2 14. а) P = 324√3cm2, V = 972cm3; б) P = 300(4 + √3)cm2, V = 3 000√3cm3.

64 65

66

Пирамида А – утврди 1. а) К  олико темена, ивица и страна има четворострана пирамида? б) Колико темена, ивица и страна има шестострана пирамида? 2.

Уочи на слици: а) две бочне ивице; б) две апотеме; в) две ивице основе.

7. Одреди апотему правилне тростране пирамиде ако је њена основна ивица а = 16cm, а бочна ивица b = 17cm. 8. Одреди бочну ивицу правилне шестостране пирамиде ако је њена основна ивица а = 7cm, а висина Н = 24cm.

В – примени 9. Да ли од комада жице дужине 50cm може да се направи жичани модел правилне четворостране пирамиде чија је: а) основна ивица 7cm; б) бочна ивица 10cm?

3. Уочи на слици: а) две стране пирамиде; б) угао АВС који је прав. Уочи још два права угла; в) три правоугла троугла.

10. Милица има картон у облику квадрата странице 20cm. Да ли од њега може направити модел правилне четворостране једнакоивичне пирамиде ивице 10cm?

Површина пирамиде А – утврди 1. Омотач пирамиде има површину 230cm2, а база 150cm2. Израчунај површину те пирамиде.

Б – вежбај 4. Колико најмање ивица може имати пирамида? 5. Који троугао може бити основа пирамиде код које су бочне стране три подударна троугла? 6. Одреди апотему правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица а = 10cm, а висина Н = 12cm.

2. Пирамида има површину 630cm2, а база јој је површине 231cm2. Израчунај површину омотача те пирамиде. 3. Пирамида има површину 220cm2, а омотач јој је површине 160cm2. Израчунај површину основе те пирамиде.

67



Б – вежбај

4. Ако је дужина основне ивице а = 3cm, а дужина бочне ивице b = 5cm, конструиши мрежу правилне: а) тростране пирамиде; б) четворостране пирамиде; в) шестостране пирамиде. 5. Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица а = 7cm, а апотема h = 8cm. 6. Одреди површину правилне четворостране пирамиде ако је: а) основна ивица а = 12cm, а висина Н = 8cm; б) основна ивица а = 18cm, а бочна ивица b = 15cm; в) б  очна ивица b = 29cm, а апотема h = 21cm; г) висина Н = 15cm, а апотема h = 17cm; д) бочна ивица b = 5cm, а висина Н = √7cm.

В – примени 7. Површина основе правилне четворостране пирамиде је 400cm2, а висина пирамиде је Н = 24cm. Израчунај површину те пирамиде. 8. Одреди површину правилне тростране пирамиде ако је: а) основна ивица а = 6cm, а апотема h = 9cm; б) основна ивица а = 10cm, а бочна ивица b = 13cm; в) бочна ивица b = 25cm, а апотема h = 20cm; г) висина Н = 8cm, а апотема h = 10cm; д) основна ивица а = 6√3cm, а висина Н = 4cm. 9. Одреди површину правилне шестостране пирамиде ако је:

69 68



 сновна ивица а = 4cm, а апотема а) о h = 8cm;  сновна ивица а = 4√3cm, а висина б) о Н = 8cm; в) основна ивица а = 6cm, а бочна ивица b = 3√5cm. г) висина Н = 8cm, а апотема h = 10cm; д) бочна ивица b = 10cm, а висина Н = 6cm; ђ) б  очна ивица b = 15cm, а апотема h = 12cm.

Запремина пирамиде А – утврди 1. Висина пирамиде је 20cm, а база површине 150cm2. Израчунај запремину те пирамиде. 2. Пирамида има запремину 600cm3, а база јој је површине 200cm2. Израчунај висину те пирамиде. 3. Пирамида има висину 20cm и запремину 100cm3. Израчунај површину основе те пирамиде.

Б – вежбај 4. Израчунај запремину правилне четворостране пирамиде ако је: а) основна ивица а = 5cm, а висина Н = 9cm; б) основна ивица а = 30cm, а апотема h = 17cm. 5. Израчунај запремину правилне тростране пирамиде ако је: а) основна ивица а = 5√3cm, а бочна ивица b = 13cm; б) висина Н = 4cm, а апотема h = 8cm.

6. Највећа пирамида на свету је Кеопсова пирамида у Египту. Она у основи има квадрат странице 230m, а садашња висина је приближно 138m. Колика је запремина те пирамиде?

3. Торањ има облик правилне четворостране пирамиде основне ивице а = 3m и висине H = 2m. Колико m2 лима је потребно за покривање тог торња?

В – примени

В – примени

7. Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде ако је: а) о  сновна ивица а = 12cm, а бочна ивица b = 20cm; б) основна ивица а = 2√3cm, а апотема h = 5cm.

4. Површина основе правилне четворостране пирамиде је 324cm2, а површина омотача 540cm2. Одреди запремину те пирамиде.

8. Одреди запремину правилне четворостране пирамиде ако је површина основе 64cm2, а висина бочне стране h = 5cm. 9. Површина омотача правилне четворостране пирамиде је 60cm2, а основна ивица је а = 6cm. Одреди запремину те пирамиде. 10. Призма и пирамида имају исте основе и једнаке висине. Одреди запремину пирамиде ако је запремина призме 120cm3.

Четворострана пирамида Б – вежбај

5. Одреди запремину правилне четворостране пирамиде ако је површина омотача 60cm2, а површина целе пирамиде 96cm2. 6. Запремина правилне четворостране пирамиде је 400cm3. Ако је висина те пирамиде 12cm, одреди њену површину. 7. Површина правилне четворостране пирамиде је 896cm2, а дијагонала основе 14√2cm. Одреди њену запремину. 8. Дијагонала основе правилне четворостране пирамиде је 8√2cm, а површина једне бочне стране 20cm2. Одреди површину и запремину те пирамиде.

1. Основа четворостране пирамиде је правоугаоник, чије су дужине страница 10cm и 18cm, а висина пирамиде је 12cm. Израчунај површину и запремину те пирамиде.

9. У Паризу, испред музеја Лувр, постављена је стаклена пирамида која у основи има квадрат странице а = 36m, а бочне ивице су b = 30m. Колико m2 стакла је било потребно да би се направила та пирамида? (Основа пирамиде није од стакла.)

2. Кров куће има облик правилне четворостране пирамиде. Обим основе крова је 38,4m, а висина крова 3,6m. Колико црепова је потребно за покривање крова куће ако је за 1m2 потребно 8 црепова?

10. Површина основе правилне четворостране пирамиде је 144cm2, а збир основне и бочне ивице је 22cm. Одреди површину и запремину те пирамиде.

69 68

11. Израчунај површину и запремину правилне четворостране пирамиде ако је дужина основне ивице а = 30cm, а висина пирамиде за 5cm краћа од висине бочне стране.

18. Одреди запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица четири пута дужа од висине пирамиде, а површина омотача је 32√5cm2.

12. Обим основе правилне четворостране пирамиде је 24cm, а висина бочне стране је за 1cm дужа од висине пирамиде. Израчунај површину и запремину те пирамиде.

19. Бочне стране правилне четворостране пирамиде нагнуте су према равни основе под углом од 45°. Ако је висина пирамиде 7cm, израчунај њену површину и запремину.

13. Правилна четворострана пирамида направљена је од дрвета. Основна ивица пирамиде је 12cm, а висина пирамиде је 4 апотеме. Одреди масу 5 пирамиде ако је густина дрвета 0,9g/cm3.

20. Угао између бочне стране и равни основе правилне четворостране пирамиде је 60°. Ако је дужина апотеме 8cm, израчунај површину и запремину те пирамиде.

14. Бочне стране правилне четворостране пирамиде су једнакостранични троуглови. Ако је полупречник описане кружнице око основе пирамиде 3√2cm, одреди површину те пирамиде. 15. Одреди површину и запремину правилне четворостране једнакоивичне пирамиде чија је: а) ивица 2cm; б) апотема h = 2√3cm; в) висина Н = 4cm. 16. Одреди површину правилне четворостране једнакоивичне пирамиде ако је површина омотача 36√3cm2. 17. Збир свих ивица правилне четворостране једнакоивичне пирамиде је 96cm. Одреди њену површину.

7170

21. Бочне ивице правилне четворостране пирамиде образују са равни основе углове од 30°. Одреди површину и запремину те пирамиде ако је њена висина 2cm. 22. Четворострана пирамида има у основи правоугаоник страница а = 4cm и b = 3cm. Израчунај запремину пирамиде ако су дужине бочних ивица 6,5cm. 23. Правоугаоник страница а = 24cm и b = 18cm је основа пирамиде. Ако је запремина пирамиде 1 152cm3, одреди бочну ивицу те пирамиде. 24. Основа пирамиде је правоугаоник. Израчунај површину пирамиде ако је дато: а) странице правоугаоника су а = 30cm и b = 12cm, а висина једне бочне стране је hb = 17cm; б) в исина пирамиде је H = 12cm, а висине бочних страна су ha = 13cm и hb = 15cm.

25. Израчунај површину и запремину тела које се састоји од једне коцке и две правилне четворостране једнакоивичне пирамиде које су основама слепљене за две наспрамне стране коцке. Ивица коцке је 2cm. Види слику.

28. Од дрвета густине 0,8g/cm3 направљена је макета куће. Ако је основа куће правоугаоник страница а = 30cm и b = 12cm, висина куће (без крова) 15cm, а висина крова 5cm, израчунај масу макете.

Г – прошири 29. Површина дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде је 50cm2. Израчунај површину и запремину те пирамиде ако је њена висина 5cm.

26. Израчунај површину и запремину октаедра ивице 4cm. * октаедар је геометријско тело које се састоји од две правилне четворостране једнакоивичне пирамиде које су слепљене основама.

30. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је једнакостранични троугао странице 6cm. Одреди запремину те пирамиде. 31. Израчунај површину дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде ако је површина основе 200cm2, а апотема h = 10√5cm. 32. Површина основе правилне четворостране пирамиде је 256cm2. Ако се апотема и висина пирамиде разликују за 2cm, израчунај површину дијагоналног пресека те пирамиде.

27. Израчунај запремину тела које настаје када се из коцке ABCDA1B1C1D1 ивице а = 6cm издуби пирамида ABCDS, где је Ѕ средиште стране A1B1C1D1.

33. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је једнакокрако-правоугли троугао површине 8cm2. Израчунај површину и запремину те пирамиде. 34. Израчунај површину и запремину правилне четворостране пирамиде ако је обим њене основе 48cm, а површина дијагоналног пресека 48√2cm2. 35. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је једнакостранични троугао обима 24cm. Одреди површину и запремину те пирамиде.

7071

36. Површина пирамиде је 384cm2, а површина бочне стране је 60cm2. Израчунај површину дијагоналног пресека те пирамиде. 37. Површина основе правилне четворостране пирамиде je 64cm2, а a : Н = 4 : 5. Израчунај запремину те пирамиде. 38. Израчунај површину и запремину правилне четворостране пирамиде ако је дужина основне ивице а = 18cm, а висина пирамиде и висина бочне стране се односе као 4 : 5. 39. Обим основе правилне четворостране пирамиде је 144cm, а a : Н = 3 : 2. Израчунај површину и запремину те пирамиде. 40. Израчунај површину и запремину правилне четворостране пирамиде ако је површина омотача 1 280cm2, а a : h = 8 : 5. 41. Површина правилне четворостране пирамиде је 144cm2, а a : h = 8 : 5. Израчунај њену запремину. 42. Запремина правилне четворостране пирамиде је 400cm3, а a : Н = 5 : 6. Израчунај њену површину. 43. Израчунај површину и запремину правилне четворостране пирамиде ако је површина омотача 240cm2, а a : Н = 3 : 2. 44. Бочне ивице правилне четворостране пирамиде дужине 10cm нагнуте су према равни основе под углом од 45°. Израчунај површину дијагоналног пресека те пирамиде.

72 73

45. Угао између бочне ивице и равни основе правилне четворостране пирамиде је 60°. Одреди површину и запремину те пирамиде ако је њена основна ивица а = 8√2cm. 46. Бочне стране правилне четворостране пирамиде нагнуте су према равни основе под углом од 60°. Изрази површину пирамиде у функцији од: а) основне ивице а; б) висине бочне стране h. 47. Запремина правилне четворостране пирамиде је 36√2cm3. Израчунај основну и бочну ивицу пирамиде ако је угао између бочне ивице и равни основе 45°. 48. Основа пирамиде је ромб, чије су дијагонале 12cm и 16cm. Ако је висина пирамиде једнака основној ивици, одреди њену запремину. 49. Израчунај запремину пирамиде која у основи има ромб странице а = 5cm и краће дијагонале d1 = 6cm aко је већи дијагонални пресек једнакостранични троугао. 50. Основа четворостране пирамиде је ромб странице а = 6cm и оштрог угла 60°. Израчунај запремину пирамиде ако је њена висина једнака висини ромба који је у основи. 51. Од дрвене коцке запремине 64cm3 направимо највећу могућу правилну четворострану пирамиду. Колика је површина те пирамиде? 52. Једна страна коцке је основа пирамиде, а врх те пирамиде је тачка пресека дијагонала коцке. Одреди површину и запремину те пирамиде ако је ивица коцке 4cm.

53. Ивица коцке је 9cm. Темена једне стране коцке спојена су са једним од преосталих темена коцке. Израчунај површину добијене пирамиде. 54. Одреди површину и запремину пирамиде са слике ако је ивица коцке 12cm.

5. Одреди површину и запремину правилне тростране пирамиде ако је површина њене основе 81√3cm2, а висина пирамиде дупло краћа од основне ивице. 6. Израчунај површину и запремину правилне тростране пирамиде ако је обим основе 18cm, а површина једне бочне стране 9cm2. 7. Израчунај површину и запремину правилне тростране пирамиде ако је обим основе 36cm, а висина H = 2 а. 3 8. Површина тетраедра је 144√3cm2. Колика је његова висина?

Тространа пирамида Б – вежбај 1. Израчунај површину и запремину правилне тростране пирамиде ако је основна ивица дужине 12cm, а бочна ивица дужине 10cm. 2. Површина основе правилне тростране пирамиде је 36√3cm2, а бочна ивица b = 5√3cm. Израчунај запремину те пирамиде. 3. Површина основе правилне тростране пирамиде је 25√3cm2, а висина бочне стране h = 10cm. Израчунај површину те пирамиде. 4. За изградњу бетонског стуба у облику правилне тростране пирамиде потрошено је 12m3 бетона. Колика је висина тог стуба ако је површина основе стуба 2,4m2?

9. Запремина тростране пирамиде која у основи има правоугли троугао је 100cm3. Колика је висина те пирамиде ако је једна катета троугла 12cm, а хипотенуза 13cm?

В – примени 10. Запремина правилне тростране пирамиде је 144√3cm2, а њена висина је 12cm. Одреди површину те пирамиде. 11. Запремина правилне тростране пирамиде је 48√3cm2, а основна ивица је 12cm. Одреди површину те пирамиде. 12. Површина основе правилне тростране пирамиде је 36√3cm2, а површина омотача је 144cm2 . Израчунај запремину те пирамиде. 13. Одреди запремину правилне тростране пирамиде ако је њена површина 112√3cm2, а основна ивица 8cm.

73 72

14. Површина омотача правилне тростране пирамиде је 162cm2. Одреди висину те пирамиде ако је а = h. 15. Ортогонална пројекција апотеме на раван основе правилне тростране пирамиде је 4√3cm, а висина Н = 11cm. Израчунај површину те пирамиде. 16. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 18cm. Ако је површина омотача 2 површине пирамиде, 3 израчунај њену запремину.

25. Збир ивичних углова правилне тростране пирамиде је 270°. Одреди површину и запремину пирамиде ако је дужина бочне ивице b = 10cm. 26. Збир ивичних углова правилне тростране пирамиде је 180°. Ако је њена површина Р = 324√3cm2, одреди висину бочне стране и висину пирамиде.

17. Израчунај површину и запремину правилне тростране једнакоивичне пирамиде ако је њена ивица 2√3cm.

27. Бочна ивица дужине 4√3cm образује са равни основе угао од 60°. Израчунај површину и запремину те пирамиде.

18. Израчунај површину и запремину правилне тростране једнакоивичне пирамиде ако је збир свих њених ивица 24cm.

28. Основа тростране пирамиде је правоугли троугао. Дужина хипотенузе тог троугла је 13cm, а једне катете 5cm. Израчунај запремину пирамиде ако је њена висина једнака другој катети троугла.

19. Мрежа правилне тростране једнакоивичне пирамиде је једнакостранични троугао површине 64√3cm2. Одреди висину те пирамиде. 20. Бочна страна правилне тростране пирамиде је једнакостранични троугао површине 25√3cm2. Одреди запремину те пирамиде. 21. Одреди масу дрвеног модела тетраедра ивице а = 6cm ако је густина дрвета 0,9g/cm3. (Узети √2 ≈ 1,41.) 22. Изрази површину и запремину тетраедра у функцији од ивице а. 23. Бочне стране правилне тростране пирамиде су правоугли троуглови. Израчунај површину и запремину пирамиде ако је основна ивица а = 4cm.

74 75

24. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 6cm, а обим једне бочне стране је 16cm. Израчунај дужину апотеме и површину пирамиде.

Г – прошири 29. Ортогонална пројекција бочне ивице на раван основе је 3√3cm, а дужина апотеме је 3cm. Одреди висину и запремину те пирамиде. 30. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 12cm. Израчунај запремину пирамиде ако је угао између бочне ивице и равни основе 45°. 31. Бочна ивица дужине 2√6cm и раван основе граде угао од 45°. Одреди запремину пирамиде. 32. Угао између бочне стране и равни основе је 60°. Ако је дужина апотеме h = 2√3cm, израчунај површину и запремину пирамиде.

33. Висина пирамиде је 2cm, а бочна страна и раван основе образују угао од 45°. Одреди површину и запремину пирамиде.

3. Основна ивица правилне шестостране пирамиде је 6cm, а висина пирамиде једнака је краћој дијагонали основе. Одреди запремину пирамиде.

34. Основна ивица правилне тростране пирамиде је 12cm, а бочна страна образује са равни основе угао од 30°. Израчунај површину и запремину пирамиде.

4. Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде ако је основна ивица 6√3cm, а апотема 15cm.

35. Израчунај запремину тростране пирамиде која у основи има правоугли троугао ако је дато: а) к атете троугла су а = 12cm и b = 16cm, а висина пирамиде је једнака хипотенузи; б) катете троугла су а = 12cm и b = 16cm, а бочне ивице 26cm. 36. Основа пирамиде је једнакокраки троугао основице 2√5cm и висине која јој одговара 5cm. Израчунај запремину пирамиде ако су бочне ивице 5cm. 37. Бочне ивице тростране пирамиде дужине 8cm, 9cm и 10cm узајамно су нормалне. Израчунај запремину те пирамиде. 38. Површине бочних страна тростране пирамиде, које су узајамно нормалне, су 4cm2, 8cm2 и 9cm2. Нађи запремину пирамиде.

Шестострана пирамида Б – вежбај 1. Одреди дужину апотеме правилне шестостране пирамиде ако је основна ивица 8cm, а висина пирамиде 8√3cm. 2. Основна ивица правилне шестостране пирамиде је 8cm, а висина бочне стране 5√3cm. Израчунај висину пирамиде.

5. Израчунај површину и запремину правилне шестостране пирамиде ако је основна ивица а = 20cm, а бочна ивица b = 25cm. 6. Израчунај површину и запремину правилне шестостране пирамиде ако је: а) бочна ивица b = 10cm, а висина H = 8cm; б) б  очна ивица b = 13cm, а апотема h = 12cm; в) б  очна ивица b = 3√5cm, а основна ивица a = 6cm. 7. Кров куће има облик правилне шестостране пирамиде. Израчунај висину крова ако су дужине основних ивица 15m, а бочних ивица 17m. 8. Шатор има облик правилне шестостране пирамиде. Колико платна је било потребно да би се направио шатор висине 3m и обима основе 24m ако се од платна прави и под шатора? 9. Од гранита је направљен споменик који има облик правилне шестостране пирамиде. Израчунај масу споменика ако је основна ивица 0,6m, а висина споменика 1m. (Густина гранита је 2,3g/cm3, узети √3 ≈ 1,73.) 10. Модел правилне шестостране пирамиде направљен је од дрвета густине 0,9g/cm3. Колика је маса модела ако је основна ивица 6cm, а бочна ивица 10cm? (Узети √3 ≈ 1,73.)

74 75

11. Одреди површину правилне шестостране пирамиде ако је њена висина 6cm, а полупречник уписане кружнице у основу пирамиде 2√3cm. 12. Израчунај површину правилне шестостране пирамиде ако је: а) запремина пирамиде 192√3cm3, а основна ивица 4√3cm; б) запремина пирамиде 48cm3, а висина пирамиде 2√3cm.

20. Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде је једнакостранични троугао површине 9√3cm2. Израчунај запремину те пирамиде.

13. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 54√3cm, а површина једне бочне стране је 18cm2. Израчунај запремину пирамиде.

21. Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде је правоугли троугао. Израчунај запремину те пирамиде ако је бочна ивица 4√2cm.

В – примени

22. Збир ивичних углова правилне шестостране пирамиде је 180°. Ако је бочна ивица 8cm, израчунај површину омотача.

14. Површина омотача правилне шестостране пирамиде је 108cm2, а површина основе 54√3cm2. Израчунај њену запремину. 15. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 96√3cm2, а висина пирамиде је 3√3cm. Израчунај њену површину. 16. Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде ако је: а) површина омотача 432cm2, а основна ивица 12cm; б) п  овршина омотача 30√3cm2, а површина целе пирамиде 48√3cm2. 17. Површина већег дијагоналног пресека правилне шестостране пирамиде је 144cm2. Ако је основна ивица једнака висини пирамиде, израчунај њену површину и запремину.

76 77

19. Површина омотача правилне шестостране пирамиде је 72cm2, а висина бочне стране је 6cm. Израчунај површину већег дијагоналног пресека пирамиде.

18. Дужа дијагонала основе правилне шестостране пирамиде је 12cm, а основна ивица се према висини пирамиде односи као 3 : 2. Израчунај запремину те пирамиде.

23. Бочна ивица правилне шестостране пирамиде и раван основе образују угао од 45°. Ако је висина пирамиде 6cm, одреди њену површину и запремину. 24. Бочна ивица правилне шестостране пирамиде дужине 6cm образује са равни основе угао од 30°. Израчунај запремину те пирамиде. 25. Основна ивица правилне шестостране пирамиде је 8cm, а угао између бочних страна и равни основе је 60°. Израчунај површину пирамиде. 26. Висина правилне шестостране пирамиде је 3cm, а бочне стране образују са равни основе углове од 45°. Одреди површину и запремину те пирамиде. 27. Угао између бочне стране и равни основе правилне шестостране пирамиде је 30°, а висина бочне стране је 6cm. Израчунај запремину пирамиде.

Г – прошири 28. Израчунај површину и запремину правилне шестостране пирамиде, чија је висина 4√3cm, а угао између бочне стране и равни основе је 60°.

31. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 150√3cm 2, а бочна ивица 20cm. Израчунај површину већег дијагоналног пресека пирамиде.

29. Израчунај површину и запремину тела које настаје спајањем правилне шестостране призме и правилне шестостране пирамиде које имају заједничку основу. Види слику.

32. Површина већег дијагоналног пресека правилне шестостране пирамиде је 24cm2, а а : H = 2 : 3. Израчунај површину и запремину пирамиде.

30. Израчунај површину и запремину тела које настаје када две правилне шестостране пирамиде основама залепимо једну за другу. Основне ивице су 10cm, а бочне ивице 13cm. Види слику.

33. Израчунај површину мањег дијагоналног пресека правилне шестостране пирамиде ако је основна ивица 10cm, а висина пирамиде 12cm. 34. Угао између бочне ивице правилне шестостране пирамиде и равни основе је 45°. Изрази запремину пирамиде у функцији од: а) основне ивице a; б) бочне ивице b. 35. Угао између бочне ивице правилне шестостране пирамиде и равни основе је 45°, а дужина бочне ивице је 10√2cm. Израчунај површину већег дијагоналног пресека пирамиде 36. Правилна шестострана пирамида основне ивице 8cm и висине 10cm пресечена је са равни која је паралелна са основом пирамиде и полови висину пирамиде. Израчунај запремину дела пирамиде који је између те равни и врха пирамиде. 37. У квадар ивица а = 12cm, b = 6√3cm и c = 10cm уписана је правилна шестострана пирамида. Нађи њену запремину.

76 77

Тест − Пирамида 1. Основна ивица правилне четворостране пирамиде је 6cm, а висина 4cm. Дужина апотеме је: а) 6cm; б) 5cm; в) 4cm; г) 3cm.

2. Површина правилне четворостране пирамиде, основне ивице 10cm и апотеме 9cm, је: а) 280cm2; б) 380cm2; в) 271cm2.

3. Запремина правилне шестостране пирамиде, основне ивице 2cm и висине 5cm, је: а) 10√3cm3; б) 30√3cm3; в) 40√3cm3.

4. Збир свих ивица правилне тростране једнакоивичне пирамиде је 54cm. Површина пирамиде је: а) 81√3cm2; б) 81 √3cm2; 4 в) 81cm2.

6. Запремина правилне тростране пирамиде је 3√3cm3, а основна ивица 6cm. Површина пирамиде је: а) 27√3cm2; б) 9(√3 + 2)cm2; в) 36(√3 + 1)cm2.

7. Површина дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде је 48√2cm2, а висина пирамиде се према основној ивици односи као 2 : 3. Запремина пирамиде је: а) 384cm3; б) 1 152cm3; в) 368cm3.

8. Угао између бочне стране и равни основе правилне шестостране пирамиде је 60°. Ако је висина пирамиде 3√3cm, површина пирамиде је: а) 36√3cm2; б) 54√3cm2; в) 90√3cm2.

5. Основна ивица правилне шестостране пирамиде је 6cm, а бочна ивица 10cm. Површина већег дијагоналног пресека пирамиде је: а) 48√3cm2; б) 96cm2; в) 48cm2. Решења: 1. б); 2. а); 3. а); 4. а); 5. в); 6. б); 7. а); 8. б).

78

Пирамида – решења 1.

а) 5 темена, 8 ивица, 5 странa; б) 7 темена, 12 ивица, 7 страна.

2.

а) SA, SB; б) SE, SE; в) AC, AB.

3.

а) ABE, ABCD; б) EFB, EOC; в) EOC, EFB, EOF.

4.

6.

5.

Троугао подударан истим троугловима. Специјално једнакостраничан.



Р = 756cm2;

2

Користећи Питагорину теорему h2 = H2 + a , 2



в) Из b2 = h2 + a је а = 40cm, Р = 3 280cm2; 2

можемо израчунати да је h = 13cm.



г) Из h2 = H2 + a је а = 16cm, Р = 800cm2; 2 a√2 , д) Из b2 = H2 + R2 је R = 3√2cm, a како је R = 2 2 то је а = 6cm. Из h2 = H2 + a је h = 4cm, 2

2

6.

2

2

7.



Користећи Питагорину теорему b2 = h2 + a , 2 можемо израчунати да је h = 15cm.

Р = 84cm2.

8.

Користећи Питагорину теорему b2 = H2 + a2, можемо израчунати да је b = 25cm.

9.

а) Може. Ако су основне ивице по 7cm, онда би бочне ивице биле по (50cm – 4 ∙ 7cm) : 4 = 5,5cm; б) Не може. Ако су основне ивице по 10cm, онда би бочне ивице биле по (50cm – 4 ∙ 10cm) : 4 = 2,5cm, а троугао би имао странице 10cm, 2,5cm и 2,5cm, што је немогуће.



10. Основа је квадрат странице 10cm, а бочне стране су једнакостранични троуглови странице 10cm. Из квадрата странице 20cm може се изрезати квадрат странице 10cm и 4 једнакостранична троугла странице 10cm. Дакле, може направити модел пирамиде.

7.

1.

Р = 380cm .

2.

M = 399cm .

3.

B = 60cm2.

5.

Р = а2 + 2аh = 161cm2.

2

8.

2 a) P = a √3 + 3 ah , P = 9(√3 + 9)cm2; 4 2



б) Из b = h + a 2

2

2

2

2

је h = 12cm,

2

Р = 5(5√3 + 36)cm2;

Површина пирамиде 2

Из B = a израчунамо a = 20cm. Из h = H + a 2 2

је h = 26cm, Р = 1 440cm2.



в) Из b2 = h2 + a 2

2

је а = 30cm,

Р = 225(√3 + 4)cm2;

2

а) Користећи Питагорину теорему h2 = H2 + a , 2 израчунамо h = 10cm, Р = а2 + 4 ah = 384cm2; 2



2

г) Користећи h2 = H2 + a√3 , добићемо 6 а = 12√3cm, Р = 288√3cm2;

2

6.

б) К  ористећи Питагорину теорему 2 a 2 2 , израчунамо h = 12cm, b =h + 2

2

д) Користећи h = H + a√3 , добићемо 6 2

2

h = 5cm, Р = 72√3cm2. 9.

2 a) P = 6 · a √3 + 3ah = 24(√3 + 4)cm2; 4

79

2



б) Користећи h = H + a√3 , добићемо 2 2

9.

2

h = 10cm, Р = 192 √3 cm2;

в) Из b2 = h2 + a 2

је h = 6cm, P = 54(√3 + 2)cm2; 2

 з h2 = H2 + a√3 г) И 2



д) Из b2 = H2 + a2 је а = 8cm. Из b2 = h2 + a 2

је а = 4√3cm, Р = 192√3cm2; 2

је

h = 2√21cm, Р = 48√3(2 + √7)cm ; 2 a 2 2 ђ) Користећи b = h + , добићемо 2 2

а = 18cm, Р = 162(3√3 + 4)cm2.

V = 1 000cm3.

2.

H = 9cm.

Четворострана пирамида 2

1.

ha = 15cm, P = ab + aha + bhb = 564cm2, V = 720cm3. 2.

а = 9,6m, h = 6m, M = 115,2m2, Ако је за 1m2 потребно 8 црепова, онда је за цео кров потребно 115,2 ∙ 8 = 921,6 то јест најмање 922 црепа.

3.

h = 2,5m, M = 15m2.

4.

В = а2, па је а = 18cm, а М = 2ah, па је h = 15cm, из h =H + a 2

B = 15cm2.

4.

2 а) V = a · H = 75cm3; 3



б) И  зh =H + a 2 2

5.

V = B · H , B = 100cm2, а = 10cm, 3 h = 13cm, P = 360cm2.

7.

Како је d = a√2, то је а = 14cm, B = 196cm2, M = Р – В = 700cm2. Из М = 2ah је h = 25cm, 2 a 2 2 h =H + , па је H = 24cm, V = 1 568cm3. 2

8.

а = 8cm, h = 5cm, H = 3cm, P = 144cm2, V = 64cm3.

9.

h = 24m, M = 1 728m2.

2



б) К  ористећи h = H + a√3 , израчунамо 6 2

2

а = 24cm, V = 192√3cm3. 6.

2 V = a · H = 2 433 400m3. 3

7.

а) Користећи b2 = H2 + a2, израчунамо 2 H = 16cm, V = a √3 · H = 1 152√3cm3; 2

10. а = 12cm, b = 10cm, h = 8cm, H = 2√7cm, P = 336cm2, V = 96√7cm3.



б) Из h2 = H2 + a√3 2

11. H = 20cm, h = 25cm, P = 2 400cm2, V = 6 000cm3.

8.

Из В = а израчунамо а = 8cm. Користећи

2

је H = 4cm, V = 24√3cm3.

2

2

h = H + a , израчунамо H = 3cm,V = 64cm3. 2 2

8180

је H = 12cm, V = 1296cm3.

6.

a) Користећи b2 = H2 + a√3 , израчунамо 3 2 H = 12cm, V = a √3 · H = 75√3cm3; 12

2

B = P – M = 36cm2, В = а2, а = 6cm, из М = 2ah је 2 a 2 2 h = 5cm, из h = H + је H = 4cm, V = 48cm3. 2

је H = 8cm, V = 2 400cm3. 2

2

5.

2

2

2

Из hb2 = H2 + a , hb = 13cm, из ha2 = H2 + b , 2 2

2

3.

је

10. V = Vpr = 40cm3. 3

Запремина пирамиде 1.

2

2

H = 4cm, V = 48cm3.

2





Из М = 2ah је h = 5cm, из h = H + a 2 2

2

12. а = 6cm, H = 4cm, h = 5cm, P = 96cm2, V = 48cm3. 13. H = 8cm, V = 384cm3, m = ρ ∙ V, m = 345,6g.

14. а = b = 6cm, 2 P = a2 + 4 · a √3 = a2 + a2√3 = a2(1 + √3), 4 P = 36(1 +√3)cm2.

21. У ∆SOA(30°, 60°, 90°) је H = b , b = 4cm, R = b√3 , 2 2 R = 2√3cm, a = 2√6cm, h = √10cm, P = 8(3 + √15)cm2, V = 16cm3.

15. а) H = √2cm, P = 4(1 + √3)cm2, V = 4√2 cm3; 3 б) а  = b = 4cm, H = 2√2cm, P = 16(1 + √3)cm2, V = 32√2 cm3; в) а = b = 4√2cm, 3 P = 32(1 + √3)cm2, V = 128 cm3. 3 2 16. М = 4 · a √3 = a2√3, а = b = 6cm, 4 P = 36(1 + √3)cm2.

17. 8а = 96cm, а = 12cm, P = 144(1 + √3 )cm2. 18. a = 4H, из M = 2ah, 32√5 = 2ah, ah = 16√5, 4Hh = 16√5, Hh = 4√5, h = 4√5 . Користећи H 2 2 a 4√5 2 2 h =H + , добићемо = H2 + (2H)2. H 2 Сређивањем последње једнакости, Н4 = 16, Н = 2cm, а = 8cm, V = 128 cm3. 3 19. У ∆SOE(45°, 45°, 90°) је H = a , a = 14cm, h = H√2, 2 h = 7√2cm, P = 196(1+ √2)cm2, V = 1 372 cm3. 3

2

22. d = a + b , d = 5cm, s = H + d , H = 6cm, 2 V = 24cm3. 2

2

2

2

2

23. d2 = a2 + b2, d = 30cm, H = 8cm, 2 d 2 2 s =H + , s = 17cm. 2 24. a) H = 8cm, ha = 10cm, P = 864cm2; б) а = 18cm, b = 10cm, P = 564cm2. 25. ak = a = b = 2cm, H = √2cm, 2 Pt = 4Pkv + 8Ptr = 4a2 + 8 a √3 = 8(2 + √3)cm2, 4 √2 )cm3. Vt = Vk + 2Vp = 8(1 + 3 26. R = a√2 , R = 2√2cm, H = 2√2cm, 2 2 Pt = 8Ptr = 8 a √3 = 32√3cm2, 4 64√2 cm3. Vt = 2Vp = 3 27. H = a = ak = 6cm, Vt = Vk – Vp = 144cm3. 28. Запремина куће састоји се од запремине квадра и запремине пирамиде, V = 6 000cm3, m = ρ ∙ V = 4 800g = 4,8kg.

20. У ∆SOE(30°, 60°, 90°) је a = h , a = 8cm, H = h√3 , 2 2 2 256√3 2 3 H = 4√3cm, P = 192cm , V = cm . 3

29. Pdp = d · H , d = 20cm, a = 10√2cm, h = 5√3cm, 2 P = 100(2 + √6)cm2, V = 1 000 cm3. 3

8081

30. Како је дијагонални пресек једнакостранични троугао, d = b = 6cm. Висина пирамиде је висина једнакостраничног троугла, па је H = b√3 , 2 Н = 3√3cm. Из d = а√2 израчунамо а = 3√2cm, V = 18√3cm3. 31. а = 10√2cm, d = a√2 = 20cm, Н = 15√2cm, Pdp = 150√2cm2. 32. а = 16cm, d = a√2 = 16√2cm, Из 2 a 2 2 (H + 2) = H + , Н = 15cm, Pdp = 120√2cm2. 2

42. а = 5k, H = 6k, k3 = 8, k = 2cm, a = 10cm, Н = 12cm, h = 13cm, P = 360cm2. 43. а = 3k, H = 2k, из h = H + a 2 2

2

2

добијамо h = 2,5k.

Како је М = 2аh, 240 = 2 ∙ 3k ∙ 2,5k, k = 4cm, a = 12cm, h = 10cm, Н = 8cm, P = 384cm2, V = 384cm3. 44. Дијагонални пресек је ∆ACS(45°, 45°, 90°), а како је једнакокрако-правоугли, то је 2 Pdp = b = 50cm2. 2

2 33. Pdp = b јер је дијагонални пресек једнакокрако2 -правоугли троугао, па је b = 4cm, а d = b√2 = 4√2cm. A како је и Pdp = d · H , то је 2 Н = 2√2cm. Из d = а√2 је а = 4cm, а користећи 2 b2 = h2 + a , израчунамо h = 2√3cm, 2 P = 16(1 + √3)cm2, V = 32√2 cm3. 3

34. а = 12cm, d = 12√2cm, Н = 8cm, h = 10cm, P = 384cm2, V = 384cm3. 35. d = b, 3b = 24cm, b = 8cm, d = 8cm, а = 4√2cm, Н = 4√3cm, h = 2√14cm, P = 32(1 + √7)cm2, V = 128√3 cm3. 3

45. R = 8cm. У ∆SOA(30°, 60°, 90°) је R = b , b = 16cm, 2 H = b√3 , H = 8√3cm, h = 4√14cm, 2 P = 128(1 + √7)cm2, V = 1 024√3 cm3. 3

36. M = 4Pbs, M = 240cm2, B = P – M = 144cm2, а = 12cm, d = 12√2cm, h = 10cm, Н = 8cm, Pdp = 48√2cm2.

46. a) У ∆SOE(30°, 60°, 90°) је a = h , a = h, P = 3a2; 2 2 б) Како је a = h, P = 3h2;

37. a = 8cm, Н = 10cm, V = 640 cm3. 3 38. Из H : h = 4 : 5 je H = 4k, h = 5k. Користећи 2 a 2 2 h =H + , (5k)2 = (4k)2 + 92, k = 3cm, Н = 12cm, 2 h = 15cm, P = 864cm2, V = 1 296cm3. 39. а = 36cm, Н = 24cm, h = 30cm, P = 3 456cm2, V = 10 368cm3. 40. Из а : h = 8 : 5 je а = 8k, h = 5k, М = 2аh, 1 280 = 2 ∙ 8k ∙ 5k, k = 4cm, a = 32cm, h = 20cm, Н = 12cm, P = 2 304cm2, V = 4 096cm3. 41. а = 8k, h = 5k, P = a2 + 2аh, k = 1cm, a = 8cm, h = 5cm, Н = 3cm, V = 64cm3.

83 82

47. У ∆SOA(45°, 45°, 90°) је H = R = a√2 , b = H√2, 2 a3 = 216, a = 6cm, H = 3√2cm, b = 6cm. 48. a2 = d1 2 49. a2 = d1 2

2

2

2

+ d2 , а = 10cm, H = 10cm, V = 320cm3. 2 2

+ d2 , d2 = 8cm, s = 8cm, 2

H = 4√3cm, V = 32√3cm3. 50. h = a√3 = 3√3cm, H = 3√3cm, V = 54cm3. 2 51. V = ak3, ak = 4cm, a = ak = 4cm, H = ak = 4cm, h = 2√5cm, P = 16(1 + √5)cm2.

52. Dk = a√3 = 4√3cm, a = 4cm, b = Dk = 2√3cm, 2 H = 2cm, h = 2√2cm, P = 16(1 + √2)cm2, V = 32 cm3. 3 53. a = ak = 9cm, b1 = ak = 9cm, b2 = d = ak√2= 9√2cm, b3 = D = ak√3= 9√3cm. Бочне стране пирамиде су правоугли троуглови, P = a2 + 2 ab1 + 2 ab2 = 81(2 + √2)cm2. 2 2

7.

a = 12cm, H = 8cm, r = 2√3cm, h = 2√19cm, P = 36 (√3 + √19)cm2, V = 96√3cm3.

8.

а = b = 12cm, R = 4√3cm, H = 4√6cm.

9.

b = 5cm, V = abH , H = 10cm. 6

10. B = 36√3cm2, a = 12cm, r = 2√3cm, h = 2√39cm, P = 36√3(1 + √13)cm2. 11. B = 36√3cm2, H = 4cm, r = 2√3cm, h = 2√7cm, P = 36(√3 + √7)cm2. 12. a = 12cm, h = 8cm, r = 2√3cm, H = 2√13cm, V = 24√39cm3.

54. H = ak = 12cm, a = 2 ak 2 2

2

, a = 6√2cm, h = 9√2cm,

P = 288cm2, V = 288cm3.

Тространа пирамида 1.

R = 4√3cm, r = 2√3cm, користећи b2 = H2 + R2 израчунамо H = 2√13cm, а из h2 = H2 + r2 израчунамо h = 8cm, P = 36(√3+ 4)cm2, V = 24√39cm3.

13. B = 16√3cm2, M = 96√3cm2, h = 8√3cm, r = 4√3 cm, H = 4√105 cm, V = 64√35 cm3. 3 3 3 14. a = h = 6√3cm, r = 3cm, H = 3√11cm. 15. r = 4√3cm, a = 24cm, h = 13cm, P = 36 (4√3 + 13)cm2. 16. B = 81√3cm2, B = 1 P, P = 243√3cm2, 3 M = 162√3cm2, h = 6√3cm, r = 3√3cm, H = 9cm, V = 243√3cm3. 2 17. а = b = 2√3cm, P = 4 · a √3 = a2√3, P = 12√3cm2, 4 R = 2cm, H = 2√2cm, V = 2√6cm3. 2 18. 6a = 24cm, a = 4cm, b = 4cm, P = 4 · a √3 = a2√3, 4 4√3 4√6 2 cm, H = cm, P = 16√3cm , R = 3 3 V = 16√2 cm3. 3

2.

a = 12cm, R = 4√3cm, H = 3√3cm, V = 108cm3.

3.

a = 10cm, P = 25 (√3 + 6)cm2.

4.

H = 15m.

5.

a = 18cm, H = 9cm, r = 3√3cm, h = 6√3cm, P = 243√3cm2, V = 243√3cm3.

6.

a = 6cm, h = 3cm, r = √3cm, H = √6cm, P = 9√3(1 + √3)cm2, V = 9√2cm3.

2 19. P = 4 · a √3 = a2√3, а = b = 8cm, 4 8√3 cm, H = 8√6 cm. R= 3 3

20. а = b = 10cm, R = 10√3 cm, H = 10√6 cm, 3 3 V = 250√2 cm3. 3 21. h = 3√3cm, r = √3cm, H = 2√6cm, V = 18√2cm3 = 25,38cm3, m = ρ ∙ V =22,842g.

83 82

22. а = b, h = a√3 , r = a√3 , H = a√6 , 2 6 3 3 a √2 2 P = a √3, V = . 12 23. b = 2√2cm, R = 4√3 cm, H = 2√6 cm, 3 3 P = 4(√3 + 3)cm2, V = 8√2 cm3. 3 24. а + 2b = 16cm, b = 5cm, h = 4cm, P = 9(√3 + 4)cm2. 25. 3α = 270°, α = 90°, закључујемо да су бочне стране једнакокрако-правоугли троуглови, па је а = b√2 = 10√2cm, h = 5√2cm, R = 10√6 cm, 3 10√3 2 H= cm, P = 50(√3 + 3)cm , V = 500 cm3. 3 3

32. У ∆SOD(30°, 60°, 90°) је r = h , r = √3cm, a = 6cm, 2 2 H = 3cm, P = 27√3cm , V = 9√3cm3.

26. 3α = 180°, α = 60°, закључујемо да су бочне стране једнакостранични троуглови, па је а = b. Ова пирамида је тетраедар, па је 2 P = 4 · a √3 = a2√3, а = 18cm, 4 h = 9√3cm, r = 3√3cm, H = 6√6cm. 27. У ∆SOA(30°, 60°, 90°) је R = b , R = 2√3cm, a = 6cm, 2 H = 6cm, h = √39cm, P = 9√3(1 + √13)cm2, V = 18√3cm3.

28. b = H = 12cm, V = 120cm3. 29. R = 3√3cm, a = 9cm, H = 3 cm, V = 81√3 cm3. 8 2 30. R = a√3 = 4√3cm. У ∆SOA(45°, 45°, 90°) је 3 H = R = 4√3cm, V = 144cm3. 31. У ∆SOA(45°, 45°, 90°) је H = R , b = H√2, H = 2√3cm, R = 2√3cm, a = 6cm, V = 18cm3.

84 85

33. У ∆SOD(45°, 45°, 90°) је r = H, r = 2cm a = 4√3cm, h = H√2, h = 2√2cm, P = 12√3(1 + √2)cm2, V = 8√3cm3.

34. r = a√3 = 2√3cm. У ∆SOD(30°, 60°, 90°) је 2 h√3 , h = 4cm, H = 2cm, r= 2 P = 36(√3 + 2)cm2, V = 24√3cm3. 35. а) c = H = 20cm, V = 640cm3; б) c = 20cm, R = 10cm, H2 = s2 – R2, H = 24cm, V = abH = 768cm3. 6

2

36. Из b = h + a израчунамо b = 3√5cm, a 2 2

2 a

у ∆DBO из једнакости R2 = (ha – R)2 + a 2

2

израчунамо R = 3cm, H = 4cm, V = 20√5 cm3. 3

9.

V = 0,18√3m3 ≈ 0,18 ∙ 1,73m3 = 0,3114m3 = = 311400сm3, m = 716 220g = 716,22kg.

10. H = 8cm, V = 144√3cm3, V ≈ 250cm3, m = 225g. 11. h = 4√3cm, a = 4cm, P = 72√3cm2. 12. a) H = 8cm, r = 6cm, h = 10cm, P = 192√3cm2; б) а  = 4cm, r = 2√3cm, h = 2√6cm, P = 24√3(1 + √2)cm2. 13. a = 6cm, h = 6cm, r = 3√3cm, H = 3cm, V = 54√23cm3. 14. a = 6cm, h = 6cm, r = 3√3cm, H = 3cm, V = 54√3cm3.

37. V = abc = 120cm3. 6 38. Како је ab = 4, bc = 8, ac = 9, то је ab = 8, 2 2 2 bc = 16, ac = 18, ab ∙ bc ∙ ac = 8 ∙ 16 ∙ 18, a2b2c2 = 2 304, (abc)2 = 482, abc = 48, V = abc = 8cm3. 6

Шестострана пирамида 1.

r = a√3 , r = 4√3cm, a користећи h2 = H2 + r2, 2 израчунамо h = 4√15cm.

2.

r = 4√3cm, H = 3√3cm.

3.

H = dm, dm = a√3, dm = 6√3cm, H = 6√3cm, V = 324cm3.

4.

r = 9, H = 12cm, V = 648√3cm3.

5.

R = a = 20cm, H = 15cm, h = 5√21cm, P = 300√3(2 + √7)cm2, V = 3 000√3cm3.

6.

a) R = a = 6cm, r = 3√3cm, h = √91cm, P = 18(3√3 + √91)cm2, V = 144√3cm3; б) a = 10cm, r = 5√3cm, H = √69cm, P = 30(5√3 + 12)cm2, V = 150√23cm3; в) r = 3√3cm, h = 6cm, H = 3cm, P = 54(√3 + 2)cm2, V = 54√3cm3.

7.

H = 8m.

8.

a = 4m, r = 2√3m, h = √21m, P = 12√3(2 + √7)m2 ≈ 12 ∙ 1,73 ∙ (2 + 2,65)m2 ≈ ≈ 96,534m2.

15. а = 8cm, r = 4√3cm, h = 5√3cm, P = 216√3cm2. 16. а) h = 12cm, r = 6√3cm, H = 6cm, V = 432√3cm3; б) B  = 18√3cm2, а = 2√3cm, r = 3cm, h = 5cm, H = 4cm, V = 24√3cm3. 17. a = H = 12cm, r = 6√3cm, h = 6√7cm, P = 216(√3 + √7)cm2, V = 864√3cm3. 18. a = 6cm, H = 4cm, V = 72√3cm3. 19. a = 4cm, r = 2√3cm, H = 2√6cm, dv = 8cm, Pdp = 8√6cm2. 20. a = 10cm, H = 10√3cm, dv = 20cm, Pdp = 100√3cm2. 21. Како је већи дијагонални пресек једнакокракоправоугли троугао, то је dv = b√2, dv = 8cm, a = 4cm, H = 4cm, V = 32√3cm3. 22. 6α = 180°, α = 30°, hb = b , hb = 4cm, M = 6 ∙ b · hb , 2 2 M = 96cm2. 23. У ∆SOA(45°, 45°, 90°) је H = а = 6cm, r = 3√3cm, h = 3√7cm, P = 54(√3 + √7)cm2, V = 108√3cm3.

84 85

24. У ∆SOA(30°, 60°, 90°) је H = b , 2 81√3 cm3. H = 3cm, a = 3√3cm, V = 2

30. H = √69cm, h = 12cm, Pt = 12Ptr = 12 ah = 720cm2, 2 Vt = V 1 + V 2 = 300√23cm3. 31. a = 10√2cm, d = a√2cm = 20cm, H = 15√2cm, Pdp = 150√2cm2. 32. Из а : Н = 2 : 3 је a = 2k, H = 3k, dv = 4k. Kako je Pdp = dv · H , то је 24 = 6к2, к2 = 4, к = 2. a = 4cm, 2 H = 6cm, r = 2√3cm, h = 4√3cm, P = 72√3cm2, V = 48√3cm3.

25. r = 4√3cm. У ∆SOG(30°, 60°, 90°) је r = h , h = 8√3cm, P = 288√3cm2. 2

33. dm = a√3, dm = 10√3cm, x = a , x = 5cm, 2 H12 = H2 + x2, H1 = 13cm, Pdp = dm · H1 , Pdp = 65√3cm2. 2

26. У ∆SOG(45°, 45°, 90°) је r = H, r = 3cm, a = 2√3cm, h = H√2, h = 3√2cm, P = 18√3(1 + √2)cm2, V = 18√3cm3.

34. У ∆SOA(45°, 45°, 90°) је H = а, b = a√2, a = 10cm, H = 10cm, dv = 20cm, Pdp = 100cm2.

27. H = h , H = 3cm, r = 3√3cm, a = 6cm, V = 54√3cm3. 2 28. H = h√3 , h = 8cm, r = h , r = 4cm, a = 8√3 cm, 2 3 2 P = 96√3cm2, V = 128cm3. 29. a1 = a2 = a = 6cm, H1 = H2 = H = 8cm, r = 3√3cm, h = √91cm, 2 Pt = B + 6Ppr + 6Ptr = 6 a √3 + 6aH + 6 ah = 4 2 = 18(3√3 + 16 + √91)cm2, Vt = V 1 + V 2 = 576√3cm3.

86 87

3 35. а) H = а, V = a √3 ; 2



б) Како је b = a√2 то је a = b√2 , па је и 2 3 b√2 b √6 H=a= ,V= . 2 8

36. Из сличности троуглова SOA и SO1A1 следи SO : OA = SO1 :O1A1, H : a = H : a1, a1 = 4cm, 2 3 H1 = 5cm, V1 = 40√3cm .

37. Унутрашњи углови правилног шестоугла су по 120°, JEF = 120°, па је АЕЈ = 60°. У ∆АЕЈ(30°, 60°, 90°) је b = x√3 , x = 6cm (x је страница 2 2 шестоугла), H = c = 10cm, V = 180√3cm3.

86 87

88

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА Линеарна функција у = kх + n А – утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = –4х; в) у = 2х – 7; г) у = 2 x; 5 ђ) у = 3х2 + х; д) у = 2 ; 5x е) у = √3x + 5; ж) у = 5√x – 3; з) у = √7x; и) у = 7 ; x 2 2 ј) у = (х + 2) – х ? 2. Попуни дате табеле: а) х –2 –1 4х 4х – 3 4х + 3

0

1

–2

–1

0

1

2

2

3. Дата је функција у = 4х – 2. Нађи вредности зависно променљиве у за вредности независно променљиве –5, –1, 0, 2, 3 и прикажи одговарајућом табелом. 4. Нека је дата линеарна функција f(x) = 3x – 5. Одреди вредности: а) f(–2); б) f(–1); в) f(0); г) f(2); д) f( 2 ). 3 5. Дата је линеарна функција f(x) = – 3 x – 1. Одреди: 4

а) f(–4); в) f(0);



д) f(4р);

б) f(–1); г) f(8); ђ) f( 4 p – 4). 3

6. Дата је линеарна функција у = 2х – 2. Одреди вредност променљиве у за: а) х = –3; б) х = 0; в) х = 10; д) х = 3 . г) х = – 1 ; 2 4

б) х –2х –2х – 3 –2х + 3



7. Запиши линеарну функцију у = kx + n ако је: а) k = 2, n = 3; б) k = 5, n = –2; в) k = –3, n = 3; г) k = 1 , n = 4; 2 ђ) k = –0,5, n = 0; д) k = 0, n = 2 ; 7 е) k = – 5 , n = – 1 ; ж) k = 3 , n = –3,4. 6 2 4 8. Одреди коефицијент правца k и слободан члан n линеарне функције: а) у = 6х + 1; б) у = х – 3; г) у = – 2 х + 3; в) у = –4х + 2 ; 3 7 д) у = –3,5х; ђ) у = 1,2х – 1 ; 2 ж) у = 3x – 2 . е) у = – 3 ; 7 5 9. Нека је дата функција у = 3х + 2. Одреди вредност независно променљиве х за коју је: а) у = 5; б) у = –1; в) у = 2; г) у = 4; д) у = –7. 10. Дата је функција f(x) = –2x + 1. Одреди вредност независно променљиве х за коју је: а) f(x) = –1; б) f(x) = 1; в) f(x) = 3; г) f(x) = –5; д) f(x) = 1 . 2

89

Б – вежбај 11. Дата је функција у = 2 х + 1. Попуни 3 дату табелу: – 3 х –3 6 2 у

1

–2

5 3

12. Дужина правоугаоника је 8cm. У зависности од ширине правоугаоника х, изрази: а) површину правоугаоника; б) обим правоугаоника; в) Израчунај површину и обим правоугаоника за х = 1cm, х = 2cm, х = 5cm.

А – утврди

13. Одреди имплицитни облик линеарних функција: а) у = х + 1; б) у = –2х + 3; в) у = 3х – 4; г) у = 1 х – 2; 2 ђ) у = – 3 х + 1 ; д) у = – 2 х + 1; 3 4 2 5x – 2 . е) у = 3

2. Нацртај у истом координатном систему графике функција: а) у = х, у = х – 2, у = х + 2; б) у = 2х, у = 2х – 1, у = 2х + 3; в) у = –х, у = –х – 3, у = –х + 3; г) у = – 1 х, у = – 1 х – 2, у = – 1 х + 1. 3 3 3

14. Дате линеарне функције запиши у експлицитном облику: а) 3х + у + 2 = 0; б) –2х + 2у – 4 = 0; в) 6х – 3у + 9 = 0; г) 5х – 2у – 4 = 0; д) –7х + 5у + 3 = 0; ђ) –2х – 8у + 1 = 0. 15. Дата је линеарна функција у = 5х – 4. Која од понуђених функција, датих у имплицитном облику, одговара овој функцији: а) 5х + у – 4 = 0; б) 5х – у + 4 = 0; в) 5х – у – 4 = 0; г) –5х + у – 4 = 0?

В – примени

90 91

17. Основна ивица правилне четворостране призме је 1cm. Изрази површину призме у зависности од висине призме H. Одреди површину призме за: а) Н = 2cm; б) Н = 5cm; в) Н = 10cm. Попуни одговарајућу табелу.

16. Мотоциклиста је кренуо из места А у место В и креће се брзином од 50km/h. Mеста А и В су на растојању од 80km. Изрази удаљеност мотоциклисте од места В у зависности од времена.

График линеарне функције

1. Нацртај график функције: а) у = 3х; б) у = –3х; в) у = 4х; г) у = – 1 х; д) у = 3 х. 2 5

Б – вежбај 3. Нацртај график функције:

а) у = 5;

б) у = –3;

в) у = 3 . 4

4. Дате су линеарне функције у имплицитном облику: а) х – у + 1 = 0; б) 2х + у + 1 = 0; в) х + 2у – 4 = 0; г) 4х + у – 4 = 0; д) 6х – 3у + 9 = 0. Запиши дате функције у експлицитном облику, а затим нацртај графике тих функција. 5. Спој линеарне функције чији су графици паралелне праве: у = 2х – 3 • • у = 3х – 2 у = –3х – 2 • • у = 2х у = 3х + 5 • • у = –3х + 4 у = –2х • • у = –2х – 3.

Б – вежбај 6. За дате функције одреди коефицијент правца, а затим одговори које од тих функција имају паралелне графике: б) у = –2х + 1; а) у = 1 х; 2 в) у = 2х + 3; г) 2х + у – 7 = 0; д) 2х – у = 0; ђ) х + 2у + 1 = 0; е) –2х – 2у + 4 = 0. 7. Одреди тачку пресека у-осе и графика функције: а) у = 2х + 1; б) у = –3х + 1; в) у = 4х – 7; г) у = 5; д) у = 2х – 1 . 2 8. Одреди тачку пресека у-осе и графика функције: а) 5х + у + 3 = 0; б) х – 7у + 7 = 0; в) –2х + 3у + 6 = 0; г) –4х – 2у + 1 = 0. 9. Упари линеарне функције чији графици секу у-осу у истој тачки: у = 5х – 2 • • у = 2х – 5 у = –3х – 5 • • у = 5х у = 3х + 5 • • у = –3х – 2 у = –2х • • у = –2х + 5.

Нула функције А – утврди 1. Дата је функција у = 3х – 5. Одреди вредност независно променљиве х за коју је: а) у = 4; б) у = –3; г) у = 0. в) у = 1 ; 2 2. Дата је функција f(x) = –2х + 1. Одреди вредност независно променљиве х за коју је: а) f(x) = 1; б) f(x) = –7; в) f(x) = 0.

3. Одреди координате тачке пресека х-осе и графика функције: а) у = х + 5; б) у = –2х + 3; в) у = 2х + 3; г) у = –5х + 10. 4. Провери да ли је х = 2 нула функције: а) у = х – 2; б) у = 2х + 1; в) у = –2х + 4; г) у = – 1 х + 1; 2 д) 5х – у – 6 = 0; ђ) –3х + у + 6 = 0. 5. Одреди нулу функције: а) f(x) = 3х + 9; б) f(x) = 3х – 9; в) f(x) = –3х + 9; г) f(x) = –3х – 9. 6. Одреди нулу функције: а) у = –2х + 6; б) у = 10х + 5; в) 3х + у – 4 = 0; г) 5х – 2у + 7 = 0; д) 1 х + 1 у – 1 = 0; 2 3 ђ) 2 х – 3 у + 5 = 0. 3 4 6 7. Нађи координате пресечних тачака графика функције са координатним осама: а) у = 4х – 8; б) у = –х + 7; г) у = – 1 х + 4; в) у = 3х + 2; 2 д) 2х – у + 6 = 0; ђ) 6х + 3у – 5 = 0; е) 3х – 5у + 2 = 0; ж) 1 х – 2 у + 3 = 0. 2 7 14 8. Одреди вредност параметра р тако да функција: а) у = х – р има нулу за х = 2; б) у = 3х + 2р има нулу за х = –1; в) у = –2рх + 4 има нулу за х = 3; г) у = (4р – 1)х + 3 има нулу за х = –2; д) у = (7 – 2р)х – 4р има нулу за х = 1; ђ) (р + 5)х + у + 2р = 0 има нулу за х = –5.

9091

Цртање и читање графика функције А – утврди 1. Провери кроз које од наведених тачака пролази график функције у = – 1 х + 2: 2 а) А(–2, 3); б) В(0, 2); в) С(–4, –4); г) D(–4, 4); д) Е(1, 2 1 ). 2 2. Провери које од тачака А(–2, –3), В(0, 2), С(4, 5), D(–3, –5) припадају графику функције у = 2х + 1. 3. Одреди по две тачке које припадају графику функције: б) у = –5х + 1; а) у = 2х – 7; в) у = 3х + 2.

8. Тачка А припада графику функције х – 2у + 6 = 0 и има ординату 2, а тачка В припада графику функције 4х – у + 8 = 0 и има апсцису –3. Одреди координате тачака А и В и дужину дужи АВ. 9. Дата је функција y = –3x + 6. Одреди координате пресека графика функције са координатним осама и нацртај график те функције. 10. Дате функције запиши у експлицитном облику, одреди координате пресека графика функција са координатним осама и нацртај графике функција: б) –4х + 2у + 2 = 0; а) х + у + 4 = 0; в) х + 2у – 4 = 0. 11. Функцији у = 2х – 1 одговара један од графика на слици. Који?

4. Одреди по четири тачке које припадају графику функције: б) у = 3х + 5; а) у = –х + 9; в) у = 1 х – 1 . 2 2

Б – вежбај 5. Одреди непознате координате тачака А(–8, у) и В(х, 2) тако да оне припадају графику функције у = 3 х + 1. 4 6. За дате функције одреди пресек са координатним осама, а затим нацртај графике тих функција: а) у = –4х + 2; б) у = 3х – 6; в) 2х + у – 1 = 0; г) 10х – 5у + 15 = 0. 7. Дата је функција у = 3х + р. Одреди вредност параметра р тако да је х = –1 нула функције. За добијену вредност параметра р нацртај график функције.

93 92

12. Одреди k тако да графику функције: а) y = kx + 2 припада тачка С(1, 3); б) y = kx – 2 припада тачка С(–1, 1).

В – примени 13. Одреди n тако да графику функције: а) y = –3x + n припада тачка D(1, 3); б) y = 5x + n припада тачка D(–1, 1).

20. Којој од функција: а) у = х + 3; б) у = х – 3; в) у = –х + 3; г) у = –х – 3? одговара дати график?

14. Дата је функција у = (р + 2)х + р. Одреди вредност параметра р тако да график функције садржи тачку F(2, 1). 15. Одреди вредност параметра р тако да график функције: а) у = (р + 1)х + 2 садржи тачку А(1, 2); б) у = (3р – 2)х + р садржи тачку А(–2, –4); в) ( 2р + 3)х – 2у + 4р – 2 = 0 садржи тачку А(–1, –2). 16. Одреди вредност параметра m тако да графици датих функција буду паралелне праве: а) у = (2m + 3)х + 2 и у = (3m – 1)х – 4; б) у = (m – 2)х – 1 и (3m + 1)х – 2у – 2 = 0; в) ( 5m + 4)х + у – 7 = 0 и (2m – 3)х – 3у + 7 = 0.

21. Одреди функцију којој одговара нацртани график:

17. Дата је функција у = – 4 х + 8. Одреди 3 пресечне тачке графика функције са координатним осама и израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла који образује график функције са координатним осама. 18. Израчунај површину троугла који образује график функције у = 4х – 4 са координатним осама. 19. Одреди обим и површину троугла који образују координатне осе са графиком функције: б) у = – 4 х + 4; а) у = 3 х + 3; 4 3 г) х + у – 2 = 0; в) у = – 12 х + 12; 5 д) 3х + 4у – 12 = 0.

93 92

22. Датим функцијама придружи одговарајуће графике:



у=х–2 •

•



у = 2х + 1 •

•



у = –х + 1 •

•



у = –2х – 2 •

•

24. Одреди функције које одговарају графицима на слици:

23. Одреди функције којима одговарају нацртани графици: 25. Одреди k и n тако да је график функције y = kx + n: а) паралелан графику функције у = 4х – 2 и на у-оси одсеца одсечак 3; б) паралелан графику функције у = 2х – 3 и пресечна тачка са у-осом има координате (0, –4); в) паралелан графику функције 3х – у + 6 = 0 и пресечна тачка са у-осом има координате (0, 1). 26. Одреди функцију y = kx + n тако да њен график садржи тачке: а) А(0, 0) и В(2, 4); б) А(–1, 3) и В(0, 0).

94 95

27. Одреди k и n тако да график функције y = kx + n пролази кроз тачке: а) А(0, 1) и В(–1, 0); б) А(0, –4) и В(–2, 0); в) А(3, 0) и В(0, 1); г) А(–5, 0) и В(0, 2). 28. График функције y = kx + n садржи тачке А(0, 2) и В( 2 , 0). Да ли том графику 3 припадају и тачке С(1, –1) и D(2, 3)? 29. График функције y = kx + n садржи тачку М(2, –1) и паралелан је са графиком функције y = 1 x + 1 . Да ли том 2 4 графику припадају и тачке P(2, 1) и Q(–4, 4)? 30. Одреди функцију y = kx + n тако да њен график: а) с адржи тачку А(–1, –2) и паралелан је графику функције у = 4х – 1; б) садржи тачку А(2, 4) и на у-оси одсеца одсечак 3; в) одсеца на у-оси исти одсечак као и график функције у = 2 х – 1 и 3 2 паралелан је са графиком функције у = 1 х + 17; 2 г) садржи тачку Р(–1, –5) и паралелан је са графиком функције х – 2у + 2 = 0; д) одсеца на у-оси исти одсечак као и график функције 4х + 2у – 5 = 0 и паралелан је са графиком функције 2х – 7у + 19 = 0. 31. Одреди m тако да график функције y = 1 – m x + 10 буде паралелан са 3 графиком функције y – x + 5 = 0.

32. Одреди р тако да график функције y = 2p – 3 x – 2 буде паралелан са 2 графиком функције y + 2x – 5 = 0. 33. За функцију у = (2р + 1)х – 2 + р одреди вредност параметра р тако да њен график буде паралелан са графиком функције: а) у = х – 1 ; б) у = –3х + 2; 2 в) 2х – 4у + 1 = 0. 34. У функцији у = (m – 7)х – 2m + 4 одреди вредност параметра m тако да график функције сече у-осу у истој тачки као и график функције: а) у = 2х + 2; б) у = – 1 х + 1 ; 2 2 в) –3х + 2у + 6 = 0. 35. Одреди вредност параметра р тако да графици датих функција секу у-осу у истој тачки: а) у = х + р – 1 и у = –2х + 2р – 3; б) х + у + 2р = 0 и у = 3х – 7р – 4; в) х + у – р – 1 = 0 и 2х + 3у + 2р + 9 = 0. 36. Дата је функција y = (2k + 4)x + k – 5. Одреди k тако да: а) г рафик функције буде паралелан са графиком функције y = –3x + 4; б) г рафик функције садржи координатни почетак; в) г рафик функције сече у-осу у истој тачки као и график функције y = 2x – 7. 37. Тачке А(0, –4) и В(4, 0) припадају графику функције y = kx + n. а) Одреди k и n. б) Нацртај график функције. в) О  дреди угао између графика функције и позитивног дела х-осе.

94 95

38. Одреди вредност параметра р тако да график функције (р + 2)х + (1 – р)у + 2 = 0 на координатним осама одсеца једнаке дужи. 39. Пешак се креће брзином од 5km/h. Запиши формулу којом се изражава пређени пут s у зависности од времена t. а) Колики пут пређе пешак за 3 сата? б) Колико времена је потребно пешаку да пређе 12km? 40. Неко тело има почетну брзину V0 = 2m/s. Запиши формулу којом се изражава брзина V у зависности од времена t при сталном убрзању од 2m/s2. Нацртај график и одреди брзину тела после 5 секунди. 41. На стоваришту се налази 550 тона цемента. Сваког дана на градилиште се превезе 25 тона цемента. а) К  олико ће остати цемента на стоваришту после х дана? б) П  осле колико дана ће на стоваришту остати 150 тона цемента?  осле колико дана ће нестати залихе в) П цемента на стоваришту?

Г – прoшири 42. Нађи функцију чији график садржи тачку А(0, 4) и у првом квадранту са координатним осама образује троугао површине 16. 43. Израчунај растојање координатног почетка од графика функције: а) 4х – 3у – 24 = 0; б) 5х + 12у – 60 = 0. 44. Аутомобил се креће брзином од 90km/h. Због радова на путу мора да кочи и успорава 5m/s2. Изрази зависност брзине V од времена t. а) К  олика ће бити брзина аутомобила после 4 секунде?

96 97



б) После колико секунди ће се аутомобил зауставити (V = 0)?

45. Милица има уштеђевину од 2 500 динара, а жели да купи бицикл који кошта 8 000 динара. Помажући родитељима у продавници, сваког дана заради 500 динара. а) Колико новца ће имати после х дана? б) Колико дана треба да ради да би скупила довољно новца да купи бицикл?  ацртај график зависности количине в) Н новца који Милица уштеди од броја дана које је провела радећи у продавници. 46. Милош је понео на летовање 12 000 динара. Сваког дана је трошио 800 динара. а) Колико динара је имао после х дана? б) После колико дана му је нестало новца?  ацртај график зависности в) Н Милошевог новца од броја дана проведених на летовању. 47. У олимпијском базену димензија 50m, 25m и дубине 2m било је 1 000 000 литара воде. У 5h укључене су славине које пуне базен. За један сат славине долију у базен 200 000 литара воде. а) Колико ће воде бити у базену после х сати? б) Колико ће воде бити у базену после 6 сати? в) У колико сати ће базен бити напуњен? 48. Цена аутомобила је 9 000 евра. Иван је дао учешће од 1 000 евра, а остатак плаћа у месечним ратама по 200 евра. а) Изрази функцијом остатак дуга у зависности од броја плаћених месечних рата. б) После колико месеци ће Иван исплатити аутомобил?

Неке особине графика функције Б – вежбај 1. Нацртај график линеарне функције и установи да ли је растућа или опадајућа: а) у = 2х – 4; б) у = –2х + 1; в) у = 1 х + 5; г) 3х – у + 2 = 0; 2 д) х + 3у – 1 = 0; ђ) 4х + 2у + 5 = 0. 2. Не цртајући график функције одреди да ли је функција растућа или опадајућа: а) у = 8х – 7; б) у = 5 х + 3; 2 в) у = –12х + 5; г) у = – 3 х – 1; 7 д) х + у – 5 = 0; ђ) 5х – 9у + 8 = 0; е) –3х + 7у + 5 = 0.

В – примени 3. Одреди вредност параметра m тако да функција буде растућа: а) у = mх + 3; б) у = –4mх – 2; в) у = (4 + m)х + 5; г) у = (2m – 8)х – 3; д) (3m + 6)х – у + 5 = 0; ђ) (5 – 4m)х + 2у – 3 = 0. 4. Одреди вредност параметра р тако да функција буде опадајућа: а) у = 3рх – 2; б) у = –рх – 7; в) у = (р – 9)х + 1; г) у = (6р + 9)х + 6; д) (5р – 4)х + у – 3 = 0; ђ) (4 – 2р)х – 3у + 8 = 0. 5. За које вредности параметра р ће функција бити растућа, а за које опадајућа: а) у = (3р + 18)х – 20; б) (2р – 10)х + у – 13 = 0; в) (10 – 4р)х – 2у + 10 = 0;



г) у = p – 1 х + 2; 4–p д) (2 – 2р)х – (р – 3)у + 4 = 0?

6. За дате функције одреди нулу, нацртај график, па закључи када је f(x) > 0, а када је f(x) < 0: а) f(x) = 2х – 4; б) f(x) = –4х + 8; г) f(x) = 2 х – 2. в) f(x) = – 1 х + 2; 3 5 7. Не цртајући график функције одреди нулу функције и знак функције, то јест вредности независно променљиве х за које је зависно променљива у позитивна и вредности независно променљиве х за које је зависно променљива у негативна: а) у = 7х – 14; б) у = –6х + 10; г) у = 2 х – 5; в) у = – 3 х + 2; 4 3 ђ) 6х – 2у + 4 = 0. д) 3х + у – 2 = 0; 8. Дата је функција y = –2x + 2. а) Одреди координате пресека графика функције са координатним осама. б) Нацртај график те функције. в) Одреди знак функције. г) Одреди да ли је функција растућа или опадајућа. д) Израчунај обим и површину троугла који образује график функције са координатним осама.

Пресек две праве Б – вежбај 1. Нацртај графике функција у = –х и у = 2х – 3. Одреди координате пресечне тачке ова два графика.

96 97

2. Одреди координате пресечне тачке правих: а) у = х и у = 1 х – 4; 2 б) у = х и у = –3х + 4; в) у = –х и у = 4х + 5; г) у = –х + 1 и у = 2х – 5. 3. Графички одреди координате пресечне тачке правих, а затим резултат провери рачунски: а) у = х + 1 и у = –3х + 5; б) у = х – 3 и у = 2х – 5; в) у = 2х – 4 и у = –2х + 8; г) у = х – 4 и у = –2х + 8.

В – примени 4. Графици линеарних функција y = 1 x + 2 и y = – 2 x + n секу у-осу у 2 3 истој тачки. Одреди површину троугла који образују графици функција са х-осом. 5. Израчунај обим трапеза који образују координатне осе са графицима функција y = 3x + 3 и y = 3x + 6.

Г – прoшири 6. Одреди координате пресечне тачке: а) А(х1, у1) правих у = 3х + 7 и у = –2х + 2; б) В(х2, у2) правих у = – 1 х + 2 и у = х – 2. 3 Затим одреди растојање тачака А и В. 7. Одреди координате пресечне тачке: а) М(х1, у1) правих 2х – 3у + 3 = 0 и 3х – 2у – 8 = 0; б) N(х1, у1) правих 6х – 5у – 20 = 0 и х + 5у – 15 = 0. Затим одреди растојање тачака М и N.

99 98

Тест − Линеарна функција 1. Дата је линеарна функција у = 2х − 1. Попуни табелу: х

−2

−1

0

3

5

у

2. Експлицитни облик функције 3х − у −1 = 0 је: б) у = 3х + 1; а) у = 3х −1; в) у = −3х −1; г) у = −3х +1.

3. За функцију у = 5х − 10 нула функције је: а) х = 2; б) х = −2; в) х = −10; г) х = 0.

4. Провери које од тачака А(1, 1), В(3, 5) и С(−2, 4) припадају графику функције у = −х + 2: а) А и В; б) А и С; в) В и С; г) А, В и С.

6. Графици функција у = (1 + m)x + 2 и y = 1 – m x + 9 су паралелне праве. 3 Вредност параметра m је: а) m = −1; б) m = 0; в) m = − 1 . 2

7. Ако је функција у = (4 − 2р)х + 7 растућа, онда је параметар р: а) р < 2; б) р > 2; в) р < −2.

8. Троугао који образује график функције у = − 3 х + 6 са координатним осама 4 има обим: а) 48; б) 24; в) 20; г) 16.

5. Пресечна тачка графика функције 4х + 2у − 6 = 0 са у-осом је: а) А(0, −6); б) В(0, 6); в) С(0, −3); г) D(0, 3).

Решења: 2. а); 3. а); 4. б); 5. г); 6. в); 7. а); 8. б). х у 1.

99 98

−2 −5

−1 −3

0 −1

3 5

5 9

Линеарна функција – решења Линеарна функција у = kх + n 1.

а), б), в), г), е), з), ј).

2.

а)



–2

–1

0

1

2

–2х

4

2

0

–2

–4

х

–3

0

– 9 2

6

– 3 2

–2х – 3

1

–1

–3

–5

–7

–2х + 3

7

5

3

1

–1

у

–1

1

–2

5

0

12. а) Р = 8х; в) х Р О

б) х

–2

–1

0

1

2

4х

–8

–4

0

4

8

4х – 3

–11

–7

–3

1

5

4х + 3

–5

–1

3

7

11

х

–5

–1

0

2

3

y = 4х – 2

–22

–6

–2

6

10

б) f(–1) = –8; г) f(2) = 1;

5.

а) f(–4) = 2;



в) f(0) = –1;



д) f(4р) = –3р – 1;

б) f(–1) = – 1 ; 4 г) f(8) = –7; ђ) f( 4 р – 4) = –р + 2. 3

6. 7. 8.

11.

х

а) f(–2) = –11; в) f(0) = –5; д) f( 2 ) = –3. 3



а) х = 1; б) х = –1; в) х = 0; г) х = 2 ; д) х = –3. 3

10. а) х = 1; б) х = 0; в) х = –1; г) х = 3; д) х = 1 . 4

3.

4.

9.

1 5 3

б) О = 2х + 16; 1 8 18

2 16 20

5 40 26

13. а) х – у + 1 = 0; б) 2х + у – 3 = 0; в) 3х – у – 4 = 0; г) х – 2у – 4 = 0; д) 2х + 3у – 3 = 0; ђ) 3х + 4у – 2 = 0; е) 5х – 3у – 2 = 0. 14. а) у = –3х – 2; г) у = 5 х – 2; 2

б) у = х + 2; в) у = 2х + 3; 7 3 д) у = х – ; ђ) у = – 1 х + 1 . 5 5 4 8

15. Под в) 5х – у – 4 = 0.

а) у = –8; б) у = –2; в) у = 18; г) у = –3; д) у = – 1 . 2 а) у = 2х + 3; б) у = 5х – 2; в) у = –3х + 3; г) у = 1 х + 4; д) у = 2 ; ђ) у = –0,5х; 2 7 5 1 е) у = – х – ; ж) у = 3 х – 3,4. 6 2 4 а) k = 6, n = 1; б) k = 1, n = –3; в) k = –4, n = 2 ; 3 2 г) k = – , n = 3; д) k = –3,5, n = 0; 7 ђ) k = 1,2, n = – 1 ; е) k = 0, n = – 3 ; 2 7 3 2 ж) k = , n = – . 5 5

16. s = 80 – 50t. 17. P = 4H + 2; a) Р = 10; б) Р = 22; в) Р = 42; Н

2

5

10

Р

10

22

42

График линеарне функције 1.

2.

5.

I и II, II и III, III и I, IV и IV.

6.

a) k = 1 ; б) k = –2; в) k = 2; г) k = –2; 2 д) k = 2; ђ) k = – 1 ; е) k = –1; 2 Паралелни су: б) и г) односно в) и д).

7.

а) (0, 1); б) (0, 1); в) (0, –7); г) (0, 5); д) (0, – 1 ). 2

8.

а) (0, –3); б) (0, 1); в) (0, –2); г) (0, 1 ). 2

9.

I и III, II и I, III и IV, IV и II.

Нула функције

3.

4.

1.

а) х = 3;

б) х = 2 ; 3

2.

а) х = 0;

б) х = 4;

3.

а) (–5, 0);

4.

a) да;

5.

а) х = –3;

б) х = 3;

6.

а) х = 3;

б) х = – 1 ; 2



г) х = – 7 ; 5

7.

а) (2, 0) и (0, –8); б) (7, 0) и (0, 7); в) (– 2 , 0) и (0, 2); г) (8, 0) и (0, 4); 3 д) (–3, 0) и (0, 6); ђ) ( 5 , 0) и (0, 1 2 ); 6 3 2 2 3 е) (– , 0) и (0, ); ж) (– , 0) и (0, 3 ). 3 5 7 4



8.

в) х = 1 5 ; 6 в) х = 1 . 2

б) (1 1 , 0); 2

б) не;

г) х = 1 2 . 3

в) да;

д) х = 2;

в) (–1 1 , 0); 2 г) да;

в) х = 3;

д) не;

г) (2, 0). ђ) да.

г) х = –3.

в) х = 1 1 ; 3 ђ) х = –1 1 . 4

б) р = 1 1 ; в) р = 2 ; 2 3 5 1 г) р = ; д) р = 1 ; ђ) р = –8 1 . 8 6 3 а) р = 2;

100 101

Цртање и читање графика функције 1.

А, В и D.

2.

A и D.

3. На пример: а) (0, –7) и (1, –5); б) (–1, 6) и (1, –4); в) (–2, –4) и (10, 32). 4.

На пример:



а) (–3, 12), (0, 9), (4 1 , 4 1 ), (9, 0); 2 2 б) (–4, –7), (–1, 2), (1, 8), (5, 20); в) (–2, –1 1 ), (1, 0), (0, – 1 ), (3, 1). 2 2



5. 6.



А(–8, –5), В(1 1 , 2). 3 а) ( 1 , 0) и (0, 2); 2

в) ( 1 , 0) и (0, 1); 2

9.

(2, 0) и (0, 6).

10. а) у = –х – 4, (–4, 0) и (0, –4);



б) у = 2х – 1, ( 1 , 0) и (0, –1); 2



в) у = – 1 х + 2, (4, 0) и (0, 2); 2

б) (2, 0) и (0, –6);

г) (–1 1 , 0) и (0, 3). 2

11. График доле лево. 12. а) k = 1;

б) k = –3.

13. а) n = 6;

б) n = 6.

14. р = –1.

7.

15. a) p = –1;

б) p = 1 3 ; 5

16. а) m = 4;

б) m = –5;

в) p = 1 . 2

р = 3; у = 3х + 3; (–1, 0) и (0, 3). в) m = – 3 . 17

17. А(6, 0) и В(0, 8), АВ = 10. 18. А(1, 0) и В(0, –4), Р = 2. 8.

А(–2, 2), В(–3, –4), АВ = √37.

АВ2 = |х1 – х2|2 + |у1 –у2|2,

19. а) А(–4, 0) и В(0, 3), а = 3, b = 4, c = 5, O = 12, P = 6; б) А(3, 0) и В(0, 4), а = 4, b = 3, c = 5, O = 12, P = 6; в) А(5, 0) и В(0, 12), а = 12, b = 5, c = 12, O = 30, P = 30; г) А(2, 0) и В(0, 2), а = 2, b = 2, c = 2√2, O = 4 + 2√2, P = 2. 20. Под в) у = –х + 3.

103 102

21. а) у = х;

б) у = –х;

в) у = 3х;

г) у = – 1 х. 2



б)



в) α = 45°.

22. I и IV, II и III, III и I, IV и II. 23. а) у = х + 1; в) у = 1 х – 1; 4

б) у = –2х + 2; г) у = – 1 х + 3. 2

24. а) 1  : у = 1 х + 1; 3 3: у = – 1 х – 1; 3 б) 1: у = 4х + 4; 3: у = –2х – 2;

2: у = 1 х – 1; 3 4: у = – 1 х + 1; 3 2: у = 2х – 2; 4: у = –4х + 4.

25. а) k = 4, n = 3; 26. а) у = 2х;

б) k = 2, n = –4;

в) k = 3, n = 1.

38. р = 1 1 . 2 39. s = 5t; a) s = 15km; б) 2 сата и 24 минута. 40.

V

= 2 + 2t, V = 12m/s.

б) у = –3х.

27. а) k = 1, n = 1; б) k = –2, n = –4; в) k = – 1 , n = 1; г) k = 2 , n = 2. 3 5 28. Тачка С припада, а тачка D не припада. 29. Не припадају ни P ни Q. 30. а) у = 4х + 2; б) у = 1 х + 3; в) у = 1 х – 1 ; 2 2 2 1 9 2 5 г) у = х – ; д) у = х + . 2 2 7 2 31. m = –2. 32. p = – 1 . 2 33. a) p = 0;

б) p = –2; в) p = – 1 . 4

34. а) m = 1; б) m = 1 3 ; в) m = 3 1 . 4 2 35. a) p = 2; б) p = – 4 ; в) p = –2 2 . 5 5 36. a) k = –3 1 ; б) k = 5; в) k = –2. 2

41. a) y = 550 – 25x;

б) 16 дана;

в) 22 дана.

42. Једна катета тог троугла је a = 4, из површине израчунамо другу катету b = 8, па је пресечна тачка са х-осом B(8, 0). Одатле је k = – 1 , n = 4, па 2 је тражена функција y = – 1 x + 4. 2 43. Растојање координатног почетка од графика функције једнако је висини која одговара хипотенузи правоуглог троугла који образује график функције са координатним осама. а) y = 4 x – 8, А(6, 0) и В(0, –8), 3 а = 8, b = 6, c =10, hc = 4,8; б) y = – 5 x + 5, А(12, 0) и В(0, 5), 12 а = 5, b = 12, c =13, hc = 60 . 13 44.

V = 25 – 5t,

а) V = 5m/s; б) t = 5s.

45. а) y = 2 500 + 500x; в)

б) 11 дана;

37. а) k = 1, n = –4;

103 102

46. а) y = 12 000 – 800x; б) 15 дана; в)





47.

Запремина базена је 2 500 000 литара; а) y = 1 000 000 + 200 000x; б) 2 200 000 литара; в) после 7,5 сати, то јест у 12 сати и 30 минута.

48. а) y = 8000 – 200x;

б) после 40 месеци.



в) у = 0 за х = 2 2 , у > 0 за 3 х < 2 2 , у < 0 за х > 2 2 ; 3 3 1 г) у = 0 за х = 7 , у > 0 за 2 1 х > 7 , у < 0 за х < 7 1 ; 2 2 2 д) у = 0 за х = , у > 0 за х < 2 , у < 0 за х > 2 ; 3 3 3 2 ђ) у = 0 за х = – , у > 0 за 3 2 х > – , у < 0 за х < – 2 . 3 3

8.

a) A(1, 0) и B(0, 2); б)



в) у > 0 за х < 1, у < 0 за х > 1. г) Опадајућа. д) О = 3 + √5, Р = 1

Неке особине графика функције 1.

а) растућа; б) опадајућа; в) растућа; г) растућа; д) опадајућа; ђ) опадајућа.

2.

а) растућа; б) растућа; в) опадајућа; г) опадајућа; д) опадајућа; ђ) растућа; е) растућа.

3.

а) m > 0;

б) m < 0;



г) m > 4;

д) m > –2;

4.

a) p < 0;

5.

ђ) m > 1 1 . 4

б) p > 0; в) p < 9; 1 г) p < –1 ; д) p > 4 ; ђ) p > 2. 2 5 a) y расте за р > –6, y опада за р < –6; б) y расте за р < 5, y опада за р > 5; в) y расте за р < 2 1 , y опада за р > 2 1 ; 2 2 г) y расте за р  (1, 4), y опада за р  (–∞, 1)  (4, ∞); д) y расте за р  (1, 3), y опада за р  (–∞, 1)  (3, ∞).

6.

а) f(x) = 0 за х = 2, f(x) > 0 за х > 2, f(x) < 0 за х < 2; б) f(x) = 0 за х = 2, f(x) > 0 за х < 2, f(x) < 0 за х > 2; в) f(x) = 0 за х = 6, f(x) > 0 за х < 6, f(x) < 0 за х > 6; г) f(x) = 0 за х = 5, f(x) > 0 за х > 5, f(x) < 0 за х < 5.

7.

а) у = 0 за х = 2, у > 0 за х > 2, у < 0 за х < 2; б) у = 0 за х = 1 2 , у > 0 за х < 1 2 , у < 0 за х > 1 2 ; 3 3 3



105 104

в) m > –4;

Пресек две праве 1.

S(1, –1).

2.

а) (–8, –8);

3.

б) (1, 1);

в) (–1, 1)

г) (2, –1).

4.

Графици функција образују троугао чија је једна страница дужине 7, а њој одговарајућа висина 2, па је површина троугла 7.

5.

Основице трапеза лако можемо да израчунамо користећи Питагорину теорему, а = 2√10, b = √10, a краци су c = 1 и d = 3. Обим трапеза је О = 4 + 3√10.

6.

а) А(–1, 4); б) В(3, 1); АВ = 5.

7.

а) M(6, 5); б) N(5, 2); MN = √10.

104 105

106

ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ СТАТИСТИЧКИХ ПОДАТАКА Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему А – утврди 1. Метеоролошка станица је објавила временску прогнозу за Копаоник за недељу дана. Метеоролози су графички приказали прогнозиране минималне и максималне температуре.



1) Колика је минимална, а колика максимална температура за петак? 2) Када се очекује да максимална температура буде 1°С? 3) Ког дана се очекује највећа максимална температура? 4) Ког дана се очекује највећа минимална температура? 5) Ког дана се очекује најмања минимална температура? 6) Ког дана се очекује најмања разлика између минималне и максималне температуре? 7) Ког дана се очекује највећа разлика између минималне и максималне температуре? 8) У ком периоду се очекује да максимална температура буде у порасту?

2. Дат је график промене броја становника на Земљи.



1) Да ли се број становника на Земљи равномерно повећавао током времена? 2) У ком веку је приметан нагли пораст броја становника? 3) Колико је приближно Земља имала становника крајем 18. века? 4) Када је број становника био око 6 милијарди?

107

3. На основу дате табеле нацртај графике промена претплатника фиксне и мобилне мреже (у истом координатном систему). 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007.

Претплатници фиксне мреже 2 189 541 2 234 346 2 298 670 2 409 272 2 485 232 2 687 148 2 760 270 2 993 403

Претплатници мобилне мреже 1 125 794 1 884 708 2 419 882 2 990 770 4 053 001 5 222 136 6 643 722 8 452 642

Шта уочаваш када упоређујеш та два графика?

Б – вежбај 4. месец тежина (kg)

0 56

2. 56,5

3. 58

4. 60

5. 61

6. 63

7. 64

8. 66

9. 69

У табели је дата промена телесне тежине неке жене у току трудноће. На основу табеле нацртај график. На основу претходне табеле попуни нову табелу која ће приказати месечне промене телесне тежине труднице. месец промена тежине (kg)



1. 56

1. 0

2. 0,5

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Нацртај график. Табеле могу да иду и вертикално

Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма А – утврди 1. Према попису из 2002. године, Србија има 6 градова са више од 100 000 становника: Град Београд Нови Сад Број становника 1 576 000 300 000

109 108

Ниш 250 000

На основу табеле нацртај стубични дијаграм.

Крагујевац Лесковац Суботица 175 000 156 000 148 500

2. Површине океана су дате стубичним дијаграмом (у km2).

200000000 180000000 160000000 140000000 120000000 100000000 80000000 60000000 40000000 20000000 0 Тихи океан Атлантски Индијски Северни океан океан океан



На основу дијаграма попуни табелу кoja ће приказати приближне површине океана. Океан Тихи океан Атлантски океан Индијски океан Северни океан

Површина (у km2)

3. Риболовац је после успешног риболова разврстао рибу према тежини, што је приказано табелом: Тежина рибе (g) Број уловљених риба

100−200 10

200−300 12

300−400 5

400−500 7

500−600 2

Нацртај одговарајући хистограм.

Б – вежбај 4. У џаку се налазе лопте за кошарку, одбојку и рукомет. Дати график приказује број лопти.



9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

кошарка

одбојка

рукомет

Ако Марко насумице извлачи једну лопту из џака, колика је вероватноћа да Марко извуче кошаркашку лопту: а) 8%; б) 15%; в) 20%; г) 40%; д) 80%?

109 108

5. Ученици једног одељења су анкетирани које им је омиљено воће. Резултати анкете су представљени кружним дијаграмом.

банане поморанџе јабуке крушке



јагоде

1) Које воће воли највећи број ученика овог одељења? 2) Да ли више од 50% ученика воли јужно воће (банане и поморанџе)? 3) Које воће воли мање од 10% ученика?

6. Од 1 000 анкетираних грађана Србије о томе где проводе одмор, једна туристичка агенција је дошла до следећих података: код куће њих 400, на мору 350, на планинама 200 и у бањама 50. Представи то кружним дијаграмом. 7. брачни парови без деце брачни парови са децом само мајка са децом само отац са децом

28,8% 56,2% 12,1% 3,3%

Представи кружним дијаграмом структуру породица према саставу у Србији (према попису из 2002. године):

Средња вредност Б – вежбај 1. Израчунај аритметичку средину и представи на бројевној правој дате бројеве и њихову аритметичку средину: б) 110 и 122; в) −6 и −17; г) −3 и 9; д) 1 и 1 . а) 5 и 9; 3 2 2. Израчунај аритметичку средину за дате бројеве: а) 2, 6 и 7; б) 10, 20 и 60; в) −7, −8, −3 и 0;

г) 7, 7 и 7;

д) 1, 2, 5, 9 и 19.

3. На Копаонику је мерена висина снежног покривача на крају сваке недеље у фебруару. Резултати мерења су 40cm, 50cm, 80cm и 70cm. Израчунај просечну висину снежног покривача на Копаонику у фебруару. 4. У једном одељењу осмог разреда на крају школске године 2 ученика имају 15 година, 17 ученика има 14 година, а 5 ученика има 13 година. Израчунај просечну старост ученика тог одељења на крају школске године.

111 110

Медијана Б – вежбај 1. Одреди медијану за дате податке: а) (1, 2, 3, 4, 5); в) (2, 9, 5, 11, 33, 19); д) (− 3 ,− 1 , 5 , 1 , 3 ); 2 2 4 2 2

б) (−10, −9, −8, −7, −6, −5, −4); г) (1,2; 3,7; 9,9; −4,4; 4,8; −2,8); ђ) ( 5 , 1 , 2 , 7 , 11 , 3 ). 6 3 9 12 18 4

2. Дата табела приказује продају аутомобила у једној аутокући у првих 6 месеци: месец број продатих аутомобила

1. 73

2. 104

3. 220

4. 325

5. 380

6. 404

1) Одреди месечни просек продаје аутомобила у овој аутокући. 2) Одреди медијану узорка.

3. У јануару у једној канцеларији плате пет службеника су износиле 48 000, 29 000, 22 000, 54 000, 30 000, 37 000 и 42 000 динара. 1) Одреди просек плата службеника из те канцеларије. 2) Колико службеника има плату већу од просека? 3) Одреди медијану узорка, па је упореди са просеком.

Поређење података са средњом вредношћу Б – вежбај 120 100

број бодова

1. Марко је учествовао на општинским такмичењима из математике од трећег до осмог разреда. На дијаграму су приказани бодови које је освајао сваке године.

80 60 40 20 0 III



IV

V VI разред

VII

VIII

1) У ком разреду је постигао најбољи успех? 2) У ком разреду је показао најлошији успех? 3) Одреди просечан број освојених поена на такмичењима. 4) Одреди медијану узорка, па је упореди са просеком. 5) А  ко се прва награда осваја са освојених 90−100 поена, друга награда са 70−89 поена и трећа награда са 50−69 поена, нацртај хистограм Маркових награда на такмичењима.

110 111

В – примени 2. Атлетску екипу школе чине 6 ученика који имају 15 година и неколико ученика који имају 12 година. Ако је просечна старост екипе 14 година, колико ученика у екипи има 12 година? 3. Филип и Софија су пратили током године колико новца издвајају за телефонске рачуне. У табели су дати износи њихових месечних рачуна (у динарима): Месец Филип Софија

112

1. 650 730

2. 520 720

3. 880 900

4. 680 710

5. 750 830

6. 7. 8. 9. 850 2200 1170 590 850 1050 1220 670

10 620 700

11. 770 850

12. 960 550

1) Нацртај графике на основу табеле, па их упореди. 2) Одреди просечну месечну потрошњу телекомуникационих услуга и Филипа и Софије. 3) Одреди медијане за дате узорке и упореди их са просеком. 4) Упореди Филипову и Софијину просечну месечну потрошњу, а упореди и медијане. Шта закључујеш? 5) Нацртај хистограме расподеле броја месеци по потрошњи од 500−600 динара, 600−700 динара и тако даље.

ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ СТАТИСТИЧКИХ ПОДАТАКА – решења Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему

2.

1) Не. Први део графика показује благи пораст становника, док други део графика показује нагли пораст становника. 2) У 20. веку. 3) Једну милијарду. 4) Крајем 20. века.

3.

Број претплатника мобилне телефоније много брже расте од броја претплатника фиксне телефоније.

20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07

фиксна мрежа

9000000 8000000 7000000 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0

мобилна мрежа

1) Минимална −2, максимална 3. 2) У понедељак и недељу. 3) У суботу. 4) У суботу. 5) У уторак и среду. 6) У среду и недељу. 7) У четвртак. 8) Од среде до суботе.

број претплатника

1.

година

80 70 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

промена тежине (kg)

телесна тежина (kg)

4.

9

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

месец трудноће

месец трудноће

месец

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

промена тежине (kg)

0

0,5

1,5

2

1

2

1

2

3

Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма

број становника

1.

1800000 1600000 1400000 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0

113

2. Океан Тихи океан Атлантски океан Индијски океан Северни океан 3.

Површина (приближно у km2) 180 000 000 92 000 000 76 000 000 15 000 000

Број уловљених риба

14 12 10 8 6 4 2 0

100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 тежина рибе (gr)

4.

У џаку је укупно 20 лопти, а пошто има 8 кошаркашких лопти, вероватноћа да извуче једну од њих је 8 20 (8 од 20), 8 = 40 = 40%. Тачан одговор је под г). 20 100

5.

1) Јагоде. 2) Не, јер банане и поморанџе заједно заузимају мање од пола круга, што значи да је мање од 50% ученика који воле јужно воће. 3) Крушке.

6.

кућа море планина бања

7.

брачни парови без деце брачни парови са децом само мајка са децом само отац са децом

115 114

Средња вредност 1.

а) 7;



б) 116;



в) −11,5;



г) 3;



д) 5 12

2.

а) 5; б) 30; в) −4,5; г) 7; д) 7,2.

3.

60cm.

4.

13,875.

Медијана б) −7; в) 10; г) 2,45; д) 1 ; ђ) 43 . 2 72

1.

а) 3;

2.

1) 251; 2) 272,5.

3.

1) 37 428,57; 2) 3 службеника; 3) 37 000, медијана узорка је мања од просека.

Поређење података са средњом вредношћу 1) У четвртом разреду; 2) У седмом разреду; 3) 81,67; 4) 85; 85 > 81,67, медијана је већа од просека; 5)

награда

1.

4 2 0 [100-90]

(90-70]

(70-50]

бодови

2.

15 ⋅ 6 + 12 ⋅ x = 14 , решавањем ове једначине добијамо х = 3. Дакле, 3 ученика у екипи имају 12 година. 6+ x

114 115

1) 2500

рачун (у динарима)

3.

2000 1500

Филипов рачун Софијин рачун

1000 500 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 месец



2) Филип 886,67, Софија 815. 3) Филип 760, Софија 780; И Филипов и Софијин просек је већи од медијане. 4) Филипов просек је већи од Софијиног просека, а Филипова медијана је мања од Софијине медијане. Закључујемо да Филип има углавном мање рачуне од Софијиних, с тим што у неком месецу има велико одступање од просека, док су Софијини рачуни прилично уједначени (у односу на Филипове). 5)

5

број месеци

4 3

Филип Софија

2 1 0 500-600

600-700

700-800

800-900

900-1000

износ рачуна

116

1000-2000 2000-3000

Системи линеарних једначина с две непознате ЛИНЕАРНА ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ А – утврди 1. Провери да ли је уређени пар (–2, 5) решење једначине с две непознате: а) 2x + y = 1; б) –3x + y = –17; в) 2y + 3x = 11; г) 1 x + 1 y = 0; 2 5 д) y + 2 + x – 5 = 0. 4 3 2. Одреди вредност променљиве y уређеног пара (x, y), тако да је он решење једначине, ако је x = 3: а) 3x + y = –4; б) –2x + 3y = 0; в) x + 2 – y = 12; г) y + 1 + x – 12 = 0,5. 5 3 6 3. Одреди вредност параметара a и b тако да уређени парови (a, 3) и (1, b) буду решења система: а) x + y = 23; б) x – 2y = 0; в) 3x + 4y = 25;

Б – вежбај 4. Одреди вредност променљиве a у једначинама тако да уређени пар (–5, –2) буде решење једначине: а) ax – 2y = –11; б) 4x – (3 – a) y = –14; в) 2x – 1 + 2y = –7 – a; 3 5x – 2 + ay + 18 = –11. г) 3 7 5. Одреди три уређена пара бројева (x, y) који су решења једначине: а) x + y = 5; б) y – x = –2; в) 2x + 3y = 12; г) x + y = 1; 2 4



д) 3x – 1 + y = 7. 2

6. Изрази променљиву x преко променљиве y: а) x + y = 5; б) 3 – x = y + 1; в) 2x + y = 11; г) 5x + 3y = –17; д) 2x + y – 1 = 1; 2 7. Изрази променљиву y преко променљиве x: а) x – y = –2; б) 4y – x = –1; в) 5x – 4 + 2y = 1 ; 3 2 г) 2x – 1 + 3y – 2 = –2. 3 4

СИСТЕМИ ОД ДВЕ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ А – утврди 1. Који од уређених парова 1, 1 , (–2, 3) и 2 7 , – 11 је решење система једначина: 6 5

а)

б)



в)

г)



д)



ђ)

?

117

Решавање система методом замене

Б – вежбај 2. Запиши четири система једначинa чије је решење (–1, 3).

Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате

1. Реши следеће системе једначина методом замене:

а)

Б – вежбај



в)

1. Напиши једначину линеарне функције y = kx + n ако графику те функције припадају тачке (3, 3) и (–6, 9).

Б – вежбај

2. Да ли пресечна тачка графика функције y = 3x + 2 и 5x – 2y + 6 = 0 припада графику функције: а) y = –2x + 12; б) y = 1 x; 4 в) –5x + 2y – 6 = 0?



а)



в)



а)



в)



б)



2. Реши следеће системе једначина методом замене:

б)

а)



в)



д)



е)

б)



з)

г)

3. Реши следеће системе једначина методом замене:

4. Графичком методом реши системе једначина:

б)



3. Нацртај график сваке функције система, а затим на основу нацртаних графика утврди да ли систем има решења и колико:

119 118

А – утврди



г)

ђ) ж)



а)

б)



в)

г)



д)

ђ)

г)

Б – вежбај

2. Реши следеће системе једначина методом супротних коефицијената:

е)



a)



б)



в)



г)



д)



ђ)



е)



ж)



з)

ж)



з)



и)



ј)



к)

и)

В – примени

4. Ако је (а, b) решење система једначина

3. Реши систем jeдначина погодном методом.

а)



б)



в)



д)



ђ)



е)



израчунај вредност израза: а) a + b; б) a + b2; в) a2 – b2; г) (a – b)2; д) a2b.

Решавање система методом супротних коефицијената

г)

А – утврди 1. Реши следеће системе једначина методом супротних коефицијената:

a)



в)

б)

ж)

119 118





и)



ј)



121 120

з)

к)

4. Који од датих система су немогући, а који неодређени:

а)



в)



г)

б)

? 5. Одреди вредности променљивих a и b тако да уређени пар (x, y) = (–4, 2) буде решење система једначина:

а)



в)

г)

б)



л)



љ)





м)



н)

6. На основу графика запиши системе линеарних једначина с две непознате из којих можеш да одредиш координате тачака А, В и С са слике, па их реши погодном методом.



њ)



о)



п)



р)

7. Увођењем нових променљивих реши системе једначина:

6. Разлика спољашњег и одговарајућег унутрашњег угла троугла је 81°. Одреди те углове.



7. Један угао троугла је 22°. Одреди остала два угла тог троугла ако је њихова разлика 72°.



а)

в)



б)



г)

Примена система линеарних једначина У следећим задацима треба да саставиш систем једначина на основу текста, а затим да га решиш погодном методом.

Б – вежбај

8. Разлика два оштра угла правоуглог троугла је 32°. Одреди те углове. 9. Израчунај оштре углове правоуглог троугла ако је један оштар угао два пута већи од другог. 10. Израчунај основице трапеза ако је дужина средње линије трапеза 21,5cm, а разлика основица 9cm.

В – примени

1. Збир два броја је –55, а њихова разлика 31. Одреди те бројеве.

11. Разлика два броја је 10. Одреди те бројеве ако је трећина првог броја за 2 мања од половине другог броја.

2. Два друга треба да поделе 271 динар, тако да један добије 55 динара више од другог. Колико новца ће добити понаособ?

12. 3 првог броја је за 24 мање од 5 4 6 другог броја. Одреди те бројеве ако је први број за 14 мањи од другог броја.

3. Петар је број 504 раставио на два сабирка тако да је један сабирак: а) три пута већи од другог; б) за 54 већи од другог. Које бројеве је Петар замислио?

13. 40% првог броја једнако је са 70% другог броја. Одреди те бројеве ако је њихова разлика 6.

4. Збир две суседне странице правоугаоника је 34cm, а њихова разлика је 14cm. Израчунај површину тог правоугаоника. 5.

Разлика два: а) упоредна угла; б) комплементна угла; в) суплементна угла је 10°. Одреди те углове.

14. Маја је 8 година старија од свог брата. За 5 година Маја ће бити 2 пута старија од брата. Колико сада имају година Маја и њен брат? 15. У једној легури олово и цинк су заступљени у односу 4 : 7. Ако је маса легуре 583g, одреди колико има олова, а колико цинка у легури.

120 121

16. Пре 4 године мајка је била 4 пута старија од сина. Колико година има мајка, а колико син ако је он сада 3 пута млађи од мајке? 17. Деда Милоје на фарми гаји кокошке и свиње. Ако све кокошке и свиње имају укупно 238 глава и 626 ногу, колико је кокошака, а колико свиња на фарми? 18. Баба Цака има 13 крава и 12 оваца. Свакога дана она сакупи 101 литар млека. Колико у просеку даје једна крава, а колико једна овца ако се од краве добија 2 литра млека више? 19. Обим правоугаоника је 70cm. Одреди дужину дијагонале и површину тог правоугаоника ако се странице односе као 3: 4. 20. Површина трапеза је 45cm2. Израчунај основице трапеза ако је висина трапеза 5cm, а једна основица за 4cm дужа од друге.

Г – прoшири 21. Однос два броја која се пишу истим цифрама у обрнутом редоследу је 5 : 17. Одреди те бројеве ако је њихов збир 66. 22. Два броја се односе као 4 : 9. Ако оба броја увећамо за 5, односиће се као 1 : 2. Одреди те бројеве. 23. Марина је замислила двоцифрени број чији је збир цифара 9. Ако цифре замене места, добиће се број за 45 већи од полазног. Који је број Марина замислила?

123 122

24. Ако двоцифрени број поделимо са бројем који се добија када цифре јединица и десетица полазног броја замене места, добија се количник 4 и остатак 3. Одреди полазни број ако је његова цифра десетица за 6 већа од цифре јединица. 25. Збир цифара двоцифреног броја је 12. Ако тај број поделимо са његовом цифром јединица, добијамо количник 8 и остатак 1. О ком двоцифреном броју је реч? 26. Ако бројилац једног разломка умањимо за 3, а именилац увећамо за 1, добијамо разломак једнак разломку 1 . Ако 2 именилац умањимо за 3, а бројилац увећамо за 3, добијамо разломак једнак са 1. Одреди тај разломак. 27. Разлика две суседне странице правоугаоника је 9cm. Ако краћу страницу правоугаоника повећамо за 1cm, а дужу страницу скратимо за 3cm, површина новог правоугаоника је за 2cm2 мања од површине полазног правоугаоника. Одреди дужине страница правоугаоника. 28. Једна катета правоуглог троугла једнака је са 2 друге катете. Ако дужу 3 катету смањимо за 3cm, а краћу катету повећамо за 4cm, површина троугла се неће променити. Одреди хипотенузу тог троугла. 29. Површина кружног прстена је 2πcm2. Израчунај полупречнике кружница које формирају прстен ако је њихова разлика 1cm.

Тест − Системи линеарних једначина 1. Једно од решења једначине 2х − 5y = 7 је: а) (−1, −1); б) (−1, 1); в) (1, −1); г) (1, 1).

2. Ако је 15х + 45y = 75, онда је: а) х = 3y − 15 б) х = 3y + 5; в) х = − 5y + 5; г) х = − 3y + 5.

3. Који од наведених система једначина нема решења: а) 3х = 3y − 15 б) 15х + 45y = 75 6х = 6y − 30 15х + y = 75

в) 15х + 45y = 75 х + 3y = 15

г) 2х + 4y = 5 х + 4y = 5?

6. Ако је (а, b) решење система једначина х + 4y + 1 = 0 и 3х + 5y = 4, онда је а ∙ b + 2 једнако: а) 3; б) –1; в) 6; г) –3.

7. Збир два броја је 10, а трећина првог броја је за 2 већа од другог броја. Производ тих бројева је: а) –6; б) −4; в) 8; г) 9.

8. Разлика два комплементна угла је 10°. Збир петине већег од њих и четвртине мањег од њих је: а) 10°; б) 20°; в ) 30°; г) 40°.

4. Решење система једначина х = y − 1 и 5х + 3y = 75 је: а) х = 0 и y = 1: б) х = 8 и y = 9; в) х = 9 и y = 10; г) х = 15 и y = 0.

5. За коју вредност параметра а систем једначина 3х + 10y = 14 15х + 2а y = 70 има бесконачно много решења? а) а = 25; б) а = 50; в) а = 5; г) а = 20.

Решења: 1. в); 2. г); 3. в); 4. в); 5. а); 6. б); 7. г); 8. б).

123 122

Системи линеарних једначина с две непознате – решења ЛИНЕАРНА ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 1.

а) јесте, б) није, в) није, г) јесте, д) није.

2.

а) y = –13, б) y = 2, в) y = –11, г) y = 5.

3.

1 а) a = 20, b = 22; б) a = 6, b = ; 2 13 11 в) a = , b = ; 3 2

4.

2 а) a = 3, б) a = 0, в) a = , г) a = 16. 3

5.

На пример: а) (1, 4), (5, 0), ( –1, 6); б) (4, 2), (12, 10), (7, 5); в) (3, 2), ( –3, 6), (0, 4); г) (0, 4), (2, 0), (–1, 6);



д) (5, 0), 0, 7 1 , (1, 6). 2

6.

а) x = 5 − y , б) x = 2 − y , в) x =



г) x = −

1.

2 y = − x +5 3

2.

а) припада, б) не припада, в) припада.

3.

Ако су графици функција праве које се секу у једној тачки, онда систем има јединствено решење. Ако су графици паралелне праве, онда систем нема решења, а ако су графици праве које се поклапају, систем је неодређен. а) јединствено решење, б) јединствено решење, в) неодређен, г) немогућ.

4.

а) (3, 5), б) (1, 1), в) (–1, 2), г) (3, 2).

Решавање система методом замене 11 − y , 2

17 + 3 y 3− y , д) x = . 5 4 б) y =

Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате

x −1 ; 4

7.

а) y = x + 2;



11 − 10 x в) y = ; г) y = – 8x + 14 9 12

СИСТЕМИ ОД ДВЕ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 1.

 1 а) ( −2,3) , б)  1,  , в) ( −2,3) ,  2



1.

 5  1 а)  2,  , б)  0,  , в) (1, –4),  2  2

2.

1  а) (1, 2), б) (1, –1), в) (0, 2), г)  2, −  ,  2



4  д)  , −1 , ђ) неодређен 3 



1  е) (–12, –9), ж)  , −3 , з) (3, –2). 2 

3.

 1 − 2k   k , , 3 

 1 1  1  а) немогућ, б)  , −  , в)  − ,4 ,  2 3  2  г) (4, –10), д) (6, 9), ђ) немогућ,



 1 − 5k  е) неодређен  k ,  , ж) (7, 1),  44 

 7 11  1 г)  , −  , д)  1,  , ђ) ( −2,3) . 6 5  2



з) (–1, 1), и) (–1, 6), ј) (1, –2), к) (7, 5).

2.

На пример, два су:

4.



 − x + y = 4 33xx + 22yy == 36 и .   x + y = 2 5 x + 4 y = 7

1 2 4 a = , b = −1 , па је: а) − , б) , 3 3 3 8 16 1 , д) − . в) − , г) 9 9 9

Решавање система методом супротних коефицијената 1.

 1 а) (4, 2), б) (1, –3), в)  −1,  .  2

2.

1  a) 3 , – 2 , б) (–1, 5), в) (7, 9), г)  ,0 , 3  19 19



1  д) (5, 4), ђ) (10, –10), е)  , −1 , ж) (6, –8), 2 



1  з)  ,2 , и) (1, 2). 2 

3.

 1 1 а) (–2, 3), б) (0, –3), в)  − , −  , г)  2 3



д) (1, 2), ђ) (11, –2), е) (–1, 2), ж) (7, 7), з) (–1, –3),



 1  6 3 и)  4,  , ј) (–6, 12), к)  ,  , л)  2  5 4



1  љ)  8, −  , м) (6, 4), н)  2



14   1 1  о) (0, –4), п)  , −  , р)  −3,  .  2 2  3

4.

а) немогућ, б) немогућ; в) неодређен; г) неодређен.

5.

а) a = 4, b = 7; б) a = 6, b = 2; в) a = 4, b = 2; г) a = 3, b = 2.

6.



 1 1 ових система су: а) (3, –4), б)  − ,  ,  3 2  1 1 1  в)  , −  , г)  ,1 . Враћајући се на полазну  4 5 4  уведену смену долазимо до решења по x и y:

 1 6  − ,  , 2 5

 2 1  − ,  , 3 4

13   4 a − 6b = − б)  3 ;  3a + 6b = 2 12a − 15b = 6  5a − 3b = 4 в)  ; г)  . Решења  8a + 5b = 1 10a + 7b = −5

 a + b = −1 ; а)  2a − b = 10

 1 1 а)  , −  , б) (–3, 2), в) (4, –5), г) (4, 1).  3 4

Примена система линеарних једначина 1.

–12 и –43.

2.

Један друг ће добити 163 динара, а други 108 динара.

3.

а) 126 и 378;

4.

Странице правоугаоника су 24cm и 10cm. Површина је 240cm2.

5.

а) 85° и 95°, б) 50° и 40°, в) 85° и 95°.

6.

130°30’ и 49°30’.

Одговарајући системи су:

7.

43° и 115°.



 xx −– 44yy == 7−7 за тачку А  ; 3 x + 2 y = −7

8.

61° и 29°.



y == −77  xx−–44y за тачку В  и x + 3 y=0 

9.

30° и 60°.



 x + 3y = 0 за тачку С  3x + 2y = 7 , па су координате 3 x + 2 y = −7

 1  2,  , њ) (–2, 3), 2

тачака А(1, 2), В(–3, 1) и С(3, –1). 7.

Смене које уводимо у системима а), б) и в) су 1 1 = a и = b , док у систему г) уводимо смену x y 1 1 =a и = b. Системи које решавамо x +1 y −2 након уведених смена су:

б) 225 и 279.

10. 26cm и 17cm. 11. 42 и 32. 12. 148 и 162. 13. 14 и 8. 14. 3 године и 11 година. 15. Олова има 212g, а цинка 371g. 16. Син има 12 година, а мајка 36 година. 17. 163 кокошке и 75 свиња.

124 125

18. Крава просечно даје 5 литара млека, а овца 3 литра. 19. Странице су 20cm и 15cm, дијагонала 25cm, a површина 300cm2. 20. 7cm и 11cm. 21. 15 и 51. 22. 20 и 45. 23. Марина је замислила број 27. 24. 71. 25. 57.

26.

13 . 19

27. 4cm и 13cm. 28. 2 13cm.

29.

126

3 1 cm и cm. 2 2

ВАЉАК А – утврди 1. Гледај слику и наведи три дужи чија је дужина једнака висини ваљка.

6. Осни пресек ваљка је квадрат странице 8cm. Одреди висину и полупречник ваљка.

В – примени

2. Пресек ваљка и равни која садржи осу тог ваљка (осни пресек) је четвороугао. Који? Гледај слику и уочи два осна пресека ваљка. D1

B1

O1 C1

A1

7. Израчунај обим основе ваљка ако је: а) површина осног пресека ваљка 55cm2, а висина ваљка 11cm. б) п  овршина осног пресека ваљка 8cm2, а висина ваљка једнака полупречнику основе. в) д  ијагонала осног пресека 16cm, а висина ваљка једнака пречнику основе. 8. Осни пресек ваљка је квадрат. Израчунај висину и полупречник ваљка ако је дијагонала осног пресека 20cm.

ПОВРШИНА ВАЉКА D

А – утврди

B C

O

A

3. Израчунај површину осног пресека ваљка ако је: а) п  олупречник основе ваљка 4cm, а висина ваљка 7cm. б) пречник основе ваљка 10cm, а висина ваљка 8cm.

1. Нацртај мрежу ваљка чија је висина 4cm, а полупречник основе 2cm. 2. Направи модел ваљка од картона чија је висина 7cm, а полупречник основе ваљка 2,5cm.

Б – вежбај

3. Површина основе ваљка је 20cm2, а површина његовог омотача је 100cm2. Израчунај површину тог ваљка.

4. Израчунај површину осног пресека ваљка ако је дијагонала осног пресека 13cm, a висина ваљка 5cm.

4. Површина ваљка је 260πcm2, а површина његовог омотача је 140πcm2. Израчунај површину основе тог ваљка.

5. Површина осног пресека ваљка je 24cm2. Израчунај: а) п  олупречник ваљка ако је висина ваљка 3cm. б) висину ваљка ако је полупречник основе 2√2cm.

5. Израчунај површину ваљка ако је: а) п  олупречник основе ваљка 4cm, а висина ваљка 7cm. б) п  речник основе ваљка 5cm, а висина ваљка 2cm.

127

Б – вежбај 6. Висина ваљка је 6cm. Израчунај површину ваљка ако је полупречник основе ваљка: а) два пута већи; б) за 2cm мањи од висине ваљка.

15. Површина омотача ваљка је 48πcm2. Израчунај површину ваљка ако је H = 3 r, где је H висина, а r полупречник 2 основе ваљка.

7. Обим основе ваљка је 12πcm2. Израчунај површину ваљка ако је његова висина 4cm.

16. Површина ваљка је 200πcm2. Израчунај висину и пречник основе ваљка ако је висина ваљка три пута већа од полупречника основе ваљка.

8. Површина основе ваљка је 9πcm2. Израчунај површину ваљка ако је висина ваљка 3cm. 9. Израчунај површину ваљка ако је висина ваљка 6cm, а дијагонала осног пресека ваљка 10cm. 10. Израчунај висину ваљка ако је полупречник основе 4cm, а површина омотача ваљка 24πcm2. 11. Површина ваљка је 84πcm2, а површина омотача тог ваљка је 48πcm2. Израчунај полупречник основе тог ваљка.

В – примени 12. Површина основе ваљка је 25πcm2. Израчунај висину и обим основе ваљка ако је површина омотача ваљка три пута већа од површине основе ваљка. 13. Површина ваљка је 192πcm2. Израчунај: а) висину ваљка ако је полупречник основе 6cm. б) висину ваљка ако је површина основе ваљка 72πcm2. в) полупречник основе и висину ваљка ако је површина основе једнака површини омотача ваљка. 14. Површина омотача ваљка је 24πcm2, а висина 12cm. Израчунај површину ваљка.

129 128

17. Осни пресек ваљка је квадрат чији је обим 20cm. Израчунај површину ваљка.

Г – прoшири 18. Површина ваљка је 288 πcm2. Израчунај дијагоналу осног пресека ваљка ако се висина и полупречник основе ваљка односе као 3:1. 19. Ваљак је уписан у коцку чија је ивица 4cm. Израчунај разлику површина коцке и ваљка.

ЗАПРЕМИНА ВАЉКА А – утврди 1. Површина основе ваљка је 50cm2, а његова висина 10cm. Израчунај запремину тог ваљка. 2. Површина основе ваљка је 48cm2, а његова запремина је 960cm3. Колика је висина тог ваљка?

Б – вежбај 3. Израчунај запремину ваљка ако је: а) полупречник основе ваљка 5cm, а висина ваљка 12cm. б) пречник основе ваљка 22cm, а висина ваљка једнака полупречнику.

4. Запремина ваљка је 135πcm2. Ако је висина ваљка 5cm, израчунај: а) полупречник основе; б) површину омотача ваљка; в) површину ваљка.

12. Oмотач ваљка је квадрат чија је: а) страница 8cm; б) дијагонала 10cm. Израчунај површину и запремину ваљка.

5. Запремина ваљка је 200√2pcm3. Израчунај висину ваљка ако је пречник основе 20cm.

13. Омотач ваљка је правоугаоник чије су странице 31,4mm и 12,56mm. Да ли је већа запремина ваљка чија је висина краћа страница овог правоугаоника или ваљка чија је висина дужа страница овог правоугаоника? Одреди однос запремина ових ваљака. (узети π ≈ 3,14)

6. Израчунај запремину ваљка ако је полупречник основе ваљка 2cm, а површина омотача ваљка 4πcm2. 7. Површина ваљка је 490πcm2. Израчунај запремину ваљка ако је: а) полупречник основе ваљка 14cm. б) површина основе ваљка 49πcm2. 8. Висина ваљка је 8cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је дијагонала осног пресека ваљка 10cm. 9. Израчунај површину и запремину ваљка ако је осни пресек ваљка квадрат странице 6cm. 10. Површина осног пресека ваљка је 16cm2. Израчунај површину и запремину ваљка ако је полупречник основе два пута већи од висине ваљка. 11. Маркетиншка агенција је од фабрике за производњу ананаса добила задатак да осмисли налепницу за конзерву у облику ваљка у којој ће паковати колутове ананаса тако да она покрива све делове конзерве који нису равне површи. Ако је висина конзерве 15cm, а полупречник њене основе 6cm, колико најмање папира је потребно да би се направила налепница? (узети π ≈ 3,14)

В – примени

14. Квадрат чија је површина 32cm2 ротира око једне своје странице. Израчунај површину и запремину добијеног тела. 15. Правоугаоник чија је једна страница 6cm, а дијагонала 10cm ротира око а) краће странице; б) дуже странице. Израчунај површину и запремину добијеног тела. 16. Полупречник основе ваљка је 4cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је угао између дијагонале осног пресека и равни основе: а) 60°; б) 45°; в) 30°. 17. Дијагонала осног пресека ваљка је 12cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је угао између дијагонале осног пресека и равни основе: а) 30°; б) 45°; в) 60°. 18. Висина ваљка је једнака пречнику ваљка. Ако висину повећамо за 2cm, површина ваљка се повећа за 28πcm2. Израчунај полупречник основе тог ваљка. 19. Основна ивица призме је 6cm, а њена висина 8cm. Израчунај површину и запремину ваљка који је уписан у ту призму и ваљка који је око ње описан ако је призма:

129 128



а) правилна четворострана; б) правилна тространа; в) правилна шестострана.

20. Основна ивица правилне четворостране призме је 8cm, а њена површина 512cm2. У призму је уписан и око ње описан ваљак. Одреди однос површина и запремина ових ваљака. 21. Око ваљка је описана правилна тространа призма. Израчунај површину и запремину призме ако је полупречник основе ваљка 5cm, а висина ваљка 7cm. 22. У ваљак је уписана правилна шестострана призма. Израчунај површину и запремину призме ако је површина омотача ваљка 2πcm2, а површина ваљка је два пута већа од површине омотача. 23. Раван која је паралелна оси ваљка сече ваљак тако да на основи формира тетиву дужине 5cm. Израчунај површину пресека ваљка и равни ако је висина ваљка 4cm. 24. Путари за равнање земљишта користе ваљак чији је пречник 120cm, а дужина 2,2m. Коју површину ваљак може да изравња ако направи 50 пуних окретаја по правој линији? (узети π ≈ 3,14) 25. Радници треба да офарбају цев са спољашње стране чија је дужина 7m, а пречник 130сm. За фарбање 1dm2 цеви потребно је 12g боје. Да ли могу да офарбају цев ако имају кантицу са 0,5kg боје? (узети π ≈ 3,14)

131 130

26. На часу ликовног ученици треба да обоје вазу у облику ваљка са спољашње стране, чија је запремина 770cm3, а висина 20cm. Коју површину ученици треба да обоје? (узети π ≈ 22 ) 7

27. У фабрици се медицински гел пакује у тегле у облику ваљка чији је унутрашњи пречник 16cm. Израчунај дубину тегле ако у њу може да стане 4 литара гела. (узети π ≈ 3,14) 28. Пекарска индустрија „Клас“ за складиштење жита користи 4 једнака силоса у облику ваљка. Унутрашње димензије сваког од њих су: висина 25m и пречник 14m. Колико највише килограма жита може да стане у ове силосе ако је густина жита 0,8 kg 3 ? dm (узети π ≈ 22 ) 7

Г – прoшири 29. Запремина правилне четворостране призме је 144cm3, а површина њеног омотача 48cm2. Израчунај површину осног пресека и запремину ваљка који је описан око ове призме. 30. Раван која је паралелна оси ваљка сече ваљак. Тетиви коју формира на основици одговара централни угао од 90°. Ако је висина ваљка 5cm, а полупречник основице 2cm, израчунај: а) дужину тетиве основе; б) површину пресека ваљка и равни; в) збир површина делова ваљка добијених овим пресеком. 31. Метална цев има отвор пречника 5cm и зидове дебљине 5mm. Колика је маса дужног метре те цеви ако је материјал од ког је направљена густине 7,8 g 3 ? cm 32. Суд у облику ваљка пречника основе 8cm и висине 25cm напуњен је водом. Колико воде ће остати у том суду ако се он нагне тако да његова основа са хоризонталном равни образује угао од 60°?

Тест − Ваљак 1. Полупречник основе ваљка је 5cm, а висина 10cm. Површина омотача тог ваљка је: а) 50cm2; б) 50πcm2; в) 100πcm2; г) 250πcm2.

6. Колика је запреминa ваљка ако је полупречник основе ваљка 2cm, а површина омотача ваљка 4πcm2? а) 4πcm3; б) 6πcm3; в) 8πcm3; г) 16πcm3.

2. Површина основе ваљка је 40cm2, а површина његовог омотача 60cm2. Површина тог ваљка је: а) 100cm2; б) 140cm2; в) 160cm2; г) 2 400cm2.

7. Површина осног пресека ваљка је 100cm2. Полупречник основе тог ваљка је два пута већи од његове висине. Запремина тог ваљка је: а) 200πcm3; б) 300πcm3; 3 в) 400πcm ; г) 500πcm3.

3. Површина основе ваљка је 10cm2, а његова висина 9cm. Запремина тог ваљка је: а) 30cm3; б) 90cm3; в) 900cm3; г) 900πcm3.

8. Дијагонала осног пресека ваљка је 8cm. Колика је запремина ваљка ако је угао између дијагонале осног пресека и равни основе 600? а) 16πcm3; б) 16√3πcm3; в) 48πcm3; г) 48√3πcm3.

4. Површина ваљка је 900πcm2, а површина његовог омотача 700πcm2. Полупречник основе тог ваљка је: а) 10cm; б) 10√2cm; в) 20cm; г) 20√2cm.

5. Осни пресек ваљка је квадрат чија је површина 36cm2. Површина тог ваљка је: а) 18πcm2; б) 36πcm2; 2 в) 47πcm ; г) 54πcm2.

Решења: 1. в); 2. б); 3. б); 4. а); 5. г); 6. а); 7. г); 8. б).

130 131

ВАЉАК – решења ЗАПРЕМИНА ВАЉКА 1.

На пример: AB, EF и OO1.

1.

V = 500cm3.

2.

Правоугаоник (некад специјално квадрат). Осни пресеци су АА1B1B и CDD1C1.

2.

H = 20cm.

3.

а) Pop = 56cm2;

3.

а) V = 300pcm3;

4.

Pop = 60cm2.

5.

а) r = 4cm;

4.

а) r = 3√3cm; б) M = 30√3pcm; в) P = 6(9p + 5√3)cm2.

6.

H = 8cm, r = 4cm.

5.

H = 2√2cm.

7.

а) OB = 5pcm;

6.

V = 4pcm3.

8.

H = 10√2cm, r = 5√2cm.

7.

а) V = 686pcm3;

8.

P = 66pcm2, V = 72pcm3.

9.

P = 54pcm2, V = 54pcm3.

б) Pop = 80cm2.

б) H = 3√2cm.

б) OB = 4pcm;

в) OB = 8√2pcm.

ПОВРШИНА ВАЉКА

б) V = 1 331pcm3.

б) V = 1 372pcm3.

3.

P = 2 ∙ B + M = 140cm2.

10. P = 48pcm2, V = 32pcm3.

4.

B = (P – M) : 2 = 60 πcm2.

11. M = 565,2pcm2.

5.

а) P = 88pcm2;

б) P = 22,5pcm2.

6.

а) P = 432pcm2;

б) P = 80pcm2.

12. а) P = 32 (1 + 2p)cm2, V = 128 cm3; p p б) P = 25 (1 + 2p)cm2, V = 125√2 cm3. p 2p

7.

P = 120pcm2.

8.

P = 36pcm2.

9.

P = 80pcm2.

10. H = 3cm.

13. Запремина ваљка чија је висина краћа страница је Vk = 985,96сm3, а запремина ваљка чија је висина дужа страница је Vd = 394,384сm3. Дакле, већа је запремина ваљка чија је висина краћа страница. Однос запремина је Vk = 5 . Vd 2

11. r = 3√2cm.

14. P = 128pcm2, V = 128√2pcm3.

12. H = 7,5cm, OB = 10pcm.

15. а) P = 224pcm2, V = 384pcm3; б) P = 168pcm2, V = 288pcm3.

13. а) H = 10cm;

б) H = 2√2cm;

14. 26πcm2. 15. P = 80pcm2. 16. R = 10cm, H = 15cm. 17. P = 37,5pcm2. 18. D = 6√13cm. 19. P = 24(4 – p)cm2.

в) r = 8cm, H = 4cm.

16. а) P = 32p(1 + 2√3)cm2, V = 128√3pcm3; б) P = 96pcm2, V = 128pcm3; в) P = 32p (3 + 2√3)cm2, V = 128p√3 cm3. 3 3 17. а) P = 18p(3 + 2√3)cm2, V = 162pcm3; б) P = 108pcm2, V = 108p√2cm3; в) P = 18p(1 + 2√3)cm2, V = 54p√3cm3. 18. r = 7cm.

19. а) Pu = 66pcm2, Vu = 72pcm3, Po = 12p(4√2 + 3)cm2, Vo = 144pcm3; б) Pu = 2p(3 + 8√3)cm2, Vu = 24pcm3, Po = 8p(3 + 4√3)cm2, Vo = 96pcm3; в) Pu = 6p(9 + 8√3)cm2, Vu = 216pcm3, Po = 168pcm2, Vo = 288pcm3. 20. Pu = 128pcm2, Vu = 192pcm3, Po = 32p(3√2 + 2)cm2, Vo = 384pcm3, Vo = 2 , Po = 3√2 + 2 . Vu 1 Pu 4 21. P = 360√3cm2, V = 525√3cm3. 22. P = 3(√3 + 2)cm2, V = 3√3 cm3. 2 23. Пресек ваљка и дате равни је правоугаоник чије су странице висина ваљка и добијена тетива основе, па је површина 20cm2.



Количина просуте воде једнака је половини запремине ваљка висине DF, односно V1 = 64√3pcm3, па је у суду остало V – V1 = 16p(25 – 4√3)cm3 воде.

24. 50M = 414,48cm2. 25. Не могу. Потребно им је 527,52g боје. 26. P = B + M = 478,50m2. 27. H ≈ 19,9cm. 28. У сва четири силоса стаје 12 320 000kg жита. 29. Pop = 24cm2, V = 144pcm3. 30. а) t = 2√2cm; б) Pp = 10√2cm2; в) P = 4(5√2 + 7p)cm2. 31. Маса дужног метра те цеви је 7,8 g 3 (V – V1) = 7,8 · 100p(36 – 25)g = 8,58kg cm . 32. После нагињања и просипања, ниво воде представља дуж DE.

133 132

134

Купа А – утврди 1. Гледај слику и уочи дуж која је: а) висина купе; б) изводница купе; в) пречник основе купе и г) полупречник основе купе.

7. Одреди површину осног пресека купе ако је: а) полупречник основе r = 4cm, а висина купе H = 7cm; б) полупречник основе r = 3cm, а изводница купе s = 5cm; в) изводница купе s = 17cm, а висина купе H = 15cm. 8. Осни пресек купе висине 12cm је једнакокраки троугао површине 108cm2. Одреди изводницу те купе. 9. Осни пресек купе је једнакостранични троугао површине 36√3cm2. Одреди висину и полупречник основе купе.

2. Израчунај дужину изводнице праве купе ако је: а) п  олупречник основе 4cm, а висина купе 8cm; б) пречник основе 14cm, а висина купе 24cm. 3. Израчунај висину купе ако је: а) п  олупречник основе 6cm, а изводница дужине 10cm; б) пречник основе 30cm, а изводница 25cm.

Б – вежбај 4. Израчунај дужину кружног лука који одређује централни угао од 150°, кружнице полупречника 6cm. 5. Одреди површину кружног исечка одређеног кружним луком дужине 12πcm, кружнице полупречника 9cm. 6. Одреди површину кружног исечка који одређује централни угао од 60°, кружнице полупречника 4cm.

10. Осни пресек купе је једнакокракоправоугли троугао површине 18cm2. Одреди изводницу, висину и полупречник основе купе. 11. Купу, висине 20cm и полупречника основе 4cm, сече раван која је паралелна основи. Одреди површину пресека равни и купе ако је растојање врха купе од те равни 15cm. 12. Купу, висине 12cm и изводнице 20cm, сече раван нормална на њену осу. Одреди површину пресека равни и купе ако је растојање врха купе од те равни 9cm. 13. Правоугли троугао површине 29cm2 ротира око једне катете. Израчунај површину осног пресека настале купе. 14. Од четвртине круга полупречника 6cm направљен је омотач купе. Израчунај: а) изводницу; б) полупречник основе; в) висину купе.

135

В – примени 15. Од кружног исечка, који је одређен централним углом од 120°, кружнице полупречника 15cm, направљен је омотач купе. Одреди површину осног пресека те купе.

4. Израчунај површину купе ако је: а) полупречник основе r = 9cm, а изводница купе s = 21cm; б) полупречник основе r = 3,2cm, а изводница купе s = 7,8cm.

16. Полукруг полупречника 12cm савијен је у омотач купе. Одреди површину осног пресека те купе.

Б – вежбај

17. Полупречник основе купе је 12cm, а збир висине купе и изводнице је 36cm. Одреди површину осног пресека купе. 18. Купу висине 6√2cm сече раван нормална на њену осу. Ако је површина тог пресека једнака четвртини површине основе, колико је растојање те равни од врха купе? 19. Полупречник основе купе је 15cm. Купа је пресечена са две равни које су паралелне основи. Ове равни деле висину купе на три једнака дела. Одреди површине пресека тих равни и купе.

Површина купе А – утврди 1. Израчунај површину омотача купе ако је: а) полупречник основе r = 7cm, а изводница купе s = 17cm; б) полупречник основе r = 4,2cm, а изводница купе s = 7,7cm. 2. Површина основе купе је 160πcm2, а површина омотача је 260πcm2. Израчунај површину купе. 3. Површина купе је 416cm2, а површина њеног омотача је 286cm2. Израчунај површину њене основе.

137 136

5. Израчунај површину купе ако је: а) полупречник основе r = 6cm, а висина купе Н = 8cm; б) полупречник основе r = 7cm, а висина купе Н = 24cm; в) изводница купе s = 17cm, а висина купе Н = 8cm; г) изводница купе s = 29cm, а висина купе Н = 21cm. 6. Колико је лима потребно да се направи модел купе, висине 12cm и изводнице 13cm? 7. Колико квадратних метара платна је потребно да се направи шатор у облику купе, пречника 3m и висине 0,8m? 8. Површина омотача купе је 160πcm2, а изводница има дужину 16cm. Одреди површину те купе. 9. Одреди површину купе чији је омотач настао савијањем кружног исечка, полупречника 18cm и централног угла од 210°. 10. Обим основе купе је 10πcm, а висина је 12cm. Одреди површину те купе.

В – примени 11. Омотач купе површинe 36πcm2 је четвртина круга. Одреди површину те купе.

Б – вежбај 12. Површина осног пресека купе је 192 cm2, а висина 16cm. Колика је површина те купе? 13. Израчунај површину купе чији је осни пресек једнакостранични троугао површине 16√3cm2. 14. Осни пресек купе је једнакокракоправоугли троугао површине 72cm2. Одреди површину те купе. 15. Једнакокраки троугао, основице 14cm и крака 12cm, ротира око своје осе. Одреди површину тако насталог тела. 16. Катете правоуглог троугла су 15cm и 20cm. Одреди површину тела које настаје ротацијом тог троугла око: а) дуже катете; б) краће катете.

Запремина купе А – утврди 1. Израчунај запремину купе ако је: а) п  овршина основе B = 25πcm2, а висина купе Н = 9cm; б) површина основе B = 382cm2, а висина купе Н = 30cm. 2. Израчунај: а) п  овршину основе купе ако је њена запремина 76πcm3, а висина купе Н = 12cm; б) висину купе ако је њена запремина 600πcm3, а површина основе 100πcm2. 3. Израчунај запремину купе ако је: а) полупречник основе r = 3cm, а висина купе Н = 13cm; б) полупречник основе r = 2,5cm, а висина купе Н = 6cm.

4. Израчунај запремину купе ако је: а) полупречник основе r = 12cm, а изводница купе s = 37cm; б) в исина купе Н = 24cm, а изводница купе s = 26cm. 5. Површина омотача купе је 15πcm2, а изводница купе 5cm. Одреди запремину купе. 6. Површина купе је 96πcm2, а полупречник основе 6cm. Нађи запремину купе. 7. Одреди запремину купе чија је површина 90πcm2, а збир изводнице и полупречника основе 18cm. 8. Површина купе је 216πcm2, а површина основе 81πcm2. Нађи запремину купе. 9. Одреди запремину купе ако је: а) п  овршина купе 200πcm2, а површина омотача 136πcm2;  овршина купе 300πcm2, а површина б) п омотача 156πcm2. 10. Запремина купе је 1 024πcm3, а полупречник основе 16cm. Одреди површину купе. 11. Запремина купе је 768πcm3, а висина купе 16cm. Израчунај површину те купе. 12. Гомила песка има облик купе. Колико кубних метара песка има у тој гомили ако је њен пречник 4m, а висина 2m? 13. Колико литара воде може стати у суд у облику купе висине 12cm и полупречника основе 5cm?

136 137

14. Пласт сена има облик купе, пречника основе 2m и висине 1,5m. Израчунај запремину сена. 15. Оловна купа висине 30cm претопљена је у ваљак једнаке основе. Израчунај висину добијеног ваљка. 16. Израчунај масу чигре у облику купе, која је направљена од дрвета густине 0,9g/cm3, ако је пречник основе 4cm, а висина чигре 5cm. 17. Израчунај тежину виска у облику купе, пречника основе 2cm и висине 2cm, који је направљен од олова. (Густина олова 11,5g/cm3) 18. Колико се чаша у облику купе, полупречника 3cm и изводнице 5cm, може напунити са 10 литара воде? 19. Израчунај површину и запремину равностране купе (2r = s) ако је: а) полупречник основе 5cm; б) изводница купе 6cm; в) висина купе 8√3cm.

23. Израчунај површину и запремину купе ако је њена висина 6cm, а изводница је за 2cm дужа од полупречника основе. 24. Полупречник основе је 12cm, а висина купе је за 6cm краћа од изводнице. Одреди површину и запремину купе. 25. Површина основе купе је 100πcm2, а површина осног пресека 240cm2. Одреди површину и запремину купе. 26. Израчунај површину и запремину купе чији је развијени омотач кружни исечак полупречника 10cm са централним углом од 120°. 27. Развијени омотач купе представља 3 круга полупречника 12cm. Одреди 4 површину и запремину купе. 28. Израчунај површину равностране купе ако је њена запремина 72√3πcm3.

20. Израчунај запремину равностране купе (2r = s) ако је: а) површина омотача 32πcm2; б) површина купе 288πcm2.

29. Једнакокраки троугао, основице 14cm и њој одговарајуће висине 24cm, ротира око своје осе. Одреди површину и запремину насталог тела.

В – примени

30. Правоугли троугао са катетама дужине 6cm и 8cm ротира најпре око краће, а затим око дуже катете. Одреди однос запремина тако насталих тела.

21. Одреди површину и запремину купе ако је: а) пречник основе 30cm, а површина омотача 255πcm2; б) о  бим основе 24πcm, а површина омотача 180πcm2; в) висина купе 5cm, а површина осног пресека 60cm2.

139 138

22. Површина купе је 24πcm2, а изводница купе 5cm. Одреди запремину купе.

31. Једна катета правоуглог троугла је 6cm, а угао наспрам ње је 60°. Израчунај запремину тела које настаје ротацијом тог троугла око дате катете.

32. Један оштар угао правоуглог троугла је 30°, а дужина хипотенузе је 12cm. Одреди површину и запремину тела које настаје ротацијом овог троугла око краће катете. 33. Једнакостранични троугао странице 4cm ротира око једне странице. Одреди површину и запремину тако насталог тела. 34. Квадрат површине 1cm2 ротира око своје дијагонале. Одреди површину и запремину обртног тела. 35. Правоугли троугао чије су катете 9cm и 12cm ротира око хипотенузе. Одреди површину и запремину тако насталог тела.

42. Осни пресек купе је једнакостранични троугао обима 24cm. Одреди запремину купе. 43. Изводница купе дужине 6cm нагнута је према равни основе под углом од 60°. Одреди површину и запремину те купе. 44. Изводница купе дужине 8cm нагнута је према равни основе под углом од 30°. Одреди површину осног пресека купе. 45. Угао између изводнице и висине купе је 45°. Одреди површину и запремину купе ако је: а) полупречник основе 12cm; б) изводница купе 8√2cm.

Г – прoшири

46. Висина купе је 4√3cm, а угао између изводнице и равни основе је 60°. Одреди површину и запремину те купе.

36. Површина осног пресека купе је 120cm2, а полупречник основе и висина купе су у размери 8 : 15. Одреди површину купе.

47. Површина омотача купе је 8√3πcm2, а изводница са равни основе гради угао од 30°. Одреди запремину те купе.

37. Запремина купе је 768πcm3, а r : H = 3 : 4. Одреди површину купе.

48. Правоугли троугао, чија је једна катета 15cm, а хипотенуза 25cm, ротира око краће катете. Одреди површину и запремину тако насталог тела.

38. Полупречник основе купе је 4cm, a H : s = 3 : 5. Одреди површину и запремину купе. 39. Површина омотача купе је 60πcm2, а r : H = 3 : 4. Одреди површину и запремину купе. 40. Осни пресек купе је једнакостранични троугао површине 100√3cm2. Одреди површину и запремину купе. 41. Осни пресек купе је правоугли троугао површине 98cm2. Одреди површину и запремину купе.

49. Правоугли трапез, основица 5cm и 2cm и висине 4cm, ротира око дуже основице. Одреди површину и запремину обртног тела. 50. Једнакокраки трапез, основица 15cm и 3cm и висине 8cm, ротира око краће основице. Одреди површину и запремину насталог тела. 51. Једнакокраки трапез, основица 8cm и 4cm и оштрог угла од 45°, ротира око дуже основице. Одреди површину и запремину насталог тела.

139 138

52. Дијагонале ромба су 12cm и 16cm. Израчунај површину и запремину тела које настаје ротацијом ромба око дуже дијагонале. 53. Правилан шестоугао странице 2cm ротира око дуже дијагонале. Одреди површину и запремину тако насталог тела. 54. Ромб са дијагоналама 6cm и 8cm ротира око једне своје странице. Одреди површину и запремину тако насталог тела. 55. Једнакокраки троугао, чија је дужина крака 10cm и угао између кракова 30°, ротира око једног крака. Одреди запремину тако насталог тела. 56. Правоугли трапез ротира око праве којој припада краћи крак. Израчунај површину и запремину насталог тела ако су дужине основица 10cm и 6cm, а оштар угао трапеза 60°. 57. Једнакокраки трапез ротира око праве којој припада један крак. Израчунај површину и запремину насталог тела ако су дужине основица 10cm и 4cm, а оштар угао трапеза 30°. 58. У правилну четворострану пирамиду, основне ивице 6cm и висине 4cm, уписана је купа. Одреди површину и запремину купе. 59. Израчунај површину и запремину купе описане око правилне шестостране пирамиде, основне ивице 8cm и висине 6cm.

141 140

60. Око правилне шестостране пирамиде је описана купа и у ту пирамиду је уписана купа. Нађи однос запремина тих купа.

Тест − Купа 1. Полупречник основе праве купе је 12cm, а изводница 13cm. Висина те купе је: а) 12cm; б) 25cm; в) 5cm; г) 1cm.

2. Изводница купе је 6cm, а полупречник основе 3cm. Површина купе је: а) 54πcm2; б) 27πcm2; 2 в) 27cm ; г) 54cm2.

3. Осни пресек купе је једнакостранични троугао површине 9√3cm2. Висина те купе је: а) 3√3cm; б) 3cm; в) 3√3 cm; г) 3√3 cm. 2 4

6. Висина праве купе је 3cm, а изводница је за 1cm дужа од полупречника основе. Површина осног пресека купе је: а) 12πcm2; б) 12cm2; в) 15cm2.

7. Развијени омотач купе представља 2 круга полупречника 6cm. Одреди 3 површину те купе.

8. Једнакокраки трапез, основица 14cm и 6cm и крака 5cm, ротира око дуже основице. Одреди површину и запремину насталог тела.

4. Колико квадратних метара материјала је потребно да би се направио абажур за лампу у облику купе, висине 8dm и пречника основе 12dm?

5. Површина купе је 216πcm2, а површина основе 81πcm2. Запремина купе је: а) 1 620πcm3; б) 1 215πcm3; в) 972πcm2. в) 324πcm2.

Решења: 1. в); 2. б); 3. а); 4. 1,884m2; 5. г); 6. б); 7. Р = 40πcm2; 8. Р = 66πcm2; V = 78πcm3.

140 141

Купа – РЕШЕЊА 4.

а) Р = 270πcm2;

б) Р = 35,2πcm2.

5.

а) Р = 96πcm2; в) Р = 480πcm2;

б) Р = 224πcm2; г) Р = 980πcm2.

6.

282,6cm2.

7.

15,072m2.

8.

Р = 260πcm2.

9.

M = 189πcm2, s = 18cm, r = 10,5cm, Р = 299,25πcm2.

1.

а)

2.

a) s = 4√5cm; б) s = 25cm.

3.

a) H = 8cm; б) H = 20cm.

4.

l = 5πcm.

5.

Pi = 54πcm .

6.

Pi = 8 πcm2. 3

7.

а) Pop = 28cm2; б) Н = 4cm, Pop = 12cm2; в) r = 8cm, Pop = 120cm2.

8.

r = 9cm, s = 15cm.

11. s = 12cm, r = 3cm, Р = 45πcm2.

9.

s = 12cm, r = 6cm, H = 6√3cm.

12. r = 12cm, s = 20cm, Р = 384πcm2.

б)

в)

г)

2

10. r = 5cm, s = 13cm, Р = 90πcm2.

10. s = 6cm, r = 3√2cm, H = 3√2cm.

13. s = 8cm, r = 4cm, Р = 48πcm2.

11. Из H : r = H1 : r1 израчунамо r1 = 3cm, P1 = 9πcm2.

14. s = 12cm, r = 6√2cm, Р = 72(1 + √2)πcm2.

12. r1 = 12cm, P1 = 144πcm2.

15. Р = 133πcm2.

13. Pop = 58cm2

16. а) r = 15cm, s = 25cm, Р = 600πcm2; б) r = 20cm, s = 25cm, Р = 900πcm2.

14. M = 9πcm2, s = 6cm, r = 1,5cm, H = 3√15 cm. 2 15. M = 75πcm2, s = 15cm, r = 5cm, H = 10√2cm, Pop = 50√2cm2. 16. M = 72πcm2, s = 12cm, r = 6cm, H = 6√3cm, Pop = 36√3cm2. 17. s = 20cm, H = 16cm, Pop = 192cm2. 18. r1 = r , H1 = H = 3√2cm. 2 2 19. H1 = H , r1 = r = 5cm, P1 = 25πcm2, 3 3 2H H2 = , r = 2r = 10cm, P2 = 100πcm2. 3 2 3

Површина купе

Запремина купе 1.

а) V = 75πcm3;

б) V = 3 820cm3.

2.

а) B = 19πcm2;

б) H = 18cm.

3.

а) V = 39πcm3;

б) V = 12,5πcm3.

4.

а) V = 1 680πcm3;

б) V = 800πcm3.

5.

V = 12πcm3.

6.

V = 96πcm3.

7.

r = 5cm, s = 13cm, H = 12cm, V = 100πcm3.

8.

r = 9cm, s = 15cm, H = 12cm, V = 324πcm3. а) r = 8cm, s = 17cm, H = 15cm, V = 320πcm3; б) r = 12cm, s = 13cm, H = 5cm, V = 240πcm3.

1.

а) M = 119πcm2; б) M = 32,34πcm2.

9.

2.

Р = 420πcm2.

10. H = 12cm, s = 20cm, Р = 576πcm2.

3.

PО = 130cm2.

11. r = 12cm, s = 20cm, Р = 384πcm2.

12. V = 8,37m3.

31. a = 6cm, c = 4√3cm, b = 2√3cm, s = c = 4√3cm, r = b = 2√3cm, H = a = 6cm, V = 24πcm3.

13. V = 0,1πdm3 = 0,314dm3 = 0,314l.

32. c = 12cm, a = 6cm, b = 6√3cm, s = c = 12cm, r = b = 6√3cm, H = a = 6cm, Р = 36(3 + 2√3)πcm2, V = 216πcm3.

14. V = 1,57m3. 15. H = 10cm.

33. Настало тело се састоји од две подударне купе код којих је s = a = 4cm, r = ha = 2√3cm, H = a = 2cm, 2 Р = 2Мk = 16√3πcm2, V = 2Vk = 16πcm3.

16. V = 20,93cm3, m = 18,837g. 17. V = 2,093cm3, m = 24,0695g. 18. V = 37,68cm3, приближно 265 чаша. 19. a) s = 10cm, H = 5√3cm, Р = 75πcm2, V = 125√3 πcm3; 3 б) r = 3cm, H = 3√3cm, Р = 27πcm2, V = 9√3πcm3; в) s = 16cm, r = 8cm, Р = 192πcm2, V = 512√3 πcm3. 3 20. а) r = 4cm, s = 8cm, H = 4√3cm, V = 64√3 πcm3; 3 б) r = 4√6cm, s = 8√6cm, H = 12√2cm, V = 384√2πcm3. 21. а) s = 17cm, H = 8cm, Р = 480πcm2, V = 600πcm3; б) r = 12cm, s = 15cm, H = 9cm, Р = 324πcm2, V = 432πcm3; в) r = 12cm, s = 13cm, Р = 300πcm2, V = 240πcm3. 22. r = 3cm, H = 4cm, V = 12πcm3. 23. r = 8cm, s = 10cm, Р = 144πcm , V = 128πcm . 2

3

24. s = 15cm, H = 9cm, Р = 324πcm2, V = 432πcm3. 25. r = 10cm, H = 24cm, s = 26cm, Р = 360πcm2, V = 800πcm3.

34. a = 1cm, d = √2cm, настало тело се састоји од две подударне купе код којих је s = a = 1cm, r = d = √2 cm, H = d = √2 cm, 2 2 2 2 2 Р = 2Мk = √2πcm , V = 2Vk = √2 πcm3. 6 35. c = 15cm, из a · b = c · hc израчунамо hс = 7,2cm. 2 2 Настало тело се састоји од две купе код којих је s1 = a = 9cm, s2 = b = 15cm, r = hс = 7,2cm, H1 + H2 = c = 15cm, Р = М1 + М2 = 172,8πcm2, 2 V = V1 + V2 = r p(H1 + H2) = 259,2πcm3. 3

26. M = 100 πcm2, s = 10cm, r = 10 cm, 3 3 20√2 400 H= cm, Р = πcm2, V = 2000√3 πcm3. 3 81 9 27. M = 108πcm2, s = 12cm, r = 9cm, H = 3√7cm, Р = 189πcm2, V = 81√7πcm3. 28. r = 6cm, s = 12cm, Р = 108πcm2. 29. r = a = 7cm, H = ha = 24cm, s = b = 25cm, 2 Р = 224πcm2, V = 392πcm3. 30. r1 = 8cm, H1 = 6cm, V1 = 128πcm3, r2 = 6cm, H2 = 8cm, V2 = 96πcm3, V1 : V2 = 4 : 3.

36. s = 17cm, r = 8cm, H = 15cm, Р = 200πcm2. 37. r = 12cm, H = 16cm, s = 20cm, Р = 384πcm2.

143 142

38. H = 3cm, s = 5cm, Р = 36πcm2, V = 16πcm3. 39. s = 10cm, r = 6cm, H = 8cm, Р = 96πcm2, V = 96πcm3. 40. s = 20cm, r = 10cm, H = 10√3cm, Р = 300πcm2, V = 1000√3 πcm3. 3 41. s = 14cm, r = 7√2cm, H = 7√2cm, Р = 98(1 + √2)πcm2, V = 686√2 πcm3. 3 42. s = 8cm, r = 4cm, H = 4√3cm, V = 64√3 πcm3. 3 43. r = 3cm, H = 3√3cm, Р = 27πcm2, V = 9√3πcm3. 44. H = 4cm, r = 4√3cm, Pop = 16√3cm2. 45. а) H  = 12cm, s = 12√2cm, Р = 144(1 + √2)πcm2, V = 576πcm3; б) r = 8cm, H = 8cm, Р = 64(1 + √2)πcm2, V = 512√2 πcm3. 3

52. a = 10cm, настало тело се састоји од две подударне купе код којих је s = a = 10cm, r = d1 = 6cm, H = d2 = 8cm, Р = 2Мk = 120πcm2, 2 2 V = 2Vk = 192πcm3. 53. dv = 4cm, dm = 2√3cm, настало тело се састоји од ваљка, rv = dm = √3cm и Hv = а = 2cm, и две 2 подударне купе код којих је rk = dm = √3cm, 2 2a – a a Hk = = = 1cm, s = а = 2cm, 2 2 Р = Мv + 2Мk = 8√3πcm2, V = Vv + 2Vk = 8πcm3. 54. а = 5cm, из d1 · d2 = a · h израчунамо h = 48cm, 2 настало тело се сатоји од купе и ваљка из којег је издубљена купа (подударна првој купи) са једне стране код којих је rv = rk = h = 48cm, Hv = а = 5cm, s = а = 5cm, Р = Мv + 2Мk = 96πcm2, V = Vk + Vv − Vk = Vv = 115,2πcm3.

46. r = 4cm, s = 8cm, Р = 48πcm2, V = 64√3 πcm3. 3 47. s = 4cm, H = 2cm, r = 2√3cm, V = 8πcm3. 48. r = b = 20cm, H = a = 15cm, s = c = 25cm, Р = 900πcm2, V = 2 000πcm3. 49. Настало тело се састоји од ваљка и купе код којих је rv = rk = h = 4cm, Hv = b = 2cm, Hk = a − b = 3cm, s = c = 5cm, Р = B + Мv + Мk = 52πcm2, V = Vv + Vk = 48πcm3. 50. Tело настаје када се из ваљка, rv = h = 8cm и Hv = а = 15cm, издубе две подударне купе код којих је rk = h = 8cm, Hk = a – b = 6cm, 2 s = c = 10cm, Р = Мv + 2Мk = 400πcm2, V = Vv − 2Vk = 704πcm3. 51. Настало тело се састоји од ваљка, rv = h = 2cm и Hv = b = 4cm, и две подударне купе код којих је rk = h = 2cm, Hk = a – b = 2cm, s = c = 2√2cm, 2 Р = Мv + 2Мk = 8(2 + √2)πcm2, V = Vv + 2Vk = 64 πcm3. 3

145 144

55. hb = b = 5cm, настало тело се састоји од две 2 купе код којих је r1 = r2 = hb = 5cm, H1 + H2 = b = 10cm, 2 V = V1 + V2 = r p(H1 + H2) = 250 πcm3. 3 3

56. x = a – b = 4cm, у ∆BCE(30°, 60°, 90°) је 2 c = 2x = 8cm, h = c√3 = 4√3cm. Слично, у 2 ∆ABS(30°, 60°, 90°) је SB = 2a = 20cm, SA = 10√3cm, SD = 6√3cm, SC = SB – BC = 12cm. Настало тело представља зарубљену купу, а њена површина се састоји из површине већег круга (веће основе), мањег круга (мање основе) и дела омотача „веће“ купе, који добијамо када од омотача „веће“ купе одузмемо омотач „мање“ купе. P = B1 + B2 + M1 – M2, a како је r1 = a = 10 cm, r2 = b = 6 cm, s1 = SB = 20cm, s2 = SC = 12cm, то је P = 264pcm2.



Површина тела састоји се од омотача прве купе, омотача друге купе и омотача зарубљене купе, па је P = М1 + М2 + Mzk = (58 + 14√3)πcm2. Запремину тела добијамо када од запремине прве купе одузмемо запремуну друге купе и запремину зарубљене купе, па је V = V1 – V2 – Vzk =

39√3 πcm3. 2

a = 3cm, Hk = Hp = 4cm, sk = hp = 5cm, 2 Р = 24πcm2, V = 12πcm3.

58. r =



Запремина тела се израчунава тако што од запремине „веће“ купе одузмемо запремину „мање“ купе. V = V1 – V2 = 1 r12pH1 – 1 r22pH2, a 3 3 како је Н1 = SA = 10√3cm, H2 = SD = 6√3cm, то је V = 784√3p cm3. 3

59. r = a = 8cm, Hk = Hp = 6cm, sk = sp = 10cm, Р = 144πcm2, V = 128πcm3. 60. Полупречници основа ових купа су ru = a√3 и ro = a, а висине су им једнаке. 2 2 Запремине купа су Vu = 1 ru2pH = a pH и 3 4 2 1 a pH 2 r pH= Vо = , па је Vu : Vо = 3 : 4. 3 o 3

57. Крак трапеза је с = 2√3cm. Тело настаје када се из купе, s1 = а = 10cm, r1 = a = 5cm и Н1 = a√3 = 5√3cm, издубе 2 2 једна купа, s2 = b = 4cm, r2 = b = 2cm и 2 b√3 Н2 = = 2√3cm, и једна зарубљена купа, 2 r3 = r1 = a = 5cm, r4 = r2 = b = 2cm, s3 = 10√3 cm, 3 2 2 4√3 5√3 2√3 cm, Н4 = cm. s4 = cm, Н3 = 2 2 2

144 145

146

Лопта А – утврди 1. У простору су дате тачке A, B, C, D, E и O такве да је ОА = 5cm, OB = 6cm, OC = 8cm, OD = 2cm и OE = 9cm. Које од тачака A, B, C, D, E и O су у лопти са центром у тачки О и полупречником 7cm? 2. У простору су дате тачке A, B, C, D, E и O такве да је ОА = 15cm, OB = 20cm, OC = 18cm, OD = 9cm и OE = 17cm. Које од тачака A, B, C, D, E и O су у лопти са центром у тачки О и пречником 32cm? 3. Шта може бити пресек лопте и равни?

Б – вежбај 4. Шта може бити пресек лопте и праве? 5. Лопту пресеца раван која је на растојању 21cm од центра лопте. Одреди површину пресека равни и лопте ако је полупречник лопте 29cm.

В – примени 6. Лопта пречника 50cm пресечена је неком равни и површина пресека лопте и те равни је 49πcm2. Одреди растојање те равни од центра лопте. 7. Растојање центра лопте од неке равни је 12cm. Ако је пресек ове равни и лопте круг обима 18πcm, одреди површину великог круга лопте. 8. Лопта је пресечена неком равни која полови њен полупречник. Одреди однос великог круга лопте и круга који се добија у пресеку равни и лопте ако је полупречник лопте 10cm.

Површина лопте А – утврди 1. Израчунај површину лопте ако је њен полупречник: а) r = 5cm; б) r = 3 cm; 5 в) r = 0,8m; г) r = √7cm. 2. Израчунај површину лопте ако је њен пречник: а) 6cm; б) 10cm.

Б – вежбај 3. Обим великог круга лопте је 30πcm. Одреди површину лопте. 4. Површина великог круга лопте је 49πcm2. Одреди површину лопте. 5. Површина лопте је 144πcm2. Одреди обим и површину великог круга лопте. 6. Полукруг пречника 12cm ротира око свог пречника. Одреди површину насталог тела. 7. Полукруг површине 32πcm2 ротира око свог пречника. Одреди површину насталог тела. 8. Да ли се више боје потроши за фарбање четири кугле полупречника 5cm или једне кугле полупречника 10cm?

В – примени 9. Површина лопте је 36πcm2. Када бисмо ту лопту пресекли са равни која пролази кроз центар лопте, добили бисмо две полулопте. Одреди површину једне полулопте.

147

10. Растојање центра лопте од неке равни је 6cm. Ако је пресек ове равни и лопте круг површине 64πcm2, одреди површину лопте. 11. Ако се полупречник лопте увећа за 2cm, њена површина се повећа за 80πcm2. Одреди првобитни полупречник лопте. 12. Колико платна је потребно да би се направио балон у облику лопте пречника 6m ако 10% материјала отпадне при раду? 13. У коцку ивице 5cm уписана је лопта. Одреди површину те лопте. 14. Одреди површину лопте описане око квадра чије су ивице 3cm, 4cm и 12cm.

Запремина лопте А – утврди 1. Израчунај запремину лопте ако је њен полупречник: а) r = 3cm; б) r = 0,6cm; в) r = √6cm. 2. Израчунај запремину лопте ако је њен пречник: а) 4cm; б) 10cm. 3. Одреди запремину фудбалске лопте пречника 24cm.

Б – вежбај 4. Одреди запремину лопте ако је површина великог круга лопте 144πcm2. 5. Обим великог круга лопте је 18πcm. Одреди запремину лопте.

149 148

6. Површина лопте је 36πcm2. Одреди њену запремину. 7. Запремина лопте је 288πcm3. Одреди њену површину. 8. Круг обима 10πcm ротира око свог пречника. Одреди површину и запремину настале лопте. 9. Одреди масу дрвене кугле полупречника 9cm ако је густина дрвета 0,9g/cm3. 10. Колико литара воде може да стане у балон у облику лопте полупречника 30cm? 11. Површина полулопте је 27πcm2. Одреди површину и запремину одговарајуће лопте. 12. У коцку површине 96cm2 уписана је лопта. Одреди запремину те лопте. 13. Колико пута је већа запремина Земље од запремине Месеца ако је полупречник Земље 6 370km, а полупречник Месеца 1 740km? 14. Колико пута се окрене билијарска кугла запремине 36πcm3 на билијарском столу од једне до друге ивице ако је растојање између тих ивица 2,83m? 15. Ако се полупречник лопте повећа за 1cm, површина лопте се повећа за 36πcm2. Одреди запремину првобитне лопте. 16. Две лопте имају полупречнике 6cm и 8cm. Одреди полупречник лопте чија је запремина једнака збиру запремина датих лопти.

17. Од 8 оловних куглица полупречника 3cm топљењем се добија једна куглица. Одреди полупречник те куглице. 18. У кутију у облику квадра ивица 2cm, 6cm и 10cm спаковано је 15 колача у облику куглица пречника 2cm. Колико је остало слободног простора у кутији?

Г – прoшири 19. Лопта пречника 4√3cm и равнострана купа имају једнаке површине. За колико се разликују њихове запремине? 20. Од пластелина је направљен ваљак, полупречника основе 2cm и висине 9cm. Одреди полупречник лопте која се може направити од истог пластелина. 21. Оловну лопту полупречника 6cm претопимо у купу полупречника 8cm. Колика ће бити висина те купе? 22. Колико капљица воде у облику лопте полупречника 3mm је потребно да би се напунио суд у облика ваљка, полупречника основе 6cm и висине 15cm? 23. У чашу у облику ваљка пречника 8cm убацили смо 3 куглице леда пречника 2cm. Колико сока можемо сипати у чашу ако је висина чаше 12cm, а желимо да напунимо 3 чаше? 4

25. Попречни пресек ексера дат је на слици. (Мере су дате у mm.)



Израчунај масу тог ексера који је направљен од гвожђа. (Густина гвожђа је 7,8g/cm3)

26. У равнострани ваљак висине 12cm уписана је лопта. Одреди однос запремина ваљка и лопте. 27. Осни пресек купе је једнакостранични троугао површине 36√3cm2. Одреди површину и запремину лопте која је уписана у ту купу. 28. Око једнакостраничног троугла странице 3√3cm описан је круг. Одреди однос запремина тела која настају ротацијом троугла и круга око осе симетрије. 29. Одреди однос запремина лопти које су описане и уписане у правилну четворострану пирамиду, основне ивице 6cm и висине 4cm.

24. Израчунај површину и запремину тела са слике.(Мере су дате у cm.)

149 148

Тест − Лопта 1. Полупречник лопте је 5cm. Површина те лопте је: а) 100p cm2; б) 100πcm2; 3 г) 20πcm2. в) 25πcm2;

2. Запремина лопте пречника 6cm је: а) 36πcm3; б) 108πcm3; г) 228πcm3. в) 12πcm3;

3. Круг обима 12πcm ротира око једне своје осе. Површина насталог тела је: а) 12πcm2; б) 24πcm2; в) 36πcm2; г) 144πcm2.

4. Маса сребрне куглице полупречника 1cm је: а) 44g; б) 132g; в) 256g; г) 352g. (Узети за p ≈ 2 , густина сребра је 7 10,5g/cm3.)

6. Лопту површине 400πcm2 пресеца раван која је на растојању 6cm од центра лопте. Површина пресека лопте и те равни је: а) 36πcm2; б) 100πcm2; в) 64πcm2; в) 81πcm2.

7. Око коцке ивице 4cm описана је лопта. Површина те лопте је: а) 48πcm2; б) 48√3πcm2; в) 16√3πcm2; в) 32πcm2.

8. Од 8 металних куглица полупречника 2cm топљењем се добија једна куглица. Да ли се више фарбе утроши за фарбање 8 мањих куглица или једне веће куглице? а) Више фарбе се утроши за 8 мањих куглица; б) Више фарбе се утроши за једну већу куглицу; в) Једнако се утроши.

5. Ако се полупречник лопте увећа за 1cm, њена површина се повећа за 36πcm2. Првобитни полупречник лопте је: а) 3cm; б) 4cm; в) 5cm; г) 6cm.

Решења: 1. б); 2. а); 3. г); 4. а); 5. б); 6. в); 7. а); 8. а).

150

Лопта – решења Запремина лопте 1.

А, В, D и O.

2.

А, D и O.

3.

Ако имају пресек, онда је то тачка или круг.

4.

Ако имају пресек, онда је то тачка или дуж.

5.

rp = 20cm, Рр = 400πcm2.

6.

d = 24cm.

7.

r = 15cm, Рk = 225πcm2.

8.

rp = 5√3cm, Рр = 75πcm2, Рk = 100πcm2, Рk : Рр = 4 : 3.

Површина лопте

1.

а) V = 36πcm3; б) V = 0,288πcm3; в) V = 8√6πcm3.

2.

а) V = 32 πcm3; б) V = 500 πcm2 3 3

3.

r = 12cm, V = 2304πcm3 = 7234,56cm3 ≈ 7,2dm3.

4.

r = 12cm, V = 2304πcm3.

5.

r = 9cm, V = 972πcm3.

6.

r = 3cm, V = 36πcm3.

7.

r = 6cm, Р = 144πcm2.

8.

r = 5cm, Р = 100πcm2, V = 500 πcm3. 3

9.

V = 972πcm3 ≈ 3052,08cm3, m ≈ 2746,8gr ≈ 2,75kg.

1.

а) Р = 100πcm2;



в) Р = 2,56πm2;

б) Р = 36 πcm2; 25 г) Р = 28πcm2.

2.

а) Р = 36πcm ;

б) Р = 100πcm .

3.

r = 15cm, Р = 900πcm2.

12. a = 4cm, r = 2cm, V =

4.

r = 7cm, Р = 196πcm2.

13. Приближно 49 пута.

5.

r = 6cm, О = 12πcm, Р = 36πcm2.

14. Приближно 15 пута.

6.

r = 6cm, Р = 144πcm2.

7.

r = 8cm, Р = 256πcm2.

15. r = 4cm, V = 256 πcm3. 3

8.

4Р1 = Р2 = 400πcm2, потроши се иста количина боје.

9.

2

10. V ≈ 113. 11. r = 3cm, Р = 36πcm2, V = 36πcm3.

2

r = 3cm, Р = 27πcm2.

10. r = 10cm, Р = 400πcm2. 11. r = 4cm. 12. r = 3m, Р = 113,04m2. Дакле, потребно је 124,344m2 платна. 13. r = 2,5cm, Р = 25πcm2. 14. D = 13cm, r = D = 6,5cm, Р = 169πcm2. 2

32 πcm3. 3

16. r = 23√91cm. 17. r = 6cm. 18. Запремина кутије је Vk = 120cm3. Запремина једног колача је Vl = 4 πcm3, а свих 15 је 15 ∙ Vl, 3 односно 20πcm3 ≈ 62,8cm3. Слободног простора је остало 120cm3 − 62,8cm3 = 57,2cm3. 19. Рl = Рk = 48πcm2, rk = 4cm, sk = 8cm, Hk = 4√3cm, Vl = 96√3 πcm3, Vk = 64√3 πcm3, 3 3 32√3 πcm3. Vl − Vk = 3 20. Vl = Vv = 36πcm3, rl = 3cm. 21. Vk = Vl = 288πcm3, Hk = 13,5cm.

151

22. Vl = 36πmm3, Vv = 540 000πmm3, 15 000капљица. 23. 3 ∙ Vl = 4πcm3, Vv = 144πсm3, Vv −3 ∙ Vl = 140πcm3 = 439,6cm3 ≈ 0,44l. 24. Тело се састоји од ваљка и две полулопте, rv = rl = 3cm, Hv = 10cm, P = Рl + Mv = 96πcm2, V = Vv + Vl = 126πcm3. 25. Eксер се састоји од купе, ваљка и полулопте, па је његова запремина V = Vk + Vv + 1 Vl = 232πmm3 ≈ 728,48mm3 ≈ 0,73cm3, 2 m ≈ 5,7gr. 26. rl = rv = 6cm, Vv = 432πcm3, Vl = 288πcm3, Vv : Vl = 3 : 2. 27. sk = 12cm, rk = 6cm, rl = s√3 = 2√3cm, Р = 48πcm2, 6 V = 32√3πcm3. 28. rl = ro = a√3 = 3cm, rk = a = 3√3 cm, Hk = 4,5cm, 3 2 2 Vl = 36πcm3, Vk = 81 πcm3, Vk : Vl = 9 : 32. 8 29. Апотема пирамиде је h = 5cm. Из сличности троуглова имамо да је r : (H − r) = a : h, одакле 2 је полупречник лопте уписане у пирамиду r = 1,5cm, а запремина Vu = 9 πcm3. 2

152

Полупречник лопте описане око пирамиде израчунаћемо користећи Питагорину теорему 2

R2 = (H – R)2 + d , R = 17 cm, а запремина 2 4 4 913 Vo = πcm3. Vo : Vu = 4 913 : 216. 48

ФОРМУЛЕ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕС ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ Линеарна једначина

Линеарна неједначина

ax + b = 0

ax + b > 0, ax + b < 0 ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 Правила

0 ∙ x = 1 -- нема решење 0 ∙ x = 0 -- сваки реалан број је решење

153

ФОРМУЛЕ ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Експилицитни облик

y = kx + n

k – коефицијен правца График је права. једнаки коефицијенти правца N, – n , 0 ≠ 0 k M(0, n)

k>0

пресек са x-осом (нула функције)

пресек са y-осом

k