8. Medan Magnet Tunak (Statis)

• BAB 6. MEDAN MAGNETIK STATIS (TUNAK) 6.1 Hukum Biot-Savart  Diferensial intensitas medan magnetik, dH, merupakan hasil dari diferensi elemen arus I dl  Medan magnetik berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak, tidak bergantung pada medium di sekelilingnya, serta memiliki arah yang diberikan oleh perkalian silang antara I dl dan aR.  di mana aR merupakan vektor satuan dalam arah R. Arah R adalah dari  elemen arus ke titik di mana dH hendak dihitung.

I dl  aR dH  ( A / m) 2 4R

Elemen arus yang menghasilkan diferensial intensitas medan magnetik dH

 Elemen-elemen arus tidak memiliki keberadaan yang saling terpisah. Semua elemen yang membentuk sebuah filamen arus lengkap akan berkontribusi terhadap H. Proses penjumlahan ini akan menghasilkan bentuk integral dari hukum Biot-Savart sebagai

H



I dl  a R 4R

2

( A / m)

Contoh Soal 1 Sebuah filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga yang terletak di sepanjang sumbu z koordinat silindris ditunjukkan pada Gambar 3-2. Carilah H! Penyelesaian: Pada titik z = 0,

R  ra r  za z R

r

2

z

aR  2

ra r  za z r2  z2

dalam bentuk diferensial, dengan menggunakan persamaan

dH 

I dza z  (ra r  za z ) 4 (r 2  z 2 ) 3 / 2



I r dza 4 (r 2  z 2 ) 3 / 2

 Variabel integrasi adalah z. Oleh karena a  tidak berubah terhadap z, maka dapat dikeluarkan dari integran sebelum proses integrasi dilakukan.  Hasil ini menunjukkan bahwa H berbanding terbalik terhadap jarak radial

  I r dz I  a  H  a 2 2 3/ 2 2r  4 (r  z )   



Catatan!

Filamen arus I dengan panjang tak berhingga yang terletak di sepanjang sumbu z.

Arah intensitas medan magnetik adalah memenuhi aturan tangan kanan di mana jari-jari tangan kanan yang digenggamkan menunjukkan arah medan, sementara ibu jari menunjukkan arah arus.

6.2 Hukum Ampere  Integral garis komponen tangensial kuat medan magnetik di sekeliling lintasan tertutup adalah sama dengan arus yang dilingkupi oleh lintasan tersebut.

 H  dI  I

yang dilingkupi

Persamaan di atas merupakan bentuk integral dari hukum Ampere.

Dalam penggunaan hukum Ampere untuk menentukan H, maka dua kondisi berikut ini haruslah terpenuhi:  Di setiap titik lintasan tertutup komponen H adalah bersifat tangensial atau normal terhadap lintasan.  H memiliki nilai yang sama pada setiap titik lintasan di mana H adalah tangensial.

Contoh Soal 2 Gunakan hukum Ampere untuk memperoleh H yang diakibatkan oleh filamen lurus arus I dengan panjang tak berhingga! Penyelesaian! Biot-Savart menunjukkan bahwa pada setiap titik dari lingkaran Gambar 3-2 H adalah tangensial serta memiliki magnituda yang sama besar. Maka,

 H  dI  H (2 r) 1

 Dengan menyelesaikan integral di atas

I a 2r  Bentuk diferensial dari hukum Ampere dapat diturunkan yang juga akan menghubungkan medan magnetik statik H dengan arus elektrik konstan. H 

 Sebelum mendefinisikan bentuk diferensial, akan dikenalkan terlebih dahulu curl dari sebuah vektor.  curl A dalam arah an didefinisikan sebagai

(curl A)  a n    A  a n  lim

S 0

 A  dI S

 Dalam sebuah sistem koordinat, curl A secara lengkap dispesifikasi oleh komponen-komponennya di sepanjang vektor satuan koordinat.

Pendefinisian curl A

 Sebagai contoh, komponen x dalam koordinat Cartesian didefinisikan dengan mengambil kontur C sebagai sebuah bujur sangkar pada bidang datar x konstan melalui titik P seperti tampak pada Gambar.

  A  a x  lim

yz 0

 A  dI yz

Pendefinisian komponen x dari curl A.

 Jika A =Ax ax + Ayay +AZaZ pada sudut S yang paling dekat dengan titik pusat (titik 1), maka 2

3

4

1

1

2

3

4

  A y   Az   (y )  Az (z )  A y y   Az  y z   A y  y z      Az A y   yz    z   y dan

Az A y  A ax   y z

 Komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang sama  Dengan menggabungkan ketiga komponen yang diperoleh, curl A dalam koordinat Cartesian adalah  Az A y   A     y z 

 Ax Az a x      z x  

 Untuk koordinat silindris

 A y Ax  a y     x y  

 a z  

 

 1 Az A  Ar  1   rA  Ar Az     A  a r   z  r a  r  r    a z r    z    

 Untuk koordinat bola  A





 

1   A sin  A  1  1 Ar  rA  a     r  r sin      r  sin   r

1   rA  Ar a      r  r  

  a 

Dua sifat curl A yang seringkali digunakan ialah:  Divergensi curl dari sebuah vektor adalah sama dengan nol

    A  0

 Curl gradien dari sebuah fungsi skalar adalah sama dengan nol

  f   0

Sebagai contoh, dalam kondisi statik, medan elektrik

Sehingga

E   V

 E  0

Ini merupakan bentuk uji lain terhadap sifat konservasi medan vektor, yaitu jika curl sama dengan nol, maka medan tersebut adalah medan konservatif

 Dalam sisi pandang hukum Ampere, persamaan yang mendefinisikan (curl H)x dapat ditulis sebagai

  H  a x  lim

yz 0



Ix H  dI  lim Jx  y  z  0 yz yz

 di mana Jx =dIx/dS adalah kerapatan arus dalam arah x

 Jadi komponen x dari (curl H)x dan kerapatan arus Jx adalah sama di setiap titik.  Untuk komponen y dan z, relasi yang diperoleh dalam serupa, sehingga relasi secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai

 H  J  Persamaan di atas merupakan bentuk diferensial hukum Ampere untuk medan magnetik statis. Medan magnetik H tidak bersifat konservatif.

Contoh Soal 3 Sebuah konduktor panjang dan lurus memiliki penampang melintang dengan jari-jari a. Kuat medan magnetik di dalam konduktor (r < a) adalah H = (Ir/2a2)a dan H = (I/2a2)a untuk (r < a). Carilah kerapatan arus J untuk kedua daerah tersebut! Penyelesaian : Untuk daerah di dalam konduktor, dengan menggunakan persamaan   Ir  1   Ir 2 J    a r  z  2a 2  r r  2a 2

 a z  I a z  a 2 

yang berkorespondensi dengan arus yang memiliki magnetuda I dalam arah +z yang terdistribusi secara merata pada penampang melintang dengan luas area a2.

Di luar konduktor

J  H  

  I  I   I    ar   a z  0 z  2r  r r  2 

yang berarti bahwa arus hanya mengalir di dalam konduktor

6.3 Kerapatan Fluksi Magnetik dan Hukum Gauss  Kuat medan magnetik H adalah bergantung pada muatan (muatan yang bergerak) semata dan tidak bergantung pada mediumnya  Medan gaya yang berasosiasi dengan H adalah kerapatan fluksi magnetik B yang diberikan oleh persamaan  di mana  = 0r adalah permeabilitas medium  Satuan untuk B adalah tesla di mana

1T=1

B=H N A m

 Permeabilitas ruang hampa, 0, memiliki nilai sebesar 4 x 10-7 dengan satuan henry per meter, H/m

 Material non-magnetik memiliki permeabilitas relatif,.r yang mendekati satu, sementara material magnetik (misalnya besi,ferromagnetik) dapat memiliki r yang jauh lebih besar daripada satu.  Fluksi magnetik yang menembus suatu bidang permukaan didefinisikan sebagai



 B  dS S

 Fluksi magnetik, , dapat bernilai positif atau negatif bergantung pada pemilihan normal pada elemen permukaan dS.  Satuan untuk fluksi magnetik adalah weber, Wb.

1 T = 1 Wb/m2,

1 H = 1 Wb/A

Contoh Soal 4 Carilah fluksi yang memotong bagian bidang datar  = /4 dengan 0,01 < r < 0,05 m dan 0 < z < 2 m (lihat Gambar) di mana sebuah filamen arus 2,50 A diletakkan sepanjang sumbu z pada arah az! Penyelesaian: Kerapatan fluksi magnetik adalah B   0 H   0 I a 2r

Dari gambar

dS = drdza

Fluksi magnetik yang melewati bidang permukaan persegi panjang adalah 2 0, 05 0 I   a  d r d z a 2r 0 0, 01 

2 0 I 0,05 ln 1,61106 Wb 1,61Wb 2 0,01

 Garis-garis fluksi magnetik merupakan kurva tertutup, tanpa titik awal dan titik akhir. Kurva seperti ini disebut sebagai kurva solenoidal  Jadi medan B tidak memiliki sumber (source) ataupun sink, yang secara matematis dinyatakan sebagai   B = 0

Catatan! Persamaan (9) dikenal sebagai hukum Gauss untuk medan magnetik. Permukaan tertutup dengan kerapatan fluksi B.

6.4 Induktansi  rasio atau perbandingan fluksi magnetik lingkup terhadap arus yang menghasilkan fluksi tersebut.

N  N adalah jumlah lilitan kumparanI di mana :

L



I adalah arus statis (atau arus dengan frekuensi rendah)



 adalah fluksi yang melewati sebuah loop tunggal

 Satuan L adalah henry di mana 1 H = 1 Wb/A. L akan selalu merupakan produk dari permeabilitas bahan  dan faktor geometri dengan satuan panjang.

 Induktansi dapat juga dirumuskan sebagai

L

 I

di mana : •

, fluksi lingkup, N untuk kumparan dengan lilitan sejumlah N

Fluksi lingkup untuk kumparan arus

Contoh Soal 5 Carilah induktansi per satuan panjang dari sebuah konduktor koaksial seperti Gambar dibawah ini!

Penyelesaian: •

 = konstan

Untuk daerah di antara konduktor, medan magnetik dirumuskan sebagai

 0I I B a a 2  r 2r arus di kedua konduktor dilingkupi oleh fluksi yang menembus permukaan  = konstan. Untuk panjang l =1 m. H

•

1 b



 0 a

0 I 0 I b drdz  ln 2r 2 a



 induktansi per satuan panjang dari konduktor koaksial

0 b L per meter  ln H / m 2 a  Gambar nilai induktansi eksak dan atau pendekatan dari beberapa bentuk konduktor non-koaksial  0 N 2 a r2 L ln H  2 r1

Toroida dengan penampang melintang persegi. (dengan mengasumsikan nilai kerapatan fluksi rata-rata pada jari-jari rata-rata sebesar r.)

0 N 2S H  L 2r

r

Toroida dengan penampang S

S

L

0 N 2 S 

H 

Solenoida panjang dengan area penampang melintang S yang kecil.

l

d

L 0 d H / m   cosh 1   2a untuk d  a, L 0 d  ln H / m    a

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

L 0 d H / m   cosh1  2 2a  d  0 ln H / m  2 a

Konduktor silindris yang paralel dengan bidang datar pertanahan

Hal-hal Penting untuk Diingat  Medan magnetik H dan B akan mengelilingi sebuah kawat penghantar beraliran  arus I sesuai aturan tangan kanan.  Dalam medium isotropik, B = H.  Garis-garis fluksi megnetik adalah solenoid yang berarti bahwa garis-garis tersebut merupakan kurva tertutup tanpa awal atau pun akhir.  Untuk suatu permukaan tertutup tertentu, fluksi magnetik total yang masuk ke permukaan tertutup adalah sama dengan fluksi magnetik total yang meninggalkan permukaan tersebut.  Induktansi dari sebuah konduktor adalah fluksi magnetik lingkup per satuan arus.

Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1 Sebuah konduktor silindris tipis dengan jari-jari a dan panjang tak berhingga membawa arus I. Carilah H pada setiap titik dengan hukum Ampere! Penyelesaian : Hukum Biot-Savart menunjukkan bahwa H hanya memiliki komponen . Lebih lanjut, H merupakan fungsi dari r semata. Lintasan yang tepat untuk hukum Ampere adalah lingkaran konsentris. Untuk lintasan 1 yang ditunjukkan pada Gambar,

 H  d  2rH 

I

Sedangkan untuk lintasan 2,

yang dilingkupi



0

Cangkang silindris yang mengalirkan arus I.

H  d  2rH   I

Jadi, untuk titik di dalam cangkang silinder, H = 0 dan untuk titik-titik diluarnya H = (I/2r)a A/m. Untuk r > a, medannya adalah sama seperti medan dari filamen arus I sepanjang sumbu.

Soal 2 2,39  10 6 H cos  a r r

Medan radial

A/ m

terdapat pada suatu medium ruang hampa. Carilah fluksi magnetik, , yang memotong permukaan -/4    /4, 0  z  1 m. Lihat Gambar! Penyelesaian : Kerapatan fluksi dalam medium ruang hampa adalah

B  0 H 

3,00 cos  a r r

T

dan fluksi yang melewati permukaan dimaksud adalah 1





4

  0 

4

 3,00  cos  a r   r ddza r   4,24 Wb   r 

Fluksi Magnetik yang melewati bidang permukaan silinder.

Soal 3 Carilah induktansi per satuan panjang dari konduktor silindris paralel yang diperlihatkan pada Gambar, di mana d = 25 kaki dan a = 0,803 inci!

Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus-rumus pada L 0 d 25 12   cos 1  4  10 7 cos 1  2,37 H / m   2a 20,803 





l

Rumus pendekatan memberikan hasil

L 0 d  ln  2,37 H / m   a untuk d/a  10, rumus pendekatan dapat digunakan dengan kesalahan kurang dari 0,5%.

d

Konduktor paralel dengan jari-jari a.

Soal 4 Asumsikan bahwa toroida dengan inti udara yang ditunjukkan pada Gambar memiliki 700 lilitan, jari-jari dalam 1 cm, jari-jari luar 2 cm dan tinggi a = 1,5 cm. Carilah L dengan menggunakan (a) rumus untuk toroida dengan penampang melintang bujur sangkar; (b) rumus pendekatan untuk toroida biasa, yang mengasumsikan H yang seragam pada jari-jari rata-rata! Penyelesaian : (a) Untuk penampang melintang bujur sangkar,





 0 N 2 a r2 4  10 7 7002 0,015 L ln  ln 2  1,02 mH 2 r1 2

r

S

(b) Dengan menggunakan rumus pendekatan dari Gambar





0 N 2S 4 10 7 7002 0,010,015 L   0,98 mH 2r 2 0,015

Toroida dengan penampang S

dengan jari-jari r yang lebih besar dibandingkan dengan luas penampang, maka kedua rumus di atas akan menghasilkan hasil perhitungan yang lebih mirip (lebih mendekati sama).