8 Matematicas 2 Comunidad

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Matemáticas

Serie Comunidad

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Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición César Jiménez Espinosa Alberto Lara Castillo Edgar García Manrique Autoría Apolo Castrejón Villar, Alicia Vicuña Guante, Martha Lilia Reyes Salgador, Ortos Soyuz Castrejón Torres Revisión técnica Alfredo Fuad Take González Juan Antonio Perujo Cano Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección María del Carmen Solano, Nina Salazar Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de portada Brenda López Romero Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia García Imagen Equipo SM Iconografía Evelín Ferrer, Fernando Suárez Flores Coordinación de diagramación Jesús Arana Diagramación Jacquelinne Velázque Aldo Botello Báez Braulio Morales Jesús Antonio Díaz de León Castañeda Ilustraciones Cecilia Cota, Dora Maritza Garduño, Judith Meléndrez, Bertha Ramírez, Guillermo López Wirth Fotografía Archivo SM, D.R. Pablo Picasso /ADAGP/SOMAAP / México/2008/ Pág. 19 M.C. © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Págs. 148, 182, 211, 269, 290 © 2011, OTHERIMAGES Digitalización y retoque Carlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya

Matemáticas 2 SERIE COMUNIDAD Primera edición, 2008 Segunda edición, 2011 D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 ISBN 978-607-471-878-2 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

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Presentación para el alumno

¿T

e has fijado en todas las cosas maravillosas que existen a tu alrededor y cuánto tienen que ver con las matemáticas? Incluso tú mismo estás lleno de matemáticas. ¿Has visto un arco iris? Es un espectáculo fabuloso, ¿verdad? Ese evento puede explicarse gracias a la geometría: los rayos de luz sufren una desviación al atravesar las gotas de agua y se descomponen en los distintos colores que vemos en el arco iris. Seguramente alguna vez has observado con algo de molestia el reloj que te despierta justo a las seis de la mañana. Ese reloj también está lleno de matemáticas. ¿A quién se le habrá ocurrido eso de medir el tiempo? Sin duda, su idea nos ha sido de mucha utilidad… Imagínate que en tu escuela dijeran: “Mañana la entrada será por la mañana”. ¿A qué hora llegarías? ¿Y tus compañeros? Si alguna vez te toparas con una mariposa que tuviera un ala y no dos, de inmediato te darías cuenta de que hay algo raro en ella; esto se debe a que sabes que las mariposas son simétricas, pues tienen dos alas muy parecidas entre ellas. Ya te estarás dando cuenta de lo mucho que sabes de matemáticas: manejas con cierta facilidad un reloj y reconoces a primera vista lo que es simétrico, entre muchas otras cosas que realizas todos los días y que se basan en tus conocimientos matemáticos. Como ves, las matemáticas son algo que utilizamos todos los días. Al estudiarlas adquirimos herramientas que nos permiten resolver nuestros problemas cotidianos de una forma más sencilla. Tu libro Matemáticas 1, de la serie Comunidad, está lleno de juegos que te ayudarán a seguir desarrollando el gusto por la asignatura y por observar las matemáticas en la naturaleza y en tu vida diaria. Este libro, que se ha desarrollado según los contenidos de los programas oficiales, está hecho especialmente para ti. ¡Disfrútalo! Los autores

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Presentación para los maestros

Estimado profesor, estimada profesora: El propósito de Matemáticas 2, Serie Comunidad, es servir de apoyo para que los alumnos aprendan matemáticas por medio de actividades de construcción, al mismo tiempo que desarrollan las competencias que los capacitarán para responder a problemas de la vida real. En la entrada de cada bloque se presenta una imagen y se plantean problemas detonadores para los que se recomienda una lectura grupal o por equipo con el fin de que los alumnos propongan y compartan estrategias de solución en las cuales apliquen sus conocimientos previos. Estas sesiones grupales son medulares para que los estudiantes asimilen que los conocimientos adquiridos sirven para resolver problemas. En cada bloque encontrará la sección “Juegos y retos”, diseñada para trabajar en equipo, cuya finalidad es atraer la atención de los alumnos y permitir una aproximación lúdica e interesante a los conocimientos y procedimientos matemáticos que se estudiarán en las lecciones siguientes. Las lecciones, de dos páginas, se pueden resolver en una o dos sesiones. En ellas se plantean preguntas y ejercicios para que los alumnos expresen, con sus palabras, lo que han aprendido y expongan argumentos. Asimismo, incluyen recuadros de información que permiten contrastar y complementar los conceptos y las estrategias de solución. Al final de cada bloque se encuentran la secciones “TIC”, ideada para aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las matemáticas, y “Recreación”, que brinda a los alumnos la oportunidad de expresar de manera creativa lo que han aprendido en el bloque. En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con tres innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico. • Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones considerando la carga horaria del programa vigente; • para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento; y • para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple que le permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes esperados en sus alumnos. Esperamos que este material didáctico sea útil para la construcción de aprendizajes significativos en el aula. Atentamente Los autores

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Dosificación Semana

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Sesión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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Bloque 1

Lecciones Entrada de bloque Los frijoles saltarines Multiplicación de números con signo I Multiplicación de números con signo II División de números con signo Problemas de multiplicación y división de números con signo Rompecabezas algebraico Expresiones algebraicas Adición y sustracción de expresiones algebraicas I Adición y sustracción de expresiones algebraicas II Adición de polinomios Sustracción de polinomios Expresiones algebraicas equivalentes I Expresiones algebraicas equivalentes II El león no es como lo pintan Reconocimiento de ángulos Reproducción de ángulos Estimación y medición de ángulos Rectas, semirrectas y ángulos Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice Paralelas cortadas por una transversal Ángulos interiores de triángulos Ángulos interiores de cuadriláteros Cubos al cubo Factor de proporcionalidad I

21 Factor de proporcionalidad II 22 23 24 25 26

Proporcionalidad múltiple I Proporcionalidad múltiple II Problemas de conteo I Problemas de conteo II Polígonos de frecuencia I

27 Polígonos de frecuencia II TIC Recreación Repaso y Primera evaluación bimestral

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Bloque 2 Semana

9 10 11 12 13 14 15 16

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Sesión 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Lecciones Entrada de bloque Cuatro cuatros 28 Jerarquía de las operaciones I 29 Jerarquía de las operaciones II 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Solución de ecuaciones I Solución de ecuaciones II Problemas multiplicativos I Problemas multiplicativos II Adivina adivinador Prismas I Prismas II Pirámides Vistas de un cuerpo geométrico I Vistas de un cuerpo geométrico II Volumen de cubos y prismas rectangulares Volumen de prismas

41 Volumen de pirámides 42 43 44 45

Problemas de volumen Unidades de volumen Unidades de capacidad Problemas de capacidad y volumen Cazador de gigantes 46 Comparación de razones I 47 Comparación de razones II 48 Problemas de comparación de razones 49 Medidas de tendencia central I 50 Medidas de tendencia central II 51 Medidas de tendencia central III 52 Medidas de tendencia central IV TIC Recreación Repaso y Segunda evaluación bimestral

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Bloque 3 Semana

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Sesión 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

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Lecciones Entrada de bloque Cuadrados mágicos 53 Sucesiones I 54 Sucesiones II 55 Sucesiones III La liebre y la tortuga 56 Planteamiento de ecuaciones 57 Solución de ecuaciones I 58 59 60 61 62 63

Solución de ecuaciones II Solución de ecuaciones III Solución de ecuaciones IV Ecuaciones con paréntesis Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Problemas que se resuelven con ecuaciones

64 Funciones I 65 Funciones II 66 Funciones III Teselados 67 Ángulos interiores de polígonos 68 Teselados I 69 Teselados II Buscando espías 70 Gráficas de relaciones lineales I 71 Gráficas de relaciones lineales II 72 Gráficas de relaciones lineales III 73 Gráficas de relaciones lineales IV 74 Comportamiento de gráficas lineales I 75 Comportamiento de gráficas lineales II TIC Recreación Repaso y Tercera evaluación bimestral

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Bloque 4 Semana

26 27 28 29 30 31 32 33 34

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Sesión 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

Lecciones Entrada de bloque La leyenda del ajedrez 76 Potencias 77 Producto de potencias 78 Cociente de potencias 79 Notación científica 80 Orden de magnitud 81 Cálculos con notación científica Triangulaciones 82 Congruencia de triángulos I 83 Congruencia de triángulos II 84 Congruencia de triángulos III 85 Congruencia de triángulos IV 86 Congruencia de triángulos V 87 88 89 90

Alturas de triángulos Mediatrices de triángulos Bisectrices y medianas de triángulos Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I

91 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II ¿Pescador o pescado? 92 Eventos independientes I 93 Eventos independientes II 94 Regla del producto 95 Problemas de probabilidad Carrera de obstáculos 96 Interpretación de gráficas de línea 97 Gráficas formadas por segmentos de recta I 98 Gráficas formadas por segmentos de recta II TIC Recreación Repaso y Cuarta evaluación bimestral

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Bloque 5 Semana

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Sesión 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

Lecciones Entrada de bloque Animalirretos 99 Sistemas de ecuaciones I 100 Sistemas de ecuaciones II 101 Sistemas de ecuaciones III 102 Sistemas de ecuaciones IV Figurirretos 103 Traslación de figuras 104 Rotación de figuras I 105 Rotación de figuras II 106 Simetría 107 Diseños 108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I 109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II Los dados 110 Eventos mutuamente excluyentes 111 Cálculo de la probabilidad TIC Recreación Repaso y Quinta evaluación bimestral

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Guía de uso A continuación mostramos cómo está estructurado Matemáticas 2. El libro está dividido en cinco bloques y cada uno se inicia con dos páginas: Se enuncian los aprendizajes esperados de acuerdo al plan y programas de estudio, esto se hace con la finalidad de tener presente lo que se desea que el estudiante aprenda al término del bloque.

El Taj Mahal es un monumento localizado en Agra, India, construido por una fuerza de trabajo de 22 000 hombres. Este edificio de mármol blanco, que presenta una gran simetría, fue mandado a hacer por el emperador Shah Jahan, como un mausoleo para su esposa Arjumand Bano Begum.

BLOQUE

5 B4

En equipo lean los siguientes problemas; discutan al respecto y planteen cómo solucionarlos. Si no los pueden resolver, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.

Aprendizajes esperados

Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes: 5.1. Representen con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. 5.2. Determinen las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construyan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 5.3. Representen gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpreten la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. 5.4. Distingan en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinen la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

a) El Taj Mahal tardó en construirse 23 años y la suma de los años en que se inició y se terminó su construcción es 3 285. ¿Entre qué años fue construido este edificio? b) ¿Cuál es el eje de simetría del Taj Mahal en la fotografía? c) La imagen de la derecha es un grabado de M. Escher, ¿observas simetría?

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Problemas detonadores para que reflexiones y conozcas el tipo de problemas que vas a estudiar en el bloque.

Imagen que ilustra la aplicación de algunos conceptos matemáticos del bloque.

Juegos y retos La liebre y la tortuga Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siempre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista, una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad jamás alcanzada por alguna tortuga. Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se carcajeó más de media hora antes de aceptar la apuesta. —¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera? —En un mes —dijeron las tortugas. Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así ganaría. En cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar. Estaba muy confiada. Llegó por fin el día de la carrera y todos los animales se reunieron para presenciarla. Se indicó la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia se inició entre grandes aplausos. La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que corría sin parar a 1 km/h, pronto se quedó muy atrás. Después de 15 minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida. Después de mucho tiempo la tortuga llegó adonde estaba la liebre. —Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tortuga a la liebre con actitud muy deportiva. —Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de Morfeo. De repente, la liebre despertó y miró su reloj. —¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo mientras se levantaba y volvía a correr a 16 km/h. Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad era suficiente para empatar la carrera. —Le pondré un poco de emoción a esto, todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre. Los espectadores veían cómo la liebre alcanzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emocionados; iba a ser un final de fotografía. Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga, pensó en acelerar para ganar. Todavía le quedaban muchas reservas de energía

Dentro del bloque encontrarás frecuentemente dos páginas de la sección Juegos y retos. Tienen el propósito de introducir el estudio de los contenidos de una manera lúdica.

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y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo, exactamente en el momento que alcanzó a la tortuga, tropezó con una piedra y quedó tendida, retorciéndose de dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tortuga cruzara la meta y ganara la carrera. Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír de todos los animales. Contesta las siguientes preguntas. ¿De qué distancia aproximadamente fue la carrera de la liebre y la tortuga? ¿Cuánto tiempo duró la competencia?

ESTRATEGIAS

En parejas determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga, 1 km. Completen la siguiente tabla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzó a la tortuga. Tiempo (horas) 0 0.1 0.2 0.25 0.5 1

Distancia de la salida (km) Liebre Tortuga 0 0 1.6 0.1

Recuerden que 1 hora es igual a 60 minutos. ¿Cuántos minutos son un cuarto de hora?

¿Cuántos minutos son 0.1 horas?

¿A qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre reanuda la carrera?

¿A qué distancia del árbol está la tortuga 3 minutos después de que la liebre reanuda la carrera?

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Todas las lecciones del bloque se componen de dos páginas.

Actividades de construcción del conocimiento Actividades que presentan situaciones problemáticas para que las enfrentes con los conocimientos que ya tienes al mismo tiempo que desarrollas nuevas técnicas y conceptos para resolver problemas similares.

Título de la lección Los títulos de cada lección dan cuenta de los conceptos que se estudiarán.

Lección 20 Factor de proporcionalidad I 1

Lee el texto y realiza lo que se pide.

Laura sacó fotocopias, de distintos tamaños, de una fotografía del templo de Apolo en Corinto.

d) Contesta. i) ¿Qué relación encuentras entre las fracciones de cada copia? ii) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre las dimensiones de la fotografía y las ¿Por qué? de las copias?

Al dividir las dimensiones de una copia a escala entre las correspondientes del original, se obtiene una constante llamada factor de proporcionalidad. Copia 1

e) Comprueba que al multiplicar las dimensiones del original por el factor de proporcionalidad obtienes las dimensiones de la copia. Original

Original Copia 1

Largo

Ancho

8

4

=4 8 x 21 = 8 2

Copia 2 Copia 3 Copia 2

f) Contesta. i) ¿Por cuánto se debe multiplicar el ancho del original para obtener el ancho de la copia 1? ii) ¿Por cuánto se debe multiplicar el largo de la copia 1 para obtener el largo del original? iii) ¿Podrías obtener el largo de la copia 1 dividiendo el largo del original entre algún ¿Entre cuál? número?

Copia 3 a) Mide las dimensiones de las figuras anteriores y anótalas en la tabla. Copias

Original Largo (cm) Ancho (cm)

1

2

3

8 4

b) Contesta. i) ¿En qué copia las dimensiones son la mitad de las del original? ii) ¿En qué copia las dimensiones miden cinco cuartas partes de las del original? iii) ¿En qué copia las dimensiones miden tres cuartas partes de las del original? c) Escribe las fracciones y simplifícalas. Largo Copia 1 Original Ancho Copia 1 Original

4 8



1 2

Copia 2 Original

g) Anota los inversos multiplicativos de los factores de proporcionalidad de las copias 2 y 3.



Copia 3 Original

Factor de proporcionalidad 

Inverso multiplicativo

Copia 2 Copia 3



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En las actividades se busca que: • Observes e interpretes. • Organices resultados. • Discutas y analices. • Encuentres regularidades. • Reflexiones. • Profundices en las ideas básicas.

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1 es el inverso multiplicativo de 2. Dividir un número entre 2 es igual que mul2 tiplicarlo por 1 . 2 es el inverso multiplicativo de 1 . Dividir un número entre 1 2 2 2 es igual que multiplicarlo por 2.



1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

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Información Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

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TIC y Recreación. En la primera se aplica la tecnología para aprender matemáticas y en la segunda se brinda la oportunidad de que desarrolles tu creatividad y capacidad de expresión. T I C

Recreación

Gráficas poligonales con la hoja de cálculo En esta actividad utilizarás una hoja de cálculo para elaborar gráficas poligonales. Supongamos que quieres graficar el número de minutos de televisión que ven a diario tú y tu amigo. Abre la hoja de cálculo y registra los datos.

En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, un rompecabezas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego… La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este bloque. A continuación te damos algunas sugerencias:

t t t t

Un dibujo como el cuadro de Picasso, donde haya ángulos y figuras geométricas. Un rompecabezas con los bloques de la página 30. Un cuento en el que los personajes sean monomios y polinomios. Un problema como el que le planteó el oráculo de Delfos a los atenienses.

Selecciona los datos que quieres graficar.

En el menú escoge Insertar  Gráfico y aparecerá el asistente para gráficos. En Tipo de gráfico escoge la opción Líneas.

Presiona Siguiente dos veces y aparecerá un cuadro de diálogo donde puedes asignar título a la gráfica y nombre a los ejes. Presiona Finalizar. La gráfica aparecerá en la hoja.

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El bloque se cierra con una evaluación de opción múltiple.

Evaluación Subraya la respuesta correcta. 1

¿Cuál es el resultado de 3 + 4 × (2 – 7)?

a) –35

2

b) 35

c) –17

a) 4

b) 8

c) –8

3 ¿Cuál es la solución de la ecuación 2(x + 1 ) = 2? 2 a) –1 b) 1 c) 1 2

4

b)

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d) – 1 2

c)

d)

¿Cuál es la vista superior del siguiente cuerpo?

a)

En las páginas 306 a 310 podrás encontrar un glosario con los términos que se usan en el libro.

d) –24

¿Cuál es el desarrollo plano de un cubo?

a)

5

d) –23

¿Cuál es la solución de la ecuación 5x + 8 = −32?

b)

c)

d)

El volumen de un cubo es 125 cm3. ¿Cuál es el área de una de sus caras?

a) 5 cm2

b) 15 cm2

c) 25 cm2

d) 125 cm2

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Índice Bloque 1

18

1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. Juegos y retos. Los frijoles saltarines 1 Multiplicación de números con signo I 2 Multiplicación de números con signo II 3 División de números con signo 4 Problemas de multiplicación y división de números con signo

20 22 24 26 28

1.2 Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Juegos y retos. Rompecabezas algebraico 5 Expresiones algebraicas 6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I 7 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II 8 Adición de polinomios 9 Sustracción de polinomios

30 32 34 36 38 40

1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. 10 Expresiones algebraicas equivalentes I 11 Expresiones algebraicas equivalentes II

42 44

1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Juegos y retos. El león no es como lo pintan 12 Reconocimiento de ángulos 13 Reproducción de ángulos 14 Estimación y medición de ángulos

46 48 50 52

1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. 15 Rectas, semirrectas y ángulos 16 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice

54 56

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1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. 17 Paralelas cortadas por una transversal 18 Ángulos interiores de triángulos 19 Ángulos interiores de cuadriláteros

58 60 62

1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. Juegos y retos. Cubos al cubo 20 Factor de proporcionalidad I 21 Factor de proporcionalidad II

64 66 68

1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. 22 Proporcionalidad múltiple I 23 Proporcionalidad múltiple II

70 72

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1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. 24 Problemas de conteo I 25 Problemas de conteo II

74 76

1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia. 26 Polígonos de frecuencia I 27 Polígonos de frecuencia II TIC Recreación Evaluación

78 80 82 83 84

Bloque 2

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2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos. Juegos y retos. Cuatro cuatros 28 Jerarquía de las operaciones I 29 Jerarquía de las operaciones II

88 90 92

2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. 30 Solución de ecuaciones I 31 Solución de ecuaciones II 32 Problemas multiplicativos I 33 Problemas multiplicativos II

94 96 98 100

2.3. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Juegos y retos. Adivina adivinador 34 Prismas I 35 Prismas II 36 Pirámides 37 Vistas de un cuerpo geométrico I 38 Vistas de un cuerpo geométrico II

102 104 106 108 110 112

2.4. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. 2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. 39 Volumen de cubos y prismas rectangulares 40 Volumen de prismas 41 Volumen de pirámides

114 116 118

2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas. 42 Problemas de volumen 43 Unidades de volumen 44 Unidades de capacidad 45 Problemas de capacidad y volumen

120 122 124 126

3/29/11 6:11 PM

2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia. Juegos y retos. Cazador de gigantes 46 Comparación de razones I 47 Comparación de razones II 48 Problemas de comparación de razones

128 130 132 134

2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética. 49 Medidas de tendencia central I 50 Medidas de tendencia central II 51 Medidas de tendencia central III 52 Medidas de tendencia central IV TIC Recreación Evaluación

136 138 140 142 144 145 146

Bloque 3

148

3.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo. Juegos y retos. Cuadrados mágicos 53 Sucesiones I 54 Sucesiones II 55 Sucesiones III

150 152 154 156

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Juegos y retos. La liebre y la tortuga 56 Planteamiento de ecuaciones 57 Solución de ecuaciones I 58 Solución de ecuaciones II 59 Solución de ecuaciones III 60 Solución de ecuaciones IV 61 Ecuaciones con paréntesis 62 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios 63 Problemas que se resuelven con ecuaciones

158 160 162 164 166 168 170 172 174

3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. 64 Funciones I 65 Funciones II 66 Funciones III

176 178 180

3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Juegos y retos. Teselados 67 Ángulos interiores de polígonos

182 184

3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. 68 Teselados I 69 Teselados II

186 188

SDAMAT2-B00-080226 2009.indd 15

Q

R

P

3/29/11 6:11 PM

h

B

SDAMAT2-B00-080226 2009.indd 16

3.6. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Juegos y retos. Buscando espías 70 Gráficas de relaciones lineales I 71 Gráficas de relaciones lineales II 72 Gráficas de relaciones lineales III 73 Gráficas de relaciones lineales IV

190 192 194 196 198

3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. 74 Comportamiento de gráficas lineales I

200

3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante. 75 Comportamiento de gráficas lineales II TIC Recreación Evaluación

202 204 205 206

Bloque 4

208

4.1. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Juegos y retos. La leyenda del ajedrez 76 Potencias 77 Producto de potencias 78 Cociente de potencias 79 Notación científica 80 Orden de magnitud 81 Cálculos con notación científica

210 212 214 216 218 220 222

4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Juegos y retos. Triangulaciones 82 Congruencia de triángulos I 83 Congruencia de triángulos II 84 Congruencia de triángulos III 85 Congruencia de triángulos IV 86 Congruencia de triángulos V

224 226 228 230 232 234

4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. 87 Alturas de triángulos 88 Mediatrices de triángulos 89 Bisectrices y medianas de triángulos 90 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I 91 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II

236 238 240 242 244

4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Juegos y retos. ¿Pescador o pescado? 92 Eventos independientes I

246 248

3/29/11 6:11 PM

93 Eventos independientes II 94 Regla del producto 95 Problemas de probabilidad

250 252 254

4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones. Juegos y retos. Carrera de obstáculos 96 Interpretación de gráficas de línea

256 258

4.6. Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 97 Gráficas formadas por segmentos de recta I 98 Gráficas formadas por segmentos de recta II TIC Recreación Evaluación

260 262 264 265 266

Bloque 5

268

5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Juegos y retos. Animalirretos 99 Sistemas de ecuaciones I 100 Sistemas de ecuaciones II 101 Sistemas de ecuaciones III 102 Sistemas de ecuaciones IV

270 272 274 276 278

5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Juegos y retos. Figurirretos 103 Traslación de figuras 104 Rotación de figuras I 105 Rotación de figuras II 106 Simetría 107 Diseños

280 282 284 286 288 290

5.3. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. 108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I 109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II

292 294

5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. Juegos y retos. Los dados 110 Eventos mutuamente excluyentes 111 Cálculo de la probabilidad TIC Recreación Evaluación Glosario Bibliografía

296 298 300 302 303 304 306 311

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Q

R

P

3/29/11 6:11 PM

1 2y28

3z 1 9 2

y11

8y 2 21

BLOQUE

1 Aprendizajes esperados

Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes: 1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. 2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

18

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3/14/11 12:09 PM

Observa esta obra cubista de Pablo Picasso. Se llama Tres músicos.

En equipos lean los siguientes problemas, discutan al respecto y planteen cómo solucionarlos. Si no pueden resolverlos, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen. a) En el museo donde se exhibe la pintura en forma temporal, ésta se debe mantener a una temperatura de 6 °F. ¿A cuántos grados centígrados equivale esa temperatura? b) ¿Cómo reproducirías con regla y compás la cara del músico de la derecha? c) La imagen de arriba es una reproducción a escala 1 a 15 de la obra original. ¿Cuál es la altura de la pintura real? d) En otra versión de esta obra, Picasso colocó de distinta manera los tres personajes: primero el arlequin, en medio el flautista y al final el monje. ¿Cuántas opciones tuvo para ordenar a los tres músicos?

19

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3/14/11 12:09 PM

Juegos y retos Los frijoles saltarines Los frijoles saltarines es un juego divertido con el que aprenderás a multiplicar números positivos y negativos; se juega en grupos de dos o tres personas. Necesitan elaborar por grupo dos dados de cartulina como los siguientes.

+

Dado 1

Dado 2

2

–2

2

2

+

+1

+

–3

–1

+3

+2

También se pueden usar dos dados comunes, a los que deberán colocar etiquetas en las caras, con los números, signos y colores correspondientes. Cada jugador debe hacer un tablero de 25 casillas como el siguiente:

S 3

2

El jugador o jugadora necesita también dos frijoles: uno café y uno negro, que puede sustituir por dos fichas como las de la izquierda. Reglas 1 Al iniciar la partida el jugador o jugadora coloca sus dos frijoles en el cuadro de salida, marcado con S en el tablero. El frijol café avanza a saltos de tres en tres casillas y el negro, de dos en dos. 2 Cada participante, por turnos, lanzará los dos dados, cuyo significado es el siguiente. Dado 1. Los signos 1 indican que el frijol debe saltar hacia la derecha; los signos 2, que lo hará hacia la izquierda. Dado 2. Los números indican cuántos saltos da el frijol. Si el signo del número es 1, debe respetarse la dirección del salto que señala el dado 1, pero, si el signo del número es 2, debe saltar en sentido contrario al que indica el dado 1. 3 El jugador o jugadora decide qué frijol avanza en cada tirada después de lanzar los dados. 4 Gana quien logre colocar sus frijoles a 5, 10 ó 15 saltos de una casilla de distancia entre ellos. 5 Si los frijoles no pueden avanzar, se pierde el turno.

20

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3/14/11 12:09 PM

Veamos cómo jugaron Claudia y Antonio. Primero tiró Claudia y le salió: 2 11 . El signo 2 del dado 1 indica que debe saltar a la izquierda y el 11 del dado 2, que debe dar un salto. Claudia escogió mover el frijol negro, que salta de dos en dos. 2

S

3

Antonio tiró los dados y obtuvo: 1 23 . El signo 1 del dado 1 significa que debe avanzar a la derecha y el 23 del dado 2, que debe dar tres saltos, pero como tiene signo 2, cambia el sentido de los saltos. El joven decidió mover el frijol café. 2

S

3

En su segundo tiro Claudia obtuvo: 2 21 . El signo 2 del dado 1 señala que debe avanzar a la izquierda, pero, como el 21 del dado 2 tiene signo 2, debe avanzar en sentido contrario, es decir, un salto a la derecha. La joven decidió mover el frijol café. 2

S

3

Como los frijoles de Claudia quedaron a cinco saltos de una casilla de distancia, ella gana el juego. 2

S

3

Formen grupos de dos o tres integrantes y jueguen a Los frijoles saltarines. ESTRATEGIA •

Realiza las siguientes actividades para mejorar tu estrategia en este juego. a) Explica en qué casos los frijoles avanzan a la derecha y en cuáles a la izquierda.

b) Si tus frijoles quedan como en el dibujo y te sale 2

12 ,

¿cuál frijol moverías?

¿Por qué? 3

2

S 21

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3/14/11 12:09 PM

Lección 1 Multiplicación de números con signo I

o uev el n e jue d

go

1

Contesta de acuerdo con las reglas del juego Los frijoles saltarines.

a) Si el dado 1 muestra una cara azul y el dado 2 una cara verde, ¿hacia qué lado es el avance del frijol? b) Si el dado 1 indica una cara verde y el dado 2 una cara azul, ¿hacia qué lado es el avance del frijol? c) Si el dado 1 muestra una cara azul, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el avance sea a la derecha? d) Si el dado 1 indica una cara verde, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el avance sea a la derecha? 2

Completa la tabla y contesta.

Color de la cara del dado 1

Color de la cara del dado 2

Avance hacia la…

derecha

a) ¿En qué casos se avanza hacia la derecha? b) ¿En qué casos se avanza hacia la izquierda? 3

Observa lo siguiente. ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

3 veces a la derecha

Dado 1 Dado 2 Frijol 1

13

12, 12, 12,5 (13) × (12) 5 16

2 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

13

22

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4

5

6

7

8

9

10

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−3, −3, −3,5 (−3) × (13) 5 −9 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 vez a la derecha ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Dado 1 Dado 2 Frijol 2

3

3 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

21

2

3 veces a la izquierda

Dado 1 Dado 2 Frijol 2

1

13 5 (11) × (13) 5 13

3 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

3/14/11 12:09 PM

•

Escribe las multiplicaciones y represéntalas en la recta.

a) Dado 1 Frijol 2

2

Multiplicación:

Dado 2 13

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

b) Dado 1 Frijol 1

3

2

2

1

3

1

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

22

Multiplicación:

Dado 2 11

Multiplicación:

Dado 2 21

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

4

3

Multiplicación:

Dado 2

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

e) Dado 1 Frijol

2

22

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

d) Dado 1 Frijol

1

Multiplicación:

Dado 2

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

c) Dado 1 Frijol

0

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. Explica cómo llegaste a tus resultados. La multiplicación también puede realizarse con números negativos. La multiplicación se puede representar en la recta numérica.

5

Observa las rectas y completa las multiplicaciones.

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

23

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

10

5

0

1

2

3 (25)5

1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo.

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23

3/14/11 12:09 PM

Lección 2 Multiplicación de números con signo II 1

Completa las secuencias numéricas y anota cómo cambia cada secuencia.

a) 4,

, 2, 1, 0, 21,

La secuencia b) 20, 15, 10,

, 23,

disminuye de uno en uno ,

, 25, 210,

, 220

La secuencia c) 5,4,

,

,

, 0,

,

, 23

La secuencia d) 220, 216,

, 28,

,

, 4,

, 12

La secuencia 2

Observa

En la multiplicación de números con signo se cumple que: (15) 3 (24) 5 (24) 3 (15)

Relaciona las secuencias anteriores con las multiplicaciones y anota los resultados que faltan en las tablas. Pon especial atención en el signo del resultado. 3

14

13

12

11

0

21

22

23

15

14

13

12

11

0

21

22

15 3 24

-20

24

-20 23

3

Reúnete con dos compañeros o compañeras y comparen sus respuestas de la actividad anterior. Luego, resuelvan la actividad 4.

4

Escriban los resultados de las multiplicaciones.

•

a) (16) 3 (13) 5

h) (23) 3 (16) 5

ñ) (23) 3 (21) 5

b) (16) 3 (12) 5

i) (23) 3 (15) 5

o) (23) 3 (22) 5

c) (16) 3 (11) 5

j) (23) 3 (14) 5

p) (23) 3 (23) 5

d) (16) 3 (0) 5

k) (23) 3 (13) 5

q) (23) 3 (24) 5

e) (16) 3 (21) 5

l) (23) 3 (12) 5

r) (23) 3 (25) 5

f) (16) 3 (22) 5

m) (23) 3 (11) 5

s) (23) 3 (26) 5

g) (16) 3 (23) 5

n) (23) 3 (0) 5

t) (23) 3 (27) 5

Coloreen de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con resultado igual a cero y de verde las casillas con resultado negativo.

24

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3/14/11 12:09 PM

T I C

5

Resuelve las siguientes operaciones con una calculadora. 3

22.5

22

21.5

21

20.5

0

0.2

1.2

1.8

2

Para cambiar el signo de un número en la calculadora científica, se utiliza la tecla

20.3 20.1 0 0.2 0.4 0.6

• 6

Observa

1/ 2.

Colorea de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con resultado igual a cero y de verde las casillas con resultado negativo. Escribe multiplicaciones cuyos resultados sean positivos, negativos y cero en los espacios correspondientes de acuerdo con los colores que se establecieron en la actividad anterior. Recuerda El signo 1 de los números positivos puede omitirse.

7

Resuelve las multiplicaciones. Observa

a) 3 3 5 5

b) 6 3 3 5

c) 7 3 8 5

d) 3 3 (25) 5

e) 6 3 (23) 5

f) 7 3 (28) 5

g) 23 3 5 5

h) 26 3 3 5

i) 27 3 8 5

j) 23 3 (25) 5

k) 26 3 (23) 5

l) 27 3 (28) 5

8

En estos casos el paréntesis sirve para separar los signos 2 y 3.

Completa la tabla. Recuerda

Signo de los factores Signo del producto + + = 3 + = 3 2 + = 3 2 = + 3 2 El signo del producto de una multiplicación depende del signo de los factores.

1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo.

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Las cantidades que se multiplican se llaman factores y el resultado de la multiplicación es el producto.

25

3/14/11 12:09 PM

Lección 3 División de números con signo

evo u n el jue de

go

1

Analiza las situaciones y realiza lo que se pide. a) Claudia y Antonio siguen jugando Los frijoles saltarines. Claudia tiene la siguiente posición en su tablero y le toca tirar.

S

3

2

i) ¿Qué debe salir en los dados para que Claudia gane? Anota las dos posibilidades. Dado 1

Dado 2

ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica. Multiplicación:

Multiplicación:

214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14

b) Antonio tiene esta posición en su tablero y le toca tirar.

S

2

3

i) ¿Qué debe salir en los dados para que Antonio gane? Anota las cuatro posibilidades. Dado 1

Dado 2

ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica. Multiplicación:

Multiplicación: 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14

26

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3/14/11 12:09 PM

2

a) 4 3

5 20

b)

3 4 5 28

c) 7 3

e) 4 3

5 220

f)

3 27 5 228

g)

i)

3 5 5 220

m) 24 3 3

5 20

j) 27 3 n)

5 228

3 24 5 28

5 56

d) 9 3

3 (28) 5 256

h) 9 3

k) 27 3 ñ)

5 256

3 8 5 56

5 72 5 272

l) 29 3

5 272

o) 29 3

5 72

a) 20 4 4 5

b) 28 4 4 5

c) 56 4 7 5

d) 72 4 9 5

e) 220 4 4 5

f) 228 4 (27) 5

g) 256 4 (28) 5

h) 272 4 9 5

i) 220 4 (5) 5

j) 228 4 (228) 5

k) 256 4 (27) 5

l) 272 4 (29) 5

n) 28 4 (24) 5

ñ) 56 4 8 5

o) 72 4 (29) 5

4

Completa la tabla.

Signo del dividendo

5

Si c 5 a 3 b, entonces: c 4 a 5 b, yc4b5a

Resuelve las divisiones. Considera las multiplicaciones anteriores.

m) 20 4 (24) 5

Signo del divisor

Signo del cociente

1

4

1

5

1

4

2

5

2

4

1

5

2

4

2

5

Realiza las operaciones y escribe los números que faltan.

a) 36 4 (26) =

b) 256 4 8 =

c) 234 4 2 =

d) 281 4 9=

e)

f) 63 4

g) 272 4 (29) =

h) 81 4 9=

4 4 = 232

k)

l)

( )5

ñ)

4 (25) = 40

i) 45 4 (25) =

( )5

3 m) 1 42 2 4

T I C

Recuerda

Completa las multiplicaciones.

j) n)

2

= 29

2 1 42 3 3

4 8 = 11 2

3 1 4 5 5 4

4 (27) = 49

( )

o) 2 1 5 4 2 5 3 Recuerda

6

Para convertir una fracción en número decimal, el numerador se divide entre el denod) 23 5 216 ______ minador.

Convierte las siguientes fracciones en número decimal usando la calculadora. No olvides tener en cuenta los signos.

Para cambiar el signo de un número se usa la tecla 1/2 . a) 23 5 4

-0.75

e) 23 5 220 _______

b)

21 5 22 _______

f) 23 5 225 _______

c)

5 5 28

g) 25 5 6

1.1. Resolver problemas que impliquen divisiones de números con signo.

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h)

3 5 22

27

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Lección 4 Problemas de multiplicación y división de números con signo 1

Recuerda

Los números enteros son: • Los negativos: 21, 22, 23, 24, 25, etcétera. • Los positivos: 1, 2, 3, 4, 5, etcétera. • El cero

Contesta.

a) Escribe tres multiplicaciones cuyo resultado sea 224.

b) Anota dos multiplicaciones cuyo resultado sea 1. Utiliza sólo números enteros.

c) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 249.

d) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 49.

e) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 0.

f) Escribe dos divisiones cuyo resultado sea –1.

g) ¿Qué número multiplicado por 4 da 212? h) ¿Por qué número se debe dividir 24 para obtener 8? i) ¿Por cuánto debe dividirse 23 para obtener –1? 4 j) ¿Por cuánto debe multiplicarse 1 para obtener 1? 3 k) ¿Por qué número debe multiplicarse 4 para obtener 2 1 ? 2 l) ¿Por qué número debe multiplicarse 2 para obtener 22? 3 m) ¿Por qué número debe multiplicarse 5 para obtener 3 ? 7 2 n) ¿Por qué número debe multiplicarse 5 para obtener 2 1 ? 7 5

2

Revisen en grupo sus respuestas y con ayuda de su profesora o profesor comparen las estrategias utilizadas para obtenerlas.

28

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3

Escribe los números y las operaciones que faltan. 3(25) 4

50 4(22)

4

10

Lee el siguiente texto para que comprendas lo que son los grados Fahrenheit.

El grado Fahrenheit es la unidad de medida de temperatura que se utiliza en algunos países de habla inglesa. Para convertir grados Fahrenheit en grados centígrados se utiliza la fórmula C 5 5 3 (F 2 32), donde F representa los grados Fahrenheit. Por ejemplo, para conver9 tir 20 8F (20 grados Fahrenheit) en centígrados se realiza lo siguiente.

Recuerda

El símbolo ø significa “aproximadamente igual a”.

5 5 5 3 (212) 260 C 5 3 (20 2 32)= 3 (212)= = ø 26.66 °C 9 9 9 9 a) Expresa en grados centígrados las siguientes temperaturas. i) 10 8F = ______ 8C

ii) 8 8F = ______ 8C

iii) 50 8F =

iv) 4 8F = _______ 8C

v) 0 8F = ______ 8C

vi) 27 8F = ______ 8C

8C

b) Reúnete con dos o tres compañeros o compañeras y contesten las siguientes preguntas. i) ¿Cuáles temperaturas en grados Fahrenheit son menores que 0 °C y cuáles son mayores?

ii) Recuerden el problema del inciso a) de la página 11. ¿Cómo lo resolvieron? ¿Pueden resolverlo usando la fórmula de arriba? Discutan las estrategias que usaron y escojan las mejores. Anoten sus conclusiones enseguida.

1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

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29

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Juegos y retos Rompecabezas algebraico Observa los siguientes bloques.

1 1 x

x2

x

1

x

x

Dentro de cada bloque se indica su área. Observa que: 1 3 1 5 1, x 3 1 5 x y x 3 x 5 x2. Observa el área y el perímetro de los siguientes rectángulos.

x

x

x

x Área 5 x2 1 x2 1 x2 5 3x2

Perímetro = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 8x

Recuerda

En primer grado viste que x 1 x 5 2x x + x 1 x 5 3x x2 1 x2 5 2x2

x

1 x

x

1

1

Perímetro = x + 1 + x + x + 1 + 1 + 1 + x + 1 + 1 + x + x = 6x + 6 Área = x2 + x2 + x + x + x + x + 1 + 1 = 2x2 + 4x + 2

30

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Reproduce cinco veces en cartulina cada uno de los bloques de la página anterior; conserva su tamaño. Resuelve los siguientes retos: 1 Arma con los bloques un cuadrado de 4x + 8 de perímetro y x2 + 4x + 4 de área. 2 Determina con tus bloques el perímetro y el área de estas figuras:

ESTRATEGIA

• Analiza y contesta. Recuerda cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado. ¿Cuánto debe medir el lado de un cuadrado para que su perímetro sea 4x + 8?

31

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Lección 5 Expresiones algebraicas 1

Descubre cómo se forman las secuencias de las figuras y anota en la tabla su perímetro.

Secuencia 1 Figura 1

Figura 2

1

1

x

x

x

Figura 3

1 x

x

x

Secuencia 2 Figura 1

Figura 2

x

Figura 3

x

x

1

1

1

1

1

1

Secuencia 2

Secuencia 1 Figura

Perímetro

Figura

Perímetro

1

2 +2

1

2 +2

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

32

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• Contesta. a) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 1? _______________________________ b) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 2? _____________________________ c) ¿Cuál es el perímetro de la figura n en cada secuencia?____________________________

2

Escribe el área y el perímetro de las figuras. Toma en cuenta las medidas de los bloques de la página 30.

a)

b) Perímetro = ___________

Perímetro = _________

Área = ________________

Área = _____________

c)

d) Perímetro = _______________

Perímetro = ____

Área = ____________________

Área = ________

e)

f) Perímetro = _________ Área = ______________

Perímetro = _____________ Área = __________________

3

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. Una expresión algebraica indica operaciones entre números y letras. Las letras se denominan literales.

1.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.

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33

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Lección 6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I 1

Escribe el perímetro de las siguientes figuras. Anota la expresión más simple que puedas.

Observa

El cuadrado y el pentágono son polígonos regulares porque sus lados y sus ángulos internos son iguales en cada caso.

a)

b)

3x 1 2

5z 1 1

12 + 8

Perímetro = ___________ c)

Perímetro = _________ d) 1 2y28

y 2 21

4y 2 z

8y 2 21

3z 1 9 2

3z 1 91

Perímetro = ___________ 2

y11

Perímetro = _________

Observa el perímetro de cada figura y anota en las líneas los valores que faltan.

a)

b)

4a 1 3b

69a 2 7b 4z 1 6

Perímetro = 12z 1 8

3

Perímetro = 18a

Compara las respuestas de esta página con las de tus compañeros y compañeras. Con ayuda de su profesor o profesora, corrijan sus errores y busquen las expresiones más simples.

34

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4

Reúnete con un compañero o una compañera y plantéense uno a otro el siguiente juego varias veces. Después, contesten las preguntas. i) Piensa un número entero. ii) Multiplícalo por dos. iii) Al resultado anterior, suma el número siguiente al número que pensaste. iv) Suma 8 al resultado anterior. v) Divide entre tres el resultado anterior. vi) Resta el número que pensaste al principio. vii) Te queda 3.

a) Si se denota como x al número que se piensa, ¿cómo se denota ese número multiplicado por 2? b) ¿Y cómo se denota el número siguiente? c) ¿La división del inciso v) siempre es exacta?

d) ¿Siempre resulta 3 al final?

5

¿Por qué?

¿Por qué?

Inventa un juego como el anterior y plantéaselo a tus compañeros. • La primera instrucción deberá ser: “Piensa cualquier número”. • La última instrucción deberá ser: “Te queda 1”.

6

Contesta.

a) La suma de un número entero más el anterior es par o impar? ¿Por qué? b) Si se suma el triple de un número entero más su quíntuplo, ¿el resultado siempre es divisible entre 4?

¿Por qué?

Si nos fijamos en las expresiones algebraicas podemos interpretarlas. Por ejemplo, si n es un número entero, podemos saber que 6n es divisible entre 3, ya que al dividirlo entre 3 obtenemos 2n, o que 4n + 2 es un número par, ya que al dividirlo entre 2 se obtiene 2n + 1.

1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

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Lección 7 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II 1

Observa la sucesión de figuras que se formó con los bloques de la página 30 y realiza lo que se pide.

Figura 1

Figura 3

Figura 2

Figura 5

Figura 4

Figura 6

a) Anota el área de las figuras anteriores y de las cuatro que seguirían. Toma en cuenta las medidas de la página 30. Figura

1

2

Área

X

2 +1

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y contesten las preguntas. i ) Si el área de una figura de esta sucesión es 15x + 105, ¿el área de otra figura de la Recuerda

En primer grado asociaste sucesiones de figuras con sucesiones numéricas.

misma sucesión puede ser 20x 1 100? Justifiquen su respuesta.

ii) ¿Cuántos rectangulos verdes tiene una figura cuya área es 18x + 153? iii) El área de una figura es 29x + 406, ¿cuál es el área de la figura anterior en la secuencia?

¿Cuál es el área de la fi-

gura siguiente? c) Observa cómo la figura 3 se puede transformar en un rectángulo de la misma altura; después forma un equipo de cuatro o cinco integrantes y contesten.

¿La figura de área 20x + 190 puede transformarse en rectángulo? ¿Por qué?

36

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2

Escribe los valores que falten en la siguiente recta numérica y contesta. n

n+4

a) Si n es igual a 1, ¿cuál es el valor de n 2 3? b) Si n 1 4 es igual a 5, ¿cuál es el valor de n? c) Si n y el número anterior a n suman 29, ¿cuánto vale n? d) Si n es un número entero y se suman n y el número siguiente, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.

e) Si n es un número entero y se suman n, el número siguiente y el número siguiente del siguiente, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.

f) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y los dos números siguientes. g) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y los tres números siguientes. 3

Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y comparen las respuestas de la actividad anterior. Comenten, sobre todo, los procedimientos que usaron para contestar los incisos d), e), f) y g). Después resuelvan estos problemas:

a) La suma de cinco números enteros consecutivos es 35. ¿Qué números son?

b) La suma de siete números enteros consecutivos es 228. ¿Qué números son?

c) ¿La suma de tres números consecutivos cualesquiera es divisible entre 3? Justifica tu respuesta en tu cuaderno. 4

Comparen las respuestas de la actividad anterior con las de los demás equipos y, junto con su profesor o profesora, revisen los procedimientos que siguieron. Las expresiones algebraicas sirven para resolver problemas.

1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

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37

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Lección 8 Adición de polinomios 1

Resuelve las adiciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta las áreas señaladas en la página 30.

a)

+

=

+

b)

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

c)

d)

+

=

+

=

38

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Un término o monomio es una expresión formada por el producto de números y literales elevadas a algún exponente; es decir, en un término sólo hay operaciones de multiplicación, división o potenciación. Un número solo y una literal sola también son términos. Ejemplos: 1

x

2x

3xy

xyz

5 3 x 6

4x2

Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo: 3 x, 3x, 6x y x son términos semejantes porque tienen la misma literal elevada al 4 mismo exponente: x. 5x2y, –3x2y y

2 2 x y son semejantes. 3

1 1, 2, –7, 0 y 2 son semejantes porque ninguno tiene literales. Los términos sin literales se llaman términos independientes. Un polinomio es la adición o sustracción de varios términos. Por ejemplo: 2x 2 4

2

a)

g)

3z2 1 3xy 1 4z 2 x 2 y 1 2

Efectúa la adición de los siguientes polinomios. Fíjate en el ejemplo. 3 x 2 + 2x – 1 +2 x 2 – 3x + 5 2

b)

4x 2 – 3x + 2 + x 2 – 2x + 7

c) –6x 2 + 4x + 5 + 2x 2 – 2x + 8

–x + 4x + 3 + 2x 2 – 2x – 2

e)

5x 2 + 4 + 5x 2 – 8x

f)

3x 2 + 2x – 1 2x 2 – 3x + 5 + 5x 2 – x + 4

h)

3x 2 – 4x + 1 2x 2 + 3x – 3 + 6x 2 – 4x – 1

i)

5

d)

5xy + 3 4

3x2 1 5x 2 1

– +4

2

8x 2 +

+ 2 x + 8

–9x 2 + 4x 4x 2 – 8 + 3x + 4

El resultado de sumar dos o más polinomios es otro polinomio formado por la suma de los términos semejantes y los términos no semejantes. Por ejemplo:

Suma de los términos con x2.

4x2 + 5x + 2z + 2 + 5x2 – 3x + 3y – 6 9x2 + 2x + 2z +3y – 4 Suma de los términos Suma de los independientes. términos con x. Suma de los términos no semejantes.

1.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.

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39

3/14/11 12:09 PM

Lección 9 Sustracción de polinomios 1

Resuelve las sustracciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta el área de las figuras de la página 30.

a)

2

=

2

=

2

=

2

=

2

=

2

=

2

=

2

=

b)

c)

d)

40

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2

Escribe los polinomios que faltan. 5x 2 1 3x 2 1

a)

b)

1

d)

–6x 2 1 2x 1 5 1

5x 2 2 2x 1 1

23x 2 1 x 2 2

e) 5x 2 1 3 1 5x 2 2 8x

x 2 2 4x 2 1

4x 2 1 x 2 4 f)

8x 2

12

1 2

x1 8

Realiza la sustracción de los polinomios. b)

5x 2 1 2x 2 2 2 (2x 2 2 2x 1 5)

c)

2

4x 2 2 3x 2 4 (4x 2 2 2x 1 5)

e)

6x 2 2 6x 1 4 2 (3x 2 2 8x)

f)

2

29x 2 1 6x 1 2 (5x 2 1 x 2 3)

a)

d)

4

c)

1 4x 2 2 2x 1 1

1

3

6x 2 1 2x 2 1

26x 2 1 4x 1 5 2 (2x 2 2 2x 1 8) 22x 2 2

1 1 (1 3x 1 2)

Efectúa las siguientes sustracciones y adiciones de polinomios.

a)

5x 2 2 2x 2 4 2 (2 7x 2 2 2x 1 5)

b)

5x 2 2 2x 2 4 1 7x 2 1 2 x 2 5

c)

d)

2

24z 2 1 3z 1 4 (3z2 1 4z 1 2)

24z 2 1 3z 1 4 12 3z2 2 4z 2 2

f)

2

22y 2 1 4x 2 3 (3y 2 2 4x 2 3)

22y 2 1 4x 2 3 123y 2 1 4x 1 3

e)

5

Compara los resultados anteriores con los de tus compañeros y compañeras. Corrijan los errores y digan qué relación hay entre las adiciones y las sustracciones.

6

Lee el siguiente texto y escribe en tu cuaderno cómo se resuelve, con una adición, la sustracción de polinomios. El inverso aditivo de un polinomio es el mismo polinomio, pero con signo opuesto en cada término. Por ejemplo: El inverso aditivo de 3x2 1 2x 2 5 es: 23x2 2 2x 1 5 El inverso aditivo de 24xz 1 7xy 1 4z 1 2x 2 7 es: 4xz 2 7xy 2 4z 2 2x 1 7

1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

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41

3/14/11 12:09 PM

Lección 10 Expresiones algebraicas equivalentes I 1

Analiza el rectángulo y haz lo que se indica.

El área del rectángulo puede calcularse multiplicando la longitud de la base por la altura o sumando las áreas de los bloques.

Área

Rectángulo Recuerda Base 3 Altura

x 11

Para no confundir la x con el signo de multiplicación, éste puede omitirse: ab = a 3 b 3y = 3 3 y (3 1 4)(5 2 2) 5 (3 1 4) 3 (5 2 2)

( + 1) • x

2

Suma del área de los bloques

2

+

Completa la expresión de acuerdo con el resultado anterior. x(x 1 ___) 5 ____ 1 ____

Escribe las expresiones y reduce los términos semejantes en los polinomios.

a) Cuadrado

x 11

Área Base 3 Altura

Suma del área de los bloques

Entonces: x 11

(x 1 1)________ 5 _______________

b) Rectángulo

x 11

Área Base 3 Altura

Suma del área de los bloques

Entonces: x 12

(x 1 1)________ 5 _______________

42

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3/14/11 12:09 PM

c) Rectángulo

x 11

Área Base 3 Altura

Suma del área de los bloques

Entonces: 2x

_______________ = ______________

d) Rectángulo Área x 12

Base 3 Altura

Suma del área de los bloques

Entonces: _______________ = ______________

x 11

e) Rectángulo Área

x 13

Base 3 Altura

Suma del área de los bloques

Entonces: _______________ = _____________ 2x

1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

43

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3/14/11 12:09 PM

Lección 11 Expresiones algebraicas equivalentes II 1

Dibuja o pega bloques que representen cada expresión algebraica y denota los productos con un polinomio. Realiza la suma de términos semejantes. Observa el ejemplo. 2

+3 +2

x 11

(x + 2)(x + 1) =

x 12

a) (3x)(x + 3) = ___________________________

b) (2x + 1)(x) = ___________________________

44

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3/14/11 12:09 PM

c) (3x 1 1)(x 1 2) 5 ________________________

d) (3x 1 2)(2x 1 2) 5 _______________________

2

Observa las figuras y explica por qué las expresiones son equivalentes.

x(x 1 2)

5

x2 1 2x

5

x(x 1 1) + x

1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

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45

3/14/11 12:09 PM

Juegos y retos El león no es como lo pintan Observa las figuras y contesta. a) Si el centro del círculo es el punto rojo y la razón entre la superficie amarilla y la án verde es 5:3, ¿cuánto mide cadaa ángulo?

drados azules puedes pued pu edes es ver? v ? b) ¿Cuántos cuadrados

c) ¿Qué ángulo es mayor, el de la izquierda o el de la derecha?

46

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3/14/11 12:09 PM

d) ¿Las líneas rojas son paralelas?

e) ¿Qué segmento es mayor, el rojo o el azul?

ESTRATEGIA

• En equipos comenten sus observaciones acerca de las figuras anteriores. Propongan métodos para comprobar si sus respuestas son o no correctas. Si es necesario, investiguen la definición de cuadrado, líneas paralelas, líneas rectas, etc. Seleccionen el método para comprobar la respuesta que en cada caso les parezca más adecuado.

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3/14/11 12:10 PM

Lección 12 Reconocimiento de ángulos

Recuerda

Las partes de un ángulo son: lados vértice

1

Analiza el problema y contesta.

Antonio debe hacer un escudo como el que aparece a la derecha y para ello tiene calcomanías de la pelota, la manopla y el bate, pero debe conservar las medidas del círculo y de los ángulos. También sabe que el área de la región verde es una cuarta parte del área de la azul. ¿Cuánto mide cada ángulo central?

El ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro del círculo. a) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector rojo?

Recuerda

Un ángulo de un cuarto de vuelta mide 90º. 90º

b) Si consideramos las áreas azul y verde como un sector, ¿cuánto mide su ángulo central?

c) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector verde? d) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector azul? e) Lee la siguiente información y clasifica los ángulos centrales del escudo.

Los ángulos se clasifican, de acuerdo con su medida, en:

Recto Mide un cuarto de vuelta.

Llano Mide media vuelta.

Ángulo del sector verde:

Obtuso Es mayor que el recto y menor que el llano.

Agudo Es menor que el ángulo recto.

Perígono Mide una vuelta completa.

Ángulo del sector rojo:

Ángulo del sector azul: 2

•

Reproduce en tu cuaderno el círculo del escudo con sus ángulos. Utiliza tu juego de geometría. Busca recortes para decorar el escudo con los motivos de tu deporte favorito.

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3/14/11 12:10 PM

Los ángulos se pueden denotar como sigue:

R

A

O S

Ángulo A: / A

3

Ángulo ROS: / ROS

Observa la figura y realiza lo que se pide.

El polígono cuyos vértices son los puntos A, B, C, D y E es un pentágono regular al que se le han trazado sus diagonales.

Recuerda A

F

G

E

B

H

J

La diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no contiguos.

I C

D

a) Anota los ángulos iguales a /CAD. /ADB

b) Anota los ángulos iguales a /BAE.

c) Anota los ángulos iguales a /EFA.

d) Compara las respuestas anteriores con las de tus compañeros y compañeras. Si hay diferencias, discutan para encontrar la respuesta correcta. Argumenta tus opiniones. 4

Lee el siguiente texto.

El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos puntos distantes, como una estrella y el horizonte. Este aparato es muy útil en navegación porque, si se conoce la elevación del Sol y la hora del día, es posible determinar la latitud a la que se encuentra el observador. •

Investiga el significado de latitud. Hombre usando un sextante.

1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

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49

3/14/11 12:10 PM

Lección 13 Reproducción de ángulos 1

En parejas realicen lo siguiente: • Cada uno dibuje en una hoja un círculo dividido en cuatro ángulos centrales de distintas medidas. • Intercambien sus círculos. • Reproduzcan en sus cuadernos el círculo de su pareja usando sólo regla y compás.

2

Observa el método que Antonio siguió para reproducir el escudo sólo con regla y compás. Redacta la explicación en los pasos donde no la haya.

a) Primero abrió el compás a la medida del radio del círculo.

b)

c)

d)

e) Entonces trazó el lado que faltaba del ángulo del sector verde. f) Por último coloreó su dibujo y pegó las calcomanías.

3

Copia el escudo en tu cuaderno siguiendo el método de Antonio. Utiliza regla y compás. Comparen el método de Antonio con los que utilizaron tú y tu pareja en la actividad 1.

50

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4

Copia los ángulos en tu cuaderno. Utiliza regla y compás. a)

5

b)

Pista: Puedes trazar circunferencias con centro en los vértices de los ángulos.

c)

Revisa la información.

Cuando un rayo de luz o láser llega a un espejo, se refleja con el mismo ángulo con el que llegó (el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de reflexión).

Ángulo de incidencia

Ángulo de ref reflexión refle

Observa cómo se refleja un rayo en una caja de espejos:

Fuente de luz

Usando sólo regla y compás, dibuja la trayectoria del rayo en la caja de espejos.

Fuente de luz

6

Junto con su profesor o profesora revisen los métodos utilizados en el grupo para responder el inciso b) de la página 19 y elijan el mejor o busquen uno más eficiente. Para reproducir ángulos pueden usarse la regla sin graduar y el compás.

1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos.

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51

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Lección 14 Estimación y medición de ángulos 1

Recuerda Una vuelta completa equivale a 360 grados.

2

Observa las fotografías y escribe la medida aproximada de los ángulos que se señalan. a)

b)

c)

d)

e)

f)

En grupo, revisen las estrategias que utilizaron para estimar la medida de cada ángulo; elijan las que les parezcan más acertadas. La unidad para medir ángulos es el grado; se divide en 60 minutos y cada minuto se divide en 60 segundos. 1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Observa Los grados, minutos y segundos se denotan como sigue: 1 grado, 1° 1 minuto, 1’

Centro del transportador

120

110

100

90

80

70

60

50

0

0

13 14 150

30

160

Marca de 0º 20

10

3

0

180

/

Medida del ángulo

40

/

El transportador se utiliza para medir ángulos. Durante la medición, es importante hacer coincidir el vértice del ángulo con el centro del transportador y uno de los lados con la marca de 0°.

1 segundo, 1’’

170

Si prolongas los lados de un ángulo, la medida del ángulo se conserva.

Mide los ángulos de la actividad 1. Escribe a continuación las medidas. a)

b)

c)

d)

e)

f)

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4

Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Cuántos minutos equivalen a medio grado? b) ¿Qué parte de un grado son 45 minutos? c) ¿Cuántos segundos equivalen a un grado? d) Un ángulo mide 34.4 grados (es decir, 34 grados y 4 décimas de grado); Antonio dice que su medida es 34º y 40’, Miguel dice que es 34º y 4´ y Julio dice que el ángulo mide 34º y 24’. ¿Quién tiene razón y por qué?

e) Si un ángulo mide 2 718 minutos, ¿cuál es su medida en grados y minutos?

5

Lee la información y responde. El minuto y el segundo también son unidades de tiempo. 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

a) ¿Cuántos segundos hay en una hora? b) Antonio hizo un escudo en 1 hora y 15 minutos, mientras que Verónica tardó 75 minutos en dibujar el suyo ¿Quién tardó más? ¿Por qué?

c) Juan terminó un videojuego en 3’ 43’’. Si Víctor lo terminó en 4’ 15’’, ¿cuánto tiempo más tardó? d) Una película en DVD dura 1 h, 25’ y 12’’, pero además tiene 30’ y 19’’ de entrevistas. ¿Cuánto dura el disco completo? e) En una carrera de relevos los miembros de un equipo hicieron estos tiempos de manera individual: 1’ 15’’, 1’ 17’’,1’ 13’’ y 1’ 7’’. Si antes hicieron 5’ 26’’ en total, ¿con cuántos segundos mejoraron su marca? 6 Recuerda las características de un cuadrado y mide los ángulos necesarios para resolver el reto del inciso b) de la página 46. 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

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evo el ret

u de n

o

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Lección 15 Rectas, semirrectas y ángulos 1

Observa cómo se denotan algunos elementos geométricos. A A

A

A

B

Recta AB

•

B

B

B

C

Semirrecta AB

Ángulo ABC /ABC

Realiza lo que se pide con base en los siguientes puntos.

Traza:

,

,

,

, CE, EA y BE. C

B

E

D

•

Segmento AB AB

A

F

Contesta y justifica tus respuestas. a) ¿Es lo mismo b) ¿Es igual

que

c) ¿Es lo mismo d) ¿Es igual

que

que

?

? que

?

?

e) ¿Cuánto suman las medidas del /DEB y el /BEF? f) ¿El punto B pertenece a

oa

?

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2

Traza las diagonales que faltan en este hexágono regular. F

A

B

E

C

D

A partir de los vértices del hexágono, contesta lo siguiente: a) Menciona dos pares de rectas que no se crucen.

AB y DE, AE y BD

_____

b) Menciona tres pares de rectas que se crucen. c) Menciona tres pares de rectas que formen ángulos rectos. d) Menciona tres rectas que no se crucen. e) ¿Todas las rectas que se cruzan forman ángulos rectos? Recuerda 3

Observa las parejas de rectas y escribe la definición de cada una. Los ángulos rectos se señalan así:

Rectas paralelas

Rectas oblicuas

Rectas perpendiculares

a) Rectas paralelas: __________________________________________________________ b) Rectas oblicuas: ___________________________________________________________ c) Rectas perpendiculares: ____________________________________________________

1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

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Lección 16 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice 1

Observa las figuras y realiza lo que se pide.

B

A

B

A

B

A

E E C

E

D

Figura 1

B

A

C

D

Figura 2

C

E

Figura 3

D

D Figura 4 a) Dibuja en tu cuaderno un rectángulo con sus dos diagonales de las medidas que quieras. Marca los vértices y el punto en el que se cruzan las diagonales con las mismas letras que las figuras de arriba. b) Completa la siguiente tabla con las medidas de los ángulos de las figuras.

C

Figura ]AED ]DEC ]AED + ]DEC ]AEB ]AED + ]AEB

a ] a denota la medida del ángulo a.

1

2

3

4

Tu figura

c) Reúnete con un compañero o compañera y comparen sus respuestas del inciso b). Después observen la siguiente figura y expliquen cómo se puede saber si las medidas de los ángulos son incorrectas, sin medir ninguno. 130˚ 50˚

45˚ 128˚

2

Calcula, sin realizar ninguna medición, los valores que se piden. A

B

a) ]AEB 5 E

C

b) ]BEC 5

75˚ c) ]DEC 5 D

56

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3

Observa los ángulos y completa las expresiones.

1 4

]1 1 ]2 5 ]1 1 ]4 5

2

]2 5 ]4 porque

3

B A

4

Observa los ángulos de la figura de la derecha y señala con una la casilla que corresponde. Fíjate en los ejemplos.

C O F

Vértice común

Lado común

Un lado de cada ángulo se encuentra en la misma recta

Los dos lados se encuentran en las mismas rectas

D E

/BOA y /FOA /BOC y /FOA /AOF y /ADE /DOC y /FOA /DOC y /BOC /AOB y /DOC /BED y /DEF /BOF y /AOF •

Compara las respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

Observa las figuras y define en tu cuaderno ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. 5

Son ángulos opuestos por el vértice:

No son ángulos opuestos por el vértice:

Son ángulos adyacentes

No son ángulos adyacentes

• Muestra tus definiciones al resto del grupo y busquen las mejores. 6

Comenten en parejas cómo son las medidas de los ángulos opuestos por el vértice. Revisen de nuevo el reto del c) de la página 46 y expliquen cuál es la solución.

1.5. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

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Lección 17 Paralelas cortadas por una transversal 1

Analiza la figura, realiza lo que se pide y contesta las preguntas. Después compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.

A B C D

E

a) Comprueba con una regla que las líneas rojas son rectas. b) Si la medida del /ABC fuera mayor que la medida del /ADE, ¿

y

se cruzarían

al prolongarse? __________ ¿De qué lado lo harían?____________________________ c) Si la medida del /ABC fuera menor que la medida del /ADE, ¿

y

se cruzarían

al prolongarse? ________ ¿De qué lado lo harían? _________________________ d) Si la medida del /ABC es igual que la medida del /ADE, ¿

y

se cruzarían

al prolongarse? _______ ¿Son paralelas?______________________________________ Observa

a

p1

Una línea transversal es la que cruza o corta a otras.

b

p2

Anota las parejas de ángulos correspondientes y opuestos por el vértice. 1

2

3 l1

4

Parejas de ángulos correspondientes: a) /1 y _____ b) /2 y ______ c) /3 y _____

d) /4 y ______

5

6 l2

Los ángulos a y b son correspondientes.

t 2

Si p1 y p2 son paralelas y t es una transversal, los ángulos a y b miden lo mismo.

Parejas de ángulos opuestos por el vértice: e) /1 y _____ f) /2 y _______

8 7

l1 y l2 son paralelas.

3

g) /5 y _____

h) /6 y ______

Formen equipos de cuatro o cinco integrantes, contesten las siguientes preguntas en sus cuadernos y escriban una definición de ángulos correspondientes.

a) ¿Los ángulos correspondientes se encuentran del mismo lado de la transversal? b) ¿Los ángulos correspondientes se encuentran dentro de las líneas paralelas, fuera, o uno dentro y otro fuera? c) ¿Los ángulos correspondientes tienen lados sobre la misma recta?

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4

Calcula la medida de los ángulos que se indican. 105º c

]a 5 ________ ]b 5 ________

a

]c 5 ________ ]d 5 ________

d

b

g

m1

]e 5 ________ ]f 5 _________

e f

m2

]g 5 ________

• Explica en tu cuaderno cómo se calcula la medida de los ángulos que se forman por dos paralelas cortadas por una transversal si se conoce uno de ellos.

m1 y m2 son paralelas. 5

Lee la información y contesta.

d

p1

Si p1 y p2 son paralelas y t es una transversal, los ángulos a y b son alternos internos y los ángulos c y d son alternos externos.

a b

p2 c

t

a) ¿Cuál es la diferencia entre los ángulos alternos internos y los alternos externos?

b) ¿En qué se parecen los ángulos alternos internos a los alternos externos?

6

Anota las parejas de ángulos que se piden y contesta.

1 4

a) Parejas de ángulos alternos internos:

5 8

2 3

/3 y

/4 y

6 7

s1 s2

b) Parejas de ángulos alternos externos: /1 y

/2 y

s1 y s2 son paralelas. c) ¿Cómo son las medidas de los ángulos alternos internos? d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos alternos externos?

7

Define en tu cuaderno ángulos alternos internos y ángulos alternos externos. Compara tus definiciones con las de tus compañeros y compañeras.

1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

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Lección 18 Ángulos interiores de triángulos 1

Traza en una hoja un triángulo cualquiera y realiza lo que se pide.

a) Colorea los ángulos internos de distintos colores.

b) Recorta el triángulo en tres partes de manera que cada ángulo quede en una de ellas.

c) Coloca los ángulos de manera que sean adyacentes, como muestra la figura de la derecha. i) ¿Cuánto suman las medidas de los tres ángulos? ii) ¿Sucede lo mismo con los triángulos de tus compañeros?

2

Contesta. Después compara tus respuestas con las del resto del grupo. m A En el triángulo ABC se trazó la línea m, paralela x y a la base BC. Entonces, m y BC son paralelas. y

C

B

son transversales a las paralelas m y

.

a) Menciona los ángulos interiores del triángulo. Recuerda En la lección anterior estudiaste cuánto suman las medidas de los ángulos alternos internos en dos rectas paralelas cruzadas por una transversal.

b) ¿Cuánto suman las medidas de /x, /BAC y /y? c) Mide /x y /ABC. ¿Cómo son estas medidas? ¿Por qué? d) ¿Cómo son las medidas de /y y /ACB? e) Con base en lo anterior, completa la siguiente expresión. ]x 1 ]BAC 1 ]y 5 180º 1 ]BAC 1

5

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

60

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3

Calcula el valor de los ángulos que se indican. a)

b) 1208

z

x

268 558 508

]x = _______

]z = __________

c)

d) 908

368

t 1248

278 s

]s = _______

4

]t = __________

Observa la figura y explica por qué el /ACB mide 328.

B 120º C 5

152º A

Contesta y justifica tus respuestas. a) Si los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, ¿cuánto mide cada uno?

b) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto. Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de 32º, ¿cuánto mide el otro ángulo agudo? c) ¿Cuántos ángulos obtusos puede tener un triángulo?

d) Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales. Si un triángulo rectángulo también es isósceles, ¿cuánto miden sus ángulos? 1.6. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos.

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Lección 19 Ángulos interiores de cuadriláteros 1

Consulta en un diccionario el significado de la palabra colateral. Después examina la información y contesta. t

a p1 b

d

p2

Si p1 y p2 son paralelas y t es una transversal: • Los ángulos a y c son colaterales externos. • Los ángulos b y d son colaterales internos.

c

1

a) Anota las parejas de ángulos colaterales externos.

4 /1 y /4 y b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos

2 3

5 8

colaterales externos?

6 7

c) Anota las parejas de ángulos colaterales internos: /2 y

/3 y

d) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos colaterales internos? Recuerda

Los paralelogramos son cuadriláteros con lados opuestos paralelos.

Romboide

2

Rombo

Rectángulo

Cuadrado

Observa el paralelogramo y contesta.

A

D

a) Considerando AD la transversal que corta las paralelas AB y CD, ¿qué tipo de ángulos son /DAB y /CDA?

b) ¿Cuánto suman ]DAB y ]CDA? B

C

c) ¿Cuánto suman ]DAB y ]ABC? d) ¿Cómo son /DAB y /DCB?

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3

Calcula las medidas de los ángulos que se indican en los paralelogramos.

a)

B

A

i) ]ABC 5 ii) ]CDA 5 678

iii) ]DAB 5

C

D F

b)

E

i) ]EFG 5 ii) ]FGH 5

G

117º

iii) ]HEF 5

H

c) I

i) ]LIJ 5

L

ii) ]IJK 5

J

iii) ]KLI 5

K 4

Reúnete con un compañero o compañera y observen la figura. Determinen cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero y anoten por qué.

1.6. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los cuadriláteros y, en particular, de los paralelogramos.

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Juegos y retos

Cubos al cubo El templo de Apolo Se cuenta que en la Antigüedad, en el año 429 a. n. e. (antes de nuestra era), la peste asoló la ciudad de Atenas; para acabar con ella, se envió un mensajero a preguntar al oráculo de Apolo, en Delfos, qué se debía hacer. El oráculo indicó que para combatir la epidemia debían construir un altar con forma de cubo a Apolo, igual que el que ya existía, también cúbico, pero con el doble de volumen. Los atenienses construyeron un altar que midió el doble de largo, de fondo y de altura, pero no cumplieron con la petición del oráculo. ¿Por qué? Las fichas disjuntas Para jugar a Las fichas disjuntas necesitas algunas fichas, que pueden ser círculos de cartulina, semillas o monedas iguales. El tablero será el desarrollo de un cubo, como el que se muestra a la derecha. Reglas 1 Se juega en parejas. 2 Por sorteo se decide quién inicia la partida; éste coloca una ficha en alguna de las caras del cubo. 3 El segundo jugador o jugadora coloca otra ficha de manera que no quede en una casilla contigua a otra ya ocupada por una ficha. Por casilla contigua se entiende aquella con la que comparte un lado. 4 Los participantes siguen tirando fichas por turnos. Pierde quien, por obligación de jugar o por descuido, coloca una ficha en una casilla contigua a otra ocupada. El juego puede complicarse si unes varios tableros. Por ejemplo:

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ESTRATEGIA

El templo de Apolo • En equipos elaboren cubos de cartulina del mismo tamaño.

• Construyan un cubo grande con ocho cubos.

• Contesten y justifiquen sus respuestas. • • •

Si los cubos pequeños son una unidad, ¿cuál es el volumen del cubo grande? ¿Cuántos cubos necesitan para duplicar el largo, el ancho y la altura del cubo grande? Digan qué debieron hacer los atenienses para construir el altar.

Guarden sus cubos porque los usarán en lecciones posteriores. Las fichas disjuntas • Dibuja dónde pondrías la ficha para ganar lo más pronto posible.

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Lección 20 Factor de proporcionalidad I 1

Lee el texto y realiza lo que se pide.

Laura sacó fotocopias, de distintos tamaños, de una fotografía del templo de Apolo en Corinto.

Copia 1

Original

Copia 2

Copia 3 a) Mide las dimensiones de las figuras anteriores y anótalas en la tabla. Copias

Original Largo (cm) Ancho (cm)

1

2

3

8 4

b) Contesta. i) ¿En qué copia las dimensiones son la mitad de las del original? ii) ¿En qué copia las dimensiones miden cinco cuartas partes de las del original? iii) ¿En qué copia las dimensiones miden tres cuartas partes de las del original? c) Escribe las fracciones y simplifícalas. Largo Copia 1 Original Ancho Copia 1 Original

4 8

5

5

1 2

Copia 2 Original

5

Copia 3 Original

5

Copia 2 Original

5

Copia 3 Original

5

66

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d) Contesta. i) ¿Qué relación encuentras entre las fracciones de cada copia? ii) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre las dimensiones de la fotografía y las ¿Por qué? de las copias?

Al dividir las dimensiones de una copia a escala entre las correspondientes del original, se obtiene una constante llamada factor de proporcionalidad.

e) Comprueba que al multiplicar las dimensiones del original por el factor de proporcionalidad obtienes las dimensiones de la copia.

Original Copia 1

Largo

Ancho

8

4

=4 8 x 21 = 8 2

Copia 2 Copia 3 f) Contesta. i) ¿Por cuánto se debe multiplicar el ancho del original para obtener el ancho de la copia 1? ii) ¿Por cuánto se debe multiplicar el largo de la copia 1 para obtener el largo del original? iii) ¿Podrías obtener el largo de la copia 1 dividiendo el largo del original entre algún ¿Entre cuál? número?

1 es el inverso multiplicativo de 2. Dividir un número entre 2 es igual que mul2 tiplicarlo por 1 . 2 es el inverso multiplicativo de 1 . Dividir un número entre 1 2 2 2 es igual que multiplicarlo por 2.

g) Anota los inversos multiplicativos de los factores de proporcionalidad de las copias 2 y 3. Factor de proporcionalidad

Inverso multiplicativo

Copia 2 Copia 3

1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

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Lección 21 Factor de proporcionalidad II 1

Encuentra las longitudes que faltan en estas figuras a escala y completa las expresiones.

C

a)

F Observa

i)

E

D

B

A

|AB| significa la longitud de AB.

|AB| = 8 cm |DE| = 4 cm |DF| = 3 cm |BC| = 10 cm

|AC| = _______, |EF| = _________

ii) Para calcular |AC| se multiplica |DF| por iii) |AC| también se obtiene dividiendo |DF| entre iv) Multiplicar por b)

B

A

i)

C

D

es igual que dividir entre

G

F

E

H

|BC| = 4 cm |FG| = 6 cm |BA| = 3 cm |EH| = 4.5 cm |HG| = 5.1 cm

|FE| = _______, |AD| = _________, |CD| = ________

ii) Para calcular |FE| se multiplica |BA| por iii) |FE| también se obtiene dividiendo |BA| entre _____ iv) Multiplicar por _____ es igual que dividir entre _____

2

Escribe las divisiones como multiplicaciones y resuélvelas.

Divisiones a) 2 4 1 5 3 2

Multiplicaciones

Resultado

2 × 2= 3

b) 3 4 5 5 4 6 c)

2 1 4 3 55

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3

Completa las tablas y escribe los factores de proporcionalidad. b) Un queso pesa 43 kg.

a) Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 70 km/h.

3

3

Tiempo

Quesos

Distancia

11 2

5 5 6 km

Peso

1

1

10 minutos

1 1 2 1kg

1

2 41

12 minutos

1

2 1 kg 41

17 12 km 1

3 1 51

1 3 1hora

1

3

3

c) Para hacer un flan para seis personas se necesitan 3 , de leche, 300 g de azúcar, 4 tres huevos y seis yemas de huevo. Personas Leche (