8 INTEGRACION
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
P.A. 2016 I VARIABLE COMPLEJA
INTEGRAL DE LINEA EN EL PLANO COMPLEJO
Sea C una una curva suave en el plano complejo Z . Entonces es posible representar C en en la forma z (t ) = x (t ) + i y (t )
a ! t ! b
(1)
donde z (t ) tiene una derivada continua z´(t ) " 0 para toda t , de modo que C es rectificable y tiene una tangente única en cada punto. Conviene recordar que la dirección positiva a lo largo de C corresponde al sentido de los valores crecientes del parámetro t . DEFINICION
Si f es es continua en un dominio que contiene a C n
# f ( z ) dz C
=
lim
n%$
"1 f ( z
k ) ! z k
k =
donde todas las # zk $ 0 cuando n$ %. En todas las consideraciones que se hagan a continuación, se supone que todas las curvas de integración para las integrales de línea complejas son seccionalmente suaves, es decir, constan de un número finito de curvas suaves. EVALUACION DE LA INTEGRAL DE LINEA
Sean C la la curva representada en (1) y f ( z z) = u ( x, x, y ) + i v ( x, x, y) b
# f ( z)dz # f ( z(t )) z´(t )dt =
C
Además
d z d t
=
d d t
+
i
d y d t
a
de donde obtenemos
dz
=
dx
+
i dy
+ ( f ( z) dz = (u + i v) (dx + i dy) = udx , vdy + i ) udy+ vdx& ) & C C C C C ' *C
#
#
#
#
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#
Rosa Ñique Alvarez
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EJEMPLO 1 Integral de una función no analítica Integrar f ( z) = Re z a lo largo de la curva C que va de z0 = 0 hasta z = 1 + i , cuando C es: a) C : z(t ) = t + i t 0 ! t ! 1 b)
La unión de C 1 con C 2 donde C 1 : z(t ) = t , 0 ! t ! 1 ; C 2 : z(t ) = 1 + i t ,
0 ! t ! 1
Al comparar los dos resultados se ve que, en el caso de la función Re z (la cual no es analítica) el valor de la integral no sólo depende de los puntos extremos de la curva sino también de su conformación geométrica. EJEMPLO 2 Intégral de potencias enteras Sea f ( z) = ( z - z0 ) m donde m en un entero y z0 es una constante. Integrar en sentido contrario al movimiento de las manecillas de reloj, alrededor del circunferencia C de radio R y centro z0. EJEMPLO 3
#
Evalúe z
2
dz donde C es el arco de parábola y = x 2 , 1 ! x ! 2
C
Observación: En el caso general, una curva suele tener más de una
parametrización pero el valor de integral no varía. EJEMPLO 4. Evalúe
dz
# z
a lo largo del arco de circunferencia C : z
=
1 que va de
C
z1 = - i a z2.= i
PROPIEDADES 1.
# f ( z) dz , # f ( z) dz =
C
2.
# K f ( z) dz C
,
C
=
K f ( z) dz
#
donde K es una constante cualquiera
C
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3.
# [ f ( z)
+
g( z)] dz = f ( z) dz + g ( z) dz
#
C
4.
# f ( z) dz C
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# C
C
=
# f ( z ) dz # f ( z) dz +
C 1
C = C 1 - C 2
donde
C 2
COTAS PARA LAS INTEGRALES DE LINEA; La “desigualdad ML’’
# f ( z ) dz
. ML
C
Donde L es la longitud de la curva C y M es una constante real tal que f ( z ) . M en todo punto de C . EJEMPLO 5 Encuentre una cota superior para
dz
# z 2 C
+
1
sobre la curva C :
z
=
2
que es la porción de circunferencia desde z = 2 hasta z = 2i que se encuentra en el primer cuadrante TEOREMA 1 La integral de Cauchy – Goursat
Sea C una curva cerrada simple y sea f ( z) una función analítica en el interior de C y sobre C . Entonces f ( z) dz = 0 C
EJEMPLO 6 Evalúe
( z + i) 2 # C ( z ,3+ 2i) dz
C : z + 2
=
5
TEOREMA 2 Deformación de contornos
Consideremos dos curvas cerradas simples C 1 y C 2 tales que todos los puntos de C 2 quedan en el interior de C 1. Si una función f ( z) es analítica en C 1 en C 2 y en todos los puntos del dominio doblemente conexo D delimitado por C 1 y C 2 entonces
# f ( z) dz # f ( z) dz =
C1
C 2
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TEOREMA 3
Las integrales de línea de función analítica f ( z) alrededor de dos contornos cerrados simples serán idénticas si uno de los contornos puede transformarse en el otro por medio de una deformación continua y sin pasar por ninguna singularidad de f ( z). EJEMPLO 7 ¿Cuánto vale
dz
# z
, donde C 1 es el cuadrado que se muestra en la figura?
C 1
Generalizando el Teorema 3 se tiene Sea D un dominio n veces conexo cuyas fronteras son los contornos cerrados simples sin intersección C 0, C 1,…….C n-1 y f ( z) una función analítica en D y en sus fronteras. Entonces f ( z ) d z C 0
f ( z ) d z
=
C 1
f ( z ) d z + .........+
+
C 2
f ( z ) d z C n ,1
C0 C1 C 2
D
C n - 1
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INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA E INTEGRALES INDEFINIDAS TEOREMA 4 Principio de la independencia de la trayectoria
Sea f ( z) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente conexo D y sean z1 y z2 dos puntos de D. Entonces, si usamos curvas contenidas en D, el valor de utilizada para ir de z1 a z2.
f ( z ) dz
no dependerá de la curva C
C
EJEMPLO 8 Calcule 4
4
dz z C
integrando a lo largo del arco C que es porción de
x + y = 1 que se encuentra en el primer cuadrante.
TEOREMA 5 Integración de funciones que son derivadas de funciones analíticas
Sea F ( z) una función analítica en un dominio D. Sea dF / dz = f ( z) en D. Entonces, si z1 y z2 son puntos de D, entonces
# f ( z ) dz
=
F ( z 2 ) , F ( z1 )
C
donde C es cualquier curva contenida en D que va de z1 a z2.
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dz z
EJEMPLO 9 Evalúe
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a lo largo de la curva C que va de z1 = -i a
C
z2= i.
Nota.-Sea D un dominio 1) Si
dF dz
=
f ( z )
; donde F ( z) + K es una primitiva de f y K es una
constante. 2) Si f ( z) es continua en C , entonces f es integrable en C . 3) Si f ( z) en analítica en D y C está contenida en D, entonces f ( z) es
integrable. 4) Si f ( z) no es analítica en uno o varios puntos de la curva C no es
posible encontrar una función F ( z) talque
dF dz
=
f ( z )
.Es, por tanto,
inútil buscar una función analítica F ( z) cuya derivada f ( z) no sea analítica. TEOREMA 6 Teorema fundamental del cálculo de funciones analíticas
Si f (w) es analítica en un dominio simplemente conexo D del plano Z , z
entonces la expresión # a f (w) dw integrada a lo largo de cualquier curva en D define una función analítica de z que satisface la ecuación d
z
f (w) dw # dz a
=
f ( z)
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FORMULA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY TEOREMA 1 Fórmula de la integral de Cauchy
Sea f ( z) analítica en un dominio simplemente conexo D; entonces, para cualquier punto z 0 en D y cualquier curva simple cerrada C que encierre a z 0, se tiene f ( z)
# z , z 0 dz
=
2 ! i f ( z0 )
C
tomándose la integración en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj. EJEMPLO 1 z 2 + 1 dz donde C es la circunferencia de radio 1 con Evalúe 2 ,1 C z a) z = 1 b) z = ! c) z = -1 d ) z = i centro en el punto
#
EJEMPLO 2 sen z
Evalúe
2
z ,1
dz donde C es la circunferencia | z | = 2. 0
C 0
TEOREMA Sea f ( z) una función analítica, tanto sobre la curva cerrada simple C como en su interior. Sean z1 y z2.dos puntos del interior de C . Entonces + f ( z 1 ) # C ( z , z1 ) ( z , z 2 ) dz = 2! i )* z1 , z 2 f ( z)
+
f ( z 2 ) (
&
z 2 , z1 '
EJEMPLO 3
cos z
Calcule
# z 2 C
dz donde C es la circunferencia z + 1
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=
2.
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TEOREMA Sea f ( z) una función analítica, tanto sobre la curva cerrada simple C como en su interior. Sean z1, z2,… zn puntos diferentes al interior de C . Entonces
# C
f ( z )
( z , z 1 ) ( z , z 2 ) =
K
( z , z n )
dz
+ f ( z 1 ) 2! i ) * ( z 1 , z 2 )( z 1 , z 3 ) K ( z 1 , z n ) f ( z 2 ) + ( z 2 , z 1 )( z 2 , z 3 ) K ( z 2 , z n ) +
K
+
f ( z n ) ( z n , z 1 )( z n , z 2 ) K
( z n
( & , z n , 1 )'
TEOREMA 2 Extensión de la fórmula integral de Cauchy
Sea f analítica en un dominio simplemente conexo D y sea z 0 en D. Entonces f tiene derivadas de todas las órdenes en z 0. Además, la n-ésima derivada de f en z 0 es f
(n)
( z 0 )
=
n!
2!
f ( z )
i # ( z , z 0 )
n +1
dz
C
Como en el caso de la integral de Cauchy, esta fórmula para derivadas superiores algunas veces se puede utilizar para evaluar una integral si escribimos la fórmula en la siguiente forma f ( z )
# ( z , z 0 )
n +1
dz
C
=
2 ! i ( n) f ( z 0 ) n!
EJEMPLO 4
2 sen ( z 2 ) dz donde C es cualquier curva cerrada simple Evaluar # 4 , z ( 1 ) C que no pasa por 1.
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TEOREMA Integral de Cauchy para dominios doblemente conexos Sea D un dominio doblemente conexo limitado por las curvas cerradas simples C 0 y C 1, donde C 1 está contenida en C 0 . Sea f ( z) una función analítica en D así como en sus fronteras, y sea z 0 un punto de D. Obsérvese que f ( z) no es necesariamente analítica en el interior de C 1. Entonces f ( z )
f ( z)
1 2/ i
1 dz = f ( z0 ) + 2/ i z , z 0 C 0
( z , z 0 )
d
C 1
C 0 D
C 1 z 0
Nota: La última fórmula se puede utilizar para evaluar una integral si lo
escribimos en la siguiente forma
f ( z ) z , z 0
d z
=
f ( z )
2 / i f ( z0 ) +
C 0
( z , z 0)
d z
C 1
EJEMPLO 5 Aplique el teorema anterior en la siguiente integral dz
( z ,1) sen z donde
C 0 : | z | = 2.
C 0
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TEOREMA Integral de Cauchy para dominios múltiplemente conexos
Sea D un dominio n veces conexo limitado por las curvas cerradas simples C 0, C 1, … C n-1, como se indica en la figura. Sea f ( z) una función analítica en D y en sus fronteras, y sea z 0 un punto de D. Entonces
1 2/i
f ( z )
# z , z 0
d z = f ( z0 )
C 0
+
1 2/i
f ( z )
# ( z, z 0)
d z
C 1
+K +
1 2/i
f ( z )
# ( z, z 0) d z
C n,1
C0 C1 C 2
D
C n - 1 Z0
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Si C es la circunferencia | z | = R, R > 1. Demostrar que Logz
# z 2
dz
<
2!
! +
C
LogR R
¿Qué sucede cuando R $ %? 2) a) Evaluar
# z 2 C
b) Sea
s3
g ( z ) =
+
dz +
2 z + 2
2s
(s , z
)3
ds
;
C : z
=
1
; C es cualquier curva simple cerrada
C
Calcular g( z) cuando z está dentro de C y g( z) cuando z está fuera de C .
3) a) Hallar el C
sen 6 z dz 3 / ( z , 6)
e z t
1 b) Evaluar 2/ i
( z 2 +1) 2
valor de ; donde C : | z | =1
dz; si t > 0 y
C : | z | =3
C
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