8 Hipotesis Estadistica

 

' HIPOTESIS ESTADISTICA   Una hipótesis estadística es un enunciado acerca de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Las hipótesis hipótesis estadísticas estadísticas a menudo involucr involucran an uno o más carac característic terísticas as de la distribució distribución, n, como por  ejemplo forma o independencia de la variable aleatoria. Es importante recordar que las hipótesis son siempre enunciados relativos a la población o distribución bajo estudio, no enunciados en torno a la muestra. El valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis suele determinarse de una de tres maneras: a.

Pued Puedee result resultar ar de la eperie eperiencia ncia o con conocimie ocimientos ntos pas pasados ados de dell proce proceso, so, o incluso incluso de eperime eperimentació ntación n  previa. El objetivo entonces de la prueba de hipótesis suele ser entonces determinar si la situación eperimental ha cambiado.

 b.

Este valor puede determinarse a partir de al!una teoría o modelo con respecto al objeto que se estudia. "quí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.

c.

#ur #ur!e !e cuand cuando o el valor del pa parámet rámetro ro de la poblac población ión es resu resultado ltado de consider consideracion aciones es eper eperimenta imentales, les, tales tales com como o especi especific ficaci acione oness de dise$o dise$o o in!eni in!enierí ería, a, o de obli!a obli!acio ciones nes contra contractu ctuale ales. s. En est estaa situación, el objetivo de la prueba de hipótesis es es la prueba de conf conformidad. ormidad.

  %onsidere los ejemplos:   #e!&n el "cta de ener!ía remitida al con!reso en '()*, se fijó un impuesto al fabricante de cualquier auto nuevo que diera un promedio cuando mucho de ++. millas por !alón de !asolina. En consecuencia, un fabricante de autos nuevos podía no querer estimar el millaje promedio por !alón de !asolina, sino que le interes inte resaba aba det determ ermina inarr si dicho dicho mill millaje aje ec ecedí edíaa las ++. ++. mill millas as por !al !alónón- est esto o es, est estaba aba interes interesado ado en comprobar las hipótesis:   ". La media media del mill millaje aje no eecede cede las ++. ++.  millas p por or !aló !alón n de !asolina. !asolina.   %ontra la hipótesis   . La me media dia del del mill millaje aje eecede cede las + ++. +. mi millas llas p por or !a !alón lón de !a !asolina solina..   %on la esperan/a de obtener información suficiente que apo0ara la hipótesis . 1ace tiempo 1ace tiempo se des descub cubrió rió accide accidenta ntalme lmente nte que la minoil minoilina ina,, un fár fármac maco o ela elabor borado ado por la Upjohn Upjohn Pharma Pha rmaceu ceutic tical al %ompan0 %ompan0 0 pre prescr scrita ita par paraa los casos casos sever severos os de presió presión n san!uín san!uínea ea alta, alta, provoc provocaba aba el crecimiento del cabello- el medicamento se proporcionaba usualmente usualmente en forma de tabletas para co controlar ntrolar la  presión san!uínea. #e ha estimado que el *23 de los pacientes tratados con minoilina eperimentan en!ros en! rosamie amiento nto,, ala alar! r!amie amiento nto 0 osc oscure urecim cimien iento to del cabello cabello dentro dentro de las tre tress a seis seis semana semanass de haber  haber  empe/ado el tratamiento. %omo resultado de estos efectos colaterales, Upjohn ha estado investi!ando las  posibilidades de usar minoilina en forma tópica, un fármaco llamado 4o!aine, para tratar la calvicie masculina. Una investi!adora reali/ó un eperimento para probar los efectos de 4o!aine contra la calvicie, 5ste se reali/ó durante un periodo de seis meses para comparar la hi hipótesis. pótesis.   ". La 4o!aine 4o!aine no tien tienee benef beneficios icios ter terap5ut ap5uticos icos par paraa preve prevenir nir la calv calvicie. icie.   %ontra la hipótesis   . La 4o 4o!aine !aine tiene benef beneficios icios terap terap5utico 5uticoss par paraa pre prevenir venir la calvicie calvicie..   El eperimento se reali/ó bajo el supuesto que la La 4o!aine no tiene beneficios terap5uticos para prevenir la calvicie, pero con la esperan/a de encontrar evidencia de lo contrario. Utili/ando dos !rupos de personas calvas, el !rupo de tratamiento recibió dosis fijas de 4o!aine 0 el otro !rupo de control recibió un placebo. 6espu5s del periodo eperimental de seis meses, la investi!adora encontró evidencia para su!erir que la 4o!aine tenía beneficios reales para el tratamiento de la calvicie masculina. Entonces ella recha/ó la hipótesis " en favor de la . "l proceso usado por la investi!adora se le llama ll ama prueba de hipótesis.   Eiste un medicamen medicamento to importa importante nte en el tratamiento tratamiento de la hiperte hipertensión, nsión, el cua cuall tiene una proporción proporción de tratamientos eitosos del *73 0 un investi!ador m5dico cree haber encontrado un nuevo nuevo medicamento para tratar pacientes pacientes hipertensos hipertensos,, el cual dice que tiene una ma0or proporc proporción ión de tratamientos tratamientos eitosos eitosos que el medicamento reconocido, 0 con menos efectos colaterales. Para probar su afirmación el investi!ador tomo una muestra aleatoria de 82 pacientes con presión san!uínea elevada. La proporción de pacientes con presión san!uínea elevada de la muestra, que recibirán los beneficios terap5uticos del medicamento, se utili/aran para determinar si la proporción de 5itos en la población es ma0or ma0 or de 2.*72.*7- el invest investi!a i!ador dor dec decidió idió,, arb arbitra itraria riamen mente, te, que con conclu cluiría iría que la propor proporció ción n de 5itos 5itos

 

+ terap5uticos del nuevo medicamento es ma0or que 2.*7. #i la proporción de pacientes con presión san!uínea elevada eleva da en la muest muestra ra que obtení obteníaa benefic beneficios ios al tomar el nuevo medicame medicamento nto es de 2.*8 o más, en caso contrario, concluiría que no es más efectivo que el medicamento conocido. Las dos afirmaciones: ".   .

      2.*7      9 2.*7

  En la prueba de hipótesis se comien/a suponiendo un valor de un parámetro que, a juicio del investi!ador, sea el más adecuado de acuerdo acuerdo con la información disponible, disponible, a esta suposición se le llama hipótesis nula 0 se representa con 1o. " continuación se define otra hipótesis, llamada hipótesis alternativa, que es la opuesta de lo que se afirma en la hipótesis nula. La hipótesis alternativa se representa como 1a. El procedimiento para  probar una hipótesis comprende el uso de datos de una muestra para probar las dos aseveraciones representadas por 1o 0 1a. La prueba de hipótesis se parece a un juicio penal. En 5ste, se parte del supuesto de que el acusado es inocente. La hipótesis nula es de inocencia. Lo contrario de la hipótesis nula es la hipótesis alternativa la cual epresa una creencia de culpabilidad, Por consi!uiente, las hipótesis en un juicio criminal se escribirían:   1o: El acusado es inocente 1a: El acusado es culpable   Para probar las aseveraciones o hipótesis se lleva a cabo un juicio. El testimonio 0 las pruebas obtenidas durante el juicio equivalen a la información de la muestra. #i la información de la muestra concuerda con la hipótesis de inocencia, no se puede recha/ar la hipótesis nula que el consi!nado es inocente. #in embar!o, si la información muestral no es consistente con la hipótesis de inocencia, se recha/ará la hipótesis nula. En este caso, la acción a tomar se basará en la hipótesis alternativa de que el acusado es culpable.   " continuación se describirán los lineamientos para establecer la hipótesis nula 0 alternativa para tres tipos de situaciones, en los que se emplean normalmente los procedimientos de prueba de hipótesis.   #upon!amos que determinado modelo de automóvil actualmente funciona con un rendimiento promedio de '+ ilómetros por litro. Un !rupo de investi!ación de producto ha inventado un nuevo carburador, dise$ado  para aumentar el rendimiento. Para evaluar el nuevo carburador se fabricarán varios de ellos, se instalarán en automóviles 0 se someterán a pruebas de manejo controladas. ;bserve que el !rupo de investi!ación de  producto busca pruebas para decir que el nuevo carburador carburador aumenta el rendimiento de los ilómetros por litro. En este este cas caso, o, la hipóte hipótesis sis de invest investi!a i!ació ción n es que el nuevo nuevo carbur carburado adorr propor proporcio cionar naráá una media del

 

rendimiento ma0or a los '+ ilómetros por litro, es decir que 9'+. %omo lineamiento !eneral, una hipótesis de investi!ación como 5sta debe formularse 0 proponerse como hipótesis alternativa. Por consi!uiente:

   '+   9'+   1a:  

1o:

#i los resultados de los datos de la muestra indican que no se puede recha/ar 1o, los investi!adores no pueden decir que el nuevo carburador es mejor. +

 

+   1a:   #i los resultados de la muestra indican que no se puede recha/ar 1o, el inspector de control de calidad no tendrá ra/ón para dudar que el embarque cumple con las especificaciones, 0 lo aceptará. #in embar!o si los datos de la muestra indican que se debe recha/ar 1o, la conclusión será que las pie/as no cumplen con las especificac espec ificaciones iones.. En este caso el inspec inspector tor tendrá las pruebas suficient suficientes es para re!res re!resar ar el embarque embarque al  proveedor..  proveedor  

En resumen las características de la hipótesis nula:   '.

#e va a consider considerar ar como ccierta ierta ha hasta sta que se ten!a ten!a suf suficien iciente te evide evidencia ncia de lo contrar contrario. io.

+. A.

#?E #?E@P4 @P4E E in inclu clu0e 0e el ssi!no i!no de ii!ua !ualda ldad. d. Es la b base ase par paraa el el anál análisis isis est estadí adístic stico o de la prueba prueba..

 

Características Característic as de la hipótesis alternativa:   '. +. A.

Es lo con contra trario rio a la hipóte hipótesis sis nul nulaa B  , =, 9C. En !ene !eneral ral esta hipótes hipótesis is se esta establece blece en en t5rmin t5rminos os de lo que se aanda nda buscando buscando ev evidenc idencia. ia. Es la que que de defin finee la dir direcc ección ión de la //ona ona d dee rec recha/ ha/o. o.

  "l tomar una decisión en una prueba de hipótesis, ha0 cuatro posibles resultados que pueden ocurrir- como se ilustra en el si!uiente dia!rama :

  SITUACION E!DADE!A  

DECISION

   D; 4E%1""4 L" 1?P;FE#?# 1o

4E%1""4 L" 1?P;FE#?# 1o

"A HIPOTESIS H# ES E!DADE!A

"A HIPOTESIS H# ES $A"SA

 D; EG?#FE E44;4  P4;> %&  %onfian/a de la prueba

E44;4 6EL F?P; ?? P4;> 

E44;4 6EL F?P; ? P4;>   Divel de #i!nificancia

 D; EG?#FE E44;4  P4;>'Hb Potencia de la Prueba

 6os de los resul resultad tados os involu involucra cran n dec decisio isiones nes cor corre recta ctass 0 dos de las decisio decisiones nes inv involu olucr cran an decisio decisiones nes incorrectas. 4echa/ar 1o cuando es verdadera 0 no recha/ar recha/ar 1o cuando es falsa, son decisiones incorrectas. 4echa/ar 1o cuando es cierta se llama err#r Tip# I' 0 no recha/ar   1o, cuando es falsa, se llama err#r Tip#

II( Es necesario tener al!una cantidad que mida la posibilidad de cometer al!uno de estos errores. Esta medida es una probabilidad.   La probabilidad de recha/ar 1o, dado que 1o es ve verdadera, rdadera, se def define ine como la probabilidad del error Fipo Fipo ? 0 a  se denota por . La probabilidad de no recha/ar recha/ar 1o, dado que 1o es falsa, se define ccomo omo la probabilidad del error tipo ?? 0 se denota por

b  .

Por tanto las probabilidades de los errores Fipo Fipo ? 0 ?? están dadas por las proposiciones   P Brecha/ar 1o I 1o verdaderaC > a     

P B no recha/ar 1o I 1o es falsaC >

Pr#piedades de a    '. +.

 

b 

El valor de a   se fija al esco!er la /ona de recha/o. "l aaume umenta ntarr eell ta tama$ ma$o o de de la mue muestr straa a   decrece a la ve/

 

7 PASOS A SE)UI! EN UNA P!UE*A DE HIPOTESIS   %( De+in De+inir ir la Hipó Hipótes tesis is esta estadís dístic ticaa H, - Ha  

En la prueba de hipótesis, debemos establecer el valor supuesto o hipoteti/ado del parámetro de  población antes de comen/ar a tomar la muestra. La suposición que deseamos probar se conoce como hipótesis nula 1o. %on base en los datos muestrales la hipótesis nula se recha/a o no recha/a. Dunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera para demostrar sin lu!ar a dudas que la hipótesis es verdadera se tendría que conocer el parámetro de la población. El no recha/o solamente si!nifica que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte fuerte como para llevar a su recha/o. Es importante recordar que, sin importar como se determina el problema, la hipótesis nula siempre lleva el si!no de i!ual B > C.   #upon!amos que deseamos probar la hipótesis de que la media de la población es i!ual a '8. Lo simboli/aríamos 0 leeríamos JLa hipótesis nula es que la media de la población es i!ual a '8K.   1o:

  > '8

  El t5rmino hipótesis nula sur!e de las primeras aplicaciones a!rícolas 0 m5dicas de la estadística. %on el fin de probar la efectividad efectividad un nuevo fertili/ante o de una nue nueva va medicina, la hipótesis que se  probaba es que no tuvo efecto, es decir no tuvo diferencia entre las muestras tratadas tratadas 0 no tratadas.   La hipótesis hipótesis alterna alternativa tiva desc describe ribe la conclus conclusión ión a la que se lle!ar lle!aráá si se recha/a recha/a a la hipótesis hipótesis nula. Fambi5n se conoce como hipótesis de investi!ación. La hipótesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia estadística de que la hipótesis nula es falsa. %onsideraremos tres hipótesis alternativas posibles:   1a:

    '8

  1a:   9 '8   = '8   1a: El si!no de i!ual B > C nunca aparecerá en la hipótesis alternativa. Porque la hipótesis nula es la declaració decla ración n que se prueba prueba,, 0 es neces necesario ario incluir un valor espec especifico ifico en los cálculos. La hipótesis hipótesis alternativa se observa sólo si se demuestra que no es verdadera la hipótesis nula.  

.(

Esta/lecer la estadística de prue/a 0ue sea apr#piad#(

 

 

Es un valor que se calcula con base a la información de la mue muestra, stra, 0 que se utili/a para determinar  si se recha/a la hipótesis nula  

Eisten muchas estadísticas de prueba que pertenecen a una distribución muestral con su propia forma, media 0 desviación estándar estándar..  

, t, +,  Por ejemplo en la prueba de hipótesis para la media, la estadística de prueba  se calcula por:    z  

 X  

 

  n

  El valor / se basa en la distribución de muestreo de  X  , que tiene una distribución normal cuando la

 ,  

n

muestra es ra/onablemente !rande con  . "sí, es posible determinar si la diferencia entre la media muestral 0 la media poblacional poblacional es importante desde el punto de viste estadístico.  

1( De+inir De+inir el nivel nivel de de si2ni+ si2ni+icanc icancia ia - la 3#na 3#na de de rrecha3 echa3## El nivel de si!nificancia es la probabilidad de recha/ar la hipótesis nula cuando es verdadera es a lo que se llama error Fipo ?. El nivel de si!nificancia se define con la letra !rie!a alfa B a  C.#e le llama tambi5n nivel de ries!o.  Do ha0 un nivel de si!nificancia que se aplique a todas las pruebas. #e toma la decisión de utili/ar  los niveles 2.2 B que con frecuencia se conoce como un nivel del 3C, .2', 2.'2, o cualquiera entre 2 0 ' a elección de la persona que reali/a la prueba.

 

 La /ona /ona de rech recha/o a/o son los va valores lores de la estadística estadística de prueba prueba para los cuales cuales se recha/a recha/a la hipótesis nula. La re!la de decisión en la prueba de hipótesis, puede establecerse de tres maneras: '. 4e!la basada en la estadística de prueba. +. 4e!la basada en la probabilidad. A. 4e!la basada en la distribución de probabilidad del estadístico utili/ado en la prueba. La /ona de recha/o tiene una ma!nitud d dada ada por 0 una dirección dada por la hipótesis alternativa. El si!uiente ejemplo es de acuerdo a la hipótesis nula que se planteo en base a la media poblacional, 0 al primer ejemplo de hipótesis alternativa:

#i Q > '8, eiste sólo un +.3 de oportunidad de que una media muestral  produ/ca un valor de  = H'.(8

  #i Q > '8, eiste sólo un +.3 de oportunidad de que una media muestral produ/ca un valor de  9 '.(8  Do recha/ar  recha/ar 

ona de recha/o %ola a la i/quierda

ona de recha/o %ola a la derecha

2.( 2.7)

2.7)

O+ > 2.2+

O+ > 2.2+

Q > '8

  H' H'.(8

2  

'.(8

ona de no recha/o

Eiste un (3 de probabilidad de que los resultados muestrales puedan caer entre R '.(8 si la hipótesis nula nul a es verdadera  

 

4( Calcul Calcular ar la est estadí adísti stica ca de prue/a prue/a a partir partir de l#s dat#s muestra muestrales les c#nside c#nsideran rand# d# H, c#m# c#m# verdadera  

5(   6(

Decidir si H, se acepta # se recha3a( C#ncluir en t7rmin#s del c#nte8t# del pr#/lema(  

P!O*"E9A !ESUE"TO DE P!UE*A DE HIPOTESIS PA!A "A +    c#n#cida ó n  A2 ;

  #upon! #upo n!aa una una vari variab able le ale aleat ator oria ia G para para desi! desi!na narr el peso peso de un  pasajero de avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros. %omo ha0 limitaciones de tiempo 0 dinero para  pesarlos a todos, se toma una muestra de A8 pasajeros de la cual se  X   > '82 obti ob tien enee una una medi mediaa mues muestr tral al '82 libr libras as,, co con n desv desvia iaci ción ón estándar # > A2. %on un nivel de si!nificancia de 2.2. M #e puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que ')2 librasN   #olución  

 

8 6atos   n >A8  X  > '82 libras

   > A2   a > .2  

'. Est Establ ablece ecerr la hipóte hipótesis sis

     ')2    = ')2 1a:

1o:  

+. Establecer la es estadística tadística de prueba

 

 X  

     

n

>

A. 6efinir el nivel de si!nificancia 0 la /ona de recha/o

 

H'.87 Divel de si!nificancia > .2

  ona de recha/o > S  



  H'.87T

7. %alcular la estadística de prueba  X  

 

  >

n

 

la media poblacional esta bajo la hipótesis nula entonces tenemos

   Z 



'82 ')2 A2



 '2 

 +

A8   . 4e!la de decisión basada en la estadística de prueba   %omo H+ es menor que H'.87 la l a hipótesis nula se recha/a con un nivel de si!nificancia de 2.2.      

4e!la de decisión basada en la probabilidad P B  = H+ C > .2++) P B  = H'.87C > .2 %omo .2++) es menor que .2 la hipótesis nula se recha/a. 4e!la de decisión basada en la distribución di stribución de probabilidad del estadístico utili/ado utili /ado en la prueba.

 

'8+  

 

)  

 

 X       Z 

  n  

 ')2   X 

 ')2   X 

B'.87  C

B +.2  C

A2 A8 A2 A8

 '8+

   '82

 

%omo '82 es menor que '8+ la hipótesis nula se recha/a recha/a.. 8.

%onclusión

"sí podemos afirmar: que el peso promedio de todos los pasajeros corresponde a un valor menor de ')2 libras con .  

P!O*"E9AS P!OPUESTOS DE P!UE*A DE HIP .2.

7.

#e encuentra que la concentración promedio de /inc que se saca del a!ua a partir de un muestra de mediciones de /inc en A8 sitios diferentes es de +.8 !ramos por mililitro.. #upon!a que la desviación estánd estándar ar de la pob poblac lación ión es 2.A. 2.A. ME MEist istee suf sufici icient entee evi eviden dencia cia est estadí adístic sticaa para para decir decir que la a  concentración promedio de /inc es menor de +.( !ramos por mililitroN Utilice > .2.

 

 

.

#e encuentra que la concentración promedio de /inc que se saca del a!ua a partir de un muestra de mediciones de /inc en A8 sitios diferentes es de +.8 !ram !r amos os po porr mi millilit ilitro ro.. .. #up upon on!a !a qu quee la de desv svia iacció ión n está es tánd ndar ar de la po pobl blac ació ión n es 2. 2.A. A. ME MEi ist stee sufi sufici cien ente te evidencia estadística para decir que la concentración  promedio de /inc difiere de +.( !ramos por mililitroN Utilice a  >2.2.

8.

En un eperimento de laboratorio 2 estudiantes de in!eniería midieron por separado el calor  especific espe cifico o del aluminio, obteniendo obteniendo una media de 2.++'2 calar calarías ías por !rados cent centí!rad í!rado o 0 por  !ramo 0 una desviación estándar de .2+72 . 2+72 MLos datos arrojan evidencia suficiente para decir 1 o : > .+A22N utilice un nivel de si!nificancia de .2.

 

 

 

*

).

Una muestra aleatoria simple de 2 artículos ori!inó una media de muestra de A+ 0 una desviación estándar muestral de 8. %on un nivel de si!nificancia 2.'2 podemos decir la media de la p población oblación es A7.

*.

Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un !r !raan res esta taur uran ante te,, se re reun unie iero ron n da dato toss de un unaa mues mu estr traa de 7( cl clie ient ntees du dura rant ntee un pe peri riod odo o de tr tres es semanas. #i la media de la muestra es de V ++.82 dólares, MEiste evidencia para decir que la media de la  población es ma0or de + dólaresN Pruebe con a  > 2.2.

 

 

(. Una mu muestra estra al aleator eatoria ia de '22 propiet propietario arioss de automó automóvil vil en la ciu ciudad dad de o!otá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio +) 222 ilómetros con una desviación estándar de 7222 ilómetros. MLos datos datos arrojan evi evidenc dencia ia suficiente suficiente para deci decirr que el verdad verdadero ero recorrido promedio anual es ma0or de +222 ilómetrosN

P!O*"E9A !ESUE"TO DE P!UE*A DE HIPOTESIS PA!A "A   +    desc#n#cida - n  A2 ;   Una empresa de construcción fue culpada de inflar los comprobantes que re!istra para los contratos de construcción con el !obierno federal. El contrato estableció estableció que un cierto tipo de trabajo debería  promediar U# V ','2. Por motivos de tiempo, los directivos de sólo '+ a!encias del !obierno fueron llamados a dar testimonio ante la corte respecto a los comprobantes de la empresa. #e descubrió a partir del testimonio de una una media U# V ',+) 0 una desviación estándar de U# V +A, M Los datos datos de la muestra arrojan arrojan evidencia evidencia para decir que los comproban comprobantes tes son diferentes diferentes de V''2.. Pruebe con un nivel de si!nificancia V''2 si!nificancia de .2. #olución   6atos   n >'+  X  > V'+)   s> V +A  a > .2   '. Establecer la hipótesis 1o:  > ''2 1a:    ''2   +. Establecer la la estadística de prueba  

 

(  X 

     s

   

n

t>

A. 6efinir el nivel de de si!nificancia si!nificancia 0 /ona de recha/o  

!.l > ''    

H+.+2'

+.+2'

 Divel de si!nificancia si!nificancia > .2 ona de recha/o > S tt   H+.+2' ó tt

  +.+2'

  7. %alcular la estadística de de prueba    X 

     s

t>

n

 

como la media poblacional esta bajo la hipótesis nula entonces tenemos

  t  

'+),  '',2 +A, '+

'+

  > 8).*A  > '.*7

  . %omo '.*7 esta entre H+.+2' H+.+2' 0 +.+2' no se recha/a la hipótesis nula a un nivel de si!nificancia si!nificancia de .2   8. %onclusión  Do se tiene evidencia suficiente para decir que los los comprobantes son diferentes diferentes a V ''2. ''2.

+ P!O*"E9AS P!OPUESTOS P!OPUESTO S DE P!UE*A DE HIPOTESIS PA!A "A 9EDIA CON   DESCONOCIDA

'. Una máquin máquinaa prod produce uce pie/as pie/as metáli metálicas cas de forma forma cilínd cilíndrica. rica. #e #e toma u una na muestra muestra de pie/as pie/as cu0os diámetros son '.2', 2.(), '.2A, '.2A, '.27, 2.((, 2.(*, 2.((, '.2', '.2A centímetros. centímetros. %on un nivel de si!nificancia de .2'. MPruebe la hipótesis hipótesis de que el diámetro promedio de pie/as de esta máquina es de '.22(N +.

>E8iste su+iciente >E8iste su+iciente evidencia estadística estadística para decir 0ue el c#nte c#ntenid# nid# pr#medi# real de nic#tina de esta marca de ci2arr#s en particular es de .(4 mili2ram#s Una muestra aleatoria de * ci!arrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de +.8 mili!ramos 0 una desviación estándar de 2.( mili!ramos. %on a   > .2.

A. #e toma una una muestra muestra aleatoria aleatoria de '+ a!ujas a!ujas de de tejer en un estudi estudio o de la dure/a dure/a 4ocell 4ocell de la cabe/a de las a!ujas. #e reali/an las mediciones de la dure/a para cada una de las '+  pie/as, de lo que se obtiene un valor promedio 7*.2 con una desviación estándar de '.. #uponiendo que las las mediciones están normalmente normalmente distribuidas, pruebe pruebe la hipótesis de que a  la dure/a dure/a 4ocell 4ocell promedio promedio es menor 7*.)2. %on %on  > .2. 7. Una muestra muestra aleator aleatoria ia de '+ alumnas alumnas !raduadas !raduadas de una una escuela escuela secretarial secretarial mecano! mecano!rafió rafió un  promedio de )(.A palabras por minuto con una desviación estándar de ).* palabras por 

 

'2 minuto. M#e tiene eviden minuto. evidencia cia estadística estadística para decir decir que el n&mero n&mero promedio de palabras palabras a  mecano!rafiadas por todas todas las !raduadas de esa escu escuela ela es menor de *2 con > .'.

.

Un fabricante de cereales afirma que el peso promedio de cada caja de cereal es de 22 !ramos . MLos datos que a continuación se le dan apo0an la afirmación del fabricanteN Pruebe con a   > .'2.

  28, 2*, 7((, 2A, 27, '2, 7(), '+, '7, 2, 7(A, 7(8, 28, 2+, 2(, 7(8 8. Para determinar determinar el rendimien rendimiento to anual anual de ciertos ciertos valores, valores, un !rupo !rupo de inversion inversionistas istas tomó una muestra de n >'2 de esta clase de valores. La media 0 desviación estándar   X  > *.)'3 resultaron: resultaro n: `    *.)'3 0 # > +.'3. MEiste MEiste evide evidencia ncia para decir que el verdadero verdadero rendimiento anual promedio es ma0or *.3N con a  > .'2

). Un muestreo muestreo aleatorio aleatorio de n >+7 artícul artículos os en un super supermercad mercado o presenta presenta una diferencia diferencia entre entre el valor marcado del artículo 0 el valor real de 5ste. La media 0 la desviación estándar de las diferen diferencias cias entre entre el precio precio marcado marcado 0 el real en los +7 artícu artículos los son VA).'7 VA).'7 0 V8.7+ V8.7+ respectivamente. %on un nivel nivel de si!nificancia de de .2 pruebe que la diferencia media entre el valor marcado 0 el real por artículo en ese supermercado no no es ma0or de V V72.2. 72.2.   *.

Un contratis contratista ta ha cons construid truido o un !ran n& n&mero mero de casas casas aproimada aproimadamente mente del del mismo tama$o tama$o 0 del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no ecede de VA,222 VA, 222 dólares. dólares. Un corredor corredor de bienes raíces sele seleccion ccionaa aleatoria mente  de las casas construidas construi das recienteme recientemente nte por el contratis contratista ta 0 averi! averi!ua ua los precios precios que resultan resultan ser: VA7,22, VA),222, VA8,222, VA,222 VA,222 0 VA,22. VA,22. M%ontradicen estas cinco cinco observaciones observaciones la afirmación del contratista acerca del del valor valor promedio de sus sus casasN. Use >2.2

  (. Los si!uien si!uientes tes datos datos correspo corresponden nden a los pesos pesos en W! W! de ' hombres hombres esco!ido esco!idoss al a/ar: )+, )+,   8*, 8A, ), *7, (', 88, ), *8, (2, 8+, *), )), )2, 8(. Pruebe la 1 o    )7 con un nivel de si!nificancia de .2. '2. #e obtiene una muestra de '8 estudiantes estudiantes con una  X   8*  0 una varian/a de # + > ( en un eamen de estadística . 1a0 evidencia suficiente que apo0e que la media poblacional de las calificaciones de estadística es ma0or de )2 con a  > .2.