8 FACTORIZACIÓN
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F A AC CTORIZACI ÓN
DEFINICIÓN.Es la operación que tiene por finalidad transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente, que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. En general, factorizar significa convertir una suma algebraica en un producto de factores.
a continuación, se saca las letras comunes afectadas por los menores exponentes (xayb), luego se divide cada término del polinomio entre el factor común monomio y los resultados se escribe dentro del paréntesis. A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO.
MÉTODOS PARA FACTORIZAR
Cuando el factor común que aparece es un polinomio.
(A) FACTOR COMÚN
Ejemplo: Factorizar:
De dos o más expresiones algebraicas, es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos: 1) Factor común monomio
(a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 El factor común es (a + 1)5(a2 + 1)10, así: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 = (a + 1)5 (a2 + 1)10 [(a + 1)2 - (a2 + 1)] 1)]
2) Factor común polinomio 3) Factor común por agrupación
efectuando: = (a + 1)5 (a2 + 1)10 [a2 + 2a + 1 - a2 - 1] 1]
A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO.
= (a + 1)5 (a2 + 1)10 (2a)
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.
Luego:
Ejemplo: Factorizar:
(a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 = 2a(a + 1)5 (a2 + 1)10
72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2b El factor factor común es 24xayb, de esta manera: 72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2b = 24xayb (3xa + 2xy + yb)
A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.
Cuando no hay un factor común a todos los términos del polinomio. Ejemplo: Factorizar
Explicación.- Para sacar el factor común monomio: en primer lugar se saca el coeficiente común (24),
xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n
Á L G E B R A
Efectuando operaciones: xmxn + ymyn + xmym + xnyn No hay factor monomio ni polinomio, por lo tanto se agrupa términos de 2 en 2: (xmxn + xmym) + (ymyn + xnyn) sacando factores comunes en cada paréntesis: xm(xn + ym) + yn (ym + xn) sacando el factor común binomio: (xn + ym) (xm + yn)
EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Factorizar: E =(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1) Solución: Extrayendo factor común (x + 1) E = (x + 1) [(x + 3)(x + 2) + (x + 2) +1] +1] efectuando: E = (x + 1)[x2 + 5x + 6 + x + 2 + 1] E = (x + 1)(x2 + 6x + 9) E = (x + 1)(x + 3)2 2.- Factorizar: E = (x + y)9 (x - y)5 - (x2 - y2)7 Solución: Transformemos previamente: (x2 - y2)7 = [(x + y)(x - y)] y)]7 = (x + y)7 (x - y)7 De este modo: E = (x + y)9 (x - y)5 - (x + y)7 (x - y)7
efectuando por Legendre: E = (x + y)7 (x - y)5 [4(x . y)] y)] finalmente: E = 4xy(x + y) 7 (x - y)5 3.- Factorizar: E = (x + 1)4 + (x + 2)3 +(x + 3)2 - 7(x + 2) + 2 Solución: Haciendo x + 1 = a, se obtiene: E = a 4 + (a + 1)3 + (a + 2)2 - 7(a + 1) + 2 operando: E = a 4 + a3 + 3a2 + 3a + 1 + a2 + 4a + 4 - 7a -7 + 2 simplificando: E = a 4 + a3 + 4a 2 factorizando: E = a 2(a2 + a + 4) reponiendo el valor de a: E = (x + 1)2 [(x + 2)2 + (x + 1) + 4] 4] efectuando: E = (x + 1)2 [x2 + 2x + 1 + x + 1 + 4] E = (x + 1)2 (x2 + 3x + 6) 4.- Factorizar: E = x yyx + xy +xy+1 + yx+1 Solución: Agrupando en forma adecuada: E = (xyyx + xy+1) + (yx+1 + xy) extrayendo factor común en cada agrupación: E = x y(yx + x) + y(yx + x)
extrayendo factor común (x + y)7 (x - y)5: E = (x + y)7 (x - y)5 [(x + y)2 - (x - y)2]
el paréntesis es un factor común, luego: E = (yx + x) (xy + y)
5.- Factorizar:
7.- Factorizar:
6
4 3
) )
E = x y + x z - x z + y6z - x4y2z - x2y5
(
6
––––––– ––
–––– –– –– –––– 4 3
(
2 4
-y z +x yz –––– ––––– –––––– ––
Solución:
Solución: Agrupando: E =[ =[(1 + xy) - (1 + xy)a] xy)a] + [a(x + y) - (x + y)] y)]
Agrupemos los que tienen igual señal y extraigamos factores comúnes: 2
E = 1 + xy + a(x + y) - (xy + 1)a - x - y
4
4
3
4
4
2
4
4
E = x y(x - y ) + z (x - y ) - x z(x - y ) - y2z(x4 - y 4) extrayendo factor común al polinomio:
extrayendo factor común en cada corchet corchete: e: E = (1 + xy) (1 - a) - (x + y)(1 - a) factorizando (1 - a): E = (1 - a)(1 + xy - x - y) E = (1 - a)[ a)[(1 - x) - (y - xy)] xy)]
4
4
2
3
2
2
E = (x - y )(x y + z - x z - y z) agrupando al interior del segundo paréntesis: E = (x4 - y4)[x2(y - z) - z(y2 - z2)] E = (x2 + y2)(x2 - y2)[x2(y - z) - z(y + z)(y - z)] z)] finalmente: E = (x2 + y2)(x + y)(x - y)(y - z)(x2 - zy - z2) 6.- Factorizar: E = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc Solución: Agrupemos covenientemente: E = [(a + b) + c] c] [c(a [c(a + b) + ab] ab] - abc E = c(a + b)2 + abc + c2(a + b) + ab(a + b) - abc E = c(a + b)2 + c2(a + b) + ab(a + b) factorizando:
E = (1 - a)[ a)[(1 - x) - y(1 - x)] x)] finalmente: E = (1 - a)(1 - x)(1 - y) 8.- Factorizar: (z - x - y)(2a - b) - (x + y - z)(a + 2b) Solución: Se observa que un factor tiene signo diferente que el otro, factorizando el signo: (z - x - y)(2a - b) - [-(z - x - y)] y)] (a + 2b) efectuando los signos y quitando corchetes: corchetes: (z -x -y)(2a - b) + (z - x - y)(a + 2b) factorizando: (z - x - y)(2a - b + a + 2b) (z - x - y)(3a + b) 9.- Factorizar: E = bd(a2 + c2) + bc(a2 + d2) + ad(b2 + c2)
E = (a + b)(ac + bc + c2 + ab) agrupando nuevamente:
+ ac(b2 + d2) Solución: Efectuando operaciones:
E = (a + b) [c(a + c) + b(a + c)] c)] factorizando dentro del corchete: E = (a + b)(a + c)(b + c)
E = a2bd + bc2d + a 2bc + bcd2 + ab2d – ––– – ––– –––– ––––
( (
+ ac2d + ab2c + acd2 –––– –––
Á L G E B R A
Factorizando por pares, como se indica:
factorizando (b + c):
E = a 2b( b(d d + c) + bcd( bcd(cc + d) + ab2(d+c)+acd(c+d)
E = 3(a + b)(b + c)(a + c)
extrayendo factor común:
(B) MÉTODO DE IDENTIDADES
E = (d + c) (a2 + bcd + ab2 + acd)
B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS.
factorizando por pares: E = (d + c) [ab(a + b) + cd(b + a)] factorizando (a + b):
Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar, factorizar, se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. En general: a2m - b2n = (am + bn) (am - bn)
E = (d + c)(a + b)(ab + cd) E = (a + b)(c + d)(ab + cd)
B.2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se caracteriza por:
10.- Factorizar:
1) Tener 2 términos que son cuadrados perfectos.
E = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
2) El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.
Solución:
3) Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo.
Agrupando: E = [(a + b) + c] c]3 - a3 - b3 - c3
El trinomio de estos caracteres se reduce a un binomio al cuadrado así:
Efectuando el corchet corchete: e: E =(a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 - a 3 - b3 - c 3 efectuando: E = a 3 + b3 + 3a2b + 3ab2 +3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 -a3 - b3 - c3 reduciendo:
a2m ± 2ambn + b2n = (am ± bn)2 B.3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.
Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para factorizar se recuerda el producto notable, así: a3m + b3n = (am + bn)(a2m - ambn + b2n) a3m - b3n = (am - bn)(a2m + ambn + b2n)
E = 3ab(a + b) + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2
EJERCICIO RESUELTOS
factorizando:
1.- Factorizar:
E = 3(a + b) [ab + c(a + b) + c2)]
E = x 4 + y4 + 2xy(x2 + y2) + 3x2y2 Solución:
efectuando: 2
E = 3(a + b)(ab + ac + bc +c ) factorizando por pares: E = 3(a + b) [a(b + c) + c(b + c)] c)]
Se puede reescribir como: E = (x4 + y4 + 2x2y2) + 2xy(x2 + y2) + x 2y2 factorizando el trinomio cuadrado perfecto: E = (x2+y2)2 + 2(x2 + y2)(xy) + (xy)2
toda la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, así: E = [(x2 + y2) + xy] xy]2
reduciendo reduciend o los trinomios cuadrados perfectos: E = [(a + b)2 - (c - d)2][ ][(a (a - b)2 - (c + d)2] factorizando las diferencias de cuadrados:
E = (x2 + xy + y2)2
E = [( a+ b) + (c - d)][ d)][(a (a + b) - (c - d)] d)]
2.- Factorizar:
[(a - b) + (c + d)][ d)][(a (a - b) - (c + d)] d)]
E = x 6 + 2x5 - 3x4 + 4x2 - 1
E = (a+b +c-d) +c-d)((a+b -c +d) +d)((a- b+ c+ d)(a- b- c- d)
Solución:
4.- Factorizar:
Descomponiendo -3x4, así:
E = (a + b)7 + c3(a + b)4 - c4(a + b)3 - c7
-3x4 = x4 - 4x4
Solución:
y, reemplazando se obtiene:
Haciendo (a + b) = x:
E = x 6 + 2x5 + x4 - 4x4 + 4x2 - 1
E = x 7 + c3x4 - c4x3 - c7
agrupando:
agrupando por parejas:
E = (x6 + 2x5 + x4) - (4x4 - 4x2 + 1)
E = x 4(x3 + c3) - c 4(x3 + c3)
factorizando los trinomios cuadrados perfectos:
factorizando (x3 + c3):
E = (x3 + x2)2 - (2x2 - 1)2
E = (x3 + c3) (x4 - c4)
ésta es una diferencia de cuadrados, luego:
desarrollando desarrolland o cada paréntesis:
E = (x3 + x2+ 2x2 - 1) (x3 + x2 - 2x2 + 1)
E = (x + c) (x2 - xc + c2)(x2 + c2) (x + c)(x - c)
finalmente:
reponiendo el valor de x:
E = (x3 + 3x2 - 1) (x3 -x2 + 1)
E = (a +b + c) [(a+b)2 - (a+b)c+c2][ ][(a+b) (a+b)2 + c2] (a + b + c)(a + b - c)
3.- Factorizar: 2
2
2
2 2
2
E = (a + b - c - d ) - 4(ab + cd) Solución:
Es una diferencia de cuadrados, luego se transforma en el producto de una suma por una diferencia: E = [(a2 + b2 - c2 - d2) + 2(ab + cd)] cd)] [(a2 + b2 - c2 - d2) - 2(ab + cd)] cd)]
E = (a + b + cc))2 (a + b - c) [(a + b)2 + c2][ ][(a (a + b)2 - (a + b)c + c2 ] 5.- Factorizar: E = (x + y)3 + 3xy(1 - x - y) - 1 Solución: Factorizando el signo en el paréntesis:
reordenando reord enando los términos dentro de cada corch corchete: ete:
E = (x + y)3 + 3xy[ 3xy[-(x + y - 1)] 1)] - 1
E = [(a2 + 2ab + b2) - (c2 - 2cd + d2)]
quitando el corchete:
[(a2 - 2ab + b2) - (c2 + 2cd + d2)]
E = (x + y)3 - 3xy(x + y -1) - 1
Á L G E B R A
agrupando:
El corchete es el desarrollo de un binomio al cuadrado, luego:
E =[ =[(x + y)3 -1 -1]] - 3xy(x + y - 1) E = 2(x4 + y4 + z4) - 2(x2 + y2 + z2)2 factorizando la diferencia de cubos en el corch corchete ete y luego desarrollando: E =[ =[(x+y)-1 (x+y)-1][ ][(x+y) (x+y)2 +(x+y)+1 +(x+y)+1]] -3xy(x+y-1) E = (x + y - 1 1)(x )(x2 + 2xy + y2 + x + y + 1 - 3xy)
+ [(x2 + y2 + z2) - (x + y + z)2]2 factorizando 2 y efectuando el segundo paréntesis fuera y dentro del corchete: E = 2(x4 + y4 + z4 - x4 - y4 - z4 - 2x2y2 -2x2z2
E = (x + y - 1)(x2 - xy + y2 + x + y + 1)
- 2y2z2) + [x2 + y2 + z2 - x2 - y2 - z2 - 2xy - 2xz - 2yz] 2yz]2
6.- Factorizar: reduciendo:
E = (z2 - y2)2(x2 - a2) + 4x2y2z2
E = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4[ 4 [xy + xz + yz] yz]2
Solución: Efectuando el cuadrado indicado:
nótese que el signo en el corchete se elimina debido al cuadrado. Factorizando 4:
E = (z4 - 2z2y2 + y4)(x2 - a2) + 4x2y2z2 E = 4[ 4 [(xy + xz + yz)2 - (x2y2 + x2z2 + y2z2)] E = z 4x2 - 2x2y2z2 + x2y4 - a2z4 + 2a2y2z2 - a2y4 + 4x2y2z2
E = 4[ 4 [x2y2 + x2z2 + y2z2 + 2x2yx + 2xy2z + 2xyz2
reduciendo y agrupando: 4 2
2 2 2
efectuando:
2 4
2 4
2 2 2
- x2y2 - x2z2 - y2z2]
2 4
E = (z x + 2x y z + x y ) - (a z - 2a y z + a y ) cada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es igual a:
reduciendo: E = 4[ 4 [2x2yz + 2xy2z + 2xyz2]
E = (z2x + xy2)2 - (az2 - ay2)2
factorizando, finalmente:
Es una diferencia de cuadrados que se puede escribir así:
E = 8xyz(x + y + z)
E = (z2x + xy2 + az2 - ay2)(z2x + xy2 - az2 + ay2)
E =(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 - x6
7.- Factorizar: 4
8.- Factorizar:
4
4
2
2
Solución:
2 2
E = 2(x + y + z ) - (x + y + z )
- 2(x + y + z)2(x2 + y2 + z2) - (x + y + z)4
Factorizando la diferencia de cuadrados: E = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 + x3)
Solución: 2
2
(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1-x3)
2 2
Sumando y restando (x +y +z ) : E = 2(x4 + y4 + z4) - 2(x2 + y2 + z2)2 + [(x2 + y2 + z2)2 - 2(x + y + z)2(x2 + y2 + z2) + (x + y + z)4]
reduciendo y agrupando convenientemente: E =[ =[(x6 + 2x3 + 1) + (x5 + x2) + (x4 + x)] x)] [(x6 + x5 + x4) + (x2 + x + 1)] 1)]
factorizando sucesivamente:
10.- Factorizar :
E = [(x3 + 1)2 + x2(x3 + 1) + x(x3 + 1)] 1)]
E = x 3(x3 + 2y2 - x) + y(y3 - 2x2 - y)
[x4(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)] 1)]
Solución:
E = (x3 + 1)(x3 + 1 + x2 + x)(x2 + x + 1)(x4 + 1)
Efectuando:
E = (x + 1)(x2 - x + 1)[ 1)[x(x2 + 1) + (x2 + 1)] 1)]
E = x 6 + 2x3y2 - x4 + y4 - 2x2y - y 2
(x2+ x + 1)(x4 + 1) E = (x + 1)(x2 - x +1)( +1)(x x2 +1)(x+1)(x2 + x + 1) 1) (x4 + 1) E = (x +1)2(x2 +1)(x2 + x +1)(x2 + x +1)(x4+ 1)
E = (x6 + 2x3y2 + y4) - (x4 + 2x2y + y 2) los paréntesis son desarrollos de binomios al cuadrado: E = (x3 + y2)2 - (x2 + y)2
9.- Factorizar: 2 4
efectuando:
4 2
2 4
2
4
4
2
4 2
factorizando; finalmente:
E = ab c - a b c + a b c - a bc + a bc - ab c
E = (x3 + y2 + x2 + y)(x3 + y2 - x2 - y) Solución: Agrupando y factorizando por parejas: E = ab2c2(c2 - b2) + a 4bc(c - b) - a2bc(c3 - b3) descomponiendo en sus factores, diferencia de cuadrados y diferencia de cubos: E = ab2c2(c + b)(c - b) + a4bc(c - b) - a2bc(c - b)(c2 + cb + b2) factorizando: E = abc(c - b)(bc2 + b2c + a 3 - ac2 - acb - ab2) –– –––––– – –– – –– –––––– –––– –– –– agrupando por parejas en la forma señalada: E = ab abc( c(cc - b) b)[[c2(b - a)+ bc(b- a)- a(b+ a)(b- a)] factorizando (b - a) en el corchete: E = abc(c - b)(b - a)(c2 + bc - ab - a2) agrupando y factorizando en el tercer paréntesis:
(C) MÉTODO DEL ASPA C.1) ASPA SIMPLE.
Se utiliza para factores trinomios de la forma: ax2n ± bxn ± c o de la forma: x2n ± bxn ± c Para factorizar, se descompone en dos factores los términos ax2n o x2n, según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores,los cuales se coloca en las puntas de la derecha del aspa. El término central del trinomio debe ser igual a la suma de los porductos del aspa. Por último los factores de la nueva expresión son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa. Ejemplo: Factorizar: x4n + 7x2n + 12 a) x4n se descompone en dos factores:
E = abc(c - b)(b - a) [(c + a)(c - a) + b(c - a)] finalmente: E = abc(c - b)(b - a)(c - a)(a + b + c)
x2n . x2n b) 12 tambien se descompone en dos factores: 4 . 3
Á L G E B R A
Se pone estos estos factores en los extremos extremos izquierdo izquierdo y derecho del aspa respectivamen respectivamente: te: x2n
+4
factorizando las diferencias de cuadrados en forma sucesiva: E = 4x4y3(4x2 + y2)(2x + y) (2x - y) (x2 + y2)(x + y)(x - y) 2.- Factorizar:
2n
x
+3 E = (5x + 4y)3 + (10x + 8y)2 + 15x + 12y
c) La suma de los productos: 2n
3x + 4x
2n
= 7x
2n
Solución: Extrayendo factor común 2 en el segundo paréntesis y 3 en los dos últimos sumandos:
es igual al término central. Nótese que la expresión factorizada es el producto de la suma, tomada horizontalmente, así:
E = (5x + 4y)3 + [2(5x + 4y)] 4y)]2 + 3(5x + 12y) haciendo 5x + 4y = a, se obtiene:
x4n + 7x2n + 12 = (x2n + 4) (x2n + 3) x2n
+4
E = a 3 + 4a2 + 3a extrayendo factor común “a” y aplicando aspa el paréntesis: E = a(a2 + 4a + 3)
x2n
+3
a
-3
a
+1
EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Factorizar: E = 64x12y3 - 68x8y7 + 4x4y11
La expresión será:
Solución:
E = a(a + 3)(a + 1)
Extrayendo factor común: 4x4y3: E = 4x4y3(16x8 - 17x4y4 + y8)
E = (5x + 4y)(5x + 4y + 3)(5x + 4y + 1)
aplicando aspa simple al paréntesis, donde: 16x8 = (16x4)(x4)
reemplazando el valor de a:
3.- Factorizar:
y8 = (-y4)(-y4)
16x4
-y4
E = 2 2m+5 - 3 . 2m+2 - 35 Solución: La expresión se puede escribir como: E = 2 2m . 25 - 3 . 2m . 22 - 35
x4
-y4
La expresión propuesta factorizada será: E = 4x4y3(16x4 - y4)(x4 - y4)
E = 32 .(2m)2 - 12 . (2m) - 35 haciendo: 2m = a: E = 32a2 - 12a - 35
aplicando aspa: 32a2 = (8a) . (4a)
se obtiene: -35 = (+7)(-5)
E = x 2 - 2(b2 + c2)x + (b + c)2 (b - c)2
+7
Aplicando aspa simple, donde:
8a
x2 = (x)(x) 4a
-5
(b + c)2(b -c)2 = [-(b + c)2] [-(b [-(b - c)2]
La expresión será:
x
-(b + c)2
x
-(b - c)2
E = (8a + 7)(4a - 5) reemplazando “a” por su valor:
Comprobación para el término central:
E = (23 . 2m + 7)(22 . 2m - 5)
-(b - c)2x - (b + c)2x = -[(b + c)2 + (b - c)2]x
finalmente:
= -2(b2 + c2)x E = (2m+3 + 7) (2m+2 - 5)
por lo tanto: E = [x - (b + c)2] [x [x - (b - c)2]
4.- Factorizar: abcx2 -(a2b2 + c 2)x + abc
reemplazando el valor de x: E = [(a + d)2 - (b + c)2] [(a [(a + d)2 - (b - c)2]
Solución: Aplicando aspa simple, donde: abcx2 = (abx)(cx) abx
factorizando la diferencia de cuadrados:
abc = (-c)(-ab)
E = [(a + d) + (b + c)][ c)][(a (a + d) - (b + c)][ c)][(a (a + d)
-c
+ (b - c)]] c)]](a (a + d) - (b - c)] c)] finalmente: E = (a (a + d + b + c)(a + d - b - c)
cx
-ab
Luego la expresión factorizada es:
(a + d + b - c)(a + d - b + c) C.2) ASPA DOBLE.
Se aplica para factorizar polinomios de la forma: E = (abx - c)(cx - ab) 5.- Factorizar: E = (a + d)4 - 2(b2 + c2)(a + d)2 + (b2 - c2)2 Solución: Haciendo (a + d)2 = x, y desarrolando el tercer término (b2 - c2)2 = [(b + c) (b - c)] c)]2 = (b + c)2 (b - c)2
ax2n ± bxnyn ± cy2n ± dxn ± eyn ± f y también para algunos polinomios de 4° grado. PROCEDIMIENTO:
Primero se ordena convenientemente; es decir decir,, en forma decreciente para una de las variables, luego se traza y ejecuta un aspa simple para los tres primeros términos con rayas continuas o llenas. A continuación, y pegada a este aspa, se traza otra
Á L G E B R A
de tal modo que el producto de los elementos del extremo derecho de este aspa–multiplicados verticalmente sea el término independiente. Finalmente: primer factor es la suma de los elementos tomados horizontalmente de la parte superior; el segundo factor es la suma de los elementos tomados horizontalmente de la parte inferior.
-5y
+7 (II)
+2y se verifica (II):
Ejemplo:
-9 45y +14y ––––– 59y
3) A los térmi términos nos 1°, 1°, 5° y 6° se les aplica aplica un un aspa simple (III):
Factorizar: 12x2 - 7xy - 10y2 + 59y - 15x - 63 4x
-5y (I)
3x
(III)
12x2 - 15x - 63 +7
(II)
+2y
(II) 45y + 14y –––– 59y
+7 (III)
3x
-9
se verifica (III):
verificando los términos: (I) 8xy + -15xy –––––– - 7xy
4x
(III) -36x +21x ––––– -15x
-9 -36x +21x ––––– -15x
Luego la expresión factorizada es: (4x - 5y + 7)(3x + 2y - 9)
EXPLICACIÓN:
EJERCICIOS RESUELTOS
1) A los 3 primeros términos se les aplica un aspa simple (I) :
1.- Factorizar: 15x2 + 14xy + 3y2 + 23y + 41x + 14
12x2 - 7xy - 10y2 4x
-5y
5x
+3y
+2
(I) (I) 3x se verifica (I):
+2y 8xy -15xy –––––– - 7xy
2) A los términos términos 3°, 4° y 6°, se les aplica un aspa aspa simple (II): -10y2 + 59y - 63
3x
(III)
(II)
+y
+7
Verificando los términos: (I) 5xy + 9xy ––––– 14xy
(II) 21y + 2y ––––– 23y
(III) 35x + 6x ––––– 41x
La expresión factorizada es: (5x + 3y + 2)(3x + y + 7)
2.- Factorizar:
C.3) ASPA DOBLE ESPECIAL.
abx2 + (a2 + b2)xy + aby2 + (a - b)y - (a - b)x - 1 ax
+by
Se utiliza para factorizar polinomios de 4to grado de la forma general:
+1 ax4 ± bx3 ± cx2 ± dx ± e Para factorizar se procede así:
bx
+ay
-1
(ax + by + 1)(bx + ay -1)
b) Se efectúa el producto de los factores primos en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene un términ término o de 2° grad grado. o.
3.- Factorizar: 6x4- 5x2y - 25y2 - 5yz - 23x2z + 20z2 3x2
+5y
2x2
-5y
a) Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factores primos con signos adecuados.
-4z
c) A este resultado se le debe sumar algebraicamentee otro términ ment término o de 2° grad grado o para que sea igual al tercer término.
-5z
d) Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer término del polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente tal, que cumpla los requisitos del aspa doble:
(3x2 + 5y - 4z)(2x2 - 5y - 5z)
• Aspa simple entre el primer término y el término de segundo grado ubicado como sustituto, para verificar el segundo término.
4.- Factorizar: 2x2m + 5xmyn - 3y2n + 7yn + 7xm + 6 2xm
-yn
+3
xm
+3yn
+2
• Aspa simple auxiliar entre el sumando de segundo grado ubicado y el quinto término para verificar el 4to. término. e) Los factores se toman en forma horizontal. Ejemplo:
(2xm - yn + 3)(xm + 3yn + 2)
x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10
5.- Factorizar: 28xy - 44y2 - 23y + 35x + 40
Solución:
Solución:
Descomponiendo los extremos en sus factores:
Se observa que falta un término, que es “x2”, se completa con 0x2 y se completa el polinomio: 0x2 + 28xy - 44y2 + 35x - 23y + 40 Ox
+4y (I)
7x
Factorizar:
(III)
x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10 x2
+5
E = (4y + 5)(7x - 11y + 8)
(I) x2
(II)
-11y
+5
+8
Para (I):
+2 2x2 5x2 –––– 7x2
Á L G E B R A
Como el tercer término es 11x2 y el producto en aspa de los extremos es 7x2 faltarán 4x2 que es la cantidad que se debe agregar. 2
Se descompone 4x en sus factores en forma conveniente y se verifica el segundo y cuarto términos:
Luego: x4 - 10x3 + 9x2 - 18x + 9 x2
-9x
+9
(II)
(III)
x4 - 4x3 + 4x2 - 14x + 10 2
x
-2x
+5
(II) x2
-x
+1
Verificando el aspa doble:
(III) -2x
(II) -2x3 -2x3 –––– -4x3
x2
(II) -x3 -9x3 –––––3 -10x
+2 (III) - 4x -10x –––– -14x
(III) - 9x - 9x ––––– -18x
La expresión factorizada es: (x2 - 9x + 9)(x2 - x + 1)
Como verificar las condiciones del aspa doble, los términos están bien descompuestos. La expresión factorizada es:
2.- Factorizar: 2x8 + x6 - 16x4 + 8x2 - 1 Solución:
(x2 - 2x + 5)(x2 - 2x + 2)
Descomponiendo los términos extremos: 2x8 + x6 - 16x4 + 8x2 - 1
EJERCICIOS RESUELTOS
(I) +1 = ––– x4
2x4
1.- Factorizar: x4 - 10x3 + 19x2 - 18x + 9
(I)
Solución:
-2x4 -1 = –––– - x4
4
x
Descomponiendo los términos extremos:
+9
Como el tercer término es -16x4 y el producto en aspa de los extremos es -x4 falta -15x2 que es la cantidad que se debe agregar. Se descompone -15x2 en sus factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y 4to. términos:
+1
2x4
x4 - 10x3 + 19x2 - 18x + 9 x2 (I) x2 En el aspa (I):
-5x2 (II)
+1 (III)
9x2 + x2 = 10x2 2
2
2
se observa que faltan 19x - 10x = 9x .
x4
+3x2
-1
6x6 -5x6 ––––6 +x
En (II):
+5x2 +3x2 ––––2 +8x
En (III):
x4 + 2x3 + 0x2 - x - 6 x2
Como se verifica las condiciones del aspa doble,la expresión factorizada es:
(II)
(I)
2
x
(2x4 - 5x2 + 1)(x4 + 3x2 - 1)
(I) -3 = ––– -3x2
+x (III)
-2x2 +2 = –––– - x2
+x
3.- Factorizar: falta:
0x2 - (-x2) = x 2
5x4 - 11x2 - 4x + 1 Verificación del aspa doble: Solución: 3
Completando el polinomio con 0x y descomponiendo los términos extremos: 5x4 + 0x3 - 11x2 - 4x + 1 5x2
(II) x3 + x3 = 2x3 (III (I II)) 2x - 3x = -x El polinomio factorizado es:
-1 = -x2
(x2 + x - 3)(x2 + x + 2)
(I)
5.- Factorizar: -5x2 -1 = –––– -6x2
x2
x4 - 3x 3 - 9x2 + 4 Solución:
faltarían:
Completando el polinomio con 0x y descomponiendo a los términos extremos:
(-11x2) - (-6x2) = -5x2 Verificando el aspa doble:
x4 - 3x3 - 9x2 + 0x + 4
5x4 + 0x3 - 5x2 - 4x + 1 5x2
5x (II)
x2
(I)
x2 -1
(III)
-x
(II) 2
x -1
(5x2 + 5x - 1)(x2 - x - 1) 4.-- Factorizar: 4.
Solución: Completando el polinomio con 0x2 y descomponiendo los términos extremos:
(I)
(III) -x2 -1 = –––– - 5x2
+x
falta: -9x2 - (-5x2) = -4x2 Verificación del aspa doble: (II)
x4+ 2x3 - x - 6
(I) -4 = ––– -4x2
+4x
x3 -4x3 ––––3 -3x
(III) +4x -4x –––– 0x
El polinomio factorizado es: (x2 - 4x - 4) (x2 + x - 1)
Á L G E B R A
(D) MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS
DETERMINACIÓN DE LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO
FINALIDAD.-Permite la factorización de un poli-
nomio de cualquier grado que acepte factores de primer grado de la forma general: x ± B
; Ax ± B
por ejemplo: x + 2 ; 2x + 3 DIVISOR BINOMIO
Ejemplo: Sea el polinomio: P(x) = x3 + 4x2 + 7x - 12 P.C. = ±1, ±1 , ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
Es aquel que siendo de primer grado está contenido un número entero de veces en un polinomio. Ejemplo: P(x) = x2 - 5x + 6 contiene exactamente a (x - 2) ya que si se calcula el resto, éste es igual a cero. FUNDAMENTO TEORICO
Este método se fundamenta en la aplicación del teorema del resto -en forma- inversa y de la división de Ruffini. Si P(x) : (x-a), da R = 0; (x-a) es un divisor de P(x). si x = a y R = P(a) = 0, por el teorema teorema del resto: x -a = 0. ∴
(1) Cuando el primer coeficiente del polinomio es “1” se toman todos los divisores del término independiente con su doble signo.
(2) Cuando el coeficiente del primer término es diferente de “1”, se procede como en el caso anterior y además, se considera las fracciones que resultan de dividir todos los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente. Ejemplo: Sea el polinomio: P(x) = 4x3 + 3x2 + 3x - 9 Posibles ceros: 1 3 1 3 9 9 ±1, ±3, ±9, ± –– , ± –– , ± –– , ± –– , ± –– , ± –– 2 2 4 4 2 4 FORMAS DE FACTORIZACIÓN
x-a es un divisor del polinomio P(x).
CEROS DE UN POLINOMIO
Son todos los valores que puede tomar la variable de un polinomio y que hacen que su valor numérico sea igual a cero. Ejemplo:
(1) Se determina por los menos un cero del polinomio. (2) De acuerdo con el cero, se halla el divisor divisor,, que es un divisor binomio o factor. (3) El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor obtenido mediante la regla de Ruffini.
Sea el polinomio: 3
2
P(x) = x + 3x + 5x - 9 Valor numérico para x =1: P(1) = 1 + 3 + 5 - 9 P(1) = 0 Por lo tanto el número 1 es un cero del polinomio. Se observa que al obtener un cero del polinomio se obtiene también un divisor binomio que es (x - 1).
OBSERVACIONES • El número de ceros, está determinado por el grado del polinomio. • El número de ceros mínimo debe ser tal que, al dividir sucesivamente, por Ruffini, se obtenga un cociente de segundo grado. Ejemplo: Factorizar: x3 -4x2 -25x + 28
Solución:
Dividiendo dos veces por Ruffini:
(1) Se determinan los posibles ceros del polinomio para valores de: x = ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28
1
-4
-1
+16
-12
1
+1
-3
-4
+12
1
-3
-4
+12
0
+2 -1
-2 -6
-12 0
↓
(2)Para (2) Para x = 1, el valor numérico del polinomio es: (1)3 - 4(1)2 - 25(1) + 28 = 1 - 4 - 25 + 28 = 0
↓
2 1
luego (x - 1) es un factor. (3) Dividiendo el polinomio entre el factor obtenido, usando la regla de Ruffini: 1 1 1
-4
-25
+28
+1
-3
-28
-3
-28
0
El otro factor es (x2 - x - 6), el cual se factoriza por el método del aspa: x
-3
x
2
resulta: (x - 3)(x + 2) Por lo tanto el polinomio factorizado es:
de donde se obtiene el cociente: x2 - 3x - 28
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x + 2) 2.- Factorizar: x5 + 4x4 - 10x2 - x + 6
que, es el otro factor buscado. (4)Luego el polinomio factorizado es: (x - 1)(x2 - 3x - 28)
Solución: Posibles ceros:
±1, ±2, ±3, ±6
Para x = 1; P(1) = 0, luego (x - 1) es un factor factor.. y, finalmente podemos convertir a: (x - 1)(x + 4)(x - 7) EJERCICIOS RESUELTOS
Para x = -1; P(-1) = 0, luego (x + 1) es otro factor. factor. Para x = -2; P(-2) = 0, luego (x + 2) es otro factor. factor. Dividiendo tres veces por Ruffini: 1
1.- Factorizar:
+4
+0
-10
-1
+6
+1
+5
+5
-5
-6
+5
+5
-5
-6
0
-1
-4
-1
+6
+4
+1
-6
0
-2
-4
+6
+2
-3
0
↓ 4
3
2
E = x - 4x - x + 16x - 12
1 1
Solución:
↓
Para x = 1 -1 P(1) = 0 ∴ (x - 1) es un factor
1
Para x = 2
↓
-2 P(2) = 0
∴ (x - 2) es otro factor.
1
Á L G E B R A
El otro factor es: x2 + 2x - 3, el cual se factoriza por el aspa: x
Finalmente el polinomio factorizado es: (x -2a)(4x + a)2
+3 4.- Factorizar:
x
E = 4(x2 + xy + y2)3 - 27x2y2(x + y)2
-1
que resulta resulta en: (x + 3)(x 3)(x - 1)
Solución:
Por lo tanto el polinomio factorizado es:
Efectuando y agrupando: 4(x2 + xy + y2)3 - 27(xy)2(x2 + 2xy + y2)
(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - 1)
haciendo un cambio de variables para tener en forma más sencilla el polinomio:
3.- Factorizar: 2(2x - a)3 - 27a2x
x2 + y2 = a xy = b
Solución: se obtiene:
Desarrollandose Desarrollando se el cubo:
E = 4(a + b)3 - 27(b)2 (a + 2b)
2(8x3 -12x2a + 6xa2 - a3)-27a2x
E = 4(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) - 27b2(a + 2b)
16x3 - 24x2a + 12xa2 - 2a3 - 27a2x
E = 4a3 + 12a2b + 12ab2 + 4b3 - 27b2a - 54b3
reduciendo:
E = 4a3 + 12a2b - 15ab2 - 503
16x3 - 24x2a - 15a2x - 2a3 aplicando divisores binomios:
P.C. = ±b, ±2b, ±5b, ±25b, ±50b, …
a a Posibles ceros: ±a, ±2a, ± –– ––,, ± –– , …… 2 4
Para a = 2b:
Para x = 2a; P(2a) = 0; luego tiene divisor (x - 2a) que es un factor.
P(2b) = 4(2b)3 + 12(2b)2b - 15(2b)b2 - 50b3
Dividiendo el polinomio por Ruffini entre (x- 2a): 16
-24a
-15a2
-2a3
P(2b) = 32b3 + 48b3 - 30b3 - 50b3 = 0 Luego, un factor es (a - 2b); el otro factor podemos hallarlo por Ruffini: 4
↓
2a 16
+32a +8a
+16a2 +a2
+2a3 0
en consecuencia el otro factor: 16x2 + 8a 2 + a 2; el cual, se factoriza por el método del aspa: 4x
a
+12b
-15b2
-50b3
+40b2 +25b2
+50b3 0
↓
2b
8b +20b
4
Por lo tanto, tanto, el otro otro factor es: 4a2 + 20ab + 25b2 que se puede expresar también como: (2a + 5b)2
4x Resultando en:
a (4x + a)(4x +a)
y, que factorizado da: (2a + 5b)(2a + 5b)
Luego, el polinomio factorizado es: (a - 2b)(2a + 5b)(2a + 5b) Reponiendo el valor de (a = x2 + y2) y (b = xy xy)) E = (x2 + y2 -2xy) -2xy)[[2(x2 + y2)+5xy )+5xy][ ][2(x 2(x2 + y2)+5xy )+5xy]]
Sumando y restando 4a2b2 se obtiene: E = (a4 + 6a2b2 + 9b4) - (4a2b2) el primer paréntesis es el desarrollo de un binomio al cuadrado: E = (a2 + 3b2)2 - (2ab)2
E =(x - y)2 (2x2 + 5xy + 2y2)2
factorizando la diferencia de cuadrados: Factorizando el segundo paréntesis por aspa simple: [2(x2 + y2) + 5xy] 5xy]
EJERCICIOS RESUELTOS
2x2 + 2y2 + 5xy 2x
E = (a2 + 3b2 - 2ab)(a2 +3b2 + 2ab)
y
1.- Factorizar: E = 49x4m + 5x2my4n + y8n
x
2y
(2x + y)(x + 2y)
Solución: Se observa que los extremos son cuadrados perfectos, luego el término intermedio debe ser:
E = (x - y)2 [(2x + y)(x + 2y)] 2y)]2 2(7x2m) . (y4n) = 14x2my4n E = (x - y)2(2x + y)2(x + 2y)2
(E) MÉTODO DE ARTIFICIOS DE CALCULO E.1) REDUCCIÓN REDUCCIÓN A DIFERENCIA DIFERENCIA DE CUADRADOS:: CUADRADOS
Este método consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una diferencia de cuadrados, sumando y restando una misma cantidad de tal manera que se complete el trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo: Factorizar: a4 + 2a2b2 + 9b4 Solución:
Sumando y restando 9x2my4n: E = (49x4m + 14x2my4n + y8n) - 9x2my4n E = (7x2m + y4n)2 - (3xmy2n)2 factorizando la diferencia de cuadrados: E = (7x2m + y4n - 3xmy2n)(7x2m + y4n + 3xmy2n) 2.- Factorizar: E = (2x6 + 1)3 + (x + 1)3 (x - 1)3 ( x4 + x2 + 1)3 Solución: La expresión se puede escribir como: E = (2x6 + 1)3 + [(x2 - 1)(x4 + x2 + 1)] 1)]3
Analizando el trinomio, se observa que los extremos son cuadrados perfectos, para que sea el desarrollo de una suma al cuadrado, el término intermedio debe ser doble del producto de las raíces de estos términos; es decir, debe ser: 2(a2) . (3b2) = 6a2b2 Luego, se observa que le falta 4a2b2
efectuando: E = (2x6 + 1)3 + [(x6 - 1)]3 factorizando la suma de cubos: E = [(2x6 + 1) + (x6 - 1)] 1)] [(2x [(2x6 + 1)2+(x6 - 1)2 - (2x6 + 1)(x6 - 1)] 1)]
Á L G E B R A
E = [3x6] [(4x12 + 1 + 4x6 + x12 - 2x6 + 1) - (2x6 + 1)(x6- 1)] 1)] E = [3x6] [(5x12 + 2x6 + 2) - (2x12 - 2x6 + x6 - 1)] 1)]
E.2) MÉTOD MÉTODOS OS DE SUMAS SUMAS Y RESTAS RESTAS
Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos al mismo tiempo que se presenta el factor:
E = (3x6)(5x12 + 2x6 + 2 - 2x12 + 2x6 - x6 + 1) 6
12
x2 + x + 1
6
E = (3x )(3x + 3x + 3)
ó x2 - x + 1
Algunas veces también se completa el polinomio. factor común del segundo paréntesis:
Ejemplos:
E = (3x6) 3(x12 + x6 + 1)
i)
Sumando y restando al segundo paréntesis x6: E = 9x6(x12 + x6 + 1 - x6 + x6)
Factorizar: x5 + x4 + 1
Solución: Primera forma: Completando el polinomio.
E = 9x6[(x12 + 2x6 + 1) - (x6)]
Sumando y restando:
E = 9x6[(x6 + 1)2 - (x3)2]
x3 + x2 + x
E = 9x6(x6 + 1 + x3)(x6 + 1 - x3)
agrupando y factorizando así:
3.- Factorizar:
E = x 3(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1)
E = a 4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2
finalmente:
Solución:
E = (x2 + x + 1) (x3 - x + 1)
2 2
Sumando y restando 4a b : E = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2 + 4a2b2 - 4a2b2
E = x 5 - x 2 + x4 + x2 + 1
agrupando: E = (a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2) - 4a2b2
2
2 2
sumando y restando x2 al segundo paréntesis:
2
E = (a + b - c ) - (2ab)
E = x 2(x - 1)( 1)(x x2 + x +1)+(x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
es una diferencia de cuadrados, luego: 2
2
2
2
2
E = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + x2 - x + 1) 1)
2
E = (a + b - c - 2ab)(a + b - c + 2ab)
finalmente:
agrupando: 2
agrupando y factorizando: E = x 2(x3 - 1) + (x4 + x2 + 1)
factorizando: 2
Segunda forma: Sumando y restando x2:
2
2
2
2
2
E = [(a - 2ab + b ) - c ][ ][(a (a + 2ab + b ) - c ] E = [(a - b)2 - c2][ ][(a (a + b)2 - c2]
E = (x2 + x + 1)(x3 - x + 1) ii)
Factorizar: x5 + x - 1
finalmente desarrollando las diferencias de cuadrados
Solución:
E = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)
E = x 5 + x2 - x 2 + x + 1
Sumando y restando x2:
agrupando:
iv)
Factorizar: x7 + x5 - 1
E = x 2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
Solución:
factorizando suma de cubos:
Sumando y restando x:
E = x 2(x + 1)(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
E = x 7 - x + x5 + x - 1
finalmente:
previamente, previamen te, veamos que:
E = (x2 - x + 1) (x3 + x2 - 1) iii)
(I)
(x7 - x) = x(x6 - 1) = x(x3 + 1)(x3 - 1)
Factorizar: x6(x4 + 2) + (x + 1)(x - 1)
(x7 - x) = x(x + 1)(x2 - x + 1)(x3 - 1)
Solución:
también por el ejercicio número número (ii)
Efectuando:
x5 + x - 1 = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1)
E = x 10 + 2x6 + x2 - 1 agrupando:
sustituyendo (a) y (b) en (I):
E = (x10 + 2x6 + x2) - 1
E = x(x + 1)(x2 - x + 1)(x3 - 1)
E = (x2 - x + 1) (x5 - x2 + x4 - x + x3 + x2 - 1)
E = (x5 + x)2 -1
finalmente:
factorizando:
(b)
+ (x2 - x + 1)(x3 + x2 -1)
el paréntesis es el desarrollo de una suma al cuadrado:
E = (x2 - x + 1)(x5 + x4 + x3 - x - 1)
E = (x5 + x - 1)(x5 + x + 1)
(I)
del ejercicio (ii), record recordemos emos que: (a)
Por otra parte factorizando: (x5 + x + 1), sumando y restando x2
Factorizar: x7 + x6 - x5 + x3 - 2x + 1
Descomponiendo -2x = -x - x E = x 7 + x6 - x5 + x 3 - x - x + 1 Sumando y restando x2:
2
sumando y restando x :
7 5 E=x + –x–6 - x + x––3 - x–– - x–– + 1–– + x––2 - x––2 –– ––
x5 + x + 1 = x5 + x + 1 + x2 - x2
––
2
x + x + 1 = x (x - 1)(x + x + 1) + (x + x + 1) x5 + x + 1 = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)
––
–– ––
––– –
–– ––
E = x 5 (x2 + x - 1) + x(x2 + x - 1) - (x2 + x - 1)
x5 + x + 1 = x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1) 2
––
agrupando en la forma señalada:
agrupando y factorizando:
2
v)
Solución:
(x5 + x - 1) = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1)
5
(a)
(b)
Sustituyendo(a) y (b) en (I): E = (x2 + x +1)(x3 - x2 + 1)(x3 + x2 - 1)(x2 - x + 1)
E = (x2 + x - 1)(x5 + x - 1) por el ejercicio ejercicio número(ii), número(ii), se sabe el resultado resultado del segundo paréntesis: E = (x2 + x - 1)(x2- x + 1)(x3 + x2 - 1) vi)
Factorizar: x3 +y3 +z3 - 3xyz
Á L G E B R A
Solución:
EJERCICIOS RESUELTOS
Trataremos de formar (x + y)3, sumando y restando:3x2y, 3y2x:
1.- Factorizar:
E =(x3 + y3+ 3x2y + 3y2x) - 3xyz - 3x2y - 3xy2 + z3
E = (2x2 - 9x + 1)2 + 24x(x - 1)(2x - 1)
E =(x + y)3 + z3 - 3xy(x + y + z)
Solución: Efectuando los dos binomios:
factorizando la suma de cubos: E = [(x + y) + z] z] [(x [(x + y)2 - (x + y) z + z2] - 3xy(x + y + z) Extrayendo factor común (x + y + z): E =(x + y + z)(x2 + y2 + 2xy - xz - zy + z2 - 3xy)
E = (2x2 - 9x + 1)2 + 24x(2x2 - 3x + 1) haciendo 2x2 + 1 = a: E = (a - 9x)2 + 24x(a - 3x) efectuando: E = a 2 - 18ax + 81x2 + 24ax - 72x2
finalmente: E = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) E.3) CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obtenga una forma de factorización más simple.
reduciendo: E = a 2 + 6ax + 9x2 que es el desarrollo de una suma al cuadrado, así: E = (a + 3x)2 reemplazando “a” por su valor:
Ejemplo: Factorizar:
E = (2x2 + 3x + 1)2
E = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
factorizando por aspa simple el paréntesis:
Solución:
2x
+1
Agrupemos adecuadamente, así: E = 1 + [x(x + 3)][ 3)][(x (x + 1)(x + 2)] 2)] = 1 + (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) haciendo x2 + 3x = a: E = 1 + a(a + 2) efectuando:
(2x + 1)(x + 1) x
+1
luego: E = [(2x + 1)(x + 1)] 1)]2 = (2x + 1)2(x + 1)2 2.- Factorizar: E = 4[ 4 [ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2)]2 +[(a2 - b2)(x2 - y2) - 4abxy] 4abxy]2
E = 1+ a2 + 2a es el desarrollo de una suma al cuadrado, por lo que: 2
E = (a + 1)
reemplazando a por su valor: E = (x2 + 3x + 1)2
Solución: Haciendo: ab = m;
x2 - y2 = n;
xy = r;
a2 - b2 = s;
E = 4(mn + rs)2 + (ns - 4mr)2
efectuando operaciones:
agrupando y factorizando en los dos primeros y los dos últimos:
E = 4m2n2 + 8mnrs + 4r2s2 + n2s2 - 8mnr + 16m2r2 E = x(ax - 1)[ 1)[(ax - 1)x - 1] 1] - a[ a[x(ax - 1) - 1] 1] reduciendo y agrupando convenientemente: factorizando el corchete: 2
2
2
2
2
2
E = n (4m + s ) + 4r (4m + s ) E = [(ax - 1)x - 1] 1] [x(ax [x(ax - 1) - a] a] factorizando: E = (ax2 - x - 1)(ax2 - x - a) E = (4m2 + s 2)(n2 + 4r 2) 4.- Factorizar: reemplazando los valores asignados:
E = (a + 2b + c)(b + 2c + a)(c + 2a + b) + (a + b)(a + c)(b + c)
E = [(a2 - b 2)2 + 4a2b2][ ][(x (x2 - y2)2 + 4x2y2] efectuando: E = (a4 + 2a2b2 + b4)(x4 + 2x2y2 + y4)
Solución: Se puede reescribir la expresión como: E = (a + b + b + c)(b + c + c + a)(c + a + a + b)
E = (a2 + b2)2(x4 + y)2 3.- Factorizar: E = x(ax - 1)(ax - a - 1)(x + 1) + a Solución:
+ (a + b)(a + c)(b + c) haciendo: a + b = x; b + c = y; a + c = z; E = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz
Efectuando de la siguiente manera:
efectuando progresiva y convenientemente:
E = [x(ax - a - 1)][ 1)][(ax (ax - 1)(x + 1)] 1)] + a
E = [y2 + (x + z)y + xz][ xz][x x + z] z ] + xyz
efectuando:
E = y 2(x + z) + (x + z)2y + xz(x + z) + (xyz)
E = (ax2 - ax - x)(ax2 + ax - x - 1) + a
agrupando de dos en dos y extrayendo factor común:
haciendo ax2 - x = y
E = y(x + z)[y + x + z] + xz(x + y + z)
E = (y - ax)(y + ax - 1) + a
factorizando:
efectuando nuevamente y simplificando:
E = (x + y + z)(xy + yz + xz)
E = y 2 - y - ax(ax - 1)+a
reponiendo los valores asignados:
reemplazando y por el valor asignado:
E = (a + b + b + c + a + c) [(a + b)(b + c)
E = (ax2 - x)2 - (ax2 - x) - ax(ax - 1) + a extrayendo el factor común en los dos primeros paréntesis: E = x 2(ax - 1)2 - x(ax - 1) - ax(ax - 1) + a
+ (b + c)(a + c) + (a + b)(a + c)] c) ] reduciendo y efectuando: E = 2( 2(a+ a+ b+ c) [b2 + ab +ac + bc + c2 + ac + bc + ab + a2 + ac + ab + bc] bc]
Á L G E B R A
E = 2(a + b + c) (a2 + b2 + c2 + 3ab + 3ac + 3bc)
agrupando de la siguiente manera:
[(
E = 2(a + b + c) [(a + b + c)2 + ab + ac + bc] bc]
1 E = x 2 6 x2 + –– x2
E .4) FACTORIZACIÓN RECÍPROCA POLINOMIO RECÍPROCO.- Es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de los términos equidistantes del centro son iguales.
El polinomio:
) (
1 + 5 x + –– x
haciendo: 1 1 x + ––2 = a ; x2 + –– = a2 - 2 x x E = x 2[6(a2 - 2) + 5a + 6] 6]
P(x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
efectuando:
es recíproco siempre y cuando A = E; B = D.
E = x 2(6a2 + 5a - 6)
Ejemplos:
aplicando aspa simple al paréntesis:
i) ii)
) + 6]
4x4 + 9x3 + 7x2 + 9x + 4
3a
-2 (3a - 2)(2a + 3)
7x6 + 4x5 + 5x4 + 8x3 + 5x2 + 4x + 7
PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO RECIPROCO. 1) Se extrae, como factor común, la parte literal del término central, que al final se debe eliminar. 2) Se realiza el siguiente cambio de variables: 1 =a x + –– x 1 x2 + ––2 = a2 - 2 x
1 x3 + ––3 = a3 - 3a x
2a luego: E = x 2(3a - 2)(2a + 3)
reemplazando el valor de “a”:
[(
4) Se repone los valores asignados a las variables.
) ] [2(x + ––1x ) + 3]
1 -2 E = x 2 3 x + –– x operando: E=x
3) Se realiza las operaciones y se factoriza.
+3
2
[
][
]
3x2 + 3 - 2x 2x2 + 2 + 3x ––––––––––– ––––––––––– x x
Simplificando: E = (3x2 - 2x + 3)(2x2 + 3x + 2)
EJERCICIOS RESUELTOS 2.- Factorizar: 1.- Factorizar:
E = x 6 + 15x5 + 78x4 + 155x3 + 78x2 + 15x + 1 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6 Solución:
Solución:
Extrayendo factor común “x3”
Extrayendo factor común x2:
y agrupando:
(
5 + –– 6 E = x 2 6x2 + 5x + 6 + –– x x2
)
[(
) (
) (
)
]
1 +15 x2 + –– 1 +78 x + –– 1 + 155 E = x3 x3 + –– 3 2 x x x
haciendo:
Este es un polinomio recíproco, al que aplicaremos el método de factorización recíproca:
1 =a x + –– x 1 x + ––2 = a2 - 2 x
1 x + ––3 = a3 - 3a x
2
3
[(
) (
)
(
1 + 7 x2 + –– 1 + 10 x + –– 1 E1 = x3 x3+ –– x x3 x2 haciendo:
E = x 3(a3 - 3a + 15a2 - 30 + 78a + 155)
1 =a x + –– x
E = x 3(a3 + 15a2 + 75a + 125)
1 x2 + ––2 = a2 - 2 x
E = x 3[a3 + 3(a2)(5) + 3(a)(52) + (5)3]
1 x3 + ––3 = a3 - 3a x
que se puede escribir como:
E1 = x3(a3 - 3a + 7a2 - 14 + 10a - 1)
E = x 3(a + 5)3
E1 = x3(a3 + 7a2 + 7a - 15)
reemplazando a por el valor asignado:
llamando:
(
1 +5 E = x 3 x + –– x
)
) - 1]
E2 = a3 + 7a2 + 7a - 15
3
factorizando por divisiones sucesivas; para a = 1, P(1) = 0; luego un factor es (a - 1) y dividiendo por Ruffini:
x3(x2 + 1 + 5x)3 E = ––––––––––––– x3 E = (x2 + 5x + 1)3
1 3.- Factorizar:
+7
+7
-15
+1
+8
+15
+8
+15
0
↓
E = x 7 + 8x6 + 17x5 + 9x4 + 9x3 + 17x2 + 8x + 1
1 1
Solución: Como se observa el polinomio tiene un número par de términos; por lo tanto, factorizaremos por divisores binomios previamen previamente: te:
El otro factor es:
Para x = -1 se obtiene P(-1) = 0, luego un factor es (x + 1) y el otro se obtiene dividiendo por Ruffini:
Luego:
a2 + 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)
E2 = a3 + 7a2 +7a - 15 = (a - 1)(a + 3)(a + 5) por lo tanto:
1
+8 +17 +9
+9 +17
+8
+1 E1 = x3(a - 1)(a + 3)(a + 5)
↓
-1
-1 1
-7
-10
-7
-1
reponiendo el valor de a:
+10 +7
+1
0
1 -1 E1 = x3 x + –– x
-10 +1
+7 +10 -1
(
) (x + ––x1 + 3)(x + ––1x + 5)
El otro factor es:
efectuando:
E1 = x6 + 7x5 + 10x4 - x3 + 10x2 + 7x + 1
x2 - x + 1 x2+ x + 3x x2 + 1 + 5x E1 = x3 ––––––––– –––––––––– –––––––––– x x x
(
)(
)(
)
Á L G E B R A
Simplificando:
z
E1 = (x2 - x + 1)(x2 + 3x + 1)(x2 + 5x + 1) x
finalmente:
y
E = (x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + 3x + 1)(x2 + 5x + 1) E.5) FACTORIZACIÓN SIMETRICA Y ALTERNADA
intercambiando dos cualquiera de sus variables sean éstas “x” ó “y”, es decir reemplazando a “x” por “y” y a “y” por “x”, se tiene:
POLINOMIO SIMETRICO.- Se dice que un polinomio es simétrico simétrico respecto a sus variables cuancuando su valor no se altera por el intercambio de cualquier par de ellas y además es homogéneo.
P(x,y,z) = z2(y + x) x) + x2(y + z) +y2(x + z) +2y . xz ordenando en forma circular:
Ejemplo: Sea el polinomio:
P(x,y,z) = z2(x + y) + y2(x + z) +x2(y + z) + 2xyz
P(x,y,z) = z2(x + y) + y2(x + z) + x2(y + z) + 2xyz
se obtiene la misma expresión, entonces la expresión es simétrica.
Nótese que la expresión sigue una forma circular o cíclica:
REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES SIMÉTRICAS
Con dos variables: x, y. Forma particular
Forma general
1er.Grado
x+y
A(x + y)
2do.Grado
x2 + xy +y2
A(x2 + y2) + Bxy
3er.Grado
x3+ x2y + xy2 + y3
A(x3 + y3)+B(x2y+xy2)
Con tres variables: x, y, z. Forma particular 1er.Grado 2do.Grado 3doGrado
x+y+z x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz x3 + y3 + z3+ x2y + x 2z + y2z + y 2x + z2x + z 2y + xzy
Forma general A(x + y + z) A(x2 +y2 + z2) + B(xy + xz + yz) A(x3+ y3+ z3) + B(x2y + x 2z + y 2z + y 2x + z 2x + z 2y) + Cxyz
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN POLINOMIO SIMÉTRICO.- Las operaciones de un polinomio simétrico con expresiones simétricas dan como resultado también expresiones simétricas. POLINOMIO ALTERNO.- Se dice que un polinomio es alterno alterno respecto a sus variables, cuando su signo se altera pero no su valor absoluto al intercambiar un par cualquiera de ellas, y es homogéneo.
PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTE ALTERNOS. RNOS. (1) Una expresión simétrica o alterna de variables x,y,z, si es divisible entre “x”, entonces también será divisible entre “y”, y entre “z”. (2) Una expresión simétrica o alterna de variables x,y,z, x,y ,z, si es divisible entre entre (x ± y), entonces también será divis divisible ible entr entree (y ± z) y (z ± x). FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO SIMÉTRICO Y ALTERN ALTERNO. O.
Ejemplo: Sea el polinomio: P(x,y,z) = x2(z - y) + y2(x - z) + z2(y - x) El polinomio sigue una forma circular o cíclica: y z
x
1º Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno. 2º Encontrar los factores de la expresión aplicando el Teorema del Resto y ampliarlo aplicando las propiedades del polinomio simétrico y alterno. 3º Calcular el cociente, planteando la identidad de 2 polinomios y aplicando el criterio de los valores numéricos. Ejemplo: Factorizar: (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
intercambio “x” e “y”, se tiene: y2(z
- x) +
x2(y
- z) +
z2(x
Solución: - y)
cambiando de signos: -y2(x
- z) -
x2(z
- y) -
z2(y
- x)
-[x2(z - y) + y2(x - z) + z2(y - x)] x)] o también también:: -P(x,y -P(x,y,z) ,z) Por lo tanto, el polinomio es alterno. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN POLINOMIO ALTERNO.
1) Intercambiando “x” por “y” la expresión es alterna. 2) Cálculo de los factores. Valor numérico para x = y : (y - y)3 +(y - z)3 +(z - y)3 = (y - z)3 +[-(y - z)] z)]3 = (y - z)3 - (y - z)3 = 0 ∴
El polinomio es divisible entre (x - y).
Por ser el polinomio alterno, también será divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido indicado.
(1) No hay expresiones alternas que contengan más de dos variables y sean de primer grado. (2) Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en forma de diferencia. (3) El producto de una expresión simétrica por una alterna da como resultado una expresión alterna.
x z
y
Á L G E B R A
Es decir: (y - z), (z - x). ∴
El polinomio es divisible entre el producto: (x - y)(y - z)(z - x).
Como se anula, entonces un factor es (a - b), y como es alterno, los otros factores siguen un orden circular, en el sentido indicado, es decir: a
3) Se plantea la identidad de polinomios siguiente:
(b - c)
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
c
144442444443
b
(c - a)
3er.Grado ≡
(x - y)(y - z)(z - x) 1442443
Q
.
14243
3er.Grado
Grado cero
Por ser el polinomio de tercer grado, Q debe ser de grado cero, es decir debe ser un número: (x-y)3 +(y-z)3 +(z-x)3
≡
Realizando la identidad de polinomios: E = (a3 + b3)(a - b) + (b3 + c3)(b - c)
Para x = 1, y = 2, z = 3: 3
M(a + b + c)
Q(x - y)(y - z)(z - x)
Probemos un juego de valores para x,y,z.
3
4) El polinomio es de 4to.grado y los factores obtenidos dan producto de 3er.grado, por lo que hace falta un polinomio de primer grado simétrico y de tres variables de la forma:
+ (c3 + a3)(c-a) ≡ M(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)
3
(1 - 2) +(2 - 3) +(3 - 1) = Q(1 - 2)(2 - 3)(3 - 1)
Dando valores para a = 1, b = 0, c = 2, se obtiene:
(-1)3 + (-1)3 + (2)3 = Q (-1)(-1)(2)
1 - 16 + 9 = M(3)(1)(-2)(1)
-1 - 1 = 8 = Q(2) ∴
3=Q la expresión factorizada es finalmente:
M=1
finalmente: E = (a + b + c)(a - b)(c - a)(b - c)
3(x - y)(y - z)(z - x)
2.-- Factorizar: 2.
EJERCICIOS RESUELTOS
E = (a + b)5 - a5 - b5
1.- Factorizar: E =(a3 + b3)(a-b)+(b3+ c3)(b-c) + (c3 + a3)(c-a)
Solución:
Solución:
1) Intercambiando “a” y “b” el polinomio, es simétrico.
1) Inter Intercambiando cambiando a por b, el polinomio es alterno. 2) Para a = 0: -b4 + (b3+c3)(b - c) + c4
≠
0
(no hay factores monomios) 3) Para a = b: (b3 + c3)(b - c) + (b3 + c3)(c - b) = 0
2) Para a = 0; V.N.P. = 0, un factor es “a” y el otro “b” por propiedad de polinomios simétricos. 3) Para a = -b. V.N.P. = 0; otro factor es (a + b). 4) El polinomio es de 5to. grado y ab(a + b) es de 3er. grado, falta un polinomio simétrico de 2do. grado de dos variables de la forma: M(a2 + b2) + Nab
realizando la identidad de polinomios:
Realizando la identidad de polinomios:
E = (a + b)5- a5- b5 = a . b(a+ b) b){{M(a2 + b2) + Nab} Nab}
E = (a + b + c)4 - (b + c)4 - (a + c)4 - (a + b)4 + a4 + b4 + c 4
dando valores para a = 1, b = 1:
(1 + 2 - 1)4- (2 - 1)4- (1 - 1)4- (1 + 2)4 + (1)4
2M + N = 15
(I)
para a = 1, b = 2:
+ (2)4 + (-1)4 = M(1)(2)(-1)(1 + 2 - 1) 16 - 1 - 81 + 1 + 16 + 1 = -4M M = 12
243 - 1 - 32 = 2(3) (5M + 2N) 5M + 2N = 35
(II)
resolviendo (I) y (II), para lo cual operamos (I) (-2) + (II): -4M - 2N = -30 -4M -30 5M + 2N = 35 ––––––––––––– M= 5
entonces, finalmente: E = 12(abc)(a + b + c) 4.- Factorizar: E = m 3(n - p) + n3(p - m) + p3(m - n) Solución: 1) Intercambio n por p, el polinomio es alterno.
Sustituyendo en (I):
2) Cálculo de los factores. Para n = p:
10 + N = 15
VE = m3(p - p) + n3(p - m) + n3(m - p)
N=5 Luego, el polinomio factorizado es:
VE = 0 + n3(p - m) + n3[-(p - m)] m)]
E = ab(a + b)[ b)[5(a2 + b2) + 5ab] 5ab]
VE = n 3(p - m) - n3(p - m) = 0
E = 5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)
Luego, E es divisible por “n - p”.
3.- Factorizar: E = (a + b + c)4 - (b + c)4 - (a + c)4 - (a + b)4 + a4 + b4 + c4
Por ser el polinomio alterno, también será divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido indicado. n
Solución:
ii)
Mabc(a + b + c)
dando valores a = 1, b = 2, c = -1:
32 - 1 - 1 = 1(2)(2M + N)
i)
≡
Intercambiando a por b, el polinomio es simétrico.
m
p
Haciendo a = 0, se obtiene: E = (b + c)4 -(b + c)4 - c4 - b 4 + b4 + c4 = 0
Luego, “a” es un factor; y los otros, “b” y “c”. iii)
El producto abc es de tercer grado y como el polinomio es de cuarto grado, se necesita un polinomio simétrico de primer grado y de tres variables de la forma M(a + b + c).
es decir: (p - m), (m - n). Luego, E es divisible entre:(n - p)(p - m) (m - n) 3)
E = 123
4°
Q 12 3
1°
(n - p)(p - m)(m - n) 14 444424444 443
3°
Á L G E B R A
Por ser el polinomio de cuarto grado, Q debe ser de primer grado y de la forma A(m + n + p); es decir: simétrico, de primer grado y 3 variables: m3(n - p) + n3(p - m) + n3(m - n) ≡
A(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n)
2.- Factorizar: E = 4x4 + 4xy2 - y4 + 1 Solución: Se trata de obtener dos trinomios cuadrados perfectos, sumando y restando 4x2:
Dando un juego de valores m = 1, n = 2, p = 3. 3
3
3
(1) (2 - 3) + 2 (3-1) + 3 (1 - 2) = A(1 + 2 + 3)(2 - 3)(3 - 1)(1 - 2)
E = (4x4 + 4x2 + 1) - (4x2 - 4xy2 + y4) factorizando: E = (2x2 + 1)2 - (2x - y2)2
(1)(-1) +8(2) +27(-1) = A(6)(-1)(2)(-1) factorizando la diferencia de cuadrados: -1 + 16 - 27 = 12A E = (2x2 + 1 + 2x - y2)(2x2 + 1 - 2x + y2) ∴
A = -1
El polinomio factorizado es, por lo tanto: E = -(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n) E.6) OTROS ARTIFIC ARTIFICIOS. IOS.
Cualquier otro artificio matemático dependera del cuidado,ingenioy atención que ponga el operador para introdu introducirla. cirla.
finalmente: E = (2x2 + 2x - y2 + 1)(2x2 - 2x + y2 + 1) 3.- Factorizar: x3 + y3 - 3xy + 1 Solución: Sumando y restando: 3x2y, 3xy2: E = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + 1- 3xy - 3x2y - 3xy2
EJERCICIOS RESUELTOS
Se puede reescribir así:
1.- Factorizar: E = (x + y)3 + 13 - 3xy(x + y + 1) E = x 6 + 21x4 + 119x2 - 1 Solución: En este ejercicio, se trata de hallar dos trinomios cuadrados perfectos. Se puede escribir la expresión como: E = x 6 + 22x4 + 121x2 - (x4 + 2x2 + 1) factorizando: E = (x3+ 11x)2 - (x2 + 1)2
factorizando la suma de cubos: E =[ =[(x+y) +1][ +1][(x+y) (x+y)2 - (x +y)+1] +y)+1] -3xy(x + y + 1) factorizando (x + y + 1): E =(x + y + 1)(x2 + 2xy + y2 - x - y + 1 - 3xy) E =(x + y + 1)(x2 - xy + y2 - x - y + 1) 4.- Factorizar: (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)2 - x5
factorizando la diferencia de cuadrados: E = (x3 + 11x + x2 + 1)(x3 + 11x - x2 - 1)
Solución: Escribiendo como cociente notable:
finalmente: E = (x3 + x2 + 11x + 1)(x3 - x2 + 11x - 1)
(
)
1 - x 6 2 - x5 E = ––––––– 1-x
común denominador:
(1 - x5) - x 7(1 - x5) E = ––––––––––––––––– (1 - x)2
(1 - x6)2 - x5(1 - x)2 E = –––––––––––––––––– (1 - x)2
(1- x5)(1 - x7) 1- x5 E = ––––––––––––– = –––––– (1 - x)2 1-x
(
efectuando el numerador: 1 - 2x6 + x12 - x5 + 2x6 - x7 E = ––––––––––––––––––––––– (1 - x)2 reduciendo, reduciend o, agrupando y factorizando:
)(
1 - x7 –––––– 1-x
)
desarrollando desarrolland o por cocientes notables: E =(1 + x + x2 + x3 + x4)(1 + x + x2 + x3+ x4 + x5 + x6)
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar “a” para que los polinomios tengan un factor común: x3 -ax2 + 19b - a - 4 ; x3 - (a + 1)x2 + 23x - a - 7 a) 0
b) 4
d) 3
5. Indicar uno de los factores de la siguiente expresión: (a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) + 2(a4 + b4 + c4)
c) 8
e) -1
2. Indicar la suma de los coeficientes de un factor de:
a)(a2 + b2 + c2)
b) (ab + ac + bc)
c)(a + b + c)
d) No posee factores
e) abc
2
x(x + a)(x + 1)(x + a) + (2x2 + x + a)(x2 - 2x + a)(x2 + x + 2a) a) 2 + a
b) 1 + a
d) 2(a)
e) (2 - a)
c) 2(1 + a)
3. Calcular el número de factores de la siguiente expresión: {(x + b)2 + b2}2(x2 - a2) + 4x2y2(x + b)2 a) 2 d) 4
b) 6 e) 3
x5 - 2x3 - x + 1
d) 5
b) 3
x(x + 2)(x2 + 2x - 8)(x2 + 2x - 3) + 35(x2 + 2x + 2)2 a) 0
b) 1
d) 5
e) 7
x7 + x6 - x5 + x3 + 2x2 - 1 a) 4
b) 3
d) -1
e) 0
c) 2
8. Calcular el coeficiente de “x2” en uno de los factores de: x12 - 2x4 - 2x2 - 3
c) 4
e) No se puede factorizar
c) 2
7. Calcular el valor numérico de uno de los factores para x = 1.
c) 8
4. Indicar el grado de uno de los factores de:
a)1
6. Indicar el coeficiente de x2 de uno de los factores de:
a) 2
b) 1
d) -2
e) 0
c) -1
Á L G E B R A
9. Calcular el término independiente de uno de los factores de: (x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504 a) 9
b ) 18
d) 2
e) 12
c) 6
x3 + ax2 + 11x + 6 ; x3 + bx2 + 14x + 8 b) a = 7 b=6
d) a = 6 b=5
e) a = 4 b=8
b) 3
d) 6
e) 15
c) 10
15. Calcular el número de factores de la siguiente expresión: (a2x2 + 1)(a2x2 + 2)(a2x2 - 3)(a2x2 - 4) - 36
10. Determinar “a” y “b” para que los polinomios tengan un factor común de la forma: forma: x2 + px + q:
a) a = 6 b= 7
a) 1
a) 2
b) 4
d) 5
e) 6
16. Indicar el grado grado de uno uno de los factores de:
c) a = 5 b=6
11. Indicar la suma de los coeficientes de un factor de:
c) 3
32(a2 + 4)5 - (a2 + 5)5 - (a2 + 3)5 a) 4
b) 5
c) 3
d) 1
e) No se puede factorizar
17. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
(x4 + 3x2 + 1)2 + (2x2 + 3)2 2p(x2 + y2 - xy) - p2(x - y) - (x - y)(x2 + y2) a) 5
b ) 10
d) 2
e) 4
c) 3
12. Calcular el grado de uno de los factores de: x3y(zx - y2) +y3z(xy - z2) + z 3x(yz - x2) a) 5
b) 4
d) 2
e) 1
a) p
b) p + 1
d) 2p - 1
e) p + 2
18. Calcular el número de factores de la siguiente expresión: (4b2c2 - 2ab2c + a 4)2 - (4a2 - bc - a3b)2
c) 3
13. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
a) 8
b) 7
d) 4
e) 3
a) (ab + 1)
b) a2 + b2
d) 2
e) 0
c) a2 - b2
x10 - 10x6 + 24x2 + 14x - 49 a) 2
b) 1
d) -4
e) 0
c) -2
20. Indicar el grado de uno de los factores de:
14. Dar el término independiente de uno de los factores de 1er. grado de la expresión: 4-4(y + 3)2 -(y +4)(y + 2)3 + 13(y + 4)3(y + 2)
c) 5
19.. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de: 19
a3bxy + b2a2y2 - a2b2x - 2ab3xy + a2x2y2 + abxy3 - abx3y - b 2x2y2
c) 2p + 1
(x3 + x2y2 + y3)3 - (x3 + x3y3 + y3)2 a) 3
b) 5
d) 6
e) 8
c) 4
21. Calcular el término independiente de uno de los factores de: (x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38 a) 2
b) -5
d) 9
e) 1
c) 3
22. Cuántos factores posee la expresión: (x3 - y3 + 3xy2 + 6x2y)3 + (y3 - x3 + 3xy2 + 6y2x)3
27. Señalar la suma de los coeficientes de un factor de: (a - b)2(a - c)2 + (c - a)2(c - b)2 + (b - c)2(b - a)2 a) 0
b) 2
d) 1
e) 3
c) -1
28. Señalar la suma de los coeficientes de un factor de: x3(z - y2) + y 3(x - z2) + z 3(y - x2) + xyz(xyz - 1)
a) 8 d) 2
b) 6
c) 4
x6 + x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1 a) 3
b) 2
d) 1
e) -1
c) 0
24. Indicar el coeficiente de “x” en uno de los factores de: x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1
d) -2
b) 2
d) 1
e) 0
c) -1
e) 5
23. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
a) 1
a) 3
b) -1
29. Calcular el coeficiente de ‘x” en uno de los factores de: (x - 3)2(x - 5)(x - ) - 5{ 5{(x - 4)(x - 2) + 3} 3} a) -12
b) 2
d) 8
e) 4
30. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de: a5 + b5 + ab (a + b)(a2 + b2)
c) 2
e) 0
25.. Calcular la suma de los coeficientes de un factor 25 de:
a) -2
b) 3
d) -3
e) 0
b) +1
d) 0
e) -3
x6 + 5x2 - 6x4 + 2x3 - 6x + 1 c) 2
26. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión:
a) 6
b) 5
d) 3
e) 2
xy4 - x4y + zy4 +zx4 + yz4 + xz4
pueda descomponerse en dos factores? b) 10
d)8
e) 6
C) 4
c) 4
32. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
10x2 + (a + 3)xy - (a - 7)y2 - x + (a - 3)y - 2
a) 2
c) -1
31. Calcular el número de factores de:
x3 + y3 - 3xy + 1 a) -1
c) 3
a) 2
b) 4
d) 3
e) 1
c) 6
Á L G E B R A
33. Calcular el término independiente de uno de los factores de:
39. Calcular el grado de uno de los factores de: x17 + x2 + 2x + 2
(x2 + 2)(x2 + 4)(x2 + 5)(x2 +7) - 46x2(x2 + 9) -361 a) 80
b) 1
d) 3
e) 9
c) 2
34. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
a) 3
b ) 15
d) 5
e) 4
c) 7
40. Dar el término independiente del factor de 1er. grado de: (2x +1)3 + (2x+2)3+(2x+3)3 + .…(2n -1)terminos -1)terminos
4(2x + 1)(x + 1)(2x + 3)(x + 2) - 3 a) 23
b) 20
d) 2
e) 4
c) 14
a) n
b) 2n
d) 2n + 1
e) n3
41. Señalar un factor de la expresión:
35. Calcular el número de factores de: x6(y3 - z3) + y 6(z3 - x 3)+z6(x3 - y3) a) 9
b) 6
d) 4
e) 5
c) 2n - 1
c) 3
(z12 - x6)(x4 - y6) + (x4 - z8)(x6 - y4) a) x2y3 + y4z3 + x4z2
b) x2y3 + y3z4 + x2z4
c) x2y3 + y2z6 + x3z3
d) x2y6 + y3z4 + x2z4
e) x2y4 + y3z5 + x4z4 36. Calcular la suma de los coeficientes de uno de los factores:
42. Reconocer la suma de los factores de la expresión:
(2a2 + 3ab - b2)2 - 4(a2 - b 2)(a2 + 3ab + 2b2) a) 2
b) 1
d) -1
e) 3
c) 0
37. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de: m(m2 + mn - 1) - n(n2 + mn - 1) a) 3
b) -1
d) -2
e) -3
d) 1
e) 0
b) 4(x + y)
c) x + y + z
d) x + y - z
e) x + y + 1 43. Factorizar: (x3 + z3)3y3 + (x3 - y3)z3 y dar el número de factores:
(x2 + y + 1)3 - (x 2 + 1)(x2 - 3y + 1)2 b) a + 2
a) 3(x + y + z)
c) 2
38. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
a) a + 1
(x2 - z2 + y2 + 2xy + 1) 2 - 4(x + y)2
c) 3a - 1
a) 6
b) 3
d) 4
e) 9
c) 5
44. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de: (y + z - 2x)4 + (z + x - 2y)4 + (x + y - 2z)4
a) 1
b) 6
d) 3
e) 0
c) -1
c) 2ab + cd - 5ef -2 e) 2ab - cd - 5ef - 2
45. Calcular el número de factores de:
48. Calcular un factor de:
(x - a)3(b - c)3 + (x - b)3(c - a)3 + (x - c)3(a - b)3 a) 6
b) 5
d) 3
+ acdx + bcd
46. Señalar un factor de:
a)(ax + b2)
b) ax + c2
c) ax + d
d) bx + a
e) bx + c
6x2 + 7xy - 5y2 + 6xz + 23yz - 12z2 + 5x - 22y
49. Determinar cuántos factores tiene:
+ 37z - 21 a) 3x - 5y + 3x - 7
b) 2x + y + 4z -3
c) 3y - 5x - 3z + 7
d) 2x - y + 4z -3
e) 3x - 5y - 3z -7
4x3y2z2 + 6x4y2z + 10x4y2z3 - 2x2y3z4 - 9x3y3z3 - 5x3y3z3 a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
50. Marcar un factor en:
47. Señalar un factor de:
a3(b + c) - c2(a2 + b2) + ab2(a + b + c) + b4
2 2
14a b + abcd - 3c d - 31abef + 17cdef -10e2f 2 - 22ab + 3cd + 16ef + 8 a) 7ab + 3cd + 2ef - 4
a3x3 + a2x2b + a 2x2c + a 2x2d + abcx + abdx
c) 2
e) 4
2 2
d) 7ab - 3cd - 2ef + 4
b) 2ab + cd + 5ef + 2
a) a + b
b) a2 + c2
d) a + b - c
e) a + c
c) a + b + c
CLAVE CLA VE DE RESPUESTAS
1) C
2) A
3) D
4) B
5) A
6) C
7) B
8) B
9) C
10 ) A
1 1) B
12) D
1 3) A
14) E
15) C
16) A
17) A
1 8) D
19) A
20) A
2 1) B
2 2) B
23) A
24) B
25) D
26) B
2 7) A
28) E
29) A
30) B
31) B
32) C
33) A
34) A
35) B
36) A
3 7) A
38) C
39) B
4 0) A
41) B
42) B
43) E
4 4) E
45 ) A
46) D
4 7) C
48) C
49) C
50) D
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