Diseño con medidas repetidas.
Marcelo Rodríguez G. Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas Ingeniería en Agronomía
Diseño Experimental
22 de mayo de 2011
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Marcelo Rodríguez G.
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Introducción
De nición (Diseños con Medidas Repetidas) Se caracteriza porque todos los niveles del factor se aplican a las mismas unidades experimentales. Las comparaciones ante los distintos tratamientos se lleva a cavo dentro de un único grupo de UE's (comparaciones intra-sujetos), no estableciéndose comparaciones entre diferentes grupos de UE's. Se re ere a mediciones repetidas de la variable de dependiente en cada unidad experimental, haciendo hincapié en experimentos con observaciones realizadas en ocasiones sucesivas en el tiempo. Las ventajas de los diseños de medidas repetidas son evidentes: requieren menos sujetos que un diseño completamente aleatorizado y permiten eliminar la variación residual debida a las diferencias entre los sujetos (pues se utilizan los mismos).
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Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas
En un experimento diseñado para estudiar el efecto del paso del tiempo sobre incidencia de una plaga, a un grupo de 9 plantas se les cuenta el número de ninfas vivas. Se aplica un producto químico, más tarde, al cabo de una hora, de un día, de una semana y de un mes, se les cuanta el número de ninfas vivas. Se trata de un diseño de un factor (al que podemos llamar tiempo) con cuatro niveles (los cuatro momentos en los que se registra: al cabo de una hora, de un día, de una semana y de un mes) y una variable dependiente (la cantidad de ninfas vivas). Planta 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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hora 16 12 12 15 18 13 18 15 20
día 8 9 10 13 12 13 16 9 9
semana 8 9 10 7 12 8 10 6 11
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mes 12 10 8 11 12 10 13 6 8 22/05/2011
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Datos para un diseño de un factor con medidas repetidas
Unidades Experimentales 1 2 3 .. . n Media
1
Factor A (tiempo) 2 3 ··· k
y11 y12 y13 y21 y22 y23 y31 y32 y33 .. .
.. .
.. .
yn1 yn2 yn3 y 1 y 2 y 3
··· ··· ···
..
.
··· ···
y1k y2k y3k .. .
ynk y k
Medias
y 1 y 2 y 3 .. .
y n y
El arreglo es parecido al diseño en bloque, la diferencia radica en que en el diseño con medidas repetidas simples, a cada unidad experimental se le mide la variable dependiente en los distintos tiempos (j = 1, 2, . . . , k ).
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Descomposición de la suma de cuadrados
Suma de cuadrados total: SCT =
k n X X
(yij − y )2
i =1 j =1
Suma de cuadrados del tiempo (tratamientos): SCA =
n X k X i =1 j =1
(y j − y )2
Suma de cuadrados de los unidades experimentales: n X k X SCS = (y i − y )2 i =1 j =1
Suma de cuadrados del error: SCE = SCT − SCA − SCS
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Prueba de hipótesis
(Tabla de ANOVA) Modelo
Suma de cuadrados
Tiempo (Tratamiento) Unidades Exp. Error Total
SCA SCS SCE SCT
Grados de libertad
MCA
k −1 MCA=SCA/(k-1) MCE n−1 (k − 1)(n − 1) MCE=SCE/[(k-1)(n-1)] nk − 1
(Hipótesis) H0 : µ1 = µ2 = · · · = µ k
Fc
Media cuadrática
v/s
H1 : µi 6= µj ,
para algún i , j
(Reglas para el rechazo de H0 )
Fijar α y Rechace H0 si Fc > F1−α (k − 1, (k − 1)(n − 1)) Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P (F > Fc ).
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Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas
Considerando el ejemplo anterior del número de ninfas vivas, pruebe la hipótesis de que existen diferencia en el número de ninfas vivas para las cuatro fechas de medición. Sujetos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Promedio
SCT
=
9 X 4 X
hora 16 12 12 15 18 13 18 15 20 15,44
día 8 9 10 13 12 13 16 9 9 11,00
semana 8 9 10 7 12 8 10 6 11 9,00
mes 12 10 8 11 12 10 13 6 8 10,00
Promedio 11,00 10,00 10,00 11,50 13,50 11,00 14,25 9,00 12,00 y =11,36
(yij − 11, 36)2
= (16 − 11, 36)2 + (12 − 11, 36)2 + . . . + (8 − 11, 36)2 = 410, 306.
(y j − 11, 36)2
= 9[(15, 44 − 11, 36)2 + (11 − 11, 36)2 + (9 − 11, 36)2 + (10 − 11, 36)2 ] = 218, 083.
(y i − 11, 36)2
= 4[(11 − 11, 36)2 + (10 − 11, 36)2 + . . . + (12 − 11, 36)2 ] = 91, 556
i =1 j =1
SCA
=
9 X 4 X i =1 j =1
SCS SCE
=
9 X 4 X i =1 j =1
=SCT-SCA-SCS
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= 410, 306 − 218, 083 − 91, 556 = 100, 667 Marcelo Rodríguez G.
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Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas
Ordenando la información en una tabla de ANOVA Modelo Fechas Unidades Error Total
Suma de cuadrados 218,083 91,556 100,667 410,306
Grados de libertad 3 8 24 35
Media cuadrática 72,694
Fc 17,331
4,194
Como, Fc = 17, 331 > F0,95 (3, 24) = 3, 01 y valor-p= 0, 000. Entonces, se debería rechazar H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 . Por lo tanto, existe un efecto en el número de ninfas vivas, atribuible a las cuatro fechas de medición.
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Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS
(Ejemplo de un Diseño con medidas repetidas simples en SPSS) En SPSS, Analizar -> Modelo lineal general -> Medidas repetidas. 1
2 3 4
5
Póngale el Nombre al factor intra-intrasujeto, en este ejemplo el nombre sería fechas. Indique el Número de niveles (en este ejemplo es 4). Seleccionar Añadir y luego De nir. Seleccionar los tratamientos (fechas) y trasladarlas a la lista Variables intra-sujetos. Luego, Aceptar.
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Se ofrecen varios estadísticos para poner a prueba la hipótesis nula referida al efecto del factor tiempo (son métodos alternativos al visto anteriormente). Contiene cuatro estadísticos multivariantes. Se interpretan de la misma manera que el resto de estadísticos ya estudiados: puesto que el valor−p (Sig.) asociado a cada uno de ellos es menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad de medias y concluir que el número de ninfas promedios di ere a través del tiempo.
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En los modelos de medidas repetidas es necesario suponer que las varianzas de las diferencias entre cada dos niveles del factor MR son iguales. Con, por ejemplo, 4 niveles, tenemos 6 pares de combinaciones dos a dos entre niveles: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4 y 3-4. Calculando las diferencias entre las puntuaciones de esos 6 pares, tendremos 6 nuevas variables. En el modelo de un factor MR suponemos que las varianzas de esas 6 variables son iguales.
Puesto que el valor−p asociado al estadístico W (0,804) es mayor que 0,05, no podemos rechazar la hipótesis de esfericidad. Por lo tanto, se esta cumpliendo el supuesto de igualdad de varianzas y se podría utilizar esta técnica (en caso que no se cumpla el supuesto se deben utilizar la prueba de Esfericidad asumida (la que calculamos)).
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Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS
Observando los resultados de la tabla vemos que las cuatro versiones del estadístico F (la no corregida y las tres corregidas) conducen a la misma conclusión, que a su vez coincide con la ya alcanzada utilizando la aproximación multivariada.
puesto que el valor−p (Sig.) es menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis de igualdad de medias y concluir que el número de ninfas promedio no es la misma en las cuatro medidas obtenidas. Estos cálculos los obtuvimos anteriormente con formulas.
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La tabla recoge, para cada contraste, la información necesaria para contrastar la hipótesis nula de que el polinomio o componente evaluado vale cero en la población.
Podemos concluir, por tanto, que las medias del número de ninfas, en cada momento temporal se ajustan signi cativamente tanto a una línea recta (componente lineal) como a una curva (componente cuadrático). Conviene señalar que, cuando existe más de un componente signi cativo, suele interpretarse el de mayor orden.
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Grá co de per l: Ajuste polinomial
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Grá co de per l: Ajuste polinomial
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Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS
Grá co de per l: Ajuste polinomial
Podemos observar en él que número de ninfas va disminuyendo con el paso del tiempo, pero sólo hasta el momento 3 (una semana), a partir del cual se observa una ligera recuperación.
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