8 - Dimenzionalna analiza i teorija slicnosti (1).pdf

Dimenzionalna Dimenzionalna analiza i teorija sličnosti

• Dimenzionalna analiza i teorija sličnosti predstavljaju naučne  osnove eksperimentalnom istraživanju složenih   fizikalnih pojava kako u mehanici fluida, tako i u ostalim područjima fizike. •   Dimenzionalna analiza je oblast koja se bavi analizom dimenzija velicina koje ucestvuju u pojavi koja se istrazuje. Analiza se zasniva na predpostavci da   veza izmedju velicina koje ucestvuju u pojavi, a koja unaprijed nije poznata i tek treba da se istrazi, mora biti ista kao i veza izmedju njihovih dimenzija .

•  Primjenom dimenzionalne analize minimizira se potrebni broj mjerenja za istraživanje   neke pojave, a olakšavaju   se prikaz i tumačenje rezultata mjerenja. • Dimenzija [Q] odnosno jedinica [Q]SI   svake fizikalne veličine   Q u mehanici fluida se može prikazati proizvodom potencija osnovnih dimenzija odnosno jedinica u obliku

gdje su osnovne fizikalne veličine dimenzije osnovne) u mehanici fluida

(čije

su

a eksponenti a, b, c i d tipični za fizikalnu kategoriju Q. •Nisu uvijek potrebne sve četiri osnovne dimenzije. •Dimenzije svih fizikalnih veličina u kinematici fluida mogu opisati s dvije dimenzije: duljine i vremena. •U dinamici nestišljivog   strujanja fluida gdje temperatura fluida ne igra ulogu dovoljne su tri dimenzije: duljine, vremena i mase, a tek u dinamici stišljivog  strujanja taj skup se proširuje  dimenzijom temperature.

Oznake, dimenzije i jedinice nekih izvedenih fizikalnih veličina u mehanici fluida

•  Izbor skupa osnovnih fizikalnih veličina u principu je proizvoljan, te se može koristiti bilo koji skup od četiri   dimenzionalno nezavisne fizikalne veličine. • Dimenzionalna nezavisnost osnovnog skupa fizikalnih veličina podrazumijeva da se dimenzija niti jedne od fizikalnih veličina izabranog skupa ne može   prikazati dimenzijama preostalih fizikalnih veličina u tom skupu.

•   Ovo je sadržano u teoremu o dimenzionalno nezavisnom skupu koji glasi:  Ako samo trivijalno rješenje a1=a2 = ...=an=0, čini proizvod potencija Q1a1 Q1a2  Q1an bezdimenzionalnim, onda je skup n   fizikalnih veličina Q1, Q2 ,...,Qn   dimenzionalno nezavisan.  Ako je n>k , gdje je k   broj osnovnih dimenzija (mjernih jedinica) u skupu, tada skup n fizikalnih veličina ne može biti dimenzionalno nezavisan.

• Na primjer   – Sila, masa i ubrzanje su dimenzionalno zavisne veličine, jer su vezane drugim Newtonovim zakonom.  – Skup od n=3 veličine: brzina, ubrzanje i kutna brzina čije su dimenzije opisane s dvije osnovne dimenzije dužine i vremena (k=2), zbog n>k ne mogu biti dimenzionalno nezavisne.

• Primjer: Ispitati dimenzionalnu nezavisnost skupa veličina ρ, v, L . • Prema teoremu o dimenzionalno nezavisnom skupu traži se rješenje za eksponente a, b, c, koji čine proizvod potencija veličina bezdimenzionalnim, tj.

• Ako se dimenzije ρ, v, L izraze pomoću M, L, T, gornja  jednačina prelazi u oblik:

• Izjednačavanjem eksponenata nad istim bazama lijeve i desne strane gornje jednačine, slijedi sistem linearnih algebarskih jednačina

čije je rješenje trivijalno (a=b=c=0), što znači da je skup veličina ρ, v, L dimenzionalno nezavisan. Ključno značenje u dimenzionalnoj analizi ima Piteorem koji glasi: Svaki fizikalni zakon između n   fizikalnih veličina Q1, Q2 ,...,Qn izražen   funkcijom G(Q1, Q2 ,...,Qn)=0, neovisnom o promjeni mjerila, može   se izraziti kao funkcija n-k  bezdimenzionalnih varijabli u obliku , gdje je k   broj osnovnih veličina čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije čitavog skupa n fizikalnih veličina.

•  Primjenom Pi-teorema se smanjuje broj varijabli u pojavi, čime   se smanjuje potrebni broj mjerenja i olakšava analiza rezultata. Pi-teorem se općenito realizira kroz sljedeće korake: 1) Pretpostavlja se skup n fizikalnih veličina za koji se smatra da upravlja fizikalnom pojavom, te se sastavi tablica s njihovim simbolima i dimenzijama ili mjernim jedinicama, iz koje se odredi broj k, dimenzionalno nezavisnih veličina.

2) Iz skupa od n fizikalnih veličina   izabere se k dimenzionalno nezavisnih veličina i dokaže dimenzionalnu nezavisnost izabranog skupa prema danom teoremu. 3) Od svake fizikalne veličine   izvan skupa dimenzionalno nezavisnih veličina   formira se bezdimenzijski Π   parametar na način   da se njena dimenzija prikaže   dimenzijama fizikalnih veličina   iz dimenzionalno nezavisnog skupa, u obliku

• • a) b)

c) d)

Na taj način skup od n fizikalnih veličina zamijenjen je skupom od n-k bezdimenzijskih Π parametara. Pri tome vrijede sljedeća pravila: ako je n-k ≤ 0, što znači da se ne može formirati niti  jedan Π parametar, ukazuje da je skup od n utjecajnih veličina nepotpun; ako je n-k=1, moguće je sačiniti   samo jedan Π parametar, a problem se svodi na Γ(Π)=0 ili Π=konst, što znači   da je problem principijelno moguće riješiti samo jednim mjerenjem. Bezdimenzijska veličina (npr. kut) već je sama po sebi Π   parametar i ne može   biti uključena   u skup dimenzionalno nezavisnih fizikalnih veličina. Svaki Π   parametar se smije potencirati i množiti proizvoljnom konstantom.

•   Primjeri primjene dimenzionalne analize  Hidrostatički pritisak  Iz hidrostatike je poznat obrazac p-pa= gh, gdje je p-pritisak, -gustina, h-dubina mjerena od slobodne površine. Do ovog obrasca se može doći i primjenom dimenzionalne analize. Pretpostavimo da pritisak zavisi od gustine, gravitacije i od dubine h; tada je p-pa=f( ,g,h)

• U jednačini su 4 nepoznate. Prema Pi teoremi njihov broj se može svesti na  jednu bezdimenzionalnu veličinu. • p-pa=∑B

x

gy hz

B-konstanta, a x,y,z za sada nepoznati brojevi. Dimenzije lijeve i desne strane moraju biti iste

•   p(N/m2= kg/ms2) •   (kg/m3)

ML-3

•   g(m/s2)

LT-2

• h(m)

ML-1T-2

L ML-1T-2=MxL-3xLyT-2yLz 1=x, -1=-3x+y+z, -2=-2y

dobija se x=1, y=1, z=1

• Izraz za pritisak dobija oblik p-pa=∑B

gh=

gh ∑B = B1

gh

B1 ne može se odrediti ovom metodom.

 Isticanje

tečnosti kroz otvor 

Iz posude ističe voda kroz mali otvor. Može se očekivati da će brzina isticanja v zavisiti od gustine tečnosti, gravitacije i od visine H nivoa vode u posudi. v=f( , g, H)= ∑B

x

g y Hz

LT-1=MxL-3xLyT-2yLz 0=x 1=-3x+y+z -1=-2y

}

x=0 y=1/2 z=1/2

H

• Dobija se v= ∑B g1/2 H1/2=B1(gH)1/2 Dakle, brzina ne zavisi od gustine, a proporcionalna je kvadratnom korjenu visine H. Konstanta B1 se ne može odrediti ovom metodom.