7.4 Metodo Rigidez - Porticos

METODO DE LAS DEFORMACIONES (RIGIDEZ) - PORTICOS. 

Nudos pueden sufrir rotaciones y desplazamientos lineales.

5 GDL (DOF)= rotaciones de B, C, D y E + desplazamiento B, C y D (igual para los tres).

7 GDL (DOF)= rotaciones de B, C, D, E y F + desplazamientos lineales en cada uno de los 2 pisos.

Ejemplo 1: Resolución de un portico por el metodo de las deformaciones.

Paso 1: Planteamiento de un portico con continuidad geométrica.

Momentos de empotramiento Perfecto

Paso 2: Calculo de momentos y fuerzas de desequilibrio.

Calculo de PD

Paso 3: Imposición de rotaciones y desplazamientos unitarios.

Paso 4: Calculo de rotaciones y desplazamientos reales.

Haciendo EI=1 y simplificando:

Paso 5: Calculo de los momentos correctivos.

Paso 6: Calculo de los momentos finales.

Calculo de las reacciones y diagramas de Cortante y Momento

PLANTEAMIENTO MATRICIAL PARA PORTICOS – RIGIDEZ DIRECTA 

Las mismas ecuaciones que se utilizaron en vigas.

Ejemplo: Resolución de un Pórtico por el Método de las Deformaciones (Rigidez), usando el planteamiento matricial.

Paso 1: Planteamiento de un pórtico con continuidad geométrica.

Paso 2: Calculo de momentos y fuerzas de desequilibrio.

Paso 3: Imposición de deformaciones unitarias y cálculo de coeficientes de rigidez.

Calculo de K51:

Calculo de K61:

Calculo de K52:

Calculo de K62:

Calculo de K53:

Calculo de K63:

Calculo de K54:

Calculo de K64:

Calculo de K55:

Calculo de K65:

También se puede calcular de la siguiente manera:

Calculo de K66:

Paso 4: Calculo de rotaciones y desplazamientos reales.

Paso 5: Calculo de momentos correctivos.

Paso 6: Calculo de los momentos finales.

PLANTEAMIENTO MATRICIAL – ENSAMBLAJE PARA ARMADURAS Matriz de Rigidez de una barra

k’= matriz de rigidez del elemento

Matriz de Transformación de desplazamiento

T transforma los cuatro desplazamientos D (globales-x,y) en los desplazamientos d (locales x’) T: matriz de transformación del desplazamiento.

Matriz de Transformación de fuerza.

T’, transforma las dos fuerzas q (locales- x’) a las cuatro componentes de la fuerza Q (globales-x,y). T’: Matriz de Transformación de la Fuerza y es la transpuesta de la matriz de transformación de desplazamiento.

Matriz de rigidez global del elemento =

=

∗

∗

PARA PORTICOS Matriz de Rigidez de elemento de un pórtico.

Matriz de Transformación de desplazamiento

Como z y z’ coincide:

De manera similar:

T transforma los cuatro desplazamientos D (globales-x, y, z) en los desplazamientos d (locales x’, y’, z’) T: matriz de transformación del desplazamiento.

Matriz de Transformación de Fuerzas.

Como z y z’ coincide:

De manera similar:

T’, transforma las seis cargas del elemento q (locales- x’) a las cuatro componentes de la fuerza Q (globales-x,y). T’: Matriz de Transformación de la Fuerza y es la transpuesta de la matriz de transformación de desplazamiento.

Matriz de Rigidez Global del Elemento-Pórtico

Reemplazando:

Entonces:

Donde:

Aplicación del método de la rigidez para el análisis de pórticos.

Una vez establecido las matrices de rigidez de los elementos (k-en coordenadas globales), estas pueden ensamblarse en la Matriz de Rigidez de la Estructura (K).

Ejemplo: Determine las reacciones I=180(10^6) [mm4] A= 6000 [mm2] E=200 [Gpa]

Solución:  

2 elementos 3 nodos

Calculamos los términos comunes de la matriz de rigidez:

Elemento 1:

Elemento 2:

Tomando en cuenta solamente la primera ecuación, obtenemos las deformaciones D:

Resolviendo:

Utilizando estos valores de deformaciones D obtenemos las reacciones:

Ahora las cargas internas en el Elemento 1:

De igual manera para el Elemento 2: