720 Problemas Resueltos de Mecanica Teorica

o O

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a a a

a o a a iD

o a o a

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMAS DE

MECANICA TEORICA con una introducción a las Ecuaciones de Lagrange y a la Teoría Hamiltoniana

POR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Profesor de Matemáticas Re nsselaer Poly technic Institute

TRADUCCION Y ADAPTACION

Joss ALssRro Po¡rro¡r holexor Uniuersidod Nocionol

d,e Cslombio

o

LIBROS MeGRAW-HILL MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK

AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL

PARIS SINGAPUR

SAN FRANCISCO ST.

LOUIS

TOK I

O

NUEVA LELHI TORONTO

MECANICA TEóRICA Prohibida la reproducción tótal o parcial de esta obra, por cualquier med¡o, s¡n autorizac¡ón escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS

Copyright @ ISZS, respecto a la edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MEXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499- sOi , Naucatpan de Juárez, Edo. de Móxico Miembro de la Cámara Nacional de la Ind. Ed¡tor¡al. Reg. núm.465

0-07-091877-5 Traducido de la primera edición en inglós de THEORICAL MECHAN¡CS copyrisht @ tsez, by McGRAW-HILL BOOK, Co., lNC" U.S.A. 7123¡,5d}87 2345678901 CC-76 Printed in Mexico lmpreso en México Esta obrs se terminó en abril de 1977 en Offset Rebosán, S. A., Zacahuitzco 40, México. D. F. Se

tiraron 2 0(X) eiemplares

Prólogo En el siglo 17, Sir Isaac Newton, formuló sus famosas leyes de Ia mecánica. Estas leyes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientos de Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistema solar.

A comienzos del siglo 20 se descubrió que varias de las conclusiones teóricas deducidas de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidas tanto de Ia teoría del electromagnetismo como de los fenómenos atómicos, igualmente bien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a la mecánica relatiuista de Einstein que revolucionó los conceptos de espacio y tiempo, y a la mecánica cuántico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades mucho menores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los átomos y moléculas, la mecánica newtoniana, también llamada clásica, sigue siendo completamente satisfactoria, y por esta razón mantiene su importancia fundamental en las ciencias y la ingeniería. EI propósito de este libro es presentar la mecánica newtoniana y sus aplicaciones. El Iibro está orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textos de uso corriente, o como texto en un curso formal de mecánica. También será útil a los estudiantes que siguen cursos de física, ingeniería, matemáticas, astronomía, mecánica celeste, aerodinámica y en general cualquier campo que requiera en su formulación los principios básicos de la mecánica. Cada capítulo comienza con una presentación clara de las definiciones, principios y teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduados de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, haciendo énfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cuaIes el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repetición de los principios básicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados básicos. Un gran número de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muy completo del material de cada capítulo. En los temas tratados se incluyen Ia dinámica y estática de una partícula, sistemas de partículas y cuerpos rígidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo del texto los métodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notación concisa y las interpretaciones físicas y geométricas. En el primer capítulo se hace una exposición sobre vectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vez que sea necesario. Además están los capítulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Ia teoría hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecánica newtoniana y que son de gran utilidad práctica y teórica. Se ha incluido mucho más material del que se puede ver por lo general en un curso corriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo más útil como obra de consulta, y estimular el interés en los temas. Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Company su magnífica colaboración.

M. R. Sprncnl

TABLA DE MATERIAS Capítulo

Capítulo

I

2

Página

VECTORES, VELOCIDAD

Y ACELERACION

Mecánica, cinemática, dinámica y estática. Fundamentos axiomáticos de la mecánica. Modelos matemáticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vectores. Algebra vectorial. Leyes del álgebra vectorial. vectores unitarios. Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto escalar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples. Derivación de vecto¡es. Integración de vectores. Velocidad. Aceleración. velocidad y aceleración relativas. Aceleración no¡mal y tangencial. Movimiento circula¡. Notación para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, dive¡gencia y rotacional. Integrales de línea. Independencia de la trayectoria. Vectores lib¡es, deslizantes v fiios.

I

LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

33

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DE

62

Leyes de Newton. Definición de fuerza y masa. unidades de fue¡za y masa. Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia. Energía cinética. campo de fuerza conservativo. Energía potencial o potencial. conservación de la energía. Impulso. Momento de una fuerza y momentum angular. conservación del momentum. conservación del momentum angular. Fuerzas no conservativas. Estática o equilibrio de una partícula. Estabilidad del equilibrio.

Capítulo

3

CUERPOS

Y

PROYECTILES

campos uniformes de fuerza. Movimiento unifo¡memente acele¡ado. peso y aceleración debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. suposición de que la Tiena es plana. cuerpos en caída libre. proyectiles. potencial y energía potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medio resistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnzamiento. Estática en un campo gravitacional uniforme.

Capítulo

4

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

oscilado¡ armónico simple. Amplitud, período y f¡ecuencia del movimiento armónico simple. Energía de un oscilador armónico simple. oscilador armónico amortiguado. Movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado y bajoamortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Péndulo simple. oscilado¡ armónico en dos y tres dirnensiones.

Capítulo

o

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

.

Fue¡zas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerza central. Ecuaciones del movimiento para una partícula en un campo cent¡al. Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energía potencial de una partícula en un campo cent¡al. conservación de la energía. Determinación de la órbita debida a una fue¡za central. Dete¡minación de la fuerza central conocida la órbita. secciones cónicas, elipse, parábola e hipérbole. Algunas definiciones en astronomía. Leyes de Kepler del movimiento planetario. Ley de la gravitación universal de Newton. Atracciones de esferas y otros objetos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado.

86

I16

TABLA DE MATERIAS

Página Capítulo

6

Capitulo

7

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTOS

144

SISTEMAS DE PARTICULAS

165

Sistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r 0, entonces A/A : a es un vector unitario que tiene la misma dirección de A y A : Aa. VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES Los vectores unitarios rectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre sí, que tienen la dirección positiva de los ejes r, y y z respectivamente de un sistema coorCenado rectangular (figura 1-6). Usamos un sistema coordenado rectangular dextrógiro, a

IcAP.

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION

1

no ser que se especifique uno diferente. Un sistema tal deriva su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha que rota 90" de O¡ a Oy avanzará en la dirección positiva de z' En general, de tres vectores, A, B y C, cuyos orígenes coincidan y no sean coplanarios, se dice que forman un sisúerno dextrógiro si un tornillo de rosca derecha que recorra un ángulo menor que 180" de A a B avanza en la dirección

de C (figura 1-7). Fig. 1-6

(At,44

As)

Fig.l-8

Fig.1.7

COMPONENTES DE UN VECTOR Cualquier vector A en 3 dimensiones puede ser representado con su punto inicial en el origen O de un sistema coordenado rectangular (figura 1-8). Sean (Ar, Az, A¡) las coordenadas rectangulares del extremo del vector A con su origen en O. Los vectores Ari, A2i y A¡k se Ilaman componentes rectangulares uectoriales o simplemente componentes de A en Ias direcciones x, y y z, respectivamente. Ar, A, y At se llaman componentes rectan' gulares o simplemente componentes de A en las direcciones x, J Y z, respectivarnente' La suma o resultante de Ari, Ari y Atk es el vector A y por tanto podemos escribir

La magnitud de A

es

A: Ari+árj+A3k

(r)

.4:lAl :1/fiT$TT"

(2)

En particular, el uector de posición o radio uector r de O al punto (x, y, z) se escribe

r = ri *ai*zk y tiene magnitud

r-

lrl =

(3)

12*y2*22.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotadopor A'B (léase A punto B) se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo comprendido. En símbolos,

A'B : AB cos?,

Obsérvese

que A . B es un escalar y no un vector.

O

l0 f

¡,

(4)

cAP.

ll

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

Las siguientes leyes son válidas:

1. 2. 3. 4. 5.

A.B

B.A Ley conmutativa para el prodücto escalar A'(B + C) = e. B + A. C Ley distributiva p(A.B) = (pA).B = A.(pB) = (A.B)p, donde p es un escalar. __

i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0 Si A=ári+Azi+Ask y B=Bi*Bzi*Brk, entonces A.B = AtBt*AzBzIAsBz A.A=Az=A?+AZ+A3 B.B=Br=B?+83+Bz 6. Si A'B:0 y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB

sonperpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ El producto vectorial o producto cruz de Ay B es un vector C : A X B (léase Ac¡uz B)' Lamagnitudde A X B sedefinecomoelproductodelasmagnitudesde AyB yelseno del ángulo comprendido. La dirección del vector C : A X B es perpendiculai al plano de A y B y tal que A, B y c forman un sistema dextrógiro. En símbolos

AxB = ABsendu, 0 0. dv a = &r W = A = 2e-tiI ScosÚj-3senÚk

(o)

f

v = .t| e"',i*5cos¿j-3sentk)dú = -2e-ti * Ssen¿i + 3costk * c, : que Puesto v 4i - 3j + 2k en ¿ : 0, tenemos 4i-3j*2k: o cr :6i-3i-k -2i*3k*c1 v = -2e-ti*5sen¿j+8cosúk*6i-3j-k Entonces = (6-2e-t)i * (5 senú - 3)j + (3 cost - l)k Integrando,

(ó)

Remplazando

v por dr/dt en (t) e integrando,

(I)

tenemos

t(6-ze-t)i + (5senú-B)j + (3cosú-l)kld¿ = (6t*2e-t)i - (5 cosú + 3ú)j * (3 senú - ú)k * c2 Puestoquelapartículaestálocalizadaen (1, -3,2) en f:0, tenemos r: i - 3j+ 2k en t - 0' demodoque i-sj+2k o cz- -i+2i+2k = 2i-5j*cz (3sent-t+2\k Q) Así, r = (6t+2e-t-l)i+(2-5cos¿-3ü)i* r =

JI

VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS

1.30. Si un avión vuela en dirección noroeste a I25 mi/h con un viento dirigido al oeste a 50 mi/h. ambos movimientos con respecto a la Tierra, hallar: (o) gráfica, y (ó) analíticamente qué tan rápido y en qué dirección estaría viajando el avión si no hubiera viento. (o

) Gróficamente. Sean W = velocidad del viento Vo = velocidad del avión con viento

Vu = velocidad del avión

Fig,.l-27 viento Vr+(-W). V.-![ Entonces(figural-2?) Vo: Vu*Wo Vu = = : y al norte del oeste. 33" 163 mi,/h dirección Va tiene 6,5 unidades de longitud

sin

(ó) Analíticamente. Sean iyj vemos que

vectores It Yd

unitarios en las direcciones E y N, rtspectivamente; de la figura

-l25cos45oi + 125sen45oi

v

W = 50i

cAP.

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

1l

l9

= Vo-W - (-12ócos46o-60)i*12bsen46"i - -l8g,Agi+88,99i. Por tanto, la magnitud de V¡ es \4=J38l-5t-+ (E8-Jg-tt : rc4,2 mi,/h y Ia dirección tan-t 88,89,/138,99 : tan-t 0,638? :92.84' al norte del oeste. EntoncesVu

1.3f.

es

por rr : 2ti - t2i + (gt2 - 4ú)k y ü3j - 3tk. Hallar: (o) la velocidad relativa, y (b) la aceleración relativa de la segunda partícula con respecto a la primera en el tiempo t : 2. (a) Las velocidades de laspartículas en t : 2 son, nspectivamente, Dos partículas tienen vectores de posición dados

12 : (5t2 - Lzt + 4)i +

vr = ir = 2i-Zti+$t-4)kl vz

= 2i-4j+8k

= ]z= (10ú-12)i+3¿z¡-3kl = 8i+12i-3k

La velocidad relativa de la particula

- y2 v1 = (8i+lzi(ü)

It=2

8k)

2 con respecto

"

t" oi'.]r'"rr" ,

- (2i-4i+8k) =

Las aceleraciones de las partículas en ú

6i

*

16j

-

11k

: 2 son, respectivamenle,

ar

= ür - ii = -2i+ohltt'=' : -2j+6k

az

= iz= i; = 10i+O¿il = 10i+12i

I

La aceleración relativa de la partícula

2 con respecto

, ," ,"rr"t" ,

- a2 a' = (10i+t2i\- (-2j+6k) = 10i*14i-6k ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL 1.32. Dada una curva C en el espacio con vector de posición r = 3cos2úi + 3sen2ú j + (8ú-4)k

(a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva. (b) Si r es el vector de posición de la partícula que al tiempo ü se mueve sobre la curva C, verificar que en este caso

(o)

Un vecto¡ tangente a la cu¡va C

uT.

es

d,¡ld.t La magnitud de este vector

v:

= -6

sen2úi

*

6coszúj + 8k

es

liHafl=ihldt= @=ro Entonces un vector tangente unitaúo

a C es

ilt -6sen2úi * a -_ I/4!-. - ¡IEliIt rdt/dtr m=ds=-**"2ti + t cos2ú j * f,k (b)

6cos2ú

j*

8k

Esto se deduce de (o) ya que

y=

itttitt

= il,:T:: Lii{"1"*r,,'1 *n, = ,,r

Obsérvese que en este caso la velocidad de la partícula a lo largo de la curva es constante.

f.33.

Si T es un vector tangente y unitario a una curva C en el espacio, demostrar dT/ds es normal a T.

que

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION

20

T. T: l.

PuestoqueTesunvectorunitario,

lcAP.

1

Difercnciandocon¡espectoa sobtenemos

'r'r' .n r.4! r - ds - ¿IB+ 4I de - = zr.fr = 0 c 'r.fl

n

lo cual establece que dT/ds es normal, esto es, perpendicular a T. Si N es un vector unita¡io en la dirección d,e ilT/ds tenemos

dflds = rN y a N lo llamamos normol printipol r¡nitaria de ('. Al escalar x : ldTids I R : l,/x radio de curuatura.

se le llama curLtatura

1.34. Hallar: (o) la curvatura, (b) el radio de curvatura, y (c) la normal principal taria N en un punto cualquiera de la curva en el espacio del problema (o) Según el problema 1.32, T = -i?sen 2úi * $ cos?t i + +k. Entonces (-615) cos 2ú i - (6/5) sen 2ú j dTldt f, dsldt ils 10 2ú i cos = -# - ft,sen2t i Asi,racurvaturaes

x: l#l = @"

(ó) El ¡adio de cuwatura = R = (c) De (¿), (b) y el problema 1.33,

Llrc

=

a

uni-

1.32.

*

2513

N = :# f.35.

=

y

= R# =

-cos2úi -sen2Ú j

Demostrar que la aceleración a de una partícula que viaja a lo largo de una curva en el espacio con rapidez v se da por

da. dt'

a2n R ^'

donde T es el vector tangente unitario a la curva en el espacio, unitaria y R es el radio de curvatura. Velocidad

v:

N su normal principal

magnitud de v multiplicada por el vecto¡ tangente unitario T,

o

v:aT

Diferenciando, a = + = fior¡ = #r*r# Pero

Entonces

dT ¿IT ils -- ds ü = d" Zl = "^d¿ = Kufl =

d!_

/t,r*\ ^ = dtt-o\Rl

oN

-n

= 9r*** e.E rr

Esto muestra que la componente de la aceleración en la dirección tangente a la trayectoria es du/dt y 12/R en la di¡ección de la normal principal a la trayectoria. Esta última aceleración a metrudo se llama otele'ración cen tríot,ta t¡ ort'lerotíón normor.

MOVIMIENTO CIRCULAR

1.36. Una partícula que se mueve tiene un vector de posición dado por r : cos ¿. (o) Demostrarque partícula está dirigila ve en una elipse. (b) Demostrar que Ia fuerza que actúa sobre da siempre hacia el origen. a (o) EI vector de Posición es r = ri+ai = ¿cosoúi*bsenoúj así que r : o cos @t' Y : b sen of son las ecu:

b

ciones paramétricas de una elipse con semieje mayor y semieje menor de longitudes o y ó, respectivamen-

te (figura

2-3).

Por tanto,

(r/a\z I (a/O¡z - cos2oú *sen2ot = 1 que es la ecuación de la elipse, ya que x¿"n2 *

Fis.2-3

v'/b2 -- l' (b)

Ia fuerza que actúa sob¡e ella es Considerando la partícula de masa constante m' ü ,,- cosoú)i d2r .-- 't: (ó senoÚ)il dv

F = m7; = *# = *fr\t" = ml-oza cos ot i : -mrzle cosot i *

lo cual demuestra que la

o2b sen oÚ

ü senoÚ

fuerza se dirige hacia el origen'

*

i]

il =

-rno2r

cAP. 2l

2.3.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

Dos observadores O y O,, fijos con rela_ ción a dos sistemas coordenad.os Oxyz y O'x'y'z', respectivamente, observan el movimi.ento de una partícula p en el espacio (figura 2-4). Demostrar que pa_ ra ambos observadores actúa la misma fuerza sobre la partícula si y sólo si los sistemas coordenados se mueven con velocidad relativa constante ent¡e sí.

39

.. 1 t|'

Sean los vectorcs de posición de la partícula

en los sistemas coordenados Oxyz y O'x,y;2,, y r I, respectivamente, y sea el vecto¡ de posición de O;

con respecto a O,

R : r _ r,.

Para los observadores o y erpresan, respectivamente, por

Fig.2-4

o' las fuerzas

que actúan sobre p de acue¡do con las leyes de Newton se

F=m#, ,,=*ffi La diferencia en las fuerzas obse¡vadas

F_F' y ésta

será cero

si y sólo si

es

=

*ffi{, -,,)

ffi=,.#

=

=*# constante

decir' que los sistemas coo¡denados están moviéndose a velocidad constante uno con relación al otro. Estos sistemas se llaman sistemas coordenados inerciales. El resultado es, algunas veces, llamado el principío es

clósico de

2'4'

ta relatiuidad.

una partícula de masa 2 se mueve en un campo de fuerza dependiente del tiempo y expresado mediante

F = Z4t2i + (S6t_ 16)j _ fZ¿t Suponiendoquepara ü:0 lapartículaestálocalizadaen ro : Bi _ j + 4k ytiene velocidad vo : 6i + 15i 8k, hallar: (o) la u"to"iá"¿, y (ó) la posición para cualquier tiempo ü.

(o)

De acuerdo con la segunda ley de Newton.

2dvldt = Z4t2i+ (S6ú_16)j _tltk dvldt = t2t2i+ (18¿_8)j_6¿k Integrando con respecto a

como

Í y llamando c,

v=v0=6i+16i-; v =

(b) Como v : d¡/dt,

ra constante de integración, tenemos

""=,::

:i"--'l: =.,:;-'ru

(4¿3+6)i

+

(9¿2_8ú+16)j

_ (3¿2+8)k"".,

+

(9t2_8ú+16)i

_ (3ú2+8)k

tenemos, de la parte (o),

dr

ü =

(4¿E+6)¡

Integrando con respecto a f y llamando c, la constante de integración

LEYES SOBRE MOVIMIENTO' TRABAJO, ENERGIA Y

40

MOMENTUM

ICAP'

2

r = (ü4+64i + (Sf -4t2+160i - (¿8+8ú)k + c2 y Como r - to = 3i-j+4kenü : 0, tenemos cz = 3i-j+4k r = (¿4+6ú+3)i + (}ts-4t2+16Ú-l)i + (4-¿e-8ú)k

2.6.

la velociuna fuerza F constante que actúa sobre una partícula de masa m cambia dad de vr e v2 en el tiempo r' (o) Probar que F : ¡n(vz - vr)/r' (b) ¿El resultado obtenido en (o) se mantendrá si la fuerza varía? Explique' (o) De acuerdo con la segunda ley de Newton (r) ---dv _ ^ 4y - F e mA-I ih-m

Entonces, si F y m son constantes' tenemos al integrar

v = (Flm)ttc, Enú=0,V=Vrasíeuec1 =v1,i.e. En o

ú=r, v=vz

así

que

sea.

Otro método Escribi¡(I) como

mdv:

Fdü' Como

v: vr

fJ

fv2

e)

v = (F/m)t*t, Y2 = (Flm'¡r I v1 F = rn(v2-v1)lt

|' *dt = of| ¡ I"at J

Pa¡a

o

t:0

(3)

y v - v2 pa¡a t:

r

tenemos

tn(vz-v1) = Fr

",

que es el resultado deseado'

(b)No,engeneralelresultadonosemantienesiFnoesconstante,puestoqueentalcasonopodúamos (o)' obtener el resultado de la integración conseguido en

2.6.

10.000 g en movimien-

Hallar la fuerza constante necesaria para acelerar una masa de 5 minutos' to a lo largo de una recta desde una rapidez de 5¿ km,/h a 108 km'lh en MKS' (b) sistema el en Expresarla: (o) en el sistema CGS, y eje r' Entonces si v' y v' son las velocidaconsideremos el movimiento en Ia di¡ección positiva del des,tenemosdelosdatosdadosvt:54ikrrr'/h'vz:108ikn/h'm:10'0009't:5min' (o) En el sistema CGS 300seg m:10a B, vr :54ikm,/h:1,5 x t03icm,/seg. tz = 3,0x103icm/seg' ú = /v., - v,\ /1,5 X 103i cm/seg \ = (10r s) \- Bxlgr*s i Entonces Ir = ma, = *\?) = 0,5X 105i gcm/seg2 = 5X104idinas

lb)

Lamagnituddelafuerzaesde50.000dinasenladireccióndelejepositivor. En el sistema MKS 15i m/seg, v, = 30im/seg' ¿ = 300 seg $4ikm/h

m = l¡kg, vr = Entonces

=

/v.-v,\ F = rna = ^\-) = 0,5i kg m/seg2 =

/15im/seg\ = (10ks)\ g00*- / 0,5i newtons

Demodoquelamagnitudes0,Sntenladirecciónpositivadelejer.Esteresultadotarnbiénse que t nt : 105 dinas o sea que I dina : 10-5nt' habría podido obtene¡ de la parte (¿) considerando

cAP. 2l

LEYES SOBRE MOVIMIENTO, TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM

4l

En este problema el vecto¡ unitario i se omite algunas veces, se sob¡entiende que la fuerza F tend¡á la dirección positiva del eje r. Sin embargo, es próctico utilizar el vector unitario en problemas similarcs para hacer énfasis en el carácter vectorial de la fi¡erza, de la velocidad, etc. Esto ea impottante en los casos en los que las velocidades cambien sus direcciones. Véase, por ejemplo, el problema 2.46.

2.7.

¿Qué fuerza se necesita para detener en 4 segundos una masa de 2000 lb que se mueve

con una rapidez de 0O mi,/h? Supondremos que el movimiento se realiza a lo largo de una línea recta que hacenos coincidir con la

dirección

;"-l

ffi: ::": ffi

Entonces

sea que se opone

-

"'; ¿"t) = (2000lb) ¡-aei e/seg ) / \ 4seg / p x l0ti lb,/seg2 poundals x 10li = -4r4 = -4,4 tiene una magnitud de 4,4 X 1ü poundals en la dirección

F = tna =

De modo que la fuerza

111H,

-":;'='T;::;""

4

*s

,o f

\

al movimiento, como era de

negativa del eje

r,

o

esperarae.

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETICA 2.8. Una partícula de masa constante zr se mueve en el espacio bajo la influencia de un campo de fuerza F. Suponiendo que en los tiempos tt y tz las velocidades son v, y v2, ¡espectivamente, demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energía cinética, esto es,

t. _¡l

trabajo realiza,j'

=

í' -tt ntz

Jq

F.dr

t .fiat

gmal

. v)

-

gmal

= fo r."o,

^fi' , a' =

r^ l,::d(v 2.9.

=

* !,1,,,

".

n"

= r^*l[i, =

f,tnof,

-

ltnt!

Hallar el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector r : 3i + 2j - 5k si la fuerza aplicadaes F:2i - j - k (figura2-5). trabajo ¡ealizado : (magnftud de la fuerza en la dirección del movimiento) (distancia reco¡rida)

- (f' cos a)(r) - F. r = (2i-j-k).(3i+2i-6k) - 6-2*6 = 9

fl I

Fig.2ó

2.1O. Refiriéndonos al proble ma 2.2; (o) hallar la energía cinética de la partícula en los puntos A y B, (b) hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza al moverse la partícula de A a B, (c) ilustrar el resultado del problema 2.8 en este caso, y (d) demostrar que el trabajo total rcalizado por el campo sobre la partícula que se mueve sobre una elipse es cero.

42

LEYES SOBRE MOVTMIENTO. TRABAJO, ENERGTA

(a)

2

: v : d¡/dt : -@o sen oti * ob cosoü j. cinética : \moz - $m(o2o2aer,2ot*,¡2b2cos2,;úl.

(b) Método l.

Energía cinética en

A [donde

Energía cinética en

I

[donde coso¿

,. o" =

f" ¿A

=

'¡B

= -t^, 2.

= 1, senoú = 0] = = 0, senoú = 1] =

f

Podemos supone¡ que en A y

habajo realizado

Smrzbz $mozaz

y

d.,

r¡ = -¡^-rrrl" -

a1r.

l¿

$m,P(az

-

gz)

B, t :0 y t : t/2o rcsge,tivamente;

J¡

=

| ¿o

=

| uo

?¡l2o

(¿cosoú

l-^t

i*

frl2@

De las partes (a)

(t -rntz.rA ,.

=

entonqeg

ft t'r.

=

=

r¡. a,

¡^t

f" ot¡

"A $m,,Paz - $mlzbz =

= Método

cosúJ¿

De la parte (b) del problema 2.2,

trabajo ¡ealizado

mot(62

l.mof(oz

-

6z¡

-

b2) sen

"enz

ot

ü senóúi)] . [-"¿senú,úi

of

cos

ú1"t2' =

oü cos

ot!]itt

d,t

lrru&(az

l0

*

-

bz¡

(b)

trabajo rearizado

= (d).

tCAp.

Velocidad Energía

(c)

y MOMENTUM

r:J^':^il-^:^

Ugando el método 2 de la parte (ó) tenemos, que como clo al¡ededor de la elipse,

t

^r:::;T::: varía de 0 a ú

^"

2t/o,

ae

completa un ci-

az,to

trabajo realizado

=

| of¡

mr,¡s1o,2

trur2(az

El método I también

2.11.

se puede

-

-

ü2) sen oú cos of d,t

bz. senz

urar pa¡a obtene¡ el mismo

ú12"t' =

0

*rt;:".

Demostrar que si F es la fue¡za que actúa sobre la partícula y v es la velocidad (instantrínea) de la partícula, entonces la potencia (instantánea) aplicada a la partícula se da por

?=F.v Po¡ definición, el trabajo rtalizado por una fueza F sobre una paÉícula que se desplaza dr es

ilW = F.d,r Entonces, la potencia (instantánea) se da por

comoqueríamos. 2.12. Hallar

#="'#="'o

la potencia (instantánea) aplicada a la partícula del problema 2.1por el campo de fuerza.

CAP.

2I

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO. ENERGIA Y

Porel ptoblema 2.1, Ia velocidad y la fuerza

y= F=

se

MOMENTUM

43

dan, rcspectivamente, por

(6t2+ 1)i + (12¿s-ztli - 24tk 60úi + (180ú2-10)i - 120k

Entonces, la potencia (por el pmblema 2.11) se da por

? = F.v = =

+

(60¿)(6ú2+ 1) 2160¿s

-

-2t) + (1201(24t)

(1AO¿z- 10)(12¿3

l20ts +

2960ú

2.13. Hallar el trabajo realizado por la fuerza en: (a) el problema 2.6, (b) el problema 2.7. (o)

EnelsistemaCGS: tr¡

= lvrl :1,5X103cm/seg, 1)z=

3,0X108cm/seg, m

=

lv2l

Entonces, por el problema 2.8, trabajo realizado : cambio de eneryía cinética

$m(of,- oll {(1oa c)(9,0

x

106

-

=

B,B8xlotogcm:

seg'

=

3,38

2,25

x 10lo dina cm

x

ltr)cm:

seg-

3,38

=

ro'o(*# )"",,

x

3,88 X 10lo ergios

Similarmente, en el sistema MKS, tenemos trabajo realizado

(b)

=

-zlq# = 3,38 x 103 (*eff) t.l $(10 ks)(900

Como en la parte (c),

trabajo realizado

=

+(2000 lbx882

=

?,24

x

106(F)

=

3,38

x

103 newton metro

p2

-0r)#

(H)

=

?,?4

x 1os p pdl

CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS, ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA 2.14. Demostrar que el campo de fuerza F definido por

F =

(U'zt

-

6nz2\i

* 2ryzgi *

(3*9222

-

6a2z)k

es un campo de fuerza conservativo. Método

l.

Elcampode fuerza esconservativosiysólosi

VXF

=

¡otF: V X F:

iik 610r Aldu a2zs - 6ü22 2rgzs

O. Ahora

dldz 3ry222

-

6sZ,

6a2z) fi 0. (o) Suponemos que la partícula está situada a una di"i'ancia ¡ del origen O cuando t : O y que tiene una rapidez u (véase la figura 3-10). En consecuencia,

la fuerza

es F : - Bu2i, donde É ) 0 esuna constantede

proportionalidad. Po¡ la ley de Newton,

ilv , mfri = -B,:zi '

d.ts

í;

--

F, -L-¡It

Integrando, -l/u: -Bt/m * cr' Como u: : cr : -l/uo' L'¡ego tenemos 0, cuando ü que es la rapidez.

(b)

De (2),

-!lU = -Bt-t a¡ Út

# -- #+r.

Entonces,

(l) uo

Fis.3'10 o

1)

frlÚO

= ñlT*

f o, : Í ffi,rt

ü = ftn(,+ffi)+",

=

98,

(2)

I *+M

o

CAP'

31

.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CUERPOS Y

Como¡:0cuando t:0,c2 - -vrnt,n / r"\

PROYECTILES

7T

Lueco

\-/.

/., ,¿\ rn1 / m\ /- . Boot\ N = m, = n,. p'"\r*p%)-prn\p^) ¡=r,(r+;)

(3)

(c) De (o), rtluo \ ihs d/ B*o"o a=a=a\V"rt¡^) :-@f# Obsérvese que aunque

3'f

3'

v)

la rapidez de la partícula disminuye continuamente, nunca

se detiene.

Determinar: (a) la rapidez, y (ó) la aceleración de la partícula del problema 3.12 en función de la distancia r desde el origen O. Método l. De las partes (a) V (b) del problema 8.12,

m ,_

/

pt\-*

Fttot

I m1 ),

Entonces

tuuo ¿¡=¡^¡¡*

Y

, =?t.(?)

y la magnitud de la aceleración

1)¡

a=po¿-er/m

es

dtt ar=E=tn-&rn que también puede obtenerse de

o

'

paot * m --:*-::=;

P?o

"-o',^d!

la ecuación (4) del problema

= -

FoZ

"-rur,^

8.12.

Mótodo 2. De la ecuación (I) del problema 8.12 tenemos d,o d.u dr

*¿l = *A, ¿¡ = *r#i¡t _

ocomo cuando

3'14'

_go2

ilo B - y da ul o, rndu= Integrando, lnu: _ \x/m* -Po ;= -hr. r:0, ca : lnuo. Luego ln (u/uo't: -Br/m o u: uoe- lr/m.

ca. yaque

t):

uo

Suponer que sobre el proyectil del problema 3.5 actúa una fue¡za debida a la resistencia del aire igual a - gv, donde I es una constante positivay v es la velocidad instantánea. Hallar: (o) la velocidad, y (ó) el vector de posición en cualquier tiempo.

(o) La ecuación

de movimienüo en este caso es

^ffi

=

-msk

-

pv " ^#*

Dividiendo por m y multiplicando por el factor ¿

Integrando, se

Flmat

"t

fr|"u"^v| = ¿Bt/mu = _ff

tiene

La velocidad inicial o velocidad cuando J : 0

Bv

=

= elt/m,la

-msk

(r)

ecuación puede escribirse como

-gelt/m1a

"er,^k

* c1

e)

es

vo = trocosa j * t,osenak

(J)

Remplazando en (2) encontramos

cl =

rrocosdj

+

oosen¿k

*ryU

Entonces, al dividi¡ (2) po¡ eB¡tn,, tenemos

v =

(t'u cosa

j * o6sen ak\e-Bt/m - Trt

- ",Btr,nlk

(4)

72

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

(b)

Remplazando en (4)

v

r = r:

Como

O cuando

pot

dr/dt

e integrando, obtenemos

-ffOocosaj*oosend k)c-Btrn

ú: 0,

3

- ffU ¡L"-arr^¡k + c2

j*tr6senak) * c2 = m VQ;ocosc

Sustituyendo (6) en (5), encont¡amos 'llIU g j*senak)(1 -e-st/m) r = 7;(.o.a

w.

(5)

(6)

ry(,* ftc-a'lm - ?)-

@

3.15. Demostrar que el proyectil del problema 3.14 alcanza una velocidad límite y encontrar su valor. Método

l.

De acue¡do con la ecuación (4) del problema 3.14, cuando ü aumenta, e-gúlrt ¿¡.-¡nuye. Entonces, la velocidad tiende a un valor límite igual I vü^ : - (me/ilU-

Método 2. Si el proyectil tiende a una velocidad límite, su aceleración (mg/P)k. (1) del problema 3.14, mgk llo¡i^: 0 o v,r.

-

-

: -

límite debe sercero. Luego de la ecuación

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES

3.16. Una partícula

P de masa /n se desliza sin rodar por un plano inclinado liso AB que forma un ángulo a (figura 3-11). Si parte del reposo desde el punto más alto A del plano, hallar: (a) la aceleración, (b) la velocidad, y (c) la distancia recorrida después de un tiempo ü.

(o)

ra

Como no hay rozamiento, las únicae fuerzas que actúan sobre P son el peso W : - mgk y la fuerza de reacción del plano que es la fuerza normal N.

w=

e¡ y

e2 los vectores unitarios, paralelo y perpendicular, respectivamente, al plano inclinado. Si representamos por s la magnitud del desplazamiento desde el punto rnás alto A del plano inclinado, tenemos, por la segunda ley de Newton, Sean

como se indica

-mg

-mcklx Y COg

vl;

a Q2/

O

Fig' 3-ll

)tz mfu(ee) = W + N = mqsenaal en la figura 3-11, la resultante de W * N es igual a mg send et. De (l), tenemos dzs/iltz = g send

(r)

(2)

En consecuencia, la aceleración hacia abajo del plano inclinado en cualquier tiempo t es una constante igual a gsend.

(b)

Como u

: ds/dt

es

la rapidez, (2)

se puede

esc¡ibi¡ así

ila/d,t= gsena o u =(gsena)Ú*c¡ al integrar. Con las condiciones iniciales u : 0 cuando Ú : 0, obtenemos ct : 0, entonces la rapidez en cualquier tiempo t es (3) 1¡ = (g sena)t La velocidad es uer : (gsena)üe, de magnitud (gsenc)ü en la dirección e¡ hacia abajo. (c) Como u : ds/dt, puede escribirse (3) así deldt = (g sen c)ú o 8 = !(O sena)t2 * c2 al integrar. Con la condición inicial s : 0, cuando t : 0, encontramos c2 : 0, así que Ia distancia recorrida es

s = l(o

sena)ú2

(4)

cAP.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

3l

3.17.

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

73

Si la longitud AB del plano inclinado del problema 3.16 es l, encontrar: ( a) el tiempo r requerido por la partícula para llegar al punto más bajo B del plano, y (b) la rapidez en B.

(¿)

Ya que en

I = +(c

(b)

B, s : l,

sen

el tiempo r para llegar al punto más bajo es, de la ecuación a)r2 o | = \tzt/(@.

La rapidez en

I

se calcula de (3) del problema 8.16,

MOVIMIENTO CUANDO HAY

3.18.

.

por u : (g sena)r

(4) del problema 8.16,

: \lZETffi.

ROZATVIIENTO

Hacer el problema 3.16 si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento constante p. (¿) Además de las fuerzas W y N que actúan sob¡e p, interviene en este caso la fue¡za de rozamiento f (figura 3-12) dirigida hacia arriba del plano

(en

dirección opuesta al movimiento) y de magnitud (I) pN = pmg cosa esto

es,

f = -Fmí

cosa

entonces se remplaza la ecuación 3.16 por

et

e)

(/) del

p¡oblema

&Ge)

maT = W+N+f

Fig.3-12

= m!

3e'ra1

et - pmg cos 4 el

(3)

o

d2s/dt2 - g(sena - p cosa) (4) Por consiguiente,- la aceleración hacia abajo del plano inclinado tiene una magnitud constante

g(senc-pcosa)perodebecumplirsequesend>pcosaotana>¡(deot¡omodolafuerza de ¡ozamiento es tan grande que la partícula no se mueve).

(ó) Remplazando

d2 s/dt2 por du/dt en (4) e integrando como en la parte (ü) del problema 3.16, encont¡amos que la rapidez en cualquier tiempo ú es

o = g(senc (c

)

p cos

a)ú

(5)

Remplazando u por ds /dt en (5) e integrando como en la parte (c ) del problema 3.16, encontramoa

s = {g(sena-pcosalt2

3.f9.

(6)

Un objeto se desliza sobre una superficie de hielo a lo largo de una línea horizontal OA (figura 3-13). En cierto punto de la trayectoria la rapidez es uo y luego de recorrer una distancia ro el objeto se detiene. Comprobar que el coeficiente de rozamiento es u2 /2gxs. Sea ¡ la distancia instantánea del objeto de masa m al origen O y supongamos que anando ú : 0, ¡:0yd.x/dt:uo. T¡es fuerzas actúan sobre el objeto, a saber: (l) lV: rng, (2) la fuerza normal N de la superficie de hielo sobre el objeto, y (B) la fuerza de roza-

el peso

Fig.3-13

miento f. Si u es la rapidez instantánea, tenemos, por la segunda ley de Newton, que . ^¿tí = W+N +f ¿I1t

Perocomo

N: -W ylamagnituddef

^fri

es

/:

¡¡N:

= -ttrngi

png así que o

th¡

E=

(J)

f: -ttg

pmgi, y

(f)

se

convierte en (2)

74

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

Mótodo

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES ICAP.

3

1.

Escribir (2)

como d.ts ilx deü=-pg

Entonces

(3)

iltt = -!g dú que u : uo en ¡ : 0, encontramos o

Integrando y usando eI hecho

u2l2 Entonces como u

iht odú=-llg

o

: 0 cuando Í :

= _ygr*of;12

(4)

1o, (4) se convierte en

-p7ro'ltrtl2 =

0 o

p = fil2ors

Método 2. De (2) obtenemos, al integrar y utilizar el hecho 9ue u

:

(5)

ue cuando ü

:

0,

0 = ao-Fgt

o d.rldt = ao-Fgt Integrando nuevamente, empleando el hecho que ¡ - 0 cuando ü : 0, encont¡amos t; (z) que ;: el objeto se detiene d; vemos De c. "3""J" o¡-pgt=0 o t=aolpg Remplazando en (7) y obsen¡ando 9ue ¡ : to, obtenemos eI r€sultado deseado.

(6)

@

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVT.TACIONAL UNIT'ORME 3.2O. Una partícula de masa rn está suspendida, en equilibrio, de dos cuerdas no elásticas de longitudesaybsujetasalasclavijasAyBseparadasunadistanciac.Encontrarla tensión en cada cuerda.

Fig.3-15

Fig.3-14

lV representa el peso de la partícula y Tr V Tz las tensiones respectivas en las cuerdas de longitudes c y b, como ee indica en la figura 3-14. Estas fuerzas se indican también en la ñgura 3-15 y ee supone que están en el plano formado por los vectores unitarios zontales y verticales, se encuentra que

Tl = ?rsenck - Ircosa j,

j y k.

Descomponiendo

Tz =

T2senp

donde T¡ y ?z son tas magnitudes de T1 y T2, respectivamente, en A y B. Tenemos también que

Tr Y Tz

en componentes hori-

k * fzcosÉ j

y a y P son los ángulos

respectivos

W = -mgk

Como la partícula está en equilib¡io si y sólo si la fuerza neta que actúa sobre ella es cero, obtenemos que

F:

Tr+T2+W = ?rsenak - ?rcosaj * T2senpk + T2cosq i = (?2 cos B - T, cosa)i * (?¡ sen a I T2senp - mC)k =0

mgk

cAp. 3l

MoVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CI'ERPOS Y PROYECTILES

ID

De lo anterior, debemos tener

TrcosB

-flcosa =

?1 sena

0,

*

p

?o sen

- tttg --

0

Resolviendo simultáneamente, encont¡amos

mg.cos9 T,' = sen(a+F)

ntg cosa T^ z _ sen("*É)

Los ángulos c y É pueden encontrarse a partir de la ley de los cosenos

a=

coS-r (

a'z

+

\

g:-- b'z\, za.c /.

- azl B = cos-r (az +:: 2bc / \

con los ángulos anteriores las tensiones pueden erq)¡esarse en función

de a, ó, c.

PROBLEMAS VARIOS 3.21. Un plano inclinado (figura 8-16) forma un ángulo d con la horizontal. Se dispara un proyectil desde el punto más bajo A del plano inclinado con rapidez uo formando un ángulo É con la horizontal. (a) Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es

R-

2a2osen(B

p

-

a) cos B

COS2

Fig.3-16

o

(ó) Probar que el alcance máximo sobre

er

plano inclinado

R-¿¡ = g(1 * que se obtiene cuando E (a)

:

-"0 o/2.

"/4*

se da

por

sena)

Como en la ecuación (6) del problema 3.5, el vector de posición del proyectil en cualquier tiempo

r = (oe cosB)új * ((oosenÉ)ú - 120t2\k .U = (o6 cosp)ú, z = (uosenÉ)ú _ tCt,

o

La ecuación del plano inclinado (que en el planoyz es una ¡ecra,

¿

es (1) (2)

eg

z = Atana

(J)

Remplazando la ecuación (2) en (3), vemos que la trayectoria del proyectil y el plano se intersectan en aquellos valores de ü en que (r.re

estoes,

¿:0

y

sen B)ú

t-

- tCt, =

[(oo cos B)ú] tan a

2tro(genÉcosa-cospsena) g

COsd

-

2tr6sen(9-") I

El valor f : 0 da el'punto

COSd

de intersección A. Con el eegundo valo¡ de ú se encuentra el punto B que es el punto requerido. Utilizando el segundo valor de t en la primera ecuación de (2), encontramos que el alcance R sobre el plano inclinado es

R= (ó) Método l.

a

sec

d=

(ro cos É)

-'} r"" {"t:!^:! L gcosa ) --- " -

2ot sen (É

El alcance ft puede exp¡esarse utilizando la identidad trigonométrica

senÁcos6 = {{sen(A+B) *senl,4-B)) D

fi-A¡ = ' COS'q {sen(2p-o) 0 =--

sena}

--a)

gcosza

cos F

76

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

Es un máximo cuandosen(2p-a) este máximo

es

.

=1,

CAIDA DE CUERPOS Y

esto es,

D2 Do

,

aí

o B=a/2*r/4, yel

(1

ICAP.

valor

de

D¡

sena) = g(1 * senc) g(l - se¡2s) '- -

- sena) =

R = g---*-(l COS'd

2B-a=t/2

PROYECTILES

Método 2. El ¡esultado requerido puede obtenerse también por los métodos del cálculo diferencial para

en-

cont¡ar máximos y mínimos.

3.22.

Dos partículas de masas Í\ Y mz, respectivamente, se conectan a una cuerda no extensible de masa despreciable que pasa por una polea fija y lisa de masa despreciable, tal como se muestra en la figura 3-1?. Describir el movimiento encontrando: (o) la aceleración de las partículas, y (ó) la tensión en Ia cuerda. Aislemos primero la masa mr. Hay dos fuerzas que actúan mtgk y (2) la fue¡za debida a la

sobre ella: (1) su peso m¡g: cuerda que es la tensión T : entonces, por la ley de Newton,

7h' Si a : ak

es

la aceleración,

mlak = rnpk - Tk

(1)

Aho¡a aislamos la masa m2.Hay dos fuerzas que actúan sobre ella: (1) su peso m2E : m2gk, y (2) la tensión T : - ?k (la tensión es la misma en toda la cuerda ya que se considera de masa despreciable y no extensible). Como la cuerda es inertensible, la aceleración de mz es - a : - ok. Entonces, por la ley de Newton,

-m2uk = mzg|r-Tk

De (1) y (2) tenemos 7n1a

Fig.3-17

(2)

= mrg - T,

-'nl2d = mzg-T

Resolviendo simultáneamente, encontramos

fflt

o = rnll-

fllz

rrbg'

2lnrmo

T = lfll----#U t fil2

Porconsiguiente, las partículas se mueven con aceleración constante, una partícula sube y la otra desciende. En este sistema, algunas veces llamado máquina de Atwood,la polea puede rotar. Sin embargo, debido a que la polea es lisa y no tiene masa (o es de masa despreciable) el efecto es el mismo que si la cuerda en lugar de la polea pasara sobre una clavija lisa o sin rozamiento. Cuando la masa de la polea no es despreciable, se deben tener en cuenta los efectos de rotación que se consideran en el capítulo 9.

3.23. Una partícula P de masa m está colocada

en

el punto más alto A de una esfera fija lisa de radio b. La partícula se desplaza ligeramente para que deslice sobre la esfera pero sin que rote. (o) ¿En qué punto se separará de la esfera? (b) ¿Curíl será la rapidez en dicho punto? La partícula se deslizará formando un círculo de radio o; hacemos que el círculo esté en el plano.ry, como se indica en la figura 3-18. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son: (l) su peso W : mgi, y (2) la fuerza normal de reacción N de la esfera sobre Ia particula. Método l.

(a) Midamos la posición de la partícula sob¡e el círculo por medio del ángulo 0 y supongamos que ,r y r¡ s€an vectores unitarios. Descomponiendo W en componentes en las direcciones rl y ,1' tenemos, como en el problema

1.,13,

Fig.3-1E

CAP.

3]

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

W

. CAIDA DE CUERPOS

77

= (W.rr)rr+(W.rr)r, = (-rr,ci.r1)r1 t (-tnci.ot)ot N=Nrr

También,

Y PROYECTILES

_r¿g 8€n c 11 _

m!

cosc

01

usando la segunda ley de Newton y el resultado del problema 1.49, obtenemos

F = ma = ml(;_riz¡rr+(ri+Z|árorl = lt*N = (N-rngwne)r1 -mgcosdrr Entonces m('i - ráz¡ - N - ,ng aene, m(ri + zii¡ = -rng coso Mientras la partícula eetá sobr€ la esfera, tenemos que r : b. sustituyendo en (2), -mbiz = l\f - ,rog¡y¿\c, bi = -g coac Multiplicando la segunda ecuación po,

i, n"-o, que puede escúbirse d. , ¿ /iz1 'ü\2 ) = -l7¡Geno)

Integrando, biz/z

= -tsen c +

t/2,

cr.Ahora,cuando c =

=

bcz

Zc(l

-

á

(1) (2)

(3)

como

= 0 asíque cr :g

v

sen a)

(4)

Sustituyendo (4) en la primera ecuación de (J), encontramos que

N =

mg(8 eenc

- 2)

(5)

Ahora bien, la partícula permanece sobre la esfe¡a cuando N > 0; pero cuando N: 0 eeinminente la separaci ón de la partícula de la esfera. Entonces el ángulo requeridá se da por B sen e - 2 : 0, esto es,

senc

(ü)

Haciendo sen d

:

= 2/3

o

c =gen-rL/B

(6)

Z en (4), encontramos

i, = Entonces si u es la rapidez, tenemos u

:

zclgb

b6, asíque de

@

(fl

obtenemos u2

: lbg o u:

,TTFE.

Método

2. Por la conservación de la energía, tomando al eje

E, enA

*

0 tsz

Utilizando el ¡esultado del problema

1.35

de curvatura es b,

F=

tna

Empleando solamente la componente

-

sen

1¿*o,

t)

(8)

= (*,,-#t,) \o = rr,

*

y la segunda ley de Newton, tenemos, debido a que el radio

(N

-

mg senc)r¡

= w+N -

ntg coac ar

tenemos que

o2lb De(8)y(9)encontramosque

2gb(L

E" enP

mgbsen¡

=

=

como nivel de referencia, tenemos

: EpenP*

E" en A

,¡tgb +

r

= N-mgaenc

N: ms@senr-

método 1. La rapidez se encuentra a pa¡ti¡ de (g).

(9)

2)quedaelángulorequeridosen-r G)comoenel

78

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

3

Proble mas propuestos CAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTO LINEAL DE CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTE

g.24.

Un objeto de masa m se deja cae¡ desde una altura H. Demostrar que si la resistencia del aire es despreciable, llega al suelo: (¿) en un tiempo \ñ878, y (b) con velocidad \E@-

g.26.

Hace¡elproblema 3.24 si el objeto rBesp.

(o)

(rETzsH -tso)ls,

se

suelta verticalmente hacia abajocon rapidez inicialde magnitud u6.

1o¡

t/fi+Wu

3.26.

Comprobar que el objeto del problema 3.3 regresa a la superficie de la Tie¡¡a: (o) con rapidez de magnitud igual a la r'apidez inicial, y (b) en un tiempo que es el doble del invertido en alcanza¡ la altura máxima.

g.27.

Una esfera que se lanza hacia a¡¡iba alcanza una altura máxima de 100 pies y luego regresa al punto de partida. (o) ¿Con qué rapidez se lanzó? (ó) ¿Cuánto tiempo gasta en regresar? Resp. (o) 80pies/seg, (b) 5 seg

3.28.

Una esfera que se lanza hacia a¡riba pasa por cierta altura Il después de un tiempo 7r cuando se mueve hale cia arriba, y después de un tiempo r, cuando se mueve hacia abajo. Comprobarque: (c) magnitud de : (ó) y ¡1 ,"), la altura lgt1r2. que es I lanzó Ia esfera con se Ig(r, la velocidad inicial

3.29,

¿Cuáleslaaltu¡amá¡imaquesealcanzaenelproblemaS-ü)?Resp-

B.BO.

Dos objetos se dejan caer desde la cima de un farallón de altu¡a Il. El segundo se suelta cuando el primero ha caído una distancia D. Comprobar que en el instante en que el primer objeto ha llegado al suelo el segundo

está a una distancia por encima del primero igual

tgQr+ 'r)t

a 2VDH - D'

gjl.

Un ascensor parte del ¡eposo y alcanza u¡a rapidez de 16 pies,/seg en 2 seg. Encontra¡ el peso en el ascenso¡ (b) 120 lb de un hombre de 160 lb si el ascensor: (o) está subiendo, (b) estábajando. ResP. (o) 200 lb'

g.g2.

Una partícula de 3 kg de masa se mueve en línea rectay desacelera uniformemente desde una velocidad de (b) 4O m/seg hasta 20 m/aeg en una distancia de 300 m. (a) Encontrar la magnitud de la desaceleracién. gasta? y tiempo cuánto de detenerse avanza antes ¿Cuánto más Resp.

g.Bg.

(a)

2 m/seg2,

(b) lm m; 10 seg

partícula desde la veloci¿Cuál es el trabajo total hecho sobre la partícula del problema 3.32 para detene¡ la julios)' (o newtons metro dad de 4O m/seg'! Resp. 24ffi

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

3.34.

Un proyectil se dispara con una velocidad de 1800 milh formando un ángulo de 60' con la horizontal. Si cae sobre el mismo plano, encontrar: (o) la altura máxima alcanzada, (b) el tiempo para alcanzar la altu¡a márima, (c) el tiempo total del movimiento, (d) el alcance, (e) la rapidez después del primer minuto del disparo, (/ ) Ia rapidez a una altura de 32.000 pies. Resp. (a) 15,5 mi, (b)7I,4 seg, (c) 142,8 seg, (d) 35'? mi/h, (l) 1558 mi,/h.

3,3ó.

(o)

g.86.

El alcance máximo

que se dispara con velocidad de 1mi,/seg? (ó) ¿Qué ¿Curíü es el alcance máximo posible de un proyectil altura se alcanza en este caso? Resp. ( o ) 165 mi' (b ) 4L,25 mi

po total

""

de un cañón

es.tl^6r. Comprobar que: (o) la altura alcanzada es lRr6', y (b) el tiem-

Vfiffi.

g.87.

disparar un proyectil desde el suelo para que haga impacto en cierto punto sobre el suelo que está a una distancia inferio¡ a la del alcance má¡imo. Demostra¡ que hay dos ángulos posibles de disparo, uno me' nor de 45' en determinada cantidad y otro mayor de 45' en la misma cantidad.

8,g8,

Un proyectil que tiene un alcance ho¡izontal B llega a una altura máxima H. Demostrar que debe habe¡se y (b) formando un ángulo con la horidisparado: (o) con rapidez inicial igual a !Ñ-FTF-A\M, zontal dado por sen-t Qn/'/-FFtaFz)'

Se desea

CAP.

3I

3.39.

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

. CAIDA DE CUERPOS

Y PROYECTILES

79

Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura 11 sobre el nivel del mar, formando un ángulo a. Si cae al mar a una distancia D de la base del acantilado, comp¡obar que su altura máxima por encima del nivel del mar es

Fig.3-19

MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESTSTENTE

3.4o.

Se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez uo un objeto de peso W. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea y que la constante de proporcionalidad es r, comprobar que: (o) el objeto alcanza una altura má¡ima de

Wxa6 W. /. -Pr *'s-'n

*ro\ \' * W )

y que, (b) el tiempo requerido para alcanzar la altura máxima *on\ W . /.

*,"\'*

es

*)

3'4r'

Un paracaidista cae del reposoy adquiere una velocidad límite de 15 mi/h. Suponiendoque la resistencia del aire es proporcional a la rapidez instantánea, encontrar qué tiempo se requiere para adquirir una velocidad de 14 mi,/h. Resp. 1,g6 seg

3'42'

Una masa m se mueve en línea recta bajo la acción de una fue¡za constante F. Suponiendo que hay una fue¡za de resistencia que es numéricamente igual a ru2, donde u es la rapidez instantánea v r es una constante, demostrar que la distancia reco¡rida desde la rapidez u¡ hasta la rapidez u, es

rn, /F-*?r?\ %tn\F=Ar)' 3'43'

Una partícula de masa /n se mueve en línea recta y se ejerce sobre ella una fue¡za de resistencia constante de magnitud .F. Si parte con rapidez us, (o) ¿en cuánto tiempo se detiene? y (ó) ¿qué distancia ¡ecorre en dicho tiempo? Resp. (a) muo/F, (b) mu?/2F

3.44.

¿Puede ¡esolve¡se el problema 8.4Íl por consideraciones de energía? Explicar.

3'45.

Una locomotora de masa m viaja con rapidez constante uo sobre rieles horizontales. (o) ¿En qué tiempo se detiene la locomotora después que se desconecta la ignición, si la resistencia al movimiento se da por a I gu2, donde u es la rapidez instantánea y a y p son constantes? (b) ¿Curíl es la distancia recorri-

da?

Resp.

(a) ñhan-,

(uol&), $) (n/zp)ln(ri

puf,/a)

3'46'

Una partícula se mueve en dirección x y sólo experimenta la acción de una fuerza de resistencia que es p¡oporcional al cubo de la rapidez instantánea. Si la rapidez inicial es u¡ y después de un tiempo r es *uo, probar que la rapidez será iuo en un tiempo 5r.

3'47'

Encontra¡ la distancia total recorrida por la partícula del problema 3.46 para alcanzar las rapideces: (c) áuo, (b) iuo. Resp. (o) lu¡t, (b) un,

3.48.

Demostrar que para el proyectil el problema 8.14,

(o) el tiempopara alcanzarelpunto más altoes

(ó) la altura máxima

es

flLAg sarl a

+h/, l5- \

4ln 1, * É'ot"t"\ rns P -\-

/'

.

'"n",. * u'o,ng /

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES Y ROZAMIENM

3'49'

Un cuerpo de 100 lb parte del reposo desde el punto más alto de un plano inclinado de 60' y de 200 pies de longitud. Despreciando el rozamiento: (o) ¿qué tiempo requiere para llegar al punto más bajo del plano?, v (b) ¿con qué rapidez llega a dicho punto? Resp. (a) 3,80 seg, (ó) ios,gpies,zses

80

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES [CAP. 3

g.5O.

Hacer el problema 3.49 si el coeficiente de rozamiento es

g.6f.

plano inclinado, de ángulo c ¿Con qué rapidez debe lanzarse un objeto desde el punto más bajo de un (b) plano. punto alto del más ¿Qué tiempo gasta? y longitud I para que apenas alcance a llegar al

Resp. (o) 4,18 seg, (b) 95,7 pies/seg

(o)

nesp. (o)

g.62.

0,3.

\MQll@)

Demost¡ar que el coeficiente de rczamiento de un objeto cuya rapidez inicial es uo y que requiere un tiemr para detene¡se cuando se desliza gobre una superñcie de hielo es us/g''

po

g.b3.

¿Qué fuerza es necesaria para subir por un plano inclinado ResP. 5,87 t de rozamiento es

30'

un camión que pesa 10

t, si el coeficiente

0,1?

g.b4.

una masa rn sobre una tabla horizontal de madera. Se levanta la tabla por un extremo hasta que la masa m empieza a deslizarse. Si en este instante la tabla fo¡ma un ángulo a con la horizontal, demostrar que el coeficiente de rozamiento es t : tan a.

g.56.

Sobre una masa de 400 kg que está sobre un plano inctinado 30" se ejerce una fuerza de 4800 nt y que forma un ángulo de 30' con el plano, como se indica en la figura 3-20. Encontrar la acele¡ación de la masa si Resp.5,5 m/seg2 , (b) 5,0 m,/seg2 el plano: (¿) es liso, (b) tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2'

Se coloca

Fig.3-2r

Fig.3-20

3.66.

Hacer el problema 3.55 si la fuerza de 48ffi nt actúa como se indica en la figura 3-21. Resp. (a) 5,5 m/aeg2 , (bl 2,6m/ser2 .

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME

3.67.

Un peso de 100 kg se suspende verticalmente del centro de una cue¡da, como se muestra en Ia figura 3-22. Determina¡ Ia tensión ? en la cue¡da. Resp. T - 1ü) kg-f : 980 nt

100

h3

Fis.3-23

Fig.8-22 3.58.

En la ñgura 3-28, ABy AC son cuerdas fijas aI techo CD y a la pared 8D, en los puntos C y 8, respectivamente. De A se suspende un peso Il¿. $i las cuerdas AB y AC forman, respectivamente, ángulos 0t y 0, con la pared y el techo, encont¡a¡ las tensiones Tt J Tz en las cuerdas' Resp.

3.59.

Fig.3-%

Wsen W cosl, rr = ós (ará , T2 = "*C,;;

ct

Encontrar la magnitud de la fue¡za F requerida para mantener en equilibrio sobrc el plano inclinado la masa m, si: (o) el plano es liso, (b) el plano tiene un coeficiente de rozamiento p. Resp. (o)

tr'=

ffi,

(D)

¡'= gffi4-99t")

cAP. 3l

3'60.

3.6 f

.

3'62'

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

81

Qué fuerza debe aplicarse a un trtn que pesa 320 t para que adquiera una rapidez de lb mi,/h en 20 segundos, partiendo del reposo, si el coeficiente de rozamiento es 0,02 y: (a) cuando la üa fé¡rea es horizontal, (b) cuando la vía fér¡ea fo¡ma un ángulo de 10" con la horizontal y el tren va hacia arriba. (Use sen 10o : 0,1737, cos 10" : 0,9813) Resp. (a) l?,4 t, (b) 129,6 t

Resolver el problema 3.60 ( b ) cuando el t¡en baia.

Resp. 3,6

t

Un tren de masa rn se desliza con rapidez constante uo sobre un plano inclinado que forma un

4 con la horizontal, y de coeficiente de rozamiento ¡r. Demostrar que la fue¡za el t¡en en un tiempo ¡ se da por rng(seno - p cos a) I muo/r.

ángulo

necesaria para detener

PROBLEMAS VARIOS

3'63'

Una piedra se arroja a un pozo y el sonido producido al choca¡ con el agua es oído un tiempo r posterior al instante en que se soltó. Suponiendo que la rapidez del soniilo es c, probar que el nivel del agua del pozo está a una profundidad (@ 2ec, - c)"/28.

3'64'

Un proyectil se lanza hacia abajo desde la parte superior de un plano inclinado un ángulo a, formando un ángulo 7 con el plano inclinado. Suponiendo que el proyectil golpea el plano, probar que (a) el alcance se da

por o

:

2oó

sely--c5y

- ")

y que, (ó) el arcance máximo hacia abajo del prano es

E,á, = 3'65'

T:

td=;;t

Un cañón se coloca sobre un cerro que tiene la forma de un plano inclinado que forma un ángulo c con la horizontal. Un proyectil se dispara hacia a¡riba formando un ángulo É con el plano. probar que si se de-

seaqueelproyectilgolpeeelcerrohorizontarmente,debecumplirseque É:

3'66'

tan-t/=2*""21 \. \3 - cos 2a/'

Suponer que dos proyectiles se lanzan formando ángulos a y p con la horizontal desde el mismo punto en el mismo instante, en el mismo plano vertical y con la misma rapidez inicial. probar que durante el movimiento, la línea que une los proyectiles forma un ángulo constante con la vertical dado por t@ 1-

il.

3.67.

¿Es posible resolver

Explicar.

la ecuación F : d,\mv)/dt : dp/dt por el método de

separación de variables?

3'68'

Cuando un pr

0,

En-

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

101

4.20. (o) Obtener la solución (33), de la teoría del capítulo 4, para el caso en que no haya amortiguamiento y la frecuencia aplicada sea igual a la frecuencia natural. (b) Dar una interpretación física. (o) Elcasoporconsidera¡seobtienehaciendo 7:0 o g:0 y d: o enlasecuaciones(23) y (24) del capítulo 4. Entonces, debemos resolve¡ la ecuación 'ú

+ ,zr - /6 cos orú

(/)

Para encontrar la solución general de esta ecuación sumamos Ia solución general de

'iluzn =

o

(2)

a la solución particular de (I). Ahora, la solución general de (2) es

ü = Acosroú*Bsenú,ú Para encontrar la solución particular de forma

(l) no sería

tr =

c1 coS toú

(J)

conveniente suponer una solución particular de la

*

c2 sen

Clt

0 = e-Bt/2m(Aert¡Be-\.)

donde,

tr={p/nmz_¡¿

Este es el caso de mouimiento sobreamortiguado. En cada caso las constantes A y I pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. En el caso t hay oscilaciones que disminuyen continuamente. En los casos y 2 B el péndulo gradualmente regrcsa a la posición de equilibrio sin oscilar.

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES 4.26. Hallar la energía potencial para el oscilador armónico: (o) en dos dimensiones, y en tres dimensiones.

(ó)

[cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

104

(¿)

En este caso la fuerza está dada por puesto que

VXF:

F = -rcpi-xzUi

O, el campo de fuerza

existe una función Vtal que

F : -VV.

F = -K/'i_ a partir de la

4

KzA!

es

conservativo, Entonces eriete un potencial, es deci¡,

Tenemos

-fft-{*

= -vv = -{l

cual av/or = r¡r, |Vldy =

xza, 0Vl0z

=0

o

V - lrP2 |t*ra' tomando igual a cero la constante arbitraria de integración, se obtiene así la energía potencial requerida.

(b)

F: O' EnEnestecasotenemos F: -.r¡i - x¿li - (Bzk quetambiénesconservativapo¡que V X la energía la cual xsz de dVl\z x2A, (a), 0V/0U xp, = parte |VlAr en la contramos, como = potencial requerida es

l/ - lxpz *

4.27.

[¡*rU'*

$xszz

Urra partícula se mueve en el plano xy en un campo de fuerza dado por

F : -x¡i -

xyj. Demostrar que Ia partícula se moverá generalmente en una trayectoria

elíp'

tica. Si la partícula tiene masa m, su ecuación de movimiento es ¿2r

m;; o,comor:¡i*yi,

*#r+*ffii = -rri-rvi

Entonces

rnAF

&r

=

(r)

= F = -rri-xYi

(2)

^ffi = -*u

-Kr,

Estas ecuaciones tienen soluciones dadas respectivamente por

tr =

A1

cos{ñt *

u = Blcostflimt *

A2"entflimt,

B2sen

vector de posición supongamos que en ¿ : 0 la partícula está localizada en un punto cuyo encontramos condiciones, : estas usando uzj. * uri dr/dt velocidld o¡ + bj moviéndos!_gen

lr=1, A2=o¡flii, Bz=rz@

Elevando

al

cuadrado

o Considerando que

la

y

dú =

,

A -- D cos c¡t * d sen oÚ sen@t y cosot en (4) encontramos, si ad I oa-bt . sñor=fi-fi

y teniendo en cuenta que cos2ot * sen2ot: l, (ilr-cal2 t (aa-br\z - (oil-bc)z (b2+¡12)n2-2(cd'*ab)rv*(a2*c2la2 = (o'il-bc¡z sumando,

ecuación

es r : At : a,

Y

fr = ocosoú*csenoú, donde c : ur{m, d : uzYffi. Despejando cos

(3)

'/-l^t

(4)

bc,

encontramos

(5)

donde A>0, c>0'D>0 Arz*Bra*Cyz - p yaunahipérbolasi correspondeaunaelipsesi 82 - 4AC < 0, aunaparábolasi 82 - 4AC:0 82 - 4AC > 0. En (5) vemosque A: b2 + d2, B - -2(cdt ab), C: a2 * c2 asíque 82-4AC = 4(cd+-ob)z-4(bt*ü)(az+c2l = -4(otl-bc)z ' O si A : c' pues od I bc. Por tanto, en general, la trayectoria es una elipse y será una circunferencia : Si o¿ -: bc la elipse se reduce a una línea rccta ay br'

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

cAP. 4l

105

PROBLEMAS VARIOS 4.28. Un cilindro flota con su eje en posición vertical en un líquido de densidad o.

Se em-

puja levemente hacia abajo y luego se deja libre. Encontrar el peúodo de la oscilación si el cilindro tiene un peso Wy una sección trasversal de área A. Sea i?S, la posición de equilibrio del cilind¡o, situada a una distancia z de la superficie PQ del líquido en cualquier tiempo ú. De acuerdo con el príncipio de Arquímedes, la fuerza de empuje sob¡e el cilind¡o es (Ae)o. Apli-

cando la segunda ley de Newton,

W&z e iltz = -Azo

#*t#"

Resolviendo,

z =

=

o

.os1@t

+ c2"entfffit y el período de oscilación es zrfr@.

4.29.

c1

Fig. {-18

Demostrar que si no se suponen pequeñas oscilaciones, el peúodo de un péndulo simple es

. [7 f"''

¿.1-

da

t

donde k =

I s Jo tFñó

La ecuación de movimiento para un péndulo simple (ecuación (31), de este capítulo)

si no se

sen(00/2\

suponen pequeñas oscilaciones es

(r)

-

Sea

d|/dt : ¿. Entonces

y (l)

se trasfo¡ma en (2)

Integrando (2) obtenemos

* = +coac+c Cuando 0

:

(3)

u : 0 entonces c : -(C/l) cosC¡. Portanto (J) puede eecribirse u2 = (2clll(cosr-cosro) o itolitt = *r,/@i

Co,

como @)

Si rtstringimos el movimiento de manera que el péndulo ¡c mueva de C : 0s a 0 : 0, lo cual corresponde en tiempo a una cuarta parte del perlodo, debemos usar el signo menos en (4) y obtenemos entonces

deldt=-\Ml

Separando las variables e integrando, tenemos

[t r

\úJ ffi

l= Como

ü:0

en

0:0o y t: P/4

en

0:0,

dc

dondePeselpeíodo,

_ F fto F = o\uJ,

¿tc

(5)

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

106

Haciendo uso de la identidad trigonométrica cosd plaza 0 por de, (5) puede escribirse como

P=

2 sen2(0/2)

- l,

dc

sen

4

y de una similar, donde se rem.

,rTli {;pcñ -sep@Ia

sen(el2) =

Tomando

:

[cAP.

(6)

t-)

(asl2) senp

Y tomando la dife¡encia en ambos lados.

f, cos(cl2) dc = o llamando

k:

sen(es/2) cos d dé

sen (0o/2),

de=

Vemostambiénde(7)quecuando0:0,ó:0,ycuando0:0o,ó:¡/2.Porconsiguiente,(6)se trasforma en la ecuación requerida,

¡ttz d6 ? = o \;[-l J. fiur""nrr

(8)

Nótese que si se tienen pequeñas oscilaciones, es decir, si & es ce¡o o tiende a cero, entonces se obtiene pa-

ra el período

(8), (e)

como ya lo vimos.

La integral en (8) se llama integrol eúptica y no puede ser evaluada exactamente en términos de funciones elementales. La ecuación de movimiento del péndulo puede resolve¡se pa¡a I en términos de funciones elípticas, las cuales son generalizaciones de las funciones trigonométricas.

4.30.

Demost¡ar que el período obtenido en el problema 4.29 puede escribirse como

('\\' t,* /11)' k, * ( !-'3,' 1-)' ¿. *, . .] P = 2,t/Ugjl+(: - ¡ ,2/'" '\2'4/'" '\2'4'6/')

El teorema del binomío establece que si lr

(l*c)a Si

p : - *, la ecuación

|(

1,

entonces

= | * pr *#*

* "'

* W*

anterio¡ puede escribirse como

(r+a¡-rtz

= t -i" +fi"r- !'35n' 1 ...

Haciendo x : -h2 sen2ó e integrando desde 0 a r/2, encontramos

_ F =

_

avrio

fnt2

dO

)o

= o* !:"{t . i k2*n2ó + ffit'."'no + "'}¿o . (;)'-, . (#+)' r + (}s.n. o)'" * . } = 2,,/Tn{' -,.ffi;;re donde hemos usado

la fórmula derintegración

I uo

senz"

6

dP

=

1.3.6"'(2n-l)r

2.4.6...(2n)

La integración término por término es poóible porque lfr |

4.31. Una cuenta

<

2

1.

de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en forma de cicloide y colocado en un plano vertical, (figura 4-19) cuyas ecuaciones paramétricas son

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

107

(r) ?l = o'(L - cosó) si la cuenta parte del reposo en el punto O, (a) encontrar su rapidez en el punto inferior de la trayectoria, y (b) demostrar que la cuenta realiza oscilaciones con peúodo equivalente al de un péndulo simple de longitud 4o.

fr =

(o)

a(rh

-sen4),

Sean P la posición de la cuenta en cualquier tiempo f y s la longitud del arco a lo largo de la cicloide medida desde el punto O. Teniendo en cuenta la conse¡vación de la energía y midiendo la energía potencial relativa a la línea AB que pasa por el punto más bajo de la cicloide, tenemos: Ep en P * Ec en P : Ep en O * Ec en O

ms(2a

a) 1- Im(dsld.t)2

-

= mg(2a\ * 0

(21

O

n1,

A-

o

Fig.4-19

rz - (d,s/dtlz - 2gU o D = its/¿tt = {rW : 2fga. En el punto más bajo ! : 2a la rapidez es u : @¡ Entonces (b)

De la parte

(a), (ds/dt)2

2gy. Perc

- a2(l-cosq)z$z*a2sen2¡O2 = 2a2(I - cos p)|z = 2ga(l - cos C) o A2 - g/a. Por tanto

(ds/ctt)z Entonces

:

=

(dnldt)z I(da/d.t)2

ülctt : t/lla

Cuando ó:O,

de(a)'

t:0;

(3)

cuando ó:2r,

y

t:

2a2(1

-cos{)¿z

4 - fi¡at+ct

\41

P/2 dondePeselpeíodo.Ydelasegundaecuación

P=A,r{a/c=2or/Tolg

y el peíodo es el mismo que el de un péndulo simple de longitud I : 4a. Véanse los problemas 4.86-4.88 donde aparecen algunas aplicaciones interesantes.

4.32. En el interior de un paraboloide de revolución liso que tiene como ecuación cz x2 * y', se coloca una partícula de masa m en un punto P situado a una altura H la horizontal (considerada como el plano ry). Suponiendo que la partícula parte del reposo: (o) encontrar la rapidez con la cual alcanza el vértice O, (b) encontrar el tiempo r empleado, y (c) encontrar el peiodo para pequeñas oscilaciones. sobre

Es conveniente escoger el punto P en el plano yz de manera eue r : 0 y cz : y2. Aplicando el principio de la conservación de la energía en cualquier punto Q sobre la trayectoria PQO, tenemos

E,

en

msH +

P

: +m(0)2 =

*

E" en P

Eo en Q

trlsz

*

E" en

Q

*$m(ils/dt\2

donde s es la longitud de arco a lo largo de OPQ medida desde O. De la ecuación anterior.

= 2g(H-z\

(l)

= -\/21Jl=Á

(2)

(dsldt)z

íts/dt

usando el signo negativo puesto que s decrece con I

(o) Si e : 0,

encontramos que

la velocidad en el vértice es lT[rt.

OSEILADOR ARJVIONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

108

(b) Como ¡ : 0 y cz :y2,

[cAP.

4

tenemos

(b\' = /@\' -\drl-\ü) (@\' * (a\' = (@\' -",\ü) * !t(a\' = (, *!t\(du\' \ü/ * \E/ \Af/ \'-T)\dl)

Portanto, (l) puede escribirse (I * 4y2/cr)(dy/dt)2 :2C(H - yr/r). Entonces

da dt

= -.r;-\Gí-a'z Yzgc--: {c2 + 4u2 z : H y,

Usando el hecho de que

) : 0, al integrar ?r

¡

t/cH

y : Vcil

en consecuencia,

(o

|

=

"

y : lffi

= --

+ 4a, da

-

Yz

f : 0 mientras

en

eue en ú

:

tenemos

| -t@¿t Jo Haciendo

{c - {2gc dt = --:

o

cos

|

1/2gc J

l*

,,pn

_7

+ ¿* 1 ¡{cu \/A -----:tiy tlzsc Jo lfH - ur-"

7 =

o

d, la integral puede escribirse t/cz

t

* -du 4cH cos2e de =

1f¡/2

-= J,| lc {2sc

+ tcn

- tcn se"z e ae

la cual puede escribirse

t/t - trn"za ¿e

t=

(3)

k - t/aH/kIaH\

donde

(41

La integral en (3) es una integral elíptica y no puede evaluarse usando funciones elementales. Pero, sin embargo, puede evaluarse mediante series (véase el problema 4.11g). (c

) La partícula oscila hacia

atrás y hacia adelante dentro del paraboloide con un peúodo dado por

p = 4¡ :

^

rW

!o"''

r/t

-

n"""nu

(5)

ae

Para pequeñas oscilaciones, el valor de &, dado Wt (4), puede conside¡arse tan pequeño que para p¡opósitos prácticos puede tomarse igual a cero. Por consiguiente, (5) se convierte en

La longitud del péndulo

p :2otf@*4H)/2s simple equivalente es I : Lk + 4H).

Problemas propuestos MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

4'33.

Una partícula de masa 12 g se mueve a lo largo del eje r at¡aída hacia el punto O po¡ una fuerza (en dinas) que es numéricamente igual a 60 veces su distancia instantánea ¡ cm desde O. Si la partícula parte del reposo en ¡ : 10, encontrar: (o) la amplitud, (ó) el pe¡íodo, y (c) la frecuencia del movimiento. Resp.

4.34.

(a) 10 cm, (b) 2oltfi see, k) t/llZo vib/see

(o) Si la partícula del problema

4.33 comienza su movimiento en r : 10, con una rapidez hacia O de y su f¡ecuencia. (ó) Determinar el tiempo en que la par-

20 cm/seg, determinar su amplitud, su período tícula llega al punto O por primera vez.

Resp. (¿) Amplitud

4'35.

seg,

frecuencia

: 15,/2r vib,/seg;

(b) 0,33

seg

Una partícula se mueve sobre el eje r atraída hacia el origen O con una fuerza proporcional a su distancia instantánea desde O. Si parte del reposo en .r : 5 cm y alcanza x : 2,5 cm por primera vez después de 2 seg, encontra¡: (o) la posición en cualquier tiempo ú después de comenza¡ su movimiento, (b) la rapidez en ¡ : 0, (c) la amplitud, el período y la frecuencia de oscilación, (d) la máxima aceleración, (e) la máxima rapidez.

Resp.

(a) ¡ :

(el 5r/6 cm/seg 4.36.

: 6V5'cm, período : 2r/{-B

Scos

(,t/a); (U) 5r/6 cm/segi (c) 5 cm, 12

seg, t,/12 vib/seg;

(d) 5#/36

cm/seg2;

Si una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje r, probar que en la trayec-

toria: (o) la acele¡ación tiene su máximo valo¡ en los extremos, (b) la velocidad tiene su máximo valor en el punto medio, (c) la aceleración es cero en la mitad, (d) la velocidad es cero en los extremos.

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

4.37.

109

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple en línea recta. Su máxima velocidad es 20 y su máxima acele¡ación es 80 pies,/seg2. Encont¡ar el período y la frecuencia del movimiento.

pies/seg

Resp.

r/2

seg,

2,/r vib/seg

4.38.

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. Si su acéleración a la distancia D de su posición de equilibrio es A, probar que el período de movimiento es:2¡!DA..

4'39'

Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple tiene rapidez de B cm,/seg y 4 cm/seg a las distancias 8 cm y 6 cm, respectivamente de su posición de equilibrio. Hallar el período de su mwimiento. Resp. 4r seg

4'4O'

Un peso de 8 kg está colocado sobre un resorte vertical alargándolo en 20 cm. El peso se hala hacia abajo y se suelta. (o) Encontrar la amplitud, el período y la frecuencia de la oscilación. (ó) ¿Cuál es la posición y la rapidez en cualquier tiempo? Resp. (a\ 40 em,2r/7 seg, 7l2r vib/seg

una distancia de 40 cm

(ó)

4'41'

r = 40 cos Tú cm, a =

-2g0

sen ?ú cm/seg

Una masa de 200 g se coloca en el extremo inferio¡ de un reso¡te vertical y lo extiende 20 cm. Cuando está en equilibrio, la masa se golpea y sube una distancia de 8 cm antes de que empiece a bajar de nuevo. Encont¡a¡: (a) la magnitud de la velocidad impartida a la masa cuando ésta se golpea, y (b) el período

del

movimiento. Resp. (o)

56 cm,/seg,

(b)

2"h

sel

4'42'

Una masa de 5 kg está en el extremo de un ¡eso¡te que se mueve con movimiento armónico simple a lo largo de una línea ¡ecta ho¡izontal con período de 3 seg y amplitud de 2 m. (o) Determina¡ la constante del ¡eso¡te. (ó) ¿cuál es la fue¡za máxima ejercida sob¡e el resorte? Resp. (o) 1f40 dinas,/cm o l,l4 nt/m (b) 2,28 X 105 dinas o 2,28 nt

4'43'

Cuando una masa M cuelga del extremo inferior de un ¡esorte vertical y se hace mover, oscila con período P. P¡oba¡ que el período cuando se añade una masa M es prr-ñ7V

OSCI LADOR ARMONICO AMORTIGUADO

4.44.

(o) Resolverlaecuación d2x/dt2 *%]x,/dt *5¡:0 sometidaalascondiciones,:5, dx/dt: en t : 0, V (b) da¡ una interpretación física del resultado. 8esp. (a) ¡: le-t(I0cos2ü - 5sen2t)

4.45.

Ve¡ificar que la fuerza amortiguadora dada por la ecuación (2) del problema 4.11 es co¡recta independientemente de la posición y velocidad de la partícula.

4-46.

Un peso de 60 lb que cuelga de un reso¡te vertical lo esti¡a 2 pies. El peso luego se hala hacia abajo 3 pies y se suelta. (o) Encontrar la posición del peso en cualquier tiempo si la fuerza amortiguadora es numéricamente igual a l5 veces el valor de la rapidez instantánea para esa posición. (b) ¿Es el movimiento oscilatorio amortiguado, sobreamortiguado o críticamente amortiguado?

_s

Resp. (a) x : \e-rt(4t + l), (b) críticamente amortiguado

4.47-

Desarrolla¡ el problema 4.46 si la fuerza amortiguadora es numéricamente igual a 18,?5 veces la rapidez instantánea. Resp. (o) ¡ : 4e-2, - e-8,, (b) sobreamortiguado

4,44.

En el problema 4.46 suponer que la fue¡za amortiguadora es numé¡icamente igual a ?,5 veces la rapidez instantánea. (a) Probar que el movimiento es oscilatorio amortiguado. (b) Encontrar Ia amplitud, el

período y la frecuencia de las oscilaciones. (c) Encont¡ar el dec¡ecimiento logarítmico.

Resp. (ó) Amplitud : 2\/T e-2r pies, período :

4.49.

: t/T/, vib/seg; (c\ 2r/!3 "/uT seg, frecuencia

Probar que el decrecimiento logarítmico es el tiempo requerido para que durante una oscilación la máxid,e su valor.

ma amplitud disminuya en l/e

4.5o.

La frecuencia natu¡al de una masa que oscila en un resorte es 20 vib,/seg mientras su f¡ecuencia amortiguación es 16 vib,/seg. Encontrar el decrecimiento logarítmico. ilesp. 3/4

4.51.

Probar que la dife¡encia en tiempo correspondiente adesplazamientos máximos sucesivos de un oscilador armónico amortiguado dada por la ecuación (I2) del capítulo 4, es constante e igual a4¡mfifñBz.

con

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

110

4.62.

IcAP.4

¿Es la diferencia en tiempo entre desplazamientos minimos sucesivos de un oscilado¡ armónico amortiguado la misma que en el problema 4.51? Justificar su respuesta'

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

4.53.

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje ¡ se determina mediante la ecuación d2r/dt2 * 4dt/dt * 8¡ : 20 cos 2ü. Si la particulaparte del reposo en ¡ : 0, hallar: (o) ¡ en función de t, (b) Ia amplitud, el período y la frecuencia de oscilación después de que ha trascur¡ido un tiempo largo.

Resp. (o) ¡ : cos2ü * 2 sen2t - e-2'(cos2t I 3 sen2t) (b) Amplitud : vE período : r, f¡ecuencia : 1/r

4.64.

(o) Da¡ una interpretación física del problema 4.53 conside¡ando una masa en el extremo de un resorte vertical. (ó) ¿Cuál es la frecuencia natural de la oscilación del resorte? (c) ¿Cuál es la frecuencia de la fuerza impulsora? Resp. (b) \E/r, (c) l/"

4.55.

Un peso sobre un reso¡te ve¡tical está sometido a vibraciones forzadas de acue¡do con la ecuación d2r/dt2 * 4x :8 sen ot donde ¡ es el desplazamiento desde la posición de equilibrioy o > 0 es una

constante.Sient:0,¡:0ydx/dt:0,encontrar:(a)¡enfunciónde¿,(b)elperíodode la fue¡za externa para que haya resonancia. Resp (a) x: (8senoü - 4osenzt)/( - o2) si o l2;

(b) r:2

4.66.

x:

sen2¿

- 2úcos2t si o:2

o período: r

Un reso¡te vertical de constante 17 lb/pie tiene suspendido un peso de 32 lb; se aplica una fuerza externa expresada como función del tiempo t por F(l) : 65 sen 4t, t > 0; se supone que actúa una fue¡za de amortiguamiento expresada en lb por 2u, donde u es la rapidez instantánea del peso en pies/seg. Inicialmente el peso está en teposo en la posición de equilibrio. (o) Dete¡minar la posición del peso en cualquier tiempo. (b) Indica¡ las soluciones de la oscilación momentánea y de estado estable y dar las interpretaciones físicas de cada una. (c) Encontrar la amplitud, el peíodo y la frecuencia de la solución de estado estable (emPlear C

:

32 pies,/seg2).

Resp. (a) x : 4e-'

cos 4f * sen 4t - 4 cos 4t (ó) Transitoria,4e-t cos 4t; estado estable, sen 4t - 4 cos

(c) Amplitud : \fti pies, período : ,/2

seg, frecuencia

4ú

: 2/o vib/seg

4.57,

Un resorte se comprime 5 cm. al actuar sobre él una fue¡za de 50 dinas. Una masa de 10 g se coloca en el ext¡emo inferior del resorte. Después de que el equilibrio se alcanza, el ext¡emo superior del resorte se mueve hacia arriba y hacia abajo de manera que la fuerza que actúa sobre la masa está dada por F(t) : 20 cos oú, ú > 0. (o) Encontra¡ la posición de la masa en cualquier tiempo medido I partir de su posi' ción de equilibrio. (b) Encont¡ar el valo¡ de o para que haya resonancia. Resp (a) ¡ = (20 cos oú)/(1 - t2) - 20 cos ú, (b) o = 1

4.6A.

Una fue¡za exte¡na periódica actúa sobre una masa de 6 kg suspendida del ertremo inferior de un ¡esorte ve¡tical de constante 150 nt/m. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la rapidez instantánea de la masa y es 80 nt cuando la rapidez es 2 m/seg. Encontra¡ la frecue."ia para que haya resonancia. Resp. 5/6" vib/seg

PENDULO SIMPLE 4.59.

Encontra¡ la longitud de un péndulo simple cuyo período es 1 seg. Dicho péndulo que registra segundos llamado un péndulo de segundos. Resp. 99,3 crn o 3,26 pies

4,60.

¿Será el período de un péndulo que registra segundos en un cierto punto, mayo¡ o meno¡ cuando se lleva

a otro punto donde la aceleración de la gravedad es mayor? Explicar.

es

Resp. Aumenta su peúodo

4.61.

Un péndulo simple cuya longitud es 2 m se desplaza hasta que la cuerda fo¡ma un ángulo de 30' con la vertical Entonces se suelta. (o) ¿Cuál es la rapidez del póndulo cuando pasa por un punto más bajo? (b) ¿Cuál es la rapidez angular en el punto más bajo? (c) ¿Cuál es la máxima aceleración y cuándo ocu¡re? .Resp. (a) 2,93 m/seg, (ó) 1,46 rad/seg, (c\ 2 m/seg2

4.62.

Probar que la tensión en la cuerda de un péndulc simple vertical de longitud I y de masa m está dada por mg cos 0, donde d es el ángulo instantáneo que forma la cuerda con la vertical.

cAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4l

111

4.63.

Un péndulo de segundos que registra ei tiempo correcto en cie¡to lugar es llevado a otro donde se ve que pierde T seg por día. Determinar la aceleración gravitacional en el segundo lugar. Resp. g(1 - T/86.4N)2, donde g es la acele¡ación gravitacional en el primer lugar

4.64.

¿Cuál es la longitud de un péndulo de segundos sobre la superficie de la Luna donde la aceleración de la gravedad es aproximadamente l/6 de la gravedad de la Tierra? Resp. 16,5 cm.

4.65.

Un péndulo simple de longitud I y masa ln cuelga verticalmente de un punto fijo O. Se le da una velocidad horizontal inicial de magnitud us. Probar que el arco sobre el cual oscila en un período tiene una

longitud dada por 4l cos-t (1 -

4.66.

ul/2gl).

Encontrar el valor mínimo de us en el problema 4.65 con el fin de que el péndulo complete una ci¡cunferencia vertical con centro en O. Resp. 2Qf

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

4.67.

Una partícula de masa 2 se mueve en el plano ry atraída hacia et origen por una fuerza dada por F : - 18¡i - 50yj. En , : 0 la partícula se coloca en el punto (3, a) V se Ie da una velocidad de magnitud l0 en dirección perpendicular al eje ¡. (o) Hallar la posición y velocidad de Ia partícuia en cualquier tiempo. (b) ¿Qué curva desc¡ibe la partícula? Resp. (a) r = 3 cosS¿ i+ [4 cos6¿+2 senSú]j, v = -9 senSú i* [10 cos 6t-20 senSú]i

4.68.

Hallar la energía total de la particula del problema

4.69.

Un oscilador armónico en dos dimensiones de masa 2 tiene energía potencial dada por V : 8(t2 I 4y'). Si el vecto¡ de posición y la velocidad del oscilador en el tiempo t : 0 están dados respectivamente por ro : 2i - j y ro : 4i + 8i, (o) hallarsuposición y velocidad en cualquier tiempo f ¡ 0, y (ó) determinar el período del movimiento. Resp.

(a) r -

(2

4.67.

cos4ü*sen4ú)i* (sen8ú-cos8¿)j, y:

(b\ T /8

Eesp. 581

(4 cos4ú-8sen

40i+

si V : 8(¡2 + A'). ¿Existirá en este caso un

(8 cos8ú+8 sen8ü)j

4.70.

Desarrollar el problema 4.69 movimiento? Explicar.

4.71.

Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za tridimensional cuyo potencial está dado por V : ir(t2 I 4y2 I 16z2). (a) Demostrar que si la partícula se coloca en un punto arbitrario en el espacio, diferente del origen, regresará a este punto después de algún período de tiempo. Determinar este tiempo. (b) ¿Es la velocidad con la cual regresa al punto de partida igual a la velocidad inicial? Explicar.

4.72.

Suponer que en el problema 4.71 el potencial es punto de partida? Explicar.

V : lx(x2 + Zy2 + 522).

pe¡íodo definido para el

¿Regresará

la partícula

al

PROBLEMAS VARIOS

4'73.

Un resorte vertical de constante ¡ tiene una longitud natural I y está sostenido en un punto fijo A. Una masa m se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura h por debajo de A y se suelta. Demostrar que el punto más bajo que alcanzará está a una distancia por debajo de A dada por | * mg/, *

\/wF-+-n¿rn:

4.74.

Resolver el problema 4.73 si se tiene en cuenta una amortiguación proporcional a la velocidad instantánea.

4.76.

Dada la ecuación + pi I xt : 0 para oscilaciones amortiguadas de un oscilador armónico, demostrar que si E :^'i¡mi2 * lrx2, entonces E : -p;2. Esto demuestra que si hay amortiguamiento la energía total E disminuye con el tiempo. ¿Qué ocu¡re con la energía perdida? Explicar.

4.76. (¿)

Demostrar

donde.4

que

=@,

.41 cos (oú - Ér)

* A2cos(ot- q2) = A cos (oú -

p)

e: ,"r-, (

)

(ó) Usar (a) para demostrar que la suma de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia y sobre la misma recta es un movimiento armónico simple de la misma frecuencia.

4.77.

Dar una interpretación vecto¡ial a los resultados del problema 4.?6

ttz

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

4.78.

Discutir el problema

4-79.

Una partfoula oscila en un plano de mane¡a que sus distancias pendiculares están dadas como funciones del tiernpo por

4.76 en caso de que las frecuencias de los dos movimiéntos armónicos simples no sean iguales. ¿El movimiento resultante será a¡mónico simple? Justificar su respuesra.

r y y desde

dos ejes respectivamente per-

ü = A cos(oú*Pt), U = B cos(oú*d2) (o) Demostrar que la partícula se mueve en una elipse inscrita en el rectángulo definido por r : I : +8. (ó) Demostrar que el período en su trayectoria elíptica es 2*/o. 4.8O.

:EA,

Suponer que la partícula del problema 4.?9 se mueve de manera que

r = Acos(orü*41), A =

B cos(oú*cttezl

donde e se considera una constante positiva que se supone mucho mayor que o, Defnostrar que la partícula oscila en elipses que ¡otan lentamente inscritas en el rectángulo ¡ : +A, y : ¡9. 4.8

r.

Ilustrar el problema yectoria

4.80 haciendo

una gráfica del movimiento de una partícula que se mueve en la tra-

r = 3cosl2ttrl(l, a = 4.42.

4.83.

4.84.

Una masa rn que se coloca sobre una mesa sin rozamiento (figura 4-21) se acopla a dos resortes fijos en los puntos A y .B, como se ilustra en la figu¡a 4-21. Los resortes tienen igual longitud natural, masas despreciables y constantes r¡ ¡r 12, respectivamente. La masa rn se desplaza horizontalmente y lüego se suelta. Demostrar que el período de oscilación estádadopo¡ P : 2¡ffiT ,)-.

4 cos(2,4ü)

A Fig. l-21

Un resorte de constante r y masa despreciable tiene uno de sus ext¡emos fijo en el punto A. En el otro extremo se coloca una masa m sobre un plano inclinado c, como se indica en la figura 4-22. Si la masa ¡n se hala una distancia re por debajo de la posición de equilibrio y luego se suelta, hallar el desplazamiento en cualquier tiempo referido a la posición de equilib¡io, si: (o) el plano inclinado no presenta rozamiento, (ó) si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento ¡.

flig.l-22

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje .r. En el tiempo to, Zto está situada en ¡ : a, b y c, respectivamente. Demostrar que el período de oscilación es

"o"_r

4tt¡ 1ol

y

Bto

c)l2b

4.85.

Un péndulo de segundos que da el tiempo cor¡ecto en un lugar, se lleva a orro lugar donde pierde 5 minutos por día. ¿En cuánto deberá alargarse o acorta¡se para que mida el tiempo correcto?

4.86.

Un péndulo que tiene una masa rn se suspende del punto O. Cuando oscila, la cuerda está constreñlda a moverse según las curvas ODA (u OC), como se indica en la figura 4-23. P¡oba¡ que si la curva ABC es una cicloide, entonces el período de oscilación será el mismo, independientemente de la amplitud de la oscilación. En este caso el péndulo se llama un péndulo cicloidal. Las curvas ODA y OC se construyen de manera que sean las euolutas de la cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

4.a7.

Fig.l-23

Una cuenta se desliza sobre un alambre sin rozamiento colocado en un plano vertical. Se desea encontrar la forma que debe tener el alambre para que la cuenta al moverse por acción de la gravedad llegue al punto inferio¡ del alamb¡e en el mismo tiempo, independientemente del punto donde se coloque inicialmente la cuenta sobre el alambre. Este es f¡ecuentemente un problema llamado de períodos iguales. Demostrar que el alambre debe tener la forma de una cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

cAP. 4l

4'88'

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

Demostrar que las curvas oDA

cloide ABC.

y OC del problema 4.86

son cicloides que tienen

113

la misma forma de la ci-

4'89'

El punto soporte de un péndulo simple de longitud I se mueve hacia adelante y hacia atrás, a lo largo de una recta horizontal, de manera que su distancia a un punto fijo sob¡e la recta es A sen oú, ú > 0. Hallar la posición de la masa pendular en cualquier tiempo ¿ cons'ide¡ando que ésta se encuent¡a en reposo en la posición de equilibrio en ú : 0.

4'9o'

Desarrollar el problema 4.89 si el punto soporte se mueve verticalmente en lugar de moverse horizontalmente y si en ü : 0 la cuerda del péndulo forma un ángulo 0s con ra vertical.

4'91'

una partícula de masa ¡n se mueve en un plano bajo la influencia de fuerzas de atracción hacia puntos fijos' las cuales.son directamente proporcionales a su distancia instantánea a estos puntos. Demostrar que, en general, la partícula describirá una elipse.

4'92'

un resorte elástico vertical de peso despreciable que tiene su extremo superior fijo, soporta un peso w en el otro extremo' El peso es levantado de tal maneia que la tensión en el ¡esorte es cero y entonces se suel-

ta. Demostrar que la tensión en el ¡esorte no excede 2IV.

4.93.

4.95.

un platillo en la par24). Determina¡ la freoscila¡ de ma'nera que

Una particula se mueve en el plano .ry y su posición está dada por cos @ú, y : B cos 2ot. Demostra¡ que describe u.,

x : A

de parábola.

"."o

Fig.4-24

4.96.

Una partícula se mueve en el plano.ry y su posición está dada por .r : A cos (o1ü * ót), y : B cos (o2f * dr)' Demostrar que la partícula describe una cu¡va cerrada o no según si o1/o2 sea o no racional. ¿En qué caso el movimiento es periódico?

4'97'

La posición de una partícula que se mueve en el plano

¡y se expresa mediante las ecuaciones d2x/dt2 : -4x. En el tiempo f : 0 la particula se encuent¡a en reposo en el punto (6,3). Hallar en cualquier tiempo posterior: (o) su posició.r, V tbl su velocidad. -4y' dzy/¿¡z :

4'98'

Hallar el

períod^o de

un péndulo simple de

tical es: (o) J0", (b) 60., (c) 90..

I metro de longitud si el ángulo máximo que forma con la ve¡-

4'99'

Un péndulo simple de 3 pies de longitud se suspende verticalmente de un punto fijo. En t : 0 se le comunica una velocidad horizontal de 8 pies,/seg. Hallar: (o) el ángulo máximo que forma el péndulo con la vertical, (ó) el período de las oscilaciones. Resp. (a) cos-t 2/B = 4Lo 49,, (b) 1,92 seg

4'loo'

Demostra¡ que los promedios de.tiempo sobre un período de energía potencial y energía cinética de un oscilado¡ armónico simple son iguales a 2T2A2/P-2 donde A es la amplitud y p es el período del movimiento.

4'lol'

un cilind¡o de 10 pies de radio con su eje vertical oscila verticalmente en agua de densidad 62,5 lb/piea con un período de b segundos. ¿Cuál es su peso? Resp. B,9g X 105 lb

4'lo2'

una partícula que se mueve en el plano ¡y en un campo de fuerza cuyo potencial está dado por v : x2 | xy + v2' si la partícula inicialmente está en el punto (3, 4) y tiene una velocidad de magnitud l0 en la di¡ección paralela al eje positivo ¡: (a) hallar la po.i.ion "en cualquier tiempo, y (ó) determinar el período del movimiento si existe.

4'lo3'

En el problem" minado (¡o, yo) no podrá ser alc

arbitrariamente

.' que o1,/r2 es irracional y que en t : 0 la partícula está en un punto deterrectángulo definido por ¡ : +A, .y : tB. Demostrar que el punto (¡o, yo) evamente sino que la particula a., de su movimiento cerra¡á la curva "l "rr..o er Dunto.

4.104,

IcAP.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

114

4

hacia abajo' Demostrar que

Una partícula oscila sin rozamiento sob¡e una cicloide vertical con su vértice la proyección de la particula sobre un eje vertical oscila con movimiento armónico simple'

de elasticidad 20 de b kg en el extremo inferio¡ de un resorte vertical que tiene una constante (b) el período amortiguamiento, (o) de la constante Hallar: segundos. período 10 de nt,/m oscila con un natural, y (c) el dec¡ecimiento logarítmico. Resp (a) 19 nt seglm, (ó) 3'r4 seg

4.105. Una masa

de 100 g se sostiene en equilibrio mediante dos resortes idénticos de masas despreciables y de constantes iguales a 50 di-

4.106. Una masa

B

A

nas/cm. En la posición de equilibrio mostrada en la figura 4-25' los resortes forman un ángulo de 30" con la horizontal y tienen una longitud de 100 cm. Si la masa se hala hacia abajo una distancia de 2 cm y luego se suelta, encontrar el período de la oscilac

ión. ¡esultante.

hueco de radio interno 10 cm de paredes delgadas se mantiene fijo con su eje horizontal' Se coloca una partícula

4.107. un cilind¡o circular

sobre Ia superficie interna sin rozamiento del cilindro de manera que su distancia vertical con respecto al punto más bajo sea 2 cm' Hallar: (o) el tiempo que trascurre para que la partícula alcance el punto más bajo, y (b) el periodo de la oscilación'

100 g

Fig.4-25

que el període lado o y peso !l/oscila verticalmente en aguade densidad o. Demostrar (2"/o)\f6-7W: es do de vibración

4.log. Una caja cúbica 4.1O9. Un resorte

en oscilación tiene como ecuación de movimiento

mdzxldtz+Kr

= F(0

Si¡:0,dr/dt:0ent:0,hallarrcomofuncióndeltiempo¿' Resp.

r

=

+r ymK vo

F(z)

4.110. Desar¡ollar el problema

sen

4.10g

,/it^

A

-

u) dn

si se tiene en cuenta un amortiguamiento proporcional a dx/dt.

4.1f 1, Un resorte en oscilación tiene como ecuación de movimiento

*¿zs/flfz ! rr Si¡:0,;:usenl:0:(o)encontrarxencualquiertiempot'y(b)determinarlosvaloresdeo para que haYa resonancta.

infe¡ior' En 4.112, Un resorte vertical que tiene una constante r tiene acoplada una masa /n en su extremo vertical la dirección en súbitamente mueve se superior extremo su equilibrio : en resorte t 0 estando el posición de (o) la Z Hallar: 0 ot, sen t por A de manera que su distancia al punt (c)

O

pero de lo contraúo, es inestabie.

Ilustrar el resultado de (ó) considerando

lidad.

/(r) : l/r" ( S

ftesp. (c) Hay estabilidad cuando n

y decidir para qué valores de n hay

estabi_

5'lo7'

Si la Luna se detuviera súbitamente en su órbita, ¿cuánto tiempo requeriría para cae¡ a la Tierra, suponiendo que la Tierra permanece en reposo? Resp. Aprox. 4 días 1g horas

5'lo8'

Si la Tie¡ra se detuviera rtpentinamente en su órbita, ¿cuánto tiempo gastaúa en cae¡ al Sol? 8esp. Ahededor de 65 días

5.1O9. Hacer el problema b.84, utilizando

métodos de energía.

6'110'

Encontrar la velocidad de escape de un objeto de la superficie de la Luna. Usa¡ el hecho de que la acele¡ación de la gravedad en la superficie de la Luna es apiorimadamente L/6 de la ter¡estre y que el radio de la Luna es L/4 d,el radio terrestre. gesp. l,b mi/seg

6'lll'

Se deja cae¡ un objeto por un o¡ificio que pasa por el centro de la Tiena. Suponiendo que la resistencia al movimiento es despreciable, demostrar que la,-rapidez de la partícula cuando pasa po¡ el centro de Ia Tierra es ligeramente inferior a 5 mi,/seg. (Sug'erencía. Emplear el problema b.40).

6'l12'

Demostra¡ que en el problema anterior, el tiempo necesario para que el objeto ¡eg¡ese es aproximadamente 85 minutos.

5.110.

Hacer los problemas 5.111 y 5.112 si el orifició eB r€cto pero no pasa por el centro de la Tier¡a.

6.114.

Discutir la relación ent¡t los resultados de los problemas

6.116.

¿Cómo erplicaúa usted el hecho de que

5.116.

Demostrar el teorema 5.1.

6.117.

Discutir el teorema 5.1 si las esfe¡as se inte¡sectan.

5.111

y 5.1L2 y el problema b.89.

la Tierra tenga atmósfera y Ia Luna

no?

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

r42

5,118.

IcAP.5

Explicar cómo podría ugar el resultado del problema 5.27 pal.a hallar la fuerza de atracción de una esfera sólida sobre una partícula.

ó.llg.

Halla¡ Ia fuerza de atracción ent¡e un anillo ci¡cula¡ uniforme de radio e¡temo o y radio interno b y una masa m eituada sobr€ 8u eje a una distancia b de su centro.

6.lZO.

Dos naves espaciales se mueven alrededor de la Tierra sobre la misma trayectoria elíptica de excentricidad c. Si en el perigeo están separadas por una pequeña distancia D, demostrar que en el apogeo estarán se'

paradas por una distancia

D(l -

e)/(L

I

e\.

5.121. (¿) Erplicar cómo calcula¡ía la velocidad de escape en la superficie de un planeta. (ó) Emplear todo para calcular la velocidad de escape en Marte. Resp. (ó) íkm./seg, o aprox. S mi,/seg Venus.

su mé-

8esp. (o) Aprox.3€l mr'/seg. (b) Ap¡ox. 6,3 mi,/seg

6.122,

Hace¡elproblema5.l2lpara: (o) Júpiter, (ó)

6.f23.

T¡es varillas uniformes delgadas, inf¡nitamente largas, tienen la misma masa por unidad de longitud y están situadas en un mismo plano formando un triángulo. Demostra¡ que la fuerza de atracción sobre una partícula serÁ ce¡o si y sólo si la partícul a está ubicada en la intersección de las medianas del triángulo. de atracción entre una varilla uniforme de longitud ¿ y una esfera de radio b si no se intersectan, y si la línea de la varilla pasa por el centro.

6.124. Hallar la fuerza

5.f25.

Hacer el problema 5.124 si la va¡illa está situada de tal modo que una línea trazada desde el cent¡o y pe¡pendicular a la línea de la varilla co¡ta la vaÉlla en dos partes iguales.

5.f26.

Un satélite de radio a ¡ota en una órbita ci¡cular alrededo¡ de un planeta de radio b con período P. Si la distancia mÁs corta ent¡e sus superficies es c, demostrar que la masa del planeta ea 4r2 (a + b + c)a /GP'z .

6.127.

Si la Luna está aprorimadamente a 240.000 millas de la Tierra y da una revolución completa al¡ededor de la Tierra en 271 dias aprorimadamente, halla¡ la masa de la Tierra. Resp. 6 X 102{ kg

5.128. Discuti¡ la ¡elación

entre el problema 5.126 y la terce¡a ley de Kepler.

6.f29.

Comprobar que el único campo de fuerza central inve¡so del cuadrado.

6.f30.

Hace¡ el probtema 5.32 por integración triple.

6.131.

Un cilind¡g sólido ci¡cular rccto unifo¡me tiene radio o y altu¡a IL Una partícula de masa m se coloca en la prclongación del eje del cilindro, en forma tal que está a una distancia D de un ertremo del cilindro. Demostrar que la fuerza de at¡acción está dirigida a lo Iargo del eje y su magnitud está dada por

F cuya divergencia

ZGMW --lz¡¡ r'"I + {a2 + D2 -

5.f32.

ltaz + 1o +

es cero, es un canpo de fue¡za del

nY¡

Suponer que el cilind¡o del problema 5.131 tiene cierto volumen. Comprobar que la fuerza de atracción cuando la partícula está en el cent¡o de uno de los e¡t¡emos del cilindro es máxima cuardo a/H :

l(e- vii). 6.133.

5.134.

Hacer: (a) el problema 5.26 v (b) el problema 5.2/, suponiendo una ley de atracción del inve¡so del cubo. ¿Son aplicables los t€sultados de log problemas 5.29 y 5.30

si hay una ley de atracción del inve¡so del cubo?

Erplicar.

5.135.

¿Cuál eeía la velocidad de escape en el planeta del problema 6.80?

5.f36.

Un cascarón esférico de ¡adio interio¡ o y radio erterior b tiene una densidad constante c. Demostrar que el potencial gravitacional V(r) a una distancia r del centro está dado por

r1a f2ro(bz-az¡ V(r\ = j2""(b2-tt2) - 4taasl3r a 1 r 1 b r)b [4zo(b3-es)lBr

cAP. 5l

5.137.

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

143

Si se tiene en cuenta la teoía de la relatiuidad de Einstein, la ecuación diferencial de la órbita de un planeta es

eu

K

¿rr+": ffirtuz

donde t : 3K/mc2, y c es la velocidad de la luz. (o) Demost¡ar que si se escogen adecuadamente los ejes, entonces la posición r del planeta puede determinarse aprorimadamente a partir de

r : i +Klmhz .;os; (ó) Emplea¡ (a) pa¡a demostrar

donde ¿ =

1

-.rKlmhz

que un planeta se mueve realmente en una trayectoria elíptica pero que

dicha elipse rota lentamente en el espacio, siendo la velocidad angular de rotación 2qK/mh2.-(c)

Demostrar que en el caso de Mercurio esta rotación es de 4Íl segundos por siglo. Esto ha sido observado proporcionando una pmeba erperimental de la validez de la teoría de la relatividad.

5.138. Hallar la posición

de un planeta en su órbita alrededor del Sol en función del tiempo instante en que está más alejado del Sol.

ü medido desde el

5.139.

En el apogeo, a 200 millas desde la superficie te¡rest¡e, dos naves espaciales que tienen la misma t¡ayectoria elíptica están separadas una distancia de 500 pies. ¿Cuál será la distancia entre ellas en el perigeo, a 150 millas, suponiendo que flotan sin alterar su trayectoria.

5.14o.

Una partícula de masa m está situada sobre la línea perpendicular que pasa por el centro de una placa rectangular de lados 2a y 2b y a una distancia D del centro de la placa. Demostra¡ que la magnitud de la fuerza de atracción de Ia placa sob¡e la partícula está dada por

GMm ./ -----sen -¡ [ ao\

ab

\/@Trri¡Qt-+D\

5.141. Hallar la fue¡za de atracción

de una placa infinita uniforme de espesor despreciable y densidad o sobre una partícula colocada a una distancia D de la placa. Resp. 2¡aGm

5.142.

Se llaman ópsides los puntos en que i : 0. (o) Demostrar que en un campo de fuerza cent¡al con potencialV(r)yenergíatotalElosápsidessonraícesdelaecuación V(r)*hz/2rz:8. (b)Hallarlosáp-

sides correspondientes a un campo de fuerza del inverso del cuadrado, demostrando que hay dos, uno o ninguno, según si la órbita es una elipse, hipérbola o parábola.

6.143.

Una partícula Ee mueve en un campo de fuerza central siguiendo una trayectoria que es la cicloide o(l - cos 0). Halla¡ la ley de la fuerza. Resp. El inverso de la cuarta potencia de r

5'144.

Establecer las ecuaciones de movimiento de una partícula en un campo de fuerza central si ocurre en un medio donde la resistencia es proporcional a la rapidez instant¡ínea de la partícula.

5.145. Las velocidades

orbitales máxima

y

minima de un satélite son uDÁ¡.y u6irr r€specrivamente.

most¡ar que la excentricidad de la órbita del satélite es igual

5.146.

r:

De-

" *ffi;.

Demostra¡ que si el satélite del problema 5.145 tiene un peíodo igual a elíptica cuyo eje mayor es de longitud ! r/o*,o-rn.

r,

sigue entonces una trayectoria

Copítulo 6 Sistemos coordenodos en movimiento SISTEMAS COORDENADOS NO INERCIALES En los capítulos anteriores se supuso que los sistemas coordenados utilizados para describir el movimiento de las partículas eran inerciales Ivéase la pág.331. Sin embargo, en muchos casos de importancia práctica no se garantiza dicha suposición. Por ejemplo, un sistema coordenado fijo en la Tierra no es un sistema inercial debido a que la Tierra rota en el espacio. En consecuencia, si empleamos este sistema coordenado para describir el movimiento de una partícula con relación a la Tierra, obtenemos resultados que pueden ser errados. Debemos, por consiguiente, considerar el movimiento de partículas relativo a sistemas coordenados en movimiento. SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION XYZ rcpresenta en la figura 6-1 un sistema coordenado inercial con origen en O que consideraremos fijo en el espacio. Dejemos que el sistema coordenado r,yz qtJe tiene el mismo origen O ¡ote con respecto al sistema XYZ. Consideremos un vector A que vaúa con el tiempo. Para un observador fijo con relación al sistema xyz se encuentra que la variación de A : Ari * Azi * Atk con el tiempo es

dA

ff*

d,At. iIAz . d,As' = ffi*ffi+7u

(1)

en donde el subíndice M indica la derivada con relación aI sistema en movimiento (xyz). Sin embargo, se encuentra que la variación con el tiempo de A con respecto al sistema fijo XYZ rcpresentado por el subíndice F, es (véase el problema 6.1)

+l 4l * oxA dt l, = dt l,

donde

0 y después se suelüa. Entonces las condiciones iniciales son

magnitud A

r=0, i=t!, U=A, ú=O

en t=O

(¡)

Para encontrar la solución de las ecuaciones (4) y (5) del problema 6.lg es conveniente hacer que

= gll, d = ocosl '| - -I(zr*Zai ü = -KzU-Zai,

Kz entonces se convierten en

(2) (3) (4)

Es también conveniente emplear números complejos. Multiplicando la ecuación (4) por

a (3), encontramos

+ ¿Ü = -It2(r t ial + u: xl i, podemos esc¡ibir 'd

Haciendo

ü=

-K2u

zaú

- züit

Si u - Cer donde C y I son constantes.

- ütl = o

-Kz(r * iu',

-

|ú+z¿"í,*r?u =

zi¡¡(á

+ iü)

o

(5)

entonces

y2*2iay1-K2 =

0

't - (-zio+6¡¡z-4yz)12 = -ia+¡1/p¡yz Ahora, como c2 : ,2 cos2tr es pequeña en comparación con K¿ : g/t, podemos así

i y sumándola

que

'l = -idliK

(6)

escribir @

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO

156

IcAP.6

Las soluciones de las ecuaciones son entonces (introduciendo coeficientes complejos)

(Cr+

iCr¡e-x"-xtt

y

(Cz* iCn\e-iryr

=

r

r

es

= + = ffi@"r,)

donde el segundo término de la izquierda ¡epresehta bida a todas las demás partículas.

(1)

la fuerza interria resultante

sobre la partícula

r

de-

Haciendo la sumatoria sobre y en la ecuación (^/), tenemos

?"'*;?',^ = #{}^,',} Ahora, de acuerdo con la terce¡a ley de Newton de acción y reacción, fr)r =

toria de la izquierda de (2) es cero. Si escribimos

F = ?"" (2) se convierte en

Q)

_ff,,

asÍ que la doble suma-

y r = h2*,r, F=M#

(3) (4)

Ya que F es Ia fuerza exte¡na total sobre todas las particulas aplicadas en el cent¡o de masa pedido queda demostrado.

7.6.

i,

el resultado

Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistem.a que consta de una masa de 3 gramos en (1, 0, - 1), otra de 5 gramos en (- 2, r, g) y otra de 2 gramos en (3, - 1, 1). Los vectores de posición de las partículas son, respectivamente,

rr = i-k,

tz = -2í+j+Bk,

rs = Bi-j+t

Entonces el centro de masa está dado por

I = 3(i-k)+5(-2i+j+3k)+2(3i-j+k) Por tanto, las coo¡denadas del centro de masa son (_rfu,

7'6'

is.,

1., 3,,7+;t = -ñi*frl Í).

Demostra¡ que si el momentum total de un sistema es constante, esto es, se conserva, entonces el centro de masa está en reposo o en movimiento con velocidad constante. El momentum total del sistema

es

- = p = 2*,n, = 2*,iu *2^,r, =

"*{¿#"1 = M#

Entonces si p es constante, di/d,t también lo es, que es la velocidad de'l cent.o 7

'7

'

0".""..

Explicar la ¡azón por la cual la expulsión de gases a alta velocidad por la parte posterior de un cohete lo moverá hacia adelante. Ya que las partículas del gae se mueven hacia atrás con gran velocidad y como el centro de masa no se mueve' el cohete debe moverse hacia adelante. Pa¡a aplicaciones que implican movimiento de cohetes,

véase el capítulo 8.

7.8.

lcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

174

7

Deto¡minar el centroide de una región R sólida como la de la figura 7-3. Congidérese el elemento de volumen At, del sólido' L6 masa de este eleroento de volumen

ÁMv

-

ouAlru

es

= orÁartYu\z,

donde o, es la densidad (masa por unidad de volumen) y Át.rrAUy,Azy son las dimeneiones del elemento de volumen' Entonces el centroide está dado aprorimadamente por

2

2

tMu

)

ou

r, n,

LAv Lzu

^úv

) orAr, LllvLzv

Ar,

t

donde la sumato¡ia se toma ¡¡obre todos los elementos de Fig. ?-B volurnen del sólido. Tomando el límite cuar.rdo el número de elementos de volumen se hace infinito de modo que Ar, o A5, + 0, 6Uu - O, Á2, s 0, obtenemos para el centroide del sólido

t:=

Í^,0,

fÍ[fi. ,"ilrdyitz

l^o*

[[[a.

{ como se indica. *Ui*zk, f = ti+úi+zkpuede

+

0

"o"ooo"

donde la inte¡tal se ha,ce sobre

r=

EscribieFdo

ü= Á

+

ffR--Í

ci

,,o dr dy dz

!¡¡ ^*"*'

"

R

7.g.

=

!ÍÍq.

!Íffi.

escribirse en forma de componentes como

!íÍq.

"oitrilvilz ,irritaitz

Determinar el centroide de la región limitada por el plano

"odnd.ydz o

dr

d.y

dz

r + y * z: o y los pla-

nosx:0,,y:0,2:0.

La rcg,ión, como se indica en la figura ?-4,

es

un tetraedro. Para determinar el centroide, usa¡emos

lqg resulta'dos del Problema 7.8. Al c alcula¡ Ia suma sobre todos los elementos de volumen de la región es conveniente proceder en for' a elementoe de volu' ma ordenada. Una posibilidad es suma¡ primero todos los términos correspondientes ! Ay fijos y su' men contenido" .r, ,¡" columna tal como PO en la figura. Esto se obtiene manteniendo ty guma de todas las yr. la da Esto sob¡e todo y sumamos ru fijo mantenemos Después zr. todo mando sobre de todos los columnas como pe, que están contenidas en una lámina iS y, en consecuencia, da la suma tales como láminag las todas da la suma de Esto ru. variamos Finalmente lámina. la en cubos contenidos

ns. En la integración sobre q., usamos las mismas ideas' ¡ y y constantes integramos deede z :

Aeí manteniendo

0 (basedelacolumnaPQ)hasta z: a- r-y(parte superior de la columna PQ). Después se mantiene r cons'

tante y se integra con respecto ay. Esto da Ia suma de las columnas con base en el plano

ry Q:0)

localizadag des-

¡ * y: a o y es degde y : 0 hasta y : a -

Áte

0) haeta S (donde

de8(dondey: o - ¡), y la integración ¡. Finalmente sumanos todas lag láminas paralelas al plano yz para lo cual ¡e integra deede ¡ - 0 hasta ¡ : o. Así obtenemos

= Lt" ÁllrMu

Fis. ?-r

ya que en este

caso

r

es constante se puede cancelar.

Al calcula¡ el denominador gin c

yelnuneradorsinoes (da/2411(i+ j+k). Asíelcentrodemasaes i: ú: a/4, 2: a/4.

se

obtiene

(a/4')(i+j*k) o e:

¿3./6

a/4,

cAP. 7l

7.ro.

SISTEMAS DE PARTICULAS

Encontrar el centroide de una región semicircular de radio Método

175

o.

l.

Usando coordenadas rectangulares. Escogemos la región corno en la figura 7-5. Laecuación del círculo C es ¡2

yaque y 2

0.

* y, :

a2 o y

: \/F7

Si o es la masa por unidad de área, la cual suponemos constante, entonces las coordenadas del centroide están dadas por

1,"=-"

Í,"=-" eje

l"ftn**

l,T**

2o813

;AE

4a

s"

Nótese que podemos escribir inmediatamente E :0 ya que por simetría el centroide está sobre el para f se puede calcular sin integrar observando que éste representa el área semicir-

y' El denominado¡

culat la cual es jro2.

o d,A

Ng. ?-5

Fic.7{

Método 2. Usando coordenadas polares.

: e (figura 7-6). Como en el método anterior, vemos que por simetría el cent¡oide debe estar sobre el eje y, así que 0 : 0. Como en coordenadas polares y : ¡sen 0 y dl : rdrdC podemos escribir La ecuación del círculo es r

?t

,^!

| | " 0=o ¿

(r

senc)

ril¡ü

¡=o

l:=, l:=, rd.r ü 7.11.

2osl3

AIz

4o

u

Determinar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio Por simetría el centro de masa está sobre el eje e (figura 7-?). Subdividamos el hemisfe¡io en discos ci¡culares sólidos de ¡adio ¡, tal como ABCDEA. Si el centro G del disco eetá a una distancia z del centrc O del hemisfe¡io, tenemos que r2 * e2 : o2. Enton. ces si el espesor del disco es dz su volumen será

= r(az _ z2) dz y la masa es ro(o! - z2ldz. Así tenemos ¡¡2 d,z fd

| rcz(o2 - "21 & 2 = "z=o fa z2l dz | J "nG\ z=o

-=¡'a

q o

Fig.7-7

a.

SISTEMAS DE PARTICULAS

176

IcAP.

7

MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA

7.12.

Demostrar el teorema 7.4. El momento externo total sobre un sistema de partículas es igual a la tasa de cambio temporal del momentum angular del sistema, siempre que las fuerzas internas entre las partículas sean fuerzas centrales. Como en la ecuación (I) del problema 7.4, tenemos

Fy+>ryr

=* =

Premultiplicando vectorialmente ambos lados de

rrXF, Ya

r,XF,

en

sumando para todo

tenemos

* )rrXfr¡ = ,rXft(mrvrl I

," x fiQnov,l =

que

(2) se convierte

(I) por ryX,

(1)

ft@,',\

' ""rt'],;T:'. ";

)

r, x

(3)

ft{m,(t,x ",1\

* )r,Xf,¡ =

ft{m,(r,xv,))

r,¡ =

;1

{;

(2)

m,r,,xv,)}

(4)

(5)

La doble sumato¡ia de (5) está compuesta de términos tales como

r, X fr¡ i r¡ X f¡, la cual escribiendo fr, = -fr¡. de acue¡do con la tercera ley de Newton llega a ser r, X fr¡ - r¡ X ly¡ = (r, - r¡) X fr¡

(6)

(71

Como hemos supuesto que las fuerzas son centrales, esto es, fu¡ tiene la misma dirección de tr-t¡, entonces (7) es cero como también lo es la doble sumatoria de (5). Así la ecuación (5) se convierte en

)

r, X Fu

=

¿ (- m,(t,xv,)l I

"

^=#

o

t;

O = lrnu(rrXvr).

donde A = )rrXF,

TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y ENERGIA POTENCIAL 7.13. Demostrar el teorema 7.6. El trabajo total realizado cuando un sistema de partículas pasa de un estado a ot¡o con energías cinéticas ?r Y ?2 respectivamente es Tz - Tt. La ecuación de movimiento de la v-ésima partícula del sistema es

=

v,

Fy

+

>fy\ =

i, F,. i, + )

Multiplicando escala¡mente a ambos lados por

f,.i,

=

. d. ¡v. Ttlmv¡vt

Ya que

(2) se puede egcribir

r,.

i,

=

fr@"i,I

fu^.

i, = i, , ft ft;,v'o = Q. (o)

Sea r, el vecto¡ de posición de la partícula v ¡elativo a 0 y I el vector de posición del centro de masa C relativo a O. Entonces de la definición del centro de masa,

i = #]*,r, donde

M = *,. i

Sustituyendo (2) en

de lo cual

(ó)

De

(I),

(I)

la figura 7-8 tenemos

tv = ri+r

,,IY

O

Fig.7-t

(2)

encontramos

11 r = i?^"1rj+t) = ¡2*,r|, 2 ^rr'" =

Diferenciando ambos lados de (3) con respecto a

+ (3)

o

,, tenemos 2mrv'u =

g.

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

7.17.

179

Demostrar el teorema 7.9. El momentum angular total de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto O es igual al momentum angular de la masa total concentrada en el centro de masa más el momentum angular con respecto al centro de masa. Sean r, el vecto¡ de posición de la partícula v relativo a O, r el vector de posición del centro de masa C relativo a O y r', el vector de posición de lapartícula y relativo a C. Entonces

t;* t Diferenciando con ¡especto

"

(I)

,,

"rr.orrrr"tj": V, = i, = ];+

i = ní+V

e)

donde g es la velocidad del cent¡o de masa ¡elativo a O, v, la velocidad de la partícula / ¡elativa a y v'" la velocidad de la partícula relativa a C.

O

El momentum angular total del sistema con respecto a O es

O = )mr(r,xv,) = )m,l(r',+i) x(vi+v))

= ]*,*r;}"o u v ") Lt

=

0

>tny(ixv;) = t"{>*,o',,) v"'ln')

=

o

r) )zn,(rxV) = 1¿*,ftixvl L, )

= M(txv)

Como se requeúa (J) se convierte en.

O = ]^,(,xvi) +M(rxv) 7.f8.

Demostrar el teorema 7.10: La energía cinética total de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto O es igual a la energía cinética del centro de masa (suponiendo la masa concent¡ada en el centro de masa) más la energía cinética del movimiento alrededor del centro de masa. La energía cinética relativa a O es (figura ?_g)

r = f,2*,,, = L;^ri,.i¡ Utilizando la ecuación (2) del problema Z.16 encontramos Así (f ) se puede escribir

ir=ili'r=v+v', como

r = L+^,r* *oi) = i,2*,u.o *

. tv

+,,)¡

* ; ; m,v',.v' 'l /\ f + v.t?^";i * I]-,i' = til¡-*)v2 * L7*,,,, =

i*

Ya que

2*u"'u = 0 del problema

?.16.

?

m,i.v',

(r)

SISTEMAS DE PARTICULAS

180

IcAP.

7

IMPULSO

7.19. Demostrar

el teorema 7.12:EI impulso lineal total es igual al cambio del momentum

lineal. Po¡ la ecuación (4) del problema 7.4 la fuerza exte¡na total

F = M# = Entonces el impulso lineal total ¡to

*Eo,

es

/'a,

E

= Mv2-twL = pz-pr

= Jl'affat Jl"l"at r, r, cI'¿

donde pt : Mit

es

y pz : MV2 representan los momenta totales en los tiempos t1 y t2, respecti-

vamente.

CONSTRICCIONES. CONSTRICCIONES HOLONOMICAS Y NO HOLONOMICAS 7.2O. En cada uno de Ios siguientes casos establecer cuándo Ia constricción es holonómica o no holonómica y dar la razón de su respuesta: (o) una cuenta moviéndose sobre un alambre circular; (ó) una partícula deslizándose hacia abajo en un plano inclinado bajo la influencia de la gravedad; (c) una partícula deslizándose hacia abajo sobre una esfera desde un punto cercano al punto más alto bajo la influencia de la gravedad. (o) La constricción es holonómica ya que la cuenta, que puede ser considerada como una partícula, está constreñida a moverse sobre el alambre circular. (b) La const¡icción es holonómica ya que la partícula está constreñida a moverse a lo largo de Ia superficie, que en este caso es un plano.

(c) La constricción es no holonómica ya que después de que la partícula llega a cierto punto sobre la esfe¡a se separa de la esfera. Otro punto de vista es que si r es el vector de posición de la partícula relativo al centro de la esfera como origen y o el ¡adio de la esfera, entonces la partícula se mueve en tal forma que r2 ¿ o2. Esta es una constricción no holonómica ya que no tiene la forma de la ecuación (26). Un ejemplo de una const¡icción holonómica seía r2 : a2.

ESTATICA. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL. ESTABILIDAD 7,21. Demosttar el principio de trabajo virtual, teorema 7.14. Como hay equilibrio, la fue¡za neta resultante

F,

sobre cada partícula debe ser cero, así que

)F,'6r, = o Pe¡o como F, = F o'+ Ft") donde Ff") y Ff") la v-ésima partícula, (1) puede esc¡ibirse como

? "Í"''

or,

(I)

son las fue¡zas real y de constricción que actúan sobre

* )

F(c)'

6ry = o

(2)

Si suponemos que el trabajo vi¡tual de las fuerzas de constricción es cero, el segundo sumando de la izquierda de (2) es cero, entonces

)

X'fo).

or, =

0

(3)

lo cual es el principio de trabajo virtual.

7.22. Dos partículas de masas mt y Ít2 están colocadas sobre un plano inclinado doble sin rozamiento y están unidas por una cuerda inextensible de masa despreciable qr,fb pasa sobre una polea liviana (figura 7-9). Usar el principio de trabajo virtual y demostrar que para el equilibrio debemos tener ,lftz sen dr tf¿t sen a2 donde dr y d2 son los ángulos de inclinación.

CAP. ?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

Método

181

1.

r¡ y

12 los vectores de posición con rela! Í,2, respectivamente, Las fuerzas que actúan (debidas a la gravedad) sob¡e mty mz son, respectivamente, Sean

ción a O de las masas mt

fro, = F5", = *rg ^rg,

(I)

De acuerdo con el principio del trabajo virtual,

)x'jo)'or, =

o

o

Flo).6rr*F!").0r2 = O donde ór¡ y ór2 son los desplazamientos inclinados. Remplazando (I) en (2),

(2)

Fig.7-9

virtuales de rp¡ y rn2 hacia abajo

* m2g.8r, = m10 6f1 sen cl * *"0 ór2 sen a2 no se extiende, esto es, ór¡ $ ó¡2 : Q m1g.8r1

o Entonces

la

cuerda

sobre

los

planos (3)

0

(41

o 612 :

-6¡t,

(4) se trasforma

en

- m2g sena2ltrl -0 Pero como ór¡ es arbitraria, se debe cumplir mrgsendr - Ít2! SQrra2 : 0, es deCi¡, (m1g senal

sendt S€IllI2 =

Método

fllZ

(5)

(tL7

2.

Cuando no se conozca cla¡amente cuáles fue¡zas presentan constricción y no hacen trabajo, debemos tener en cuenta todos las fuerzas y luego aplicar el principio de trabajo virtual. Asi, por ejemplo, teniendo en cuenta las reacciones Rr y R: de los planos inclinados sobre las partículas y

las tensiones

Tr y Tz, el principio del trabajo virtual expresa (m$+T1 +Rr).611 * (mzgIT2*R2).612 =

0

(6)

Como suponemos que los planos inclinados son lisos

(las reacciones son perpendiculares a éstos) tenemos

R1'6r1

= 0, $.0r2 -

(7)

0

Además, como no hay rozamiento en el perno, las tensiones Tr y Tz tienen la misma magnitud. Te_ niendo en cuenta que 6r¡ y ór2 se dirigen hacia abajo sobre cada uno de los planos inclinados entonces 6r, : - ór, y, por tanto,

T,.611 *T2.612.

= ;rr:r;r;r:rr:ro

puesto que

Tt : Tz.

ecuación (6) queda ?¿rg . 6rt

I

(s)

Entonces usando (Z) y (S), la

m"¿.

6t2 =

0

Fis.7-10

resultado que concuerda con el obtenido en (J).

7.23. Usar el teorema 7.15 para resolver el problema

7.22.

Supongamos que la cuerda tiene una longitud I y que las longitudes de la cuerda OA y OB sobre los planos inclinados (figura ?-9) son r y I - r, respectivamente. Usando un plano horizontal que pasa por O como nivel de referencia, la energía potencial total es

V = -mtgn Entonces

si hay equilibrio av

sen

ct -

rn2pQ

- nl

sena2

debe¡á cumplirse

dt ftuz send2 fnl Debe notarse que V en este caso no es un mínimo de manera que el equilibrio no es estable d,

= -rfl,lg sendt * tn2g sena2 = 0

cual es evidente físicamente.

sen

o

lo

r82

SISTEMAS DE PARTICULAS

lcAP.

7

PRINCIPIO DE D'ALEMBERT

7.24. Usar el principio de D'Alembert para describir el movimiento de las

masas del

problema 7.22. Introducimos las fuerzas efectivas contrarias 7.22

y

obtenemos

- mtí¡. M, *

(m$

¡n

r'ir y

(mzE

2 en la ecuación (3) del - mr:ir¡. 6t" = 0 m2ii

problema

(r)

que puede escribirse

- mr'ir¡6r, t (mzg sena2 - mrlir¡6r, = Como la cuerda no se deforma rt I rz - constante, y por tanto 6rr + 612 = 0, 'i. *li, = ¡ o 3r2 = -6ry 'ir- -lir Así (2) después de dividir por ór¡ 10, queda (m1g senal

ln1! senal - nt'it -

rnfl

.. -r '

fnZg sena2

- rrL2T¡ =

al - rtn2Jg fnl+m2

sen

0

(21

0

Sen az

Entonces la partícula I se mueve hacia arriba o hacia abajo sobre el plano inclinado según que mlSsen a¡ ) m2(, send2 o mlgsen a1 1 m2S sena2, respectivamente. La partícula 2 irá hacia arriba o hacia abajo respectivamente, con la misma aceleración constante. Podemos también usar un método análogo al segundo método utilizado en el problema 7.22.

PROBLEMAS VARIOS 7.26. Dos partículas de masas mt y m2 S€- lnü€V€D en tal forma que su velocidad relativa es v y la velocidad de su centro de masa es V. Si M - Ít1 * mz es la masa total y ¡r : m tm 2/(m | + m z) es la masa reducida del sistema, probar que la energía cinética total es iMo2 I ipu2. Sean r¡, 12 y F los vecto¡es de posición con ¡especto a 0, de las masas rn t, mz J del centro de masa

C, respectivamente.

De la definición de centro de masa. tenemos

¡ o usando v1 =

i1, v, = ir,

V

^,-\_t

* T_,"

= i,

Si la velocidad de rn¡ relativa a rt2 v

mpy 4 eS

rrl2rr2

=

=

*\tt-tzl

V1-V2

(ll V

= Qq*

m2)i

fl-12

=

(r)

v, entonces

d.

así que Desarrolfando

_r

flll t rfi2

=

Yt-Y2 (2)

Y

Q', simultáneamente, encontramos

vr -¡ =

'lflqY v -r -------:-. m1

* m2'

vo =

fltY v - :-:----rnt -r 7n2

Entonces la energía cinética total es

T=

l,^rn', + f,rnr"l

i^,

(u +

'¿l*r*

-!t-)'

m2\o2

* L* (, - #

* r mr'

*)'

= f,ao' + f,rr'

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

183

7.26. Hallar el centroide de un alambre semi. circular de radio

a.

De acuerdo con la simetúa (figura ?-12) el cen_ troide del alambre debe esta¡ sobre el eje y, así que t :0. Si c es la masa por unidad de longitud del alambre y si ds reprcsenta un elemento de arco. "r,tonces ds : adC de modo que

e)(a de\ Í0" ,o ""n

lo" oo' 2a

7,27.

Fis.7-12

supongamos que n sistemas de partículas tienen centroides en Ft, Fz, . . ., Fr, y masas IvI ,,...,Mo, respectivamente. Demostrar que el centroide de todos

totales Mr,

en

los sistemas está

Mftt*Mziz*.,,+Mnin Mt*Mz+... +M,

Consideremosqueelsistemalestácompueótodelas',rssssfn¡¡,m¡2¡

,localizadas€¡r¡¡,r¡2,..

, respectivamente' Análogamente consideremos que el sistema (2) est¡í compuesto de las masas rn2¡, ñzz, localizadas €rl 121,t22, Entonces, por definición,

f1

=

,:= l¡=

*trlprp*... rnÍ + rnp+ ... rn2¡21 irn22t22*,.. m¡1r11

rn21

*,n22

?r1¡r1¡

M1 tn21t21

1..,

rnnlt¡1-ttrn2r.n2

I'..

* mptp* ... *m22r22

I...

M2

tu¡ttrL*lttn2rr2*...

m6imn2*.'.

Mn

Pero el centroide para todos los sistemas está localizado en

(rn¡¡¡ * rnptr2 + ' . . ) + (mzqzt * m22r2r+ . . .) + . . . * (rnn¡n1* mn2rn2* \rn11-rnp+'..) + (rn21*m22+...) + ... * (m¡Imn2*.,.1 MFr + M2i2+ ... + Mnr^

f=

@

7.28. Hallar el centroide de un sólido de densidad cons-

tante formado por un cilind¡o de radio o y altura semiesfera de radio a acoplada sobre el cilindro (figura ?-1S). Sea I la distancia del cent¡oide del sólido a su base. El

II y de una centroide de

ta I H

la semiesfera de radio a está a una distancia y su masa es M1 _ lrazo

desde la base del sólido

(véase el problema Z.1l). El centroide del cilind¡o de radio o y altura H está a una distancia f ll de la base del sólido y .u -'"r" es M, : ¡a2Ho. Entonces, por el problema 2.22,

F =

(Iro3ol(to* H) * GozHol(tí) Nroao

*

to2Ho

3a2*8aH*6Hz 8o

* t2H

Ftg.7-18

..

.l

7.29.

IcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

184

Se perfora un

en

la figura

7

orificio de radio a/2 en una región circular de radio o, como se muestra Hallar el centroide de la región sombreada obtenida.

?-14.

Fig'

Fig. Fig.7-14 ?-14

?-15

Por simet¡ia el centroide está localizado sobre el eje r, así que j¡:0' Podemos remplazar la región circular de ¡adio o por la masa M¡ : ra2o concent¡ada en su centroide .r¡ : ¿ (figura ?-15). Análogamente, podemos remplazar el orificio circula¡ de radio a/2 pot la masa negatiua M2 : -!*a2o concentrada en su cent¡oide x2 : Na. Entonces el centroide está localizado sobre el eje

r

en

Mtrl * M2r2 u_ = --E:+T;

(¡ azo)(a)

* (- lt a2o) (N a) - Ltazo

tuzo

o

6"

PQ (figura ?-16) de masa m y longitud L, tiene su extremo P descansando sobre una pared vertical lisa AB y su otro extremo Q sostenido mediante una cuerda OQ indeformable de longitud I en el punto fijo O sobre la pared. Consi' derando que el plano que contiene a P, QV O, es vertical y perpendicular a la pared, demostrar que existe equilibrio si

7.30. Una varilla uniforme

sena

=

{[F=V r\/g

senB :

Hay solamente una fue¡za real, el peso /ng de la varilla. -, de la pared sobre la Ot¡as fuerzas que actúan son la fuerza varilla y la tensión en la cue¡da. Sin embargo, estas fue¡zas

A

p¡esentan const¡icción y no pueden hacer trabajo, lo cual puede visualiza¡se ya que si P se desliza¡a hacia abajo, la pared no realiza¡ía trabajo porque no existe ¡ozamiento y por tanto la fuerza ejercida por la pared sobre la bar¡a es perpendicular a la pared. También si Q cayera sólo podría moverse perpen-

dicularmente a la cuerda en Sea

r el vector

Q.

de posición del cent¡o de masa C, en este

caso también el centro de gravedad con relación a O. Si i y j son los vectores unitarios en las direcciones ho¡izontal y vertical,

respectivamente, entonces

De la figura

r:

¡i *yj'

Fig. ?-r6

7-16,

= OP+PQ oQ = oc+CQ

OQ

Entonces de

(I), tomando el producto escalar

(r

)

(2)

con i,

oQ.i = OP'i+PQ'i Como

o

OP'i : 0,

se ¡educe a

oQ.i = PQ'i lsena = LsenB

(3)

CAP.

?]

SISTEMAS DE PARTICULAS

r85

Análogamente al realizar el producto escala¡ de ambos lados de la ecuación (Z) con j,

oe.t = oc.i+ce.i

o

le,ua = ailLcoaB Ahora un desplazamiento virtual del cent¡o de masa

(4)

c estÁ dado por

6r = 6r,l*tAl Como rng es

Usando (5),

la única fue¡za efectiva, aplicando el principio

mt'6t = ,¡tg óy = 0 o

tenemos

Ahora de (g)

(5) de trabajo

virtual

se tiene

0

(6)

EU

=

0

(7)

v G) se obtiene

6a = L coaB 69 -tsencta = Sa-ILsenBdp puesto que l y I son constantes y ó tiene lag mismas propiedades del operador Segin (7) 6y - 0, entonces estas ecuacionee se t¡asforman en fcocclta = LeosB6B tsenc6a = {EsenBSB Icoca

Dividiendo (S) v

(8) (e)

(9)

senc

_

corc

De (3)

senB

así que

corp

Y la ecuación

diferencial d.

=

=

1 sen

ll

2

F

4-

co¿

(10)

QlLl sena

(11)

= r/1-Wñ

(12)

(10) puede erp¡esarse gen

ffi Dividiendo por sen a

y

elevando

y de (rI)

1 ;vñ

c

| sena

(13)

al cuadrado ambos lados, encontramos

@4

sen

d = ---¿{s

Sen

P' =

como se requería.

(r4l

\/ñ=F (15)

LtlS

7.31. Un sólido uniforme está formado por un cilindro de radio a y altura Il colocado sobre un hemisferio

de radio tr, como se indica en la figura 7_L7. De_ mostra¡ que el sólido estará en equilibrio estable sobre un plano horizontalsi y sólo si a/H > \E Según el problema T.2g el centroide C está a una distan_ I del hemisferio dada por

cia CB del centro

*

* 6H2 D "----a;FTDF-: 3a2

8aH

6Hz

-

Bap

Bf+nF

Entonces la distancia del centroide C sobre el plano es

cP coao + ü = ::,::; 8a + ::2H- ":":^"."c

+ BQ F|g.7.17

186

SISTEMAS DE PARTICULAS

[cAP.

7

de manera que la energía potencial (o potencial) es

-- /6vz-3azcosc+ o) v = tvls \8a +8, / (#) El equilibrio tiene lugar cuando *ae= o , ao-\Eo+LzH/ Entonces el equilibrio será estable si

azyl

@lu=o = es decir

twc

/Saz-6gz\ \BúT

LzH

e

:

o,

esdeci¡e:0.

"'(ffi) ,

=

|

)"o"lr=o

sen

3a2-6H2)0 o a/H>{.Z,

o

7.32. Una

cadena uniforme tiene sus extremos suspendidos de dos puntos fijos ubicados sobre el mismo nivel horizontal. Hallar la ecuación de la curva que forma

la

cadena. Sean

c+L0

A y B (figu¡a 7-18) los puntos fijos. Un

la cadena de longitud as está en equilibrio bajo las tensiones de magnitud T y elemento de

T + LT por el resto de la cadena, y también el peso ogas del elemento de la cadena. Ahora, si en la figura ?-18, las dirccciones de los vectores

fo¡man los ángulos correspondientes a ?y T + ^T tenemos 0 y 0 I Ac con eI eje r respectivamente,

como condición de equilibrio (despreciando los términos de orden (40)3 y mayores),

Fig. ?-lE

(f +A1) cos(c*ad)i + (?+A?) sen(a*Ar)j - (?cosc i * ?sena j) - osiAs =

(?+af) cos(a*ao) = T coso (T+LT)sen(o*At) - fsend = ogLe

0

(/) (2)

La ecuación (I) indica que la componente horizontal ?cosd debe ser una constante, la cual podemos tomar como ?6 5l eue corresponde a la tensión en el punto más bajo de la cadena, donde d : 0. Así'

Tcosd =

(3)

To

Dividiendo (2) por A0, se obtiene

(f +Af)

sen(e

*Ad) - f send -

Le

Tomando el límite a ambos lados de (4) cuando

a'-0'

A8

"c

(41

^c

encont¡amos

,l

d,s

fr(? sene) =

"c

(5)

de

Usando (3) pa¡a elimina¡ ?, (5) se convierte en

ftQot^nr)

d,s

ogü

=

+ dC = og "."r, To

o

¡ln

dondeó:To/'og.Aho¡a y de (7) y

ü

=

COg C,

d.u

ü

b

(6)

(7)

secz o

(8)

= sen,

(8),

d.r

d.r ila

d.e

dt

d,a dc

=

dc

du da ¡le

d.c

=

(cos e)(ü sec2

e) =

b sec c

(sene)(b secz

a) =

b sec

t tan,

(9)

(r0)

CAP.

?I

SISTEMAS DE PARTICULAS

187

Integrando (9) V (10) con respecto a 0, encontramos

tr = óln(secd*tane\ y = bsece * cz Considerandoque en el punto más bajo de la cadena 0

tramos cl : 0, cz : 0. Así

a

De (I3) Pe¡o

'tenemos

ü ln (sec,

= =

u

*

c1

(1

(12)

: 0, x : 0 y y :

b, de (11)

+ tan r)

C

-

tan2

ó secd

(12) encon-

(14)

+ tan, = ¿rlb = (sec c * tan a)(sec c -

0

y

(/3)

secd SeC2

1)

(lD, ta,n

c) =

1

(16)

Dividiendo (16) por (15), obtenemos SeC, Sumando (15) a (17)

y usando (i4),

- tAnd = e-rlb

(17)

encontramos

u=

A

fi@xn+e-zrcl

=

Dcoshf

(r8)

Curva que se llama catenaria (del latin, que significa cadena).

Problemas propuestos GRADOS DE LIBERTAD

7.33.

Deterrninar el número de grados de libertad en cada uno de los siguientes casos: (o) una partícula rnoviénplana; (ó) dos partículas sobre una curva en el espacio que mantienen una distancia constante entre ellas; (c) tres partículas moviéndose en el espacio de manera que la distancia entre dos cualesquiera de ellas es siempre constante. Resp. (a) 1, (ó ) l, (c ) 6 dose sobre una curva

7.34.

Encontrar el núme¡o de grados de libertad para un cuerpo rígido: (¿) que se mueve paralelamente a un plano fijo, (b) que tiene dos puntos fijos pero puede moverse lib¡emente en cualquier forma. Resp.

7.35.

(c) 3, (b) 1

Encontrar el número de grados de libertad para un sistema constituido de una varilla rígida que puede move¡se libremente en el espácio y una partícula limitada a moverse sobre la varilla. Resp.4

CDNTRO DE MASA Y MOMENTUM DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

7.ffi.

Un cuadriláte¡o ABC D tiene masas

C(1,

-2,0 y

l,

2,3 y 4.unidades localizadas en sus vértices A

D(3, 1, 2). Encontra¡ las coo¡denadas del cent¡o de masa

(-

L, - 2,2), B(8, 2, - l), Resp. (2,0, 2l

7.37.

Un sistema está formado de dos partículas de masas mt ! mz.Demostra¡ que el centro de masa del sistema divide la línea que une ilt¡ a tn2 en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación Ít2 a t11.

7.38.

Una bomba que se deja caer desde un aeroplano explota en el aire. Demcistrar que si se desprecia la resistencia del aire, entonces el centro de masa describe una parábola.

7.39.

rr : 5¿i - 2trj + (3t - 2)k, rs:(.2t-t)i+(tr+2)j-üskdonderesel tiempo. Encontra¡: (a) la velocidad del centro de masa en el instante t : l, I (b) elmomentum lineal del sistema-en t : l. Resp. (o) 3i - 2j - k, (b) r8i - 12j - 6k Tres partículas de masas 2, 1, 3 tienen respectivamente los vectores de posición

r":(2t-3)i+(12-5t2)i+(4+6r-3¿3)k,

[cAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

188

7

7.4O.

Tres masas iguales están colocadas en los vértices de un triángulo. Demostra¡ que el centro de masa está localizado en la intersección de las medianas del triángulo.

7.41.

Una placa unifo¡me tiene la forma de la región limitada por la parábola ! : x2 y la recta y : H en el plano ry. Hallar el centro de masa.

ResP.7:0,Y-gH

7.42.

Encontrar el centro de masa de un cono ci¡cular recto uniforme de radio o y altura H. fiesp. Sobre el eje r a la distancia lH del vértice

7.49.

La región sombreada de la figura 7-19 es un casquete esférico de altu¡a H obtenido al cortar una esfe¡a sólida uniforme de radio o. (o) Demostrar que el centroide del casquete está localizado a una distancia l(2a H\2 /(3a - fI) desde la base AB. (b) Discutir los casos H : 0, H : a

y

7.44.

H:2a.

Fig. ?-19

Encont¡ar el centro de masa de una placa uniforme limi-

: sen r Y el eje .r. Resp.i.:*/2;Y:r/8

tada Por Y

7.46.

Hallar el centro de masa de una va¡illa de longitud I cuya densidad es proporcional a la distancia del extremo O. Resp.

7.46.

tl del extremo

O

Encont¡ar el centroide de un sólido uniforme limitado por losplanos 4x * 2y * z : 8, x : 0, y : 0, z : 0.

Resp.t:r.1o(i+2i+4k)

7.47.

Un sólido uniforme está limitado por el paraboloide de ¡evolución 12 * !2 : cz ! el plano z : H (fieu¡a 7-20). Hallar el centroide. Resp. 7 : 0, y- : 0, Z : ?H

Fis.

?-¿o

MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA 7.8. Tres partículas de masas 2,3y 5 se mueven bajo la influencia de un campo de fuerza de manera que vectores de posición ¡elativos a un sistema de coordenadas

fijo están dados

respectivamente

por

sus

r¡ :

zti- 3i + r2k, 12: (r+ l)i+ 3rj - 4k y rs : tzi+ tj+ (2t - l)k dondeúeseltiempo.Hallar:(o)el momentum angular del sistema, y (b) el momento total exte¡no aplicado al sistema con relación al origen. 8esp. (o) (31 - 12¿)i + (6t' - 10t - 12)j + (2r + 5t'z)k (b) -r2i + (r2t - ro)j +

10úk

7.45.

Resolver el problema ?.48 si el momentum angular total y el momento se toman con respecto al centro de masa.

7.5O.

Verifica¡ que: (o) en el problema7.48, y (b) en el problema 7.49, el momento externo total es igual a la variación en el tiempo del momentum angular.

7.61,

En el problema 7.48 hallar: (a) el momentum angular total, (ó) el momento total exte¡no tompdo con ¡especto a un punto cuyo vector de posición está dado por r : ti - 2tj * 3k. En este caso, ¿el mornento externo total es igual al cambio en el tiempo del momentum angular? Explicar.

7.62.

Verificar el teorema

7,63.

Establecer y probar un teorema análogo al del problema 7.9 para el momento externo aplicado al sistema.

7.14.

¿Se conserva

7.9

para el sistema de partículas del problema 7.48.

el momentum angular en el problema 7.38? Explicar.

TRABAJO. ENERGIA E IMPULSO

7.66,

Hallar el trabajo total realizado por el campo de fuerza del problema ?.48 al moverse las partículas de sus posiciones en el tiempo t : L a sus posiciones en el tiempo t : 2. Resp. 42

cAP. 7l

7'66.' 7 '67

'

7'68' 7'69'

SISTEMAS DE PARTICULAS

189

¿En el problema ?'55 el trabajo realizado es el mismo que se efectuaría sobre el centro de masa conside¡ando que toda la masa estuvie¡a concentrada allí? Explicar.

Hallar la energía cinética total de las partículas en el problema ?.48 en los tiempos: (o) : t r, y (b) Discuti¡ la relación entre Bus ¡esultadosy los del probrema ?.b5. Resp. (o) ?2,5, (ü) g0,5 Encontrar el momentum lineal total del sistema de partículas del problema ?.4g en los tiempos

t :2.

Resp.

(a) L7i+ 4i + l4k, (b)

27i

+ 4j +

18k

Encontrarelimpulsototalaplicadoalsistemadelproblema?.rEdesde relación de sus resultados con los del problema

?.bg.

gesp. lOi

*

7.60.

Demost¡ar el teorema ?.13.

7.61.

Verificar el teorema ?.lB para el gistema de partículas del problema

ú: l

hasta

t:

t: I

2.

y

t:2ydiscutirla

4k

2.4g.

CONSTRICCIONES, ESTATICA, TRABAJO VIATUAL, ESTABILIDAD Y PRINCIPIO DE D,ALEMBERT Establece¡ en cada caeo si la coÍstricción es holonómica o no holonómica y dar lag razones de su respuesta: (c) una partícula que está constreñida a move¡se bajo la gravedad en el inte¡ior de un paráboloide vertical de revolución cuyo vértice está hacia abajo; (ü) una pa.tí"ula que se desliza sobre un elipsoide bajo la acción de la gravedad; (c) una esfera que rueda y posiblemente se desliza hacia abajo plano

7'62'

en un

do; (dl una esfera que rueda hacia abajo ,rn pi"no inclinado paralelo a un plano vertical fijo; "t partícula que ee desliza por acción de la gravedad por filera de un corro vertical invertido. Resp' (a) holonómica, (á) no holonómica, (c) no holonómica, (d) holonómica, (e) holonómica

7.63.

Una palanca ABC (figura Z-21) tiene colocadr Wt ! Wz a las distancias o¡ y o2 del soporrr Usando el principio de trabajo virtual, demos, una condición necegaria y suficiente para qul equilibrio es lfi o¡ : Wzaz.

7.64.

Resolver el problema Z.68 si se colocan uno o m adicionales sobre la palanca.

7.65.

Fig.7-2f

Una cuerda indeformable de masa despreciable que pa_ sa sobre un perno liso en g (figura ?_22) conecta una masa rnr sobre un plano sin rozamiento inclinado un

ángulo a, a otra masa rnr. Usando el principio de D'Alembert, demostra¡ que las masas esta¡án en equi_

lib¡io si zl2 :

?.66.

Resolver el problema 2.65 si el plano inclinado tiene coeficiente de rozamiento ¡. ResP.

7.a7

-

7.68.

rnr sen a,

m2: zrt

(Bena

-

un

A

tcosa)

una escalera .48 de masa m tiene sus extremos apoyados sob¡e una pared vertical y sobre er piso (figura z-29). El pie de la escaiera egtá sujeto mediante una cuerda inextensible de masa despreciable a la base C de la pared de mane¡a que la escalera forma un óngulo con el piso. usando el principio de trabajo virtual, encontrar-el valo¡ de la tensión en la cuerda. Resp. lmgcota Resolve¡: (a) el problema 7.68, y (b) el problema 2.65 usando el método de energía potencial. Demost¡a¡ que el equilibrio en

cada caso es inestable.

7.8s.

FiS.'l-22

una variila uniforme delgada de longitud I tiene sus dos ertremos consrreñidos a moverse sob¡e la ci¡cunfe¡encia de un círculo ve¡tical liso de radio a (figura 7-24). Detetminar las condiciones de equilibrio.

Fig. ?-28

inclina) una

(e

SISTEMAS DE PARTICULAS

190

7.7O.

¿El equilibrio de la varilla del problema ?.69 es eetable, o no? Explicar'

7.7L.

un hemisfe¡io sólido de radio ¿ está localizado te rugoso el cual estó inclinado un ángulo o.

sobre un plano perfectamen-

(a) Demostrar que está en equilibrio estable si a ( sen-t(3'l8)' (b) ¿Para qué otros valores de c podrá estar en equilibrio? ¿cuáles de estos, si los hay, permitirán equilibrio estable?

flis.7-?A

7.72,

m2 del Usar el principio de D'Alembert para obtener las ecuaciones de movimiento de las masas m¡ Y problema 7.65.

7.7g.

Resolver el problema referente a

la máquina de Atwood

(véase el problema 7.22) usando el principio de

D'Alembert.

7.74.

péndulo simple' Usa¡ el principio de D'Alembert para determinar las ecuaciones de movimiento de un

PROBLEMAS VARIOS

7,76.

Demostra¡ que el centro de masa de un arco circular uniforme de radio o y ángulo central a está localizado sobre el eje de simetúa a una distancia del cent¡o igual a (asenal/a.

7.76.

Discutir los casos en que: (a) o

7.77.

Se hace un

7.7g.

y (b) d

: Í

en el problema 7'75'

orificio circular de radio o en una placa uniforrne

de

>c

como se indica en la figura 7-25. Si la distancia entre los centros A y B es D, encohtrar el centro de masa. Resp. Estará por debajo de B a la distancia az D/(b2 - o2l'

radio b

7.7A.

: t/2,

Desanolla¡ el problerna 7.?? si los círculos se remplazan por esferas' Besp. Estará por debajo de I a la distancia otp/(6t - as). Demostrar que el centro de masa no depende del origen del sistema

de coordenadas utilizado.

7.8O.

Demostrar que el centro de masa de un casca¡ón delgado semies' férico de ¡adio o está localizado a una distancia Io del centro'

2.8f.

Considerando que el momentum angular de la Luna con respecto a la Tierra es A, encontrar el momentum angular del sistema formado solamente por la Tierra y la Luna, con relación a su centro de masa'

suponer que las masas de Resp.

7.g2.

la Tier¡a y la Luna son M¿ y M¡,

Fig.7-25

respectivamente.

M.L/(M, * Mt\

[El teorema ?.13 se aplicará en caso de que el momentum angular

sea tomado con respecto a cualquier

punto arbitrario? ExPlicar.

7.83.

En la figura 7'26, AD, BD v CD son varillas delgadas uniformes de igual longitud o y de igual peso ru' Se apoyan en Ll donde no existe rozamiento y sus extremos A, I y C descansan sobre un plano horizontal liso. Para impedir el movimiento de los extremos A, B y C, se usa una cuerda indefo¡mable ABC de masa despreciable que forma un trirí'ngulo equilátero como se indica en la figura. Si se suspende un peso llf en D de tal manera que las varillas fo¡men án-

gulo: iguales c con el plano horizontal, demostrar que la magnitud de la tensión en la cuerda es

+rFW *

7.A4.

3a,) cota

si el peso W se suspende ahora del centro de una de las varillasResolver el problema ?.83

Fig.7-26

cAP. 7l

7.46.

SISTEMAS DE PARTICULAS

19r

Deducir una erpresión para: (o) el momentum angular, y (ó) el momento total de un sistema con respec.

to a un punto arbitrario.

7.86.

gual al camsólo si: (o) o (c) P está I movimien-

to del centro de masa.

7.87.

Encontrar el centroide de un sólido de densidad constante formado de un cono circular de radio o y altura H y de una semiesfera de radio o colocados como se indica en la figura 7.2?. Fesp. A una

7.88.

por encima de O

Desarrollar el problema ?.8? si la deneidad del cono es el doble de la densi_ dad de la semiesfe¡a. Resp. A una

7.89.

altura l(a2 * Hr)/(2a * Il)

altura

f (o2

*

2H2)/(a

* II)

por encima de O

Fls.7-X

Se cava una semiesfe¡a de radio a en un cubo sólido uniforme de arista

t¡a¡ el centro de masa del sólido remanente.

Fig.7-2t

Fig.7-29

b > 2o, (figrua 7-E). Encon.

Fig. ?-30

7'9o'

Una cadena unifo¡me de 45 kg de peso se suspende de dos soportes fijos separados lb metros. Si la flecha en la mitad es 20cm, encontrar la tensión en los soportes. Resp. 450kg

7'91'

Una cadena de longitud L y densidad constante o se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo ni. vel horizontal. Si la flecha en la mitad está a una distancia D por debajo de la línea ho¡izontal que une los puntos fijos, demost¡ar que la tensión en el punto mrís bajo de la cadena es o(L2 4Dr)/gi.

-

7"92'

Se colocan tres partículas de masas iltt,,nz, rn3 en los vértices de un triángulo de manera que queden opuestas a los lados de longitudes at, oz ! o¡, respectivamente. Demostrar que el centro de masa está colocado en la intersección de las bisectrices del triángulo si y sólo si mt/at : mz/az : ms,/as.

7"93'

Dos masas, ñt ! mz, están colocadas sob¡e un cilindro sin rozamiento y unidas entre sí mediante una cue¡da inextensible de masa despreciable (ñgura 7-%). (a) Usando el principio de trabajo virtual, demos.

trar que el sistema esti en equilibrio si rn¡ sen at

:

m2sena2. (á) ¿EI equitibrio es estable? Erplicar.

7.94-

Resolver el problema 2.93 conside¡ando que existe ¡ozamiento.

7'glt'

Deducir una expresión para la energía cinética total de un sistema de partículas con relación a un punto que puede moverse en el espacio. ¿Con qué condiciones la expresión matemática puede simplificarse? Dis. cutir el significado fisico de la simplificación.

7'94'

Encontrar el centro de masa de la placa unifo¡me que aparece sombreada en la figura ?.80 y que eatá limitada po¡ la hipocicloide r2/A -r U2ts =-- d2¡3 y las rectas ¡ : 0, y : 0. (Sugerencio. Las ecuaciones para.

métricasdelahipocicloideson

l:

ocos¡C,

y:

asena

A.)

Resp.

X:_f :2ffio,/Bl|¡

7.57.

lcAP.

SISTEMAS DE PARTICULAS

r92

Sean m¡, mz y ma las maeas de t¡es pa¡tícul8s v vrz, vza, v¡3 su9 velocidades relativas. trar que la energía cinética total del sistema con respecto a su centro de masa es m

1m2r!2

(o)

7

Demos-

* m¿mglr2zs * m 1ms1)ls m¡* m2* mg

(b) Generalizar el resultado obtenido en (a).

Z.gt.

Una cadena de densidad variable se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo nivel horizontal. Si la densidad de la cadena varía en función de la distancia ho¡izontal referida a la vertical que pasa por su centro, demostrar que la cadena toma fo¡ma de parábola.

7,gg..

Discuti¡ las relaciones que pueden existir entre el problema ?.98 y la forma de suspensión de un puente.

Z.fOO. Un eólido formado po¡ un cono recto circula¡ uniforme de ángulo c en el vértice, y una semiesfera de la misma densidad acoplados como se indica en la figura ?-31. Demostrar que el sólido sólo puede estar en equilibrio estable soDre un plano horizontal si y sólo

si a > 60''

Fig.7-82

Fig.7-31

7.lol.

Un sólido uniforme (figura ?-32) consiste en una semiesfe¡a de radio o sobre la cual se ha montado un cubo de lado ó colocado simét¡icamente con relación al eje que pasa po¡ el cent¡o de la semiesfera. Hallar la condición que deben satisfacer d y ó para que el equilibrio sea estable. Resp. olb > lIffi

7.1O2. Hallar

el centroide del á¡ea limitada por la cicloide

n = y el

7.103.

7

,1O4.

eje

r.

Resp.

a,(C

-sen,),

u = a(l -cosr)

(¡a,5a/6)

Si la componente del momento con respecto a un punto P en cualquie¡ dirección es cero, demostrar que la componente del momentum angularcon respecto a Pen esadi¡ección seconserva si: (a) Pesunpunto fijo, (b ) P coincide con el centro de masa, o (c ) P es un punto que se mueve en la misma dirección del centro de masa. En el problem a 7.103, ¿el momentum angular se conserva sólo si se cumple

(o

)'

(b

)o

(

c

)?

Explicar'

?.106.

Demostrar que el t¡absjo virtual de una fuerza es igual a la suma de los trabajos virtuales correspondientes a todas las componentes de la fue¡za.

Z.fO6.

Demostra¡ que es imposible el equilibrio estable de una esfera colocada sob¡e otra de superficie perfectamente rugosa (es decir con coeficiente de ¡ozamiento p : 1). ¿Es posible alguna clase de equilib¡io? Erplicar'

7.1O7. Un sólido uniforme que tiene la forma del paraboloide de ¡evolución cz - { + y2, c > 0 estácolocada sobre el plano ry ionsiderado horizontal. Si la altu¡a del paraboloide es I1, demostrar que el equilibrio es estable si y sólo si H < lc.

Z.lO8.

Resolve¡ el problema 7.10? si el plano

ry

está inclinado un ángulo a con la horizontal'

cAP. 7l

7.109.

SISTEMAS DE PARTICULAS

r93

Sobre un plano vertical se colocan dos alambres AC y BC que forman ángulos de 60' y S0' respectivamente con la horizontal, como se indica en la figura ?-33. Dos masas de Bg y 6g unidas mediante una varilla delgada de masa despreciable se colocan sobre los alambres. Demostrar que el sistema estará en equilibrio cuando la va¡illa fo¡ma un ángulo con la horizontal dado por tan-ti6/l¡.

Fis.7-33

7.llo.

Denostrar cada uno de los siguientes teoremas enunciados por pappus.

(¿) Si una curva cer¡ada C en un plano é1,

se mueve alrededo¡ de un eje en el plano que no se intersecta con entonces el volumen generado es igual al área limitada por C multiplicada por la distancia ¡ecor¡i-

da por el centroide del área.

(b) Si un

arco de una curva plana (cenada o no) rota alrededor de un eje en un plano que no se intersecta con é1, entonces el área de la superficie generada es igual a la longitud deiarco multiplicada por la distancia recor¡ida por el centroide del arco.

7'l I l'

Usa¡ el teo¡ema de Pappus para encontra¡: ( o ) el centroide de una placa semicircular, (ü el centroide de un ) alambre eemicircular, (c) el centroide de una placa en forma de un triángulo rectángulo, (d) el volumen

de un cilindro.

7.112.

Hallar: (a) el área superficial, y (b) el volumen de la región toroidal obtenida al hacer rotar un círculo de ¡adio c alrededor de una línea en su plano a una distancia ,ó ) a de su centro. Resp. (a) 4¡2ab, (b) 2¡2d2b

Copítulo 8 Aplicociones o sistemos oscilontes, cohetes y colisiones SISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS Si se conectan mediante resortes dos o más partículas (o interactúan de alguna manera equivalente), entonces las partículas oscilarán o vibrarán unas con respecto a otras. Como vimos en el capítulo 4, una partícula que vibra o que oscila, tal como el oscilador armónico simple o Ia masa de un péndulo simple, tiene una frecuencia única de oscilación. En el caso de sistemas de partículas, generalmente existe más de una frecuencia de vibración. Tales frecuencias se llaman frecuencias normales. Los movimientos de las partículas en estos casos son frecuentemente uibracipnes multiperiódicas. lJn modo de uibración (es decir, una manera peculiar como ocurre la vibración, debido por ejemplo a condiciones particulares iniciales) en el-cual se presenta solamente una de las

frecuencias normales se llama modo normal de uibracíón Véanse los problemas 8.1-8.3.

o simplemente modo normal

PROBLEMAS RELACIONADOS CON MASAS VARIABLES. COHETES Hasta ahora hemos restringido nuestro estudio al movimiento de partículas que tienen masa constante. Existen situaciones importantes que se refieren a masas variables. Un ejemplo, es un cohete que se mueve hacia adelante a causa de la expulsión hacia atrás de las partículas de una mezcla de combustible. Véanse los problemas 8.4 y 8.5.

COLISIONES DE PARTICULAS Durante el curso de suF movimientos dos o más partículas pueden chocar. Los problemas en los cuales consideremos el movimie¡rto de tales partículas se Ilaman problemas de colisión o de choque. En la práctica al considerar objetos que chocan, tales como esferas, suponemos que son elásticos. El tiempo durante el cual están en contacto comprende: el tiempo de compresión, durante el cual ocurre una ligera deformación, y el tiempo de restitución durante el cual se recupera la forma original. Consideramos que las esferas son Iisas de maneraque Ias fuerzas ejercidas actúan a lo largo de una normal común a las esferas en el punto de contacto (y que pasa por sus centros). Una colisión puede ser frontal u oblicua. En una colisión frontal, la dirección del movimiento de ambas esferas se realiza a lo largo de Ia normal común en el puntb de contacto tanto antes como después de la colisión. Una colisión que no es frontal se llama oblicua. En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado regla de colisiones de Newton, basado en Ia evidencia experimental. Se considera como un postulado. Regla de colisión de Newton. Sean v,, y v,', las velocidades relativas de las esferas a Io Iargo de la normal común antes y después de la colisión. Entonces v'r, : -ev* 194

CAP.

8I

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y

COLISIONES

La cantidad e, llamada el coeficiente de restitución, depende de los materiales de los objetos y se toma generalmente como una constante cuyo valor vaúa entre 0 y 1. Si e : 0 la colisión se denomina totalmente inelástico o simplemente inelóstica. Si e : 1 Ia colisión se denomina totalmente elástica o simplemente erástica. En el caso de colisiones totalmente elásticas Ia energía cinética total antes y después del choque es la misma. SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS En algunos problemas el número de partículas por unidad de longitud , área o volumen es tan alto que, para propósitos prácticos, el sistema puede considerarse continuo. Como ejemplos, una cuerda de violín en vibración, una membrana en vibración o una esfera que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado. Las leyes básicas del capítulo 7 son válidas para tales sistemas continuos de partículas. Sin embargo, al aplicarlas es necesario usar integración en lugar de sumatoria ranro para el número total de partículas como para el concepto de densidad. CUERDAS EN VIBRACION Consideremos una cuerda elástica tal como una cuerda de piano que está ligeramente tensionada entre dos puntos fijos r : 0 y ¡ : I a lo Iargo del eje de las r (figura 8-1). Si la cuerda se desplaza de su posición inicial y luego se suelta, vibrará u oscilará alrededor de la posición de equilibrio.

r=0

a=l

I I

Fig.

t-l

Fig. E-2

Si Y(x,t) denota el desplazamiento de cualquier punto ¡ de la cuerda desde su posición de equilibrio en el tiempo ú (figura 8-2), entonces Ia ecuación que rige las vibraciones está dada por la ecuacíón diferencial parcial a2y at2

"dzy = "'#

donde si ? es la tensión (constante) de la cuerda y unidad de longitud de la cuerda). c2

: T/o

r

(1) es

la densidad (constante) (masa por (2)

La ecuación (1) es válida para el caso de vibraciones que se consideren tan pequeñas que la pendiente 0Y/0r en cualquier punto arbitrario de la cuerda sea mucho menor que l.

PROBLEMAS CON VALORES DE CONTORNO Los problemas donde se debe resolver una ecuación tal como (l) sometidos a varias condiciones, llamadas condiciones de contorno se suelen llamar problemas con ualores de contorno. Un método importante para resolver tales problemas hace uso de las series de Fourier.

196

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES. COHETES

Y

COLISIONES

[cAP.

8

SERIES DE FOURIER Con ciertas condiciones una función /(¡), definida en el intervalo 'y < x < tenga un período 2l fuera de este intervalo tiene el desarrollo en serie

t + 2l

f(r) = ? . ft(o,"o.ff + a^"""ff)

y que

(3)

donde los coeficientes en serie, llamados coeficientes de Fourier, están dados por

fi.tx . ., (ln = I ),f'*'t /(r) cos i dr i

' bn

V)

("*" ,, --, ---- rlnx r /(c)sen

= i1J"

(5)

Td*

Una serie de éstas se llama serie de Fourier de /(¡). En muchos problemas

r: 0 o -1.

FUNCIONES PARES E IMPARES Si y: -1,'pueden hacerse ciertas simplificaciones en los coeficientes (4) y (5) como se indica a continuación:

1. Sii(-x)--f(x), A¡

(r.,, tL¡ = ¡2 )o r\4 "o" j d'r,

b' =

0

(6)

En tal caso /(¡) se llama una funcíón par y la serie de Fourier correspondiente a /(r) tiene solamente términos en coseno

2. Si i(- t¡ : -f

(x),

dn=0,

2,

bn =

!,' rc1""nff a*

(7)

En tal caso /(¡) se llama una función impar y la serie de Fourier correspondiente a f (x) tiene solamente términos en seno. Si /(¡) es una función que no es par ni impar la serie de Fourier contendrá términos tanto en coseno como en seno. Son ejemplos de las funciones pares ra, 3ro * 4x2 - 5, cos x, e'* e-' y la función representada gráficamente en la figura 8-3. Ejemplos de funciones impares son r3,2xt 5¡3 * 4, sen x, €' - e' y la función representada en la figura 8-4. Ejemplos de funciones que no son pares ni impares son ¡a * rt, ¡ * cosr y la función representada gráficamente en la figura 8-5.

Fig. t-3

Fig.

t-l

Fis.8-5

Si una función se define en el "semiperiodo" x--0 a x,: I y se especifica como impar entonces la función se conoce en el intervalo .- I I x 1 l, de manera que la serie que contiene solamente términos en seno puede encontrarse. Esta serie frecuentemente se

cAP.8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

r97

suele llamat serie seno de Fourier en un semí-interualo. Similarmente, una función definida desde ¡ : 0 hasta ¡ : I la cual se especifica como par tiene un desarrollo en serie que se suele llamar serie coseno de Fourier, en un sem,i-interualo.

CONVE,RGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Supongamos las siguientes condiciones de /(¡): 1.

2.

/(¡)estádefinidaenT( x 1t*2l¿. f(x) y su derivada /'(¡) son continuas porsegmentos en 1 < x, ( r t 21. (Se

Í@)

dice que una función es continua por segmentos en un intervalo, si el inter_ valo puede dividirse en un número finito de subintervalos en cada uno de los cuales la función es continua y acotada, esto es, existe una constante B>0 talque -B< f\x) < B. Un ejemplo de una función de esta clase se indica en la figura 8-6.)

3.

Fig. t-6

En cada punto de discontinuidad, por ejemplo, rr (o rr) en la figura g-6, tiene límites finitos a la izquierda y la derecha dlsignados, respectivamente, por /(¡) * 0) /(r1 0) (o (xz

Y

/(rr -

4. /(¡)

f

*

0),

/(¡z -

tiene período 2l esto es

0)).

/(r * 2l) : f(x).

Estas condiciones, si se satisfacen, son suficienúes para garantizar la validez de la ecuación (3) (esto es, las series a la derecha de (3) conu.rg"r, a (x)) en cada punto donde f /(¡) es continua' En cada punto en que /(¡) es discontinua, (3) permanece válida si se /(r) remplaza por LUG -t 0) * /(¡ 0)) es decir, el valor medio de los límites a la derecha y a la izquierda. Las condiciones descritas anteriormente se conocen como condiciones de Dirichlet.

Problemas resueltos SISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS 8.f. Dos masas iguales m se conectan por resortes que tienen la misma constan_ te x, como se muestra en la figura g_Z de modo que las masas están libres para deslizarse sobre una superficie lisa AB. Los extremos del resorte se hallan fijos a las paredes A y B. Determinar las ecuaciones diferenciales del movi_ miento de las masas. Sean

r,i y 12i (figura g_g) los

desplaza_

mientos de las masas desde sus posiciones equilibrio C y D'en cualquier tiempo f .

de

Fig. t-Z

Ct xi AB Fis.8-E

Di

rzi

APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES

198

Consideremos las fuerzas que actúan sobre

¡esorte hacia la de¡echa dada por hacia la izquierda dada por -rr¡i.

Y COLISIONES

tCAP.8

la primera masa en P. Hab¡á una fuerza debida al

x(r2i - r¡i) : x(xz - ¡r)i' y una fuerza debida al ¡esorte Así la fuerza neta que actúa sobre la primera masa en P es x(r2- u)i - xrli

En la misma forma la fuerza neta que actúa sobre la segunda masa en Q

x(n1- r2li

es

xr.2i

-

Entonces por la segunda ley de Newton tenemos

i2

mfu(xil =

x(t2-

r)i - "tri

¡2

m

j*(xzil = x(t1- r2li -

xr2i

(I)

= r(n2-Zxl¡ m'dz = r(n1-2x2)

r"it

o

B.Z. Hallar: (a) las frecuencias

normales,

y

sistema del problema 8.1. (o) Sea .r¡ : Ar cosoú, xz: At cos@t en las

e)

(b) los modos normales de vibración del ecuaciones

(I) y (2) del problema 8.1. Entonces

encontramos, después de simplificar,

- rA2 -xA¡*(2x-rnozlA2(2r-mo2\A1

Aho¡a si

At ! Az son distintos

2x

-r

Despejando

0

(21

=0

(3)

de ce¡o, tenemos

2r - ma2

o

(r)

Q

-x - ma2

¡¡t'2o4-4pnu2* 3r2 = o (r*-^"2\(2x-m.21 -x2 = 0 tz*4n2 ¿*m = {la* de donde o2, encontramos cr2 :

,2 = *ltn

!

0

Ul

o2 = }rl¡n

Entonces las frecuencias normales (o naturales) del sistema están dadas po¡

._ 1.f; r=2"\^

v Y

rf -u\'^ =1^/E

(5)

Las frecuencias normales se llaman también frecuencias coracterísticas y el determinante (3)

se

llama determinonte caracteístico o determinante secular'

(ó) Para encontrar el modo normal correspondiente a o : !7ñ, tomamos o2 : ,/m en las ecuaciones (l) y (2). Entonces encontramos At=Az En este caso el modo normal de vibración corresponde al movimiento de las masas en la mísma dirección (es decir, ambas a la derecha y ambas a la izquierda) como se indica en la figura 8-9. + '

r-o000L{ y0000\r-r0000 Modo normal correspondiente a o : \trlm Fis.

Modo normal correspondiente

t-9

a o : Vffi

Fig' t'10

Similarmente encontramos el modo normal corrtspondiente a ': en las ecuaciones (I) y (2). Entonces encontramos

At = -Az

l57l'

tomando o2 :\x/m

cAP. El

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y COLISIONES

En este caso el modo normal de vib¡ación correaponde al movimiento de la¡ masas en direccionea opuestas (es decir, cuando una se mueve a la derecha la otra se rDueve a la izquierda, y viceveraa) como ee indica en la figura 8-10. Al reeolver este problema podríamos haber considerado, r¡ : Br sen ot, x2 Il2 senorú o Ir : ArCosoú +B¡eenoú, 1.z:AzCOsú,ú *8¡s€núrt o r.1:Qr¿lot, t2:Qr¿1o3. -

8.3.

Supongamos que en el problema 8.1 la primera masa se mantiene en su posición de equilibrio en tanto que la segunda masa se desplaza hacia la derecha un valor a > 0 de su posición de equilibrio. Luego las masas se sueltan. Hallar la posición de cada masa en cualquier instante posterior. Escribiendo

tt : lffi

! oz : Vffi,

mediante

t1 = t2 =

* D1 cos o1t * C1

coso¡ü

el movimiento general de amba¡ masas

C2 senr^r1ú

D2 aeno{

* *

* ps cos o2ú * Cs cos o2t

se describe

Caaeno2t

(r)

D4 senlrt

(2',)

donde loe coeficientes son todoe constantes. Suetituyendo Iao ecuacioñee anterioree en la ecuación (I) o €) del problema 8.1 (ambae dan et mismo ¡esultado) encohtramos los coeficientes correspondiente¡ de cos@r r, genol t, coe @zt, aener2¿ respectivamente,

D¡ =

C¡

Dz

= Cz, Da = -Cs, Dt = -Cq

Así las ecuacioneg (1) V Q) pueden escribirse

Ahora

t1 = C¡ cosolú * C2senorú * Cscos o2t l- Caeeno4t ü2 = C1 cosolú * C2senort - C¡ cos o2t _ Caaeno\t determinamos cr, cz, cs, cn teniendo en cuenta las condiciones iniciales üt=0, t2=o, it=0, iz-O en ü:0

(3) (4)

(5)

De eetas condiciones encont¡amos, respectivamente,

C1* Cs = Q, C1- C, = 6, De donde hallamos

Ct

Q2o1

= ta, Cz= 0,

!

C4o2

C" =

-\a,

= e, C^

=

Cz,¿t

-

C4ro2

0

=

g (6)

Así, las ecuaciones (3) y (a) proporcionan las ecuaciones rcqueridas

donde o,

: {ñ,

tz: fiffi.

rt = 12 =

$c(cos o¡ú {o(cosr,r¡ú

*

cos

ro2ú)

(7)

coso2ú)

(8)

Obsérvese que en el movimiento descrito por (7) y (8), están prcsentes ambas fiecuencias no¡males. Egtas ecuaciones demuestran que el movimiento general es una sr¿perposición de los modos normoles, que algunas veces se llama el príncípio de superposición.

MASA VARIABLE. COHETES 8.4. Deducir una ecuación de movimiento para un cohete que se mueve en línea recta, Sea m la masa total del cohete en el tiempo ¿. Un tiempo mCs ta¡de ü f Aú euponemos que la masa es ¡n * A¡n debida a la etpulsión de una masa -Arn de gas que se desprcnde del

cohete. Nótese que -Arn es ¡ealmente una cantidad positiva porque An se considera negativa.

O

Flg.t-U

SeanvYv*avlasvelocidadesdelcoheteenloetiempos¿yü+Jttrrpectoal¡istenraine¡rial o es v { v¡ donde -v6

con origen en o' La velocidad de la masa del gas expulaado dei coheíe relativo a es la velocidad del gaa con relación al cohete.

2OO

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

[CAP.8

Como el cambio de momentum del sistema es igual al impulso, tenemos

t + Lt - momentum total en t : impulso ((m*6m)(v 4av) * (-az¡)(v*v6)) - mv =

momentum total en

F es la fuerza neta exte¡na que actúa La ecuación (I) puede escribirse como

donde

Escribiendo

v:

ui, vo

: -

u6i,

Av

F : .Fi, esto se convierte d¡n ¡tvt+ ooE

^d,¿

8.5.

(r)

sobre el cohete.

A,n AY - "0¡t + ¿J-L^ = I' ^t el límite cuando A¿-. 0, encontramos .lm ilv m&,-voE = !' rfu

Entonces tomando

Faú

(2\

en

= r'

(3)

la velocidad del cohete del problema 8.4 considerando que el gas es expul' sado a una tasa y velocidad constantes con respecto al cohete y que se mueve verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante.

E:ncontrar

Sielgasesexpulsadoaunatasaconstantec)0entoncesm:ms-at,dondem¡eslamasa ü:0. Como F: -mgi (o F: -me) y dm/dt: -c, laecuación(3)delproblema

delcoheteen

8.4 puede escribirse

Qno-atl#-'o, = -(mo-otls

.

# = -c+#

(I)

u : - gt - ue ln (¡no - aü) * cr encontramos Ql Si u : 0 en ü : 0, es decir, si el cohete parte del ¡eposo, entonces cr = uqlnth o Q = 0-oolnm¡|q mo \ ./ u : - gt * u¡ ln Así, (2) se puede exp¡esa¡ como \rrr"-) que da la velocidad en cualquier tiempo. La velocidad es v : ui. Nótese que debe tenerse ms - at > 0, porque de otra manera el cohete no expulsaría gas' caso

Integrando

en el cual el cohete no tendría combustible.

COLISIONES DE PARTICULAS 8.6. Dos masas rn, y mz que se mueven sobre la misma recta chocan. Encontrar las velocidades de las partículas después de la colisión en función de las velocidades antes del choque. Conside¡emos que

mueven es el eje

se

y

después del choque son vr, y v{, vl, resPectivamente. De acue¡do con la regla de colisión de Newton

partículas antes

vz

la recta sob¡e la cual

r y que las velocidades de las

vi-vi Según

^rO_\,

el prir{cipio de la conservación del

-n

Fig.8-12

(l)

=.(vz-vr)

nr@_\,

mo-

mentum,

Momentum total después del choque: momentum total antes del choque

rnpl*rn2vl =

m1v1 1-m2v2

(21

CAP.

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Resolviendo simultáneamente (I)

y

Y COLISIONES

(2),

(m1-

cm2)v1

i

m2(L

t

c'lv2

rnr + ,nz

v!2 =

8.7.

m1(l

I clvl * Qn2- em)v2 m1*m2

Discutir el problema 8.6 para el caso de: (o) choque perfectamente inelástico, (ó) choque perfectamente elástico. (a) Hagamos e : 0 en (3) V Q) del problema

9.6 para obtene¡

_ tutyt*.m2v2 -,, vt =

ñty!*mrv, , v;= ffi

-ñÍ6f,'

De modo que después del choque las dos partículas se mueven con la misma velocidad, es decir, se mueven conjuntamente como si formaran una sola partícula.

(á) Hacemos c : I

en (3) V U) del problema 8.6 y obtenemos

oi -

(*'-^'l'''* 2^'"" ,nr+,n2 '

vL =

.

2mp1

* (mz-

m)vz

,nr + m2

Estas velocidades no son iguales.

8'8'

Demostrar que en un choque perfectamente elástico de las partículas del problema g.6

la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética total después del choque. Usando el resultado (b) del p¡oblema 8.7 tenemos

Energía cinética total después del choque

=

L^rnit +

Lrm2v,22

| (m2-m)v2 mr+úh l^1 + )rnar, = i^r"í

=

8'9'

energía cinética

total antes del

l'

choque

Dos esferas de masas m t Y mz chocan oblicuamente. Encontrar sus velocidades después del choque en términos de sus velocidades antes del choque. Sean v,, v:, y V,r, v,2 las velocidades antes y después del choque, respectivamente, como se indica en la figura 8-1S. Escogemos un sistema de coo¡denadas tal que el plano ry sea el plano de v¡ ! vz y que en el instante del choque el eje r pase

por los centros C, y C9 de las esferas. Según la conse¡vación de momentum, tenemos m1v1

*

tttzy2

= rnpi *

m2v'2

(1)

Fig.

En la figura 8-13 podemos ver que

v1 =

or(cos a,

i-

sen a1

t-lt

j)

v, = o2(cos A2 I - sen ¿, j¡ ví = oí(cos p1 i - senp, j) ví = oLkos4ri-sen6rj) sustituyendo las ecuaciones (2)-(5) en (I) e igualando coeficientes de i y de tenemos i,

(2) (3) (4) (5)

n2

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

* nxLarser.et I

= mta| cosg, * = nr10l senpl I

m2a2cose2

rz,ru¡cogCl

m2ttgsen02

Y

COLISIONES

IcAP.

I

m2a'2cosg2

(6)

m2a'2 senq2

(7)

Por la regla de Newton sobre colisiones, tenemos

Velocidad ¡elativa a lo largo de r después del choque - c I velocidad relativa a lo largo de ¡ antes del choque

o

vi

'i - vi'i

=

-e(v¡

'i - vz'i)

-c(o¡

cos e L

I

(8)

lo cual usando las ecuaciohes (2)-(5) se convierte en

ttl

cos

41

-

o'2 coa

q2 =

-

02 cos ez)

(e)

Además, como las velocidades tangenciales antes y después del choque son iguales

vr'j = ví'j vz'i = vL'j 0t sen At = l,i sen Ér

(10)

=

(r3)

u23en02

(lr) (12)

aLsenqz

La ecuación (7) se satisface remplazando las ecuaciones (I2) v (I3). De las ecuaciones (6) y (9) encontramos

oi

(m1cos Cr

,'2coa62

=

=

dl + m2(1 * e)tt2 cos e 2 fr\ -f fitz rnt(1 *c)o1 cos c1 * (m2-m¡)o2coae2 m2r)a1cos

m1*m2

Entonces, utilizando (I2) y (13) hallamos

v'1 :

oi(cos P1 i - sen Pt (m¡ - m2c)a 1 cos ,r

i)

i * nz$ * + ftuz

rnr

v'2 =

=

tt'2@os 62

m{l*

i-

sen

c)o1 cos

e)o2 cos a2

i

- olsendlj

P, i)

cri * (mz-tuf)ozcosezí -a2seno2i rnLtm2 _

SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS 8.10. Hallar la ecuación diferencial parcial (/) de las oscilaciones trasversales

de una cuerda

en vibración.

Fig. t-14 Consideremos el movimiento de un elemento de aumentado en la figura 8-14.

la

cuerda de longitud As, que se r€presenta muy

Las fuerzas que actúan sob¡e el elemento, debidas al resto de la cuerda, son las tensiones most¡adas en la figura 8-1,1, de magnitudes T(r) y T(x * A¡) en los ext¡emos x y x * A¡ del elemento.

CAP,

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y COLISIONES

La fuerza neta horizontal que actúa sobre el elemento en la dirección i

lT(r

1- Lr) cos

r(, * Ac) - f(c)

j

La fuerza neta que actúa sob¡e el elemento en la dirección

cos

203

es

a(r)li

(r)

es

[?(r * ar) sen d(r * tr) - T(rl sen r(r)]i que el movimiento horizontal en la dirección i es despreciable,

(z)

Si suponemos la fuerza neta dada en (I) es nula. Teniendo en cuenta que la aceleración del elemento es azY/áP, aproximadamente, y que su maaa es oAs donde c es la masa por unidad de longitud, tenemos a partir ae iZ) v de la segunda ley de Newron,

'

*ffi i =

lT(r

*

a,r)

sen

0(,

+ trl

-

T(r)sen a(r)li

(3)

o, dividiendo por Arj,

Aa 02Y t^"dt,

=

tY\z

(4)

/ \*) iF Al tomar el límite cuando A¡

azY

.- 0. tenemos

=

S{r."na}

(5)

dYl0n

Como

,/t + tx¡W

la ecuación (5)

se puede

, / aY\z azr - \d, / ¡¡

(6)

Para simplificar esta ecuación, suponemos que la oscilación es pequeña de modo que la pendiente dYlilx valor absoluto comparado con l. Por tanto (6Y/0r)z es despreciable en comparación con l, v (6) se convierte en azy ay\ a /- 'a, = 0) ' es pequeña en

at2

a" \t'

)

Si posteriormente suponemos que la tensión ? es constante a lo largo de la cuerda y que d también lo es, (7) se puede expresar como

Azy

dtz =

^Azy "" aa

(8)

donde c2 : T/o. A menos que se especifique lo contrario, utiliza¡emos la ecuación (8) en la oscilación de una cuerda.

8.11. Hallar la ecuación gravedad.

del problema 8.10 si la cuerda es horizontal y se tiene en cuenta la

En este caso debemos agregar al lado derecho de la ecuación (3) del problema 8.10 la fuerza sobre el elemento debida a la gravedad

_rng =

_o

LB

gi

El efecto de esto es remplazar la ecuación (8) del problema g.l0 por

#

= "'#-o

SERIES DE FOURIER

a-12.

Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones.

| 3 0(o(6 _5(c(0

(a)f(r) =t_g

, ?eríodo:10

APLICACIONES A STSTEMAS OSCIANTES. COHETES Y COLISIONES

204

IcAP.

8

l(r) I

+

Período

-

Fig. t-15 Puesto que el período es 10, la porción de la gráfica de -5 ( ¡ ( 5 (línea gruesa en la figura 8.15) se extiende periódicamente por fuera de este intervalo de variación (línea a trazos). Nótese aue /(¡) no está definida en .r : 0,5, -5, f0, -f0, 15, -15, etc. Estos son los valores de discr¡n-

tinuidad de f(x).

(b) /(c)

fsettc 0 - \v=1 ^,ri)", ,l

N

en

donde

to a AB.

I = 2 ^rrl v:l

=

trl""

es el momento de inercia con ¡espec-

El resultado también hubie¡a podido demostrarse por tegración de la sumatoria.

9.f6.

in-

Fig.9-23

Demostrar que el momentum angular del cuerpo rígido del problema 9.15 está dado

por O =

.ft0.

El momentum angular de la particula P con respecto al eje AB es mrrzrn. Entonces el momentum angular total de todas las partículas con ¡especto al eje AB es N

O = v=l)m,fi.

=

(5-,d). = ro \v=l

/

N

donde

r? f = 2 ^r

es el momento de

inercia alrededor de AB'

Este resultado podría haberse demostrado por integración en lugar de la sumatoria.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO CON RESPECTO A UN EJE FIJO 9.17. Demostrar el principio de momentum angular para un cuerpo rígido

que

rota

con

respecto a un eje fijo (teorema 9.6).

L

Por el problema 7.12, como un cuerpo rígido es el caso especial de un sistema de partículas, = dAldt A es el momento de todas las fuerzas externas con respecto al eje y O es el momentum angular to-

donde

tal con respecto al eje. Como

9.18.

O:

Iútporelp¡oblema9.l6,

¡ = fiO.l = I# =

ür.

Demostrar el principio de la conservación de la energía para un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje fijo (teorema 9.7), siempre y cuando que las fuerzas que actúan sean conservativas. El principio de la conservación de la energía se aplica a cualquier sistema de partículas en que las fue¡zas que actúen sean conservativas. De aquí que en particular se aplica al caso especial de un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje fijo. Si T y V son las energías cinética y potencial totales, tenemos entonces

Empleando el resultado del problema

T*V = constante: E 9.15, podemos escribir |It' i

V

:

E.

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

237

TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO 9'r9' Demostrar la ecuación (f2) del trabajo realizado al rotar un cuerpo rígido con to a un eje fijo. consideremos la figura 9-4. sea la velocidad angular de un cuerpo o unita¡io en la di¡ección del eje de rotación. El trabajo reilizado po. F

dW

= F.dr = n.fiat = F.vitt =

: ok

donde

k

respec-

es un vector

".

F.(oxr)dú

= (rXF).odú = A.odt = Lod,t = A=Ak, o=rk y o: d\/dt.

Ld¿

en los dos últimos pasos empleamos

9'2o.

Demostrar la ecuación (rJ) de ra potencia desarrolada.

: o, ?=dwldt=Ade/dt=Lo

Del problema 9.19 y del hecho que d0 /dt

9.21.

Demostrar el teorema g.g.

,",rurrl".tt-ot

L=Ido/dt

Trabajo realizado

9'22'

asÍque

odt,

no, = f'" ,ff,., = -ft' _ +16l ue, 2--z Jr, clt - = J^, f"" rro, = tlr?

Demostrar el teorema g.9: angular.

?tz I ut,

9'23'

A= I&¡/dt, Entoncesdelproblemag.lgydelhechoque d0:

El impulso angular es igual al cambio del momentum

Lat = Jt,(,|

dO dt

-

=dt

= oz_or

Demostrar el teorema 9.10 de la conservación del momentum angular si el momen-

to de fuerza neto es cero.

Del problema 9.22, si A = 0 entonces O2

_ O1.

EL PENDULO COMPUESTO

9.24.

Obtener la ecuación de movimiento (17), de un péndulo compuesto. Método l. Supongamos que el plano vertical de vib¡ación es eI ry (figura 9-24) en donde el eje z que pasa por el ori_ gen O es el eje horizontal de suspensión.

plano

Sea a el vecto¡ de posición de C con relación a 0. Co. mo el cuerpo es rígido, I a | : o es constante y es la distan.

ciaent¡e Oy

C.

La única fuerza erte¡na que actúa sobre el cuerpo es su

peso Mg : - MSi que actúa verticalmente hacia abajo. Por tanto, tenemos

A = = donde

k

momentototalexternoconrespectoaz

aX Mg

es un vecto¡

- -arfgj

=

aMg

sene

k

(f)

Fig.9-24

unitario en la dirección z positiva (hacia afuera del plano del papel, hacia el lector).

También la velocidad angular instantánea

es

¿le' o = -ak = -EK = -'¡r luego si Iq es el momento de inercia con respecto al eje z

\2)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

238

O=

momentum angular con respecto

Sustituyendo de (I) y (2) en

La fuerza MS

: -

MCj

eje

e

z = Io¡ = -foák

A = dA/d't,

oMssenek Mótodo 2.

al

lcAP.

es

.1

= h_Iobil

í+ff""nc = o

o

(3)

conservativa, entonces la energía potencial V es tal que

= -Mci

-vv = -{t-#t-#*

.

#=0,#=Mg, #=o

V = Mga I c = -Mgacosc * c

endonde ya que y : -o

V)

cos0. Esto se pudo haber observado directamente debido a que de C por debajo del eje r que se toma como nivel de referencia. Según el problema 9.15, la energía cinética de rotación de la conservación de la energía conduce a

T+V

es

= lloiz-Mgacoae =

{1so2

y : -¿

cos0 es la altura

= +Io;)2, Entonces el principio

constante

= E

(5)

Diferenciando la ecuación (5) con respecto a ú,

+ Msa*ne á = o fsT+ futgo sen, = 0 como se requiere' Ioi-'r.

o,como inoesigualacero,

9.26.

Demostrar que para pequeñas vibraciones el péndulo del problem a 9.24 tiene período

P

:2"\/Wm.

Cuando las vibraciones son pequeñas podemos hacer la aproximación sen

del movimiento se convierte en

:

0, entonces la ecuación

'i+M!o, = o I6

(1)

Por tanto, como en el problema 4.23, encontramos que el período es P

9.28.

C

: 2,t/7Wá'

Demostrar que la longitud I de un péndulo simple equivalente al péndulo compuesto del problema 9.24 es

I:

Io

/Ma.

La ecuación del movimiento correspondiente a un péndulo simple de longitud I suspendido verticalmente de O es (véase el problema 4.23, ecuación (2))

ü+f.""e = 0 Comparando esta ecuación con (/) del problema 9.25 vemos que I

:

(l) Io/Ma.

MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO g.27. Demostrar el principio del momentum lineal, teorema 9.12, en el movimiento general de un cuerpo rígido en el plano. Se demuegt¡a inmediatamente del teorema conespondiente de sistemas de partículas (teorema ?.1) debido a que los arerpos rígidos son casos especiales.

9.28.

Demostrar el principio del momentum angular, teorema 9.13, en el movimiento general de un cuerpo rígido en el plano. Se demuestra

que los cuerpos

inmediatamente del teorema correspondiente de sistemas de partículas (teorema 7.4), ya

ígidos

son casos especiales.

cAP. ei

9.29.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

239

Un cilindro sólido de radio a y masa M rueda sin deslizarse por un plano inclinado de ángulo a. Demostrar que la aceleración es constante e igual a tg sen c. Supongamos que inicialmente el cilindro está en contacto con el punto O del plano y que después de un tiempo t el cilind¡o ha rotado un ángulo c (figura 9-%).

Las fuerzas que actúan sobre el cilind¡o en el instante t son: (i) el peso Mg que actúa verticalmente hacia abajo en el centro de masa C; (ii) la reacción R del plano inclinado que actúa perpendicularmente al plano; (lli) la fuerza de rozamiento f que actúa hacia ar¡iba en Ia dirección del plano.

ü

Fig.9-25

Escojamos el plano ry como el plano en el que se efectúa el movimiento, en donde el eje sitivo hacia abajo del plano y el origen en O.

Si r es la posición del centro de masa en el instante momentum lineal,

r

se toma po-

por el principio de la conservación del

ú, entonces

Mí = Mg*R tf Pero g

:

g senai

- gcosaj,

(r)

: ftj, f : - fi.Portanto(I)puedeescribirse M2; = (Mg sena - /)i + (R - Mg cosa)i R

e)

EI momento externo total con respecto al eje horizontal que pasa por el centro de masa es

A = |xMg +0xR+CBxf

= CBxf F (-oj)x(-/i) = -aÍk

El momentum angular total con respecto al eje horizontal

(J)

que pasa por el centro de masa es

a = Ico = /c(-;k) = -Ici)k

(4)

donde fs es el momento de inercia del cilindro con respecto a este eje.

Sustituyendo (3) v (a) en

A = clo/d.t,

encontramos -alk - -IcTk o Isl; = of . r : ¡i * yj en (2), obtenemos Mt = Mgsena-f, (5) MÜ = R-Mgcosa Ahora, si no hay deslizamier¡to, x : aC o 0 : x/a. Del mismo modo, como el cilind¡o pe¡manece sobre el plano inclinado, Í : 0; pot tanto, de (5), n : Mgcos a. Empleando 0: x/a en I-"?i: o¡f, tenemos f : Ic'i/a2. Delproblemag.4, Ic: iMa2. Entonces sustituyendo f : ItM'; en la primera ecuación de (5), obtenemos i : lg sen o como se requería.

Usando

9.3O. Demostrar que en el problema 9.29 el coeficiente

de rozamiento debe ser por lo menos

I tan a. El coeficiente de rozamiento es p: l/R. Delproblema9.29tenemos

miento p debe ser por lo menos

9.31.

f : iMí: trMgsena y R: /R : I tan a.

Mgcosc. Luegopa¡aquenohayadesliza-

f

)

Hacer el problema 9.29 si el coeficiente de rozamiento entre el cilindro y el plano inclinado es p. (ó) Discutir el movimiento para diferentes valores de p. (o

(¿)

En la ecuación (5) del problema 9.29 sustituimos

/:

pR

-

pj/'/gcosd y obtenemos

.? - g(sena-pcosa) Observamos que en este caso el centro de masa se mueve de la misma forma que una particula que desciende por el plano inclinado. Sin embargo, el cilindro puede tanto desliza¡se como rodar.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

240

La aceleración al ¡odar

""

o'i = I = tC

La aceleración debida al deslizamiento

es

a2pllIg cosa

tMo'

tr-ae

=

lcAP.

e

2Fg cosa.

= g(senc

-

3p cosc).

(ó) Si (seno- Spcosa) > 0, esdecir, p < jtana, entonceshaydeslizamiento. Si (senc - 3pcosc) S 0, es decir, p 2 |tana, entonces hay rodamiento pero no deslizamiento. Estos resultados son consistentes con los del problema 9.30.

9.32.

Demostrar el principio de la conservación de la energía (teorema 9.14). Se dernuest¡a del teorema correspondiente de un sistema de partículas (teorema 7.7). La energía cinética total ? es la suma de la energía cinética de traslación del cent¡o de masa más la energía cinética de rotación alrededor del centro de masa. esto es,

T - lmiz*llso2 Si Ves la energía potencial, entonces el principio de la conse¡vación de la es constante,

9.33.

T*V = $mlz+ll¿o2-tV =

energía establece que

si E

E

Hacer el problema 9.29 aplicando el principio de la conservación de la energía. La energía potencial está compuesta de la energía potencial debida a las fuerzas externas (en este caso

la gravedad) y la energía potencial debida a las fue¡zas inte¡nas (que es una constante y puede omitirse). Tomando como nivel de referencia la base del plano y suponiendo que inicialmente la altura del centro de masa es H y que en cualquier instante t es h, tenemos

+Mi2+llsoztMgh = MgH o remplazando H- h: ¡seno y iz=iz+ú'=;t' como!-0, +Miz+*Icrz - Mgrsena Sustituyendo ,¡ = ó = i/a y I" : lMa2, encontramos i, - tg, sena. Diferenciando a ü obtenemos 't =fiosena o 2iü={o&un"

con respecto

CENTRO INSTANTANEO. CENTRODES ESPACIAL Y DEL CUERPO 9.34. Encontrar el vector de posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en mou vimiento paralelo a un plano fijo dado. Escogemos el plano

plano fijo y el plano

XY de la figura

g-26 como el

ry fijo al cuerpo rígido (.

y que se mueve con é1. Supongamos que el punto P del plano ry (que puede estar o no en el cuerpo rígido) tenga vectores de posición R y r con respecto a los planos y xy. Si v y v¡ son las velocidades respectivas de P y A relativas al sistema XY

XY

v=vA * ¡Xr = v¡ * ox(B-B¡)

(1)

R¡ es el vector de posición de A ¡elativo a O. Si P es el centro instantáneo, entonces v : O luego

donde

ox(B-B¡) = -v¡

e)

Multiplicando ambos lados de (2) por . X como se indica y usando (7), o{o' (R - R¿)} - (R -

Fig.9-26

B¡X"' t) = -.

a R - R^, se trasforma en (R-R¡)o2 = oXvA o R=

X ve

Entonces como ó es perpendicular

Re*a+

(3)

cAP. el

9.35.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

241

Un cilindro se mueve sobre un plano horizontal. Hallar: (o) el centrode espacial, (ó) el centrode del cuerpo. Discutir el caso en que haya deslizamiento. (o) El movimiento

general conesponde al caso en el

cual el cuerpo rueda y se desliza. Supongamos que el cilindrc se mueve hacia la derecha con velocidad v¡ (la velocidad de su cent¡o de masa) y está ¡otando alrededo¡ de A con veloci_ dad angular o. Ya que ó : -ok y v¡ : u¡i, tenemos -outi así que (3) del problema

o X vi :

9.34 se convierte en

)i R=R¡-j-:.o..=Ro-fj (,na

1)

t Fig.9-27

En forma de componentes,

Xi +

Yj = Xti *

ai

- @t/u)i

o

X = X* Y = a-a¡/o

Así el centro instantáneo está localizado verticalmente arriba del punto de contacto del cilindro con el plano y a una altu¡a a - ut/o sob¡e é1.

Entoncés el centrode espacial es una línea paralela al plano ho¡izontal y a una distancia ¿sob¡e éste. Si no hay deslizamiento, entonces uA : a6 y el centrode espacial es el eje X mientras que el centro instantá¡reo es el punto de contacto del cilindro con el eje X.

u^/o

(ó) El centrode

del cuerpo está dado por lrl : uo/t, o un círculo de ¡adio uo/o. En caso de que no haya deslizamiento, Do : ao y el centrode del cuerpo es la ci¡cunfe¡encia del cilindro.

9.36.

Hacer el problema 9.29 usando el centro instantáneo. Según el problema g.35, si no hay deslizamiento entonces el punto P de contacto del cilind¡o con el plano es el centro instantáneo. El movimiento de p

es paralelo al movimiento del centro de masa así que podemos usar el resultado del problema ?.g6(c).

El momento de inercia del cilindro con respecto a P, según el teo¡ema de los ejes paralelos,

Ma2

es trMa2 I al eje ho-

NMa2. El momento con respecto rizontal que pasa por p es Mga sen a. Así

-

r'*:':;,:::*"' d

"

d = sen, 3.: Ya que x : a0, la aceleración es ü= |0sene,

Fig.9-2E

ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO 9.37. Una escalera de longitud I y peso lZ¡ tiene un extremo contra una pared vertical sin rozamiento y el otro extremo sobre el piso, que suponemos es horizontal. La escalera forma un ángulo d con el piso. Demostrar que una persona de peso IV_ podrá escalar sin que la escalera se deslice si el mínimo coeficiente de rozamiento ¡¡ entre la escalera y el piso

""

ffiffi

"ot,.

Representemos la escalera por AB en la figura 9_2g y seleccionemos un sistema de coo¡denadas ¡y como se indica.

Fis.9.29

lcAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

242

e

se deslice corresponde a cuando la persona está en el extremo en este caso que la escalera debe estar en equilibrio. en cuenta tene¡ tanto, debemos Por superior de ella.

La situación crítica para que la escalera

: Rri de la pared; (ii) el peso en el centro de graveconcent¡ado de la escalera (iii) peso Tf, persona; el = -Wí de Ia dad C; (iu) la reacción R, : Rzj del piso; (u) Ia fuerza de rozamiento f : 'fi' Las fuerzas que actúan sobre la escalera son: (i) la reacción Rr

W. : W.j

En el equilibrio se requiere que

A=0 donde F es la fueua extema total sobre la escalera y A el momento

(l)

F=0,

extemo total con respecto a un

eje conveniente el cual se tomará como el eje borizonta! que pasa por A y perpendicular al plano ry'

F= st

También,

Br+W-+Wr*&*f = (Rr-fli+(-W^-W*BLli Rt-f =O y -W^-WtIRz=0

0

Q)

(0)xnr + (0)xWn + (AC)xWr + (AB)x& + (AB)xt (0) x (Rri) + (0)x (-W^i) * (|l cos ai - $l senc j)x (-Wd) * (l cosa i - | sena i) x (Rgi) * (t coe qi - lsen a j) x (-/i) = -tlWrcosck * lE2cosak- lfsenak = 0

= ^ =

si

-$W¡cosa*R2costt-/sena

=

(3)

0

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) v (3)' encontramos

f = Rt = (W^*$W¡)cota t

Rz

= lil^*Wt

Entonces el coeficiente mínimo de rozamiento necesario para evitar que se deslice la escalera es

w^* twt f tt = 4 = fillficota

PROBLEMAS VARIOS g.88. Dos masas mt y mz se unen mediante una cuerda inextensible de masa despreciable la cual pasa sobre una polea sin rozamiento de masa M' radio a y radio de giro K la cual puede rotar con respecto a un eje que pasa por c y es perpendicular a la polea. Discutir el movimiento. Escojamos los vectores unitarios i y j en el plano de rotación como se muestra en la figura

9-30.

aceleración de la masa Si representamos entonces la aceleración de la masa mz es -Ai,

la

Aj, se

m¡

por

Escojamos las tensiones Tr Y T: en Ia cuerda como indica en la figura. De acuerdo con la segunda ley de Newton,

mtAi - T1 *

-m,Ai = Así o

Tz

*

m1g

= -Tti*múi

rn2g

=

= t1\! - Ty Tt = mlg-Al,

m1A

-Tr1

* m2Pi

= Tz-nzg T, = m"(g * A\

m2A

(r) QI (3)

V)

El momento externo total con respecto al eje que pasa por C es A = (-oi) x (-rri) + (oi) x (-fd)

Fis.9-30

=

a(T1- T2lk

(5)

El momentum angular total con respecto a O es

O=fco=lcr¡k=Icilk Ya que

l, = d0/dt,

determinamos de (5)

y

(6)

(6)'

a(Tt- Tzl = Ici = MIP'|

(7)

CAP.

9I

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

243

Si no hay deslizamiento sobre la polea, también tenemos (8)

Usando (8) en (7),

(e)

Usando (a) en (9),

(10)

Entonces las masas se mueven con acele¡ación constante cuya magnitud está dada por (10). Nótese que se reduce al problema 8.22.

si M : 0 el resultado (I0)

9.39.

Determinar el momento de inercia de una esfera sólida con respecto a un diámetro. Sea O el cent¡o de la esfera y AOB el diámetro con ¡especto al cual se toma el momento de inercia (figura 9-31). Dividimos la esfe¡a en discos tales como enS?e perpendiculares a AOB y con centro sobre AOB en P. Tomamos el ¡adio de la esfe¡a igual a

a, Op:

z,

SP : r y el espesor del disco igual a dz. Entonces, según el problema 9.4 el momento de inercia del disco con respecto a AOB

es

l2(rr2o d,z)rz

- $to/ dz

(I)

Del triángulo OSP, r2 : a2 - 22. Sustituyendo en (I), el momento de ine¡cia total es

I -

fa

| Jt=

-o

-ln"(a2

-

z2)2

Fig.9-31

dz = ftroas

(2)

La masa de la esfe¡a es

M = )

/4

ro(o2

-

z2)

dz = f,raso

(J)

,;;"ndo en cuenta que el volumen de la "b,.""r, (3) : y tenemos I/M taz o I : lMaz.

resultado que habríamos podido

De (2)

esfera es fza8.

9,4O. Un cubo de lado s y masa M

se suspende verticalmente de uno de sus lados. (o) Demostrar que el período para pequeñas oscilaciones es P : 2r{2V;nE. (b) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente?

(

o)

Ya que la diagonal de un cuad¡ado de lado s tiene una longitud \/T# : sVZ, la distancia OC desde el eje O hasta el centro de masa es |sVZ.

El momento de inercia f de un cubo con respecto a uno de sus lados al de una placa cuadrada con respecto a un lado. Entonces según

es igual

el problema 9.6,

1:

áM(s,

*

s2)

:

?Ms2.

De acr¡erdo con el problema 9.25, el período para pequeñas oscilaclones es,

P= (ó)

2¡

Por el problema 9.26, la longitud del péndulo simple equivalente es

|= 9.4I.

r,[eM'Wc$'$n = ztw\/ilsc lMsz/[MQ¿"{l¡]

=

fri/2

Fig.9-32

e

Demostrar el teorema 9.11: El período de pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto es mínimo cuando la distancia OC : o es igual al radio de giro del cuerpo con respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de masa. Si Is es el momento de ine¡cia con respecto al eje del centro de masa e

^fe

el momento de inercia

con respecto al eje de suspensión, entonces de acuerdo con el teorema de los ejes paralelos tenemos

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

244

lcAP.

I

Io = IcIMoz Entonces el cuadrado del período para pequeñas oscilaciones es

4¡2In P2=Er;= donde

Ki = Ic/M

es el cuadrado del

Ic , \ 4r2/K3 = o\"*") \ c\M"*")

4¡2/

radio de giro con respecto al eje del centro de masa.

Derivando P2 con respecto a o e igualando a cero, obtenemos

f,

üe\ = 4(-4*r\ T\--a*,,

de donde

a : Kc. Se puede demostrar

=

o

que es uh mínimo ya que d'(P2)/da'z

<

0. Así el teorema

queda demostrado. El teorema también es válido aunque no se supongan pequeñas las oscilaciones. Véase el problema 9.147.

9.42.

Una esfera de radio o y masa m reposa en la parte superior de una esfera rugosa fija de radio b. La primera esfera se desplaza ligeramente de su posición de manera que rueda sin deslizarse hacia abajo sobre la segunda esfera. ¿En qué punto abandonará la primera esfera a la segunda? Escojamos el plano ry tal que pase por los centros de las dos esferas, de modo que su origen O coincida con el centro de la esfe¡a fija O (figura 9-33). La posición del centro de masa C de la primera esfera está localizado por un ángulo 0, y supongamos que el cent¡o de masa C con respecto a O está localizado por el vector de posición r. Sean rr Y 0r vectores unitarios como se indican en la figura 9-33. en sus comDescomponiendo el peso W : ^gi (compaponentes en las direccion€s r¡ ] C¡ tenemos re con el problema 1.43)

W = (W.r1)r1+(W.rr)rr tt - fng CoS, ,l La fuerza de reacción es N : Nr¡ y la de rozamiento f : fCt Usando el teorema 9.12, junto = -rng

sen C

con el resultado del problema 1.49, tenemos

F=

rnL

Fis.9-39

= mÍ(; - r'ezlr, + 1rT + Zíó¡e = W+N+f = (N - mg send)r, + (f - mg cosorCr ,1

m(ri+Z|ól = f -mgcosl m('i-r'ez¡ = N-mgsenc, delocual Yaque r: a * b (distanciade Ca O),estasecuacionesseconvie¡tenen m(a|bl'i = f -mgcose -rn(a+b)'c2 = N-tngsenc,

(l)

Ahora aplicamos el teorema 9.f3. El momento total externo de todas las fue¡zas con respecto al centro de masa C es (ya que W y N pasan por C),

A = (-orr)xf

= (-or1)x(/Cl) = -alk

También, la acele¡ación angular de la primera eslera con respecto a C

es

d2,

d = -f*to+vlu = -tii+ülr Ya que sólo rueda y no desliza, el arco AP es igual al arco BP (b/al("/2 - d), así que

o bó : orl,.Entonces

o = -(t+ü)k = -(-r-*o)n

=

/ a + b\..-

\ " )'"

Q=r/2-c y 9=

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

245

Como el momento de inercia de la primera esfe¡a con ¡especto al eje horizontal de rotación que Fasa po¡ C es I : lmaz, tenemos por el teorema g.13,

A.

= Iq,

Usando este valo¡ de

/ en la

-úfk =

segunda ecuación de

Multiplicandoa ambosladospor

o

g: ¡/2,

o

*n"r(ff);x (I),

| = -lm(o*eT

encontramos

6s cosr A - - TGTTI ^^^^

i

(2)

e integrando,despuésdeusa¡lacondicióndeque

encontramos

iz = =lg;t (1 7(¿ * ó) .- -

sen

í:0

en

e)

ú:0 (3)

Usando (3) en la primera de las ecuaciones (I ) obtenemos N : I*C G7:sen , - | 10). Entonces la primera esfera abandona a la segunda esfera cuando N : 0, esto es cuando d sen- Lo/17.

Problemas propuestos CUERPOS RIGIDOS

9.43.

Demostra¡ que el movimiento por el cual la región f( lle_ ga a la región j(, de la figura 9-34 puede hace¡se por me. dio de una t¡aslación más una ¡otación con respecto a un eje conveniente.

9.44.

Hace¡ el problema 9.1 haciendo primero una traslación del punto A del triángulo ABC.

9.45.

Si 4,, Ar,

A¿ r€p¡esentan las ¡otaciones de un cuerpo rígido con ¡especto a los ejes x, y y z respectivamente, ¿secumple la ley asociativa, esto es, es A, + (A, + A")

: (A' + A") + A,? Justificar la

respuesta.

Fis.9-M

MOMENTOS DE INERCIA

9.46.

Trespartículasdemasass,Sy2estáncolocadasenlospuntos(-1,0, 1),(2,-1,3) y (-2,2,L),respectiva-

mente. Encont¡ar: (o) el momento de inercia, y (ó) el radio de giro con respecto al eje r. Resp. 7I 9'47

'

9'48'

Encontrar el momento de inercia del sistema de particulas del problema 9.46 con respecto: (a) al ejey, (ó) al eje z. Resp. (a) 81, (b) 44 Determinar el momento de inercia de una va¡illa uniforme de longitud I con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por: (o) el cent¡o de masa, (b) un extremo, (c) un punto que d,ista t/4 de un extremo. Resp. (a)

#MIr,

(b, +M12, (c)

tÚt2

9'49'

Dete¡mina¡ el: (o) momento de inercia, y (b) radio de giro de un cuadrado de lado a con respecto a una diagonal. Resp. (a) #Mot, (A) t"y'5

9'5O' 9'51'

Determina¡ el momento de ine¡cia de un cubo de arista con ¡especto a una arista. Resp. !Ma2 Dete¡mina¡ el momento de inercia de una placa rectangular de laios o y ó con respecto a una diagonal. Resp. fMazb2l(az + b2')

9'52.

Determinar el momento de ine¡cia de un paralelogramo de lados a y b que forma un ángulo c, con respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. Resp. *M(o" + ó2) sen2 o

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

246 9.53.

Determina¡ el momento de inercia de un cubo de lado o con respecto a una diagonal.

9.54.

Determina¡ el momento de inercia de un cilindro de radio a y altura h con respecto a un eje paralelo al eje del cilindro y a una distancia b de su cent¡o. Resp. trM(a2 * 2b2)

9.55.

Un sólido de densidad constante está formado por un cilindro de radio a y altu¡a h y un hemisferio de ¡adio o como se muest¡a en la figura 9-35. Determinar el momento de inercia con respecto a un eje vertical que pasa por sus centros. Resp. M(2a3 + l5a'h)/(10¿ * l5h)

9.56.

9.5?.

lcAP.

9

T I

h I

_l_

Hace¡ el problema 9.55 si el cilind¡o se remplaza po¡ un cono de ¡adio o y altura h.

Dete¡rninar el momento de inercia de una región sólida uniforme li-

mitada por el paraboloide cz : x2 I y2 y el plano z : h Resp. IMch respecto al eje z.

con

Fie.9-35

definir el momento de inercia de un sólido con respecto a: (o) un punto? (b) un plano? ¿Tienen significado fisico estos resultados? Explicar.

9.58.

¿Cómo puede

9.59.

Usar las definiciones del problema 9.58 para determinar el momento de inercia de un cubo de lado o con respecto a: (¿) un vértice, y (b) una cara. 8esp. (o) Ma2, (b) trMa2

ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR 9.60. Una varilla uniforme, de longitud 2 pies y masa 6 lb, rota con velocidad angular de 10 radianes por

se-

gundo con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro. Determinar la energía cinética

de

rotación. Resp. 100 p2 lb/segz.

9.61.

Hacer el problema 9.6O si el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por uno de sus ext¡emos. Rcsp. 400 p2 lb/seg2.

9.62.

Un disco cilíndrico hueco de radio ¿ y masa M rueda por un plano horizontal con rapidez u. Determinar Resp. Mu2 la energía cinética total.

9.63.

Hacer el problema 9.62 para un disco cilíndrico sólido de radio

9.64.

Un volante que tiene un ¡adio de giro de 2 metros y masa

9.65.

Encontra¡ el momentum angular de: (o) la varilla del problema 9.60, (ó) el volante del problema Resp. (c) 5 p2 lb,/seg, (ó) 200 m2 kg/seg

9.66.

Probar el resultado: (o) del problema 9.15, (ó) del p¡oblema 9.16, usando integrales en lugar de sumato'

o.

Resp. lMu2

10 kilogramos

rota con velocidad angular de

5 radianes,/seg con respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su cent¡o. Encontrar la energÍa cinética de rotación. Besp. 1000 julios 9.64.

r¡as.

9.67.

Hallar un "teorema de ejes paralelos" de: (a) la energía cinética, y (b) el momentum angular y explicar el significado fisico.

MOVIMIENTO DE UN CUERPIO RIGIDO. PENDULO COMPUESTO. TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO 9.68. Una fuerza de magnitud constante Fo se aplica tangencialmente a un volante que puede rota¡ con respecto a un eje fijo perpendicular a él y que pasa por su centro. Si el volante tiene un radio a, radio de giro K y masa M, demostrar que la aceleración angular está dada por Fsa/MK2'

9.69.

angular oq ¿Cuánto tiempo trascurre antes de que el volante del problema 9.68 alcance una velocidad

si parte del reposo? Resp. MK2o¡/Fsa

cAP. el

S'7O.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

247

Suponiendo que el volante del problema 9.68 parte del reposo, encontrar: (o) el trabajo total realizado, (ó) la potencia total desarrollada, y (c) el impulso total aplicado para adquirir la velocidad angular @0. Resp. (a\ *MKr&o, (b) F¡ao¡ @) MI?os

g-71.

Hacer: (o) el problema 9.6E, (b) el problema 9.69, y (c) el problema 9.70, si Fo tro, K : 0,5 metros, M : 20 kilogramos y oo : 20 radianes,/geg. Resp. (a) 2tad/seg2; (ó) 10 seg; (c) 25Ojulios, 200 julios,/seg, 100newton seg

s'72'

Determinar el peúodo de vibraciones pequeñas para un péndulo simple suponiendo que la cue¡da que sostiene la masa m

se

remplaza por una varilla uniforme de longitud I y masa

10

newton, o

Resp. 2n

: I me-

2(M

Ilm\l

W,4

+r^)s

9.73.

Discutir los casos: (a)

S'74'

Una placa rectangular, con lados de longitud a y b, cuelga verticalmente del lado de longitud o. (o) Determinar el período para oscilaciones pequeñas, y (b) la lóngitud del péndulo simple equñalente. Resp.

M:

M.

:

0, V (b) m

: 0 en el problema 9.72.

(a) zTVZFBEI $) tb

9'76'

Una esfe¡a sólida uniforme de ¡adio ¿ y masa M se suspende verticalmente de un punto sobre su supe¡ficie' Encont¡ar: (a) el peíodo para oscilaciones pequeñas en un plano, (b) la longitud del péndulo simple equivalente. Resp. (a) 2*yTl6g, ft) 7a/5

9'76'

Un yo-yo se compone de un cilindro de

80 g

de masa alrededor del cual se enrolla una cuerda de 60 cm de

longitud. Si el extremo de la cuerda se mantiene fijo y el yo-yo se deja caer verticalmente, partiendo del relDso' determina¡ su rapidez cuando llega al extremo de la cuerda. Resp. 2t0 cm/seg

9-77,

Encontrar la tensión en la cuerda del problema

9.78.

un disco cilíndrico

g.76.

Be.sp. 19.600 dinas

hueco de masa M que se mueve con rapidez constana un plano inclinado de Angulo a. Demostra¡ que si no hay deslizamiento llegará a una distancia a2r/(g sen o).

tc u6 llega

9.79. si el disco hueco del problema g.7g se remplaza por un disco sólido, ¿a qué altura llegará? Resp. g u2o/6C sen a). gao. En la figura g-36 se muestra una polea sin rozamiento de 0,2 metros de radio y 0,1 metros de radio de giro. ¿cuál es la aceleración de la masa de 5 kg? Resp. 2,45 m/seg2

5kg

Fig.9-36

CENTBO INSTANTANEO. CENTRO}ES ESPACIAL Y DEL CUERPO Una escalera de longitud I se mueve en tal forma que uno de sus extremos está sobre una pared vertical y el otro sobre el piso horizontal. Encont¡ar: (a) el centrode espacial, (b) el centrode del cuerpo.

g'Er'

Resp. (a) Un círculo de radio I con centro en el punto O donde el piso y la pared se unen. (b) Un cfrculo cuyo diámetro es la escalera

9.42.

Una varilla de longitud AB se mueve en tal forma que permanece en contacto con el extremo superior de un poste de altura h rnientras su pie I se mueve sobre la línea horizontal CD (figura 9-3?). Suponiendo que el moviniento es en un plano, determinar el cent¡o instantáneo.

9.83.

¿Cuál es el: (o) centrode del cuerpo? y (b) centrode espa_ cial en el problema 9.82?

9.84.

Hacer los probtemas 9.82 y g.g3 si el poste se remplaza

un cilindro fijo de radio

por

o.

C

Fig.9-37

ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO

9'86'

Una escale¡a uniforme de peso t7y longitud J tiene su parte euperior cont¡a una pared lisa y su pie sobre un piso que tiene coeficiente de rozamiento p. (a) Encontrar el menor ángulo o que la escalera puede hacer con la horizontal y permanecer en equilibrio. (ó) haber equilibrio si p : 0? Explicar. ¿Puede

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

248

tcAP.

e

9.86.

Hacer el problema 9.85 si la pared tiene un coeficiente de rozamiento ¡¡.

9.87.

En la figura 9-38, AB es una ba¡ra uniforme de longitud I y peso lrfl que está soportada en C. Se colocan pesos W¡ en Ay W2 en D en tal forma que AC : a y CD: ó. ¿En qué punto debe colocarse un peso Wa para que el sistema esté en equilibrio?

wr ws

w,

D nc AADB

c

f-l

D

Fig.9-39

Fig.9-3t

9.88.

Una placa delgada de forma triangular y uniforme cuelga desde un punto fijo O por medio de las cuerdas OA, OB y OC de longitudes a, b y c respectivamente. Demostra¡ que las teneiones 71, T2 y Ts en las cue¡das son tales que T1/a: T2/b: Ts/c.

9.89,

Una tabla uniforme AB de longitud I y peso I;f se apoya en los puntos C y D que distan o de A y b de8, respectivamente (figu¡a 9-39). Determinar las respectivas fuerzas de ¡eacción en C y D.

9.9O.

En la figura 9-4ll., OA y OB son va¡illas unifo¡mes que tienen la misma densidad y que están unidas en O así que AOB forma ángulo recto. El sistema se soporta en O tal que AOB pstá en un plano vertical. Encontrar los ángulos a y p para que haya equilibrio. Resp. a: tan- | (a/b), fl : r/2 - ,^n- r (a/b)

Fis.9-40

PROBLEMAS VARIOS

9.91.

Un cilindro ci¡cular tiene ¡adio ¿ y altura h. Demostrar que el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular al eje del cilind¡o y que pasa por el centroide es $M1h2 * 3c2).

9.92.

Demostrar que el efecto de una fue¡za sobre un cuerpo ígido no cambia si Ia fuerza se desliza a lo largo de su línea de acción.

9.93.

Un cilindro de radio o y radio de giro K rueda sin deslizarse hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c y de longitud l. Si el cilindro parte del reposo en Ia parte superior del plano inclinado, demostrar que

cuandollegaalapartemásbajadelplanolarapidezse¡Affi. 9.94.

A un cilindro que reposa sobre la parte superior de un cilindro, fijo se le aplica un pequeño desplazamiento en tal fo¡ma que rueda sin deslizarse. Determina¡ en qué punto abandona al cilindro fijo. Resp. 0 : sen- | 4h donde 0 se mide como se indica en la figura 9-33

9.96.

Hace¡ el problema 9.42 si se aplica a la esfera una velocid.¿d uo.

9.96.

Hace¡ el problema 9.94 si al cilind¡o se aplica una rapidez inicial uo'

g.g7.

Una esfera de radio o y radio de giro K con ¡especto a un diámetro rueda hacia abajo sin deslizarge sobre un plano inclinado un ángulo a. Demostrar que desciende con una acele¡ación constante dada por (go2 sen o)/(a2 * K2).

9.98.

Hacer el problema 9.97 si la esfe¡a es: (o) sólida, (ó) hueca y de espesor despreciable. Resp. (o) f/ sen o, (ó) *g sen

"

9.99.

Una esfera hueca tiene radio interior o y radio exterior b. Demostra¡ que si M es su masa, entonces el mo' mento de inercia con ¡especto a un eje que pasa po¡ su centro es

* * z"( aa 1 a8ba2*obIb2 a2b2

Discutirloscasos enque b

: 0Ya:

b.

¿bs

*

ü4\

-l

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

9.lOO.

Bloques de madera de la misma forma rectangular ee colocan uno gobre ot¡o como se indican en la figu_ ra 9-41. (o) Si la longitud de cada bloque es 2c, demostrar que las condiciones de equilibrio prevalecerán si el (n * l)-ésimo bloque sobrcsale una digtancia má¡ima d.e a/n sobre el n-ésimo bloque donde n : 1,2, 3, . . (ó) ¿Cuál es la márima distancia horizontal a la cual ae puede llegar si más y más bloques se adicionan?

9.l0l.

Hace¡ el problema 9.100 si los .bloques se colocan sobre una esfe¡a de ¡adio .R en lugar de colocarlos sobre una superficie plana como se supuso en ese pro-

249

Fig.9-41

blema.

9.102.

Un cilindro de radio a rueda sobre la superficie interio¡ de un cilindro liso de radio 2a. Demostrar que el período de pequeñas oscilaciones es

2rvTdt!.

9.ro3.

Una escalera de longitud I y peso despreciable reposa con uno de sus ert¡emos cont¡a una pared que tiene coeficiente de rozamiento rr y su otro extremo sobre un piso que tiene coeficiente de rozamiento ¡2. La escalera fo¡ma un ángulo a con el piso. (¿) ¿Cuónto puede subir por la escalera un hombre antes de que ella se deslice? (ü) ¿Cuál es la condición para que la escalera no se deelice indiferentemente de donde el hombre esté colocado? iesp. (¿) pzl(pt I tan al/(ptz I l), (b) tan a ) l/pz

9.104.

Hacer el problema 9.103 si el peso de la escalera no es despreciable.

9.105.

Una escalera AB de longitud I (figura 9-42) tiene su extremo A sobre un plano inclinado un ángulo a y el extremo B sobre una

pared vertical. La escalera está en reposo y forma un ángulo p con el pfano inclinado. Si la pared es lisa y el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento p, encontrar el valor más pequeño de ¡¡ para que un hombre de peso W- pueda eubir por la escalera sin que ésta se deslice. Comprobar su respuesta con el resultado obtenido en el problema g.B?, como un caso especial.

9.fO6. 9.107.

Hace¡ el problema 9.105 si la pared tiene un coeficiente de rozamiento ¡1.

Fis.9-t2

Una varilla uniforme AB con punto fijo en A ¡ota con respecto a un eje vertical formando un ángulo constante c con la ve¡tical (figura 9-49). Si la longitud de la varilla es l, demostrar que la velocidad angular neceearia para que esto suceda €s o - VT! seg "J7TI.

A,

Fig.9-48

Fis.9-¿4

Fig.9-15

9.108.

Un cilindro circula¡ de masa m y radio c se suspende del techo por medio de un alamb¡e como f¡e muestra en la figura g-44. El cilindro se gira un ángulo c6 ! se suelta. Si suponemos que el momen[o es p¡oporcional al ángulo que se ha rotado el cilindro y que la constante de proporcionalidad es tr, demostrar que el cilindro oscila con movimiento armónico simple de peúodo 2ra!ffi.

9.109.

Encont¡ar el peúodo en el problema 9.108 si el cilindro se remplaza po¡ una esfera de radio

Resp.2ra!ñffi

¿.

2ffi

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

IcAP.

e

9.lfO.

Hacer: (a) el problema 9.108, y (ó) el problema 9.109 si el amortiguamiento es proporcional a Ia velocidad angular. Discuti¡lo fi sicamente.

9.lll,

Una viga uniforme, AB, de longitud I y peso l;f/ (figura 9-45) es soportada por las cuerdas AC y BD de longitudes o y ó respectivamente que forman los ángulos c y É con el techo CD al cual las cuerdas están fijas. Si las condiciones de equilibrio prevalecen determinar las tensiones en las cuerdas.

9.112.

En la figura 9-46 la masa m está atada a una cuerda la cual se en¡olla alrededor de una polea fija de masa M y radio de giro K. La polea puede rotar libremente alrededor de O. Si Ia masa se deja en reposo, dete¡minar: (o) la velocidad angular de la polea un tiempo ú posterior, y (b) la tensión en la cuerda.

la

la masa ¡n en el problema 9.112

9.113.

Demost¡ar que gaz/(a2 + K2).

9.f14.

Describi¡ cómo se puede usar el problema 9.112 para determinar el ¡adio de giro de una polea.

9.115.

Una va¡illa uniforme, AB, (figura 9-47) de longitud I y peso !V tiene sus extremos sobre Ia pared OA y el piso OB ambos sin rozamiento. La varilla se desliza partiendo del reposo cuando su pie I| está a una distancia d de O. Demost¡ar que el otro extremo A abandonará Ia pa¡ed cuando el pie B esté a una distancia de O dada po, ¡rftnTaiP .

9,1f6.

Un cilindro de masa 10 lb rota al¡ededor de un eje ho¡izontal fijo que pasa por su centro 5, es perpendicular al cilindro. De una cuerda enrollada alrededor pende una masa de 20 Ib. Suponiendo que la masa parte del reposo, encontrar su rapidez 5 segundos después. Resp. l28p/seg

9.117.

¿Cuál debe ser

acele¡ación de

la longitud

es

Fis.9¿6

Fig.9-47

de una varilla que se suspende de un extremo para formar un péndulo de se-

gundos y que ejecuta pequeñas vib¡aciones en un

plano? ftesp. 149 cm

9.118. Una

esfera sólida y una esfe¡a hueca que tienen igual radio parten ambas del reposo en la parte superior de un plano inclinado un ángrrlo a y ruedan sin deslizarse hacia abajo por el plano. ¿Cuál de ellas llega primero a la parte inferior del plano? Explicar. Resp. La esfera sólida

9.119. Un péndulo compuesto de masa M y radio de giro K

se desplaza con respecto a un eje horizontal en tal forma que hace un ángulo 0s con la vertical y se deja en ¡eposo. Demost¡ar que si el cent¡o de masa está a una distancia o del eje, entonces la fuerza de reacción sobre el eje está dada por

lu^

ffiA{(Kz+2o21

coa. - a2

cog do)2

*

(K2 sen a)2

9.12O. Un paralelepípedo rectangula¡ de lados a, b y c se suspende verticalmente del lado

de longitud o. Determi-

nar el período de pequeñas oscilaciones.

9.121, Dete¡minar el menor coeficiente de rozamiento necesa¡io para prevenir el deslizamiento lar sobre un plano inclinado un ángulo a. Resp. ftan c

de un aro circu-

9.122. Encontrar el período

de pequeñas oscilaciones de una varilla de longitud I suspendida ve¡ticalmente con respecto a un punto que está a * de I de un ext¡emo.

9.f23.

Un sistema de poleas consta de dos discos sólidos de racHos r¡ ] 12 eue están rígidamente unidos uno al otro y que puede rota¡ librenente al¡ededo¡ de un eje horizontal fijo que pasa po¡ el centro O. Un peso 17 se suspende por medio de una cuerda que se en¡olla al disco menor como se muestra en la figura 9-48. Si el radio de giro del sistema de poleas es K y su peso es ¿, encontrar: (a) la aceleración angular con la cual desciende el peso, y (ó) la tensión en la cuerda..

Resp. (a) Wsrtl\ryrz1* wlf¿), (b) Wutl?l(Wrl + uXz¡

9.LZJ.

Una esfera sólida de radio b rueda en el interior de una esfera hueca lisa de radio o. Demostrar que el período de pequeñas oscilaciones está dado por

z,\nG _-bVlA.

Fig.9-4t

cAP. el

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

9.12ó.

Una placa sólida circular y delgada, de radio a se suspende verticalmente de un eje que pasa por una cue¡da AB (figura 9-49). Si hace pequeñas oscilaciones con respecto a este eje, demostra¡ que la frecuencia de tales osci. laciones es máxima cuando AB está a una distancia a/2 del cenbo.

9.126.

Una varilla uniforme de longitud 5l se suspende verticalmente por medio de una cuerda de longitud 2l que tiene su otro extremo fijo. Demostra¡ que

las f¡ecuencias normales para pequeñas oscilaciones en un plano v I f E, !2r rE lóI'2r't

25r

son

Fig.9-49

y describir los modos normales.

c

9.127.

Una varilla uniforme de masa m y longitud I se suspende de uno de sus extremos. ¿Cuál es la mínima velocidad que se le debe dar al ext¡emo libre para que describa un círculo vertical completo?

9.12E. (o) Si la masa

de un péndulo simple es una esfera sólida unifo¡me de radio a en vez de una masa punpequeñas es 2*{TF2fllii. ¿Para qué valo¡ de I el período (o) es mínimo?

tual, demostrar que el período de oscilaciones

(ó) 9.129.

Una esfera de radio o y masa M rueda a lo laryo de un plano horizontal con rapidez constante u6. La esfera llega a un plano inclinado de ángulo a. Suponiendo que rueda sin deslizarse, ¿qué distancia sube por el plano

inclinado?

Resp. Lluf;,/eg

sen

o\

9.f3O.

Demost¡ar que el momento de ine¡cia del toroide sólido de la figura 9-50 con respecto a su eje está dado pot IM(3a2 + 4b2).

9.131.

Un cilindro de masa rn y radio c ¡ueda sin deslizarse hacia abajo sobre un plano inclinado 45', cuya masa es M y está colocado sob¡e una mesa horizontal sin rozamiento. Demostrar que mientras el rodamiento tiene lugar, el plano inclinado se moverá con una aceleración dada por me/@M * 2m).

9.f32.

Hacer el problema 9.131 Resp. (mg sen 2al/(3M

9.133.

*

si el plano inclinado tiene un 2m

-

ángulo c.

Fig.9-50

rn cos 2c).

Encontra¡: (o) la tensión en la cuerda, (ó) la aceleración del sistema que se muestra en la figura 9-51 si el ¡adio de giro de la polea es 0,5 m y su masa 20 kg.

9.134.

Comparar el resultado del problema 9.133 con el que se obtiene suponiendo que la masa de la polea es despreciable.

9.f35.

Demostrar que si el momento erterno neto con respecserá cero con respecto a cualquier otro eje.

to a un eje es cero, entonces también

9.136.

Fig.9-51

Un disco cilíndrico sólido de radio ¿ tiene un hueco de radio b cuyo cent¡o está a una distancia d de! cen-

tro del mismo. Si el disco rueda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c, encontrar su ración (figura 9-52).

Fig.9-52

acele-

Fig.9-58

9.137. Dete¡mina¡ el momento de ine¡cia de la región limitada por la lemniscata 12 : o2 cos 20 (figura 9-53) con respecto al eje r. Resp. Mo2(3r - 8)/8

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO

252

lcAP.

e

9.13E.

Encontrar el mayor ángulo de un plano inclinado para que un cilindro sólido ruede sin deslizarse. si el coeficiente de ¡ozamiento del plano inclinado es p.

9.139.

Hacer el problema 9.138 para una esfera sólida.

9.140,

Discutir el movimiento de un cilindro hueco de radio inte¡ior c y radio exterior b si rqeda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo a.

9.141.

El table¡o de una mesa de peso despreciable tiene la fo¡ma de un triángulo equilátero ABC de lado s. Las petas son perpendiculares al tablero de la mesa y están colocadas en sus vértices. Un gran peso Wse coloca sobre el tablero de la mesa en un punto que dista a del lado BC y b del lado A C. Determinar qué parte del peso es soportado por las patas en A, B y C, respectivamente.

n",p. 9.142.

w (t - 2o +-2ü) ), '+, avg avg \ ¡VB /

Discuti¡ el movimiento del problema 9.136 cuando se mueve hacia abajo por el plano inclinado si el coeficiente de ¡ozamiento es ¡.

9.143. Un monte tiene sección trasversal en fo¡ma de cicloide

, =

a(c

*

sen

d), A -- ú(l -

cos

r)

como se indica en la figura 9-54. Una esfera sólida de radio ó que parte del reposo en la parte superior del monte rueda sin desliza¡se hacia abajo. Encontrar la rapidez de su cent¡o cuando llega a la parte

más baja del

monte.

Resp.

ffiE-Qa --61fr

Fig.9-51

9.144.

Hacer el problema 3.108 si la masa y los momentos de inercia, de las poleas se tienen en cuenta.

9.145.

Hace¡ el problema 9.38, si se tiene en cuenta el rozamiento.

9.146. Una varilla

uniforme de longitud I se coloca verticalmente sobre una mesa y se deja caer. Suponiendo que su punto de contacto con la mesa no se mueve, demostra¡ que su velocidad angular en el instante en

que forma un ángulo d con la vertical está dada por

@|Fañ-|VIE

9.147.

Demostrar el teorema 9.11, en el caso de que las vibraciones no sean necesariamente pequeñas. Comparar su resultado con el problema 9.41.

9.f48.

Un cuerpo rígido se mueve paralelamente a un plano fijo determinado. Demost¡ar que sólo hay un punto del cuerpo rígido cuya aceleración instantánea es cero.

9.f49,

Un hemisferio sólido de radio o reposa con su superficie convexa sobre una mesa horizontal. Si el hemisferio se desplaza suavemente una pequeña cantidad, demost¡ar que oscilará con un período igual al de un péndulo simple equivalente de longitud 4c,/3.

9,150. Un cilindro sólido

de rsdio ¿ y altura h se suspende del eje AB como se indica en la figura 9-55. Encontrar el período de pequeñas oscilaciones con

A

respecto a este eje.

9.151.

Demost¡a¡ que una esfera sólida rodará hacia abajo por un plano inclinado un ángulo a sin deslizarse si el coeficiente de rozamiento es por Io menos I de tan o.

9.152.

Encontra¡ el menor coeficiente de ¡ozamiento de un plano inclinado un ángulo c para que un cilindro sólido ruede hacia abajo sin deslizarse. Besp.

I

de tan a

Iüc.0{6

Copítulo l0 Movimiento de cuerpos rígidos en el espocio

MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO En el capítulo 9 tratamos el movimiento de los cuerpos úgidos referente a una trasiación del centro de masa más una rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masa y perpendicular a un plano fijo. En este capítulo trata¡emos el movimiento general de un.rr"rpi rígido en el espacio. Este movimiento general se compone de una traslación de un punto fijo del cuerpo (usualmente el centro de masa) más una rotación con respecto a un eje que pasa por un punto fijo el cual no necesariamente tiene dirección restringida.

GRADOS DE LIBERTAD

El número de grados de libertad para el movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio es 6, esto es, se necesitan 6 coordenadas para especificar su movimiento. Usualmente tomamos 3 de éstas para determinar las coordenadas de un purito del cuerpo (usualmente el centro de masa) y las tres restantes para los ángulos (por ejemplo, los ánlulos de Euler) los cuales describen la rotación del cuerpo rígido con respecto al punto. Si un cuerpo rígido está constreñido en alguna forma, como por ejemplo manteniendo un punto fijo, el número de grados de libertad se reduce de acuerdo con las constricciones. ROTACION PURA DE CUERPOS RIGIDOS Ya que el movimiento general de un cuerpo rígido se puede expresar también en función de la traslación de un punto fijo del cuerpo úgido más la rotación con respecto a un eje que pasa por ese punto, es natural considerar primero el caso de una rotación pura y posteriormente adicionar los efectos de la traslación. Para hacer esto, primero supondremos que un punto del cuerpo rígido está fijo en el espacio. Los efectos de traslación son relativamente fáciles de manejar y se pueden obtener usando el resultado (/0) del capítulo ?.

VELOCIDAD Y VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO CON UN PUNTO FIJO Supongamos que el punto O del cuerpo rígido

la figura 10-1 está fijo. Entonces en un instante

fr

de

dado

el cuerpo esta¡á rotando con una uelocidad angular o con respecto al eje instantáneo que pasa por O. Una partícula P del cuerpo cuyo vector de posición rv con respecto a O tendrá una velocidad instantánea v, dada por

v, = i, = oXry

(/

Véase el problema 10.2.

)

Fig.10-l 253

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

IcAP.

10

ITIOMENTUM ANGULAR El momentum angular de un cuerpo rígido, que tiene un punto fijo, con respecto a un eje instantáneo que pasa por el punto fijo es

O = )m,(r,xv,l = )m,{t'x(oxrr} donde früv¡ es la masa de las partículas de R.

Q)

la y-ésima partícula y donde la sumatoria se toma sobre todas

MOMENTOS DE INERCIA Y PRODUCTOS DE INERCIA Escojamos un sistema de coordenadas xyz fijo con origen en O y escribamos

o = o,i+oj+ork,

o=

o,i+"'j+"'¡

(3)

fv = 'vi]-u,j+zk

Entonces la ecuación (2) se puede escribir en forma de componentes como (véase el problema 10.3) I-.u * /rrrrl

e" = Ir".r* llu = Iyrrr* Iuuru*Iur,rl Q. = Ir,r, Il.ru*I-..)

donde

1,,

= 2rn,(ú,+z?), I- = 2m,(z?+r;3), I* = 2m,(ú+u?,\ I"! = -) munuau = I*l Io. : -) m,guz, = I-l

U) (5)

(6)

Iu = -), mrzur, = Ir.)

Las cantidades I", 1"", 1,, se llaman nlotnentos de inercia con respecto a los ejes r' y y z, respectivamente. Las cantidades lrr, I* se llaman productos de inercia' PAra distribuciones continuas de masa éstas se pueden calcular por integración. Nótese que los productos de inercia en (6) se han definido asociándoles un signo menos. Como consecuencia los signos menos se eluden en (4).

MATRIZ O TENSOR DEL MOMENTO DE INERCIA Las nueve cantidades 1", I'", ..., 1", se pueden escribir en un arreglo que con frecuencia se llama una matriz o tensor dado por

(;.

';

\r*

14,

r)

e)

I-l

y cada cantidad se llama un elemento de la matriz o tensor. La diagonal que constituye los elementos 1,,, Iyy, 1," se llama principal o diagonal principal' Ya que

I-= Iy", I".-- Iu, Ivr= I.t

(8)

(7) se llama los elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal. Por esta taz6n

matriz o tensor simétrico.

ENERGIA CINETICA DE ROTACION La energía cinética de rotación está dada por (e)

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACTO

101

EJES PRINCIPALES DE INERCIA Se llaman ejes principales de inercia o simpleme nte ejes princípales al conjunto

255

de 3 ejes

mutuamente perpendiculares cuyo origen es O los cuales están /ryos en el cuerpo rotando con él y tienen la propiedad de que los productos de inercia con respecto a ellos son cero. Una propiedad importante de un eje principal (la cual puede tomarse también como una definición) es que si un cuerpo rígido rota con respecto a é1, la dirección de su momentum angular es la misma que la de su velocidad angular. Así

A=It donde

/

es

(10)

url escalar. De lo anterio¡ encontramos (véase el problema 10.6) que

(1,,- I\^" * I-,o, * Ino,

=0

Iy,r,*(Iu-I).yII*'. = 0lI I ua,

* I.o, * (I *- I),r, =

Para que (1I) tenga soluciones no triviales

1,"-I Iw Iu

. ]2.m,(r3+4llrn y=r L .J", Lu=r ) t vÉr --'-) .)

=

Ir¡,s"

*

Iur,,tu

I

lyro,

N r N I I rN l oz = l-r r=r rnvtrvzvf + mruvzvf - + 12 > > {') "" y=l ", ^,@t,+ú,11,, L J L ) lv=t =

Irro" * Iy2uu I lr"o"

zffi

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

IcAP.

10

Para una distribución continua de masa de densidad c, podemos obtener el mismo resultado partiendo de

11 f O = r'R | o(rxv)dr = | o{rx(rxr))dr "t

1O.4. Si un cuerpo rígido con un punto fijo, rota con velocidad angular o tiene un momentum angular O, demostrar que la energía cinética está dada por ? : * o . O.

T = S2m,o2, = ¡)rm,(i,.i,) = {)nt{(.xrr)'(rxr,)} = })m,{.'[r,x(oxr,)]] = f,. . )m¡,X (r X r,) = *.. O donde hemos usado la abreviación

1O.5. Demostrar

)

en lugar

que la energía cinética

T=

1¿(I

d" i

.

.,

10.4 se puede escribir como

"" or"=Or"ma ,,r2rt luorzu* I..t2* 2I .r,rn*21

,,,'trt"*2lu.roo.,)

Del problema 10.4, tenemos

T = t..O

usando el hecho de que

= *("rt*orrj+orrk).(ori+Oyi+ozk) = {(rr0, * o¡Ílr.| o{2.1 = tlot(I*.* I-oo* Iriu.l * oy(Iyxox* Iufy* Iy*r) I o"(Ir¡trl lru,'so1. I".otrl) = \(Ir*? t lrr,al, + I*2 * 2lr,¡t¡uu * 21"¿o.o, *

2lr7,tuo.l

f- = Iy' Io= Ir, Iyr-- Irv,

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA Y EJES PRINCIPALES fO.6. Encontrar las ecuaciones (//), de este capítulo, de los momentos principales de inercia y las direcciones de los ejes principales. (1)

A=Io

Usando

junto con las ecuaciones (3) V (4), de este capítulo, tenemos

I"du"* I-o"l

lr¿'t. = Io,

Iy"or* Iorol* Iyz!'tz = Ioy Irrtt * Iu.ou* Ir¿o. = Io4

(Ir"-I)t,* Irrlnr* 1,,u" = Iyrut * (Iuu- Doy * Iur,,t, = Ir*" * Iy*y * (1,,- Ilo, =

0 o

e)

Q

Los momentos principales de inercia se dete¡minan haciendo que el determinante de los coeficientes de @2, @tt o, en (2) sea igual a cero, esto es,

Irr-I Iu, I*

Iu Ioo-I Iu,

Ifl Io,

Ir, - I

=0

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

1ol

pri la de

lo'7'

26r

Esta es una ecuación cúbica en r que conduce a tres valores 11,12, Is los cuales gon los momentos Haciendo I : It en (2) obtenemos lag reücilnee @si oyi o, lae cuales dan dirección del eje principal correspondientes a f¡. En forma similar, por sustitución las direcciones de loe ejee principales. "or.".porrdi"rrtes

Encontrar: (o) los momentos de inercia, y (b) los productos de inercia de una placa cuadrada de lado o con respecto a los ejes x, y z tomados como se muestra en la !

figura 10-8. (a) El momento

de inercia de un elemento dx dy de la placa con

al eje r, si la densidad es a ee o1r2dr dy. tonces el momento de inercia de la placa completa

respecto

respecto al eje

r

/^¿

F.n_

con

es

A

1,. = ¿x=o | Jy=o | nU2du¿U = *oo+ = $Moz ó ya que la masa de la placa ea

M-

(r)

oa2.

Análogamente, el momento de inercia de le placa con

respecto al eje

Iou

y

fa

es

f¿

or2d.ndy = = .t v x=0- t-ty=0

*nno

= t [o,

(2)

lo cual ee evidenüe por la simetría de la placa.

Fig.10-8

El momento de inercia de dx dy con reepecto el eje z cs o(rz

mento de ine¡cia de la placa completa con ¡€specto al eje z es

1", =

Í"_^ f ^^n2rszlitnd.y "z=0 úl=o

=

*

12) dx

tnoz + *Map

dy,

así que el mo-

= *rwaz

(s)

lo cual tanbién se obtiene del teorema de los ejes perpendiculares.

(ó)

El producto de inercia 'lel clemento dx dy de la placa con respecto a los ejes manera que el producto de inercia de ra placa total respecto a estos e¡es es

I,t = Io, =

-1,"=o

f_onruorn,

=

, y y es ory dx dy, de

-loa+ = -tAoz

U)

El producto

odx

de inercia del elem¿nto dx dy de la placa con ¡especto a los ejes r. y z esel producto dy por las distancias a loe plcnot yz y xy, las cudcs .on , y 0 respectivamente. Entonces te-

Ir, = Iu = Q, y análogamente Iy2 = Ia =

ro'8'

g

(5)

Determina¡: (o) los momentos principales de inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales para la placa del problema t0.?.

(¿)

Segrin el problema 10.6

y los resultados (I)-(5) del problema 10.?, obtenemos

*Mú-I

-lMot

-tMú +Mú-r

0

=0

o

0

o la cual

lMoz-I [($aaz-Ir(trMa\-I) - (-lÚaz)flaa2\lfiMaz-4 =

(J)

0

puede escribirse

llz

-

lMozl + +lHÚzgtll}Úo,z

-4 =

0

Haciendo el primer factor igual a cG¡o y u¡ando la f&mul¡ de la ecueción cuadrática para obtener/, encontramos que las tree raíces dc (I) con, 11

= .frMol,

12

que son los momentos principales dc inprcie.

=

fiMé, I" = NMoz

(2)

IcAP. ro

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

262

(á) Para determinar Ia dirección del eje principal correspondiente a 1r, tomamos I:It:$Mozen las ecuaciones

(fÚaz-Ilr,- lMazotu * 0o, = 0 I -!Mo2o,*([Moz-I)oo*0o, = 0 | 0ror * }ou * ($MaL-I),, = 0 J

(3)

Las dos primeras ecuaciones dan ot : o' mientras que la tercera da o' : 0. Po¡ tanto, la dirección del eje principal es la misma que la del vecto¡ velocidad angular

c = o¡i*otri*r.k

= otri*'"i

= or(i*i)

Entonces eI eje principal correspondiente a fr está en la dirección Similarmente, haciendo I : I¿ : Lr"Mo" en (3) encontramos @v : -az¡ @z :0 de manera que la dirección de los correspondientes ejes principales es r = ori - t"i =

i * j'

o i-i. ""(i-i)Si hacemos I : Is : trMa2 e¡ (3) encontramos o' : : 0 mient¡as que @, es arbit¡ario. Esto da, ¡ : 0, ,, o,k de donde se deduce que el terce¡ eje principal está en la dirección k.

Las di¡ecciones de los ejes principales se indican por

i+

i, i - j

yk

en la figura l0-9. Nótese que son mutuamen-

teperpendicularcsyque

i+i

e

i- j

tienenlasdirecciones

de las diagonales de la placa cuadrada que son las líneas de

simetría. Fig.10-9

momento principal de inercia puede también determinarse identificando las líneas de simetría.

El

lo.g.

Encontrar los momentos principales de inercia en el centro de una placa rectangular

deladosayb. El eje principal se encuentra a lo largo de las direcciones de simet¡ía y debe estar a lo largo del eje r, del ejey y del eje z (este último perpendicular al plano ry) como en la figura 10-10. : ]nMa2, En los problemas g.6, g.9 y 9.11 se encontró que los momentos principales de inercia eran fr

12:+,Mb2, Ie: +M(a2 +

b2).

Fig.

Fig. r0-10

l0-lr

lO.lO. Encontrar los momentos principales de inereia en el centro del elipsoide frz -a2 -?2 : lr

ar- v- e

En la figura l0-11 se indica una octava parte del elipsoide. El momento de inercia del elemento dr

de masa o d¡ con respecto al eje z o eje "3" es (r2 pecto al eje z es I3

=

,1""=,

!,':*

Integrando con respecto a z obtenemos

* y2lndr, y el momento total de inertia con res-

Í"",:*

(rz*v2)odzd.ada

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

ra

nbr/'t

| Jl=o | Jx=o

8"c

--

"-:FF

Pa¡a efectua¡ la integración hacemos

integral puede escribirse tse

aX,

rl

| ¿y=o | ux=o

Introduciendo coordenadas polares g,

fr

y : bY,

¡'l t-xz

soobc

Soabc

trz+yz¡F

e

(ozXz

*

en el plano

donde

=

zroabc(az

+ b\

.f -R=o

^

Xy

¿a

a,

son nuevas va¡iables. Entonces la yE\ ¿Iy dX

se obtiene

b2R2 senz e)

ns

Xyy

bzy\ \/T= etz +

¡t/2

| | @rn, cos2 o * "R=o "e=o

@rlo+uryo\

263

{t -

nz

y'f:

nz R dR de

¿n =

ftroabc(az

+

bz¡

I - R2 : (J2 pa¡a calcular la última integral. Como el volumen del elipsoide ll : ftoa_bc y por tanto Is : ", ,rar:ó":.la_masa Por simetría encont¡amog I, : : c2), I, I *M(br" $M1az \ ez¡. la sustitución

donde hemos hecho

lo'11'

Supongamos que el elipsoide del problema 10.10 es un esfe¡oide achatado que c difiere ligeramente de a o b. Demostra¡ que con

a : b en tanto

do de aproximación (/a

sólo ligeramente

-

Ir)

fi, : | _

c

+

tal

b2).

que

un alto gra-

/a.

rs|rl (o--cXotc). perosicdifiere "? I-4^ Ir = a2 cz a,2 + c2-' de o entonces o * c = 2a y a2 t c2 = 2a2. Asíaproximadamente. (Is-It)/I: (a-cl(2a)/2az = t-c/a,

Delproblema 10.10, si

lo'12'

+M(a2

o: b

entonces

Resolver el problema 10.11 si se considera

la Tiena como un esferoide achatado.

Como el diámetro polar o distancia entre los polos norte y sur es alrededor de ?g00 millas mientras que el di¡6met¡o ecuatorial tiene aprorimadamente ?926 nillÁ, entonces tomando el eje polar como el

eje "S" tenemos %

: 79ff,

2a

-

: 3g50, a : 8g6g. _ I)/h : | _ ggfi/ggfi} :

7!26 o c

De acuerdo con el problema 10.11 (.f¡

0.OO32S.

ELIPSOIDE DD INERCIA

l0.l3. Sup resp I:,

ercia de un cuerpo rígido t con se intersecta en O son 1,,, f"", ue el momento de inercia de gulos a, A y I con los ejes Í, ! y z, respec_

ff I -

I,,CoS2aJ-Iyycos2B+ Iucos2y + z[,!cosa cos B + Zl,"cosc cos.y

*

Zly.cosp cosy

Un vector unitario en la dirección del eje está da-

do por

n = cosci * cospj * coayk

Entonces si rar, tiene un vector de posición ry, su mo_ '¡ento de ine¡cia con respecto al eje OA es *rDj d,oo_ de D., : lr, X nl. Pe¡o

ryXD =

üv a

Uv zu B cos Y (Vv cosf - z, coe pli cos

*

cos

- r, coayli * (rrcoeF - A, cosa)k

(2, coaa

Fig.10-12

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

2U

IcAP.

10

lr,Xnl2 = (yrcosy-zveosF)2 * (zrcosd- rrcos¡lz * (rrcosp-gucosa)2

y

= Así, el momento

| =

fu\+1)cos2c * 1r!+zl¡coszp * (4,*a?)coszt - 2rr1rcogdcos B - 2rrzrcosacos1r - ZUrz, cosBcosT

total de ine¡cia de todas las masas zl,

es

2-rD?

( ( r ) ^l -') j2*"@?+u?)l + m,,1rl+4,)l.o"B + cosz" 12*, L-)tJlr (I I r + 2'{ -2*,nua,f .o.o.o. P + 2l-2*,',",f cosocosT tJl.') cosp cosY *,

cosz^¡

{->*,u,",\

= I""cosza * fru cos2 B * It cosz'Y + zlxy cos d cos P + zln cos a cos 'y *

2Iy, cos p cos 1

10.14. Encontrar una ecuación para el elipsoide de inercia correspondiente a la placa cuadrada del problema 10.7. Según el Problema 10.? tenemos

1", =

fMaz,

Ion

= $Mo2, 1., = ftMaz, Iru = -[Maz, Ir, = 0, Iu" =

0

Entonces la ecuación del elipsoide de inercia está dado por la ecuación (20) de este capítulo,

*Mrrp?t fMazp!,* NÚazpz,- [Mazp,pu = p?+ p?+2p?-tp'py = slMo?

L

ECUACIONES DE EULBR DEL MOVIMIENTO l0.l5. Determinar una relación entre la variación en el tiempo del momentum angular de un cuerpo con respecto a ejes fijos en el espacio y ejes fijos al cuerpo. Si los ejes del cuerpo rígido se escogen como ejes principales que tengan las direcciones de los vecto-

r€s €1, €r Y ec respectivamente, entonces el momentum angular

0 =

I l2o¿e2*

ft¿¡r€r

será

/3o3es

a los ejes Ahora, según el problema 6.1, si n^ y ü se refieren respectivamente a los ejes fijos en el espacioy entonces cuerpo, el sobre en movimiento

dql dol 7ll" = Elo r¿ oX0 = t'0"'**,"lllT;i;::;

=

t¡'s'

X

(r¡0,1e1

I 'il;J'i;;;I;,;,,1'fi'

*

*

(rr

-

r2o2e2*rso,ses) rs)o1orsle2

lO.16. Deducir las ecuaciones (22) de Euler del movimiento' Según el principio del momentum angular, tenemos

dol fr| ^ .

donde

A

=

(t)

es el momento externo total. Escribiendo

A =

donde a1,

A2¡

Arer

*

L2e2*

Ases

Q)

(l) As son las componentes del momento externo a lo largo de los ejes principales; usando

y los resultados del problema

trO.15' encontramos

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

IrSr+(Is-I2lo2og Iz32 + Qr- fs)ú,s(ú1 Is33 + (I2 -I1lo4ot2

2ffi

_ ^,.l -Arf

(3)

_

^sJ

MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZAS DE UN CUERPO RIGIDO. ROTACION DE LA TIERRA 10'17' Un cuerpo rígido simétrico con respecto a un eje tiene un punto fijo sobre este eje. Discutir el movimiento rotacional del cuelpo, suponiendo que no hay fuerzas que actúan, exceptuando la fuerza de reacción en el punto fijo. Escogemos los ejes de simetría coincidentes con uno de los ejes principales, digamos en

e¡. Entonces It : Iz y lae ecuaciones de Euler ." arpr"r"r, .¡r;r + (fs-f¡)ro2r,r3

De (3), o,a : constante

la dirección

"rí

=g Ii'2+ Qr-fs)ruso¡ - 0 fsós = I

(r) (2) (3)

: A así que (I) v e) después de dividir por f¡ se escriben, . /Is-Ir\. o *+\-f

= ' ' /It-I"\ óz+\f,)e', =o )a"z

(4)

(5)

Diferenciando (5) con respecto a ¿ y usando (4), encontramos

;,+(+)'*,, 'ó2*

o

x2o2

=

=

o

(6)

g

@

tr = ltt;ttl, I rt

donde

(8)

I

Regolviendo (7), encontramos

.ú2

= Bcogrú{f,senrü : 0 cuando ú - 0, entonces = Ceenrt ot = C co'rt

Si escogemos la escala de tiempo de mane¡a eue

rrr2

oz

y de (5)

obtenemos

Por tanto la velocidad angular

a = =

úrrcr

t

tt2Q2

Ccosrú e,

*

I

(g)

(r0)

ea

ogeg

Csenrúe2

* Áca eI)

De donde se concluye que la velocidad angular tiene magnitud constante igual a o : l.l : \rcTAn y tiene movimiento de precesión ahededor del eje ,.8,' con frecuencia

f-*

como se indica en

=

la figura

w^

(r2)

10-18.

Nótese que el vector o desc¡ibe un cono al¡ede_ dor del eje "3". Sin embargo, este movimiento es re_ lativo al eje principal del cuerpo que a su vez está rotando en el espacio con velocidad angular o.

ro'r8'

Calcular la frecuencia de precesión del problema rota alrededor de su eje.

ü

Fig. 10-18

10.1? en

el caso de la Tierra que

MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO

266

Como la Tierra rota alrededor de su eje una vez por día, tenemos que oa Entonces la frecuencia de precesión scgún los problemas 10.12 y 10.17 es,

-\

L/ = ;(t -;)o

l/Is-Ir\. r| =- úlT)^

I

=

;;to,ooaxt

lcAP.

10

: A - 2¡ radianes/día.

(2¡):0,00328radianes/día

- l/ t : 305 días. El período obse¡vado es de 430 días, puede erplica¡se debido a que la Tie¡ra no cs complctamente rígida. El peíodo de precesión es P

y la dife¡encia

LINEA Y PLANO INVARIABLES.

PHOLODE, HERPOLHODE, LOS CONOS ESPACIAL Y DEL CUERPO lO.l9. Describir la ¡otación de la Tierra con respecto a su eje en función de los conos espacial y del cuerpo. Según el problema 10.1? la vclocidad angular o y el momentum angular f) est¡í¡ expresados respectivamente por

; = ;::" ;",i;i:,;::';:;.:.:;;i":i",, Supongamos que

a

r¡ - oaG¡ - Ae¡ Y O. Entonces = l.sl lol coec = At@@cos"

es el lngulo entre

.s.o =

co'

Y Análogamente

si p

*,"n", IsAz

IEA

,{Ftw

't =

y o. Entonces .s'o = lrsl lrl cos p = A¡/CL lT

es el ángulo entre os

cosÉ =

tlC¿ +

cos

p =

Az

lz

D€ (I) y (2) vemos que C

senll =

3€nd =

{O +E

I'c tanB :c tlnc = ;|-, =A Ist'^' t¿nc \ tan P = ¡s

Así

(5)

la Tierra o para cualquier esferoidc achatado (achatado en los polos) tenemos It 1 Ia. Portanto c( P. La situación puede representarse geométricamenüe mediante la figura 10-14. El cono con eje en Ia dirección f) está fijo en el espacio y se llama cono espociaL El cono con eje t3 : o3€s que se considera fijo en la Tiena se llama cono del cuerpo. El cono del cuerpo puede rotar sobre el cono espacial de

Ahora, para

manera que el elemento en común sea el vector velocid¡d angular

O2

C1

rgXo =

004 I1C cos xt

aen

Ahora

C3

= -AILC I1C

¡.

xt

sen rú

c1

+

AILC cos rú

IsA

Así pues O . (rs

x o)

=

(I1C eot rü c1

*

.. t'AItCa¡ =Q

/¡C

sen

rú r1

tt c2 *

IsAcs)

* AIIC aotxt

c2l

e2

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

1ol

Se deduce del problema mismo plano.

l.2l(ü) que O, og y ¡ están

267

sobre el

.- Un observador fijo en el espacio podría ver el vector o describiendo el cono espaciat (figura 10-14). Un observador fijo al cuerpo podría ver el vector o describiendo el cono del cuerpo. En el el con cono del cuer¡ro ( Ie.

alargado, I cono espac

sa es del co

10.121).

roide y el lema

LOS ANGULOS DE EULER 1o'2o' Usando tres figuras separadas demostrar la forma como el sistema coordenado ryz de la figura 10-4 se trasforma en el sistem a x'y'z'mediante rotaciones sucesivas de los ángulos de Euler ó, 0 y ú. Refiriéndonos a las figuras 10_15, 10-16 y l0-l?, la ñgura 10-15 indica la rotación de los ejes : y y un ángulo C para llegar a los ejes X y y, respectivamente, manteniendo el eje z igual al eje Z.

En la figura 10-16 se indica la rotación del eje X un

ángulo 0 de manera que los ejes y y Z de la figura 10-15 se trasforman en los ejes y,y Z', respectivamente, de la figura 10-16.

f

En la figura 10-1? los

ejes

de manera que los ejes X, vamente, en los ejes r, y y'.

Z'

o e, se rotan en ángulo respecti-

y y, se trasforman,

En las figuras ee han indicado los vectores unitarios sobre los ejes r, y, z; X, y, Z; X,, y,, Z'y r', y,, z,por

i, j, k; I, J, K; I,, J,, K, e i,, j,, k,, respecrivamenre.

Fig.l0-15

z

Fig. l0-16

Fig. r0-r7

ro.21. Errcont¡ar las relaciones entre los vecto¡es unitarios: (a) i, j, k e I, J, K de la figura 10-15, (ó) I, J, K eI,, J,, K'de la figura 10_16, (c) l', J', K'e i', j', k'de la 10-17.

figura

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL

(a)

De la figura

10-15,,

i = (i.t)f +(i.J)J +(i.K)K t - (i.I)I+(j'J)J+(i'K)K

= cosóI-senÉJ = senCI+cosoJ

k - (k'I)r+G'J)J+(k'K)K = (b)

K

De la figrrra 10-16,

I - (t. t')I' + (r. r')J' + (I . K')K', = l' J - (t.I')I' + (J.J')J' + (J'K')K' = cosdJ' K = (K.l')I' + (K. t')J' + (K. K')K' = sen t J' * (c)

ESPACIO

senrK' cos, K'

De la figura 10-17,

l' = (I'.i')i' + (I'.j')j' + (l'.k')k' = cos,y'i' ! = (J'.i')i' + (J'.i')i' + (J'.k')k' = aeng i' * K' = (K' . i')i' + (K'. j')j' + (K' . k')k' = k' LO.22. Expresar los vectores unitarios i, Segin el problema

i, k

senúi' cosg

en función de i',

j'

j" k'.

10-21,

i - cospt-senÉJ, t - senpl*cospJ, k=K I = t', t = cosrJ' - sendK', K = senrJ' * costK' l' = cosúi' - sen'y' j', J' = senúi' * cosgi', K' = k' Entonces i = cosóI-s€nOJ = cosóI'-senÉcosdJ'*senpsenrKf = coso cosg i' - cososen!y' jl - senO cosdsen I i' - senp cos, cos,¿ i' * sen ÓEent k' = (cos p cos ry' - sen O cos, sen ú)i' * (- cos É sen ú - sen O cos , cos ú)i' * sen d sen , k' j - senpI + cospJ = senpI' * cospcosrJ' - cospsenrK' = sen o cos.ry' i' - sen o senú if * cosp cosdsen g i' * cosp cosr cosrr i' - cos4send k' = (senp cos 'y' * cos O cos, senrr)i' * (-senpsen ú * cosqt cost cos'y')i' - cospsen, k' t¡ = senrJ'* costK' = senrsen,pi'* senrcosry' j'* cosak' 10.23. Deducir las ecuaciones (25)

ó = or6k*rol,*ogK'= ih+irr+,!r, = fisencsen 9i' + a.senrcosVi' + 6 cosrk' * ácos,t,i'- ásenúi7 +,ik' = (ó sen e sen {, * i cos,p)i' * (ó sena cosú - isen,y')j' * (ó cog, +'¡)k' Como o

= or,i'* or,i'* tr,Ix',

@r, ol : i."na."og*icoag 6t, -J oz = iretracosg - iseng @2. os = icosc * 'i,

[CAP.

10

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

269

10.24. (a) Expresar la energía cinética de rotación de un cuerpo úgido con respecto al eje principal en función de los ángulos de Euler. (b) Si It : Iz, ¿qué resultado se ob_ tiene en (o)?

(o)

Usando los resultados del problema 10.23, la energía cinética está dada por

T=

(ó) Si f, :

[(I'"? + 1".!+ Iruzr¡ ]I¡(isen esen ry' * i cos,¿¡z * $I2(isen e cos4 -

ósenp¡z

+ tlrti

cose

+ i¡z

12, el resultado puede escribirse

T=

llr($zaenzc+A\

+

*Ir(ócosa+,i,¡z

MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOS 10.25. Establecer las ecuaciones del movimiento de un trompo que tiene un punto fijo (figura 10-18).

O

Representemos por ryz un sistema inercial frjo de ejes que tienen el origen O, y por x'y'z' los ejc,l principales del trompo que tie-

nen el mismo origen. Escojamos la orientación del plano r'y' de tal manera que Oz, Oz,

y Qr'

sean coplanarios. Entonces el eje r, está en el plano ry. La línea ON en el plano r,y, forma un ángulo ry' con el eje r, que se supone fijo al trompo.

La velocidad angular correspondiente la rotación de los ejes r'y'z' ejes ryz es ó = olel *

Al

obtener

el

o2e2

a

con respecto a los

* o3e3

(,f )

momentum angular debemos

usar el hecho de que al sumar la componente os debida a la rotación del sistema r,y,z, existe también la componente s : se3 : fe3

r

debido a que el trompo tiene spin alrededor del eje z'. Entonces el momentum angular es

O= Ahora si los subíndices según el problema 6.1,

f1o1e1

Fig.

*

*

I2a4e2

/3(os

l0-lt

* a)es

e)

/ y ó denotan el sistema fijo y el eistema del cuerpo respectivamente, tenemos

do

¡to

dtu * oXO

d,t,

(3)

Remplazando (1) V Q) en (3), encontramos

#1, =

{r1;r + Qs- I2l.,2os*

+

{12;t2

* (Ir - fs)r1,.rs - fsorls)e2 + {Is(;s + ¡) + (t2 - f1)ro1ro2}e3

El momento de fuerza total con respecto a O es I = (teJ x(msl

k = =

Como

el momento

es

(k.c1)e1 sen

,

cz

rsr.r2s}e1

=

(hs)

x(-rnskl

* ft .e2)e2 * ft .eJcs = coa(r/Z- o)e2*cosc

+ cog,

(4)

(5)

o¡

es

A = -mgl(esKk) =

m4l

senC

e1

(d)

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

270

Entonceg usando

A

=-l

f

cAP. ro

.tOl con ft : f2, encontramos de (4) y (6), dt lt fr¿r + (fs -11\,,;2us* I*zc = ,nglsenc Iirz + gr- ls)ú,1ú,¡ - Isúr1e = 0 ts(ós+i) = O

(7)

10.26. Expresar las ecuaciones (7) del problema 10.25 en función de los ángulos de Euler y ó de la figura 10-18. Las componentea r.r¡, r¡r2, .r3 pueden obtenerse del problema 10.23 haciendo

Encontramos

@t

= ó,

u2

ú:

0

0.

= $sen.o, or, = i cosa

(t)

Entonce¡ lag ecuaciones (7) del problema 10.25 se convierten en

IrA + Qs-Irl62senrcosd I lg$e sen, = motsenef 0 I1(fisenc+6bco8t)+(It-Is)'cbcosr-Isbs= I 'l r3(ffcosc

- j,isenr+i) = o

Q)

)

Las cantidade ó, i y s se conocen como las magnitudes de la uelocidad angular de precesión, de nutación " y del spin respectivamente.

10.27. Demostrar que las ecuaciones (2) del problema 10.26 pueden escribirse como (a) ItU - f,ó2sen 0 cosl * IA$senl = mglsenl

(b)

-

/r(fisen e + 26b coso) donde A es una constante.

IsAá

=

0

De la tercera ecuación en (7) del problema 10.25,

og*e =,4

o

I = A-ts

(r)

Suatituyendo estos ¡esultados en la primera y segunda de las ecuaciones (7) se obtiene

- I{'t2tts * Istr2A = ,¡'tgl senl fr,i2 * frotrng - fsr.r¡r{ = 0 I1ó1

(2) (3)

Usando los resultados (f) del problema 10.26, encontramos que las ecuaciones (2) V (3) corresponden a las ecuaciones deseadas.

10.28.

(a) Encontrar la condición de precesión constante de un trompo. (ó) Demostrar que son posibles dos frecuencias precesionales. Co¡¡o 0 es constante entonces

de lo cual

O, y según el problema LO.27(a),

I mgll aena = O Ir$2 coae - IAi I mgl = o IsA = t/@ lng¿Ireo.c .

(friz o

ii : cos

c

-

ItA$

- ,

Por tanto hay doe frecuenciae ya que

(r)

"t"0

filz , Amglllcoae

(2)

ftnz :

4 mgllt cos 0 sólo es posible una sola frecuencia. Si á e¡ muy grande, es decir si el spin del trompo es muy grande, entonces existirán dos frecuencias, una grande y una pequeña, dadas por

Si

IsAl(l1

coe

el,

mCIlIsA

(3)

cAP. r0l

MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO

271

fO.29. Demostrar que

(¿) tI{42 +i2sen2 0) + +IA, + nlg|ccn| = (b) /rósen2l * IsAcos| : constante : K

constante

=

E

y dar una interpretación física de cada resultado.

(o)

Multiplicando las ecuaciones (7) del problena 10.2b por dolas obtenemog ^I1(o1ó1

*'Árl *

fs(os + aXrh +

e,r,

2

y o¡

i) =

*

s, reepectivamente, y aumán_

mgü¡r'ito

á

lo cual puede escribirse como .T

fitgr0, z>0. Resp. (o) 1",= Iyy- Iu= lMoz, (b) I-= Iy.= Ir.= -2Mozl6¡

+

y2

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA. EJES PRINCIPALES. ELIPSOIDE DE INERCTA 10.49, Demost¡ar que los momentos principales de inercia de ún sistema formado por dos partículas de masas Í,t y t7.z conectadas mediante una varilla ígida de masa despreciable y longitud I son f¡ : Iz :

m¡m2l'/(^r+m), I":9.

1O.5O. Encontrar: (a) del problema 8esp. (o) f,

(ó)

10.61.

10.52.

los momentos principales dé inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales del sistema

10.42.

= 18, Iz= l3-1/i3, fs =

13

+\/il

i+k, +(r+y'?'li-i +k, ü(1-/75)i-i +k,

Determina¡: (¿) los momentos principales de inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales para el triángulo rectángulo ABC de la figura 10-25 con respecto al punto C. Encontrar: (a) los momentos principales de inercia en el cen-

t¡o de un paralelogramo de lados a y b y ángulo agudo

a.

principales de inercia, y (ó) las direcciones de los ejes principales del cubo del problema 10.46'

10.53. Encont¡ar: (o) Ios momentos ResP.

Fig. r0-25

(c) It= Iz- tlMo2, It= fMaz

(ó) El eje asociado con 13 está en la dirección de la diagonal desde el origen. Los ejes asociados con Ir e Iz tienen direcciones cualesquiera perpendicula¡es entre sí sobre un plano perpendicular a esta diagonal.

10.54. Encontrar los momentos de inercia de un cilindro uniforme de radio o y altura Resp. 11- Iz = fiM(la2 + h2), Is = $Maz

h,

10.55, Obtener los momentos principales de inercia y las

direcciones de los ejes principales de un rectángulo de lados o y b usando los resultados del problema 10.45 y las ecuaciones (11). Hacer una compa¡ación con el problema 10.9.

10.56. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia correspondientes al rectángulo del problerna 10.55. Retp. ttffia2, 4,ffi, tt/slu1oz + oz¡ 1O.57. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia p. 4{3 / flM o2, R I ttÚ oz, 2\/ 6 / M o' "

"

^f-Z

10.58. Demostrar que el elipsoide de inercia

correspondientes al cubo del problema 10.46.

de un tetraedro regular es una esfera y determinar su radio.

10.59. Si Ir, ¡2, /3 son los momentos principales de inercia, demostrar que It = Iz]- Is, 12 < 11* Is, Is = It* Iz IO.GO. ¿Con qué condiciones

permanecen uno o todos los signos de igualdad del problema 10.59?

cAP. l0l

10'61'

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO Demostrar que si un cuerpo rígido es un sólido de revolución alrededor de una línea

principal correspondiente a cualquier parte de .L.

10'62'

277

z,

entonces .L es el eje

Suponer que un cuerpo rígido es simétrico con respecto a un plano p. Demostrar que si .L es una línea perpendicular a P en el punto o, entonces z es un eje principai que pasa por punto el o.

ECUACIONES DE EULER DEL MOVIMIENTO

10'63'

Un cuerpo rígido que tiene un punto fijo o sobre el cual no actúa momento externo con respecto a o, tlene dos ejes principales de inercia iguales. Demost¡ar que debe rotar con velocidad angular constante.

10'64'

Escribi¡ las ecuaciones de Euler para el caso del movimiento de un cuerpo ígido en un plano y discutir su significado fisico.

10'66.

Resolver el problema de un péndulo compuesto usando las ecuaciones de Eule¡.

f

0'66'

10.67.

Describi¡ la forma en que pueden usarse las ecuaciones de Euler para discutir el movimiento de un cilindro sólido que rueda por un plano inclinado. Expresar las ecuaciones de Euler en el caso en el cual los ejes no son los ejes principales.

MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZA. LINEA Y PLANO INVARHBLDS.

FOLHODE, HERPOLHODE, CONOS ESPACIALES Y DEL CUERPO 10'68' Si dos momentos principales de inercia correspondientes al punto fijo con respecto al cual rota el cuerpo rígido son iguales, demostra¡ que: (a) el elipsoide de Poinsoies un eiipsoide de revolución, (b) el polhode es un círculo,

10'69'

y (c) el herpolhode

es

un círculo.

Discuti¡: (a) la línea y el plano invariables, (ó) el polhode y el herpolhode, y (c) los conos espacial y del cuerpo en el caso de un cuerpo rígido que se mueve paralelamente a un plano dado, es decii, el movimiento en el plano de un cuerpo rígido.

1o'7o' (¿) ¿Cómo podría usted definir espacio?

lo'71'

el eje instantáneo de rotación del movimiento de un cuerpo rígido en el (ü) ¿Cuál es la relación entre el eje instantáneo de rotación y los conos espacial y del cuerpo?

Demostrar que con ¡elación al centro de masa el eje con respecto al cual gira en un día rotará alrededor de un eje inclinado 28,5. con respecto a éste 2b.?g0 años.

ANGULOS DE EULER

lO'72.

Usando la notación del problema 10.20, encontrar: (a) I, J, I, J, K; (c) i,, j,, k, en función de I,, J,, K,.

K

de

rBesp.

10.73.

en función de i, j, k; (ó) I,, J,,

K,

en función

(o) I = cogpi*sengi, J = -senCi*cospj, K = k (ó) lt = l, J, = cos'J*sendK, K, = _sene J*cosAK (c) i/ = cogú I'* seng J,, J, = -senú I, * cosú J,, k, K, =

Demostrar los resultados

Lo'74' Si 1r - Iz : Is, principales es ?

.t. = , CoSO * ¡! send sen p t,l', = ,senó - úsenrcosó .tz = i+*.o"t,

demostrar que la energia cinética de rotación de un cuerpo rígido referido a los ejes

= *Ir(it + 6, + i, + Zii

coa e).

MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOS

lo'75'

Un trompo, que tiene un ¡adio de giro con respecto a su eje igual a 6 cm, rota al¡ededo¡ de su eje. El punto fijo y el cent¡o de gravedad egtá sobre el eje a-uni distancia de B cm del punto fijo. Si se ooserva que el trompo tiene un movimiento de precesión alrededo¡ de la vertical dando 20 revoluciones,/minuto, encontrar la magnitud de la velocidad angular del trompo alrededo¡ de su eje. Resp. 3,10 rev/seg ó 19,5 rad,/seg de giro está

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

278

IcAP.

10

10.76,

Un cono recto circular sólido de ¡adio a y altura l¿ rota de modo que su vértice está fijo y su eje está inclinado un ángulo c constante con relación a la vertical. Si el eje tiene un movimiento de precesión de peúodo P, encontrar la magnitud de la velocidad angular del cono con respecto a su eje.

l}.l7.

Desarrollar eI problema 10.?6 si sobre el cono se acopla una semiesfera sólida uniforme de radio o y de la misma densidad del cono.

10.78.

Explicar físicamente por qué el eje de spin del giróscopo de las figuras 10-6 y 10-7 debe mantener su dirección.

10.79.

Explicar la forma en la cual un giróscopo puede usarse para consegui¡ que un barco, un avión, un submarino o un proyectil siga una trayectoria determinada.

PROBLEMAS VARIOS de a¡ista ¿ y masa M se dispone de manera que tres de sus a¡istas coincidan con los ejes positivos x, y y z de un sistema de coordenadas y el vértice con el origen O- Si rota al¡ededor del eje z con velocidad angular o, constante, encontrar el mo¡nentum angular. Resp. -SMa2o(3i * 3j - 8k)

lO.8O. Un cubo sólido uniforme

fo.$l. fO.82.

Encontrar el momento de inercia de un cono sólido uniforme de ¡adio o, altura h y masa M con respecto vértice. 8esp. (o) hMo", (b)*M(2h2 * a2)

a: (c) la base, (b) el

Encontrar los momentos principales de inercia centroidales de una placa elíptica uniforme de semieje mayor o y semieje menor b. Resp. It : +Mb2, Iz : IMa2, Ix : IM(a2 + b2')

fO.83. Un trompo tiene Ia fo¡ma de un disco sólido uniforme de radio a

y masa M y una varilla delgada de masa m y longitud I acoplada a su centro (figura 10-26). Encontrar la velocidad angular con la cual el trompo debe rotar para que parezca "dormido". Suponer que el punto O es

fijo.

10.84.

Desarrollar el problema 10.&3 ¡eferido a un cono de ¡adio c, altura lr y masa M.

10.85.

Desa¡rolla¡ el problema 10.8Íl para un cono de radio a, altura h y masa M sobre el cual se ha acoplado una semiesfera de radio o y masa m.

10.86.

Una moneda de radio t¡ se pone en rotación, con respecto al eje vertical, con velocidad angular o (figura 10-27). Demostrar que el movimiento es estable si o2 2 4g/s-

10.87.

Suponer que la moneda del problema 10.86 rota con velocidad angular s alrededor de un diámetro que está inclinado un ángulo d con ¡especto a la vertical y el cual está fijo en O. Suponiendo que no hay nutación, encontrar el valor de la velocidad angular de precesión de la moneda alrededor del eje vertical.

Fig. l0-26

10.88. Discutir la forma en que pueden usarse los

Fig. l0-27

giróscopos para controlar

los movimientos de un barco en un mar tormentoso.

10.89. El

vé¡tice de un cono sólido uniforme de radio c, altura h y masa M se fija a un punto O de un plano hor¡ alrededor de un eje que pasa por O y

rizontal. Demost¡ar que si el cono rota con velocidad angular perpendicular al plano, entonces la energía cinética de rotación

lO.9O. Explicar cómo pueden de los ejes principales.

es '

3Mh1\:'=+

4ü(oz*

2l!:'"' hz)

encont¡arse los ejes principales de un cuerpo rígido conociendo la dirección de uno

cAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

101

279

ro'91. un cono sólido uniforme tiene un radio

igual al dobre de su altura. Demostrer que el elipsoide de inercia correspondiente a su vé¡tice es una esfera.

ro.92.

Explicar cómo puede usarse el giróscopo como brujula, frecuentemente llamado u,na brújula giroscópica.

10.93. El

sistema most¡ado en Ia figura 10-23 muestra dos masas M

Fig. l0-2t

lo'94' (a) Demostrar que la magnitud del momento necesario para mantener I +Ml2@2 sen 20¿. (ü) ¿Cuál es la dirección del momenio?

el sistema

10.98 en movimiento

lo'95'

Desarrollar: (a) el problema 10.93, y (b) el problema 10.94 si la varilla tiene una masa m.

10.96.

Una placa sólida delgada y uniformc de forma circular y dc ra_ dio a tiene su centro acoplado ar e¡tremo superior de una varilla deliada vertical OA (figura 10-29). Este gira con un valor cons_ tante oe alrededor de un eje inclinado un ángulo a con la normal OB a la placa. (a) Demost¡ar que el vector velocidad angular o tiene una precesión alrededor de la normal OB de pe_ Áodo 2r/(os cos c). (b) Demostrar que el eje Og describe un cono espacial y su periodo es 2r/(os\nTá cosu;).

fO.97.

En el problema 10.96 encontrar el ángulo que gira la placa en el tiempo en que OB desc¡ibe el cono especial.

ro.98.

Encontra¡ los momentos principales de inertia de un cono sólido uniforme de ¡adio c, altura h y masa M con rcspecto al: (o) vórtice, (b) centro de masa. Resp.

lo'99'

B

(o) It = Iz = tW(a2 + thzl, Is = fiHcz (ó) Ir - tr=SM1nz*4o\, Ir= $Aot

Fig. 10-29

Un péndulo compuesto de masa M o¡cila ¡lrededor de un eje ho¡izontal que forma los ángulos a, F, t con respecto a los ejes principales de ine¡cia. Si log momenlos principales de inercia son.I¡, f2, f3 respectivamente y la distancia del centro de masa al eje de ¡otación es l, demostrar que para pequeñas oscilacioneselperíodoes 2"1@i donde 1: Mlz +Itcoe2 af I2coe2 coe2

AlIa

t.

fO.1OO. Encontrar el período de pequeñas oscilacionés de un cono sólido uniforme que rota alrededor de un eje horizontal coincidente con el vértice del cono.

l0.l0l.

Una placa elíptica (figura 10-30) de aemieje mayor ¿ y semieje menor b rota con un valor o6 conrtante alredcdor de un eje que forma un ángulo a con el eje rrayor. En_ contrar el momento requerido para producir estc movi_ miento,

lO,lO2. Desarrollar el problema plaza por un elipsoide,

10.101

si la placa elíptica re ¡rÉFig.10-30

lcAP.

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

280

10

lO.1Og. Dadas las ecuaciones de Euler del movimiento Ce un cuerpo rígido cuando no existe momento externo

fijo O, es decir, flór+(^I3-12)o2,is

a un punto

demostrar

= 0,

1232+gr-f3)rsor1

* Is"! = I?"1 + t?'7+ 13"3 = tr"! +

que

Y

tro?,

= 0,

Isüs+(12-f1)o1r'r2

constante

=

2T

constante

=

I12

= I

lO.lO4. Demost¡ar del problema 10.103 que @r, 02 y dB satisfacen una ecuación diferencial de Ia forma

dy/dx : \/G-pl¡--TJ|¡,

y comprobar

así que

la velocidad angular

puede expresarse en térmi-

nos de funciones elípticas.

lO.lO5. Encont¡ar el momento de inercia de un

cono sólido uniforme de radio o, altura h

to a una linea que coincide con su generatriz.

Resp.

y masa M

con respec-

-ftMa2(a2 l6h2),/(a2 + h2)

10.106. Losmomentosyproductosdeinerciadeuncuerporígidoconrespectoalosejesx,yyzsonl":3, Ivv: l,/g, 1,, : g,/8, I,y : 4/8, 1,, : -4/3, Iy, : o. Encontrar: (o) los momentos principales de inercia, y (b) las dirccciones de los ejes principales. Resp.

(dl fr = 8, I2=2, lt- 4 (D) e1 = l-2t-2k, e2= -2i+i-2k,

ee

=

-2i-2i+k

sobre un plano horizontal con el vértice fijo en el punto O. Demostrar que el eje del cono rota alrededo¡ del eje vertical que pasa por O con una velocidad angular de valor o tan a constante.

lO.lO7. Ur¡ cono de ángulo a con Ia vertical rueda con un valo¡ o constante

alrededo¡ de un eje vertical con una velocidad angular o constante. Una esfera sólida uniforme de ¡adio o se coloca sobre este plano. Demost¡ar que el centro desc¡ibe un círculo con velocidad angular de valor fior.

lO.lO8. Un plano horizontal rota

el problema 10.108 si la esfe¡a no tiene densidad constante. Resp. oK2,/(Kz ¡ sz) donde K es el radio de giro con respecto a un diámetro

lo.lo9. Desarrollar

lO,flO. Demost¡ar cómo pueden encontrarse las distancias ¡elativas máxima y mínima del origen al elipsoide ¿D : Ar2 I By' + Cz2 * Dxy * EYz I Fxz: l. (Sugerencia. Encontrar el má¡imo y el míninto de la función * : x2 * y2 * z2 para la condición ,D : l. Para hacerlo, úsese el método de los multiplicadores de Lagrange, esto es, considérese la función G : V * Ió donde )r (constante) es el multiplicador de Lagrange y eI conjunto AGlan' AG/da,0Gl0z es igual a cero.)

lo,llf.

Explicar la relación entre el problema 10.110 y el método de la prígina 255 para obtener los momenios principales de inercia y las direcciones de los ejes principales.

lO.lf2. (c) Encontrar las distancias relativas máxima y mínima del origen al elipsoide 9x2 * 4xY - 4xz:3(b) Discutir la relación entre los ¡esultados de (o) con l.; del problema 10.106. lg.ff3. Encontrar el momento de inercia del sistema de partículas del problema que pasapor el punto (2, -I,3) en Ia dirección 3i - 2i + 4k.

822

*

si A2 2 anglIJI?.

10.36 es estable

lo.1l5. Encont¡a¡ el momento de ine¡cia de la lemniscata r2 : a2 cos20

con respecto al eje

0.116.

|

10.42 con respecto a una línea

10.114. Demostra¡ que el movimiento del "trompo dormido" del problema

f

LOy2

z.

Resp' [Ma2

Sobre un cuerpo rígido plano (una lámina) se toman dos sistemas coordenados ty y x'y' con su origen O coincidiendo de modo que el ángulo entre los ejes r y r'es c (figura 10-31). Demostrarque (o) Ir'r' = Irx cos2 a - 2lto send cos a I l*sen2 a

(b) It'u' = I*een2 o * 2lry

1O.117. Usar el problema

10.116

sen

d cos a

*

Iuosenz q

para demostrar que

y dar una interpretación fisiba.

Ir'r' + Iv'u, = I""I

Iou

cAP.

101

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

28r

Fig.l0-31

lo.ll8. lo.ll9.

Con refe¡encia al problema 10.116, encontrar una expresión de lr,o, en función de

f,,, I,r, I, y

a,

Usando los resultados de los problemas 10.116 y 10.118 probar que para una región plana cuyos momenros

y productos de inercia se definen mediante 1,,, I,r, /r, con relación a un sistema coordenado particular ry, los ejes principales se obtienen rotando los ejes un ángrllo c dado por tan 2a : I,r/(Ir, 1,,).

-

l0.l2o.

Demostra¡ que las longitudes de los ejes principales en el problema 10.116 están dadas por

,(1,,+t"¡+1/ffi@

lO.l2l.

Discutir el problema 10.19, si

I, )

1".

lo.l22. Halla¡ el momento de inercia de un alambre semicircula¡ de masa M y radio a con respecto a 8u centro. Resp. 2M(r - 2la2/r r0.r23. Demostra¡ que la expresión del lado izquierdo de la ecuación (4) en el problema 10.29 es la componente ve¡tical del momentum angular.

lo.l24. Discutir el problema

si la raíz de la ecuación (1) es: (o) igual a u,, (b) menor eu€ u1. roJ25. un cuerpo rígido consta de 3 partícul8s Dl¡, mz ! ms. Las distancias entre ¡n t ! mzi mz y mai mt ! m ¡ son J¡2, lzs ! let, respectivamente. Demostrar que el momento de inercia del sistema alre10.32

dedor de un eje perpendicula¡ al plano de las partículas y que pasa po¡ su centro de masa está dado por

mtmzt?zj,rcr*msmi!, lo'126'

Deducir un "teorema de los ejes paralelos" para los productos de inercia e ilustrarlo con un ejemplo.

LO'127' Demostra¡ que los momentos principales de inercia de un triángulo de lado a, b, c y de masa M al¡ededor del cent¡o de masa están dados por

It = Iz = ff@r+b2+"2+2@, lo'l2E'

Is = fff""*b2+c2)

Una moneda de 1,5 cm de ¡adio rueda sin deslizarse sob¡e una mesa horizontal en tal forma que el plano de la moneda hace un ángulo de 60o con la mesa. Si el centro de la moneda se mueve con rapidez de 3 m/seg, demostrar que la moneda se mueve en una trayectoria circular y hallar el radio . Resp. 2,5 m

Copítulo ll Ecuociones de Logronge METODOS GENERALES DE LA MECANICA Hasta ahora la formulación de los problemas de mecánica ha sido tratada fundamentalmente con las leyes del movimiento, de Newton. Es posible tratar la mecánica desde puntos de vista más generales, en particular los que se deben a Lagrange y a Hamilton. ^A,unque tales procedimientos se reducen a las leyes de Newton, ellos se caracterizan no solamente por la relativa facilidad con que muchos problemas se pueden formular y resolver sino por su relación tanto teórica como práctica en campos avanzados, tales como mecánica cuántica, mecánica estadística, mecánica celeste y electrodinámica.

COORDENADAS GENERALIZADAS Supongamos que una partíóula o un sistema de N partículas se mueven sujetas a posibles constricciones, como por ejemplo una partícula que se mueve a lo largo de un alambre circular, o un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de un plano inclinado. Entonces, se necesita un número mínimo de coordenadas independientes para especificar el movimiento. Estas coordenadas denotadas por Qt, Qz, . .

(1)

., Qn

son llamadas coordenadas generalizadqs y pueden ser distancias, ángulos o cantidades que las relacionan. El número n de coordenadas generalizadas es el número de grados de libertad.

En un problema dado son posibles varios conjuntos de coordenadas generalizadas, pero una elección apropiada puede simplificar el análisis considerablemente. NOTACION En adelante el subíndice a denotará el rango de I a n, del número de grados de libertad, en tanto que el subíndice y indicará el rango de 1 a A, del número de partículas del sistema.

ECUACIONES DE TRASFORMACION Sea r,= fivi'lU,i*z,k el vector de posición de la ¡,-ésima partícula con. respecto a un sistema de coordenadas xyz. Las relaciones de las coordenadas generalizadas (1) a las coordenadas de posición están dadas por las ecuaciones de trasformación rv = rr(Qt, Qz, . . ., q', t)l

Uv :

2v =

U,(qr, qz, . ' ., Q", lr(Qr, qr, . . ., qr,

t) | t)

(2)

|

donde ú representa el tiempo. En Ia forma vectorial (2) se puede escribir así

ru :

rr(et, ez, , , ., en,

t)

Se ha supuesto que las funciones (2) V (3) son continuas y tienen derivadas continuas.

(3)

cAP.

111

ECUACIONES DE LAGRANGE

283

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOS Los sistemas mecánicos se pueden clasificar en escreronómicos o reonómicos, holonómicos o no-holonómicos y conseruatiuos o no-conseruatiuos de acuerdo con las siguientes definiciones. SISTEMAS ESCLERONOMICOS Y REONOMICOS En muchos sistemas mecánicos importantes el tiempo ú no aparece explícitamente en las ecuaciones (2) o (3). Tales sistemas algunas veces se llaman escleronómicos. En otros, como por ejemplo aquellos que implican movimientos con constricción, el tiempo ü aparece explí-

citamente. Tales sistemas se llaman reonómicos.

SISTEMAS HOLONOMICOS Y NO.HOLONOMICOS Denotemos por g r, e z, . ., Q n las coordenadas generalizadas que describen un sis_ tema y llamemos ü el tiempo. Si todas las constricciones del sistema se pueden expresar por ecuaciones que tengan la forma ó(qt, e2,..., Qo, t) - 0, o su equiválente, se'dice, entonces, que el sistema es h'olonómico y en caso contrario se dice qué el sistema es no-holo-

nómico.

SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO.CONSERVATIVOS Si todas las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtener de una función potencial (o energía potencial) V, entonces el sistema se llama conseruatiuo. en caso contra¡io será no-conseru at iuo. ENERGIA CINETICA. VELOCIDADES GENERALIZADAS La energía cinética total de un sistema es

T = !2L*,*

(4)

La energía cinética se puede escribir como una forma cuad,rótica de las uelocidades generalizadas ó". Si el sistema es escleronómico (o sea, explícitamente independiente del tiempo ü) entonces la fo¡ma cuadrática tiene solamente términos de la forma a,pQ.ep. Si este es reonómico, también están presentes los términos lineales enQ,.

FUERZAS GENERALIZADAS Si I;[/ es el trabajo total realizado sobre un sistema de partículas por las fuerzas F, que actúan sobre la y-ésima partícula, entonces I

dW= 2

i;*

donde

oa = E-"

oodq,

6q"

llama la fuerza generalízado asociada con la coordenada generali ma 11.6. se

(5) (6) zad.a q o. Véase el proble-

ECUACIONES DE LAGRANGE La fuerza generalizada se puede relacionar con la energía cinética por las ecuaciones (véase el problema 11.10)

ldT \ A\ail/ d

ar ¡,q"

=Oa

(7)

2U

ECUACIONES DE LAGRANGE

IcAP.

11

Si el sistema es conservativo de modo que las fuerzas se pueden obtener de un potencial o de la energía potencial V, podemos escribir (7) como

d /aL\ ó¿ ti\iil) -t":

donde

o

(8)

L=T-V

(9)

que se llama función lagrangiana del sistema o simplemente lagrangiana. Las ecuaciones (7) y (8) se llaman ecuaciones de Lagrange y son válidas para sistemas holonómicos los cuales pueden ser escleronómicos o reonómicos.

Si algunas de las fuerzas del sistema son conservativas o sea que se pueden obtener de un potencial V', en tanto que otras fuerzas tales como el rozamiento, etc., son fuerzas no-conservativas, podemos escribir las ecuaciones de Lagrange como

d

/aL\

a¿

dt\aq"/ donde

L : T - V' y qL

(10)

:Qc

lqo

son las fuerzas generalizadas asociadas con las fuerzas no-

conservativas del sistema.

MOMENTA GENERALIZADOS Definimos

Fa:fil dT

(1

1)

el momentum generalizado asociado con la coordenada generalizada q,. Con frecuencia llamamos a p, el momentum conjugado de go, o ¡nomentum conjugado. Si el sistema es conservativo y su energía potencial depende únicamente de la coordenada generalizada, entonces (lI) se puede escribir en función de la Lagrangiana L : T - V

pa=filAL

(12)

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO-HOLONOMICOS Supongamos que hay rn ecuaciones de constricción de la forma

2 A"dq, + Adt o su equivalente

(13)

)A"d"+a =0, )8"A"+B:0,

Por supuesto debemos tener m

( n

(14)

donde n es el número de coordenadas g".

Las ecuaciones (I3) o (I4) pueden o no ser integrables para obtener relaciones que involucren las go. Si no son integrables las constricciones son no-holonómícas o no-integrables; en caso contrario son holonómicos o integrables. En cualquier caso las ecuaciones de Lagrange se pueden remplazar por

d laT

;¡\iil donde los rn parámetros el problema 11.18).

?-

\ - a? = ,*

trr, tr2,

@o

*

trrao

+

)'28" +

(15)

son los llamados multiplicadores de Lagrange (véase

Si las fuerzas son conservativas (15) se puede escribir en función de la lagrangiana Z V como a¿ d /aL\ a\;=*) - ," =

trrao

*

'\28"

+ "'

:

(16)

cAP.

lrl

ECUACIONES DE LAGRANGE

285

Hacemos énfasis en que los resultados anteriores son aplicables a sistemas holonómicos (como también a los no-holonómicos) puesto que una condición de const¡icción de Ia forma

ó(Qtqz,...,Qn,t) =

0

(17)

=o

08)

por diferenciación se puede escribir como

la cual tiene la forma (IJ).

saÓaa"+ffat ? aq"*

ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS IMPULSIVAS Supongamos que las fuerzas F, que actúan sobre un sistema son tales que

('\dt lím r+O

= J,

)¡

(/e)

donde 7 representa un intervalo de tiempo, F,, las fuerzas impulsiuas y J" los ímpulsos. Si empleamos los subíndices 1 y 2 para denotar, respectivamente, las cantidades antes y después de la aplicación de las fuerzas impulsivas, las ecuaciones de Lagrange se convierten en (véase el problema 11.28):

d?\

a?\ = l" - ñ)' T"= 1t,.#,

(20)

ad"l, donde

si llamamos f" el ímpulso generalizado, Impulso generalizado

:

(21)

(20) se puede escribir

cambio en el momentum

generalizado

e2l

lo cual es la generalización del teorema 2.6.

Proble mas resueltos COORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE TRASFORMACION 11.1. Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias para especificar completamente el movimiento en cada uno de los casos siguientes: (o) una partícula constreñida a moverse sobre una elipse, (b) un cilindro que rueda hacia rn un plano "b"¡o inclinado, (c) las dos masas de un péndulo doble (figura 1l-3) constreñidas a moverse en un plano. (o) Consideremos que la elipse está en el plano ry de la figura ll-1. La partícula de masa m en movimiento sob¡e la elipse tiene las coordenadas (r, y). Sin embargo, puesto que tenemos las ecuaciones de t¡asformación ¡ : a cos t, y : b sen d, podemos especificar completamente el movimiento empleado por la coordenada generalizada c.

v

,'ó

Fig. l1-l

Fis. lr-2

Fis. U-8

zffi

ECUACIONES DE LAGRANGE

(b)

lcAP.

11

La posición del cilindro (filu¡a l1-2) sobre el plano inclinado está completamente especificada por la distancia r, que se ha movido por el centro de masa y por el ángulo d que ha rotado el cilindro alrededor de su eje.

Si no hay deslizamiento r y d están relacionados, de modo que tan solo se necesita una coordenada generalizada (bien sea r o e). Si hay deslizamiento son necesarias las dos coordenadas generalizadas r y e. (c)

Las dos coordenadas 0t ! 02, especifican completamente la posición de las masas m1 y m2 (véala figura l1-3) y pueden ser consideradas como las coordenadas generalizadas pedidas.

se

11.2.

EScribir las ecuaciones de trasformación para el sistema del problema 11.1(c). Escojamos un sistema de coordenadas.ry como se muest¡a en la figura 11-3. Sean (¡t, yr) y (tz, yzl las coordenadas rectangula¡es de n¿t ! fiz respectivamente. Entonces en la figura 11-3 vemos que

d1

I1

11

cos

52

J1

cosdl * l2cosC2

Ut = A2 =

11 sen 01 11

sendl * l2sen02

son las ecuaciones de trasformación pedidas.

11.3.

Demostrar que Tenemos

*0Q"-

aP-.

\qo'

tu = tr(Qbgz, ..., {¡, t).

Entonces

dtr. + Aqrer

. ru =

, orr. , "'-'-ll;q¡tE

4

Así

dan

oru

(r)

dr,

(2)

0qo

Podemos considerar este resultado como una "cancelación de los puntos"

11.4.

Demostrar que Tenemos de

9i.. 4/!IL\ dt\aq"/= 0Q"'

(I),

del problema 11.3,

Arv. . , Arv. ¡v = afier+ "'+l¡%+E 02t,

(r) d2tu

= t*t*qr*"'+aqiq"c"+acá¡ 0 /|r,\dq, O f d:,\dqu a/a\\ acr\acJE- "'- a%\a%)E- ü\a%/ 02r, 02¡u 02ru aq¡*tr + "' + auauq" + an,-

Entonces

Ahora

Como se supuso que

02¡u

0¡,

r,

Q)

(3)

tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, el orden de la deriva-

ción no tiene importancia. De modo que de (2) y (3) se llega al resultado pedido. El resultado se puede interpretar como un intercambio en el orden de los operadores, o sea

¿/ a\

¿¡\aq") =

a

/¿I\

aq"\E

)

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOS 11.5. Clasificar cada uno de los siguientes sistemas según ellos sean: (i) escleronómicos o reonómicos, (ii) holonómicos o no-holonómicos y (iii) conservativos o no-conservativos.

cAP.

rll

ECUACIONES DE LAGRANGE

287

(a) Una esfera que rueda hacia abajo desde la parte superior de una esfera fija. (b) Un cilindro que rueda sin deslizarse hacia abajo en un plano rugoso inclinado un

ángulo c. ( c ) Una partícula que se desliza hacia abajo sobre la superficie interior, con coeficiente de rozarniento ¡r, de un paraboloide de revolución que tiene su eje vertical y su vértice inclinados. (d) Una partícula que se mueve sobre un alambre muy largo siñ rozamiento, el cual rota con velocidad angular constante alrededor de un eje horizontal. (o) escleronómico (las ecuaciones no contienen el tiempo ú erplícitamente,¡ no-holonómico (puesto que la esfera que rueda abandona la esfera fija en algrin punto)

conservativo

(b)

(la fuerza gravitatori a se puede obtener de un potencial)

escleronómico

holonómico

(la ecuación de constricción

es

la de una línea o un plano)

congervativo (c) escleronómico holonómico

(d)

no-conservativo

(puesto que las fuerzas de rozamiento no se pueden obtener de un potencial)

reonómico holonómico

(las constricciones contienen erplícitamente el tiempo ü) (la ecuación de constricción es lg de una línea que contiene erplícitamente el tiempo ü )

conservativo

TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS 11.6. Deducir las ecuaciones (5) y (6) para el trabajo realizado sobre un sistema de partículas.

Supongamos que un sistema erperimenta inc¡ementos dqr, dq", , dqn de las coordenadas generalizadas. Enüonces la v-ésima partícula experimenta un desplazamiento

d'u Así el trabajo total realizado es

dw =

r,. at, ":),

=

= ,2r*,oo'

.i {"i n,'}}au = "i+"aa"

+a =

donde

á".;

Llamamos th"lafuerzageneralizada, asociadaconlacoordenadagenerarizadaqo.

11.7.

Demostrar que ec = 0W/0q". Tenemos

dw = t#oo".También,

por el problem

>(*"

a rL.6, dw:

-#)o'" =

) ood{,.

Entonces

o

Así, puesto que las dg" son independientes, todos los coeficientes de dqo deben ser ce¡o, y por

0W/)qo,

f

1.8.

Sea F, la fuerza neta Demostrar que

#{e

tanto ó" :

actúa sobre la y-ésima partícula de un sistema.

- )m,i,'

0í, aq"

= ?','#,

lcAP. rr

ECUACIONES DE LAGRANGE

288

De acue¡do con la segrnda ley de Newton aplicada a la partícula r-ésima, tenemos

mr'i, = ú,

Entonces

*ti,.#

Ahora, por el problema

r1.4,

Aeí

ir(r".

(r)

= \.*

el

#) = ;". # * i".*r(r?) = .;,.y;; * ,,.*

i,.dqfu;

= *(r,.*E) - i,'.*

(4)

Por tanto, de (2) tenemos, ya que my es constante,

*(^,','*) - ^,','* = ','fr Sumando en ambos lados cún respecto a todas las partículas r, tenemos

f

1.9. Si ? es la energía cinética

(a) (o)

de un sistema de partículas, demostrar que

#=1*,r,.*, La energía cinérica es

(b)

# = )m,i,.H

f = I7^r3 = L2^"|". i,. Así aT ac"

(b)

= siry"'ll;Oiu

Tenemos por la "cancelación de los puntos" (problena 11.3),

d1'siirs.ot" = zmr\'ñ ñ

=

zmu¡u'ld

ECUACIONES DE LAGRANGE

ll.lo.

Demostrar su"

#(#) - # =

Del problema 11.8,

#{;

tba¡

d= l, ...,fi, donde

oa

=

>

*r'#) - }^r.'*, = ?",.#

De loe problemas 11.9(o) y r1.9(b),

sj^"'r*oi, s.irudT mur,.

i Enüoncea, eustituyendo (2) V @) en

(I),

ñ

F,.

#. (,,

aT = r*

e)

= ft

(3)

encontramos

*(#)-# = óa

v)

cAP.11l

ECUACIONES DE LAGRANGE

La cantidad

Pa

289

=#

(5)

es llamada el momentum generalizado o momentum conjugado asociado con la coordenada generaliza-

d" g"'

ll.1l.

Suponer que las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtener de una función potencial V es decir, considerar que el sistema es conseryativo. Demos-

trar que si la función lagrangiana es -L : T _ V, entonces, d /aL\ d¿

d¿\ail)

-d* =

o

Si las fue¡zas se pueden obtener de un potencial V, entonces (véase el problema 11.?),

éa

=

# = -#

Puesto que el potencial o la energía potencial es función únicamente de las q (y posiblemente del tiem-

po

aL = :-€-vl ailtin'

¿,)

aT

= din

leo =

Entonces del problema 11.10

*(#)-#,=-#'*(#)-#

=0

f 1.12. (a) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple, (ó) obtener la ecuación que describe su movimiento.

(¿)

Escogemos como coordenada generalizada el ángulo d que forma la cuerda del péndulo OB y la vertical OA (véase la fi!u_ ra 11-4). Si I es la longitud OB, entonces la energía cinética es

T=

Smoz

=

*,n(lirz

= \rntzáz

(r)

La energía potencial de la masa m (tomando como nivel de referencia el plano horizontal en el punto más bajo Á) está

dada por

V - ms(OA-OCl = ms(t- Icosa) = ¡ngl(L _ cos r)

el

Fig.ll-4

Así la lagrangiana es

L= (ó)

La ecuación de Lagrange

De

T

4,4-\ -eL ) ae =

es

dc\ae AL

(J),

- V = t*lt;, _ mgt(l_

d0

dL

= -mglsene,

cosr)

(3)

o

Tó=

(4)

mlzá

(5)

Sustituyendo en (4) tenemos

mlz'i+mglsenc

= 0

o

'i+f""nc =

0

(6)

la cual es la ecuación de movimiento pedida (comparar con el problema 4.23).

rl'13'

Una masa M2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre una polea sin rozamiento y que no rota, (véase la figura 11-5). En el otro extremo de la cuerda hay una polea que no rota de masa M¡ sobre la cual pasa una cuerda que porta las masas mt Y mz. (a) Determinar la lalrangiana del (ó) Hallar la ace"i.t"*". leración de M z.

2n

lcAP. l1

ECUACIONES DE LAGRANGE

Sean respectivamente Xt y Xz las distancias de las masas Mt ! Mz por debajo del centro de la polea fija. Sean ¡r y ¡z las respectivas distancias de m¡ y m2por debajo del centro de la polea móvil M1. Puesto que las cuerdas son de longitud fija,

XL+ Xz = constante = Entonces diferenciando con respecto al tiempo

6',

tt+ü2

= constante =

ü

ú,

ir+li, = s o *r- -*, rr+tt2 = 0

Y

o

fr2

= -xr

Así tenemos

M, - *, de M, - *, = -*, . .l de rn, = ;16r+ rtl = Xt 4 rt

Velocidad de Velocidad Velocidad

=

*r*r*

12)

=' *, +

i, = *, - i,

,nl Fig. rl-5

Entonces, Ia energía cinética total del sistema es

r = twr*i + +Mr*1 *

gm¡(*1+i,)z

+ L m, (*, - i,\'

(r)

La energía potencial total del sistema medida con relación al plano horizontal que pasa por el cen-

tro de la polea fija

v

es

= -Tn',oo**', -:::: -.1"1.;J,i;',;,:":.;:i*',*

Entonces la lagrangiana

o

-,u

e)

es

L = T-V

=

tMr*1 + +M2*1 + Sml*1*ir¡z ¡ ¡m¡*r-ir¡z * MúX, -l M2s@-Xt) + mú(Xt*¡r) 4 mzc(Xt*ü-r1)

Las correspondientes ecuaciones de Lagrange para X ¡ j

a

¡

(3)

son

d/aL\ a¿ = o, ^ d/aL\ dL al#;)-#, a\r;)- r,

=

(4'

o

De (3) tenemos Af.

= (Mt-Mz*m1lrn2)g

d¡, = Mú-Mzg+rnplm2g AL

oXt dL dnt AL d&t

nlr*r+ ar*r+ m¡i.r+ir¡ + ^r1*r-ir¡ = mp-n¿zg = Q\-mzlg = m¡*r+ir¡ - ^¡*r-ir¡

(Mt+Mz+m1+m2)*1

= pnr-m2)*r * (m1im2li1

Así, las ecuaciones (4) vienen a ser

* (mr-rn2)11 = (Mr-Mz+m1*m)g @r-*z)i, * (mt*mz)'í = (mt-mzls

(ML+ M2*m1*m2)X1

Resolviendo simultáneamente. encontramos

*

(m1-m2)i1

CAP.

111

ECUACIONES DE LAGRANGE

29r

Entonces la aceleración hacia abajo de la masa M2 es constante e igual a

X2=-Xt=g l1'14' Usar las

ecuaciones de Lagrange para determinar sas en oscilación del problema g.1. Refiriéndonos a las figuras 8-T y 8-g, la energía cinética

T = \mil+

la ecuación diferencial de las ma-

es

grni:l

(1)

Como los alargamientos de ios reso¡tes AP, PQ y QB de la figura 8-8 son numéricamente iguales a xz - xt y 12 respectivamente, la energía potencial del sistema es De modo que la lagrangiana

y = ¡*r2'-t !r(r2-

es

r1)2

r

e)

lx',?"

L = T-V - +nxil+t*i,tr-**"1_ t*@r_n112_$rxf, Las ecuaciones de Lagrange

a¿ ^ d /aL\ Tr\;l) a''=u' ¿¡l;ily

como

0rt

(3)

son

d /aL\

Entonces

r¡,

u)

- -Krr* x(r2-n1l = r(r2-Zrr),

AL

dn,= -*(n'-e)-Krz las ecrraciones (4) se convierten

= 'c(rt-2'r),

"n mt, = K(rc2-rrrr,

m'iz

)

(5)

en concordancia con las que se obtuvie¡on en el problema g.1.

1r'15' Usar las ecuaciones de Lagrange para hallar la ecuación diferencial de un péndulo compuesto que oscila en un plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo.

Consideremos que el plano de oscilación está representado por el plano ry de la figura ll-6, donde O es la inte¡sección con el eje de rotación y C es el cent¡o de masa.

Co

que la masa del péndulo es M y su momento

de inerc radio de

cto a su eje de rotación es 16

istancia OC

:

:

MK2 (K

:

h.

Si d es el ángulo instantáneo que hace OC

con el eje vertipasa po¡ O, entonces la energía cinética es ? : ¡tobt : lMXz'ez. La energía potencial con relación al plano ho¡izontal que pasa por O es V : cos d. po¡ tanto la lagrangiana

cal

que-

-Mgh

es

L = T-V

Puesto queóL/Oe = ción de Lagrange es

o

- l2Mlfziz*Mghcose -Meh sen d y dL/6it = MR26, la ecua-

#(#)sea

MK2';*Mghsene = 0 Compare con el problema 9.24.

ll'16' Una partícula

-e o

=

o

T+*""ne 'K2

=

0

Fig.ll-6

de masa /n se mueve en un campo de fuerza conservativo. Hallar (o) la función de Lagrange (b) las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas (p, ó, e) (véase el problema LI47).

292

ECUACIONES DE

(o)

La energía cinética total

la lagrangiana

ces

es

? = t*lb, *

p2í2

LAGRANGE

[CAP. 1I

+ izl. La energía potencial V : V(0, d, z). Enton-

L = T-V - **liz+e242+r2)-V(p,e,zl (b) Las

ecuaciones de Lagrange son

¿t / aL\ aL :-l:=dr\a; l-- ao = 0,estoes

) ¡l / aL\\-- aL _=t: = dú \a¿ ) ao

4(+\-* dú\a; )

a"

=

_av

#,^;, - (^or"

dp

*fi -0 '

0,estoes

ftwr"b

o,estoes

¿\mz) +

d..,.av E

=

i, -. o mZbzd dt" " ---

av ao

U o ¡nz=-E av

11.17. Hacer el problema 11.16 si la partícula se mueve en el plano ry y si el potencial depende únicamente de la distancia al origen. En este caso V depende únicamente de p y z : 0. Entonces las ecuaciones de Lagrange en la parte (b) del problema 11.16 vienen a ser

m(í_p6\ =

_#,

ftG,it =

o

Estas son las ecuaciones de movimiento en un campo de fuerza central obtenidas en el problema 5.3.

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO.HOLONOMICOS 11.18. Deducir las ecuaciones de Lagrange para constricciones no-holonómicas. Supongamos que hay m condiciones de constricción de

?O"Oo.

I Ailt = 0,

la

2B.dqn

forma

* Bilt =

o,

(r)

< n, el núme¡o dq coordenadas 9". Como en el problema 11.10, tenemos

donde ¡n

Yn

=

*(#)-#

= ]*,;,.*

(2)

Si 8r, son los desplazamientos virtuales que satisfacen las constricciones instantáneas (obtenidas considerando que el tiempo , es una constante), entonces Ahora el trabajo virtual realizado es

sW

6r' = ? *'0"

(3)

= )m,i,'6r, = ??-,i'*ro'

= )Yoeq, a

Ahora, puesto que el trabajo virtual se puede escribir en función de las fuerzas generalizadas

sw

Q) Oo como

(5) d

por resta de (4) y (5) tenemos,

>(Y"-óo)6go = q

(6)

0

Puesto que ógo no son todos independientes, no podemos concluir que Y" : éo, lo cual nos con' a las ecuaciones de Lagrange como en el problema 11.10. A partir de (l), como t es constante para constricciones instantáneas, tenemos las ¡n ecuaciones

duciía

)Ar8qo = g, )8oEqo = qd

o,

(7)

cAP. Ul

ECUACIONES DE LAGRANGE

Multiplicando por los m multiplicadores de Lagrange trr,

) (Irao + )\zBa * .. .)

293

tr2, y sumando, go = 0

tenemos (s)

e

y (8) nos da

Restando de (6)

?

("" -

éd

-

¡,r¿a

-

tr¿Bo

- ...)

8qo

= o

(9)

Ahora según (7) podemos resolver ¡n de las cantidades 69" (digamos 6qt, ..., óg.) en función de las restantes fo" (digamos 0qm+¡ , óC^). Así en (9) se pueden .orr.id"r* inr, .., óg. como de-

y 6e m+r¡ . . ., 8{, como independientes. Consideremos arbitra¡iamente los coeficientes de las va¡iables dependientes iguales a cero, es decir,

pendientes

Yo-óo-trtÁo-)\¿Bo-..,

- 0,

a=1,2,..,rrn

(10)

Entonces quedarán en la suma (9) únicamente las cantidades independientes óq" y, puesto que éstas

son a¡bitra¡ias, se deduce que sus coeficientes deben ser ce¡o, Así.

Yo- úo-)\ta, Las ecuaciones (2), (I0) y

(lI)

d /aT\ A\ffl-ñ,

-\zBo_

... - 0,

a=tt|,*Lr.,.rn

nos conducen a

dT

= oc+rraa+tr28o+"'

corlo se pedía. Estas ecuaciones junto con (I) establecen las ¿

r1.19. Deducir las ecuaciones Del problema

utl

a=1,2,..',n

(12',

* ¡n ecuaciones con n * m incógnitae,

(16), para sistemas no-holonómicos conservativos.

11.18

n"(#")-# = ód + r'ád + + "' ^2Ba Entonces las fuerzas se pueden obtene¡ de un potencial, (1) se puede escribir

#t(fn) -

dondeZ:T-V.

# :

é, = -aV/ilqo

rr,c +

r28a

+

(r)

donde V no depende de rio. Aeí,

"'

(21

f f.2O. Una partícula de masa fn se mueve bajo la acción de la gravedad sobre la superficie interna del paraboloide de revolución x2 + J2 : az el cual suponemos sin rozamiento (véase la figura 11-7). Obtener las ecuaciones de movi_ miento. Según el problema 11.16, nadas cilíndricas está dada por

la

lagrangiana en coorde.

L = f,m1i,z + p2;i2 + iz¡ - mgz (r) I y2 : pz, la condición de constricción

Puesto que x2

esp2-az-0asíque

2p8p-o6z = O Si llamamos gt : 0, Qz :

e)

tf, Qt : z y

comparamos (2) con las ecuaciones (Z) del problema 11.1g, vemos que

At=2p, Az=0, As=-a

Fig.11-7

(J)

puesto que sólo se da una const¡icción. Las ecuaciones de Lagrange (véase el problema

escribi¡

d /aL \ ¿i\ñ)-

ó¿ ú, = trrl'

a

= tr2r$

U.l9)

se pueden

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

294

es

decir, *(#) -ú =

Usando

,^,0,

d /aL\

dL

A(rA)

=

dp

d /aL\

u'

Tr\rz

)-

1r

aL

a" = -)rro

(l), esto viene a ser

*6-p6\ = 2)rrP ^ftb'it = o m2 = -mg-^ro

(4) (5) (6)

También tenemos la condición de const¡icción

2pp-o2 =

(7)

O

Las cuatro ecuaciones (4), (5), (6) v (7) nos facilitan encontrar las cuatro incógnitas p, ó, z, ]¡.

Ll-.zL. (a) Demostrar que la partícula del problema 11.20 describirá un círculo horizontal en el plano z : h siempre y cuando se le imprima una velocidad angular de magnitud igual I o : \tr|n. (b) Demostrar que si la partícula se desplaza ligeramente de su ttayectoria circular, entrará en oscilación alrededor de su trayectoria con una frecuencia dada por

(r/")\/2e8.

(c) Discutir la estabilidad (¿)

El radio del círculo que

se

de la partícula en la trayectoria circular.

obtiene al intersectar el plano z

oo Rcmplazando

z: h

-

: h

con el

paraboloide p2

az

es

(/)

tlob

en la ecuación (6) del problema 11.20 hallamos

ltt = -'nglo

e)

Entonces remplazamos (1) V Ql en la ecuación (4) del problema 11.20 y llamando tramos que rn (-p9ro2) = 2(-mglolpo o ,¿2 = 2glo de lo cual

El período y la frecuencia de la partícula

,,=r,G y

(b)

:

": ":tmtoria

i :

a, encon-

circula¡ están dados, .""o""ri""-"n,1,

lt=*"\rc

(4)

De la ecuación (5) del problema 11.20 hallamos

P2ó

Si

suponemos que

=constante= A

la particula partió con velocidad angular

i =

(5) o,

hallamos

A : aho,

así que (6)

olu¡lP2

Como las oscilaclones tienen lugar muy cerca del plano

z:

h, hallamos, remplazando

z:

á

en la ecuación (6) del problema 11.20, que

\t = -'nglo Remplazando (6)

v (7) en la ecuación (l) del problema

(7) 11.20 hallamos

i - oznz']¡rt = -zgplú

(8)

Ahora si la trayectoria se aparta ligeramente del círculo, entonces p se aparta ligeramente de p6. Esto nos perrnite hacer la t¡asformación

o - pstu

(9)

en (8); donde u es pequeña en comparación con p¡. Entonces (8) viene a ge¡

ü-m

= -!too*u)

Pero con un alto grado de aproximación,

11

6,+"F =

wÑ

=

t('*#)-' = t('-#)

Q0)

cAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

111

295

po¡ el teorema del binomio, en donde despreciamos los términos que tienen u2, do los valo¡es de po y o dados en (I) y (J) respectivamente, (I0) vlene a ser

ü+(Sslolu cuya solución

=

u3,..

Emplean-

o

(5)

es 1t = q cos 1f Bgll ú * c2 sen 6c/" t, Así p = po*u = t/ií+,reos{ffiú*e2sen{ag/"t

De esto se concluye que si la partícula se desplaza ligeramente de su trayecto¡ia circular de radio po : \/ffi, esta entra¡á en oscilación al¡ededor de la trayectoria con frecuencia

rz =

+rE =:tE

Pz-=

o período

(6)

"rE

(7)

Es interesante obsen'ar que el peúodo de oscilación en la trayectoria circular dada por (4) es el doble del peíodo de oscilación alrededo¡ de la trayectoria ci¡cular dada por (z). (

c

)

Puesto que la partícula tiende a ¡egresar a la trayectoria circular cuando se desplaza ligeramente de ella, el movimiento es estable.

11.22. Discutir el significado físico de los multiplicadores de Lagrange blema 11.18.

rr,

)rz,

del pro-

En el caso que no haya constricciones, las ecuaciones de movimiento, según el problema 11.10, son

!/9L\-ar at \ad" ) lea =

ó

En el caso que haya const¡icciones las ecuaciones, según el problema 11.1g, son d /aT \ a?

ñ\d)

=

- d

Óa

+

¡'rÁa

+

r28a

+ "'

Se sigue que los té¡minos rrA" * rrB" * "' cor¡esponden a las fuerzas generalizadas asociadas con lae const¡icciones. Físicamente, los multiplicado¡es de Lagrange están asociados con las fue¡zas de constricción que actúan sobre el sistema- Así, cuando determinamos los multiplicadores de Lagrange esencialmente estamos tomando en cuenta los efectos de las fuerzas de constricción sin que encontremos explícitamente es-

tas

fuerzas.

ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS DE IMPULSO 11.23. Deducir la ecuación (20). Para el caso de las fue¡zas finitas tenemos, según el problema 11.10,

¡l /aT \ A\rü-f*

donde

a?

=

.Da = _-r >r...9\qn

lntegrando a ambos lados de (r) con ¡especto a t desde ü

Í,' asr que

(r)

'Da

/aT\ \ilil),=,

Tomando el límite cuando

(2)

- 0 hasta ü : r.

*(#)" - Íl #3 = !' *"a,

/aT\ - (A/,=, í,'#n = ;{({

(3)

"'")'*}

¡- 0. tenemos

'r-fl+\ -/dr\ I- )n!:#," = ;{(l*

r-o [\dlc,/t=r \ad"/r=J

11,"4'Hl

(4)

(#),-(#), = +r"#,

o

usando

11.24.

IcAP.

ECUACIONES DE LAGRANGE

296

rsf

#* =

0 puesto

0""

#

es finito,

r lS {

11

=Tn Dudt

= gn

Un cuadrado ABCD formado por cuatro barras de longitud 2l y de masa ,7¿, articuladas en sus extremos, reposa sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Un impulso de magnitud .l se aplica en el vé¡tice A en la dirección AD. Hallar la ecuación del movimiento. Después de golpear el cuadrado, su fo¡ma en gene-

ral

será un rombo

(figura

11-8).

Supongamos que en cualquier instante ü, los án-

gulos formados por los lados AD (o BC) y AB (o CD) r son respectivamente 0t ! 0z y las coordenadas del centro M son (1, y). De modo que r, y, er, C2 son las coordenadas generalizadas. De la figura 11-8 vemos que los vectores de posición de los centros de las barras E, F, G, II están dados, respectivamente, por

con el eje

rs = t¡, = ts = r¡7 =

O

Fig.U-t

(u

-lcosc)i*(A -lsencl)i *tcoser)i*(U -lsene)i (u *lco¡cr)i*(y*lsenar)j (u -tcoser)i1'(A *Isenc/i (x

Lasvelocidades instantáneas de E, F, G, H están dadaspor

vr = i¡ - G +lsencl át)i+ (ü- Icosot ár)i v¡ = ir = (¿-laene2ór:lt+6-lcoscri2l¡ vc = ic = (;-!sendlbr)i+ú*tcoscrJl)j v¡r = ir = (¿+Isenc2ór)i+ ú+leoac2it2l! La energía cinética de la bar¡a AB es la misma que la energía cinética de una masa m localizada en el centm de masa E, más la energía cinética de ¡otación con respecto a un eje que pasa por E perpendicular al plano ry. Puesto que la velocidad angular tiene magnitud ti2 y el momento de inercia de una bar¡a de longitud 2l con respecto a su centro de masa es .[^, : lml2, la energía total de la barra AB es

Ttn

=

*m;3+üIo"b?

Análogamente, las energías cinéticas totales de las barras BC, CD y AD son

Tac

=

¡m12,

+

Ut"i?,

Tco

=

$mize

+ trIcDilZ, Tto =

Así, la energía cinética total es (usando el hecho de que .I

\mifu + *Inoi",

-- In : I"c : I"o : [ml2)

T = Tna+TBc+TcD+TAD

dos

y

iil + \;?+ áZ)

=

gm(f;+ i3 + iá +

= =

\m(tlz * tiz a zr2|l + 2t24) + zm(i:z + ít2) + tmt2(ü+ ilrr)

¡mtzlá1,

+ 'fi¡

Supongamos que inicialmente el rombo era ún cuadrado con sus lados paralelos a los ejes coordenasu centro localizado en el origen. Entonces tenemos

r=O,A=0, c1=t/2, ez=0, &=0,ú=0, át=0,i2-0

Si usamos la notación

( )r y ( )2 para

las cantidades antes y después de aplicarse el impulso, tenemos

CAP.

lrl

ECUACIONES DE LAGRAN6E

297

(#), = (4tni)' = o (#), - Qmit' = s (fi), =gtnni,),- o (#),=1tu12ó),=o (#),=

(mit2 =

Ami (#),=

@rnürz

-

4mú

(#),=

Qmtzi,)2

= Jmtz61 (#),=

gmt2i2

-

fimtzá"

Entonces

o

ff'),-(#),= ''

r, o

(#),-(#),=

(#),-(#), ", o (#),-(#,), =', o donde hemos suprimido el subíndice

r'

4¡ni

=

4,,,:i¡

= v,

f;'mtzá1

=

rs,

tmtzá'

=

re,

(1)

( )r.

Para hallar Tt, Ty, Tcr, Te" notamos que

To donde

7!,

= 7J,.#

(5)

son las fuerzas impulsivas. Así tenemos

T, = .g".u# * Je .'# * t".'ff * .gr.t# ry = .g^.d#* J".#* t".#*.g".# = s",#r J".#r* t".'utrr*.g".'#, r," = J^.#r J".#* t".#..g".H Tr,

(e)

Ahora, de la figura 11-8 encontramos que los vectores de posición de A, B, C, D eatdn dadoe por

t¡ = (r - lcos0, - I cos czli * (a - | send¡ * lsena2fi rs = (r- Icoscl * t cos e2li * (y - l sencl - t senczl! rg = (r * | cosel * I cos czli * (u * | sencl - I aene)i rp = (r * l cosal - l cos czli -l (U * lsen el * l aenc2li Puesto que la fuerza impulsiva en A está inicialmente en la di¡ección poeitiva del ejey, tenemog

Jt =

.9i

Entonces las ecuaciones (6)-(g) dan

f , = 0, Ty = .9,

Te,

=

-,91

coslr,

Te,

=

,91

eoaez

Qll

Entonces las ecuaciones (l)-(a) se convierten en

4m&

= 0,

¿mü

= ,9,

lnAzá,

- -¿!lcosc1,

fimtrá,

= ¿lleoal2

U2l

11.26. Demostrar que la energía cinética desarrollada inmediatamente después de la aplicación de las fuerzas impulsivas en el problema 11.24 es T : ,g/ztn.

ECUACIONES DE LAGRANGE

298

IcAP.

11

De la ecuación (I2) del problema 11.24, tenemos

i = o, ü = *,

6t =

-ffi"o"rr,

'e,

= ffi"oscz

Sustituyendo estos valores en la energía cinética obtenida en el problemaLL.24, hallamos

| =# .

d,

Ynos2

* cos2 a2)

Pero inmediatamente después de la aplicación de las fue¡zas impulsivas, madamente. De modo que (I) viene a se¡ ? : J"/Z^.

(I)

0, : ,/2 ! 0z : 0

PROBLEMAS VARIOS 11.26. En la figura ll-9, AB es un alambre recto y liso, fijo en el punto A sobre el eje vertical OA. AB gira alrededor del eje OA con velocidad angular constante úr. Una cuenta de masa ¡? está const¡eñida a moverse sobre el alambre. (c) Determinar la lagrangiana. (b) Escribir las ecuaciones de Lagrange. (c) Determinar el movimiento en cualquier instante. (c) Sea r la distancia de la cuenta al punto A en el ins-

aproxi-

z

tante ¿. Las coordenadas rectangulares de la cuenta están dadas por

U = fSenaCOgr¡ü A = rsendseno¿ z = h_rcoaa donde hemoe supuesto que en ü : 0 el alamb¡e eetá en el plano ¡z y que la distancia OA es h. La energía cinética de la cuenta

r Fig.U-9

es

T = [m(iz+úz+¿2\ = $ml(i

sen a cos o¿

* (i

- of

sen a sen oú)2

sen a sen orú

+ o/

sen a cos

r,rú)2

* (-i

cos a)2)

= ¡m(iz * o42sen2a) r

cos

La energía potencial tomando el plano ry como nivel de referencia, es V : mgz : mC(h d). Ehtonces, la lagrangiana es

L = T-l (b)

Tenemos

AL

mt¡zrsenza * mg

0r

y la ecuación de

es deci¡,

(c) La

= $m1|z+o2r2senzel-m¡(h-rcosc)

d / aL\ Lagrang. ees A\$)-t

dL

=o

AL ----= lnf

coaa.,

dr

"

m'i - 1m^zrsen2c * mg cosal = ii_1"zsen2c)r = gcosd

solución general de la ecuación

(I)

0

(r)

remplazando el lado de¡echo por cero es

cra(o

sen

a)t j

¿r¿-(osen a)t

Puesto que el lado derecho de (I) es una constante, una solución particular es - g cos q/62 sen2 d. Así, la solución general de (1) es

r =

Cle(usen art

+

cze- I/2. El alambre rota al¡ededo¡ del diámetro ve¡tical con velocidad angular constante o. obtene¡ ecuaciones del movimiento de la varilla.

11.93.

Suponer que el potencial V depende tanto de

T

es constante,

11.94.

i,

como

de gr. Verificar

que la cantidad

+v->a,#

Emplear las ecuaciones de Lagrange para establecer y resolver el problema de dos cuerpos que se discu_ en el capítulo b.

tió

11.95' Encontrar ra aceleración de ra masa de 5 g en el sistema de la figura 11-14. Resp. 7tg/622

de poleas

esta desigualdad.

11.97, Emplear las 8.27.

11'98.

ecuaciones de Lagrange para resolver el problema

Desc¡ibir el movimiento de las va¡illas del problema 11.64 después de un tiempo cualquiera f de aplicar el impulso.

(a) Establecer la lagrangiana del sistema. (ó) Escribir una ecuación dife¡encial del movimiento de P en

(c)

función de r. Encontrar la magnitud de la velocidad de p para cualquier posición.

Resp. (ol (b')

L - [mlZia * rziz1 * ms(t- r) 'i = az&/f - g

(c)i-

t/2aúoi 2C@-rl

-

2azúolr

Fig.11-11

Fig. 11-15

[cAP. u

ECUACIONES DE LAGRANGE

310

ll.foo.

Hacer el problema 11.99 si las masas de las partículas P y Q son, respectivamente, mr y m2-

ll.lol.

Demost¡ar que

cí¡culo

si

uo

r : a y que "i

:

la partícula P del problema 11.99 permanece en equilibrio estable en el pose despla"a ligeramente de su posición de equilibrio oscilará al¡ededo¡ de esa

5

sición con un movimiento armónico simple de período Z"t/Ulgg'

ll.lo2,

A¡ del moComprobar que la cantidad O,¡ del problema 11.34 representa fisicamente la componente mento.

rl.log.

de un tiempo Deecribir el movimiento del sistema del (¿) problema 11.63 y, (b) problema 11.66 despuée cualquiera f de aplicar el impulso.

ll.lo4.

Indicar cómo calcular el ángulo con el cual cae la esfera del problema 11'37'

rl.lo5. (o) (b)

Establecer la Iagrangiana del péndulo triple de la figura 1l-16. Encontra¡ las ecuaciones de movimiento'

ll.106.

oscilacioObl,ener las frecuencias y modos normales del péndulo triple del problema 11.105 considerando neó pequenas.

ll.lOZ.

Hacer los problemas 11.105 y 11.106 cuando las masas y las longitudes son dife¡entes.

Fig. rr-16

Fig. l1-1?

masa m y se resorte ve¡tical tiene una masa M y una constante ¡. si se suspende del ¡esorte una un mopone en movimiento, demoetrar, utilizando las ecuaciones de Lagrange, que eI sistema iniciará vimiento armónico simple de período 2,@ +ffi'

1l.ro8. un

Copítulo

12

Teorío homiltoniono METODOS HAMILTONIANOS En el capítulo 11 estudiamos una formulación de la mecánica debida a Lagrange. En este capítulo estudiaremos una fo¡mulación debida a Hamilton y conocida en conjunto como métodos hamiltonianos o teoría hamiltoniano. Aunque esta teoría puede emplearse para resolver problemas específicos de la mecánica, se encuentra que es más útil en proporcionar postulados fundamentales en campos tales como la mecánica cuántica, la mecánica estadística y la mecánica celeste.

LA HAMILTONIANA Del mismo modo que en el capítulo 11 la función lagrangiana, o brevemente la lagrangiana, es fundamental, en este capítulo será fundamentálla ¡unción hamiltoniana o la hamiltoniana. La hamiltoniana que se representa por H, se define en función de la lagrangiana como

H = to"A"-"

(r)

y debe expresarse en función de las generalizadas go y los momentos genera"oord""n=j¿^s lizadosp.. Para cumplir este propósito deben eliminarse de (I) las velocidades ri" rriitir"rrdo las ecuaciones de Lagrange (por ejemplo véase el problema 12.3). En tal caso la función

ff

puede esc¡ibirse

H(Pr, , . ., Pn, et, , . ., q¡, t) o más brevemente

H(po,

eo,

t),

que también recibe el nombre de hamiltoniana

(2)

del sistema.

ECUACIONES DE HAMILTON Las ecuaciones del movimiento del sistema pueden escribirse en forma simétrica función de la hamiltoniana

en

Fn= (3)

Qo= Estas son las ecuaciones canónicas de Hamilton o ecuaciones de Hamilton. Las ecuaciones sirven para indicar que las p. y las go desempeñan papeles similares en una formulación general de los principios de la mecánica.

LA HAMILTONIANA DE SISTEMAS CONSERVATIVOS Si un sistema es conservativo, la hamiltoniana puede interpretarse como la energía total (cinética y potencial) del sistema, esf,o es.

H=

T

TV

(4)

Esta ecuación proporciona frecuentemente un método fácil de establecer la hamiltoniana de un sistema. 311

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

3r2

12

COORDENADAS CICLICAS O IGNORABLES Una coordenada go que no aparece explícitamente en la lagrangiana es wa coordenoda cíclica o ignorable. En tal caso

b,=*--o

de

(5)

tal modo que po es una constante, llamada frecuentemente constante del mouimiento. En este caso tenemos también que óIIlóq" =

0.

ESPACIO DE FASE La formulación hamiltoniana proporciona una simetría obvia ent¡e las p" y las go a las que, respectivamente, llamamos coordenadas de momentum y posición' Con frecuencia está indies riiit imaginar un espacio de 2n dimensiones en eI cual un punto representatiuo cado por 2n coordenadas

(Pt, .. .,Pn, Qt, . .,,

(6)

Q")

llama un espacio de fase de 2n dimensiones o un espacio de fasepq. Siempre y cuando que conozcamos el estado de un sistema mecánico en un tiempo ü' esto es, conozcamos todas las coordenadas de posición y momentum, entonces este estado corresponde a un punto particular en el espacio de fase' Recíprocamente, un punto en el espacio de fase especifica el estado de un sistema mecánico. Aunque el sistema mecánico se mueve en el espacio físico de 3 dimensiones, el punto representativo describe una trayectoria en el espacio de fase de acuerdo con las ecuaciones (3).

Tal espacio

se

TEOREMA DE LIOUVILLE Consideremos un gran número de sistemas mecánicos conservativos que tienen la misma hamiltoniana. En tal caso la hamiltoniana es la energía total y es constante, es decir,

H(Pr, . . ., Pn, Qt, , . ', qn) = constante

=

'E

(7)

que puede representarse por una superficie en el espacio de fase'

Supongamos que las energías totales de todos estos sistemas están comprendidas entre Et V Ez. Entonces la trayectoria de todos estos sistemas estará comprendida, en el espacio Et Y de fase. entre las dos superficies H Ez, como se indica esquemáticamente H en la figura l2-1. Debido a que los sistemas tienen condiciones iniciales diferentes, se desplazarán en el es-

pacio de fase por trayectorias diferentes. Imaginemos que los puntos iniciales están contenidos en la región (r de la figura l2-l y que después de un tiempo f estos puntos ocupan la región fi.r. Por ejemplo, el punto representativo coFig. l2-l rrespondiente a un sistema particular se desplaza desde el punto A hasta B. Es obvio que el número de puntos representativos en fi.r y Rz es el mismo. Lo que no es tan obvio es el siguiente teorema, llamado teorema de Liouuille.

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

313

12.12 Teorema de Liouuille. Los volúmenes de 2n dimensiones de Rr son los mismos, o si definimos la densidad como el número de puntos por unidad de volumen, entonces la densidad es constante. Podemos conside¡ar los puntos de Rr como partículas de un fluido incompresible que se desplaza desde tr hasta fi.2 en un tiempo ú.

Teorema

y tz

CALCULO DE VARIACIONES Un problema que se presenta frecuentemente en matemáticas es hallar una curva

Y(¡) queunelospuntos

x: a y x: ó talquelaintegral(endonde y' :dy/dxl ?b

)" sea

F(n,y,y')

] :

dr

(8)

un máximo o un mínimo, llamado también ualor extremo. Con frecuencia a la curva

se le da el nombre d.e extrernal. Puede demostrarse (véase el problema 12.6) que una condi-

ción necesaria para que (8) tenga un valor extremo

es

d/{\-{ v ñ\w/- u = o

(e)

que es la llamada ecuación de Euler. Este problema y problemas similares se estudian en una rama de las matemáticas llamada cálculo de uariaciones.

PRINCIPIO DE HAMILTON La semejanza de (9) con la ecuación de Lagrange conduce a considerar el problema

de

calcular los vq,lores extremos de ftz

{ttI

o

L(qr, . . ., e,, qr, . . ., e^, tl

brevemente,

donde

ft" úat

L : T - V es la lagrangiana

Podemos demostrar que

r

d,t

Q0)

a,

de un sistema.

la condición necesaria de una curva extremal

+(9L il\lt)

\ - a¿= aq"

es

u

(rr)

que son precisamente las ecuaciones de Lagrange. El resultado llevó a Hamilton a'formular un principio variacional general conocido como el

Príneipio de Hamilton. Un sistema mecánico conservativo se desplaza un tiempo ü r hasta un tiempo t 2 en tal forma que ?tz

J,, "

O'

desde

Q2\

llamada la integral de acción, tiene un valor extremo. Debido a que frecuentemente el valor extremo de (12) es un mínimo, el principio se conoce también como el principio de Harnilton de la mínirna acción. El hecho de que la integral (12) es un mínimo, se simboliza estableciendo que ?.2 ,Jr,"O = 0

donde ó es el símbolo de variación.

(I3)

TEORIA HAMTLTONIANA

314

lcAP.

12

TRASFORMACIONES CANONICAS O DE CONTACTO La facilidad de la solución de muchos problemas de mecánica depende frecuentemente de las coordenadas generalizadas que se empleen. En consecuencia es necesario examinar las

trasformaciones de un conjunto de coordenadas de posición y momentum en diferentes coordenadas generalizadas. Por ejemplo, si go ypa son las antiguas coordenadas de posición y momentum y si Q' Y P, son las nuevas coordenadas de posición y momentum, la trasformación es

Po

=

Po(pr, ...,Fn, et, ...,en,

t),

Qo

=

Q,(pr¡

Q"

=

Q"(po,eo,t\

...¡Fn,

et,

...,en, t)

(14)

o brevemente

Pn

= Po(Pn,eo,t'),

(15)

Nos limitamos a las trasformaciones llamadas trasformacíones canónicas o de contacto, para las que existe una función ¡tl, llamada la hamiltoniana en las nuevas coordenadas,

tal

que

: aJ{ 'ñ, q"=ffi i,"=-'&

(/6)

En tal caso Qo y P" reciben el nombre d,e coordenodas canónicas. Las lagrangianas en las antiguas y en las nuevas coordenadas son, respectivamente, L(Po, Qn, f) y {( Pn, Qo, t). Ellas están relacionadas con las hamiltonianas H(po, qo, t) y J{(P", Q", ü) por las ecuaciones

H = 2pod"-L, J( = )p"ó"-{ donde

la sumatoria

se extiende desde

c: t

(17)

hasta n.

CoNDICION PARA QUE UNA TRASFORMACION SEA CANONTCA El siguiente es un teorema importante. Teoremo 12.2. La trasformación Po = Po(po,en,t), Q" = Q"(po,eo,t\ es canonrca

Zp"dq"

8r

> P"dQ"

(r8) (1e)

es una diferencial exacta.

FU NC IONES GENERATRICES

Po¡ el principio de Hamilton las t¡asformacioñes canónicas Qa) o (/5) deben satisfacer las condiciones de que f" r,at , f" {ilt tengan ambas valores extremos, esto es, debeut\

lr

ar

mos tener simultáneamente que

af,,"Ldt Se satisfarán estas condiciones

=o

y

tf"'¿" dpo Luego utilizando el hecho de que po

ú como una

,#oo, - ,#or"

= 0Ll0ün y in = |Lldqo,

(I)

se reduce a

dH = 2doap, - 2ño¿q, Pero como

lf

está erpresada en función d"

p" y

e)

go, tenemos

dH = -saL¿".+ -ifidu >..aH ' apo-,n Comparando (2) V

$)

llegamos al resultado deseado,

irH.aH la=¡¿, (ó)

H contiene explícitamente a

=

dH = dH

O"=-Agn

t.

En este caso lag ecuaciones

dH

(3)

(l),

(2) v (3) de la parte (o) se remplazan por las ecuaciones

2p.¡ti, + >i" ilpn 2&n¿po

-

>ó" aq, -

,#oo" - ,#or" -

fiat

#ot

v) (5)

= >ffiur" + 2ffaa, + ffat

(6)

Luego, comparando (5) y (6) tenemos que

.dH.dHdHdL Qa=6, Fa=-¡¿,

ü=-ü

12.2. Si la hamiltoniana

es explícitamente independiente de ü, demostrar que es: (a) una constante y es, (b) igual a la energía total del sistema.

(a)

De la ecuación (12) del problema 12.1 tenemos

# = >¿"i"->ó"i" =

o

Por consiguiente H es una constante, digamos E.

(ó)

Po¡ el teorema de Eule¡ de funciones homogéneas (véase el problema 11.47),

>¿-+ = -dúo

2r

318

TEORIA HAMILTONIANA

[cAP.

12

donde ? ea la energía cinética. Entonces, como pa - ALhAn = ATlilin suponiendo que el potencial V no depende de {o, tenemoe )po üo = ZT, po¡ tanto comprobamos que

H = 2poi,-L 12.3. Una partícula

se mueve en el plano

= LT-(T-V,) = T+V =

E

ry bajo la influencia de una fuerza central

que

depende únicamente de su distancia al origen. (a) Establecer la hamiltoniana del sistema. (b) Escribir las ecuaciones de Hamilton del movimiento.

(o)

Suponer que la posición de la partícula se erpresa en coordenadas polares (r, c) y que el potencial debidoalafue¡zacentraleeVb). Comolaenergíacinéticadelapartículaes ?: trm(i2 l'¿i2l, la

lagrangiana es

L = T-V = ¡mftz+rz'sz¡_V(rl p, = aLlO; - ni, pe = 0Ll6i = ¡nr26 i=pJm, i-prlmrz

Tenemos

así que Tenemoe entonces que

H=

la hamiltoniana t-

(r) (2)

(3)

es

= ei + poi -

"?rn"a'-L /e,\ / pc

= o,\^) + nt\ñ) \ _

p7

G¡n(i¿

+

nlózl

- v(rl)

{*(# * ,,.#*)- v(d}

G)

e8 = z^+ñ+V(r)

Obsen¡ar que esta es la energía total erpresada en función de las coordenadas y los momenta.

(ó)

Las ecuaciones de Hamilton

Luego

gon iln = dHl|ps, iio - -ilHllqn

i=dHldp,=pJn, it=dVl¡pe-pl¡nrz b, = -aHl|, = plnÉ - V(r\, ,ie = -dHlAc = 0

(5) (6)

Observamos que las ecuaciones (5) son equivalentes a las ecuaciones (B).

ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE 12,4. Demostrar el teo¡ema de Liouville en el caso de un grado de libertad. Podemos imaginar el sistema mecánico desc¡ito en función del movimiento de puntos representativoa a t¡avés de un elemento de volumen en el eapacio de fase. En el caso de un sistema mecánico con un grado de libertad, tenemos un espacio de fase de dos dimensiones (¿ g) y el elemento de volumen se reduce a un elemento de Area dpdq (figora l2-2). Sea p : p(p, C, t) la densidad de los puntos rep¡esentativos, eato es, el número de puntos representativos por unidad de área, el cual se obtiene por un procedimiento apropiado de límites. Como la velocidad con que los puntos representativos entran a través de AB es Q, el número de puntos representativoe que entran a través de ÁB por unidad de tienpo es

pi ¿p

(r)

Fig.l2-2

El número de puntos representativos que salen a través de CD

es

')

f.+ d {n,i frteilao¡ao

(2)

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

319

Por coneiguiente el número de puntos que permanecen dentrc del elemento ee (I) menos (2), o

-

á^

6obtl

dn

do

(s)

Similarmente el núme¡o de puntos representativos que entran pot AD y salen por 8C son, respectiva-

menüe,

pi¿c

l'/

v

tee

\

+ a "'

*blldplac

Luego el número que permanece en eI elemento es

.,

d, . -¡obildndt El

Ul

aumento de puntos representativos es, po¡ consiguiente, (sumando (g) V (a))

* {@ Loc Como es iS,aal

a

fiiQdq,

a!i't\ dp)

oooo

debemos üener

g*J4O+i@] dt Laq ae) = o

**,#*#a+,**hb Po¡ las ecuaciones de Hamilton b

= -aVlaq, i = |Hldp a'H . aA 9i-

0p =

o

=

(5)

así que

azr

Aq-- dq dp

- 0p 0q'

Por tanto, como

supon_emos

cluye que dfilap

que la hamiltoniana tiene derivadas continuas de segundo orrden, ee con-

= -ailaC.

Remplazando este resultado en (5), tenemos que

Pe¡o esto se puede esc¡ibir

**#a*#b = o

como

(6)

ilpldt = 0

(7')

lo que demuestra que la densidad en el espacio de fase es constante y, €n cons€cü€ncia, hemos verificado el teorema de Liouville.

12.6.

Demostrar el teorema de Liouville en el caso general. En el caso general el elemento de volumen en el espacio de fase es

dV --

dq1

.. . ilqnilpt... ilpn

Se encuentra en una forma exactamente igual a la del problema 12.4, que el aumento de puntos representativos en dV es

... + abi,,| + abitl +... l@ +?""--iacr aqr- apr-"'+ y como es igual

"

fraV,

aerlov

debemos tener que

a(p,ir)

dt * 0h + ?p

abiJ\,,,

,

... + a(p,in) + lqn

abbtl

lpt

+... *

a(páo)

to+ $. a!ed")+ = At ' Et ilqn ' i @ ae"

o Esto puede escribirse como

dpt

ign

=

o

o

"€,

s lao:.@;-\+ o" - ap"o" u - ,At \aq" ¡

3

o3, o"/4*91=) \ac"- ae")

=o u

(r)

TEORIA HAMILTONIANA

320

Por las ecuaciones de Hamilton

in= -dVl\qo, iin= 0HlOpn

,io _ _ azH ipn

Luego

lcAP.

Abnl|pn= -\iollqn y (l)

así que

,dn _

|po1qo'

lgu

a2H dqodpo

ge convierte en

. *¡") esto

dpld.t

eE,

op-

12

=0

(2) (3)

=Q

constante

Observemos que hemos usado el hecho de que

dp ü

si

p

:

p(qt,

{ laoit!y+g¿l,.:)+g a4E/ - dt =

"á \ac"E-

,p', ü) entonces

3

+

a=l

!;t") + fi

CALCULO DE VARIACIONES Y PRINCIPIO DE HAMILTON

12.6. Verificar que la condición mo (máximo o mínimol

f: = o.

necesaria para que

* *(#)-ff

Suponer que la curva que hace que

f

fo vc

,rr,

y, y')

sea un valor extre-

sea un ertremo está dada por

a = Y(xl, o=rSb Luego U = Y(xl*c1@l = Y*cn donde e que es independiente de r, es una curva cercana que pasa po¡ ¡ : q@)=z(b)=0 el valor de .I para esta curva

dx

(l) (2)

¿

y ¡ : b si hacemos

que (3)

cencana es

ab

I(.) = J"rrr,Y*q,Y'*cr¡'ldr

(4\

Eeta es un ertremo cuando e : 0. Una condición necesaria para que esto sea ".i, ". Pero de¡ivando dentro de la integral, suponiendo que esto es válido, encont¡amos

¿il1 = (olaP + ar',\ ¿ l.=o J" \*' *t' )ar

qu. $ Q. 6€ |l€=0- =

=

que puede escribirse integrando por partes como

*(#) * (b lap ¿ /ar\l = = )",\*_ú\r¡)Jo"

Í"' #,¡ itr I

#

rl'"

-

Í"o ,

o

en donde hemos utilizado (3). Debido a que z es arbitraria, debemos tener

¿ /ar\ #-*(#) =. o t\ú)-fr

aF

=

o

que es la ecuación de Euler o de Logrange. El resultado se ertiende fácilmente a la integral

vb

I ua

r@, yt,yl; gz,uL, , ' ., un,!'nl tlu

y conduce a las ecuaciones de Euler o de Lagrange

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

d,/aF\_aF ú\aI) -dY" = o

321

a=l'Z'""n

Por el desarrollo de la serie de Taylor, de (4) encontramos que

rG)

- r(0) = " l"'(il,

. #r)t6

-f

términos de orden superior sn c2,ra, erc. (5)

El coeficiente de t en (5) sb llama con frecuencia uariacíón de la integral.y /'b

sJI El

hecho

F(x, y, y,l dr

a, ou. Jo F(a,A,U'l da sea un extremo E

se denota por

es indicado por

r+

I F(x,y,y,) ilr =

ul

0

12.7. Discutir la relación

del principio de Hamilton con el problema 12.6. Identificando la función F(x, y, y') con la lagrangiana .L(ú, q, i) donde t, y y y,

zado por

Ú,

g,

i

se han rempla. respectivamente, observamos que una condición necesaria para que Ia integral de acción

t." , o,

(t

)

.l

sea un extremo (máximo o mínimo) está dada por

.aL

!a\A)/at\

dq =

o

(2)

Como lo hemos visto (2) describe el movimiento de la partícula, por tanto para que se realice tal movi. miento se requiere que (.r) sea un extremo, lo cual corresponde al frincipio de Hamilton. Para sistemas que involucren n grados de libertad consideramos la integral (I) donde

L =

L(t,qbAt,qz,ü2, .,.,qn,ünl

que conduce a las ecuaciones de Lagrange

d/aL\_aL ¿t\ad"/ oÍa 12.8.

Una partícula

se

v^

e.

= lr2, ,. .rn

desliza desde el reposo, sobre

un alambre en un plano vertical, desde un punto hasta otro por la influencia de la gravedad. Determinar el tiempo total empleado. Indicamos la forma de la curva C del alambre en la figura 12-B y suponemos que los puntos inicial y final del

movimiento son el origen pectivamente.

y el punto A(¡o, yo),

res-

Supongamos que la partícula tiene masa m y que

por p(r, f). Según el principio de la conservación de la energía, si elegimos como nivel de refe¡encia una línea horizontal que pase por A, tenemos Fig.12-B ...*" potencial en O -| energía cinética en O : energía potencial en p * energía cinética en p su posición está dada

o

msys

dond,e

ds/dt

* 0 =

rns(aó-ú + *m(ü/dtz

es la rapidez instantánea de la partícula en el tiempo ú. Entonces

daldt

= ¡Fw

,)

Si medimos el arco s desde el origen, entonces s aumenta cuando la partÍcula se mueve. Entonces ds/df ea positivo, así que ds/dt : {td o dt : ds/VW.

El tiempo total

empleado para

ir desde y

: 0

hasta

y : yo es

[cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

322

ft

12

frto

l-" ds = Jol'¿, = Jy=o @ pe¡o (ds)2

:

(d.x)2 1- @y),

o

ds: ,Ñ

d¡.

Enüonceseltiemporequeridoes

I

rYo '/f+7 . ,lo "" )"=o -r/w

¡ =

e)

viaja del punto O al punto A en el menor tiempo posible, demostrar que la ecuación diferencial de la curva C que define la forma del alambre es 1 * y'2 + 2yy" :0. Una condición necesaria para el tiempo r según la ecuación (2) del problema 12.8 para ser un míni'

12.g. Si la partícula del problema

12.8

mo es que

¡t /dF\ ¿r ú\Ú)-;i = o

(r)

¡' =

(21

*g'\rtzg-rrz ilFloy, = (l+g,\-rrz u' u-rtz, 0Fl0g = -ü(r + o'z¡ttzn-ttz

donde Ahora

(1

Sustituyendo ésta en (I), haciendo la derivación indicada con respecto a ecuación diferencial requerida. El problema de determinar tocroma.

r y simplificando

obtenemos la

frpcuentemente el problema de la braquis-

la forma del alambre ee llama

12.f O. (a) Resolver la ecuación diferencial del problema 12.9 y así, (b) demostrar gue la curva requerida es una cicloide.

(a)

Ya que .r no apa¡ece en Ia ecuación diferencial, hagamos

y,, =

#= #y"=

!' : u aeí que

Hu, =

"#

Entonces la ecuación diferencial ee convierte en

LtuzIZuufr=

O

2uilu,du-n

t+dÉ-T -

o

Integrando obüenemos

o

ln(1*22)*ln/=lnü donde b es una constante.

Entonces dt u=u.=á={-3

(1

+u2lu

"

-

b

f_

ya que la pendiente debe se¡ posiüiva. separando las variables e integrando, encontramos

' =I Haciendo

J:

Fr-"du*c

b senz e, podemos esc¡ibir

/. r-ü = J {f#*'2D

sen

c

coEo

ilc

+

c

ff

Entonces las ecuaciones paraméüricas de la curva requerida son

n - [b(zc-sen20)*o' tt = bsen2' = *ütr-co¡2c) Ya que la curva debe pasar Por ¡ : 0, y - 0' tenemos c : 0' Entonces haciendo o=*b o=2c,

(r)

las ecuaciones paramétricas requeridas son

t =

o(Q

-senP),

! =

o(L

-coso)

(2)

cAP. r2l

TEORIA HAMILTONIANA

(ó)

323

Las ecuaciones (2), son lae ecuaciones paramétricas de una cicloide (figura l2-4). La constanüe o se debe determinar en tal forma que la cuiva pase po¡ el puntoA. La cicloide es la trayectoria desc¡ita po¡ un punto fijo sobre un cí¡culo que rueda a lo largo de una línea dada (véase el problema l2.gg).

\t

\----l

a

Fig. t2-4

TRASFORMACIONES CANONICAS Y FUNCIONES GENERATRICES l2'll' Demostrar que una trasformación es canónica si existe una función tal que itrqldt e = L- -q. ¡en se¡ simultáneamente extremas así que sus variaciones

?tt ólut, lat=O

y af'," {t -QodP, + (.gil-Hl¡tt (1)

d,q'o + 2QoEo + (Jl-H\¿It \/r +>p"o") ='roo deJ = 2poilqo + >SditPo + Ul-$dt eS = f +>PaOa

¿(

o

esto

esr

donde Pero como

g[

es una función

Los

v)'

1

(2)

(3)

de 9", P", t'

d,er comparando (2\ Y

12

=

r,Hoo,

+ 2ftae" + flat

,, = H, g, = ffi,

resurtado.

É

g¡ =

(41

fl*,

: -'#,, á" ='#

"

sonconsecuenciadelproblema]12.12,y8que¿l|esl^ahamiltoniana.

P : á(p' * q'\, Q : tan-'(q/p)

L2.14. Demostrar que la trasformación Método

l.

sean I/(p, il v ,9I@, Q) las hamiltonianas en coordenadas P, que H(p, ql : ,9{@, Q). y" que p, g son coo¡denadas canónicas'

.

O

pero

9 v P' Q' respectivaFente,

aH C :_dH : il = --ll,

dq

e\

oJ{ aQ a.9l q. , a.g{ aQ a:H # ññ dP f,* ,Q uo' de "*

a,.9{

así

(t)

;=fti+ffio,;=#b+#á aH :

es canónica'

ap

(3)

De las ecuaciones de trasfo¡mación dadae, tenemos

aP :ap =

dP P' -ll = o'

dQ= p -q = + dt' aq - T+ qD 12 -ap aQ-

a P y Q respectivamente obtenemos También. diferenciando las ecuacionee de trasformación con ¡especto

/ oq dp , .ao 0 ^ = (our-uU)/\P 'v, t. = e#+q#, "9L\ /r,.r+olt

o = ,fr *

,fr, t = (r:á- oft) /w'**t

Resolviéndolas simultáneamente, encontramos

# = Fir'

u4,

=

F1*' # = -o' # =

o

(4)

cAP. l2l

TEORIA HAMILTONIANA Entonces las ecuaciones (1)

y (Z)

b=

325

se convierten en

FiOF-qe, ; = ffiF+oo

(5)

aH

q a,!{ * p dJ{ dH = _aJ{ dq = nuú '7F-erTc'r¿@, ap Pap:-F;Vñ

Así, de las ecuaciones (1), (5)

y (6)

(6)

tenemos

ffii_oá = _,#_F+# ffii +,ó = ,#- F+d#

Resolviéndolas simultáneamente encontramos

las cuales muest¡an que

-F=-Vad' v = ;P ^-aJ{

Py Q son canónicas

(7)

y que por consiguiente la trasfo¡mación es canónica.

Método 2. Por el teorem a 12.2, la trasformación es canónica si

2poitqn - >podg"

(8)

es una diferencial exacta. En este caso (g) se convierte en

pilq - PdQ =

- t@z+qz¡ (p¿q^ , q!e\ \ p2*q2 / t@h + odol = ,t(tpq) p¿Ic

=

una diferencial exacta. Entonces la t¡asformación es canónica.

ECUACIONES DE HAMILTON.JACOBI 12'16' (o) Escribir la hamiltoniana para un oscilador armónico unidimensional de masa (b) Escribir la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. (c) Usar el método Hamilton-Jacobi para oi¡iener el movimiento del oscilador.

¡n. de

(a) Método l. Sea q la coordenada de posición del oscilado¡ armónico, asi que energía cinética es ? : *mdt y la energía potencial :

V

Er momentum así

"

es

que

f

es su velocidad.

trrqr, la lagrangiana

=

ya que la

es

(r)

i =orrlrrT-*^u*

e)

i = p/*

(J)

H = 2podn-L = n&-l¡mflz-t*czl = |f/m + ¡*qz

Vl

Entonces la hamiltoniana es

Mótodo

2. según el problema l2'2,ya que la hamiltoniana es la misma energía total para un sistema conservativo,

H = $mlz***q'= tn(plmrz|t*q" = lp2/m*L*q,

[c AP.

TEORIA HAMILTONIANA

326

12

de Hamilton-Jacobi es (véaee la Usando P = deJlAq v la hamiltoniana de Ia parte (o), la ecuación ecuación (26)

(b)

'#. *(H)'* ¡0, = (c)

tc,

o

Supongamos una solución de (5) de la forma

eJ Entonces (5) ee convierte

=

(6)

Sr(q)+sz(ú)

en h,(+)' * **q' = -#

(71

Haciendo cada lado igual a la constante p, encontramos

,*,(+)'*t*c' = F' fr=-a omitiendo las constantes de integración, las soluciones son

st= Í t/ffiaq, en

así que (6) ee convierte

eJ = Í

s2

,/@dc

-

(8)

= -Bt

(e)

Ft

AóloidentificamosconlanuevacoordenadadelmomentumP.Entoncesparalanuevacoor. denada de posición

tenemos,

z

-\

e=H=#u,@oo-P'j dq = @¡ n-J 'fñ-= _,

Pero ya que la nueva coordenada Q es una constante ?'

@(-,tq 2r{s4 t/ffi

o integrando

es

=.1

""n-r PaQo - )pogo.

ECUACION HAMILIION.JACOBI

12.62. Uear el método Hamilton-Jacobi para determinar el movimiento de una partícula que ijae verticalmente en un campo gravitacional uniforme.

12.68. (o) Establecer la ecuación Hamilton-Jacobi del movimiento de una partícula que 3e desliza hacia abajo sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo a. (ó) Resolver la ecuación H¡miltonJacobi despejado en (a) y determinar el movimiento de la partícula' 12.64.

Desarrolla¡ el problema de un proyectil lanzado con rapidez uo fórmando un ángulo c con la horizontal usando los métodos de Hamilton-Jacobi.

t2.6ó.

Uea¡ loa método¡ de Hamilton-Jacobi para describir el movimiento y encont¡a¡ las frecuencias de un ogcilador armónico en (a) 2 dimensiones, (ó) 3 dimensiones'

f2.66.

Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener la función generatriz del problema

12.46.

INTEGBALES DE FASE Y VARIABLES ANGULARES

L2.67. Usar log métodos

de integrales de fase y de variables angulares para encontrar la frecuencia de un péndulo

simple de longitud

I

suponiendo oscilaciones

pequeñas' nttp. lf l9 2¡lll

12.ó8. Encont¡ar las frecuencias de: (o) un oscilador armónico bidimensional, (b) un

oscilador armónico t¡i-

dimensional.

12.óg.

Usando las integrales de fase obtener la frecuencia de pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto.

f2.6O. Se conectan mediante reeorteg igualea

dos

masas'igualee m que pueden desliza¡se sin rozamiento sobre un plano AB. Los extremos de dos de los ¡esorteg se fijan a las paredes en A y B (figu¡a 12-6). Usardo integrales de fage determina¡ lag frecuencias de los modos normales.

12.81. Discutir el problema

12.5? si laa oscilacioneg no

Fig. 12-6

son pequeñas.

PROBLEMAS VABIOS z son l2.BZ. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za de potencial V(p,6,2) donde p,C, partícula' para la (ó) de Hamilton y ecuaciones (¿) las hamiltoniana, la Dar: cilíndricas. coordenadas Resp.

(al ¡¡ -- lclo+ p?61p2 + ú)tz^ * V(p,Q,z) (ü) i = polrn, ó = p¡lmr2, 2 - p,/m,'ño = pllmpt - |Vldp, io= -aVl\o' i'= -aVldz

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

12'63'

335

Una partícula de masa tn que se mueve en un plano, con relación a un conjunto fijo de ejes, tiene una hamiltoniana dada por la energía total. Encontrar la hamiltoniana relativa a un tonjunto de ejes que rotan con velocidad angular constante ¡ con relación a los ejes fijos.

12'6,4'

Establece¡ la hamiltoniana para un péndulo doble. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para determinar

las frecuencias normales en el caso de pequeñas vibraciones.

12.65.

Probar que la condición necesaria para

que

f = f" ,1r,r,i,:il¿t "tt

aF_d/ar\_ü/aF\ *n\a)

dr-dt\a-i

=

gea

un e¡t¡emo

ea

o

¿Puede generalizar este resultado?

12.66.

Desar¡ollar el problema B.T2 por métodos hamiltonianos.

12'67' Una partícula de masa ¡n se mueve sin rozamiento dentro de un cono vertical cuya ecuación es x2 * !2 : z2 tan2a. (o) Escribir la hamiltoniana, y (ü) las ecuaciones de Hamilton usando coordenadas cilíndricas.

Resp.

12'68' 12'69'

H = ry.#r*rnspcota (ó) i - 4#, i, = #-mscota (ol

Usar los resultados del problema 12.67 para demostrar que la partícula describirá una órbita estable en cualquier plano horizontal z : t¿ > 0, y encontrar la frecuencia en esta órbita. Demost¡a¡ que el producto de una coordenada de posición

y su momento

canónicamente conjugado

deberá tene¡ las dimensiones de acción o energía mulüiplicada por el tiempo, esto es,

l2'zo'

Efectuar la integración de la ecuación (I0) del problema 12.16 y comprobarla con la solución de Kepler

del capítulo

12.71. Verificar 12-72.

ML2T-r.

5.

los resultados de la integración (J) del problema 12.21.

Demostrar que la ecuación (9) de Euler, capítulo 12, puede escribirse como

,,,#+u,ffi+#+-#

=

o

12.79. Un hombre puede viajar en bote con rapidez u1 y puede caminar con rapidez u2. Refiriéndose a la figura 12-? demostra¡ que con el fin de ir en el mínimo tiempo desde.el punto A situado sobre una de las riberas del rio a un punto B del ot¡o lado, ól debe dejar su bote en un punto P donde los ángulos ,r y ,2 sean tales que sen r, r*% =

o1

% Discutir la relación de estos resultados con la ref¡acción de la luz en la teoría de la óptica.

12.74.

12.75.

Demostra¡ que si una particula se mueve sin que sobre ella actúen fuerzas exterr-ras, esto es, una partícula libre, entonces el principio de la mínima acción corresponde al del mínimo tiempo. Discutir la relación de estos resultados con los del problema 12.?8.

Fig. r2-?

Deducir la condición de reflexión de la luz en la teoría de óptica usando el principio del mínimo tiempo.

12.76.

[c AP.

TEORIA HAMILTONIANA

336

12

Se desea encontrar Ia forma de una curva sobre un plano que tenga los puntos extremos fijos, tal que su rnomento de ine¡cia con respecto a un eje perpendicular al plano y que pese por un origen fijo sea

mínimo. (o) Usando coordenadas polares (r,0) demostrar que el problem es equivalente a minimiza¡

tegral

I

-

la

in-

f\ ,"r/t 'f f(d.eld':;' v |f=fl

donde los e¡trtmos frjos del alambre son (r¡, c1), Q2,c2). Escribir la ecuación de Euler, o sea obtener Ia ecuación diferencial de Ia curva. Resolver la ecuación diferencial obtenida en (b) o sea encontrar la ecuación de la curva. ftesp. (c) rt : ct sec (30 - c2) donde c¡ y cz se determinan teniendo en cuenta que pasa a través de los puntos fijos.

(b) (c)

12.77. Usar el nétoCo liamilton-Jacobi para establecer la ecuación del movimiento de un péndulo 12.7E. Usar los métodos 12.7$..

de Hamilton-Jacobi para resolver los problemas 11.20

Si tF, C I es el corchete de Poisson (véanse los problemas (o) [¡'r ¡'2, C] = I'tlFz, G\ + F2 [Í'r, G]

(ü) e c) atlP,

(c)

12.25

y

y

la

curva

esférico.

11.21.

12.26), demostrar que

, -l + [r.E'l = [c{. L "l L- , J a¿

aú

" = [sr. c-l + [r.41 ;;IF,G1 Ldú,-J L-, ¡rt)

= 0, (bl lpn,pp) = 0, (a) lpo,epl = inp sic=É ll donde 6op = { ^ es llamado delta de Kronecher. [0 sia*B f2.tl. Evaluar [I{, ü] donde Il es la hamiltoniana y ú es el tiempo. ¿¡I y t son las variables

12.80. Derrostrar que (¿)

[qo, eo]

canónicamente

conjugadas? Erplicar.

12.82.

Demost¡ar

la identidad de Jacobi para los corchetes de Poisson. [tr'r, [tr'2,f's]l

12.83. Ilust¡ar el teorema de Liouville

t

fPz,

[f's,Fr]l

*

[Fr, [Fr,Fz]I

=

0

usando un oscilado¡ armónico unidimensional.

12.84. (o) ¿La lagrangiana de un sistema dinámico

(b)

será única? Explicar' Discutir la unicidad de los momentageneralizados y la hamiltoniana generalizada de un sistema.

12,A6. (c) Establecer la hamiltoniana

(b)

de una cuerda formadapor Npartículas (véase el problema 8.29)' para encontrar los modos ! Ias f'egr¡e¡sias normales' Hamilton'Jacobi Usa¡ los métodos

f2.86.

Demost¡ar que el corchete de Poisson es invariante bajo una t¡asformación canónica.

12.87.

Demost¡ar que el teorema de Liouville es equivalente al resultado

\p/At=[p,H].

l2.BE. (o) Sean Qo= 2nouqn, Pc- 2borpn donde ooryó"rsonconstantesdadasy c: 4=l |¡=l l, 2, , n. Demostrar que la trasformación es canónica si y sólo si b", : L.y/t dond,e A es el determinante.

Qt ap ozt ozz

at,

d¡2

úrr

útt

azn

y Ao¡ es el cofacto¡ del elemento aar en este determinante. (ó) Demostrar que las condiciones en (a) son equivalentes a lá condición >Po8o = )'pr4o.

cAP.

TEORIA HAMILTONIANA

121

12.89. Demostrar que la trayectoria descrita por un determinado punto línea dada es una cicloide.

337

de un círculo que rota a lo largo de una

12.90. (a) Expresar como una integral la energía potencial total de una cadena uniforme cuyos

extremos

están suspendidos de dos puntos fijos. (b) Teniendo en cuenta que en el equilibrio la energía potencial total es un mínimo, usa¡ el cálculo de variaciones para demostrar que la ecuación de la curva que p¡esenta la cadena es una cotend¡i¿ como en el problema 7.32. (Sugerencio. Encontrar el mínimo de la integral sometida a la condición de constricción de que la Iongitud de la cadena sea una constante).

12.91.

Usar los métodos del cálculo de variaciones para encontrar la curva plana cerrada de máxima área.

12.52. Demost¡ar que las constantes: (a) É en el problema

12.15,

tificarse con Ia energía total.

y (b) É¡ en el problema

12.16 pueden iden-

12.93. Si se tiene en cuenta la teo¡ía de la ¡elatividad en el movimiento de una particula de masa m en un campo de fuerza de potencial V la hamiltoniana está dada por

H = t/fcz+n¿z¿+V donde c es la velocidad de la luz. Obtener las ecuaciones de movimiento para esta partícula.

L2.94. Usa¡ los métodos hamiltonianos para resolver el problema de una partícula que se mueve

en un campo

de fuerza que varía con el inve¡so del cubo de la distancia.

L2.96.

12.96.

Usar coo¡denadas esféricas para resolver el problema de Kepler.

Suponer que

Qt,Qz,

m de las n

'g-).

g1,g2, ,gn

a:

es

son cíclicas (digamos los primeros m, esto

m

9t = 2"oüo-L a=t

Probar que para

La función (

coordenadas

Sea

m

* r,

donde

d / d?'' \ ¿¡\aE) =

,n

-

cü

es

aL/ad,,

at ,%

llamada lunción de Routh o la routhiano. Usándola en un problema que contenga n n - m grados de libertad.

grados de libertad se puede ¡educir a uno que contenga

L2.97,

Usando las propiedades

sL

= fiuo * #r0,,

(8a),

= ta,

del símbolo va¡iacional ó (véase problema 12.6) y considerando que el operador 6 puede colocarse bajo el signo de la integral, demostrar cómo las ecuaciones de Lagrange pueden deducirse del principio de Hamilton.

r2.9E. Sea P : P(p,c), Q : Q(p,s). Suponer que la hamiltoniana expresada en términos d,e p,q y p,e está dada 9or H : H(p, q) y .gI: Jt@, Q) respectivamente. probar que si entonces

i=dHlap, ó=aJ{/ar,

ñ=-aílaq i=-dtl{laQ

dado que el determinante jacobíano (o jacobiano)

aP/dp aP/ac aQ/ap dQlaq

=1

Discutir la relación entre estos resultados con la teo¡ía hamiltoniana.

12.99. (o)

(ó) (c)

Establece¡ la hamiltoniana del movimiento de un cilindro sólido que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c. Escribir las ecuaciones de Hamilton y deducir de ellas la ecuación del movimiento del cilindro. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener el movimiento del cilind¡o y compararlo con la

parte (b).

12.loo. Desar¡ollar el problema

?.22, usando los métodos de Hamilton-Jacobi.

TEORIA HAMILTONIANA

338

l2.l01.

12'

Escribir: (o) la hamiltoniana, y (b) las ecuaciones de Hamilton de una partícula de carga e y masa m que se mueve en un campo electromagnético (véase el problema 11.90). Resp.

(¿) U=*$-ealz+e+

(b) v l2.10l2.

lcAP.

- !1p-eA), i =

-¿VoA¿V(A'v)

(a) Obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi del movimiento de la partícula del problema 12.101. (b) Usa¡ el ¡esultado para escribir las ecuaciones de movimiento en un campo electromagnético de una partícula cargada. Obtener la hamiltoniana del movimiento de un trompo simétrico y obtener aeí las ecuaciones de movimiento. (b) Comparar los resultados obtenidos en (a) con los obtenidos en el capítulo 10.

f2,f03, (o)

l2.l04.

Demostra¡ el teorema 12.2.

l2.fo5.

Un átomo con un electrón de carga núcleo de carga Ze tal que

-e

el cual se mueve en un campo de fuerza central F al¡ededor del

v--@ -r8

r es el vector de posición del electrón con relación al nricleo y Z es el nrimero atómico. En la teoría cuántica de Boh¡ del átomo, las integrales de fasé son múltiplos enteros de la constonte h de Planch, esto es, r ?

donde

t

o,a,

= nth, t otat = n2h

Usando eatas ecuaciones, demostrar que existirá solamenüe un conjunto diecreto de energías dado por

zaernn6l Ei^ = -@ donde

n : nr * nz: L,2,3,4,...

es el número cuóntico orbital.

Apéndice A

Unidodes

y

dimensiones

UNIDADES Los patrones de longitudes, tiempos y masas en función de los cuales se miden otras longitudes, tiempos y masas se llaman unidades. Por ejemplo una distancia puede medirse en función del pie o del metro patrón. Un tiempo puede medirse en segundos, horas o días. Una masa puede medirse en poundal o e\ granxos. Son posibles diferentes tipos de unidades. Sin embargo, actualmente se utilizan principalmente los siguientes cuatro sistemas.

1. 2. 3. 4.

CGS

o

MKS FPS FSS

o

o o

sistema centímetro- gramo- segundo. sistema metro-kilogram o- segundo. sistema pie-poundal-segundo. sistema pie-slug-segundo, también llamado el sistema gravitacional inglés de ingeniería.

o

Los dos primeros se llaman sistemas métricos, en tanto que los dos últimos se llaman sistemas íngleses. Existe una tendencia que se está incrementando para usar los sistemas métricos. A continuación se presentan cuatro conjuntos consistentes de unidades en los sistemas mencionados que se pueden usar según la ecuación F : ma: Sistema Sistema Sistema Sistema

CGS: MKS: FPS: FSS:

F (dinas) F (newtons) F(poundals)

F (librasl

nz (gramos)

X

a (cm/seg2)

m (kilogramos) X. a (m/seg2) m (libra) X a (p/seg2) m (slugs) X a (p/seg2)

En la tercera columna de la tabla que se presenta adelantd se dan las unidades de varias cantidades de estos sistemas. En la página 341 hay una tabla de factores de conversión de las unidades de los diversos sistemas.

DIMENSIONES Las dimensiones de todas las cantidades mecánicas pueden expresarse en función de las dimensiones fundamentales de lqngitud Z, masa M y tiempo ?. En la segunda columna de la siguiente tabla, se indican las dimensiones de varias cantidades físicas. 339

UNIDADES Y DIMENSIONES

340

[APENDICE A

UNIDADES Y DIMENSIONES Cantidad física

Dimensión

Sistema CGS

Sistema MKS

Sistema FPS

Longitud

L

cm

m

p

p

Masa

M

c

kg

lb

slug

Tiempo

T

seg

seg

seg

seg

Velocidad

LT-I

cm/seg

m/seg

p/seg

P/seg

Acele¡aci ón

LT_2

cm/seg2

m/se92

p/seg2

P/seg2

lb p/seg2

slug p/seg2

Fuerza

MLT_2

Momentum, impulso

MLT_I

g cm/seg2,

ML2 T_2

Potencia

MLz T-3

:

g cm/seg

: dina seg

g Energía, trabajo

kgm/seg2

: dina

g

cm2

: nt

/segl

kg m2

:ntm : julio

: :

/segt

julio,/seg

vatio

:Ib

poundal

lb P,/seg

slug p,/seg

pdl

lb

:

seg

kgm2 /seg2

: dina cm/seg : ergio/seg

:

kgm/seg

/se92

: dina cm : e¡gro

cm2

newton

Sistema FSS

lb

p2

seg

lb

p2

seg

/seg2

slug p2lseg2

/segg

slug p2,/sega

: ppdl

:

:

p ¡dl,/seg

: plb

: plb/*E pie

t

Volumen

Ls

cm3

m3

pie

Densidad

ML-S

E/cm¿

kg/ml

lb,/pie

¡adián (¡ad)

rad

rad

¡ad

Angulo

3

g

slug,/pie

3

Velocidad angular

T-r

rad/seg

rad/seg

rad/seg

rad,/seg

Aceleración angular

T-2

rad,/seg2

rad/seg2

rad/seg2

tad./seg2

Momento

MLz T_2

Momentum angular

MLzT_L

Momento de inercia

ML2

Presión

ML_I T-2

g

cm2

/seg2

: dina

g

cmz

cm

/seg

g cm2

g/(cm

seg2)

- dina/cm2

kgm2 /seg2

: ntm

kg m2

kg

/seg

m'

kg/(m seg2) : ntlm2

lb

p2

/seg2

: ppdl

lb

p2,/seg

slugp2 /seg2

: pIb slug p2,/seg

lb p2

slug pie

pdl/p2

lb/p2

2

APENDICE A]

UNIDADES Y DIMENSIONES

341

FACTORES DE CONVERSION

Longitud

Area

I I I I

(km) : (m) : centímetro (cm) : milírnetro (mm) : : 1 micra (¡r) 1 milimicra (mp) : I angstrom (A) : kilómetro

metros 100 centímetros l0-2 m 10-a m 10-6 m l0-e m 10-ro m

pulgada : 2,b40 cm _ B0,rE cm 1 pie (p) 1 milla (mi) : 1,609 km : 1Q-a pul 1 mil I centímetro :0,398?pul I metro : 89,3?pul I kilómetro :0.6214milla

: :

I milla cuad¡ada I acre

1000

metro

1 metro cuad¡ado (m2) 1 pie cuadrado (pie2)

Volumen

Masa

I I I I

metro

105?quart (qt) 1000

1 kilogramo (xg) :2,2.046 32,174

:

6f,0Zpula

:

(mi2)

Densidad I I

Bl0 acres 48.5ffi p2

0,08532 pa

I :35,32p4

lb

:

lb :0,06852 slug;

f

lb :458,69:0,08108 slug

14,59 kg

g/cmt

mi/h: 0,9118 p/seg kmA : 0,&70 m/ses

r,467 p/ses :1,609

:

103 kg,/m3

:62,481b/ps

-

1,940 slug,/ps

lb/ps :0,01ffi2g/cm}; 1 slug/pa :0,5L54g/cms

:

1gs dinas : 0,1020 kg fuerza : 0,224g libra fuerza I poundal 0bf) : 4,448 nt : 0,4536 kg-f : 32,L7 poundals I kilogramo fuerza(kgf) : 2,2M lbf : 9,80? nt I t co¡ta americana : 2000 lbf; I t larga : 2240 rbf;l t métrica :

1 newton (nt)

2205

Energía

t julio: l ntm : r07 ergios :0,?326 plbf :0,2389ca1 :9,4Er X r0-{ Btu r lbf : 1,356 julios :0,9239 cal : 1,285 X t0-B Btu 1 caloría(cal) :4,186 julios:3,08? plbf :9,968 X 10-a Btu I Btu : ZZ8 p lbf : 10b5 julios : 0,298 vatio h I kilovatiohora (kwh):3,60 X 106 julios :860,0 kcal :3413Btu I elect¡ón voltio (ev) : 1,602 X t0-rs julios

Potencia

1 vatio

Presión

L

lbf

: 1 julio,/seg : 107 ergios,/seg :0,23gg cal/seg t horsepower(HP) : 550 plbf,/seg : 33.000 plbf,/min : ?4b,? vatios I kilovatio (kw) :1,34r HP : ?8?,6 plbf/aeg : 0,9488 Btu,/seg nt/m2:

dinas,/cm' :9,g69 X 10-6 atmósfe¡as

- 2,0g9 x ro-2 lbfh2 nt/m2: b,l?l cm de mercurio :27,6g pul de-agua 1 atmósfera (atm) - f,013 X ]:O5 nt/m2 : 1,018 X 106 dinas,/cm2 : 14,7O lbfrfiul2 : 76 cm me¡rurio :406,gpul agua 10

1 lbf,/pulr-689b

Angulo

: :

1 km,/h :0,2778 m/seg :0,6214

I milh :

Fuerza

1000crn3

pie2 929cm2 ' 10,76

piecúbico (pB) :7.481 gal americano :0,02832 ms :2fJ,B2 I galón americano (gal) : 231pul3 : 3,285 l; I galón inglés : 1,201gaIón ame¡icano :277,4pu|s

1 slug :

Rapidez

:

: cúbico (m3) -

litro (l)

1

1 radián (rad)

:

57,296"; 1'

:

0,012453 rad

Apéndice B Dotos ostronómicos EL SOL

o

Masa

4.4 X 10ao lb

Radio

4,32

mi o

6,96

X

Densidad media

89,21b/p3 o

1,42

g/cmr

Aceleración media de la gravedad en la superficie

896p,/seg2 o

273 m/segz

Velocidad de escape en la superficie

385

mi,/seg o

620 km,/seg

Período de rotación alrededo¡ de su eje

25.38días o

Constante de gravitación

t'lTÁ::;:

universal

X

lOs

o

G

2,0 X 1030 kg 105

km

2,L87

X

6,6?3

x ro-t

106 seg

cm3/g-segz

I.A LUNA

mi o

3.84 X 105 km

Distancia media a la Tierra

239

X

Peíodo de rotación alrededor de la Tier¡a

2?,3

días

o

2,36

X

Radio ecuatorial

1080

mi

o

1738

km

Masa

1,63

X

1023

;b o

7,38

X

Densidad media

208

lb,/p3

o

3,34g/cms

p/seg2

o

1,62m/seg2

Velocidad de escaPe

l,48mi/seg o

2,38km,/seg

Período de rotación alrededor de su eje

2?,3

días

Rapidez orbital

0,64

mi,/seg o

Excentricidad orbital

0,055

Aceleración de la gravedad

en la superficie

5,3O

103

342

o

106 seg

1022 kg

2,36 X 100 seg L,D2km/seg

tOS PLANETAS 'tr (5

Mercurio Distancia media

al

Sol

36,2 X 106 mi 58,2

Tierra

Venus

X 106 mi X 106 km 108 X 106 km 67,2

X l0o mi 150 X 106 km

92,9

Marte

Júpiter

141

X

106

mi

227

x

106

km

x 106 mi 778 x 106 km 484

Saturno 887 X 100 mi 1427

X

106

km

Urano

Neptuno

zF

Plutón

() trl

1784

X

106

mi

2795

X

106

mi

3670 X 106 mi

:28?1

x

106

km

4498

x

106

km

5910

X

108

TE

km

Período de

rotación

88,0 días

alrededor

0,241 años

del

Masa

Densidad media Aceleración media de la gravedad en la superficie

1500

mi

x

1025

687,0 días

4333 días

10.760 días

30.690 días

60.180 días

90.730 días

1,000 años

1,88 años

11,86 años

29,46 años

84,0 años

164,8 años

248,4 años

mi

3963

mi

2110

mi

44.370

mi

37.500

mi

14.800

mi

13.900

6200 km

6378

km

3400 km

71.400

km

60.400 km

23.800

km

22.300 km

3850

24?okm 0,071

365,26 días

224,7

Sol

Radio ecuato¡ial

üas

0,615 años

0,32 X 102i kg

$otbóe 5,3 g/cmz

x

x 1025 lb

0,14

4,9 X 1024 kg 5,98 X 102{ kg

0,64

lb 1,1

1025

lb

306 lb,/pa 4,95

g/cmg

1,32

340lb,/p

3

x 1025 lb x l02i kg

247

lb/pi

420 1900

x 1025 lb x 102{ kg

81 lb,/p3

5,52g,/em¡

3,959/cmr

L,33

32,2p/seg2

12,5p/seg2

85

9,81m/seg2

3,8 m/seg2

g/cmg

x 1025 lb 570 x 102r kg

x 1025 lb 87 x 1021 kg

44lb/px

r00 lblpa

0,70 g/cma

1,56g,/cms

126

19

mi

x L025 lb 103 x 102. kg

22,7

t4llb,/pt 2,28

g/c6a

1850

mi

2960km 1,2

x

1025

lb

5,4 X 102. kg

?50|b/pt 4,0g/emr

rl a a "l

z L2p/seg2 3,6m/seg2

28

p/seg2

8,5 m/seg2

Velocidad

2,6mi/seg

6,3 mi,/seg

de escape

4,2km/seg

I0,2km/seg

26

p/seg2

Q^/seg2

p/seg2

3Lp,/seg2

49p,/seg2

LL,2m/seg2

9,4m/seg2

L5,0m/seg2

37

mi/seg

3,1mi,/seg

38 mi,/seg

23 mi,/seg

14mi/seg

L6mi/seg

LL,2km,/seg

5,0 km,/seg

61 km,/seg

37 km,/seg

22km/seg

25km/seg

7,0

26p/seg2 8,0 m/seg2

o a

6mi/seg 10

km,/seg

Período de

rotación alrededor de su eje

88,0 días

7,58

x

106 seg

30

dias

(estimado)

23,93 h

24,6r h

9,84 h

10,23 h

10,8 h

15,7 h

16,0 h

86.164 seg

88.580 seg

35.430 seg

36.840 seg

38.900 seg

56.400 seg

57.600 seg

Rapidez

D,8 mi/seg

2l,8mi/seg

18,5 mi,/seg

15,0 mi,/seg

8,L2mi/se9

orbital

6,00 mi,/seg

4,22mi/seg

3,38 mi,/seg

2,95mi/seg

47,9km/seg

35,1 km,/seg

29,8 km,/seg

24,1km/seg

13,1km,/seg

9,65 km,/seg

6,80 km,/seg

5,44km/seg

4,75km/seg

0,206

0,0068

0,017

0,093

0,048

4,055

0,047

Excentricidad

orbital

0,009

0,247

A

Apéndice

C

Soluciones de ecuociones diferencioles esPecioles ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación que contenga derivadas o diferenciales de una función desconocida se llama ecuación diferencial El orden de la ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada o diferencial que esté presente. lJna solución de la ecuación dife¡encial es cualquier relación

entre las variables que conduzca a una identidad en la ecuación diferencial.

Ejemplo 1. _ .. dlt es una ecuación diferencial de primer orden o de orden 1. Una solución de esta La ecuación ffi=r, ecuación es y : ce2' donde c es una constante cualquiera, ya que al sustituir ésta en la ecuación diferencial dada nos conduce a

Ejemplo

la identidaO

,ce2, =

Zce%

2.

La ecuación x2dx I y"dr :0 es una ecuación diferencial de primer orden. Una solución es xz /3 donde c es una constante cualquiera, puesto que al tomar la diferencial de la solución tenemos

il(rs/3*úln¡ = ¡

o

r2d.r*usda -

* ya/4 :

c

0

Ejemplo 3, . La ecuación

,r^, üa orden. Una solución es #, - 3# + 2A = 4n es una ecuación dife¡encial de segundo que U = are'* cre2t I 2r * 3 Puesto 4Za -' = (cre,*4c2e2x) - 3(cp, 1-2a2ebl2) * 2(ap"*a2ebi2n*31 = 4r ¿ltz "dr' "4* En los ejemplos anteriores hemos usado a r como variable independiente y a y como variable dependiente. Sin embargo, es obvio que pueden utilizarse otros símbolos cualesquiera. Así por ejemplo, la ecuación diferenciai del ejemplo 3 podría ser

dzr ,'* W-3ffi+2t = con

ú

cze2'

como variable independiente y

l2t + 3.

r

4t

como variable dependiente y con solución

¡ :cpt*

Las ecuaciones anteriores frecuentemente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias "azY [ue o €5p para distinguirlas de las ecuaciorres diferencia.les parciales, tales "o ff = relacionan dos o más variables independientes.

CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES En los ejemplos anteriores, las constantes c, ct, c2 pueden tomar cualquier valor y se llaman constantes arbitrarias. En la práctica Ia ecuación diferencial de n-ésimo orden tendrá una solución que involucra exactamente a n constantes arbitrarias independientes. Tal solución se llama solución general. Todos los casos especiales de la solución general encontrados al dar valores especiales a las constantes se llaman soluciones particulares. En el caso del ejemplo 3 si hacemos a cr : 5, cz: -3 en la solución general ! : ct'e'* c2e2'* 2x * 3 obtenemos la soluciónparticular ! :5e'- 3e2'* 2x 13. 344

APENDICE

C]

SOLUCTONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

345

Las soluciones particulares se encuentran con frecuencia a partir de ciertas condiciones que se imponen al problema, las cuales se llaman condiciones de contorno o condiciones iniciales. En el caso del ejemplo 3, si queremos satisfacer las condiciones I : 5 cuando x : O ! y' : dy/dx cuando tr :0, obtenemos cr :5, cz: -8. Un problema en el que necesitamos resolver una ecuación diferencial sujeta a determinadas condiciones se llama problema de uarores de contorno.

SOLUCIONES DE ALGUNAS ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDEN En la siguiente lista se indican algunos métodos importantes para hallar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de primer órden.

l.

Separación de variables si se puede escribir la ecuación diferencial de primer orden como F(al ila + G(u\ dv = 0 (r ) se dice que las variables son sepcrc btes y la solución que se obtiene por integración

directaes 2.

f ,rr¡ax+f

G@)¡ru

=

c

(2)

Ecuacionee lineales Se llama ecuación lineal a una ecuación diferencial de primer orden si tiene la forma

fr*n6¡n = Multiplicando ambos lados por

J'*,

obtenemos

*uJ'1 Entonces integrando,

(3)

e(n)

la solución general

= eJ'*

es

urlr* = f o"tr*darc u = "-!r*Í grtr*d,, * El factor J'u

3.

se

ce_!r*

(4)

llama factor integrdnte.

Ecuación exacta

La

ecuación

*

Mds N¿lA (5) 0 y donde M N son funciones de ¡ yy se llama ecuación diferencial exacta sí M dx * N dy se puede erpresar como una diferencial exacta dIl de una función U(r,y). En este

=

está dada por U(r,y) : s. La condición necesaria y suficiente para que (5) sea exacta es

la solución

AM 0g =

ATV

0a

caso

(6)

En algunos casos una ecuación que no es exacta se puede convertir en exacta multiplicándola por un factor adecuado llamado factor integrante como en el caso de la ecuación lineal.

346

4.

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ESPECIALES

TAPENDICE

C

Ecuaciones homogéneas Si una ecuación tiene la forma

a1

= F&\ \fr/

úü se llama ecuación

homogénea

Así (7) se trasforma

y

(7)

se puede resolver haciendo

la trasformación

y:

ux,.

en

. do o+nA;

dt¡ F(a) o |dr = F¡¡4

(8)

en la cual se han separado-Tás variables. Entonces la solución general es

(ils

J;

f da = )ffi+"

u:Y/x

donde

(e)

Ocasionalmente se pueden usar otras trasformaciones, las cuales pueden o no ser evidentes dependiendo de la forma de la ecuación diferencial dada, con la cual se obtiene Ia solución general.

SOLUCIONES DB LAS ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En la lista siguiente se indican ciertas ecuaciones de orden superior las cuales resolver frecuentemente.

1. # = ,@).

En este caso la ecuación

u= I

I

se puede

se pueden

integrar n veces y obtener

F@)ita^* cr * czÍ

*

csaz

+ ... +

cnan-r

2. # = , (r,#).

En este caso no aparecey y se puede hacer el remplazo dy/dx con el cual la ecuación se trasforma en

:

u

*dn = Fk.o\ la cual es una ecuación de primer orden. Si ésta se puede resolver remplazamos u por dy/dx y obtenemos una ecuación de primer orden la cual entonces se puede calcular.

, d'a - .n (^, dat Como en esta ecuación no aparece r se puede hacer la sustitución d,r2 \o, ilr). dv/dx : u' obteniendo ita,,a .a ipa .a

afr=¿i=úñ=oú,

la ecuación hallada

se puede escribir como Áq¡

la cuar debemos

resolver.

una ecuación de primer orden

afi =

F(a'o)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE UNO Consideraremos la solución de la ecuación diferencial de segundo orden. Los resultados se pueden extender a las ecuaciones lineales de orden superior. Una ecuación líneal de segundo orden tiene Ia forma

d'u - pt-\'t^' d,r2 ' -,4#

+ Q(a)u = E(r)

(to)

C]

APENDICE

Si y" es

la

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERECIALES ESPECIALES

347

solución general de la ecuación

p(,'du t!- - -,r)ñ+q@)u = 0 drz

(1/)

(obtenida remplazando el miembro derecho de la ecuación (10) por cero) y si Jp es cualquier solución particular de (i0) entonces la solución general de (10) es

a : a"+ ?lp

La ecuación (11) complementaria.

se

Q2)

llama ecuación complementariay su solución general se llama solución

ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES La solución complementaria se puede obtener fácilmente cuando P(x) y Q(r) son pectivamente las constantes A y B. En tal caso la ecuación (11) se puede escribir como

(4*efl+ay =o dnz'--dr'-o

res-

(rr)

Si suponemos como solución ! : eo' donde a es constante en (11), hallamos que a debe

satisfacer la

ecuación

oz

+ Ao + B =

o

Esta ecuación tiene dos raíces y presentan los siguientes casos. l. Las raíces son reales y diferentes, o sea qt I az. En este caso las soluciones son ¿ott y eor'. De esto se concluye que ereatt y también soluciones y por tanto la suma ctedt + c2ed2, es la solución general. 2. Las raíces son reales e iguales, o sea dt : c 2.

creazr gon

En este caso las soluciones halladas son ¿or' y fleot" y la solución general es creaF

+

czfredp.

3. Las raíces son complejas. siAyBsonreales, lasraícescomplejassonconjugadas,osea o * bi y a - bi. tal caso las soluciones son e@+btrt=eorebtr -rcr(cos bx * í senbr) y e@-vt¡¡(cosbr - jsenb¡). La solución general se puede escribir e"'(ct cosb¡ * cz senb¡). SOLUCIONES PARTICU LARES Para hallar la solución general

En

de

#*afr+nu = R(r)

(14)

debemos hallar una solución particular de esta ecuación

y sumarla con la solución general de (13) obtenida anteriormente. Hay dos métodos importantes para hallar esta solución.

1. Método de coeficientes indeterminados. Este método se puede aplicar únicamente para funciones especiales ft(r) tales como funciones de polinomios, exponenciales o trigonométricas que tengan la forma ep', cospÍ, senpr donde p es constante, también es válido con las sumas o productos de tales funciones. Véanse los problemas C.1T y C.1g.

2. Método de variación de parámetros. En este método se escribe primero la solución complementaria en función de c¡

y cz. Luego se remplazár c1 y c: por las funciones fr(x) y fze) que se han para que escogido

satisfagan la ecuación dada. El método se ilustra en el problema C.19.

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

348

ESPECIALES

[APENDTCE C

Proble mas resueltos ECUACIONES DIFERENCIALES. CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES

C.f.

(a) Demostrar que

cial

! :

ce-'

*

x

1 itu

-

es Ia solución general de

=

áí-r*a

la ecuación diferen-

o

(b) Hallar la solución particular tal que J : 3 cuando ¡ : 0. (a) Siy:6¿-'*¡1, entonces dy/dt : -ce-'* I yasí dAldr-r*g = (-c"-"+1)- r*(ce-t*r-1) = g Aeí y : ce-' * ¡ - 1 es una solución; y como tiene un número arbitrario de constantes (en este caso sólo una) igual al orden de la ecuación diferencial, esta es la solución general.

(b) Comoy:3 cuando ¡:0, tenemosdey:ce-'* ¡- 1,3-c¡ - I es la solución particular pedida.

C.2. (o)

Demostrar que

x : cpt I c2e-?t +

*dtz* z* - dt -

sen

(c) Apartirde ¡ : c¡et I cze-t' * sent ,rr

:

ffi + zfr- s" = =

Asi

-

2, dx/dt

de

4senü

- -3

en

ú

:

0.

tenemos

i20

fr = crct-Bc2e-8t*cost, ffi =

Entonces

c:4. Asíy:4e-'+

ü es la solución general

Br =Zcosú

(b) Hallar la solución particular tal que x

1o

cret*9a2e-8ú-senü

(",u':;¿11;'i;;r,1,***lyi,,-lc,e-at 2cosú

-

*cosú)

4senü

¡: cp'4c2e-3! * sent esunasolución;ypuestoquetienedosconstantesarbitrariasyla

ecuación diferencial es de orden dos, esta es la solución general.

(ó)

: 0 en las erpresiones de r y dt/dt, te¡emos | 2=c1*c2 [q*a2=2 o cr-3c2 +L = 1", -8c2 = -4 t-t hallamos c¡ : *, cz : 3/2. Por tanto, la solución particularpedida - t", * Ne-tc t sen ú

De la parte (o), haciendo ú

Resolviendo,

es

SEPARACION DE VARIABLES C.3. (o) Hallar la solución general de (¡ * xy') dx * (y * x'y) dy : O. (b) Hallar la solución particular tal que I : 2 cuando x : l. (¿) Escribimos la ecuación así ¡(1 I y2l dt * y(l * x2) dy : g. Dividiendo por (1 * ¡2) (1 + y2) # 0 al sepa¡ar las variables, hallamos

t"_ + =U_4= l*.r2 Lluz

_, Entonces integrando tenemos,

=o

f rih C uda = Jffi Jffi+ { ln(1+

ú21

+ It ln(1*s2) =

(I

c1 c1

)

APENDICE

CI

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

Esto se puede escribir como

(ü)

Como

es

y:2

cuando

x - I,

tenemosremplazando en(2), cz

es

* at)(l *y2) = 10

(1

Calcular

az

el

la solución general pedida.

cular pedida

C.4.

I ln l(t * ¡2)(l * yr)l - cr o

(1*rsX1*y1 =

la cual

349

o

s2

fidt : pt¡, si R : 1 cuando ü :

Separando variables,

tenemos

*

y2

- l0; portantolaeoluciónparti. + ¡zyr = I

1.

O&- ,, dt. Integrando

ambos lados

-* = f *" Remplazando

t:

L,

R

: t

c

- -4lB. 1_¿r _E = T_s 1 o

halla¡nos que

truf

fi^ = ¡_8

ECUACION LINEAL

C.5.

Calcular

dqt

ffi +2xy:

xs

*x siy:2

cuando

¡:0.

Eeta es una ecuación lineal de la forma (J), con p : 2x, e - ¡¡ ,tu* = F. Multiplicando la ecuación po¡ este factor, hallamoe

eH*2ayct = lo cual se puede escribir

como

Inregrando,

* ¡.

Un factor intcgrante

es

(aar.xl/.,

ftO C¡ = e, + alé

uci = [e*s,lp¿s+a

o, remplazando u - x2 en la integral,

ut = *sr/+o Así

y = Ld loc# Como y:2 cuando ¡:0, hallamosque c:2. Así t -- lat l2c-'2 Verificación: Si y = fd + Zc'i, entonces dy/dx : x - 1re-'2. Ag!

#*ra C.6.

Resolver

ff:

sU

= a-lxc-ú*2r({d*2c-é¡ = ;rta

+ 1 si U: 0 cuando

ü

:

0.

Escribiendo la ecucción en la forma

#-to

=

1

(r)

ESPECIALES

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

350

"t-tot =¿-8t.

vemosqueesraesunaecuaciónlinealconunfactorintegrante

e-a',

podemos escribir

Integrando,

Como U

d .-. frlu"-t'¡ =

que c

: l/3.

(Je-Bt= -te-3r+t

o

: 0 cuando ú : 0, hallamos

Multiplicando(1)por

e-ot

Ue-at - -te-at *

tenemos

TAPENDICE C

c

Así

u -$(e3t-l)

Q)

Otro mótodo. Esta ecuación también se puede resolver por el método de separación de va¡iables. Así te-

nemos

dU

=

lu+l Integrando, Como U:0 cuando ü:0,

dt

$ln(3U+1) = t*c haltamosque c:0 po¡tanto I ln (3U* l):

ECUACIONES EXACTAS C.7. Rcsolver (3r2 *y cos r) dr

*

-

(sen x

4ys) dy

:

r. Así

U:

+(e3'

-1).

O.

Comparando con Md¡ * N dy : 0, tenemos M : 3x2 * ycos¡, N - senl - 4y3. Entonces dMldg = cosr = 0Nl0r por tanto la ecuación es exacta. Hay dos métodos adecuados de solución.

Mótodo l. Como Ia ecuación es exacta, el lado izquierdo de la ecuación debe ser una dife¡encial eracta dé una función U. Reagrupando términos hallamos que la ecuación se puede escribir

senrda) - afda

3n2dr * (ycosrilr*

= g

d.(rs)* d(ysenxl*il(-t')

osea,

Integrando, obtenemos la solución pedida,

¡3 + y

0

il(rs *gsenr-ú')

o sen

=

¡ - la :

=

O

c.

Método 2. La ecuación se puede escribir en la siguiente forma

(3rz*ycosel¿Í-*(senr-4salifu

= .tU = flar*ffOo

Entonces, tendremos

(I) # = 3t2*Ycosr Integrando (1) con respecto a

(21

¡, manteniendoy constante,

# =

senr-4Yg

tenemos

U = u3+aseno*tr'(y) Remplazando en (2), hallamos

sen'+F'(!r) = senr-4gs donde tanto

F'(y) -- dF/dy.

o

F'(al--44

Integrando, omitiendo la constante de integración, tenemos

U = é * usenr - yl

De modo que la ecuación diferencial se puede escribi¡

iIU = y así la solución es ¡3 I y

sen

d.(xs

r - la :

c.

*yeeni-úl

=

0

F(y)

: -y{

po¡

APENDICE

C]

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

351

ECUACIONES HOMOGENEAS

C.8.

Resolver

#:

Haciendo

""'"

*I.

! : ux. La ecuación

puede escribirse

o+r* (tfr = eor, Separando variables,

e-r l' :

C.

* = "-tüo.

,*dt =

o

¡ : -e-u * c.

Integrando, ln

co

Así la solución general es ln

rf

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

C.9.

ezff

Resolver

t*cosü

+: dt

donde

Integrandounavez' Entonces

(I:2, dU/dt:3

du/dt =

en

ú:0.

t r c1 como dIl/dt: 3 en f : 0, encontramos cr : 3. Así ¡luldt = ú*senú*3

Integrandodenuevo, Ahora como

U:2

ú

*

sen

U = ltz- cottlSt* c2 encontramos cz:3. La solución

en t:0,

requerida es

U = +¿2-cosü+8ú+3 C.fO. Resolver xy" + 2y' : x2 donde y' : dy/dx, !" : d2y/dx2. Como

y no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. La ecuación

do,^ (t) r¿I2o = sD

fr@al

Entonces por integración, x2u

: ta/4 f cr

C.f

f.

y:

xa/Lz\

=

ú

ul "'"ds -- ¿ltx - ,la12= ¡t. Multiplicando

=

úa

o

= rntegrando nuevamenre,

. iht,2 Ql fr+i"

o

Esta es una ecuación lineal en u con factor integrante (2) por 12, puede escribi¡se como ,,

puede escribirse

r2/4

*

alln'

',r"i'ii

yy" + (y')' :0 donde y': dy,/dx, y't: d2y/dx2. Como ¡ no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. Entonces

Resolver

u,,=#=#.H="#o y la

ecuación dada puede esc¡ibirse

iht uofitoz =0

asíque De(1), Que u1'

y':0 :6 t Y

(1) o = 0 o!:c,.

De(2),

o o

**?=0,

\ l¿o r:\afi+o) =

Q')

Ufi+o =

0

O

estoes lnu*ln!:cz

o ln(uy):c¡

así

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

352

u = dyldn - ca/A o

y2l2 - csr * c4

Integrando,

o

ESPECIALES

C

IAPENDICE

= csda az = Ar * B UdA

Por tanto las soluciones son y : ct ! !2 : Ax * 8. Como la primera es un caso especial de la gunda, la solución general requerida puede escribirse y2 : Ax * B.

se-

ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

C.tz.

Resolver

A2¡t

¿l¡t

4_4?_6u da" dt

=

0.

Haciendo J - en' en la ecuación, obtenemos

(a2-4a-6)ecr = 0 o a2-4a- 6 = 0 Así(a-5)("+1):0yc:5,-l.Lasaolucionessones'ye-'ylasolucióngeneralesr: cre63+c2e-'.

¿zqt

Aqt

C.f3. Resolver #+10++26u (t0at

=

0.

y : eo', encontramos o2 * lOa + 25 : 0, estoes (a * 5)(a * 5) : 0' o a : Como la raiz está repetida, las soluciones son e-5' y xe-í'. La solución general es c ¡e-3' * c 2fe-5t. Haciendo

-5.

i2a

C.14. Resolver 1# dt" +

lo

4# + 4a = d,t

Haciendor-eot,encontramoga2

x

: C p-2. I

c

rt¿-2,

-5,

y:

:

tl2at

¿-2t

(sr

*

c¡f

0.

l4a*4=0oc:-2,-2.Entonceslasolucióngenerales

).

¿l¡t

+ 6u = C.r6. Resolver 44 úa' + 2Y d,x

0.

o d: -l*.2i. Entonceslaseolucionesson Haciendo y - en', encontramos a2 *2a *5:0 6(-l*ttlr =6-x62|c - 6-z(coa2r *deen2o) y c(-r-21)x = 6-x¿-28 = ¿-z(cos2u-ísen2ol. La ¡olución general es y - e-'(c ¡ cos 2r * c z aen 2¡).

C.16. Resolver

dLuld,az

Haciendo

coso¡*isene,¡

!:

*

'29

--

g.

o a- *io. Entonceslassolucionesson e¡": e"', encont¡amos o2 +t2:0 y e-t-:cosa,¡igeno¡. Lasolucióngenera[esy-crcos6¡*c2senol.

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS ALt _ Aqt _ 6a = ar + c.17. Resolver + úü' 4? aú Según el problema C.12

zeE

.

la solución complementaria,

ü",

es decir, la solución general,

)".

ffi-tffi-au = es

uc =

cre6t

o

* c2e-"

(t)

Como el lado derecho de la ecuación dada contiene un polinomio de segundo grado (esto es, ¡2) ensayamos la solución particular trivial

y una erponencial (2e3'),

Ue donde A,

B, C, D

= Art*Bn*C+De8'

(2)

son constantes que deben ser determinadas.

Sustituyendo (2) en la ecuación dada y simplificando, tenemos (2A

- 48-6C) + (-8z{ -

68lr

Ya que esta debe ser una identidad, se deberá tene¡

-

6Arz

-

SDdz

=

ú' + 2d'

APENDICE

C]

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES

2A-48 -5C = 0, -BA-EB = 0, -6A = l, -gD = Encontrando A = -!, B =*,C = -#, D = -I. Entonces de (2), ao

=

-trz

+

353

2

*" - #- ¡"t'

Así la solución general lequerida de la ecuación dada es

A

=

UcaUo

= cpl,+c2a-x-lrz+ftr-#-IA,

lo cual puede verificarse por sustitución directa. C.f8.

Resolver

d2ot

dat

+ l0+ + 26u = i* CLü" d,Í

20 cos2r.

La solución complementaria (según el problema C.lB)

es

lc = cra-ít * c2re-sx como el lado derecho contiene el término cos 2¡. obtenemos la solución trivial Up = Acos2r * Bsen2r Sustituyendo en la ecuación dada, y simplificando, (2lA + 208) coa?r * (2lB - 20Al senBr = 20 coa2r Igualando los coeficientes de los términos comunes, obtenemos 2U + nB : n, nB solviendo, encontramos a=#,8=# de modo que la solución particular es

U, = #cos2c * ,.9 y la solución general de la ecuación dada

(I) (21

-

20A

: 0. Re.

ser,2r

es

U = U"*.Up = c¡e-sz¡c2ú6-tz*fficoa2a *Ssen2o METODO DE VARHCION DE PARAMETROS C.19. Resolver ilLAldat*A = tanc. La solución complementaria, como en el problema

C.16 con o: Uc = dlcoS& I c2aenr

Suponemos ahora que

la solución a la ecuación dada tiene la

1:

(I)

forma

(2) U = .fr cost * /2sen a /¡ y /2 son funciones de ¡. De (2), usando el signo prima para denota¡ la derivación con respecto a l, tenemos ilulda = -flaeni * f2coau + fi, cosr + flsenr (J) Antes de encont¡a¡ d2y/dx2 observemos que como hay dos funciones lt y fz que deben determi.

donde

narse y sólo una relación que debe satisfacerse (en particular que la ecuación dife¡encial dada debe satisfacerse) estamos en libe¡tad de imponer una relación entre /¡ y /2. Escogemos la relación

flcosnlfLsenx la cual permite simplificar (J)

= 0

U)

obteniéndose

dylilr = -.f¡ sena * f2cosr

(5)

ilzglflr,z = -.f¡ cos! - f2seno - fl senr 1- fLcosx

(61

Ot¡a derivación conduce

a

De (2) y (6) vemos que la ecuación diferenciar dada puede escribirse

üuldrz*y Así De (4)

y (8) encontramos

= -fisenr* fLcosr = tan¡ -/l sen x * f'2cosr = t¿n¡ /i : -sen2 ¡,/cos r, f ; : sen ¡. Asi

(71

(S)

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

354

fsenzr,

-ln(seca * tanr) * senr *

=

"n

C

= -J

c1

?

fz Sustituyendo

IAPENDICE

( (r*r-cosr)dn

f t_e¡*r, = -JÉ0,

ft = -J"k;d"

ESPECIALES

fsenada =

-cosr*c2

(z) ln.orrtramos Ia solución general requerida

A =

c1

co'ü 'l-

t -

c2 sen

cos

c ln

(sec

r I lant)

Problemas propuestos ECUACIONES DIFERENCIALES, CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GNNERALES Y PARTICULARES C.2O. Verificar si cada una de las ecuaciones diferenciales tiene la solución general indicada.

"ixzx 1o) @ (b)

C.21. (a)

^o'=*x=ti - z1t

.rf I tfri

U

I=(c1 Ic2tlct+t+2

= tt) F-ítU =

Demostrar eue z

: e-r(c¡

sen

a

t*

cz cos

)|¿-

t)

es una solución general de

,r.

íá+zfr+zz = (b)

Determinar la solución particular tal que Resp. (b) z:e-'(3 senú- 2costú)

o

z : -2 y dz/dt: 5 en t :

0.

SOLUCTONES A ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDEN

dy/dx:-2xy siy:4cuando ¡:0.

C.22.

Resolve¡

C.23.

Resolver

C.24.

Resolve¡

Q.26.

Resolve¡

(x*2y\dx*(2x

-fu)dy:0

c.zr..

Resolver

H = "r*#.

Resp. ln

C.27.

Resolver (ye'

C.28.

Resolver

C,zg'

dq

6/é

fr= ffi. 2u = r

"*-

Resp. V7

si y(1)

- e-v)dr+ (ir-" *

(x*r'y)dx*(ry*y)dy:0.

Demostrar que

- t2 -

:5.

e')dy

Resp.

Resp.

-

Yl

z¿

!=4e-t2

:

c

y:6x2 - r'

si y:

l

cuando

r.:2.

Resp. 12

*Axy -fu2:7

'I G/vl: c :9.

Resp.

Resp. (x

ye'

-

xe-!

:

c

+ lXv+l):¿¿'+t

la ecuación diferencial (4u - x2) dx * xdy : ¡ tiene un factor integrante que la ecuación. Resp. ray - |ro : c

de'

pende solamente de una variable y resolver

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

C.3o.

Resolve¡ d2IJ/dt2

c.3r.

Resolver

,#-

: t + e-t gi IJ:3, du/dt:2

Sfr = az.

Resp.

en t:0.

y: -i¡3 * c tra * c2

Resp.

IJ:{tr

t e-t * 3t *

2

APENDICE

CI

ESPECIALES

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

C.32.

Resolver

c.3s. -

Resolver

d.r! _r/¿u\, U dtr*r\E)

A = 0.

IJP:cú|_cz

Resp.

(*\' ltL *(4\'f' \d"/J = \¿h2/

Resp. (x

355

- A), +(y -

R),

:

1

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

,12", )", 7*r-zffi-83

C.34.

Resolver

C.35.

Resolver

C.36.

Resolver

J2o Jo ffi+ 4# *

C.37.

Resolver

n#*

26a

C.38.

Resolver

d.2¡t

Jat

#-4#-A

C.39.

Resolver 4y"

c.4o,

Resolver

C.4L.

Resoiver Resp.

C.42.

= 0.

=0 siU: r, du/dt:0

ffi+n#*4U

)2",

-

I

6a

= 0,

- 0

25y

siy(0)

Resp.

= O. : 0.

|

.tf f

U: cp-2t + c2et -

3t

ú:0.

f

c2senf)

Resp.

Resp.

IJ:(r!2t)e-21

y:10(cosf r+senf r)

Resp.y=ezz(¿r¿'lEr*c2e-'llx¡

Resp. (c t

=

ffi+fi-ZU

en

z:¿-zt(s¡cosf

:10,y'(0):25.

I

* tH * ro = e-8'.

# ,t2f

2Oy'

Resp.y:ctet'*cr¿-z'

c zx)e5'/2

y

Resp.

:

crp-'

i c"e-z' * Lr-r,

6¿-10cos2ú*6.

- 4+ , sen 2t -

N

cos

2ü

y" + y : sec r usando el método de la va¡iación de parámetros. : cr SeD¡ *cz cos¡ * ¡ senr - cos¡ln sec¡

Resolver Resp. y

C,43.

Resolve¡ (a) El problema C.40

C.44.

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones por cualquier método.

y (ó) el problema

C.41 por va¡iación de parámetros.

(a) U" - 6A' I 6y = 60 sen4a (cl A" I 4g = cscar (bl a" *2A'-By = s¿-z (d) A,,I8a,*25y - 25r *83*18e-¿ Resp. (a) g = cLez'* crel, * 2 cos 4r - sen4s (b\ A = clar * c"e-32 - f,re-" (c) A = c1 cos2a I c2 sen2a - {r cos 2, - * sen2c,ln (csc2r) (ü a = * c2 senSo) * n * | I e-r "-tt(4cos3r

C.46.

Resolve¡

C.46.

Resolver simultáneamente: dx/dt t y : €t, Resp. n = ct cos t - c2 sent I $et * t,

U

C,47,

Resp.

y:

(cr

+

c2x)¿-zt

Í - dy/dt :

*

lrx2e-z' t.

= ctsenú* c2cost*$et-t

y" +y:4cost si y(0) :2, y'(O): ¿EsaplicableelmétododecoeficientesindeterminaExplicar. Resp. y: 2 cost ü: sen t+2t-1. sen t

Resolver

dos?

C.48.

t" * 4y'l4y: s-z'.

Demostrar cómo resolve¡ ecuaciones lineales de orden mayor que dos y encontra¡ las soluciones generales de

(a) A"' - 6A" I lly' - Gg = 36n, (ó) y