7 Razred - Matematiskop - prirucnik

MATEMATISKOP

OSNOVNA [KOLA

Владимир Стојановић

METODI^KI PRIRU^NIK ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE SEDMI RAZRED

MATEMATISKOP

POKSITAMETAM

Vladimir Stojanovi} METODI^KI PRIRU^NIK ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE (SEDMI RAZRED) Recenzenti Ilija Mitrovi}, savetnik za nastavu O[ [evala Haxiefendi}, profesor O[ Urednik Dr Ninoslav ]iri} Izdava~ IP MATEMATISKOP, Despota Olivera 6, Beograd tel. (011)3087-958, (011)2413-403 tel/faks (011)380-70-90 [email protected]

Za izdava~a Nada Stojanovi}, direktor Priprema za {tampu @eqko Hr~ek [email protected]

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 371.3 : 51(035) СТОЈАНОВИЋ, Владимир Методички приручник за наставнике математике : седми разред / Владимир Стојановић. - Београд : Математископ, 2007 (Београд : Верзал, Београд). 144 стр. : граф. прикази, табеле ; 24 цм Тираж 500 ISBN 86-7076-019-3 а) Математископ - Настава - Методика Приручници COBISS.SR-ID 106327052 Тираж Штампа:

SADRAJ

UPUTSTVO za korixenje Priruqnika

5

GLOBALNI (GODIXNjI) PLAN RADA (i pismenih zadatak)

6

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA

7

DETALjAN PLAN IZVOENjA NASTAVE PO QASOVIMA

19

UPUTSTVO za korixenje Priruqnika Pre nego xto poqne sa realizacijom nastave, nastavnik treba da prouqi predloeni plan. Ukoliko ima vixegodixnje iskustvo, moe smatrati da pojedine nastavne teme treba drugaqije planirati. I autor ovog PRIRUQNIKA bi neke teme planirao na drugi naqin. Qak bi i raspored nastavnih tema izmenio. Meutim, veina nastavnika, a zaqudo i nadzornika, smatra da je redosled gradiva u zvaniqnom programu obavezujui. Zbog toga je redosled obrade tema isti kao u zvaniqnom programu. Osim toga, da li e se raditi frontalno, odnosno u manjim ili veim, homogenim ili nehomogenim grupama, moe odluqiti trenutna situacija. Na kraju, jedno je sigurno – ovaj Priruqnik e svakako vixestruko olakxati nastavniku pripremu i realizaciju nastave, a samim tim doprinee i kvalitetu nastave. Veliku pomo nastavnicima i uqenicima predstavlja RADNA SVESKA kontrolni i pismeni zadaci (izdanje Matematiskopa). Sigurni smo i garantujemo da ete sa lakoom i sa odliqnim rezultatima realizovati nastavu ako Vi i Vaxi uqenici, uz ovaj Priruqnik koristite nax ubenik MATEMATIKA 7, ZBIRKU ZADATAKA i RADNU SVESKU. Preporuqujemo Vam i zbirku PLUS VII za dodatnu nastavu.

GLOBALNI (GODIXNjI) PLAN RADA (i pismenih zadatak) Red. br. 0 1 2 3

3

3

3 4 5 5 6 7 7

Nastavna tema

Broj qas. po temama 1 16 16

Uvodni qas Realni brojevi Pitagorina teorema Celi i racionalni alge4 barski izrazi Prvi pismeni zadatak 3 Celi i racionalni alge22 barski izrazi Drugi pismeni zadatak 3 Celi i racionalni alge3 barski izrazi Drugo polugodixte Celi i racionalni alge10 barski izrazi Mnogougao 13 Zavisne veliqine 7 Trei pismeni zadatak 3 Zavisne veliqine 10 Krug 15 Sliqnost 2 Qetvrti pismeni zadatak 3 Sliqnost 8 Ukupno 139

Qasova Obrade Ostalo 1 7 9 7 9 2

2 3

9

13 3

1

2

2

8

6 3

7 4 3 7 9 1 3 6 90

3 6 1 2 49

Napomena. Za pismeni su predviena 3 qasa (po jedan za prijemni, izradu i ispravku). Predvieno je 9 kontrolnih vebi. U drugom plugodixtu 5-6 qasova ostaje kao rezerva za kraj nastavne godine.

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA Napomena. Zbog raznih mogunosti uklapanja liqnog nedeljnog rasporeda u kalendar, granicu izmeu dva uzastopna meseca treba uzeti fleksibilno. Nastavna sredstva definixe nastavnik prema raspoloivim mogunostima.

8

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

9

10

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

11

12

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

13

14

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

15

16

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

17

18

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

DETALjAN PLAN IZVOENjA NASTAVE PO QASOVIMA Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod istim naslovom obraene su u UBENIKU u izdanju IP MATEMATISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boks Osnovni tekst navodi se koja knjiga se koristi (Ubenik ili Zbirka) sa navedenim brojevima strana. Na neispisanim delovima strana detaljnog plana nastavnik upisuje liqna zapaanja o nivou ostvarenja i eventualne primedbe o kojima e voditi raquna pri planiranju nastave sledee xkolske godine. Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne bude realizovan, on se prenosi na poqetak prvog sledeeg qasa, predvienog za uvebavanje. Ako se neki zadaci iz ubenika, predvieni za rad na qasu OBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodaju Domaem zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkom zadataka planiranim za rad na qasovima UVE BAVANjA. Preporuqljivo je da nastavnik na qasu rexava i druge zadatke, iz sopstvene prakese. Predloeni plan rada moe i treba da se mestimiqno menja i obogauje idejama nastavnika, realizatora nastave. Neke napomene, koje su detaljno navedene u prvom delu Priruqnika, a kasnije bi trebalo da se ponavljaju, ovde nisu ponavljane. Poxto se radi o Planu rada, dovoljno ih je napisati prvi put. (To su najqexe napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatim izvoenja qasova sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.) Priruqnik u formi CD-a omoguava nastavniku da odxtampa po potrebi bilo koju stranicu. To e bitno olakxati pripremu listia za Kontrolne vebe i Pismene zadatke.

20

1. QAS Uvodni qas

Realni brojevi

Prvo polugodixte Razgovor

Cilj Upoznavanje sa uqenicima i upoznavanje uqenika sa temama koje su na programu u VII razredu. Tok qasa Zavisno od toga da li prvi put predaje u odeljenju, ili im je ve predavao, nastavnik se predstavi uqenicima. Zatim prozove sve uqenike i sa svakim malo popriqa. Posle toga, nastavnik predoqi uqenicima xta e se uqiti ove godine. Sve teme imaju fundamentalni znaqaj. Teme iz geometrije predstavljaju nastavak proxlogodixnje geometrije. U algebarskom delu prvi put emo se sresti sa vanim pojmovima: iracionalni brojevi i polinomi. Potrebno ih je dobro savladati da bi se bez texkoa uqila matematika tokom daljeg xkolovanja. Zatim, nastavnik izloi svoj naqin rada i nivo zahteva, kakvu saradnju oqekuje na qasu i u domaem radu, na koji naqin e biti vrednovan rad uqenika. Nastavnik uqenicima predoqava razne mogunosti uqestvovanja na takmiqenjima (Druxtva matematiqara, Arhimedesa, Mislixe, Kengura) i preporuqi im odgovarajuu literaturu (na primer: STAZAMA XAMPIONA, INOSTRANA JUNIORSKA TAKMIQENjA u izdanju IP MATEMATISKOP). Svim uqenicima ponudi se uqestvovanje na dodatnoj nastavi. Radi vee samostalnosti uqenika i bolje organizacije dodatne nastave, nastavnik im ponudi da se kolektivno snabdeju odgovarajuom knjigom PLUS VII, koji sa Ubenikom i Zbirkom zadataka predstavlja ubeniqki komplet, odobren od Ministarstva prosvete Republike Srbije.

21

Realni brojevi

2. QAS Kvadrat racionalnog broja

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Podseanje na bitne osobine kvadrata broja, pre svega da

a2

≥ 0. Uoqiti zatim zaxto nije uvek a2 > a. Nauqiti pravila je za kvadriranje proizvoda i koliqnika. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 7. do 11. strane.

Podsetimo se na pojam kvadata broja preko izraqunavanja povrxine kvadrata. Kvadrat broja definixemo kao proizvod broja sa samim sobom, kao na 8. strani ubenika. Rexavamo redom primere 1, 2, 3. Iz rezultata Primera 3 zakljuqujemo zbog qega je a2 ≥ 0. Rexavanjem Primera 4 proverimo kako su uqenici prihvatili opisane osobine. Dalje, prouqimo odnos izmeu |a| i |a|2 , kao na 9. strani ubenika. Prouqimo pravila za kvadriranje proizvoda i koliqnika. Posebno insistiramo na isticanju (i razumevanju) uslova b = 0, pri primeni pravila za kvadriranje koliqnika. Obratimo panju na primer 5. Raspoloivo vreme do kraja qasa iskoristimo da ponovimo nauqe pojmove i pravila. Sve to ilustrujemo rexavanjem odabranih zadataka za Vebe sa 11. strane ubenika. Domai zadatak Zadaci od 1. do 6. sa 11. strane ubenika (oni koje nismo rexavali na qasu).

22

Realni brojevi

3. QAS Kvadrat racionalnog broja Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Utvrditi osobine kvadrata racionalnog broja i pravila obraena prethodnog qasa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 7. do 12. strane.

Ponovimo pojmove i osobine nauqene prethodnog qasa. Uputimo uqenike da kao podsetnik koriste i obojeni tekst Ukratko sa 7. strane Zbirke. Rexavamo zadatke: 1. a) i b), 2. g), ) i ), 4. b), g), d), 5, 7. a), 8, 16. b) i ). Ako ima vremena, rexiemo i zadatke 20 a) i 32 b) Domai zadatak 3 e), ) i ), 5, 6, 7 g), 9, 13, 16, 30, 35. Ukoliko su uqenici odliqno shvatili pojmove i ponuene zadatke rexavaju brzo i lako, treba im zadati jox: 10, 18, 22.

23

Realni brojevi

4. QAS Rexavanje jednaqine x2 = a, a ≥ 0. Kvadratni koren Frontalni rad

Obrada

Heuristiqka metoda

Cilj Pravilno definisati kvadratni koren kao nenegativan broj. √ Razlikovati rexenje jednaqine x2 = a (dva rexenja) od broja a. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 12. do 16. strane.

Kao xto je opisano na 12. strani ubenika, uoqimo da zavisno od veliqine koju odreujemo, jednaqina x2 = 16 moe imati samo jedno rexenje (x = 4, ako je x stranica kvadrata, koja mora biti pozitivna ) ili dva rexenja (x = 4 ili x = −4, ako se trai broj, jer je 42 = 16 i (−4)2 = 16). Zatim, rexavamo jednaqinu x2 = a2 (12. i 13. strana), pa jednaqinu x2 = a, a ≥ 0, u sluqajevima kad je a = k2 . Usput rexavamo redom primere 2 i 3 (strane 13. i 14.). Uvodimo pojam kvadratnog korena, kao na strani 14. ubenika √ i utvrdimo osobinu: za a ≥ 0 je ( a)2 = a. Zatim, reximo primere 4 i 5. Uz ponavljanje nauqenih pojmova, reximo odabrane zadatke iz date vebe. Domai zadatak Rexiti zadatke 1, 2, 3, 4, Vebe sa 15. i 16. strane (one koje nismo rexavali na qasu). Zatim, proqitati tekst ”nije - nego” sa 16. strane. Rexiti iz zbirke zadatke 51 i 52.

24

Realni brojevi

5. QAS Jednaqina x2 = a. Kvadratni koren

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Pravilno tumaqenje pojma korena (za a ≥ 0 je

√

a = k, gde

k2

= a). Posebno obratiti panju na sluqaj kada koren je k ≥ 0 i nije definisan, √ tj. kad je potkorena veliqina negativna. Rexavamo i jednaqinu x = a. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 12. do 16. strane.

Ponovimo rexavanje jednaqine x2 = a2 , (reximo zadatak 36 a), b), d), i)). Ponovimo rexavanje jednaqine x2 = a, a ≥ 0 (reximo zadatak 37 d), ), )). Ponovimo pojam kvadratnog korena (reximo zadatke: 45 a), b), v), e) i 46 v), ), e)). √ Istaknemo da a nije definisana za a < 0 i to potvrdimo pozivajui se na definiciju kvadratnog korena. Reximo zadatak 52. i zadatak 54 v), g). Koristei se rastavljanjem brojeva na proste qinioce, rexavamo zadatak 54 v), g). √ Istiqemo: iz definicije korena, za a ≥ 0 i k ≥ 0, iz a = k, sledi da je a = k2 . Zatim, rexavamo zadatak 43 a), v), g), ), z). Domai zadatak Zbirka: 37 g), z), i), j), 39 a), ), e), 41 a), 50, 53 a), ), e), 49 a), d), ).

25

Realni brojevi

6. QAS √ Kvadratni koren. Jednakost

a2 = |a|.

Frontalni rad

Heuristiqko-dijaloxka metoda

Obrada

Koristei se definicijom kvadratnog korena i definici√ jom apsolutne vrednosti, utvrditi da je a2 = |a|. Cilj

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 16. do 18. strane.

√ 2 Kao xto √ je opisano u ubeniku, utvrdimo da je a = a, ako je a ≥ 0, i a2 = −a, ako je a < 0. Ovo treba ilustrovati konkretnim primerima, kao xto je uqinjeno na 16. i 17. strani ubenika, ali traiti da i uqenici sami navode sliqne primere. Pitaemo uqenike, da li ih dobijeni rezultati asociraju na neki odranije poznati pojam. Ako sami ne uoqe analogiju sa apsolutnom vrednoxu, treba  ih navesti na to zahtevima da odrede, npr. | − 5| i da | − 5|2 i sl. Navesti uqenike da samostalno zakljuqe uporede sa √ 2 da je a = |a|. Zatim, rexavamo primere 1 i 2 sa 18. strane. Ponovimo nauqeni zakljuqak i rexavamo Vebe sa 18. strane. Preostale vebe (koje nismo stigli da reximo na qasu) dati za domai zadatak. Domai zadatak

(Jox i) Zbirka: 56, 58, 61, 62, 66, 68.

26

Realni brojevi

7. QAS Iracionalni brojevi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

√ √ Cilj Izraqunavanjem decimalnog zapisa brojeva 2 i 3, ali i jox nekih, navesti uqenike na zakljuqak da ovi i jox mnogi kvadratni koreni nisu racionalni brojevi. Uoqiti razliku u decimalnim zapisima racionalnih i iracionalnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 19. do 22. strane.

Kao xto je opisano na 19. i 20. strani ubenika, √ √ pokuxavamo da odredimo racionalni (decimalni)√zapis brojeva 2 i 3. Prikaemo kako je Aristotel dokazao da 2 nije racionalan broj. (Ne insistiramo da uqenici √ √takve dokaze). Bitno je da uqenici √ √ izvode uoqe i zapamte da 2, 3, 5, 6, . . . nisu racionalni brojevi. To su iracionalni brojevi. Zatim, navodimo uqenike da sami zakljuqe da je decimalni zapis iracionalnog broja sa beskonaqno mnogo neperiodiqnih decimala. Zatim, rexavamo primer 1 sa 21. i 22. strane. Ponovimo kako smo doxli do pojma iracionalnog broja. Zatim, rexavamo Vebe sa 22. strane. Domai zadatak

Zbirka: 73, 74, 77.

27

Realni brojevi

8. QAS Iracionalni brojevi

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Utvrditi pojam iracionalnog broja. Uoqiti da postoje iracionalni brojevi koji nisu kvadratni koreni, kao 2,0200200020 . . . Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 19. i 20. strana.

Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa, kao xto je navedeno u tekstu Ukratko, na 19. strani zbirke. Zatim, rexavamo zadatak 71 a) i b). Ponovimo zakljuqak: ako racionalni broj k nije kvadrat ne√ kog racionalnog broja, onda je k iracionalan broj, pa rexavamo zadatak 74. Ponovimo zakljuqak o decimalnom zapisu iracionalnog broja, pa reximo zadatak 72. Dalje rexavamo zadatke 79 a) i 80 a) i g). Domai zadatak 75 i 76.

Zbirka: 78, 79, 80 i neobavezno (dobrovoljno)

28

Realni brojevi

9. QAS Realni brojevi i brojevna prava.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti da unija disjunktnih skupova racionalnih i iracionalnih brojeva odreuje skup svih tzv. realnih brojeva. Pokazati da taqkama brojevne prave odgovaraju svi racionalni i svi iracionalni brojevi. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 22. do 27. strane.

Najpre uoqimo kako se kombinovanjem poznatih iracionalnih brojeva sa racionalnim dobijaju novi iracionalni brojevi. Dakle, rexavamo primere 1 i 2 sa 23. strane. Definixemo skup iracionalnih brojeva. Zatim, definixemo skup realnih brojeva. Ponovimo ukratko kako se odreuju taqke brojevne prave sa racionalnim koordinatama. Onda, kao xto je opisano u ubeniku, prikaemo kako se pravoj priblino odreuju taqke √ √ na brojevnoj sa koordinatama 2 i 3. Treba obavezno naglasiti da emo kasnije videti kako se ove taqke √ odreuju sasvim taqno, pa navesti kao to moemo uqiniti za 2 (primer 3). √ Uradimo primer 3, a eventualno i konstrukciju dui duine 5, opisanu na strani 27. Rexavamo Vebe date na kraju odeljka. Domai zadatak 87.

Zbirka: 81 a), b), v), 82 a), b), v), 83, 84, 85, 86,

29

Realni brojevi

10. QAS Decimalni zapis realnog broja. Priblina vrednost realnog broja.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Podsetiemo se na pojam pribline vrednosti (zaokrugljivanje decimalnih brojeva) i utvrditi kako se odreuju pribline (decimalne) vrednosti iracionalnih brojeva. Osnovni tekst Ubenik, od 28. do 30. strane i Zbirke, 6, 32. i 33. strana. Tok qasa U V razredu nauqili smo kako se odreuje priblina decimalna vrednost racionalnog broja, zaokrugljivanjem na odreen broj decimala. Sliqno postupamo i sa decimalnim zapisima iracio√ nalnih brojeva. Navodimo sluqaj broja 2, kao xto je opisano na 28. i 29. strani ubenika, uz odreivanje grexke zaokrugljivanja. Zatim, navodimo kako se postupa kad je prva izostavljena decimala iracionalnog broja cifara 5. Onda, reximo primer 1. Zatim, upoznajemo uqenike sa tablicama kvadratnih korena, koje su date u zbirci, na stranama 6, 32 i 33. Objasnimo kako se koriste ove tablice i to potvrdimo rexavajui primer 2. Na kraju, rexavamo redom Vebe date na kraju odeljka. Preostale zadatke iz Vebi dajemo za domai zadatak. Domai zadatak

(Jox i) zbirka: 91, 97.

30

Realni brojevi

11. QAS Decimalni zapis, priblina vrednost Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Uvebati odreivanje priblinih decimalnih zapisa iracionalnih brojeva i korixenje tablica kvadratnih korena, koje su date u Zbirci na 6, 32 i 33 strani. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 22. do 25. strane.

Uz podseanje na pravila o zaokrugljivanju decimalnih zapisa brojeva, rexavamo zadatke 91 v), g), d), ). Onda, prikaemo uputstvo za upotrebu tablica kvadratnih korena. (Vidi tekst Ukratko na strani 23.). Onda, rexavamo zadatak 91 e) i ). Zatim, rexavamo zadatke: 93 g), ), z), k), 94 a), d), ), 96 i 100. Ukoliko raspolaemo sa dovoljno vremena, rexiemo zadatke 95 b) i 98 b). Domai zadatak

92, 93, 94, 95 i neobavezno (dobrovoljno) 99.

31

Realni brojevi

12. QAS Raqunske operacije sa iracionalnim brojevima

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Nauqiemo kako se kvadratni koreni mnoe i dele. Na osnovu toga vrxiemo delimiqno korenovanje (izvlaqenje qinioca ispred korena), pa emo sabirati i oduzimati sliqne korene. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 31. do 34. strane.

Rexavanjem primera 1, strana 31, dolazimo do pravila za korene proizvoda i koliqnika: √ √ √ Za a ≥ 0, b ≥ 0 je a · b =√ a · b i a a = √ . Za a ≥ 0, b > 0 je b b Ova pravila se mogu primeniti iu√ obrnutom smislu. (Na pri√ √ mer, vai: za a ≥ 0 i b ≥ 0 je a · b = a · b). To ponekad moemo iskoristiti da uprostimo raqun sa korenima. Navodimo primer 2, strana 32, a onda uoqavamo kako se koren moe uprostiti delimiqnim izvlaqenjem ispred korena (tekst iza rexenja primera 2). Zatim, reximo primer 3. Na kraju, rexavamo zadatke 1, 2, 3 Vebi sa 34. strane. Napomena. Tekst sa strane 33, o uporeivanju korena ostavljamo za 14 qas. Domai zadatak

101, 102, 106 a), b), v), g), 108, 109.

32

Realni brojevi

13. QAS Raqunske operacije sa iracionalnim brojevima. Frontalni rad

Uvebavanje

Dijalog

Cilj Uvebati operacije mnoenja, delenja, sabiranja i oduzimanja korena. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 25. do 28. strane.

Ponovimo pojmove i operacije, navedene u tekstu Ukratko, na 25. strani zbirke, osim dva poslednja reda ovog teksta. Pritom, rexavamo redom odgovarajue zadatke: 101 ), e) i ), 102 v), g) i e). Zatim, rexavamo zadatke: 103. a), d), ), 104 a), b), e), 105 a), b), 107. a), b), v), 110. a), b), 111 v), ) i 114. Domai zadatak 103 b), v), g), ), 104 g), d), ), 106 d), ), z), i), 111 a), b), g), d), 112.

33

Realni brojevi

14. QAS Raqunske operacije sa iracionalnim brojevima Rad u parovima

Uvebavanje

Dijalog

Cilj Nauqiemo uporeivanje korena. Za one koji ele da nauqe vixe, prikazaemo postupak racionalisanja iracionalnih imenilaca. Osnovni tekst

Ubenik, 33. i 34 i Zbirka 28. strana

Tok qasa Sada i ubudue, parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Najpre ponovimo nauqeno, rexavajui zadatke iz zbirke, redom: 104 z), 106 e), ), 107 g), d), 110 e), 112 g), 113, 116. Zatim, pokaemo kako se porede koreni (tekst na 33. strani ubenika, ispred primera 4 i rexavanje primera 4). Onda rexavamo zadatke 117 a) i 118 b) iz zbirke. Za one koji ele da nauqe vixe, pokaemo postupak racionalisanja imenioca (zeleno osenqen tekst ispred Vebe). Reximo i zadatak 1. Dodatka (na dnu 28. strane) iz zbirke. Domai zadatak 4. Zadatak iz Vebi sa 34. strane zatim, iz zbirke zadaci: 117. 118 a), g), 119, 120. a neobavezno 2. i 3. iz zbirke (dodatak, strana 29).

34

Realni brojevi

15. QAS Osnovna svojstva operacija s realnim brojevima. Frontalni rad

Sistematizovanje

Dijalog

Cilj Uoqiti kako se zakoni raqunskih operacija, do sada primenjivanih u skupu racionalnih brojeva, primenjuju na skupu realnih brojeva Osnovni tekst

Ubenik, 35. i Zbirka od 29. do 31. strane.

Tok qasa Osnovna svojstva (zakone) navodimo iz ubenika (36. strana) ili iz Zbirke (tekst Ukratko na 29. strani). Obe osobine ilustrujemo rexavajui iz zbirke zadatke redom: 121, 122. Dalje, rexavamo primer 1 sa 35. strane ubenika, pa zatim iz Zbirke: 123 i 124. Domai zadatak

Zbirka: 126, 127, 128 i neobavezno 129.

35

Realni brojevi

16. QAS Realni brojevi

Obnavljanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Ukratko ponoviti osnovne osobine i pravila, radi pripreme za kontrolnu vebu. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka, prva glava.

Nehomogene grupe qine po qetiri uqenika iz dve susedne klupe. Sve grupe rexavaju iste zadatke. Grupa koja rexi zadatak prijavljuje se nastavniku. Kad svi (ili skoro svi) dou do rexenja, nastavnik izvodi na tablu jednog predstavnika jedne od grupa koji su najbre rexili zadatak. Po pravilu, na tablu ne izlazi najbolji iz grupe. Nagrada za uspexno rexenje pixe se celoj grupi. Time se stimulixe timski rad. Nastavnik zadaje jedan, po jedan zadatak. Sledei zadaje, kad je prethodni rexen. Izbor zadataka zavisi od procenjenog opxteg nivoa znanja uqenika u odeljenju. Za osrednji nivo znanja, izbor zadataka mogao bi biti iz zbirke, redom: 27 v), 31, 49 ), 50 z), 66 b), 67, 98 a), 102 ), 111 g), 112 v), 117 v). Domai zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE kontrolni i pismeni zadaci, prva kontrolna veba.

36

Realni brojevi

17. QAS Prva kontrolna veba. (Realni brojevi)

Kontrola znanja

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Na listu pixe ime uqenika, a ne ”grupa A”, ”grupa B” itd. To e onemoguiti dogovaranja uqenika koji rexavaju iste zadatke. Grupa A) 1. Koristei se rastavljanjem na proste qinioce dokai da je 7056 kvadrat nekog prirodnog broja √ n. Odredi n. 2 b) 2x = 6. 2. Rexi jednaqine: a) x = 0, 04; √ 3. Izraqunaj ( 3 − 2)2 − 2. √ √ √ √ √ 4. Izraqunaj (uprosti izraz): (7 6 − 27 + 3 3 − 2 96) · 3. √ 5. Bez korixenja tablica korena utvrdi da li je vei broj 3 5 √ ili broj 4 3. Grupa B) 1. Rastavljanjem na proste qinioce pokai da je 11025 kvadrat nekog prirodnog broja. Odredi taj prirodni broj. √ 1 2. Rexi jednaqinu: a) x2 = 6 ; b) 0, 1x = 3. 4 √ 3. Izraqunaj 5 − ( 5 − 5)2 .  √ √ √ √ 4. Izraqunaj (uprosti izraz): ( 8 − 150 + 3 54 − 2 2) : 3. √ 5. Bez korixenja tablica korena utvrdi koji je broj vei, 2 5 √ ili 3 2. Grupa V) 1. Rastavi na proste qinioce broj 5184 i utvrdi da on predstavlja kvadrat prirodnog broja. Kog √ broja? b) 3x = 0, 6. 2. Rexi jednaqine: a) x2 = 1, 69;  √ 3. Izraqunaj (1 − 3)2 + 1. √ √ √ √ √ 4. Izraqunaj (uprosti izraz): 15 6 : ( 20 − 2 12 + 3 27 − 2 5). 5. Bez korixenja korena utvrdi da li je √ √ tablica kvadratnih vei broj −4 3 ili broj −5 2.

Realni brojevi

37

Grupa G) 1. Rastavljanjem na proste qinioce utvrdi da li je 15876 kvadrat prirodnog broja. Ako jeste, odredi taj√prirodni broj. 2. Rexi jednaqinu: a) (x + 5)2 = 49; b) 10x = 16. √  2 3. Izraqunaj (−2) − ( 2 − 2)2 . √ √ √ √ √ 4. Izraqunaj (uprosti izraz): ( 28 + 3 6 − 216 − 2 7) : 2. 5. Bez korixenja tablica kvadratnih korena utvrdi xta je ve√ e, 9 ili 4 5. Grupa D) 1. Rastavi na proste qinioce broj 28224 i utvrdi da on predstavlja kvadrat prirodnog broja. Kog broja? √ 2 2. Rexi jednaqinu: a) 8 − 2x2 = 0; b) 4x = . 3  √ 2 3. Izraqunaj 1 + (1 − 2) . √ √ √ √ √ 4. Izraqunaj (uprosti izraz): 2 · (2 48 − 3 24 − 4 12 + 54). 5. Bez korixenja tablica kvadratnih korena utvrdi koji je broj √ 5√ 63 ili −4, 5 28. vei, − 2

38

Pitagorina teorema

18. QAS Pitagorina teorema – dokaz

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Upoznavanje sa Pitagorinom teoremom. Izraqunavanje duina kateta i hipotenuze korixenjem Pitagorine teoreme. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 36. do 41. strane.

O navodnom otkriu ove popularne teoreme postoji legenda o kupatilu i podnim ploqicama, koje su pomogle Pitagori da otkrije ovu osobinu. Ovu anegdotu svakako treba ispriqati na qasu (36. i 37. strana u ubeniku). Zatim, formulixemo teoremu (na 37. strani su dati i obrazloene dve formule). Dokaz teoreme (strana 37 i 38 u ubeniku) daje se u jednoj od najjednostavnijih varijanti. Ne treba insistirati da uqenici znaju dokaz. Moe se navesti interesantan podatak, da je poznato oko 400 dokaza ove teoreme. Interesantni su dokazi Euklida i Da Vinqija, navedeni u zelenom boksu na 40. i 41. strani. (Uqenicima treba preporuqiti da proqitaju ova dva dokaza). Uoqavamo da je jednakost c2 = a2 + b2 veza izmeu tri stranice pravouglog trougla, koja omoguava izraqunavanje duine jedne stranice, ako su ostale dve poznate. To potvrdimo rexavanjem Primera 1 sa 39. strane. Zatim, radimo zadatke date za Vebe na 39. i 40. strani ubenika. Domai zadatak

Zbirka, 131, 132, 133.

39

Pitagorina teorema

19. QAS Pitagorina teorema

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti razne mogunosti primene Pitagorine teoreme radi izraqunavanja duina kateta ili hipotenuze uoqenih pravouglih trouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 34. do 37. strane.

Ponovimo osnovno tvrenje Pitagorine teoreme, koje vai za svaki pravougli trougao. Formulaciju teoreme iskazuju uqenici, a nastavnik intervenixe u sluqaju pogrexke ili nepotpune formulacije. (Ako treba, nastavnik podsea uqenika i na stihove iz Nuxieve ”Autobiografije”). Nastavnik insistira na isticanju tri praktiqne veze izmeu kateta i hipotenuze: c2 = a2 + b2

a2 = c2 − b2

b2 = c2 − a2

Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 131 b) i v), 132 a) i g), 133 a), 134, 139, 141 i eventualno 138. Domai zadatak

135, 135, 137, 142, 144, 148, 151.

40

Pitagorina teorema

20. QAS Obrnuta Pitagorina teorema Frontalni rad

Obrada

Dijaloxko-demonstrativna metoda

Cilj Uoqiti praktiqno znaqenje i vanost obrnute Pitagorine teoreme. Insistirati na uoqavanju razlike u tvrenju Pitagorine i obrnute Pitagorine teoreme. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 41. do 43. strane.

Ponovimo Pitagorinu teoremu. Insistiramo na isticanju ”uslova i posledica”: ako je trougao pravougli (ima prav ugao), onda je a2 + b2 = c2 . Nastavnik istiqe da su Egipani, Vavilonci, Kinezi, mnogo pre Pitagorinog doba znali da su, na primer, trouglovi sa stranicama duina 3, 4 i 5 (egipatski trougao) ili 5, 12 i 13, pravougli i uoqili su da je 32 + 42 = 52 , odnosno da je 52 + 122 = 132 (tekst dat na 41. strani ubenika). Uvodimo pojam Pitagorinog trougla. Zatim, radimo 1. zadatak iz Vebe sa 43. strane. Pitamo uqenike da li oni znaju neki sliqan primer. Onda postavimo pitanje: ”Da li je pravougli svaki trougao u kojem vai jednakost a2 + b2 = c2 , gde su a, b, c duine stranica”? Nastavnik nacrta trougao ABC u kome je a2 + b2 = c2 i odredi taqku C1 kao na slici sa 42. strane. Istiqe da je, koristei se ovom slikom, Euklid dokazao navedeno tvrenje. Uz eventualnu pomo nastavnika, uqenici dokau ovu tvrdnju, pa urade primer 1 i 2 sa 42. strane. Zatim, nastavnik objasni xta se dogaa ako je a2 + b2 > c2 ili 2 a + b2 < c2 , gde je c najdua stranica. (tekst pri dnu 42. strane). Onda rexavamo zadatke 2 i 3 iz Vebe. Domai zadatak

Zbirka, 156, 157, 158.

41

Pitagorina teorema

21. QAS Obrnuta Pitagorina teorema Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Uoqiti praktiqne primene obrnute Pitagorine teoreme.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 38. i 39. strana.

Parovi se formiraju od uqenika koji sede u istoj klupi. Ponovimo tvrenja Pitagorine i obrnute Pitagorine teoreme. Uoqavamo bitnu razliku. Pitagorina teorema: ako trougao ima prav ugao naspram stranice c, onda je a2 + b2 = c2 . Obrnuta Pitagorina teorema: ako je a2 + b2 = c2 , onda je naspram stranice c ugao prav. Ponovimo uslove za oxtrougli i pravougli trougao. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 157 b), g) i d), 159, 161, 162, 164, 166. Domai zadatak

160, 163, 165, 169.

42

Pitagorina teorema

22. QAS Primena Pitagorine teoreme na kvadrat i pravougaonik. Rad u parovima

Obrada

Heuristiqka metoda

Cilj Uoqiti da dijagonala deli kvadrat (pravougaonik) na dva pravougla trougla i uspostaviti vezu izmeu duina stranica i dijagonala. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 43. do 46. strane.

Parovi su uqenici koji sede u jednoj klupi. Uoqimo da dijagonala deli kvadrat na dva pravougla trougla. (Nastavnik nacrta na tabli sliku kvadrata datu na 43. strani ubenika). Onda uqenici primene Pitagorinu teoremu i √ odrede √ d 2 . vezu d = a 2 i, uz eventualnu pomo nastavnika, vezu a = 2 Zatim, rexavamo primere 1 i 2. Onda, nastavnik postavlja pitanje: ”Moemo li duinu dijagonale pravougaonika izraziti preko duina njegovih stranica”? Uqenici prvo rexavaju na mestu, a onda jedan od njih demonstrira na tabli dobijemo rexenje. Potom rexavamo primere 3 i 4. Pri kraju qasa ponovimo dobijene zakljuqke i eventualno reximo neki od zadataka datih za Vebu. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 iz ubenika.

43

Pitagorina teorema

23. QAS Kvadrat i pravougaonik Rad u parovima

Uvebavanje Heuristiqka metoda

Cilj Utemeljiti primenu Pitagorine teoreme na kvadrat i pravougaonik. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 40. do 42. strane.

Ponovimo vezu izmeu duine dijagonale i stranica pravougaonika. Zatim, rexavamo zadatke: 171 (po izboru nastavnika), 176, 177, 178. Zatim, ponovimo vezu izmeu duine stranice i dijagonale kvadrata, pa rexavamo zadatke: 172 a), 173 b) i v), 174 a) 184. Domai zadatak

171, 172 b), g), 173 a), 175, 181, 182, 188.

44

Pitagorina teorema

24. QAS Primena Pitagorine teoreme na trougao.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti vezu izmeu stranica jednakokrakog (jednakostraniqnog) trougla i odgovarajue visine. Posebno uoqiti veze izmeu stranica jednakokrakog pravouglog trougla i trougla koji predstavlja polovinu jednakostraniqnog trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 46. do 50. strane.

Ponovimo osnovnu i obrnutu Pitagorinu teoremu. Rexavanjem zadatka 148 iz Zbirke ukaemo na uobiqajenu primenu teoreme. Nacrtajmo na tabli jednakostraniqni trougao, kao na 46. strani ubenika i odredimo vezu izmeu a, h i P (46. i 47. strana u ubeniku). Reximo primer 1, pa preemo na odreivanje polupreqnika upisane i opisane krunice (strana 48). Zatim, reximo primere 2 i 3. Potom odredimo vezu izmeu duina osnovice, kraka i visine na osnovici u proizvoljnom jednakokrakom trouglu (49. strana u ubeniku), pa reximo primer 4. Onda, prouqimo pravougli jednakokraki trougao, kao xto je izloeno na 49. i 50. strani u ubeniku, pa reximo primer 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 50. strane ubenika.

45

Pitagorina teorema

25. QAS Jednakostraniqni i jenakokraki trougao Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Posebno insistiramo na prepoznavanju jednakokrakog pravouglog trougla (polovina kvadrata) i pravouglog trougla sa oxtrim uglovima od 30◦ i 60◦ (polovina jednakostraniqnog trougla). Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 42. do 45. strane.

Ponovimo veze uoqene u jednakostraniqnom trouglu (h, P , r i R izraeno preko duine stranice), kao u tekstu Ukratko na 42. strani Zbirke. Zatim, rexavamo zadatke 191√ a) i g), 193 g). 2h 3 u jednakostraniqnom trouglu, Podsetimo se na vezu a = 3 pa reximo zadatke 192 a) i d) i 194. Onda rexavamo zadatke o proizvoljnom jednakokrakom troglu, 198 a) i 204 b). Ponovimo veze iz pravouglog jednakokrakog trougla i reximo zadatke 195 b) i 196 a) Na kraju reximo zadatak 210. Domai zadatak 206, 211.

192 v) i ), 193 a) i b), 196 v), 198 b) i v), 202,

46

Pitagorina teorema

26. QAS Primena Pitagorine teoreme na paralelogram i deltoid.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Izraqunavanje duina dijagonala i visina paralalograma i dijagonala deltoida. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 51. do 54. strane.

Ponovimo osobine paralelograma. Kao xto je izloeno na strani 51, pokaemo kako visine paralelograma sa stranicama i dijagonalama odreuju pravougle trouglove. Rexavanjem primera 1 pokaemo kako se tu koristi Pitagorina teorema. Zatim se podsetimo na osobine romba i izvedemo vezu izmeu duina dijagonala i stranice (strana 53. u ubeniku). Reximo primer 2. Nacrtamo deltoid, ukaemo na osobine njegovih dijagonala i pravougle trouglove koje one odreuju. Rexavamo zadatke 1, 2, 3 iz Vebe na kraju ovog odeljka. Domai zadatak

216 a) i g), 219, 221 a), 227 a).

47

Pitagorina teorema

27. QAS Paralelogram i deltoid Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Utvrditi primenu Pitagorine teoreme kod paralelograma i deltoida, a posebno kod romba. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 46. do 48. strane.

2  2 2 d21 d2 = + , koja karakterixe romb, pa Ponovimo vezu 2 2 rexavamo zadatke: 216 b) i v), 217 a) i b), 218. Zatim, rexavamo zadatke 222 i 223, koji se odnose na proizvoljni paralelogram. Ponovimo osobine deltoida i rexavamo zadatke 228 i 227 b). 

a2

Domai zadatak

217 v) i g), 221 b) i v), 220, 224, 227 v).

48

Pitagorina teorema

28. QAS Pitagorina teorema i trapez Frontalni rad

Obrada

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Na osnovu poznavanja primene kod trougla i paralelograma, primeniti Pitagorinu teoremu na trapez. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 55. do 57. srtane.

Podsetimo se kako se trapez razlae na paralelogram i trougao. Uoqimo da se razlaganjem jednakokrakog trapeza dobija i jednakokraki (mogue jednakostraniqni) trougao, a kod pravouglog trapeza imamo pravougli trougao. Na slikama kao xto su na 54. i 55. strani ubenika, uoqavamo jox i pravougle trouglove kojima je visina trapeza jedna kateta, a hipotenuza je krak ili dijagonala. Rexavanjem najpre primera 1 i 2, a zatim Vebi 1, 2, 3, 4 sa 56. strane, uqenici samostalno otkrivaju kako se Pitagorina teorema koristi kod trapeza. Domai zadatak

231 a), 232 b), 237 a) 240, 242.

49

Pitagorina teorema

29. QAS Pitagorina teorema i trapez

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Utemeljiti primenu Pitagorine teoreme kod trapeza, a posebno kod jednakokrakog trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 48. do 50. strane.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Ponovimo osobine trapeza. Podsetimo se da je srednja linija trapeza paralelna osnovicama i jednaka poluzbiru osnovica. Ponovimo i formulu za povrxinu trapeza (tekst Ukratko na 48. strani). Rexavamo zadatke iz zbirke: 231 b), 233 b) i v), 234, 236, 239, 243. Domai zadatak

232 a), 233 g), 235, 244.

50

Pitagorina teorema

30. QAS Pitagorina teorema Rad u nehomogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Povezati znanje o primeni Pitagorine teoreme na trouglove i qetvorouglove. Osnovni tekst Ubenik, od 36. do 56. i Zbirka od 34. do 50. strane. Tok qasa Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Izabrati karakteristiqne zadatke iz primene Pitagorine teoreme, sa teixtem na one delove za koje nastavnik misli da su manje uspexno savladane od strane uqenika. Radi se na naqin uobiqajen za nehomogene grupe. (Videti tekst pripreme za 16. qas.) Predlog izbora zadataka za ovaj qas: 135, 136, 140, 152, 169, 175, 183, 211, 207, 229, 241, 246. Domai zadatak zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pismeni zadaci, druga kontrolna veba.

Pitagorina teorema

51

31. QAS Druga kontrolna veba (Pitagorina teorema)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Prema podacima sa slike levo odredi duinu dui AD = x.

2. Prema podacima sa slike desno pokai da je KLM pravougli trougao. 3. Izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD, ako je BC = 29 cm, AC = 52 cm i visina koja odgovara stranici AB je 20 cm. 4. Izraqunaj povrxinu jednakokrakog trapeza kome je krak 25 cm, manja osnovica 11 cm i visina 24 cm. Grupa B) 1. Prema podacima sa slike levo odredi duinu dui x = BD.

2. Na slici desno su oznaqene dui KL, KN , LN i M N . Odredi duinu dui x = KM . 3. Izraqunaj obim i povrxinu pravougaonika kome je dijagonala 58 cm i jedna stranica 4 dm. 4. Osnovice trapeza su 14 cm i 46 cm, a uglovi na jednoj osnovici su 45◦ . Izraqunaj povrxinu i duinu dijagonale ovog trapeza.

52

Pitagorina teorema

Grupa V) 1. Prema podacima sa leve slike, odredi duinu dui CB = x.

2. Na osnovu podataka sa slike desno, pokai da je M N P = 90◦ . 3. Izraqunaj obim kvadrata koji ima istu povrxinu kao pravougaonik sa stranicom duine 15 cm i dijagonalom duine 25 cm. Raqunaj na dve decimale. 4. Izraqunaj povrxinu trapeza kome su uglovi na jednoj osnovici 60◦ , krak je duine 26 cm, a zbir osnovice je 34 cm. Grupa G) 1. Duina stranice AB trougla ABC na slici levo je 25. Prema podacima sa slike odredi duinu dui x = AC.

2. Prema podacima sa desne slike, izraqunaj povrxinu trougla KLM . 3. Na stranici BC kvadrata ABCD data je taqka P , takva da je AP = 1 dm i BAP = 30◦ . Kolika je povrxina kvadrata? 4. Osnovice jednakokrakog trapeza su 28 cm i 1 dm, a krak je duine 41 cm. Kolika je povrxina trapeza?

Pitagorina teorema

53

Grupa D) 1. Prema podacima sa leve slike, odredi duinu dui AC.

√ 2. Izraqunaj povrxinu trougla KLM na slici desno. Broj 3 raqunaj na dve decimale. 3. Romb obima 1 metar ima dijagonalu duine 14 cm. Kolika je povrxina romba? 4. Jednakokraki trapez ima krak duine 34 cm. Ako je vea osnovica duine 5 dm i visina 3 dm kolika je povrxina?

54

Pitagorina teorema

32. QAS Konstrukcija primenom Pitagorine teoreme Rad u parovima

Obrada

Heuristiqka metoda

Koristei se Pitagorinom teoremom konstruisaemo dui √ √ qije se duine izraavaju iracionalnim brojevima oblika 3, 5, √ 6 i sl. Cilj

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 57. do 61. strane.

Najpre se podsetimo √ kako smo u odeljku 1.5 konstruisali dui √ qije su duine 2 i 5. Zatim, navodimo uqenike da uoqe da ove dui predstavljaju hipotenuze trouglova sa celobrojnim duinama kateta, kao xto je opisano na 57. strani ubenika. Onda konstruixemo na tabli trougao kome je jedna kateta duine 1 i hipotenuza duine 2. Uqenici izraqunavaju duinu druge katete (trea slika na strani 57). Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5, 6, iz ubenika. Svako rexenje objaxnjavaju uqenici, uz eventualnu malu pomo nastavnika. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane ubenika.

55

Pitagorina teorema

33. QAS Konstrukcije (Pitagorina teorema)

Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Utvrditi primenu Pitagorine teoreme pri konstruisanju korena i kvadrata datih dui. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 50. do 51. strane.

Podsetimo se na konstrukcije koje smo rexavali prethodnog qasa i rexavamo zadatke iz Zbirke : 251 (deo), 252 (deo), 254, 256, 258 a) i b). Domai zadatak 253, 257, 259.

Preostali zadaci iz 251. i 252, zatim, zadaci

56

Celi i racionalni algebarski izrazi

34. QAS Stepen sa prirodnim izloiocem Frontalni rad

Obrada

Heuristiqko-dijaloxka metoda

Cilj Prouqavanje osobina stepena racionalnih brojeva. Posebno obratiti panju na stepene brojeva 0, 1, −1, 2 i 10. Objasniti ulogu stepena osnove 2 i osnove 10 u savremenom ivotu. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 62. do 67. strane.

Stepen se definixe kao proizvod jednakih qinilaca. Oznaka an je skraeni zapis ”entog stepena” broja a, i to n a  · a · · · a = a

n qinilaca

Broj a je osnova, a n je izloilac. Usvajamo jox da je a1 = a. Na poqetku qasa uqenici izraqunavaju razne date stepene. (Rexavamo primere 1 i 2. Zatim, uoqavamo stepene nule i brojeva 1 i −1, strana 64. ubenika. Na istoj strani je primer 3, u kome se uoqava kako vrednost stepena an zavisi od uslova |a| < 1 ili |a| > 1. Posle toga razmatramo stepene broja 10 i specifiqno odreivanje ”reda veliqine” broja, kao i poseban naqin zapisivanja velikih brojeva (sa mnogo cifara). Sve to je opisano na 65. i 66. strani ubenika. Na kraju (strana 66.) objaxnjavamo (uz maksimalnu interakciju uqenika) ulogu stepena broja 2 u registrovanju kapaciteta memorije raqunara. Onda rexavamo primer 5. Domai zadatak Vebe sa 67. strane. Treba proqitati tekst pod naslovom ”Zapamti”!

57

Celi i racionalni algebarski izrazi

35. QAS Stepen sa prirodnim izloiocem

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uqvrstiti znanje o stepenima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 52. do 54. strane.

Ponovimo nauqene osobine stepena (rekst Ukratko na 52. strani). Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 261, 262, 263, 264 a), v), d), e) i z), 265 a), 273, 275 a) i v). Domai zadatak

264 b), g), ), i), 265, 266, 268, 270, 272.

58

Celi i racionalni algebarski izrazi

36. QAS Operacije sa stepenovima Frontalni rad Cilj nova.

Obrada Heuristiqka metoda

Nauqiti kako se mnoe, dele i sabiraju stepeni istih os-

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 67. do 71. strane.

Ponovimo definiciju stepena. Onda nastavnik zadaje proizvod dva stepena iste osnove, kao na 67. strani ubenika. Na kraju uqenici samostalno izvode zakljuqak da je am · an = am+n . Onda rexavamo primere 1 i 2. Zatim, sliqno prethodnom, uz voenje od strane nastavnika, uqenici otkrivaju pravilo: za a = 0 i m > n je am : an = am−n i am : am = 1. (Vidi 68. stranu ubenika). Onda, reximo primer 3. Sabiranje i oduzimanje stepene zahteva posebnu panju, jer se ne mogu sabrati bilo koja dva stepena. (Pratimo tekst na 69. i 70. strani ubenika.) Reximo primere 4 i 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2 i 3 sa 70. i 71. strane.

59

Celi i racionalni algebarski izrazi

37. QAS Operacije sa stepenovima Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Tehniku mnoenja, deljenje i sabiranja stepena dovesti na zadovoljavajui nivo. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 55. do 57. strane.

Ponovimo tekst Ukratko sa 55. strane. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 276, 277, 278 a), b), 279 v) i g). Zatim, rexavamo zadatak 284 a). Pritom koristimo i definiciju kvadrata broja. Raqunamo:   2     3 3 1 1 1 1 1 3 · 0, 52 : = · 0, 52 · · 0, 52 : 2 4 2 2 4 itd. Podsetimo se kakvi stepeni mogu da se saberu, pa reximo zadatke 287 i 288. Domai zadatak 289.

278 v) i g), 279 a) i b), 280, 281, 283, 284 b),

60

Pismeni zadatak

38. QAS Pripreme za prvi pismeni zadatak Frontalni rad

Obnavljanje Dijalog

Cilj Uputiti uqenike na obnavljanje onog gradiva koje e biti obuhvaeno prvim pismenim zadatkom. Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka, prva i druga glava.

Tok qasa Posle zavrxene obrade teme REALNI BROJEVI, nastavnik analizira efekate nastave i nivo znanja uqenika, posebno za svako odeljenje. To isto qini i kada zavrxi sa obradom teme PITAGORINA TEOREMA. Posebno analizira rezultate prve i druge kontrolne vebe. Na osnovu donetih zakljuqaka planira sadraj ovog qasa. Teixte rada bie one teme i tehnike u kojim su uqenici manje postigli u dosadaxnjem radu. Pri izboru zadataka za ovaj qas nastavnik vodi raquna da se ne udaljava od sadraja zadataka koje je pripremio za prvi pismeni zadatak. Izbor zadataka je takav da uqenike usmeri ka pravim pripremema za pismeni zadatak. Veliku pomo predstavlja RADNA SVESKA, kontrolni i pismeni zadaci, pa uqenike treba uputiti da (za domai rad) vebaju odgovarajue zadatke iz ove knjige. Domai zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pismeni zadaci, prvi pismeni zadatak.

Pismeni zadatak

61

39. QAS Prvi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Od pet zadataka, po jedan je raen u xkoli, dat za domai zadatak, uzet iz Zbirke i iz Radne sveske. Napomena. Nastavnik dozvoli uqenicima da koriste tablice kvadratnih korena iz Zbirke zadataka, najvixe 5 minuta, dovoljno da nau korene za ona tri broja koja imaju u 1. zadatku. Grupa A) 1. Koristei√se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dve √ √ decimale 107 − 2 8, 57 + 15 0, 0924.   √ √ 2. Izraqunaj vrednost izraza (1 + 2)2 − (1 − 2)2 . 3. Koristei se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat povrxine 10 cm2 . Zatim, koristei se dobijenom slikom, konstruixi kvadrat povrxine 20 cm2 . 4. Romb ima jedan unutraxnji ugao od 30◦ . Ako mu je obim 88 cm, kolika mu je povrxina? 5. Odredi povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome su kraci 28 cm i 53 cm i vea dijagonala 10 dm. Grupa B) 1. Koristei √ se tablicama korena, izraqunaj na dve √ √ kvadratnih decimale 6 0, 73 − 25 0, 0743 + 792.   √ √ √ 2 2. Izraqunaj vrednost izraza 3 + (1 − 3) − (3 − 2 3)2 . 3. Koristei se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat povrxine 17 cm2 . Zatim, koristei se dobijenom slikom konstruixi kvadrat povrxine 8,5 cm2 . 4. Taqka M je sredixte stranice AB kvadrata ABCD. Na stranici AD data je taqka N , takva da je AN = 2DN . Ako je M N = 1 dm, koliki je obim kvadrata ABCD? 5. Pravougli trapez ima dijagonale duina 13 cm i 2 dm. Ako mu je jedna osnovica duine 16 cm, kolika je povrxina?

62

Pismeni zadatak

Grupa V) 1. Koristei se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dve decimale √ √ √ 0, 0083 − 2 475 + 7 8, 53. 2. Izraqunaj vrednost izraza √ √ √ √ 1√ 32 + 2 9. 2 12 − 2 8 − 48 + 2 3. Koristei se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat povrxine 15 cm2 . Zatim, nacrtaj kvadrat stranice 2 cm. Koristei ova dva nacrtana kvadrata, konstruixi trei kvadrat povrxine 19 cm2 . 4. Na osnovu podataka sa slike

izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD. 5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome je vea osnovica 9 cm, vea dijagonala 15 cm i vei krak 13 cm. Grupa G) 1. Koristei√se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dve √ √ decimale 208 + 3 0, 0793 − 9 5, 04. 2. Izraqunaj vredost izraza   √

 √ √ √ √ 2 (2 3 − 3 2)2 + (−4 3)2 + 3 2−2 3 . 3. Koristei se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat povrxine 13 cm2 , pa koristei se dobijenom slikom konstruixi ivadrat povrxine 26 cm2 . 4. Normala iz temena B pravougaonika ABCD na dijagonalu AC deli ovu dijagonalu na odseqke duine 32 cm i 18 cm. Izraqunaj povrxinu i obim pravougaonika. 5. Uglovi na √ manjoj osnovici trapeza su po 135◦ . Jedan krak ima duinu 10 2 cm, a manja osnovica je 10 cm. Kolika je povrxina trapeza?

Pismeni zadatak

63

Grupa D) 1. Koristei se korena, izraqunaj na dve √ √ kvadratnih √ tablicama decimale 20 0, 0814 − 6 0, 07 + 3 230. √ √ √ √ 2. Izraqunaj vrednost izraza 3 8 − 2 27 + 3 12 − 5 18. 3. Koristei se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat povrxine 7 cm2 . Zatim, koristei se dobijenom slikom, konstruixi kvadrat povrxine 14 cm2 .

4. Na osnovu podataka sa slike, izraqunaj povrxinu datog pravougaonika. 5. Najvei ugao pravouglog trapeza je 120◦ . Ako je dui krak 8 cm i kraa dijagonala 13 cm, izraqunaj povrxinu i obim √ trapeza. Raqunaj 3 = 1, 73.

64

Pismeni zadatak

40. QAS Ispravka prvog pismenog zadatka Frontalni rad

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne grexke, uz pouku. Tok qasa Nastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin ispravljanja grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedinaqne grexke, ne imenujui ko ih je naqinio. Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu i uqenici pohvale. Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskoj tabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih grupa.

65

Celi i racionalni algebarski izrazi

41. QAS Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Frontalni rad

Obrada

Heuristiqko-dijaloxka metoda

Cilj Koristei se definicijom stepena izvesti pravila za stepenovanje proizvoda, koliqnika i stepena. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 71. do 74. strane.

Na poqetku qasa ponovimo: definiciju stepena, mnoenje i deljenje stepena istih osnova. Koristei se dosadaxnjim saznanjima uqenika, nastavnik navodi uqenike da sami izvedu pravilo za stepen proizvoda: (a · b)n = an · bn . (Videti tekst na 71. strani ubenika.) Zatim, izvodimo zakljuqak da vai i obrnuta jednakost, tj. da je an · bn = (a · b)n . Kao xto je opisano na 71. strani ubenika, pokaemo kako se primenom obrnutog pravila pojednostavi proizvod 0, 46 · 2, 56 . Zadravajui inicijativu, nastavnik navodi uqenike da izvo a n an = n , odnosno (a : b)n = an : bn , ali i de i pravilo: za b = 0 je b b an : bn = (a : b)n . Usput rexavamo primere 1, 2 i 3. Zatim, izvodimo pravilo za stepenovanje stepena, (am )n = am·n i obrnuto pravilo: amn = (am )n = (an )m . Onda, rexavamo primere 4 i 5. Ukoliko je preostalo vremena do kraja qasa, nastavnik demonstrira nejednakosti iz boksa pod naslovom ”xta je vee”, s kraja odeljka. U protivnom, preporuqi uqenicima da to sami proqitaju. Domai zadatak daci 296 i 303.

Vebe, 1, 2, 3, 4 sa 74. strane i iz zbirke za-

66

Celi i racionalni algebarski izrazi

42. QAS Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Utemeljiti nauqene operacije sa stepenima.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 57. do 61. strane.

Ponovimo pravila za stepenovanje proizvoda, koliqnika i stepena, kao i obrnuta pravila. Onda rexavamo zadatke iz zbirke: 291, 292, 293,294. Ukoliko je zadovoljan kvalitetom znanja koje pokazuju uqenici, nije neophodno da se na tabli rexavaju sve varijante ovih zadataka (od a) do )). Zatim, rexavamo zadatke 297 i 299. Onda, rexavamo ”usmeno” zadatak 309. Domai zadatak

295, 296, 298, 300, 308, 310.

67

Celi i racionalni algebarski izrazi

43. QAS Algebarski izrazi

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Upoznati vrste i naqin formiranja algebarskih izraza.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 75. do 78. strane.

Kao xto je opisano na 75. i 76. strani, definixemo kako se formira algebarski izraz. U formiranju algebarskih racionalnih izraza uqestvuju iskljuqivo racionalni brojevi, a od raqunskih operacija samo sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje. Sve to ilustrujemo u primeru 1. Izrazi s promenljivim veliqinama dobijaju razne vrednosti, za razne vrednosti promenljivih. Prilikom izraqunavanja vrednosti izraza, poxtujemo redosled izlaganja. Reximo na tabli primere 2 i 3. Onda, uqenici sastave nekoliko racionalnih algebarskih izraza i raqunaju njihove vrednosti. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 78. strane.

68

Celi i racionalni algebarski izrazi

44. QAS Algebarski izrazi Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Izraqunavanje vrednosti racionalnih algebarskih izraza.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 61. do 63. strane.

Ponovimo: pojam i formiranje racionalnih algebarskih izra2 za. Nastavnik na tabli napixe, na primer, a, x, −3, , b, 0, 2 i 5 trai od uqenika da svaki sastavi po jedan racionalni izraz, kombinovanjem najmanje tri od napisanih brojeva. Zatim, rexavamo iz zbirke zadatke: 316, 317, 318. Ponovimo kako se odreuju brojevne vrednosti racionalnih izraza sa promenljivim veliqinama, pa rexavamo zadatke: 319, 320, 321. Domai zadatak

322, 323, 324.

69

Celi i racionalni algebarski izrazi

45. QAS Celi algebarski izrazi - polinomi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Upoznavanje sa pojmom polinoma i naqinom formiranja polinoma. Posebnu panju posveujemo monomima, jer se operacije sa polinomima svode na operacije sa monomima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 78. do 82. strane.

Polinom se definixe kao racionalni izraz bez deljenja promenljivom veliqinom, kao xto je opisano na 78. strani ubenika. Rexavamo primer 1. Onda, definixemo monom i opixemo naqin na koji se formira monom. Zatim, koristei se pojmom monoma definixemo binom, trinom itd. Rexavamo primer 2 i 3. Dalje. Panju fokusiramo na monome. Definixemo pojmove: koeficijent, promenljivi(glavni) deo monoma, stepen monoma i sliqni monomi. Tom prilikom reximo primer 4. Sliqni monomi se sabiraju. Zbir dva sliqna monoma je njima sliqan monom ili broj nula. Navodimo primere, kao na 81. strani ubenika. Jasno definixemo zbir sliqnih monoma (sabiraju se samo koeficijenti). Nesliqni monomi se ne sabiraju. Oqigledno je da zbir dva monoma ne mora biti binom, pa se binom definixe kao zbir dva nesliqna monoma. Rexavamo usput primer 5. Domai zadatak 327, 328, 329.

Vebe sa 82. strane i zadaci iz zbirke: 326,

70

Celi i racionalni algebarski izrazi

46. QAS Polinom

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Blie upoznavanje sa monomima. Pojam kanoniqnog oblika monoma. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 63. do 66. strane.

Ponovimo pojam polinoma, posebno pojam monoma. Zatim, ponovimo pojam koeficijenta i primenljivog dela monoma, kao i sliqne monome. Rexavamo zadatke 327 i 329. Onda, ponovimo pojam stepena monoma i rexavamo zadatke 331, 332, 340. Ponovimo sabiranje monoma, pa reximo zadatak 330. Po definiciji, proizvod dva monoma je monom. Kad se izvrxi mnoenje svih odgovarajuih promenljivih (po pravilu za mnoenje stepena istih osnova) dobija se tzv. kanoniqni oblik monoma. Rexavamo zadatak 333. Domai zadatak

334, 335, 336, 337, 338.

71

Celi i racionalni algebarski izrazi

47. QAS Polinomi – sreeni oblik

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Sticanje navike da se polinomi zapisuju po opadajuim ili po rastuim stepenima promenljivih, poxto se prethodno saberu sliqni monomi. Osnovni tekst Ubenik, 83. i 84. strana, Zbirka, 66. i 67. strana. Tok qasa Ponovimo pojmove: sliqni monomi, zbir sliqnih monoma i stepen monoma. Monom bez promenljive nazivamo slobodnim qlanom polinoma. Monom sa najvixim stepenom u datom polinomu odreuje stepen tog polinoma. Kao xto je navedeno na 83. strani ubenika, polinom je sreen ako nema sliqnih monoma, a qlanovi su sloeni redom po opadajuim ili po rastuim stepenima. Zatim, reximo primer 1, pa zadatke 1 i 2. iz Vebe na 84. strani. Na kraju rexavamo zadatak 343 iz zbirke. Domai zadatak

341, 342, 344, 345.

72

Celi i racionalni algebarski izrazi

48. QAS Sabiranje i oduzimanje polinoma Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Budui da je, po definiciji, zbir dva polinoma opet polinom, bavimo se sreivanjem zbira polinoma. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 84. do 86. strane.

Ponovimo, po definiciji polinoma, ako su P i Q polinomi onda su P + Q, P − Q, −P + Q i −P − Q takoe polinomi. Prema tome, sabiranje polinoma P i Q izvodimo tako xto sredimo polinom P + Q. Nastavnik navodi uqenike da sve zakljuqke o sabiranju polinoma samostalno uoqe i definixu. Navodimo i pojam suprotnih polinoma. Razliku polinoma P i Q definixemo kao zbir polinoma P sa polinomom −Q, koji je suprotan polinomu Q. (Sve ovo izloeno je u ubeniku na 84. i 85. strani). Rexavamo primere 1 i 2. Budui da su qlanovi polinoma racionalni brojevi, to za sabiranje polinoma vai zakoni komutativnosti, asocijativnosti i P + (−P ) = 0. (Videti 86. stranu u ubeniku.) Rexavamo primer 3 sa 86. strane. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, strana 86.

73

Celi i racionalni algebarski izrazi

49. QAS Sabiranje i oduzimanje polinoma

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uvebavanje tehnike sreivanja zbira i razlike polinoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 67. do 69. strane.

Ponovimo stav koji sledi iz definicije da je zbir dva polinoma polinom (a takoe i razlika dva polinoma). Insistiramo da se dobijeni zbir ili razlika doveve na sreeni oblik. Rexavamo iz zbirke zadatke: 346, 347, 348. Zatim, rexavamo zadatak: 349, pa 352. Domai zadatak

350, 353, 555 a) i b).

74

Celi i racionalni algebarski izrazi

50. QAS Stepeni i polinomi Rad u nehomogenim grupama Cilj

Sistematizovanje Dijalog

Priprema za kontrolnu vrbu .

Osnovni tekst Ubenik, od 62 do 86. i Zbirka od 52. do 69. strane. Tok qasa Radi se na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama. Izbor zadataka se menja od odeljenja do odeljenja. Nastavnik bira karakteristiqne zadatke, najmanje po dva za svaki odeljak. Zadaci se obavezno rexavaju na mestu (kolektivno - po grupama) i rexenja demonstriraju na tabli pojedinci koje odabere nastavnik. Uqenike treba podsetiti da ponove nastavnu temu ”Konstrukcije primenom Pitagorine teoreme ”, jer e na kontrolnoj vebi jedan zadatak biti iz te oblasti. Domai zadatak Odgovarajui zadaci iz RADNE SVESKE, ”kontrolni i pismeni zadaci”, trea kontrolna veba.

75

Celi i racionalni algebarski izrazi

51. QAS Trea kontrolna veba (Pitagorina teorema, stepeni, polinomi)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Koristei √ se Pitagorinom teoremom konstruixi du qija je duina 7 cm. 2. Izraz

(214 · 64) : (16 · 28 ) napixi kao stepen sa osnovom 2. (128 · 24 ) : 25

3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj 4. Odredi vrednost izraza A =

125n+2 . · 25n+1

5n

x − 2x2 + 5 , za x = 3 i za x = 2. x2 − 4

5. Ako je A = 5a4 − 8a3 b + 2a2 b2 − 4ab3 − b4 , B = a4 + 3a3 b − 5a2 b2 − 2ab3 − 2b4 i C = −4a4 − 5a3 b − 7a2 b2 − 10ab3 − 5b4 , odredi polinom A + B − C. Grupa B) 1. Koristei √ se Pitagorinom teoremom konstruixi du qija je duina 10 cm. 2. Izraz

(38 · 32 ) : 81 napixi u obliku stepena sa osnovom 3. (34 : 3) · (310 : 39 )

3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj 4 4. Izraqunaj vrednost izraza B =

· 0, 5n−5

 8−n 1 · 12 · . 2

x2 + 2 , za x = −1 i za x = 3. 3−x

5. Ako je A = 5x3 − 4x2 − 7x + 10, B = −3x3 + 3x2 − 13x + 2 i C = x3 − x2 − 12x + 12, odredi polinom C − A − B.

76

Celi i racionalni algebarski izrazi

Grupa V) 1. Koristei √ se Pitagorinom teoremom konstruixi du qija je duina 8 cm. 2. Izraz (322 · 25 )3 : (512 · 24 )3 napixi u vidu stepena sa osnovom 2. (2n+2 )3 3. Ako je n prirodni broj izraqunaj n+1 2 n . (2 ) ·2 3x 4. Izraqunaj vrednost izraza B = 2 za x = −2 i za x = 1. x −1 5. Ako je A = 5a4 − 8a3 b + 2a2 b2 − 4ab3 − b4 , B = a4 + 3a3 b − 5a2 b2 − 6ab3 − 2b4 i C = −4a4 + 5a3 b − 7a2 b2 + 10ab3 − 5b4 , odredi polinom A − B + C. Grupa G) 1. Koristei √ se Pitagorinom teoremom konstruixi du qija je duina 18 cm. (272 · 3)5 · 93 napixi u obliku stepena sa osnovom 3. 2. Izraz (813 · 32 )2 8n+2 · (4n+1 )2 . 3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj n−1 16 · (2n+2 )3 x+7 za x = −2 i x = 3. 4. Izraqunaj vrednost izraza G = 4 − x2 5. Ako je A = 7a3 + 10a2 − 9a − 13, B = 5a3 − 2a2 + 6a − 8 i C = 5a2 − 4a3 − 3a − 4, odredi polinom A + B − C. Grupa D) 1. Koristei √ se Pitagorinom teoremom konstruixi du qija je duina 20 cm. (26 · 32)4 · 43 napixi u obliku stepena sa osnovom 4. 2. Izraz 5 6 2 (4 · 2 ) · 64 9n+1 · 27n · (3n+2 )3 . 3. Ako je n prirodni broj izraqunaj (81n+1 )2 1 + x2 , za x = 0 i za x = 3. 4. Odredi vrednost izraza D = 2 x + 2x 5. Ako je A = 5a4 − 8a3 b + 2a2 b2 − 4ab3 − b4 , B = a4 + 3a3 b − 5a2 b2 − 6ab3 − 2b4 i C = 4a4 + 5a3 b + 7a2 b2 + 10ab3 − 5b4 , odredi polinom B + C − A.

77

Celi i racionalni algebarski izrazi

52. QAS Obrada

Mnoenje polinoma Frontalni rad

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Mnoenje polinoma svesti na mnoenje i sabiranje monoma. Pravilo ”svaki qlan sa svakim” dokazati geometrijski. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 87. do 90. strane.

Podsetimo se na mnoenje monoma, pa reximo Primer 1. Zatim se podsetimo na distributivnost mnoenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje. Uqenici samostalno zakljuquju kako se polinomi mnoe monomima. Reximo primer 2. i definixemo pravilo mnoenja polinoma monomom. (Vidi tekst na 87. i 88. strani ubenika.) Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli sliku sa 88. strane, koja prikazuje pravougaonik dimenzija (a + b) i (c + d). Koristei se jednakoxu povrxina, uqenici (ili nastavnik) dokazuju teoremu o mnoenju dva binoma: (a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d. Iz toga se formulixe pravilo ”svaki sa svakim” za mnoenje dva polinoma. Reximo primer 3. Budui da su vrednosti polinoma racionalni brojevi, za mnoenje polinoma vai zakon komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti u odnosu na sabiranje i oduzimanje (strana 89. ubenika) Domai zadatak

Vebe 1, 2, i 3, sa 89. i 90. strane.

78

Celi i racionalni algebarski izrazi

53. QAS Mnoenje polinoma

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Utvrditi operaciju mnoenja polinoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 69. do 71. strane.

Ponovimo pravilo o mnoenju monoma, polinoma monomom i dva polinoma. Rexavamo zadatke 356 a), b), v) i g), 357 a), 358 b) v) i d), 360 a) i g), 364. Domai zadatak 356 d), ), e) i ), 357 b) i v), 360 b) i v), 361 ), 363 a), 365 a), 367 a).

79

Celi i racionalni algebarski izrazi

54. QAS Operacije s polinomima Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Po definiciji, zbir, razlika ili proizvod dva polinoma je novi polinom. Na kombinovanim primerima proveravamo ovaj princip. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 90. do 93. strane.

Sabiranjem, oduzimanjem ili mnoenjem dva polinoma dobijamo novi polinom, koji treba srediti. Uz maksimalno uqexe uqenika u rexavanju zadataka na xkolskoj tabli, ostvarujemo postavljeni zadatak. U skladu sa tekstom u ubeniku, nastavnik prati ili vodi uqenike. Rexavamo na xkolskoj tabli redom primere 1, 2, i 3. Shvatajui polinom kao racionalan algebarski izraz, odreujemo vrednosti polinoma za razne vrednosti promenljivih. Rexavajui primer 4, uoqavamo i posebnu vrednost promenljive, kojoj odgovara vrednost polinoma ”nula”. Ako je, na primer P (x1 ) = 0, onda je x1 (odnosno x = x1 ) tzv. ”nula polinoma”. Rexavanjem primera 4 uoqavamo princip: Ako je polinom P (x) jednak M (x) · N (x) i ako je M (x1 ) = m i N (x1 ) = n, onda je P (x1 ) = m · n. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, i 4, 93. strana.

80

Celi i racionalni algebarski izrazi

55. QAS Operacije s polinomima

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Usavrxavanje ideje sreivanja polinoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 72. do 73. strane.

Podsetimo se na naqine sabiranja, oduzimanja i mnoenja polinoma, i na zakone koji vae u primeni ovih pravila. (Tekst Ukratko na 72. strani.) Zatim, rexavamo na xkolskoj tabli zadatke: 371 a) i b), 372 a) i b), 373 a), 374 a), 375 a) i b). Domai zadatak

371 v) i g), 372 v) i g), 374 b), 375 g).

81

Celi i racionalni algebarski izrazi

56. QAS Kvadrat binoma

Obrada

Frontalni rad Cilj

Heuristiqka metoda

Usvajanje formule za kvadriranje binoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 93. do 96. strane.

Ponovimo pojam kvadrata broja. Primenimo to na kvadrat binoma (a + b), uz primenu dokazane teoreme o proizvodu dva binoma. Uqenici samostalno, na mestu i na xkolskoj tabli, raqunaju kvadrat zbira, (a + b)2 i kvadrat razlike (a − b)2 . Nastavnik istiqe xta treba zapamtiti kao formulu (strana 93. ubenika). Zatim, dolazimo do opxteg pravila kvadriranja zbira dva nesliqna monoma (I + II)2 = I 2 + 2 · I · II + II 2 . Primenimo nauqena pravila pri rexavanju primera 1. Zatim, navodimo primenu kvadrata binoma u geometriji i rexavamo primer 2. Primenimo √ pravilo i na sluqaj iracionalnih brojeva, npr. izraqunamo ( 3 − 2)2 . Dobro je iskoristiti nekoliko minuta od zavrxnice qasa (ako je toliko na raspolaganju), pa pokazati kako se na lagan naqin izraqunavaju kvadrati brojeva oblika 25, 35 itd.Uqenike uputiti da proqitaju o kvadratu trinoma (strana 95). Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 i 4 na 95. i 96. strani

82

Celi i racionalni algebarski izrazi

57. QAS Kvadrat binoma

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Uvebavanje tehnike kvadriranja binoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 73. do 75. strane.

Ponovimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao i opxtu formulu za (I + II)2 . Rexavamo zadatak 376, onako kako je opisano u postavci. Dakle, raqunamo na dva naqina, na primer, zadatak d): (3x − 2)2 = (3x − 2) · (3x − 2) i mnoimo po pravilu ”svako sa svakim; drugo rexenje je po formuli: (3x − 2)2 = (3x)2 + 2 · 3x · (−2) + (−2)2 itd. Reximo jox i zadatak 377 l) i lj). Onda rexavamo zadatak 378. Domai zadatak

377 od a) do k), 379, 382 a), b), v).

83

Celi i racionalni algebarski izrazi

58. QAS Kvadrat binoma

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Utvrditi tehniku kvadriranja binoma i uoqiti primene ovih formula. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 74. do 75. strane.

Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Radimo na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (kao na 16. qasu). Ponovimo pravilo (I + II)2 = I 2 + 2 · I · II + II 2 . Rexavamo zadatke: 382 d) i z), 383 a) i b). Zatim, rexavamo zadatke: 379 a), g) i d), pa zadatak 380. Onda reximo zadatak 387 a) i b). Na kraju uradimo i dva zadatka iz geometrije, 389 i 390. Domai zadatak 388 b).

378 v) i g), 381, 384 a) i b), 385 a), 387 v) i d),

84

Celi i racionalni algebarski izrazi

59. QAS Polinomi

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Obnoviti i povezati nauqeno o polinomima.

Osnovni tekst Ubenik od 83. do 95. i Zbirka, od 63. do 75. strane. Tok qasa Izbor grupa i rad sa njima sprovodimo na uobiqajeni naqin. Izbor zadataka moe se menjati od odeljenja do odeljenja, zavisni od dostignutog nivoa znanja uqenika.. Primer izbora zadataka (iz Zbirke) 337 a) i v), 345 g), 351 g) i d), 355 b), v) i g), 362 g), 366 d), 368 a) i v), 375 v), 380 d), 386 a). Domai zadatak RADNA SVESKA kontrolni i pismeni zadaci (qetvrta kontrolna veba).

Celi i racionalni algebarski izrazi

85

60. QAS Qetvrta kontrolna veba (polinomi)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Izraqunaj: 3xy 2 · (−5x3 ) + 2x2 y · 4x2 y. 2. Oslobodi se zagrada u izrazima: √ a) (2x2 − 0, 5)2 ; b) (1 + 3 2)2 . 3. Dokai identiqnost, tj. dokai da leva i desna strana jednakosti predstavljaju isti polinom: (ax + by)2 − (ay + bx)2 = (a2 − b2 )(x2 − y 2 ). 4. Ako je M = 3 − x, N = 2x + 1 i P = 2 + 5x − x2 , odredi polinom A = P − M · N. Grupa B) 1. U praznu zagradu upixi odgovarajui monom. ) = 10a2 b. (−7a2 b) − ( 2. Oslobodi se zagrada u√izrazima: √ a) (5m + 0, 1n)2 ; b) ( 5 − 3 2)2 . 3. Sredi polinom: (12x + 5)2 − (8x − 1)2 − (10x + 7)(8x + 3). 4. Ako je M = x + 2, N = x2 − 2x + 6 i P = 3 − 2x, odredi polinom B = N − M · P. Grupa V)    5 2 2 3 2 4 Izraqunaj: x · 2x − − x · − x . 3 2 15 Oslobodi se zagrada u izrazima: 2  √ √ 1 n − 6p ; b) ( 2 + 8)2 . a) 2 Dokai identiqnost, tj. dokai da leva i desna strana jednakosti predstavljaju isti polinom. (x + 2)2 − 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 = 2x(2x − 1) + 2x. Ako je M = 2x − y, N = x + 2y i P = x + y, odredi polinom V = P 2 − M · N + xy. 

1. 2.

3.

4.

86

Celi i racionalni algebarski izrazi

Grupa G) 1. U praznu zagradu upixi odgovarajui monom. ) = −8a3 x3 . 12a3 x3 + ( 2. Oslobodi se zagrada u izrazima:   √ √ 1 2 2 a) x + 1 y ; b) (2 3 − 2)2 . 2 3. Sredi polinom: (ax + by)2 − (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) − 2abxy. 4. Ako je M = 2x − 3, N = 2 − x i P = 2x2 − 2x + 5, odredi polinom G = P − M · (−N ). Grupa D) 1. Izraqunaj 4x · 2y 2 z + 3y · (−2xyz) − yz · (−xy). 2. Oslobodi se zagrada u √ izrazima √ a) (0, 2x − 5yz 2 )2 ; b) (2 3 + 3 2)2 . 3. Proveri da li je taqna jednakost: (2x − 1)(8x + 5) − (4x − 3)(4x + 3) = 2(x + 2). 4. Ako je M = x − y, N = 2x + y, P = 2y − x, odredi polinom D = 2 · M2 + N · P.

87

Celi i racionalni algebarski izrazi

61. QAS Razlika kvadrata

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Uvoenje formule za razliku kvadrata dva monoma, uz geometrijski dokaz formule. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 96. do 98. strane.

Nastavnik postavlja (na xkolskoj tabli) zadatak da se pomnoe dva polinoma (a + b)(a − b) Jedan uqenik izae i izraquna proizvod (a2 − b2 ). Sledei zadatak (postavi nastavnik): ”Uoqimo monome 2a i 3x. Naqinite dva binoma, razliku i zbir ovih monoma. Zatim, pomnoite dva dobijena binoma”. Svi rade na mestu, a jedan uqenik demonstrira rexenje na tabli. Uz eventualnu pomo nastavnika, izvlaqimo zakljuqak (tekst na 96. strani ubenika). Zatim, nastavnik, uz asistenciju uqenika, izvodi geometrijski dokaz (vidi u ubeniku). Onda reximo primere 1 i 2. Zatim, navodimo kako se razlika kvadrata dva broja (u ubeniku navedeno 7652 − 2352 ) moe jednostavno izraqunati primenom izvedene formule. Rexavamo primer 3. Domai zadatak

Vebe 1 i 2 sa 98. strane.

88

Celi i racionalni algebarski izrazi

62. QAS Razlika kvadrata

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj mene.

Dijalog

Uvebati formulu za razliku kvadrata i uoqiti njene pri-

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 76. strana.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqin koji je uobiqajen za parove. Podsetimo se na formulu za razliku kvadrata, zatim rexavamo zadatke iz zbirke: 391 b), ), e), ), 393 v), g), 394 a), b), 395 a), b), ). Domai zadatak

391 v), d), z), 392, 394 v), 395 g), d).

89

Pismeni zadatak

63. QAS Priprema za drugi pismeni zadatak Rad u nehomogenim grupama Cilj tak.

Obnavljanje Dijalog

Uputiti uqenike da se xto bolje pripreme za pismeni zada-

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka, druga glava.

U zavisnosti od dostignutog nivoa znanja o stepenima i polinomima, nastavnik pripremi za svako odeljenje odgovarajue zadatke, radi obnavljanja znanja. Zadaci se rade na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama, uz obavezno ponavljanje znaqenja pojmova, definicija i formula. Grupe qine uqenici koji sede u dve susedne klupe. Domai zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismeni zadaci”, drugi pismeni zadatak

90

Pismeni zadatak

64. QAS Drugi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Izraqunaj (2x3 y 2 z)3 · 9(xy 3 z 3 )4 : (6x5 y 9 z 6 )2 , x = 0, y = 0, z = 0. 2. Sredi polinom (x + 2)2 + 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 + 3(x − 2). 3. Koristei se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na jednostavan naqin 450, 52 − 350, 52 . 4. Sliqno prethodnom zadatku izraqunaj na jednostavan naqin 2997 · 3003. 5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna kateta 21 cm, a druga kateta je za 9 cm kraa od hipotenuze.

1. 2. 3.

4. 5.

Grupa B) 2  4 3 3  5 x y x y : , gde je x = 0 i y = 0. Izraqunaj (x3 y 3 )2 (x3 y 2 )3 Sredi polinom 4(x−6)−x2 (2+3x)−x(5x−4)+3x2 (x−1)+4(x−1)2 . Koristei se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na  2  2 3 5 − 1 . jednostavan naqin 6 8 8 1892 − 1682 . Sliqno prethodnom zadatku, skrati razlomak 862 − 1032 Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna kataeta 8 cm, a hipotenuza je za 2 cm dua od druge katete. Grupa V) (2a2 bc4 )4 · (3a2 b4 c3 )3 : (4a3 b4 c7 )2 , a = 0, b = 0, c = 0. (3a2 b2 c3 )3 Sredi polinom (x − 7)2 − 2(5 − x)(7 − x) + (x − 5)2 − (10 − x). Koristei se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na jednostavan naqin 63, 252 − 36, 752 . Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin 5013 · 4987. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna kateta 11 cm, a hipotenuza je za 1 cm dua od druge katete.

1. Izraqunaj 2. 3. 4. 5.

Pismeni zadatak

91

Grupa G) (x2 y 4 )3 : (xy 6 )2 , ako je x = 2y = 0. (x3 y 2 )4 : (x6 y 2 )2 Sredi polinom (x + 2)(x2 − 2x + 4) − (x − 2)(x2 + 2x + 4) − (x − 4)2 . Koristei se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na   2  1 3 2 − 7 . jednostavan naqin 42 4 4 1252 − 1902 . Sliqno prethodnom zadatku skrati razlomak 1152 − 802 Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla kome je jedna kateta 7 cm, a hipotenuza i druga kateta razlikuju se za 1 cm.

1. Izraqunaj vrednost izraza 2. 3.

4. 5.

Grupa D) 1. Uprosti izraz

(8a2 b3 )2 · (4a3 b2 )3 128a2 b · (4ab2 )2 : , gde je a = 0, (22 a2 b)4 (8ab)3

b = 0. 2. Sredi polinom 4(a + 1)2 − (a + 2)2 + 3(a + 1)(3 − a). 3. Koristei se formulom za razliku kvadrata izraqunaj na jednostavan naqin 773, 752 − 226, 252 . 4. Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin 3991 · 4009. 5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla, kome je jedna stranica 13 cm, a druga stranica je za 1 cm kraa od dijagonale.

92

Pismeni zadatak

65. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistemetske i pojedinaqne grexke, uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajeno za ispravku pismenog zadatka (vidi 40. qas).

93

Celi i racionalni algebarski izrazi

66. QAS Obrada

Rastavljanje monoma i binoma na qinioce Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Nauqiti kako da se dati polinom, ako je mogue, predstavi u obliku proizvoda nekih polinoma. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 98. do 102. strane.

Ponovimo rastavljanje sloenog broja na proste qinioce (98. strana). Zatim, uqenici, uz eventualnu pomo nastavnika, zakljuqe da je promenljivi deo monoma ve napisan u obliku proizvoda, pa, ako rastavimo na qinioce koeficijent, rastavili smo i monom na qinioce. Zatim, reximo primer 1. Nastavnik na xkolskoj tabli napixe binome a · b + a · c i a2 − b2 i postavi zahtev da uqenici ova dva binoma napixu u vidu proizvoda. Kad dobije pozitivne odgovore, nastavnik podvuqe zakljuqke, kao xto je opisano na 99. strani. Onda, rexavamo primer 2. Svaki od rexenih sluqajeva prokomentarixe se i obavezno se mnoenjem proveri rezultat. Nastavnik se posebno zadri na sluqaju ), kad u zagradi ostaje broj 1. Dalje, rexavamo primere 3 i 4. Zatim, reximo primer 5 i istaknemo da se zbir kvadrata, a2 + b2 , ne moe rastaviti na qinioce. Zainteresovane uqenike uputimo da proqitaju tekst pod naslovom ”Zbir i razlika kubova” na 102. strani. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 sa 102. strane.

94

Celi i racionalni algebarski izrazi

67. QAS Binomi i monomi. Rastavljanje na qinioce Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Postii zadovoljavajuu tehniku i brzinu u rastavljanju monoma i binoma na qinioce. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 77. do 79. strane.

Ponovimo xta se podrazumeva pod rastavljanjem monoma na qinioce, pa reximo zadatak 396. Ponovimo xta znaqi rastaviti binom na qinioce i koje metode smo upoznali (tekst Ukratko 77. strana). Zatim, rexavamo zadatke 397 od a) do ), 398 a), b), v), g). Onda, rastavimo na qinioce razlike kvadrata, zadaci: 399 od a) do ) i 400 a), b), v), g). Podsetimo se da zbir kvadrata ne moemo rastaviti na qinioce. Onda, reximo sloenije sluqajeve, zadatke 401 a), b), v), 403 a), b) i 404 b). Na kraju, reximo i zadatak 407 v). Domai zadatak 397 e), ), z), i), 398, 399 e), ), z), i), j), k), 400 d), 402, 404 v), 406.

95

Celi i racionalni algebarski izrazi

68. QAS Polinomi Frontalni rad

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Uputiti uqenike na bitne teme koje bi trebalo uvebati tokom zimskog raspusta. Tok qasa Zavisno od kvaliteta znanja po pojedinim odeljenjima, nastavnik napravi izbor zadataka u vezi sa svakim obraenim nastavnim jedinicama iz polinoma. Posebno upuuje uqenike da za sledee polugodixte dobro prouqe operacije s polinomima, kvadrat binoma i razliku kvadrata. Domai zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismeni zadaci” proraditi prve qetiri kontrolne vebe i prva dva pismena zadatka.

96

69. QAS

Celi i racionalni algebarski izrazi

Drugo polugodixte

Polinomi

Obnavljanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Povezivanje sa temama obraenim krajem prvog polugodixta. Osnovni tekst

”Kontrolni i pismeni zadaci”.

Tok qasa Ponavljamo nauqena pravila o polinomima (kvadrat binoma, razlika kvadrata). Rexavamo zadatke o polinomima zadate u treoj i qetvrtoj kontrolnoj vebi i u prvom pismenom zadatku (kontrolni i pismeni zadaci).

97

Celi i racionalni algebarski izrazi

70. QAS Rastavljanje trinoma na qinioce Frontalni rad Cilj

Obrada Heuristiqka metoda

Primena formula za kvadrat binoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 103. do 106. strane.

Podsetimo se na pravilo o izvlaqenju zajedniqkog qinioca pred zagradu i reximo primer 1. Zatim se podsetimo na kvadriranje binoma (na primer, izraqunamo (x2 − 3a)2 ), pa se posebno zadrimo na znaqenju pravila u obliku (I + II)2 = I 2 + 2 · I · II + II 2 . Uqenici se upuuju da otkriju da li je neki dati trinom kvadrat binoma (kao xto je opisano na 104. strani ubenika). Posebno se insistira na proveru qlana 2 · I · II. Onda, rexavamo primer 2. Zatim, kombinujemo izvlaqenje pred zagradu sa kvadratom binoma i reximo primer 3. Zainteresovanim uqenicima se preporuqi da iz ubenika proqitaju tekst iz zelenog boksa, pod naslovom ”kvadratni trinom”. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 106. strane.

98

Celi i racionalni algebarski izrazi

71. QAS Rastavljanje trinoma na qinioce Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Sticanje rutine u prepoznavanju kvadrata binoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 79. i 80. strana.

Ponovimo izvlaqenje pred zagradu i formulu za kvadrat binoma. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke. Posebnu panju svaki put obraamo na onaj qlan trinoma, koji u kvadratu binoma qini 2 · I · II. Prva vana opaska: Znak ovog qlana odreuje da li je u pitanju kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Druga opaska: da li je to zaista qlan 2 · I · II ili samo liqi na njega? Rexavamo zadatke redom: 411 a), b), 412 v), g), 413 a), b), 414, 416 a), b), v). Zatim, rexavamo kombinovane sluqajeve, zadaci 418 a), b), 419 a) i 420 a). Domai zadatak g), 419 b).

411 v), g), 412 a), d), 415 a), b), 416 g), 418 v),

99

Celi i racionalni algebarski izrazi

72. QAS Razlika kvadrata i kvadrat binoma Frontalni rad Cilj

Obnavljanje Dijalog

Priprema za rastavljanje na qinioce raznih polinoma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 73. do 79. strane.

Uz pravila o razlici kvadrata i kvadratu binoma, ponovimo izvlaqenje pred zagradu. Rexavamo zadatke redom: 391 a), b), v), g), 392 v), d), ), 394 g), 395 d), 378 a), b), d), ), 380 a), b), d), 382 ), 388 g). Domai zadatak d), ), z).

401 g), d), ), e), ), 403 v), g), d), 405, 415 g),

100

Celi i racionalni algebarski izrazi

73. QAS Obrada

Rastavljanje polinoma na qinioce Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Prepoznati kojoj vrsti pripada dati polinom, radi odreivanja metode koju emo primeniti pri rastavljanju na qinioce. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 107. strana.

Ponovimo metode koje smo do sada koristili za rastavljanje polinoma na qinioce (izvlaqenje pred zagradu, razlika kvadrata, kvadrat binoma). To je do sada bilo jednostavno, jer smo u startu znali kojoj vrsti pripada dati polinom. Da bismo rastavili bilo koji polinom, ako ne moemo odmah da otkrijemo kojoj poznatoj vrsti pripada, moramo smisliti odgovarajuu strategiju (tekst na 107. strani ubenika). Izloenu strategiju uvebavamo rexavajui primere 1 i 2. Kad se na polinom primeni odreeni postupak i on se rastavi na qinioce, onda treba utvrditi da li se i neki od dobijenih qinilaca moe jox rastaviti (vidi primer 2a)). Domai zadatak

Vebe na strani 109, zadatak 1.

101

Celi i racionalni algebarski izrazi

74. QAS Rastavljanje polinoma na qinioce

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Prepoznati kojoj vrsti pripada polinom koji treba rastaviti na qinioce. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 77. do 81. strane

Podsetimo se na definisanu strategiju koju primenjujemo kad ne znamo kojoj vrsti pripada zadati polinom. Onda rexavamo zadatke: 421 i 422 a), b), v), g), d), ), e). Obratimo panju na trinome koji liqe na kvadrat binoma, a nisu kvadrati binoma, kao x3 − 6x2 y + 36xy 2 . Prvo izvuqemo pred zagradu zajedniqki qinilac: x(x2 − 6xy + 36y 2 ). Trinom u zagradi liqi na (x − 6y)2 , ali nije to. Naime, (x − 6y)2 = x2 − 12xy + 36y 2 , a u datom primeru na mestu monoma −12xy, stoji −6xy. Sliqno uoqavamo, na primer, kod polinoma 2a2 + 4a + 8. Uqenicima treba preporuqiti da sami prorade metodu grupisanja qlanova, kao xto je opisano u zelenom boksu na 109. strani i da rastave neke od polinoma iz zadatka 423. Domai zadatak

422 ), z), i), j), 419 v) g), d).

102

Celi i racionalni algebarski izrazi

75. QAS Rastavljanje polinoma (jednaqine)

Frontalni rad

Uvebavanje

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Koristei se poznatom osobinom da je, npr. A · B = 0 ako je A = 0 ili B = 0 i rastavljanjem polinoma na qinioce, rexavaemo jednaqine koje do sada nismo upoznali. Osnovni tekst

Ubenik, 107. i 108. i Zbirka, 81. strana.

Tok qasa Rastavimo na qinioce nekoliko polinoma, na primer: 398 v), ), i) i 399 e), j), 401 v). Time pripremimo teren za planirano rexavanje jednaqina. Traimo odgovor na pitanje: ”Kada je proizvod jednak nuli”? Uz oqekivani odgovor: ”Kada je bar jedan od qinilaca nula”. Onda, dolazimo do zakljuqka A · B = 0, ako je A = 0, ili B = 0; A · B · C = 0, ako je A = 0, ili B = 0, ili C = 0 itd. Rexavamo jednaqinu 2x2 − 10x = 0, datu na 107. strani ubenika i rexavamo kao xto je u ubeniku opisano. (Treba kod uqenika negovati naviku da se rexenje uvek proveri.) Onda, rexavamo primer 3. Zatim, rexavamo zadatak 2. iz vebe sa 109. strane (onoliko koliko nam raspoloivo vreme do kraja qasa dozvoli). Domai zadatak

Zbirka: 424 a), v), g), 425 g), d), ), e).

Celi i racionalni algebarski izrazi

103

76. QAS Primene polinoma Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazati na razne primene polinoma, pre svega za uqenike koji ele da znaju vixe. Tok qasa Neke od primena polinoma sreli smo na prethodnim qasovima. Podsetimo se kroz zadatke. Reximo zadatke: 395 g), 407 a); b), 379 ), 380 ). Rexili smo jednaqine, npr.: 424 ) 425 b), z). Moemo rexavati i ovakve jednaqine:  √ √ √ 1. Izraqunaj ( 3 − 2)2 , pa rexi jednaqinu: x − 3 = 7 − 4 3. √ √ √ 2. Izraqunaj (2 − 5)2 , pa rexi jednaqinu: x + 5 = 9 − 4 5. Polinomi imaju veliku primenu kod deljivosti brojeva. Na primer, reximo zadatke 336. i 337. Zatim, rexavamo zadatak: 3. Ako je n prirodni broj, dokai da je vrednost polinoma P (n) = n3 + 5n deljiva sa 6, za svako n. Rexenje: P (n) = n3 −n+6n = n(n2 −1)+6n = (n−1)·n·(n+1)+6n. Prvi sabirak je proizvod tri uzastopna prirodna broja, pa je jedan od njih deljiv sa 3 i bar jedan je paran broj. Zbog toga je prvi sabirak deljiv sa 2 · 3 = 6, a 6n je takoe deljivo sa 6. Reximo jox jedan zadatak. n2 + 1 , gde 4. Odredi sve celobrojne vrednosti razlomka R = n−1 je n prirodan broj. n2 − 1 + 2 n2 − 1 2 (n − 1)(n + 1) n2 + 1 = = + = + Rexenje. R = n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 2 2 odnosno R = (n+1)+ , a ovo je ceo broj za n ∈ {−1, 0, 2, 3}. n−1 n−1 Celobrojne vrednosti razlomka su redom: −1, −1, 5, 5. Dakle, imamo dve traene vrednosti, R = −1 ili R = 5.

104

Celi i racionalni algebarski izrazi

77. QAS Polinomi Rad u homogenim grupama Cilj

Sistematizovanje Dijalog

Proveriti razne nivoe znanja uqenika.

Tok qasa Nastavnik saopxtava da je pripremio zadatke za pripremu pismene vebe, i to u tri nivoa. Uqenicima predlae da se sami odluqe za nivoe: A (elementarni), B (vixi), V (najvixi). U protivnom sam ih rasporedi, ako izostane inicijativa uqenika. Uqenici se podele u homogene grupe, po 5 do 6 uqenika. Svakoj grupi nastavnik daje pripremljen listi sa zadacima odgovarajuih nivoa. Grupe rade zadatke na mestu i prijavljuju nastavniku kada ih rexe. Posle otprilike 15 minuta samostalnog rada, nastavnik poziva predstavnike grupa da rexenja demonstriraju na xkolskoj tabli. Izlaze redom predstavnici grupa: A, B, V, A, B, V, A, . . . i demonstriraju rexenja zadataka koje zahteva nastavnik. Predlog sadraja listia (zadaci su iz Zbirke) A) 348 g), 355 b), 368 v), 380 ), 395 b), 417 v). B) 355 v), 373 g), 384 v), 394 v), 419 d), 410 a). V) 355 g), 375 v), 405 g), 419 v), 420 ), 410 b). Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci” – peta kontrolna veba.

Celi i racionalni algebarski izrazi

105

78. QAS Peta kontrolna veba (Rastavljanje polinoma)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Rastavi na qinioce a) 84xy 3 ; b) 3xy 2 + 6xy 3 − 15x2 y 2 . 2. Koristei se polinomima, izraqunaj na jednosatavan naqin 4 1 7 ·8 . 5 5 3. Rastavi na qinioce 5m5 n2 − 80mn2 . 4. Rastavi na qinioce 24ab − 18a2 − 8b2 5. Rexi jednaqinu 4x3 + 14x2 = 0. Grupa B) 1. Rastavi na qinioce a) −60ab2 x3 ; b) 24a2 b3 x2 + 8ab3 − 12a2 b3 x. 2. Koristei se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin 4000, 7 · 3999, 3. 3. Rastavi na qinioce 2x4 − 32. 1 4. Rastavi na qinioce 3a2 + b2 − 2ab. 3 5. Rexi jednaqinu: 9x2 − 4 = 0. Grupa V) 1. Rastavi na qinioce a) −168m3 x2 ; b) 20a2 b3 − 15a3 b2 + 10a2 b2 . 2. Koristei se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin 4 3 11 · 10 . 7 7 3. Rastavi na qinioce x5 − x. 4. Rastavi na qinioce 20x2 y − 50x3 − 2xy 2 . 5. Rexi jednaqinu 16x2 = 8x − 1.

106

Celi i racionalni algebarski izrazi

Grupa G) 1. Rastavi na qinioce: a) 150ab3 c; b) 12xy 3 + 4xy 2 − 8xy 4 . 2. Koristei se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin 5 3 99 · 100 . 8 8 3. Rastavi na qinioce 162 − 2y 4 . 1 4. Rastavi na qinioce a2 x + ax2 + 0, 5a3 . 2 5. Rexi jednaqinu 2x3 − 18x = 0. Grupa D) 1. Rastavi na qinioce a) −180ab5 ; b) 9ax3 − 3ax2 − 12a2 x2 . 2. Koristei se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin 300, 8 · 299, 2. 3. Rastavi na qinioce a5 b − ab5 . 1 4. Rastavi na qinioce 4xy − 8y 2 − y. 2 5. Rexi jednaqinu 2x3 − 12x2 + 18x = 0.

107

Mnogougao

79. QAS Vrste mnogouglova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Podseanje na pojam mnogougla i vrste mnogouglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 110. do 112. strane.

Pojam mnogougla sretali smo tokom prethodnih godina uqenja, a pojedine vrste smo izuqavali sa dosta detalja. Obnovimo pojmove: izlomljena linija, zatvorena izlomljena linija, mnogougaona linija i mnogougao (u ubeniku na 110. i 111. strani). Zatim, definixemo unutraxnjost mnogougla, pa konvensne i nekonveksne mnogouglove. Vrste mnogouglova prema broju stranica i oznaqavanje elemenata (temena, uglovi, stranice, dijagonale) izloimo kao na 112. strani ubenika. Za svaki pojam o kojem se govori, uqenik ili nastavnik nacrta na xkolskoj tabli odgovarajuu sliku. Reximo primer 1 i Vebe 1, 2, 3, 4, sa 112. strane. Domai zadatak

Zbirka: 426, 427, 428, 429, 430.

108

Mnogougao

80. QAS Uglovi mnogougla

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Odrediti zbir unutraxnjih i zbir spoljaxnjih uglova proizvoljnog mnogougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 113. do 115. strane.

Podsetimo se na pojmove unutraxnjih i spoljaxnjih uglova trougla i qetvorougla (uopxte, mnogougla) i veza: α + α1 = 180◦ = β + β1 = . . . Obnovimo zbir unutraxnjih uglova u trouglu i u qetvorouglu, kao i zbir spoljaxnjih uglova trougla i qetvorougla. Postavimo pitanje: ”Koliki je zbir unutraxnjih uglova u mnogouglu koji ima n uglova”? Nastavnik nacrta sliku kao na 113. strani ubenika i navodi uqenike da dou do formule Sn = (n−2)·180◦ . (U ubeniku objaxnjeno na 113. i 114. strani.) Zatim, reximo primere 1 i 2. Koristei se formulom za zbir unutraxnjih uglova, izvodimo zakljuqak da u svakom mnogouglu zbir spoljaxnjih uglova iznosi 360◦ . (Videti obrazloenje na 115. strani.) Onda, ponovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Vebe sa 115. strane. Ako neki zadatak ne doe na red, ostavimo ga za domai zadatak. Domai zadatak

Zbirka, 431, 434, 436.

109

Mnogougao

81. QAS Uglovi mnogougla

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Primene osobina uglova mnogougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 84. do 85. strana.

Obnovimo osobine uglova koje smo nauqili prethodnog qasa (tekst Ukratko na 84. strani). Rexavamo zadatke redom: 432, 433, 435, 438, 439. Zatim, rexavamo zadatke: 445, 446, 447. Domai zadatak

437, 440, 441, 442, 449.

110

Mnogougao

82. QAS Dijagonale mnogougla

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Odreivanje veze izmeu broja temena i broja dijagonala mnogouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 116. do 118. strane.

Na osnovu definicije dijagonale (du qiji su krajevi dva nesusedna temena) izvodimo zakljuqak da se iz jednog temena n-tougla moe povui (n−3) dijagonale. (Ne brojimo teme iz kojeg konstruixemo dijagonale i dva susedna temena.) Odgovarajui tekst i slike su na 116. strani ubenika. Onda, reximo primere 1 i 2. Koristei prethodni zakljuqak, prebrojimo sve dijagonale mnogougla (sa n stranica), kao xto je opisano na 117. strani ubenika. Zatim, reximo primere 3 i 4. Na kraju, obnovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Vebe sa 118. strane. Ono xto preostane, ostaje za domai zadatak. Domai zadatak

Jox i Zbirka: 451, 453, 458, 459 a), 460 a).

111

Mnogougao

83. QAS Dijagonale mnogougla

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Povezati osobine uglova i dijagonala mnogougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 86. i 87. strana.

n(n − 3) , (tekst Ukrat2 ko na 86. strani), pa rexavamo zadatke iz zbirke: 452, 454, 456, 457. Zatim, rexavamo zadatke, koji se povezuju sa ranije nauqenim vezama o uglovima mnogougla: 459 b) i v), 460 b) i v), 461. Rexavamo i zadatke 462, 463 i 469. Ponovimo formule, D1 = (n − 3) i Dn =

Domai zadatak

455, 464, 465, 467.

112

Mnogougao

84. QAS Pravilni mnogouglovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Upoznavanje sa osobinama pravilnih mnogouglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 118. do 123. strane.

Pravilni mnogougao je onaj kome su jednake sve stranice i jednaki svi unutraxnji uglovi. Odranije znamo dva takva mnogougla (jednakostraniqni trougao i kvadrat). Dokazujemo da se oko pravilnog mnogougla moe opisati krunica, a odatle zakljuqujemo da su centralni uglovi ove krunice nad stranicama mnogougla jednaki meusobno. Dakle, centralni ugao pravilnog xestougla je 60◦ , odakle izvlaqimo posebne osobine ovog mnogougla. (Videti tekst na 119. strani.) Zatim, izvodimo formule za spoljaxnji i unutraxnji ugao pravilnog mnogougla i rexavamo primere 1, 2 i 3 (strana 120). Onda, zakljuqujemo da je centralni ugao jednak spoljaxnjem (ϕn = βn ), pa definixemo karakteristiqni trougao pravilnog mnogougla i upisanu krunicu pravilnog mnogougla (strana 121). Reximo primer 4. Na kraju, uoqimo i opixemo simetrije pravilnih mnogouglova. Mnogouglovi sa neparnim brojem temena imaju samo osne simetrije, a mnogouglovi sa parnim brojem temena su i centralni simetriqni (122. i 123. strana). Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 sa 123. strane.

113

Mnogougao

85. QAS Pravilni mnogouglovi

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Utvrditi osobine pravilnih mnogouglova

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 88. do 90. strane.

Ponovimo o uglovima pravilnih mnogouglova, pa rexavamo zadatke: 471, 472 a), b), v), 475 a), 476 b). Ponovimo o karakteristiqnom trouglu, pa reximo zadatak 472. Ponovimo o simetrijama pravilnih mnogouglova, pa reximo zadatke 487 i 488. Rexavamo i zadatke: 428, 425, 491, i 494. Domai zadatak 490.

473 g) i d), 475 b) i v), 477, 480 v), 483, 484,

114

Mnogougao

86. QAS Mnogouglovi Rad u homogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Sistematizovanje i diferenciranje ukupnog znanja uqenika o mnogouglovima. Tok qasa Izbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77. Konaqan izbor zadataka za ovaj qas, na pripremljenim listiima, vrxi nastavnik na osnovu procenjenog znanja uqenika. Dajemo jedan predlog izbora zadataka u tri nivoa. A) 435, 446, 454, 462, 478, 490. B) 435, 452, 458, 465, 488, 492. V) 449, 450, 466, 470, 482, 493. Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci”, xesta kontrolna veba.

115

Mnogougao

87. QAS Xesta kontrolna veba (mnogougao)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Mere unutraxnjih uglova mnogouglova odreuju produenu razmeru 19 : 18 : 36 : 29 : 33. Odredi ove uglove. 2. Koji pravilni mnogougao ima spoljaxnji ugao od 18◦ ? 3. Zbir unutraxnjih uglova mnogougla je 1260◦ . Koliko ovaj mnogougao ima dijagonala? 4. U pravilnom petouglu ABCDE izraqunaj ABD. Grupa B) 1. Mere spoljaxnjih uglova mnogougla odreuju produenu razmeru 7 : 5 : 10 : 6 : 9 : 8. Odredi unutraxnje uglove. 2. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao koji ima unutraxnji ugao od 150◦ ? 3. Iz jednog temena mnogougla mnoe se povui najvixe 11 dijagonala. Koliki je zbir unutraxnjih uglova ovog mnogougla? 4. Dokai da su sve dijagonale pravilnog petougla jednake meu sobom. Grupa V) 1. Mere unutraxnjih uglova mnogougla odreuju produene razmeru 15 : 13 : 16 : 9 : 11 : 17 : 19. Odredi ove uglove. 2. Odredi unutraxnji i spoljaxnji ugao pravilnog mnogougla, ako mu je centralni ugao ϕ = 22◦ 30 . 3. Mnogougao ima 6 puta vixe dijagonala nego stranica. Koliki je zbir unutraxnjih uglova tog mnogougla? 4. Simetrale dveju susednih stranica pravilnog mnogougla seku se pod uglom od 15◦ . Koji je to mnogougao? Grupa G) 1. Mere spoljaxnjih uglova mnogougla obrazuju produenu razmeru 9 : 12 : 10 : 15 : 11 : 17 : 16. Odredi unutraxnje uglove ovog mnogougla. 2. Koji pravilni mnogougao ima unutraxnji ugao sedam puta vei od spoljaxnjeg? Koliki je unutraxnji ugao? 3. Svi spoljaxnji uglovi mnogougla iznose po 15◦ . Koliko dijagonala ima ovaj mnogougao? 4. U pravilnom xestouglu ABCDEF izraqunaj CAD.

116

Mnogougao

Grupa D) 1. Mere unutraxnjih uglova mnogougla obrazuju produenu razmeru 13 : 5 : 12 : 9 : 7 : 14. Odredi te uglove. 2. Koliko dijagonala ima mnogougao kome zbir svih spoljaxnjih i svih unutraxnjih uglova iznose 1980◦ ? 3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 5 puta je vea od broja dijagonala koje se mogu povui iz jednog temena. Koliki je centralni ugao tog mnogougla? 4. U pravilnom petouglu ABCDE dijagonale AC i BE seku se u taqki M . Dokai da je CM = EM = AB.

Mnogougao

117

88. QAS Konstrukcije pravilnih mnogouglova Frontalni rad

Obrada

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Konstruisanje pravilnih mnogouglova za n ∈ {3, 4, 6, 8, 12} i priblino crtanje, uz korixenje uglomera, za ostale pravilne mnogouglove. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 123. do 127. strane.

Odavno znamo konstrukcije pravilnih mnogouglova za n = 3, n = 4 i n = 6. Za konstrukciju pravilnih mnogouglova (xestarom i lenjirom), uz datu odgovarajuu du (stranica ili polupreqnik upisane ili opisane krunice) navodimo primere 1, 2, 3 i 4 (strana 124. 125. i 126.). Ove primere rexavamo na xkolskoj tabli. Za priblino crtanje koristimo uglomer. (Primeri 5 i 6, prikazuju crtanje pravilnog petougla i pravilnog sedmougla). Tekst o pravilnom sedamnaestouglu treba proqitati uqenicima, kao neobavezno xtivo. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, sa 127. strane.

118

Mnogougao

89. QAS Konstrukcije pravilnih mnogouglova Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Jasno razlikujemo taqne konstrukcije lenjirom i xestarom, od priblinog crtanja uz pomo uglomera. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 90. i 91. strana.

Vebamo najpre konstrukcije za n = 3, n = 4, n = 6 i n = 8. Rexavamo zadatke: 496 a), 497 b), 498, 500 i 501. Zatim, priblino crtamo petougao, desetougao i devetougao, rexavajui zadatke: 503 a), 506 a) i 507. Domai zadatak

499, 402, 505, 509.

119

Mnogougao

90. QAS Obim i povrxina mnogougla Frontalni rad Cilj va.

Obrada Heuristiqka metoda

Odreivanje povrxine i obima nekih pravilnih mnogouglo-

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 128. do 132. strane.

Podsetimo se najpre na poznate formule za jednakostraniqni trougao i kvadrat. Obim mnogougla se definixe kao zbir duine svih stranica. U vezi s tim rexavamo primere 1 i 2 na 128. strani. Zatim, koristei se formulom za povrxinu jednakostraniqnog √ 3a2 3 . trougla, odredimo povrxinu pravilnog xestougla: P = 2 Povrxinu bilo kog pravilnog mnogougla izraavamo kao zbir povrxina svih njegovih karakteristiqnih trouglova. (Videti tekst na 129. strani.) Zatim, rexavamo primere 3 i 4. Na kraju, navodimo kako se moe izraqunati (priblino) povrxina bilo kog zadatog mnogougla, primer 5. Treba preporuqiti uqenicima da proqitaju tekst o pravilnom dvanaestouglu i osmouglu na 132. strani. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 na 131. strani.

120

Mnogougao

91. QAS Obim i povrxina mnogougla Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Izraqunavanje povrxina i obima pravilnih i nepravilnih mnogouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 92. do 94. strane.

Ponovimo nauqene formule (tekst Ukratko na 92. strani). Zatim, rexavamo redom zadatke: 511, 512 e), 513, 514, 515, 519, 521, 522, 527. Pri rexavanju zadataka 512 i 527 koristimo slike i objaxnjenja iz boksa sa 132. strane ubenika. Domai zadatak

512 g), d), ) 516, 517, 518, 520, 524, 526.

Zavisne veliqine

121

92. QAS Pravougli koordinatni sistem u ravni Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Uvoenje pojma pravouglog koordinatnog sistema u ravni i odreivanje poloaja taqke u koordinatnoj ravni. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 133. do 138. strane.

Podsetimo se na preslikavanje brojeva na taqke brojevne prave (strana 133.). Uvodimo pravougli Dekartov koordinatni sistem. Na primeru taqke P na slici (134. strana), opisujemo kako se odreuje poloaj taqke u koordinatnoj ravni. Uvodimo pojmove uzajamno normalnih koordinatnih osa (apscisa i ordinata). Zajedniqka taqka osa je koordiatni poqetak, taqka O(0, 0). Na 133, 134. i 135. strani, delom kroz primere 1 i 2, objaxnjavamo kako se u koordinatnom sistemu odreuje taqka datih koordinata (primer 1) i kako se odreuju koordinate taqke koja je oznaqena u koordinatnoj ravni (primer 2). Zatim, kao xto je opisano na 137. strani, uvodimo pojam kvadranata. Takoe, razmatramo kako se menjaju koordinate ako taqku preslikamo simetrijom u odnosu na neku koordinatnu osu ili simetriqno u odnosu na koordinatni poqetak. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, sa 138. strane.

122

Zavisne veliqine

93. QAS Koordinatni sistem

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Usvajanje pojma koordinatnog sistema, koordinatnih osa i koordinata taqke u pravouglom koordinatnom sistemu. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 95. do 97. strane.

Obnavljamo pojmove uvedene prethodnog qasa, a utvrujemo ih rexavanjem zadataka redom: 536, 537, 538, 539, 540, 541. Domai zadatak

542, 543, 544, 545.

Zavisne veliqine

123

94. QAS Du i mnogougao u koordinatnom sistemu Frontalni rad

Obrada Dijalog

Cilj Merenje duine dui u koordinatnom sistemu i povrxina trouglova i qetvorouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 138. do 140. strane.

Najpre razmatramo odreivanje duina dui koje su paralelne koordinatnim osama i povrxine trougla kojima su stranica i odgovarajua visina paralelne koordinatnim osama (primeri 1 i 2, strana 138. i 139. u ubeniku). Zatim, odreujemo duinu kosih dui, koristei se Pitagorinom teoremom (primer 3). Reximo i primer 4. Na kraju, uqenike uputimo na opxti sluqaj odreivanja duine dui, prikazan u  zelenom boksu. Preporuqujemo uqenicima da nauqe formulu: d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 , gde je d duina dui odreene taqkama A(x1 , y1 ) i B(x2 , y2 ). Zatim, rexavamo zadatak 1 iz Vebe. Domai zadatak

Vebe 2, 3, 4 sa 141. strane.

124

Zavisne veliqine

95. QAS Du i mnogougao u koordinatnom sistemu Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Merenje duine i povrxine kad su dui i ravne figure zadate koordinatama. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 98. i 99. strana.

Podsetimo se na formule za odreivanje duine dui M N , ako je M (x1 , y1 ) i N (x2 , y2 ):  M N = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (tekst Ukratko na 98. strani). Zatim, prema datom uputstvu, rexavamo zadatak 546. Onda rexavamo zadatke sa oznakom 2, to je 547 a), b)) i zadatke oznaqene sa  (to je 548 a) i b)). Zatim, primenimo Pitagorinu teoremu pri rexavanju zadatka 549. Na kraju, rexavamo zadatak 551 a), b) i v). Domai zadatak

547 v), g), 548 v), g), 550, 551 g), d), ), 554 a).

125

Zavisne veliqine

96. QAS Grafiqko predstavljanje podataka

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Uvoenje dijagrama (grafikona) u koordinatni sistem.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 141. do 144. strane.

Razmatraemo promene para uzajamno zavisnih veliqina. Ako par njihovih odgovarajuih vrednosti predstavljaju brojevi x i y, onda taqka A(x, y) moe da se postavi u koordinatni sistem. Ako na taj naqin unesemo u koordinatni sistem vixe parova odgovarajuih vrednosti, onda spajanjem odgovarajuih taqaka, po redosledu izvrxenih promena, dobijamo slikovit prikaz ove zavisnosti dveju promenljivih. Dobijena slika je grafikon (ili dijagram). Na primeru 1 (strana 141 i 142) pokazujemo kako se crta grafikon, ali i kako se sa grafikona odreuju novi parovi (x, y) zavisnih veliqina. Dalje, kroz rexavanje primera 3, produbljujemo steqena saznanja. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 i 4 sa 144. i 145. strane.

126

Zavisne veliqine

97. QAS Grafiqko predstavljanje podataka

Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Heuristiqka metoda

Shvatanje pojma grafikona i uvoenje pojma histograma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 99. do 103. strane.

Razmotrimo kako se ”pravi” grafikon. Uzmemo primer iz teksta Ukratko, na 99. i 100. strani. Zatim, nastavnik postavi zadatak 566 i rexavanje prepusti uqenicima, uz eventualne manje intervencije, preteno postavljanjem izabranih pitanja. Na isti naqin uqenici rexevaju zadatak 557, a onda i 558. Odgovore na svako od pitanja a), b), v), g) prokomentarixe i nastavnik. Zatim, rexavamo zadatak 559, analizirajui paljivo svako od pitanja a), b), v), g). Onda, nastavnik objasni grafiqki prikaz u obliku histograma i rexavamo zadatak 563. Domai zadatak Svaki uqenik treba da u svom okruenju nae primer nekog procesa ili istraivanja koji je pogodan za grafiqko predstavljanje. Te primere demonstriramo sledeeg qasa. Svaki primer e pripremiti par uqenika. Parove izaberu sami uqenici izmeu sebe.

Zavisne veliqine

127

98. QAS Grafiqko predstavljanje podataka

Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Razviti kod uqenika sposobnost da odreene procese predstave grafiqki, ali i da umeju sa grafika proqitati podatke. Tok qasa Uqenici demonstriraju zadatke i rexenja zadataka koje su sami uoqili i formulisali za domai zadatak. Za svaki nacrtan grafikon (ili histogram) nastavnik insistira na qitanju podataka sa grafikona. Qitanje sa grafikona obavljaju uqenici koji nisu uqestvovali u definisanju problema. Pred kraj qasa nastavnik preuzima inicijativu i rexava sledee zadatke sa histogramima: Veba 4 sa 145. strane ubenika, zatim zadaci 564 i 565 iz zbirke. Domai zadatak

560, 561, 562.

128

Pismeni zadatak

99. QAS Priprema za trei pismeni zadatak

Obnavljnje

Rad u homogenim grupama

Dijalog

Cilj Diferenciranje znanja uqenika u vezi gradiva nauqenog u drugom polugodixtu. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik i Zbirka.

Rasporeivanje uqenika u homogene grupe na tri nivoa znanja vrxi se na uobiqajeni naqin. Prema sopstvenoj proceni o uspexnosti uqenika u savlaivanju gradiva, nastavnik priprema tri vrste listia sa zadacima nivoa A (elementarni), B (vixi) i V (najvixi), sliqno izboru predloenom za 77 qas. Domai zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismeni zadaci”, predvieni za trei pismeni zadatak.

Pismeni zadatak

129

100. QAS Trei pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Rastavi na qinioce polinom 3a4 b3 − 12a2 b3 .  √ √ √ 2. Izraqunaj ( 3 − 2)2 , pa rexi jednaqinu x − 3 = 7 − 4 3. 3. Ako je zbir unutraxnjih uglova mnogougla 2880◦ , koliko dijagonala ima taj mnogougao? 4. Konstruixi pravilan xestougao upisan u krunicu preqnika 5 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla. 5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao sa temenom A(6, 1), B(0, 9) i C(−15, 1). Izraqunaj povrxinu i obim trougla ABC. Grupa B) 1. Rastavi na qinioce polinom 16 − 8x2 + x4 .  √ √ √ 2. Izraqunaj (2 − 5)2 , pa rexi jednaqinu x 5 − 2 = 9 − 4 5. 3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 8 puta je vei od broja dijagonala koje se mogu povui iz jednog temena. Odredi unutraxnji ugao tog mnogougla. 4. Konstruixi pravilni xestougao obima 27 cm. Kolika je njegova povrxina? Raqunaj na dve decimale. 5. Trougao je dat u pravouglom koordinatnom sistemu temenima M (−2, −1), N (2, 2), P (−6, 2). Izraqunaj obim i povrxinu trougla M N P . Grupa V) 1. Rastavi na qinioce polinom 5xy 7 − 45x3 y 5 .  √ √ √ 2. Izraqunaj (1 − 2)2 , pa rexi jednaqinu 2x + 2 = 3 − 2 2. 3. Spoljaxnji ugao kod temena A pravilnog mnogougla je 15◦ . Koliko dijagonala ima ovaj mnogougao? 4. Konstruixi pravilan xestougao opisan oko kruga polupreqnika 3 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla. 5. Trougao ABC dat je u pravouglom koordinatnom sistemu temenima A(−4, 7), B(−4, −5), C(1, 7). Izraqunaj povrxinu obim ovog trougla.

130

Pismeni zadatak

Grupa G) 1. Rastavi na qinioce polinom 1 − 18y 2 + 81y 4 .  √ √ 2. Izraqunaj (2 − 7)2 , pa rexi jednaqinu x − 2 = 11 − 4 7. 3. Jedan mnogougao ima ukupno 119 dijagonala. Koliki je zbir unutraxnjih uglova tog mnogougla? 4. Konstruixi pravilan xestougao kome je vea dijagonala 7 cm. Izraqunaj obim i povrxinu tog xestougla. 5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao temenima M (−1, 2), N (3, −1), P (3, 5). Izraqunaj obim i povrxinu trougla M N P . Grupa D) 1. Rastavi na qinioce polinom 2m3 n2 − 18m3 n4 .  √ √ √ √ 2. Izraqunaj ( 2 − 3)2 , pa rexi jednaqinu x + 3 = 5 − 2 6. 3. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao qiji unutraxnji ugao je 165◦ ? 4. Konstruixi pravilni xestougao kome je manja dijagonala duine 4 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla. 5. Trougao KLM dat je u pravouglom koordinatnom sistemu temenima K(−6, 6), L(−6, −2), M (9, −2). Izraqunaj povrxinu i obim trougla KLM .

Pismeni zadatak

131

101. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexeka. Tok qasa Uobiqajeno za qas ispravke pismenog zadatka. (Vidi 40. qas.) Praksa je pokazala da veliki broj uqenika ne √ usvoji pravilno pojam apsolutne vrednosti, a posebno jednakost a2 = |a|. Zbog toga bi trebalo posebno obratiti panju na drugi zadatak i rexiti bar dva sluqaja. Na primer: Grupa B) √ √ 2 √ √ (− 5) = 4 − 4 5 + 5 = 9 − 4 5. 2. (2 − 5)2 = 22 + 2 · 2 · (− 5) +  √ √ 5 − 2 = 9 − 4 5. Prema prethodnom reRexenje jednaqine: x  √ √ √ zultatu je x 5 − 2 = (2 − 5)2 . Prema jednakosti a2 = |a| imamo: √ √ √ √ − 2 = |2 − √5|. Dalje, √ kako je 2 < 5, to je 2 − 5 < 0, pa je x 5√ |2 − 5| = −(2 − 5) = −2 + 5. √ √ 5 − 2 = −2 + 5, a odatle je Data jednaqina dobija oblik: x √ √ x 5 = 5, pa je konaqno x = 1. √

132

Zavisne veliqine

102. QAS Direktna proporcionalnost

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Grafiqki prikazati zavisnost dve promenljive veliqine, vezane jednakoxu y = kx, gde je k pozitivna konstanta. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 145. do 149. strane.

Razmatraemo parove veliqina, qije su promene uzajamne zavisne (prouzrokovane). Navedemo neke primere. Put koji pree automobil, pri brzini od 50 km na qas, zavisi od trajanja (vremena) putovanja Visina raquna pri kupovini lubenice po ceni od 20 dinara za kilogram, zavisi od mase lubenice. Nastavnik trai od uqenika da i sami opixu neke sliqne parove promenljivih veliqina. Dalje, kroz rexavanje primera 1, 2, 3 i 4 i i analiziranje meusobnih odnosa parova promenljivih veliqina, nastavnik uvodi y = k, gde je pojam direktne proporcionalnosti, y = kx, odnosno x pozitivna konstanta k tzv. koeficijent proporcionalnosti. Kao xto smo nauqili u prethodnom odeljku (96. i 97. qas), grafikone koristimo za qitanje potrebnih podataka (kao xto smo uqinili u primeru 1). Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, sa 149. strane.

Zavisne veliqine

133

103. QAS Direktna proporcionalnost Rad u parovima

Uvebavanje Heuristiqka metoda

Cilj Grafiqko prikazivanje promena raznih vrsta zavisnih, direktno proporcionalnih veliqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 103. do 105. strane.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Ponovimo pojam direktno proporcionalnih veliqina (tekst Ukratko na 103. i 104. strani). Rexavamo niz karakteristiqnih zadataka. Rexenja na xkolskoj tabli i neophodne komentare i zakljuqke izvode uqenici, uz eventualnu minimalnu pomo nastavnika. Rexavamo zadatke redom: 566, 567, 568, 569. Zatim, rexavamo zadatke 1. i 4. iz Vebe sa 149. strane ubenika. Na kraju, reximo zadatke 573 i 575. Domai zadatak

570, 571, 572.

134

Zavisne veliqine

104. QAS Obrnuta proporcionalnost Frontalni rad

Obrada Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Grafiqki prikazati promene parova obrnuto proporcionalnih veliqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 150. do 154. strane.

Kao xto je opisano na poqetku 150. strane, navedemo praktiqan primer (odnos broja radnika i vremena rada) para zavisnih veliqina, kod kojih poveavanje jedne uslovljava smanjenje druge veliqine. Nastavnik trai da i uqenici navedu neke sliqne primere zavisnih veliqina. Onda, rexavamo primere 1 i 2. Sa grafikona iz primera 1 qitamo traene podatke, kao xto je opisano na 150. strani ubenika. Zatim, analiziramo zavisne promenljive iz ovih primera i zakljuqujemo da se one opisuju jednakoxu xy = k, gde je k pozitivna konstanta, koeficijent proporcionalnosti. Onda dokaemo osobinu obrnuto proporcionalnih veliqina: za odgovarajue parove vrednosti (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ) vai x1 : x2 = x1 y2 = (strana 152). y2 : y1 , odnosno x2 y1 Zatim, rexavamo i preostale dva primera navedena u ubeniku. Zakljuqak iz primera 4 treba zapamtiti. Domai zadatak

Veba 1, 2, 3, 4, 5 sa 154. strane.

Zavisne veliqine

135

105. QAS Obrnuta proporcionalnost Rad u parovima

Uvebavanje Heuristiqka metoda

Cilj Meu praktiqnim primerima zavisnih promenljivih uoqiti obrnuto proporcionalne. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 105. do 106. strane.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Ponovimo pojam obrnute proporcionalnosti (tekst Ukratko na 105. strani). Zatim, nastavnik prepuxta uqenicima inicijativu u rexavanju zadataka 576, 577, 578. Onda, rexavaju zadatke, koje su prethodnog qasa dobili za domai zadatak. To su zadaci 1, 2 i 4 iz Vebi sa 154. strane ubenika. Domai zadatak

579 i 580.

136

Zavisne veliqine

106. QAS Primene proporcionalnosti Frontalni rad

Uvebavanje Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Osobine direktno i obrnuto proporcionalnih veliqina primeniti na praktiqne situacije. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 155. do 158. strane.

Iz definicija i nauqenih osobina direktno i obrnuto proporcionalnih veliqina izvodimo vane zakljuqke: a) Ako su (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ) parovi odgovarajuih vrednosti direktno proporcionalnih veliqina, onda je x1 : x2 = y1 : y2 . b) Ako je req o parovima obrnuto proporcionalnih veliqina, onda je 1 1 : . x1 : x2 = y2 : y1 i y1 : y2 = x1 x2 (Videti 155. i 156. stranu ubenika.) Zatim, rexavamo primer 1, koji nastavnik iskoristi da objasni kako se postavljaju strelice koje definixu razmere. Takoe je bitno kako na osnovu odgovora vixe ili manje odreujemo direktno i obrnuto proporcionalne veliqine. Uqenici dalje, uz diskretno praenje nastavnika, rexavaju primere 2, 3 i 4, sa 157. i 158. strane. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 158. strane.

Zavisne veliqine

137

107. QAS Primene proporcionalnosti

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Rexavanje praktiqnih problema korixenjem proporcionalnosti zavisnih veliqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 106. do 108. strane.

Ponovimo praktiqne osobine proporcionalnih veliqina (tekst Ukratko sa 106. strane). Uqenici na tabli rexavaju zadatke redom: 584, 582, 585, 586, 588, 589, 592, 593. Domai zadatak

581, 583, 587, 590, 591.

138

Zavisne veliqine

108. QAS Svojstva proporcija

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Istai i koristiti praktiqne osobine proporcija.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 159. do 161. strane.

Ponovimo definiciju proporcije. Zatim, istaknemo vane praktiqne osobine: Iz a : b = c : d, sledi a · d = b · c i a = ck, b = dk, gde je k pozitivna konstanta (strana 159. u ubeniku). Rexavamo primere 1, 2, i 3. Zatim, izvedemo (dokaemo) osobinu. Iz a : b = c : d sledi (a + b) : (c + d) = a : c = b : d i (a − b) : (c − d) = a : c = b : d, (c > d). Zatim, reximo i primer 4 (strana 161). Ukoliko je do kraja qasa ostalo dovoljno vremena, rexavamo i Vebe 2 i 3. Domai zadatak

Vebe sa 161. strane.

139

Zavisne veliqine

109. QAS Svojstva proporcija

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Heuristiqka metoda

Primena praktiqnih osobina proporcija.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 108. do 110. strane.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Ponovimo osobine koje smo istakli prethodnog qasa (tekst Ukratko sa 108. strane). Onda, na naqin uobiqajen za rad u parovima, uqenici, uz diskretno uqexe nastavnika, rexavaju zadatke: 601, 602, 603, 604, 605. Zatim, rexavaju zadatke: 608, 610, 612. Domai zadatak

606, 607, 611, 614.

140

Zavisne veliqine

110. QAS Zavisne veliqine Rad u homogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Sistematizovanje i diferenciranje ukupnog znanja uqenika u vezi sa zavisnim veliqinama. Tok qasa Izbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77. Izbor zadataka za ovaj qas, po nivoima zahteva, na pripremljenim listiima, vrxi nastavnik na osnovu procenjenog znanja uqenika. Ugledni predlog izbora zadataka u tri nivoa zahteva. A) 549, 562, 571, 579, 596, 613 B) 552, 559, 573, 579, 597, 609 V) 555, 560, 575, 579, 600, 615 Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci”, zadaci za sedmu kontrolnu vebu.

141

Zavisne veliqine

111. QAS Sedma kontrolna veba (zavisne veliqine)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Odredi duinu dui AB, ako je A(−7, −3) i B(5, 2). 2. Ako slavinu odvrnemo do kraja u kadu se nalije 15 litara vode u minutu. Naqini tabelu i grafikon za prvih 10 minuta toqenja. a) U kadu na 1 cm dubine staje 6 litara vode. Sa grafikona proqitaj posle koliko vremena dubina vode u kadi iznosi 12 cm. b) Kolika e dubina vode biti u kadi posle 7 minuta? 3. Beraqi jabuka obrali su vonjak povrxine 2 hektara za 15 dana, radei dnevno po 8 sati. Beraqi se dogovore da drugi, isti toliki vonjak (2 hektara), oberu za 10 dana. Za koliko sati moraju produiti radno vreme, da bi izvrxili plan? 1 5 4. Odredi x i y ako je x : y = 5 : 13 i 3x − y = 39. 9 3 Grupa B) 1. Odredi duinu dui M N , ako je M (0, −4) i N (−5, 8). 2. Ako za qeliqnu oprugu zakaqimo teg od 1 kg, opruga se izdui za 3 cm. Za svaki novi teg od 1 kg izdui se jox za 3 cm. Nacrtaj grafikon, tako da je na osi x oznaqena masa tega. a) Sa grafikona proqitaj koliko se izdui opruga ako se okaqi masa od 3,5 kg. b) Urox je okaqio svoju torbu s knjigama i opruga se izduila za 7,5 cm. Kolika je masa Uroxeve torbe s knjigama? 3. U radionici za izradu onova za 6 radnih dana napravili su 714 pari onova. Koliko e pari onova proizvesti ista grupa radnika za 17 radnih dana? 4. Komad legure od 312 kg dobijen je mexanjem gvoa i cinka u razmeri 7 : 5. Ako se za istu koliqinu legure upotrebi 20 % cinka vixe, za koliko treba smanjiti koliqinu gvoa?

142

Zavisne veliqine

Grupa V) 1. Odredi duinu dui AB, ako je A(5, 9) i B(−3, 3). 2. Loptica za tenis pada sa krova solitera, sa visine od 125 metara. U prvoj sekundi padne taqno 5 metara, a onda, u svakoj sledeoj sekundi pada za 10 metara vixe nego u prethodnoj. Naqini tabelu i odgovarajui grafikon. Vreme padanja oznaqi na x osi, a sa y obelei visinu u metrima, tj. udaljenost od tla. Sa grafikona proqitaj: a) Na kojoj je visini loptica posle 2,5 sekunde? b) Za koje vreme loptica padne do polovine visine? 3. Znamo da 6 radnika zavrxi odreeni posao za 25 radnih dana. Koliko jox radnika treba zaposliti da bi posao bio zavrxen za 15 radnih dana? 4. Imamo 16 litara razblaenog soka, koji smo dobili sipanjem koncentrovanog vonog sirupa u qistu vodu. Koliqine vode i sirupa su u razmeri 5 : 3. Ako dolijemo jox 2 litara qiste vode, u kojoj e razmeri biti koliqine vode i koncentrovanog sirupa? Grupa G) 1. Odredi duinu dui M N , ako je M (6, −8) i N (−9, 0). 2. Olja priprema knjigu za xtampu radei 6 dana po tri sata dnevno. Nacrtaj grafikon koji pokazuje zavisnost broja sati dnevnog rada (y sati) od broja radnih dana (x dana). Sa grafikona proqitaj koliko sati dnevno treba da radi Olja, ako eli da posao uradi za 9 dana. 3. U vonjaku su xljive i jabuke. Xljiva ima 35 %, a jabuka ima vixe za 24 stabala. Koliko je xljiva u vonjaku? 4. Koliko litara 40-procentnog rastvora sireta treba pomexati sa 45 litara 75-procentnog rastvora sireta, ako se mexanje vrxi u razmeri 8 : 15?

Zavisne veliqine

143

Grupa D) 1. Odredi duinu dui P Q, ako je P (−13, 4) i Q(7, −11). 2. Tokom jednog dana merena je temperatura vazduha, na svaka dva sata. Rezultati su uneti u tabelu. x sati 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 u◦ C 8 3 2 5 9 14 16 15 11 9 7 6 Nacrtaj odgovarajui grafikom. Sa grafikona proqitaj temperaturu u 11 qasova. U koliko je sati temperatura vazduha bila 10◦ C? 3. Xest traktora uzore njivu za 12 radnih dana. Za koliko bi dana pre roka istu njivu uzoralo 8 traktora? 4. U leguri bronze, bakar i kalaj su pomexani u razmeri 11 : 7. Kolika je masa bronze, ako je pomexano 22,4 kg kalaja?

144

Krug

112. QAS O krugu ukratko

Obnavljanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Obnoviti poznate osobine kruga, radi pripreme iz izuqavanja novih pojmova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 162. do 165. strane.

Krug je jedna od najznaqajnijih ravnih figura. O krugu znaju i ljudi koji nisu uqili xkolu, a tokom istorije njime su se bavili najvei umovi. Ponovimo o krugu sve xto smo ranije nauqili, poqev od definicije. Posebno emo istai pojmove: centar, polupreqnik, preqnik, tetiva, luk, centralni ugao, tangenta, seqica. Istiqemo qinjenice da je krug centralno i osno simetriqan, sa beskonaqno mnogo osa simetrije. Zatim, da svaki trougao i svaki pravilni mnogougao imaju opisanu i upisanu krunicu. Sve to je navedeno u ubeniku (od 162. do 165. strane), i to prirodnim redosledom. Najvanije qinjenice su posebno istaknute. To su qinjenice koje uqenici treba da znaju, a ako su zaboravili, neka ih ponovo nauqe. Posebno istiqemo sluqaj kad se dva kruga dodiruju, spolja (O1 O2 = r1 + r2 ) i iznutra (O1 O2 = |r1 − r2 |). Ako je A dodirna taqka dva kruga, onda su taqke O1 , O2 i A kolinearne. Tokom izlaganja, nastavnik crta odgovarajue slike na xkolskoj tabli, a uqenici u svojim sveskama. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 sa 165. strane.

145

Krug

113. QAS Centralni i periferijski ugao

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti vezu izmeu centralnog i periferijskog ugla nad istom tetivom, pa utvrditi da je periferijski ugao nad preqnikom prav. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 165. do 169. strane.

Koristei se podudarnoxu trouglova, najpre dokaemo da u krugu (i u podudarnim krugovima) jednakim tetivama odgovaraju jednaki centralni uglovi, a vai i obrnuto (primer 1). Zatim, definixemo periferijski ugao nad datim lukom (tetivom) i pojam periferijskog i njemu odgovarajueg centralnog ugla. Onda, dokaemo teoremu o periferijskom i centralnom uglu (strana 167.), pa reximo primere 2 i 3 (strana 168). Zatim, istaknemo bitnu posledicu dokazane teoreme: ugao nad preqnikom je prav. U vezi sa tim proqitamo (ispriqamo) priqu o Adamu Riseu (zeleni boks na 171. strani). Onda, reximo primer 4 (strana 169), pa navedemo kako je te qinjenice iskoristio arapski matemetiqar Abu Hasan (zeleni boks). Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 i 6 sa 172. strane.

146

Krug

114. QAS Centralni i periferijski ugao

Frontalni rad Cilj

Uvebavanje

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Primene osobina centralnih i periferijskih uglova.

Osnovni tekst Ubenik, 170. strana i Zbirka, od 111. do 116. strane. Tok qasa Ponovimo o centralnom i periferijskom uglu (definiciju i odnose sa odgovarajuim tetivama i lukovima), posebno teoremu o tetivnom i centralnom uglu i uglu nad preqnikom. Rexavamo zadatke iz zbirke: 616, 617, 619, 624, 627. Sa posebnom panjom rexavamo primere 5 i 6 (strana 170. u ubeniku), uz nastojanje da uqenici sami (ili uz malu pomo nastavnika) dou do rexenja. Uvodimo pojam tangentnih dui iz date taqke na dati krug. Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 626, 630, 632, 634, 640. Domai zadatak

618, 620, 622, 625, 629, 638, 649.

147

Krug

115. QAS Uglovi u krugu

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Proxiriti znanja o krugu (tetivni qetvorougao, tangentni ugao), radi veeg angaovanja radoznalih uqenika. Osnovni tekst

Ubenik, boksovi na 171. i 172. strani.

Tok qasa Obnovimo odnos izmeu centralnog i odgovarajueg periferijskog ugla, ugao nad preqnikom i o tangentnim duima. Onda, reximo zadatke: 623, 633, 643, 650. Definixemo tetivni qetvorougao i postavimo zadatak: ”Ako je ABCD tetivni qetvorougao, izraqunaj β + δ”. (Videti zeleni boks na 171. strani.) Uqenici samostalno dolaze do rexenja. Istiqemo da dobijeni zakljuqak vai za svaki tetivni qetvorougao, ali da vai i obrnuto. (Ako je zbir naspramnih uglova qetvorougla jednak 180◦ , oko qetvorougla se moe opisati krug.) Reximo zadatak 5. iz Vebe sa 172. strane. Definixemo (i nacrtamo) tangentni ugao (slika na 172. strani) i formulixemo zahtev: ”Dokai da je tangentni ugao koji odgovara tetivi AB jednak periferijskom uglu koji odgovara toj tetivi”. Uqenici samostalno dokazuju tvrenje. Reximo zadatak iz zelenog boksa na 172. strani. Domai zadatak

645, 652, 654.

148

Krug

116. QAS Obim kruga

Obrada

Frontalni rad

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Pokazati da se obim kruga ne moe taqno odrediti i ukazati da koliqnik O : 2r ima konstantnu, ali iracionalnu vrednost. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 173. do 176. strane.

Nastavnik pripremi ”krojaqki metar” (traku od platna) i par okruglih predmeta, radi izvoenja ogleda o obimu kruga. Uqenike treba upoznati sa problemom merenja duine krive linije i klasiqno nerexivim problemom merenja kruga. Zatim, kao xto je opisano na 173. i 174. strani, koristei se Arhimedovom idejom upisivanja i opisivanja pravilnih mnogouglova, utvrdimo O O < 3, 146. Zatim, definixemo broj π = i istaknemo da je 3 < 2r 2r njegovu iracionalnost. Navedemo da se najqexe koriste pribli22 i reximo primer 1. ne vrednosti: 3,14 i 7 Onda, navedemo primere eksperimenata opisanih na 175. strani ubenika, pa na qasu izvedemo jox neki sliqan eksperiment, koristei se donetim ”krojaqkim metrom”. Pokaemo kako se pamti π ≈ 3, 14159 . . . . (obojeni tekst pri dnu 175. strane). Rexavamo Vebe 1, 2, 3 sa strane 176. Domai zadatak

656 a), b), 657 a), b), 659.

Krug

149

117. QAS Obim kruga

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Koristiti razliqite pribline vrednosti broja π. Primena na opisane i upisane krunice mnogouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 116. do 119. strane.

Ponovimo ukratko priqu o merenju kruga i formulu za obim. Uqenici navedu nekoliko priblinih vrednosti broja π. (Videti tekst Ukratko na 116. strani.) Rexavamo zadatke 656 v), d), ), 657 v), 660. Zatim, upoznajemo obim polukruga (pola krunice plus preqnik) i rexavamo zadatke: 658 a) i 659 b). Onda merimo opisane i upisane krunice poznatih mnogouglova. Rexavamo zadatke: 666 a) i 667 b), 670. Domai zadatak

656 g), 658 b), v), 661, 663, 666 v), 667 a), 669.

150

Krug

118. QAS Broj π

Obrada

Frontalni rad Cilj

Monoloxka metoda

Istai znaqaj broja π u praksi i u razvoju nauke.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 176. do 179. strane.

Obnoviti o merenju obima kruga, o definiciji broja π i njegovim priblinim vrednostima. Treba prepriqati ili proqitati tekst iz ubenika, jer, jedan xkolski qas je najmanje xto moemo uqiniti da istaknemo veliku ulogu broja π u prirodi i nauci. Pored navedenih primera, mogu se istai jox neka pojavljivanja√broja π. Na primer, g = 9, 81 . . . je iz fizike poznata gravitacija, a g = 3, 13 . . . ≈ π. Moemo ispriqati i neku anegdotu. Na primer: ”Na Aljasci je vrlo hladno, a na hladnoi se sve skuplja, pa je tamo π = 3”. (To je tzv. ”eskimsko π”.) Zanimljivo je da je 1897. godine skupxtina ameriqke drave Indijane (radi jednostavnijih izraqunavanja) donela zakon po kome broj π iznosi taqno 4.

151

Krug

119. QAS Duina krunog luka Frontalni rad

Obrada Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Izraqunavanje duine i obima figura koje su delom ograniqene krunim lukovima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 179. do 181. strane.

Ponovimo osobinu da jedanakim centralnim uglovima odgovaraju jednaki kruni lukovi, i obrnuto. Zatim, podsetimo se koje mere imaju uglovi kojima odgovara: polukrunica, cela krunica i qetvrtina krunice. Kao xto je opisano na 179. strani ubenika, izvedemo zakljuqak da su duina krunog luka i veliqina odgovarajueg centralnog ugla direktno proporcionalne. Kao xto smo uqili u odeljku 5. 6, uqenici izvedu formulu za duinu krunog luka (strana 179. u ubeniku). Rexavamo redom primere od 1. do 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 na 181. i 182. strani.

152

Krug

120. QAS Duina krunog luka

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Primene formule za duinu krunog luka.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 119. do 121. strane.

Ponovimo odnose izmeu duine krunog luka i duine odgovarajueg centralnog ugla i formulu za duinu luka. Obnovimo i vezu izmeu centralnog i periferijskog ugla. Rexavamo zadatke iz zbirke: 676 a), b), v), 677 b), v), 678 g), 682, 685. Domai zadatak

677 a), 678 b), 680 b), g), 684, 686.

153

Krug

121. QAS Povrxina kruga

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Priblino izraqunavanje povrxine kruga.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 182. do 186. strane.

Obnovimo o izraqunavanju obima kruga, o problemima koje stvara kriva kruna linija i pojam broja π. Podsetimo se na pribline vrednosti broja π. Zatim, nastavnik definixe problem poznat kao problem kvadrature kruga i naglasi da je dokazano da je ovo nerexiv problem, pa povrxinu kruga, kao i obim, raqunamo priblino. Koristei se idejom indijskog matematiqara Bhaskare iz XII veka, nastavnik prikae kako se dolazi do formule P = r 2 π. (Videti 183, stranu u ubeniku). Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 186. strane.

154

Krug

122. QAS Povrxina kruga

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Primene formule za povrxinu kruga.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 122. do 124. strane.

Ponovimo formulu P = r 2 π, pa rexavamo zadatke iz zbirke: 691 a), v), d), 692 v), 693 a), ), 694 a), 695 b). Rexavamo primer 6 sa 184. strane ubenika i uvodimo pojam krunog prstena. Onda, reximo zadatak 703 a) i b). Zatim, reximo zadatke: 696 a), g), 697 b), 700 a). Domai zadatak

696 d), 697 g), 698, 699 a), 704, 708.

Krug

155

123. QAS Krug Rad u homogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Sistematizovanje i diferenciranje znanja uqenika u vezi sa krugom. Tok qasa Uobiqajen naqin rada sa homogenim grupama, detaljno opisan u pripremi 77. qasa. Predlog izbora zadataka u tri nivoa, sa pripremljenim listiima. A: 621, 639, 662, 681, 699 b). B: 642, 652, 671, 683, 701. V: 654, 645, 674, 687, 709. Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci”, osma kontrolna veba.

156

Krug

124. QAS Osma kontrolna veba (krug)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove x i y. Obrazloi! 2. Tetiva AB duine 12 cm deli krunu liniju na dva nejednaka dela. Kolika je duina veeg od dva luka, ako je ABC jednakostraniqni trougao upisan u datu krunicu. (π = 3, 14) 3. Na krugu polupreqnika 6 cm dat je luk duine 7,536 cm. Odredi periferijski ugao β, koji odgovara ovom luku. 4. Povrxina krunog prstena je 263,76 cm2 . Vei polupreqnik je 12,5 cm. Koliki je manji polupreqnik?

Grupa B) 1. Prema podacima sa slike gore desno odredi nepoznate uglove x i y. Obrazloi! 2. Oko trougla ABC opisana je krunica. Nad stranicama AB, BC, CA duine lukova su redom 41,88 cm, 83,76 cm i 62,82 cm. Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. (π = 3, 141). 3. Koliki je preqnik kruga u kome luku duine 78,5 cm odgovara periferijski ugao 22◦ 30 ? (π = 3, 14). 4. Obim kruga se poveao za 30 %. Za koliko je procenata poveana povrxina kruga?

Krug

157

Grupa V) 1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove x i y. Obrazloi! 2. Oko kvadrata KLM N opisana je krunica. Stranica KL, duine 10 cm, deli krunicu na dva luka. Kolika je duina manjeg luka? 3. Obim kruga je 43,96 cm. Koliki luk odgovara centralnom uglu od 43◦ 12 ? √ 4. Manji polupreqnik krunog prstena je duine 2 7 cm. Ako je povrxina krunog prstena 65,94 cm2 , odredi duinu veeg √ polupreqnika. (π = 3, 14; 7 = 2, 65).

Grupa G) 1. Trougao ABC na slici gore desno je jednakostraniqni. Odredi nepoznate uglove x i y. Obrazloi! 2. Oko trougla M N P opisan je krug. Kruni luk nad stranicom M N predstavlja dve petine obima kruga, a luk nad stranicom M P je tri osmine obima. Odredi unutraxnji ugao trougla M N P kod temena M . 3. Na krugu preqnika 9 cm dat je luk duine 16,656 cm. Koliki centralni ugao odgovara ovom luku? (π = 3, 14). 4. Povrxina kruga se smanjila za 64 %. Za koliko se procenata smanjio njegov obim?

158

Krug

Grupa D) 1. Xestougao ABCDEF na slici dole je pravilan. Odredi nepoznate uglove x i y. Obrazloi!

2. Oko pravilnog xestougla stranice 15 cm opisana je krunica. Stranica AB deli krunicu na dva luka. Odredi duinu manjeg luka. (π = 3, 14). 3. U krugu polupreqnika 12 cm dat je periferijski ugao 37◦ 30 . Odredi duinu luka koji odgovara datom uglu. (π = 3, 14). 4. Izraqunaj povrxinu polukruga kome je obim 25,705 dm. Raqunaj π na tri decimale.

159

Krug

125. QAS Povrxina krunog iseqka

Obrada

Frontalni rad Cilj

Dijaloxko-heuristiqka metoda

Izraqunavanje povrxina delova krune povrxi.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 186. do 189. strane.

Tok qasa Kruni iseqak je deo krune povrxi zahvaen sa dva polupreqnika. Sliqno krunom luku, zakljuqujemo da su povrxina iseqka i ogovarajui centralni ugao direktno proporcionalne veliqine. Koristei se ovim zapaanjem, uqenici samostalno izvode formulu za povrxinu iseqka: r 2 πα . (Videti 186. stranu ubenika.) 360 Zatim, rexavamo primere 1 i 2. Nastavnik postavi zadatak: ”Odredi vezu izmeu duine luka i povrxine iseqka”. Kao xto je opisano na 187. strani, dobijamo Pi =

Pi =

r·l . 2

Onda, reximo primer 3. Zatim, reximo primer 4. Tamno plavo obojenu figuru na slici nazivamo kruni odseqak. Njegova povrxina, kao xto je objaxnjeno na 188. strani je P0 = Pi − P Reximo i primer 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 na strani 189.

160

Krug

126. QAS Povrxina krunog iseqka

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Kombinovanje raznih formula vezanih za merenja u krugu.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 124. do 126. strane.

Ponovimo definicije krunog iseqka i krunog odseqka i formule za njihove povrxine (tekst Ukratko 124. strana). Rexavamo zadatke iz Zbirke 711 a), g), 712, 713, 715, 717, 720. Domai zadatak

714, 716, 718, 723.

161

Sliqnost

127. QAS Proporcionalne veliqine

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Prouqavanje produenih proporcija.

Osnovni tekst

Ubenik, od 190. do 194. strane.

Tok qasa Ponovimo definiciju proporcije i njene osobine. Posebno naglasimo osobinu: y2 y1 = = k, sledi y1 = kx1 i y2 = kx2 . Iz x1 x2 Dakle, proporcija predstavlja jednakost dve jednake razmere. Uvodimo pojam produene proporcije, koja predstavlja jednakost vixe od dve jednake razmere: y2 y3 y4 y1 = = = = k, x1 x2 x3 x4 odakle je: y1 = kx1 , y2 = kx2 , y3 = kx3 , y4 = kx4 . Dogovoreno je da se produena proporcija zapisuje i kao y1 : y2 : y3 : y4 = x1 : x2 : x3 : x4 (vidi 191. stranu u ubeniku). Rexavamo primere 1 i 2. Zatim, rexavamo problem kako se iz obiqnih proporcija dobija produena proporcija. U tom cilju reximo primer 3. Zatim, reximo i primer 4, pa definixemo razmeru dui, kao xto je opisano na 193. strani. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 194. strane.

162

Sliqnost

128. QAS Proporcionalne veliqine

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Primene produenih proporcija

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 127. i 128. strana.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqin uobiqajen za rad u parovima. Ponovimo definicije i osobine proporcija i produenih proporcija. (Tekst Ukratko, strana 127.) Sliqno obiqnoj proporciji, za produene proporcije vai osobina: Iz a : b : c = m : n : p, sledi (a + b + c) : (m + n + p) = a : m = b : n = c : p. Ponovimo definiciju razmere dve dui. Rexavamo zadatke iz zbirke: 726, 727, 729, 731, 733, 735. Domai zadatak

728, 730, 732, 734.

Pismeni zadatak

163

129. QAS Priprema za qetvrti pismeni zadatak Frontalni rad

Obnavljanje Dijalog

Cilj Sistematizovanje znanja iz druge polovine drugog polugodixta. Tok qasa Na uobiqajan naqin, opisan u pripremi za 38. qas, nastavnik odabira teme i zadatke, sa ciljem da uqenike usmeri da se dobro pripreme za qetvrti pismeni zadatak. Ovaj qas se moe bitno razliqito organizovati i u dva paralelna odeljka sedmog razreda, shodno sastavu odeljenja i kvalitetu znanja uqenika. Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci”, qetvrti pismeni zadatak.

164

Pismeni zadatak

130. QAS Qetvrti pismeni zadatak

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Sa jednim akom cementa izmexa se 0,45 m3 betona. Koliko kilograma cementa treba za betoniranje ploqe zapremine 2,34 m3 ? U jednom aku ima 50 kg cementa. 2. Spoljaxnji uglovi trougla ABC zadovoljavaju uslove α1 : β1 = 2 : 3

i

α1 : γ1 = 3 : 5.

Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. 3. U krunicu je upisan trapez sa osnovicama AB i CD. Ako je BC = 15 cm, koliko je AD? 1 5 4. Krunom iseqku povrxine 12 cm2 odgovara luk duine 7 cm. 6  3  22 odredi centralni ugao iseqka i polupreqnik kruga. π = 7 5. Taqka O je centar kruga, a taqka S je sredixte preqnika polukruga na slici. Izraqunaj povrxinu i obim polumeseca, osenqenog na slici. (π = 3, 14).

Pismeni zadatak

165

Grupa B) 1. Jasmina je proxlog meseca dobro radila i zaradila 15 % vixe od redovne plate, pa je primila 55200 dinara. Ovog meseca je podbacila normu i primila 6000 dinara manje od redovne plate. Da li je Jasmina za poslednja dva meseca zaradila vixe ili manje od redovne plate? 2. Aca, Branka i Vera uplatili su redom 6, 10 i 9 kombinacija igre LOTO. Dogovorili su se da ukupan iznos nagrade podele direktno srazmerna broju uplaenih kombinacija. Dobili su nagradu u iznosu od 30750 dinara. Kako su podelili novac? 3. Na datu krunicu iz taqke A povuqene su tangente AB i AC, koje se seku pod uglom od 45◦ . Koliki je ABC? 4. Centralnom uglu od 67◦ 30 odgovara luk duine 14,13 dm. Kolika je povrxina odgovarajueg iseqaka? (π = 3, 14). 5. Izraqunaj povrxinu i obim osenqene figure na slici levo.

Grupa V) 1. Aca je menjao evre za dolare. Za 155 evra dobio je 217 dolara. Mixa je menjao 350 dolara za evre. Koliko je evra dobio Mixa? 2. Napravljena je legura od bakra, gvoa i kalaja, koji su pomexani u produenoj razmeri 6 : 11 : 9. Gvoa je upotrebljeno za 5 kg vixe nego kalaja. Koliko je legure pripremljeno? 3. U oxtrouglom trouglu ABC dui AM i BN su visine. Dokai da se oko qetvorougla ABM N moe opisati krunica. 4. U jednom krugu luku duine 18,8 cm odgovara iseqak povrxine 56,52 cm2 . Koliki je periferijski ugao nad ovim lukom? (π = 3, 14). 5. Trougao na slici gore desno je jednakostraniqan. Izraqunaj povrxinu i obim osenqene figure.

166

Pismeni zadatak

Grupa G) 1. Osam radnika je istovarilo ugalj iz vagona za 9 sati. Sledee nedelje ista koliqina uglja mora biti istovarena za 6 sati. Koliko novih radnika treba angaovati sledee nedelje? b a c a = i a + b − c = 38. 2. Odredi a, b i c iz uslova: = , 8 5 6 5 3. Iz taqke P konstruisane su tangente P M i P N na krunicu sa centrom C. Dokai da je M N normalno na CP . 4. Krunom iseqku povrxine 45,216 cm2 odgovara periferijski ugao od 40◦ 30 . Kolika je duina odgovarajueg luka? (π = 3, 14). 5. Xestougao na slici dole levo je pravilan. Izraqunaj povrxinu osenqene figure.

Grupa D) 1. Jedna brigada planirala je da ugovoreni posao zavrxi za 25 dana. Meutim, posle 5 dana rada, uvideli su da e kasniti celih 10 dana, ako do kraja budu radili 6 sati dnevno, kao xto su qinili do sada. Za koliko sati moraju produiti radno vreme, da bi posao zavrxili u ugovorenom roku? 2. Odredi x, y i z iz uslova: x + y + z = 205, x : z = 4 : 9 i y : z = 5 : 6. 3. Du AB je preqnik date krunice. Ako je C taqka u krugu, van dui AB, dokai da je ugao ACB tup. 4. U jednakostraniqniqni trougao upisana je krunica obima 18,84 cm. Kolika je povrxina opisanog kruga? (π = 3, 14). 5. Polupreqnici krugova na slici gore desno su duina 6 cm i 9 cm. Izraqunaj obim i povrxinu osenqenog dela.

Pismeni zadatak

167

131. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Ukazivanje na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne grexke, uz pouku. Tok qasa Nastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin ispravljanja grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedinaqne grexke, ne imenujui ko ih je naqinio. Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu i uqenici pohvale. Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskoj tabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih grupa.

168

Sliqnost

132. QAS Sliqni trouglovi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Definisaemo sliqne trouglove, kao trouglove sa jednakim parovima odgovarajuih unutraxnjih uglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 194. do 199. strane.

Posmatramo figure kao na slici u ubeniku (194. strani). (Dobro je da sliqne slike nastavnik pripremi ili ima sliqne figure u svom kabinetu). Uoqavamo koje figure upadljive liqe. Kao xto je opisano u ubeniku na 194. i 195. strani, zakljuqimo da o sliqnosti figure (trouglova) odluquju unutraxnji uglovi. Na osnovu ovih zapaanja definixemo sliqne trouglove, kao xto je opisano i naglaxeno na 195. strani. Rexavajui redom primere 1 i 2 zakljuqimo da su odgovarajue stranice sliqnih trouglova proporcionalne (196. strana). Zatim, rexavamo primer 3. Na osnovu osobina jednakosti utvrdimo da iz A1 B1 C1 ∼ A2 B2 C2

i

A2 B2 C2 ∼ A3 B3 C3 ,

sledi da je i A1 B1 C1 ∼ A3 B3 C3 . Zatim, na osnovu zbira unutraxnjih uglova u trouglu, utvrdimo da su dva trougla sliqna ako imaju jedaka dva para odgovarajuih unutraxnjih uglova, na primer, ako je α = α1 i β = β1 . Dalje, rexavamo primer 4, 5 i 6. Domai zadatak

Veba 1, 2, 3 sa strana 198. i 199.

169

Sliqnost

133. QAS Sliqni trouglovi

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Dalje prouqavanje osobina sliqnih trouglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 128. do 131. strane.

Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i teoremu o sliqnim trouglovima (prvi stav sliqnosti). Zatim, ponovimo osobine da su odgovarajue stranice sliqnih trouglova proporcionalne. (Vidi tekst Ukratko sa 128. i 129. strane.) Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 736, 737, 738, 739, 740, 741. Domai zadatak

742, 745, 746, 747.

170

Sliqnost

134. QAS Sliqni trouglovi

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Heuristiqka metoda

Prepoznavanje sliqnih trouglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 128. do 131. strane.

Parove qine uqenici koji sede u istim klupama. Radimo na naqin uobiqajen za rad u parovima. Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i njihove osobine. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 742, 743, 744, 747, 748, 749, 752, 753. Domai zadatak

750, 751, 754, 755.

171

Sliqnost

135. QAS Primene sliqnosti Frontalni rad Cilj

Obrada Dijaloxko-heuristiqka metoda

Povezati paralelnost i sliqnost.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 199. do 202. strane.

Podsetimo se da su dva ugla sa paralelnim kracima jednaki, ako su oba oxtra, oba tupa ili oba prava. To nam ukazuje da paralelnost stranica i sliqnost trougla mogu da se ukrste. Nacrtamo ugao pOq i preseqemo njegove krake sa dve paralelne prave a i b, kao xto je prikazano u ubeniku na 199. strani. Uqenici lako uoqe sliqne trouglove OAA1 i OBB1 , pa izvuku zakljuqak o proporcionalnosti odgovarajuih odseqaka (poznata Talesova teorema, koju treba neobavezno pomenuti na qasu.) Nastavnik ispriqa legendu o Talesu i quvenom merenju visine Keopsove piramide uz pomo senke. (Videte tekst na 199. strani.) Onda, rexavamo primer 1 sa 200. strane, koristei se sliqnom idejom. Rexavanjem primera 2 pokazaemo kako se uz pomo sliqnih trouglova mogu izmeriti duine mnogih nedostupnih dui (objekata). Zatim, reximo klasiqne geometrijske zadatke, istaknute u primerima 3, 4 i 5 (strana 201. i 202.) Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 na 202. strani.

172

Sliqnost

136. QAS Primena sliqnosti

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Uoqimo sliqne figure u okruenju i iskoristiti osobine koje su posledice sliqnosti. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 131. do 134. strane.

Ponovimo zakljuqak o proporcionalnim odseqcima izmeu paralelnih pravih – Talesovu teoremu. (Tekst Ukratko na 131. strani.) Reximo, zatim, nekoliko zadataka sa uglovima, duima i trouglovima, u kojim primenimo ovu teoremu. To su zadaci: 756, 758, 759, 761, 762. Zatim, reximo zadatke u kojima dolazi do primene sliqnosti u naxem prirodnom okruenju. Rexavamo zadatke 765, 768 i 769. Domai zadatak

757, 760, 763, 764, 770.

Sliqnost

173

137. QAS Sliqnost Rad u nehomogenim grupama

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Obnoviti karakteristiqne probleme iz sliqnosti i primene sliqnosti. Tok qasa Nehomogene grupe formiraju se na uobiqajeni naqin, od uqenika iz dve susedne klupe. Odabrane zadatke rexavamo na mestu i na xkolskoj tabli, kao xto inaqe qinimo u radu sa nehomogenim grupama. Izbor zadataka, koji najvixe zavisi od koliqine usvojenih znanja uqenika (razliqito od odeljenja, do odeljenja), ovog puta treba da bude izvrxen paljivije nego inaqe. Trebalo bi ponuditi zanimljivije zadatke, imajui na umu qinjenicu da se xkolska godina zavrxava, pa interesovanje uqenika opada. Domai zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni zadaci”, deveta kontrolna veba.

174

Sliqnost

138. QAS Deveta kontrolna veba (krug, sliqnost)

Kontrola znanja

Grupa A) 1. Oko pravouglog trougla ABC, sa katetama AC = 1 dm i BC = 24 cm, opisana je krunica. Taqka C deli luk  ACB u razmeri 1 : 3. Izraqunaj povrxinu krunog odseqka odreenog katetom BC. (π = 3, 14) 5 1 1 2. Ako je a : b : c = 2 : 5 : 3 i 3c − b = 18, odredi a, b i c. 3 6 2 3. Pravougli trouglovi ABC i A1 B1 C1 su sliqni. Pravi uglovi su C = C1 = 90◦ . Preqnik opisanog kruga trougla ABC je duine 6 dm. Ako je B1 C1 = 3 dm i polupreqnik opisanog kruga trougla A1 B1 C1 je 25 cm, odredi stranice trougla ABC. 4. Nacrtaj du M N = 7 cm, pa na njoj odredi taqke P i Q, tako da je M P : P Q : QN = 2 : 5 : 4. Grupa B) 1. U krug preqnika 4 cm upisan je pravougaonik KLM N , tako da  u razmeri 2 : 1. Izraqunaj povrxinu taqka L deli luk KLM odseqka kojeg na krugu odreuje manja stranica pravougaonika (π = 3, 14). 2. Odredi x, y i z, ako je x : y : z = 0, 75 : 1, 25 : 1, 5 i x + y + z = 42. 3. Stranice trougla ABC su a = 21 cm, b = 35 cm i c = 28 cm, a obim sliqnog trougla A1 B1 C1 je 48 cm. Odredi duine stranica trougla A1 B1 C1 . 4. Jedno drvo na ravnom terenu ima senku duine 21 metar. Istovremeno, vertikalno postavljen xtap duine metar i po, baca senku duine 140 cm. Koliko je visoko drvo?

Sliqnost

175

Grupa V) 1. U krugu preqnika 1 dm upisan je jednakokraki trougao sa uglom kod vrha BAC = 45◦ . Kolika je povrxina odseqka kojeg na krugu odreuje osnovica sa manjim odgovarajuim lukom? (π = 3, 14). 1 2. Ako je a : b : c = 3, 5 : 2 : 4 i a + b + c = 30, odredi a, b i c. 2 3. Trouglovi ABC i A1 B1 C1 sliqni su i C = C1 = 90◦ . Trougao ABC, kome je kateta AC = 14 cm, upisan je u krug preqnika 5 dm. Polupreqnik opisanog kruga trougla A1 B1 C1 je duine 40 cm. Odredi duine stranica trougla A1 B1 C1 . 4. Du AB na slici je duine 9 cm. Odredi duine dui x = P D i y = CP .

Grupa G)

√ 1. Oko xestougla ABCDEF povrxine 24 3 cm2 opisana je krunica. Izraqunaj povrxinu manjeg od dva odseqka, kojeg odreuje dijagonala AC. 2. Odredi x, y i z, ako je 2x : 4y : 5z = 9 : 14 : 25 i x + y + z = 39. 3. Trougao A1 B1 C1 ima stranice: a1 = 18 cm, b1 = 3 dm i c1 = 16 cm. Najdua stranica njemu sliqnog trougla ABC je 12 cm. Odredi stranice trougla ABC. 4. Dokai da su sliqni trouglovi KLM i RST na slici.

176

Sliqnost

Grupa D) 1. Izraqunaj povrxinu krunog iseqka odreenog lukom duine 10,99 cm, kome odgovara periferijski ugao 52◦ 30 . (π = 3, 14). m n z : : = 7 : 6 : 5 i m + n + z = 39. 2. Odredi m, n i p ako je 2 3 4 3. Trouglovi ABC i A1 B1 C1 su sliqni. Stranice trougla ABC su a = 12 cm, b = 6 cm i c = 10 cm. Odredi duine stranica trougla A1 B1 C1 ako je B1 C1 − A1 C1 = 15 cm. 4. Odredi duinu dui x = RS na slici.

177

Sliqnost

139. QAS Sliqnost

Obnavljanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Od 139. do (eventualno) 146. qasa plan rada emo praviti u hodu, zavisno od kalendara, uklapanja ovolikog broja qasova, kao i od nivoa znanja svakog odeljenja posebno. Na konaqan plan rada moe bitno uticati i potreba da se izvrxi poneka naknadna (usmena) kontrola znanja. Ukoliko bude mogue obnavljanje gradiva, kao xto je ovde predloeno (od 139. do 142 qasa), onda to treba uqiniti u cilju upuivanja uqenika na pojmove bitne za nastavak izuqavanja matematike. Do kraja planiramo obnavljanje gradiva.

140. qas

O krugu

Rad u parovima

141. qas

Polinomi

Rad u parovima

142. qas

Realni brojevi

Rad u parovima

143. qas

Rezervni qas

144. qas

Rezervni qas