7 Razred - Kreativni Centar - Zbirka
January 9, 2017 | Author: Vesna Matkovic | Category: N/A
Short Description
Download 7 Razred - Kreativni Centar - Zbirka...
Description
Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} Qiqana Vukovi} Zorica Jon~i}
M ATEMATIKA MATEMATIKA Y Z BIRKA ZADATAKA ZA SEDMI RAZRED OSNOVNE [KOLE
y yzbirka zadataka za sedmi razred osnovne {kole
Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Зорица Јончић
Mатематика збирка задатака за седми разред основне школе
7
Реални бројеви Шта смо научили о рационалним бројевима у шестом разреду 1
Dati su brojevi: 4506; –0,301; –9090; 1 ; 0; 90,9; –1; 302. 2 Izdvoj sve: a) prirodne brojeve b) cele brojeve.
2
Napi{i u obliku razlomka: a) 0,4
b) 9
v) –22
g) 1,6
0,3 = 3 2,057 = 2 057 10 1 000
d) –1,025
Podseti se: • Skup prirodnih brojeva ozna~avamo sa N. N = {1, 2, 3, 4 …} • Skup celih brojeva ~ine svi negativni celi brojevi, nula i svi pozitivni celi brojevi. Ozna~avamo ga sa Z. Z = {… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …} • Skup racionalnih brojeva ~ine svi negativni racionalni brojevi, nula i svi pozitivni racionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q. Q = ... − 1 ... − 2 ... − 5 ... 0 ... 1 ... 2 ... 2 3 6 2 3
{
3
}
Koje je tvr|ewe ta~no? a) –101 ∈ N d) −–
4
1 ∈Z 2
v) 2 ∈ Q 5
g) − 0,12 ∈ Z
|) 2009, 09 ∈ Q
Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu racionalnih brojeva.
Ako broj pripada nekom od navednih skupova, u prazno poqe u tabeli upi{i , kao {to je zapo~eto. −2,202
N Z Q 2
b) 1 ∈ Z
0
3 7
−7
−2 1 4
10
11 2
303,09
6 3
5
Svaki od datih brojeva upi{i u odgovaraju}i deo Venovog dijagrama: 0,7; − 5 ; 0; 3 1 ; 100; −7; 2,7; −1 1 ; −0,5 2 2 3
Q
6
Z
N
Patike koštaju 8 909,99 dinara. Pri pla}awu cena se zaokrugquje na ceo broj dinara i iznosi: a) 8 900 dinara b) 8 910 dinara v) 9 000 dinara Koji je odgovor tačan?
7
Zaokrugli na ozna~eno dekadno mesto: a) 35,3567 b) 0,1209 v) 999,2 g) 1,0006 d) 200,45 Podsetimo se ukratko pravila zaokrugqivawa. Posledwa cifra koju zadržavamo: • ostaje nepromewena ako je prva cifra iza we 0, 1, 2, 3 ili 4 • uve}ava se za jedan ako je prva cifra iza we 6, 7, 8 ili 9. Posledwa cifra koju zadržavamo uve}ava se za jedan ako je cifra koju odbacujemo 5, a iza we ima cifara razli~itih od nule. Ako je prva cifra koju odbacujemo 5, a iza we nema cifara razli~itih od nule, posledwa cifra koju zadržavamo: • uve}ava se za jedan ako je neparna • ostaje nepromewena ako je parna.
8
Prika`i na brojevnoj pravoj: a) − 5 b) 1 1 v) − 3 2 4 4 –3
9
–2
–1
0
1
2
3
Upi{i znak > ili < tako da nejednakost bude ta~na. 3 2 4 7 a) −0,305 …… −0,35 b) − …… −2 v) − …… − 5 3 7 4
3
10
Vrednost izraza −4,34 − 6,66 je: a) −2,32
b) −10
v) −11
Koji je odgovor tačan? 11
Koliko je −0,6 ⋅ 0,08? Koji je odgovor tačan? a) 0,48 b) 0,0048 v) −0,048 g) −4,8
12
Izra~unaj.
)
a) 1111 : 11 b) 7 : 20 v) 1,02 : (−3 13
(
g) 242 : 1,1
(
)
d) −7,5 : −0,05
)
Vrednost izraza 4 − 2 ⋅ −0,5 je: a) −1
b) 3
v) 5
Koji je odgovor tačan? 14
Proveri da li je vrednost izraza prirodni broj. 10 − 3 + 0,5 ⋅ 0,3 3 10
15
Izra~unaj vrednost izraza.
(
)
30 : −0,03 − 0,3 : 3 + 0,03 : 0,3
Квадрат рационалног броја 1
Kako je 242 = 576, izra~unaj:
(
2
)
b) −240
a) 2,42
(
2
)
v) −0,24
2
Popuni prazna poqa u tabeli. a
0,4
−0,3
4 10
−4
3 10
4
1 10
0,3
a2 3
Izra~unaj. 202
2002
2 0002
20 0002
Kod kvadrirawa ovakvih brojeva, broj nula pove}ava se dva puta. Na primer: 5002 = 250 000
4
4
Izra~unaj. 0,62
5
0,052
0,0022
Kod kvadrirawa decimalnog broja broj decimalnih mesta pove}ava se dva puta.
0,0092
Koriste}i digitron, izra~unaj. a) 4,7
2
Na primer:
0,12 = 0,01
0,082 = 0,0064
b) 0,0562
( ) g) (−0,485) v) −16,16
2
Kako pomo}u digitrona ra~unamo, na primer, 452?
2
6
Ukucamo broj 45, zatim pritisnemo tipku x2 i na ekranu pro~itamo rezultat: 2 025.
Zaokru`i DA ako je jednakost ta~na ili NE ako jednakost nije ta~na. 0,000072 = 0,000000049
(−4,84) = −23,4256 (−101,01) = 10 203,0201 2
2
7
DA
NE
DA
NE
DA
NE
Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost. a) 0,22 i 0,2
b) 1,52 i 1,5 32 3 v) 0,82 i 0,8 g) 2 i 2
()
0,72 = 0,49
2,12 = 4,21
0,72 < 0,7
2,12 > 2,1
Ako je racionalni broj a > 1, onda je a2 > a. Ako je racionalni broj 0 < a < 1, onda je a2 < a. 8
Izra~unaj.
9
2
(
) ( )
v) −10 · 0,1
2
( ) ( ) 2
g) −3 · −2
Izra~unaj. 2
45 10
( )
b) 4 · −5
a) 0,5 · 22
4 52
Koliko je a) 0,1
42 5
42 52
( ) ⋅ 10 000 000? Koji je odgovor tačan?
1 1000 b) 1
2
v) 10
g) 100
5
11
U prazno poqe upi{i znak >, < ili = tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.
() ( ) g) − ( −0,9) (109 )
a) − 1 2
2
−1 2
( )
32 22
)
2
v) 5 ⋅ 1 3
2
5 9
Izra~unaj.
2 a) 4 − 1 7
13
(
b) −1,5
2
2
12
2
2
b) 2 1 2 2
Prvo izra~unaj kvadrat broja.
( )
2 v) 32 − −1 5
( ) ( ) 2
Vrednost izraza −3 − −9 je: a) −18 b) −3 v) 0 g) 15 d) 18 Koji je odgovor tačan?
14
Izra~unaj.
(
)
a) 82 − −20 15
3 b) 2 + 5
Izra~unaj.
(
)
Izra~unaj.
)
Izra~unaj.
(
19
)
2 2
a) 17 − ( −4 )
2
(
)
6
2
Prvo izra~unaj izraz u zagradi, pa onda kvadriraj.
2
( ) ( 2
( )
||
2
2
2
( )
v) 62 −32 · 2 + 82 : 16
( )
1 + 1 − −1 b) 42 ⋅ − 16 2 (2)2
Izra~unaj vrednost izraza: a) x2 + y2 ako je x = 1 , y = −2 2 2 2 b) −a + −b ako je a = −1, b = 0,5 v) m · n2 − m2 · n ako je m = − 1 , n = −3. 3 Ako je a = −4, šta je veće: b) −a2 ili a ? a) a ili −a2
)
v) −2 · 6 − 4 + 32 : 9
( ) ( ) ( ) 2
2
b) −9 : −3 − −1 · 0,5
( )
20
)
v) 10 − 9,1
− ( −5) : − 5 4 2
)
v) 102 − −10
b) 92 − −12 + 8
( ) ( 2
2
(
2
a) 0,22 − −2 − −1,2 18
(
2
( )
( )
2
a) 3 − 4 + 52 17
)
b) −0,4 + 72
Izra~unaj. a) 1 − 1 4
16
(
2
2
Квадратни корен 1
Izra~unaj. Mo`e{ da koristi{ tablicu kvadrata datu u prilogu u uxbeniku.
a) 121, 64, 169, 900, 625 , 225, 289, 196 b) 0,01, 0,36 , 1,44 , 0, 25 , 0,09 , 0,64 , 1,69
2
v)
1 25 , , 16 121
g)
( −1)
2
49 64 289 4 256 , , , , , 225 9 625 81 144
( −6, 25)
2
,
(−2 52) , 2
,
36 441
( −169)
2
a) Izra~unaj. 49
2, 25
9
0,16
121
0,49
b) Pore|aj vrednosti dobijene u zadatku pod a) od najmawe do najve}e. 3
Izme|u kojih se uzastopnih celih brojeva nalazi: a) 0,64
4
b) 1, 21
v) 4,41
g) 6, 25 ?
Koje su nejednakosti ta~ne? a) 64 < 81 < 100 b) 0,81 < 0,09 < 0,01 v)
1 > 4
1 > 9
( −1,3)
2
g) 1, 22 < d) 5
( −4,4)
2
<
( −4,5)
2
< 4,62
b) 24 − 900
v) 81 − 81
g) 64 + 4 − 64
Izra~unaj. a) 9 + 5,7
b) 400 − 20 ⋅ 4
g) 8 − 16 + 22 7
< 1, 212
Izra~unaj. a) 49 − 18
6
1 16
49 − 7 64 4
d)
v) 1 − 4 |)
9 − 36 + 0 121
Izra~unaj. a) 1600 − 400
b)
9 − 1 16 16
v) 0,16 + 0,04
g) 0,01 − 1
7
8
Izra~unaj. a) 169 + 5 900
(
b)
)
144 − 9 : 32
v) 3 25 − 4 81
5 900 = 5 ⋅ 900
Izra~unaj. 16 a) 1 − 25
b) 132 − 122
v)
(
0,36 + 1,96
)
2
Решење
16
a) 1 − 25 =
25 − 16 25 25
=
9 25
=
3 5
16 izra~unata vrednost potkorene veli~ine 1 − 25
izra~unata vrednost korena 2
b) 132 − 122 = 169 − 144
= 25
= 5
v)
9
(
= 22
=4 b) 1 − 7 16
i
1, 96
izra~unat zbir
25 − 2 1 4 4
v) 102 − 62
Izra~unaj.
(
2
b) 82 − 48 − −10
) (0,1) 2
2
Izra~unaj. a)
(
4 + 25
)
2
b)
(
)
2
0,81 + 0,01 − ( −2)
2
Izra~unaj. a)
8
v)
b) 82 + 62
( )
13
0,36
Izra~unaj.
a) −3 − 3 42 + 9 12
izra~unata vrednost kvadratnih korena
Izra~unaj.
a) 52 − 42 11
2
0, 36 1,96 = 0,6 + 1,4
a) 1 + 9 16 10
izra~unata vrednost korena
)
2
2
izra~unata vrednost potkorene veli~ine 13 − 12
(
)
( )
576 − 2 9 : −2
1 36 + 2 ⋅ 1 b) 4 25 − 5 1 ⋅ 2 4
(
)
1 1 36 = ⋅ 36 2 2
14
Izra~unaj. b) 1 16 − 4 1 16 16
a) 2 400 − 3 1 9 15
Izra~unaj. a)
16
17
((
−9) − 7 49 + 5
( −8)2
2
Izra~unaj.
5 ⋅ 0,04 +
( −0,1)2
+
)
( − 101 )
2
v) 10 2,56 −
b) 8
⋅ 102
( −0,25)2 + ( −1)2
0,01 +
( −1)2 : 0,31
1 : 0,02 100
Izra~unaj vrednost izraza: a) a + b2 , ako je a = 36, b = −2 b) a2 − b2 , ako je a = 1, b = 0,6 v)
(
a− b
)
2
(
)
2
− a − b , ako je a = 4, b = 9
Скуп ирационалних бројева 1
Odredi celi deo i prve dve decimale broja 11. Primeni postupak koji je prikazan za broj 2.
2
Izme|u koja se dva cela broja nalazi broj − 2?
3
Svakoj od ta~aka A, B, C, D, E, F, G, H, T na brojevnoj pravoj pridru`i jedan od brojeva
Pogledaj stranu 16 u uxbeniku.
2, − 9 , − 5 , − 11, 9 , 7 , 4 , 4 , 15 , kao {to je zapo~eto. 4 25 4 25
−
2
A
B
C
D 0
E 1
F
GH
2
3
15
T 4
5
9
4
Izme|u koja se dva cela uzastopna broja nalazi: a) 50
5
b) 105
v) − 28 ?
1 ; 17 ; −0,777…; 64 ; −4, −3,989889…} izdvoj: 3 a) podskup racionalnih brojeva Iz skupa {47,555;
b) podskup iracionalnih brojeva. 6
Koje je tvr|ewe ta~no? a) 5 ∈I ∈I
7
b) −0,222… ∉ Q
v) −1,2 ∉ Q g) 1,238 ∈ I
Koji je od brojeva: 0,1212…;
4 ; 4,04004;
2;
0,5; 3,3333…;
iracionalan? 8
4 ; 3
121 ;
Odredi vrednost kvadratnog korena koriste}i digitron. Rezultat zaokrugli na dve decimale. a) 7
b) 31
v) 510
g) 15
d) 654
|) 2 572
16 225 ;
13
Kada se na ekranu digitrona pojavi broj 541, pritisnu}emo . Tada tipku sa oznakom }e se na ekranu pojaviti broj 23,259406699… s vi{e ili mawe decimala u zavisnosti od vrste digitrona. 541 = 23,259406699… Podseti se pravila zaokrugqivawa na strani 3.
9
Odredi pribli`nu vrednost kvadratnog korena koriste}i tablice. a) 5 b) 45 v) 147 g) 725
10
a) Odredi vrednost kvadratnih korena 11, 75 , 223, 888. Koristi tabelu u prilogu uxbeniku. b) Zaokrugli dobijene vrednosti na ceo broj.
10
U prilogu u uxbeniku data je tabela u kojoj su navedene pribli`ne vrednosti kvadratnih korena prirodnih brojeva od 1 do 1 000 s ta~no{}u na dve decimale. Pogledaj tabelu i pročitaj vrednost 103 . 103 ≈ 10,15
8
Odredi vrednosti kvadratnih korena: 14 , Koristi digitron.
99 ,
408 ,
8,
751.
Zaokrugli dobijene vrednosti na jednu decimalu. 9
Odredi skup re{ewa kvadratne jedna~ine.
Jedna~ina: x2 = 2
2
a) a = 5 b) x 2 = 3 4
{
Re{ewa: x ∈ − 2, 2 Provera:
( 2)
2
10
11
Odredi skup re{ewa kvadratne jedna~ine. a) x2 = 576 b) a2 = 0,16 v) x 2 = 81 4 Re{i kvadratnu jedna~inu. a) 4x2 = 16
( )
= 2, − 2
2
}
=2
g) y2 = 784 d) x2 = 0
v) 1 1 x 2 = 3 3 4
b) 9x2 = 144
Операције с квадратним коренима 1
Uprosti izraz. a) 6 2 − 3 2
2
b) 3 3 − 7 3 + 5 3
v) 3 − 12 2 + 8 2 + 3 3
a) Uprosti izraz 12 5 − 4 5 − 5 5 . b) Izra~unaj pribli`nu vrednost izraza dobijenog pod a) za 5 ≈ 2, 24.
3
Izra~unaj. a) 1089
4
b) 1225
Izra~unaj.
( 5) − ( 2)
a) 52 + v) 32 5
2
b)
2
Izra~unaj. a)
( −7 )
2
Rastavi potkorenu veli~inu na ~inioce.
+7
g)
( 7)
2
(4,7 )
2
−52
b)
1 2
+
( 47 )
( a)
2
− 5 1 5
( 4)
2
2
2
− 32
v)
1 2
( 4)
2
− 4+
(− 21)
2
= a, a ≥ 0
||
a2 = a
11
6
Kako je 144 = 12, koliko je: U zadatku pod a) primeni: a ⋅ b =
a) 14400 b) 1,44
U zadatku pod b) i v) primeni:
v) 0,0144 ?
7
9
b) 27
v) 12
g) 108
d) 50
Koja je jednakost ta~na? a) 2 + 8 = 10
b) 2 + 8 = 3 2
v) 2 + 8 = 4 2
g) 2 + 8 = 5 2
Uprosti. a) 3 18 + 72
10
a za a ≥ 0, b > 0 b
Uprosti. a) 32
8
a = b
a ⋅ b za a ≥ 0, b ≥ 0
b) 48 − 2 27
Uprosti.
v) 625 − 125
b) 1 180 − 1 80 + 45 6 4
a) 7 + 5 28 − 2 63
Prilikom ra~unawa u imeniocu razlomka mo`e se pojaviti kvadratni koren, na primer 5 . 2 Pro{irivawem razlomka 5 sa 2, dobijamo razlomak: 2 5 = 5⋅ 2 = 5 2 = 5 2 2 2 2⋅ 2 2 2
( )
To radimo da bismo izbegli deqewe iracionalnim brojem. Taj postupak naziva se racionalisawe imenioca razlomka.
11
Racionali{i imenioce kao {to je zapo~eto. 3 4 = 4⋅ 3 = 4 3 = 4 3 a) b) 2 3 7 3 3⋅ 3 3
( )
12
Uprosti. 4 a) 2 − 2
12
b)
5 + 10 5
v)
1 6
g)
2 5 Prvo mo`e{ da racionali{e{ 4 imenilac razlomka . 2
Uprosti 14,4 . Решење 144 a = a primewujemo formulu b 10 b 144 = ra~unamo 144 = 12 vidi 6. zadatak 10 = 12 racionali{emo imenilac 10 = 12 ⋅ 10 = 12 102 = 12 10 = 1, 2 10 10 10 ⋅ 10 10
14,4 =
(
8
(
)
)
Uprosti. a) 3,6
b) 10,8
Реални бројеви – систематизација ½ 4 ®1; 0; 2; 1,222...; 5; 1020304...; ; 4,33¾ napi{i podskup: 9 ¯ ¿ a) racionalnih brojeva b) iracionalnih brojeva.
1
Za dati skup A
2
Koja su tvrđewa ta~na? b) −0,2 ∈Q a) − 1 ∈ I 2
3
Izra~unaj.
( )
a) −1 4
2
()
b) 1 3
( )
2
6
Izra~unaj. 1 a) −62 ⋅ − 3
( )
() 3 5
( )
( )
2
g) 2 1 2
2
2
2
b) −
(
22 + 1 5 −2
3 d) −1 4
2
(
)
e) −0,1
|) 0,0022
2
+ 2 ⋅ 6 + 32
( )
)
2
2
3 b) −42 ⋅ − 4
Izra~unaj.
( ) ( )
a) − 3 2 7
v)
Izra~unaj.
1 a) ( −2) + − 2 5
2
v) − 2 ∉ Q g) 0,75 ∈ I
2
2
− − 1 ⋅ −32 + 2 ⋅ 1 − 32 3 2
( )
(
) ( 2
(
( ) ( )
b) − 1 2
)
2
+ 4 ⋅ 5 + ( −2) 2
)
( )
( )
⋅ − 2 − −12 + 2 : 1 − 1 3 2
2
2
Izra~unaj vrednost izraza 2 − x · −3y + y za: a) x = −1, y = 1 b) x = 1 , y = −2 3 2 13
8
, , Znaju}i da je 2 ≈ 1,41 i da je 3 ≈ 173 pore|aj po veli~ini: −2 2; − 3 ; 1 − 2 3 ; − 5.
9
Odredi dva uzastopna prirodna broja izme|u kojih se nalazi broj: a) 5
10
b) 2 3
g) 3 − 2
v) 18
d) 2 + 3
Date su ta~ke na brojevnoj pravoj: A
BC
D
31 4 2 Koordinata koje ta~ke je najpribli`nija broju 10? 2
a) A 11
3
b) B
g) D
U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. 3 = 173 , DA / NE
12
v) C
2 − 1 < 0,5
5 4 DA / NE
3] je:
Izra~unaj.
2 3 b) 3
( )
a) 3 2
2
Решење
( )
2
a) 3 2
= 32 ⋅
= 9 . 2
= 18 2
b) 2 3 3
(
)
−
(
()
2
koristimo pravilo a b
2 = a za a ≥ 0, b > 0 2 b
2 2
2
2
koristimo pravilo (a · b) = (a) · (b)
2
5 2 2 b) 2 + 0,5
( −4 )
0,36 + 0,4
2
)
2
− ( −1)
2
Izra~unaj. 1 1 a) 4 2 2 2
b) 2 ⋅
0, 4 2
( −0, 2)2
b) 1 2
− 49
21 2
Izra~unaj.
( ) − (2 5 ) + ( 5 )
a) 5 2
2
2
2
:
( −5)
2
20
Uprosti: 128 , 32, 75 , 48 , 20.
21
Uprosti. a) 3 + 1 108 − 5 75 2
22
=2
Izra~unaj. a)
19
( 3)
2
2
Izra~unaj. a) 4 5
18
2
3
2
2
koristimo pravilo (a · b) = (a) · (b)
( 2)
32 4 ⋅3 = 9 4 = 3
17
2
2
=
16
( 2)
(2 3 ) =
22
2
4 2 b) 3
v) 5 ⋅ 0,04 + 1 ⋅ 9 ⋅ −22 3 4
( )
0, 16 : 2
2
2
( )
⋅ ( −3) − 9 : −12 2
b) 2 50 − 18 + 6 98
Koje su jednakosti tačne? a) 2 ⋅ 2 = 2
b) 18 : 2 = 2 3
v) 180 : 2 5 = 3 15
23
Uprosti izraz. 18 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 18
24
Racionali{i imenilac razlomka. 1 5 6 a) b) v) 10 5 2
25
Znaju}i da je 2 ≈ 141 , ; 3 ≈ 173 , ; 5 ≈ 2,24 , izra~unaj: a)
( 5 ) ⋅ (−5) 2
2
( ) + (3 3 ) − (2 3 − 3 2 )
+5 5
b) 2 2
26
Proveri da li je jednakost tačna. 1 1 : 5 − 0, 2 : 5 = 1 5 6
27
Izra~unaj.
(
2
2
)
2 a) 3 150 + 4 54 − 6 ⋅ 3 b) 52 + 122 :
( −13)
2 2 v) 17 − 8 :
( −5)
g)
(
2
2
1: 3
3 + 0, 25 4
+ 3 : 3− 4 2 8
)
50 − 3 72 + 18 − 2 ⋅ 1 2
7 2+ 2 : d) 1,69 − 5 49 28
+
( −2)
2
+ 0,5 4
Reši jednačinu. a) −1 + x2 = 8 b) 1 x 2 − 1 = 9 25 16
v) 0,16 x2 = 9
g) 2 x 2 = 3 3 8
Пробај и ово
29
Poka`i da je vrednost izraza
30
Izra~unaj.
(
a) 112 + 4 3
16
1 ⋅ 256 prirodan broj. 16
Prvo izra~unaj vrednost 256 .
(4 3 )
2
)
2
(
b) 132 − 4 3
)
2
= 16 ⋅ 3
31
Kom intervalau, (−1,0) ili (0,1), pripada vrednost
x2 = x
2
izraza ( 3 − 2) ? Objasni.
(1 − 2 )
2
(2 − 2 ) , izra~unaj a + b. 2
32
Ako je a =
33
Izra~unaj x 2 ako je x = − 3 .
34
Re{i jedna~inu.
35
a)
x2 + 2 = 8
b) − 3 + 1+ x 2 = −( 3 − 10)
v)
(4x − 2)2 = 5
g)
b) −1 ≤ x < 2
v) x ≥ 1
Re{i jedna~inu. a) 2x − 3 = 7
37
( 2x − 4 )2 = 25
Re{i nejedna~inu. Napi{i odgovaraju}i interval i prika`i ga na brojevnoj pravoj. a) x < 2
36
,a=
b) 3x − 5 = 2
v) 4x + 3 = 12
Skup svih realnih brojeva mawih od dva je brojevni interval (– ∞, 2) a većih od broja dva (2, + ∞). Simbol ∞ čitamo beskonačno.
Odredi sve cele brojeve koji zadovoqavaju nejedna~inu. a) x < 3
b) 3x − 17 > 5
v) 2x + 3 > 6
17
Питагорина теорема Питагорина теорема 1
Neka su a i b katete i c hipotenuza pravouglog trougla. Konstrui{i pravougli trougao ako je: a) a = 7,5 cm, b = 4 cm
b) a = 4 cm, c = 5,8 cm
Izra~unaj du`inu tre}e stranice i proveri merewem. 2
Izra~unaj nepoznatu stranicu pravouglog trougla na slici. Du`ine poznatih stranica date su u centimetrima. a)
b)
b
24
16
c
U delu zadatka pod |) kvadratni koren sredi na slede}i na~in: 72 = 36 ⋅ 2 = 36 ⋅ 2 = 6 2
26
30
v)
g)
|) x
2 3
2
5
1,4
d)
17
2
z
y
19
3
a
3
Izra~unaj rastojawa izme|u ta~aka A i B, C i D, E i F, G i H. 1 cm 1 cm
B
F
A
Za ra~unawe du`ina du`i docrtaj u mre`i za svaku du` pravougli trougao i primeni Pitagorinu teoremu.
H C
E
D G
4
Koji je od trouglova na slici pravougli trougao? Primeni Pitagorinu teoremu. a)
b) 14 cm
6 cm
18
13 cm
v) 24 cm
7 cm
g) 15 cm
15 cm
8 cm 26 cm
17 cm
12 cm 10 cm
5
Doka`i da je reč o pravouglom trouglu ako su du`ine wegovih stranica: a) 10 cm, 24 cm, 26 cm
6
b) 10 cm, 10 cm, 10 2 cm
Koje tri du`i mogu biti stranice pravouglog trougla? a) 6 cm; 7,2 cm; 9,7 cm b) 10 cm, 60 cm, 61 cm v) 3,3 cm; 5 cm; 6,5 cm g) 3 cm; 7,2 cm; 7,8 cm
7
8
Neka su a i b katete i c hipotenuza pravouglog trougla. Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a
5 cm
15 cm
b
12 cm
8 cm
c
13 cm
1,2 cm 0,9 cm 1,5 cm 1,3 cm
Na osnovu podataka sa slike izra~unaj du`ine x i y. U delovima zadatka pod b) i v) prvo izra~unaj du`inu x, a zatim du`inu y.
a) x 40 cm
17 cm
15 cm
9
12 cm
y
b) x
y
9 cm
10 cm
v) y
6 cm
30 cm
x
24 cm
Katete pravouglog trougla su a i b i hipotenuza c. Nacrtaj skicu i izra~unaj du`inu nepoznate stranice ako je: a) a = 1,4 cm, b = 4,8 cm b) a = 6,3 cm, c = 6,5 cm v) b = 2 2 cm, c = 2 3 cm g) a = 4 cm, b = 2 3 cm 5 5
10
Stablo jele polomqeno je od udarca groma na visini od 3,6 m. Vrh polomqenog dela udaqen je od podno`ja stabla 1,5 m. Koliko je jela bila visoka?
3,6 m
19 1,5 m
11
Primewujući Pitagorinu teoremu, doka`i da je trougao na slici pravougli trougao. 1 cm 1 cm
Prvi korak
b
Izra~unaj stranice a, b, c. a2 = 42 + 22, a2 = 20, a = 2 5 Na isti način izra~unaj stranice b i c.
a
Drugi korak
c
Utvrdi da li je zbir kvadrata dve stranice jednak kvadratu tre}e stranice.
Tri prirodna broja za koja va`i da je zbir kvadrata dva broja jednak kvadratu tre}eg broja nazivamo Pitagorini brojevi ili Pitagorine trojke brojeva. Ako su brojevi jedne trojke uzajamno prosti, ka`emo da je to osnovna trojka Pitagorinih brojeva. Osnovne trojke bile bi, na primer: 3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
15, 8, 17
21, 20, 29
Ostale Pitagorine trojke brojeva dobijamo tako {to osnovne trojke pomno`imo prirodnim brojem. Na primer: mno`imo
3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
15, 8, 17
21, 20, 29
brojem 2
6, 8, 10
10, 24, 26
16, 30, 34
14, 48, 50
30, 16, 34
42, 40, 58
brojem 3
9, 12, 15
15, 36, 39
24, 45, 51
21, 72, 75
45, 24, 51
63, 60, 87
Svaki prirodni broj ~lan je bar jedne Pitagorine trojke. I realni brojevi dobijeni mno`ewem ili deqewem Pitagorine trojke brojeva istim brojem, razli~itim od nule, imaju osobinu da je zbir kvadrata dva broja jednak kvadratu tre}eg broja. Na primer:
20
7, 24, 25
Pogledaj re{ewe zadatka 1 i prona|i u tabeli odgovaraju}u Pitagorinu trojku.
delimo
3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
15, 8, 17
21, 20, 29
brojem 2
1,5; 2; 2,5
2,5; 6; 6,5
4; 7,5; 8,5 3,5; 12; 12,5
7,5; 4; 8,5 10,5; 10; 14,5
brojem 5
0,6; 0,8; 1
1; 2,4; 2,6
1,6; 3; 3,4 1,4; 4,8; 5
3; 1,6; 3,4 4,2; 4; 5,8
12
Izra~unaj obim i povr{inu pravouglog trougla ako su katete a = 1,8 cm i b = 2,4 cm.
2,4 cm
O=a+b+c
c
a
P = a⋅b 2
c b
1,8 cm
13
Izra~unaj obim i povr{inu trougla ABC na slici. a)
C
2,8 m A
b) 4,5 m
1,7 m
B
A
2,5 m
0,8 m B
C
v)
2m
A
C
D 2,1 m B
Katete pravouglog trougla su 24 cm i 7 cm. Izra~unaj visinu hc, koja odgovara hipotenuzi c. Решење Prvi korak Izra~unavamo hipotenuzu. c2 = 242 + 72, c2 = 625, c = 5 cm Drugi korak Izra~unavamo povr{inu trougla. P = a⋅b 2 P = 24 ⋅ 7 = 12 ⋅ 7 2 P = 84 cm2
c
hc
7m
24 m
Tre}i korak c ⋅ hc , sledi: Kako za povr{inu trougla va`i i P = 2 25 ⋅ hc = 84 2 25 ⋅ hc = 84 ⋅ 2 hc = 168 : 25 hc = 6,72 cm 14
Kateta pravouglog trougla je a = 48 mm i hipotenuza c = 60 mm. Izra~unaj katetu b i visinu koja odgovara hipotenuzi.
Primeni formule za povr{inu trougla.
ch P = ab , P = c 2 2
21
15
Povr{ina pravouglog trougla je 8,4 cm2 i dužina jedne katete je 4,2 cm. Izra~unaj dužinu hipotenuze i wenu visinu.
16
Katete pravouglog trougla su a = 1 cm, i b = 2,4 cm. Konstrui{i trougao koji ima dva puta ve}e stranice. Primewujući Pitagorinu teoremu, dokaži da je to pravougli trougao.
17
Konstrui{i pravougli trougao ~iji je o{tar ugao 45° i: Ako je o{tar ugao pravouglog trougla 45°, wegove katete su jednake.
a) kateta 4 cm b) hipotenuza 8 cm. Kolike su du`ine preostale dve stranice trougla? Primeni Pitagorinu teoremu.
Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат 1
2
Izra~unaj dijagonalu d pravougaonika ako su wegove stranice: a) 5 cm, 2 2 cm b) 3 3 cm, 3 2 cm 3 Izra~unaj dužinu dijagonale kvadrata ako je stranica: a) a = 2,5 cm
3
Izra~unaj dužinu stranice kvadrata ako je data dijagonala: a) 18 cm
4
b) a = 2 6 cm
b) 2 2 cm
Izra~unaj obim i povr{inu pravougaonika ako su date du`ine dijagonale i jedne stranice. a) d = 26 cm, a = 10 cm
5
b) d = 30 cm, a = 24 cm
Obim pravougaonika: O = 2a + 2b Povr{ina pravougaonika: P = ab
Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je data du`ina dijagonale: a) 8 cm
22
v) 6 cm
b) 20 2 cm
6
Obim pravougaonika je 46 cm, i jedna stranica je a = 8 cm. Izra~unaj dijagonalu pravougaonika.
7
Povr{ina pravougaonika je 120 cm2, a jedna stranica 15 cm. Izra~unaj dijagonalu pravougaonika.
8
Obim kvadrata je 48 cm. Izra~unaj dužinu dijagonale.
Obim kvadrata: O = 4a Povr{ina kvadrata: P = a2
9
Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ~ija su temena sredi{ta stranica kvadrata stranice 12 cm. Stranica osen~enog kvadrata je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla ~ije su katete jednake polovini stranice datog kvadrata.
12 cm
10
Na osnovu podataka sa slike izra~unaj obim i povr{inu osen~enog trougla. a)
Prvo izra~unaj dijagonalu kvadrata (pravougaonika). Osen~eni trougao je jednakokraki trougao. Wegov krak jednak je polovini dijagonale kvadrata (pravougaonika) na slici.
b) 30 mm
30 mm
30 mm
40 mm
Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао 1
a) Izra~unaj h. 5,2 cm
b) Izra~unaj a. 3 2 cm
5,2 cm
h
2 2 cm
9,6 cm
b
3,2 cm
b
Ako je a osnovica jednakokrakog trougla, b krak, h visina koja odgovara osnovici, popuni tabelu. a
24 cm
b
20 cm
h
3
a
6,3 cm 3 2 cm
2
v) Izra~unaj b.
80 cm 1,4 cm 26 cm
2 2 cm
41 cm
24 cm
2,4 cm
2 2 cm
Izra~unaj visinu jednakostrničnog trougla ako je stranica: a) a = 10 cm
b) a = 3,6 cm
v) a = 43 3 cm
23
4
Izra~unaj dužinu stranice jednakostrani~nog trougla ako je data visina. Nacrtaj skicu trougla. a) h = 100 cm
5
6
b) h = 3 cm
Izra~unaj povr{inu jednakokrakog trougla ako je osnovica a = 24 cm i krak b = 13 cm. Nacrtaj skicu. Izra~unaj povr{inu jednakostrani~nog trougla ako je data dužina stranice. Nacrtaj skicu. a) 6 cm
b) 2,6 cm
Povr{ina trougla a ⋅ ha P= 2
v) 2 3 cm
Izvedemo formulu za izračunavawe površine jednakostraničnog trougla. U prethodnom razredu nau~ili smo da je povr{ina trougla jednaka polovini proizvoda stranice i odgovaraju}e visine, dakle: P = 1 ⋅a⋅h 2 Na osnovu odnosa izme|u visine i stranice jednakostrani~nog trougla: h= a 3, 2 dobijamo da je povr{ina jednakostrani~nog trougla jednaka: P = 1 ⋅ a ⋅ a 3 , odnosno: 2 2 2 P=a 3 4 7
Dužina stranice jednakostrani~nog trougla jednaka je 18 cm. Primenom Pitagorine teoreme izra~unaj visinu i povr{inu.
8
Izra~unaj povr{inu jednakostrani~nog trougla ako je: a) a = 12 cm
9
Izra~unaj visinu i povr{inu jednakostrani~nog trougla ako je: a) a = 20 cm
10
24
b) a = 20 3 cm
Izra~unaj povr{inu jednakostrani~nog trougla ako je: a) h = 12 cm
11
b) a = 2 3 cm
b) h = 2 3 cm
Povr{ina jednakokrakog trougla je 420 mm2 i osnovica 70 mm. Izra~unaj obim tog trougla.
a
h a
a
12
Povr{ina jednakostrani~nog trougla je 20 3 cm2. Koliki je obim tog trougla?
13
a) Dužina katete jednakokrako-pravouglog trougla je 36 cm. Izra~unaj obim trougla. b) Dužina hipotenuza jednakokrako-pravouglog trougla je 12 2 cm. Izra~unaj obim trougla.
14
Dužina hipotenuze pravouglog trougla je 12 cm i jedan o{tar ugao 30°. Izra~unaj katete tog trougla. c
60°
Dopuni dati trougao trouglom, kao {to je prikazano na slici. Dobijen je jedan jednakostrani~ni trougao stranice c. Zakqu~ujemo da je kateta a, koja se nalazi naspram ugla od 30°, jednaka polovini hipotenuze, a kateta b jednaka je visini jednakostrani~nog trougla stranice c.
a
30° b
15
Dužina katete pravouglog trougla je 18 cm i ugao naspram we 30°. Izra~unaj obim i povr{inu trougla.
16
Dužina kraka jednakokrakog trougla je 20 cm i ugao na osnovici je 30°. Izra~unaj obim i povr{inu trougla.
17
Izra~unaj povr{inu paralelograma na slici. a) b) 8 cm
8 cm
30° 12 cm
c
60°
30° 30° b c
60°
a a
v) 8 cm
45°
60° 12 cm
12 cm
Из историје математике Veza 32 + 42 = 52, koja postoji izme|u stranica trougla ~ije su du`ine 3, 4 i 5 istih mernih jedinica, bila je poznata jo{ kod Vavilonaca, 2 000 godina p. n. e. U indijskim spisima iz V i IV veka pre naše ere govori se o na~inu dobijawa pravog ugla pomo}u u`eta sa ~vorovima. Ti ~vorovi vezivani su na jednakim rastojawima. Od u`eta se pravi trougao tako da je broj ~vorova na stranicama trougla 3, 4, 5 ili 12, 16, 20 itd. Kori{}ewe konopca za odre|ivawe pravog ugla imalo je prakti~nu primenu u parcelisawu zemqi{ta.
25
Примена Питагорине теореме на правоугаоник, квадрат, троугао, круг 1
Koje tri du`i mogu biti stranice jednakokrako-pravouglog trougla? a) 2 2 m, 2 2 m, 8 m b) 4 m, 4 m, 4 2 m v) 3 m, 3 m, 3 3 m g) 3 m, 3 m, 3 m Dijagonala pravougaonika je pre~nik wegovog opisanog kruga.
2
U krug polupre~nika 6 cm upisan je pravougaonik stranice 6 cm. Izra~unaj povr{inu pravougaonika.
3
Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je polupre~nik opisanog kruga 2 2 cm.
4
Stranica kvadrata na crte`u je 12 cm. Izra~unaj obim i povr{inu osen~ene figure. a) b) v) x
x
x
O
y
x
O
2y
x
x
5
Trougao ABC je pravougli trougao. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj du`ine du`i h, p i q.
(
B p c
9 cm h C
6
26
Prvi korak Izra~unaj hipotenuzu c trougla ABC.
q 12 cm
A
)
Drugi korak Izra~unaj povr{inu trougla ABC P = a ⋅ b . 2 Tre}i korak Izra~unaj visinu h na osnovu formule za povr{inu: P = c ⋅ h . 2 ^etvrti korak Izra~unaj du`i p i q primewuju}i Pitagorinu teoremu na trouglove BCD I CAD.
Ugao izme|u dijagonale pravougaonika i jedne stranice je 30°. Ako je du`ina dijagonale 6 cm, izra~unaj obim i povr{inu pravougaonika.
7
Dijagonale pravougaonika du`ine 16 cm seku se pod uglom od 60°. Izra~unaj dužinu stranica pravougaonika.
8
Izra~unaj rastojawe od centra kruga do tetive ako je du`ina tetive 24 cm i pre~nik kruga 40 cm.
Dijagonale pravougaonika se polove.
Rastojawe od ta~ke M do du`i AB jeste du`ina du`i MD. O r
9
10
M
r
t 2
A
t
Kroz ta~ku A van kru`nice polupre~nika 12 cm povu~ena je tangenta na kru`nicu. Izra~unaj rastojawe od ta~ke A do najbli`e ta~ke kru`nice ako je du`ina tangentne du`i 16 cm.
D
Tangenta kru`nice je normalna na dodirni polupre~nik.
B
A O
Du` AM je tangentna du`.
r
M t
Polupre~nik kruga je 4 cm. Izra~unaj tetivu t koja odgovara centralnom uglu od: b) 60°
a) 90°
v) 120°
r O 90° r
r
t O
t
60°
r
r
t 120° r O
Примена Питагорине теореме на ромб и трапез 1
Izra~unaj obim svakog ~etvorougla datog u kvadratnoj mre`i. 1 1
G B
V
A D
27
2
Date su dijagonale romba. Izra~unaj obim. a) d1 = 6 cm, d2 = 12 cm
3
b) d1 = 2 2 cm, d2 = 6 2 cm
Konstrui{i romb čija je dijagonala dužine 8 cm, a stranica 5 cm, pa izra~unaj povr{inu.
D
Prvo konstrui{i trougao ABO, a zatim romb ABCD.
C O
A
4
Izra~unaj visinu romba ako je a = 25 cm i d1 = 14 cm.
Prvi korak Izra~unaj drugu dijagonalu. Drugi korak Izra~unaj povr{inu kao u prethodnom zadatku.
h
Tre}i korak Na osnovu formule P = a ⋅ h izra~unaj h.
a
5
Izra~unaj povr{inu romba ako je: a) O = 8 dm, d1 = 3,2 dm
6
b) O = 36 cm, d1 = 6 5 cm
Izra~unaj stranicu i visinu romba ako je: a) P =1 944 cm2, d1 = 72 cm
7
B
b) P = 0,24 dm2, d1 = 0,8 dm
Od dva jednakokraka trougla kraka 13 cm i osnovice 10 cm sastavqen je romb kao na slici. Izra~unaj wegove dijagonale. b
b a
b
8
b
Visina romba je 6 cm i o{tar ugao 45°. Izra~unaj povr{inu romba. a 45°
45° h
a
h
Osen~eni trougao je jednakokrako-pravougli. Primeni Pitagorinu teoremu na taj trougao i izra~unaj a. a2 = h2 + h2 a2 = 62 + 62 Zatim primeni formulu: P=a⋅h
28
9
Visina romba je 4 cm. Izra~unaj povr{inu tog romba ako je wegov ugao: b) 30°
a) 60°
a
a
4 cm
60°
30°
a
4 cm a
Konstrui{i taj romb. 10
Visina paralelograma je h = 3 cm i odgovaraju}a stranica a = 10 cm. Izra~unaj obim paralelograma ako je wegov ugao: b) 45°
a) 60° 11
Slika ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak.
v) 30°
Prema podacima sa slike izra~unaj dijagonale trapeza ako je dati trapez: a) pravougli
b) jednakokraki.
8 cm
2 cm
6 8 cm
d2 9 cm
d1
U delu zadatka pod b) prvo izra~unaj visinu.
d 14 cm
12 cm
12
Osnovice jednakokrakog trapeza su a = 40 cm, b = 10 cm i krak c = 25 cm. Izra~unaj visinu i povr{inu trapeza.
13
Izra~unaj obim jednakokrakog trapeza ako su osnovice a = 20 cm, b = 6 cm i visina h =24 cm.
14
Izra~unaj dijagonale jednakokrakog trapeza ako je a = 40 cm, b = 16 cm i c = 20 cm.
15
Od pravougaonika je izrezan pravougli trapez kao {to je prikazano na crte`u. Izra~unaj povr{inu trapeza. Koji je deo pravougaonika osen~eni trapez? Izra~unaj obim tog trapeza. 4 cm 4 cm 12 cm
29
16
Izra~unaj povr{inu trapeza na slici. a)
c1
b)
4 cm
c
c2
5 cm
30 cm b
10 cm
20 cm
17
Dijagonale jednakokrakog trapeza du`ine 20 cm grade prav ugao. Izra~unaj povr{inu trapeza.
18
Obim jednakokrakog trapeza je 180 cm, dužina kraka 25 cm i jedne osnovice 45 cm. Izra~unaj povr{inu trapeza.
19
Milena je krenula u {kolu tkawa. Treba da napravi {al du`ine 1,6 m, s motivom romba ~ije su dimenzije prikazane na slici. Koliko takvih rombova treba da se nađe na wenom {alu?
20
2b
10 cm 12 cm
Dijagonala jednakokrakog trapeza gradi s krakom prav ugao. Izra~unaj obim i povr{inu trapeza ako je dužina ve}e osnovice 50 mm i kraka 30 mm.
Примена Питагорине теореме у конструктивним задацима 1
2
Povr{ine dva kvadrata su 225 mm2 i 144 mm2. Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina jednaka zbiru povr{ina dva data kvadrata.
Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina jednaka zbiru povr{ina dva data kvadrata.
a
2
a
30
225 mm²
b2 b
144 mm²
a2 = 225 mm2 + 144 mm2 a2 = (15 mm)2 + (12 mm)2
Konstrui{i pravougli trougao ~ije su katete a i b. Hipotenuza tog trougla jeste stranica tra`enog kvadrata.
3
Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina jednaka zbiru povr{ina tri data kvadrata. a2 a
4
5
b2
c2
b
c
Drugi korak Konstrui{i pravougli trougao kateta x i c. Hipotenuzu ozna~i sa y. Kvadrat stranice y je tra`eni kvadrat.
Povr{ine dva kvadrata su 225 cm2 i 144 cm2. Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina jednaka razlici povr{ina dva data kvadrata.
Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina jednaka razlici povr{ina dva data kvadrata.
225 cm²
a2 a
6
Prvi korak Konstrui{i pravougli trougao ~ije su katete a i b. Hipotenuzu tog trougla obele`i slovom x.
a2 = 225 cm2 – 144 cm2 144 cm²
a2 = (15 cm) – (12 cm) 2
b2 b
Dat je kvadrat stranice a. Koliko je puta povr{ina kvadrata ve}a od povr{ine datog kvadrata ako mu je stranica: a) dva puta ve}a b) tri puta ve}a v) 1,5 puta ve}a?
Pre nego {to odgovori{ na pitawa, nacrtaj sliku.
7
Konstrui{i kvadrat ~ija je stranica jednaka dijagonali datog kvadrata. Koliko je puta wegova povr{ina ve}a od povr{ine datog kvadrata?
8
Konstrui{i kvadrat ~ija je stranica jednaka polovini dijagonale datog kvadrata. Koliko je puta wegova povr{ina mawa od povr{ine datog kvadrata?
9
Konstrui{i kvadrat ~ija je povr{ina tri puta ve}a od povr{ine datog kvadrata.
10
2
Prvo konstrui{i pravougli trougao ~ija je jedna kateta jednaka stranici a datog kvadrata, a druga kateta jednaka dijagonali d datog kvadrata. Hipotenuza tog trougla jeste stranica tra`enog kvadrata.
Konstrui{i du` ~ija je du`ina: a) 29 cm
b) 37 cm
31
11
Konstruiši duž čija je dužina: a) 14 cm
12
Konstruiši duž čija je dužina: a) 15 cm
13
b) 30 cm
24 cm
b)
Konstrui{i ta~ke na brojevnoj pravoj: a) A(− 2), C(− 8),
b) B(− 5), D(− 10).
Пробај и ово 14
Konstrui{i du` ~ija je du`ina: a)
15
3 cm 2
2 cm 2
Na brojevnoj pravoj odredi tačku čija je koordinata: a) − 5 2
16
b)
b) 3 2
4
Odredi na brojevnoj pravoj ta~ke: A(2 2), B(1 – 2), C(1 + 2)
17
Konstrui{i kvadrat povr{ine 20 cm2.
18
Date su du`i a, b i c. Konstrui{i du` x tako da je: a) x = a2 + b2 + c2
20 = 22 + 42
b) x = a2 − b2 − c2
Питагорина теорема – примена 1
C
a) Izra~unaj visinu CD trougla ABC. b) Izra~unaj obim i povr{inu trougla ABC. 45 cm
v) Da li je trougao ABC pravougli trougao?
A
32
27 cm
39 cm
D
B
2
Koji su trouglovi na slici pravougli trouglovi? S
C
I
A B
D
H
P Q F
G
E
3
Dužina dijagonale kvadrata je 4 2 cm. Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata.
4
Oko pravougaonika stranica dužine 48 cm i 14 cm opisana je kru`nica. Koliki je polupre~nik te kru`nice?
5
Koliko je teme D pravougaonika ABCD udaqeno od dijagonale AC?
D
C
Za izra~unavawe du`ine DE koristi formule za povr{inu trougla ADC.
6 cm E A
8 cm
B
6
Od kruga polupre~nika 6 cm izre`i najve}i mogu}i kvadrat. Kolika je wegova povr{ina?
7
Izra~unaj du`inu izlomqene linije m na slici. a) b) 1 cm 1 cm 1 cm m
m
8
1 cm
Izra~unaj obim i povr{inu osen~ene figure ako je jedini~na du` kvadratne mre`e 1 cm. a)
b)
v)
33
9
10
Izra~unaj obim i povr{inu osen~ene figure ako je jedini~na du` kvadratne mre`e 1 cm. a) b) v)
g)
Izračunaj dužinu izlomqene linije ABCD. Rezultat zaokrugli na dve decimale. 0,5 cm 0,5 cm
A
D
B C
11
U kvadrat stranice a = 4 cm upisan je krug i u wega je upisan kvadrat. Kolika je stranica tog kvadrata?
12
Vrh stabla bora vidi se iz mesta A pod uglom od 60°. Koliko je visoko stablo ako je podno`je stabla udaqeno 12 m od A.
A 13
60°
12 m
a) Izra~unaj obim i povr{inu svakog trougla na slici. b) Napi{i razmeru hipotenuza trouglova BCP i CAP i razmeru wihovih kateta koje se nalaze naspram jednakih uglova. v) Napi{i razmeru povr{ina trouglova BCP i CAP. B
Ako je a = 3 cm, b = 6 cm, onda razmera du`i a i b iznosi 1 : 2.
P 30° C
34
60°
12 cm
A
14
Izra~unaj obim i povr{inu osen~enih figura ako je jedini~na du` kvadratne mre`e 1 cm. a)
b)
15
Od dva jednakostrani~na trougla stranice a sastavqen je romb. Izrazi dužine dijagonala romba u zavisnosti od a.
16
Od dva jednakokraka trougla jednakih osnovica sastavqen je deltoid. Izra~unaj obim i povr{inu deltoida ako su dužine osnovice i visine jednog trougla 48 cm i 18 cm, a dužina kraka drugog trougla 40 cm.
17
Izra~unaj u centimetrima koliko je najmawe letvica potrebno da se napravi zmaj oblika deltoida, kao na slici. 36 cm
Pri izračunavawu kvadratnih korena koristi digitron.
15 cm
77 cm
18
Obim deltoida je 11,4 cm, dužina jedne stranice 3,7 cm i dužina dijagonale koja ne pripada osi simetrije je 2,4 cm. Izra~unaj povr{inu deltoida.
19
Povr{ina deltoida je P = 480 cm2, dijagonala d1 = 40 cm. Ako jedna dijagonala gradi sa stranicama jednakokrako-pravougli trougao, izra~unaj obim deltoida. Koristi digitron i izra~unaj obim pribli`no na dve decimale. Koliko ima re{ewa?
20
Izra~unaj povr{inu trapeza na slici. a)
D
4 cm
cm A
b)
C
45° 5
cm
2 B
D cm A
v)
C
4 cm 6 cm
D 4 cm
cm
2 B
A
3 cm
C 2 cm B
35
21
Ugao jednakokrakog trapeza je 60°, sredwa linija m = 5 cm i visina h = 3 cm. Izra~unaj obim trapeza.
Sredwa linija trapeza m= a+b 2
5 cm
60°
22
Povr{ina romba je 336 cm2 i dužina dijagonale 14 cm. Izra~unaj obim i visinu.
23
Od jednakostrani~nog trougla stranice a = 40 cm izrezan je jednakokraki trougao kraka 29 cm i osnovice 40 cm, kao na slici. Izrazi u procentima koji je deo jednakostrani~nog trougla otpao. Koristi digitron.
40 cm 29 cm 40 cm
24
Od jednakostrani~nog trougla stranice a = 12 cm izrezan je romb, kao na slici. Izra~unaj dijagonale romba.
a
a a
25
Dva automobila kre}u istovremeno iz istog mesta. Automobil A ide na sever, a automobil B na zapad. Automobil A ide brzinom od 65 kilometara na sat, a automobil B brzinom od 72 kilometara na sat. Na crte`u je prikazano wihovo međusobno rastojawe posle jednog sata vo`we.
Mo`e{ da koristi{ digitron.
a) Koliko }e kilometara automobili biti udaqeni jedan od drugog posle 2 sata vo`we, a koliko posle 2,5 sata?
65 km
b) Ako su posle izvesnog vremena bili udaqeni 388 km jedan od drugog, koliko su sati vozili i koliko je kilometara pre{ao svaki? 26
72 km
Figure tangrama slo`ene su u kvadrat stranice 10 cm. Izra~unaj obim i povr{inu svake figure.
10 cm A
10 cm
Б В
A Б Г
36
Д
Пробај и ово 27
Dopuni crte` tako da dobije{: a) mre`u kocke
b) mre`u kvadra. mre`a kocke
28
mre`a kvadra
Na slici je mre`a kocke. a) Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A i B.
b) Sastavqawem kocke du` AB prelomqena je na četiri du`i. Nacrtaj te du`i na modelu kocke.
4 cm
B
A
B A
Kocka je geometrijsko telo (objekat) ograni~eno podudarnim kvadratima. Zajedni~ke stranice kvadrata nazivamo ivice kocke (du`i: AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, HE), a zajedni~ka temena kvadrata nazivamo temena kocke (A, B, C, D, E, F, G i H). Kvadrati koji ograni~avaju kocku nazivaju se strane kocke. Ivicu kocke često ozna~avamo malim latini~nim slovom a. H
G
E
F D
A
29
a C
a
a
B
Povr{ina kocke jednaka je zbiru povr{ina svih kvadrata koji je ograni~avaju.
Dijagonala strane kocke je d = 6 cm. Izra~unaj povr{inu kocke. a
d a
d a
P = 6a2
37
30
U u~ionici proveri da li su uglovi ozna~en na slici pravi uglovi. Koristi pravougli trougao.
βα
Du` koja spaja temena kocke koja ne pripadaju jednoj strani kocke jeste dijagonala kocke i obele`avamo je sa D. Dijagonala D je hipotenuza pravouglog trougla ~ije su katete dijagonala d strane kocke i ivica a kocke.
D a
D2 = a2 + d2
a
31
Izra~unaj dijagonalu D kocke ako je a = 6 cm.
32
Izra~unaj povr{inu kvadra na slici.
a
Prvo izra~unaj dijagonalu kvadrata d2 = 62 + 62, d2 = 72, a zatim primeni Pitagorinu teoremu da izra~una{ D.
Povr{ina kvadra jednaka je zbiru povr{ina svih pravougaonika koji ga ograni~avaju.
2 cm 4 cm
8 cm
d
P = 2ab + 2ac+ 2bc
Kvadar je geometrijsko telo (objekat) ograni~eno pravougaonicima. Zajedni~ke stranice pravougaonika nazivamo ivice kvadra. Pravougaonici koji ograni~avaju kvadar jesu strane kvadra. a
d12 = b2 + c2
b
a b
c
c c
d1
b
a
b
D2 = d2 + c2
a
дијагонала квадра
D
c a
38
дијагонале страна квадра
a d2
ивице квадра
c
d3
d
b
33
Izra~unaj dužinu dijagonale kvadra na slici. Prvo izra~unaj dijagonalu d. d2 = 122 + 102
D
8 cm
d
d2 = 244 10 cm
12 cm
34
Izra~unaj dužinu dijagonala strana kvadra ako je a = 14 cm, b = 8 cm i c = 2 cm.
35
Izra~unaj ivicu c kvadra na slici. 20 cm c 9 cm
12 cm
36
Izra~unaj dužinu dijagonale kvadra. a
D 2a
37
1,5a
Ako je ivica kocke a = 2 cm, izra~unaj dužinu dijagonale kvadra sastavqenog od: a) 4 kocke
b) 6 kocaka.
Odredi sva re{ewa. 38
Na slici je geometrijsko telo sastavqeno od 6 kocaka. Ako je du`ina ivice svake kocke 2 cm, izra~unaj rastojawa izme|u ta~aka A i C i A i B. A
B C
39
Koliko kocaka ~ini telo na slici? Ako je telo sastavqeno od jedini~nih kocaka (ivica kocke je 1), izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka: a) C i B
A
b) A i D.
D B
C
39
Цели и рационални алгебарски изрази (први део) Степен чији је изложилац природни број 1
Zapi{i u obliku stepena.
2
Izra~unaj vrednost stepena. 3 1 b) −3 3 v) a) 104 5
()
( )
3
( ) ( ) ( ) ( )
v) 1 1 ⋅ 3 2 2
b) −3 · −3 · −3 · −3
a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
(
)
g) −0,2
g) x · x · x · x · x · x · x
08 = 0 4
8
d) 0
Koje su jednakosti tačne? a) 104 = 1 000 b) 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 v) 106 = 1 000 000 g) 109 = 10 000 000 000
4
Broj 64 napisan u obliku stepena je: a) 25
b) 26
b) 27
Koji je odgovor tačan? 5
Koji broj treba upisati u prazno poqe tako da dobije{ ta~ne jednakosti. a) 34 =
6
b) 6 = 216
Izra~unaj.
(
a) −4 · 54 7
( )
DA
=1
( )
6
4
NE
(-5)
v) −25 · −2
()
5
=- 5
DA
NE
Koja je jednakost tačna? 5
a) 3,56 · 10 = 35 600 b) 3,56 · 105 = 356 000 v) 3,56 · 105 = 3 560 000 40
17
g)
5
= 32
3
U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. 24 = -2
8
)
b) 2 · −10
v)
5
(-1) DA
4
= -12 NE
( )
2
- -3 = -32 DA
NE
3,1 · 104 = 3,1 · 10 000 = 31 000 Kako je 104 = 10 000, prilikom ovog mno`ewa decimalni zarez pomeramo za četiri mesta udesno.
U nauci se veoma ~esto susre}emo s velikim brojevima. Da bi se izbegle gre{ke prilikom zapisivawa i ~itawa takvih brojeva, kao i prilikom ra~unawa korisno ih je zapisati u kra}em obliku, to jest u obliku stepena. Na primer: Zapremina Zemqe pribli`no iznosi 1 080 000 000 000 km3. Zapisano u kra}em obliku: 1 080 000 000 000 km3 = 1,08 · 1012 km3 Kada veliki broj zapisujemo u kra}em obliku, pravilo je da ga pi{emo u obliku proizvoda kod kojeg je jedan ~inilac broj izme|u 1 i 10, a drugi broj 10 na neki stepen. Na primer:
}
1 080 000 000 000 = 1,08 · 1012 km3
9
broj izme|u 1 i 10
Pribli`an broj stanovnika u Evropi jeste 710 000 000. Kra}i zapis tog broja je: a) 7,1 · 107 b) 7,1 · 108 v) 7,1 · 109 Koji je odgovor tačan?
10
Superkompjuter mo`e da uradi 135 300 000 000 000 operacija u sekundi. Zaokru`i slovo ispred tog broja ta~no zapisanog u kra}em obliku. 12
13
a) 1,353 · 10
b) 1,353 · 10
v) 1,353 · 10
Zemqa je od Sunca udaqena 150 miliona kilometara. Napi{i tu udaqenost u kra}em obliku.
12
Izra~unaj vrednost izraza.
( )
13
4
b) −2 − 32
( )
Decimalni zarez pomeramo za šest mesta ulevo.
14
11
a) 53 − 10
3 490 000 = 3,49 · 106
()
1 1 v) 4 − 4
3
( )
g) 44 − −4
Prioritet ima stepenovawe.
3
7
Vrednost izraza −1 − 3 je: a) −10
b) −4
v) −2
g) 4
Koji je odgovor tačan? 14
Izra~unaj vrednost izraza.
( )
a) 12 − 4 · −1 15
3
( )
b) 2 · 32 − 3 · −2
Izra~unaj vrednost izraza. a)
( ) 2+8 5 5
4
(
)
b) 36 · 3,7 + 6,3
3
Redosled operacija: 1. stepenovawe 2. mno`ewe i deqewe 3. sabirawe i oduzimawe
3
(
v) 33 − 9 ⋅ 5 − 0, 25 4
)
5
41
16
[ta je ve}e, 23 ili 32?
17
Uporedi:
( ) ( ) 4
b) −2 i −2
a) 25 i 52
( )
g) −1 18
101
Prvo izra~unaj vrednost stepena 23 i 32.
( )
i −1
(
3
( −2) i
( )
2 d) − 5
102
2
4
( )
3
a) −2 − −3 b) 80 + 64 : −2 19
Izra~unaj.
(
5
2
( ) i 43 3
3 |) 4
5
Izra~unaj.
( ) ( )
)
v) −10 i −105
3
3
)
150 − 10 · 42 − 2 · −1,5
2
Множење и дељење степена истих основа. Степенoвање степена 1
Kako je 56 = 15 625, koliko je:
( )
a) −5 2
6
(−10)
5
Zapi{i u obliku stepena.
d) a11 · a15
(−1)
b) 124
a) 36 · 39 b) 17 · 175
4
6
v) − −5 ?
U prazno poqe upi{i znak >, < ili = tako da dobije{ ta~nu nejednakost ili jednakost. a) 105
3
( )
b) −56
( 21) ( 21) 4
24
v)
3
( ) ( ) ( )
() ()()
v) 3 4
2
⋅ 3 ⋅ 3 4 4
7
7 g) − 2
( ) ( ) ( )
Izra~unaj vrednost izraza. 1 48 b) 8 v) −1 a) 520 : 517 4 4
3
−5 4
5
: −5 4
4
a1 = a a0 = 1
42
(( ) )
()
5
42 = 42− 2 = 40 42
( ):( ) ( )
Napi{i u obliku stepena. 7 3 5 2 5 a) 13 b) 7
3
⋅ −3 1 ⋅ − 7 2 2
e) −b 7 · −b 2 · −b
|) c7 · c · c9
Za svaki realni broj a va`i:
5
4
v)
(( x ) ) 4
9
g)
() x 3
4
5
42 = 16 = 1 42 16 40 =1
6
Uprosti, pa izra~unaj vrednost stepena. 2 7 35 ⋅ 3 : ( −3) 7 3 2 b) 5 v) a) 2 : 2 · 2 7 39 : 35
(
7
(
)
v) −3y3 · 5y6
( ) (6 )
67 ⋅ 62
(
3
Izra~unaj nepoznati izlo`ilac.
() () () 9 7
7
: 9 7
2
:
3 3
3
⋅9 7
3
9
4
v)
( ) ⋅ (3 )
2
34 ⋅ 3 ⋅ 33
( −1)4 ⋅ ( −1)2 ⋅ ( −1)3 ⋅ −1 6 g) ( ) ( −1)5 ⋅ ( −1)
2 2
33
Uprosti izraze za a ≠ 0, y ≠ 0, b ≠ 0.
(a ) a) (a )
10 3
(
12 4 7 b) y : y ⋅ y
5 5
Uprosti izraze.
v)
b) 0
(( −b)
8
⋅ ( −b )
12
8
: ( −p )
4
) : (( −b)
9
) ⋅ ( −p )
4
4 3
⋅ ( −b )
7
)
2
( −p )11 : ( ( −p )5 ⋅ ( −p )3 )
( ) : (4 )
Vrednost izraza −43 a) −1
)
( ( −p ) b)
−x ⋅ x 4 ⋅ x 3 , x ≠ 0 ( ) a) x5 14
6
1 1 2 2
b) 0, 5 :
6 8 0, 2) ⋅ ( 0, 2) ( b) (0,2) ⋅ (0,2)10
7
8 2
13
9 7
x
11
Izra~unaj vrednost izraza.
(7 ) ⋅ 7 a) (7 ) 12
( ) : (−2) = (−2)
v) −2
Izra~unaj vrednost izraza. a)
11
( ) ( )
4 4
b) 27 ⋅ 2
3 4
Prvo stepenuj stepen: 3 67 ⋅ 62 67 ⋅ 66 = 4 612 63
( ) ) : (2 ) 2 5
a) 32 · 3x = 37 b) 8x : 83 = 85 10
Koristi svojstvo komutativnosti. 4a4 · 12a7 = 4 · 12 · a4 · a7
g) z3 · 9z2 · 4z
Izra~unaj. a)
9
( −2,5)5 ⋅ ( −2,5)3 g) ( −2,5)9 : ( −2,5)2
Pomno`i. a) 4a4 · 12a7 b) 7b3 · 2b11
8
)
, ( p ≠ 0)
je:
v) 1
Koji je odgovor tačan? 15
Izra~unaj.
(
)
a) 23 + 22 · 22
( )
b) −32
2
(
)
2 2
− 52 + ( −2)
43
16
Uprosti izraz kao {to je zapo~eto. b) 22n − 1 · 23n + 2
a) 5n + 5 · 52n − 3 = 5n + 5 + 2n − 3 = 53n + 2 17
Uprosti izraz. 3n + 4 ⋅ 32n − 2 a) 3 35n
n+4 5n − 3 b) 4 ⋅64n 4
Степен производа и количника 1
Stepenuj proizvod.
(
)
a) a · b 2
(
3
)
b) 2 · x
( )
6
v) 3xy
Koja je jednakost tačna?
(
a) 4a2b3
)
3
(
b) 4a2b3
= 4a6b9
)
3
( )
4
g) −2a
Zapi{i u obliku stepena proizvoda. 5 2 ⋅ x5 b) 23 · a3 · b3 v) a) x4 · y4 3
4
Izra~unaj.
()
( ) ( ) () 1 1 Vrednost izraza ( − ) ⋅ 10 ⋅ ( − ) je: 2 5 3
a) 0,43 · 53
3 v) 2 4
2 ⋅ 33 3
b)
5
5
(
v) 4a2b3
= 12a6b9
3
a) −5
b) −1
6
⋅ 4 11
5
5
v) 0
6
g) 1
d) 5
Koja je jednakost tačna? 6
Izra~unaj.
(
)
a) −0,1 3 · 1003 b) 82 · 0,1252 7
Stepenuj koli~nik.
()
a) 1 2 8
5
()
b) a 4
3
( )
Izra~unaj. 52 a) 2 15
44
2
Koja je jednakost tačna?
( )
3 2a3 a) 2a = 3 b b
9
( )
v) 1 2 7
b)
b) 2a b
( −48)3 3
8
3
=
( )
3
8a3 b3
6a3 v) 2a = 3 b b
( ) ( 4
)
v) 0,1 : −0,25
3xy = 3 · x · y
5
4
)
3
= 64a6b9
4a2b3 = 4 · a2 · b3
10
11
Uprosti. a) −0,1 ⋅ x 2
(
)
3
2
(
b) 327 : 87 = 41
3
a) 2 : 4
14
3
)
4
v) 424 : −21 = 24
(
)
g) 155 : 55 · 25 = 65
Izra~unaj vrednost izraza. 6
13
)
Koja je jednakost tačna? a) 25 · 35 = 610
12
(
b) − 1 ⋅ s3 ⋅ 24 2
⋅ 10 000
2
3
4 = 22
6
b) 2 · 8 v) 27 : 3
( )
42 = 22
Izra~unaj. 25 ⋅ 82 a) 43
b)
94 ⋅ 33 273
2
= 24
1252 ⋅ 54 255
v)
Uporedi vrednost izraza: a) 99 i 276 b) 86 i 48
a) 644 i 167
Операције са степенима 1
Koji broj treba upisati u prazno poqe da bi se dobila tačna jednakost?
( )
a) −2 5 = 2
b) 7
Izra~unaj vrednost izraza.
( )
a) 18 − −9 3
2
23
v)
= −1
()
v) 2 − 5 2
b) 53 + 43
2
(
g)
) ( 4
b) 515
v) 58
Uporedi stepene:
g) 252
)
3
d) 52 33 = 27 34 = 81 33 < 34
2
a) 25 i 28
b)
v) 0,32 i 0,34
g) 0,1 i 0,1
( ) ( ) 3
5
(0,3) = 0,027 (0,3) = 0,0081 (0,3) > (0,3) 3
Ako je a realan broj, a > 1, onda je an > am za n > m. Ako je a realan broj, a < 1, onda je an < am za n > m.
4 3
4
Napi{i u obliku stepena. a) 45 · 4 · 47
6
= 256
g) −0,1 − −0,1
( 51) i ( 51) 3
5
4
Koliko je 55 · 53? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 258
4
= 343
b) 912 · 96 · 93 v) 2,76 · 2,73
Uprosti. a) a5 · a · a4
b) x2y6 · xy
v) a3b · ab4
g) 3 · x6 · x3 · x
d) m4 · 5m · 3m3 45
7
Uporedi date brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost ili jednakost: 3 v) 1 i 1 ⋅ 1 a) 56 i 54 · 53 b) 72 · 72 i 49 16 2 2
8
Popuni prazna poqa tako da dobije{ ta~nu jednakost.
()
a) 9
7[ ] = 712 75
x6 4 b) [ ] = x x
Izra~unaj vrednost izraza.
( )
a) −715 : −7 10
b)
5
b)
3
6 7
2 2
⋅ 32 :
38 : 36
()
4
v)
31 2
) (( −3) )
(3
( )
1 ⋅ 35 9
()
2
( )
3
v) 33
= 36
g) 46 = 163
Izra~unaj x ako je: x
3
8
( )
273 = 33
6x
b) 16 = 4 v) 8 = 4 4
Uprosti.
(
( ) )⋅ y 3
( ) : (x
2
b) x 6
5
Koja je jednakost ta~na? a)
46
2
10
()
Koje su jednakosti ta~ne? 5 b) 1 ⋅ 25 = 1 a) 366 : 66 = 61 2
a) y 12 : y 2
17
v)
( )
b) 255 : 1252
a) 3 = 27
16
2 22
7 2
v)
g) a 8
5
5
8
4
: −2 1 2
( )
Izra~unaj.
x
15
5
v) y 2
Izra~unaj vrednost izraza.
a) 24 : 42
14
−5 2
2
( )
( )
( )
13
5 ⋅ 2
7
b) − 1 7
4
a) 820 : 84 12
() ( ) ( ) 3
12
Uprosti. a) 32
11
36a8 = 4a[ ] 9a4
v)
(( x ) ⋅ ( x ) ) ⋅ x 2 3
3 2
6
= x6
( )
⋅ x10
)
v) a30 :
( ) : (( x )
b) x 2
Stepenuj proizvod ili koli~nik. 3 3 5 x a) 5a b) −2x v) 4
( )
15
()
3
3 2
( )
a g) − 2
( (a ) ⋅ (a ) ) 3 2
)
: x6 = x6
5
d)
v) x 6 :
( ) 2a 3
2 5
2
(( x ) : x ) = x 4 3
6
6
3
18
Izra~unaj. a) ( 0,5) ⋅ ( −2) 4
19
4
b)
((0,1) ) ⋅ (0,1) a) ((0,1) )
2 3 b)
7
8 2
Uprosti.
3
(2ab ) a b a)
3
( ) () 8
g) −1 1 ⋅ 5 5 6
()
5
8
5 5 d) ( −0, 2) ⋅ 1 ⋅ ( −5) 2
2
2
(( −1) ) v)
2 4
( −1)
v) 2x 2
3
5
: 8x 4
⋅ ( −1) ⋅ ( −1) 2
(
3
)
2 3
⋅ ( −1)
⋅ ( −1)
6
Uputstvo za deo zadatka pod a):
(6a)2 ⋅
( ) = 36a ⋅ 271 a 1 a2 3
3
2
6
(2x y ) b)
2 3 4
2 3
2a3b2
Izra~unaj. 32 ⋅ 98 a) 275
56 4
2
Uprosti.
2 2
22
2 ⋅ 2⋅ 2 3 3 2 3 2 2 ⋅ 2 3 3 5
( ) = 36ab) ⋅ 2271⋅ aa : 2 ⋅ a
2 a) (6a ) ⋅ 1 a2 3
21
v) 43 ⋅ 1 2
Izra~unaj. 4 3
20
()
213 ( −7 )3
4x 2 y 5 xy 3
b)
162 ⋅ 28 45
23
Izra~unaj. 4 3 5 b) 21 ⋅22 a) 153 5 14
24
Izra~unaj. 4 3 a) 4 ⋅ 1254 ( −50)
b)
v)
1255 252 ⋅ 58 154 = (5 ⋅ 3) 54 ⋅ 34 = 3 = 5 · 34 53 53 5 4
364 9 ⋅ ( −4 ) 3 4
Пробај и ово
25
Izra~unaj vrednost izraza. 7
( −2)
:
( −2)3 ⋅ ( −2)4 ( −2) ⋅ ( −2)5
3
47
26
Doka`i da je : a) 210 + 210 = 211
210 + 210 = 2 · 210
b) 33 + 33 + 33 = 34
27
Doka`i da je vrednost izraza 22 008 − 22 006 + 22 003 deqiva sa 25.
28
Uporedi 0,064665 i 0,16997.
29
Brzina svetlosti je 3 · 105 kilometara u sekundi. Izra~unaj razdaqinu koju svetlost pre|e za jedan sat.
30
Rastojawe izme|u Sunca i Zemqe je oko 1,5 · 108 kilometara. Svetlost putuje oko 3 · 105 kilometara u sekundi. Izra~unaj koliko je minuta potrebno Sun~evoj svetlosti da stigne do Zemqe.
Рационални алгебарски изрази 1
Izra~unaj vrednost izraza za x = −1.
(
) (
)
(
a) 4x −5 · 4 − 5x 2
)
b) 4x −5 · 4 − 5x
(
)
v) 4x −5 · 4 − 5
1 Izra~unaj vrednost izraza za a = − . 2 2 a) a2 − 4a + 3 b) 2 − a + − a 4
|| ( )
3
Izra~unaj vrednost izraza:
(
) (
)
a) 3x − y · −2x + 3y za x = 5, y = −1 1 b) c2 − 3cd + 4 d2 za c = − , d = 2 3 v) 2 m2 − 4n2 za m = 1 1 , y = 1 9 2 2 4
5
48
Izra~unaj: −5a + 2 za a = 12 a) 2
b)
Izra~unaj: x2 − y2 a) 2 za x = −3, y = 0,5 x + y2
2 − x2 za x = −3 2 + x2
b)
y 2 − 2y + 1 1 za y = 2 y 2 + 2y + 1
6
Izra~unaj: 2 s + t + 18 − s2 za s = 12, t = 3 s−9 t 2 36
7
Izra~unaj: a 1 + b 1 − 2ab a za a = 16, b = 9 a b b
8
( )
a 1 +=ba ·a1 −1 2+abb a1 − 2ab a b a bb
Izra~unaj: 5x 2 − 1 ( x + y ) + 4 ( − y ) za x = 1,5; y = 0,75 2 3
(
)
Моном. Полином 1
Odredi stepen monoma. b) 2a2
a) 3x 2
3
4
v) −4ab
d) −6mt2
g) 0,5x2y
Napi{i monom sli~an datom monomu. 3 a) −2z b) n v) ab g) −2,5x3 4 1 Monom suprotan monomu x 2 y je: 2 1 2 1 2 1 2 b) yx v) − x y a) y x 2 2 2 Koji je odgovor ta~an?
|) 0,1s3t2
5 d) s2t 3 6
1 2 g) − y x 2
Popuni tabelu. monom
stepen monoma
suprotan monom
3sg2 2xy 0,6a -1 5
Odredi monome suprotne datim monomima: a) 3x
6
b) 2a2
v) −4ab
g) 0,5x2y
d) −6mn
Saberi monome: a) 4x2 i 3x2
b) −6b i −0,6b
v) 1,4xy i 2,6xy
|) 0,1s3t2
g) 1 mn i −mn 4 49
7
Uprosti izraz. a) 7x + 2x − 4x
8
(
Uprosti izraz.
b) −4ab − 7 ab − 11 ab
(
)
a) −2,5x2 + 3,1x2 − x2 10
1 3 v) x 3 − x 3 − x 3 5 4
)
Uprosti izraz. a) 15x2 − 3x2 − x2
9
(
)
b) −1,5x + 6,5x − 7x
Uprosti izraze.
(
)
a) 3ab − 14ab − 5ab
(
)
v) 10x2y5 − 11 x2y5 − 2x2y5 + 7x2y5
)
v) c4a − 3c4a − 2c4a − 9c4a
(
b) 1 nt 3 − 2 nt 3 + 5 nt 3 2 3 6
(
(
b) 8y3z5 − 10y3z5 + 2y3z5
11
Izra~unaj x ako je 2x + x = 6.
12
Odredi a ako je 2a − 5 + a = 10.
13
Sredi polinome. a) −4 − 2a + 3a + 5
v) 4x2y − 0,4 x2y − x2y
b) −x2 − 6 + 3x − 2x − x2 + 1
)
) (
)
v) 0,2 − 3l − 0,4l + 1,8 − l2 + 2,5l2
Polinom je sre|en po opadaju}im stepenima ili u opadaju}em poretku kada su u polinomu monomi pore|ani po stepenima, od najve}eg do najmaweg. Polinom je sre|en po rastu}im stepenima ili u rastu}em poretku kada su u polinomu monomi pore|ani po stepenima, od najmaweg do najve}eg. a) Sredi polinom 6x3 - 2 + 3x + 4x - x3 - 2x2 + x2 po opadaju}im stepenima. b) Sredi polinom 6x3 - 2 + 3x + 4x - x3 - 2x2 + x2 po rastu}im stepenima. Решење a) 6x3 - 2 + 3x + 4x - x3 - 2x2 + x2 = 6x3 - x3 - 2 + 3x + 4x - 2x2 + x2 = 5x3 - 2 + 7x - x2 = 5x3 - x2 + 7x - 2 b) 6x3 - 2 + 3x + 4x - x3 - 2x2 + x2 = 6x3 - x3 - 2 + 3x + 4x - 2x2 + x2
monome sabrani su sli~ni monomi, to jest polinom je sre|en monomi u polinomu pore|ani su po stepenima, od najve}eg do najmaweg
grupi{emo sli~ne monome
= 5x - 2 + 7x - x
sabrani su sli~ni
= - 2 + 7x - x2 + 5x3
monomi u polinomu
3
50
grupi{emo sli~ne
2
monomi, to jest polinom je sre|en pore|ani su po stepenima, od najmaweg do najve}eg
14
Sredi polinom u opadaju}em poretku. b) L(x) = 3q3 - 2q + q - 2q2 + 4 + q3 a) P(x) = -x + 2x2 - 3x + 5 - x2 - 3
15
Sredi polinom u rastu}em poretku. a) 6y2 -2y - 5 + 3y2 + y + 5 b) -2 + m3 - 2 + m2 - 2 + 3m3 - m
16
Sredi polinome po rastu}im stepenima. a) 4k − 9k + 3k − 5 − 4
17
b) 11 + 3s2 − 2s − s2 + 3s − 6
v) −8l + 3l3 − l2 + 4l + 3l2 − 7
Re{i jedna~inu. a) 10x + 7x − 3x = 28 b) 2 − 2x + 6x = 10
v) 6x − 5 − x + 2x − 2 = 7
Сабирање и одузимање полинома 1
Koja je jednakost ta~na? b) x + x + x + x = 4x4
a) x + x + x + x = 4x 2
Uprosti izraz. a) y − 10y − 8y − 3y
b) ax3 − 3ax3 − 5ax3 + 2ax3 1 5 g) c2 − 12c2 + c2 − 9c2 2 2
v) −yz − yz − yz + yz 3
4
5
a) Uprosti izraz x4y3 − 2x4y3 + 3x4y3.
1 b) Izra~unaj vrednost izraza dobijenog pod a) za x = −1, y = . 2 Uprosti izraz. 3 5 1 a) − a + a + a − a 4 4 4 Uprosti izraz.
(
)
a) 2x − 3x − 5x 6
b) 5z4 − 2,7z4 + z4 − 0,3z4
(
)
b) −14z2 + 9z2 − 5z2
(
)
v) 14cd − 7cd + 2cd − 4cd
Uprosti izraz. a) 7x − 7 + 3y + 5 − 17x
7
v) x + x + x + x = x4
b) a + 6b − 1 − b + 4a + 7
Za svaki od polinoma: A = 41 − 4x, V = − 3x2 − 13x + 33, S = x3 + x2 − x − 1, odredi suprotan polinom.
51
8
Ako je A = 4x − 3 i B = −7x + 1, izra~unaj: a) A + B
9
b) A − B
Uprosti izraz.
(
)
(
a) 25 − 3x − 5 10
v) −A − B
b) 4t2 + 1 − 7t2
Uprosti izraz.
(
a) 9x3 − 7x2 − 5x3 − x2 11
)
(
)
v) −xy − −5xy − 5
) (
b) 9x3 − 7x2 − 5x3 − x2
)
(
)
v) 9x3 − 7x2 − 5x3 − x2
Uprosti izraz, pa izra~unaj wegovu vrednost.
x
(
) ( ) b) (−2c + 3d) − (2d − 3c) za c = −5,7 i d = −14,3 a) −m − 8m − 1 + 2 − 3m za m = 0,7
12
Od polinoma 7 − 4x + 3x2 − x3 oduzmi polinom 5x − 7x2 − 2x3..
13
Polinomu 5t2 − 8t + 3 dodaj razliku binoma t3 − 2t2 i t2 − 2.
Сређивање полинома. Сабирање и одузимање полинома 1
Izra~unaj obim figure. a) za a = 1,5 cm a a a
2
3
52
a
a
a a a
a
b) za x = 0,6 cm x x x
a
2x
2x x 2x
Uprosti izraz, pa izra~unaj wegovu vrednost. a) x − y + 2x − 3y − 10 za x = 1 , y = −2 3 b) − 2z + z2 − 3 − z2 − −2z2 − 3) za z = 0,5
(
(
) (
)
)
(
Odredi polinome suprotne navedenim polinomima. a) L = 4x4 − 2x2 + 3 b) R = 1 − 5 y − y 2 + 2y 3 v) T = −2z + 6r − 4,4t + 5 2
2x
4
Uprosti.
(
( (
)
b) − − − x3 − 2x 2 +3x
a) − −x3 − 2x2 + 3x
( )
− −a = a
))
Uprosti izraz.
(
(
))
(
))
( (
a) 7x − −4x + 2x − 9x Решење
(
)
)
b) 3m + 5 − 2m2 − m + 3m2 − m2
(
( ))
a) 7x − −4x + 2x − 9x = 7x − −4x + −7x = 7x − −11x = 7x + 11x = 18x
( (
(
)
)
)
izra~unata razlika 2x − 9x = − 7x
( )
izra~unat zbir − 4x + − 7x = − 11x
(
)
b) 3m + 5 − 2m2 − m + 3m2 − m2 = 3m + 5 − 2m2 + m + 3m2 − m2
oslobodili smo se unutra{we zagrade
(
= 3m + 5 + m + m2 − m
(
Uprosti izraz.
((
)
)
6
7
)
Uprosti izraz.
(
(
))
(
Uprosti izraz.
(
(
(
sre|en polinom
))
(
(
)
))
(
b) 3ab − ab − 1,5ab + 2ab − 1,2ab
) (
(
a) x − y − −5y − 3y + 2x 8
oslobodili smo se zagrade
b) 5x − 3x − x + −2x − 9x − 6x
Uprosti izraz. a) − 1 y 2 − y 2 − − 3 y 2 − − 7 y 2 + y 2 4 4 4
(
2
) (
(
a) −11c − −6c + 7c − 2c
)
sre|en polinom u zagradi 5 − 2m2 + m +3 m2 = 5 + m + m2
= 3m + 5 + m + m − m = 6m + 5 2
5
)
− 2m2 − m = −2m2 + m
))
(
b) − a + b − −a + a + b
))
a) −5 − a − 3 + −2a − 3a − 1
(
(
)) (
(
))
b) 14y − 3 + 4y − −9y − 3 − −y − 7
9
Odredi zbir i razliku polinoma A = −5 − 3x + 4x2 i B = 2x2 − x + 1.
10
Dati su polinomi S = −a2b3 + 2a3b2 + 9a2b2 i T = 4a2b3 − 2a3b2 − a2b2. a) Odredi S + T i S − T. b) Od zbira polinoma S i T oduzmi wihovu razliku.
53
(
( (
)
Re{i jedna~inu: a) 7x − −x + 5 = 11
))
b) 3x − 4 − 10 − 5x = −16
Решење a) 7x − −x + 5 = 11 b) 3x − 4 − 10 − 5x = −16 7x + x − 5 = 11 3x − 4 − 10 + 5x) = −16 8x − 5 = 11 3x − −6 + 5x = −16 8x = 11 + 5 3x + 6 − 5x = −16 8x = 16 −2x + 6 = −16 x = 16 : 8 −2x = −16 −6 x=2 −2x = −22 x = −22 : −2 x = 11
(
( (
)
( (
))
)
( )
1
Re{i jedna~inu. a) 2x − 3x + 6x = 30
2
b) 4a + 3 − 11a − 7 = −32
Re{i jedna~inu.
(
)
(
a) 3y − 11y − 6 = −2 3
Re{i jedna~inu.
(
) (
) (
)
b) 2b − 0,5 − 3,5 − 4b = 56
)
a) −7x − 4 − 2x − x − 9 = −31
(
) (
)
b) 25 − 2c + 1 − 14 − 10c = 6
4
Polinomu 3x4 − 5x3 + x2 − 7 dodaj razliku binoma 2 − 4x3 i − 5x2 + 4x4.
5
Od polinoma 2a3 − 5a2 + 2a + 1 oduzmi zbir polinoma 1 − 7a3 + 3a i 5a3 + a2 − 3.
Zbir tri uzastopna prirodna broja je 123. Koji su to brojevi? Решење
(
) (
)
x + x + 1 + x + 2 = 123 3x + 3 = 123 3x = 120 x = 40 Tra`eni brojevi su 40, 41 i 42.
54
6
Odredi ~etiri uzastopna prirodna broja ~iji je zbir 258.
7
Zbir tri uzastopna cela broja je −75. Koji su to brojevi?
Полиноми – систематизација 1
Odredi stepen monoma. 5 a) −x b) a3 v) −45xyz g) 80x2y8 7
2
Odredi monome suprotne datim monomima. 1 a) −8c2 b) d5 v) − a4b4 g) 9,3x2yc 2
3
Saberi monome: a) −5y3 i −3,7y3
2 1 b) t i − t 3 2
d) −2m4nt3
v) −4,2x5y i 7,2x5y
4
Sredi polinome, a zatim ih pore|aj po opadaju}im stepenima. 3 1 1 a) −4x3 − 2x + 7x2 + 5 − x3 + 2x − 4 b) 1, 2 − y − y 2 + 2,5 y 2 + 2 y + 5 2 5
5
Sredi polinome, a zatim ih pore|aj po rastu}im stepenima. a) 4k − 9k2 + 3k − 5 + 4k2
b) 11 +3s2 − 2s − s2 + 3s − 6
6
Odredi polinom suprotan datom. 2 1 a) 0,2 − 2,2b − 0,5b2 + b3 b) − ab + a2 + 3b − 6 3 2
7
Odredi polinom suprotan datom. a) x 2 2 − 3x + 3
v) −7 − 4l + 6l3 − l2 + 4l + 3l2
b) −11,1y4 −22,2y3 − 3,33y2
8
Izra~unaj x ako je 3x − x = 6
9
Odredi a ako je 2a + 5 + a = −10.
10
Ako je stranica jednog kvadrata a, a drugog dva puta ve}a, odredi zbir wihovih obima.
11
Stranice jednog pravougaonika su a i b. Povr{ina tri takva pravougaonika je: a) 3a + 3b
b) a ⋅ b
v) 3a ⋅ b
Koji je odgovor ta~an? 12
Dati su polinomi P = 6x − x2 − 3 i Q = −3x2 − 2x + 7. a) Odredi P + Q. b) Odredi P − Q. v) Od razlike polinoma P i Q oduzmi wihov zbir. 55
13
Uprosti izraz.
(
) (
(
)
3 5 9 5 5 b) − −2 x + 3x − x 4 2
a) − 2t + 3t + −9t − 3t − 7t + t 14
Uprosti izraz.
( (
)
)
(
a) 18 + yz + 8 − 4yz2 −16 − 3yz + 4yz2 15
)) ( (
(
))
b) − 3t − 2t2 + t− 5 − 4 − 4t2 + 2t
Dati su polinomi: A = 2x2 − 4x + 11
B = −x2 − 3x + 4
Odredi: A+B+C 16
)
C = 7x2 + 9x − 4
(
−A + B − C
)
C− A+B
(
)
−B − C − A
Uprosti izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
( ( (
)))) za a = −1,7 b) −(x − y ) + (x + y ) − (y − x ) − (−x − y ) za x = 2, y = −1 (
a) a − a + a − a + a − 5 2
17
56
2
2
2
2
2
2
2
a Data su dva jednakostrani~na trougla ~ije su stranice a i . 2 Odredi zbir wihovih obima i zbir wihovih povr{ina.
Pogledaj formulu za povr{inu jednakostrani~nog trougla na strani 24.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1
Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada. Petougao ABCDE
E
E D
A B
D
A
C
C
B
2
Nacrtaj osmougao ABCDEFGH. Obele`i wegova temena. a) Napi{i temena susedna temenu E. b) Napi{i temena nesusedna temenu G. v) Nacrtaj dijagonale iz temena C. Koliko ih ima?
3
Nacrtaj petougao ABCDE tako da bude: a) konveksan
4
b) nekonveksan.
Nacrtaj {estougao i obele`i wegova temena ako je {estougao: a) konveksan
5
b) nekonveksan.
Nacrtaj sve dijagonale iz temena B mnogougla na slici. Napi{i koliko ih ima i na koliko je trouglova tim dijagonalama podeqen dati mnogougao. [ta je zapo~eto?
a) sedmougao F
b) devetougao
I
E
G
J
F
G
A
F
D A
B
G
A
I C
H
E
H
D
6
v) desetougao
E
B C
B
C
D
Nacrtaj duž AD kao na crtežu. Nacrtaj proizvoqan sedmougao ABCDEFG ako je data du` wegova dijagonala. D A 57
7
Koliko mnogougao ima stranica ako iz jednog temena mo`e{ nacrtati: a) 12 dijagonala
8
b) 25 dijagonala?
Nacrtaj mnogougao i obele`i wegova temena ako su nacrtane jedine dijagonale iz temena D.
D
Koliko mnogougao ima stranica?
9
Nacrtaj sve dijagonale {estougla na slici.
A
F
Koliko ih ima? B
E C
10
Nacrtaj proizvoqan mnogougao i sve wegove dijagonale ako je: a) n = 7 b) n = 8 v) n = 10 Koliko svaki od mnogouglova ima dijagonala?
D
Postupak crtawa dijagonala: prvo nacrtaj sve dijagonale iz jednog temena, zatim sve dijagonale iz slede}eg temena i tako redom.
Broj dijagonala jednog mnogougla je 44. Koji je to mnogougao? Решење Prvi korak Primewujemo formulu za broj dijagonala: n ⋅ ( n − 3) = 44 2 n ⋅ (n − 3) = 88 Drugi korak Rastavqamo broj 88 na ~inioce: 88 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11 = 8 ⋅ 11 Dobili smo da je 88 proizvod dva prirodna broja koja se razlikuju za 3. Dakle, n = 11. Jedanaestougao ima 44 dijagonale. 11
Koliko mnogougao ima stranica ako je ukupan broj wegovih dijagonala: a) 20 b) 90 v) 170 g) 405?
12
Da li postoji mnogougao ~iji je ukupan broj dijagonala jednak: a) 100
58
b) 3 320?
Збир углова многоугла 1
Izra~unaj zbir uglova: a) devetougla
2
b) petnaestougla
v) trinaestougla.
Izra~unaj koliko mnogougao ima stranica ako je dat zbir unutra{wih uglova mnogougla. a) 1 440° b) 1 800° v) 5 400°
3
(
)
Izra~unaj ugao α mnogougla na slici. a)
b)
110°
α
113°
92°
135°
124°
4
a) Re{i jedna~inu: n – 2 ⋅ 180° = 1 440°
120° 142° 143° α
v) 106° 113° 120°
α
45°
60°
Izra~unaj uglove α1, α2 i α3. α3 α2 48°
113°
108° 156°
α1 75°
5
Zbir unutra{wih uglova mnogougla je 2 520°. Koliko stranica ima mnogougao? Koliko dijagonala ima mnogougao?
6
Koliki je zbir unutra{wih uglova mnogougla koji ima 54 dijagonale?
7
Neka je jedan unutrašwi ugao petougla a i neka je svaki slede}i ugao od preostala ~etiri za 20° ve}i od prethodnog. Izra~unaj sve uglove petougla.
8
Izra~unaj spoqa{we uglove {estougla ako je jedan spoqa{wi ugao α, drugi 2α, a svaki slede}i spoqa{wi ugao, od preostala ~etiri, jednak zbiru prethodna dva.
9
Tri spoqa{wa ugla {estougla su prava, a ostala tri su jednaka. Izra~unaj spoqa{we i unutra{we uglove tog {estougla.
10
Izra~unaj spoqa{we uglove petougla ako je jedan spoqa{wi ugao α, a svaki slede}i od preostala ~etiri za 10° ve}i od prethodnog. 59
11
Izra~unaj nepoznate uglove mnogougla na slici. b)
a) 149° 130°
v) α
138° α
β
α
102°
115° 154°
α
α
α
85° β 100°
α
α
164° α
12
U petouglu su tri ugla prava i dva ugla jednaka. Koliki su uglovi petougla?
13
Od dva jednakokraka trapeza jednakih osnovica sastavqen je konveksan {estougao. Ako je po jedan ugao datih trapeza 42°, koliki su uglovi {estougla?
14
Od dva pravougla trapeza jednakih osnovica sastavqen je konveksan petougao. Ako je po jedan ugao datih trapeza 55°, koliki su uglovi petougla?
15
Izra~unaj zbir ozna~enih uglova petokrake zvezde na slici. D5 D1 D2
Uglovi x, y, z, δ, j, su spoqašwi uglovi petougla
D4
x
D3
y
M G z
Својства правилних многоуглова 1
60
Koji su mnogouglovi na slici pravilni? Zaokru`i slova ispod wih.
a)
b)
v)
g)
d)
|)
e)
`)
z)
i)
Koristi {estar da utvrdi{ jednakost uglova i stranica.
2
Izra~unaj unutra{wi ugao pravilnog mnogougla ako je: a) n = 15
3
Izra~unaj broj stranica pravilnog mnogougla ako je unutra{wi ugao: a) 150°
4
v) 165°
b) 45°
Koliko stranica ima pravilni mnogougao ako je spoqa{wi ugao: a) 40°
6
b) 140°
Izra~unaj unutra{wi ugao i centralni ugao pravilnog mnogougla ako je spoqa{wi ugao: a) 15°
5
b) n = 18 v) n = 20
b) 20°
v) 12°?
Dijagonale pravilnog petougla su jednake. Doka`i.
E A
C
B 7
Doka`i da su trouglovi ADE i ACB podudarni.
D
Dat je pravilan petougao ABCDE. Izra~unaj uglove EAD, DAC i ADC.
Prvo izra~unaj unutra{wi ugao petougla. Trougao AED je jednakokraki trougao.
E D
A
B 8
C E
F
Dat je pravilan {estougao ABCDEF. Izra~unaj uglove FAE i AED.
D
A B 9
Koliko dijagonala mo`e da se povu~e iz jednog temena pravilnog sedmougla ABCDEFG na slici? Nacrtaj ih. Koje su dijagonale jednake? Doka`i.
C
A6 A5
A7 A1
Doka`i da su odgovaraju}i trouglovi podudarni. Primeni pravilo SUS.
A4 A2
A3
61
10
Nacrtaj ose simetrije i obele`i polupre~nike opisane i upisane kru`nice pravilnog: b) osmougla.
a) sedmougla
11
Pravilnim mnogouglovima na slici konstrui{i centar.
a
D
α
α
a
C a
A
Решење
(
)
(
(
α
α
a
Dokažimo da su stranice AB i CD paralelne Produ`ujemo krake AD i BC do preseka u ta~ki E. Trougao DCE je jednakokraki trougao, DE = CE, jer je: �CDE = �DCE = 180° − α Zbir uglova u trouglu DCE je 180°. Izrazimo ugao CED: �CED = 2α − 180° Trougao ABE tako|e je jednakokraki trougao jer su stranice AE i BE jednake: AE = AD + DE, BE = BC + CE Stranica AB je osnovica jednakokrakog trougla ABE, {to zna~i da su uglovi na woj jednaki. �EAB = �EBA Izrazimo ugao EAB preko ugla CED: �EAB = 180° − �CED : 2 = 180° − 2α − 180° : 2 �EAB = 180° − α Zakqu~ujemo da je: �EAB =�EDC {to zna~i da su prave AB i DC paralelne, odnosno da je ~etvorougao ABCD jednakokraki trapez.
a
D
^etvorougao ABCDE na slici je jednakokraki trapez. Doka`i.
62
B C a
A
B
E a
D a A
))
A
C a B
E D
a
α
α
α
a
α
C a B
12
Stranice osen~enog ~etvorougla su tri stranice i dijagonala pravilnog mnogougla na slici.
Pogledaj re{en primer na prethodnoj strani.
a) Doka`i da je osen~eni ~etvorougao jednakokraki trapez. b) Izra~unaj wegove uglove.
13
Produ`i stranice A1A2 i A7A8 devetougla A1A2A3A4A5 A6A7 do preseka S.
Izra~unaj uglove trougla A2A7S.
Poka`i da je trougao A2A7S jednakostrani~ni trougao. S A8
A9
A7
A1
A6
A2
A5 A4
A3 14
Na slici je pravilan mnogougao. Izra~unaj uglove: a) ~etvorougla A1A2A3A6 A7
A8
15
A7
A1
A6
A2
A5 A3
A8
A9 A6
A2
A4
v) trougla A1A4A8.
A7
A1
A5
A3
A8
A9
A6
A1 A2
b) petougla A1A4A5A6A7
A5
A4
A3
A4
Na slici je pravilan mnogougao. Doka`i da je: a) trougao A1A3A5 pravilan A6
A5
A1
A8 A4
A2
b) ~etvorougao A2A4A6A8 kvadrat.
A3
A7 A6
A1
A5 A2
A4
Uputstvo za deo zadatka pod b): dokaži jednakost stranica i uglova četvorougla.
A3 63
Izrazi pomo}u stranice a polupre~nik opisane i polupre~nik upisane kru`nice: a) jednakostrani~nog trougla b) kvadrata v) pravilnog {estougla. Решење a)
Решење b)
roro ro
roro ro
ruru ru
aa a
ru = 1 h 3
ro = 2 ⋅ a 3 ru = 1 ⋅ a 3 3 2 3 2 ro = a 3 ru = a 3 3 6
16
Centar kvadrata je presek simetrala stranica i simetrala uglova, odnosno dijagonala kvadrata.
Karakteristi~ni trougao pravilnog {estougla je jednakostrani~ni trougao.
ro = 1 d 2
ru = 1 a 2
ro = a
ro = a 2 2
ru = 1 a 2
b) n = 4
v) n = 6
b) n = 4
v) n = 6
b) n = 4
v) n = 6
Koliko dijagonala ima pravilan {estougao? Nacrtaj ih. Izra~unaj wihove du`ine ako je stranica a = 6 cm.
20
64
ru = a 3 2
Polupre~nik upisanog kruga pravilnog mnogougla je 2 cm. Izra~unaj dužinu stranice ako je: a) n = 3
19
aa a
Polupre~nik opisanog kruga pravilnog mnogougla je 12 cm. Izra~unaj dužinu stranice mnogougla ako je: a) n = 3
18
roro ro ruru ru
Dužina stranice pravilnog mnogougla je 12 cm. Izra~unaj polupre~nik opisanog kruga i polupre~nik upisanog kruga ako je: a) n = 3
17
ruru ru
aa a
Centar jednakostrani~nog trougla je presek simetrala uglova, simetrala stranica, visina i te`i{nih du`i. ro = 2 h 3
Решење v)
Doka`i da je kra}a dijagonala pravilnog {estougla dva puta ve}a od polupre~nika upisanog kruga.
d2
d1 h
h
d1 = 2a a d2 = 2h Sa h je označena visina jednakostrani~nog trougla.
21
E
Neka su M, N, P, Q, R i S sredi{ta stranica pravilnog {estougla ABCDEF na slici. Doka`i da je {estougao MNPQRS pravilan.
S
D
M
R
F
C Q
N A 22
B
P
Na slikama su jednakostrani~ni trougao, kvadrat, pravilan {estougao i wihove opisane kru`nice. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj wihove stranice.
2 cm 1 cm a
2 cm 60° 2 cm a
2 cm 90° 2 cm
30°
a
23
Od ~etiri podudarna deltoida mo`e{ da sastavi{ pravilan osmougao. Koliki su uglovi takvog deltoida?
24
Na slici je pravilan mnogougao. Doka`i da su paralelne stranice: a) A1A2 i A4A5 A6
A5
A1
A4 A2
25
b) A1A2 i A5A6 A7 A8 A6 A1
A5 A2
A3
A3
A4
Ako je mnogougao na slici pravilan, doka`i da je osen~eni ~etvorougao pravougaonik. a)
b)
Пробај и ово 26
Doka`i da najve}a i najmawa dijagonala pravilnog osmougla grade ugao od 45° ili 90° ili su međusobno paralelne. 65
Конструкција правилних многоуглова 1
U kru`nicu k upi{i: a) Centralni ugao jednakostrani~nog trougla je 120°. b) Centralni ugao kvadrata je 90°.
b) kvadrat.
a) jednakostrani~ni trougao
O
O
(
)
2
Nacrtaj kru`nicu k O, r = 2,5 cm . Upi{i u kru`nicu jednakostrani~ni trougao i pravilan {estougao. U kakvom su odnosu wihove stranice?
3
Polupre~nik opisanog kruga pravilnog mnogougla je 3 cm. Konstrui{i mnogougao ako je:
4
a) n = 4 b) n = 8 U kru`nicu polupre~nika 3 cm upi{i pravilan dvanaestougao.
5
U kru`nicu polupre~nika 3 cm upi{i pravilan šestougao.
6
Dužina stranice pravilnog mnogougla je 2,5 cm. Konstrui{i mnogougao ako je:
a) Nacrtaj jednakostrani~ni trougao ABO stranice 2,5 cm i kru`nicu k O, r = 2,5 cm .
a) n = 6
(
b) n = 8
b) Nacrtaj jednakokraki trougao ABO, osnovice AB = 2,5 cm i �O = 45°. Nacrtaj kru`nicu k O, r = OB .
v) n = 12
(
Konstrui{i pravilan {estougao ako je ru = 2 cm. Решење Prvi korak Konstrui{emo pravougli trougao ASO kao na slici. O 30°
2 cm
30°
O
2 cm A
66
)
S A
S
B
)
Drugi korak
(
)
Konstrui{i kru`nicu k O, r = OA . Presek prave AS i O je stranica pravilnog kru`nice k ozna~imo sa B. Du` AB 30° {estougla i kru`nica k je wegova opisana kru`nica. 30°
2 cm
O
2 cm A
7
S
Konstrui{i jednakostrani~ni trougao ako je polupre~nik upisane kru`nice 2 cm.
S
A
Prvi korak Konstrui{i trougao ASO.
B 60° A
O 2 cm S
Drugi korak Konstrui{i karakteristi~ni trougao ABO. 8
Konstrui{i pravilan {estougao ako je: a) mala dijagonala dužine 3 cm. b) velika dijagonala dužine 4 cm.
Skica ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak. a)
b) 4 cm 3 cm
a
a 120° a
9
120°
a
Konstrui{i pravilan osmougao ako je: a) ru = 2 cm
b) najmawa dijagonala 3 cm v) najve}a dijagonala 5 cm.
10
Koriste}i uglomer i lewir, nacrtaj pravilan petougao stranice a = 3 cm.
11
Koriste}i lewir, {estar i uglomer, nacrtaj pravilan petougao ako je: a) polupre~nik opisanog kruga rо = 3 cm b) dijagonala d =3 cm.
Unutra{wi ugao pravilnog petougla jednak je 108°.
Uputstvo za deo zadatka pod b): prvo konstrui{i jednakokraki trougao ACO. D C 144°
E
B A
12
Koriste}i lewir, {estar i uglomer, nacrtaj pravilan desetougao stranice a = 2 cm. 67
Обим и површина многоугла 1
E
A
Petougao ABCDE na slici podeqen je dijagonalama AC i AD na tri trougla. Izmeri potrebne du`i u milimetrima i izra~unaj povr{inu mnogougla.
B D
2
Nacrtaj proizvoqan petougao, razlo`i ga na tri trougla. Izmeri potrebne elemente i izra~unaj obim i povr{inu.
3
Nacrtaj proizvoqan sedmougao. Razlo`i ga na najmawi broj trouglova. Izmeri odgovaraju}e elemente i izra~unaj povr{inu sedmougla kao zbir povr{ina tih trouglova.
4
Razlo`i mnogougao na slici, izmeri potrebne du`i u milimetrima i izra~unaj povr{inu mnogougla. b
C
c
a a c b
5
Razlo`i mnogougao na slici na jedan pravougaonik i dva trougla i izra~unaj wegovu povr{inu.
4 cm
2 cm
1 cm
2 cm
6
Stranice deltoida su 3,6 cm i 5,2 cm i polupre~nik upisanog kruga je 1,8 cm. Izra~unaj povr{inu deltoida.
7
Izra~unaj povr{inu: a) pravougaonika stranica a = 1,2 cm i b = 0,8 cm b) romba čije su dijagonale d1 = 2 cm i d2 = 3,6 cm v) deltoida čije su dijagonale d1 = 4 cm i d2 = 3,2 cm g) trougla čija je stranica a = 6 cm, a odgovaraju}a visina ha = 4,2 cm.
68
8
Izra~unaj obim i povr{inu pravilnog mnogougla stranice a = 4 cm ako je: a) n = 3
9
b) n = 4
v) n = 6
Prvo izra~unaj stranicu trougla. Primeni formule: r n = 3, ro = a 3, ru = o 2 3 a 1 n = 4, ro = 2, ru = a 2 2 a n = 6, ro = a , ru = 3 2
Izra~unaj obim i povr{inu jednakostrani~nog trougla ako je: a) polupre~nik opisanog kruga rо = 3 cm b) polupre~nik upisanog kruga ru = 2 cm v) visina h = 12 cm.
10
Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je: a) polupre~nik opisanog kruga rо = 3 cm
b) polupre~nik upisanog kruga ru = 2 cm.
11
Izra~unaj obim i povr{inu pravilnog {estougla ako je a) polupre~nik opisanog kruga rо = 3 cm b) poluprečnik upisanog kruga ru = 3 cm.
12
Doka`i da je povr{ina jednakostrani~nog trougla ~ije su stranice jednake kra}oj dijagonali pravilnog {estougla jednaka polovini povr{ine tog {estougla.
13
[estougao na slici sastavqen je od dva podudarna jednakokraka trapeza. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj obim i povr{inu {estougla.
Primeni Pitagorinu teoremu i izra~unaj dužinu kraka trapeza.
18 mm 12 cm 36 mm
14
Povr{ina jednakostrani~nog trougla je 12 3 cm2. Izra~unaj dužinu stranice trougla.
15
Povr{ina pravilnog {estougla je 12 3 cm2. Izra~unaj dužinu stranice {estougla.
16
Pravilan {estougao i jednakostrani~ni trougao imaju jednake obime. U kojoj su razmeri wihove povr{ine? 69
17
Od kvadrata stranice a = 12 cm izrezan je osmougao kao na slici. x Izra~unaj wegov obim i povr{inu. x Izrazi u procentima koji je deo datog kvadrata osmougao. x
18
Od jednakostrani~nog trougla izrezan je {estougao kao na slici. Doka`i da je {estougao pravilan. Izrazi u procentima koji je deo datog trougla {estougao.
x x x
19
Izra~unaj obim i povr{inu osen~ene figure ako se zna da je stranica pravilnog {estougla a = 12 cm. b)
a) x x x
x x
x a
a
Пробај и ово
20
Doka`i da je povr{ina pravilnog osmougla jednaka proizvodu najve}e i najmawe dijagonale.
21
Nad stranicama kvadrata stranice a = 4 cm konstruisani su jednakostrani~ni trouglovi na slici. Doka`i da je ~etvorougao ABCD kvadrat i izra~unaj wegov obim i povr{inu.
D
A
C
B
22
Nad stranicama jednakostrani~nog trougla stranice a = 6 cm konstruisani su kvadrati. Izra~unaj obim i povr{inu {estougla ABCDEF.
E
D R C
F P A
70
Q B
23
Izra~unaj obim i povr{inu figure na slici. a) b) x
24
x
x
v)
x
x x
Koji deo, izražen u procentima, zauzima osen~ena figura u odnosu na dati mnogougao?
a
a
a
a
a
a
Многоугао - систематизација 1
Da li broj dijagonala mnogougla mo`e da bude: a) 15 b) 100 v) 120 g) 1 710?
2
Koji je to mnogougao kod kojeg je broj stranica jednak broju dijagonala?
3
Postoji li petougao sa uglovima od: 40°, 125°, 155°, 90°, 135°?
4
Zbir unutra{wih uglova mnogougla je 1 800°. Odredi broj stranica i broj dijagonala tog mnogougla.
5
Da li zbir unutra{wih uglova nekog mnogougla da bude 3 000°?
6
Centralni ugao pravilnog mnogougla je j = 22°30′. Koliko mnogougao ima stranica? Koliki je wegov unutra{wi ugao? Koliko ima dijagonala?
7
Koliko stranica ima pravilni mnogougao ako je spoqa{wi ugao: a) 7°30′ b) 15° v) 18° g) 11°15′
d) 9°? 71
8
Koliko osa simetrije ima: a) pravilan sedmougao b) pravilan osmougao v) pravilan dvanaestotougao g) pravilan trinaestougao? Koji su od wih centralnosimetri~ni mnogouglovi?
9
Osen~eni mnogouglovi dobijeni su od pravilnih mnogouglova, kao što je prikazano na crte`ima. Doka`i da su osen~eni mnogouglovi pravilni.
10
Konstrui{i karakteristi~an trougao pravilnog mnogougla stranice a = 3 cm ako je: a) n = 12
11
Date su prava a i ta~ka O van we. Konstrui{i pravilan mnogougao ~ija stranica pripada pravoj a, a ta~ka O je wegov centar, ako je: a) n = 3
b) n = 4
Prvo konstrui{i karakteristi~ni trougao.
v) n = 6
12
Konstrui{i pravilan osmougao ako du`ina najkra}e dijagonale iznosi 3 cm.
13
Nacrtaj proizvoqan petougao i razlo`i ga na tri trougla. Izmeri potrebne elemente i izra~unaj obim i povr{inu.
14
Pravilan mnogougao razlo`en je na dve figure. Odredi razmeru wihovih povr{ina. P1
P1 P2 a
72
b) n = 16.
P2
a
Цели и рационални алгебарски изрази (други део) Множење монома мономом. Квадрат и куб монома 1
2
Pomno`i monom brojem. a) −5x ⋅ 3 b) 4 y 2 ⋅ ( −25) 5
Koji broj treba upisati u prazno poqe da bi se dobila ta~na jednakost? a)
3
4
y3 ⋅ 4 = −48y3
Uprosti izraz. a) − 1 ⋅ a3 ⋅ c2 ⋅ 50 2
= −6a2b7
v) 0,4 ⋅ m3c3 ⋅ 8
v) 21a2 ⋅ (−2a4)
g) 18xy ⋅ (−3y3)
b) 9x2y ⋅ (−3x) =
= −34a5
Pomno`i.
b) 3 b ⋅ b2 ⋅ 4 2 3
v)
b) (−1,2a2b3)2
Uprosti izraz. a) (3x) ⋅ (x2)3 ⋅ (−2x3)
v) 2,5 ⋅ z5t3 ⋅
( 21 a) ⋅ ( 34 a ) ⋅ 24
Uprosti izraz. a) (x2y)3
8
b) y ⋅ z 3 ⋅ 6 ⋅ 1 4
b) 2z ⋅ 4zt
a) 30xy2 ⋅ 0,5x2y 7
v) a2 ⋅ 1,5 ⋅ b7 ⋅
= 56a2b7
Koji monom treba upisati u prazno poqe tako da dobije{ ta~na jednakost? a) 34a ⋅
6
b) −7a2b7 ⋅
Uprosti izraz. a) y2 ⋅ 2y3
5
g) 5 a2 ⋅ 14 ⋅ b3 7
v) (−0,2) ⋅ nm ⋅ (−6)
v) (2n3m4)2
5
3
4
g) 4cd ⋅ 4c ⋅ 4d
( )
g) 3 cd 2t 5
( ) ⋅ (2t ) ⋅ t
b) 1 t 3 2
= 10z6t5
2
v) (−0,2ab2c2) ⋅ (5a2b)
9
Dati su monomi P = 2ab2, Q = 1 ab i R = −3a2b. Odredi: 6 a) P ⋅ Q b) P ⋅ R v) P ⋅ Q ⋅ R g) P2 ⋅ Q d) P ⋅ R3
10
Dati su monomi A = 8x3y6 i B = 2xy2. Odredi: a) A ⋅ B b) 1 A2 ⋅ B v) A – B3 64
73
Множење полинома мономом 1
Pomno`i. a) 9 ⋅ (2 + x2)
2
b) (3 – 4x) ⋅ 5
v) −6 ⋅ (8x2 – x)
g) (–10 + 2x) ⋅ (–3)
Koje su od slede}ih jednakosti ta~ne? a) –20 ⋅ (–0,2z +1) = –4z – 20 b) –20 ⋅ (–0,2z +1) = 4z – 20 v) –20 ⋅ (–0,2z –1) = –4z +20 g) –20 ⋅ (–0,2z –1) = 4z + 20
3
Pomno`i. a) 5 ⋅ (0,8 – 4a + a2)
4
b) (y3 + 3y – 1) ⋅ (–11)
Koje monome treba upisati u prazna poqa da bi se dobila ta~na jednakost? a) 2z ⋅ (z – 3) =
– 6z
b) (–1 + a2 – 3a3) ⋅ (–2a) =
v) 12ab ⋅ (2a – 3b + 4ab) = 24a2b – 5
+
Uprosti izraz. a) (–7x + x3) ⋅ ( –x2)
6
– 2a3 +
b) (9t3 – 3t2 – 11t) ⋅ 2t
Uprosti izraz. a) 3 ⋅ (1 – 4x) – 2
Operacija mno`ewa ima prioritet u odnosu na operaciju sabirawa.
b) 3x ⋅ (x – 2) – 3x2
v) (y – 9y2) ⋅ 5y2 + 40y4
Uprosti izraz 4x – 5 ⋅ (7 – x + 4x2). Re{ewe 4x – 5 ⋅ (7 – x + 4x2) = 4x – 5 ⋅ 7 – 5 ⋅ (–x) – 5 ⋅ (4x2)
74
prvo pomno`imo polinom monomom
2
= 4x – 35 + 5x – 20x
= 4x + 5x – 35 – 20x2 2
= 9x – 35 – 20x
= –35 + 9x – 20x2
grupi{emo sli~ne monome
7
Uprosti izraz. a) 2x2 – x ⋅ (5x – 4)
8
b) 5y3 – 2y ⋅ (y2 – 3y)
Uprosti izraz. a) –12x2 + 3x ⋅ (x + 6)
9
v) 4x ⋅ (x – 3) – 2 ⋅ (7x2 + x)
b) x3 – 4x ⋅ (x2 – 2x)
v) x ⋅ (4x + 5) + 3 ⋅ (7x2 – x)
Uprosti izraz. a) 20 – 15 ⋅ (3 – x) – 3
b) –5x + 5x ⋅ (x – 6) – 3x2
Множење полинома полиномом 1
Uprosti izraz. a) 3 ⋅ (4 − 2x2)
2
b) −5 ⋅ (4x + 8x2)
Uprosti izraz. a) 6 ⋅ (a − 7b + c)
3
b) (2 − 7x + x2) ⋅ (−5x)
b) (c2 – 7c) ⋅ 9c – 6c ⋅ (2c + 5)
b) (−5x2 + 3) ⋅ (1 – 3x)
b) (8d + 7) ⋅ (4d – 5) =
+ 16x − − 40d +
− 35
Pomno`i binome. a) (3a – b) ⋅ (3b – a)
7
v) (3 + x) ⋅ (2 – x)
Koje monome treba upisati u prazna poqa da bi se dobila ta~na jednakost? a) (x + 4) ⋅ (4x – 3) = 4x2 −
6
( 35 x + 109 y + 41 xy ) ⋅ 20xy
Uprosti izraz. a) (4y + 1) ⋅ (4y – 1)
5
v)
Uprosti izraz. a) 2x ⋅ (x + 4) − 3 ⋅ (x + 1)
4
v) x ⋅ (6y − xy)
b) (x – 2y) ⋅ (x + 2y)
v) (3c – 4d) ⋅ (c – 6d)
Uprosti izraze. a) (ac2 – 1) ⋅ (5 – a2c)
b) (3x – y2) ⋅ (5x + y2)
v) (1 – 3x – 4x2) ⋅ (x – 2)
75
8
Uprosti izraz. a) (x + 2) ⋅ (3x – 1) – 5x2
b) (y – 1) ⋅ (4y – 1) + y ⋅ (y + 1)
Prvo pomno`i binome, a zatim sredi polinom.
Uprosti izraz 6x – (3 – 2x) ⋅ (3x – 2). Re{ewe 6x – (3 – 2x) ⋅ (3x – 2) = 6x – (9x – 6 – 6x2 + 4x)
9
= 6x – 9x + 6 + 6x2 – 4x
2 2 – (9x – 6 – 6x + 4x) = –9x + 6 + 6x – 4x
= 6x – 9x – 4x + 6 + 6x2
grupisali smo sli~e monome
= –7x + 6 + 6x
= 6 – 7x + 6x2
2
Uprosti izraz. a) 4z – (z – 2) ⋅ (z + 6)
10
pomno`ili smo binome (3 – 2x) i (3x – 2)
b) 2a2 – (2a – 1) ⋅ (4 – a)
Uprosti izraz. a) (x – 3) ⋅ (x + 2) – 6x ⋅ (x + 1)
b) (x – 5) ⋅ (x + 7) + (1 – x) ⋅ (4 + x)
Множење полинома 1
Uprosti izraz. a) –2 ⋅ (3a – a2)
2
b) 12 – 3 ⋅ (x – 4)
v) 2m ⋅ (3m2 – 4m) + 3m2
Uprosti izraz. a) x ⋅ (5 + x) + 2 ⋅ (x2 – 3x)
4
v) (x2 – 8x + 2) ⋅ (–3x)
Uprosti izraz. a) 3c ⋅ (2c + 4) – 4c
3
b) 5 ⋅ (2a – 3b + 4c)
b) y2 – y ⋅ (1 – y)
Na osnovu teksta napi{i izrzaz i uprosti ga. a) Od binoma 3x3 – 5x oduzmi proizvod monoma 2x i 3x2. b) Od proizvoda monoma –5x i 4x oduzmi polinom 7x2 + 12x . v) Razliku monoma 2x i –9 pomno`i binomom 7x2 + 4x.
76
5
Uprosti izraz. a) –2 ⋅ (6a2 + 2a – 5) – (1 – 5a) ⋅ (–3a)
b) (–2x + 3) ⋅ (–5x) – 4 ⋅ (1 – 3x + 3x2)
Re{i jedna~inu 2 ⋅ (3 – x) + 2x + 4 = –8 Re{ewe 2 ⋅ (3 –x) + 2x + 4 = –8
prednost ima operacija mno`ewa,
6x – 2x + 2x + 4 = –8
pomno`ili smo binom (3 – x) brojem 2
6x + 4 = –8 6x = –8 – 4 6x = –12 x = –2
6
Re{i jedna~inu. a) 3 ⋅ (x + 2) – 5x = 6
7
b) 10x – 4 ⋅ (x – 1) = –16
Re{i jedna~inu. a) –2(a – 3) + 5(1 – a) = –3
8
b) 8(2c + 3) – 5(3c – 6) = 60
Re{i jedna~inu. a) 3 ( y − 1) − ( y + 1) − 6 ( 2y − 1) = 0
9
b) (–2x + 1) ⋅ (5x – 3)
v) (2y + 3x) ⋅ (3y – 2x)
Uprosti izraz. a) –9a2 + (5a – 4) ⋅ (3 + a)
12
b) 3a(a – 1) – 2((a2 – a + 3) – (3 + 2a – 3a2))
Uprosti izraz. a) (3 – a) ⋅ (a + 6)
11
b) 5 = 13(z – 5) – z(z – 1) + z2
Uprosti izraz. a) b(2b + 1) – 4(b2 – 3b + 1)
10
–2(a – 3) = –2 ⋅ (a – 3)
b) (2y – 7) ⋅ (2 – y) – 2y2
v) 3a2 – 2a – (2a + 2) ⋅ (a – 1)
Uprosti izraz. a) –2x(1 – 3x + 3(x + 2)) + 4 – 5x
b) 3a – 2(1 – 3(3a – 2)) – 6a
77
13
Uprosti izraz.
(2z – 3)(z + 1) = (2z – 3) ⋅ (z + 1)
a) 3(z – 1) + (2z – 3)(z + 1) b) (x – 1)(x – 2) – (x + 1)x 14
Re{i jedna~inu. a) 5(3x2 – 2) + (5x – 1)(–3x + 2) = 40
15
b) (3x – 4)(4x + 1) – 6(2x2 – 2) = 2
Na osnovu teksta napi{i izraz i uprosti ga. a) Polinomu 3x2 – 8x + 11 dodaj proizvod binoma (–3x + 1)(x – 2). b) Od polinoma x2 + x + 1 oduzmi proizvod binoma (x – 1)(x + 1). v) Proizvod binoma 2x – y i y + 3x umawi za petostruku vrednost polinoma x2 – 2xy + 3y2.
16
Proveri da li je vrednost izraza ceo broj. a) 3(a2 + 5a – 3) – (2 + a)(8 + 3a) – a b) (2 – c)(3c2 + c) + 4c2(–1+ c) – c(c + c2 + 2)
17
Uprosti izraz i izra~unaj wegovu vrednost za datu vrednost promenqivih. a) (x + 2)(3 – x) – 4x2, za x = –2 b) y(y – 4) – (y + 1)(3 – 2y), za y = 10
v) (2x + 3y)(y – 2x) – 3y(y + x), za x = −1, y = 1 4
Квадрат бинома 1
Izra~unaj kvadrat binoma. a) (x + 10)2
2
v) (
)2 = +
g) (3x − 1)2
+
)2 =
+ 49 + 2ab +
b) (
− 4)2 = y2 − g) (3x −
)2 =
Izra~unaj kvadrat binoma. a) (−3 + a)2
78
v) (6 + 5z)2
[ta treba da upi{e{ u prazna poqa da bi se dobila ta~na jednakost? a) (m +
3
b) (3 − y)2
b) (−x + 6)2
v) (−y − 2)2
g) (−b − 5c)2
+ − 6xy +
(−a − b)2 = (a + b)2 (−a + b)2 = (a − b)2 = (b − a)2
4
Pove`i jednake polinome.
(a − 4)2
(a + 4)2 5
6
a) (3m − 1)2 = 3m2 − 3m + 1
b) (3m − 1)2 = 9m2 − 6m + 1
v) (3m − 1)2 = 9m2 − 3m + 1
g) (3m − 1)2 = 3m2 − 6m + 1
Izra~unaj kvadrat binoma.
( )
2
(
b) 1 − 2z 2
2 v) 3 y + 3
b) 4x + (3x − 1)2
)
2
v) (2x + 3)2 − 4x2
Prvo kvadriraj binom, a zatim sredi polinom.
Uprosti izraz. a) (2x + 5)2 + x(3x − 7)
9
(
)
2
Uprosti izraz. a) (x + 2)2 − 2
8
(−a − 4)2
Koja je jednakost tačna?
1 a) x + 2 7
(−a + 4)2
b) 4(5x2 − 7x) + (4x + 1)2
Uprosti izraz. a) (2y + 3)2 − (−y + 2)(1 + y)
b) (2x − 3)2 + 4x2 − 2x (x + 2)
Uprosti izraz 3x(7 − 3x) − (3x + 1)2 Re{ewe 3x(7 − 3x) − (3x + 1)2 = 21x − 9x2 − (9x2 + 6x + 1)
= 21x − 9x2 − 9x2 − 6x − 1
−(9x2 + 6x + 1) = −9x2 − 6x − 1
= 21x − 6x − 9x2 − 9x2 − 1
grupisali smo sli~ne monome
= 15x − 18x2 − 1
sabrali smo sli~ne monome
= −18x + 15x − 1
sredili smo polinom po opadaju}im
2
10
Uprosti izraz. a) 3(6a − a2) − (4 − 3a)2
11
stepenima
b) −4b(4 − b) − (3 + 2b)2
Uprosti izraz. a) (x − 1)2 + (5 + x)2
b) (11 + x)2 − (9 − x)2 79
12
Uprosti izraz. a) (2a − 4b)2 + (a + 2b)2
13
b) (3z − t)2 − (z + 3t)2
Dati su polinomi M = x + 2 i N = x − 2. Odredi: a) 3M − 5N
b) M ⋅ N
g) M2 − N2
d) (M − N)2
v) M2 + N2 |) (M + N)2
14
Uprosti izraz 2xy − (x + y)2 pa izra~unaj wegovu vrednost za x = −0,1 i y = 1 . 4
15
Uprosti izraz. a) (x − 2y)2 − (x − 2y)(3x + y)
16
b) (4s − 5t)(−3t + s) + (t + 4s)2
Uprosti izraz. a) (4a + 1)2 − 4(a + 2)(3 − a)
17
b) 9(c − 1)(c + 1) − (3c − 4)2
Re{i jedna~ine. a) (x − 1)2 − x(x + 6) = 9
b) y(y + 1) − (2 − y)2 = 1
v) (3x − 2)2 − 3(3x + 2)(x − 1) = 1 18
g) (y − 1)(2y + 3) − 2(2 − y)2 = 4
Na osnovu teksta napi{i izraz i uprosti ga. a) Kvadrat binoma 2a − 3 umawi za trostruku vrednost polinoma 7 + 4a + a2. b) Proizvod binoma x − 2 i 16x + 1 umawi za kvadrat binoma 4x + 1. v) Kvadratu binoma 7 + a dodaj dvostruku vrednost proizvoda 7 + a i 7 − a. Du`ina jedne katete pravouglog trougla je 6 cm, a druga je za 2 cm kra}a od hipotenuze. Izra~unaj povr{inu trougla. Re{ewe 2
x 2 − ( x − 2) = 62
(
)
x 2 − x 2 − 4x + 4 = 36 x 2 − x 2 + 4x − 4 = 36 4x − 4 = 36 x = 10 19
80
6 cm
x x-2
P = a⋅b 2 a = 6 cm b = 10 cm-2 cm = 8 cm P = 6⋅8 2 P = 24 cm2
Izra~unaj povr{inu pravougaonika ako je du`ina jedne wegove stranice 3 cm, a dijagonala je za 1 cm du`a od druge stranice.
20
Visina koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla kra}a je od kraka za 3 cm. Kolika je povr{ina trougla ako je du`ina osnovice 18 cm
Пробај и ово
21
Du`ina stranice pravilnog osmougla je 4 cm. Izra~unaj polupre~nike opisanog i upisanog kruga.
22
Koliko dijagonala ima pravilan osmougao? Izrazi wihove du`ine u zavisnosti od stranice a osmougla.
23
U kru`nicu k(O, r = 2 cm) upi{i pravilan dvanaestougao, a zatim izra~unaj du`inu wegove stranice.
Растављање полинома на чиниоце применом својства дистрибутивности 1
Odredi najve}i zajedni~ki delilac brojeva. a) 16 i 24
2
b) 70x2y
5
g) 24, 36 i 48
v) 42t2s3r
Napi{i izraz u obliku proizvoda. a) 27x + 18y
4
v) 9, 15 i 27
Napi{i monom u obliku proizvoda prostih ~inilaca. a) 12a2
3
b) 12 i 20
b) 5a − 15b
v) 16t + 8z
Rastavi binom na ~inioce. a) 4x + 16
b) 34 − 17b
v) 3ab − 9
g) 25 − 15yz
Rastaviti polinom na ~inioce zna~i predstaviti ga u obliku proizvoda polinoma.
Rastavi binom na ~inioce. a) 2a − 2
b) 23 + 23t2
v) 4z2 − 2z
g) 5x + 50x2
81
6
Rastavi polinom na ~inioce izdvajawem zajedni~kog ~inioca ispred zagrade. a) 6a − 3b + 9
7
9
Rastavi binom na ~inioce. a) 48a3 − 42a2 b) 30x9 − 75x5
b) 4s3t2 − 12st3
b) −32s5t2 + 8s3t3r
v) 56 x2y2z3 + 24y3z2
Rastavi polinom na ~inioce izdvajawem zajedni~kog ~inioca ispred zagrade. b) 18x − 12x2 + 6
v) 48z3 + 8z2 − 24z
Rastavi polinom na ~inioce. a) 16ab + 4a2b + 12 ab2
13
v) 8x2y + 40xy
Rastavi binom na ~inioce.
a) 30a2 + 5a − 20 12
v) 96n4 + 16n8
Rastavi binom na ~inioce.
a) 28ab2c − 40 a2bc2 11
v) 5z2 − 2z + z3
b) a3b2 + a3
a) 72ab2 − 18b2 10
v) 50x2 − 25x + 15
Rastavi binom na ~inioce. a) x3 − x2
8
b) 12a2 − 16a + 8
b) 35x2y − 5xy2 + 15xy
v) 14yz3 − 56y2z2 + 28y3z
Rastavi polinom na ~inioce. a) −27a6 + 12a4b + 15a5b2
b) 42xy4 − 6x2y2 − 24xy3
v) 15m4n4 − 10m5n2 − 5m5n3
Растављање полинома на чиниоце 1
Zajedni~ki ~inilac monoma 15x2 i 30y2 je: a) 15
b) 30
v) 15xy
g) 30xy
d) 15x2y2
|) 30x2y2
Koji je odgovor ta~an? 2
Napi{i binom u obliku proizvoda. Izdvoj zajedni~ki ~inilac ispred zagrade. a) 45x + 72
82
b) 34a − 17b
v) nb + na
3
Rastavi na ~inioce. a) 4x2 − 10x
4
b) ab − a2
v) 8n2 − 4n3
Rastavi na ~inioce. a) 90a − 45
b) 5x + 15x2
Skrati razlomak
v) 23y2 − 23y
8x − 4 y . 4
Skratiti razlomak zna~i podeliti brojilac i imenilac istim brojem.
Re{ewe 8x − 4 y 4 ( 2x − y ) = 2x − y = 4 4
5
6
Skrati razlomak. 56z + 35t 30z + 45t b) a) 7 15
b) a3b2 − b2
b) 6a4b2 − 9a5b
b) 8x2 − 2x3 + 4x
b) 35x2y − 5xy2 + 15xy
v) 14yz3 − 56y2z2 − 28y3z
Rastavi polinom na ~inioce izdvajawem zajedni~kog ~inioca ispred zagrade. a) 10z4t2 − 5z2t2 − 15z3t3
11
v) 22k4 + 11k2 − 44k3
Rastavi polinom na ~inioce izdvajawem zajedni~kog ~inioca ispred zagrade. a) 16ab + 4a2b + 12ab2
10
v) 24mn4 + 6m3n3
Rastavi polinom na ~inioce izdvajawem zajedni~kog ~inioca ispred zagrade. a) 3 − 9a + 6a2
9
v) 48t2s + 32tr
Rastavi na ~inioce. a) xyz − xy2
8
60x 2 + 15 y 15
Rastavi na ~inioce. a) 42x2y − 36xy
7
v)
b) 8x2y − 18x2y2 + 2xy
Rastavi trinom na ~inioce primewuju}i formulu za kvadrat binoma. a) a2 − 16a + 64
b) 121 − 22y+ y2
v) 4b2 + 4b + 1 83
12
Primeni formulu za kvadrat binoma i izra~unaj kao {to je zapo~eto. a) 102 + 2 ⋅ 10 ⋅ 4 + 42 = (10 + 4)2 = 142 =196 b) 1, 52 − 2 ⋅ 1,5 ⋅ 0,5 + 0,52 v) 144 + 2 ⋅ 12 ⋅ 8 + 64
13
Primeni formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike i izra~unaj. a) 412
14
b) 992
b) 0,04 − x2
v) y2 − 900
g) z2 − 2,56
Rastavi na ~inioce. a) 0,36 − a2 1 g) 9x 2 − 9
16
v) 1052
Primeni formulu za razliku kvadrata i rastavi binom na ~inioce. a) a2 − 81
15
412 = (40 + 1)2= 402 + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 1
b) 25x2 − 49
v) 2,25n2 − 1,44m2
d) 25 x 2 − y 2 64
|) 0,16a2 − 441b2
Primeni formulu za razliku kvadrata i izra~unaj kao {to je zapo~eto. a) 272 − 262 = (27 − 26)(27 + 26) = 53 b) 7,42 − 2,62
g) 8,12 − 3,12
17
Hipotenuza pravouglog trougla ima du`inu 35 cm, a jedna kateta du`inu 28 cm. Izra~unaj du`inu druge katete primewuju}i formulu za razliku kvadrata
18
Primewuju}i formule za razliku kvadrata i kvadrat binoma, izra~unaj vrednost izraza: a)
19
20
542 − 462 542 + 2 ⋅ 54 ⋅ 46 + 462
b)
100 − 2 ⋅ 10 ⋅ 4, 4 + 4,42 3,32 − 2,32
Izra~unaj. a)
84
v) 14,52 − 5,52
9992 − 12 99 + 2 ⋅ 99 + 1 2
Izra~unaj. 2 2 a) 812 − 1 2 55 − 45
b)
b)
9082 − 922 262 − 252
2,12 − 0, 01 2,52 − 2 ⋅ 2,5 ⋅ 1,5 + 2, 25
21
Izra~unaj. a)
1, 21 + 2 ⋅ 1,1 ⋅ 0,9 + 0,92 2,12 − 1,92
b)
10002 − 5002 160000 + 2 ⋅ 400 ⋅ 600 + 6002
Rastavi na ~inioce. a) 75x2 − 5
b) 9x3 − 36x
Re{ewe a) 75x2 − 5 = 5 (25x2 − 1)
22
= 5 ((5x)2 − 1)
= 9x (x2 − 22)
= 5(5x − 1)( 5x + 1)
= 9x (x − 2) (x + 2)
Rastavi na ~inioce. a) 8x2 − 72
23
b) 9x3 − 36x = 9x (x2 − 4)
b) 128 − 2x2
v) 6x2 − 96
Rastavi na ~inioce. a) a3 − a
b) 81b − b3
v) 98x3 − 2x
Uprosti izraz (x + 2)2 − 9. Re{ewe
⎛ ⎞2 + 2⎟ − 3{ 2 ( x + 2) − 9 = ⎜ x{ b ⎝ a ⎠ = (x + 2 − 3) (x + 2 + 3) 2
− b2 = (a − b)(a + b)
= (x − 3) (x + 5)
24
primenimo formulu a2
Uprosti izraz. a) (x − 1)2 − 25
b) (3 + x)2 − 9
Uprosti izraz 16 x2 − (x + 8)2. Re{ewe
⎛ ⎞2 ⎛ ⎞2 + 8⎟ 16x − ( x + 8) = ⎜ 4x { ⎟ − ⎜ x{ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 2
2
= (4x − (x + 8)) (4x + (x + 8))
= (4x − x − 8) (4x + x + 8))
= (3x − 8) (5x + 8)
primenimo formulu a2
− b2 = (a − b)(a + b)
oslobodimo se unutra{wih zagrada saberimo sli~ne monome
85
25
Uprosti izraz. a) 100x2 − (x − 10)2
b) (2x + 3)2 −4x2
Uprosti izraz. a) a(x − 3) + 8(x − 3)
b) b(x − y) − 5(x − y)
Re{ewe
b) b(x − y) − 5(x − y) = (x − y) (b − 5)
zajedni~ki ~inilac je x − y
26
} }
zajedni~ki ~inilac je x − 3
} }
a) a(x − 3) + 8(x − 3) = (x − 3) (a +8)
Uprosti izraz. a) a(s + t) + b(s + t)
27
b) 2n(x − y) − 5(x − y)
v) 3p(a − b) + 2t(a − b)
Uprosti izraz. a) 2z − 2t + az − at
b) xa − ya + xb − yb
Пробај и ово
Skrati razlomak. a)
x 2 − 16 ,x≠4 2x − 8
x 2 + 6x + 9 ,x≠3 3x + 9
b)
Re{ewe x 2 − 16 ( x − 4) ( x + 4) = x + 4 a) 2x − 8 = 2 2( x − 4) 2
b)
28
86
x 2 + 6x + 9 = ( x + 3) = x + 3 3x + 9 3 3 ( x + 3)
Skrati razlomak. 5x + 25 , x ≠ −5 a) 2 x + 10x + 25
2 b) x + 6x + 9 , x ≠ −3 3x + 9
v)
3 4x 2 − 9 ,x≠ − 2 6x + 9
29
Skrati razlomak. a)
30
2y − 6 , y ≠ −3 , y ≠ 3 4 y 2 − 36
b2 + 8b + 16 , b ≠ −4 3b + 12
Skrati razlomak. 2 a) 3x + 12x + 12 , x ≠ −2 6x + 12
31
b)
Skrati razlomak. 2y + 6 , y ≠ −3 , y ≠ 3 a) 2y 2 − 18
b)
a3 − 4a , a ≠ 0, a ≠ −2 a4 + 2a3
2 b) b − 8b + 16 , b ≠ 4 3b − 12
Растављање полинома − примена у једначинама 1
Re{i jedna~inu. a) (x − 1)(x + 5) = 0
b) (2 + t)(3t − 6) = 0
v) (27 − c)(c − 6) = 0 2
Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od ~inilaca jednak nuli.
Re{ewa jedna~ine (−4 + x)(−9 −x) = 0 su: a) x = −4
b) x = −9
v) x = 4
g) x = 9
Zaokru`i slova ispred ta~nih odgovora. 3
Re{i jedna~inu. a) (3,2n − 16)(n + 1,2) = 0
4
Re{i jedna~inu. a) x2 − 2,5x = 0
5
b) 4y + y2 = 0
v) 2m2 − m = 0
Prvo polinom rastavi na ~inioce.
Re{i jedna~inu. a) x2 − 49 = 0
6
b) (0,3a + 2,7)(5a − 5,5) = 0
b) 900 − y2 = 0
Re{i jedna~inu. a) 25x2 − 81 = 0.
b) 1,44 − 0,36y2 = 0
87
Re{i jedna~inu x2 +8x + 16 = 0. Re{ewe x2 +8x + 16 = 0
koristimo formulu za kvadrat binoma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + 4)2 = 0
kvadrat broja jednak je nuli ako je taj broj jednak nuli
x+4=0 x = −4
7
Re{i jedna~inu. a) x2 +10x + 25 = 0
8
v) x2 − 8x + 16 = 0
Re{i jedna~inu. a)
88
b) x2 − 6x + 9 = 0
( 21 x − 34 )( 32 x − 1) = 0
b)
9 x2 − 1 = 0 16
v)
9 x2 − 1 = 0 16 4
Зависне величине и њихово графичко представљање Неки од начина приказивања података. Читање података с графикона 1
Na grafikonu su prikazani odgovori posetilaca jednog bioskopa na pitawe o tome koji filmski `anr najvi{e vole da gledaju. a) Na osnovu grafikona popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj gledalaca 80 78 72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0
filmski `anr
broj gledalaca
animirani
28
triler nau~na fantastika akcija horor
i
an
ir
m ni
a
ka
er
il
tr
ti as
t an
ja
ci
ak
r
filmski žanr
ro
ho
af
čn
u na
b) Koliko je ukupno bilo posetilaca u bioskopu 2
U~enike osmog razreda jedne {kole pitali su koliko prose~no sati u toku dana provode uz kompjuter. Rezultati ispitivawa dati su u tabeli. Dovr{i crtawe grafikona. broj sati provedenih broj ispred kompjutera u~enika do 1 sat
5
od 1 do2 sata
12
od 2 do3 sata
6
od 3 do 4 sata
4
5 i vi{e sati
1
broj u~enika 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
at
do
а
at
1s
od
o 1d
2s
а
at
od
o 2d
3s
а
at
od
o 3d
4s
i
at
es
5i
sati
{ vi
89
5
Na osnovu tabele dovr{i crtawe grafikona.
naziv filma
ukupna cena snimawa filma (u milionima dolara)
Titanik
601
Rat zvezda
461
[rek 2
436,7
naziv filma
[rek 2
E.T. vanzemaqac 435
400
3
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600 buxet (u milionima dolara)
Na grafikonu je dato vreme koje je Milena provela rade}i doma}e zadatake tokom jedne nedeqe. a) Ako je za izradu doma}eg zadatka iz matematike Mileni trebalo 4 sata, koliko je ukupno vremena te nedeqe provela rade}i sve doma}e zadatke? b) Proceni koji je deo vremena Milena provela rade}i doma}e zadatke iz matematike, geografije i istorije zajedno. Koji je od ponu|enih odgovora ta~an?
engleski jezik geografija
istorija
srpski jezik matematika
3 ukupnog vremena 5 3 ukupnog vremena 4 2 ukupnog vremena 5 4
90
Rezultati ankete Kako provodim slobodno vreme dati su u tabeli. Svakom delu grafikona pridru`i odgovaraju}i podatak iz tabele, kao {to je zapo~eto. slobodno vreme
rezultati ankete izra`eni u procentu
~itawe
20
Internet
18
sportske aktivnosti
30
gledawe filmova
25
ostalo
7
Internet
6
U tabeli je pekar Mihailo prikazao promet u svojoj pekari u toku jednog prepodneva. Kom grafikonu odgovaraju podaci iz tabele? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora? vrsta peciva
prodato (u komadima)
kifle
70
perece
30
burek
40
poga~ice
60
a)
b) 60
70
v)
g)
30
70 60
70 30
7
40
30
40
60 60
70 40
30
40
Na grafikonu su prikzane vrednosti prodajnog i kupovnog kursa za evro u periodu od 12. 5. 2010. do 11. 6. 2010. godine. Kursna lista u periodu od 12.5 do 9.6
kurs evra 104 kupovni kurs
103,5 103
prodajni kurs
102,5 102 101,5 101 100,5 100 99,5 99 12. 5. 14. 5. 18. 5. 20. 5. 24. 5. 26. 5. 28. 5. 1. 6
3. 6
7. 6
9. 6 datum
a) Kog je datuma zabele`ena najni`a vrednost prodajnog kursa evra? b) Kog je datuma zabele`ena najvi{a vrednost kupovnog kursa evra? v) Napi{i datume kada je vrednost kupovnog kursa za evro bila ve}a od 103 dinara. g) Napi{i datume kada je prodajna vrednost za evro mawa od 102,5 dinara.
91
U tabeli su date godine odr`vawa svetskih prvenstava u fudbalu i pobedni~ki timovi. godina odr`avawa pobedni~ki svetskog kupa tim Urugvaj Italija Italija Urugvaj Nema~ka Brazil Brazil Engleska Brazil Nema~ka Argentina Italija Argentina Nema~ka Brazil Francuska Brazil Italija [panija
4 3 2 1
ni
ja
a
pa
an Fr
[
ti
cu sk
na
a
gen
il
sk Ar
gle En
az Br
ija
a~ ka Ne m
al
j
0
Ur ugv a
1930 1934 1938 1950 1954 1958 1962 1966 1970 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006 2010.
broj pobeda na Svetskom prvenstvu 5
It
8
a) Koliko je puta Brazil osvojio Svetsko prvenstvo? b) Na osnovu tabele dovr{i zapo~eti grafikon. v) Koje su zemqe samo jednom osvojile Svetsko prvenstvo? g) Koje su zemqe isti broj puta osvojile Svetsko prvenstvo? d) Koja zemqa ima najvi{e osvojenih Svetskih prvenstava? 9
Na grafikonu je data visina i te`ina ~lanova jednog ma~evala~kog tima visina 190 185 180 175 170 165 160 50
55
60
65
70
75
80
85
90
težina
a) Andrej je najvi{i u klubu. Kolika je wegova visina? Kolika je wegova te`ina? b) Miqa je najlaka{a. Kolika je wena te`ina? v) Koliko de~aka je visoko 180 cm? Kolike su wihove te`ine? g) Vera i Mateja imaju istu te`inu. Kolika je visina svakog od wih? 92
zemqa pobednik
Правоугли координатни систем у равни 1
Na mapi grada postavqena je koordinatna mre`a kao na slici. Ako su koordinate bioskopa (2, −1), odredi koordinate:
y
a) pozori{ta b) `elezni~ke stanice
stadion
v) biblioteke
pozori{te
1
biblioteka
g) stadiona.
1
x
bioskop `.stanica
2
y
a) Napi{i koordinate ta~aka A, B, C i D. b) Nacrtaj u istom koordinatnom sistemu ta~ke: M(−1, 0), N(3, 4) i P(0; −1,5).
A 2
B
D 2 4
x
C
3
Ako ta~ka B ima koordinate B(−1,3; 0,5), napi{i koordinate ostalih datih ta~aka. y
E C A
1
B Q
1
D
x
2 M
F G
H
P
93
4
Odredi polo`aj ta~aka u datom koordinatnom sistemu: A(−1,2; 2), B(3,4; −1), C(−1,6; −0,8), D(0, −0,5), E(0,2; 3,2)
5
Date su ta~ke u koordinatnom sistemu. Kojim }e{ ta~kama pridru`iti date koordinate? Popuni tabelu koordinate
(−
1 ,2) ( −2 3 , 1 ) (1, − 1 ) − 2 4 2 2
(−
1 , 3) 4
(3
Nacrtaj koordinatni sistem na milimetarskoj hartiji.
1 , −2) 2
ta~ka y B C D
1
O
x
A E
6
Nacrtaj ta~ke u koordinatnom sistemu: A(−1, 2), B(3, −1), C(−1, −4), D(−1, −1), E(−3, 2), F(−2, −2) a) Koje su ta~ke jednako udaqene od x-ose?
y
udaqenost ta~ke A od y ose
A
udaqenost ta~ke A od x ose
b) Koje su ta~ke jednako udaqene od y-ose? x
7
Kojem kvadrantu pripadaju date ta~ke? Popuni tabelu. ta~ka
A(−1,2; 2)
B(3,4; −1)
C(−1,6; −0,8)
E(0,2; 3,2)
kvadrant
8
a) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju isti predznak? b) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju razli~ite predznake? v) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju pozitivne x-koordinate? g) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju pozitivne y-koordinate?
94
9
Nacrtaj x-osu. a)
b)
y
y
A(−2, 3)
A (−3, −3)
10
Nacrtaj y-osu. a)
b) A(−3, 3) A(4, 2)
x
x
11
Data je ta~ka A(−2, 1) u koordinatnom sistemu xOy. y A
1 -2
1
Kada se y-osa pomeri za jednu jedinicu udesno, koordinate ta~ke A bi}e A(−3, 1).
x
Odredi koordinate ta~ke A ako se: a) y-osa pomeri za dve jedinice udesno
y A
1 -3
x
b) y-osa pomeri za tri jedinice ulevo v) x-osa pomeri za dve jedinice nagore g) x-osa pomeri za dve jedinice nadole. 12
a) U kakvom su polo`aju ta~ke A(−1; 2) i B(1; 2) u odnosu na x-osu? b) U kakvom su polo`aju ta~ke C(3; −2) i D(3; 2) u odnosu na y-osu? v) U kakvom su polo`aju ta~ke A(−1; −2) i B(1; 2) u odnosu na koordinatni po~etak?
95
13
Koje su ta~ke na slici simetri~ne u odnosu na: a) x-osu b) y-osu v) koordinatni po~etak? Napi{i wihove koordinate.
A B
E
G
L
1 I
H J
D
C
F 1Q
K M P
U
T
N
R V Z
S
Nacrtaj ta~ke simetri~ne ta~ki S(2, 4) u odnosu na x-osu i y-osu i napi{i wihove koordinate.
y
B
S
Решење Ta~ka A(2,−4) simetri~na je ta~ki S u odnosu na x-osu. Ta~ka B(−2,4) simetri~na je ta~ki S u odnosu na y-osu. x
A
14
Odredi koordinate ta~aka koje su sa ta~kom M(3,−2) simetri~ne u odnosu na: a) x-osu b) y-osu v) koordinatni po~etak.
15
Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke B simetri~ne ta~ki A u odnosu na pravu a na slici. a)
b)
a y A
y
x a
a) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke C simetri~ne ta~ki A(−5, 8) u odnosu na pravu a,koja sadr`i ta~ku B(0, 3) i paralelna je sa x-osom. b) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke C simetri~ne ta~ki A(−5, 8) u odnosu na pravu a, koja sadr`i ta~ku B(3, 0) i paralelna je sa y-osom. v) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke D simetri~ne ta~ki A(−5, 8) u odnosu na pravu a, koja je simetrala prvog i tre}eg kvadranta.
96
a
A
A x
16
v)
y
x
17
Kojoj vrsti trouglova prema uglovima pripada trougao ~ija temena imaju koordinate: a) A(−1, −2), B(−3, 4), C(6, 2) b) A(1, −2), B(−3, 1), C(−3, −2) v) A(1, 2), B(3, −1), C(−6, 2)?
Nacrtaj ta~ke u koordinatnoj ravni.
18
Kojoj vrsti pripada ~etvorougao ~ija temena imaju koordinate: a) A(3, −2), B(−3, −2), C(−3, 2), D(3, 2) b) A(1, −2), B(3, 0), C(3, 4), D(1, 0)?
19
Ako su A i B temena kvadrata ABCD, nacrtaj ga u koordinatnoj ravni i zapi{i koordinate preostalih temena. Koliko ima re{ewa? a) A(−2, −1), B(3, −1) b) A(−1, −2), B(−1, 3)
20
Ako su A, B, C temena paralelograma ABCD, nacrtaj taj paralelogram i zapi{i koordinate temena D. a) A(−1, −2), B(−3, −2), C(2, 2) b) A(1, −2), B(1, 3), C(4, 4) v) A(2, 2), B(1, 4), C(−3, 2
21
Oboj u koordinatnoj ravni ta~ke ~ije su koordinate: b) (x, 0), x ∈ R v) (1, y), y ∈ R a) (0, y), y ∈ R d) (−2, y), y ∈ R |) (x, −4), x ∈ R e) (a, a), a∈R
22
Na slici je osen~en deo koordinatne ravni. Koje od ta~aka pripadaju osen~enom delu? A(−1,− 2), B(−5, −1), C(6,2), D(1,− 2), E(−4, 1), F(4,4), G(1, 2), H(3, −1), I(−6, 5) a) b) y y
1
1 -3
v)
g) (x, 3), x ∈ R `) (a,− a), a ∈R
1
1 2
x
g)
y
x
y
3
3 1
1 1
x
1
x
97
Koji uslov zadovoqavaju koordinate ta~aka koje pripadaju osen~enom delu ravni? a)
b)
y
v) y
4 1
1
x
1 2
-4
1
1 2
x
1
x
-5
Решење a) Ta~ke koje pripadaju osen~enom delu zadovoqavaju uslov x ≥ 2. b) Sve ta~ke koordinatne ravni ~ije koordinate zadovoqavaju uslov −4 ≤ x ≤ 2 pripadaju osen~enom delu ravni. v) −5 ≤ y ≤ 4
23
Koji uslov zadovoqavaju koordinate ta~aka u ravni koje pripadaju osen~enom delu? y 4 1 -1
1
6
x
-2
24
98
Osen~i u koordinatnoj ravni deo ~ije ta~ke zadovoqavaju uslov: a) x ≥ −2 b) x ≤ 0 v) −3 ≤ x ≤ −1 g) y ≥ 0 d) y ≤ −2 |) −1 ≤ y ≤ 0 e) −2 ≤ x ≤ 5 i −1 ≤ y ≤ 6
Растојање између две тачке 1
2
3
Izra~unaj u jedini~nim du`ima rastojawe od ta~ke A do koordinatnog po~etka. a) A(1, 2)
b) A(−2, 2)
v) A(4, −3)
g) A(−5, −7)
A
a) A(−6, 0) i B(0, 8)
b) A(−2,4; −3) i B(−4,5; −3)
v) A(0; −5) i B(0; 8)
g) A(−2; 1,4) i B(−2, −2)?
rastojawe od ta~ke A do koordinatnog početka
x
O
Koliko je rastojawe izme|u ta~aka:
Izrazi rastojawe izme|u ta~aka u jedini~nim du`ima.
Izra~unaj koliko jedini~nih du`i ima du` d ako su date koordinate wenih krajwih ta~aka. a) (0, 5), (5, 0)
4
y
b) (−3, 5), (5, −3)
v) (0, 5), (5, 2)
g) (−3, 5), (5, 0)
Date su ta~ke A(−3, 0), B(−3, −3), C(4, −5) i D(0, −5). Koliko je rastojawe izme|u ta~aka: a) A i B
b) C i B
v) A i D
g) C i D
d) B i D?
5
Nacrtaj ta~ke A(0, 3) i B(−4, 0) u koordinatnom sistemu. Nacrtaj bar jo{ dve ta~ke, C i D, koje su od ta~ke A udaqene isto koliko i ta~ka B i zapi{i wihove koordinate.
6
Ako je du`ina jedini~ne du`i jednaka 0,4, popuni tabelu. du`ina u du`ina u du` jedini~nim centimetrima du`ima AB
y A
D B
1 1
AC
x C
BD 7
y
Izra~unaj du`inu izlomqene linije EFGHM ako je du`ina jedini~ne du`i jednaka 0,5 cm.
G
E
H
1 1
M x
F
99
8
Odredi koordinate sredi{ta du`i: a) AB
b) CD
g) AC
d) CB
C
v) AE
A
y
D
9
1
a) A(−3, 0) i B(4, 0)
b) A(−2,4; −3) i B(−4,8; −3)
v) A(0, −3) i B(0, −4)
g) A(−2; 1,4) i B(−2, −2)
Ta~ke A(−1,2), B(2, 2), C(2, 6) i D jesu temena pravougaonika. Odredi koordinate temena D i koordinate ta~ke O preseka dijagonala.
11
Date su koordinate tri temena paralelograma ABCD. Odredi koordinate ~etvrtog temena i koordinate ta~ke O preseka dijagonala. a) A(−2, 2), B(0, 0), C(4, 0)
b) A(−2, 2), C(0, 0), D(4, 0)
Izra~unaj du`ine te`i{nih du`i trougla ABC ako je: a) A(−2, 0), B(4, 0) i C(0; −4) b) A(−3, 4), B(−3, 0) i C(3, 2)
x
Nacrtaj u koordinatnoj ravni pravougaonik ABCD
Nacrtaj u koordinatnoj ravni date tri ta~ke. Konstrui{i ~etvrto teme paralelograma i pro~itaj wegove koordinate.
Podseti se da su krajwe ta~ke te`i{ne du`i teme trougla i sredi{te naspramne stranice.
13
Odredi koordinate ta~aka A1 i B1 simetri~nih, redom, ta~kama A(2, 2) i B(1, 4) u odnosu na osu y i izra~unaj obim ~etvorougla A1ABB1.
14
Izra~unaj obim trougla ABC. a) A(−3, 0), B(4, 0) i C(0, −3)
15
b) A(−3, 4), B(−3, 0) i C(2, 2)
Izra~unaj obim trapeza ABCD. a) A(−4, −4), B(4, −4), C(1, 0), D(−4, 0)
100
E
Odredi koordinate sredi{ta M du`i AB ako je:
10
12
B
1
b) A(−4, 2), B(0, 5), C(0, 7), D(−4, 10)
16
y
a) Ako je ta~ka M sredi{te du`i CD, nacrtaj ta~ku D i napi{i wene koordinate. b) Ako je ta~ka P sredi{te du`i AB, nacrtaj ta~ku A i napi{i wene koordinate.
C
M 1
E
v) Ako je ta~ka Q sredi{te du`i EF, nacrtaj ta~ku F i napi{i wene koordinate.
P
x
B
Q
Neka je ta~ka M(−2, 3) sredi{te du`i CD. Odredi koordinate ta~ke C ako je D(1, 4). Решење Ako su (x1, y1) i (x2, y2) koordinate krajwih ta~aka du`i, onda se koordinate (xS, yS) sredi{ta du`i ra~unaju po formuli: y + y2 x + x2 xs = 1 , ys = 1 2 2 Dakle, 1 + x2 −2 = , odakle sledi 1 + x2 = −4, odnosno x2 = −5. 2 Na isti na~in dobijamo: 4 + y2 3= 2 4 + y2 = 6 y2 = 2
17
y D
M C 1
2
−5
1
x
Ako je ta~ka S sredi{te du`i AB, odredi koordinate ta~ke B. a) S(−3, 1), A(0, 1)
b) S(−3, 0), A(−3, 2)
g) S(−3, −3), A(2, 2)
d) S(−3, 4), A(3, 2)
v) S(−3, 0), A(0, 2)
18
Ta~ka O(4, 4), je presek dijagonala, a ta~ke A(−3, 7) i B(0, 2) jesu temena paralelograma ABCD. Odredi koordinate temena C i D
19
Izra~unaj povr{inu pravougaonika ABCD ako je A(−1, 1), B(3, 1), C(3, 4).
20
Izra~unaj povr{inu trougla ABC ako je: a) A(−2, −2), B(2, −2), C(1, 3)
b) A(2, 2), B(5, 2), C(−3, −1)
101
21
Izra~unaj povr{inu paralelograma ABCD ako je jedini~na du` 0,5 cm. a)
b)
y
y
1
1
A
C
D
D
x
1
x
C
1
A
B
B
22
Izra~unaj povr{inu trapeza u zadatku 15.
Izra~unaj povr{inu trougla ABC ako je A(−2, 3), B(4, 2) i C(1, −4).
A
y P B
A
Решење Du`ine du`i u koordinatnoj ravni izra`ene su u jedini~nim du`ima. Jedinica mere za povr{inu u koordinatnoj ravni je jedini~ni kvadrat, to jest kvadrat stranice 1.
x
R
PAPQR = 7 ⋅ 6 = 42 PAPB = 1 ⋅ 6 = 3 2 PBQC = 3 ⋅ 6 = 9 2 7 PCRA = ⋅ 3 = 10,5 2 PABC = 42 – (3 + 9 + 10,5) = 42 – 22,5 = 19,5
Izra~unaj povr{inu trougla ABC ako je: a) A(−2, −5), B(2, −2), C(1, 3) b) A(2, 4), B(5, 2), C(−3, 1)
24
Izra~unaj povr{inu ~etvorougla ABCD na slici. y
y
b)
D
A
4
4
A
1
1 −4 −3
B
102
-1
−4
1 2
C
3
x
−2
−3
B
Q
Na primer, du`ina du`i AP je 6 jedini~nih du`i, povr{ina pravougaonika APQR je 42 jedini~na kvadrata.
23
a)
C
D 1
−2 −3
C
2 3
x
25
Izra~unaj povr{ine trouglova u zadatku 14.
26
Izra~unaj povr{inu petougla ABCDE ako je A(−4, −2), B(1, −4), C(4, 0), D(0, 4), E(−1, 4).
27
Du` AB preslikaj centralnom simetrijom u odnosu na ta~ku S na du` A1B1. Izra~unaj obim i povr{inu ~etvorougla AB1A1B ako je A(−2, 3), B(1, 2) i S(0, −2)
Директно пропорционалне величине. Графички приказ директно пропорционалних величина 1
2
3
Da li su veli~ine x i y date u tabeli direktno proporcionalne? Objasni. x
2, 4
2
0,6
1,6
y
12
10
3
0,8
Veli~ine x i y su direktno proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. x
1 3
y
1
3
6 1 3
3
9
U tabeli je dat broj fotokopija koje se mogu napraviti za odre|eno vreme na ma{ini za fotokopirawe. broj fotokopija
875
1 750
2 625
8 750
vreme (u minutima)
25
50
75
250
a) Da li su vreme i broj fotokopija direktno proporcionalne veli~ine? b) Koliko se fotokopija mo`e napraviti za 1 000 minuta?
103
4
Veli~ine x i y direktno su proporcionalne. Zapi{i formulom zavisnost veli~ina x i y i nacrtaj grafik. a)
5
6
b) x
−1
1
2
x
1 2
1
3
y
−4
4
8
y
1
2
6
Nacrtaj grafik zavisnosti veli~ina x i y datih formulom: a) y = 3x b) y = 5 x 2
Prvo napravi tabelu vrednosti za promenqive x i y. Za crtawe grafika dovoqno je da izabere{ dve vrednosti za x i da izra~una{ odgovaraju}e vrednosti za y.
U jednoj kutiji nalazi se 6 markera koji se koriste za pisawe po beloj tabli.
broj markera = 6 ⋅ broj kutija
a) Napravi tabelu kojom }e{ predstaviti zavisnost broja markera od broja kutija.
b) Zapi{i formulom tu zavisnost. v) Nacrtaj odgovaraju}i grafik. 7
Iz rezervoara zaprmine 750 l svakog minuta istekne 25 l vode. a) Koliko vode istekne za 2, 5, 8, 11, 14 minuta? b) Da li su vreme i koli~ina vode u ovom zadatku direktno proporcionalne veli~ine? v) Koliko je vremena potrebno da istekne sva voda iz rezervoara?
8
Za 4 minuta pri punom gasu elisa na avionu napravi 10 800 obrtaja. a) Koliko obrtaja pri punom gasu elisa napravi za jedan minut? b) Koliko obrtaja pri punom gasu elisa napravi za 6,5 minuta? v) Ako je elisa pri punom gasu napravila 21 600 obrtaja, koliko je minuta radila?
„Ласта” са клипноелисним мотором Avion dvosed Lasta napravqen u na{oj fabrici aviona Utva opremqen je klipnoelisnim motorom koji ima maksimalan broj obrtaja 2 700 u minuti, {to avionu daje maksimalnu brzinu od 400 km/h.
104
Директно и обрнуто пропорционалне величине 1
2
Veli~ine x i y su direktno proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. x
5 2
y
1
y
4
1 2
8 8
Veli~ine a i b obrnuto su proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. x
3
4
16 0,5
1
1 4
2 3 2
2
Da li su vrednosti za x i y date u tabeli direktno proporcionalne? Objasni. x
5
1 2
5 4
15
y
12
1,2
3
36
Bojan vozi bicikl prose~nom brzinom od 10 kilometara na sat. a) Koliko kilometara Bojan pre|e za 2 sata, 3 sata, 4 sata, 5 sati?
s = vt
b) Da li su pre|eni put i vreme izra~unati pod a) direktno proporcionalne veli~ine? 5
Povr{ina paralelograma je 30 cm2. a) Izra~unaj ha i hb ako je a = 6 cm i b =15 cm. b) Da li su du`ine stranice a i visine ha, kao i stranica b i visine hb datog paralelograma obrnuto proporcionalne veli~ine? Objasni.
Kra}oj stranici datog paralelograma odgovara du`a visina, a du`oj stranici odgovara kra}a visina. ha ha a
hb hb
b
b
a
105
6
a) Na osnovu grafikona popuni tabelu kao {to je zapo~eto.
!
O (cm)
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
6
7
a (cm)
obim jednakostraničnog trougla obim pravilnog petougla
b) Da li su obim i du`ina stranice direktno proporcionalne veli~ine? obim jednakostrani~nog obim pravilnog stranica (cm) trougla (u cm) petougla (u cm) 1
106
3
5
7
Povr{ina pravougaonika je 42 cm2. a) Popuni tabelu ako su a i b stranice pravougaonika. a
2
b
4 3
5 6
b) Da li su du`ine stranica datog pravougaonika obrnuto proporcionalne veli~ine? 8
9
Da li su veli~ine x i y date u tabeli direktno ili obrnuto proporcionalne? Objasni. a
3 4
6
1,5
5
b
4
1 2
2
0,6
!
Na grafiku je predstavqena zavisnost pre|enog puta (izra`enog u metrima) od vremena (izra`enog u minutima). pređeni put (m) 350 300
vreme (min)
250 200
0
2
4
6
pre|eni put (m)
150 100 50
2
4
6
vreme (min)
a) Koliki je put pre|en za 3 minuta? b) Koliko je vremena potrebno da se pre|e put od 300 metara? v) Popuni tabelu. g) Da li su veli~ine pre|eni put i vreme direktno proporcionalne? Objasni.
107
10
Mama je za 0,5 kg mesa platila 235 dinara. Koji su odgovori ta~ni? a) Za 1 kg mesa platila je 470 dinara. b) Za 2,8 kg mesa platila je 658 dinara. v) 3a 4 700 dinara mo`e se kupiti 10 kg mesa. g) Za 2 350 dinara mo`e se kupiti vi{e od 5 kg mesa.
11
Vojinov auto na 100 km potro{i 6,5 l benzina. a) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 300 km? b) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 50 km? v) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 350 km? g) Koliki put mo`e da pre|e Vojin sa svojim autom ako je kupio 26 l benzina?
Пропорција 1
Od kojih brojeva mo`e{ sastaviti proporciju? a) 3,6; 9; 4; 10 b) 8; 0,8 80; 0,08 v) 1 , 1 , 1, 4 4 2
2
Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. v) 100 : y = 1 : 0,1 a) 4,6 : 23 = 9,2 : x b) a : 3 = 45 : 9 5
3
Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. a) 24 : (x + 2) = 6 : x
b) x : (x − 5) = 4 : 1
v) 2 : x = 14 : (x + 1)
4
Stranice pravougaonika su u razmeri a : b = 6 : 9. Ako je a = 12 cm, izra~unaj stranicu b i povr{inu pravougonika.
5
Dat je kvadrat stranice a = 4 cm. a) Odredi povr{inu drugog kvadra tako da odnos stranica prvog i drugog kvadrata bude 2 : 3. b) Odredi povr{inu tre}eg kvadrata tako da odnos stranica drugog i tre}eg kvadrata bude 2 : 1.
108
Stranicu b ra~una{ na osnovu proporcije 12 : b = 6 : 9
U delu zadatka pod a) stranicu b tra`enog kvadrata ra~una{ na osnovu proporcije 4 : b = 2 : 1.
6
Kuvar Mile pravi proju tako {to pome{a kukuruzno i p{eni~no bra{no u odnosu 5 : 2, pa doda ostale sastojke. Koliko mu je potebno p{eni~nog bra{na ako ima 500 g kukuruznog bra{na? 1:250 000
Rastojawe na karti izme|u Beograda i Novog Sada iznosi 30 cm. Koliko je rastojawe u prirodi izme|u tih gradova ako je karta ra|ena u razmeri 1 : 250 000. Решење Ozna~imo sa x tra`eno rastojawe. Razmera 1 : 250 000 zna~i da 1 cm na karti odgovara 250 000 cm u prirodi, pa rastojawu od 30 cm na karti odgovara x cm u prirodi. Na osnovu podataka sastavimo proporciju. 1 : 250 000 = 30 : x x = 30 · 250 000 x = 7 500 000 cm = 75km
Novi Sad
Beograd
7
Na karti razmere 1 : 50 000 rastojawe izme|u dva mesta iznosi 9 cm. Koliko je to rastojawe u prirodi?
8
Beograd je od Pariza udaqen 1 445 km. Koliko je rastojawe izme|u ova dva grada na karti ako je ona ra|ena u razmeri 1 : 1 000 000?
9
Model prema kojem je izra|ena kupola katedrale Santa Marija del Fiore ra|en je u razmeri 1 : 12. Ako je pre~nik modela 3,5 m, koliki je pre~nik kupole?
Катедрала у Фиренци Katedrala Santa Marija del Fiore nalazi se u italijanskom gradu Firenci i jedna je od najlep{ih gra|evina podigutih u Evropi od XIII do XV veka. Izgradwa je trajala vi{e od 150 godina jer su Firentinci `eleli katedralu s najve}om kupolom. Gra|ani Firence raspisali su javni konkurs na kojem je pobedio Filipo Bruneleski, firentinski zlatar, skulptor i arhitekta nadma{iv{i mnoge poznate renesansne umetnike. Bruneleskijava genijalnost ogledala se u tome {to za konstrukciju kupole, zidanu od opeke, nisu bile potrebne drvene potpore – ona je sama sebe podupirala.
109
Petar i Vera treba da podele xeparac od 2 400 dinara u odnosu 7 : 5. Koliko dinara treba da dobije Petar, a koliko Vera? Re{ewe Obele`imo sa P deo sume koji treba da dobije Petar, a sa V deo sume koji treba da dobije Vera. P + V = 2400 P : V = 7 : 5 P : 7 = V : 5
zbir suma je 2400 odnos wihovih suma je 7 : 5 unutra{wi ~lanovi u proporciji mogu zameniti mesta
P = k, V = k 7 5 P = 7k, V = 5k P + V = 12k
Ako sumu od 2 400 dinara treba podeliti u razmeri 7 : 5, to zna~i da 2 400 dinara treba podeliti na 12 jednakih delova, od ~ega Petar dobija 7 tih delova, a Vera 5.
Zakqu~ujemo da je: 12k = 2400 k = 200 Petar dobija: 7 · k = 7 · 200 = 1 400 dinara. Vera dobija: 5 · k = 5 · 200 = 1 000 dinara. 10
U bokalu zapremine 1,5 l napravqen je sok od vode i sirupa u odnosu 3 : 2. Koliko je decilitara vode i koliko decilitara sirupa potrebno da bi se napravio sok?
11
U jednoj {koli odnos de~aka i devoj~ica je 4 : 5. a) Kolika je razmera broja de~aka i ukupnog broja u~enika? b) Kolika je razmera broja devoj~ica i ukupnog broja u~enika? v) Ako u {koli ima 450 de~aka, koliko ima devoj~ica?
12
O{tri uglovi u pravouglom trouglu odnose se kao 7 : 2. Izra~unaj mere tih uglova.
13
Obim jednakokrakog trougla je 39 cm. Ako je odnos kraka prema osnovici 5 : 3, izra~unaj du`ine osnovice i kraka.
14
Bronza je legura bakra i kalaja u razmeri 4 : 1. Koliko kilograma je te{ka statua kowanika odlivenog od ove legure ako je u woj 120 kg kalaja.
Zbir o{trih uglova u pravouglom trouglu je 90°.
O = 2a + b
Бронза Bronza je najstarija legura, napravqena jo{ u preistoriji. Dobijena je stapawem bakra i kalaja koji su u ~istom obliku nala`eni u prirodi. Prednost legura jeste u tome {to se one lak{e tope i obra|uju od osnovnih metala, a imaju ve}u ~vrsto}u i postojanost od wih.
110
Примена директне и обрнуте пропорционалности 1
Veli~ine x i y date u tabeli direktno su proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionlnosti i popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a)
b) x
3
y
2
12
24
x
6
18
y
a) Veli~ine x i y obrnuto su proporcionalne. Popuni tabelu.
3 1
7 3,5
x
18
1 2
36
b) Koliki je koeficijent proporcionalnosti? y 3
b
1 12
36
3 4 1
3 2
Da li su veli~ine x i y date u tabeli direktno ili obrnuto proporcionalne? Objasni. Popuni tabelu. 1 1 1,2 0,5 5 x 2 y
5
4
Veli~ine a i b obrnuto su proporcionalne. Koeficijent proporcionalnosti je 6. Popuni tabelu. a
4
5
2 3
5 6
2
Baka Marina pravi xem od kajsija tako {to na 800 g kajsija potro{i 200 g {e}era. a) Koliko joj je {e}era potrebno za 5 kg kajsija? b) Koliko joj je kajsija potrebno ako je kupila 8 kg {e}era?
0,2
Koli~ine kajsija i {e}era jesu direktno proporcionalne veli~ine. Za vi{e kajsija potrebno je vi{e {e}era.
111
6
Ana pretr~i 60 m za 12 sekundi. Za koliko }e sekundi pretr~ati 100 m ako bude tr~ala istom brzinom?
7
Igor za 20 minuta pro~ita 5 strana kwige. Koliko mu je potrebno vremena da pro~ita kwigu koja ima 300 strana?
8
Pakovawe od 1,5 kg medewaka ko{ta 360 dinara. Koliko ko{ta pakovawe od 850 g
9
Neki travwak 5 kosa~a pokosi za 9 sati. Koliko je kosa~a porebno da se isti travwak pokosi za 15 sati?
10
\or|e je nameravao da kupi 50 xakova po 60 kg semenskog kukuruza. U prodavnici su imali samo xakove od 75 kg. Koliko je xakova od 75 kg potrebno \or|u da bi kupio koli~inu semenskog kukuruza koja mu je potrebna?
11
U toku godine u jednom preduze}u obavi se prose~no 28 028 telefonskih razgovora. Kolko se prose~no razgovora obavi u tom preduze}u za dve nedeqe?
12
Za 600 g suvih kajsija potrebno je 1,35 kg sve`ih. Koliko je sve`ih kajsija potrebno za 1 kg suvih kajsija?
13
Od jednog stabla oraha mo`e se dobiti 18 dasaka debqine 3,5 cm. Koliko se dasaka debqine 3 cm mo`e dobiti od istog stabla?
14
Od 45 m2 kartona napravi se 75 kutija. Koliko se kutija mo`e napraviti od 36 m2 kartona?
15
Centrifuga ve{-ma{ine napravi 900 okretaja u minutu.
Za du`u stazu potrebno je vi{e vremena. Mo`e{ da ra~una{ i ovako: 5 strana 20 minuta 20 : 5 = 4 minuta 1 strana 300 · 4 minuta 300 strana
Mawe kosa~a pokosi isti travwak za vi{e sati. Broj kosa~a i broj sati jesu obrnuto proporcionalne veli~ine.
a) Koliko okretaja napravi za 20 sekundi? b) Koliko okretaja napravi za 1 sata? 15 16
112
Milkin pas prose~no za 8 dana pojede pakovawe hrane od 2 kg. Koliko hrane prose~no pojede Milkin pas za 3 dana?
Примена пропорциja у процентном рачуну 1
Popuni tabelu. razlomak
1 2
decimalni broj procenat
2
Nau~ili smo da se procentom izra`ava deo od 100, to jest procentni zapis broja 1 je 1%. 100
0,45 17%
Izra~unaj. a) 4% od 400 b) 14% od 56 000 v) 95% od 5 00 g) 2,6% od 1 000.
Izra~unati 5% od broja 1 200 zna~i izra~unati vrednost proizvoda: 5% · 1 200 = 5 · 1 200 100
Crna ~okolada sadr`i 80% kakaoa. Koliko grama kakaoa ima u pakovawu od 90 g crne ~okolade? Решење Prvi na~in Ra~unamo vrednost proizvoda: 80% · 90 = 80 ⋅ 90 = 72 100 U ~okoladi od 90 g ima 72 g kakaoa. Drugi na~in U re{avawu ovakvih i sli~nih zadataka mo`e{ koristiti proporciju. grami
procenti
90
100
80 x 90 : x = 100 : 80 100 x = 7200 x = 72 U ~okoladi od 90 g ima 72 g kakaoa. 3
Grami i procenti su direktno proporcionalne veli~ine
Prilikom mlevewa p{enice oko 25% otpada na mekiwe. Koliko se kilograma mekiwa dobija od 720 kg p{enice?
113
4
Na kesici pr`enih krompiri}a nalazi se tabela o hranqivoj vrednosti proizvoda. hranqiva vrednost u 100 gr proteini
5,3 gr
ugqeni hidrati
53,5 gr
masti
35,2 gr
energetska vrednost
548 kcal
U me|unarodnom sistemu mera (SI) merna jedinica za energiju je xul. 1 kcal = 4,1858 kj
a) Koliko grama masti ima u 150 g pr`enih krompiri}a? b) Koliko }emo kalorija uneti u organizam ako pojedemo 44 g krompiri}a? v) Izrazi rezultat pod b) u xulima. 5
Kosilica za travu koristi me{avinu benzina i uqa. U rezervoar kosilice mo`e se sipati 1 l me{avine benzina koja sadr`i 2,5% uqa. 2 a) Koliko mililitara uqa sadr`i ta me{avina? b) Koliko decilitara benzina sadr`i ta me{avina?
6
U jednom odeqewu 30% u~enika zavr{ilo je godinu sa odli~nim uspehom, 50% sa vrlo dobrim, a 6 u~enika imalo je dobar uspeh. Dovoqnih i nedovoqnih u~enika nije bilo. a) Koliko je u~enika u ovom odeqewu? b) Koliko je u~enika sa odli~nim uspehom?
7
Dobar uspeh imalo je 20% u~enika.
U toku jedne poslovne godine preduze}e je ostvarilo 18% prihoda od prodaje usluga, 70% od prodaje proizvoda i 12% od drugih poslova. Ako prihod od drugih poslova iznosi 1 200 000 dinara, izra~unaj prihod od: a) prodaje usluga b) prodaje proizvoda.
Килокалорије Nepohodan unos kilokalorija u organizam zavisi od uzrasta, pola i, naravno, nivoa fizi~ke aktivnosti pojedinca. Da bi se devoj~ice normalno razvijale i rasli u periodu adolescencije neophodno je da u proseku dnevno unesu prose~no 2 100 kcal, dok je de~acima potrebno 2 400 kcal dnevno.
114
1 l = 1 000 ml 1 l = 10 dl
8
Cena automobila bez poreza iznosi 12 999 evra. a) Kolika je cena u evrima s porezom od 18%? b) Ako je na dan pla}awa sredwi kurs evra bio 105,2 dinara, kolika je vrednost tog automobila u dinarima?
Prvi na~in a)12 999 + 18% ·12 999 Drugi na~in Ozna~imo sa x cenu sa porezom u evrima dinari
procenti
12 999
100
x
118
Mo`e{ koristiti digitron. 9
Patike ko{taju 7 340 dinara. Vlada je na prole}noj rasprodaji kupio patike po ceni ni`oj za 20%. Koliko je Vlada platio patike?
Prvi na~in 7 340 − 20% · 7 340 Drugi na~in dinari
procenti
7 340
100
x
80
10
Cena cipela smawena je sa 7 800 na 6 396 dinara. Koliko to sni`ewe iznosi u procentima?
11
Na prijemnom ispitu Nikola je od 17 zadataka ta~no uradio 15. Koliki je procenat ta~no ura|enih zadataka?
12
Pro{le {kolske godine u prvi razred gimnazije upisano je 180 u~enika. Ove godine upisano je 20% vi{e. Koliko je sada u~enika upisanih u prvi razred?
13
U prodavnici je u toku jedne nedeqe zbog lo{eg vremena prodaja ki{obrana porasla u odnosu na prethodnu nedequ za 24%, {to iznosi 30 komada. a) Izra~unaj koliko je ki{obrana prodato prethodne nedeqe, a koliko tokom te nedeqe. b) Izra~unaj koliko }e se ki{obrana prodati naredne nedeqe ako prodaja opadne za 10% u odnosu na tu nedequ.
14
Cena kilograma soli je 65 dinara. So je prvo poskupela za 10% , a onda je pojeftinila za 10%. Koliko iznosi cena kilograma soli posle pojeftiwewa?
Prvi korak Prvo izra~unaj cenu posle poskupqewa od 10%. Drugi korak Izra~unaj sni`ewe od 10% na cenu koju si dobio u prvom koraku. 115
15
Cena nekog proizvoda je 4 500 dinara. Posle pojeftiwewa od 12% do{lo je do poskupqewa od 5%. Kolika je cena proizvoda posle tih promena?
16
Od 120 u~enika {estog razreda 80% bavi se sportom, a od wih 50% trenira fudbal. Koliko u~enika {estog razreda trenira fudbal?
17
Na sajmu kwiga Janko je kwigu,s popustom od 15%, platio 676 dinara. Koliko je kwiga ko{tala pre pojeftiwewa?
Neka je x cena kwige pre pojeftiwewa. Kako je popust 15%, to zna~i da 85% od po~etne cene kwige iznosi 676 dinara. Prvi na~in 85% · x = 676 Drugi na~in
18
dinari
procenti
676
85
x
100
Nada je izvesnu sumu novca stavila na {tedwu. Posle godinu dana Nada je, uz dobijenu kamatu od 5%, na svom ra~unu imala 56 700 dinara. Kolika je suma koju je Nada dala na {tedwu?
Примена пропорција 1
Od kojih brojeva mo`e{ sastaviti proporciju? a) 15, 35, 9, 21
116
b) 0,25; 0,45; 0,6; 0,96
v) 3 5 ; 3 3 ; 6 1 ; 5 5 7 11 9 13
2
Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. a) 12 : 16 = 3 : x b) 99 : 72 = 4x : 32 v) 3 x : 8 = 9 3 : 17 1 10 15 4 3
3
Maja testo za kola~e pravi tako {to stavi 4 jajeta, 80 g {e}era i 100 g bra{na. Koliko je {e}era i bra{na Maji potrebno ako `eli da napravi testo od 6 jaja?
4
Polupre~nici krugova su u razmeri 3 : 4. Ako je polupre~nik maweg kruga 6 cm, izra~unaj obim i povr{inu ve}eg kruga.
5
U zelenoj zoni cene kilovat-sata (kWh) po ni`oj i vi{oj tarifi odnose se kao 1 : 4. Ukoliko je cena kilovat-sata po ni`oj tarifi 1,04 dinara, koliko }emo platiti ako potro{imo 238 kWh po vi{oj tarifi i 112 kWh po ni`oj tarifi?
6
Podeli broj 324 na dva dela koji se odnose kao 4 : 5.
7
Jedan unutra{wi ugao trougla je 63°, a druga dva ugla odnose se kao 4 : 5. Izra~unaj uglove trougla.
8
Podeli broj 700 na dva dela koji se odnose kao 1 : 1 2 3
Na primer, iz proporcije: a:b=2:3 zakqu~ujemo da su veli~ine a i b proprocionalne brojevima 2 i 3, {to zapisujemo: a = 2k b = 3k Sli~no tome, za tri veli~ine ili vi{e wih mo`emo formirati produ`enu proporciju. Na primer, zapis: a:b:c=5 :7:9 jeste produ`ena proporcija. Na osnovu produ`ene proporcije zakqu~ujemo da su veli~ine a, b i c, redom, proporcionalne bojevima 5, 7 i 9, odnosno da je: a = 5k b = 7k c = 9k
Потрошња електричне енергије у домаћинству Doma}instva pla}aju ra~un za elektri~nu energiju na osnovu utro{enih kilovat-sati. Utro{eni kilovat-sati, bez obzira na vrstu brojila, raspore|eni su po zonama na slede}i na~in: zelena do 350 kWh, plava od 351 do 1600 kWh i crvena od 1601 kWh. U svakoj zoni postoje dve tarife – vi{a je od 8 h do 24 h, a ni`a od 24 h do 8h.
117
Podeli 3 660 dinara na tri osobe tako da sume koje će one dobiti budu u odnosu 1 : 2 : 3. Re{ewe Obele`imo sa a deo sume koji će dobiti prva osoba, sa b deo sume koji će dobiti druga osoba, a sa c deo sume koji će dobiti tre}a osoba. zbir wihovih suma iznosi 3600 dinara a + b + c = 3660 a : b : c = 1 : 2 : 3 odnos wihovih suma je 1 : 2 : 3 a = k, b = 3k, c = 4k k + 2k + 3k = 3 660 6k = 3 660 k = 610 a = 610 dinara, b = 1 220 dinara, c = 1 830 dinara
Sumu od 3 600 dinara podelili smo na 6 jednakih delova. Prva osoba je dobila jedan takav deo, druga osoba dva takva dela, a tre}a tri.
9
Metalni nov~i} od dva australijska dolara napravqen je od legure bakra, cinka i nikla u razmeri 46 : 3 : 1. Ako je jedan takav nov~i} te`ak 10 grama, koliko kilograma bakra, cinka i nikla ima u 10 000 nov~i}a?
10
Izra~unaj unutra{we uglove trougla ako se oni odnose kao 2 : 3 : 4. Katete pravouglog trougla odnose se kao 3 : 4. Ako je du`ina hipotenuze 90 cm, izra~unaj obim i povr{inu trougla. Re{ewe Neka su a i b katete pravouglog trougla. a:b=3:4 a = 3k, b = 4k Da bismo izra~unali obim pravouglog trougla, neophodno je da primenimo Pitagorinu teoremu. a 2 + b2 = c 2 (3k )2 + (4k )2 = (90 cm)2 9k 2 + 16k 2 = 8100 cm2 25k 2 = 8100 cm2 k 2 = 324 cm2 k = 18 cm a = 54 cm, b = 72 cm O = 54 cm + 72 cm + 90 cm = 216 cm 54 cm + 72 cm = 1 944 cm2 P= 2
118
11
Odnos jedne katete i hipotenuze pravouglog trougla je 3 : 5. Ako je druga kateta du`ine 12 cm, izra~unaj obim trougla.
12
Stranice pravougaonika odnose se kao 7 : 5, a wegov obim je 48 cm. Izra~unaj povr{inu pravougaonika.
13
Aleksa put od 240 km automobilom pre|e za 3 sata. 1 h = 60 min
a) Koliko }e kilometara Aleksa pre}i za 4,5 sata ako se kre}e istom brzinom? b) Koliko mu je sati potrebno da pre|e 180 km ako se kre}e istom brzinom? 14
Celokupnu koli~inu peska sa jednog stovari{ta mo`e da razveze 16 kamiona nosivosti 5 t. Koliko je kamiona nosivosti 8 t potrebno da se razveze ista koli~ina peska?
15
Cena pakovawa od 2,5 kg luka iznosi 112,5 dinara. Koliko ko{ta pakovawe od 500 g luka?
16
Putni~ki voz pre|e razdaqinu izme|u dva grada za 1,5 h voze}i prose~nom brzinom od 80 km h a) Koliko bi vremena trebalo vozu da pre|e tu razdaqinu ako se kre}e prose~nom brzinom od 60 km ? h b) Kolika je prose~na brzina voza koji tu razdaqinu mo`e da pre|e za 1,2 sata?
17
Ra~un Infostana za mesec juli iznosi 2 870 dinara. Uplatom do 15. 7. ostvaruje se popust od 5%. Koliko iznosi ra~un u dinarima?
18
Za koliko }e sati pe{ak pre}i 7 km ako za 24 minuta pre|e 2 km?
19
Za jedan dan 25 radnika prose~no nabere 500 kg vi{awa. a) Koliko vi{awa nabere 15 radnika za jedan dan? b) Koliko je radnika potrebno da bi se u jednom danu nabralo prose~no 800 kg vi{awa? v) Koliko kilograma vi{awa prose~no nabere 25 radnika za pet radnih dana?
20
Kanal za vodovodne cevi iskopa 6 radnika za 8 sati. Koliko je radnika je potrebno da bi se taj isti kanal iskopao za 6 sati?
21
U fabrici bezalkoholnih pi}a jednom vrstom soka napuweno je 600 boca od 1,5 l. Koliko bi se fla{a zapremine 2l napunilo tim sokom?
22
Posle sni`ewa od 210 dinara pantalone se prodaju za 3 290 dinara. Koliko je sni`ewe u procentima?.
Prvo izra~unaj cenu pre sni`ewa
119
23
Prodajna cena patika je 6 420 dinara. Ako je trgova~ka mar`a 7%, kolika je nabavna cena patika?
nabavna cena + trgova~ka mar`a = prodajna cena
24
Cena nao~ara za sunce iznosi 2 500 dinara. Posle letwe sezone, cena tih nao~ara prvo je sni`ena za 40%, a onda za 10%. Kolika je cena nao~ara posle oba sni`ewa?
25
Kada je Sa{a pre{ao 150 m puta od ku}e do prodavnice, ostalo mu je da pre|e jo{ 60% puta. Koliko je prodavnica udaqena od Sa{ine ku}e?
26
Rastojawe izme|u Pariza i Wujorka ^arls Lindberg je 1927. godine prvi uspeo da km . preleti avionom za 33,5 sati, lete}i prose~nom brzinom od 167 h a) Tipi~ni putni~ki avioni, kao {to je boing 747, danas prele}u ovu relaciju prose~no za 7,5 sati. Kojom prose~nom brzinom danas lete putni~ki avioni? b) Najbr`i putni~ki avion konkord na ovoj relaciji leteo je prose~nom brzinom km . Koliko je sati prose~no trajao wegov let na toj relaciji? od 1526 h
Пробај и ово
120
27
Stranice pravougaonika su a = 20 cm i b = 12 cm. Za koliko }e se procenata pove}ati wegova povr{ina ako se stranica a pove}a za 20%, a stranica b smawi za 10%?
28
Sve`e gro`|e sadr`i 80% vode, a suvo 18% vode. Koliko kilograma sve`eg gro`|a treba za 16 kg suvog gro`|a?
29
Ruda sadr`i 60% primesa. Posle prerade metal sadr`i 6% primesa. Koliko se metala dobija iz 42 tone ove rude?
Prvi korak Izra~unaj a1 = a + 20%a i b1 = b − 10%b. Drugi korak Izra~unaj P1 = a1 · b1. Tre}i korak Razliku povr{ina P1 − P izrazi procentom u odnosu na povr{inu P.
Круг Централни и периферијски угао 1
Nacrtaj krug k(O, r = 3 cm) i centralne uglove α = 45° i β = 30°. Za svaki ugao nacrtaj i obele`i odgovaraju}u tetivu i oboj odgovaraju}i luk.
2
Nacrtaj centralni ugao i tri periferijska ugla koja odgovaraju obojenom luku date kru`nice. a) b) A
C
k D
O
k
O B
3
Nacrtaj i obele`i centralni ugao koji odgovara periferijskom uglu kruga na slici. Oboj i obele`i odgovaraju}i luk. a)
b) β
v) k
k
β k
O
O
4
O
β
Data je kru`nica k i periferijski uglovi na slici. Za svaki od wih nacrtaj i obele`i odgovaraju}i centralni ugao, odgovaraju}u tetivu i luk i popuni tabelu. k ugao odgovaraju}a tetiva odgovaraju}i luk
β
γ
δ
F β
A E
B γ
O
Q
M G
δ P
C
121
5
Izra~unaj ugao β na slici. a) k r 130°
b)
v) k
k
β
O r
r
O
O
r
60°
β
100° β
6
Izra~unaj uglove α i β na slici. a)
b)
k
k
r
40°
α O
β
r α
r
80°
β
7
O
Na osnovu slike popuni tabelu kao {to je zapo~eto. α
β
δ
g
ϕ
β δ
60°
ϕ
O α
60° 30° γ
8
Koliki je periferijski ugao nad pre~nikom kruga? Pravilan petougao ABCDE upisan je u krug K. Izra~unaj ugao: a) �ADB b) �EDB Re{ewe a) Neka je β = �ADB iznosi petinu kru`ne linije jer je u krug upisan Luk AB pravilan petougao. iznosi 72° jer luku AB Zna~i da centralni ugao nad lukom AB odgovara petina punog ugla. . Ugao β je periferijski ugao nad lukom AB Zakqu~ujemo da je β = 36°.
122
D β
E
A
C
B
D b) Neka je β = �EDB jednak je 2 kru`nice k. Luk EB β 5 C E je 2 punog ugla. Centralni ugao nad lukom EB 5 . Ugao β je periferijski ugao nad lukom EAB Zakqu~ujemo da je β = 72°. B A
9
D β
A
U krug je upisan pravilan mnogougao. Koji deo kru`nice odgovara periferijskom uglu β? Izra~unaj taj ugao. a)
b)
β
C
E
B
Odgovaraju}i luk ugla β u delu zadatka pod a) iznosi 2 opisane kru`nice. 8
v)
β β
10
Koliki je centralni, a koliki periferijski ugao, ako je odgovaraju}i luk: a) petina kru`nice
b) tre}ina kru`nice
v) ~etvrtina kru`nice
g) osmina kru`nice?
11
Izra~unaj centralni i periferijski ugao nad: 5 a) 3 kru`nice v) kru`nice. b) 5 kru`nice 12 5 9
12
Izra~unaj ugao β na slici. a)
k k
β β
O O 200°200°
b)
k k O O 212°212° β β
l
l U delu zadatka pod b) za ugao b odgovaraju}i centralni ugao je 360° – 212°
123
Krajwe ta~ke tetive AB kruga K dele kru`nicu na dva luka, l1 i l2. Doka`imo da je zbir periferijskih uglova nad lukovima l1 i l2 jednak 180°. Re{ewe Kru`nom luku l1 odgovaraju centralni ugao α1 i periferijski ugao β1, {to zna~i da je: α1 = 2β1 Kru`nom luku l2 odgovaraju centralni ugao α2 i periferijski ugao β2, {to zna~i da je: α2 = 2β2 l2 Kako je α1 + α2 = 360°, sledi da je: 2β1 + 2β2 = 360° β1 α 2 β1 + β2 = 180° α1 A β2 B l1
13
Tetiva kruga jednaka je polupre~niku. Koliki je centralni ugao nad tom tetivom? Koliki je periferijski ugao nad tom tetivom?
14
^etvorougao ABCD upisan je u kru`nicu k. Ako je �ABC = 122° i �BCD = 88°, izra~unaj ostale unutra{we uglove tog ~etvorougla.
15
^etvorougao ABCD upisan je u kru`nicu k. Ako su �ABC = 108°, �BCD = α i �CDA = α + 10°, izra~unaj α.
Ta~ke A i B dele kru`nicu na lukove l1 i l2 za koje va`i l1 : l2 = 2 : 3. Koliki su periferijski uglovi nad tim lukovima? Re{ewe Neka su α1 i α1 odgovaraju}i centralni uglovi, a b1 i b2 periferijski uglovi. Du`ina luka i centralni ugao direktno su proporcionalne veli~ine, pa je: α1 : α2 = 2 : 3 Primenimo svojstva proporcije. l2 α1 : 2 = α2 : 3 = k α1 : 2 = k i α2 : 3 = k α1 = 2k i α2 = 3k α2 Znaju}i da je α1 + α2 = 360°, dobijamo: 2k + 3k = 360° α1 5k = 360° k = 72° α1 = 144°, α2 = 216° l1 β1 = 72°, β2 = 108°
124
16
Izra~unaj periferijske uglove β i γ nad lukovima l1 i l2 ako je: b) l1 : l2 = 2 : 7 v) l1 : l2 = 7 : 5 a) l1 : l2 = 1 : 5
17
Ta~ke A, B i C dele kru`nicu u odnosu 2 : 3 : 3. Izra~unaj uglove trougla ABC.
18
Doka`i da je centralni ugao α kruga dva puta ve}i od odgovaraju}eg periferijskog ugla β kada centar O kruga ne pripada periferijskom uglu β. k
k
D α
A
O
A β
C
A
α1
α2 O α
k
BB
k
D
O
C
β
B
Nacrtaj pre~nik CD kruga K. Odredi uglove α1, α2, β1 i β2. Va`i α = α2 − α1 i β = β2 − β1 .
A
C β2
β1
α1
α2 O C B
β2 β1
Обим круга 1
Izra~unaj obim kruga (π = 3,14) ako je: a) r = 5 cm
2
b) r = 1,2 cm
v) r = 0,25 cm
g) r = 35 cm
Izra~unaj obim kruga (π = 3,14) ako je du`ina pre~nika: a) 42 cm
b) 24,5 cm
v) 15,4 cm
3
Izra~unaj polupre~nik kruga (π ≈ 22 ) ako je obim: 7 a) 11 cm b) 220 cm
4
Koliko je `ice potrebno da se naprave olimpijski krugovi ako je polupre~nik svakog kruga 10 cm (π ≈ 3,14).
125
5
Koliko }e se puta pove}ati pre~nik kruga ako se obim pove}a: a) dva puta
6
Slede}i primer mo`e ti pomo}i da re{i{ zadatke 5 i 6:
b) pet puta?
Obimi dva kruga su 8π i 16π. Izra~unaj wihove polupre~nike i odredi wihovu razmeru.
Koliko }e se puta smawiti obim kruga ako se polupre~nik smawi: a) dva puta
b) pet puta?
7
Koliko metara satenske trake treba kupiti da bi se op{io stoqwak pre~nika 1,5 m (π = 3,14)?
8
Polupre~nik to~ka bicikla je 45 cm. Koliki put pre|e Milan biciklom ako se to~ak okrene 100 puta?
9
Izra~unaj obim polukruga na slici.
Prvo izra~unaj obim to~ka.
Obim figure jeste du`ina linije koja je ograni~ava.
r = 2 cm
10
Izra~unaj obim figure na slici. a) b)
v)
30 mm 10 mm 30 mm
11
12
126
30 mm
10 mm
Ako je r1 = 4 cm i r2 = 6 cm, izra~unaj obim osen~ene figure na slici.
r1
r2
Od `ice du`ine 12 m napravqena je kru`nica. Koliki je pre~nik te kru`nice? Za π uzeti 3,14. Rezultat zaokru`i na dve decimale.
10 mm
13
Koliko }e se puta okrenuti to~ak automobila pre~nika 80 cm na putu od 3 140 km. Za π uzeti 3,14.
14
Planete Zemqa, Mars i Venera kru`e oko Sunca. Koliko je svaka od wih udaqena od Sunca ako su du`ine wihovih putawa: • Zemqe: 942 000 000 km • Marsa: 1 431 840 000 km • Venere: 678 240 000 km?
U zadatku je uzeto da je putawa planeta koje se kre}u oko Sunca kru`na. Za π uzeti 3,14.
15
Izra~unaj obim kruga opisanog oko pravouglog trougla s katetama du`ine 4 cm i 3 cm.
16
Du`ina stranice jednakostrani~nog trougla je 6 cm. Izra~unaj obim kruga: a) opisanog oko tog trougla
b) upisanog u taj trougao.
Znamo da su polupre~nik opisane i polupre~nik upisane kru`nice jednakostrani~nog trougla redom: ro = 2 h i ru = 1 h 3 3 Kako je h = a 3 , sledi da je: 2 ro ru ro = a 3 i ru = a 3 a 3 6
17
Stranica kvadrata je 6 cm. Izra~unaj obim kruga:
a) ru = a , ro = d = a 2 2 2 2
a) opisanog oko tog kvadrata b) upisanog u taj kvadrat.
Podseti se formula za izra~unavawe polupre~nika upisanog i opisanog kruga preko stranice kod kvadrata, jednakostrani~nog trougla i pravilnog {estougla. Pogledaj stranu 64 u zbirci.
ro
ru a
18
Za koliko se razlikuju obimi opisanog i upisanog kruga pravilnog {estougla sa stranicom du`ine 1,2 cm?
Polupre~nici opisane i upisane kru`nice pravilnog {estougla su: ro = a, ru = a 3 2 127
19
Obim kruga upisanog u kvadrat iznosi 8,8 cm. Izra~unaj stranicu kvadrata. Neka je π ≈ 22 . 7
20
Biciklista vozi istom brzinom po kru`noj stazi pre~nika 80 m. Ako za jedan minut pre|e 314 m, za koliko }e minuta obi}i stazu 5 puta?
21
Koliko granitnih plo~ica treba da se postavi po obodu kru`nog travwaka na slici ako su dimenzije plo~ica 30×30 cm. r = 5m
22
Na kru`noj povr{ini obima 400 m napravqeni su pe{a~ka staza {irine 3 m i kru`ni travwak kao na slici. Koliko je metara `ice potrebno da bi se travwak ogradio? Potrebne vrednosti zaokru`i na jedinice.
23
Obim kruga opisanog oko pravougaonika je 8π cm. Ako je du`ina jedne stranice 4 cm kolika je du`ina druge stranicae pravougaonika?
24
Izra~unaj obim: a) ~etvrtine kruga
b) {estine kruga. 90°
90° 60°
60°
r = 2 cm
r = 2 cm
Дужина кружног лука и обим круга 1
Polupre~nik kruga je 4 cm. Izra~unaj du`inu luka koji je jednak: a) polovini kru`nice
2
v) petini kru`nice.
Izra~unaj du`inu luka kru`nice polupre~nika 3 cm ako je odgovaraju}i centralni ugao: a) 30°
128
b) ~etvrtini kru`nice
b) 75°
v) 100°
g) 156°
d) 225°
r
Dijagonala pravougaonika je jednaka pre~niku opisanog kruga.
r = 2 cm
r = 2 cm
3m
3
Koliki je pre~nik kruga (π ≈ 22 ) ako je centralni ugao 45°, a du`ina luka: 7 a) 1,1 cm b) 13,2 cm v) 55 cm?
4
Koliki je centralni ugao kruga polupre~nika 4 cm ako je du`ina luka: a) 1,2π cm
5
b) 15′
v) 200′
g) 1000′
Izra~unaj du`inu luka kruga s polupre~nikom du`ine 6 cm ako je centralni ugao: a) 22°30′
7
v) 1π cm?
Izra~unaj du`inu luka kruga s polupre~nikom du`ine 6 cm ako je centralni ugao: a) 10′
6
b) 7,2π cm
b) 52°30′
v) 33°45′
g) 7°15′
Koliki ugao opi{e ta~ka na ekvatoru pri rotaciji Zemqe oko svoje ose za:
Pretvori minute u stepene. ° Na primer: 6′ = 1 10
( )
45′ =
( 6045 )° = ( 34 )°
° 33°45′ = 135 4
( )
Za 24 sata ta~ka opi{e pun ugao.
a) 1 sat b) 3 sata v) 10 minuta? Ako du`ina polupre~nika Zemqe iznosi 6 370 km, koliki put pre|e ta ista ta~ka za dato vreme?
8
Koliki ugao opi{e velika kazaqka na satu za: a) 1 minut
Za jedan minut velika kazaqka opi{e {ezdeseti deo punog ugla.
b) 12 minuta v) 5 minuta?
129
9
Koliki put pre|e vrh velike kazaqke du`ine 8 cm na satu za: a) 1 minut
b) 15 minuta
v) 20 minuta
g) 45 minuta?
10
Koliki ugao opi{e mala kazaqka na satu za: a) 1 sat b) 1 sat i 15 minuta v) 50 minuta?
11
Koliki put pre|e vrh male kazaqke du`ine 6 cm na satu za: a) 1 sat
b) 30 minuta
Za jedan sat mala kazaqka opi{e dvanaestinu punog ugla
v) 1 sat i 10 minuta
g) 3 sata i 20 minuta?
12
Kolika je du`ina velike kazaqke na satu ako je wen vrh pre{ao 125,6 cm za 40 minuta?
13
Beograd se nalazi na pribli`no 45° geografske {irine. Koliko je Beograd udaqen od ekvatora ako je polupre~nik zemqe 6 370 km?
45°
14
Obojena linija sastoji se od delova kru`nih linija. Izra~unaj wenu du`inu.
2 cm
15
4 cm
Izra~unaj obim osen~ene figure ako je du`ina stranice kvadrata 2 cm.
130
3 cm
a)
b)
v)
Пробај и ово 16
Izra~unaj du`inu obojene linije na slici.
a)
b)
2 cm
2 cm
2 cm
1 cm
Површина круга 1
Izra~unaj povr{inu kruga ako je dat polupre~nik. Za π uzeti 3,14. a) r = 2,5 cm b) r = 0,8 cm v) r = 5 cm 4
2
Pre~nik kruga iznosi 12,6 cm. Izra~unaj obim i povr{inu. Za π uzeti 22 . 7
3
Popuni tabelu. r
2r
O
P
6 cm 16,6 cm 24π cm 6,25π cm2 4
Ako polupre~nik kruga smawi{ sa 1 dm na 0,1 dm, koliko }e se puta smawiti povr{ina kruga?
5
Kako }e se promeniti povr{ina kruga polupre~nika 2,5 cm ako se polupre~nik pove}a 4 puta?
6
Koliko }e se puta smawiti povr{ina kruga ako se polupre~nik smawi 3 puta? 131
7
Izra~unaj povr{inu kruga ako centralnom uglu od 45° odgovara luk du`ine 12,56 cm.
8
Izra~unaj obim kruga ako je povr{ina jednaka: a) 144π cm2
9
b) 0,64π cm2
v) 2,56π cm2
Krug je upisan u jednakostrani~ni trougao i opisan oko wega. Koji deo opisanog kruga zauzima upisani krug?
ro = 2ru ro
ru a
10
U kvadrat sa stranicom du`ine 4 cm upisan je krug. Koji deo kvadrata u procentima ~ini krug?
11
Od pravougaonika stranica 4 cm i 6 cm je izrezan najve}i krug. Izrazi u procentima koji deo pravougaonika je otpao?
12
Oko kvadrata opisan je krug povr{ine 64π cm2. Kolika je povr{ina kvadrata?
13
Oko pravilnog {estougla sa stranicom du`ine 6 cm opisan je krug. Izra~unaj povr{inu tog kruga. Kolika je povr{ina upisanog kruga?
14
Od kartona oblika kvadrata sa stranicom du`ine 6 cm izrezani su krugovi kao {to je prikazano na slici. Koliko je procenata kartona otpalo? a) b)
15
U deo parka oblika kruga pre~nika 6 m treba zasaditi zimzeleno grmqe. Koliko grmova treba zasaditi ako je za jedan grm potrebno najmawe 1,2 m2 zemqi{ta?
a = 2ru 4 cm
132
16
U jednoj ba{ti zasa|ene su lale u 3 kru`ne aleje pre~nika tri metra. Koliko je lala ukupno zasa|eno ako na jednom kvadratnom metru mo`e da se zasadi 20 lala?
17
Pekar Pera pe~e keks u obliku kruga i odozgo ga preliva ~okoladom. Za povr{inu od 1 cm2 potrebno je 2 g ~okolade. Koliko }e komada keksa Pera preliti sa 200 g ~okolade ako je pre~nik jednog keksa: a) 3 cm
b) 4 cm?
18
Povr{ina kruga je 100π cm2. Ako se povr{ina kruga pove}a za 44%, za koliko }e se procenata pove}ati obim kruga?
19
Obim kruga iznosi 200π cm. Ako se obim pove}a za 10%, za koliko }e se procenata pove}ati povr{ina kruga?
20
Od polukruga kao na slici izrezan je najve}i krug. Koliki je polupre~nik tog kruga? Kolika je povr{ina otpalog dela? r = 4 cm
Пробај и ово 21
Od kruga polupre~nika 6 cm izre`i tri najve}a podudarna kruga. Koliki je wihov polupre~nik? Koliko je materijala u procentima otpalo?
22
U krug su upisana ~etiri najve}a mogu}a podudarna kruga. Ako je polupre~nik maweg kruga 2 cm, koliki je polupre~nik velikog kruga?
133
Површина круга и кружних делова 1
Kom delu kruga odgovara osen~eni ise~ak? Ako je polupre~nik kruga 3 cm, izra~unaj povr{inu osen~enog ise~ka. a)
b) 90°
v) 120°
g) 150°
2
Koliki je centralni ugao kruga ako je povr{ina ise~ka jednaka: a) polovini kruga b) tre}ini kruga v) 2 kruga? 5
3
Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako je: a) α = 36° i r = 2 cm
b) α = 125° i r = 2,4 cm
v) α = 270° i r = 2 cm
g) α = 300° i r = 3 cm
225°
4
Od kruga polupre~nika 4 cm odse~en je ise~ak ~ija je povr{ina jednaka petini kruga. Koliki je centralni ugao? Koliki je obim tog ise~ka?
5
Du`ina ~etvrtine kru`nice je 12π cm. Koliki je polupre~nik te kru`nice? Koliki je centralni ugao? Kolika je povr{ina ise~ka?
Obim ise~ka je zbir du`ina odgovaraju}eg luka i polupre~nika.
Izra~unaj povr{inu ise~ka ako je l = 2π cm i r = 6 cm. Re{ewe rπ ⋅ α Zamenimo veli~ine l i r u jedna~ini l = datim vrednostima i izra~unajmo ugao α. 180° 6π ⋅ α = 2π 180° k π ⋅ α = 2π 30° r
α = 600 Primenimo formulu za izra~unavawe povr{ine ise~ka.
Pi
134
36π 60° = 6π cm2 360°
α l
O
Poka`imo da se povr{ina kru`nog ise~ka mo`e izraziti pomo}u du`ine odgovaraju}eg r 2π α luka i polupre~nika kruga. Formulu za povr{inu ise~ka Pi mo`emo 360° zapisati na slede}i na~in: Pi = r π ⋅ r ⋅ α 180°⋅ 2 π α⋅ P i 180° 2 rπ Znaju}i da je l α, zakqu~ujemo da je: 180° Pi = l ⋅ r 2 6
Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako su: a) l = 15π cm i r = 4 cm
7
b) l = 2π cm i r = 4 cm
Izra~unaj polupre~nik kruga ako su: a) Pi = 2π cm2 i l = 2π cm
8
b) Pi = 4π cm2 i l = 1,8π cm
v) Pi = 4,6 cm2 i l = 5 cm
Izra~unaj du`inu kru`nog luka ako je polupre~nik kruga 1,5 cm, a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka: a) P = 3π cm2
9
v) l = 6π cm i r = 1,5 cm
b) P = 1,2π cm2
Izra~unaj povr{inu kru`nog prstena ako su: a) r1 = 2 cm i r2 = 3,5 cm
b) r1 = 5 cm i r2 = 10 cm
10
Izra~unaj obim i povr{inu kru`nog prstena ako su: a) r1 = 2 cm i r2 = 0,5r1 b) r1 = 2 cm i r2 = 3 r1 4
11
Krug je upisan u pravilan mnogougao sa stranicom du`ine 6 cm i opisan oko wega. Izra~unaj povr{inu kru`nog prstena izme|u ta dva kruga ako je: a) n = 3
b) n = 4
Obim kru`nog prstena jeste zbir obima kru`nica.
v) n = 6
12
[irina kru`ne staze posute {qunkom je 3 m. Kolika je povr{ina staze ako je unutra{wi polupre~nik 4 m?
13
Na slici su ~etiri koncentri~na kruga. Polupre~nik najmaweg kruga je 1 cm, a svakog slede}eg za 1 cm vi{e. Izra~unaj povr{ine obojenih kru`nih prstenova. Odredi razmeru povr{ina sivog i plavog prstena.
r
135
14
Povr{ina kru`nog prstena je P = 144π cm2. Ako je polupre~nik spoqa{weg kruga 20 cm, koliki je polupre~nik unutra{weg kruga?
15
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure na slici.
a)
b)
v)
2 cm
b)
v)
Koji deo kvadrata u procentima zauzima obojena figura na slici? a)
18
b)
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure na slici ako je du`ina stranice trougla 2 cm. a)
136
4 cm
4 cm
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure na slici ako je stranica kvadrata du`ine 2 cm. a)
17
2 cm
2 cm
2 cm 16
Na ovim crte`ima povr{ina kru`nog ise~ka jednaka je ~etvrtini kruga.
b)
v
19
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure na slici ako je du`ina stranice {estougla 2 cm. a)
20
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure ako je polupre~nik ve}eg ise~ka 4 cm, a maweg 3 cm: a)
90°
21
b)
b)
v)
60°
g)
225°
150°
Planirano je da se u prole}e zeleno ostrvo na trgu kru`nog oblika uredi kao {to je prikazano na slici. Kolika je povr{ina aleje na kojoj su zasa|ene begonije? Koji deo ostrva u procentima zauzimaju lale? Koji je deo zelenog ostrva prekriven travom? r=1m r=5m
r=8m
r=3m
zumbul crvene lale žute lale begonija petunije lepi jova dan i noć
137
Пробај и ово
22
Izra~unaj obim i povr{inu obojene figure ako je polupre~nik ise~ka 4 cm. a)
b)
90°
23
24
60°
v)
120°
Povr{ina crnog prstena je 3,04π cm2, plavog 7,2π cm2, sivog 3,51π cm2. Ako je povr{ina belog kruga 2,25π cm2, koliki su polupre~nici odgovaraju}ih krugova?
r
Izra~unaj povr{inu osen~ene figure. 90° 90° 4 cm 5 cm
138
Kруг - систематизација 1
Popuni tabelu obojeni luk r = 1 cm
2
centralni ugao
30°
deo kru`nice
300 = 1 3600 12
du`ina luka
π cm 6
45°
60°
120°
270°
120°
270°
1 4
Popuni tabelu osen~ena figura r = 1 cm centralni ugao
30°
deo kruga
300 = 1 3600 12
povr{ina
π cm2 12
60°
1 8 π cm2 4
139
Сличност троуглова Размера дужи 1
2
Napi{i razmeru du`i ~ije su du`ine date u tabeli. a
b
c
4 cm
2 cm
6 cm
1,2 cm
3 cm
0,8 cm
2m
35 cm
2 dm
1 cm 3
1 1 cm 3
2 cm 5
2 cm
2 2 cm
6 cm
b) 15 : 45
1 : 11 = 1 : 4 = 4 = 4 : 1 3 3 3 1 3
c:a
v) 45 : 15
g) 48 : 30
d) 40 : 48
U kojoj je razmeri nacrtan crte` ako je: a) visina ku}e 9 m
b) visina ~a{e 8 cm
v) pre~nik dugmeta 12 mm.
5 mm
5 mm 5 mm
140
b:c
Koja je razmera jednaka razmeri 6 : 5? a) 16 : 30
3
a:b
5 mm
5 mm 5 mm
4
Marija i wena mla|a sestra Qiqa izmerile su svoje visine, 1,66 m i 1,02 m. U kojoj su razmeri wihove visine?
5
Ajfelova kula visoka je 324 m. U kojoj razmeri treba napraviti wenu maketu tako da visina bude 30 cm?
6
\or|e je od letvice du`ine 120 cm odrezao kra}u letvicu du`ine 36 cm. a) Koji je deo prvobitne letvice odrezao \or|e? b) U kojoj su razmeri delovi prvobitne letvice?
7
Du` AB podeqena je ta~kama C, D i E na ~etiri jednaka dela. Napi{i razmeru: a) AC : CB
8
b) AD : DB
v) AB : CD
g) AD : AB
a) Neka ta~ka C deli du` AB u razmeri AC : CB = 4 : 5. Napi{i razmere AC : AB i AB : CB. b) Neka ta~ka M deli du` BC u razmeri BM : BC = 3 : 8. Napi{i razmere BM : MC i MC : BC.
9
10
Uprosti razmere du`i. a) 18 dm : 0,8 dm
b) 8,4 m : 2,1 m
v) 25 m : 300 m
g) 2,5 mm : 2 cm
Napi{i razmeru kao koli~nik dva uzajamno prosta broja. Na primer: 4 cm : 2 cm = 2 : 1
Uprosti razmere du`i. a) 16 dm : 0,8 m
b) 8 m : 2 km
v) 25 mm : 300 m
11
Bojan i Petar vozili su bicikle. Za jedan sat Bojan je pre{ao 24 km, a Petar 3 km mawe. U kojoj su razmeri putevi koje su oni pre{li?
12
U kojoj su razmeri polupre~nik opisanog kruga i stranica:
g) 2 mm : 2,5 km
a) jednakostrani~nog trougla b) kvadrata v) pravilnog {estougla. 13
Du` AB podeqena je ta~kama M, P, Q na du`i du`ina 4 cm, 8 cm, 3 cm i 9 cm. Napi{i razmere du`i: AM : AB, MP : MQ, PB : MP, AQ : PB i MQ : AB.
14
Pravougaona parcela dimenzija 400 m × 250 m predstavqena je na crte`u pravougaonikom sa stranicama du`ine 8 cm i 5 cm. U kojoj je razmeri nacrtana parcela?
15
Jelena je nacrtala skicu bazena u obliku pravougaonika dimenzija 10 cm × 15 cm. Ako su stvarne dimenzije bazena 45 m × 30 m, da li je Jelena nacrtala odgovaraju}u skicu? 141
16
Date su du`i a = 12 cm i b = 20 cm. Napi{i wihovu razmeru. a) Ako kra}u du` pove}a{ za 4 cm, napi{i wihovu razmeru. b) Ako du`u du` smawi{ za 4 cm, napi{i wihovu razmeru. v) Ako obe du`i pove}a{ za po 8 cm, napi{i wihovu razmeru.
17
Nacrtaj dve du`i u razmeri: a) 3 : 4
18
b) 5 : 2
g) 0,1 : 1,2?
Na polupravoj Ox data je ta~ka A. Konstrui{i ta~ku A1 tako da je: a) OA : OA1 = 1 : 2
19
v) 120 : 200
b) OA : OA1 = 2 : 3
v) OA : AA1 = 1 : 3
Stranice trougla su: a = 3,2 cm, b = 5,6 cm i c = 4 cm. Napi{i i uprosti razmere: a) a : b
b) b : c
v)c:a
20
Na geografskoj karti razmere 1 : 300 000 rastojawe izme|u dva mesta iznosi 12 cm. Koliko je stvarno rastojawe izme|u tih mesta?
21
Za predstavqawe du`ina objekata u ravni koristimo razmeru a : b, gde je a du`ina odgovaraju}eg objekta na crte`u ili du`ina lika, a b stvarna du`ina objekta ili du`ina originala. Izra~unaj i popuni tabelu.
22
razmera
1 : 20
du`ina originala b
5 cm
b) Izra~unaj du`ine du`i p i q.
Izra~unaj du`inu nepoznate du`i: a) b : a = 1 : 20 za a = 150 cm b) a : s = 0,1 : 3 za a = 9 cm v) t : c = 8 za t = 12 dm
142
100 : 1
1500 : 1
3 km 40 cm
Du` m du`ine 30 cm podeqena je na du`i p i q tako da je p : q = 2 : 3. a) Koji je deo du`i m du` p, a koji du` q?
23
du`ina lika a
1 : 300
30 mm
24
Du`i a i b stoje u razmeri 2 : 3. Ako je du`ina kra}e du`i 25 cm, kolika je du`ina du`e du`i?
25
Jovanka je na crte`u prikazala svoju sobu u obliku pravougaonika dimenzija 4,5 cm × 3,5 cm. Kolike su stvarne dimenzije wene sobe ako je crte` prikazan u razmeri 1 : 20.
26
Mina je nacrtala kvadrat sa stranicom du`ine 6 cm. Milica je dobila zadatak da nacrta kvadrat ~ija je stranica sa stranicom datog kvadrata u razmeri 2 : 3. Kolika je du`ina stranice Mili~inog kvadrata? Koliki su obimi Mininog i Mili~inog kvadrata? Kolika je wihova razmera?
27
Zora je nacrtala du` a. Bo{ko je nacrtao du` b koja iznosi 2 du`i a. 3 U kojoj su razmeri Zorina i Bo{kova du`?
28
Ako je a = 2 cm, b = 15 cm i c = 12 cm, izra~unaj du`inu du`i d tako da je: a) a : b = c : d
b) a : d = c : b
v) d : b = a : c
29
Stranice pravougaonika odnose se kao 4 : 5. Izra~unaj povr{inu pravougaonika ako je du`a stranica 25 cm.
30
Stranice pravougaonika stoje u razmeri 3 : 4. Ako je obim pravougaonika 70 cm, izra~unaj du`inu stranice.
31
Du`ine osnovice i kraka jednakokrakog trougla odnose se kao 4 : 7. Ako je obim trougla 108 cm, izra~unaj du`ine osnovice i kraka. Dijagonale romba stoje u razmeri 4 : 5, a wegova povr{ina je 640 m2. Izra~unaj du`ine dijagonala romba. Решење Kako je d1 : d2 = 4 : 5, to je: d1 = 4 k i d2 = 5 k , k > 0 Primenimo formulu za povr{inu romba: d ⋅d P= 1 2 2 4k ⋅ 5k = 640 m2 2 10k 2 = 640 m2 k2 = 64 m2 k=8m d1 = 32 m, d2 = 40 m 143
32
Povr{ina pravougaonika je 375 cm2, a odnos wegovih stranica 3 : 5. Izra~unaj obim pravougaonika.
33
Visina i osnovica jednakokrakog trougla odnose se kao 5 : 4. Ako je povr{ina trougla 160 cm2, izra~unaj du`inu kraka.
34
a) Poka`i da su du`i a = 4 cm, b = 7 cm, c = 3,2 cm, d = 2
samerqive sa du`i m = 0,8 cm.
3 cm 5
b) Poka`i da du` e = 2 2 cm nije samerqiva sa du`i m = 0,8 cm. 35
Da li su slede}e du`i samerqive: a) stranica i dijagonala kvadrata b) stranica kvadrata i polupre~nik upisanog kruga v) kra}a dijagonala pravilnog {estougla i polupre~nik upisanog kruga g) stranica i visina jednakostrani~nog trougla d) polupre~nik opisanog i polupre~nik upisanog kruga jednakostrani~nog trougla?
36
Napi{i i uprosti razmeru a : b : c ako je: a) a = 8 cm, b = 12 cm, c = 20 cm
b) a = 2,5 cm; b = 3,5 cm; c = 40 cm
Ako je razmera tri du`i 2 : 3 : 5, a du`ina najkra}e du`i jednaka 5 cm, izra~unaj du`ine druge dve du`i.
38
Du`a osnovica jednakokrakog trapeza je a = 12 cm, a osnovice i visina odnose se kao 2 : 4 : 3. Izra~unaj du`ine kra}e osnovice i visine trapeza.
39
Obim jednakokrakog trapeza je O = 80 cm, a osnovice i krak odnose se kao 3 : 5 : 4. Izra~unaj du`inu osnovica i kraka trapeza.
Пробај и ово
40
a) Ako je a : b = 1 : 5 i b : c = 5 : 3, koliko je a : c? b) Ako je a : b = 3 : 5 i b : c = 2 : 7, koliko je a : c?
41
144
a:b:c=2:3:5 a = 2k, b = 3k, c = 5k
37
U kojoj su razmeri du`i a i c ako su: b) a = 1,5b i b = 1 c a) a = 2 b i b = 5 c 5 3 2
v) a = 2 b i b = 0,3c 5
Подела дужи на једнаке делове 1
Podeli du` du`ine 12 cm na: a) 5 jednakih delova
2
b) 10 jednakih delova.
Konstrui{i ta~ku M na datoj du`i AB tako da je: a) AM : MB = 6 : 7
3
b) AM : MB = 11 : 2
Konstrui{i ta~ku M na datoj du`i AB tako da je: a) AB : MB = 3 : 2
4
b) MB : AM = 4 : 3
Na polupravoj OA konstrui{i ta~ku A1 tako da je: a) OA : OA1 = 2 : 1
5
b) OA1 : OA = 4 : 3
v) OA : AA1 = 2 : 3
Nacrtaj brojevnu pravu s jedini~nim du`ima du`ine 2 cm.
( ) ( ) ( ) (
Predstavi ta~ke: A 1 2 , B 2 1 , C − 1 , D −2 2 3 6 3 5 6
)
Za odre|ivawe ta~ke A podeli jedini~nu du` izme|u ta~aka s koordinatama 1 i 2 na tri jednaka dela.
Nacrtaj u svesci brojevnu pravu kao na slici, a zatim odredi ta~ku B(1). A 0
7
1 1 3
( )
( )
a) Ta~ke A − 2 i BA 1 pripadaju brojevnoj B pravoj na slici. Odredi ta~ke O(0) i C(2). 3 3 A2
B1
3 2 3
3 1 3
− −
b) Ta~ke A(−3) i B(2) pripadaju brojevnoj pravoj na slici. Odredi ta~ke O(0), C(3). A
B
−3A
B2
−3
2
145
8
Predstavi ta~ke A(1 1 , 0) i B( 4 , 2) u koordinatnoj ravni. Du`ina jedini~ne du`i je 7 mm. 5 3
9
Izra~unaj nepoznatu du` x na slici ako je AB DE i AD : DC = 1 : 3.
C 18 cm E
D A
10
Kraci ugla �pOq prese~eni su paralelnim pravama AC i BD. Ako je OC = 6 cm, CD = 2 cm i OA = 12 cm, izra~unaj AB. A
q
B O D
p
11
C
Kraci ugla A prese~eni su paralelnim pravama BC i DE. Izra~unaj du`inu du`i AD ako je AC : AE = 4 : 5 i BD = 12. Du`ine du`i date su u centimetrima. A
12
Izra~unaj du`inu nepoznate du`i ako su prave a, b, c paralelne.
E C
B
D
m m
c 28
32 cm
24 cm
a
c
b
Слични троуглови 1
Objasni za{to su trouglovi ABC i DEF sli~ni. Koja stranica trougla DEF odgovara stranici AB trougla ABC/ C
D
A 146
100°
30°
B
E
30°
50°
F
x
B
2
Dati su uglovi dva trougla. Proveri da li su trouglovi sli~ni. a) 60°, 45° i 75°, 45°
3
b) 120°, 14° i 100°, 24°
v) 33°, 60° i 87°, 33°
Objasni za{to su trouglovi ABC i DEF sli~ni. D
A
B
42°
F
48°
C E
Dva pravougla trougla su sli~na ako je jedan o{tar ugao jednog trougla jednak o{trom uglu drugog trougla.
4
Trouglovi na slici su jednakokraki, CB =AC i DF = EF. Poka`i da su sli~ni. a)
F
b) B
30°
E
D
D
C
30°
C
A
A
50°
50°
B
E
80°
Dva jednakokraka trougla su sli~na ako je ugao na osnovici jednog trougla jednak uglu na osnovici drugog trougla. Dva jednakokraka trougla su sli~na ako je ugao pri vrhu jednog trougla jednak uglu pri vrhu drugog trougla. 5
Dat je po jedan o{tar ugao ugao dva pravougla trougla. Proveri koji su od wih sli~ni. F a) 45° i 35°
6
b) 22° i 88°
v) 65° i 25°
g) 50°30′ i 39°30′.
Ako su prave AB i CD paralelne, poka`i da su trouglovi AOB i DOC sli~ni. D B O A
C 147
7
^etvorougao ABCD je trapez. Doka`i da je ∆ABE ∼ ∆CDE. C
D E
B
A
8
Trougao ABC je jednakokraki trougao (AC =BC). Trouglovi ADC i CDE su sli~ni. Za wihove uglove va`i: �ADC = �CED i �ACD = �DCE (jer je du` CD visina trougla ABC koja odgovara osnovici). Prona|i jo{ dva para sli~nih trouglova na slici.
Visina jednakokrakog trougla koja odgovara osnovici polovi ugao pri vrhu.
C
E A
9
D
B
Trouglovi ABC i A1B1C1 su sli~ni. Poka`i da su trouglovi ACM i A1C1M1 sli~ni. A
10
C1
C
B A1
M
Trougao ABC na slici je pravougli trougao i CD je visina koja odgovara hipotenuzi. Poka`i da va`i: a) ∆ABC ∼ ∆ACD b) ∆ABC ∼ ∆CBD v) ∆ADC ∼ ∆CDB
M1
Uglovi CAD i BCD su jednaki kao uglovi sa normalnim kracima.
C
C A
11
D
B
Navedi bar tri para sli~nih trouglova sa slike. Napi{i parove odgovaraju}ih stranica. A
148
B1
D
E
F
B
12
Ako su ta~ke G i F sredi{ta stranica AC i AB trougla ABC, napi{i sve parove sli~nih trouglova. a)
b)
C
C D
G F A
D
F
E
A
B
E
B
C
13
Ta~ke D, E, F jesu sredi{ta stranica trougla ABC, a ta~ke P, Q i M sredi{ta stranica trougla DEF. b) Napi{i razmeru stranica trouglova: ABC i DEF, ABC i PQM, DEF i PQM.
14
M
F
a) Doka`i da su trouglovi ∆ABC, ∆DEF i ∆PQM sli~ni.
A E
D
Poka`i da su sli~ni trouglovi:
F
O F
M
Petougao ABCDE je pravilan, a ta~ke M, H, G i F jesu sredi{ta du`i AB, AC, AD, i AE. Doka`i:
Koristi svojstvo sredwe linije trougla.
E
a) ∆ABC ∼ ∆AMH,
b) Napi{i razmeru wihovih odgovaraju}ih stranica.
B
G
E
∆ACD ∼ ∆AHG, ∆ADE ∼ ∆AGF
C
O
A
Doka`i da su trouglovi EMO i EFG sli~ni. U kojoj su razmeri odgovaraju}e stranice?
B
D
b) Napi{i razmeru wihovih odgovaraju}ih stranica.
16
Q
P
a) ∆ABO i ∆ABC b) ∆AFO i ∆ABC v) ∆ABO i ∆AFO.
15
E
F G
A
D
H
M B
C
149
17
Nacrtaj proizvoqan trougao DEF. Na stranici EF odaberi dve ta~ke, M i P. Nacrtaj prave m i p koje sadr`e ta~ke M i P koje su paralelne sa stranicom DE. Wihove preseke sa stranicom DF obele`i sa G i K. Da li va`i: ∆DEF ∼ ∆GMF, ∆GMF ∼ ∆KPF? Objasni.
18
Trouglovi ABC i PQR su sli~ni. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj stranice trougla PQR. C
R 4 cm
A
19
2,5 cm
P
B
3 cm
2,4 cm
Q
Jednakokraki trouglovi ABC i EFD su sli~ni. Na osnovu podataka datih na slici izra~unaj du`ine stranica ED i FD. D
C 2 cm
A
3,6 cm
B
E
1,5 cm
F
20
Du`ine hipotenuze c i katete a pravouglog trougla ABC su 7 cm i 5,6 cm. Odgovaraju}e stranice sli~nog trougla A1B1C1 se odnose kao a1 : a = 2 : 7. Izra~unaj stranice trougla A1B1C1
21
Stranice trougla ABC su: a = 1,2 cm, b = 3 cm i c = 4,6 cm. Izra~unaj stranice sli~nog trougla A1B1C1 ako je: b) a1 : a = 2 : 5 a) a : a1 = 2 : 5
22
Du`ine stranica trougla su 1,2 cm, 5 cm i 4,6 cm. Izra~unaj ostale stranice sli~nog trougla ako je du`ina wegove: a) najdu`e stranice 15 cm
b) najkra}e stranice 15 cm.
Nacrtaj pravougli trougao ABC s katetama a = 4 cm i b = 2,4 cm. Nacrtaj wemu sli~an trougao A1B1C1, ~ija je kateta a1 = 3,2 cm. Re{ewe Prvi korak Nacrtaj trougao ABC.
A1
y
C
150
x
A
B
C1
B1
Drugi korak A Nacrtaj katetu a1 = 3,2 cm. Konstru-{imo uglove: �xC1B1 = 90° i �C1B1y = �CBA
x
Poluprave C1 i B1y odre|uju teme A1. C B 23
A1
y
B1
C1
Nacrtaj trougao A1B1C1, sli~an trouglu ABC iz prethodnog re{enog primera, ako je: a) kateta b1 = 4 cm
b) hipotenuza c1 = 4 cm
Izra~unaj du`inu preostalih stranica trougla A1B1C1. 24
Du` DE je paralelna sa stranicom AB trougla ABC. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj nepoznatu du` x.
a)
D 18 cm
D A
A
b)
C
x 30 cm
44 cm
E
18 cm
6 cm
B
B
x
E
C
30 cm
Пробај и ово
25
E
[estougao ABCDEF je pravilan, ta~ka O je centar {estougla i ta~ke P i Q su sredi{ta stranica AB i BC. Doka`i da va`i: a) ∆AEF ∼ ∆PBQ
b) ∆ADE ∼ ∆APO
v) ∆APO ∼ ∆PMO
g) ∆PBM ∼ ∆ADE
F O A
Napi{i razmere odgovaraju}ih stranica.
26
D
M P
B
C Q
a) Ako je b = 10 cm i h = 6 cm, izra~unaj a, p i q. b) Ako je a = 20 cm, q = 12 cm, izra~unaj h, b i p. B
C b A
h p
D
a
a q
B
C
q
D
c p
h b
A
151
27
Neka je du` AB tangentna du` kru`nice k sa centrom u ta~ki O na slici i prava AO se~e kru`nicu u ta~kama C i D. Poka`i da su trouglovi ABC i ABD sli~ni. Napi{i jednakost razmera odgovaraju}ih stranica.
Podseti se da je ugao izme|u tetive kruga i tangentne du`i jednak periferijskom uglu nad tom tetivom..
E C D
A
28
M
B
a) Poka`i da su trouglovi ABC i EDC sli~ni. b) Poka`i da su trouglovi ABC i ADE sli~ni. Napi{i jednakost razmera odgovaraju}ih stranica. E
a)
Uglovi BAC i CED na slici a) jednaki su kao periferijski uglovi na lukom BD. C
b)
A
D C
O
O
A
B
B E
D
29
Trougao ABC (AC = BC) na slici je jednakokraki trougao i AD simetrala ugla na osnovici.
C
a) Poka`i da je trougao ADC jednakokraki. b) Poka`i da su trouglovi ABC i ABD sli~ni. v) Ako je a osnovica i b krak trougla ABC napi{i jednakost razmera odgovaraju}ih stranica sli~nih trouglova ABC i ABD
152
D
A
72°
B
30
A
Trougao ABC na slici je jednakokraki trougao (AC =BC) i �BCD =36°. a) Poka`i da su ABC i BCD sli~ni. b) Napi{i jednakost razmera odgovaraju}ih stranica. D 36° 108° C
B
Слични троуглови – примена 1
Du`ina senke u~enika visine 1,8 m je 3 m. U isto vreme du`ina senke drveta u wegovoj blizinije 7,5 m. Kolika je visina drveta?
2
\or|e le`i na travi i preko {tapa gleda vrh zgrade. Pomo}u sli~nosti trouglova i podataka sa slike izra~unaj visinu zgrade.
60 cm 90 cm
3
15 m
Iz ta~ke A vidi se zid i vrh drveta koje se nalazi iza zida, kao {to je prikazano na slici. Koliko je visoko drvo? Potrebni podaci dati su na slici. 6m A 4,5 m 60 cm
4
Kolika je {irina reke prikazane na crte`u?
30 cm
d 3,5 m 2,5 m 4,5 cm
153
5
6
Da bi prelazili preko potoka, me{tani dva obli`wa mesta postavili su vise}i most koriste} i kao oslonac dva stabla na obalama potoka. Posle izvesnog vremena odlu~ili su da sagrade most. Pre izgradwe mosta napravili su slede}i crte`. Ako je vise}i most duga~ak 11 m, na kom rastojawu od stabla A treba postaviti temeqe B novog mosta? Koliko je duga~ak novi most?
vise}i most A novi most
6m
E
C
15 m
D
Izra~unaj {irinu jezera. Potrebni podaci dati su na slici. a)
b)
36 m
α
102 m
α 216 m
256 m 108 m
7
B
104 m
Marko je postavio ogledalo na ko{arka{ki teren kao {to je prikazano na slici i izmerio udaqenost ogledala od podno`ja ko{arka{ke table. Na koju udaqenost od ogledala treba da stane Marko da bi u ogledalu video vrh ko{arka{ke table? 4m 1,8 m ogledalo
8
Primeni sli~nost trouglova i izra~unaj visinu zgrade. Potrebni podaci dati su na slici. 1,5 m ogledalo
16 m
2m
9
Izra~unaj stranicu a kvadrata upisanog u pravougli trougao na slici. B a 36 cm a C
154
48 cm
A
3,6 m
10
Du`ine osnovica i visine jednakokrakog trapeza ABCD jesu 12 cm, 8 cm i 3 cm. Neka prava AD se~e pravu BC u ta~ki F. Izra~unaj du`inu visine trougla ABF.
11
Du`ine osnovica i visine jednakokrakog trapeza ABCD jesu 12 cm, 6 cm i 3 cm. Neka prava AC se~e pravu BD u ta~ki F. Izra~unaj visinu trougla ABF
12
Du`ine osnovica i visine jednakokrakog trapeza ABCD jesu 12 cm, 4 cm i 5 cm. Neka se dijagonale AC i BD seku u ta~ki E. Izra~unaj du`ine du`i AE i EC.
13
Stranice trougla ABC su a = 12 cm, b = 18 cm i c = 24 cm. Izra~unaj obim sli~nog trougla A1B1C1 ako je du`ina najmawe stranice 4 cm. Kolika je razmera obima trouglova ABC i A1B1C1?
14
Obimi dva sli~na jednakokraka trougla ABC i A1B1C1 su 45 cm i 144 cm. Izra~unaj du`ine krakova oba trougla ako je du`ina osnovicae trougla ABC jednaka 20 cm.
15
Data su dva jednakostrani~na trougla ~ije su stranice a = 6 cm i a1 = 12 cm. a) Kolika je razmera wihovih stranica? b) Kolika je razmera wihovih obima? v) Kolika je razmera wihovih povr{ina?
16
Data su dva pravougla trougla na slici. Poka`i da su sli~ni. a) Kolika je razmera wihovih odgovaraju}ih stranica? b) Kolika je razmera wihovih obima? B v) Kolika je razmera wihovih povr{ina? A
17
30° 2,5 cm
Poka`i da su visine trougla obrnuto proporcionalne odgovaraju}im stranicama. C D
∆ABC ∼ ∆A1B1C1 a = b = c =k a1 b1 c1 O =k O1
C D
E
30° 3 cm
F
Trouglovi AEC i ABD su sli~ni. Za{to? Napi{i odgovaraju}u proporciju. C D
F A
F E
B
A
E
B
155
Poka`i da se povr{ine sli~nih trouglova odnose kao kvadrati odgovaraju}ih stranica. Re{ewe Neka su trouglovi ABC i A1B1C1 sli~ni. Pokazali smo da su odgovaraju}e visine proporcionalne odgovaraju}im stranicama: h hc : hc = c : c1, odnosno c = c . 1 hc1 c1 Povr{ine trouglova ABC i A1B1C1 su: c1 ⋅ hc1 c ⋅ hc i P1 = 2 2 P = c ⋅ hc P = c ⋅ hc P1 c1 hc1 P1 c1 ⋅ hc1
P=
2 h Kako je c = c , sledi da je P = c2 . hc1 c1 P1 c1 .
18
Du`ine kateta pravouglog trougla su 12 cm i 8 cm. Kolike su katete sli~nog trougla ako je wegova povr{ina 363 cm2?
19
Du`ine osnovica i kraka jednakokrakog trougla je a = 24 cm i b = 26 cm. Izra~unaj du`ine osnovice a1 i kraka b1 sli~nog trougla ako je razmera wihovih povr{ina P : P1 = 4 : 9.
20
Povr{ine dva kvadrata su 144 cm2 i 16 cm2. a) Kolika je razmera wihovih stranica? b) Kolika je razmera wihovoh obima?
Svi pravilni mnogouglovi sa istim brojem stranica sli~ni su jer imaju jednake uglove i proporcionalne stranice.
21
Razmera stranica trougla ABC je a : b : c = 4 : 5 : 6. a) Izra~unaj du`ine ostalih stranica trougla ako je a = 2 cm. b) Izra~unaj du`ine stranica sli~nog trougla ako du`ina wegove najdu`e stranice iznosi 15 cm.
156
22
Razmera stranica trougla ABC je a : b : c = 3 : 5 : 6, a obim 56 cm. Kolike su stranice sli~nog trougla ako je wegov obim 7,5 cm?
23
Konstrui{i pravougli trougao ABC ako je hipotenuza c = 4 cm i α = 60°. Konstrui{i zatim sli~an trougao A1B1C1 ako je: a) c : c1 = 5 : 4
b) c : c1 = 4 : 5
24
Konstrui{i trougao ABC ako je c = 5 cm, α = 60° i b = 4 cm. Zatim konstrui{i trougao sli~an datom ako je razmera a : a1 = 3 : 4.
25
Osnovica i krak jednakokrakog trougla su a = 7 cm i b = 6 cm. Konstrui{i jednakokraki trougao sli~an datom ako je du`ina: a) wegove osnovice 6 cm
26
b) wegovog kraka 8 cm.
Konstrui{i pravougli trougao ABC ako su katete a = 4 cm i b = 3. Konstrui{i trougao A1B1C1 sli~an datom ako je: a) c1 = 6 cm
b) c1 = 6 cm
Kolike su katete a1 i b1 trougla A1B1C1?
BROD
M
Како је Талес мерио удаљеност брода од обале
BROD
M
Prvi korak Kada je primetio brod na pu~ini, Tales je odredio dve ta~ke A i B na obali i izmerio wihovo rastojawe. Posmatraju}i brod iz ta~ke A, odredio je ugao izme|u pravca AB i pravca pod kojim je gledao brod, AM.
β
α
B
D
A
β
α
B
D
A
Ta~ka M je teme trougla koje ozna~ava polo`aj broda. Isto to je uradio posmatraju}i brod iz ta~ke B. Na osnovu tih podataka nacrtao je trougao A1B1M1 sli~an trouglu ABM. Zatim je nacrtao visinu M1D1 i izmerio wenu du`inu. Na osnovu sli~nosti trouglova i proporcionalnosti odgovaraju}ih visina i stranica izra~unao je rastojawe MD broda od obale.
M1
β
α
A1
A1
D1M1
B1
β
α D1
B1
157
Решења Шта смо научили о рационалним бројевима у шестом разреду - страна 2
Квадратни корен - страна 7
1. a) 4 506, 302 b) −1, 0, −9 090, 4 506, 302 2. a) 2 b) 9 = 18 = 27 = ... v) − 22 = − 44 = − 66 = ... 5 1 2 3 1 2 3 8 3 41 1 g) = 1 d) − = −1 5 5 40 40 3. b), v), |) 6. b) 7. a) 35,36 b) 0,121 v) 999 g) 1,001 d) 200,4 8.
–3
−5 2
–2
–1 −
3 4
0
b) − 7 > −2 3 4 5
1 11 4
2
v) − 2 < − 4 . 3 7
9. a) −0,305 > −0,35 10. v) 11. v) 12. a) 101 b) 0,35 v) −0,34 g) 220 v) 150 13. v) 14. Vrednost izraza nije prirodni broj. 15. −1 000 Квадрат рационалног броја - страна 4 1. a) 5,76
b) 57 600 v) 0,0576 2. 0,16; 0,09; 16 ; 16; 9 ; 16; 1 ; 0,09 100 100 100 3. 400, 40 000, 4 000 000, 400 000 000 4. 0,36; 0,0025; 0,000004; 0,000081 5. a) 22,09 b) 0,003136 v) 261,1456 g) 0,235225 6. NE, NE, DA 2 3 >3 7. a) 0,22 < 0,2 b) 1,52 > 1,5 v) 0,82 < 0,8 g) 2 2 8. a) 2 b) 100 v) −0,1 g) −18 16 4 16 16 , , , 9. 25 25 5 25 10. v) 11. a) < b) = v) > g) < b) 15 = 3 3 v) − 22 12. a) 9 7 4 4 25 13. d) 14. a) −336 b) 49,16 v) 0 15. a) 9 b) 169 v) 0,81 16 25 16. a) 26 b) 65 v) 17 17. a) 5,4 b) −8,5 v) 22 18. a) 21 b) −1 19. a) 17 = 4 1 b) 0,75 v) − 8 = −2 2 . 4 4 3 3 20. a) a b) |a|
()
3
1. a) 11, 8, 13, 30, 25, 15, 17, 14 b) 0,1; 0,6; 1,2; 0,5; 0,3; 0,8; 1,3 v) 1 , 5 , 7 , 8 , 17 , 2 , 16 = 4 , 6 = 2 4 11 15 3 25 9 12 3 21 7 g) 1; 6,25; 12 ; 169 5 2. a) 7; 3; 1,5; 0,4; 11; 0,7 b) 0,4; 0,7; 1,5; 3; 7; 11 3. a) 0 i 1 b) 1 i 2 v) 2 i 3 g) 2 i 3 4. a), v), d) 5. a) −11 b) −6 v) −72 g) 60 7 8 |) −5 6. a) 8,7 b) −60 v) −1 g) 8 d) − 8 11 1 7. a) 20 b) v) 0,6 g) −0,9 2 8. a) 163 b) 3 v) −21 5 3 b) v) 2 9. a) 4 4 10. a) 3 b) 10 v) 8 11. a) −6 b) −6 12. a) 49 b) −3 13. a) −9 b) 60 3 v) 15,9 14. a) 39 b) − 4 15. a) 0 b) 10 16. 11 17. a) 8 b) 0,8 v) −24 Скуп ирационалних бројева - страна 9 1. 3,316 2. −2 i −1
( ) ( ) ( H ( 9 ), T ( 15 )
3. A − 11 , B − 5 , C −
) ( 2 ), G ( 7 ),
4 ,E 25
4. a) 7 i 8
b) 10 i 11 v) −6 i −5 1 ; 64 ; −4; −0,777…} 3 b) { 17 ; −3,989889... } 6. a) 7. 2 ; 0, 5 ; 13 8. a) 7 ≈ 2,65 b) 31 ≈ 5,57 v) 510 ≈ 22,58 g) 15 ≈3,87 d) 654 ≈ 25,57 |) 2572 ≈ 50,71 9. a) 5 ≈ 2,24 b) 45 ≈6 ,71 v) 147 ≈ 12,12 5. a) {47,555;
g) 725 ≈ 26,93 10. a) 3,32; 8,66; 14,93; 29,80 11. 3,7; 9,9; 20,2;2,8; 27,4 12. b) a
158
) (
9 ,D 4
∈
{−
2
} ( 5)
5, 5 ,
⎫ ⎧ v) x ∈ ⎨− 3 , 3 ⎬, 2 2 ⎩ ⎭
3 2
b) 3, 9, 15, 30
2
2
( )
= 5, − 5
=5
3 = 3, − 2 4
2
=3 4
13. a) x ∈ {−24, 24} b) a ∈ {−0,4; 0,4} g) y ∈ {−28, 28} d) x ∈ {0} 14. a) x ∈ {−2, 2}
b) x ∈ {−4, 4}
v) x
{ } { } v) x
∈
∈
− 9, 9 2 2
−3, 3 4 4
Операције с квадратним коренима – страна 11 1. a) 3 2 b) 3 v) 4 3 − 4 2 2. a) 3 5 b) 6,72 3. a) 33 b) 35 4. a) 10 b) 51,7 v) 1 g) 4 1 5. a) 56 b) −1 v) 2 6. a) 120 b) 1,2 v) 0,12 7. a) 4 2 b) 3 3 v) 2 3 g) 6 3 8. b) 9. a) 15 2
b) −2 3
10. a) 5 7 3 7 11. b) 7 12. a) − 2
b) 3 5 6 2 5 v) g) 6 5 b) 3 5
13. a) 0,6 10
23. 4 10 24. a) 5 b) 3 2 v) 10 25. a) 136,2 b) 35,77 26. da 1 v) 3 g) −11 d) 1,3 27. a) 52 b) 2 6 1 1 28. a) x ∈ −3,3 b) x ∈ − , 4 4
{
}
{
{ } } { }
− 15 , 15 g) x 2 2 Пробај и ово – страна 16
v) x
∈
∈
−3, 3 4 4
29. Vrednost izraza je broj 1. 30. a) 13 b) 11 31. (0,1) 32. 1 33. 3 34. a) − 6 ili 6 b) −3 ili 3 9 g) − 1 ili 2 2
d) 5 2
v) 25 − 5 5
(
7 3 v) − ili 4 4
)
b) [ −1, 2) v) ( −∞, − 1] ili [1, ∞ ) 15 7 9 b) , −1 v) , − 4 3 4 37. a) −2, −1, 0, 1, 2 b) 8, 9… ili −8, −9, −10… 2, 3, 4… ili −5, −6, −7… 35. a) −2, 2
36. a) −5, 5
b) 0,6 30
Реални бројеви – систематизација – страна 13 ⎧ 4 ; 4,33⎫ 2; 5,1020304... 1. a) ⎨−1; 0; − 1,222...; ⎬ b) 9 ⎩⎪ ⎭⎪ 2. b), v) 1 9 25 49 3. a) 1 b) v) g) d) |) 0,000004 e) 0,01 9 25 4 16 1 11 4. a) 4 b) − 4 20 5. a) 26 b) 72 3 5 b) 8 6. a) 3 4 6 28 7. a) b) −23 3 8. −5, −2 2, 1 − 2 3 , − 3 9. a) 2 i 3 b) 3 i 4 v) 4 i 5 g) 1 i 2 d) 4 i 5 10. a) 11. NE, DA, DA, NE, NE 12. b) 3 b) 0,3 v) 1,5 g) 1,2 13. a) 2 5 14. a) b) 12 13 15. a) −17 b) 22,5 51 16. a) 64 b) 4 17. a) 0 b) −6,6 v) −6 11 b) 0,15 18. a) 40 19. a) 31 b) 41 20. 8 2, 4 2, 5 3 , 4 3 , 2 5 21. a) −21 3 b) 49 2 22. a), v)
{
}
v)
ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Питагоринa теорема – страна 1. a) 8,5 cm b) 4,2 cm 2. a) 34 cm b) 10 cm v) 4,8 cm g) 2 2 cm d) 5 cm |) 6 2 cm 3. AB = 5 cm CD = 5 cm EF = 3 2 cm GH = 2 13 cm 4. v) 5. a) 102 + 242 = 100 + 576 = 676 , 262 = 676
(
2
)
b) 102 + 102 = 100 + 100 = 200 , 10 2 = 200 6. g) 7. prvi red: 1,2 cm; drugi red: 0,5 cm; tre}i red: 17 cm 8. a) x = 41 cm, y = 15 cm b) x = 8 cm, y = 6 cm v) x = 18 cm, y = 6 10 cm 9. a) c = 5 cm b) b = 1,6 cm v) a = 1 cm g) c = 2 7 cm 10. 3,9 m + 3,6 m = 7,5 m 11. a2 = 20, b2 = 20, c2 = 40, a2 + b2 = 40 12. c = 3 cm; O = 7,2 cm; P = 2,16 cm2 13. a) O = 12,6 cm; P = 6,3 cm2 b) O = 4 cm; P = 0,6 cm2 v) A D = 1,5 cm; CB = 2,9 cm; AB = 3,6 cm; O = 9 cm; P = 3,6 cm2 14. b = 36 mm, P = 864 mm2, hc = 2P , hc = 28,8 mm c 15. c = 5,8 cm, hc ≈ 2,9 cm 16. a2 = 1 cm2, b2 = 5,76 cm2, c2 = 6,76 cm2, a2 + b2 = 6,76 17. a) xipotenuza je 4 2 cm b) katete su 4 2 cm
159
Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат – страна 22 1. a) d = 5 2 cm b) d = 3 5 cm 3 2. a) 2,5 2 cm b) 4 3 cm 3. a) 9 2 cm b) 2 cm v) 3 cm 4. a) b = 24 cm, O = 68 cm, P = 240 cm2 b) b = 18 cm, O = 84 cm, P = 432 cm2 5. a ) a = 4 2 cm, O = 16 2 cm, P = 32 cm2 b) a = 20 cm, O = 80 cm, P = 400 cm2. 6. b = 15 cm, d = 17 cm 7. 17 cm 8. 12 2 cm 9. P = 72 cm2, O = 24 2 cm
(
)
10. a) P = 225 mm , O = 30 + 30 2 mm b) P = 300 mm2, O = 90 mm 2
(
)
O = 6 + 6 3 cm, P = 9 3 cm2 7. Stranice pravougaonika su 8 cm i 8 3 cm. 8. 16 cm 9. 8 cm 10. a) 4 2 cm b) 4 cm v) 4 3 cm U delu zadatka pod v) primeni postupak iz zadatka 14 na strani 25 da izra~una{ stranice pravouglog trougla OAD. B D O
30° A
60°
Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао – страна 23
Примена Питагорине теореме на ромб и трапез – страна 27
1. a) h = 2 cm b) a = 2 10 cm v) b = 6,5 cm 2. p rvi red: 20 cm; drugi red: 2,5 cm; 10 cm; tre}i red: 16 cm; 9 cm 3. a) 5 3 cm b) 1, 8 3 cm v) b = 6 cm 4. a = 6 3 cm b) a = 2 cm 5. h = 5 cm, P = 60 cm2 6. a) 9 3 cm2 b) 1,69 3 cm2 v) 3 3 cm2 7. h = 9 3 cm, P = 81 3 cm2 8. a) 36 3 cm2 b) 3 3 cm2 9. a ) h = 10 3 cm, P = 100 3 cm2 b) h = 30 cm, P = 300 3 cm2 10. a = 8 3 cm, P = 96 3 cm2 b) a = 4 cm, P = 4 3 cm2 11. Du`ina kraka je 37 mm, O = 144 mm 12. a = 2 10 cm, O = 6 10 cm 13. a) O = (72 + 36 2)cm b) O = (24 + 12 2) cm 14. a = 6 cm, b = 6 3 cm 15. c = 36 cm, b = 18 3 cm, O = (54 + 18 3) cm, P = 162 3 cm2 16. O = (40 + 20 3)cm, P = 100 3 cm2 17. a) P = 48 cm2 b) 48 2 cm2 v) 48 3 cm2
1. A: O = 4 10; B: O = 8 2; V: O = 8 2; G: O = 4 5; D: O = 4 2 + 2 5 2. a) O = 12 5 b) O = 8 5 3. P = 24 cm2 4. d2 = 48 cm, P = 336 cm2, h = P : a, h = 13,44 cm 5. a) 3,84 dm2 b) P = 36 5 dm2 72 cm ⋅ d2 = 1 944 cm2, d2 = 1944 : 36 cm = 54 cm 6. a) 2 a = 45 cm h = 1944 : 45 cm = 43,2 cm b) a = 0,5 cm, h = 0,48 cm 7. d1 = 24 cm, d2 = 10 cm 8. a = 6 2 cm, P = 36 2 cm2 9. a) P = 16 3 cm2 b) P = 32 cm2 3 10. a) O = (20 + 4 3) cm b) O = (20 + 6 2) cm) v) O = 32 cm
Примена Питагорине теореме на правоугаоник, квадрат, троугао, круг – страна 26 1. b) 2. 36 3 cm2 3. O = 16 cm, P = 16 cm2 4. a) Hipotenuza osen~enog trougla je 6 5 cm, O = 18 + 6 5 cm, P = 36 cm2 b) Krak jednakokrakog trougla je 6 5 cm, O = 12 5 + 12 cm, P = 72 cm2 v) Doka`i da je osen~eni ~etvorougao paralelogram. Du`a stranica paralelograma je 10 cm, a kra}a 2 13 cm. O = 20 + 4 13 cm, P = 72 cm2
( (
)
)
(
160
5. c = 12 cm;, h = 10,8 mm; q = 9,6 mm; p = 5,4 mm 6. Stranice pravougaonika su 3 cm i 3 3 cm.
)
11. a) d1 = 15 cm, d2 = 145 cm b) d = 10 cm 12. h2 = 252 – 152, h = 20 cm, P = 500 cm2 sli~ica 13. O = 76 cm 14. d = 8 29 cm
(
)
15. P = 32 cm2, O = 20 + 4 5 cm Osen~eni trapez je 2 pravougaonika. 3 16. a) P = 21 cm2 b) P = 150 5 cm2
(
)
17. a + b = 20 2 cm, h = 10 2 cm, O = 20 2 + 30 cm, P = 200 cm2 18. P = 975 cm2 19. 10 rombova 20. O = 124 mm, P = 768 mm2
Примена Питагорине теореме у конструктивним задацима – страна 30 6. ~etiri puta
b) 9 puta
a
2
3a 1,5a
2a
1,5a
3a
7. 2 puta ve}a 8. 2 puta mawa 9. Pogledaj zadatak 3 na strani 31. 10. a) 29 = 52 + 22 b) 37 = 62 + 12 11. a) 14 = 32 + 22 + 12
2
Na sli~an na~in doka`i i da trougao IGH nije pravougli trougao. 3. O = 16 cm, P = 16 cm2 4. r = 25 cm 5. Rastojawe od temena D do hipotenuze AC trougla ACD je 4,8 cm. 6. P = 72 cm2 7. a) m = 4 2 cm b) m = 6 2 cm
(
b) 30 = 52 + 22 + 12
2 12. a) 15 = 42 − 12 ili 15 = 3 + 6
2
( 10) + ( 5) ≠ ( 13) .
v) 2,25 puta
2a
a
Trougao DEF nije pravougli trougao: DE = 10, EF = 5 , DF = 13
2
b) 24 = 52 − 12 ili 24 = 42 + 22 + 22
)
8. a) O = 8 2 +16 cm, P = 48 cm2 b) O = 16 2 cm, P = 30 cm2
( ) 9. a) O = (10 5 + 10) cm, P = 50 cm b) O = (10 2 + 4 13 ), P = 50 cm v) O = (6 2 + 4 29 )cm, P = 42 cm g) O = (10 2 + 4 13)cm, P = 50 cm 10. Du`ina linije ABCD je: (2 17 + 4 2)0,5 cm ≈ (2 ⋅ 4,12 + 4 ⋅ 1,41) ⋅ 0,5 cm v) O = 8 + 12 2 cm, P = 24 cm2
2
2
1 cm 14 cm
15 cm
4 cm
2
2 cm 3 cm
1 cm
a)
= 6,94 cm 11. 2 2 cm 12. Stablo je visoko 12 3 m ≈ 20,76 m.
b)
13. a) − 8 = −2 2 − 8
-3
-4
1
− 2
-2
-1
2
0
1
( ) CAP: O = (18 + 6 3) cm, P = 18 3 cm ABC: O = (12 + 12 3) cm, P = 24 3 cm
13. a) BCP: O = 6 + 6 3 cm, P = 6 3 cm2
2
2
b) BP: CP = 3 : 3, CP : AP = 1 : 3 = 3 : 3 BC: CA = 3 : 3 v) PBCP: PCAD = 1 : 3
b) − 10 − 5
-1
0
1
2 5 3 10
Пробај и ово – страна 32 18. a ) Pogledaj re{ewe 3. zadatka. b) Prvi korak: Konstru{i pravougli trougao ~ija je jedna kateta b, a hipotenuza a. Druga kateta }e biti: a2 − b2 . Drugi korak: Konstrui{i pravougli trougao ~ija je kateta c, a hipotenuza a2 − b2 . Kateta tog trougla je tra`ena du`. Питагорина теорема – примена – страна 32 1. a) CD = 36 cm b) O = 126 cm, P = 756 cm2 2. T rougao ABC je pravougli: AC = 5, BC = 5, AB = 10, 2
2
2
( 5) + ( 5) = ( 10) .
Na sli~an na~in doka`i i da je trougao PQS pravougli trougao.
14. a) O = 28 2 cm, P = 42 cm2 b) O = 12 2 + 8 cm, P = 20 cm2
(
)
15. d1 = a 3, d2 = a 16. O = 140 cm, P = 1200 cm2 17. 412 cm 18. P = 6,12 cm2 19. Neka je d1 = 40 cm. Du`ina druge dijagonale je d2 = 2 ⋅ 480 : 40 cm = 24 cm. Prvo re{ewe: Ako je d1 osa simetrije deltoida, onda d2 gradi sa stranicama jednakokrako-pravougli trougao. Visina tog trougla je 12 cm i krak tog trougla je 12 2 cm, a to je i stranica a deltoida. Stranicu b deltoida dobijamo primenom Pitagorine teoreme b2 = 122 + 282, b = 4 58. O = 24 2 + 8 58 cm ≈ 94,80 cm
(
)
Drugo re{ewe: Ako je d2 osa simetrije deltoida dobija se: O = 40 2 + 8 26 cm ≈ 97,20 cm.
(
)
20. a) P = 14 cm2 b) P = 4 7 cm2 v) P = 8 cm2
161
(
)
21. O = 10 + 4 3 cm 22. O = 100 cm, h = 13,44 cm 23. Povr{ina jednakostrani~nog trougla je 400 3 cm2, visina jednakokrakog trougla je 21 cm, povr{ina jednakokrakog trougla je 420 cm2. Povr{ina dela trougla koji je otpao je P = 400 3 – 420 ≈ 272 cm2. Izra`eno u procentima u odnosu na povr{inu jednakostrani~nog trougla: 272 : 692 = 0,3930 ≈ 39%. 24. d1 = 6 3, d2 = 6 25. a) Automobili }e jedan od drugog biti udaqeni posle jednog sata vo`we 97 kilometara, posle dva sata vo`we 194 km, a posle 2,5 sati 242,5 km. b) N eka su vozili k sati u trenutku kada su bili udaqeni 388 km. Re{avawem jedna~ine 3882 = 72k 2 + 65k 2, dobijamo da je k2 = 16, odnosno k = 4. Automobil A pre{ao je 260 km, a automobil B je pre{ao 288 km.
( ) ( ) ( (
)
26. T rougao A: O = 10 2 + 10 cm, P = 25 cm 25 Trougao B: O = 5 + 5 2 cm, P = cm2 4 25 2 Kvadrat V: O = 10 2 cm, P = cm 2 25 Paralelogram G: O = 10 + 5 2 cm, P = cm2 2 25 Trougao D: O = 10 + 5 2 cm, P = cm2 2
)
(
(
)
2
)
( ) ( ) ( ) (
( )
)
( )
()
b) −15 625 v) 15 625 v) < 10 12 3 7 7 b) 176 v) 4 g) − 2 = 2
1. a) 15 625 2. a) > b) = 3. a) 315 |) c17
( )
e) −b
()
10
( ) ()
= b10
( ) = (− 54 ) 5 x b) ( ) v) x g) ( ) 7 3
4. a) 53 = 125
b) 1 21
2
1 v) −1 4
2
20
5. a) 1310
28. a) 4 17 cm 29. 108 cm2 31. 6 3 cm 32. 112 cm2 33. 2 77 cm 34. 2 17 cm, 2 65 cm, 2 37 cm 35. 5 7 cm 36. a 29 2 37. b) Prvo re{ewe: 6 2 cm Drugo re{ewe: 6 cm b) P rvo re{ewe: 2 14 cm Drugo re{ewe: 2 38 cm 38. AC = 6 2 cm, AB = 2 11 cm 39. a) 4 2 b) 29
6. a) 16 b) 49 v) 1 g) −2,5 7. a) 48a11 b) 14b14 v) −15y9 g) 36z6 8. a) 6 b) 2 9. a) x = 5 b) x = 8 v) x = 5 10. a) 9 b) 0,25 7 11. a) 1 b) 0,008 v) 81 g) −1 12. a) a5 b) y v) b4 13. a) −x3 b) −p3 14. v) 15. a) 48 b) 72 16. b) 25n +1 17. a) 32 = 9 b) 4
( )
()
1. a) a3 · b3 2. v)
2
3 v) 2 g) x7 b) −27 v) 1 g) 0,0016 125
1. a) 56 b) −3
4
2. a) 10 000 3. b), v) 4. b) 5. a) 81 b) 3 v) 1 g) 2 6. a) −2 500 b) 2 000 000
v) 200
d) 0
>
3 43
36
12
= 25 16
Степен производа и количника – страна 44
Степен чији је изложилац природан број – страна 40
3
Множење и дељење степена истих основа. Степенoвањe степена – страна 42
Пробај и ово – страна 37
АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ (први део)
162
7. DA, DA, NE, DA 8. b) 9. b) 10. v) 11. 1,5 · 108 15 12. a) 115 b) 7 v) g) 320 64 13. b) 14. a) 16 b) 42 15. a) 16 b) 36 000 v) 18 16. 32 17. a) 25 > 52 b) −2 4 > −2 3 v) −10 5 = −105 2 ( −2) 2 |) 3 2 g) −1 101 < −1 102 d) − < 4 5 5 18. a) 43 b) 72 19. −14,5
( )
b) 64x6
( )
v) 81x4y4
( )
2x 3. a) xy 4 b) 2ab 3 v) 3 4. a) 8 b) 8 v) 1 5. g) 6. a) −1 000 b) 1 3 1 81 7. a) b) a v) 32 49 64 8. b) 1 9. a) b) −216 v) 0,0256 9 10. a) −10x6 b) −2s9
5
g) −32a5
d) a26
11. v), g) 12. a) 4 b) 512 v) 27 13. a) 32 b) 9 v) 1 14. a) 99 = 276 b) 86 > 48
1, 5 km s = 0,5 ⋅ 103 s = 500 s = 500 min 30. s = v ⋅ t , t = = 60 v 3 ⋅ 103 km s ≈ 8,3 min
v) 644 < 167
Операције са степенима – страна 45
Рационални алгебарски изрази – страна 48
1. a) −32
1. a) −81,
b) −49 v) −41 7 2. a) 3 b) 4 1 3. a) −208 b) 18 1 v) − 2 9 7 4. a) −29 b) − 11 35 1 5. a) b) 37 9 6. 23 7. −377 8. 9,5
v) −1
b) 3
g) 4 17 g) 0,0011 v) − 4
2. a) −63 b ) 189 3. v) 3 1 1 4. a) 25 < 28 b) 5 < 5
() ()
( ) ( )
v) 0,32 > 0,34 5. a) 413 6. a) a10 6
2
g) 0,1 3 > 0,1
b) 921 v) 2,79 b) x3y7 v) a4b5 4
3
2
5
g) 3x10
d) 15m8 v) 1 = 1 ⋅ 1 2 2 16
2
()
3
7. a) 5 < 5 · 5 b) 7 · 7 > 49 8. a) 17 b) 2 v) 4 9. a) −343 b) − 625 v) −3,5 16 14 14 42 1 a 8 = 1 10. a) 3 b) − 7 v) y10 g) 8 7 11. a) 1 b) 16 v) 3 12. a) 1 b) 625 v) 9 13. b), g) 14. a) 9 b) 4 v) 1 15. a) y8 b) x5 v) a14 16. b) x3 a5 g) − d) 4 a2 17. a) 125a3 b) −32x5 v) 64 32 9 18. a) 1 b) −27 v) 8 g) 1 d) 1 32 19. a) 0,001 b) 4 v) 1 9 20. b) 8a18 v) x2 21. a) 2ab5 b) 4x5y4 22. a) 27 b) 64 v) 125 23. b) 1 512 24. a) 80 b) −4
( ) ()
Моном и полином – страна 49 1. a) prvi b) drugi v) drugi g) tre}i d) tre}i |) peti 3. v) 4. prvi red: tre}i, -3sg2
()
drugi red: drugi, − 2xy tre}i red: prvi, -0,6a ~etvrdi red: nulti, 1 5. a) −3x b) −2a2 v) 4ab |) −0,1s3t2
16 0,16997 = 100
() 2 5
1 995
<
665
997
( )
() 2 5
1 994
0, 064665 < 0,16997 29. s = v ⋅ t s = 3,0 ⋅ 105 km ⋅ 1h s s = 3,0 ⋅ 105 km ⋅ 3600 s s s = 1,08 ⋅ 109 km
b) −2x2 + x − 5
13. a) a + 1
= 8 125
= 4 25
b) −6,6b
12. a = 5
25. 4 27. 22 008 −22 006 + 22 003 = 22 003 · 25 − 23 + 1 = 22 003 · 25 64 665 28. 0, 064 = 1000
)
665
3 665
() 2 5
=
2 997
997
=
( 52)
()
= 2 5
()
= 2 5
d) 6mnt
3 v) 4xy g) − mn 4 7. a) 5x b) −2x v) − 1 x 3 20 8. a) 11x2 b) −22ab v) 2,6x2y 9. a) −0,4x2 b) 2 nt 3 v) 8x2y5 3 10. a) −16ab b) 0 v) 5c4a 11. x = 2 6. a) 7x2
Пробај и ово – страна 47
(
g) −0,5x2y
1 995
1 994
14. a) P(x) = x2 - 4x + 2
v) 1,5l2 −3,4l + 2
b) L(x) = 4q3 - 2q2 - q + 4
15. a) -y +9y2
b) -6 - m + m2 + 4m3
16. a) −9 − 2k
b) 5 + s + 2s2
17. a) x = 2
b) x = 3
v) −7 − 4l + 2l2 + 3l3
v) x = 2
Сабирање и одузимање полинома – страна 51 1. a) 2. a) −20y
b) −5ax3 b) 1 4 b) 3z4
v) 0
g) −18c2
3. a) 2x4y3 4. a) 5 a 4 5. a) 4x b) −10z4 v) cd 6. a) −10x + 3y − 2 b) 5a + 5b + 6 7. −A = −41 + 4x , −B = 3x2 + 13x − 33, −C = −x3 − x2 + x + 1 163
8. a) −3x − 2 b) 11x − 4 v) 3x + 2 9. a) 30 − 3x b) −3t2 + 1 v) 4xy + 5 10. a) 4x3 − 8x2 b) 4x3 − 6x2 v) 14x3 − 6x2 11. a) −5,4 b) −20 12. 7 − 9x + 10x2 + x3 13. t3 + 2t2 +272− 8t + 5 Сређивање полинома. Сабирање и одузимање полинома – страна 52 1. a) 15 cm b) 14,4 cm 2. a) −1 b) 5 1 3. a) −L = −4x4 + 2x2 − 3 b) −R = − + 5 y + y 2 − 2y 3 2 v) −T = 2z − 6r + 4,4t − 5 4. a) x3 + 2x2 − 3x b) −x3 − 2x2 + 3x 5. a) −10c b) −2x 6. a) − 5 y 2 b) 4,3ab 4 7. a) 3x + 7y b) −a − 2b 8. a) 4a − 3 b) 18y − 7 9. a) A+B = 6x2 − 4x − 4 b) A−B =2x2 − 2x − 6 10. a) S + T = 3a2b3 + 8a2b2; S − T = −5a2b3 + 4a3b2 + 10a2b2 b) 8a2b3 − 4a3b2 − 2a2b2 11. a) x = 6 b) a = 4 12. a) y = 1 b) b = 10 1 13. a) x = 6 b) c = − 2 14. −x4 − 9x3 + 6x2 − 5 15. 4a3 − 6a2 − a + 3 16. 63, 64, 65, 66 17. −26, −25, −24 Полиноми – систематизација – страна 55 1 v) 3x5y 3. a) −8,7y3 b) t 6 9 9 3 2 4. a) -5x + 7x + 1 b) 2y 2 + y + 5 5 5. a) −5 + 7k − 5k2 b) 5 + s + 2s2 v) −7 + 2l2 + 6l3 6. a) −0,2 + 2,2b + 0,5b2 − b3 b) 2 ab − 1 a2 − 3b + 6 3 2 b) 11,1y4 + 22,2y3 + 3,33y2 7. a) − x 2 2 + 3x − 3 8. x = 3 9. a = −5 10. 12a 11. v) 12. a) −4x2 + 4x + 4 b) 2x2 + 8x − 10 v) 6x2 + 4x − 14 13. a) −23t b) 17 x 5 4 14. a) 42 − 2yz b) 6t2 − 9 15. 8x2 + 2x + 11; −10x2 − 8x − 3; 6x2 + 16x − 19; −4x2 − 10x + 11 16. a) −6,7 b) 10 2 17. 9 a , 5a 3 2 16
164
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла – страна 57 2. a) D, F b) A,B,C,D,E v) ima 5 dijagonala 5. a) Broj dijagonala iz jednog temena sedmougla je 4, a broj trouglova 5. b) Broj dijagonala iz jednog temena devetougla je 6, a broj trouglova 7. v) Broj dijagonala iz jednog temena desetougla je 7, a broj trouglova 8. 7. a) 15 stranica b) 28 stranica 8. 6 9. 9 10. Broj dijagonala je: a) 14 b) 20 v) 35 11. a) 8 b) 15 v) 20 g) 30 12. a) ne b) da, n = 83 Збир углова многоугла − страна 59 1. a) 1 260° b) 2 340° v) 1 980° 2. a) n = 10 b) n = 12 v) n = 32 3. a) α = 146° b) α = 156° v) α = 105° 4. α1 = 105° α2 = 132° α3 = 106° 5. n = 16, Dn = 104 6. n = 12 7. 68°, 88°, 108°, 128°, 148° 8. 11°15’; 22°30’; 33°45’; 56°15’; 90°; 146°15’ 9. spoqa{wi uglovi: 90°, 90°, 90°, 30°, 30°, 30° unutra{wi uglovi: 90°, 90°, 90°, 150°, 150°, 150° 10. Re{imo jedna~inu: 5α + 100° = 360°, α = 52°. Spoqa{wi uglovi petougla su: 52°, 62°, 72°, 82°, 92°. 11. a) α = 146° b) α = 110° v) α = 122°, β = 95° 12. 90°, 90°, 90°, 135°, 135° 15. x + y + z + d + ϕ = 360° α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 180°
x
α5
ϕ α4
α1
δ
y α2
z
α3
Својства правилних многоуглова – страна 60 1. a), v), d), z). 2. a) α = 156° b) α = 160° v) α = 176° 3. a) n = 12 a) n = 9 a) n = 24 4. a) Unutra{wi ugao je 165°, a centralni 15°. b) Unutra{wi ugao je 135°, a centralni 45°. 5. a) n = 9 a) n = 18 a) n = 30 6. Trouglovi ABC i ADC su podudarni na osnovu pravila SUS.
7. �EAD = 36°, �DAC = 36°, �ADC = 72° 8. �FAE = 30°, �AED = 90° 9. Iz jednog temena mogu se povu}i ~etiri dijagonale. BD = DF, AD = DG 12. a) Uputstvo Obele`i jednake stranice i jednake uglove na osen~enom ~etvorouglu. Na osnovu re{enog primera na strani 62, zakqu~uje{ da je osen~eni ~etvorougao jednakokraki trapez. b) 108°, 72°, 72°, 108°, 120°, 60°, 60°, 120°, 135°, 45°, 45°, 135°, 140°, 40°, 40°, 140° 13. Uputstvo S 20° 60° A8 120° 40°
A9
60°
A1
22. a) a = 2 3 cm
Пробај и ово – страна 65 26. 67°30 ‘
45°
A4
A3
A
h
C h
B
21. Uputstvo Trouglovi APN, BQP, QCR… podudarni su. E S D M R
F
C Q
N A
P
B
dv
(
(
dm
a
45°
δ
ϕ = 135° − 67°30’ + 22°30’) = 45°
(
22°30 ‘
β
dv
dv 45° dm
a
d = 90°
a + b = 135° − 67°30’) + 135° − 22°30’) = 180° Конструкција правилних многоуглова – страна 66 1. a) Nacrtaj centralni ugao od 120°. Odgovaraju}a tetiva je stranica jednakostrani~nog trougla. 2. 3 : 1 3. a) Pogledaj zadatak 1. b). b) Konstrui{i centralni ugao od 45°. Odgovaraju}a tetiva je stranica pravilnog osmougla. 4. Pogledaj zadatak 3. Centralni ugao pravilnog dvanaestougla je 30 Обим и површина многоугла – страна 68 1. 629,5 mm2 3. Sedmougao razlo`i na pet trouglova. A4 A5
A3
A2
A6
A7
O
F
α
a
45°
A5
14. a) �A1A2A3 = 135°, �A2A3A4 = 90°, �A3A6A1 = 45°, �A6A1A2 = 90° b) Iskoristi re{ewe 12. zadatka. �A1A4A5 = 100°, �A4A5A6 = 140°, �A5A6A7 = 140°, �A6A7A1 = 100°, �A7A1A4 = 60° v) �A1A4A8 = 40°, �A4A8A1 = 60°, �A8A1A4 = 80° 15. a) Trouglovi A1A5A6 , A5A3A4 i A1A2A3 podudarni su po pravilu SUS. b) Trouglovi A1A2A8 , A2A3A4 , A4A5A6 i A6A7A8 podudarni su po pravilu SUS, dakle stranice ~etvorougla su jednake. Izra~unaj wegov unutra{wi ugao. 16. a) ru = 2 3 cm, ro = 4 3 cm b) ru = 6 cm, ro = 6 2 cm v) ru = 6 3 cm, ro = 12 cm. 17. a) a = 12 3 cm b) a = 12 2 cm v) a = 12 cm. 18. a) 4 3 cm b) 4 cm v) 4 3 cm 3 19. d1 = 12 cm, d2 = 6 3 cm. 20. d = 2h, ru = h, gde je h visina jednakostrani~nog trougla OAB. D E
67°30 ‘
dm ϕ
120° 60°
A2
v) a = 2 cm
23. 90°, 67° 30’, 67° 30’, 135° 24. a) Ugao {estougla je 120°. Doka`i da je A1A2A4A5 paralelogram 25. Primeni postupak sli~an onom u prethodnom zadatku
A7
A6
b) a = 2 2 cm
5.
A1 4 cm 1 cm
1 cm 1 cm
17 13
2 cm
(
)
P = 6 + 13 cm2 6. 15,84 cm2 7. a) 0,96 cm2 b) 3,6 cm2 v) 6,4 cm2 d) 18 cm2 8. a) 4 3 cm2 b) 16 cm2 v) 24 3 cm2
g) 12,6 cm2
165
9. a) P = 9 3 cm, P = 27 3 cm2 4 b) P = 12 3 cm, P = 12 3 cm2 v) O = 24 3 cm, P = 48 3 cm2 10. a) O = 12 2 cm, P = 18 cm2 b) O = 16 cm, P = 16 cm2 11. a) O = 18 cm, P = 27 3 cm2 2 b) O = 12 3 cm, P = 18 3 cm2 12. Povr{ina pravilnog {estougla stranice a je 2 P1 = 6a 3 . Kra}a dijagonala pravilnog {estougla 4 dva puta je ve}a od polupre~nika upisanog kruga, d2 = a 3 . Povr{ina jednakostrani~nog trougla ~ije su stranice jednake kra}oj dijagonali {estougla 2 2 a 3 je P2 = 3 , P2 = 3a 3 . Upore|uju}i 4 4 povr{ine P1 i P2, vidimo da je P1 = 2P2.
( )
ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ (други део)
13. O = 96 cm, P = 648 cm2 14. a = 4 3 cm 15. a = 2 2 16. 2 : 3 17. O = 16 + 16 2cm, P = 112 cm2. Povr{ina osmougla pribli`no iznosi 78% povr{ine kvadrata. 18. ≈ 67% 19. a) O = 30 3 cm, P = 81 3 cm2 b) O = 36 + 12 3 cm , P = 108 3 cm2
(
)
(
)
Пробај и ово – страна 70 20.
A6
A5
A7
A4
A8
A3 A1
Povr{ina osmougla je ~etiri puta ve}a od povr{ine osen~enog deltoida. d d ⋅d P deltoida = 1 ⋅ d1 ⋅ 3 = 1 3 2 2 4 21. O = 8 2 + 8 6 cm, P = 64 + 32 3 cm2
( ) ( ) 22. O = (18 + 18 3 ) cm, P = (108 + 9 3 + 27 6 ) cm
2
2
23. a) O = 16x, P = 8x + 4x
2
Многоугао систематизацијa – страна 71
166
v) da
g) da
2
b) O = 12x, P = 3x 3
v) O = 8x, P = x2 + x2 3 24. a) 50% b) pribli`no 66,67% v) pribli`no 33,33% g) 20%
1. a) ne b) ne 2. petougao 3. ne
Множење монома мономом. Квадрат и куб монома − страна 73 1. a) −15x b) −20y2 v) 1,2nm g) 10a2b3 2. a) −12 b) −8 v) −4 3. a) −25a3c2 b) 3 yz 3 v) 3,2m3n3 2 5 2 4. a) 2y b) 8z t v) −42a6 g) −54xy4 4 5. a) –a b) −27x3y v) 4zt2 6. a) 15x3y3 b) 2b3 v) 9a6 g) 64c2d2 7. a) x6y3 b) 1,44a4b6 v) 4n6m8 g) 9 c2d 4t 2 25 8. a) −6x10 b) 2t14 v) −a5b4c2 9. a) 1 a2b3 b) −6a3b3 v) −a4b4 g) 2 a3b5 d) −54a7b5 3 3 4 8 7 14 10. a) 16x y b) 2x y v) 0 Множење полинома мономом − страна 74
A2
2
4. n =12, D12 = 54 5. ne 6. n = 16, α = 157°30′ 7. a) 48 b) 24 v) 20 g) 32 d) 40 8. a) 7 b) 8 v) 12 g) 13. Centralno simetri~ni su pravilni mnogouglovi s parnim brojem stranica. 12. Najkra}a dijagonala gradi sa stranicom ugao od 22°30′. Prvo konstrui{i jednakokraki trougao sa osnovicom a = 3 cm i uglovima od po 22°30′ na woj. Kraci tog trougla su stranice tra`enog osmougla. 14. a) P1 : P2 = 1 : 3 b) P1 : P2 = 1 : 5
1. a) 18 + 9x2 b) 15 – 20x v) –48x2 + 6x g) 30 – 6x 2. b) 3. a) 4 – 20a + 5a2 b) –11y3 – 33y + 11 4. a) 2z · (z – 3) = 2z2 – 6z b) (–1 + a2 – 3a3) · (–2a) = 2a – 2a3 + 6a4 v) 12ab · (2a – 3b + 4ab) = 24a2b – 36ab2 + 48a2b2 5. a) 7x3 – x5 b)18t4 – 6t3 – 22t2 6. a) 1 – 12x b) –6x v) 5y3 – 5y4 7. a) –3x2 + 4x b) 3y3 + 6y2 v) –10x2 – 14x 8. a) –9x2 + 18x b) –3x3 + 8x2 v) 25x2 + 2x 9. a) –28 + 15x b) 2x2 – 35x Множење полинома полиномом – страна 75 1. a) 12 – 6x 2 b) −20x – 40x2 v) 6xy – x2y 2. a) 6a – 42b + 6c b) –10x + 35x2 – 5x3 v) 12x2y + 18xy2 + 5x2y2 3. a) 2x2 + 5x – 3 b) 9c3 – 75c2 – 30c 4. a) 16y2 – 1 b) 15x3 – 5x2 – 9x + 3 v) 6 – x – x2 5. a) −3x, −12 b) 32d2, 28d 6. a) 10ab – 3a2 – 3b2 b) x2 – 4y2 v) 3c2 – 22cd + 24d2 7. a) 5ac2 – a3c3 – 5 + a2c b) 15x2 – 2xy2 – y4 v) −4x3 + 5x2 + 7x – 2 8. a) −2x2 + 5x – 2 b) 5y2 – 4y + 1
Пробај и ово – страна 81
9. a) –z2 + 12 b) 4a2 – 9a + 4 10. a) –5x2 – 7x – 6 b) –x – 31
a
o 3 + 24x2 + 6x 1. a) –6a + 2a2 b) 10a – 15b + 20c v) 2r –3x 2 3 2 2. a) 6c + 8c b) –3x + 24 v) 6m – 5m 2ru 3. a) 3x2 – x b) 2y2 – y 0‘ 3 ° 2 23 + 71x2 + 36x 4. a) –3x3 – 5x b) –27x2 – 12x v) 14x ro 5. a) –27a2 – a + 10 b) –2x2 – 3x – 4 a a 6. a) x = 0 b) x = − 10 3 7. a) a = 2 b) c = 6 8. a) y = 1 b) z = 5 5 9. a) –2b2 + 13b – 4 b) –5a2 + 3a 10. a) –a2 – 3a + 18 b) –10x2 + 11x – 3 v) 6y2 + 5xy – 6x2 11. a) –4a2 + 11a – 12 b) –4y2 + 11y – 14 v) a2 – 2a + 2 12. a) –19x + 4 b) 15a – 14 13. a) 2z2 + 2z – 6 b) –4x + 2 14. a) x = 4 b) x = –1 15. a) –x – 1 b) x + 2 v) x2 – 16y2 + 9xy 16. a) da, vrednost izraza je –25 b) da, vrednost izraza je 0 17. a) –16 b) 247 v) − 9 4
Квадрат бинома − страна 78 1. a) x2 + 20x + 100 b) 9 − 6y + y2 v) 36 + 60z + 25z2 g) 9x2 − 6x + 1 2. a) 7, m2, 7 m b) y, −8 y, 16 v) a, b, a2, b2 g) y, 9x2, y2 3. a) 9 − 6a + a2 b) x2 − 12x + 36 v) y2 − 4y + 4 g) b2 − 10bc + 25c2 4. (a + 4)2 = (−a − 4)2, (a − 4)2 = (−a + 4)2 6. a) x 2 + x + 1 b) 1 − 2z + z 2 v) 9 y 2 + 4 y + 4 9 4 4 7. a) x2 + 4x + 2 b) 9x2 − 2x + 1 v) 12x + 9 8. a) 7x2 + 13x + 25 b) 36x2 − 20x + 1 9. a) 5y2 + 11y + 7 b) 6x2 − 16x + 9 10. a) 6a2 + 8a b) 8b2 − 28b − 9 11. a) 2x2 + 8x + 26 b) 40x + 40 12. a) 5a2 − 12ab + 20b2 b) 8z2 − 12zt − 8t2 13. a) −2x + 16 b) x2 − 4 v) 2x2 + 8 g) 8x d) 16 |) 4x2 14. −0,0725 15. a) −2x2 + xy +6y2 b) 16t2 − 9st + 20s2 16. a) 20a2 + 4a − 23 b) 24c − 25 17. a) x = −1 b) y = 1 v) x = 1 g) y = 5 3 18. a) a2 − 24a − 12 b) −39x − 3 v) −a2 + 14 a + 147 2 19. 12 cm 20. 108 cm2
c a
2ro
a
ro
a 2 + a = 2ru , a
(
)
2 +1
ru = 2 (2ro )2 = a
((
a
22°30 a 2
( 2 + 1)
a
a
a a
a
45°
a 2
2ru
0‘ 22°3
22°30 ‘
45°
a 2
{
Множење полинома − страна 76
21.
(
)
2 + 1 = 2ru
))
2
2 +1
(2ro )2 = a2 (3 + 2
2
+ a2
), r
o
=a
(4 + 2 2 ) 2
(
21. velika dijagonala: 2ro = a 4 + 2 2 sredwa dijagonala: 2ru = a mala dijagonala: ro 2 = a
(
)
)
2 +1
(
2 4+2 2 2
).
22.
2 cm a 30°2 cm
(
a2 = 1 + 2 − 3
2
)
a = 8−4 3 Растављање полинома на чиниоце применом дистрибутивности − страна 81 1. a) 8 b) 4 v) 3 g) 12 2. a) 2 · 2 · 3 · a · a b) 2 · 5 · 7 · x · x · y v) 2 · 3 · 7 · t · t · s · s · s · r 3. a) 9(3x + 2y) b) 5(a − 3b) v) 4(4t + 2z) 4. a) 4(x + 4) b) 17(2 − b) v) 3(ab − 3) g) 5(5 − 3yz) 5. a) 2(a − 1) b) 23(1 + t2) v) 2z (2z − 1) g) 5(x + 10x2) 6. a) 3(2a − b + 3) b) 4(3a2 − 4a + 2) v) 5(10x2 − 5x + 3) 7. a) x2 (x − 1) b) a3 (b2 + 1) v) z(5z − 2 + z2) 8. a) 6a2 (8a − 7) b) 15x5 (2a4 − 5) v) 16n4(6 + n4) 9. a) 18b2 (4a − 1) b) 4st2 (s2 − 3t) v) 8xy (x − 5y) 10. a) 4abc(7b − 10ac) b) −8s3t2 (4s2 − tr) v) 8 y2z2 (7x2 z + 3y) 11. a)5(6a2 + a − 4) b) 6(3x − 4x2 + 1) v) 8z(6z2 + z − 3) 12. a) 4ab(4 − a + 3b) b) 5xy (7x − y + 3) v) 14yz(2z2 − 4yz + 2y2) 13. a) −3a4(9a2 − 4b − 5ab2) b) 6xy2(7y2 − x − 4y) v) 5m4n2 (3n2 − 2m − mn) 167
(
Растављање полинома на чиниоце − страна 82 1. a) 2. a) 9(5x + 8) b) 17(2a − b) v) n(b + a) 3. a) 2x(2x – 5) b) a(b – a) v) 4n2(2 – n) 4. a) 45(2a – 1) b) 5x(1 + 3x) v) 23y(y –1) 5. a) 2z + 3 b) 8z + 5t v) 4x2 + y 6. a) 6xy(7x – 6) b) b2(a3 – 1) v)16t(3ts + 2r) 7. a) xy(z – y) b) 3a4b(2b – 3a) v) 6mn3(4n +m2) 8. a) 3(1 – 3a + 2 a2) b) 2x(4x –x2 + 2) v) 11k2(2k2 + 1 − 4k) 9. a) 4ab(4 + a + 3b) b) 5xy (7x – y + 3) v) 14yz (z2 − 4yz − 2y2) 10. a) 5z2t2(2z2 − 1 − 3zt) b) 2xy (4x – 9xy + 1) 11. a) (a − 8)2 b) (11 − y)2 v) (2b + 1)2 12. b) 1 v) 400 13. a) 1 681 b) 9 801 v) 11 025 14. a) (a – 9)(a +9) b) (0,2 – x)( 0,2 + x) v) (y – 30)(y + 30) g) (z – 1,6)(z + 1,6) 15. a) (0,6 – a)( 0,6 + a) b) (5x – 7)(5x – 7) v) (1,5n – 1,2m)(1,5n – 1,2m) 1 g) 3x − 3x + 1 d) 5 x − y 5 x + y 3 3 8 8 |) (0,4a − 21b)(0,4a + 21b) 16. b) 48 v) 180 g) 56 17. 21 cm 18. a) 2 b) 5,6 25 19. a) 99,8 b) 16 000 20. a) 6,56 b) 4,4 21. a) 5 b) 0,75 22. a) 8(x − 3)( x + 3) b) 2(8 − x)( 8 + x) v) 6(x − 4)( x + 4) 23. a) a(a − 1)( a + 1) b) b(9 − b)( 9 + b) v) 2x(7x − 1)( 7x + 1) 24. a)(x − 6) (x + 4) b) x(x + 6) 25. a) (9x + 10)(11x − 10) b) 3(4x + 3) 26. a) (s + t)(a + b) b) (x − y)(2n − 5) v) (a − b)(3p + 2t) 27. a) (z − t)( 2 + a) b) (x − y)(a + b)
(
)(
)
(
)(
)
v) m = 0 ili m= 2 5. a) x = 7 ili x = − 7 b) y = 30 ili y = − 30 6. a) x = 9 ili x = − 9 b) y = 2 ili y = −2 5 5 7. a) x = − 7 b) x = 3 v) x = 4 8. a) x = 3 ili x = 2 b) x = 4 ili x = − 4 2 3 3 3 v) x = 2 ili x = − 2 3 3 Зависне величине и њихово графичко представљање Правоугли координатни систем у равни − страна 1. a) (3, 1) b) (−3, −3) v) (−2, 0) g) (−2, 3) 2. a) A(−6, 4), B(−8, 0), C(4, −8), D(5, 2) 3. A(−0,5; 1), C(−2,5; 2), D(1; 0,1), E(2,6; 2,7), F(−1; −1,5), G(−1,6; −2,1), H(0,5; −1,8), P(2,8; −1,9), M(1,5; −1), Q(0,3; −0,5) 5. C, D, A, B, E 6. a) A, E, F b) A, C, D 7. II, IV, III, I 8. a) prvom i tre}em b) drugom i ~etvrtom v) prvom i ~etvrtom g) prvom i drugom 9. a)
b)
y
y
A(−2,3)
x
x
10. a)
A(−3,−3)
b) y
y A(−3,3)
A(4,2)
Пробај и ово − страна 93 5 x +5 1 29. a) 2y + 6 30. a) x + 2 2 31. a) 1 y −3
28. a)
b) x + 3 3 b b) + 4 3 b) a −2 2 a b b) − 4 3
v) 2x − 3 3
Растављање полинома − примена у једначинама − страна 87 1. a) x = 1 ili x = − 5 b) t = − 2 ili t = 2 v) c = 27 ili c = − 6 2. b) i v) 3. a) n = 5 ili n = − 1,2 b) a = −9 ili a= 1,1 4. a) x = 0 ili x = 2,5 b) y = 0 ili x = −4
168
x
11. a) A(−4, 1) b) A(1, 1) v) A(−2, −1) g) A(−2, 3) 12. simetri~ne su 13. a) F i P, H i J, C i N b) F i C, P i N, T i Z, v) F i N, M i I, S i A, C i P 14. a) (3, 2) b) (−3, −2) v) (−3, 2) 15. a) B(1, 2) b) B(−3, −4) v) B(2, −3) 16. a) C(−5, −2) b) C(11, 8) v) D(8, −5) 17. a) o{trougli b) pravougli v) tupougli 18. a) pravougaonik b) trapez 19. a) C(3, 4), D(−2, 4) ili C(3, −6), D(−2, −6) b) C(4, 3), D(4, −2) ili C(3, −6), D(−2, −6) 20. a) D(4, 2) b) D(4, −1) v) D(−2, 0) 21. a) y-osa b) x-osa
x
v) prava paralelna sa y-osom kroz ta~ku (1,0) g) prava paralelna sa x-osom kroz ta~ku (0,3) d) prava paralelna sa y-osom kroz ta~ku (−2,0) |) prava paralelna sa x-osom kroz ta~ku (0, −4) e) simetrala prvog i tre}eg kvadranta z) simetrala drugog i ~etvrtrog kvadranta 22. a) E, B b) F, H, C v) A, B,C, D, E, G, H g) F, I 23. −1 ≤ x ≤ 6, −2 ≤ y ≤ 4 24. a) y -2
b) x
g)
v*
y
x
d)
y
y
-3
e)
y
x
-2
1
y 6
2
3
Директно пропорционалне величине. Графички приказ директно пропорционалних величина − страна 103 12 = 10 = 3 = 5 , a 0, 8 = 0, 5, 1. y y Kako je y y=2x 1, 6y 2, 4 y=4x 2 0, 6 y=2x y=4x 6 6 veli~ine x i y nisu direktno proporcionalne. 2. k = 1 , k = 3 1 2 3 2 1 1 3. a) jesu, k = 35 b) 35 000 x 2 1 1 1 x 3 2 =-14x x 1 u b) -1 u = 2x -1 -1 4. a) 1 1 2x 3
x
-1
|)
y
19. P = 12 20. a) P = 10 b) P = 4,5 21. a) P = 6 cm2 b) P = 7,5 cm2 22. a) P = 26 b) P = 20 23. a) P = 11,5 b) P = 9,5 P = 10,5 24. a) P = 27 b) P = 18 P = 18,5 25. a) P = 10,5 b) P = 10 26. P = 36 27. O = 2 10 + 2 82 P = 26
x
x
1
-2
5 -1
x
y
Растојање између две тачке − страна 99
-4
1. a) 5 b) 2 2 v) 5 g) 74 2. a) 10 b) 2,1 v) 13 g) 3,4 3. a) d = 5 2 b) d = 8 2 v) d = 34 g) d = 89 4. a) 3 b) 53 v) 34 g) 4 d) 13 5. Na primer, ta~ke C(4,0), D(4,6) su na jednakom rastojawu od ta~ke A kao ta~ka B.
1 2
-1
1x 2
x
2 1
2 1 1 2
1
x
x1
-1
y
y -3
y y= 5 x 2
5
5
2 1
2 1
-1
x1 2
2 -1 1 -2
-2 -1 y
y 5x y= 2
-3 5
y=3x 3
1x1 2
-13
y
5 -5
3
1
y=2x
x
3
y= 5 x 2
y=3x
y=3x 3
C
6. prvi red: 6; 2,4 cm; drugi red: 5, 2 cm; tre}i red: 2 2; 0, 8 2 cm 7. (3+ 3 2 + 2 +3) × 0,5 cm = (3+ 2 2 ) cm ≈ 5,82 cm 8. a) (−0,5; 0) b) (−1, 1) v) (0, 0) g) (−2,2 ) d) (0,5; 2) 9. a) (0,5; 0) b) (−3,6; 0) v) (0, −3,5) g) (−2; −0,3) 10. D(−1, 6), O(0,5; 4) 11. a) D(2, 2), O(1, 1 b) B(−6, 2), O(−1, −1) 12. Uputstvo Prvo izra~unaj koordinate sredi{ta stranica datog trougla. a) tC = 17 tB = 20 tA= 29 b) tC = 6 tB = 3 2 tA= 3 2 13. O = 6 + 2 5 14. a) O = 12 + 3 2 b) O = 4 + 2 29 15. a) O = 22 b) O = 20 16. D(1, 1) , A(2, 4), F(1, −4) 17. a) B(−6, 1) b) B(−3, −2) v) B(−6, −2) g) B(−8, −8) d) B(−9, 6) 18. C(11, 1), D(8, 6)
yy=2x 6
-1
y
3
-1
6
-4
y 5.
A
B
y y=4x
-1
-4
D
2
y y=4x -4
x y= 5 x 2
-5
y=3x
2 2 6. Uputstvo 1 1 Sastavi tabelu, na primer za 1, 2, 3, 4 kutije i za svaku x1 2 x 2 -1 1 -2 -2 -1 x1 x izra~unaj broj markera. 1 -1 7. a) 60 l, 150 l, 240 l, 33 l 420 l b) jesu v) 30 minuta 8.-3a) 2 700-3obrtaja b) 17 550 obrtaja v) 8 minuta -5
-5
Директно и обрнуто пропорционалне величине − страна 105 1. prvi red: 5, 20 drugi red: 8 , 2 , 16 5 5 5 k= 2 5 2. prvi red: 8, 8 3 drugi red: 4 k=4 169
1, 2 3 36 3. Jesu, jer je 12 = = = = 2, 4 5 1 5 15 2 4 4. a) 20 km, 30 km, 40 km, 50 km b) jesu 5. a) ha = 5cm hb = 2cm b) Jesu, jer je a · ha,= 30 cm2 i b · hb = 30 cm2 . 7. prvi red: 14; 7 drugi red: 21; 10,5; 8,4 9. a) 150 m b) 6 minuta v) drugi red: 0, 100, 200, 300 10. a) i v) 11. a) 19,5 l b) 3,25 l v) 22,75l g) 400 km Пропорција − страна 109 1. a) i b) 2. a) x = 46 b) a = 3 v) y = 10 3. a) x = 2 b) x = 4 v) x = 1 3 6 4. b = 18 cm 5. a) 36 cm2 b) 9 cm2 6. 200 g 7. 4,5 km 8. 1,445 m 9. 42 m 10. 0,9 l vode i 0,6 l sirupa 11. a) 4 : 9 b) 5 : 9 v) 200 de~aka i 250 devoj~ica 12. 70° i 20° 13. b = 15 cm a = 9 cm 14. 600 kg Примена директне и обрнуте пропорционалности − страна 111 1. a) k = 6 b) k = 1 2 2. b) 180 5. a) 1,250 kg b) 32 kg 6. 20 sekundi 7. 20 sati 8. 204 dinara 9. 3 sata 10. 40 xakova 11. 1078 12. 2,250 kg 13. 21 daska 14. 60 kutija 15. a) 300 okretaja b) 3 600 okretaja 16. 750 g Примена пропорција у процентном рачуну − страна 113 1. prvi red: 9 , 17 20 100 drugi red: 0,5; 0,17 tre}i red: 50%, 45% 2. a) 16 b) 7 840 v) 475 g) 26 3. 180 kg 4. a) 52,8 g b) 241,12 kcal 5. a) 12,5 ml b) 4,875 dl
170
6. a) 30 b) 9 7. a) 1 800 000 b) 7 000 000 10. 18% 11. ≈88% 12. 216 u~enika 13. a) Prethodne nedeqe je prodato 125 ki{obrana, a te nedeqe 154. b) 138,6 14. Posle poskupqewa so je ko{tala 71,5 dinara, a posle pojeftiwewa 64,35 dinara. 15. 4 158 dinara 16. 48 u~enika 18. 54 000 dinara Примена пропорција − страна 116 1. a) i v) 2. a) x = 4 b) x = 11 v) x = 1 3. 120 g {e}era, 150 g bra{na 4. O = 16 cm, P = 64 cm2 5. 1 106,56 dinara 6. 144 i 180 7. 52°, 65° 8. 420 i 280 9. 92 kg, 6 kg, 2 kg 10. 40°, 60°, 80° 11. O = 50 cm 12. P = 140 cm2 13. a) 360 km b) 2h 15 min 14. 10 kamiona 15. 22,4 dinara km 16. a) 2 sata b) 100 h 17. 2 726,5 dinara 18. 1 h 24 min 19. a) 300 kg b) 40 radnika v) 2 500 kg 20. 8 radnika 21. 470 boca 22. 6% 23. 6 000 dinara 24. 1 350 dinara 25. 375 m Пробај и ово − страна 120 28. 65,6 kg 29. 17,87 tona
КРУГ Централни и периферијски угао − страна , AGC , MFQ 4. prvi red: AG, AC, MQ drugi red: AG 5. a) 60° b) 30° v) 50° 6. 120°, 60° 6. a) α = 80°, β = 40° b) α = 160°, β = 80° 7. β = 45°, δ = 15°, ϕ = 45°, γ = 75° 8. 90° 9. a) 45° b) 60° v) 40° 10. a) 72°, 36° b) 120°, 60° v) 90°, 45° g) 45°, 22° 30′ 11. a) 216°, 108° b) 200°, 100° v) 150°, 75°
12. a) β = 100° b) β = 74° 13. 60°, 30° ili 120°, 60° 14. 92°, 58° 15. ∠ABC = 108° , ∠BCD = 62°, ∠CDA = 72°, ∠DAB = 118° 16. a) β = 30°, γ = 150° b) β = 40°, γ = 140° v) β = 105°, γ = 75° 17. Uglovi trouga ABC su: 46°, 67°30′, 67°30′ 18. Nacrtaj pre~nik CD kruga K. Odredi uglove α1, α2, β1 i β2 kao na slici tako da je α = α2 − α1 i β = β2 − β1. Na osnovu prvog slu~aja (pogledaj dokaz na strani 148 u uxbeniku), zakqu~ujemo: α1 = 2β1 i α2 = 2β2, odakle sledi: α = 2β1 − 2β2, odnosno α = 2β. k
D A
α1
α2 O C B
β2 β1
Обим круга− страна 125 1. a) O = 31,4 cm b) O = 7,536 cm v) O = 1,57 cm g) O = 219,8 cm 2. a) O = 131,88 cm b) O = 76,93 cm v) O = 48,356 cm 3. a) r = 1,75 cm b) r = 35 cm 4. 5 × 20π cm = 100 × 3,14 cm = 314 cm = 3,14 m 5. a) dva puta b) pet puta 6. a) dva puta b) pet puta 7. 4,71 m 8. 282,6 m 9. O = 4 + rπ = 4 + 2·3,14 = 10,28 cm 10. a) 30π : 2 + 10π : 2 + 40π : 2 = 40π ≈ 125,6 mm b) 125,6 mm v) 125,6 mm 11. O = 2r1π + 2r2π = 20π cm 12. 2r ≈ 3,82 m = 382 cm 13. 12 500 puta 14. Zemqa: 150 000 000 km Mars: 228 000 000 km Venera: 108 000 000 km 15. hipotenuza je c = 5 cm; ro = 2,5 cm; O = 5π cm 16. a) ro = 2 3 cm, O = 4 3π cm b) ru = 3 cm, O = 2 3π cm 17. a) ro = 3 2 cm, O = 6 2π cm b) ru = 3 cm, O = 6π cm 18. Oo = 2,4π cm, Ou = 1,2 3π cm, Oo – Ou ≈ 0,324π cm 19. r = 1,4 cm; a = 2r = 2,8 cm 20. Du`ina staze je 80π m = 251,2 m. 5 · 251,2 m = 1256 m; 1256: 314 = 4 min 21. Obim travwaka je 10π m = 31,4 m. Broj plo~ica ra~unamo: 3140 cm : 30 cm ≈ 105 22. Polupre~nik kru`ne povr{ine je 400 : 2π ≈ 64 m. Polupre~nik travwaka je 64 m – 3 m = 61 m. Potrebno je pribli`no 128 · 3,14 m ≈ 383 m `ice. 23. Stranica pravougaonika je 48 cm = 4 3 cm . 24. a) O = 4 + 2rπ : 4 = 7,14 cm b) O = 4 + 2rπ : 6 = 6,09 cm
Дужина кружног лука и обим круга − страна 128 1. a) l = 4π cm = 12,56 cm b) l = 2π cm = 6,28 cm v) l = 8 π cm = 5,024 cm 5 π 2. a) l = cm = 1,57 cm b) l = 5π cm 2 4 v) l = 5π cm g) l = 13π cm d) l = 15π cm 3 5 4 3. a) r = 1,4 cm b) r = 16,8 cm v) r = 70 cm 4. a) 54° b) 324° v) 90° 5. a) l = π cm b) l = π cm 180 120 π 5π v) l = cm g) l = cm 9 9 3π 7π 6. a) l = cm b) l = cm 4 4 9π 29π v) l = cm g) l = cm 8 120 7. a) 15°, l ≈ 1 667 km b) 45°, l ≈ 5 000 km v) 2° 30′, l ≈ 278 km 8. a) 6° b) 72° v) 30° 9. a) l = 4π cm b) l = 4π cm 15 v) l = 16π cm g) l = 12π cm 3 10. a) 30° b) 37,5° v) 25° 11. a) l = π cm b) l = π cm v) l = 7π cm g) l = 10π cm 2 6 3 12. r = 30 cm 13. ≈ 5 000 km 14. l = (3,5π + 1,5π + 3π) cm = 6π cm 15. a) O = 3π cm b) O = (4 + 3π) cm v) O = 4π cm Пробај и ово − страна 131 16. Obojena linija se sastoji od vi{e polukru`nica. a) l = (2π + 3π + 4π + 5π + 6π) cm = 20π cm b) l = (π + 1,5π + 2π + 2,5π + 3π) cm = 10π cm Површина круга − страна 131 1. a) 19,625 cm2 b) 2,0096 cm2 v) ≈4,91 cm2 2. P = 124,74 cm2 3. prvi red: 12 cm, 12π cm, 36π cm2 drugi red: 8,3 cm; 16,6π cm; 68,89π cm2 tre}i red: 12 cm, 24 cm, 144π cm2 ~etvrti red: 2,5 cm; 10 cm; 10π cm 4. 100 puta 5. Povr{ina }e se pove}ati 16 puta. 6. 9 puta 7. r = 16 cm P = 256π cm2 8. a) O = 24π cm b) O = 1,6π cm v) O = 3,2π cm Pu ru2 π ru2 1 = = = 9. Po ro2 π ( 2r )2 4 u Pkruga 10. = 4≠ = 78,5% 16 Pkvadrata 11. 47,66…% ≈ 48% 12. 128 cm2 13. Po = 36π cm2 Pu = ( 3 3 )2π cm2 = 27π cm2 14. a) 21,5% b) 21,5%
171
15. Povr{ina zemqi{ta je 28,26 m2. 28,26 : 1,2 = 23,55 Mogu se zasaditi 23 grma. 16. 423 lale 17. a) Povr{ina jednog keksa je 2,25π cm2 = 7,065 cm2. Za jedan keks potrebno je 14,13 g ~okolade. Od 200 g ~okolade mo`e se preliti 200 : 14,13 ≈14 komada keksa. b) ≈ 7 komada keksa 18. Povr{ina ve}eg krug je 144π cm2, {to zna~i da je polupre~nik 12 cm. Obim kruga je srazmeran polupre~niku, pa iz koli~nika 12 : 10 zakqu~ujem da }e se obim pove}at za 20%. 19. Obim ve}eg kruga je 220π cm, {to zna~i da je polupre~nik ve}eg kruga 120 cm. Neka je P1 = 10 000π cm2 i P2 = 12 100π cm2. Iz koli~nika 12100π : 10000π = 1,21, zakqu~ujemo da je povr{ina kruga pove}ana za 21%. 20. 4π cm2 Пробај и ово − страна 133 21. Centri upisanih krugova su temena jednakostrani~nog trougla. Ako je polupre~nik upisanog kruga r onda je stranica jednakostrani~nog trougla 2r. Polupre~nik 18 upisanog kruga je r = cm . Povr{ina otpalog 3+2 3 dela je pribli`no 39%.
(
)
22. 2 + 2 2 cm Површина круга и кружних делова − страна 134 1. a) 1 b) 1 v) 5 g) 5 4 3 12 8 2. a) 180° b) 120° v) 144° 3. 0,4π cm2 b) 2π cm2 v) 3π cm2 g) 7,5πcm2 4. Centralni ugao je 72. Obim ise~ka je (4 + 4 + 1,6π) cm = (8 + 1,6π) cm 5. r = 24 cm, α = 90°, Pi = 144π cm2 . 6. a) 30π cm2 b) 4π cm2 v) 4,5π cm2 7. a) 2 cm b) 2,5 cm v) 1,84 cm 8. a) 4π cm b) 1,6π cm 9. a) 8,25π cm2 b) 75π cm2 10. a) O = 6π cm, P = 3π cm2 b) O = 7π cm, P = 1,75π cm2 11. a) ro = 2 3 cm, ru = 3 cm, Po – Pu = 9π cm2 b) 9π cm2 v) 9π cm2 12. 72π cm2 − 42π cm2 = 33π cm2 13. crni prsten: 3π cm2, sivi prsten: 5π cm2 , plavi prsten: 7π cm2 14. Polupre~nik unutra{weg kruga je 16 cm. 15. a) O = (4 + π) cm, P = (4 − π) cm2 b) O = (8 + π) cm, P = (8 − π) cm2 v) O = (4 + 2π) cm, P = (8 − 2π) cm2 16. a) O = 2π cm, P = (4 − π) cm2 b) O = (4 + π) cm, P = (4 − 0,5π) cm2 v) O = 2π cm, P = 2 cm2 a2 π + a2 π a2 1 − π 17. a) P = a2 − = , 8 4 8 P : Pkvadrata = 0,6075 = 60,75% b) 39,25%
( )
172
18. a) O = π cm, P = ( 3 − 0,5π) cm2 b) O = (2 + 5 π) cm, P = 5π cm2 3 6 v) O = 5π, P =( 3 + 5π ) cm2 2 19. a) O = 4π cm, P = ( 6 3 −2π) cm2 b) O = 8π cm, P = ( 6 3 + 4π) cm2 20. a) O = 2 + 3,5π cm, P = 7π cm2 4 b) O = 2 + 7π cm, P = 7π cm2 3 6 35π v) O = 2 + cm, P = 35π cm2 6 12 35π 35π g) O = 2 + cm, P = 4 8 21. begonije: 12,56 cm2 lale: 12,56 cm2; 6,25%; trava: 64π cm2 – 6π cm2 – 16πcm2 = 42π 42π : 64π = 0,65625 = 65,625% Пробај и ово − страна 138
(
)
22. a) O = 4 2 + 2π cm, P = (4π − 8) cm2
( (
)
(
)
b) O = 4 + 4π cm, P = 8π − 4 3 cm2 3 3 8π v) O = + 4 3 cm, P = 16π − 4 3 cm2 3 3 23. 1,5 cm; 2,4 cm; 3,6 cm; 4 cm 2 1,52 π 2,52 π 24. P = ( 4 ⋅ 3 + 2 π + − )cm2 = 6 cm2 2 2 2 2
)
(
)
Круг − систематизација − страна 138 1. prvi red: 900, 18000, 3600 drugi red: 1 , 1 , 1 , 1 , 3π , 1 8 6 3 2 2 tre}i red: π cm, π cm, π cm, 2π cm, π cm, 3π cm, 2π cm 4 3 2 3 2 π 2. tre}i red: cm2, π cm2, π cm2, π cm2, 8 6 3 12 3π π cm2, cm2, πcm2 2 2
СлиЧност ТРОУГЛОВА Размера дужи − страна 140 1. prvi red: 2 : 1, 1 : 3, 3 : 2 drugi red: 2 : 5, 30 : 8, 2 : 3 tre}i red: 2 : 35, 35 : 2, 1 : 1 ~etvrti red: 1 : 4, 10 : 3, 6 : 5 peti red: 1 : 2, 2 : 3 , 3 : 1 2. g) 3. a) 1 : 300 b) 1 : 4 v) 5 : 2 4. 1,66 : 1,02 = 83 : 51 5. 5 : 54 6. a) \or|e je odrezao 3 letvice. 10 b) Razmera delova letvice je 3 : 7. 7. a) AC : CB = 1 : 3 b) AD : DB = 1 : 1 v) AB : CD = 4 : 1 g) AD : AB = 1 : 2
8. a) AC : AB = 4 : 9, AB : CB = 9 : 5 b) BM : MC = 3 : 5, MC : BC = 5 : 8. 9. a) 45 : 2 b) 4 : 1 v) 1 : 12 g) 1 : 8 10. a) 2 : 1 b) 2 : 500 v) 1 : 12 000 g) 1 : 1 250 000 11. 8 : 7 12. a) 3 : 3 b) 2 : 1 v) 1 : 1 13. AM : AB =1 : 6, MP : MQ = 8 : 11, PB : MP = 3 : 2, AQ : PB = 5 : 4, MQ : AB = 11 : 24 14. 1 : 50 15. da 16. a : b = 3 : 5 a) 4 : 5 b) 3 : 4 v) 5 : 7 19. a : b = 4 : 7, b : c = 7 : 10, c : a = 5 : 4 20. 36 km 21. prvi red: 0,25 cm; 300 km drugi red: 12000 cm = 120 m, 5 mm 22. a) p = 2 m, q = 3 m b) p = 12 cm, q = 18 cm 5 5 23. a) b = 75 cm b) s = 270 cm v) c = 1,5 dm 24. 37,5 cm 25. 9 m i 7 m 26. Du`ina stranice Mili~inog kvadrata je 4 cm. Obim Mininog kvadrata je 24 cm, a Mili~inog 16 cm. Razmera obima kvadrata je 3 : 2. 27. 3 : 2 28. a) d = 90 cm b) d = 1,6 cm v) d = 2,25 cm 29. b = 25 cm, a = 20 cm, P = 500 cm2 30. a = 20, b = 15 31. a = 24 cm, b = 42 cm 32. a = 15 cm, b = 25 cm, O = 80 cm 33. h = 20 cm, a = 16 cm, b = 4 29 cm 34. a) a : m = 4 : 0,8 = 40 : 8 = 5 : 1 = 5 b) e : m = 2 2 : 0,8 = 20 2 : 8 = 5 2 2 35. a) ne b) da v) da g) ne d) da 36. a) a : b : c = 2 : 3 : 5 b) a : b : c = 5 : 7 : 80 37. a : b : c = 2 : 3 : 5 e a = 2k, b = 3k i c = 5k Najkra}a du` je du` a. 5 cm = 2k; k = 2,5 cm; b = 7,5 cm; c = 12,5 cm 38. b = 6 cm, h = 18 cm 39. a = 15 cm, b = 25 cm, c = 20 cm Пробај и ово − страна 144 40. a) a : c = 1 : 3 b) a : b = 3 : 5 i b : c = 2 : 7 U prvoj razmeri veli~ina b je proporcionalnao s 5 , a u drugoj razmeri sa 2. NZS(2,5) = 10 Pro{iri}emo prvu razmeru sa 2, a : b = 6 : 10, drugu sa 5, b : c = 10 : 35. Zakqu~ujemo da je a : c = 6 : 35. 41. a) a : c = 2 : 3 b) a : c = 3 : 4 v) a : c = 2 : 25 Подела дужи на једнаке делове − страна 145 9. Kako je AB DE, sledi da je: AD : DC = BE : EC, BE : EC = 1 : 3, x : 18 cm = 1 : 3, x = 6 cm
10. Kako je AC DB, sledi da je: OC : DC = OA : AB, odnosno 12 cm : AB = 3 cm : 1, AB = 4 cm. 11. Iz AC : AE = 4 : 5, sledi da je AC : CE = 4 : 1. Kako je BC DE, sledi: AC :CE = AB : BD, 4 : 1 = AB : 12 cm, AB = 48 cm, AD = 60 cm. 12. m = 36 cm Слични троуглови − страна 146 1. Ugao �ACB = 50°. Trouglovi ABC i DEF imaju po dva ugla jednaka odakle sledi da su sli~ni. 2. a) Uglovi prvog trougla su: 60°, 45° i 75°. Uglovi drugog trougla su: 75°, 45° i 60°. Trouglovi su sli~ni. b) Uglovi prvog trougla su: 120°, 14° i 46°. Trouglovi nisu sli~ni jer nemaju po dva ugla jednaka. 3. Drugi o{tar ugao prvog trugla je �BAC = 90° – 42° = 48°. Trouglovi su sli~ni. 4. a) Ugao na osnovici prvog trougla je �FDE = 75°. Ugao na osnovici drugog trougla je �CAB = 75°. Trouglovi su sli~ni. b) Ugao pri vrhu prvog trougla je �ACB = 80°. Truglovi su sli~ni. 5. a) Trouglovi nisu sli~ni. b) Trouglovi nisu sli~ni. v) Trouglovi jesu sli~ni. g) Trouglovi jesu sli~ni. 6. �OAB = �ODC i �OBA = �OCD – uglovi sa paralelnim kracima 7. �AEB = �DEC i �EAB = �ECD – uglovi sa paralelnim kracima 8. ∆ADC ∼ ∆DBC, ∆CDE ∼ ∆DBE 9. �M = �M1 = 90° i �A = �A1 (∆ABC ∼ ∆A1B1C1) 10.a) Trouglovi ABC i ADC su sli~ni, jer imaju zajedni~ki ugao kod temena A. b) Trouglovi ABC i CBD su sli~ni, jer imaju zajedni~ki ugao kod temena B. v) Trouglovi ADC i CBD su sli~ni, jer je �CAD = �DCA kao uglovi sa normalnim kracima. 11. ∆AFE ∼ ∆ABC, ∆CED ∼ ∆BCF, ∆AFE ∼ ∆CED 12. a) ∆ADC ∼ ∆AEC, ∆CDF ∼ ∆CEB, ∆AEG ∼ ∆ABC 13. Kako je ∆ADF ∼ ∆ABC i ∆ADF ≅ ∆DEF sledi ∆DEFF ∼ ∆ABC. Razmera stranica trouglova ABC i DEF je 2 : 1, trouglova ABC i PQM je 1 : 4 i trouglova DEF i PQM je 2 : 1. 14. a) 2 : 1, b) 1 : 2 v) 2 : 1 15. 1 : 2 16. a) Du` MH BC jer je MH sredwa linija trougla ABC b) 1 : 2 17. Pogledaj re{ewe prethodnogzadatka. 18. QR = 2 cm, PR = 3,2 cm 19. ED = 27 cm 20. Izra~unaj prvo katetu b pravouglog trougla ABC, b = 4,2 cm. Stranice trougla A1B1C1 su: a1 = 1,6 cm; b1 = 1,2 cm; c1 = 2 cm. 21. a) a1 = 3 cm; b1 = 7,5 cm; c1 = 11,5 cm b) a1 = 0,48 cm; b1 = 1,4 cm; c1 = 1,84 cm 173
22.Stranica du`ine 5 cm je najdu`a stranica prvog trougla. Iz proporcije 1,2 cm : 5 cm = a : 15 cm ra~una{ stranicu a drugog trouga koja odgovara stranici du`ine 1,2 cm prvog trougla, a = 3,6 cm. Iz proporcije 4,6 cm : 5 cm = b : 15 cm ra~una{ b = 13,8 cm. 24. a) Trouglovi CAB i CDE su sli~ni(�A = �D, �B = �E) odakle sledi AB : DE = BC : EC, 30 cm : x = 24 cm : 18 cm, x = 40 cm. b) x = 15 cm
17. Nacrtajmo trougao ABC i visine CE i BD koje odgovaraju stranicama AB i AC. Trouglovi AEC i ABD su sli~ni (∠E = ∠D = 90, ∠A je zajedni~ki ugao), odakle sledi: AC : AB = CE : BD Ako trougao ABC obele`imo kao na slici prethodno tvr|ewe mo`emo napisati i ovako: b : c = hc : hb C D
Пробај и ово − страна 151 26. a) Primenom Pitagorine teoreme na trougao ADC izra~unaj p, p = 8 cm. Iz sli~nosti trouglova ADC i CDB sledi p : h = h : q, 8 cm : 6 cm = 6 cm : q, q = 4,5 cm i b : p = a : h, 10 : 8 = a : 6, a = 7,5 cm. 27. Trouglovi ABC i ABD su sli~ni jer imaju zajedni~ki ugao kod temena A i ∠ABC = ∠BDA odakle sledi AB : AD = AC : AB = BC : BD 28. a) Trouglovi ABC i EDC su sli~ni jer je: �ACB = �ECD i �BAD =�DEC (periferijski uglovi nad lukom BD) odakle sledi: BA : DE = BC : DC = AC : EC b) Trouglovi ABC i ADE su sli~ni jer imaju zajedni~ki ugao kod temena A i �ACB = �AED (periferijski uglovi nad lukom BD) odakle sledi: BA : DA = BC : ED = AC : AE 29. a) Po{to je trougao ABC jednakokraki sledi da je ∠BAC = 72° i ∠ACD = 36°. Kako je ∠CAD = 36° sledi da je trougao ADC jednakokraki, AD = CD. b) Trouglovi ABC i ABD su sli~ni jer imaju zajedni~ki ugao kod temena B i �ACB = �BAD = 36°. v) BA : BD = BC : BA odnosno a : (b − a) = b : a 30. a) Uglovi trougla ABC su: 36°, 108° i 36°. Uglovi trougla BCD su: 36°, 36°, 108°. Zna~i trouglovi ABC i BCD su sli~ni. b) a : b = b : (a − b) Сли~ни троуглови – − страна 153 1. 4,5 m 2. 11,2 m 3. 7,2 m 4. 6,3 m 5. AE ≈ 16,17 m, AV ≈ 5,17 m 6. a) 198 m b) 457,6 m 7. x = 1,62 m 8. 11 m 9. a = 20 cm 10. a) 2 11 cm b) 11 cm 11. 2 cm 1 3 73 cm 12. AE = 73 cm , EC = 4 4 13. b1 = 6 cm, c1 = 8 cm, O : O1 = 3 : 1 14. Du`ina kraka trougla ABC je 12,5 cm, a trougla A1B1C1 40 cm 15. a) 1 : 2, b) 1 : 2 v) 1 : 4 16. a) 5 : 6 b) 5 : 6 v) 25 : 36 174
F A
E
B
18. 33 cm i 22 cm 19. a1 = 36 cm b1 = 39 cm 20.a) 3 : 1 b) 3 : 1 21. a) b = 2,5 cm, c = 3 cm b) a1 = 10 cm b1 = 7,5 cm 22. a1 = 1,5 cm b1 = 2,5 cm c1 = 3 cm
175
Садржај
176
Реални бројеви Шта смо научили о рационалним бројевима у шестом разреду Квадрат рационалног броја Квадратни корен Скуп ирационалних бројева Операције с квадратним коренима Реални бројеви – систематизација Пробај и ово
2 2 4 7 9 11 13 16
Питагорина теорема Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао Примена Питагорине теореме на правоугаоник, квадрат, троугао, круг Примена Питагорине теореме на ромб и трапез Примена Питагорине теореме у конструктивним задацима Питагорина теорема – примена Пробај и ово
18 22 23 26 27 30 32 37
Цели и рационални алгебарски изрази (први део) Степен чији је изложилац природни број Множење и дељење степена истих основа. Степенoвање степена Степен производа и количника Операције са степенима Пробај и ово Рационални алгебарски изрази Моном. Полином Сабирање и одузимање полинома Сређивање полинома. Сабирање и одузимање полинома Полиноми – систематизација
40 40 42 44 45 47 48 49 51 52 55
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла Збир углова многоугла Својства правилних многоуглова Конструкција правилних многоуглова Пробај и ово Обим и површина многоугла Пробај и ово Многоугао - систематизација
57 57 59 60 66 65 68 70 71
Цели и рационални алгебарски изрази (други део) Множење монома мономом. Квадрат и куб монома Множење полинома мономом
73 73 74
Множење полинома полиномом Множење полинома Квадрат бинома Растављање полинома на чиниоце применом својства дистрибутивности Пробај и ово Растављање полинома на чиниоце Растављање полинома − примена у једначинама
75 76 78 81 81 82 87
Зависне величине и њихово графичко представљање Неки од начина приказивања података. Читање података с графикона Правоугли координатни систем у равни Пробај и ово Растојање између две тачке Директно пропорционалне величине. Графички приказ директно пропорционалних величина Директно и обрнуто пропорционалне величине Пропорција Примена директне и обрнуте пропорционалности Примена пропорциja у процентном рачуну Примена пропорција Пробај и ово
89 89 93 93 99 103 105 108 111 113 116 120
Круг Централни и периферијски угао Обим круга Дужина кружног лука и обим круга Пробај и ово Површина круга Пробај и ово Површина круга и кружних делова Пробај и ово Kруг - систематизација
121 121 125 128 131 131 133 134 138 139
Сличност троуглова Размера дужи Пробај и ово Подела дужи на једнаке делове Слични троуглови Пробај и ово Слични троуглови – примена
140 140 144 145 146 151 153
Решења
158
177
МАТЕМАТИКА збирка задатака за седми разред основне школе прво издање аутори Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Зорица Јончић илустровао Драган Максимовић рецензенти dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Du{anka Kova~evi}, profesor, O[ „Milo{ Crwanski“ u Beogradu Zlata Stuparevi}, nastavnik, O[ „1300 kaplara“ u Beogradu уредник Свјетлана Петровић лектор Ивана Игњатовић Графичко обликовање Јелена Рељић цртежи Мирјана Стојсављевић-Радовановић припрема за штампу Миомир Радојевић издавач Креативни центар Градиштанска 8 Београд Тел./факс: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 за издавача Љиљана Маринковић штампа ххх тираж х.000 ISBN 978-86-7781copyright © Креативни центар 2010
Пробај и ово�151
Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} Qiqana Vukovi} Zorica Jon~i}
M ATEMATIKA MATEMATIKA Y Z BIRKA ZADATAKA ZA SEDMI RAZRED OSNOVNE [KOLE
y yzbirka zadataka za sedmi razred osnovne {kole
View more...
Comments
