7 Razred - Kreativni Centar - Udzbenik

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} Qiqana Vukovi} Zorica Jon~i}

M ATEMATIKA MATEMATIKA ZA SEDMI RAZRED OSNOVNE [KOLE

uxbenik za sedmi razred osnovne {kole

Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Зорица Јончић

Mатематика уџбеник за седми разред основне школе

7

Водич Кратак тест за проверу претходно усвојених знања

Кључни појмови

Обрада новог градива

Додатна објашњења дефиниција и правила

Решени задаци који помажу у разумевању градива

Тематски садржај Uvod u teme

Mnogougao

Realni brojevi..............................................................4–5 Pitagorina teorema................................................ 30–31 Celi i racionalni algebarski izrazi....50–51, 92–93 Mnogougao................................................................. 72–73 Zavisne veli~ine i wihovo grafi~ko predstavqawe.................................................. 116–117 Krug........................................................................ 146–147 Sli~nost trouglova............................................. 166–167

Mnogougao, stranice i dijagonale........................ 74–76 Zbir uglova mnogougla............................................ 77–79 Pravilni mnogouglovi. Konstrukcija pravilnih mnogouglova.............. 80–85 Obim i povr{ina mnogouglova............................. 86–88

Realni brojevi

Pravougli koordinatni sistem u ravni........... 118–121 Rastojawe izme|u dve ta~ke. Koordinate sredi{ta du`i........................... 122–124 Primeri zavisnih veli~ina i wihovo grafi~ko predstavqawe............... 126–128 Direktno proporcionalne veli~ine................ 129–134 Obrnuto proporcionalne veli~ine................. 135–137 Proporcija. Primena proporcija u direktnoj i obrnutoj proporcionalnosti........................................ 138–144

Skup racionalnih brojeva............................................68 Kvadrat racionalnog broja...................................... 9–12 Pojam kvadratnog korena....................................... 13–15 Pojam iracionalnog broja..................................... 16–18 Skup realnih brojeva. Realni brojevi i brojevna prava..........19–22, 27–28 Operacije s kvadratnim korenima....................... 23–26

Pitagorina teorema Pitagorina teorema................................................ 32–34 Primena Pitagorine teoreme na kvadrat i pravougaonik, na jednakostrani~ni i jednakokraki trougao, na romb i trapez.......... 35–44 Konstrukcija ta~aka na brojevnoj pravoj............ 45–47

Celi i racionalni algebarski izrazi Stepen ~iji je izlo`ilac prirodni broj............. 52–53 Mno`ewe i deqewe stepena istih osnova........... 54–56 Stepen proizvoda brojeva. Stepen koli~nika dva broja.............................. 57–58 Racionalni algebarski izrazi............................. 59–60 Monom. Zbir monoma.............................................. 61–63 Polinom.................................................................... 64–65 Sabirawe polinoma................................................ 66–67 Oduzimawe polinoma............................................. 68–69 Mno`ewe monoma monomom. Mno`ewe polinoma monomom ......................... 94–99 Proizvod dva polinoma .................................... 100–104 Zajedni~ki ~inilac monoma.............................. 105–106 Rastavqawe polinoma na ~inioce – primena svojstva distribucije, kvadrata binoma i razlike kvadrata........... 107–112 Rastavqawe polinoma – primena u jedna~inama............................... 113–114

Zavisne veli~ine i wihovo grafi~ko predstavqawe

Krug Centralni i periferijski ugao....................... 148–151 Obim kruga........................................................... 152–154 Du`ina kru`nog luka.......................................... 155–157 Povr{ina kruga................................................. 158–1159 Povr{ina kru`nog ise~ka i kru`nog prstena........................................... 160–163

Sli~nost trouglova Razmera du`i....................................................... 168–171 Podela du`i na jednake delove......................... 172–174 Sli~nost trouglova............................................. 175–182

I to je matematika................. 29, 48, 70, 89, 164, 183 Zapamti..................... 29, 49, 71, 91, 115, 145, 165, 185 Rezultati i uputstva...................................... 186–196 Prilozi.............................................................. 197–200

Реални бројеви Prema do sada prona|enim zapisima, mo`e se zakqu~iti da su se do 500. godine pre nove ere matemati~ari ug­ lavnom bavili brojevima. Drevnu egipatsku, vavilonsku i kinesku matematiku ~inila je najve}im delom aritme­ tika.

Diofant

Izme|u 500. godine pre nove ere i 300. godine nove ere matematika je prevazi{la samo prou~avawe brojeva. Grci su razvili ideju o tome da se precizno formulisana matemati~ka tvr|ewa mogu logi~ki dokazati. Pret­ postavqa se da je Diofant prvi koristio posebne oznake za obele`avawe nepoznatih u jedna~inama, za stepe­ novawe, kao i simbole za oduzimawe i jednakost.

Priroda matematike posle Grka nije se mewala do XVII veka, kada su Isak Wutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic, nezavisno jedan od drugog, otkrili integralni i diferencijalni ra~un. U osnovi, ti ra~uni prou~avaju pokret i promenu.

Nove tehnike omogu}ile su matemati~arima da istra`uju kretawe planeta, gravitaciju, rad ma{ina, protok te~nosti, letewe, rast biqaka i `ivotiwa, kao i kretawe novca i profita.

G. V. Lajbnic I. Wutn

Danas se nijedan tehni~ki poduhvat ne mo`e zamisliti bez matematike, od gradwe puteva, preko projektovawa elektronskih ~ipova, do genetskog in`eweringa.

Od svojih po~etaka, kada se matematika bavila samo ­brojevima, do danas je prerasla u nauku koja se sastoji od preko {ezdeset oblasti. 4

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • kvadratu racionalnog broja • skupu realnih brojeva • operacijama i svojstvima koji va`e u skupu realnih brojeva • kvadratnom korenu nenegativnog broja • operacijama s kvadratnim korenima.

1

2

3

4

5

Izra~unaj. a) (–4)2

b) –(–4)2

v) –42

2 Vrednost izraza 1 − 1 ⋅ (−2) je: 2 2 3 3 b) 0 v) a) − 2 2 Koji je odgovor ta~an?

Vrednost izraza 1 − 1 x za x = –3 je: 3 a) -2 b) 0 v) 2 Koji je odgovor ta~an? Re{ewe jedna~ine je 5 – 5x = 25: b) -4 v) 0 g) 4 a) -6 Koji je odgovor ta~an?

d) 6

Broj 1 zapisan u obliku decimalnog broja je: 2 a) 0,12 b) 0,5 v) 1,2 Koji je odgovor ta~an ?

5

Скуп рационалних бројева – децимални запис • коначан децимални запис рационалног број • бесконачан децимални запис рационалног броја 1

U tri fla{ice zapremine od 0,33 l ima: a) mawe od 1 l soka b) ta~no 1 l soka Koji je odgovor ta~an?

v) vi{e od 1 l soka

0.33 l

2

Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka, kao {to je zapo~eto. a) 0,35 = 35 = 7 100 20 b) 0,5 v) 0,12

0.33 l

0.33 l

Za razlomak 7 ka`emo da je nesvodqiv 20 jer je za brojeve 7 i 20 najve}i zajedni~ki delilac jednak broju 1.

g) 1,08 3

4

Broj 0,0002 zapisan u obliku razlomka je: 1 1 1 b) 5 000 v) 50 000 a) 500 Koji je odgovor ta~an? Broj − 3 napisan u obliku decimalnog broja je: 4 a) –3,4 b) –7,5 v) –0,75 g) –4,3 Koji je odgovor ta~an?

5

Deqewem brojioca imeniocem ­ azlomak mo`e{ zapisati u obliku r decimalnog broja. Na primer: 3 = 3 : 8 = 0,675 8

Napi{i u obliku decimalnog broja: a) −2 4 b) 1 9 5

Periodi~an decimalni broj Razlomak mo`emo predstaviti decimalnim zapisom tako {to brojilac podelimo imeniocem. Taj postupak deqewa ~esto nije kona~an, {to zna~i da se jedna cifra ili grupa cifara bezbroj puta ponavqa. Tada ka`emo da se razlomak prikazuje periodi~nim decimalnim zapisom. 6

Na primer: 1 = 1 : 3 = 0,33… 3 –0 10 –9 10 –9 1 … Proces ovog deqewa se ne zavr{ava, jer je ostatak uvek 1. Dobijeni koli~nik je broj u kojem se cifra 3 ponavqa bezbroj puta. U decimalnom broju 0,25252525… ponavqaju se dve cifre, 2 i 5. U broju 3,256256… ponavqa se grupa cifara 256. Cifru ili grupu cifara koje se ponavqaju obi~no zapisujemo tako {to te cifre nadvu~emo. Na primer: 0,33... = 0,3

0,25252525… = 0,25

3,256256… = 3,256

Svaki racionalan broj mo`emo zapisati u obliku kona~nog ili periodi~nog decimalnog broja.

6

Napi{i razlomak u obliku decimalnog broja, kao {to je zapo~eto. a) 2 = 2 : 7 = 0,285714285714285714… = 0,285714 7 b) 17 = 0,171717… = 0,17 99 v) 4 9 15 g) 11

7

a) Razlomak 5 napi{i u obliku decimalnog broja. 6 b) Koliko se cifara ponavqa u decimalnom ­zapisu razlomka 5 ? 6 • jedna • dve • tri

8

U periodi~nom decimalnom broju 0,1666… ponavqa se jedna cifra – cifra 6. 0,1666… = 0,16

Koja je ponuda keksa najpovoqnija? a)

b)

280 din.

v)

430 din.

880 din. 7

9

Kako je 1 = 0,11…, koliko je 5 ? 9 9

Predstavqawe periodi~nog decimalnog broja u obliku razlomka Svaki periodi~an decimalni broj se mo`e napisati u obliku razlomka. Poka`imo to na slede}im primerima: a) 0,5555…

b) 0,121212…

a) Nau~ili smo da se pomerawem zareza udesno u decimalnom broju za jedno, dva, tri … mesta dobija 10, 100, 1 000 puta ve}i broj. Kako se u decimalnom broju 0,5555… jedna cifra ponavqa, potra`imo deset puta ve}i broj. 10 ⋅ 0,5555… = 5,555… 9 ⋅ 0,5555… + 0,5555… = 5 + 0,555…

10 ⋅ 0,5555… = 9 ⋅ 0,5555… + 0,5555… 5,555… = 5 + 0,555

9 ⋅ 0,5555 = 5 0,5555 = 5 9

ako dva jednaka zbira imaju jednak po jedan ­sabirak, mora im biti jednak i drugi sabirak

b) Kako se u decimalnom broju 0,1212… dve cifre ponavqaju, potra`imo sto puta ve}i broj. 100 ⋅ 0,121212… = 12,1212… 99 ⋅ 0,121212… + 0,121212… = 12 + 0,1212… 99 ⋅ 0,121212… = 12 0,121212… = 12 99 Ovakav postupak mo`e se uvek sprovesti, to jest svaki periodi~ni decimalni broj mo`e se napisati u obliku razlomka.

10

Napi{i u obliku razlomka: a) 0,777…

b) 0,151515…

Провери шта знаш 1. Napi{i u obliku razlomka: 3,4

0,06 25,1 0,0075 98 2. Napi{i u obliku decimalnog broja: 5 11 99 3. Napi{i u obliku razlomka: 0,6666… 0,070707…

8

Квадрат рационалног броја • квадрат броја • квадрат производа два броја • квадрат количника два броја

1

Odredi stranicu i povr{inu osen~enog kvadrata. a)

b)

1 dm

2

1 dm

Izra~unaj kvadrate brojeva kao {to je ura|eno pod a). a) 52 = 5 ⋅ 5 = 25

( ) ( )

2

3 v) − 2 2 d) 2 1 4 3

b) 3,32 g) (–0,2)2 |) 02

Kvadriraj brojeve: 4

–1

0,08

−5 6

32 3

Kvadrirati broj zna~i pomno`iti ga sa samim sobom.

Kvadrat racionalnog broja • Proizvod dva ista racionalna broja naziva se kvadrat broja i zapisuje se: p ⋅ p = p2 • Kvadrat svakog racionalnog broja razli~itog od nule jeste pozitivan racionalni broj. Kvadrat nule je nula. Za p ∈Q va`i: p2 ≥ 0 9

• Kvadrati suprotnih racionalnih brojeva su jednaki. Na primer: (–2)2 = 4

(–2)2 = 4

22 = 4

22 = 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

(− 21) = 41 (21) = 41 2

(–0,5) = 0,25 (0,5)2 = 0,25 2

2

–1

–1

1 4

0

2

(–1)2 = 1

(–1)2 = 1

2

1 =1 02 = 0

1 2

1

12 = 1

2

0 =0

–1

0

1

Brojevi koji su jednaki svojim kvadratima jesu 0 i 1.

4

Popuni tabelu. p

–6

1 9

0,1

−3 4

–1,5

−12 7

0

3 4

p2

5

Izra~unaj. a) 62

b) 102

v) 122

g)52

d) 72

|) 112

Kvadrat parnog broja je paran broj. Kvadrat neparnog broja je neparan broj.

6

7

Izra~unaj. b) (–2)

2

2

a) 2

v) –2

g) –(–2)

2

(–7)2 = (–7) ⋅ (–7) = 49 –72 = –7 ⋅ 7 = –49

Koji proizvodi imaju vrednost –243? a) –3 ⋅ 92

b) 3 ⋅ (–9)2

v) –3 ⋅ (–9)2

g) 3 ⋅ 9

d) 3 ⋅ (–9

|) –3 ⋅ (–9

2

10

2

)

2

2

)

Prioritet ima operacija kvadrirawa.

8

a) Popuni tabelu. a

b

2

–3

−2 3 1 4

(a ⋅ b)

a⋅b

a2

2

a2 ⋅ b2

b2

–5

3 5

b) U kojim su kolonama isti rezultati?

Kvadrat proizvoda i kvadrat koli~nika dva racionalna broja Poka`imo da je kvadrat proizvoda dva broja jednak proizvodu wihovih kvadrata, a kvadrat koli~nika jednak koli~niku wihovih kvadrata.

(a ⋅ b) = (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b) = a ⋅ a ⋅ b ⋅ b = a2 ⋅ b2 2 (a ⋅ b) = a2 ⋅ b2 2

(ab) = (ab) ⋅ (ab) = ab ⋅⋅ ab = ab (ab) = ab , za b ≠ 0 2

Koristili smo svojstva komutativnosti i asocijativnosti za mno`ewe.

2

a⋅b=b⋅a (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) = a ⋅ b ⋅ c

2

2

2

2

Za kvadrat proizvoda i kvadrat koli~nika dva racionalna broja va`i:

(a ⋅ b)

2

= a2 ⋅ b2

( ) = ab , b ≠ 0 a b

9

10

2

2

Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

b) (0, 2 ⋅ (−4))

a) (3 ⋅ 11) = 32 ⋅ 112 = 9 ⋅ 121 = 1 089

2

2

( )

2

7 v) 13

(

g) (−9) ⋅ 1 4

)

2

Izra~unaj kao {to je zapo~eto. a) (−0, 25) ⋅ 42 = (−0, 25 ⋅ 4) = (−1) = 1 2 2 b) − 1 ⋅ 92 v) 652 : 132 g) −0,12 : (−0,01) ⋅ 0, 25 3 2

2

( )

11

2

Uporedi: a) (–1,5)2 i 1

2

(

()

2

b) 1 i 1 2

v) –0,22 i 1

)

g) 72 i 1 11

Neka svojstva kvadrata racionalnih brojeva • Kvadrat racionalnog broja maweg od –1 ve}i je od 1. • Kvadrat racionalnog broja ve}eg od 1 ve}i je od 1. Na primer:

(–2)2

(–2)2 = 4

22

22 = 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

• Kvadrat racionalnog broja ve}eg od –1 i maweg od 1 je mawi od 1.

(21)

(− 21)

Na primer: 2 −1 = 1 2 4

2

2

( ) (21) = 41

–1

–1

2

0

2

1 4

1 2

1

(−1)2

Kvadrat broja –1 je 1.

02

Kvadrat broja 1 je 1. Kvadrat broja 0 je 0.

–1

0

12 1

Mo`emo zakqu~iti da za kvadrate racionalnih brojeva va`e slede}a svojstva: Kvadrat racionalnog broja ~ija je apsolutna vrednost ve}a od 1 ve}i je od 1. Kvadrat racionalnog broja ~ija je apsolutna vrednost mawa od 1 mawi je od 1. Kvadrat broja ~ija je apsolutna vrednost jednaka 1 je 1.

12

Kvadriraj brojeve 0,25 i 5. Uporedi te brojeve i wihove kvadrate: a) 0,25 i (0,25)2

b) 5 i 52

Провери шта знаш 1. Kvadriraj brojeve: 7 2. Izra~unaj. a) (4 ⋅ 25)

–9

0,4

b) (100 ⋅ (−15))

2

2

−1 2

0,05

23 5

( )

v) −1 1 6

2

3. Izra~unaj.

(

a) −11 ⋅ 2 3 4. Uporedi:

)

2

a) (–0,8)2 i 1

12

b) 0,01 : (–0,12) b)

() 4 3

2

i1

v) (–0,2)2 i 0,2

g) (–1,5) 2 i 1,5.

Решења квадратне једначине x2 = a, a ≥ 0. Појам квадратног корена • квадратна једначина

• квадратни корен ненегативног рационалног броја

• решења квадратне једначине

1

Odredi stranicu kvadrata ako je data wegova povr{ina. a)

b)

v)

g) 9 cm2 4

1 cm2 2

25 cm

2

2

9 cm

Izra~unaj stranicu kvadrata ~ija je povr{ina: a) 64 cm2 b) 100 cm2 v) 1 dm2 9

Re{ewa kvadratne jedna~ine x2 = a, a ≥ 0 Na primer: Re{imo jedna~inu x2 = 16. Postoje dve vrednosti promenqive x ~iji je kvadrat 16. To su brojevi – 4 i 4 jer je: 42 = 16 i (-4)2 = 16. Zakqu~ujemo da jedna~ina x2 = 16 ima dva re{ewa: pozitivno re{ewe je broj 4, a ne­ gativno re{ewe je broj -4. Skup re{ewa ove jedna~ine zapisujemo: x ∈ {-4, 4} Jedna~inu oblika x2 = a, a ≥ 0 nazivamo kvadratna jedna~ina. Kvadratna jedna~ina x2 = a, a > 0, ima dva re{ewa. Ta re{ewa su suprotni brojevi. Ako je a = 0, kvadratna jedna~ina x2 = 0 ima samo jedno re{ewe, a to je broj 0. Jedna~ina x2 = a za a < 0 nema re{ewe jer ne postoji racionalni broj ~iji je kvadrat negativan. 3

Napi{i re{ewa jedna~ine kao {to je zapo~eto. a) x2 = 64; x ∈ {-8, 8} g) t2 = 144

b) y2 = 25 d) b2 = 9 4

v) x2 = 81 |) c2 = 0 13

4

Napi{i pozitivno re{ewe jedna~ine. a) x2 = 9 b) x 2 = 16 v) z2 = 49 9

g) t 2 = 1 4

Kada ra~unamo stranicu kvadrata ~ija je povr{ina a, mi u su{tini tra`imo pozitivno re{ewe kvadratne jedna~ine x2 = a, a > 0.

Kvadratni koren racionalnog broja a, a ≥ 0 Na primer: Pozitivno re{ewe jedna~ine x2 = 16, broj 4, naziva­ mo kvadratni koren broja 16 i zapisujemo 16. Dakle, 16 = 4 jer je 42 = 16.

oznaka za kvadratni koren

16 = 4

Kvadratni koren broja a, a ≥ 0, zapisujemo a . Kako je kvadrat svakog racionalnog broja pozitivan broj ili 0, to se kvadratni koren mo`e izra~unati samo za pozitivne brojeve i broj 0.

potkorena veli~ina

vrednost kvadratnog korena

Kvadratni koren broja a, a ≥ 0, jeste nenegativan broj ~iji je kvadrat jednak broju a.

( a)

2

5

6

Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto. a) 36 = 6 jer je 62 = 36

8

10 000

v) 81

g) 100

1 600

2 500

8 100

Izra~unaj vrednost korena.

d) 64

|) 1

()

2

a) 4 9

16 25

1 4

144 81

36 49

0

64 = 8 jer je 8 = 64 81 9 9 81

b) 0,04

0,16

0,36

1, 21

0,64

0, 25

jer 0,09 = 0,3je 0,32 = 0,09

Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

(−5)

2

a) 32 = 9 = 3

b)

g) (−12)

d) 0,12

2

14

b) 4

Izra~unaj vrednost kvadratnih korena. 900

7

= a, a ≥ 0

= 25 = 5

v) 72 |)

( ) − 1 13

2

9

Popuni tabelu. a

3 4

–1

–1,2

9

a2 a2 a

2 Jednakost a = a , a ∈Q

Va`i: 2 za a > 0, a = a 2 za a = 0, a = 0 2 za a < 0, a = −a

Zakqu~ujemo da va`i jednakost: a2 = a Na primer:

42 = 4

02 = 0

4 =4 2

–4

0 0 =0

0 =0 2

4 4 =4

(−4)2 = 4

(−4)

2

= − (−4) = 4

–4

0 −4 = 4

Za svaki racionalan broj a va`i:

4

a2 = a

Провери шта знаш 1. Izra~unaj. a) b) v) 2. Izra~unaj.

49 9 1 144 169 225 256 9 25 1 49 121 9 16 36 9 64 100 144 0,01 0,09 1,44 0,16 0,64 0,81, 2,56

(−4)

2

() ( ) 3 7

2

−6 11

2

0,132

(−0, 2)

2

15

Појам ирационалног броја. Број 2 • ирационалан број 2 • бесконачан непериодичан децимални запис броја • скуп ирационалних бројева 1

a) Kolika je stranica kvadrata MNPQ? b) Kolika je povr{ina kvadrata MNPQ? v) Kolika je povr{ina kvadrata ABCD? g) Izmeri stranicu kvadrata ABCD u milimetrima.

Q

C

P B

D M

A

N

1 cm2

Broj 2 Povr{ina kvadrata ABCD u zadatku 1 je 2 cm2.

C

Pitawe koje nam se name}e jeste kako izra~unati stra­nicu kvadrata ~ija je povr{ina 2 cm2.

2

D

Nau~ili smo da na osnovu povr{ine kvadrata izra­~una­vamo wegovu stranicu primewuju}i operaciju korenovawa, to jest re{avaju}i jedna~inu: a2 = 2

B

A

a= 2 Na{ zadatak jeste da prona|emo broj ~iji je kvadrat jednak 2. Prvi korak Du`inu stranice kvadrata pomo}u {estara prenosimo na brojevnu pravu (vidi sliku). Tako odre|ujemo ta~ku R ~ija je koor­di­nata 2. Na osnovu crte`a zakqu~ujemo da je 1 < 2 < 2 , to jest 2 nije ceo broj. Treba prona}i prvu decimalu. –3

2

–2

–1

0

1 R 2

Drugi korak Delimo deo brojevne prave izme|u brojeva 1 i 2 na 10 jednakih delova. Ra~unamo kvadrat svakog od brojeva: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 … 1,9; 2 i tra`imo onaj broj ~iji je kvadrat 2. 16

3

1,12 = 1,21 1,22 = 1,44 1,32 = 1,69 1,42 = 1,96 –3 –2 1,52 = 2,25 2 1,6 = 2,56 … 2 2 =4 Zakqu~ujemo da je: 1,42 < 2 < 1,52 1,4 < 2 < 15 ,

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

–1

0

R

1

2

U decimalnom zapisu broja 2 prva decimala je 4, to jest 2 = 1,4… Treba prona}i drugu decimalu. Tre}i korak Postupak nastavqamo. Interval od 1,4 do 1,5 delimo na deset jednakih delova. Ra~unamo kvadrat svakog od brojeva: 1,41; 1,42; 1,43 … 1,49; 1,5 i tra`imo onaj broj ~iji je kvadrat 2. 1,412 = 1,9881 1,422 = 2,0164 1,432 = 2,0449 1,52 = 2,25 … 2 2 =4

1,40 1,41 1,42 1,43 1,4

–3

–2

–1

0

1

R

2

Zakqu~ujemo da je: 1  ,412 < 2 < 1,422 1,41 < 2 < 1,42 U decimalnom zapisu broja 2 druga decimala je 1, to jest 2 = 1,41... Treba prona}i tre}u decimalu. Ako postupak nastavimo i interval od 1,41 do 1,42 podelimo na deset jednakih delova, zakqu~i}emo da je: 1,4142 = 1,999396 1,4152 = 2,002225 to jest: 1,4142 < 2 < 1,4152 1,414 < 2 < 1,415 2 = 1,414...

Uporedi rezultat u zadatku 1 g) s dobijenom vredno{}u 2 ≈ 1,414.

Ako bismo nastavili sa ovim postupkom, uvideli bismo da se 2 mo`e predstaviti decimalnim zapisom koji ima neograni~en broj decima­ la, a nije pe­­ri­odi~an. 2 = 1,41421356237… pa se takav broj ne mo`e napisati u obliku razlomka. Isto va`i i za brojeve 3, 5, 7... i za brojeve wima suprotne: − 3, − 5, − 7...Takve brojeve nazivamo iracionalnim brojevima. 17

Broj koji ima neograni~en broj decimala, a nije periodi~an naziva se iracionalan broj. Iracionalan broj ne mo`e se napisati u obliku razlomka. Skup iracionalnih brojeva ozna~avamo sa I.

2

Odredi celi deo i dve decimale broja 3 primewuju}i postupak za izra~unavawe 2.

3

Posmatraj crte` i prona|i izme|u koja se dva uzastopna prirodna broja nalazi: a) 3

b) 5 0

1

v) 6 2

1

4

2

3

d) 8 .

5

6

7

8

9

6

7

8

9

9

4

1 0

3

g) 7

4

5

Broj 2 je iracionalan broj. Doka`i. Решење Da bismo dokazali da je 2 iracionalan broj, moramo dokazati da on nije racionalan, to jest da se ne mo`e napisati u obliku razlomka. Pretpostavimo da to nije ta~no, {to zna~i da se 2 mo`e napisati p u obliku nesvodqivog razlomka . q p 2= q Dva jednaka broja imaju jednake kvadrate: 2 2 p 2 =  q p2 2= 2 q 2 2q = p2, pa je i p paran broj, to jest p = 2m.

( )

2q2 = (2m)2 2q2 = 4m2 q2 = 2m2, pa je i q paran broj.

p mo`e q skratiti sa 2, {to je suprotno pretpostavci da je nesvodqiv. Na{a pretpostavka da je 2 racionalan broj je neta~na, zna~i 2 je iracionalan broj. Dokazali smo da su p i q parni brojevi, pa se razlomak

Провери шта знаш 1. Odredi celi deo i prvu decimalu broja 5. Primeni postupak prikazan kod broja 2.

18

Скуп реалних бројева • скуп реалних бројева • реални бројеви и бројевна права • својства операција у скупу реалних бројева • упоређивање реалних бројева

1

Koji od datih brojeva ima beskona~an i neperiodi~an decimalni zapis? b) 2 v) 1,01 a) 1 9 Kom skupu pripada takav broj?

g) 1 10

Skup realnih brojeva Pokazali smo da je 2 iracionalan broj. On se mo`e zapisati kao besko­na­~an decimalan neperiodi~an broj.

Koreni kvadrata prirodnih brojeva jesu prirodni brojevi. Na primer:

Koren svakog racionalnog broja koji nije kvadrat ra­

1=1

ci­onalnog broja je iracionalan broj.

22 = 2

32 = 3

42 = 4...

Na primer: 15 ,

2 –3

3 –2

5 –1

5,8

6 0

7

8

1

10

2

3

–1

0

1

4

13 … 5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

6

7

8

9

5

3 –2

12

5,8

15 ,

–3

11

2

3

4

Wihovi suprotni brojevi tako|e su iracionalni brojevi. − 2

− 3

− 5

− 6

–3 – 5 – 3 – 2

0

− 7

− 8…

2 3

5

3

4

5

19

Pozitivni i negativni neperiodi~ni beskona~ni decimalni brojevi su iracionalni brojevi. Na primer: 0,1020030004…, -0,53445344453… itd. Svi ovi brojevi, racionalni i iracionalni, ~ine skup koji nazivamo skup realnih brojeva.

Unija skupa racionalnih i iracionalnih brojeva jeste skup realnih brojeva. Ozna~avamo ga sa R.

Q

I

R

Svakom realnom broju mo`e se pridru`iti ta~no jedna ta~ka na brojevnoj pravoj. Svakoj ta~ki na brojevnoj pravoj mo`emo pridru`iti ta~no jedan realan broj.

2

U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no, ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. DA / NE

18 ∈Q

3

9,9 ∈I

DA / NE

0,01 ∈Q

DA / NE

81 ∈Q

DA / NE

0,01 = 0,010101…

Ta~ke P i Q prikazane su na brojevnoj pravoj. Koji od brojeva 4 , 6 , 2, 12 odgovara ta~ki P, a koji ta~ki Q? Q 0

20

1

2

P 3

4

5

Svojstva operacija u skupu realnih brojeva Operacije sabirawa i mno`ewa u skupu realnih brojeva ispuwavaju slede}a svojstva. Zbir dva realna broja je realan broj.

Proizvod dva realna broja je realan broj.

Za sabirawe realnih brojeva va`e ista svojstva kao i za sabirawe racionalnih brojeva.

Za mno`ewe realnih brojeva va`e ista svojstva kao i za mno`ewe racionalnih brojeva.

• Svojstvo komutacije: a + b = b + a, za a, b ∈R

• Svojstvo komutacije: a · b = b · a, za a, b ∈R

• Svojstvo asocijacije: a + (b + c) = (a + b) + c, za a, b, c ∈R

• Svojstvo asocijacije: a · (b · c) = (a · b) · c, za a, b, c ∈R

• Za svaki realan broj a, a ≠ 0, postoji realan broj -a, suprotan broju a, takav da je: a + (-a) = (-a) + a = 0

• Za svaki realan broj a, a ≠ 0, postoji realan broj 1 recipro~an broju a, takav a da je: a ⋅ 1 = 1 ⋅a = 1 a a Brojevi a i 1 jesu recipro~ni brojevi. a • Za svaki realan broj a va`i: a·0=0·a=0 a·1=1·a=a

• Zbir realnog broja a i nule je broj a: a+0=0+a=a

Svojstvo distribucije mno`ewa prema sabirawu: a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c, za a, b, c ∈R

4

Dati su brojevi: a = 5,0239433… ; b = 0,3864531… ; c = - 12,125125512… a) Zaokrugli brojeve na dve decimale. b) Koriste}i zaokrugqene vrednosti za promenqive a, b i c, izra~unaj a + b + c i a · (b + c).

5

Ako je a = 9,9309309300048...; b = 9,930930930, razlika brojeva a i b je: a) mawa od nule b) jednaka nuli v) ve}a od nule. Koji je odgovor ta~an?

6

Izme|u koja se dva uzastopna cela broja nalazi realan broj: a) 10,202202220…

b) -7,537821…

v) 0,819981999…?

21

7

U tabeli zaokru`i DA ako je nejednakost ta~na ili NE ako je nejednakost neta~na. 0 > 3,453752…

DA / NE

0,010011… < 0,01

DA / NE

-5,8124432… > 0

DA / NE

42 > -402,2002…

DA / NE

-13,333333… > -13…

DA / NE

Upore|ivawe realnih brojeva Pravila koja primewujemo kod upore|ivawa racionalnih brojeva va`e i u skupu realnih brojeva. • Svaki

pozitivan realan broj ve}i je od nule

• Svaki

negativan realan broj mawi je od nule.

• Svaki

negativni realan broj mawi je od svakog pozitivnog realnog broja.

• Od

8

dva negativna realna broja mawi je onaj ~ija je apsolutna vrednost ve}a.

a) Izme|u koja se dva cela broja nalazi

23 ?

b) Koje su nejednakosti ta~ne? − 23 > −4 9

− 23 < −4

− 23 > −5

Kako je 3 = 173205 , ..., koje je od slede}ih tvr|ewa ta~no? a) 3 < 173 ,

10

− 23 < −5

b) 3 > 173 ,

v) 3 = 173 ,

Ako je a = 20,541541154.... i b = -20,541, koje su nejednakosti ta~ne? a) -a < b

b) a < -b

v) -a > -b

g) a > -b

Провери шта знаш 1. Izme|u koja se dva prirodna broja nalazi : a) 47 b) 8

v) 11 g) 90?

2. Ako je a = 0,488480048 i b = 0,408480048: a) izra~unaj a - b b) zaokrugli brojeve a i b na dve decimale v) uporedi a i b; -a i b; a i -b; -a i -b i napi{i odgovaraju}e nejednakosti.

22

Операције с квадратним коренима – сабирање квадратних корена • збир квадратних корена различитих поткорених величина • збир квадратних корена истих поткорених величина

1

a) Izra~unaj zbir povr{ina ovih kvadrata. b) Znaju}i da je 2 ≈ 1,41 i 3 ≈ 173 , , izra~unaj pribli`ne vrednosti obima datih kvadrata.

2

3 cm2

2 cm2

Znaju}i da je 2 ≈ 1,41 i 3 ≈ 173 , , izra~unaj 3 − 2 .

Iracionalne brojeve mo`emo da sabiramo ako koristimo wihove pribli`ne racionalne vrednosti, kao u zadacima 1 i 2. Izrazi u kojima se pojavquju koreni istih potkorenih veli~ina mogu se uprostiti kao {to }emo pokazati u slede}em re{enom primeru. Uprosti izraze. a) 7 2 + 5 2

b) 10 3 − 4 3 + 3

v) 2 + 4 3 + 2 2 − 6 3

7 2 =7⋅ 2

Решење a) 7 2 + 5 2 = (7 + 5) 2 = 12 2

primewujemo svojstvo distribucije

a · c + b · c = (a + b) · c

b) 10 3 − 4 3 + 3 = 10 3 − 4 3 + 1 ⋅ 3

3 = 1⋅ 3

= (10 − 4 + 1) ⋅ 3

primewujemo svojstvo distribucije

=7 3 v) 2 + 4 3 + 2 2 − 6 3 = 2 + 2 2 + 4 3 − 6 3 = 1⋅ 2 + 2 2 + 4 3 − 6 3 = (1 + 2) ⋅ 2 + (4 − 6) ⋅ 3 = 3 2 + (−2) 3



primewujemo svojstvo komutacije a+b=b+a 2 = 1⋅ 2

primewujemo svojstvo distribucije i asocijacije

=3 2 −2 3 23

3

a) Uprosti izraz 12 2 − 9 2 + 2 2 . b) Znaju}i da je 2 ≈ 1,41, izra~unaj pribli`nu vrednost izraza dobijenog pod a).

4

Uprosti izraz. a) 5 − 5 5 + 2 5

5

Uprosti izraz. a) 7 − 2 + 2 7 + 2 2

6

Znaju}i da je 2 ≈ 1,41; a) 3 − 3

b) −2 7 − 6 7 + 9 7

v) 5 11 − 17 11 + 8 11 + 4 11

b) 5 3 − 4 5 + 3 5 + 2 3 3 ≈ 173 , , izra~unaj:

b) 2 − 2 2

v) 2 3 − 3 2

g)

2. 2

7

U tabeli na kraju kwige potra`i pribli`ne vrednosti za 11, 7 , 5, 3 pa izra~unaj: a) 11 − 1 ⋅ 16 b) 7 − 5 : 4 + 3 4

8

Znaju}i da je 2 ≈ 1,41; 3 ≈ 173 , , izra~unaj:

(

a) 2 − (−2) + 3 3 2

)

b) 5 (−2) − 2 2 + 32 − 3 2

Провери шта знаш 1. Izra~unaj. a) 2 3 − 3

b) − 5 − 6 5 + 7 5

v) 4 2 − 2 − 3 2 + 7 2

2. U prilogu na kraju kwige potra`i pribli`ne vrednosti za 7 , 5, 2, pa izra~unaj: 2 b) 1 − 2 2 v) 2 7 − 49 a) 5 − (−3)

24

Операције с квадратним коренима • корен производа • корен количника 1

Proveri da li je ta~no. a) 36 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4

36 = 36 4 4

b)

v)

0,04 ⋅ 81 = 0,04 ⋅ 81

Koren proizvoda i koren koli~nika realnih brojeva Poka`imo da za bilo koja dva pozitivna realna broja va`i: a ⋅ b = a ⋅ b, a ≥ 0, b ≥ 0 i a = a , a ≥ 0, b > 0 b b Prvi korak Drugi korak

( (

)

2

a ⋅ b = a ⋅ b

podseti se:

) ( a ⋅ b) ⋅ ( a ⋅ b) = ( a ⋅ a ) ⋅ ( b ⋅ b ) = ( a) ⋅ ( b) 2

a⋅ b =

2

(

)

2

(

= x, x ≥ 0

u skupu realnih brojeva va`e svojstva asocijacije i komutacije

2

a⋅b = a⋅b i

2

podseti se: x2 = x ⋅ x

primewena je jednakost x ⋅ x = x2

( x)

2

= a ⋅ b

Tre}i korak Kako je

( x)

= x za x ≥ 0

)

2

a ⋅ b = a ⋅ b , zakqu~ujemo da je:

a⋅b = a ⋅ b Sli~no mo`emo pokazati da je: a = a za a ≥ 0, b > 0 b b

Za koren proizvoda i koren koli~nika realnih brojeva va`i:

a ⋅ b = a ⋅ b , za a ≥ 0, b ≥ 0 a = a , za a ≥ 0, b > 0 b b 2

Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto. a) 36 ⋅ 16 = 36 ⋅ 16 = 6 ⋅ 4 = 24 b)

64 = 64 121 121

v) 49 ⋅ 25

g) 10 000 ⋅ 81

d) 289 144 25

3

4

Primewuju}i jednakost a ⋅ b = a ⋅ b za a ≥ 0, b ≥ 0, izra~unaj: b) 900 a) 1 600 Primewuju}i jednakost a = a za a ≥ 0, b > 0, izra~unaj: b b b) 2, 25 v) 0,0001 g) 0,0064 a) 0,04

0,09 =

Izra~unaj vrednost kvadratnog korena 484. Решење Vrednost kvadratnog korena u nekim primerima mo`emo izra~unati tako {to }emo potkorenu veli~inu rastaviti na ~inioce i zapisati kao proizvod kvadrata prirodnih brojeva. 484 = 4 ⋅ 121 = 4 ⋅ 112 484 = 4 ⋅ 112 = 4 ⋅ 112 = 2 ⋅ 11 = 22 5

Rastavi potkorenu veli~inu na ~inioce, pa izra~unaj vrednost kvadratnog korena 324 . Kada potkorena veli~ina nije kvadrat realnog broja, onda se ona rastavqawem na ~inioce mo`e uprostiti tako da neki od ~inilaca budu kvadrati prirodnih brojeva. Na primer: 8 = 4⋅2 = 4 ⋅ 2 = 2 2 48 = 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 4 2 125 = 25 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 5 5

6

7

Uprosti kao {to je zapo~eto. a) 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3

b) 27

v) 75

g) 48

Uprosti. a) 32

b) 288

v) 128

g) 162

Провери шта знаш 1. Izra~unaj. a) 0,0001

b) 8100

2. Izra~unaj. b) 1089 a) 576 3. Uprosti. a) 200 26

b) 72

v) 2560000

g) 0,0016

v) 5184 v) 300

g) 147

d) 125

|) 180

9 = 9 = 3 = 0,3 100 100 10

Реални бројеви и бројевна права

1

• бројевни интервал

• полуотворени бројевни интервал

• отворени бројевни интервал

• затворени бројевни интервал

Na brojevnoj pravoj prika`i brojeve: 2; − 3 ; 3,5. 2 –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Brojevni interval Nau~ili smo da svakom realnom broju mo`emo pridru`iti ta~no jednu ta~ku na brojevnoj pravoj i da svakoj ta~ki na brojevnoj pravoj mo`emo pridru`iti ta~­no jedan realan broj. Brojevni interval je skup svih realnih brojeva izme|u dva realna broja a i b. Brojevni interval mo`e biti otvoren, poluotvoren ili zatvoren. Zapisujemo ih: • (a, b) otvoren interval • [a, b) ili (a, b] poluotvoreni intervali • [a, b] zatvoren interval Na primer: Otvoren interval (2, 3) sadr`i sve realne brojeve izme|u 2 i 3, a ne sadr`i brojeve 2 i 3.

0

1

2

3

Poluotvoren interval [2, 3) sadr`i sve realne brojeve izme|u 2 i 3, sadr`i broj 2, a ne sadr`i broj 3.

0

1

2

3

Poluotvoren interval (2, 3] sadr`i sve realne brojeve izme|u 2 i 3, sadr`i broj 3, a ne sadr`i broj 2.

0

1

2

3

Zatvoren interval [2, 3] sadr`i sve realne brojeve izme|u 2 i 3, ukqu~uju}i i brojeve 2 i 3: 0

1

2

3

27

2

Koji interval na brojevnoj pravoj odgovara zapisu (-3, 2]? a)

b) –3

2

v)

2

–3

2

g) –3

3

–3

2

Za svaki crte` zapi{i odgovaraju}i brojevni interval. a)

b) –1

0

v)

3 4

1

5 1 6

0

3 4

g) –1

0

–3 8

–1

−3 4

4

Prika`i slede}e intervale na brojevnoj pravoj: a) (-3, 1 ) b) − 3 , 1 v) −4, − 3 g) (1,5; 3] 4 2  2  

5

Zapi{i sve cele brojeve koji se nalaze u intervalu: a) (-5, 1) b) [-5, 1] v) [-5, 1) g) (-5, 1]

6

Kojim intervalima pripada broj -1? a) (-3, 1] b) (-1, 2) v) (-0,5; 2)

7

U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no.

8

)

g) [-1, 0)

d) [-2, 2]

-3,5 ∈(-3,5; 2]

-3 ∉(-3,5; 2]

-2 ∈(-3,5; 2]

0 ∉(-3,5; 2]

2 ∈(-3,5; 2]

DA / NE

DA / NE

DA / NE

DA / NE

DA / NE

Kom intervalu pripada 2? a) (0, 1) b) [1; 1,4] v) [1; 1,5) 2

g) [1,5; 2)

Провери шта знаш 1. Zapi{i sve cele brojeve koji se nalaze u intervalu: a) (-3, 3) b) [-3, 3] v) [-3, 3) g) (-3, 3] 2. Kom intervalu pripada 3? a) (0, 1) b) [1; 7] v) [1; 1,5) 2

28

0

g) [1,5; 2)

1

И то је математика U tabeli su date vrednosti za kupovni i prodajni kurs evra periodu od 24.06.2010. do 01.07.2010. godine.

datum

kupovni kurs

prodajni kurs

24.06.2010.

103,7769

104,4015

25.06.2010.

103,4695

104,0921

28.06.2010.

103,6884

104,3124

29.06.2010.

103,9751

104,6009

30.06.2010.

104,0573

104,6835

01.07.2010.

104,2325

104,8597

a) Izra~unaj sredwi kurs evra u datom periodu. Mo`e{ koristiti digitron. b) Ako `eli{ da kupi{ 100 evra, kog je datuma najpovoqinije da to uradi{? Ako `eli{ da proda{ 100 evra, kog je datuma najpovoqnije da to uradi{? g) Rata kredita iznosi 102,5 evra i dospeva za naplatu 28.6. Koliko ta rata iznosi u dinarskoj protivvrednosti po sredwem kursu za evro?

sredwi kurs

Sredwi kurs je aritmeti~ka sredina kupovnog i prodajnog kursa. Kada kupuje{ evre to zna~i da dinare mewa{ u evre po prodajnom kursu. Kada prodaje{ evre to zna~i da evre mewa{ u dinare po kupovnom kursu.

МОНЕТА ЕВРОПСКЕ УНИЈЕ

€vro se kao zvani~na valuta koristi u 16 zemaqa Evropske unije.

ZAPAMTI

Na predwoj strani svake nov~anice prikazana je kapija koja simboli{e otvorenost i gostoprimstvo zemaqa Evropske unije. Na pole|ini nov~anica predstavqeni su mostovi koji simboli{u zajedni{vo i me|usobnu saradwu zemaqa.

Скуп реалних бројева Unija skupa racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Ozna~avamo ga sa R.

Q

I

R

Квадратни корен Kvadratni koren broja a, a ≥ 0 jeste nenegativan broj ~iji je kvadrat jednak broju a. Za koren proizvoda i koren koli~nika realnih brojeva va`i:

( a)

2

= a, a ≥ 0

a ⋅ b = a ⋅ b , za a ≥ 0, b ≥ 0 a = a , za a ≥ 0, b > 0 b b 29

Питагорина теорема Pitagora je jedan od najpoznatijih anti~kih filozofa i matemati~ara.

Pitagora

Ro|en je na ostrvu Samosu oko 580. godine pre na{e ere. Dosta je putovao i na tim putovawima sticao je razna saznawa. Samo u Egiptu proveo je preko dvadeset godina izu~avaju}i egipatske misterije i geo­metriju. Po povratku iz Egipta u gradu Krotonu osniva prvu filozofsko-matemati~ku {kolu, u kojoj su on i wegovi sledbenici na nau~noj osnovi poku{avali da objasne pojave u prirodi i vasioni. Umro je u Krotonu oko 500. godine p. n. e. Wegovi sledbenici nazvali su se pitago­rejcima. Pitagori se pripisuju otkri}a mnogih tvr|ewa. Neke od wih su i nama poznate na primer, tvr|ewe o zbiru uglova trougla i konveksnog mnogougla. γ α

β γ α

a + b + g = 180°

Bave}i se problemom prekrivawa ravni mnogo­uglovima, Pitagora je dokazao da se ravan mo`e prekriti kvadratima, jed­na­kostrani~nim trouglovima, {esto­ uglo­vima, kao {to je prikazano na slici.

Najva`nije otkri}e koje se pripisuje Pitagori jeste veza koja postoji izme|u kateta i hipotenuze pra­ vouglog trougla. Pitagora je uspeo da doka`e da se kvadrati nad katetama pravouglog trougla mogu razlo`iti na delove od kojih se mo`e sastaviti kvadrat nad hipotenuzom. To tvr­ |e­we dobilo je naziv Pitagorina teorema. 30

90° 90° 90° 90°

60° 60° 60° 60° 60° 60°

120°

120° 120°

Zna~aj otkri}a Pitagorine teoreme izu­ zetno je veliki. Razvoj nauke tokom vekova nezamisliv je bez geometrije, a razvoj geometrije bio bi nemogu} bez Pitagorine teoreme. Danas se Pitagorina teorema sma­tra jednim od najzna~ajnijih i najzani­mqi­vijih otkri}a u matematici. Po­stoji preko 360 razli~itih doka­ za Pi­ta­gorine teoreme, a sama ~i­we­nica da se i u ovom milenijumu jo{ tra`e novi na~ini wenog dokazivawa govori o wenom izuzetnom zna~aju.

U narednim lekcijama u~i}e{: • Pitagorinu teoremu – o odnosu hipotenuze i kateta pravouglog trougla • da uo~i{ pravougle trouglove na kvadratu, pravougaoniku, rombu, trapezu i svim drugim ravnim figurama i da na wima primewuje{ Pitaorinu teoremu.

Zbir uglova trougla je:

1

a) 90°

b) 180°

v) 360°

Koji je odgovor ta~an? 2

a) Koliki su uglovi jednakokrako-pravouglog trougla? b) Koliki su uglovi pravouglog trougla ako je jedan o{tar ugao dva puta ve}i od drugog o{trog ugla?

3

Izra~unaj ugao α na slici. 98°

64°

α

52°

4

α

58° 132°

Katete pravouglog trougla su 12 cm i 16 cm. Povr{ina trougla je: a) 28 cm2

b) 96 cm2

v) 192 cm2

Koji je odgovor ta~an? 5

Izra~unaj povr{ine trouglova na slici.

1,5 cm

1,5 cm 2,5 cm

2,5 cm

6

Izra~unaj povr{inu svakog ~etvorougla na slici.

b

b

d2 h

a

a

a = 2 cm b = 1,6 cm

a = 2,5 cm h = 1,2 cm

d1

d1 = 3 cm d2 = 2 cm

d2 d1

h a

a = 4 cm, b = 2 cm h = 1,5 cm

d1 = 3,6 cm d2 = 2 cm 31

Питагорина теорема • правоугли троугао • однос хипотенузе и катета правоуглог троугла Izmeri stranice pravouglih trouglova.

1

g

f

s e

c

p

a

q

b

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan prav ugao. Hipotenuza je stranica naspram pravog ugla i najve}a je stranica tog trougla. Katete su stranice koje pripadaju kracima pravog ugla.

A α c

b

Zbir o{trih uglova pravouglog trougla iznosi 90°. a + b = 90°

C

a

β B

Odnos hipotenuze i kateta pravouglog trougla Pokaza}emo kako da od dva kvadrata, razlagawem i ponovnim slagawem, sastavimo jedan kvadrat ~ija je povr{ina jednaka zbiru povr{ina datih kvadrata. Sastavimo date kvadrate stranica a i b kao na slici. 32

a b a

b

Uo~imo podudarne trouglove ~ije su katete a i b. Ozna~imo wihove hipote­ nuze slovom c. Kako je u pravouglom trouglu zbir o{trih uglova jednak pravom uglu, to jest a + b = 90°, sledi da je i ugao q jednak pravom uglu. Izre`imo te trouglove i slo`imo ih kao {to je prikazano na drugoj slici. Dobili smo kvadrat stranice c. c

a

α

β

β

β

c

a–b

a

c α θ

b

c

a β

c

α

b

α θ

a

Napravi model od dva kvadrata i primeni opisani postupak.

b

c

b

a

Zna~i da je povr{ina kvadrata stranice c jednaka zbiru povr{ina kvadrata stranice a i kvadrata stranice b, to jest c2 = a2 + b2, gde su a i b katete pravouglog trougla, a c wegova hipotenuza. To mo`emo prikazati i na slede}em crte`u. Poka`i da za stranice trouglova u zadatku 1 va`i:

C β

c2 = a2 + b2 c

a

e2 = f 2 + g2 s2 = p2 + q2

α

A

b

B

c2 = a2 + b2

Pitagorina teorema glasi: Povr{ina kvadrata nad hipotenuzom c jednaka je zbiru povr{ina kvadrata nad katetama a i b pravouglog trougla. c2 = a2 + b2 Va`i i obrnuto: Trougao kod kojeg je zbir kvadrata dve stranice jednak kvadratu tre}e stranice jeste pravougli trougao.

33

• Ako je dati trougao pravougli, da li du`ine wegovih stranica mogu biti 3 cm, 4 cm i 6 cm? Решење Izra~unajmo kvadrate mawih stranica i uporedimo wihov zbir sa kvadratom najve}e stranice.

(3 cm)2 + (4 cm)2 = 9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 (6 cm)2 = 36 cm2 25 cm2 ≠ 36 cm2 Date du`i ne mogu biti stranice pravouglog trougla. • Izra~unaj hipotenuzu c pravouglog trougla ako su katete a = 5 cm, b = 12 cm. Решење Primenimo Pitagorinu teoremu na dati trougao. Zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze. B

c2 = a2 + b2 c2 = (5 cm)2 + (12 cm)2

c

a = 5 cm

c2 = 25 cm2 + 144 cm2 c2 =169 cm2

C

A

b = 12 cm

Re{avawem jedna~ine c2 =169 dobijamo pozitivno re{ewe c = 13 cm. 2

Izra~unaj hipotenuze trouglova na slici. Du`ine stranica date su u centimetrima. c

15 8

c

3

12

9

Izra~unaj nepoznate katete trouglova na slici. Du`ine stranica date su u centimetrima. 12

20

b

a

7 25

Провери шта знаш 1. Izra~unaj du`inu hipotenuze pravouglog trougla ako su katete: a) 12 cm, 16 cm

b) 0,9 cm i 4 cm

v) 4 cm i 7,5 cm

2. Izra~unaj du`inu nepoznate katete pravouglog trougla ako su date hipotenuza i jedna kateta: a) 3,7 cm i 1,2 cm b) 2 3 cm i 11 cm v) 6,5 cm i 6,3 cm 7 7 34

a2 = 202 –122

Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат • однос дијагонале и странице квадрата • однос дијагонале и страница правоугаоника 1

U {kolskom dvori{tu nacrtan je teren za mali fudbal dimenzija 40 m i 20 m. Marko treba najkra}im putem da do|e iz ta~ke A u ta~ku B. Izra~unaj du`inu tog puta. 40 m B

20 m

A

2

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj dijagonalu d pravougaonika. d

b = 10 cm

a = 24 cm

3

4

Primeni Pitagorinu teoremu na pravougli trougao. d2 = a2 + b2

Izra~unaj dijagonalu d pravougaonika ako su du`ine wegovih stranica: a) 0,6 m i 0,8 m

b) 1,6 dm i 3 dm

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj dijagonalu d kvadrata.

d

2 cm

Primeni Pitagorinu teoremu na pravougli trougao.

2 cm

35

5

Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je stranica: a) a = 12 cm

b) a = 3,6 cm

Izra~unavawe dijagonale kvadrata Dijagonala d deli kvadrat na dva podudarna jednakokrako-pravougla trougla. Katete tih trouglova stranice su datog kvadrata, a hipote­nuze su jednake dijagonali d. Primenom Pitagorine teoreme na jedan od tih trouglova dobijamo: d2 = a2 + a2

d

d2 = 2a2 d= a 2

a

a

Na primer, ako je stranica kvadrata a = 3 cm, onda je d = 3 2 cm.

6

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj du`inu nepoznate stranice pravougaonika. Izra~unaj obim i povr{inu tog pravougaonika. O = 2a + 2b

34 mm

b

P=a⋅b a

30 mm

7

Izra~unaj obim i povr{inu pravougaonika ako je: a) d = 26 cm, a = 10 cm

b) d = 5,3 cm, a = 2,8 cm

Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je dijagonala d = 6 cm. Решење a2 + a2 = (6 cm)2

6 cm

2a2 = 36 cm2 a2 = 18 cm2 a = 18 cm = 9 ⋅ 2 cm = 3 2 cm

8

b) 1,2 cm

Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je: a) d = 12 cm

36

a

Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je data dijagonala: a) 10 cm

9

a

b) d = 3,6 cm

O = 4a

2 P = a2 ili P = d 2

a a

Ako je data dijagonala d kvadrata, stranicu a mo`e{ da izra~una{ i na slede}i na~in: a2 + a2 = d2 2a2 = d2 a 2=d a= d 2 d a= ⋅ 2 2 2 a=d 2 2 Na primer, ako je dijagonala kvadrata d = 10 cm, onda je stranica a = 10 2 cm = 5 2 cm. 2

Провери шта знаш 1. Izra~unaj du`inu dijagonale pravougaonika ako su date stranice: a) a = 12,6 cm b = 3,2 cm b) a = 112 cm b = 4 cm 3 2. Izra~unaj du`inu druge stranice pravougaonika ako su date jedna stranica i dijagonala: a) a = 4,5 cm d = 5,3 cm

b) a = 2 5 cm d = 8 cm

3. Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je data stranica: a) a = 12 cm

b) a = 2,4 cm

4. Izra~unaj obim kvadrata ako je data dijagonala: a) d = 16 cm

b) d = 5 2 cm

О ирационалном броју 2 Pitagori se pripisuje i otkri}e iracionalnog broja 2. Pitagora i wegovi u~enici prou~avali su svojstva jednakokrakog pravouglog trougla, to jest odnos stranice i dijagonale kvadrata. Do{li su do saznawa da ne postoji prirodan broj ~iji je kvadrat jednak zbiru kvadrata dva ista broja. To je bilo otkri}e iracionalnog broja 2. Ovo epohalno otkri}e spada me|u najzna~ajnija otkri}a u matematici i bez wega se ne bi mogao zamisliti razvoj nauke i ~ove~anstva. Pitagorejci su dugo ~uvali u tajnosti taj rezultat jer se on kosio s tada{wim shvatawem pojma broja.

Spomenik Pitagori na Samosu

37

Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао • однос страница и висине једнакокраког троугла • однос странице и висине једнакостраничног троугла

1

Pro~itaj sa slike kolike su visine h1 i h2 trouglova na slici.

25 mm

hh1

25 mm

37 mm

37 mm m

40 mm

h2

Primeni Pitagorinu teoremu i proveri rezultat.

24 mm

2

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj visinu trougla. a)

b)

34 cm

Primeni Pitagorinu teoremu na osen~eni trougao.

34 cm h

16 cm 32 cm

h

10 cm

Visina jednakokrakog trougla koja odgovara osnovici polovi osnovicu.

5,6 cm

3

Izra~unaj du`inu kraka jednakokrakog trougla ako su date osnovica i wena visina. Nacrtaj skicu. a) a = 30 cm, h = 8 cm b) a = 16 cm, h = 14 cm 5

38

Skica ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak.

8 15

Primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao Visina h jednakokrakog trougla koja odgovara osnovici deli jednakokraki trougao ABC na dva podudarna pravougla trougla ADC i BDC. Katete tih trouglova jednake su visini h i polovini osnovice a, a hipotenuze su jednake kraku b datog jednakokrakog trougla. Primewuju}i Pitagorinu teoremu na pravougli trougao BDC, dobijamo:

() h = b − (a ) 2 b2 = h2 + a 2 2

2

C

b

h

b

2

D

2

A

a

a 2

B

Na sli~an na~in mo`e se izraziti i osnovica trougla ako su dati visina i krak. Izra~unaj du`inu osnovice datog jednakokrakog trougla ABC. Решење C

Primenom Pitagorine teoreme na osen~eni trougao izra~unajmo polovinu osnovice.

() ()

2

a = 29 cm 2 − 21 cm 2 ( ) ( ) 2 2 a = 400 cm2 2 a = 400 cm 2 a = 20 cm 2 Osnovica je a = 40 cm.

29 cm

A

a 2

21 cm

29 cm

a

B

4

Osnovica jednakokrakog trougla je a, krak b i visina koja odgovara osnovici h. Izra~unaj osnovicu ako je b = 51 mm, h = 45 mm.

5

Izra~unaj visinu h trougla na slici pod b) kao {to je ura|eno pod a). a) b) h2 = (6 cm)2 – (3 cm)2 6 cm

h 6 cm

6 cm

h2 = 36 cm2 – 9 cm2 h2 = 27 cm2 h = 27 cm h = 3 3 cm

10 cm

h

10 cm

10 cm

39

Izra~unavawe visine jednakostrani~nog trougla ako je data stranica Primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao koji grade stranica trougla, visina i polovina druge stranice dobijamo:

()

h2 = a2 − a 2 2 h2 = a2 − a 4 2 2 3 a h = 4

2

a

2 h = 3a 4

a

h

a

a 2

h= a 3 2 6

Izra~unaj visinu h jednakostrani~nog trougla ako je data stranica a. Nacrtaj skicu. a) a = 36 cm

b) a = 2,4 cm

Izra~unaj stranicu jednakostrani~nog trougla ako je visina h = 6 cm. Решење 2 2 a2 − a = (6 cm) 2 2 a a2 − a = 36 cm2 4 3a2 = 36 cm2 a 4 2 a2 = 36 ⋅ 4 cm2 3 a2 = 48 cm2, odnosno a = 48 cm, a = 16 ⋅ 3 cm

()

a 6 cm a

a = 4 3 cm 7

Izra~unaj du`inu stranice jednakostrani~nog trougla ako je data visina h. Nacrtaj skicu trougla. a) h = 12 cm

b) h = 1,8 cm

Провери шта знаш 1. Osnovica jednakokrakog trougla je a, krak b i visina koja odgovara osnovici h. Izra~unaj osnovicu, krak ili visinu ako je: a) a = 24 cm; b = 20 cm

b) a = 14 cm; h = 24 cm v) b = 5,8 cm; h = 4 cm

2. Izra~unaj stranicu a jednakostrani~nog trougla ako je visina: a) h = 12 cm b) h = 12 3 cm 40

Примена Питагорине теореме на ромб • однос дијагонала и странице ромба

1

Od ~etiri podudarna pravougla trougla mo`e{ da sastavi{ ~etvorougao kao {to je prikazano na slici. Kako se naziva taj ~etvorougao? 3 cm 4 cm

4 cm

3 cm 4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

Kolika je du`ina stranice ~etvorougla? Kolike su du`ine dijagonala?

2

Pravougli trouglovi su podudarni ako su im jednake odgovaraju}e katete.

Sredi{ta stranica pravougaonika na slici temena su ~etvorougla. Kako se naziva taj ~etvorougao? Kolika je du`ina wegove stranice? Koliki je obim tog ~etvorougla? Kolika je wegova povr{ina? Povr{ina ~etvorougla ~ije su dijagonale normalne ra~una se po formuli:

b = 2 cm

P=

a = 4,8 cm

d1 ⋅ d2 2

Primena Pitagorine teoreme na romb Romb je ~etvorougao ~ije su sve stranice jednake. U prethodnom razredu nau~ili smo da se dijagonale romba polove pod pravim uglom. Na slici je romb stranice a i dijagonala d1 i d2. On je dijagonalama D po­de­qen na ~etiri podudarna pravougla trougla. Primenimo ­Pitagorinu teoremu na jedan od tih trouglova. 2

d  d  a =  1 +  2   2  2 

a d 1 2

2

2

A

a

C O

d2 2 B

41

Na primer: Izra~unaj du`inu stranice romba ako su dijagonale d1 = 12 cm i d2 = 16 cm. Prvo izra~unajmo polovine dijagonala: d1 d = 6 cm , 2 = 8 cm 2 2 Primewuju}i Pitagorinu teoremu na trougao ABO, izra~unajmo stranicu a: a2 = (6 cm)2 + (8 cm)2, odnosno a2 = 100 cm2, odakle sledi da je a = 10 cm. 3

Izra~unaj du`inu stranice romba ako su date dijagonale d1 = 20 cm i d2 = 16 cm.

C a D a

d2

B

d1 O A

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj dijagonale romba. Решење Jedna dijagonala je d1 = 2 ⋅ 3 cm = 6 cm, a druga: 2

2

2 2  d2   d1  2  2  = a −  2  = (3,4 cm) − (3 cm)

3 cm

2

 d2  2  2  = 2,56 cm

3,4 cm

d2 = 2,56 cm = 16 , cm 2 d2 = 3,2 cm 1,4 cm

4

5

Prema podacima sa slike izra~unaj du`inu dijagonale romba.

5 cm

Nacrtaj skicu romba i izra~unaj obim i povr{inu romba ako su dijagonale d2 = 9 cm i d1 = 40 cm.

Obim romba: O = 4 ⋅ a Povr{ina romba: P =

d1 ⋅ d2 ili P = a ⋅ h 2

Провери шта знаш 1. Dijagonale romba su d1 i d2 i stranica a. Izra~unaj nepoznatu du`inu ako je: a) d1 = 24 cm, d2 = 10 cm

b) d1 = 36 cm, a = 30 cm

2. Izra~unaj povr{inu romba ako je a = 39 cm, d2 = 72 cm.

42

Примена Питагорине теореме на трапез • однос основица и висине правоуглог трапеза • однос основица и висине једнакокраког трапеза 1

Kako se naziva ~etvorougao obojen zelenom bojom? Kako se naziva ­~etvorougao obojen crvenom bojom?

1

1

x

y

Izra~unaj x. Izra~unaj y. Koliki je obim zelenog ~etvorougla? Koliki je obim crvenog ~etvorougla?

2

a) Od dva podudarna pravougla trougla i jednog pravougaonika sastavqen je trapez ABCD na slici. Izra~unaj du`inu kraka AD. 4,5 cm

D

C

4 cm A

3 cm

B

b) Od jednog pravougaonika i jednog pravouglog trougla sastavqen je trapez ABCD na slici. Izra~unaj du`inu kraka AD. D

2 cm

C

10 cm

A

8 cm

B

Primena Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez U prethodnom razredu nau~ili smo da je trapez ~etvorougao s jednim parom paralelnih stranica. Paralelne stranice nazivamo osnovice trapeza i naj~e{}e ih obele`avamo sa a i b. Druge dve stranice nazivamo kracima trapeza i obele`avamo ih naj~e{}e sa c1 i c2. Kod jednakokrakog trapeza jednake krake obele`avamo sa c.

b c1

c2 a

43

Visina trapeza je du` koja predstavqa rastojawe izme|u osnovica. Na slikama to je du` h. Kod svakog trapeza mo`emo uo~iti pravougli trougao kao na slici: a) pravouglog trapeza b c2

b) jednakokrakog trapeza

c1

h a

a–b

( )

b

c12= h2 + (a – b)2 c

c2 = h2 + a − b 2

c

h

a–b 2

2

a–b 2 a

Na ve} poznati na~in mo`emo koristiti Pitagorinu teoremu za izra~unavawe du`ina kraka i visine. Izra~unaj du`inu kraka, obim i povr{inu trapeza na slici. Решење Uo~imo pravougli trougao ~ija je hipotenuza c i katete h i x. Na osnovu podataka sa slike sledi da je: h = 24 cm i x = 20 cm – 13 cm = 7 cm

13 cm

c

h

24 cm

Primenimo Pitagorinu teoremu na osen~eni trougao. c2 = (24 cm)2 + (7 cm)2 c2 = 625 cm2 c = 25 cm

x

20 cm

Obim trapeza ra~unamo tako {to saberemo du`ine svih stranica trapeza. O = 20 cm + 24 cm + 13 cm + 25 cm = 82 cm Povr{inu trapeza ra~unamo: P = a + b ⋅ h = 20 cm + 13 cm ⋅ 24 cm = 396 cm2 2 2 3 4

Du`ine osnovica jednakokrakog trapeza su 20 cm i 4 cm i visina 6 cm. Izra~unaj obim trapeza. Nacrtaj skicu. Osnovice jednakokrakog trapeza su a = 40 cm, b = 24 cm i krak c = 10 cm. Izra~unaj visinu i povr{inu.

Prvo izra~unaj visinu, a zatim povr{inu. (a + b) ⋅ h P= 2

Провери шта знаш 1. Od pravouglog trougla s katetama du`ine 6 cm i 8 cm i pravougaonika stranica 6 cm i 8 cm sastavi pravougli trapez. Izra~unaj obim, povr{inu i dijagonale tog trapeza. Koliko ima re{ewa? 2. Osnovice jednakokrakog trapeza su a i b, krak c, visina h i dijagonala d. Izra~unaj nepoznate du`i ako je: a) a = 40 cm, b =16 cm, h = 16 cm b) a = 24 cm, b =6 cm, d = 17 cm 44

Конструкција тачака на бројевној правој чије су координате ирационални бројеви • придруживање ирационалних бројева тачкама бројевне праве

1

Svakoj obele`enoj ta~ki na datoj brojevnoj pravoj odgovara jedan od iracionalnih brojeva: 10, 2, 20 ili 5. Koje su koordinate tih ta~aka? A 0

2

1

B 2

C

D

3

4

Izra~unaj dijagonalu pravougaonika na slici pod b) kao {to je ura|eno pod a). a)

d2 = 12 + 12 d

1

b)

d2 = 2

d

1

d= 2

1

2

Prikazivawe korena prirodnih brojeva na brojevnoj pravoj Nau~ili smo u prethodnom razredu da svakom racionalnom broju odgovara ta~no jedna ta~ka na brojevnoj pravoj. Isto tako, u prvom poglavqu ove kwige pokazali smo i da svakom iracionalnom broju odgovara ta~no jedna ta~ka na brojevnoj pravoj. Mo`emo re}i da je svaki realan broj koordinata ta~no jedne ta~ke na brojevnoj pravoj. Va`i i obrnuto – svaka ta~ka brojevne prave ima za koordinatu ta~no jedan realan broj. U prethodnim razredima nau~ili smo da prikazujemo na brojevnoj pravoj prirodne brojeve, cele brojeve i racionalne brojeve. U ovom poglavqu upozna}emo se s konstrukcijom ta~ke na brojevnoj pravoj ~ija je koordinata n, n ∈N. Za prikazivawe tih ta~aka koristi}emo Pitagorinu teoremu. Ve} smo pokazali da je u pravouglom tro­ uglu ~ije su katete jednake jedini~noj du`i hipote­nuza jednaka 2 jedini~nih du`i. To zna~i da ta~ku na brojevnoj pravoj ~ija je koordinata jednaka 2 odre|ujemo na na~in prikazan na slici.

2

0

1 1

2

2

45

Znamo tako|e da je u pravouglom trouglu ~ije su katete 1 i 2 hipotenuza jednaka 3.

2

1

0

1

3 2

2

Na osnovu jednakosti 5 = 4 + 1, odnosno 5 = 22 + 1 i

( 5) = 2 + 1 2

2

2

mo`emo konstruisati ta~ku ~ija je koordinata 5. Koriste}i isti postupak, mo`emo konstruisati ta~ke ~ije su koordinate: 6, 7 , 10…

2

1 1

3 2

2

3 10

5

Na slede}oj slici dat je jo{ jedan na~in prikazivawa kvadratnih korena prirodnih brojeva. 1

1

1 2

3

5

2

1 1

2

3 2

5

Prika`i na brojevnoj pravoj iracionalni broj

6.

Решење

( 6 ) = 1 + ( 5) 2

2

2

1 1 1

46

2 5 6

Broj 6 mo`e{ prikazati i na drugi na~in:

( 6 ) = 2 + ( 2) 2

2

2

3

Prika`i na brojevnoj pravoj iracionalne brojeve: a) 7

4

2

b) 8

( 17) b) Koriste}i jednakost ( 20 )

a) Koriste}i jednakost

2 2

2

2

= 42 + 12 , konstrui{i du` du`ine 17 cm. = 42 + 22 , konstrui{i du` du`ine 20 cm.

5

Koriste}i jednakost 8 = 2 2, konstrui{i du` 8 cm.

6

Uprosti, a zatim prika`i na brojevnoj pravoj. a) 18

( 7 ) = 1 + ( 6)

b) 32

Провери шта знаш 1. Predstavi na brojevnoj pravoj: a) 11

b) 13

v) 21

2. Uprosti, a zatim prika`i na brojevnoj pravoj: a) 24

b) 50

Рафаелова слика „Атинска школа“ Renesansa (XIV–XVI vek) jeste jedno od najkreativnijih i najzna~ajnijih razdobqa u razvoju umetnosti i nauke. U doba renesanse o`ivqava se interesovawe za nauku i umetnost anti~kog doba. Renesansa se najsna`nije razvijala u Italiji, a zatim i u Nema~koj i Holandiji. Slika Atinska {kola italijanskog slikara Rafaela (1483–1520) govori o povezanosti umetnosti, nauke i `ivota. Sredi{we mesto na slici ­zauzima gr~ki filozof Platon, a tako|e zna~ajno mesto, u levom dowem uglu, dato je Pitagori.

47

И то је математика Fraktal je geometrijski objekat koji se mo`e razlo`iti na mawe delove tako da je svaki od wih umawena kopija celine. Fraktalne slike nastaju uzastopnim ponavqawem ili iteracijom nekog geometrijskog postupka. Na primer: Nacrtajmo jednu du`. Podelimo je na tri jednaka dela i sredwi deo zamenimo sa dve du`i jednake du`ine, koje obrazuju ugao od 60°. Dobili smo izlomqenu liniju od ~etiri du`i. Zatim za svaku od tih du`i primenimo postupak kao u prethodnom koraku.

1

Neka je baza za izgradwu fraktala jednakostrani~ni trougao, a motiv kao u prethodnom primeru. a) Nacrtaj u svesci sliku 3 koja predstavqa slede}i korak u izgradwi ­fraktala. b) Ako je obim trougla na prvoj slici 18 cm, koliki je obim figure na drugoj i tre}oj slici?

2

slika 1

slika 2

Na slikama je prikazano kako nastaje fraktal koji se naziva Pitagorino drvo. Osnovni motiv je jednakokraki pravougli trougao s konstruisanim kvadratima nad wegovim stranicama. a) Nacrtaj slede}a dva fraktala (sliku 3 i sliku 4). b) Ako je stranica kvadrata na slici 1 du`ine 1 cm, kolika je stranica ­najmaweg kvadrata na: • slici 1 • slici 2?

О ФРАКТАЛИМА У ПРИРОДИ U prirodi nalazimo mnogo fraktalnih oblika. Na primer: stablo drveta grana se na grane, a one se granaju u gran~ice, krvotok qudskog organizma fraktalne je strukture, muwe tako|e imaju fraktalnu strukturu, med se kristalizuje u fraktalne oblike i tako daqe. Fraktalne oblike nalazimo u formirawu oblaka, u zalivima, na poluostrvima, planinskim vencima i sli~no. U stvari, na neki na~in, ceo svet napravqen je od fraktalnih oblika. 48

slika 1

slika 2

ZAPAMTI

Питагорина теорема Povr{ina kvadrata nad hipotenuzom pravouglog trougla jednaka je zbiru povr{ina kvadrata nad katetama.

c

b

c2 = a2 + b2

a

Примена Питагорине теореме Kvadrat

Pravougaonik d 2

d

d

a

a

b

d 2 a

d = a +a 2

2

a

() () 2

a2 = d + d 2 2

2

d=a 2

2

d = a 2 + b2 2

Jednakokraki trougao

b

a

b

h

a 2

Jednakostrani~ni trougao

a

h a

a

()

a 2

()

h2 = a2 − a 2 h=a 3 2

2

b2 = a + h2 2

Romb

2

Trapez a

a d 1 2

d2 2

a

c

2

d  d  a2 =  1  +  2  2  2

2

c

h

c1

c2 h

a–b 2

a

b

b

a

( )

c2 = h2 + a − b 2

2

a

a–b

c12 = h2 + (a − b)

2

49

Цели и рационални алгебарски изрази (први део) U CERN-u, me|unarodnoj laboratoriji za fiziku, u blizini @eneve nedavno je puštena u pogon najveća, najslo`enija i najskupqa mašina koju je čovek ikada napravio – sudarač čestica po imenu LHC. ^estice poput protona, elektrona i neutrona LHC ubrzava dok ne poprime izuzetno visoku energiju, a onda ih sudara. Pri tom sudaru ove ~estice se raspadaju na jo{ mawe – najsitnije ~estice od kojih se sastoji materija. Postrojewe u CERN-u

Ispitujući najsitnije delove materije, LHC nam daje va­`ne informacije o tome kako je naš univerzum nastao. Iako slu`i za prou~avawe ne~eg tako malog, gotovo sve što karakteriše ovu mašinu veliko je. Sam akcelerator je veličine Beograda, i nalazi se 100 metara ispod ze­mqe, na granici izme|u Francuske i Švajcarske. Glav­ni delovi su mu dva velika oka - detektori ATLAS i CMS, svaki veličine višespratnice.

Jedan trenutak u radu GRID-a

Jedan od najinteresantnijih delova celog sklopa jeste mozak koji obra|uje sve prispele informacije – reč je o GRID-u, superračunaru veličine Evrope. GRID se prostire u 290 naučnih institucija u 55 zemaqa. Trenutno ga čini 150 000 računara povezanih superbrzim optičkim vezama, koji svi funcionišu kao jedinstvena mašina.

LHC obra|uje informacije na isti na~in kao naše čulo vida. Detektori vide 40 000 000 sudara svake sekunde. Slika jednog sudara zaprema oko 1 MB (megabajt), baš kao i tipična slika na digitalnom fotoaparatu ili mobilnom telefonu. U GRID ulazi 100 MB informacija svake sekunde, odnosno 1 PB (petabajt) mesečno. Petabajt je 1015 = 1 000 000 000 000 000 bajtova, što je ujedno i ukupni skladišteni kapacitet qudskog mozga. Dakle, sve što ste zapamtili ili ćete ikada moći da zapamtite zaprema jedan petabajt. Toliko informacija stane u qudski mozak. GRID toliko upumpa svakog meseca. To je otprilike i jedna desetina ukupne količine informacija koje čovečanstvo u tom periodu generiše! 50

GRID predstavqa informatičku infrastrukturu Evrope. Jedan od delova u ovom informati~kom sistemu i najveći u čitavoj jugoistočnoj Evropi nalazi se kod nas, u Laboratoriji za primenu računara u nauci u Institutu za fiziku u Beogradu. Mo`da najva`nija usputna posledica rada na GRID-u mo`e biti i stvarawe sasvim nove vrste inteligencije. @ ivimo u uzbudqivim vremenima, kada naučna fantastika počiwe da postaje realnost.

PARADOX postrojewe u Institutu za fiziku u Beogradu

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • stepenu ~iji je izlo`ilac prirodan broj • operacijama sa stepenima • monomima i polinomima.

4

5

6

Koji je odgovor ta~an? b) 12 = 2 a) 102 = 1 000 Izra~unaj. a) 42 b) (–4)2

g) 52 = 25

g) –(–4)2

Izra~unaj vrednost izraza. a) 1 – (–1)2

7

v) –42

v) 92 = 18

b) 1 ⋅ 22 2

v) (–8)2 : (–4)

Vrednost izraza 42 – 22 ⋅ 3 je: b) 4 v) 36 g)12 a) -4 Koji je odgovor ta~an? 51

Степен чији је изложилац природни број • основа степена

• степен позитивног броја

• изложилац степена

• степен негативног броја

• степен броја

1

Na aerodromu su dva velika putni~ka aviona - xambo xeta. Svaki avion ima dva krila, a na svakom krilu su dva motora. Koliko ukupno ima motora? a) 4

2

b) 6

v) 8

g) 16

Zapi{i proizvode u kra}em obliku, kao {to je zapo~eto. a) 3 ⋅ 3 = 32

b) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 45

g) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

v) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2

|) x ⋅ x

Stepen broja ~iji je izlo`ilac prirodni broj Proizvod istih ~inilaca kra}e zapisujemo u obliku stepena. Na primer:

izlo`ilac stepena

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 Broj 23 nazivamo tre}i stepen broja 2 i ~itamo dva na tre}i. Broj 2 je osnova stepena, a broj 3 izlo`ilac stepena. Ako realni broj a treba pomno`iti n puta sa samim sobom, a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a , n ∈N, onda taj proizvod mo`emo kra}e zapisati: n ~inilaca

stepen

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a n ~inilaca

Neka je a ∈R, n ∈N. Va`i:

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a n ~inilaca

3

52

Napi{i u obliku stepena. a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 g) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

b) 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 d) a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a

v) 8 ⋅ 8 ⋅ 8 |) c ⋅ c ⋅ c ⋅ c

23 osnova stepena

4

Izra~unaj vrednost stepena kao {to je zapo~eto. b) 53 v) 44 a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

g) 92

5

Izra~unaj vrednost stepena kao {to je zapo~eto. b) (-5)2 a) (-4)3 = (-4) ⋅ (-4) ⋅ (-4) = -64

v) (-3)5

g) (-2)8

Stepen pozitivnog broja je pozitivan broj. Na primer: 63 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 Stepen negativnog broja je pozitivan broj ako je izlo`ilac paran broj. Na primer: (-3)4 = (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = 81 Stepen negativnog broja je negativan broj ako je izlo`ilac neparan broj. Na primer: (-5)3 = (-5) ⋅ (-5) ⋅ (-5) = -125 6

7

Izra~unaj vrednost stepena. b) 43 v) (-1)10 a) (-3)3 g) 1101 d) -63 |) -26

(-2)4 = (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) = 16

-24 = -2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = -16

Izra~unaj vrednost stepena. 3 b ) (-0,01)2 v) 1 a) 0,23 2

()

( )

( )

4

g) − 2 3

d) 1 1 4

2

Провери шта знаш 1. Napi{i u obliku stepena. a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 b) (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) 2. Izra~unaj vrednost stepena. b) (-2)7 v) -44 a) 35 d) (-0,02)2

()

|) 1 4

3

g) 0,33

( )

e) − 2 5

2

v) 15 ⋅ 15 ⋅ 15

g) a ⋅ a ⋅ a ⋅ a

( )

`) −2 1 2

4

Први лет авионом Prvi let avionom izvela su bra}a Rajt 1903. godine. Samo osam godine kasnije, 9. januara 1911. godine, Edvard Rusjan izveo je prvi let u Srbiji, na Kalemegdanu u Beogradu.

53

Множење и дељење степена истих основа. Степеновање степена • производ два степена истих основа • количник два степена истих основа • степен степена 1

Koji izraz ima najmawu vrednost? a) 22 + 2

v) 22 ⋅ 2

b) 22 : 2

Proizvod dva stepena istih osnova Ako `elimo da proizvod 43 ⋅ 45 napi{emo u obliku stepena sa osnovom 4, ra~unamo na slede}i na~in: 43 ⋅ 45 = (4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4⋅ 4⋅ 4 ⋅ 4 3 + 5 ~inilaca

= 48 Za stepene an i am gde je a ∈R, a n, m ∈N va`i: an ⋅ am = (a ⋅ a ⋅ a … ⋅ a) ⋅ (a ⋅ a ⋅ a … ⋅ a) n ~inilaca

=a⋅a⋅a…⋅a

m ~inilaca

m + n ~inilaca

= an + m Dva stepena istih osnova mno`imo tako {to osnovu prepi{emo, a izlo`ioce saberemo. an ⋅ am = an + m

2

Napi{i proizvod u obliku stepena kao {to je zapo~eto.

3

Napi{i proizvod u obliku stepena. 4 5 5 ⋅ 5 b) a) (-10)2 ⋅ (-10)3 6 6 5 2 2 7 2 g) 15 ⋅ 5 ⋅ 15 d) a ⋅ a2 ⋅ a5

a) 24 ⋅ 27 = 211

( ) () ( )

54

b) 82 ⋅ 85

v) 3 ⋅ 36

() ()

g) x3 ⋅ x6

() ( ) 3

v)

1 ⋅ −1 3 3

2

Uputstvo za deo zadatka pod v):

(-4)2 = 42, (-4)3 = -43

4

Vrednost izraza (-1)3 ⋅ (-1)4 ⋅ (-1) ⋅ (-1)2 je: a) -1

b) -10

v) -9

g) 1

Koji je odgovor ta~an?

Koli~nik dva stepena istih osnova Ako `elimo da uprostimo koli~nik 45 : 43 i napi{emo ga u obliku stepena sa osnovom 4, ra~unamo na slede}i na~in: 5 45 : 43 = 43 4 4⋅4⋅4⋅4⋅4 = 4⋅4⋅4 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅4⋅4 = 4⋅4⋅4 =4⋅4 = 42 Za stepene an i am gde je a ∈R, a ≠ 0, n, m ∈N i n > m va`i: n ~inilaca inilaca n − m ~inilaca     m ~     n m ... a a a a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a a ⋅ a ⋅ ⋅ a … ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅a a :a = = a a a a⋅ a a ⋅… ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅   m ~inilaca

m ~inilaca

n−m

= a ⋅ am a m

= an - m Dva stepena istih osnova delimo tako {to osnovu prepi{emo, a od izlo`ioca deqenika oduzmemo izlo`ilac delioca. an : am = an - m

5

Napi{i koli~nik u obliku stepena, kao {to je zapo~eto. a) 912 : 97 = 95

6

g) x5 : x4

x1 = x

Napi{i koli~nik u obliku stepena. 15 12 b) − 2 : 2 a) (-3)7 : (-3)3 5 5

( ) ()

v) (0,515 : 0,57 ) : 0,57 7

v) (0,3)11 : (0,3)5

b) 426 : 424

Izra~unaj. a) 810 : 88

g) a7 : (a5 : a)

( ) : (− 43)

b) − 3 4

30

27



v) 1,122 : 1,121

55

Stepen stepena Broj (22 ) mo`emo da napi{emo u obliku stepena sa osnovom 2 na slede}i na~in: 3

(2 )

2 3

= 22 ⋅ 22 ⋅ 22 = 26

Uop{te, za a ∈R, n, m ∈N, va`i:

n sabiraka m n

(a )

m

m

m

m

m+m+m+…+m

=a ⋅a ⋅a …⋅a =a

= am ⋅ n

n ~inilaca

Stepen stepenujemo tako {to osnovu prepi{emo, a izlo`oce pomno`imo. n am = am ⋅ n

( )

8

Napi{i u obliku stepena, kao {to je zapo~eto. a) (35 ) = 310 2

b) (152 )

v) (x 3 )

2

g) ( y 5 )

4

12

Priozvod dva stepena istih osnova

an ⋅ am = an + m, a ∈R, n, m ∈N Koli~nik dva stepena istih osnova

an : am = an - m, a ∈R, a ≠ 0, n, m ∈N, n > m Stepen stepena

(a )

m n

= am ⋅ n, a ∈R, n, m ∈N

Провери шта знаш Napi{i u obliku stepena.

2

b) − 5 : − 5 2 2

v) (410 : 45) : 43

g) (a9 : a) : a5

2. a) 52 ⋅ 54

b) 3 ⋅ 33 ⋅ 35

v) x2 ⋅ x7 ⋅ x

5 1 5 g) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2

3. a) (75 )

b) (44 )

v) ( y 7 )

g) a9

4

56

( ) ( ) 5

1. a) 133 : 13

3

() ( ) () 4

7

( )

3

7

Степен производа бројева. Степен количника два броја • степен производа • степен количника 1

Koliko je (2 ⋅ 3)2? Koji je od ponu|enih odgovora ta~an? a) 6 b) 12 v) 18 g) 36

Stepen proizvoda dva realna broja Ako `elimo da stepenujemo proizvod brojeva, ra~unamo na slede}i na~in:

(3 ⋅ x)4 = (3 ⋅ x) ⋅ (3 ⋅ x) ⋅ (3 ⋅ x) ⋅ (3 ⋅ x) = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (x ⋅ x ⋅ x ⋅ x) 4 4

koristimo svojstvo komutativnosti i asocijativnosti

=3 ⋅x

Stepen proizvoda dva ~inioca jednak je proizvodu stepena svakog ~inioca ­posebno. Uop{te, za a, b ∈R, n ∈N, va`i:

(a ⋅ b)n = a n ⋅ b n 2

Stepenuj proizvod kao {to je zapo~eto. a) (2 ⋅ x)5 = 25 ⋅ x5 = 32 ⋅ x5 = 32x5

b) (-4 ⋅ a)4

v) (0,1 ⋅ c)3

Izra~unaj 23 ⋅ 0,53. Решење Koristimo jednakost a n ⋅ b n = (a ⋅ b)n za a, b ∈R, n ∈N. 23 ⋅ 0,53 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5) = (2 ⋅ 0,5) ⋅ (2 ⋅ 0,5) ⋅ (2 ⋅ 0,5) = (2 ⋅ 0,5)3 = 13 = 1 3

Izra~unaj vrednost izraza. b) 44 ⋅ (-25)4 a) 26 ⋅ 56

4

Zapi{i u obliku stepena proizvoda. b) (-3)4 ⋅ x4 ⋅ y 4 a) a 8 ⋅ c 8

Dva stepena istih izlo`ilaca mno`imo tako {to pomno`imo osnove, a iz­lo­`i­lac prepi{emo.

v) 0,023 ⋅ (-1 000)3

()

2

5

Koliko je 3 ? Koji je od ponu|enih odgovora ta~an? 4 9 b) 3 v) 9 a) 4 16 16 57

Stepen koli~nika dva realna broja Ako `elimo da stepenujemo koli~nik brojeva, ra~unamo na slede}i na~in:

( ) = 43 ⋅ 43 ⋅ 43 = 43 ⋅⋅ 43 ⋅⋅ 34 = 43 3 4

3

3 3

= 27 64

Stepen koli~nika dva broja jednak je koli~niku stepena deqenika i stepena delioca. Uop{te, za a, b ∈R, b ≠ 0, n ∈N, va`i: n a = an b bn

()

6

Izra~unaj. 4 3 a) − 5 b) 2 2 3

( )

Izra~unaj

()

( )

v) −2 ⋅ 1 7

3

162 . 42

Решење n n Koristimo jednakost an = a za a, b ∈R, b ≠ 0, n ∈N. b b 2 162 = 16 ⋅ 16 = 16 ⋅ 16 = 16 = 42 = 16 2 4⋅4 4 4 4 4

() ( )( ) ( )

7

Izra~unaj. 5 4 −3) ( 26 a) 4 b) 5 13 9

v) 103 : (−2,5)

3

Stepen proizvoda dva realna broja a n ⋅ b n = (a ⋅ b)n, za a, b ∈R, n ∈N Stepen koli~nika dva realna broja

()

n

a = an , za a, b ∈ R, b ≠ 0, n ∈ N b bn

Провери шта знаш 1. Uprosti. 2. Izra~unaj.

58

a) (5 ⋅ a)3 3 a) 21 3 (−7)

b) (-2 ⋅ x)5 2 b) 322 8

( )

3

v) 1 ⋅ 3 2 4 v) 5 ⋅ (0,2)4

Dva stepena istih osnova delimo tako {to podelimo osnove, a izlo`ilac prepi{emo.

Рационални алгебарски изрази • бројевни израз • вредност бројевног израза • рационални алгебарски израз 1

2

Vrednost izraza 1 − 3 ⋅ 1 je: 2 1 a) –1 b) − v) 3 6 2 Koji je odgovor ta~an?

Dati su brojevi 7 i -14. Napi{i i izra~unaj: a) wihov zbir

b) wihovu razliku

v) wihov proizvod

g) wihov koli~nik

Brojevni izraz sastavqen je od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada. Na primer: 3 ⋅ (−4) + 7 : 7 8 U {estom razredu u brojevni izraz uveli smo i apsolutnu vrednost broja, kao i kvadrat broja, a sada uvodimo stepen broja i kvadratni koren nenegativnog broja. Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e sve ra~unske operacije s brojevima koji se pojavquju u izrazu.

3

Izra~unaj.

(

)

a) 2 ⋅ 10 − 1 + 3 144 2 4



( )

2 b) (−3) − 3 2

2

v) 4 ⋅ −2 − 3 + 1 5 5

Neka je x proizvoqan pozitivan realan broj. Napi{i broj: a) za 5 ve}i od x

b) za 5 mawi od x

v) 5 puta mawi od x

g) 5 puta ve}i od x

Racionalni algebarski izrazi Najednostavniji izrazi su: • brojevi: 100, 2, -9, 2, 2... 3 • promenqive: x, y, z, t, a, b, c... 59

Izrazi koji su izgra|eni pomo}u najjednostavnijih izraza, operacija sabirawa, oduzimawa, mno`ewa i deqewa i zagrada nazivaju se racionalni algebarski izrazi. Na primer: a−b 3 a + 7b x3 – 3 x a x -7 2+3x 5 a2 + b2 Promenqive u izrazima mogu imati vrednost bilo kog realnog broja.

5

Dati su izrazi 5x i x - 2. Napi{i: a) wihov zbir

6

b) wihov razliku

v) wihov proizvod.

Izra~unaj vrednost izraza: a) 3x - 2, za x = -2

b) 4m - 3n, za m = 3, n = 0,4.

Ako svakoj promenqivoj u racionalnom algebarskom izrazu dodelimo brojevnu vrednost, dobijamo brojevni izraz ~iju vrednost mo`emo da izra~unamo. Na primer: Racionalni algebarski izraz a3 - 3a2 za a = -2 postaje brojevni izraz: (-2)3 - 3 ⋅ (-2)2 Wegova vrednost je: (-2)3 - 3 ⋅ (-2)2 = -8 - 12 = -20

7

Izra~unaj vrednost izraza:

8

Vrednost izraza -a - (-a)2 za a = -1 je:

a) 3 ⋅ (2c - c2) za c = -2

a) -2

b) 0

b) x2 - 3x + 9 za x = 1 3

v) 2

Koji je odgovor ta~an?

Провери шта знаш 1. Dati su izrazi a i 5a - 3. Napi{i: b) wihovu razliku a) wihov zbir

v) wihov proizvod.

2. Izra~unaj vrednost izraza: a) 1 a − a2 za a = -5 b) 1 ⋅ (3x − 7) − 12x za x = -3 5 2

60

v) 4 - c ⋅ (2 - c)2 za c = -2

Моном. Збир монома • моном

• супротни мономи

• степен монома

• збир сличних монома

• слични мономи 1

Neka je promenqiva a predstavqena pravougaonikom

.

Kojim je slovom obele`ena slika kojom je predstavqen proizvod 3a?

A

B

V

G

D

Monom. Stepen monoma Monom je broj ili proizvod broja i jedne ili vi{e promenqivih. Na primer: 1 ab -7y2 x5 0,9a3b7… 2 Promenqivu ili proizvod promenqivih u monomu naj~e{}e nazivamo promenqiv deo, a broj nazivamo konstanta ili koeficijent monoma.

5x

Promenqivi deo mo`e biti proizvod stepena razli~itih osnova. Na primer: U monomu -5x2y3 promenqivi deo je x2y3 i on predstavqa proizvod stepena x2 i stepena y3. Stepen monoma je zbir izlo`ilaca svih stepena promenqivih u monomu. Stepen monoma 2x je 1 jer je promenqiva x prvog stepena. Stepen monom 0,2a3 je 3 jer je promenqiva a tre}eg stepena. Stepen monom 5m3n je 4 jer je 4 zbir izlo`ilaca stepena m3 i n. Monom nultog stepena je konstanta bez promenqivog dela. Na primer: 2, 2, 1, -7. 3 2

3

promenqiva koeficijent

3a 0,9a3b5 koeficijent promenqivi deo

3+1=4

5m3n = 5m3n1

Odredi stepen monoma. a) -4x2

b) -4x

v) -4

Odredi stepen monoma. a) -0,2x

b) 12a2b

v) x7y5

g) 3 t 2s3 5

d) 2s2 61

4

Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. monom

koeficijent

promenqivi deo

3x2

3

x2

2 ab 3 -4mn3 xyz 2

Suprotni monomi. Sli~ni monomi Dva monoma su suprotna ako imaju jednak promenqiv deo, a konstante su im suprotni brojevi. Monomu 2a suprotan monom jeste -2a, monomu -5l3 suprotan monom je 5l3, a monomu 1 zt 2 suprotan monom je − 1 zt 2 2 2 Monomi su sli~ni ako imaju jednak promenqiv deo. Monomi 0,3a i 2a su sli~ni monomi, kao i monomi 3a2b i -a2b.

5

Svakom od slede}ih monoma odredi suprotan monom. b) 0,3mn3 v) − 3 a5 g) 2 a) 6x2 4

6

Koji je od monoma -x7y5, -x5y5, -x5, y5, -x5y7, -x7y7 sli~an monomu -2x5y7?

7

Monomu 7 ay 4c odredi: 5 a) stepen b) koeficijent v) promenqivi deo

g) suprotni monom

Neka su brojevi 1 i -1, promenqive x i -x, monomi x2 i -x2 predstavqeni na slede}i na~in:

x -x -x2 x2 Koristi model i izra~unaj: b) -x + x v) -3x + 5x a) -2 + 2 1

–1

0

Решење a)

b) -2 + 2 = 0

62

-x + x = 0

v) -3x + 5x = -3x + 3x + 2x = 2x

d) sli~an monom

8

Izra~unaj koriste}i model kao u re{enom primeru. a) -2x2 + 3x2

Zbir dva suprotna broja je nula. Zbir dva suprotna monoma je nula.

b) -5x + 3x

Sabirawe monoma Sabiraju se samo sli~ni monomi tako {to se saberu koeficijenti, a pro­men­ qivi deo ostaje isti. Na primer: 2x +3x = 5x -1,2a2 +0,5a2 = –0,7a2 Monom je proizvod realnog broja i jedne ili vi{e promenqivih. Kako vred­ nosti promenqivih mogu biti ma koji realni brojevi, to sva svojstva koja va`e za operacije s realnim brojevima va`e i za monome. Nau~ili smo da je zbir dva suprotna broja nula, pa je i zbir dva suprotna mo­ no­ma nula. Na primer: − 3 a2 + 3 a2 = 0 4 4 9

Saberi monome. a) 2a + 9a

10

v) b + 5b + 3b

g) -8m + 4m + m

Saberi monome. a) y2 + y2

11

b) -4x + 3x

b) n2 + 11n2 + 5n2

v) -9a4 + a4 + a4

Uprosti izraz.

Uprostiti izraz -3x +5x zna~i sabrati sli~ne monome.

b) -8zt + 2zt v) –3,5abc + 0,5 abc g) 2 m3 − 1 m3 5 2 a) 4xy + 3xy

12

Oduzmi monome kao {to je zapo~eto. Oduzimawe monoma je dodavawe suprotnog monoma.

a) 6a - 4a = 6a + (-4a) = 2a b) 3x2 - 7x2 v) -1,2m3 - 0,2m3 g) x − 1 x 2

Провери шта знаш 1. Odredi stepen slede}ih monoma: a)  5,2x6 b) 0,8ab2 v) x 3 y 2 3

g) − 4 t 6s2 d) -3m 7 2. Svakom od slede}ih monoma odredi suprotan monom. v) p4 a) -3x b) 2,9c2d 3. Uprosti. a) 6,2z3 - 4,1z3 + 5,3z3

b) -11abc + 1,1abc + 0,1abc

v) 1 mn3 + 2 mn3 − 5 mn3 4 3 6 63

Полином. Сређен облик полинома • бином

• степен полинома

• трином

• сређен полином

• полином 1

Neka su brojevi 1 i -1 , promenqive x i -x, monomi x2 i -x2 predstavqeni na slede}i na~in: 

1

–1

x

-x

-x2

x2

Za svaki model zapi{i izraz kao {to je zapo~eto. a)



b)

2x2 + 5x + 3 v)



g)

Binom, trinom, polinom. Stepen polinoma Zbir dva monoma koja nisu sli~na naziva se binom. Na primer: a+b x2y - 2xy b2 - 4 3a2 + 2a Zbir tri monoma koja nisu sli~na naziva se trinom. Na primer: a+b+c 3x2 - x + 2 0,4m2 - 3mn + 0,2n2 Zbir vi{e nesli~nih monoma naziva se polinom. Monom, binom i trinom tako|e su polinomi. Polinome nazivamo i ce­li al­ge­barski izrazi. Polinomi mogu bi­ti s jednom promenqivom ili vi{e wih. Polinom 2a2 - 3a + 1 jeste polinom s jednom pro­menqivom. ^esto se polinom jedne pro­menqive, ako je ta promenqiva a, ozna~ava sa P(a). Na primer: P(a) = 2a2 - 3a + 1. Polinom 4ax - 3a + 2ax3 + 5a2 jeste polinom s dve promenqive. Stepen polinoma najve}i je stepen monoma u tom polinomu. Na primer, stepen polinoma a + b + c je jedan (svi monomi u po­li­ no­mu su prvog stepena). Stepen polinoma 2x3 - 4x2 + 5x - 3 je tri (mo­nom najve}eg stepena je 2x3). 64

2

Odredi stepen polinoma. b) -y + 3 y2 - 1 a) x - 7

v) 0,7m + 1,4m3 - 2,3m2

3

Koji je polinom tre}eg stepena? b) 9 - x - 3x2 a) 3x - 3

v) 9x - 6 + 3x3

4

Odredi stepen polinoma. b) 1 - 2ab4 - 3a2b a) -5 + 2s - 4t

5

Koristi model iz zadatka 1 i saberi sli~ne monome u polinomu pod b) kao {to je ura|eno pod a).

v) 7r4 + 9,5rt - 4t3 + 2r3t2

a) 2x2 + (-3x) + (-x2) + 2x

Monomi -3x i -x2 zamenili su mesta. x2 + (-x2) = 0 -3x + 2x = - x

= 2x2 + (-x2) + (-3x) + 2x = x2 - x 0

0

b) x -2x + 4 + x - 3 2

Sre|en polinom Polinom je sre|en ako su sabrani sli~ni monomi. Na primer: a) 3x + (-4) + 2x + 6 = 3x + 2x + (-4) + 6

koristimo svojstvo komutativnosti i

asocijativnosti i grupi{emo sli~ne monome sabrani sli~ni monomi

= 5x + 2



b) 2x + 3x2 - 5x + 4 - x2 - 2 = 2x - 5x + 3x2 - x2 + 4 - 2 = - 3x + 2x2 + 2

6

Sredi polinome.

7

Sredi polinome.

a) x + 2x - 3

b) 4a - 3a + 5 + a - 1

a) x + 3x - 5y - 2y

v) 3m2 - 4 - m2 + 2

b) -3,4a - 2,5b + 0,4a - 3,5b

g) 3n3 - 2n2+ n3 + 10n2

v) 2 p + 3 q − 1 p + 1 q 3 4 3 4

Провери шта знаш 1. Odredi stepen polinoma. b) P(a) = 3 + 2a - 4a2 - a3 a) P(y) = 3y2 - 2y + 1 2. Sredi polinom. b) 2t + t3 - 4t2 - t + 1 + 3t3 - 2t + 2 a) b2 -2b + 3b2 - 4b + 1 - b + 3 g) -2y - 3 - 4y2 + 3y - 2y2 - 5 v) -0,4x2 + 3,2x - 4,4x + 1,2x2 - 3

65

Сабирање полинома • збир два полинома

1

Zbir datih binoma zapisuje{: (-3x + 2) + (x - 6)

Odredi zbir binoma -3x + 2 i x - 6, a zatim za x = 2 izra~unaj brojnu vrednost wihovog zbira.

Koristi model i odredi zbir polinoma 2x2 + 3x + 1 i x2 - 2x - 3. Решење 2x2 + 3x + 1

 2x2

3x

x2 –2x

–3

1

x2 - 2x - 3

2x2 + 3x + 1+ x2 - 2x - 3 = 3x2 + x - 2 2

Nacrtaj model u svesci i saberi polinome -x2 + x - 4 i -2x2 - 2x + 1.

Zbir dva polinoma Odrediti zbir dva polinoma zna~i sabrati sli~ne monome oba polinoma. Mo`emo koristiti svojstva komutativnosti i asocijativnosti. Na primer: saberi polinom -2a2 + a i polinom 3a2 - a - 5.

(-2a2 + a) + (3a2 - a - 5) = -2a2 + a + 3a2 - a - 5

3

66

Saberi polinome: a) 4x - 1 i -2x + 3 b) 2m2 - 4m i m2 - 4m

osloba|amo se zagrade

= -2a2 + 3a2 + a - a - 5

grupisani sli~ni monomi

= a2 - 5

sabrani sli~ni monomi

4

Uprosti. a) (-2x2 + 3x - 1) + (2x2 - 3x + 1) b) (5 + y - y2) + (-2 + 3y - 4y2)

Zbir dva suprotna monoma je nula.

5

Izra~unaj zbir polinoma P i Q ako je: Q= 5 - y2 + y3 a) P = 1 + 2y -2y2 + 4y3 Q = 5xy - x2 + 4 b) P = xy +2x2 - 3

6

Izra~unaj zbir S i T polinoma ako je: T = 4x2 + 5x - 2 a) S = x2 - 12x - 8 T = 6x2 - 5x + 3 b) S = -7x2 + 2x - 1 v) S = 9a - 7b + 11 T = -a - 8b - 24

7

Izra~unaj zbir F i G polinoma ako je: a) F = 1 x 2 − x − 1 G = −1 1 x 2 + 1 x + 2 2 3 2 2 3 3 3 1 1 b) F = − a − 2b G= a− b+ 4 4 2 4 v) F = 3t3 - t2 - 0,6t + 1,2 G = -t3 + 3,5 t2 - 2,7t + 4

8

Uprosti izraz i izra~unaj wegovu vrednost: a) (x3 - 5x2 + 3x - 2) + (-2x3 + 4x2 - 3x + 1) za x = –1 b) (-5a2 - 4ab + 7b + 2) + (a2 + 3ab - b - 3) za a = − 1 , b = 4 2

Polinom jedne promenqive ozna~avamo: P(y) = 1 + 2y -2y2 + 4y3 Da bi zapis bio kra}i, ~esto koristimo oznaku P = 1 + 2y -2y2 + 4y3.

Провери шта знаш 1. Saberi binome: a) -3x + 4 i 6x - 1

b) 4y2 + y i -y2 + 0,5y

2. Odredi zbir polinoma A = -5s2 + s - 8 i B = 2s2 - 3s - 5. 3. Uprosti izraz 4x2 - 2x - 6 + 3x - x2+ 1 i izra~unaj wegovu vrednost za x = -2.

67

Супротни полином. Одузимање полинома • супротни полином

1

Zbir polinoma S = 7x3 - 5 i T = 5 - 7x3 je: b) 10 v) 0 g) -10 a) 14x3 Koji je odgovor ta~an?

d) -14x3

Suprotan polinom Osnovna svojstva operacija s realnim brojevima va`e i za polinome. Svaki realan broj ima svoj suprotni broj i svaki monom ima svoj suprotni monom. Tako|e, svaki polinom P ima svoj suprotni polinom -P. Monomi poli­noma - P suprotni su monomima polinoma P. Na primer: Za polinom P = 3x2 - 2x suprotni polinom je -P = -3x2 + 2x. Znamo da je zbir dva suprotna realna broja, kao i dva suprotna monoma, nula. To svojstvo va`i i za polinome. P + (-P) = 0 (3x2 - 2x) + (-3x2 + 2x) = 0 Polinom suprotan polinomu P = 3x2 - 2x ozna~avamo i ovako: -P = -(3x2 - 2x) Zakqu~ujemo da je: -(3x2 - 2x) = -3x2 + 2x

2

3

68

Odredi suprotan polinom datom polinomu. a) R = -3a + 4 b) T = 1 x 4 − 2 2 v) L = b2 - 2b – 1 g) S = -10 - 4z + z2 - 18z3 Suprotan polinom polinomu -7y2 + 8y - 11 je: b) 7y2 - 8y - 11 v) 7y2 - 8y + 11 a) 7y2 + 8y - 11 Koji je odgovor ta~an?

Svakom monomu odredi suprotan monom. -R = 3a - 4

4

5

Svakom polinomu odredi suprotan polinom. a) R = -7y2 + 10y -1 b) A = 4x3 - x2 + 5x v) B = -25 - 9x + 11x2 - 2x3 g) C = 6xy + x2 -15

Mo`e{ da pi{e{:

-R = -(-7y2 + 10y - 1)

a) Polinomu R = 5x2 - 7 odredi suprotan polinom -R. b) Koliki je zbir polinoma R i -R? Neka su P i Q dva polinoma. Razliku polinoma P i Q ra~unamo tako {to polinomu P dodamo suprotan polinom polinomu Q, to jest P - Q = P + (- Q). Odredi razliku polinoma 3x - 8 i 2x + 5. Решење (3x - 8) - (2x + 5) = 3x - 8 - 2x - 5 = 3x - 2x - 8 - 5 = x - 13

va`i da je –(2x + 5) = –2x – 5 grupi{imo sli~ne monome i saberimo ih

6

Oduzmi polinome. a) -4a + 3 i 2a - 5

7

Izra~unaj razliku polinoma: a) 2 - 5x2 + 7x3 i 7 + x2 - 9x3 b) a4 - 3a2x + 3ax2 i -3a4 - 8a2x -ax2

8

Ako je A = -r2 + 2r i B = -3r2 + r, odredi A + B i A - B.

9

Izra~unaj zbir i razliku polinoma: a) 2,3x2 - 4,1x + 0,5 i -0,3x2 - 1,9x + 2,5 b) 2 1 y − 1 i − 1 y − 2 2 3 2 3

b) 7m2 + 3m i -4m2 + m

Провери шта знаш 1. Saberi polinome M= -2a + 4 i N = -3a + 1. 2. Odredi suprotne polinome polinomima A = a2 + 7a - 12 i B = -3b3 - b2 + b - 3. 3. Oduzmi polinome 6x2 - 3x + 8 i -2x2 + 2x - 2.

69

И то је математика Легенда о шаху [ah je jedna od najstarijih dru{tvenih igara. Pretpostavqa se da je igra sli~na dana{wem {ahu nastala u Indiji oko 500. godine. Za {ah se vezuju mnoge legende, a jedna od wih glasi ovako: Indijskom caru [eromu mnogo se dopala ova igra, pa je re{io da nagradi Seta, nau~nika koji je izumeo {ah. Setova `eqa bila je da mu se za prvo poqe {ahovske table da jedno zrno p{enice, za drugo dva, za tre}e ~etiri, za ~etvrto osam, za peto {esnaest i tako redom, to jest da mu se za svako od 64 poqa {ahovske table da duplo vi{e zrna nego za prethodno. Caru se Setova `eqa u~inila izuzetno skromnom, ali je ipak re{io da je ispuni. Koliko je zrna p{enice Set dobio? 1. poqe: 1 zrno 2. poqe: 2 zrna 3. poqe: 22 = 4 zrna 4. poqe: 23 = 8 zrna 5. poqe: 24 = 16 zrna 6. poqe: 25 zrna ... 64 poqe: 263 Ukupan broj zrna koje je trebalo Seta da dobije: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25+ . . . + 263 = 18 446 744 073 709 551 615 Ono {to car [erom nije mogao da predvidi jeste to da ne}e nikako mo}i da ispuni Setovu `equ jer je morao da mu da osamnaest kvadriliona ~etiri stotine ~etrdeset {est triliona sedam stotina ~etrdeset ~etiri biliona sedamdeset tri milijarde sedam stotina devet miliona pet stotina pedeset jednu hiqadu {est stotina petnaest zrna, a toliko zrna nije bilo u celom carstvu, kao ni na prostranstvima cele planete Zemqe. Nagrada za izumiteqa {aha stala bi u ambar ~ija visina iznosi 4 m, {irina 10 m, a du`ina tog ambara bila bi 300 000 000 000 m, {to je dva puta du`e od rastojawa od Zemqe do Sunca.

1

70

Ako bi jedna osoba saop{tila vest trojici prijateqa u roku od 10 minuta, a svaki od wih u narednih 10 minuta trojici svojih prijateqa i tako daqe, koliko }e osoba saznati za tu vest posle: a) 20 minuta b) pola sata v) jednog sata?

Crte` ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak.

ZAPAMTI

Степен и правила степеновања Proizvod istih ~inilaca kra}e zapisujemo u obliku stepena.

Na primer:

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a, za a ∈R, n ∈N

35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

n ~inilaca

Proizvod stepena istih osnova an ⋅ am = an + m, a ∈R, n, m ∈N

Na primer: 32 ⋅ 35 = 37

Koli~nik stepena istih osnova an : am = an - m, a ∈R, a ≠ 0, n, m ∈N, n > m

Na primer: 411 : 46 = 45

Stepen stepena n (am ) = am⋅n, a ∈R, n, m ∈N

Na primer: 3 (22) = 26

Stepen proizvoda (a ⋅ b)n = an ⋅ bn, a, b ∈R, n ∈N

Na primer: (2 ⋅ x)3 = 8x3

Stepen koli~nika n a = an , a, b ∈R, b ≠ 0, n ∈N b bn

Na primer: 3 3 = 33 = 27 4 43 64

()

()

Моном • Monom je proizvod broja i jedne ili vi{e promenqivih. Na primer: -2x, ab, 47y2… • Dva monoma su suprotna ako imaju jednak promenqiv deo, a koeficijenti su im suprotni brojevi. Na primer: monomu 9x suprotan monom je -9x. • Monomi su sli~ni ako imaju jednak promenqiv deo. Na primer: monomi 14x2 i 3,2x2 su sli~ni monomi.

Полином • Zbir nesli~nih monoma je polinom. Na primer: –2x2 + 5x + 7 • Svaki polinom P ima svoj suprotan polinom –P. –P = –7x2 + 3x + 2 Na primer: P = 7x2 – 3x – 2 71

Многоугао Svojstva mnogouglova, posebno pravilnih, od davnina su kori{}ena u projektovawu i izgradwi mnogih objekata.

Kula Neboj{a, Beograd

Olimpijski bazen, Peking

^ikago

Pravilni mnogouglovi koriste se u dizajnirawu: industrijskih alata, posu|a, nakita, tekstila i sli~nog.

Svojstva prekrivawa ravni pravilnim mnogo­uglo­vima iskori{}ena su za poplo~avawe podova i zidova.

I u prirodi nalazimo na oblike pravilnih mnogouglova.

Oblik saobra}ajnog znaka STOP zbog svoje va`nosti razlikuje se od ostalih znakova i ima oblik pravilnog osmougla. 72

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • mnogouglu • stranicama, uglovima, dijagonalama mnogougla • vrstama mnogougla • pravilnim mnogouglovima • obimu i povr{ini mnogougla.

2

3

Koliko osa simetrije ima: a) jednakostrani~ni trougao

b) kvadrat

v) pravougaonik?

Centralnosimeti~an ~etvorougao je: a) pravougaonik

b) kvadrat

v) romb

g) jednakokraki trapez

Koji su odgovori ta~ni? 4

Centar opisanog kruga trougla je presek: a) simetrala uglova trougla b) simetrala stranica trougla v) te`i{nih du`i trougla Koji je odgovor ta~an?

5

Kru`nicu mo`e{ upisati u: a) pravougaonik

b) kvadrat

v) romb

Koji su odgovori ta~ni?

6

Kru`nicu mo`e{ opisati oko: a) pravougaonika

b) kvadrata

v) romba

Koji su odgovori ta~ni?

7

Izra~unaj polupre~nik opisanog kruga jednakostrani~nog trougla ako je stranica a = 6 cm.

73

Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла • многоугао • врсте многоуглова • број дијагонала из једног темена • укупан број дијагонала 1

Kojim su slovima obele`eni: a) konveksni mnogouglovi

А

b) nekonveksni mnogouglovi?

Б

Konveksan mnogougao

В

Nekonveksan mnogougao Г

Д

Ђ

Mnogougao, stranice mnogougla, vrste mnogo­uglova Deo ravni ograni~en prostom zatvorenom izlomqenom linijom sa samom tom linijom jeste mnogougao. Zajedni~ke ta~ke du`i koje ~ine izlomqenu liniju nazivamo temena mnogougla, a te du`i stra­nice mno­gougla. U sedmom razredu u~i}emo samo o konvek­ snim mnogo­uglovima. Mnogougao ~ija su temena A, B, C, D i E, kao na slici, zapisujemo ABCDE. Stra­ ni­ce mnogougla ABCDE na slici je­su du`i AB, BC, CD, DE i EA. Susedna temena mnogougla jesu krajwe ta~­ke jedne stranice. Svako teme ima dva susedna temena. Za teme A mnogo­ ugla na slici susedna teme­na su B i E.

E D

A

B

C

Dve stranice mnogougla su susedne ako imaju zajedni~ko teme. Za stranicu AB mnogougla na slici susedne stranice su BC i EA. 74

Prosta zatvorena izlomqena linija je linija ~ije nesusedne stranice nemaju zajedni~kih ta~aka. C D A B linija ABCD je prosta C D A B linija ABCD nije prosta

Mnogougao sa tri stranice je trougao, sa ~etiri stranice ~etvo­ro­ugao, sa pet stranica petougao, sa {est {estougao… Na primer:

trougao 2

~etvorougao

petougao

{estougao

Dat je mnogougao ABCDEF.

F

E

a) Napi{i susedna temena temenu C. A

b) Napi{i nesusedna temena temenu C.

D

v) Napi{i susedne stranice stranici DE.

B

C

Dijagonale mnogougla

E

Du` ~ije su krajwe ta~ke nesusedna temena mnogougla nazivamo dijagonala mnogougla.

D

A

Dijagonala mnogougla ABCDE na slici je du` AC.

3

sedmougao

B

C

Nacrtaj: a) petougao ABCDE

b) {estougao ABCDEF

v) osmougao ABCDEFGH

Nacrtaj sve dijagonale iz temena B tih mnogouglova. Koliko ih ima? Na koliko je trouglova tim dijagonalama podeqen svaki mnogougao?

Broj dijagonala mnogougla iz jednog temena Svako teme proizvoqnog mnogougla ima dva susedna temena, a broj nesusednih temena zavisi od broja stranica mnogougla. Iz jednog temena mo`emo povu}i dijagonale samo do nesusednih temena. D

D C

A

E

B B

F

C

E A

F D

A

C B

E

G

D

A B

C

Na crte`ima vidimo da broj dijagonala mnogougla iz jednog temena zavisi od broja stranica mnogougla. U mnogouglu koji ima n stranica za svako teme posto­ je n – 3 dijagonale. Ako sa dn ozna~imo broj dijagonala mnogougla iz jednog te­ mena, pi{emo: dn = n – 3. Na primer, za petougao va`i: d5 = 5 – 3 = 2. 75

4

5

Koliko dijagonala iz jednog temena ima: a) desetougao

b) dvadesetougao

d10 = 10 – 3

v) dvadesetpetougao?

Nacrtaj petougao ABCDE i sve wegove dijagonale. Koliko ih ima?

Iz svakog temena petougla mogu se povu}i po 2 dijagonale. To bi bile dijagonale: AC i AD, BD i BE, CA i CE, DA i DB, EB i EC. Ukupno bi bilo 5 ⋅ 2 = 10 dijagonala. Vidimo da se me|u ovim dijagonalama svaka ponavqa dva puta, na primer AD i DA, AC i CA itd. Zna~i broj 10 treba podeliti brojem 2 da bi se dobio ukupan broj dijagonala petougla.

Ukupan broj dijagonala U mnougouglu sa n temena postoji n – 3 dijagonale iz jednog temena. U prethodnom za­datku videli smo da za svaka dva nesusedna temena postoji samo jedna dijagonala. Ukupan broj dijagonala mnogougla ra~unamo tako {to broj temena pomno`imo brojem dijagonala iz svakog temena i dobijeni proizvod podelimo sa 2. n ⋅ (n − 3) Dakle, ukupan broj dijagonala u mnogouglu sa n stranica je: Dn = 2 5 ⋅ (5 − 3) =5 Na primer, ukupan broj dijagonala za petougao iznosi: D5 = 2 6

Izra~unaj koliko dijagonala ima dati mnogougao: a) sedmougao

b) osmougao

v) dvanaestougao

D7 =

7 ⋅ (7 − 3) 7 ⋅ 4 = = 14 2 2

Broj dijagonala povu~enih iz jednog temena u mnogouglu sa n temena

dn = n – 3 Ukupan broj dijagonala mnogougla sa n temena

Dn =

n ⋅ (n − 3) 2

Провери шта знаш 1. Nacrtaj {estougao ABCDEF. Za stranicu BC napi{i susedne stranice. Za stranicu CD napi{i nesusedne stranice. 2. Koliko dijagonala iz jednog temena i koliko ukupno dijagonala ima mnogougao sa: a) 15 stranica

76

b) 30 stranica?

Збир углова многоугла

1

• унутрашњи углови многоугла

• спољашњи углови многоугла

• збир унутрашњих углова многоугла

• збир спољашњих углова многоугла

Izra~unaj ugao a na slici. A α

a)

B

b)

Zbir uglova u trouglu je 180°, a u ~etvorouglu 360°.

75° α A

B

62°

45°

75°

C

130° D

C

E

2

a) Izra~unaj uglove DEA i EAB na slici.

A

40°

b) Izra~unaj.

120° D

ABC + BCD + CDE + DEA + EAB B

100°

30°

70° C

Uglovi mnogougla. Zbir unutra{wih uglova mnogougla

E

Konveksne uglove ~ija su temena istovremeno i temena mno­ gougla, a kraci sadr`e susedne stranice, nazivamo unutra­ {wi uglovi mnogougla.

D

A

Unutra{wi uglovi petougla ABCDE na slici su: ABC, BCD, CDE, DEA i EAB

B

C

Petougao na slici podeqen je dijagonalama iz temena A na tri trougla: ABC, ACD i ADE. E

EAB = EAD + DAC + CAB D

A

B

C

Zbir uglova svakog trougla je 180°. Ozna~imo sa S5 zbir unu­tra­ {wih uglova datog petougla. S5 = 3 ⋅ 180° = 540° 77

Ako mnogougao ima n stranica, onda se on mo`e podeliti dijagonalama iz jednog temena na n – 2 trougla. Ozna~imo sa Sn zbir uglova mnogougla sa n temena. Zbir uglova u svakom trouglu je 180°, {to zna~i da je zbir uglova u mnogouglu sa n stranica jednak: Sn = (n – 2) ⋅ 180°

3

a) {estougla

4

Sn = (n – 2) ⋅ 180°

Izra~unaj zbir uglova: b) sedmougla

v) dvanaestougla

S6 = (6 – 2) ⋅ 180° = 4 ⋅ 180°

a) Izra~unaj ugao a petougla ABCDE na slici. b) Za svaki unutra{wi ugao izra~unaj i nacrtaj spoqa{wi ugao. A α

83° E B 109°

126° C

Prvi korak Izra~unaj zbir unutra{wih uglova petougla S5. Drugi korak Izra~unaj ugao a tako da va`i: a + 109° + 126° + 112° + 83° = S5

112° D

Zbir spoqa{wih uglova mnogougla Isto kao i kod trougla i ~etvorougla, spoqa{wi ugao mnogo­ ugla je onaj ugao koji je uporedan unutra{wem uglu.

Uglovi a i a’ su uporedni uglovi.

Spoqa{wi uglovi petougla ABCDE na slici osen~eni su cr­ venom bojom, a unutra{wi zelenom bojom. Zbir spoqa{weg i unutra{weg ugla kod svakog temena iznosi 180°. Ozna~imo zbir spoqa{wih uglova sa S5’.

a’ a

Zbir S5’ dobijamo kada od zbira svih spoqa{wih i unu­tra­ {wih uglova, 5 ⋅ 180° , oduzmemo zbir unutra{wih uglova S5. S5’ = 5 ⋅ 180° – S5 S5’ = 5 ⋅ 180° – 3 ⋅ 180° = 360° Zbir S5’ dobijamo kada od zbira svih spoqa{wih i unu­tra­ {wih uglova, 5 ⋅ 180° , oduzmemo zbir unutra{wih uglova S5. S5’ = 5 ⋅ 180° – S5 S5’ = 5 ⋅ 180° – 3 ⋅ 180° = 360° 78

E D

A C B

Mnogougao sa n stranica ima n spoqa{wih uglova. Svaki od wih uporedan je unutra{wem susednom uglu. Zbir spoqa{wih uglova mnogougla dobijamo tako {to od proizvoda n ⋅ 180° oduzmemo zbir unutra{wih uglova mnogougla Sn. Sn’ = n ⋅ 180° – Sn Sn’ = n ⋅ 180° – (n – 2) ⋅ 180° Sn’ = n ⋅ 180° – (n ⋅ 180° – 2 ⋅ 180°) Sn’ = n ⋅ 180° – n ⋅ 180° + 2 ⋅ 180° Sn’ = 2 ⋅ 180° Sn’ = 360°

5

Izra~unaj ugao a. Prvi korak 72° α

Izra~unaj spoqa{wi ugao koji odgovara unutra{wem uglu od 95°. 95°

28°

Drugi korak Izra~unaj ugao a tako da zbir spoqa{wih uglova bude 360°.

62°

Zbir unutra{wih uglova mnogougla sa n stranica

Sn = (n – 2) ⋅180° Zbir spoqa{wih uglova mnogougla sa n stranica

Sn' = 360°

Провери шта знаш 1. Koliki je zbir unutra{wih uglova mnogougla ako je: a) n = 16

b) n = 20?

Koliki je zbir spoqa{wih uglova svakog od datih mnogouglova?

79

Правилни многоуглови

1

• правилни многоуглови

• осе симетрије правилних многоуглова

• спољашњи угао правилног многоугла

• карактеристични троугао

• унутрашњи угао правилног многоугла

• централни угао

Od jednakostrani~nih trouglova sastavi {estougao kao {to je zapo~eto. Koliko je trouglova potrebno? Koliki su unutra{wi uglovi tog {estougla? Da li su stranice tog {estougla jednake?

Pravilan mnogougao Nau~ili smo da jednakostrani~ni trougao ima jednake uglove. Od ~etvorouglova sa­ mo kvadrat ima jednake stranice i jednake uglove. Ka`emo da su jednakostrani~ni trougao i kvadrat pravilni mnogouglovi sa tri, odnosno ~etiri stranice. Pravilni mnogougao je mnogougao koji ima jednake stranice i jednake uglove. Pravilni mnogouglovi: a α

α

α a

a α

jednakostrani~ni trougao 2

a

a

α

a

a α

a

α

a

a) petougla

α

a

a

a

α

kvadrat

Izra~unaj unutra{wi ugao pravilnog:

α

α

α a

α

α

α

α

α

a

a a

pravilni petougao

α

Zbir uglova u pravilnom petouglu iznosi 540°. a = 540° : 5

v) osmougla

Spoqa{wi ugao pravilnog mnogougla Svi spoqa{wi uglovi pravilnog mnogougla su jednaki. a' = 180° – a Kako je zbir spoqa{wih uglova bilo kog mnogougla 360°, spoqa{wi ugao mo`emo da izra~unamo: α' = 360° n 80

a

pravilni {estougao

S5 = 540°

b) {estougla

a

α

a

α α'

3

Koliki je spoqa{wi ugao mnogougla koji ima 30 stranica?

4

Spoqa{wi ugao pravilnog mnogougla je 18°. Koliko mnogougao ima stranica?

5

Unutra{wi ugao pravilnog mnogougla je 156°. Koliko taj mnogougao ima stranica?

6

18° = 360° : n

Prvo izra~unaj spoqa{wi ugao. C

Ta~ka O je presek simetrala uglova jednakostrani~nog trougla na slici. Da li su trouglovi OAB, OBC, OCA podudarni? Za{to? Da li je ta~ka O i presek simetrala stranica? Izra~unaj ugao AOB.

O A

7

Ta~ka O je presek simetrala uglova kvadrata na slici. Da li su trouglovi OAB, OBC, OCD, ODA podudarni? Za{to? Da li je ta~ka O presek simetrala stranica kvadrata? Izra~unaj ugao AOB.

30° 30°

B

a C

D O

45° 45° A a

B

Svojstva pravilnih mnogouglova U prethodnim razredima nau~ili smo da se simetrale stranica i si­me­ tra­le uglova jednakostrani~nog trougla seku u jednoj ta~ki. Ta ta~ka je centar i opisane i upisane kru`nice trougla. Isto tako, simetrale stranica i simetrale uglova kvadrata seku se u jed­ noj ta~ki. Ta ta~ka je centar i opisane i upisane kru`nice kvadrata. Simetrale i stranica i uglova pravilnog petougla, pravilnog {estougla, sedmougla i uop{te pravilnog mnogougla sa n stranica seku se u jednoj ta~ki. Ta ta~ka je centar opisane i upisane kru`nice tog mnogougla. Naj~e{}e tu ta~ku obele`avamo sa O i nazivamo je centar mnogougla. Polupre~nik opisane kru`nice je rastojawe od centra O do temena mno­ go­ugla, a polupre~nik upisane kru`nice je rastojawe od centra O do stra­nice mnogougla.

ro

O ru

O ro

ru

O ro

O ro

ru

ru

Pravilni mnogouglovi su osnosimetri~ni i centralnosimetri~ni. 81

8

Koliko osa simetrije ima: a) jednakostrani~ni trougao

b) kvadrat

v) pravilan petougao

g) pravilan {estougao?

Karakteristi~an trougao pravilnog mnogougla Pravilan mnogougao mo`emo podeliti na podudarne jednakokrake trouglove. Tih trouglova ima onoliko koliko ima stranica mnogougla. Osnovice tih trouglova su stranice mnogougla, a kraci su polupre~nici opisane kru`nice mnogougla. Na primer, jednakostrani~ni trougao ima tri takva trougla: OAB, OBC, OCA, kvadrat ~etiri trougla: OAB, OBC, OCD, ODA, pravilan petougao pet i tako daqe. Jedan od tih trouglova naziva se karakteristi~an trougao mnogougla, na primer trougao OAB. Ugao pri vrhu tog trougla naziva se centralni ugao mnogougla i naj~e{}e ga obele`avamo sa j. Kako je zbir svih susednih uglova kod temena O jednak 360°, ugao j }emo izra~unati tako {to }emo 360° podeliti brojem strani­ ca mnogougla. C

D

D a A

O ϕ a

a a B

A

a

C E

O

a

ϕ

B

a

C

O ϕ A

B

ϕ = 360° = 120° ϕ = 360° = 90° ϕ = 360° = 72° 3 4 5 Centralni ugao j pravilnog mnogougla sa n stranica ra~unamo: ϕ = 360° n D

Centralni ugao pravilnog mnogougla jednak je spoqa{wem uglu, j = a'. E

C

O ϕ α’

9

A

B

Izra~unaj centralni ugao i spoqa{wi ugao pravilnog: a) {estougla

b) osmougla

Провери шта знаш 1. Izra~unaj unutra{wi ugao pravilnog desetougla. 2. Izra~unaj centralni ugao pravilnog dvanaestougla.

82

Конструкција правилних многоуглова • конструкција правилног многоугла ако је: - дат полупречник описаног круга - дата страница многоугла

1

Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. pravilan mnogougao

trougao ~etvorougao petougao {estougao osmougao devetougao

unutra{wi ugao

108°

spoqa{wi ugao

72°

centralni ugao

72°

broj osa simetrije

2

5

C

Konstrui{i krug polupre~nika 3 cm. a) Podeli krug polupre~nicima na tri podudarna dela, kao {to je prikazano na crte`u. Spoj krajeve polupre~nika. Koji se mnogougao dobija?

A

120° O 120°

b) Podeli krug polupre~nicima na ~etiri podudarna dela. Spoj krajeve polupre~nika. Koji se mnogougao dobija?

3

Polupre~nik kru`nice je r = 3 cm. U kru`nicu upi{i pravilan: a) {estougao

4

5

b) osmougao.

Koristi lewir, {estar i uglomer i nacrtaj pravilan petougao ako je dat polupre~nik opisane kru`nice ro = 2,5 cm.

B

Uputstvo za deo zadatka pod b) Polupre~nici grade ugao od: 360° : 4 = 90°

Podeli krug polupre~nicima na {est, odnosno osam jednakih delova. ­Prethodno izra~unaj centralni ugao.

Prvo konstrui{i kru`nicu k(O, ro = 2,5 cm). Koriste}i uglomer, nacrtaj centralni ugao petougla od 72°.

Konstrui{i: a) kvadrat stranice a = 4 cm b) jednakostrani~ni trougao stranice a = 4 cm 83

Konstrukcija pravilnog mnogougla ako je data du`ina stranice Na primeru konstrukcije jednakostrani~nog trougla i kvadrata u zadatku 5 videli smo da je pravilan mno­­gougao s da­tim brojem stranica odre|en ako je po­znata du­`i­na stranice.

Podseti se kako se konstrui{e ugao od 135°.

Neki pravilni mnogouglovi, na primer jed­nako­stra­ ni~ni trougao, kvadrat, pravilan {esto­ugao, pravi­ lan osmo­ugao i tako daqe, mogu da se kon­strui{u uz po­mo} lewira i {estara. Pravilan mno­gougao naj~e{}e konstrui{emo kori­ ste­}i ka­rakteristi~ni trougao i svojstvo opisane kru`nice mnogougla.

O

Poka`imo kako se mo`e konstruisati pravilan mno­ gougao ako je data du`ina stranice. Na primer, konstrui{imo, koriste}i lewir i {es­ tar, pravilan osmougao ~ija je stranica du`ine 2 cm.

45° y

x A

Prvi korak Kon­strui{emo stranicu AB du`ine 2 cm i unu­tra­ {we uglove xAB = 135° i ABy = 135°.

67°30' 2 cm

Drugi korak Kon­strui­{i­mo simetrale unutra{wih uglova. Wihov presek odre­­|uje centar mnogougla O. Dobili smo karakte­risti~ni jednakokraki trougao ABO, ~iji je ugao pri vrhu 45°.

O

Tre}i korak Kraci OA i OB jesu polupre~nici opisane kru`ni­ce osmo­ugla. Nacrtajmo tu kru`nicu. Prenesimo i na­do­­ ve­`imo stranicu a = 2 cm mnogougla du` kru`nice kao {to je prikazano na crte`u. Stra­nicu a prene}emo ta~­no osam puta i dobi}emo tra`eni mnogougao.

Pravilan mnogougao kojem je data stranica mo`emo konstruisati i tako {to }emo prvo konstruisati stra­nicu mnogougla i na woj unutra{we uglove, kao {to je prikazano na slici. Zatim na drugi krak unu­ tra{weg ugla nadovezujemo slede}u stranicu. Postu­ pak nastavqamo konstrukcijom unu­tra{weg ugla kod druge stranice i tako daqe, kao {to je prikazano na primeru osmougla stranice 1,5 cm.

84

B

45°

x

y

67°30' B

A

135°

135°

135°

135°

135°

135° 135°

135° 1,5 cm

6

Kru`nica na slici jeste opisana kru`nica pravilnog mnogougla, a AB je wegova stranica. Koji je to mnogougao? Nacrtaj ga u svesci.

k

O 40°

A

Vodi ra~una o tome da {to preciznije konstrui{e{ mnogouglove. Zbog nepreciznosti crtawa ili konstruisawa uglova mo`e se dogoditi da sve stranice pravilnog mnogougla ne budu jednake.

B

7

Konstrui{i pravilan {estougao stranice a = 2,5 cm.

8

Konstrui{i pravilan osmougao ako je stranica a = 2,5 cm.

Karakteristi~ni trougao je jednakostrani~an jer je centralni ugao jednak 60°.

Karakteristi~ni trougao je ­jednakokraki trougao ~iji je ugao pri vrhu 45°. Pogledaj postupak opisan na prethodnoj strani.

Провери шта знаш 1. Konstrui{i jednakostrani~ni trougao ako je polupre~nik opisane kru`nice ro = 3,5 cm. 2. Konstrui{i kvadrat ako je polupre~nik: a) opisane kru`nice ro = 2 cm

b) upisane kru`nice ru = 2 cm

3. Koriste}i uglomer, nacrtaj pravilan devetougao ako je polupre~nik opisane kru`nice ro = 3 cm.

85

Обим и површина многоуглова • обим многоугла

• површина правилног многоугла

• обим правилног многоугла

• површина многоугла у који се може уписати кружница

• површина многоугла 1

Izmeri stranice i izra~unaj obim mnogougla na slici. b b

b

a

a a

a

2

a

a

a

a a

a

D

^etvorougao ABCD podeqen je dijagonalom AC na dva trougla. Izmeri du`inu dijagonale AC i izra~unaj povr{inu ~etvorougla.

14 mm

C 17 mm

A

B

Obim mnogougla. Povr{ina mnogougla U {estom razredu nau~ili smo da je obim trougla, odnosno ~e­tvo­ rougla, jed­nak zbiru du`ina svih wegovih stranica. Isto tako, obim petougla, {estougla, sedmougla i uop{te mnogo­ ugla sa n stra­nica jednak je zbiru du`ina wegovih stranica. d d c e e d b c c b a b f a a a b O=a+b+c O=a+b+c+d O=a+b+c+d+e O=a+b+c+d+e+f Svaki mnogougao mo`emo razlo`iti na trouglove na vi{e na~ina. Na sli­kama su prikazana dva na~ina razlagawa petougla. Sabira­ wem po­vr­{ina svih trouglova na koje je razlo`en mnogougao do­ bija se povr{ina mnogougla. drugi na~in

prvi na~in P1 P2

P1 P3

P = P1 + P2 + P3 86

P

P2

P5 P4 P3

P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6

3

D

Razlo`i na trouglove, izmeri potrebne du`i u milimetrima i izra~unaj povr{inu mnogougla na slici.

c C

d

b A

a

B

Polupre~nik upisane kru`nice ~etvorougla ABCD je ru = 13 mm. Na osnovu podataka sa slike izra~unaj povr{inu ~etvorougla. Решење ^etvorougao na slici razlo`en je na ~etiri trougla: ABO, BCO, CDO i DAO. Wegova povr{ina jednaka je zbiru povr{ina tih trouglova. PABO = 33 ⋅ 13 mm2 = 429 mm2 = 214,5 mm2 A 2 2 33 mm PBCO = 24 ⋅ 13 mm2 = 156 mm2 2 ru 30 mm Or PCDO = 21⋅ 13 mm2 = 136,5 mm2 B u 2 ru ru PDAO = 30 ⋅ 13 mm2 = 195 mm2 D 24 mm 2 2 P = PABO + PBCO + PCDO + PDAO = 702 mm C 21 mm

Povr{ina mnogougla u koji se mo`e upisati kru`nica Ako se u mnogougao mo`e upisati kru`nica, onda se mnogougao mo`e razlo`iti na trouglove ~ija su temena susedna temena mnogougla i cen­ tar upisane kru`nice. U tom slu~aju visina svakog trougla koja odgovara stranici mnogougla jednaka je polupre~niku upisane kru`nice. Povr{ina mnogougla jednaka je zbiru povr{ina tih trouglova. a ⋅ ru b ⋅ ru c ⋅ ru d ⋅ ru e ⋅ ru + + + + 2 2 2 2 2 a + b + c + d + e P= ⋅ ru 2 P = O ⋅ ru 2 P=

4

Izra~unaj povr{inu mnogougla na slici. a)

1,8 cm

b)

3,3 cm

3,7 cm 3,3 cm

O

3,3 cm

3,3 cm

ru = 1,2 cm

1,3 cm O 3,7 cm

1,8 cm

ru = 1,2 cm

87

Obim i povr{ina pravilnog mnogougla Obim svakog mnogougla jednak je zbiru du`ina wegovih stranica. U prethodnim lekcijama videli smo da se svaki pravilan mnogougao mo`e razlo`iti na podudarne jednakokrake trouglove. Osnovice tih trouglova jesu stranice mnogougla, a kraci su jednaki polupre~nicima opisane kru­ `nice, to jest vrh trougla jeste centar opisane, odnosno upisane kru`nice. a a a a a a a

a

a

a ru

ru

a

ru

a

a

ru

a

a

a

a

O=3⋅a a ⋅r P = 3⋅ u 2

O=4⋅a a ⋅r P = 4⋅ u 2

O=5⋅a a ⋅r P = 5⋅ u 2

O=6⋅a a ⋅r P = 6⋅ u 2

Obim pravilnog mnogougla sa n stranica je: O = n ⋅ a, Povr{ina pravilnog mnogougla sa n stranica je: P = n ⋅

a

a ⋅ ru 2

Polupre~nik upisane kru`nice jednakostrani~nog trougla stranice a je ru = a 3 , odakle sledi da je povr{ina tog trougla: 6 2 a ⋅ ru P = 3⋅ P = 3⋅ a ⋅ a 3 P=a 3 2 2 6 4 Polupre~nik upisane kru`nice kvadrata stranice a je ru = a, odakle 2 sledi da je povr{ina kvadrata: a ⋅r P = 4⋅ u P = 4⋅ a ⋅ a P = a2 2 2 2 Pravilan {estougao sastoji se iz {est podudarnih jednakostrani~nih trouglova, odakle sledi: 2 P = 6⋅ a 3 4

5

2 P = 3⋅ a 3 2

Izra~unaj povr{inu pravilnog mnogougla na slici. a)

b)

2 cm

v)

1,8 cm

1,2 cm

Провери шта знаш 1. Nacrtaj proizvoqan {estougao. Razlo`i ga na pravougaonike i trouglove. Izmeri potrebne elemente i izra~unaj obim i povr{inu. 2. Polupre~nik upisanog kruga romba je ru = 2 cm i stranica a = 3 cm. Izra~unaj povr{inu romba. 88

И то је математика Poplo~avawe podrazumeva prekrivawe ravne povr{ine mn­ ogouglovima, bez praznina, s tim da se oni ne preklapaju i da imaju jedno zajedni~ko teme. Pitagorejci su prou~avali poplo~avawe ravni istoimenim pravilnim i podudarnim mnogouglovima. Znali su da je to mogu}e samo ako se oko jedne ta~ke pore|aju ~etiri kvadrata, {est jednakostrani~nih trouglova ili tri pravilna {estougla.

E{er Gu{teri

1

2

Osen~ena figura na slici nastala je tako {to je od kvadrata odrezan trougao s leve strane i na kvadrat dodat podudaran trougao sa desne strane. Kvadrat i osen~ena fig­ ura imaju jednake povr{ine. Slagawem figura podudarnih dobijenoj figuri mo`emo prekriti ravan. U svesci nacrtaj kvadratnu mre`u dimenzija 2 × 3, kao na slici. U kvadratnoj mre`i nacrtaj dobijene figure tako da pokrije{ celu mre`u.

Na kvadratu izre`i trougao s desne strane i dodaj na ga na levu stranu kvadrata (trouglovi oivi~eni plavom bojom na crte`u). Isti postupak primeni na kvadratu odozgo nadole, kao {to je prikazano na crte`u (trouglovi oivi~eni crvenom bojom). Dobi}e{ figuru ~ija je povr{ina jednaka povr{ini datog kvadrata (osen~ena figura na crte`u). U svesci nacrtaj kvadratnu mre`u dimenzija 3 × 4. U kvadratnoj mre`i nacrtaj ­figure kao na slici tako da pokrije{ celu mre`u.

89

3

4

5

Od kvadrata napravi figure kao {to je prikazano na crte`u. U svesci nacrtaj kvadratnu mre`u dimenzija 3 × 4. U kvadratnoj mre`i nacrtaj tre}u figuru tako da pokrije{ celu mre`u.

Od dva jednakostrani~na trougla napravi figuru kao {to je prikazano na crte`u. U svesci nacrtaj trougaonu mre`u, kao {to je zapo~eto. U toj mre`i nacrtaj dobi­ jene figure tako da pokrije{ celu mre`u.

Od jednakostrani~nog trougla napravi figuru kao {to je prikazano na crte`u. U svesci nacrtaj trougaonu mre`u i u woj nacrtaj dobijene figure.

УМЕТНОСТ И МАТЕМАТИКА Maurucijus Kornelijus E{er (ro|en u Holandiji 1898, umro 1972. godine) stvorio je jedinstvena i fascinantna dela pro`eta mnogim matemati~kim idejama. E{er postaje poznat pedesetih godina XX veka sa svojom prvom velikom izlo`bom, posle koje do`ivqava svetsku popularnost. Me|u velikim qubiteqima wegovih dela jesu matemati~ari, koji u wegovim delima prepoznaju izuzetnu vizuelizaciju nekih matemati~kih ­principa. Izuzetan doprinos E{erovih dela jeste u eksperimentisawu s matemati~kim problemima prekrivawa ravni. E{er je dizajnirao vi{e od stotinu razli~itih oblika prekrivawa ravni. Mnoga od tih dela danas su ~uvene slike. 90

ZAPAMTI

Многоугао Mnogougao ABCDEF

E

F спољашњи угао

страница D

A

унутрашњи угао

дијагонала B

C

Многоугао са n страница Broj dijagonala iz jednog temena

Zbir unutra{wih uglova

Ukupan broj dijagonala n ⋅ (n − 3) Dn = 2 Zbir spoqa{wih uglova

Sn = (n – 2) ⋅ 180°

Sn' = 360°

Obim O = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6

Povr{ina P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6

dn = n – 3

a6

a5

a2

P1 P6

P5 a4 P3 P4 a3 a2

a4

a1

a5

a6 a1 P2

a3

Правилан многоугао Mnogougao je pravilan ako ima jednake stranice i jednake uglove. a

a 60°

a

a

a 90°

a

jednakostrani~ni trougao

a a

a

a

108°

a

a

a

kvadrat

pravilni petougao

a

a

a 120° a

a

pravilni {estougao

Правилан многоугао са n страница Unutra{wi ugao (n − 2) ⋅ 180° α= n

Spoqa{wi ugao α' = 360° n

Обим и површина неких правилних многоуглова jednakostrani~ni trougao

kvadrat

pravilan {estougao

O = 3a

O = 4a

O = 6a

2 P=a 3 4

P = a2

2 P = 6⋅ a 3 4

91

Цели и рационални алгебарски изрази (други део) Pojam algebra nastao je u staroindijskoj matematici i ozna~avao je ve{tinу ra~unawa nepoznatim veli~inama. Pod pojmom aritmetika podrazumevala se ve{tina ra~unawa poznatim veli~inama. Algebra je grana matematike koja prou~ava operacijе (algebarskе operacije) sa svojstvima istim kao {to su svojstva operacijа s brojevima. Уmesto brojeva, у алгебри се кoriste simboli ili slova. Preciznije речено, algebra je grana matematike koja истражује algebarske strukture (grupa, prsten, poqe…).

Ahmesov papirus

Prvi poznati zapisi o алгебарским problemima настали су пре 4 000 godina. Drevni Egip}ani uglavnom su se bavili re{avawem linearnih jedna~иna, a vavilonski matemati~ari re{avawem linearnih и kvadratnih jedna~ina, pa ~ak i решавањем једначина tre}eg stepena. Podaци o tome пронађени су na Ahmesovom papirusu, koji poti~e iz 1600. godine pre nove ere. Glinena plo~ica na kojoj se nalaze zapisi Pitagorinih trojki brojeva. Pretpostavqa se da je nastala u periodu od 1900. do 1600. godine pre nove ere.

Smatra se da je anti~ki matemati~ar Diofant (preтpostavqa se da je `iveo u III veku na{e ere) za~etnik algebre kakvu danas poznajemo. Napisao je delo Aritmetika у trinaest tomova, od kojih je, na`alost, sa~uvano samo prvih {est. Za razliku od svih својих prethodnika, on је za re{avawe algebarskih problema upotrebqavaо simboli~ki zapis. Diofant je jedna~inu x3 – 2x2 + 10x – 1 = 5 zapisivao ovako: ΚΥ α̅ς ι̅   ΔΥ β̅ Μ  α̅ ἴσ Μ  ε̅

Gabrijel Kramer

92

Vizantijski imperator Justinijan zatvorio je 529. godine sve anti~ke filozofske {kole, proglasiv{i ih jereti~kim. Mnogi tada{wi nau~nici одлазе na Istok, naro~ito u Persiju, gde su nastavili с radом. U VIII veku Arabqani iz severne Afrike osvојили су [paniju. Захваљујући њима, Evropa је otkriлa dostignu}a matematike iz anti~kog доба. Tokom XII veka pojavили су se prvi prevodi klasi~nih anti~kih dela sa arapskog na latinski језик, {to је predstavqaло osnovu za nastanak moderne algebre. Weni predstavnici јеsu Gotfrid Lajbnic, Gabriјel Kramer i Rene Dekart.

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • mno`ewu monoma monomom • mno`ewu polinoma polinomom • kvadratu binoma • razlici kvadrata • rastavqawu polinoma na ~inioce.

(4 )

1

Izra~unaj: a) (-5)2

2

Izra~unaj. a) 200 ⋅ 0,22

3

Izra~unaj. a) 3x + 5x - 2x

4

Sredi polinom x2 - 3x + 3x2 - 7x + 10 - x + 7 po opadaju}im stepenima.

5

Sredi polinom -2a - 5 - 4a2 + 4a - 2a2 + 9 po rastu}im stepenima.

6

b) 13

v) 1

2

( 2)

b) 42 ⋅ − 1

4

b) 2x2 - 7x2 + x2

Dati su polinomi A = 4x - 3x2 - 1 i B = - 3x2 - 2x + 8. Odredi: a) A + B b) A - B.

93

Множење монома мономом. Квадрат и куб монома • множење монома бројем • множење монома мономом • квадрат монома • куб монома 1

Na osnovu modela izra~unaj pod b) kao {to je ura|eno pod a). a) 2 ⋅ 3x

3x

b) 4 ⋅ 2x

3x

Podseti se kori{}ewa modela i pogledaj re{en primer na strani 62.

2x

2 ⋅ 3x = 3x + 3x = 6x

Mno`ewe monoma brojem Proizvod broja i monoma ra~una se, na primer, na slede}i na~in: -8 ⋅ 4x = -32x 0,5a ⋅ 3 = 0,5 ⋅ 3 ⋅ a = 1,5a 2

2

2

Pomno`iti monom brojem zna~i pomno`iti koeficijent monoma tim brojem.

2

3

94

Pomno`i monom brojem. b) -0,5 ⋅ 5ab a) 1,2 ⋅ 5x

v) 4y ⋅ 6

g) 16x ⋅ 2

d)

|) 7 ⋅ (-0,1st)

e) -4 ⋅ (-0,2xyz)

`) 3xy ⋅ 2 3

Pomno`i. a) 0,5 ⋅ x ⋅ y4 ⋅ 100



b) a2 ⋅ 24 ⋅ b ⋅ 1 4

v) 0,4 ⋅ m3 ⋅ n3 ⋅ 8

Za mno`ewe va`i svojstvo komutativnosti.

Pomno`i monome 3x i 4x. Решење Proizvod monoma 3x i 4x mo`e{ da predstavi{ grafi~ki: x 3x

x x

x2 x

x

x

x

3x ⋅ 4x = 12x2

4x 4

Nacrtaj model kao u re{enom primeru i pomno`i monome 2x i 5x.

Mno`ewe monoma monomom Proizvod dva monoma ra~una se, na primer, na slede}i na~in: 3x ⋅ 4x = 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ x = 12x2 4x ⋅ 2x2 = 4 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x2 = 8x3 − 1 a3 ⋅ 6a = − 1 ⋅ 6 ⋅ a3 ⋅ a = −3a4 2 2 Pomno`iti monom monomom zna~i pomno`iti wihove koeficijente i pomno`iti wihove promenqive delove. 5

Pomno`i. a) 6a ⋅ 3a

b) -2x2 ⋅ 0,2x

v) 25b ⋅ 25b

Za mno`ewe va`i svojstvo komutativnosti i asocijativnosti.

g) 2,1m3 ⋅ 4 m2

d) 4 b ⋅ 10b2 5

Pomno`i monome -10am3 i 0,02a3m. Решење -10am3 ⋅ 0,02a3m = -10 ⋅ 0,02 ⋅ a ⋅ m3 ⋅ a3 ⋅ m = -0,2a4m4 6

Uprosti izraz. a) -3x2y3 ⋅ 2xy2

7

Uprosti izraz. a) 4x 2 y 2 ⋅ − 1 xy 2

(

b) -4a2b6 ⋅ 2a3b2

)

b) 2,1cd2 ⋅ (-3c2d)

v) 1 s3t 2 ⋅ (−15s2t 3 ) 3

95

Kvadrat i kub monoma Kvadrat monoma ra~unamo na dva na~ina. Prvi na~in Monom pomno`imo samim sobom. 2 (4y3) = 4y3 ⋅ 4y3 = 16y6 Drugi na~in Koristimo pravilo (ab)2 = a2b2. 2 2 (4y3) = 42(y3) = 16y6 I kub monoma ra~unamo na dva na~ina. Prvi na~in 3 (2x2) = 2x2 ⋅ 2x2 ⋅ 2x2 = 8x6 Drugi na~in 3 3 (2x2) = 23(x2) = 8x6 8

Izra~unaj kvadrat i kub monoma.

( )

2

b) 1 xy 2

a) (-2c)2 3

3

g) (3y5) 9

d) (-a3b5)

(

)

2

v) 3 n3m4 5 3

|) (5z2tc3)

Koja je jednakost ta~na? 3

a) (-3a3bc2) = -3a9b3c6

3

b) (-3a3bc2) = -27a9bc2

3

v) (-3a3bc2) = -27a9b3c6

Провери шта знаш

{

}

1. Monom -2x pomno`i svakim od brojeva iz skupa 0, − 5, 3 , − 1 . 4 2. Pomno`i monome. v) 12m3 ⋅ − 1 m2 a) -2,5a ⋅ 5a b) 3 y 2 ⋅ 1 y 4 5 3 3. Uprosti izraz. b) − 2 p2q2 ⋅ 10pq v) 1,1x3y ⋅ (-0,1xy2) a) 6st ⋅ 0,3s2t 5 4. Izra~unaj kvarat i kub monoma. 2 2 3 b) (-abc3) v) (4z4t3) a) (3x5y2)

(

96

)

Множење полинома мономом • множење полинома бројем • множење полинома мономом 1

Na osnovu modela izra~unaj pod b) kao {to je ura|eno pod a). a) 3 ⋅ (2x + 1)

b) 2 ⋅ (4x - 3)

2x + 1

4x - 3

3 ⋅ (2x + 1) = (2x + 1) + (2x + 1) + (2x + 1) = 6x + 3

Mno`ewe polinoma brojem Proizvod polinoma i broja ra~una se, na primer, na slede}i na~in: 3 ⋅ (2x + 1) = 3 ⋅ 2x + 3 ⋅ 1 = 6x + 3

U skupu R va`i svojstvo distributivnosti mno`ewa prema sabirawu. a · (b + c) = a · b + a · c

5 ⋅ (-4x + 6) = 5 ⋅ (-4x) + 5 ⋅ 6 = -20x + 30 Pomno`iti polinom brojem zna~i pomno`iti svaki monom tim brojem.

2

Pomno`i.

3

Pomno`i polinom brojem.

4

Izra~unaj.

a) 7 ⋅ (5x + 2)

a) 2 ⋅ (2a - 5)

a) 10 ⋅ (-0,1m + 1)

b) 2 ⋅ (-5 + y)

b) 3 ⋅ (7x - 1)

v) -4 ⋅ (3a + 4)

v) -2 ⋅ (9 - 8x)

b) (5a - 3) ⋅ (-2)

g) -3 ⋅ (10 + 9x)

2 ⋅ (2a - 5) = 2 ⋅ 2a - 2 ⋅ 5

Mno`ewe polinoma brojem je komutativno. P(x) ⋅ c = c ⋅ P(x)

97

5

Izra~unaj. a) -2 ⋅ (2b2 - 3b + 1)

b) (5s4 - 3s2 + 4) ⋅ 7

Pomno`i monom 3x binomom x + 1. Решење Proizvod monoma 3x i binoma x + 1 mo`e{ da predstavi{ modelom: x

1 x

1 x+1 x x

x

x2

x

x

x

3x 3x ⋅ (x + 1)

x

3x2 + 3x

3x ⋅ (x + 1) = 3x2 + 3x 6

Nacrtaj model kao u re{enom primeru i pomno`i monom 2x i x + 2.

Mno`ewe polinoma monomom Proizvod monoma i binoma ra~una se, na primer, na slede}i na~in: 3x ⋅ (x + 1) = 3x ⋅ x + 3x ⋅ 1

primewujemo svojstvo distributivnosti mno`ewa prema sabirawu u skupu R

= 3x2 + 3x

pomno`ili smo monom monomom i monom brojem

-6x ⋅ (2 + 5x) = -6x ⋅ 2 + (-6x) ⋅ 5x = -12x - 30x2 Pomno`iti polinom monomom zna~i pomno`iti svaki ~lan polinoma tim monomom.

7

Pomno`i. a) 3y ⋅ (5y + 4)

b) a ⋅ (7 + 5a)

v) 4x ⋅ (-1 + 4x)

g) 9x ⋅ (9x2 + x3)

Uprosti izraz. (4y2 - 3y) ⋅ y2 Решење

(4y2 - 3y) ⋅ y2 = 4y2 ⋅ y2 - 3y ⋅ y2 = 4y4 - 3y3

98

2x ⋅ (5x3 + 4x) = 2x ⋅ 5x3 + 2x ⋅ 4x = 10x4 + 8x2

8

Uprosti izraz. a) (x3 - 3x) ⋅ x2

b) (-5z3 - 6z2) ⋅ 2z2

Uprosti izraz 2x2y ⋅ (3x - y2). Решење 2x2y ⋅ (3x - y2) = 2x2y ⋅ 3x - 2x2y ⋅ y2 = 6x3y - 2x2y3

9

Uprosti izraz. a) x ⋅ (1 - 5x + 2x2)

b) (3y3 - 2x2 - 4z) ⋅ 5y2

Провери шта знаш 1. Pomno`i. a) 7 ⋅ (1 + 2x) 2. Pomno`i. a) x ⋅ (x - 3)

b) 12 ⋅ (-3 - 4x)

v) (-x + 1) ⋅ (-4)

b) x2y ⋅ (4x4 + 3y2)

v) (-1 - 4x2) ⋅ 2z3

3. Uprosti izraz. a) x2 ⋅ (4 - x + x2)

b) (6y3 - 4xy2 - 5x) ⋅ (-2x2y2)

Примена полинома Polinomi se prou~avaju u algebri. Da li ste se nekada zapitali kako to da digoitron ili kompjuter tako brzo ra~unaju? To je zato {to su u wih ugra|eni programi koji za mnoga od tih ra~unawa koriste upravo polinome. Znawa iz algebre primewuju se u mnogim na~nim disciplinama i va`na su za obradu i tuma~ewe rezultata istra`ivawa.

99

Производ два полинома • множење полинома полиномом • разлика квадрата 1

Proizvod monoma 5x i 3x2 je: b) 15x3

a) 15x

v) 15x2

Koji je odgovor ta~an? 2

Uprosti izraz. Prvo polinom pomno`i monomom, a zatim sredi polinom.

a) -2x ⋅ (3x + 5) + 4 ⋅ (x2 - 6x) b) 2y ⋅ (7 - 8 y) - 5 y ⋅ (2 - 4 y)

Pomno`i polinom 2x + 3 polinomom 3x + 1. Koristi model. Решење

2x + 3

1 1 1

1 1 1

x

x

x

x x

x

x

1

x

1

x2

x

x

x

x

1

3x + 1

6x2 + 11x + 3 (2x + 3) ⋅ (3x + 1) (2x + 3) ⋅ (3x + 1) = 6x2 + 11x + 3 3

Koristi model kao u prethodnom primeru i pomno`i binome 4x + 1 i 2x + 5.

Mno`ewe polinoma polinomom Proizvod dva polinoma ra~una se, na primer, na slede}i na~in:

(x + 5) ⋅ (x + 4) = x ⋅ (x + 4) + 5 ⋅ (x + 4) =  x⋅x+x⋅4+5⋅x+5⋅4 = x2 + 4x + 5x + 20 = x2 + 9x + 20 100

(2x + 3) ⋅ (3x + 1) = 2x ⋅ (3x + 1) + 3 ⋅ (3x + 1)

Kada mno`imo polinom polinomom, ~esto ka`emo da mno`imo svaki sa svakim. To zna~i da svaki monom jednog polinoma mno`imo svakim monomom drugog polinoma.

 2x ⋅ 3x + 2x ⋅ 1 + 3 ⋅ 3x + 3 ⋅ 1 = = 6x2 + 2x + 9x + 3 = 6x2 + 11x + 3 Polinom mno`imo polinomom tako {to svaki mo­ nom jednog polinoma mno`imo svakim monomom drugog polinoma.

4

Pomno`i binome. a) (x + 3) ⋅ (x + 2)

b) (3m + 5) ⋅ (m + 2)

v) (8a + 4) ⋅ (6a + 7)

Pomno`i binome 5 - x i 2x + 3. Решење

(5 - x) ⋅ (2x + 3) = 5 ⋅ (2x + 3) - x ⋅ (2x + 3) = 10 x + 15 - 2x2 - 3x = 10 x - 3x + 15 - 2x2 = 7 x + 15 - 2x2 = -2x2 + 7x + 15

5

Odredi proizvod binoma.

6

Pomno`i binome.

a) (6 - a) ⋅ (a + 2)

a) (x − 3) ⋅ (x + 3)

b) (z - 3) ⋅ (z - 5)

b) (a − 6) ⋅ (a + 6)

v) (x2 - 3x) ⋅ (4x + 3x2)

v) (4 y − 1) ⋅ (4 y + 1)

Razlika kvadrata Neka su a i b dva nesli~na monoma. Izra~unajmo proizvod razlike i zbira monoma a i b:

(a − b) ⋅ (a + b) = a2 + ab − ba − b2 = a 2 − b2 Izraz a2 − b2 je razlika kvadrata monoma a i b. Proizvod razlike i zbira monoma a i b jednak je razlici kvadrata tih monoma.

(a - b) ⋅ (a + b) = a2 - b2 Na primer:

(x − 8) ⋅ (x + 8) = x 2 − 82 = x 2 − 64 101

7

Pomno`i binome. a) (2x - 3) ⋅ (2 x + 3)

(2x - 3) ⋅ (2x + 3) = (2x)2 - 32

b) (3z − 4) ⋅ (3z + 4)

1. ~lan 2. ~lan

v) (7 − s) ⋅ (7 + s)

Ka`emo da rezultat mno`ewa ra~unamo tako {to od kvadrata prvog ~lana oduzmemo kvadrat drugog ~lana.

Uprosti izraz (2xy - x) ⋅ (4x - 3xy). Решење

(2xy - x) ⋅ (4x - 3xy) = 2xy ⋅ (4x - 3xy) - x ⋅ (4x - 3xy) = 8x2y - 6x2y2 - 4x2 + 3x2y = 8x2y + 3x2y - 6x2y2 - 4x2 = 11x2y - 6x2y2 - 4x2

8

Uprosti. a) (3x - 4) ⋅ (3x + 4)

9

v) (2z + 3) ⋅ (4z - 1)

Pomno`i. a) (4x + 2y) ⋅ (y - 2x)

10

b) (2y - 3) ⋅ (y + 5)

b) (3x + 2y) ⋅ (2x - 3y)

Pomno`i. a) (x2 – x + 1) ⋅ (x + 1)

b) (2x2 – x – 1) ⋅ (x + 2)

Провери шта знаш 1. Izra~unaj proizvod binoma. b) (m - 5) ⋅ (m + 1) a) (x + 4) ⋅ (x + 1) 2. Izra~unaj proizvod binoma. b) (4x - 5) ⋅ (7x + 3) a) (3x + 2) ⋅ (x + 4) 3. Izra~unaj proizvod binoma. b) (x - a) ⋅ (2x + 3a) a) (x + 2y) ⋅ (x - 2y)

102

v) (a - 4) ⋅ (10a + 1) v) (2x - 1) ⋅ (3x - 5)

Квадрат бинома • квадрат збира • квадрат разлике 1

Kolko je (3x)2? b) 3x2

a) 6x

v) 9x2

g) 6x

Koji je odgovor ta~an? 2

Uprosti izraz. a) (x + 5)2

(x + 5) ⋅ (x + 5) =

b) (x - 2)2

x2 + 5x + 5x + 25

Na osnovu modela izra~unaj (x + 3)2. Решење

x+3

1

1

1 1

1 1

x

1

x

x

x2

x

x

1

x

1 1

1

1 1

x+3

(x + 3)

2

= (x + 3) ⋅ (x + 3)

x2 + 6x + 9

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9 3

Koristi model kao u prethodnom primeru i izra~unaj ( x + 4 ) . 2

Kvadrat binoma Izraz oblika (a + b)2, gde su a i b nesli~ni monomi, naziva se kvadrat binoma.

b Kvadrat binoma mo`emo izra~unati na slede}i na~in: a+b (a + b)2 = (a + b) ⋅ (a+ b) 2 2 a = a + ab + ab + b 2 2 = a + 2ab + b Zakqu~ujemo da je kvadrat binoma jednak zbiru kvadrata svakog ~lana binoma uve}anom za dvostruki proizvod ~lanova binoma.

(a + b)

2

2

ab

b2

a2

ab

a

b a+b

2

= a + 2ab + b

103

4

Koriste}i formulu za kvadrat binoma, izra~unaj. a) (x + 6)2

b) (x + 4)2

v) (x + 7)2

g) (x + 2)2

(x + 6)2 = x2 + 2 ⋅ x ⋅ 6 + 62

Kvadriraj binom. a) (x - 4)2 b) (x - 2)2 Решење 2 a) (x - 4)2 = (x + (−4)) = x2 + 2 ⋅ x ⋅ (-4) + (-4)2 = x2 - 8x + 16

(x − 2)

= (x + (−2)) = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ (−2) + (−2)

(x − 2)

= x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22

2

b) (x - 2)2 = x2 - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 = x2 - 4x + 4

2

2

2

Izraz oblika (a + b)2, gde su a i b nesli~ni monomi, naziva se kvadrat zbira, a izraz (a - b)2 kvadrat razlike.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 5

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Izra~unaj kvadrat binoma. a) (x - 10)2

b) (x - 6)2

Kvadriraj binom. a) (3x - 2)2

b) (4x + 5y)2

Решење a) (3x - 2)2 = (3x)2 - 2 ⋅ 3x ⋅ 2 + 22 = 9x2 - 12x + 4 b) (4x + 5y)2 = (4x)2 + 2 ⋅ 4x ⋅ 5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 6

Izra~unaj kvadrat binoma. b) (4x - 3)2 a) (2x + 1)2 2 v) (x + 2y) g) (5x - 3y)2

7

[ta treba upisati u prazna poqa tako da dobije{ ta~nu jednakost? a) (2a + 7)2 =

+ 28a +



U delu zadatka pod a) prvi ~lan ­binoma je 2x, pa je wegov kvdrat 4x2.

b) (x - 4y) = x2 -

+ 16y2

Провери шта знаш 1. Izra~unaj. a) (y + 3)2 104

b) (a - 9)2

v) (2a - 1)2

g) (y + 3c)2

d) (4x + 2y)2

|) (6x - 5y)2

Заједнички чинилац монома • чиниоци или делиоци • највећи заједнички чинилац бројева • заједнички чинилац монома 1

Najmawi prost broj je: a) 0 b) 1 Koji je odgovor ta~an?

2

Rastavi brojeve na proste ~inioce kao {to je zapo~eto. b) 81 v) 60 g) 48 a) 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3

v) 2

Rastaviti broj na proste ~inioce zna~i zapisati ga kao proizvod prostih brojeva. Na primer: 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7

g) 3

U prethodnim razredima nau~ili smo da odre|ujemo najve}i zajed­ ni~­ki delilac dva broja ili vi{e brojeva. Kako re~ delilac ima isto zna~ewe kao re~ ~inilac, to }emo umesto re~i delilac kori­ stiti re~ ~inilac. Na primer: Odredi najve}i zajedni~ki ~inilac brojeva 45 i 60. 45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Najve}i zajedni~ki ~inilac za brojeve 45 i 60 jeste broj 3 ⋅ 5 = 15. 3

Odredi najve}i zajedni~ki ~inilac brojeva: a) 12 i 4

4

b) 35 i 14

v) 80 i 72

Monome napi{i u obliku proizvoda kao {to je zapo~eto. a) 6x3 = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ x

b) y5

v) 25x2y4

g) 72x3y2z

Rastaviti monom na ~inioce zna~i rastaviti koeficijent mo­ noma na proste ~inioce. Na primer: 40x2y3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ x2y3 Promenqiv deo x2y3 monoma 40x2y3 mo`emo zapisati i ovako x2y3 = x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y, pa je 40x2y3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y. 5

Rastavi monome na ~inioce. a) 15a2

b) 8xy2

v) 22p2qr3 105

Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: a) 21x2 i 35y

b) 32a4 i 48a2

v) 27x2y i 18yz2

Решење a) 21x2 = 3 ⋅ 7 ⋅ x ⋅ x 35y = 5 ⋅ 7 ⋅ y Zajedni~ki ~inilac monoma 21x2 i 35y jeste broj 7. b) 32a4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a 48a2= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ a Zajedni~ki ~inilac za monome 32a4 i 48a2 jeste monom 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a = 8a2. v) 27x2y = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ y 18xy = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y Zajedni~ki ~inilac monoma 27x2y i 18xy jeste monom 3 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y = 9xy. Zajedni~ki ~inilac dva ili vi{e monoma jeste monom ~iji je: • koeficijent najve}i zajedni~ki ~inilac koeficijenata datih monoma • promenqivi deo zajedni~ki ~inilac wihovih promenqivih delova. 6

Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: b) 24x2 i 18z3 a) 3x i 3y

7

Napi{i monome u obliku proizvoda, pa odredi wihov zajedni~ki ~inilac. b) a3b i ab3 v) r2st3 i rs3t2 a) x2 i xz2

8

Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: b) 9n2m i 6m2 a) 15a i 5a2

9

Zajedni~ki ~inilac monoma 60x2y3z2 i 75xyz2 je: b) 15xyz2 v) 15x2y3z2 a) 15xyz Koji je odgovor ta~an?

v) 4a2b i 36c

v) 26x2yz i 39xy2z3

10

Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: b) 84a4b5c2 i 7ab7c3 a) x6y4 i x2y4 z10

11

Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: b) 144r2st3 i 84rs3t2 a) 81y2z5 i 27y5z2

g) 15x2yz2

v) 65a2b2c i 16ab2c2

Провери шта знаш 1. Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: v) 7x2y i 49d a) 8a i 8b b) 12u2 i 36v 2. Odredi zajedni~ki ~inilac monoma: b) 16r3s2 i 6r2s v) 17x3y2z9 i 7x5z2 a) 15a i 45a2 106

Растављање полинома на чиниоце применом својства дистрибуције • својство дистрибуције • растављање полинома на чиниоце 1

Zajedni~ki ~inilac monoma 2xy i 8xy2 je: b) 8xy2

a) 2xy

v) 2xy2

g) 8xy

Koji je odgovor ta~an? 2

Monom 4a3b2 je zajedni~ki ~inilac monoma: a) 2a3b4 i 4a3b4

b) 2a3b2 i 8a4b3

v) 4a3b2 i 8a4b3

Koji je odgovor ta~an?

Rastavqawe na ~inioce – svojstvo distribucije Rastaviti polinom na ~inioce zna~i zapisati polinom kao proizvod polinoma. Neke polinome mo`emo predstaviti u obliku proizvoda monoma i polinoma koriste}i distributivni zakon. Da bismo binom 40x + 16y predstavili u obliku proizvoda monoma i binoma, moramo prvo monome 40x i 16y rastaviti na ~inioce: 40x = 8 ⋅ 5 ⋅ x

16y = 2 ⋅ 8 ⋅ y

Zajedi~ki ~inilac monoma 40x i 16y jeste broj 8. Primewuju}i distributivni zakon, zakqu~ujemo da je: 40x + 16y = 8(5x + y) Postupak izdvajawa zajedni~kog ~inioca iz svakog monoma datog polinoma ~esto nazi­ vamo izvla~ewe ~inioca ispred zagrade. 3

Rastavi binom na ~inioce kao {to je ura|eno pod a). a) 9x + 18y = 9(x + 2y) b) 16x2 - 4y3 v) 72ab - 28z

4

Rastavi na ~inioce. 2

a) 12x + 4y

Kada zajedni~ki ~inilac izvu~emo ispred zagrade, (u na{em primeru to je broj 9), sabirke u zagradi odre|ujemo tako {to svaki sabirak podelimo brojem 9. 9x = 9 ⋅ x 18y = 9 ⋅ 2 ⋅ y

b) 15z - 25t v) 24y2 - 8x3 107

Rastavi binom 6x2 + 3x na ~inioce. Решење 6x2 + 3x = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x + 3 ⋅ x = 3 ⋅ x ⋅ (2 ⋅ x + 1) = 3x(2x + 1)

5



Rastavi binom na ~inioce. a) 4a2- 2a

b) 7 + 7y2

v) 16z - 64z2

g) 15n5 + 60n9

Rastavi na ~inioce binom 4x2y3 + 6x3y2. Решење 4x2y3 + 6x3y2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ y + 3 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y = 2x2y2(2y + 3x) 6

7

Rastavi na ~inioce. a) 24ab3 - 6a2b

b) x - x2

v) 35s3t - 62s2t2

Rastavi na ~inioce. a) 30x + 6y + 12c

9

Rastavi na ~inioce.

10

Rastavi na ~inioce.

a) 3a + 9b - 15c

b) x2 - 2x + x3

b) 25x2 - 55x3- 20x4

a) a2b2 + 9a2b3 - 15a3b2

b) 8x - x3 + 2x2

Провери шта знаш 1. Rastavi na ~inioce. a) 9 - 3a b) 125x +25 2. Rastavi na ~inioce. b) 81c - 18c2 a) 6x - 6x2

v) 8y + 6z v) 66t2 - 44t5

3. Rastavi na ~inioce. b) 28ab2c2 - 7ab2c3 a) 14x2y - 56x3y

108

v) 48t5s3 + 32rt3s3.

Rastavi na ~inioce. a) 5a + 5b

8

b) x2y3z2 - 5xy2z3

v) x3 - x2 + x

v) 16y3z - 4yz2 +8yz

v) 81y3z - 9yz3 + 18y2z2

Растављање полинома на чиниоце – примена квадрата бинома • растављање полинома на чиниоце • квадрат бинома 1

Izra~unaj (2 - 3z)2.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Rastavqawe na ~inioce – kvadrat binoma Rastaviti polinom na ~inioce primenom formule za kvadrat binoma zna~i predstaviti kvadratni trinom u obliku kvadrata zbira ili kvadrata razlike dva monoma. Na primer, rastavimo kvadratne trinome x2 + 4x + 4 i a2 – 16a + 64 na ~inioce:

2

x2 + 4x + 4 = x2 + 2 ⋅ 2x + 22 = (x + 2)2

Podseti se formula za kvadrat zbira i kvadrat razlike i po­ gledaj u uxbeniku stranu 101.

a2 – 16a + 64 = a 2 – 2 ⋅ 8a + 82 = (a – 8)2

(a + b)2 (a – b)2

kvadrat razlike

Rastavi trinom na ~inioce. a) x2 + 6x + 9 v) z2 – 4z + 4

3

kvadrat zbira

b) y2 + 10y + 25 g) x2 – 2x + 1

Koriste}i kvadrat binoma, izra~unaj slede}e brojevne izraze kao {to je ura|eno pod a). a) 992 + 2 ⋅ 99 + 12 = (99 + 1)2 = 1002 = 10 000 b) 132 - 2 ⋅ 13 + 12 v) 172 - 2 ⋅ 17 ⋅ 2 + 22 g) 142 + 2 ⋅ 14 ⋅ 6 + 62

109

4

[ta treba da upi{e{ na liniju da dobije{ kvadrat binoma? a) x2 - 2 ⋅ x ⋅ 4 +

b) 9y2 +

..........

..........

+ 1

v)

..........

+ 10z + 25

Rastavi trinom 4m2 + 12m + 9 na ~inioce. Решење 4m2 + 12m + 9 = (2m)2 + 2 ⋅ 6m +32 = (2m + 3)2

5

Rastavi kvadratne trinome na ~inioce. a) 25x2 + 10x + 1

6

b) 36b2 – 60b + 25

Popuni prazna poqa tako da dobije{ ta~nu jednakost. a) v)

......... .........

+

.........

+ 2ab +

+ 49 = (m + .........

.........)

b) y2 -

2



2 =( + ......... .........)

g)

.........

.........

+

.........

- 6xy +

=( - 4)2 .........

.........

= (x -

......... )

2

Rastavi na ~inioce polinom 4y2 + 12y + 36. Решење 4y2 + 24y + 36 = 4(y2 + 6y + 9) = 4(y + 3)2

7

koristili smo svojstvo distribucije predstavili smo kvadratni trinom u obliku kvadrata zbira

Rastavi na ~inioce polinome primewuju}i distributivni zakon i formulu za kvadrat binoma. a) 3x2 + 6x + 3

b) 5a2 – 10a + 5

Провери шта знаш 1. Rastavi trinom na ~inioce. b) 100 - 20x + x2 a) x2 + 12x + 36 d) 9x2 – 18x + 9 g) 49x2 – 14x + 1

110

v) 9x2 + 24x + 16

Растављање полинома на чиниоце – примена разлике квадрата • растављање полинома на чиниоце • разлика квадрата

1

Proizvod polinoma 2x – 7 i 2x + 7 je: a) 2x2 – 7

b) 2x2 – 49

v) 4x2 + 49

(a – b)(a + b) = a2 – b2

g) 4x2 – 49

Koji je odgovor ta~an?

Rastavqawe na ~inioce – razlika kvadrata Izraz oblika a2 – b2 jeste razlika kvadrata monoma a i b. Razliku kva­ drata dva monoma mo`emo predstaviti u obliku proizvoda razlike i zbira tih monoma. a2 – b2 = (a – b)(a + b) Na primer, rastavimo na ~inioce razliku kvadrata x2 – 22 i 100 – r2: x2 – 22 = (x – 2)(x + 2) 100 – r2 = 102 – r2 = (10 – r)(10 + r)

2

Rastavi na ~inioce primewuju}i formulu a2 – b2 = (a – b)(a + b) 2

a) x – 9

2

b) y – 25

2

v) z – 121

2

g) 400 – t

Svaki od brojeva napi{i kao kvadrat odgovaraju}eg broja. Na primer: 9 = 32.

Rastavi binom 64x2 – 25 na ~inioce. Решење 64x2 – 25 = (8x)2 – (5)2 = (8x – 5)(8x + 5) 3

Rastavi na ~inioce: a) 4c2 – 81

b) 9 – 16x2

v) 36 – 25y2

111

Rastavi na ~inioce 121x2 – 9y2. Решење 121x2 – 9y2 =  (11x)2 – (3y)2 = (11x – 3y)(11x + 3y)

4

Rastavi na ~inioce. a) 16x2 – 81y2

b) 49a2 – 144b2

5

Rastavi na ~inioce. a) 1 x 2 − 4 b) 4 x 2 − 1 y 2 4 9 25

6

Rastavi na ~inioce. a) 0,01a2 – 25

7

b) 6,25 – s2

v) 225n2 – 169m2

v) 36 x 2 − 1 y 2 49 81

v) 100u2 – 0,09v2

Primewuju}i formulu za razliku kvadrata, izra~unaj kao {to je ura|eno pod a). a) 552 – 452 = (55 – 45)(55 + 45) = 10 ⋅ 100 = 1 000 b) 1012 – 12

v) 732 – 272

g) 642 – 362

Провери шта знаш 1. Rastavi na ~inioce: b) 9x2 – 400 a) x2 – 64 g) y2 – 225

112

v) 0,25x2 – 25y2 d) 2 500 – 49x2 |) 1 x 2 − 0,64 y 2 16

( )

2

1 x 2 − 4 = 1 x − 22 4 2

Растављање полинома - примена у једначинама • решавање једначине облика ax2 + bx = 0 • решавање једначине облика x2 - a2 = 0 1

2

Koji od datih proizvoda ima vrednost nula? a) -1 ⋅ 1 b) 1 ⋅ (−2) v) 3 ⋅ 1000 ⋅ 0 ⋅ 1 2 3 Vrednost izraza (1 - x) (x + 3) je nula za: a) x = -3 g) x = 1

b) x = -1 d) x = 3

v) x = 0

Koji su odgovori ta~ni?

Proizvod brojeva }e biti jednak nuli ako je bar jedan od tih brojeva nula. Na primer: -7 ⋅ 0 = 0

0 ⋅ 423 = 0

5 ⋅ 0 ⋅ 64 = 0

2⋅a⋅0=0

Re{i jedna~inu (x + 5)(x - 9) = 0. Решење

(x + 5)(x - 9) = 0 x + 5 = 0 ili x - 9 = 0

proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od ~inilaca jednak nuli

x = -5 ili x = 9 Jedna~ina (x + 5)(x - 9) = 0 ima dva re{ewa, brojeve -5 i 9. Skup re{ewa ove jedna~ine je {-5, 9}.

3

Re{i jedna~inu. a) (2y - 8) (y - 12) = 0

b) (3a + 24) (6a - 18) = 0

v) (4 - s) (4s - 12) = 0

Rastavqawe polinoma na ~inioce ima primenu i kod re{avawa jedna~ina. Da bismo re{ili jedna~ine oblika ax2 + bx = 0 i x2 - a2 = 0, primewujemo svojstvo distribucije i formulu za razliku kvadrata.

113

Re{i jedna~inu x2 - 7x = 0. Решење x2 - 7x = 0 x(x - 7) = 0

koristimo svojstvo distribucije i rastavqamo binom na ~inioce

x = 0 ili x = 7

proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od ~inilaca jednak nuli

Re{ewa date jedna~ine su brojevi 0 i 7.

4

Re{i jedna~inu. a) x2 + 5x = 0

b) 19y - y2= 0

v) 2z2 - 8z = 0

Re{i jedna~inu x2 - 9 = 0. Решење x2 - 9 = 0

primewujemo formulu za razliku kvadrata

(x - 3) (x + 3) = 0 x - 3 = 0 ili x + 3 = 0

proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od ~inilaca jednak nuli

x = 3 ili x = - 3 x ∈{- 3, 3}

5

Re{i jedna~inu. a) x2 - 64 = 0

b) 625 - m2 = 0

Провери шта знаш 1. Re{i jedna~inu. b) (2x – 4)(x + 10) = 0 a) (3x + 15)(x + 8) = 0 d) x2 - 25 = 0 |) 169 - c2 = 0 g) 5x – x2 = 0

114

v) x2 - x = 0

ZAPAMTI

Множење полинома полиномом Polinom mno`imo polinomom tako {to svaki monom jednog polinoma mno`imo svakim monomом drugog polinoma. (a + b) ⋅ (c + d) = ac + ad + bc + bd

Квадрат бинома Kvadrat zbira

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Kvadrat razlike

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Разлика квадрата a2 – b2 = (a – b) ⋅ (a + b)

115

Зависне величине и њихово графичко представљање Pojedini podaci koje svakodnevno dobijamo preko sredstava javnog informisawa prikazani su grafikonima. Na grafikonu je приказан однос вредности dinara и вредности евра od 12. 5. do 11. 6. 2010.

Interesovawa tvojih drugova i drugarica iz odeqewa mo`e{ prikazati grafikonom. Na primer: Na grafikonu je pрedstavqen broj de~aka и devoj~ica jedne {kole koji koriste Иnternet.

de~aci devoj~ice

Neke promene u organizmu tako|e mo`emo prikazati grafikonom. Na ovom grafikonu je prikazan rad srca i taj grafikon nazivamo kardiogram.

116

Na grafikonu su prikazani odgovori u~enika из jednoг odeqewа na pitawe о томе kog би ku}nog qubimca желели da imaju.

pas ma~ka ptice ribice ostalo

Promene ekonomskih veli~ina, kao {to su vrednosti valuta, bruto nacionalni dohodak, privredni rast i druge, tako|e se mogu prikazati grafikonom. Na grafikonu je prikazana stopa rasta bruto dru{tvenog proizvoda u sveta u periodu od 2006. do 2009. sa projekcijama za 2010. i 2011. godinu.

U narednim lekcijama u~i}e{: • o zavisnim veli~inama • o grafi~kom predstavqawu zavisnih veli~ina • {ta su direktno, a {ta obrnuto proporcionalne veli~ine • kako da postavi{ i re{i{ proporciju.

1

Koji je broj za deset ve}i od deset? a) 10

2

b) 20

Koji je broj za tri mawi od broja 3,03? a) 0,1 b) 0,01

3

v) 100 g) 1000

v) 0,3

g) 0,03

Koji je broj osam puta ve}i broj od broja 64? a) 8

b) 16

v) 64

g) 512

4

Ako je jedan cent stoti deo evra, koja nov~anica ima hiqadu puta ve}u vrednost od nov~i}a od jednog centa?

5

Izra~unaj vrednost izraza: a) 3a - 2ab + b, za a = 1 i b = 6 3 b) x2 + 3x - 2, za x = -1 117

Правоугли координатни систем у равни • координатни систем • координатне осе • координатне тачке 20°

19°

1

Beograd se nalazi na 44,8 stepeni severne geografske {irine i 20,5 stepeni isto~ne geografske du`ine. Popuni tabelu pri­ bli`nim podacima kao {to je zapo~eto. geografska {irina

geografska du`ina

Beograd

45° N

20° E

Ni{

43° N

mesto

46°

23°

Beograd

45°

Kragujevac 44°

Ni{

Kosovska Mitrovica

21° E

Sombor

42°

a) Odredi koordinate datih ta~aka. b) Nacrtaj ta~ke M(-4), P( 1) i Q(4). 2 A –4

–3

B –2

–1

0

D

C

E 1

2

3

4

5

6

Koordinatni sistem u ravni

y

Dve brojevne prave u ravni koje se seku pod pravim uglom u matematici nazivamo koordinatni sistem.

3

Ravan kojoj pripadaju te dve prave nazivamo koordinatna ravan, a ta~ku preseka pravih koordinatni po~etak. Te prave naj~e{}e pradstavqamo i obele`avamo kao na slici.

118

22°

Sombor

43°

Kragujevac

2

21°

II kvadrant

2

I kvadrant

1 –2 –1

0 –1

III kvadrant –2

1

2

3

IV kvadrant

x

Pravu x nazivamo x-osa ili apscisna osa, a pravu y nazivamo y-osa ili ordinatna osa. Koordinatni po~etak naj~e{}e obele`avamo slovom O, a koordinatni sistem sa xOy.

Naj~e{}e nanosimo iste jedini~ne du`i na obe ose.

Ose x i y dele ravan na ~etiri oblasti. One se nazivaju kvadranti i ozna~avaju se kao na slici.

3

10 9 8 7 Цеца 6 Зора 5 Мира 4 Љиља 3 2 1 A B C D E F G

Mira je oti{la u bioskop s drugaricama. Ako je weno sedi{te ozna~eno sa (B,4), kako su ozna~ena sedi{ta wenih drugarica?

H

I

J

K

Odre|ivawe koordinata datih ta~aka u koordinatnoj ravni Poka`imo da polo`aj svake ta~ke u datoj koordinatnoj ravni mo`emo definisati pomo}u dva broja na koordinatnim osama x i y. Nacrtajmo koordinatni sistem xOy u ravni i ta~ku M. Kroz ta~ku M povucimo pravu paralelnu sa osom y. Ta prava se~e x-osu u ta~ki ~ija je koordinata 2. Zatim povucimo kroz ta~ku M pravu paralelnu sa osom x. Ta prava se~e y-osu u ta~ki ~ija je koordinata 3. Ta~ka M je u datom koordinatnom sistemu odre|ena brojevima 2 i 3, {to zapisujemo M(2, 3). Brojeve 2 i 3 nazivamo koordinate ta~ke M. Broj 2 je koordinata ta~ke na x-osi ili apscisa ta~ke i zapisuje se kao prvi broj, a broj 3 je koordinata ta~ke na y-osi ili ordinata ta~ke i zapisuje se kao drugi broj. Zato ka`emo da ta~ki M pridru`ujemo ure|en par brojeva (2, 3). y

y M

3

y M

3

2

2

2

1

1

1

–2 –1 0 –1 –2

1

2

3

x

–2 –1 0 –1 –2

1

2

M

3

3

x

–2 –1 0 –1

1

2

3

x

–2

119

^esto u kordinatnoj ravni crtamo koordinatnu mre`u koja nam mo`e pomo}i da odredimo kooordinate datih ta~aka.

y E 4 3 A 2 D 1 –1 1 2 3

B

Na primer, date ta~ke u koordinatnom sistemu na slici imaju koordinate: A(3, 2), B(-3, 3), C(-4, -2), D(–1, 0), E(0, 4), G(2, -3), F(0, -2)

–4 –3

–2 F –3

C

4

x

G

Napi{i koordinate ta~aka K, L, M, P, Q, S. y P

Za dva broja koja su koordinate neke ta~ke u koordinatnoj ravni ka`e se da ~ine ure|en par brojeva. Prvi broj je x-koordinata, a drugi broj je y-koordinata ta~ke. (–2, 5) ≠ (5, –2)

Q M

1 1

K

L

x

S

Odre|ivawe ta~ke u koordinatnoj ravni kada su date wene koordinate Neka je dat koordinatni sistem xOy na slici. Poka`imo kako da odre­ dimo ta~ku A(-3, 2) u datoj koordinatnoj ravni. Prvo kroz ta~ku na x-osi sa koordinatom -3 povla~imo pravu paralelnu y-osi. Zatim kroz ta~ku na y-osi sa koordinatom 2 povla~imo pravu paralelnu sa x-osom. Presek te dve prave odre|uje ta~ku A(-3, 2). y 3 A

2 1 –3 –2 –1 0 –1 –2

120

y 3 2 1

1

2 x

–3 –2 –1 0 –1 –2

1

2

x

5

Nacrtaj koordinatni sistem u svesci. Neka jedini~na du` bude jednaka du`ini dve stranice kvadrata (1 cm). Nacrtaj ta~ke A(3, 1), B(-2, 3), C(0, 2), D(-2, -1), E(4, 0).

6

Kom kvadrantu u datom kordinatnom sistemu pripada ta~ka ~ije su koordinate: a) (-2, 3)

b) (5, 4)

v) (2, -1)

g) (-1, -5)?

Svakoj ta~ki A ravni u datom koordinatnom sistemu xOy pridru`ujemo samo jedan ure|en par realnih brojeva, x1 i y1. Ti brojevi su koordinate ta~ke A, {to zapisujemo A(x1, y1). Va`i i obrnuto: svakom ure|enom paru realnih brojeva (x1, y1) pridru`ujemo ta~no jednu ta~ku ravni u datom koordinatnom sistemu.

y y1

A(x1, y1)

x1

x

Провери шта знаш 1. Nacrtaj ta~ke A(3, 1), B(-2, 0), C(0, 5), D(-4, -3) i E(2, -4) u koordinatnom sistemu. Za jedini~nu du` uzeti 1 cm. 2. Kojem kvadrantu pripadaju ta~ke: A(-3, -1), B(2, 2), C(5, -5), D(-4, 4) i E(-5, -2)?

Декарт и координатни систем Rene Dekart bio je matemati~ar, filozof i nau~nik. Ro|en je 31. marta 1596. godine u mestu La Eju, u Francuskoj. Najvi{e su ga zanimale matematika, logika i filozofija. Mnogo je putovao po Evropi i boravio u ^e{koj, Ma|arskoj, Nema~koj, Francuskoj i Holandiji. Umro je u [vedskoj 1649. godine. Dekart uvodi odre|ivawe polo`aja ta~ke ili predmeta u ravni pomo}u dve normalne prave. Te dve prave ~ine koordinatni sistem, koji se naziva i Dekartov koordinatni sistem. Uvo|ewe koordinatnog sistema dovelo je do razvoja novih matemati~kih disciplina (analiti~ka geometrija, nacrtna geometrija) i primene matematike u drugim naukama (kartografija).

121

Растојање између две тачке. Координате средишта дужи • растојање између две тачке • координате средишта дужи 1

Koliko jedini~nih du`i iznosi rastojawe izme|u ta~aka: a) A i B

b) C i D

v) E i D?

A -4

-3

B -2

-1

0

D

C

E 1

2

4

3

5

6

Rastojawe izme|u ta~aka koje pripadaju istoj koordinatnoj osi Rastojawe izme|u ta~aka u koordinatnoj ravni naj~e{}e izra`avamo u jedini~nim du`ima. a) Date su ta~ke A(x1, 0) i B(x2, 0)

b) Date su ta~ke A(0, y1) i B(0, y2). AB = y 2 − y1

A(x1, 0)

B(x2, 0)

x1

x2

y2 y1

B(0, y2) A(0, y1)

Rastojawe izme|u wih ra~unamo: AB = x 2 − x1 Na primer, rastojawe izme|u ta~aka P(-2, 0) i Q(4, 0) ra~unamo: PQ = −2 − 4 = 6

Na primer, rastojawe izme|u ta~aka C(0, -3) i D(0, 1) ra~unamo: CD = 1 − (−3) = 4

y

y

P(–2, 0) –2

Q(4, 0) 1

4 x

C(0, 1) x

D(0, –3)

122

2

Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A i B. b) a) y

Primeni Pitagorinu teoremu.

y A(–3, 4) 4

B 3

3

2

A 1 1

3

4

B(1, 1) x

4

–3

1

x

Izra~unavawe rastojawa izme|u dve ta~ke u koordinatnoj ravni Date su ta~ke A(x1, y1) i B(x2,y2) na slici.

y2

Uo~imo da je trougao ABC pravougli trougao, s pravim uglom kod temena C. Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:

y1

B(x2, y2) y2 – y1 A(x1, y1)

AB2 = (x 2 − x1) + ( y 2 − y1) 2

C(x2, y1)

2

(x2 − x1)

2

AB =

x2 – x1 x1

+ ( y 2 − y1)

2

x2

y

Na primer, rastojawe izme|u ta~aka A(-3, 4) i B(1, 1) je: 2

2

A(–3, 4) 4

2

AB = (–3 – 1) + (4 + 1) AB2 = (–4)2 + 32

B(1, 1)

AB2 = 16 + 9

1

AB2 = 25

1

–3

x

AB = 5 3

Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A i B ako je du`ina jedini~ne du`i 1 cm. a) b) y y –2 –2

3 –1 –1

B

x B

Koliko jedini~nih du`i ima du` PQ ako je: a) P(0, -15), Q(8, 0)

5

2

x

–1

A

4

A

3

b) P(1,2; -2), Q(2,8; -5)?

Ako je jedini~na du` du`ine 0,5 cm, kolika je du`ina du`i PQ: a) P(0, -15), Q(8,0)

b) P(1,2; -2), Q(2,8; -5)

Ako jedini~na du` u centimetrima ima du`inu 0,5 cm, onda du` od 5 jedini~nih du`i ima du`inu 5 ⋅ 0,5 cm = 2,5 cm. 123

6

Odredi koordinate sredi{ta S du`i AB. a)

b)

y A

S

–1

A

B 3

x

v)

y

–4

S

B 0

y 2

g)

A S

1 x

Koordinatu xS sredi{ta S(xS, a) du`i ~ije su krajwe ta~ke A(x1, a) i B(x2, a) ra~unamo po formuli: x + x2 xs = 1 2

A

B

y a

S

x1

–2

x2 x

xs y y1

y + y2 ys = 1 2

ys

a S

y2

B

A

Odre|ivawe koordinata sredi{ta du`i

y y2 ys S A

Koordinate ta~ke S(xS,yS) ra~unamo: x + x2 y + y2 xs = 1 , ys = 1 2 2 7

x

B

Koordinatu yS sredi{ta S(a, yS) du`i ~ije su krajwe ta~ke A(a, y1) i B(a, y2) ra~unamo po formuli:

Ta~ka S(xS, yS) jeste sredi{te du`i AB na slici. Posmatrajmo pravougli trougao ABC. Znamo da se simetrale kateta AC i CB seku u sredi{tu S hipotenuze AB. Na osnovu toga zakqu~ujemo da koordinata x sredi{ta du`i AC jeste xS i da koordinata y sredi{ta du`i CB jeste yS.

1 S

x

B

–1

y

A –2

x2

y1

B C xs

x1 x

Odredi sredi{te du`i PQ i napi{i wegove koordinate. a) P(-12, -10), Q(8, 4)

b) P(1,5; -2), Q(-2,3; 6)

Провери шта знаш 1. Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka: a) P(-12, -10) i Q(8, 4) b) P(1,5; -2) i Q(-2,3; 6) 2. Izra~unaj du`inu otvorene izlomqene linije ABC ako je: a) A(2, 4), B(-4, 4), C(-4, -2) b) A(2, 1), B(-5, 2), C(-4, 2) v) A(-2, 4), B(-2, -4), C(0, -2) g) A(0, 4), B(-4, 0), C(0, -4) 3. Izra~unaj koordinate sredi{ta du`i AB ako je: a) A(-2, 4), B(-4, -4) b) A(0, 5), B(-5, 0) v) A(0, 0), B(-4, 4)

124

g) A(2,6; 4), B(-6; 4,2)

Примери зависних величина и њихово графичко представљање • зависне величине • графичко представљање зависних величина 1

Zbir dva broja je 123. Ako sa x obele`imo jedan sabirak, koji izraz odgovara drugom sabirku? a) x - 123

2

v) 123 - x

b) x + 123

Popuni tabelu ako je a du`ina stranice jednakostrani~nog trougla, a O wegov obim. a (dato u cm)

1

1,5

4

6,5

O (dato u cm)

Na osnovu prethodnog zadatka mo`e{ primetiti da se obim jedna­ ko­strani~nog trougla mewa kada se mewa du`ina wegove stranice. Za stranicu i obim datog trougla ka`emo da su zavisne veli~ine jer se pri promeni jedne veli~ine mewa i druga. ^esto se sre}emo s veli~inama kod kojih se pri promeni vrednosti jedne od wih mewa i vrednost druge. Za svaku mogu}u vrednost jedne veli~ine postoji woj odgovaraju}a vrednost druge veli~ine. U tom slu~aju ka`emo da su to me|usobno zavisne veli~ine. Na primer: – Cena vozne karte zavisi od relacije na kojoj putujemo. – Potro{wa goriva zavisi od pre|enih kilometara. – Povr{ina kvdrata zavisi od du`ine stranice. – Kamata zavisi od kapitala. 3

Ako se u zadatku 1 prvi sabirak pove}ava onda se drugi sabirak: a) pove}ava

b) smawuje

v) ne mewa.

Koji je odgovor ta~an? 125

4

U koordinatnom sistemu prikazane su jutarwe temperature vazduha u Bademovcu.

Ovo je grafi~ki prikaz dve zavisne veli~ine.

температура (°C)

7 6 5 4 3 2 1 0

пон уто сре чет пет суб нед

дани у недељи

a) Kog je dana u nedeqi temperatura bila najvi{a? b) Kolika je temperatura izmerena u ~etvrtak? v) Kog je dana izmerena temperatura od 0 °C? g) Koliko je puta izmerena temperatura od 5°C ? 5

Porodica Vukovi} krenula je kolima od Beograda do Subotice i nazad. Na grafikonu je prikazana udaqenost d (data u kilometrima) od Beograda u zavisnosti od proteklog vremena t (datog u satima). a) Novi Sad je od Beograda udaqen 84 km. Koliko je sati putovala do Novog Sada?

d 190 178 170 160 150 140

d) Koliko je vremena ova porodica provela u Subotici?

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20

|) Koliko je sati trajao povratak u Beograd?

10

b) Koliko se sati porodica Vukovi} zadr`ala u Novom Sadu? v) Ako je porodica Vukovi} iz Beograda krenula u 8 sati ujutru, u koliko je sati stigla u Suboticu? g) Koliko je kilometara Subotica udaqena od Beograda?

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10 11

Neka su x i u zavisne veli~ine. Ako tim veli~inama pridru`imo ta~ke u koor­ di­natnoj ravni za neke izra~unate ili izmerene vrednosti, kao u primeru datom u zadatku 5, dobijamo grafi~ki prikaz te zavisnosti. Skup dobijenih ta~aka u koordinatnoj ravni nazivamo grafik zavisnosti veli~ina x i y. Grafi~ki prikazi ~esto se ko­riste za prikazivawe zavisnosti dve veli~ine. Sa grafika mo`emo ~itati razli~ite informacije. 126

t

Na primer: U 4. zadatku na x-osi predstavili smo dane, a na y-osi odgovaraju}e temperature. ^itaju}i podatke sa grafika, vidimo, na primer, da je temperatura do petka opadala, a od petka rasla, da je u ponedeqak izmerena najvi{a temperatua, a u petak najni`a, i tako daqe. U 5. zadatku ~itamo sa grafika, na primer, da su se u Novom Sadu Vukovi}i za­ dr­­­`ali 1,5 sati, a u Subotici 4 sata. 6

a) Popuni tabelu. a

0

1 2

b = 2a + 1

1

2

2 5

b) Zapo~eti grafik precrtaj u svesku i dovr{i.

3

3,5 8

Zavisnost dve veli~ine ~esto izra`avamo formulom. Na primer: b = 2a + 1

b 8 7 6 5 4 3 2 1

1 1 2

7

2

a

3 3,5

Cena iznajmqivawa bicikla ra~una se po slede}em pravilu: za prva tri sata pla}a se po 80 dinara, a svaki slede}i sat 70 dinara. Neka je sa x ozna~en broj sati, a sa u cena za iznajmqivawe bicikla. a) Precrtaj zapo~eti grafik u svesku i dovr{i ga. b 400 320 240 160 80

1

2

3

4

5

a

b) Koliko }e{ platiti iznajmqivawe bicikla za 2 sata, a koliko za 5 sati? 127

8

Za tri minuta razgovora mobilnim telefonom treba platiti 75 dinara. a) Koliko ko{ta jedan minut razgovora, koliko 5,5 minuta, a koliko 7 minuta? b) Ako sa c ozna~i{ cenu razgovora, a sa t vreme u minutima, kojom je jednako{}u predstavqena zavisnost izme|u c i t? • c = 25t

• t = 25c

• c = 25 : t

• t = 25 : c

v) Koliko vremena mo`e{ da razgovara{ ako plati{ 25 dinara, a koliko za 225 dinara? 9

Zapi{i jednakost kojom izra`ava{ zavisnost izme|u veli~ina x i y datih u tabeli. a) x

2

3

2 3

1

y

6

9

2

3

x

1

2

3

4

y

1

4

9

16

b)

Провери шта знаш 1. Zapi{i formulom zavisnost izme|u veli~ina a i b datih u tabeli. a)

b)

a

0

0,5

2

3

b

0

4

16

24

a

1

2

3

4

b

0

1

2

3

2. Mihailo svakog sata na treningu prepliva 3,5 km. a) Ako sa x ozna~i{ sate, a sa y pre|ene kilometre, izrazi formulom zavisnost promenqive y od x. b) Nacrtaj grafik za prva ~etiri sata treninga.

128

Директно пропорционалне величине • директно пропорционалне величине • коефицијент директнe пропорционалности 1

Jedna sveska ko{ta 45 dinara. a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj svezaka

1

2

ukupna cena

45

90

ukupna cena broj svezaka

45 1

90 2

3

4

5

6

7

Skrati svaki razlomak.

b) Na osnovu podataka iz tabele zavr{i grafi~ki prikaz kao {to je zapo~eto. Crtaj u svesci. укупна цена 315 270 225 180 135 90 45 1

2

2

3

5

4

6

7

8

број свезака

U tabeli su date du`ine stranice kvadrata. Izra~unaj obim kvadrata i popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a (cm)

2

O (cm)

8

5

8

10

12

14

Skrati svaki razlomak.

du`ina stranice obim kvadrata

129

Direktno proporcionalne veli~ine Za dve veli~ine ~iji je koli~nik uvek isti broj, bez obzira na wi­ hove vrednosti, ka`emo da su direktno proporcionalne. Zavisnost direktno proporcionalnih veli~ina x i y zapisujemo: y = k (za x ≠ 0) x Broj k nazivamo koeficijentom direktne proporcionalnosti za veli~ine x i y. Direktno proporcionalne veli~ine mo`emo zapisati i ovako: y = kx 3

Koliki je koeficijent proporcionalnosti u zadacima 1 i 2?

Jelena je 120 g bombona platila 60 dinara. a) S  astavi tabelu i izra~unaj koliko bi Jelena platila da je kupila 2, 3, 4, 5 puta vi{e bombona. b) S  astavi tabelu i izra~unaj koliko bi Jelena platila da je kupila 2, 3, 4, 5 puta mawe bombona. v) Da li su koli~ina bombona i cena direktno proporcionalne veli~ine? g) Koliko bombona Jelena mo`e da kupi ako ima 75 dinara? Решење a) koli~ina bombona (u gramima)

b)

120

240

360

480

600

cena (u dinarima)

60

120

180

240

300

koli~ina bombona (u gramima)

120

60

40

30

24

cena (u dinarima)

60

30

20

15

12

v) Da, to su direktno proporcionalne veli~ine jer su koli~nici u delu zadatka pod a) jednaki: 120 = 240 = 360 = 480 = 600 = 2 60 120 180 240 300 Jednaki su i koli~nici u delu zadatka pod b): 120 = 60 = 40 = 30 = 24 = 2 60 30 20 15 12 Koli~ina bombona i cena jesu direktno proporcionalne veli~ine sa koeficijentom proporcionalnosti k = 2. g) Nepoznatu koli~inu bombona x dobija{ re{avawem jedna~ine: x =2 75 x = 150 g 130

4

5

Da li su veli~ine x i y direktno proporcionalne? Objasni. x

5

4

3

2

1 3

y

15

12

9

6

1

Veli~ine a i b direktno su proporcionalne. a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a

0,5

2,5

b

5

16

20

28

b) Koliki je koeficijent proporcionalnosti? 6

Koeficijent direktne proporcionalnosti veli~ina t i s je 2. Popuni tabelu. t s

7

15

1 2

8 12

1

1 2

Od 3 m platna Sowina mama sa{ije 2 haqine za pla`u. a) Koliko je metara platna potrebno za jednu haqinu? b) Koliko haqina mo`e da se sa{ije od 4,5 m platna?

8

Za kre~ewe dve u~ionice potrebno je 15 kg boje. a) Koliko je boje potrebno za kre~ewe tri u~ionice? b) Koliko u~ionica mo`e da se okre~i sa 60 kg boje?

Провери шта знаш 1. Hleb od 800 g ko{ta 40 dinara. a) Koliko ko{ta hleb od 500 g, 1 kg, 100 g, 750 g ili1,5 kg? Napravi tabelu kao u zada tku 1. Odredi koli~nik te`ina hleba . cena hleba 2. Na dve strane albuma za fotografije mo`e da stane 6 fotografija dimenzija 8 cm × 10 cm. a) Koliko fotografija mo`e da stane u album koji ima 12 strana? b) Koliko je strana albuma potrebno za 15 fotografija?

131

Графички приказ директно пропорционалних величина • g rafi~ki prikaz direktno proporcionalnih veli~ina

1

Dragica je 2 kg tre{awa platila 240 dinara. a) Koliko ko{ta 0,5 kg,1 kg, 2,5 kg, 3 kg, 3,5 kg, 4 kg , 4,5 kg tre{awa? Popuni tabelu. koli~ina tre{awa (u kilogramima)

0,5

1

2,5

3

3,5

4

4,5

cena ( u dinarima) b) Da li su koli~ina tre{awa i cena direktno proporcionalne veli~ine? Objasni. v) Dovr{i grafi~ko predstavqawe, kao {to je zapo~eto. Crtaj u svesci. цена

540 480 420 360 300 240 180 120 60

Crte` predstavqa grafik zavisnosti veli~ina koli~ine tre{awa i cene. Koriste}i lewir utvrdi}e{ da sve ta~ke pripadaju jednoj pravoj. Proveri. 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 количина

трешања

a) Da li su veli~ine x i y date u tabeli direktno proporcionalne? Objasni. x

-2

-1

1

2

3

y

-6

-3

3

6

9

b) Nacrtaj grafik zavisnosti. Решење

a) Kako su koli~nici −6 = −3 = 3 = 6 = 9 = 3 jednaki, −2 −1 1 2 3 to su veli~ine x i y direktno proporcionalne.

132

Direktnu proporcionalnost datu tabelom mo`e{ da zapi{e{ formulom: y = 3 ili y = 3x. x

y

b) Prvi  korak U koordinatnom sistemu odredi ta~ke: A1(-2, -6) , A2(-1, -3), A3(1, 3), A4(2, 6) i A5(3, 9).

A5

9

6

3

–2 –1

A4

A3

1 2

A2

3

x

–3

A1

–6

y

 Drugi korak Pove`i sve dobijene ta~ke na crte`u.

A5

9

Primeti da sve ta~ke ovog grafika zavisnosti veli~ina x i y pripadaju pravoj koja sadr`i koordinatni po~etak.

6

3

–2 –1 A2

A1

A4

A3

1 2

3

x

–3

–6

Sve ta~ke grafika zavisnosti dve direktno proporcionalne veli~ine pripadaju pravoj koja sadr`i koordinatni po~etak. Va`i i obrnuto. Ako ta~ke grafika dve veli~ine pripadaju pravoj koja sadr`i koordinatni po~etak, onda su te veli~ine direktno proporcionalne. 133

2

a) Zapi{i formulom zavisnost izme|u veli~ina x i y datih u tabeli. x

1

2

-1

x

-3

1

3

x

1

2

4

y

2

4

-2

y

9

1

9

y

3

6

12

b) Za direktno proporcionalne veli~ine nacrtaj grafik zavisnosti.

Nacrtaj ta~ke u koordinatnoj ravni ~ije su koordinate date u tabeli. Nacrtaj pravu kroz dobijene ta~ke. Ta prava prolazi kroz koordinatni po~etak.

Zavisnost veli~ina x i y data je formulom y = 3 x . Nacrtaj grafik. 2 Решење Sastavi tablicu tako {to }e{ izabrati proizvoqne vrednosti za x i za wih izra~unati y. x

-2

0

2

y

-3

0

3

U koordinatnom sistemu odredi ta~ke A1(-2, -3) , A2(0, 0), A3(2, 3) i kroz wih nacrtaj pravu. y 3

A3

A2

3

–2

0 1 2

A1

–3

x

Nacrtaj grafik ako je zavisnost veli~ina x i y data formulom: a) y = 4x b) y = 1 x 2

Провери шта знаш 1. Nacrtaj grafik zavisnosti veli~ina x i y ako je: a) y = x b) y = 5x v) y = 3 x 4 134

Обрнуто пропорционалне величине • обрнуто пропорционалне величине • коефицијент обрнуте пропорционалности 1

Vera, Sawa, Pavle, Luka i Ivana dobili su po 12 sati besplatnog interneta za osvojeno prvo mesto na ekipnom takmi~ewu iz istorije. Svako od wih raspodelio je po danima dobijene sate onako kako mu je odgovaralo. Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. Vera broj sati dnevno

1

broj dana

12

proizvod broja sati dnevno i broja dana

2

Sawa

Pavle

Luka

4 4

Ivana 0,5

6

1 ⋅ 12 = 12

a) Ana je pozvala drugarice i drugove iz odeqewa na ro|endan. Petoro wih dalo je istu sumu novca i platilo poklon 3 500 dinara. Koliko je svako od wih dao novca? b) Ako bi u kupovini tog poklona u~estvovalo sedmoro u~enika, koliko bi novca dao svako od wih?

Obrnuto proporcionalne veli~ine Za dve veli~ine x i y ~iji je proizvod uvek isti broj, bez obzira na wihove vrednosti, ka`emo da su obrnuto proporcionalne, {to zapisujemo: yx = k ili y = k (za x ≠ 0) x Broj k nazivamo koeficijentom obrnute proporcionalnosti za veli~ine x i y.

3

Koliki je koeficijent obrnute proporcionalnosti u zadacima 1 i 2?

135

a) Prodavac `eli da 1 kg karamela raspodeli u 10, 20, 40 ili 50 mawih kesica. Sastavi tabelu i izra~unaj koli~inu bombona u jednoj kesici za svaki od tih slu~ajeva. b) Da li su broj kesica i koli~ina bombona u jednoj kesici obrnuto proporcionlne veli~ine? v) Koliko je kesica potrebno da bi se 1 kg bombona raspodelio tako da u svakoj kesici bude 125 g?

Решење a)

broj kesica

10

20

40

koli~ina bombona u jednoj kesici (u gramima)

100

50

25

1 000

1 000

1 000

ukupna koli~ina (u gramima)

b) Proizvodi 10 ⋅ 100 = 1 000, 20 ⋅ 50 = 1 000 i 40 ⋅ 25 = 1 000 jednaki su pa su veli~ine broj kesica i koli~ina bombona u jednoj kesici obrnuto proporcionalne. v) Neka je x tra`eni broj kesica. Va`i: x ⋅ 125 g = 1 000 g x = 1 000 g : 125 g x=8 Potrebno je 8 kesica. 4

5

Da li su veli~ine a i b obrnuto proporcionalne? Objasni. a

8

6

1,5

2

1,6

2,4

b

3

4

16

12

15

10

Veli~ine x i y obrnuto proporcionalne. Popuni tabelu i odredi koeficijent proporcionalnosti. a b

136

0,1

2

4 1

8

0,4

6

Ana je udaqena od {kole 2 400 m. Ako ide pe{ice, do {kole joj je potrebno 30 minuta. Ako ide autobusom, sti`e za 20 minuta, a ako je tata doveze kolima, u {koli je za 5 minuta. a) Popuni tabelu. vreme (min)

30

20

5

2 400

2 400

2 400

Formula za izra~unavawe brzine: v = s, t (s je pre|eni put, a t vreme)

brzina (m/min) pre|eni put (m)

b) Da li su vreme i brzina obrnuto proporcionalne veli~ine? v) Kada bi Ana vozila bicikl brzinom od 300 m/min, koliko bi joj vremena trebalo da pre|e put od ku}e do {kole?

7

Povr{ina pravougonika je 6 dm2. Sastavi tabelu i izra~unaj vrednosti za du`inu stranice b pravougaonika ako je stranica a du`ine 2 dm, 3 dm, 6 dm ili 12 dm.

Stranice a i b datog pravougaonika jesu obrnuto proporcionalne veli~ine.

Провери шта знаш 1. D  a li su veli~ine date u tabeli obrnuto proporcionalne? Objasni. a

1

2

4

1 2

b

2

1

1 2

4

2. V  eli~ine x i y su obrnuto proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. 1 4

a b

8

4

1

4

2

3. Povr{ina romba je 4 dm2. Sastavi tabelu i izra~unaj vrednosti za stranicu a romba ako je visina h du`ine 1 dm, 2 dm, 4 dm ili 8 dm.

137

Пропорција

1

• пропорција

• унутрашњи чланови пропорције

• спољашњи чланови пропорције

• својства пропорције

Koji od datih razlomaka predstavqa osen~eni deo pravougaonika? a)

b) 1 3

2 3

3 2

4 6

2 6

6 4

Da li su osen~eni delovi pravougaonika pod a) i b) jednaki? 2

U odeqewu ima 28 u~enika. [estoro je bolesno. a) Kojom od datih razmera zapisujemo broj bolesnih i zdravih u~enika u odeqewu? 6 : 28 6 : 22 2 : 6 28 : 6 b) Kojom od datih razmera zapisujemo broj zdravih u~enika u odnosu na ukupan broj u~enika u odeqewu? 22 : 28 28 : 22 22 : 6 6 : 22

Razmera ili odnos dve istoimene veli~ine a i b (b ≠ 0) jeste koli~nik a : b ili razlomak a . b

Proporcija Jednakost dve razmere nazivamo proporcija i zapisujemo: a : b = c : d, za b, d ≠ 0 Za brojeve a i b ka`emo da su proporcionalni brojevima c i d. Proporciju a : b = c : d mo`emo zapisati i ovako: a = c , za b, d ≠ 0 b d Proporcija ima ~etiri ~lana, dva spoqa{wa i dva unutra{wa. Brojevi a i d jesu spoqa{wi ~lanovi proporcije. Brojevi b i c jesu unutra{wi ~lanovi proporcije. Na primer: Na osnovu jednakosti 2 : 3 = 4 : 6 iz zadatka 1 zakqu~ujemo da su brojevi 2 i 3 proporcinalni brojevima 4 i 6. Brojevi 2 i 6 jesu spoqa{wi ~lanovi, a brojevi 3 i 4 unutra{wi ~lanovi proporcije.

138

unutra{wi ~lanovi

a:b= c:d spoqa{wi ~lanovi

3

Od kojih brojeva mo`e{ sastaviti proporciju? Objasni. a) 3, 6, 9, 15

4

b) 56, 7, 16, 2

g) 1, 3, 24, 8

U proporciji 3,5 : 0,5 = 7 : 1 spoqa{wi ~lanovi su: a) 3,5 i 0,5 g) 0,5 i 1

b) 7 i 1 d) 0,5 i 7

v) 3,5 i 1 |) 3,5 i 7

Koji je odgovor ta~an? 5

Data je proporcija: 4 : 1,2 = 2 : 0,6 a) Izra~unaj proizvod spoqa{wih ~lanova. b) Izra~unaj proizvod unutra{wih ~lanova. v) Da li je proizvod spoqa{wih ~lanova jednak proizvodu unutra{wih ~lanova?

Svojstva proporcije Proizvod spoqa{wih ~lanova proporcije a : b = c : d jednak je proizvodu wenih unutra{wih ~lnova. ad = cb Spoqa{wi i unutra{wi ~lanovi u proporciji a : b = c : d mogu zameniti mesta, to jest va`e jednakosti : d : b = c : a

spoqa{wi ~lanovi zamenili su mesta

a : c = b : d

unutra{wi ~lanovi zamenili su mesta

Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije 12 : 2,4 = x : 5. Решење 12 : 2,4 = x : 5

primewujemo pravilo da je proizvod spoqa{wih ~lanova proporcije jednak proizvodu unutra{wih ~lanova

2,4 ⋅ x = 5 ⋅ 12 2,4x = 60

re{avamo jedna~inu u kojoj je x nepoznati ~inilac

x = 25

6

Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije. a) 10 : a = 12 : 6

b) 5 : 0,5 = 1 : x

v) c : 1 = 16 : 4 4

g) 2 : 1 1 = y : 1 3 2

139

7

Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije. Kada zameni{ mesta spoqa{wim ~lanovima u proporciji pod a), dobi}e{ proporciju pod b).

a) 12 : 8 = 3 : x b) x : 8 = 3 : 12

Kada zameni{ mesta unutra{wim ~lanovima u proporciji pod a), dobi}e{ proporciju pod v).

v) 12 : 3 = 8 : x

8

Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije. a) 2 = 10 9 a

b) x = 18 18 12

v) 9 = 3 c 7

g) 5 = 20 6 t

Razlomke napi{i u obliku koli~nika, na primer: 2 : 9 = 10 : a.

Провери шта знаш 1. Od kojih brojeva se mo`e sastaviti proporcija? Objasni. a) 2, 7, 8, 26 b) 12, 9, 4, 3 v) 2,5; 3; 10; 12 2. Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije. a) 1 : 4 = 7 : y b) 1,6 : b = 4 : 5 v) n : 11 = 15 : 4 5 3. Izra~unaj nepoznati ~lan proporcije. a) 4 = 28 b) x = 6 v) 1 = 1 3 x 6 4 x 5

140

Примена пропорција у директној и обрнутој пропорционалности • постављање пропорције за директно пропорционалне величине 1

a) Veli~ine x i u direktno su proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti. x

150

175

200

225

y

6

7

8

9

b) Popuni tabelu ako su veli~ine x i y obrnuto proporionalne, a koeficijent proporcionalnosti je k = 1. 2 x y

1 2

1

2

4

Neka su x i y pozitivni brojevi, onda se osobina direktne proporcionalni mo`e iskazati i ovako: Ako se x uve}a nekoliko puta, onda se i y uve}a isti taj broj puta. Ako se x umawi nekoliko puta, onda se i y umawi isti taj broj puta. Svetlana je dve ~okolade platila 150 dinara. Koliko ~okolada Svetlana mo`e da kupi ako ima 600 dinara? Решење Prvi na~in Neka je x broj ~okolada koje Svetlana mo`e da kupi za 600 dinara. Broj ~okolada i cena jesu direktno proporcionalne veli~ine, {to zna~i da su wihovi koli~nici 150 i 600 jednaki. 2 x Re{i proporciju: 150 = 600 2 x 150x = 2 ⋅ 600 x=2 Za 600 dinara mo`e se kupiti 8 ~okolada. 141

Drugi na~in Kako za vi{e novca mo`e{ kupiti vi{e ~okolada, to su novac i broj ~okolada direktno proporcionalne veli~ine. To mo`e{ prikazati slede}om {emom: broj dinari ~okolada 150

2

600

x

Strelice pokazuju kojim redom treba napisati razmeru. Za direktno proporcionalne veli~ine obe strelice crtamo u istom smeru, a za obrnuto proporcionalne u suprotnom smeru.

Na osnovu te {eme mo`e{ postaviti i re{iti slede}u proporciju: 150 : 600 = 2 : x 150x = 2 ⋅ 600 x=8

2

Od 4 kilograma bra{na mo`e se umesiti 6 kilograma hleba. Koliko je bra{na potrebno da bi se umesilo 24 kilograma hleba?

3

Za bojewe vrata ~ija je povr{ina 2 m2 potrebno je 250 g boje. Koliko je boje potrebno da se oboje vrata ~ija je povr{ina 6 m2?

4

Povr{ina romba je 6 dm2. a) Ako je data du`ina jedne dijagonale, izra~unaj du`inu druge dijagonale. Popuni tabelu. d1 (u dm) d2 (u dm)

1

3

5

4

b) Da li su du`ine dijagonala datog romba obrnuto proporcionalne veli~ine? v) Kolika je du`ina d2 ako je d1= 12 dm? Neka su x i y pozitivni brojevi. Osobina obrnute proporcionalnosti brojeva x i y mo`e se iskazati i ovako: Ako se x pove}a nekoliko puta, onde se y umawi isti broj puta. Ako se x umawi nekoliko puta, onde se y uve}a isti broj puta.

142

^etvorica molera oboje fasadu zgrade za 12 dana. Za koliko dana bi 6 molera obojilo fasadu? Решење [estorica molera za mawi broj dana oboji}e fasadu zgrade nego ~etiri molera. Broj molera i broj dana potrebnih da se obavi isti posao jesu obrnuto proporcionalne veli~ine. Neka je x potreban broj dana. Prvi na~in Na osnovu definicije obrnute proporcionalnosti postavi i re{i jedna~inu: 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ x x =8 [estorica molera oboji}e fasadu za 8 dana. Drugi na~in Koristi slede}u {emu: broj molera

broj dana



4

12



6

x

Kod obrnuto proporcionalnih veli~ina strelice su suprotno usmerene.

Zadatak mo`e{ re{iti postavqawem i re{avawem slede}e proporcije: 4 : 6 = x : 12 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ x x=8

5

^etiri pumpe napune bazen za 15 sati. Koliko je pumpi potrebno da bi se bazen napunio za 12 sati?

6

Iz bureta punog maslinovog uqa mo`e se napuniti 75 boca od 0,5 l. Koliko se boca od 0,75l mo`e napuniti iz istog bureta?

7

Marko je na put poneo xeparac od 3 150 dinara. Za koliko dana }e potro{iti xeparac ako prose~no za ~etiri dana potro{i 1 800 dinara?

8

Devet radnika zavr{i neki posao za 45 dana.

Ako smawimo vreme puwewa bazena, moramo pove}ati broj pumpi.

a) Za koliko dana }e taj isti posao zavr{iti 15 radnika? b) Koliko radnika je potrebno da bi se taj isti posao zavr{io za 81 dana?

143

9

Za poplo~avawe hodnika neke {kole potrebno je 1 200 kerami~knih plo~ica dimenzija 20 cm × 20 cm. Koliko je kerami~kih plo~ica dimenzija 15 cm × 40 cm potrebno za poplo­~avawe tog hodnika?

Broj kerami~kih plo~ica potrebnih za poplo~avawe hodnika zavisi od povr{ine plo~ice. [to je povr{ina plo~ice ve} a, to je za poplo~avawe potrebno mawe tih plo~ica, i obrnuto – {to je povr{ina plo~ice mawa, to je za poplo~avawe potrebno vi{e plo~ica.

Petnaest radnika zavr{e neki posao za 24 dana. Posle 10 dana rada, 5 radnika napusti posao. Koliko jo{ dana treba da rade preostali radnici da bi zav{ili zapo~eti posao? Решење Petnaest radnika bi zavr{lo predvi|en posao za 14 dana. Kako je 5 radnika napustilo posao to treba prona}i broj dana za koji }e 10 radnika zavr{iti zapo~eti posao. radnici

dani

15

14

10

x

Zadatak mo`e{ re{iti postavqawem i re{avawem slede}e proporcije: 15 : 10 = x : 14 x = 21 Deset radnika }e za 21 dan zavr{iti zapo~eti posao. 10

^etiri traktora iste snage mogu da pooru neko zemqi{te za 13 sati. Posle 4 sata rada jedan traktor se pokvario. Za koliko sati }e biti pooran ostatak zemqi{ta?

11

Od 64 kg pamuka dobije se 75 m platna {irine 0,8 m. Koliko kilograma pamuka je potrebno da se dobije 25 m platna {irine 1,2 metra?

Провери шта знаш 1. Za 7 dana Miqa zaradi 10 500 dinara. Koliko Miqa zaradi za 20 dana? 2. Osam kifli ko{ta 124 dinara. Koliko ko{ta 5 kifli? 3. Za 5 dana 8 parketara postavi parket u sportskoj hali. Koliko je parketara potrebno da bi se parket postavio za 2 dana? 4. Da bi majstor Dragan poplo~ao kupatilo potrebno mu je 120 plo~ica oblika kvadrata dimenzije 2 dm. Koliko mu je plo~ica dimenzija 2,5 dm potrebno za poplo~avawe tog kupatila?

144

ZAPAMTI

Декартов правоугли координатни систем Dve brojevne prave koje se seku pod pravim uglom nazivamo pravougli koordinatni sistem. Ta~ka A(x1, y1) odre|ena je u koordinatnoj ravni svojim koordinatama x1 i y1.

y y1

A(x1, y1)

x1

x

Растојање између две тачке Ako je A(x1, y1) i B(x2, y2), rastojawe izme|u ta~aka A i B ra~una se po formuli: AB =

(x2 − x1)

2

+ ( y 2 − y1)

2

Координате средишта S дужи AB Ako je A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate ta~ke S sredi{ta du`i AV:  x + x 2 y1 + y 2  S= 1 , 2   2

Директно и обрнуто пропорционалне величине y Dve veli~ine, x i y, direktno su proporcionalne ako je = k , odnosno y = kx, x gde je k koeficijent direktne proporcionalnosti. k Dve veli~ine, x i y, obrnuto su proporcionalne ako je yx = k, odnosno y = x , gde je k koeficijent obrnute proporcionalnosti.

Размера и пропорција a : b ili a jeсте razmera dva broja. b a : b = c : d ili a = c jeсте proporcija koju ~ine brojevi a, b, c i d. b d

Својства пропорције Ako je a : b = c : d, onda je d : b = c : a. Spoqa{wi ~lanovi proporcije mogu da zamene mesta. Ako je a : b = c : d, onda je a : c = b : d. Unutra{wi ~lanovi proporcije mogu da zamene mesta. Ako je a : b = c : d, onda je a ⋅ b = c ⋅ d. Proizvod unutra{wih ~lanova jednak je proizvodu spoqa{wih ~lanova.

145

Круг U svakodnevnom `ivotu susre}e{ se s razli~itim objektima kru`nog oblika. Kru`ni tok je primer raskrsnice u kojoj se vozi u jednom smeru. Vozilo u kru`nom toku ima pravo prednosti u odnosu na vozilo koje ulazi u kru`ni tok.

Saobra}ajni znaci

Umetni~ki i industrijski dizajn

Архитектура Стоунхенџ у Енглеској jeсте грађевина из доба неолита, настала око 1800–1400. године п. н. е. Састоји се од камених блокова распоређених тако да чине један велики и два мања круга. Претпоставља се да je Стоунхенџ служио у религијске сврхе. Petrovaradinska tvr|ava 146

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • centralnom i periferijskom uglu kruga • obimu kruga • du`ini kru`nog luka • povr{ini kruga • povr{ini kru`nih delova.

1

Na slici je krug K(O, r). a) Koja je du` tetiva kruga na slici? b) Koji je od obele`enih uglova centralni ugao datog kruga? a)

b)

2

Nacrtaj jednakostrani~ni trougao ABC. Konstrui{i centar O opisane kru`nice i opi{i kru`nicu.

3

Nacrtaj pravougli trougao ABC. Konstrui{i centar O upisane kru`nice i upi{i kru`nicu.

4

Nacrtaj kvadrat ABCD са stranicom a = 4 cm i opi{i i upi{i kru`nicu. Koliki je polupre~nik opisane kru`nice? Koliki je polupre~nik upisane kru`nice?

5

Na slici су ugao aOb = 60° i krug K(O, r = 3 cm). Koji deo kruga zauzima osen~eni deo? a) tre}inu b) ~etvrtinu v) {estinu g) osminu

6

U krug K(O, r = 3 cm) upi{i pravilan {estougao. Kolika je stranica {estougla?

147

Централни и периферијски угао • централни угао круга

• кружни лук

• периферијски угао круга

•о  днос централног и периферијског угла круга

• тетива круга

1

Na slici je kru`nica k. Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. D

ugao

a

odgovaraju}a tetiva

EA

odgovaraju}i luk

 EA

b

g

d

k E α

 EA

δ β O γ

C

A

Tetiva kruga je du` ~ije krajwe ta~ke pripadaju kru`nici. Kru`ni luk je deo kru`nice.

B

Centralni ugao kruga Centralni ugao kruga jeste ugao ~ije je teme centar kruga. Svakom centralnom uglu odgovaraju tetiva kruga i kru`ni luk. Na primer, ugao AOB na slici jeste centralni ugao kruga K. . Wemu odgovaraju}a tetiva jeste du` AB i odgovaraju}i luk AB Jednom centralnom uglu kruga K odgovaraju jedna tetiva i jedan kru`ni luk. Centralnom uglu pripada odgovaraju}i luk. Konveksnom centralnom uglu pripada odgovaraju}a tetiva. 2

a) Koje su tetive na slici jednake? b) Koji su lukovi na slici jednaki? G

F E

A

40° 60° 40°

B C

148

30° 60° D

централни угао

A

одговарајући лук

 AB одговарајућа тетива

α O B

K

Jednakim centralnim uglovima jednog kruga odgovaraju jednake tetive i jednaki lukovi. Jednakim lukovima jednog kruga odgovaraju jednake tetive i jednaki centralni uglovi.

Periferijski ugao kruga C

Nacrtajmo ugao ACB ~ije teme C pripada kru`nici k, a kraci AC i BC su tetive kruga. Taj ugao nazivamo periferijski ugao.

β

Du` AB je odgovaraju}a tetiva periferijskog ugla ACB datog  jeste wegov odgovaraju}i luk. Tetiva AB kruga, a kru`ni luk AB  pripadaju periferijskom uglu ACB. i luk AB

O

A

Jednom periferijskom uglu kruga odgovaraju jedna tetiva i jedan kru`ni luk.

3

Nacrtaj dva periferijska ugla kruga kao na slici.

 AB

O

Obele`i odgovaraju}e lukove.

γ

C

Jednom kru`nom luku odgovaraju jedan centralni ugao i bezbroj periferijskih uglova kruga.  kru`nice k odgovara bezbroj periferijskih uglova. Luku AB

O α

Za periferijske uglove b, g i d kru`nice k ka`emo da se nalaze . nad lukom AB

4

 . Nacrtaj i obele`i Nacrtaj kru`nicu k(O, r = 3 cm) i luk AB tri periferijska ugla koja odgovaraju datom luku.

5

Izra~unaj ugao b ako je mnogougao na slici: b) pravougaonik

A  AB

a

a 90° a

a

β 140° a

D γ δ

E

B

v) jednakostrani~ni trougao. β

β

β

k

Uglovi b, g i d su neki od wih.

a) kvadrat

B

k

β

Nacrtaj i obele`i odgovaraju}e tetive.

k

a 120° a

b je periferijski ugao za dati ­centralni ugao nad istim lukom.

149

Centralni i periferijski ugao kruga nad istim lukom U zadatku 5 a) vidimo da je ugao b periferijski ugao za centralni ugao od 90° i da iznosi 45°. Doka`imo da je centralni ugao a kruga dva puta ve}i od odgovaraju}eg periferijskog ugla b. C

Prvi slu~aj

k

β

Neka centar kruga O pripada kraku periferijskog ugla b. Trougao AOC je jednakokraki trougao jer je AO = OC, odakle sledi da je CAO = b. Kako je ugao a spoqa{wi ugao jednakokrakog trougla AOC, to je: a = 2b

α O

A

B

Drugi slu~aj Centar O kruga K pripada periferijskom uglu b.

C

Dokaz

k

β

Pre~nik CD kruga K deli uglove a i b na uglove a1 i a2, odnosno b1 i b2, tako da je:

β1

O α

A

a = a1 + a2 i b = b1 + b2

C

O α1 α2

A

k β2

Na osnovu prvog slu~aja zakqu~ujemo da je: D

B

a1 = 2b1 i a2 = 2b2

B

odakle sledi da je a = 2b1 + 2b2, odnosno a = 2b. k

Tre}i slu~aj Centar O kruga ne pripada periferijskom uglu b. I u tom slu~aju va`i: a = 2b

α

A

O β

Dokaz za ovaj se slu~aj izvodi sli~no kao u prethodnim slu~ajevima.

C

B

Mo`e{ da re{i{ zadatak 18 u zbirci zadataka na strani 125.

6

a) Izra~unaj ugao b na slikama.

O 56°

β

k

b) Izra~unaj ugao a na slikama.

β 110° O

k

61° O α

k

k α

O 38°

150

7

Podeli kru`nicu na ~etiri jednaka luka. Koliki je centralni, a koliki periferijski ugao nad jednim lukom?

Centralni ugao kruga dva puta je ve}i od periferijskog ugla nad istim lukom.

a = 2b K

β

α l

Svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki.

β β

β

α

A

Ugao nad pre~nikom je prav.

B 90°

A

O

B

Провери шта знаш 1. Kru`nica je podeqena na tri podudarna luka. Koliki je centralni, a koliki periferijski ugao nad jednim lukom? 2. Izra~unaj periferijski ugao ako je centralni: a) 35° b) 127° v) 22°30' g) 140°20' 3. I  zra~unaj centralni ugao kruga ako je periferijski: a) 35° b) 127° v) 22°30' g) 140°20'

151

Обим круга • број p • обим круга • формула за израчунавање обима круга 1

Metalni nov~i} od 20 dinara obele`i na jednom mestu, kao {to je prikazano na slici, i zakotrqaj ga du` lewira dok obele`ena ta~ka ne do|e u isti polo`aj. Koliko je ­rastojawe na lewiru od prvog do posledweg polo`aja obele`ene ta~ke? Izmeri pre~nik nov~i}a. Koliki je koli~nik izmerenog obima i pre~nika nov~i}a? Izmereno rastojawe na lewiru predstavqa obim nov~i}a.

0

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Isti postupak primeni sa CD-a. Koliki je pre~nik CD-a, a koliki mu je obim? Koliki je koli~nik izmerenog obima i pre~nika?

Obim kruga Du`inu kru`nice ili obim kruga mo`emo pribli`no izmeriti na razne na~ine, {to smo pokazali na prethodnim slikama. Izra~unavawem koli~nika tako dobijenog obima kruga i wegovog pre~nika dobijamo broj koji je blizu broja 3. Ako ponovimo postupak merewa obima nekog drugog kruga i izra~unamo koli~nik wegovog obima i pre~nika, uvek }emo dobiti broj pribli`an broju 3. 152

Ka`emo da je koli~nik obima kruga i pre~nika konstantan, odnosno to je uvek jedan isti broj. Taj broj obele`avamo gr~kim slovom p i ~itamo pi. k

Neka je O obim kruga i r polupre~nik. Tada je: O =π 2r O = 2r π

r

O

Obim kruga se ra~una tako {to se pre~nik kruga pomno`i konstantom p. Broj p se ne mo`e zapisati u obliku razlomka, to jest broj p je beskona~an neperiodi~ni decimalni broj, pa je broj p iracionalan broj. Do sada je uz pomo} ra~unarske tehnologije odre|en veliki broj decimala broja p: p = 3,141592654... U izradi zadataka koristimo pribli`ne vrednosti za broj p, naj~e{}e: 22 p≈ ili p ≈ 3,14 7 Simbol p je prvo slovo gr~ke re~i περιμετρος (perimetron) – περι zna~i oko, okolo, a μετρος mera. Ovaj simbol prvi put je uveo 1706. godine matemati~ar Vilijam Xouns, a postao je standardna oznaka nakon {to ju je uveo ­Leonard Ojler.

Obim kruga jednak je du`ini kru`ne linije koja ga ograni~ava. Obim kruga jednak je proizvodu pre~nika kruga i konstante p.

O = 2r p k r

O

3

Izra~unaj obim kruga ako je pre~nik kruga 5 cm. Za p uzeti pribli`no 3,14.

4

Izra~unaj obim kruga ako je polupre~nik kruga 2,8 cm. Za p uzeti pribli`no 22. 7

5

Izra~unaj obim opisanog kruga kvadrata dijagonale 6,4 cm. Za p uzeti pribli`no 3,14. 153

Izra~unaj pre~nik kruga ako je obim 28,6 cm. Za p uzeti pribli`no 22. 7 Решење O = 2r p 2r ⋅ 22 cm = 28,6 cm 7 2r = 28,6 : 22 7 286 7 2r = ⋅ 10 22 2r = 9,1 cm 6

Obim kruga je 131,88 cm. Izra~unaj polupre~nik kruga ako je p = 3,14.

7

Izra~unaj polupre~nik kruga ako je obim: a) 12p cm

2r p = 12p cm

b) 16,4p cm

2r = 12p : p cm 2r = 12 cm

8

Milena `eli da napravi stolwak za svoj okrugli sto. Ako je pre~nik stola 1,1 m, a potrebno je da stolwak pre|e preko stola jo{ 30 cm, koliki je obim stolwaka?

Провери шта знаш 1. Izra~unaj obim kruga ako je: a) r = 2,2 cm

b) 2r = 12 cm

2. Izra~unaj polupre~nik kruga ako je obim: a) 8,4p cm

О броју p Broj p nije mogu}e izraziti pomo}u kona~nog broja operacija sabirawa, oduzimawa, mno`ewa, deqewa i korenovawa celih brojeva. Zbog te wegove osobine ne mo`emo pomo}u lewira i {estara konstriusati ta~ku na brojevnoj pravoj ~ija bi koordinata bila broj p . Zato ka`emo i da broj p nije konstruktibilan. Ovu osobinu broja p dokazao je Ferdinand fon Lindeman 1882. godine.

154

b) 0,8p cm

Дужина кружног лука • формула за израчунавање дужине кружног лука

1

 ? Ako je polupre~nik kruga Koji deo kru`nice je luk AB . na slici 3 cm i p = 3,14, izra~unaj du`inu kru`nog luka AB a)

E

b)

C

D

F 120° A

B

A

Uputstvo za deo zadatka pod a): ta~ke A, B, C dele kru`nicu na tri jednaka luka.

60°

C

B

2

Nacrtaj krug polupre~nika 4 cm. Koristi uglomer i nacrtaj centralni ugao od 60°. Izmeri pomo}u ­kanapa du`inu kru`nog luka koji odgovara tom uglu.

k O 60°

r

Du`ina kru`nog luka Pokaza}emo kako se mo`e izra~unati du`ina kru`nog luka centralnog ugla nekog kruga u zavisnosti od polupre~nika.  luk koji odgovara centralnom uglu od 1°. Du­`i­ Neka je AB  , obele`ena jeste sa l , je 360-ti deo kru`nice. na luka AB 1

l1 = 2r π 360 l1 = r π 180 Ako je a mera centralnog ugla izra`ena u stepenima, onda je du`ina kru`nog luka koji odgovara tom uglu: l = rπ ⋅ α 180°

k 1°

O

A B

k O α A l

B

155

Primetimo da du`ina kru`nog luka zavisi od veli~ine centralnog ugla i od polupre~nika.

k2

Za isti centralni ugao du`ina odgovaraju}eg luka mewa se ukoliko se mewa polupre~nik kruga. Du`ina kru`nog luka i polupre~nik kruga jesu direktno proporcionalne veli~ine.

k1

Za isti polupre~nik, du`ina odgovaraju}eg luka se mewa ukoliko se mewa centralni ugao kruga. Tada, tako|e, ka`emo da su du`ina luka i centralni ugao direktno proporcionalne veli`ine.

α r1

l1

l2

Izra~unaj du`inu kru`nog luka kruga ~iji je polupre~nik 3 cm ako je centralni ugao a = 42°. Za p uzeti 3,14. Решење Primenimo formulu za izra~unavawe du`ine kru`nog luka. l = rπ ⋅ α 180° 3⋅π l= ⋅ 42° 180° l = π ⋅ 42° 60° ^esto kad ra~una{ du`inu luka ili l = π ⋅7 obim kruga ne zamewuje{ vrednost 10 za broj p. l = 0,7p cm l = 2,198 cm 3

Primeni formulu za izra~unavawe du`ine kru`nog luka u zadatku 2 i uporedi dobijene rezultate.

4

Izra~unaj du`inu kru`nog luka za centralni ugao od 45° ako je polupre~nik: a) 2 cm

b) 3 cm

v) 6 cm

(

)

Koliki je centralni ugao kruga ako je l = 17,6 cm i r = 6 cm π = 22 ? 7 Решење Primenimo formulu za izra~unavawe du`ine kru`nog luka. l = rπ ⋅ α 180° 6 cm ⋅ π ⋅ α = 17,6 cm 180° π ⋅ α = 17,6 30° α = 17,6 ⋅ 30° π 7 α = 528° ⋅ 22 a = 168° 156

5

Izra~unaj centralni ugao kruga ~iji je polupre~nik 4 cm i du`ina odgovaraju}eg luka: a) 0,8p cm b) 2,8p cm

6

Uputstvo za deo zadatka pod a): 4π ⋅ α = 0,8π α = 0,8 π ⋅ 180° 180° 4π Radi lak{eg ra~unawa skratili smo broj p, a nismo ga zamenili wegovom pribli`nom vredno{}u.

Izra~unaj polupre~nik kruga ako je centralni ugao 30° i du`ina luka 1,2p cm.

U jednakosti l = r π ⋅ α zameni date 180° veli~ine i izrazi polupre~nik.

Провери шта знаш 1. Izra~unaj du`inu kru`nog luka ako je: a) r = 2 cm i a = 90° b) r = 3,2 cm i a = 15° 2. Izra~unaj centralni ugao kruga ako je: a) r = 4 cm i l = 2p cm b) r = 2 cm i l = 0,6p cm

О броју p Matemati~ari su u pro{losti umeli da odrede pribli`nu vrednost broja p. U Vavilonu su oko 2000. godine pre nove ere izra~unali p ≈ 25 = 3,125, 2 8 a u Egiptu da je p ≈ 16 = 3,1604… 9 Kinezi su u 12. veku pre nove ere odredili da je pribli`na vrednost broja p broj 3, dok je Arhimed u 3. veku pre nove ere procenio da se broj p nalazi 223 223 < π