7 Razred - Klett - Zbirka

Математика Збирка задатака за 7. разред основне школе

ЗБИРК А

ЗБИРК А

ЗАДАТАКА

ЗАДАТАКА

МАТЕМАТИКА ЗБИРК А ЗАД АТАК А

Математика

ЗА 7. РАЗРЕ Д ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

Сања Милојевић Ненад Вуловић

Математика за

I SBN 978-86-7762 - 184- 1

Сања Милојевић Ненад Вуловић

разред основне школе

Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика 7 Збирка задатака са решењима

Математика 7 Збирка задатака са решењима друго издање Аутори: Сања Милојевић, мр Ненад Вуловић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу проф. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу Графичко обликовање: „Total idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Лектура: Јована Ђокић

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51 (075.2) (076)

Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 [email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Ротографика, Суботица Тираж: 10.000 примерака

МИЛОЈЕВИЋ, Сања, 1974– Математика 7: збирка задатака са решењима : [за 7. разред основне школе] / Сања Милојевић, Ненад Вуловић – 2. изд. Београд : Klett, 2010 (Суботица : Ротографика). – 160 стр. : граф. прикази, табеле ; 29 cm Тираж 10.000. ISBN 978-86-7762-184-1 (брош.) 1.Вуловић, Ненад, 1979– [аутор] COBISS.SR-ID 173759500

Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у седмом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00296/2009-06. Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

© Klett, 2010. ISBN 978-86-7762-184-1

ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака део је уџбеничког комплета за седми разред издавачке куће Klett. Састоји се из седам целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. Свако поглавље почиње једноставним задацима којима се увежбавају основна знања за сваку област. Након оваквих задатака понуђени су и типови задатака који су сложенији, а у некима је потребно искористити и знања из других области. На крају сваке целине је кратак тест у којем су, углавном, једноставни задаци за самосталну проверу основних знања из одговарајуће области. Свим ученицима, решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који могу и желе да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду. 

Аутори

3

САДРЖАЈ Реални бројеви��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Квадрат рационалног броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

18

2 Решавање једначине x = a, a ≥ 0. Квадратни корен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

19

Ирационални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

19

Скуп реалних бројева. Бројевна права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

20

Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја . . . . 12

20

Основна својства рачунских операција у скупу реалних бројева . . . . . . . . 13

21

Једнакост √a = |a| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

22

2

Тест – реални бројеви������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������17 Питагорина теорема������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������23 Питагорина теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

37

Примена Питагорине теореме на правоугаоник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

37

Примена Питагорине теореме на квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

38

Примена Питагорине теореме на једнакокраки троугао . . . . . . . . . . . . . . 26

38

Примена Питагорине теореме на једнакостранични троугао . . . . . . . . . . . 28

39

Примена Питагорине теореме на ромб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

40

Примена Питагорине теореме на једнакокраки и правоугли трапез . . . . . . 30

40

Правоугли троуглови чији су оштри углови 30° и 60°, односно по 45° . . . . . 32

41

Примена Питагорине теореме у конструкцијама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

42

Обрт Питагорине теореме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

44

Тест – Питагорина теорема��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������36 Цели и рационални алгебарски изрази�������������������������������������������������������������������������������������45 Степен чији је изложилац природан број . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

68

Множење и дељење степена једнаких основа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

69

Степен производа и количника. Степен степена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

69

Алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

70

Полиноми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

71

Сабирање полинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

72

Множење полинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

73

Квадрат бинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

74

Разлика квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

76

Растављање на чиниоце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

77

Тест – степен ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������66 Тест – полиноми������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������67

4

Многоугао ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������79 Обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

92

Број дијагонала многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

93

Збир углова многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

94

Обим и површина многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

95

Правилни многоуглови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

96

Обим и површина правилних многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

97

Конструкције неких правилних многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

99

Тест – многоугао������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������91 Зависне величине и њихово графичко представљање ������������������������������������������� 101 Провугли координатни систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

115

Растојање између две тачке у координатном систему . . . . . . . . . . . . . . . 102

115

График зависности међу величинама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

118

Директна пропорционалност. График зависности y = k ∙ x, x  R . . . . . . . . 105

120

Обрнута пропорционалност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

122

Примена пропорционалности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

123

Тест – зависне величине и њихово графичко представљање��������������������������������������������� 114 Круг��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 127 Обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

141

Централни и периферијски угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

141

Примена Питагорине теореме на круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

143

Обим круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

144

Дужина кружног лука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

145

Површина круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

146

Површина кружног прстена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

147

Површина кружног исечка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

148

Тест – круг��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 140 Сличност ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 149 Размера дужи. Пропорционалност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

156

Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

158

Тест – сличност ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 155

5

1. Израчунај дужину кружног лука, полупречника r = 6cm, коме одговара централни угао од:

12. Нацртај конвексан петоугао угла, а затим и конвексан десетоугао са три а) 30°; б) 45°; сав)три 60°; права г) 105°; д) 240°. 2 21. Биному 2х + 4х додај производ бинома 3х – 1 и 5 – 4х. права угла. 2. Израчунај полупречник кружнице ако кружном луку те кружнице дужине 5 πcm

3 13. Колико страница одговара има многоугао ако унутрашњих углова три пута централни угао је од збир 75°. 22. Од тринома 3а2 –његових 2а + 1 одузми производ бинома 2а + 3већи и 3а – 9. од збира спољашњих углова? 3. Полупречник кружнице је 8cm. Израчунај централни угао над кружним луком дужине: 2 23. Производу бинома х – у и х + у додај производ монома 2ху и тринома х + ху 2πcm; б) 2 2 πcm; в)је5 збир πcm; његових г) 5πcm. 14. Колико страница а)има многоугао ако спољашњих углова за 1 080° мањи 3 3 2 од збира унутрашњих углова? 24. Од производа бинома ху + 1 и 2х – 3у одузми разлику тих бинома.

КАКО ЋЕШ КОРИСТИТИ ЗБИРКУ ЗАДАТАКА (упутство за ученике)

4. Лук дужине πcm из центра тог круга види се под углом од 45°. Одреди полупречник круга.

15. Израчунај број дијагонала многоугла код когаисеразлике збир унутрашњих збир спољашњих 25. Производу збира 2а7min; ии3b додај разлику квадрата тих мон 5. Колики пут пређе врх казаљке сата дужине 4cm за:монома а) 1min; б) в) 48min? углова разликују за 540°. 6. Око квадрата странице 5cm описана 26.ABCD Одреди моном М такоједакружница. важи: Израчунај дужину мањег кружног лука над страницом AD. многоугла 2 3 кога2 се из једног темена може повући: 16. Колики је збир унутрашњих углова код Већину задатака у седмом разреду а) М · (3х – 4х + 5) = 6х – 8х + 10х; 2 2 13 дијагонала. 3 3 4 2 5 2 3 а) 5 дијагонала; 7. Странице правоугаоника б) М · (2асуbб)дужине + 5ab2√3cm – 7ab) = – 8аИзрачунај b – 20aдужину b + 28a b ; лука над и 2√6cm. краћег ћеш радити у свесци. 2 3 2 2 4 3 5 4 4 3 3 3 краћом страницом кружнице описане око тог правоугаоника ако је један од 9a b cкоји . в) (–4аb c + 10ac – 3b c) · М = 12а b c – 30a bc + углова 17. Одреди број дијагонала многоугла код кога је збир унутрашњих углова једнак одређују оног дијагонале 150°. збиру спољашњих углова. 27. За коју вредност х полином 2х2 – Израчунај 2х · (х – 2) – 3 има вредност 9? 8. Око једнакостраничног троугла АВС,променљиве странице 6cm, описана је кружница. дужину већег кружног лука те кружнице над страницом ВС.

18. Ако је n број страница многоугла, dn број његових дијагонала које полазе из истог углова, описана попуније табелу: темена и Sn збир9.унутрашњих Око правилног шестоугла кружница полупречника 7cm. Израчунај дужину

Али и даље ћеш неке задатке решавати директно у збирци.

n dn Sn

58

дужег кружног лука над краћом дијагоналом тог шестоугла.

10

14

10. Пречник круга АВ је дужине 16cm. Из тачке А конструисана је једна тетива круга која 9 5 АС. Израчунај дужину мањег лука над је једнака полупречнику круга. Означимо је са тетивом ВС.

720°

1 080°

11. Израчунај дужину испрекидане линије ако су фигуре око којих су оне нацртане: а) квадрат; 19. Израчунај унутрашње углове петоугла акоб)јеправоугаоник; почев од неког, сваки следећи за 20° већи в) правилан шестоугао; г) једнакостраничан троугао

од претходног.

Слике често олакшавају решавање 20. У четвороуглу је угао α = 60°, угао β = 3 α, а угао γ је за 10° већи од угла δ. Одреди 2 задатака. Размисли о свакој слици, а тог и четвороугла. углове 6cm 12cm 8cm тамо где нису нацртане, a користиле би, је угао α10cm два пута већи од угла β, угао γ износи 80% угла α, а угао δ је за покушај сам да их скицираш.21. У30°четвороуглу већи од угла α. Одреди углове тог четвороугла. 22. Ако многоугао има четири пута више дијагонала него страница, колико пута је збир унутрашњих134 углова већи од збира спољашњих углова?

ТЕСТ � ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

82 Тестови су дати да провериш колико си научио одговарајућу област.

1. Дужина једне катете правоуглог троугла је а = 8cm, а хипотенузе c = 10cm. Површина тог троугла је: б) 24cm2; в) 40cm2; г) 80cm2. а) 48cm2; 23. y = – 1 x. 24. 2 2. Птица стоји на врху металног стуба, чија је висина 12m. Ако метални стуб баца сенку дужине 5m, колико је птица удаљена од своје сенке? а) 5m; б) 12m в) 13m; г) 17m. 3. Правоугаоник је уписан у круг пречника 17cm. Ако је једна страница тог правоугаоника 15cm, онда је његов обим: а) 64cm; б) 46cm; в) 40cm; г) 23cm. 4. Дужина основице једнакокраког троугла је 12cm, а њој одговарајућа висина 8cm. Дужина висине која одговара краку је: а) 8cm; б) 4,8cm; в) 9,6cm; г) 10cm.

ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ. R \ {0} x

5. Висина једнакостраничног троугла је 2√3cm. Површина тог троугла је: 2 2 ГРАФИК ЗАВИСНОСТИ y = k, x ∈ б) 12cm ; в) 8√3cm ; г) 6cm2. а) 4√3cm2;

6. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина краће 1. х 6 2 3 1 4 12 дијагонале 6cm. O=

6

2

6

4

12

3

1

3. a) Не; б) Да и k = 1 . 2 4. а) б) 7. Дужине основица једнакокраког трапеза су a = 40mm и b = 24mm, а обим је 98mm. 1 1 1 6 3 12 х 4 1 2 16 8 х трапеза 2 Површина тог 2је: 2 2 2 2 2 б) 640mm ; в) 480mm г) 960mm . а) 240mm ; 1 ; 1 у 3 12 6 1 2 у 2 8 4 16 1 2 2 2 8. Конструиши квадрат чија је површина 17cm . P=

5. а)

Решења:

б)

в)

1. б); 2. в); 3. б); 4. в); 5. а); 6. О = 24cm, P = 18√3cm2; 7. в); 8. 2 2 2 Користи једнакост (√17) = 1 + 4 .

Иза сваке области су дата решења или резултати.

у 2. k = 5.

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ Квадрат рационалног броја 1. Израчунај површину квадрата чија је дужина странице: а) 2cm; б) 10mm; в) 3,7cm; г) 4 dm; д) 3 1 cm. 5 7 2. Израчунај површину једнакокрако-правоуглог троугла чија је дужина катета (крака): а) 4cm; б) 9mm; в) 1,2cm; г) 2 dm. 3 3. Израчунај квадрате рационалних бројева: г) – 7 ; а) 4; б) –7; в) 1 ; 8 9

ђ) –8 1 . 3

д) –5,5;

4. Попуни дату табелу: а

–1

8

–2,1

5 9

–7 1 7

–0,02

а2 5. Израчунај: 2

2

а) (–6) ;

б) 18 ;

( )

2

г) 3 ; 10

2

в) (–0,8) ;

2

(

)

д) –2 2 ; 9

ђ) (–0,04)2.

6. Заокружи слово испред тачних једнакости: 2

а) 6 ∙ 6 = 6 ; 2

г) 0 = 0 ; 2

( )

е) – 2 7

2 = (–2)2 ; (–7)

б) –8 ∙ 8 = (–8)2; д) –6,1 ∙ (–6,1) = (–6,1)2; ж) (–а)2 = –а2;

(– ) ( ) ( ) (– )

2

2 = 2 ; в) – 2 ∙ 3 3 3 2 2 ђ) 4 2 = 4 2 ; 3 3 з) (–4х)2 = –16х2.

7. Заокружи слово испред тачних неједнакости: 2 2 а) (–4) < 4 ; 2 г) (–0,1)2 < 1 ; 10

( )

б) 102 > 82; 2 2 д) – – 4 < 2 ; 5 5

( ) ( )

в) (–10)2 > (–8)2; ђ) (–0,05)2 > (–0,5)2.

8. У круг упиши одговарајући знак или =: а) (–12) г) 0,4

2

0; 0,42;

б) 8

2

д) (–3,5)2

2

(–8) ; –3,52;

2

(– ) ђ) ( 7 ) 10

в)

3 7

2

– 499 ; –0,72.

9. Поређај бројеве по величини од најмањег до највећег: (–0,1) , 0,01 , –1 , –0,01 , (–0,001) , – (–0,1)2 и – (–0,01)2. 2

2

2

2

2

7

10. Израчунај вредност израза: а) (–5)2 + 52; б) (–5)2 – 52; 2 г) 12 – 3 ; д) (1 – 3 )2; 4 4 2 2 2 ж) 16 ∙ –3 3 ; е) –2 ∙ (–5) ; 4

в) (–5 – 5)2; ђ) – 1 ∙ 32; 9

( )

(

)

з) –(–0,5)2 ∙ (–0,2)2.

11. Ако је а = – 1 , израчунај: 5 2

в) – 1 а2; 2

б) –25а2;

а) 5а ;

12. Израчунај вредност израза: 2 2 2 2 а) (–1) + 1 – (–2) + 2 ; 2 2 2 2 в) 2 – (–4) + 6 – (–8) ; д) –42 ∙ (–5) + 5 ∙ (–4)2;

б) (–1)2 + (–2)2 + (–3)2 + (–4)2; г) 102 – (–10)2 – (–102); ђ) 3 ∙ (–2)2 – 32 ∙ (–2).

13. Израчунај вредност израза: 2 а) 2 ∙ 12 – 2,5 + –1 1 ; 2 2 2 2 в) –2 ∙ 5 + 2 ∙ 5 ∙ 0,7 ; 7 2 2 2 д) [–5 ∙ (0,2) + (–3) ] ∙ 1 ; 8

(

)

б) –32 ∙ 5 – 5 ∙ 22 – (–1,5)2; г) –5 ∙ 22 + (–5)2 ∙ 2 – (–0,5)2; 2

2

( )

( )

ђ) 125 : (–5) – – 1 ∙ 25 + 1 . 5 10 2

14. Израчунај вредност израза: 2 2 2 а) (–4 ) ∙ – 1 + 3 ∙ (3 – 6) ; 4 2 2 2 1 ; в) (–0,64 : 0,4) – 1 ∙ – 3 5 2 2 2 д) (–7) – – 1 ∙ – 2 + 2 : 1 – 1 . 2 3 2

( )

( ) ( )( ) (

г) (– 5 а)2. 3

2

2

2 б) 32 – 3 – 3 – – 3 ; 4 4 4 4 2 2 г) 9 ∙ – 1 – 8 : – 2 + 1 ∙ (–32); 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

)

15. Користи особине степена, па на што једноставнији начин израчунај вредности израза: 2 2 2 б) 42 ∙ 252; в) – 2 ∙ 3 ; а) ( 1 ∙ 7 ∙ 2) ; 2 3 2 2 2 2 2 2 77 99 1 7 д) ∙ –1 ; ђ) – ∙ – 3 ∙ 32. г) 2 ; 11 100 99 9 7

( )(

)

( )( ) ( )( )

16. Ако су p и q рационални бројеви, запиши следеће изразе: а) збир квадрата бројева p и q; б) квадрат збира бројева p и q; в) квадрат разлике бројева p и q; г) разлика квадрата бројева p и q; д) квадрат количника бројева p и q; ђ) производ квадрата броја p и квадрата броја супротног броју q; е) количник квадрата броја q и троструког квадрата броја p (p ≠ 0).

8

17. Запиши следеће изразе, а затим израчунај њихове вредности за p = –2 и q = 1 : 5 а) збир квадрата бројева p и q; б) квадрат разлике бројева p и q; в) производ квадрата бројева p и q; г) од квадрата половине броја p одузми двоструки број q. 18. Израчунај збир квадрата бројева x, y и z ако је: а) x = –6, y = 3, z = –9; б) x = – 1 , y = 0,6, z = –3 3 . 2 4 19. Од разлике квадрата бројева –7 и 6 одузми квадрат збира бројева 5 и –9. 20. Квадрату производа бројева – 1 и –5 додај двоструки збир квадрата тих бројева. 2 2 21. Израчунај вредност израза 4а – 2а + 3 за: а) а = 5; б) а = – 1 ; 2

в) а = –0,4.

2 22. За а = – 1 израчунај вредност израза 5а – 5 ∙ 12 . 5 a 2

( )

2

( )

23. Ако је а = – 1 , b = – – 1 и c = – 12 , израчунај вредност израза: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 б) a – (b – c ); в) 2a2 – 4b2 – 8c2; а) a + b + c ; 2 ђ) 16ab2c – 32 ∙ (b2 + c2). д) 1 ab – 3 ∙ 2 1 2 ; г) 6a2 – b + b + c ; 2 4 2 4 a +c 24. Израчунај вредност израза: 2 2 2 а) –ab + (–a) b – (–a ) за a = 2 и b = –5; б) a2b – (–b)2a – (–a2) за a = –4 и b = 3; в) –(–a2)b2 – (–a)2 ∙ (–b)2 + a2b2 за a = –1 и b = 2.

Решавање једначине x2 = a, a ≥ 0. Квадратни корен 1. Одреди ненегативне бројеве чији је квадрат једнак: г) 25 ; д) 0,81. а) 0; б) 9; в) 1 ; 4 64 2. Одреди страницу квадрата чија је површина једнака: 2 б) 36mm2; в) 16 m2; г) 0,49dm2. а) 4cm ; 25

9

3. Израчунај: а) √100; е)

√

64 ; 49

б) √121;

в) √169;

г) √225;

д) √400;

√

з) √1,44;

и) √0,0009;

ј) 5 4 ; 9

ж) 1 17 ; 64

√

ђ)

√ 254 ;

к)

3 . 7

4. Израчунај:

√

а) 7 1 ; 9



д) 2√4 – 3 √9;

√ ђ) √2 1 + √1 9 ; 4 16 б) 6 1 ; 4

в) √49 – √16;

г) √64 – √81;

е) √0,01 – √0,36 .

5. Израчунај: а) √9 + 16;

√

д) 4 – 2 1 ; 25

б) √100 – 36;

√

ђ) 1 + 9 ; 16

√ е) √10 – 3 3 ; 4

в) 1 + 11 ; 25

√ ж) √30 – 9 3 . 4 г) 5 – 1 23 ; 36

6. Реши једначине: 2 а) x = 1;

б) x2 = 16;

2 д) x = 0,04;

ђ) 2x2 = 50;

2 з) x – 4= 5;

и) 5x2 + 3= 83;

2 л) 4 1 x + 5= 9,5; 2

г) x2 = 25 ; 36 ж) 1 1 x2 = 75; е) 2 x2 = 3 ; 3 8 3 2 1 ј) 70 – 6x = 46; к) 1 x2 + 5= 6,2; 5 љ) 3 1 – 1 1 x2 = 2 1 . 3 5 2 в) x2 = 81;

7. Реши једначине: в) (x + 1 )2 = 9 ; 2 16 ђ) 4 ∙ (5x – 2)2 = 1 3 . 7 4

2 а) (x – 1) = 25;

б) (x + 4)2 = 49;

2 г) 3 ∙ (x – 3) = 5 1 ; 3

д) 1 ∙ ( 2 x + 3)2 = 18 ; 2 5 25

8. Израчунај дијагоналу квадрата чија је површина 8cm . 2

9. Израчунај катету (крак) једнакокрако-правоуглог троугла чија је површина 18cm . 2

10. Израчунај ивицу коцке чија је површина 150cm2. 11. Ако се четвороструком квадрату неког броја дода број 5, добија се број 41. О ком броју је реч? 12. Производ броја 4 1 и квадрата неког броја је број 8. Одреди тај број. 2

10

13. Квадрат неког броја подељен бројем 2 1 је број 5 . Који је то број? 2 32

Ирационални бројеви 1. И  зрачунај дужину странице квадрата ако је његова површина: а) 3cm2; б) 5cm2; в) 8cm2. Да ли су дужине страница ових квадрата рационални бројеви?

{

}

2. Из скупа А = –5; √5; –√7; √16; √8 + 8; 5 – √6; –√2∙ √8; 3,9 издвој подскуп рационалних и подскуп ирационалних бројева. 3. Докажи да су ирационални бројеви: б) √5; в) √7; а) √3;

д) √8 .

4. Докажи да следећи бројеви нису рационални: б) 2 – √3; в) √2 + √5; а) 1 + √2 ; ђ) 2√3 + 3√2 . г) 3√2 ; д) √3 + 4; 2 5. Ако су а и b ирационални бројеви, да ли су обавезно ирационални и бројеви: а) а + b; б) а – b; в) а ∙ b; г) а : b. За сва тврђења наведи примере. 6. Израчунај вредност израза, па утврди да ли је добијени број рационалан или ирационалан: б) √7 + (–√7); в) √7 ∙ √7; г) √7 : √7. а) √7 + √7; 7. Реши једначине и запиши да ли су решења рационални или ирационални бројеви: в) x2 = 2 ; г) x2 = 0,08; а) x2 = 5; б) x2 = 4 ; д) x2 = 0,36. 25 49

Скуп реалних бројева. Бројевна права 1. Заокружи слова испред тачних (скуповних) једнакости: а) Q I = R; б) Q I = Q; в) Q I = I; ђ) I \ R = I. г) R \ I = Q; д) Q I = Ø; 2. На бројевној правој представи бројеве: –1; 4; 2 ; – 1 ; –3 1 и 5,7. 5 2 3 3. Поређај бројеве по величини од најмањег до највећег: √16, –√36, –6√16, 66; а) 6, б) 2; –3; √5; –√16; 3,5; √22; в) –√5; √2; –√9; √3; –1,4; 1,73; 1,74; –√6,25 .

11

4. Упореди бројеве: а) √5 и – √5; б) – √2 и – √3;

в) –2√5 и –5;

5. Упореди бројеве: а) √25 и 25;

б) √7 и 7;

Запиши када је √x < x, а када √x > x. 6. Покажи да је: а) 2,23 < √5 < 2,24;

в)

√ 499 и 499 ;

г) 2√3 и 3√2.

г) √0,04 и 0,04.

б) 3,46 < 2 √3 < 3,47.

7. Између којих суседних целих бројева се налази број √111.

Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја

{

}

1. И  з скупа А = 0,5; 0,6(78); 91,65...; 91,67; 66,(4); 66,43... издвој подскуп рационалних и подскуп ирационалних бројева. 2. Одреди прве три децимале реалних бројева: а) √3; б) √6; в) √10. 3. Докажи да је 0,(3) = 1 . 3 4. Попуни дату табелу: број

√2 = 1,41423... √8 = 2,82842... – √6 = –2,44948... – √15 = –3,87298...

број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале 5. Користећи џепни калкулатор израчунај квадратни корен следећих бројева, па га заокругли на две децимале: а) 27; б) 44; в) 110; г) 876; д) 1 234; ђ) 3,9; е) 18,2; ж) 0,007. 6. Не користећи џепни калкулатор израчунај: а) √1369; б) √24649; в) √532,2249; г) √29,3764; д) √611,5729; ђ) √346,7044.

12

7. Не користећи џепни калкулатор израчунај, па заокругли на две децимале: а) √444; б) √9876; в) √150,62.

Основна својства рачунских операција у скупу реалних бројева 1. Израчунај вредност израза: а) 8 – √2 + 5; б) 7 – √2 – 2 + √2; г) 4 + √6 – √16; д) –7 ∙ √2 ∙ 4; 2 е) ∙ √2 ∙ (– √25). 5 2. Израчунај вредност израза: б) √10 + 3√10 – 2√10; а) 5√2 – 3√2; г) √5 + 1 ∙ √5; д) –2√3 + 3√2 + 4√3; 5 е) (8 – √13) : 8; ж) √15 – 2 : (–10). 3

(

)

(

в) √8 – √3 + 5 – √8; ђ) –11 ∙ √5 ∙ √9;

в) –3,9 + 2 √11 + 1,1 – 9 √11; ђ) √7 ∙ (2 – √7) + 2,7;

)

3. Рационалиши именилац (делилац) у следећим изразима: б) 4 : √5; в) 10 ; г) 6 ; д) 7 ; а) 1 ; √3 √2 √6 √14 4. Израчунај вредност израза: б) 5√5 + 5 ; а) √2 + 2 ; √2 √5

в) 12√6 – 12 ; √6

ђ) 10 . √5

д) 21 + √7. √7

5. И  зрачунај вредности следећих израза користећи особине корена √a ∙ b = √a ∙ √b (а ≥ 0, b ≥ 0) и a = √a (а ≥ 0, b > 0): b √b б) √16 ∙ 81; в) √49 ∙ 36; г) 4 ; а) √9 ∙ 25; д) 25

√

√

ђ) 1 7 ; 9

√

е) 13 4 ; 9

6. Израчунај: а) √9 ∙ 16 ∙ 49;

ж) √0,04 ∙ 0,81;

√

б) 0,25 ∙ 1 ∙ 121; 4

√ √ 499 ; з) √1 9 ∙ √1,96 . 16 √

в) 3 1 ∙ 0,64 ∙ 1,44. 16

7. Растављањем на чиниоце, израчунај квадратне корене следећих бројева: а) 4 900; б) 2 025; в) 6 724; г) 176 400. 8. Покажи да је: а) √12 = 2 √3; г) √24 = 2 √6;

б) √18 = 3 √2; д) √45 = 3 √5;

9. Израчунај: а) (2 √3)2 + (3 √2)2;

б) (–2)2 + (–5 √5)2 + (3 √3)2;

в) √20 = 2 √5; ђ) √50 = 5 √2. в) (7 √2)2 – (6 √3)2 – (3 √5)2.

13

10. Упрости изразе („извуци“ испред корена највећи могући чинилац): а) √8; б) √27; в) √75; г) √48; д) √108; ђ) √200. 11. Који природни број је вредност израза: а) √2 ∙ √8; б) √3 ∙ √27; в) √2 ∙ √18? 12. Запиши изразе у облику m√n, где је m цео, а n природан број: а) √2 ∙ √10 – 3√5; б) 3√3 + √27; в) 2√12 – 3√27 + √48; г) –2√75 + 5√3 + 3√108; д) 4√2 – 3√50 – 2√98; ђ) 3√8 – 2√72 + √200; е) 1 √20 – 1 √80 + 2 √45; ж) 5√45 + 1 √80 – 2 √180 . 2 4 2 3 13. Израчунај вредност израза: а) 2 ∙ 9 + 1 ∙ √25; 25 2 3 1 ∙ 1 2 ; в) 1 1 : 4 + 9 225 3 3 3 д) ∙ √16 + 9 ∙ 4 – 6 ∙ 2 1 ; 9 4 4 е) 4 ∙ 1 9 – 3 ∙ 4 + 2 ∙ 2 1 ; 16 9 4 5 3 з) 1 ∙ √64 + 1 ∙ √16 – 10 ∙ √0,25; 4 2

√

√

√ √ √

√

√

√

14. Упрости изразе: а) √2 ∙ (√2 – √32); в) (√8 – √32 + √50) ∙ √2; д) (√48 – √27 + √3) ∙ √3; е) √45 + √80 – √180 . √5

√

√ √

√ √

√

( ) (

√

√

в) √12 – √75 – √48 . √3

б) √2 ∙ (√2 + √50 – √18);

16. Израчунај вредност израза: а) √25 + 3 ∙ 1 – 5 ∙ 4 ; 9 25 в) 5 – 12 – 2 ; 3 √11 2 2 д) 1 – 7 – 1 + –2 3 . 16 2 4

√

√

б) √3 ∙ (√12 – √3 + √75); г) √2 ∙ (√2 + √18 – √32); ђ) √5 ∙ (√5 – √20 + √125);

15. Покажи да су следећи бројеви рационални: а) √2 ∙ √50;

√

б) 4 1 : 4 + 1 1 ∙ 1 – 24 ; 9 25 3 2 г) 3 ∙ 1 7 – 1 ∙ √64 + 2 ∙ √0,04; 9 2 4 2 ђ) ∙ √81 – 4 ∙ 25 + 6 ∙ 7 1 ; 36 9 3 ж) 2 ∙ 6 1 – 2 ∙ √0,04 + 1 ∙ √16; 4 5 4 и) 2 1 ∙ 36 – 0,5 ∙ √16 + 2 ∙ √144 25 2 3

)

√

√ ( ) √

√

б) 5 4 – 4 + 2 ∙ 4 ; 9 9 9 2 г) – 2 + 2 + 7 – 0,52; 9 3

√

17. Израчунај вредност израза 1 1 x – 6 17 y ако је х = 1 – 16 и y = √0,36 ∙ 0,16 . 25 2 18 18. За А = √32 + 42 и В = √0,1 ∙ 3,6 израчунај: а) А + В; б) А ∙ В; в) (А – В)2.

14

Једнакост √a2 = |a| 1. Попуни дату табелу: 5

х

2 3

–2

– 4 5

0,4

–10,3

√15

– √19

х2 √x2 |x| 2. Израчунај: а) √16;

б) √42;

в) √(–4)2;

г)

√( )

2 – 4 ; 7

3. Израчунај вредност израза: а) 7 – √(–6)2;

б) 2 + 3

в) 2 – √(2 – 3)2; 5

г) 2 ∙

2 д) (3√3) – 2√32 + √(–3)2;

ђ) 2 3

√

е) 4 ∙ 1 9 – 3 ∙ 16 5

√(– 23 ) + 23 ∙ √2 14 ; 2

ж) 1

√

√( )

в) 1 ∙ √(–6)2 + 4 ∙ √(–0,5)2 – –3 3 ; 4 3 5 2 д) (√5) + 5 + √(–5)2 – 2 ∙ 1 . 25

√

√

√

√

√( ) √ √

2 –5 1 + 1 24 ; 2 25 г) √9 – √(9)2 + 9 ∙ 1 – √(–9)2; 9

б) √(–0,3)2 – 2 ∙ 2

√( )

2 – 1 ; 3 1 – 1 ∙ √(–12)2; 4 3 ∙ √(–9)2 – 4 ∙ 25 + 6 ∙ 7 1 ; 36 9 1 ∙ 1 – 15 – 0,2 ∙ √25 + 3 ∙ √(–16)2. 64 7 4

4. Израчунај вредност израза: а) √(–1)2 – √(–2)2 + √(–3)2 – √(–4)2;

2

д) (–√9) .

5. Израчунај вредност израза:

(√(– 254 ) ∙ (–2 12 ) – √121) : (√0,81 – 1 15 ∙ √ 2536 ); б) √676 + 1 1 ∙ √(– 4 ) : (– 2 ) ∙ √5 1 + √0,25 . ( 4 5 ) ( 3 16 ) а)

2

2

2

2

2 6. Израчунај вредност израза 1 ∙ √a2 + 3 ∙ a – 1 a за а = –2. 2 4 6

15

√(

) √(

)

√

√

3 – 1 2 – 3 + 1 2 и В = 1 – 16 ∙ 5 4 израчунај: 5 5 25 9 2 а) А – В; б) А ∙ В; в) (А + В) .

7. За А =

√

√

8. За А = 2 1 ∙ 1 + 11 – 1 ∙ √(–4)2 и В = 1 + 9 + 25 2 16 2 а) А2 – В2;

√( ) – 2 ∙ √(–5)4 – 3 4

2

2

израчунај:

б) (А + В)2.

9. Израчунај вредност израза: а) 2 ∙ √(–0,7)2 – 5 : √6,25 – (–0,4)2; 7

б) √(–0,4)2 – 2 ∙ 12 – 1 1 ∙ 5 4

√( )

2 – 2 . 5

10. Израчунај вредност израза: 2

2

а) (√2 + √3) – (√2 – √3) ; 2

2

б) (2 – √5) + (√5 – 2) ; 2 2 √10 – (3 – √10) + (2 – 2√10) . в) 11. Реши једначине: а) √x2 = 5; б) √x2 = √7;

в) √x2 = 3 √2;

12. Реши једначине: а) √(x + 3)2 = 1;

б) √(x – 1)2 = 1 ; 2

в)

√(

2x – 1 3

) = 23 ; 2

г) √x2 = х.

г) √(5 – x)2 = 5 – х.

13. Реши неједначине: а) √x2 < 2;

16

б) √x2 ≥ 2 1 ; 2

в) √x2 ≥ √7 + 1;

г) √(x + 3)2 < 0.

ТЕСТ – РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 1. Израчунај: 2 ; а) –5 1 = 2 (Допиши шта недостаје.)

(

)

2. Израчунај:

б) 5 ∙ (–2)2 + 5 ∙ (–32) =

√

б) 1 + 9 = 16 (Допиши шта недостаје.) а) √0,09 =

;

;

в)

.

√( )

2 – 2 = 5

3. Решење једначине 1 х2 = 16 је: 4 49 а) – 8 , 8 ; в) – 2 , 2 ; б) 1 1 ; 7 7 7 7 7 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

{

}

{

}

.

{

}

г) – 7 , 7 . 8 8

4. Површина квадрата је 50cm . Дужина његове странице је: а) 25cm; б) 12,5cm; в) 5 √2cm; г) 7,05cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2

{

}

5. Из скупа А = 2 ; √5; 9,1(6); –7,35184...; √25 – 7 издвој 7 а) подскуп рационалних бројева В =

{

б) подскуп ирационалних бројева С = (Допиши шта недостаје.) 6. Израчунај: а) √3 ∙ (√3 – √48 + √12) = (Допиши шта недостаје.)

;

} }.

{

б) 4√2 – √18 + √50 =

.

7. Користећи калкулатор израчунај квадратни корен броја 5, па га заокругли на: а) две децимале: √5 ≈ ; б) четири децимале: √5 ≈ . (Допиши шта недостаје.) 8. Вредност израза

је: г) 19.

{

а) –5; б) 7; в) –17 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

}

С = √5; –7,35184... ; 6. а) –3; б) 6 √2; 7. а) 2,24; б) 2,2361; 8. б). 1. а) 30 1 ; б) –25; 2. а) 0,3; б) 1 1 ; в) 2 ; 3. а); 4. в); 5. В = 2 ; 9,1666...; √25 – 7 , 4 4 5 7

{

17

Решења:

}

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ – решења Квадрат рационалног броја 1. а ) а = 2cm, P = 4cm2; б) а = 10mm, P = 100mm2; в) а = 3,7cm, P = 13,69cm2; г) а = 4 dm, P = 16 dm2; д) а = 3 1 cm, P = 9 43 cm2. 5 25 7 49 2 б) а = b = 9mm, P = 40,5mm2; 2. а = b = 4cm, P = 8cm ; в) а = b = 1,2cm, P = 0,72cm2; г) а = b = 2 dm, P = 2 dm2. 3 9 г) 49 ; д) 30,25; ђ) 69 4 . 3. a) 16; б) 49; в) 1 ; 64 81 9 4. 5 –7 1 –0,02 а –1 8 –2,1 9 7 25 51 1 а2 0,0004 1 64 4,41 81 49 5. а) 36;

б) 324;

6. а),

в),

г),

7. б),

в),

д).

8. а) >;

б) =;

в) 0,64; д),

ђ),

в) >;

г) 9 ; 100 е).

г) >;

д) >;

д) 4 76 ; 81

ђ) 0,0016.

ђ) >.

9. –1 < –0,01 = –(–0,01) < –(–0,1) < (–0,001)2 < 0,012 < (–0,1)2 . 2

2

2

2

10. a) 50; б) 0; в) 100; г) 7 ; д) 1 ; ђ) –1; е) –100; ж) 225; з) –0,01. 16 16 б) –1; в) – 1 ; г) 1 . 11. а) 1 ; 5 50 9 12. а) 2; б) 30; в) –40; г) 100; д) 160;

ђ) 30.

13. а) 1 ; 4

б) – 67,25;

в) – 48;

г) 29,75;

д) 1;

ђ) 4 1 . 100

14. а) 26;

б) –3 3 ; 16 б) 10 000;

в) 2 37 ; 75 в) 1;

г) –20;

д) 57 1 . 6 д) 1;

15. а) 49; 16. а) p2 + q2;

б) (p + q)2;

17. а) p + q = 4 1 ; 25

в) (p – q)2;

г) p2 – q2;

(

2

)

2

2

(( ) + (–5) ) = 56 34 .

20. – 1 ∙ (–5) + 2 ∙ – 1 2 2 21. а) 93; б) 5; в) 4,44.

18

2

2

2

2

ђ) 1.

( )

2

д) p ; q

в) p ∙ q = 4 ; 25 18. а) x2 + y2 + z2 = 126; б) x2 + y2 + z2 = 14 269 . 400 2 2 2 19. ((–7) – 6 ) – (5 + (–9)) = –3. 2

б) (p – q) = 24 1 ; 5

г) 49;

ђ) p2 ∙ (–q)2;

( )

2

г) p – 2q = 3 . 2 5

2 е) q 2 . 3p

22. –124,8. 23. а = 1 , b = – 1 , c = – 1 ; а) 3 ; б) 1 ; в) – 5 ; г) 7 ; д) – 6 1 ; ђ) – 4 1 . 4 4 4 16 16 8 32 32 16 24. а) – 66; б) 100; в) 4.

Решавање једначине x2 = a, a ≥ 0. Квадратни корен 1. а) 0; б) 3; в) 1 ; г) 5 ; д) 0,9. 2 8 2. а) 2cm; б) 6mm; в) 4 m; г) 0,7dm. 5 3. a ) 10; е) 8 = 1 7 4. а) 8 = 2 3

б) 11;

в) 13;

г) 15;

ђ) 2 ; 5 к) 3 . = 2 1 ; 3 7 ђ) 2 3 ; е) –0,5. 4 е) 5 = 2 1 ; ж) 9 = 4 1 . 2 2 2 2 ђ) 5 и –5; е) 3 и – 3 ; 4 4 5 л) 1 и –1; љ) и – 5 . 6 6 1 и –10 1 ; ђ) 3 и 1 . 2 2 4 20

д) 20;

1 ; 7 2; 3

ж) 9 = 1 1 ; з) 1,2; и) 0,03; ј) 7 8 8 3 б) 5 = 2 1 ; в) 3; г) –1; д) –5; 2 2 5. а) 5; б) 8; в) 6 = 1 1 ; г) 11 = 1 5 ; д) 7 = 1 2 ; ђ) 5 = 1 1 ; 5 5 6 6 5 5 4 4 д) 0,2 и –0,2; 6. а) 1 и –1; б) 4 и –4; в) 9 и –9; г) 5 и – 5 6 6 ж) 7 1 и –7 1 ; з) 3 и –3; и) 4 и –4; ј) 2 и –2; к) 1 и –1; 2 2 7. а) 6 и –4; б) 3 и –11; в) 1 и –1 1 ; г) 4 1 и 1 2 ; д) –4 4 4 3 3 8. d = 4cm. 9. a = b = 6cm. 10. a = 5cm. 11. 4x2 + 5 = 41, x = 3 или x = –3. 12. 4 1 x2 = 8, x = 1 1 или x = –1 1 . 2 3 3 13. x2 : 2 1 = 5 , x = 5 или x = – 5 . 2 32 4 4

Ирационални бројеви 1. а) a = √3cm;

{

б) a = √5cm;

}

в) a = 2 √2cm; Не.

{

}

2. АR = –5; √16; – √2 ∙ √8; 3,9 , АI = √5; – √7; – √8 + 8; 5 – √6 . 3. a) Ако претпоставимо супротно, да је √3  Q то јест да је √3 = a и a, b  N и D(a, b) = 1, b 2 2 2 2 2 2 a a то је (√3) = , односно 3 = 2 , па је a = 3b . Онда је 3‌| a , па је 3‌| a, то јест а = 3р, р  N. b b 2 2 2 2 Из a = 3b следи (3р) = 3b , 9р2 = 3b2, 3р2 = b2, односно 3‌| b2 то јест 3‌| b. Kако 3‌| a и 3‌| b, за бројеве а и b важи D(a, b)  3, што је супротно прeтпоставци да је D(a, b) = 1. Значи √3  Q+; +

( )

19

б) види пример под а); в) види пример под а); + + г) Претпоставимо супротно, да је √8  Q и √8 = r, r  Q . Kako je √8 = 2√2 = r, to je √2 = r  Q+, што је у супротности са √2  I . Значи √8  I. 2 4. a) П  ретпоставимо супротно, да је 1 + √2  Q. Тада је 1 + √2 = r, r  Q+, па онда и √2 = r – 1  Q, што је у супротности са √2  I . Значи 1 + √2  I; б) види пример под а); в) Претпоставимо супротно, да је √2 + √5  Q, па је √2 + √5 = r, r  Q, односно √5 = r – √2. 2 Сада је (√5)2 = (r – √2)2 , односно 5 = r 2– 2 r √2 + 2, па је √2 = r – 3  Q, што је у 2r супротности са √2  I . Значи √2 + √5  I; г) Претпоставимо супротно, да је 3 √2  Q, то јест 3 √2 = r, r  Q. Тада је √2 = r  Q, што је 3 у супротности са √2  I. Значи 3 √2  I; д) види претходни пример; ђ) види примере под в) и г). 5. а) не; √7 + (–√7); б) не; √7 – √7; в) не; √2 ∙ √8 = 4; г) не; √8 : √2 = 2. 6. а) 2√7  I;

б) 0  Q; в) 7  Q; г) 1  Q. 7. a) √5, – √5  I; б) 2 , – 2  Q; в) √2 , – √2  I; 7 7 5 5

г) √2 , – √2  I; 5 5

д) 3 , – 3  Q. 5 5

Скуп реалних бројева. Бројевна права 1. а), г), 2.

д). –1

0

4

5,7

3. a) –6 √16 < – √36 < √16 < 6 < 66; б) – √16 < –3 < 2 < √5 < 3,5 < √22; в) – √9 < – √6,25 < – √5 < –1,4 < √2 < 1,73 < √3 < 1,74. 4. а) √5 > – √5; б) – √2 > – √3; в) –2 √5 > –5; г) 2 √3 < 3 √2. 5. a) √25 < 25; г) √0,04 > 0,04; б) √7 < 7; в) 9 > 9 ; 49 49 Дакле, за ненегативне реалне бројеве x важи: √x < x за х > 1, a √x > x за х < 1. 2 6. a ) Како је 2,23 = 4,9729 < 5 < 2,24 = 5,0176, то је 2,23 < √5 < 2,24; б) Како је 3,462 = 11,9716 < 12 < 3,472 = 12,0409, то је 3,46 < 2√3 < 3,47. 7. 10 < √111 < 11.

√

Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја

{

}

{

}

1. АQ = 0,5; 0,6(78); 91,67; 66,(4) , АI = 91,65...; 66,43... . 2. a) √3 ≈ 1,732; б) √6 ≈ 2,449; в) √10 ≈ 3,162. 3. Како је х = 0,3333..., то је 10х = 3,3333... и 10х – х = 3,3333... – 0,33333.... Сада је 9х = 3, односно х = 3 , то јест х = 1 . 9 3

20

4. број

√2 = 1,41423... √8 = 2,82842... – √6 = –2,44948... – √15 = –3,87298...

број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале 5. а) 5,20; б) 6,63; 6. а) 37; б) 157; 7. а) 21,07; б) 99,38;

1

3

–2

–4

1,4

2,8

–2,4

–3,9

1,41

2,83

–2,45

–3,87

1,414

2,828

–2,449

–3,873

в) 10,49; в) 23,07; в) 12,27.

г) 29,60; г) 5,42;

д) 35,13; д) 24,73;

ђ) 1,97; ђ) 18,62.

е) 4,27;

ж) 0,08.

Основна својства рачунских операција у скупу реалних бројева 1. а) 13 – √2;

б) 5;

2. а) 2√2; д) 2√3 + 3√2;

в) 5 – √3;

г) √6;

ђ) –33√5;

б) 2√10;

в) –2,8 – 7√11;

ђ) –4,3 + 2√7;

е) 1 – √13 ; 8 д) √14 ; ђ) 2√5. 2

3. а) √3 ; б) 4√5 ; 3 5 4. а) 2√2; б) 6√5;

в) 5√2;

г) √6;

в) 10√6;

5. а) 15;

в) 42;

г) 4√7. г) 2 ; 5

б) 36;

д) –28√2;

д) 3 ; 7

ђ) 1 1 ; 3

е) –2√2.

г) 5 + √5 ; 5 √15 ж) – + 1 . 10 15

е) 3 2 ; 3

ж) 0,18;

з) 1,75.

6. а) 84; б) 2,75; в) 1,64. 7. а) √49 ∙ 100 = 7 ∙ 10 = 70; б) √9 ∙ 9 ∙ 25 = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45; в) √1681 ∙ 4 = 41 ∙ 2; г) √441 ∙ 4 ∙ 100 = 21 ∙ 2 ∙ 10 = 420. 8. а) √12 = √4 ∙ 3 = √4 ∙ √3 = 2√3; б) √18 = √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3√2; в) √20 = √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 = 2√5; г) √24 = √4 ∙ 6 = √4 ∙ √6 = 2√6; д) √45 = √9 ∙ 5 = √9 ∙ √5 = 3√5; ђ) √50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2. 9. а) 30; б) 156; в) –55. 10. а) 2√2; б) 3√3; в) 5√5; г) 4√3; д) 6√3; ђ) 10√2. 11. а) 4; б) 9; в) 6. 12. а) – √5; б) 6 √3; в) – √3; г) 13 √3; д) –25 √2; ђ) 4 √2; е) 6 √5; ж) 13√5. 13. а) 2 9 ; б) 6 4 ; в) 2 1 ; г) –2 3 ; д) 0; ђ) 18 2 ; е) 0; ж) 1 3 ; з) –1; и) 9. 10 5 9 5 3 5 14. а) –6; б) 18; в) 6; г) 0; д) 6; ђ) 20; е) 1. 15. а) 10  Q; б) 6  Q; в) –7  Q.

21

в) 16 √11 ; г) 1 31 ; д) 8 1 . 33 36 16 17. Како је х = 3 и y = 0,24, то је вредност датог израза – 23 . 5 30 18. Како је А = 5 и В = 0,6, то је: а) 5,6; б) 3; в) 19,36.

16. а) 4; б) 3;

Једнакост √a2 = |a| 1. х

5

–2

х2

25

4

√x2

5

2

|x|

5

2

2 3 4 9 2 3 2 3

– 4 5 16 25 4 5 4 5

0,4

–10,3

√15

– √19

0,16

106,09

15

19

0,4

10,3

√15

√19

0,4

10,3

√15

√19

2. а) 4;

б) 4;

в) 4;

г) 4 ; 7

д) 3.

3. а) 1;

б) 1;

г) –3;

д) 24;

4. а) –2; 5. а) 100; 6. 4 1 . 3

б) –9,3; б) 18.

в) – 3 ; 5 в) –1,35;

г) –12;

д) 14,6.

7. Како је А = –1 1 и В = 1 2 , то је: а) –2 3 ; б) –1 17 ; 5 5 5 25 8. Како је А = 1 и В = – 1 , то је: а) 3 ; б) 1 . 2 4 4 9. а) –1,96; б) –0,18. 10. а) 2√2; б) 2√5 – 4; в) 2√10 + 1. 11. а) 5, –5; б) √7, – √7; в) 3√2, –3√2; г) Решење је свако х  R за које важи да је х ≥ 0.

ђ) 18 2 ; 3

е) 0;

ж) 12.

в) 1 . 25

12. а) x = –2 или x = –4; б) x = 0,5 или x = 1,5; в) x = 0,5 или x = – 1 ; 6 г) Решење је сваки реалан број x за који важи x  5. 13. а) x  (–2 ,2);

22

б) x < –2,5 или x > 2,5;

в) x < – √7– 1 или x > √7 + 1;

г) Нема решења.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Питагорина теорема 1. И  зрачунај дужину хипотенузе с, а затим обим правоуглог троугла ако су дужине његових катета: а) а = 3cm, b = 4cm; б) а = 5cm, b = 12cm; в) а = 18cm, b = 24cm; г) а = 7cm,b = 24cm; д) а = 14cm, b = 48cm; ђ) а = 9 cm, b = 1 1 cm; 10 5 е) а = 0,6dm, b = 0,8dm; ж) а = 15cm, b = 2dm; з) а = 10cm, b = √3dm; и) а = √2cm, b = √5cm; ј) а = 3cm, b = √3cm; к) а = 3cm, b = 6cm. 2. И  зрачунај дужину непознате катете ако су дате дужине једне катете и хипотенузе, а затим израчунај површину правоуглог троугла: а) а = 15cm, с = 17cm; б) b = 24cm, с = 26cm; в) b = 30cm, с = 34cm; г) а = 21cm, с = 2,9dm; д) b = 3,5dm, с = 37cm; ђ) а = 4 2 cm, с = 4 6 cm; 7 7 ж) b = √7cm, с = √10cm; з) а = 2√2cm, с = 2√7cm. е) b = √5dm, с = 3dm; 3. Израчунај обим правоуглог троугла ако је дата дужина једне његове катете и његова површина: 2 б) b = 18cm, Р = 216cm2; а) а = 6cm, Р = 24cm ; в) b = 48cm, Р = 3,36dm2; г) а = 1cm, Р = √6cm2. 4. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете а = 16cm и хипотенузе с = 2dm. 5. Ако је дужина једне катете 2cm, а његова површина 4cm2, израчунај обим тог троугла и полупречник описане кружнице. 6. Мердевине дужине 2,5m ослоњене су врхом на вертикални зид. Ако је растојање њиховог подножја од зида 70cm, до које висине зида досеже врх мердевина? 7. Фабрички димњак баца сенку дугу 240m. Ако је растојање од врха димњака до врха сенке 260m, колика је висина димњака? 8. Врх бандере чија је дужина 12m је жицом причвршћен за земљу, на растојању 5m од подножја бандере. Израчунај дужину жице. 9. Дрвена греда дужине 5m наслоњена је врхом на вертикални зид на растојању 4,8m од земље. Колико је подножје греде удаљено од зида? 10. В  исина металних стубова који држе циркуски шатор је 7,2m. Стубови су конопцима, који су развучени до врха стубова, причвршћени за земљу на растојању 5,4m од подножја стубова. Колика је дужина конопаца? 11. С  офија је изашла из планинарског дома и одлучила да се прошета кроз шуму. Најпре је кренула на запад и прешла 800m, а затим је скренула надесно под углом од 90° и кренула на север. Када је прешла 600m, плашећи се да не закасни на ужину, одлучила је да се врати. Колико је дугачак најкраћи пут којим Софија може да се врати (на почетну тачку)?

23

12. Брод је кренуо из луке на југ и после пређених 48 наутичких миља* обалска стража је најавила невреме и брод је морао да промени правац кретања, па је кренуо на исток. Прешавши затим 14 наутичких миља морао је због олује да се врати у луку најкраћим путем. Колико наутичких миља је укупно прешао брод? *Наутичка миља је јединица за мерење дужине. Најчешће се употребљава у поморству. На било којој тачки земљине лопте једна наутичка миља одговара удаљености између суседних минута паралела, када се иде по меридијану. Једна наутичка миља једнака је 1 852m. 13. Дужина једне катете правоуглог троугла је 24cm, а дужина друге је 4 дужине прве 3 катете. Израчунај обим тог троугла. 14. Х  ипотенуза правоуглог троугла је 5cm, а једна катета је за 20% краћа од хипотенузе. Израчунај обим и површину тог троугла. 15. Ј една катета правоуглог троугла износи 3 дужине друге катете. Ако је дужина 4 хипотенузе тог троугла 15cm, израчунај његов обим и површину. 16. Израчунај висину која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако су дужине катета тог троугла 6cm и 8cm. 17. Дужина једне катете правоуглог троугла је 24cm, а дужина тежишне дужи која одговара хипотенузи је 13cm. Израчунај обим и површину тог троугла. 18. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а дужина тежишне дужи која јој одговара је 15cm. Израчунај обим и површину тог троугла. 19. Дужина једне катете правоуглог троугла је 11cm, а дужина тежишне дужи која одговара другој катети је 6,1dm. Израчунај површину тог троугла. 20. На основу података са а) слике израчунај дужину дужи х:

б) х

1

2

х

1 в)

12 4

24

г)

х

3

х

х 20

16

15

21. Израчунај обим и површину троугла АВС са слике:

С

25

24

26

А

В

Примена Питагорине теореме на правоугаоник 1. Израчунај дужину дијагоналa правоугаоника ако су дужине његових страница: а) а = 15cm, b = 8cm; б) а = 7cm, b = 24cm; в) а = 4 4 cm, b = 3 3 cm; 5 5 г) а = 4,2cm, b = 5,6cm; д) а = 4,8cm, b = 1,4cm; ђ) а = 12cm, b = 6cm. 2. Израчунај дужину дијагонале правоугаоника ако је: 2 а) дужина једне странице а = 12cm, а површина правоугаоника Р = 108cm ; б) дужина једне странице b = 5cm, а обим правоугаоника О = 34cm; в) једна страница дужа од друге за 4cm, а обим правоугаоника О = 56cm; г) једна страница 3 дужине друге странице, а површина правоугаоника Р = 48cm2. 4 3. Ако су дате дужине једне странице и дијагонале правоугаоника, израчунај обим и површину тог правоугаоника: а) а = 5cm, d = 13cm; б) b = 24cm, d = 26cm; в) b = 21cm, d = 29cm; г) а = 8cm, d = 4√5cm. 4. О  дреди полупречник круга који је описан око правоугаоника ако су дужине страница правоугаоника: а) а = 18cm, b = 24cm; б) а = 12cm, b = 8cm. 5. П  равоугаоник је уписан у круг полупречника 1dm. Ако је дужина једне странице правоугаоника 12cm, израчунај обим и површину тог правоугаоника. 6. И  зрачунај површину фискултурне сале, која је у облику правоугаоника, ако је њена дужина 42m, а дужина дијагонале 58m. 7. К  олико метара жице је потребно да се огради двориште (правоугаоног облика) чија је ширина 25m и дужина дијагонале 65m, ако су потребна три реда жице? 8. Ј една страница правоугаоника је два пута дужа од друге странице. Израчунај површину тог правоугаоника ако је дужина његове дијагонале 10√5cm. 9. Д  ужине страница правоугаоника АВСD су 30mm и 40mm. Колико су темена В и D удаљена од дијагонале АС?

25

10. Израчунај обим и површину четвороугла KLMN уписаног у правоугаоник ABCD (види слику): а) б) 4 M M 3 C D C D 2 L

N 2 А

2 4

4

K

B

1

1

N

L

1 A

1

K

3

B

Примена Питагорине теореме на квадрат 1. Ако је а страница квадрата, а d дијагонала квадрата, попуни дату табелу: а d

4cm

7m

6√2mm √2cm

14√2dm

10dm

2. Израчунај обим и површину квадрата ако је дужина његове дијагонале: а) d = 5√2cm; б) d = 2√2cm; в) d = 12m; г) d = 15dm. 3. Обим квадрата је 28cm. Израчунај дужину дијагонале тог квадрата. 4. Површина квадрата је 81cm2. Израчунај дужину дијагонале тог квадрата. 5. Нека је тачка Е средиште странице АВ квадрата АBCD и нека је дуж СЕ = 5cm. а) Израчунај обим и површину тог квадрата. б) Израчунај обим и површину троугла CDE. 6. Нека су тачке Е и F средишта страница BC и CD квадрата ABCD странице a = 8cm. Израчунај обим и површину троугла AEF. 7. Квадрат и правоугаоник имају дијагонале једнаких дужина. Ако су дужине страница правоугаоника 7cm и 1cm, за колико се разликују њихове површине? 8. Ако се у квадрату странице а = 4√2cm дијагонала повећа за 2cm, за колико ће се повећати обим, а за колико површина тог квадрата?

Примена Питагорине теореме на једнакокраки троугао 1. И  зрачунај крак једнакокраког троугла ако је дужина основице а = 36mm, а њој одговарајућа висина ha = 24mm. 2. А  ко су дате дужине основице а = 1dm и крака b = 13cm једнакокраког троугла, израчунај дужину висине која одговара основици.

26

3. И  зрачунај дужину основице једнакокраког троугла ако је дужина крака b = 25cm, а дужина висине која одговара основици ha = 24сm. 4. Израчунај обим и површину једнакокраког троугла ако је дато (а основица, b крак, ha висина која одговара основици): а) а = 8cm, b = 5cm; б) а = 18cm, ha = 12cm; в) b = 2,9cm, ha = 2,1cm; г) а = 62cm, ha = 2,4dm. 5. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је: а) његов обим 50cm, а дужина крака 17cm; б) његов обим 12cm, а дужина основице 2cm. 6. Израчунај обим једнакокраког троугла ако је његова површина 20√11cm, а дужина висине која одговара основици ha = 2√11cm. 7. О  бим једнакокраког троугла је 32cm, а крак му је за 2cm краћи од основице. Израчунај површину тог троугла. 8. Д  ужина основице једнакокраког троугла је 24cm, а њој одговарајућа висина je 16cm. Израчунај дужину висине која одговара краку. 9. И  зрачунај обим једнакокрако-правоуглог троугла ако је дужина његове катете (крака) 7cm. 10. И  зрачунај обим и површину једнакокрако-правоуглог троугла ако је дужина његове хипотенузе (основице) 1dm. 11. Израчунај висину која одговара хипотенузи једнакокрако-правоуглог троугла ако је: а) дужина хипотенузе (основице) 6 √2cm; б) дужина катете (крака) 8cm. 12. На основу података са слике (AD = 20cm, CD = 13cm, BD = 24cm) израчунај дужину дијагонале АС делтоида ABCD: D 20 A

13 24

C

B 13. Израчунај висину коју досежу двокрилне мердевине дужине 2,5m, ако су размакнуте на доњем крају 14dm. 14. Стаклена пирамида која се налази у Паризу испред музеја Лувр састављена је од 4 једнакокрака троугла дужине основица а = 36m и крака b = 30m. Колико m2 стакла је било потребно да би се направила та пирамида?

27

15. Одреди висину мердевина на основу података са слике:

16. Одреди висину шатора на основу података са слике:

Примена Питагорине теореме на једнакостранични троугао 1. Одреди висину једнакостраничног троугла ако је дужина странице: а) а = 6cm; б) а = 1m; в) а = 2 √3cm; г) а = √15dm. 2. Израчунај обим једнакостраничног троугла ако му је висинa: б) h = 8 √3cm; в) h = 6dm; а) h = 3 √3cm;

г) h = √15cm.

3. Ако је а дужина странице, h висинa, О обим, а Р површина једнакостраничног троугла, попуни дату табелу: а

h

О

Р

4cm 3cm 24cm 9√3cm2 4. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је дата: а) дужина странице а = 2√3cm; б) висинa h = 9dm.

28

5. Ако је површина једнакостраничног троугла 4√3cm2, израчунај његов обим. 6. Ако је обим једнакостраничног троугла 9√3cm, израчунај његову површину. 7. Узимајући у обзир задатак 3, рачунајући да су r и R полупречници уписане и описане кружнице, попуни дату табелу: a

h

r

R

O

P

10cm 27cm 2√3cm 4√3cm 6cm 15√3cm2 8. Ако је код једнакостраничног троугла r ∙ R = 6, израчунај његов обим и површину. 9. И  зрачунај површину фигуре са слике (која се састоји од четири једнакостранична троугла и квадрата):

4

10. Једнакостранични троугао и квадрат имају једнаке обиме. Ако је дијагонала квадрата 6√2cm, израчунај површину троугла.

Примена Питагорине теореме на ромб 1. Израчунај дужину странице ромба ако су дате дужине његових дијагонала: а) d1 = 18cm, d2 = 24cm; б) d1 = 6cm, d2 = 2√7cm. 2. Израчунај обим и површину ромба ако је дато (а дужина странице, d1 и d2 дужине дијагонала): а) d1 = 2√2cm, d2 = 2√7cm; б) а = 17cm, d1 = 16cm; в) а = 29cm, d2 = 42cm; г) а = 6cm, d2 = 8cm.

29

3. Дужина странице ромба је 4cm, а дужина једне дијагонале 6,4cm. Израчунај површину и висину тог ромба. 4. Дужина странице ромба је 10dm, а дужина једне дијагонале 16dm. Израчунај полупречник кружнице која је уписана у тај ромб. 5. Површина ромба је 96cm , а дужина једне дијагонале је 16cm. Израчунај обим тог ромба. 2

6. Обим ромба је 10dm, а дужина једне дијагонале 4dm. Израчунај површину тог ромба и полупречник кружнице која је уписана у тај ромб. 7. Једна дијагонала ромба је два пута дужа од друге дијагонале. Колики је обим ромба ако је његова површина 81cm2? 8. Дужина једне дијагонале ромба је 3 дужине друге дијагонале. Ако је његова површина 4 24cm2, израчунај обим и висину тог ромба. 9. О  дреди површину ромба ако се дужине његових дијагонала односе као 3 : 4, а обим тог ромба је 60cm.

Примена Питагорине теореме на једнакокраки и правоугли трапез 1. И  зрачунај обим и површину једнакокраког трапеза ако је дато (а дужина дуже основице, b дужина краће основице, c дужина крака, h висинa): а) a = 22cm, b = 10cm, c = 10cm; б) a = 15cm, b = 9cm, h = 4cm; в) a = 14cm, c = 13cm, h = 12cm; г) b = 22cm, c = 10cm, h = 8cm. 2. Д  ужине основица једнакокраког трапеза су a = 20cm и b = 10cm, а обим је О = 56cm. Колика је површина тог трапеза? 3. И  зрачунај обим једнакокраког трапеза ако су дужине основица a = 26cm и b = 12cm, а површина Р = 456cm2. 4. Ј една основица једнакокраког трапеза је три пута дужа од друге основице, а дужина висине је h = 24cm. Ако је површина тог трапеза Р = 336cm2, израчунај његов обим. 5. Попречни пресек канала има облик једнакокраког трапеза, чије су дужине основица a = 3m и b = 10m, а крака c = 3,7m. Колика је дубина тог канала? 6. Дужине основица једнакокраког трапеза односе се као 5 : 2. Ако је дужина крака c = 25cm, а обим О = 120cm, израчунај његову површину.

30

7. А  ко је а дужа основица, b краћа основица, h висина и d дијагонала једнакокраког трапеза, попуни дату табелу: a

b

h

35cm

13cm

18cm

30cm

18cm

30cm 15cm

d 26cm

21cm

29cm

16cm

34cm

8. И  зрачунај дужину дијагонале једнакокраког трапеза ако су дужине основица a = 21cm и b = 11cm, а крака c = 13cm. 9. О  дреди дужине основица једнакокраког трапеза ако је дужина крака c = 10cm, дијагонале d = 17cm и висине h = 8cm. 10. Дијагонала једнакокраког трапеза дужине d = 4cm нормална је на крак дужине c = 3cm. Израчунај: а) дужу основицу; б) висину; в) површину трапеза. 11. Дужине основица правоуглог трапеза су a = 15cm и b = 9cm, а краћи крак је h = 8cm. Израчунај: а) дужину дужег крака; б) дужине дијагонала. 12. А  ко је а дужа основица, b краћа основица, h висина (краћи крак), с дужи крак, О обим и Р површина правоуглог трапеза, попуни дату табелу: a

b

h

37cm

30cm

24cm

24cm

15cm

24cm 13cm 9cm

c

O

P

41cm 36cm

39cm

35cm

37cm 2

6cm

30cm

13. На равном хоризонталном плочнику, на међусобној удаљености од 12m, налазе се две бандере, чије су висине 5m и 10m. Колико је дугачка жица која је затегнута између врхова бандера? 14. Два круга полупречника r1 = 4cm и r2 = 1cm додирују се споља и истовремено додирују праву t у тачкама Т1 и Т2 тим редом. Израчунај дужину дужи Т1Т2.

О1 О2 Т1

Т2

t

31

15. Израчунај обим и површину правоуглог трапеза ако су дужине основица a = 14cm и b = 5cm, а дужина краће дијагонале d1 = 13cm. 16. Израчунај површину правоуглог трапеза ако је дато (а дужина дуже основице, с дужина дужег крака, h дужина краћег крака – висине, d1 дужина краће дијагонале и d2 дужина дуже дијагонале): а) a = 16cm, c = 15cm, d2 = 20cm; б) c = 17cm, h = 8cm, d1 = 10cm.

Правоугли троуглови чији су оштри углови 30° и 60°, односно по 45° 1. Ј едан оштар угао правоуглог троугла је 60°. Одреди дужине страница тог троугла ако је 6сm дугачка: а) његова хипотенуза; б) његова краћа катета; в) његова дужа катета. 2. В  рх телефонског стуба се из тачке А на земљи види под углом од 60°. Ако је тачка А удаљена од подножја стуба 10m, колика је висина стуба? 3. Н  а основу података са слике израчунај дужине дужи x и y ако је x + y = 8cm.

x y 30°

4. Израчунај обим и површину троугла АВС са слике.

C 5cm A

30°

45°

B

5. Д  ијагонала правоугаоника образује са дужом страницом угао од 30°. Израчунај обим и површину тог правоугаоника ако је краћа страница дужине 3cm. 6. Д  ијагонале правоугаоника секу се под углом од 60°. Израчунај обим и површину правоугаоника ако је дужина: а) краће странице 3cm; б) дијагонале 10cm. 7. И  зрачунај површину једнакокраког троугла ако су краци дугачки по 4cm, а углови на основици по: а) 30°; б) 45°. 8. И  зрачунај обим и површину једнакокраког троугла ако је дужина основице 6cm, а углови на њој по: а) 30°; б) 45°.

32

9. Израчунај површину једнакокраког троугла чији су краци дужине 5cm и образују угао од: а) 30°; б) 120°; в) 150°. 10. Оштар угао ромба је 60°, а дужина странице је 4cm. Израчунај површину тог ромба. 11. Туп угао ромба је 120°, а дужина висине 3√3cm. Израчунај површину тог ромба. 12. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина: а) краће дијагонале 2cm; б) дуже дијагонале 8cm. 13. Ако је оштар угао ромба 45°, а дужина странице 10cm, колика је његова површина? 14. Ако је туп угао ромба 135°, а дужина висине 6cm, одреди обим и површину тог ромба. 15. И  зрачунај површину једнакокраког трапеза ако је дужина дуже основице 12cm, дужина крака 5cm, а углови на дужој основици: а) 60°; б) 30°. 16. Ако је код једнакокраког трапеза дужина краће основице 3cm, дужина крака 4 √2cm и оштри углови по 45°, израчунај површину тог трапеза. 17. Дужине основица једнакокраког трапеза су 6cm и 4cm, а углови на дужој основици су 45°. Израчунај обим и површину тог трапеза. 18. У правоуглом трапезу туп угао је 150°, дужина дужег крака је 6cm и дужина дуже основице 8√3cm. Израчунај површину тог трапеза. 19. Ако је оштар угао у правоуглом трапезу 60°, дужина дужег крака 4cm и дужина краће основице 2cm, израчунај површину тог трапеза. 20. Оштар угао правоуглог трапеза је 45°. Израчунај површину тог трапеза ако је дужина краће основице 3cm и дужина краћег крака 4cm. 21. Одреди површину паралелограма ако су дате дужине страница a и b и угао α који оне захватају: а) а = 6cm, b = 4cm, α = 60°; б) а = 5cm, b = 3,2cm, α = 30°; в) а = 3cm, b = √2cm, α = 45°; г) а = 5 √3cm, b = 2cm, α = 60°. 22. Одреди површину троугла ако су дате дужине страница a и b и угао γ који оне захватају: а) а = 20cm, b = 15cm, γ = 30°; б) а = 1cm, b = 2cm, γ = 45°; в) а = 8 √3cm, b = 10cm, γ = 60°; г) а = 2cm, b = √2cm, γ = 45°.

33

Примена Питагорине теореме у конструкцијама 1. Конструиши број √3 користећи једнакости: 2

а) 3 = √2 + 1;

б) 3 = 22 – 12.

2. Конструиши број √8 користећи једнакости: 2 2 б) 8 = 32 – 12; а) 8 = 2 + 2 ; 3. Конструиши бројеве: б) √10; а) √5; ђ) √26; е) √29;

в) √13; ж) √34;

г) √17; з) √37;

д) √20; и) √40.

4. Конструиши бројеве: б) √11; а) √7; ђ) √24; е) √27;

в) √12; ж) √32;

г) √15; з) √35;

д) √21; и) √45.

5. Користећи претходно, конструиши број √8 користећи једнакости: 2 2 2 2 2 2 2 а) 8 = √7 + 12; б) 8 = √6 + √2 ; в) 8 = √5 + √3 ; г) 8 = √10 – √2 . 6. Пронађи што је могуће више начина на које можеш конструисати бројеве: а) √6; б) √11; в) √12; г) √26. 7. Конструиши бројеве: а) 1 + √2; б) √3 + 2;

в) √2 + √5;

г) 2√3;

д) 4 + 3√3;

ђ) 2√5 – 3√2.

8. Конструиши и представи на бројевној правој дужи чији су мерни бројеви: а) –√10; б) –√7; в) √2 + √3; г) 5 – √5; д) 1 + √8; ђ) –√2 – √5. 2 9. Конструиши квадрат чија је површина: 2 б) 13cm2; в) 15cm2; а) 5cm ;

г) 27cm2.

10. К  онструиши квадрат чија је површина једнака збиру површина два квадрата чије су дужине страница 3cm и 5cm. 11. К  онструиши квадрат чија је површина једнака разлици површина два квадрата чије су дужине страница 6cm и 4cm. 12. К  онструиши квадрат два пута веће површине од површине квадрата чија је страница дужине 3cm. 13. Дата је дуж x. Конструиши дужи чије су дужине: а) √2х; б) √5х.

34

x

14. Дата су два квадрата A1B1C1D1 и A2B2C2D2. Конструиши квадрат чија је површина једнака: а) збиру површина датих квадрата; б) разлици површина датих квадрата.

C1

D1

А1 15. Дат је квадрат ABCD. Конструиши квадрат чија је површина: а) два пута мања од површине датог квадрата; б) три пута већа од површине датог квадрата.

В1

D2

C2

А2

B2

D

C

А

В

Обрт Питагорине теореме 1. И  спитај да ли је троугао MNP правоугли и ако јесте, одреди теме правог угла (MN = p, NP = m, PM = n): а) m = 10cm, n = 2√11cm, p = 12cm; б) m = 12cm, n = 15cm, p = 18cm; в) m = 4cm, n = 4√5cm, p = 8cm; г) m = 1cm, n = 5cm, p = 2√6cm; д) m = 9cm, n = 10cm, p = 3 √17cm; ђ) m = 17cm, n = 15cm, p = 8cm. 2. И  спитај да ли a, b, c могу бити дужине страница неког троугла, а затим одреди којој врсти троуглова (према угловима) припада ако је: а) а = 2cm, b = 3cm, c = 4cm; б) а = 2cm, b = 4cm, c = 2√5cm; в) а = 1cm, b = 3cm, c = 9cm; г) а = 5cm, b = 9cm, c = 12cm; д) а = 4,4cm, b = 5,5cm, c = 7cm; ђ) а = √2cm, b = √3cm, c = √5cm.

35

ТЕСТ – ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 1. Д  ужина једне катете правоуглог троугла је а = 8cm, а хипотенузе c = 10cm. Површина тог троугла је: а) 48cm2; б) 24cm2; в) 40cm2; г) 80cm2. 2. Птица стоји на врху металног стуба, чија је висина 12m. Ако метални стуб баца сенку дужине 5m, колико је птица удаљена од своје сенке? а) 5m; б) 12m в) 13m; г) 17m. 3. Правоугаоник је уписан у круг пречника 17cm. Ако је једна страница тог правоугаоника 15cm, онда је његов обим: а) 64cm; б) 46cm; в) 40cm; г) 23cm. 4. Дужина основице једнакокраког троугла је 12cm, а њој одговарајућа висина 8cm. Дужина висине која одговара краку је: а) 8cm; б) 4,8cm; в) 9,6cm; г) 10cm. 5. Висина једнакостраничног троугла је 2√3cm. Површина тог троугла је: а) 4√3cm2; б) 12cm2; в) 8√3cm2; г) 6cm2. 6. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина краће дијагонале 6cm. O= P= 7. Д  ужине основица једнакокраког трапеза су a = 40mm и b = 24mm, а обим је 98mm. Површина тог трапеза је: а) 240mm2; б) 640mm2; в) 480mm2; г) 960mm2. 8. Конструиши квадрат чија је површина 17cm2.

1. б); 2. в); 3. б); 4. в); 5. а); 6. О = 24cm, P = 18√3cm2; 7. в); 8. Користи једнакост (√17)2 = 12 + 42.

Решења:

36

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА – РЕШЕЊА Питагорина теорема 1. а ) с = 5cm, O = 12cm;

б) с = 13cm, O = 30cm;

в) с = 30cm, O = 72cm; г) с = 25cm, O = 56cm; д) с = 50cm, O = 112cm; ђ) с = 1 1 cm, O = 3 3 cm; 2 5 е) с = 1dm, O = 2,4dm; ж) с = 25cm, O = 60cm; з) с = 2dm, O = (3 + √3)dm; и) с = √7cm, O = (√2 + √5 + √7)cm; ј) с = 2√3cm, O = (3 + 3√3)cm = 3(1 + √3) cm; к) с = 3√5cm, O = (9 + 3√5)cm = 3(3 + √5)cm. 2. a) b = 8cm, P = 60cm2; б) а = 10cm, P = 120cm2; в) а = 16cm, P = 240cm2; 2 2 ђ) b = 2 2 cm, P = 4 44 cm2; г) b = 20cm, P = 210cm ; д) а = 12cm, P = 210cm ; 7 49 е) а = 2dm, P = √5dm2; ж) a = √3cm, P = √21 cm2; з) b = 2√5cm, P = 2√10cm2. 2 3. а) b = 8cm, с = 10cm, O = 24cm; б) а = 24cm, с = 30cm, O = 72cm; в) а = 14cm, с = 50cm, O = 112cm; г) b = 2√6cm, с = 5cm, O = (6 + 2√6)cm. 4. b = 12cm, O = 48cm, P = 96cm2. 5. b = 4cm, с = 2√5cm, O = (6 + 2√5)cm; r = √5cm. 6. 2,4m. 7. 100m. 8. 13m. 9. 1,4m. 10. 9m. 11. 1km. 12. c = 50 наутичких миља, О (укупан пут) = 112 наутичких миља. 13. b = 32cm, с = 40cm, O = 96cm. 14. b = 4cm, а = 3cm, O = 12cm, P = 6cm2.

( )

2

15. И  з b = 3 a добијамо a2 + 3 a = 152, а одатле 16 + 9 a2 = 225, a2 = 225 : 25 , a2 = 144 и 4 4 16 16 коначно a = 12cm. Сада је b = 9cm, O = 36cm и P = 54cm2. 16. c = 10cm, P = 24cm2, hc = 4,8cm. 17. Из c = 2tc добијамо c = 26cm, а онда b = 10cm, O = 60cm и P = 120cm2.

( )

2

18. b2 = ta2 – a , b = 12cm, c = 6√13cm, O = (30 + 6√3)cm, P = 108cm2. 2 2 19. b = tb2 – a2, b = 120cm, P = 660cm2. 2 б) х = √2; в) х = 13; г) х = 9. 20. a) х = √2; 21. П  римењујући два пута Питагорину теорему добијамо AB = 7 + 10 = 17, пa je O = 68 и P = 204.

( )

Примена Питагорине теореме на правоугаоник 1. а) d = 17cm; б) d = 25cm; в) d = 6cm; г) d = 7cm; д) d = 5cm; ђ) d = 6 √5cm. 2. а) b = 9cm; d = 15cm; б) а = 12cm; d = 13cm; в) а = 12cm, b = 16cm; d = 20cm; г) а = 8cm b = 6cm; d = 10cm. 2 3. а) b = 12cm, O = 34cm, P = 60cm ; б) а = 10cm, O = 68cm, P = 240cm2; в) а = 20cm, O = 82cm, P = 420cm2; г) b = 4cm, O = 24cm, P = 32cm2. 4. а) d = 30cm, r = 15cm; б) d = 4√13cm, r = 2√13cm. 5. d = 2r, d = 20cm, a = 12cm, b = 16cm, O = 56cm, P = 192cm2.

37

6. b = 40m, P = 1680m2. 7. Како је a = 60m и O = 170m, то је потребно 3 ∙ 170m = 510m жице. 8. Из a = 2b добијамо (2b)2 + b2 = (10√5)2, односно 5b2 = 500, b = 10cm. Сада је a = 20cm и P = 200cm2. 9. Како је d = 50mm и нека је x тражено растојање. Тада је P∆ = a ∙ b = d ∙ x , а одатле 2 2 x = 24mm. 10. а) Нека је KL = LM = MN = NK = x. Тада је x2 = 42 + 22, односно x = 2√5, па је O = 8√5 и P = 16. б) Нека је MN = NK = x и KL = LM = y. Тада је x2 = 12 + 12, односно x = √2 и y2 = 32 + 12, односно y = √10. Сада је O = 2√2 + 2√10 и P = 4.

Примена Питагорине теореме на квадрат 1. а

4cm

7m

1cm

6√2mm

14dm

5√2 dm

d

4√2cm

7√2m

√2cm

12mm

14√2dm

10dm

2. а) а = 5cm, O = 20cm, P = 25cm2; в) а = 6√2m, O = 24√2m, P = 72m2;

б) а = 2cm, O = 8cm, P = 4cm2; г) а = 15√2 dm, O = 30√2dm, P = 225 dm2. 2 2

3. a = 7cm, d = 7√2cm. 4. a = 9cm, d = 9√2cm.

( )

2

2 2 5. Из CE = a + a добијамо a = 2√5cm. Сада је: 2 2 б) O∆ = (10 + 2√5)cm, P∆ = 10cm2. a) O = 8√5cm, P = 20cm ; 6. Нека је АЕ = AF = x и EF = y. Тада је x2 = 82 + 42, x = 4√5cm и y2 = 42 + 42, y = 4√2cm. Сада је O = (4√2 + 8√5)cm и P = 24cm2. 7. К  ако је dp = 5√2cm и dk = dp = 5√2cm, то је ak = 5cm. Из Pp = 7cm2 и Pk = 25cm2 следи Pk – Pp = 18cm2. 8. Како је d = 8cm, то је d1 = 10cm и a1 = 5√2cm. Из O = 16√2cm и O1 = 20√2cm добијамо O1 – O = 4√2cm. Из P = 32cm2 и P1 = 50cm2 добијамо P1 – P = 18cm2.

Примена Питагорине теореме на једнакокраки троугао

38

1. b = 30mm. 2. ha = 12cm. 3. a = 14cm. 2 4. a) ha = 3cm, O = 18cm, P =12cm ; б) b = 15cm, O = 48cm, P =108cm2; в) а = 4cm, O = 9,8cm, P = 4,2cm2; г) b = √1537cm, O = (2 √1537+ 62)cm, P = 744cm2. 2 5. a) a = 16cm, ha = 15cm, P =120cm ; б) b = 5cm, ha = 2 √6cm, P =2 √6cm2. 6. a = 20cm, b = 12cm, O = 44cm. 7. a = 12cm, b = 10cm, ha = 8cm, P =48cm2. 8. Из b = 20cm и a ∙ ha = b ∙ hb добијамо hb = 19,2cm. 2 2

9. c = 7√2cm, O = (14 + 7√2)cm. 10. a = √2 dm, O = (√2 + 1)dm, P = 1 dm2. 2 4 11. a ) c = 6√2cm, a = 6cm, hc = 3√2cm или одмах hc = 1 c = 3√2 јер је висина истовремено и 2 тежишна дуж тог троугла; б) a = 8cm, c = 8 √2cm, hc = 4√2cm. 12. Нека је AC  BD = {O} и BO = OD = 12cm. Тада је OA = 16cm и OC = 5cm, па је AC = AO + OC = 21cm. 13. a = 14dm, b = 25dm, ha = 24dm = 2,4m. 2 14. ha = 24m, P = 4 ∙ a ∙ h = 1728m . 2 15. h = 4m. 16. h = 1,5m.

Примена Питагорине теореме на једнакостранични троугао б) h = √3 m; 2 2. a) a = 6cm, O = 18cm; в) a = 4√3dm, O = 12√3dm; 3. 1. a) h = 3√3cm;

г) h = 3√5 dm. 2 б) a = 16cm, O = 48cm; г) a = 2√5cm, O = 6√5cm.

в) h = 3cm;

а

h

О

Р

4cm

2√3cm

12cm

4√3cm2

2√3cm

3cm

6√3cm

3√3cm2

8cm

4√3cm

24cm

16√3cm2

6cm

3√3cm

18cm

9√3cm2

4. а) Р = 3 √3cm2; б) а = 6 √3cm, Р = 27√3cm2. 5. a = 4cm, O = 12cm. 2 6. а = 3 √3cm, Р = 27√3 cm . 4 7. a

h

R 10√3 cm 3

6√3cm

r 5√3 cm 3 3√3 cm 2 2√3 cm 3 2 √3cm

10cm

5√3cm

9cm

9√3 cm 2

4cm

2√3cm

12cm

O

P

30cm

25√3cm2

27cm

81√3 cm2 4

4√3 cm 3 4√3cm

12cm

4√3cm2

36cm

36√3cm2

12√3cm

18cm

6cm

12cm

36√3cm

108 √3cm2

2√15cm

3√5cm

√5cm

2√5cm

6√15cm

15√3cm2

3√3cm

39

2 8. Како је R = 2r, то је r ∙ 2r = 6, r = 3 и r = √3. Сада је a = 6, O = 18 и P = 9√3. 2 2 9. P = Pk + 4Pt = a + 4 ∙ a √3 = 16 + 16√3. 4 2 10. Лако добијамо ak = 6cm и Ok = 24cm. Сада је Ot = 24cm, па је at = 8cm и Pt = 16√3cm .

Примена Питагорине теореме на ромб 1. a) a = 15cm; б) a = 4cm. 2. а ) a = 3cm, O = 12cm, P =2√14cm2; б) d2 = 30cm, O = 68cm, P = 240cm2; в) d1 = 40cm, O = 116cm, P = 840cm2; г) d1 = 4√5cm, O = 24cm, P =16√5cm2. 2 3. d2 = 4,8cm, P =15,36cm ; h = 3,84cm. 4. d2 = 12dm, P = 96dm2; h = 9,6dm, r = 4,8dm. 5. d2 = 12cm, a = 10cm, O = 40cm. 6. a = 2,5dm, d2 = 3dm, P = 6dm2; h = 2,4dm, r = 1,2dm. 7. d2 = 9cm, d1 = 18cm, a = 9√5 cm, O = 18√5cm. 2 8. d2 = 8cm, d1 = 6cm, a = 5cm, O = 20cm, h = 4,8cm. 9. Ако је d1 = 3x и d2 = 4x, онда је x = 6cm. Тако је d1 = 18cm, d2 = 24cm и P = 216cm2.

Примена Питагорине теореме на једнакокраки и правоугли трапез 1. a ) h = 8cm, O = 52cm, P = 128cm2; б) с = 5cm, O = 34cm, P = 48cm2; 2 в) b = 4cm, O = 44cm, P = 108cm ; г) а = 34cm, O = 76cm, P = 224cm2. 2. c = 13cm, h = 12cm, P = 180cm2. 3. h = 24cm, c = 25cm, O = 88cm. 4. b = 7cm, a = 21cm, c = 25cm, O = 78cm. 5. h = 1,2m. 6. a = 5x, b = 2x, x = 10cm, a = 50cm, b = 20cm, h = 20cm и P = 700cm2. 7. a

b

h

d

35cm

13cm

18cm

30cm

30cm

18cm

10cm

26cm

30cm

10cm

21cm

29cm

45cm

15cm

16cm

34cm

8. h = 12cm, d = 20cm.

(

)

2

(

2 2 9. И  з c = h + a – b добијамо а – b = 12cm, a из d = h + a + b 2 2 Одавде је a = 21cm и b = 9cm. 10. a) a = 5cm; б) h = 2,4cm; в) b = 1,4cm, P = 7,68cm2. 11. a) c = 10cm; б) d1 = 17cm, d2 = √145cm. 2

40

2

) добијамо а + b = 30cm. 2

12. a

b

h

c

O

P

37cm

30cm

24cm

25cm

116cm

804cm

24cm

15cm

40cm

41cm

120cm

780cm2

24cm

9cm

36cm

39cm

108cm

594cm2

25cm

13cm

35cm

37cm

110cm

665cm2

9cm

6cm

4cm

5cm

24cm

30cm2

2

13. 13m. 14. Нека је T1T2 = h, c = O1O2 = 4cm + 1cm = 5cm, a = O1T1 = 4cm и b = O2T2 = 1cm. Сада је h = 4cm, односно T1T2 = 4cm. 2 15. h = 12cm, c = 15cm, O = 46cm, P = 114cm . 2 16. a) h = 12cm, b = 7cm, P = 138cm ; б) b = 6cm, a = 21cm, P = 108cm2.

Правоугли троуглови чији су оштри углови 30° и 60°, односно по 45° 1. a) b = c = 3cm, a = c√3 = 3√3cm; 2 2 б) c = 2b = 12cm, a = b√3 = 6 √3cm; в) b = a√3 = 2√3cm, c = 2a√3 = 4 √3cm. 3 3 2. b = 10m, a = 10 √3m. 3. Како је ABC = 60°, BCD = 30°, DCA = 60° и AB = x + y = 8cm, то је BC = AB = 4cm и x = BC , 2 2 x = 2cm, а онда y = 8cm – x, y = 6cm. 4. Како је BCD = 45°, ACD = 60°, то је DB = CD = 5cm, BC = CD√2 = 5√2cm, AC = 2CD = 10cm, AD = CD√3 = 5√3cm и AB = AD + DB = (5√3 + 5)cm. Сада је O = AB + BC + CA = 5√3 + 5 + 5√2 + 10, O = (15 + 5√3 + 5√2)cm и P = AB ∙ CD , P = 25 (1 + √3) cm2. 2 2

B

x D y 30°

C

A C

5cm A

30°

D

45°

B

5. d = 2b = 6cm, a = b√3 = 3√3cm, O = (6 + 6√3)cm, P = 9√3cm2. 6. a) d = 6cm, a = 3√3cm, O = (6 + 6√3)cm, P = 9√3cm2; б) b = 5cm, a = 5√3cm, O = (10 + 10√3)cm, P = 25√3cm2. 7. a) ha = 2cm, a = 4√3cm, P = 4√3cm2; б) P = 8cm2. 8. а) ha = √3cm, b = 2√3cm, O = (6 + 4√3)cm, P = 3√3cm2; б) O = (6 + 6 √2)cm, P = 9cm2.

41

9. a ) hb = 5 cm, P = 25 cm2; 2 4 б) а = 5√3cm, ha = 5 cm, P = 25√3 cm2; 4 2 в) hb = 5 cm, P = 25 cm2. 2 4 2 10. d1 = 4cm, d2 = 4√3cm, P = 8 √3cm . 11. a = 6cm, P = 18 √3cm2. 12. a) a = 2cm, d2 = 2√3cm, O = 8cm, P = 2√3cm2; 2 б) a = 8√3 cm, d1 = 8√3 cm, O = 32√3 cm, P = 32√3 cm . 3 3 3 3 2 13. h = 5√2cm, P = 50√2cm . 14. a = 6√2cm, O = 24√2cm, P = 36√2cm2. 2 15. a) b = 7cm, h = 5√3 cm, P = 95√3 cm ; 2 4 б) b = 12 – 5√3cm, h = 5 cm, P = 5(24 – 5√3) cm2. 4 2 2 16. h = 4cm, a = 11cm, P = 28cm . 17. x = 1cm, h = 1cm, c = √2cm, O = (10 + 2 √2)cm, P = 5cm2. 2 18. h = 3cm, x = 3√3cm, b = 5√3cm, P = 39√3 cm . 2 2 19. x = 2cm, a = 4cm, h = 2√3cm, P = 6√3cm . 20. x = 4cm, a = 7cm, h = 4cm, P = 20cm2. 21. a) ha = 2 √3cm, P = 12 √3cm2; б) ha = 1,6cm, P = 8cm2; в) ha = 1cm, P = 3cm2; г) ha = √3cm, P = 15cm2. 2 б) ha = √2cm, P = √2 cm2; 22. а) ha = 7,5cm, P = 75cm ; 2 2 г) ha = 1cm, P = 1cm2. в) ha = 5 √3cm, P = 60cm ;

Примена Питагорине теореме у конструкцијама 1. У  путство: а) П  рво конструиши једнакокраки правоугли троугао са катетама дужине 1, а√2 ће бити дужина хипотенузе. Сада конструиши троугао са катетама дужине 1 и √2. Хипотенуза тог троугла ће бити √3; б) К  онструиши правоугли троугао са катетом дужине 1 и хипотенузом дужине 2. Дужина друге катете тог троугла ће бити √3. 2. а) 8 2

2

б)

3

8 1

42

2

1

3

1

1

2

2

3 1

3. Упутство. Користи једнакост: а) (√5)2 = 22 + 12; б) (√10)2 = 32 + 12; в) (√13)2 = 32 + 22; 2 2 2 2 2 2 г) (√17) = 4 + 1 ; д) (√20) = 4 + 2 ; ђ) (√26)2 = 52 + 12; е) (√29)2 = 52 + 22; ж) (√34)2 = 52 + 32; з) (√37)2 = 62 + 12; 2 2 2 и) (√40) = 6 + 2 . 4. Упутство. Користи једнакост: а) (√7)2 = 42 – 32; б) (√11)2 = 62 – 52; в) (√12)2 = 42 – 22; 2 2 2 2 2 2 г) (√15) = 4 – 1 ; д) (√21) = 5 – 2 ; ђ) (√24)2 = 52 – 12; е) (√27)2 = 62 – 32; ж) (√32)2 = 62 – 22; з) (√35)2 = 62 – 12; 2 2 2 и) (√45) = 7 – 2 . 5. Поступи слично као у 1. задатку. 6. а) На пример: (√6)2 = (√5)2 + 12 = 22 + (√2)2 = (√3)2 + (√3)2 (√6)2 = (√7)2 – 12 = (√8)2 – (√2)2 = 32 – (√3)2 = (√10)2 – 22 = ... Слично се раде и примери под б), в) и г). 7. а) Конструиши дуж чији је мерни број √2 (види 1. задатак), а затим на њу надовежи (продужи је за) дуж чији је мерни број једнак 1. Тако се добија дуж чији је мерни број √2 + 1. Слично се раде и остали примери. 8. а ) Конструиши дуж чији је мерни број √10, а затим ту дужину нанеси на бројевну праву лево од координатног почетка. Слично се раде и остали примери. 9. а) Конструиши квадрат чија је страница √5cm (конструкција дужи √5 – види 3. задатак). Слично се раде и остали примери. 10. х 2 = 32 + 52, конструиши квадрат над страницом х (х је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете 3cm и 5cm). 11. х2 = 62 – 42, конструиши квадрат над страницом х (х је једна катета правоуглог троугла чија је друга катета 4cm и хипотенуза 6cm). 12. Како је Р = 2 ∙ 32 = 2 ∙ 9 = 18, то квадрат површине 18cm2 конструишемо над хипотенузом троугла чије су обе катете дужине 3cm. 2 2 2 2 13. а) (√2x) = 2 х = х + х ;

2x

х х

б) (√5x)2 = 5 х2 = 4х2 + х2 = (2х)2 + х2.

5x

х

2х

14. а)

43

б)

15. Упутство.

( ) ( ) 2

2

2 2 2 2 а) Р = a , a = a + a = a + a . Конструиши квадрат над хипотенузом правоуглог 2 2 4 4 2 2 троугла чије су обе катете дужине a (два пута краће од странице а датог квадрата); 2 2 2 2 2 2 б) Р = 3а = 2а + а = (√2а) + а . Конструиши квадрат над хипотенузом правоуглог троугла чије су катете √2а и а (а је страница датог квадрата, √2а његова хипотенуза).

Обрт Питагорине теореме 1. а) К  ако је n < m < p и m2 + n2 = 102 + (2√11)2 = 100 + 44 = 144 = 122 = p2, то је MPN = 90° и ∆MNP је правоугли; б) m < n < p и m2 + n2 = 122 + 152 = 144 + 225 = 369 ≠ 182 = p2, па ∆MNP није правоугли; в) К  ако је m < p < n и m2 + p2 = 42 + 82 = 16 + 64 = 80 = (4√5)2 = n2, то је MNP = 90° и ∆MNP је правоугли; г) К  ако је m < p < n и m2 + p2 = 12 + (2√6)2 = 1 + 24 = 25 = 52 = n2, то је MNP = 90° и ∆MNP је правоугли; д) m < n < p, m2 + n2 = 92 + 102 = 181 ≠ (3√17)2 = p2, па ∆MNP није правоугли; ђ) ) p < n a + b; г) a2 + b2 < c2, оштроугли троугао; д) a2 + b2 > c2, тупоугли троугао; ђ) a2 + b2 = c2, правоугли троугао.

44

ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ степен чији је изложилац природан број 1. С  ледеће производе бројева запиши у облику степена: а) 4 ∙ 4; б) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5; в) –6 ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6); г) 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7; д) –2,5 ∙ (–2,5) ∙ (–2,5); ђ) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ; е) –1 1 ∙ –1 1 ∙ –1 1 ∙ –1 1 ∙ –1 1 ; 3 3 3 3 2 2 2 2 2

(

)(

)(

)(

)

2. Следеће производе запиши у облику степена: а) x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x; б) (–p) ∙ (–p) ∙ (–p) ∙ (–p) ∙ (–p); в) a ∙ a ∙ a; г) y ∙ y ∙ y ∙ y; д) (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b); ђ) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a . b b b b b b b b 3. Следеће степене запиши у облику производа једнаких бројева (чинилаца): 6 3 а) 53; б) 1 1 ; в) √54; г) (–6)5; д) (–1,1)2; ђ) (–√7)7; е) – 3 . 5 4 Запиши скуп А чији су елементи основе свих степена и скуп В чији су елементи изложиоци свих степена овог задатка.

( )

( )

4. Следеће бројеве запиши у облику степена броја 10: а) 100; б) 10 000; в) 1 000 000. 5. Сваки од бројева запиши као степен одговарајућег простог броја: 8, 32, 27, 64, 125 и 343. 6. Запиши три степена којима је основа – 1 и три степена којима је изложилац 6. 7 7. Степене запиши у облику производа једнаких чинилаца, па израчунај његову вредност: а) 106; б) 19; в) (–1)8; г) 43; д) (–5)3; 2 3 4 4 3 3 6 2 ђ) 0,8 ; е) 1,1 ; ж) ; з) ; и) – ; 5 7 3 5 к) √25; л) (–√12)3. ј) –1 1 ; 4

( )

(

( )

( )

)

8. Израчунај квадрат и куб сваког од бројева: 1; 9. Израчунај вредност степена: а) 2 ;

4

б) (–2)4;

в) –24;

3 ђ) 5 ; 8 13 ј) 0 ;

3 е) – 5 ; 8 2009 к) 1 ;

ж) – 53 ; 8 л) (–1)102;

3

( ) ( )

0;

г) 5 ; 8 5 2 з) 1 ; 3 љ) (–1)2009;

–2,5;

– 1; 2

6; 7

– √3 и √8. 2

3

( ) ( )

д) – 5 ; 8 3 2 и) –1 ; 3 м) (–√2)6.

10. Н  е израчунавајући вредност степена, на линији поред степена упиши слово „п“ ако је вредност степена позитиван и слово „н“ ако је вредност степена негативан број. 88 68 а) 27 ; б) (–3)4 ; в) (–7)45 ; г) (–7)38 ; д) – – 5 ; ђ) – 5 . 8 8

( )

45

11. Упореди вредности израза (бројева): 3 а) (–5)4 и 0; б) – 5 и 0; в) √56 и (–√5)6; 3

( )

4

( )

г) – 2 3

4 и– 2 ; 3

4

( )

д) 0,44 и – 2 . 5

12. И  зрачунај вредности следећих степена, па их поређај по величини од најмањег до највећег: 5 5 4 4 5 4 б) 0,23; –0,23; (–0,2)2; в) √2 ; – √2 ; – √2 ; – 24 . а) 1 ; – 1 ; – 1 ; 2 3 3 3 3 2 2

( )( )

( ) ( )

13. Запиши у облику збира степена (производа степена): а) x ∙ x + x ∙ x ∙ x; б) a ∙ a ∙ a ∙ a + b ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c; в) a ∙ a ∙ x ∙ x ∙ x + x ∙ x ∙ a ∙ a ∙ a. 14. Израчунај вредност израза: 3 2 а) 5 + 2 ; 5 г) 10 – 103 +106 – 1; е) –1100 +197 – (–1)88 + (–1)46;

б) –25 +24 – (–2)3; д) (7–5)4 – 82 – (6 – 9)3; ж) 22 – 25 : 8 + 243 : 33.

15. Израчунај вредност израза: 4 3 3 а) 4 – 1 ; б) 1 ∙ 9; в) 2 ∙ 4 3 5 3 3 4 4 ђ) – 2 – 2 + д) 2 + –1 1 ; 3 3 2 3

( ) ( ) (

( )

( ) ( )

)

( )

16. Израчунај вредност израза: 2 4 6 а) (√2) + (√2) – (√2) ; г)

;

2

5 4; 2 24 + 2 ; 3 33

4

;

17. Израчунај вредност израза за x = –3 и y = 6: а) x4 – y3; б) 2 ∙ y3 – x5; в) y4 : x3; г) xy – x5;

израчунај: а) A + B;

и б) A3 – B2;

( ) ( ) ( ( ))

3 4 г) 4 : 2 2 ; 6 3 3 3 4 е) 2 – 1 : 5 4 . 3 3∙2 2

6

б) (–√3) + (√3) + (–√3) ;

д)

18. Ако је

в) (–1)6 + (–2)5 + (–3)4 + (–4)3; ђ) 2 ∙ 32 – 3 ∙ 23;

2

3

4

5

в) (√5) + (√5) – (√5) + (√5) ;

ђ)

.

д) x6y3 – y5x4.

, упореди вредности за А и В и

в) (A + B)3 : (A – B)3.

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА 1. С  ваки од израза запиши у облику производа једнаких чинилаца, а затим запиши те производе у облику степена: 4 3 3 3 2 5 2 5 5 а) 5 ∙ 5 ; б) (–3) ∙ (–3) ; в) (–0,4) ∙ (–0,4) ; г) 2 ∙ 2 ; 9 9 6 ђ) x3 ∙ x5; е) (–y)4 ∙ (–y)2; ж) (a + b)2 ∙ (а + b)2. д) 1 ∙ 1 ; 2 2

( ) ( )

( )

46

2. Израчунај производе, запиши их у облику степена, па израчунај и те степене: 2 3 а) 32 ∙ 34; б) (–2)3 ∙ (–2)5; в) –0,5 ∙ (–0,5)4; г) 3 ∙ 3 ; 4 4

( ) ( )

3. Следеће производе запиши у облику степена: а) x12 ∙ x21; б) a4 ∙ a8; в) (–b)6 ∙ (–b)7; г) (–c)9 ∙ (–c)25; д) (1 + a)8 ∙ (1 + a)2; ђ) (2x – d)9 ∙ (2x – d)11.

4. Следеће производе запиши у облику степена: а) 32 ∙ 36 ∙ 35; 8 7 5 д) x ∙ x ∙ x ;

( ) ( ) ( )

( ) ∙ (– 89 ) ;

7 5 3 в) 3 ∙ 3 ∙ 3 ; г) – 8 ∙ – 8 4 4 4 9 9 е) (a – b)3 ∙ (a – b)4 ∙ (a – b)8.

б) (–2)4 ∙ (–2)7 ∙ (–2)3;

ђ) (–a)6 ∙ (–a)9 ∙ (–a)10;

2

3

5. Чиниоце запиши у облику степена истих основа, па израчунај производе: а) 27 ∙ 32; б) 23 ∙ 32; в) 64 ∙ 128; г) 25 ∙ 625; д) 243 ∙ 81. 6. Запиши у облику степена са одговарајућим предзнаком: 3 4 6 3 4 3 3 3 2 2 3 а) 5 ∙ (–5) ; б) – 1 ∙ 1 ∙ – 1 ; в) –x ∙ (–x ) ∙ (–x) ; г) 0,8 ∙ (–0,8) ∙ (–0,8) . 2 2 2

( ) ( ) ( )

7. Одреди вредност непознате x тако да добијеш тачне једнакости: x 7 15 2 x 5 x 5 6 3 5 x а) 3 ∙ 3 = 3 ; б) a ∙ a = a ; в) – 2 ∙ – 2 = – 2 ; г) 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = – 1 3 3 3 5

( ) ( ) ( )

( ). 12

8. Сваки количник запиши у облику разломка, где су именилац и бројилац дати као производ једнаких чинилаца, скрати одговарајуће чланове, а затим количник запиши у облику степена: 4 7 4 5 3 6 5 а) 2 : 2 ; б) (–0,8) : (–0,8) ; в) – 7 : – 7 ; г) √2 : √2 ; 9 9

( ) ( )

9. Дељеник и делилац запиши у облику степена истих основа, па израчунај: а) 243 : 32; б) 53 : 125; в) 2 401 : 49; г) 210 : 128; д) 7 776 : 216. 10. Упрости изразe: а) (x5 ∙ x9) : x10; б) (x12 : x4) ∙ x8; д) x5 : (x18 : x13); ђ) (b3 ∙ b7) ∙ (b8 : b6);

в) (a8 : a4) : a3; е) (k22 : k6) : (k5 ∙ k9);

г) x4 ∙ (x2 : x); ж) (x12 : x7) : (x30 : x27).

8 3 в) x ∙10x ; x 15 13 5 ж) (y6 : y15 ) ∙ 14y ; y ∙ (y : y )

15 г) x8 ; x :x 15 7 3 з) y 6 : (y4 ∙ (y 11: y ))9 . (y ∙ y ) : (y : y )

11. Упрости изразe: 11 а) c 9 ; c 12 8 7 ђ) (x : x10) ∙ x ; x

10 б) y ; y 2 е) 11 a 6 4 ; a : (a ∙ a )

12. Упрости изразe: а) x9 : (–x)6;

б) –y12 : (–y)10;

в)

x15 ; x ∙ (–x)8 6

г)

15 8 д) x 4 : x ; x ∙x

(–a)11 . –a : (–a)10 12

47

13. Упрости сваки од израза, па израчунај његову вредност: 5 6 8 5 4 30 а) (57 : 54) : 52; б) 45 : (46 : 43); в) 2 ∙92 ; г) 39 : 37 ; д) 128 9∙ 2 ; ђ) 15 217 10 . 2 3 :3 2 (2 ∙ 2 ) : 2

14. Упрости сваки од израза, па израчунај његову вредност: 6 7 а) (–3) ∙53 ; б) (–3)

; в)

4 5 3 ; г) (–5) 15∙ (–5 ) 3∙ 5 ; д) √58; ђ) 5 : (–5)

√

211 : 24 . 23

15. Покажи да вредност сваког од израза не зависи од променљиве n: 2n+1 ∙ 34n+2 ; а) 3 6n–2 3

б)

57n+6 ; 54n+5 ∙ 53n–1

12n+7 : 78n+7 ; в) 7 74n

n–1 n+2 г) 23n–2 ∙ 2 n–2 . 2 :2

16. Одреди вредност непознате x тако да свака од једнакости буде тачна: x 2 5 3 x 11 9 x 4 x 8 9 2x 5 11 а) 2 ∙ 2 = 2 ; б) 5 ∙ 5 = 5 ; в) 3 : 3 = 3 ; г) 7 : 7 = 7 ; д) 2 ∙ 2 = 2 ; 2n–1 2n+8 5 x x+1 16 ∙ (–1,2)6 ∙ 1,2n = –1 1 . ђ) 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 ; е) 6 5 5

( )

17. Упрости изразе: 6 11 14 5 б) b 8 : b3 ; а) a4 ∙ a 9 ; a a b b 7 6 4 3 7 a ∙ b ∙ c a е) 3 ∙ b7 ∙ c2 ; ђ) 6 5 ; a ∙b ∙c a ∙b

(

)

5 10 8 8 5 в) c ∙12c ∙ c; г) d10 ; д) x5 ∙ y4 ; c d x ∙y 8 4 11 30 14 a b x z y ж) ∙ ; з) 13 ∙ 10 ∙ 27 . b a6 y x z

8 6 18. Производ степена a и a подели њиховим количником.

19. Количник степена x14 и x11 помножи производом степена x5 и x2. 20. Одреди производ количника степена c8 и c5 и производа степена c3 и c4.

СТЕПЕН ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА. СТЕПЕН СТЕПЕНА 1. Производе запиши у облику степена производа, односно производа степена: а) xy ∙ xy ∙ xy; б) 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b ∙ 2 b; 3 3 3 3 3 4 4 4 4 в) y ∙ y ∙ y ∙ y; г) ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab. 7 7 7 7 2. Степен производа запиши у облику производа одговарајућих степена чинилаца: 5 5 б) (4b)8; в) (ab)9; г) (3√2)6; д) 3 a ; а) (3a) ; 4 4 11 7 8 е) (–c√3) ; ж) (5xy) ; з) (abc) ; и) (2a√2)5. ђ) (–8b) ;

( )

48

3. Дате производе степена запиши у облику степена производа: а) 23 ∙ a3; б) 34 ∙ 24; в) (–5)4 ∙ 44; г) (–8)6 ∙ (–9)6; ђ) x4 ∙ a4;

е) (–x)5 ∙ 25;

( )

7 ж) (–2a)7 ∙ – 1 ; 2

( )

з) 3 4

5

∙ (–2x)5;

д) (0,2x)8 ∙ (5y)8; и)

(√ ) ( √ )

1 x 5 ∙ – 3 y 5. 3 4

4. Упрости изразе: 3 5 а) (ab) ∙ (ab) ;

б) (2x)2 ∙ (2x)6;

3 5 г) (–2ab) ∙ (–2ab) ;

д) (–0,1xy)4 ∙ (–0,1xy);

5. Упрости изразе: 3 4 3 2 а) a ∙ (ab) ; б) 3 ∙ (3a) ; 6. Упрости изразе: 8 4 б) (2x) ; а) (ab) 7 ; a 8 7. Упрости изразе: 7 5 а) 156 ; б) 46 2 ; 5 2 ∙3

в) (xy)8 ∙ x3 ∙ y7;

7 в) (3ab)5 ; (3b)

4 в) 213 ; 15

( ) ( )(

3 в) 3 a ∙ (1,5a)6; 2 3 4 ђ) 1 a√12 1 a√12 . 2 2

г) a5 ∙ (ab)2 ∙ b4;

д) x8 ∙ y7 ∙ (xy)3.

12 г) (xy) ; 3 x ∙ y11

5 6 д) (xy)4 ∙ z7 ; (zx) ∙ y

7 3 4 ђ) (a : a )5∙ (ac) . 3 (–a) ∙ c

5 3 г) 15 4∙ 3 ; 5

4 5 д) 146 ∙ 37 ; 21 ∙ 2

5 ђ) (2√2) . √29

8. Степен количника запиши у облику количника степена: 5 3 4 7 6 б) 2 1 ; в) a ; г) a ; д) x ; а) 3 ; 4 2 5 b y 6 3 5 4 6 и) abd ; ј) 3g ; е) – 3x ; ж) – √7y ; з) – 3 ; √6 4 14 5c 3f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

9. Запиши у облику степена количника: 5 4 б) 44 ; в) 245 : (–8)5; а) 25 ; 3 2 8 3 3 4 е) 2 ∙ 3a ; ж) 16x ; ђ) x8 ; y b 81 10. Израчунај: 4 4 а) 2 : 1 ; 3 3

( ) ( )

5 5 5 г) (4 ∙ 5 ) : 15 ;

((

)

) )

3 б) –3 1 ∙ 25 : 73; 2 8 8 8 д) 3 ∙ 2 8∙ 5 ∙ 0,58. 15

( ) ( )

( ) ( )

4 ђ) 2a ; 3 12 к) 0,5 . √2

г) a7 : b7;

д) a9 : 39;

з) 25√5 ; a5

7 ∙ a7 . и) (–x) 37 ∙ (–b)7

( ) ∙3;

в) 0,254 : 14 – 1 4 3

9

9

11. Ако је x ∙ y = – 1 и x = –12, израчунај вредност сваког од израза: 3 y 3 4 4 3 3 3 3 в) (2x)4 ∙ 1 ; г) 2x4 : 1 ; д) 1 – xy + y5 : 12 . а) 3x y ; б) 2 ∙ (–x) ∙ y ; x y y 9 x

( )

( )

49

12. Упрости изразе:

( )

а) xy z

( ) ∙ y ;

2 ∙z ∙ 1 x

3

3

3

б)

;

в)

;

г)

.

m n 13. Запиши у облику степена степена, то јест у облику (a ) следеће изразе: 4 4 2 2 а) 23 ∙ 23 ∙ 23; б) – 1 ∙ – 1 ; в) (–0,1)7 ∙ (–0,1)7 ∙ (–0,1)7 ∙ (–0,1)7; г) 2 a ∙ 2 a . 2 2 3 3

( ) ( )

( ) ( )

m 14. Запиши у облику степена одговарајуће основе, то јест у облику a следеће изразе:

а) (33)2;

б) (45)7;

в) (–22)8;

г) (a2)3;

3 5 в) a2 ; b

2 г) x3 ; y

д)

(( ) ) ; 3 x 5

4 6

ђ) ((0,2d)9)3.

15. Упрости израз: 2

3

а) (a b) ;

б) (2x3)6;

( )

( )

16. Упрости израз: а) (a3 ∙ a4)4; б) (b3 ∙ b)5; ђ) x9 : (x3)3; е) (x3)8 : (x8)3; ј) x10 : ((x2)2 ∙ (x2 ∙ (x2)2)); 17. Упрости изразе: 2 3 5 7 8 4 2 а) (x8 ) ∙ 3x2 ; б) a 2∙ (a3 :2 a )6 ; x : (x ) (a ∙ a ) : a

д) (–0,5a2b3)4;

в) (c7 : c2)3; ж) ((x7)5 : x7) : x5; к) ((y4)3)5; 2 4 5 10 2 в) ((y ) )7 : (y3 ) ; (y : y)

2 6 ђ) 5p7 . 2q

( )

г) (d12 : d9)2; д) (x2)5 : x4; з) (x3 ∙ (x2)7) : x15; и) x11 ∙ (x20 : (x4)5)101; л) ((y3)4)5; љ) ((y5)3)4. 3 2 6 5 г) (a b5 )2 : a11 . (ab ) ∙ a

18. Изразе запиши у облику степена са основом 2: 3 5 4 8 4 3 2 4 3 5 а) 16 ; б) 8 ; в) 4 ∙ 8 ; г) 256 : 64 ; д) (128 ∙ 64 ) : 512 . 19. Запиши изразе у облику степена са основом 2 : 7 3 а) 85; б) 166; в) 645 ∙ 112 ; г) 25 : 17 ; д) (4 : 8 ) ∙ 64 ; 2 2 4 3

11 ∙ 223 . ђ) 3 ∙ 162 15 6

20. Покажи да вредност израза не зависи од променљиве k. k а) 273k ; 3

2k+1 б) 5 k ; 25

2n+3 в) 168n+10 ; 2

k+2 г) 36 4k+6 . (√6)

21. Одреди вредност променљиве n тако да добијеш тачна тврђења: а) 22 ∙ 2n = 23; б) an ∙ a6 = a10; в) x5 ∙ x7 = xn ∙ x9; г) y12 ∙ y3 = yn : y; д) (zn ∙ z3) : z5 = 1; ђ) (37 : 35) ∙ 3n = (37 ∙ 35) : 3n; е) (d11 : dn)2 = d12; 5 7 n 2 3 4 n 8 3 n 25 3 з) (x ∙2 x )3: 2x = x; и) (a b ) 4 ∙ a ∙ b = (ab)12. ж) (x ∙ x ) = x : x ; (x ∙ x ) ab

50

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 : 2 1 + 1 1 ∙ 2 3 ; 4 2 6 4 3 1 1 ∙ 2 3 ; в) 5 : 2 + 1 4 2 6 4

(

( (

б) 5 3 : 2 1 + 1 4 2 3 1 г) 5 : 2 + 1 4 2

)

)

1 ∙2 3 ; 6 4 1 ∙2 3 . 6 4

)

3. Одреди бројевну вредност израза a ∙ b – c ако је: а) a = –6, b = 3, c = –2;



в) a = 0,5, b = –2,7, c = –3,41;

б) a = 2, b = – 5 , c = 2 ; 6 3 г) a = –√2, b = √8, c = √5.

4. Попуни дату табелу: а

b

–2 9 2 – 3 5 10 –4,3 7,7

c

a+b∙c

a∙c–b

a ∙ (b – c)

(a – c) ∙ (a + b)

b–a:c

8 – 1 4 –0,5

5. Запиши три произвољна алгебарска израза у којима учествује променљива х. 6. Запиши пет произвољних алгебарских израза. 7. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: а) а2 – 2а3 + 5 за а = 2; б) 1 а3 – а2 + 2а + 5 за а = –3; 3 2 2 г) а5 – а4 + а3 – а2 + а за а = – 1; в) аb + а b + 4ab за а = 1 , b = –2; 2 3 4 2 2 3 1 д) а – b – c за а = 2, b = –2, c = –4. 3 4 2 8. Израчунај вредност алгебарског израза: 2 а) 10a + 0,9 за а = 0,1; a

2 б) 4a2 + 3 + 1 за а = – 1; a –3 2

2 2 в) (2х + 3) – 4 ∙ (х + 3х) за х = 2 1 ; 4 2 2 д) (a + 2) – (4a – 1) за а = –0,5. 4

4 2 г) 2x + 23x – 15 за х = √3; x –1

51

9. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: 2 3 2 а) 0,5a b – (ab) + 1 за а = 0,1, b = 10; ab

б)

за x = –√3, y = –3, z = 3.

Полиноми 1. Који су од следећих алгебарских израза полиноми: 2 3 а) аb + c; б) a3b2c – xy2; в) 2x – 3y ; 5 2 3 2 + a? е) 3c – 2b ђ) 3zx ; д) x – 2x + 3x – 4; 2 2y 2ab + c

г) a + b ; c–d

2. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 5а2 – 2а + 3 за а = –4; б) х4 + 2х3 –3х2 – 4х + 5 за х = –1. 3. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 2аb – 3bc + 4ac за а = –1, b = –2, c = 4; б) x2y + х2y2 – хy2 + 5х за х = –1, y = –1. 4. Међу датим изразима издвој мономе: а) a; 3

2

ђ) a b c;

б) b2;

в) 5;

г) 2c;

е) a3 + b2 + c;

ж) 1 ; xy

3 6 з) 3xy z . 10

д) – 1 x4; 2

5. Напиши пет различитих монома. 6. За дате мономе одреди коефицијенте: а) 2a;

в) 3 xy; 7

б) –10b2;

г) – 1 ; 2

д) ef 2g 5.

7. Одреди бројевну вредност монома: 2 а) 5х за х = –10; 2

г) –0,3х у за х = 5, у = –4;

б) –4а70 за а = 1; 3

в) 2 у2009 за у = –1; 3

2

д) 5a b c за а = –2, b = 3, c = 8. 72

8. М  еђу датим мономима издвој пет група сличних монома: 5x, – 1 y, –2x, x2y, 4xy, 4xy2, 2 – 3 xy, 2 x2y, 12y и –19xy2. 8 9

52

9. Напиши четири пара сличних монома. 10. Напиши четири слична монома. 11. Запиши три различита бинома. 12. Од монома –2а и 3b састави и запиши све могуће биноме. Колико их има? 13. Од монома x3, 2x2, 3x и –4 запиши неколико бинома. 14. Одреди бројевну вредност бинома: 2 б) х1000 – х1001 за х = 1; а) 2а – 3а за а = 7;

в) х1000 + х1001 за х = –1.

15. Одреди бројевну вредност бинома: а) 5а + 4b за а = 8, b = –7; б) 20x2 – 5xy за x = 1 , y = –10; 2 3 2 2 3 в) а b c – 2ab c за а = –3, b = 5, c = 2. 16. Од монома 1 , а, –2а2, 3а4 запиши неколико тринома. 2 17. Одреди бројевну вредност тринома: 3 2 б) y50 + y100 – y150 за y = 1; а) x + 2x – 3x за x = 3;

в) z99 – z100 – z101 за z = –1.

18. Одреди бројевну вредност тринома: а) x3 + 3xy – 5y за x = –2, y = 6; б) ab2 – 3ac2 + 5bc за а = 8, b = –3, c = –4. 19. З апиши формуле помоћу којих израчунавамо обим геометријске фигуре, а затим закључи да ли је то моном, бином, трином или полином. Геометријска фигура Квадрат

Обим 4а

моном

Правоугаоник Троугао Једнакостранични троугао Једнакокраки троугао Ромб Паралелограм Трапез Једнакокраки трапез

53

Сабирање полинома 1. Израчунај збир монома: а) 2а + 3а;

б) 9b – 7b;

в) 3ab – 6ab;

2 2 д) 2 y – 5 y ; 7 7

ђ) 13,5abc – 6,8abc;

е) – 3 ax + 5 ax; 4 6

г) 1 x + 4x; 2 ж) 2 3 x2y – x2y; 5

2 3 2 3 з) –2,8ab c + 7 2 ab c . 5

2. Упрости изразе: а) а + 2а + 3а; г) 5ab – (–2ab) –9ab; е) 9x + (–4x) – (2x – 12x);

б) 2b + 4b – 5b; д) 2 abc + 1 abc – (– 1 abc); 3 4 6 ж) (5yz – 9yz) – (2yz + 4yz).

в) 5c – 7c + 12c – 10c; ђ)4xyz – (2 xyz – 1 xyz); 2

3. Одреди супротан моном монома М ако је: а) M = 5x;

б) M = –2аb;

2

в) M = 0,7xyz ;

4. Одреди супротан бином бинома Р ако је: 2 в) Р = mn – 6a; а) Р = 2а + b; б) Р = 4x – 5y ;

г) M = –5 2 p3q2r. 3

г) Р = –5,5xy + 2y2.

5. Одреди супротан полином полинома Р ако је: а) Р = 2а; б) Р = –3b; в) Р = 5x2 + 4x; г) Р = 3x2 – 2x + 1; д) Р = 8аb2 + 9ab – 6a2b; ђ) Р = –7y2x2 – 8yz + 9xy2 – 10x2y. 6. К  оји су од датих полинома сређени: 2 2 2 2 2 2 2 2 А = 2а – 3b, B = 5x – 3x + 1, C = 2y – 3y + 4y, D = 4a + ab + 5b и E = 5x – 2x y + 6x y – 3y ? 7. Одреди степен монома: а) 8а2; б) –4х5; в) ab; г) xy2; д)xy2z3. (Када моном има једну променљиву, његов степен је одређен степеном те променљиве, а када има више променљивих, његов степен одређујемо тако што сабирамо степене тих променљивих). 8. О  дреди степен бинома: а) x2 – 4x;

б) b + 1 ; 2

в) c4 – c3;

г) x2y + y2;

д) x2y 3z4 + x4y4.

9. Среди полиноме, па им одреди степен: а) 5а – 3а + 4; б) 4x + x – 7 – 3; 2 2 г) –2a + 5a + b – 4a – 7b; в) 5b – 7b + 4b – 2 + 8b; д) y2 – 2y – y2 – 2y +3; ђ) 15a – (6a + 4a); е) (3xy + 5y) – (2x + 5xy); ж) (5x + 3y – 6) – (x – 7) + (–5y + 4x); 3 2 3 2 з) 9a + 5a – 6a + 2a – 1 + 6a + 12a .

54

10. Среди полином Р, па одреди њему супротан полином –Р: а) Р = x3 – 2x2 + 3x2 – 6x – 2x + 1; б) Р = 3a2b2 + 5a2b – 2ab + 8a2b – 7ab + 4ab2; в) Р = (5abс – 7ab) – (3aс + 5ab – 2abс); г) Р = (–11a5 – 9a3 + a – 1) – (a2 + 4а3 – 5a5). Упореди степен сваког полинома са степеном њему супротног полинома. Шта закључујеш? 11. Одреди збир полинома и степен збира полинома А и В ако је: а) А = 2а – 3 и В = 3а + 7; б) А = 4а2 + 8 и В = 2а – 9; в) А = 5а2 + 6а + 7 и В = –2а2 + а; г) А = –2а3 + 3а2 + 5а – 2 и В = 2а3 – 7а2 + 2а + 9. 12. Среди полиноме А и В, па одреди њихов збир ако је А = 5x2 – 3x – 7x2 + 2 + 6x и В = 4x2 – 2x2 + 5x – 6 + 2x2 – 5x + 18. 13. З а дате полиноме A и В напиши њихову разлику А – В у сређеном облику ако је: а) А = 3x + 2 и В = 2x + 3; б) А = –5x + 4 и В = 2x2 – 7; 2 2 в) А = 2x – 3x – 4 и В = 2x – 1; г) А = x3 – 2x2 + 3x – 4 и В = 5x3 – 6x2 – 7x + 8. Одреди степен полинома А – В. 14. Ако је А = 3у + 1, В = 4у – 2 и С = –5у + 3, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) А + В – С; в) А – В + С; г) А – В – С. Одреди степен добијених полинома. 15. Ако је А = 5x2 – 4x + 1, В = –2x2 – 2x + 1 и С = 4 – 3x + 8x2, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) C – A + B; в) В + А – С; г) А – (В + С); д) C – (A + B); ђ) В – (А + С). 16. Дати су полиноми А = 2x5 – 3x3 + 2x, В = 5x5 + 2x4 – 7x и С = 9x4 – 7x3 + 3x. Запиши у сређеном облику полиноме: а) А + В + С; б) А – В – С; в) –А – (В – С); г) (А – С) – (В + С); а затим одреди њихове степене. 17. Од полинома А = –3abc + 4аb –5c одузми полином В = –9abc + 3ab + 8c, па добијеној разлици додај полином С = –2abc – 6ab + 3c. 18. Од збира бинома 2а – 3 и 5а + 2 одузми збир бинома –2а – 1 и 4а + 1. 19. Од разлике бинома 3х + 4у и 2у – 5х одузми разлику бинома 7х – 2у и 4х – 4у. 2 2 20. Од тринома 5а – 3а + 1 одузми збир бинома 10а + 2 и 2а – 7а.

21. Покажи да вредност израза 3х2 + 5х – 2 – (2х2 + х) – (х2 + 4х – 6) не зависи од х. 22. Покажи да вредност израза 5х – 2у – 6 – (7х – 3у) – (8 + у – 6х) не зависи од у. 23. С  реди полином 3а3 – 2а2 + 2а + 1 – (3а3 – 2а2 + 5а + 6), па израчунај његову вредност за а = 7. 24. Среди полином –4а2 – (2а2 – 7а + 8) – (4а + 1), па израчунај његову вредност за а = –1.

55

25. Среди полином 5ху – 2х2 – 7 + 3у2 – (9у2 – 3ху + 6 – х2), па израчунај његову вредност за х = –2 и у = 1. 26. О  дреди полином Р ако за њега важи да је: а) Р + 2x2 – 3x + 1 = 7x2 – 2x + 3; б) Р – (x2 + 7x + 3) = x2 – 2x – 1; 2 2 в) 3x – 4x + 5 – Р = 2x – 9. 27. Одреди полином Р и његов степен ако је: а) 3x2 – 6x + 5 + Р = 7x2 + 2x – 3; б) 6x2 + 4x – 2 – Р = 6x2 – 7х + 3. 28. Један сабирак је а2 + аb – b2, a збир 2а2 – аb – 5b2. Одреди други сабирак. 29. Збир три узастопна природна броја је 186. Одреди те бројеве. 30. Збир четири узастопна парна броја је 84. О којим бројевима је реч? 31. З бир четири броја од којих је сваки за три већи од претходног је 158. Одреди те бројеве. 32. Дужине страница неког троугла су а = 4х + 1, b = 6х – 2 и c = 2х + 5, где је х  R и х > 3 . 4 a) Одреди обим тог троугла; б) Израчунај обим тог троугла за х = 3. 33. За коју вредност променљиве х бројевни израз 3х + 1 – 2х + 5 има вредност 13? 34. Реши једначине: а) 2х + 3х – 4х + 5х = 18; б) 3х – (5 – 4х) = 2; в) 2х – 7 – (3х + 1) = –2; г) 10х – (7 – 3х) – 14 = 5; д) (4х – 3) – (7 – 2х) = 2; ђ) 4х – (2х + 5) – (4 – 3х) = –9; е) 4 – х – (– 4 – (2х – 3)) = 11; ж) 3,2 + 0,4х – (2,7х – 4) – 0,2х = 4,8; з) 3 x – 1 + 5 x – 2 x – 1 = 5 . 4 2 6 3 4 12

(

) (

)

35. Одреди вредност променљиве х за коју троугао са страницама х + 4, 2х + 3 и 3х + 1 има обим једнак обиму квадрата странице х + 3.

Множење полинома 1. Одреди производ монома А и В ако је: а) А = 5а, В = 3;

б) А = –2b, В = 4b;

2 г) А = –7аbc, В = 2 a b; 7

д) А = 0,6а3bc2, В = 2,2a2b3c4.

в) А = 5а2, В = 1 a; 5

2. Одреди производ А ∙ В ∙ С монома ако је: 2

а) А = –2, В = 3х, С = 4х ; 2

3

в) А = –2ху , В = 8хуz, С = –3х z;

56

б) А = 3 y3, В = – 2 y2, С = 2 y; 4 3 5 г) А = 4 xyz, В = – 3 x5y3z, C = 15 xy2z4. 9 5 16

3. Одреди А2 и А3 ако је: а) А = 3ab;

б) А = –2ab2c3;

в) А = – 3 a4bс2. 4

б) (–5хy2z3)2;

3 в) – 1 a2b3c5 ; 2

4. Одреди: 2

3

а) (2х у) ;

(

)

г) (3x5y3z2)4.

5. Упрости изразе:

(

)

2 3 а) 9а · – 1 b ; 3 г) –7xy2z3 · (–2xz) · 2 y2z5; 7

б) –4а · (–а)2 · (–а2);

(

6. Упрости изразе: а) 5х · (–2у) + 3ху; в) 2х2 · – 1 y2 – 1 ху · 8ху; 2 2

(

)

2 д) 1 ab2 · 6a2b5; 3

)

в) 12а2 · (–2а3) · (–а)3;

(

)

3 ђ) – 1 ab2c4 · (8a3b2c)2. 2

2

б) –8х у – 2ху · 4х; г) 3х2 · (–2х2) – х3 · 4х – 5х · (–7х3).

7. Одреди производ полинома Р и монома М ако је: 2 а) Р = 2х + 3, М = 4х; б) Р = 3p – 2q, М = –2p ; в) Р = 2a – 3b + 5c, М = 5abc;

г) Р = –4ab + 16ac – 8bc, М = 1 bc. 2

8. П  омножи и среди добијене полиноме: 4 2 2 б) –3abc · (2ab – 4abc + 6a2b3c4); а) (х – 2х – х) · (–7х ); в) – 2 xy2 · (14x2 – 7xy + 21xy3); г) (2x3y3 – x2y2 – 3xy) · 9x2y3; 7 д) 4xy · – 3 x2y4 + 1 x4y8 + 9 x8y6 ; ђ) 2 1 a3b2c – 0,75a3bc3 + 3ab2c3 ∙ 1 1 ab2c3. 8 4 16 4 3 Одреди степен сваког од добијених полинома.

(

)

(

9. Среди полиноме и одреди њихов степен: 3 2 а) 5х + 2х · (х – 3); в) (–2х + у) · 3у – 4х · (5х – 2у); д) х2 · (2х – 7) – х · (5х + 4х2) + 7 · (х3 – х); е) 3х · (–3х3 + 2х2 + 9х – 1) + 7х2 · (х2 – 2х + 1).

)

б) (2х – 3у) · 5х + 12ху; г) 2 · (х2 + у2) – 3х · (х – у) + 6х2; ђ) 4х2 · (3х2 – 7х + 1) – 2х · (5х2 + 4х – 3);

10. Дати су полиноми А = 2а 2 – 3а + 7, В = –а2 и С = 9а2 – 5а + 4. Одреди полином 4А – 3ВС и утврди његов степен. 11. Провери тачност једнакости: (а2 – 3а + 2) · (–3а2) – (2а + 3а2 – 2а3) · 2а = а4 + 3а3 – 10а2. 12. Одреди производ бинома: а) х + 2 и 2х – 1; в) 4х2 + 1 и 3х – 7;

б) 3х + 5 и 2 – 4х; г) 2а – 3b и 3a + 2b.

57

13. Одреди производ полинома А и В ако је: а) А = 5х – 3у и В = 2х + у; б) А = а2 + 5а и В = 4а – 1; 2 в) А = 3а – 5 и В = 4а + а – 3; г) А = –2а2 + 3а – 1 и В = 5а2 + 4а; д) А = а – b и В = а2 + аb + b2; ђ) А = а2 – аb + b2 и В = а + b; е) А = x – 1 и В = x3 + x2 + x + 1; ж) А = x3 – x2 + x – 1 и В = x + 1. 14. Упрости изразе: а) а2 · (а + 2) + (2а2 – 1) · (3 – 2а); в) (8х + 5) · (–2х – 1) + (4х – 3) · (4х + 3); д) (2х – 5х2) · (2 – 3х) – (4х + 3х2) · (1 – 2х); 15. Упрости изразе: а) х2 · (х – 1) · (2х – 1);

б) (х – 2) · (х + 1) + (2х + 3) · (х – 4); г) (х + 3) · (2х – 1) + (3х + 1) · (х – 2); ђ) (2х + 3х2) · (4 – х) – (4 – 2х) · (х2 –1).

б) (5х2 – 4) · (3х – 2) · (6х + 1) · х3.

16. Ако је А = 2а + 3, В = а2 – 4 и С = 3 – 4а, одреди и среди полиноме: а) А · В · С; б) А · В – С; в) А + В · С; г) А · С – В · С. 17. Дати су полиноми: A = x2 + 1, B = –4x + 5, C = –4x2 – 5x + 1. Одреди: a) A − B + C; б) A − C − B; в) C − A ∙ B; г) B ∙ (A − C). Утврди који је степен сваког од добијених полинома. 18. Упрости изразе: а) (3а2 + 2а – 6) · (2а2 – 4а + 7) – 5а · (4а4 – 3а3 + 2а2 –а + 10); б) 10b4 – 3b3 · (b2 + 2b – 1) + (b – 1) · (b + 5). 2 2 2 19. Покажи да вредност израза (2х – 6) · (5 – 2х + 3х ) – 6х · (х – 4х + 4) – 2х + 2х не зависи од х.

20. П  окажи да вредност израза 2а · (15а – 11b) – (b – 3a) · (4b – 10a) + 4b2 – 7 не зависи од а и b. 21. Биному 2х2 + 4х додај производ бинома 3х – 1 и 5 – 4х. 22. Од тринома 3а2 – 2а + 1 одузми производ бинома 2а + 3 и 3а – 9. 23. Производу бинома х – у и х + у додај производ монома 2ху и тринома х2 + ху – у2. 24. Од производа бинома ху2 + 1 и 2х – 3у одузми разлику тих бинома. 25. Производу збира и разлике монома 2а и 3b додај разлику квадрата тих монома. 26. Одреди моном М тако да важи: а) М · (3х2 – 4х + 5) = 6х3 – 8х2 + 10х; б) М · (2а2b2 + 5ab3 – 7ab) = – 8а3b4 – 20a2b5 + 28a2b3; в) (–4аb2c3 + 10ac2 – 3b2c) · М = 12а4b3c5 – 30a4bc4 + 9a3b3c3. 27. За коју вредност променљиве х полином 2х2 – 2х · (х – 2) – 3 има вредност 9?

58

28. Реши једначине: а) 3х – 2 · (5 – 4х) = 12; в) 5 · (х – 2) – 7х + 4 = –4; д) (3х – 1) (2х + 5) – 6х2 = 8;

б) х2 + (х – 1) · 2х – 3х · (х + 2) = 16; г) (х – 5) · (х – 2) – (х – 1) · (х + 4) = 14; ђ) (2х – 3) · (2х + 1) – 4х2 = 1.

29. Упрости израз, па израчунај његову вредност: а) (а3 – 5а + 4) · (а – 5) – а4 за а = 3; б) (а3 – 3) · (а + 3) · (а + 1) за а = –1; в) (b – 2) · (b + 3) – (b + 1) · (b – 3) за b = 2; г) 6с4 – 3с3 · (с2 + 2с – 1) + (с + 4) · (с – 2) за с = –2; д) (2х – у) · (3у + 4) – (ху + 2) · (–3ху) за х = –5, у = 2; ђ) 10ху · (–3х2 + 5ху – 2у2) – (х2у – 2ху2) · (2х + у) за х = –3, у = 1 . 3

Квадрат бинома 1. З аокружи једнакости које су тачне за свако х: а) (3х + 1)2 = 9х2 – 3х + 1; б) (3х + 1)2 = 9х2 + 6х + 1; 2 2 в) (3х + 1) = 9х + 1; г) (3х + 1)2 = 9х2 + 3х + 1; д) (3х – 1)2 = 9х2 – 6х – 1; ђ) (3х – 1)2 = 9х2 – 3х + 1; е) (3х – 1)2 = 9х2 – 6х + 1; ж) (3х – 1)2 = 9х2 – 1. 2. О  дреди квадрат бинома Р ако је: а) Р = х + 3; б) Р = 2х + 5; г) Р = х – 1; д) Р = 3х – 4;

в) Р = 5х + 1; ђ) Р = 9х – 8.

3. Одреди квадрат бинома: а) 2а + 3b;

б) 5х – 3у;

в) 4х + у;

г) 1 + a; 2

д) 1 x – y; 2

ђ) 6ab + 5;

е) 4abc – 3;

ж) 3x2 – 7y.

4. Одреди: 2 а) 1 1 – 2x ; 2 2 г) (√3x + √5y) ;

2 б) –2a – 1 x ; 2 д) (0,5а – 0,3b)2;

е) (√2a – √8b)2;

ж) (–3a – 7) ∙ (–7 – 3a);

(

)

(

)

в) (–0,2а – 5а2)2; ђ) (0,1 – 5a3)2; з) – 1 a + 2 ∙ 2 – 1 a . 2 2

(

)(

)

5. Дате триноме запиши као квадрате бинома: а) 1 – 10х + 25х2; г) 1 x4 – 1 x2yz + 1 y2z2; 25 5 4

б) 49а2 + 28аb + 4b2; д) 3x2 +18xy +27y2.

в) 9a2b2 + 3ab + 1 ; 4

59

6. У  пиши у квадрате одговарајуће мономе тако да једнакост буде тачна: 2 2 а) 1 + = +х+ ; б) – 11b = 64a2 – + ; 2 2 2 – 2xy = – хy + ; г) + = + 1 cd + 1 d2. в) 3 9

( (

) )

7. Упрости изразе: 2 а) (5х – 2) – 5х ∙ (5х + 2); г) (2а + 5)2 + (3а – 1) ∙ (–2а);

( (

) )

б) (х + у)2 + (х – у)2; д) (3х + 5) ∙ (2 – х) – (4х – 1)2;

8. Упрости изразе: а) (7х + 5)2 – (9х + 11) (4х – 3); в) (3х – 2y)2 – (2x – 3y)2 – 2x(–3х); д) 2a (2а – 1)2 + (а – 2a2) ∙ (–6a); е) (а – b)2 – a2 – (а + b)2 + 2ab – b2;

в) (а – 2)2 + (а + 2)2; ђ) (3b + 8)2 – (2b – 7)2.

б) (2х – 3)2 – (3х – 2) (2x + 3) + 12x; г) 5 (а – 2)2 + 2a (а – 2) – 4 (а + 2); ђ) 3 (3b – 4)2 – 15 (3b + 2)2 + 17; ж) 5 (5 – 3а)2 – 11 (1 – 3a) – 45a2 + 7.

9. У  прости израз (4x – 3y)2 – (2x – y) ∙ (8x – 9y), па израчунај његову вредност за x = –1,5 и y = 0,2. 2 10. Упрости израз (3x – 9y) ∙ (6x – y) – (5x – 3y) , па израчунај његову вредност за x = – 1 и 7 y= 1. 9 11. Покажи да је бројевна вредност израза рационалан број: а) (√5 + 4)2 + (4 – √5)2; б) (√2 – 12)2 – (6 – √8)2. 12. Триному 2х2 + 5х – 7 додај квадрат бинома 2х – 4. 13. Од полинома 4х3 – 3х2 + 2х – 1 одузми квадрат бинома х – 6. 14. Од квадрата бинома 5х – 9 одузми квадрат бинома 2х + 7. 15. Од квадрата збира монома 5а и 8b одузми квадрат разлике тих монома. 16. Од полинома 16x2 – 11x + 1 одузми квадрат бинома 4x – 1. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = –4. 17. Од полинома 9x2 – 23x + 8 одузми квадрат бинома 3x – 4. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = 2 009. 18. Користећи квадрат бинома израчунај: а) 1012; б) 982; в) 1062; 19. Реши једначине: а) (х + 5)2 – (х2 – 4х + 1) = 6; в) (2х – 1)2 – (2х + 3) (2х – 4) = 5;

60

г) 952;

д) 892;

ђ) 1122.

б) (3х – 2) (3х + 4) – (3х – 5)2 = 3; г) (4х – 2)2 – (4х – 3)2 = – 21.

20. Дати су полиноми A = 2x – 3 и B = 3 – 4x. Одреди: a) A ∙ B; б) A – B2; в) A2 – 2 ∙ B. 21. Ако је А = 3х + 1, В = 2х – 3 и С = 2 – х, одреди и среди полиноме: а) А2 + В2 + С2; б) А2 – В2 + А ∙ С; в) (А + С)2 – В2; 2 2 2 2 г) (В – С) + А ; д) (А – В) – (В – С) . 22. Дијагонала правоугаоника је х + 1, а једна страница х – 2. За коју вредност х је друга страница тог правоугаоника 9cm? 23. Ако је а = 3х – 1, b = 4x +3 и c = 5x + 2, за коју вредност х дужи a, b и c могу бити странице правоуглог троугла (с је хипотенуза). 24. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 24cm, а хипотенуза је за 16cm дужа од друге катете. 25. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 12cm, а друга катета је за 4cm краћа од хипотенузе. 26. Дужина једне странице правоугаоника је 15cm, а друга је за 9cm краћа од дијагонале тог правоугаоника. Одреди обим и површину тог правоугаоника. 27. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а збир дужина друге катете и хипотенузе је 54cm. Одреди површину тог троугла. 28. Телефонски стуб који је био висине 25m преломљен је услед невремена и врхом додирује земљу на удаљености 5m од подножја. На којој висини је преломљен стуб? 29. Странице два квадрата се разликују за 2cm, а њихове површине за 40cm2. Одреди дужине страница тих квадрата. 30. И  зрачунај површину ромба ако је дужина његовог обима 60cm, а збир дужина дијагонала 42cm.

Разлика квадрата 1. Р  азлику квадрата запиши у облику производа: 2 б) 25х2 – 16; а) х – 9; г) c2 – 3;

д) a2b2– 36;

в) 4а2 – 49b2; ђ) –4у2 + 1 . 4

2. Т рансформиши производ користећи једнакост (А – В)(А + В) = А – В : а) (2 – х) (2 + х); б) (а – 10) (а + 10); в) (– b + 4а) (4а + b); г) (3а – 8b) (3а + 8b); д) (10x + y) (10x – y); ђ) (c2 + 1) (c2 – 1); 2

е) (0,7а – 2b) (2b + 0,7а);

(

)(

)

ж) 3 a – 1 3 + 1 ; 4 4

(

2

)(

)

з) 4 x + 5 y 4 x – 5 y . 9 8 9 8

61

3. Т рансформиши производ користећи једнакост (А – В)(А + В) = А2 – В2: а) (4аb – 3c) (4аb + 3c); б) (5xyz + 2abc) (5xyz – 2abc); в) (1,2mn – 2,5pq) (1,2mn + 2,5pq); г) 9 a2b – 5 c 9 a2b + 5 c ; 10 11 10 11 2 2 д) (–2x + y) (2x + y); ђ) (x – 9) (x + 9); е) (a2 – 16b2) (a2 + 16b2); ж) (а – 5) (а + 5) (a2 + 25); з) (12 – b2) (b2 + 12); и) (z – 1) (z + 1) (z2 + 1) .

(

)(

4. Користећи разлику квадрата израчунај: а) 912 – 92; б) 262 – 242; г) 1752 – 252;

д) 5,32 – 4,32;

)

в) 872 – 772; 2 2 ђ) 7 3 – 2 1 . 4 4

( ) ( )

5. Израчунај: 2 2 2 б) 2 6 2 ; в) 452 – 252 ; а) 99 – 1 ; 57 – 43 49 13 – 47 2 2 2 2 2 2 д) 8,12 2– 1,882 ; ђ) 2,72 – 17,32 . г) 192 – 812 ; 41 – 21 40,6 – 9,4 2,3 – 12,3 6. У квадрате упиши моном тако да добијеш тачну једнакост:

( ) (а + ) = – 36; в) (2а – ) ( + 3b) = 4a – ; а) а –

2

( г) (

б) 5 –

) (5 + ) = – х ; – 1 y) ( + = 9 x – ) 4 16 2

4

.

7. Дати производ трансформиши у разлику квадрата, па израчунај: а) 102 ∙ 98; б) 1 005 ∙ 995; в) 55 ∙ 45; г) 24 ∙ 16; д) 81 ∙ 79; ђ) 49 ∙ 31; е) 5,1 ∙ 4,9; ж) 1,01 ∙ 0,99. 8. Упрости изразе: а) (а – 1) (а + 1) + 5а (2а – 1); б) (6а – 5) (6а + 5) + (2а + 1) (5 – 18а); в) (3х + 7у) (2у – 9х) – (4х – 3у) (4х + 3у); г) 4 ∙ (а – 5) (а + 5) – (2а – 3) (2а + 3); д) 9 ∙ (5 – 4х) (5 + 4х) – 4 ∙ (3х + 7) (3х – 7) + 27х. 9. Реши једначине: а) (x + 3) (x – 3) – (x2 – 4x) = 9; в) (3x – 2)(3x + 2) – (3x – 5)2 = 1; 2 д) (2 – y) (2 + y) – (6y – y ) = 4;

б) (2 +y)(2 – y) – (2y – 1) + y2 = 5; г) (2x – 3)(2x + 3) – (4x2 – 5x + 1) = 15; ђ) (x – 2)(x + 2) – (x + 3)2 = –1.

10. Р  еши једначине: a) (x + 2)2 – (x – 3) (x + 3) = 1; б) (2x – 1)2 – (2x + 3) (2x – 3) = 2; в) (2x + 1) (2x – 1) – (2x – 3)2 = 2; г) (4x + 7)2 – (4x – 3) (4x + 3) = 114; 2 д) (3x – 5)² – (2x + 3) – 5 ∙ (x – 2) (х + 2)= –132. 11. Дати су полиноми P = a + 2b, Q = a + b, R = a – b. Одреди Q ∙ R – P2. 12. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 43. Који су то бројеви?

62

13. Разлика квадрата два узастопна парна природна броја је 68. О којим бројевима је реч? 14. Производ два узастопна непарна природна броја је 143. Који су то бројеви? 15. Дужине страница правоугаоника су а = 2х – 5 и b = 2х + 5. Ако је површина тог правоугаоника 119cm2, одреди његов обим. 16. Докажи да је разлика квадрата два узастопна природна броја увек непаран број. 17. Докажи да је разлика квадрата два узастопна непарна броја дељива са 8. 18. У  прости изразе: а) (3x – 5)(3x + 5) + 3x2 ∙ (5x – 2); в) (2x – 3)2 – (3x + 2)(3x – 2); 2 1 1 1 д) 4 ∙ y – x y + x – 9 ∙ y – x ; 2 2 3

(

)(

) (

б) (5x + 11)(2x – 1) – (3x + 4)( 3x – 4); г) (5x + 2)2 – (2x – 5)(2x + 5); 2 1 ђ) 4 ∙ + 2x – 9 ∙ 1 x + 1 1 x – 1 . 2 3 3

)

(

)

(

)(

)

19. Упрости изразе, па израчунај њихове вредности: 2 2 а) (р – 2) – (р – 3) + (р – 4) (р + 4) за р = –1; 2 б) (q + 4) – (q + 2) (q – 2) – (q – 6)2 за q = 2. 20. Израчунај: а)

;

б)

21. Израчунај А2 ако је А =

. .

Растављање на чиниоце 1. И  здвој заједнички чинилац испред заграде: а) 3x – 3y; б) 12a + 12b; 2 д) –7a2 + 21a; г) ab – b ;

в) 5xy – 15yz; ђ) 10ab2 – 5b3.

2. Дати полином Р трансформиши у производ, па реши једначину Р = 0: а) х2 – 7х; б) 2х2 + 8х; в) 12х – 2х2; г) х2 + 10х; д) 3х2 – 6х; ђ) 4х3 + 12х 2. 3. Реши једначине: а) 7х2 – 14х = 0; г) 4х – 3х2 = 0;

б) 25х2 + 100х = 0; д) 3х – 5х2 = 0;

4. Растави на чиниоце: а) 2ab + 2bc + 2ac; в) x5 + x3 – x;

в) 2х2 – 5х = 0; ђ) 6х3 – 8х2 = 0.

б) 12a – 20b + 16ab; г) 10a2 – 15a + 35a3.

63

5. Р  астави на чиниоце: а) 10x2 – 6y 2 – 8xy; в) 4a3b2c + 10a2b + 20ab2c3;

б) a5 + a4 – a3 + a2; г) 9x3y2 – 18x2y + 12x2y3.

6. П  олином Р растави на чиниоце груписањем чланова: а) Р = 2х + 2у + 3 (х + у); б) Р = ах + ау + bх + bу; в) Р = 4a + 4b + a2 + ab; г) Р = x3 – x2 + x – 1; 2 д) Р = x – 6x + xy – 6y; ђ) Р = x2y + 3xy + 2x + 6. 7. Растави на чиниоце разлику квадрата: 2 б) а2 – 25; в) х2 – 4у 2; а) 9 – х ; д) 4а2 – 9b 2; ђ) 49x2 – 9y 2; е) 64x2 – 1; 8. Растави на чиниоце разлику квадрата: a) 16a2b2 – 49c2; б) x2 – 9y4; 2 д) x – 1; ђ) 1 x2 – 16 y2; 36 9 25 2 2 2 2 1 и) 6 a – 5 4 b2. з) 0,81х у – 0,25z ; 4 9 9. Р  астави на чиниоце: 4 4 б) 1 – c4; а) a – b ; 2 д) 5а – 5; ђ) a2b – b; 10. Р  астави на чиниоце: а) 5a2b2 – 45a 2; д) 8a – 8a 3;

в) 121m2 – 144n2; е) 81 – 4 x2; 121 25

в) х4 – 16; е) 7a – 7ax2;

г) 16a4b2 – 25c 2d2; ж) 0,09а2 – 0,25у2;

г) 16а4 – 81b4; ж) ах2 – 9а;

б) ap2 – aq 2; ђ) 8ax2 – 50ay2;

в) m4 – m 2; е) a3bc – abc3;

г) 12а2 – 3; ж) 27а3 – 3ab2.

б) 2r4 – 32s4;

в) 3a6b2 – 3a2b6;

г) 5x7y2 – 80x3y6.

12. Растави на чиниоце: 2 а) (х – 1) – 9;

б) (х + 1)2 – 16;

в) (х + 2)2 – х2;

г) (х + 2)2 – (х – 1)2.

13. Реши једначине: а) x2 – 9 = 0; г) 81у2 – 1 = 0;

б) x2 – 25 = 0; д) 4x2 = 49;

в) 16 – x2 = 0; ђ) 36у2 – 121 = 0.

14. Реши једначине: а) 1 x2 = 7; 7 2 г) 16x – 3 = 0;

б) 3 x2 = 4 4 3 2 д) 4x – 5 = 0;

в) x2 – 15 = 0;

15. Реши једначине: а) 5x2 = 12; г) (х + 1)2 – 25 = 0;

б) 8х2 – 1 = 0; д) (х + 3)2 – х2 = 0;

в) (х – 1)2 – 4 = 0; ђ) (2х + 1)2 – (х – 2)2 = 0.

11. Растави на чиниоце: а) 16 x4 – k4; 81

64

г) 16а2 – 1; ж) с2 – 81d 2.

ђ) 2у2 = 9.

16. Реши једначине: а) 2x2 – 32 = 0; г) х3 – 49х = 0;

б) 8x2 – 200 = 0; д) 49х – 4x3 = 0;

в) 45x2 – 20 = 0; ђ) 27х – 48х3 = 0.

17. Д  ати трином трансформиши у квадрат бинома: а) х2 + 2ху + у2; б) х2 + 6х + 9; г) у2 + 2у + 1; д) 9а2 + 6а + 1; 2 е) 16х + 8х + 1; ж) b2 + 16 + 8b;

в) а2 + 8а + 16; ђ) 1 + 10m + 25m2; з) 49 + х2 + 14х.

18. Р  астави на чиниоце: 2 а) х – 12х + 36; г) 36 – 96а + 64a2; е) a2 – a + 0,25;

в) 81а2 – 36аb + 4b2; ђ) 0,01b2 – bc + 25c2; з) 25a2 – 40ab + 16b2.

б) a2 – 14a + 49; д) 49а2 – 42а + 9; ж) 16x2 – 24xy + 9y2;

19. Растави на чиниоце: а) 0,25х2y2 – 0,1хy + 0,01;

б) 0,09a2 + 0,12ab + 0,04b2;

в) 1 – x + x2; 4

2 2 г) a + 8ab + 16b ; 81 9

д) c4 – 8c2 + 16;

ђ) c4 – 2c2d2 + d4.

20. Растави на чиниоце: 2 а) 3х + 6х + 3; 4 г) x – 2x2 + 1; е) –11 – 66а2 – 99а4; и) 27х3 – 90х2 + 75х; 21. Реши једначине: а) х2 + 10х + 25 = 0; г) a2 + 4a + 4 = 0; е) 36 – 96х + 64х2 = 0;

б) x3 + 12x2 + 36x; д) 100a2 + 600a2b2 + 900b2; ж) –5у2 + 20у – 20; ј) 242а2х + 308ах + 98х; б) y2 – 6y + 9 = 0; д) 1 – 8х + 16х2 = 0; ж) 8х2 + 16х + 8 = 0;

в) 5х2 – 30х + 45; ђ) 2a2b2 – 12abc + 18c2; з) 5х3у2 + 10х2у + 5х; к) 5b3 – 60b2 + 180b.

в) х2 – 12х + 36 = 0; ђ) 4х2 + 20х + 25 = 0; з) 27а2 + 18а + 3 = 0.

22. Дати израз трансформиши у квадрат бинома, па израчунај његову вредност: а) 892 + 2 ∙ 89 ∙ 11 + 112; б) 372 + 2 ∙ 37 ∙ 13 + 132; в) 1232 – 2 ∙ 123 ∙ 43 + 432; г) 392 – 2 ∙ 39 ∙ 14 + 142. 23. И  спитај тачност једнакости: 2 2 2 2 а) (x – 2b) (x – 5bx + b ) + (2b – x) (x – 6bx + b ) = bx (x – 2b); 2 2 2 б) (a – 3c) (2a – 7ac – c ) – (3c – a) (c + 7ac – a2) = a2 (a – 3c). 24. Ако су у троуглу АВС странице а = х2 – у2, b = 2xy и c = х2 + у2, х > у, докажи да је тај троугао правоугли.

65

тест – Степен 1. Четврти степен броја – 1 једнак је: 2 а) – 1 ; б) – 1 ; в) 1 ; г) 1 ; д) 2. 8 16 16 8 3 2. Вредност израза 2 – 0,23 је: 5 а) – 92 ; б) 7 ; в) 4 ; г) 199 ; 125 125 5 125

3. Вредност израза x8 ∙ x2 је: а) x4; б) x6; в) x10; г) x16;

д) 23 . 15

д) x64.

4. Производ (–a)5 ∙ (–a)7 ∙ (–a)12 записан у облику степена једнак је: а) –a420; б) –a24; в) a24; г) ((–a)12)12; д) a420. 18 3 5. Вредност израза x :5(x 9∙ x) једнака је: x ∙x 2 а) x ; б) x; в) –1; г) 0; д) 1.

6. Производ степена (–a)5 и –a4 подели њиховим количником. Вредност добијеног израза је: а) a8; б) –a8; в) a9; г) –a9; д) a19.

( )

3 7. Вредност израза (–2ab)3 ∙ 2a је: b 9 6 6 6 а) –64a ; б) –64a ; в) –36a ; г) 64a ;

8. Вредност израза а)

4 ; 4 4 3a b

б) 49 4 ; ab

д) 36a9.

је: в) 49 3 ; ab

г) 27 4 3; ab

д) 27 4 4. ab

4n+3 9. Вредност израза 22n+1 је: 4 а) 1; б) 2; в) 4; г) 5; д) 16.

8 7 11 10. Вредност израза 32 ∙ 10216 7 ∙6 9 је: (2 ∙ 3 ) 7 10 а) 1; б) 3; в) 6; г) 36; д) 2 ∙ 3 .

1. в); 2. г); 3. в); 4. в); 5. д); 6. а); 7. б); 8. г); 9. б); 10. в).

Решења:

66

тест – ПОЛИНОМИ 1. Б  ројевна вредност алгебарског израза 2х3 + 5х2 – 3х – 6 за х = –2 је: а) –4; б) 4; в) –8; г) –36. 2. Одреди збир и разлику полинома А и В ако је А = 2х2 – 6х + 1 и В = –5х2 + 7х + 1. А+В= А–В= 3. П  роизвод полинома А = 4у – 3 и В = у2 + 2у – 5 је: а) 4у3 + 5у2 – 26у + 15; б) 4у3 + 11у2 – 14у + 15;

в) 4у3 + 5у2 + 14у – 15.

4. Дужина једне катете правоуглог троугла је 8cm, а хипотенуза је за 4cm дужа од друге катете. Површина тог троугла је: а) 96cm2; б) 48cm2; в) 32cm2; г) 24 cm2. 5. Вредност израза (3√5 – 6) (3√5+ 6) је: а) –21; б) 9; в) 21;

г) –9 .

6. Решење једначине (5х – 2)2 – (5х – 4) (5х + 4) = 0 је: а) х = 1; б) х = –1; в) х = 0;

г) х = 5.

7. Разлика квадрата два узастопна непарна природна броја је 32. О којим бројевима је реч? Одговор: 8. Растави изразе на чиниоце: 2 1) 15а – 35а =

.

Решења:

3) 0,01p2 – 64 q2 = 81

;

1. б); 2. А + В = –3х2 + х + 2, А – В = 7х2 – 13х; 3. а); 4. г); 5. б); 6. а); 7. 7 и 9; 8. 1) 5а (3а – 7); 2) (2у – 7)2; 3) (0,1p – 8 q) (0,1p + 8 q). 9 9

2) 4у2 – 28у + 49 =

;

67

ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – РЕШЕЊА степен чији је изложилац природан број

( ) ( ( ) ( )( )( )( )( )

5

)

4 1. а) 4 ; б) 5 ; в) (–6) ; г) 4,7 ; д) (–2,5) ; ђ) 2 ; е) –1 1 ; 3 2 8 7 5 3 4 3 2. а) x ; б) (–p) ; в) a ; г) y ; д) (a + b) ; ђ) a . b в) √5 ∙ √5 ∙ √5 ∙ √5; 3. а) 5 ∙ 5 ∙ 5; б) 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ∙ 1 1 ; 5 5 5 5 5 5 г)–6 ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6); д) –1,1 ∙ (–1,1); ђ) –√7 ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7); е) – 3 ∙ – 3 ∙ – 3 . 4 4 4 A = –6; –√7; –1,1; – 3 ; 1 1 ; √5; 5 , B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 4 5 2 4 б) 10 ; в) 106. 4. а) 10 ; 5. 8 = 23, 32 = 25, 27 = 33, 64 = 26, 125 = 53, 343 = 73. 2 3 4 6 6 6 6. На пример: – 1 , – 1 , – 1 и 3 , (–√5) , 4 . 7 7 7 7 7. а) 1 000 000; б) 1; в) 1; г) 64; д) –125; ђ) 0,4096; е) 1,331; ж) 9 ; з) 216 ; 25 343 и) 16 ; ј) –3 53 ; к) 4√2; л)–12√12. 81 1024 8. К  вадрати и кубови су редом: 1 и– 1; 36 и 216 ; 3 и – 3√3 ; 8 и 8√8. 1 и 1; 0 и 0; 6,25 и –15,625; 8 4 8 49 343 4 д) – 125 ; ђ) 125 ; е) – 125 ; ж) – 5 ; 9. а) 16; б) 16; в) –16; г) 125 ; 512 512 8 8 512 и) –4 17 ; ј) 0; к) 1; л) 1; љ) –1; м) 8. з) 12 209 ; 243 27 10. а) п; б) п; в) н; г) п; д) н; ђ) н. 3 4 4 4 6 11. а) (–5)4 > 0; б) – 5 < 0; в) √5 = (–√5)6; г) – 2 > – 2 ; д) 0,44 = – 2 . 3 3 3 5 5 5 5 12. а) 1 ; – 1 ; – 1 па је – 1 < – 1 < 1 ; 2 32 32 2 2 2 4 4 4 3 3 2 б) 0,008; –0,008; 0,04, па је –0,2 < 0,2 < (–0,2) ; в) – √2 < – √2 < – 24 < √2 . 3 3 3 3 2 3 4 3 2 2 3 2 3 13. а) x + x ; б) a + b ∙ c ; в) a ∙ x + x a . 14. а) 129; б) –8; в) –14; г) 1 098 999; д) –21; ђ) –6; е) 0; ж) 27. 15. а) 3 255 ; б) 1 ; в) 2 1 ; г) 3 ; д) 5 155 ; ђ) 2 76 ; е) 1. 256 3 2 512 432 81 16. а) –2; б) 39; в) 20(√5 – 1); г) 10; д) 8; ђ) 4. 17. а) –135; б) 675; в) –48; г) 225; д) –472 392. 18. A = 1 , B = 1 и A > B. а) 3 ; б) 1 ; в) 27. 2 4 4 16 2

5

4

6

3

( )( )

{

}

( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

68

( )

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА 1. а) 54;

б) (–3)5;

6 2. а) 3 = 729;

3. а) x33;

( )

7 в) (–0,4)7; г) (2 5 )7; д) 1 ; 9 2

б) 28 = 256;

ђ) x8;

е)(–y)6;

ж) (a + b)4.

( )

5 г) 3 = 243 ; 4 1024 ђ) (2x – d)20.

в) –0,55 = –0,03125;

б) a12;

в) – b13; г) c34; д) (1 + a)10; 15 6 4. а) 313; б) 214; в) 3 ; г) 8 ; д) x20; ђ) –a25; е) (a – b)15. 4 9 5 8 б) 2 ; в) 213; г) 56; д) 39. 5. а) 3 ; 13 6. а) 57; б) – 1 ; в) –x9; г) –0,87. 2 7. а) x = 3; б) x = 1; в) x = 8; г) x = 4. 3 3 2 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 7 = 2 ; б) –0,8; в) – ; г) √2 ; 8. а) 2∙2∙2 9 5 2 3 2 б) 1; в) 7 ; г) 23; д) 62. 9. а) 3 : 3 = 3 ; 4 16 5 12 10. а) x ; б) x ; в) a; г) x ; д) 1; ђ) b ; е) k2; ж) x2. 11. а) c2; б) y9; в) x; г) x8; д) x2; ђ) x; е) a; ж) 1; з) y2. 12. а) x3; б) –y2; в) x; г) a9. 2 2 13. а) 5; б) 4 = 16; в) 2 = 4; г) 3; д) 22 = 4; ђ) 28 = 256. в) 9 ; г) 1; д) 625; ђ) 4. 14. а) –6 561; б) 1 ; 2 4 15. а) 35 = 243; б) 52 = 25; в) 1; г) 2. 16. а) x = 3; б) x = 8; в) x = 5; г) x = 17; д) x = 3; ђ) x = 5; е) n = 3. 5 17. а) a4; б) b4; в) c4; г) 12 ; д) x3 ∙ y; ђ) abc; е) a ∙ 4c ; ж) a2b3; з) xyz3. b d 8 6 8 6 12 18. (a ∙ a ) : (a : a ) = a . 19. (x14 : x11) ∙ (x5 ∙ x2) = x10. 20. (c8 : c5) ∙ (c3 ∙ c4) = c10.

( )

( )

( )

( )

СТЕПЕН ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА. СТЕПЕН СТЕПЕНА

( )

( )

5 4 1. а) (xy)3; б) 2 b ; в) 4 y ; г) (ab)6. 3 7 5 5 2. а) 3 ∙ a ; 4 4 ђ) 8 ∙ b ;

3. а) (2a)3; ђ) (xa)4;

б) 48 ∙ b8; 11

е) –c11 ∙ √3 ;

е) (–2x)5;

ж) (–a)7;

з)

б) 243a2;

7

4

з) a8 ∙ b8 ∙ c8;

г) 726;

5. а) a b ;

8

ж) 57 ∙ x7 ∙ y7; в) 204;

б) 256x8;

8

г) 36 ∙ √2 ;

б) 64;

4. а) a b ;

( )

в) 38 227 ∙ a9; 512 11 15 в) x y ;

5 д) 3 ∙ a5; 4 5 5 и) 2 ∙ a5 ∙ √2 .

6

в) a9 ∙ b9;

(– )

3 x 5; 2

г) 256a8b8; г) a7b6;

д) (xy)8;

(–

)

1 xy 5. 2 1 д) – ∙ x5 ∙ y5; 100 000 11 10 д) x y .

и)

ђ) 27a7√3.

69

6. а) ab8;

б) 2x4;

в) 9a7b2;

2 д) x ∙ 2z ; y

г) x9y;

7 7 7 5 7 3 7. а) 156 = 3 ∙65 = 5 ∙ 3 = 10 935; б) 46 2 = 2 ∙ 3 = 54; 5 5 2 ∙3 8 1 1 ; д) г) 5 ∙ 3 = 32 805; 2 3 = 3∙7 ∙2 1176 4 7 г) a7 ; б) 125 ; в) a ; 8. а) 243 ; 625 b 1024 8 6 3 4 4 4 ж) – √7y ; з) – 243 5 ; и) a b d4 ; е) 729x ; 4096 392 81f 3125c 5 7 б) 24; в) (–3)5; г) a ; 9. а) 2 ; 3 b 8 3 4 5 е) 2a ; ж) 2x ; з) √5 ; ђ) x ; a y b 3 10. а) 16; б) –4; в) 0; г) 1024 ; 243 б) 2 ; в) 244; 11. а) – 1 ; г) 2 ; 9 27 81 6 8 б) a4 ; 12. а) y ; в) 20480a ; г) 6xy6. 4 z b b 4 2 2 2 3 3 б) – 1 ; в) ((–0,1)7)4; г) 2 a . 13. а) (2 ) ; 2 3

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(( ) )

14. а) 3 ; 6

б) 435;

6

3

4 4 4 4 в) 213 = 33 ∙ 73 = 3 ∙ 37 =57 78 ; 15 3 ∙5 5 125

ђ) 23 = 8. 6 д) x6 ; y 6 ј) 27g ; 8 9 д) a ; 3 7 и) xa . 3b

4 ђ) 16a ; 81 к) 118 . 2

( ) ( )

д) 1. д) 767 . 1728

(( ) )

в) 216;

( )

24 д) 3 x ; 5

г) a6;

15 в) a10 ; г) b 28 20 15 6 6 16. а) a ; б) b ; в) c ; г) d ; д) x ; ђ) 1; е) 1; 9 11 2 17. а) x ; б) a ; в) y ; г) b2. 18. а) 212; б) 215; в) 232; г) 214;

15. а) a b ;

ђ) –a3c.

б) 64x18;

ђ) (0,2d)27.

6 12 8 12 x2 ; д) a b ђ) 56p42 . 6 y 2q 16 23 2 11 60 ж) x ; з) x ; и) x ; ј) 1; к) y ; л) y60; љ) y60.

д) 269. 11 ∙ 223 = 311 ∙ 34 ∙ 2 ∙ 223 = 29 = (23)3 19. а) (23)5; б) (23)8; в) (23)6; г) (23)4; д) (23)3; ђ) 3 ∙ 162 15 6 315 ∙ 215 4 k+2 4k+8 k 3 k 3k k+2 2 ) 27 (3 ) 3 36 (√6 √6 20. а) 3k = 3k = 3k = 1; б) 5; в) 4; г) 4k+6 = 4k+6 = 4k+6 = √6 = 6. 3 3 3 √6 √6 √6 21. а ) n = 1; б) n = 4; в) n = 3; г) n = 16; д) n = 2; ђ) n = 5; е) n = 5; ж) n = 2; з) n = 1; и) n = 8.

Алгебарски изрази

(

(

70

)

1. На пример: 1  ) 9 – 3 : (–1); 2) 5 + 1 1 – 2 ∙ 3 ; 3) 2 ∙ 1 + 4 2 : –1 1 ; 7 4 4 3 3 4) 3 1 + 2 2 ∙ –7 3 + 4 1 ; 5) 2 2 – 13 3 – 5,75 : 0,8. 3 5 8 4 3 4 2. а) 5 61 ; б) 4 5 ; в) 9 8 ; г) 1 1 . 120 16 15 137

)(

)

(

)

б) –2 1 ; 3

3. a) –16;

в) 2,06; г) –4 – √5.

4. а

b

c

a+b∙c

a∙c–b

a ∙ (b – c)

(a – c) ∙ (a + b)

–2

9

8

70

–25

–2

–70

– 1 4 –0,5

19 40 –8,15

1 5 –5,55

– 1 50 –35,26

13 200 –12,92

2 – 3 5 10 –4,3 7,7

5. На пример: 1) 7x – 2; 2) 9 – 8x + 7x2 – 6x3; 6. На пример: 1  ) 5а – b; 2) 2ab + bc; 2 4) 3x + 7xy – 21y ; 5) 5a3b2c – 4a2b + 3a –2. д) –14 2 . 7. a) –7; б) –19; в) –2 1 ; г) –5; 2 3 8. а) 10; б) –3 в) 9; г) 6; д) 0. 9. а) 5; б) –6.

b–a:c 9 1 4 1 3 10 –0,9

3) (5x – 2) ∙ (3x4 – 6x2 + 1). 2 3) (2a + 3) ∙ (7a + 2a – 1);

Полиноми 1. а) да; б) да; в) да; г) не; д) да; ђ) не; е) не. 2. a) 91; б) 5. 3. а) 12; б) –4. 4. Мономи су под а), б), в), г), д), ђ) и з). 5 3 4 5. На пример: 1) –7; 2) x; 3) 2ab; 4) –4 1 x2y2z; 5) 5,5a b c . 2 3 г) – 1 ; д) 1. 6. а) 2; б) –10; в) 3 ; 7 2 д) –40. 7. a) 500; б) –4; в) – 2 ; г) 30; 3 8. 5x и –2x; – 1 y и 12y; 4xy и – 3 xy; x2y и 2 x2y; 4xy2 и –19xy2. 2 8 9 5 2 5 2 9. На пример: 1) 2а и 8а; 2) –0,6b и 2 1 b; 3) abc и –3abc; 4) 2 x у и – 5 x у . 2 5 2 10. На пример: 9ху, –ху, –11ху и 2 3 ху. 7 11. На пример: х + 4; 2х – 5,3 и –3х + 4у. 12. Можемо да направимо 4 различита бинома: –2а + 3b, –2а – 3b, 2а + 3b и 2а – 3b. 13. На пример: х3 + 2х2; х3 – 3х; 2х2 – 4 и 3х – (–4). 14. а) 77; б) 0; в) 0. 15. а) 12; б) 30; в) –150. 16. На пример: 1 + а – 2а2; 1 + а + 3а4 и а – 2а2 – 3а4. 2 2 17. а) 36; б) 1; в) –1.

71

18. а) –74; 19.

б) –252.

Геометријска фигура Квадрат

Обим 4а

моном

Правоугаоник

2a + 2b

бином

Троугао

a+b+c

трином

3a

моном

a + 2b

бином

4a

моном

2a + 2b

бином

a+b+c+d

полином

a + b + 2c

трином

Једнакостранични троугао

Једнакокраки троугао Ромб Паралелограм Трапез Једнакокраки трапез

Сабирање полинома 1. а) 5a; б) 2b; в) –3ab; г) 4 1 x; д) – 3 y2; ђ) 6,7abc; е) 1 ax; ж) 1 3 x2y; з) 4,6ab2c3. 2 7 12 5 2. а) 6a; б) b; в) 0; г) –2ab; д) 1 1 abc; ђ) 2 1 xyz; е) 15x; ж) –10yz. 12 2 2 3 2 3. а) –5x; б) 2аb; в) –0,7xyz ; г) 5 2 p q r. 3 2 2 4. а) –2а – b; б) –4x + 5y ; в) –mn + 6a; г) 5,5xy – 2y . 2 2 5. а) –2а; б) 3b; в) –5x – 4x; г) –3x + 2x – 1; д) –8аb2 – 9ab + 6a2b; ђ) 7y2x2 + 8yz – 9xy2 + 10x2y. 6. Сређени су А, В и D. 7. a) n = 2; б) n = 5; в) n = 2; г) n = 3; д) n = 6. 8. а) n = 2; б) n = 1; в) n = 4; г) n = 3; д) n = 9. 9. а) 2а + 4, n = 1; б) 5х – 10, n = 1; в) 9b2 + b – 2, n = 2; г) –а – 6b, n = 1; д) –4y + 3, n = 1; ђ) 5а, n = 1; 3 2 е) –2ху – 2х + 5у, n = 2; ж) 8х – 2у + 1, n = 1; з) 11а + 17а – 1, n = 3. 10. а ) Р = x3 + x2 – 8x + 1; –Р = –x3 – x2 +8 x – 1; б) Р = 3a2b2 + 13a2b + 4ab2– 9ab; –Р = –3a2b2 – 13a2b – 4ab2– 9ab ; в) Р = 7abс – 12ab – 3aс; –Р = –7abс + 12ab + 3aс; г) Р = –6a5 – 13a3 – a2 + а – 1; –Р = 6a5 + 13a3 + a2 – а + 1. Полином Р и њему супротан полином –Р су истог степена. 11. а ) А + В = 5а + 4, n = 1; б) А + В = 4а2 + 2а – 1, n = 2 ; в) А + В = 3а2 + 7а + 7, n = 2; г) А + В = – 4а2 + 7а + 7, n = 2. 12. А = –2х2 + 3х + 2, В = 4х2 + 12, А + В = 2х2 + 3х + 14. 13. а ) А – В = х – 1, n = 1; б) А – В = –2х2 – 5х + 11, n = 2; 3 2 в) А – В = – 3х – 3, n = 1; г) А – В = –4х + 4х + 10а – 12, n = 3. 14. а) 2у + 2, n = 1; б) 12у – 4, n = 1; в) –6у + 6, n = 1; г) 4у, n = 1. 15. a ) 11х2 – 9х + 6; б) х2 – х + 4; в) –5х2 – 3х – 2; г) –х2 + х – 4; д) 5х2 + 3х + 2; ђ) –15х2 + 5х – 4.

72

16. а) 7х5 + 11х4 – 10х3 – 2х, n = 5; б) –3х5 – 11х4 + 4х3 + 6х, n = 5; в) –7х5 + 7х4 – 4х3 + 8х, n = 5; г) –3х5 – 20х4 + 11х3 + 3х, n = 5. 17. А – В + С = 4abc – 5ab –10c. 18. 2a –3 + 5a + 2 – (–2a – 1 + 4a + 1) = 5a – 1. 19. (3x + 4y) – (2y – 5x) – ((7x – 2y) – (4x – 4y)) = 5x. 20. 5a2 – 3a + 1 – (10a + 2 + 2a2 – 7a) = 3a2 – 6a – 1. 21. 4. 22. 4x – 14. 23. Вредност полинома –3a – 5 за а = 7 је –3 ∙ 7 – 5 = –26. 24. Вредност полинома –6а2 + 3а – 9 за а = –1 је –6 ∙ (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 9 = –18. 25. В  редност полинома –х2 + 8хy – 6y2 – 13 за х = –2 и у = 1 је –(–2)2 + 8 ∙ (–2) ∙ 1 – 6 ∙ 12 – 13 = –39. 26. a) P = 5х2 + х + 2; б) P = 2х2 + 5х + 2; в) P = х2 – 4х + 14. 27. a) P = 4х2 + 8х – 8, n = 2; б) P = 11х – 5, n = 1. 28. P = a2 – 2ab – 4b2. 29. Из n + (n + 1) + (n + 2) = 186 добијамо n = 61. Тражени природни бројеви су 61, 62 и 63. 30. 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 84, n = 9. Тражени бројеви су 18, 20, 22 и 24. 31. n + (n + 3) + (n + 6) + (n + 9) = 158, n = 35. Тражени бројеви су 35, 38, 41 и 44. 32. a) O = 12x + 4; б) 40. 33. х = 7. 34. а) х = 3; б) х = 1; в) х = –6; г) х = 2; д) х = 2; ђ) х = 0; е) х = 6; ж) х = 0,96; з) х = – 8 . 9 35. Како је x + 4 + 2x + 3 + 3x +1 = 4 ∙ (x + 3), то је x = 2.

Множење полинома 1. а) 15a; 2. а) –24х3;

б) –8b2; б) – 1 у6; 5

2 2 2 3 3 3 3. а) А = 9a b ; А = 27a b ;

4. а) 8x y ; 6 3

б) 25x2y4z6;

в) a3; в) 48x5y3z2;

г) –2a3b2c; г) – 1 x7y6z6. 4

б) А2 = 4a2b4c6; А3 = –8a3b6c9; в) – 1 a6b9c15; 8

д) 1,32a5b4c6.

в) А2 = 9 a8b2с4; А3 = – 27 a12b3с6. 16 64

г) 81x20y12z8.

2 3 5 в) 24а8; г) 4x2y4z9; д) 2 a4b9; ђ) –8a9b10c14. 5. а) –3a b ; б) 4а ; 3 6. а) –7xy; б) –16x2y; в) –5x2y2; г) 25x4. 2 7. а ) P ∙ M = (2x + 3) ∙ 4x = 8x + 12x; б) P ∙ M = (3p – 2q) ∙ (–2p2)= –6p3 + 4p2q; в) P ∙ M = (2a – 3b + 5c) ∙ 5abc = 10a2bc – 15ab2c + 25abc2; г) P ∙ M = (–4ab + 16ac – 8bc) ∙ 1 bc = –2ab2c + 8abc2 – 4b2c2. 2 6 4 3 б) –6a2b2c + 12a2b2c2 – 18a3b4c5, n = 12; 8. а) –7х + 14х +7х , n = 6; 3 2 2 3 2 5 в) –4х у + 2х у – 6х у , n = 7; г) 18х5у6 – 9х4у5 – 27х3у4, n = 11; д) –1 1 х3у5 + х5у9 + 2 1 х9у7, n = 16; ђ) 3a4b4c4 – a4b3c6 + 4a2b4c6, n = 13. 2 4

73

9. а ) 7х3– 6х, n = 3; б) 10х2 – 3ху, n = 2; в) –20х2 + 2ху + 3у2, n = 2; г) 5х2 + 3ху + 2у2, n = 2; д) 5х3 – 12х2 – 7х, n = 3; ђ) 12х4 – 38х3 – 4х2 + 6х, n = 4; е) –2х4 – 8х3 + 34х2 – 3х, n = 4. 10. 27а4 – 15а3 + 20а2 – 12а + 28, n = 4. 11. Тачно. 12. а) 2х2 + 3х – 2; б) –12х2 – 14х + 10; в) 12х3 – 28х2 + 3х – 7; г) 6a2 – 5ab –6b2. 2 2 3 2 3 2 13. а) 10х – ху –3у ; б) 4а + 19а – 5а; в) 12а – 17а – 14а + 15; г) –10а4 + 7а3 + 7а2 – 4а; д) а3 – b3; ђ) а3 + b3; е) x4 – 1; ж) x4 – 1. 3 2 2 14. а ) –3а + 8а + 2а – 3; б) 3x – 6x – 14; в) –18x – 14; г) 5x2 – 5; д) 21x3 – 11x2; ђ) –х3 + 6х2 + 6х + 4. 15. а) 2х4 – 3х3 + х2; б) 90х7 – 45х6 – 82х5 + 36х4 + 8х3. 4 3 2 16. а ) –8а – 6а + 41а + 24а – 36; б) 2а3 + 3а2 – 4а – 15; в) –4а3 + 3а2 + 18а – 9; г) 4а3 – 11а2 – 22а + 21. 2 17. а ) –3x – x – 3, n = 2; б) 5x2 + 9x – 5, n = 2; в) 4x3– 9x2 – x – 4, n = 3; г) –20x3+ 5x2 + 25x, n = 3. 18. а) –20а5 + 21а4 – 18а3 + 6а2 – 12а – 42; б) –3b5 + 4b4 + 3b3 + b2 + 4b – 5. 19. –30. 20. –7. 21. –10х2 + 23х – 5. 22. 3а2 – 2а + 1 – (2а + 3)(3а – 9) = –3а2 + 7а + 28. 23. (х – у)(х + у) + 2ху ∙ (х2 + ху – у2) = х2 – у2 + 2х3у + 2х2у2 – 2ху3. 24. (ху2 + 1)(2х – 3у) – (ху2 + 1 – (2х – 3у)) = 2х2у 2 – 3ху3 – ху2 + 4х – 6у – 1. 25. (2а + 3b) (2а – 3b) + (2а)2 – (3b)2 = 8а2 – 18b2. 26. а) M = 2x; б) M = –4ab2; в) M = –3a3bc2. 27. х = 3. 28. а) х = 2; б) х = –2; в) х = –1; г) х = 0; д) х = 1; ђ) х = –1. 29. а ) –5а3 – 5а2 + 29а – 20, за а = 3 вредност полинома је –113; б) а5 + 4а4 + 3а3 – 3а2 – 12а – 9, за а = –1 вредност полинома је 0; в) 3b – 3, за b = 2 вредност полинома је 3; г) –3c5 + 3c3 + c2 + 2c – 8 , за c = –2 вредност полинома је 64; д) 3х2у 2 + 12ху + 8х – 3у2 – 4y, за х = –5 и у = 2 вредност полинома је 120; ђ) –32х3у + 53х2у 2 – 18ху 3 , за х = –3 и у = 1 вредност полинома је 343. 3

Квадрат бинома 1. а ) Нетачно; б) Тачно; в) Нетачно; д) Нетачно; ђ) Нетачно; е) Тачно; 2. а ) x2 + 6x + 9; б) 4x2 + 20x + 25; г) x2 – 2x + 1; д) 9x2 – 24x + 16; 3. а) 4а2 + 12аb + 9b2; 2 2 д) 1 x – xy + y ; 4

74

г) Нетачно; ж) Нетачно. в) 25x2 + 10x + 1; ђ) 81x2 – 144x + 64. г) 1 + a + a2; 4

б) 25x2 – 30xy + 9y2;

в) 16x2 + 8xy + y2;

ђ) 36a2b2 + 60ab + 25;

е) 16a2b2c2 – 24abc + 9; ж) 9x4 – 42x2y + 49y2.

4. а) 9 – 6x + 4x2; 4 2 2 г) 3x + 2√15xy + 5y ; е) 2a2 – 8ab + 8b2; 5. а) (1 – 5х) ; 2

( (

б) 4a2 + 2ax + 1 x2; 4 д) 0,25a2 – 0,3ab + 0,09b2; ж) 9a2 + 42a + 49; 2

(

)

в) 3аb + 1 ; 2

2

б) (7а + 2b) ;

в) 0,04a2 + 2a3 + 25a4; ђ) 0,01 – a3 + 25a6; з) 4 – 2a + 1 а2. 4 2 2 1 1 г) x – yz ; д) (√3x + 3√3y)2. 5 2

(

)

2

)

2 б) (8a – 11b)2 = 64a2 – 176ab + 121b2; 6. а) 1 + x = 1 + х + x ; 2 4 2 2 2 2 2 2 в) 1 – 2xy = 1 – хy + 4x y ; г) 1 c + 1 d = 1 c + 1 cd + 1 d . 4 16 2 3 4 3 9 2 2 в) 2а2 + 8; 7. а) –30х + 4; б) 2x + 2y ; 2 д) –19x2 + 9x + 9; ђ) 5b2 + 76b + 15. г) –2а + 22а + 25; 2 2 8. а ) 13x + 53х + 58; б) –2x – 5х + 15; в) 11x2 – 5y2; г) 7а2 – 28а + 12; д) 20а3 – 14а2 + 2а; ђ) –108b2 – 252b + 5; е) –а2 – 2аb – b2; ж) –117а + 121. 9. 2xy, за х = –1,5 и y = 0,2 вредност израза је –0,6. 10. –7x2 – 27xy, за х = – 1 и y = 1 вредност израза је 2 . 7 9 7 11. а) 42; б) 102. 12. 2x2 + 5х – 7 + (2х – 4)2 = 6x2 – 11х + 9. 13. 4x3– 3x2 + 2x – 1 – (х – 6)2 = 4x3– 4x2 + 14x – 37. 14. (5х – 9)2 – (2х + 7)2 = 21x2 – 118х + 32. 15. (5а + 8b)2 – (5а – 8b)2 = 160ab. 16. 16x2 – 11x + 1 – (4x – 1)2 = –3x, за х = –4 вредност полинома је 12. 17. 9x2 – 23x + 8 – (3x – 4)2 = x – 8, за х = 2 009 вредност полинома је 2 001. 18. a ) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 1 + 12 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201; б) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 2 + 22 = 10 000 – 400 + 4 = 9 604; в) 1062 = (100 + 6)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 6 + 62 = 10 000 + 1 200 + 36 = 11 236; г) 952 = (100 – 5)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 5 + 52 = 10 000 – 1 000 + 25 = 9 025; д) 892 = (100 – 11)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 11 + 112 = 10 000 – 2 200 + 121 = 7 921; ђ) 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544. б) х = 1; в) х = 4; г) х = –2. 19. а) х = –1 2 ; 7 20. а) –8x2 + 18х – 9; б) –16x2 + 26х – 12; в) 4x2 – 4х + 3. 21. а) 14x2 – 10х + 14; б) 2x2 + 23х – 6; в) 24x; г) 18x2 – 24х + 26; д) –8x2 + 38х – 9. 2 2 2 2 2 22. d = a + b , (х + 1) = (х – 2) + 81, x = 14. 23. c2 = a2 + b2, (5х + 2)2 = (3х – 1)2 + (4х + 3)2, x = 3. 2 2 2 2 2 2 24. Из a = 24, c = b + 16 и c = a + b добијамо (b + 16) = 24 + b , односно b = 10cm и c = 26cm, 2 па је O = 60cm и P = 120cm . 25. a = 12, b = c – 4, c2 = a2 + b2, c2 = 122 + (c – 4)2, c = 20cm, b = 16cm, O = 48cm, P = 96cm2. 26. a = 15, b = d – 9, d2 = a2 + b2, d2 = 152 + (d – 9)2, d = 17cm, b = 8cm, O = 46cm, P = 120cm2. 27. a = 18, b + c = 54, b = 54 – c, c2 = a2 + b2, c2 = 182 + (54 – c)2, c = 30cm, b = 24cm, P = 216cm2. 28. b = 5, a + c = 25, c = 25 – a, c2 = a2 + b2, (25 – a)2 = a2 + 52, a = 12m. 2 29. a1 – a2 = 2, a1 = a2 + 2, P1 – P2 = 40, a12 – a22 = 40, (a2 + 2) – a22 = 40, a2 = 9cm, a1 = 11cm.

)

(

)

75

30. Како је O = 4a, односно 60 = 4a, па је a= 15cm. Примењујући Питагорину теорему 2 2 a2 = d1 + d1 добијамо да је 4a2 = d12 + d22, 4 ∙ 152 = d12 + d22, 900 = d12 + d22. Додајући левој 2 2 и десној страни једнакости 2d1d2 добићемо 900 + 2d1d2= d12 + d22 + 2d1d2, односно 900 + 2d1d2 = (d1 + d2)2, а како је d1 + d2 = 42, то је 900 + 2d1d2 = 422, односно d1d2 = 432. Из Р = d1 ∙ d1 добијамо да је Р = 216cm2. 2

( ) ( )

Разлика квадрата 1. а ) (х – 3)(х + 3);

в) (2а – 7b)(2a + 7b); г) (c – √3)(c + √3); д) (ab – 6)(ab + 6); ђ) ( 1 – 2y)( 1 + 2y). 2 2 2 2 2 2 2. а) 4 – х ; б) а – 100; в) 16а – b ; г) 9а2 – 64b2; д) 100x2 – y2; 2 2 2 ђ) c4 – 1; е) 0,49а2 – 4b2; ж) 9 а – 1; з) 16 x – 25 y . 16 81 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3. а) 16а b – 9c ; б) 25x y z – 4a b c ; в) 1,44m n – 6,25p q ; г) 81 а b – 25 c ; 100 121 2 2 4 4 4 4 2 д) y – 4x ; ђ) x – 81; е) а – 256b ; ж) а – 625; з) 144 – b ; и) z4 – 1. 4. а ) (91 – 9)(91 + 9) = 82 ∙ 100 = 8 200; б) (26 – 24)(26 + 24) = 2 ∙ 50 = 100; в) (87 – 77)(87 + 77) = 10 ∙ 164 = 1 640; г) (175 – 25)(175 + 25) = 150 ∙ 200 = 30 000; д) (5,3 – 4,3)(5,3 + 4,3) = 1 ∙ 9,6 = 9,6; ђ) 7 3 – 2 1 7 3 + 2 1 = 5 1 ∙ 10 = 55. 4 4 4 4 2 5. а) 200; б) – 1 ; в) 1; г) –5; д) 1 ; ђ) 2. 340 25 2 2 6. а ) (а – 6) (а + 6) = а – 36; б) (5 – х) (5 + х) = 25 – х ; в) (2а – 3b) (2а + 3b) = 4a2 – 9b2; г) 3 х2 – 1 y 3 х2 + 1 y = 9 x4 – 1 у2. 4 4 4 4 16 16 2 2 7. а) (100 + 2)(100 – 2) = 100 – 2 = 10 000 – 4 = 9 996; б) (1 000 + 5)(1 000 – 5) = 1 0002 – 52 = 1 000 000 – 25 = 999 975; в) (50 + 5)(50 – 5) = 502 – 52 = 2500 – 25 = 2 475; г) (20 + 4)(20 – 4) = 202 – 42 = 400 – 16 = 384; д) (80 + 1)(80 – 1) = 802 – 12 = 6 400 – 1 = 6 399; 2 2 ђ) (40 + 9)(40 – 9) = 40 – 9 = 1 600 – 81 = 1 519; е) (5 + 0,1)(5 – 0,1) = 52 – 0,12 = 25 – 0,01 = 24,99; 2 2 ж) (1 + 0,01)(1 – 0,01) = 1 – 0,01 = 1 – 0,0001 = 0,9999. 8. а) 11а2 – 5а – 1; б) –8а – 20; в) –43x2 – 57xy + 23y2; г) –91; д) –180x2 + 27х + 421. 9. а) х = 4,5; б) у = 0; в) х = 1; г) х = 5; д) у = 0; ђ) х = –2. 10. а) х = –3; б) х = 2; в) х = 1; г) х = 1; д) х = 4. 11. –4ab – 5b2. 2 2 12. (n + 1) – n = 43, n = 21; Тражени бројеви су 21 и 22. 13. (2n + 2)2 – (2n)2 = 68, n = 8; Тражени бројеви су 16 и 18. 14. (2n – 1) (2n + 1) = 143, (2n)2 – 1 = 143, 4n2 = 144, n2 = 36, n = 6; Тражени бројеви су 11 и 13. 15. Из P = a ∙ b, односно 119 = (2x – 5)(2x + 5), добијамо 119 = 4x2 –25, односно x2 = 36, па је x = 6. Сада је a = 7cm и b = 17cm, па је O = 48cm.

76

б) (5х – 4)(5х + 4);

(

)(

)

(

)(

)

16. (n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1, а број облика 2n + 1 је увек непаран број за n  N. 17. (2n + 1)2 – (2n – 1)2 = 4n2 + 4n + 1 – 4n2 + 4n – 1 = 8n, а број 8n је дељив са 8. 18. а) 15x3 + 3х2 – 25; б) x2 + 17х + 5; в) –5x2 – 12х + 13; г) 21x2 + 20х + 29; д) –2x2 + 6xy – 5y2; ђ) 15x2 + 8х + 10. 19. а) р2 + 2р – 21; за р = –1 је –22; б) –q2 + 20q – 16; за q = 2 је 20. 20. a) 1; б) 2. 21. 2.

Растављање на чиниоце 1. а) 3(х – у); б) 12(а + b); в) 5y(х – 3z); г) b(a – b); д) 7a(–a + 3); ђ) 5b2(2a – b). 2. а) x(х – 7) = 0, х = 0 или х = 7; б) 2x(х + 4) = 0, х = 0 или х = –4; в) 2x (6 – х) = 0, х = 0 или х = 6; г) x(х + 10) = 0, х = 0 или х = –10; д) 3x(х – 2) = 0, х = 0 или х = 2; ђ) 4x2(х + 3) = 0, х = 0 или х = –3. 3. а) х = 0 или х = 2; б) х = 0 или х = –4; в) х = 0 или х = 5 ; 2 д) х = 0 или х = 3 ; ђ) х = 0 или х = 4 . г) х = 0 или х = 4 ; 3 5 3 4 2 4. а) 2(ab + bc + ac); б) 4(3a – 5b + 4ab); в) x(x + x – 1); г) 5a(2a – 3 + 7a2). 5. а) 2(5x2 – 3y 2 – 4xy); б) a2(a3 + a2 – a + 1); в) 2ab(2a2bc + 5a + 10bc3); г) 3x2y(3xy – 6 + 4y2). 6. а ) 5(х + у); б) (а + b)(х + у); в) (4 + а)(а + b); г) (х2 + 1)(х – 1); д) (х + у)(х – 6); ђ) (ху + 2)(х + 3). 7. а) (3 – х)(3 + х); б) (а – 5)(а + 5); в) (х – 2у)(х + 2у); г) (4а – 1)(4a + 1); д) (2а – 3b)(2a + 3b); ђ) (7x –3y)(7 x + 3y); е) (8x – 1)(8x + 1); ж) (c – 9d)(c + 9d). 8. а) (4аb – 7c)(4ab + 7c); б) (x – 3y2)(x + 3y2); в) (11m – 12n)(11m + 12n); г) (4а2b – 5cd)(4a2b + 5cd); д) x – 1 x + 1 ; ђ) 1 x – 4 y 1 x + 4 y ; 6 6 3 5 3 5 ж) (0,3а – 0,5y)(0,3a + 0,5y); е) 9 – 2 x 9 + 2 x ; 11 5 11 5 з) (0,9xy – 0,5z)(0,9xy + 0,5z); и) 5 а – 7 b 5 a + 7 b . 2 3 2 3 2 2 2 б) (1 – c)(1 + c)(1 + c ); в) (x – 2)(x + 2)(x2 + 4); 9. а ) (a – b)(a + b)(a + b ); 2 2 г) (2a – 3b)(2a + 3b)(4a + 9b ); д) 5(a – 1)(a + 1); ђ) b(a – 1)(a + 1); е) 7a(1 – x)(1 + x); ж) a(x – 3)(x + 3). 10. а) 5a2(b – 3)(b + 3); б) a(p – q)(p + q); в) m2(m – 1)(m + 1); г) 3(2a – 1)(2a + 1); д) 8a(1 – a)(1 + a); ђ) 2a(2x – 5y)(2x + 5y); е) abc(a – c)(a + c); ж) 3a(3a – b)(3a + b). 11. а ) 2 x – k 2 x + k 4 x2 + k2 ; б) 2(r – 2s)(r + 2s)(r2 + 4s2); 3 3 9 2 2 2 г) 5x3y2 (x – 2y)(x + 2y)(x2 + 4y2). в) 3a b (a – b)(a + b)(a + b2); 12. а) (x – 4)(x + 2); б) (x – 3)(x + 5); в) 4(x + 1); г) 3(2x + 1).

(

(

)(

)(

)

(

)(

)

)

(

(

)(

)(

)(

)

)

77

13. а) (x – 3)(x + 3) = 0; х = 3 или х = –3; в) (4 – х)(4 + х) = 0, х = 4 или х = –4;

б) (x – 5)(x + 5) = 0, х = 5 или х = –5; г) (9у – 1)(9у + 1) = 0; у = 1 или у = – 1 ; 9 9 ђ) (6у – 11)(6у + 11) = 0; у = 11 или у = – 11 . 6 6

д) (2x – 7)(2x + 7) = 0; х = 7 или х = – 7 ; 2 2 в) х = √15 или х = –√15; 14. а) х = 7 или х = –7; б) х = 4 или х = – 4 ; 3 3 ђ) х = 3√2 или х = – 3√2 . г) х = √3 или х = – √3 ; д) х = √5 или х = – √5 ; 4 4 2 2 2 2 б) х = √2 или х = – √2 ; в) х = 3 или х = –1; 15. а) х = 2√15 или х = – 2√15 ; 5 5 4 4 ђ) х = –3 или х = 1 . г) х = 4 или х = –6; д) х = – 3 ; 2 3 16. а) х = 4 или х = –4; б) х = 5 или х = –5; в) х = 2 или х = – 2 ; 3 3 7 7 г) х = 0 или х = 7 или х = –7; д) х = 0 или х = или х = – ; 2 2 ђ) х = 0 или х = 3 или х = – 3 . 4 4 2 2 17. а ) (х + у) ; б) (х + 3) ; в) (а + 4)2; г) (у + 1)2; д) (3а + 1)2; ђ) (1 + 5m)2; е) (4х + 1)2; ж) (b + 4)2; з) (7 + x)2. 2 2 2 18. а ) (х – 6) ; б) (a – 7) ; в) (9а – 2b) ; г) (6 – 8a)2; д) (7а – 3)2; ђ) (0,1b – 5c)2; е) (a – 0,5)2; ж) (4x – 3y)2; з) (5a – 4b)2. 19. а) (0,5хy – 0,1)2; б) (0,3a + 0,2b)2; в) ( 1 – x)2; 2 2 2 2 2 2 д) (c – 4) = (c – 2) (c + 2) ; ђ) (c2 – d2)2 = (c – d)2 (c + d)2. г) ( a + 4b) ; 9 2 б) x(х + 6)2; в) 5(x – 3)2; г) (x + 1)2(x – 1)2; 20. а) 3(х + 1) ; 2 2 2 2 д) 100(а + 3b) ; ђ) 2(ab – 3c) ; е) –11 (1 + 3a ) ; ж) –5(y – 2)2; з) 5x(xy + 1)2; и) 3x(3x – 5)2; ј) 2x(11a + 7)2; к) 5b(b – 6)2. 21. а) х = –5; б) у = 3; в) х = 6; г) а = –2; д) х = 1 ; 4 е) х = 3 ; ж) х = –1; з) а = – 1 . ђ) х = – 5 ; 2 4 3 2 2 2 2 22. а ) (89 + 11) = 100 = 10 000; б) (37 + 13) = 50 = 2 500; в) (123 – 43)2 = 802 = 6 400; г) (39 – 14)2 = 252 = 625. 23. а) Тачно; б) Тачно. 24. П  роверићемо да ли важи Питагорина теорема, то јест да ли је c2 = a2 + b2. Према томе (х2 + у2)2 = (х2 – у2)2 + (2ху)2, односно х4 + 2х2у2+ у4 = х4 – 2х2у2+ у4 + 4х2у2 и коначно х4 + 2х2у2+ у4 = х4 + 2х2у2+ у4, што је тачна једнакост. Значи, важи Питагорина теорема, па је ∆АВС правоугли.

78

МНОГОУГАО обнављање 1. Обој унутрашњост сваке од фигура за коју кажемо да је многоугао:

2. О  бој унутрашњост конвексних многоуглова:

3. Нацртај два многоугла са по 5 страница, један конвексан, а један неконвексан. 4. Нацртај произвољан петоугао ABCDE и напиши парове његових суседних страница. 5. Нацрај произвољан шестоугао ABCDEF, a затим и све његове дијагонале. Наведи их. 6. Н  а слици је приказан петоугао ABCDE, који дијагонала BD разлаже на правоугаоник (страница а = 2√3cm и b = 4cm) и једнакостранични троугао (странице а = 2√3cm). а) Одреди све углове овог петоугла; б) Нацртај све дијагонале тог петоугла и израчунај њихове дужине. D

E

а А

b

C

B

Број дијагонала многоугла 1. Н  ацртај произвољан петоугао и произвољан осмоугао. Нацртај све дијагонале из једног темена петоугла, односно осмоугла. За колико се број дијагонала које полазе из једног темена многоугла (петоугла и осмоугла) разликује од броја страница? 2. И  зрачунај број дијагонала многоугла које полазе из једног темена многоугла ако тај многоугао има n страница ако је: а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 8; д) n = 13; ђ) n = 40.

79

3. Колико страница има многоугао код кога се из једног темена може повући d дијагонала: а) d = 2; б) d = 5; в) d = 12; г) d = 20; д) d = 25; ђ) d = 27? 4. И  зрачунај број свих дијагонала многоугла ако тај многоугао има n страница: а) n = 5; б) n = 6; в) n = 8; г) n = 13; д) n = 20; ђ) n = 23. 5. П  опуни дату табелу ако је n број страница многоугла, dn број његових дијагонала које се могу повући из једног темена и Dn укупан број дијагонала: n

4

7

10

12

15

33

dn Dn 6. О  дреди укупан број дијагонала многоугла ако се из једног темена тог многоугла може повући: а) 5 дијагонала; б) 8 дијагонала; в) 10 дијагонала. 7. К  олико има страница многоугао чији је укупан број дијагонала: а) 20; б) 35; в) 65; г) 230? 8. П  опуни дату табелу ако је n број страница многоугла, dn број његових дијагонала које се могу повући из једног темена и Dn укупан број дијагонала: n dn Dn

11

28 10

30 5

90

9. Да ли постоји многоугао чији је укупан број дијагонала 64? Образложи одговор. 10. О  дреди многоугао чији је укупан број дијагонала: а) 3 пута већи од броја његових страница; б) 6 пута већи од броја његових страница. 11. Код ког многоугла је укупан број његових дијагонала: а) 5 пута; б) 10 пута већи од броја дијагонала које се могу повући из једног темена? 12. К  олико темена има многоугао код кога је укупан број дијагонала једнак броју његових страница? 13. З бир укупног броја дијагонала и броја страница једног многоугла је 45. Одреди број темена тог многоугла. 14. К  олико страница има многоугао ако је збир броја дијагонала које полазе из једног темена и укупног броја дијагонала 33?

80

15. И  зрачунај број дијагонала многоугла код кога је однос броја дијагонала и броја страница 9 : 2.

16. Број страница многоугла је за 63 мањи од броја дијагонала. Колико темена има тај многоугао? 17. Ако је Dn број свих дијагонала многоугла са n страницом, докажи да је: а) D12 = 2D9; б) D8 = 4D5; в) 4D14 = 7D11. 18. К  ада се број страница многоугла повећа за 3, онда се број дијагонала повећа за 33. Који многоугао има ту особину? 19. К  олико дужи је одређено са 6 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? Увери се да је број тих дужи једнак збиру броја дијагонала и броја страница шестоугла. 20. Колико правих је одређено са 10 тачака, од којих никоје три нису колинеарне? 21. Колико двочланих подскупова има скуп од 50 елемената? 22. Н  а кружници је уочен известан број тачака. Спајајући сваке две уочене тачке добијено је 45 тетива. а) Колико страница има многоугао одређен уоченим тачкама? б) Колико дијагонала има многоугао одређен уоченим тачкама?

Збир углова многоугла 1. М  ногоугао је дијагоналама из једног темена разложен на троуглове. На колико троуглова је разложен тај многоугао ако је то: а) петоугао; б) шестоугао; в) осмоугао; г) десетоугао; д) дванаестоугао; ђ) седамнаестоугао. 2. Израчунај збир унутрашњих углова: а) петоугла; б) шестоугла; г) десетоугла; д) дванаестоугла;

в) осмоугла; ђ) седамнаестоугла.

3. О  дреди број страница многоугла ако је збир његових унутрашњих углова: а) 360°; б) 540°; в) 1 440°; г) 1 620°; д) 1 800°; ђ) 2 340°. 4. Може ли збир унутрашњих углова неког многоугла бити: а) 600°; б) 3 420°; в) 2 020°. 5. Постоји ли осмоугао чији су спољашњи углови 115°, 53°, 26°, 18°, 48°, 39°, 32° и 29°? 6. Д  а ли углови од 120°, 142°, 133°, 115°, 162° и 128° могу бити унутрашњи углови неког шестоугла?

81

7. П  ознато је пет унутрашњих углова шестоугла: 85°, 164°, 118°, 99° и 132°. Одреди меру шестог угла. 8. С  едмоугао има један угао од 165°, други угао од 145°, два права угла и два угла од по 150°. Колика је мера седмог угла? 9. У  петоуглу су два унутрашња угла једнака. Одреди њихове мере ако су преостала три угла 100°, 110° и 120°. 10. Да ли осмоугао може имати четири права унутрашња угла? 11. Колико највише правих унутрашњих углова може имати петоугао? А десетоугао? 12. Нацртај конвексан петоугао са три права угла, а затим и конвексан десетоугао са три права угла. 13. Колико страница има многоугао ако је збир његових унутрашњих углова три пута већи од збира спољашњих углова? 14. Колико страница има многоугао ако је збир његових спољашњих углова за 1 080° мањи од збира унутрашњих углова? 15. Израчунај број дијагонала многоугла код кога се збир унутрашњих и збир спољашњих углова разликују за 540°. 16. Колики је збир унутрашњих углова многоугла код кога се из једног темена може повући: а) 5 дијагонала; б) 13 дијагонала. 17. Одреди број дијагонала оног многоугла код кога је збир унутрашњих углова једнак збиру спољашњих углова. 18. Ако је n број страница многоугла, dn број његових дијагонала које полазе из истог темена и Sn збир унутрашњих углова, попуни табелу: n dn Sn

10

14 9

5 720°

1 080°

19. И  зрачунај унутрашње углове петоугла ако је почев од неког, сваки следећи за 20° већи од претходног. 20. У четвороуглу је угао α = 60°, угао β = 3 α, а угао γ је за 10° већи од угла δ. Одреди 2 углове тог четвороугла. 21. У  четвороуглу је угао α два пута већи од угла β, угао γ износи 80% угла α, а угао δ је за 30° већи од угла α. Одреди углове тог четвороугла. 22. А  ко многоугао има четири пута више дијагонала него страница, колико пута је збир унутрашњих углова већи од збира спољашњих углова?

82

Обим и површина многоугла 1. И  зрачунај обим многоугла ако су дужине његових страница 23mm, 83mm, 4cm, 6cm, 37mm, 45mm, 25mm. 2. И  зрачунај обим шестоугла ако је најкраћа страница 3cm, а остале странице су дуже редом за по 5mm. 3. О  дреди дужине страница петоугла ако се оне од најкраће до најдуже редом разликују за по 1cm, а обим тог петоугла је 20cm. 4. К  вадрат и једнакостранични троугао имају једнаке странице а = 12cm. За колико треба смањити страницу тог квадрата да би обим новодобијеног квадрата био једнак обиму тог троугла? 5. А  ко се свака од две наспрамне странице квадрата увећа за по 5cm, а друге две смање за по 2cm, добије се правоугаоник чији је обим 34cm. Израчунај страницу тог квадрата и његову површину. 6. К  вадрат странице а = 12cm има обим једнак обиму једнакостраничног троугла. За колико је површина тог квадрата већа од површине тог једнакостраничног троугла? 7. И  зрачунај обим и површину шестоугла ABCDEF са слике:

E

6

D

6

6 60° C

F 60° 6

150° 150° 6 B А

6

8. С  вака страница једнакостраничног троугла АВС је уједно и основица једнакокраког троугла конструисаног са спољашње стране. Ако је дужина сваке од страница троугла ABC једнака 8cm, а висине сваког од једнакокраких троуглова које одговарају основицама по ha = 3cm, одреди обим и површину шестоугла ADBECF.

9. Н  а страницама квадрата ABCD странице 4cm изабране су тачке E, F, G, H, I, J, K, L као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла EFGHIJKL. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.

83

10. На страницама квадрата ABCD странице 30cm изабране су тачке E, F, G, H, I, J, K, L као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла EFGHIJKL. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених метрима.

11. На страницама једнакостраничног троугла ABC изабране су тачке D, E, F, G, H, I као на слици. Израчунај обим и површину шестоугла DEFGHI. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.

Правилни многоуглови 1. П  опуни дате реченице: а) Правилни троугао је б) Правилни четвороугао је 2. Израчунај унутрашње углове правилног: а) петоугла; б) шестоугла; г) десетоугла; д) дванаестоугла;

троугао; . в) осмоугла; ђ) петнаестоугла.

3. Израчунај спољашње углове правилног многоугла који има n страница за: а) n = 8; б) n = 10; в) n = 20. 4. Одреди број страница, унутрашњи угао и број дијагонала правилног многоугла чији је збир унутрашњих углова: а) 1 260°; б) 1 440°. 5. Колико страница има правилан многоугао чији унутрашњи углови имају по: а) 135°; б) 144°; в) 150°; г) 160°? 6. Постоји ли правилан многоугао чији унутрашњи углови имају по: а) 155°; б) 165°? 7. Одреди број темена правилног многоугла ако његов спољашњи угао има: а) 45°; б) 30°; в) 9°. 8. Један спољашњи угао правилног многоугла је 20°. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла.

84

9. Колико страница има правилни многоугао ако је један његов спољашњи угао једнак: б) 1 ; в) 2 ; а) 1 ; 2 3 7 једног његовог унутрашњег угла? 10. У  нутрашњи угао правилног многоугла је четири пута већи од спољашњег угла. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла. 11. С  пољашњи угао правилног многоугла је три пута мањи од унутрашњег угла. Израчунај број дијагонала тог многоугла. 12. Д  а ли постоји правилан многоугао код кога је унутрашњи угао шест пута већи од спољашњег угла? 13. И  зрачунај унутрашњи угао правилног многоугла код кога је укупан број дијагонала четири пута већи од броја дијагонала које полазе из једног темена. 14. К  олико оса симетрије има правилан: а) четвороугао; б) петоугао; г) петнаестоугао; д) двадесетоугао;

в) шестоугао; ђ) педесетоугао?

15. Одреди све углове карактеристичног троугла правилног: а) четвороугла; б) шестоугла; в) дванаестоугла; г) петнаестоугла. 16. И  зрачунај централни угао правилног многоугла ако је збир унутрашњих углова тог многоугла 1 800°. 17. Одреди број темена правилног многоугла чији је централни угао 30°. 18. Одреди број страница правилног многоугла код кога је: а) збир унутрашњих углова 2 160°; б) број дијагонала које полазе из једног темена 18; в) спољашњи угао 11°15’; г) унутрашњи угао 162°; д) централни угао 24°; ђ) број дијагонала 65. 19. И  зрачунај збир унутрашњих углова, унутрашњи угао, спољашњи угао, централни угао и укупан број дијагонала правилног многоугла, ако се из једног темена тог многоугла може повући 9 дијагонала. 20. И  зрачунај број дијагонала који се може повући из једног темена, укупан број дијагонала, унутрашњи угао, спољашњи угао и централни угао правилног многоугла, ако је збир унутрашњих углова тог многоугла 1 440°. 21. С  иметрале двеју суседних страница правилног многоугла секу се под углом од 20°. Колико страница има тај многоугао? 22. С  иметрале два суседна угла правилног многоугла секу се под углом од 15°. Колико темена има тај многоугао?

85

23. Симетрала странице и симетрала унутрашњег налеглог угла правилног многоугла секу се под углом од 10°. Израчунај збир унутрашњих углова тог многоугла. 24. И  зрачунај дужине дијагонала правилног шестоугла ако је дужина његове странице а = 4cm.

Обим и површина правилних многоуглова 1. А  ко је а дужина странице правилног многоугла, n број страница и О обим тог многоугла, попуни дату табелу: n

4

6

а

3,5

4

О

8

12 6

34

54

2,5 36

25

2. Израчунај површину квадрата ако је: а) страница а = 3,2cm; б) обим О = 16cm; в) дијагонала d = 4cm; г) полупречник уписане кружнице r = 2,5cm; д) полупречник описане кружнице R = 5√2cm. 3. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је: а) страница а = 4cm; б) обим О = 18cm; в) висина h = 5√3cm; г) полупречник уписане кружнице r = 2√3cm; д) полупречник описане кружнице R = 8√3cm. 4. Израчунај површину правилног шестоугла ако је: а) страница а = 3cm; б) обим О = 12cm; в) полупречник уписане кружнице r = 3√3cm; г) полупречник описане кружнице R = 4cm; д) дужа дијагонала d1 = 10cm; ђ) краћа дијагонала d2 = 8√3cm. 5. П  равилан петоугао и правилан десетоугао имају једнаке обиме по 60cm. а) За колико је страница десетоугла краћа од странице петоугла? б) Колико пута је страница петоугла дужа од странице десетоугла? 6. П  равилан шестоугао и правилан десетоугао имају једнаке странице дужине 5cm. За колико треба смањити сваку од страница десетоугла да би обим новодобијеног правилног десетоугла био једнак обиму шестоугла?

86

7. П  равилан шестоугао и правилан десетоугао имају једнаке странице дужине 10cm. За колико треба повећати сваку од страница шестоугла да би обим новодобијеног правилног шестоугла био једнак обиму десетоугла?

8. И  зрачунај обим правилног многоугла ако је дужина његове странице а = 3cm, а збир унутрашњих углова тог многоугла 1 080°. 9. О  бим правилног многоугла је 35cm. Израчунај дужину странице тог многоугла ако је број његових дијагонала 35. 10. Дужина странице правилног шестоугла је 6cm. Израчунај његов обим, површину и полупречнике описане и уписане кружнице. 11. Обим правилног шестоугла је 24cm. Израчунај његову површину. 12. Површина правилног шестоугла је 96√3cm . Израчунај његов обим. 2

13. У  круг полупречника 5cm уписан је правилни шестоугао. Израчунај обим и површину тог шестоугла. 14. У  правилни шестоугао уписана је кружница пречника 2√3cm. Израчунај обим и површину тог шестоугла. 15. Израчунај површину правилног многоугла чији је обим 48cm, а збир унутрашњих углова 720°. 16. Збир спољашњих углова правилног многоугла је за 360° мањи од збира његових унутрашњих углова. Израчунај обим тог многоугла ако је његова површина 54√3cm2. 17. Спољашњи угао правилног многоугла је два пута мањи од суседног унутрашњег угла. Израчунај површину тог многоугла ако је његов обим 24cm. 18. Израчунај површину правилног дванаестоугла ако је полупречник описане кружнице око дванаестоугла 6cm. 19. Израчунај површину правилног осмоугла ако је пречник описане кружнице око осмоугла 10cm. 20. Најкраћа дијагонала правилног осмоугла има дужину 8√2cm. Израчунај површину тог осмоугла. 21. Израчунај површину правилног многоугла код којег је полупречник описаног круга 5cm, а спољашњи угао пет пута мањи од унутрашњег угла. 22. У круг полупречника 6cm уписан је квадрат и правилни шестоугао. Одреди однос површина ова два многоугла. 23. Правилни четвороугао странице а = 12cm има обим једнак обиму правилног шестоугла. За колико је површина шестоугла већа од површине четвороугла? 24. Правилни троугао и правилни шестоугао имају једнак обим и он износи 18cm. Одреди однос површине тог шестоугла и површине тог троугла?

87

25. Израчунај обим и површину правилног шестоугла ABCDEF ако је обим троугла АСЕ једнак 18√3cm.

E

D

F

C

B

A 26. Над страницама квадрата ABCD конструисани су једнакостранични троуглови као на слици. Израчунај обим и површину осмоугла AEBFCGDH. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.

1

27. Над сваком страницом једнакостраничног троугла АВС конструисани су квадрати као на слици. Израчунај обим и површину шестоугла DEFGHI. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.

C

A

28. На страницама квадрата ABCD странице (2 + √2)dm изабране су тачке E, F, G, H, I, J, K, L тако да је осмоугао EFGHIJKL правилан. Израчунај површину тог осмоугла.

88

B

29. Над сваком страницом a = 2cm правилног шестоугла АВСDEF конструисани су једнакокрако-правоугли троуглови као на слици. Израчунај обим и површину добијене фигуре. На слици су дати мерни бројеви дужи мерених центиметрима.

30. Одреди однос површина правилног шестоугла странице а и његовог осенченог дела (види слику):

Конструкције неких правилних многоуглова 1. Конструиши једнакостранични троугао ако је дата дужина странице а = 5cm. 2. Конструиши квадрат ако је дужина његове странице а = 4cm. 3. К  онструиши правилан шестоугао ако је: а) дужина странице а = 4cm; б) полупречник описане кружнице R = 5cm; в) полупречник уписане кружнице r = 3cm; г) дужа дијагонала d1 = 6cm; д) краћа дијагонала d2 = 5cm.

89

4. Конструиши правилан шестоугао уписан у круг пречника 10cm. 5. Конструиши правилан шестоугао који је oписан око круга пречника 8cm. 6. Конструиши правилан осмоугао ако је: а) дужина странице а = 4cm; б) полупречник описане кружнице R = 5cm; в) полупречник уписане кружнице r = 3cm; г) најдужа дијагонала d1 = 12cm; д) најкраћа дијагонала d2 = 6cm. 7. К  онструиши правилан дванаестоугао ако је: а) дужина странице а = 2cm; б) полупречник описане кружнице R = 4cm; в) полупречник уписане кружнице r = 3,5cm; г) најдужа дијагонала d1 = 12cm; д) најкраћа дијагонала d2 = 5cm. 8. К  онструиши правилан многоугао код кога је збир унутрашњих углова 720°, а полупречник уписане кружнице r = 4cm. 9. К  онструиши правилан многоугао код кога је збир унутрашњих углова 180°, а полупречник описане кружнице R = 5cm. 10. Конструиши правилан многоугао код кога је укупан број дијагонала 20, а дужина странице а = 3cm. 11. К  онструиши правилан многоугао код кога је полупречник уписаног круга 5cm, а унутрашњи угао пет пута већи од централног угла.

90

ТЕСТ – МНОГОУГАО 1. Б  рој свих дијагонала у десетоуглу је: а) 10; б) 35; в) 45;

г) 70 .

2. И  з једног темена многоугла може се повући 9 дијагонала. Збир унутрашњих углова тог многоугла је: а) 720°; б) 1 440°; в) 1 620°; г) 1 800°. 3. У  шестоуглу су два унутрашња угла једнака. Ако су мере преостала четири угла 90°, 100°, 110° и 120°, одреди меру једног од једнаких углова. Одговор: 4. З бир унутрашњих углова правилног многоугла је 1 080°. Мера унутрашњег угла тог многоугла је: а) 108°; б) 120°; в) 144°; г) 135°. 5. Одреди све унутрашње углове карактеристичног троугла правилног петнаестоугла. Одговор: 6. П  овршина правилног шестоугла је 24√3cm2. Обим тог шестоугла је: а) 24√3cm; б) 24cm; в) 36cm; г) 36√3cm. 7. Који део правилног шестоугла заузима осенчени троугао? б) 1 в) 1 ; г) 2 . а) 1 ; 4 3 2 3

8. Конструиши правилан осмоугао ако је полупречник описане кружнице 6cm.

1. б); 2. г); 3. 150°; 4. г); 5. 78°, 78°, 24°; 6. б); 7. в).

91

Решења:

МНОГОУГАО обнављање 1.

2.

3. На пример:

конвексан

неконвексан

4. С  вако теме одређује један пар суседних страница. Парови суседних страница су: AB и BC, BC и CD, CD и DE, DE и EA, EA и AB.

D C

E А 5. Ш  естоугао има девет дијагонала, и то: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF и DF.

E

B

D C

F А

B

6. a) EAB = 90°, ABC = 90° + 60° = 150°, BCD = 60°, CDE = 60° + 90° = 150°, DEA = 90°; б) BD = a = 2√3cm, AD = BE = d, и како је d2 = a2 + b2, то је d = 2√7cm, па је AD = BE = 2√7cm. Слично и AC = CE = dv, FC = b + h = b + a√3 = 7cm, D E 2 2 2 2 dv = a + FC = 52, dv = 2√13cm, AC = CE = 2√13cm. 2 F а C

( )

92

А

b

B

Број дијагонала многоугла 1.

d5 = 2, 5 – 2 = 3, d8 = 5, 8 – 5 = 3 Дакле, број дијагонала из једног темена многоугла је мањи за 3 од броја његових страница. 2. a) d = 1; б) d = 2; в) d = 3; г) d = 5; д) d = 10; ђ) d = 37. 3. а) n = 5; б) n = 8; в) n = 15; г) n = 23; д) n = 28; ђ) n = 30. 4. а) D = 5; б) D = 9; в) D = 20; г) D = 65; д) D = 170; ђ) D = 230. 5. n

4

7

10

12

15

33

dn

1

4

7

9

12

30

Dn

2

14

35

54

90

495

6. а ) Тај многоугао има n = 8 темена, па је D = 20; б) n = 11, D = 44; в) n = 13, D = 65. 7. а) К  ако је D = 20 и n ∙ (n – 3) = 20, то је n ∙ (n – 3) = 40. Сада из n ∙ (n – 3) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 8 ∙ 5 2 закључујемо да је n = 8; б) n = 10; в) n = 13; г) n = 23. 8. n

11

13

5

28

15

33

dn

8

10

2

25

12

30

Dn

44

65

5

350

90

495

9. Не. Сви чиниоци броја 64 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 су парни бројеви, а како је D = n ∙ (n – 3) , то су 2 бар два чиниоца броја дијагонала (n и n – 3) различите парности. 10. а) Из D = 3n добијамо n ∙ (n – 3) = 3n, n – 3 = 6 и коначно n = 9; б) n = 15. 2 11. а) Како је D = 5d, то је n ∙ (n – 3) = 5 ∙ (n – 3), односно n = 10; б) n = 20. 2 12. Из D = n добијамо n ∙ (n – 3) = n, n – 3 = 2 и коначно n = 5. 2 13. Како је D + n = 45, то је n ∙ (n – 3) + n = 45. Сређивањем добијамо n(n – 1) = 90 2 (производ 2 узастопна броја је 90), па је n(n – 1) = 10 ∙ 9, n = 10.

93

14. Из D + d = 33 добијамо n ∙ (n – 3) + (n – 3) = 33, n (n – 3) + 2(n –3) = 33, (n – 3) (n + 2) = 33, 2 2 2 (n – 3)(n + 2) = 66, (n – 3)(n + 2) = 6 ∙ 11, n – 3 = 6, па је n = 9. 15. К  ако је D : n = 9 : 2, то је 2D = 9n. Сада је 2 ∙ n ∙ (n – 3) = 9n, па је n – 3 = 9, односно 2 n = 12 и D = 54. 2 16. И  з D – n = 63 добијамо n ∙ (n – 3) – n = 63, n – 3n – 2n = 63, то јест n (n – 5) = 126, а то 2 2 значи да је n(n – 5) = 14 ∙ 9, односно n = 14. 17. a) Како је D12 = 54, D9 = 27 и 54 = 2 ∙ 27, то је D12 = 2D9; б) D8 = 20, D5 = 5 и 20 = 4 ∙ 5, па је D8 = 4D5; в) D14 = 77, D11 = 44 и 4 ∙ 77 = 7 ∙ 44, па је 4D14 = 7D11. 18. К  ако је n1 = n + 3 и D1 = D + 33, то је D1 = n1 ∙ (n1 – 3) , односно D + 33 = (n + 3) ∙ (n + 3 – 3) . 2 2 Сада је n ∙ (n – 3) + 33 = (n + 3) ∙ n , односно 6n = 66, n = 11. 2 2 19. Ми бирамо 2 од 6 тачака. Прво узимамо једну од 6, а затим једну од 5 преосталих. Како је дуж AB иста као и BA (2 тачке одређују једну дуж), то је укупан број дужи које одређује 6 тачака једнак 6 ∙ (6 – 1) = 15. С друге стране, D6 = 9, па је D + n = 9 + 6 = 15. 2 20. Слично као у 1. задатку: 10 ∙ (10 – 1) = 45. 2 21. Слично као у 1. задатку: 50 ∙ (50 – 1) = 1 225. 2 22. Како је n ∙ (n – 1) = 45 и n (n – 1) = 90, то је n (n – 1) = 10 ∙ 9, односно n = 10. 2 а) Уочене тачке одређују један десетоугао. б) Тај десетоугао има 45 – 10 = 35 дијагонала.

Збир углова многоугла 1. а) 3; б) 4; в) 6; г) 8; д) 10; ђ) 15. 2. а) Sn = 540°; б) Sn = 720°; в) Sn = 1 080°; г) Sn = 1 440°; д) Sn = 1 800°; ђ) Sn = 2 700°. 3. а) n = 4; б) n = 5; в) n = 10; г) n = 11; д) n = 12; ђ) n = 15. 4. а) Не, јер 600 : 180  N; б) Да, n = 21; в) Не, јер 2 020 : 180  N. 5. Да, јер им је збир 360° (збир спољашњих углова у било ком многоуглу је 360°). 6. Не могу, јер им је збир 800°, а збир унутрашњих углова у шестоуглу је 720°. 7. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 720°, a6 = 720° – (a1 + a2 + a3 + a4 + a5), a6 = 122°. 8. a7 = 110°.

94

9. a1 = a2 =105°. 10. Не. Ако су четири унутрашња угла права, онда су и четири одговарајућа спољашња угла права. Тада би збир само та четири спољашња угла био 360°, а збир свих спољашњих углова осмоугла је 360°. 11. Највише по три права угла могу имати и конвексан петоугао и конвексан десетоугао. 13. Sn = 3 ∙ 360° = 1 080°, n = 8. 14. 360° = Sn – 1 080°, Sn = 1 440°, n = 10. 15. Sn – 360° = 540°, Sn = 900°, n = 7, Dn = 14. 16. a) n = 8, Sn = 1 080°; б) n = 16, Sn = 2 520°. 17. Sn = 360°, n = 4, Dn = 2. 18. n

10

12

6

9

14

8

dn

7

9

3

5

11

5

Sn

1 440°

1 800°

720°

1 260 °

2 160 °

1 080°

19. Из a1 = х, a2 = х + 20°, a3 = х + 40°, a4 = х + 60°, a5 = х + 80° и S5 = 540°, односно a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 540°, добијамо 5х = 340°, то јест х = 68°. Сада је a1 = 68°, a2 = 88°, a3 = 108°, a4 = 128° и a5 = 148°. 20. К  ако је b = 90°, g = d + 10°, S4 = 360°, то јест a + b + g + d = 360°, добијамо 60° + 90° + d + 10° + d = 360° и онда 2d = 200°, односно d = 100° и g = 110°. 21. К  ако је a = 2b, g = 80%a = 80 a = 4 a = 4 ∙ 2b = 8 b и d = a + 30° = 2b + 30°, то из 100 5 5 5 a + b + g + d = 360° добијамо 2b + b + 8 b + 2b + 30° = 360°. Сада је b = 50°, а онда и 5 a = 100°, g = 80° и d = 130°. 22. Из D = 4n добијамо n = 11, па је Sn = 1620°. Како је 1 620° : 360° = 4,5, то је збир унутрашњих углова 4,5 пута већи од збира спољашњих углова.

Обим и површина многоугла 1. О = 313mm. 2. a1 = 3cm, a2 = 3,5cm, a3 = 4cm, a4 = 4,5cm, a5 = 5cm, a6 = 5,5cm, O = 25,5cm. 3. Из a1 = x, a2 = x + 1, a3 = x + 2, a4 = x + 3 и a5 = x + 4 добијамо 5x + 10 = 20, то јест x = 2cm, па је a1 = 2cm, a2 = 3cm, a3 = 4cm, a4 = 5cm и a5 = 6cm. 4. Како је O3 = 36cm, то је обим новодобијеног квадрата O4 = 36cm, а његова страница a4 = 36 : 4 = 9cm. То значи да странице почетног квадрата треба смањити за по 12cm – 9cm = 3cm. 5. К  ако је ap = a + 5, bp = a – 2 и Op = 2ap + 2bp, то је 34 = 2 ∙ (a + 5) + 2 ∙ (a – 2), односно 34 = 2a + 10 + 2a – 4 и 4a = 28. Сада је a = 7cm и P = 49cm2. 6. Како је O4 = O3 = 48cm, то је a3 = 16cm. Сада је P4 = 144cm2, P3 = 64√3cm2 и P4 – P3 = (144 – 64√3)cm2. 2 2 7. O6 = 36cm, P6 = Pk + 2Pт = a2 + 2 a √3 = 62 + 2 6 √3 = 36 + 18√3 = 18(2 + √3)cm2. 4 4

95

2

( ) + h , то је b = 5cm, па је O = 6b = 30cm. Даље је

8. К  ако је b2 = a 2

2

a

2 P = P1 + 3 ∙ P2 = a √3 + 3 ∙ a ∙ ha = 16√3 + 36, односно P = 4(4√3 + 9)cm2. 4 2 2 2 2 9. Како је a = 4cm, FG = x, x = 1 + 1 и x = √2cm, то је O = 4 ∙ 2 + 4 ∙ x, односно O = 4(2 + √2)cm и P = Pk – 4Pт = 42 – 4 ∙ 1 ∙ 1 = 16 – 2 = 14, односно P = 14cm2. 2 2 2 2 10. Из EF = GH = IJ = KL = 30 – (12 + 5) = 13m и FG = HI = JK = LE = x, где је x = 12 + 5 , односно x = 13m, добијамо O = 8 ∙ 13 = 104m. Даље је P = Pk – 4Pт = 302 – 4 ∙ 12 ∙ 5 = 900 – 120 = 780, 2 2 односно P = 780m . 11. Како је DE = EF = FG = GH = HI = ID = 2cm, то је O = 6 ∙ 2cm = 12cm и 2 2 2 2 P = P1 – 3 ∙ P2 = a √3 – 3 ∙ a1 √3 = 6 √3 – 3 ∙ 2 √3 = 6√3cm2. 4 4 4 4

Правилни многоуглови 1. а) Правилни троугао је jeднакостранични троугао; б) Правилни четвороугао је квадрат. 2. а) S5 = 540°, a = 108°; б) S6 = 720°, a = 120°; в) S8 = 1 080°, a = 135°; г) S10 = 1 440°, a = 144°; д) S12 = 1 800°, a = 150°; ђ) S15 = 2 340°, a = 156°. 3. а) b = 45°; б) b = 36°; в) b = 18°. 4. а) n = 9, D = 27; a = 140° б) n = 10, D = 35, a = 144° 5. а) n = 8; б) n = 10; в) n = 12; г) n = 18. 6. а) Не, јер је b = 25° и 360 : 25  N; б) Да, b = 15°, n = 24. 7. а) n = 8; б) n = 12; в) n = 40. 8. n = 18, S18 = 2 880°. 9. а ) Из b = 1 a, a + b = 180°, a + 1 a = 180° добијамо a = 120° и b = 60°, па је n = 6; 2 2 б) Из b = 1 a, a + b = 180°, a + 1 a = 180° добијамо a = 135° и b = 45°, па је n = 8; 3 3 в) Из b = 2 a, a + b = 180°, a + 2 a = 180° добијамо a = 140° и b = 40°, па је n = 9. 7 7 10. Из a = 4b, a + b = 180° и 5b = 180° добијамо b = 36° и n = 10, па је S10 = 1 440°. 11. Из b = 1 a добијамо a = 135°, b = 45° и n = 8, па је D = 20. 3 12. Да. a = 6b, a + b = 180°, 7b = 180°, b = 180° , n = 14. 7 13. n = 8, a = 135°. 14. а) 4; б) 5; в) 6; г) 15; д) 20; ђ) 50. 15. Ако са ϕ означимо централни, а са a унутрашњи угао многоугла, онда је б) ϕ = 60°, α = 60°; а) ϕ = 360° = 360° = 90°, a = 90°, α = 45°; 2 2 n 4 г) ϕ = 24°, α = 78°. в) ϕ = 30°, α = 75°; 2 2

96

16. n = 12, ϕ = 30°. 17. n = 12. 18. а) n = 14; б) n = 21; в) n = 32; г) n = 20; д) n = 15; ђ) n = 13. 19. n = 12, Sn = 1 800°, a = 150°, b = 30°, ϕ = 30°, D = 54. 20. n = 10, d = 7, D = 35, a = 144°, b = 36°, ϕ = 36°. 21. А  ко је a унутрашњи угао многоугла и d угао под којим се те симетрале секу, онда је a + d + 90° + 90° = 360°, односно a = 160°, ϕ = 20°, n = 18.



 22. a = 165°, спољашњи угао је ϕ = 15°, па је n = 24. 23. α = 80°, спољашњи угао је ϕ = 20°, па је n = 18, а онда S18 = 2 880°. 2 24. dv = 2a = 8cm, dm = a√3 = 4√3cm.

Обим и површина правилних многоуглова 1. n

4

6

8

9

12

10

а

3,5

4

4,25dm

6

3cm

2,5

О

14cm

24cm

34

54

36

25

2 б) а = 4cm, Р = 16cm2; в) а = 2√2cm, Р = 8cm2; 2. а ) Р = 10,24cm ; 2 г) а = 5cm, Р = 25cm ; д) d = 10√2cm, а = 10cm, Р = 100cm2. 3. a) Р = 4√3cm2; б) а = 6cm, Р = 9√3cm2; в) а = 10cm, Р = 25√3cm2; г) а = 12cm, Р = 36√3cm2; д) а = 24cm, Р = 144√3cm2. 4. a) Р = 27√3 cm2; б) а = 2cm, Р = 6√3cm2; в) а = 6cm, Р = 54√3cm2; 2 г) а = 4cm, Р = 24√3cm2; д) а = 5cm, Р = 75√3 cm2; ђ) а = 8cm, Р = 96√3cm2. 2 5. а) И  з О5 = 60cm добијамо а5 = 60 : 5 = 12cm. Слично а10 = 6cm, па је а5 – а10 = 6cm, то јест а10 је за 6cm краћа од а10. б) Како је а5 : а10 = 2, то је а5 2 пута дужа од а10. 6. К  ако је а6 = 5cm и О6 = 30cm, то је обим новодобијеног десетоугла О10 = 30cm. Сада је његова страница а10 = 3cm, па је она краћа за 5cm – 3cm = 2cm од првобитне. 7. а  6 = а10 = 10cm, О10 = 100cm, О'6 = 100cm, а'6 = 100 = 50 = 16 2 cm, па сваку од страница 6 3 3 треба повећати за 16 2 cm – 10cm = 6 2 cm. 3 3 8. Како је n = 8, то је О = 24cm. 9. Како је n = 10, то је а = 3,5cm. 2 10. О = 36cm, Р = 54√3cm , R = 6cm и r = 3√3cm.

97

11. Како је a = 4cm, то је Р = 24√3cm2. 12. Прво добијемо да је a = 8cm, па је онда O = 48cm. 2 13. ro = 5cm, a = 5cm, O = 30cm и Р = 75√3 cm . 2 2 14. ru = √3cm, a = 2cm, O = 12cm и Р = 6√3cm . 2 15. Како је n = 6, то је а = 8cm и Р = 96√3cm . 16. Sn = 360° + 360° = 720°, n = 6, а = 6cm, O = 36cm. 17. Из b = α и a + b = 180° добијамо b = 60° и a = 120°. Сада је n = 6, а = 4cm и Р = 24√3cm2. 2 2 O 18. Како је ϕ = 30°, то за ∆ABO важи AC = AO = 3cm и Pт = AO ∙ AC = 9cm . 2 2 Сада је P12 = 12 ∙ Pт = 108cm2. 30°

C А

В

19. Како је ro = 5cm и ϕ = 45°, то за ∆ABO важи AC = AO√2 = 5√2 cm и 2 2 Pт = AO ∙ AC = 25√2 cm2. Сада је P8 = 8 ∙ Pт = 50√2cm2. 4 2

O 45° C А

20. К  ако је ϕ = 45°, AOC = 2ϕ = 90°, то је АC = AO√2 = 8√2cm, па је AO = 8cm, то јест ro = 8cm. Како је AO = CO = r и AB = BC = a, то је ABCO делтоид. Сада је P8 = 4 ∙ Pd = 4 ∙ AC ∙ OB = 4 ∙ 8 ∙ 8√2 = 128√2cm2. 2 2

В

O

45° 45° C A

21. И  з a = 5b и a + b = 180° добијамо 5b + b = 180°, односно b = 30°. Сада је n = 12 и ϕ = 30°, па је AOC = 2ϕ = 60°, те је ∆ACO једнакостраничан и АС = r = 5cm. Како је AO = CO = r и AB = BC = a, то је ABCO делтоид, па је P12 = 6 ∙ Pd = 6 ∙ AC ∙ OB = 6 ∙ 5 ∙ 5 = 75cm2. 2 2

B O

30° 30° C A

B

22. Како је а4 = 6√2cm и а6 = 6cm, то је P4 = 72cm2 и P6 = 54√3cm2. Сада је P4 : P6 = 4 : 3√3. 23. Како је О4 = О6 и О4 = 48cm, то је О6 = 48cm и а6 = 8cm. Сада је P4 = 144cm2, P6 = 96√3cm2 и P6 – P4 = (96√3 – 144)cm2. 24. а3 = 6cm, а6 = 3cm, P3 = 9√3cm2, P6 = 27√3 cm2, P6 : P3 = 3 : 2. 2 2 25. а3 = 6√3cm, dm = а3 = 6√3cm, а6 = 6cm, O = 36cm, P = 54√3cm .

98

2 2 2 26. Како је а = 1cm, то је O = 8cm и P = Pк + 4 ∙ Pт = а + 4 ∙ a √3 = (1 + √3)cm . 4 27. К  ако је DE = FG = HI = a = 2cm и нека је EF = GH = ID = x. У ∆EFB је EBF = 360° – (60° + 90° + 90°) = 120°, а онда и BEF = BFE = 30°. Сада је висина која 2

( )

одговара основици једнака h = a = 1cm и x = а2 – h2, односно x = 2√3cm. Даље је 2 2 O = 3a + 3x = 6 + 6√3, O = 6(1 + √3)cm и 2 P = 4Pт + 3Pк = 4 a √3 + 3а2 = 4√3 + 12 = 4(3 + √3)cm2. 4 28. Како је a8 + 2 a8 = a8(1 + √2) и 2 + √2 = √2(1 + √2), то је a8 = √2dm. Сада је O = 8√2dm и √2 2 P = (2 + √2) − 2 = 4(1 + √2)dm2. 29. Како је AG = GB = BH = HC = CI = ID = DJ = JE = EK = KF = FL = LA = √2cm, то је O = 12√2cm и P = 6(1 + √3)cm2. 2 30. a ) P6 = 6a √3 , а површина неосенченог дела је једнака површини 2 једнакостранична 4 троугла странице а. Како је P6 једнака површини 6 таквих троуглова, то је P6 : Ps = 3 : 2; б) P6 : Ps = 3 : 1; в) P6 : Ps = 3 : 2; г) P6 : Ps = 2 : 1; д) P6 : Ps = 6 : 5; ђ) Ps = P'6 =

=

=

=

, P6 : Ps = 4 : 3.

Конструкције неких правилних многоуглова 1. Нацртајмо најпре дуж АВ = 5cm која представља једну страницу траженог троугла АВС. Опишимо кружницу чији је центар тачка А, а полупречник 5cm. Опишимо још једну кружницу истог полупречника чији је центар тачка В. У пресеку ове две кружнице је треће теме једнакостраничног троугла АВС. 2. Конструишимо најпре прав угао и нека је теме угла једно теме, на пример А, квадрата АВСD који конструишемо. Из тачке А опишимо кружницу полупречника 4cm. У пресеку кружнице и кракова правог угла добили смо темена В и D. Теме С добијамо у пресеку кружница чији су полупречници 4cm, а центри су им у тачкама В и D. 3. а) К  ако је код правилног шестоугла R = a, то прво цртамо кружницу k(O, 4cm). Из произвољне тачке А  k описујемо део кружнице k1(А, 4cm) и одређујемо друго теме B. Понављајући поступак одређујемо темена C, D, E и F шестоугла; б) R = a = 5cm и даље као пример под a); в) Карактеристичан троугао је једнакостранични троугао висине h = r = 3cm. Конструиши тај троугао, а затим допуни до шестоугла, као у примеру под а); г) d  1 = 2R, R = a = 3cm и даље као у примеру под а); д) d2 = 2r, па је r = 2,5cm и даље као у примеру под в). 4. 2R = 10cm, R = a = 5cm, па даље као 3. задатак под а). 5. 2r = 8cm, r = 4cm, па даље као 3. задатак под в).

99

6. Упутство. Израчунај углове карактеристичног троугла (ϕ = 45°, a = 135°, α = 67° 30'). 2 а) Конструиши карактеристичан троугао (∆АВО је једнакокраки троугао чија је основица а = 4cm и углови на њој α = 67°30'). Затим опиши кружницу k(O, OA). Из тачке В наноси 2 на кружницу дужину странице а и добићеш темена осмоугла; б) Конструиши карактеристичан троугао (∆АВО је једнакокраки троугао чији су краци b = R = 4cm и угao између њих ϕ = 45°). Затим опиши кружницу k(O, OA). Из тачке В наноси на кружницу дужину странице а = АВ и добићеш темена осмоугла; в) Конструиши карактеристичан троугао (∆АВО је једнакокраки троугао чија је висина која одговара основици ha = r = 3cm и углови на њој f = 22°30' и прав угао). Затим као 2 пример под а); г) d1 = 2R, R = 6cm; као у примеру под б); д) У ∆АВС је АВС = a = 135°, АВ = ВС, па је САВ = АСВ = 22°30'. Конструиши ∆АВС (једнакокраки троугао чија је основица АC = 6cm и углови на њој 22°30’), затим конструиши карактеристичан троугао АВО, даље као под а).

O

45°

45° C

A

B

7. Упутство: израчунај углове карактеристичног троугла (ϕ = 30°, a = 150°, α = 75°). 2 Конструкција слично као у 6. задатку. 8. n = 6, r = 4cm, конструиши као 3. задатак под в). 9. n = 3, R = 5cm, конструиши карактеристичан троугао АВО (АО = ВО = R = 5cm, ϕ = 120°). Затим допуни до једнакостраничног троугла АВС. 10. n = 8, а = 3cm, конструиши као 6. задатак под а). 11. ϕ = 30°, a = 150°, n = 12, r = 5cm. Конструиши карактеристичан троугао АВО (∆АВО је једнакокраки троугао чија је висина која одговара основици ha = r = 5cm и углови на њој f = 15° и прав угао). Затим допуни до дванаестоугла. 2

100

зависне величине и њихово графичко представљање Правоугли координатни систем 1. П  редстави на бројевној правој бројеве: 4; –2; 3 1 ; –1,7 и √5, а затим нађи њима 2 симетричне тачке у односу на нулу. 2. О  дреди координате тачака са слике: 3. Н  ацртај координатни систем и у њему одреди тачке: M(2, –3), N(–2, 2), P –3 1 ,0 , 2 Q –5, 1 3 , K – 1 , – 5 , L(0, √2). 4 2 2

(

(

)

(

)

)

4. О  дреди ком квадранту припадају тачке R(5, –2), S(–4, –1), T(9, 19) и V(–13, 13) без цртања тачака у координатном систему. 5. О  дреди координате тачке А која има исту ординату као тачка В(16, –6) и исту апсцису као тачка С(1, –1). 6. Н  ацртај координатни систем и у њему тачке А(5, 3) и В(–6, 1). Колико је тачка А удаљена од х осе, а колико тачка В од y осе? 7. У  координатном систему одреди тачку S(3, 5), а затим тачку која је симетрична тачки S у односу на: а) х осу; б) y осу; в) координатни почетак. 8. Тачке А(3, 1), В(4, 3) и С(2, 5) су темена троугла. Нацртај троугао АВС у координатном систему, па одреди темена троугла А1В1С1, који је симетричан троуглу АВС у односу на х осу. 9. Т ачки А(3, 4) је симетрична тачка: а) А1(3, –4) у односу на х осу; б) А2(–3, 4) у односу на y осу; в) А3(–3, –4) у односу на координатни почетак. Слично, без цртања тачака у координатном систему, одреди координате тачака симетричних тачкама B(9, 2), C(–1, 1), D(5, –2) и E(–6, –3) у односу на: а) х осу; б) y осу; в) координатни почетак. 10. Т ачке А(3, 1), В(7, 1), С(7, 5) и D(3, 5) су темена квадрата. Без цртања тачака у координатном систему, одреди координате тачака A1B1C1D1 које представљају темена квадрата симетричног квадрату ABCD у односу на y осу. 11. З а тачке А(3, 2), B(–2, 1), C(–√2, –3) и D(18, –42) одговори да ли су лево или десно од y-осе и горе или доле у односу на x-осу.

101

Растојање између две тачке у координатном систему 1. О  дреди координате крајњих тачака дужи које су дате у координатном систему, а затим одреди и дужину сваке од датих дужи.

2. Д  ате су дужи: а) АВ, при чему је А(1, 2) и В(1, –1); б) CD, при чему је C(–1, 3) и D(6, 3); 1 1 в) EF, E –2 , –10 и F –2 , –3 ; г) GH, G –5 2 , 3 1 и H 1 2 , 3 1 . 2 2 3 4 3 4 Утврди којој оси је паралелна свака од тих дужи, а затим одреди њихове дужине.

(

) (

)

(

) (

)

3. Израчунај површину троугла ако су дате координате његових темена: а) А(2, 0), В(0, 5), С(0, 0); б) А(2, 0), В(5, 0), С(5, 6); в) А(–4, –4), В(–4, 1), С(–2, 1); г) А(–6, 0), В(–2, 0), С(–3, –4); д) А(2, –1), В(2, –7), С(4, –4); ђ) А(2, 2), В(5, 2), С(7,4). 4. У координатном систему нацртај тачке А и В, а затим одреди дужину дужи АВ ако је: а) А(2, 3), В(5, 7); б) А(2, 1), В(10, 7); в) А(–10, 9), В(2, 4); г) А(–11, –8), В(1, –1); д) А(–8, 5), В(7, –3); ђ) А(2, –3), В(3, –2). 5. Одреди растојање тачке М од координатног почетка ако је: а) М(5, –12); б) М(–4, 2). 6. Растојање тачке М од координатног почетка је 13. Одреди ординату тачке М ако је њена апсциса 12. 7. Тачка М је на растојању 17 од координатног почетка. Одреди апсцису тачке М ако је њена ордината –8.

102

8. Израчунај обим троугла АВС ако су дате координате његових темена: а) А(6, 0), В(0, 8), С(0, 0); б) А(4, 5), В(7, 9), С(7, 5); в) А(–7, 2), В(–1, 2), С(–4, 6); г) А(1, –9), В(1, –1), С(–2, –5).

9. Израчунај обим и површину троугла АВС (види слику):

10. У координатном систему дата је тачка А(–3, 2). Одреди координате тачака А1, А2 и А3 које су симетричне тачки А у односу на х осу и y осу, односно координатни почетак. Израчунај обим и површину добијеног четвороугла АА1А2А3. 11. Т ачке А(–2, –2), В(6, –2) и С(6, 4) су темена правоугаоника. Нађи четврто теме правоугаоника. Израчунај дужину дијагонале тог правоугаоника. 12. У  координатном систему нацртај тачке А(–2, 2) и В(1, 2). Конструиши квадрат ABCD странице AB и одреди координате тачака C и D. Колико решења има задатак? 13. Д  уж АС је дијагонала квадрата. Ако су дате координате тачака А(–3, 4) и С(3, 4), одреди: а) координате друга два темена квадрата; б) обим и површину квадрата. 14. Т ачке А(1, 0), В(8, 0), С(4, 3) и D(1, 3) су темена неког четвороугла. а) Који је то четвороугао? б) Израчунај обим и површину тог четвороугла. 15. О  сенчи део координатног система коме припадају тачке чије су апсцисе између 1 и 5, а ординате између –2 и 1. 16. О  сенчи део координатног система у ком за координате свих тачака важи: а) –1 < x < 1, –1 < y < 1; б) x < 3, –3 < y < –1; в) | x | < 4, y < 2; г) x > 3, y < –1.

график зависности међу величинама 1. Попуни дате табеле: а) х –2х + 1

–3

–2

–1

0

1

2

б) 3

х

–9

–2,5

0

0,2

8

|х|–3

2. Представи у координатном систему зависне величине х и y, где је х  {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а y је два пута већи број од х. 3. Представи у координатном систему зависност броја предмета од разреда (I–VIII) основне школе који ученици похађају.

103

4. У  табели су дате промене температуре ваздуха у Београду у току дана од 0h до 16h. Нацртај график промене температуре у току тог дана до 16h. Време (h)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

Температура (°С) –2 –2 –3 –5 –5 –6 –6 –6 –2 0

2

3

5

7

6

6

4

5. Дат је график укупне количине падавина по месецима на територији Крагујевца.

а) У ком месецу је било највише, а у ком најмање падавина и колико? б) Колика је била количина падавина у септембру? в) У ком месецу је измерена количина падавина од 40mm? * Количина падавина се изражава у литрима по метру квадратном или 2 милиметрима, 1l / m = 1mm (На пример: ако се 1l воде проспе на m2, добиће се слој воде од 1mm.) 6. Дата је табела која прати пораст телесне тежине детета, рођеног са 3,2kg, у првих 12 месеци живота. Нацртај график који представља промену телесне тежине детета по месецима. месец

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

тежина (kg)

3,6

4,1

4,5

5,1

5,6

6

6,6

7,1

7,5

8

8,4

8,9

7. Камила се кроз пустињу креће брзином од 8km/h. Изрази зависност пређеног пута камиле од времена и нацртај график те зависности. 8. И  ван је кренуо на планинарење. За прва три сата прешао је 10km, па се један сат одмарао. Следећа два сата прешао је 5km и опет се одмарао један сат. За наредних сат времена је прешао још 4km и стигао до планинарског дома. а) Н  ацртај график којим представљамо дужину пута који је Иван прешао у зависности од времена. б) Колико километара је Иван био удаљен од почетне тачке пет сати од поласка? в) У ком периоду је Иван ишао најбрже и којом брзином? 9. Нацртај график зависности обима квадрата од дужине страница.

104

10. Изрази зависност странице квадрата од његове дијагонале, попуни табелу зависности за d  {2, 3√2, 5} и нацртај график којим је представљена та зависност.

11. Страница и висина једнакостраничног троугла су зависне величине. Најпре изрази зависност висине од странице, а затим зависност странице од висине. 12. Ако је d дужина краће дијагонале правилног шестоугла, изрази дужину дуже дијагонале шестоугла преко краће и нацртај график те зависности.

Директна пропорционалност. График зависности y = k ∙ x, x  R 1. 0

х

1

2

3

4

7

10

y Величине х и y су директно пропорционалне. Ако је коефицијент пропорционалности k = 3, попуни дату табелу: 2. Величине х и y су директно пропорционалне. Одреди коефицијент пропорционалности ако је зависност величина дата табелом: а) б) х

0

1

2

5

10

х

0

1

2

4

y

0

2

4

10

20

y

0

0,5

1

2

3. И  спитај да ли су вредности две величине x и y датe у табели директнo пропорционалнe: а) б) х

2

1

0

4

х

6

4

0

2

y

8

4

0

16

y

3

2

1

1

4. Ако су х и y директно пропорционалне величине, одреди коефицијент пропорционалности, попуни дате табеле, запиши зависност величина формулом и нацртај њен график: а) б) 1 х 3 6 2 х 9 2 2 1 y 8 6 3 y 4 1 2 5. Нацртај график зависности директне пропорционалности: а) y = 2x, x ≥ 0; б) y = 3x, x ≥ 0; в) y = 4x, x ≥ 0; 1 3 е) y = 5 x, x ≥ 0; д) y = x, x ≥ 0; ђ) y = x, x ≥ 0; 3 4 2

г) y = 5x, x ≥ 0; ж) y = 3 1 x, x ≥ 0. 3

6. Одреди коефицијент директне пропорционалности величина чијем графику припада тачка: а) А(2, 10); б) В(4, 1); в) С(3, 7). 7. Неко тело се креће равномерном брзином од 12km/h. Изрази зависност пређеног пута од времена и нацртај график те зависности.

105

8. М  аша сваког дана прочита 15 странa књиге. Представи графички зависност броја прочитаних страна од броја дана. 9. У  фабрици аутомобила се сваког дана склопи 250 аутомобила. Да ли је зависност укупне количине склопљених аутомобила од броја дана директна пропорционалност? Колики је коефицијент пропорционалности? 10. Обим и дужина странице ромба су директно пропорционалне величине. Нацртај график те директне пропорционалности (обима од странице ромба). 11. Обим и страница правилног шестоугла су директно пропорционалне величине. Одреди коефицијент пропорционалности. 12. Испитај које су од следећих величина директно пропорционалне и за директно пропорционалне величине одреди коефицијент пропорционалности: а) Обим једнакостраничног троугла и његова страница; б) Обим квадрата и његова страница; в) Површина квадрата и његова страница; г) Дијагонала квадрата и његова страница; д) Површина коцке и њена ивица; ђ) Полупречник уписане кружнице једнакостраничног троугла и његова страница; е) Висина једнакостраничног троугла и његова страница; ж) Обим круга и његов полупречник; з) Површина круга и његов полупречник; и) Краћа дијагонала правилног шестоугла и његова страница; ј) Површина правилног шестоугла и његова страница. 13. За 5kg јагода плаћено је 325 динара. Одреди зависност суме новца y који треба издвојити за хkg јагода. Колики је коефицијент пропорционалности? Нацртај график зависности. 14. Један молер за три сата окречи 8m2 зида. а) Колико ће окречити ако ради осам сати? б) Колико времена му је потребно да окречи 34m2 зида? в) Нацртај график зависности окречене површине од времена. 15. Н  а слици је дат график зависности дужине истезања опруге од силе којом се делује на опругу. У ком случају опруга даје мањи отпор?

106

16. Ако је основица једнакокраког троугла а = 6,5cm, изрази зависност обима од крака троугла. Да ли су у овом случају обим и крак директно пропорционалне величине? 17. Страница ромба је а = 3,5cm. Изрази зависност површине од висине ромба. Да ли су у овом случају површина и висина ромба директно пропорционалне величине? 18. Запиши зависност величина (облика y = k ∙ x) која одговара нацртаном графику:

19. Одреди непознате координате тачака А(8, y) и В(х, 3 ), тако да оне припадају графику 2 зависности y = 3 х. 4 20. Одреди кроз које квадранте пролазе графици зависности (у облику y = k ∙ x): а) y = 6x, x  R; б) y = –5x, x  R; в) y = – 7 x, x  R; г) y = 4 3 x, x  R. 2 7 21. О  дреди параметар р тако да график зависности припада првом и трећем квадранту: а) y = (р + 2)x; б) y = (3 – р)x; в) y = (2р – 4)x. 22. О  дреди параметар m тако да график зависности припада другом и четвртом квадранту: а) y = (3m + 2)x; б) y = (5 – 2m)x. 23. Н  ацртај график зависности y = 1 x, а затим нацртај график симетричан нацртаном 2 графику у односу на х осу. Одреди зависност величина новодобијеног графика. 24. Н  ацртај график зависности y = – 4 x, а затим нацртај график симетричан нацртаном 3 графику у односу на y осу.

Обрнута пропорционалност 1. В  еличине х и у су обрнуто пропорционалне са коефицијентом пропорционалности k = 12 то јест x ∙ y = 12. Попуни дату табелу: х

6

2

3

1

4

12

у

107

2. В  еличине х и у су обрнуто пропорционалне. Одреди коефицијент обрнуте пропорционалности ако је зависност величина дата табелом: х

1

2,5

10

5

6,25

у

5

2

0,5

1

0,8

3. Испитај да ли су величине дате табелом обрнуто прпорционалне: х

2

4

1 2

8

х

2

4

3

у

4

2

8

1

у

1 4

1 8

1 6

2 3 3 4

4*. А  ко су х и у обрнуто пропорционалне величине, одреди коефицијент обрнуте пропорционалности, попуни дате табеле и нацртај график зависности: а) б) х у

2

0,5

1 6

12 1

2

х

4

у

2 8

0,5 16

4

1

5*. Н  ацртај график зависности (обрнуте пропорционалности): б) у = 4 , х > 0; в) у = 5 , х > 0; а) у = 10 , х > 0; x x 2x д) х · у = 12, х > 0; ђ) х · у = 1 , х > 0. г) у = 10 , х > 0; 3x 2 6. Одреди коефицијент обрнуте пропорционалности ако графику те зависности припада тачка: а) А(4, 1); б) В(6, 3); в) С 3, 1 ; г) D(2, 50). 6

( )

7. Површина правоугаоника је 20cm . Изрази зависност дужине правоугаоника (а) од ширине (b). 2

8. Троугао има површину од 12cm2. Одреди зависност висине троугла (ha) од дужине странице (а) троугла. 9. Површина ромба је 24cm . Изрази зависност једне дијагонале од друге. 2

10. Мотоциклиста треба да пређе пут од 60km. Изрази зависност времена које је потребно да пређе пут од брзине којом се креће. 11. Фабричка преса мора да делује силом од 500N. Одреди зависност убрзања (а) од масе тела (m) којим се делује. 12. Одреди које су величине директно, а које обрнуто пропорционалне: а) Суседне странице правоугаоника сталне површине Р; б) Површина троугла и његова висина ако је одговарајућа страница сталне дужине; в) Укупна цена плаћеног воћа и количина купљеног воћа; г) Пређени пут и брзина при равномерном кретању; д) Брзина равномерног кретања тела и време потребно да се пређе пут од 20km.

108

* Задаци означени звездицом односе се на цртање графика обрнуте пропорционалности, што није предвиђено Програмом.

13*. Нацртај графике следећих зависности: б) у = – 3 , х  R \ {0}; а) у = 3 , х  R \ {0}; x x г) у = – 1 , х  R \ {0}; в) у = 1 , х  R \ {0}; 2x 2x

Примeна пропорционалности 1. П  ровери да ли су тачне пропорције: а) 3 : 2 = 9 : 6; б) 18 : 24 = 3 : 4; 2. Израчунај непознати члан следећих пропорција: б) –3 : (–7) = 15 : х; а) 1 = x ; 2 12 д) 5 1 : х = 3,3 : 9,7; ђ) 5 : (х – 4) = 95 : 44; 2

в) 9 : 11 = 11 : 9.

в) х : 4,2 = –5 : 7,5;

г) x + 2 = 5 ; 7 21

е) х : (х + 1) = 8 : 10.

3. Прва три члана пропорције су 5, 11 и 55. Одреди четврти члан пропорције. 4. Одреди х за које су бројевне вредности израза х + 8 и 2х – 6 директно пропорционалне бројевима 8 и 5. 5. Одреди х за које су бројевне вредности израза 4х – 9 и 3х + 1 обрнуто пропорционалне бројевима 25 и 23. 6. Ако је a = c (а, b, c, d ≠ 0), докажи да је: b d б) c – a = a = c (b ≠ d); а) c + a = a = c (b + d ≠ 0); d+b b d d–b b d г) 4a – 3c = a = c (4b – 3d ≠ 0). в) a + 2c = a = c (b + 2d ≠ 0); b + 2d b d 4b – 3d b d 7. К  арта је рађена у размери 1 : 200 000. Ако је растојање између два места на карти 3,7cm, колико је растојање у природи? 8. Р  астојање између Крагујевца и Краљева је 45km, а између Крагујевца и Београда 92km (ваздушном линијом). Колика су ова растојања на карти која је рађена у размери 1 : 100 000? 9. З а 6kg кромпира плаћено је 138 динара. Колико динара треба платити 15kg кромпира? 10. О  д 3kg брашна добије се 28 ђеврека. Колико брашна је потребно за 140 ђеврека? 11. И  нжењер на службеном путу за 4 дана проведених у иностранству добије 448 евра. Колико новца ће добити ако у иностранству проведе 6 дана? 12. В  озач формуле 1 за 10 минута трке изгуби 0,2kg од своје телесне тежине. Колико је трајала трка ако је на крају трке изгубио 2,1kg?

109

13. Бициклиста пређе 9km за 15 минута. За које време ће прећи пут од 12 600m? 14. Од 80kg печурака сушењем се добије 15kg. Колико се килограма сувих печурака добије од 120kg свежих? 15. Три радника окрече школу за 10 дана. За колико дана би школу окречило 5 радника? 16. Ако се воз креће брзином од 80km/h, прећи ће предвиђени пут за 2 сата и 30 минута. Којом брзином треба да се креће воз да би стигао на време до крајњег одредишта ако је у старту било кашњење од 30 минута? 17. У подруму је вино које треба флаширати. Ако је за то вино потребно 36 боца од 0,75l, колико боца од 1l је потребно за исту количину вина? 18. Базен напуне 2 једнаке славине за 18 сати. Колико је времена потребно да 3 такве славине напуне базен? 19. Зидар заврши неки посао за 12 дана ако ради 10 сати дневно. За колико дана ће завршити исти посао ако ради 8 сати дневно? 20. За осветљење учионице потребно је укључити 24 сијалице од 75W. Колико је потребно сијалица од 100W за осветљење те просторије? 21. За транспорт грађевинског материјала на градилиште потребно је 15 камиона носивости од 3 тоне. Колико камиона носивости од 5 тона би требало ангажовати за исту количину материјала? 22. Број 22 подели на два сабирка који су у размери 5 : 6. 23. У једном одељењу има 28 ученика. Ако се број дечака и број девојчица односи као 3 : 4, колико у том одељењу има дечака, а колико девојчица? 24. Два комплементна угла су у размери 2 : 7. Одреди мере тих углова. 25. Обим правоугаоника је 30cm. Одреди његове странице ако се оне односе као 4 : 1. 26. Обим троугла је 26cm. Одреди дужине његових страница ако су оне у размери 2 : 5 : 6. 27. Унутрашњи углови троугла односе се као 2 : 3 : 5. Одреди њихове мере. 28. Један угао троугла је 40°, а друга два се односе као 1 : 3. Одреди њихове мере. 29. Спољашњи углови троугла односе се као 3 : 4 : 5. Одреди меру најмањег унутрашњег угла тог троугла. 30. Четири друга треба да поделе 154 сличице у размери 2 : 3 : 4 : 5. Колико сличица ће добити свако од њих? 31. Унутрашњи углови петоугла односе се као 4 : 5 : 6 : 7 : 8. Одреди њихове мере.

110

32. Кружница је тачкама А, В и С подељена у рaзмери 2 : 3 : 7. а) Израчунај централне углове одговарајућих кружних лукова. б) Израчунај унутрашње углове троугла АВС. 33. Два радника треба да поделе зараду од 19 800 динара. Како да поделе зараду ако је један радио 4, а други 5 дана? 34. Неки посао 16 радника заврши за 15 дана, радећи 9 сати дневно. За колико дана би био завршен исти посао ако 18 радника ради 8 сати дневно? 35. Неки посао 15 радника заврши за 24 дана, радећи 8 сати дневно. Колико би радника требало да раде исти посао да би завршили за 12 дана, а да при том раде 12 сати дневно? 36. Цена хаљине је 3 200 динара. Колико ће коштати хаљина ако: а) појефтини за 30%; б) поскупи за 15%? 37. Цена 1kg бомбона повећана је са 280 на 350 динара. Колико процената износи поскупљење? 38. Ако је цена џемпера снижена са 2 400 динара на 1 560 динара, израчунај колико процената износи снижење. 39. После поскупљења од 20% цена бензина је 90 динара. Колика је била цена бензина пре поскупљења? 40. Од 30 ученика једног одељења, 80% их је пошло на екскурзију. Колико ученика тог одељења није пошло на екскурзију? 41. Од 35 ученика у одељењу, на екскурзију је пошло 28 ученика. Изрази у процентима број ученика који нису пошли. 42. Од 125 страна књиге које је ученик планирао да прочита, прочитао је 80%. Колико је још страна остало да прочита? 43. Колико је коштала књига ако после снижења од 20% њена (садашња) цена износи 1 988 динара? 44. После поскупљења од 16% цена џемпера је 1 740 динара. Колика је била цена џемпера пре поскупљења? 45. Цена кошуље је повећана са 1 600 на 1 800 динара. За колико процената је поскупела кошуља? 46. Ако се у 3,6l воде сипа 9dl боје за кречење, колико процената боје садржи тај раствор? 47. На општинском такмичењу из математике 14 ученика седмог разреда је решило све задатке тачно. Три задатка је решило 32% ученика, а 12% ученика је решило један задатак. Колико је ученика седмог разреда учествовало на такмичењу?

111

48. Правоугаоно школско двориште има дужину 80 метара и ширину 48 метара. Ако би се дужина повећала за 15%, а ширина за 25%, за колико процената би се повећала површина дворишта? 49. За колико се процената промени производ нека два броја ако се један чинилац повећа за 10%, а други смањи за 20%? 50. Столњак у облику правоугаоника при прању се скупља за 3% по дужини и за 2% по ширини. За колико процената се смањила површина столњака после прања? 51. Школа има 550 девојчица и 500 дечака. Верску наставу похађа 70% девојчица и 75% дечака. Колико процената ученика те школе похађа верску наставу? 52. Цена рукавица у току јесени је била 450 динара. У зимском периоду је повећана на 500 динара, а у пролеће је снижена на првобитну цену. а) Израчунај проценат повећања цене. б) Израчунај проценат снижења цене. 53. Цена књиге је повећана за 20%, а затим за још 8% од нове цене. Колика је садашња цена књиге ако је пре првог поскупљења била 750 динара? 54. Цена књиге је снижена за 20%, а затим за још 10%. Колика је садашња цена књиге ако је пре првог појефтињења била 760 динара? 55. Од 950 ученика једне школе, 40% је постигло одличан успех на крају школске године, а од њих је 15% са свим петицама. Колико ученика има све петице? 56. Пријемни испит у једној школи полагало је 150 ученика. Положило их је 90%, а од њих 20% има максималан број поена. Колико ученика има максималан број поена? 57. Ако трговац продаје 1kg лешника по 520 динара, зарађује 4%. Колико би процената износила зарада ако би 1kg лешника продавао по 525 динара? 58. Ако је трећина укупне количине робе продата са зарадом од 10%, а половина са губитком од 15%, са колико процената зараде треба продати преостали део робе па да не буде ни губитка ни добитка? 59. У подруму је било 100kg кромпира који садржи 96% воде. Стајањем кромпир губи воду, па је сада количина воде у њему 95%. Колико сада има кромпира у подруму? 60. Свеже шљиве садрже 85% воде, а суве шљиве 25%. Колико сувих шљива се може добити од 85kg свежих? 61. Свеже печурке садрже 81% воде, а суве печурке 5% воде. Колико свежих печурака је потребно да би се добило 5kg сувих?

112

62. Једна чоколада је појефтинила за 10%, а затим за још 5% и сада је њена цена 171 динар. Колика је била цена те чоколаде после првог појефтињења? Колика је била првобитна цена те чоколаде? 63. Зимске рукавице су прво поскупеле за 8%, а затим за још 25%. Садашња цена (после два поскупљења) тих рукавица је 1 080 динара. Колика је била цена тих рукавица после првог поскупљења? Колика је била првобитна цена тих рукавица? 64. Једна врста кошуља је, због лоше продаје, појефтинила за 10%. Како је продаја кренула боље, продавац је тој врсти кошуља повећао цену за 10%. На измаку сезоне продавац је одлучио да смањи цену за 20% и сада их продаје по цени од 2 376 динара (по комаду). Колика је била првобитна (пре првог појефтињења) цена једне кошуље те врсте? 65. За извесну количину новца може да се купи 75kg јабука. Колико се јабука може купити (за ту количину новца) ако се цена јабука по килограму: а) повећа за 25%; б) смањи за 25%? 66. Управа компаније је утврдила да је у самопослузи „Горња варош“ у марту месецу продато робе за 12 000 000 динара. На основу стања на тржишту, управа је направила план да се у тој самопослузи сваког месеца повећа продаја (у односу на претходни месец за) за 1%. Колико је робе планирано да се прода у самопослузи “Горња варош” у мају, а колико у јуну месецу исте године? Колико повећање продаје (у динарима) је било у априлу, а колико у јуну у односу на претходни месец?

113

ТЕСТ – ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ 1. К  олико је тачка А(–3, 2) удаљена од у осе? а) 3; б) –3; в) 2; г) –2. 2. У  координатном систему су дате тачке А(2, 5) и В(6, 2). Дужина дужи АВ је: а) 5; б) 10; в) √113; г) 25. 3. Израчунај обим и површину троугла АВС са слике. Одговор: О=

, P=

4. З ависност дуже дијагонале правилног шестоугла од његове странице описује формула: в) d = a√3; а) d = 1 a; б) d = a; г) d = 2a√3. 2 2 5. К  оја од тачака не припада графику зависности у = –3х, х  R. а) А(2, –6); б) B(–3, 9) ; в) C(–2, –5); г) D(4, –12) . 6. Ч  етири радника окрече зграду за 18 дана. Шест радника (са истим радним временом) би зграду окречило за: а) 6 дана; б) 9 дана; в) 12 дана; г) 27 дана. 7. Унутрашњи углови троугла односе се као 3 : 4 : 5. Најмањи од његових углова има: а) 15°; б) 20°; в) 30°; г) 45°. 8. После снижења од 10% цена књиге је 288 динара. Пре снижења књига је коштала: а) 259,2 динара; б)298 динара; в) 320 динара; г) 2 880 динара.

1. а); 2. а); 3. О = 12, Р = 6; 4. б); 5. в); 6. в); 7. г); 8. в).

Решења:

114

ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ – решења 1.

5

5

2. A(2, 1), B(1, –4), C(–1, –1), D(–6, 2), E(–3, 0), F(–2, –5), G(3, 3) и H(0, 4). 3.

4. Тачка R је у IV, S у III, T у I и V у II квадранту. 5. A(1, –6). 6. dA = 3, dB = 6.

б) S2(–3, 5); в) S3(–3, –5). 7. a) S1(3, –5); 8. А1(3, –1), В1(4, –3), С1(2, –5). (Слика десно) 9. а) В1(9, –2), С1(–1, –1), D 1(5, 2), Е 1(–6, 3); б) В2(–9, 2), С2(1, 1), D 2(–5, –2), Е 2(6, –3); в) В3(–9, –2), С3(1, –1), D 3(–5, 2), Е 3(6, 3). 10. А1(–3, 1), В1(–7, 1), С1(–7, 5), D 1(–3, 5). 11. А је десно од y-осе и горе у односу на x-осу. B је лево од y-осе и горе у односу на x-осу. C је лево од y-осе и доле у односу на x-осу. D је десно од y-осе и доле у односу на x-осу.

Растојање између две тачке у координатном систему 1. А  (1, 0), В(4, 0) и АВ = 3; G(–4, –1), H(–4, –3) и GH = 2; 2. a) AB || y, AB = 3;

C(0, –3), D(0, –4) и CD = 1; M(–1, 3,5), N(5, 3,5) и MN = 6.

б) CD || x, CD = 7;

в) EF || y, EF = 7;

E(–6, 2), F(–2, 2) и EF = 4; г) GH || x, GH = 7 1 . 3

115

3. a) ∆АВС је правоугли, а = 2, b = 5 и P = a ∙ b = 5; 2 б) ∆АВС је правоугли, а = 3, b = 6 и P = a ∙ b = 9; 2 в) ∆АВС је правоугли, а = 5, b = 2 и P = a ∙ b = 5; 2 г) ∆АВС је разнострани и оштроугли, а = 4, ha = 4 и P = a ∙ ha = 8; 2 д) ∆АВС је једнакокраки, а = 6, ha = 2 и P = a ∙ ha = 6; 2 ђ) ∆АВС је тупоугли, а = 3, ha = 2 и P = a ∙ ha = 3. 2 2 2 2 4. а) К  ако је АВ = (xВ – xА) + (yВ – yА) = (5 – 2)2 + (7 – 3) 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25, то је АВ = 5; б) АВ = 10; в) АВ = 13; г) АВ = √193; д) АВ = 17; ђ) АВ = √2.

116

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

5. а) ОМ = 13; б) ОМ = 2√5. 6. Како је 132 – 122 = 25, то је yM = 5 или yM = –5. 7. хM = 15 или хM = –15. 8. а) Из АС = 6, ВС = 8 и АВ2 = АС2 + ВС2, АВ = √62 + 82 = √100, АВ = 10 је О = 24; б) АС = 3, ВС = 4, АВ = √32 + 42 = √9 + 16 = √25, АВ = 5, О = 12; в) АВ = 6, АС =ВС = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5, О = 16; г) АВ = 8, АС =ВС = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5, О = 18. 2 2 2 9. а) Како је ВС = а = 3, АС = b = 4 и АВ = c, где је c = b + a , c = 5, добијамо O = a + b + c, односно O = 12 и P = a ∙ b , односно P = 6; 2 2 2 a б) АВ = а = 8, ha = 3, АС = ВС = b, b = + ha 2, b = 5, O = 18, P = a ∙ ha = 12; 2 2 в) ВС = а = 4, ha = 6, АВ = АС = b, b = 2 √10, O = 4(1 + √10), P =12. 10. Како је А1(–3, –2), А2(3, 2) и А3(3, –2), то је четвороугао АА1А2А3 правоугаоник чије су странице a = 6, b = 4. Сада је O = 20 и P = 24. 11. Како је D(–2, 4), то је a = 8 и b = 6, а онда је d = √a2 + b2, односно d = 10. 12. В  идиш да је a = 3 и да задатак има 2 решења: С1(1, –1), D1(–2, –1) и С2(1, 5), D2(–2, 5).

( )

13. а) Дијагонале квадрата се полове и узајамно су нормалне, па је B(0, 1), D(0, 7); б) Сада је d = 6, а = 3√2, O = 12√2 и P = 18. 14. а) Правоугли трапез; б) a = 7, b = 3, h = 3, c = 5, O = 18 и P = 15. 15.

16.

а)

б)

в)

г)

117

график зависности међу величинама 1.

a)

б)

2.

х

–3

–2

–1

0

1

2

3

–2х + 1

7

5

3

1

–1

–3

–5

х

–9

0

1 5

8

|х|–3

6

–2 1 2 – 1 2

–3 3.

–2 4 5

5

Број предмета

Разред 4. П  редстави у координатном систему тачке са координатама (0, –2), (1, –2), (2, –3) и тако даље до (16, 4), па их споји изломљеном линијом. 5. а) У октобру највише 80mm, у августу најмање 10mm; б) 30mm; в) у јануару, марту и јуну. 6.

118

7. Пређени пут је s = v ∙ t, па је s = 8t.

8. a ) Слика десно; б) 12,5km; в) Између 7 и 8 сати и то брзином v = 4km/h.

10.

9. O = 4a.

d

2

3√2

5

a

√2

3

5√2 2

a = √2 d, 2

12.

dm

3

3√3

dv

2√3

6

dv = 2√3 dm, 3

11. Зависност h од a се описује са h = √3 a, а зависност a од h са a = 2√3 h. 2 3

119

Директна пропорционалност. График зависности y = k ∙ x, x  R 1. х

0

1

2

3

4

7

10

y

0

3

6

9

12

21

30

2. a) k = 2; 3. а) да, k = 4; 4.

5.

120

б) k = 1 . 2 б) не. б) y = 2 x, к = 2 3 3

а) y = 3x, к = 3 х

9

2 2 3

2

y

27

8

6

1 2 1 1 2

1

х

3

6

1 1 2

3

y

2

4

1

2 1 1 3

а)

б)

в)

г)

д)

ђ)

е)

ж)

3 4 1 2

6. а) k = 5;

б) k = 1 ; 4

7. s = 12t.

в) k = 7 . 3 8.

9. Да, k = 250.

10. О = 4а. 8 7 6 5 4 3 2 1

11. О = 6а, k = 6. 12. а) О = 3а, k = 3; в) Р = а2, нису директно пропорционалне; д) Р = 6а2, нису директно пропорционалне;

б) О = 4а, k = 4; г) d = √2a, k = √2; ђ) ru = √3 a, k = √3 ; 6 6

ж) О = 2πr, k = 2π; е) h = √3 a, k = √3 ; 2 2 з) Р = r2π, нису директно пропорционалне; и) d = √3a, k = √3; 2 3a √3 , нису директно пропорционалне. ј) Р = 2 13. Како је за 5kg дато 325 динара, то 1kg стаје 65 динара. Значи, y = 65x и k = 65. 14. a) Ако за 3 сата окречи 8m2, онда за 1 сат кречи 8 m2. Значи, за 8 сати ће окречити 64 m2; 3 3 2 3 б) За 34m му је потребно 12 h. 4 в) Слика десно.

15. У другом. 16. О = 6,5 + 2b; Не. 17. P = 3,5h; Да. 18. а) y = x;

б) y = –x;

в) y = 3x;

г) y = – 1 x. 4

( )

19. А(8, 6), В 2, 3 . 2 20. а) I и III; б) II и IV; 21. а) р + 2 > 0, p > –2;

в) II и IV; г) I и III. б) p < 3; в) p > 2. 22. a) 3m + 2 < 0, m < – 2 ; б) m > 5 . 3 2

121

23. y = – 1 x. 2

24.

Обрнута пропорционалност 1.

х

6

2

3

1

4

12

у

2

6

4

12

3

1

2. k = 5. 3. a) Не; б) Да и k = 1 . 2 4. а) 1 1 6 3 х 2 2 у

5. а)

122

3

12

6

1

2

б)

б) 12

х

4

1

2

1 2

1 2

у

2

8

4

16

в)

16

8

1 2

1

г)

д)

ђ)

в) k = 1 ; г) k = 100. 2 8. ha = 24 . 9. d2 = 48 . 11. F = m ∙ a, a = 500 . 10. t = 60 . 7. а = 20 . b a d1 v m 12. a) Обрнуто пропорционалне; б) Директно пропорционалне; в) Директно пропорционалне; г) Директно пропорционалне; д) Обрнуто пропорционалне. 13. а) б) 6. а) k = 4;

б) k = 18;

а)

б)

Примeна пропорционалности 1. а) Тачно; б) Тачно;

в) Нетачно.

2. а) х = 6; б) х = 35; в) х = –2,8; г) х = – 1 ; д) х = 16 1 ; ђ) х = 6 6 ; е) х = 4. 3 6 19 3. 5 : 11 = 55 : х, х = 121. 4. (х + 8) : (2х – 6) = 8 : 5, х = 8. 5. (4х – 9) : (3х + 1) = 23 : 25, х = 8.

123

6. а) Н  ека је a = c = k. Тада је а = kb и c = kd, па је c + a = kd + kb = k(d + b) = k. Како је и b d d+b d+b d+b c + a = k, закључујемо да је c + a = a = c ; d+b d+b b d б) Слично као под а); в) Н  ека је a = c = k. Тада је а = kb и c = kd, па је a + 2c = kb + 2kd = k(b + 2d) = k. Како је и b d b + 2d b + 2d b + 2d a + 2c = k, закључујемо да је a + 2c = a = c ; b + 2d b + 2d b d г) Слично као под в). 7. Из 1 : 200 000 = 3,7 : х добијамо да је растојање у природи х = 740 000cm = 7,4km. 8. И  з 1 : 100 000 = х : 45km, односно 1 : 100 000 = х : 4 500 000cm, добијамо да је растојање на карти између Крагујевца и Краљева 45cm. Слично растојање на карти између Крагујевца и Београда је 92cm. 9. 6kg 138дин 15 : 6 = х : 138, х = 345 динара. 10.

15kg 3kg

х дин 28 ђеврека

х kg 140 ђеврека 11. 672 евра. 12. 105 минута. 13. 21 минут. 14. 22,5 килограма. 15. 3 радника 10 дана 16.

5 радника 150 минута

х : 3 = 140 : 28, х = 15 килограма.

х : 10 = 3 : 5, х = 6 дана.

х дана 80 km/h

х : 80 = 150 : 120, х = 100 km/h.

120 минута х km/h 17. 27 боца. 18. 12 сати. 19. 15 дана. 20. 18 сијалица. 21. 9 камиона. 22. Из х : у = 5 : 6 следи х = 5k и y = 6k. Из х + у = 22 следи 5k + 6k = 22, 11k = 22, односно k = 2, па је х = 10 и y = 12. 23. Из х : у = 3 : 4 следи х = 3k и y = 4k. Сада из х + у = 28 добијамо 3k + 4k = 28, односно k = 4, па је х = 12 и y = 16. 24. Из a : b = 2 : 7 следи a = 2k и b = 7k. Из a + b = 90° и 2k + 7k = 90° добијамо k = 10°, односно a = 20° и b = 70°. 25. Како је а : b = 4 : 1, a = 4k, b = k, 2a + 2b = 30, 8k + 2k = 30 и k = 3, то је a = 12cm и b = 3cm. 26. Из а : b : c = 2 : 5 : 6 следи a = 2k, b = 5k и c = 6k. Сада из a + b + c = 26 и 2k + 5k + 6k = 26 добијамо 13k = 26, односно k = 2, па је a = 4cm, b = 10cm и c = 12cm. 27. Из a : b : g = 2 : 3 : 5 следи a = 2k, b = 3k и g = 5k. Сада је a + b + g = 180° и 2k + 3k + 5k = 180°, па је k = 18°, а онда је a = 36°, b = 54° и g = 90°.

124

28. a : b = 1 : 3, a = 35° и b = 105°. 29. Из a1 : b1 : g1 = 3 : 4 : 5 следи a1 = 3k, b1 = 4k и g1 = 5k. Сада је a1 + b1 + g1 = 360°, односно 3k + 4k + 5k = 360°, па је k = 30°. Спољашњи углови тог троугла су a1 = 90°, b1 = 120° и g1 = 150°, па је најмањи унутрашњи угао g = 30°. 30. а : b : c : d = 2 : 3 : 4 : 5, a = 2k, b = 3k, c = 4k, d = 5k, a + b + c + d = 154, 2k + 3k + 4k + 5k = 154, k = 11, a = 22, b = 33, c = 44, d = 55. 31. Sn = (n – 2) ∙ 180°, Sn = 540°, a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 4 : 5 : 6 : 7 : 8, a1 = 4k, a2 = 5k, a3 = 6k, a4 = 7k, a5 = 8k, a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 540°, 30k = 540°, k = 18°, a1 = 72°, a2 = 90°, a3 = 108°, a4 = 126°, a5 = 144°. 32. а) a  1 : a2 : a3 = 2 : 3 : 7, a1 = 2k, a2 = 3k, a3 = 7k, a1 + a2 + a3 = 360°, 12k = 360°, k = 30°, a1 = 60°, a2 = 90°, a3 = 210°; б) b1 = 30°, b2 = 45°, b3 = 105°. 33. х : у = 4 : 5, х = 4k, y = 5k; х + у = 19 800, 4k + 5k = 19 800, k = 2 200, х = 8 800, y = 11 000. Дакле, један радник ће добити 8 800, а други 11 000. 34. I начин: 16 радника 15 ∙ 9 = 135 сати 8х : 135 = 16 : 18 8х ∙ 18 = 135 ∙ 16 18 радника х ∙ 8 = 8х сати х = 15 дана II начин: Укупан брoј радних сати када тај посао ради 16 радника је 15 ∙ 9 ∙ 16 = 2 160 сати и биће једнак броју сати када тај посао ради 18 радника 8 сати дневно за х дана. Дакле, 18 ∙ 8 ∙ х = 2 160, па је х = 15, то јест они би тај посао завршили такође за 15 дана. 35. Слично као 34. задатак, 15 ∙ 24 ∙ 8 = 12 ∙ 12 ∙ х, па је х = 20 (радника). 36. а) х : 3 200 = 70 : 100, х = 2 240 динара; б) х : 3 200 = 115 : 100, х = 3 680 динара. 37. Како је 280 динара 100%, то је 70 динара 25%, па је поскупљење 25%. 38. Снижење је 35%. 39. Како је 90 динара 120% првобитне цене, то је 100%, то јест цена пре поскупљења, 75 динара (јер је (90 : 120) ∙ 100 = 75). 40. (20% ) 6 ученика. 41. На екскурзију није пошло 7 ученика или 20% (јер је 35 : 7 = 100 : 20). 42. (20%) 25 страна. 43. 1 988 динара је 80%, а 100% је 2 485 динара. 44. 1 740 динара је 116%, х динара је 100%, х = 1 500 динара. 45. 1 600 динара је 100%, 200 динара је х %, х = 12,5%. 46. 3,6 + 0,9 = 4,5 литара је 100%, 0,9 литара је х %, х = 20%. 47. 14 ученика је 100% – (32% + 12%) = 56%, х ученика је 100%, х = 25 ученика. 48. P = 3 840m2, a1 = 92m, b1 = 60m, P1 = 5 520m2, P1 – P = 1 680m2, 3 840m2 je 100%, 1 680m2 je x%, x = 43,75%, то јест површина је повећана за 43,75%. 49. P = x ∙ y, x1 = 1,1x, y1 = 0,8y, P1 = x1 ∙ y1, P1 = 1,1x ∙ 0,8y = 0,88 x y = 0,88P, P – P1 = P – 0,88P = 0,12P, P je 100%, 0,12P je x%, x = 12%, то јест производ се на тај начин смањује за 12%. 50. К  ако је P = a ∙ b, a1 = 0,97a, b1 = 0,98b, P1 = a1 ∙ b1, P1 = 0,97a ∙ 0,98b = 0,9506ab = 0,9506P, то је P – P1 = P – 0,9506P = 0,0494P. P je 100%, а 0,0494P je x%, то јест x = 4,94%. Значи, површина столњака је мања за 4,94%. 51. Верску наставу похађа 385 девојчица и 375 дечака, што је укупно 760 ученика. Школа има 1 050 ученика, што је 100%, а 760 ученика је х%, то јест ≈ 72,38%.

125

52. а) 4  50 динара је 100%, 50 динара је х%, х ≈ 11,11%, то јест поскупеле су за приближно 11,11%; б) 500 динара је 100%, 50 динара је х %, х = 10%, то јест појефтиниле су за 10%. 53. Код првог повећања 750 динара је 100%, х динара је 120 %, па је х = 900 динара. Код другог повећања 900 динара је 100%, х динара је 108 %, па је коначно х = 972 динара. 54. Код првог снижења 760 динара је 100%, х динара је 80 %, па је х = 608 динара. Код другог снижења 608 динара је 100%, х динара је 90 %, па је х = 547,2 динара. 55. 950 ученика је 100%, х ученика је 40%, х = 380 је број одличних ученика. Сада, 380 ученика је 100%, х ученика је 15%, х = 57 је број ученика са свим петицама. 56. Слично као 55. задатак; 135 ученика је положило пријемни испит, 27 ученика има максималан број поена. 57. 520 динара је 104%, па ако је х динара 100%, онда је х = 500 динара. 500 динара је 100%, а 25 динара је х %, па је х = 5%, то јест зарада је сада 5%. 58. Из 1 ∙ (100% + 10%) + 1 ∙ (100% – 15%) + 1 – 1 – 1 ∙ х = 1 добијамо 1 ∙ 110% + 1 ∙ 3 2 3 2 3 2 85% + 1 ∙ х = 1, односно 1 ∙ 1,1 + 1 ∙ 0,85 + 1 ∙ х = 1, па је х = 1,25, то јест 6 3 2 6 х = 125% = 100% + 25%, што значи да преостали део робе треба продати са 25% зараде. 59. Количина воде варира, али количина суве материје је константна, што ћемо искористити за решавање задатка. Најпре je 100kg = 100%, а суве материје су 100% – 96% = 4%, односно 4kg. После стајања, 4kg је 100% – 95% = 5%, а онда је 100% тачно 80kg кромпира. 60. Слично као 59. задатак. Код свежих шљива 85kg је 100%, а суве материје су 100% – 85% = 15%, односно 12,75kg. Суве материје код сувих шљива су 12,75kg, што је 100% – 25% = 75%, па је 100% сада 17kg. 61. Слично као 59. задатак. Код сувих печурака 5kg је 100%, а суве материје су 100% –5% = 95%, односно 4,75kg. Суве материје код свежих печурака су 4,75kg, што је 100% – 81% = 19%, а 100% је 25kg. 62. После првог појефтињења цена чоколаде је била 180 динара, а њена првобитна цена је била 200 динара. 63. После првог поскупљења цена рукавице је била 864 динара, а њихова првобитна цена је била 800 динара. 64. Првобитна цена кошуље (пре првог појефтињења) је 3 000 динара. 65. а) 60kg; б)100kg. 66. У мају је планирано да се прода робе за 12 241 200 динара, а у јуну за 12 363 612 динара. У априлу је продато робе за 120 000 динара више него у марту, а у јуну за 122 412 динара него у мају.

(

126

)

Круг обнављање 1. Допуни реченице: Геометријски објекат који чине све тачке једне равни које су на растојању r од дате тачке и обележава се са . О те равни назива се Геометријски објекат који чине назива се круг. 2. Нацртај (конструиши) кружницу k(A, 3cm). 3. Конструиши кружнице k1(A, 2cm) k2(B, 3cm) тако да кружнице: а) немају заједничких тачака, б) имају једну заједничку тачку, в) имају две заједничке тачке. Каква су растојања центара ових кружница у односу на збир полупречника ове две кружнице? 4. Пречник круга је за 4cm дужи од његовог полупречника. Колики је пречник тог круга? 5. Колико заједничких тачака могу имати права и кружница? 6. Две кружнице полупречника 4cm и 3cm додирују се: а) споља; б) изнутра. Израчунај растојање између центара ових кружница. 7. У колико највише тачака кружница може да сече конвексан: а) петоугао; б) седмоугао? 8. Нацртај две произвољне тачке А и В. Конструиши кружницу тако да јој је: а) тачка А центар, а тачка В на кружници; б) дуж АВ пречник. 9. Конструиши кружницу k(O, 25mm) и на њој изабери тачку А. Конструиши све тачке на кружници које су од тачке А удаљене 4cm. Колико тачака је конструисано? 10. Нацртај произвољну праву p и тачку А ван ње. Конструиши кружницу која додирује праву p, а центар јој је тачка А. 11. Страница правилног многоугла је a = 6cm. Израчунај полупречник описане и уписане кружнице тог многоугла ако је он: а) троугао; б) четвороугао; в) шестоугао.

Централни и периферијски угао 1. Н  а слици су назначени један периферијски и један централни угао. Црвеном бојом обој још три периферијска, а плавом још три централна угла које уочаваш на слици.

127

2. Н  ацртај кружницу k(O,3cm) и на њој одабери две произвољне тачке А и В. Над мањим луком који одређују тачке А и В нацртај централни угао и три периферијска угла. Измери ове углове угломером. Шта закључујеш? 3. Допуни реченицу: Централни угао је

од периферијског угла над истим луком.

4. Одреди мере назначених углова α или b са слика. а) б)  58

72°



г)

в)

15°



д)



ђ) 73°

108° 

 108°



5. Одреди централни и периферијски угао круга над истом тетивом, ако је периферијски угао за 44° мањи од централног угла. 6. Збир централног и периферијског угла над истом тетивом је: а) 78°; б) 100°. Израчунај мере тих углова. 7. У кружницу је уписан: а) једнакостранични троугао; б) квадрат; в) правилан шестоугао; г) правилан осмоугао; д) правилан дванаестоугао. Израчунај периферијски и централни угао над страницом сваког од датих многоуглова. 8. Дуж АВ је тетива централног угла чија је мера 68°34’. Под којим углом се види ова тетива из тачке С која припада кружници? 9. Полупречник круга је 4cm. Одреди дужину тетиве која одговара периферијском углу чија је мера 90°. 10. У четвороуглу АВСD је α = 48° и b = 107°. Одреди све углове овог четвороугла ако се око њега може описати кружница.

128

11. Нацртај произвољан: а) оштроугли троугао АВС; б) тупоугли троугао АВС са тупим углом у темену В. На страницама АВ и ВС конструиши све тачке из којих се дуж АС види под правим углом. Колико таквих тачака има у првом, а колико у другом случају?

12. Израчунај мере назначених углова са слике. 

 



118°





70° 

33°

13. Нацртај кружницу k(A, 4cm) и подели је на:

а) 3;

б) 4;

в) 6;

г) 8 једнаких делова.

14. Одреди централни и периферијски угао над мањим луком одређен тетивом која дели кружницу на два дела који се односе као: а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 3 : 1; г) 5 : 3; д) 7 : 1. 15. Тачке А и В деле кружницу у односу 2 : 7. Одреди углове под којима се тетива АВ види из центра кружнице и било које тачке мањег лука. 16. Конструиши правоугли троугао ако је дужина висине која одговара хипотенузи 3cm и дужина тежишне дужи која одговара хипотенузи 4cm. 17. Око троугла АВС је описана кружница. Централни углови над страницама a, b и c су 93°, 162° и 105°. Израчунај унутрашње углове тог троугла. 18. Троугао АВС је уписан у кружницу са центром у тачки О. Ако је ОВА = 32°, израчунај унутрашње углове троугла АВС.

ВОС = 106° и

19. Ј едан угао правоуглог троугла је 25°. Одреди углове под којим се виде његове катете из центра описане кружнице. 20. У  гао између дијагонале и дуже странице правоугаоника је 33°. Под којим углом се виде краће, а под којим углом дуже странице правоугаоника из центра описане кружнице? 21. У круг је уписан: а) једнакостраничан троугао; в) квадрат; в) правилан шестоугао. У суседним теменима А и В конструисане су тангенте круга. Израчунај величину угла који образују ове тангенте. 22. Нацртај круг K(О, 3cm) и тачку А ван њега. Конструиши тангенте овог круга које садрже тачку А. 23. Нацртај произвољну кружницу, без обележавања његовог центра, и на њој произвољну тачку А. Конструиши центар те кружнице и њену тангенту у тачки А. 24. Нацртај кружницу K(О, 2,5cm) и тачку S такву да је ОS = 6cm. Конструиши тангенте ове кружнице које садрже тачку S. Означи додирне тачке кружнице и тангенти са А и В. Докажи да је SА = SВ.

129

25. Из тачке А на круг K(O, 4cm) конструисане су тангенте које додирују круг у тачкама P и Q. Ако је AP = 6cm, израчунај обим и површину четвороугла APOQ.

Примена Питагорине теореме на круг 1. Т етива АВ круга K(O, 5cm) удаљена је од центра тог круга 3cm. Израчунај дужину тетиве АВ. 2. У  кругу полупречника 10cm дужина једне тетиве је 16cm. Колико је та тетива удаљена од центра круга? 3. Т етива АВ круга и полупречници који спајају центар са њеним крајњим тачкама одређују једнакостранични троугао. Израчунај полупречник круга ако је тетива удаљена од центра круга 3√3cm.

C

4. Израчунај полупречник круга, угао b и дужину тетиве АВ круга са слике ако је удаљеност тетиве од центра круга 6cm и: а) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°; 6cm

5. Централни угао над тетивом АВ је прав. Израчунај полупречник круга ако је тетива АВ удаљена 4cm од његовог центра.

А

B

6. Д  ужина тетиве круга K(O, r) je 12cm. Одреди полупречник овог круга ако је периферијски угао над овом тетивом 45°. 7. Д  ве кружнице, свака са полупречником 9cm, секу се у тачкама А и В. Ако је удаљеност центара тих кружница 9√2cm, израчунај дужину тетиве АВ и угао под којим се она види из центра једне од кружница. 8. У  даљеност тачке P од центра круга K(O, 4cm) је 5cm. Одреди дужину тангентних дужи из тачке P на круг K. 9. Т ачка А је удаљена 8cm од центра круга K. Ако је дужина тангентних дужи из тачке А на круг K једнака 6cm, одреди полупречник круга K. 10. Дужина тангентне дужи из тачке С на круг K(O, 5cm) je 2√6cm. Израчунај дужину тетиве круга која спаја тачке додира круга и тангенти из тачке С. 11. Т етива АВ круга К(O, 6cm) је дужине 96mm. Израчунај дужину тангентних тужи ТА и ТВ овог круга ако је Т пресечна тачка тангенти круга у тачкама А и В кружнице. 12. Т ангенте из тачака А и В на круг K се секу у тачкама C и D, тако да је четвороугао ADBC конвексан. Докажи да су збирови наспрамних страница четвороугла АDBC једнаки.

130

13. А  ко су a и b катете, c хипотенуза и r полупречник уписане кружнице правоуглог троугла, докажи да је 2r = a + b – c.

14. Катете правоуглог троугла су 6cm и 8cm. Израчунај полупречник уписане кружнице троугла.

Обим круга 1. П  ронађи пет предмета у својој околини који су у облика круга. Користећи канап измери њихов обим, а затим на лењиру или метру измери дужину канапа који представља обим. Након тога измери пречник предмета чије си обиме мерио. Израчунај количник обима и пречника кругова. Добијене резултате упиши у доњу табелу. Шта закључујеш? Обим Пречник Количник 2. Израчунај обим круга чији је полупречник: а) 2cm; 3. Израчунај обим круга чији је пречник: а) 7cm;

б) 4,3cm;

б) 1,2cm;

(

в) 2√2cm;

)

a) 2,5dm;

5. Израчунаj обим круга ако је његов полупречник (узети π ≈): a) 7cm; 6. Израчунај полупречник круга ако је обим круга: а) 4π m;

г) 2 1 dm. 3

в) 6√3cm;

4. Израчунаj обим круга ако је његов пречник узети π ≈ 22 : 7

б) π cm;

г) 3 dm. 4

б) 4mm.

б) 3 1 m. 2 в) 11 π cm. 4

7. Израчунаj полупречник круга ако је његов обим (узети π ≈3,14): а) 6,28cm; б) 12,56cm; в) 31,4m; г) 1dm. 8. П  олупречници два круга се разликују за 4cm. Ако је обим мањег круга 16πcm, израчунај обим већег круга. 9. З а колико је мањи обим круга чији је полупречник 2a од круга чији је полупречник 5а? 10. За колико се разликују обими два круга ако: а) им се полупречници разликују за 3cm; б) је полупречник једног три пута мањи од полупречника другог круга? 11. М  арко се спрема за крос. На кружној стази вежба свакога дана тако што претрчи 23 пута ову стазу. Ако је пречник стазе 49 метара, колики пут Марко претрчи у току једног тренинга узети π ≈ 22 ? 7

(

)

12. Буре је ојачано са металним тракама на три места. Колико метара ове траке је потребно ако је пречник бурета 0,6m (узети π ≈ 3,14)?

131

13. Зоран је купио пса и у дворишту је оградио кружни део травњака са 5 редова жице. а) Колико му је жице потребно ако је пречник ограђеног дела 3m? б) Израчунај полупречник ограђеног дела травњака ако је за ограђивање употребио 62,8m жице. 14. Точак на бициклу има полупречник 30cm. Колики пут је Марко прешао бициклом ако се точак окренуо 597 пута? 15. Колики пут пређе врх мале, а колики врх велике казаљке сата чије су дужине 4cm и 6cm од поднева до поноћи једног дана? 16. У квадрат странице 12cm је уписана и (око њега) описана кружница. Израчунај обиме ових кружница. 17. Обим круга: а) уписаног у квадрат; б) описаног око квадрата је 26π cm. Израчунај обим и површину тог квадрата. 18. Дужина дијагонале квадрата је 16cm. Израчунај дужину делова те дијагонале који су изван круга уписаног у квадрат. 19. Израчунај обим уписане и описане кружнице око квадрата ако је: а) обима квадрата 8cm; б) површина квадрата 8cm2. Колико пута је обим описане кружнице већи од обима уписане кружнице? 20. Израчунај обим кружнице описаног око правоугаоника чије су странице 6cm и 8cm. 21. О  бим круга описаног око правоугаоника је 26πdm. Израчунај површину тог правоугаоника ако се његове странице односе као 5 : 12. 22. Катете правоуглог троугла су 12cm и 16cm. Израчунај обим описаног круга овог троугла. 23. У правоуглом троуглу је: в) a = 4 1 cm и b = 45°. 2 Израчунај обим описаног круга око овог троугла. а) a = 3cm и α = 30°;

б) b = 4,2cm и b = 60°;

24. О  бим описаног круга правоуглог троугла је 13πcm. Израчунај обим уписаног круга овог троугла ако је једна катета 5cm. 25. Т етиве PQ и PR круга K су нормалне и дужина PQ = 26cm, PR = 24cm. Израчунај обим круга K. 26. Израчунај обиме уписане и описане кружнице једнакостраничног троугла ако је: а) страница троугла 7cm; б) висина троугла 2√3cm; в) полупречник описане кружнице 4√3cm. 27. Израчунај површину једнакостраничног троугла ако је обим уписане кружнице овог троугла √3cm.

132

28. Обими уписане и описане кружнице једнакостраничног троугла разликују се за √3πcm. Израчунај обим и површину тог троугла. 29. Страница правилног шестоугла је 4cm. Израчунај обиме уписане и описане кружнице. 30. Површина правилног шестоугла је 6√3cm2. Израчунај обим уписане кружнице шестоугла. 31. Дијагонале ромба су 2,4dm и 1dm. Израчунај површину ромба и обим уписане кружнице ромба. 32. У кругу K(O, 3cm) нацртана су четири круга чији су центри на пречнику АВ круга и који се додирују као на слици. Пречник круга K је једнак збиру пречника четири мања круга. Одреди збир обима та четири (мања) круга.

K

A

33. Израчунај обиме следећих фигура. а) б)

B

в)

2cm 4cm

5cm

5cm

6cm в)

г) 2cm 2cm

д)

2cm

2cm 2cm

2cm

1cm 1cm

1cm

1cm 1cm

133

Дужина кружног лука 1. И  зрачунај дужину кружног лука, полупречника r = 6cm, коме одговара централни угао од: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 105°; д) 240°. 2. Израчунај полупречник кружнице ако кружном луку те кружнице дужине 5 πcm 3 одговара централни угао од 75°. 3. Полупречник кружнице је 8cm. Израчунај централни угао над кружним луком дужине: а) 2πcm; б) 2 2 πcm; в) 5 πcm; г) 5πcm. 3 3 4. Лук дужине πcm из центра тог круга види се под углом од 45°. Одреди полупречник круга. 5. Колики пут пређе врх казаљке сата дужине 4cm за: а) 1min;

б) 7min;

в) 48min?

6. Око квадрата ABCD странице 5cm описана је кружница. Израчунај дужину мањег кружног лука над страницом AD. 7. Странице правоугаоника су дужине 2√3cm и 2√6cm. Израчунај дужину краћег лука над краћом страницом кружнице описане око тог правоугаоника ако је један од углова који одређују дијагонале 150°. 8. Око једнакостраничног троугла АВС, странице 6cm, описана је кружница. Израчунај дужину већег кружног лука те кружнице над страницом ВС. 9. Око правилног шестоугла описана је кружница полупречника 7cm. Израчунај дужину дужег кружног лука над краћом дијагоналом тог шестоугла. 10. Пречник круга АВ је дужине 16cm. Из тачке А конструисана је једна тетива круга која је једнака полупречнику круга. Означимо је са АС. Израчунај дужину мањег лука над тетивом ВС. 11. Израчунај дужину испрекидане линије ако су фигуре око којих су оне нацртане: а) квадрат; б) правоугаоник; в) правилан шестоугао; г) једнакостранични троугао.

12cm 10cm

134

6cm

8cm

12. Израчунај обиме осенчених фигура а) б)

70° 4cm

8cm

в)

105° 6cm 3 3 cm

Површина круга 1. Израчунај површину круга ако је његов полупречник: а) 5cm; 2. Израчунај површину круга ако је његов пречник: а) 18cm;

б) 4,2m;

б) 5cm;

в) 2√3dm.

в) 7√6m.

3. Обим круга је 22πcm. Израчунај површину тог круга. 4. Површина круга је: а) 64πcm ; Израчунај његов обим. 2

б) 1,44πdm2;

в) 32πmm2;

г) 12πcm2;

д) πm2.

5. Мерни број обима круга једнак је мерном броју површине тог круга. Израчунај његов пречник. 6. Израчунај обим круга чија је површина: а) за 13πcm2 већа од површине круга полупречника 6cm; б) једнака збиру површина кругова полупречника 24cm и 10cm. 7. Како се односе обими квадрата ако се њихове површине односе као 4 : 25? Како се односе обими кругова ако се њихове површине односе као 4 : 25? 8. Страница квадрата је 8cm. Израчунај површину круга у који је уписан тај квадрат. 9. Обим квадрата је 16cm. Израчунај обим и површину уписаног круга у тај квадрат. 2 10. Израчунај обим и површину квадрата ако је 81πcm површина: а) уписаног круга; б) описаног круга.

11. Дијагонала квадрата је 14cm. Израчунај разлику површина описаног и уписаног круга тог квадрата. 12. Обим кружнице око које је описан квадрат је 24πcm. Да ли је мања и за колико разлика површина описаног круга и тог квадрата или тог квадрата и у њему уписаног круга (узети π ≈ 3,14). 13. Странице правоугаоника су 6cm и √13cm. Израчунај обим и површину круга описаног око тог правоугаоника.

135

14. Једна страница правоугаоника је 80cm, а површина круга описаног око њега је 25πdm2. Израчунај обим и површину тог правоугаоника. 15. Правоугаоник је једном дијагоналом подељен на два правоугла троугла. Упореди обиме и површине описаних кругова око свака од ова два троугла и обим и површину круга описаног око тог правоугаоника. 16. Обим правоугаоника је 12√5cm. Ако је једна страница тог правоугаоника два пута већа од друге, израчунај површину круга који је описан око њега. 17. С  транице правоугаоника су 4cm и 8cm. За колико се разликују површина круга описаног око тог правоугаоника и површина круга описаног око квадрата чија је површина једнака површини датог правоугаоника? 18. К  атете правоуглог троугла су 0,2dm и √5cm. Израчунај обим и површину круга који је описан око овог троугла. 19. Површина описаног круга правоуглог троугла је 6,25πcm2, а једна катета 3cm. Израчунај дужину хипотенузине висине. 20. П  овршина описаног круга око једнакокрако-правоуглог троугла је 16πcm2. Израчунај површину тог троугла. 21. Катета правоуглог троугла је 2cm, а угао: а) наспрам ње је 30°; б) на њу налегли је 30°. Израчунај површину описаног круга око тог троугла. 22. У једнакостранични троугао је уписан и око њега је описан круг. Израчунај површине тих кругова ако је: а) полупречник уписаног круга 3√3dm; б) обим троугла 12cm; в) површина троугла 0,25√3m2. 23. У круг је уписан једнакостранични троугао странице 15cm. Израчунај површину тог круга. 24. Израчунај површине описаног и уписаног круга око и у правилном шестоуглу ако је: а) страница шестоугла 3cm; б) дужа дијагонала шестоугла 8mm; 2 в) краћа дијагонала шестоугла 2√3dm; г) површина шестоугла 3√3 m . 2 25. П  овршина уписаног круга правилног шестоугла је 3πcm . Израчунај површину описаног круга. 2

26. Обим описане кружнице правилног шестоугла је 1,2πdm. Израчунај површину уписаног круга тог шестоугла. 27. Дијагонала ромба је 10cm, а страница 7cm. Израчунај обим и површину уписаног круга у тај ромб. 28. Површина круга уписаног у ромб је 9πcm2. Ако је један угао ромба 60°, израчунај његове дијагонале и страницу.

136

29. У фигуру странице a = 6cm је уписан круг, а у круг је уписана слична таква фигура. Израчунај површину уписане фигуре ако је она: а) квадрат; б) једнакостранични троугао; в) правилан шестоугао. 30. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике ако је полупречник највећих кругова (полукругова) 4cm. а) б) в)

31. Израчунај обим и површину осенчених фигура са слике ако су сви правоугаоници са слике подударни и ако је површина сваког од тих правоугаоника 32cm2. а) б) в)

32. И  зрачунај обим и површину осенчених фигура са слике ако је страница сваког од датих квадрата 8cm. а) б) в) г) д)

ђ)

е)

ж)

137

Површина кружног прстена 1. Два концентрична круга имају полупречнике: г) 4 dm и 0,1m. 5 Израчунај површину кружног прстена који ови кругови одређују. а) 1cm и 2cm;

б) 0,1m и 1,5dm;

в) √2cm и √3cm;

2. О  бими два концентрична круга су 34,54cm, односно 53,38cm. Израчунај површину прстена који оне формирају (узети π ≈ 3,14). 3. П  овршина кружног прстена је 48πcm2. Ако је полупречник мањег круга кружног прстена 4cm, израчунај обим и површину већег круга. 4. П  овршина кружног прстена је 45πcm2. Ако је полупречник већег круга кружног прстена 9cm, израчунај обим и површину мањег круга. 5. Р  азлика полупречника два круга који формирају кружни прстен је 7cm, а њихов збир је 17cm. Израчунај површину прстена. 6. З бир обима кругова који чине кружни прстен је 20πcm. Ако се полупречници кругова разликују за 2cm, израчунај површину прстена. 7. О  ко безена облика круга постављене су плочице које формирају стазу ширине 1m. Ако је пречник базена 8m, израчунај површину које покривају плочице. 8. П  речник саобраћајног знака је 80cm. Овај знак је оивичен црвеном бојом ширине 5cm. Израчунај површину коју заузима црвена боја на знаку. 9. Израчунај површину кружног прстена који формирају уписан и описан круг: а) једнакостраничног троугла; б) квадрата; в) правилног шестоугла; ако је страница фигуре 6cm. 10. Површина кружног прстена који формирају описани и уписани круг једнакостраничног троугла је πcm2. Израчунај површину тог троугла. 11. П  олупречник мањег круга кружног прстена је 3cm, а полупречник већег круга је 8cm. Израчунај полупречник трећег концентричног круга који ће делити кружни прстен на два дела једнаких површина.

Површина кружног исечка 1. Д  ат је круг полупречника 24cm. Израчунај површину кружног исечка тог круга коме одговара централни угао од: а) 20°; б) 30°; в) 75°; г) 105°; д) 210°; ђ) 300°. 2. П  овршина кружног исечка коме одговара централни угао од 75° је 40 πcm2. Израчунај 3 полупречник одговарајућег круга.

138

3. Површина кружног исечка круга K(O, 5cm) je 10πcm2. Израчунај централни угао овог исечка.

4. К  ружни лук над централним углом од 15° је дужине 0,5πcm. Израчунај површину кружног исечка одређеног овим луком. 5. И  зрачунај дужину кружног лука одређеног кружним исечком полупречника 10cm, чија је површина 15 πcm2. 2 6. К  ружни исечак круга K1(A, 5cm), коме одговара централни угао од 108°, има исту површину као и кружни исечак круга K2(В, r), коме одговара централни угао од 75°. Израчунај полупречник круга K2. 7. Д  уж АВ = 12cm ротира око тачке А за угао од 120°. Израчунај површину коју та дуж одређује током ротације и дужину пута који пређе тачка В. 8. И  зрачунај обим и површину осенчених фигура са слике ако су сви назначени троуглови једнакостранични и имају страницу дужине 6cm. а) б) в) г)

д)

ђ)

е)

9. И  зрачунај обим и површину осенчених фигура са слике ако су сви назначени шестоуглови правилни и имају страницу дужине 12cm. а) б) в)

139

тест – Круг 1. Мера централног угла над тетивом АВ је 54°. Мера одговарајућег периферијског угла над истом тетивом је: а) 27°; б) 108°; в) 126°; г) 153°; д) 306°. 2. Под којим углом се види страница једнакостраничног троугла из центра описане кружнице тог троугла? а) 30°; б) 60°; в) 120°; г) 150°; д) 240°. 3. Тетива АВ је удаљена 8cm од центра круга K(O,10cm). Дужина тетиве АВ је: а) 6cm; б) 12cm; в) √89cm; г) 2√41cm; д) 18cm. 4. Полупречник круга је 5cm. Обим круга је: а) 5πcm; б) 10cm; в) 10πcm; г)25cm; д) 25πcm. 5. Обим описане кружнице око квадрата је 18πcm. Површина квадрата је: а) 18cm2; б) 81cm2; в) 81 √2cm2; г) 162cm2; д) 324cm2. 6. Полупречник кружнице је 6cm. Централни угао над кружним луком дужине 3πcm је: а) 15°; б) 30°; в) 45°; г) 60°; д) 90°. 7. Обим једнакостраничног троугла је 12cm. Површина уписаног круга у тај троугао је: а) 4 πcm2; б) 4 √3πcm2; в) 8 √3πcm2; г) 16 πcm2; д) 12πcm2. 3 3 3 3 8. Око правилног шестоугла је описан круг. Ако је површина шестоугла 37,5√3cm , онда је површина описаног круга: а) 5πcm2; б) 5√3πcm2; в) 10πcm2; г) 75 πcm2; д) 25πcm2. 4 2

9. Збир пречника два концентрична круга је 26cm. Обим мањег круга је 2πcm . Површина кружног прстена који формирају ови кругови је: а) 22πcm2; б) 143πcm2; в) 145πcm2; г) 624πcm2; д) 626πcm2. 2

10. Површина кружног исечка круга K(O, 6cm) je 12πcm2. Централни угао овог исечка је: а) 30°; б) 60°; в) 90°; г) 120°; д) 180°. 1. а) 27°; 2. в) 120°; 3. б) 12cm; 4. в) 10πcm; 5. г) 162cm2; 6. д) 90°; 7. а) 4 πcm2; 8. д) 25πcm2; 9. б) 143πcm2; 10. г) 120°. 3

Решења:

140

Круг – РЕШЕЊА ОБНАВЉАЊЕ 1. К  ружница, k(О, r), све тачке једне равни које су на растојању мањем или једнаком са r од дате тачке О те равни. 3. Центри кружница треба да су на растојању: а) већем од 5cm; б) једнаком 5cm; в) мањем од 5cm. 4. 8cm. 5. Ниједну, једну (додирују се), две (права сече кружницу). 6. а) 7cm; б) 1cm. 7. а) 10; б) 14. 9. Конструисане су две тачке. 10. Из тачке А спустимо нормалу на праву p. Полупречник кружнице је једнак растојању од тачке А до пресечне тачке праве p и нормале. 11. а) R = 2√3cm, r = √3cm; б) R = 3√2cm, r = 3cm; в) R = 6cm, r = 3√3cm.

Централни и периферијски угао 1. Ц  рвеном бојом можеш да обојиш било који угао чије је теме на кружници, а плавом бојом било који угао чије је теме у центру кружнице. 3. Централни угао је два пута већи од периферијског угла над истим луком. 4. а) b = 36°; б) a = 116°; в) a = 30°; г) b = 126°; д) a = 144°; ђ) b = 107°. 5. Н  ека је периферијски угао b. Тада је централни угао 2b, па долазимо до једнакости 2b = b + 44°. Одавде је периферијски угао 44°, а централни 88°. 6. Нека је периферијски угао b, а централни угао a. а) b = 26°, a = 52°; б) b = 33°20’, a = 66°40’. 7. Нека је периферијски угао b, а централни угао a. а) a = 120°, b = 60°; б) a = 90°, b = 45°; в) a = 60°, b = 30°; г) a = 45°, b = 22°30’; д) a = 30°, b = 15°. 8. А  ко су тачка C и центар кружнице са исте стране тетиве АВ, онда је мера траженог угла 34°17’, а ако нису, онда је мера траженог угла 145°43'. 9. К  ако је само периферијски угао над пречником прав, то је тражена тетива пречник круга и једнака је 8cm. 10. Како се око четвороугла може описати кружница, то је збир наспрамних углова опружен угао, па је g = 132° и d = 73°. 11. Конструисаћемо кружницу чији је пречник АС. Тражене тачке су пресеци ове кружнице и страница АВ и ВС. а) 2 тачке; б) нема пресечних тачака. B

B

A

C

A

C

12. а) b = 31°; б) b = 57°, a = 114°; в) a = 110°, b = 55°, g = 125°, d = 35°. 13. Повуцимо произвољну полуправу из центра кружнице А. Надовезивањем углова један на други чија је мера једнака 360° : n, где је n број делова на које треба поделити кружницу, добијамо тражену поделу. Углови које треба наносити су: а) 120°; б) 90°; в) 60°; г) 45°.

141

14. Нека је периферијски угао b, а централни угао a. а) a = 180°, b = 90°; б) a = 120°, b = 60°; в) a = 90°, b = 45°; г) a = 135°, b = 67°30’; д) a = 45°, b = 22°30’. 15. Тетива се из центра кружнице види под углом од 80°, а из било које тачке мањег лука под углом од 140°. 16. Како је дужина тежишне дужине једнака половини хипотенузе, то је хипотенуза једнака 8cm. Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе, па можемо конструисати h описану кружницу. Висина која одговара хипотенузи представља растојање темена правог угла од хипотенузе. Теме правог угла А B ће се налазити на правој која је паралелна правој која садржи страницу АВ и на растојању 3cm је од странице АВ. Како теме правог угла мора припадати и описаној кружници, у пресеку праве и кружнице је треће теме троугла. 17. a = 46°30’, b = 81°, g = 52°30’. 18. a = 53°, b = 69°, g = 58°. 19. Катете се из центра описане кружнице виде под угловима од 50° и 130°. 20. Дужа страница се види под углом од 114°, а краћа под углом од 66°. 21. а) Тангенте су нормалне на полупречнике круга, односно формираће прав угао са њима. Угао АОВ је централни угао над тетивом АВ и једнак је 120°. Означимо пресек тангенти са X. Сада у четвороуглу АОBX знамо да су два угла права и један 120°, па је тражени угао АXB једнак 60°; б) 90°; в) 120°. 22. Детаљан поступак конструкције је описан у P уџбенику. Подсетимо се овде само основних корака конструкције. Спојимо центар круга О и А тачку А. Конструишимо кружницу над пречником S ОА. Означимо пресечне тачке кружница са P и Q. О Тражене тангенте су AP и AQ. 23. Одаберимо поред тачке А још две произвољне тачке В и С. Центар кружнице ћемо одредити тако Q што ћемо одредити пресек симетрала дужи АВ и АС, односно, центар О описаног круга троугла АВС. Тангенту кружнице у тачки А одређујемо конструкцијом нормале на праву ОА у тачки А. 24. Тангенте конструишемо као у задатку 22. На основу става ССУ је ∆SAO  ∆SBO (SO = SO – заједничка страница, ОА = OB – полупречници, ОАS = OBS = 90°). Из ове подударности следи SА = SВ. 25. К  ако су тангентне дужи једнаке, то је AQ = AP = 6cm. OP и OQ су полупречници круга и једнаки су по 4cm. Дакле, обим четвороугла је 20cm. Четвороугао APOQ је састављен од два правоугла троугла APO и AQO. Како су катете оба правоугла троугла 6cm и 4cm, то је површина четвороугла 24cm2.

142

Примена Питагорине теореме на круг 1. Т роугао АОВ је једнакокраки (ОА и ОВ су полупречници круга). Уочимо правоугли троугао ВОС. ВС је половина тетиве АВ, па применом Питагорине теореме на овај троугао имамо да је СВ = 4cm, односно АВ = 8cm. O 2. 6cm. 3. У  даљеност тетиве АВ од центра круга је заправо дужина висине једнакостраничног троугла ОАВ, а полупречник круга је једнак C страници овог троугла, r = 6cm. 4. Означимо полупречник круга са r, а тетиву са АВ. Тада је: а) b = 60°, r = 12cm, AB = 12√3cm; б) b = 45°, r = 6√2cm, AB =12cm; в) b = 30°, r = AB = 4√3cm. 5. Ако са О означимо центар круга, тада је троугао АОВ једнакокрако-правоугли. Висина која одговара хипотенузи овог правоуглог троугла је 4cm, па је хипотенуза тог троугла, односно тетива АВ, једнака 8cm, а крак троугла, односно полупречник круга, једнак 4√2cm. 6. 6√2cm. 7. Означимо центре кружница са О1 и О2. Троуглови О1О2А и О1О2В су правоугли јер њихове странице задовољају Питагорину теорему. Дакле, углови О1АО2 и О1ВО2 су прави. Четвороугао О1АО2В има све једнаке странице, а како је један пар наспрамних углова прав, то је овај четвороугао квадрат. Одавде можемо закључити да се тетива види под правим углом и да је њена дужина једнака дужини дијагонале квадрата чија је страница 9cm, то јест 9√2cm. B 8. О  значимо тачке додира кружнице и тангенти са А и P В. Троугао ОРА је правоугли, катета OA је дужине 4cm, а хипотенуза ОР је дужине 5cm. Одавде применом Питагорине теореме на овај троугао добијамо да је O дужина тангентних дужи 3cm. A 9. r = 2√7cm. 10. Нека је А тачка додира тангенте и круга. Тада је ОА = 5cm, АС = 2√6cm, OC = 7cm. Тражена дужина тетиве је два пута већа од дужине висине која одговара хипотенузи правоуглог троугла ОСА, па је њена C Y дужина 20 √6cm. B 7 X 11. 8cm. 12. Означимо са X, Y, P и Q тачке додира страница AC, P CB, BD и DA четвороугла са кругом. Како су тангентне дужи једнаке, то је AX = AQ, DQ = DP, BP = BY, CY = CX. A Сада је АC + BD = AX + XC + BP + DP = AQ + CY + BY + DQ = AQ + DQ + CY + BY = AD + BC, што је и требало Q D доказати. 13. О  значимо са P, Q и R тачке додира уписане кружнице B и страница троугла (види слику). Четвороугао OQCR је P квадрат, па је RC = CQ = r, a AR = b – r и BQ = a – r. AP и a–r c AR су тангентне дужи, па су једнаке (види 24. задатак r Q O из претходне области). Такође је и BP = BQ. Сада је r r AB = AP + BP = AR + BQ, тo јест c = a + b – 2r, одакле A b–r R r C следи тврђење. 14. r = 2cm.

143

Обим круга 2. а) О = 4πcm; б) О = 8,6πcm; в) О = 4 √2πcm; г) О = 3 πdm. 2 3. а) О = 7πcm; б) О = 1,2πcm; в) О = 6 √3πcm; г) О = 2 1 πdm. 3 4. a) О = 7,85dm; б) О = 12,56mm.

5. a) О = 44cm; б) О = 22m. 6. а) r = 2m; б) r = 1 cm; в) r = 11 cm. 2 8 7. а) r = 1cm; б) r = 2cm; в) r = 5m; г) r ≈ 1,59cm. 8. О = 24πcm. 9. Мањи је за 6аπ cm. 10. а) За 6πcm; б) Ако је полупречник мањег круга r, разликују се за 4rπ. 11. У току једног тренинга Марко претрчи 3 542m. 12. Потребно је 5,652m траке. 13. а) 47,1m жице; б) r = 2m. 14. Марко је прешао 1 124,748m. 15. Врх мале казаљке пређе 25,12cm, а врх велике казаљке пређе 452,16cm. 16. Ou = 12πcm, Oo = 12√2πcm. 17. а) O = 104cm, P = 676cm2; б) O = 52√2cm, P = 338cm2. 18. К  ако је центар уписаног круга на средини дијагонале, тражени део добијамо када од дијагонале одузмемо пречник круга. d – 2r = 16 – 8√2 = 8(2 – √2)cm. 19. а) Ou = 2πcm, Oo = 2√2πcm; б) Ou = 2√2πcm, Oo = 4πcm. Oбим описане кружнице je √2 пута већи од обима уписане кружнице. 20. O = 10πcm. 21. d  = 26dm. Како је b : a = 5 : 12, то је a = 12 b, па применом Питагорине теореме добијамо 5 b = 10dm и a = 24dm. Одавде је P = 240dm2. 22. r = c , c = 20cm, O = 20πcm. 2 23. а) O = 6πcm; б) O = 14√3 πcm; в) O = 4,5√2πcm. 5 24. c = 13cm, a = 5cm, b = 12cm. У 14. задатку претходног поглавља смо показали да је 2r = a + b – c, одакле је r = 2cm, па је О = 4πcm. 25. К  ако је угао који граде тетиве круга прав, то оне одређују периферијски угао над пречником, па је хипотенуза правоуглог троугла PQR заправо пречник круга. Применом Питагорине теореме на овај правоугли троугао израчунавамо да је пречник круга 2√313cm, а обим круга 2√313πcm. 26. а) Ou = 7√3 πcm, Oo = 14√3 πcm; б) Ou = 4 √3πcm, Oo = 8 √3πcm; 3 3 3 3 в) Ou = 4 √3πcm, Oo = 8 √3πcm. 27. Полупречник уписане кружнице је √3 cm. Висина троугла је 3√3 cm, страница троугла 2π 2π 2 је 3 cm, а површина троугла је 9√32 cm . π 4π

144

28. Нека је страница троугла a. Како је R = 2 h = a√3 , а r = 1 h = a√3 , то је дата разлика 3 6 3 3 2 2 ∙ (R – r)π = a√3 πcm, па је a√3 = √3. Дакле, a = 3cm, а онда је О = 9cm, P = 9√3 cm . 3 3 4 29. Ou = 4√3πcm, Oo = 8πcm. 30. a = 2cm, r = √3cm, Ou = 2 √3πcm. 31. П  овршина ромба је P = d1 ∙ d2 = a ∙ h, где су d1 и d2 дијагонале, a страница и h висина 2 2 ромба. Дакле P = 120cm . Применом Питагорине теореме на ромб добијамо a = 13cm, а из површине h = 120 cm. Како је висина ромба једнака пречнику уписаног круга, то је 13 120 πcm. О= 13 32. А  ко су пречници мањих кругова a, b, c и d, тада је збир њихових обима једнак aπ + bπ + cπ + dπ = π ∙ (a + b + c + d) = π ∙ 2r = 6πcm. 33. а) 2 ∙ (2 + π)cm; б) (16 + 3π)cm; в) 2 ∙ (5 + π)cm; в) 4πcm; г) 4 ∙ (1 + π)cm; д) 5πcm.

Дужина кружног лука 1. а) πcm; б) 3 πcm; в) 2 πcm; г) 7 πcm; д) 8πcm. 2 2 2. r = 4cm. 3. а) a = 45°; б) a = 60°; в) a = 37° 30’; г) a = 112° 30’. 4. r = 4cm. 5. Велика казаљка за x минута пређе пут коме одговара централни угао величине x ∙ 360°. 60 а) За 1 минут казаљка опише угао од 6°, па је дужина траженог пута 4 ∙ π ∙ 6° cm, то јест 180° 2 πcm; б) 14 πcm; в) 32 πcm. 15 15 5 6. l = 5 √2πcm. 4 7. Централни угао описане кружнице над краћом страницом је 30°. Дијагонала правоугаоника је 6cm, па је полупречник кружнице 3cm. Сада можемо израчунати да је l = π cm. 2 8. l = 8√3 πcm. 3 9. l = 28 πcm. 3 10. Полупречник круга је 8cm. У датом правоуглом троуглу је катета два пута краћа од хипотенузе, па је ВАС = 60°. Како је троугао АОС једнакостраничан, то је BOC = 120°, а то је централни угао над тетивом ВС. Дакле, l = 16 πcm. 3 11. а) 15πcm; б) 18πcm; в) 16πcm; г) 44 πcm. 3

145

12. а) 72 + 14π cm; б) 24 + 49π cm; 9 6 в) Дијагонала правоугаоника једнака је двоструком полупречнику круга, а мања страница правоугаоника једнака је полупречнику круга. Применом Питагорине теореме на овај правоугаоник израчунавамо r = 3cm. Обим фигуре је 3 ∙ (4 + π)cm.

Површина круга 1. а) P = 25πcm2; б) P = 17,64πm2; в) P = 12πdm2. 2. а) P = 81πcm2; б) P = 6,25πcm2; в) P = 73,5πm2. 2 3. P = 121πcm . 4. а) O = 16πcm; б) O = 2,4πdm; в) O = 8√2πmm; г) O = 4√3πcm; д) O = 2πm. 2 5. r π = 2rπ. Уколико поделимо обе стране једнакости истим бројем, једнакост ће и даље важити. Дељењем и леве и десне стране једнакости са rπ добијамо r = 2, па је пречник тог круга 4. 6. а) O = 14πcm; б) O = 52πcm. 2 7. a) Нека су странице квадрата a и b. Тада је a2 = 4 , па је a = 2 . Сада се обими односе b 25 b 5 4a a 2 = = , то јест 2 : 5; б) Аналогно претходном је однос 2 : 5. као 4b b 5 2 8. P = 32πcm . 9. О = 4πcm, P = 4πcm2. 10. а) О = 72cm, P = 324cm2; б) О = 36√2cm, P = 162πcm2. 11. 24,5πcm2. 12. Р  азлика површина описаног круга и квадрата је 328,32cm2, а површина квадрата и уписаног круга је 123,84cm2. Дакле, мања је друга разлика и то за 204,48cm2. 13. О = 7πcm, P = 49 πcm2. 4 2 14. О = 28dm, P = 48dm . 15. Центар описане кружнице правоугаоника је на средини дијагонале, а полупречник је једнак половини дијагонале. Како је дијагонала квадрата хипотенуза два посматрана троугла, то је центар описаних кружница ових троуглова на средини дијагонале, а полупречник кружнице је једнак половини хипотенузе, то јест дијагонале. Дакле, обими и површине сва три круга су једнаки, штавише, све три кружнице се поклапају. 16. А  ко је једна страница правоугаоника b, а друга 2b, тада из обима следи b = 2√5cm. Сада је дијагонала правоугаоника 10cm, а тражена површина 25πcm2. 17. П  овршина круга описаног око правоугаоника је 20πcm2. Страница квадрата је 4√2cm, а 2 2 површина описаног круга око квадрата је 16πcm . Дакле, разликују се за 4πcm . 18. О = 3πcm, P = 9 πcm2. 4 19. Полупречник круга је 2,5cm, па је хипотенуза 5cm. Применом Питагорине теореме израчунавамо да је дужина друге катете 4cm. Користећи површину правоуглог троугла добијамо да је hc = 2,4cm. 20. 16cm2. 21. а) P = 4πcm2; б) P = 4 πcm2. 3

146

22. а) Pо = 108πdm2, Pu = 27πdm2; б) Pо = 4 πcm2, Pu = 16 πcm2; 3 3 в) Pо = 1 πm2, Pu = 1 πm2. 12 3 23. К  руг чију површину треба да израчунамо је заправо описан око датог троугла, па је 2 његова површина 75πcm . 2 2 2 2 24. а) Pо = 9πcm , Pu = 27 πcm ; б) Pо = 16πmm , Pu = 12πmm ; 4 в) Pо = 4πdm2, Pu = 3πdm2; г) Pо = πm2, Pu = 3 πm2. 4 2 25. Pо = 4πcm . 26. Pu = 27πcm2. 27. Друга дијагонала ромба је дужине 4√6cm. Користећи површину ромба израчунавамо да је полупречник уписаног круга 10√6 cm, па је О = 20√6 πcm и P = 600 πcm2. 7 7 49 28. a = d1 = 4√3cm, d2 = 12cm. 2 2 2 29. a) P = 18cm ; б) P = 9√3 cm ; в) P = 81√3 cm . 4 2 2 2 2 30. а) О = 16πcm, P = 8πcm ; б) О = 8πcm, P = 8πcm ; в) О = 2 ∙ (4 + 6π)cm, P = 32cm ; 31. Са слике б) видимо да је једна страница правоугаоника два пута већа од друге. 2 б) О = 8 ∙ (3 + π)cm, P = 8 ∙ (4 – π)cm2; а) О = 4 ∙ (4 + π)cm, P = 32cm ; в) О = 8πcm, P = 4 ∙ (2 + π )cm2. 32. а) О = 8 ∙ (4 + π)cm, P = 16 ∙ (4 – π)cm2; б) О = 8 ∙ (2 + π)cm, P = 16 ∙ (4 – π)cm2; в) О = 8 ∙ (1 + π)cm, P = 16 ∙ (4 – π)cm2; г) О = 8πcm, P = 32cm2; д) О = 4 ∙ (4 + π)cm, P = 16 ∙ (4 – π)cm2; ђ) О = 8 ∙ (3 + π)cm, P = 8 ∙ (8 – π)cm2; е) О = 8πcm, P = 16 ∙ (4 – π)cm2; ж) О = 16πcm, P = 16 ∙ (4 + π)cm2.

Површина кружног прстена 1. а) P = 3πcm2; б) P = 125πcm2; в) P = πcm2; г) P = 36πcm2. 2. P = 131,88πcm2. 3. О = 16πcm, P = 64πcm2. 4. О = 12πcm, P = 36πcm2. 5. Н  ека су a и b полупречници кругова. Тада је a – b = 7cm и a + b = 17cm. Како важи да је (a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2, то је P = a2π – b2 π = (a2 – b2) ∙ π = 119π cm2. 6. P = 20πcm2. 7. P = 9πm2. 8. P = 375πcm2. 9. а) P = 9πcm2; б) P = 9πcm2; в) P = 9πcm2. 10. P = √3cm2. 11. Ако је r полупречник трећег круга, тада мора да важи 82 – r2 = r2 – 32, одакле израчунавамо да је r = √146 cm. 2

147

Површина кружног исечка 1. а) Pi = 32πcm2; б) Pi = 48πcm2; в) Pi = 120πcm2; г) Pi = 168πcm2; д) Pi = 336πcm2; ђ) Pi = 480πcm2. 2. r = 8cm. 3. a = 144°. 4. Pi = 3 πcm2. 2 5. l = 3 πcm. 2 6. r = 6cm. 2 7. l = 8πcm, P = 48πcm .

(

)

(

)

8. а ) О = (18 – 6√3 + √3π)cm, P = 9 ∙ √3 – π cm2; б) О = 3πcm, P = 9 ∙ √3 – π cm2; 2 2 2 в) О = 6 ∙ (3 + π)cm, P = 9 ∙ (2π – 3√3)cm ; 2 2 г) О = (15 + 3√3 + 2π)cm, P = 3 ∙ (4π – 3√3)cm ; д) О = 9πcm, P = 9 ∙ (√3 + π)cm ; 2 ђ) О = 15πcm, P = 9 ∙ √3 + 5 π cm2; е) О = 11πcm, P = 9 ∙ √3 + 3 π cm2. 2 2 2 2 9. а) О = 48πcm, P = 72 ∙ (3√3 + 2π)cm ; б) О = 36πcm, P = 36 ∙ (6√3 + π)cm ; в) О = 6 ∙ (21 + 2√3π + 3π)cm, P = 27 ∙ (2π – √3)cm2.

(

148

)

(

)

сЛИЧНОСТ Размера дужи. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 1. Одреди размеру дужи АВ и CD ако је: а) AB = 4cm, CD = 7cm; б) AB = 12cm, CD = 8cm; в) AB = 15cm, CD = 25cm; г) AB = 1dm, CD = 16cm; д) AB = 16cm, CD = 2,4dm; ђ) AB = 480mm, CD = 0,36m. 2. Н  ацртај произвољну дуж АВ и подели је на: а) 2; б) 4; в) 8 једнаких делова. У којој размери су један од добијених делова и цела дуж АВ? 3. Н  а правој p дате су тачке A, B, C, D, E и F такве да је AB = BC = CD = DE = EF. Одреди следеће размере: а) AB : BD; б) AC : EF; в) AD : BE; г) AF : BE; д) CF : DF; ђ) BD : EA. 4. Одреди размере дужи АВ и CD ако је: а) половина дужи АВ једнака половини дужи CD; б) трећина дужи АВ једнака четвртини дужи CD; в) шестина дужи АВ једнака петини дужи CD; г) седмина дужи АВ једнака дужи CD. 5. Ако је AB = 2 , заокружи слово испред тачних једнакости: CD 5 а) AB = CD ; б) AB = CD ; в) 2AB = 5CD; г) 5AB = 2CD; 2 5 5 2 д) AB = 6 ; ђ) AB = 4 ; е) CD = 5 ; ж) 50AB = 20CD. CD 15 CD 25 AB 2 6. Запиши размере једнаке датим, али тако да чланови размере буду природни бројеви: а) 1 : 3; б) 2 : 1; в) 4 : 1 2 ; г) 7 : 5 ; д) 1 : 1 ; ђ) 1 1 : 2 ; е) 9 : 7 . 2 3 5 6 3 4 5 8 5 4 7. Дуж АВ = 24cm је тачком С подељена на 2 дела који се разликују за 18cm. Одреди размеру тих делова. 8. У једнакостраничном троуглу АВС, са h је означена висина троугла, са R полупречник описаног, а са r полупречник уписаног круга. Одреди размере: а) R ; б) h ; в) R . h r r 9. Размера дужи АВ и CD је 2 . Одреди дуж АВ ако је: 3 а) CD = 3cm;

б) CD = 6cm;

в) CD = 4,5mm;

г) CD = 0,9m;

10. Размера дужи АВ и CD је 4 . Одреди дуж CD ако је: 5 а) АВ = 4cm;

б) АВ = 8cm;

в) АВ = 10m;

г) АВ = 1,6mm;

д) CD = 1 1 dm. 8

д) АВ = 1 1 cm. 5

149

11. Дијагонала правоугаоника и једна страница су у размери 5 : 3. Израчунај обим и површину правоугаоника ако је дужина његове дијагонале 10cm. 12. На средини моста налази се потпорни стуб дужине 16m. Дужина моста се према дужини потпорног стуба односи као 3 : 2. Израчунај удаљеност краја моста од подножја стуба. 13. Катете правоуглог троугла су у размери 5 : 12. Одреди обим овог троугла ако је мања катета дужине 10cm. 14. Дијагонале ромба су у размери 7 : 24. Ако је краћа дијагонала ромба дужине 0,14m, израчунај површину ромба. 15. На правој су дате тачке А, В, С и D тако да је A – B – C – D. а) Израчунај дужину дужи CD ако је AC : BD = 5 : 4, AB = 14cm и BC = 21cm; б) Израчунај дужину дужи ВD ако је AB = 4cm, AC : AB = 5 : 2 и AC = CD; в) Израчунај дужине дужи АВ и CD ако је BC = 9cm, AC : BC = 5 : 3 и AB : CD = 2 : 1. 16. Одреди размеру дужи АВ и EF ако је: а) AB : CD = 1 : 2, CD : EF = 2 : 3; б) AB : CD = 2 : 3, CD : EF = 4 : 3; в) AB : CD = 7 : 5, CD : EF = 3 : 8; г) CD : AB = 3 : 4, CD : EF = 6 : 5; д) CD : AB = 1 : 2, EF : CD = 3 : 2. 17. Израчунај колико у природи износи растојање између два објекта ако је на карти чија је размера 1 : 25 000 њихова удаљеност 5cm. 18. Растојање између два града је 723km. Колико је растојање између тих градова на карти чија је размера 1 : 5 000 000? 19. Да ли су самерљиве дужи AB и CD ако је: а) AB = 8cm, CD = 7cm; б) AB = 4mm, CD = 8 √2mm; г) AB = 5√12cm, CD = 6√3cm; д) AB = 2,56cm, CD = 3,2cm?

в) AB = 4 √3m, CD = 2√6m;

20. Да ли су самерљиве дужи: а) страница квадрата и његова дијагонала; б) крак и хипотенуза једнакокрако-правоуглог троугла; в) полупречник круга и његов обим; г) пречник уписане кружнице једнакостраничног троугла и страница тог троугла; д) страница правилног шестоугла и његова дужа дијагонала; ђ) страница правилног шестоугла и његова краћа дијагонала; е) краћа и дужа дијагонала правилног шестоугла? 21. Дате су дужи АB = 6√3cm, CD = 8√3cm и EF = 4cm. Одреди парове несамерљивих дужи. 22. Да ли је самерљива хипотенуза правоуглог троугла c и катета b ако је: 2 а) a = 3cm, b = 4cm; б) c = 10cm, a = 5cm; в) P = 12cm , a = 3√2cm? 23. Д  а ли је страница ромба дужине 10cm самерљива са сваком од дијагонала тог ромба ако је један унутрашњи угао ромба 60°?

150

24. Страница ромба је 5cm, а једна дијагонала 6cm. Да ли је страница тог ромба самерљива са његовом дужом дијагоналом? 25. Да ли су самерљиве странице правоугаоника ако је дијагонала правоугаоника два пута дужа од једне странице? 26. Дата је дуж АВ = 11cm. Подели дату дуж на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 6; д) 7; ђ) 9; једнаких делова. 27. Дата је дуж АВ = 7cm. Подели дуж АВ тачком С тако да је AC : CB у размери: а) 2 : 1; б) 1 : 2; в) 2 : 3; г) 4 : 3; д) 5 : 7; ђ) 2 : 1 ; е) 1 : 3. 2 3 28. Дата је дуж АВ = 5cm. Конструиши дуж CD ако је: а) CD = 1 AB; б) CD = 3 AB; в) CD = 8 AB; 3 4 14 7 4 д) CD = AB; ђ) CD = AB; е) CD = 1 2 AB; 6 3 7 29. Дата је дуж АВ = 4cm. Конструиши дуж CD ако је: а) AB : CD = 2 : 3; б) AB : CD = 6 : 5; г) AB : CD = 5 : 2; д) AB : CD = 3 : 1 ; 5 2

г) CD = 0,6 ∙ AB; ж) CD = 1,2 ∙ AB;

в) AB : CD = 1 : 3; ђ) AB : CD = 1 1 : 1 1 . 4 2

30. Дуж АВ = 8cm подели тачкама C и D тако да је AC : CD : DB у размери: а) 1 : 2 : 4; б) 2 : 1 : 3; в) 2 : 2 : 5. 31. Нацртај бројевну праву чија је јединична дуж 2cm. Конструиши тачке бројевне праве којима одговарају бројеви: а) 2 ; б) 1 4 ; в) –2 5 ; г) –0,(6); д) 13 . 3 5 6 5 32. Нацртај бројевну праву чија је јединична дуж 4cm. Конструиши дуж чија је дужина: а) √2 ; б) √3 ; в) √5 ; г) √6 . 2 3 5 6 33. Н  ацртај бројевну праву чија је јединична дуж 4cm. Конструиши тачке бројевне праве којима одговарају бројеви: а) 1 – √2; б) – 3 + √5; в) 2 + √3 . 3 4 5 34. Конструиши једнакостранични троугао ако је дата дуж која је једнака: а) полупречнику описане кружнице; б) обиму троугла. 35. Конструиши једнакокраки троугао ако је: а) крак дужине 3cm, а основица и крак су у односу 2 : 5; б) висина која одговара основици 7cm, а висина и основица су у размери 3 : 4. в) обим троугла 10cm, а крак и основица се односе као 2 : 3. 36. Конструиши квадрат ако је дата дуж чија је дужина једнака обиму квадрата. 37. Конструиши правоугаоник чији је обим 13cm, a странице у размери 2 : 3.

151

38. Конструиши ромб коме је један оштар угао 60° и чији је обим једнак дужини дате дужи. 39. Конструиши правилан шестоугао чији је обим 14cm. 40. Дата је дуж АВ = 7cm. Конструиши: а) квадрат страницe a = 4 AB; б) правоугаоник чије су странице a = 2 AB и b = 3 a; 5 3 4 в) кружницу полупречникa r = 4 AB. 9 41. З а дужи АB, CD, EF и GH важи AB : CD = EF : GH. Докажи да важи: а) CD : AB = GH : EF; б) AB : EF = CD : GH; в) GH : CD = EF : AB. 42. Ако је AB : CD = EF : GH и: а) АB = 7cm, CD = 2cm и EF = 21cm, одреди дужину дужи GH. б) CD = 5cm, EF = 4cm и GH = 2cm, одреди дужину дужи AB. в) АB = 4,5cm, EF = 3,14cm и GH = 12,56cm, одреди дужину дужи CD. г) АB = 3√2cm, CD = 8cm и GH = 4√2cm, одреди дужину дужи EF. 43. Дато је 5 дужи чије су дужине a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm, d = 8cm и e = 12cm. Одреди које 4 од датих дужи могу да формирају пропорцију. 44. Дијагонала квадрата АBCD је два пута мања од дијагонале квадрата PQRS. У ком односу су страница квадрата ABCD и дијагонала квадрата PQRS? 45. На дужи АВ дата је тачка С, а на дужи DE тачка F, такве да је АC : CB = DF : FE. Одреди дужину непознате дужи x. а) АC = 2cm, BC = 3cm, DF = 4cm, FE = x; б) АC = 8cm, BC = 5cm, DF = x, FE = 6cm; в) АC = 1cm, BC = x, DF = 2cm, FE = 7cm; г) АC = x, BC = 3cm, DF = 23cm, FE = 6,9cm; д) АC = 2cm, BC = x, DF = x, FE = 8cm; ђ) АC = x, BC = 12cm, DF = 3cm, FE = x; е) DE = 4cm, FE = 3cm, AB = 4cm, AC = x; ж) DF = 2cm, DE = 7cm, BC = 10cm, AC = x; з) BC = 9cm, FE = 4cm, DE = 7cm, AC = x.

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА 1. У  глове троугла АВС означимо на уобичајен начин са a, b и g, а углове троугла А’B’C’ са a1, b1 и g1. Да ли су ови троуглови слични ако је: б) a = 18°, b = 91°, a1 = 18°, g1 = 91°; а) a = 34°, b = 52°, a1 = 34°, b1 = 52°; в) b = 33°, g = 44, a1 = 44°, b1 = 55°; г) b = 58°, g = 30, a1 = 30°, b1 = 92°; д) a = 40°, b = 40°, b1 = 40°, g1 = 100°; ђ) b = 71°, g = 15°, a1 = 94°, b1 = 15°? Запиши парове пропорционалних страница у сваком од случајева када су троуглови слични.

152

2. К  оји од датих троуглова на слици су слични? Запиши парове пропорционалних страница. F C L 28° K 79° А

73°

28°

107°

B

M

Q

Z 73°

107°

69° R 142° Y

X

38° P

3. Д  окажи да је троугао ОАВ сличан троуглу OCD. Одреди парове пропорционалних страница ових троуглова. а) б) в) D В D D В В 25° O O O 25° 28° А 28° С С

А

С

А

4. Д  ат је троугао АВС. Тачке M, N и P су средишта страница АВ, ВС и СА. Запиши све троуглове које формирају тачке А, В, С, M, N и P. Са којим од ових троуглова је сличан троугао MNP? 5. Д  ва једнакокрака троугла АВС и DEF (основице су им АВ и DE) имају једнаке: а) углове при врху и износе по 58°; б) углове на основици и износе по 33°. Да ли су ови троуглови слични? 6. Један оштар угао правоуглог троугла АВС је 49°, а један оштар угао правоуглог троугла DEF је 41°. Да ли су ови троуглови слични? 7. Дијагонале трапеза ABCD (AB и CD су основице) секу се у тачки О. Докажи да је троугао АВО сличан троуглу CDO. 8. На кружници су дате четири тачке А, В, С и D. Тетиве АС и BD секу се у тачки Е. Докажи да је троугао BCЕ сличан троуглу ADЕ. 9. И  з темена А троугла АВС повучена је висина AD на страницу ВС, а из темена С повучена је висина СЕ на страницу АВ. Докажи да је троугао ADB сличан троуглу CEB. 10. На страници АВ паралелограма ABCD дата је тачка Е која дели страницу АВ у односу: а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 3 : 2. Ако је пресек дужи АС и DE тачка О, докажи да је троугао АОЕ сличан троуглу COD. Одреди коефицијент сличности ова два троугла.

153

11. Углови на основици АВ трапеза ABCD су 42° и 48°. Из темена C и D повучене су висине CE и DF на основицу АВ. Докажи да је троугао ВСЕ сличан троуглу DАF. 12. Нацртај произвољан троугао АВС. Конструиши троугао А1В1С1 ако је коефицијент сличности ова два троугла: а) 2; б) 1 ; ц) 2 ; д) 6 . 2 3 5

(

)

13. Троуглови АВС и А1В1С1 су слични a = b = c . Странице троугла АВС су a = 5cm, a1 b1 c1 b = 8cm и c = 7cm. Одреди странице троугла А1В1С1 ако је: а) a1 = 10cm; б) b1 = 4cm; в) c1 = 10,5cm; г) коефицијент сличности 3; д) коефицијент сличности 0,8; ђ) обим троугла А1В1С1 50cm; е) наjдужа страница ∆А1В1С1 дужине 12cm; ж) најкраћа страница ∆А1В1С1 дужине 2cm. 14. Странице троугла АВС су a = 12cm, b = 8cm и c = 10cm. Одреди странице троугла ADE (види слику) aкo je AD = 6cm: а) б) А А

D B



E 

D C



B

E 

C

15. Странице једнакокраког троугла су 6cm и 12cm. Одреди: а) обим њему сличног троугла чија је основица 3cm; б) крак њему сличног троугла чији је обим 7cm. 16. Катете правоуглог троугла АВС су 5cm и 12cm. Одреди странице њему сличног правоуглог троугла А1В1С1 ако је: а) најкраћа страница троугла А1В1С1 једнака 2,5cm; б) најдужа страница троугла А1В1С1 једнака 39cm; в) обим троугла А1В1С1 једнак 45cm. 17. Докажи да су одговарајуће висине два слична троугла пропорционалне одговарајућим страницама тих троуглова. 18. У правоуглом троуглу АВС висина CD одговара хипотенузи. а) Докажи да је троугао ACD сличан троуглу CBD; б) Одреди дужине одсечака AD и BD ако је AB = 10cm и BC = 8cm. 19. Хипотенузина висина CD правоуглог троугла ABC дели хипотенузу на два дела чија је дужина 8cm и 18cm. Израчунај дужину висине CD и обим и површину троугла АВС. 20. У трапезу ABCD (основице су АВ и CD) краци BC и AD су продужени преко тачака C и D тако да се секу у тачки E. Одреди обим и површину трапеза ако је висина троугла АВЕ 6cm, висина трапеза 4cm, CD = 5cm, DE = 3cm и EC = 4cm.

154

21. Марко и његов отац стоје на трави и мере дужине својих сенки. Дужина Маркове сенке је 0,4m, а његовог оца 0,6m. Ако је Марко висок 1,2m, колико је висок његов отац?

тест – Сличност 1. Ако је АВ = 6cm и CD = 18cm, онда је размера дужи АВ : CD једнака: а) 1 : 2; б) 2 : 1; в) 1 : 3; г) 3 : 1; д) 1 : 12. 2. Тачке C и D деле дуж АВ на три једнака дела (AC = CD = DB). Размера дужи АD : BC je: а) 1 : 1; б) 2 : 1; в) 1 : 2; г) 1 : 3; д) 2 : 3. 3. Размера дужи АВ и CD je 4 . Ако је CD = 9cm, онда је дужина дужи АВ једнака: 3 4 а) cm; б) 6,75cm; в) 12cm; г) 36cm; д) 108cm. 3 4. Дате су следеће дужи: а) страница квадрата и полупречник уписане кружнице у тај квадрат; б) страница правилног шестоугла и његова дужа дијагонала; в) страница ромба и дуж дужине обима тог ромба; г) висина једнакостраничног троугла и полупречник описане кружнице око тог троугла; д) страница квадрата и дијагонала тог квадрата. Заокружи слово испред дужи које су несамерљиве. 5. Нацртај произвољну дуж АВ, па је подели на три једнака дела одговарајућом конструкцијом. 6. Дат је произвољни паралелограм ABCD. Тачке M, N, P и Q деле странице AB, BC, CD и DA на два једнака дела. Који троуглови су слични? а) ABC и AMQ; б) BCD и ABC; в) ADB и ANB; г) CBD и AMQ; д) ABD и AMP. Заокружи слово испред тачног одговора 7. Троуглови АВС и А1В1С1 су слични. Ако су странице троугла АВС дужине 8cm, 6cm и 12cm. Ако је обим троугла А1В1С1 једнак 13cm, а дужина његове најдуже странице је: а) 3cm; б) 4cm; в) 5cm; г) 6cm; д) 7cm. 8. Катете правоуглог троугла АВС су 5cm и 12cm. Краћа катета њему сличног троугла А1В1С1 је 10cm. Површина троугла А1В1С1 је: а) 30cm32; б) 50cm2; в) 60cm2; г) 120cm2; д) 240cm2. 9. Дати су троуглови ABC и BDE (види слику). Ако је AC = 12cm, BЕ = 5cm и DE = 3cm, тада је дужина странице ВС једнака: C а) 7,2cm; б) 11cm; в) 16cm; г) 3√41cm; д) 20cm. E А

D

B

1) в; 2) а; 3) в; 4) д; 6) г; 7) г; 8) г; 9) в.

155

Решења:

сЛИЧНОСТ – решења Размера дужи, ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 1. а ) AB : CD = 4 : 7; б) AB : CD = 3 : 2; в) AB : CD = 3 : 5; г) AB : CD = 5 : 8; д) AB : CD = 2 : 3; ђ) AB : CD = 4 : 3. 2. Конструкцијом симетрала дужи извршићемо поделу на 2, 4 и 8 делова. а) 1 : 2; б) 1 : 4; в) 1 : 8. 3. а) 1 : 2; б) 2 : 1; в) 1 : 1; г) 5 : 3; д) 3 : 2; ђ) 1 : 2. 4. а) 1 : 1; б) 3 : 4; в) 6 : 5; г) 7 : 1. 5. Тачне су једнакости под а), г), д), е) и ж). 6. М  ножењем сваког члана размере са најмањим заједничким садржаоцем именилаца сваког члана размере одређујемо тражени облик: а) 1 : 6; б) 2 : 3; в) 20 : 7; г) 42 : 5; д) 4 : 3; ђ) 24 : 5; е) 36 : 35. 7. 1 : 7. 8. а) 2 : 3; б) 3 : 1; в) 2 : 1. 9. а) 2cm; б) 4cm; в) 3mm; г) 0,6m; д) 0,75dm. 10. а) 5cm; б) 10cm; в) 12,5m; г) 2mm; д) 1,5cm. 11. O = 28cm, P = 48cm2. 12. Како се потпорни стуб налази на средини моста и нормалан је на мост, можемо га посматрати као висину једнакокраког троугла чија је основица мост. Дужина моста је 24m. Применом Питагорине теореме на уочени троугао израчунавамо да је тражена дужина 20m. 13. 60cm. 2 14. P = 336cm . 15. а ) AC = AB + BC = 35cm, па из размере AC : BD = 5 : 4 добијамо BD = 28cm. Како је CD = BD – BC, то је CD = 7cm; б) ВD = 16cm; в) АВ = 6cm, CD = 3cm. 16. а) AB : EF = 1 : 3; б) AB : EF = 8 : 9; в) AB : EF = 21 : 40; г) AB : EF = 8 : 5; д) AB : EF = 4 : 3. 17. 1 250m. 18. 14,46cm. 19. а) јесу; б) нису; в) нису; г) јесу; д) јесу. 20. а) нису; б) нису; в) нису; г) нису; д) јесу; ђ) нису; е) нису. 21. AB и EF, CD и EF. 22. а) јесте; б) није; в) јесте. 23. Јесте самерљива са краћом, а није самерљива са дужом дијагоналом. 24. Јесте самерљива. 25. Странице правоугаоника нису самерљиве. 26. Покажимо поступак за део задатка под в). Остале поделе радимо слично. Из тачке А повуцимо произвољну полуправу. G Нанесимо на њу, почевши од темена F E А, пет једнаких дужи AC, CD, DE, EF, FG. D Повуцимо праву BG и кроз тачке C, D, E и F C В још 4 паралелне праве са правом BG. Тачке А пресека ових правих и дужи АВ деле дуж АВ на 5 једнаких делова.

156

27. Свака од датих размера може се записати тако да су чланови размере природни бројеви (погледај 6. задатак). Сабирањем бројева у размери добијамо број једнаких C В делова на које треба поделити дуж АВ. Након А поделе дужи на тај број једнаких делова, слева надесно одбројавамо онолико дужи колики је први број размере и на крај те дужи стављамо тачку С. На слици је приказана подела тачком С за део под в). Упутство. ђ) 2 : 1 = 4 : 1; е) 1 : 3 = 1 : 9. 2 3 28. При конструкцији дужи CD најпре скраћујемо одговарајући разломак, затим дуж АВ поделимо на број једнаких делова који показује сваки именилац разломака у производу, а након тога конструишемо дуж која се састоји из онолико једнаких делова (добијених претходном поделом) колики је бројилац. 29. С  вака од размера се може трансформисати у облик као у претходном задатку. Како нам је позната дуж АВ, изразимо дуж CD, а затим радимо као у претходном задатку. а) CD = 3 AB; б) CD = 5 AB; в) CD = 3AB; г) CD = 2 AB; 2 6 5 5 6 д) CD = AB; ђ) CD = AB. 6 5 30. Најпре поделимо дуж АВ на онај број једнаких делова колики је збир бројева у размери. Тачка С налази се од тачке А за онолико једнаких добијених дужи колики је први број размере, а тачка D од тачке С за онолико једнаких дужи, према В, колики је други број у размери. 31. а) Д  ео праве између 0 и 1 поделимо на 3 једнака дела. На крају другог дела, од 0 према 1, налази се тражена тачка. в) Део праве између –3 и –2 поделимо на 6 једнаких делова. На крају петог дела, идући од –2 према –3, налази се тражена тачка. 32. Н  ајпре конструишемо дужи чија је дужина √2, √3, √5 и √6. Конструкцију изводимо конструишући правоугли троугао чије су катете: а) за √2 дужине 1 и 1; б) за √3 дужине √2 и 1; в) за √5дужине √2 и √3; г) за √6 дужине √5 и 1. Поделом добијених дужи на одговарајући број делова, долазимо до тражених тачака на бројевној правој. 33. а) Н  ајпре, као у претходном задатку, конструишемо дуж дужине √2, а затим је од 1 4 нанесемо на леву страну и добијамо тражену тачку; б) Прво дуж од 0 до –1 поделимо на 5 једнаких делова. Од краја треће од тих једнаких дужи, посматрано од 0 ка –1, нанесемо надесно дуж дужине √5 и добијамо тражену тачку; в) Од краја друге јединичне дужи нанесемо дуж дужине √3. Растојање од координатног почетка до тачке којој је придружен број 2 + √3 поделимо на три једнака дела. На крају првог дела налази се тражена тачка.

157

34. а) П  олупречник описане кружнице (R) и висина једнакостраничног троугла (h) се односе као 2 : 3, па је h = 3 R. Како висина дели једнакостранични троугао на два подударна 2 правоугла троугла са угловима од 30°, 60° и 90°, то страницу троугла добијамо као хипотенузу правоуглог троугла код кога нам је познат крак и два налегла угла (30° и 90°); б) Поделом дужи на три једнака дела добијамо страницу једнакостраничног троугла, након чега конструишемо тражени троугао. 35. а) Д  атим односом основице и крака можемо конструисати дуж чија је дужина једнака дужини крака троугла, након чега конструишемо једнакокраки троугао код кога су нам познате основица и крак. б) На основу датог односа конструишемо дуж чија је дужина једнака основици, а затим конструишемо једнакокраки троугао код кога су нам познате основица и висина. в) На основу датог односа видимо да је a : b : b = 3 : 2 : 2, где је a основица и b крак, па дуж од 10cm треба поделити на 7 једнаких делова. Дуж чија је дужина једнака са 3 добијена дела представљаће основицу, а дуж чија је дужина једнака са 2 добијена дела представљаће крак троугла, па се троугао конструише као у делу а). 36. П  оделом дате дужи на 4 једнака дела добијамо дуж која је једнака страници квадрата, па се конструкција своди на конструкцију квадрата код кога нам је позната страница. 37. К  ако се обим састоји од две странице a и две странице b, то дуж од 13cm треба поделити на 10 једнаких делова. Једна страница правоугаоника једнака је са 2 добијена дела, док је друга једнака са три добијена једнака дела. Дакле, конструкција се своди на конструкцију правоугаоника код кога су нам познате странице. 38. П  оделом дате дужи на 4 једнака дела добијамо страницу ромба, па се конструкција своди на конструкцију ромба код кога су нам познати страница и један оштар угао. 39. П  оделом дужи чија је дужина 14cm на 6 једнаких делова добијамо дуж која је једнака страници правилног шестоугла, па се конструкција своди на конструкцију правилног шестоугла код кога нам је позната страница. 42. а) GH = 6cm; б) AB = 10cm; в) CD = 18cm; г) EF = 3cm;. 43. 1) a, b, c и d; 2) b, c, d и e и важи a : b = c : d и b : c = d : e. 44. aABCD : dPQRS = √2 : 4 45. а) FE = 6cm; б) DF = 9,6cm; в) BC = 3,5cm; г) АC = 10cm; д) BC = DF = 4cm; ђ) АC = FE = 6cm; е) x : (4 – x) = 1 : 3, одакле је AC = 1cm; ж) AC = 4cm; з) AC = 6,75cm.

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА 1. а) Јесу слични и AB = BC = AC ; б) Јесу слични и AB = BC = AC ; A’B’ B’C’ A’C’ A’C’ B’C’ A’B’ в) Нису слични. г) Јесу слични и AB = BC = AC ; B’C’ A’C’ A’B’ д) Јесу слични и AB = BC = AC ; ђ) Јесу слични и AB = BC = AC . A’B’ B’C’ A’C’ A’C’ B’C’ A’B’ 2. ∆XYZ ~ ∆PQR и важи XY = XZ = YZ . ∆ABC ~ ∆KML и важи AB = BC = AC . PR RQ PQ KM KL ML

158

3. а)  BAO = CDO = 25° и BOA = COD (унакрсни углови), па је ∆OBA ~ ∆OCD, одакле је OB = OA = AB . OC OD CD б) AOB = COD = α и BAO = DCO = 28°, па је ∆ABO ~ ∆CDO, одакле је AB = AO = BO . CD CO DO в)  BOA = DOC (унакрсни углови) и ABO = CDO (периферијски углови над истом тетивом), па је ∆ABO ~ ∆CDO, одакле је AB = AO = BO . CD CO DO 4. AMP, AMN, AMC, ABP, ABN, ABC, APN, ANC, MBP, MBN, MBC, MPN, MPC, MNC, BPN, BPC, PNC. Троугао MNP је сличан са троугловима AMP, BNM, CNP и ABC. 5. Троуглови су слични у оба случаја. 6. Оштри углови оба правоугла троугла су 49° и 41°, па су ови троуглови слични. 7.  AOB = COD (унакрсни углови) и OAB = OCD (углови са паралелним крацима), па је ∆AOB ~ ∆COD. 8.  AED = BEC (унакрсни углови) и ADE = BCE (периферијски угао над тетивом АВ), па је ∆AED ~ ∆BEC. 9. Посматрајмо ∆ADB и ∆CEB. ABD = CBE = b и CEB = ADB = 90°, па је ∆ADB ~ ∆CEB. 10. Без обзира на одабир тачке Е на страници АВ, важи: AOE = COD (унакрсни углови) и CAE = ACD (углови са паралелним крацима), па је ∆AOE ~ ∆COD. Коефицијенти сличности ових троуглова су: а) 1 ; б) 1 ; в) 3 . 2 3 5 11. Троуглови BCE и DAF су правоугли и оштри углови ових троуглова су 42° и 48°. Дакле, ∆BCE ~ ∆DAF. 13. а) b1 = 16cm, c1 = 14cm; б) a1 = 2,5cm, c1 = 3,5cm; в) a1 = 7,5cm, b1 = 12cm; г) a1 = 5 cm, b1 = 8 cm, c1 = 7 cm; 3 3 3 ђ) a1 = 12,5cm, b1 = 20cm, c1 = 17,5cm; д) a1 = 6,25cm, b1 = 10cm, c1 = 8,75cm; е) a1 = 7,5cm, b1 = 12cm, c1 = 10,5cm; ж) a1 = 2cm, b1 = 3,2cm, c1 = 2,8cm. 14. а) ∆  ADE ~ ∆ABC јер је AED = ACB = g и DAE = BAC (заједнички угао). Сада је AD = AE = DE , па израчунавамо AE = 4,8cm и DE = 7,2cm. AB AC BC б) ∆ADE ~ ∆ACB јер је ADE = ACB = g и EAD = BAC (заједнички угао). Сада је AD = AE = DE , па израчунавамо DE = 9cm и AE = 7,5cm. AC AB BC 15. Основица једнакокраког троугла је 6cm, а краци су по 12cm. а) О = 15cm; б) b = 2,8cm. 16. Ако су катете a = 5cm и b = 12cm, онда је хипотенуза c = 13cm. а) a1 = 2,5cm, b1 = 6cm, c1 = 6,5cm; б) a1 = 15cm, b1 = 36cm, c1 = 39cm; в) a1 = 7,5cm, b1 = 18cm, c1 = 19,5cm; 17. Нека су троуглови АВС и А’В’С’ слични. Тада је BAC = B’A’C’ и нека је АС : А'С' = k. Означимо са D подножје висине h из темена С на страницу АВ, а са D’ подножје висине h’ из темена С' на страницу А'В'. ∆ADC ~ ∆A’D’C’ јер је DAC = D’A’C’ и ADC = A’D’C’ = 90°, па је h : h’ = AC : A’C’ = k, те одговарајуће висине имају исти коефицијент пропорционалности.

159

18. а) Н  ека је мера угла код темена А једнака α, а код темена В једнака b. У правоуглом троуглу важи α + b = 90°. Како су троуглови ADC и CDB правоугли, то је збир њихових оштрих углова 90°. Пошто је CAD = α и DBC = b, то је ACD = b и BCD = α. Посматрани троуглови имају по два једнака угла, па су слични. б) Применом Питагорине теореме на троугао АВС израчунавамо АС = 6cm. Како је ∆ADC ~ ∆ACB, то је AC : AB = AD : AC, одакле израчунавамо AD = 3,6cm, а самим тим је и BD = 6,4cm. 19. П  рименом сличности на троуглове као у 18. задатку у делу под а), имамо AD : CD = CD : BD, одакле израчунавамо CD = 12cm. Применом Питагорине теореме на сваки од ових троуглова израчунавамо да су дужине катета троугла АВС једнаке 4√13cm и 6√13cm. Одавде је обим троугла 2 ∙ (13 + 5√13)cm, а површина 156cm2. 20. ∆  ABE ~ ∆DCE (имају заједнички угао и EAB = EDC − углови са паралелним крацима). Како смо у 17. задатку показали да су код сличних троуглова одговарајуће висине пропорционалне, то је h∆ABE = AE = BE = AB = 3 , па је AE = 9cm, BE = 12cm и AB = 15cm. h∆EDC DE CE DC 1 Сада је AD = 6cm и BC = 8cm. Дакле, обим трапеза је 34cm, а површина 40cm2. 21. 1,8m.

160