7 Razred - Andric - Udzbenik

Војислав Андрић

Ђорђе Дугошија Вера}оцковиh Владимир Миhић

Математика

I Војислав Андрић Вера јоцковић

•

•

Ђорђе Дугошија

Владимир мићић

МАТЕМАТИКА З3 седми разред основне Шt(оле

Рецензенти

др Ариф 30ли11 Пера Цветннови t,

МJtлица Гlроши11

Уредник Жарко Јовиl1

ОДЈ'ОUОРЈ I И уредник Слободанк а РУЖ И'lиl1

За и зда на'lа Мlнюљ уб Лл бијаНll li. директор и глаВIIИ уреДlIlIК

Мшш стар просвете Реп ублике Србије својим РСIII СЊСМ број 6 50 ~02 ~OO I 73/2009-06 од

07. 07. 2009.

ГОДИ IIС, одобрио ј е ооај

уџбе ШiК МАТЕМАТИКЕ за изда ва ље и ynотрс6 у У седмом ра зреду ос новн е шк олс.

ISBN 978-86- 17-16047-8 © ЗАВОД ЗА У ЏБЕНИК Е,

Бео,рад,

2009.

Ово дело сс н с сме ум нож авати и на било који на '!ин реп ро­ дуко» .. т и , у цслини НИТИ У деловима, без пис ме но,' одобрења и здаllаО ), ОДl'0 8зра 'га 'l ка А,

Слик а

так в а да ј е а мер "и број ду­

5

ЖИ I [ е ДУЖIl ОЛ , Приказаllем о како можемо задату nуж r1ОдеJlИ1'l1 на три однос н о 11 ет једн а к и х дел ова.

Пример

I

З(/g(/ mу gуж i10gеЛ II 1/(1 mpll jegHaKn gела. Нека на м ј е :~ aдaTOI ду ж АВ и н е ка је Лq ПОЛУПрО,Ь> О О( О)

л

(. )

I( I )

•

В(Ь)

•

S(, ) СЛl1ка

2·

13

а < О,Ь > О ј А (а)

I S(,)

ј О( О)

..

I I(I )

В

(

Ь)

uшка

14

АаСОllуmllО ореуll.ОСIU реаll110' броја

{

(1,

ОЗIшка

1а 1, 9ефllll.lШlе се "а уобll.шјсll. "(('lIlIl.

а, ако је а UозиffiUОall реалаll6рој

lal = О ,

акојеа=О

-а, ако је а

m:famlloall реа71аll број

Имајући у виду појам al'lсолутне вредности реално r број а можемо рећи да је:

]0

збир два позити[ша реална броја једнак збиру њихових апсолутних вредности;

20

збир два неrаТИI'Нlа реална броја једнак броју супротном з6иру њихових апсолутних

30

збир два реална броја раэлиrl oaepm~lIja ар"ла­ То1јавамо IImЩIМ Ilо;Uребrlма. Често се, такав збllР

]О с+ (а

+ Ь) =

(а

+

Ь)

+с=

UlIllIe

без употребе заfраgа.

(Ь+о) +с = Ь+ (а +С).

0

2 0+0 = а+О = 0

30 Сваки

реалан број jCA~laK је супротном броју љему

cynpOTHor

броја: а

Збир реаЛllоf броја а 11 броја -Ь, суаРОПlllО[ броју Ь је разлика бројева а

= - (- а).

11

Ь; ознака а - Ь.

у млађим разредима смо се уверили да се непознати сабирак, ако нам је познат зб ир и дру,· и сабирак, ра'l уна као разлика збира и П031 1 а"l"ОI' сабир ка. Уве рићемо се сада да ово сле­ дН И3 прихваћеШIХ "ра нил а за сабирање реалних бројева и сто га важи и у скупу реални х

бројева.

Пример

Ако су

(1

I U Ь iiРОl/JвОЉI/Ј/ реаЛН/l бројевll, уверll се ва важи слеgеће:

10 број Ь - а јс реl ,I,IС ЊС jeAl l a -IIПIс х

20 а ко ј сх + (/ 10

= Ь, о н да ј ех = Ь -а.

Замењу;у l'l l1 уместо х број Ь (Ь

111'1'0 31101 '111 да Ь 20 Ако је х + (/

а)

-

+а~

(Ь

+а

= Ь;

а добијамо да је х

+

( -п ))

+а

~ Ь

+ а ј ед на ко

+ «-п) + a) ~

Ь

+ о ~ Ь,

а јесте ре lll е ње ове једнаЧl!не.

= IЈ, онда је: (х + а) + (-а) = Ь + (-а ) ,о дносно, х + ( а + (-а » = Ь - а, х + О = Ь - а и коначно х = Ь - а,

Овај пример нам показуј е следеће ,

Ако су а

11

+

Ь аРОl4эвОlЫIU рсаЛНlI бројевu, онва јсgна'lIша х

(има јсвиI/сmвсltо) рсщеlЫ у С"Уау реалних бројева; то је број Ь

И сто важи

3 IНl , OДl I Ol:II O lIЬ > Ul. Liynyli ll да јс а Ь = ОО, IIM a:\lO IICjC.1.II UKOCTII 111 > llЬ 13, ('.JICIIII да jt· 111 > IY-. ( УIЮpt'"Ди 0110 ( II PII ;\\CP OM 7 . )

11 llЬ

> Ul,

113 којll )( , !Ia

ПРИ;Н1 КО М УLlођ е ња реалних бројева у свет бројева којима се кори с тимо при х ва Т НЛI1 с мо као пола з ну 'Нl ње IНЩ, У , у КОЈУ l1е сум љ амо, да свака дуж, самим СВОЈI1М ПОСТОЈањем, има

дужнну и да з а 11 заб раl1У јеД ИI1ИЦУ ме р е з а ДУЖИIlУ свакој дужи ОДЈ'овара ПОТ1"I У I Ю одређени р еалан број, При х ваТ'IМ О и то као ОС1l01ll1O с војство С КУ l1 а р е аЛlIИХ број е ва.

16. CoaKtl

9УЖ "ма 9уЖtmу

d,

за изабрm.у јсgШШIQl мере за 9ужиllУ. Та gУЖlща је је911(/ ­

ка flрОllзвоgу оуређеllОl реаЛllоr броја 11 јеgUllUце мере за gУЖIЩУ. Тај реала" број је мер"и број gужиltе

ille gужи .

ИнтеРВаЈ8 И lIа бројевној правој.

- А ко ј е задата 6 poj e JНla пра ва и збором та'Ја к а 0(0) 11 I( 1), Ta'I K3 А ( а ) те

а TII Me и јеДII Н I I'm е ДУЖII ОЈ , с ваком реално м броју а ОЩ'о вара тачно јсд н а

I l р.ше. А ко су задате две та ч ке 6рој евнс пр а ве А (а) 11 В(Ь), при ч е м у је а

<

одре l)ен з дуж А Б , 'Iи је су к рзјље тз ч ке А 1·1 В. П р и то ме за П рО И З ВОЉ Il У тз ч ку

"(( t )

к оја се н е п окла rl 3 с ЊС Ш IМ

KpajcBIIMa, важи

Ь, љи ма је те ду-ми ,

да се о в а нал аз и и з м е ђу А 11 В , а за љен у коор ­

дина ту I ва ж и да ј е већа од а Ii маља од Ь, [.I.IТО , с кр а ћ е н о . за lНl суј ем о а

•

•

о (О)

, ( I )

•

А (" )

< I < Ь.

•

т

(f)

в

Слика

Отворени IfIIТСРПaJI

(а, Ь) је скуп COJIX реалнlIX бројева који су веlilЈ og а и мть"

09

15 Ь.

Дакле,

(п, Ь) ~

1х [х Е

R,

п

< х < ы
.

Ак о ОДуста н с м о од за хтсва да се обе к рајље та ч к е дуж н И СКЉУ'l уј у, о н да за к оордина ту 1 та ' l ке

T(t)

в а ж и да ј е већа ИЛИ ј ед на к а а и м ан,а и л н једна к а Ь, ш то за mICуј ем о а S;

t s;

Ь.

Затворсни IIIIТСРВаЈ8 {а. Ь} је скуа COIlX реалних бројева којll су oehu UЛJl јеУllUКII а 11 мmьи иЛII јЦl'иЈКIJ Ь. Дакле,

[а, ы
~ Iх [хе

R,

а5х5ы
.

(Ь )

.

Комбиновањ е м на веде ни х својстава добијамо полуотворснс Ј1нтервале [а, Ь), ОДНОСНО

(а, Ь]. Први од љих је затворе н слепа а др )'l' Н затворе н здесна . На бројевној правој ћемо крајњу тач к у која припада интервалу означавати " ПУliOМ " Ta~ ' IKOM а ону која му не припада "празном" тачком ( малом кружницом).

Пример

11

Да lЩ број д)

-2

ЙрШlаgа l/н iПервалу: а)

[- 5, 1);

б)

(-3, -2);

В)

,-) [-2,

(-1, 3[;

О);

[-3,-2['

џ) ttр ~tщща ;

Пример

б ) не l'tрИltада;

I~) н е I l р ЮI:IЉС броја СТРУКIlијс

С'l'ићс ,vю ДРУI'О предст.шљање. ИЗ ЊСI'О\ fНЩIIМО да је м

Ј( 1)

0(0)

Слика

~

што зна'lИ да Је "'; 2]

17

мсрии број Л)'ЖИl-I С катстс пр 125, па је з5 > 53.

6

l1зра'lУllај (_ Ј )7. "рој (- 1)' = (- 1).(-1 Н-1 )·(-1Н- 1 )' (-1

).(-1). Како је (- 1) . (- 1) = 1, то је

(-1)' = 1·1·1·(- 1) = -1 .

Пример

7

Да ЛII је а "

=

11 "

?

У примеру 4 видели смо да је 24 ј еднако са

11"

= 42 = 16, а у ПРl1меру 5 да је з

за ( ваки реалан број а и сваки природан број

а ко је а паран, а IJ непараll природан број, онда је

(1"

n.

па ран, а

s

> 53. То

I'ОfЮРIi да а" Hllje

Постоје I-t други Ilрнм ери, јер

11"

II('параll

IlpllpOAaH

број.

Пример

8

ш та је всliе

К"о је (-3)'

(_3)4 IIЛ 1/ (--4)3?

= (-3) . (-3) . (-з) · (-3) = 9 · 9 = 81

тоје(-з)4 = 81

Пример

и (-4)'

= (-4) . (-4) . (-4) = 16· (-4) =-64,

>_ 64=(-4)3.

9

Изра'lУl/ај (~J

Степени се у науци, а и у снакодневном животу КОРИCl'е врло

'lecTO јер

МНОI'е велике бро­

јене није лако написати и описати коришћењем класичног декадног записа.

Пример

10

Познато је да се једна меморијска ћелија у рачуна ру зове бит. Један бајт садржи

8 бнта.

Је­

Дt1H килобајт (kB) је 2]0 = 1024 бај т а. Један мегабајт (МВ) има 2\0, дакле 1 024 килобајтоuа. Један Ј'Игабајт

(GB) је 2]U или 1 024 мега6ајта, а један терабајт (ТВ) има 2]0 И}ЈИ 1024 Гllгабај­ та. Дакле, један кнлобајт има 2]0, '\l ега6ајт има 220, Пlгабајт има 230, а један тера6ајт има 240 бајта. Број 2'10 = 1 024·1 024·1 024·1 024 = 1 099 5 11 627 776 11 има 13 щtфара.

Пример

11

Светлосна !'одш! а је дужина пуга коју светлост препали за једну ,·од ину. Брзина светлости

је

3·108 шЈs, а у години дана има 60 . 60 . 24 . 365 = 31 536000 секунди. Тражена удаљеност нз­ ~юси 3·108 . 31 536000 94 608 000 . 108 m или 9 460 800 000 000 000 111 9 460 800 000 000 kш,

=

=

па светлосна !'од ина при6ШIЖIЮ\ представља дужину нешто мало мању од девет 11 гю хиљада милијарди КШlOметара,

I Каже се rtрн6Л1tЖIJО, јер једна астроtЮМСI(-1)";

11 ) (-4) S + (_5 )4 >

О?

Број е ве : а)

8, 32, 128 1I 5]2 р;ктаШI на ЧИJlИОЦС и ПОТОМ напиши као CTC I'I CII C чија је 00108:'- 5>:' - 6х+ 8 + 7 = ->:' - 6х+ 15.

Пример

9

О!] разлике ЙОлtlllома А

= 5а

2

- 6аЬ + 7Ь 2 /1 В

= 8Ь

2

- 9а 2 + lOаЬ, оgУЗМI/ нтХО8 збир.

П ол шюм

=

(А - в ) - (А + В) ( 5а' - 6аЬ + 71>' - (8Ь' - 9а' + IОаЬ) ) - (5а ' - 6' + 8Ь' - 9а ' + IОаЬ ) = (5а 2 - 6аЬ + 7&2 - 8Ь2 + 9а 2 - 10ab) - ( 5а 2 - 6аЬ + 7Ь 2 + 8Ь 2 _ 9(/2 + IOab) = 2 ( 14a - 16ab - Ь 2 ) - ( 15&2- 4(12 + 4аЬ ) = 14a 2 - 16ab - Ь 2 - 15b 2 + 4а 2 _ 4(1Ь = 18а 2 - 20аЬ - 16lJ2. Проблем се може решити и једноста вн ије, јер је

(А - В)

- (А + В) = А - В - А - В = -2В = -2 (81)' - 9а' + I ОаЬ ) = -16b' + 18,,' - 20аЬ.

~ Контролна питања На KOjU ImчtlН се сабирају слични маНОМII? Ш та је за маном М супрота н маном?

На који наЦllН се ogYJUMajy МОIIОМII? Да ли је збир 98(1 манама увек MOIIOM? Да Ли је сабирање монама комуШа Ш И8на 11 аСOl~ијаmШJ/Iа оаерацuја? Ш illn је за 170ЛUНОМ Р суарОiПlll1 001l1ll/ОМ? Како се сабирају, а како

ogJ311Majy liОЛIII-IОм.u?

Да л и је збир 90(1 110llш/Ома УОСК ПОЛIIНОМ?

м Задаци 1.

С1бе р и моном е: а) 5х,- 1 2х и 8х;

6) -3(/2, 6а 1 и -1 5а 2 ; В ) - 6alJ1, 7а Ь 1 и 14ab 1• 2.

Дати с у маноми А

а) А

7ху 1-1 В

=

=

-4ху . ОДРСТ\И МОlIом е :

+ В;

6) 1:1)

А

В;

г)

48 - SA;

-

2А

+ 38; д) -БА

-78.

3.

Гl OCTOj~1 Л И ма ном

NTaKaB

да за би л о који маном М важ и једнакост М

4.

Дат и су м ономи А

= 5х и В =-9у. Одреди ПОЈ1ИН Qме: А + В, А -

5.

Д(l.Т И су полинами А

= зх2 - 2х + 1 и

В=

sx2 -

6х

В, 3А

+ 7. Одреди збир

+N

+ 28 ,1

=М. 4А

- 58.

и разл ику Д;\ТИХ

110-

линома.

6.

= 51- 61, в = 71- 8у н С = 9у- 10. ОдреД ~IТИ IIОJlННОМ С : - В + С. А + 28 - ЗG.

Дати су полиноми: А А

+ В,

В

+ С. л

7.

Докажи да је са6и рање ТрИ1l0 м а комутаТИlJна н а социјатшша опера ција.

8.

Постоји ЛИ ПОЛИIiОМ

9.

За полином р= -4а 3

N

такав да за било који полином Р важи једнак ост Р

+ 3а 2 -2 а + 2009

10. Дати су пол ином и А

= 9.х3 -

СУПРОТlIII rЮJII IНО М ~l ма: а ) А

одреди ПОЛI1IЮМ р' такав да је Р

+ N = Р.

+ р' = О.

8r + 7х - 6 и В =:х2 - 5х + 10. Одреди полино ме који су + В; 6) А - В; I~) 28 - А.

3.11. Множење монома у 1101"ЛЗВЉУ О реалним бројевима смо научили да за реалне бројеве важе закони комутације и асоцијације за МНQЖСЊС, тј. ако су а, Ь и с ма који реални бројеви, онда ј е: а . Ь = Ь· а • а . ( Ь . с) = (а· Ь) . с

•

(заКОI1 комутацијс за множсље), (закон асоцијације за множење).

Законе комугације и асоцијације за множење реалних бројева искористићемо за М НQжењс манома.

Пример

1

Да т и су мономи : А :;:::

2, В::: -3х u С:;::: 4х2. Иэрачунај ЙрОUЗ6оgе: АВ, АС, ВС и АВс.

Прим е ном закона КОМУlације и асоцијациј е за множење добија се: АВ

= 2·

(-3х)

= (2' ( - З)) х = -бх;

А С= 2· ( 4х') = (2· 4)х' = 8х 2 ;

= ( -Зх) . (4х') = (-3) ' 4· (х ' х') = (- 12) х' = - 1 2х'; АВС = А(ВС) = 2( - 12х') = (2 . (- 12)) х' = -24х'. ВС

Приликом МНQжења манама уо6ичајено је да се коефицијснат манама исписује пре про­ менљивих .

Пример

2

Дати су ,\ЮIIOМU: Л = 5ху, В = _6х 2 у И С :::: 7хУ . Израчуна) ПРОUЗ6оgе: АВ, ЛС ВС u АВС Применом закона комутациј е и асоцијације за множеље добија се;

= 5ху · (-бх'у) = (5· ( -6))(х · х').(у . у) = -зох'у'; АС = 5ху· 7ху' = (5 . 7)(х . х)· (У' у') = З5х'1 ; ВС = ( _6х у) . (7ху') = (-6·7) (х • х)· (У' у') = -42х'1; АВС = (5ху)· (-6х'у) . (7ху') = (5 · 1- 6) ' 7)' (х · х • х) · (у. у. у') = -210х' у" . АВ

2

2

2

Из претходних примера закључујемо да је производ два или више манама, такође моном, који се добија тако што је његов коефицијент једнак производу коефицијената моно ­ ма-чинилаца, а променљиве добијају применом множсња степена једнаких основа.

Пример3

Дат и су MOlfOMII Л

=_ 2а Ь , /3 = 3afi2. ИЈрачунај iiрОЮ80gе: АВ2 , Л 2

3

В.

Применом зако на ком ут::щије и асоциј ац ије за М llож е ње и пр;щ ила за стеПСlIовањ. < , ;:::, :;;.

Ц~tљ ОЈјС теме је да п о ка же како се ПОЛИНОМlt н наведене "иље виц е Ш,tU3lье нсједна'lина.

MO I'Y користити за ре­

Пример РеШII

1

l/ejegH(/'111HY

(х

+ 2) (х + 5) :?:

(х

-

3)(х -

4).

5):?: (х-3)(х-4) след и да је х? + 2х+ 5х+ lO:?:r -3 х-4х+ 12.

ИЗ (х+ 2)(х+

CpCIjI! IIUII,CM леве

десне стране нејед"ачи"е дОбl!јн сс

!1

r + 7х + Ј О:?: r - 7х + Ј 2.

Ако се и ЛС[Јој и десној СТр,IНИ l!еједнаЧl1не дода израз 7х-х?, д061!ја се х2+7х+ JO+7x -r:?:r- 7х+ J2 + 7x-х?-r,одноCllО Ј4х+ Ја:?: Ј 2. Следи 14х

+

2

I():?: 12 - ]0, 1101 је 14х:?: 2, тј. х:?: 14 =

10 -

.

.

РСII.IСIЈ. О, јер су 06а '111111101( О, онда је r =х· х > О, јер су оба чиниоца ИСТОЈ' (IЮЗИ ТИВНОГ ) Зll а к ;). Ако ј е х

Пример

4

ДОКUЖII уа за Сl;JlIЮI реалан број а важи нејеgнокосш а 2

+ ] ОО

;;:: 20(1.

У претход но м пр"меру доказано је да је Кlfадр'IТ сиаког реалног броја х ItС l lеГ О;

Ако је (/

> Ь,

б)

онда је 3а 3

+ 3х < О;

+ 6х > О;

r-x+ 1 > О;

б) (2у+

б) 15г - т::;; О;

6 ) 1- 5y~ О; В) (х

+ 1)2::;; 2(х2 + 1).

+ 4аЈ? > 3а 2 Ь + 4LY. ДОК о.

3.19. Примене полинома ПОЛИIIОМИ се MOry ефикасно применити и за рационалније рачуш\њс, решавање проблема деЉИ IJОСТИ н друге области математике . Циљ ове теме је да упознамо још н еке за нимљиве прим ене 1l0JlИlIома.

Пример

1

Ј1зраt'Уl/nј

] ОО] 2.

ТраЖСIЮ И :1Р::

у = 2х

х

о

х

х

б)

,)

4.

S( km)

s ~ О

~

100

х

О

x•

6

..i...s 100

5 .. 100 х

100

6

6 О

О

6

100

S

x{l)

6.1 1. I"I СРllфеРl lјскн су 111 О, а I\СI[трал l lll је

2. 6 ).

(L

3. 41 ", 220", 50", 35".

5. 6.

ОI1l"Оllaрајућ" t(ентраЈЈНИ

11 ощ'оварајУћll

а) Перllферl lјctm угао I Јад

MaIbIIM

пеРllфеРl\ј С IЩ УГJlOlIII су У размеРl1

ЈIУКО:>I је

30",

а одгопзрајуhll ЦCHTpalllНl

2 : Ј.

60".

6) Гl СР ll феРltј С l