7. Matematika Plus 3 Uzbenik

SADR@AJ ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ ДО 1000 .........................................................3 Стотине прве хиљаде .......................................................................4 Упоређивање стотина прве хиљаде ...............................................5 Бројеви прве хиљаде .......................................................................6 Читање и писање бројева прве хиљаде .........................................7 Упоређивање бројева прве хиљаде ...............................................8 РИМСКЕ ЦИФРЕ ................................................................................9 Римске цифре I, V, X .......................................................................10 Римске цифре L, C, D, M .................................................................11 САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 1000 .......13 Сабирање природних бројева до 100 ..........................................14 Одузимање природних бројева до 100 .......................................15 Сабирање и одузимање стотина ..................................................16 Замена места и здруживање сабирака ........................................17 Сабирање троцифреног и једноцифреног броја (100 + 8) ..........18 Сабирање троцифреног и једноцифреног броја (256 + 4) ..........19 Одузимање једноцифреног броја од троцифреног (165 – 4) .....20 Одузимање једноцифреног броја од троцифреног (308 – 7) .....21 Сабирање троцифреног броја и десетица (300 + 30) ..................22 Сабирање троцифреног броја и десетица (220 + 80) ..................23 Сабирање троцифреног и двоцифреног броја (264 + 31) ...........24 Сабирање троцифреног и двоцифреног броја (328 + 16) ...........25 Одузимање десетица од троцифреног броја (160 - 60) ..............26 Одузимање двоцифреног од троцифреног броја (139 - 26) .......27 Одузимање двоцифреног од троцифреног броја (174 - 46) .......28 Сабирање троцифрених бројева (123 + 100) ...............................29 Сабирање троцифрених бројева (235 + 114) ...............................30 Одузимање троцифрених бројева (260 - 100) .............................31 Одузимање троцифрених бројева (300 - 160) .............................32 Зависност збира од промене сабирака и сталност збира ..........33 Зависност разлике од промене умањеника ................................34 Зависност разлике од промене умањиоца ..................................35 Сталност разлике ...........................................................................36 Изрази са променљивом ..............................................................37 Једначине са сабирањем ..............................................................38 Једначине са одузимањем ............................................................39 Скуп и формирање скупа ..............................................................40 Елемент скупа ................................................................................41 Неједначине ...................................................................................42 МЕРЕЊЕ И МЕРЕ ............................................................................43 Мере за дужину (mm и km) ...........................................................44 Мере за масу (kg, g, t) ....................................................................46 Мере за запремину (l, dl, cl, ml, hl) ...............................................48 Мере за време (година, деценија, век) ........................................50 МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 1000 ..............51 Множење и дељење бројева ........................................................52 Множење са 10 и 100 ....................................................................53 Дељење са 10 и 100 .......................................................................53 Замена места и здруживање чинилаца .......................................55 Множење бројева (4 ∙ 30) .............................................................56 Дељење бројева (120 : 4) ..............................................................57

Множење збира бројем ................................................................58 Множење разлике бројем ............................................................59 Множење двоцифреног броја једноцифреним ..........................60 Дељење збира и разлике бројем .................................................61 Дељење двоцифреног броја једноцифреним .............................62 Множење троцифреног броја једноцифреним ...........................63 Дељење троцифреног броја једноцифреним .............................64 Зависност производа од промене чинилаца ...............................65 Сталност производа .......................................................................66 Зависност количника од промене дељеника и делиоца ............67 Сталност количника .......................................................................68 Дељење са остатком ......................................................................69 Једначине са непознатим чиниоцем ............................................70 Једначине са непознатим дењеником и делиоцем ....................71 Множење и дељење бројева природних бројева ......................72 ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ ...............................................................73 Тачка и права ..................................................................................74 Полуправа и дуж ............................................................................75 Раван ...............................................................................................76 Праве у равни .................................................................................77 Цртање паралелних правих ..........................................................78 Цртање нормалних правих ...........................................................79 Кружна линија и круг .....................................................................80 Цртање кружне линије и круга .....................................................81 Угао и обележавање углa ..............................................................83 Прав угао ........................................................................................85 Оштар и туп угао ............................................................................86 Поређење и надовезивање дужи ................................................87 Четвороугао ...................................................................................89 Правоугаоник и квадрат ................................................................90 Цртање правоугаоника и квадрата на квадратној мрежи ..........91 Цртање правоугаоника и квадрата помоћу троугаоног лењира ...92 Цртање правоугаоника и квадрата помоћу шестара и троугаоног лењира .................................................................................................93 Обим правоугаоника .....................................................................95 Обим квадрата ...............................................................................96 Троугао ............................................................................................97 Врсте троуглова према страницама .............................................98 Врсте троуглова према угловима .................................................99 Цртање троугла ............................................................................100 Обим троугла ................................................................................101 РАЗЛОМЦИ.....................................................................................103 1 1 1 Разломци _, _, _ ........................................................................104 2 4 8 _, 1 _, Разломци 1 3 6 1 1 Разломци _, _, 5 7

1 _ ........................................................................106 9 1_ ........................................................................108 10

МАТЕМАТИКА ПлУС УЏБЕНИК ЗА ТРЕћИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОлЕ

Драги ученици, драги мали математичари! Математички изазови и пустоловине нас чекају на почетку и ове школске године. Зато је пред вама уџбенички комплет који се састоји из уџбеника МАТЕМАТИКА ПЛУС и радне свеске. Он ће вам помоћи да савладате програм математике за трећи разред основе школе. Помоћу њега ћете упознати природне бројеве до 1000, римске цифре, разне јединице мера, геометријске објекте, разломке. Научићете да примењујете разна правила и законитости, применићете и продубити стара знања. У уџбенику су, поред теоријског дела, дати и урађени примери који вам омогућавају да лакше савладате ново градиво. Радна свеска тематски у потпуности прати уџбеник. У њој се налазе задаци за самосталан рад, као и простор за њихово решавање. Решавањем задатака моћи ћете да увежбавате, утврђујете, повезујете и продубљујете научено градиво. Надамо се да ће овај уџбенички комплет код вас пробудити или појачати интересовање за математику, као и да ће развити склоност ка самосталном раду. Желимо вам пуно успеха кроз још једно математичко путовање до нових сазнања. Ауторски тим

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ ДО 1000

60

9

40

8 50

1

13

2

10

5 31

2

90

6

80

4

S 1 = D 0 1 = J 100

10S

СТОТИНЕ ПРВЕ ХИЉАДЕ Сваки

представља једну јединицу:

10 JEDINICA 1

2

~ine

1 DESETICU

3

100J = 10D = 1S ili

1S = 10D = 100J 98 99 100

1S

1S

1S

1S

1S

1S

1S

1S

1S

1 000J = 100D = 10S = 1H 10 STOTINA ~ini 1 HIQADU Стотине прве хиљаде су: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4

. . . . . . . . . .

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

= = = = = = = = = =

100 ~itamo sto 200 ~itamo dvesta 300 ~itamo trista 400 ~itamo ~etiristo 500 ~itamo petsto 600 ~itamo {eststo 700 ~itamo sedamsto 800 ~itamo osamsto 900 ~itamo devetsto 1 000 ~itamo hiqadu

ili ili ili ili ili ili ili ili ili ili

jedna stotina dve stotine tri stotine ~etiri stotine pet stotina {est stotina sedam stotina osam stotina devet stotina deset stotina

УПОРЕЂИВАЊЕ СТОТИНА ПРВЕ ХИЉАДЕ На бројевној правој приказане су стотине прве хиљаде.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

Стотине прве хиљаде чине: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 и 1 000. За њих важи: 100 < 200 < 300 < 400 < 500 < 600 < 700 < 800 < 900 < 1 000, или 1000 > 900 > 800 > 700 > 600 > 500 > 400 > 300 > 200 > 100. Ако је претходник броја 2 број 1, претходна стотина броја 200 је број 100. Ако је следбеник броја 2 број 3, стотина која следи после броја 200 је број 300. Парне стотине прве хиљаде су бројеви: 200, 400, 600, 800 и 1 000, а непарне 100, 300, 500, 700 и 900. Једну стотину чини 10 десетица.

1S

1Д 2Д 3Д 4Д 5Д 6Д 7Д 8Д 9Д 10Д

Важи : 1С = 10Д Једну хиљаду чини 10 стотина или 100 десетица, зато је: 1Х = 10С = 100Д Пример: 5С = 50Д, 7С = 70Д, 90Д = 9С, 1Х = 100Д = 10С 5

БРОЈЕВИ ПРВЕ ХИЉАДЕ

1S Прва стотина почиње бројем 1, а завршава се бројем 100.

2S Друга стотина почиње бројем 101, а завршава се бројем 200.

3S Трећа стотина почиње бројем 201, а завршава се бројем 300.

4S Четврта стотина почиње бројем 301, а завршава се бројем 400.

5S Пета стотина почиње бројем 401, а завршава се бројем 500. 6

6S Шеста стотина почиње бројем 501, а завршава се бројем 600.

7S Седма стотина почиње бројем 601, а завршава се бројем 700.

8S Осма стотина почиње бројем 701, а завршава се бројем 800.

9S Девета стотина почиње бројем 801, а завршава се бројем 900.

10S Десета стотина почиње бројем 901, а завршава се бројем 1 000.

ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ БРОЈЕВА ПРВЕ ХИЉАДЕ Научили смо да се бројеви написани једном цифром називају једноцифрени бројеви. Најмањи једноцифрен број је 0, а највећи једноцифрен број је 9. Једноцифрених бројева укупно има 10. Најмањи двоцифрен број је број 10, а највећи двоцифрен број је 99. Двоцифрених бројева има 90. Најмањи троцифрен број је број 100, а највећи троцифрен број је 999. Троцифрених бројева има 900. Најмањи четвороцифрен број је број 1 000. На бројевној правој приказане су стотине прве хиљаде: 1S

2S

3S

4S

5S

6S

7S

8S

9S

10S

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

Прву хиљаду чини 10С или 100Д или 1 000Ј. Пример 1. Ако графички представимо јединице , десетице , стотине , хиљаде 452, 518 и 723 можемо приказати и речима записати на следећи начин: 350

, тада бројеве 350,

три стотине педесет 3 . 100

5 . 10

452

четири стотине педесет два 4 . 100

5 . 10

2.1

518

пет стотина осамнаест 5 . 100

1 . 10

8.1

723

седам стотина двадесет три 7 . 100

2 . 10

3.1

Бројеве прве хиљаде записујемо и помоћу хиљада, стотина, десетица и јединица. Пример 2. 769 = 7С 6Д 9Ј

901 = 9С 0Д 1Ј

645 = 6С 4Д 5Ј

1 000 = 10С = 100Д

Троцифренe бројевe представљамо и у облику збира вишеструких стотина, десетица и јединица. Пример 3. 875 = 800 + 70 + 5

324 = 300 + 20 + 4

545 = 500 + 40 + 5

705 = 700 + 5 7

УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА ПРВЕ ХИЉАДЕ Троцифрене бројеве можемо упоређивати, и помоћу знакова > или < или =, записати резултат упоређивања. Троцифрени бројеви су једнаки ако су им цифре стотина, цифре десетица и цифре јединица једнаке. Пример 1. 286 = 2С 8Д 6Ј



706 = 7С 6Ј 696 = 696

Од два троцифрена броја са различитим цифрама стотина, већи је онај чија је цифра стотина већа. Пример 2. 520 > 320



438 < 5С 3Д 8Ј 899 < 998

Од два троцифрена броја који имају једнак број стотина, већи је онај који има већи број десетица. Пример 3. 596 > 574

405 < 498

782 > 7С 7Д 7Ј

Од два троцифрена броја који имају једнак број стотина и једнак број десетица, већи је онај који има већи број јединица. Пример 4. 8С 3Д 5Ј < 836

669 > 664

958 < 959

Пример 5. Употребом цифара 5, 6 и 0, без понављања, можемо написти следеће троцифрене бројеве: 650, 560, 605, 506. Важи: 506 < 560 < 605 < 650. Пример 6. Неке троцифрене бројеве написали смо у скуп А, а неке у скуп B. Бројеве из скупа А поређали смо од најмањег до највећег, а бројеве из скупа B поређали смо од највећег до најмањег. B 609

A

628

501 312

408 132

347

105

906

804

105,132, 312, 408, 501, 609, 804, 906 8

826

437

743

826, 743, 628, 437, 347

РИМСКЕ ЦИФРЕ

M

=

V I X C L M D

CD =

4 00 = 50 0

0 –1

0

00 0 1

9= = IX

1 10 -

XL 40 = 50 –10

РИМСКЕ ЦИФРЕ I, V, X

Цифре 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 називамо арапским цифрама, и помоћу њих записујемо бројеве. За писање бројева користимо и римске цифре. Упознајмо прве три римске цифре:

I V X (1)

(5)

(10)

За писање римским цифрама важе следећа прaвила:

*

I=1

*

V=5

II = 1 +1

III = 1 +1 +1

X = 10

XX = 10 + 10

XXX = 10 +10 + 10

Цифре I и X се могу употребити највише три пута једна до друге.

У писању једног броја цифра V се не понавља.

*

IV = 4 = 5 – 1

IX = 9 = 10 – 1

Кад је римска цифра мање вредности написана испред римске цифре веће вредности, онда се мања цифра одузима од веће.

* VI = 6 = 5+1

XV = 15 = 10 + 5 XIV = 14 = 10 + (5 – 1)

XXXVI = 36 = 30 + 5 + 1 XIX = 19 = 10 + (10 – 1)

Када је римска цифра мање вредност написана иза цифре веће вредности, онда се мања и већа цифра сабирају. Пример: 1=I

6 = VI

7 = VII

8 = VIII

19 = XIX

24 = XXIV

32 = XXXII

35 = XXXV

Данас се римске цифре веома ретко користе.

10

14 = XIV 38 = XXXVIII

РИМСКЕ ЦИФРЕ L, C, D, M Поред римских цифара I, X и V, за писање римских бројева користимо и следеће римске цифре:

L I (50)

C D M X C M V L D (100)

(500)

(1000)

Дакле, за писање римских бројева користимо 7 цифара:

1

10

100

5

1 000

50

500

Цифре V, L и D се никад не понављају у истом броју Пример 1. IV = 4 = 5 – 1

L = 50

CD = 400 = 500 – 100

M = 1 000

XC = 90 = 100 – 10



LIV = 54 CMXLIX = 949





C = 100



D = 500

IX = 9= 10 - 1

XL 40 = 50 –10

CM = 900 = 1 000 – 100

XIV = 14

XLIV = 44

XCIV = 94

XCIX = 99



CDXLIV = 444

CMXCIX = 999

Пример 2. Арапски број повезали смо са одговарајућим римским бројем.

1 000

D

100

L

500

C

50

M

Пример 3. Неким римским бројевима смо записали његов претходник и следбеник: XC, C, CI

CXLIV, CXLV, CXLVI,

CCCXXXIII, CCCXXXIV, CCCXXXV

DCXLVIII, DCXLIX, DCL

CDXCIX, D, DI

DCCLXXXVIII, DCCLXXXIX , DCCXC

DCCCXCIX , CM , CMI 11

Пример 4. Број

Неправилно записан

Правилно записан

3

IIV

III

8

IIX

VIII

95

VC

XCV

124

CXXIIII

CXXIV

400

СССС

CD

449

CDXXXXVIIII

CDXLIX

548

DXXXXVIII

DXLVIII

800

CCM

DCCC

819

DCCCXVIIII

DCCCIX

900

DСССС

CM

Пример 5. Сто деведесет шест

CXCVI

196

Триста деведесет девет

CCCXCIX

399

Четири стотине деведесет четири

CDXCIV

494

Седам стотина четрдесет осам

DCCXLVIII

748

Осам стотина осамдесет осам

DCCCLXXXVIII

888

Девет стотина осамдесет девет

CMLXXXIX

989

Деведесет четири

XCIV

94

Шест стотина четрдесет четири

DCXLIV

644

Деветсто седам

CMVII

907

Хиљаду један

MI

1001

Пример 6. Бројеве записане римским и арапским цифрама смо упоредили и у сваки квадратић уписали знак < или > или =. CCVIII M

12

= >

208 999

973

<

DCCCLXXXIII

CMLXXV <

DCCCLXXXVI

CXVIII DI

>

108 >

CDIII

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 1000

+ 500 0 10 0 200 300 4 00 50 0 600 700 8 00

0

SABIRAWE PRIRODNIH BROJEVA DO 100 Подсетимо се: Израз 13+18 називамо збир бројева 13 и 18. Број 13 је први сабирак, а број 8 други сабирак. Вредност израза 13+18 је број 31, јер је 13+18=31. Кроз неколико различитих примера приказујемо како израчунавамо вредност израза. Пример 1. 26 + 5 = 31

35 + 8 = 43

86 + 8 = 94

6 + 24 = 30

9 + 44 = 53

3 + 97 = 100

Пример 2. 26 + 34 = (20 + 30) + (6 + 4) = 50 + 10 = 60 Вредност израза 26 + 34 рачунамо и овако: 26 + 34 = 26 + (30 + 4) = (26 + 30) + 4 = 56 + 4 = 60 Пример 3. Збиру бројева 37 и 34 додати број 6. Задатак записујемо као израз: (37 + 34) + 6. Вредност израза израчунавамо и записујемо овако: (37 + 34) + 6= 71 + 6 = 78. Пример 4. Ученици су сакупљали књиге за школску библиотеку. Првог месеца су сакупили 35 књига, а другог месеца су сакупили 17 књига више. Колико су они укупно сакупили књига? На основу текста уочавамо да су они првог месеца сакупили 35 књига. Другог месеца су сакупили 17 књига више, то јест 35 + 17 књига. Овако ћемо израчунати колико су укупно сакупили књига за два месеца: 35 + (35 + 17)= 35 + 52 = 87 књига. На постављено питање даћемо текстуални одговор: Ученици су за два месеца сакупили укупно 87 књига. 14

ODUZIMAWE PRIRODNIH BROJEVA DO 100 Подсетимо се: Израз 42 - 15 називамо разлика бројева 42 и 15. Број 42 је умањеник, а број 15 је умањилац. Вредност израза 42 - 15 је број 27, јер је 42 - 15 = 27. Кроз неколико различитих примера приказујемо како се израчунава вредност израза. Пример 1. 49 - 9 = 40

54 - 3 = 51

70 - 9 = 63

36 - 7 = 29

62 - 6 = 56

93 - 4 = 89

100 - 8 = 92

Пример 2. 57 - 25 = (50 - 20) + (7 - 5) = 30 + 2 = 32 Вредност израза 57 - 25 рачунамо и овако: 57 - 25 = 57 - (20 + 5) = (57 - 20) - 5 = 37 - 5 = 32 Пример 3. Умањеник је највећи паран двоцифрен број, а умањилац најмањи непаран број четврте десетице. Израчунај разлику. Овако постављен задатак записујемо као израз: 98 - 31 Вредност овог израза израчунавамо: 98 - 31 = 67 Пример 4. На школском такмичењу из математике учествовало је 32 дечака, а девојчица за 9 мање него дечака. Колико је девојчица учествовало на такмичењу? Из текста се уочава да се такмичило 32 дечака. Девојчица је било 9 мање него дечака, то јест 32 - 9. Овако ћемо израчунати колико је девојчица учествовало на такмичењу: 32 - 9 = 23 На постављено питање даћемо текстуални одговор: На такмичењу су учествовале 23 девојчице. 15

SABIRAWE I ODUZIMAWE STOTINA Научили смо да сабирамо и одузимамо једноцифрене бројеве. Ако знамо да је: 4+3=7

онда је

4Д + 3Д = 7Д

или

40 + 30 = 70

3 + 7 = 1Д

онда је

3Д + 7Д = 10Д = 1С

или

30 + 70 = 100 = 1С

8-5=3

онда је

8Д - 5Д = 3Д

или

80 - 50 = 30

10 - 3 = 7

онда је

10Д - 3Д = 7Д

или

100 - 30 = 70

Ако сваки квадратић представља стотину, помоћу цртежа рачунаћемо на следећи начин: +

=

4С

+

3С

=

7С

400

+

300

=

700

9С - 4С = 5С 1С = 10Д = 100Ј

900 - 400 = 500

7С = 70Д = 700Ј

9 С = 90Д = 900Ј

Пример 1. Сваку новчаницу повезаћемо одговарајућом стотином.

1 000

500

200

100

Пример 2. Према бројевној правој можемо написати израз и решити задатак:

+ 500

- 500

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 100 200 300 400 500 600 700 800

200 + 500 = 700

600 - 500 = 100

Пример 3. Стотине се могу сабирати и одузимати и на следећи начин: 1000 - x = 200

700 + a = 900

y + 300 = 600

c - 200 = 400

х = 1000 - 200

а = 900 - 700

y = 600 - 300

с = 400 + 200

x = 800

а = 200

y = 300

с = 600

16

ZAMENA MESTA I ZDRU@IVAWE SABIRAKA Решавајући следеће задатке 60 + 30 = 90

30 + 60 = 90

60 + 30 = 30 + 60

600 + 300 = 900

600 + 300 = 900

600 + 300 = 300 + 600

приметимо да се збир бројева није променио када смо сабирцима заменили места. Важи Ако сабирци замене места збир се неће променити. a

b

b

a a+b=b+a

a + b

b+a

Пример 1. 300 + 200 = 200 + 300 = 500

200 + 700 = 700 + 200 = 900

100 + 900 = 900 + 100 = 1000

Посматрајмо на који начин ћемо израчунати збир три сабирка и уочимо правило: a

b

c

200 + 300 + 400

a+b+c

200

300

400

a

b

c

(200 + 300)+ 400 = 500 + 400 = 900

(a + b) + c

a

b

c

200 + (300 + 400) = 200 + 700 = 900

a + (b + c)

a

b

c

(200 + 400) + 300 = 600 + 300 = 900

(a + c) + b

(200 + 300) + 400 = 200 + (300 + 400) = (200 + 400) + 300 (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b Збир три сабирка се не мења ако здружимо било која два сабирка, па добијеном збиру додамо трећи сабирак.

Пример 2 Следеће бројеве здружимо на три начина: 700, 200, 100

(700 + 200) + 100 = 700 + (200 + 100) = (700 + 100) + 200

300, 500, 100

(300 + 500) + 100 = 300 + (500 + 100) = (300 + 100) + 500

200, 300, 400

(200 + 300) + 400 = 200 + (300 + 400) = (200 + 400) + 300

17

SABIRAWE TROCIFRENOG I JEDNOCIFRENOG BROJA (100 + 8; 124 + 3) Кроз следеће примере приказујемо како се врши сабирање троцифреног и једноцифреног броја. Пример 1. Броју 100 треба додати број 8: 1С

+

8Ј

Збир бројева 100 и 8 рачунамо овако:

100 + 8 = 108

1С

+

8Ј

Пример 2. Први сабирак је 124, а други сабирак је број 3

124 + 3 = 127

1С

2Д

4Ј

+

3Ј

Пример 3. Број за 5 већи од 872 је број 872 + 5 = 877

или

+

Пример 4. Претходник броја 273 повећан за број 5 је 272 + 5 = 277

2 или

2 5

2 18

7

7

7

SABIRAWE TROCIFRENOG I JEDNOCIFRENOG BROJA (256 + 4; 236 + 7) Пример 1. Збир бројева 256 и 4 израчунавамо на следећи начин:

256 + 4 = 250 + (6 + 4) = 250 + 10 = 260 256

+

4

Испод јединица пишемо 0, а 1 сабирамо са десетицама. Стотине преписујемо. Пример 2. Број 236 увећајмо за број 7.

236 + 7 = (236 + 4) + 3 = 240 + 3 = 243

236

+

7

Пример 3. Троцифрен и једноцифрен број можемо сабрати и овако: 695 + 5 = 700

695 +_____ 5 700

517 + 6 = 523

517 + 6 _____ 523

996 + 4 = 1 000

996 + 4 _____ 1 000

Пример 4. Израчунајмо збир бројева 548 и 9. 5 Решење:

548 + 9 = 557

Пример 5. Разлику бројева 700 и 300 повећајмо за 9. Решење:

или

4

+

8 9

5

5

7

(700 – 300) + 9 = 400 + 9 = 409 19

ODUZIMAWE JEDNOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG (165 - 4; 106 - 8; 300 - 6; 180 - 6) Пример 1. Разлику бројева 165 и 4 израчунавамо овако:

65 - 4 = 61 165 - 4 = 161

165 - 4 Пример 2. Разлику бројева 106 и 8 израчунавамо овако: 106 - 8 = 106 - (6 + 2) = (106 - 6) - 2 = 100 - 2 = 98 106 - 8 Од 6Ј се не може одузети 8Ј. Зато позајмљујемо и размењујемо 1 десетицу. Пошто је на месту десетица 0, размењујемо стотину у 10 десетица. Једну од тих десетица размењујемо у 10Ј и додајемо шестици. Добијамо 16 јединица. 16 - 8 = 8. Преписујемо преосталих 9 десетица. Пример 3. Једноцифрен број од трoцифреног можемо одузети на следеће начине: 300 - 6

180 - 6

180 - 6 = (100 + 80) - 6 = 100 + (80 - 6) = 100 + 74 = 174

300 - 6 = (200 + 100) - 6 = 200 + (100 - 6) = 200 + 94 = 294 Пример 4. 265 4 _____ 261

20

540 7 _____ 533

700 6 _____ 694

607 -_____ 8 599

402 -_____ 9 393

957 5 _____ 952

ODUZIMAWE JEDNOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG (308 - 7; 146 - 8; 264 - 4) Једноцифрени од троцифреног броја одузимамо на следећи начин: Пример 1.

8-7=1 308 - 7 = 301 308 - 7 Пример 2.

Од 6Ј не може се одузети 8Ј. Од 14 десетица једну десетицу размењујемо и додајемо на место јединица. Сада од 16Ј можемо одузети 8Ј. Преостало нам је на месту десетица 3Д , а на месту стотина 1С. То је укупно 13Д. У умањиоцу нема десетица и стотина тако да у резултат пишемо на место десетица 3Д, а на место стотина 1С .

46 - 8 = 38 146 – 8 = 138 Пример 3.

64 - 4 = 60 264 - 4 = 260

264 - 4 Пример 4. Умањеник је 693, а умањилац највећи непаран број прве десетице. Израчунајмо вредност израза. Решење:

693 - 9 = 684

6

или

9

-

3 9

6

8

4

21

SABIRAWE TROCIFRENOG BROJA I DESETICA (330 + 30; 250 + 50) Кроз следеће примере научимо како се сабирају троцифрен број и десетица. Пример 1.

300 + 30 = 330

300

+

30

Пример 2.

250 + 50 = (200 + 50) + 50 = 200 + (50 +50) = 200 + 100 = 300 250 + 50

Пример 3. 560 + 40 _____ 600

900 + 80 _____ 980

820 + 80 _____ 900

950 + 50 _____ 1000

720 + 60 _____ 780

Пример 4. Разлику бројева 1 000 и 300 увећајмо збиром бројева 20 и 70. Решење: (1000 - 300) + (70 + 20) = 700 + 90 = 790.

22

660 +_____ 40 700

370 + 30 _____ 400

SABIRAWE TROCIFRENOG BROJA I DESETICA (220 + 80; 146 + 20; 185 + 30) Кроз следеће примере научимо како се сабирају троцифрен број и десетица. Пример 1. 220 + 80 = (220 + 20) + 80 = 200 + (20 + 80) = 200 + 100 = 300

220 + 80 Пример 2.

146 + 20 = (100 + 46) + 20 = 100 + (46 + 20) = 166 146

+

20

Пример 3. 185 + 30 = (100 + 85) + 30 = 100 + (85 + 30) = 100 + 115 = (100 + 100) + 15 = 200 + 15 = 215 185

+

30

Пример 4. Збир бројева 620 и 80 увећајмо за збир бројева 30 и 60. Решење: (620 + 80) + (30 + 60) = 700 + 90 = 790. Збир бројева 258 и 9 увећајмо за збир бројева 70 и 20. Решење: (258 + 9) + (70 + 20) = 267 + 90 = 357.

23

SABIRAWE TROCIFRENOG I DVOCIFRENOG BROJA (264 + 31; 223 + 67) На следећим примерима покажимо како сабирамо троцифрен и двоцифрен број. Пример 1.

264 + 31 = 200 + (64 + 31) = 200 + 95 = 295

264

+

31

Пример 2.

223 + 67 = (223 + 60) + 7 = 283 + 7 = 290

223

+

67

Пример 3.

Пример 4. Збир бројева 112 и 48 увећај за најмањи паран двоцифрен број. Решење: (112 + 48) + 10 = 160 + 10 = 170

24

SABIRAWE TROCIFRENOG I DVOCIFRENOG BROJA (328 + 16)

328 + 16 = 300 + (28 + 16) = 300 + 44 = 344 Сабирање троцифреног и двоцифреног броја приказујемо у наредним примерима. Пример 1. Како је 54 + 27 = 81 и 39 + 52 = 91, тада је

Пример 2. 506 + 34 = 500 + (6 + 34) = 500 + 40 = 540 49 + 226 = (49 + 26) + 200 = 75 + 200 = 275

Пример 3. 222 +_____ 33 255

13 +_____ 777 790

446 + 24 _____ 470

46 +_____ 309 355

708 + 88 _____ 796

424 +_____ 39 463

16 +_____ 175 191

661 + 22 _____ 683 25

ODUZIMAWE DESETICA OD TROCIFRENOG BROJA (160 - 60; 166 - 30; 300 - 50; 348 - 60) Научили смо да два двоцифрена броја одузимамо на следећи начин: 15 - 10 = 5

45 - 40 = 5

50 - 35 = 15

66 - 30 = 36

90 - 55 = 35

60 - 60 = 0

Десетице од троцифреног бројева одузимамо на следећи начин: 160 - 60 = (100 + 60) - 60 = 100 + (60 - 60) = 100 + 0 = 100 166 - 60 = (160 + 6) - 30 = (160 - 30) + 6 = 130 + 6 = 136. Пример 1. 100 - 50 = 50

300 - 50 = 250

900 - 70 = 830

340 - 60 = 280

Пример 2.

348 - 60 = 348 - (40 + 20) = (348 - 40) - 20 = 308 - 20 = 288

Пример 3.. 186 - 30 = (180 + 6) – 30 = (180 - 30) + 6 = 150 + 6 = 156 875 - 70 = (870 + 5) - 70 = (870 - 70) + 5 = 800 + 5 = 805 140 - 60 = 140 - (40 + 20) = (140 - 40) - 20 = 100 - 20 = 80 548 - 60 = (540 - 60) + 8 = 480 + 8 = 488 657 - 90 = (650 - 90) + 7 = 560 + 7 = 567

26

ODUZIMAWE DVOCIFRENOG OD TROCIFRENOG BROJA (139 - 26; 300 - 36) На следећим примерима приказујемо како се одузима двоцифрен број од троцифреног. Пример 1.

139 - 26 = (100 + 39) - 26 = 100 + (39 - 26 ) = 100 + 13 = 113

139 - 26 Пример 2.

300 - 36 100 - 30 = 70

100 - 36 = 100 - (30 + 6) = 100 - 30 - 6 = 70 - 6 = 64

300 - 36 = 300 - (30 + 6) = 300 - 30 - 6 = 270 - 6 = 264

Пример 3. 649 - 24 = 600 + (49 - 24) = 600 + 25 = 625 787 - 66 = 700 + (87 - 66) = 700 + 21 = 721 444 - 33 = 400 + (44 - 33) = 400 + 11 = 411

Пример 4. Израчунали смо, упоредили и уписалиједан од знакова < или = или > како би добили тачан запис. 377 - 16 < 400 - 29

486 - 54 > 500 - 78

984 - 62 = 1000 - 78

27

ODUZIMAWE DVOCIFRENOG OD TROCIFRENOG BROJA (174 - 46; 232 - 46) Наводимо још неколико примера одузимања двоцифреног броја од троцифреног. Пример 1.

174 - 46 = 100 + (74 - 46) = 100 + 28 = 128 Пример 2.

232 - 46 = 100 + (132 - 32 - 14) = 100 + (100 - 14) = 100 + 86 = 186 Пример 3. 283 - 77 = 200 + (83 - 77) = 200 + 6 = 206 588 - 49 = 500 + (88 - 49) = 500 + 39 = 539 412 - 58 = 300 + (112 - 12 - 46) = 300 + 54 = 354 Пример 4. Умањеник је 712, а умањилац разлика бројева134 и 89. Вредност израза је: 712 - (134 - 89) = 712 - 45 = 667

28

SABIRAWE TROCIFRENIH BROJEVA (123 + 100; 283 + 324) Показујемо на следећим примерима како сабирамо два троцифрена броја. Пример 1.

123 + 100 = (100 + 23) + 100 = (100 + 100) + 23 = 200 + 23 Пример 2.

283 + 324 = (283 + 300) + 24 = 583 + 24 = 607

Пример 3.

253 +_____ 400 653

716 + 200 = 916

627 + 192 = (627 + 100) + 92 = 727 + 92 = 819

546 + 300 = 846

563 + 245 = (563 + 200) + 45 = 763 + 45 = 808 200 +_____ 688 888

735 +_____ 181 916

829 +_____ 100 929

392 +_____ 376 768 29

SABIRAWE TROCIFRENIH BROJEVA (235 + 114; 218 + 135; 279 + 143)

235 + 114 = (235 + 100) + 14 = 335 + 14 = 349

218 + 135 = (218 + 100) + 35 = 318 + 35 = 353

279 + 143 = (279 + 100) + 43 = (379 + 40) + 3 = 422

30

ODUZIMAWE TROCIFRENIH BROJEVA (260 - 100; 256 - 116) На следећим примерима покажимо како одузимамо два троцифрена броја. Пример 1.

260 - 100 = (200 - 100) + 60 = 100 + 60 = 160 Пример 2.

256 - 116 = 256 - 100 - 16 = 156 - 16 = 140 Пример 3. 830 - 100 = (800 - 100) + 30 = 700 + 30 = 730

648 - 237 _____ 411

839 - 629 = (839 - 600) - 29 = 239 - 29 = 210 963 815 437 -_____ 162 -_____ 504 -_____ 237 801 311 200

602 - 201 _____ 401

Пример 4. Одредимо разлику бројева 782 и 542. Решење: 982 – 242 = (982 - 200) - 42 = 782 – 42 = 740 Пример 5. Имамо новчанице од 500 динара, 100 динара и од 20 динара. Потрошили смо 310 динара. Колико нам је динара остало? Решење: (500 + 100 + 20) - 310 = (620 + 300)- 10 = 320 - 10 = 310 31

ODUZIMAWE TROCIFRENIH BROJEVA (300 - 160; 276 - 139; 484 - 286) Пример 1.

300 - 160 = (300 - 100) - 60 = 200 - 60 = 140 Пример 2.

276 - 139 = (276 - 100) - 39 = 176 - 39 = 137 Пример 3.

484 - 286 = (300 +184) - (200 + 86) = (300 + 184) - (200 + 86) = 100 + 98 = 198 Пример 4.

32

ЗАВИСНОСТ ЗБИРА ОД ПРОМЕНЕ САБИРАКА И СТАЛНОСТ ЗБИРА На планини се у једном хотелу одмара 230 гостију, а у другом 190. У оба хотела укупно има гостију:

230

+

ПРВИ САБИРАК

a

190

=

ДРУГИ САБИРАК

+

b

420 ЗБИР

=

c

Kолико је гостију у оба хотела ако: у први хотел допутује још 40 гостију;

(230 + 40) + 190 = 270 + 190 = 460

у други допутује још 50 гостију;

230 + (190 + 50) = 230 + 240 = 270

из првог отпутује 30 гостију;

(230 - 30) + 190 = 200 + 190 = 390

из другог отпутује 90 гостију;

230 + (190 - 90) = 230 + 100 = 330

у први допутује 60, а из другог отпутује 60 гостију;

(230 + 60) + (190 - 60) = 290 + 130 = 420

из првог отпутује 10, а у други допутује 10 гостију?

(230 - 10) + (190 + 10) = 220 + 200 = 200

Ако један сабирак повећамо за неки број, збир ће се повећати за тај исти број. Ако један од сабирака умањимо за неки број, збир ће се умањити за тај исти број. Ако један сабирак повећамо за неки број, а други смањимо за исти број, тада се збир неће променити. Пример Збир два броја је 630. Означимо први сабирак словом m, а други словом n. Тада је m + n = 630. Први сабирак повећајмо за 30. Тада је (m + 30) + n = 630 + 30, па се збир повећао за 30 . Други сабирак повећајмо за 70. Тада је m + (n + 70) = 630 + 70, па се збир повећао за 70. Први сабирак смањимо за 40. Тада је (m - 40) + n = 630 - 40, па се збир смањио за 40. Други сабирак смањимо за 50. Тада је m + (n - 50) = 630 – 50, па се збир смањио за 50. Први сабирак повећајмо за 30, а други смањимо за тај број. Тада је (m +30) + (n – 30) = 630, па је збир остао непромењен. 33

ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊЕНИКА У гаражи је било 155 аутомобила. После радног времена одвезено је 75 аутомобила. Колико је аутомобила остало у гаражи?

155

-

УМАЊЕНИК

75

=

УМАЊИЛАЦ

a

-

b

80 РАЗЛИКА

=

c

На следећим примерима прикажимо колико би остало аутомобила у гаражи да је: било 50 аутомобила више;

(155 + 50) - 75 = 205 - 75 = 130

било 50 аутомобила мање.

(155 - 50) - 75= 105 -75 = 30

Ако се умањеник повећа или смањи за неки број и разлика се повећава или смањује за исти број. Пример 1. Разлика два броја је 400. Означимо умањеник словом a и умањилац словом b. Тада је а - b = 400. Како ће се променити разлика бројева а и b ако се умањеник повећа за 166? (а + 166) - b Важи: 400 + 166 = 566, па се разлика повећала за 166. Како ће се променити разлика бројева а и b ако се умањеник смањи за 215? (а - 215) - b Важи: 400 - 215 = 385, па се разлика смањила за 215. Пример 2. Oдредимо вредност непознатог броја а, ако је: (288 + а) - 158 = 190. Умањеник је повећан за број а и разлика је 190. Како је 288 - 158 = 130, биће а = 190 – 130 а = 60. (288 - а) - 158 = 100 Умањеник је смањен за број а и разлика је 100. Како је 288 - 158 = 130, имамо да је а = 190 – 100 а= 90. 34

ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊИОЦА У библиотеци је било 760 књига. Издато је 420. Колико књига је остало у библиотеци?

760

-

420

УМАЊЕНИК

a

=

УМАЊИЛАЦ

-

340 РАЗЛИКА

b

=

c

Кроз следеће примере покажимо колико би остало књига у библиотеци када би се на читање издало: 20 књига мање;

760 - (420 - 20) = 760 - 400 = 360

20 књига више.

760 - (420 + 20) = 760 - 440 = 320

Ако умањилац повећамо за неки број, разлика се смањује за исти број. Ако умањилац смањимо за неки број, разлика се повећава за исти број. Пример 1. Разлика два броја је 375. Означимо умањеник словом а и умањилац означимо словом b. Важи а - b = 375 Како ће се променити разлика бројева а и b ако умањилац повећамо за 75? а - (b + 75)

Значи: 375 - 75 = 300

Разлика се смањује за 75.

Како ће се променити разлика бројева а и b ако се умањилац смањи за 75? а - (b - 75)

Значи: 375 + 75 = 450

Разлика се повећава за 75.

Пример 2. Ако је 860 - 400 = 460, одреди вредност непознатог броја а у следећим задацима. 860 - (400 + а) = 410 Уочавамо да је умањилац повећан за број а и да је разлика 410, па је а = 460 - 410, то јест а = 50. 860 - (400 - а) = 500 Уочавамо да је умањилац смањен за број а и да је разлика 500, па је а = 500 - 460, то јест а = 40. Пример 3. Разлика два броја је 217. Одредимо вредност разлике: ако умањилац повећамо за 110;

217 – 110 = 107

ако умањилац смањимо за 110;

217 + 110 = 327. 35

СТАЛНОСТ РАЗЛИКЕ Нека је умањеник 370, а умањилац 260. Тада је разлика 110.

370 – 260 = 110 Како ће се променити разлика ако умањеник и умањилац повећамо за 100? (370 +100) - (260 + 100) = 470 – 360 = 110 Разлика се није променила.

Како ће се променити разлика ако умањеник и умањилац смањимо за 100? (370 - 100) - (260 - 100) = 470 – 360 = 110 Разлика се није променила. Разлика два броја неће се променити ако и умањеник и умањилац повећамо или смањимо истим бројем. Сталност разлике користимо као олакшицу при рачунању. Пример 1. 800 - 396 = (800 + 4) - (396 + 4) = 804 - 400 = 404 675 - 505 = (675 - 5) - (505 - 5) = 670 - 500 = 170 Пример 2. Умањеник је 550, умањилац 120, па је разлика 430. Одредимо разлику ако и умањеник и умањилац : смањимо за 100;

(550 - 100) - (120 - 100) = 430

повећамо за 100.

(550 + 100) - (120 + 100) = 430

Пример 3. Објаснимо, без рачунања, применом својства сталности разлике, тачност следећих једнакости:

36

825 - 675 = 850 - 700

Уочили смо да су и умањеник и умањилац повећани за 25.

719 – 489 = 700 - 470

Уочили смо да су и умањеник и умањилац смањени за 19.

ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ Записи као што су 380 + 220 или 400 - 126 су математички изрази. Посматрајмо следеће изразе:

а

200 300 600

+ + +

900 900 900

30 30 30

+ + +

40 50 60

b

Ове изразе можемо записати помоћу израза са променљивом: а + 30

900 - b

Вредности променљиве а су 200, 300, 600.

Вредности променљиве b су 40, 50, 60.

Пример 1. Одредимо вредност израза ѕ – 117 ако су вредности за ѕ, редом, 900, 788, 120. 900 – 117 = 783 788 – 117 = 671 120 – 117 = 3. Пример 2. Израчунајмо збир сваког непарног броја прве десетице и броја 712. Означимо сваки непаран број прве десетице словом х. Тада је х = 1, х = 3, х = 5, х = 7, х = 9, а израз са променљивом је: х + 712. Вредност збира х + 712 израчунаћемо када променљиву х заменимо одговарајућим бројем. 1 + 712 = 713, 3 + 712 = 715, 5 +712 = 717, 7 + 712 = 719, 9 + 712 = 721. Пример 3. Одредимо вредност разлике 107 - m, aко је променљива m број друге десетице. Бројеви друге десетице су : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20. Вредност разлике 107 - m израчунаћемо када променљиву m заменимо одговарајућим бројем. m

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

107 - m

96

95

94

93

92

91

90

89

88

87

37

ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ У албуму има 169 слика. Када се додају слике са зимовања, у албуму ће бити 215 слика. Колико има слика са зимовања? 215 169



?

Број који треба додати броју 169 је непознат. Подсетимо се да непознати број означавамо словом x, m, y, a, t или било којим другим словом. Уочавамо да је у задатку непознат други сабирак. Обележимо непознати сабирак словом n, тада је 169 + n = 215. Овај запис називамо једначина.

169 + n = 215 n = 215 – 169 n = 146 Провера: 169 + 146 = 215

Непознати сабирак се израчунава тако што се од збира одузме познати сабирак. Обавезно проверавамо тачност решења! Пример 1. Ком броју треба додати броју 46 да збир буде 900? 900 ?



46

У задатку је непознат први сабирак. Пишемо једначину: х + 46 = 900. Решавамо једначину: х + 46 = 900 х = 900 - 46 х = 854. Провера: 854 + 46 = 900 Пример 2. Ако непознати број увећамо за збир бројева 650 и 175, збир ће бити најмањи четвороцифрен број. Пишемо једначину и решавамо је:

у + ( 650 + 175) = 1 000 у + 725 = 1000 у = 1 000 – 725 у = 275 Провера: 275 + 725 = 1 000

Пример 3. Маја има 109 сличица. Колико још треба да сакупи, ако у албум стаје 212 сличица? Решење: 109 + m = 212 m = 212 - 109 m = 103. Провера: 109 + 103 = 212 Одговор: Маји је потребно још 103 сличице. 38

ЈЕДНАЧИНЕ СА ОДУЗИМАЊЕМ Колико је ружа било у цвећари ако је продато 685 ружа, а остало 279 ружа?

Крава и теле су тешки 714 kg. Колико је тешко теле, ако је крава тешка 578 kg?

279 ?



578 685

714

х - 685 = 279 х = 279 + 685 х = 964 провера: 964 - 685 = 279

?

714 - х = 578 х = 714 - 578 х = 136 провера: 714 - 136 = 578

Непознати умањеник се узрачунава тако што се саберу умањилац и разлика. Обавезно проверавамо тачност решења! Пример 1. Израчунајмо умањеник ако је умањилац 352, а разлика 428. Пишемо и решавамо једначину: с - 352 = 428 с = 428 + 352 с = 780

Непознати умањилац се израчунава тако што се од умањеника одузме разлика. Обавезно проверавамо тачност решења! Пример 2. Ако број 721 умањиш неким бројем разлика ће бити 196. Израчунај непознати број. Пишемо и решавамо једначину: 721- ѕ = 196 ѕ =721 - 196 ѕ = 525

Провера: 780 - 352 = 428. Провера: 721- ѕ = 196. Пример 3. Када један троцифрени број умањимо за разлику бројева 722 и 245 разлика ће бити 100. Који је то број? Пишемо и решавамо једначину:

р - (722 - 245) = 100 р - 477 = 100 р = 477 + 100 р = 577 Провера: 577 - 477 = 100.

Одговор: То је број 577. Пример 4. Израчунај умањеник ако је умањилац 103 а разлика 592.

Разлика је 197, а умањеник 346. Израчунај непознати број.

у - 103 = 592

346 - х = 197

у = 592 + 103

х = 346 - 197

у = 695

х = 149

Провера: 695 - 103 =592

Провера: 346 - 149 = 197 39

СКУП И ФОРМИРАЊЕ СКУПА До сада смо упознали бројеве прве хиљадe. Неки од њих могу бити записани само једном цифром. То су једноцифрени бројеви:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Од њих можемо плавом бојом издвојити бројеве

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Те бројеве повезује особина да су то непарни једноцифрени бројеви. Ако издвојене непарне једноцифрене бројеве групишемо

1, 3, 5, 7 и 9 тада они формирају скуп, који називамо скуп непарних једноцифрених бројева. Математички га записујемо овако

{1,3,5,7,9} Дакле, особина: бити непаран једноцифрен број, омогућава нам да од свих једноцифрених бројева издвојимо и групишемо непарне једноцифрене бројеве. У математици, али и у свакодневном животу, можемо издвојити и груписати разне објекте који имају заједничку особину. Скуп настаје издвајањем и груписањем објеката који имају заједничку особину. Пример 1. Од свих ученика једног разреда можемо издвојити оне који иду у исто одељење. Они чине скуп – скуп ученика једног одељења. Пример 2. Сви играчи једног фудбалског тима чине скуп. Пример 3. Становници једног града чине скуп.

А У

Пример 4. Сви самогласници чине скуп. Овај скуп можемо и графички представити као на цртежу.

40

E

И О

ЕЛЕМЕНТ СКУПА Посматрајмо скуп {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. То је скуп бројева друге десетице. Некад је згодније скуп означити једним словом. Договорно, у математици скупове означавамо великим штампаним словима латинице. Тако, на пример, ако желимо да претходни скуп означимо словом D, пишемо D = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Бројеви 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20 су елементи или чланови скупа D. Пишемо: 11 ∈ D, 12 ∈ D, 13 ∈ D, 14 ∈ D, 15 ∈ D, 16 ∈ D, 17 ∈ D, 18 ∈ D, 19 ∈ D, 20 ∈ D.

На пример, запис 11 ∈ D читамо: број 11 је елемент скупа D или број 11 припада скупу D. Број 25 није број друге десетице, па не припада скупу D. То записујемо овако 25 ∉ D

и читамо: број 25 није елемент скупа D или број 25 не припада скупу D. Објекте који чине скуп су елементи или чланови тог скупа. Елементе скупа наводимо између витичастих заграда { }.

Пример 1. Ако је А скуп градова у Србији, тада важи

Пример 2.

Београд ∈ А, крушка ∉ А, Нови Сад ∈ А, 74 ∉ А.

Нека је B скуп слова помоћу којих пишемо име Марко. Тада је B = {М, А, Р, К, О}, и К ∈ B, * ∉ B, 122 ∉ B, О ∈ B.

Пример 3. За скуп C = {1, 22, 333} важи

1 ∈ C, 2 ∉ C, 22 ∈ C, 3 ∉ C, 33 ∉ C 333 ∈ C.

41

НЕЈЕДНАЧИНЕ Сава и Милош су играли мали фудбал. На крају игре је постигнуто мање од 17 голова. Ако је Сава дао 8 голова, колико је голова Милош могао да постигне? Број голова које је могао да постигне Милош обележићемо словом x. Тада је 8 + x мање од 17, што математички записујемо овако 8 + x < 17. Овај запис називамо неједначина Ако Милош није постигао гол, онда је x = 0. Тада имамо неједнакост 8 + 0 < 17. Како је 8 < 17, то је број 0 решење дате неједначине. Ако је Милош постигао 1 гол, онда је x = 1. Тада имамо неједнакост 8 + 1 < 17. Како је 9 < 17, то је број 1 решење дате неједначине. Ако је Милош постигао 2 гол, онда је x = 2. Тада имамо неједнакост 8 + 2 < 17. Како је 10 < 17, то је број 2 решење дате неједначине. Приказујемо табелом колико је Милош могао да постигне голова. x 8 + x

0 8

1 9

2 10



3 11

4 12

5 13



6 14

7 15

8 16

9 17

Уочавамо из табеле да решења неједначине 8 + x < 17 припадају скупу {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Сви ти бројеви чине скуп - скуп решења неједначине. Пишемо 8 + x < 17 када је x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Приметимо да број 9 није решење дате неједначине, јер неједнакост 8 + 9 < 17, то јест 17 < 17 није тачна. Решење ове неједначине можемо записати и овако: 0 ≤ x < 9. То читамо: x је веће или једнако од нуле, а мање од броја 9. Неједначине могу имати и више решења. Пример 1. Решимо неједначину p + 6 ≤ 13, помоћу табеле. p p + 6

0 6

1 7

2 8

3 9

4 10

5 11

6 12

Решења ове неједначине припадају скупу {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, то јест важи p + 6 ≤ 13, p ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 42

7 13

8 14

9 15

МЕРЕЊЕ И МЕРЕ

10

11

12 1

9

2

8

3

7 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1кг 12

500gr

4

5

200gr

100gr

50gr

МЕРЕ ЗА ДУЖИНУ (mm и km) У претходном разреду научили сте да мерите дужину. То сте радили уз помоћ различитих модела метра, у зависности од тога шта сте мерили.

0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

11

12

Упознали сте неке јединице мере. Подсетите се: Основна јединица мере за мерење дужине је метар. 1 метар краће записујемо 1 m. Поред метра, сусрели сте си и мање јединице мере од метра: • дециметар, у ознаци dm; • центиметар, у ознаци cm. Важи: 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 m = 10 dm = 100 cm. На следећем цртежу, нацртане су две дужи, AB и MN. B

M

A

N

Помоћу лењира измеримо дужину дужи AB. B

A 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Она износи 11 cm. У запису 11 cm, број 11 је мерни број, а словa cm означавају јединицу мере. Мерни број је број који показује колико пута се јединица мере садржи у дужини дужи. У нашем примеру, јединица мере cm се 11 пута садржи у дужини дужи AB. Дужину од 11 cm можемо изразити и помоћу две различите јединице мере: 11 cm = 1 dm 1 cm. 44

Ако меру дужине можемо изразити помоћу више различитих јединица мере, онда такав запис називамо вишеимени број. Помоћу лењира измери дужину дужи MN. M N 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Она је између 4 cm и 5 cm. Да бисмо прецизно измерили дужину дужи MN, морамо упознати и мању јединицу мере од центиметра. То је милиметар, у ознаци mm. Један центиметар има 10 милиметара, 1 cm = 10 mm. 1dm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 10mm 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Важи: 1 cm = 10 mm; 1 dm = 10 cm = 100 mm; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm. Сада можемо прецизно измерити и записати дужину дужи MN MN = 43 mm. Помоћу вишеименог броја, дужину дужи MN записујемо MN = 4 cm 3 mm. За прецизна мерења користили смо јединицу мере милиметар. Како је 1 m = 1 000 mm, милиметар је хиљаду пута мањи од метра. За мерење већих дужина, на пример, удаљености између појединих градова, користи се јединица мере која је хиљаду пута већа 1 m. То је километар, у ознаци km. Један километар има 1 000 метара, 1 km = 1 000 m. Пример Удаљеност између Београда и Новог сада је 81 km, а удаљеност између Шапца и Крагујевца је 204 km.

45

МЕРЕ ЗА МАСУ (kg, g и t) Ако одете у продавницу да купите шећер, продавац ће вас питати за количину шећера коју хоћете да купите. Да бисте одговорили на питање, морате се упознати са мерењем масе. Масу тела меримо справом коју називамо вага.

Основна јединица мере за мерење масе је килограм. 1 килограм краће записујемо 1 kg. Масу неког тела меримо тако што његову масу изједначавамо са масом тегова. 1кг Тегови су предмети ваљкастог облика, разних маса и израђени од метала.

500gr

200gr

100gr

ШЕЋЕР 1кг

1кг

1кг

1кг

1кг

На претходним цртежима маса паковања шећера је 2 kg, маса лимуна је 3 kg. За мерење предмета маса мањих од 1 kg, као и за прецизнија мерења маса, користи се јединица мере грам, у ознаци g. Један килограм има 1 000 грама. 1 kg = 1 000 g

500gr

200gr

На претходним цртежима маса јабука је 700 g, а маса ђачке торбе 5 kg 200 g. 46

1кг

1кг

1кг

1кг

1кг

200gr

50gr

Пример 1. На основу претходног цртежа, можемо закључити да: 1кг

100 g

банане имају масу 1 kg − 100 g = 1 000 g − 100 g = 900 g;

200 g

1кг

50 g

1кг

јабуке имају масу 1 kg − 200 g = 1 000 g − 200 g = 800 g;

лопта има масу 1 kg − 50 g = 1 000 g − 50 g = 950 g

За мерење предмета великих маса користи се јединица мере тона, у ознаци t. Једна тона има 1 000 килограма. 1 t = 1 000 kg Пример 2. Маса мужјака жирафе је између 1 t 360 kg и 2 t. Пример 3. Сандук са бананама има масу 30 kg, а маса празног сандука је 2 kg. Колика је маса банана? Како је 30 kg − 2 kg = 28 kg, маса банана је 28 kg. За масу банана без сандука кажемо да представља нето масу, док за масу банана са сандуком кажемо да представља бруто масу. Маса сандука је тара. Бруто маса је маса робе са паковањем, а нето маса је маса робе без паковања. Разлика између бруто и нето масе је тара. 47

МЕРЕ ЗА ЗАПРЕМИНУ (l, dl, cl, ml и hl) Уље, воћни сируп или млеко купују се у стакленим или пластичним боцама у које најчешће стане један литар одређене течности. Кажемо да је запремина такве боце један литар, или да је запремина течности у таквој боци 1 литар.

воћни сируп

уље

млеко

Основна јединица мере за мерење запремине течности је литар. 1 литар краће записујемо 1 l.

1 dm

Запремина течности од 1 l је количина течности која стане у коцку чија је ивица 1 dm.

1 dm

1

dm

1l

За мерење запремина течности које су мање од 1 l или за прецизније мерење запремине течности користе се и јединице мере: децилитар, у ознаци dl; центилитар, у ознаци cl; милилитар, у ознаци ml.

1 dl 1 cl

Важи:

1 l = 10 dl; 1 dl = 10 cl; 1 cl = 10 ml; 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml; 1 dl = 10 cl = 100 ml.

1l

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

1 dl

Запремина течности у бокалу је 1 l, а запремина течности у чаши је 1 dl. 48

За мерење великих запремина користи се јединица мере хектолитар, у ознаци hl. Једна хектолитар има 100 литара. 1 hl = 100 l Пример 2.

Пример 1. 9 cl 1 ml = 91 ml

2 cl = 20 ml

6 dl 3 cl 2 ml = 632 ml

8 dl = 80 cl = 800 ml

3 dl 2 ml = 32 ml

7 l = 70 dl = 700 cl Пример 4.

Пример 3. 21 ml = 2 cl 1 ml

745 l = 7 hl 4 dl 5 l

74 cl = 7 dl 4 ml

513 l = 5 hl 1 dl 3 l

546 ml = 5 dl 4 cl 6 ml

308 l = 3 hl 8 l

352 cl = 3 l 5 dl 2 cl

200 l = 2 hl

104 ml = 1 dl 4 ml Пример 5.

У бурету се налази 1 hl уља. То уље треба преточити у канте од 4 l. Колико ће канти бити напуњено уљем? Како је 1 hl : 4 l = 100 l : 4 l = 25 1 hl уља можемо преточити у 25 канти од 4 l. Пример 6. У посуди запремине 10 l, налази се 5 l 6 dl 7 cl течности. Јована је досула још 3 dl 3 cl, a Марко још 400 cl течности. Да ли је, након ових досипања, посуда пуна? Како је 5 l 6 dl 7 cl + 3 dl 3 cl + 400 cl = 567 cl + 33 cl + 400 cl = 600 cl + 400 cl = 1000 cl = 10 l након досипања течности посуда ће бити пуна. 49

МЕРЕ ЗА ВРЕМЕ (година, деценија и век) У претходном разреду научили смо да меримо време. 11

На цртежу су приказана два часовника. Први часовник показује да је 8 сати или, ако је вече, да је 20 сати. Други часовник показује да је прошао минут након 8 сати.

12

11

1 2

10 9

4 7

6

1 2

10 3

8

12

5

9

3 4

8 7

6

5

Када прође 60 минута, прошао је један сат. Један сат записујемо са 1 h, и важи 1 h = 60 min Кратке временске периоде меримо секундама. 1 min = 60 s Када прође 24 сата, прошао је један дан. 1 дан = 24 h Период од 7 дана називамо седмица. Дани у седмици су: понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота и недеља. Када прође одређен број дана, прошао је један месец. У табели су приказани месеци и одговарајући број дана у сваком месецу. Месеци могу имати 30 или 31 дан, осим фебруара, који има 28 или 29 дана. Када прође 12 месеци, прошла је једна година. 1 година = 12 месеци Једна година има 365 или 366 дана, што зависи од броја дана у фебруару. Сваке четврте године фебруар има 29 дана, а година 366 дана. Такву годину називамо преступна година, док годину која има 365 дана називамо простом годином. Период од 10 година називамо деценија. 1 деценија = 10 година Када прође 100 година, прошао је један век. 1 век = 100 година Дуге временске периоде меримо деценијама и вековима. 50

Месец Јануар Фебруар Март Април Мај Јун Јул Август Септембар Октобар Новембар Децембар

Број дана 31 28 или 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ БРОЈЕВА ДО 1000

(а +

b + b) . c = a . c

0:

)+

8

0: ( 36 6

(4 50 :9

10 1 = ) = 60 + 50

6 ;(

4

)

:9 0 27 ( –

)

.c

50 30 = – 0 =8

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ БРОЈЕВА Подсетимо се. МНОЖЕЊЕ БРОЈЕВА . 4 први чинилац

ДЕЉЕЊЕ БРОЈЕВА

7 = 28 други производ чинилац

28 дељеник

:

7 = 4 делилац количник

Пример 1. Како је 4 . 5 = 20, онда је 20 : 5 = 4 и 20 : 4 = 5. Множење и дељење бројева су међусобно повезане рачунске операције. Пример 2. Производ можемо написати у облику збира једнаких сабирака, 5 . 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7. Пример 3. Збир једнаких сабирака можемо написати у облику производа, 6 + 6 + 6 + 6 = 4 . 6. Пример 4. Производ је јeднак 0 , ако је један од чинилаца једнак 0, 4.0=0



0 . 2 = 0.

Пример 5. Ако је један од чинилаца број 1, производ је једнак другом чиниоцу, 6.1=6 1 . 7 = 7. Пример 6. Ако чиниоцима заменимо места производ ће остати исти. 8 . 3 = 3 . 8. Пример 7. Производ три чиниоца можемо израчунати на два начина. Производ ће остати исти.

5 . 6 . 2 = (5 . 6) . 2 = 5 . (6 . 2)

Пример 8. Када је делилац број 1 , количник је једнак дељенику, 9 : 1 = 9. Пример 9. Када је дељеник једнак делиоцу , количник је број 1, 42 : 42 = 1. Пример 10. Ако број 0 поделимо ма којим делиоцем различитим од нуле, количник је увек 0, 0 : 12 = 0 52

МНОЖЕЊЕ СА 10 и 100 Збир једнаких сабирака 10 + 10 + 10 + 10, замењујемо производом 4 . 10, па је 10 + 10 + 10 + 10 = 4 . 10. Пример 1. Уочимо на који начин су дати бројеви помножени бројем 10.

16 . 10 = 160

20 . 10 = 200

31 . 10 = 310

10 . 63 = 630

10 . 97 = 970

Броју који смо множили са 10 дописали смо једну нулу са десне стране. Пример 2. Применом наученог правила лако ћемо израчунати који број је 17 пута већи од 10. 17 . 10 = 170 Број 170 је 17 пута већи од броја 10. Збир једнаких сабирака 100 + 100 + 100 + 100 + 100 замеујемо производом 5 . 100, па је 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 5 . 100. Пример 3. Уочимо на који начин су дати бројрви помножени бројем 100 2 . 100 = 200

8 . 100 = 800



3 . 100 = 300



100 . 6 = 600



100 . 9 = 900

Броју који смо множили са 100 дописали смо две нуле са десне стране. Пример 4. Примењујући научено правило лако одређујемо : број који је 6 пута већи од броја 100;

То је број 600, јер је 6 . 100 = 600.

број који је 10 пута већи од броја 100;

То је број 1 000, јер је 10 . 100 = 1 000.

број који је 4 пута већи од броја 100;

То је број 400, јер је 4 . 100 = 400.

број који је 5 пута већи од броја 100;



То је број 500, јер је 5 . 100 = 500. 53

ДЕЉЕЊЕ СА 10 И 100 Помоћу датих табела и везе множења и дељења, можемо лако израчунати количник , у коме је делилац број 10. 1 . 10 = 10 2 . 10 = 20 3 . 10 = 30 4 . 10 = 40 5 . 10 = 50

6 . 10 = 60 7 . 10 = 70 8 . 10 = 80 9 . 10 = 90 10 . 10 = 100

10 : 10 = 1 20 : 10 = 2 30 : 10 = 3 40 : 10 = 4 50 : 10 = 5

60 : 10 = 6 70 : 10 = 7 80 : 10 = 8 90 : 10 = 9 100 : 10 = 10

Уочимо правило које је примењено приликом дељења бројем 10. 320 : 10 = 32

500 : 10 = 50

420 : 10 = 42

610 : 10=61

100 : 10 = 10

Број који се завршава са најмање једном нулом делимо бројем 10 тако што му са десне стране изоставимо једну нулу. Пример 1. Примењујући научено правило лако ћемо израчунати количник највећег броја 5.стотине и најмањег двоцифреног броја. 500 : 10 = 50 Уочимо правило које је примењено приликом дељења бројем 100 600 : 100 = 6

200 : 100 = 2

900 : 100 = 9

800 : 100 = 8

300 : 100 = 3

Број који се завршава са најмање две нуле делимо бројем 100 тако што му са десне стране изоставимо две нуле. Пример 2. Примењујући научено правило лако ћемо израчунати количник најмањег четвороцифреног и најмањег троцифреног броја. 1000 : 100 = 10. Пример 3. Који број је 100 пута мањи од броја 700 , 400 ,100 и 500? 700 : 100 = 7 То су бројеви: 7, 4, 1 и 5. 54

400 : 100 =4

100 : 100 = 1

500 : 100 = 5

ЗАМЕНА МЕСТА И ЗДРУЖИВАЊЕ ЧИНИЛАЦА Пример 1. У музеју има 10 просторија. У свакој је изложено по 43 слике. Колико има укупнo слика у музеју? Постављени задатак можемо решити на два начина: I начин: број соба пута број слика 10

.

43

II начин: број слика пута број соба =

43

.

10

Ако чиниоци замене места производ се неће променити. а.b=b.a Пример 2. У свакој од 10 зграда има по 5 спратова , а на сваком спрату по 6 станова. Израчунај укупан број станова у свим зградама заједно. Постављени задатак можемо решити на два начина: I начин:

Најпре израчунамо укупан број спратова у свим зградама, а затим га помножимо бројем станова на једном спрату: (10 . 5) . 6 = 50 . 6 = 300.

II начин:

Можемо и да помножимо број зграда укупним бројем станова у једној згради: 10 . (5 . 6) = 10 . 30 = 300.

Можемо ли на још неки начин израчунати укупан број станова? Прoизвод три чиниоца се неће променити ако здружимо било која два чиниоца па их помножимо трећим. (a . b) . c = a . (b . c) = (a . c) . b Пример 3. На 2 полице налази се по 5 кутија. У свакој од њих има по 7 чоколада. Колико укупно има чоколада? 2 . 5 . 7 = ( 2 . 5 ) . 7 = 10 . 7 = 70 Укупно има 70 чоколада. Пример 4. На две тезге налази се по 6 гајби. У свакој гајби има по 5 kg кромпира. Колико укупно има кромпира? 2 . 6 . 5 = ( 2 . 5 ) . 6 = 10 . 6 = 70 Укупно има 60 kg кромпира.

55

МНОЖЕЊЕ БРОЈЕВА (4 . 30) Шаховски турнир траје 4 дана. Сваког дана одигра се по 30 шаховских партија. Колико шаховских партија се одигра током целог турнира?

Задатак можемо решити на два начина: I начин: сабирањем једнаких бројева :

30 + 30 + 30 + 30 = 120

II начин: множењем бројева 4 и 30:

4 . 30 = 120

Ако број 30 прикажемо као производ 3 . 10 онда задатак можемо решити и овако: (4 . 3) . 10 = 12 . 10 = 120. Приликом решавања задатка применили смо својство здруживања чинилаца. Пример 1. Примењујући ово својство на сличан начин можемо израчунати и производе: 5 . 60 = (5 . 6) . 10 = 30 . 10 = 300 20 . 7 = (2 . 10) . 7 = (2 . 7) . 10 = 14 . 10 = 140 Пример 2. Применом стеченог знања лако ћемо израчунати за колико је производ бројева 7 и 40 већи од производа бројева 30 и 8? ( 7 . 40 ) – ( 30 . 8) = 280 – 240 = 40 Производ бројева 7 и 40 је за 40 већи од производа бројева 30 и 8. Пример 3. (9 . 60 ) + (70 . 4 ) = 540 + 280 = 820 (7 . 70 ) – (4 . 40 ) + 50 = 490 – 160 + 50 = 380 56

ДЕЉЕЊЕ БРОЈЕВА (120 : 4) Славко треба да подели 120 кликера четворици другара, тако да свако добије једнак број кликера. Колико кликера ће добити сваки његов друг?

Задатак решавамо користећи рачунску операцију дељење. 120 : 4 = 30 У датом примеру уочавамо везу између множења и дељења 120 : 4 = 30, јер је 30 . 4 = 120. Користећи везу између множења и дељења рачунамо : 180 : 3 = 60 јер је 60 . 3 = 180

320 : 4 = 80 јер је 80 . 4 = 320

420 : 7 = 60 јер је 60 . 7 = 420

180 : 9 = 20 јер је 20 . 9 = 180

Пример 1. Применом стеченог знања можемо израчунати колико износи збир количника бројева 120 и 6 и броја 312. (120 : 6 ) + 312 = 20 + 312 =332 Пример 2. Примењујући научено лако ћемо решити задатак: У магацину фабрике слаткиша налази се 490 врећа бомбона и 7 пута мање врећа кекса. Колико укупно има врећа у магацину? 490 + ( 490 : 7 ) = 490 + 70 = 560

У магацину има укупно 560 врећа.

Пример 3. 72 0 + (420 : 7 ) = 720 + 60 = 780 ; 960 – (810 : 9 ) = 960 – 90 = 870

57

МНОЖЕЊЕ ЗБИРА БРОЈЕМ Лејла и Лука купују сличице за албум. Лејла је купила 30 сличица по цени 6 динара за комад, а Лука 50 сличица по истој цени.Колико динара су укупно потрошили Лејла и Лука за сличице?

Задатак решавамо тако што најпре израчунамо: колико динара је потрошила Лејла: 30 . 6 = 180; затим колико динара је потрошио Лука : 50 . 6 = 300, и на крају колико су укупно потрошили њих двоје: 180 + 300 = 480 . Задатак можемо решити и на овај начин: Укупан број слика помножимо њиховом ценом. Тада је (30 + 50) . 6 = 80 . 6 = 480,

па је

(30 + 50) . 6 = 30 . 6 + 50 . 6. (а + b) . c = a . c + b . c

a . (b + c) = a . b + a . c

Пример 1. Приказано својство, множења збира бројем, можемо користити при решавању задатка: 54 . 3 = ( 50 + 4 ) . 3 = 50 . 3 + 4 . 3 =150 + 12 = 162. Пример 2. Без рачунања можемо израчунати вредност непознатог броја: (420 + x) . 6 = 420 . 6 + 5 . 6 ;

x=5

(c + 38) . 9 = 62 . 9 + 38 . 9; c = 62. Ово својство олакшава поступак рачунања у задацима: 6 . 67+ 6 . 33 = 6 . (67 + 33) = 6 . 100 = 600. Пример 3. На сличан начин ћемо израчунати: 24 . 5 + 5 . 76 = (24 + 76) . 5 = 100 . 5 = 500

36 . 2 + 64 . 2 =(36 + 64) . 2 = 100 . 2 = 200

72 . 6 + 6 . 28 = (72 + 28) . 6 = 100 . 6 = 600

47 . 3 + 53 . 3 =(47 + 53) . 3 = 100 . 3 = 300

58

МНОЖЕЊЕ РАЗЛИКЕ БРОЈЕМ Производ двоцифреног и једноцифреног броја смо рачунали на следећи начин: 49 . 6 = (40 + 9) . 6 = 40 . 6 + 9 . 6 = 240 + 54 = 294. Двоцифрени чинилац смо приказали као збир десетице и једноцифреног броја, па сваки сабирак помножили другим чиниоцем. Овај задатак можемо решити и на други начин: 49 . 6 = (50 - 1) . 6 = 50 . 6 - 1 . 6 = 300 – 6 = 294. Двоцифрени чинилац смо приказали као разлику десетице и једноцифреног броја, па затим умањеник и умањилац помножили другим чиниоцем. Добијене производе смо одузели. (a - b) . c = a . c - b . c a . (b - c) = a . b - a . c Пример 1. Приказујући чинилац као разлику десетице и једноцифреног броја рачунамо: 37 . 3 = (40 - 3) . 3 = 40 . 3 – 3 . 3 = 120 – 9 = 111. Користећи множење разлике бројем као олакшицу можемо израчунати и: 88 . 7 = ( 90 – 2 ) . 7 = 90 . 7 – 2 . 7 = 630 – 14 = 616. Приказано својство можемо користити при решавању задатка у коме треба израчунати производ: Пример 2. Израчунај производ када је први чинилац разлика бројева 100 и 3 , а други чинилац највећи непарни број прве десетице. ( 100 – 3 ) . 9 = 100 . 9 – 3 . 9 = 900 – 27 =873 Пример 3. Који број је 6 пута већи од највећег непарног броја 9. десетице? Највећи непаран број 9. десетице је 89. Пишемо 89 . 6 = ( 90 – 1 ) . 6 = 90 . 6 – 1 . 6 = 540 – 6 = 534 Пример 4. 98 . 9 = (100 - 2 ) . 9 = 100 . 9 – 2 . 9 = 900 – 18 = 882 69 . 7 = ( 70 – 1 ) . 7 = 70 . 7 – 1 . 7 = 490 – 7 =483

59

МНОЖЕЊЕ ДВОЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ Подсетимо се: 34 . 2 = (30 + 4) . 2 = 30 . 2 + 4 . 2 = 60 + 8 = 68 Први чинилац смо приказали као збир одговарајуће десетице и јединице. 79 . 3 = (80 - 1) . 3 = 80 . 3 - 1 . 3 = 240 - 3 = 237 Први чинилац смо приказали као разлику одговарајуће десетице и јединице. Ове и сличне производе можемо рачунати и овако: ДЈ

ДЈ

Прво множимо јединице датим бројем и производ уписујемо на место јединица у поље са десне стране. Затим множимо десетице и уписујемо производ на место десетица.

23 . 3 = 69 Пример 1.

Користећи приказани начин лако ћемо израчунати: 32 . 2 = 64

43 . 2 = 86

12 . 4 = 48

11 . 8 = 88

У примерима попут овог поступамо на следећи начин: ДЈ

ДЈ

23 . 4 = 92

4 . 3 = 12 4.2=8 8 + 1 = 9Д

Број 12 има 1Д и 2Ј. На месту јединица пишемо 2. Затим, множимо 2Д бројем 4, па на добијених 8Д додајемо ону претходну 1Д, па имамо 9Д. Уписујемо 9 испред уписане цифре 2. Производ је 92.

Може и овако: 4 . 6 = 24 4 . 3 = 12

36 . 4 =144

4 јединице записујемо , а две десетице памтимо. Сабирамо 12 и 2 десетице које смо упамтили. Добијамо 14 и записујемо. Производ је 144.

Резултат множења можемо записати и на начин приказан у примерима: Пример 2. Множење двоцифреног броја једноцифреним, можемо записати и на овај начин: 46 . 3 53 . 5 73 . 4 63 . 7

138



29 . 8 232 60

265 77 . 9 693



292 64 . 8 512

441 37 . 5 185

ДЕЉЕЊЕ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ БРОЈЕМ Мама је замолила Рељу да распореди 9 жутих и 12 плавих тањира на три полице, тако да на свакој полици буде једнак број тањира.

Реља је задатак решио на овај начин: Најпре је распоредио жуте тањире тако што је на свакој полици ставио по 9 : 3 = 3 тањира. Затим је распоредио плаве тањире, тако што је на свакој полици ставио по: 12 : 3 = 4 тањира. Дакле, на свакој полици има по 3 жута и 4 плава тањира. Укупно, на полици има 9 : 3 + 12 : 3 = 3 + 4 = 7 тањира. Реља је тањире могао да распореди и на следећи начин: (9 + 12) : 3 = 21 : 3 = 7 Важи: (a + b) : c = ( a : c ) + ( b : c ) Пример 1. Aкo дељеник напишемо у облику збира погодних сабирака, количник ћемо израчунати као у овом примеру: 77 : 7 = ( 70 + 7 ) : 7 = 70 : 7 + 7 : 7 = 10 + 1 = 11. Ово правило се користи као олакшица у рачунању. Понекад је једноставније дељеник приказати као разлику два погодна броја, као у примеру:

87 : 3 = (90 – 3) : 3 = 90 : 3 – 3 : 3 = 30 – 1 = 29

Важи: (а - b) : c = a : c – b : c. Пример 2. Израчунајмо количник 96 : 4 на два начина, приказујући дељеник као збир или као разлику погодних бројева. ( 80+ 16 ) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24 ( 100 – 4 ) : 4 = 100 : 4 – 4 : 4 = 25 – 1 = 24

61

ДЕЉЕЊЕ ДВОЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ Посластичар треба да распореди 36 торти у три фрижидера тако да у сваком фрижидеру буде једнак број торти . Колико торти ће бити у сваком фрижидеру? Задатак решавамо: 36 : 3 = (30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 10 + 2 = 12 У сваком фрижидеру ће бити по 12 торти. Пример 1. Користећи приказани начин лако израчунавамо 46: 2.

46 : 2 = ( 40 + 6 ) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23

Дељење можемо извршити и на следећи начин: 68 : 2 = 34 -___ 6 8 8 ___ 0 81 : 3 = 27 -6 ___ 21 -21 ___ 0

6:2=3 8:2=3

провера: 3 . 2 = 6 провера: 4 . 2 = 6 крај дељења

8 : 3 = 2 провера: 2 . 3 = 6 21 : 3 = 7 провера: 7 . 3 = 21 крај дељења

6-6 =0 8-8 =0

6-6 =0 21 - 21 = 0

Пример 2. Ако је дељеник 91 , а делилац 7, количник израчунавамо овако: 91 : 7 = 13 -___ 7 21 -___ 21 0 Пример 3. Понекад се приликом дељења добије остатак који је већи од нуле, а мањи од делиоца. 46 : 3 = 15 -___ 3 16 -___ 15 1

остатак при дељењу

Пример 4. Користећи приказани поступак одредићемо остатак при дељењу: 76 : 5, 59 : 4 и 82 : 7. 76 : 5 = 15 -___ 5 26 -___ 25 1

62

59 : 4 = 14 -___ 4 19 -___ 16 3

82 : 7 = 11 -___ 7 12 -7 ___ 5

МНОЖЕЊЕ ТРОЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ У једном реду воћњака има 123 стабла крушке. Колико стабала крушке има у 3 таква реда? Задатак решавамо применом правила множења збира: 123 . 3 = (100 + 23) . 3 = 100 . 3 + 23 . 3 = 300 + 69 = 369. Пример 1. На сличан начин можемо израчунати 212 . 4 = (200 + 12 ) . 4 = 200 . 4 + 12 . 4 = 800 + 48 = 848 Овакве и сличне задатке можемо решити и на други начин. Пример 2.

123 . 3

1)прво множимо 3Ј бројем 3:

3 . 3 = 9

2) затим множимо 2Д бројем 3:

3.2=6

3) на крају множимо 1С бројем 3:

3.1=3 123 . 3 = 369

Пример 3. Користећи правило множења збира, израчунајмо 223 . 4; 223 . 4 = (200 + 23 ) . 4 = 200 . 4 + 23 . 4 = 800 + 92 = 892. Задатак можемо решити и на други начин: 223 . 4 = 892

1) 4 . 3 = 12 записујемо само 2 јединице, десетицу памтимо;

223.4

2) 4 . 2 = 8 8Д + 1Д = 9Д , записујемо 9

892

3) 4 . 1 = 4

Пример 4. Најмањи четвороцифрени број умањи за производ бројева 327 и 2.

1000 – ( 327 . 2 ) = 1000 – 654 = 346

Пример 5. (227 . 2) + ( 136 . 3 ) = 454 + 408 = 862 (342 . 2) - (137 . 3) = 684 - 411 =273 917 - (235 . 3) = 917 - 705 = 212 63

ДЕЉЕЊЕ ТРОЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ Јованка је засадила 693 садница паприке у три реда, тако да је у сваком реду био једнак број садница паприке. Колико садница је било у сваком реду? Задатак можемо решити користећи правило дељења збира бројем: 693 : 3 = (600 + 93) : 3 = 600 : 3 + 93 : 3 = 200 + 31 = 231 Пример 1. На сличан начин можемо израчунати и количник бројева 848 и 4. 848 : 4 = (800 + 48 ) : 4 = 800 : 4 + 48 : 4 = 200 + 12 = 212 Претходни задатак, 693 : 3, можемо извршити и на други начин. 693 : 3 = 231 -____ 6 9 -9 ____ 3 ____3 0

3 се садржи у 6 2 пута, пишемо 2 провера: 2 . 3 = 6, 6 - 6 = 0 3 се садржи у 9 3 пута, пишемо 3 провера: 2 . 3 = 6, 6 - 6 = 0 3 се садржи у 3 1 пут, пишемо 1 провера: 1 . 3 = 3, 3 - 3 = 0

Пример 2. I начин:

585 : 5 = (500 + 85) : 5 = 500 : 5 + 85 : 5 = 100 + 17 = 117.

II начин: 585 : 5 = 117 -____ 5 8 5 ____ 35 35 ____ 0

5 се садржи у 5 1 пут, пишемо 1 провера: 1 . 5 = 5, 5 - 5 = 0 5 се садржи у 8 1 пут, пишемо 1 провера: 1 . 5 = 5, 8 - 5 = 3 (остатак) дописујемо 5 5 се садржи у 35 7 пута, пишемо 7 провера: 7 . 5 = 35, 35 - 35 = 0

Пример 3. Израчунајмо количник збира бројева 324 и 121 и броја 5. (324 + 121) : 5 = 445 : 5 = 89 Пример 4. Израчунајмо количник разлике бројева 1000 и 276 и броја 4. (1000 – 276 ) : 4 = 724 : 4 = 181 Пример 5. Приликом решавања текстуалног задатка неопходно је тачно написати израз. Маја има 644 динара, а Лука 4 пута мање динара од ње. Колико динара имају заједно Маја и Лука? 644 + (644 : 4 ) = 644 + 161 = 805 Заједно имају 805 динара. 64

ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА ОД ПРОМЕНЕ ЧИНИЛАЦА 20 . 3 = 60 1. чинилац

производ

2. чинилац

Како производ зависи од промене чинилаца? Повећајмо први чинилац 2 пута: (20 . 2) . 3 = 40 . 3 = 120

Производ се повећао 2 пута.

Повећајмо други чинилац 2 пута: 20 . (3 . 2) = 20 . 6 = 120

Производ се повећао 2 пута.

Ако један чинилац повећамо два пута и производ је већи два пута. Смањимо први чинилац 4 пута: (20 : 4) . 3 = 5 . 3 = 15 Производ се смањио 4 пута. Ако један чинилац повећамо два пута и производ је већи два пута. Колико се пута повећа или смањи један чинилац, толико се пута повећа или смањи производ. Пример 1. Ако је a . b = 120, лако ћемо израчунати: (2 . а) . b = 120 . 2 = 240; (a : 2) . b = 120 : 2 = 60;

a . ( b : 3 ) = 120 : 3 = 40.

Пример 2. Знајући да је је 8 . 15 = 120, рачунамо 16 . 15 = 120 . 2 = 240 8 . 45 = 120 . 3 = 360 4 . 15 = 120 : 2 = 60

јер је први чинилац повећан два пута; јер је други чинилац повећан три пута; јер је први чинилац смањен два пута.

Пример 3. Примењујући стечено знање можемо закључити да ли ће се променити производ, ако први чинилац повећамо, а други смањимо три пута. 9 . 12 = 108 ( 9 . 3 ) . ( 12 : 3 ) = 27 . 4 = 108 Вредност производа се није променила. Пример 4. Ако знамо да је 9 . 12 = 108 можемо, користећи научена својства, без рачунања знати и да ли је тачно да: 27 . 12 = 324

Да, јер је производ три пута већи као и први чинилац.

9 . 24 = 216

Да, јер је производ два пута већи као и други чинилац

18 . 6 = 108

Да, јер се први чинилац повећао два пута, а други смањио два пута. Вредност производа се није променила.

3 . 36 = 108

Да, вредност производа се није променила.

65

СТАЛНОСТ ПРОИЗВОДА 54 . 5 = 270 1. чинилац

производ

2. чинилац

Кад се при промени чинилаца не мења производ? (54 : 2) . (5 . 2) = 27 . 10 = 270 (54 . 5) . (5 : 5) = 270 . 1 = 270 Производ се не мења ако један чинилац поделимо, а други чинилац помножимо истим бројем. Ово је сталност производа. Пример 1. Користећи својство сталности производа лако ћемо израчунати: 138 . 5 = ( 138 : 2 ) . ( 5 . 2 ) = 69 . 10 = 690 162 . 5 = ( 162 : 2 ) . ( 5 . 2 ) = 81 . 10 = 810 Својство сталности производа нам олакшава рачунање у задацима попут овог: Пример 2. Ако је a . b = 60 израчунајмо: ( a . 2 ) . b = 60 . 2 = 120 Производ је повећан два пута, јер је први чинал повећан два пута. ( a : 2 ) . b = 60 : 2 = 30 Производ је смањен два пута, јер је први чинилац смањен два пута. ( a . 2 ) . ( b : 2 ) = 60 Производ је остао непромењен, јер је први чинилац повећан, а други смањен исти број пута. Пример 3. Својство сталности производа ти олакшава множење , па можеш решити и задатке као: 16 . 25 = (16 : 4 ) . ( 25 . 4 ) = 4 . 100 = 400 (лакше је неки број помножити декадном јединицом) Пример 4. Користећи својство сталности производа, као олакшицу у множењу, брзо израчунавамо производе: 18 . 50 = ( 18 : 2 ) . (50 . 2 ) = 9 . 100 = 900 25 . 32 = ( 25 . 4 ) . (32 : 4 ) = 100 . 8 = 800 36 . 25 = ( 36 : 4 ) . (25 . 4 ) = 9 . 100 = 90 66

ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ПРОМЕНЕ ДЕЉЕНИКА И ДЕЛИОЦА 24 : 4 = 6 дељеник

количник

делилац

Како се мења количник ако променимо дељеник? Повећајмо дељеник 2 пута: (24 . 2) : 4 = 48 : 4 = 12

Количник се повећао 2 пута.

Смањимо дељеник 2 пута: (24 : 2) : 4 = 12 : 4 = 3

Количник се смањио 2 пута.

Колико пута се повећа или смањи дељеник, толико пута се повећа или смањи количник. Можемо рећи да се количник мења исто као и дељеник. Како се мења количник ако променимо делилац? Повећајмо делилац 2 пута: 24 : (4 . 2) = 24 : 8 = 3

Количник се смањио 2 пута

Смањимо делилац 2 пута: 24 : (4 : 2) = 24 : 2 = 12

Количник се повећао 2 пута

Колико пута се повећа или смањи делилац, толико пута се смањи или повећа количник. Можемо рећи да се количник мења супротно од промене делиоца. Пример 1. Користећи научено својство лако ћемо израчунати. Ако је a : b = 100 израчунајмо: (a . 5 ) : b = 100 . 5 = 500

Количник се повећао, јер се повећао и дељеник.

(a : 5 ) : b = 100 : 5 =20

Количник се смањио, јер се смањио и дељеник.

a : ( b . 4 ) = 100 : 4 = 25

Количник се смањио, јер се делилац повећао.

a : ( b : 4 ) = 100 . 4 = 400

Количник се повећао јер се делилац смањио.

( а : 3 ) : ( b : 3) = 100

Количник је остао непромењен.

Пример 2. Користећи научено својство без рачунања можемо решити. Количник бројева а и b je 180. Израчунајмо: ( 5 . a ) : b = 900, jeр je 180 . 5 =900. a : ( 2 . b ) = 90, јер је 180 : 2 = 90. ( a : 4 ) : b = 45, јер је 180 : 4 = 45. ( a : 3 ) : ( b . 3 ) = 20, jeр је 180 : 9 = 20 . Промене дељеника и делиоца довеле су до смањења количника. ( 7 . a ) : ( 7 . b ) = 180. Количник остаје непромењен. 67

СТАЛНОСТ КОЛИЧНИКА 130 : 5 = 26 дељеник

количник

делилац

Када се при промени дељеника и делиоца не мења количник? (130 . 2) : (5 . 2) = 260 : 10 = 26 (130 : 5) : (5 : 5) = 26 : 1 = 26 Количник бројева остаје непромењен , ако дељеник и делилац помножимо или поделимо истим бројем. Ово је сталност количника. Пример 1. Примењујући својство сталности количника израчунаћемо дате количнике: 450 : 5 = (450 . 2) : ( 5 . 2) = 900 : 10 = 90 335 : 5 = (335 . 2) : ( 5 . 2) = 670 : 10 = 67 215 : 5 = (215 . 2) : ( 5 . 2) = 430 : 10 = 43 125 : 5 = (125 . 2) : ( 5 . 2) = 250 : 10 = 25 Својство сталности количника нам је олакшало дељење, јер се бројем 10 лакше дели. Пример 2. Знајући да је лакше делити бројем 2, дате задатке ћемо решити на овај начин: 224 : 4 = (224 : 2) : (4 : 2) = 112 : 2 = 56 560 : 4 = (560 : 2) : (4 : 2) = 280 : 2 = 140 432 : 4 = (432 : 2) : (4 : 2) = 216 : 2 = 108 512 : 4 = (512 : 2) : (4 : 2) = 256 : 2 = 128 Пример 3. Примењујући својство сталности количника издвојили смо и подвукли сваку тачну једнакост. Ако је а : b = 204, онда је :

68

(а : 2) : (b . 2 ) = 204

;

( a . 2 ) : ( b . 2 ) = 204

(а . 2) : (b : 2 ) = 204

;

( a : 2 ) : ( b : 2 ) = 204

(а . 3) : (b . 3) = 204

;

( a : 3 ) : ( b . 3 ) = 204

(а : 6) : (b : 6 ) = 204

;

( a . 6 ) : ( b . 6 ) = 204

ДЕЉЕЊЕ СА ОСТАТКОМ Анита жели да распореди 19 лутака на 3 полице, тако да на свакој полици буде једнак број лутака. Може ли она то да уради? Како је 19 : 3 = 6, и остатак је 1, Анита не може да распореди све лутке. Пример 1. Бројеве : 24 , 25 , 26 , 27 и 28 поделимо бројем 4. Пишемо: 24 : 4 = 6;

25 : 4 = 6 (1);

26 : 4 = 6 (2);

27 : 4 = 6 (3);

28 : 4 = 7

Ако је при дељењу два броја остатак нула, тада кажемо да је већу број дељив мањим бројем. Пример 2. Одредимо остатак при дељењу: а) 12 : 6 = 2; 13 : 6 = 2 (1); 14 : 6 = 2 (2); 15 : 6 = 2 (3); 16 : 6 = 2 (4); 17 : 6 = 2 (5); б) 18 : 6 = 3; 19 : 6 = 3(1); 20 : 6 =3 (2); 21 : 6 = 3 (3); 22 : 6 = 3 (4); 23 : 6 = 3 (5); в) 15 : 5 = 3; 16 : 5 = 3(1); 17 : 5 = 3(2); 18 : 5 =3 (3); 19 : 5 = 3 (4); г) 20: 5 = 4; 21: 5 = 4(1); 22 : 5 = 4(2); 23 : 5 = 4(3); 24 : 5 =4 (4); Остатак при дељењу два броја је увек мањи од делиоца. Пример 3. Ако је делилац број 8 могући остаци су бројеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Пример 4. Можемо одредити дељеник, ако знамо да је: делилац 3, количник 8, а остатак 2

8 . 3 + 2 = 24 +2 =26

делилац 5, количник 6, а остатак 4

6 . 5 + 4 = 30 +4 =34

делилац 7, количник 4, а остатак 5

4 . 7 + 5 = 28 +5 =33

делилац 9, количник 3, а остатак 6

3 . 9 + 6 = 27 +6 =33

делилац 8, количник 7, а остатак 4

7 . 8 + 4 = 56 +4 =60 69

ЈЕДНАЧИНЕ СА НЕПОЗНАТИМ ЧИНИОЦЕМ Који број треба помножити бројем 8 тако да производ буде 576? У овом задатку непознат је чинилац. Обележимо непознати чинилац словом x. Пишемо једначину: 8 . x = 576 Непознати чинилац израчунавамо на основу везе множења и дељења. Важи 576 : x = 8 576 : 8 = x Непознати чинилац рачунамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем. Обавезно проверавамо тачност решења. Решавамо једначину: 8 . x = 576 x = 576 : 8 x = 72 провера: 8 . 72 = 576 Пример 1. Којим бројем треба помножити број 5, да би производ био 915? Непознат је први чинилац , и задатак решавамо овако: x . 5 = 915; x = 915 : 5; x = 183; провера: 183 . 5 = 915 Пример 2. Приликом решавања једначине y . 4 = 798 : 6 најпре ћемо израчунати количник ћемо израчунати непознати чинилац. Пишемо:

Пример 3.

y . 4 = 798 : 6 y . 4 = 136 y = 136 : 4 y = 34 провера: 34 . 4 = 798 : 6 34 . 4 = 136

Уна је замислила један број. Када је тај број увећала 6 пута добила је број 372. Број који је Уна замислила обележимо са m. Пишемо и решавамо једначину: m . 6 = 372. m = 372 : 6 m = 62 провера: 62 . 6 = 372 Уна је замислила број 372. 70

798 : 6, а затим

ЈЕДНАЧИНЕ СА НЕПОЗНАТИМ ДЕЉЕНИКОМ И ДЕЛИОЦЕМ Који број треба поделити бројем 5 тако да количник буде 74? У овом задатку непознат је дељеник. Обележимо непознати дељеник словом x. Пишемо једначину: x : 5 = 74. Непознати дељеник ћемо израчунати користећи знања о вези множења и дељења. Важи 74 . 5 = x. Непознати дељеник рачунамо тако што количник помножимо делиоцем. Обавезно проверавамо тачност решења. Решавамо једначину: x : 5 = 74 x = 74 . 5 x = 370 провера: 370 : 5 =74 Којим бројем треба поделити број 144 тако да количник буде 36? У овом задатку непознат је делилац. Обележимо непознати дељеник словом y. Пишемо једначину: 144 : y = 36. Непознати делилац ћемо израчунати користећи знања о вези множења и дељења. Важи 144 : 36 = x. Непознати делилац рачунамо тако што дељеник поделимо количником. Обавезно проверавамо тачност решења Решавамо једначину: 144 : x = 4 x = 144 : 4 x = 136 провера: 144 : 36 =4

Пример 1.

Којим бројем треба поделити број 7 да би количник био 59? Непознат је дељеник , па задатак решавамо овако: а : 7 = 59;

а = 59 . 7;

а = 413;

провера : 413 : 7 = 59.

Пример 2. У једначини 168 : е = 24, непознат је делилац, па пишемо: е = 168 : 24;

е = 7;

провера : 168 : 7 = 24. 71

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 1000 Примењујући стечена знања о множењу и дељењу природних бројева до 1000 можемо решавати и задатке као у примерима. Пример 1. Производ бројева 12 и 10 припада 2. стотини, јер је 12 . 10 = 120. Производ бројева 7 и 100 припада 7. стотини, јер је 7 . 100 = 700. Пример 2. Количник највећег броја 8. стотине и најмањег троцифреног броја је 8, јер је 800 : 100 = 8. Пример 3. Разлика броја 758 и производа бројева 90 и 8 је 38, јер је 758 – (90 . 8 ) = 758 – 720 = 38. Пример 4. Производ бројева 80 и 8 је већи од количника бројева 210 и 7 за 610, јер је 80 . 8 – 210 : 7 = 640 – 30 = 610. Пример 5. Количник бројева 624 и 6 једноставније израчунавамо, ако дељеник 624 прикажемо као збир 600 + 24, па сваки сабирак поделимо са 6. Пишемо: 624 : 6 = (600 + 24 ) : 6 = 600 : 6 + 24 : 6 = 100 + 4 = 104. Пример 6. Количник бројева 995 и 5 ћемо лакше израчунати, ако дељеник 995 прикажемо као разлику 1 000 - 5. Пишемо: 995 : 5 = (1000 - 5 ) : 5 = 1000 : 5 - 5 : 5 = 200 - 1 = 199. Пример 7. У једначини x : 6 +4 = 22 , уочавамо да је x : 6 непознат сабирак који најпре израчунавамо : x : 6 = 22 – 4 x : 6 = 18, потом израчунавамо непознати дељеник. Биће x = 18 . 6; 72

x = 108;

Провера: 108 : 6 = 18.

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

a

O b

r

O p

ТАЧКА И ПРАВА У два претходна разреда упознали смо се са тачком и правом.

Тачка и права су геометријски објекти. Тачке означавамао великим штампаним словима латинице. Праве цртамо помоћу лењира. Означавамо их малим писаним словима латинице. Праве немају ни почетак ни крај. Зато приликом цртања праве цртамо само један њен део.

A

М

Y

X

B

a b

p На цртежу је нацртана права p и тачке A и B. Тачка А припада правој p, а тачка B не припада. За тачку А рећи ћемо да је на правој p, а за тачку B да је ван праве p. За тачку А кажемо и да је део праве p.

B p

A

Тачка може припадати или не припадати правој. На следећем цртежу нацртане су две различите тачке М и N, и праве које садрже те тачке.

N M

Тачку М садржи више правих, док тачке М и N садржи само једна права. Кроз тачку М смо могли нацртати још више правих него што је на цртежу приказано. Кроз једну тачку можемо нацртати безброј правих. Две различите тачке одређују само једну праву. Праву одређену тачкама М и N означавамо са МN и читамо: права МN. N M 74

ПОЛУПРАВА И ДУЖ У претходна два разреда упознали смо се и са полуправом и дужи.

Полуправа и дуж су геометријски објекти. Полуправе цртамо помоћу лењира. Означавамо их комбинацијом великог штампаног слова латинице и малог писаног слова латинице. Полуправа има почетак, а нема крај.

x p

A

Дуж означавамо навођењем ознака њених крајњих тачака. Цртамо је помоћу лењира. Дуж има почетак и крај. То су њене крајње тачке.

M

B

M

A На следећем цртежу, нацртана је полуправа Sx, дуж GH и тачке C, D, E и F.

N F

x

C

G

D

S

E H

Тачка C припада полуправој Sx, а тачка D не припада. За тачку C рећи ћемо да је на полуправој Sx, а за тачку D да је ван полуправе Sx. За тачку C кажемо и да је део полуправе Sx. Тачка може припадати или не припадати полуправој. Тачка E припада дужи GH, а тачка F не припада. За тачку E рећи ћемо да је на дужи GH, а за тачку F да је ван дужи GH. За тачку E кажемо и да је део дужи GH. Тачка може припадати или не припадати дужи. На следећем цртежу нацртане су права p и тачка А.

p

A

Права p је тачком А подељена на две полуправе. Те пoлуправе можемо нацртати и одвојено. A A 75

РАВАН Познато нам је да су тела и предмети, то јест, неки објекти ограничени површима. Тако је лопта ограничена кривом површи, док је пирамида ограничена са више равних површи. Купа је ограничена и кривом и равном површи. крива равна крива површ површ површ

лопта

пирамида

равна површ

купа

Површи могу бити равне или криве. У учионици, школска табла, прозор и сто представљају равне површи.

Замисли да дужине страница школске табле неограничено повећавамо.

Настала би неограничена равна површ коју називамо раван. Раван приказујемо оваквим цртежом.

Раван је геометријски објекат. Раван замишљамо као неограничену равну површ. На следећем цртежу нацртани су раван, тачка А, права t, полуправа Bb и дуж MN. Тачка А, права t, полуправа Bb и дуж MN припадају равни. Рећи ћемо и да су они у равни, односно да су они делови равни.

У равни се могу наћи и други геометријски објекти, као што су, на пример, квадрат, правоугаоник и троугао.

76

b

B A

M t

N

ПРАВЕ У РАВНИ На следећем цртежу нацртани су раван, праве a и b и тачке A, B и O. B O

A

b

a

Тачка A припада правој a, тачка B припада правој b, а тачка O припада и правој a и правој b. За тачку О кажемо да је заједничка тачка правих a и b. Рећи ћемо и да се праве a и b секу у тачки О. На следећем цртежу приказана је раван и праве m и n у њој.

m n Праве m и n немају заједничких тачака, то јест не секу се. За две праве исте равни које се не секу кажемо да су паралелне праве. Паралелност правих m и n записујемо m ∥ n,

и читамо: m је паралелно са n. За праве m и n рећи ћемо и да су узајамно паралелне праве. Од свих правих које се секу посебно су нам важне и занимљиве међусобно нормалне праве. Такве су, на пример, праве које одређује знак за сабирање +.

c d На цртежу смо такве праве означили словима c и d. Кажемо: права c је нормална на праву d. То записујемо помоћу посебног знака, знака за нормалност ⊥, овако Читамо: c је нормално на d.

c ⊥ d.

За праве c и d рећи ћемо и да су узајамно нормалне праве. 77

ЦРТАЊЕ ПАРАЛЕЛНИХ ПРАВИХ M

На следећем цртежу, приказане су праве m и n и тачка М.

m

Права m садржи тачку М и паралелна је са правом n. n Покажимо у неколико корака како цртамо праву m, ако су дате права n и тачка М. M

Први корак Једну ивицу троугаоног лењира прислонимо уз праву n. M

n

n За цртање паралелних правих потребни су нам лењир и троугаони лењир. Други корак Уз другу ивицу троугаоног лењира прислонимо лењир и, чврсто га држећи другом руком, померамо ивицу троугаоног лењира до тачке М.

Трећи корак Помоћу троугаоног лењира нацртамо праву m.

M

M

n

n

Поред тога што описаним поступком можемо нацртати паралелне праве, њиме можемо и утврдити да ли су нацртане праве паралелне.

Праве су паралелне. 78

Праве нису паралелне.

ЦРТАЊЕ НОРМАЛНИХ ПРАВИХ B

На следећем цртежу приказане су праве а и b, и тачка B. Права b садржи тачку B и нормална је са правом a. Покажимо у неколико корака како цртамо праву b, ако су дате права a и тачка B.

a b Први корак Уз праву а поставимо троугаони лењир тако да његова друга ивица пролази кроз тачку B, као на цртежу.

B B a a Други корак Нацртамо праву која пролази кроз тачку B.

B

Трећи корак Продужимо нацртану праву тако да она сече праву a, и обележимо је са b.

B

a

a

b Поред тога што помоћу троугаоног лењира можемо нацртати нормалне праве, њиме можемо и утврдити да ли су нацртане праве нормалне.

Праве су нормалне.

Праве нису нормалне. 79

КРУЖНА ЛИНИЈА И КРУГ На цртежу је нацртано неколико затворених кривих линија.

Од свих затворених кривих линија посебно издвајамо ову затворену криву линију.

Називамо је кружна линија или краће кружница, и означавамо је словом k. Кружна линија је геометријски објекат. На следећем цртежу нацртана је кружна линија k и бојом је истакнут део равни који је ограничен том кружном линијом.

Кружна линија заједно са делом равни који је њоме ограничен чини геометријски објекат који називамо круг. Круг означавамо словом K. Ограничени део равни називамо унутрашњост круга K. Рећи ћемо и Круг је део равни ограничен кружном линијом. За круг K кажемо да је одређен кружном линијом k. B P На следећем цртежу нацртане су тачке А, B, M, N, P, T, кружна линија k и круг K одређен том кружном линијом. A

M

N

T

Тачке P и T припадају кружној линији k. Рећи ћемо и да су те тачке на кружној линији k. Тачке M, N, P и T припадају кругу K. Кажемо и да су оне у кругу K. Тачке M и N припадају унутрашњости круга K. Тачке А и B су ван круга K. 80

ЦРТАЊЕ КРУЖНЕ ЛИНИЈЕ И КРУГА За цртање кружне линије можемо користити разне предмете чија је нека страна круг. Тако, на пример, помоћу металног новчића можемо нацртати кружну линију тако што једном руком држимо метални новчић прислоњен уз папир, а другом руком око металног нивчића обиђемо оловком. Међутим, кружну линију најлакше и најпрецизније цртамо помоћу шестара. Он се састоји од два крака. Један крак се завршава иглом, а други неком оловком. Игла шестара је уједно и врх шестара. Кружну линију, помоћу шестара, цртамо овако: Први корак

Други корак

Трећи корак

У равни цртежа означимо једну тачку. Ту тачку називамо центар или средиште кружне линије, и најчешће је обележавамо словом О.

Врх шестара поставимо у означену тачку. Он је све време цртања непомичан.

Једном руком држимо шестар за горњи, издвојени део, а другом руком помичемо крак који се завршава оловком, тако да врх оловке оставља траг на папиру.

O

O

O r к

Отвор шестара одређује растојање свих тачака на кружној линији од центра кружне линије. То растојање је увек једнако, јер су приликом цртања кружне линије краци шестара увек једнако размакнути. Све тачке кружне линије су на једнаком растојању од центра кржне линије. То растојање називамо полупречник или радијус кружне линије, и означавамо словом r. На основу цртања кружне линије можемо рећи: Кружна линија је геометријски објекат у равни чије су све тачке на једнаком растојању од дате тачке коју називамо центар кружне линије. 81

Дакле, за цртање кружне линије морамо знати центар и дужину полупречника кружне линије. На следећем цртежу нацртане су две различите тачке O и L. Можемо нацртати кружну линију са центром у тачки О која садржи тачку L. L L

O

O

k Дакле, кружну линију можемо нацртати ако су нам дате две тачке, од којих је једна центар кружне линије, а друга припада кружној линији. На следећем цртежу нацртане су тачке А, B, O и кружна линија k са центром у тачки О. А Тачке А и B припадају кружној линији k тако да дуж АB садржи центар O. Дуж АB називамо пречник кружне линије, и означавамо са R или са d.

R O k

B

R O

Дуж која спаја две тачке кружне линије и која садржи њен центар називамо пречник или дијаметар кружне линије.

r k

Цртањем кружне линије истовремено цртамо и круг, јер је круг одређен кружном линијом. Све што је речено приликом цртања кружне линије важи и приликом цртања круга. Једино је потребно истицањем унутрашњости круга нагласити да је нацртан круг.

R O

O K

r K

Центар, полупречник и пречник кружне линије су уједно центар, полупречник и пречник круга. Често ћемо истим цртежом представљати и кружну линију и круг. Ознаком поред цртежа нагласићемо да ли смо нацртали кружну линију или круг.

O

O k

82

K

УГАО И ОБЕЛЕЖАВАЊЕ УГЛОВА На следећем цртежу нацртане су две праве које се секу у тачки О.

O Те две праве деле раван на четири дела. Сваки од тих делова равни, одређен је двема полуправама које имају исту почетну тачку.

O За сваки од тих делова равни рећи ћемо да је ограничен тим полуправама.

O

Угао је геометријски објекат кога чине две полуправе са заједничким почетком и део равни њима ограничен.

Заједничка тачка полуправих је теме угла, а свака од полуправих је крак угла. Део равни који је одређен тим полуправима је унутрашњост угла.

к

теме угла

к ра

у гл

а

унутрашњост угла O кр ак у гл а

Убудуће, уместо бојом, унутрашњост угла ћемо означавати помоћу лука, као на следећем цртежу.

O

O

83

На следећем цртежу приказан је угао чије је теме тачка О, а краци полуправе Oa и Ob.

a

O

b Означавамо га са ∢aOb, и читамо: угао aOb. Понекад, када не може доћи до забуне, угао означавамо помоћу његовог темена. У нашем примеру бисмо писали ∢O.

Ако на крацима угла означимо тачке A и B, као што је на следећем цртежу

a

А

O B b тада тај угао можемо означити и овако: ∢АOB, ∢AOb, ∢aOB.

На следећем цртежу, нацртан је угао aOb и тачке A, B, M, N, P и S.

a

А M O B S

P N

b

Тачке A, B, M, N, P и O припадају углу aOb, док тачка S не припада. За тачке A, B, M, N, P и O рећи ћемо да су у углу aOb, док за тачку S кажемо да је ван угла aOb. Тачке A, B, N и O су на крацима угла aOb, а тачке M и P су у унутрашњости угла aOb. 84

ПРАВ УГАО На следећем цртежу нацртане су две узајамно нормалне праве а и b.

O Оне у равни одређују четири угла.

O Сваки од тих углова називамо прав угао. Угао чију су краци међусобно нормални је прав угао. Праве углове цртамо помоћу троугаоног лењира.

b

b

O

a

O

a

Поред тога што помоћу троугаоног лењира можемо нацртати прав угао, њиме можемо и утврдити да ли је нацртан угао прав.

прав угао

није прав угао

није прав угао 85

ОШТАР И ТУП УГАО На следећем цртежу нацртан је прав угао aOb. Ако нацртамо и полуправу Оm која припада унутрашњости тог угла, можемо уочити још два угла: ∢aOm и ∢mOb.

b

m

b

a

O

a

O

Сваки од новонасталих углова је мањи од правог угла. Називамо их оштри углови. Оштар угао је мањи од правог угла. Помоћу троугаоног лењира утврђујемо да ли нацртани угао оштар.

y

x

O

O

На следећем цртежу нацртан је прав угао aOb. Ако нацртамо и полуправу Оn која не припада унутрашњости тог угла, можемо уочити још два угла: ∢aOn и ∢bOn.

n

b

b

a

O

a

O

Угао bOn је оштар угао, јер је мањи од правог угла, док је угао aOn већи ид правог угла, а мањи од два права угла. Такав угао називамо туп угао. Туп угао је већи од правог угла, а мањи од два права угла. Помоћу два троугаона лењира утврђујемо да ли нацртани угао туп.

r

r

O 86

p

O

p

ПОРЕЂЕЊЕ И НАДОВЕЗИВАЊЕ ДУЖИ На следећем цртежу нацртане су дужи МN, KL, OP и TS.

N М

O

K

L

P S

T Помоћу лењира измеримо дужину сваке од њих. Добијамо MN = 8 cm, KL = 50 mm, OP = 7 cm и TS = 60 mm. Запис, на пример, MN = 8 cm читамо: дужина дужи MN је 8 cm. Користећи знакове < или > можемо записати односе међу датим дужима: KL < TS < OP < МN. Дакле, од нацртаних дужи накраћа је дуж KL, а најдужа је дуж МN. На следећем цртежу приказане су дужи AB, GH и CD.

A

C

B

G

D

H

Помоћу шестара можемо упоредити дуж GH са дужима AB и CD. То радимо на следећи начин: 1) Врх игле поставимо у тачку G, врх оловке у тачку H. 2) Не померајући краке шестара, растојање врха игле до врха оловке упоређујемо са дужинама дужи AB и CD.

G

H

A

B

C

D

У нашем примеру је GH < AB, GH > CD. 87

На следећем цртежу нацртане су дужи AB = 5 cm, CD = 3 cm.

A

B

C

D

Колика ће бити дужина дужи EF ако је њена дужина једнака збиру дужина дужи AB и CD? Како је 3 + 5 = 8, то је и 3 cm + 5 cm = 8 cm, па је дужина дужи ЕF 8 cm. То записујемо овако EF = AB + CD. Дужину дужи EF можемо одредити и на други начин, помоћу надовезивања, то јест графичког сабирања дужи AB и CD. Објаснимо тај поступак у неколико корака. Први корак

Нацртамо праву a.

a Други корак

На правој a нацртамо тачку А, произвољно.

a Трећи корак Узмемо у отвор шестара дужину дужи AB. Врх шестара поставимо у тачку А праве а, и помоћу шестара на правој а одредимо тачку B.

a

A

B

D

Четврти корак Узмемо у отвор шестара дужину дужи CD. Врх шестара поставимо у тачку B праве а и са оне стране праве а са које није тачка А, одредимо тачку D.

a

A

B

D

За дуж AD кажемо да је настала надовезивањем, то јест графичким сабирањем дужи AB и CD. Тражена дужина дужи EF биће једнака дужини дужи AD. Слично се надовезују, то јест графички сабирају, три и више дужи. 88

ЧЕТВОРОУГАО На следећем цртежу нацртана је затворена изломљена линија ABCD.

Та изломљена линија се састоји од четири дужи: AB, BC, CD и DA. На следећем цртежу бојом је истакнут део равни који је ограничен том затвореном изломљеном линијом.

D

D

C

A

C

A

B

B

Затворена изломљена линија састављена од четири дужи заједно са делом равни који је њоме ограничен чини геометријски објекат који називамо четвороугао. Ограничени део равни називамо унутрашњост четвороугла. Рећи ћемо и Четвороугао је део равни ограничен затвореном изломљеном линијом састављеном од четири дужи. Тачке А, B, C и D су темена четвороугла ABCD. Дужи: AB, BC, CD и DA су странице или ивице тог четвороугла. Четвороугао ABCD има четири угла. Отуда му и назив. Углове обележавамо помоћу темена А, B, C, и D:

D

Убудуће, приликом цртања четвороугла, нећемо бојом истицати његову унутрашњост.

∢А, ∢B, ∢C и ∢D.

D

C

A

C

A

страница или ивица четвороугла

угао четвороугла

B

теме четвороугла

B

89

ПРАВОУГАОНИК И КВАДРАТ Од свих четвороуглова издвајамо онај коме су сви углови прави. Називамо га правоугаоник. Четвороугао коме су сва четири угла права је правоугаоник. Тачке А, B, C и D су темена правоугаоника ABCD. Дужи: AB, BC, CD и DA странице или ивице тог правоугаоника.

угао правоугаоника

Странице правоугаоника које имају заједничко теме називају се суседне странице. У правоугаонику ABCD суседне странице су, на пример: AB и BC.

D

C

A D

B C

страница или ивица правоугаоника теме правоугаоника

B

A

Странице правоугаоника које немају заједничко теме називају се несуседне или наспрамне странице. У правоугаонику ABCD наспрамне странице су, на пример: AB и CD.

D

C

D

C

A

B

A

B

Помоћу лењира или шестара можемо утврдити да су наспрамне странице правоугаоника једнаке:

Странице правоугаоника се често обележавају и малим писаним словима латинице: AB = CD = а BC = DA = b

AB = CD и BC = DA.

D

D

C

C

a

b A

B

A

b a

B

Од свих правоугаоника издвајамо онај чије су све странице једнаких дужина. Називамо га квадрат. Правоугаоник коме су све странице једнаке је квадрат. AB = BC = CD = DA = а Све странице и сви углови квадрата су међусобно једнаки.

90

D

a

а A

C а

a

B

ЦРТАЊЕ ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА НА КВАДРАТНОЈ МРЕЖИ На цртежу је нацртана квадратна мрежа. Она се састоји од усправних и водоравних правих линија које се секу под правим углом. За цртање правоугаоника и квадрата на квадратној мрежи довољан нам је лењир.

На следећем цртежу приказано је неколико правоугаоника и квадрата који су нацртани на квадратној мрежи.

91

ЦРТАЊЕ ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА ПОМОЋУ ТРОГАОНОГ ЛЕЊИРА Правоугаоник и квадрат можемо цртати и ван квадратне мреже, јер смо научили да цртамо прав угао. Покажимо, на примеру правоугаоника чије су суседне странице AB = 6 cm и BC = 2 cm, како помоћу троугаоног лењира цртамо правоугаоник. Други корак. Из темена B нацртамо прав угао. Одређујемо теме C тако да је BC = 2 cm.

Први корак. Нацртамо дуж AB = 6 cm.

C

B

A

Трећи корак. Из темена C нацртамо прав угао. Одређујемо теме D тако да је CD = AB = 6 cm.

C

D

B

A

B

A Четврти корак. Спајамо темена А и D.

C

D

B

A

Тако смо нацртали правоугаоник коме су задате дужине страница. Слично као у претходном поступку цртамо и квадрат помоћу троугаоног лењира. На следећем цртежу приказан је поступак цртања квадрата чија је страница 4 cm.

C

92

A

B

A

B

D

C

D

C

A

B

A

B

ЦРТАЊЕ ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА ПОМОЋУ ШЕСТАРА И ТРОУГАОНОГ ЛЕЊИРА Правоугаонике и квадрате можемо цртати и помоћу шестара и троугаоног лењира. Покажимо на примеру правоугаоника, чије су суседне странице 4 cm и 2 cm, како то радимо. Први корак. Нацртамо две дужи, једну дужине 4 cm, а другу дужине 2 cm.

Други корак. Нацртамо праве а и b које се секу под правим углом. Са А обележимо њихову заједничку тачку.

b

a

A

Трећи корак. Узмемо у отвор шестара, на Четврти корак. Узмемо у отвор шестара дужину пример, дужину дужи од 4 cm. Врх шестара дужи од 2 cm. Врх шестара поставимо у тачку А и поставимо у тачку А и помоћу шестара на правој помоћу шестара на правој b одредимо тачку D. а одредимо тачку B.

b

A

b D

B

a

Пети корак. Узмемо у отвор шестара дужину дужи AB. Врх шестара поставимо у тачку D и помоћу шестара нацртамо део кружне линије.

b D

A

A

B

a

Шести корак. Узмемо у отвор шестара дужину дужи AD. Врх шестара поставимо у тачку B и помоћу шестара нацртамо део кружне линије, али тако да она има пресек са већ нацртаним делом кружне линије.

b D B

a A

Седми корак. Пресек делова кружних линија обележимо словом C.

b D

C

A

B

a

B

a

Осми корак. Лењиром спојимо тачке B и C, па затим и D и C.

b D

C

A

B

a

Тако смо, помоћу шестара и троугаоног лењира, нацртали правоугаоник чије су суседне странице 4 cm и 2 cm. 93

Слично као у претходном поступку, помоћу шестара и троугаоног лењира цртамо и квадрат. На следећим цртежима приказан је поступак цртања квадрата.

b

Ba

A

B

A

b

b D Ba

Ba

A b D

b D

A

b D

Ba

A

C

b D

Ba

A

Ba

A

C B a

A

Правоугаоник, помoћу шестара и троугаоног лењира, можемо нацртати и овако. Трећи корак. Други корак. Први корак. Обележимо пресечне тачке Конструишемо кружну Нацртамо две праве a и b које правих и кружне линије. се секу и обележимо њихов линију са центром у тачки О Добијене тачке спојимо дужима. пресек са О. произвољног полупречника.

O

O b

a

O b

a

b

a

Слично као у претходном поступку, помоћу шестара и троугаоног лењира цртамо и квадрате, уз напомену да праве а и b морају да се секу под правим углом. На следећим цртежима приказан је поступак цртања квадрата.

a

O b

94

a

O b

a

O b

ОБИМ ПРАВОУГАОНИКА Нека је ABCD правоугаоник, као на цртежу.

D

a

C

b

b

A

B

a

Странице правоугаоника су дужи AB = а, BC = b, CD = а и DA = b. Надовезивањем те дужи можемо пренети на праву p.

p

a

a

b

b

Тако добијамо дуж чија је дужина AB + BC + CD + DA, то јест а + b + a + b. Ту дужину називамо обим правоугаоника и означавамо словом О. Дакле, О = а + b + a + b. Обим правоугаоника једнак је збиру дужина свих његових страница. Како је а + b + a + b = а + a + b + b = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b), пишемо и Пример 1.

О = 2 ⋅ (a + b).

Ако су странице правоугаоника а = 5 cm и b = 2 cm, тада је његов обим

О = 2 ⋅ (a + b) = 2 ⋅ (5 cm + 2 cm) = 2 ⋅ 10 cm = 20 cm.

Пример 2. Обим правоугаоника је 80 cm. Ако је једна његова страница дужине 15 cm, колика је дужина друге странице? Означимо дужину познате странице словом а, а дужину странице коју треба да израчунамо означимо са b. Тада је а = 15 cm, а О = 80 cm, и О = 2 ⋅ (a + b) 80 cm = 2 ⋅ (15 cm + b) 80 cm : 2 = 15 cm + b 40 cm = 15 cm + b b = 40 cm - 15 cm b = 25 cm. Друга страница правоугаоника је дужине 25 cm. 95

ОБИМ ОБИМ ПРАВОУГАОНИКА КВАДРАТА Нека је ABCD квадрат, као на цртежу.

D

a

C a

a A

B

a

Како је квадрат правоугаоник коме су све странице једнаких дужина: AB = BC = CD = DA = а помоћу обима правоугаоника О = а + b + a + b можемо изразити и обим квадрата: О=а+а+a+а Обим квадрата једнак је збиру дужина свих његових страница. Како је а + а + a + а = 4 ⋅ a, пишемо и Пример 1.

О = 4 ⋅ a.

Ако је страница квадрата а = 3 cm тада је његов обим

О=4⋅a = 4 ⋅ 3 cm = 12 cm

Пример 2. Обим квадрата је 32 cm. Колика је дужина његове странице? Означимо дужину странице словом а. Тада је О = 32 cm, и О=4⋅a 32 cm = 4 ⋅ a а = 32 cm : 4 а = 8 cm Дужина страница квадрата је 8 cm.

96

ТРОУГАО На следећем цртежу нацртана је затворена изломљена линија ABC.

A

Та изломљена линија се састоји од три дужи: AB, BC и CA.

C

B A На следећем цртежу бојом је истакнут део равни који је ограничен том затвореном изломљеном линијом.

C

B Затворена изломљена линија састављена од три дужи заједно са делом равни који је њоме ограничен чини геометријски објекат који називамо троугао. Ограничени део равни називамо унутрашњост троугла. Рећи ћемо и Троугао је део равни ограничен затвореном изломљеном линијом састављеном од три дужи.

A страницa или ивица троугла

C

B

теме троугла

угао трогла

Тачке А, B и C су темена троугла ABC. Дужи: AB, BC и CA су странице или ивице тог троугла. Троугао ABC има три угла. Отуда му и назив. Углове обележавамо помоћу темена А, B и C: ∢А, ∢B и ∢C.

A Убудуће, приликом цртања троугла, нећемо бојом истицати његову унутрашњост.

C

B A b

c B

Странице троугла се, често, обележавају и малим писаним словима латинице:

a

C

AB = c BC = a CA = b 97

ВРСТЕ ТРОУГЛОВА ПРЕМА СТРАНИЦАМА На следећем цртежу нацртана су три троугла: △АBC, △KLM и △PRS.

A

K

C

B

L

M

P

R

Помоћу лењира или шестара можемо утврдити да су: • све три странице тругла АBC једнаких дужина; • тачно две странице троугла KLM једнаких дужина; • све три странице троугла PRS различитих дужина.

A

Троугао коме су све три странице једнаких дужина називамо једнакостраничан троугао. AB = BC = CA

C

B

Ако су у троуглу тачно две странице једнаких дужина, тада за сваку од њих кажемо да је крак тог троугла, а за сам троугао рећи ћемо да је једнакокрак. Трећу страницу називамо основица.

K

Троугао коме су тачно две странице једнаких дужина називамо једнакокрак троугао.

M

L

KL = KM Троугао коме су све три странице различитих дужина називамо разностраничан троугао.

P

R

S Према страницама троугла разликујемо једнакостраничне, једнакокраке и разностраничне троуглове.

98

S

ВРСТЕ ТРОУГЛОВА ПРЕМА УГЛОВИМА На следећем цртежу нацртана су три троугла: △DEF, △GHI и △UVT.

D

G

F

E

I

H

U

V

T

Помоћу троугаоног лењира можемо утврдити: • да су сва три угла тругла DEF оштра; • да је тачно један угао троугла GHI прав; • да је тачно један угао троугла UVT туп. Троугао коме су сва три угла оштра називамо оштроугли троугао.

D

F

E

Троугао коме је тачно један угао прав називамо правоугли троугао.

G

I

H U

Троугао коме је тачно један угао туп називамо тупоугли троугао.

V

T 99

ЦРТАЊЕ ТРОУГЛА Покажимо на примеру троугла чије су странице АB = 3 cm, BC = 5 cm и CA = 4 cm, како,помоћу лењира и шестара цртамо троугао. Први корак. Други корак. Нацртамо задате дужи: АB, BC и CA. Нацртамо праву p и на њој, на пример, тачку B.

A B C

B C

p B

D

Трећи корак. Узмемо у отвор шестара дужину дужи BC. Врх шестара поставимо у тачку B праве p и помоћу шестара на правој p одредимо тачку C.

p B

C

Пети корак. Узмемо у отвор шестара дужину дужи CA. Врх шестара поставимо у тачку C праве p, и помоћу шестара нацртамо део кружне линије, али тако да она има пресек са већ нацртаним делом кружне линије.

p B

C

Четврти корак. Узмемо у отвор шестара дужину дужи AB. Врх шестара поставимо у тачку B праве p и помоћу шестара нацртамо део кружне линије.

p B

C

Шести корак. Пресек делова кружних линија обележимо словом А.

p B

Седми корак. Лењиром спојимо тачке A и B, па затим и A и C.

C А

p B

C

Тако смо нацртали троугао коме су задате дужине страница. У претходном примеру дужине страница троугла су биле различите. Истим поступком бисмо нацртали и троугао коме су све три странице једнаке, односно троугао коме су две странице једнаке. 100

ОБИМ ТРОУГЛА Нека је ABC троугао, као на цртежу.

A b

c

C

a

B

Странице троугла су дужи BC = а, CA = b и AB = c. Надовезивањем, те дужи можемо пренети на праву p.

p

a

c

b

Тако добијамо дуж чија је дужина BC + CA + AB, то јест а+b+c Ту дужину називамо обим троугла и означавамо словом О. Дакле, О=а+b+c Обим троугла једнак је збиру дужина свих његових страница. На следећем цртежу, нацртан је једнакостраничан троугао.

A a B

a a

C

Како су у једнакостраничном троуглу све странице једнаких дужина: AB = BC = CA = а помоћу обима троугла О = а + b + c можемо изразити и обим једнакостраничног троугла: О=а+а+a Како је а + а + а = 3 ⋅ a, пишемо и

О=3⋅a

101

На следећем цртежу нацртан је једнакокраки троугао.

A

b

B

b

a

C

Како су у једнакокраком троуглу две странице једнаких дужина: AB = АC = b BC = a помоћу обима троугла О = а + b + c можемо изразити обим и једнакокраког троугла: О=а+b+b Како је а + b + b = a + 2 ⋅ b, пишемо и

Пример 1.

О=a+2⋅b

Обим једнакостраничног троугла је 15 cm. Колика је дужина странице тог троугла? Означимо дужину странице a. Тада је О = 15 cm и О=3⋅а 15 cm = 3 ⋅ а а = 15 cm : 3 а = 5 cm Дужина странице је 5 cm. Пример 2. Основица једнакокраког троугла је 8 cm. Обим троугла је 5 dm. Колика је дужина крака? Означимо дужину основице словом а, а дужину крака са b. Тада је а = 8 cm, О = 5 dm = 50 cm, и Дужина крака је 21 cm. 102

О = а + 2 ⋅ b 50 cm = 8 cm + 2 ⋅ b 2 ⋅ b = 50 cm − 8 cm 2 ⋅ b = 42 cm b = 42 cm : 2 b = 21 cm

РАЗЛОМЦИ

1 1 1 РАЗЛОМЦИ 2_ , 4_ , 8_

На првом цртежу нацртан је круг. Њиме је графички представљена целина или једно цело. На другом цртежу круг је подељен на два једнака дела. Сваки тако добијени део називамо половина. На трећем цртежу бојом је истакнут један такав део. Математички га означавамо са

1 _ 2

и читамо: једна половина или, само кратко, половина. Једно цело има две половине.

Целина може бити подељена и на више једнаких делова. На следећим цртежима круг је подељен на четири једнака дела или на четвртине. Бојом је истакнут један такав део.

Математички га означавамо са

1 _ 4

и читамо: једна четвртина или, само кратко, четврина.

Једно цело има четири четвртине.

На следећим цртежима круг је подељен на осам једнаких делова или на осмине. Бојом је истакнут један такав део.

Математички га означавамо са

1 _ 8

и читамо: једна осмина или, само кратко, осмина. 104

Једно цело има осам осмина.

Једно цело има: 1 _ 2

Две половине 1 _ 4

Четири четвртине Осам осмина

1 _ 2

1 _ 8

1 _ 4 1 _ 8

1 _ 8

1 _ 4 1 _ 8

1 _ 8

1 _ 4 1 _ 8

1 _ 8

1 _ 8

У математици, али и у свакодневном животу, потребно је неку целину поделити на више једнаких делова. Сваки од тих делова целине изражавамо помоћу броја који називамо разломак. Разломак се састоји из два броја која су раздвојена цртом, коју називамо разломачка црта. Број испод разломачке црте одређује на колико једнаких делова је подељена целина. Називамо га именилац разломка, јер он именује сваки од једнаких делова целине. Број изнад разломачке црте, означава, односно броји, колико је једнаких делова целине издвојено. Називамо га бројилац. У нашим примерима бројилац је увек број 1. Целина не мора бити представљена само графички. За целину можемо сматрати и неки број, именовани број, или број ученика, број кликера, број аутомобила,… Пример 1. Ако је целина број 32, онда је: 1 _ од 32 број 16, јер је 32 : 2 = 16 2 1 _ од 32 број 8, јер је 32 : 4 = 8 4 1 _ од 32 број 4, јер је 32 : 8 = 4 8 Да бисмо одредили један део неке целине који је представљен разломком, целину треба поделити на онолико једнаких делова колики је именилац тог разломка. У претходном примеру одређивали смо део целине. Често је потребно одредити целину, ако нам је познат њен део. _ дужине дужи 15 cm, колика је дужина целе дужи? Пример 2. Ако је 1 8 1 _ 8 15 cm _ Како целина има осам осмина, и како је дужина 1 8 дужи 15 cm, тада је дужина целе дужи 8 ⋅ 15 cm = 120 cm

105

1 1 1 РАЗЛОМЦИ 3_ , 6_ , 9_ У претходној лекцији целина је графички представљена кругом. Сада ћемо целину графички представити правоугаоником и упознати још неке разломке.

Овај правоугаоник је подељен на три једнака дела. Сваки тако добијени део називамо трећина. Један такав део математички означавамо са

1 _ 3 и читамо: једна трећина или, само кратко, трећина.

Једно цело има три трећине.

Овај правоугаоник је подељен на шест једнаких делова. Сваки тако добијени део називамо шестина. Један такав део математички означавамо са

1 _ 6 и читамо: једна шестина или, само кратко, шестина.

Једно цело има шест шестина.

106

Овај правоугаоник је подељен на девет једнаких делова. Сваки тако добијени део називамо деветина. Један такав део математички записујемо са

1 _ 9 и читамо: једна деветина или, само кратко, деветина.

Једно цело има девет деветина.

Једно цело има: 1 _ 3

Три трећине 1 _ 6

Шест шестина Девет деветина

1 _ 9

1 _ 3 1 _ 6

1 _ 9

1 _ 6

1 _ 6 1 _ 9

1 _ 9

1 _ 3

1 _ 9

1 _ 9

1 _ 6 1 _ 9

1 _ 6 1 _ 9

Пример 1. 1 _ 3 часа је 20 минута, јер је 1 h : 3 = 60 min : 3 = 20 min 1 _ дана је 4 часа, јер је 1 дан : 6 = 24 h : 6 = 4 h 6 1 _ 9 броја 189 је 21, јер је 189 : 9 = 21

1 _ 9

11 12

1

10

2

9

3

8 7

4 6

5

Пример 2. _ цене књиге 75 динара, колико кошта књига? Ако је 1 6 _ цене књиге 75 динара, тада књига кошта Како целина има шест шестина, и како је 1 6 75 динара ⋅ 6 = 450 динара

107

1 1 1 _ РАЗЛОМЦИ 5_ , 7_ , 10 У овој лекцији целина је графички представљена квадратом.

Овај квадрат је подељен на пет једнаких делова. Сваки тако добијени део називамо петина. Један такав део математички означавамо са

1 _ 5

и читамо: једна петина или, само кратко, петина.

Једно цело има пет петина.

Овај квадрат је подељен на седам једнаких делова. Сваки тако добијени део називамо седмина. Један такав део математички означавамо са

1 _ 7 и читамо: једна седмина или, само кратко, седмина.

Једно цело има седам седмина.

Овај квадрат је подељен на десет једнаких делова. Сваки тако добијени део називамо десетина. 108

Ако бојом истакнемо један такав део, математички га записујемо

1 _ 10 и читамо: једна десетина или, само кратко, десетина.

Једно цело има десет десетина.

Једно цело има: 1 _ 5

Пет петина Седам седмина Десет десетина

1 _ 5

1 _ 7 1 _ 10

1 _ 7

1 _ 7 1 _ 10

1 _ 5

1 _ 10

1 _ 10

1 _ 7 1 _ 10

1 _ 5

1 _ 5 1 _ 7 1 _ 10

1 _ 10

1 _ 7 1 _ 10

1 _ 7 1 _ 10

1 _ 10

1 броја 280, добијамо израз 1 броја 350 саберемо са _ Пример 1. Ако _ 7 5 350 : 5 + 280 : 7. Вредност тог израза је 110, јер је 350 : 5 + 280 : 7 = 70 + 40 = 110.

_1 књиге, а другог дана Пример 2. Тијана је читала књигу од 150 страна. Првог дана је прочитала 10 _1 књиге. Колико страна је Тијана прочитала првог, а колико другог дана? Колико јој је страна 5 књиге преостало да прочита? 1 књиге, то јест _ 1 од 150 страна књиге, Првог дана Тијана је прочитала _ 10 10 150 страна : 10 = 15 страна. 1 1 књиге, то јест _ Другог дана Тијана је прочитала _ од 150 страна књиге, 5 5 150 страна : 5 = 30 страна. Број страна књиге који је Тијани преостао да прочита је 150 − 15 − 30 = 135 − 30 = 105 109

110

51