7 J- Esf en Planos Inclinados

175

2.6 ESFUERZOS SOBRE UN PLANO INCLINADO EN UN MIEMBRO SOMETIDO A CARGA AXIAL En la sección inicial de este capítulo se definieron los esfuerzos normal, cortante y de aplastamiento en elementos sometidos a carga axial. Ahora se considerarán los esfuerzos sobre planos de una barra sujeta a carga axial. Cuando a la barra de ojo mostrada en la figura 2.26 a se corta con un plano inclinado, el D.C.L. de la porción superior de la barra debe considerar la resultante F de la distribución de fuerzas internas en la sección de corte. Para el equilibrio, F es igual en magnitud a la fuerza aplicada P y tiene una línea de acción que coincide con el eje de la barra. Si bien  prom sobre la superficie inclinada

puede calcularse el esfuerzo total promedio

mediante la ecuación (2.1), este valor proporciona poca información que sea útil para propósitos de diseño, por que los estudios experimentales indican que los materiales responden de forma diferente a las fuerzas que tienden a separar las superficies, que a las fuerzas que tienden a que las superficies se deslicen entre sí. Por lo tanto son las componentes normal (N) y cortante (V) de F las que se usan para calcular ulos esfuerzos normales y cortantes sobre la superficie inclinada.

y

P

P

P

P

x

c

c

a

a

c





c

c



V

N

F

c

P (a)

(b)

(c)

(d)

FIGURA 2.26

A : área de la sección recta AN : área de la superficie inclinada, que está dada por : AN  N : componente de F normal a la sección inclinada V : Componente de F tangente a la sección inclinada.

A cos 

176

N  P cos

V  Psen

Por lo tanto, los correspondientes esfuerzos normales y cortantes promedios se obtienen dividiendo N y V por el área AN de la sección. 

N AN



V AN

Sustituyendo N, V y AN por sus expresiones en función del ángulo , P y A:  

P cos A / cos 

  

 

Psen A / cos

  

P cos 2  A

(2.14)

P sen cos A P   sen2 2A

(2.15)

Graficamos a continuación ambos esfuerzos como funciones de  :   

P/A

 P/2A

0











-P/2A

Figura 2.27 Gráfica de variación de esfuerzos, según ángulo de inclinación.

Se observa que el esfuerzo cortante  es nulo en  = 0 y en    / 2 ; y en    / 4 alcanza su valor máximo:  máx 

P 2A

En tanto que el esfuerzo normal, es máximo en  = 0; es decir cuando el plano de la sección transversal es perpendicular al eje axial del elemento; y es nulo cuando    / 2 . Para    / 4 , el esfuerzo normal y el cortante son iguales a P/2A COROLARIO: Si en un punto de un plano actúa un esfuerzo cortante , existe otro esfuerzo cortante de la misma magnitud en un plano ortogonal. RELACIÓN ENTRE E,  Y G

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A partir de la discusión anterior, en un elemento cúbico orientado 45º del eje de la carga (ver figura 2.28), la cara ilustrada en la figura con línea punteada se convierte en un rombo; es decir que la carga axial produce en este elemento, además de la deformación longitudinal X , una deformación angular de corte

, quedando tal

elemento, con el cambio que se indica en la figura 2.28. A

continuación

deduciremos

la

relación existente entre estas dos



P

P

deformaciones:



Considérese el elemento prismático que se obtiene intersectando un elemento cúbico unitario con plano

Figura 2.28

diagonal, tal como se muestra en la figura 2.29 (a) y (b). Este nuevo elemento se convertirá en el de la figura 2.29c, cuyos lados horizontales y verticales cambiaron de longitud (ver figura). El ángulo  del elemento deformado será:

1

1

1-x   

1

1+

 x

1 (a)

(b)



(c)

Figura 2.29

tan  

De trigonometría se tendrá:

tan( / 4)  tan( m / 2) 1  tan( / 4) tan( m / 2)

Como (m/2) es pequeño, podemos considerar: tan( m / 2)   m / 2 

tan  

1  ( m / 2) 1  ( m / 2)

De la figura 2.29c : tan  

(2.16)

1   x 1   x

(2.17)

Igualando estas dos últimas expresiones y despejando m:

 

1  (  m) 2 2

178

m 

(1   ) x 1  1 x 2

 m  (1   ) x



(2.18)

(se ha considerado, X