7 Ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática

32-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática reflexiona sobre la diferencia entre dos maneras distintas de enfocar la enseñanza de las matemáticas: de conocimiento

las matemáticas

como área

del currículo de la educación y/o las matemáticas

como competencia

clave o básica para el aprendizaje.

A la vez, se

dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone la competencia matemática como una de las ocho competencias clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida. De estructura clara, además de las ideas que propone desarrollo

de la competencia

matemática,

el libro

para el

incide en la

importancia de la innovación y el cambio para mejorar la capacitación docente. las ideas clave planteadas ayudan a responder a preguntas tales como: • ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en el currículo? •

¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática y qué debemos enten-

der por competencia matemática? • ¿Cuál es el cambio metodológico necesario para pasar de la situación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de •

la competencia matemática? ¿Qué papel desempeñan los docentes y su formación en los cambios que hay que realizar, y en qué dirección debería caminar la formación de los docentes de matemáticas?

ISBN 978-84-7827-630-1

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Colección Ideas Clave Director de la colección: Antoni Zabala Serie Didáctica de las Matemáticas

© Jesús M.a Goñi Zabala © de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF,S.L. C! Francesc Tarrega, 32-34. 08028 Barcelona www.grao.com

1.a edición: julio 2008

ISBN: 84-7827-630-1 D.L.: B-3l.990-2008

Diseño: Maria Tortajada Carenys Impresión: Imprimeix Impreso en España

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o a!,.,.,ace~"~ e":o total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión dea

~ 5~" :::c' cualquier

medio, tanto si es eléctrico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia. s~ """ :c- zacón escrita de los titulares del copyright.

"fUOr e:¡.a uf:¡'Jew :faawas

aJfN

índice Presentación

11

7 preguntas

sobre el desarrollo

de la competencia

matemática

y

7 ideas clave para responderlas

,.

La enseñanza de las matemáticas a los currículos que propone

14

sólo tiene sentido asociada

y promueve

La enseñanza de las matemáticas

• El currículo escolar de matemáticas Un breve recorrido • El equilibrio

17

se concreta en el currículo escolar como propuesta

17

social.

histórico

19

se pierde y no se recupera. Una época de crisis

estructural

en la enseñanza de las matemáticas

28

• La situación en España. El fracaso de la enseñanza de las matemáticas • Un futuro

incierto.

nueva propuesta

:1.

en la educación obligatoria La competencia para organizar

matemática

como una

el currículo escolar

37

En resumen

38

En la práctica

40

Los usos sociales de las matemáticas

son los que deben definir

de su enseñanza y no la epistemología El sabio, el profesional

los objetivos

de esta ciencia

y el ciudadano

41 41

• Los matemáticos

y la enseñanza de las matemáticas

42

• Los profesionales

y la enseñanza de las matemáticas

51

• La enseñanza de las matemáticas

3.

33

y la ciudadanía

56

En resumen

67

En la práctica

68

El objetivo

de la enseñanza de las matemáticas

de la competencia

matemática

De área de conocimiento

a competencia

• La Unión Europea y las competencias

escolares es el desarrollo 69

clave clave

69 70

• La competencia educación

matemática

como una propuesta

para una

inclusiva

• La competencia • Los contextos

77

matemática

y el conocimiento

de uso de las matemáticas

el currículo de matemáticas • Las competencias

84

y el uso de la tecnología.

de competencia

matemática

• Los ámbitos de uso de las matemáticas a la hora de organizar

89

y su importancia

el currículo de matemáticas

relativa

según

las diversas etapas educativas

4.

81

y su relevancia para

por competencias

matemáticas

Una última definición

de las matemáticas

91

En resumen

103

En la práctica

104

La educación

matemática

se basa en la comunicación

y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora

105

Instrucción

105

versus educación

• Información,

conocimiento

• La comunicación

y comunicación

como fundamento

106

de la educación

111

• El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje desde un enfoque • La instrucción

comunicativo

en matemáticas

115 y la educación

matemática

119

En resumen

122

En la práctica

123

Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo El triángulo

comunicativo

de los aprendizajes

y los procesos de enseñanza-aprendizaje

125 125

• Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas

128

• La tipología

132

de tareas y su relación con los aprendizajes

• Ejercicios

134

• Experiencias

137

• Juegos

,

• Problemas

143 ,

146

• Investigaciones • Actividades

de síntesis y elaboración

155 de la información

158

En resumen

164

En la práctica

166

~ ~

La evaluación

de las competencias

determinará

el currículo

de matemáticas

167

La sensación de déja

vu cuando se habla de reforma en enseñanza.

El currículo evaluado

168

• La evaluación

en matemáticas

como motor del cambio

• La evaluación

de la competencia

169

matemática

173

En resumen

184

En la práctica

186

-:¡. ~ La competencia

profesional

de los docentes de matemáticas

es el factor más importante

para la mejora de su enseñanza

187

El factor humano • El enfoque de gestionar

187

comunicativo,

la función

docente y la competencia

el currículo

• La formación

189

inicial de los docentes de matemáticas

• Los nuevos marcos legales para la formación El postgrado

de formación

• El paso de la formación • La formación

continua

del profesorado

del profesorado de secundaria

inicial a la vida profesional de los docentes de matemáticas

194 de secundaria. 203 215 218

En resumen

226

En la práctica

229

Para saber más

230

Glosario

232

Referencias biblográficas

235

Presentación La enseñanza

de las matemáticas

ha sido una de mis dedicaciones

profesionales

desde

hace ya más de 35 años. Mi preocupación

didáctica

me inicié como profesor

de niños y niñas de unos diez u once años. La

de matemáticas

cara de asombro e incomprensión sorprendió

empezó en los años setenta, cuando

que ponían cuando yo intentaba

algo me

y me hizo darme cuenta de que era posible que supiera algo de matemáti-

cas, pero desde luego no las sabía enseñar. La situación yo ponía todo mi interés,

me irritaba

pero daba igual. Hablaba en un lenguaje

y, a pesar de que ellos también

lo intentaban,

que no sabía enseñar,

aunque

supiera y supiera explicar,

que ellos aprendieran,

y esa socrática

ignorante

explicarles

y me dolía porque que no era el suyo

la cosa no iba bien. Entonces comprendí no sabía cómo hacerla

para

idea me hizo mucho bien. Verme y reconocerme

me situó en una nueva realidad:

no sabía enseñar y necesitaba

aprender

a

hacerla. Desde entonces he intentado he aprendido contramos

algo, pero sobre todo

a enseñar por diversos caminos y de todos ellos

he aprendido

que en la enseñanza

ante el último esfuerzo, siempre es el penúltimo.

de que el próximo resolverán

aprender

esfuerzo será el definitivo,

los problemas

en mi caso, no ha sido así. He descubierto la misma o mayor proporción enseñanza y el aprendizaje

Siempre nos alienta la ilusión

que alcanzaremos

como el azucarcillo

nunca nos en-

a atisbar la cima, que se

se deshace en el agua. Pero, por lo menos

que en la mayoría de los casos he errado en

con la que he acertado y que los problemas

humanos -y la

desde luego lo son- pueden cambiar de forma,

pero no ter-

minan nunca. Detrás de cada curva del camino siempre hay otra más. Ésa debe ser la condición

humana:

convicción

equivocarse

para aprender,

y de ese vino debemos

destilar

nuestra

de no desfallecer.

Este libro contiene tal y como el título

las que considero ideas clave para la enseñanza de las matemáticas

del libro y la colección sugiere. Es recomendable,

pero no imprescin-

dible, que estas ideas se lean en el orden en el que están escritas porque su alineamiento guarda un cierto orden lógico que las hace más inteligibles

si se leen en el orden expuesto.

Es una serie con su propia ley. Las siete ideas que se exponen en este texto pueden agruparse en tres temáticas:

PRESENTACiÓN

11

1. El currículo de matemáticas

(ideas clave 1, 2 Y 3).

2. El desarrollo

del currículo (ideas clave 4, 5 Y 6).

3. La formación

de los profesores de matemáticas

En mi opinión,

son las temáticas

quiera reflexionar

más importantes

(idea clave 7).

que debe abordar cualquier

sobre la enseñanza y el aprendizaje

de las matemáticas.

escrito que El currículo,

porque sin él no hay enseñanza por mucho que se diga otra cosa, y creo poder defender que no existe enseñanza de las matemáticas

fuera de su concreción

colares, por lo menos una enseñanza de las matemáticas

en los currículos es-

que nos interese socialmente.

El

desarrollo del currículo, porque necesitamos nuevos diseños y espero poder aportar alguna idea que ayude a concretar sulten operativas. de su formación

las ideas generales del currículo

La formación depende

de profesores,

el famoso factor

en líneas de trabajo

que re-

porque sin docentes no hay enseñanza y

humano,

factor que es insustituible

en cual-

quier cuestión educativa. Al ir escribiendo

este libro he descubierto

que bastantes de las ideas que se exponen

en él no son de uso exclusivo para la enseñanza de las matemáticas brimiento

debe citarse como un mérito o un demérito

inevitable

un progresivo

desplazamiento

y no sé si este descu-

de este texto, pero me ha resultado

hasta ideas más generales porque, en el fondo,

pienso que la enseñanza de las matemáticas, fuera del halo que las rodea y de los intereses de quienes se creen que tienen

la exclusiva capacidad

para hablar de ellas, no se dife-

rencia tanto

de otras áreas del conocimiento

no justifican

la excesiva separación que suele ser habitual

tiones. Las matemáticas serie de problemas

son un producto

humano y que las diferencias,

que existen,

cuando se abordan estas cues-

de la cultura humana en el que se plantean

relativos, fundamentalmente

a la cuantificación,

una

y en el que el inte-

lecto humano utiliza todas sus capacidades sin que ello suponga, desde mi punto de vista, la existencia de un pensamiento vistos como profesionales

de la educación, tienen

(sustancia) y «de matemáticas» cando más tiempo

ni específico, ni especial. Los profesores de matemáticas,

como circunstancia,

a la circunstancia

generales.

como sustantivo

y parece difícil hablar de algo dedi-

que a la sustancia.

Temo que a ciertos profesores de matemáticas sulten excesivamente

la palabra «profesor»

algunas de las ideas aquí escritas les re-

Lo siento, pero no veo la manera de evitarlas

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

porque,

como ya he dicho antes, a los profesores de matemáticas fesores. Que dichas ideas sean generales que abarcan un ámbito de experiencia Los profesores

de matemáticas

los veo ante todo como a pro-

no quiere decir que no sean prácticas, pero sí

profesional

más amplio donde yo veo al docente.

seguro que entienden

la importancia

de la perspectiva

para poder apreciar las cosas, mi ánimo ha sido Ilevarles a otra colina para que vean lo que no ven habitualmente

desde donde están.

No sé siquiera si leerán esta introducción tiene la palabra letal: «matemáticas». cación que no sean profesores gustaría mucho que siguieran de la educación,

asustados por el titulo

Si lo hicieran, invitaría a los profesionales

de matemáticas adelante,

tendo

de la edu-

a no quedarse en esta introducción.

Me

porque es necesario que todos los profesionales

sobre todo los que no son especialistas en la enseñanza de las matemá-

ticas, pierdan el miedo y, si se me permite, ellos también

de este libro que con-

el respeto por las matemáticas,

y piensen que

tienen algo que decir en esta cuestión, porque una de las falacias que pre-

combatir

en este libro es que la enseñanza

de las matemáticas

matemáticos o, siendo muy generosos, de los de «ciencias». Esimprescindible de la enseñanza de las matemáticas

sea cosa de los para la mejora

y del aporte que ésta puede y debe hacer al desarro-

llo social que se rompa ese aislamiento

y que la enseñanza de las matemáticas,

junto con el lenguaje está considerada

como un pilar de los currículos escolares en todas

la edades, deje de estar fuera del debate social y político guardianes

para quedar en manos de los

de un saber arcano al que miramos con tanto respeto como indiferencia.

que las matemáticas

sean un bien cultural

char, hace falta que comprendamos

se entienda

para todos, como hoy en día es habitual

que todos estamos llamados a aprenderlas

sobre su valor social como herramienta

al servicio de una educación

que el currículo de matemáticas

Para escu-

y a opinar

mejor. Mientras

no

es una cuestión que debe estar sometida

debate social y político y se piense que dicho currículo temáticas,

área que

al

es asunto de los expertos en ma-

no creo que podamos avanzar gran cosa.

Cada una de las ideas clave de este libro está acompañada desarrollar

la idea en cuestión de forma imaginativa.

narrativa,

sé que no es valiosa como fundamentación

pero creo firmemente

de una metáfora que intenta

Soy un gran aficionado epistemológica

a este tipo de

de lo que se afirma,

en el valor didáctico de este tipo de discurso. Conozco las limitacio-

nes de esta manera de describir las cosas y los riesgos de exageración

o manipulación

PRESENTACION

que

lleva consigo este tipo de analogías cuando se usan de manera descuidada o desaforada. Sin embargo, el pensamiento incalculable

metafórico

y la narrativa a él unida es una herramienta

de valor

para acercar a la mayoría de las personas cuestiones que en su expresión abs-

tracta y formal son inaccesibles. Creo con total seguridad que lo que se puede perder en precisión conceptual

se gana con creces en fuerza comunicativa.

Me gustan las metáforas y las

imágenes que sugieren y pienso que narrar las cuestiones que no se pueden ver por medio de lo que sí se puede percibir es el recurso didáctico por excelencia. De ahí mi esfuerzo. La mayoría de los docentes son mujeres y éste es un hecho sociológico intentado

compaginar

del texto que facilite

el término

«profesorado»

para referirme

sin distinción

Casi estoy tentado

una lectura más fluida.

habitualmente

En este sentido

y los de «profesores»

o «docentes»

de decir, como dicen los autores de novelas, que este texto lo encon-

ván en casa de los abuelos. Que ese manuscrito

lo firmaban

revolviendo

en un arcón del des-

otros autores: los compañeros,

los profesores, profesoras, alumnos y alumnas con quienes he trabajado

literario,

utilizo

a los profesores y las profesoras.

tré ya escrito. Ya sabéis el hallazgo de un viejo manuscrito

vida profesional,

He

un uso respetuoso del lenguaje que reconozca esta realidad con la

necesaria economía genérico

indiscutible.

a lo largo de mi

y que lo único que he hecho ha sido pasarlo a limpio. Es un buen recurso

aunque ya algo manido, que sirve para reconocer mi deuda con todos ellos.

Éste es un libro de divulgación ideas, aparecen expresamente

y sólo citaré a aquellos autores cuyos textos, que no

citados en el texto. Me disculpo, por lo tanto,

al resto de autores y personas de los que soy deudo, y como compensación

de no citar

les ofrezco mi

agradecimiento.

7 preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemática y 7 ideas clave para responderlas 1. ¿Cuál es la razón que justifica Idea clave 1:

enseñanza

la presencia de las matemáticas

de las matemáticas

promueve.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en el currículo?

sólo tiene sentido asociada a los currícu-

2. ¿Desde qué perspectiva

deben definirse

las finalidades

que deben ser logradas por la

enseñanza de las matemáticas? Idea clave 2: los usos sociales de las matemáticas de su enseñanza y no la epistemología

3. ¿Por qué debe centrarse petencia matemática? Idea clave 3: El objetivo la competencia

son los que deben definir

los

de esta ciencia.

la enseñanza de las matemáticas

¿Qué debemos entender

en el desarrollo

por competencia

de la enseñaza de las matemáticas

de la com-

matemática?

escolares es el desarrollo

de

matemática.

4. ¿Por qué hay que ir más allá de la instrucción

en matemáticas,

hacia una educación ma-

temática? Idea clave 4: la educación la mera instrucción

matemática

se basa en la comunicación

de

transmisiva.

5. ¿Cuál es la clave en el cambio metodológico tuación

y debe ir más

actual a otra en la que la finalidad

que hay que realizar para pasar de la si-

sea el logro de la competencia

Idea clave 5: las tareas a realizar son la clave para el desarrollo

6. ¿Qué palanca de las que disponemos

matemática?

de los

es la más eficaz para inducir con rapidez cambios

en los currículos de matemáticas? Idea clave 6: la evaluación

7. ¿Qué papel juegan

de las competencias

los docentes y su formación

cabo? ¿En qué dirección debería ir la formación Idea clave 7: la competencia importante

determinará

profesional

el currículo de matemáticas.

en los cambios que deben llevarse a

de los docentes de matemáticas?

de los docentes de matemáticas

es el factor

para la mejora de su enseñanza.

PRESENTACION

La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada a los currículos que propone y promueve Las dos caras de una moneda El hombre de la naturaleza

lo es todo para sí; él es la unidad numérica, el entero absoluto,

que no tiene relación más que consigo mismo o con sus semejantes. una unidad fraccionaria que determina

el denominador

El hombre civilizado es

y cuyo valor expresa su relación con el

entero que es el cuerpo social. (Rousseau, Emilio o de la educación)

La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar y éste no es otra cosa que la selección histórica de los aprendizajes que se consideran socialmente relevantes en un determinado momento como consecuencia del consenso entre los intereses sociales que pugnan por influir er él. Es una afirmación que recoge lo esencial de lo que se quiere decir en esta primera idea clave que, aunque sea la primera, es la que mejor recoge la tesis fundamental de este texto. La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido social si sejustifican los aprendizajes que prcmueve, y debe ser analizada y valorada desde el sentido social de dichos aprendizajes. Enseñanz:: y aprendizaje se funden, así, en el currículo. Por lo tanto, hablar de la enseñanza de las matemát-

IDEA CLAVE

1

17

cas implica situarse en el contexto del currículo escolar. Utilizaré el término «escolar» en este texto para referirme a cualquier institución educativa de cualquier nivelo etapa. Desde este punto de vista es tan escolar la enseñanza primaria como la universitaria. No podemos hacer abstracción de esta realidad social para pasar a hablar en general de la enseñanza de las matemáticas, como si ésta fuera un ente de razón no corpóreo y como si esa enseñanza no estuviera unida, constreñida y condicionada por la institución escolar en cuyo seno se desarrolla; como si los fines de una y otra se pudieran entender de manera separada. La enseñanza de las matemáticas se da en la escuela y es esta institución social la encargada de organizar, promover, evaluar y concretar ese aprendizaje.

Esrealmente una imagen muy tópica y ha sido mil veces usada, pero comparar la situación que queremos describir a una moneda puede resultar interesante y clarificador. Una moneda tiene dos caras, pues bien, enseñanza y aprendizaje son las dos caras del currículo, que es la moneda, y nunca mejor dicho porque el valor social de las matemáticas, su importancia en el sistema educativo, se deriva del hecho de ser una propuesta de currículo altamente valorada y muy influyente en la selección social que hace la escuela. Es decir, muy valiosa económicamente.

Además, qué sentido tiene hablar de valor económico de algo

fuera del sistema monetario que regula esos valores. La escuela es la institución social que regula los aprendizajes y especialmente el de las matemáticas, y lo hace por medio del currículo.

He comenzado este texto con una afirmación que puede parecer evidente, pero no lo es. Llevamos muchos años, ya demasiados, en los que la preocupación de los expertos en educación matemática no ha sido la reforma del currículo escolar de matemáticas, tampoco ha sido la de los docentes, por supuesto. A pesar de que la Administración sí que ha mareado al personal varias veces con esta cuestión, lo ha hecho maquillando una y otra vez una propuesta obsoleta que se ha mostrado ineficaz como palanca para producir los cambios que, paradójicamente,

todo el

mundo reclama. La atención se ha centrado en otros ámbitos y la mejor prueba de ello es que el currículo escolar de matemáticas apenas se ha modificado y, lo que es peor, no existen alternativas que hagan plausible su reforma en breve plazo. Lo más lejos a lo que hemos llegado es a considerar como modelo para el debate, que no para la práctica, una propuesta norteamericana de currículo que tiene las cuatro letras más citadas en los documentos que sobre currículo de matemáticas se han escrito en España: NCTM (National Council of Teachers of Mathematics).

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

Ni siquiera un tsunami mediático de la intensidad y el impacto del informe PISAha conseguido que, por ahora, se cuestione un currículo que se resiste a toda alternativa contra viento y marea. Este texto quiere construir un discurso sobre la necesidad de un replanteamiento del currículo escolar desde una perspectiva social, y de ahí que haya comenzado con esta idea.

El currículo escolar de matemáticas como propuesta social. Un breve recorrido histórico Como indica S. Kemmis en el prólogo

al libro de Carr (1995), la inter-

pretación de las cuestiones educativas conviene enfocarlas desde una visión triple que combine los aspectos históricos, sociales y políticos. Es la única manera de escapar del positivismo

dogmático

y su ahistoricismo.

Por esta razón creo necesario hacer una breve aproximación a los cambios que se han producido

histórica

en los currículos que han guiado la

enseñanza de las matemáticas. La enseñanza

de las matemáticas

ha ido evolucionando

mente, en cada tiempo y lugar ha tomado

histórica-

una forma diferente

que se

correspondía, en todos los casos, a las finalidades que socialmente se iban estableciendo

para dicha enseñanza.

Dicho de otra manera, las mate-

Las ma'terrláticas se han enSeñi¡do enseñan en escolar del

máticas que se han enseñado y se enseñan en el medio escolar no han sido ni son las matemáticas que en un determinado corpus de esa ciencia, es decir las matemáticas fesionales

del momento,

debe ser conocida aprendizajes

momento

forman el

de los matemáticos

pro-

sino que son la parte que se considera

que

debido

a la relevancia

que tienen

socialmente

los

asociados a las matemáticas.

La ruptura entre las «matemáticas» ñan» se produce históricamente turas antiguas protoeuropeas gran diferencia

que se ense-

en la cultura griega. En el resto de cul(asirios, persas, egipcios ...) no existía una

entre las matemáticas

señaban, porque el colectivo

y las «matemáticas

que se conocían y las que se en-

que las «hacía» y el que las «enseñaba»

IDEA CLAVE

1

19

era el mismo: la casta de funcionarios-sacerdotes,

y porque además la

enseñanza era endémica, es decir, se dirigía a perpetuar

la posición so-

cial y los privilegios de estas castas, de manera que era sistemáticamente negada al resto de la población.

Las matemáticas

antiguas

griega,

anteriores

fundamentación

a la cultura

un conocimiento

o por establecer,

conocimiento

práctico

sin

teórica y se enseñaba así, tal cual. No existía la con-

ciencia de que lo que se enseñaba pertenecía tablecido

eran, en las culturas

práctico

se enseñaba

para resolver

Todavía hoy en día utilizamos una manera intuitiva,

como la transmisión

los problemas

el término

pragmática

al corpus de un saber es-

de la vida social.

«babilónica»

y utilitarista

de un

para calificar

del conocimiento

ma-

temático. En la Grecia del periodo

clásico esta unidad

mente, por una parte, las matemáticas

se rompe definitiva-

se constituyen

en una ciencia

teórica (Pitágoras) cultivada por los filósofos y, por otra, aparece la educación «popular»

en la polis, en la que se extiende

saber práctico que antes era propiedad tras los filósofos

griegas aprenden momento

El colapso

de los matemáticos

ideológica nocimiento ropea.

mundo

una relación

grecorromano

esco-

de depen-

avatares sociales. y la supremacía

del cristianismo en la Edad Media frenan el desarrollo del comatemático

Los reductos

precisamente,

y lo desvían de la educación

de cultura

por haber cultivado

precisamente

en la cultura eu-

que son los conventos

no destacan,

en exceso un saber, el matemático,

que se asociaba a una cultura terrenal deraba

de este

y las matemáticas

mutuas según los diferentes

del antiguo

de las polis

en las escuelas. A partir

lares estarán separadas e irán manteniendo dencia o independencia

una ciencia que cul-

de Euclides, los ciudadanos

cálculo aritmético

las matemáticas

el

de las castas sacerdotales. Mien-

griegos hacen de las matemáticas

minará en la síntesis deductiva

y democratiza

el polo opuesto

y pagana, cultura que se conside lo que se debía promover

como ideal educativo. Si a este hecho añadimos la desaparición

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de la es-

cuela popular, podemos afirmar que el desarrollo del conocimiento temático

se detiene y su enseñanza institucionalizada

ma-

se estanca o re-

trocede. Como es bien sabido, será la eclosión del Islam en los pueblos árabes (siglo

VIII)

y su expansión hacia Occidente lo que pondrá a éstos en con-

tacto con los restos de la cultura helénica y permitirá, tensión del conocimiento en Occidente

matemático

además de la ex-

a nuevos campos, la recuperación

de gran parte del saber matemático

griego de la época

clásica. Habrá que esperar al despertar cia al Renacimiento matemáticas

de las culturas europeas que se aso-

para que esta situación

cambie radicalmente.

Las

recuperan su puesto en la cultura europea y rápidamente

vuelven a tener un lugar privilegiado

en ella. En este momento

rico se produce un hecho capital para el futuro su enseñanza:

la unión entre el desarrollo

mental y las matemáticas.

de las matemáticas

y de

de la nueva ciencia experi-

A este respecto se puede citar el ya conocido

texto de Galileo (1564-1642), en su obra 11Saggiatore. las matemáticas

histó-

en la base de la «nueva filosofía»,

tado, pero es muy significativo

para comprender

Este texto sitúa

ha sido mil veces cipor qué las matemá-

ticas van a ocupar una relevancia social que hasta entonces no tenían: La Filosofía está escrita en este vasto libro que siempre

está abierto

ante

nuestros ojos: me refiero al universo; pero no puede ser leído hasta que hayamos aprendido

y nos

el lenguaje

hayamos familiarizado

que está escrito. Está escrito en lenguaje gulos, círculos imposible

y

otras figuras geométricas,

entender

El desarrollo paralelamente

matemático,

una sola palabra.

de la «nueva filosofía»

la aparición del maquinismo

letras son trián-

es humanamente

1623)

y del capitalismo

se produce

los procesos producti-

de una nueva tecnología

El desarr