7 Flexion esviada

TEMA 7

FLEXIÓN ESVIADA Y COMPUESTA 7.1. Flexión Esviada. Introducción.- 7.2. Flexión Esviada. Definiciones.- 7.3. Tensiones de Flexión Esviada.- 7.4.Caso práctico de Flexión Esviada. Correas de cubierta.- 7.5.Flexión Compuesta.- 7.6. Flexión Compuesta. Cargas axiales excéntricas.- 7. 7. Núcleo Central de la Sección.- 7.8. Materiales no Resistentes a Tracción.-

7.1.-

FLEXIÓN ESVIADA. INTRODUCCIÓN

En temas anteriores estudiamos vigas con un plano de simetría longitudinal (el plano xy figura 7.1.) y que soportaban cargas laterales actuando en ese mismo plano. En esas condiciones las tensiones normales debidas a la flexión pueden obtenerse con la fórmula de la flexión siempre que el material sea homogéneo y linealmente elástico. y

z

x

Figura 7.1. Viga con carga lateral que actúa en un plano de simetría

En este tema ampliaremos esas ideas y consideraremos qué sucede cuando la viga está sometida a cargas que no actúan en el plano de simetría; es decir, a cargas inclinadas.(Figura 7.2.). Limitaremos nuestro análisis a vigas con sección transversal doblemente simétrica; esto es, que los planos xy y xz son planos de simetría. Además, las cargas inclinadas deberán pasar por el centroide de la sección transversal. Podemos determinar las tensiones en la viga debidas a flexión esviada descomponiendo la carga inclinada en dos componentes, una actuando en cada plano de simetría. Las tensiones pueden entonces obtenerse con la formula de la flexión para cada componente de carga que está actuando por separado, es decir se llega a las tensiones finales por superposición de las tensiones individuales.

Resistencia de Materiales

y

z

x

Figura 7.2. Viga doblemente simétrica con una carga inclinada.

7.2.-

FLEXIÓN ESVIADA. DEFINICIONES.

Designamos con el nombre de flexión esviada, desviada o asimétrica a la flexión producida cuando las acciones flectoras están contenidas en un plano que, pasando por el eje x, no coinciden con ninguno de los planos principales. Se trata de un prisma mecánico cargado en un plano que no contiene a ninguno de los ejes centrales de inercia de las secciones rectas. Figura 7.3. y Mf

My

x Mz z Figura 7.3. Solicitación en flexión esviada. Convenio de signos.

Establecemos una convección de signos para los momentos flectores que actúan sobre las secciones transversales de una viga sometida a flexión esviada. Los momentos flectores My y Mz se representan como vectores mediante flechas de doble punta. Los momentos serán positivos cuando sus vectores señalan en las direcciones positivas de los ejes correspondientes, y la regla de la mano derecha para vectores da el sentido de rotación indicado por las flechas curvas en la figura 7.3. Así, un momento My positivo produce compresión sobre el lado derecho de la viga (el lado z negativo) y tracción sobre el lado izquierdo (el lado z positivo). De manera similar, un momento positivo Mz produce compresión en la parte superior de la viga (donde la y es positiva) y tracción en la parte inferior (donde la y es negativa). Es importante observar que los momentos flectores mostrados en la figura 7.3. actúan sobre una cara que tiene su normal exterior señalando en la dirección positiva del eje x. 7.3.- FLEXIÓN ESVIADA. TENSIONES 140

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

Las tensiones normales debidas a la acción de los momentos flectores My y Mz se obtienen con la fórmula de la flexión, estas se superponen para dar las tensiones cuando ambos momentos actúan simultáneamente; por ejemplo, si consideramos las tensiones en un punto de la sección transversal que tenga coordenadas positivas y y z (punto A en la figura 7.4.). Un momento positivo My produce tracción en este punto y un momento Mz produce compresión; así, la tensión normal en el punto A es My z Mz y x

Iy

Iz

En donde Iy e Iz son los momentos de inercia de la sección transversal con respecto a los ejes y y z, respectivamente. Esta ecuación permite obtener las tensiones normales en cualquier punto de la sección transversal sustituyendo los valores algebraicos apropiados. y

y

y

z

n

A M

A

A

My

My

y

z Mz

C

=

C

Mz

x

+

C

n

z x Figura 7.4. Sección transversal de una viga sometida a flexión esviada.

Los signos de las tensiones normales en una viga suelen ser evidentes por inspección de la viga y su carga, por lo que podemos calcular los esfuerzos ignorando los convenios de signos utilizando por tanto en la ecuación sólo valores absolutos. La ecuación del eje neutro, lugar geométrico de los puntos de tensión nula, puede determinarse igualando la tensión normal x a cero:

My z Iy

Mz y Iz

0

Esta ecuación muestra que el eje neutro nn es una línea recta que pasa por el centro de gravedad de la sección C (centroide), y forma un ángulo con el eje z que se puede determinar con la expresión:

141

Resistencia de Materiales

M y Iz

y z

tag

Mz Iy

En función de las magnitudes y direcciones de los momentos flectores, el ángulo puede variar de –90º a +90º. Conocer la orientación del eje neutro es útil para determinar los puntos de la sección transversal en los que las tensiones normales son máximas. Como las tensiones varían linealmente con la distancia al eje neutro, las tensiones máximas se presentan en los puntos más alejados del eje neutro. Consideremos la viga en voladizo mostrada en la figura 7.5. La viga está cargada con una fuerza P que actúa en el plano de la sección transversal extrema y está inclinada un ángulo respecto al eje y positivo. y

y

L

P cos

P

z P sen

P

z L-x

x

x

Figura 7.5. Viga doblemente simétrica con carga inclinada P.

La carga P puede descomponerse en las componentes P cos en la dirección y positiva y P sen en la dirección z negativa; por tanto los momentos flectores My y Mz (figura 7.6.) que actúan sobre una sección transversal localizada a una distancia x del extremo libre de la viga son y

n

P

Mz

( P sen ) x

Mz

( P cos ) x

La razón de esos momentos es

My

tan Mz Que muestra que el vector momento resultante M forma un ángulo con el eje z. En consecuencia, el vector momento resultante es perpendicular al plano longitudinal que contiene a la fuerza P (plano de carga).

My

M z

My

C

n Figura 7.6. Sección transversal de viga sometida a Carga inclinada P.

El ángulo

142

que forman el eje neutro nn y el eje z se obtiene con la ecuación

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

tag

M y Iz Mz Iy

Iz tan Iy

que muestra que generalmente el ángulo no es igual al ángulo especiales, el eje neutro no es perpendicular al plano de carga.

. Es decir, excepto en casos

Esos casos son: 1. Cuando la carga se encuentra en el plano xy ( = 0 o 180º), lo que significa que el eje z es el eje neutro. 2. Cuando la carga se encuentra en el plano xz (( = + 90º), lo que significa que el eje y es el eje neutro. 3. Cuando los momentos de inercia principales son iguales. Es decir, los ejes que pasan por el centroide son ejes principales y tienen el mismo momento de inercia. El plano de carga, sin importar cuál sea su dirección, siempre es un plano principal y el eje neutro siempre es perpendicular a él, lo que ocurre con secciones transversales cuadradas, circulares y algunas otras. 7.4.-

CASO PRÁCTICO DE FLEXIÓN ESVIADA. CORREAS DE CUBIERTA.

Un caso frecuente en la práctica constructiva en el que se produce flexión esviada, es el de las correas de cubiertas de la naves. Figura 7.7. Las correas son generalmente vigas I que funcionan como simplemente apoyadas sobre los cordones superiores de las armaduras de Correa A cubierta. B Cubierta

Armadur

La viga soporta el peso del material de cubierta, además de su peso propio y de cualquier carga adicional que se presente como la acción del viento, nieve, etc. La acción de estas cargas, que actúan en dirección vertical, hacen que la viga correa se encuentre solicitada a flexión esviada. Figura 7.7. Correas de cubierta. Caso práctico.

Como ejemplo, consideremos una correa de sección rectangular de ancho b = 100 mm. Y altura h = 150 mm. La distancia entre armaduras es de L = 1,6 m. y el ángulo de inclinación de la armadura es = 26,57º. Consideraremos sobre la correa sólo los efectos de una carga distribuida uniforme de intensidad q = 3 kN/m que actúa a lo largo de toda la longitud de la viga en dirección vertical a través de los centroides de las secciones transversales e incluye el peso de esta. Figura 7.8.

143

Resistencia de Materiales

y b

A

B

C

z

h

q

Figura 7.8. Correa de cubierta de sección rectangular.

La carga uniforme q que actúa en dirección vertical puede descomponerse según las direcciones y y z (Fig. 7.9 a):

qy

q cos

qz

q sen

Los momentos flectores máximos se presentan en el centro del vano de la viga y valen para una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme repartida: M = qL2 / 8 por tanto: My

q z L2 8

q L2 sen 8

Mz

q y L2

q L2 cos 8

8

Los dos momentos son positivos según el criterio de signos adoptado, sus vectores señalan en las direcciones positivas de los ejes y y z. (Fig. 7.9 b). y

z

qz

y

D

b

h

C

D

n

z E

q

My C

M

qy

Mz E

h n b b)

a)

Figura 7.9. a) Componentes de la carga uniforme, b) Momentos flectores actuando sobre la sección.

Los momentos de inercia del área de la sección transversal respecto a los ejes y y z son: Iy

h b3 12

Iz

b h3 12

Las tensiones normales en el centro del vano de la viga, para cualquier punto de la sección transversal pueden obtenerse sustituyendo las coordenadas y y z del punto en la ecuación: 144

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

My z

x

Iy 3 q L2

2 b hh

q l 2 sen

Mz y Iz

sen

2

b

z

2

8 h b3 / 12 cos h2

q L2 cos

z

8 h b3 / 12

y

y

Las tensiones normales debidas al momento flector Mz son de tracción en las fibras situadas por debajo del eje z y de compresión en las fibras por encima del eje z, mientras que las tensiones normales debidas al momento flector My son de tracción en las fibras situadas a la izquierda del eje y y de compresión a la derecha. Por tanto, está claro que la tensión máxima de compresión ocurre en el punto D (donde y = h/2 y z = -b/2) y que la tensión máxima de tracción se presenta en el punto E (donde y = -h/2 y z= b/2). Sustituimos esas coordenadas en la ecuación, simplificamos y obtenemos los valores de las tensiones máximas y mínimas en la viga:

E

D

3 q L2

sen

2 b hh 2

b2

3 q L2

sen

2 b hh

2

b

b 2

h2

b 2

2

h 2

cos cos h

2

h 2

Sustituyendo los datos, los resultados son: E

=-

D

= 40,1 Kg / cm2

Además de encontrar las tensiones en la viga, a menudo es útil localizar el eje neutro. La ecuación correspondiente se obtiene igualando a cero la expresión de la tensión:

x

3 q L2

sen

2 b hh 2

b2

sen b

2

z

z

cos h2

cos h2 y

y

0

0

En la figura 7.9.b el eje neutro se representa como la línea nn. El ángulo que forma el eje neutro con el eje z se obtiene con la ecuación:

tag 7.5.-

y z

h2 b2

tan

1.125

48,4º

FLEXIÓN COMPUESTA.

Diremos que un prisma mecánico está sometido a flexión compuesta cuando el sistema de fuerzas que lo solicitan, situadas a un lado de la sección, se reducen en su centro de gravedad a un momento flector y a un esfuerzo axil. Fig. 7.10. 145

Resistencia de Materiales

y M

My

N

x

Mz z Figura 7.10. Solicitación de flexión compuesta.

Si My y Mz son las componentes del momento de las fuerzas situadas a la izquierda de la sección recta y N es el esfuerzo axil, la tensión normal en un punto P (y , z) la podemos obtener por superposición de las tensiones individuales producidas por las solicitaciones actuando independientemente. N My z Mz y x

A

Iy

Iz

El eje neutro, lugar geométrico de los puntos de tensión nula, tendrá por ecuación: N My z Mz y 0 A Iy Iz que representa una recta paralela al eje neutro debido exclusivamente a la acción del momento flector, pero que no pasa por el centro de gravedad de la sección. Como ejemplos de elementos constructivos sometidos a flexión compuesta, podemos analizar el caso general de un pilar de estructura que, aislado de la misma por una sección ideal, recibe en ella la acción de un esfuerzo axial N, un esfuerzo cortante V, y un par M. N y

Sobre una sección transversal característica, a la distancia x del extremo superior del pilar se producen los siguientes esfuerzos:

M V

Esfuerzo axil N Momento flector debido al esfuerzo cortante V; Mz1 = - V x Momento flector debido al par M; Mz2 = - M Esfuerzo cortante V

z

x

l

A h

B

b

Dado que el esfuerzo axil N y los momentos flectores Mz producen tensiones normales, necesitamos combinar estas tensiones para obtener la distribución final de tensiones. Por otro lado, el esfuerzo cortante V produce tensiones cortantes o tangenciales que analizaremos en un tema posterior.

Figura 7.10. Pilar de estructura.

146

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

El esfuerzo axial N produce una distribución uniforme de tensiones de tracción sobre toda la sección transversal, según se aprecia en el diagrama de tensiones de la figura 7. 12.a, de valor: N N A El momento flector Mz1 produce una tensión normal linealmente variable de tracción en la parte izquierda de la viga (puntos con coordenada y positiva) y de compresión en la parte derecha de la viga (puntos con coordenada y negativa), según se aprecia en la figura 7.12.b, de valor: V x M z1 y y z1 Iz Iz El momento flector Mz2 produce una tensión normal linealmente variable de tracción en la parte izquierda de la viga (puntos con coordenada y positiva) y de compresión en la parte derecha de la viga (puntos con coordenada y negativa), según se aprecia en la figura 7.12.c, de valor: M z2 M y y z2 Iz Iz La distribución final de tensiones normales se obtiene por superposición de las tensiones producidas par cada solicitación actuando de forma aislada. M N V x y y Iz A Iz y

N

z1

z2

z a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 7.12. a, b, c) Distribución de tensiones normales, d, e, f) posibles distribuciones finales de las tensiones.

La distribución final de las tensiones depende de los valores algebraicos de los términos de la ecuación. En el ejemplo, las tres posibilidades se presentan en las figuras 7.12. d, e y f. Si la suma de las tensiones de flexión en la parte superior de la viga es numéricamente menor que la tensión axial, toda la sección estará en compresión (Fig. 7.12 d). Si la suma de las tensiones de flexión en la parte superior de la viga es numéricamente igual a la tensión axial, la distribución será triangular (Fig. 7.12 e) y si la suma de las tensiones de flexión en la parte superior de la viga es mayor en términos numéricos que la tensión axial, la sección transversal estará parcialmente en tracción y en compresión (Fig.7 12 f). Por supuesto, si la fuerza axial es una fuerza de tracción o si los momentos flectores se invierten de dirección, las distribuciones de tensiones cambiarán. Siempre que la flexión y cargas axiales actúan al mismo tiempo, el eje neutro no pasará por el centro de gravedad de la sección transversal. Como se muestra en las figuras 7. 12d, e, y f, respectivamente, el eje neutro puede quedar fuera de la sección transversal, en el borde de la sección o dentro de la sección.

147

Resistencia de Materiales

Las tensiones normales debidas tanto al esfuerzo axial N como al momento flector Mz2 tienen el mismo valor para cualquier sección del pilar de longitud l, no así las tensiones debidas al momento flector Mz1 que adopta su valor máximo en la sección empotrada del pilar.

V l M z1 y y Iz Iz En dicha sección, tendremos en las fibras más alejadas las tensiones máximas de tracción y de compresión. z1 max .

7.6.-

A

N A

V l h Iz 2

B

N A

V l h Iz 2

M h Iz 2 M Iz

h 2

FLEXIÓN COMPUESTA. CARGAS AXIALES EXCÉNTRICAS.

Un caso particular muy importante de flexión compuesta es el de carga excéntrica, esto es, una carga axial que no actúa a través del centro de gravedad de la sección transversal. Un ejemplo se ilustra en la figura 7. 13., donde un pilar de longitud l lo sufientemente pequeña con relación a las dimensiones de la sección transversal, como para asegurar la ausencia de fenómeno de pandeo, está sometido a una carga de compresión P de compresión que actúa a la distancia e (excentricidad) del eje x. La carga excéntrica P es estáticamente equivalente a una fuerza P axial que actúa a lo largo del eje x y a un momento flector Pe que actúa respecto al eje z.

e

y

P

y

Pe z

z

x

l

x

l

A

A h

B

b

h

B

Figura 7.13. Cargas axiales excéntricas.

148

En virtud de la fuerza axial N = - P y el momento flector M = - P e, en cualquier sección transversal la tensión normal es

P

b

P Pe y A Iz Los valores máximos de tensión de tracción y compresión se darán en las fibras más alejadas: P Pe h P 6e 1 A 1 bh b h h 2 3 bh 12 P Pe h P 6e 1 B 1 bh bh h 2 b h3 12

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

La distribución de tensiones normales se muestra en la figura 7. 14c, d y e, para un valor de la excentricidad e > h/6, e = h/6 y e < h/6 respectivamente. n

y

N

n

z

n n

z

a)

c)

b)

d)

e)

Figura 7. 14. Distribución de tensiones normales.

La posición del eje neutro puede obtenerse igualando a cero la expresión de la tensión final y despejando la ordenada y que denotamos ahora yn.

yn

Iz Ae

que para el caso del ejemplo del pilar de sección rectangular resulta

yn

h2 12 e

La coordenada yn mide la distancia desde el eje z (eje neutro para flexión pura) hasta la línea neutra. De esta expresión vemos que si se reduce la excentricidad, la distancia yn se incrementa y el eje neutro se aleja del centro de gravedad de la sección. Por el contrario, si se incrementa la excentricidad, la distancia yn decrece y el eje neutro se acerca al centro de gravedad. En el caso de la sección rectangular cuando e = h/6, yn = h/2 la línea neutra nn es tangente a la sección en el borde superior AA (Fig. 7.14d), y por tanto toda la sección estará comprimida. A

0

B

2P bh

Para valores de excentricidad mayores de h/6 la línea neutra nn corta a la sección y por tanto divide a esta en zona traccionada y zona comprimida (Fig. 7.14c). Por último, si la excentricidad toma valores menores de h/6 la línea neutra nn será exterior a la sección estando entonces toda la sección comprimida (Fig. 7.14e). La expresión para localizar la posición del eje neutro nn se puede obtener en función del radio de giro de la sección iz2 . Para el caso de la sección rectangular:

yn

i z2 e

Caso General de carga excéntrica.

Consideremos un cuerpo de poca esbeltez, cuya sección se indica en la figura 7.15, sometido a la fuerza axial de compresión N , cuyo punto de aplicación A no está sobre uno de los ejes principales de inercia yy, zz.

149

Resistencia de Materiales

y

zA

n

z yn

z

A yA B y

C zn

Designando con yA, zA las coordenadas del punto de ataque A, los momentos de N respecto a los ejes son N zA y N yA. La tensión en un punto cualquiera B de coordenadas y, z, será: N N zA z N yA y B A Iy Iz La ecuación de la línea neutra nn, lugar geométrico de los puntos de tensión nula, es:

n

zA z Iy

1 A

0

yA y Iz

Figura 7.15. Caso general de carga excéntrica

teniendo en cuenta que Iz = A iz2 e Iy = A iy2 la ecuación queda en la forma:

0 1

zA z

yA y

i y2

i z2

Determinamos los segmentos yn, zn interceptados por la línea neutra sobre los ejes. Haciendo z = 0 y y = 0, se tiene: y A yn

i z2

yn

z A zn

i y2

zn

i z2 yA i y2

zA Estas expresiones indican que, al disminuir la excentricidad e y por tanto, sus proyecciones yA, zA, aumentan yn, zn y, en consecuencia, la línea neutra se aleja. Por tanto, si el punto de aplicación de la carga se acerca al centro de gravedad de la sección, el eje neutro se aleja de este.

7.7.-

NÚCLEO CENTRAL DE LA SECCIÓN.

Cuando el eje neutro corta a la sección es dividida por este en dos partes; una sometida a tracción y la otra a compresión. Si no la corta, toda la sección está sometida al mismo tipo de trabajo, o de tracción o de compresión. Si la pieza sometida a flexión compuesta es de hormigón en masa o fábrica de ladrillo, materiales que resisten muy poco a tracción, es fundamental asegurarse que todas las tensiones son de compresión, es decir que la línea neutra no corte a la sección. Hemos visto en el apartado anterior que al disminuir la excentricidad y, por tanto, sus proyecciones yA, zA, la línea neutra se aleja. Es necesario determinar el lugar geométrico de los puntos de ataque, tales que la líneas neutras correspondientes no corten a la sección. Este lugar geométrico se llama núcleo central de la sección. 150

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

Consideremos primeramente el caso de la sección rectangular, figura 7.16. Suponemos que el lado AB es la línea neutra y vamos a determinar el punto de ataque correspondiente. En este caso se tiene:

y B

A

b/3

yn

3 h/3

z

Iz

2 4

y1 h

1 b h3 ; A 12 i z2 yn

h2 h

b h ; i z2

Iz A

h2 ; yn 12

h 2

h 6

12 2

Se obtiene así el punto de ataque 1.

h/6

1

Suponiendo ahora que la línea neutra fuera el lado AD, se verifica igualmente:

b/6

D

C

zn b

Iy

Figura 7. 16. Núcleo central de sección Rectangular .

1 h b3 ; A 12

z2

i y2 zn

b

2

b

12 2

b h ; i y2

Iy A

b2 ; zn 12

b 2

b 6

Que define el punto 2 correspondiente. Si la línea neutra va tomando posiciones en torno al punto A, entre AB y Ad, como se indica en la figura 7.16, el punto de ataque recorre la recta 1-2. Esta recta constituye un lado del perímetro del núcleo. Los otros lados del mismo se deducen de un modo análogo. El núcleo central es un rombo cuyas diagonales son h/3 y b/3. Mientras que el punto de ataque sea interior o actúe en el perímetro de este rombo, la línea neutra no corta a la sección y todas las tensiones son de compresión. En el caso de la sección circular (Figura 7. 17.), se procede del mismo modo. Si consideramos como línea neutra la tangente nn, se obtiene inmediatamente el punto de ataque: n

y

n Iz

R z R/4

yA

R4 ; A 4 i z2 yn

R2 R

R 2 ; i z2 4

Iz A

R2 ; yn 4

R

R 4

A

Por simetría se deduce que el núcleo central es un círculo de radio r = R/4. Figura 7. 17. Núcleo central de sección Circular.

151

Resistencia de Materiales

7.8.-

MATERIALES NO RESISTENTES A TRACCIÓN.

Si el punto de aplicación de la carga excéntrica está fuera del núcleo central de la sección, la línea neutra correspondiente corta a la sección y la divide en dos zonas, una comprimida y otra cuyas tensiones son de tracción. Para los casos de utilización de materiales sin resistencia a tracción es preciso determinar, si el esfuerzo axial es exterior al núcleo, la posición de la línea neutra que separa la superficie útil y la zona inactiva. Supongamos una sección cualquiera con eje de simetría yy (Fig. 7. 18). La carga axial N actúa en el punto A, sobre el eje de simetría a una distancia a del borde y fuera del núcleo central. Pretendemos determinar la posición de la línea neutra nn, que será perpendicular al eje de simetría y separa la útil (zona sombreada en la figura) de la zona inactiva. Las tensiones normales en la zona comprimida son proporcionales a su distancia a la línea neutra nn . Así, para el elemento ds indicado en la figura 7. 18. =ky

h n ds

y

y

A

La distancia yA del punto de ataque a la línea neutra nn se determina estableciendo las condiciones de equilibrio. 1. La suma de las tensiones normales de compresión que actúan sobre la zona activa han de ser igual a N.

n

yA

a

N

h’

ds

K y ds

K

y ds

K S nn

Figura 7. 18. Materiales no resistentes a Tracción.

2. El momento de las tensiones de compresión respecto a nn ha de ser igual al momento de la fuerza N respecto a nn. N yA

ds y

K y 2 ds

K

y 2 ds

K I nn

Operando con las dos expresiones, se tiene:

yA

I nn S nn

Esta expresión nos permite conocer la posición de la línea neutra para una localización conocida del punto de ataque, ya que los valores de Inn y Snn se obtienen en función de la incógnita yA. Si se trata de una sección rectangular (Fig. 7.19.), la distribución de tensiones normales será la que se indica en la figura. La resultante de esta distribución triangular ha de ser igual a N y se aplica en el centro de gravedad, es decir en el punto situado a la distancia h’/3 del borde. Se tiene, identificando a = h’/3; h’ = 3, quedando así determinada la posición de la línea neutra nn, una vez conocida la posición del punto de ataque. 152

Tema 7

Flexión Esviada y Compuesta

Al mismo resultado podríamos haber llegado aplicando directamente la expresión general obtenida anteriormente;

n

yA

h

AA

y

n

yA

I nn

1 b h '3 12

S nn

b h'

b

a

h' 2

yA

h’

I nn S nn h '2 bh 4 '

b h '3 3

b h '2 2

I nn S nn

2 ' h 3

max

2h’/3

h’/3 N

Figura 7. 19. Materiales no resistentes a Tracción, sección rectangular.

El valor de la tensión normal máxima 1 2

max

h' b

max

N

se deduce de la ecuación de equilibrio: max

2N b h'

153

Resistencia de Materiales

154