7-Equilibre d’Un Solide en Rotation Autour d’Un Axe Fixe

Equilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe 1-Effet d’une force sur la rotation d ’un solide • si on exerce sur une porte ouverte une force F 1 parallèle à l’axe de rotation, celle -ci ne tourne

pas.

• si on exerce sur cette porte une force F 2 dont la droite d’action coupe l’axe, elle ne tourne

pas non plus

• une force F 3 perpendiculaire perpendic ulaire à l’axe de rotation, provoque une rotation. L’efficacité de la rotation dépend de l’intensité de la force et de la position de la droite d’action, par rapport à l’axe de rotation. 2-Moment d’une force par rapport à un axe fixe 1-2-Définition du moment d’une force : Le moment d’une force F par rapport à un axe est le produit produit de l’intensité de

F3 F2

() F1

(Δ) axe de rotation

cette force par la distance d entre la

droite d’action de la force et l’axe de rotation . On le notera :M (F) (F ) L’unité du moment mome nt M (F) = F.d est le N.m .

d

(Δ)

.

F

2-2-Le moment est une grandeur algébrique : Le moment peut être positif ou négatif . Son signe dépend du sens positif arbitraire choisi . M

(F) = +F1 . d1

M

(F) = -F2 .d 2

(Δ)

.

F1

d1

d2 F2

3-Condition d’équilibre d’un solide mobile autour d ’un axe fixe . 1-3-Expérience : plaque le dispositif suivant est constitué d’une plaque mobile autour d’un axe horizontale (Δ) . fixons au plaque un lest de masse m 1 . Fixons en un point A l’extrémité d’un fil

portant une masse m 2 permettant de ramener la plaque à l’équilibre .

(Δ)

d1

. d2

lest m1

A

.

On donne : m1= 80g , m2=120g , F d1=15cm , d2=10cm , g=10N.Kg -1 . - Questions : 1-Faire le bilan des forces s'exerçant sur la plaque . 2-Sur la figure ci-dessus, tracer ces forces. 3-Calculer le moment de chaque force 4-Calculer la somme des moments des forces . 5-Refaire l’expérience pour différentes positions du point A en choisissant la masse m afin que le système soit en équilibre ,

F1

2

masse

m1

-Réponses : 2-3-Théorème des moments Lorsqu’un solide, mobile autour d ’un axe fixe, est en équilibre, la somme algébrique des moments par rapport à cet axe, de toutes les forces extérieures appliquées à ce solide est nulle : M

Δ

(Fi ) = 0

3-3-Remarque . Conditions générales d ’équilibre Lorsque un solide est en équilibre, deux conditions doivent être satisfaites :  F ext = 0 -Immobilité du centre de gravité G -Absence de rotation autour de l ’axe Δ M (Fext ) = 0 4-Couples de forces . 1-4-Définition d’un couple de forces Un couple de force F1 , F 2 est un système de deux forces parallèles, de sens contraires, de même intensité F=F1=F2 et n’ayant pas la même droite d ′action . Δ

F

1

, F2

 couple

F1 + F2 = 0 

F2 F1 F1

2-4-Moment d’un couple . La plaque étudié dans l ’expérience (1-3) mobile autour d’un axe (Δ) est soumise à un couple de forces F , F  Les forces exercées par les deux files f 1 et f 2 notés respectivement F et F ont la même intensité . 1

2

1

m

m1

la polie f 2

m2

F2

plaque

B

2

F = F1 = F2 = m.g

F2

(Δ)

.

masse m2

. d2

M

Δ

F

1



Δ

F

, F 2 = +F1 .d1

1



, F2

A

.

f 1 F 1

-Déterminer le moment du couple M

d1



F2 .d 2 = F.(d1  d2 )

= F.d

3 4 Définition du moment de couple de forces

masse

d

m1

Le moment d’un couple de forces , par rapport à un axe de rotation , est égal au produit de l’intensité commune F des deux forces st la distance d qui sépare les droites d ’action de ces deux forces .   ±F.d

M Δ -Remarque : Le moment d’un couple de force ne dépend pas de la position de l ’axe de rotation mais seulement de la distance des deux lignes d’actions . =

5-Couple de torsion . 1-5-Couple de torsion Un pendule de torsion est un solide suspendu à un fil vertical, est fixée au centre d’une tige , l'autre extrémité du fil étant maintenue fixe dans un support . Lorsqu’on exerce sur la tige un couple de moment F , F  , il provoque une rotation autour de l’axe (Δ) ; qui s’accompagne d’une torsion du fil . À l’équilibre le fil tordu exerce sur la tige un couple , appelé couple de torsion de moment M C 1

 

Support Fil en acier F1 R 

2

P F2

Tige

À l’équilibre la tige est soumise à : -la force R  Exercée par le fil -son poids P -le couple de forces F1 ,F 2  -le couple de torsion de momentM D’après le théorème des moment : M (Fi ) = 0 

D’ où : M



(P) + M 0

0

Donc :



M

C

3-5-Expression deM C Pour trouver l’expression deM en utilise le montage suivant : On donne m1=m2 donc F=F1=F2 en faisant varier la distance d et l’intensité de F , l’angle θ varie . nous représentons le moment M (F1 , F 2 ) en fonction de θ , on obtient les résultats suivantes :

=

C



(R) +M M

-



(F1 , F2 ) +M

C

=0

(F1 , F2 ) = -F . d 1



support Fil en acier F2

m2

R 

tige

 

F1

P

d 

C

F(N) d(m) M 0,1 0,04 0,1 0,06 0,2 0,06 0,2 0,08 0,3 0,08 0,3 0,10

M

 (F1 , F 2 ) =F.d θ° θ(rad)

0,004 0,006 0,012 0,016 0,024 0,030

9 14 28 37 55 69



(F1 , F2)(N.m)

0,16 0,24 0,48 0,64 0,96 1,20

 (rad)

Le graphe de variation de M (F1 , F 2 ) en fonction de θ 

Le graphe est une droite passante par l ’origine : M (F1 , F2 ) = C. Ou C est le coefficient directeur de la droite appelé constante de torsion du fil en N.m.rad-1 . Et d’après la relation1 on peut écrire : 

 N.m 

M

C

= C. θ -

 rad 

 N.m / rad 

C dépond de la longueur et du diamètre et de la nature (matière) du fil