7) Dinámica, Leyes de Newton

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FÍSICA: GUÍA Nº 7 “DINÁMICA" "LEYES DE NEWTON”: La Dinámica estudia el movimiento de los cuerpos en relación a sus causas, que son las fuerzas actuantes. De modo que la dinámica es un estudio más completo del fenómeno del movimiento, pues no es meramente descriptivo del mismo (como la Cinemática), sino que indaga en la interacción entre las causas (fuerzas) y la consecuencia del fenómeno (aceleración). Las leyes fundamentales de la dinámica fueron enunciadas por Isaac Newton (1642-1727) y Galileo Galilei (1564-1642) en la segunda mitad del siglo XVII. PRIMERA LEY DE NEWTON : Principio de Inercia La primera ley de Newton establece que: “todo cuerpo sobre el cual no actúa ninguna fuerza exterior, o sobre el cual actúa un sistema de fuerzas de resultante nula, tiende a mantener su estado de reposo o de Movimiento Rectilíneo Uniforme”. De esta manera, vemos que se equiparan dos estados de movimiento en apariencia muy distintos (el reposo y el M.R.U.). Éstos son los estados de movimiento inerciales, o sea los estados de movimiento que pueden mantenerse indefinidamente en el tiempo siempre que no actúe una fuerza exterior sobre el cuerpo (o haya una resultante de fuerzas exteriores, o fuerza neta aplicada). El término “inercia” proviene del vocablo “inerte”, sin vida propia, que es la característica de la materia inanimada. Como es obvio los objetos materiales no se mueven espontáneamente sin mediar una causa externa que es la aplicación de una fuerza. REPOSO

M.R.U.

VELOCIDAD

0

Distinta de 0

ACELERACIÓN

0

0

Vemos que el reposo y el M. R. U. tienen en común que son estados de movimiento sin aceleración. O sea que el principio de inercia puede también enunciarse: “Si no hay fuerza neta aplicada, entonces el cuerpo no tendrá aceleración”. a=0 F=0

Si no hay resultante de fuerza exterior aplicada, no hay aceleración, en consecuencia hay reposo o M.R.U.

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Como ejemplos de este principio de inercia, podemos citar: Cuando estamos en un vehículo que inicia su marcha o incrementa su velocidad experimentamos un movimiento hacia atrás. Por inercia tendemos a quedarnos en la posición anterior y como el móvil arranca notamos que nos movemos hacia atrás. Por caso contrario, cuando el móvil desacelera o frena bruscamente nos movemos hacia adelante, dado que tendemos a seguir con la velocidad más alta que traíamos y el vehículo viaja más lentamente. También cuando arrojamos una piedra, una vez que la soltamos ésta continúa moviéndose por inercia y no es necesario seguir aplicándole una fuerza para que se mueva. Si colocamos un cierto objeto (por ejemplo un vaso) encima de una hoja de papel sobre una mesa y retiramos bruscamente el papel, notaremos que el vaso no se ha movido de su posición. Por inercia ha permanecido en reposo. SEGUNDA LEY DE NEWTON : Principio de Masa La segunda ley de Newton es la ley básica y fundamental de la Dinámica que relaciona cuantitativamente la causa del movimiento (fuerza) con la consecuencia o efecto del mismo (aceleración).

F

F’

a

Si sobre un determinado cuerpo (por ejemplo en reposo) aplicamos una cierta fuerza F, el mismo adquirirá una cierta aceleración “a”. a’

F F' = = constante = m a a'

Si en cambio le aplicamos otra fuerza F’, el cuerpo adquirirá otra aceleración distinta a’. Se puede probar experimentalmente que el cociente entre la fuerza aplicada y la aceleración obtenida en cada caso es constante para este cuerpo.

A esta constante intrínseca del cuerpo se la denomina “masa”. Sus unidades son: Sistema Técnico Sistema Internacional (M.K.S.) U.T.(m) kg Unidad Técnica de Masa kilogramo masa

Sistema C.G.S. g gramo masa

Que sea una característica intrínseca del cuerpo, significa que depende del cuerpo en sí y no de otros factores externos como su posición, velocidad, aceleración, etc. Física - Dinámica, Leyes de Newton - 2 -32

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De esta forma, la masa está relacionada con la cantidad de materia que tiene el cuerpo y por ello es una característica extensiva del mismo: depende de su extensión, además de su composición interna o tipo de material de que se trate.

F = m.a

Despejando “F” llegamos a la expresión matemática de la segunda ley de Newton.

(1)

La Segunda Ley de Newton o Principio de masa puede enunciarse así: “Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza o un sistema de fuerzas de resultante no nula, el mismo adquiere una aceleración directamente proporcional a la fuerza neta aplicada, y en su misma dirección y sentido. El cociente entre la fuerza aplicada y la aceleración obtenida es una constante para cada cuerpo, llamada “masa” del mismo”. La fórmula (1) es una ecuación vectorial, donde la masa es un escalar positivo. Por lo tanto la fuerza neta y la aceleración son vectores colineales de igual sentido. F

F

a

m

m’

F a= m

Si a dos cuerpos de distinta masa (m y m’) le aplicamos la misma fuerza (F), el cuerpo de mayor masa adquirirá menor aceleración.

a’ Si m’ > m

⇒ a’ < a , para F = constante.

Para una misma fuerza neta aplicada, la aceleración obtenida es inversamente proporcional a la masa del cuerpo

Esto sugiere que la masa representa la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. A mayor masa menor aceleración obtenida con una misma fuerza. La masa es, entonces, una medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. Hemos presentado ya dos casos. En el primero vimos que una misma masa sufre distintas aceleraciones para distintas fuerzas. A mayor fuerza, habrá mayor aceleración: La aceleración es directamente proporcional a la fuerza, para una masa constante. Luego vimos el caso en que se aplica una fuerza constante a distintas masas. La mayor masa sufrirá menor aceleración: la aceleración es inversamente proporcional a la masa, para una fuerza constante. Ahora veremos un tercer caso donde la aceleración se quiere mantener constante. Física - Dinámica, Leyes de Newton - 3 -32

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F’

Si deseo obtener la misma aceleración en dos cuerpos de distintas masas (m y m’) tendré que aplicar mayor fuerza neta al cuerpo de mayor masa

F Si m’ > m

m’

⇒ F’ > F , para a = constante

m a

a

F = m.a

Para obtener una misma aceleración, la fuerza a aplicar es directamente proporcional a la masa del cuerpo.

Si la fuerza aplicada a un cuerpo es constante en el tiempo, la aceleración también lo será, con lo cual el móvil tendrá un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) Esta situación de fuerza constante es muy común en física, de allí la importancia de haber estudiado en detalle las características del M.R.U.V. PESO DE UN CUERPO El peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra lo atrae. Es por ello un vector de dirección vertical y sentido hacia abajo, dirigido hacia el centro de la tierra. Está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo. Hemos visto en los movimientos verticales en el vacío (Caída Libre y Tiro Vertical) que la aceleración de los cuerpos es siempre constante e igual a g = 9,8 m/s2. La fuerza que actúa en estos casos es el “peso” del cuerpo. Pero, como vimos antes para que dos móviles de distinta masa adquieran una misma aceleración (g en este caso) debe aplicársele una mayor fuerza al cuerpo de mayor masa, lo cual ocurre naturalmente, pues el cuerpo de mayor masa tiene mayor peso o sea que la tierra lo atrae con mayor fuerza. De esta forma se logra demostrar por qué dos cuerpos de distintas masas (y pesos) caen libremente en el vacío con la misma aceleración. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Isaac Newton formuló la Ley de Gravitación Universal, la cual establece que dos masas cualesquiera m1 y m2 (de tamaño puntual) siempre se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de dichas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (d ).

m .m F = G. 1 2 2 d

m1

F

F

m2

d Física - Dinámica, Leyes de Newton - 4 -32

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Esta proporcionalidad se convierte en igualdad con el agregado de una constante “G” llamada constante de gravitación universal. 2 F. d 2 −11 N .m = 6,67.10 G= m1 . m2 kg 2

Este valor indica que dos masas de 1 kg cada una, colocadas a una distancia de 1 m, se atraen con una fuerza de 66,7 pN. Ésta es una fuerza extremadamente pequeña y virtualmente imposible de ser detectada a través de los sentidos. Por ello la fuerza de atracción gravitatoria es la fuerza más débil de las fuerzas de acción a distancia o debidas a campos. Solamente cuando por lo menos una de las masas que se atraen es muy grande se pueden observar claramente sus efectos; como pasa con la fuerza peso de un cuerpo, la cual surge de la atracción entre dicho cuerpo y el planeta tierra. m

p = G.

M Tierra

RT = Radio de la tierra Relación entre el peso y la masa

M .m RT2 g

p = m. g

Como la masa del planeta tierra “M” y el radio del mismo “RT” es aproximadamente constante, el producto G por M sobre RT2 también lo es y es la llamada “aceleración de la gravedad”. A ésta fórmula también puede llegarse aplicando la segunda ley de Newton a un cuerpo en Caída Libre, el cual tiene como fuerza neta el peso “p” y la aceleración que adquiere es “g”. F=m.a p=m.g

p=m.g

Por ello se habla de masa gravitatoria y masa inercial. Aunque se trate de la misma masa, en el primer caso se la toma como una cualidad de un cuerpo que hace que se manifiesten fenómenos de atracción gravitatoria y en el segundo caso se considera como una medida de la resistencia del mismo a ser acelerado. La Ley de Gravitación Universal también es aplicable a las fuerzas de interacción entre los planetas, el sol, la luna, etc. Esta interacción gravitatoria explica los movimientos de los astros en sus órbitas y también la trayectoria de los satélites artificiales de comunicaciones.

Física - Dinámica, Leyes de Newton - 5 -32

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Diferencias entre el peso “p” de un cuerpo y su masa “m” El peso de un cuerpo es una fuerza, y por ello es un vector. La masa de un cuerpo es una magnitud escalar. El peso de un cuerpo es relativo, pues depende del sistema gravitatorio en que se halle dicho cuerpo: Si está en la tierra tiene un cierto peso, si se halla en la luna tendrá un peso casi seis veces menor pues la masa de la luna es más pequeña y por ello su campo gravitatorio es más débil. En cambio la masa es absoluta, lo que significa que tiene siempre el mismo valor independientemente del campo gravitatorio donde se halla el cuerpo, y sigue existiendo igual aún en ausencia de gravedad (por ejemplo en el espacio exterior lejos de la influencia de algún planeta) VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La aceleración de la gravedad “g” si bien la supusimos constante en los ejercicios de Caída Libre y Tiro Vertical, presenta pequeñas variaciones con la latitud y con la altitud. Variación de “g” con la Latitud: La Tierra no es una esfera perfecta sino que está achatada en los polos y ensanchada en el ecuador. Por ello su radio es variable, siendo menor en los polos y mayor en el ecuador. El radio medio es de 6371 km. Radio del Ecuador 6 378 km

gP = 9,832 2 m/s2 Radio del Polo 6 356 km

gE = 9,780 3 m/s2

Polo Eje

45º Paralelo 45º Latitud Norte

La aceleración de la gravedad normal, se toma en un punto situado a 45º de latitud (Norte o Sur). g = 9,806 2 m/s2

Ecuador

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Como “g” es inversamente proporcional al cuadrado del radio de la Tierra, a menor radio (polos) habrá mayor aceleración y a mayor radio (ecuador) menor aceleración. Variación de “g” con la Altitud: La aceleración de la gravedad también se ve afectada por la altura del punto considerado con respecto al nivel del mar. La aceleración normal se toma al nivel del mar, pero con la altitud “g” disminuye. Cada 1 000 m de altitud g diminuye 0,003 m/s2. A mayor altitud hay mayor distancia con respecto al centro de la tierra y por ello es menor el peso del cuerpo y la aceleración “g”. A gA < gB

gA

Nivel del mar B gB Equivalencia entre las unidades de fuerza ¿Cuánto pesa un cuerpo de 1 kg de masa? Responderemos a esta pregunta en el Sistema Técnico y en el Internacional: Sistema Técnico

Sistema Internacional

Un cuerpo de 1 kg de masa, a 45º de Latitud y sobre el nivel del mar pesa:

p=m.g p = 1 kg . 9,8 m/s2 p = 9,8 N

1 kgf : (Por definición de kgf) 1 kgf = 9,8 N

Buscamos ahora la equivalencia entre la unidad de fuerza del Sistema Internacional (N) y la del Sistema C.G.S. (dina):

1 N = 1kg .

1m 100 cm = 1000 g . = 100000 dina s2 s2

1 N = 105 dina

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Equivalencia entre las unidades de masa En el Sistema Técnico la masa se mide en Unidad Técnica de masa U.T.(m) que se define como la masa de un cuerpo que precisa de una fuerza de 1 kgf, para acelerarse a razón de 1 m/s2.

F = m.a ⇒ m =

1 U .T .(m) =

F a

⇒

N 2

2

1 kgf 1 kgf . s 9,8 N .s = = = 9,8 m m m 1 2 s

kg.

m 2

s m

.s 2

1 U.T.(m) = 9,8 kg TERCERA LEY DE NEWTON : Principio de Acción y Reacción La Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que : “Cuando un cuerpo aplica una fuerza a otro (acción), éste reacciona con una fuerza de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario sobre el primero (reacción)”. Las fuerzas de acción y reacción aparecen y desaparecen simultáneamente y son aplicadas sobre cuerpos distintos, de modo que no pueden componerse para dar resultante cero. Si el cuerpo “A” aplica una fuerza de acción “FA” sobre el cuerpo “B”, éste reacciona sobre el primero con una fuerza “FB”. Para analizar los pares acción-reacción se usan los Diagramas de Cuerpo Libre. En estos diagramas se aísla un cuerpo del resto del sistema de cuerpos con los que interactúa, y se colocan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. No se colocan las fuerzas que dicho cuerpo ejerce sobre otros cuerpos, sino sólo las que actúan sobre él. En los diagramas de cuerpo libre puede verse que las fuerzas actúan sobre cuerpos distintos: la fuerza de acción FA sobre el cuerpo B y la de reacción FR sobre el cuerpo A. A

B

FR

FA

| FA | = | FR | (Igual módulo) FA = – FR

B

(Sentidos opuestos)

FA Diagrama de Cuerpo Libre del cuerpo B

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FR

A Diagrama de Cuerpo Libre del cuerpo A

Éste es un principio básico de la Física, y es muy importante conocerlo y aplicarlo a las situaciones donde hay varios cuerpos vinculados, ya sea a través de cables, vigas, poleas, pivotes o bisagras, etc. m1 F

F

m2

d

Se cumple siempre, tanto para fuerzas de contacto como para fuerzas de acción a distancia (gravitatorias, eléctricas, magnéticas, etc.)

Cualquiera de ambas fuerzas puede tomarse como acción y la otra reacción. A modo de ejemplo, aplicaremos el principio de acción y reacción a un tren formado por la locomotora de 30 000 kg de masa y dos vagones de 60 000 kg de masa cada uno, que es impulsado por una fuerza motora de 150 000 N. Calcularemos la aceleración del tren y las tensiones que aparecen en los puntos de acoplamiento de la locomotora con el primer vagón (T1) y entre los dos vagones (T2). F = 150 000 N

m1 = 30 000 kg

m2 = 60 000 kg

m3 = 60 000 kg

Sistema Tomando todo el tren como un sistema de cuerpos, y aplicando la segunda ley de Newton, podemos calcular la aceleración del conjunto. Debe tomarse entonces, la masa total del sistema “m t” y considerar la fuerza externa neta aplicada, que es la fuerza impulsora del motor (se considera fuerza exterior, aunque proviene de la propia locomotora, pues procede de la energía del combustible usado en la misma). Se supone que no hay otras fuerzas exteriores, de rozamiento por ejemplo, aplicadas sobre el sistema. Las tensiones T1 y T2 que aparecen entre los vagones no son ahora consideradas por tratarse de fuerzas interiores del sistema.

F = mt . a ⇒

F 150000 N =a= ⇒ mt 150000 kg

m a =1  2 s 

Física - Dinámica, Leyes de Newton - 9 -32

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A fin de calcular las tensiones T1 y T2 existentes en los acoplamientos entre la locomotora y los vagones, se realizó los diagramas de cuerpo libre correspondientes a estos cuerpos. La locomotora aplica la fuerza T1 sobre el primer vagón impulsándolo hacia la izquierda. Éste, por inercia, reacciona sobre la locomotora, aplicándole una fuerza igual y de sentido contrario T’1. R = m1 . a

Sistema

F – T’1 = m1 . a

F = 150 000 N T’1

m1 = 30 000 kg

F – m1 . a = T’1 150 000 N − 30 000 kg .1 m/s2 = T’1 120 000 N = T’1

| T1 | = | T’1| T1 = 120 000 N

T1

m2 = 60 000 kg

R = m3 . a

Sistema

T2 = m3 . a T2 = 60 000 kg .1 m/s

T’2

T2

m3 = 60 000 kg

2

T2 = 60 000 N El primer vagón le aplica al último la fuerza T2 para impulsarlo hacia la izquierda y éste reacciona con una fuerza igual y de sentido contrario sobre el primer vagón T’2. Como vemos, cada fuerza se coloca en el diagrama de cuerpo libre del cuerpo sobre el cual es aplicada. Aplicando la segunda ley de Newton a la locomotora se puede hallar T1. Nótese que ahora T’1 es una fuerza exterior y la resultante es la diferencia entre F y T’1. Por último hallamos T2 aplicando la segunda ley de Newton al último vagón. Observamos que T1 es mayor que T2. De los 150 000 N aplicados por el motor de la locomotora sólo hay 120 000 N disponibles para acelerar al resto del tren. Se han “perdido” 30 000 N, que se usaron para acelerar a la propia locomotora. Al final sólo hay 60 000 N para ser aplicado al último vagón, con lo cual se “perdieron” otros 60 000 N, que se usaron para acelerar al vagón "m2". Física - Dinámica, Leyes de Newton - 10 -32

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PROBLEMAS CON ELEVADORES Otro caso típico de Dinámica son los problemas con elevadores o ascensores. Allí se puede considerar un cierto peso apoyado en el suelo o suspendido por una cuerda. Cuerpo Apoyado

Cuerpo Suspendido

N

N

p

p

El cuerpo está sometido a dos fuerzas: 1) El peso propio “p” que es la fuerza con que la tierra lo atrae. 2) El peso aparente “N” que es la reacción del piso del ascensor si el cuerpo está apoyado, o la tensión de la cuerda si se halla suspendido. Se pueden dar tres situaciones: A) El ascensor está en reposo, sube o baja a velocidad constante. En este caso la aceleración del ascensor siempre es cero, pues hay reposo o M.R.U. Por ello, la fuerza resultante también será cero. Como sobre el cuerpo sólo hay dos fuerzas “p” y “N” opuestas, ambas deben ser de igual módulo. En Reposo o M.R.U

a = 0 ⇒ R = m.a R = m .0

N

R=0⇒

| N |=| p|

El peso aparente es igual al peso real p Para calcular el peso aparente no es importante si sube o si baja; mientras lo haga a velocidad constante el peso aparente será igual al peso real "p". Dinámicamente el reposo y el M.R.U. son equiparables pues son estados de movimiento "inerciales" y por ello tienen aceleración nula. Física - Dinámica, Leyes de Newton - 11 -32

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B) El ascensor tiene aceleración hacia arriba : Este caso puede darse cuando el ascensor parte del reposo hacia arriba, o bien está subiendo y se acelera aún más. También cuando está bajando pero desacelerando, puesto que su velocidad es para abajo pero su aceleración es ascendente. Con aceleración hacia arriba

V a

Sube acelerándose N R

a

V

Baja frenándose

R = m.a

p

a ↑⇒ R ↑

N − p = m.a N = p + m.a

N>p El peso aparente es mayor que el peso real.

Como el ascensor tiene aceleración hacia arriba, la fuerza resultante debe ser dirigida también hacia arriba. Para que esto sea posible el peso aparente “N” debe ser mayor que el peso real “p”. El objeto es en apariencia más pesado que su peso real. C) El ascensor tiene aceleración hacia abajo : En este caso puede ser que el ascensor parta del reposo hacia abajo o bien esté bajando y se acelere aún más. También cuando está subiendo pero desacelerando, puesto que allí su velocidad es para arriba pero su aceleración es descendente Como vemos, lo que importa no es si el ascensor sube o baja, sino el sentido del vector aceleración. Ahora vemos el caso en que la aceleración es descendente. Física - Dinámica, Leyes de Newton - 12 -32

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Con aceleración hacia abajo

Baja acelerándose a V

N

V

R

Sube frenándose

p

a

R = m.a p − N = m.a p − m.a = N

a ↓⇒ R ↓

N