67792623 4 Analise Estrutural de Navios

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Naval e Oceânica

Especialização em Engenharia Naval Módulo 4: Análise Estrutural de Navios

Prof. Dr. Oscar Brito Augusto

Material de apoio ao curso oferecido na Universidade de Pernambuco – UPE

2007

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24/03/2007

Versão

Data

Texto completo Observações Apostila:

ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL Módulo 4: Análise Estrutural de Navios Dept./Unidade PNV/EPUSP

Data 2007

Autor Prof. Dr. Oscar Brito Augusto

Curso oferecido pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo na Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco

Programação das aulas: Data

Período

Horários

Assunto

Noite

29/03/2007 Quinta-feira

18:30h – 19:20h Apres.: Professor, alunos e módulo 4 19:20h – 20:10h As ações das cargas e do ambiente 20:10h – 21:00h 21:00h – 21:50h Noite

30/03/2007 Sexta-feira

18:30h – 19:20h 19:20h – 20:10h

Manhã Tarde

31/03/2007 Sábado

08:50h – 09:40h 09:40h – 10:10h 10:10h – 11:00h

Período

Breve revisão de Mec. Sólidos

20:10h – 21:00h O navio como viga flutuante. Estrutura 21:00h – 21:50h Primária 08:00h – 08:50h

Data

Arranjo estrutural

Tensões normais primárias Tensões de cisalhamento primárias

13:00h – 13:50h Estrutura Secundária 13:50h – 14:40h

Distribuição de cargas

14:40h – 15:30h

Chapa Colaborante

Horários

Assunto

Noite

14/12/2006 Quinta-feira

18:30h – 19:20h Estrutura Secundária 19:20h – 20:10h

Perfis leves

20:10h – 21:00h

Perfis pesados

21:00h – 21:50h

Grelhas

Noite

15/12/2006 Sexta-feira

18:30h – 19:20h A Estrutura Terciária 19:20h – 20:10h

Pequenas Deflexões

20:10h – 21:00h

Chapas Longas

21:00h – 21:50h

Soluções

Manhã Tarde

16/12/2006 Sábado

08:00h – 08:50h Flambagem 08:50h – 09:40h

Chapeamento

09:40h – 10:10h

Perfis leves

10:10h – 11:00h

Painéis

13:00h – 13:50h Composição de tensões: 13:50h – 14:40h Primária+Secundária+Terciária 14:40h – 15:30h Sociedades Classificadoras

Índice 1.

INTRODUÇÃO.............................................................................................................................1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

2.

ESTRUTURA PRIMÁRIA ........................................................................................................22 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

3.

O Navio como uma viga flutuante ..................................................................................22 Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas....................................................26 Aplicação da teoria de vigas ..........................................................................................27 Tensões de flexão............................................................................................................29 Módulo de Seção ............................................................................................................32 Tensões cisalhantes ........................................................................................................35

ESTRUTURA SECUNDÁRIA ..................................................................................................43 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

4.

Carregamentos estruturais em navios ..............................................................................1 Cargas estáticas ...............................................................................................................2 Cargas dinâmicas .............................................................................................................3 Cargas ocasionais ............................................................................................................6 Arranjo Estrutural ............................................................................................................8 Chapeamento reforçado ...................................................................................................9 Tipos de cavernamento ...................................................................................................11

Introdução ......................................................................................................................43 Distribuição de Cargas ..................................................................................................51 Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa Colaborante..............................53 Grelhas ...........................................................................................................................64 Grelha Simples ...............................................................................................................65 Grelha Múltipla ..............................................................................................................67 Flambagem de painéis reforçados..................................................................................68

ESTRUTURA TERCIÁRIA ......................................................................................................77 4.1. Introdução ......................................................................................................................77 4.2. Nomenclatura .................................................................................................................78 4.3. Hipóteses simplificadoras e suas limitações...................................................................79 4.4. Teoria das pequenas deflexões .......................................................................................82 4.5. Relações entre momentos fletores e curvaturas..............................................................83 4.6. Relações entre momentos torçores e curvaturas ............................................................86 4.7. Equação de equilíbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio........90 4.8. Solução do problema de flexão de placas.......................................................................91 4.9. Placas simplesmente apoiadas .......................................................................................92 4.10. Soluções em forma de Gráficos ......................................................................................96 4.11. Placa longa...................................................................................................................100 4.12. Comportamento elasto-plástico....................................................................................103 4.13. Equação das placas para pequenas deflexões, incluindo-se o efeito de cargas paralelas ao plano médio............................................................................................................................113 4.14. Flambagem de placas ...................................................................................................119 4.15. Flambagem de placas no regime elástico.....................................................................120 4.16. Efeito de uma curvatura ...............................................................................................129 4.17. Flambagem por cisalhamento ......................................................................................131 4.18. Momento fletor no plano da placa................................................................................133 4.19. Carregamentos combinados .........................................................................................134 4.20. Comportamento de placas após a flambagem ..............................................................137

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA E REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................142

1. Introdução Para as estruturas flutuante, tão importante quanto a segurança à estabilidade e à sobrevivência, devido a perda de flutuabilidade oriunda de um alagamento, é a segurança à falhas estruturais. Este assunto em todos os seus detalhes é extenso e complexo o suficiente para completar diversos volumes e muitas horas de curso, mais do que teremos disponíveis, pois envolve a previsão das cargas impostas a estrutura em serviço, a análise das tensões causadas por aqueles carregamentos em milhares de componentes estruturais, a especificação dos materiais a serem utilizados com base em suas propriedades de resistência, custo, soldabilidade, facilidade de manutenção e a escolha do arranjo estrutural. Apesar de todas estas considerações, tratando-se de um curso introdutório de análise de estruturas de embarcações, vai-se focar os fundamentos do comportamento destas em suas componentes primária, secundária e terciária. Espera-se, com isso, que o estudante tenha uma compreensão destes fenômenos e possa aprofundá-los em etapas posteriores de sua vida profissional ou acadêmica.

1.1.

Carregamentos estruturais em navios

Uma embarcação deve possuir resistência estrutural suficiente para suportar as cargas sem sofrer falhas ou deformações permanentes. O mesmo poderia ser dito para qualquer estrutura, máquina ou dispositivo projetado pela engenharia. Como qualquer outro objeto de engenharia, o projeto estrutural de embarcações depende da avaliação precisa das cargas, ou das forças, impostas à estrutura durante sua vida útil. Para embarcações, no mar, as cargas resultam de uma ampla variedade de fontes inerentes a natureza, com amplitudes que não são determinadas de maneira determinística.

1

1.2.

Cargas estáticas

São aquelas relacionadas com a flutuação, estabilidade e trim. Existem os pesos do próprio navio (estrutura, máquinas e equipamentos) e o devido à carga embarcada (carga, óleo combustível, óleos lubrificantes, água potável....) que geram as forças gravitacionais (mg), verticais e apontando para baixo, e cuja soma integraliza o deslocamento do navio. Equilibrando o total das forças de peso do navio flutuando estão as forças de flutuação (ρg∇), com sentido oposto às de peso, que são as componentes verticais da pressão da água que atuam na parte imersa do casco. O total das forças de flutuação também é igual ao deslocamento da embarcação. Pressões externas e internas nas paredes de tanques que carregam líquidos também geram forças estáticas que solicitam a estrutura.

Figura 1.1 – Cargas em uma seção típica de embarcação. Tupper, E, 1996. Efeitos térmicos podem gerar tensões na estrutura do navio devido a contração e expansão de membros estruturais que estão acoplados a outros membros estruturais e que não estão sujeitos a extremos de temperatura. Para fins de análise e projeto estrutural, os carregamentos anteriormente descritos são considerados estáticos, embora de fato, eles mudem de viagem para viagem, uma vez que a distribuição de cargas e de óleo combustível nem sempre seja a mesma.

2

1.3.

Cargas dinâmicas

Somando-se às cargas estáticas há uma grande quantidade de cargas dinâmicas que variam constantemente enquanto o navio está em operação. A mais obvia destas é o carregamento variável imposto à estrutura causado pela combinação de ondas irregulares e dos movimentos do próprio navio resultante ao navegar nestas condições. As forças de onda geram variações contínuas da flexão do navio nos planos vertical e horizontal e também a torção.

Figura 1.2 – Carregamento devido a ondas. Alquebramento e Tosamento.

3

Figura 1.3 – Carregamentos devido a ondas As ondas e o movimento do navio ao longo destas também são responsáveis pela carga da água que embarca nos conveses, figura 1.3 ou que impacta no costado. Outras mais severas ocorrem quando a embarcação sofre slamming, situação em que a proa emerge totalmente da água para, na seqüência, reentrar, gerando uma breve, mas intensa pressão na estrutura do fundo da embarcação e que provoca um movimento vibratório de alta freqüência que se propaga ao longo da estrutura.

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Figura 1.4 – Registro de Slamming. Os movimentos do navio também provocam forças em tanques que contém líquidos e que estão parcialmente cheios devido ao impacto, sloshing, que a superfície gera sobre suas paredes.

Figura 1.5 - Registro de pressões dinâmicas devido ao movimento de líquidos em tanques. ABS, 2000.

5

A operação do sistema de propulsão também gera forças periódicas e de alta freqüência nas estruturas de suporte das máquinas e propulsores que se transmitem para a estrutura da embarcação provocando as vibrações forçadas.

Figura 1.6 – Fontes de vibrações em navios. Veritec, 1985.

1.4.

Cargas ocasionais

Somando-se às cargas mencionadas é comum acontecer de uma embarcação estar sujeita a cargas em operações especiais. Navios que navegam no gelo estão sujeitos a cargas diferenciadas ao quebrar o gelo. Estas cargas induzem um acréscimo da flexão do navio enquanto navega ondas e causam forças localizadas de grande magnitude nos pontos de contato do casco com o gelo.

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Figura 1.7 – Navio operando em regiões geladas. Navios de guerra estão sujeitos a cargas de impacto severas geradas por pouso de aeronaves, disparo de mísseis e explosões, sob ou acima d’água. Cargas severas também são impostas ao navio durante o lançamento e a docagem e mesmo durante a atracação. Finalmente, cargas acidentais e não intencionais são causadas por albaroamentos e encalhes e as situações de alagamento provenientes de tais acidentes.

Figura 1.8 – Lançamento lateral

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Figura 1.9 – Encalhe. Benford, 2006. Um cenário completo das situações de cargas impostas à estrutura de uma embarcação para um dado momento é extremamente complexo, como a lista de fontes mencionada pode indicar. Por isso, é comum entre os engenheiros navais arbitrarem um cenário hipotético de cargas equivalentes que é concebido de sorte que se a estrutura se mostra adequada a estes, ela terá um bom desempenho durante sua vida útil.

1.5.

Arranjo Estrutural

Para servir ao seu propósito, um navio deve ser: um objeto flutuante e impermeável, capaz de transportar cargas e de resistir a ações do ambiente e de sua própria operação sem sofrer falhas por fratura ou por deformações permanentes. A estrutura pode ser imaginada como uma viga, isto é, apresenta uma dimensão muito maior que as outras, suportada pelas forças de flutuação e sendo solicitada pelas forças provenientes da carga, do próprio peso e outros itens que transporta, enquanto sofre flexão e torção ao longo de sua rota. A “viga navio”, como passaremos a designar tal estrutura, deve ser projeta para resistir ao momento fletor longitudinal, o esforço solicitante

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primário da embarcação. Logo esta estrutura deve consistir de material contínuo no sentido longitudinal, de proa a popa. Enquanto a maioria das estruturas é constituída de vigas sujeitas à flexão, a estrutura do navio é única neste universo, pois seu chapeamento deve ser estanque. A combinação dos requisitos de resistência longitudinal e de estanqueidade em uma única viga, enquanto se tenta conseguir o mínimo peso da estrutural, tem sido, há décadas, a principal tarefa dos engenheiros de estruturas.

1.6.

Chapeamento reforçado

A configuração da unidade estrutural típica a que se chegou no desenvolvimento do projeto da estrutura de embarcações é o chapeamento reforçado. Um exemplo de chapeamento reforçado é mostrado na figuraxx. Os reforçadores podem ser perfis laminados (cantoneiras, perfil T, bulbo, etc.) soldados no chapeamento, ou perfis fabricados, soldados a partir de chapas e posteriormente soldado ao chapeamento. Por razões de eficiência (menor peso para resistir à carga), os reforçadores devem ser dispostos em direções ortogonais, conforme o mostrado na figura. Perfis leves, separados por menor espaçamento, agem como suporte para o chapeamento e os perfis pesados, separados por maiores espaçamentos, suportam o chapeamento e os perfis leves que neles se apóiam.

Figura 1.10 - Painel estrutural

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Figura 1.11 - Tipos de reforços. Eyres, D. J., 2001 O Projetista estrutural deve escolher a orientação (longitudinal ou transversal, vertical ou horizontal) de cada tipo de reforço em cada região da estrutura, como fundo, costados, conveses e anteparas. A escolha é baseada, na maioria das vezes, com base nas seguintes considerações: 1. Eficiência estrutural. Esta é determinada comparando-se os pesos de alternativas de arranjo com a mesma resistência estrutural. Em geral, o arranjo que resulta em mínimo peso para uma dada resistência é o melhor. Há exceções quando a solução de menor peso for a de custo elevado quando comparadas às demais alternativas. 2. Custos de material e de fabricação. Alternativas de arranjo estrutural devem ser comparadas tanto no custo quanto no peso e uma relação de compromisso deve ser analisada, considerando-se quanto o custo adicional se justifica em função da redução do peso da estrutura e, portanto, no aumento da receita com o aumento da

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capacidade de carga da embarcação, mantendo-se o mesmo deslocamento. 3. Continuidade

estrutural.

Os

membros

estruturais

como

os

reforçadores devem suportar as cargas na estrutura e as transmitirem aos membros adjacentes sem lhes gerar mudanças abruptas

nos

“concentrações

níveis de

de

tensões.

tensões”

sejam

Para

garantir

evitadas,

os

que

tais

membros

estruturais concebidos contínuos, perfeitamente alinhados, se são cortados e soldados, ao encontrarem os painéis principais, como anteparas, costados e conveses. 4. Utilização do espaço. Em painéis reforçados em duas direções, geralmente tem-se perfis leves, em espaçamento estreito entre eles, em uma delas e perfis pesados, em espaçamento largo, na outra, uma vez que os pesados suportam os leves. A escolha da orientação dos reforçadores pode, em muitas vezes, ser ditada pela necessidade de evitar que membros estruturais avancem no compartimento de carga e interfiram com a utilização do espaço.

1.7.

Tipos de cavernamento

Embora todo navio possua reforços nas direções longitudinais e transversais, o tipo de cavernamento em cada um é caracterizado pelo número,

tamanho

e

espaçamento,

dos

reforçadores

transversais

relativamente ao número, tamanho e espaçamento, dos reforçadores longitudinais. A evolução do projeto estrutural de embarcações resultou em dois

sistemas

de

cavernamento:

o

cavernamento

transversal

e

o

cavernamento longitudinal. E como não poderia deixar de ser, aproveitandose os benefícios de cada um deles, há embarcações que apresentam um sistema misto. Cavernamento transversal. Na figura 1.12, mostra-se a seção mestra de um navio com cavernamento transversal. Tal sistema apresenta muitos reforçadores leves, dispostos na direção transversal, sendo suportado por 11

poucos reforçadores pesados na direção longitudinal. Os reforçadores leves estão dispostos, em espaçamentos curtos, de 600mm a 1000mm, em forma de anéis, ao longo de todo o comprimento do navio. No mapeamento do anel ao longo do contorno da baliza do navio mostrado na figura, nota-se que ele é composto do vau do convés, que suporta o chapeamento do convés, caverna, que suporta o chapeamento do costado, e a hastilha, que suporta o chapeamento do fundo e do teto do duplo fundo. A cada transição ao longo do anel, há as borboletas conectando os membros estruturais. Estes anéis de cavernas garantem a resistência transversal da estrutura, mantendo o desenho da forma do casco, mas eles em nada contribuem para a resistência longitudinal do navio. A resistência longitudinal em navios com cavernamento transversal é garantida pelo chapeamento do casco, teto do duplo fundo, dos conveses, fora das regiões de aberturas e de escotilhas, e pelos reforçadores longitudinais pesados, como quilhas e longarinas, no fundo, sicordas nos conveses e escoas nos costados. Cavernamento longitudinal. No sistema de cavernamento longitudinal, os reforçadores leves estão dispostos na direção longitudinal da embarcação. Na figura 1.13 mostra-se a seção mestra de um navio tanque onde tal sistema é freqüentemente empregado. Tais reforçadores, espaçados entre 600mm e 900mm, além de darem suporte ao chapeamento também contribuem para a resistência longitudinal da viga navio, conferindo a tal arranjo mais eficiência do que o anterior. Anéis de cavernas gigantes, dispostos a cada 3 a 5 metros, fornecem resistência transversal e suporte para os longitudinais leves.

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Figura 1.12. Cavernamento transversal. Zubaly, R. B., 2000.

Figura 1.13 - Cavernamento longitudinal. Zubaly, R. B., 2000. Cavernamento misto. Como resultado das lições aprendidas na aplicação dos dois arranjos típicos apresentados, alguns tipos de navios apresentam uma combinação de cavernamento longitudinal e de carregamento transversal. Na figura 1.14 mostra-se um exemplo.

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Figura 1.15 – Cavernamento misto. Zubaly, R. B., 2000.

Figura 1.16 – Cavernamento misto. Navio graneleiro de casco simples. Porão de carga. IACS, 1982.

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PROBLEMAS

Propriedades de Área Os momentos de área são grandezas dependentes da geometria de uma figura plana e tem grande influência nos cálculos referentes a propriedades hidrostáticas e de resistência estrutural de embarcações. Momento de primeira ordem: (momento estático de área)

y

G

x

m y = ∫ xdA

(P1)

A

m x = ∫ ydA

(P2)

A

Momento de segunda ordem: (momento de inércia de área) I y = ∫ x 2 dA

(P3)

I x = ∫ y 2 dA

(P4)

A

A

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Define-se também o produto de inércia I xy = ∫ xydA

(P5)

A

O produto de inércia dá a idéia da assimetria da figura em relação ao par de eixos. (*)1 1) Havendo uma translação de eixos, como se mostra na figura, como B se modificam as relações (P1) a (P5)

y

G

x b

1

a

Nível: (B)ásico; (I)ntermediário; (A)vançado

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2) Havendo uma rotação de eixos, como se mostra na figura, como se I modificam as relações (P1) a (P5)

y

G

x

3) Na seção mostrada na figura, qual é o ângulo α do eixo ξ de forma I que o momento de inércia relativo ao Centro de Área seja mínimo seja mínimo? y 2

3 0.5 G x 5 0.3

0.5

4) Retomando a questão anterior, quanto vale produto de inércia para I este ângulo? 17

5) Ainda em relação as duas questões anteriores, qual é o ângulo que o I torna máximo? O que pode se concluir disto? 6) Qual a área A que torna as duas figuras como momentos de inércia I iguais? Em outras palavras, se uma chapa h fosse reduzida a duas áreas A nos seus extremos, com mesmo valor do seu momento de inércia, qual o valor de A? Ache A em porcentagem da área total h*t. A

a h

G a A t

7) Utilizando a mesma técnica do exercício anterior, deduza expressões I analíticas para o cálculo da posição do centro de área e do momento de inércia para a figura composta pelos três retângulos.

c tc

Ah + Ac hc

linha neutra h

hb

tw

Ah + Ab tb

b

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8) Deduzir as expressões das propriedades de área para os perfis A laminados T e HP, ou Bulbo, mostrados em detalhes nas figuras. Deduzir as expressões para os momentos de inércia em relação ao centro de área.

b

b

y y

30 graus

tb

R3

8 graus

R1

R1 =

=

R2

x

R2

x

x

x

d

d

tw

tw

y

y

19

9) Alguns aplicativos computacionais para o cálculo de estrutura só A trabalham com perfis do tipo T fabricado, isto é composto por dois retângulos. Para superar este obstáculo podemos simular os perfis laminados do tipo T, e HP, como T fabricado, adequando-se as dimensões do flange, largura e espessura, preservando-se a altura total do perfil e a espessura da alma, de sorte a manterem-se a área e o momento de inércia relativo ao centro de área da seção. Como isto poderia ser feito?

YLN

X

tw

tw HT

b Perfil H P

tb

Perfil T equi valente

Procura-se b e tb de sorte que a Inércia e Área do perfil T fabricado sejam idênticas às do perfil Laminado. A altura total do perfil é mantida constante. Área do flange:

A f = b ⋅ tb Área da alma: Aw = ( H T − t b ) ⋅ t w Área total:

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A = Aw + A f Altura da Linha Neutra: Y LN =

A f ( H T − 0.5t b ) + 0.5( H T − t b ) 2 t w A

Inércia de área relativa a linha neutra: ⎡t 2 ⎤ ⎧(H − tb ) 2 2⎫ + [0.5( H T − t b ) − YLN ] ⎬ I LN = A f ⎢ b + ( H T − 0.5t b − YLN ) 2 ⎥ + Aw ⎨ T 12 ⎣12 ⎦ ⎩ ⎭

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2. Estrutura Primária Na descrição dos arranjos estruturais, a estrutura do navio foi comparada com a de uma viga, suportada por baixo, pela flutuação, carregando seu próprio peso mais os pesos de máquinas e outros equipamentos, peso das cargas e dos itens de consumo. Na disciplina de arquitetura naval, nos cálculos de flutuação são consideradas apenas as magnitudes do peso e da flutuação. Nos cálculos de estabilidade, banda e trim, são necessários, além da magnitude, as posições dos centros de peso e de flutuação. Nos cálculos da resistência longitudinal da estrutura, ou resistência da viga navio, serão necessários o conhecimento destes itens e também de como peso e flutuação se distribuem ao longo do comprimento do navio. Diferentemente dos estudos de arquitetura naval, neste caso, o navio não é mais tratado como um corpo rígido, e sim um corpo que se deforma na presença dos esforços devido a pesos e flutuação. A deformação é causada pelas tensões impostas aos componentes estruturais do casco, da mesma forma que um corpo de prova se deforma no ensaio uniaxial de tração. Embora as previsões mais realistas das forças, tensões e deformações associadas à flexão longitudinal do navio em serviço requeiram um tratamento estatístico por conta da imprevisibilidade dos carregamentos impostos pela natureza do mar não serem conhecidos de maneira precisa, muito se pode inferir a partir do estudo da teoria simples de viga.

2.1.

O Navio como uma viga flutuante

A maioria das estruturas em serviço em terra está sujeita a cargas que podem variar de tempos em tempos, mas raramente invertem a curvatura da estrutura deformada. O piso de um armazém no porto, por exemplo, irá fletir por ação de seu próprio peso e o peso variável dos produtos que nele são

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empilhados. Embora esse carregamento possa variar no tempo, não se espera que ele gere a flexão do piso para cima. No caso do navio suportado pelas forças de flutuação e carregado pelo próprio peso, o peso da carga e o de outros itens que transporta, no entanto, deve-se esperar que, em alguns instantes, a viga navio apresente a tendência de fletir para baixo, a semelhança do piso do armazém, mas em outras, ele é forçado a fletir para cima, quando as forças de flutuação se rearranjam. Essa reversão no sentido da flexão não é de ocorrência rara. Na verdade, ela acontece continuamente ao longo de uma rota de navegação. Estima-se que durante um período de vida de 20 anos, um navio típico sofre 100 milhões destas reversões. Os dois sentidos de flexão da viga navio, ilustrados nas figuras 2.1 e 2.2, são denominados de alquebramento, quando a viga se arqueia para cima, e de tosamento, quando o arco se dá no sentido oposto. Nível médio da superfície do mar (águas tranqüilas)

Figura 2.1 - Alquebramento a quilha se curva para cima

Figura 2.2 - Tosamento: a quilha se curva para baixo

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Estas curvaturas atingem seus valores extremos quando o navio se move de encontro ou no mesmo sentido das ondas, e estas possuem comprimento, de crista a crista, da mesma ordem do comprimento da embarcação, conforme se mostra na figura. Quando as cristas suportam os extremos da embarcação, o casco tende a tosar, devido à diminuição da flutuação a meio navio. O alquebramento ocorre na seqüência, quando a crista se localiza a meio navio e os vales se encontram na proa e na popa. As reversões de sentido na flexão também invertem as tensões e deformações dela resultantes no fundo e no convés da viga navio. Tosamento gera tensões de compressão no convés e tensões de tração no fundo. Já o alquebramento gera tensões de tração no convés e de compressão no fundo. Nem sempre as embarcações navegam na direção das ondas com comprimentos da ordem de grandeza do próprio. Portanto, os ciclos de tosamento e de alquebramento nem sempre serão extremos. No entanto, essas reversões de carga ocorrerão continuamente em outras condições de mar, gerando níveis de tensões menores.

Figura 2.3 – A diferença entre as distribuições de peso e flutuação gerando a flexão da viga navio. Eyres, D. J., 2001.

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Importa destacar que inevitavelmente a distribuição de pesos e a distribuição da flutuação ao longo do comprimento do navio raramente serão iguais uma à outra. Assim, a viga navio estará sujeita a forças cortantes e momentos fletores e as tensões e deformações oriundas destes esforços, como serão vistas na solução do problema a seguir.

Figura 2.4 Tensões primárias na viga navio. Hughes, 1983. Problema. Uma barcaça retangular de 80m de comprimento, 10m de boca e 6m de pontal flutua em água salgada apresentando um calado de 0.5m quando vazia.

O

peso

da

embarcação

leve

pode

ser

considerado

como

uniformemente distribuído ao longo do comprimento da barcaça. Ela possui 5 porões de carga, cada um 16m de comprimento. As condições de carregamento da barcaça estão mostradas na figura. Pode-se adotar a hipótese de que as cargas estão distribuídas uniformemente ao longo do

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comprimento de seus porões. Vai-se calcular e desenhar os diagramas de pesos, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor.

700 t

800 t

700 t

400 t

400 t

16 m

16 m

16 m

16 m

16 m

80 m

2.2.

Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas

Como se mostra na figura 2.4, o equilíbrio vertical estático do navio, requer que o total das forças de flutuação equilibre o total das forças devido ao peso. Utilizando a notação da figura 2.4, tal requisito pode ser escrito como:

l

l

o

o

ρg ∫ a ( x)dx = g ∫ m( x)dx =Δ

(2.1)

onde a(x)

área imersa da seção transversal

m(x)

intensidade da massa distribuída

ρ

densidade da água do mar

g

aceleração da gravidade

Δ

deslocamento da embarcação.

O fator g foi mantido em ambos os membros da equação 2.1 para enfatizar que se trata de forças os termos envolvidos.

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Figura 2.4 – Resumo da flexão da viga navio. Hughes, 1983. De modo análogo, o equilíbrio de momentos requer que:

l

l

o

o

ρg ∫ a( x) xdx = g ∫ m( x) xdx =Δl g

(2.2)

onde lg é a distância longitudinal do centro de gravidade do peso do navio.

2.3.

Aplicação da teoria de vigas

Na teoria simples de vigas, pode-se caracterizar a distribuição do carregamento vertical atuante como sendo f(x), sendo x a direção do eixo da

27

viga. Para uma embarcação, tal distribuição deve ser a força líquida resultante da superposição do empuxo b(x) e do peso w(x), conforme se mostra na figura 2.4c. Na convenção de sinais adotada, as forças verticais positivas apontam para cima. Portanto, a força liquida resultante é f(x) =b(x)w(x).

f ( x) = ρga( x) − gm( x)

(2.3)

O equilíbrio de forças resulta em relações interessantes entre os esforços solicitantes e o carregamento atuante nas vigas em flexão. Impondo-se o equilíbrio a um elemento diferencial, conforme mostrado na figura 2.4d e com as convenções de sinais ali mostradas, obtém-se:

Q + fdx − Q − dQ = 0 ou

f =

dQ dx

(2.4)

da qual, por integração, obtém-se

x

Q( x) = ∫ f ( x)dx + C

=0

(2.5)

0

Para navios, a constante de integração é sempre nula porque a viga navio é uma viga com condições de contorno, livre-livre, ou seja, não há a presença de forças cortantes ou de momentos fletores em suas extremidades, de proa e de popa.

Q(0) = Q( L) = 0 Impondo-se o equilíbrio de momentos em torno de um pólo na extremidade direita do elemento e considerando-se momentos positivos aqueles que tendem a girar o elemento no sentido horário, obtém-se:

28

M + Qdx + fdx

dx − M − dM = 0 2

observando que o termo dx2 é de segunda ordem a equação se simplifica para:

Q=

dM dx

(2.4)

da qual se obtém:

x

M ( x) = ∫ Q( x)dx + C

=0

0

(2.5)

As convenções de sinais estão mostradas na figura 2.4e, para as forças cortantes, e 2.4f, para os momentos fletores. A força cortante em qualquer ponto é positiva se a integral, ou a soma acumulada do carregamento, até aquele ponto, for positiva. De modo similar, o momento fletor é positivo se a integral, ou a soma acumulada, das forças cortantes até o ponto for positiva.

2.4.

Tensões de flexão

A análise estrutural da viga navio utiliza a Teoria Simples de Viga, que se pauta nas seguintes hipóteses: 1. Seções planas permanecem planas. 2. A viga é prismática sem aberturas e descontinuidades. 3. Outras formas de resposta estrutural aos carregamentos não afetam a flexão no plano vertical e podem ser tratadas separadamente. 4. O material é homogêneo e permanece no regime elástico.

29

dθ

y

Figura 2.5 – Elemento diferencial em flexão

A primeira hipótese está ilustrada na figura 2.5. Sob a ação do momento fletor, a viga sofre uma curvatura, com raio local R e, se as seções planas permanecem planas, a deformação longitudinal εx varia linearmente na direção vertical e está relacionada com o raio de curvatura, R, como:

εx =

y ( R + y )dθ − Rdθ = Rdθ R

(2.1)

A superfície horizontal onde y e, portanto, a deformação é zero, é chamada de superfície neutra ou de eixo neutro. O material, por hipótese, homogêneo, elástico, com módulo de elasticidade E, apresenta a tensão normal na direção longitudinal:

σ x = Eε x = E

y R

(2.2)

A ausência de força externa axial requer, por equilíbrio:

30

Fx = ∫ σ x dA = 0

(2.3)

A

Que se reduz a

∫ ydA = 0

(2.4)

A

e indica que a superfície neutra coincide com o centróide da seção transversal da viga. O equilíbrio de momentos requer que o momento externo Mz seja equilibrado pelo momento resultante das forças internas M z = ∫ yσ x dA

(2.5)

A

que, após a utilização da equação 2.2, se reduz a:

Mz =

EI R

(2.6)

onde I é o momento de inércia da seção transversal, definido por: I = ∫ y 2 dA = 0

(2.7)

A

A equação 2.6 relaciona a curvatura com o momento fletor e se ela for utilizada para eliminar R da equação 2.2, o resultado é a familiar expressão para o calculo das tensões em função da distância y relativa ao eixo neutro:

σx =

Mzy I

(2.8)

31

2.5.

Módulo de Seção

A equação 2.8 indica que σx é máximo quando y é máximo, isto é nos extremos, superior e inferior, da seção transversal. Quando y corresponde a um destes extremos a quantidade I/y é chamada de módulo de seção e é usualmente denotado por Z. Como o eixo neutro não se localiza, geralmente, a meia altura da seção, existe, então, dois valores extremos de y: yD para o convés resistente mais distante da linha neutra e yK para a quilha, resultando dois valores para o módulo Z: ZD e ZK. Na maioria das embarcações, estrutura do fundo é mais robusta que a do convés, resultando uma localização abaixo do meio pontal para o eixo neutro. Uma altura de 0.4D acima da quilha é típica, mas tal localização varia entre os diferentes tipos de navios. Assim, as máximas tensões de flexão ocorrem tanto no convés quanto no fundo. O cálculo dos módulos reduz-se ao cálculo das propriedades de área e de inércia da seção transversal em questão. Como a estrutura longitudinal da viga navio é uma composição de diversos elementos, a marcha de cálculo destas propriedades é simples, porém dependendo da quantidade de elementos pode ser trabalhosa. Nestes casos, o uso de planilhas eletrônicas auxilia sobremaneira o trabalho.

32

6.50m

S1 22 mm

3.25m

20 mm

10 mm

S2 20 mm

3.25m

800x450x25 mm

7 mm

18 mm

3.00m

20 mm

17 mm

45o

25 mm 30 mm

1.25m

1.25m

3.00m

4.00m

S3

1.25m 20 mm 25 mm

9.75m

Bojo 22 mm

Espaçamento de cavernas 700 mm Distância entre anteparas 14 m

Figura 2.9 – Seção transversal de uma embarcação com cavernamento transversal

33

Tabela 2.1 – Cálculo das propriedades de área da seção mostrada na figura 2.9

ELEMENTO (unidades) convés 1 costado 1-2 convés 2 costado 2-3 convés 3 costado 3-f bojo teto do DF fundo quilha longarina 1 longarina 2 p. marginal

ESP. m 0.020 0.022 0.010 0.020 0.007 0.018 0.022 0.017 0.020 0.015 0.025 0.025 0.020

ÁREA TRANSVERSAL CHAPEAMENTO PERFIS ÁREA COMPR. ÁREA N° 2 m m 6.50 0.1300 3.25 0.0715 6.50 0.0650 3.25 0.0650 6.50 0.0455 2.75 0.0495 3.93 0.0865 8.50 0.1445 7.25 0.1450 1.25 0.0188 1.25 0.0313 1.25 0.0313 0.73 0.0146

∑

PAINEL ÁREA TOTAL m2 0.1300 0.0715 0.0650 0.0650 0.0455 0.0495 0.0865 0.1445 0.1450 0.0188 0.0313 0.0313 0.0146 0.8985

DIST À LINHA BASE

m 11.750 10.125 8.500 6.875 5.250 3.875 0.907 1.250 0.000 0.625 0.625 0.625 0.732

MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA m3 1.5275 0.7239 0.5525 0.4469 0.2389 0.1918 0.0785 0.1806 0.0000 0.0118 0.0196 0.0196 0.0107 4.0023

MOMENTO DE INÉRICA DE ÁREA PRÓPRIO TRANSFERÊNCIA 4 m m4 0.000 17.948 0.063 7.330 0.000 4.696 0.057 3.072 0.000 1.254 0.031 0.743 0.051 0.071 0.000 0.226 0.000 0.000 0.002 0.007 0.004 0.012 0.004 0.012 0.003 0.008 0.215 35.379

Altura da Linha Neutra

yLN

= ∑ me/∑ a

= 4.0023/0.8985

= 4.454 m

Inércia em relação a Linha de Base

Iz

= ∑ Ipróprio + ∑ Itransf

= 0.215 + 35.379

= 35.594 m4

= - (∑ a) yLN2

= -17.825 m4

Mudança para Linha Neutra

I/2 = Iz - (∑ a) yLN2

Meia Inércia em relação a LN

= 35.594 - 17.825

= 17.769 m4

Módulo de resistência no fundo

Zfundo

= I/yLN

= (2*17.769)/4.454

= 7.979 m3

Módulo de resistência no convés

Zconvés

= I/(D-yLN)

= (2*17.769)/(11.750-4.454)

= 4.871 m3

34

2.6.

Tensões cisalhantes

Devido a variação do momento fletor ao longo do comprimento do navio, as tensões σA e σB em duas faces, de um elemento diferencial ao longo do comprimento, não serão idênticas. Portanto, ao isolarmos uma porção deste elemento por meio de dois cortes, um na linha de centro e outro na distância s, ao longo do perímetro medido a partir da linha de centro, as forças resultantes da diferença de tensões devem ser equilibradas por uma distribuição de tensões cisalhantes no sentido longitudinal, ao longo das superfícies de corte. Por questões de simetria, as tensões de cisalhamento ao longo do corte na linha de centro não devem existir e o equilíbrio, portanto, deve ser totalmente obtido pela presença de tensões cisalhantes τ na outra seção de corte.

Figura 2.10 – Tensões de cisalhamento na flexão. Hughes, 1983.

s

s

0

0

τ tdx = ∫ σ B tds − ∫ σ Atds

(2.9)

35

Substituindo σ x =

τ tdx =

Mzy em ambas as faces: I MB − MA I

∫

s

0

ytds =

dM I

∫

s

0

ytds

(2.10)

Substituindo dM=Qdx:

τ tdx =

Qdx s ytds I ∫0

(2.11)

A integral na equação 2.10 é função da geometria da seção e da posição s ao longo desta. Por conveniência, associa-se o símbolo m para essa grandeza:

s

m = ∫ ytds 0

(2.12)

e, pode-se notar que m é o momento estático, em relação a linha neutra, da área da área acumulada, iniciando-se em um corte livre de tensões cisalhantes. (ou livre ou no plano de simetria). Substituindo m em 2.11 e isolando τ, obtém-se:

τ=

Qm It

(2.13)

O produto τt possui significado especial tanto no cisalhamento quanto na torção de vigas de paredes finas. Ele é denominado como fluxo de cisalhamento, como analogia ao escoamento de um fluido ideal contido em uma rede de tubulações. Guarda as mesmas características, ou seja, em um entroncamento, se preserva a conservação da massa, “a soma dos fluxos que chegam deve ser igual a soma dos fluxos de saem”. O produto τt, denominado de fluxo de cisalhamento, é representado pelo símbolo q

36

q=

Qm I

(2.14)

Como, tanto Q quanto I, são constantes ao longo da seção, o fluxo de cisalhamento é diretamente proporcional a distribuição de m. De fato a relação Q/I pode ser interpretada como um fator de escala e uma vez calculada a distribuição de m, a distribuição do fluxo de cisalhamento é idêntica, a menos das unidades. Outra vantagem do cálculo de q é a não existência de mudanças abruptas com as variações de espessuras, o que já ocorre com a distribuição de τ.

37

PROBLEMAS 1. Uma embarcação com 10.000t de deslocamento e 100m de comprimento apresenta máximo momento fletor de alquebramento da ordem de ΔL/100 (t.m). O pontal na Seção Mestra é de 12m e o eixo neutro se localiza a 4m acima da quilha. O momento de inércia da Seção Mestra é 48m4. Calcule os valores máximos de tensão de tração e de compressão e o local onde ocorrem. 2. Considere uma embarcação prismática com 130 m de comprimento, cujos pesos do casco, de máquinas e de carga sejam: 3200t, 800t e 6400t, respectivamente. O peso do casco é uniformemente distribuído ao longo do comprimento. O das máquinas se estende uniformemente ao longo de 1/5 do comprimento a meio navio, e o da carga se estende uniformemente sobre 2/5 do comprimento a partir da popa e 2/5 a partir da proa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor, e determine seus valores nas descontinuidades e nos máximos. 3. Um navio hipotético possui a curva de pesos que varia linearmente de zero, na proa e na popa, a um máximo na seção mestra (meio navio), e a curva de flutuação que varia linearmente de zero, na seção mestra, a um máximo nas extremidades, proa e popa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor e determine os valores extremos em função do deslocamento Δ e do comprimento L. 4. Os valores médios de peso por unidade de comprimento e de flutuação por unidade de comprimento de uma embarcação de 180m, representadas em seis segmentos iguais ao longo do comprimento da embarcação, são:

38

Segmento

w (t/m)

b (t/m)

1

78

33

2

150

126

3

88

145

4

75

141

5

63

78

6

93

18

Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor e determine os valores em cada segmento e os valores máximos. 5. Uma barcaça tipo caixa, com 43m de comprimento, 10m de boca e 6m de pontal, pesa 544t quando vazia. O peso leve da barcaça pode ser considerado uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento. Ela é compartimentada em 4 porões de carga, todos de igual comprimento. Em uma de suas operações, ela foi carregada com grãos, de maneira uniforme, conforme a tabela seguinte:

Porão

Carga (t)

1

192

2

224

3

272

4

176

Construir a curva de pesos, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor para a barcaça carregada e calcule os valores em cada antepara e os valores máximos. 6. Calcule o mínimo módulo requerido para a barcaça do problema anterior de sorte que a máxima tensão para aquela condição de carregamento não exceda 100 MPa.

39

7. Uma barcaça possui a vista em planta conforme mostrado na figura. Todos os planos de flutuação são idênticos. As cargas estão carregadas

uniformemente

nos

porões,

conforme

indicado.

Desprezando o peso próprio da barcaça, desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor para a barcaça flutuando em águas tranqüilas. Indique os valores em cada antepara e identifique os valores máximos da força cortante e do

vazio

14 m

400 t

14 m

950 t

950 t

400 t

14 m

14 m

14 m

vazio

10 m

momento fletor.

14 m

80 m

8. Uma embarcação de 200m possui obras vivas prismática ao longo do comprimento. O peso do casco, de 2400t, pode ser adotado como uniforme ao longo do comprimento. Ela possui 6 porões de carga, idênticos, que estão carregados (em toneladas), começando pela proa, conforme a tabela a seguir:

Porão

Carga

Combustível

1

400

100

2

700

200

3

800

300

4

800

300

5 6

100

Máquinas

800

500

40

Os pesos estão uniformemente distribuídos em seus respectivos porões. Desenhar as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor, indicando os valores em cada ponto de mudança ou de inflexão e os valores de máximo. 9. Uma barcaça, do tipo caixa, com 100m de comprimento, 15m de boca e 15m de pontal, possui o peso de 1920t distribuídos uniformemente ao longo do comprimento. Ela é carregada com 1200t ao longo de 30m, em cada uma de suas extremidades, proa e popa (carga total de 2400t). Determine o máximo momento fletor para essa condição de carga e calcule as máximas tensões primárias, no convés e no fundo, admitindo que a seção mestra possua inércia de 4,61 m4.e altura da linha neutra de 2.25m acima da quilha. 10. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo para seção mostrada na figura. Todas as chapas possuem 6.34mm de espessura. Quais serão as tensões no chapeamento do convés se a embarcação está sujeita a um momento fletor de 1980tm?

0.35 m

0.35 m

1.5 m

Todas as espessuras 6.35 mm

1.5 m

1.5 m

0.70 m

1.5 m

0.35 m

4.5 m

41

11. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo da seção mostrada na figura. Se o aço possui tensão de escoamento de 240MPa, qual é o fator de segurança ao escoamento para esta estrutura quando submetida a um momento fletor de 3960tm? 3.0 m

300mm x 3/4"

Placa de 1/4"

3.5 m

Placa de 3/4"

Placa de 1/2"

4.5 m

12. Um navio de 184m de comprimento e pontal de 14m está submetido a um máximo momento fletor de 50.000tm. O eixo neutro, na seção mestra, se localiza a 6m acima da quilha. Para a máxima tensão primária de 80MPa, determine o momento de inércia requerido para essa seção. A tensão máxima ocorre no convés ou no fundo? Qual o valor da tensão para a outra extremidade?

42

3. Estrutura secundária 3.1.

Introdução

A estrutura secundária de uma embarcação consiste de um chapeamento reforçado por: 1. perfis

leves,

que

limitando

as

dimensões

das

unidades

de

chapeamento o enrijecem, tais como cavernas, vaus de conveses, longitudinais, etc. 2. perfis pesados, que sempre servem de apoio aos perfis leves, recebendo destes a carga que lhes foi transmitida pelas unidades de chapeamento. São perfis pesados os anéis gigantes, as sicordas, as hastilhas, as quilhas, as longarinas e as escoas. Esse conjunto de chapeamento, perfis leves e perfis pesados, considerado entre duas anteparas estruturais, é que se costuma designar por estrutura secundária. Vê-se que, como a estrutura secundária contém unidades de chapeamento, nela também está contida a própria estrutura terciária, a qual nada mais é do que o conjunto de unidades de chapeamento, sem que nele se considerem os perfis. Entretanto as tensões secundárias estão associadas com as deformações secundárias e as tensões terciárias com as deformações terciárias. Convém lembrar as seguintes definições: 3. unidade de chapeamento: é a porção de chapa limitada por dois perfis adjacentes na direção longitudinal e outros dois na direção transversal. 4. painel:

é

uma

porção

da

estrutura

secundária,

formada

de

chapeamento, perfis leves e perfis pesados, no caso mais geral, que

43

se toma para estudo. Contém, portanto, pelo menos duas unidades de chapeamento. 5. grelha: é um conjunto de vigas que se interceptam. Caso elas sejam ortogonais diz-se que a grelha é ortogonal. 6. grelha chapeada: quando se tem um conjunto de perfis que se interceptam, soldados a chapeamento em um lado (caso do convés) ou em dois lados (caso do duplo fundo), diz-se que tem-se uma grelha chapeada. Nesse caso supõe-se que o chapeamento, em lugar de ser contínuo, como realmente é, constitui-se de tiras de chapa que se soldam aos perfis, servindo-lhes de flanges. Desta forma, em lugar de um chapeamento reforçado, supõe-se que se tem uma verdadeira grelha, na qual cada viga é formada por um perfil com a tira de chapa que se lhe supõe soldada. Essa tira é chamada chapa colaborante e essa grelha fictícia designa-se por grelha chapeada. Observando-se as figuras 3.1 a 3.3, nota-se que todos os enrijecedores leves ou pesados estão sujeitos à flexão devida às cargas laterais no chapeamento e, como possuem ligações entre si, formam um conjunto para resistir a estas cargas, tornando assim a análise deste tipo de estrutura bastante difícil em face ao grande número de elementos que a envolve.

44

Figura 3.1 - Estrutura do fundo de um navio tanque de casco singelo

45

Figura 3.2 - Detalhe de um painel do fundo 1-Quilha. 2-Chapeamento. 3-Hastilha. 4-Longitudinal leve. 5-Antepara transversal. 6-Antepara longitudinal

46

Figura 3.3 - Deflexões secundárias leves e pesadas

47

Pode ser utilizado o seguinte esquema para análise preliminar das tensões secundárias e sua superposição com as terciárias: 1. cálculo das tensões terciárias σ 3 nas unidades de chapeamento (abcd na Figura 3.4a), devido a pressão lateral, considerando esta unidade limitada por perfis leves e/ou pesados, desprezando qualquer deflexão dos perfis. Esta unidade deve ser verificada quanto à estabilidade sob a ação da tensão primária. 2. cálculo das tensões secundárias σ ''2 , nos

perfis leves, supondo que

estes se apoiam sem recalque nos perfis pesados. Associa-se aos perfis leves uma certa largura de chapa, para funcionar como um de seus flanges. Essa porção de chapa, como se viu, denomina-se chapa

colaborante e será discutida adiante. Emprega-se a teoria simples de viga e adotam-se hipóteses adequadas sobre as rotações nas extremidades de cada tramo da viga constituída do perfil mais sua chapa colaborante. Assim o problema se reduz ao da análise de uma viga com um só tramo. Atribui-se a essa viga uma certa fração da carga lateral que age sobre o chapeamento, daí se transmitindo ao perfil. A estima dessa fração de carga será discutida posteriormente.

c tc

chapa colaborante

th

tf

alma flange

h

f

Figura 3.4 - Perfil + Chapa Colaborante

48

1

2

3 (LN)

4

5

chapa colaborante

6

Figura 3.5 - Cálculo dos perfis Leves

' 3. cálculo das tensões σ 2 , atuantes na grelha formada pelo chapeamento

com os perfis mais pesados. Existem diversos métodos para o cálculo de

σ '2 com diferentes graus de complexidade e precisão. No mais simples, método da teoria simples de viga com um só tramo, procura-se estimar

σ '2 ignorando-se o comportamento de grelha e imaginando-se que ela pode ser suficientemente bem representada analisando-se cada um daqueles perfis separadamente, como se desligado estivesse dos demais, e com chapas colaborantes, cargas e condições de extremidade arbitradas. Embora esse método simplifique muito o cálculo, é por demais subjetivo e impreciso, sendo inviável estimar bem aquelas condições que nele devem ser arbitradas, a não ser para certos casos convencionais. Apesar disto é o mais adequado para fases iniciais de análise.

49

A título de exemplo suponha-se que se deseja aplicar tal método para ' calcular o valor máximo de σ 2 na longarinas2 QL, Figura 3.6, com o navio em

águas tranqüilas e sem carga no porão e duplo fundo. De acordo com o método, imagina-se que QL esteja desligada das hastilhas B, C e D. Arbitramse, então, condições de extremidades para QL, nos pontos em que ela intercepta as anteparas. Estas, pela rigidez que apresentam a deslocamentos no seu próprio plano, podem ser consideradas, com razoável precisão, como apoios irrecalcáveis para QL. É difícil, porém, estimar a rigidez à rotação de QL nas suas interseções com as anteparas, pois ela dependerá muito da geometria A

antepara

costado

B

C

L1 L2 L3 QL L4 L5 L6 Q L6' L5' L4' QL' L3' L2' L1'

antepara D longarina

c

d

a

b

quilha

longarina

hastilha

costado A

Figura 3.6a - Esquema do fundo de um navio, entre anteparas

teto do duplo fundo

L5

fundo

bojo

Figura 3-6b - Corte A-A

2As

longarinas também são chamadas de quilhas laterais.

50

e do carregamento nos porões adjacentes. Como se visa a simplificar os cálculos neste método, deve-se arbitrar uma das condições extremas: restrição total à rotação (engastamento) ou restrição nula à rotação (apoio simples). A seguir estima-se a largura da chapa colaborante, tema que será estudado adiante. Resta, por arbitrar, a carga sobre QL. Na realidade QL recebe cargas de duas formas: 1. cargas distribuídas, provindas do chapeamento que sobre ela se apóia, ao longo de todo o seu vão; 2. cargas concentradas, provenientes das ações de cisalhamento com as hastilhas, nos pontos em que com elas se intercepta. Embora o primeiro tipo de carga se possa estimar com razoável precisão, o segundo dificilmente se estimará bem, pois depende basicamente da rigidez à flexão de cada elemento da grelha, bem como da distribuição das cargas sobre o porão, caso as haja. Sensíveis alterações nesses parâmetros farão com que uma carga na interseção possa mudar não apenas de valor, mas também de sentido. O propósito do método é, porém, o de propiciar estimativas de σ '2 com cálculos deveras simples, para arranjos e carregamentos convencionais. Por isso, costuma-se arbitrar um carregamento distribuído que, espera-se, produzirá um valor máximo de σ '2 próximo daquele que o carregamento real de

QL acarreta. No caso que ora tratamos poder-se-ia adotar, como carregamento, a pressão sobre o fundo, ao longo de todo o vão de QL, entre L2 e L5. Isto significaria admitir que supomos ser a rigidez à flexão de QL bem maior que as das hastilhas, de sorte que essas últimas tendam a ter flechas maiores que as de QL e, por conseqüência, em QL apoiarem-se.

3.2.

Distribuição de Cargas

Ao isolarmos um elemento reforçador de um painel requer que se façam hipóteses sobre a distribuição de cargas entre as várias vigas em que se considera o chapeamento reforçado. Cada uma dessas vigas é constituída de um perfil e de uma parte de chapeamento a ele associada, a chapa

51

colaborante. A distribuição de cargas pode ser efetuada de diversas maneiras, umas mais simples e outras mais elaboradas: 1. Cada reforço recebe toda a carga aplicada sobre a largura s e a transmite aos reforços mais rígidos que lhe servem de apoio. A situação está esquematizada na região AEBDFC da Figura 3.7, onde se representa um painel estrutural de um costado de um navio. Aí a caverna

C1, no trecho entre a escoa e o fundo, estaria recebendo a carga hidrostática da região hachurada e transmitindo-a à escoa e ao fundo nos pontos E e F, respectivamente. Essa distribuição é superestimada para a caverna a não ser que a distância s seja muito pequena quando comparada a distância b. 2. Cada reforço recebe a carga do losango determinado pelas diagonais de cada unidade de chapeamento. A região GHIJKL, da Figura 3.7, ilustra essa distribuição. A caverna C2, entre o convés e a escoa, receberia a carga distribuída sobre o losango

KMHN, e a escoa entre L e K

receberia a carga distribuída sobre o losango LMKO. 3. Os reforços recebem a carga distribuída na região cujo centro ficam e que é limitada por linhas em ângulos de 45 graus. A distribuição está ilustrada na região PQRS da Figura 3.7. A caverna C3, no trecho entre o fundo e a escoa, receberia a carga distribuída sobre a área 1,2,3,4,5,6 e a escoa entre 2 e Q receberia a carga que se distribui sobre 2,7,Q e 3. Esta distribuição é a que mais se aproxima da realidade. Apesar de esta distribuição gerar um carregamento trapezoidal sobre o elemento desconsidera-se a diminuição nos extremos, adotando-se carregamento constante, uniformemente distribuído.

52

H

K caverna C2

caverna C3

s

convés G

H

I

antepara M

b

N 7 A

L

K

E

P

B

2

Q

J 1

escoa

3 antepara

O 6

C

fundo

F

4 R

S

D

5

caverna C2

45 o

E

F

2

5

Figura 3.7 - Esquemas de distribuição de cargas sobre os perfis

3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa Colaborante Uma das hipóteses básicas na teoria simples de vigas é que secções planas permanecem planas após a flexão e, por conseguinte, as tensões de flexão são diretamente proporcionais à distância do eixo neutro. Portanto em qualquer viga formada por alma e flanges, as tensões devem ser constantes ao longo dos flanges. No entanto, a maioria dos problemas a flexão não é causada por um binário de forças nas extremidades da viga e sim causada por cargas transversais que são absorvidas pela alma da viga e não pelos flanges. Sob o efeito das cargas, a alma da viga é curvada induzindo deformações máximas nos flanges. Como eles suportam a máxima deformação e, conseqüentemente,

53

as máximas tensões, os flanges são os elementos da secção transversal da viga que mais contribuem para a rigidez à flexão. Mas é importante notar que estas máximas deformações se originam na alma e somente atingem o flange por causa do cisalhamento. Este fenômeno é ilustrado na Figura 3.8 onde se mostra uma seção de uma viga tipo caixa, engastada em uma das extremidades e com uma carga concentrada na outra. F

no plano de simetria a tensão cisalhante é nula. mínima distorção

a alma arrasta o flange por cisalhamento máxima distorção

eixo neutro F/2 F/2

Figura 3.8 - Efeito shear lag em vigas tipo caixa

A força é resistida pelas almas, que se curvam de forma a alongar e a encurtar os extremos superior e inferior da viga. Por simplicidade, a curvatura não está ali representada. O contorno alongado da alma traciona consigo o chapeamento do flange através de forças de cisalhamento, o que resulta em tensões de cisalhamento. Estas tensões de cisalhamento distorcem o flange e esta distorção é tal que o lado mais afastado da alma do elemento retangular não deve se "esticar" tanto quanto o lado mais próximo; isto é, a deformação no sentido longitudinal é menor no lado interno e, portanto, também o é a tensão normal longitudinal. Este mesmo fenômeno ocorrerá em cada elemento, do

54

canto, junto à alma, até a linha de centro, embora ele, paulatinamente, diminua até desaparecer na linha de centro, porque a tensão de cisalhamento neste ponto cai para zero. O resultado disto é que o flange sofre uma distorção no plano longitudinal e, portanto, as secções planas não permanecem planas quando as tensões cisalhantes estão presentes. Esta distorção é comumente chamada de empenamento ou warping. O aspecto significativo da distorção pelo cisalhamento é que as regiões mais afastadas do flange apresentam menores tensões de flexão e são, portanto, menos efetivas do que as regiões mais próximas. Isto é, devido aos efeitos do cisalhamento, as tensões de flexão longe da alma "atrasam" (lags behind) em relação às tensões próximas a alma. O fenômeno foi então batizado de efeito de shear lag. Este efeito ocorre em qualquer viga com flanges largos sob cargas laterais.

distribuição de tensões normais no flange do perfil

σmax

CL

Figura 3.9 - Efeito shear lag em vigas com flanges A distribuição exata das tensões em vigas com flanges largos pode ser encontrada usando a teoria da elasticidade ou o método dos elementos finitos, mas o uso destas ferramentas, em fases iniciais de projeto, para computar este tipo de fenômeno é de pouco senso prático. Um estudo pela teoria da elasticidade mostra que a magnitude do efeito shear lag (isto é, o quanto a distribuição de tensões difere daquela originada pela teoria simples de viga) depende : 1. da relação largura do flange pelo comprimento da viga. 2. do tipo de carregamento lateral. 3. das proporções relativas entre alma e flange.

55

4. do tipo de seção transversal da viga. 5. da posição ao longo da viga. O efeito shear lag em geral varia de ponto a ponto ao longo do comprimento da viga e é máximo onde existem altos gradientes de forças de cisalhamento. A melhor maneira de considerar o efeito shear lag em painéis reforçados é fazendo uso do conceito de

largura efetiva do chapeamento, b1,

definida

como:

a largura de chapa que, quando utilizada no cálculo do momento de inércia da seção transversal do perfil, resultará no valor correto de tensão normal de flexão na junção alma-flange, quando se faz uso da teoria simples de viga para o cálculo dessa tensão. A largura efetiva deve ser tal que a força longitudinal no flange seja igual tanto no modelo simples quanto no modelo complexo. Igualando as forças

b

b1 σ max = ∫ σ x dz 0

ou b

b1 =

∫σ 0

x

dz

σ max

O modelo que apresentaremos a seguir, sugerido por W. Muckle, 1967, se baseia na teoria de Shear Lag desenvolvida por Taylor, 1964. Considere a viga fabricada mostrada na Figura 3.3. A tensão de cisalhamento longitudinal em um plano vertical utilizando a relação da resistência dos materiais pode ser escrita como:

56

B

B z y

eixo neutro

Figura 3.10 - Tensões cisalhantes em vigas com flanges largos

τ=

Qm It

=

Q(b − z ) y I

(3.1)

com a correspondente deformação angular, ou de cisalhamento

γ =

τ G

=

Q(b − z ) y GI

(3.2)

Conforme se vê na Figura 3.11, as deformações angulares provocam um movimento longitudinal das fibras

dz

τ τ

τ τ

dx de

γ

Figura 3.11 - Deformação de cisalhamento no flange da viga

de = γ ⋅ dz

(3.3)

Somando todos os elementos, da origem à uma posição genérica z, obtém-se:

57

z

z

0

0

e = ∫ de = ∫

2 Q(bz − z 2 ) y Q(b − z ) y dz = GI GI

(3.4)

A variação no sentido longitudinal deste movimento leva a uma deformação linear e uma conseqüente tensão normal longitudinal, que é de relaxamento: ⎡

2

⎤

2

q (bz − z 2 ) y ∂e ∂ ⎢ Q (bz − z 2 ) y ⎥ Δσ = E =E =E ⎥ ∂x ∂x ⎢ GI GI ⎣

(3.5)

⎦

onde se fez uso da hipótese da viga ser prismática, homogênea e o fato da variação da força cortante ao longo do eixo da viga ser igual ao carregamento distribuído, q. Se o momento fletor, em uma particular secção for designado por M, então a tensão de flexão no centro do flange é calculada como:

σf =

M y I

(3.6)

e a tensão modificada, pelo efeito de cisalhamento, para 2 Eq(bz − z 2 ) y M σx = y− I GI

(3.7)

Como conseqüência desta composição, a equação de equilíbrio entre momentos externo e interno não mais fica satisfeita, ou seja, a integral dos momentos devido as forças internas deve ter como resultado o momento fletor

M. O segundo termo da equação acima resulta no que chamamos de perda de resistência fletora que é obtida como: 2

ΔM = 2 ∫

b

0

Eq(bz − z 2 ) y 2 tdz 2 E qb 3 y 2 t = GI I 3G

(3.8)

58

O equilíbrio pode ser então restabelecido se imaginarmos que - aqui se encontra a hipótese fundamental dessa teoria - as tensões de flexão na viga são geradas por um momento fletor:

M + ΔM

(3.9)

o que corresponde ao momento real adicionado da parcela devido ao relaxamento das tensões de flexão devido ao cisalhamento. A distribuição de tensões resultante no flange da viga será:

σx =

M+

2 E qb 3 y 2 t z 2 )y q bz − ( E 3G I 2 y− I G I

(3.10)

2b

2b1

2b1

σ max C L

σ max C L

Figura 3.12 - Largura efetiva de flanges Na junção alma-flange, quando z=0 o valor da tensão é

σ max =

M+

2 E qb 3 y 2 t 3G I y I

(3.11)

59

Tomando este valor como constante ao longo de uma largura b1, largura da chapa colaborante, então a força longitudinal suportada pelo flange é:

Fflange = 2b1tσ max

⎛ 2 E qb3 y 2 t M + ⎜ 3G I = 2b1t ⎜ I ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ y⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.12)

No entanto, esta força deve ser igual àquela obtida pela integração da equação 3.10, ou seja:

Fflange

⎛ 2 E qb 3 y 2 t ⎜M+ b 3G I = 2 ∫ σ x tdz = 2bt ⎜ 0 I ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 2 E qb 3 yt y⎟ − ⎟ 3G I ⎟ ⎠

⎛ 2 E qb 3 y 2 t ⎜M+ I 3G = 2b1 t ⎜ I ⎜ ⎜ ⎝

(3.13)

⎞ ⎟ y⎟ ⎟ ⎟ ⎠

o que resulta na relação entre a largura efetiva e a largura do flange como sendo

b1 =1− b

1E 2 qb 3G 2 E qb 3 y 2 t M+ 3G I

(3.14)

Fica evidente que a largura da chapa colaborante é função da distribuição da carga e das condições de contorno da viga. No caso de uma viga simplesmente apoiada e com carga uniformemente distribuída, o momento fletor é dado por: M=

qlx qx 2 − 2 2

(3.15)

e a chapa colaborante

60

1E 2 b b1 G 3 = 1− b lx x 2 2 E b3 y 2t − + 2 2 3G I

(3.16)

Para uma viga bi-engastada sob a mesma condição de carga

M=

qlx qx 2 ql2 − − 2 2 12

(3.17)

e a chapa colaborante

1E 2 b b1 G 3 = 1− b lx x 2 l2 2 E b3 y 2t − − + 2 2 12 3 G I

(3.18)

Observando em mais detalhe as equações 3.16 e 3.18, nota-se que as quantidades: 7. momento de inércia I, e 8. y , distância do flange ao centróide da secção da viga; são funções da largura b1, que esta sendo calculada no primeiro membro de ambas as equações, de onde se conclui que o processo deve ser iterativo. Por outro lado, em regiões onde o momento fletor possui valores muito maiores que o segundo termo no denominador das equações 3.16 e 3.18, este pode ser desprezado, resultando para:

61

•

•

vigas engastadas:

b1 b2 = 1 − 8(1 + μ ) 2 l b

no engastamento

(3.19)

b1 b2 = 1 − 16(1 + μ ) 2 l b

no centro da viga

(3.20)

no centro

(3.21)

vigas apoiadas:

b1 16 b2 = 1 − (1 + μ ) 2 3 l b

onde o carregamento é uniformemente distribuído. É de interesse uma comparação entre estes resultados e os obtidos pelo trabalho de Schade, apud Hugues, 1983. Schade fornece os resultados para chapas colaborantes em função do parâmetro cL/B, onde cL é a distância entre pontos, ao longo do comprimento da viga, onde são nulos os momentos e B é o espaçamento entre reforçadores do painel, ou a largura total do flange da viga. Portanto chamando cL= l1 , B=2b e adotando (1+μ)=5/4 a equação 3.21 para vigas apoiadas, na região de máximo momento fletor se transforma para 3 b1 5 B2 =1− 3 l1 2 b

Para finalizar deve-se ressaltar que para secções transversais cujo eixo neutro estão muito próximos do chapeamento, como é o caso de painéis reforçados usualmente aplicados na construção naval, as propriedades da

3

Segundo Muckle, 1987, utilizando teoria da elasticidade Schade, chega a seguinte relação para

⎛ b B2 ⎞ chapeamentos reforçados, 1 = 11 . ⎜1 + 2 2 ⎟ b l1 ⎠ ⎝

−1

, válido para valores de

l1 ≥ 2 e mostra que para B

certas circunstâncias é possível ter-se uma relação de chapa colaborante espaçamento de perfis maior do que a unidade.

62

secção não são significativamente afetadas pela largura de chapa colaborante utilizada, de modo que a largura efetiva não possui a importância que pode parecer a uma primeira vista, veja exercício 1. As principais conclusões destas investigações são: 1. a largura efetiva varia de ponto para ponto ao longo do comprimento da viga. Em contrapartida, não há efeito shear lag na flexão pura (força cortante nula). 2. shear lag ocorre tanto em tração quanto em compressão de forma idêntica, desde que não ocorra a flambagem do flange. Na figura 3.13, extraída de Hughes, 1983, apresentam-se as curvas para o cálculo de largura de chapa colaborante em função do arranjo dos perfis e do tipo de carregamento.

Figura 3.13 – Largura de chapa colaborante. Hughes, 1983.

63

distribuição de tensões de flexão no chapeamento

B 1 /2 c

unidades de chapeamento

B1

/2

1 c 2 /2

B 2 /2 B2 Sentido do comprimento

perfil + chapa colaborante distribuição de momentos fletores ao longo do comprimento do perfil para carga uniforme

Largura da chapa colaborante c = (c + c )/2 1

vão L

q L2 /24

q L2 /12

l1

2

distância entre momentos fletores nulos l = 0.578 L 1

Figura 3.14 – Largura de chapa colaborante em painéis reforçados

3.4.

Grelhas

Muitas estruturas se constituem de uma rede de vigas que se estendem em duas direções, geralmente ortogonais. Nas estruturas navais e oceânicas o uso deste arranjo é comum, podendo-se citar os conveses de navios, reforçados na direção transversais pelos vaus e, na longitudinal, pelos longitudinais leves e sicordas. Conforme se mencionou anteriormente, uma das formas de se analisar este tipo de estrutura é considerar que o carregamento é absorvido por um grupo de reforços, enquanto que o outro, agindo como suporte para o primeiro, não se deforma. De acordo com esse principio e retomando o exemplo do convés, admite-se que os vaus se apóiam no costado e em uma sicorda, ambos os apoios considerados irrecalcáveis. Um modelo melhor reconheceria que o segundo conjunto de reforços atua como apoio

64

elástico para primeiro. O estudo das grelhas contempla este tipo de problema, e define-se a grelha com uma estrutura onde existem vigas ou reforços em duas

direções. Nas estruturas navais e oceânicas o problema de grelhas é complicado pelo fato de os reforços estarem ligados a um chapeamento, ou em outras palavras, a grelha é chapeada. A dificuldade aqui se refere a qual valor de

chapa colaborante que deverá ser associado à secção reta dos perfis para formar as vigas ou reforços nas duas direções.

3.5.

Grelha Simples

Uma introdução ao problema de grelhas pode ser feito considerando apenas duas vigas que se interceptam em ângulos retos, sendo solidárias no ponto de interseção. Na Figura 3.15 mostra-se uma estrutura, na qual uma viga, simplesmente apoiada, com comprimento l 1 e momento de inércia I1, é ligada, em seu ponto central, a uma segunda viga, também simplesmente apoiada, comprimento l 2 e momento de inércia I2. As cargas atuantes em cada uma delas seriam q1 e q2 respectivamente e para o propósito deste problema serão consideradas uniformes ao longo do comprimento das vigas. O efeito da ligação entre as duas vigas será a geração de uma força concentrada F no ponto de interseção e essa agirá para cima em uma das vigas e para baixo na outra, de modo que a reação de apoio na primeira viga será:

Q1 =

q1 l 1 F − 2 2

(3.22)

q2 l 2 F + 2 2

(3.23)

e na segunda viga

Q2 =

Segue que os momentos fletores para estas duas vigas serão:

65

q1 x 2 M 1 = Q1 x − 2

(3.24)

q2 y 2 M 2 = Q2 y − 2

(3.25)

q

1

viga 2 l2 I2

q

y

2

centro das vigas x viga 1

l1

I1

Figura 3.15 - Grelha simples apoiada Uma vez conhecida a força F os distribuições de momentos M1(x) e M2(y) podem ser calculadas para cada uma das vigas. O procedimento é simples. Como as vigas estão ligadas em seus pontos centrais, as deflexões delas neste ponto devem ser a mesma. Considerando apenas a influência do momento fletor no cálculo dos deslocamentos, tem-se:

4

3

δ1 =

Fl 1 5 q1 l 1 − 384 EI 1 48 EI 1

δ2 =

Fl 2 5 q2 l 2 + 384 EI 2 48 EI 2

(3.26)

e 4

3

(3.27)

Igualando as duas expressões obtém-se:

66

F=

4 q2 l 2 4 ⎞ 5 ⎛ q1 l 1 − ⎜ ⎟ I2 ⎠ 8 ⎝ I1 3

(3.28)

3

l1 l + 2 I1 I2

É educativo examinar-se os valores limites na equação 3.28. Se a viga 2 for muito rígida (comprimento pequeno e/ou inércia grande), o segundo termo em ambos, numerador e denominador, tendem a zero, resultando para a força

F = 5/8 q1 l 1 , que seria o resultado para uma viga contínua sobre três apoios. A Figura 3.16 ilustra a solicitação de momentos para a viga 1. Se, por outro lado, a viga 2 for muito flexível e admitir-se que nela atue uma carga desprezível, a força F será nula e a viga 1 se comportaria como uma viga sobre dois apoios.

ql 8

9 ql 128

2

equivalente a uma viga engastada-apoiada

2

3 l /4 Figura 3.16 - Momentos Fletores para a viga 1 supondo que a viga 2 seja muito rígida

3.6.

Grelha Múltipla

Quando existem mais de um reforçador em cada direção, a solução do problema da grelha é mais complicada, pois ao invés de ter-se somente uma incógnita hiperestática (força concentrada no ponto de interseção das vigas) surgirá uma série delas. Em outras palavras, haverá tantas reações hiperestáticas quantas forem as intersecções entre reforços. O problema se

67

transforma de uma equação a uma incógnita para n equações a n incógnitas se for utilizado o mesmo método do item anterior. Obviamente, em termos práticos, isso limita a umas poucas vigas o problema que pode ser resolvido sem o auxilio de um computador. Existem alguns métodos aproximados para a solução do problema de grelhas. Um deles, muito difundido na década de 70, antes da popularização dos Métodos Matriciais, era o Método da Chapa Ortotrópica, onde a grelha é substituída por uma placa com características ortotrópicas fictícias de rigidez. Os resultados dessa teoria, úteis nas fases iniciais de qualquer projeto, são apresentados em forma de gráficos, que podem ser encontrados em Freitas, E. S., 1977. Porém o problema de grelha pode ser facilmente resolvido através de Métodos Matriciais de Cálculo de Estruturas, objeto de estudo não abordado neste curso.

3.7.

Flambagem de painéis reforçados

Embora a flambagem de painéis reforçados seja objeto de estudo do capítulo de estrutura secundária, ele é mais bem compreendido após o estudo da estrutura terciária. Assim, sugere-se que o leitor prossiga seus estudos focalizando a estrutura terciária e, posteriormente, retorne a este item para compreender o cálculo da instabilidade de painéis reforçados. Ao se estudar a flambagem de uma unidade de chapeamento, estrutura terciária, se supõe que seus contornos permanecem estáveis. Na realidade isso pode não acontecer. Os reforços longitudinais e transversais podem flambar antes mesmo de uma unidade de chapeamento chegar à sua tensão crítica. Os painéis reforçados podem flambar de duas formas diferentes. Na

flambagem global, os reforços flambam junto com o chapeamento; na flambagem local ou o reforço flamba prematuramente, por insuficiente rigidez ou estabilidade, ou as unidades de chapeamento flambam entre reforços,

68

sobrecarregando desta maneira os reforços de tal forma que estes flambam de modo semelhante às colunas. Para a maioria dos painéis, de aplicação em engenharia naval e oceânica, as dimensões são tais que a flambagem - seja de qual tipo for - é inelástica, e assim sendo o termo falha é mais adequado de ser usado ao invés de flambagem. No entanto, a flambagem elástica nos dá uma boa indicação de como serão os modos de falha e servem, também, como um balizamento inicial para estudos mais complexos envolvendo a flambagem inelástica. Como já fora feito anteriormente na flambagem de placas, o cálculo das tensões criticas de flambagem são, em geral, feitas adotando-se contornos simplesmente apoiados, não obstante a presença de forças laterais, pois na maioria dos casos estes carregamentos podem estar ausentes ou podem não ser grandes o suficiente para prover uma total restrição a rotação. Além disso, as cargas laterais têm pouca influência na flambagem elástica. Portanto, a menos que se diga o contrário, será adotado que os lados do painel estão simplesmente apoiados. Uma maneira prática de calcular a tensão crítica de flambagem de um painel reforçado consiste em considerar cada reforçador, associado a uma largura de chapeamento, como uma viga sendo comprimida. A tensão crítica de flambagem é então obtida pelas fórmulas de Euler, ou qualquer outra envolvendo a flambagem de colunas, e esta tensão, assim obtida, deve ser inferior à tensão crítica de flambagem da unidade de chapeamento. O que acontece então quando a unidade de chapeamento flamba antes de se atingir o valor da tensão acima mencionada? Obviamente o valor de b, vide figura 3.18, tomado como largura de flange para a secção do perfil, deverá ser menor, uma vez que a unidade de chapeamento sofrera flambagem e uma conseqüente redistribuição de tensões. Uma vez que no bom projeto estrutural de um painel esbelto tal condição deva ser verificada, ou seja, a flambagem do chapeamento deve preceder a

69

flambagem dos reforços, ocorre que a chapa colaborante para o reforçador não será totalmente efetiva sobre toda largura b. Ao invés, é necessário tomar uma largura efetiva reduzida, digamos, be. Note que esta largura não é a mesma deduzida como chapa colaborante à flexão de modo a corrigir o efeito shear

lag. Naquele caso a perda de efetividade era devido a deformações no plano do chapeamento em função do cisalhamento. No presente caso ela é devido a deformações para fora do plano, causadas pela flambagem.

σa unidade de chapeamento

tensão uniforme no painel antes da flambagem da unidade de chapeamento

be b

be

a

σa

redistribuição de tensões após a flambagem da unidade de chapeamento

σe

tensão máxima no perfil após a flambagem da unidade de chapeamento

tensão média no painel após a flambagem da unidade de chapeamento

Figura 3.18 - Flambagem de uma unidade de chapeamento A largura efetiva devido a flambagem é uma questão difícil de ser resolvida, principalmente porque, na maioria dos casos, ela é discutida e aplicada em um difícil contexto onde os painéis não flambam de forma puramente elástica. Para a flambagem elástica uma teoria satisfatória foi apresentada por von Karman, 1932. A proposta de von Karman é, além de elegante, simples e prática, e fornece uma ferramenta útil na previsão da flambagem elástica de painéis reforçados.

70

Ele idealizou o estado de tensões na placa após a flambagem adotando que, devido a flambagem a região central da placa não sofre tensões de compressão, enquanto que as regiões dos extremos permanecem totalmente efetivas e apresentando tensões uniformes σe, como se mostra na figura, 3.18. Em outras palavras, a região flambada da placa é descontada completamente da placa original de largura b e substituída por uma placa de menor largura, não flambada e com largura efetiva be. Do equilíbrio estático fica claro que σe e σa estão relacionadas por:

∫σ

e

dA = ∫ σ a dA

Ae

(3.29)

A

Para simular a progressão da flambagem é também adotado que a (ainda não flambada) largura efetiva está sempre na eminência de sofrer a flambagem, isto é, a largura efetiva é aquela largura na qual a placa equivalente sofreria flambagem quando submetida a tensão σe. Isto implica em

σe = k

π2 D be2 t

(3.30)

e, para a placa original

(σ a ) cr = k

π 2D b2t

(3.31)

Pressupondo-se que o valor de k seja o mesmo para ambos os casos, tem-se que:

be = b

(σ a ) cr σe

(3.32)

71

Esta última hipótese não é estritamente correta porque, embora as condições de contorno possam ser consideradas como similares em ambos os casos, as razões de aspecto são diferentes. No entanto, foi mostrado, quando do estudo da flambagem de placas, que para razões de aspecto maiores do que a unidade, k pode ser tomado como sendo 4. A substituição desse valor, juntamente com o coeficiente de Poisson ν = 0.3, na expressão para (σa)cr, transforma a equação (3.31) para

be t E = 1.9 b b σe

(3.33)

De posse de uma expressão para o cálculo de be podemos prosseguir e obter uma expressão para a carga de colapso de um painel reforçado, isto é, para o colapso do painel em modo elástico. A largura efetiva be é associada ao perfil de área A e inércia I, atuando como uma chapa colaborante no cálculo da inércia Ie da área transversal Ae do novo perfil. A tensão normal axial, σe , que atua no reforço mais chapa colaborante, tem seu valor crítico é dado por:

σe =

π 2 EI e Ae L2

(3.34)

Note que nesta equação se refere a σe ao invés de σa .A tensão axial no reforçador é maior do que a tensão externa aplicada σa por causa da largura reduzida da chapa. A quantidade de interesse é o valor de σa correspondente a

σe . pois este é o valor da carga de flambagem do painel reforçado. Do equilíbrio estático, ambos se relacionam:

σ a (bt + A) = σ e (be t + A)

(3.35)

e, por conseqüência

σa =

be t + A σe bt + A

(3.36)

72

Por causa da presença de σe na equação (3.33) o cálculo deve ser iterativo. Um procedimento adequado seria: 1. Adota-se um valor inicial para be (suponha-se be =0.8 b). 2. Calcula-se o momento de inércia do perfil associado à sua chapa colaborante. 3. Calcula-se σe através da equação (3.34). 4. De posse deste valor, recalcula-se be através da equação (3.33). 5. Repete-se os passos de 2 a 4 ate que be tenha convergido. 6. Calcula-se σa através da equação (3.36). 7. Pode-se observar, através do exercício 6, que com este procedimento, obtém-se a carga crítica de flambagem do painel em poucas iterações.

73

PROBLEMAS

1. Para o perfil mostrado na figura, calcular o momento de inércia, os módulos de resistência, no flange e na chapa, utilizando larguras de chapa colaborante, conforme as relações b1 /b=(1.0;0.8;0.6;0.4); Para b1/b=1 calcular a distribuição das tensões de cisalhamento no perfil. (Faça os cálculos para o perfil analiticamente, pois estes resultados

serão úteis para todo o seu futuro dentro do cálculo das estruturas navais e oceânicas). b=500; tb=6.3; h=105; th=5; f=45; tf=9.5 (em mm)

b t th

b

h tf

f

2. Admitindo que a viga com o perfil acima possua 1030 mm de comprimento e b=500 mm está submetida a uma carga com distribuição triangular (q=500 N/m) e lados simplesmente apoiados, calcular a chapa colaborante na posição de momento máximo.

q=N/m

74

3. Para o painel mostrado na figura, calcular as tensões secundarias, admitindo espaçamento de cavernas de 1030 mm e vão livre da sicorda de 4 espaçamentos de cavernas. Qual é a máxima tensão no perfil e em que posição do painel ela ocorre.

espes. = 7

2000

P=280x6.3x200x12.5 L=105x5x45x9.5

medidas em mm

p=1.0 mca

4. Na figura mostra-se um painel do fundo de um petroleiro que está submetido a uma pressão hidrostática de 25 mca. O chapeamento possui 20 mm de espessura, o espaçamento entre hastilhas é de 3700 mm, e o de longitudinais, 880 mm. Os longitudinais leves possuem dimensões, 400x12x150x18 (almaxflange), as hastilhas 800x20x400x30 e a quilha 1000x20x300x30. Calcular as máximas tensões secundárias. Levantar o diagrama de momentos fletores na estrutura pesada.

75

5. Calcular, para as duas direções, as tensões críticas de flambagem do painel reforçado mostrado na figura.

T300x8x100x12

600 ~7 3000

3000

L90x60x6

Aço Naval 2

76

4. Estrutura Terciária 4.1.

Introdução

Em navios e em algumas estruturas oceânicas encontramos como componente estrutural básico o painel estrutural ou chapeamento reforçado. O painel

estrutural

é

composto

pelo

chapeamento,

que

assegura

a

estanqueidade, ao qual são soldados reforçadores - perfis - em uma única direção ou em direções ortogonais. Chamamos de unidade de chapeamento de um painel a porção de placa limitada por quatro reforçadores, ou outras descontinuidades geométricas, adjacentes. Em navios, quando o lado maior da unidade de chapeamento é paralela ao eixo proa-popa, diz-se que o sistema de cavernamento é longitudinal. Quando o lado maior está em direção ortogonal ao eixo proa-popa, diz-se que o cavernamento é transversal. Na figura 4.1 mostramos, de forma esquemática, a região do fundo de duas embarcações, uma com cavernamento longitudinal e outra com o cavernamento transversal. É fácil localizar ali, num painel do duplo fundo, uma unidade de chapeamento4.

Figura 4.1 - Tipos de duplo fundo 4Para

os engenheiros navais a unidade de chapeamento também é denominada de estrutura terciária.

77

Ao contrário das vigas nas quais a flexão ocorre apenas ao longo do comprimento, a flexão de placas geralmente ocorre ao longo de duas direções. Para equacionarmos o problema da flexão de placas, partimos da teoria geral da

elasticidade,

introduzindo

hipóteses

simplificadoras,

baseadas

na

observação pura e simples, a fim de facilitar o manuseio matemático do problema.

4.2.

Nomenclatura

No decorrer do presente capítulo, ao tratarmos de placas planas, usaremos os sistema de referência da figura 4.2, no qual o plano Oxy coincide com o plano médio, não deformado, da placa.

O

a

b

x y

t z

Figura 4.2 - Placa e sistema de referência

Os deslocamentos nas direções dos eixos x,y e z serão u,v

e

w,

respectivamente. Os esforços solicitantes: forças normais, forças cortantes e momentos fletores, serão sempre dados por unidade de comprimento ou largura e não serão necessariamente constantes ao longo do comprimento ou largura (diferente das vigas onde os esforços solicitantes são constantes ao longo da seção).

78

4.3.

Hipóteses simplificadoras e suas limitações

Das simplificações a que se recorrem, as quatro seguintes são parcial ou totalmente usadas nas teorias mais usuais de placas planas. 1.

O material permanece elástico.

2.

O plano de meia espessura não se deforma pela flexão. Note-se

que é a flexão que, supostamente, não deforma o plano médio. Este poderá deformar-se, em realidade, pela própria flexão e, ainda, pelas causas a seguir: a) forças externas aplicadas ao plano médio da placa, em seu contorno, como exemplifica a figura 4.3a5. b) reação de apoios que se opõem a mutua aproximação dos contornos (figura 3b).

n

n

(a) forças normais externas

R

R

(b) reações de apoio

Figura 4.3 - Forças no plano médio da placa

5Poderia

haver também forças de cisalhamento, apesar de não aparecerem na figura 4.3.

79

3.

Na expressão dos raios de curvatura, pode-se desprezar a

contribuição da derivada primeira, isto é

∂ 2w ∂n 2

1 ∂ 2w ≅− 2 =− 3 rn ∂n ⎡ ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ 2 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ ∂n ⎠ ⎦⎥

(4.1)

onde rn é o raio da curva de interseção de um plano perpendicular a Oxy com o plano médio defletido ("superfície média"). 4.

Nas deformações de flexão podem ser desprezadas as

contribuições de σz, τxz e τyz, isto é:

εx ≅

1 (σ x − νσ y ) E

εy ≅

1 (σ y − νσ x ) E

εz ≅

−ν (σ x + σ y ) E

γ xy =

τ xy G (4.2)

γ xz ≅ 0

γ yz ≅ 0

80

As duas últimas das equações (4.2) equivalem a dizer que seções perpendiculares ao plano médio assim permanecem, aproximadamente, após a flexão6. A primeira hipótese deixa de ser válida, para estruturas de navios, nos casos seguintes: a)

em algumas partes da estrutura projetadas para trabalhar, sob as

condições mais desfavoráveis, em regime plástico; exemplo: as regiões mais solicitadas de anteparas estanques; b)

em pequenas regiões da estrutura que, apesar de projetadas para

o regime elástico, passam ao regime plástico por efeito de tensões residuais7 e de imperfeita estima das cargas e modelo de cálculo. A segunda hipótese pode ser considerada válida quando a máxima deflexão é pequena, comparada com a espessura da placa. Quando a pressão é uniforme costuma-se utilizar a segunda hipótese até8 wmax/t = 0.5, pois para deflexões maiores a reação dos lados (figura 4.3) pode tornar considerável a deformação do plano médio pela flexão. A terceira hipótese pode ser considerada válida para pequenas deflexões, sendo, porém usada mesmo para grandes deflexões. A quarta hipótese produz resultados insatisfatórios para placas grossas e próximo a contornos. Por placa grossa entenda-se aquela em que as razões a/t e b/t não são suficientemente grandes. Delas não cogitaremos por não existirem em estruturas oceânicas.

6Portanto,

se admitirmos a hipótese 4, uma linha perpendicular ao plano médio, como Oz, assim continuará após a deformação.

7Tensões 8Alguns

remanescentes dos processos de fabricação, principalmente a soldagem.

autores sugerem wmax/t = 0.75.

81

4.4.

Teoria das pequenas deflexões

A teoria das pequenas deflexões é formulada para um modelo que incorpora as quatro hipóteses simplificadoras mencionadas. Ela apresenta duas ramificações, resultantes da inclusão, ou não, do efeito das forças paralelas ao plano médio da placa9. A não inclusão de tal efeito é razoável quando a razão

wmax/t é pequena e as forças paralelas ao plano médio, aplicadas no contorno da unidade, não são elevadas. Frequentemente tais condições se satisfazem em estruturas oceânicas. Como conseqüência obtém-se uma teoria linear. As forças a serem consideradas, em um elemento da placa, com dimensões t, dx e dy, são as que se representam na figura 4.3. Para não sobrecarregar a figura estão mostradas as forças que atuam nos lados visíveis do elemento. Nas faces opostas às visíveis existem as mesmas forças em sentidos opostos e sem os termos devido a variação dx e dy, conforme se vê representado no canto superior direito da figura 4.4(a).

nx dy

dx

dnx dx

dx

dy

dx

n x+

y

ny +

nx+

dnx dx

dx

x dn y dy

dy n y x+

dn y x dy

n x y+ dy

dn x y dx dx

z

Figura 4.4(a) - Forças de membrana em um elemento de placa

9Essas

forças, denominadas de forças (que geram tensões) de membrana, estão representadas na figura 4.4, como sendo nx, ny, e nxy.

82

p dx dy m y+

dmy dy dy

mx y+

dmx y dx dx

y

x

dmy x my x+ dy dy

q x+

dq y dy q y+ dy

dq dx

z mx +

x

dx

dmx dx dx

Figura 4.4(b) - Forças de flexão em um elemento de placa

4.5.

Relações entre momentos fletores e curvaturas

Consideremos um elemento de dimensões t, dx e dy, isolado de uma placa, e representado na figura 4.5 apenas com os momentos fletores que sobre ele atuam, simplesmente para não sobrecarregar a figura.

dy

dx

t/2 y

z

a

mx

d my

dz

x b

c

σ

σ

y

x

z

Figura 4.5 - Momentos fletores em um elemento de placa

83

Focalizemos a lâmina abcd. Utilizemos: a) quarta hipótese, isto é γ xz = γ yz ≅ 0 , b) segunda hipótese, isto é, indeformabilidade do plano médio. Podemos escrever10

εx =

z ; rx

εy =

z ry

(5.1)

onde z é uma coordenada perpendicular ao plano médio deformado, medida a partir dele, e no mesmo sentido de Oz. Usando a quarta hipótese temos:

σx =

E (ε x + νε y ) 1 −ν 2

(5.2)

σy =

E (ε y + νε x ) 1 −ν 2

Usando as equações (5.1), temos

σx =

Ez 1 −ν 2

⎛1 ⎞ ⎜ +ν 1 ⎟ ⎜r r y ⎟⎠ ⎝ x (5.3)

σy =

Ez 1 −ν 2

⎛1 ⎞ ⎜ +ν 1 ⎟ ⎜r rx ⎟⎠ ⎝ y

e os momentos resultantes em cada uma das faces da figura 5 10A

dedução é a mesma que se faz na teoria simples de vigas.

84

t

m x dy = ∫− t zσ x dydz 2

2

(5.4) t

m y dx = ∫− t zσ y dxdz 2

2

Usando as equações (5.3) e ainda a terceira hipótese,

∂ 2w 1 =− 2 ry ∂y

∂ 2w 1 =− 2 ; rx ∂x

podemos expressar σx e σy em função de w nas equações (5.4), obtendo:

mx = −

Et 3 12 1 − ν 2

(

)

⎛∂ 2w ∂ 2w⎞ ⎟ ⎜⎜ 2 + ν ∂y 2 ⎟⎠ ⎝ ∂x

(5.5) my = −

Et 3 12 1 − ν 2

(

)

⎛∂ 2w ∂ 2w⎞ ⎜⎜ 2 + ν ⎟ ∂x 2 ⎟⎠ ⎝ ∂y

Definindo módulo de rigidez à flexão11 de placas como

Et 3 D= 12(1 − ν 2 )

(5.6)

resulta: ⎛∂ 2w ∂ 2w⎞ ⎜ ⎟ m x = −D⎜ 2 + ν 2 ⎟ ∂ x ∂ y ⎝ ⎠

(5.7)

11É

equivalente ao produto de rigidez EI nos problemas de fexão de vigas.

85

⎛∂ 2w ∂ 2w⎞ ⎜ ⎟ m y = −D⎜ 2 + ν 2 ⎟ ∂ y ∂ x ⎝ ⎠

As equações (5.7) são as desejadas relações entre momentos fletores e curvaturas.

4.6.

Relações entre momentos torçores e curvaturas

Isolemos

o

mesmo

elemento

considerado

no

ítem

anterior,

representando-o na figura 6.1 apenas com os momentos torçores que sobre ele atuam. Sobre a lâmina abcd estarão presentes as tensões de cisalhamento τxy e τyx.

dy

dx

σ

xy

t/2 y

z

a d

x b

c

dz

σ

yx

m xy

m yx z

Figura 6.1 - Momentos torçores em um elemento de placa Observando a figura 6.2 notamos que, se um ponto

a

na placa,

localizado a uma distância z da superfície neutra é deslocado de uma quantidade v na direção y, o deslocamento de um ponto vizinho, localizado em

x + dx será de v + (∂v/∂x)dx, de forma a mudar a inclinação da linha ab de

86

v+

∂v dx − v ∂v ∂x = dx ∂x

(6.1)

De modo análogo a mudança na inclinação da linha ad será ∂u/∂y. O retângulo abcd se transforma no paralelogramo a'b'c'd' e a deformação por cisalhamento é definida como:

γ xy =

∂v ∂u + ∂x ∂y

(6.2)

τ xy = Gγ xy t

mxy dy = − ∫− t zτ xy dydz 2

2

(6.3) t

m yx dx = + ∫− t zτ yx dxdz 2

2

De (6.3) vem : mxy = −myx

É necessário expressar u e v em função de w. Consideremos a figura 6.2. Para um dado valor do par (x,y), podemos escrever:

u = u0 + u'( z )

(6.4)

v = v0 + v '( z )

(6.5)

u0 e v0 são deslocamentos u e v para z = 0. 87

Então (γ )

γ xy

xy 0 647 4 8 ∂v ∂u ∂v0 ∂u0 ∂ ∂ = + = + + u'( z ) + v '( z ) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x

( γ xy ) 0 é a deformação de cisalhamento γ xy no plano médio, que, por hipótese, é indeformável. Logo:

( γ xy ) 0 = 0 ∴ γ xy =

∂ ∂ u'( z ) + v '( z ) ∂y ∂x

(6.6)

Observando a figura 6.2, satisfeita a hipótese γ xz ≅ 0 , verifica-se que

u'( z ) = − z

∂w ∂x

(6.7)

∂w ∂y

(6.8)

e, analogamente

v '( z ) = − z

88

u dx

a

b

v v + (d v /d x) d x a' dy b'

c

c'

d d'

u + (d u /d y) d y

pequenas deflexões θ

t

~ sin θ ~ tan θ

x z

u=-z(dw/dx)

w

sin θ z

θ

tan θ = d w / d x

Figura 6.2 - Deformação por cisalhamento e deflexão da placa Substituindo as duas últimas equações na equação (6.6) obtém-se:

89

γ xy = −2 z

∂2 w ∂x ∂y

(6.9)

Substituindo (6.9) nas equações (6.2) e estas em (6.3) vem:

∂2 w mxy = − myx = D(1- ν) ∂x ∂y

(6.10)

A equação (6.10) é a desejada relação entre momentos torçores e torções na flexão de placas.

4.7. Equação de equilíbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio. Vamos desenvolver uma equação que relacione a função incógnita do problema, w, com o valor da carga lateral aplicada. Poderemos utilizar todas as relações já desenvolvidas. O elemento de placa a considerar é o da figura 4.1, em que desprezamos, logo de inicio, os esforços nx , ny

e nxy .

Estabeleceremos as condições de equilíbrio na direção de Oz e em torno de Ox e Oy. As três condições restantes não serão consideradas pois desprezaremos o efeito das forças paralelas ao plano da placa. Equilíbrio de forças na direção de Oz:

∂qx ∂q y + +p=0 ∂x ∂y

(7.1)

Equilíbrio de momentos em torno de Ox:

∂mxy ∂my − + qy = 0 ∂x ∂y

(7.2)

90

Equilíbrio de momentos em torno de Oy:

∂myx ∂mx + − qx = 0 ∂y ∂x

(7.3)

Substituindo as equações (7.3) e (7.2) em (7.1) obtém-se:

∂2mxy ∂2 my ∂2mx −2 + = −p ∂x2 ∂x∂y ∂y2

(7.4)

Substituindo as equações (5.7) e (6.10) em (7.4) obtem-se:

∂4 w ∂4 w ∂4 w p 2 + + = ∂x4 ∂ x 2∂ y 2 ∂ y 4 D

(7.5)

ou ∇4 w =

4.8.

p D

(7.6)

Solução do problema de flexão de placas

O problema estará resolvido quando, dadas as condições de contorno e a distribuição p(x,y), obtermos uma solução para a equação (7.6),e daí, as: • tensão máxima na direção x:

σx

max

=

6mx t2

• tensão máxima na direção y:

σy

max

=

6my t2

(8.1)

91

• tensão máxima de cisalhamento no plano xy12:

τ xy

4.9.

max

=

6mxy t2

Placas simplesmente apoiadas

O problema em pauta foi resolvido para várias condições de contorno e de carregamento. Um estudo completo das soluções da equação (7.6), com seus desenvolvimentos, pode ser encontrado na referência Timoshenko,

Theory of Plates and Shells. Vamos tratar aqui dos casos comumente encontrados em estruturas navais e oceânicas, placas retangulares com os contornos ou simplesmente apoiados ou engastados sob pressão lateral uniforme. A solução para placas com os contornos simplesmente apoiados, desenvolvida por Navier (1820), admite que o carregamento p(x,y) possa ser representado por uma série de Fourier. Nestas condições, a expressão geral do carregamento seria:

∞

∞

p = ∑ ∑ Pmn sin m=1 n =1

m πx nπy sin b a

(9.1)

onde o coeficiente Pmn pode ser obtido, por análise de Fourier, para qualquer tipo de carregamento. Por exemplo, para o caso de pressão uniforme

p0

pode-se demonstrar que o coeficiente Pmn é dado por

12Note

que utilizando a hipótese de que γxz e γyz são nulos ficam desconhecidas as distribuições das

tensões de cisalhamento τxz

e τyz advindas das forças cortantes qx e qy respectivamente. τyz e τxz , calcularía-se as tensões máximas: Admitindo-se uma distribuição parabólica para q q τ xz = 1.5 x e τ yz = 1.5 y t

t

92

Pmn =

16 p0 π 2mn

(9.2)

onde m e n assumem valores impares somente pois, devido a simetria do problema, os valores pares resultam em Pmn nulos. A distribuição de carregamento bi-harmônica resultará em deflexão também senoidal. Isto é, a solução geral da equação (7.6) e que satisfaz as condições de contorno é da forma:

∞

∞

w = ∑ ∑ Wmn sin m=1 n =1

m πx nπy sin b a

(9.3)

Para achar o valor do coeficiente Wmn em (9.3), esta, juntamente com (9.1) e (9.2), é substituída em (7.6). Após alguma manipulação obtém-se:

W mn =

16 p 0 ⎛ m2 n2 π 6 Dmn⎜⎜ 2 + 2 a ⎝b

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(9.4)

Encontrado w(x,y) obtemos os momentos fletores e destes as tensões de flexão utilizando as equações (8.1) e (8.2)

∞ ∞ ∂2 w π 2m2 m πx nπy W = − sin sin ∑ ∑ mn 2 2 ∂x b b a m=1 n =1

(9.5) ∞ ∞ ∂2 w π 2 n2 mπ x nπ y = − W sin sin ∑ ∑ mn 2 2 ∂y a b a m=1 n =1

Como exemplo, calculamos

93

2 ⎛ ∂ 2w nπy ∂ 2w ⎞ ∞ ∞ n2 ⎞ mπx 2⎛m ⎟ ⎟ sin ⎜ ν m x = −D⎜⎜ W π ν + sin = + ∑ ∑ mn 2 2 ⎟ 2 2 ⎟ ⎜ b a ∂ y ⎠ m =1 n =1 a ⎠ ⎝b ⎝∂ x

(9.6)

A curvatura, e portanto o momento fletor, será sempre maior ao longo do lado curto da placa. Por convenção, o símbolo b é sempre utilizada para a dimensão deste lado, fazendo com que a razão de aspecto a/b seja sempre maior que a unidade. Para se ter uma idéia da influência do número de termos retidos no cálculo de mx na equação acima, consideremos uma placa com razão de aspecto a/b=4 e tomemos os três primeiros termos em cada uma das séries para o cálculo das deflexões e tensões no centro da placa, isto é, x = b/2 e y =

a/2. Neste ponto, os termos em seno da equação (9.3) valem 1 ou -1, dependendo do valor de m e n. O coeficiente em (9.3) se reduz a

⎧ 2 2 2 b ⎪ m + νn 2 16 p 0 b 2 ⎪ a ⎨ 4 2 π ⎪ ⎛ 2 2 b ⎜ + mn m n ⎪ ⎜ a2 ⎩ ⎝

⎫ ⎪ ⎪ 2 ⎬ ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⎪ ⎠ ⎭

(9.7)

Adotando ν = 0.3, obtém-se:

16 p 0 b 2 ⎧⎪ m 2 + 0.01875n 2 ⎨ π 4 ⎪⎩ mn m 2 + 0.0625n 2

(

⎫⎪ 2 ⎬ ⎪⎭

)

(9.8)

A tabela T1 mostra os cálculos do coeficiente entre chaves da equação (9.8).

94

Tabela T1 Amplitude dos termos de Fourier n

m

mn

m2

n2

m2+0.01875n2

mn(m2+0.0625n2)2

1

1

1

1

1

1.01875

1.1289

0.90240

1

3

3

9

1

9.01875

246.3867

0.03660

1

5

5

25

1

25.01875

3140.6445

0.00796

3

1

3

1

9

1.16875

7.3242

0.15957

3

3

9

9

9

9.16875

822.9726

0.01114

3

5

15

25

9

25.16875

9801.6210

0.00257

5

1

5

1

25

1.46875

32.8320

0.04473

5

3

15

9

25

9.46875

1673.5260

0.00566

5

5

25

25

25

25.46875

17 639.1600

0.00014

Coeficiente

O valor do momento fletor a meio vão é:

mx =

16 p0

π

4

b 2 (0. 90240 − 0. 03660 + 0. 00796−...)

= 0.125 p0b2 Timoshenko obtém, para o problema resolvido,

0.1235 p0b2 , o que

mostra a precisão dos resultados obtidos com apenas 3 termos na série.

q b

M max = 0.125 q b

2

q=pa a

Embora a placa com contornos simplesmente apoiados tenha aplicação prática restrita, o exemplo calculado mostra que o que chamamos de efeito painel diminui rapidamente com crescimento da razão de aspecto, pois se

95

pensássemos que na direção curta a placa fosse uma viga larga (viga com comprimento b e seção transversal a x t), o máximo momento fletor, no centro da viga (placa), será

M max

qb2 = 8

Dividindo pelo comprimento a

mmax =

M max qb2 = = 0.125 pb2 a a8

que, aproximadamente, é o mesmo valor obtido para a placa com razão de aspecto 4.

4.10.

Soluções em forma de Gráficos

A solução para placas com os lados engastados é um pouco mais elaborada e pode ser vista com mais detalhe em Timoshenko, 1966. Para uso em engenharia a solução em forma de gráfico é mais conveniente e, visualmente, garante maior sensibilidade. Os gráficos mostrados nas figuras 10.1 e 10.2 fornecem a solução, em termos de tensões e deflexões, para os dois casos mais utilizados em engenharia naval e oceânica.

96

1.0

0.8

k

2

k

1

0.6

k 0.4

Lados apoiados 4

ω = 5 k1 p b / ( 384 D )

Lados engastados 0.2

4

ω = k2 p b / ( 384 D ) D=

0.0 1.0

1.2

1.4

Et

3

2 12 ( 1 - μ )

1.6

1.8

2.0

a/b

Figura 10.1 - Deflexão máxima em placas retangulares sob pressão uniforme

97

(a/b)

oo

0.7 0.75

0.6

0.5

0.50

b

0.4

a

K

lados engastados

lados apoiados 0.34

0.3

0.225

0.2 PLACA RETANGULAR axbxt PRESSÃO

p

TENSÃO

σ=kp(b/t)

0.1

2

TEORIA DAS PEQUENAS DEFLEXÕES COM μ = 0.3 COEFICIENTE DE POISSON 0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

a/b

Figura 10.2 - Tensões em placas retangulares sob pressão uniforme13

13Para

os engenheiros especializados em Estruturas, formados pelo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da USP, este gráfico ficou conhecido como GIII-7, índice este dado pelo prof. Elcio de Sá Freitas em suas Notas para projeto, Tabelas e Índices de Cuvas, uma coletânea de trabalhos úteis ao projeto estrutural de navios.

98

Exemplo

b

b

b pressão

painel estrutural

x

#12.5

rotação nula nos apoios

2500

800

unidade de chapeamento

y

Calculemos qual a pressão que causaria o inicio do escoamento de uma unidade de chapeamento de aço, E = 210.000 MPa, σe = 250 MPa e coeficiente

de

Poisson

ν=0.3,

lados

engastados,

com

dimensões

2500x800x12.5 mm. Utilizando o gráfico da figura 10.2, com razão de aspecto 2500/800 = 3.1, na direção do lado curto, no centro do lado longo, obtemos

kx=0.5. Neste ponto, como em todos os outros pertencentes a esta aresta, não existe deformação na direção longa, ou seja εy = 0 e, consequentemente, σy =

νσx. Dentro da teoria de placas, a terceira tensão principal, σz é nula, resultando, pelo critério devido a von Mises,

σ e2 =

[

]

1 (σ x − σ y )2 + (σ x − σ z )2 + (σ z − σ y )2 , 2

escoamento quando:

σ e = σ 2x + σ 2y − σ x σ y

99

Substituindo as definições de σx e σy b t

σ e = k x pe ( ) 2 1 − ν + ν2

e a pressão procurada

pe =

σe b ( ) 2 k x 1 − ν + ν2 t

Substituindo os valores numéricos, obteremos

pe = 0.1372 MPa = 14 mca (metros de coluna d'água)

4.11.

Placa longa

Em termos teóricos uma placa longa é aquela em que a razão entre o comprimento a e a largura b é "infinita". As relações a seguir são derivadas mantendo esta hipótese. Estudando-se porém, placas com razão de aspecto finito, verifica-se que, dependendo do tipo de carregamento e das condições de apoio, a solução deduzida para placa longa é aplicável, com pequena percentagem de erro, à placa com razão de aspecto superior a um determinado valor limite. A tabela 2 apresenta alguns resultados.

Tabela T2 - Resultados comparativos entre TPD e Teoria de placas longas Carga

Condições de apoio

a/b

Erro em %

Pressão uniforme

apoio simples

3

6.5

Pressão uniforme

apoio simples

5

0.5

Pressão hidrostática

apoio simples

4

1.5

TPD: Teoria das pequenas deflexões

100

As equações para placas longas podem ser obtidas particularizando-se aquelas anteriormente deduzidas, fazendo com que a razão de aspecto a/b tenda a infinito. Com a/b →∞ segue que:

ry → ∞

(11.1)

∂w →0 ∂y

(11.2)

∂2 w →0 ∂x∂y

(11.3)

∂2 w →0 ∂y 2

(11.4)

Introduzindo essas relações em (5.7), (6.10), (7.6) e (8.3) obtemos:

mx = −D

d2w dx2

(11.5)

my = νmx

(11.6)

σ y = νσ x

(11.7)

γ xy = 0 ⇒ τ xy = 0

d 4w p E t 3 d 4w = ∴ =p dx 4 D 1- ν2 12 dx 4

(11.8)

(11.9)

101

σx

max

σy

max

=

6mxmax t2

;

(11.10)

= νσ xmax

(11.11)

As equações (11.5) e (11.10) mostram que as flechas e as tensões longitudinais são as mesmas que se obteriam se considerássemos a placa longa composta de vigas justapostas, de larguras unitárias, comprimento b e módulo de elasticidade iguais a

E' =

E 1 − ν2

(11.12)

Nestas condições podemos utilizar as tabelas de resistência dos materiais, substituindo-se E por E’, para determinarmos as solicitações nas placas. Para uma viga prismática de comprimento b, bi-engastada e com carregamento uniformemente distribuido, q, o máximo momento fletor é dado por

M max = ql2 / 12 . Admitindo que a seção transversal seja um retângulo com dimensões a x t, a máxima tensão flexão é

σ max =

M max (t / 2) qb2 / 12(t / 2) = = 0.5 p(b / t ) 2 at 3 / 12 I

seção transversal q a

t

b M

2

= q b / 12

max

Figura 11.1 - Viga bi-engastada sob carregamento uniforme

102

Observando o gráfico 10.2 vamos verificar que para uma placa com os lados engastados e razão de aspecto superior a 2, a tensão, na direção curta é exatamente igual a equação acima. O deslocamento no meio do vão para a viga é δ = (qb4)/(384EI). Fazendo as devidas substituições, calculamos para a placa longa:

w=

qb 4 384 1−Eν2

at 3 12

=

pb 4 384 D

Observando o gráfico da figura 10.1, verificamos que, para placas engastadas o máximo deslocamento é dado por

wmax = k2

pb4 384D

com k2 tendendo a 1 para a/b > 2.

4.12.

Comportamento elasto-plástico14

Quando o material de uma placa possui elevada ductilidade, como em aços navais, frequentemente ela pode suportar cargas muito mais elevadas do que aquela que produz inicio de escoamento, antes de romper-se. É conveniente, então, despender algum tempo em um breve estudo do comportamento elasto-plástico das placas. Nas discussões a seguir admite-se que o material apresenta um diagrama idealizado de ensaio uniaxial, conforme esquematizado na figura 12.1.

14

Tópico dispensável em uma primeira abordagem

103

σ σe

escoamento carregamento

descarregamento

ε Figura 12.1 - Diagrama idealizado de tensão-deformação A seqüência de diagramas mostrado na figura 12.2 ilustra o desenvolvimento das tensões normais em uma seção onde existe flexão simples, à medida em que a carga aumenta.

σ xe

seção

+ zonas escoadas

σ1

σ2

σ xe

σ xe

σ xe

+

+

+

+

+

(i)

-

-

-

-

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

σ xe

+ (vi)

Figura 12.2 - Desenvolvimento das tensões normais de flexão pura com carga crescente

O momento fletor do caso VI é o máximo que se pode desenvolver em uma seção cujo material tem a curva idealizada mostrada na figura 12.1. Para uma seção retangular, de largura unitária, ele vale

104

mp = σ xe

t2 4

(12.1)

No caso VI toda a seção está plastificada. Qualquer carga adicional não poderá ser resistida por flexão, já que o momento atingiu seu limite máximo. Logo, daí para diante, a seção pode ser representada por uma articulação submetida a um momento constante mp. A tensão de membrana ou tensão média,

σm =

1 σ ⋅ dA = 0 A ∫A

(12.2)

é nula. Examinemos, agora, como se desenvolvem as tensões normais em uma seção onde existe flexão composta. Note-se que a tensão média, ou tensão de membrana, pode ser composta pela adição de três termos: •

tensões devidas à aplicação direta de forças paralelas ao plano médio

(forças ativas); •

tensões devidas ao aparecimento das forças reativas dos vínculos,

impedindo os lados de se aproximarem; •

tensões devidas à deformação do plano médio pela própria flexão. Consideremos o caso em que a força axial varia, juntamente com o

momento. A seqüência de diagramas na figura 12.3 ilustra o desenvolvimento das tensões normais em uma seção onde existe flexão composta, à medida em que a carga aumenta. O exemplo apresentado refere-se a um dado carregamento e dada geometria. A seqüência de diagramas é, pois esquemática, para estas condições, mas as conclusões são gerais.

105

σ1

σ2

σ xe

σ xe

σ xe

+

+

+

+

+

σ xe

+ (i)

-

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Figura 12.3 - Desenvolvimento das tensões normais de flexão composta com carga crescente

Verifica-se agora que, ao se plastificarem todas as "fibras" da seção, temos:

m < mp (12.3)

σm ≠ 0 Observa-se que o momento fletor atinge um máximo e decresce, enquanto a tensão de membrana cresce continuadamente até igualar-se à tensão máxima no escoamento (caso VII). A partir daí a seção não terá capacidade para resistir a cargas adicionais. Vamos aplicar as idéias anteriores, examinando o que ocorre a uma placa longa, com lados livres para se aproximarem, sob o efeito de crescente pressão uniforme.

106

p A

B C b/2

m

A

b/2

2 = p b /12

m

C

2 = p b /24

Figura 12.4 - Placa longa

Nos engastamentos temos:

σx =

ma ( t 2 ) t

3

12

=

p b 2 ( ) ; 2 t (12.4)

σ y = νσ x A terceira tensão principal é nula e portanto, utilizando o critério de von Mises, o valor de σx para o qual ocorre inicio de escoamento nas "fibras" externas da placa é

σ xe =

σe 1 − ν + ν2

(12.5)

Este resultado mostra que, devido a presença da tensão σy , o escoamento não ocorre até depois que σx tenha excedido a tensão de escoamento σe de aproximadamente 13% (foi admitido um coeficiente de Poisson igual a 0.3). A pressão que ocasiona o inicio do escoamente, pe , vale

107

σe =

pe b 2 t 2σ e ( ) 1 − ν + ν2 ∴ pe = ( )2 2 2 t 1− ν + ν b

(12.6)

Aumentando-se a pressão além e pe, chegaremos à total plastificação nos engastamentos, com

ma = mp =

σe t2 1 − ν + ν2 4

(12.7)

A estrutura equivalerá então a

mp

mp C

b

Figura 12.5 - Rótulas plásticas formadas nos engastes

Aumentando-se ainda mais a pressão haverá inicio de escoamento nas "fibras" extremas do ponto C até que, a um dado valor da pressão p = pc , haverá plastificação total em C. Teremos neste instante:

mp

mp C b/2

Figura 12.6 - Rótula plástica formada no centro

108

∑ ma = 0 ∴ pc

b2 = 2 mp 8

t2 σe 16 16mp 1 − ν + ν2 4 = pc = 2 = 2 b

b

(12.8)

4σ e

t ( )2 1− ν + ν b

(12.9)

2

Portanto pc = 2 pe

(12.10)

A partir daí não mais pode haver equilíbrio diante de cargas adicionais. Portanto pc é a pressão de colapso para a placa longa, de lados engastados mas que podem se aproximar. Examinemos, a seguir, o que ocorreria com a mesma placa longa caso seus lados, também engastados, não pudessem se aproximar. Verifica-se, então a seqüência mostrada na figura 12.7. As áreas escurecidas denotam a ocorrência de plastificação, em tração ou compressão. p

A

C p1

A

A

A

A

p2

p3

p4

B inicio do escoamento

B

B

B

B

Figura 12.7 – Seqüência de formação de rótulas plásticas

109

Observe-se que agora, quando ocorre plastificação total em A e em C, embora os momentos agentes sejam nulos, existe a força de membrana nc que, multiplicada por wm, produzirá um momento adicional capaz de equilibrar uma pressão maior que pc, valor que levava ao colapso quando os lados podiam se aproximar. Além disso, como vimos inicialmente, a força de membrana pode crescer até o limite σxe t, anulando neste instante o momento fletor. Nesta situação teremos: b/2

p

wm

A C

nc

Figura 12.8 Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A, obtemos:

pb2 ( σ xe t ) wm = 8

(12.11)

de onde calculamos a pressão atuante p relacionada a deflexão no centro da placa wm

p=

8(σ xe t ) wm b2

(12.12)

Substituindo (12.5) em (12.12) e utilizando a equação e dividindo o resultado pela equação (12.9) obteremos: p w =2 m pc t

(12.3)

110

inicio do escoamento

região escoada

inicio do escoamento

(ii)

(i)

região escoada

(iii)

(iv)

Figura 12.9 Concluindo, se no projeto de uma placa caracterizarmos como falha15 o inicio de escoamento no ponto de máxima solicitação, após a referida falha a placa resistirá a adição de uma apreciável quantidade de carga antes de sofrer a ruptura propriamente dita. É claro que os estágios mais avançados de plastificação somente serão possíveis se houver a indispensável dose de dutilidade do material. A figura 12.9 esquematiza o processo de escoamento de uma placa até o estágio em que nesta só atuam tensões de membrana. A pressão lateral que levou a placa atingir este estágio, dependendo da dutilidade do material, é inúmeras vezes superior àquela que iniciou o escoamento no ponto de máxima solicitação. No projeto de estruturas navais, a maioria das unidades de chapeamento do casco é projetada prevendo-se o comportamento elástico apenas. Somente em anteparas de subdivisão permite-se a deformação plástica permanente, naturalmente com pressões inferiores àquela

15Falha

é qualquer ocorrência indesejável na estrutura.

111

que transformaria a placa em uma membrana plástica, estágio IV na figura 12.9.

112

4.13. Equação das placas para pequenas deflexões, incluindose o efeito de cargas paralelas ao plano médio. Mesmo que as deflexões sejam pequenas, poderemos obter resultados insatisfatórios se desprezarmos, na flexão, o efeito de forças paralelas ao plano médio e que tenham considerável magnitude. Em navios, dependendo da geometria e da tensão primária16, a tensão máxima devido a flexão das unidades de chapeamento poderá aumentar em cerca de seis por cento, se incluirmos nesta flexão a ação da tensão primária.

Figura 13.1 - Flexão da viga navio gerando tensões uniformes paralelas 16Define-se

tensão primária como sendo aquela decorrente da flexão do casco do navio como sendo uma viga , a chamada viga navio, conforme a figura 13.1 (a), em tosamento, e 13.1(b), alquebramento.

113

ao plano médio da unidade de chapeamento Modificaremos a formulação do item 7, Equação de equilíbrio,

desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio, estabelecendo as condições de equilíbrio nas direções de Ox e Oy, e incluindo, na direção Oz, o efeito de nx , ny , nxy e nyx. Considerando a figura 13.2 e lembrando que estamos utilizando a hipótese de pequenas deflexões (senθ ≅ tanθ ≅ θ ; cosθ ≅

1), podemos escrever:

∑F

=0→

x

∂nx ∂nyx + =0 ∂x ∂y (13.1)

∑F

y

n

= 0→

∂nxy ∂ny + =0 ∂x ∂y

x

x n n

y

n

xy

n

t

x

yx

y z

114

dx

n

x x

~ tan θ = dw/dx θ =

w θ

θ + (dθ /dx)dx

z

n + (d n x

x

/dx)dx

Figura 13.2 - Forças de membrana Note-se que agora, quando não desprezamos nx , ny e nyx , podemos escrever mais 3 equações de equilíbrio do tipo ΣFx = 0 e ΣFy = 0 (equações 13.1) e ΣMz = 0, completando as 6 equações de equilíbrio. A última equação Σ Mz = 0 nos dá, porém, apenas nxy = nyx. A projeção das forças nx na direção de Oz, veja a figura 13.2 vale,

− nx dy

∂ w ∂ nx ∂ w ∂ 2w dx)( + ( nx + + dx)dy 2 x x ∂ x ∂ x ∂ ∂ { 1442443 sen θ

sen (θ +

(13.2)

∂ θ dx ) ∂ x

ou, após simplificação,

nx

∂2 w ∂n ∂w dxdy + x dxdy 2 ∂x ∂x ∂x

(13.3)

115

Analogamente obtem-se, para a projeção de ny e nxy na direção de Oz

ny

∂n y ∂w ∂2 w dxdy + dxdy 2 ∂y ∂y ∂y

(13.4)

nxy

∂n ∂w ∂2 w dxdy + xy dxdy ∂x∂y ∂x ∂y

13.5)

Obtém-se expressão análoga a (13.5) para a projeção de nyx na direção de Oz. A projeção, sobre Oz, das forcas de cisalhamento é

2nxy

∂n ∂w ∂n ∂w ∂2 w dxdy + xy dxdy + yx dxdy ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x∂y

(13.6)

A equação de equilíbrio na direção de Oz (equação 7.1) será, então acrescida, no primeiro membro, das projeções calculadas acima, com as simplificações decorrentes da equação (13.1), resultando em

∂2mxy ∂2 my ∂2mx ∂2 w ∂2 w ∂2 w − 2 + = − ( p + n + n + 2 n ) x y xy ∂x2 ∂x∂ y ∂y2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y

(13.7)

Nos casos de pequenas deflexões, de que ora tratamos, é possível desprezar a deformação do plano médio causada pela flexão e considerar nx ,

ny , nxy e nyx como decorrentes apenas de forças aplicadas no contorno da unidade de chapeamento. Elas serão, portanto, funções conhecidas, em (13.7), que também se pode escrever na forma:

∇4 w =

1 ∂2 w ∂2 w ∂2 w ( p + nx 2 + ny 2 + 2nxy ) ∂x ∂y ∂x∂y D

(13.8)

A Equação (13.8) é a equação para a teoria de pequenas deflexões que inclui o efeito das forças aplicadas ao plano médio da placa.

116

A resolução do problema consistirá em determinar a função w que safistaz às condições de contorno e à equação (13.8) para um dado carregamento p(x,y). Alguns casos estão resolvidos na referência [3]. O gráfico da figura 13.3 apresenta o caso típico de engenharia naval, onde o carregamento paralelo ao plano médio da unidade de chapeamento é conhecido (advém das tensões de flexão da viga navio) e seu valor influencia o valor das tensões de flexão da placa. Tal influência é apresentada sob a forma de um fator de ampliação φ. Portanto na resolução de placas com cargas laterais e paralelas ao plano médio, podem-se utilizar os mesmos gráficos anteriormente descritos, figuras 10.1 e 10.2, e a eles aplicar-se o fator de ampliação φ encontrado no gráfico13.3. No gráfico, o coeficiente k é definido como:

a2 8 b2 + + 4 b2 3 a2

•

lados engastados: k = 4

•

a2 b2 lados apoiados: k = 2 + 2 + 2 b a

•

lados B engastados, lados A apoiados: k =

•

16a 2 8 b2 lados B apoiados, A engastados: k = 2 + + 2 3b 3 a

3a 2 4b2 + 2 + 4b2 a2

117

i

80 a

σm 70

σm

A B

B y

b

ii

A

60 A - engastados B - apoiados 50 k 40 todos os lados engastados 30

20

iii

todos os lados apoiados

iv

10 B - engastados A - apoiados 0

1

2

3

4

a/b

wmax = φ w f

σ x max = φσ x f σ y max = φσ

yf

+ σm

⎡ ⎤ σm φ = ⎢1 − 2 2 ⎥ ⎣ (kπ D) /(b t ) ⎦

−1

Figura 13.3 - Placa sob carga lateral e compressão nos contornos17

17f

representa valores obtidos através da teoria das pequenas deflexões (Gráficos 10.1 e 10.2)

118

4.14.

Flambagem de placas

Em várias partes da estrutura de um navio encontramos unidades de chapeamento sobre cujos lados atuam cargas paralelas ao plano da placa, de compressão ou de cisalhamento, simultaneamente, ou não, com cargas laterais. Assim é que no convés, por exemplo, uma unidade de chapeamento pode sofrer a ação das tensões primárias de compressão, além de cargas laterais, conforme já visto na figura 13.1. O mesmo se poderia dizer de uma unidade de chapeamento do fundo do navio. Já no costado, a cerca de um quarto do comprimento do navio e na altura do eixo neutro, uma unidade de chapeamento apresenta tensões de cisalhamento atuantes sobre os seus lados, e que correspondem, em geral, a um máximo das tensões de cisalhamento da viga navio. Sabe-se que, para certos valores dessas cargas atuantes no plano da placa, pode ocorrer uma brusca mudança de deflexão da unidade, causando deformações permanentes ou não, e que possivelmente não serão toleráveis pelos critérios de projeto. É possível, pois, ocorrer instabilidade na unidade de chapeamento. Se considerarmos, agora, um painel completo de chapeamento, formado por placas e seus perfis longitudinais e transversais, entre duas anteparas consecutivas, poderemos fazer considerações análogas notando, porém, que as conseqüências da instabilidade, por afetarem parte bem maior da estrutura, são mais graves. Caso fixemos a atenção em uma parte de um painel, apenas, envolvendo algumas unidades de chapeamento e certos perfis, poderemos repetir mais uma vez aquelas apreciações, o que também acontecerá se considerarmos apenas perfis. Diante disto, ao examinarmos uma parte qualquer da estrutura onde existem esforços de compressão ou cisalhamento no plano do chapeamento, é razoável indagarmos: •

quais as possíveis formas de instabilidade, desde as mais locais às mais

globais? •

caso uma parte da estrutura flambe, como se redistribuirão os esforços

sobre as demais partes da estrutura? Haverá colapso?

119

•

como dimensionar cada membro para evitar qualquer tipo de

instabilidade?

4.15.

Flambagem de placas no regime elástico

O conceito de instabilidade já fora introduzido quando do estudo de flambagem de vigas e cuja revisão é aconselhável. O problema de flambagem de placas pode ser formulado em termos da equação diferencial de equilíbrio, desenvolvida no ítem 13, onde se inclui o efeito das forças de membrana na flexão. O procedimento consiste em, partindo da equação diferencial de equilíbrio, pesquisar o menor valor da carga que pode levar à situação caracterizada pela instabilidade. Já vimos que a derivação da equação diferencial de equilíbrio envolve simplificações que dependem do refinamento da formulação. Como partiremos agora da equação de equilíbrio, é claro que essas mesmas hipóteses estarão envolvidas na formulação de instabilidade.

120

antes de flambar

painel estrutural

após flambar

reforçadores unidade de chapeamento

os contornos atuam com rigidez a rotação aproximadamente nula - apoio simples

x

a

b

σy y

Figura 14.1 - Flambagem das unidades de chapeamento de um painel

Ilustraremos o processo delineando a formulação e resolução do problema de instabilidade de uma placa fina, plana, retangular, comprimida uniformemente em uma direção e simplesmente apoiada nos quatro lados. Conforme já mencionado anteriormente, o chapeamento da estrutura de um navio é dividido em pequenas unidades de chapeamento por meio de reforçadores longitudinais e transversais. Estes reforçadores garantem uma elevada rigidez aos deslocamentos transversais da placa, porém o mesmo não se pode dizer quanto à rigidez à rotação. Considerando a seção longitudinal de um convés cavernado transversalmente, conforme o mostrado na figura

121

14.1(a), quando ocorrer flambagem o chapeamento tomara a configuração mostrada na figura 14.1(b), com os vaus rodando conforme lá indicado. A rotação dos vaus faz com que estes imponham, nos contornos da unidade de chapeamento, um momento fletor que é função das propriedades de torção dos perfis. Porém sabe-se que a rigidez a torção de perfis abertos é muito pequena, fazendo com que os momentos nos contornos da placa assumam valores desprezíveis, garantindo o simples apoio como condição de contorno para a unidade de chapeamento. Não sabemos, de antemão, qual a configuração da placa ao flambar. Entretanto uma série de Fourier em x e em y será suficientemente genérica para representá-la. Portanto adotaremos como solução: ∞

∞

w = ∑ ∑ Wmn sin m=1 n =1

m πx nπy sin b a

(14.1)

Vê-se que (14.1) satisfaz às condições de contorno para quaisquer valores de Wmn, pois resulta:

w=0 w=0

∂2 w =0 ∂x 2 ∂2 w e =0 ∂y 2 e

, para x = 0 e x = b (14.2)

, para y = 0 e y = a

Adotaremos a equação de equilíbrio para o caso de pequenas deflexões e de cargas atuando paralelamente ao plano médio. Ela é a equação (13.8), desenvolvida anteriormente:

∇4 w =

1 ∂2 w ∂2 w ∂2 w ( p + nx 2 + ny 2 + 2nxy ) D ∂x ∂y ∂x∂y

(13.8)

No presente caso temos: nx = nxy = p = 0. Substituindo em (13.8) obtemos:

122

D∇4 w − ny

∂2 w =0 ∂y2

(14.3)

Substituindo (14.1) em (14.3) obtemos: 2 2 ⎡ nπy n2 ⎞ mπx π 2n2 ⎤ 4⎛ m ⎢Dπ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + n y ⎥Wmn sin sin =0 ∑∑ 2 b a b a a ⎥ m =1 n =1 ⎢ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ∞

∞

(14.4)

A equação (14.4) é satisfeita quando Wmn = 0, caso em que a placa continua plana. Logo Wmn = 0 não caracteriza instabilidade. As demais soluções para (14.4) ocorrem quando se tem

⎛ m2 n2 Dπ ⎜⎜ 2 + 2 a ⎝b 4

2

⎞ π 2n2 ⎟⎟ + n y =0 a2 ⎠

(14.5)

que nos dá

Dπ 2 ny = - 2 b

⎛ nb m 2 a ⎞ ⎜⎜ + ⎟ nb ⎟⎠ ⎝ a

2

Como m e n somente assumem valores inteiros,

(14.6)

a equação (14.6)

mostra que somente se obtem formas de equilíbrio não planas quando ny assume certos valores discretos. Logo (14.6) corresponde às cargas de instabilidade. A menor delas corresponde a m=1 e um um valor de n que será função da razão de aspecto a/b.

123

Figura 14.2 - Forma flambada de uma placa com razão de aspecto=3

Seja

2

⎛ nb a ⎞ =k ⎜ + ⎟ ⎝ a nb ⎠ minimo

(14.7)

Então

ny = -k

Dπ 2 b2

(14.8)

O sinal negativo em (14.8) denota que a força ny

deve ser de

compressão. Já que a flambagem somente ocorre na presença de tensões de compressão, vamos, por convenção, adotar, em se tratando de flambagem, as tensões de compressão como positivas e negativas as de tração. Designemos por nycr e σcr os módulos da carga e da tensão crítica de compressão. Logo

σ crit = k

Dπ 2 b2t

(14.9)

O gráfico de k em função da razão de aspecto a/b tem a forma

124

Figura 14.3 - Coeficiente k na flambagem de placas

Na ilustração precedente consideramos a placa com todos os lados simplesmente apoiados. Para outras condições de contorno, agiríamos de forma semelhante, adotando porém expressão trigonométrica, em (13.8), capaz de

satisfazer

automaticamente

à

condição

de

contorno

considerada.

Chegaríamos sempre à mesma equação (14.9), onde k teria, para cada caso, uma expressão diferente de (14.7), mas que também dependeria de m, n, a e

b. Da figura 14.4 extraída da Freitas, 1976, tém-se o valor de k para diferentes condições de contorno.

125

10

a

σ B

9

A1 A2

σ B

b

y

σ cr = k

π 2D

b2t

8

lados engastados

B - apoiados A - engastados

7

6.98

6

B - engastados A - apoiados

5

lados apoiados

k 4.00

4

3 B - apoiados A - engastado 1 A - livre 2

2 1.28

1

A B - apoiados 1 A - livre 2

B - apoiados A - livres

0

1.0

2.0

0.43

3.0

a/b Figura 14.4 - Tensão crítica de flambagem de placas Examinaremos, a seguir, como a fórmula (14.9) se transforma quando

a/b tende a zero. Este é, aproximadamente o, o caso de unidades de

126

chapeamento em cavernamento transversal, conforme se mostra na figura 14.5. Poderemos escrever, a partir de (14.9), para lados simplesmente apoiados,

σ cr =

Dπ 2 ⎛ nb a ⎞ ⎜ + ⎟ b 2 t ⎝ a nb ⎠

2

(14.10)

(a\b )< 1

a

b

Figura 14.5 - Quando a/b fica menor do que a unidade18

Vemos, porém, qua para a/b→0, o valor de n a ser usado na expressão acima é 1. Assim:

σ cr

Dπ 2 = 2 b t

Dπ 2 ⎛b a⎞ ⎜ + ⎟ = 2 a t ⎝a b⎠ 2

⎛ a2 ⎞ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ b ⎠ ⎝

2

(14.11)

Fazendo a/b = 0 temos:

σ cr =

18Note

Dπ 2 a 2t

(14.12)

que o lado paralelo ao eixo x é o lado que sofre a compressão.

127

Esta mesma relação poderia ser obtida adotando-se o conceito de placa longa. Nestas condições, a placa se comporta como uma viga fletindo em sua direção curta e, em termos de cálculo, utilizamos

as equações de vigas

substituindo-se o módulo de elasticidade E do material por E' definido na equação 11.12. A carga de flambagem de Euler de uma viga bi-apoiada e de comprimento L é:

Pcrit =

π 2 EI L2

P

seção transversal com inércia I

L

Substituindo-se E por E' e dividindo-se ambos os lados da equação pela área da seção transversal da viga (placa = bt) obtém-se:

σ crit =

Pcrit = A

π2 (

E bt 3 )( ) 2 1 − ν2 12 = π D bta 2 a 2t

que é igual a expressão (14.12). A abordagem por placa longa é conveniente quando as condições de contorno da placa são outras que não lados engastados ou apoiados.

Agora é possível examinar os méritos relativos de um painel enrijecido na direção longitudinal ou na direção transversal ao lado comprimido.

128

Observando as equações (14.9), (14.12) e a figura 14.6, conclui-se que s

reforçado longitudinalmente

s

reforçado transversalmente

Figura 14.6 - Cavernamento longitudinal x cavernamento transversal

( σ cr ) longitudinal (σ cr ) transversal

=k

(14.13)

onde k é o coeficiente que se aplica ao caso do cavernamento longitudinal. Como k é sempre maior que 4, evidencia-se a superioridade do cavernamento longitudinal quanto à flambagem.

4.16.

Efeito de uma curvatura

No bojo de um navio, em lugar de placa plana temos uma casca aproximadamente cilíndrica. A própria geometria indeformada de um convés não é a de um plano

19,

mas a de uma superfície de pequena curvatura.

Considerações semelhantes aplicam-se a outras partes de navios que não possuem corpo paralelo médio, ou que o tem muito curto. Convém então obter a expressão para a tensão crítica nesses casos. 19para

facilitar o escoamento de liquidos existe um tosamento, isto é, a elevação do convés na linha de centro é ligeiramente superior a elevação junto aos costados.

129

σ β L r

β σ Figura 14.7 Considere-se a figura 14.7. Se admitirmos condições de apoio simples ao longo de todo o perímetro da unidade de casca ali representada, obtém-se as seguintes expressões para tensões críticas, tal como se demonstra na referência.

σ cr =

σ cr =

Et r 3(1 − ν2 )

π 2 Et 2 3(1 − ν 2 )( βr ) 2

(14.14)

(14.15)

A expressão (14.15) aplica-se apenas quando o raio de curvatura r é muito grande. Comparando-se (14.15) com (14.9), percebe-se que a unidade de chapeamento com grande raio de curvatura pode ser tratada como se fosse uma placa plana e longa, desde que se tome, como lado b, o comprimento desenvolvido de seu lado em compressão. Pode-se concluir, também, que em geral aumenta-se a resistência à flambagem de uma unidade plana quando a ela se imprimem pequenos raios de curvatura, como se verá a seguir. Considere-se uma placa longa, simplesmente apoiada. Obtém-se

130

σ cr =

π 2Et 2 3(1 − ν2 )b2

(14.15)

Após transformá-la em uma superfície cilíndrica, de raio r e ângulo β,sua tensão crítica para a ser:

σ ⊗cr =

Et

(14.16)

r 3(1 − ν2 )

Adotando-se ν = 0.3 (aço), vem

σ ⊗cr r 3(1 − ν2 ) b b bb = = 0.526 2 σ cr π t r t r

(14.17)

No bojo, por exemplo, poderemos adotar como valores típicos b/r = π/4 e

b/t=60, resultando

σ ⊗cr ≅ 25 σ cr ou

seja,

a

curvatura

(14.18)

aumentou

a

resistência

à

flambagem

em,

aproximadamente, 25 vezes.

4.17.

Flambagem por cisalhamento

Geralmente, o chapeamento do casco das embarcações estão sujeitos a tensões de cisalhamento com amplitudes consideráveis. Estas tensões podem causar flambagem, pois o cisalhamento faz surgir tensões normais de compressão. Para o caso do cisalhamento puro, a tensão de compressão tem magnitude igual a tensão de cisalhamento e atua a 45º do eixo onde atuam as tensões de cisalhamento.

131

τ σ =τ τ

Figura 14.8 - Flambagem por cisalhamento As equações que governam a flambagem por cisalhamento são as mesmas já deduzidas. Equação (13.8),

∇4 w =

1 ∂2 w ∂2 w ∂2 w ( p + nx 2 + ny 2 + 2nxy ) ∂x ∂y ∂x∂y D

(13.8)

com nx = ny = p = 0. Substituindo em (13.8) obtemos:

D∇4 w − 2nxy

∂2 w =0 ∂x∂y

(14.19)

A solução da equação (14.19) para diversas condições de contorno podem ser encontradas na referência [6]. A metodologia difere um pouco da adotada na solução do problema de compressão uniforme, pois as funções

132

seno e cosseno não satisfazem a equação diferencial e, portanto, uma solução analítica exata, em termos trigonométricos, é impossível. Uma solução aproximada, baseada em princípios de energia e utilizando as deflexões como

w( x, y) = q1sin

πx

sin

a

πx b

+ q2 sin

2π x 2π x sin a b

(14.20)

é mostrada a seguir. Como seria de se esperar da estreita relação entre cisalhamento e compressão, a expressão resultante para a carga crítica de cisalhamento τcr se assemelha com a expressão (14.9). De fato a única mudança ocorre no coeficiente destas equações. No caso da flambagem por cisalhamento o coeficiente é dado por

kcis = 5. 35 + 4. 0(b / a ) 2

para lados simplesmente apoiados

kcis = 8. 98 + 5. 6(b / a )

para lados engastados

2

(14.21)

e a tensão crítica,

τ crit = kcis

4.18.

π 2D b2t

(14.22)

Momento fletor no plano da placa

Figura 14.10 - Flambagem por flexão no plano A figura 14.10 mostra que uma placa sofrendo flexão em seu próprio plano terá regiões onde predominam tensões de compressão. Chamando de σb o maior valor desta tensão de compressão, o valor crítico para a flambagem é, da mesma forma que na compressão simples, dado por

133

( σb ) crit = kb

π 2D b2t

(14.23)

onde o coeficiente kb vale: •

•

lados simplesmente apoiados para a / b ≤

2 3

: k b = 15. 87 + 1.87 ( b / a ) 2 + 8. 6 ( a / b ) 2

para a / b >

2 3

: k b = 23. 9

lados engastados para a / b > 1 : k b = 41. 8

•

(14.24)

(14.25)

um dos lados sem a carga engastado e os outros simplesmente

apoiados para a / b > •

1 2

: k b = 25

(14.26)

lados sem a carga engastados e os outros simplesmente apoiados para a / b > 0. 4 : k b = 40

4.19.

14.27)

Carregamentos combinados

Em muitas situações a placa pode estar sujeita a ação de carregamentos combinados. Por exemplo, em uma unidade de chapeamento podem estar presentes a ação de tensões primárias normais (de flexão) e de cisalhamento, conforme o mostrado na figura 13.2. Torna-se necessário estimar que combinação destes carregamentos levaria esta unidade de chapeamento a flambar. Uma das melhores maneiras de tratar esse problema é através do uso de fórmulas empíricas que relacionam as razões de cada um destes carregamentos em relação ao seus valores críticos. Se apenas um dos

134

carregamentos está presente, o valor unitário corresponderia a flambagem. No caso de mais de um carregamento simultâneo, as relações devem ser menores que a unidade, e a fórmula de interação combina as várias relações de forma que a flambagem corresponde a soma dos termos resultando igual a unidade. Uma das vantagens deste tipo de fórmula é que elas podem ser obtidas tanto de resultados analíticos como de resultados experimentais. •

Compressão uniaxial e flexão no plano σb

σb

σ

σ

a b

Flambagem ocorre quando σ e σb satisfazem a relação

⎛ σ ⎜⎜ ⎝ σ crit

⎞ ⎛ σb ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ (σ b ) crit

2

⎞ ⎟⎟ = 1 ⎠

(14.28)

onde são σcrit e (σb)crit valores críticos para estes dois tipos de carregamento agindo separadamente, obtidos pelo uso das equações (14.9) e (14.28). •

Compressão uniaxial e cisalhamento σ

τ

σ a b

τ

Por conveniência vamos adotar o símbolo R para denotar a razão entre a tensão atuante e a tensão crítica de flambagem, relação de resistência. Nestas condições, as relações de resistência são:

R=

σ σ crit

135

onde σcrit é a tensão crítica de flambagem com a tensão de compressão uniforme σ atuando isoladamente na placa.

Rcis =

τ τ crit

onde τcrit é a tensão crítica de flambagem com a tensão de cisalhamento τ atuando isoladamente na placa.

e a flambagem sob ação combinada ocorre se:

2 R + Rcis

=1

⎛ 1 + 0.6(a / b) ⎞ 2 ⎜ ⎟ R + Rcis 1.6 ⎝ ⎠

(a / b ≥ 1)

=1

(14.29)

(a / b < 1)

Estas fórmulas podem ser usadas para tensões σ negativas, isto é de tração, como também de compressão.

•

Cisalhamento e flexão no plano σb

σb a

τ

b

τ

Para este caso, definindo a razão de resistência para as tensões de flexão como sendo Rb =

σb (σb ) crit

136

onde (σb)crit é calculado pela equção (14.23), a relação de interação dos carregamentos combinados é 2 Rb2 + Rcis =1

•

(a / b > 21 )

(14.30)

Compressão uniaxial, flexão e cisalhamento σ

σb

σb

σ

a

τ

b

τ

A flambagem ocorre se 2 R + Rb2 + Rcis =1

4.20.

(a / b > 21 )

(14.31)

Comportamento de placas após a flambagem

Vamos verificar o que acontece com a placa quando o carregamento é superior àquele que a levou a instabilidade. Supõe-se que neste caso a carga é aplicada muito lentamente de forma que, ao atingir-se a carga crítica, não se ultrapasse este valor até que deliberadamente voltemos a aumentá-la. Vimos nos ítems precedentes, que a forma flambada de uma placa retangular corresponde a meia onda senoidal na direção perpendicular à das cargas que levam a flambagem. Isto permite que o plano médio, uma vez flambado, se distenda. A distensão é maior nas regiões de maior deflexão. A carga de compressão que tais regiões suportavam é portanto aliviada, transferindo-se para as regiões de menor deflexão. Ocorre, em resumo, uma redistribuição de tensões, ilustrada na figura 14.11. A distensão do plano médio, a que aludimos, pode ser desprezada até a flambagem, o que nos permite obter a carga crítica usando a hipótese da indeformabilidade do plano médio tal como fizemos.

137

Figura 14.11 - Comportamento da placa após a flambagem

Após a flambagem, se continuarmos aumentar a compressão, mais e mais, a redistribuição de tensões tornar-se-á cada vez mais significativa, sobrecarregando-se

as

regiões

de

pequenas

flechas.

Aumentando-se

continuamente a carga, a tensão máxima de compressão atingirá o valor de escoamento e, daí em diante, a capacidade de a placa suportar cargas adicionais estará praticamente esgotada. Percebe-se que, nas redistribuições de tensões acima, as condições de apoio da placa ao longo de seus lados longos, e rigidez dos perfis em que ela aí se apoia, são fatôres importantes na determinação da carga de colapso do painel como um todo. Flambada a unidade de chapeamento, os perfis, sobrecarregados, atuarão como uma segunda linha de resistência. Isto, porém, somente será possível se eles mesmos estiverem distantes de falhas por flambagem ou por escoamento, no momento em que o chapeamento flambar.20

20Portando o coeficiente de segurança para os perfis deve ser,preferencialmente, superior ao que se adotar para as unidades de chapeamento.

138

PROBLEMAS Em painéis estruturais, onde o chapeamento é geralmente reforçado por um ou mais conjuntos de reforçadores ortogonais, o projeto estrutural requer que um conjunto de reforçadores possua espaçamento menor que o outro. Portanto, as unidades de chapeamento terão uma dimensão maior do que a outra, de sorte que a placa pode ser considerada como longa. Tais placas, quando deformadas, apresentam uma forma cilíndrica, exceto nas regiões próximas aos lados curtos. Por isso elas podem ser calculadas como unidimensionais, ou seja pela teoria simples de viga. 1. Prove que tratando uma faixa, na direção curta, de uma chapa longa como uma viga, na fórmula,

b t

σ = k p ( )2 obtém-se para placas simplesmente apoiadas, k=3/4; para placas engastadas k=1/2;

2. Qual será a máxima pressão uniforme que pode ser aplicada a uma chapa longa, engastada, de aço comum, com largura de b=600 mm e espessura t=10 mm para que não ocorra escoamento? A tensão de escoamento do material é de 240 N/mm2. Encontre a correspondente deflexão máxima na placa como uma fração de sua espessura, admitindo ν=0.3 e E=208000 N/mm2. 1) Uma placa de aço com espessura 12.5 mm, medindo 2.5x0.8 m, está sujeita a uma pressão lateral de 12 m.c.a. Determinar as tensões máximas supondo engastamento nos quatro lados. Se a placa fosse de alumínio, qual deveria ser sua espessura para manter a relação w/t < 0.5?

139

2) Para uma placa com razão de aspecto a x b, submetida a uma carga lateral definida pela expressão:

p = p0 sin

πx a

sin

πy b

e com condições de contorno simplesmente apoiada nos quatro lados, determinar os valores de: •

deflexão máxima;

•

momentos fletores máximos;

•

tensões máximas;

•

pressão que causa o inicio do escoamento no ponto de

máxima solicitação. 3) Qual deve ser a espessura t, para uma placa longa com largura de 700 mm, lados simplesmente apoiados, sob pressão lateral de 9.5 mca. Adotar, como material, aço de média resistência com tensão de escoamento de 220 MPa. 4) Deduzir a expressão 3.1. 5) Deduzir a expressão 5.1. 6) Deduzir as expressões 8.1. Verifique que existe uma analogia com a teoria de vigas, onde σ=(M/I)c, se tomarmos a seção transversal da placa com espessura t, largura unitária e c=t/2. [dica: o momento fletor é resultante do momento das forças geradas pelas tensões. Adote uma distribuição de tensões linear, com tensão máxima igual ao valor que se está procurando, e calcule o momento gerado por estas tensões. 7) Deduzir as expressões 9.2 e 9.4. 8) O convés de uma embarcação possui cavernamento transversal com espaçamento de 750 mm e sicordas espaçadas de 2200 mm. Considerando

140

uma carga uniforme sobre todo o convés com intensidade de 2,0 t/m2 e uma tensão primária de alquebramento de 950 kgf/cm2, determinar a espessura mínima do chapeamento admitindo uma tensão terciária máxima de 1600 kgf/cm2. 9) Um petroleiro possui cavernamento longitudinal com espaçamento de 850 mm e anéis gigantes a cada 5020 mm. Para um aço de alta resistência, com tensão de escoamento de 3600 kgf/cm2 e uma tensão primária de tosamento de 1400 kgf/cm2 determine a mínima espessura do fundo do navio no qual atua uma carga lateral de 20 mca. 10) Demonstre que os valores de m e n que minimizam a equação (14.7), 2

⎛ nb m 2 a ⎞ ⎜⎜ + ⎟ = k , correspondem a m=1 e n = a/b e que o valor mínimo é 4. nb ⎟⎠ minimo ⎝ a 11) Determinar a carga de crítica de flambagem para os problemas 6 e 7. Considere flambagem por compressão, flambagem por cisalhamento e flambagem por flexão.

141

Bibliografia Consultada e Referências Bibliográficas. ABS, 2000, Technical Issues for LNV Carriers. Bazant, Z. P., Cedolin, L. Science.

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