665806_Guia Matem 6-3 SH.pdf

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

GUÍA DIDÁCTICA La guía didáctica Matemáticas 6, para sexto curso de Primaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

PRIMARIA

Matemáticas

Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Estudio Pep Carrió Fotografía de la cubierta: Leila Méndez Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Jorge Gómez, Raúl de Andrés Dirección técnica: Jorge Mira Coordinación técnica: Alejandro Retana Confección y montaje: Hilario Simón, Raquel Sánchez Corrección: Marta Rubio, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/J. Latova; EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; NASA/Jacques Descloitres, MODIS Land Rapid Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK; ARCHIVO SANTILLANA.

© 2015 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid PRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-680-2979-5 Depósito legal: M-18626-2015 CP: 665806

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A los legítimos usuarios de la misma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fines comerciales.

Índice Mapa de contenidos..................................................... 4

Guiones didácticos Unidad 11. Áreas y volúmenes ����������������������������������� 6 Unidad 12. Estadística y probabilidad ��������������������� 24 Soluciones Proyecto Fin de etapa ���������������������������� 53 Soluciones Lo esencial ��������������������������������������������� 78

Unidad

1 2

Información y actividades

Números naturales. Operaciones

6

Potencias y raíz cuadrada

22

Números de hasta nueve cifras

Operaciones combinadas

Operaciones con números naturales

Números romanos

Potencias

Expresión polinómica de un número

Potencias de base 10

Raíz cuadrada

Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

3 4

5

Números enteros

38

Divisibilidad

54

Fracciones. Operaciones

70

Números enteros

Suma y resta de enteros

La recta entera. Comparación

Coordenadas cartesianas

Cálculo de todos los divisores

M.c.m. y m.c.d.

Criterios de divisibilidad

Problemas de m.c.m. y de m.c.d.

Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

Reducción a común denominador

Suma y resta de fracciones

Comparación de fracciones

Multiplicación y división de fracciones

Suma y resta de números decimales

Aproximaciones y estimaciones

REPASO TRIMESTRAL

6

Números decimales. Operaciones

7

División de números decimales

88 102

Multiplicación de números decimales División de decimal entre natural

Aproximación de cocientes

División de natural entre decimal

Expresión decimal de una fracción

División de decimal entre decimal Tratamiento de la información. Histogramas

8

9

Proporcionalidad y porcentajes

Medida

Proporcionalidad

118

Longitud, capacidad y masa

132

Escalas: planos y mapas

Problemas de porcentajes

Superficie

Sistema sexagesimal Tratamiento de la información. Histogramas

10 Volumen

148

Volumen con un cubo unidad

Volumen de ortoedros y cubos

El metro cúbico. Submúltiplos El metro cúbico. Múltiplos

Volumen y capacidad

Áreas de figuras planas

Áreas de cuerpos geométricos

Cuerpos geométricos. Poliedros regulares

Volúmenes de cuerpos geométricos

Variables estadísticas. Frecuencias

Mediana. Rango

Media y moda

Probabilidad

REPASO TRIMESTRAL

11 Áreas y volúmenes

164



Estadística

12 y probabilidad 

180

Tratamiento de la información. Análisis crítico de gráficos

REPASO FINAL PROYECTO FIN DE ETAPA

Descubre las Matemáticas en…

Solución de problemas

Cálculo mental

Saber hacer

Relacionar enunciado y resolución

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Pasos para resolver un problema

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 cifras

Explicar qué se ha calculado

Restar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Buscar datos en varios gráficos

Restar 999, 1.999, ... a números de 4 cifras

 nalizar la difusión A de una noticia

Sacar conclusiones de un enunciado

Dividir un número natural entre decenas y centenas

Interpretar datos geográficos

Buscar datos en varios textos y gráficos

Calcular la fracción de un número

Elaborar tablas a partir de informaciones

S  umar por compensación: sumar y restar el mismo número

Hacer una tabla

Elegir un presupuesto

Organizar un campamento

S  umar por compensación: restar y sumar el mismo número  eterminar la representación gráfica D de una situación

Restar por compensación: sumar el mismo número

Estudiar la pureza de una joya

Restar por compensación: restar el mismo número

Representar la situación

Cambiar los datos

Multiplicar un número natural por 2

Analizar acciones de la Bolsa

Anticipar una solución aproximada

Multiplicar un número natural por 5

Extraer datos de la resolución

Multiplicar un número natural por 11

Representar datos con dibujos

Multiplicar un número natural por 9

E  ntender la etiqueta de un alimento

 scribir preguntas a partir de una tabla E o gráfico

E  stimar sumas y restas de números decimales aproximando los términos a las unidades

Interpretar información científica

Sumar un número decimal y un natural

Analizar datos hidrológicos

Resolver problemas empezando por el final  scribir la pregunta que se responde E con unos cálculos

Restar un número natural a un decimal

Representar gráficamente la situación Elegir preguntas que se puedan resolver Empezar con problemas más sencillos

E  stimar productos aproximando el número decimal a las unidades

Trabajar con densidades

Multiplicar un número decimal por decenas y por centenas

Elegir la solución correcta

Calcular el 10 % de un número

 educir el problema a otro problema R conocido

Calcular el 50 % de un número

Determinar varias soluciones

Calcular el 20 % de un número

Hacer un diagrama de árbol

Calcular el 25 % de un número

Diseñar envases

Realizar un control de calidad

11

Áreas y volúmenes

Contenidos de la unidad • Áreas de figuras planas. • Cuerpos geométricos.

SABER

GEOMETRÍA

• Poliedros regulares. • Áreas de cuerpos geométricos. • Volúmenes de cuerpos geométricos.

• Cálculo de áreas de figuras planas: paralelogramos, polígonos regulares, círculos y figuras compuestas. • Reconocimiento y clasificación de cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cuerpos redondos…) y sus elementos. GEOMETRÍA

• Identificación de los poliedros regulares y sus características. • Cálculo de áreas de cuerpos geométricos (prismas, pirámides y cuerpos redondos). • Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos (prismas, pirámides y cuerpos redondos).

SABER HACER

• Resolución de problemas de áreas y volúmenes.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

SABER SER

6

TAREA FINAL

FORMACIÓN EN VALORES

• Elección de la solución correcta a un problema entre varias opciones. • Resolución de problemas reduciéndolos a problemas conocidos.

• Diseñar envases. • Valoración de la utilidad del cálculo de áreas y volúmenes en distintas situaciones cotidianas. • Interés por realizar los cálculos de forma cuidadosa y expresar las soluciones de manera correcta.

Banco de recursos para la unidad BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

RECURSOS DIGITALES

Programación didáctica de aula

LibroMedia • Unidad 11: actividades y recursos.

Recursos para la evaluación • Evaluación de contenidos. Unidad 11: pruebas de control B y A.

LibroNet

• Evaluación por competencias. Prueba 11.

MATERIAL DE AULA

• Rúbrica. Unidad 11.

Láminas

Enseñanza individualizada • Plan de mejora. Unidad 11.

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

• Programa de ampliación. Unidad 11.

Cuaderno del alumno

Proyectos de trabajo cooperativo

•  Tercer trimestre. Unidad 11.

• Proyecto del tercer trimestre.

Solución de problemas. Método DECA

Recursos complementarios • Fichas para el desarrollo de la inteligencia.

ES0000000001169 454675_Cdno_Matematicas_6-3_22767

• Manual de uso de la calculadora. • Operaciones y problemas. 20762

áti Matem

Proyectos interdisciplinares

áticas Matem stre

• Programa de Educación en valores.

Tercer trimestre

tre trimes

IA

Tercer Matemáticas Tercer trimestre

RIA PRIMA

PRIMARIA

• Técnicas de estudio y preparación de exámenes.

CUADERNO

PRIMARIA

áticas Matem

cas

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tematic

607_Ma

195 462

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ES0000

PRIMAR

Aprendizaje eficaz

CUADERNO

Matemáticas

estre

IA PRIMAR

trime Tercer

trim Tercer

• Programa de Educación emocional.

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19/02/2015 16:51:16

• Inteligencias múltiples. 2 015 11:48:2

26/01/2

d 1

762.ind

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000001195

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SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Abril

Mayo

Junio

7

Propósitos • Reconocer situaciones reales donde aparecen cuerpos geométricos.

11

Áreas y volúmenes

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • El aprendizaje de las fórmulas exige un esfuerzo de atención y memorización. Al principio puede ayudar a los alumnos tener en clase un mural con una tabla de fórmulas, aunque posteriormente convenga que trabajen sin este apoyo gráfico. Al hacer las actividades, pídales que escriban siempre la fórmula que utilizan. También es interesante preguntarles de vez en cuando qué datos necesitan para poder aplicar cada fórmula para que vayan interiorizando las relaciones existentes en cada cuerpo entre su área o volumen y las medidas necesarias para calcularlos (base, altura, radio, perímetro…).

¿Cómo eran las tumbas en Egipto antes de las pirámides? Si te preguntan cómo eran las tumbas de los faraones en el Antiguo Egipto seguro que piensas en las pirámides. Es cierto que en esa época tenían forma de pirámide con base cuadrada, pero si investigas, verás que las tumbas anteriores eran distintas. Las tumbas de los primeros faraones eran cámaras subterráneas. Sobre ellas se levantaban construcciones de base rectangular y paredes inclinadas con forma de trapecio, siendo su techo también rectangular. Este tipo de tumba se llama mastaba. Su forma era como la de una pirámide de base rectangular a la que le hubieran quitado con un corte su parte superior.

Trabajo colectivo sobre la lámina Pida a un alumno que lea la lectura y pregunte a la clase qué términos geométricos aparecen en ella. Explore las ideas previas y los contenidos sobre cuerpos geométricos y áreas que los alumnos recuerdan de cursos anteriores. 1 El techo de la mastaba tenía

la misma forma que la base, pero su superficie era menor. 2 La mastaba tenía 8 vértices,

6 caras y 12 aristas. 3 La pirámide de base cuadrada

tiene 5 vértices, 5 caras y 8 aristas. 4 Las caras laterales de la pirámide

son triángulos isósceles y acutángulos. 5 Se obtendrían dos piezas: una

pirámide de base pentagonal y un poliedro. La pirámide

8

Las mastabas dieron paso a otro tipo de monumento formado apilando mastabas. Eran las pirámides escalonadas. Más tarde, estas pirámides escalonadas evolucionaron a las pirámides que conoces. 164

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Otras formas de empezar • Dibuje en la pizarra varias figuras planas y cuerpos geométricos, indique a los alumnos que son representaciones de lugares y objetos, y ponga algunos ejemplos en común: fincas o campos de cultivo, envases, depósitos, edificios… Hágales preguntas y comentarios para que comprendan la utilidad de hallar sus áreas y volúmenes. Por ejemplo: – ¿Cómo podemos saber cuánto cuesta esta finca, si nos dan el precio del metro cuadrado de terreno? – ¿Cómo podemos saber cuántos metros de cartón se necesitarían para hacer mil envases como este?

12/02/2015 17:17:46

UNIDAD

11

Lee, comprende y razona 1

Observa el dibujo. El techo de la mastaba ¿tiene la misma superficie que la base?

2

¿Cuántos vértices tiene la mastaba? ¿Y caras? ¿Y aristas?

3

La pirámide de base cuadrada que hay al fondo del dibujo, ¿cuántos vértices tiene? ¿Y caras? ¿Y aristas?

4

¿De qué polígono tienen forma las caras laterales de la pirámide?

5

EXPRESIÓN ORAL. Si cortases una pirámide cuya base fuera un pentágono con un corte paralelo a la base, ¿cómo serían los dos cuerpos obtenidos? Descríbelos.

tendría 6 caras, 6 vértices y 10 aristas. El poliedro obtenido, que no es un prisma, ya que sus bases no son iguales, tendría 7 caras, 10 vértices y 15 aristas.

SABER HACER TAREA FINAL

¿Qué sabes ya?

Diseñar envases

Con estas actividades el alumno recordará algunas fórmulas de áreas de figuras planas conocidas ya de cursos anteriores y que le serán necesarias en el trabajo posterior realizado en la unidad.

Al final de la unidad diseñarás envases para distintos productos. Antes, trabajarás con los cuerpos geométricos, sus áreas y sus volúmenes.

encia Intelig stica lingüí

1 •  A 5 4 cm 3 4 cm 5 16 cm2

• A 5 5 cm 3 3 cm 5 15 cm2

¿Qué sabes ya?

• A 5 (12 cm 3 6 cm) : 2 5 36 cm2

Áreas de figuras planas Cuadrado l

A 5 lado 3 lado A5l3l5l

2

b

Triángulo

b

1

base 3 altura b3h 5 A5 2 2

Halla el área de cada figura plana. Un cuadrado de lado (l) 4 cm.

2 Al duplicar la longitud del lado

A 5 base 3 altura

h

h

l

h

• A 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2

Rectángulo y Romboide

de un cuadrado, su área se multiplica por 4.

A5b3h

b

r

Círculo

Notas

A 5 p 3 radio2 A 5 p 3 r2

Usa 3,14 como valor de p.

Un rectángulo y un romboide de base (b) 5 cm y altura (h) 3 cm. Un triángulo de base (b) 12 cm y altura (h) 6 cm. Un círculo de radio (r) 10 cm. 2

Piensa y contesta. Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado, ¿qué ocurre con su área?

165

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12/02/2015 17:17:51

Competencias • Competencia lingüística. En la actividad de Expresión oral los alumnos deben describir cuerpos geométricos sin ayuda de una representación gráfica. Pídales que usen términos matemáticos y se expresen de forma clara y razonada. • Aprender a aprender. Comente a los alumnos que ya conocían cómo hallar áreas y perímetros de figuras planas y que en esta unidad van a seguir avanzando en esos conocimientos y aprender a calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Indíqueles que ahora pasarán de las dos dimensiones a las tres dimensiones.

9

Área del rombo

• Calcular el área de un rombo. • Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas de rombos.

d D

Sugerencias didácticas Área del rombo

5

La base del rectángulo es igual a la diagonal mayor del rombo, D, y la altura del rectángulo es igual a la diagonal menor, d. Observa que la parte amarilla es de igual área que la parte naranja. Es decir, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

D3d área del rectángulo diagonal mayor 3 diagonal menor 5 5 2 2 2 Área 5

Para reforzar. Pida a los alumnos que dibujen distintos rombos en una hoja de papel (indíqueles que basta con trazar dos perpendiculares, marcar la longitud de cada diagonal en ellas y unir los puntos obtenidos). Después, los pasarán a su compañero para que este calcule sus áreas.

D3d 5 cm 3 2 cm 5 5 5 cm2 2 2

1

Mide las diagonales de cada rombo y calcula su área.

2

Calcula el área de cada rombo. La diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal menor 6 cm. La diagonal menor mide 7 m y la diagonal mayor 8 m. Cada diagonal mide 12 cm. Una cometa con forma de rombo cuyo palo largo mide 8 dm y el palo corto mide 5 dm.

3

Piensa y resuelve. Ayúdate de un dibujo. Un rombo está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Actividades

Calcula el área del rombo como suma de las áreas de los triángulos.

1 A 5 (6 cm 3 2 cm) : 2 5 6 cm2

A 5 (3 cm 3 2 cm) : 2 5 3 cm

Fíjate en que si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices, se forma un rectángulo.

b 5 D 5 5 cm

Para explicar. Muestre cómo se puede obtener la fórmula del área de un rombo a partir del área de un rectángulo que tenga como base la diagonal mayor y como altura la diagonal menor. Indíqueles también que podemos obtener el área como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos en los que está dividido por sus diagonales.



¿Cuál es el área de este rombo?

D 5 5 cm

h 5 d 5 2 cm

d 5 2 cm

Propósitos

2

¿Cuánto mide la diagonal menor del rombo? ¿Y la diagonal mayor?

A 5 (6 cm 3 4 cm) : 2 5 12 cm2

Halla el área del rombo con la fórmula usual. ¿Obtienes el mismo resultado que antes?

2 •  A  5 (10 cm 3 6 cm) : 2 5

5 30 cm2

•  A  5 (8 cm 3 7 cm) : 2 5 5 28 cm2



•  A  5 (12 cm 3 12 cm) : 2 5 5 72 cm2



•  A  5 (8 dm 3 5 dm) : 2 5 5 20 dm2 3 •  A  5 (8 cm 3 6 cm) : 2 5 24 cm2

A 5 4 3 24 cm2 5 96 cm2

•  d  5 2 3 6 cm 5 12 cm D 5 2 3 8 cm 5 16 cm •  A  5 (16 cm 3 12 cm) : 2 5 5 96 cm2 El resultado es el mismo.

Notas

10

166

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12/02/2015 17:17:52

Otras actividades • Pida a los alumnos que busquen todos los rombos cuyas diagonales sean números enteros y tengan un área definida por usted; por ejemplo, 48 cm2. Después, puede pedirles que dibujen algunos de ellos, los recorten y los comparen por superposición. • Entregue a los alumnos en una hoja cuadrados de distintos tamaños, de manera que sus lados midan centímetros exactos. Solicite que tracen sus diagonales y calculen el área de cada uno como un caso particular de rombo. Pídales que la comparen con la que obtendrían usando la fórmula del área del cuadrado. Se trata de que investiguen la relación entre la longitud del lado del cuadrado y la de su diagonal.

Área de polígonos regulares

11

• Calcular el área de polígonos regulares.

Todos los polígonos regulares se pueden descomponer en triángulos iguales, uniendo su centro con sus vértices. La base de cada triángulo es un lado del polígono y la altura es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado. Ese segmento se llama apotema, ap.

l 5 2 cm

h 5 ap 5 1,4 cm

Sugerencias didácticas

b 5 l 5 2 cm

Para explicar. Es importante que los alumnos vean un sentido en las fórmulas, ya que eso les ayudará a memorizarlas o a recordarlas en caso de olvido. Señale cómo se obtiene el romboide a partir de los triángulos en los que podemos dividir cada polígono regular, y muestre cómo el área del polígono es la mitad del área de ese romboide.

El área del polígono es la suma de las áreas de todos los triángulos obtenidos. Si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P, y cuya altura es la apotema, ap. h 5 ap 5 1,4 cm b 5 P 5 5 3 2 cm 5 10 cm

Área del polígono regular 5 área del romboide 5 perímetro 3 apotema 5 2 2 Área 5

1

P 3 ap 2

P 3 ap 10 cm 3 1,4 cm 5 = 7 cm2 2 2

Para reforzar. Entregue a los alumnos distintos polígonos regulares dibujados en una hoja cuyos lados midan centímetros exactos. Pídales que tracen la circunferencia que pasa por todos sus vértices y que midan después la apotema del polígono. Por último, calcularán sus áreas.

Observa cada polígono regular y contesta. ¿En cuántos triángulos iguales se puede dividir? ¿Cuál es su área, sabiendo que el área de cada triángulo marcado es 5 m2?

2

Calcula el área de cada polígono regular. l 5 10 cm l

ap

ap 5 6,9 cm

l 5 6 cm ap 5 7,2 cm

ap

11

Propósitos

¿Cuál es el área de este pentágono regular?

ap 1,4 cm

UNIDAD

l

Actividades

Cálculo mental

1 Cuadrado:

Calcula el 10 % de un número o multiplica por 0,1: divide entre 10 10 % de 40 0,1 3 40

40 : 10 5 4



•  En 4 triángulos.

10 % de 420



•  A 5 4 3 5 m2 5 20 m2

0,1 3 67

0,1 3 3.000



Hexágono regular:

0,1 3 79

0,1 3 5.200



•  En 6 triángulos.



•  A 5 6 3 5 m2 5 30 m2

10 % de 6

10 % de 30

10 % de 800

10 % de 9

10 % de 80

0,1 3 5 0,1 3 7

167

2 • A 5 (50 cm 3 6,9 cm) : 2 5

5 172,5 cm2 ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 7

Otras actividades • Dibuje en la pizarra un cuadrado de 4 dm de lado y pida a un alumno que trace sus dos diagonales. Muestre que el punto donde se cortan las diagonales es el centro del cuadrado, trace la apotema y razone en común que mide 2 dm. Pida a los alumnos que calculen su área de dos formas: por la fórmula usual del área del cuadrado y por la fórmula del área de un polígono regular, y que comprueben que se obtiene el mismo resultado.

18/02/2015 9:51:08



• A 5 (48 cm 3 7,2 cm) : 2 5 5 172,8 cm2

Cálculo mental • 0,6

• 3

• 80

• 0,9

• 8

• 42

• 0,5

• 6,7

• 300

• 0,7

• 7,9

• 520

Notas

11

Cuerpos geométricos: tipos y elementos Propósitos

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.

• Reconocer los cuerpos geométricos más importantes: prismas, pirámides y cuerpos redondos, y distinguir sus elementos.

Los prismas y pirámides son poliedros. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base, y el resto de caras son triángulos. Se nombran según el polígono que forma sus bases. Sus elementos son: Prisma hexagonal

Pirámide hexagonal vértice o cúspide

base cara lateral

Sugerencias didácticas

arista lateral

arista lateral

Para explicar. Comente con los alumnos las diferencias entre poliedros y cuerpos redondos, y los elementos de los distintos cuerpos geométricos. Recuérdeles que los prismas y pirámides se nombraban por el polígono de su base. Escriba en la pizarra un esquema en el que quede clara la división de los cuerpos geométricos: poliedros (y, dentro de ellos, prismas, pirámides y otros poliedros) y cuerpos redondos (y, dentro de ellos, cilindros, conos y esferas).

cara lateral vértice base arista básica

vértice arista básica

Hay cuerpos geométricos que no son poliedros. Los cuerpos redondos son cuerpos con superficies curvas. Sus elementos son: Cono

Cilindro base

Esfera vértice

generatriz

superficie lateral curva radio

superficie lateral curva base

superficie curva

radio

radio

Para reforzar. Dibuje distintos cuerpos geométricos en la pizarra (o pida a algún alumno que lo haga) para que sus compañeros digan de qué cuerpo se trata y cuáles son sus elementos.

1

Clasifica cada cuerpo.

2

Copia en tu cuaderno las oraciones verdaderas. Todos los poliedros son prismas o pirámides. Todos los prismas y pirámides son poliedros.

Actividades

Los cuerpos redondos tienen todas sus superficies curvas.

1 Pirámide pentagonal.

Un poliedro tiene siempre más de 3 caras. Un prisma tiene siempre un número par de vértices.

Esfera. Poliedro.

168

Cono. Prisma hexagonal.

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Cilindro. 2 Son verdaderas la segunda,

cuarta y quinta oraciones.

Notas

Otras actividades • Formule en clase preguntas similares a las siguientes, pidiendo que las contesten en su cuaderno de un modo razonado: – ¿Puede un prisma tener solamente dos caras laterales? – ¿Puede tener un prisma dos desarrollos diferentes? – ¿Puede tener una pirámide menos de cuatro vértices? – ¿Puede un prisma tener un número impar de vértices? – ¿Puede una pirámide tener un número impar de aristas?

12

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Poliedros regulares

11

• Reconocer los poliedros regulares, sus elementos y características.

Los poliedros regulares son aquellos que tienen como caras polígonos regulares iguales entre sí y en cada vértice del poliedro coincide el mismo número de caras. Solo existen estos cinco:

Sugerencias didácticas

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

4 caras

8 caras

20 caras

6 caras

12 caras

Para explicar. Señale que los poliedros regulares no solo deben tener sus caras iguales, sino que debe concurrir igual número de ellas en cada vértice. Indique que solamente existen los cinco poliedros mostrados en la página y pídales que enuncien sus características.

Observa los cinco poliedros regulares y completa la tabla en tu cuaderno.

Para ampliar. Pida a los alumnos que averigüen el número de vértices y aristas de cada poliedro regular. Ayúdeles comentando que pueden partir del número de aristas y vértices de cada cara y multiplicar, pero que deben tener cuidado porque cada lado de las caras y cada vértice está compartido con otras caras.

Nombre del poliedro regular Número de caras Polígono de las caras

2

11

Propósitos

Desde la Antigüedad, ha habido un tipo de poliedros que ha interesado a muchos matemáticos. Son los poliedros regulares.

1

UNIDAD

Piensa y contesta. Las caras de un dodecaedro son pentágonos regulares de lado 10 cm y apotema 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras? Las caras de un octaedro son triángulos equiláteros de base 8 cm y altura 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras?

Actividades Razonamiento

1 Tetraedro: 4 caras, triángulos

equiláteros. Octaedro: 8 caras, triángulos equiláteros. Icosaedro: 20 caras, triángulos equiláteros. Cubo: 6 caras, cuadrados. Dodecaedro: 12 caras, pentágonos regulares.

Observa las figuras y escribe qué poliedros forman al plegarlas. Estas figuras se llaman desarrollos. Plegándolas, se pueden formar cuerpos geométricos.

169

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2 • A 5 (50 cm 3 6,9 cm) : 2 5

5 172,5 cm2 A 5 12 3 172,5 cm2 5 5 2.070 cm2

12/02/2015 17:17:58

Otras actividades



• Proporcione a los alumnos desarrollos de los poliedros regulares y pídales que los construyan. De esta manera, podrán conocerlos mejor y trabajar el conteo de elementos en los casos en los que hayan tenido más dificultades.

Razonamiento

• Realice actividades similares a la actividad 2 del libro, proporcionando a los alumnos datos sobre los polígonos de las caras y pidiéndoles que calculen el área del poliedro regular asociado.

• A 5 (8 cm 3 6,9 cm) : 2 5 5 27,6 cm2 A 5 8 3 27,6 cm2 5 220,8 cm2

Figura verde: cubo. Figura roja: tetraedro. Figura morada: ortoedro. Figura amarilla: pirámide pentagonal.

13

Áreas de prismas y pirámides Propósitos

El área de un cuerpo geométrico se obtiene sumando las áreas de todas las superficies que lo delimitan.

• Calcular áreas de prismas y pirámides.

El área de un prisma es la suma de las áreas de las dos bases (polígonos iguales) más las áreas de las caras laterales (paralelogramos).

Sugerencias didácticas

A 5 ABASES 1 ACARAS LATERALES 5 cm

Para explicar. Comente con los alumnos los dos ejemplos resueltos en el cuadro teórico y deje claro que el área del cuerpo es la suma de las áreas de todos los polígonos que forman sus caras. En caso de dificultades, puede dibujar en la pizarra el desarrollo de los cuerpos para que los alumnos comprendan mejor esa relación. Señale la importancia de saber calcular las áreas de figuras planas a la hora de obtener las áreas de los prismas y pirámides.

3 cm

ABASES 5 2 3 8 cm 3 3 cm 5 48 cm2 AC. LATERALES 5 2 3 3 cm 3 5 cm 1 2 3 8 cm 3 5 cm 5 5 30 cm2 1 80 cm2 5 110 cm2

8 cm

2

A 5 48 cm 1 110 cm2 5 158 cm2 El área de una pirámide es la suma del área de su base más la suma de las áreas de las caras laterales (triángulos). A 5 ABASE 1 ACARAS LATERALES 14 cm

13,7 cm

ABASE 5 10 cm 3 8 cm 5 80 cm2 AC. LATERALES 5 2 3 8 cm

10 cm

Para reforzar. Pida a los alumnos que calculen las áreas de distintos prismas y pirámides obtenidos cambiando los datos de las figuras que aparecen en la página. Entregue a los alumnos diferentes desarrollos planos rotulados y pídales que digan qué cuerpo se forma a partir de ellos y cuál será el área de ese cuerpo.

1

10 cm 3 13,7 cm 8 cm 3 14 cm 123 5 2 2

5 137 cm2 1 112 cm2 5 249 cm2 A 5 80 cm2 1 249 cm2 5 329 cm2

Calcula el área de cada cuerpo geométrico. Fíjate en su desarrollo.

8 cm 8 cm 5 cm

3 cm

5 cm

5 cm

2

Calcula el área de cada cuerpo.

h 5 12 cm ap 5 6,9 cm

El área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema dividido por 2.

Actividades 1 • A 5 2 3 5 cm 3 3 cm 1

1 2 3 3 cm 3 8 cm 1 1 2 3 5 cm 3 8 cm 5 5 158 cm2 • A 5 5 cm 3 5 cm 1 1 4 3 (5 cm 3 8 cm) : 2 5 5 105 cm2 2 • A 5 6 3 10 cm 3 10 cm 5

5 600 cm2 • A 5 (48 cm 3 6,9 cm) : 2 1 1 6 3 (8 cm 3 12 cm) : 2 5 5 453,6 cm2

Notas

14

10 cm

RECUERDA

10 cm 10 cm

8 cm

170

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 10

12/02/2015 17:18:00

Competencias • C  ompetencia matemática, científica y tecnológica. La actividad 1 permite realizar un trabajo muy interesante relacionado con la visión espacial. Se proporciona a los alumnos el desarrollo de cada cuerpo para que tomen conciencia de la relación entre la representación plana y su correspondencia en el espacio. Pida a un alumno que salga a la pizarra, copie cada desarrollo y, con la ayuda de sus compañeros, rotule cada uno de los segmentos del desarrollo de acuerdo con la rotulación de los cuerpos geométricos.

Áreas de cuerpos redondos

11

• Calcular áreas de cilindros, conos y esferas.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro se usa también la de su altura (h) y en el del cono, la de su generatriz (g). Área del cono

Sugerencias didácticas

Área de la esfera

Para explicar. Muestre a los alumnos las similitudes con las áreas de prismas y pirámides (el área de cada cuerpo es el área de las superficies que lo forman) y sus diferencias (en los cuerpos redondos no se puede hablar de caras). Dibuje en la pizarra los desarrollos planos de cilindros y conos y comente qué término de la fórmula se asocia con cada parte del desarrollo.

r h

g

r r

A 5 ABASES 1 ASUP. CURVA A 5 2 3 p 3 r2 1 2 3 p 3 r 3 h

1

A 5 ABASE 1 ASUP. CURVA

A 5 ASUP. CURVA

A 5 p 3 r2 1 p 3 r 3 g

A 5 4 3 p 3 r2

Calcula el área de cada cuerpo. Fíjate en su desarrollo.

Para reforzar. Entregue a los alumnos distintos desarrollos planos rotulados y pídales que digan qué cuerpo se forma a partir de ellos y cuál será el área de ese cuerpo.

3 cm 8 cm

10 cm

2

5 cm

encia Intelig cial espa

Piensa y calcula el área de cada cuerpo redondo.

Actividades

Un bote de conservas cilíndrico de radio 8 cm y altura 12 cm.

1 • A 5 2 3 p 3 (3 cm)2 1

Un cono de plástico de radio 10 cm y generatriz 20 cm. Una bola de madera de radio 40 cm.

La esfera NO tiene desarrollo plano.

1 2 3 p 3 3 cm 3 8 cm 5 5 207,24 cm2 • A 5 p 3 (5 cm)2 1 1 p 3 5 cm 3 10 cm 5 5 235,5 cm2

Razonamiento Piensa y contesta. Después, calcula y comprueba tu respuesta. Un cilindro, un cono y una esfera tienen el mismo radio, 10 cm. La altura del cilindro y la generatriz del cono miden también las dos 10 cm. ¿Cuál de los tres cuerpos crees que tiene mayor área? ¿Cuál crees que tiene un área menor?

2 • A 5 2 3 p 3 (8 cm)2 1

1 2 3 p 3 8 cm 3 12 cm 5 5 1.004,8 cm2 171

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Otras actividades • Pida a los alumnos que exploren cómo varía el área de los cuerpos redondos cuando cambian sus dimensiones. Dígales que tomen casos concretos para intentar enunciar una regla general. Por ejemplo: – Un cilindro que tenga el doble de radio y de altura que otro, ¿tiene el doble de área? – ¿Cuál tiene mayor área: un cilindro de radio y altura iguales o una esfera con el mismo radio que el cilindro? – Un cono que tenga la mitad de radio que otro y su misma altura, ¿tiene la mitad de área?

11

Propósitos

El área de un cuerpo redondo se obtiene sumando las áreas de las superficies, planas y/o curvas, que lo delimitan.

Área del cilindro

UNIDAD

16/03/2015 11:47:11

• A 5 p 3 (10 cm)2 1 1 p 3 10 cm 3 20 cm 5 5 942 cm2 • A 5 4 3 p 3 (40 cm)2 5 5 20.096 cm2

Razonamiento • A  CILINDRO 5 2 3 p 3 (10 cm)2 1 1 2 3 p 3 10 cm 3 10 cm 5 5 1.256 cm2 • A  CONO 5 p 3 (10 cm)2 1 1 p 3 10 cm 3 10 cm 5 5 628 cm2 • A  ESFERA 5 4 3 p 3 (10 cm)2 5 5 1.256 cm2 El cilindro y la esfera tienen la misma área. El cuerpo de menor área es el cono.

15

Volúmenes de prismas y pirámides Propósitos

El volumen de un prisma es el producto del área de una base por la altura.

• Calcular volúmenes de prismas y pirámides. • Hallar volúmenes de cuerpos geométricos compuestos.

ABASE 5 8 cm 3 3 cm 5 24 cm2 3 cm 8 cm

Sugerencias didácticas

8,7 cm

10 cm

1

• ABASE 5 10 cm 3 10 cm 5 5 100 cm2 V 5 (100 cm2 3 12 cm) : 3 5 5 400 cm3 3 • V 5 20 cm 3 5 cm 3 5 cm 1

1 10 cm 3 10 cm 3 10 cm 5 5 1.500 cm3

16

261 cm2 3 15 cm 5 1.305 cm3 3

Calcula el volumen de cada cuerpo.

8 cm

5,2 cm 8 cm

9 cm

2

6 cm

10 cm

8 cm

Calcula el volumen de cada cuerpo. Haz un dibujo aproximado. Un prisma de base triangular y altura 10 cm. Su base es un triángulo de 7 cm de base y 5 cm de altura. Una pirámide cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es 12 cm.

3

5 512 cm3

5 17,5 cm V 5 17,5 cm2 3 10 cm 5 5 175 cm3

V5

P 3 ap 6 3 10 cm 3 8,7 cm 5 5 261 cm2 2 2

8,7 cm

1 • V 5 (8 cm 3 8 cm) 3 8 cm 5

2

ABASE 5

ABASE 3 h 3

8 cm

Actividades

2 • ABASE 5 (7 cm 3 5 cm) : 2 5

V5

15 cm

Para reforzar. Pida a los alumnos que realicen dibujos de prismas y pirámides y los rotulen para que sus compañeros calculen sus áreas y volúmenes.

• ABASE 5 (36 cm 3 5,2 cm) : 2 5 5 93,6 cm2 V 5 (93,6 cm2 3 8,7 cm) 5 5 814,32 cm3

V 5 24 cm2 3 5 cm 5 120 cm3

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice. No la confundas con la altura de las caras laterales.

Para explicar. Comente las fórmulas de los volúmenes de prismas y pirámides. Puede ser muy interesante construir, a partir de su desarrollo, un prisma y una pirámide que tengan la misma área de la base y la misma altura, y que los alumnos comprueben, llenando la pirámide por ejemplo con arena, que el volumen de tres pirámides equivale al del prisma. Señale la importancia de no confundir, en las pirámides, la altura de la pirámide con la altura de las caras laterales.

• ABASE 5 (9 cm 3 10 cm) 5 5 90 cm2 V 5 (90 cm2 3 8 cm) : 3 5 5 240 cm3

V 5 ABASE 3 h

5 cm

Calcula el volumen de este cuerpo. Fíjate bien en los cuerpos que lo componen.

10 cm

5 cm 5 cm

10 cm 20 cm

10 cm

172

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Otras actividades • Además de realizar más actividades de cálculo de volúmenes de figuras compuestas apilando otras (actividad 3), es interesante trabajar con los alumnos actividades en las que aparezcan prismas que tengan «agujeros», y que estos sean también prismas. Señale que el volumen de ese cuerpo puede obtenerse como el volumen del cuerpo mayor menos el volumen que ocupa ese «agujero». Muestre que el volumen resultante no depende de la posición que tenga ese «agujero».

12/02/2015 17:18:03

11 2

Volúmenes de cuerpos redondos

• Calcular volúmenes de cilindros, conos y esferas.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro y el cono se usa también la de su altura (h). Volumen del cono

Sugerencias didácticas

Volumen de la esfera

Para explicar. Comente las similitudes en las fórmulas de prismas y cilindros y de conos y pirámides, indicando que la base de cilindros y conos es un círculo. Comente el caso especial de la esfera, indicando que no tiene desarrollo plano.

r h

r

h r

V 5 ABASE 3 h

V 5 p 3 r2 3 h

A5

V5

11

Propósitos

El volumen de un cilindro y de un cono se calculan de forma similar al de un prisma y una pirámide, respectivamente. El de la esfera se halla de forma diferente.

Volumen del cilindro

UNIDAD

ABASE 3 h 3

p 3 r2 3 h

V5

3

4 3 p 3 r3 3

Actividades 1

1 • V 5 p 3 (10 cm)2 3 15 cm 5

Halla el volumen de cada cuerpo redondo.

5 4.710 cm3

Un bote de conservas cilíndrico de radio 10 cm y altura 15 cm.

• ABASE 5 p 3 (12 cm)2 5 5 452,16 cm2 V 5 (452,16 cm2 3 16 cm) : 3 5 5 2.411,52 cm3

Un cono de plástico de radio 12 cm y altura 16 cm. Una bola de vidrio de radio 4 cm. 2

Calcula el volumen de cada cuerpo.

5 cm

• V 5 (4 3 p 3 (4 cm)3) : 3 5 5 93,6 cm2 3 8,7 cm 5 5 267,95 cm3

6 cm

6 cm 8 cm

2 V 5 p 3 (5 cm)2 3 10 cm 5

10 cm

5 785 cm3 Cálculo mental

V 5 (p 3 (6 cm)2 3 8 cm) : 3 5 5 301,44 cm3

Calcula el 50 % de un número o multiplica por 0,5: divide entre 2 50 % de 80 0,5 3 80

80 : 2 5 40

50 % de 6

50 % de 60

50 % de 6.000

50 % de 8

50 % de 90

50 % de 4.200

0,5 3 4

0,5 3 46

0,5 3 8.000

0,5 3 12

0,5 3 84

0,5 3 2.600

V 5 (4 3 p 3 (6 cm)3) : 3 5 5 904,32 cm3

Cálculo mental 173

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 13

12/02/2015 17:18:05

• 3

• 30

• 3.000

• 4

• 45

• 2.100

• 2

• 23

• 4.000

• 6

• 42

• 1.300

Otras actividades • Pida a los alumnos que exploren cómo varían los volúmenes de los cuerpos redondos al cambiar alguna de sus dimensiones. Por ejemplo:

Notas

– Si el radio de una esfera es el doble que el de otra, ¿cómo es su volumen? – Un cilindro tiene de igual longitud su radio y su altura, y un cono tiene

el mismo radio y el triple de altura. ¿Cómo son sus volúmenes? • P  roponga actividades de cálculo de volúmenes de cuerpos compuestos

a partir de varios cuerpos redondos, por ejemplo un molino formado por un cilindro que tiene un cono encima.

17

Solución de problemas Elegir la solución correcta entre varias

Propósitos • Elegir la solución correcta a un problema eligiéndola entre varias.

En la fábrica han envasado 1.000 litros de zumo de piña en bricks de 200 cm3 cada uno. ¿Cuántos bricks han obtenido?

Sugerencias didácticas

Calcula mentalmente y elige la solución correcta.

Para explicar. Trabaje el problema resuelto mostrando la forma de elegir la solución correcta. Puede hacerse resolviendo el problema y buscándola, o bien valorando para cada una de las respuestas si el volumen total de los bricks coincide con el envasado.

A. Han obtenido 5 bricks. B. Han obtenido 50.000 bricks. C. Han obtenido 500.000 bricks. D. Han obtenido 5.000 bricks. Sabes que 1 cm3 5 1 ml, luego cada brick contiene 200 ml. Con 1 litro de zumo (1.000 ml) se obtendrán 1.000 : 200 5 5 bricks. En total serán 5 3 1.000 5 5.000 bricks. La respuesta correcta es la D.

Para reforzar. Pida a los alumnos que elaboren por sí mismos problemas similares a los trabajados en la página. Resuelva algunos de ellos en común.

Elige la solución correcta calculando mentalmente. Después, comprueba tu respuesta. 1

Actividades 1 4.000 : 5 5 800

2

La respuesta correcta es la C. 2 3.500 2 3.000 5 500

En una almazara tenían un gran depósito de 4 kl lleno de aceite. Envasaron todo en garrafas de 0,5 dal cada una. ¿Cuántas garrafas obtuvieron? A. Obtuvieron 8 garrafas.

C. Obtuvieron 800 garrafas.

B. Obtuvieron 8.000 garrafas.

D. Obtuvieron 80.000 garrafas.

Un camión puede transportar 3 t y 5 q de carga. Va cargado con 6 paquetes de 500 kg cada uno. ¿Cuántos kilos más puede llevar? A. Puede llevar 50 kg más.

La respuesta correcta es la C.

B. No puede llevar más peso.

3 20.000 : 4 5 5.000

C. Puede llevar 5.000 kg más.

La respuesta correcta es la A.

D. Puede llevar 500 kg más. 3

Notas

Sonia tiene que colocar placas de madera en el suelo de una pista de 2 dam2. Va a utilizar placas cuadradas de 2 dm de lado. ¿Cuántas placas utilizará? A. Utilizará 5.000 placas. B. Utilizará 1.000 placas. C. Utilizará 500 placas. D. Utilizará 2.000 placas.

174

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Otras actividades • Es interesante plantear problemas similares a los propuestos en esta página para potenciar en los alumnos la capacidad de estimación al trabajar con medidas. Se trata de que sean capaces de descartar rápidamente varias de las soluciones erróneas al ver que no tienen sentido en la situación planteada. Comente con ellos las unidades de medida principales antes de trabajarlos para que tengan presente cómo son en la realidad.

18

16/03/2015 11:47:13

11

Solución de problemas Reducir el problema a otro problema conocido

• Resolver problemas reduciéndolos a otros conocidos.

Sugerencias didácticas

Para resolver el problema lo mejor es reducirlo primero a un problema que sepas hacer: hallar el área de cada una de las piezas que forman la alfombrilla.

5 cm

El área de cada pieza es igual al área del círculo menos el área del hueco cuadrado.

10 cm

Área del círculo 5 p 3 r2 5 p 3 52 cm2 5 78,5 cm2 Área del cuadrado 5 l2 5 52 cm2 5 25 cm2 Área de una pieza 5 78,5 cm2 2 25 cm2 5 53,5 cm2 La alfombrilla tiene 50 piezas (5 filas de 10 piezas cada una). Área de la alfombrilla 5 50 3 53,5 cm2 5 2.675 cm2 Solución: La alfombrilla tiene un área de 2.675 cm2.

encia Intelig rsonal intrape

Resuelve Resuelve los los problemas problemas reduciéndolos reduciéndolos primero primero aa un un problema problema que que sepas sepas resolver. resolver.

8 cm

12 cm

piezas piezasiguales igualesformadas formadascon con un unrectángulo rectánguloyyun unsemicírculo. semicírculo. ¿Cuál ¿Cuáles essu suárea? área?

8 cm

Para explicar. Lleve a cabo con la clase el problema resuelto. Hágales ver que el problema planteado, complejo en principio, pues aparecen gran cantidad de círculos con huecos en su interior, puede reducirse a un problema mucho más sencillo y que ya saben resolver: calcular, para una sola pieza, cuál es el área de color rojo. Indique la importancia de analizar siempre los problemas cuidadosamente, antes de lanzarse a realizar cálculos, porque de ese análisis puede deducirse una forma mucho más rápida y sencilla de resolución. Para reforzar. Pida a los alumnos que planteen a sus compañeros problemas similares a los trabajados, que puedan resolverse a partir de otros conocidos.

Leoha hahecho hechoun undiseño diseñouniendo uniendo 22 Leo

yyha hacoloreado coloreadode denaranja naranja parte partede deella. ella.¿Qué ¿Quéárea área ha hacoloreado coloreadode denaranja? naranja?

11

Propósitos

Paloma ha comprado una alfombrilla de baño de plástico formada por círculos con huecos cuadrados. ¿Qué área de plástico en cm2 tiene la alfombrilla?

Ramiroha hahecho hechouna unacenefa cenefa 11 Ramiro

UNIDAD

Actividades 1 Área triángulo 5

5 (8 cm 3 8 cm) : 2 5 32 cm2 Área naranja 5 20 3 32 cm2 5 5 640 cm2

8 cm

INVENTA.Escribe Escribeun unproblema problemasimilar similaraalos losde deesta estapágina páginaque quepueda puedaresolverse resolverse 33 INVENTA. reduciéndolo reduciéndoloaaotro otroconocido. conocido. 175

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Competencias • Iniciativa y emprendimiento. A la hora de que los alumnos planteen actividades similares a las trabajadas en la página, anímelos a utilizar los conocimientos nuevos de la unidad (áreas y volúmenes de cuerpos geométricos). Intente que propongan situaciones reales y creativas, estimulando en ellos el emprendimiento, y resuelva algunas en común con toda la clase.

12/02/2015 17:18:10

2 Área pieza 5 8 cm 3 12 cm 1

1 p 3 (4 cm)2 : 2 5 5 121,12 cm2 Área verde 5 12 3 121,12 cm2 5 5 1.453,44 cm2 3 Respuesta libre (R. L.).

Notas

19

ACTIVIDADES

Propósitos

1

VOCABULARIO. Define cada uno de estos términos.

• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Poliedro.

Cuerpo redondo.

Prisma.

Cilindro.

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Pirámide.

Cono.

Poliedro regular.

Esfera.

2

Actividades

6

Escribe a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

7

Calcula el área de los poliedros de la actividad 6 suponiendo que:

Clasifica cada cuerpo. A

B

C

1 R. L.

– Cada triángulo tiene 10 cm de base y 8,7 cm de altura.

2 A  . Tetraedro.   B. Esfera.

C. Ortoedro.   D. Cono. E. Pirámide pentagonal. F. Cubo.   G. Prisma triangular. H. Octaedro.   I. Cilindro.

D

H

Calcula el área y el volumen de estos cuerpos. Fíjate bien en las medidas.

I

4 cm

G

• Es un poliedro, sus caras son polígonos. • No es un prisma, sus bases no son iguales. • No es una pirámide, sus caras laterales no son triángulos. Cuerpo amarillo: • Es un poliedro, sus caras son polígonos. • Es un prisma, tiene dos bases iguales y paralelas y sus caras laterales son rectángulos. • No es una pirámide, sus caras laterales no son triángulos.

4 cm

8 cm

Observa cada cuerpo y contesta.

3m 8 dm

3

5 dm

¿Es un poliedro? ¿Por qué?

9

¿Es un prisma? ¿Por qué?

Halla el área y el volumen de estos cuerpos. Piensa en qué datos necesitas.

Cuenta y escribe para cada poliedro de la actividad 3. Número de caras

Número de vértices

Número de aristas

15 cm

8 cm

10 cm 4

12 cm

¿Es una pirámide? ¿Por qué?

12 cm

9 cm

12 cm 10 Piensa y contesta. Luego calcula

4 C  uerpo naranja: 5 caras,

5

6 vértices y 9 aristas. Cuerpo amarillo: 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. en algunos casos con la clase.

– Cada cuadrado tiene 8 cm de arista.

F 8

3 Cuerpo naranja:

5 C  ompruébelo en común

E

Cuenta y comprueba.

y comprueba tu respuesta.

Cuenta en distintos poliedros de esta unidad las caras (C), vértices (V) y aristas (A) y comprueba que se cumple la relación de Euler: C 1 V 5 A 1 2.

El radio de una esfera es el doble que el de otra. Su área ¿es también el doble? ¿Qué relación hay entre sus volúmenes?

176

6 Cubo e icosaedro. 7 C  ubo: 6 3 8 cm 3 8 cm 5 384 cm2

Icosaedro: 20 3 (10 cm 3 8,7 cm) : 2 5 5 870 cm2 8 • A 5 2 3 8 cm 3 4 cm 1

1 2 3 8 cm 3 4 cm 1 1 2 3 4 cm 3 4 cm 5 160 cm2 V 5 8 cm 3 4 cm 3 4 cm 5 5 128 cm3 • A 5 2 3 p 3 (5 dm)2 1 1 2 3 p 3 5 dm 3 8 dm 5 5 408,2 dm2 V 5 p 3 (5 dm)2 3 8 dm 5 5 628 dm3 • A 5 4 3 p 3 (3 m)2 5 113,04 m2 V 5 4 3 p 3 (3 m)3 : 3 5 5 113,04 m3

20

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Otras actividades • Pida a los alumnos que lleven a clase distintos envases de productos con formas variadas. Dígales que tomen en ellos las medidas que estimen necesarias y que calculen sus áreas y sus volúmenes (en algunos casos podrán comprobar si lo han hecho bien a partir de la capacidad rotulada en el envase). En el caso de envases cuyas formas no sean prismas, pirámides o cuerpos redondos, pídales que traten de idear métodos para calcular sus áreas y volúmenes aproximados (por ejemplo, superponiendo trozos de papel cuadriculado, llenándolos de agua y midiéndola con una probeta más tarde…).

12/02/2015 17:18:12

11 Problemas 11 Piensa y dibuja.

Sara quiere hacer una caja cúbica y ha dibujado varios desarrollos. Identifica los que pueden formar un cubo y dibuja tú otros posibles.

UNIDAD

11

9 • A 5 12 cm 3 12 cm 1

1 4 3 (12 cm 3 10 cm) : 2 5 5 384 cm2 V 5 (144 cm2 3 8 cm) : 3 5 5 384 cm3

12 Resuelve.

La gran pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 m de lado y una altura de 136 m. La altura de sus caras laterales es de 178 m. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? ¿Y su área?

•  A 5 p 3 (9 cm)2 1 1 p 3 9 cm 3 15 cm 5 5 678,24 cm2 V 5 p 3 (9 cm)2 3 12 cm : 3 5 5 1.017,36 cm3

Imagina un enorme cono con dimensiones muy similares a la gran pirámide: radio de 115 m, altura de 136 m y generatriz de 178 m. ¿Cuál sería su volumen? ¿Y su área? ¿Son mayores o menores que los de la pirámide?

10 Su área es 4 veces mayor

En un cubo de 20 cm de arista se han metido 8 esferas de 5 cm de radio. ¿Qué volumen del cubo queda vacío?

y su volumen es 8 veces mayor. 11 Forman un cubo las figuras roja

13 Piensa y resuelve.

y amarilla.

En la fábrica de batidos tienen un gran depósito cilíndrico y están pensando en construir otro de forma diferente.

12 • A 5 134.780 m2

V 5 2.398.133,33 m3

El depósito cilíndrico está lleno de batido de chocolate. Tiene 10 m de altura y el radio de su base es la mitad. ¿Cuántos litros hay en el depósito?

• A 5 105.802,3 m2 V 5 1.882.534,66 m3 Su área y su volumen son menores que los de la pirámide.

El contenido del depósito se usará para rellenar bricks cuyas dimensiones son 6 cm, 4 cm y 10 cm. ¿Cuántos llenarán?

• VCUBO 5 (20 cm)3 5 8.000 cm3 VESFERA 5 4 3 p 3 (5 cm)3 : 3 5 5 523,33 cm3 VESFERAS 5 8 3 523,33 cm3 5 5 4.186,66 cm3 VVACÍO 5 3.813,33 cm3

En la fábrica dudan entre construir un depósito cúbico con 15 m de arista o uno esférico con 15 m de diámetro, ambos de chapa metálica. ¿En cuál se gastará más chapa metálica para construirlo? ¿Cuál podrá contener más batido?

13 • V 5 p 3 (5 m)2 3 10 m 5

Demuestra tu talento

5 785 m3 5 785.000 ℓ

14 Jaime ha pintado de rojo una esfera

de 10 cm de radio y la ha cortado en 4 partes iguales. ¿Cuál es el área roja y el volumen de cada parte?

177

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 17

Competencias • C  ompetencia social y cívica. El contexto de la actividad 13 permite entablar una charla con los alumnos sobre distintos valores sociales y cívicos. Puede comentar aspectos como la importancia de las medidas de seguridad en el trabajo, el respeto por todas las profesiones, la necesidad de realizar nuestras tareas siempre de forma responsable y correcta, la conveniencia de trabajar en equipo en tareas difíciles y complejas… Pídales que aporten sus propias ideas y experiencias.

12/02/2015 17:18:15

• V 5 6 cm 3 4 cm 3 10 cm 5 5 240 cm3 5 0,24 ℓ 785.000 : 0,24 5 5 3.270.833,33 Llenarán 3.270.833 bricks y sobrarán 0,08 ℓ. • ACUBO 5 6 3 (15 m)2 5 1.350 m2 AESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)2 5 5 706,5 m2 VCUBO 5 (15 m)3 5 3.375 m3 VESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)3 : 3 5 5 1.766,25 m3 Se gastará más chapa en construir el cubo y contendrá más batido.

Demuestra tu talento 14 El área roja de cada parte es la

cuarta parte del área de la esfera, ya que las cuatro partes son iguales. El volumen también es la cuarta parte.  AROJA 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2 V 5 p 3 (10 cm)3 : 3 5 5 1.046,66 cm3

21

SABER HACER

Diseñar envases

Propósitos

En la empresa de Laura trabajan en en el diseño de nuevos envases. Sus clientes les dan las dimensiones de los objetos que quieren envasar, o bien las condiciones que deben cumplir los envases, y ellos les presentan distintas opciones para que elijan la que prefieran.

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales. • Repasar contenidos clave.

Actividades pág. 178

Laura está ahora resolviendo varios encargos. Ayúdala con lo que has aprendido en la unidad.

1 • Modelo A:

A 5 780 cm2 V 5 1.000 cm3 5 1 ℓ

1

Laura debe presentar a Lácteos Martínez, una empresa que vende leche, distintos modelos de envases. Ha preparado estas opciones:

Modelo B: A 5 700 cm2 V 5 1.000 cm3 5 1 ℓ Modelo C: A 5 600 cm2 V 5 1.000 cm3 5 1 ℓ

Envase modelo B

Ortoedro

Ortoedro

Base: 4 cm 3 10 cm Altura: 25 cm

Base: 5 cm 3 10 cm Altura: 20 cm

Envase modelo C Cubo Arista: 10 cm

Una empresa de productos deportivos quiere diseños de envases para pelotas de petanca. El diámetro de cada una es 8 cm y cada envase albergará tres.

• Opción 1: A 5 703,36 cm2 VVACÍO 5 401,92 cm3

Opción 1

Cilindro

Opción 2 Radio: 4 cm Altura: 24 cm

Opción 2: A 5 896 cm2 VVACÍO 5 732,16 cm3 Elección: R. L.

Halla el área de plástico que necesita cada envase. ¿En qué envase queda más volumen vacío? ¿Qué envase es mejor?

2 R. L.

2

Ortoedro 8 cm 3 8 cm 3 24 cm

encia Intelig rsonal interpe

TRABAJO COOPERATIVO. Pensad e investigad. Junto con tu compañero, dibujad distintas posibilidades de envases con forma de ortoedro para albergar 6 pelotas de petanca como las de arriba. Calculad el área de plástico usada en cada opción y el volumen vacío que queda en el envase.

Actividades pág. 179 1 •  T  reinta millones cuarenta y cinco

mil doscientos tres.

•  27 unidades y 803 milésimas.

Envase modelo A

Halla el área de cartón plastificado que necesita cada envase y su capacidad. ¿Qué envase crees que es mejor para la empresa? Razona tu respuesta.

Todos tienen igual capacidad. Elección: R. L.

•  C  uatrocientos dos millones ochocientos mil novecientos veinte.

Piensa y resuelve.

178

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 18

•  134 unidades y 99 centésimas. 2 •  5 3 102

•  79 3 102 •  2.506 3 10 3 •  3 ,

14 , 4

•  7 ,

57 , 8

•  8 ,

79 , 9

•  9 ,

99 , 10

4 •  1, 2, 3, 4, 6, 12, 24

•  80 •  2

22

Desarrollo de la competencia matemática • La aplicación de las Matemáticas a un contexto real y creativo como el mundo del diseño permite un desarrollo motivador de esta competencia. Es muy importante, a la hora del trabajo cooperativo, que los alumnos de cada grupo planifiquen de forma cuidadosa el proceso que van a seguir para obtener las posibles configuraciones del envase y las características de cada una. Pídales también que razonen qué posibilidad creen que es la mejor.

12/02/2015 17:18:18

11

REPASO ACUMULATIVO 1

2

Escribe cómo se lee cada número.

En dm: 0,5 km; 6 dam y 150 mm

402.800.920

134,99

En cl: 5.200 ml; 0,03 hl y 4 dal

7.900

4

• 57

En h: 540 min; 43.200 s

25.060

Calcula entre qué números está cada raíz cuadrada. • 14

• 79

6 •  5.000 dm; 601,5 dm

En m2: 0,07 hm2; 5 dam2 y 800 cm2 7

• 99

•  520 cl; 4.300 cl

Completa en tu cuaderno.

•  70 hg; 32,29 hg

0,004 hm3 5 … m3

•  9 h; 12 h

45.000 m3 5 … dam3

Calcula. m.c.m. (8, 10 y 16)

1,5 dm3 5 … ℓ

m.c.d. (4, 12 y 14)

80 cm3 5 … cl

18 8

15 2

7,49

2,4 7,488

2,139 37 5

7 4.000 m3

45 dam3 3

2,8 hm

4.000 ℓ 5 … m3

Ordena de menor a mayor cada grupo. 11 5

•  700 m2; 500,08 m2

2.800 dam3 5 … hm3

Todos los divisores de 24.

5

5 •  2,139 ,

En hg: 0,007 t; 3,2 kg y 2.900 cg

Expresa usando potencias de 10.

8

Silvia contestó ayer 400 correos. Un quinto eran de compañeros suyos, el 60 % de clientes y el resto de su directora. ¿Cuántos correos de su directora contestó ayer?

4 m3

Un mueble de 2 m de longitud mide en un plano 4 cm. ¿A qué escala está hecho ese plano?

9 1/5 de 400 5 80

La escala es 1:50. 60 % de 400 5 240 400 2 80 2 240 5 80 Contestó 80 correos de su directora.

11 Lidia pagó 120 € por 4 cajas de manzanas

10 5 hm3 1 20 % de 5 hm3 5

de 15 kg cada una. Si el precio del kilo es el mismo, ¿cuánto habría pagado por 7 cajas de 20 kg cada una?

5 6 hm3 5 6.000.000.000 ℓ Caben seis mil millones de litros.

12 Concha ha hecho un viaje de 540 km.

11 120 : (4 3 15) 5 2

Cada kilo cuesta 2 €. 7 3 20 3 2 5 280 Habría pagado 280 €.

13 En un depósito hay 5 kl y 4 hl de un líquido.

En total pesan 4,86 t. ¿Cuántos kg pesarán 7 hl de ese líquido?

12 540 : 100 5 5,4

5,4 3 7,1 5 38,34 Ha gastado 38,34 ℓ.

14 Si una parcela de 5 ha se divide en 8 trozos

Lo amplió y el volumen actual es un 20 % mayor. ¿Cuántos litros caben en el nuevo depósito?

8 cl

8 200 : 4 5 50

Sabe que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina ha gastado?

10 Martín tenía un depósito de 5 hm3.

1,5 ℓ

Piensa y contesta.

Problemas 9

11

11 18 , , 2,4 5 8 37 15 •  , 7,488 , 7,49 , 5 2

Expresa en la unidad indicada.

27,803

500 3

6

30.045.203

UNIDAD

iguales, ¿cuántos dam2 tiene cada trozo? 15 En la piscina de Leo caben 12 m3 de agua.

13 4.860 : 5.400 5 0,9

Ahora hay 4.000 ℓ. ¿Cuántos dm3 más caben? 179

Un litro pesa 0,9 kg. 700 3 0,9 5 630 Pesarán 630 kg. 14 500 : 8 5 62,5

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Repaso en común • Una vez realizadas las actividades de la página de Repaso, pregunte a los alumnos con cuáles han tenido más dificultades y de qué tipo han sido estas. Repase los procedimientos y conceptos implicados en ellas y propóngales otras similares para asentar bien todos los conocimientos del curso. También puede pedirles a ellos que propongan esas actividades extra de repaso a sus compañeros.

12/02/2015 17:18:21

Cada trozo tiene 62,5 dam2. 15 12 m3 5 12.000 ℓ

12.000 2 4.000 5 8.000 Caben 8.000 ℓ más, es decir, 8.000 dm3.

Notas

23

12

Estadística y probabilidad

Contenidos de la unidad •  Variables estadísticas.

SABER

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

•  Frecuencias absolutas y relativas. •  Media, mediana, moda y rango. • Probabilidad.

• Reconocimiento del concepto de variable estadística. • Diferenciación entre variables estadísticas cuantitativas y cualitativas.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

• Recuento de datos y obtención de tablas de frecuencias, calculando frecuencias absolutas y frecuencias relativas. • Cálculo de la media aritmética y la moda de un conjunto de datos. • Cálculo de la mediana y el rango de unos datos.

SABER HACER

• Obtención de la probabilidad de distintos sucesos aleatorios.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

TAREA FINAL

• Determinación de varias soluciones a un problema. • Resolución de problemas llevando a cabo un diagrama de árbol.

• Realizar un control de calidad.

• Valoración de la importancia del orden en el recuento de datos.

SABER SER

24

FORMACIÓN EN VALORES

• Interés por presentar los datos y los resultados de una investigación de forma limpia y ordenada.

Banco de recursos para la unidad BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

RECURSOS DIGITALES

Programación didáctica de aula

LibroMedia • Unidad 12: actividades y recursos.

Recursos para la evaluación • Evaluación de contenidos. Unidad 12: pruebas de control B y A.

LibroNet

• Evaluación por competencias. Prueba 12.

MATERIAL DE AULA

•  Rúbrica. Unidad 12.

Láminas

Enseñanza individualizada • Plan de mejora. Unidad 12.

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

• Programa de ampliación. Unidad 12.

Cuaderno del alumno

Proyectos de trabajo cooperativo

•  Tercer trimestre. Unidad 12.

• Proyecto del tercer trimestre.

Solución de problemas. Método DECA

Recursos complementarios • Fichas para el desarrollo de la inteligencia. • Manual de uso de la calculadora.

ES0000000001169 454675_Cdno_Matematicas_6-3_22767

• Operaciones y problemas. 20762

áticas Matem

áti Matem

cas

as_6-3_

tematic

607_Ma

PRIMARIA

• Técnicas de estudio y preparación de exámenes.

CUADERNO

Tercer trimestre

tre trimes

Tercer Matemáticas

IA

195 462

000001

ES0000

PRIMAR

Aprendizaje eficaz

PRIMARIA

CUADERNO

Matemáticas

Tercer trimestre

RIA PRIMA

Proyectos interdisciplinares áticas Matem stre

• Programa de Educación en valores. IA PRIMAR

trime Tercer

trim Tercer

estre

• Programa de Educación emocional. • Inteligencias múltiples.

ES0000000001169 454675_Cdno_Matematicas_6-3_22767.indd 1

19/02/2015 16:51:16

2 015 11:48:2

26/01/2

d 1

762.ind

aticas_6-3_20

000001195

ES0000

462607_Matem

SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Abril

Mayo

Junio

25

Propósitos • Reconocer situaciones reales donde aparecen medias de una magnitud.

12

Estadística y probabilidad

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades • En la diferenciación de frecuencias absolutas y frecuencias relativas, señale que las primeras son un número natural, mientras que las segundas son fracciones. Trabaje siempre el cálculo simultáneo de ambos tipos de frecuencias. • En el reconocimiento de las distintas medidas estadísticas y el proceso que se sigue para calcular cada una, deje claro el concepto de cada medida y con qué tipo de datos puede obtenerse. Trabaje primero el cálculo con conjuntos de datos sencillos y luego con datos más complejos (datos repetidos, datos decimales…). Tiene especial interés el trabajo con conjuntos de datos con varias modas (concepto difícil para los alumnos).

Trabajo colectivo sobre la lámina Pida a un alumno que lea la lectura y pregunte a la clase qué significa la palabra media. Pídales que aporten ejemplos propios de contextos en los que aparezca. 1 La estatura media se obtiene

sumando todas las estaturas y dividiendo entre el total de datos. Nos da una idea del valor central de esa magnitud. No quiere decir que todas midiesen lo mismo, es una medida que nos ayuda a obtener una idea del valor en torno al cual están situados los datos. 2 En un grupo pequeño sí es

posible realizar un cálculo directo, midiendo a todas

26

¿Cómo ha evolucionado la estatura media de los seres humanos? A lo largo de la historia, la estatura media del ser humano ha sufrido cambios debido a distintos factores, generalmente la alimentación y las condiciones sanitarias. En el Imperio romano, los hombres más altos eran reclutados para la guardia del emperador y su estatura media no superaba 1,76 m. La estatura media del ciudadano romano era de 1,65 m. Durante los siguientes siglos la caída en la calidad y cantidad de alimentos provocó un descenso de la estatura media. Las armaduras de la Edad Media muestran que la estatura media era de 1,60 m y en el siglo XVIII los uniformes de soldados indican que no llegaban a 1,60 m. Desde finales del siglo XIX hasta hoy las condiciones sanitarias y las mejoras alimentarias han hecho que la estatura media haya aumentado considerablemente. 180

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 20

Otras formas de empezar • Pida a los alumnos que busquen en el diccionario la palabra «estadística» y comente sus significados. Muestre que en la sociedad actual es una herramienta importante para conocer la opinión pública y para poder tomar decisiones de tipo comercial. Dígales que aporten ejemplos de informaciones que podrían determinarse mediante estudios estadísticos. • Solicite a los alumnos que busquen y recorten (en periódicos o revistas) noticias en las que aparezcan resultados estadísticos. Después, haga una puesta en común sobre qué se ha estudiado, los resultados que se han obtenido, qué significan.

12/02/2015 17:17:35

UNIDAD

12

Lee, comprende y razona 1

¿Qué quiere decir estatura media? ¿Significa que todas las personas miden lo mismo?

2

EXPRESIÓN ORAL. Explica cómo calcularías la estatura media de tu grupo de amigos y la de los habitantes de tu Comunidad Autónoma. ¿Puede hacerse de la misma forma?

3

4

encia Intelig stica lingüí

las personas y obteniendo la media. En un grupo grande no es operativo, y se suele tomar una muestra representativa de la población. SABER HACER

3 Si son todos más altos, la estatura

media aumentará.

TAREA FINAL

Si a una clase de 6.º llegan varios nuevos alumnos más altos que todos los que hay ahora, ¿qué ocurrirá con la estatura media?

4 Solo es posible obtener la media

Realizar un control de calidad

de variables que sean numéricas, ya que es necesario realizar una operación para obtenerla. Se puede obtener en estaturas, pesos, notas…, y no se puede en color favorito, mes de nacimiento…

Al final de la unidad harás un control de calidad. Antes, trabajarás con la estadística y la probabilidad.

¿Puedes calcular la media de cualquier característica? Di ejemplos de algunas en las que sí sea posible y de otras en las que no se pueda hallar.

¿Qué sabes ya?

Agrupación de datos en una tabla

Cálculo de la media

Si tenemos que hacer cálculos con muchos datos, hay que contar cuántas veces aparece cada dato y después agrupar los resultados en forma de tabla.

Para calcular la media de un grupo de números, sigue estos pasos:

¿Qué sabes ya? La técnica de agrupación de datos y recuento y el cálculo de la media son contenidos importantes para abordar con éxito la unidad. Asegúrese de que los alumnos los conocen y dominan.

3 5 8 4 9 7

Los puntos en 18 tiradas de dados son: 6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4 Recuento: 1

III

3 veces

2

I

1 vez

3 4

3 1 5 1 8 1 4 1 9 1 7 5 36

Puntuación N.º de veces 1

3

2

1

IIII I 6 veces

3

6

IIII

5 veces

4

5 1 2

5

I

1 vez

5

6

II

2 veces

6

1

1.º Suma todos los datos.

Haz el recuento y agrupa cada grupo de datos en una tabla.

2.º Divide la suma entre el número de datos.

1 • Dato: 6, número de veces: 2.

36 56 6

Dato: 7, número de veces: 5. Dato: 8, número de veces: 2. Dato: 9, número de veces: 3.

La media es 6. 2

Calcula la media de cada grupo de números.

• Dato: 3, número de veces: 5. Dato: 4, número de veces: 3. Dato: 5, número de veces: 4.

10, 8, 12, 15, 20 2, 3, 5, 7, 6, 2, 4, 3

6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7

1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3

3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4

4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6

2 • Media 5 13

• Media 5 4 181

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 21

12/02/2015 17:17:39

• Media 5 2 • Media 5 5

Notas

Competencias • C  ompetencia lingüística. En la actividad de Expresión oral, los alumnos deben ser capaces de razonar sus opiniones de forma clara. Anímelos a utilizar en la medida de lo posible términos matemáticos. • A  prender a aprender. Comente con los alumnos los conocimientos que ya tenían de cursos anteriores sobre estadística y probabilidad. Señale que en esta unidad van a seguir avanzando en ellos. Hágales siempre conscientes de que el aprendizaje es un proceso continuo.

27

Variables estadísticas Propósitos

Paco trabaja en una agencia de viajes y quiere tener más información sobre los gustos y costumbres de los viajeros. Por eso, ha hecho una encuesta a varias personas sobre su último viaje. Como las preguntas son variadas, ha obtenido datos de distintos tipos.

• Diferenciar entre variables estadísticas cuantitativas y variables cualitativas.

La estadística se encarga de extraer información de los datos. El lugar visitado, la duración del viaje, el precio, el medio de transporte utilizado… son variables estadísticas. Hay de dos tipos:

Sugerencias didácticas

Pregunta: ¿Cuántos días duró el viaje? Respuestas: 5, 20, 7, 14… Todas las respuestas son números. La duración de un viaje es una variable cuantitativa.

Para explicar. Deje clara la caracterización de los tipos de variables que puede estudiar la estadística: las variables cuantitativas tienen como respuesta valores numéricos, y las cualitativas, valores que no son numéricos, sino de otro tipo. Pida a los alumnos que aporten algún ejemplo de cada tipo de variable.

Pregunta: ¿Qué medio de transporte utilizó en el viaje? Respuestas: avión, coche, tren… Las respuestas no son números. El medio de transporte utilizado es una variable cualitativa.

La estadística recoge datos para extraer información de ellos. Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (tienen valores numéricos) o cualitativas (tienen valores no numéricos).

1

Para reforzar. Pida a los alumnos que busquen encuestas en distintas fuentes. Después, haga una puesta en común comentando las variables que se han estudiado y de qué tipo son.

Escribe qué pregunta harías para obtener información sobre cada variable y di si la variable es cuantitativa o cualitativa. RECUERDA

Piensa si las respuestas son numéricas o no.

La edad.

El peso.

La nacionalidad.

La estatura.

La comida favorita.

El color de los ojos.

EJEMPLO La edad: ¿Cuántos años tienes? Es una variable cuantitativa.

Actividades 1 • Edad: cuantitativa.

• Nacionalidad: cualitativa.

2

Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.

3

Observa cada grupo de respuestas y escribe cuál puede ser la variable estadística y de qué tipo es.

• Comida favorita: cualitativa.

8, 5, 7, 9, 5

• Peso: cuantitativa.

fútbol, baloncesto, fútbol, tenis, kárate rojo, azul, verde, rosa, azul

• Estatura: cuantitativa.

1, 2, 0, 1, 1

• Color de los ojos: cualitativa.

sandía, melón, ciruela, pera, piña

2 R. L. 3 •  Deporte favorito; cualitativa.

65, 32, 40, 89, 23

EJEMPLO 8, 5, 7, 9, 5

Variable estadística: notas de un examen. Tipo de variable: cuantitativa.

182

• Color favorito; cualitativa. • Número de hermanos; cuantitativa. • Fruta favorita; cualitativa. • Dinero ahorrado; cuantitativa.

Notas

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Otras actividades • Forme grupos de tres o cuatro alumnos y pídales que elaboren una batería de preguntas cuyas respuestas podrán ser de tipo cuantitativo o cualitativo según una descripción dada por usted (por ejemplo, 3 variables cuantitativas y 4 cualitativas). Cada grupo entregará sus preguntas a otro grupo para que las responda (analizando primero si el número de variables de cada tipo es el indicado por usted). • Una vez recopiladas las respuestas a las preguntas anteriores, cada grupo de alumnos deberá realizar una tabla calculando las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas correspondientes a los datos obtenidos.

28

12/02/2015 17:17:41

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Isabel ha preguntado a 10 compañeros qué número de calzado usaban y ha anotado sus respuestas.

12

35 36

37 35

34 36

• Diferenciar y calcular las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos.

35 34

Observa el dato 34: Aparece 3 veces.

La frecuencia absoluta de 34 es 3.

En total hay 10 datos.

La frecuencia relativa de 34 es

3 . 10

Sugerencias didácticas

Isabel cuenta las veces que aparece cada dato y construye la tabla de frecuencias. Número de calzado

34

35

36

Para explicar. Señale que las frecuencias absolutas son números y las frecuencias relativas son fracciones.

37

Frecuencia absoluta

3

4

2

1

Suma: 10 (número total de datos)

Frecuencia relativa

3 10

4 10

2 10

1 10

Suma:

10 51 10

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece. La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre el número de veces que aparece dicho dato y el número total de datos.

1

encia Intelig lista r u nat a

Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias. Después, contesta. Iván ha anotado la mascota favorita de sus doce amigos:

Mascota

perro

gato

perro

conejo

Frecuencia absoluta

perro

perro

gato

perro

Frecuencia relativa

gato

perro

perro

gato

perro

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué coincide?

Gato; 4, 4/12. Conejo; 1, 1/12.

Cálculo mental

• La suma de las frecuencias absolutas es 12. Coincide con el total de datos.

Calcula el 20 % o multiplica por 0,2: divide entre 5

45 : 5 5 9

Para reforzar. Presente a los alumnos tablas de frecuencias incompletas, en las que tengan que rellenar algunas celdas a partir de los datos de otras celdas y del número total de datos.

1 Perro; 7, 7/12.

Tira un dado 10 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados. Lanza una moneda 12 veces y construye también la tabla de frecuencias.

20 % de 45 0,2 3 45

Muestre que la suma de las frecuencias absolutas es siempre igual al número total de datos, y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Actividades

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas? 2

12

Propósitos

Número de calzado 34 35

UNIDAD

20 % de 5

20 % de 500

20 % de 5.000

20 % de 10

20 % de 450

20 % de 10.000

0,2 3 35

0,2 3 300

0,2 3 15.000

• La suma de las frecuencias relativas es 1. 183

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 23

Otras actividades • Pida a los alumnos que realicen cálculos de frecuencias absolutas y frecuencias relativas de datos obtenidos al azar o mediante experimentación. Por ejemplo:

12/02/2015 17:17:43

2 R. L.

Cálculo mental • 1

• 100

• 1.000

• 2

• 90

• 2.000

• 7

• 60

• 3.000

Notas

– Anotar el tercer dígito del número de teléfono de todos los alumnos de la clase y estudiar las frecuencias de las cifras. – Lanzar una moneda o un dado 10 veces y obtener las frecuencias de los posibles resultados. Si agrupa a los alumnos para que realicen el experimento, puede comentar luego las diferencias entre las frecuencias de los datos de cada grupo y las frecuencias de los datos globales de la clase (las frecuencias relativas de estos últimos toman valores muy similares a la probabilidad de cada resultado posible).

29

Media y moda Propósitos

El entrenador ha anotado el peso de los 12 jugadores del equipo. Como algunos se repiten, agrupa los datos en la siguiente tabla:

• Calcular la media aritmética de varios datos numéricos. • Determinar la moda o las modas de un conjunto de datos.

62

63

64

65

Frecuencia absoluta

2

1

4

5

¿Cuál es el peso medio? Calcula la media de los datos:

Sugerencias didácticas

1.º Multiplica cada dato por su frecuencia absoluta y suma los productos.

Para explicar. Comente el proceso que hay que seguir para hallar la media con datos agrupados. Muestre la importancia de analizar los datos antes de calcular para saber si es necesario agruparlos primero. Señale que la media se calcula solo con datos numéricos y que no tiene por qué coincidir con alguno de los datos.

62 3 2 1 63 3 1 1 64 3 4 1 65 3 5 5 5 124 1 63 1 256 1 325 5 768

2.º Divide la suma entre el número de datos. N.º de datos: 2 1 1 1 4 1 5 5 12 768 : 12 5 64

El peso medio es 64 kg. ¿Cuál es el peso que más se repite? El dato que más se repite es 65, porque es el que tiene mayor frecuencia absoluta (5). Este dato se llama moda. La moda de los pesos es 65 kg. La media de un grupo de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta, entre el número total de datos.

Indique que la moda es el dato o los datos con mayor frecuencia absoluta. Deje claro que puede haber ninguna moda, una moda o más de una, dependiendo del conjunto de datos. Muestre que la moda puede calcularse sean los datos cuantitativos o cualitativos.

La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.

1

Calcula la media y la moda. Después, contesta. Rocío ha anotado en la tabla el número de canastas que metió cada jugadora de su equipo en un partido.

Para reforzar. Pida a los alumnos que creen conjuntos de datos que correspondan a una descripción basada en la media y la moda simultáneamente. Por ejemplo, solicite que escriban un conjunto de cinco datos con media 3 y modas 1 y 5.

Actividades

Peso en kilos

Número de canastas

0

1

2

3

4

Frecuencia absoluta

1

2

4

2

1

¿Coinciden la media y la moda de los datos? ¿Deben coincidir siempre estos dos valores? 2

Calcula la media y la moda de los siguientes grupos de números. PRESTA ATENCIÓN

Si hay datos repetidos, agrúpalos en una tabla.

3, 10, 7, 7, 4, 5 1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2 10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10

184

1 Media 5 2

Moda 5 2

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• La media y la moda coinciden. • No coinciden siempre. 2 •  Media 5 6. Moda 5 7

• Media 5 3. Moda 5 2 • Media 5 10. Moda 5 10 3 •  Hay 25 alumnos.

• Mayor frecuencia absoluta: 7. Corresponde a xilófono y flauta. Las modas son xilófono y flauta, hay 2 modas. • No se puede calcular la media, ya que la variable no es numérica.

30

Otras actividades • Forme grupos de tres alumnos. Pida a cada grupo que pregunte a diez personas su peso (en kg) y su estatura (en cm). Deberán anotar los resultados, tabularlos, calcular las frecuencias absolutas y relativas y, después, la media de los pesos y de las alturas. Realice una puesta en común para comentar los resultados y hágales observar que ambas medias dependen de las personas a las que hayan preguntado (si son niños, si son adultos…) y de los valores extremos del conjunto de datos.

12/02/2015 17:17:46

12 3

Observa la tabla de frecuencias absolutas y contesta. En clase de Música han anotado el número de alumnos que tocan cada instrumento.

Instrumento

Frecuencia

Pandero

5

Xilófono

7

Platillos

3

Flauta

7

Claves

3

4 Respuesta modelo (R. M.).

•  2, 7, 11, 12 •  1, 2, 4, 4, 4, 7

SABER MÁS

¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? ¿Qué datos la tienen? ¿Cuáles son las modas? ¿Cuántas hay?

•  3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

La media de cuatro números es 8. Si añadimos un 3, ¿cuál es la media de los cinco números?

5 •  Precio medio: 16 €.

Moda: 12 €. •  Distancia media: 3,5 km.

¿Puedes calcular la media de los datos? ¿Por qué? Piensa y escribe.

Saber más

Cuatro números cuya media sea 8. Cinco números cuya media sea 10.

Si la media de los cuatro números es 8, eso quiere decir que su suma es igual a 4 3 8 5 32. Por tanto, la suma de los cinco números será: 32 1 3 5 35, y la media de los cinco será: 35 : 5 5 7.

Seis números cuya moda sea 4. Siete números que tengan dos modas.

Problemas 5

12

•  10, 10, 8, 8, 14

¿Cuántos alumnos hay en la clase de Música?

4

UNIDAD

Resuelve. Mila ha comprado varios libros de estos precios (en €): 10

12

26

12

16

12

20

16

20

Razonamiento

¿Cuál es el precio medio de los libros? ¿Cuál es la moda de los precios?

•  Pueden ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Elisa ha hecho esta semana varios recorridos en bici. Las distancias en kilómetros han sido: 3,2

5,4

1,6

4,5

•  Menor valor: 1 (si todos los resultados son 1). Mayor valor: 6 (si todos los resultados son 6).

2,8

¿Cuál es la distancia media de los recorridos?

•  Puede ser un número que no haya salido; si saca cinco veces 2 y cinco veces 6, la media será 4. Puede ser también un número decimal; si saca cinco veces 1 y cinco veces 2, la media será 1,5.

Razonamiento Piensa y contesta. David lanza un dado 10 veces y anota los resultados. ¿Qué valores pueden tener los datos? ¿Cuál es el menor valor que puede tener la media? ¿Y el mayor? ¿Puede ser la media un número que no le haya salido ninguna vez? ¿Puede ser un número decimal?

185

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 25

Notas

12/02/2015 17:17:48

Otras actividades • Pida a los alumnos que calculen la moda o las modas de los resultados de los experimentos realizados en el apartado Otras actividades de la página 29. • Proponga a los alumnos actividades que les permitan profundizar sobre el número máximo de modas que puede tener un conjunto de datos, en función de cuántos datos haya. Por ejemplo, tras realizar la actividad 4, pídales que intenten escribir un conjunto de 8 datos con 1 moda, 2 modas, 3 modas...

 

31

Mediana Propósitos

Patricia ha cortado tiras de papel para adornar un farolillo: 3 tiras azules de 25 cm, 15 cm y 20 cm, respectivamente, y 4 tiras rojas de 12 cm, 18 cm, 14 cm y 16 cm. ¿Cuál es la mediana de las longitudes de las tiras azules? ¿Y de las tiras rojas?

•  Calcular la mediana de un conjunto de datos.

Sugerencias didácticas Para explicar. Señale la necesidad de ordenar los datos antes de calcular la mediana. Haga hincapié en que deben considerar todos los datos, aunque estén repetidos.

Para calcular la mediana de las 4 tiras rojas:

1.º Ordena los datos.

1.º Ordena los datos.

2.º Busca el dato que ocupa el lugar central.

2.º Busca los dos datos centrales y calcula su media.

15

20

25

Dato central

Comente con los alumnos que la mediana es un parámetro interesante, ya que nos permite afirmar que el 50 % de los datos está por encima de él y el 50 % por debajo, mientras que con la media no podemos saber nada sobre la distribución de los valores de los datos.

La mediana es 20 cm.

12

14

16

18

Datos centrales

14 1 16 5 15 2

La mediana es 15 cm.

La mediana de un grupo con un número impar de datos es, una vez ordenados, el dato que ocupa el lugar central. La mediana de un grupo con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

1

Para reforzar. Escriba en la pizarra ejemplos (unos correctos y otros no) de cálculo de medianas. Pida a los alumnos que detecten los ejemplos que son erróneos y los corrijan.

Calcula la mediana de cada grupo de números. PRESTA ATENCIÓN

Al ordenar los datos, escribe todos los números aunque se repitan. 2

5, 8, 6

10, 14, 7, 15

2, 9, 18, 2, 15

20, 30, 60, 20, 50, 60

7, 3, 4, 2, 3, 4, 9

8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11

Piensa y escribe. Cinco números cuya mediana sea 10.

Actividades

Seis números cuya mediana sea 8.

1 •  Mediana 5 6

3

•  Mediana 5 9

Resuelve. Begoña ha comprado 5 camisetas para sus sobrinos, de las tallas 3, 4, 5, 8 y 10 años. ¿Cuál es la media de estas tallas? ¿Y la mediana?

•  Mediana 5 4 •  Mediana 5 12

Carlos tiene en el jardín 4 cubos llenos de agua, de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ y 27 ℓ de capacidad. ¿Cuál es la media de estas capacidades? ¿Y la mediana?

•  Mediana 5 40 •  Mediana 5 9 2 R. M.

Para calcular la mediana de las 3 tiras azules:

186

•  9, 9, 10, 11, 12 •  4, 6, 6, 10, 11, 12

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12/02/2015 17:17:50

3 •  Media 5 6 años 

Mediana 5 5 años •  Media 5 25 ℓ  Mediana 5 26 ℓ

Notas

Otras actividades • Organice la clase en grupos de alumnos, de forma que en unos grupos el número de alumnos sea par y en otros impar. Indíqueles que cada miembro del grupo debe decir, por ejemplo, el número de días a la semana que realiza alguna actividad extraescolar. Deberán anotar los datos y calcular su mediana. • Enuncie en voz alta cuatro números. Pida a los alumnos que añadan un número a esos cuatro, el que ellos elijan, y calculen la mediana   de los cinco números obtenidos. Comente en común distintos resultados, y muestre cómo el valor de la mediana varía en función de la relación del número que ellos han elegido con los que usted había enunciado   (si es mayor que ellos, si es menor, si está comprendido entre ellos…).

32

Rango

12

Calcula la temperatura media de cada pueblo.

• Hallar el rango de un conjunto de datos numéricos.

Temperaturas en ºC

11 1 13 1 14 1 15 1 13 1 12 5 13 6

Campol

8 1 11 1 17 1 18 1 14 1 10 5 13 6

Marazul

11 13 14 15 13 12

Campol

8 11 17 18 14 10

Sugerencias didácticas Para explicar. Explique que el rango da idea de la proximidad de los datos a la media y que su cálculo se realiza restando el dato menor al mayor. Repase con sus alumnos los parámetros estadísticos estudiados a lo largo de la unidad para que queden claras las diferencias entre ellos y el modo de calcularlos.

La temperatura media es igual en los dos pueblos. Después, calcula el rango de los datos de cada pueblo. El rango es la diferencia del dato mayor y el menor. Marazul

Campol

El dato mayor es 15 y el menor es 11. 15 2 11 5 4

El rango es 4.

Las temperaturas no varían mucho: los datos están próximos a la media.

El dato mayor es 18 y el menor es 8. 18 2 8 5 10

El rango es 10.

Las temperaturas varían bastante: algunos datos están lejos de la media.

El rango da idea de la proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

Para reforzar. Proponga a sus alumnos averiguar el rango de los grupos de datos como las edades de los miembros de su familia, la talla de calzado de la clase… Dígales que deberán planificar cómo obtener los datos y tabularlos, y después realizar los cálculos para mostrarlos a sus compañeros.

Calcula la la media media y el y el rango rango dede cada cada grupo grupo dede datos. datos. 1 1 Calcula 12, 20, 5,5, 77 12, 20,

8,8, 10, 7,7, 8,8, 77 10,

7,7, 9,9, 5,5, 9,9, 7,7, 1111

15, 9,9, 16, 2424 15, 16,

7,7, 5,5, 13, 5,5, 55 13,

12, 9,9, 20, 14, 20, 1515 12, 20, 14, 20,

Resuelve. 2 2 Resuelve.

Minutos de espera

Alicia Alicia haha anotado anotado loslos minutos minutos que que tardan tardan enen llegar llegar loslos autobuses autobuses dede dos dos líneas líneas para para verver cuál cuál dede laslas dos dos funciona funciona mejor. mejor.

Línea A

Línea B

5

3

¿Cuál haha sido el el tiempo medio dede espera enen cada línea? ¿Cuál sido tiempo medio espera cada línea? ¿Y¿Y el el rango dede loslos tiempos dede espera? rango tiempos espera?

8

4

6

14

¿En qué línea variado más tiempo espera ¿En qué línea haha variado más el el tiempo dede espera unos autobuses a otros? ¿En cuál rango mayor? dede unos autobuses a otros? ¿En cuál el el rango eses mayor?

6

7

5

2

Actividades 1 • Media 5 11. Rango 5 13

Cálculo mental

• Media 5 16. Rango 5 15

Calcula el 25 % o multiplica por 0,25: divide entre 4 25 % de 32 0,25 3 32

12

Propósitos

Daniel está estudiando cómo varía la temperatura a lo largo del día en dos pueblos.

Marazul

UNIDAD

32 : 4 5 8

• Media 5 8. Rango 5 3

25 % de 4

25 % de 800

25 % de 4.000

• Media 5 7. Rango 5 8

25 % de 12

25 % de 120

25 % de 8.000

0,25 3 40

0,25 3 320

0,25 3 16.000

• Media 5 8. Rango 5 6 • Media 5 15. Rango 5 11 187

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Competencias • C  ompetencia social y ciudadana. La situación planteada en la actividad 2, un estudio sobre los tiempos de espera en dos líneas de autobuses, permite realizar con los alumnos un debate sobre valores relacionados con la competencia. Comente, por ejemplo, la importancia de comportarse correctamente en los medios de transporte públicos y de ceder el asiento a las personas que más lo precisen, la necesidad de potenciar por parte de todos el uso del transporte público…

2 • Media línea A 5 6 min

Rango línea A 5 3 min Media línea B 5 6 min Rango línea B 5 12 min

12/02/2015 17:17:52

• La media es la misma, pero el rango es mucho mayor en la línea B, al ser más variable el tiempo de espera.

Cálculo mental • 1

• 200

• 1.000

• 3

• 30

• 2.000

• 10

• 80

• 4.000

Notas

33

Probabilidad Propósitos

Estrella tiene un dado y lo lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea menor que 5?

• Calcular probabilidades de sucesos.

El resultado al lanzar un dado depende del azar. No podemos saber qué resultado concreto saldrá, pero sí saber, para cada resultado, la probabilidad de que ocurra.

Sugerencias didácticas Para explicar. Señale que la probabilidad es una medida matemática de la posibilidad de que un suceso ocurra, pero que no significa que ese suceso vaya a tener lugar, ya que los fenómenos en los que se aplica son aleatorios. Así, una probabilidad de 2/3 quiere decir que, en un gran número de repeticiones de ese fenómeno, 2 de cada 3 veces ocurrirá ese suceso, pero no indica que en 3 repeticiones ese suceso ocurra 2 veces necesariamente.

La probabilidad es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Casos favorables: 1, 2, 3, 4 Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Probabilidad de sacar un número menor que 5

Casos menores que 5 Casos posibles

4 6

La probabilidad de sacar un número menor que 5 es

1

4 . 6

Calcula y escribe para cada caso la probabilidad correspondiente. Manuel saca una fruta al azar. Sacar una manzana roja. Sacar una naranja. Sacar una pera. Sacar una manzana.

Defina la probabilidad como un cociente menor que la unidad, e indique que, para poder aplicar la fórmula, todos los sucesos elementales deben tener la misma probabilidad. Trabaje los casos de sucesos compuestos, formados por la unión de varios sucesos elementales (por ejemplo, sacar rey o caballo) o la negación de un suceso (no sacar oros), pues tienen especial complejidad.

Sacar una fruta de color verde. ¿Qué fruta es más probable obtener: manzana, naranja o pera? ¿Cuál es la menos probable? 2

Calca en tu cuaderno y colorea para que las oraciones sean ciertas. Hay bolas verdes, azules y rojas.

Hay bolas verdes, azules y rojas.

La probabilidad de sacar bola verde y azul es la misma.

La probabilidad de sacar bola roja es mayor que un medio.

Sacar bola roja es lo menos probable.

Sacar bola verde es el doble de probable que sacar bola azul.

Actividades 1 •  3/11

• 2/11 •  2/11 •  7/11 •  6/11 M  ás probable: manzana. Menos probable: pera y naranja. 2 • 1 bola roja, 2 azules

y 2 verdes. • 5 bolas rojas, 2 verdes

y 1 azul. 3 •  8/40

• 3/40 • 12/40 • 6/40 • 9/40

34

188

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Otras actividades • Dibuje en la pizarra cuatro ruletas divididas en diez partes iguales. Forme cuatro grupos de alumnos y pida que cada uno coloree libremente una de las ruletas con colores rojo, azul, amarillo y verde. Entregue a cada grupo cuatro tarjetas para que escriban en ellas, con fracciones, la probabilidad de que en su ruleta salga cada color. Mezcle las dieciséis tarjetas y pida a varios alumnos que, por orden, cojan una tarjeta al azar, la muestren y digan para qué ruleta o ruletas se cumple lo escrito en la tarjeta. • Pida a los alumnos que propongan actividades similares a la actividad 2, de manera que sus compañeros tengan que completar una representación gráfica que cumpla unas ciertas condiciones (se darán en función de probabilidades).

12/02/2015 17:17:54

12 2 3

Calcula cada probabilidad al sacar al azar una carta de una baraja española. Un rey o un as. Un caballo que no sea de bastos. Un 3, un 4 o un 5. Un as, un tres o un rey que sean de oros o copas. Una figura que no sea de espadas. EJEMPLO Un rey o un as

Casos favorables: 4 reyes y 4 ases, 8 en total Casos posibles: 40 (n.º de cartas) 8 Probabilidad de un rey o un as: 40

12

4 • P (al menos una cara) 5 7/8 SABER MÁS

P (dos cruces) 5 3/8 Es más probable sacar al menos una cara.

Un dado tiene 4 caras con 2 puntos, 1 cara con 1 punto y 1 cara con 3 puntos.

• P (gane Pedro) 5 6/20

Halla la probabilidad de que al lanzarlo salga:

P (gane Bruno) 5 5/20 No es un juego justo. P (ganen ambos) 5 1/20 P (ninguno gane) 5 10/20

– Un 2. – Un número par. – Un 1 o un 2.

• 135/215 110/215 200/215 180/215 45/215 165/215

Problemas 4

UNIDAD

Resuelve. Maite lanza 3 monedas diferentes. ¿Qué es más probable: sacar al menos una cara o sacar dos cruces? Pedro y Bruno tienen una bolsa con tarjetas numeradas del 1 al 20. Sacan un número al azar. Gana Pedro si sale un divisor de 20 y gana Bruno si sale un número par mayor que 10. – ¿Es un juego justo? ¿Por qué? – ¿Qué probabilidad hay de que ganen los dos? ¿Y de que no gane ninguno? En un espectáculo de magia hay 215 asistentes. Si se elige un espectador al azar, halla la probabilidad de que: – Sea niño o niña. – No sea un hombre. – Sea adulto.

Saber más P (un 2) 5 4/6 P (un número par) 5 4/6 P (un 1 o un 2) 5 5/6

ESPECTADORES 70 65 20 15 30 15

niños niñas chicos jóvenes chicas jóvenes mujeres hombres

Razonamiento Es posible porque hay 8 personas que tienen perro, 6 personas que tienen gato y 2 personas que tienen perro y gato.

– Sea de sexo femenino. – No sea chico o chica joven. – No sea hombre ni joven.

Razonamiento

Notas

Piensa y contesta. En un grupo de 16 personas que tienen mascota, la probabilidad de elegir a una persona que tenga 10 y la probabilidad de elegir una un perro es 16 8 que tenga un gato es . ¿Cómo es eso posible? 16

189

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12/02/2015 17:17:56

Otras actividades • Introduzca en una caja cuatro tarjetas de cartulina con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente, y muéstresela a los alumnos. Explique que van a jugar a sacar, sin mirar, dos tarjetas de la caja a la vez, y plantee las siguientes preguntas, u otras similares, para razonar y contestar de forma colectiva: – ¿Cuáles son los resultados posibles de este juego? ¿Cuántos hay? – ¿Qué probabilidad hay de que los números de las dos tarjetas que saque sean el 3 y el 4? –  ¿Y de que en una de las tarjetas que saque esté el 1?

35

Solución de problemas Determinar varias soluciones a un problema

Propósitos • Obtener distintas soluciones de un problema variando los datos.

En un banco de alimentos han recogido 2.500 kg de comida. Un porcentaje lo han aportado supermercados, pero la mayor cantidad ha sido aportada por ciudadanos. ¿Cuántos kilos de comida han aportado los supermercados?

Sugerencias didácticas

El problema tiene muchas soluciones posibles. Puedes dar un valor al porcentaje aportado por los ciudadanos. Fíjate bien en que debe ser mayor que el porcentaje aportado por los supermercados, es decir, debe ser mayor del 50 %. Con ese valor halla después la solución.

Para explicar. Trabaje el problema resuelto señalando que la solución del problema va a variar en función del valor que demos al porcentaje aportado por los ciudadanos. Muestre la necesidad de que los datos que se inventen verifiquen las condiciones del resultado y tengan sentido en la situación del problema. Llame la atención sobre la importancia de comprobar que la solución obtenida tiene sentido.

Porcentaje aportado por los ciudadanos: 80 %. 80 % de 2.500 5 2.000 2.500 2 2.000 5 500 Solución: Los supermercados han aportado 500 kg. Da tú otro valor al porcentaje de los ciudadanos y halla la nueva solución.

Halla dos soluciones para cada problema.

Actividades • Porcentaje aportado por los ciudadanos: 70 %. 70 % de 2.500 5 1.750 2.500 2 1.750 5 750 Los supermercados han aportado 750 kg.

2 R. L. 3 R. L. 4 R. L. 5 R. L.

Notas

En una ruta de senderismo hubo 120 personas. Un quinto eran mayores, y del resto había más adultos que niños. ¿Cuántos adultos más que niños hubo?

2

Miguel tenía 250 €. Gastó un 60 % en comprar una cafetera y una batidora, y el resto lo usó para comprar una bicicleta. ¿Cuánto gastó en la cafetera menos que en la bicicleta?

3

Laura es mayor que su hermano Raúl. Dentro de 5 años, las edades de los dos sumarán 37 años. ¿Cuántos años es mayor Laura que Raúl?

4

Los dos tercios de las fotos hechas por Marisa eran de animales y el resto de plantas. De las fotos de animales, la mayoría eran fotos de aves y el resto de anfibios. Si Marisa hizo 120 fotos, ¿cuántas fotos de aves más que de plantas hizo?

5

Una página web tuvo 5.000 visitas. Menos de la mitad fueron de Europa, un 20 % más fueron de América y el resto de Asia. ¿Cuántas visitas tuvo de América más que de Asia?

1 R. L. Comente en común varias

de las propuestas de los alumnos valorando su corrección.

1

190

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 30

Otras actividades • Pida a los alumnos que formen pequeños grupos y propongan problemas similares a los trabajados en las páginas 190 y 191. Deberán comprobar, antes de pasarlos a sus compañeros, que es posible resolverlos. Realice una puesta en común con algunos de ellos, verificando la corrección de los planteamientos y, en el caso de los diagramas de árbol, que pueden resolverse utilizando esa técnica.

36

16/03/2015 11:47:31

12

Solución de problemas Hacer un diagrama de árbol B

• Resolver problemas haciendo un diagrama de árbol.

D

A E G

Para resolver el problema, realiza un diagrama de árbol, completando por orden todos los caminos posibles.

Sugerencias didácticas

Solución:

Para explicar. Comente el problema resuelto, mostrando la utilidad del diagrama de árbol para no olvidar ningún posible resultado. Indique su utilidad en los problemas de probabilidad, para obtener todos los sucesos posibles, y trabaje en común la actividad 2, realizando el diagrama de árbol asociado en común.

Hay 4 caminos posibles: ABDG, ABEG, ACG y ACFG.

Actividades

C

F

Desde un pueblo, escribe el pueblo o los pueblos a los que se puede ir. No olvides ningún camino. Desde A se puede ir a B; desde B a D y luego a G, o bien a E y luego a G. Desde A se puede ir a C y luego a G, o bien a C y luego a F y a G. D

G

E

G

A

G C F

12

Propósitos

¿Cuántos caminos diferentes se pueden seguir para ir desde el pueblo A hasta G sin pasar dos veces por el mismo pueblo?

B

UNIDAD

G

1 Hay 4 caminos diferentes:

ABDE, ABDCE, ACE, ACDE. 2 Puede comprar 7 prendas

Resuelve Resuelveestos estosproblemas problemashaciendo haciendounundiagrama diagramadedeárbol. árbol. ¿Cuántos caminos caminos diferentes diferentes 1 1 ¿Cuántos sese pueden pueden seguir seguir para para ir ir desde desde AA hasta hasta E?E?

B A

C

distintas: falda azul, falda verde, pantalón corto azul, pantalón corto rosa, pantalón largo blanco, pantalón largo azul, pantalón largo verde.

D E

Sole haha ido ido dede compras. compras. Está Está dudando dudando entre entre laslas siguientes siguientes posibilidades: posibilidades: 2 2 Sole comprar comprar una una falda falda oo unun pantalón. pantalón. SiSi elige elige la la falda, falda, puede puede ser ser azul azul oo verde. verde. SiSi elige elige el el pantalón, pantalón, puede puede ser ser corto corto oo largo. largo. Hay Hay pantalones pantalones cortos cortos azules azules y rosas, y rosas, y pantalones y pantalones largos largos blancos, blancos, azules azules y verdes. y verdes. ¿Cuántas ¿Cuántas prendas prendas distintas distintas puede puede comprar comprar Sole? Sole? Marcos tiene tiene dos dos cajones cajones enen susu escritorio. escritorio. EnEn el el primero primero hay hay 44 rotuladores rotuladores 3 3 Marcos

3 Hay 12 casos rojo-rojo,

encia Intelig rsonal e p intra

8 casos rojo-azul, 20 casos rojo-verde, 9 casos azul-rojo, 6 casos azul-azul y 15 casos azul-verde. P (ninguno azul) 5 32/70

rojos rojos y3 y3 azules. azules. EnEn el el segundo segundo hay hay 33 rojos, rojos, 22 azules azules y5 y5 verdes. verdes. SiSi elige elige al al azar azar unun rotulador rotulador dede cada cada cajón, cajón, ¿qué ¿qué probabilidad probabilidad hay hay dede que que nono haya haya ninguno ninguno azul? azul? INVENTA. Escribe Escribe unun problema problema similar similar aa loslos dede esta esta página página que que sese resuelva resuelva 4 4 INVENTA. más más fácilmente fácilmente haciendo haciendo unun diagrama diagrama dede árbol. árbol.

4 R. L. 191

Notas ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 31

12/02/2015 17:18:02

Competencias • Iniciativa y emprendimiento. A la hora de que los alumnos planteen actividades similares a las trabajadas en las páginas de solución de problemas, anímelos a utilizar situaciones reales y creativas, estimulando en ellos la iniciativa y la capacidad de emprender, y resuelva algunas de ellas en común con toda la clase.

37

ACTIVIDADES

Propósitos

1

Clasifica cada variable estadística en cuantitativa o cualitativa.

5

Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de estos grupos de números.

• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

Número de cromos de una colección.

6, 9, 7, 4, 9

Edad.

10, 12, 20, 16, 12, 20

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Sexo.

13, 10, 15, 10, 15, 13, 15

Localidad donde vive.

12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8

Número de alumnos de una clase.

5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10, 2

Helados vendidos en un puesto un día.

Actividades

Mes de cumpleaños.

2

• Cuantitativa. • Cualitativa.

Completa la tabla de frecuencias en tu cuaderno y contesta. Julio ha preguntado a sus amigos cuál es su color preferido y han contestado: 6 el rojo, 5 el azul, 3 el verde, 4 el negro, 4 el rosa y 1 el naranja.

• Cualitativa. • Cuantitativa. • Cuantitativa.

Color

• Cualitativa.

Frecuencia absoluta

• Cuantitativa.

Frecuencia relativa

2 Frec. abs.: 6, 5, 3, 4, 4, 1.

3

• La suma es 1.

F. abs.

F. rel.

6

2

2/16

8

4

4/16

10

3

3/16

12

5

5/16

5

14

2

2/16

Media

4

10

8

6

12

14

6

14

8

12

10

12

8

12

12

10

8

8

6

5

Moda

6

10

5 • Media 5 7. Moda 5 9

12

Mediana

4 R. L.

Media 5 7. Modas 5 5 y 6 Mediana 5 6. Rango 5 7

12

Frecuencia absoluta

1

7

10

2

Piensa y contesta.

En un grupo de tres números, ¿tiene que ser la mediana uno de ellos? ¿Y en un grupo de cuatro números? ¿Puede tener un grupo de cinco números tres modas? ¿Y dos modas? 8

Calcula cada probabilidad. Se elige al azar un número del 1 al 30. Es un número par.

VOCABULARIO. Explica cómo se halla cada medida estadística y pon un ejemplo con este grupo de números. 7

9

¿Puede ser la media de un grupo de números un número distinto a todos?

Haz un recuento y construye la tabla de frecuencias.

Dato

6

¿Cuál es la media del número de piezas de los puzles? ¿Y la moda?

7

Ester ha anotado la talla de las camisetas que ha vendido hoy en su tienda:



4

¿Cuántos puzles hay en la clase?

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?

• La suma es 23. Preguntó a 23 amigos.

N.º de piezas del puzle

¿Cuántos puzles hay con menos piezas que la media? ¿Y con más piezas?

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿A cuántos amigos preguntó Julio?

Frec. rel.: 6/23, 5/23, 3/23, 4/23, 4/23, 1/23.

Observa la tabla y calcula. En una clase de Infantil hay varios puzles de distinto número de piezas.

Altura en centímetros.

1 •  Cuantitativa.

3 

6

Tiene dos cifras.

5

6

Rango

Es impar o mayor que 25. Tiene dos cifras que suman 5. No es par ni múltiplo de 3.

192

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 32

Mediana 5 7. Rango 5 5 • Media 5 15. Modas 5 12 y 20 Mediana 5 14. Rango 5 10 • Media 5 13. Moda 5 15 Mediana 5 13. Rango 5 5 • Media 5 10. Modas 5 8 y 12 Mediana 5 10. Rango 5 4 • Media 5 6. Modas 5 4, 5 y 9 Mediana 5 5. Rango 5 8 6 • Hay 20 puzles.

• Media 5 8 piezas. Moda 5 9 piezas. • Hay 8 puzles con menos piezas que la media y 12 puzles con más.

38

Otras actividades • Proponga a los alumnos actividades de investigación con las que puedan trabajar las variaciones en los valores de las medidas estadísticas en función de las posibles variaciones que haya en los datos. Por ejemplo: – Escribid cuatro números y calculad su media. Sumad el número que queráis a cada uno de los cuatro números y calculad la media de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre la primera media y la segunda? – Escribid seis números y calculad su mediana. Multiplicad los números por 2 y calculad la mediana de los números resultantes. ¿Qué relación hay entre las medianas? ¿Qué ocurre si en lugar de las medianas calculamos los rangos?

12/02/2015 17:18:05

12 Problemas 9

UNIDAD

12

7 •  Sí; por ejemplo, el conjunto 1,

Piensa y contesta.

4, 10 tiene como media 5.

10 Resuelve.

Los pesos en kilos de las mochilas que llevan un grupo de amigos son: Peso en kilos

4

5

6

7

15

18

20

15

14

Frecuencia absoluta

1

3

2

1

18

15

12

18

15

– ¿Cuánto pesa la mochila más pesada? ¿Y la más ligera? – ¿Cuál es el rango de los pesos? – ¿Cuántas mochilas llevan? Escribe los pesos ordenados de mayor a menor. ¿Cuál es la mediana? La edad de cinco primos es 8, 9, 3, 4 y 6 años. ¿Cuál es la edad media? ¿Cuál será la edad media de los 5 primos dentro de dos años? ¿Qué relación hay entre las dos medias?

• En un grupo de 3 números sí, en uno de 4 números no.

En una floristería venden 10 macetas con flores a estos precios en euros:

• No puede tener 3 modas, ya que 3 3 2 5 6 . 5, pero sí 2 modas; por ejemplo, el conjunto 1, 2, 2, 3, 3 tiene como modas 2 y 3.

Halla la media, la moda, la mediana y el rango de los precios. En una bolsa hay 10 tarjetas verdes y 5 tarjetas rojas. Se van sacando tarjetas al azar y no se devuelven. Calcula la probabilidad de que: – La primera tarjeta sea verde. – Si la primera ha sido verde, la segunda también lo sea. – Si las tres primeras han sido rojas, la cuarta sea verde.

46 minutos 58 minutos

3.er partido

1 hora y 5 minutos

4.º partido

42 minutos

5.º partido

1 hora y 14 minutos

• Media 5 6 años Media en 2 años 5 8 años La media aumenta en 2 años respecto a la media anterior. 10 • Media 5 16 €. Moda 5 15 €

Mediana 5 15 €. Rango 5 8 € • P (primera verde) 5 10/15 P (segunda verde) 5 9/14 P (cuarta verde) 5 10/12

¿Cuántos ¿Cuántos minutos minutos debe debe durar durar el el sexto sexto partido? partido? –– Para Para que que la la media media sea sea 11 hora. hora.

–– Para Para que que la la mediana mediana sea sea 59 59 minutos. minutos.

–– Para Para que que la la moda moda sea sea 46 46 minutos. minutos.

–– Para Para que que el el rango rango sea sea 38. 38.

11 • Media 5 57 minutos

Demuestra tu talento

¿Qué número hay que añadirles para que la media de los seis números sea 8?

•  10/30

Más ligera: 4 kg. Rango 5 3 kg Llevan 7 mochilas. La mediana es 5 kg.

¿Cuál ¿Cuál es es la la media media de de las las duraciones duraciones en en minutos minutos de de los los cinco cinco partidos partidos jugados? jugados? ¿Es ¿Es más más oo menos menos de de 11 hora? hora? ¿Cuál ¿Cuál es es la la mediana mediana yy el el rango rango de de dichas dichas duraciones? duraciones?

12 La media de cinco números es 6.

• 21/30

9 • Más pesada: 7 kg.

Elsa Elsa está está participando participando en en un un torneo torneo de de seis seis partidos partidos de de tenis. tenis. Ha Ha jugado jugado ya ya cinco cinco partidos, partidos, con con las las siguientes siguientes duraciones: duraciones:

2.º partido

• 2/30

• 18/30

Piensa yy resuelve. resuelve. 11 11 Piensa

1.er partido

8 •  15/30

Es menos de 1 hora. Mediana 5 58 minutos Rango 5 32 minutos

13 Lorena tiene en un cajón 6 calcetines

rojos y 8 azules. ¿Cuántos debe sacar sin mirar para estar segura de tener dos del mismo color?

193

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Competencias • C  ompetencia social y cívica. El contexto de la actividad 11, un torneo de tenis, facilita realizar una charla o un debate con los alumnos sobre diferentes valores sociales y cívicos. Puede comentar aspectos como la importancia de la deportividad y el juego limpio y la práctica cuidadosa del deporte de acuerdo a nuestras circunstancias físicas, el respeto a las instalaciones deportivas y normas del torneo, la necesidad de la práctica deportiva para nuestra salud…

12/02/2015 17:18:08

• Media 1 h F 75 min Moda 46 min F 46 min Mediana 59 min F 60 min Rango 38 min F 36 min

Demuestra tu talento 12 Su suma es: 5 3 6 5 30.

Si la media de los seis es 8, su suma debe ser: 6 3 8 5 48. Por tanto, ese número debe ser: 48 2 30 5 18. 13 Si saca siete calcetines es seguro

que tendrá dos del mismo color.

Notas

39

SABER HACER

Realizar un control de calidad

Propósitos

Los procesos de fabricación industrial están sometidos a un control de calidad.

• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

El control de calidad consiste en analizar, durante todas las etapas de la fabricación, distintos datos que informen de si todo está funcionando como debe.

• Repasar contenidos clave.

En muchos casos se toman varios ejemplares de los objetos fabricados y se mide su longitud, peso, tamaño… Si se detecta algún error considerable, se retira ese lote y se revisa el proceso.

Actividades pág. 194 1 • Depósito 1. Media 5 39 ºC

No debe desecharse. Depósito 2. Media 5 40 ºC Debe desecharse. Depósito 3. Media 5 39 ºC No debe desecharse.

1

Calcula y resuelve. En una fábrica de quesos la temperatura de la leche debe estar en torno a 39 ºC. Toman la temperatura de los depósitos cada cinco minutos. Si la media de las temperaturas en ese tiempo se aparta más de medio grado de los 39 ºC, la leche del depósito se desecha.

• Lote 1. Rango 5 4 cm Debe reclasificarse. Lote 2. Rango 5 2 cm No debe reclasificarse. Lote 3. Rango 5 3 cm Debe reclasificarse.

Analiza si estos depósitos deben ser desechados: Depósito 1

38º 39º 39º 40º 39º Depósito 3

Actividades pág. 195

Lote 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6 Lote 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6 Lote 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8

1 9 DM 1 5 D 1 4 U Siete millones ochocientos noventa mil cincuenta y cuatro.

2

•  3  D. de millón 1 4 U. de millón 1 1 5 CM 1 2 UM 1 6 U Treinta y cuatro millones quinientos dos mil seis.

2 •    128

•  243

•  7 •  8 ,

75 , 9

•  10.000 3 •    35

•  2

•  60 5 4 •   8 12 •  20 •  6,15

•  5

•  10,102

40

•  0,7 •  0,009

38,5º 39,5º 39º 39,5º 38,5º

Estudia qué lotes deben reclasificarse:

1 •  7  U. de millón 1 8 CM 1

•  6  C. de millón 1 4 U. de millón 1 1 7 CM 1 4 D 1 1 U Seiscientos cuatro millones setecientos mil cuarenta y uno.

40º 39º 40º 40º 41º

En la planta de envasado de manzanas se analiza el rango de sus diámetros. Si en un lote el rango es mayor que 2 cm, se reclasifican las manzanas de nuevo.

2 R. L.

•  2  C. de millón 1 1 D. de millón 1 1 6 U. de millón 1 8 DM 1 1 3 UM 1 9 C 1 2 D Doscientos dieciséis millones ochenta y tres mil novecientos veinte.

Depósito 2

encia Intelig rsonal e interp

TRABAJO COOPERATIVO. Elegid y proponed. Elige con tu compañero un producto industrial y proponed un criterio de control de calidad basado en medidas estadísticas. Exponedlo a la clase con ejemplos de lotes aceptados y rechazados.

194

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 34

Desarrollo de la competencia matemática • La aplicación de las Matemáticas a un contexto real del mundo de la industria permite el desarrollo adecuado de esta competencia. Señale la aplicación de la estadística en contextos reales como el mostrado. A la hora de la realización del trabajo cooperativo, pida a los alumnos que planifiquen con cuidado el proceso que van a seguir y traten de proponer situaciones reales (investigando contextos en los que se lleve a cabo el control). Pídales que sean claros a la hora de exponer el criterio de selección y los cálculos realizados con los distintos lotes o muestras.

12/02/2015 17:18:12

12

REPASO ACUMULATIVO 1

2

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

4

9,12 : 8

216.083.920

73 3 9,06

345 : 4,6

604.700.041

35,7 3 8,5

61,36 : 5,9

7

35

104

• 49

•75

m.c.m. (5 y 7)

m.c.d. (8 y 10)

m.c.m. (10 y 12)

m.c.d. (15 y 20)

Calcula.

Escribe con cifras. Cinco octavos

Siete décimas

Doce veinteavos

Nueve milésimas

Diez unidades y ciento dos milésimas

9

8 5 2 9 18

3 6 3 4 7

9 2 : 10 6

bolas. Cada una tiene 8 cm de diámetro. ¿Qué volumen tienen en total? ¿Qué área de plástico se ha gastado para fabricarlas?

•  75

•  303,45

•  10,4

8 60 m2

9.230 dm3

9,23 m3 5 … dm3

5 dm2 5 … mm2

48 dm3 5 … cm3

50.000 mm2

48.000 cm3

2.470 cm2 5 … m2

150 dm3 5 … m3

0,247 m2

0,15 m3

9 • A 5 6 3 (12 cm)2 5 864 cm2

Calcula.

V 5 (12 cm)3 5 1.728 cm3 • A 5 2 3 p 3 (10 cm)2 1 1 2 3 p 3 10 cm 3 20 cm 5 5 1.884 cm2 V 5 p 3 (10 cm)2 3 20 cm 5 5 6.280 cm3

El área y el volumen de un cilindro de radio 10 cm y altura 20 cm.

10 VBOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)3 : 3 5

12 Un televisor que costaba 400 € incrementó

5 267,94 cm3 V 5 267,94 cm3 3 10.000 5 5 2.679.400 cm3 ABOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)2 5 5 200,96 cm2 A 5 200,96 cm2 3 10.000 5 5 2.009.600 cm2

su precio un 10 %. Después, el nuevo precio se redujo en un 10 %. ¿Cuánto costaba el televisor al final? ¿Es cierto que el precio final era un 99 % del inicial? de 2 hg y 5 dag de un compuesto. Necesitan 0,7 kg y 20 g para un experimento. ¿Cuántos miligramos les sobrarán tras el experimento?

11 7,65 : 4,5 5 1,7

10,72 : 8 5 1,34 10 3 1,7 3 9 3 1,34 5 29,06 Habría pagado 29,06 €.

14 En un mapa la distancia entre dos

por 4,5 kg de patatas y 10,72 € por 8 kg de cebollas. ¿Cuánto habría pagado en total por 10 kg de patatas y 9 kg de cebollas?

•  661,38

0,6 dam2 5 … m2

13 En un laboratorio han recibido 4 bolsas

11 Jaime pagó en una tienda 7,65 €

•  1,14

•  96,056

Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades.

Problemas 10 En una piscina de bolas hay diez mil

27   10

•  23,65

El área y el volumen de un cubo de 12 cm de arista.

Calcula.

9   14

12

7 •  60,34

702 : 6,5 2 14,93 3 0,8 8

11   18

6 •  222,04

21,95 1 9,01 : 5,3

Calcula.

7 4 1 12 15

5 

3,5 3 (25,7 2 8,46)

Seis unidades y quince centésimas

5

8,54 3 26

34.502.006 Calcula.

51   60

Calcula.

7.890.054

27 3

6

UNIDAD

ciudades es 8,5 cm. La escala del mapa es 1 : 400.000. ¿Qué distancia las separa en la realidad? Dos ciudades separadas 800 km, ¿a qué distancia estarán en el mapa?

12 400 3 1,1 5 440 195

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 35

Repaso en común • Proponga a los alumnos que preparen ocho cuestiones relacionadas con los contenidos estudiados en esta unidad y sus respuestas correspondientes. Cada alumno formulará las preguntas que ha preparado a un compañero, después le dirá si sus respuestas son correctas, y le explicará su resolución en caso de existir dificultades o si la contestación es errónea. Exponga algunas de ellas a la clase y aproveche para despejar las posibles dudas que existan.

12/02/2015 17:18:15

440 3 0,9 5 396 Costaba 396 €. Es cierto, era un 99 %. 13 4 3 250 g 5 1.000 g

0,7 kg y 20 g 5 720 g 1.000 g 2 720 g 5 280 g Les sobrarán 280.000 mg. 14 1 cm 5 4 km

8,5 3 4 5 34 Las separan 34 km. 800 : 4 5 200 Estarán a 200 cm de distancia.

Notas

41

Tratamiento de la información Analizar gráficos de barras

Propósitos • Analizar críticamente gráficos de barras.

En el gráfico está representado el número de personas que pidió cada tipo de primer plato en el restaurante Comecome en tres meses del año pasado.

Sugerencias didácticas

Octubre 0

1

300

Observa el gráfico anterior. Después, contesta.

María, la cajera, creía que a partir de septiembre sería mejor no servir ensalada hasta la llegada del verano. ¿Crees que tenía razón? ¿Por qué? 2

Razona y contesta. En el restaurante tienen que hacer la compra este año para los meses de agosto, septiembre y octubre. Han anotado estas decisiones. ¿Crees que tienen razón a partir de la información del año pasado?

• Quitar la ensalada no es conveniente, ya que incluso en octubre 50 personas la pidieron.

Comprar la misma cantidad de verduras para ensalada los tres meses. Comprar la misma cantidad de pasta para agosto que para octubre.

2 • Incorrecta, en septiembre

y octubre deberían comprar menos.

42

200

Juan, el camarero, comentó que la gente que eligió pasta fue aumentando desde agosto hasta octubre. ¿Tenía razón según el gráfico?

• No aumentó todo el tiempo, de agosto a septiembre disminuyó.

Notas

100 N.º de personas

¿Qué platos fueron los preferidos en septiembre y octubre? ¿Por qué crees que ocurrió así?

Probablemente porque el tiempo era más frío.

• Incorrecta, el número de clientes que pide platos frescos disminuye a partir de agosto.

50

Fíjate en que en agosto más gente prefirió los platos frescos (ensaladas) a los platos más calientes.

1 • Guiso.

• Correcta, el número de clientes que pide guiso va aumentando.

Guiso

Septiembre

Actividades

• Incorrecta, hay una variación grande en el número de clientes que la piden, aunque como la pasta no se estropea podrían aprovecharla.

Pasta

Agosto

Mes

Para explicar. Recuerde con los alumnos las características más importantes de los gráficos de barras. Muestre su utilidad para sintetizar información y señale que en esta página vamos a trabajar tanto la interpretación (analizando la corrección de distintas afirmaciones), como la toma de decisiones a partir de la información que aportan los gráficos.

Ensalada

Ir aumentando la cantidad de ingredientes para guisos a medida que avance el otoño. Incluir gazpacho en el menú a partir de septiembre. 196

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 36

Otras actividades • Prepare distintos gráficos de barras, utilizando algún tipo de programa informático o bien tomándolos de distintas fuentes (periódicos, Internet…). Entréguelos a los alumnos y propóngales que hagan un análisis similar al realizado en esta página, tanto enunciando frases correctas como tomando decisiones para el futuro en base a los datos aportados por el gráfico.

12/02/2015 17:18:18

12 Analizar gráficos lineales

Valdeluz

Número de kilos

3.500

3.500

• Analizar críticamente gráficos lineales.

Solana

3.700

3.400

Sugerencias didácticas

3.200

3.400

Para explicar. Recuerde con los alumnos cómo se interpretaban los gráficos lineales. Muestre su utilidad para mostrar la evolución de variables a lo largo del tiempo, y trabaje la interpretación del gráfico ofrecido en la página con los alumnos.

3.000 2.500 2.000

2.6 0 0

2.8 0 0

2.9 0 0

2.9 0 0

S

O Mes

N

2.7 0 0

1.500 1.000 500 0

A

12

Propósitos

En el Ayuntamiento están estudiando los datos de reciclaje en la ciudad. El gráfico muestra los kilos de vidrio reciclados en dos barrios en varios meses.

4.000

UNIDAD

D

Fíjate en que de agosto a septiembre aumentó el número de kilos de vidrio reciclados en los dos barrios.

Actividades 1 • En Valdeluz ha disminuido

1

la cantidad de vidrio reciclado, mientras que en Solana ha aumentado.

Observa el gráfico anterior y contesta. ¿Qué ha ocurrido con el reciclaje de vidrio en Valdeluz en estos meses? ¿Y con el reciclaje en Solana?

• En noviembre Solana empezó a reciclar más que Valdeluz.

¿En qué mes comenzó a reciclarse más en Solana que en Valdeluz? El Ayuntamiento piensa llevar algunos contenedores de vidrio desde Solana a Valdeluz. ¿Crees que hace bien? ¿Por qué? Fíjate en el gráfico, lee el texto y contesta. Dos amigas, Laura y Sara, se han propuesto ahorrar cada vez más en sus gastos. En el gráfico han representado el dinero que han ahorrado cada mes. ¿Quién ahorró más en mayo que en enero? Laura ¿ha ido ahorrando más de mes en mes? ¿Y Sara? ¿Quién crees que debe hacer un esfuerzo para cumplir su propósito?

Laura Dinero ahorrado (€)

2

• R. M. Sería bueno motivar a los vecinos de Valdeluz a reciclar, pero llevar más contenedores no es quizá lo mejor. Privar además a Solana de contenedores puede disminuir la progresión que está habiendo en el reciclaje.

Sara

180 140 100 60 20 E

F

M

A

2 • Sara ahorró más en mayo

My

que en enero, y Laura también.

Mes

197

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 37

Otras actividades • Puede utilizar los gráficos lineales presentados en Tratamiento de la información de las unidades 2 y 4 del libro para realizar con los alumnos actividades similares a las presentadas en esta página. Pídales que elaboren conclusiones correctas a partir de ellos y los analicen de forma crítica.

12/02/2015 17:18:22

• Laura comenzó ahorrando más, pero en marzo bajó su ahorro y se mantuvo constante desde entonces hasta mayo. Sara empezó disminuyendo su ahorro en febrero, pero desde entonces hasta mayo lo fue aumentando. • Laura debe esforzarse más. Sara sí que está ahorrando más de mes en mes.

Notas

43

Tratamiento de la información Analizar Analizarpictogramas pictogramas

Propósitos • Analizar críticamente pictogramas.

En el pictograma se han representado los envíos repartidos por una empresa de mensajería los últimos años.

Sugerencias didácticas

1.000 envíos

Para explicar. Comente con los alumnos el pictograma presentado, recordando que cada símbolo tiene un valor y que, para obtener el valor total en cada mes, hay que realizar un cálculo. Indique las similitudes y diferencias con los gráficos de barras.

2012

2013

500 envíos

2014

2015

Año

Fíjate en que en 2012 repartieron 2.500 envíos, y en 2013 repartieron 1.000 envíos más.

Actividades 1 •  2  014 F 5.000 envíos

2015 F 5.500 envíos

1

Observa el pictograma de arriba y contesta.

•  E  l número de envíos ha ido aumentando de año en año.

¿Cuántos envíos repartieron en 2014 y 2015?

•  P  orque piensan que en los próximos años aumentará el número de envíos y necesitarán más medios para repartir.

En la empresa de mensajería han decidido comprar más furgonetas para repartir. ¿Por qué piensas que lo han hecho?

El número de envíos ¿creció o disminuyó entre esos años?

2

4 personas

Al verlo, en la tienda han tomado estas decisiones. Indica si te parecen correctas o no y por qué.

• Correcta, el número de empanadas de cada tipo es muy similar.

Los miércoles y jueves harán las mismas empanadas de cada tipo.

• Correcta, el día en que más empanadas grandes venden es el sábado.

El día que más empanadas grandes harán será el sábado.

X

J

V

S

Día

Harán siempre 3 empanadas pequeñas. Ningún día harán menos de 2 empanadas grandes.

• Incorrecta, puede que haya días en que les sobre alguna.

• Incorrecta, hay días que venden menos de 3 empanadas.

8 personas

En el gráfico tienes las empanadas vendidas en una tienda en los últimos días según su tamaño (grandes, 8 personas; pequeñas, 4 personas).

2 R. M.

• Correcta, todos los días venden 2 o más.

Fíjate en el pictograma, lee el texto y contesta.

Harán siempre 3 empanadas grandes. 198

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 38

Otras actividades Notas

44

• Agrupe a los alumnos en parejas y pídales que inventen y dibujen un pictograma similar a los trabajados en esta página. Señale que todos los pictogramas deberán incluir la leyenda y estar correctamente rotulados. Después, pídales que redacten afirmaciones sobre él y decisiones a partir del mismo (correctas e incorrectas). Más tarde se los intercambiarán entre sí y cada pareja deberá detectar las afirmaciones y decisiones incorrectas del gráfico que ha recibido.

16/03/2015 11:47:33

12 Analizar histogramas

12

Propósitos • Analizar críticamente histogramas.

El histograma muestra los envíos entregados ayer por la mensajería clasificados según sus pesos.

Sugerencias didácticas

21 Número de envíos

UNIDAD

Para explicar. Recuerde con la clase las características de los histogramas: su división en intervalos de la variable y cómo el valor superior de cada intervalo no se incluye en él, sino en el intervalo siguiente. Comente el histograma del ejemplo y realice algunas preguntas para asegurarse de que los alumnos recuerdan cómo se trabajaba con ellos.

18 15 12 9 6 3 0 Menos De 100 De 200 De 500 Más de de 100 a 200 a 500 a 1.000 1.000 Peso en gramos

Fíjate en que solo 12 envíos pesaron 500 o más gramos. El grupo más numeroso fue el de los envíos que pesaban menos de 100 gramos.

Actividades 1 •    Utilizaron 33 cajas.

1

Observa el histograma anterior y contesta.

•  N  o tiene razón, hubo 39 envíos menores de 200 g y 27 envíos de 200 g o más.

En la empresa usan unas cajas para envíos que pesen entre 100 g y 500 g. ¿Cuántas cajas de ese tipo utilizaron ayer? El encargado dice que hubo más envíos mayores de 200 g que envíos de peso menor. ¿Tiene razón?

•  S  e hicieron 39 envíos; si, por ejemplo, todos eran de peso mayor que 154 g, entonces el peso total superaría los 6 kg.

El peso total de los envíos menores de 200 g, ¿pudo ser mayor de 6 kg? ¿Por qué? Observa el histograma, razona y contesta. Un científico ha elaborado un histograma con el número de frutos en un tipo de planta. Razona si cada frase es cierta o no. Lo más común es que la planta tenga entre 5 y 8 frutos. Lo menos común es que tenga menos de 5 frutos. Hay más plantas con menos de 8 frutos que con más de 8.

280 Número de plantas

2

240 200

2 •    Cierta, es el intervalo

160

con mayor número de plantas.

120

•  F  alsa, lo menos común es que tenga 15 o más frutos.

80 40 0 De 1 a5

De 5 a8

De 8 a 10

•  F  alsa, hay 320 plantas con menos de 8 frutos y 360 plantas con 8 frutos o más.

De 10 Más de a 15 15

Número de frutos

199

Notas ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 39

18/02/2015 9:51:52

Otras actividades • Puede utilizar los histogramas presentados en Tratamiento de la información de las unidades 7 y 9 del libro para realizar con los alumnos actividades similares a las presentadas en esta página. Pídales que elaboren conclusiones correctas a partir de ellos y los analicen de forma crítica.

45

Tratamiento de la información Analizar Analizargráficos gráficosde desectores sectores

Propósitos • Analizar críticamente gráficos de sectores.

El gráfico de sectores muestra los medios de transporte que usan los 1.440 trabajadores de una empresa para llegar a su trabajo.

Sugerencias didácticas

Autobús de empresa

Para explicar. Recuerde con la clase las características de los gráficos de sectores, cómo se obtiene la amplitud de cada sector y la posibilidad que brindan de realizar comparaciones cualitativas de forma rápida. Realice en común el cálculo de los trabajadores que llegan en tren y metro, y pídales que hagan por sí mismos el resto de cálculos.

Tren y metro Coche Moto

Llegan a trabajar en autobús de la empresa 600 trabajadores. Es el segundo medio más utilizado. Calcula tú cuántos trabajadores llegan en el resto de medios de transporte.

1

Actividades

¿Qué medio de transporte es el más utilizado? María piensa que vienen más empleados en sus propios vehículos que en transporte público. ¿Tiene razón?

•  T  ren y metro F 80º F 320 trabajadores Coche F 150º F 600 trabajadores Moto F 20º F 80 trabajadores

El próximo mes el aparcamiento de la empresa va a estar en obras. ¿Sería una buena idea poner más autobuses de la empresa? ¿Por qué?

1 •    Se utiliza más el coche.

2

•  N  o tiene razón, en sus vehículos vienen 680 trabajadores y en transporte público (incluyendo el autobús de empresa) 760.

El gráfico muestra los resultados. ¿Cuántas personas más han preferido los sabores de fruta a los sabores no frutales?

•  R  . M. Podría ser interesante experimentar un nuevo sabor, dado que los frutales gustan mucho, pero sin dejar de producir naranja y limón. •  Fabricará solo naranja.

46

Naranja Nata Limón Chocolate

¿Crees que sería una buena idea hacer un único sabor frutal, mezclando naranja y limón? ¿Por qué? La empresa ha decidido fabricar solo los sabores elegidos por más de 200 personas. ¿Qué sabores fabricará?

2 Naranja F 120º F 240 personas

•  H  an preferido 160 personas más los sabores frutales a los no frutales.

Observa el gráfico de sectores, razona y contesta. En una empresa de helados han dado a probar cuatro nuevos sabores a 720 personas para que elijan el que más les guste.

• Es buena idea porque los coches y motos no podrán aparcar y, así, los trabajadores podrán llegar de forma más sencilla. Nata F 60º F 120 personas Limón F 100º F 200 personas Chocolate F 80º F 160 personas

Observa el gráfico de sectores anterior y contesta.

200

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 40

Otras actividades • Prepare distintos gráficos de sectores, utilizando algún tipo de programa informático o bien tomándolos de distintas fuentes (periódicos, Internet…). Entréguelos a los alumnos y propóngales que hagan un análisis similar al realizado en esta página, tanto enunciando frases correctas como tomando decisiones para el futuro en base a los datos aportados por el gráfico.

16/03/2015 11:47:37

12 Analizar gráficos mixtos

• Analizar críticamente gráficos mixtos.

20

300

24

22

15

14

200

150

150

125

100

18

15

150 100 50

25

0 F

E

16

100

50 M

A

My

0

0

0

J

Jl

A

25

Para explicar. Comente a los alumnos que también podemos realizar gráficos mixtos, es decir, gráficos en los que aparezcan informaciones de distintos tipos mezcladas. Señale que en este caso aparecen unidos un gráfico de barras con las precipitaciones y un gráfico lineal con las temperaturas. Hágales ver que para interpretarlos tenemos que considerar el eje vertical pertinente, aunque en este caso aparecen todos los valores rotulados para facilitar el trabajo de los alumnos.

24

20

18

250

Sugerencias didácticas

28

26

20 16 12 8

50

4

Temperaturas (ºC)

Precipitaciones (mm)

26

350

0 S

O

N

D

Fíjate en que en el mes de junio no llovió nada y la temperatura fue de 22 ºC.

1

Observa el climograma anterior y copia las oraciones que sean verdaderas. Solo en cinco meses las precipitaciones superaron los 80 mm. Las temperaturas de enero a junio fueron siempre en aumento.

Trabaje también en común el gráfico que aparece en la actividad 2, donde se mezclan un gráfico de sectores y un pictograma.

Las máximas temperaturas coinciden con las mínimas precipitaciones. Si en un mes llovió más de 100 mm, la temperatura nunca superó los 15 ºC. 2

Fíjate en el siguiente gráfico y razona si las afirmaciones son correctas. En el gráfico de sectores se muestra el número de turistas del año pasado según su procedencia y con los pictogramas, el dinero gastado por todos ellos. Los turistas españoles gastaron 90.000 €.

Turistas en Playazul América 1.200

€ €

Asia 900

€

€ € €

€ €

20.000 €

España 1.500 € €

€ € € €

10.000 €

12

Propósitos

En el climograma están los datos de precipitaciones y temperaturas en una ciudad cada mes del año pasado. Las precipitaciones están indicadas en el gráfico de barras y las temperaturas en el gráfico lineal. 400

UNIDAD

Actividades

Hubo más turistas extranjeros que españoles.

1 Es verdadera la tercera oración.

La media de gasto por persona en los turistas americanos fue de 500 €.

2 •  Falsa, gastaron 80.000 €.

La media de gasto por persona en los turistas españoles fue mayor que la media de los turistas americanos.

•  Cierta.

El Ayuntamiento debe hacer una campaña para potenciar el turismo asiático, ya que es el que más gasta por persona.

• Cierta.

• Falsa, fue de 50 €. • Cierta. 201

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 41

Notas

12/02/2015 17:18:35

Otras actividades • Pida a los alumnos que preparen gráficos mixtos similares a los trabajados en esta página (pueden incluso variar los valores simplemente) y preparen oraciones que sean correctas e incorrectas. Después, se los intercambiarán entre sí y analizarán las oraciones de su compañero. Realice una puesta en común de aquellos casos en los que surjan discrepancias.

47

Repaso final Propósitos

NÚMEROS

• Repasar contenidos clave.

1

Escribe cómo se lee. 5.099.204

Números 1 • Cinco millones noventa y nueve

mil doscientos cuatro. • Veintiocho millones novecientos dos mil ciento trece.

3

• Seiscientos setenta y cinco millones ochocientos setenta.

4

7,95

675.000.870

24,016

903.070.015

305,607

A las unidades: 4,76; 13,292; 309,714 A las décimas: 9,28; 37,386; 426,098

Compara en tu cuaderno. Coloca el signo adecuado.

6

176.240.625

5 4

6 5

1,86

5 4

6 5

2,134

1,9 2,134

14 8

B (25, 24)

C (11, 13)

D (1 2, 25)

E (23, 0)

1,8

12 5

2

3,4

3

2 5

16 5

33 10

4,52

7

1.235 3 349

65.117 : 704

84.006 2 9.878

6.127 3 890

86.450 : 934

• 7.000.000; 13.000.000

9 3 (5 2 4)

20 : 5 2 (8 2 4)

12 : 6 1 3 3 5

• 5; 13; 310

18 2 9 : 3

(9 1 6) 3 2 2 13

20 2 2 3 (8 : 2)

• 9,3; 37,4; 426,1

8

74

107

19

• , • . • 5 • ,

85

93

56

C

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 42

D

14 12 , 1,8 , 2 , 8 5 16 33 2 •  , , 3,4 5 3 5 10 5 4.508 451 •  , , 4,52 , 4,6 1.000 100

48

F (0, 15)

451 100

4,6

4.508 1.000

• 16 • 25

• 100 • 49

• 39 • 70

202

F

E

6 • 

11

Halla estas potencias y raíces.

4 •  , • . • , • .

B

24

Calcula. 78.999 1 16.741

A

29

OPERACIONES

3 •  400.000; 4.700.000

5 

23

Ordena cada grupo de números de menor a mayor.

2 •  32.012.000

• 400.800.001 16 •  12 8 •  20 • 3,012

35.100.032

Dibuja unos ejes cartesianos y representa estos puntos. A (23, 12)

• 305 unidades y 607 milésimas.

Ocho veinteavos.

Tres unidades y doce milésimas.

A los millones: 6.600.129; 13.299.999

176.234.892

• 24 unidades y 16 milésimas.

Dieciséis doceavos.

A las centenas de millar: 387.915; 4.678.113

• Quince cuartos. 5

Treinta y dos millones doce mil. Cuatrocientos millones ochocientos mil uno.

Aproxima cada número al orden indicado.

35.090.126

• 7 unidades y 95 centésimas.

Escribe con cifras.

6 12

28.902.113

• Novecientos tres millones setenta mil quince. • Seis doceavos.

2

15 4

12/02/2015 17:18:39

UNIDAD 9

Halla. Tres múltiplos de 9.

m.c.m. (8 y 20)

m.c.m. (6, 10 y 5)

Todos los divisores de 24.

m.c.d. (10 y 9)

m.c.d. (20, 12 y 16)

Operaciones 7 •  95.740



10 Opera con fracciones.

4 2 1 7 9

15 8 2 4 6

5 3 3 2 7

11 : 4 3 6

21 5 : 2 2 2 4 3

6 12 11

30 23 8

9 32 5

21 : 2 5

20 3 : 2 2 4 3 3 8 5

(

12

)



•  431.015 •  c 5 92, r 5 349 •  c 5 92, r 5 522 • 9 •  0 • 15 •  17

•  74.128 •  5.453.030

•  17 •  12

8 2.401 10.000.000 1

11 Calcula.

3,099 1 2,76

28,2 : 3

3,8 3 1,9 2 2 : 0,4 1 2

7,8 2 2,195

185 : 2,5

1,8 : (8,468 2 3,2 3 2,64)

4,76 3 2,94

10,927: 4,9

8,9 3 1,023 2 11,78 : 6,2

12 Divide, obteniendo en el cociente las cifras decimales indicadas.

2 cifras

27,13 : 9,2

85,4 : 17,6

3 cifras

3,45 : 0,127



32.768 729

15.625



4

10

6,

39 , 7



5

7

8,

70 , 9

9 •  0, 9, 18 

19,4 : 2,6

•  40 

•  30 

•  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 •  1

•  4

50 29 15 11 69 10 •     •    •    •    •  63 12 14 2 8

MEDIDA

13 Completa en tu cuaderno cada cambio de unidad.

• 

1.591 28 3 18 21   •    •    •    •  240 11 4 5 10

0,091 km 5 … dm

0,12 dal 5 … ml

0,075 t 5 … kg

135.000 cm 5 … hm

250.000 cl 5 … kl

37.000 mg 5 … dag

11 •  5,859

•  9,4

•  4,22

9.700 dm 5 … dam

1,32 kl 5 … dl

241.000 dg 5 … kg



•  5,605

•  74

•  90



•  13,9944

•  2,23

•  7,2047

7.200 s 5 … min 5 … h

45.000 cm2 5 … m2

30.000 dm3 5 … m3

4 h y 5 min 5 … s

0,08 dam2 5 … cm2

0,07 m3 5 … kl

30.000’’ 5 …º, …’ y …’’

3,7 ha 5 … m2

4.000.000 cm3 5 … ℓ

12 •  c 5 2,94; c 5 4,85

•  c 5 27,165; c 5 7,461

Medida

14 Ordena cada grupo de medidas de mayor a menor.

9.084 cm 2,6 dal

0,0087 km 0,27 hl

890.000 mg 30.000 s 0,09 ha 475 ℓ

88 kg 4 h y 7 min

1.100 m 480 dm3

9m

256 ℓ

2

910 dm

2.600 dl

871 hg

•  1.200 ml 

91 dag

210 min

•  75 kg 

4 h y 500 s

1.300.000 cm 479.000 cm3

13 •  910 dm 

25.800 cl

2

12 dam

2

13,5 hm 

97 dam

2,5 kl 

13.200 dl

3,7 dag 

24,1 kg

•  120 min 5 2 h  14.700 s  8° 209

481.000 ml

• 4,5 m2  80.000 cm2  37.000 m2 203

•  30 m3 

0,07 kl 

4.000 ℓ

14 • 910 dm . 9.084 cm . 9 m . ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 43

16/03/2015 11:47:39

. 0,0087 km • 2.600 dl . 25.800 cl . 256 ℓ . . 0,27 hl . 2,6 dal • 88 kg . 871 hg . . 91 dag . 890.000 mg • 30.000 s . 210 min . . 4 h y 500 s . 4 h y 7 min • 12 dam2 . 1.100 m2 . . 0,09 ha . 1.300.000 cm2 • 481.000 ml . 480 dm3 . . 479.000 cm3 . 475 ℓ

49

Repaso final 15 Piensa y contesta.

15 • 1 cm 5 5 m

Marcos ha dibujado un plano a escala 1 : 500. En él ha trazado una línea de 4 cm. ¿Cuántos metros mide esa línea en la realidad? ¿Qué dimensiones tendrá en ese plano una piscina de 30 m de largo y 10 m de ancho?

La línea mide 20 m. Tendrá 6 cm de largo y 2 cm de ancho.

En el mapa de Leonor 1 cm representa 4 km en la realidad. ¿Cuál es la escala numérica de ese mapa? Dibuja su escala gráfica.

• 4 km 5 400.000 cm La escala es 1:400.000.   0     4 8 kilómetros

GEOMETRÍA

12

16 Halla el área de estas figuras planas.

Un cuadrado de lado 6 cm.

Geometría

Un círculo de diámetro 24 cm.

Un romboide de base 8 cm y altura 4 cm. Un triángulo de base 15 cm y altura 10 cm.

16 • A 5 36 cm2 •  A 5 452,16 cm2

Un hexágono regular de lado 9 cm y apotema 7,8 cm.

• A 5 32 cm2

17 Clasifica cada cuerpo geométrico.

• A 5 75 cm2 • A 5 210,6 cm2 17 Prisma cuadrangular; octaedro;

poliedro; cilindro; pirámide cuadrangular; cono; esfera.

9 cm

• A 5 5.024 cm2; V 5 33.493,3 cm3

19 Calcula la media, mediana, moda y rango de cada grupo de números.

moda 5 22; rango 5 10 •  M  edia 5 13; mediana 5 13; modas 5 11 y 15; rango 5 4

•  5/30

•  10/30

21 •  2  /5 de 800 5 320

30 % de 800 5 240 800 2 320 2 240 5 240 Hay 240 fresnos. •  Hubo 15 grados de diferencia. •  5  27,45 : 7 5 75,35 75,35 3 14 5 1.054,9 75,35 3 9 5 678,15 14 cámaras costarán 1.054,90 €, y 9 cámaras, 678,15 €.

50

18, 12, 22, 14, 22, 14

17, 19, 17, 19, 14, 19, 14

13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11

4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3

20 Halla cada probabilidad al elegir al azar un número del 1 al 30.

•  M  edia 5 17; mediana 5 17; moda 5 19; rango 5 5

•  14/30

18 cm

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

19 •  Media 5 17; mediana 5 16;

20 •  15/30

18 cm

9 cm 9 cm

Estadística y probabilidad

•  M  edia 5 5; mediana 5 4; modas 5 3, 4 y 8; rango 5 8

15 cm

12 cm

• A 5 864 cm2; V 5 1.296 cm3

20

18 • A 5 486 cm2; V 5 729 cm3

cm

18 Calcula el área y el volumen de cada cuerpo geométrico.

Que sea impar.

Que sea mayor de 20 o divisor de 10.

Que sea par y múltiplo de 6.

Que no sea par ni múltiplo de 3.

204 44

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12/02/2015 17:18:42

2 21 Resuelve.

12

• m.c.m. (20 y 30) 5 60 Pasarán 60 días.

En el parque hay 800 árboles. Dos quintos son chopos, un 30 % pinos y el resto fresnos. ¿Cuántos fresnos hay?

• 5.400 : 4,5 5 1.200 5/6 de 1.200 5 1.000 1.000 3 2 5 2.000 Obtuvieron 2.000 €.

El martes la temperatura mínima fue de 23 ºC y la máxima de 12 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hubo entre ambas? Un lote de 7 cámaras fotográficas iguales cuesta 527,45 €. ¿Cuánto costarán 14 cámaras? ¿Y 9 cámaras?

• 

49 5 7. Hay 7 fotos.

• 17 : 12,5 5 1,36; 14 : 10 51,4 Obtuvo mejor precio Sonia.

Mónica va al peluquero cada 20 días y Carlos cada 30. Hoy han coincidido allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez?

• 1.700 3 1,02 3 1,01 5 1.751,34 Cada mes cobraba 1.751,34 €. 1.700 3 1,03 5 1.751 Cobraba un 3,02 % más.

En el almacén tenían 5 t y 4 q de naranjas. Las envasaron en bolsas de 4 kg y medio cada una y cada bolsa la pusieron a la venta a 2 €. Si vendieron cinco sextos de las bolsas, ¿cuánto dinero obtuvieron? Miguel ha pegado 49 fotos cuadradas formando un cuadrado. ¿Cuántas fotos hay en cada lado del cuadrado?

• 1 h 28 min 2 39 min 40 s 5 5 48 min 20 s Tardó 48 min 20 s en la segunda parte. 1 h 28 min 1 48 min 20 s 5 5 2 h 16 min 20 s Tardó 2 h 16 min 20 s en total.

Sonia compró 12,5 kg de manzanas por 17 € y Pablo compró 10 kg por 14 €. ¿Cuál obtuvo un mejor precio por kilo? El sueldo de Alejandro en 2013 era 1.700 € al mes. En 2014 aumentó un 2 % y en 2015 aumentó un 1 %. ¿Cuánto cobraba al mes en 2015? ¿Cobraba un 3 % más que en 2013?

• 90.000 2 6 3 4.000 5 66.000 66.000 : 5 5 13.200 Cada zona tendrá 13.200 m2.

Un examen constaba de dos partes. En la primera Tania tardó 1 h y 28 min y en la segunda tardó 39 min y 40 s menos que en la primera. ¿Cuánto tardó en la segunda parte? ¿Y en total?

• 4 3 p 3 (10 m)3 : 3 5 5 4.186,6 m3 4.186,6 : 2 5 2.093,3 2.093.300 : 0,2 5 10.466.500 Se podrán llenar 10.466.500 envases.

En una parcela de 90.000 m2 se reservarán 6 parcelas de 40 dam2 cada una para viviendas y el resto se dividirá en 5 zonas verdes. ¿Cuántos metros tendrá cada zona? Un depósito esférico de 20 m de diámetro está lleno por la mitad de zumo. Se va a envasar el zumo en envases de 200 ml cada uno. ¿Cuántos envases se podrán llenar? Marisa tiene anotado el número de clientes que visitó cada restaurante las dos pasadas semanas. Hubo 30 visitantes 5 días, 28 visitantes 2 días, 24 visitantes 2 días y 22 visitantes 5 días. ¿Cuál fue la media de clientes? ¿Y la mediana? ¿Y el rango?

• Media 5 26 visitantes Mediana 5 26 visitantes Rango 5 8 visitantes 45 205

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UNIDAD

Notas

12/02/2015 17:18:45

51

SOLUCIONARIO

Fin de etapa

Índice Descubre las Matemáticas en… Los números en China..................................................................... 210 Los números gigantes..................................................................... 211 El sudoku........................................................................................ 212 Los números perfectos.................................................................... 213 Los cuadrados mágicos.................................................................. 214 Las fracciones egipcias................................................................... 215 Los círculos decimales de Simon Stevin.......................................... 216 Los decimales chinos...................................................................... 217 El maratón....................................................................................... 218 El cálculo de las medidas de un cuadro........................................... 219 Las unidades de medida especiales................................................ 220 Las señales con pendiente.............................................................. 221 Los ángulos en las estrellas dobles.................................................. 222 El triángulo egipcio.......................................................................... 223 Los pentominós............................................................................... 224 El tamaño DIN A.............................................................................. 225 La forma de las baldosas................................................................. 226 El truco de Arquímedes................................................................... 227 Los rompecabezas con áreas.......................................................... 228 La relación entre área, volumen y calor............................................ 229 Las medias engañosas.................................................................... 230 Las audiencias televisivas................................................................ 231

55

Los números en China

Actividades 1 12 

 

56 

 

1

534 

 

790 

 

869 

 

 

972 

 

 

2 212 

Los chinos utilizaron distintas formas de representar números. Una de las más populares consistía en la escritura de palos verticales y horizontales. Observa cómo representaban los números del 1 al 9.

 

 

245 

 

3

4

5

6

7

8

9

Horizontales

    

214 

2

Verticales

     

Para no confundir los palos que representaban cada cifra con los de la cifra siguiente, utilizaban la notación vertical para las unidades y las centenas, y la horizontal para las decenas y los millares. De ese modo se alternaban verticales con horizontales. Así escribían los números 18, 394 y 5.627:

   

1

8

3

9

4

5

6

2

7

  También utilizaban dos formas de escribir los números negativos.

Notas

Primera forma. Utilizaban el color rojo para los números positivos y el negro para los negativos. Fíjate en estos ejemplos. Segunda forma. Tachaban la última cifra de los números negativos, como puedes ver en este ejemplo.

1

32

29

232

Representa con la notación china de palos horizontales y verticales estos números. 12

2

9

56

534

790

972

869

Representa estos números enteros de las dos formas que has visto en esta página. 12

214

245

Primera forma

▶

…

Primera forma

▶

…

Primera forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

Segunda forma

▶

…

210

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56

12/02/2015 17:13:36

SOLUCIONARIO

Los números gigantes encia Intelig lista r natu a

Actividades

Para encontrar números muy grandes, basta con observarnos detenidamente:

1 •  3 3 100.000 5 300.000

En la cabeza podemos llegar a tener más de 100.000 pelos.

Hay 300.000 bacterias.

Una porción de nuestra piel del tamaño de un euro tiene unas 100.000 bacterias.

•  4 3 5.000.000 5 20.000.000 Hay 20 millones de glóbulos rojos.

En una gotita de sangre hay unos 5.000.000 de glóbulos rojos. En un día podemos parpadear unas 31.680 veces.

•  31.680 : 24 5 1.320 En una hora parpadeamos 1.320 veces. 2 •  3 CM

Trescientos mil. •  2 D. de millón Veinte millones. •  1 UM 1 3 C 1 2 D Mil trescientos veinte. 1

Lee y calcula.

3 •  R. M. En un minuto,

¿Cuántas bacterias hay en una porción de piel equivalente a 3 monedas de euro? ¿Cuántos glóbulos rojos hay en 4 gotitas de sangre? ¿Cuántas veces parpadeamos en una hora? 2

Descompón y escribe cómo se lee cada uno de los números que has obtenido en la actividad 1.

3

Lee y calcula.

20 respiraciones. En una hora, 1.200 respiraciones. En un día, 72.000 respiraciones. En un año, 26.280.000 respiraciones.

Con ayuda de un reloj, cuenta las veces que respiras en un minuto. ¿Cuántas respiraciones habrás hecho en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año? Con la ayuda de un reloj, cuenta el número de pulsaciones que tienes por minuto. ¿Cuántas pulsaciones tendrás en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año? 4

•  R. M. En un minuto, 70 pulsaciones. En una hora, 4.200 pulsaciones. En un día, 252.000 pulsaciones. En un año, 91.980.000 pulsaciones.

Lee y contesta. – Un 1 seguido de 6 ceros es un millón. – Un 1 seguido de 12 ceros es un billón. – Un 1 seguido de 18 ceros es un trillón. ¿Cómo se escribirá un cuatrillón?

4 Un 1 seguido de 24 ceros. 211

Notas ES0000000001195 462607_Proy_Fin de Etapa_6_prim_U13_19662.indd 51

12/02/2015 17:13:41

57

El sudoku

Actividades

El sudoku es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, aunque su origen está en Estados Unidos.

1

5

3

4

6

7

8

9

1

2

El sudoku es una cuadrícula de 9 filas y 9 columnas, dividida en 9 cajas iguales de 3 filas y 3 columnas. En ella aparecen números del 1 al 9.

6

7

2

1

9

5

3

4

8

El juego consiste en:

1

9

8

3

4

2

5

6

7

8

5

9

7

6

1

4

2

3

4

2

6

8

5

3

7

9

1

7

1

3

9

2

4

8

5

6

9

6

1

5

3

7

2

8

4

2

8

7

4

1

9

6

3

5

3

4

5

2

8

6

1

7

9

Completar cada fila y cada columna con los números del 1 al 9 sin que aparezca ninguna cifra repetida en cada fila o columna. Los nueve números de cada una de las nueve cajas han de ser todos distintos.

5

3

7

6

1 9

2 • En todos los casos suman 45.

8

5

4

2

7

1

9

5

8

6 6 8

3 3

2

6

6

• Suman 405 (45 3 9). Basta con multiplicar las 9 filas por el valor de la suma de cada fila.

2 3

• Ambos productos valen 362.880.

1

1

2 4

1 8

8

4

9

5 7

9

Copia en tu cuaderno y completa el sudoku de arriba. 2

Notas

Piensa en cómo está organizado un sudoku y contesta. ¿Cuál es el valor de la suma de los números que forman una fila cualquiera de un sudoku? ¿Y de los números de una columna? ¿Y de los números de cualquiera de las nueve cajas? ¿Cuánto vale la suma de los 81 números que forman el sudoku? ¿Hace falta sumar los 81 números? ¿Cómo puedes calcularla de manera rápida? ¿Cuánto vale el producto de los números de cada fila? ¿Y el producto de los 9 números de cada caja?

212

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58

12/02/2015 17:13:46

SOLUCIONARIO

Los números perfectos Actividades

Un número es perfecto cuando es igual a la suma de todos sus divisores, sin incluir el propio número.

1 • 1, 2, 5, 10

Veamos algunos ejemplos.

1121558 No es perfecto.

¿Es el 6 un número perfecto?

¿Es el 8 un número perfecto?

1.º Calculamos todos los divisores de 6.

1.º Calculamos todos los divisores de 8.

1, 2, 3 y 6

Divisores de 6

2.º Sumamos todos los divisores del número, menos el 6.

PrEsta atEnción

1

La propiedad de ser un número perfecto la tienen pocos números.

Divisores de 8

1, 2, 4 y 8

1121457

656

7Þ8

El número 6 es un número perfecto.

El número 8 no es un número perfecto.

• 1, 2, 3, 4, 6, 12 1 1 2 1 3 1 4 1 6 5 16 No es perfecto. • 1, 2, 7, 14 1 1 2 1 7 5 10 No es perfecto. • 1, 2, 4, 7, 14, 28 1 1 2 1 4 1 7 1 14 5 28 Es perfecto.

Calcula los divisores de cada número y averigua cuál es un número perfecto. 2

25

12

14

2 Divisibles por 4: 504 y 6.124.

28

Divisibles por 6: 240, 1.248 y 4.632.

Lee estos criterios de divisibilidad y calcula. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3.

3

• 1, 5, 25 11556 No es perfecto.

2.º Sumamos todos los divisores del número, menos el 8.

1121356

10 2

• 1, 2 No es perfecto.

3 • R. M. 4, 8, 16, 20, 28

Los nÚmEros divisibLEs Por 4

270 2.094

439 6.124

• R. M. 6, 12, 18, 24, 36

504 8.022

• R. M. 12, 16, 20, 24, 28 12, 18, 24, 30, 36

Los nÚmEros divisibLEs Por 6

240 1.248

325 2.720

416 4.632

Notas

Piensa y escribe. Cinco números divisibles por 2 que no sean divisibles por 3. Cinco números divisibles por 3 que no sean divisibles por 5. Cinco números divisibles por 4 y otros cinco números divisibles por 6. 213

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12/02/2015 17:13:50

59

Los cuadrados mágicos

Actividades 1 Todas las filas, columnas

Un cuadrado mágico es una cuadrícula en la que figuran números colocados de forma que la suma de cada fila, columna y diagonal es siempre la misma. Ya se conocían en China hace más de 4.000 años.

y diagonales suman 34. 2

2 23

9 23

4 23

7 23

5 23

3 23

6 23

1 23

8 23

8 17

1 17

6 17

3 17

5 17

7 17

4 17

9 17

2 17

En el famoso grabado Melancolía, de Durero, aparece un cuadrado mágico, con la peculiaridad de que al juntar los números de las dos casillas centrales de la última fila (1514) aparece el año en que se realizó este grabado.

Notas

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1

Copia el cuadrado mágico anterior y comprueba que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal es igual a 34.

2

Copia en tu cuaderno y completa los siguientes cuadrados mágicos con fracciones. Los números que faltan son fracciones de denominador 23.

Los números que faltan son fracciones de denominador 17.

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal 15 es igual a . 23

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal 15 es igual a . 17

2 23

6 23

4 23

8 17

3 23

3 17

5 17 2 17

214

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60

12/02/2015 17:13:52

SOLUCIONARIO

Las fracciones egipcias

Actividades 3 4 12 •  35

3 8 3 •  10

1 • 

Los egipcios solo utilizaron las fracciones de numerador 1, y el resto de fracciones las escribían como combinación de estas. Cualquier fracción se puede expresar como suma de fracciones de numerador 1. Observa algunos ejemplos:

• 

2 • 

5

1 15

• 

5

1 6

• 

5

1 10

• 

5

1 10

Suma de fracciones de numerador 1

1 1 3 2 312 5 1 5 1 5 5 2 3 6 6 6 6

1 1 1 1 1 1 8 10 6 20 12 15 1 1 1 1 1 1 •  45 15 40 27 72 24 1 1 1 1 1 1 •  84 42 77 72 132 66 3 • 

Suma de fracciones de numerador 1

16 1 1 1 10 5 1 10 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 5 20 2 4 20 20 20 20 20

1

2

Suma en tu cuaderno las fracciones de numerador 1 y averigua qué fracción expresan. 1 1 1 5 2 4

1 1 1 5 4 8

1 1 1 1 1 5 3 4 5

1 1 1 5 5 7

1 1 1 5 5 10

1 1 1 1 1 5 2 7 4

Notas

Observa el ejemplo y calcula la fracción de numerador 1 que falta en estas sumas. 1 1 2

5

3

47 60 25 •  28 • 

5

3 5

3 1 1 2 5 5 2 10

1 1 3

5

2 5

1 1 5

5

11 30

1 1 8

5

9 40

1 1 2

5

3 5

Calcula todas las fracciones que se obtienen al multiplicar dos fracciones de cada grupo.

1 2

1 4

1 5

1 3

1 5

1 9

1 3

1 8

1 7

1 12

1 6

1 11

215

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12/02/2015 17:13:55

61

Actividades 1 • 2 0  3  1  4

•  34 0  9  1   •  15 0  7  1  6  2   •  6 0  0  1  7  2  8  3   •  2 0  1  1  9  2  5 3   2

 9 0  7  1  1  2 1 45 0  1  1 54 0  8  1  1  2

Los círculos decimales de Simon Stevin El belga Simon Stevin (1548-1620) es uno de los padres de la actual forma de escritura de los números decimales. Simon Stevin indicaba la parte entera de un número decimal situando detrás un 0 dentro de un círculo; las décimas las señalaba con un 1 dentro de un círculo; las centésimas, con un 2; y las milésimas, con un 3. Así, el número decimal 3,785 lo escribía así:

3,785 ▶ 3

7

0

1

8

2

5

3

Observa cómo calculaba 5,239 1 7,651 usando esta notación.

23 0  9  1 1  8 0  6  1  7  2  

5

0

2

1

3

2

9

17

3

0

6

1

5

2

1

3

1.º Colocaba los números poniendo en la misma columna los círculos con el mismo número.

32 0  5 1  7  2     2 0  7  1  8  2   34 0  6  1 1   2 0  1  1  2 2  3  3   

5 17

0 0

2 6

1 1

3 5

2 2

9 1

2.º Sumaba como si fueran números naturales, poniendo en el resultado, debajo de la columna de cada círculo, el círculo correspondiente. 5 1 7 12

3 3

39 0  5 1  0  2  3  3  

0 0 0

2 6 8

1

0

5 3 2

1 1

3 5 9

2

1

9 2 7

2 2

9 1 0

3 3 3

El resultado de la suma 5,239 1 7,651 es 12,890.

21 0  8  1 2  7 0  3  1  4  2  

12 2 9 3

Para calcular restas de decimales seguía un procedimiento similar a la suma. Observa este ejemplo: 12,59 2 9,32.

14 0  4  1  6  2   432 0  7  1  5 2   2  17 0  8  1

0 0

1 1

2 2 2

El resultado de la resta 12,59 2 9,32 es 3,27.

414 0  9  1  5 2  

Notas

1

Escribe estos números decimales usando la notación de Simon Stevin. 2,34

2

34,9

15,76

6,078

2,195

Calcula las siguientes sumas y restas usando el procedimiento de Stevin. 9,71 1 45,1

23,9 1 8,67 21,8 2 7,34

2,78 1 34,6 1 2,123 432,75 2 17,8

216

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62

12/02/2015 17:13:59

SOLUCIONARIO

Los decimales chinos Actividades

Otra forma de escribir los números en China, diferente a la que ya has visto, usaba estos símbolos. Fíjate en su valor:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1.000

1 0,213 2,45 234,098

10.000

Observa cuál es el valor de este número.

3 3 10.000 1 2 3 1.000 1 6 3 100 1 9 3 10 1 7 5 32.697 Para escribir los números decimales tenían un símbolo para expresar las décimas, otro para las centésimas y otro para las milésimas.

Décimas

Centésimas

Milésimas

▼

▼

▼

0,1

0,01

0,001

Observa cómo se escribe el número decimal 0,379. Se escribe el 3 junto con el símbolo de las décimas, después el 7 junto con el símbolo de las centésimas y por último el 9, con el símbolo de las milésimas.

0,379

▶

3

0,1

7

0,01

9

0,591 29,368 76,007

2 • 

 

• 

 

• 

 

 

 

 

 

 

 

• 

 

 

 

 

• 

 

 

 

 

• 

 

 

 

 

 

• 

 

 

 

 

 

• 

 

 

 

 

 

 

 

0,001

Notas 1

Escribe cada número que hay representado.

2

Expresa con símbolos chinos los siguientes números decimales. 4,26 0,004 123,05 15,06

1,098 0,578 6,983 59,007

217

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63

El maratón Actividades

En el año 490 a. C. el soldado griego Filípides recorrió a pie unos 40 km, desde Maratón a Atenas, para anunciar la victoria sobre el ejército persa. Tras recorrer esta distancia, Filípides murió de fatiga.

1 •  Recorrió 40 km, 40.000 m.

• Se incluyó en 1896, hace 120 años (tomando como fecha 2016).

En honor a la hazaña de Filípides, se creó una competición con el nombre de maratón, que fue incluida, por primera vez, en los Juegos Olímpicos de Atenas en 1896.

2 1.500 3 0,836 5 1.254 m

Actualmente, la carrera de maratón consiste en recorrer una distancia de 42,195 kilómetros y se realiza en diversas ciudades a nivel popular.

50.000 3 0,836 5 41.800 m 60.000 3 0,836 5 50.160 m El tercer circuito tiene una longitud mayor que la maratón.

El récord del mundo lo tiene el keniata Dennis Kinetto, que en 2014 recorrió esta distancia en 2 horas, 2 minutos y 57 segundos.

3 • Empleó aproximadamente

126 minutos. •  Tardó 2 horas y 6 minutos.

1

• Tardó 5 minutos y 3 segundos más.

Lee el texto anterior y contesta. ¿Cuántos kilómetros recorrió Filípides desde Maratón a Atenas? ¿Cuántos metros eran? ¿En qué año se incluyó el maratón en los Juegos Olímpicos? ¿Cuántos años hace que se incluyó?

2

Notas

La vara es una unidad antigua de longitud que equivale a 0,836 m. Calcula la longitud en metros de cada circuito. 1.500 varas

50.000 varas

60.000 varas

¿Qué circuitos tienen una longitud mayor que la distancia recorrida en un maratón? 3

Lee y calcula. El ganador del maratón de Berlín 2008 fue el etíope Haile Gebrselassie, que empleó unos 3 minutos, aproximadamente, en recorrer cada kilómetro. ¿Cuántos minutos, aproximadamente, empleó en correr el maratón si la distancia recorrida fue de 42 km? ¿Cuántas horas y minutos tardó? ¿Cuánto tiempo más que Dennis Kinetto tardó Haile Gebrselassie?

218

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64

12/02/2015 17:14:07

SOLUCIONARIO

El cálculo de las medidas de un cuadro

Actividades

Lara mira, en un folleto, información sobre la próxima exposición de pintura. Estos son algunos de los cuadros que se podrán ver.

1 • Escala 1:30. Un centímetro

en la página son 30 cm en la realidad. • Escala 1:12. Un centímetro

en la página son 12 cm en la realidad. 2 • 9,2 cm 3 30 5 276 cm

6,3 3 30 5 189 cm Mide 276 cm de largo y 189 cm de ancho. • 9,2 cm 3 12 5 110,4 cm

6,3 3 12 5 75,6 cm Mide 110,4 cm de largo y 75,6 cm de ancho. • 2 3 276 1 2 3 189 5 930 La vendimia (Goya) Escala 1 : 30

1

La vendimia tiene un perímetro de 930 cm. 2 3 110,4 1 2 3 75,6 5 372 Muchacha de espaldas tiene un perímetro de 372 cm.

Muchacha de espaldas (Dalí) Escala 1 : 12

Lee y contesta.

• 2 3 9,2 1 2 3 6,3 5 31

¿A qué escala está hecha la foto del cuadro La vendimia? ¿Qué significa una escala 1 : 30? ¿A qué escala está hecha la foto del cuadro Muchacha de espaldas? ¿Qué significa una escala 1 : 12? 2

Ambos cuadros tienen un perímetro de 31 cm. 3 • 9,2 cm 3 6,3 cm 5 57,96 cm2

Calcula en metros.

Ambos tienen un área en el folleto de 57,96 cm2.

El largo y el ancho real del cuadro La vendimia. El largo y el ancho real del cuadro Muchacha de espaldas. El perímetro de cada cuadro. El perímetro en el folleto de cada cuadro. 3

• 276 cm 3 189 cm 5

5 52.164 cm2

Calcula. El área que tiene cada cuadro en el folleto. El área real de cada cuadro. 219

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La vendimia tiene un área de 52.164 cm2. 110,4 cm 3 75,6 cm 5 5 8.346,24 cm2 Muchacha de espaldas tiene un área de 8.346,24 cm2.

12/02/2015 17:14:13

Notas

65

Actividades 1 • En 1 minuto recorre

18.000.000 km. En 1 hora recorre 1.080.000.000 km. • En 1 décima recorre 30.000 km. En 1 centésima recorre 3.000 km.

Las unidades de medida especiales Las unidades de longitud que conocemos (km, m, dm…) nos sirven para expresar multitud de medidas que nos encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, para expresar la distancia entre dos estrellas o la longitud de una bacteria, estas unidades resultan demasiado pequeñas o demasiado grandes. Por eso, utilizamos otras unidades más adecuadas. Para expresar la distancia entre dos estrellas utilizamos el año luz. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y es igual a 9.468.000.000.000 km.

2 • Tarda 3 minutos

1 año luz 5 9.468.000.000.000 km

y 13 segundos.

Para expresar el ancho de una bacteria utilizamos la micra.

• Tarda 8 minutos y 20 segundos.

Una micra es la milésima parte del milímetro. 1 micra 5 0,001 mm

• Está a 4,19 años luz. • Está a una distancia de 2.840.400.000.000.000 km, unos 2.840 billones de km.

1

Lee y calcula. Velocidad de la luz La luz recorre 300.000 km en un segundo.

Notas 2

encia Intelig lista r natu a ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? ¿Y en una hora? ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en una décima de segundo? ¿Y en una centésima?

Resuelve. Mercurio es el planeta más cercano al Sol y está a una distancia de 57.900.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a Mercurio? La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150.000.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra? La estrella más cercana a nuestro sistema solar es Próxima Centauri, que está a 39.700.000.000.000 km de la Tierra. ¿A cuántos años luz está esta estrella de la Tierra? La estrella polar está a unos 300 años luz de la Tierra. ¿A cuántos kilómetros está esta estrella de la Tierra?

220

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66

12/02/2015 17:14:17

SOLUCIONARIO

Las señales con pendiente

Actividades 1

Posiblemente hayas visto, alguna vez, una señal similar a la que aparece en la foto en algún tramo de carretera. ¿Sabes qué significa? Esta señal nos indica que por cada 100 metros recorridos en la carretera descendemos 10 metros de altura.

100

100

m

100

m

100

m

100

m

10 m

 4m



m

 6m

10 m

12 m

1

Copia en tu cuaderno y completa en cada esquema el significado de la señal.

2 9 %

7 %

2

Observa cada esquema, copia la señal en tu cuaderno y escribe en ella el porcentaje. 100

m

9m

100

100

m

7m

8m

m

100

m

8 %

6m



6 % 221

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12/02/2015 17:14:22



Notas

67

Los ángulos en las estrellas dobles

Actividades 1 70º  65º  85º 2

Si miras al cielo en una noche estrellada, podrás ver estrellas muy próximas unas de otras. A dos estrellas que aparecen muy próximas, vistas desde la Tierra, las llamamos estrellas dobles.

110°

Las dos medidas que definen a las estrellas dobles son: Separación: es la distancia entre las dos estrellas (línea verde).

120°

Ángulo de posición: es el ángulo que forma la línea que une las dos estrellas con el norte (ángulo naranja).

130°



N

O

E

S

1

Mide el ángulo de posición de las siguientes estrellas dobles.

2

Copia y dibuja el ángulo de posición de estas estrellas dobles. Después, escribe su medida.

3

Lee y calcula.

3 Son 2º, 159 y 380.

Notas

La separación entre dos estrellas dobles es la longitud de un arco y se mide en segundos.

La separación entre dos estrellas dobles es igual a 8.138". ¿Cuántos grados, minutos y segundos son?

222

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68

12/02/2015 17:14:26

SOLUCIONARIO

El triángulo egipcio

Actividades

El triángulo sagrado egipcio es el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.

1 Área 5 6 cm2

Área al cubo 5 216 cm2 Cubos de los lados 5 27 cm3, 64 cm3, 125 cm3 Suma de los cubos 5 216 cm3

En el antiguo Egipto utilizaban este triángulo para obtener ángulos rectos en diversas construcciones. El triángulo egipcio tiene propiedades notables: Plutarco comprobó que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados. 5

3 cm

Pitágoras demostró que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 5

cm

3 cm

2 • (6 cm)2 1 (8 cm)2 5 100 cm2

(10 cm)2 5 100 cm2 • (9 cm)2 1 (12 cm)2 5 225 cm2 (15 cm)2 5 225 cm2

cm

3 •  (12 cm)2 1 (16 cm)2 5 (20 cm)2 4 cm

4 cm

•  (15 cm)2 1 (20 cm)2 5 (25 cm)2

Notas 1

Observa el triángulo y comprueba en tu cuaderno la afirmación de Plutarco. 5

3 cm

Área del triángulo ▶ … Área del triángulo al cubo ▶ … Cubos de los lados ▶ …, …, … Suma de los cubos de los lados ▶ … 1 … 1 … 5 …

cm

4 cm

2

Comprueba en cada triángulo la propiedad que demostró Pitágoras. 10 6 cm

cm

15

9 cm

8 cm

3

cm

12 cm

Calcula el cuadrado del lado mayor.

12 cm

15 cm

16 cm

20 cm

223

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69

Actividades 1 R. L. 2 R. L. 3 R. M. Hay 368 soluciones.

Los pentominós En 1953 el norteamericano Solomon Golomb dio a conocer el juego de los pentominós.

F

I

L

N

Consta de doce piezas, que son los doce polígonos que se pueden construir a partir de cinco cuadrados iguales, uniendo sus lados entre sí.

P

T

U

V

W

X

Y

Z

Cada pentominó recuerda a una letra del alfabeto. Para jugar una partida se necesita un tablero de 8 3 8 casillas, cada una del mismo tamaño que los cuadrados de los pentominós.

Notas

Las piezas se sitúan al alcance de ambos jugadores, que van colocando las piezas por turnos. Cada pieza se coloca sobre el tablero, de manera que tape cinco casillas, sin solaparse una pieza con otra. Pierde el primer jugador que no pueda colocar ninguna pieza.

1

Reproduce las doce piezas en un papel cuadriculado y recórtalas. Usa cuatro cuadraditos para cada cuadrado de la pieza. Haz también un tablero de 8 por 8 casillas en la forma que se indica en el dibujo.

2

Juega una partida con tu compañero utilizando el material que has construido en la actividad 1.

3

Utiliza las doce piezas e intenta completar el siguiente rectángulo.

224

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70

12/02/2015 17:14:32

SOLUCIONARIO

El tamaño DIN A

Actividades

En la mayor parte del mundo, los tamaños de papel se acogen a la norma DIN. El tamaño DIN A4 es igual a 29,7 cm de largo por 21 cm de ancho.

1 •  Largo DIN A4: 29,7 cm.

Largo DIN A5: 21 cm.

Observa cómo se forma el DIN A5 a partir del DIN A4.

• Ancho DIN A4: 21 cm. • Dividiendo el largo del DIN A4

DIN A4

entre 2.

DIN A5

•  Ancho DIN A5: 14,8 cm. 2 •  Largo DIN A6: 14,8 cm.

•  Sí, ambos coinciden.

29,7 cm

DIN A5

• Dividiendo el largo del DIN A5

entre 2. •  Ancho DIN A6: 10,5 cm. 21 cm

1

• Largo DIN A7: 10,5 cm.

21 cm

Ancho DIN A7: 7,4 cm.

Observa el dibujo anterior y calcula.

DIN A7

¿Cuántos centímetros de largo mide un DIN A4? ¿Y un DIN A5? ¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A4? ¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A5 a partir de un DIN A4? ¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A5? 2

DIN A6 DIN A7

Observa los dibujos y calcula.

DIN A6

DIN A6

¿Cuál es el largo de un DIN A6? ¿El largo de un DIN A6 es igual al ancho de un DIN A5? ¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A6? ¿Cuál es el ancho de un DIN A6? Partiendo del DIN A6, ¿sabrías dibujar el DIN A7? ¿Cuáles serían sus medidas?



Notas

DIN A5 DIN A6

225

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71

Actividades 1 Son regulares B, D y E. 2 • 

• 

La forma de las baldosas Recuerda que un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Los polígonos regulares más sencillos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono.

60°

90°

90°

60° 60° 90°

Las baldosas con forma de polígono regular se pueden combinar de muchas formas para cubrir una superficie plana sin dejar huecos ni solaparse una con otra. Solo debe cumplirse que en el vértice donde coinciden las baldosas la suma de todos los ángulos sea igual a 360°.

90°

108° 108° 108°

10

8°

8°

10

Observa el siguiente ejemplo, en cada vértice coinciden dos cuadrados y tres triángulos equiláteros.

•  60° 60° 90°

• Se puede cubrir una superficie plana con los diseños de tres hexágonos y seis triángulos.

90° 60°

60° 1 60° 1 90° 1 60° 1 90° 5 360°

Notas

1

Con la ayuda de una regla y un transportador, averigua cuáles son polígonos regulares y escribe en tu cuaderno la medida de sus ángulos. A

2

B

C

D

E

Dibuja un diseño con baldosas en el que en un vértice coincidan las siguientes figuras. Dos hexágonos regulares y un cuadrado. Tres hexágonos regulares. Seis triángulos equiláteros.

60°

90°

120°

¿Con cuál de estas tres combinaciones puedes cubrir una superficie plana? 226

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72

12/02/2015 17:14:36

SOLUCIONARIO

El truco de Arquímedes

Actividades 1 Área polígono rojo 5 31

A Arquímedes se le considera uno de los grandes matemáticos de la historia y fue el que encontró un método para calcular el área del círculo.

El área de la figura inicial es de 31 aproximadamente. 2 

Este método consistía en ir dibujando dentro del círculo polígonos cada vez con más lados. Al aumentar el número de lados del polígono, su área se aproximaba más al área del círculo.

1

Aplica la idea de Arquímedes y aproxima el área de cada figura, siguiendo los pasos que se indican. 1.º Dibuja alrededor de la figura una línea poligonal lo más próxima al borde de la figura dada  (línea poligonal roja). 2.º Cuenta los cuadrados que encierra esa línea poligonal y escribe su área. El área de la figura inicial está muy próxima a la del polígono rojo.

2

 Área polígono rojo 5 18 El área de la figura inicial es de 18 aproximadamente.

Área polígono rojo 5 … El área de la figura inicial es de … aproximadamente.

Aproxima el área de cada figura utilizando el procedimiento de Arquímedes.

 Área polígono rojo 5 29 El área de la figura inicial es de 29 aproximadamente.

227

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 Área polígono rojo 5 31,5 El área de la figura inicial es de 31,5 aproximadamente.

Notas

73

Los rompecabezas con áreas

Actividades 1 2 cm

Ya sabes calcular el área de muchas figuras. Conociendo estas áreas, puedes averiguar el área de otras que, a simple vista, parecen muy complicadas. Solo tienes que pensar en cómo descomponer la figura en otras figuras de área conocida.

2 cm

¿Cuál es el área de la zona azul? Observa cómo lo resolvemos.

2 cm

1.º Dibujamos el círculo de centro A y radio 1 cm.

El área rosa es 2 veces el área rayada, que es igual a la cuarta parte del área de un círculo de radio 2 cm menos el área del triángulo de base 2 cm y de altura 2 cm.

2.º La figura dada está formada por cuatro partes iguales. Cada una es la cuarta parte del área del círculo.

2 cm

3.º El área de la figura dada es igual al área del círculo de radio 1 cm. Área del círculo p 3 12 5 3,14 cm2

G

1 cm A

1 cm

El área de la zona azul es igual a 3,14 cm2.

F

ARAYADA 5 p 3 (2 cm)2 : 4 2 2 (2 cm 3 2 cm) : 2 5 1,14 cm2

1 cm

Luego el área de la zona rosa es: 2 3 1,14 5 2,28 cm2 Calcula el área de cada figura. Piensa antes de calcular.

2 cm

1

2 cm



2 cm

 El área rosa es igual a la cuarta parte del área del círculo de radio 2 cm menos el área de las tres zonas rayadas. A 5 p 3 (2 cm)2 : 4 5 3,14 cm2 AZONAS 5 (1 cm)2 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 5 2,57 cm2 AROSA 5 0,57 cm2 2

2

2 cm

Calcula el área de las siguientes figuras.

2 cm

2 cm 1 cm

2 cm

2 cm

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1 cm

2 cm

2 cm

2 cm

El área verde es igual al área de medio círculo de 1 cm de radio. A 5 p 3 (1 cm)2 : 2 5 1,57 cm2

74

2 cm

2 cm

228

 El área amarilla es la diferencia de las áreas de dos triángulos. A 5 (1 cm) 3 (2 cm) : 2 2 2 (1 cm) 3 (1 cm) : 2 5 0,5 cm2



2 cm

12/02/2015 17:14:43

SOLUCIONARIO

La relación entre área, volumen y calor

Actividades 1 A 5 6 3 (1 cm)2 5 6 cm2

¿Qué animal se enfría antes: un ratón o un elefante? Se sabe que los cuerpos pierden calor más rápidamente si su área es mayor que su volumen. Observa los cubos de la figura.

V 5 (1 cm)3 5 1 cm3 A 5 6 3 (3 cm)2 5 54 cm2 V 5 (3 cm)3 5 27 cm3 A 5 6 3 (5 cm)2 5 150 cm2 V 5 (5 cm)3 5 125 cm3 A 5 6 3 (7 cm)2 5 294 cm2 V 5 (7 cm)3 5 343 cm3

8 cm 1 cm 1 cm

1

2 •  Pierden calor los cubos A, B

8 cm

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 1 cm de lado.

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 8 cm de lado.

A. de una cara ▶ 1 cm 3 1 cm 5 1 cm2 A. de 6 caras ▶ 6 3 1 cm2 5 6 cm2 V. ▶ 1 cm 3 1 cm 3 1 cm 5 1 cm3

A. de una cara ▶ 8 cm 3 8 cm 5 64 cm2 A. de 6 caras ▶ 6 3 64 cm2 5 384 cm2 V. ▶ 8 cm 3 8 cm 3 8 cm 5 512 cm2

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es mayor que el del volumen.

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es menor que el del volumen.

Área ▶ 6 . 1 ◀ Volumen

Área ▶ 384 , 512 ◀ Volumen

Este cubo pierde calor rápidamente.

Este cubo conserva el calor más tiempo.

y C, ya que su área es mayor que su volumen. •  Conserva el calor el cubo D, pues su área es menor que su volumen.

Notas

Calcula el área y el volumen de estos cubos. A

B

1 cm

2

8 cm

1 cm

C

3 cm

5 cm

D

7 cm

Compara el área y el volumen de los cubos de la actividad 1 y contesta. Si tuvieras que coger un cubo que pierda calor rápidamente, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? ¿Y si tuvieras que elegir un cubo que conservara el calor mucho tiempo? ¿Por qué? 229

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12/02/2015 17:14:47

75

Actividades 1 •  P  odemos hallar la media

de piezas de fruta en general, 4 piezas, y la media de piezas de fruta de los niños que comieron alguna fruta, 5 piezas. Es más adecuada la segunda. •  P  odemos hallar la media de hermanos en general, 1 hermano, y la media de hermanos de los niños que tienen algún hermano, 2 hermanos. Es más adecuada la segunda. • Podemos hallar la media de veces en general, 4 veces, y la media de veces de las personas que fueron alguna vez al cine, 8 veces. Es más adecuada la segunda.

Las medias engañosas A la hora de calcular la media de unos datos hay que pensar bien qué queremos calcular y qué datos hay que tener en cuenta. Fíjate en el siguiente ejemplo. Se ha preguntado a cuatro personas cuántos libros leen al año y sus respuestas han sido: 30

16

0

14

Podríamos pensar en calcular la media de libros leídos por cada persona: 30 1 16 1 0 1 14 60 5 5 15 4 4 Cada persona lee 15 libros de media, según los datos. Pero, si nos fijamos bien, hay una persona que no lee nada y la media se aleja mucho de ese valor (0). Podríamos también calcular la media de libros leídos por las personas que sí leen. La media en ese caso es:

30 1 16 1 14 60 5 5 20 3 3

Esta media se aproxima más a los datos de las personas que sí leen y es un resultado más adecuado que la media anterior.

1

• Podemos hallar la media de faltas en general, 5 faltas, y la media de faltas de los niños que faltaron alguna vez, 6 faltas. Es más adecuada la segunda.

En cada caso, indica qué dos medias puedes calcular y calcúlalas. Explica cuál de las dos es más adecuada. Las piezas de fruta que consumió cada niño a la semana fueron: 8 4 0 3 5

El número de hermanos que tiene cada niño es: 3 1 0 0

El número de veces que fueron al cine el año pasado fue: 9 0 7 0 0 8

El número de días que faltó cada niño al colegio el año pasado fue: 8 5 2 0 7 8

230

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76

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SOLUCIONARIO

Las audiencias televisivas

Actividades 1 •  Canal 1: 2 hogares.

Para averiguar la audiencia televisiva, se elige una muestra de 10.000 personas que represente la población del país. En cada hogar, se instala un pequeño ordenador conectado a la televisión que registra en todo momento qué canal se sintoniza.

•  No ven ninguno 5 hogares. 4 • Rating canal 2 5 20 2 Rating canal 4 5 20 2 •  Share canal 1 5 15 5 Share canal 5 5 15 2 •  Rating canal 3 5 20 2 Share canal 3 5 15

Con esta información se calcula el rating y el share, que estiman el éxito o fracaso de un programa. Observa cómo se calculan.

Rating 5

Share 5

1

Número de hogares que ven el programa en un momento dado Número total de hogares que están viendo la televisión en ese momento

Observa la muestra de 20 hogares y el canal que sintoniza cada uno. Las casas en negro tienen el televisor apagado. 5

5

4

3

2

4

5

5

2

3

1

2

2

Número de hogares que ven el programa en un momento dado Número total de hogares de la muestra

2

5

1

Canal 2: 4 hogares. Canal 3: 2 hogares. Canal 4: 2 hogares. Canal 5: 5 hogares.

2 •  Rating canal 2 5

¿Cuántos hogares ven cada canal? ¿Cuántos hogares no ven ningún canal? ¿Cuál es el rating del canal 2? ¿Y el del canal 4? ¿Cuál es el share del canal 1? ¿Y del canal 5? ¿Cuál es el rating y el share del canal 3?

35 100

• Lo están viendo como mínimo

36 hogares. • Share canal 6 5

54 1.200

Notas

Lee y calcula. En una muestra de 100 hogares, el canal 2 lo están viendo en un momento determinado 35 hogares. ¿Cuál es el rating de este canal? El canal 4, en ese momento, tiene mayor rating que el canal 2. ¿Cuántos hogares, como mínimo, están viendo ese canal? El canal 6, en ese momento, lo están viendo 54 hogares y hay 1.200 hogares que tienen puesta la televisión. ¿Cuál es el share del canal 6? 231

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12/02/2015 17:14:56

77

SOLUCIONARIO

Lo esencial

TAREA 1

TAREA 5

1 • Ocho millones setecientos cinco mil doscientos

cuatro.

8 • sexto

•  duodécimo

•  vigésimo octavo

• noveno •  decimoséptimo •  trigésimo noveno

• Tres millones nueve mil quinientos setenta y ocho. • Veintisiete millones treinta y un mil doscientos cincuenta. • Cincuenta millones ciento ochenta y siete mil cuatro. • Trescientos veinte millones quinientos sesenta y siete mil doscientos treinta y nueve. • Novecientos setenta y un millones ochenta mil seiscientos. 2 • 407.830.112

• 6.º

• 11.º

• 22.º

• 5.º

• 16.º

• 36.º

9 Acabó en el octavo lugar.

TAREA 6 10 • 37  2.042  94  16.250

• XXXIV  CDXIX  MMDCXXXV LXXXIX  CMLXXIV  VIIICMLXXXVI

TAREA 7

• 219.020.700

11 • 28

•  140

•  27

• 800.037.040

• 220

•  250

•  270

• 130

•  212

•  114

TAREA 2 3 • 7 U. de millón 1 4 CM 1 5 DM 1 6 UM 1 8 C 1

1 9 D 1 1 U 5 7.000.000 1 400.000 1 1 50.000 1 6.000 1 800 1 90 1 1 • 1 D. de millón 1 3 U. de millón 1 7 DM 1 1 5 UM 1 8 C 1 8 D 1 2 U 5 10.000.000 1 1 3.000.000 1 70.000 1 5.000 1 800 1 80 1 2 • 4 C. de millón 1 5 D. de millón 1 6 U. de millón 1 1 8 CM 1 2 C 1 4 U 5 400.000.000 1 1 50.000.000 1 6.000.000 1 800.000 1 200 1 4 • 9 C. de millón 1 8 D. de millón 1 5 DM 1 7 UM 1 1 4 D 1 1 U 5 900.000.000 1 80.000.000 1 1 50.000 1 7.000 1 40 1 1

TAREA 8 12 • ,

• .

• .

• .

• ,

•  .

• ,

• .

13 • 29 , 28 , 24 , 0 , 12 , 13

• 211 , 27 , 25 , 11 , 14 , 112

TAREA 9 14 • A (13, 0), B (14, 13), C (12, 14), D (0, 12),

E (23, 12), F (23, 0), G (24, 22), H (0, 24), I (14, 23) 15 

B E

H

TAREA 3 4 • ,

•  ,

•  .

•  ,

•  ,

•  ,

C

5 • 98.760.654 . 9.876.564 . 9.807.654 .

A

. 9.768.564 • 3.699.999 , 32.730.126 , 32.760.123 , , 36.102.884

TAREA 4 6 • 5.000; 9.000; 18.000; 29.000; 376.000;

402.000 • 7.000.000; 10.000.000; 38.000.000; 674.000.000 7 • R. M. 27.888; 27.892; 27.914; 27.904; 27.899

• R. M. 339.999; 338.777; 341.222; 343.888; 337.666

80

G

F D

• Puntos A, C, F y H. • Punto B.

TAREA 10 16 • divisor

• no múltiplo

•  múltiplo/divisible

•  divisor

•  múltiplo/divisible

•  no divisor

•  divisor

•  múltiplo/divisible

TAREA 17

17 R. M.

•  0, 4, 8, 12, 16

•  0, 6, 12, 18, 24

• 0, 7, 14, 21, 28

•  0, 9, 18, 27, 36

27 • Parejas segunda, tercera y quinta.

10 36 90 72 5 5  •  5 6  •  5 18   •  5 24 2 6 5 3

28 • 

TAREA 11

29 R. L.

6 9 22 33 8 12 5   •  5   •  5 14 21 4 6 10 15 18 27 20 30 •  5    •  5 16 24 6 9 3 15 3 10 1 31 •       •     •     •     •  2 7 2 7 2

18 • Divisibles por 2: 18, 40, 90, 48, 180.

30 R. M. 

Divisibles por 3: 18, 90, 45, 15, 48, 180. Divisibles por 5: 40, 90, 45, 15, 180. Divisibles por 9: 18, 90, 45, 180. Divisibles por 10: 40, 90, 180.

• 

TAREA 12

TAREA 18

19 • Div (17) 5 1, 17. Primo.

42 16 21 8 144 117 16 13 ;    •  ; y y y y 48 48 24 24 162 162 18 18 33 80 33 80 50 18 25 9 y y y y •  ;    •  ; 12 12 12 12 20 20 10 10 756 1.944 720 21 54 20 y y •  , ; , 1.296 1.296 1.296 36 36 36 32 • 

Div (28) 5 1, 2, 4, 7, 14, 28. Compuesto. Div (13) 5 1, 13. Primo. Div (20) 5 1, 2, 4, 5, 10, 20. Compuesto. Div (19) 5 1, 19. Primo. Div (25) 5 1, 5, 25. Compuesto. Div (34) 5 1, 2, 17, 34. Compuesto.

TAREA 19

TAREA 13

33 • ,

20 • 15

•  36

• 30

• 24

•  35

•  18

• .

• ,

• ,

• ,

TAREA 20 34 • 42 centésimas: 0 coma 42.

TAREA 14

• 175 milésimas; 0 coma 175.

21 • 10

•  6

•  2

• 4

•  1

•  4

• 9 centésimas; 0 coma 09. • 8 unidades y 4 décimas; 8 coma 4. • 6 unidades y 83 centésimas; 6 coma 83.

22 • El m.c.m. es el mayor de ellos y el m.c.d.

• 9 unidades y 136 milésimas; 9 coma 136.

es el número menor de ambos. • No, si los dos son pares, el m.c.d. sería como mínimo 2.

• 27 unidades y 8 centésimas; 27 coma 08.

23 • m.c.m. (2, 4 y 10) 5 20

• 135 unidades y 9 décimas; 135 coma 9.

• 46 unidades y 34 milésimas; 46 coma 034.

Pasarán 20 días.

• 207 unidades y 42 centésimas; 207 coma 42.

• m.c.d. (40 y 28) 5 4 Pondrá 4 piezas en cada bolsa.

TAREA 15 1   2 15 •    7 24 • 9

1   3 14   3

6

3   4 27   4

3

4

1   5 45   8

6

1   6 65   7

4

TAREA 16 11 3 25 •  5 2   4 4 26 

9 10 97 9

35 • 0,7

• 3,4

• 9,5

• 0,09

• 2,15

• 3,04

• 0,042

• 6,008

• 8,295

TAREA 21 36 • 1 d 1 3 c 5 0,1 1 0,03

• 7 d 1 2 c 1 9 m 5 0,7 1 0,02 1 0,009 • 1 U 1 3 c 1 5 m 5 1 1 0,03 1 0,005 • 2 D 1 9 U 1 7 d 5 20 1 9 1 0,7

10 4 51   6 6

9 1 54   2 2

• 6 U 1 2 d 1 4 c 5 6 1 0,2 1 0,04 • 3 D 1 2 c 1 8 m 5 30 1 0,02 1 0,008 • 8 D 1 2 U 1 4 d 5 80 1 2 1 0,4 • 7 D 1 2 U 1 1 m 5 70 1 2 1 0,001 • 4 C 1 7 D 1 6 c 5 400 1 70 1 0,06 • 3 C 1 9 U 1 5 m 5 300 1 9 1 0,005

81

TAREA 22 37

0

TAREA 28

1

3

2

3,1

3

3,2

4

3,3

3,4

5 3,5

TAREA 23 38 • .

•  ,

• ,

•  .

•  .

•  ,

• ,

•  .

50 • 315.360

• 17,155

• 356,1

•  625.240

• 129,3108

• 18,72

• 127.098

• 17,85104

• 1.305,48

51 • 36.500

• 650

• 12.500

• 89.000

• 3,9

• 827.000

• 7.280.000

• 25

• 0,6

39 • 3,654 . 3,645 . 3,546 . 3,465 . 3,456

TAREA 29

• 9,4 . 9,323 . 9,32 . 9,316 . 9,288

52 • c 5 634, r 5 30

• c 5 687, r 5 206

TAREA 24

• c 5 0,916

40 • 0  3  8  9  10  14

• c 5 1,742, r 5 0,002

• 0,04  0,12  2,78  4,63  8,33  27,63

• c 5 128

41 • R. M. 4,68; 4,72   •  R. M. 2,342; 2,339

• c 5 84, r 5 3,2 • c 5 82

TAREA 25

• c 5 0,52, r 5 0,057

1.628 7 75 346 0,09 6,135 2,49 0,479 100 10 100 1.000 893 43 • R. M.  100

53 • 308

• 23,904

• 0,53

• 619.482

• 586

• 191,8

• 109

• 15,2

• 3,7

54 • 0,28

• 0,95

• 0,289

• 0,46

• 0,644

• 0,675

• 0,129

• 0,045

• 0,04756

• 0,1175

• 0,0372

• 0,0869

42 •  

TAREA 26 44 • 32.662

•  15,965

•  56,45

• 637.269

•  18,926

•  37,317

• 275.036

•  27,691

•  34,999

45 • R. M. 3.289 1 4.220; 7.300 1 209

• R. M. 23,2 1 2,564; 20,76 1 5,004 • R. M. 3,2 1 4,8; 2,25 1 5,75

Tres cifras:  • 1,125  • 1,494  • 1,123

TAREA 30 56 • 4,34 , 4,49 ,

TAREA 27

9 2

7 , 0,9 8 14 • 2,799 , , 2,83 5 • 0,874 ,

46 • 14.688

•  2,435

•  22,45

• 97.643

•  11,034

•  18,683

• 141.878

•  10,545

•  12,9

47 • 115

• 5,45

• 0,84

TAREA 31

• 1.674

• 1,14

• 20,35

57 • 36; base: 3, exponente: 6

• 999

• 6,144

• 1,13

• 63; base: 6, exponente: 3

48 • R. M. 9.509 2 2.000; 9.989 2 2.480

• 55; base: 5, exponente: 5

• R. M. 5,86 2 2,02; 9,98 2 6,14

• 104; base: 10, exponente: 4

• R. M. 18,2 2 3,2; 15,93 2 0,93

• 27; base: 2, exponente: 7

49 • 8,25 1 7,9 5 16,15; 8,25 1 4,276 5 12,526

• 92; base: 9, exponente: 2

7,9 1 4,276 5 12,176; 8,25 2 7,9 5 0,35 8,25 2 4,276 5 3,974; 7,9 2 4,276 5 3,624

82

55 • Dos cifras:   •  1,14   •  2,91   •  1,75

58 • 112; 121

• 45; 1.024

• 93; 729

• 106; 1.000.000

59 •  3

• 1

• 7

• 2

• 4

• 6

60 • 6 3 10 1 5

TAREA 36

• 9 3 10

21 8 33 •  10 71 • 

2

• 8 3 10 1 1 3 10 1 4 • 7 3 102 1 3 3

• 2 3 10 1 7 3 10 1 1 • 5 3 103 1 8 3 102 1 2 3 10 1 3

• 5 ,

80 , 9 

26 , 6 

•  6 

•  9 

• 6

14 3 22 •  15

5 4 27 •  98

72 • 

• 4 3 104 1 3 3 102 1 2 •  8 ,

•  4 ,

•  7 ,

20 , 5

50 , 8 

62 • 7

• 2

• 81

• 64

• 5

• 3

5 16

30 7 27 •  4 • 

• 12 • 49

TAREA 37

• 3 3 104 1 9 3 103 1 2 3 102 1 7 3 10 1 4 61 • 5 

• 

•  10

73 • R. M.

• 

• 

3 7

• 20 1 •  45

• 12

3 2 12 1 3   •  R. M. : 5 3 9 3

TAREA 38

TAREA 32 63 • 2

• 25,174

• 7,58

• 51,957

• 7

• 16

• 14,364

•  12,08

• 32

• 0,047

9 25 521 •  90 74 • 

17 •  2 4 •  15

3 20 2 •  15 • 

TAREA 39

64 • 700

• 6.600

• 92.300

5   • 0,09 5 100 40 • 0,40 5   •  0,55 5 100

• 100

• 2.700

• 9.500

76 • 15

• 90

• 2.380

• 12,8

• 15,2

• 21,9

• 15

• 2.100

• 4.416

• 4,5

• 2,4

• 14,4

77 • 4.000 2 4.800 2 3.600 2 4.608

75 • 0,05 5

TAREA 33

65 • 36.000  162.000  5.168.000

, 45 % de 90

TAREA 34 10 9

17 •  4

TAREA 40 5 •  2

• 8

45 73 66 •  •  •  8 15 7 3 5 11 4 67 • R. M.  1   • R. M.  1 4 8 5 5

18 •  5

TAREA 35 4 68 •  9 4 •  5

9 •  2 43 •  7

11 •  10 7 • 14 •  2 17 6 70 • R. M. 2     •  R. M. 8 8 69 • 

6 5

8 •  3 13 •  9

12 100 87 100

78 • 20 % de 30 , 30 % de 40 , 30 % de 90 ,

• 7,44   48,1       105

66 • 

9   • 0,12 5 100 55   • 0,87 5 100

8 •  3 19 •  8

49 2 7 •  6 27 2 2 5 5 • 

79 • 5 2 10 2 4 2 7 2 8

3 2 28 2 6 2 8 80 • 21 : 7 5 3; 3 3 5 5 15; 24 : 3 5 8

Cinco kilos habrían costado 15 €. Con 24 € habría podido comprar 8 kg. • 840 : 7 5 120; 120 3 4 5 480 Cuatro máquinas producen 480 piezas. • 24 : 6 5 4; 100 : 4 5 25 Tienen el pelo moreno el 25 %. • 1 cm son 800 cm 5 8 m. 5 3 8 5 40; 3 3 8 5 24 El jardín mide 40 m de largo y 24 m de ancho. • 1 cm son 20.000 cm 5 200 m. 4.000 : 200 5 20 Medirá 20 cm en el mapa.

83

TAREA 41

91 • 0,27 km2 . 275 dam2 . 2,7 hm2 5 27.000 m2

81 • 38.000 dm

• 35 ℓ

• 7.500 cm

• 0,089 kg

• 0,975 kl

• 0,47 dag

• 20 cl

• 25 m

• 137.500 mg

• 8,75 km

• 290.000 cg

• 60 ml

• 4,5 dam

• 0,93 kl

• 125 mm

• 14 g

• 4.280 dl

• 92,6 kg

• 970.000 mm2 5 9.700 cm2 . 0,96 m2 . . 95 dm2 • 0,5 ha 5 5.000 ca 5 50 dam2 . 5 a 5 500 m2 92 • Hay que añadir 9.950 m2.

• Hay que restar 1,3 m2. Hay que restar 0,8 m2.

TAREA 44 93 • 160 dam3 3

• 0,038 dm3 3

• 0,45 m

• 0,028 m

• 900.000 cm3

82 • 6.505,9 m

400,171 m

• 42.000 ℓ

• 0,176 dm3

• 40 dm3

• 0,79 ℓ



0,793 ℓ

• 0,0035 ℓ

• 0,995 m3

• 70.000 dm3

• 490 g



90,61 g

94 • 9 hm3 . 90 dam3 . 9.000 m3

83 • 0,45 dam 5 45 dm . 4,49 m . 0,03 hm

• 0,12 m3 . 12 dm3 . 1.210 cm3

• 0,3 kl . 280 ℓ . 2.750 dl . 2,7 hl

• 600 ℓ . 0,06 kl 5 60 dm3 . 6.000 ml

• 171 dag . 17 hg . 1,65 kg . 18.200 cg . . 1.800 dg 84 • 420 dam

• 4,45 dal

• 12 q

• 420 hg

TAREA 45 95 • 1 billete de 200 €, 1 billete de 5 €, 1 moneda

de 2 €, 1 de 1 €, 1 de 20 cts., 1 de 10 cts. y 1 de 5 cts.

TAREA 42

• 1 billete de 500 €, 1 billete de 100 €, 1 billete de 50 €, 2 billetes de 20 €, 2 monedas de 20 cts. y 2 de 1 cént.

85 • 240 min   192 min   60 min

•  54.0000        25.6800   43.4450

• 1 billete de 500 €, 1 billete de 200 €, 1 billete de 100 €, 1 billete de 50 €, 1 billete de 20 €, 1 billete de 10 €, 1 billete de 5 €, 1 moneda de 2 €, 1 moneda de 1 €, 1 moneda de 50 cts., 1 moneda de 20 cts., 1 moneda de 10 cts., 1 moneda de 5 cts., 1 de 2 cts. y 1 de 1 cént.

• 6 h 56 min 40 s   8 h 58 min 20 s 12 h 15 min • 51° 209   81° 409   83° 249 86 • 18.120 s , 304 min , 5 h y 7 min

• 5º y 209 , 5º y 1.4000 , 20.000 87 • 7 h 44 min

8 h 7 min 17 s

• 59º 19 490

38º 259 490

• 1 billete de 500 €, 2 billetes de 200 €, 1 moneda de 20 cts. y 1 de 5 cts.

• 1 h 28 min

3 h 51 min 3 s

96 • Faltan 140,50 €.

• 15º 39 480

10º 389 250

• Faltan 65,40 €. • Faltan 264,40 €.

88 • 1 h 47 min 32 s

• 44º 599 100

TAREA 46

TAREA 43

97 • R. L.

89 • 9.500 m2

• 0,009 dam2

• 0,045 km2

• 70.000.000.000 mm2

• 3,8 dm2

• 1.200.000 cm2 • 9,75 ha

• 428 dam2

• 4 ha

• 200 ca

• 0,0995 ha

• 0,7 ca

90 • 9.000.003,7 dm    4.000.000,5 dm2 2

2

• 16,059 dam            80,00326 dam

2

98 • Paralelas: t y u. Secantes: r y s, r y t, r y u, s y t,

s y u. Perpendiculares: s y t, s y u. 99 • Recta r: tangente a 2 y secante a 1.

Recta s: secante a 2 y secante a 1. Recta t: exterior a 2 y exterior a 1.

TAREA 47 100 • 80º: agudo; 120º: obtuso, 150º: obtuso. 101 • R. L.

84

• 9 dam3

102 Adyacentes, adyacentes, consecutivos,

consecutivos.

TAREA 50 114 • P 5 10 cm; A 5 6,25 cm2

P 5 10 cm; A 5 6 cm2 P 5 12,56 cm; A 5 12,56 cm2

103

115 • A 5 (5 3 10 cm 3 6,9 cm) : 2 5 172,5 cm2

• A 5 (12 cm 3 10 cm) : 2 5 60 cm2 • A 5 (20 cm 3 8 cm) : 2 5 80 cm2 • A 5 40 cm 3 15 cm 5 600 cm2

TAREA 48 104

• A 5 p 3 (4 m)2 5 50,24 m2 116 • P 5 16 cm    P 5 12 cm 117 • A 5 3 cm 3 0,8 cm 1 (3 cm 3 2,5 cm) : 2 5

5 6,15 cm2 • A 5 p 3 (2 cm)2 2 4 3 (1 cm)2 5 8,56 cm2

TAREA 51 118 • Poliedro, esfera, poliedro, poliedro, cono,

poliedro, poliedro, cilindro. 119 • Pirámide hexagonal: 7 caras, 7 vértices, 12 aristas.

Poliedro: 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. Prisma hexagonal: 8 caras, 12 vértices, 18 aristas. Prisma cuadrangular: 6 caras, 8 vértices, 12 aristas. 120 • Cubo; prisma triangular; pirámide pentagonal;

105

cilindro; cono.

TAREA 52 121 • A 5 2 3 6 cm 3 3 cm 1 2 3 6 cm 3 10 cm 1

1 2 3 3 cm 3 10 cm 5 216 cm2

TAREA 49 106 • R. L. 107 • Triángulo regular; cuadrilátero; eneágono;

octógono; decágono; heptágono regular; hexágono; pentágono regular. 108 • Isósceles acutángulo; escaleno obtusángulo;

isósceles rectángulo; escaleno acutángulo; equilátero acutángulo; isósceles obtusángulo; escaleno rectángulo.

• A 5 9 cm 3 9 cm 1 4 3 (12 cm 3 9 cm) : 2 5 5 297 cm2 • A 5 (6 3 8 cm 3 6,9 cm) : 2 1 1 6 3 (8 cm 3 12 cm) : 2 5 453,6 cm2 • A 5 2 3 p 3 (5 cm)2 1 2 3 p 3 5 cm 3 10 cm 5 5 471 cm2 • A 5 p 3 (6 cm)2 1 p 3 6 cm 3 10 cm 5 5 301,44 cm2 • A 5 4 3 p 3 (7 cm)2 5 615,44 cm2 122 •  V 5 (6 cm)3 5 216 cm3

109 • R. L.

• V 5 (10 cm 3 10 cm 3 8 cm) : 3 5 266,6 cm3

110 • A: trapezoide; B: trapezoide; C: trapecio;

• V 5 (6 3 10 cm 3 8,7 cm) : 2 3 15 cm 5 3.915 cm3

D: paralelogramo rombo; E: paralelogramo cuadrado; F: paralelogramo romboide; G: paralelogramo rectángulo; H: trapecio; I: trapezoide; J: trapecio. 111

• V 5 p 3 (5 cm)2 3 10 cm 5 785 cm3 • V 5 (p 3 (8 cm)2 3 12 cm) : 3 5 803,84 cm3 • V 5 (4 3 p 3 (10 cm)3) : 3 5 4.186,6 cm3 123 • A 5 10 m 3 10 m 3 6 5 600 m2

V 5 10 m 3 10 m 3 10 m 5 1.000 m3 • A 5 4 3 p 3 (20 dm)2 5 5.024 dm2 V 5 4 3 p 3 (20 dm)2 : 3 5 33.493,33 dm3

112 • Triángulo: 40º. Cuadrilátero: 70º. 113 • Miden 55º cada uno. Medirán 20º cada uno.

• (200 cm)3 ] 4 3 4 3 p 3 (10 cm)3: 3 5 5 7.923,253,34 cm3 • A 5 p 3 (10 dm)2 1 2 3 p 3 10 dm 3 1 dm 5 5 376,8 dm2

85

5

Fracciones. Operaciones

Contenidos de la unidad • Reducción a común denominador.

SABER

NÚMEROS Y OPERACIONES

• Comparación de fracciones. • Suma, resta, multiplicación y división de fracciones. • Reducción de fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y del m.c.m. • Comparación y ordenación de fracciones. • Suma de fracciones.

NÚMEROS Y OPERACIONES

• Resta de fracciones. • Multiplicación de fracciones. • División de fracciones. • Cálculo de operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

SABER HACER

•  Cálculo de operaciones con fracciones,     números mixtos y números naturales. • Resolución de problemas con fracciones.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

TAREA FINAL

• Elección de la representación gráfica que corresponde a una situación. • Resolución de problemas con fracciones representando la situación. • Estudiar la pureza de una joya. • Interés por conocer las relaciones entre los números.

SABER SER

86

FORMACIÓN EN VALORES

• Valoración de la utilidad de las operaciones con fracciones para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.

Banco de recursos para la unidad BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

RECURSOS DIGITALES

Programación didáctica de aula

LibroMedia • Unidad 5: actividades y recursos.

Recursos para la evaluación • Evaluación de contenidos. Unidad 5: controles B y A. Primer trimestre: pruebas de control B, A y E. • Evaluación por competencias. Prueba 5.

LibroNet MATERIAL DE AULA Láminas

• Rúbrica. Unidad 5.

Enseñanza individualizada

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

• Plan de mejora. Unidad 5.

Cuaderno del alumno

• Programa de ampliación. Unidad 5.

•  Primer trimestre. Unidad 5.

Proyectos de trabajo cooperativo

Solución de problemas. Método DECA.

• Proyecto del primer trimestre.

Recursos complementarios

ES0000000001167 454653_Cdno_Matematicas_6-1_22763

• Fichas para el desarrollo de la inteligencia. • Manual de uso de la calculadora. 20760

áti Matem

áticas Matemstre

Matemáticas Primer trimestre

IA

trime Primer

Primer

re trimest

PRIMAR

Proyectos interdisciplinares

Primer trimestre

tre trimes Primer

CUADERNO

IA PRIMAR

PRIMARIA

Aprendizaje eficaz • Técnicas de estudio y preparación de exámenes.

áticas Matem

cas

as_6-1_

tematic

649_Ma

166 454

000001

ES0000

RIA PRIMA

• Operaciones y problemas.

PRIMARIA

CUADERNO

Matemáticas

• Programa de Educación en valores.

ES0000000001167 454653_Cdno_Matematicas_6-1_22763.indd 1

• Programa de Educación emocional.

20/02/2015 9:39:16

5 015 11:44:2

26/01/2

• Inteligencias múltiples. d 1

760.ind

aticas_6-1_20

000001166

ES0000

454649_Matem

SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Octubre

Noviembre

Diciembre

87

Propósitos •  Reconocer situaciones reales donde aparecen fracciones.

5

Fracciones. Operaciones

•  Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo   de la unidad.

Previsión de dificultades •  Trabaje el concepto de fracciones equivalentes al comienzo   de la unidad mostrando cómo reconocerlas y obtenerlas.   Indique que hay infinitas fracciones equivalentes a una dada. •  La reducción de fracciones   a común denominador es un proceso fundamental en el que algunos alumnos tienen dificultades. Asegúrese de que todos lo dominan antes de abordar el resto   de la unidad. •  La realización de operaciones   en las que hay números naturales y fracciones puede plantear dificultades. Haga hincapié en que expresen los números naturales como fracciones de denominador   la unidad y operen después. •  Al realizar operaciones combinadas con fracciones, señale a los alumnos la importancia de tener en cuenta tanto la jerarquía de las operaciones como el correcto cálculo de estas.

¿Cuánto valían las monedas que usaban los romanos? En la época de los romanos ya se utilizaban monedas en la vida cotidiana. El valor de las monedas dependía del peso y de los tipos de metal que contenía cada moneda. Aunque había monedas de oro, por ejemplo, el áureo, las más utilizadas por los romanos en su vida diaria eran las monedas de plata, bronce y, en menor medida, cobre. El denario era la moneda de plata más grande y con ella se suelen comparar las demás monedas. Otra moneda utilizada era el sestercio, cuyo valor era la cuarta parte de un denario. Una moneda muy común, hecha de bronce, era el as y su valor era 1 de denario, es decir, 1 denario eran 16 ases. 16 70

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 70

Trabajo colectivo sobre la lámina Lea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Luego, pídales que comenten sus impresiones sobre ella. Plantee después actividades similares   con el sistema monetario del euro. 1 denario. 4 Se lee un cuarto.

1 1 sestercio 5

Numerador: 1. Denominador: 4. 2 1 denario 5 4 sestercios. 3 1 sestercio 5 4 ases. R. L. 4 1 as 5

88

1 sestercio. R. L. 4

Otras formas de empezar •  Trabaje de forma manipulativa o gráfica la de la lámina inicial y las preguntas planteadas. Para ello forme grupos de alumnos, deles varios cuadrados   de papel divididos en cuatro partes iguales y cada una de estas cuatro   partes en otras cuatro y pídales que, tras leer la lectura, escriban en cada cuadrado pequeño, mediano y grande su equivalencia (cada pequeño   es un as, cada mediano un sestercio y cada grande un denario).   Después, puede hacer actividades de compra y venta dividiendo algunos   de los cuadrados en sus partes más pequeñas.

02/02/2015 12:25:10

UNIDAD

Lee, comprende y razona 1

Expresa, con una fracción, el valor en denarios que tenía un sestercio. ¿Cómo se lee esa fracción? ¿Cuáles son sus términos?

2

¿Cuántos sestercios valía un denario?

3

¿Cuántos ases valía un sestercio? ¿Cómo lo has averiguado?

4

1 áureo. 25 Se lee un veinticincoavo.

5 1 denario 5

SABER HACER

encia Intelig stica lingüí

Un áureo valía 25 denarios. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un denario en áureos? ¿Cómo se lee esa fracción?

6

¿Cuántos sestercios valía un áureo? ¿Y ases?

6 1 áureo 5 100 sestercios.

1 áureo 5 400 ases.

TAREA FINAL Estudiar la pureza de una joya

EXPRESIÓN ORAL. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un as en sestercios? ¿Cómo lo has hallado?

5

¿Qué sabes ya?

Al final de la unidad estudiarás la pureza de distintas joyas. Antes, aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

Trabaje estas actividades para recordar con los alumnos el concepto de fracciones equivalentes y sus procedimientos relacionados (amplificación, simplificación y obtención de la fracción irreducible).

¿Qué sabes ya?

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si expresan una misma cantidad. Si al multiplicar sus términos en cruz los resultados coinciden, son equivalentes. 2 8 5 porque 2 3 12 5 3 3 8 5 24 3 12 Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicando sus términos por un mismo número distinto de cero (amplificación) o dividiendo los dos términos entre un mismo divisor común (simplificación). 12 8

12 24 36 5 5 8 16 24

Amplificación

12 8

Simplificación

12 6 3 5 5 8 4 2

Completa en tu cuaderno para que las fracciones sean equivalentes. 40 8 5 7

3 5 20 2 2

9

35 5 14 70

54 5 18

Obtén fracciones equivalentes a cada una por amplificación y simplificación. 50 40

18 12

28 14

36 100

42 30

71

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 71

1   • 

3 30 5 2 20

• 

8 40 5 7 35

• 

7 35 5 14 70

• 

9 54 5 3 18

2 R. M.

La fracción equivalente a una dada que no se puede simplificar se llama fracción irreducible. 1

5

• 

50 100 25 5 5 5 5 40 80 20 4

• 

18 36 9 3 5 5 5 12 24 6 2

• 

28 84 14 5 5 52 14 42 7

• 

36 72 18 9 5 5 5 100 200 50 25

• 

42 84 21 7 5 5 5 30 60 15 5

02/02/2015 12:25:14

Competencias

Notas

•  Competencia lingüística. Cuando trabaje con los alumnos las preguntas de la lectura, y en especial la de Expresión oral, pídales que razonen de forma clara sus respuestas y que usen términos matemáticos en esas explicaciones. •  Aprender a aprender. Recuerde con los alumnos todo lo que ya conocían sobre las fracciones. Deje clara la idea de progreso en el saber mostrándoles que en esta unidad van a aprender a realizar todas las operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.

89

Reducción a común denominador Método del mínimo común múltiplo

Propósitos •  Reducir fracciones a común denominador por los dos métodos.

5 3 y y 6 8 que tengan ambas el mismo denominador. Observa cómo lo hace. Silvia quiere obtener dos fracciones equivalentes a

Sugerencias didácticas

1.º Halla el denominador común.

Para empezar. Recuerde con los alumnos el método de reducción   a común denominador de los productos cruzados. Para explicar. Muestre la importancia de obtener primero el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común de las fracciones equivalentes, y más tarde obtener los numeradores. Pídales que comprueben que las fracciones obtenidas son equivalentes a las fracciones dadas.

6 4 y 10 10 21 18 •  y 60 60 42 36 •  , y 63 63 24 18 •  , y 60 60

50 42 y 140 140 15 18 •  y 48 48

Es mejor, en general, el método del m.c.m. porque los términos   de las fracciones equivalentes que se obtienen son menores y eso nos facilitará más tarde el trabajo al operar con fracciones. 3 •  Es posible reducir cualquier

grupo. Basta con calcular   el m.c.m. de los denominadores y aplicar el método visto. •  Las fracciones obtenidas   son equivalentes a las dadas   y por tanto siguen siendo menores (o mayores) que   la unidad.

90

5 6

24 : 6 5 4; 4 3 5 5 20

5 20 5 6 24

3 8

24 : 8 5 3; 3 3 3 5 9

3 9 5 8 24

m.c.m. (6 y 8) 5 24

Fracciones equivalentes con el mismo denominador

2

3 4 y 5 10

5 6 y 14 20

2 4 5 , y 3 7 9

7 9 y 20 30

5 9 y 16 24

2 3 7 , y 5 10 12

Reduce a común denominador por los dos métodos y contesta. RECUERDA

Método de reducción de los productos cruzados Multiplica los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra.

3

20 9 y 24 24

Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo.

El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos distinto de cero.

• 

35 63 35 60 64 63 2   •  Productos: y . 28 28 64 63     m.c.m.: y . 28 28 144 90 •  Productos: y . 216 216 24 15     m.c.m.: y . 36 36

5 3 y 6 8

RECUERDA

Actividades 1   • 

Divide el denominador común entre el denominador de cada fracción, y multiplica el resultado por el numerador.

5 3 y 6 8

1

2.º Obtén el numerador de cada fracción.

Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

16 9 y 7 4

12 5 y 18 12

¿Qué método crees que es mejor? ¿Por qué?

Piensa y contesta. ¿Es posible reducir cuatro fracciones a común denominador? ¿Cómo lo harías? ¿Podrías reducir cualquier grupo de fracciones? Si se reducen a común denominador dos fracciones menores que la unidad, las fracciones que obtienes ¿son siempre menores que la unidad? ¿Qué ocurre si reduces dos fracciones mayores que la unidad?

72

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02/02/2015 12:25:17

Otras actividades •  Profundice con los alumnos en la comparación de los dos métodos   de reducción a común denominador, pidiéndoles que reduzcan varias   parejas de fracciones usando los dos métodos. Por ejemplo: 3 2 y    5 7

2 7 y    3 8

4 3 y    15 25

7 5 y    12 18

7 5 y 24 8

Pídales que aporten sus ideas sobre la mayor o menor facilidad   de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones   (si son números bajos o no…). Pídales que comprueben que, aunque   los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos,   pues las fracciones encontradas son equivalentes.

Comparación de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marcos está comparando distintas parejas de fracciones. Para ello mira si tienen algún término igual.

•  Comparar fracciones.

Fracciones con igual denominador

Fracciones con igual numerador

Es mayor la fracción que tiene el numerador mayor.

Es mayor la fracción que tiene el denominador menor.

5 7 , porque 5 , 7 8 8

5 7 y 8 8

8 8 y 3 5

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde   con los alumnos la comparación de fracciones cuando tenían algún término en común. Señale que ahora van a aprender a comparar cualquier grupo de fracciones.

8 8 . porque 3 , 5 3 5

Fracciones con distinto numerador y denominador Primero, se reducen todas las fracciones a común denominador y, después, se comparan los numeradores. 2 4 y 5 6

1

2 4 , 5 6

Para explicar. Deje claro   el procedimiento a seguir: primero, analizar si existe algún término común, y después, en caso contrario, reducir a común denominador y aplicar entonces la técnica para fracciones con denominador común. Pídales que tengan especial cuidado al ordenar grupos e indique que en el caso en el que aparezcan números naturales o números mixtos, deberán expresar estos como fracciones y comparar después.

Compara en tu cuaderno escribiendo el signo correspondiente. 1 2 y 4 3

2

12 20 , 30 30

2 12 4 20 5 y 5 5 30 6 30

2 3 y 7 8

5 1 y 8 6

3 5 y 10 12

7 2 9 , y 15 5 10

5 7 14 , y 8 12 24

Compara. Primero expresa los números naturales y mixtos como fracciones. HAZLO ASÍ

3y

12 5

2

1 8 y 3 3

35 2

15 5

15 12 . 5 5

1 23311 7 5 5 3 3 3

3.

21 y4 5

12 5

22 2 y3 7 7

7 8 , 3 3

2

1 8 , 3 3

17 7 y1 4 8

Actividades

Cálculo mental Resta por compensación: suma el mismo número a los dos términos para que el segundo sumando sea una decena 13

63 2 27 5 66 2 30 5 36 13

1 2 2 3 , •  , 4 3 7 8 5 1 3 5 •  . •  , 8 6 10 12 2 7 9 •  , , 5 15 10 7 14 5 •  5 , 12 24 8

1 • 

54 2 19

72 2 28

42 2 17

43 2 26

47 2 29

64 2 38

51 2 27

52 2 36

78 2 39

85 2 68

84 2 57

71 2 46

81 2 59

93 2 78

95 2 67

99 2 86

73

21 20 . 5 5 22 23 •  , 7 7 17 15 •   . 4 8

2 •  ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 73

02/02/2015 12:25:19

Otras actividades •  Comente otra forma de comparar dos fracciones con distinto denominador y numerador: multiplicar los términos en cruz y comparar los productos obtenidos. Por ejemplo: 3 4 y    5 7

3 3 7 5 21    21 . 20  F  4 3 5 5 20

3 4 . 5 7

Si lo cree conveniente, razone con los alumnos que hacemos lo mismo   que al reducir las dos fracciones a común denominador por el método   de los productos cruzados, aunque, como sabemos que el denominador común será el mismo, podemos comparar los numeradores sin necesidad de hallar dicho denominador.

Cálculo mental •  35   •  44   •  25   •  17 •  18   •  26   •  24   •  16 •  39   •  17   •  27   •  25 •  22   •  15   •  28   •  13

91

Suma de fracciones Propósitos •  Resolver problemas de suma   de fracciones.

Suma

Para empezar. Recuerde con los alumnos cómo se realizaba la suma de fracciones de igual denominador. Puede trabajarla gráficamente si algunos alumnos tienen dificultades.

2 1 y 5 4

5 •  7 31 •  •  24 11 2 •  4 16 •   3 43 •   8 5 1 3 1 5 6 2

23 30 19 •  12 134 •  21 127 •  20 42 •  5

4 3

4 kg. 3 Pesan más de 1 kg.

92

1 5 5 4 20 13 del terreno. 20

Para sumar dos o más fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se suman los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

Suma las fracciones. Fíjate en si sus denominadores son iguales o no. 2 3 1 7 7

2

4 5 1 9 9

3 1 1 5 6

5 4 1 8 6

3 6 1 10 4

Calcula estas sumas de fracciones y números naturales. HAZLO ASÍ

21 1.º Escribe cada número natural en forma de fracción con denominador la unidad. 2.º Suma las fracciones obtenidas. 31

3

2 3 1 1 1 3 4 6

2 3 2 15 2 17 5 1 5 1 5 5 1 5 5 5 5

3 4

51

4 14 3 51

3 8

5 4 1 7 6

6 3 151 10 4 31

7 14 5

Resuelve.

PRESTA ATENCIÓN

Emilio compra filetes de ternera que pesan cinco sextos de kilo y filetes de cerdo que pesan medio kilo. ¿Qué fracción de kilo pesan en total los filetes? ¿Pesan más o menos de un kilo?

Al operar con fracciones, simplifica siempre al máximo la fracción del resultado.

74

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 74

9 5 1 9 9 5

Pesan en total

2 1 8 5 815 13 1 5 1 5 5 5 4 20 20 20 20

Tienen árboles frutales

Llame la atención de los alumnos sobre la importancia de simplificar   los resultados de las operaciones.

1 • 

2.º Sumamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común.

m.c.m. (5 y 4) 5 20

2 8 5 5 20

Para explicar. Comente el ejemplo resuelto, indicando la necesidad de analizar los términos de las fracciones antes de operar. Señale que para poder sumar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. En el caso de suma de fracciones y números naturales, indique que deben   expresar estos como fracciones de denominador 1 y operar después.

Actividades

2 1 y 5 4

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a común denominador.

Sugerencias didácticas

Para reforzar. Plantee a los alumnos preguntas como las siguientes para que practiquen la suma e investiguen: la suma de dos fracciones menores que la unidad ¿es siempre menor que la unidad? ¿Y si las dos fracciones son mayores que la unidad?   La suma de dos fracciones con distintos denominadores ¿puede ser igual a un número natural?

encia Intelig lista r natu a

Leandro tiene un terreno con árboles frutales. En dos quintos del terreno tiene naranjos y en un cuarto, manzanos. ¿Qué fracción del terreno tiene árboles frutales?

•  Sumar fracciones.

• 

02/02/2015 12:25:21

Otras actividades •  Escriba en la pizarra varias sumas de fracciones cambiando el orden   de los sumandos y pregunte a los alumnos si piensan que el resultado   será el mismo. A continuación, calcúlelas en común y comente al final   que la suma de fracciones también cumple las propiedades conmutativa   y asociativa. Por ejemplo: 3 5 5 3 1   y  1 7 6 6 7

( 23 1 53 ) 1 94   y  23 1 ( 53 1 94 )

Resta de fracciones

UNIDAD

5

5

Propósitos Marina necesita medio kilo de chocolate negro y tres cuartos de kilo de chocolate blanco. ¿Qué cantidad de chocolate blanco más que de chocolate negro necesita? Resta

•  Restar fracciones.

Sugerencias didácticas

1 3 a 2 4

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, primero las reducimos a común denominador. 1 3 y 2 4

3 1 3 2 1 322 2 5 2 5 5 4 2 4 4 4 4

m.c.m. (2 y 4) 5 4

1 2 5 2 4

Para empezar. Recuerde con los alumnos cómo se realizaba la resta   de fracciones de igual denominador.

2.º Restamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común.

Para explicar. Comente el ejemplo resuelto, mostrando las similitudes con la suma, tanto al operar con fracciones como si intervienen números naturales o números mixtos.

3 3 5 4 4 Necesita

1 de kilo de chocolate blanco más que de chocolate negro. 4

Para reforzar. Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón. Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los alumnos que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para usarla   como minuendo.

Para restar dos fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se restan los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

1

2

Resta. Fíjate bien en los términos de cada resta. 6 5 2 9 9

2 1 2 7 9

8 2 2 14 6

52

3 7

41 22 15

5 3 2 8 8

3 3 2 5 10

7 10 2 2 3

62

5 8

19 23 5

Calcula en tu cuaderno estas operaciones combinadas con fracciones. Sigue el mismo orden que en las operaciones con números naturales. 2 1 1 1 2 3 4 2 12

2

3 1 2 2 1 5 2 3

1 5 2

10

1

( 34 1 15 ) 2 12

2 5 3

2

6 2 1 2 1 5 3 2

(

1 5 2

2

)

Actividades

5

Razonamiento Explica y calcula. ¿Cómo harías la resta

8 3 7 7 10 2 2 ? ¿Y la resta 2 2 ? 3 4 12 8 4

75

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02/02/2015 12:25:23

Otras actividades •  Proponga a los alumnos que completen los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada fila, columna y diagonal sea siempre el mismo número: 4/8

2/8

1

5/8

10/3

5/3

8/3 6/8

    

3

Al corregirlos en la pizarra, pida a los alumnos que escriban la suma calculada para averiguar el total común y la suma y resta combinadas   para hallar el número de cada casilla.

1 11 5   •    •  •  9 63 21 1 3 1 •     •    •  •  4 10 6 11 1 5 2 •  2 5 12 2 12 1 2 23 •   1 5 10 3 30 19 1 9 •   2 5 20 2 20 6 7 1 •  2 5 5 6 30 1 • 

32   •  7 43   •  8

11 15 4 5

Razonamiento •  En primer lugar se restarían las dos primeras fracciones y luego al resultado obtenido se restaría la tercera fracción: 23 7 16 4    2 5 5 12 12 12 3 •  En primer lugar se expresaría el número mixto como fracción y luego se restarían las dos fracciones: 23 10 3    2 5 8 4 8

93

Multiplicación de fracciones Propósitos En la habitación de Borja, la mitad de una pared está pintada de verde. Borja tiene colgados varios pósteres que cubren tres quintos de la zona verde. ¿Qué fracción de pared cubren los pósteres?

•  Multiplicar fracciones. •  Resolver problemas de multiplicación de fracciones.

Sugerencias didácticas Para empezar. Recuerde con los alumnos cómo se obtenía la fracción de un número.

Zona con pósteres

Para explicar. Presente la situación inicial y muestre cómo se obtiene la solución de forma gráfica. Comente que la expresión «tres quintos de un medio» es lo mismo que calcular el producto de ambas fracciones. Señale que en la multiplicación no es necesario reducir las fracciones a común denominador, aunque sí simplificar el resultado obtenido. Muestre que si aparecen números naturales, se siguen expresando estos como fracciones de denominador 1.

3 de la pared 10

5

El numerador es el producto de los numeradores.

3 1 3 331 5 3 5 5 2 10 532

El denominador es el producto de los dos denominadores. 3 de la pared. 10

Los pósteres cubren

Para multiplicar dos o más fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

1

2

Actividades 3

1 • 

94

3 1 de de la pared 5 2

3 1 3 1 de , es decir, multiplica por 5 2 5 2

Calcula

A la hora de trabajar las operaciones combinadas, señale que la jerarquía de las operaciones es la misma que ya conocían para los números naturales y decimales.

15 10 5 4 1   •    •  •    •  32 21 27 45 45 3 1 1 7 1 •     •      •  •    •  14 8 2 10 72 20 10 15 2 •      •      •      9 3 14 27 63 20 •      •      •    7 8 21 3 8 24 3 •  3 5 5 7 35 7 6 42 •   3 5 5 8 40 2 4 4 32 •   3 3 5 5 2 6 60 3 13 13 4 •  3 5 5 24 40 2 3 37 •  1 5 7 8 56 11 4 5 •   2 2 5 2 15 3 157 5 107   5 2 5 30 3 30

1 de la pared 2

Zona verde

Calcula en tu cuaderno. 3 5 de 4 8

5 2 de 7 3

5 2 de 6 9

2 1 4 3 3 3 5 6

3 1 2 3 3 5 9 6

3 2 3 4 7

2 5 3 10 8

5 3 3 6 5

3 4 7 3 3 5 3 8

2 3 1 3 3 9 8 6

Calcula estas multiplicaciones de números naturales y fracciones. RECUERDA

53

Expresa el número natural como una fracción y luego opera.

4 9

5 36 9

4 3 353 7 8

93

3 7

7 39 8

6 2 3 35 7 9

Completa en tu cuaderno para que las igualdades sean ciertas. 3

3

7

5

24 35

5

3

6

5

4 2 32 5 3 3 6 5 60

42 40

76

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02/02/2015 12:25:26

Otras actividades •  Escriba en la pizarra la expresión a 3 b 5 c. Comente que, al multiplicar dos números naturales (excepto 0 y 1), el producto es mayor que los factores, pero con las fracciones no siempre ocurre así. Escriba varios ejemplos y compruebe en común que: 2 Si b es un número natural, c siempre es mayor que a. Ejemplo:

3 6 6 3 3 2 5 ,  . 5 5 5 5

2 Si b es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor que a.   Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor que a. Ejemplos: 4 3

7 28 28 5 ,  . 4    3 3 3

5 3 15 15 5 3 5 ,  ,   2 4 8 8 2

UNIDAD

5 4

Calcula las siguientes operaciones combinadas.

SABER MÁS

12   Tienen chocolate y crema 35 de los pasteles.

Calcula:

Haz los cálculos en este orden: 1.º Operaciones de los paréntesis. 2.º Multiplicaciones en el orden en que aparecen. 3.º Sumas y restas en el orden de aparición. 2 1 3 2 3 20 9 11 2 3 5 2 5 2 5 3 2 5 3 10 30 30 30

(

4 2 de de 30 5 3

3 1 3 3 5 4 2 8 3    El trozo pesó de kg. 8 4 1 1 •  3 5 9 8 18 • 

8 de 30 15 ¿Qué observas?

)

2 1 1 2 2 3 2 2 6 3 2 1 5 2 3 5 2 5 3 2 4 6 3 4 6 3 24 5

1   Son de madera de chopo 18 de los bancos.

16 6 10 5 2 5 5 24 24 24 12

(

3 3 1 3 1 5 8 6

)

2 1 3 1 3 7 4 2

11 1 4 5 2 3 2 2 3 5 3

 

Problemas 5

Para su cumpleaños, Lola compra pasteles. Tres quintos de los pasteles son de chocolate y cuatro séptimos de los pasteles de chocolate llevan crema. ¿Qué fracción de los pasteles tienen chocolate y crema?

Saber más 4 2 4 de de 30 5 de 20 5 16 5 3 5 8 de 30 516 15

Una empanada pesaba tres cuartos de kilo y Olga compró la mitad. ¿Qué fracción de kilo pesó el trozo de empanada que compró Olga? En un parque hay 90 bancos. Cuatro novenos de los bancos son de madera, y de ellos, un octavo es de madera de chopo. ¿Qué fracción de los bancos es de madera de chopo? ¿Cuántos son?

Ambas expresiones son equivalentes, 4 2 8 ya que de 5 . Calcular 5 3 15 varias fracciones de un número consecutivas equivale a hallar el producto de esas fracciones y aplicarlo a ese número.

Cálculo mental Resta por compensación: resta el mismo número a los dos términos para que el segundo sea una decena

59 2 23 5 56 2 20 5 36 23

35 2 11

45 2 22

64 2 23

75 2 24

46 2 31

63 2 42

75 2 33

66 2 34

79 2 51

74 2 52

86 2 53

79 2 54

80 2 61

81 2 62

92 2 63

82 2 74

Cálculo mental 77

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 77

1 de 90 5 5 18

  Son de madera de chopo 5 bancos.

Resuelve.

23

3 4 12 3 5 5 7 35

5 • 

HAZLO ASÍ

5

02/02/2015 12:25:27

• 24   •  23   •  41   •  51 • 15   •  21   •  42   •  32 • 28   •  22   •  33   •  25 • 19   •  19   •  29   •  8

Otras actividades • Agrupe a los alumnos por parejas. Cada alumno deberá escribir una operación combinada con sumas, restas y multiplicaciones de fracciones sin paréntesis y otra operación que sí incluya paréntesis. Después, la pasará a su compañero para que la resuelva. Más tarde, cada alumno comprobará que su compañero ha resuelto bien la operación que él le planteó. Compruebe en común algunas de las operaciones y sus resoluciones.

Notas

95

División de fracciones Propósitos Elena tiene una caja con 3 kilos y medio de fresas. Las reparte en cestas de un cuarto de kilo cada una. ¿Cuántas cestas prepara?

•  Dividir fracciones. •  Resolver problemas de división   de fracciones.

Fresas

3 kg y medio

1

Sugerencias didácticas

Cestas de 4 kg

Para explicar. Presente la situación de forma similar a lo hecho con la multiplicación, comentando primero la resolución gráfica y después su equivalente numérico. Indique que, para dividir, no es necesario reducir   a común denominador.

Calcula cuántos

3

1 2

7 2

1 kg 5 4 cestas

14 cestas

1 7 7 1 hay en , es decir, divide entre 4 2 2 4

El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

7 1 28 734 : 5 5 14 5 2 4 2 231

El denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Elena prepara 14 cestas con fresas.

Deje claro el concepto de fracción inversa y la posibilidad de dividir   con el algoritmo usual o multiplicando la primera fracción por la inversa   de la segunda.

Para dividir dos fracciones se multiplican sus términos en cruz.

1

Comente que las operaciones combinadas con fracciones siguen la misma jerarquía que las operaciones con naturales.

Calcula estas divisiones. 4 6 : 3 7

2

3

5

3 8

3 5 : 10 4

7 2 : 11 5

3 2 : 2 3

5 : 6

5

5 24

3 : 8

5

15 16

7 : 9

5

7 12

Divide estas fracciones y números naturales. 2 :5 3

4

4 7 : 9 3

Calcula la fracción que falta y completa en tu cuaderno. 3 : 4

Para reforzar. Escriba en la pizarra varias parejas de fracciones (o de número natural y fracción). Pida a los alumnos que dividan la primera fracción entre la segunda. Luego, indique que dividan la segunda fracción entre la primera. Corrija en la pizarra las dos divisiones obtenidas y pida a los alumnos que expliquen la relación que existe entre ambos resultados: son fracciones inversas.

5 2 : 3 6

6 :8 7

4:

1 6

9:

2 3

Halla la fracción inversa de cada fracción dada. HAZLO ASÍ

La fracción inversa se obtiene dividiendo 1 entre la fracción, es decir, cambiando el numerador por el denominador.

3 Fracción 7 inversa

7 3

3 8

5 2

11 7

8 14

78

Actividades 1

2

3 4

5

14 30 4 •  •  5 5 •  9 6 21 6 35 9 •  •  •  25 22 4 3 2 3 3 2 15 •  : 5   •  : 5 4 1 8 8 5 16 5 4 5 7 4 7 •   : 5   •  : 5 6 1 24 9 3 12 2 3 27 •      •     •  24    •  15 28 2 8 2 •  •  3 5 7 14 •  •  11 8 3 9 27 •  3 5 8 4 32

96

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Otras actividades •  Plantee a los alumnos varios problemas de multiplicación o división de fracciones, para que tomen nota de los datos (si tienen dificultad, puede hacerlo un alumno en la pizarra), elijan la operación correspondiente y los resuelvan. Por ejemplo: 2 Roberto empaqueta 6 kg de alitas de pollo en bandejas de 3/4 de kilo. ¿Cuántas bandejas puede hacer? 2 Julia vende en un trozo las tres quintas partes de un queso   que pesa 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa el trozo de queso vendido? 2 Celia empaqueta 2 kg y 3/4 de kg de patatas fritas en bolsas   de cuarto de kilo. ¿Cuántas bolsas prepara?

02/02/2015 12:25:30

UNIDAD

5 5

Convierte cada división en una multiplicación y calcula. 3 4 : 8 9

HAZLO ASÍ

¿Qué ocurre si divides una fracción por otra fracción menor que la unidad? ¿Cómo es el resultado: mayor o menor que la fracción inicial?

12 6 : 7 8

4 3 4 7 437 28 : 5 3 5 5 5 7 5 3 533 15

5 3 : 7 10

Calcula las las siguientes siguientes operaciones operaciones combinadas. combinadas. 66 Calcula PRESTA ATENCIÓN

88 22 11 2 :: 2 33 55 66

1.º Paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Sumas y restas.

(

55 22 11 :: 2 2 33 55 66

)

(

)

88 33 22 33 2 :: 2 1 1 55 44 33 88

77 22 11 3 :: 3 22 33 44

(

)

11 11 55 11 33 :: 2 2 1 1 88 44 22 66

Problemas Problemas Resuelve. 77 Resuelve. Tomás reparte reparte 88 kg kg de de mandarinas mandarinas en en mallas mallas de de tres tres Tomás cuartos de de kilo kilo cada cada una. una. ¿Cuántas ¿Cuántas mallas mallas obtiene? obtiene? cuartos Julia reparte reparte la la mitad mitad de de un un bizcocho bizcocho en en 44 partes partes iguales. iguales. Julia ¿Qué fracción fracción de de bizcocho bizcocho es es cada cada parte? parte? ¿Qué Para Para adornar adornar dos dos tartas, tartas, Mario Mario ha ha utilizado utilizado tres tres cuartos cuartos de de kilo kilo de de fresas fresas yy medio medio kilo kilo de de cerezas. cerezas. En En cada cada tarta tarta ha ha puesto puesto la la misma misma cantidad. cantidad. ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad de de fruta fruta ha ha puesto puesto en en cada cada tarta? tarta?

Razonamiento Lee y contesta.

8 7

3 5

7 8 8 3

Isabel ha dividido dos de estas fracciones y ha obtenido como resultado una fracción cuyo numerador y denominador son el cuadrado de un número. ¿Cuáles son esas fracciones? ¿Cómo es una respecto de la otra? ¿Ocurre lo mismo siempre con este tipo de fracciones? 79

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 79

8 11 88 44 3 5 5 5 6 30 15 12 8 96 16 •  3 5 5 7 6 42 7 5 10 50 •   3 5 7 3 21 8 12 4 6 •  2 5 3 5 15 14 1 56 28 •   : 5 5 6 4 6 3 5 7 150 50 •   : 5 5 3 30 21 7 8 9 3 19 3 •   2 1 5 1 5 5 8 8 40 8 34 17   5 5 40 20 11 1 5 44 5 •   : 1 5 1 5 8 4 6 8 6 152 19   5 5 24 3 3 32 2 7 •  8 : 5 5 10 4 3 3     Obtiene 10 mallas completas,   le sobran dos tercios de malla, es decir, medio kilo. 1 1 •   : 4 5 2 8 1     Cada parte es de kg. 8 3 3 •   : 2 5 4 8 3     En cada tarta pone de kg   8 de fresas. •  

SABER MÁS

8 6 : 5 11

Otra forma de dividir fracciones es multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

5

02/02/2015 12:25:32

•  

1 1 :25 2 4

1     En cada tarta pone de kg   4 de cerezas. 3 1 5 1 5 8 4 8

Competencias

•  

•  Aprender a aprender. Es muy importante para el desarrollo de esta competencia que los alumnos aprecien en las Matemáticas una coherencia   y un progreso en la construcción de su conocimiento del área.   Comente con ellos cómo han ido avanzando en el estudio de las operaciones  con los diferentes tipos de números y cómo las mismas reglas que   ya conocían para las operaciones combinadas de naturales se vuelven   a aplicar ahora en las fracciones.

5     En cada tarta pone de kg   8 de fruta.

Saber más El resultado es siempre mayor   que la fracción inicial.

Razonamiento 8 7 y . 7 8 •  Son fracciones inversas. •  Son las fracciones

•  Al dividir una fracción entre su inversa, siempre ocurre así.

97

Solución de problemas Propósitos •  Elegir la representación gráfica   que corresponde a una situación   en la que aparecen fracciones.

Sugerencias didácticas

Determinar la representación gráfica de una situación Mariola es alfarera. Los tres octavos de las vasijas que ha hecho las ha pintado de color rojo, y la mitad de las vasijas rojas las ha adornado después haciendo dibujos con rayas. ¿Qué representación de las siguientes es correcta? ¿Qué fracción del total de vasijas son rojas y tienen rayas?

Para explicar. Razone en común el ejemplo resuelto, mostrando por qué la primera y la segunda representaciones no son correctas. Indique que son posibles múltiples representaciones de la situación   y que esta es una técnica que nos puede ser útil para entender y resolver algunos problemas con fracciones (como se verá en la página siguiente).

Al resolver problemas con fracciones es útil representarlos. Debes revisar siempre que lo has hecho correctamente. La primera representación no es correcta, ya que se han hecho rayas en los tres octavos rojos, y no en su mitad. En la segunda sí se ha rayado la mitad, pero ha sido de la parte no roja. No es correcta. La tercera representación es la correcta, la que corresponde a la situación del problema. Resuelve tú el problema en tu cuaderno. Haz primero una representación correcta diferente a la de arriba.

Deje que trabajen el resto   de actividades por sí solos y después corrija en común.

Actividades

Averigua qué representaciones corresponden a cada situación y, después, resuelve cada problema.

•  R  . M.



1

En una asociación de senderismo, un cuarto de los socios son jubilados. De ellos, tres cuartos son mujeres. ¿Qué fracción de los socios son mujeres jubiladas?

2

Miguel decoró ayer cuatro décimos de los pasteles con naranja. Después, añadió virutas de chocolate a la mitad de los que tenían naranja. ¿Qué fracción de los pasteles es de naranja con virutas de chocolate?

3 3 :25 8 16

3     Son rojas con rayas 16     de las vasijas. 1 Es correcta la representación

central. 3 1 3 de 5 4 4 16

3 Son mujeres jubiladas 16 de los socios. 2 Son correctas la primera  

y la tercera representaciones   por la izquierda. 4 4 :25 10 20 Son de naranja con virutas 4 de chocolate de los pasteles. 20

Notas

98

80

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 80

02/02/2015 12:25:34

Otras actividades •  Entregue a los alumnos distintas representaciones gráficas, similares   a las trabajadas en esta página, y pídales que inventen y resuelvan problemas que correspondan a cada representación. Después, pídales que dibujen otra representación diferente que corresponda también a cada problema.

UNIDAD

5 2

5

Propósitos

Representar la situación

•  Realizar representaciones gráficas para entender y resolver problemas con fracciones.

Virginia compró un ordenador a plazos. Pagó al contado tres quintos del total y todavía le quedan por pagar 180 €. ¿Cuál era el precio del ordenador? Representa el precio total del ordenador mediante un dibujo dividido en 5 partes iguales. Marca la parte que pagó y la parte que le queda por pagar.

Sugerencias didácticas

1.º Calcula el dinero que representa cada parte. 2 partes son 180 €, luego 1 parte serán 180 : 2 5 90 €.

Para explicar. Trabaje en común el ejemplo resuelto, dejando claro que la representación elegida es solo una de las posibles. Señale la utilidad de esta técnica y cómo el objetivo es determinar el valor de cada una de las partes.

2.º Calcula el precio total del ordenador. Como 1 parte son 90 €, 5 partes serán 90 3 5 5 450 €.

Actividades

3 5

Pagó al contado.

2 5 180 5

Le queda por pagar.

Compruebe que las representaciones que realizan los alumnos son correctas.

Solución: El precio del ordenador era de 450 €.

1 14 : 2 5 7

Resuelve Resuelve cada cada problema problema representando representando primero primero su su enunciado. enunciado.

Cada parte son 7 personas.   3 3 7 5 21. La compañía tiene   21 componentes.

Los dos dos tercios tercios de de los los componentes componentes de de una una compañía compañía de de teatro teatro son son mujeres. mujeres. 11 Los Si Si en en total total hay hay 14 14 mujeres, mujeres, ¿cuántos ¿cuántos componentes componentes tiene tiene la la compañía? compañía? En una una exposición exposición de de cuadros cuadros hay hay 64 64 de de paisajes, paisajes, yy estos estos representan representan 22 En dos dos quintos quintos del del total. total. ¿Cuántos ¿Cuántos cuadros cuadros hay hay en en la la exposición? exposición?

2 64 : 2 5 32.

Sergio ha ha enviado enviado hoy hoy cuatro cuatro novenos novenos de de los los correos correos electrónicos electrónicos que que tiene tiene 33 Sergio

Cada parte son 32 cuadros.

que que enviar enviar esta esta semana. semana. Si Si todavía todavía le le quedan quedan por por enviar enviar 15 15 correos, correos, ¿cuántos ¿cuántos correos correos tenía tenía que que mandar mandar en en total total durante durante la la semana? semana?

5 3 32 5 160. Hay 160 cuadros.

Yolanda es es veterinaria veterinaria yy hoy hoy ya ya ha ha atendido atendido aa tres tres octavos octavos de de los los animales animales que que 44 Yolanda

3 15 : 5 5 3.

tenía tenía citados. citados. Si Si todavía todavía le le quedan quedan por por atender atender 35, 35, ¿cuántos ¿cuántos animales animales en en total total tenía tenía citados citados hoy? hoy?

Cada parte son 3 correos.

Luis se se ha ha apuntado apuntado aa un un curso curso de de informática informática por por horas. horas. Ya Ya ha ha ido ido aa 16 16 horas horas 55 Luis de de clase clase yy esta esta cantidad cantidad representa representa dos dos novenos novenos del del total total de de horas. horas. ¿De ¿De cuántas cuántas horas horas se se compone compone el el curso? curso? INVENTA. Escribe Escribe un un problema problema similar similar aa los los propuestos propuestos en en esta esta página página de de forma forma 66 INVENTA. que representar representar la la situación situación te te ayude ayude aa resolverlo. resolverlo. que

encia Intelig rsonal intrape 81

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 81

Competencias •  Iniciativa y emprendimiento. El desarrollo de esta competencia está ligado, de manera muy directa en Matemáticas, con la invención   de problemas. Anime a los alumnos a ser creativos a la hora de plantearlos,   a presentarlos de formas variadas y en contextos diferentes, siempre   de manera correcta y comprobando que su resolución es posible y se puede realizar con la estrategia presentada en la página.

02/02/2015 12:25:37

3 3 9 5 27. Tenía que mandar   27 correos. 4 35 : 5 5 7.

Cada parte son 7 animales. 8 3 7 5 56. Tenía citados   56 animales. 5 16 : 2 5 8.

Cada parte son 8 horas. 9 3 8 5 72. El curso se compone de 72 horas. 6 R. L.

Notas

99

ACTIVIDADES

Propósitos

1

Copia y calcula.

•  Repasar los contenidos básicos de la unidad. •  Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Actividades 1 •  3/5

•  23/7

•  3/2

•  7/4

•  51/8

•  77/30

•  4/7

•  5/2

•  1/2

•  7/20

•  55/8

•  4/15

2 •  8/15

•10/63

•  5/24

•  12/5

•  3/28

•  5/2

2

4 •  7/24

•  14 5 • 

3

•  8/9 •  40/21 •  14

•  1/5

7 1 5 2 5 12 6 12

4

4 3 2 1 1 6 6 6

1 3 1 4 2

3 16 8

2 3 4 1 1 5 2 6

6 2 2 7 7

11 23 2

3 1 2 5 4

72

5

16 4 64 •   3 5 3 5 15 29 2 87 29 •   : 5 5 9 3 18 6 7 •  2

•  4

•  5

•  7

•  4

•  5 y 3

•  3

•  9 y 5

7 1 7 3 5 4 6 24

• 

1 6 18 1  1 5 5 3 36 36 2

• 

5 15 140 28 : 5 5 9 28 135 27

• 

13 3 65 13  : 5 5 15 5 45 9

1 8

4 2 2 6 5

8

2 5 3 7 9

3 5 3 8 9

8 33 10

2 3 1 3 3 7 4 2

VOCABULARIO. Explica qué es la fracción inversa de otra dada y cómo se obtiene.

6 3 : 9 4

2 7

7:

5 3 : 7 8

4 8

Completa los números que faltan para que las igualdades sean ciertas. 3 5 5 1 7 7 7

5 9 5 1 11 11 11

8 3 5 2 9 9 9

10 3 5 2 15 15 15

4 16 5 3 7 3 21

9

2 18 5 : 5 9 15

10

:

7

3

5

35 27

5

27 50

Calcula. Piensa bien el orden.

( 14 1 32 ) 3 16

( 15 1 23 ) : 35

1 2 3 1 3 3 9 4

9 2 4 2 3 5 8 9

(

5 2 1 1 : 9 7 4 9

3

)

6 2 3 2 : 5 7 8

Piensa y contesta. Si multiplicas dos fracciones mayores que 1, el resultado ¿puede ser mayor que 1? ¿Y menor? ¿Qué ocurre si las dos fracciones son menores que 1?

Divide.

10 Observa el dibujo y calcula qué fracción

de tableta es.

8 :4 10

Calcula.

(

5 2 1 2 2 4 3 6

10 4 62 1 5 3 5 15

31 2 79 •   2 5 7 3 21

5 6

5 2 1 2 2 4 3 6

6

7 2 2 10 10

Multiplica.

4:

7 11 11 •   2 2 5 4 15 60 61 11 50 5   5 2 5 5 60 60 60 6

100

2 7

1 3 : 8 7

17 1 13 •   1 2 5 14 14 28 18 13 23   5 2 5 14 28 28

8 • 

31

33

5 3 9 3 •   2 5 5 4 6 12 4

6 • 

2 1 1 5 5

4 2 3 3 5

3 R. L.

7

3 2 1 13 2 1 2 2 7 14 28

)

(

)

7 2 1 11 2 2 1 4 5 3 60

Escribe cada número mixto en forma de fracción y calcula.

Una tableta de chocolate negro y 5 onzas de ese chocolate. Una tableta de chocolate con leche y 2 onzas de ese chocolate. Dos tabletas de chocolate blanco y 1 onza de ese chocolate.

3

1 4 1 3 5

5

1 4 3 3 5

3 onzas de chocolate negro, 1 tableta de chocolate con leche y 1 onza de blanco.

4

3 2 2 7 3

3

2 2 : 9 3

1 tableta de chocolate con leche, 2 onzas de negro y 1 onza de blanco.

82

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Otras actividades •  Pida a los alumnos que inventen y calculen una suma, una resta,   una multiplicación y una división de dos fracciones y de una fracción   y un número natural. A continuación, indique a cada alumno que copie   en una hoja las ocho operaciones desordenadas, pero sin escribir el signo de la operación realizada, y se la entregue a un compañero. Este deberá averiguar qué operación se ha hecho en cada caso.

02/02/2015 12:25:41

UNIDAD

5 Problemas 11 Resuelve.

• 

9 8 608 76 2 5 5 5 72 360 45

• 

6 16 46  2 5 5 21 105

12 Piensa y resuelve.

En la primera etapa de una carrera ciclista se recorren dos novenos del total y en la segunda, tres quintos. ¿Qué fracción del camino se recorre entre las dos etapas?

Pablo reparte tres quintos de su colección de monedas antiguas en partes iguales entre sus cuatro nietos. ¿Qué fracción del total de las monedas le corresponde a cada uno?

La bandeja de pasteles pesa tres cuartos de kilo. Tiene pasteles de crema y pasteles de nata. Si un sexto de kilo son de crema, ¿qué fracción de kilo son pasteles de nata?

En un parque, dos quintos de los árboles son castaños. De ellos, un cuarto tienen una plaga. ¿Qué fracción de los árboles del parque son castaños que no tienen plaga?

9 •  Es mayor que 1 siempre.

•  Es menor que 1 siempre. 10 •  1 1

La finca 1 la dividió en 8 parcelas iguales y vendió 3 de las parcelas.

2 6 3 5 5 4 4 2

•  2 1

1 5 5 2 2

• 

La finca 2 la dividió en 12 parcelas iguales y vendió 5 de ellas.

3 1 12 1 1 1 5 52 6 2 6

•  1 1 ¿Qué fracción de cada finca le queda por vender a Alejandro?

5 11 5 6 6

•  1 1

13 Resuelve.

Alejandro tenía dos fincas iguales.

5

2 1 11 1 5 6 2 6

37 del camino. 45 7 •  Son de nata de kilo. 12

11 •  Se recorren

¿De cuál de las dos fincas ha vendido más terreno? ¿Qué fracción de terreno ha vendido más de una finca que de otra? ¿Qué fracción representa la parte que ha vendido en total?

12 •  A cada uno le corresponden

Un cuarto de la parte vendida en la finca 1 se dedicará a sembrar trigo. ¿Qué fracción de la finca 1 es?

del total.

3   20

3 •  Son castaños sin plaga   10 de los árboles.

Dos tercios de la parte vendida en la finca 2 se dedicarán a construir chalés y el resto a jardines. ¿Qué fracción de la finca 2 se dedicará a jardines?

5 7 . Finca 2: . 8 12 3 5 •  De la finca 2 , . 8 12 1 •  Ha vendido más de la   24 finca 2. 19 •  Ha vendido en total. 24 3 •  Se dedicarán a trigo. 32 5 •  Se dedicarán a jardines. 36

13 •  Finca 1:

(

Demuestra tu talento 14 El jueves me comí un quinto de las nueces que tenía.

El viernes me comí tres cuartos de las nueces que me habían quedado del jueves. El sábado tenía 4 nueces. ¿Cuántas nueces tenía el jueves?

83

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Competencias •  Competencia social y cívica. En la actividad 13 aparece un contexto   en el que se pueden plantear debates sobre distintos aspectos relacionados con esta competencia: la explotación de los recursos naturales, el medio rural y sus peculiaridades, la compraventa… Pida a los alumnos que comenten sus impresiones sobre ellos y anímeles a actuar siempre como ciudadanos responsables.

06/02/2015 7:51:00

)

Demuestra tu talento Rayado: lo comido el jueves. Punteado: lo comido el viernes.

Cada parte que queda sin puntear   ni rayar (4 partes) representa 1 nuez, ya que quedaron 4 nueces sin comer, luego en total había 15 nueces   el jueves.

101

SABER HACER

Propósitos

Estudiar la pureza de una joya

•  Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

Seguro que alguna vez has visto un anillo de oro, y tal vez pensaste que se trataba de oro puro. Normalmente, el oro se mezcla con otros metales. Para medir la pureza de las joyas hechas en oro o plata se utiliza el quilate.

•  Repasar contenidos clave.

El quilate nos indica la parte de oro que hay en una joya. Un quilate significa que, de cada 24 partes del peso de una joya, 1 parte es de oro y las otras 23 partes son de otros metales con los que se ha mezclado el oro.

Actividades pág. 84 1 •  Un quilate es la forma  



de expresar la fracción de oro que tiene una joya. 1     1 quilate 5 24

De este modo, si vamos a una joyería y compramos un anillo de oro de 18 quilates, 18 del peso total de la joya. eso significa que son de oro los 24 1

15 12 •  Oro: . Oro: . 24 24     Contiene más parte de oro   el oro de 15 quilates.

Piensa y responde a estas preguntas. ¿Qué es un quilate? Exprésalo como fracción. ¿Qué significa oro de 15 quilates? ¿Y de 12 quilates? ¿Cuál contiene más parte de oro? ¿De cuántos quilates tiene que ser una joya para que sea toda de oro? Escribe la fracción que lo representa.

•  Debe ser de 24 quilates. 24    51 24

2

Observa el peso y los quilates de estas joyas y calcula los gramos de oro que contiene cada una. ORO 18 quilates 8g

18 16 2 8 3 5 6; 54 3 5 36 24 24

20 5 15 24 Los pendientes tienen 6 g de oro, el collar 36 g y el colgante 15 g.

ORO 16 quilates 54 g

ORO 20 quilates 18 g

18 3

3

Lucía compra una pulsera de oro de 16 quilates cuyo peso es de 54 gramos. Si un gramo de oro puro cuesta 130 €, ¿cuánto cuesta el oro de la pulsera?

16 3 •  54 3 5 36 24

¿Qué parte del peso de la pulsera no es de oro? ¿Cuántos gramos son?



    36 3 130 5 4.680



    El oro cuesta 4.680 €. •  N  o son de oro

4

    No son de oro 18 g. 4 R. L.

Actividades pág. 85 1 •  18 3 2 2 18 : 3 5 36 2 6 5 30

•  7 1 60 2 3 5 64 •  9 1 7 2 8 1 25 5 16 2 8 1 25 5 5 8 1 25 5 33 •  18 2 12 1 5 2 7 5 6 1 5 2 7 5 5 11 2 7 5 4 2 34; 104; 4 3 4 3 4 3 4 3 4;  

10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10; 11 3 11 3 11 3 •  210 , 27 , 23 , 22 ,

, 14 , 15 •  212 , 211 , 29 , 0 , , 15 , 18

TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero. Imagina que tú y tu compañero queréis comprar un anillo de oro. En la joyería os dan a elegir entre uno de 18 quilates y otro de 20 quilates, ambos de igual precio. ¿Cuál debéis elegir? ¿Qué necesitaríais saber para elegir el mejor anillo?

8 . 24

    54 2 36 5 18

102

Resuelve.

encia Intelig rsonal interpe

84

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 84

Desarrollo de la competencia matemática •  El contexto de la página es interesante y ofrece una situación cotidiana   en la que aplicar los contenidos trabajados en la unidad. Muestre   a los alumnos la utilidad de sus aprendizajes y la posibilidad   de su concreción en la vida diaria. Pídales que por parejas planteen actividades similares a las de esta página y resuelva algunas de ellas   en común, aprovechando para detectar y corregir posibles conceptos erróneos.

02/02/2015 12:25:50

1

Calcula. 42 : 6 1 12 3 5 2 3

Escribe todos los números enteros comprendidos entre 28 y 18.

4 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 0,

5

Escribe.

5 •  0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,

9 1 21 : 3 2 4 3 2 1 25

Los diez primeros múltiplos de 5.

18 2 4 3 3 1 25 : 5 2 7

Los diez primeros múltiplos de 10.

6

•  0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 ,70, 80, 90 •  1, 2, 3, 4, 6, 12

Calcula.

•  1, 2, 3, 6, 9, 18

m.c.m. (10 y 25) m.c.m. (2, 8 y 15)

10 3 10 3 10 3 10

3

40, 45

Los divisores de 18.

Potencia

3333333

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Los divisores de 12.

Copia y completa en tu cuaderno.

Producto

4

5

10

6

11

3

6 •  50

m.c.d. (20 y 12)

•  120

m.c.d. (14, 16 y 18)

Ordena de menor a mayor cada grupo. 14, 22, 27, 15, 23 y 210 15, 212, 29, 18, 211 y 0

7

•  4

Estudia la divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 de estos números. 15 30

20 40

•  2 7 Por 2: 20, 270, 120, 30, 40.

120

270 45

Por 3: 15, 270, 120, 30, 45, 135.

135

Por 5: 15, 20, 270, 120, 30, 40, 45, 135. Por 9: 270, 45, 135.

Problemas 8

9

En la feria de artesanía Paula vendió un total de 60 pulseras. La mitad las vendió a 18 € cada una, un tercio a 15 € y el resto a 9 €. ¿Cuánto recaudó Paula por la venta de las pulseras? Una furgoneta de reparto lleva 24 cajas de refrescos. En 13 cajas lleva 12 refrescos y en el resto, 18 refrescos en cada una. En un supermercado deja un tercio de las cajas. ¿Cuántos refrescos, como máximo, quedan en la furgoneta?

5

4

(14 1 6 2 2) 3 2 2 18 : 3

2

UNIDAD

5

REPASO ACUMULATIVO

Por 10: 20, 270, 120, 30, 40. 8 60 2 60 : 2 2 60 : 3 5 10

11 El día 4 se constiparon 16 personas en

una clase. Cada día se constiparon el doble de personas que el día anterior. ¿Cuántas personas se constiparon el día 7?

30 3 18 1 20 3 15 1 10 3 9 5 5 930

12 A las 9 de la mañana la temperatura en

Valcorto era de 28 ºC. A las 12 horas era dos grados mayor, a las 15 horas tres grados más que a las 12, y a las 21 horas nueve grados menos que a las 15 horas. ¿Qué temperatura había cada hora?

9 24 : 3 5 8

(13 2 8) 3 12 1 11 3 18 5 258 Como máximo quedan 258 refrescos (todas las cajas que deja son de 12 refrescos).

10 Paco tiene un helecho que riega cada 5 días

y un cactus que riega cada 12 días. Hoy ha regado las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días volverá a regar las dos plantas por primera vez? ¿Cuántas veces habrá regado el cactus?

10 m.c.m. (5 y 12) 5 60

Pasarán 60 días hasta que riegue ambas de nuevo. 85

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 85

Recaudó 930 €.

02/02/2015 12:25:52

Antes de ese día habrá regado el cactus 11 veces. 11 16 3 2 3 2 3 2 5 128

Se constiparon 128 personas.

Repaso en común •  Forme grupos de cuatro alumnos y pida a cada grupo que inventen un problema utilizando una o más operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división, y lo resuelvan. Recoja los problemas propuestos y plantee algunos de ellos, para que todos los alumnos los resuelvan en el cuaderno. Uno de los alumnos del grupo que lo inventó lo hará en la pizarra para corregirlo.

12 A las 12 h: 26 ºC.

A las 15 h: 23 ºC. A las 21 h: 212 ºC.

Notas

103

Repaso trimestral

Actividades 1 • 3 U. de millón 1 4 CM 1

1 5 DM 1 9 C 1 2 U

NÚMEROS

Tres millones cuatrocientos cincuenta mil novecientos dos.

1

Descompón cada número y escribe cómo se lee.

• 7 U. de millón 1 5 DM 1 1 3 UM 1 8 D 1 1 U Siete millones cincuenta y tres mil ochenta y uno.

2

3

• 6 D. de millón 1 7 CM 1 1 1 UM 1 5 C

4

Sesenta millones setecientos un mil quinientos. • 4 C. de millón 1 8 U. de millón 1 1 5 CM 1 2 DM 1 1 UM 1 2 C 1 7 U

5

Cuatrocientos ocho millones quinientos veintiún mil doscientos siete.

85.026.004

408.521.207

7.053.081

60.701.500

910.600.040

Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

• 8 D. de millón 1 5 U. de millón 1 1 2 DM 1 6 UM 1 4 U Ochenta y cinco millones ventiséis mil cuatro.

3.450.902

43434

939

33333333333

6363636

535353535

2323232323232

Compara y escribe el signo . o ,. 12 y 15

23 y 0

12 y 29

22 y 26

27 y 23

0 y 14

15 y 25

28 y 13

Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos. A (22, 11)

C (12, 15)

E (22, 0)

G (0, 25)

B (24, 23)

D (14, 23)

F (0, 14)

H (13, 0)

Ordena cada grupo de menor a mayor. Expresa primero todos los números en forma de fracción. 12 5

11 4

2 1 6

2

10 6

7 3

3 2 7

4 1 2

60 14

• 9 C. de millón 1 1 D. de millón 1 1 6 CM 1 4 D Novecientos diez millones seiscientos mil cuarenta.

OPERACIONES

2 •  43; 4 al cubo

6

Calcula.

4

• 6 ; 6 a la cuarta

95.286 1 18.089

278 3 897

70.794 : 621

• 92; 9 al cuadrado

104.093 2 6.578

3.075 3 650

41.640 : 382

• 55; 5 a la quinta

4 3 (7 1 2)

18 : 2 2 (5 2 3)

9:31234

20 2 10 : 2

(7 1 2) 3 3 2 8

12 2 6 3 (10 : 5)

• 36; 3 a la sexta • 27; 2 a la séptima

7

3 •  ,   •  ,   •  .   •  .

74

85

3

9

9

• ,   •  ,   •  .   •  , 4

Calcula estas potencias y raíces.

2

107 3

6

46 6

4

19 10

4

•4

•9

• 64

• 25

• 45

•1

• 16

• 100

• 81

• 24

86

15

C ES0000000001166 454649_Repaso 1erTRM_18090.indd 86

F 14 13 12

A E 25 24 23 22 21

11

22

B

23 G

5 •  2 ,

24 25

12 11 , 5 4

10 1 7 •  ,2 , 6 6 3 • 3

104

H

11 12 13 14 15 21

2 60 1 , ,4 7 14 2

D

02/02/2015 12:24:14

PRIMER TRIMESTRE 8

9

6 •  113.375

Calcula y escribe. Los tres primeros múltiplos de 9.

Cuatro divisores de 24 y cinco de 40.

Los seis primeros múltiplos de 2.

Todos los divisores de 12 y de 20.

•  97.515

•  249.366

•  1.998.750 •  c 5 109, r 5 2

m.c.m. (4 y 10)

m.c.m. (5 y 15)

m.c.m. (3, 4 y 8)

•  c 5 114

m.c.d. (5 y 9)

m.c.d. (8 y 20)

m.c.d. (4, 6 y 8)

•  36   •  7    •  11 •  15   •  19   •  0

Calcula. 2 3 1 5 4

11 7 2 3 6

2 3 3 8 5

6 2 : 9 3

13 7 5 2 : 3 6 12

7 13 2

15 22 4

3 34 7

8 :2 10

15 2 7 2 :2 3 2 3 4

(

7 • 2.401; 32.768; 512;

10.000.000; 729; 4.096; 1.296; 1; 10.000 •  2  3  8   5   6 , • 45 , 7

)

   1  4  10  9   4 , • 24 , 5 8 •  0, 9, 18

PROBLEMAS

•  1, 2, 3, 4; 1, 2, 4, 5, 8

10 Resuelve.

•  0, 2, 4, 6, 8, 10

En una exposición de bonsáis hay 300 árboles. Un tercio son sabinas, y del resto, un cuarto son pinos. ¿Cuántos pinos hay en la exposición?

•  1, 2, 5, 10; 1, 2, 4, 5, 10, 20

Manuel va a su pueblo cada 14 días y Sara, cada 21. Hoy se han visto los dos allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a verse de nuevo en el pueblo?

•  20

•  15

•  24

•  1

•  4

•  2

23 5 3    •     •    • 1 20 2 20

Merche fue a la frutería y compró 2 kg y medio de naranjas, 3 kg de manzanas y tres cuartos de kilo de ciruelas. ¿Qué cantidad de fruta compró en total?

9 • 

En un coche la temperatura interior es 117 ºC y en la calle es 27 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior?

• 

13 84 46 23 2 5 5 3 30 30 15

• 

13 7 12 2    •     •     •  2 4 7 5

Un puzle cuadrado está formado por 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas hay en cada lado del puzle?

15 1 7 83 2 3 5 2 3 4 12 1 2 10 •  de de 300 5 50 4 3    Hay 50 pinos.

Lía quiere repartir en vasos 50 fresas y 30 moras, de manera que en todos los vasos haya el mismo número de frutas, que todas sean del mismo tipo y que no sobre ninguna. ¿Cuántas frutas como máximo puede poner en cada vaso?

• 

En un colegio había 40 cajas de bolígrafos con 15 bolígrafos cada una. Pasado un trimestre quedaban 27 cajas enteras y faltaban 4 bolígrafos para completar otra. ¿Cuántos bolígrafos se habían utilizado?

•  m.c.m.(14 y 21) 5 42    Pasarán 42 días.

Esta mañana, en la pastelería de Manuel, se han envasado 5 kg y medio de pastas de chocolate y 4 kg y tres cuartos de pastas de crema. ¿Qué cantidad de pastas se ha envasado?

•  2 87

1 3 25 1 131 5 56 2 4 4 4

   Compró 6 kg y cuarto. ES0000000001166 454649_Repaso 1erTRM_18090.indd 87

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•  Es 24 grados mayor. •  • 81 5 9. Hay 9 piezas. •  m.c.d.(50 y 30) 5 10. Puede tomar como máximo 10 frutas. •  40 3 15 5 600    27 3 15 1 11 5 416    600 2 416 5 184    Se habían utilizado 184 bolígrafos. 1 3 41 1 14 5 5 10 2 4 4 4   Se han envasado 10 kg y cuarto. •  5

105

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas

Notas