6_1_propagation__onde_mecanique.pdf

4. Propagation d’une onde mécanique a) Introduction et définitions Le concept d’ « ondes » est l’un des plus fondamentaux en physique, et intervient ainsi dans de nombreux domaines : • on observe ainsi des ondes à la surface d’eau, • on parle d’ondes sonores, • la lumière est une onde électromagnétique, • les séismes lointains sont détectables grâce aux ondes sismiques, • lorsqu’un avion supersonique passe, on entend une onde de choc.

La figure suivante montre une corde élastique AB tendue. On aimerait envoyer un message de A vers B.

Pour cela, on peut par exemple soulever et descendre rapidement l’extrémité A, puis la ramener à la position initiale. Ainsi, après un certain intervalle de temps, la personne en B ressentira la secousse produite en A. On dit qu’un signal s’est propagé le long de la corde : Un signal est une déformation de courte durée d’un milieu élastique.

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 1

Lorsqu’on relie l’extrémité A à un vibreur, alors ce point sera animé d’un mouvement vibratoire entretenu. On observe alors la progression d’une déformation sinueuse d’une extrémité à l’autre. On a obtenu une onde progressive élastique : • L’onde est progressive car elle progresse d’un bout à l’autre. • L’onde est élastique car elle se propage à cause de l’élasticité de la corde. On appelle onde progressive élastique la propagation d’un mouvement vibratoire entretenu dans un milieu élastique, homogène et supposé infini.

Remarques : • • • •

Le vibreur relié à l’extrémité A est appelé la source de l’onde La personne en B est le récepteur de l’onde La corde qui permet de transmettre l’onde constitue le milieu de propagation de l’onde. Une onde peut être longitudinale ou transversale : o L’onde est transversale, lorsque la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation o L’onde est longitudinale, lorsque la déformation est parallèle à la direction de propagation

•

Le signal transporte de l’énergie de la source au récepteur. Pourtant aucune matière n’est transportée le long de la corde : les points de la corde effectuent juste un mouvement vers le haut et vers le bas… Ainsi, une onde progressive transporte de l’énergie et de la quantité de mouvement, sans transporter de la matière.

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 2

b) Célérité des ondes On appelle célérité c la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde. Propriétés :

•

la célérité ne dépend pas du mouvement de la source ou de la forme du signal

•

dans un milieu homogène, la célérité est constante

•

dans un milieu à 2 ou 3 dimensions, la célérité est la même dans toutes les directions

•

la célérité d’une onde dépend des propriétés physiques du milieu de propagation signal son

signal lumière

milieu air (-20°C, 1 bar) air (0°C, 1 bar) air (20°C, 1 bar) air (40°C, 1 bar) méthane (0°C, 1 bar) hélium (0°C, 1 bar) hydrogène (0°C, 1 bar) éthanol (25°C, 1 bar) kérosène (25°C, 1 bar) eau distillée (25°C, 1bar) eau de mer (25°C, 1 bar) or cuivre acier granite milieu vide eau verre flint diamant chlore dioxyde de carbone

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

c en m/s 319 332 344 355 430 970 1290 1200 1320 1500 1530 2000 3800 5100 6000 c en 108 m/s 3.00 2.24 1.86 1.22 2.20 2.66

page 3

Remarques sur la vitesse du son dans l’air : (! examen) : •

La vitesse du son dans l’air dépend uniquement de la température de l’air, et est pratiquement indépendante de la pression atmosphérique. La dépendance entre la célérité du son et la température s’écrit :

c son = 1.4 " R "T où R est la constante des gaz : Rair = 287

!

J kg " K

T est la température en K. On peut alors montrer ! que la vitesse du son augmente d’environ 0.6 m/s pour une augmentation de température de 1 °C • •

L’humidité de l’air n’a qu’une très faible influence sur la célérité du son. La célérité du son est indépendante de la fréquence : les sons aigus se déplacent à la même vitesse que les sons graves !

Célérité des ondes dans une corde tendue : Le long d’une corde tendue, la célérité augmente avec la tension FT de la corde et diminue avec la masse linéaire ! de la corde. La masse linéaire représente la masse par unité de longueur, et son unité est donc le kg/m. On admet la formule suivante :

c=

FT µ

Cette formule est à retenir !!

!

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 4

c) Onde sinusoïdale entretenue Considérons la propagation d’une onde le long d’une corde tendue, et supposons que le mouvement de la source soit sinusoïdal de période T. La figure suivante montre l’aspect de la corde à différents instants :

On constate que le point P est source d’une onde sinusoïdale. •

à l’instant t = 0 :

•

à l’instant t =

T : 4

le point P est à son élongation maximale, et la perturbation produite en P se trouve à cet instant en P’. La perturbation a parcouru une

!

distance d 1 = c

! •

la corde est immobile et le point P commence à osciller

à l’instant t =

T : 2

T 4

l’élongation du point P est nulle, et la perturbation produite en P se

!trouve maintenant en P’’ et elle a parcouru une distance d = c T 2 2 •

3T ! à l’instant t = : l’élongation du point P est minimale, et la perturbation produite en P 4 se trouve maintenant en P’’’ et elle a parcouru une distance !

d3 = c

!

3T 4

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

!

page 5

•

à l’instant t = T :

la source a effectué une oscillation complète, et l’élongation du point P est à nouveau nulle, et la perturbation produite en P se trouve maintenant en P’’’’ et elle a parcouru une distance d 3 = cT

! On définit la longueur d’onde ! comme étant la distance parcourue par l’onde en une période d’oscillation T de la source. On a donc : ! = c" T ! Ainsi, la longueur d’onde dépend : • de la source : T est la période d’oscillation de la source • du milieu : c est la vitesse de propagation de l’onde, qui dépend donc du milieu

Comme la fréquence f est l’inverse de la période T, on a donc

" = c #T =

!

c f

d) Double périodicité ! Périodicité dans l’espace : La figure suivante montre des photographies de la corde à différents instants. Les figures montrent l’élongation en fonction de x : y(x). Ce sont les sinusoïdes de l’espace. On constate que sur chaque schéma, il y des points qui sont toujours dans le même état d’élongation ! Prenons par exemple les points B et F: o en t = t0, l’élongation est maximale pour ces deux points o en t = T/4, leur élongation est nulle, etc On dit que ces points oscillent en concordance de phase. propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 6

On constate que la distance qui sépare ces points est toujours un multiple entier de la longueur d’onde, et on peut donc aussi définit la longueur d’onde comme la distance séparant deux points successifs qui oscillent en concordance de phase. La longueur d’onde ! est la période spatiale Ainsi, la distance séparant 2 points vibrant en phase s’écrit :

"x = n # $ = 2n #

!

avec n " Z

Sur ce schéma, on voit aussi, qu’il y a des points qui ont à chaque instant des élongations ! opposées, comme par exemple D et F. On dit qu’ils vibrent en opposition de phase. On constate que la distance séparant deux point en opposition de phase vaut :

"x'= (2n +1)#

!

$ 2

$ 2

avec n " Z

! ! Périodicité dans le temps Considérons maintenant un seul point de la corde,par exemple le point B, et représentons son élongation au cours du temps. On obtient la figure suivante :

Cette figure représente donc yB(t), on parle de la sinusoïde du temps. On constate que ce point déterminé de la corde reprend la même élongation et se déplace dans le même sens, à intervalles de temps réguliers T La période T est la période temporelle Tout point de la corde vibre avec la même période d’oscillation que la source !

e) Equation d’onde propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 7

Exercices : 1. Une onde se propage à la vitesse de 40 cm/s. Sa fréquence est de 50 Hz. Quelle est sa longueur d’onde ? (8"10-3 m) 2. Une onde a une longueur d’onde de 1.20 m et sa vitesse est de 96 m/s. Quelle est sa fréquence ? (80 Hz) 3. Des oscillations transversales partent d’un point O et se propagent avec une vitesse de 3 m/s. L’amplitude des ondes est de 10 cm et la période est de ! s. Déterminez la longueur d’onde. Après combien de temps, une particule située à 120 cm de O commencet-elle son oscillation ? (# = 0.75 m ; t = 0.4 s) 4. La fréquence de l’onde sonore associée à la voix humaine est de l’ordre de 500 Hz. Pour cette fréquence, déterminer la longueur d’onde sonore dans l’air (à 20°C). Comparer cette longueur d’onde à celle émise par RTL (c = 3"108 m/s) (0.668 m) 5. Une lame vibrante, de fréquence f = 100 Hz, est munie d’une pointe qui produit en un point O de la surface d’une nappe d’eau une perturbation transversale, sinusoïdale, d’amplitude 1 mm, se propageant dans toutes les directions du liquide à la vitesse constante de 36 cm/s. A l’origine des temps la source commence à vibrer en se déplaçant vers le haut. a) Ecrire l’équation du mouvement de O en fonction du temps, puis l’équation du mouvement des points M et N, situés respectivement à 6,3 et à 9 mm de O. (On négligera la variation d’amplitude au cours de la propagation). b) Comparer le mouvement des deux points considérés au mouvement de la source. c) Représenter graphiquement le mouvement de O, de M et de N en fonction du temps. d) Représenter graphiquement à l’instant t = 0,02 s, puis à l’instant t = 0,025 s l’aspect de la surface de l’eau en fonction de la distance à la source.

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 8

Recueil Commission nationale Ondes progressives mécaniques Exercice B7 : Onde progressive A) L’équation du mouvement d’une source est de la forme . La période du mouvement est égale à 8 s. La trajectoire est un segment de droite de 12 cm de longueur. A l’origine des temps la source passe par sa position d’équilibre et se déplace vers le bas. Déterminer : a) les valeurs des trois paramètres Y0, # et $ ;

(Y0 = 6 cm ; # = $/4 ; $ = $ )

b) l’élongation yS, la vitesse vy et l’accélération ay de la source après 1 s ; (y = -4,24 cm ; vy = -3,33 cm/s ; ay = 2,62 cm/s2) c) le temps au bout duquel la source se trouve pour la première fois à 3 cm au-dessus de la position d’équilibre. (t = 4,67 s) B) On suppose que le mouvement vibratoire se propage sans amortissement dans le milieu environnant, la période dans l’espace (où longueur d’onde) étant égale à 320 cm. Calculer : a) la célérité c dans le milieu considéré ;

(c = 0,4 m/s)

b) l’élongation yM, à l’instant t = 6 s, d’un point M du milieu situé à 20 cm de la source. (yM = 5,54 cm)

!"#$%&%#'()'*''' L’extrémité O d’une corde est reliée à un vibreur harmonique transversal de fréquence f = 50 Hz et d’amplitude 2 cm. On suppose qu’il n’y a pas de réflexion à l’autre extrémité de la corde. Cette corde, de masse linéaire µ = 200 g/m, est tendue par un poids de 20 N. (On définit un axe Ox parallèle à la corde, orienté dans le sens de propagation des ondes et tel que x0 = 0.) a) Montrer que le point S d’abscisse xS = 1,2 m est en phase avec la source O. Trouver un point de la corde qui est en opposition de phase avec S et O. b) L’origine des temps correspond à un passage de la source O par sa position d’élongation maximale. Déterminer l’équation d’onde. (yM(x;t) = 0,02·sin[2$(t/0,02 % x/0,2) + $/2]) c) Déterminer l’élongation yS du point S ainsi que la vitesse de déplacement vSy du point S à l’instant t = 0,012 s. (yS = %1,62 cm, vSy =3,69 m/s)

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

page 9

Exercice B9 : Ondes progressives dans une corde Une corde tendue très longue est excitée à l’une de ses extrémités par un mouvement transversal d’amplitude A = 10 cm et d’équation 2" ! t y = A ! sin( ) T a) Etablir l’équation de l’onde progressive se propageant dans la corde. Expliquer ce qu’on entend par double périodicité de ce phénomène. b) En admettant que la corde ait une masse de 100 g pour 10 m de longueur, et qu’elle soit soumise à une tension F = 15 N, calculer la célérité c du phénomène de propagation ainsi que sa longueur d’onde ! sachant que la fréquence vaut 16 Hz. (c = 38,7 m/s ; ! = 2,42 m) c) Ecrire l’équation du mouvement d’un point M distant de 5 m de la source. Calculer son élongation à l’instant t = 2,5 s. ( ) ; yM(2,5) = %4,01·10 2 m) %

d) A quelle distance se trouvent 2 points voisins vibrant en opposition de phase. Cette distance dépend-elle de la tension F ? (&x = #/2 = e) Comment faut-il varier F pour doubler la longueur d’onde?

propagation d’une onde mécanique LCD-Physique, janvier 2011

= 1,21 m et dépend de F) (F’ = 4 F = 60 N)

page 10