6 Razred - Matematiskop - Prirucnik

MATEMATISKOP

OSNOVNA [KOLA

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ ШЕСТИ РАЗРЕД

МАТЕМАТИСКОП

Владимир Стојановић МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ (ШЕСТИ РАЗРЕД) Рецензенти Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", Београд Величко Илић, наставник основне школе Лектор Јованка Цветковић, професор Уредник проф. др Предраг Цветковић Издавач ИП МАТЕМАТИСКОП, Деспота Оливера 6, Београд тел. (011)3087-958, (011)2413-403 тел/факс (011)380-70-90 www.matematiskop.co.rs За издавача Нада Стојановић, директор Припрема за штампу Жељко Хрчек [email protected] ЦИП - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 372.851(075 . 3) (076) 37.016:51(075.2) СТОЈАНОВИЋ, Владимир, 1940Математика 5 : уџбеник за пети разред основне школе / Владимир Стојановић. - 2. изд. Београд : Математископ, 2010 (Крагујевац : Графостил). - 179 стр. : илустр. ; 26 cm Тираж 3.000 ISBN 978-86-7076-039-4 COBISS.SR-ID 175695884 МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр. 650-02-00222/2008-06, од 20.06.2008. којим се одобрава издавање и употреба уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА ЗАДАТАКА и ПЛУС V за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као уџбенички комплет за предмет Математика за пети разред основне школе од школске 2008/2009. године.

Tираж 3.000 примерака Штампа: "Графостил", Крагујевац

UPUTSTVO za korixenje Priruqnika Pre nego xto poqne sa realizacijom nastave, nastavnik treba da prouqi predloeni plan. Ukoliko ima vixegodixnje iskustvo, moe smatrati da pojedine nastavne teme treba drugaqije planirati. I autor ovog PRIRUQNIKA bi neke teme planirao na drugi naqin. Qak je raspored nastavnih tema malo izmenio. Meutim, veina nastavnika, a zaqudo i nadzornika, smatra da je redosled gradiva u zvaniqnom programu obavezujui. Zbog toga je redosled obrade tema skoro isti kao u zvaniqnom programu. Osim toga, da li e se raditi frontalno, odnosno u manjim ili veim, homogenim ili nehomogenim grupama, moe odluqiti trenutna situacija. Budui da Priruqnik nije dostupan uqenicima, predlozi kontrolnih vebi i pismenih zadataka u pet varijanti, bie ogromna pomo nastavnicima, jer mogu koristiti predloene zadatke i bez ikakvih izmena. Na kraju, jedno je sigurno – ovaj Priruqnik e svakako vixestruko olakxati nastavniku pripremu i realizaciju nastave, a samim tim doprinee i kvalitetu nastave. Veliku pomo nastavnicima i uqenicima predstavlja RADNA SVESKA kontrolni i pismeni zadaci (izdanje Matematiskopa). Sigurni smo i garantujemo da ete sa lakoom i sa odliqnim rezultatima realizovati nastavu ako Vi i Vaxi uqenici, uz ovaj Priruqnik koristite nax ubenik MATEMATIKA 6, ZBIRKU ZADATAKA i RADNU SVESKU. Preporuqujemo Vam i zbirku PLUS VI za dodatnu nastavu.

4

Sadraj

SADRAJ

UPUTSTVO za korixenje Priruqnika

3

GLOBALNI (GODIXNjI) PLAN RADA

5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA

6

REALIZACIJA NASTAVE PO QASOVIMA

20

GODIXNjI (GLOBALNI) PLAN RADA Raspored nastavnih tema u Progamu nije najpogodniji za izvoenje nastave. Radi razbijanja monotonije (prvo samo algebra, pa do kraja samo geometrija), naqinjena je mala inverzija. Posle CELIH BROJEVA, planirana je tema TROUGAO, pa onda slede RACIONALNI BROJEVI. Takav redosled se ve godinama odomaio u xkolama i ubenicima. To vai i za Ubenik i Zbirku zadataka IP MATEMATISKOPA-a. Za realizaciju pismenih zadataka u drugom polugodixtu planirana su po tri qasa. Novost je jedan pripremni qas. Jedan broj qasova ostavljen je u rezervu. Ovi qasovi se mogu iskoristiti za posebno usmeno proveravanje znanja uqenika koji nisu sposobni da svoja znanja izraze iskljuqivo pismenim putem, ukoliko se nisu izgubili u nepovoljnom ukrxtanju kalendara i rasporeda qasova. Red. Broj qas. Qasova Nastavna tema br. po temama Obrade Ostalo 0 Uvodni qas 1 1 1 Celi brojevi 20 8 12 2 Trougao 14 6 8 Prvi pismeni zadatak 3 3 2 Trougao 19 8 11 3 Racionalni brojevi 8 2 6 Drugi pismeni zadatak 3 3 Drugo polugodixte 3 Racionalni brojevi 28 9 19 4 Qetvorougao 4 2 2 Qetvrti pismeni zadatak 3 3 4 Qetvorougao 17 8 9 Povrxina qetvorougla i 5 17 6 11 trougla Qetvrti pismeni zadatak 3 3 Ukupno 140 49 91

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADA PO MESECIMA Napomena. Zbog raznih mogunosti uklapanja liqnog nedeljnog rasporeda u kalendar, granicu izmeu dva uzastopna meseca treba uzeti fleksibilno. Nastavna sredstva definixe nastavnik prema raspoloivim mogunostima.

Operativni plan rada po mesecima

7

8

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

9

10

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

11

12

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

13

14

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

15

16

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

17

18

Operativni plan rada po mesecima

Operativni plan rada po mesecima

19

REALIZACIJA NASTAVE PO QASOVIMA Zna se da dobro napravljen plan predstavlja polovinu obavljenog posla. I, upravo, tako i treba shvatiti ponueni plan realizacije nastave, saqinjen prema detaljnom operativnom godixnjem planu. Brojni su razlozi zbog kojih ni najiscrpniji plan nije mogue realizovati u potpunosti. Trenutna situacija u odeljenju moe nas uvek naterati da odustanemo od nekih detalja iz plana. U raznim odeljenjima moe doi do razliqitih odstupanja. Nastavnik, koji se paljivo upusti u rexavanje nastalih problema, moe ”ispeglati” te probleme i nastaviti realizaciju nastave kao xto je planirao. Najjednostvnije je odustati od dela planiranog, ili dopuniti planirani qas nekim neophodnim obnavljanjem ili dodatnim objaxnjenjima. Na kraju, uvek je mogue rexenje ubacivanjem dodatnog qasa sa neophodnim sadrajem. Qesto e se desiti da za rad na nekom qasu nedostaje vremena za izradu svih planiranih zadataka. To se rexava prosto: preostale zadatke prikljuqimo grupi za domai zadatak. Ako, pak, reximo sve xto je predvieno i imamo jox vremena, onda - ili ponovimo bitne qinjenice sa tog qasa, ili uzmemo jox neki zadatak iz Zbirke. Dobar nastavnik e svaki plan, makoliko da je dobar i makoliko iscrpan, shvatiti kao izazov i svojim idejama dopuniti planirano. Rezultati koji iz toga proizau posluie da nastavnik proveri ispravnost svojih ideja, ali i ideja autora ovog Priruqnika. U svakom sluqaju, ovaj Priruqnik sa Ubenikom i Zbirkom zadataka od istog autora i istog izdavaqa olakxae nastavniku realizaciju nastave, a ubeeni smo da e i nastavnici i uqenici i njihovi roditelji biti zadovoljni nivoom i kvalitetom znanja koje uz ovaj plan steknu uqenici.

21

1. QAS Uvodni qas Cilj tom.

Prvo polugodixte Razgovor

Upoznavanje sa uqenicima i upoznavanje uqenika sa predme-

Tok qasa Na ovom qasu svakom uqeniku treba posvetiti po minut. Kako e tei ovi razgovori zavisi pre svega od toga da li je nastavnik istom odeljenju predavao i u prethodnom razredu. U svakom sluqaju, cilj ovih razgovora je da se uqenici opuste i ohrabre. Zatim, treba naglasiti da polovinu gradiva koje e se prouqavati predstavljaju celi i racionalni brojevi, koji su veim delom prouqavani u V razredu. Ostatak gradiva je geometrija: o trouglu i o qetvorouglu. Uqenike treba uputiti na neophodnu literaturu i nabavku potrebnog pribora (sveske, lenjiri, xestar). Zatim, upoznati ih sa mogunoxu nabavke qasopisa (npr., MATEMATISKOPA), pokazati im uzorke i kratko ih upoznati sa sadrajima i mogunoxu uqexa u rexavanju nagradnih zadataka. Svim uqenicima treba preporuqiti uqexe u Dodatnoj nastavi. Nije poeljno u startu razdvajati ih na zainteresovane i nezainteresovane. Odmah im pokazati i preporuqiti neophodnu literaturu. (Na primer, PLUS VI, VODIQ ZA XAMPIONE, INOSTRANA JUNIORSKA TAKMIQENjA i sl.)

22

Celi brojevi

2. QAS Skupovi N i No i brojevna poluprava Frontalni rad

Obnavljanje Dijalog

Cilj Obnavljanjem gradiva nauqenog proxle godine pripremiti teren za uvoenje pojma negativnog broja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 7. do 10. str.

Ponovimo pojmove skupova N i No . Zatim, kao xto je opisano na 8. i 9. strani ubenika, podsetimo se na predstavljanje prirodnih brojeva na brojevnoj polupravoj. Obratimo panju na uporeivanje brojeva na osnovu njihovog meusobnog poloaja na brojevnoj polupravoj. Izvodimo zakljuqak da su svi prirodni brojevi vei od nule, jer su desno od poqetne taqke (nule) na brojevnoj polupravoj. Posebno, obratimo panju na ilustrovanje sabiranja i oduzimanja na brojevnoj polupravoj, jer emo tu ideju koristiti kod sabiranja i oduzimanja celih brojeva. Reximo zadatke za Vebe sa 10. strane, a ako neki ne stignemo da uradimo na qasu, dajemo uqenicima za domai zadatak. Za rad na qasu moemo koristiti zadatke iz Zbirke za V razred, od 90. do 115. zadatka.

23

Celi brojevi

3. QAS Negativni broj. Skup celih brojeva. Brojevna prava.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvoenje pojmova: pozitivni brojevi (vei od nule), negativni brojevi (manji od nule), brojevna prava. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 10. do 13. str.

Rexavajui 6. zadatak iz Vebe sa 10. strane, uqenici su naixli na probleme koje do sada nisu rexavali: trebalo je oduzeti vei boj od manjeg: 12-16 i 0-3. Pitamo uqenike kako su rexili ovaj problem. Na primerima duga i vodostaja, kao xto je opisano na 11. strani Ubenika, ukazujemo na praktiqne primere u kojima je potrebno oduzimati vee brojeve od manjih. Zatim, uvodimo pojmove pozitivnih i negativnih brojeva (veih od nule i manjih od nule). Brojevnu polupravu, na kojoj smo prikazivali elemente skupa N o, proxirimo ”levom polupravom”, kao xto je opisano na 11. i 12. strani ubenika. Uvodimo definiciju skupa Z celih brojeva i njegovih podskupova Z + i Z − . Uoqimo primere brojevnih pravih iz okruenja (termometar, komandna tabla lifta). Rexavamo primere 1, 2, 3, 4. Domai zadatak

Zbirka: 1, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 13.

24

Celi brojevi

4. QAS Skup celih brojeva. Brojevna prava

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Usvajanje pojmova celih brojeva, celih pozitivnih i celih negativnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 7. do 9. str.

Parove formiraju uqenici koji sede u jednoj klupi. Zajedno rexavaju postavljene zadatke. Nastavnik izvodi na tablu, po pravilu, onog uqenika koji slabije vlada materijom. Ocenu upisuje svakom od uqenika iz para. Ponovimo pojmove: prirodni brojevi, negativni celi brojevi, pozitivno i negativno. Zatim, ponovimo skupove N , N0 i Z (nabrajanjem elemenata). Rexavamo iz Zbirke zadatke: 2, 4, 7, 8. Ponovimo pojam brojevne prave, predstavljanje celih brojeva, pozitivni i negativni brojevi na brojevnoj pravoj. Reximo zadatke 12 i 15 iz Zbirke. Domai zadatak

Zbirka: 9. i 14. zadatak.

25

Celi brojevi

5. QAS Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost. Uporeivanje celih brojeva.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvoenje novih pojmova: suprotni broj i apsolutna vrednost broja, relacije vee i manje u skupu celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 14. do 17. str.

Ponovimo pojmove: pozitivan broj i negativan broj, i njihovo predstavljanje na brojevnoj pravoj. Zatim, koristei se brojevnom pravom, uvodimo pojam suprotnih brojeva. Koristei qinjenicu da je negativnom broju suprotan pozitivan broj, izvedemo pravilo: −(−k) = k. Reximo primere 1 i 2 sa 15. strane Definixemo apsolutnu vrednost, kao na 15. i 16. strani Ubenika. Onda, reximo Vebe 1, 2, 3 i primer 3. Koristei princip da je od dva broja vei onaj, koji je na brojevnoj pravoj desno, definixemo uporeivanje celih brojeva. Reximo primer 4. Domai zadatak

Vebe: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

26

Celi brojevi

6. QAS Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost. Uporeivanje celih brojeva Rad u parovima

Uvebavanje

Dijalog

Cilj Utvrditi pojmove: suprotni broj i apsolutna vrednost broja. Posebno obratiti panju na uporeivanje negativnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 10. do 13. str.

Ponovimo pojam suprotnog broja. Reximo iz Zbirke zadatke 16, 17, 18 i 21. Ponovimo pojam apsolutne vrednosti celog broja. Reximo iz Zbirke zadatke 24, 25, 26 i 28. Ponovimo uporeivanje celih brojeva na brojevnoj pravoj. Zatim, ponovimo uporeivanje celih brojeva na osnovu znaka i apsolutne vrednosti. Reximo iz Zbirke zadatke: 34, 35, 36 i 39. Domai zadatak

Zbirka: 20, 23, 28, 29 b) i v), 40.

27

Celi brojevi

7. QAS Sabiranje celih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Usvojiti pravila za sabiranje celih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 17. do 21. str.

Najpre se podsetimo kako se sabiranje dva prirodna broja prikazuje na brojevnoj polupravoj, zatim, razmotrimo primere 1 i 2 iz Ubenika. Imamo najpre jedan negativan sabirak, a onda i oba negativna sabirka. Razmotrimo sabiranje dva cela broja na brojevnoj pravoj, kao xto je prikazano na 20. strani Ubenika. Uporeujemo rezultate navedenih zbirova, izvodimo pravilo za sabiranje celih brojeva, kao na 21. strani. Vano je da uqenici uoqe i zapamte jednostavan, ali bitan zakljuqak: Zbir dva cela broja uvek ima znak sabirka sa veom apsolutnom vrednoxu. Zatim, utvrdimo da je k + (−k) = 0 i k + 0 = 0 + k = k. Reximo primere 3 i 4. Domai zadatak

Vebe (str. 21): 1, 2, 3, 4, 5.

28

Celi brojevi

8. QAS Sabiranje celih brojeva

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Utvrditi pravilo za sabiranje celih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 14. i 15. str.

Ponovimo pravilo za sabiranje. Onda, uzimajui najmanje po qetiri sluqaja (sve kombinacije pozitivnih i negativnih sabiraka), iz zadatka 51, ponovimo ilustrovanje zbira na brojevnoj pravoj. Zatim, rexavamo zadatak 52, koristei nauqeno pravilo za sabiranje celih brojeva. Zatim, rexavamo zadatke 54, 55, 58, 60, 65. Onda reximo zadatke 68. i 69. Domai zadatak

Zbirka: 57, 59, 61, 62, 67.

29

Celi brojevi

9. QAS Oduzimanje celih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Proxiriti pojam razlike a − b na sluqaj a < b.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 21. do 25. str.

Podsetimo sa na oduzimanje prirodnih brojeva i prikazivanje oduzimanja na brojevnoj pravoj. Takoe se podsetimo na osobinu suprotnog broje: k + (−k) = 0 Zatim, definixemo oduzimanje celih brojeva preko sabiranja, kao xto je opisano na 23. strani Ubenika: p − q = p + (−q) Reximo primer 1. Definixemo promenu celog broja a u ceo broj b. U tom sluqaju broj a se promeni za b − a. Onda reximo primere 2 i 3. Oduzimanjem uporeujemo brojeve. Na primer, ako je a − b > 0, onda je a > b. (Vidi 25. strana u Ubeniku). Definixemo rastojanje izmeu taqaka M (m) i N (n) na brojevnoj pravoj: M N = |m − n|. Rexavamo vebe 1, 2, 3 i 4. Domai zadatak Vebe: 5, 6, 7, 8, 9, 10. Zatim, iz Zbirke zadaci 63, 71, 72, 73, 75, 78.

30

Celi brojevi

10. QAS Osobine sabiranja celih brojeva Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Na konkretnim primerima uoqimo zakone koje vae za sabiranje u skupu celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 26. do 28. str.

Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Proxle godine nauqili smo da je zbir dva prirodna broja uvek prirodni broj. Meutim, razlika dva prirodna broja, a − b, predstavlja prirodni broj, samo ako je a > b. (skup prirodnih brojeva zatvoren je u odnosu na sabiranje, ali ne i u odnosu na oduzimanje). Skup celih brojeva zatvoren je u odnosu na sabiranje i u odnosu na oduzimanje. Navodei primere, pokaemo da je a + b = b + a (komutativnost sabiranja), zatim a + (−a) = 0, i a + 0 = 0 + a = a, kao i osobinu asocijativnosti. Rexavamo primere 1 i 2. (Nastavnik postavi zadatak, a grupa koja nae rexenje, prijavi to nastavniku. Kad utvrdi da je vei broj grupa rexio zadatak, izvodi jednog od uqenika na tablu. Najqexe izvodi onog predstavnika grupe, kog eli da aktivira. Ree izvodi najboljeg. Ocena koju ovaj uqenik zaslui daje se celoj grupi, svim pojedincima koji su u toj grupi.) Onda, uqenici (grupe) zakljuqe da su jednakosti i nejednakosti saglasne sa operacijama sabiranja i oduzimanja. Zatim, uvodimo pravilo ”minus ispred zagrade ”, kada je u zagradi zbir ili razlika. Reximo primer 3. Domai zadatak Vebe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, i iz Zbirke zadaci: 53, 56, 63, 74, 96, 98, 99, 100, 101.

31

Celi brojevi

11. QAS Jednaqine

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Rexavanje elementarnih jednaqina na osnovu definicije zbira i razlike celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 29. do 31. strane

U jednakostima a + b = c i m − n = d, ako su data dva broja, moemo izraqunati trei broj. Pritom, koristimo osobine zbira i razlike dva cela broja. Ovim dolazimo do pojma jednaqine i rexavanja (rexenja) jednaqine. Rexavamo primer 1. Insistiramo da rexenje jednaqine uvek treba proveriti. Rexavamo primere 2. i 3. Izvodimo zakljuqak o naqinu rexavanja jednaqina oblika: x + a = b i a − x = b. (Jednaqina x−a = b je isto xto i x+a = b, jer je x−a = x+(−a)). Usput rexavamo primere 4 i 5. Zatim, rexavamo i zadatak, veba 2. Domai zadatak

Vebe: 1, 3, 4, 5 i iz Zbirke zadatak 114.

32

Celi brojevi

12. QAS Jednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Usvajanje tehnike rexavanja jednaqina i jednostavne primene jednaqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 21. i 22. strana

Ponovimo pojmove: jednaqina i rexenje jednaqina. Zatim, rexavamo zadatke: 106, 107, 108. Obavezno vrximo proveru rexenja. Rexavamo zadatak 110. Onda, reximo tekstualne zadatke 113 i 116. Na kraju, rexavamo jednaqine sa apsolutnim vrednostima, zadatak 111. Domai zadatak

Zbirka: 109, 117, 118, 112.

33

Celi brojevi

13. QAS Mnoenje celih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Odreivanje znaka proizvoda dva cela broja. Izvesti pravilo za mnoenje celih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 31. do 35. str.

Na osnovu praktiqnog primera, kao xto je opisano u Ubeniku utvrdimo da je proizvod pozitivnog i negativnog broja negativan broj. Zatim, koristei se suprotnim brojem, pokaemo da je proizvod dva negativna broja pozitivan broj. Uverimo se da je apsolutna vrednost proizvoda jednaka proizvodu apsolutnih vrednosti, kao xto je pokazano u Ubeniku. Izvodimo pravilo za mnoenje celih brojeva. (Prvo odreujemo znak, pa apsolutnu vrednost proizvoda). Reximo primer 1. Podsetimo se da za mnoenje vae zakoni komutativnosti i asocijativnosti i istaknemo mnoenje sa 0, 1 i (−1). Reximo primer 2. i podsetimo se na distributivnost mnoenja u odnosu na zbir. Onda prouqimo znak stepena celog broja. Reximo primer 3. Domai zadatak

Vebe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

34

Celi brojevi

14. QAS Mnoenje celih brojeva

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Usvajanje tehnike mnoenja celih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 23. do 25. str.

Ponovimo pravilo za mnoenje celih brojeva. Rexavamo iz Zbirke zadatke 121. i 122. Zatim, radimo zadatke 123. i 124. Koristei se zakonima komutativnosti i asocijativnosti, rexavamo zadatke 128. i 130. Podsetimo se na znak stepena celog broja, pa reximo zadatke 132. i 135. Domai zadatak

Zbirka: 126, 127, 131, 136, 141.

35

Celi brojevi

15. QAS Deljenje celih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Deljenje uporediti sa mnoenjem celih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 36. do 40. str.

Ponovimo o deljenju u skupu prirodnih brojeva, posebno bez ostatka – deljivost. Ponovimo pojmove: deljenik, delilac i koliqnik. Broj nula u deljenju. (Vidi 39. stranu u Ubeniku). Budui da se deljenje definixe preko mnoenja (ako je a = d · q, d = 0, onda je a : d = q), to se znak koliqnika odreuje kao i znak proizvoda. Reximo primer 1, pa izvedemo pravilo za deljenje celih brojeva. Naglasimo: deljenje nulom nije definisano. Reximo primer 2. Prelazimo na deljenje sa ostatkom. Koliqnik sa ostatkom definixemo kao i u skupu N o. Posebno istiqemo da je ostatak deljenja sa d broj r, takav da je 0 ≤ r < |d|. Ova qinjenica zahteva oprez. Na primer ako delimo −29 sa −6, onda koliqnik nije 4, kao u sluqaju 29 : 6, nego 5, jer je. −29 = 5 · (−6) + 1. Ostatak deljenja je broj 1 Reximo primer 3. Domai zadatak

Vebe: 1, 2, 3 i 148 zadatak iz Zbirke.

36

Celi brojevi

16. QAS Deljenje celih brojeva Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Utvrditi postupak deljenja celih brojeva i uoqiti osobine deljenja. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 26. do 28. str.

Obnovimo definiciju deljenja bez ostatka. Reximo zadatke: 146, 147. Zatim, radimo zadatak 152. Ponovimo deljenje sa ostatkom, pa rexavamo zadatke 153 i 154. Zatim, reximo zadatak 155. Domai zadatak

150, 151, 157.

37

Celi brojevi

17. QAS Izrazi sa celim brojevima

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqavanje prioriteta pri izraqunavanju vrednosti brojevnog izraza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 40. do 42. str.

Pojam izraza poznat je iz mlaih razreda pa odmah na xkolskoj tabli napixemo nekoliko izraza, na primer: 2·(−5)− 8 : (−4)− (−8); 2k − n : (−3) + 5 · (−7); −10 : (−2) + (−3) · (−3) − 2 · (−7). Od uqenika oqekujemo da znaju xta je izraz i da razlikuju brojevni izraz i izraz s promenljivom. Odredimo (izraqunamo) vrednosti dvaju napisanih brojevnih izraza. Zatim, reximo primer 1, sa poukom da su mnoenje i deljenje operacija koje su starije od sabiranja i oduzimanja. (Prvo se mnoi i deli, pa onda sabira i oduzima). Reximo primer 2, takoe brojevni izraz. Zatim se podsetimo na osobine raqunskih operacija, kao xto je prikazano na 44. strani Ubenika. Za svaku navedenu osobinu, sastavimo odgovarajui brojevni izraz. Onda, prelazimo na izraze s promenljivom. Za odreenu vrednost promenljive, moemo odrediti odgovarajuu vrednost izraza. Reximo primer 3. Rezimiramo redosled raqunanja. Reximo primer 4. Zatim, ako imamo dovoljno vremena, rexavamo Vebe 1 i 2, sa 42. strane. Domai zadatak Vebe koje nismo uradili na qasu. Iz zbirke zadaci: 156, 162, 163.

38

Celi brojevi

18. QAS Brojevni izrazi

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Snalaenje u sreivanju brojevnih izraza sa izmexanim raqunskim operacijama i zagradama. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 28. do 30. str.

Ponovimo osobine operacija: sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje. Zatim, ponovimo redosled operacija. (Ubacujemo i stepenovanje, operaciju koja je starija od mnoenja i deljenja). Rexavamo zadatke 131. i 149. iz Zbirke. Zatim, izraqunavamo vrednosti sledeih brojevnih izraza, u kojima se pojavljuje stepenovanje. a) 8 · (−5)3 − 5 · (22 − (−4)3 ) + (−2)6 : (−4)3 ; b) 81 : (−3)3 − (−3)5 : (−9) + 125 : (−5)2 ; v) 3 · (−5)3 · 23 − 103 : (−2)3 + 52 · (−2)4 − 6 · (−10)3 : 12. Onda, ukljuqimo aktivnije uqenike u proces izvoenja nastave. Uqenici sami ”smisle” neke brojevne izraze u kojim su zastupljene operacije sabiranja, oduzimanje, mnoenja i stepenovanja celih brojeva. (Izbegavamo deljenje, zbog mogueg izlaska iz skupa celih brojeva). Te izraze rexavaju uqenici, koje odrede sastavljaqi izraza. Tako se malo igramo matematike. Domai zadatak

Zbirka: 175.

39

Celi brojevi

19. QAS Izrazi sa promenljivom

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Izraqunavanje brojevne vrednosti izraza zamenom promenljive nekom celobrojnom vrednoxu. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 28. do 30. str.

Podsetimo se na pojam izraza s promenljivom veliqinom. Vrednost ovakvog izraza zavisi od vrednosti promenljive veliqine. Reximo zadatak 172. iz Zbirke. Zatim, rexavamo zadatke redom: 164, 161, 168. Onda, rexavamo zadatak 167. a), b) i ). Vrednost promenljive i odgovarajua vrednost izraza su dve odgovarajue vrednosti, pa mogu zameniti uloge. Tako se moe traiti vrednost promenljive za koju izraz ima zadatu vrednost. (To su, ustvari, jednaqine, a traena vrednost promenljive je rexenje te jednaqine). Rexavamo jednostavne primere, kao: Zadatak. Odredi vrednost promenljive, ako izrazm kao: a) a − 5 ima vrednost −3; b) m + 3 ima vrednost 0; v) 2k + 6 : (−2) ima vrednost −5. Zatim, reximo zadatak 160 iz Zbirke. Domai zadatak

165, 166, 167 v), g) , d), 170.

40

Celi brojevi

20. QAS Celi brojevi

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Zaokruiti znanje i popuniti praznine u znanju o celim brojevima. Formiranje izraza na osnovu opisa (teksta). Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 23. do 30. str.

Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Naqin rexavanja zadatka i evaluacije rada uqenika sprovodimo kao xto je opisano u pripremi 10. qasa. Ponovimo o redosledu izraqunavanja vrednosti brojevnog izraza. (Vidi obojeni tekst na 28. strani Zbirke). Reximo zadatak 150. v), g), e). Zatim, rexavamo zadatak 160. v) i d), pa zadatak 169. Onda, rexavamo zadatke 171 i 173. Rexavanje praktiqnih zadataka qesto se svodi na izraqunavanje vrednosti izraza. Do odgovarajuih izraza dolazimo na osnovu teksta zadatka (izvrximo ”matematiqko modeliranje” teksta). Rexavamo zadatke 155, 158, 159. Zatim, reximo jox i zadatak 174. Domai zadatak 5. do 9.).

Radna sveska: Prva kontrolna veba (str. od

Celi brojevi

41

21. QAS Prva kontrolna veba. (Celi brojevi)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. (Proqitajte ponovo UPUTSTVO na 3. strani!) Grupa A) 1. Dat je skup S = {−3, 7, −6, 0, −1, −4, 3, 6, 2}. a) Odredi skup T , qiji su elementi suprotni brojevi elemenata skupa S. b) Skupu S odredi podskup N svih negativnih brojeva. v) U skupu S odredi elemente sa najveim i najmanjom apsolutnom vrednoxu. 2. Odredi vrednost brojevnog izraza: (−6 · (15 − 18) − (−17 − (−5)) : −(−3) − 2 · (−4)) : (−11)). 3. Od broja n treba oduzeti zbir brojeva 5 i −17, pa tome dodati razliku brojeva −3 i −7. Napixi odgovarajui izraz i odredi mu vrednost za n = −2. 4. Rexi jednaqinu: 23 − (−x) = 14. 5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deljenju −77 : 8. Grupa B) 1. Nacrtaj brojevnu pravu, tako da je OA = 1 cm. a) Na brojevnoj pravoj oznaqi taqke: A(−2), B(3), C(−5), D(1). b) Kolike su duine AC i AD? v) Ispixi cele brojeve k, takve da je −2 ≤ k < 3. 2. Odredi vrednost brojevnog izraza: (8 · (−2) − 3 · (−5)) : (42 : (−6) − 4 · (−2)). 3. Nai brojevnu vrednost izraza m − (n − 3p − (−9)) − 4p : (−2), ako je m = −3, n = 2 − |2m| i p = m + n. 4. Rexi jednaqinu: −5 − (x − 7) = −2. 5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deljenju 93 : (−13).

42

Celi brojevi

Grupa V) 1. Dat je skup S = {−1, −5, 3, −8, 0, −4, 8, 5, 10, 1}. a) Odredi podskup M skupa S, takav da on sadri suprotan broj svakog svog elemenata. b) Izraqunaj zbir i razliku najmanjeg i najveeg elementa skupa S. v) Odredi one elemente x skupa S koji zadovoljavaju uslov −x ∈ N0 . 2. Odredi vrednost brojevnog izraza: (−18 : (−2) − 35 : (−5)) : (−2 · (−3) − (−50) : (−5)). 3. Od zbira brojeva −b i −6 oduzmi razliku brojeva 9 i a. Napixi odgovarajui izraz. Zatim, odredi brojevnu vrednost dobijenog izraza za a = −3 i b = −9. 4. Rexi jednaqinu: 2 − |x| = −3. 5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deljenju −103 : (−9). Grupa G) 1. Dat je skup M = {7, −11, 5, 0, −7, −2, 9, 2, 3} a) Odredi skup N podskupa M , qiji su elementi nenegativni. b) Sloi elemente skupa M u rastui niz, od najmanjeg do najveeg. v) Odredi razliku najvee i najmanje apsolutne vrednosti elemenata skupa M . 2. Odredi vrednost brojevnog izraza: (44 : (−4) − 20 : (−5) − 5 · (−11)) : (−2) 3. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza 2a−(−3)·(−b)+ab−(−a−b), ako je a = −5 i b = 3 − (−a) − 2| − a|. 4. Rexi jednaqinu: −12 − x = −7. 5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deljenju −97 : 8.

Celi brojevi

43

Grupa D) 1. Dat je skup N = {−8, 2, 1, 0, 8, −2, 9, −9, 5, 11}. a) Odredi skup P , qiji elementi p zadovoljavaju uslov (−p + 1) ∈ N . b) Odredi skup A, qiji su elementi apsolutne vrednosti elemenata skupa N . v) Elemente skupa A sloi u opadajui niz, od najveeg do najmanjeg. 2. Odredi vrednost brojevnog izraza: (2 · (−8) − 5 · (−3)) : (12 : (−3) − 3 − 4 · (−2)) + 7 · (5 + 2 · (−3)). 3. Od proizvoda brojeva −2 i (3 − m) oduzmi koliqnik brojeva −2n i (2p + 5). Napixi odgovarajui izraz. Odredi vrednost dobijenog izraza za n = −3, m = −n − 7 i p = m + 2n − 1. 4. Rexi jednaqinu: 1 − (8 − (−x)) = −5. 5. Odredi koliqnik q ostatak r pri deljenju −87 : (−14).

44

Trougao

22. QAS Pojam trougla. Vrste trougla

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Upoznavanje sa elementima trougla i vrstama trouglova

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 43. do 47. str.

Obnovimo pojmove: zatvorena izlomljena linija, mnogougao , unutraxnja oblast mnogougla. Definixemo trougao. Na osnovu poznatih elemenata mnogougla (iz gradiva V razreda), uqenici izvode pojmove: stranice, temena, unutraxnjost i unutraxnji uglovi trougla. Nastavnik objaxnjava naqin oznaqavanja stranica (AB = c, BC = a i AC = b) i unutraxnjih uglova trougla (α, β, γ, odnosno A, B, C). Definixe pojmove naspramna stranica, naspramno teme i naspramni ugao. Naglaxavamo: stranice i unutraxnji uglovi su osnovni elementi trougla, koji odreuju vrste i najbitnije osobine trougla. Navodimo vrste trouglova prema meusobnim odnosima duina stranica (jednakostraniqni, jednakokraki i raznostrani) i vrste trouglova prema najveim unutraxnjem uglu (oxtrougli, pravougli i tupougli). Na tabli i u svesci crtamo modele ovih trouglova. Zatim, rexavamo primere 1 i 2, kao i zadatke za vebe, koliko stignemo do kraja qasa. Domai zadatak

Zbirka: 176, 177, 178, 179, 182, 184.

45

Trougao

23. QAS Odnos stranica trougla Frontalni rad Cilj

Obrada Heuristiqka metoda

Otkrivanje nejednakosti izmeu stranica trougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 47. do 51. str.

Koristimo pripremljene xtapie: tri od 60 cm i po jedan od 50 cm, 30 cm, 20 cm, 10 cm (uqenici su upoznati sa njihovim duinama) i komad deblje bakarne ice (duine oko 1 m). Nastavnik vodi eksperiment, tako xto izvodi uqenike na tablu i trai da sklope trougao od ponuenih xtapia, kao xto je opisano na 47. strani u Ubeniku. (Kombinujemo tri xtapia qije su duine: 60 cm, 20 cm, 30 cm zatim 50 cm, 20 cm i 30 cm i 60 cm, 50 cm, 30 cm). Uqenici izvode zakljuqke. Onda, od bakarne ice naqinimo trougao, kao na slici u Ubeniku. Pritiskom na teme C, pokaemo da je AC + CB > AB. Iz izvedenih eksperimenata uqenici izvode zakljuqke o nejednakostima izmeu stranica trougla. Onda, rexavamo primere 1, 2 i 3. Zatim, izvodimo izuzetno znaqajan zakljuqak, da su tri razliqite taqke A, B, C, kolinearne ako je AB + BC = AC. (Odavde dobijamo da su A, B, C kolinearne taqke i ako je AC − BC = AB). Rexavamo jox i Vebe 1 i 2. Domai zadatak

Vebe 3, 4, 5 i iz Zbirke 186.

46

Trougao

24. QAS Odnosi stranica trougla Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Utvrditi praktiqno znaqenje nejednakosti trougla

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 33. do 35. str.

Ponovimo o odnosu stranica u trouglu: – zbir dve stranice vei je od tree; – razlika dve stranice manja je od tree. Ako je AB + BC = AC tada su tri razliqite taqke A, B i C kolinearne (pripadaju jednoj pravoj). Reximo zadatak 186. u sluqajevima kad dui ne odreuju trougao, dati obrazloenje. Zatim, rexavamo zadatke 187, 188, 189. Onda, izvlaqimo zakljuqak: Ako su date duine dveju stranice trougla, na primer a cm i b cm, kolika moe biti duina tree stranice ? (Odgovor |a − b| < c < a + b). Rexavamo zadatke 190, 191, 193. Na kraju, reximo i zadatak 199. Domai zadatak

192, 195, 196.

47

Trougao

25. QAS Dokaz u geometriji

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Ukazati na svrhu i neophodnost dokaza u geometriji. Na jednostavnim primerima pokazati kako se izvodi dokaz. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 52. i 53. str.

Prouqavanje ravnih geometrijskih figura moe biti olakxano qinjenicom da se mnoge figure mogu verno nacrtati. Meutim, ”oqiglednost” crtea moe nas navesti na pogrexne zakljuqke razlog moe biti nepreciznost crtea, nemogunost preciznog merenja (uporeivanja) i sl. Na primer, moe nam izgledati da su dve nacrtane prave paralelne, ali nam to crte ne garantuje. (Ne moemo proveriti da li se, produavanjem nacrtanih linija, one mogu dovesti do preseka). Da bismo utvrdili da je neko tvrenje taqno moramo ga dokazati. (Videti tekst na 52. strani Ubenika). Postupak dokazivanja ilustrujemo rexavanjem primera 1. Moemo dokazati i sledea tvrenja. 1. Neka je prava p normalna na du AB i prolazi kroz sredixte dui. Ako je P taqka na pravoj p, dokai da je AP = BP . (Dokaz. AB su simetriqne u odnosu na p i P simetriqno sa P , pa je AP simetriqno sa BP , pa je zbog toga, AP = BP ). 2. Prave m i n, normalne na pravu a, paralelne su meusobno. Dokaz. Koristimo uglove s paralelnim kracima (gradivo V razreda). Domai zadatak

Vebe 1 i 2, Zbirka 201, 202, 203.

48

Trougao

26. QAS Uglovi trougla

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Upoznavanje bitnih osobina uglova trougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

. Ubenik od 53. do 58. str.

Ponovimo pojmove uporednih i suplementnih uglova. Zatim, posebno naglasimo vane teoreme o uglovima s paralelnim kracima (teoreme ❶, ❷ i ❸, u Ubeniku navedene na 54. strani, a nauqene u V razredu). Definixemo spoljaxnji ugao trougla kao uporedan odgovarajuem unutraxnjem uglu. (Ako je α unutraxnji ugao, onda je α1 odgovarajui spoljaxnji i α+α1 = 180◦ . Takoe je β +β1 = γ +γ1 = 180◦ ). Zatim, dokaemo teoremu T1 (γ1 = α + β) i izvedemo zakljuqak da je spoljaxnji ugao vei od nesusednog unutraxnjeg ugla. Onda, dokaemo teoremu o zbiru unutraxnjih uglova u bilo kom trouglu. Za spoljaxnje uglove utvrdimo: α1 + β1 + γ1 = 360◦ . Rexavamo primere 1, 2, 3 i 4. Posebno istiqemo zakljuqak o uglovima sa normalnim kracima (primer 5). Reximo i primer 6. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

49

Trougao

27. QAS Uglovi trougla

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj

Primena osobina uglova trougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 36. do 39. str.

Ponovimo definiciju spoljaxnjeg ugla trougla i njegove osobine (T-1). Zatim, ponovimo tvrenja: α + β + γ = 180◦ i α1 + β1 + γ1 = 360◦ . Rexavamo zadatke 206, 209. a), b), ) i 207. Zatim, rexavamo zadatke 210, 212, 223. Na kraju, rexavamo zadatke 240 i 241. Domai zadatak

209. v), g), d), e), ), 215, 220, 225.

50

Trougao

28. QAS Uglovi trougla

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Utemeljiti znanje o uslovima trougla

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 36. do 39. str.

Upoznavanje osobina unutraxnjih i spoljaxnjih uglova u trouglu je jedan od osnovnih zadataka iz geometrije trougla i geometrije uopxte. Treba na odabranim zadacima utvrditi nivo znanja uqenika i po potrebi zadrati se na uvebavanju pojedinih osobina. Za svaki postaljeni zadatak treba saqekati da ga rexe sve grupe (grupe qine uqenici iz dve susedne klupe). Po potrebi pomoi grupi koja je u zaostatku. Prvo rexavamo zadatke redom: 208, 216, 211, 214. Poxto reximo sve zadatke (u svim grupama) rexavamo zadatke: 213, 214, 217. Zatim, rexavamo zadatke problemskog tipa: 218, 219, 221. Onda, rexavamo zadatke za koje imamo odgovarajuu sliku: 238 i 245. Domai zadatak

228, 230, 233, 237, 244.

51

Trougao

29. QAS Odnos izmeu stranica i uglova trougla

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uporediti uglove u trouglu naspram jednakih i naspram razliqitih stranica i obrnuto. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 58. do 60. str.

Ponovimo definiciju osne simetrije, osobine simetrale dui i simetrale ugla. Izraqunaj dokaz u geometriji, dokazali smo, ako je P taqka na simetrali dui AB, tada je AP = BP (25. qas). Koristei se ovom osobinom simetrale dui, kao i simetralom ugla, uverimo se da su u trouglu naspram jednakih stranica jednaki uglovi (Teorema T-4) i obrnuto (T-6). Onda dokaemo Teoremu T-5 (u trouglu naspram vee stranice, vei je i ugao). Vai i obrnuto: naspram veeg ugla u trouglu je vea stranica. Onda reximo primer 1, o unutraxnjim uglovima jednakostraniqnog trougla (uglovi su po 60◦ ). Dalje, rexavamo primere 2, 3, 4 i 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 5, 6 na 60. str.

52

Trougao

30. QAS Odnos izmeu stranica i uglova trougla Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Usvojiti relacije izmeu uglova i odgovarajuih stranica trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 39. do 42. str.

Ponovimo odnose uglova naspram jednakih i uglova naspram nejednakih stranica i obrnuto, odnose stranica naspram jednakih i naspram nejednakih uglova. Kako se ove osobine odraavaju na pravougle trougle (hipotenuza i katete)? Kako se ove relacije odravaju na jednakokrake trouglove? Reximo zadatke: 249, 252, 253. Zatim, rexavamo zadatke koje su postavljeni i slikom, a ne samo tekstom: 260, 263, 265, 266. Reximo jox i zadatke 257 i 258. Domai zadatak

250, 253, 254, 256.

53

Trougao

31. QAS Stranice i uglovi trougla Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Primena odnosa stranica i odgovarajuih uglova trougla.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 33. do 42. str.

Ponovimo nejednakosti trougla i odnose stranica i odgovarajuih uglova u trouglu. Rexavamo redom zadatke: 192, b) i v), 194, 200, pa 186. b). Zatim, konstatujemo da za potvrdu nejednakosti trougla nije neophodno proveriti sve kombinacije, npr.: a + b > c, a + c > b i b + c > a. (Vidi u Zbirci tekst Ukratko, na strani 33. qetvrti pasus). Onda rexavamo zadatke: 255, 259, 261, 262, 267, 269. Domai zadatak

198, 200, 264, 269.

54

Trougao

32. QAS Trougao

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Utvrditi i povezati nauqene osobine trougla

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 33. do 42. str.

Grupu qine uqenici iz dve susedne klupe. Obnovimo nejednakosti trougla i rexavamo zadatke: 195, 196, 197. Obnovimo osobine unutraxnjih i spoljaxnjih uglova u trouglu i rexavamo zadatke: 224, 229, 234, 235, 243. Obnovimo uzajamne odnose stranica i odgovarajuih uglova trougla. Rexavamo zadatke: 253, 256, 268, 269, 270. Domai zadatak do 14. strane).

Radna sveska: Druga kontrolna veba (od 10.

55

Trougao

33. QAS Druga kontrolna veba (trougao)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju odxtampane listie sa zadacima. Zadaci Grupa A) 1. Kojoj vrsti pripada trougao, kome su unutraxnji uglovi 37◦ 23 i 52◦ 37 ? 2. Stranice trougla ABC su a = 9 cm i b = 5 cm. Duina stranice c izraava se celim brojem centimetara. Koliko je takvih trouglova? 3. Unutraxnji uglovi trougla ABC su α = 110◦ i β = 35◦ . Poreaj po veliqini stranice ovog trougla. 4. Jedan unutraxnji ugao trougla je 40◦ , a ostala dva se razlikuju za 5◦ . Odredi unutraxnje uglove tog trougla. 5. Prema podacima sa slike levo, dokai da je x = β

Grupa B) 1. Kojoj vrsti pripada trougao kome su spoljaxnji uglovi 158◦ 19 i 131◦ 51 ? 2. Odredi sve mogue trouglove obima 12 cm sa celobrojnim duinama stranica a, b, c, izraenim u centimetrima. 3. Poreaj po veliqini, od najvee do najmanje, stranice trougla ABC, ako su mu unutraxnji uglovi γ = 73◦ i β = 56◦ . 4. Izraqunaj unutraxnje uglove trougla ABC, ako mu je A za 26◦ vei, a B za 15◦ manji od C. 5. Dui KN i LP na slici gore desno, seku se u taqki M . Znamo da je K = P . Dokai da je N = L.

56

Trougao

Grupa V) 1. Unutraxnji uglovi trougla M N P su M = 40◦ 11 i N = 49◦ 49 . Kojoj vrsti pripada trougao M N P ? 2. Duine stranica trougla ABC izraavaju se celim brojem decimetara. Znamo da je b = 2 dm i c = 6 dm. Kolika moe biti duina stranice a? 3. Trougao ABC ima spoljaxnje uglove β1 = 141◦ i γ1 = 97◦ . Da li stranice ovog trougla zadovoljavaju uslov: a < b < c? Obrazloi odgovor. 4. Jedan unutraxnji ugao trougla je 52◦ , a druga dva odreuju razmeru 2 : 1. Odredi nepoznate uglove trougla ABC. 5. Na slici levo je ABC = AEB. Dokai da je x = y.

Grupa G) 1. Trougao ima jedan unutraxnji ugao od 32◦ 25 i jedan spoljaxnji ugao od 122◦ 25 . Kojoj vrsti pripada ovaj trougao? 2. Trougao ima obim 1 dm, a duine svih stranica izraene su celim brojem centimetara. Odredi sve trouglove koji zadovoljavaju ove uslove. Ima li meu njima jednakokrakih? 3. U trouglu ABC znamo unutraxnje uglove γ = 78◦ i α = 48◦ . Sloi stranice a, b, c ovog trougla u opadajui niz (od najdue do najkrae). 4. Izraqunaj unutraxnje i spoljaxnje uglove trougla, kome spoljaxnji uglovi odreuju produenu razmeru 11 : 8 : 5. 5. Na slici gore desno je M Q = P Q. Na osnovu datih podataka, odredi x.

Trougao

57

Grupa D) 1. Trougao ABC ima spoljaxnje uglove od 131◦ 46 i 126◦ 14 . Kojoj vrsti pripada ovaj trougao? 2. Odredi sve jednakokrake trouglove obima 19 cm, kojima se duine stranica izraavaju celim brojem centimetara. 3. U trouglu ABC je unutraxnji ugao β = 38◦ i spoljaxnji ugao α1 = 105◦ . Sloi stranice trougla ABC po veliqini, od najmanje, do najvee. 4. Odredi unutraxnje i spoljaxnje uglove trougla, kome unutraxnje uglove odreuju produenu razmeru 3 : 8 : 4. 5. Trouglovi ABC i ABD na slici su jednakokraki. Odredi unutraxnje uglove trougla ABC.

58

Trougao

34. QAS Konstrukcije nekih uglova Frontalni rad

Obrada Heuristiqka metoda

Cilj Koristei se uglovima jednakostraniqnog i jednakokrakog pravouglog trougla i simetralama uglova, konstruisati bez uglomera uglove, kao: 60◦ , 30◦ , 90◦ , 120◦ , 45◦ itd. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 61. do 63. str.

Podsetimo se na mere pravog i opruenog ugla. Zatim, ponovimo: unutraxnji uglovi jednakostraniqnog trougla u unutraxnji uglovi pravouglog jednakokrakog trougla. Zatim, reximo primer 1 uz konstataciju da se na taj naqin dobija ugao od 60◦ , i to bez upotrebe uglomera. Zatim, reximo primer 2. Pritom, za konstrukciju pravog ugla koristimo pravougli trougao za crtanje. Konstatujemo da smo na ovaj naqin uspeli da odredimo uglove od 90◦ i 45◦ , bez korixenja uglomera. Ponovimo definiciju i konstrukciju simetrale ugla (gradivo V razreda). Onda, konstruixemo prav ugao, bez korixenja pravouglog trougla, pomou simetrale opruenog ugla. Zatim, rexavamo primere 3, 4 i 5. Domai zadatak

Vebe 1 i 2 sa 63. strane ubenika.

59

Trougao

35. QAS Konstrukcije nekih uglova

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Usvojiti logiku i tehniku konstruisanja nekih uglova bez korixenja uglomera. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 42. do 44. strane.

Ponovimo konstrukcije uglova od 60◦ , 30◦ , 90◦ i 45◦ . Uglove od 30◦ i od 45◦ konstruixemo na dva naqina: 30◦ = 60◦ : 2 i 30◦ = 90◦ − 60◦ , a 45◦ = 90◦ : 2 i 45◦ je unutraxnji ugao pravouglog jednakokrakog trougla. Zatim , konstruixemo uglove od 15◦ (kao polovinu ugla od 30◦ , odnosno qetvrtinu ugla od 60◦ ) i 105◦ , kao 90◦ + 15◦ . Onda, rexavamo iz Zbirke zadatke 271, 272 i 275. Dalje, rexavamo zadatak 276. Domai zadatak

Zbirka 274, 277, 278.

60

Pismeni zadatak

36. QAS Priprema za prvi pismeni zadatak Rad u nehomogenim grupama

Obnavljanje Dijalog

Cilj qasa Rexavanje bitnih primera odgovarajueg nivoa, pripremiti uqenike za prvi pismeni zadatak. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirks, od 7. do 44. strane.

Formiramo grupe od uqenika koji sede u dve susedne klupe. Naqin rada u nehomogenim grupama opisali smo u pripremi 10. qasa. Za razliku od 10. qasa, ovog puta neemo upisivati ocene. To naglasimo na poqetku qasa, da bi se uqenici opuxteno pripremali za predstojei pismeni zadatak. Ako kroz rexavanje zadataka treba posebno naglasiti neki vaan podatak, onda na tablu izvodimo bolje uqenike. Treba napraviti presek kroz celo gradivo, obraeno od poqetka xkolske godine. Izbor zadataka zavisi od procene znanja uqenika. Moemo, na primer, rexavati sledee zadatke iz Zbirke: 20, 23, 30, 38, 47, 55, 66, 75, 78, 88, 112 a), b), v) 117, 131, 143, 151, 154, 171, 197, 225, 233, 237, 264. Od navedenih zadataka nastavnik bira one koji se uklapaju u njegovu viziju i procenu o znanju uqenika u konkretnom odeljenju. Domai zadatak do 18. strane).

Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (od 15.

Pismeni zadatak

61

37. QAS Prvi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Pismeni rad Na listiima odxtampani su zadaci za svakog uqenika. Dajemo predlog u pet grupa: A, B, V, G, D. Grupa A) 1. Od proizvoda broja suprotnog sa −5 i broja −7 oduzmi proizvod broja −8 i broja koji je suprotan sa −9. 2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza (m − (−n)) · (n22 − (−m)2 + n · (−m) − m : (1 + n), ako je m = 3 i n = −4. 3. U trouglu ABC je α = 56◦ 47 15 i spoljaxnji ugao β1 = 125◦ 15 17 . Odredi uglove β i γ. 4. Bez upotrebe uglomera, koristei se samo lenjirom i xestarom , konstruixi ugao od 105◦ . 5. Na slici levo je BD = CD i α + ϕ = 84◦ . Odredi ugao β.

Grupa B) 1. Izraqunaj vrednost izraza (18 : (−3) − (−6) : (−2)) : (−180 : (60 : (−3)) − (180 : (−10))) : (−3)). 2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza M = −3 − | − a| − 2 · (−b) + (−2) · |2 − b|, ako je a = −(−3) · (−5) − (−2) i b = 2 − |a| + (−3) · (−a) − (−4) · (−2). 3. Unutraxnji uglovi trougla ABC odnose se kao 7 : 11 : 6. Odredi spoljaxnje uglove tog trougla. 4. Koristei se samo lenjirom i xestarom, bez korixenja uglomera, konstruixi ugao od 67◦ 30 . 5. Na slici gore desno je AD = BD. Dokai da je CD > AD.

62

Pismeni zadatak

Grupa V) 1. Od koliqnika broja −28 sa −7 oduzmi proizvod broja −6 sa brojem koji je suprotan broju 4. 2. Odredi ceo broj k, tako da je vrednost izraza 4 : (3 + k) takoe ceo broj. Nai sva rexenja za k i odgovarajue vrednosti izraza. 3. U trouglu ABC je α = α1 i β = α1 − 17◦ 15 . Odredi uglove β1 , γ i α. 4. Konstruixi ugao od 75◦ , koristei se samo lenjirom i xestarom (bez korixenja uglomera). 5. Na stranici AB trougla ABC data je taqka D, tako da je AC = CD. Ako je ugao β manji od α za 21◦ , odredi ugao BCD. Grupa G) 1. Izraqunaj vrednost izraza: (3 · (−6) − 30 : (−2)) : (42 : (−3) − (21 − 8 · (−8)) : (−5)) + (−3) · 0 · 7. 2. IzraqunaJ brojevnu vrednost izraza N = −5 − 2 · | − a| + 3 · (−b) + (−3) · | − b + 3|, ako je b = −2 · | − 3| − (−18) : (−2) i a = 7 − |b − 1| − (−2) · (−b). 3. Spoljaxnji uglovi trougla ABC odnose se kao 5 : 9 : 6. Odredi unutraxnje uglove ovog trougla. 4. Bez korixenja uglomera, koristei se samo lenjirom i xestarom, konstruixi ugao od 37◦ 30 . 5. U trouglu ABC je AC = BC. Simetrala ugla α seqe simetralu ugla γ u taqki S, tako da je ASC = 108◦ . Uporedi duine stranica AB i BC.

Pismeni zadatak

63

Grupa D) 1. Razlici brojeva −7 i −31 dodaj koliqnik broja −72 i broja suprotnog sa −6 i dodaj proizvod broja −8 sa apsolutnom vrednoxu broja −4. 2. Odredi brojevnu vrednost izraza P = m(n − p(−m + 1) − p) − 3(−n) + 9 gde je m = −3, n = −(m − 1) i p = −(−m − n) − 2. 3. U trouglu ABC je α1 = 98◦ 17 25 i γ = 57◦ 23 45 . Odredi unutraxnje uglove α, β i γ trougla ABC. 4. Koristei se samo lenjirom i xestarom, bez korixenja uglomera, konstruixi ugao od 52◦ 30 . 5. Na osnovu podataka sa slike dokai da je BD = CD.

64

Pismeni zadatak

38. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazati na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Nastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko je bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin kako da se isprave. Zatim, istiqe i jox neke uoqene karakteristiqne grexke. Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitivnije i blagotvornije efekte nego kritika. Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskoj tabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detalja, pojedine zadatke radi sam nastavnik. Poeljno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremena za sve grupe, treba uraditi bar po jedan zadatak iz svake grupe.

65

Trougao

39. QAS Podudarnost trougla Frontalni rad

Obrada Demonstrativna metoda

Cilj Prikazujui pripremljene modele, trouglove iz pribora za crtanje, simetriqne slike i sliqno, uvesti pojam podudarnih trouglova, kao figura koje se nekim kretanjem mogu dovesti do poklapanja. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 64. do 67. str.

Podsetimo se xta podrazumevamo pod jednakim duima i pod jednakim uglovima. To su podudarne dui, odnosno podudarni uglovi. Dve podudarne dui mogu se poklopiti meusobno – poklope im se krajevi. Podudarni uglovi takoe se mogu poklopiti – poklope im se temena i kraci. Kao xti je navedeno u primerima 1, 2, 3, i 4, pokaemo da se i odgovarajui trouglovi mogu dovesti do potpunog poklapanja (poklope se sva temena, sve stranice i sve uglovi). Pored ovog vida poklapanja konstruktivnim putem, nastavnik prikae poklapanje pripremljenih modela, naqinjenih od kartona, drveta i sliqno. Posebno se istakne model iz primera 4, u kojem je neophodno kretanje kroz treu dimenziju. Na osnovu toga definixemo podudarne trouglove i njihove osnovne osobine, kao xto je navedeno u Ubeniku. Reximo zadatke iz Vebe, 1 i 2. Domai zadatak

Zbirka, 281, 282, 283, 284, 285.

66

Trougao

40. QAS Osnovna pravila o podudarnosti. Stavovi SSS i SUS

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Oslanjajui se na ranije uoqene primere poklapanja trouglova, formulisati pravila podudarnosti SSS i SUS. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 67. do 72. str.

Iz definicije podudarnih trouglova zakljuqujemo: ako dva trougla imaju jednake sve parove odgovarajuih stranica i sve parove odgovarajuih uglova, onda su ova dva trougla podudarna. Postavljamo pitanje: Moemo li utvrditi da su dva trougla podudarna, a da ne proveravamo jednakosti svih parova osnovnih elemenata (xest uslova)? Kao xto je opisano na 67. strani Ubenika zakljuqimo najpre da je dovoljna jednakost dva para uglova, da bi se moglo tvrditi da to vai i za trei par uglova. Dalje, izvodimo pravilo (trei stav podudarnosti), koji kratko oznaqavamo sa SSS (stranica, stranica, stranica). Onda, reximo primer 1. Na ovom primeru uoqimo kakvu korist moemo izvui iz dokaza o podudarnosti dva trougla (strana 68. Ubenika). Zatim, reximo primer 2 i pokaemo kako se korixenjem stava SSS moe dokazati teorema T-4. Onda, izvodimo pravilo SUS (prvi stav podudarnosti) Na kraju, rexavamo primere 3, 4 i 5. Domai zadatak iz Zbirke.

Vebe 1, 2, 3, sa 71. i 72. str. i 286. zadatak

67

Trougao

41. QAS Stavovi SSS i SUS

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Uoqiti dva trougla koji ispunjavaju uslove iz stavova SSS i SUS, kao i koje su korisne posledice dokazane podudarnosti. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 45. do 48. str.

Ponovimo xta se podrazumeva pod podudarnim figurama (poklapanje figura). Zatim, osobinu podudarnih trouglova (jednaki parovi odgovarajuih osnovnih elemenata). Onda ponovimo stavove SSS i SUS, pa rexavamo sledee zadatke redom: 287, 288, 289, 290, 291. Za svaki od rexenih zadataka traimo da uqenici utvrde dve bitne qinjenice. – koje su uslovi korixeni za dokazivanje podudarnih trouglova; – koji je korisni zakljuqci izvedeni iz ove podudarnosti, pa povezati sa zahtevom zadatka. (Na kraju, ponovo proqitati tekst zadatka.) Svaki put, kad se izvodi zakljuqak da su dva trougla podudarna treba naglasiti ”po stavu SSS (ili SUS)”. Zatim, rexavamo zadatke 294, 295. Na kraju, reximo jox i zadatak 293. Domai zadatak

292, 296, 297, 298.

68

Trougao

42. QAS Pravila o podudarnosti. Stavovi USU i SSS.

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Upoznati se sa preostalim stavovima podudarnosti trouglova. Uoqiti njihovu primenu, posebno kod jednakokrakih i pravouglih trouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 72. do 76. str.

Stavove podudarnosti tretiramo kao aksiome, pa samo navodimo formulacije, bez izvoenja dokaza. Tako navodimo i drugi stav podudarnosti, kratko stav USU. Rexavamo primere 1 i 2. Zatim, pokaemo kako se korixenjem stava USU moe elegantno dokazati teorema T-6. Onda, analiziramo uslove za qetvrti stav podudarnosti (stav SSU). Na 73. strani je objaxnjeno i ilustrovano zaxto se navodi uslov da su uglovi naspram jednog para jednakih stranica iste vrste (oba oxtra, oba tupa, ili oba prava). Ovaj stav vrlo qesto koristimo pri dokazivanju podudarnosti pravouglih trouglova. Rexavamo primer 3, pa dokaemo teoremu T-8, koja istiqe da je visina na osnovicu kod jednakokrakog trougla ujedno i simetrala osnovice, simetrala ugla kod vrha i simetrala trougla. Reximo jox i primer 4. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 76. str. Ubenika.

69

Trougao

43. QAS Stavovi USU i SSU

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uoqiti najqexe sluqajeve primene stavova USU i SSU.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 48. do 50. str.

Podsetimo se na drugi i qetvrti stav podudarnosti (USU i SSU). Uporedimo uslove sa stavovima SSS i SUS. Konstatujemo da jednakost tri para odgovarajuih, tzv. nezavisnih elemenata, u odreenim kombinacijama. Rexavamo zadatke redom: 306, 307, 308, 309, 310, u kojima se primenjuje stav USU. Zatim, rexavamo zadatke 312, 316 i 317 (stav SSU). Domai zadatak

311, 315, 318, 319.

70

Trougao

44. QAS Primena podudarnosti. Analogni elementi

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Istai xta se korisno dobija dokazivanjem podudarnosti trouglova, posebno uoqiti koji elementi podudarnih trouglova odgovaraju jedni drugima (analogni elementi). Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 76. do 80. str.

Koristei tri odreena odgovarajua para osnovnih elemenata utvrdimo podudarnost dva trougla. Onda, izvodimo zakljuqak o jednakosti i ostalih parova odgovarajuih (analognih) elemenata. Za ilustraciju reximo sledei zadatak. Trouglovi ABC i KLM su podudarni, jer je AB = KL, A = K i B = L (po stavu USU ), vidi sliku. Iz ove podudarnosti sledi jednakost i drugih analognih elemenata.

Dopuni jednakost: AC = ; LM = , M =  . Dalje, definixemo visine i teixne dui trougla. Uoqimo odgovarajue (analogne) visine i teixne dui podudarnih trouglova. Rexavamo primere 1, 2, 3 i 4. U svakom od primera insistiramo na uoqavanju analognih elemenata, kao i na objaxnjenjima zbog qega ih smatramo analognim. Treba naglasiti: uoqavanje jednakih analognih elemenata je najvanija posledica dokazane podudarnosti trouglova. Definixemo veoma vanu du, srednju liniju trougla. Nastavnik procenjuje da li moe izloiti dokaz njenih osobina, ili ih prosto navodi. Rexavamo primer 5. Naglasimo znaqaj osobine hipotenuzine teixne dui. (Treba je zapamtiti.) Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 80. strane Ubenika.

71

Trougao

45. QAS Primene podudarnosti

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Primeniti jednakost analognih elemenata kod podudarnih trouglova, na primer kod visina, teixnih dui, srednja linija trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 51. i 52. strana.

Ponovimo rezultate koje smo dobili rexavajui primere na proxlom qasu. Upoznajemo uqenike na vanost dobijenih zakljuqaka, koje treba zapamtiti: – Podudarni trouglovi imaju jednake odgovarajue (analogne) visine i teixne dui. – U jednakokrakom trouglu jednake su meu sobom visine koje odgovaraju kracima i jednake su teixne dui koje odgovaraju kracima trougla. – Hipotenuzina teixna du jednaka je polovini hipotenuze. – Srednja linija trougla paralelna je naspramnoj stranici i jednaka je polovini te stranice. Reximo redom zadatke 321, 323, 325, 327, 328. Domai zadatak

322. 324, 326, 329, 330.

72

Trougao

46. QAS Jednakokraki i jednakostraniqni trougao

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti bitne osobine jednakokrakih trouglova, posebno onih koje se primenjuju na druge figure. Istai savrxenost jednakostraniqnog trougla, kao pravilnog mnogougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 80. do 83. str.

Dobro poznavanje osobina jednakokrakih trouglova olakxava prouqavanje trouglova. Zbog toga se podseamo na najvanije osobine, koje smo do sada upoznali. – Naspram jednakih stranica (krakova) jednaki su uglovi (na osnovici). – Naspram jednakih uglova jednake su stranice. (Trougao je jednakokraki, ako ima dva jednaka ugla.) – Visina na osnovicu je simetrala jednakokrakog trougla. Ponovimo i osobine utvrene prethodnog qasa. Rexavajui, potom, primere 1, 2, 3, 4, 5, uoqavamo jox neke zanimljive osobine. Zatim, istiqemo posebno znaqajan, pravougli jednakokraki trougao, sa oxtrim uglovima od 45◦ i hipotenuzinom visinom, koja je jednaka polovini hipotenuze. Onda, uoqavamo osobine jednakostraniqnog trougla, koji spada u tzv. pravilne mnogouglove. Visina polovi jednakostraniqni trougao. Njegova polovina je izuzetno vaan pravougli trougao, kod kojeg posebno uoqavamo oxtre uglove od 30◦ i 60◦ i qinjenicu da je hipotenuza dva puta vea od manje katete. Rexavamo, na kraju, zadatak 338. iz Zbirke. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 83. strane Ubenika.

73

Trougao

47. QAS Jednakokraki i jednakostraniqni trougao

Uvebavanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj

Primena osobina jednakokrakih trouglova.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 52. do 57. str.

Ponovimo brojne osobine jenakokrakih trouglova, neke uoqene prethodnog qasa. (Ugao na osnovici je oxtar, simetrala spoljaxnjeg ugla kod vrha, paralelna je osnovici, γ1 = 2α, gde je γ1 spoljaxnji ugao kod vrha i sl.) Rexavamo redom zadatke: 332, 333, 335, 336, 340, 353, 357, 361, 369, 370, 377. Domai zadatak do 23. strane.

Radna sveska, Trea kontrolna veba, od 19.

74

Trougao

48. QAS Trea kontrolna veba (trougao)

Kontrola znanja

Pismeni rad Svaki uqenik dobija listi sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 1. Na slici levo je ugao γ = ACB, jednakokrakog trougla ABC sa osnovicom AB. Konstruixi ugao α = BAC.

2. Trouglovi ABC i KLM se delimiqno preklapaju. Znamo da je AL = BK, zatim AC = KM i BC = LM . Dokai da je 1 = 2. 3. U trouglu ABC je AC = BC. Spoljaxnji ugao kod temena C je 97◦ . Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. 4. Trougao ima unutraxnje uglove α = 30◦ i β = 60◦ . Zbir duina najmanje i najvee stranice je 21 cm. Odredi duinu najvee stranice ovog trougla. Grupa B) 1. Bez korixenja uglomera, konstruixi ugao od 165◦ . 2. Na slici je N Q = P Q, a prava M Q polovi ugao N M P . Dokai da je M N = M P .

Trougao

75

3. Visina, koja odgovara osnovici AB jednakokrakog trougla ABC, sa krakom odreuje ugao od 23◦ 30 . Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. 4. Stranicu BC jednakostraniqnog trougla ABC produi preko taqke C do taqke D. Obim trougla ABD je 48 cm, a obim trougla ACD je 3,5 dm. Koliki je obim trougla ABC? Grupa V) 1. Na slici levo su unutraxnji ugao β i spoljaxnji ugao α1 trougla ABC. Konstruixi unutraxnje uglove α i γ.

2. Na slici desno je KM = LM = 1 dm. Taqka S je sredixte dui LM , a S = 90◦ . Ako obim trougla KM N iznosi 27 cm koliki je obim trougla KLM ? 3. U jednakokrakom trouglu ABC sa osnovicom AB, simetrala ugla β sa krakom AC odreuje ugao od 23◦ . Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. 4. Pravougli trougao P QR ima unutraxnji ugao R = 60◦ i najkrau stranicu duine 4 cm. Hipotenuzina visina je du P N . Odredi duine odseqka N Q i RN . Grupa G) 1. Bez korixenja uglomera konstruixi ugao od 255◦ . 2. Na slici dole levo jednake su dui: AB = CD. Sem toga, jednaki su meu sobom uglovi α i δ. Dokai da je x = y. 3. U jednakokrakom trouglu M N P , simetrala kraka N P , seqe krak M P po ouglom od 33◦ . Odredi unutraxnje uglove trougla M N P . 4. Unutraxnji uglovi trougla ABC su BAC = 45◦ i ACB = 108◦ . Neka je CD visina trougla. Dokai da je BC = 2AD.

76

Trougao

Grupa D) 1. Bez korixenja uglomera konstruixi ugao od 195◦ . 2. Dui BE i CD na slici seku se u taqki P , tako da je 1 = 2 i AB = AD. Dokai da je BC = DE. 3. U tupouglom jednakokrakom trouglu M N P , sa osnovicom N P , visina P H odreuje sa krakom P M ugao od 21◦ 30 . Odredi unutraxnje uglove trougla M N P . 4. Jednakokraki trougao ABC, sa osnovicom AB, ima unutraxnji ugao BAC = 75◦ i visinu AD. Dokai da je BC = 2AD.

77

Trougao

49. QAS Osnovne konstrukcije trouglova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Pokazati, pre svega, da su trouglovi koji ispunjavaju uslove iz stavova podudarnosti, tim uslovima potpuno odreeni i mogu se konstruisati. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 83. do 88. str.

Prouqavajui podudarnost trouglova i osobine elemenata trougla, utvrdili smo, da elementi trougla ne mogu biti proizvoljni. Na primer, tri dui koje ne zadovoljavaju nejednakosti trougla, ne mogu biti stranice nekog trougla. Ugao trougla mora biti manji od opruenog ugla (mere manje od 180◦ ), a takoe zbir uglova (dva ugla) manji je od opruenog. To su bitna saznanja, koja stalno imamo na umu pri konstruisanju trougla. Rexavanje konstruktivnog zadatka ima faze: analiza (traenje rexenja), konstrukcija (crtanje modela – rexenja korak po korak, uz detaljan opis rada), dokaz (da dobijeno rexenje zadovoljava postavljene zahteve) i diskusiju (kada ima rexenje, ako ima, koliko ih je, ako nema, kad i zaxto nema rexenja). Prvo konstruixemo trouglove koji ispunjavaju uslove iz stavova podudarnosti (SSS, SUS, USU, SSU). Reximo, najpre, detaljno primere 1, 2, 3, 4. Zatim, rexavamo konstrukcije u kojima se do rexenja dolazi, posredno, tako xto se prvo odredi deo traenog trougla. Tada se meu zadatim elementima pojavljuju i visine, teixne dui, polupreqnici nekih odreenih krugova (npr. opisanog kruga) i sl. Reximo primere 5 i 6. Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 88. strane Ubenika i primeri 1 i 2 sa 58. i 59. strane Zbirke.

78

Trougao

50. QAS Konstrukcije trouglova Rad u parovima

Uvebavanje Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Konstruisanje trouglova koji su odreeni pojedinim elementima koji nisu osnovni (visine, teixne dui i sl.). Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 57. i 61. str.

Prvo reximo osnovne konstrukcije iz zadataka 381 v) i ), 382 b), 383 b). Zatim, konstruixemo pravougli trougao, zadatak 385. b) i d) i jednakokraki, zadatak 386. a). Reximo jox zadatke: 391. a), v) i 392. a). Za svaki zadatak obavimo samo analizu i konstrukciju, a samo u jednostavnijim sluqajevima i u zadacima koji nemaju rexenja (kao npr. 381. )) izvrximo diskusiju i eventualno dokaz. Domai zadatak 381. g), 382. v), 383. g), 385. v), 389. b), 388. b), 391. b) i d), 392. b).

79

Trougao

51. QAS Trougao i krug Frontalni rad

Obrada Dijaloxko-heuristiqka metoda

Cilj Pokazati da za svaki trougao postoji taqno jedna krunica koja sadri sva temena trougla i taqno jedna krunica koja dodiruje sve stranice trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 88. do 92. str.

Kao xto je opisano na 88. strani Ubenika, postavimo probleme: moe li se kroz bilo koje dve ili kroz bilo koje tri taqke, konstruisati krunica? Na kraju, problem se svodi na pitanje: da li za svaki trougao postoji krunica, koja prolazi kroz sva temena trougla? Najpre pokaemo da postoji taqka koja je jednako udaljena od temena trougla (taqka u kojoj se seku simetrale stranica). Zatim, dokaemo teoremu T-9, iz koje sledi zakljuqak da svaki trougao ima svoju opisanu krunicu. Onda, reximo praktiqan problem – primer 1. Potom reximo i primer 2. Posle toga, uqenici nacrtaju u svesku proizvoljan trougao. (Nastavnik moe da postavi uslove, tj. da podeli uqenike na grupe, koje izaberu razliqite vrste trouglova.) Zatim, svi konstruixu simetrale unutraxnjih uglova odabranih trouglova. Zakljuqujemo: simetrale unutraxnjih uglova imaju jednu zajedniqku taqku. Onda, dokaemo teoremu T-10. Zatim, nastavnik izabere trougao, a dva uqenika na tabli (na smenu) konstruixu opisanu i upisanu krunicu. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 92. strane.

80

Trougao

52. QAS Trougao i krug

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Konstruisanje upisane i opisane krunice za razne vrste trouglova i primene ovih krunica. Tok qasa

Osnovna literatura Zbirka, 61. i 62. str.

Ponovimo tvrenja tepreme T-9 i teoreme T-10. Reximo zadatak 396. Utvrdimo: Kako se odreuje centar opisane krunice? Xta je polupreqnik ove krunice? Zatim, reximo zadatke 397 i 398. Xta se moe zakljuqiti o centru opisane krunice? Onda, reximo zadatak 400. Reximo zadatke 407, 410 i 408. Xta se moe zakljuqiti o centru upisane krunice. Reximo jox zadatak 402. Domai zadatak

399, 401, 403, 404, 405.

81

Trougao

53. QAS Visine i teixne dui trougla Frontalni rad

Obrada

Dijaloxko – heuristiqka metoda

Cilj Uoqiti analogiju izmeu osobina simetrala stranica i uglova i osobina visina i teixnih dui trouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 92. do 96. str.

Ponovimo pojam visine trougla. Nacrtamo jedan oxtrougli i jedan tupougli trougao. Konstruixemo jednu visinu oxtrouglog trougla i visinu iz oxtrog ugla u tupouglom trouglu. Konstatujemo: u prvom sluqaju visina je u trouglu, a u drugom sluqaju je van trougla. Zatim, nacrtanim trouglovima konstruixemo i preostale dve visine. Onda, nacrtano pravougli trougao i njegove tri visine (primer 1). Svaki uqenik crta u xkolskoj svesci. Onda, analiziramo crtee uqenika i sliku na tabli. Uqenici izvode zakljuqak da se visine trougla (prave koje sadre visine) seku u jednoj taqki. Tu taqku nazivamo ortocentar. Nastavnik moe, po sopstvenoj proceni, dokazati ovo tvrenje, kao xto je u Ubeniku dato u neobaveznoj formi. Zatim, reximo praktiqan primer 2. Ponovimo pojam teixne dui. Onda, rexavamo primer 3. (Svaki uqenik bira trougao ABC po sopstvenom nahoenju). Ponovo zajedno analiziramo dobijene konstrukcije. Zakljuqujemo: Teixne dui trouglova seku se u jednoj taqki. (Nastavnik moe i da dokae tvrenje, kao xto je opisano u Ubeniku.) Zajedniqka taqka je teixte, koje deli svaku teixnu liniju na delove, koji se odnose kao 2:1. Reximo primer 4. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 96. strane.

82

Trougao

54. QAS Visine i teixne dui

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Konstruisanje ortocentra i teixta za razne vrste trouglova i njihova primena. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 63. i 64. str.

Obnovimo pojmove visine i teixne dui trougla Xta je orto centar? Xta je teixte? Osobine teixta? Rexavamo zadatke redom: 411, 412, 413, 414, 415. Zatim, rexavamo zadatke 416, 417, 418. Domai zadatak

419, 420.

83

Trougao

55. QAS Qetiri znaqajne taqke trougla Rad u parovima

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Povezati i zaokruiti znanja o centru upisane krunice, centru opisane krunice, ortocentru i teixtu trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik od 96. do 98. str.

Na prethodnim qasovima utvrdili smo da svaki trougao ima opisanu i upisanu krunicu, ortocentar i teixte. Centar opisane krunice, centar upisane krunice, ortocentar i teixte, predstavljaju tzv. qetiri znaqajne taqke. Rexavamo primer 1 (svaki uqenik crta u svojoj svesci). Onda, zajedniqki otkrivamo: kakve poloaje u odnosu na trougaonu liniju imaju znaqajne taqke. Utvrujemo da su centar upisane krunice i teixte uvek u trouglu. Orto centar i centar opisane krunice mogu biti u trouglu (oxtrougli trougao), na trougaonoj liniji (pravougli trougao) ili van trougla (tupougli trougao). Zatim, reximo primer 2, uz komentare i zakljuqke o poloajima znaqajnih taqaka. Domai zadatak Vebe 1 i 2. Radna sveska qetvrta kontrolna veba (od 24. do 28. strane).

84

Trougao

56. QAS Qetvrta kontrolna veba (trougao)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima zadataka Grupa A) 1. Datom trouglu ABC konstruixi ortocentar H opixi krunicu oko ovog trougla.

2. Konstruixi trougao ABC, kome su date stranice a = 3 cm, c = 4 cm i teixna du ta = 3, 5 cm. 3. Konstruixi jednakokraki trougao KLM sa osnovicom KL, kome je ugao na osnovici 75◦ i krak LM = 4 cm. 4. Konstruixi trougao P QR, kome je data stranica P Q i ortocentar H (slika gore desno). Grupa B) 1. Opixi krunicu oko datog trougla M N P . Onda, konstruixi njegovo teixte T .

2. Konstruixi trougao ABC, kome su date stranice a = 2, 5 cm i c = 3, 5 cm i ugao β = 45◦ . 3. Konstruixi pravougli trougao P QR kome je dat ugao P QR = 22◦ 30 i kateta P R = 3 cm. 4. Na slici gore desno je pravougli trougao ABC i njegovo teixte T . Ako je AB = 4, 8 cm, odrediti duinu dui CT .

Trougao

85

Grupa V) 1. Datom krugu preciznom konstrukcijom odredi centar O. Zatim, lenjirom izmeri polupreqnik. 2. Konstruixi trougao ABC, kome je stranica c = 5 cm, a uglovi α = 60◦ i β = 45◦ . 3. Konstruixi jednakokraki trougao M N P , kome je data osnovica M N = 6 cm i ugao M P N = 105◦ .

4. Konstruixi trougao KLM , kome je nacrtana stranica KL na gornjoj slici. Taqka S na slici je centar upisane krunice trougla KLM . Grupa G) 1. Trougli P QR na slici konstruixi ortocentar H i teixte T .

2. Konstruixi trougao ABC, kome su date stranice b = 3, 5 cm i c = 5 cm i visina hc = 3 cm. 3. Konstruixi pravougli trougao KLM , kome su date katete KL = 5 cm i KM = 4 cm. 4. Taqka T na slici je teixte pravouglog trougla ABC. Znamo da je M T = 17 mm. Kolika je duina polupreqnika krunice opisane oko trougla ABC? Obrazloi rexenje.

86

Trougao

Grupa D) 1. Datom trouglu na slici dole levo konstruixi opisanu krunicu sa centrom O i upisanom krunicom sa taqkom S.

2. Konstruixi trougao ABC, kome je data stranica c = 5 cm, ugao α = 30◦ i teixna du tb = 3, 5 cm. 3. Konstruixi jednakostraniqni trougao M N P , kome je visina h = 4 cm. 4. Na slici gore desno je stranica KL i teixte T trougla KLM . Konstruixi trougao KLM .

87

Racionalni brojevi

57. QAS O razlomcima ukratko

Obnavljanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Obnavljanjem osnovnih pojmova o razlomcima, iz gradiva petog razreda (skraivanje, proxirivanje, uporeivanje, decimalni zapis), pripremiti teren za rad sa racionalnim brojevima. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 99. do 104. str.

a je koliqnik celog broja a, a ∈ N0 , b sa prirodnim brojem b. (Pritom, a je brojilac, b je imenilac, a Ponovimo pojam razlomka:

”

” razlomaqka crta, koja oznaqava deljenje.)

Ponovimo xta su: prividni razlomci (brojilac je deljiv imeniocem), pravi (manji od 1) i nepravi (vei od 1). Nepravi razlomci se mogu izraziti u obliku zbira celog broja i pravog razlomka. 5 23 = 3 . (NiTakav zapis nazivamo mexovitim brojem. Na primer: 6 6 11 11 23 = 2 , jer nije pravi razlomak.) je mexoviti broj 6 6 6 Ako brojilac nije deljiv imeniocem, onda se deljenjem brojioca sa imeniocem dobija decimalni zapis razlomka. Ponovimo pojam periodiqnog decimalnog broja. Reximo zadatke 1, 2, 3 iz Vebe, str. 103. Ponovimo skraivanje i proxirivanje razlomaka. Reximo Vebe 4. i 5. Ponovimo uporeivanje razlomaka. Reximo Vebe 6, 7 i 8. Domai zadatak d), 430 v) i d).

Zbirka: 421, 422, 423, 424, 425, 428, 429, a) i

88

Racionalni brojevi

58. QAS Skup racionalnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvoenje negativnih racionalnih brojeva. Prikazivanje racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj. Skraivanje, proxirivanje i uporeivanje racionalnih brojeva, apsolutna vrednost. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 104. do 109. str.

Ponovimo: brojevna poluprava i predstavljanje racionalnih brojeva (gradivo V razreda). Proxirimo brojevnu polupravu ”levom” polupravom. Dobilo smo brojevnu pravu. Svakom broju na desnoj polupravoj odgovara na levoj polupravoj simetriqan broj. (Taqki na desnoj polupravoj odgovara taqki, simetriqna u odnosu na taqku O, na levoj polupravoj.) Ranije smo to utvrdili za cele brojeve, a sada tvrenje proxirujemo i na razlomke (sl. 1. u Ubeniku). Tako dobijemo skup racionalnih brojeva. Levo od O su taqke qije koordinate su manje od 0, tj. negativni racionalni brojevi. Definixemo skupove Q+ i Q− , pa je Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ skup racionalnih brojeva. Reximo primer 1. Definixemo pojam suprotnog broja i pojam apsolutne vrednosti racionalnog broja (97. strana u Ubeniku). Poxtujui pravilo za odreivanje znaka koliqnika, dolazimo a koliqnik celog broja a sa do zakljuqka, da je racionalni broj b prirodnim brojem b. Reximo primere 2, 3 i 4. Konstatujemo da se u skup Q proxirivanje, skraivanje i uporeivanje vrxi po istim principima, kao u skupu Q+ (uqili smo u V razredu). Reximo i primer 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 na 109. strani Ubenika.

89

Racionalni brojevi

59. QAS Sabiranje u skupu Q+

Obnavljanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Podsetiti se na pravila o sabiranju razlomaka i osobine sabiranja, pojam mexovitog broja i sabiranje decimalnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 109. do 112. str.

Ponovimo pravilo za sabiranje razlomaka, koji imaju jednake imenioce (gradivo V razreda). (a + b) : c = a : c + b : c, odnosno a : c + b : c = (a + b) : c, a odavde a+b a b . zakljuqujemo: + = c c c Sabiranje celog broja sa razlomkom rexavamo sliqno transformisanje mexovitog broja. Ako su razlomci sa razliqitim imeniocima, onda ih proxiravanjem dovodimo na jednake imenioce, pa sabiramo. a·d b·c a·d+b·c a c + = + = b d b·d b·d b·d Reximo primer 1. Zatim, ponovimo sabiranje decimalnih brojeva (razlomaka u decimalnom zapisu), pa reximo primer 2. a sa decimalnim brojevima, Ako se sabiraju brojeve oblika b a izrazimo u decimalnom obliku, ili decionda brojevi oblika b a malne brojeve svedemo na oblik , pa onda sabiramo. (Vidi tekst b na 112. strani Ubenika). Onda, rexavamo Vebe sa 112. strane: 1, 2, 3, 4. Domai zadatak

Zbirka: 456. 457, 458, 459, 460.

90

Racionalni brojevi

60. QAS Sabiranje i oduzimanje u skupu Q

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Koristei se iskustvima iz sabiranja u skupu Q+ i sabiranja i oduzimanja celih brojeva, izvesti pravila za sabiranje i oduzimanje u skupu Q. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 113. do 115. str.

Konstatujemo da se pravila za sabiranje i oduzimanje celih brojeva mogu primeniti i u skupu Q. Pri tome, postupanje pri sabiranju i oduzimanju decimalnih brojeva, na razlikuje se od rada a sa celim brojevima. Kod razlomaka oblika , kombinujemo ovo prab vilo sa postupkom koji koristimo u skupu Q+ . (Vidi tekst na 113. strani Ubenika.) Jox  naglasimo da je u sluqaju mexovitog broja, na primer:  2 17 2 =− . −3 = − 3 + 5 5 5 Podsetimo sa na definiciju razlike a − b = a + (−b), pa reximo primer sa 114. strane Ubenika. Zatim, navodei konkretne primere, podsetimo se na osobine sabiranja, primenjene na skupu racionalnih brojeva. (Na primer: asocijativnost, komutativnost, saglasnost jednakosti sa sabiranjem, pravilo ”minus ispred zagrade” i sl.) Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, sa 115. strane Ubenika.

91

Racionalni brojevi

61. QAS Sabiranje i oduzimanje u skupu Q Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Temeljno uvebati sabiranje i oduzimanje u skupu Q, uzimajui u obzir sve kombinacije pozitivnih i negativnih sabiraka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 73. do 78. str.

Ponovimo pravilo za sabiranje celih brojeva, pa pravilo za sabiranje u skupu Q i definiciju razlike dva broja. Onda, rexavamo zadatke iz Zbirke, redom 461 (po izboru), 462 a), b), v), g), 463 (po izboru), 464, 465, a) , 469, 471 (po izboru), 473, 474. Domai zadatak do 33. strane).

Radna sveska: Peta kontrolna veba (od 29.

92

Racionalni brojevi

62. QAS Peta kontrolna veba (Racionalni brojevi)

Kontrola znanja

Pismeni rad Cilj Ovo je tzv. ”blic kontrolna veba”, koja se radi 25-30 minuta. Nastavniku je bitno da proceni pripremljenost uqenika za planiranu obradu operacija sa racionalnim brojevima. Uqenicima ove veba je upozorenje i ukazivanje na eventualne ”praznine” u znanju o racionalnim brojevima. Zadaci su odxtampani na listiima. Grupa A) 1. Odredi tri racionalna broja, koji se na brojevnoj pravoj na3 2 laze izmeu brojeva − i − . 5 5 3 1 2. Xta je vee i za koliko: 12 − 30 ili 4 − 22? 2 4   1 1 3. Izraqunaj: −3, 4 − 6, 5 − 2 − 7 . 5 2 9 6 3 5 4. Razlomke − , , − , − dovedi na zajedniqki brojilac, pa ih 2 4 8 5 uporedi i sloi u opadajui niz, od najveeg do najmanjeg. Grupa B) 1. Odredi tri racionalna broja p, q, r, tako da je −0, 1 < p < q < r < 0, 1.

5 1 2. Za koliko je apsolutna vrednost razlike brojeva 3 i −5 2 6 1 vea od broja 7 ? 12 3. Odredi uzajamno  proste celebrojeve p i q takve da je 1 3 7 11 1 p = +1 − 1 − − . q 36 8 12 24 18 2 7 3 5 4. Razlomke , − , − , − dovedi na zajedniqki imenilac pa 6 3 12 4 ih uporedi. Onda ih sloi u rastui niz, od najmanjeg do najveeg.

Racionalni brojevi

93

Grupa V) 1. Odredi tri prava razlomka a, b, c, takva da je 4 9 > b > > c. a> 10 5 2 1 1 2. Od zbira brojeva 3 i −3 oduzmi broj −1 . 3 5 6 7 1 3. Izraqunaj: 2 − (1, 75 − 4) − 2 . 4 10 3 5 3 3 4 4. Brojeve: − , − , − , − , − , poreaj u rastui niz, od naj5 2 4 8 4 manjeg do najveeg. Grupa G) 1. Odredi pet racionalnih brojeva, koji se na brojevnoj pravoj 1 1 nalaze izmeu brojeva − i . 4 4   1 5 manja od razlike 2. Za koliko je razlika brojeva 12 i − −3 9 2 5 2 brojeva 7 i −4 . 3 6 3. Odredi uzajamno proste cele brojeve m i n takve da je 5 3 2 m = 1 − 1 + 1 − 3. n 6 4 3 15 5 30 20 , − , − , − , dovedi na zajedniqki brojilac, 4. Razlomke 11 8 3 17 pa ih uporedi. Sloi ih u niz, od najveeg do najmanjeg. Grupa D) 1. Odredi tri racionalna broja m, n i p, tako da vae nejedna1 1 kosti: − > m > n > p > − . 10 5 2. Za koliko je razlika broja 3,01 i broja −88, 49 vea od zbira brojeva 99,48 i −53, 98?   1 2 7 − 7 −1 . 3. Izraqunaj: 5, 6 − 30 3 15 2 5 5 3 4. Razlomke , − , − , − , dovedi na zajedniqki imenilac, pa 4 3 8 6 ih uporedi. Zatim ih sloi u niz, od najveeg do najmanjeg.

94

Racionalni brojevi

63. QAS Sabiranje i oduzimanje u skupu Q Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Postii visok nivo u tehnikama sabiranja i oduzimanja u skupu racionalnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 74. do 77. str.

Pored zadatak iz Zbirke, uradiemo i neke zadatke sa poslednje kontrolne vebe. Sa vebe rexavamo one zadatke, sa kojima su uqenici imali problema. Prvo rexavamo odabrane zadatke sa kontrolne vebe. Zatim, rexavamo iz Zbirke zadatke: 463, 465, 468, 470, 471. Domai zadatak

466, 467, 472, 476.

95

Racionalni brojevi

64. QAS Skup racionalnih brojeva Rad u parovima

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Sabiranje i oduzimanje sa primenom, vebati na primerima sa ”izmexanim” racionalnim brojevima razliqitih oblika. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka od 66. do 78. strane.

Umexnost u sabiranju (i oduzimanju) racionalnih brojeva, predstavlja jednu od bitnih karika u matematiqkom obrazovanju. Posebno je vaan princip svoenja zajedniqki imenilac, jer se on obilato koristi tokom kasnijeg izuqavanja algebre. O tome nastavnik upoznaje uqenike, a onda prelazi na vebanje, koristei se zadacima iz zbirke. Rexavamo sledee zadatke: 434, 435, 437, 438, 440, 443, 448, 475, 478, 480. Domai zadatak

442, 445, 449, 477.

96

Racionalni brojevi

65. QAS Priprema za pismeni zadatak Rad u nehomogenim grupama

Obnavljanje Dijalog

Cilj Vebajui primere odgovarajueg nivoa, pripremiti uqenike za drugi pismeni zadatak. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 42. do 78. strane.

Pripremu za ovaj pismeni zadatak obavimo na standardan naqin, opisan u pripremi 36. qasa. Izmeu ostalih, za vebanje moemo rexavati i sledee zadatke iz Zbirke: 441, 450, 452, 453, 454, 455, 472, 476, 477, 479. Domai zadatak do 37. strane).

Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (od 34.

Racionalni brojevi

97

66. QAS Drugi pismeni zadatak

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju pripremljene listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 504 dovedi na neskrativ oblik. 792 1 2. U lonac od sedam i po litara nasuto je 2 litara vode, pa je 8 7 litara. Koliko se litara jox moe doliti, pa dosuto jox 3 12 da taj lonac bude pun do vrha? 3. Prema slici dole levo odredi visinu hc trougla ABC. 4. Konstruixi jednakokraki trougao KLM , osnovice KL, ako mu je krak LM = 4 cm i teixna du koja odgovara kraku 3 cm. 1. Razlomak −

Grupa B) −216 dovedi na neskrativ oblik. 288         2 1 3 2 1 5 − −5 ili − − −4 + −1 ? 2. Xta je vee, −3 − 1 6 3 4 4 3 12 3. Na slici gore je AB = KL. Kolika je duina dui KM ? 4. Konstruixi pravougli trougao M N P sa pravim uglom P , ako mu je kateta N P = 3, 5 cm, a njoj odgovarajua teixna du ima duinu 4 cm. 1. Razlomak

98

Racionalni brojevi

Grupa V) −180 dovedi na neskrativ oblik. 315     2 1 1 2 3 3 5 −1 vee od izraza 2 − 1 −4 ? 2. Za koliko je 1 − − 5 6 3 5 2 5 4 3. Jednakokraki trougao KLM , sa osnovicom KL, ima visinu KN . Pri tom je LKN = 21◦ . Odredi unutraxnje uglove trougla KLM . Moe li ovaj trougao biti tupougli? 4. Taqke D i S su sredixta dui AB i M N . Koristei se podacima sa slike, dokai da su trouglovi ABC i M N P podudarni. 1. Razlomak

Grupa G) −648 dovedi na neskrativ oblik. 792 2. Koji je broj za 1,092 manji od razlike brojeva 1,33 i −8, 682? 3. Spoljaxnji ugao kod vrha C jednakokrakog trougla ABC iznosi 128◦ . Koliki je ugao izmeu simetrale ugla α i visine ha ovog trougla? 4. Konstruixi pravougli trougao M N P , sa pravim uglom kod temena P , ako je M = 15◦ i hipotenuzina visina je duine 2 cm.

1. Razlomak −

Racionalni brojevi

99

Grupa D) 210 dovedi na neskrativi oblik. −120   1 3 5 ili 2. Xta je vee i za koliko: 2 − 2 − −1 6 5 4   5 1 7 −1 ? − − −3 12 12 3 3. Du CD je visina jednakostraniqnog trougla ABC. Na produetku visine, iza taqke D, odreena je taqka E, tako da je CE = AB. Odredi unutraxnje uglove trougla BDE. 4. Dui tk i ta su teixne dui jednakokrakih trouglova KLM i ABC. KL i AB su osnovice. Na osnovu podataka sa slike, dokai da je AB = KS.

1. Razlomak

100

Racionalni brojevi

67. QAS Ispravka pismenog zadatke Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazati na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka, kao xto je opisano u planu rada za 39. qas.

Racionalni brojevi

101

68. QAS Celi i racionalni brojevi Rad u parovima

Sistematizovanje Dijalog

Cilj Napraviti rekapitulaciju operacija na skupovima celih i racionalnih brojeva. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 65. do 80. str.

Budui da je prvih tridesetak qasova drugog polugodixta predvieno za nastavak obrade racionalnih brojeva, potrebno je uqenike za to pripremiti. Onda, svaki slobodni deo od preostalih qasova do kraja prvog prvog polugodixte treba iskoristiti za vebanje nauqenih operacija sa racionalnim brojevima. Zadatke birati iz Zbirke. Za domai zadatak uqenicima preporuqiti da jox jednom urade zadatke iz xkolske i domae sveske u vezi sa racionalnim brojevima. Takoe, treba im preporuqiti da se podsete na mnoenje i deljenje razlomaka, xto su nauqili u petom razredu. Preostala dva qasa do kraja polugodixta ostavljamo u rezervi. Mogu se iskoristiti, ili su ve iskorixeni, kao uslovljen dodatak u planu realizacije neke od tema u proteklom polugodixtu. Mogu biti iskorixeni za proveru, odnosno utvrivanje nekih ocena, a moda ih ”pojede” i nepogodan nedeljni raspored qasova.

69. qas

rez.

70. qas

rez.

Tema: Tok qasa Tema: Tok qasa

102

Racionalni brojevi

71. QAS

Drugo polugodixte

Izrazi, jednaqine i nejednaqine

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Primena osobina sabiranja i oduzimanja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 115. do 119. str.

Sreivanje izraza i izraqunavanje brojevne vrednosti izraza, predstavlja elementarnu tehniku u matematici. Zbog toga, ovom delu nastave treba pokloniti dovoljno panje. Kod izraza u kojim je zastupljeno samo sabiranje i oduzimanje, treba obratiti posebnu panju na pravilo ”minus ispred zgrade”. Brisanje (izostavljanje) zagrade, ispred koje je ”minus”, zahteva promene svih znakova ”+” i ”−” u zagradi. To emo primeniti rexavanjem primera 1. Sreivanje izraza s promenljivim veliqinama ima dve varijante. Jedna je oslobaanja od zagrada i uproxavanje izraza sa zadravanjem slovnih oznaka za promenljive. Druga je izraqunavanje brojevne vrednosti izraza za brojevne vrednosti promen date  1 ljivih. Navodimo izraz 0, 75 − 1 − a na 116. strani Ubenika. 2 Zatim, reximo primer 2. Onda, rexavamo jednaqine tipa x + a = b i a − x = b, koje smo upoznali u 6. odeljku Prve glave. Reximo primere 3 i 4. Zatim, rexavamo nejednaqine, takoe jednostavnog oblika x + a > b, x + a < b, a − x > b i a − x < b. Reximo primere 5 i 6. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, sa 118. i 119. strane.

103

Racionalni brojevi

72. QAS Izrazi, jednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Odreivanje vrednosti izraza sa promenljivom veliqinom i rexavanje jednostavnijih jednaqina. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 78. do 80. str.

Nastavljamo sa uvebavanjem tehnike sreivanja izraza. Prvo sredimo nekoliko brojevnih izraza. Reximo zadatke: 471 a), v), z), 472 a), v), d) i 470 b) i g). Zatim, prelazimo na izraze s promenljivim veliqinama. Reximo zadatke 481 i 482. Onda reximo jednaqine iz zadatka 488 a) i b) i 489 a) i v). Domai zadatak

483, 484, 485, 488 v) i g) , 489 b).

104

Racionalni brojevi

73. QAS Jednaqine, nejednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Rexavanje i primena jednaqina i nejednaqina.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 78. do 80. strane.

Podsetimo se: jednaqina x + a = b ima rexenje x = b − a, a rexenje jednaqine a − x = b je x = a − b. Rexavamo zadatke 488 v) i d). Zatim, rexavamo jednaqinu sa apsolutnom vrednoxu iz zadatke 489 g). Reximo i zadatak 490. Ponovimo: nejednaqina x + a > b ima rexenje x > b − a. Reximo zadatke 494 v) i g). Ponovimo: nejednaqina a − x > b ima rexenje x < a − b, a rexenje nejednaqine a − x < b je x > a − b. Reximo zadatke: 494 a), b) i ). Zatim, reximo nejednakost sa apsolutnom vrednoxu. Reximo zadatak 495 a). Reximo i zadatak 496. Domai zadatak

488 ), 489 d), 491, 492, 493, 494 b), 497.

Racionalni brojevi

105

74. QAS Mnoenje u skupu Q+ Frontalni rad Cilj va.

Obnavljanje Dijalog

Priprema terena za mnoenje i deljenje racionalnih broje-

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 119. do 122. str.

Proxle godine nauqili smo mnoenje i deljenje razlomaka u skupu Q+ . Za mnoenje koristimo pravilo a·c a c · = . b d b·d Iz ovog izvodimo pravilo za mnoenje razlomka celim brojem: k·a a a·k a = ili ·k = . b b b b Radi jednostavnijeg raqunanja, treba nastojati da se pre mnoenja skrate qinioci. Rexavamo primere 1 i 2. Podsetimo se na pojam reciproqne vrednosti razlomka: b a a b je reciproqna vrednost broja . Za a = 0 je · = 1; Broj b a a b Reximo primer 3. Onda, podsetimo se na pravilo za mnoenje decimalnih brojeva. To qinimo objaxnjavajui sve etape izraqunavanja proizvoda 5, 8 · 7, 35 (kao na 121. strani Ubenika). Reximo primer 4. k·

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4 sa 121. i 122. strane Ubenika i iz Zbirke: 501, 502, 503, 504, 505.

106

Racionalni brojevi

75. QAS Mnoenje racionalnih brojeva oblika

p q

Frontalni rad

Obrada

Dijalog

Cilj Povezati pravila za mnoenje celih brojeva i za mnoenje razlomaka. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 122. do 124. str.

Obnovimo pravila za mnoenje dva razlomka i za mnoenje razlomaka celim brojem, kao xto smo uqinili prethodnog qasa. Za mnoenje u skupu Q ovome treba samo dodati pravilo za odreivanje znaka proizvoda. (Proizvod dva broja pozitivan je samo ako su oba qinioca istog znaka, tj. ako su oba pozitivna, ili oba negativno.) To je kao kod mnoenja u skupu celih brojeva. Reximo primere 1 i 2. Podsetimo se na pojam reciproqna vrednosti broja, rexavanjem primera 3. Primetimo da su brojevi 1 i −1 sami sebi reciproqni. 2 1 Kako se odreuje nekog broja a ili broja a? Znamo od pro3 5 2 1 xle godine, tj je · a, odnosno · a. Zatim, reximo primer 4. 3 5 Na kraju, ako imamo vremena, reximo 2. zadatak Vebe sa 124. strane. Domai zadatak

Zbirka 508. i Vebe 1 i 3.

107

Racionalni brojevi

76. QAS Mnoenje racionalnih brojeva

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Usvajanje tehnike mnoenja razlomaka: prvo skrati, pa onda mnoi. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 82. do 84. str.

a·c a c i odreivanje znaka proizvoda. Ponovimo pravilo · = b d b·d Onda, reximo zadatke 506 i 507. Zatim, reximo zadatke 511 i 514. Onda sreujemo izraze tipa a(b + c) i (b + c) · a. Reximo zadatke 509 a) i v) i to na dva naqina. Prvi put ”ispoxtujemo zagradu”, pa prvo izvrximo operaciju oduzimanja u zagradi, a onda mnoimo. Drugi put, koristimo pravilo za oslobaanje od zagrade (osobina distributivnosti mnoenja u odnosu na sabiramo i oduzimanje): a(b ± c) = a · b ± a · c. Na kraju, reximo nekoliko zadataka sa stepenima: 515 a), b), v), g), d) i 516 a), b) i v). Domai zadatak

509, 510, 512, 515, 516, 517.

108

Racionalni brojevi

77. QAS Mnoenje decimalnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Usvojiti pravilo mnoenja decimalnih brojeva: 1. odredi znak; 2) odredi cifre proizvoda; 3) postavi decimalnu zapetu. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 124. do 126. str.

Videli smo da se mnoenje decimalnih brojeva svodi na mnoenje celih brojeva, a onda se decimalnom zapetom odvoji odgovarajui broj decimala. (Videti plan rada za 74. qas). Na kraju, jox odredimo znak proizvoda, kao kod mnoenja celih brojeva. Princip mnoenja decimalnih brojeva najbolje se vidi pri rexavanju primera 1. Mnoenje decimalnih brojeva zahteva panju, pa je potrebno dosta vebanja, da bi se nivo tehnike rada podigao na nivo rutine. Rexavamo primer 2. Za odreivanje reciproqne vrednosti decimalnog broja, najboa lje je prvo decimalni broj dovesti na oblik . To posebno dolazi b do izraaja kod periodiqnih decimalnih brojeva. (Neizvodljivo je, na primer, direktno deljenje 1 : 0, 18.) Reximo primer 3. Zatim, reximo primer 5. Onda imamo jedan qinilac u oblia ku , a drugi u obliku decimalnog broja. Pre mnoenja treba oba b a qinioca svesti na oblik , ili oba na oblik decimalnog broja. b Ako ima vremena do kraja qasa, preporuqljivo je rexavanje i primera 4. Ne treba insistirati da to znaju svi uqenici. Domai zadatak

Vebe 1 i 3 (i eventualno 2).

Racionalni brojevi

109

78. QAS Mnoenje decimalnih brojeva Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Kombinovati mnoenje racionalnih brojeva u raznim oblicima. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 84. i 85. str.

Ponovimo pravilo za mnoenje decimalnih brojeva (sa odreivanjem znaka proizvoda). Podsetimo se na jednostavan postupak mnoenja decimalnog broja dekadnom jedinicom. Reximo zadatak 521. Onda se podsetimo na jednostavno mnoenje u sluqaju kad je jedan mnoilac oblika: 0,1; 0,01; 0,0001 i sl. Reximo zadatak 523. Zatim, vebamo opxtu tehniku mnoenja, rexavajui zadatak 524. Ponovimo pojam reciproqne vrednosti broja, pa reximo zadatak 527. Na kraju, sredimo nekoliko izraza u kojima se uz decimalne a brojeve pojavljuju i brojevi oblika . Reximo zadatke: 526 g) i b z), 528 b) i 529 a). Domai zadatak

522, 525, 526, 528, 530.

110

Racionalni brojevi

79. QAS Osobine mnoenja u skupu Q Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Navoenjem konkretnih brojevnih izraza uveriti se da vae navedene osobine mnoenja u skupu Q. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 126. do 128 str. i Zbirka, od 86. do 88. str.

Mnoenje racionalnih brojeva je tzv. operacija zatvorena na skupu Q. To znaqi, ako je a ∈ Q i b ∈ Q, onda je i a · b ∈ Q. Na osnovu pravila za mnoenje razlomaka, ovo mnoenje se svodi na mnoenje celih brojeva. Zbog toga ovde vae isti zakoni, kao za mnoenje celih brojeva. Navodimo te zakone, kao xto je to uqinjeno na 125. strani Ubenika. Takoe, jednakost je saglasna sa mnoenjem racionalnim brojem. Rexavanjem primera 1, 2, 3, uveravamo se u funkcionisanje ovih zakona. Kao vana primena zakona asocijativnosti mnoenja, pojavljuju se operacije sa stepenima. Upoznaemo se sa stepenima rexavajui primere 4 i 5 i zadatak 538 iz Zbirke. Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, sa 128. strane Ubenika i iz Zbirke: 532, 533, 535.

111

Racionalni brojevi

80. QAS Deljenje racionalnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Koristimo znanje iz prethodnog razreda (o deljenju u skupu Q+ ) i pravilo za odreivanje znaka koliqnika. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 128. do 132. str.

Proxle godine nauqili smo pravilo za deljenje razlomkom. Ovde, na 127. strani Ubenika, vidimo kakao se dolazi do tog pravila: a d a·d a c . Za c = 0 je : = · = b d b c b·c Znak koliqnika odreuje kao i kod deljenja (i mnoenja) celih brojeva. Reximo primer 1. Naglasimo, i na konkretnom primeru pokaemo, deljenje racionalnih brojeva nije komutativna operacija. (U Ubeniku to je po7 8 tvreno na koliqniku −1 : .) 9 15 Onda, objasnimo deljenje razlomka celim brojem. Razlikujemo sluqajeve kad je brojilac razlomka deljiv celim brojem i kad nije deljiv. U navedenom sluqaju, deljenje se vrxi na dva naqina:      14 : (−7) 14 14 7 14 1 14 : (−7) = ili : (−7) = : − = · − . 15 15 15 15 1 15 7 Izvedeno pravilo potvrdimo na konkretnim brojevima, kao xto je navedeno u Ubeniku, pa reximo primer 2. Zatim, prikaemo deljenje decimalnih brojeva na dva naqina, kao u primeru 3. Onda, reximo primere 4 i 6 i eventualno primer 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, strana 131. i 132.

112

Racionalni brojevi

81. QAS Deljenje racionalnih brojeva

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Vebanje tehnike deljenja racionalnih brojeva.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 88. do 90. str.

Ponovimo pravilo za deljenje razlomaka: a d a·d a c i potkrepimo ga primerom (recimo: za c = 0, : = · = b c b·c   b d 9 1 ). 2 : − 7 14 Zatim, ponovimo dva sluqaja deljenja razlomaka celim brojem 4 1 i potkrepimo ih konkretnim primerima, −3 : (−5) i 2 : (−21). 3 5 Onda, reximo zadatke 514 i 543. Ponovimo pravilo za deljenje decimalnim brojem, pa reximo zadatke 542 i 544. Obratimo posebno panju na deljenje decimalnih brojeva dekadnom jedinicom i brojevima tipa 0,001. Reximo zadatak 545. Domai zadatak

546, 547 b) i v), 548 i 549.

Racionalni brojevi

113

82. QAS Mnoenje i deljenje u skupu Q Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Kombinovano deljenje racionalnih brojeva u sluqajevima kad deljenik i delilac nisu istog zapisa. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 82. do 90. str.

Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Ponovimo pravila za mnoenje i deljenje razlomaka. Posebno istaknemo sluqajeve kad je jedan od brojeva ceo. Rexavamo nekoliko zadataka usmeno, bez zapisivanja. To su zadaci 539 i 540. Zatim, reximo zadatke redom: 513, 518, 519, 520, 522, 525, 528, 537, 547. Domai zadatak

534, 529, 550.

114

Racionalni brojevi

83. QAS Izrazi. Dvojni razlomci

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Sreivanje izraza sa racionalnim brojevima. Svoenje dvojnog razlomka na obiqan razlomak. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 132. do 134. str.

Podsetimo se na redosled raqunanja brojevne vrednosti izraza u kojem se pojavljuju operacije sabiranja, oduzimanja, mnoenja i deljenja. Uloga zagrada u izrazima. Prvo rexavamo primere 1 i 2, u kojima raqunamo brojevne vrednosti brojevnih izraza. Onda, reximo primer 3, u kojem se trai brojevna vrednost izraza s promenljivom veliqinom. Zatim, uoqavamo posebnu vrstu izraza, koje nazivamo dvojnim razlomcima. Dvojni razlomak nije nixta drugo, do koliqnik dva izraza sa racionalnim brojevima. Najjednostavniji sluqaj je koliqnik dva razlomka: a a c a·d . Za c = 0, cb = : = b d b·c d a a·d . (Proizvod spoljaMoe se zapamtiti i direktno cb = b·c d xnjih qlanova odreuje brojilac, a proizvod unutraxnjih daje imenilac rezultata. (”Unutraxnji qlanovi su brojevi uz glavnu razlomaqku crtu.) Rexavamo primer 4. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4 sa 134. strane.

Racionalni brojevi

115

84. QAS Izrazi

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Sreivanje izraza sa promenljivom veliqinom i sloenijih dvojnih razlomaka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 90. do 92. strane.

Ponovimo: redosled raqunanja vrednosti brojevnog izraza. Rexavamo zadatke 551. i 522. Ponovimo pojam dvojnog razlomka i dva pravila kojim se on svodi na obiqan razlomak. Reximo zadatke: 557 a), b), v) i 558. Zatim, reximo zadatke: 561 a) i 562 g) Domai zadatak

553, 557 g), d), ), 559 a), 563 a).

116

Racionalni brojevi

85. QAS Izrazi

Uvebavanje

Rad u homogenim grupama

Dijalog

Cilj Sreivanje izraza raznih nivoa teine, prilagoenih radu sa homogenim grupama, u tri nivoa znanja. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 89. do 92. strane.

Uqenici se grupixu, po qetiri do xest u svakoj grupi. Grupe se formiraju u tri kvalitetom odreena nivoa: A je elementarni, B srednji i V vixi nivo. Nastavnik predlae uqenicima da se sami odluqe za nivo A, B ili V, a ako je potrebno, sam izvrxi selekciju. Zadaci se pripreme unapred, na odxtampanim listiima. Rexavaju se jedan, po jedan. Kad sve grupe rexe svoj prvi zadatak, rexenja se demonstriraju na tabli, pa se prelazi na rexavanje drugog zadataka i td. Mogui izbor zadataka po grupama (konaqan izbor diktira situaciju u razredu): Grupa A): 547 ), 555, 557 d), 559 v), 562. Grupa B): 553 v), 554, 559 b), 561 v), 564 a). Grupa V): 556, 554, 563 v) 563 v), 564 b). Domai zadatak do 42. strane).

Radna sveska: Xesta kontrolna veba (od 38.

117

Racionalni brojevi

86. QAS Xesta kontrolna veba (Racionalni brojevi)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju pripremljene listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 3 1. Rexi jednaqinu: 2, 25 − x = 4 . 4

    1 1 1 5 : − . 2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza −5 · − · 2 7 9 10 6   1 1 3 od − 1 − 2 ? 3. Koliko iznosi 11 9 3   1 1 −2 − −1 3 6 . 4. Uprosti dvojni razlomak 2 4 3 Grupa B) 1 1. Rexi nejednaqinu: 5, 75 ≥ 3 −x. Rexenje prikai na brojevnoj 2 pravoj. 2. Izraqunaj −1, 12 · (−2, 025) + 1, 76 · (−3, 375). 5 3. Xta je vee i za koliko: qetiri petine od −5 ili minus dve 8 1 treine od 5 ? 4 1 −1 9. 4. Uprosti dvojni razlomak 2 1 3

118

Racionalni brojevi

Grupa V) 3 1. Rexi jednaqinu 2 = 1, 15 − x. 5



2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza   1 3 9 od 3 : −3 ? 3. Koliko iznosi 10 8 4 1 1 −2 + 2 6. 4. Uprosti dvojni razlomak 5 − − 2, 5 6

1 1 2 −4 5 3

   1 : −5 . 3

Grupa G) 1 1 1. Rexi nejednaqinu 3 − x < 1 . Rexenje prikai na brojevnoj 3 9 pravoj. 2. Izraqunaj: −3, 2 · (−11) · (−2, 035) + 45, 7 · (−8, 3 : (−5)). 5 ili pet 3. Xta je manje i za koliko: minus tri sedmine od 12 3 xestina od − ? 14 2 1 63 . 4. Uprosti koliqnik 6 : 8 4 − 9 Grupa D) 1. Rexi jednaqinu:

1 2 − x = 2, 5 − 1 . 3 6

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza  1 5 2 2 3. Koliko iznosi −1 od 1 · 5 − 3 : 3 2 6 5 1 −3 3 : 11. 4. Uprosti koliqnik 1 5 4 6



1 2 − 2 3  3 ? 4

   2 : −1 . 3

119

Racionalni brojevi

87. QAS Jednaqine u skupu racionalnih brojeva

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Rexavanje jednostavnih jednaqina korixenjem osobina raqunskih operacija u skupu Q. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 134. do 139. str.

Do sada smo rexavali jednaqine u kojima je nepoznata veliqina samo x. Sada emo razmatrati jednaqine kod kojih e nepoznata biti oblika ax ili x : a, gde je a, a = 0, racionalni broj. Najjednostavnija takva jednaqina je oblika ax = c, gde je a = 0. Njeno rexenje je x = c : a. 3 1 Rexavamo primer: −2 ·x = 3 (vidi na 134. strani). Dobijemo 5   4 1 3 3 = −1 . rexenje x = 3 : −2 5 4 5 Rexenje treba obavezno proveriti! Zatim, razmatramo jox malo sloenije jednaqine: ax + b = c,

zatim

b − ax = c

Rexavamo primer 1. Onda, reximo jednaqinu sa apsolutnom vrednoxu (reximo primer 2.). Posle toga razmatramo i jednaqine oblika: x x x = c, + b = c i b − = c, a = 0 a a a Reximo primer 3. Takoe razmatramo i jednaqine oblika a : x = c i sliqne, pa reximo primer 4. Zatim, upoznajemo se sa tekstualnim zadacima, qije rexavanje dovodi do jednaqina navedenih oblika. Reximo primere 5. i 6. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, sa 138. i 139. strane.

120

Racionalni brojevi

88. QAS Jednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Rexavanje jednaqina raznih oblika i jednostavnijih tekstualnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 93. i 94. str.

Najpre rexavamo jednostavne jednaqine uoqenih oblika. Rexavamo redom zadatke: 566 a), b), v), g), 567 a), b), v). Onda, rexavamo i jednaqine sloenijeg izgleda. Rexavamo zadatke: 566 d), ), e), ), z). Zatim, reximo jednaqine sa apsolutnom vrednoxu. Tu su zadaci 570 a) i b). Na kraju reximo neki tekstualni zadatak: 571, 572, 576. Domai zadatak

568 b), d), ), 570 v), 574, 579.

121

Racionalni brojevi

89. QAS Jednaqine sa primenom

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Rexavanje tekstualnih zadataka. Jednostavna primena jednaqina u geometriji. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 93. i 94. strana.

Ponovimo rexavanje jednaqina raznih oblika. Usput reximo zadatke: 567 ), g), d) i 568 v). Zatim, reximo zadatke 569 a) i v). Onda, rexavamo tekstualne zadatke: 573, 577, 578, 580. Domai zadatak

569 g) i d), 570 g), 575.

122

Racionalni brojevi

90. QAS Nejednaqine u skupu Q

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Odreivanje rexenja nejednaqine povezati sa rexenjem odgovarajue jednaqine. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 139. do 143. str.

U odeljku 3.4 rexavamo samo postavljene nejednaqine oblika a + x > b (odnosno a + x < b) i a − x > b (odnosno a − x < b), koristei se osobinama sabiranja i oduzimanja. Sada, za a = 0, rexavamo nejednaqine oblika: ax > c (odnosno ax < c) i x : a > c (odnosno x : a < c). Najpre razmotrimo kako se izraz ax, za a = 0, menja kad x raste i kad x opada. Kao xto je opisano na 139. strani: kad x raste, onda za a > 0 proizvod ax raste, a kad je a < 0 proizvod ax opada. Odatle zakljuqujemo kako se navedene nejednaqine rexavaju korixenjem rexenja odgovarajuih jednaqina. Rexavamo primer 1, pa primer 2, uz prikazivanje rexenja na brojevnoj pravoj. Onda, rexavamo nejednaqine oblika x : a > c, odnosno x : a < c, primer 3. Zatim, koristei se prethodnim idejama, rexavamo nejednaqine ax + b > c, b − ax > c (i sliqne). Reximo primer 4. Na kraju, reximo i jedan tekstualni primer, koji se svodi na rexavanje nejednaqine, primer 5. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3 sa 143. strane.

123

Racionalni brojevi

91. QAS Nejednaqine

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj Jednostavni primeri primene nejednaqina. Prikazivanje rexenja nejednaqine na brojevnoj pravoj. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 95. i 96. str.

Ponovimo kako se rexavaju nejednaqine tipa ax > c, ax < c, x : a > c, x : a < c, za a = 0. Onda, reximo zadatke 581 a), b), v). Zatim, ponovimo kako se rexavaju nejednaqine tipa: ax + b > c, ax + b < c, b − ax > c, b − ax < c, za a = 0. Onda rexavamo zadatke: 581 g), d), ) Zatim, rexavamo zadatke: 582 b), d), ) i 583 a), b). Rexavamo, zatim, nejednaqine sa apsolutnim vrednostima (zadatak 585 a), v)). Na kraju reximo zadatak 588. Domai zadatak

582 a), g), 583 v), 584, 585 v), 589.

124

Racionalni brojevi

92. QAS Procenti

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvesti pojam procenta kao obiqnog dekadnog razlomka sa imeniocem 100. Objasniti potrebu za uvoenjem procenta, pre svega kao mere za promene. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 143. do 149. str.

Req ”procenat” je svakodnevno jedna od najqexe korixenih ”struqnih” reqi. To je sasvim prirodno, jer je procenat univerzalna mera za promene ”svega i svaqega”. Stalno se nexto menja, a te promene izraavamo razlomcima: za koliko se svojih delova to nexto promenilo. Dakle, merimo promene, pa nam treba jedinica mere, tj. jedinica promene. Meunarodna jedinica za promene je procenat, u oznaci 1 %: 1 = 0, 01. 1 %= 100 Na primer, kao xto je navedeno u ubeniku, ako je hleb poskupeo sa 25 dinara na 30 dinara, onda je poskupljenje 5 dinara po kg. Koliko je to u procentima? 20 5 = = 20 % = 0, 2 (proxirili smo razlomak sa 4). 25 100 Navodimo najqexe korixene brojeve procenata, izraene na tri naqina: broj %, razlomak sa imeniocem 100 i decimalni zapis. Po dogovoru, broj procenata oznaqavamo sa p %. Stvarnu promenu, procentni iznos, oznaqavamo sa P . Osnovnu veliqinu, glavnicu, qiju promenu merimo, oznaqavamo sa G. Glavnica ima 100 %. Zatim, uz odgovarajue komentare, rexavamo primere redom od 1. do 12. Domai zadatak

Vebe, 1, 2, 3, 4, sa 149. strane.

Racionalni brojevi

125

93. QAS Procenti

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqiti razliqite kombinacije u odreivanju jedne nepoznate veliqine izmeu tri povezane: glavnica, broj procenata i procentni iznos. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 97. do 100. str.

Podsetimo se: procenat je stoti deo (neqega) i slui kao mera za promene. Ukupna koliqina promene, izraena u jedinicama mere posmatrane veliqine, je procentni iznos. Veliqina qije promene (stote delove) merimo, je glavnica. Na primer, ako je cena mesa od 400 din po kg, poveana za 5 %, 5 · 400 = 20.) Ovde onda je stvarno poveanje cene za 20 dinara. ( 100 je glavnica 400 dinara (G = 400 dinara), broj procenata je 5 % (p = 5 %) i procentni iznos je 20 dinara (P = 20 dinara). Veliqine G, p i P su uzajamno zavisne i, ako znamo dve, treu moemo izraqunati. 1 = 0, 01 pa emo na nekoliko primera Po definiciji je 1 % = 100 uoqiti vezu izmeu ova tri zapisa. Rexavamo zadatke: 591 b), d), ), z), 592 a), v), j), l). Ako znamo p i G, odreujemo P (rexavamo zadatke 593 a), v), d), svaki na dva naqina). Ako znamo G i P , odreujemo p % (rexavamo zadatke 594 a), e), z), svaki na dva naqina). Ako znamo p i P , odreujemo glavnicu G. (Rexavamo zadatke 595 a), b), g), ). Na primer d): 0, 125G = 11, 5 pa je G = 11, 5 : 0, 125 = 92.) Domai zadatak Delovi zadataka 591, 592, 593, 594 i 595, koji nisu uraeni na qasu.

126

Racionalni brojevi

94. QAS Procenti – primena

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Uoqiti praktiqnu primenu i znaqenje procenata.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 99. i 100. strana.

Podsetimo se na znaqenje pojma: glavnica (G), procenat (1 % = 1 = 0, 01), broj procenata od glavnice (p %) i procentni iznos 100 (stvarna promena, P ). Dakle, raqun sa procentima, to je, zapravo, raqun sa razloma , decimalni broj ili %. cima u jednom od zapisa: 100 Rexavamo praktiqne probleme, u kojima iz teksta prepoznajemo veliqine G, p i P i izraqunavamo jednu nepoznatu, kad su preostale dve poznate. Rexavamo zadatke: 596, 599, 600, 601, 602, 604, 606, 607, 608, 612. Ukoliko nije potroxeno vreme, do kraja qasa rexavamo jox neke od zadataka sa 99. i 100. strane Zbirke. Obrnuto, ako nije bilo dovoljno vremena da reximo sve predviene zadatke, vixak dajemo za domai rad. Domai zadatak

597, 598, 603, 605, 611.

Racionalni brojevi

127

95. QAS Procenti

Sistematizovanje

Rad u homogenim grupama Cilj

Dijalog

Potvrditi nauqeno o procentima, i to u tri nivoa znanja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Pripremljeni listii.

Pravilno poznavanje i korixenje procenata, danas predstavlja deo opxte i poslovne kulture. Nepoznavanje suxtinskog znanja procenata stvara pogrexne iluzije, xto se, kao karikatura, vidi i u primerima 11. i 12. u ubeniku. Homogene grupe koje smo formirali tokom realizacije 85. qasa, ostaju u istom sastavu, osim ako neko od uqenika ne eli da promeni nivo. Naqin rada je isti kao na 85. qasu. Predlog zadataka po grupama (koji moe da se razlikuje u svakom odeljenju). Nivo A: 591 v) i k), 592 e) i j), 593 j) i n), 594 v), 595 d), 605 Nivo B: 591 i) i j), 592 d) i l), 594 ), 595 ), 597, 609, 613 Nivo V: 591 i) i j), 592 z) i k), 595 i), 609, 613, 614 Domai zadatak

610, 615

128

Racionalni brojevi

96. QAS Opxta svojstva racionalnih brojeva – pregled

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Istai osobine koje ima struktura odreena skupom Q, raqunskim operacijama (sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje) i relacijama jednakosti i nejednakosti. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik 149. i 150 str.

Uverili smo se da se raqun sa racionalnim brojevima svodi na raqun sa celim brojevima. Zbog toga, zakoni koji vae u skupu celih brojeva, uz odreena specifiqna ograniqenja i obrazloenja, vae i u skupu Q. Osobine racionalnih brojeva sistematizujemo, kao xto je opisano u Ubeniku. Poeljno je da za svaku navedenu osobinu uqenici sastave bar po jedan odgovarajui primer sa konkretnim brojevima. Domai zadatak

Zbirka: 513, 536, 539.

Racionalni brojevi

129

97. QAS Jednaqine, nejednaqine, procenti

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama Cilj

Dijalog

Priprema za naredne kontrolne znanja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 93. do 100. str.

Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Konaqna realizacija teme za ovaj qas zavisi od rezultata i pokazanog znanja uqenika. Ukoliko tako oceni, nastavnik moe uzeti u obzir i obnavljanje jednaqina i nejednaqina zadatih na 79. i 80. strani Zbirke. Potrebno je svakako ponoviti principe rexavanja jednaqina i nejednaqina i sve tri varijante problema o procentima (izraqunavanje jedne od veliqina G, P , p). Treba odabrati po tri jednaqine i nejednaqine, a rexenja nejednaqina prikazati na brojevnoj pravoj i u obliku intervala. Pripremiti i tri do pet zadataka o procentima, preteno zadatke tekstualnog tipa. Domai zadatak do 47. strane).

Radna sveska: Sedma kontrolna veba (od 43,

130

Racionalni brojevi

98. QAS Sedma kontrolna veba (jednaqine, nejednaqine, izrazi, procenti)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima svojih zadataka. Grupa A) 1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza A = m : n − p, gde je 3 2 1 m = −13 , n = 6 i p = 1 · (−1, 35). 2 4 3 1 9 < −2 : 3 . Rexenje predstavi na 2. Rexi nejednaqinu 0, 8x − 10 3 brojevnoj pravoj. a 3. a) Broj 16 % izrazi u obliku decimalnog broja i u obliku . b 7 izrazi u obliku procenata. b) Razlomak 20 4. Popust na cenu od 1280 dinara iznosi 144 dinara. Koliki je popust u procentima? Grupa B) 1 a : c, gde je a = 6 , 1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza B= b 4 1 1 7 1 b=1 −3 −2 i c=1 . 4 2 8 5 1 1 2. Rexi jednaqinu − − 3 x = 1, 5. 10 5 3. a) Broj 7,5 % izrazi u obliku decimalnog broja i u obliku razlomka. 13 izrazi u obliku procenata. b) Razlomak 16 4. Opruga se izduila za 12,5 %, odnosno za 11,5 centimetara. Kolika je sada duina ove opruge?

131

Racionalni brojevi

Grupa V) 1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza B = p + q − r, ako je  1 2 2 1 9 i r = −2 . p = − : −1 , q = 2 · 1 10 5 9 25 3 1 1 2. Rexi nejednaqinu 3, 2 − 1 x > 2 : (−7, 5). Rexenje predstavi 4 4 na brojevnoj pravoj 3. a) Broj 17,5 % izrazi u obliku razlomka i u obliku decimalnog broja. 11 izrazi u obliku procenata. b) Razlomak 25 4. Od 6,4 litara alkohola isparilo je 0,36 litara. Koliko procenata alkohola je isparilo? Grupa G) 2 1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza 2 + (a + b) · c, gde je 3     2 1 1 6 1 a = −2 : −1 , b = − i c = 5 · − . 3 5 3 4 7 1 1 2. Rexi jednaqinu − − 2 · x = −2, 75. 4 2 3. a) Broj 2,5 % izrazi u u obliku decimalnog broja i u obliku razlomka. 3 b) Razlomak izrazi u obliku procenata. 8 4. U gradu ima 2109 penzionera, xto predstavlja 14,25 % graana. Koliko stanovnika ima ovaj grad? Grupa D) 1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza −

m

 − p , gde je

n 1 1 3 m = 2 − 0, 25, n = −1 i p = 1 . 4 2 6 1 1 2 2. Rexi nejednaqinu 1 < 2 − 1 x. Rexenje predstavi na bro3 2 9 jevnoj pravoj. 3. a) Broj 12,5 % izrazi u u obliku decimalnog broja i u obliku razlomka. 13 izrazi u obliku procenata. b) Razlomak 40 4. Cena od 120 dinara sniena je i sada je 55,50 dinara. Koliki je popust u procentima?

132

Qetvorougao

99. QAS Vrste qetvorouglova

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Upoznavanje sa vrstama qetvorouglova i sa elementima qetvorouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 151. do 154. str.

Podsetimo se na definiciju mnogougla, pa na definiciju qetvorougla. Zatim, definixemo, konveksan i nekonveksan qetvorougao. Uoqimo razliku izmeu qetvorougla i zatvorene izlomljene linije od qetiri dui sa samopresekom. Ubudue obraujemo samo konveksne qetvorouglove. Istaknemo osnovne elemente qetvorougla i obeleavanje. Uvodimo pojmove susednih i naspramnih temena, uglova i stranica i pojam dijagonala. Onda, definixemo posebne vrste qetvorouglova: paralelogram, pravougaonik, romb, kvadrat, trapez, deltoid. Svaki od definisanih qetvorouglova konstruixemo, obraajui pri tome panju na bitne karakteristike i meusubne odnose stranica i uglova. Konstruisane figure moraju biti verne originalima. Ako su uglovi pravi, konstruixemo zaista prave uglove (pravougaonik, kvadrat). Ako su stranice paralelne, konstruixemo paralelne prave onako kako se to pravilno qini (paralelogram, trapez). Ako su stranice jednake, mi ih konstruixemo da budu jednake (romb, kvadrat). Na taj naqin uoqavamo vizuelne karakteristike qetvorouglova. Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, na 153. i 154. strani; Zbirka: 617, 629, 624.

133

Qetvorougao

100. QAS Uglovi qetvorougla

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Prouqavane osobina unutraxnjih i spoljaxnjih uglova qetvorougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, 154. do 156. str.

Bitne konstante qetvorougla jesu zbir unutraxnjih uglova i zbir spoljaxnjih uglova. Koristei se poznatom qinjenicom da je zbir unutraxnjih uglova trougla jednak 180◦ (to ponovimo na poqetku qasa), nastavnik moe oqekivati da uqenici sami dokau tvrenje: Zbir unutraxnjih uglova u svakom qetvorouglu je 360◦ . Reximo primer 1. Zatim, primenimo dobijeni zakljuqak na rexavanje primera 2. Onda, ponovimo definiciju spoljaxnjeg ugla trougla, pa na isti naqin definixemo spoljaxnje uglove qetvorougla. Konstantujemo da je za proizvoljan qetvorougao ABCD ispunjen uslov: α + α1 = 180◦ = β + β1 = γ + γ1 = δ + δ1 . Reximo primer 3. Na kraju, traei odgovore na pitanja a), b), v), g), postavljena na 155. strani, nalazimo neposrednu primenu tvrenja o zbirovima unutraxnjih i spoljaxnjih uglova qetvorougla. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, sa 156. strane.

134

Qetvorougao

101. QAS Uglovi qetvorougla Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Uoqavanje veza meu uglovima kod raznih vrsta qetvorouglova. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 104. do 106. str.

Ponovimo osobine uglova qetvorougla: zbir unutraxnjih uglova, definicija spoljaxnjeg ugla i zbir spoljaxnjih uglova. Rexavamo zadatke 626, 627, 629, 632. Zatim, rexavamo zadatke 637 i 638. Domai zadatak

628, 630, 634.

Qetvorougao

135

102. QAS Uglovi qetvorougla Rad u nehomogenim grupama

Uvebavanje Dijalog

Cilj Primene osobina unutraxnjih i spoljaxnjih uglova qetvorougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 104. do 106. str.

Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Radimo na standardan naqin, uobiqajen za nehomogene grupe. Ponovimo: α+β+γ+δ = 360◦ , α+α1 = 180◦ = β+β1 = γ+γ1 = δ+δ1 i α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360◦ . Rexavamo zadatke redom: 630, 631, 633, 635. Zatim, sa posebnom panjom, rexavamo zadatak 636. Svakako treba animirati xto vei broj uqenika, da ove zadatke rexavaju bez pomoi nastavnika. Zatim, rexavamo zadatke u kojim se vrxi dokazivanje nekih osobina, koje su uslovljene poznatim osobinama uglova qetvorougla: 639, 643, 645. Domai zadatak

640, 641, 642, 644.

136

Pismeni zadatak

103. QAS Priprema za pismeni zadatak Rad u nehomogenim grupama

Obnavljanje Dijalog

Cilj Rexavanjem karakteristiqnih zadataka obnoviti bitne delove gradiva od poqetka drugog polugodixta. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 90. do 100. str.

Na osnovu analize postignutih rezultata i efekata nastave od poqetka drugog polugodixta, izmeu ostalog i rezultata sa dve poslednje kontrolne vebe, nastavnik odabira zadatke iz obraenih nastavnih oblasti, za koje je procenio da su ih uqenici u manjoj meri usvojili. Konaqan izbor zadataka za rad na ovom qasu moe se razlikovati i u paralelnim odeljenjima u kojim predaje jedan nastavnik. Mogui xiri izbor zadataka iz Zbirke: 554, 559, 564, 508, 574, 579, 582 a), v), e), ), 584, 585, 603, 605, 609, 613, 614. Domai zadatak do 51. str.).

Radna sveska: Trei pismeni zadatak (od 48.

Pismeni zadatak

137

104. QAS Trei pismeni zadatak

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju unapred pripremljene listie sa odxtampanim tekstovima zadataka.

1. 2. 3. 4.

5.

Grupa A)        3 1 1 1 · −1 − −3 . Izraqunaj vrednost izraza −3 − −6 8 4 3 3 Odredi ugao α, koji je komplementan svojoj jedanaestini. 1 − 2, 5 . Uprosti izraz 6 1 5 −2 − 2 6 U deset litara dvadesetqetvoroprocentnog rastvora alkohola treba doliti qiste vode, tako da se dobije rastvor sa 8 % alkohola. Koliko litara qiste vode treba doliti? Odredi unutraxnje uglove α, β, γ i δ qetvorougla ABCD, ako je γ prav ugao, ugao α je dva puta vei od β, a spoljaxnji ugao β1 je za 30◦ vei od ugla δ1 . Grupa B)

1. 2.

3. 4.

5.

  2 2 3 Izraqunaj koliko iznosi − od −2 : −6 . 4 9 5 1 1 Ako od broja 1 oduzmemo neki broj pomnoen sa −1 , pa dobi6 4 jenu razliku podelimo sa −2, 5, dobiemo broj koji nije manji 1 od −7 . Odredi nepoznati broj. 2 1 1 − 0, 4 6 . Uprosti izraz −1 · 7 7 13 −0, 6 − 20 Ako platimo raqun za struju do 5. aprila, platiemo 12 % manje, tj. dobiemo popust od 75 dinara. Koliko treba da platimo posle 5. aprila? Unutraxnji uglovi qetvorougla ABCD obrazuju produenu razmeru 4 : 7 : 8 : 5. Odredi unutraxnje uglove ovog qetvorougla.

138

Pismeni zadatak

Grupa V) 1. Izraqunaj vrednost izraza      1 2 2 : 3 − 5, 5 . −8 − (−4, 5) · −1 3 3 3 2. Odredi ugao β, koji je suplementan svojoj qetvrtini.   1 5   −9 − −7 1 6 3 : −1 . 3. Uprosti izraz 1 4 6, 75 − 5 2 4. Sveska je poskupela sa 80 dinara na 104 dinara, a olovka je sa 55 dinara poskupela na 72,60 dinara. Xta je vixe poskupelo? 5. Qetvorougao ABCD ima unutraxnji ugao β = 60◦ i spoljaxnje uglove β1 = 112◦ i δ1 = 49◦ . Odredi unutraxnje uglove qetvorougla ABCD.

1. 2. 3. 4.

5.

Grupa G)     1 1 2 : −1 ? Koliko iznosi −1 od −1 5 14 4 Odredi ugao ϕ, koji je suplementan svojoj petnaestini. 5 − 1, 25 1 2 ·1 −1 Uprosti izraz 6 2 5 15 −1 3 U 100 litara qiste vode dodato je 25 litara stoprocentnog (qistog) alkohola. Koliko procenata alkohola sadri dobijeni rastvor? Spoljaxnji uglovi qetvorougla su: 11ϕ, 12ϕ, 14ϕ i 8ϕ, gde je ϕ neki ugao. Odredi u stepenima mere unutraxnjih uglova ovog qetvorougla.

139

Pismeni zadatak

Grupa D)

1. 2.

3. 4. 5.

  5 1 2 1 −4 . Izraqunati vrednost izraza −4, 2 · −2 − 3 − −3 7 6 2 5 1 Ako se zbir broja 1,5 i proizvoda nekog broja sa 2 , pomnoi 2 1 5 sa 3 , dobie se broj − . Odredi nepoznati broj. 3  6  1 1 1 6 : 2 − 1, 25 + 3 4 8 2 . Uprosti izraz 5 −1 7 Cena knjige smanjena je za 39 dinara, tj. za 7,5 %. Kolika je nova cena knjige? Qetvorougao ABCD ima spoljaxnji ugao α1 = 100◦ . Ostali spoljaxnji uglovi jednaki su meu sobom. Odredi unutraxnje uglove ovog qetvorougla. 

140

Pismeni zadatak

105. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Cilj Ukazati na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku o naqinu otklanjanja tih grexaka. Tok qasa Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka, kao xto je opisano u planu rada za 39. qas. Trei pismeni zadatak specifiqan je zbog qinjenice da se ovim zakljuquje prouqavanje skupa racionalnih brojeva. Zbog toga, nastavnik treba posebno da analizira rezultate koje se uqenici pokazali u rexavanju prva qetiri zadatka. Ako bude prilike da se, posle redovno planiranog 142. qasa, obnavlja gradivo, onda to treba uqiniti, pre ostalih tema, sa skupom racionalnih brojeva.

141

Qetvorougao

106. QAS Centralna simetrija

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uvesti pojam centralne simetrije i osobina centralno simetriqnih dui, radi razumevanja odgovarajuih osobina paralelograma. (To je tema sledeeg qasa.) Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 156. do 160. str.

Podsetimo se na osnu simetriju i reximo primer 1. Treba izvui pouku da su osno simetriqne figure podudarne i da se uoqi razlika u odnosu na centralnu simetriju, koju emo sada prouqavati. Onda, definixemo centralnu simetriju. Naglaxavamo da je centar simetrije, na sl. 12 taqka S, sama sebi simetriqna. Zatim, reximo primer 2, gde je centar simetrije van dui AB, koju preslikavamo. Onda, preslikamo pravu, primer 3. Uoqavamo, ako je centar simetrije prave p na pravoj p, ona se preslikava u sebe samu. Konstatujemo (vano je) da se svaka du AB, simetrijom u odnosu na svoje sredixte, preslikava u BA. Onda, dokaemo najvaniju osobinu centralne simetrije, formulisanu teoremom Q-11. Ovim se istiqe veza centralne simetrije i paralelnosti. Primerom 4 pokazujemo da su centralno simetriqne figure podudarne meusobno. Takoe vaan zakljuqak izvodimo rexavajui primer 5. Onda, dokaemo teoremu Q-12, veoma bitnu za osobine paralelograma. Na kraju, uvodimo pojam centralno simetriqnih figura. Domai zadatak 647 i 648.

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 160. strane i iz Zbirke:

142

Qetvorougao

107. QAS Paralelogram

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Osobine elemenata paralelograma (uglova, stranica, dijagonala, visina). Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 160. do 164. str.

Ponovimo jednostavnu definiciju paralelograma: paralelogram je qetvorougao kome su parovi naspramnih stranica paralelni meusobno. Iz ove proste definicije, korixenjem i osobina centralne simetrije, izvlaqimo i dokazujemo sve karakteristiqne i bitne osobine paralelograma. Osobine unutraxnjih uglova, koje izvodimo bez dokazivanja, direktna su posledica paralelnosti naspramnih stranica. (Naspramni uglovi su jednaki, a uglovi na krajevima jedne stranice suplementni su.) Ako nastavnik proceni da su uqenici dorasli tome, moe im dokazati i obrnuto tvrenje: Ako su oba para naspramnih uglova qetvorougla jednaki meusobno (na primer: α = γ i β = δ), onda je to paralelogram. (Videti rexenje zadatka 668 iz Zbirke.) Onda, dokaemo jednu od najbitnijih osobina, teoremu Q-13. Vai i obrnuto tvrenje, teorema Q-14, ali njen dokaz ostavljamo radoznalim uqenicima. Navodimo i osobinu Q-15, koja je posledica teoreme Q-12. Zatim, dokaemo i vanu osobinu, da se dijagonale paralelograma polove, teorema Q-16, i obrnuto tvrenje, teoremu Q-17. Izvlaqimo, takoe vaan zakljuqak: svaki paralelogram je centralno simetriqan (i obrnuto). Na kraju, reximo primere 1, 2. i 3. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sa 164. strane.

Qetvorougao

143

108. QAS Paralelogram

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Primena opxtih osobina paralelograma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 108. do 110. strane.

Ponavljamo redom osobine paralelograma, koje smo upoznali prethodnog qasa i primenjujemo ih na rexavanje zadataka. Prvo, ponovimo osobine uglova svih qetvorouglova, pa osobine naspramnih i susednih uglova paralelograma. Rexavamo zadatke 651, 652 i 654. Ponovimo tvrenja teorema Q-13, Q-14 i Q-15, pa reximo zadatke 657, 660, 662, 667. Ponovimo tvrenja teorema Q-16 i Q-17, pa reximo zadatak 661. Reximo i zadatak 674. Domai zadatak

653, 656, 658, 659, 663.

144

Qetvorougao

109. QAS Vrste paralelograma Frontalni rad Cilj ta.

Obrada Dijalog

Uoqavanje posebnih osobina romba, pravougaonika i kvadra-

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 164. do 169. strane.

U odeljku 4.1. definisali smo posebne vrste paralelograma: romb, pravougaonik i kvadrat, koji se izdvajaju po svojim specifiqnim osobinama. Ponovimo definiciju romba, pa dokaemo teoremu Q-18, kao xto je opisano na 164. i 165. strani. Istiqemo posebna svojstva romba, koja su ekvivalentna definiciji (potpuno odreuju romb). To su tvrenja, koja su na 165. strani prekrivena crvenom bojom. Onda, reximo primere 1 i 2. Zatim, pokaemo kako se, na osnovu osobina romba, koristei samo xestar i ravan lenjir, konstruixe prava kroz datu taqku, paralelna datoj pravoj (primer 3). Ponovimo definiciju pravougaonika, pa dokaemo vanu teoremu Q-19. Istaknimo i druge karakteristiqne osobine pravougaonika, koje su na 167. strani prevuqene crvenom bojom. Onda, definixemo kvadrat, koji je istovremeno i pravougaonik i romb, pa ima sve specifiqne osobine i pravougaonika i romba. Osobine kvadrata istaknute su na strani 167. i prevuqene planom bojom. Na kraju, reximo primer 4. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 168. i 169. strane.

145

Qetvorougao

110. QAS Vrste paralelograma

Uvebavanje

Rad u parovima

Dijalog

Cilj

Primene osobina paralelograma.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 110. do 113. strane.

Ponovimo definiciju i osnovne osobine romba. Zatim, reximo zadatke: 677, 676 i 681. Onda, ponovimo definiciju i osobine pravougaonika, pa reximo zadatke: 685, 686, 687, 688. Zatim, ponovimo definiciju i osobine kvadrata, pa reximo zadatke: 694, 691, 696. Domai zadatak

679, 680, 683, 690, 692, 698, 702.

146

Qetvorougao

111. QAS Simetriqnost paralelograma

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj

Za sve vrste paralelograma uoqiti njihove simetrije.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 169. do 171. strane.

Prouqavajui opxte osobine paralelograma, utvrdili smo da je svaki paralelogram centralno simetriqan, i obrnuto, svaki centralno simetriqan qetvorougao je paralelogram (posledice teorema Q-16 i Q-17). Centar simetrije je preseqna taqka dijagonala. Dokaemo osobinu datu na 169. strani (slika 35), pa reximo primer 1. Zatim, posmatramo simetriqnost posebnih vrsta paralelograma redom: romba, pravougaonika i kvadrata (strane 170. i 171.). Za svaki od paralelograma crtamo odgovarajuu sliku i oznaqavamo centre i ose simetrije. Onda, rexavamo Vebe 1, 2, 3, 4 sa 171. strane. Domai zadatak

Zbirka: 706, 707, 708, 709, 710.

Qetvorougao

147

112. QAS O qetvorouglu

Sistematizovanje

Rad u nehomogenim grupama

Dijalog

Cilj Utvrivanje osobina qetvorouglova i njihove primene. Priprema za narednu kontrolu znanja. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 101. do 113. strane.

Nehomogene grupe formiramo na uobiqajen naqin. Qine ih uqenici iz dve susedne klupe. Obnavljamo redom opxte i posebne osobine qetvorouglova, najpre, osobine unutraxnjih i spoljaxnjih uglova. Reximo zadatke 627 d) i ), 634, 641. Ponovimo opxte osobine paralelograma, pa reximo zadatke: 655, 664, 669, 673. Ponovimo posebne osobine redom: romba, pravougaonika, kvadrata, pa reximo zadatke redom: 679, 680, 692, 698. Ako neki zadatak ostane nerexen zbog nedostatka vremena, ostavljamo ga za domai rad. Domai zadatak do 59. strane).

Radna sveska: Osma kontrolna veba (od 52.

148

Qetvorougao

113. QAS Osma kontrolna veba (qetvorougao)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju pripremljene listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 1. U paralelogramu jedan unutraxnji ugao sedam puta je vei od drugog unutraxnjeg ugla. Odredi unutraxnje uglove tog paralelograma. 2. Simetrala ugla A pravougaonika ABCD, u kome je AB > BC, seqe stranicu CD u taqki P . Odseqci, koje taqka P odreuje na stranici CD, odnose se kao 4 : 1. Odredi stranice ovog pravougaonika, ako mu je obim 15 cm. 3. Na slici dole je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka sa slike dokai da je qetvorougao AM CN paralelogram. 4. Nacrtaj krug k i dva njegova uzajamno normalna preqnika AB i CD. Kojoj vrsti pripada qetvorougao ACBD?

Grupa B) 1. Jedan spoljaxnji ugao paralelograma je prav. Odredi unutraxnje uglove tog paralelograma. 2. Od ice duine 6 dm, naqinjen je pravougaonik. Odredi duine stranica, ako se one odnose kao 5 : 3. 3. Na slici gore je paralelogram KLM N . Na osnovu podataka sa slike, dokai da je i qetvorougao KP M Q paralelogram. 4. Na stranici AB kvadrata ABCD date su taqke M i N , takve da je AM = M N = N B. Dui CM i DN seku se u taqki P . Dokai da je CD = DP .

Qetvorougao

149

Grupa V) 1. Izraqunaj unutraxnje uglove α, β, γ i δ qetvorougla, ako je α = 5β, γ = 7β i δ = 3β. 2. U kvadrat je upisana krunica polupreqnika 3,5 cm. Koliki je obim kvadrata? 3. Na slici dole je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka sa slike dokai da je i qetvorougao BEDF paralelogram. 4. Simetrala ugla BAD pravougaonika ABCD seqe dijagonalu BD u taqki N . Taqke M i P su podnoja normala iz N na stranice AB i AD. Dokai da je AM N P kvadrat.

Grupa G) 1. Odredi unutraxnje uglove paralelograma, ako mu je zbir dva unutraxnja ugla 143◦ . 2. Simetrala ugla BAD paralelograma ABCD polovi stranicu CD. Obim paralelograma je 27 cm. Odredi duine stranica ovog paralelograma. 3. Na slici gore je paralelogram KLM N . Na osnovu podataka sa slike, dokai da je i qetvorougao KP M Q paralelogram. 4. Preqnici AC i BD kruga k seku se pod uglom od 45◦ . Kojoj vrsti pripada qetvorougao ABCD?

150

Qetvorougao

Grupa D) 1. Dva unutraxnja ugla paralelograma razlikuju se za 33◦ . Odredi unutraxnje uglove ovog paralelograma. 2. Na stranici LM kvadrata KLM N date su taqke P i Q, takve KL . Dokai da je KQ = N P . da je LP = M Q < 2 3. Na slici je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka sa slike, dokai da je i qetvorougao AM CN paralelogram.

4. Od komada ice duine 30 cm naqinjen je paralelogram. Duine stranica paralelograma razlikuju se za 4 cm. Odredi duine stranica.

151

Qetvorougao

114. QAS Konstrukcije paralelograma Frontalni rad

Obrada Heuristiqka i dijaloxka metoda

Cilj Koristei se iskustvima iz konstruisanja trouglova, rexavamo probleme konstruisanja paralelograma. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 171. do 174. strane.

Konstrukcije paralelograma svodimo na konstrukcije trouglova. Ideju nam daje qinjenica da dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla, a sa obe dijagonale paralelogram se deli na dva para podudarnih trouglova. Za konstrukciju trougla trebaju tri nezavisna elementa (videli smo u odeljku 2.12). Kod paralelograma to je najvixe jedan ugao i neke dve dui. Da bismo rexili traenu konstrukciju, naqiniemo skicu i obaviti analizu zadatka. Rexavamo redom primere 1, 2, 3, 4, koji se svode na elementarne konstrukcije trouglova. Rexavanje obavezno poqinjemo skicom, na kojoj su jasno oznaqeni dati elementi, kao xto je prikazano u ubeniku. Zatim, reximo primer 5. Ovog puta moemo i bez skice, ukoliko znamo konstrukciju simetrale dui i znamo da su dijagonale kvadrata njegove ose simetrije. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 174. strane.

152

Qetvorougao

115. QAS Konstrukcije paralelograma Rad u parovima

Uvebavanje Heuristiqka metoda

Cilj Koristei osobine posebnih vrsta paralelograma, rexavati konstruktivne probleme. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 114. i 115. strana.

Rexavajui konstrukcije raznih vrsta paralelograma, uoqavamo da za konstrukciju pravougaonika treba znati samo dva nezavisna elementa (trei uslov je prav ugao). Romb je takoe odreen sa dva elementa (trei uslov je jednakost susednih stranica). Kvadrat je odreen samo jednom dui. Sve ovo konstruixemo pri rexavanju sledeih zadataka: 712, 714, 718, 719, 722 i 725 a) i b). Domai zadatak

711, 717, 720, 723, 725 v) i g).

153

Qetvorougao

116. QAS Trapez

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Uoqavanje osobina stranica i uglova trapeza, i osobine srednje linije trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 174. do 177. strane.

Podsetimo se na definiciju trapeza. Paralelne stranice su osnovice trapeza, a neparalelne nazivamo kracima. Visina trapeza je rastojanje izmeu osnovica. Za prouqavanje trapeza veoma je bitno njegovo razlaganje na paralelogram i trougao, kao xto je prikazano na slici 49. i opisano na 175. strani. Takoe je znaqajna i transformacija trapeza sa osnovicama a, b i visinom h u trougao osnovice a + b i odgovarajue visine h. To je prikazano na sl. 50. Na ovoj slici je posebno naglaxena du, koja spaja sredixta M i N krakova. Ova du M N je srednja du (ili sredixna linija, ili medijana) trapeza. Navodimo vanu teoremu Q-20, koja kae da je srednja linija trapeza paralelna osnovicama i jednaka poluzbiru osnovica. Uglovi trapeza, pored opxtih osobina kojim se odlikuju svi qetvorouglovi, zbog paralelnosti osnovica, imaju jox jednu posebnu osobinu: Uglovi na krajevima jednog kraka trapeza, suplementni su. Reximo primer 1. Ukoliko raspolaemo sa dovoljno vremena, reximo i Vebe 3, 4 i 5 sa 177. strane. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 6 i iz Zbirke: 727 i 732.

154

Qetvorougao

117. QAS Trapez

Uvebavanje

Rad u parovima Cilj

Dijalog

Posebno istai osobine uglova i srednje linije trapeza.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 115. do 117. strane.

Ponovimo definiciju trapeza i osobine uglova trapeza. Reximo zadatke: 728, 729, 734. Zatim, ponovimo definiciju i osobine srednje linije trapeza. Onda, reximo zadatke: 736, 737, 735. Na kraju reximo zadatke 739 i 740. Domai zadatak

730, 731, 733, 738.

155

Qetvorougao

118. QAS Vrste trapeza

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Upoznavanje sa posebnim osobinama pravouglih i jednakokrakih trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 177. do 180. strane.

Trapeze razlikujemo prema unutraxnjim uglovima (kosougle i pravougle) i izdvajamo trapez kome su kraci jednaki (jednakokraki trapez). Na tabli crtamo odgovarajue vrste trapeza, pravougli, na na sl. 52 i jednakokraki, kao na sl. 53. Prouqavajui modele sa sl. 52 i sl. 53, zakljuqujemo da se pravougli trapez (sa dva prava ugla) razlae na pravougaonik i pravougli trougao (na sl. 52 trougao BCE). Jednakokraki trapez razlae se na paralelogram i jednakokraki trougao. Na osnovu ovog razlaganja izvodimo zakljuqak da su dva ugla na krajevima (svake) osnovice jednakokrakog trapeza jednaki meu sobom. Reximo zadatke 726 a) i b) iz Zbirke. Zatim, reximo primere 1, 2. i 3. Reximo i Vebe 2. i 3. Domai zadatak

Vebe 1, 4, 5 i 6 sa 179. i 180. strane.

156

Qetvorougao

119. QAS Vrste trapeza

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj peza.

Utvrditi posebne osobine pravouglih i jednakokrakih tra-

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 117. i 118. strana.

Ponovimo o vrstama trapeza i njihovim razlaganjima i osobinama. Pravougli trapez ima taqno dva prava ugla. Manji krak je visina trapeza. Jednakokraki trapez ima jednake uglove na krajevima osnovice i ima jednake dijagonale (primer 1 na 178. strani). Rexavamo zadatke: 741, 742, 743. Zatim, rexavamo zadatak 746. Onda, radimo zadatke: 747, 750, 752, 753. Domai zadatak

744, 745, 748, 755.

157

Qetvorougao

120. QAS Konstrukcije trapeza

Obrada

Frontalni rad Cilj

Heuristiqka metoda

Forsirati samostalno rexavanje konstrukcija.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 180. do 182. strane.

Radi dobijanja ideje za rexavanje konstrukcije trapeza (analizu) treba paljivo prouqiti razlaganja trapeza na paralelogram i trougao. Treba na xkolskoj tabli prikazati ta razlaganja, kao xto je prikazano na slikama 49 (175. strana), 52 i 53 (strana 178). Treba prouqiti i transformaciju trapeza na sl. 50 (175. strana). Za konstrukciju proizvoljnog trapeza treba znati qetiri nezavisna elementa. Reximo primer 1. Za pravougli i jednakokraki trapez trebaju po tri nezavisna elementa. Reximo primere 2, 3, 4. Zatim, reximo Vebe 4. i 6. sa 182. strane. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 5.

158

Qetvorougao

121. QAS Konstrukcije trapeza

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Kroz konstrukcije trapeza produbiti znanja o osobinama trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka 119. strana.

Ponovimo: razlaganje trapeza na paralelogram i trougao. Razmotrimo tri sluqaja. Prvo, razlaemo proizvoljan trapez, pa reximo zadatke 756 a), 757 g) i 758 g). Zatim, razlaemo jednakokraki trapez, pa reximo zadatke 760 b) i v). Na kraju, razlaemo pravougli trapez i rexavamo zadatke 763 a) i v), 764 g). Domai zadatak do 61. strane).

Radna sveska, Deveta kontrolna veba (od 57.

Qetvorougao

159

122. QAS Deveta kontrolna veba (qetvorougao)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenicima se podele pripremljeni listii sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 1. Jedan unutraxnji ugao trapeza je γ = 118◦ . Odredi unutraxnje uglove ovog trapeza, ako je α − β = 13◦ . 2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome je stranica AB = 3, 5 cm, ugao α = 75◦ i dijagonala AC = 4 cm. 3. Dijagonala jednakokrakog trapeza deli srednju liniju na odseqke duina 3 cm i 7 cm. Ako je krak duine 8 cm, odredi unutraxnje uglove trapeza. 4. Konstruixi jednakokraki trapez ABCD, kome su osnovice duina a = 6 cm i b = 2 cm i jedan unutraxnji ugao 45◦ . Grupa B) 1. Unutraxnji uglovi na jednoj osnovici razlikuju se za 21◦ . Za koliko se razlikuju uglovi na drugoj osnovici? 2. Konstruixi romb kome je obim 16 cm i polupreqnik upisane krunice 3 cm. 3. U jednakokrakom trapezu jedan ugao je od 60◦ . Odredi duine osnovica, ako je krak duine 8 cm, a srednja linija je 9 cm. 4. Konstruixi pravougli trapez, kome je visina h = 2, 5 cm, manja osnovica b = 3 cm i vea dijagonala 4,5 cm. Grupa V) 1. U pravouglom trapezu najvei ugao je sedam puta vei od najmanjeg ugla. Odredi unutraxnje uglove tog trapeza. 2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome je dijagonala BD = 5 cm, stranica AB = 6 cm i visina koja odgovara stranici AB, duine DN = 3 cm. 3. Dijagonala AC trapeza ABCD, seqe srednju liniju M N u taqki P , tako da je M P : P N = 2 : 5 i P N − M P = 18 cm. Odredi duine osnovica AB i CD trapeza. 4. Konstruixi trapez ABCD, kome su date osnovice AB = 5 cm, CD = 2 cm, krak AD = 3 cm i dijagonala AC = 4 cm.

160

Qetvorougao

Grupa G) 1. Simetrala ugla na veoj osnovici M N jednakokrakog trapeza M N P Q seqe drugu osnovicu u taqki S, pod uglom od 26◦ . Odredi unutraxnje uglove tog trapeza. 2. Konstruixi pravougaonik ABCD, ako mu je data stranica AB = 4 cm, a ugao izmeu te stranice i dijagonale je 30◦ . 3. Dijagonale AC i BD trapeza seku srednju liniju M N u taqkama P i Q, tako da je M P = P Q = 7 cm. Ako je AB vea osnovica, kolike su duine osnovica ovog trapeza? 4. Konstruixi pravougli trapez, kome je visina h = 2, 5 cm, dui krak c = 3 cm i kraa dijagonala d1 = 4 cm. Grupa D) 1. Koliki su unutraxnji uglovi pravouglog trapeza, kome se dva ugla razlikuju za 109◦ ? 2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome su dijagonale AC = 4, 5 cm i BD = 3 cm, a visina na stranicu AB je 2,5 cm. 3. Osnovice trapeza ABCD su a i b, a srednja linija je M N = 12 cm. Odredi duine osnovica, ako je a : b = 5 : 3. 4. Konstruixi jednakokraki trapez M N P Q, kome je kraa osnovica P Q = 2 cm, krak je duine 3 cm, a jedan unutraxnji ugao je od 135◦ .

161

Povrxina qetvorougla i trougla

123. QAS Pojam povrxine. Jednake povrxi Frontalni rad

Obrada

Kombinovana metoda

Cilj Uvesti pojam povrxine. Pretvaranje jednakih povrxi jedne u druge. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 183. do 188. strane.

Nastavnik pripremi modele od qvrxeg kartona, naqinjene prema slikama 1, 2, 5 i 7 iz ubenika i, eventualno, prema slici 10 sa 188. strane. Ponovimo pojmove: mnogougao, trougao, krug, mnogougaona povrx i kruna povrx. Uqenici uoqavaju da svaka od figura sa sl. 1, pokriva deo povrxi stola, odnosno klupe. (Nastavnik koristi pripremljene modele). Onda, koristei se modelom naqinjenim prema sl. 2, objaxnjavamo kako se povrxi mogu uporeivati po veliqini i zakljuqimo da podudarne povrxi zahvataju jednake delove ravni. (Objaxnjenja i seckanja povrxi opisani su na 184. strani.) Definixemo povrxinu povrxi (strana 184.) Koristei modele prema sl. 5, objasnimo kako se razlaganjem pokazuje da nepodudarni trapezi imaju jednake povrxine. Zatim, prema modelu sa sl. 7 (kosougli paralelogram, pravougaonik i dva podudarna pravougla trougla), dopunjavanjem pokaemo jednakost povrxina pravougaonika i paralelograma. Zatim, reximo primere 1. i 2. i (eventualno) demonstriramo model Djudenija sa sl. 10. i igru Tangram sa sl. 11. Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 188. strane. Uqenicima naloiti da za sledei qas donesu makaze i lepak.

162

Povrxina qetvorougla i trougla

124. QAS Jednake povrxi

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Pretvaranje jednakih povrxi, posebno povrxi trougla, paralelograma i trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 120. i 121. strana.

Ponovimo pojam povrxine i osobine (povrxine podudarnih figura, zbir povrxina, razloivo i dopunski jednake povrxine). Za povrxi jednakih povrxina kaemo da su jednake. Ponovimo, xta podrazumevamo pod pojmom pretvaranje ravne povrxi u jednake povrxi. (Moemo koristiti modele korixene prethodnog qasa, na primer, modele naqinjene prema slikama 5 i 10). Onda, rexavamo zadatke 766 i 767. Zatim, rexavamo zadatak 768 i utvrdimo da postoje dva razliqita rexenja. Sve ove i naredne zadatke rexavaju uqenici samostalno. Koriste se papirima i makazama, eventualno i lepkom (ili selotejpom). Tako, kroz igru prepoznaju jednake povrxi, ali i upoznaju osobine trouglova i qetvorouglova. Reximo jox i zadatke 769, 770 i 773. Domai zadatak

771, 772, 774.

163

Povrxina qetvorougla i trougla

125. QAS Povrxina pravougaonika

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Dopuniti dosadaxnja znanja o povrxinama bilo kog pravougaonika i kvadrata. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 189. do 192. strane.

Ponovimo pojam povrxine i osobine. Podsetimo se da odranije znamo da izraqunamo povrxinu praougaonika (P = a · b) i kvadrata (P = a2 ). Poredei povrxine datog pravougaonika i datog kvadrata, kao u primeru 1, dolazimo do jedinice za merenje povrxine, do pojma jediniqnog kvadrata. Onda, definixemo povrxinu proizvoljne ravne figure kao pozitivan broj, onako kako je opisano na 190. strani. Reximo primer 2. Zatim, rexavanjem primera 3, dolazimo do formule za povrd2 xinu kvadrata, P = , gde je d duina dijagonale. 2 Reximo i primer 4. Treba svakako animirati uqenike da sami rexe ovaj primer, jer e tako ubedljivije shvatiti praktiqnu primenu znanja o povrxinama. Na kraju, rexavamo Vebe 1, 2, 3 sa 192. strane. Domai zadatak

Zbirka: 776 i 779.

164

Povrxina qetvorougla i trougla

126. QAS Povrxina pravougaonika

Uvebavanje

Rad u parovima

Heuristiqka metoda

Cilj Samostalno rexavanje problema o povrxinama pravougaonika (i posebno kvadrata) Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 121. do 123. strane.

Ponovimo formule za izraqunavanje povrxina i obima pravougaonika i kvadrata. Pri rexavanju zadataka, nastavnik se ukljuquje samo kroz eventualna sugestivna pitanja. Uqenici rade u parovima (iz iste klupe) i do rexenja dolaze bez pomoi nastavnika. Rexavamo zadatke: 778, 777, 781. Zatim, rexavamo zadatke 780 i 783. Na kraju, reximo zadatke 782 i 785. Domai zadatak

784, 786, 787, 788.

165

Povrxina qetvorougla i trougla

127. QAS Povrxina paralelograma

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Koristei iskustva iz pretvaranja paralelograma u pravougaonik, izvesti formulu za povrxinu paralelograma. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 192. do 194. strane.

Podsetimo se kako se paralelogram pretvara u pravougaonik iste povrxine (zadatak 766. iz Zbirke). Zatim, kao xto je objaxnjeno na 192. i 193. strani, uz pomo sl. 16, pokaemo da su paralelogram stranice a i odgovarajue visine ha i pravougaonik, kome su stranice duina a i ha jednaki. Otuda iz povrxine ovog pravougaonika, dobijemo formulu P = aha za povrxinu paralelograma. Logiqno, ako poemo od druge stranice b, dobiemo i formulu P = b · hb . Onda, reximo primer 1. Zatim, dobijenu formulu primenimo na romb, pa reximo primer 2. Koristei se metodom dopunjavanja, kao xto je prikazano na d1 · d2 , sl. 17, dolazimo do nove formule za povrxinu romba: P = 2 gde su d1 i d2 duine dijagonale romba. Reximo primer 3. Zatim, rexavamo Vebe 1, 2, 3 sa 194. strane. Domai zadatak

Zbirka: 791, 796.

166

Povrxina qetvorougla i trougla

128. QAS Povrxina paralelograma

Uvebavanje

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Primena formule za povrxinu paralelograma i posebno za povrxinu romba kome su date dijagonale. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 123. do 125. strane.

Ponovimo formulu za povrxinu paralelograma, pa reximo zadatke 791 a) i b), 792, 793, 794. Na osnovu rexenja ovih zadataka uqenici uoqe da je najkrae rastojanje izmeu dve naspramne stranice paralelograma jednako odgovarajuoj visini. Zatim, rexavamo zadatak 795. Ponovimo formule za povrxinu romba, pa reximo zadatke 796 a), b), 797 i 798. Domai zadatak

801, 802, 803, 804.

Povrxina qetvorougla i trougla

167

129. QAS Povrxina paralelograma Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Izraqunavanje povrxina paralelograma i sloenih figura, koje se mogu razloiti na paralelograme. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 121. do 125. strane.

Ponovimo formule za povrxine pravougaonika, kvadrata, paralelograma i posebno romba. Za svaku pojedinu formulu uqenici navode elementarni primer sa konkretnim dimenzijama. (Na primer, za povrxinu proizvoljnog paralelograma koristimo formule: P = a · ha , konkretno, za a = 8 cm i h6 = 6 cm, bie P = 8 · 6 = 48 cm2 i P = b·hb , konkretno, za b = 2 dm i hb = 5 cm je P = 20·5 = 100 cm2 = 1 dm2 i sl.) Onda, rexavamo zadatke: 785, 786, 787, 789. Zatim, reximo i zadatke: 799, 801, 802, 804. Domai zadatak

790, 800, 805.

168

Povrxina qetvorougla i trougla

130. QAS Povrxina trougla

Obrada

Frontalni rad

Heuristiqka metoda

Cilj Koristei se povrxinom paralelograma ili povrxinom pravougaonika, uqenici samostalno dolaze do formule za povrxinu trougla. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 195. do 198. strane.

Jedan uqenik izae pred xkolsku tablu, nacrta proizvoljan paralelogram i njegovu dijagonalu. Xta se moe zakljuqiti? (Qekamo odgovor: Dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla.) Pitamo: 1◦ Kolika je povrxina ovog paralelograma? 2◦ A, kolika je, onda, povrxina trougla? (koji predstavlja polovinu paralelograma). Uqenici samostalno dolaze do formule za povrxinu trougla: 1 a · ha . 2 1 1 Dalje, po analogiji, P = b · hb = c · hc . 2 2 Reximo primere 1, 2, 3. Zatim, sliqno prethodnom, koristei se pravougaonikom (kao 1 na sl. 19) uqenici nalaze povrxinu pravouglog trougla: P = a · b. 2 Prema prethodno izvedenoj povrxini proizvoljnog trougla, za pravougli takoe vai P = c · hc . (Obavezno, kod obe formule, istai: a i b su katete, c je hipotenuza, a hc hipotenuzina visina.) Reximo primer 4. Zatim, odredimo formule za jednakokraki pravougli trougao. c2 a2 ili P = ili P = h2c . (Znamo da je c = 2hc .) Dakle: P = 2 4 Reximo primer 5. P =

Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 198. strane.

169

Povrxina qetvorougla i trougla

131. QAS Povrxina trougla

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Primene formula na proizvoljne trouglove.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 125. do 130. strane.

Ponovimo formule za povrxine: 1 1 1 proizvoljnog trougla: P = aha = bhb = chc ; 2 2 2 1 1 pravouglog trougla: P = a · b = c · hc (a i b su katete); 2 2 c2 a2 = = h2c . jednakokrakog pravouglog trougla: P = 2 2 Onda, rexavamo zadatke: 806, 807, 808. Zatim, rexavamo zadatke: 809, 811, 812, 816. Reximo i zadatak 818. Domai zadatak

810, 813, 814, 815, 822, 823.

170

Povrxina qetvorougla i trougla

132. QAS Povrxina trougla Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Izraqunavanje povrxina sloenih povrxi kombinovanjem povrxina trouglova i paralelograma. Tok qasa

Osnovni tekst

Najpre obnovimo povrxinu trougla rexavajui zatake 817, 819 i 826. Zatim, rexavamo kombinovane zadatke u kojim se prepliu povrxine trouglova i paralelograma. Dakle, rexavamo zadatke: 821, 824, 829, 830. Zatim, reximo zadatak 833. Domai zadatak

834, 839, 831, 832, 850.

171

Povrxina qetvorougla i trougla

133. QAS Povrxina trougla i paralelograma

Sistematizovanje

Rad u homogenim grupama Cilj

Dijalog

Rexavanje problema razliqitih nivo znanja.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 121. do 130. strane.

Naqin formiranja homogenih grupa opisali smo na ranijim qasovima. Sastavi novih grupa ne treba da budu isti, kao u prethodnim sluqajevima. Jedan od moguih izbora zadataka po nivoima je: Nivo A: 783, 786, 799, 814, 827, 841. Nivo B: 789, 804, 816, 827, 842. Nivo V: 805, 820, 842, 845, 849. Domai zadatak do 66. strane).

Radna sveska: Deseta kontrolna veba (od 62.

172

Povrxina qetvorougla i trougla

134. QAS Deseta kontrolna veba (povrxine)

Kontrola znanja

Pismeni rad Uqenici dobijaju pripremljene listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 1. Pravougli trougao ima katete a = 12 cm i b = 9 cm. Ako je hipotenuzina teixna du tc = 7, 5 cm, kolika je hipotenuzina visina hc ? 2. Ako jednu stranicu pravougaonika poveamo za 3 cm, a drugu smanjimo za 3 cm, dobiemo kvadrat povrxine 196 cm2 . Kolika je povrxina pravougaonika? 3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen? Rezultat izrazi u procentima. Rezultat detaljno obrazloi.

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadrati mree imaju stranice duine 0,5 cm.

Povrxina qetvorougla i trougla

173

Grupa B) 1. Trapez ima jednu osnovicu b = 1 dm, visinu h = 6 cm i povrxinu P = 87 cm2 . Odredi duinu osnovice a. 2. Ako se stranica kvadrata produi za 3 cm, povrxina se povea za 57 cm2 . Koliko u procentima iznosi poveanje povrxine? 3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen? Rezultat izrazi u procentima. Detaljno obrazloi rexenje.

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadrati mree imaju stranice duine 0,5 cm. Grupa V) 1. Poznat je tzv. egipatski trougao. To je pravougli trougao sa stranicama duina 3, 4 i 5. Ako su dimenzije ovog trougla date u decimetrima, koliko u centimetrima iznosi duina hipotenuzine visine? 2. Baxta oblika paralelograma, povrxine 10 ari i 80 m2 , ima najkrau duinu 27 m i najkrau xirinu 24 m. Kolika je duina ograde oko ove baxte? 3. Taqke M i N na stranicama kvadrata ABCD, izabrane su tako da je AM = 2M D i CN = 2BN . Uporedi povrxine figura, koje su na slici levo oznaqene sa P1 , P2 i P3 .

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadrati mree imaju stranice duine 0,5 cm.

174

Povrxina qetvorougla i trougla

Grupa G) 1. Zbir osnovica jednakokrakog trapeza je 28 cm. Povrxina trapeza je 84 cm2 , a krak je duine 12 cm. Koliki je ugao na veoj osnovici? 2. Duine stranica pravougaonika odreuju razmeru 3 : 1. Ako je povrxina tog pravougaonika 432 cm2 , kolike su mu stranice? 3. Taqke M i N su sredixta stranica pravougaonika ABCD, sa slike levo. Ako je povrxina ovog pravougaonika 15,5 dm2 , kolika je povrxina trougla AM N ?

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadrati mree imaju stranice duine 0,5 cm. Grupa D) 1. Romb obima 1 metar ima povrxinu 2 dm2 . Odredi duinu polupreqnika krunice upisane u taj romb. 2. Ploqice parketa imaju dimenzije 4 cm puta 30 cm. Koliko ovakvih ploqica treba za parketiranje poda sobe, xirine 4 metra, duine 4,5 metara? 3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen. Rezultat izrazi u procentima. Detaljno obrazloi rexenje.

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadrati mree imaju stranice duine 0,5 cm.

175

Povrxina qetvorougla i trougla

135. QAS Povrxina trapeza

Obrada

Frontalni rad

Dijalog

Cilj Pretvaranjem trapeza u trougao ili u paralelogram, izvesti formulu za povrxinu trapeza. Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 199. do 201. strane.

Kao u odeljku 4.8, na sl. 50, transformixemo trapez ABCD u trougao AED, sa osnovicom AE = AB + CD = a + b. Kao xto se jasno vidi na sl. 22 i kao xto je opisano na 199. strani, povrxina trapeza ABCD jednaka je povrxini trougla AED. Otuda dobijamo 1 formulu za povrxinu trapeza: P = (a + b) · h, ili, budui da je 2 1 srednja linija trapeza m = (a + b), bie takoe P = m · h. 2 Reximo primere 1 i 2. Zatim, razmatramo sloenu figuru, qiju povrxinu izraqunavamo tako xto je razloimo na trapeze, koje znamo da izmerimo. Reximo primer 3. Na kraju, reximo i primere 4, 5, 6. Domai zadatak

Vebe 1, 2, 3, 4, sa 201 strane.

176

Povrxina qetvorougla i trougla

136. QAS Povrxina trapeza

Uvebavanje

Frontalni rad Cilj

Dijalog

Primena formula za povrxinu na razne vrste trapeza.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 130. do 132. strane.

Ponovimo formule za povrxinu trapeza: 1 (a + b) · h, odnosno P = m · h. 2 Onda, rexavamo zadatke: 851, 852, 853, 854. Zatim, rexavamo zadatke: 856, 857, 858. Na kraju, reximo i zadatak 863. P =

Domai zadatak

855, 862, 867.

Povrxina qetvorougla i trougla

177

137. QAS Povrxina trapeza Rad u parovima

Uvebavanje Dijalog

Cilj Rexavanje sloenijih problema sa povrxinama i praktiqnih zadataka. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 130. do 132. strane.

Ponovimo formule za povrxinu trapeza. Rexavamo zadatke u kojim se data figura razloi ili dopuni, radi lakxeg raqunanja. Reximo zadatke: 859, 860, 868. Zatim, reximo zadatke 864 i 865. Reximo i sledee sloenije sluqajeve: 861, 866. Domai zadatak

869, 870.

178

Pismeni zadatak

138. QAS Priprema za pismeni zadatak Rad u homogenim grupama

Obnavljanje Dijalog

Cilj Rexavanjem zadataka razliqitih teina u homogenim grupama, pripremiti teren za zavrxni pismeni zadatak. Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, od 104. do 132. strane.

Postupiti kao na 103. qasu. Domai zadatak

Radna sveska: Qetvrti pismeni zadatak.

Pismeni zadatak

179

139. QAS Qetvrti pismeni zadatak

Kontrola znanja

Pismeni rad Nastavnik pripremi listie sa odxtampanim tekstovima zadataka. Grupa A) 1. U qetvorouglu ABCD je DAB = 90◦ . Dijagonala AC polovi prav ugao i deli BCD na delove od 25◦ i 58◦ . Odredi unutraxnje uglove qetvorougla ABCD. 2. Duine stranica pravougaonika odnose se kao 7 : 5. Ako je obim pravougaonika 9 dm, kolika mu je povrxina? 3. Dijagonale dele srednju liniju trapeza na tri jednaka dela. Ako je visina trapeza 10 cm i manja osnovica 14 cm, izraqunaj povrxinu trapeza. 4. Konstruixi trapez ABCD, ako su mu osnovice AB = 4 cm, krak BC = 3 cm i ugao β = 45◦ . Grupa B) 1. Jedan unutraxnji ugao trapeza je 135◦ , a spoljaxnji ugao kod temena naspram datog ugla je 110◦ . Odredi unutraxnje uglove ovog trapeza. 2. Ako jednu stranicu pravougaonika poveamo za 6 cm, a drugu smanjimo za 4 cm, dobiemo kvadrat povrxine 289 cm2 . Koliki je obim pravougaonika? 3. Jednakokraki trapez ima veu osnovicu 1,5 dm i visinu 4,5 cm. Ako su uglovi na veoj osnovici po 45◦ , kolika je povrxina trapeza? 4. Konstruixi trapez KLM N , ako mu je vea osnovica KL = 12 cm, dijagonale KM = 7 cm i LN = 8 cm, a visina 6 cm.

180

Pismeni zadatak

Grupa V) 1. Simetrala unutraxnjeg ugla paralelograma seqe jednu njegovu stranicu pod uglom koji je jednak jednom od unutraxnjih uglova paralelograma. Odredi taj ugao. 2. Ako se povrxina kvadrata smanji za 11 cm, povrxina mu se smanji za 429 cm2 . Koliko u procentima iznosi smanjenje povrxine? 3. Pravougli trapez sa tupim uglom od 135◦ ima povrxinu 256 cm2 . Dua osnovica je tri puta vea od krae osnovice. Odredi duine osnovica. 4. Konstruixi trapez ABCD, ako su mu osnovice AB = 6 cm i CD = 2 cm, krak AD = 3 cm i ugao α = 75◦ . Grupa G) 1. Dijagonala KM trapeza KLM N normalna je na osnovice. Ona deli trapez na dva trougla, od kojih je jedan jednakokraki. Odredi unutraxnje uglove ovog trapeza, ako je najmanji od njih 30◦ . 2. Kuhinjski pod je dimenzija 4 metra puta 3,5 metara. Treba ga poploqati keramiqkim ploqicama oblika pravougaonika duine 25 cm i xirine 20 cm. Koliko komada ovih ploqica treba da se poploqa pod u kuhinji? 3. Trapez visine 11 cm ima povrxinu 132 cm2 . Ako je jedna osnovica dva puta vea od druge, odredi duine osnovica. 4. Konstruixi trapez ABCD, kome je manja osnovica CD = 4 cm krak BC = 5 cm, dijagonala AC = 7 cm i visina h = 4 cm. Grupa D) 1. Odredi unutraxnje uglove paralelograma, ako mu je zbir dva unutraxnja ugla jednak 217◦ 45 . 2. Duine kateta pravouglog trougla stoje u razmeri 3 : 5. Ako je povrxina trougla 187,5 cm2 , kolike su duine kateta? 3. Trapez povrxine 162 cm2 ima jednu osnovicu AB = 5 cm, krak BC = 3 cm i unutraxnje uglove α = 45◦ i β = 60◦ . 4. Konstruixi trapez kome je vea osnovica AB = 5 cm krak BC = 3 cm, i unutraxnji uglovi α = 45◦ i β = 60◦ .

Pismeni zadatak

181

140. QAS Ispravka pismenog zadatka Frontalni rad

Uvebavanje Dijalog

Tok qasa Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka kao xto je opisano u planu rada za 39. qas.

182

Povrxina qetvorougla i trougla

141. QAS Qetvorougao sa normalnim dijagonalama Frontalni rad Cilj

Obrada Heuristiqka metoda

Uopxtiti iskustva sa povrxinama romba i kvadrata.

Tok qasa

Osnovni tekst

Ubenik, od 201. do 204. strane.

Podsetimo se da romb ima normalne dijagonale i ako su dijad1 · d2 . gonale date, povrxina romba se raquna po formuli: P = 2 Zatim, koristei se slikom 25, podsetimo da ova formula vai za svaki qetvorougao kome su dijagonale normalne. Vai i za d2 1 kvadrat, ali su dijagonale kvadrata jednake, pa je P = d · d = . 2 2 Reximo primere 1, 2, 3. Zatim, uradimo i neobavezan primer, dat pri dnu 203. strane, zbog njegove praktiqnosti. Domai zadatak: Vebe 1, 2, 3 sa 204. strane.

Povrxina qetvorougla i trougla

183

142. QAS Qetvorougao sa normalnim dijagonalama Rad u parovima Cilj

Uvebavanje Dijalog

Rexavanje kombinovanih primera.

Tok qasa

Osnovni tekst

Zbirka, 133. i 134. strana.

Ponovimo formulu koja slui za izraqunavanje povrxine svakog qetvorougla, koji ima meusobno normalne dijagonale: 1 P = d1 · d2 . 2 To vai takoe za romb, kvadrat i deltoid. Rexavamo zadatke: 871, 872, 873, 874. Zatim, rexavamo zadatke koji se odnose na trapeze s normalnim dijagonalama: 877, 878, 879, 880. Na kraju reximo i zadatke 883 i 884.

Preostali qasovi se ne planiraju detaljno. Oni se ostavljaju u rezervi, za eventualno dodavanje qasa radi realizovanja neke teme, koju uqenici nisu dovoljno dobro prihvatili tokom planiranih qasova. Takoe moemo ih iskoristiti za usmenu kontrolu znanja pojedinih uqenika. Tema: 143. qas Tip qasa: Tema: 144. qas Tip qasa: