Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић •
...--�
Ма
м
ик
б
Уџбеник за шести разред основне школе
. i
Математика б
Уџбеник за шести разред основне школе четврто издање
Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић Илустрације: Кристијан Хранисављевић Реценэенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Милица Вајукић, професор математике, ОШ "Дринка Павловић" у Београду Зорица Станковић, професор математике, ОШ "Мама Станојловић"
у Крагујевцу
Захваљујемо наставницима који су, као евалуатори, допринели квалитету уџбеничког комплета Математика 6: " " Бранко Мићовић, ОШ "Прва основна школа , Ужице; Маја Милошевић, ОШ "Јован Поповић , Нови Сад; Милован Кубуровић, ОШ "Мито Игумановић': Косјерић; Нада Чоловић, ОШ "Милош Црњански': Нови Сад; Војислав Милић, ОШ "Херој Радмила Шишковић': Смедеревска Паланка.
Графичко обликовање: "Totalldea", Нови Сад Прелом: Игор Болта Лектура: Јована Ђокић
[П1
Издавач: Издавачка кућа "Кiett" д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд
Тел.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385
[email protected], www.klett.rs 3а иэдавача: Гордана Кнежевић-Орлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: проф. др Бранислав Поповић Руководилац пројекта: Александар Рајковић Штампа: Ротографика, Суботица Тираж: 20.000 примерака
Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у шестом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00078/2010-06. Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
© Кlett, 2012.
ISBN 978- 86-7762-157-5 1
ПРЕДГОВОР Ова књига је намењена вама, ученицима шестог разреда, као основни уџбеник из математике. Као и при писању уџбеника за пети разред, и сада нам је основна жеља била да ову књигу читате и користите лако и са задовољством, и на часу и код куће. Као и раније, желели смо да вам начином обраде градива понудимо занимљиве изазове не губећи из вида озбl(lљност самог градива. На вама је да процените колико смо у томе успели: Све ваше сугестије, као корисника овог уџбеника, увек су добродошле. Свесни смо тога да математика није лака, али се надамо да и ви мислите да је математика корисна. Зато верујемо да ће вам начин обраде градива у овој књизи омогућити да га успешне савладате.
Аутори
САДРЖАЈ ЦЕЛИ БРОЈЕВИ
..................................................
.
.
.....
.
..........
.
.........................
.
..................................
.
.....................
..........
7
Скуп целих бројева .......................................................... ................................................................................................. 8 Бројевна права ...........................................................................................................................:........................... 9 Супротан број ................................................................... .................................................... ................................ 11 Апсолутна вредност броја ............................................................................................................................. 12 Поређење целих бројева ............................................................................................................................................ 15 Сабирање целих бројева ............................................................................................................................................ 16 Одузимање целих бројева ......................................................................................................................................... 19 Својства сабирања целих бројева .......................................................................................................................... 20 Једначине
...........................................................................................................................................................................
21
Неједначине ...................................................................................................................................................................... 24 Множење целих бројева ....................................................................................................................................... ...... 26 Дељење целих бројева ................................................................................................................................................ 28 Својства множења целих бројева ........................................................................................................................... 29
ТРОУГАО
............................
.
.
.......
....
.
.
. ................... ........................
.
.....
.
........
.......... ......
.
...............
.. .
. . . 31
............................
..
.
Појам и неке врсте троуглова ................................................................................................................................... 32 Шта је троугао ...................................................................................................................................................... 32 Врсте троуглова у зависности од једнакости страница ................................................................... 33 Углови троугла ................................................................................................................................................................. 36 Збир углова троугла .......................................................................................................................................... З6 Врсте троуглова у зависности од величине углова ............................................................................ 37 Спољашњи углови троугла ............................................................................................................................ З8 Односи страница и углова троугла ........................................................................................................................ 40 Основне неједнакости за странице троугла ...................................................................................................... 45 Конструкције .................................................................................................................................................................... 47 Конструкције неких углова ............................................................................................................................ 51 Подударност троуглова ....................................................................................................................... ;..................., ... 53 Ставови о подударности троуглова ....................................................................................................................... 56 Страница-угао-страница ............................................................................................................................... 56 Угао-страница-угао .......................................................................................................................................... 58 Страница-страница-страница ..................................................................................................................... 60 Страница-страница-угао ............................................................................................................................... 61 Примена ставова подударности .................................................................................................................. 63 Конструкција троуглова .............................................................................................................................................. 67 Конструкција троугла када су задате две његове странице и угао између њих ................... 67 Конструкција троугла када је задата једна његова страница и углови налегли на њу ....... 70 Конструкција троугла када су задате три његове странице ........................................................... 71 Конструкција троугла када су задате две његове странице и угао наспрам веће од њих ... 72 Неке сложеније конструкције троугла ..................................................................................................... 73 Описана и уписана кружница ................................................................................................................................... 76 Описана кружница ............................................................................................................................................. 76 Уписана кружница .............................................................................................................................................. 78 Висине троугла и ортоцентар ................................................................................................................................... 81 Тежишне дужи и тежиште ........................................................................................................................................... 8З Значајне тачке троугла ................................................................................................................................................. 85 /
1
РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ
..............
Скуп рационалних бројева Бројевна права Супротан број
.
.
............... .......
. .
.........................
...
...
....................
. . ...
.
.
.......
.
. ... .... . .............................. . ...
.
..................
.
..
Сабирање рационалних бројева
.
.
.........................................................
.
......
.
.................
. .
...................................................... ...
.
.
..... .......
.
..
............
.
................................................
.
.
..................... ......................
. . ..
.
.............
. .
......
...
...................................
.............................................................................
.
................................................ ....................................................................
.
.
.
.
................... ............................................ ........ ........................
Једначине- сложенији примери .
.
......... ..................
.
........... ..................................
......................................................................................
.............................................
Изрази са рационалним бројевима ........
.
...........................................................................................................................
Својства множења рационалних бројева
.
....................................
..........................................................................................................
Неједначине са сабирањем и одузимањем .
...............................
.
................................................ � ..........................
Једначине са сабирањем и одузимањем
Дељење рационалних бројева
... ......................................
.............................................................................................................
Својства сабирања рационалних бројева
Множење рационалних бројева
..................
. .
........................
............. ............................................... ........................
Одузимање рационалних бројева
.....
.
.................................. .............
... ........................................................................................................
........................................................
Поређење рационалних бројева .
Проценти
. .
.. ......
.. .
........
Децимални запис рационалних бројева
Неједначине
..
......
....................................................................................................................................
Апсолутна вредност броја
Једначине
.
................................................................
..
... ................................... .
........................
.
....
..............................................................................................................
.
....................
......................................................
.
.
.....
. .
.....
... .............
...
..............
87 88 90 90 91 92 93 95 97 98
. 99 101 103 1 04 1 06 107 113 115 116
. 120
........................................................................................................................................................................ .
Проценти- проблемски задаци ЧЕТВОРОУГАО
.
..................................................
............................................................................................
Појам четвороугла
.
.............................................................
...
............
.
.
.
.......
.
...............
........................
.
........................................................................... ...........................................................................
Углови четвороугла
.
.............
. .
........... ..
.
.
.
121 123 124
. 126
............................................................................. ..................... ........ ......... .
Паралелограм .................................................................................................................................,............................... 128 Својства паралелограма ............................................................................................................................... 128 Правоугаоник, ромб, квадрат
.
..........................................................................................................
..........
131
Паралелограм и симетрије .......................................................................................................................... 135 Конструкција паралелограма Трапез
....
.
.
.......................................................................
........................................
................................................................................................................................................................................
139 141
Својства трапеза ............................................................................................................................................... 142 Конструкција трапеза
.
.....................................
. .
.
..... ... .....................................
...............................................
144
Делтоид ............................................................................................................................................................................. 146 ПОВРШИНЕ ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА
.
.. .......................... ..................................
. .. ..
......................
149
Појам површине ........................................................................................................................................................... 150 Површина паралелограма ....................................................................................................................................... 155 Површина троугла . .
.
....................
....................................................................
.
.
............
.
.......................... ...................
158
Површина трапеза ....................................................................................................................................................... 161 Површина произвољног четвороугла ............................................................................................................... 164
5
·
Како користити уџбеник Уџбеник садржи пет поглавља: Цели бројеви, Троугао, Рационални бројеви, Четвороугао и Површине четвороуглова и троуглова. Сва поглавља су издељена на наставне јединице. У оквиру наставне јединице одговарајући садржаји су најчешће изложени кроз типичне примере за ту тему. Циљ ових примера јесте да дају мотивацију за обраду одговарајућег садржаја, или да ученике ставе у позицију да сами изводе жељене закључке, односно да покажу где се и како усвојено знање примењује. Најчешће је након примера дат и задатак сличног садржаја, који би сваки ученик (на часу или након њега) требало да користи за проверу да ли је савладао изложене садржаје. У оквиру сваке наставне јединице посебно су издвојене и означене знаком Поред тога, знаком
кључне дефиниције.
означена су тврђења која је потребно трајно упамтити. И ова књига
садржи неколико језичких напомена, порекло назива неких појмова, као и објашњење неких недоумица (шта је правилно, а шта није). Ти делови су означени знаком
•.
За оне који желе више понуђена су одговарајућа проширења већ изложених садржаја, као и неки занимљиви детаљи из историје математике. Ти делови су означени знаком
Желимо ти пуно успеха у раду!
6
1
--
--
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ Број је један од основних и најбитнијих појмова у математици. Грана математике која се бави проучавањем рачун ских операција са бројевима назива се аритметика. Наредно поглавље је посвећено проширивању знања управо из аритметике.
•
Назив
аритметика потиче од грчке речи арийlмейlике, која се састоји од речи
арийlмос- број и йlехне- умеће.
До сада смо се упознали са природним бројевима, нулом и разломцима. Да ли су нам потребни још неки бројеви? Погледај слику и размисли како би гласила одговарајућа временска прогноза. Сутра
Данас 10
min/max о
јутарња дневна
-1 о
Дакле, потребни су нам и бројеви који су мањи од нуле. Историјски гледано, природни бројеви су настали из човекове потребе за пребројавањем разних објеката из окружења, разломци услед потребе да се запишу делови целог, а бројеви мањи од нуле (негативни бројеви) из потребе да се искаже недостатак нечега, дуг и томе слично. На пример, следећи извештај из банке показује да је Петар подигао са свог рачуна више новца него што је имао на свом рачуну, па је сада"у минусу'� то јест дугује банци новац. 101,58
+
22 800- 24 000 = -1 098,42
Извештај број 4
период 01.04-30.04.2008. године
Текући рачун Власник рачуна
88-0001-232
•
•
•
Петар Петровић 31.03.2008.
Претходно стање
101,58
01.04.2008.
22 800,00
Исплата
05.04.2008.
24 000,00
Ново стање
30.04.2008.
-1 098,42
Уплата
.
7
· -
СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА До сада смо учили о скупу природних бројева N, скупу N0 и скупу разломака. Међутим, за наше свакодневне потребе то није довољно. У минусу сте.
Стање на рачуну је -2 1 ОО динара.
Зато скупу природних бројева додајемо бројеве који су мањи од О за неки природан број.
Те бројеве називамо негативни цели бре;»јеви и њихов скуп означавамо са z-.
Пример 1. Број који је за 1
мањи од О је -1 , број за 2 мањи од О је -2, број за З мањи од О је
-З, и тако даље. Према томе, о- 1 = -1,
о- 2 = -2,
о- з=- з.
Видимо да се до записа негативног броја долази изостављањем О из записа одговарајућег одузимања. Често за негативне бројеве кажемо и да су негативног знака. Запис негативног целог броја састоји се од знака "-"и записа природног броја који нам
говори за колико је тај негативан број мањи од О.
z- = {-1, -2, -з, -4, ...}
Задатак 1. На празна места упиши бројеве тако да добијеш тачна тврђења: а) О- 5 =
_
;
б) О- 12 =
_
;
Природне бројеве називамо још и
в) О- _ =-6;
г) О- _ = -1 ОО.
позитивни цели бројеви, а скуп свих њих означавамо
са z+. Испред позитивних бројева можемо писати знак+, на пример+1, +2,+З. Овај запис добијамо изостављањем нуле из одговарајућих збирова: о+ 1 = + 1 = 1,
о+ 2 = + 2 = 2,
о+ з=+ з= з.
Међутим, по договору, то се најчешће не чини. За позитивне бројеве кажемо и да су позитивног знака. Бројеви већи од О су позитивни, а бројеви мањи од О су негативни. Број О није ни позитиван, ни негативан.
Скуп који чине позитивни цели бројеви, нула и негативни цели бројеви називамо скупом целих бројева и означавамо са Z. z= z- u {О} u z+ = { ..., -з, - 2, -1, о, 1, 2, з, ...}= {о, ±1, ±2, ±з, ...}
8
Бројевна права Задатак 2.
Испод сваке слике термометра запиши измерену температуру.
Скала термометра подсећа на бројевну праву на којој су представљени цели бројеви. До сада нам је за представљање бројева била довољна бројевна полуправа, јер су нас интересовали само бројеви већи од О. Међутим, за представљање целих бројева биће нам потребна права. Чиме је одређена бројевна полуправа? Наравно, бројевна полуправа је одређена својим почетком и дужином јединичне дужи. На слици испод допиши одговарајуће бројеве.
о
Слично, бројевна права је одређена када на произвољно изабраној правој одредимо тачке које су придружене бројевима О и 1.
негативан смер
t tt Броју О придружујемо једну произвољно изабрану тачку дате праве и означавамо је словом О. Ту тачку називамо координатни почетак. Усмерење праве (стрелица удесно, као и код бројевне полуправе) говори нам да бројеви слева удесно расту. Тај смер називамо позитиван смер, док је смер здесна улево негативан смер (у овом смеру бројеви опадају).
Како је 1 > О, десно од тачке О уочавамо тачку/, коју додељујемо броју 1. Овим је одређена јединична дуж 0/, то јест 0/
=
1.
9
-
Тачку која одговара неком природномброју одређујемо преносећи јединичну дуж од О удесно одговарајућиброј пута. Овај поступак је потпуно исти као и кодбројевне полупра ве.
t !
о
ff
2
t
4
1
�
5
Како представити негативне целебројеве? Коју тачку придружитиброју -1? Погледај скалу термометра! Већ смо рекли да је -1број који је за 1 мањи од О, или другим речима,број од кога је О за 1 већа. Према томе, броју -1 се мора придружити тачка Ј, која се налази лево од О и која је од О удаљена за једну јединичну дуж.
ЈО= 01= 1 Слично одређујемо и тачке које придружујемо другим негативнимбројевима. За сваки од тих бројева наносимо јединичну дуж одговарајућиброј пута лево од координатног почетка О.
-5
-4
-З
-2
1
-1
о
Број t коме је придружена тачка Тбројевне праве назива се
2
з
4
5
координата тачке Т, и то
записујемо на следећи начин: T(t). Тако је координата тачке Оброј О, координата тачке 1број 1, а координата тачке Јброј -1, што записујемо на следећи начин: О(О), /(1), Ј(-1). Бројевну праву називамо и
координатна или бројевна оса.
Сваком целом броју одговара тачно једна тачка бројевне праве.
��
Реч
координата је латинског порекла од префикса ко- са и глагола opguнape- уредити.
Задатак З. Упиши координате тачака А, В, С, О, Е, F представљених на слици.
10
1 -
Задатак4.
На бројевној правој представи тачке А(2) , В(-2) , С(4), 0(-4), Е(-6).
t tt 1 tt
t
---1--t--+---+-
1
1
О( О)
/(1)
ЗадатакS.
На бројевној правој дате су тачке О( О), /(1 ), А(2) , В(-З) , С(4), 0(-4), Е(-5). Упореди: а) дужине дужи ОА, ОВ, ВА; б) дужине дужи ОС, ОО; в) дужине дужи /А, ЕО.
·ј·
1 Е(-5)
1
�
О( О)
2
1 1(1 )
5
�12)
�
t
1
а) Како је ОА=2, ОВ=З, ВА=З +2=5, важи ОА < ОВ < АВ; б) Како је ОС=_, ОО=4, важи ОС_ ОО; в) Како је /А=_, ЕО=_, важи /А_ ЕО.
Супротан број Замисли да доле приказану слику пресавијеш по правој р. Које се тачке тада поклапају, то јест пресликавају једна у другу?·
t
t r
tt
Тачка О се пресликава у саму себе, док се тачка /(1 ) пресликава у тачку Ј(-1 ), и обрнуто, тачка Ј(-1) се пресликава у тачку /(1 ) . ·
Задатак б.
Допиши шта недостаје, тако да добијеш тачна тврђеЊа. При горе описаном пресликавању: б) тач ка В(-2) пресликава се у
а) тачка А(2) пресликава се у в) тачка С(З) пресликава се у
__,
_
д) тачка Т(б) пресликава се у М(_);
г) тачка F(-4) пресликава се у
__,
_
__,
_
ђ) тачка 5(-1 б) пресликава се у N(_).
п
Примећујемо да су тачке придружене природном броју n и негативном броју -n симетричне у односу на О(О). Две тачке бројевне праве су симетричне у односу на О(О) ако се налазе са супротних страна тачке О и од ње су подједнако удаљене.
За целе бројеве који су придружени тачкама бројевне праве симетричним у односу на тачку О( О) кажемо да су супротни. Супротан број целог броја а означавамо са -а. Пример 2. Одредимо супротне бројеве бројева 2, 4, З, -З,
-7, О.
Како су тачке које одговарају бројевима 2 и -2, 4 и -4 подједнако удаљене од координатног почетка, закључујемо да је супротан број броја 2 број -2, а супротан број броја 4 је -4. Тачка која одговара броју З удаљена је од координатног почетка исто као и тачка која одговара броју -З. Зато је супротан број броја З број -З, а супротан број броја -З је З. Дакле, супротан број од супротног броја броја З је З, што записујемо на следећи начин: -(-З)= з. Слично, супротан број броја -7 је 7, то јест -(-7)= 7. Супротан број броја О је О. Примећујеш да су супротни бројеви позитивних бројева негативни, а супротни бројеви негативних бројева позитивни. Зато за супротне бројеве кажемо да су супротног знака.
Супротан број од супротног броја целог броја а је број а, то јест -(-а)= а. Задатак 7.
Допиши шта недостаје, тако да добијеш тачна тврђења: а) -(-6)= _;
б) - (- 1 ОО)=
___,
в) - (-(- 1 ))= _;
_
г) ( ( ( 14)))= _. -
-
-
-
Апсолутна вредност броја Задатака.
На бројевној правој представи тачке /( 1 ), Ј(-1 ), А(2), 8{-З), C(S), 0(-4), а затим одреди дужине дужи 0/, ОЈ, ОА, 08, ОС, ОО.
t
ttttt ttttt tt 01= _,
ОЈ= _ ,
ОА=_,
1
t
f t 1
О(О)
1
08=_,
ОС= _,
1
1
00=
(
•
Ако је А тачка бројевне праве додељена броју а, тада је апсолутна вредност броја а, у ознаци
lal, једнака дужини дужи ОА. Ознаку lal читамо: ,,апсолутно а".
3адатак9.
Користећи нацртану бројевну праву одреди апсолутне вредности бројева 1, 2, -З, 5, -4, -1'
О,
-2, з, -5, 4.
t -5
t
1
-2
-З
-4
-1
2
о
з
4
5
1
121=___/ l-21 =___/
l-41 =___/ 141=-·
Апсолутна вредност броја не може бити негативна, то јест
IOI =
___/
lal ::::: О за свако а из Z.
Видимо да је апсолутна вредност позитивног броја једнака управо том броју, док је апсолутна вредност негативног броја једнака њему супротном броју. Специјално,
Број
lal једнак је броју а ако је а ::::: О, а броју -а ако је а< О.
Апсолутне вредности супротних бројева су једнаке, то јест
Пример 3.
Колико има целих бројева х таквих да је Постоје две тачке А(4) и
1-al= lal.
lal
=
101 =О.
{
О а, а ;;;:: -а, а< О
lxl = 4?
8(-4), које су од координатног почетка удаљене 4 јединичне дужи, lxl = 4. То су бројеви -4 и 4, то јест ХЕ{-4, 4}.
па постоје два броја х таква да је
8(-4)
Пример4.
Колико има целих бројева х таквих да је Једнакост
lxl =О? А lxl =-1?
lxl = О нам говори да је тачка придружена броју х координатни почетак Uep је
дужина одговарајућl� дужи једнака
lxl = О и то је х = О.
Како је за сваки цео број х,
О). Дакле, постоји само један цео број х за који важи
lxl::::: О, не постоји х из Zтакво да је lxl = -1.
Задатак 10.
Реши једначине у скупу целих бројева: а)
lxl = 7;
б)
lxl = 15З;
в)
lxl = -5З;
г)
lxl =х;
д)
lxl =-х. 13
lxl �З;
Пример 5. Решимо неједначине: а)
а) Услов
б)
lxl >2;
в) 2 � lxl �5.
lxl �З задовољавају сви цели бројеви који су од О удаљени највише З јединичне lxl �З је {-З,-2,-1, О, 1,2,З},односно -З�х�З.
дужи. Дакле,скуп решења неједначине
t
1 -5
б) Услов
-4
-З
-2
1
-1
2
о
4
з
5
lxl >2 задовољавају сви цели бројеви који су од О удаљени више од 2 јединичне lxl >2 је {-З,-4,... } U {З,4, ...},односно х2.
дужи. Дакле, скуп решења неједначине
r
�Мf&W#af -5
-4
1
-З
1
-2
1
-1
1
о
t rw���; 2
4
з
5
в) Услове 2 � lxl �5 задовољавају сви цели бројеви који су од О удаљени бар 2,а не више од 5 јединичних дужи. Према томе,ХЕ{-5,-4,-З,-2} U {2,З,4,5},то јест -5 �х�-2 или 2 �х�5.
-5
-4
1
-З
-1
-2
2
о
4
з
5
Задатак 11.
Реши неједначине у скупу целих бројева: а)
lxl � 4;
б)
lxl х;
г)
lxl тако да добијеш тачна тврђења: б)О О -1;
в)2 О -1;
г)ЗО -5;
д)-1ОО 000 О З6.
Ако погледамо слику бројевне праве, видимо да се 2 налази десно од О, а -1 лево од О, што значи да је 2>О и О>-1. Ово смо знали и без гледања на бројевну праву, зар не? Са бројевне праве уочавамо и да је 2>-1. До овог закључка смо могли да дођемо и на основу претходно уочених неједнакости, 2>О>-1. Како су позитивни бројеви већи од О, а негативни мањи од О, закључујемо да је З> -5, а -1ОО 000< З6.
Сваки позитиван број је већи од сваког негативног броја. Задатак 1.
Упиши у О знак< или>тако да добијеш тачна тврђења: а)2 0 1;
б)2 0 4;
в)ЗОО7 0 7З;
г)ЗОО7 0 ЗО70;
д)7 ООЗ0 ЗОО7.
Од два позитивна цела броја представљена на бројевној правој већи је онај који се у односу на други број налази са десне стране, то јест онај који је удаљенији од нуле (који има већу апсолутну вредност).
Од два позитивна броја већи је онај чија је апсолутна вредност већа.
Који је од два негативна броја већи? Када смо у повољнијој ситуацији, када дугујемо 50 или 150 динара? Када је потребно да скупимо више новца да бисмо вратили дуг? Пример 2. Упиши
а)-1 0 -2;
у О знак< или>тако да добијеш тачна тврђења:
б)-З0 -1;
в)-4 0 -2;
г)-ЗО -11.
На основу слике бројевне полуправе закључујемо да је -1>-2, -З< -1, -4< -2 и -11< -3. Приметимо да је 1-11< l-21, 1-ЗI> 1-11, l-41>1-21 и 1-ЗI < 1-111.
Од два негативна броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа.
3адатак2.
Упиши у О знак< или>тако да добијеш тачна тврђења: а)22 0 -1О1; б)-17 0 44; в)-19 0 -21; г)-5 6 0 -З4; д)-9980 -8999.
15
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА Научили смо да сабирамо природне бројеве. Дакле, знамо да сабирамо позитивне целе бројеве. Прво ћемо то обновити, а потом н·аучити да саберемо два произвољна цела броја. Пример 1. Милица је имала
200 динара. За рођендан је од сестре добила 500 динара да
купи поклон по својој жељи. Колико сада новца има Милица? Саберимо суме новца. То ћемо и шематски да прикажемо. +500
+200 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100
200
о
о
300
200 + 500 700 =
Збир 200
+
500 рачунамо тако што се на бројевној правој из тачке О(О) прво крећемо 200
јединичних дужи у позитивном смеру, а затим из тачке А(200) још 500 јединичних дужи у позитивном смеру. Тако долазимо у тачку 8(700), чија координата
700 је тражени збир.
Приметимо да за апсолутне вредности ових бројева важи
12001 + I500I 17001. =
Пример 2. Једног дана Драган је позајмио од брата
200 динара, а сутрадан још 500 динара
како би купио књигу коју је желео да прочита. Колико онда износи Драганов дуг? Саберимо оба дуга. Приказаћемо то сабирање шематски, слично као у примеру 1.
к
/ \
-500
-200
-7 о -600 -500 -400 -300 -200 -100
о
100
200
300
400
500
600
700
-700
-200 + (-500) -700 =
Збир -200
(-500) рачунамо тако што се на бројевној правој из тачке О(О) прво крећемо 200 јединичних дужи у негативном смеру, а затим из тачке А(-200) још 500 јединичних дужи у негативном смеру. Тако долазимо у тачку 8(-700). Координата тачке В је -700, и +
представља тражени збир. Приметимо да за апсолутне вредности ових бројева важи
1-2001 + l-5001 l-7001. =
Чему је једнак збир два позитивна цела броја, а чему збир два негативна цела броја?
Збир два позитивна цела броја је позитиван, а збир два негативна цела броја је негативан цео број. У оба случаја апсолутна вредност збира је једнака збиру апсолутних вредности сабирака.
16
1
Задатак 1.
Израчунај збирове: б) -3+(-7) =_;
а) З+7=_;
г) -8+(-9) =_.
в) 8+9=_;
Задатак2.
На празна места упиши бројеве тако да добијеш тачна тврђења: а) -45+(-28) =
в) -708+(-407) =
б) -689+(-37) =
__
Сети се, збир неког природног броја n и О је бројn. Ову особину имају и цели бројеви.
За сваки цео број а важи а+ О= а. Задатак 3.
Израчунај збирове: б) 0+0=_;
а) З+О=_;
в) -8+0=_;
г) О+(-17) =_.
До сада смо научили да сабирамо два броја истог знака и произвољан број са О. Преостаје да научимо да сабирамо бројеве супротног знака. Пример 3. Једног дана, Мирко је позај мио 1ОО динара од Софије и потрошио их. Сутрадан,
мајка је Мирку дала 1ОО динара како би вратио дуг. Колико новца ће имати Мирко када Софији врати дуг? Наравно, Мирку неће остати новац када врати дуг, то јест имаће О динара.
� � +100 - 100
1
1
-150 -100 -50
о
1
50
1
100
1
..
150
- 100+ 100=о -1 I 00I- I100I= IOI
Збир супротних бројева је О, то јест за сваки цео број а важи а+ (-а)= О. Задатак4.
На празна места упиши бројеве тако да добијеш тачна тврђења: а) -5+5=_;
б) -99+99=_;
в) 7+(-7} =_;
г) 32+(-32) =_.
17
Чему је једнак збир позитивног и негативног целог броја различитих апсолутних вредности? дана Јована је од Луке позајмила 50, а Анђела 150 динара. Сутрадан су и Јована и Анђела у школу понеле по 1ОО динара. Која од њих две ће моћи да врати дуг Луки? Пример 4. Једног
Како је 50
