(6) PD Genap 15

PERSAMAAN DIFERENSIAL Pengantar: Diberikan PD:

dx  xt  0 dt

x(0)  5

1. Dapatkan x(t) yang merupakan solusi dari PD itu, 2. Dengan x(t) yang diperoleh, dapatkan nilai x ketika t =0,5

BONUS : 5 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

1

29/04/2015

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang menghubungkan sesuatu variabel dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial tingkat n dapat dinyatakan sebagai,

dy d 2 y dny f (t , y, , 2 ,..., n )  0 dt dt dt Penyelesaian persamaan diferensial secara numerik memerlukan alat bantu komputer. Pada beberapa kasus persamaan diferensial terutama pada persamaan diferensial nonlinier, seringkali tidak diperoleh penyelesaian secara analitik. Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

2

29/04/2015

1

Pada solusi analitik, diperoleh sebuah persamaan fungsi solusi yang memenuhi persamaan diferensialnya, sedangkan pada solusi numerik tidak diperoleh persamaan fungsi solusi tetapi hanya didapat kumpulan titik-titik. Tetapi walaupun fungsi solusi tidak diperoleh, titik-titik solusi tersebut dapat divisualisir dalam bentuk grafik sehingga dapat dianalisis lebih lanjut. Beberapa metode penyelesaian PD secara numerik: 1. Metode Euler 2. Metode Deret Taylor 3. Metode Runge-Kutta 3

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Gambar dibawah menunjukkan hubungan penyelesaian persamaan diferensial secara analitik dengan penyelesaian secara numerik. Solusi numerik merupakan solusi khusus dari suatu persamaan diferensial oleh karena itu perlu adanya nilai awal atau nilai batas yang diketahui. x

Solusi analitis

Nilai awal x(0)=1

Solusi numerik

t Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

4

29/04/2015

2

Prinsip Penyelesaian PD secara numerik

dx  f (t, x) dt

x=g(t)

x

Misalkan solusi PD,

x(t0 )  x0 5

adalah x0 Δt

x = g(t)

Δt

Δt

t0

t

Berapakah nilai x yang (dianggap) benar jika t secara sengaja dinaikkan sebesar Δt. Pada gambar terlihat bahwa nilai fungsi adalah x0 ketika t = t0, dan berapakah nilai x1 ketika t dinaikkan menjadi t0+∆t 5

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

1. Metode Deret Taylor Nilai x pada t+∆t dihitung dengan menggunakan nilai x dan turunan-turunannya yang dihitung pada t x(t  t )  x(t )  tx(t ) 

t 2 t 3 t m ( m) x(t )  x(t )  ...  x (t ) 2 3! m!

Atau,

t 2 t 3 t m ( m) xn1  xn  txn  xn  xn  ...  xn 2 3! m! Kelemahan metode ini adalah pada penyelesaian yang rumit terutama pada penentuan dan perhitungan turunan-turunan fungsi yang lebih tinggi. Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

6

29/04/2015

3

Contoh 1 Dengan metode deret taylor, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

dx  xt  0 dt

x(0)  5

Gunakan sampai dengan turunan ke 3. Penyelesaian:

x  xt x  xt  x x  xt  x  x  xt  2 x 7

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Pada t = 0, x = 5 sehingga

x(0)  xt  x  5 x(0)  xt  2 x  0

x(0)  xt  0

t 2 t 3 t m ( m) xn1  xn  txn  xn  xn  ...  xn 2 3! m!

n

t

0 1 2 3 4 5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

x

x

x

x

5 5,0250 5,1009 5,2299 5,4161 5,6653

0 0,5025 1,0202 1,5690 2,1665

5 5,0753 5,3049 5,7006 6,2827

0 1,5125 3,1013 4,8482 6,8460

Jadi dengan metode deret taylor didapat x(0,5) =5,6653 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

8

29/04/2015

4

2. Metode Euler Garis lengkung fungsi solusi sejauh ∆t dianggap sebagai garis lurus (pendekatan derajat satu) yang mempunyai gradien di titik awalnya. x=g(t)

x

x0 Δt

Δt

Δt

t0 9

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Δx

x 

dx dt

x  t t  t0

dx t  f (t0 , x0 )t dt t t0

Δt

Pada t1=t0+Δt, nilai x adalah x1=x0+Δx

x1  x0  f (t0 , x0 )t Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

10

29/04/2015

5

Pada t2=t0+2Δt:

x2  x1  f (t1 , x1 )t

Pada t3=t0+3Δt:

x3  x2  f (t 2 , x2 )t

Rumus Umum

xn1  xn  f (tn , xn )t Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

11

29/04/2015

Contoh 2 Dengan metode deret taylor, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

dx  xt  0 dt

x(0)  5

Penyelesaian:

dx  f (t, x)  xt dt

xn1  xn  f (t n , xn )t Hasil perhitungan diberikan dalam tabel berikut: Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

12

29/04/2015

6

Tabel hasil perhitungan n 0 1 2 3 4 5

t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

x 5,0000 5,0000 5,0500 5,1510 5,3055 5,5178

f(t,x) 0,0000 0,5000 1,0100 1,5453 2,1222

Jadi, dengan metode euler dengan ∆t=0,1 didapat x(0,5)=5,5178

13

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

3. Metode Runge-Kutta 2 Metode Runge-Kutta 2 menghitung ∆x dengan menggunakan rata-rata gradien dua titik yang berurutan.

Titik A: B

mA = f(tn,xn) k1  f (tn , xn )t

A

xn tn

Titik B: mB=f(tn+∆t,xn+k1)

Δt

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

14

29/04/2015

7

mA  mB 2

Gradien rata-rata:

mR 

Nilai x berikutnya:

xn 1  xn  mR t  xn 

k1  k2 2

Dengan: k1  f (tn , xn )t

k 2  f (t n  t , xn  k1 )t Metode ini disebut dengan metode Runge-Kutta derajat dua.

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

15

29/04/2015

Contoh 3: Dengan metode RK 2, dapatkan x(t) dari 1 < t < 1,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

tdx  x 2 dt  0

x(1)  1

Penyelesaian:

dx x2  f (t , x)   dt t

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

x(1)  1

16

29/04/2015

8

1. Pada t1= t0+0,1 = 1+0,1 = 1,1 x1 = x0 + (k1 + k2 )/2 dgn:

 12  k1  t f (t0 , x0 )  0,1    0,1  1  1  0,12  k 2  t f (t0  t , x0  k1 )  0,1   0,0736  1  0,1 

Jadi,

x1  x0 

k1  k 2  1  0,0868  0,9132 2

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

17

29/04/2015

Hasil lengkap sampai dengan t = 1,5

t 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x 1 0,913182 0,846061 0,792449 0,748519 0,711777

k1 -0,1 -0,07581 -0,05965 -0,04831 -0,04002 -0,03378

k2 -0,07364 -0,05843 -0,04757 -0,03955 -0,03346 -0,02873

Jadi, dengan metode RK2 didapat x(1,5)=0,711777 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

18

29/04/2015

9

4. Metode Runge-Kutta derajat 4 PD order kesatu:

dx 19  f (t , x) dt

x(t0 )  x0

xn 1  xn  k1  2k2  2k3  k4  / 6 dengan

k1  t f (tn , xn ) k2  t f (tn 

t k , xn  1 ) t2 2

k3  t f (tn 

t k , xn  2 ) 2t 2

k 4  t f (tn  t , xn  k3 ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

19

29/04/2015

Contoh 4: Dengan metode RK 4, dapatkan x(t) dari 1 < t < 1,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

tdx  x 2 dt  0

x(1)  1

Penyelesaian:

dx x2  f (t , x)   dt t

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

x(1)  1

20

29/04/2015

10

1. Pada t1= t0+0,1 = 1+0,1 = 1,1 x1 = x0 + (k1 + 2*k21 2 + 2*k3 + k4)/6 dgn:

 12  k1  t f (t 0 ,,x y00))  0,1    0,1  1

k2  t f (t 0  k3  t f (t0 

 1  0,052  t k ,,xy00 + 1 )  0,1   0,0859 2 2  1  0,05 

 1  0,04292  t k ,,xy00+ 2 )  0,1   0,0872 2 2 1  0,05  

 1  0,08722  k 4  t f (t0  t ,,xy00+ k3 )  0,1   0,0757 1  0,1  

Shg: x1 = 0,9129 21

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Hasil lengkap sampai dengan t = 1,5 t 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x y 1 0,912983 0,845793 0,792164 0,748238 0,711508

k1 -0,1 -0,07578 -0,05961 -0,04827 -0,03999

k2 -0,08595 -0,06659 -0,05327 -0,04369 -0,03658

k3 -0,08723 -0,06729 -0,05368 -0,04395 -0,03675

k4 -0,07574 -0,0596 -0,04826 -0,03999 -0,03375

Jadi, dengan metode RK4 didapat x(1,5)=0,711508

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

11

TUGAS KELAS F BAGIAN: PD DERAJAT SATU Diberikan persamaan diferensial derajat satu, 1 t dx  x  me 2 dt

x(0)  m

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1. 2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)

Mahfudz S - Metode Numerik

29/04/2 015

23

TUGAS KELAS E BAGIAN: PD DERAJAT SATU Diberikan persamaan diferensial derajat satu,

dx  x  met dt

x(0)  m

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1. 2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)

Mahfudz S - Metode Numerik

29/04/2 015

24

12

TUGAS KELAS C BAGIAN: PD DERAJAT SATU Diberikan persamaan diferensial derajat satu,

1  t  dx  x  2m

x(0)  m

dt

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1. 2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)

29/04/2 015

Mahfudz S - Metode Numerik

25

Nama : No. Presensi : i

ti

0 1 2 3 4 5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Mahfudz S - Metode Numerik

Deret

Euler

29/04/2 015

RK2

RK4

Analitis

26

13

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Pengantar:

d 2 y dy   5e 2,5t 2 dt dt

y(0)  1

y(0)  0

1. Dapatkan y(t) yang merupakan solusi dari PD itu, 2. Dengan y(t) yang diperoleh, dapatkan nilai y ketika t =0,5

BONUS : 10 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

27

29/04/2015

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Persamaan diferensial dikatakan linier jika dapat dinyatakan sebagai,

d nx d n1 x d 2x dx  a1 n1  ...  a n2  2  an1  an x  u(t ) n dt dt dt dt Beberapa contoh PD linier:

dx  5 x  e 2t dt

PD linier derajat satu

d 2 x dx   5x  e  t dt 2 dt

PD linier derajat dua

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

28

29/04/2015

14

Solusi PD Linier Tingkat Tinggi Berbasis Matrik PD Linier tingkat 4,

d4y d3y d2y dy  a1 (t ) 3  a2 (t ) 2  a3 (t )  a4 (t ) y  u (t ) 4 dt dt dt dt Dinyatakan sebagai 4 sistem persamaan diferensial tingkat satu. Didefinisikan 4 variabel berikut:

x2  y, x3  y, x4  y

x1  y, maka

x1  y  x2 ,

x2  y  x3 , x3  y  x4 ,

x4  y ( 4)  u (t )  a4 (t ) x1  a3 (t ) x2  a2 (t ) x3  a1 (t ) x4 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

x1  y  x2 ,

29

29/04/2015

x2  y  x3 , x3  y  x4 ,

x4  y ( 4)  u(t )  a4 (t ) x1  a3 (t ) x2  a2 (t ) x3  a1 (t ) x4 Empat persamaan diferensial diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut,

1 0 0   x1  0  x1   0  x   0 0 1 0   x2  0  2    u (t )  x3   0 0 0 1   x3  0         x4   a4 (t )  a3 (t )  a2 (t )  a1 (t )  x4  1 Atau dapat dinyatakan dalam bentuk simbol,

x  A(t ) x  bu(t ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

30

29/04/2015

15

Berikut adalah rumus-rumus untuk menyelesaikan SPD linier:

x(n  1)  x(n)  k1 dengan

k1  tA(tn ) x(n)  bu(tn )

x(n  1)  x(n) 

k1  k 2 2

dengan

k1  tA(tn ) x(n)  bu(tn )

k2  t A(tn  t )x(n)  k1  bu(tn  t ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

31

29/04/2015

x (n  1)  x (n)  k1  2k 2  2k 3  k 4  / 6 dengan

k1  tA(tn ) x(n)  bu(tn )

 t  k t  k2  t  A(tn  ) x(n)  1   bu(tn  ) 2  2 2    t  k  t  k3  t  A(tn  ) x(n)  2   bu(tn  ) 2  2 2   k4  t  A(tn  t )x(n)  k3  bu(tn  t ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

32

29/04/2015

16

Contoh 1 Untuk PD dibawah ini cari nilai y pada 0 < t < 0,5 menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1

d 2 y dy   5e 2,5t 2 dt dt

y(0)  1

y(0)  0

Penyelesaian:

k1  tAx(0)  bu(t0 ) 0 1  1 0   0   0,1  0  5   0,5 0  1         Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

33

29/04/2015

k2  tAx0  k1   bu(t0  t ) 0 1   1  0  0 0,25   0,05   0,1      e  0  1 0  0,5 5  0,3394

x(0,1)  x(0)  0,5k1  k2   0   0,05   1,025  1     0,5      0,4197 0 0 , 5 0 , 3394         Hasil perhitungan selanjutnya diberikan dalam tabel berikut Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

34

29/04/2015

17

n 0

t 0

1

0,1

2

0,2

3

0,3

4

0,4

5

0,5

x 1 0 1,0250 0,4197 1,0843 0,7067 1,1666 0,8941 1,2634 1,0074 1,3683 1,0661

k1 0 0,5 0,0420 0,3474 0,0707 0,2326 0,0894 0,1468 0,1007 0,0832

k2 0,05 0,3394 0,0767 0,2266 0,0939 0,1423 0,1041 0,0799 0,1091 0,0342

Jadi, nilai y pada t=0,5 adalah 1,3683 35

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Contoh 2 Untuk rangkaian dibawah ini cari i(t) 0 < t < 1,0 menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1 20 Ohm t=0

i

100 volt

20i  25mF

20

di  f (t , i)  2i dt Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

1 idt  100 25x103 

di i  0 dt 25x103

i (0)  5 A 36

29/04/2015

18

Bila ditetapkan ∆t=0,1 maka nilai i(t) sampai dengan t=1 adalah seperti diberikan dalam tabel berikut: t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

i 5 4,1 3,362 2,75684 2,260609 1,853699 1,520033 1,246427 1,02207 0,838098 0,68724

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

k1 -1 -0,82 -0,6724 -0,55137 -0,45212 -0,37074 -0,30401 -0,24929 -0,20441 -0,16762 -0,13745

k2 -0,8 -0,656 -0,53792 -0,44109 -0,3617 -0,29659 -0,24321 -0,19943 -0,16353 -0,1341 -0,10996

37

29/04/2015

Bila t diteruskan sampai dengan 3 dt, maka diperoleh grafik i(t) sebagai berikut: 6 5 4 3 2 1 0 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

38

29/04/2015

19

Contoh 3: Dengan metode RK 4, dapatkan 39 Tegangan v(t) dari 0 < t < 0,25 dengan Δt=0,05 jika diketahui

d 2v dv  10  16v  0 2 dt dt dv v(0)  100 volt,  400 volt / dt dt 0 Penyelesaian:

x 1  v dan x 2  v  x 1  v  x 2 dan x 2  v  -16x1 - 10x 2 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

39

29/04/2015

Bentuk matrik:

1   x140  x1   0  x     16  10  x   2   2  Atau

100  x (0)     400 

x  Ax

 0 dengan A    16

1     10

Sistem persamaan diferensial diatas adalah homogen dengan A adalah matrik konstan.

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

40

29/04/2015

20

1. Pada t1 = 0+0,05 = 0,05 dt: 41

1  100   0  400   20  k1     x0, 05    x0,05     16  10   400   5600   280 

1   100  10   0  13  k2   x 0 , 05     218  16  10 400  140    1   100  6,5   0  14,55  k3   x 0 , 05     230,7  16  10 400  109  

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

41

29/04/2015

42

1  100  14,55   0  8,465  k4   x 0 , 05     176, 29   16  10  400  230,9   100  1   20   13   14,55   8,465  x1        2   2   400  6   280   218  230,7  176,29  113,93    174,39 

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

42

29/04/2015

21

Hasil lengkap 0 < t < 1,0 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

t 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

x1 100,0000 113,9275 118,8026 118,0335 113,8648 107,7646 100,6841 93,2310 85,7857 78,5787 71,7422 65,3449 59,4148 53,9539 48,9491 44,3778 40,2129 36,4252 32,9850 29,8636 27,0335

x2 400,0000 174,3850 32,0566 -55,2858 -106,5338 -134,2796 -146,8985 -149,9456 -147,0908 -140,7455 -132,4819 -123,3138 -113,8846 -104,5927 -95,6757 -87,2656 -79,4269 -72,1807 -65,5211 -59,4263 -53,8652

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

140

v(t)=x1

20,0000 8,7193 1,6028 -2,7643 -5,3267 -6,7140 -7,3449 -7,4973 -7,3545 -7,0373 -6,6241 -6,1657 -5,6942 -5,2296 -4,7838 -4,3633 -3,9713 -3,6090 -3,2761 -2,9713 -2,6933

k1 -280,0000 -178,3345 -111,0703 -66,7839 -37,8249 -19,0719 -7,0980 0,3880 4,9168 7,5098 8,8472 9,3810 9,4105 9,1332 8,6786 8,1306 7,5432 6,9502 6,3725 5,8222

13,0000 4,2609 -1,1739 -4,4339 -6,2723 -7,1908 -7,5224 -7,4876 -7,2316 -6,8495 -6,4029 -5,9312 -5,4590 -5,0013 -4,5668 -4,1600 -3,7828 -3,4353 -3,1167 -2,8258

k2 -218,0000 -137,2386 -83,9439 -48,9822 -26,2380 -11,6183 -2,3856 3,2899 6,6294 8,4473 9,2850 9,5020 9,3356 8,9418 8,4225 7,8433 7,2459 6,6563 6,0898 5,5552

14,5500 5,2883 -0,4958 -3,9888 -5,9826 -7,0044 -7,4046 -7,4150 -7,1888 -6,8261 -6,3920 -5,9281 -5,4608 -5,0061 -4,5732 -4,1672 -3,7902 -3,4426 -3,1238 -2,8324

k3 -230,7000 -145,7292 -89,6148 -52,7648 -28,7565 -13,2910 -3,4927 2,5605 6,1521 8,1378 9,0871 9,3779 9,2602 8,8983 8,3997 7,8338 7,2448 6,6603 6,0968 5,5637

8,4650 1,4328 -2,8779 -5,4025 -6,7645 -7,3785 -7,5196 -7,3693 -7,0469 -6,6304 -6,1697 -5,6968 -5,2312 -4,7847 -4,3638 -3,9716 -3,6091 -3,2760 -2,9712 -2,6931

43

k4 -176,2900 -109,7005 -65,8663 -37,2104 -18,6606 -6,8228 0,5720 5,0397 7,5918 8,9018 9,4172 9,4345 9,1491 8,6890 8,1373 7,5475 6,9529 6,3742 5,8232 5,3063

29/04/2015

44

120 100 80 60 40 20 t

0

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

44

29/04/2015

22

8.SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Sistem persamaan diferensial linier terdiri dari n persamaan n variabel,

x1  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2  ...  a1n (t ) x n  f1 (t ) x2  a21 (t ) x1  a22 (t ) x2  ...  a2 n (t ) x n  f 2 (t ) . . . xn  an1 (t ) x1  an 2 (t ) x2  ...  ann (t ) x n  f n (t ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

45

29/04/2015

Contoh 4 46 x (t) dan x (t) dari 0 < t < Dengan metode RK4, dapatkan 1 2 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

x1  5 x1  8 x2  e 2t

x1 (0)  1

x2  6 x1  9 x2  3e 2t

x 2 (0 )  0

Penyelesaian: Bentuk matrik,

8   x1    1  2t  x1   5  x    6  9  x    3  e  2   2    Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

46

 x1 (0)  1  x (0)  0  2    29/04/2015

23

Atau,

x  ax  bu (t )  x1  x   x2 

8 5 a   6  9 

1  x (0)    0 

 1 b  3

u (t )  e 2t

x(n+1)=x(n)+(k1+2k2+2k3+k4)/6

k1  tax( n)  bu (tn ) k 2  ta  x(n)  0,5k1   bu (tn  0,5t ) Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

47

29/04/2015

k3  ta  x( n)  0,5k2   bu (tn  0,5t ) 48

k4  t a x(n)  k3   bu (tn  t ) a. t0 = 0: k1  tax(0)  bu (t0 )  5 8  1  1   0,4   0,1  0   3 1   0,3  6  9          k 2  tax (0)  0,5k1   bu(t0  0,5t )  5   0,3895  8   1   0, 4    1     0,5     exp(0,1)    0,1      6  9 0   0,3135  0,3   3  Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

48

29/04/2015

24

Dengan cara sama, didapat

 0,3815 k3      0,3043 

x(1)  x(0) 

49  0,3781 k4      0,3244 

1,3867 1 k1  2k2  2k3  k4     6   0,31

Jadi untuk t=0,1: x1=1,3867 x2=-0,31

49

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Hasil lengkap sampai dengan t = 0,5 diberikan dalam tabel dibawah ini 50 n 0

t 0

1

0,1

2

0,2

3

0,3

4

0,4

5

0,5

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

x 1 0 1.3867 -0.31 1.7245 -0.6096 2.0009 -0.8769 2.2127 -1.1013 2.3623 -1.2794

k1 0.4 -0.3 0.3635 -0.3074 0.3076 -0.285 0.2441 -0.2467 0.1804 -0.2017 0.1209 -0.1556

50

k2 0.3895 -0.3135 0.3392 -0.3015 0.2768 -0.2681 0.2116 -0.2246 0.1491 -0.1779 0.0923 -0.1323

k3 0.3815 -0.3043 0.3355 -0.2968 0.2759 -0.2665 0.2124 -0.2248 0.1508 -0.1792 0.0945 -0.1342

k4 0.3781 -0.3244 0.3141 -0.2933 0.2455 -0.2495 0.1787 -0.201 0.1174 -0.1528 0.0635 -0.1081

29/04/2015

25

Contoh 5 Untuk rangkaian listrik dibawah ini, dapatkan dan gambarkan grafik perilaku i1(t) dan i2(t) menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1 dari t=0 s/d t=5,0 dt 10 Ω

5Ω i2

i1

t=0 120 volt

40 mF

25 mF

51

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

29/04/2015

Penyelesaian: Pers loop 1: Pers loop 2:

10i1 

5i2 

1 25x103

 i dt   i dt   120 1

2

1 1 i dt  3  2 40x10 25x103

 i dt   i dt   0 2

1

Kedua persamaan diturunkan terhadap t, didapat

i1  4i1  4i2 i2  8i1  13i2 Pada t = 0, arus i1 (0) = 12 dan i2 (0) = 0 Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

52

29/04/2015

26

 4 4  i   i 8  13  

Bentuk matrik,

12 i(0)    0

a. Pada t=0

 4 4  12  4,8 k1  tAx(0)  0,1   0    9,6  8  13       4 4  12  4,8  0,96  k2  tA x(0)  k1   0,1     8  13  0  9,6  - 6,72 Nilai x(0,1) dihitung sbb: x(0,1)  x(0) 

k1  k2 12 1  4,8  0,96   10,08     2    - 6,72    1,44  2 9 , 6 0       

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

53

29/04/2015

b. Pada t=0,1

 4 4  10,08 - 3,456 k1  tAx(0,1)  0,1     8  13  1,44   6,192    4 4  10,08  3,456  0,4032  k2  tAx(0,1)  k1   0,1     8  13  1,44  6,192  - 4,6224

x(0,2)  x (0,1) 

k1  k2 8,5536   2 2,2248

Dan seterusnya, perhitungan sampai dengan t=5 dt diberikan dalam tabel berikut

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

54

29/04/2015

27

Tabel hasil perhitungan n

tn 0

0

1

0,1

2

0,2

3

0,3

4

0,4

5

0,5

6

0,6

7

0,7

8

0,8

9

0,9

10

1

xn k1 k2 12,0000 -4,8000 0,9600 0,0000 9,6000 -6,7200 10,0800 -3,4560 0,4032 1,4400 6,1920 -4,6224 8,5536 -2,5315 0,0613 2,2248 3,9506 -3,2104 7,3185 -1,8894 -0,1411 2,5949 2,4814 -2,2560 6,3032 -1,4382 -0,2539 2,7076 1,5227 -1,6074 5,4572 -1,1168 -0,3097 2,6653 0,9009 -1,1637 4,7440 -0,8840 -0,3300 2,5339 0,5011 -0,8576 4,1370 -0,7125 -0,3286 2,3557 0,2472 -0,6442 3,6164 -0,5837 -0,3147 2,1572 0,0888 -0,4936 3,1672 -0,4850 -0,2940 1,9548 -0,0075 -0,3857 2,7777 -0,4078 -0,2701 1,758178 -0,06345 -0,30722

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

n

tn 40

4

41

4,1

42

4,2

43

4,3

44

4,4

45

4,5

46

4,6

47

4,7

48

4,8

49

4,9

50

5

55

xn k1 0,0611 -0,0078 0,0417 -0,0053 0,0538 -0,0068 0,0367 -0,0047 0,0474 -0,0060 0,0323 -0,0041 0,0418 -0,0053 0,0285 -0,0036 0,0368 -0,0047 0,0251 -0,0032 0,0324 -0,0041 0,0221 -0,0028 0,0285 -0,0036 0,0195 -0,0025 0,0251 -0,0032 0,0172 -0,0022 0,0222 -0,0028 0,0151 -0,0019 0,0195 -0,0025 0,0133 -0,0017 0,0172 -0,0022 0,011727 -0,00149

k2 -0,0068 -0,0046 -0,0060 -0,0041 -0,0053 -0,0036 -0,0046 -0,0032 -0,0041 -0,0028 -0,0036 -0,0025 -0,0032 -0,0022 -0,0028 -0,0019 -0,0025 -0,0017 -0,0022 -0,0015 -0,0019 -0,0013

29/04/2015

14 12 10

i1(t)

8 6 4

i2(t)

2 0

Perilaku arus rangkaian

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

56

29/04/2015

28