6. Osilasi Dan Gravitasi

A. TEORI SINGKAT A.1. TEORI SINGKAT OSILASI •

Osilasi adalah gerakan bolak balik di sekitar suatu titik kesetimbangan.

•

Ada osilasi yang memenuhi hubungan sederhana dan dinamakan gerak harmonik

sederhana. Persamaan gerak harmonik sederhana selalu bisa ditulis dalam bentuk seperti berikut: ma = -kx dengan m adalah ukuran kelembaman benda (misalnya massa), a adalah percepatan benda (bisa juga percepatan sudut), k adalah sebuah konstanta pemulih (misalnya konstanta pegas), dan x adalah besar simpangan (bisa juga simpangan sudut). Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya berlawanan dengan arah simpangan. ●

Untuk persamaan gerak di atas, bisa didefinisikan sebuah frekuensi sudut ω (bedakan kecepatan sudut pada gerak rotasi):

•

Periode osilasi diberikan oleh:

•

Jika sebuah sistem berosilasi dengan simpangan maksimum (amplitudo) A, memiliki

total energi sistem yang tetap yaitu

•

Selama proses osilasi, energi kinetik sistem dan energi potensial sistem berubah ubah,

tetapi jumlah totalnya selalu sama. •

Untuk sistem yang lebih rumit, sering kali persamaan gerak benda dapat direduksi

menjadi sama seperti persamaan osilasi harmonik sederhana. Proses ini kadang melibatkan pendekatan sudut kecil atau pengabaian suku yang kecil. Yang perlu diperhatikan hanyalah mengidentifikasi variabel yang menjadi konstanta pemulih dan variabel yang menjadi ukuran kelembaman benda. ●

Dengan mengunakan kenyataan bahwa dalam osilasi harmonik sederhana, total energi sistem tidak berubah terhadap waktu :

bisa didapat juga persamaan osilasi harmonik sederhana.

1

B.1. CONTOH-CONTOH SOAL OSILASI 1. Sebuah sistem terdiri dari dua buah balok identik, masing-masing bermassa m. Kedua massa dihubungkan dengan pegas tak bermassa yang mempunyai konstanta pegas k. Pegas ditekan turun dari posisi pegas kendur sehingga panjang pegas berkurang sebesar Δl. Setelah itu balok dilepas, sehingga balok atas bisa bergerak dalam arah vertikal. Berapakah besar Δl maksimum agar balok bawah tidak terangkat? SOLUSI Anggap saat balok bergerak ke atas, sampai ketinggian maksimum, balok bawah tetap menyentuh lantai (tidak bergerak). Dalam keadaan ini, seluruh energi potensial awal diubah menjadi energi potensial akhir (tidak ada energi kinetik). Energi potensial mula-mula = (ambil acuan energi potensial gravitasi adalah nol saat massa berada pada posisi pegas kendur. ) Energi potensial akhir = dengan A adalah simpangan maksimum. Syarat agar massa m bawah bisa mulai terangkat adalah gaya pegas (arahnya ke atas) sama atau lebih besar daripada gaya berat balok bawah: mg = kA. Dengan memasukkan syarat ini ke persamaan di atas, dan dengan menggunakan hukum kekekalan energi, didapat

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, didapat 

Ambil solusi positif :

2

2. Sebuah bandul dengan panjang tali l dan massa m mulanya dijaga diam dengan sudut orientasi θ. Berapakah impuls maksimum dalam arah z (keluar bidang kertas) agar massa m tidak menyentuh atap? (Soal seleksi provinsi 2008) SOLUSI Energi mula-mula adalah energi kinetik dan energi potensial: Energi mula-mula: Supaya tidak menyentuh atap, kecepatan akhir hanya dalam arah azimuthal saat θ = π/2. Energi akhir: Kekekalan momentum sudut: Dari persamaan-persamaan ini didapat

Implus maksimum

3. Suatu pegas memiliki konstanta pegas k dan massa m. Untuk memudahkan

perhitungan,

pegas ini bisa

dimodelkan dengan sebuah sistem yang terdiri dari susunan massa dan pegas. Untuk pendekatan pertama, anggap sistem pegas bermassa ini ekuivalen dengan sistem massa pegas yang terdiri dari 2 massa identik m’ dan 2 pegas identik tak bermassa dengan konstanta pegas k’. Jika kita menambah terus jumlah massa dan pegas dalam model ini, maka model ini akan semakin mendekati pegas sesungguhnya. Untuk selanjutnya, tinjau gerak dalam model seperti pada gambar di atas (terdiri dari 2 massa dan 2 pegas tak bermassa) Gantung pegas dalam keadaan vertikal. Mula-mula sistem dibiarkan pada keadaan setimbang. Panjang pegas menjadi L (panjang pegas dalam keadaan kendur adalah L0). Jika ujung atas A dipotong, berapa percepatan massa bawah menurut model ini? Berapa percepatan massa atas menurut model ini? (percepatan gravitasi adalah g.) 3

(Soal seleksi provinsi 2007) Solusi: Pertama hitung dulu massa ekuivalen dan juga konstanta pegas ekuivalen dari model: Karena massa total harus sama, maka didapat Untuk menghitung konstanta pegas ekuivalen, letakkan pegas dalam arah horizontal, sehingga tidak ada pengaruh gaya gravitasi. Tarik pegas dengan gaya F. Dalam pegas sejati, pertambahan panjang adalah F/k. Dalam pegas model, pertambahan panjang pegas adalah F/k' +F/k' = 2F/k'. Karena pertambahan panjang harus sama, maka didapat 2k = k'. Sekarang tinjau keadaan pegas model dalam posisi vertikal dan keadaan kesetimbangan. Pegas bawah bertambah panjang sebanyak:

Pertambahan panjang pegas atas diberikan oleh:

Tegangan pegas bawah adalah Tegangan pegas atas adalah

Pada saat ujung atas dipotong, gaya total yang bekerja pada massa bawah adalah

dan gaya yang bekerja pada massa atas adalah Percepatan massa bawah adalah nol Percepatan massa atas adalah

4

4. Sistem yang digambarkan di samping berada pada keadaan kesetimbangan. Pegas bagian kanan (konstanta pegas k) teregang sejauh x1. Koefisien gesek statis antara kedua balok adalah μ. Anggap tidak ada gesekan antara balok dan lantai. Konstanta masing masing pegas adalah 3k dan k, sedangkan massa kedua balok sama, yaitu m. Berapakah simpangan maksimum, A, dari massa m agar kedua balok masih bisa berosilasi bersamasama? Abaikan massa pegas. (Soal seleksi provinsi 2005) Solusi: Mula-mula, sebelum diberi gangguan, pegas kanan teregang sejauh x1. Karena sistem dalam keadaan kesetimbangan, maka pegas kiri juga harus teregang sejauh x2. Hubungan keduanya diberikan oleh kx1 = 3kx2, atau x1 = 3x2. Ketika kedua balok bergerak bersama-sama, sistem setara dengan sistem massa pegas yang terdiri dari satu massa dengan besar 2m dan 1 pegas dengan konstanta pegas 4k. Frekuensi sudut sistem diberikan oleh: 

Simpangan massa atas, relatif terhadap keadaan saat pegas atas kendur diberikan oleh

dan simpangan massa bawah, relatif terhadap keadaan saat pegas bawah kendur diberikan oleh

Persamaan gerak massa atas diberikan oleh dan persamaan gerak massa bawah diberikan oleh Gunakan salah satu dari dua persamaan ini, misalnya gunakan persamaan untuk massa atas:

Nilai maksimum f adalah saat fungsi cos mencapai harga satu. Jadi nilai maksimum diberikan oleh 5

Nilai maksimum ini harus selalu lebih kecil atau sama dengan μN = μmg. Jadi

sehingga atau Dengan menggunakan persamaan kedua juga akan diperoleh hasil yang sama. 5. Suatu sistem terdiri dari 2 balok (M1 dan M2 ) dan 1 pegas, diletakkan di permukaan lantai licin. Balok M1 menyentuh dinding tetapi tidak merekat. Mula-mula M2 ditekan sejauh A dari posisi kesetimbangan. Jika massa kedua balok sama (masing-masing m), konstanta pegas k dan panjang mula-mula pegas L, ukuran kedua balok diabaikan (dianggap sebagai massa titik). a. Pada saat t = 0, M2 dilepas. Setelah t = t1, ternyata M1 lepas dari dinding (tidak menyentuh dinding lagi). Hitung t1! b. Selanjutnya ketika t = t2, kedua balok berada pada posisi terdekat untuk pertama kalinya. hitung t2. c. Berapakah jarak terdekat antara kedua balok itu (pada saat t = t2) ? d. Berapakah jarak M1 dari dinding ketika hal ini terjadi (saat t = t2) ? SOLUSI a). Saat M2 ditekan, pegas akan memberi gaya pada M2 . Begitu juga M2 akan memberi gaya reaksi pada pegas yang akan diteruskan ke M1 dengan besar yang sama.

6

7

8

9

C.1. LATIHAN SOAL OSILASI 1. Seutas tali homogen (massa M, panjang 4L) diikat pada ujung sebuah pegas (konstanta pegas k=M g/2L ) yang melekat pada dinding. Ujung bebas tali tergantung ditepi meja dengan posisi awal L. Selanjutnya tali dilepas sehingga ujung bebas tali bergeser sejauh x dari posisi awal tadi dan akhirnya tali berosilasi harmonik sederhana. Asumsikan bahwa tidak ada gesekan sama sekali. Anggap pegas dan tali selalu dijaga dalam keadaan kontak dengan permukaan meja.

Tentukan: A. Kecepatan tali v saat tali telah tergeser sejauh x dari posisi awal. B. Periode dan amplitudo osilasi ujung bebas tali. 2. Dua balok bermassa m1 dan m2 dihubungkan dengan sebuah pegas tak bermassa dengan konstanta pegas k. Sistem diletakkan dalam bidang datar licin. Balok 2 kemudian ditekan ke kiri sejauh x lalu dilepaskan. Hitung kecepatan pusat massa sistem sesaat setelah balok 1 meninggalkan dinding!

3. Suatu sistem terdiri dari dua kubus identik, masing-masing bermassa m. Kedua kubus ini dihubungkan oleh seutas tali dan suatu pegas tak bermassa yang terkompres/tertekan, yang mempunyai konstanta pegas k. Pada suatu ketika tali penghubung kubus dibakar, hitung berapa besar pegas mula-mula harus tertekan agar kubus yang bawah akan terangkat. Hitung kenaikan pusat massanya, jika pegas mula-mula tertekan sebesar Δl = 7 mg/k!

4. Sistem massa pegas di bawah terdiri dari suatu balok dengan massa m dan dua pegas dengan konstanta pegas k dan 3k. Massa m dapat berosilasi ke atas dan ke bawah, tetapi orientasinya dipertahankan mendatar. Kedua pegas dihubungkan dengan suatu tali tanpa massa melalui suatu katrol licin. Berapakah periode osilasi sistem? (nyatakan dalam: m dan k)

10

5. Suatu pegas memiliki konstanta pegas k dan massa m. Untuk memudahkan perhitungan, pegas ini bisa dimodelkan dengan sistem yang terdiri atas susunan massa dan pegas. Untuk pendekatan pertama, anggap system pegas bermassa ini ekuivalen dengan sistem massa-pegas yang terdiri dari dua massa identik m’ dan dua pegas identik yang tak bermassa dengan konstanta k’. Jika kita menambahkan terus jumlah massa dan pegas dalam model ini maka akan semakin mendekati pegas sesungguhnya. Mula-mula sistem dibiarkan pada keadaan setimbang. Panjang pegas menjadi L (panjang kendurnya L0 ). Jika ujung atas A dipotong, a. Berapa percepatan massa bawah menurut model ini ? b. Berapa percepatan massa atas menurut model ini ? Asumsikan percepatan gravitasi g tetap.

6. Sistem yang digambarkan di samping berada dalam keadaaan kesetimbangan; pegas bagian kanan teregang sejauh x1. Koefisien gesekan antara kedua balok μ, dan tidak ada gesekan ntara balok bawah dengan lantai. Konstanta pegas asingmasing 3k dan k. Massa kedua balok masing-masing m. Tentukan simpangan maksimum (amplitudo) osilasi sistem dimana balok atas masih diam relatif terhadap balok bawah. Massa pegas boleh diabaikan.

11

Jawaban: 1. Oleh karena tiap partikel dalam tali memiliki kelajuan yang sama, maka energi kinetik tali adalah

Pada saat ujung bebas tali sudah tergeser sejauh x dari posisi awal, energi potensial pegas adalah

Sementara itu, energi potensial gravitasi tali relatif terhadap posisi awal adalah

sehingga energi potensial total sistem adalah A. Persamaan kekekalan energi mekanik E tali adalah

Diketahui pada saat awal (t = 0), x = 0, dan v = 0 sehingga E = 0. Dengan demikian (1)

B. Selanjutnya dari pers. (1) dapat dihitung derivatif terhadap waktu (t), yaitu

sehingga

Artinya, persamaan gerak ujung bebas tali untuk pergeseran x adalah

yang tidak lain adalah persamaan gerak osilasi harmonik sederhana di sekitar titik x = L. Dengan demikian, besar periode osilasi adalah

dan karena v = 0 untuk x = 0 maka amplitudo osilasi adalah L. 2. Saat balok m2 dilepaskan maka terjadilah perubahan energi dari energi potensial pegas menjadi energi kinetik dari benda 2 (benda 1 masih diam karena ditahan dinding).

Kecepatan pusat massa sistem dapat dicari dengan rumus pusat massa

12

3. a) Energi total awal, Energi total akhir sistem (pegas teregang x): Karena energi awal = energi akhir kita akan peroleh,

atau, Kubus bawah akan naik, jika atau, atau,

b) Mula-mula pegas tertekan sejauh Δl = 7 mg/k. Kita hitung dulu kecepatan benda atas ketika benda bawah hampir naik (telah dihitung pada soal a bahwa saat ini pegas teregang x = mg/k). Disini terjadi perubahan energi pegas pada keadaan tertekan Δl = 7 mg/k menjadi energi potensial benda atas, energi kinetik benda atas dan energi pegas sistem pada keadaan teregang x = mg/k)

Kecepatan pusat massa sistem adalah v/2. Pusat massa sistem akan naik ke atas. Pada kondisi ini seluruh energi kinetik pusat massa diubah menjadi energi potensial 1/2(2m)(v/2)2= (2m)gh. Diperoleh :

4. Untuk memudahkan pembahasan, kita akan namakan pegas k sebagai pegas 1 dan pegas 3k sebagai pegas 2. Tegangan kedua pegas sama, karena dihubungkan lewat satu tali maka : Simpangan massa m = Δx. Dari geometri jelas bahwa, Jadi, Gaya yang bekerja pada massa m : Persamaan gerak sistem:

13

Diperoleh:

5. - Hubungan antara m dan m’ : - Hubungan antara k dengan k’ :

- Pertambahan panjang pegas bawah karena gaya gravitasi,

- Tegangan pegas bawah,

- Pertambahan panjang pegas atas,

- Tegangan pegas atas,

Saat sambungan dengan langit-langit dipotong (titik A), - Tegangan pegas atas = nol - Tegangan pegas bawah = mg/2 Gaya pada massa bawah : 1. Gaya gravitasi = m’g = mg/2(arah ke bawah) 2. Gaya dari pegas bawah = mg/2 (arah ke atas) Jadi total gaya pada massa bawah = nol, sehingga massa bawah tidak dipercepat. 14

Gaya pada massa atas : 1. Gaya gravitasi = m’ g = mg/2(arah ke bawah) 2. Gaya dari pegas bawah = mg/2 (arah ke bawah) Jadi total gaya pada massa atas = mg, Percepatan massa atas = mg/m’ = 2g 6.

Keadaan awal (keseimbangan) : x1= 3x2 Kedua balok akan lebih mudah terlepas, bisa disimpangkan ke kanan! Anggap ada penyimpangan x0 : • Balok bawah : •

Balok atas :

Mereka bergerak bersama jika a1 = a2, atau

dimana telah diasumsikan x0 ≤ x1 , atau Saat f = maksimum, f = μs mg , sehingga

15

7.

16

A.2. TEORI SINGKAT GRAVITASI •

Menurut hukum gravitasi Newton, gaya tarik menarik antara dua massa m1 dan m2

yang berada pada jarak pisah r diberikan oleh

dengan G adalah konstanta umum gravitasi ( G = 6,67 x 10-11 N m2/kg2) •

Jika ada lebih dari dua benda yang berinteraksi, maka gaya pada suatu benda adalah

superposisi dari seluruh gaya-gaya gravitasi benda-benda di sekitarnya

•

Besar pecepatan gravitasi di dekat permukaan bumi dapat dianggap konstan, sehingga

dapat ditulis

•

Karena gaya gravitasi adalah gaya konservatif, maka dapat didefinisikan sebuah

potensial gravitasi sebagai berikut:

•

Jika ada lebih dari dua benda yang berinteraksi, maka energi potensial sistem

merupakan jumlah dari energi interaksi setiap pasangan massa. •

Kepler merumuskan 3 hukum mengenai gerakan planet-planet menggelilingi matahari o

Hukum I: Semua planet bergerak dalam lintasan elips dengan matahari berada

di pusat elips o

Hukum II: Sebuah garis yang menghubungkan sebuah planet dengan matahari

akan menyapu luas area yang sama pada selang waktu yang sama. Atau dengan kata lain, laju area yang disapu konstan.

o Hukum III: Kuadrat dari periode (T) orbit sebuah planet sebanding dengan pangkat tiga dari panjang sumbu semi mayor (a) dari orbit planet tersebut 17

•

Dalam gerak mengelilingi matahari, momentum sudut planet

kekal. B.2. CONTOH-CONTOH SOAL GRAVITASI 1. Sebuah planet bermassa M = 1,6531030 kg, bergerak mengelilingi Matahari dengan kecepatan v = 32,9 km/s (dalam kerangka matahari). Hitung periode revolusi planet ini! Anggap lintasan planet melingkar. SOLUSI Gaya sentripetal yang menyebabkan planet bergerak melingkar adalah gaya gravitasi, sehingga dengan hukum Newton:

2. Jika lintasan suatu planet berbentuk ellips, buktikan bahwa T2 sebanding dengan r3 (hukum Keppler III), dimana T adalah perioda planet dan r adalah jarak planet ke Matahari! SOLUSI

18

3. Periode revolusi Yupiter 12 kali periode revolusi Bumi. Anggap orbit planet melingkar, tentukan: (a) perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi-Matahari! (b) kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari! SOLUSI

19

b. Percepatan Yupiter mengitari Matahari dapat dicari dengan rumus Newton F = ma.

4. Sebuah benda kecil jatuh pada Matahari dari jarak yang sama dengan jari-jari lintasan Bumi. Kecepatan awal benda nol menurut matahari. Dengan menggunakan Hukum Kepler, tentukan berapa lama benda akan jatuh? SOLUSI Benda yang jatuh ke Matahari dapat dianggap sebagai suatu planet kecil yang lintasan ellipsnya sangat pipih dengan sumbu semi mayornya adalah R/2 .

20

5. Buktikan bahwa energi mekanis total planet bermassa m yang bergerak mengelilingi Matahari sepanjang lintasan elips tergantung hanya pada sumbu semi-mayor ellips a! SOLUSI

Anggap jarak minimum dan maksimum planet terhadap matahari adalah r1 dan r2. Dari hukum Newton F = ma kita peroleh,

Energi total partikel pada posisi P1 adalah:

Dengan cara yang sama, energi pada posisi P2 adalah:

Dari persamaan diatas kita peroleh,

Atau E =−

GMm 2a

C.2. LATIHAN SOAL GRAVITASI 1. Suatu benda mengalami percepatan akibat gravitasi bumi sebesar 6,4 m/s2. Hitung ketinggian benda itu jika jari-jari bumi 6.375 km dan massa bumi 5,98 x 1024 kg. 2. Dua bola kecil terbuat dari tembaga bermassa jenis 8,9 g/cm2 diletakkan sehingga hampir bersinggungan. Jika jari-jari bola 5 cm, hitung gaya tarik menarik antara kedua bola tersebut. r = 2R R R

3. Hitung gaya tarik menarik antara 2 molekul air yang terpisaj pada jarak 106 m! Berat molekul H2O adalah 18. Berat molekul menyatakan massa dari sejumlah NA buah molekul air dalam gram. (NA = 6,02 x 1023, disebut bilangan avogadro) 21

4. Periode revolusi Yupiter 12 kali periode revolusi Bumi. Anggap orbit planet melingkar, tentukan: (a) perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi-Matahari! (b) kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari!

5. Sebuah benda kecil jatuh pada Matahari dari jarak yang sama dengan jari-jari lintasan Bumi. Kecepatan awal benda nol menurut matahari. Dengan menggunakan Hukum Kepler, tentukan berapa lama benda akan jatuh? 6. Sebuah sistem bintang kembar terdiri dari dua bintang yang bergerak mengelilingi pusat massa sistem akibat gaya gravitasi. Hitung jarak antara kedua bintang dalam sistem ini jika massa total sistem M dan periode revolusi bintang T!

7. Sebuah planet bermassa m bergerak mengitari matahari bermassa M sepanjang lintasan elips sedemikian sehingga jarak maksimum dan minimum dari matahari adalah r1 dan r2. Hitung momentum sudut L planet relatif terhadap pusat Matahari!

8. Pada kutub Bumi sebuah benda dilemparkan ke atas dengan kecepatan v0. Hitung ketinggian yang dicapai benda jika jari-jari Bumi R dan percepatan jatuh bebas pada permukaan Bumi g! Abaikan hambatan udara. 9. Hitung jari-jari lintasan suatu satelit geostasioner (satelit yang setiap saat berada di atas suatu titik yang sama pada permukaan bumi)! Hitung juga kecepatan dan percepatan satelit itu relatif terhadap Bumi!

22

Jawaban: 1. Soal ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus: GM g= 2 r Dimana r = R + h (R adalah jari-jari bumi dan h adalah ketinggian benda) Gunakan data yang diberikan : M = 5,98 x 1024 kg R = 6,375 km = 6,375 x 106 m g = 6,4 m/s2 Hasilnya adalah: g= ( R + h) 2 = ( R + h) 2 =

( R + h)

2

GM

( R + h )2

GM g

(6,67 x10 )(5,98 x10 ) −11

24

6,4

= 6,23 x10

13

R + h = 7,894 x10 6 h = 7,894 x10 6 − R = 7,894 x10 6 − 6,375 x10 6 =1,519 x10 6 m =1,519 km

2. Untuk menyelesaikan soal ini, dicari dahulu massa bola dengan menggunakan rumus m = volume x massa jenis bola lalu gunakan rumus

F =G

m1m2 r2

r merupakan jarak kedua pusat bola r = 2R = 10 cm Gunakan data berikut: ρ = 8,9 g/cm3 = 8,9 x 103 kg/m3 R = 5 cm = 0,05 m r = 10 cm = 0,1 m Hasilnya adalah: 4 m = Vρ = πR 3 ρ 3 4 3 = ( 3,14 )( 0,05 ) ( 8,900 ) 3 = 4,66 kg

F =

Gm 1m2 (6,67 x10 −11 )( 4,66 ) = r2 0,12

2

=1,45 x10 −7 N

3. Yang pertama kali dihitung adalah massa 1 molekul air, kemudian baru hitung gaya tarikmenarik dengan rumus

F =G

m1m2 r2 23

Karena massa NA buah molekul air adalah 18 gram, maka massa 1 molekul air adalah: 18 18 gram = =3 x10 −23 g 23 NA (6,02 x10 )

Gunakan data berikut: m = 3 x 10-23 g = 3 x 10-26 kg d = 10-6 m Hasilnya adalah: Gm 1m2 F = d2

(6,67 x10 )(3 x10 ) = (10 )

−26 2

−11

−6 2

=6,0 x10 −50 N

4. (a) Anggap suatu planet berputar mengelilingi matahari dengan perioda T dan jari-jari orbit r. Dari hukum Newton (F = ma) kita peroleh:

Karena T2 sebanding dengan r3 maka

atau rY = 5,2 rB (b) Percepatan Yupiter mengitari Matahari dapat dicari dengan rumus Newton F = ma. atau karena a = v2/r, maka kecepatan planet Yupiter adalah: vY =

GM 5,2rB

5. Benda yang jatuh ke Matahari dapat dianggap sebagai suatu planet kecil yang lintasan ellipsnya sangat pipih dengan sumbu semi mayornya adalah R/2 . Menurut Hukum Keppler, T2 sebanding dengan r3, sehingga:

Waktu jatuh adalah t = Tbenda/2 . Sehingga: 3

T  1 2 t=   2 2 

= 65 hari

6. Menurut rumus pusat massa: 24

Dari gambar terlihat bahwa: l1 + l2 = l Dari kedua persamaan itu kita peroleh, Gaya tarik antara kedua bintang: Karena gaya F1 ini memberikan gaya sentripetal pada planet M1, maka Karena ω= 2π/T , maka kita akan peroleh, 1

2 3  T   l = GM     2π     

7. Kekekalan momentum sudut (perhatikan bahwa r dan v tegak lurus di titik terjauh dan di titik terdekat): mv1r1 = mv2r2 Kekekalan energi:

Selesaikan kedua persamaan di atas, kita akan memperoleh:  rr  L1 = mv1r1 = m 2GM  1 2   r1 + r2  8. Di titik tertinggi kecepatan benda nol, sehingga dengan kekekalan energi kita peroleh: Selesaikan persamaan di atas, kita akan peroleh: Selanjutnya kita bisa tulis:

h=

R

 2 gR    − 1  v2   0  9. Pada satelit geostationer, kecepatan sudut satelit sama dengan kecepatan rotasi bumi. Periodanya adalah T = 24 jam. Anggap r adalah jari-jari lintasan satelit dihitung dari pusat Bumi.

Karena g =

GM dimana R adalah jari-jari Bumi. R2

Jadi,

25

r = 4,2×107 m Percepatan satelit adalah percepatan sentripetal:

= 0,23 m/s2 Dari sini kita dapat menghitung kecepatan satelit, yaitu: = 3,1 km/s

26