6. Kovarian Dan Korelasi

1

µ = E(X ) =

j

X jP( X j ) !

"

!

#

µ= j

X jP( X j )

= ( 0 )( 2.5 ) + (1)(.5 ) + ( 2 )(.25 ) = 1 2

1

$ %

(X −µ)

σ2 =E

2

(X

=

j − µ) P( X j ) 2

!

&

"

!

#

(X

σ2 =

− µ) P(X j ) 2

j

= ( 0 − 1) (.25 ) + (1 − 1) (.5 ) + ( 2 − 1) (.25 ) = .5 2

2

2

3

! 5

! ! * !

2

3

)

HAPPINESS

)

4

)

1

(

& )

0

'

1

2

3

4

5

COFFEE CONSUMPTION

4

2

• Salah satu keterbatasan kovarian adalah ukuran kovarian tergantung pada variasi variabel • Akibatnya, sulit mengevaluasi besarnya kovarian antar 2 variabel – Jika jumlah variasi kecil, maka nilai kemungkinan terbesar kovarian juga kecil. Jika jumlah variasi besar, nilai kemungkinan maksimum kovarian juga besar

5

Z XY =

N i =1

[X − E (X)][ Y − E(Y)] P(X Y ) i

i

i

i

X : variabel random diskrit Xi : kemunculan X ke-i Y : variabel random diskrit Yi : kemunculan Y ke-i

P ( XY i i) : kemungkinan kejadian kemunculan X ke-i dan kemunculan Y ke-i 6

3

Z XY

N

1 = N −1

1

(X

i

)(

− X Yi − Y

)

7

2

•mean variabel = 0 •A, D & B diatas mean variabel x & y

1

A

•E & C dibawah mean variabel x & y

D

•F diatas mean x, tetapi dibawah mean y

F

-1

E

C -2

y

0

B

-2

-1

0

1

2

x

8

4

2

+×+=+

−×+=− 1

A

D

y

0

B F

-1

E

C

+×−=−

-2

−×−=+ -2

-1

0

1

2

x

zx 1.55 0.15 -0.75 0.48 -1.34 0.08

zy 1.39 0.28 -1.44 0.64 -0.69 -0.19

zxzy 2.15 0.04 1.08 0.31 0.92 -0.02

2

Person A B C D E F

9

z x z y = 4.49

1

A

D

0

zx z y

F E -1

N

= .75

C -2

y

B

-2

-1

0 x

1

2

10

5

+

)

,

-

!

r=

z XY z X zY

• Nilai -1 dan + 1. • Jika r = 0, maka tidak terdapat korelasi antara 2 variabel • Jika r = 1 (atau -1), maka terdapat korelasi positif (atau negatif) antara 2 variabel atau

0 y2

-2 -3

-2 -1

0

1

y1

r=+1

2

3

-4

-3 -2

-1

0

y2

-1

0 -1 -2

y2

1

1

1

2

2

2

3

11

-2

-1

0

1

2

3

-2

-1

0

1

y1

y1

r=-1

r=0

2

3

12

6

• Ukuran absolut korelasi berhubungan dengan besarnya kekuatan hubungan • Bila korelasi kuat (misal : r = .90), maka nilai x diatas mean lebih mendekati nilai y diatas mean • Sebaliknya korelasi lemah (misal : r = .10) maka nilai x diatas mean kurang mendekati nilai y diatas mean

y2

0

1 y2 0

0

-1

-1

-1

-2

-2

-2

y2

1

1

2

2

2

3

13

-2

-1

0

1

y1

r=+1

2

3

-2

-1

0

1

y1

r = + .70

2

3

-2

-1

0

1

2

3

y1

r = + .30

14

7

Hasil per $1,000 untuk 2 tipe investasi Investasi P(XiYi)

Kondisi Ekonomi

Dana Dow Jones X

Pertumbuhan saham Y

.2

Resesi

-$100

-$200

.5

Stabilitas Ekonomi

+ 100

+ 50

.3

Perkembangan Ekonomi

+ 250

+ 350

E ( X ) = µ X = ( −100 )(.2 ) + (100 )(.5 ) + ( 250 )(.3) = $105 E (Y ) = µY = ( −200 )(.2 ) + ( 50 )(.5 ) + ( 350 )(.3) = $90

15

Investasi P(XiYi)

Kondisi Ekonomi

Dana Dow Jones X

Pertumbuhan saham Y

.2

Resesi

-$100

-$200

.5

Stabilitas Ekonomi

+ 100

+ 50

.3

Perkembangan Ekonomi

+ 250

+ 350

σ X2 = ( −100 − 105 ) (.2 ) + (100 − 105 ) (.5 ) + ( 250 − 105 ) (.3) 2

2

2

σ X = 121.35

= 14, 725

σ Y2 = ( −200 − 90 ) (.2 ) + ( 50 − 90 ) (.5 ) + ( 350 − 90 ) (.3) 2

= 37,900

2

σ Y = 194.68

2

16

8

Investasi P(XiYi)

Kondisi Ekonomi

Dana Dow Jones X

Pertumbuhan saham Y

.2

Resesi

-$100

-$200

.5

Stabilitas Ekonomi

+ 100

+ 50

.3

Perkembangan Ekonomi

+ 250

+ 350

Zxy = (-100-105)(-200-90)(.2)+(100-105)(50-90)(.5) + (250-105)(350-90)(.3) = 23,300 Kovarian 23,000 menandakan bahwa dua investasi berhubungan positif dan bervariasi pada arah yang sama

+

)

,

-

17

!

, 300 r = 121.23 35×194.68 = 0.986

.

,

-

18

9

& !

! / 0

" ! 7

&

" ,

6

7

#

*

12

2

1

4*

33

42

34

*

5 19

Daya Tahan Jantung Merokok 20

10

7

,

9

6

7

#

9:

9 :9

*

4*

5*

;5

12

2

2

3*

;<

1

4*

*

*

3

33

42

;2

2

2

34

*

;4*

8*

8

5

-210

1 N −1

Z XY =

N 1

(X

i

)(

− X Yi − Y

)

1 (−215) = −53.17 4

Z XY =

21

7

,

,

,-

-

6

7

#

*

*

*

* 2

12

2

2

4*

48