6. FÍSICA

FÍSICA

VECTORES UNITARIOS DESARROLLO DEL TEMA VECTORES CARTESIANOS I.

SISTEMAS DE COORDENADAS A DERECHAS

II. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Un sistema de coordenadas a derechas se utiliza para

Un vector puede tener uno, dos, o tres componentes rectangulares, dependiendo de cómo se orienta el vector relativo al sistema de ejes coordenados x, y, y z.

desarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectorial. Un sistema de coordenadas es a derechas cuando colocando el pulgar dirigido en la dirección del eje z positivo los demás dedos de la mano derecha se cierran del eje x positivo al eje y positivo, Fig. 1.

Por ejemplo:

Además, según esta regla, el eje z en la Fig. 2 se dirige hacia fuera, perpendicular a la página.

–



Si A se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a, entonces

–

z

 

A  Ax ,



Si A se encuentra en el plano x-y, entonces las   dos componentes A x y A y , serán determinadas usando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde

 



A  Ax  A y

–

x



Si A se dirige dentro de un octante en el marco  de x, y, y z, Fig. 2c, A es representado por la suma de sus tres componentes rectangulares,

 





A  A x  A y  A z ……………..……………………… (1) y

III. VECTORES UNITARIOS

Fig 1

Un vector unitario es un vector libre cuyo módulo es la



unidad. Si A es un vector cuyo módulo A  0 , entonces un vector unitario teniendo la



misma direc ción del A e s representado por:



uA 

LIBRO UNI

1



A ......................... (2) A

FÍSICA

VECTORES UNITARIOS

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

Reescribiendo esta expresión tenemos

Si A se encuentra en el plano x - y se expresara como

A  AuA ....................... (3)

sigue







A  A x ˆi  A y ˆj



Si A se dirige dentro de un octante del marco x, y y z, se expresara como sigue



A  A x ˆi  A y ˆj  A z kˆ ……………… (4)

También es posible representarlo así:



A  (A x , A y , A z )

IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO



Donde el vector A es una magnitud vectorial cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vector escalar A y una dirección determinada por el vector

Siempre es posible obtener la magnitud de un vector cuando esta expresad o en términos de sus componentes rectangulares.

adimensional uA , Fig. 3.

Por ejemplo:

posee pues un módulo, representado por la cantidad





Si: A  A x ˆi  A y ˆj  (A x , A y )

III. VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES La manera de simplificar las operaciones en el algebra

Su módulo será: A  A x 2  A y 2

vectorial, se hace uso de los vectores unitarios rectangulares (versores rectangulares) ˆi, ˆj y kˆ , los



Si: A  A x ˆi  A y ˆj  A z kˆ  (A x , A y , A z )

cuales serán usados para definir las direcciones positivas de los ejes x, y y z.

Su módulo será: A  z

A x 2  A y 2  A z2

A los ángulos que forman el vector con cada uno de los ejes rectángulares se les denomina ángulos directores, y a los cosenos correspondientes cosenos i

k

directores para los cuales se cumple:

y j

Z Az

x Fig 4

A 

Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del  A en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los



 Ax

Vectores Unitarios Rectangulares.

y Ay

x

Por ejemplo:



Cos 

Si A esta dirigido a lo largo del eje x positivo se

Ay Ax A Cos  Cos  z A A A

expresara como sigue



Cos2  Cos2  Cos2  1

A  A x ˆi LIBRO UNI

2

FÍSICA

VECTORES UNITARIOS

Exigimos más! Luego el vector se puede expresar como:

(a) El producto vectorial entre dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores en la dirección



dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia

A  A xi   A y j  A zk  (A x ; A y ; A z )

el orden de los vectores en el producto vectorial, se



invierte el sentido del vector.

A  A(Cos i  Cos j  Cos k)

AxB

 

V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (punto) de dos vectores a y b (no nulos) se define por: b

A 

 a

Sentido Positivo  de A a B

B

  

a.b  | a | b | Cos (Escalar)

(a)

Propiedades del producto escalar.

   

1. a . b  b . a

 

 

2.   a . b     b  . a

    

3. a .(b  c)  a .b  a . c

  4. a .a | a |2  a2x  a2y  a2z

A

  

5. Si: a  b : a .b  0



Expresión en componentes rectangulares: B

1. i.i  j . j  k .k  1; i. j  i.k  j.kˆ  0

B x A = –A x B (b)



2. a  a xi  a y j  azk         a .b  axbx  ayb y  azbz b  b x i  b y j  b zk 

Propiedades del producto vectorial:     1. A  B  –B  A        2. A   B  C   A  B  A  C     3. A  B  (A  B)     4. Si: A // B : A  B  0

VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

 

Para dos vectores A y B (no nulos) su producto

  

vectorial (aspa) es otro vector N  A  B con las siguientes características:



 

1.

Módulo: | N |  | A  B |  | A || B | Sen

2.

Direccción: Perpendicular al plano definido por   A yB

3.

Expresión en componentes rectangulares:

 

1.

2.

Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha. LIBRO UNI

3

i  i  j  j  k  k  0 i  j  k j  k  i k  i  j j  i  –k k  j  –i i  kˆ  –j

  A  Axi  Ayj  Azk B  Bxi  Byj  Bzk    B –A B ) A B  i  AyBz – AzBy   j(AzBx – AxBz)  k(A x y y x FÍSICA

VECTORES UNITARIOS

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problemas resueltos

Problema 1

  Dado los vectores A y B       



tales que:  A  B  i  j y A  B  2i  j

  | R | (5)2  (1)2  26

9 1  1 4 4

Respuesta: C)

Respuesta: A) 1

26

Hallar A2  B2 A) 1 C) 3 E) 5

Problema 2 Determine el módulo del vector resultante si:

B) 2 D) 4

   A  8i 5j    B  4 i  6 j   

Resolución: Como:     A  B  i  j       A  B  2i  j  

A)

13

B)

21

C)

26

D)

29

E)

30

Resolución: Se sabe

piden: A2 – B2

  2 2 3 1 A 2  B2          1   2    2    

LIBRO UNI

Determine el vactor resultante del sistema de fuerzas mostrado.



2

    R  ABC        (8i  5j)  (4  6 j)  (9i  2 j)    R  (5i  1j)  (5;1)

4

 

F1  5 i

C  9  2 j

   3 2A  3i  A  i y 2  1  B i j 2

2

Problema 3

  7i 



F3  6 i

  F2  4 i

 

A) 5 i

B) 6 i

C)

D) 8 i

E) 9 i

Resolución: Sabemos:     R  F1  F2  F3     (5i)  (4 i )  (6i )   7i



Respuesta: C) 7 i

FÍSICA

FÍSICA

CINEMÁTICA I DESARROLLO DEL TEMA I.

CONCEPTO

II. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

Podemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de la mecánica que estudia el movimiento mecánico de los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan o la modifican, es decir estudia las características geométricas del movimiento mecánico. • ¿Qué es el movimiento mecánico? Es el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a otro. Por ejemplo observemos el movimiento del balón mostrado en la figura, este realiza movimiento mecánico, por que cambia de posición respecto al jugador "A".

El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:

A. Vector posición ( r ) Nos indica la posición del móvil en un instante de tiempo. •

• r A : Vector posición en (A).

¿Por qué decimos que el movimiento mecánico es relativo? Porque depende del observador o cuerpo de referencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que para el observador "A" el foco realiza movimiento mecánico pero para el observador "B" no, porque no cambia de posición respecto a él.

• rB : Vector posición en (B).

B. Vector desplazamiento ( r ) Es aquel vector que nos indica el cambio de posición del móvil.

V (B) (A)

r  r B  r A

foco

Unidad S.I.(metros :m)

C. Espacio (e)

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

El foco cambia de posición

(A)

Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cualquiera. Esun escalar que se expresa en cualquier unidad de longitud.

El foco no cambia de posición

V (B)

D. Distancia (D)

foco

Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.



d  | r |

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

LIBRO UNI

5

FÍSICA

CINEMÁTICA I

Exigimos más!

III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

Rapidez media (R. M)

Velocidad ( V )

Cantidad escalar que se relaciona con la distancia recorrida por el móvil durante un intervalo de tiempo, se determina por:

Es una magnitud física vectorial que nos expresa mediante su valor la rapidez con que un cuerpo cambia de posición y además nos indica en qué dirección se mueve el cuerpo. Además la velocidad se puede medir en un intervalo de tiempo (velocidad media) o en un instante (velocidad instantánea).

R.M. 

Dist an cia Re corrida Tiempo empleado

La rapidez media mas representa el valor de la velocidad con la cual debería moverse el móvil para recorrer con movimiento uniforme y en el mismo tiempo la distancia que ha recorrido con movimiento variado.

Velocidad media ( VM)

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, es decir su velocidad permanece constante.

Se define: VM  r  rB  r A Unidad S.I.m /s t t El módulo de la velocidad media se calcula: d |  r | VM  d Unidad S. I.m /s t

Se cumple:

d  vt

donde: d: distancia (m – km) v: velocidad (módulo) (m/s – km/h) t: tiempo (s – h)

d: distancia (metros: m) t: tiempo (segundos: s) También se define la rapidez media (m) como:   e Unidad S.I.m /s t

•

Tiempo de encuentro (te) te

VA

e : espacio (metros: m) t : tiempo (segundos: s)

VB

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

d

Velocidad instantánea ( V ) Determinada para cada instante de tiempo. Se representa por un verctor tangente a la trayectoria en el punto considerado, indicando su módulo la distancia que recorrería el móvil en la unidad de tiempo.

te  •

d Unidad (s) VA  VB

Tiempo de alcance (ta) ta Va

VA

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

d

ta 

Dist ancia Re corrida V Unidad de tiempo

LIBRO UNI

6

d Unidad (s) VA  VB

FÍSICA

FÍSICA

CINEMÁTICA II DESARROLLO DEL TEMA

I.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

dn  v0  1 a(2n  1) 2

Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración constante, es decir el móvil varía su velocidad en la misma proporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejemplo, si un cuerpo acelera con 3 m/s 2, decimos que cada segundo su velocidad varía en 3 m/s.

• • •

n : enésimo segundo a : aceleración (m/s2) v0: velocidad inicial (m/s)

II. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE Es aquel movimiento con aceleración constante de trayectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es la fuerza de la gravedad (Es decir no se considera la resistencia del aire) • Elementos y Ecuaciones del MVCL

(A)

a = 3m/s2

A. Elementos del MRUV

h

vF

1

2. h =  v 0  vF  t 2   2 2 4. vF = v0 + 2gh

1. h = v0t + gt2 2

v0 : Velocidad inicial (m/s) vF : Velocidad final (m/s) a : aceleración (m/s2) t : tiempo (s) d : distancia (m)

g t

(B) • • • • •

v0

3. vF = v0 + gt Donde:

• • • • •

B. Ecuaciones 1 2 at  2   v  vF   Cada cantidad viene con su 2. d   0  t  2  respectivo signo el cual depende  3. vF  v0  at  del sentido tomado como positivo  4. v2F  v 20  2ad 

1. d  v0t 



v0 vF g h t

: : : : :

Velocidad inicial (m/s) Velocidad final (m/s) aceleración de la gravedad (m/s2) altura (m) tiempo (s)

Análisis del MVCL

P vM

C. Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)

M

vN

N

g

v0 (A)

LIBRO UNI

7

(B)

FÍSICA

H MAX

CINEMÁTICA II

Exigimos más! •

Se cumple: i) tSUB = tBAJ =

v0=0 m/s

v0 g

tVUELO = tSUB + tBAJ = ii) H MAX =

1s

5m

2v 0 g

v02

10 m s

15m

2g y

iii) vA = vB vM = vN (A alturas iguales rapideces iguales)



20 m s

25m



iv) v  v y v M  vN A B (A alturas iguales las velocidades no son iguales)

30 m s

35m

v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)  Los números de Galileo Considerando g = 10 m/s2, se cumple:

1s

g=10m/s2

1s

1s

40 m s

Nota: Para el movimiento rectilínio las diferentes cantidades vectoriales se convierten en cantidades algebraicas cuyo signo depende de como se oriente el eje elegido.  Para el caso de un M.R.U.V. se tiene por ejemplo: Movimiento Acelerado  V aumentado Movimiento Desacelerado  V disminuye

LIBRO UNI

V(–) a(–)

8

X

V(+)

X

a(+)

V(–) a(+)

V(+)

a(–)

FÍSICA

FÍSICA

CINEMÁTICA III DESARROLLO DEL TEMA B. Variación Lineal

GRÁFICAS DEL MRU - MRUV

y

I.

GRÁFICAS EN CINEMÁTICA En el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-



V0

mún encontrar una relación entre dos o más magnitudes, de tal manera que si aumenta el valor de una

O

de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumentando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que

x

x

y  kx  y 0

entre ellas existe una proporción (directa o inversa) a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-

C. Variación Cuadrática

neral se dice que una de ellas está en función de la otra.

y

Cuando una magnitud es función de otra, entonces y

se puede construir una gráfica que relacione a dichas

Semiparábola

magnitudes y para ello se emplean los ejes rectangulares x – y, en cinemática encontramos que la velocidad, la aceleración y la posición de móviles se pue-

O

x

x

den expresar en función del tiempo, por lo tanto se pueden construir los gráficos correspondientes.

y

Relaciones básicas

x2

 k(Constante)

 y  kx 2

A. Proporción Directa y

 O

II. EN EL MRUV

Magnitud Dependiente

A. Gráfica V - t En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esta se debe a que la velocidad es constante y no depende del tiempo transcurrido. V

x x Magnitud Independiente

V

y  k(Cons tan te) x  y  kx

O

k  Tg(pendiente)

LIBRO UNI

9

t

FÍSICA

t

CINEMÁTICA III

Exigimos más! Propiedad:

2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando signos positivos para los ubicados encima del eje

d  Área

positivo y signo negativo para los ubicados por debajo, nos da el desplazamiento efectuado.

Observación: debajo d   S arriba del eje t –  S del eje t

(a) Primer cuadrante  área (+)  Desplazamiento hacia la derecha

Otro ejemplo:

(b) Cuarto cuadrante  área (–)

x1

 Desplazamiento hacia la izquierda

y

t2

Nota 1.

t1

O

Así por ejemplo

t

x2 V k

V +V1

d(+) t

t2

t1

O

t

O –V2 V d

V1

V2

Movimiento hacia la derecha (d = 0)

x2

x1

O

2. Gráfica x – t En este caso la gráfica es una línea recta inclina-

V O

t

da la cual no necesariamente pasa por el origen de coordenadas, esto se debe a que el móvil va

d(–)

cambiando de posición durante el transcurso del tiempo.

k

V

x x

d Movimiento hacia la izquierda (d = 0)

x0



0

t

Propiedades 1. El área comprendida entre la recta representativa y el eje temporal nos da la distancia recorrida.

Propiedad.

V  Tg

d = Área LIBRO UNI

10

FÍSICA

t

CINEMÁTICA III

Exigimos más! Importante: (a) Desplazamiento hacia la derecha.

a a

x

x0



0

t

Propiedad:

t

0

t

V  VF – V0  área V x

2. Gráfica V – t En este caso la gráfica es una línea recta inclinada cuya pendiente puede ser positiva o negativa, esto se debe a que la velocidad del móvil va cambiando continuamente ya

0 x0

 V  tg (positivo)

(b) Desplazamiento hacia la izquierda.

sea aumenta o disminuyendo asó como tambien cambiando su dirección.

x0

V Vt 

Vi 



t

0

0

t

t

V 0

x

x0 . . .

Propiedad:

V  Tg  Tg

a  Tg

d  área

(c) Cuerpo en reposo. Observaciones:

x

Si el móvil parte del reposo la gráfica es:

x0 V V1

 V0 O

t

t

0

1. Gráfica a – t En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esto se debe a

t

Si el móvil desacelera la gráfica es:

que la aceleración es constante y no depende del tiempo transcurrido.

LIBRO UNI

t

11

FÍSICA

CINEMÁTICA III

Exigimos más! Para recordar:

V V1

(a) Área debajo de la gráfica (MRU). a = Tg

V(m/s)

 0

60 50 40 30 20 10

 t

t

Pero:

Área = (6 – 2)(40) = 160 d = 160 m

Área 1 2 3 4 5 6

Tg  Tg  a  Tg

t(s)

(b) Área debajo de la gráfica (MRUV). 3. Gráfica x – t. En este caso la gráfica es un arco de pará-

a(m/s2)

bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de

30 25 20 15 10 5

coordenadas (x), si el móvil parte del reposo la gráfica es una semiparábola, cumpliéndose que en cada punto de la gráfica la pendiente nos da la velocidad instantánea del móvil.

0 x

Arco de parábola

x

Área = (8 – 2)(25) = 150 d = 150 m/s

Área

t(s)

2 4 6 8 10

Para recordar:



(a) Área de triángulo

x0 t

O

t

Propiedad:

b

V  Tg

b

Área 

LIBRO UNI

12

b .h 2

FÍSICA

CINEMÁTICA III

Exigimos más!

problemas resueltos

Problema 1

indica la gráfica v-t. Si en el instante

Una partícula se muestra a lo largo del

en que sus velocidades se igualan, el

eje x de acuerdo a la gráfica posición

desplazamiento de A es el triple del

(x) - tiempo (t).

desplazamiento de B, obtener la ace-

Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s

3A 

10t .................(2) 2

(1) en (2):

leración de B (en m/s2). 3

y t2 = 15s.

10 (t – 10)

V(m/s)

x(m)

B 20

10

2

15 O

5

2

 t  15s

Luego la aceleración de B: A

a

10 8

10 t



10 a2 t – 10

t

Respuesta: A) 2

25(s)

O

–10

t(s)

10

Problema 3

A) 3 m/s

A) 2

Un móvil de mueve a lo largo del eje

B) 4

x, y su velocidad varía con el tiempo

C) 0,2

B) – 1,5 m/s

D) 0,4

C) –3 m/s

E) 5

de acuerdo a la gráfica que se muestra. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

D) 2 m/s E) 1,5 m/s

Resolución: Recordemos que la velocidad media se determina por:

Resolución: Recordemos que en la gráfica v-t el

(

) El desplazamiento durante los pri-

desplazamiento (distancia) está indica-

(

) La velocidad media durante los pri-

meros 15 es –750m.

da por el área que encierran la gráfica con el eje de los tiempos.

meros 10 s es 25 m/s. (

Las velocidades se igualan cuando las

) La longitud total recorrida durante los 15 s es 1250 m

gráficas se cortan, luego hallando el Vm 

x x 2 – x1  t t 2 – t1

instante cuando se igualan.

t 2  15s  x 2  10 m .

 Vm 

50

V

De la gráfica: t1  5s  x1  20 m y

B 10

A

0

5

–100

(–10) – (20)  Vm  –3 m (15) – (5) s 2A

Respuesta: C) –3 m/s

O

A

10

t

t

A) VVV B) FFF

Problema 2 Dos móviles A y B recorren la misma recta, variándo sus velocidades según LIBRO UNI

C) VFV A

10(t – 10) ..........(1) 2

13

D) FFV E) VFF FÍSICA

15t(s)

CINEMÁTICA III

Exigimos más! Resolución:

(V) Desplazamiento (x)

Vm = –25 m/s (V) Longitud recorrida:

x  A1 – A 2 – A 3  A1 – (A 2  A 3) x  50(5) – 100(10) x  –750m

V 50 A1 0

L1  A1  A 2  A 3  L   50  (5)  100  (10)

L  1250 m 5

15

10 A2

–100

t

A3 Vm 

LIBRO UNI

 VFV

(F) velocidad media (0; 10 s):

A1 – A 2 5(50) – 5(100)  10 10

14

Respuesta: C) VFV

FÍSICA

FÍSICA

CINEMÁTICA IV DESARROLLO DEL TEMA I.

MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

 V  Vox  x  xo   x t 2  

En este movimiento se tiene que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, es decir no interesa el intervalo de tiempo en el cual se determina.

2 Vx2  Vox  2ax x

Considerando t 0  0 tenemos que la velocidad se puede expresar como:

la cual expresada en componentes cartesianas nos da:

Luego el vector posición se determina por:

Vx  V0x  ax T Vy  V0y  ay T Ecuaciones escalares

  1 r  Xˆi  yjˆ  ro  Vot  at 2 2  ro  X oˆi  y oˆj

V

y

 ao  axˆi  ayˆj

en forma analoga tenemos que:

x

Estas últimas ecuaciones nos sugiere que este moviminto se puede considerar como la combinación de dos movimientos rectilineos con aceleración constante a lo largo de cada uno de los ejes. Luego las ecuaciones para cada una de los movimientos tenemos: EJE X a x  cte : M.R.U.V.

Vx  Vox  a x t

x  x o  Vox t  1  axt 2 2

LIBRO UNI

 Vo  Voxˆi  Voyˆj

a=const. X (+)

0

2 Vy2  Voy  2ay y

V 2  Vx2  Vy2  Vo2  2a x x  2a y y

   V  V  aT Ecuación vectorial

Y (+)

 Vy  Voy  y  yo    t  2  

  V 2  Vo2  2a . r

 r  x2  yjˆ

x  x  x o

y  y  y o

Nota: (1) Cada una de las cantidades que intervienen en las diferentes ecuaciones escalares tienen un signo que depende de su orientación con respecto a los ejes coordenados

EJE Y ay  cte : M.R.U.V.

(2) En general la trayectoria recorrida por el móvil es una parabola. En el caso particular que la velocidad inicial sea paralela a la aceleración, la trayectoria sera una línea recta.

Vy  Voy  ayt y  y o  Voy t  1  ayt 2 2

15

FÍSICA

CINEMÁTICA IV

Exigimos más!

II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAIDA LIBRE (MPCL)

Eje x: x = Vx . t Eje y:  y  V0 t  1 gt2 2

A. Concepto Es aquel movimiento con aceleración constante, cuya trayectoria es una línea curva denominada parábola. También podemos decir que este es un movimiento compuesto porque está formado por:  Eje x: MRU   si : g // ejeY Eje y: MVCL 

 y

(V0  VF )t 2

 VF  V0  gt y

 VF

2

y

y

 Vo2  2gy y

D. Propiedades

B. Elementos

1.

Donde: •  : ángulo de elevación • L: alcance horizontal • tv: tiempo de vuelo • HMax: altura máxima

Tan 

4HMAX L

2.

Análisis del movimiento VP =Vx y V Vy Vx Vx V0y (A)

V

H MAX

Vy

V Vx

Vx

V0y

Se cumple: 1.

agy g

    90

x

V

3. Alcance horizontal máximo: (LMAX):

Vx : permanece constante Vy : varía debido a la aceleración de la gravedad

2. t v  tSUB  tBAJ  3. HMAX 

2Voy g

Voy2 L MAX 

2g

V2 cuando   45 2g

4. V  Vx2  Vy2 5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales). 6. VP = Vx (no es cero).

C. Fórmulas del MPCL

4.

Para resolver un problema de MPCL, no hay fórmulas, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x) y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuenta que el tiempo es común en ambos ejes.

LIBRO UNI

Tan  h  h a b

16

FÍSICA

CINEMÁTICA IV

Exigimos más!

problemas resueltos

Resolución:

Problema 1 El gráfico muestra la velocidad versus

Resolución:

Del gráfico:

Aplicamos: h  Vi t 

la posición x de una partícula que parte del origen de coordenadas en el

 180  (0)t 

instante t = 0 s con una aceleración proposiciones:

La aceleración de la partícula es de

Vf 2  Vo2  2ad  36 = 4 + 2a(4)

8 m/s2.

 a = 4 m/s2

II. La partícula pasa por x = 4,0 m en el instante t = 1,0 s. III. La velocidad de la partícula en el

secuencia corre cta después de determin ar si la propos ición es

Ahora: usamos  VF = Vi + gt VF = 0 + (10)(6) VF = 60 m/s

Respuesta: C) 60 m/s

Ecuación posición x = xo + Vot + x = 2t + 2t2 

1 2 at 2

V = 2 + 4t

instante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.

Señale la alternativa que presenta la

1 (10)t 2 2

t  6s

constant e. Dadas las si guientes

I.

1 2 gt 2

Problema 3 Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s, si el proyectil choca contra el techo con

4m/s2

I. Falso

a=

II. Verdadero

para t = 1s; x = 4m

III. Falso

en t = 5s; V = 22m/s

verdadera (V) o falsa (F).

una rapidez de 10 m/s, calcular a que altura está el techo. (g = 10 m/s2)

Respuesta: D) FVF

UNI 2009 - II

Problema 2 Un cuerpo es soltado desde una altura de 180 m. Hallar la rapidez final cuando este llega al suelo. (g = 10 m/s2)

A) 20 m C) 5 m E) 30 m

B) 10 m D) 15 m

Vi =O

Resolución: t

180m

g

Aplicaciones  VF2  Vi2  2gh Reemplazando valores:  (10)2 =(20)2 – 2(10)H

A) FFF

B) FFV

A) 50 m/s

B) 20 m/s

C) VFV

D) FVF

C) 60 m/s

D) 30 m/s

E) 10 m/s

E) VVV

LIBRO UNI

17

H = 15 m

Respuesta: D) 15 m

FÍSICA

FÍSICA

MCU DESARROLLO DEL TEMA I.



D. Velocidad angular ()

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

Determina la rapidez con la cual varía la posición angular. Se representa por un vector perpendicular al plano de la trayectoria cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.

En este movimiento el móvil recorre una circunferencia o un arco de cincunferencia con una rapidez constante. En este movimiento se tiene los siguientes elementos:





A. Desplazamiento angular ()

Ángulo barrido Unidad de tiempo





Ángulo que barre el radio cuando el móvil pasa de una posición a otra, se expresa en radian.

 R  V

Unidad rad/s

V  WR



E. Aceleración centrípeta (ac )

B. Desplazamiento lineal (S)

Determina el cambio en dirección del vector velocidad. Se representa por un vector perpendicular al vector velocidad y siempre indica hacia el centro de la trayectoria:

Arco recorrido por el móvil al pasar de una posición a otra, se expresa en metro. Se cumple la relación:

 

  R S  AB

ac  V



C. Velocidad Tangencial (V)

ac 

V2  2 R R

Determina la rapidez con la cual el móvil recorre su trayectoria:



V

ArcoRecorrido Unidad de tiempo

unidad: m/s; km/h; ....

F. Una propiedad del MCU es la de ser un movimiento períodico, es decir, se repite a intervalos regulares de tiempo. Debido a esto se tienen las siguientes cantidades: LIBRO UNI

18

FÍSICA

MCU

Exigimos más! a. Periodo (T,P)

b. Frecuencia (f)

Tiempo mínimo al cabo del cual se repite el movimiento

Rapidez con la cual se repite el movimiento.

Cumpliéndose: fT 1

Nota: (1) Recordar que el ángulo se puede expresar en grado sexagesimales, radian o vueltas cumpliendose la relación: 1 vuelta  360  2rad.

(2) En el caso que el ángulo se exprese en vueltas o revoluciones la rapidez angular y la frecuencia son numericamente iguales.

LIBRO UNI

19

FÍSICA

FÍSICA

MCUV DESARROLLO DEL TEMA I.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V)

2. Aceleración angular ( ) Si un cuerpo se desplaza por una curva y su velocidad angular cambia, entonces aparece la

A. Conceptos previos

aceleración angular cuya dirección es

1. Aceleración tangencial o lineal (aT )

perpendicular al plano de rotación y su sentido

Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor o módulo de su velocidad tangencial cambia, entonces aparece la aceleración tangencial cuya dirección será tangente a la circunferencia y su sentido coincidirá con el de la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.

coincidirá con el de la velocidad angular si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella si el movimiento es desacelerado. 

F  o  cte t

Unidades:

VF  Vo  cte Unidades: m ; cm ; etc a T  t 2 2 s s

rad s

2

;

rad 2

min

;

rev s

2

;

rev min2

; etc

V



a

 R

Movimiento acelerado

Movimiento acelerado

V

a



R

 Movimiento desacelerado

Movimiento desacelerado

LIBRO UNI

20

FÍSICA

MCUV

Exigimos más! Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.

3. Aceleración ( a ) Se denomina así a la resultante de la aceleración

•

Vf  V1  a T  t

•

Vf2  V12  2a T  S

•

1 S  V1t  aT  t2 2

•

Sn  V1  1 a T (2n  1) 2

tangencial con la aceleración centrípeta, también se le denomina aceleración instantánea.

aT

V

a cp

Sn = arco recorrido en el número de segundo "n" (n-ésimo segundo)

a

V  Vf Además: S  1 t 2

Movimiento acelerado

2. Angulares a T



V

i 

a

cp



f

f

R t



a

R

Movimiento desacelerado 

Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.

Por el teorema de Pitágoras    a  a T  ac

  a T  ac

 i

a  a2T  a2cp

B. Características del M.C.U 1. a T = constante; a T  constante

•

f  i  t

•

2f  i2  2

•

  it  1 t2 2

1  (2n  1) 2 n : ángulo descrito en el número de segundo "n". •

2.  = constante;  = constante 3. acp  constante; acp  constante 4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"

n  i 

Además:   i  f t 2

cambia cantidades iguales. 5. En tiempos iguales la rapidez angular "  " cambia

3. Relación entre la aceleración tangencial "aT" y la aceleración angular "a"

cantidades iguales. 6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes realiza desplazamiento angulares diferentes.

V  Vo  R  iR  f  i  aT  f  f  R t t  t 

C. Fórmulas 1. Tangenciales

a T  R t

D. Movimiento de rodamiento V1 aT

Cuando una rueda se mueve con rozamiento por aT

S

el piso se observa que su movimiento es el resultado de un movimiento de traslación del centro

R

LIBRO UNI

R

V

de la rueda y un movimiento de rotación con 1

respecto al centro de la rueda. 21

FÍSICA

MCUV

Exigimos más! V1  ci  R V1  ci  R1 V R  V1 R1 donde: ci : es la velocidad angular con respecto al centro instantáneo. En un movimiento curvilíneo:

VResultante  V Traslación  VRotación

V

Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda Importante Método práctico para determinar la velocidad resultante V de un punto de la rueda:

aN

V

La aceleración normal es perpendicular a la velocidad (V): V

aN 

1

V2 

 : Radio de curvatura

C.I. (Centro instantáneo)

problemas resueltos

Luego la aceleración angular:

Problema 1 Una partícula s e mueve en una trayectoria circular de 4 m de radio de tal manera que cada 4 segundos su rapidez aumenta en 20 m/s. Si la

E) 60 a 5 a T  R    T  .rad/s 2 R 4

Entonces el desplazamiento angular:

partícula partio del reposo, calcular el desplazamiento angular (en rad) después de 8 s de recorrido.

D) 50

Resolución: Usando la gráfica w- t. w

2 t 5  8   Wot       40rad 2

2

4

2

Respuesta: B) 40

A) 30

2h

h

Problema 2

B) 40

60

Al encender un motor eléctrico su eje

C) 50

x=?

desarrolla un MCUV. Si durante el

D) 60

segundo segundo logra girar 60

E) 70

0

1

vueltas, determinese el número de vueltas que logró durante el primer

Resolución:

segundo.

Aceleración tangencial:

A) 20

aT 

v  5m/s2 t

LIBRO UNI

x

h(1) .........(1) 2

x  60 

2h(2) .......(2) 2

B) 30 C) 40 22

FÍSICA

2

t

MCUV

Exigimos más! (1) en (2): x + 60 = 4 . (x)  x  20

Respuesta: A) 20

Problema 3 Una partícula desarrolla un movimiento circular. Si al pasar por el punto P tiene  2  una acele ración a  (–4i  3j)m/s calcule su rapidez angular (en rad/s) en el punto P.

LIBRO UNI

A) 1

y

B) 2 C) 3 D)

2

E)

3

4

m

O

P

x

Resolución: Notemos que la aceleración centrípeta tiene valor de: at  4m/s2  w2R  w  1rad/s

23

Respuesta: A) 1

FÍSICA

FÍSICA

ESTÁTICA I DESARROLLO DEL TEMA B. Algunos casos particulares

Siempre que elevas, empujas, jalas, golpeas o das un puntapié estás aplicando una fuerza sobre algún objeto. Sin embargo, para nuestra sorpresa, no es necesario tocar un cuerpo para ejercer una fuerza sobre él, por ejemplo, cualquier objeto, desde un botón hasta un avión es atraído hacia el centro de la Tierra por la gravedad sin importar que esté en contacto o no con la superficie. Se puede reconocer la acción de una fuerza sobre un cuerpo porque éste causa un movimiento (si el cuerpo estaba en reposo) o causa un cambio de su velocidad (si el cuerpo estaba ya en movimiento), sin embargo cuando son varias fuerzas las que actúan es posible que en conjunto, el resultado sea distinto, el cuerpo puede permanecer en equilibrio; en este capítulo nos concentraremos en éste aspecto de las fuerzas, el equilibrio de los cuerpos.

I.

1. Peso Es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto cercano a su superficie.

PESO

Peso  mg

NOTA: En el próximo capítulo veremos que el peso es proporcional a la masa es decir. 2. Tensión Cuando jalas un cuerpo con una cuerda muy liviana, la cuerda transmite tu fuerza hacia el cuerpo; esta fuerza ejercida por las cuerdas sobre los cuerpos se llama tensión.

FUERZA Llamaremos así a la magnitud vectorial que representa en qué medida dos cuerpos interactúan y que es capaz de cambiar el estado de movimiento de los cuerpos o producir deformaciones en ellos. En el Sistema Internacional de unidades se expresa en newton (N).

F

T F

A. Las fuerzas de acuerdo a su naturaleza T

1. Fuerza gravitatoria Es la fuerza de atracción entre 2 cuerpos cualquiera debido a la presencia de materia.

3. Compresión Cuando una fuerza externa actúa sobre una barra tratando de comprimirla, ésta transmite dicha fuerza al cuerpo con el que está en contacto. A la fuerza ejercida por la barra se le llama compresión.

2. Fuerza electromagnética Aparece en interacciones entre 2 cuerpos cargados eléctricamente. 3. Fuerza nuclear Es el responsable de la estabilidad del núcleo atómico (nuclear fuerte) y los procesos de desintegración radiactiva (nuclear débil).

F

C F C

LIBRO UNI

24

FÍSICA

ESTÁTICA I

Exigimos más!

III. TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)

4. Reacción o contacto Al poner en contacto un cuerpo con otro, las moléculas reaccionan produciendo entre ellas una fuerza de reacción; en general, ésta es oblicua y tiene 2 componentes: la componente normal y la componente de rozamiento, como se muestra en la figura. F f N

R

Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud, igual dirección, pero de sentido contrario; a éste par de fuerzas se les denomina acción y reacción. Ejemplo:

N: Reacción normal o normal f: Fuerza de Rozamiento R: Reacción total Se cumple: R = N2 + f 2

5. La fuerza elástica Si una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo elástico (por ejemplo un resorte) produce una deformación x; en respuesta, el resorte produce una fuerza contraria proporcional a la deformación sufrida, a ésta fuerza se le denomina fuerza elástica.

Puedes comprobarlo fácilmente, para saltar empujas al piso y la reacción te dá el impulso, para nadar empujas el agua hacia atrás, la reacción te impulsa hacia adelante.

x Fe

FExt

Nota: La acción y la reacción no se cancelan (a pesar de Fe

FExt

ser opuesta s) porque actúan sob re cuerpos diferentes. Nunca te olvides que las fuerzas aparecen en parejas.

x

Dentro de ciertos límites se cumple:

IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) Para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (en movimiento o en reposo) es útil realizar un diagrama que represente gráficamente las diversas fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sobre un sistema. Se recomienda: 1. Seleccionar el o los cuerpos que se van a estudiar. 2. Aislar el cuerpo y elegir un sistema de coordenadas, preferentemente con uno de sus ejes orientados en la dirección del movimiento. 3. Graficar las fuerzas externas sobre el cuerpo.

F Kx

II. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA) Basado en las observaciones de Galileo, Newton formuló lo que se conoce como la primera Ley de movimiento. "Un objeto en reposo o en movimiento con velocidad constante permanecerá indefinidamente en ese estado si ninguna fuerza actúa sobre el o si la resultante de todas las fuerzas que actúan es nula". Es decir sólo es posible cambiar la velocidad de un objeto si una fuerza resultante actúa sobre él. Se denomina inercia a la propiedad de los cuerpos de oponerse a cualquier variación en su velocidad; el efecto de la inercia es diferente en los cuerpos con diferente masa. Es decir la masa es la cantidad de materia y está asociado directamente a la inercia que los cuerpos tienen.

LIBRO UNI

Nota: Las fuerzas internas y las que ejerce el cuerpo sobre otros cuerpos no se grafican.

V. EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS Partícula es todo cuerpo (pequeño o no) en el cual podemos ignorar su movimiento de rotación.

25

FÍSICA

ESTÁTICA I

Exigimos más! De la primera Ley de Newton podemos deducir que si

Nota:   1. Si sobre un cuerpo  F  0 se cumple:

una partícula está en equilibrio sólo permanece así si la resultante de las fuerzas es nula. Equilibrio es el estado de reposo o de movimiento con

F() = F()

velocidad constante; físicamente son indistinguibles.

F() = F()

Es decir: matemáticamente.

2. Sisobre un cuerpo actúan varias fuerzas y la   F  0 dichas fuerzas pueden formar una poligonal cerrada.

F1 F2

3. Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y este presenta equilibrio de traslación sin rotar, entonces dichas fue rzas deben ser no p aralelas y concurrentes.

F3

  

F1 + F2 + F3 = 0

  F =0

4. Ley de Lamy: En un cuerpo en equilibrio, sometido a la acción de 3 fuerzas coplanares y concurrentes, el módulo de cada fu erza es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone. Formando un triángulo se tiene:

Analíticamente podemos descomponer las fuerzas en los ejes coordenados, entonces.

F1 F F = 2 = 3 Sen Sen Sen

 FX = 0

 FY = 0

LIBRO UNI

26

FÍSICA

FÍSICA

ESTÁTICA II DESARROLLO DEL TEMA

I.

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE (



) M

El momento de una fuerza M , es una magnitud física vectorial que mide el efecto de giro que produce una fuerza al actuar en un cuerpo. Se debe tener presente que una fuerza al actuar sobre un cuerpo puede causar una serie de efectos como la deformación de un cuerpo cuando se estira o comprime un resorte. También puede causar efectos de rotación, esto lo percibimos cuando una puerta se abre o se cierra debido a una fuerza aplicada o el movimiento del timón del automóvil debido a las fuerzas aplicadas por las manos de un conductor. La primera condición de equilibrio asegura equilibrio de traslación de un cuerpo; sin embargo, no asegura que el cuerpo no rote.

Siendo F1 = F 2 la fuerza resultante sobre la barra sigue siendo nula, entonces la barra se mantiene en equilibrio de traslación. Sin embargo a causa de dichas fuerzas la barra rota, entonces llegamos a la conclusión de que la primera condición requiere de una segunda condición y dicha condición estará ligada con los efectos de rotación que pueden causar las fuerzas que actuan sobre un cuerpo y esto lo podemos caracterizar con una magnitud física vectorial a la cual llamaremos (momento de fuerza).

ROTACIÓN

F2

F1 F

El momento de una fuerza es una magnitud física vectorial que mide el efecto de rotación de una fuerza sobre un cuerpo en torno a un punto llamado centro de rotación, pero ¿de que dependerá el efecto de rotación? ¿De qué depende el momento de una fuerza? Para ello veamos un ejemplo de una puerta que puede rotar en torno a sus bisagras. Si aplicamos una fuerza lejos de las bisagras, la puerta con facilidad se abre, eso es lo que hacemos diariamente; pero que sucede si aplicamos la misma fuerza pero en el medio de la puerta esta también rotará, pero con menos facilidad.

F F

Por ejemplo: si tenemos una barra homogénea suspendida en su punto medio por una cuerda atada al techo. Encontrándose en reposo se cumple: T = Fg, si ahora aplicamos a los extremos de la barra, fuerzas verticales y opuestas tal como se demuestra:

T

F

F

FG

LIBRO UNI

27

FÍSICA

ESTÁTICA II

Exigimos más! Y si aplicamos la misma fuerza cerca de las bisagras la puerta gira pero con mucha dificultad. De ahí notamos que la capacidad de una fuerza para producir rotación no solamente depende de su modulo, sino también de como y donde esta aplicada esta fuerza, es decir. Dependerá también de una distancia denominada (brazo de palanca) tal que a mayor brazo de palanca mayor será el efecto de rotación de la fuerza, es decir mayor será su movimiento, pero cuando aplicamos una fuerza en el eje de rotación esta fuerza no producirá efecto de rotación en otras palabras, basta que la línea de acción de la fuerza pase por dicho eje para que no produzca rotación. Por ello, es necesario que la línea de acción de la fuerza no pase por el centro de rotación para que se produzca un efecto de rotación tal como se muestra.

P

M

línea de acción de furza

•

Se recomienda tomar como positivos los momentos que tienen un efecto de rotación en sentido antihorario, y negativo los que tienen efecto de rotación en sentido horario.

MFO (+)

MFO (-)

ROTACIÓN ANTIHORARIA

ROTACIÓN HORARIA

II. TEOREMA DE VARIGNON Si la resultante de un sistema de fuerzas coplanares es difernte de cero, el torque que la resultante respecto a cualquier punto situado sobre el plano de acción de la fuerza es igual a la suma algebraica de los torques de las fuerzas componontes respecto del mismo punto:     Si FR  F1  F2  F 3  0

F L

d

F1

Centro de momentos (c.m.)

brazo de fuerza

A 

F2

O

F3



F2

F3

F F



La notación MF0 se lee: modulo del momento de la fuerza F respecto al punto O. Donde "O" es el centro de momentos.

Este sistema presenta las siguientes características: 1) Su resultante ses nula por lo qu eno puede producir un movimiento de treslación. 2) Se caracterisa por un torque, independiente del centro de momentos dado por:

Propiedades •

F1

Sistema formado por dos fuerzas paralelas, de igual módulo y dirigidas en sentidos contrarios.

perpendiculares d F , en consecuencia, el módulo del momento de una fuerza se evalúa así: Unidad: N . m

R

III. POR FUERZAS O CULPA

En este caso, el brazo de la fuerza (d) es la distancia más corta desde el centro de momentos hasta la línea de acción de la fuerz a, resultando que son mutuamente

MFO = F .d

 A   M A   M A   M A 

MF

Si d = 0, la línea de acción de la fuerza pasa por el centro de momentos y no se produce ningún efecto de rotación en ese caso.

M  Fb

F

3) Produce un movimiento de rotación. 4) Una cupla solo puede ser equilibrada por otra cupla de igual torque pero de sentido cotrario.

MF = 0

IV. TEOREMA DE VARIGNON Para que un cuerpo se encuetre en equilibrio es necesario qu ela suma d elos torques producidos por cada una de las fuerzas que actúan sobre el, son respecto a cualquier punto sea igual a cero:

O

•

El momento será máximo cuando el brazo sea máximo (d ma x ), esto ocurr e cuando F es perpendicular a la llave.

 MF

A

F dmáx

A : Punto arbitrario

Nota: 1) Las condi ciones del equil ibrio son independientes entre si. 2) Solo en el equilibrio se deben cumplir tanto la primera como la segunda condición del equilibrio

MF = F  dmax

O

LIBRO UNI

0

28

FÍSICA

FÍSICA

DINÁMICA DESARROLLO DEL TEMA B. Fuerza de gravedad (P)

Establece la leyes generales que rigen los movimientos de los cuerpos.

Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentra

I.

INERCIA

en sus cercanías.

La comparación de los resultados de la acción de una

Su dirección es vertical y hacia abajo (señala hacia

misma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a la

el centro de la Tierra). Su punto de aplicación es

noción de la inercia de los cuerpos. La inercia carac-

el centro de gravedad del cuerpo.

teriza la propiedad de los cuerpos materiales de camP  mg

biar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalar

Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la única

que es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo.

fuerza que actúa sobre él es su peso.

En mecánica se considera que la masa es constante para cada cuerpo dado, osea no depende de la veloci-

C. Aplicación de la Segunda ley de Newton

dad del cuerpo cuando es pequeña comparada con la

1. Movimiento rectilíneo

velocidad de la luz.

Para este caso la aceleración es paralela a la

A. 2.a ley de Newton

trayectoria rectilínea y en éste caso se recomienda descomponer las fuerzas en una com-

Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre un

ponente paralela y perpendicular a la trayec-

cuerpo de masa constante le comunica una aceleración resultante, que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, siendo su valor direc-

Luego:

tamente proporcional al valor de la fuerza resultante

 Fx

e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. y F4

x

F3

 ma x ;

 Fy  may

Ejemplos:

F1

m

toria rectilínea.

FR m

 Fx

a

F2

 ma x

F1Cos  F2  ma

FR =  F

 Fy

•

 ma y  0

F1Sen  N  P

Luego: FR  m a

LIBRO UNI

29

FÍSICA

DINÁMICA

Exigimos más! 2. Movimiento circular

 Fx  Fy

•

La fuerza resultante se descompone en com-

 ma x  0

ponentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial

 ma y

(fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpo

F  P  ma

también se descompone en componentes radiales y tangentes.

 Fx

 ma x

mgSen  ma a  gSen

•

 Fy

0

N  mgCos

Para sistemas de cuerpos que tienen la misma aceleración en valor se puede aplicar:

•

Eje radial (y) Fcp 

a

 Fradiales

 macp

2 Fcp  mV  mW2R R

 F(favor de a)   F(contra de a)  masas Donde:

Ejemplos:

Fcp  •

 van hacia  



Eje tangencial (x) FRTangencial 

•

 alejan del    centro 

 F  el centro   F 

 Ftangencial  ma T

Para el M.C.U.

aT  0  FRTangencial 

 F Tangencial  0

FR  Fcp  módulo constante a

P2  P1 (m2  m1 ) g  m1  m2 m1  m2

Observación: La fuerza centrípeta (F cp) es la componente radial de la fuerza resultante. Su papel es desviar continuamente al cuerpo del camino rectilíneo que recorrería por inercia en ausencia de la fuerza actuante. La fuerza centrípeta es la

•

suma de las fuerzas radiales y genera a la aceleración centrípeta y por lo tanto cambia la dirección de la velocidad tangencial para que el cuerpo pueda girar. La componente tangencial (F R Tangencial) de la fuerza resultante es la suma a

LIBRO UNI

de las fuerzas tangenciales y produce a la ace-

m2 g m1  m2

leración tangencial y por lo tanto modifica el

30

FÍSICA

DINÁMICA

Exigimos más!

problemas resueltos

Problema 1

 ma =

En el sistema mostrado en la figura, la polea tiene peso despreciable. Si la fuerza de rozamiento en la superficie

Por la 2.da ley de Newton

F –f 2

FR = m.a

F – 2f  a= 2m

N – mg = m.a 760 – 588 = 60.a

horizontal es f, determine la aceleración

F – 2f Respuesta: A) 2m

del bloque de masa m, en función de F, f y m.

La dirección es hacia arriba pues FN > Fg.

UNI Nivel fácil

a = 2,866 m/s2

Problema 2

Respuesta: A) la aceleración es hacia arriba.

Un ascensorista cuya masa es de 60 kg esta sobre una balanza en un ascensor en movimiento, está le indica que pesa 760 N.

Problema 3

Asumiendo g = 9,8 m/s2, la magnitud

Si RA y RB son las reacciones entre los

y dirección de su aceleración será:

bloques m y M para los casos A y B respectivamente, calcule la relación

F – 2f A) 2m

UNI

rozamiento (M > m)

F+ 2f B) 2m C) D) E)

R A /R B . No t ome en cue nta el

Nivel intermedio

A) la aceleración es hacia arriba.

2(F+ f) 2m

Caso A:

B) la aceleración es hacia abajo.

F – 2f C) la aceleración es hacia la derecha

2m 2F – f

D) la aceleración es hacia la izquierda.

2m

E) No hay aceleración.

Resolución

Caso B:

Resolución:

Asumiremos que la cuerda unida al bloque se rompe D.C.L.:

Debemos comparar el valor de la fuerza con el de la reacción normal.

Fg = m.g UNI

Fg = (60)(9,8) = 588 N

Nivel difícil

N = 760 N A) 

La 2.da ley de Newton determinará la relación:

FN > F g B) C)

F –f Fa a=  a= 2 m m

D) E)

LIBRO UNI

31

M m m M m M 2m M

m M FÍSICA

DINÁMICA

Exigimos más! Resolución:

B:

(1)  (2)

Al ser la misma fuerza y conjunto de masas hallaremos las aceleraciones en

m  aA RA = RB M aB

ambos casos, siendo estas iguales.

A:

Por lo tanto RA m = RB M  F R = m.a

 F R = m.a RA = m.aA ... (1)

LIBRO UNI

RB = M .aB ... (2)

32

Respuesta: A) m/M

FÍSICA

FÍSICA

ROZAMIENTO DESARROLLO DEL TEMA I.

ROZAMIENTO

•

La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe el nombre de rozamiento. Las superficies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre otro no es normal a dicha superficie de contacto. Si se descompone la reacción (F) en dos componentes, una perpendicular (N) y otra tangente a la superficie de contacto, la componente tangencial (f) a dicha superficie se denomina fuerza de fricción o rozamiento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo libre para problemas donde interviene el rozamiento son los mismos que para aquellos en que intervienen superficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de rozamiento tangente a la superficie de contacto.

A. Coeficiente de rozamiento Constante experimental que permite comparar las propiedades de rozamiento de pares distintos o iguales de materiales en diferentes condiciones de sus superficies en contacto, y con objeto de calcular la fuerza de rozamiento máxima correspondiente a una fuerza normal cualquiera. El coeficiente de rozamiento estático de 2 superficies cualesquiera se define como la razón del rozamiento máximo o límite a la fuerza normal correspondiente:

   F  f N   f N

s 

F  f 2  N2

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento: •

Rozamiento estático (fs): Cuando no hay movimiento relativo entre los cuerpos en contacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier intento de movimiento relativo (deslizamiento). En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es exactamente suficiente para mantener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es una fuerza regulable o variable alcanzando un valor máximo o límite, el cual depende de la normal y de la aspereza de la superficies en contacto. Por lo tanto la fuerza de rozamiento estático cumple con: 0  fs  fs

LIBRO UNI

Rozamiento cinético (fk): Se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en movimiento relativo. La fuerza de rozamiento es constante y prácticamente independiente del valor de la velocidad o aceleración relativa.

límite

33

Rozamiento Límite (fs

límite

)

Fuerza normal (N)

Donde el rozamiento límite es el rozamiento que existe cuando las superficies están a punto de empezar a moverse la una con respecto a la otra (estado de movimiento inminente). En general, cuando las superficies en contacto se mueven una respecto a la otra, el rozamiento disminuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamiento a la fuerza normal se define como coeficiente de rozamiento cinético. k 

Rozamiento Cinético (fk ) Fuerza normal (N)

El valor del coeficiente de rozamiento tiene que determinarse experimentalmente, y es una constante para dos materiales cualesquiera determinados, cuando las superficies de contacto están en una condición fijada. No obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto. FÍSICA

ROZAMIENTO

Exigimos más! B. Leyes de rozamiento

2.

Los resultados de un gran número de experiencias sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas por C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento, obteniéndose las siguientes leyes: 1. La fuerza máxima de rozamiento que puede producirse es proporcional a la fuerza normal entre las superficies en contacto.

3.

4. 5.

Esta fuerza máxima es independiente del tamaño de la superficie de contacto. La fuerza límite de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético, siempre que actúe la misma fuerza normal. El coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático. La fuerza de rozamiento cinético es independiente de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

problemas resueltos Problema 1

Problema 2

Problema 3

Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además mA = 7 kg y mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla la reacción entre los bloques A y B.

Un bloque pequeño de 500 g gira en un plano horizontal, tal como se muestra. Si la cuerda mide 20 cm y la velocidad angular es 6 rad/s, halla la tensión en la cuerda.

Una piedra de 2 kg gira en un plano

(g = 10 m/s2).

vertical mediante una cuerda de 1 m de longitud. Si la velocidad en la posición mostrada es 10 m/s, halla la tensión de la cuerda en dicha posición.

W

F1

(g = 10 m/s2).

F2 B

A

UNI Nivel fácil

A) 78 N

B) 12 N

D) 48 N

E) 56 N

C) 58 N

UNI Nivel fácil

Resolución: Al igual que en el caso anterior, un análisis de las fuerzas nos permite afirmar que el sistema acelera hacia la derecha. Hagamos el D. C. L.:

A) 7,8 N

B) 2,6 N

D) 3,6 N

E) 4,6 N

C) 5,8 N UNI Nivel fácil

Resolución: Hagamos un D. C. L.

a

T

40

T

 FR  m.aC

30

1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)

1)

60 = 10a 6m/s2 = a  R – 40 = 3(6)

R = 58N

Respuesta: C) 58 N LIBRO UNI

En dirección vertical:

 Fy  0 ,

2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2) De (1) y (2)

E) 36 N

Hacemos un D. C. L.: mg

70

D) 260 N

C) 108 N

Resolución:

NB RR

B) 220 N

N

NA 100

A) 148 N

2)

N  m.g.

V mg

T  m.g.  m

v2 R

En dirección horizontal:  FR  m.a. T  m.aC  m cos 2 R 2 1 

T – 2 10   2

T   0,5   6    5

34

1

T  220 N

T  3, 6 N

Respuesta: D) 3,6 N

10 2

Respuesta: B) 220 N FÍSICA

FÍSICA

TRABAJO DESARROLLO DEL TEMA I.

TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE ( WF ) Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento, el trabajo que esta fuerza desarrolla sobre el bloque al desplazarlo una distancia "d" viene dado por:

Al calcular el trabajo obtenemos: WxF

1 x2

= F  x 2 – x1   desplazamiento

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos: Área: F  x 2 – x1 . ¡El área bajo la gráfica "F vs X" es numéricamente igual al trabajo!

  WAF B = F  d

WxF

1  x2

Donde: F : fuerza que realiza el trabajo (en N). d : desplazamiento (en m). W F : Trabajo de la fuerza "F". El trabajo se calcula como el producto escalar de F y d .

 Área bajo la gráfica F  x

A. Y ¿qué sucede si la fuerza no es constante?, ¿sigue siendo el área bajo la gráfica igual al trabajo?

II. UNIDAD DEL TRABAJO La unidad del trabajo que utilizamos con mayor frecuencia es el "Joule" que es el trabajo desarrollado por una fuerza de un newton al mover su punto de aplicación un metro en su propia dirección, esto es: Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x m El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott Joule (1818-1869), cervecero de profesión, pero a quien su acomodada posición económica, permitió hacer notables investigaciones en la física. Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección del movimiento, se puede observar como varía "F" en relación a su posición "x" para luego graficar "F" vs "X". En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor en cualquier posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente:

Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección constante, entonces, el área bajo la gráfica "F vs X" sigue siendo igual al trabajo, aunque en este caso puede que el área no sea de una región conocida. Los detalles de su demostración tienen que ver con una rama de la matemática llamada cálculo diferencial e integral, que no son motivo de nuestro estudio. En este caso el módulo de la fuerza toma distintos valores para cada posición, sin embargo, el área bajo la curva "F vs X" sigue siendo igual al trabajo.

F

Wxvariable = Área x 1

LIBRO UNI

35

3

FÍSICA

TRABAJO

Exigimos más!

III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto)

Para el caso de una dependencia lineal de "F" res-

El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual actúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados por cada fuerza independientemente de las demás:

pecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerza media.

 F + F2  Área =  1 - x1   x 2  2     Área = Fmedia . d

F1 F2 F3 WANETO B  WA B  WA B  WA B  ...

Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden ser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con el resultado. También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo de la fuerza resultante, así, si: FR = F1 + F2 + F3 + ...

Nótese que es una suma vectorial, para obtener FR hay que tener bastante cuidado con las direcciones y los módulos de cada fuerza.

B. Y ¿qué sucede si varía su dirección? Respuesta: Si la fuerza es variable en dirección, el

F

R WANETO B  WA B

problema es muy complejo y aún mayor si lo es también en módulo, el análisis de este tipo de pro-

WANETO B  FR  d Cos

blemas requiere del ya mencionado cálculo dife-

rencial e integral para su solución. Pero no temas tigre dentro de muy poco ingresarás a la universidad

•

Si FR  0 (cuerpo en equilibrio)  WNETO = 0

y aprenderás a usar estas herramientas.

•

Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento a rapidez constante).

Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo, se trata del trabajo que desarrolla una fuerza constante en módulo, dirección variable, pero tangente

FR

V

a la trayectoria (colineal con la velocidad).

 = 90º

 WNETO = 0

En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria,

Reflexión

varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.

Cuando se trata de hallar el trabajo hay que especificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven empuja un cajón sobre una superficie horizontal aplicándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla joven el sobre el bloque W sobre , sin embargo por la bloque  30 J

tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto de aplicación de A hacia B se halla así:

ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven,

 F  Const.

LIBRO UNI

tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón

WAvariable  F   AB B F

joven el sobre el joven sería W sobre . bloque  30 J

36

FÍSICA

TRABAJO

Exigimos más! Eficiencia de una máquina (  ) Toda máquina necesita de un suministro de potencia para realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desarrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia de una máquina como la razón entre las potencias útiles a la entregada a la máquina.



FCajón

FCajón

Note que la eficiencia es un número adimensional y que  < 1 pues:

d FJoven = –FCajón

Pútil Pentregada

W

Joven sobre cajón

= –W

Pentregada  Pútil

Cajón sobre joven

Esto es, toda la potencia que se entrega a una máquina no es aprovechada íntegramente por esta para reaEn general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W" sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo "A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza de reacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción).

lizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento que normalmente se presencia en forma de calor (la máquina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas una licuadora al toma-corriente (suministro de potencia), se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajo

IV. POTENCIA

al mover sus cuchillas, sin embargo notarás que el motor

La definición de trabajo no mencionó el tiempo em-

se calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia.

pleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloque

Sin embargo se cumple:

una distancia horizontal de 5 m mediante una fuerza horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarrollar sería: WF =F  d=10 N (5 m) = 50 J independientemente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría ser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesitamos conocer la rapidez con la cual se efectúa un trabajo, esto se describe en términos de potencia que es el trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:

Potencia media=

Trabajo F  d   F  Vm Tiempo t Pentregada  Pútil  Pperdida

En general la potencia se puede expresar: P  F   ... (**)

Observación La eficiencia se suele expresar también en términos de tanto por ciento esto es:

  m  P  Pm    instantánea  P  Pinstantánea Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determi-



nada, la ecuación (**) muestra que cuanto menor

Pútil  100 % Pentregada

sea  mayor será la fuerza ejercida. LIBRO UNI

37

FÍSICA

TRABAJO

Exigimos más!

problemas resueltos

Problema 1 Un arandele puede deslizar por un eje sin fricción; hallar el trabajo realizado  por F desde A hasta B. (AB = 10 m)

Problema 2 Hallar el trabajo del peso cuando la masa m = 5 kg se dirige de "A" a "B" por la trayectoria mostrada. (g = 10 m/s2) y (m) y1=10

Problema 3 Si solo el 20% de la potencia de un motor fuera aprovechable, dicho motor eleva el bloque (m = 100 kg) con velocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuál es la potencia nominal que indica la etiqueta del motor? Nivel intermedio

A) 1 090 W C) 2 300 J E) 1 800 J

y2=4 x1=1

x 2=6

Nivel intermedio

A) 140 J D) 170 J

B) 150 J E) 180 J

C) 160 J

Resolución: De la definición

A) 190 J D) 300 J

B) 250 J E) 180 J

C) 230 J

Resolución: Siendo la gravedad constante; el desplazamiento en la dirección del peso es 10 – 4 = 6 m.

WF = F. AB Cos  4 WF = 20 10    = 160 J 5

 Wmg = mg  y1 – y 2  = 5 10   6  Wmg = +300 J

Respuesta: C) 160 J Observa que la solución es equivalente a descomponer la fuerza o el desplazamiento con tal que F // r .

 

LIBRO UNI

x

Nivel intermedio

Este resultado es general independiente de la trayectoria. Wmg = mg y1 – mg y 2

e

Respuesta: D) 300 J

38

B) 2 500 W D) 3 000 W

Resolución: • Sea P. Entregada = 100 K Como sólo se aprovecha el 20%  P. Útil = 20 k y P. Perdida = 80 k • Sabemos: P.útil = F . V 20 k = F . 1 2 F = 40 k; pero 1 000 N = F = mg 1 000 N = 40k k = 25   P.Nominal = P.Entrega = 100k = 100(4) P.Nominal = 2 500 w

Respuesta: B) 2500 W

FÍSICA

FÍSICA

ENERGÍA DESARROLLO DEL TEMA Capacidad que posee un cuerpo o sistema de efectuar trabajo bajo ciertas condiciones.

•

Energía potencial gravitatoria (Epg) Si dicha posición es una altura respecto a

I.

la tierra o a cualquier nivel de referencia,

ENERGÍA MECÁNICA

donde se asume dicha energía como nula.

A. Concepto Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto

g = cte

Epg = mgh

es transmitir movimiento mecánico.

h

B. Tipos de energía mecánica Epg = 0

1. Energía cinética (EK)

N.R.

Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos. Donde: m: masa del cuerpo (en kg) h: altura (en m) g: aceleración de la gravedad (en m/s2)

EK  1 mV2 2

Epg: energía potencial gravitatoria (en J)

Donde: m : masa del cuerpo (en kg) Observación:

V : rapidez del cuerpo (en m/s)

La "Epg" es relativa; pues depende del nivel

EK: energía cinética (en J)

de referencia que se tome como cero.

2. Energía potencial (Ep) •

Es la energía que tienen los cuerpos y que está

Energía potencial elástica (Epe)

asociada a la interacción con otros cuerpos, esto

Si dicha posición es una desviación respecto

es, depende de su ubicación o posición frente

a una posición de equilibrio, la presentan

a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes

co-múnmente los cuerpos elásticos cuando

clases de energía potencial.

son deformados.

LIBRO UNI

39

FÍSICA

ENERGÍA

Exigimos más!

La " f k " realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo su energía cinética.

Sea en el ejemplo anterior: WJoven = 100 J y fk = –30 J.

 La "EK" que adquiere el bloque al final será EKf = 70 J,

esto es: Ek = WJoven + Wf

x

 La EK  EK = WJoven + Wf f x 0

Ep  1 Kx 2 2 Generalizando: Teorema de la energía cinética:

Donde: x: deformación del resorte (en m).

WNeto =Δ EK

WNeto = EKf – EK 0

K: constante de fuerza del resorte en (N/m). Epe: energía portencia elástica (en J). 1. Fuerzas conservativas Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado

En conclusión

a una función potencial, esto es, su trabajo

La energía mide las diversas formas de movimiento e interacción de las partículas que conforman un sistema.

puede expresarse como una diferencia de energías potenciales en sus puntos final e inicial independientemente del trayecto seguido. Las fuerzas conservativas más comunes son:

C. Relación entre el trabajo y la energía

•

Fuerza de gravedad  asociada a la Epg.

•

Fuerza elástica  asociada a la Epe.

WF.conserv    Ep

WF. conserv  Epo  Ep f

El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este adquirió energía cinética.

LIBRO UNI

40

FÍSICA

ENERGÍA

Exigimos más! Observación:

Caso especial

A la suma de las energías cinética y potencial en un sistema se denomina energía mecánica total del sistema.

De la conservación de la energía mecánica:

Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas conservativas y no conservativas tenemos:

EM  EK Esfera  EpgEsfera  EpeResorte 2. Casos en que se conserva "EM"

F. conserv F.no conserv W   EK   W

Si EM = cte  solo deben realizar trabajo las fuerzas conservativas.

 Ep

WF.N. conserv   EK  Ep



  EK  Ep



  EM  EM  EMo f



EM  EM  EM  EM A

B

C

D

WF.N. conserv   EM

problemas resueltos

Problema 1 Si la esfera es soltada en el punto "A", ¿con qué velocidad pasará por el punto "B"? No considere rozamiento.

A) B) C) D) E)

VB VB VB VB VB

= = = = =

14 12 20 24 10

m/s m/s m/s m/s m/s

mg(25) +

mVB2 m(0)2 = mg(15) + 2 2

mg(25) = mg(15) +

mVB2 2

A

Resolución: Como no actúa n fuerzas conservativas se cumple:

B 25 m

15 m Nivel de referencia

UNI

EPG(A) + EC(A) = EPG(B) + EC(B) mgh A +

mVA2 mVB2 = mghB + 2 2

Nivel intermedio

LIBRO UNI

41

no

10g =

VB2 2

VB = 2.10.9, 8

Respuesta: A) VB = 14 m/s FÍSICA

ENERGÍA

Exigimos más! Problema 2

Problema 3

Resolución:

Determine la energía cinética del cuerpo mostrado de 2 kg.

Hallar la mínima velocidad que se le debe imponer al bloque para que llegue a la parte superior del plano inclinado liso de altura 5 m.

Vemos que no está presente la energía potencial elástica (¿por qué?) y como no hay rozamiento ni otra fuerza no conservativa, entonces la energía mecánica se conserva.

4 m/s

(g = 10 m/s2) UNI

EC + EPG = EC + EPG 1

Nivel fácil

A) 14 J

B) 16 J

D) 10 J

E) 8 J

C) 12 J

m

UNI

1 1 mv 2 = .2, 4 2 = 16 J 2 2

Respuesta: B) 16 J

LIBRO UNI

2

2

5m V0

Resolución: EC =

1

v 02 + 0 = 0 + mgh 2

M v = 2 gh 0

Nivel intermedio

A) 4 m/s

B) 9 m/s

C) 10 m/s

D) 6 m/s

E) 8 m/s

v 0 = 2 10   5  = 10

m s

Respuesta: C) 10 m/s

42

FÍSICA

FÍSICA

IMPULSO DESARROLLO DEL TEMA I.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

¿Qué sucederá? Se observa que el joven es fácilmente detenido, sin embargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuará con la misma rapidez?

Llamada también momentum lineal, es una magnitud vectorial que nos caracteriza el movimiento de traslación una partícula, esto es, la cantidad de movimiento, es la medi-da vectorial del movimiento de una partícula y se define como el producto de su masa por su velocidad. m

v

P  mv P

Donde: m: masa de la partícula (en kg) V : velocidad de la partícula (en m/s) P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s) Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué? Porque tenía mayor cantidad de movimiento

La velocidad y la cantidad de movimiento tienen la misma dirección

¿Cuál es el significado físico de la cantidad de movimiento? Para averiguarlo veamos el siguiente caso: Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidades hacia un poste. De lo dicho anteriormente, se observa que el trailer tiene una mayor cantidad de movimiento que el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.

Exactamente, la cantidad de movimiento es una medida de la dificultad de llevar a una partícula, que se está moviendo, hasta el reposo. P  Medida de la inercia Observación Tal vez estás pensando que este concepto parece mucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la cantidad de movimiento depende de la masa (esto es de su inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpo que posee masa tiene inercia, pues es una propiedad inherente de la materia, pero la cantidad de movimiento sólo la poseen los cuerpos que tienen velocidad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclista moviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de movimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:

P  mv  m(o)  0

LIBRO UNI

43

FÍSICA

IMPULSO

Exigimos más! A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por poseer mayor masa. La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento, a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a conservar dicho movimiento depende tanto de su masa como de su velocidad o mejor dicho de su cantidad de movimiento.

 P sistema  Mtotalde sistema  V CM

Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM) solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema. De ello tenemos: Si la

¡No olvides! La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.

 F externas  0  a CM   Fexternas

Mtotal alsistema

0

Esto es: V CM  Cte n

 Psistema  Mtotaldelsistema  VCM   mi vi  constante • • •

i1

P A  20i kg  m / s

  PB    16i  12j  kg  m / s PC   20j  kg  m / s

Ley de conservación de la cantidad de movimiento "Si la fuerza externa resultante ejercida sobre un sistema es igual a cero, la velocidad del centro de masas del sistema es constante (se conserva)".

Observamos: P A  PB  PC

Observación: Se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededores que por tanto está libre de fuerzas exteriores. Es más aplicable que la ley de conservación de la energía mecánica debido a que las fuerzas internas ejercidas por una partícula del sistema sobre otra, son frecuentemente de naturaleza no conservativas. Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica total del sistema, pero como estas no afectan al CM, la cantidad de movimiento del sistema se conserva.

Aunque tengan igual módulo: PA  PB  PC  20kg  m / s

II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sea el siguiente sistema de partículas.

Si la  F externas  0 a •

P1  m1 V1

•

P2  m2 V 2

•

P 3  m3 V 3

CM



 Fexternas  0 MTotal del sistema

P Sistema  P1  P 2  P3

Generalizando para "n" partículas: Esto es: V CM  Cte

n

P Sistema 

 Pi  P1  P2  P3  ....  Pn

 P sistema  Cte

i1 n

III. IMPULSO ( I )

P Sistema   mi Vi  m1 V1  m2 V 2  m3 V 3  ....  mn Vn i1

Recuerda: V CM

Ya hemos visto anteriormente que es posible transmitirle movimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza, la cual se mide en términos del trabajo realizado.

m V  m2 V 2  ....  mn V n  1 1 m1  m2  m3  ....  mn

LIBRO UNI

44

FÍSICA

IMPULSO

Exigimos más! Pero también es posible dicha transmisión en términos del impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide la transmisión temporal del movimiento. Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco, en un juego de billar, ejercemos una fuerza durante un intervalo de tiempo, relativamente corto; el movimiento que podemos transmitirle dependerá tanto de la magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza, así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.

Esto significa que es posible expresar una magnitud en función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I ! Si graficamos F vs t obtenemos: • Se observa que F es constante a través del tiempo. • Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos: F  t f  t o  esto es, ÁREA = F  t . ¡El módulo del impulso es numéricamente igual al área bajo su gráfica!

Aunque esta relación la hallamos para F  Cte es, en general, válida si F varía en módulo, pero no en dirección. Para una fuerza de módulo variable pero de dirección constante, se tiene: Veamos el caso de una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo "t". El impulso se define como: I  F  t . El impulso tiene la dirección de F .

Área = |Impulso|

Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constante que genera en igual tiempo un impulso equivalente a una fuerza variable.

Donde: F : fuerza constante (en N)

t : intervalo de tiempo (en s) I : impulso de la fuerza F (en N.s) Observación El impulso tiene la capacidad de generarle variación en la cantidad de movimiento de un cuerpo.

A. Relación entre I y P La partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidad de movimiento debido a la fuerza resultante FR . Esto es, si hay una P es debido a un impulso.

Luego: FR  ma

 P  I Esto es:

Observación: El impulso tiene las mismas unidades que las de la cantidad de movimiento:

  

F Vf  m Vo R t  m   I Pf  Po

  N x s   kg x m  x s = kg x m/s s2  

LIBRO UNI

 V  Vo FR  m  f  t

Esto es: el impulso resultante sobre una partícula es igual al cambio en su cantidad de movimiento. 45

FÍSICA

IMPULSO

Exigimos más!

IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Esto significa que si en un accidente de tránsito el choque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerza media que reciben los afectados es menor; es más, es por esta razón que se instalan sistemas de bolsas de aire y se usan los cinturones de seguridad en los automóviles.

Luego: FR  t  I R  P

Ahora razona y responde Observa: FR  P t

Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir contra el muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en un auto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICO año 2003 (con chasis de lata) ...

Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero es más general. O también: m x V f  m x V o  FR

x

¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, al ser diseñado, se desea que la parte delantera sea lo más blanda posible?

t

mV f  mV o  I R Reflexión Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Veamos; si estuvieses en un auto al cual se le malograron los frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos opciones: colisionar contra un muro de concreto o contra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿en cuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?

Hasta ahora hemos medido el movimiento de dos formas:

Hemos medido la transmisión del movimiento mecánico de dos maneras. En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidad de movimiento sería: P  P 0  P f y P  mV 0

O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los casos sería el mismo. Esto es: I

muro

 I paja....   

Pero nota que la interacción del auto al chocar con la paja es más prolongado, luego: Además observa La transmisión de movimiento se puede expresar como una variación de movimiento.

tpaja  tmuro por ello Fmuro  f paja Observa el gráfico y la ecuación (  ): Fmuro  t muro  f paja  t paja

tmuro  tpaja Fmuro  f paja LIBRO UNI

46

FÍSICA

IMPULSO

Exigimos más!

V. CHOQUES O COLISIONES

de tiempo muy pequeños, denominadas fuerzas impulsivas. c) Ley de Newton para los choques: Para un choque dierecto y central (unidimensional) la velocidad relativa de separación después del choque, es proporcional a la velocidad relativa de acercamiento, antes del choque:

Interacción entre dos o mas cuerpos de muy de muy corta duración, durante la cual se da un intercambio de energia y cantidad de movimiento:

Vo A



B

VA

A

Vo B



VB

Vo

A



A

Características de los choques: e

A.C



A

A

VF

A



B

A

VF  VF B A  Const. Vo  Vo A

a) Tomando como sistema los cuerpos que chocan, las fuerzas entre ellos son fuerzas internas y por lo tanto no modifican la cantidad de movimiento del sistema:    P   P  Const.

VF

B

B

Coeficiente de restitución (0 < e < 1) El coeficiente de restitución depende de la naturaleza de los cuerpos que chocan, teniendose los sigueintes casos: e = 1  C. perfectamente elástico e = 0  C. perfectamente inelástico o plástico

D.C

b) Entre los cuerpos que colisionan se ejercen fuerzas que alcanzan valores muy altos durante intervalos

 VF

B

 VF

A



problemas resueltos Problema 1 e

Una bola de 50 g de masa moviéndose con una rapidez de 10 m/s en la dirección +x, choca frontalmente con una bola de 200 g en reposo, siendo el choque inelástico. Si el coeficiente de restitución es 0,5. Calcule las velocidades, en m/s, de la bola incidente y la de la bola que estaba en reposo, después del choque.

UNI 2010 - I A)

2i;i

B)

 i C) 2i;2

D)

 i; 3i

E)

i; 3i

2i; 3i

Vrelat DCH Vrelat ACH



1 v  2 10

desde el reposo a partir de la posición horizontal A. Las dos masas chocan en la posición B de manera completamente

  v  5 m/s ............

ahora:

 P inicial



 P final

50  10  200  50v 10  4  v ............

Relacionando  y 

  = 3i m/s  v = -2 i m/s

  3 m/s v  2 m/s

inelástica, quedando en reposo. Considerando que toda la energía en el choque se ha transformado en calor, ¿cuál es la temperatura de las masas (en °C) después del choque? La temperatura inicial de cada masa es 20 °C.

(1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s2)

 3i Respuesta: C) 2i;

Resolución:

Problema 2

Operación del problema

Dos masas de plomo idénticas:

UNI 2009 - I

 C  0, 03 cal   e g C  

A) 18,15

B) 19,15

C) 20,15

D) 21,15

que están sujetas por hilos de 2 m de

E) 22,15

longitud de cada uno, se las deja caer LIBRO UNI

47

FÍSICA

IMPULSO

Exigimos más! Resolución:

Problema 3

Cambiando las unidades del Ce:

Para detener un carro de 2000 kg de

Ce  3.102.

4,186J 103

 Ce  30  4,186 

J kg ºC

Análisis de los datos o gráficos

masa, que se mueve en línea recta a 25 m/s, se le aplica una fuerza constante durante 2 segundos, quedando el carro en reposo. Calcule la magnitud del

Como las masas adquieren cantidades

impulso que recibe el carro, en 104 N.s,

de movimiento de igual valor pero senti-

durante los 2 segundos.

dos opuestos, las masas quedan en re-

UNI 2008 - II

poso. Toda la energía potencial se convierte en calor:  Ep  Q  2 m gh  Ce 2 m T

 9, 81   2  gh T   C e  30   4,186  TF – 20 °C = 0,15 °C

A)

3

B)

4

C)

5

D)

6

E)

7

Del teorema del impulso y la cantidad de movimiento tenemos:

| I |  m | V o |  2000 kg  25 m/s | I |  5  10 4 kg m/s

Resolución: Ubicación de incógnita

TF= 20,15 ºC

Operación del problema

Realizamos un gráfico que nos ayude a

Nota: El dato del tiempo no era necesario ser usado.

la solución del problema y designamos

Respuesta: C) 20,15 ºC

LIBRO UNI

por I el impulso que recibe el carro.

48

Respuesta: C) 5  10 4 kg m /s

FÍSICA

FÍSICA

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DESARROLLO DEL TEMA I.

IMPORTANCIA

IV. DEFINICIÓN

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

A. Movimiento periódico Movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo.

B. Movimiento oscilatorio

II. OBJETIVOS • •

•

Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio. Analizar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el origen y por las posiciones de máximo desplazamiento. Definir e identificar las principales magnitudes físicas que intervienen en un M.A.S.

Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacia uno y otro lado respecto a una posición de equilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.

III. HISTORIA Sabemos que una de las propiedades más importantes de la materia es el "movimiento" y en la naturaleza, este se presenta en distintas formas; en algunos casos, bastante sencillas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un auto o en otros casos más complejos de analizar como por ejemplo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias. Con respecto a este último caso, el movimiento de las moléculas de una sustancia sólida es un caso de mucha complejidad, pero esa complejidad disminuye considerablemente cuando hacemos uso de un modelo que se asemeje mucho a lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido el movimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad. Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las moléculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos a los resultados que se obtienen en forma experimental. Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, está en función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y eso lo determinan los resultados. Con esto podemos comprender la gran importancia del estudio de este movimiento. Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunos movimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos, como los movimientos sísmicos y en general los movimientos ondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como el sonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, son estudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también las ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisión son descritos mediante este modelo. Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza. LIBRO UNI

49

C. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y periódico donde su aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio. x(-) V=0

a

X(+)

Vmáx

a

Q

V=0 P

(-)A

P.E.

A(+)

P, Q: Extremos P. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ. 1. Oscilación simple Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de una posición extrema hasta la otra (ABCD). 2. Oscilación doble o completa Es el movimiento que realiza un cuerpo en ir de una posición extrema a la otra y luego regresar a la primera (ABCDCBA). 3. Período (T) Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar una oscilación completa. 4. Frecuencia (f) Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T). FÍSICA

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Exigimos más! 5. Elogación (x) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera.

B. Velocidad (v)

6. Amplitud (A) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y cualquiera de las posiciones extremas.

C. Aceleración (a)

v(+) = vmáxCos (wt +  ) vmáx = wA

a(+) = amáxSen (wt +  ) amáx = w2A

Propiedad

Donde: • (wt +  ): fase, es el argumento de la función armónica (en radianes). •  : fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (x) donde se empieza a medir el tiempo (t0 = 0).

T: periodo 2 T w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante. w = 2f 

Propiedades 2

1. x2 +  v   A 2 w

V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNA PARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X

2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0) Vmin = 0 (en los externos, x =  4) 3. amáx = w2A (en los externos) amin = 0 (En la P.E., x = 0)

A. Posición (x) x(+) = xmáxSen (wt +  ) xmáx = A

problemas resueltos

Problema 1 Una partícula tiene un movimiento armónico simple. Si su rapidez máxima es de 10 cm/s y su aceleración máxima es de 25 cm/s2, calcule aproximadamente el producto de su amplitud por el período del movimiento en (cm. s). UNI 2012 - II A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Resolución: Sabemos que en el M.A.S. la velocidad máxima y aceleración máxima se dan en diferentes posiciones del movimiento oscilatorio. VMÁX  .A  10  A • aMÁX  2.A  25  2.A • Tomando las ecuaciones anteriores y dividiendolas: 10  1 25 

  2.5

rad  A  4 cm.... s

Pero:  

2 T

T  2  2 ...................  2.5 LIBRO UNI

Nos piden el producto de el periodo con la amplitud, entonces las ecuaciones y serán multiplicadas: 2 A.T  4.  A.T.  10, 048 2, 5

Tp

Nos piden:

TT

Resolución: RP/RT Análisis de los datos o gráficos En la Tierra: En el planeta P: TT = 1,5s Tp = 0,75 L ...(I) GM R: Radio del planeta G: Constante universal M: Masa del planeta L: Longitud del péndulo T: Período

Usando: T  2R Siendo:

50

L GMp

2R T

L GMT

2R P

L G(100MT )



Respuesta: E) 10 Problema 2 Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s sobre la superficie de la Tierra. Cuando se le pone a oscilar en la superficie de otro planeta, el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa de este planeta es 100 veces la masa de la Tierra, el cociente entre el radio del planeta y el radio de la Tierra, (Rp/RT), es: A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 UNI 2011 - I

2RP

0, 75  1, 5

2R T

L GM T

R  P 5 RT

Respuesta: C) 5 Problema 3 Un sistema masa-recorte oscila de manera que la posición de la masa está dada por x  0, 5 sen(2t), donde t se expresa en segundos y x en metros. Halle la rapidez, en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m. A) 0, 2  B) 0, 4  C) 0, 6  D) 0, 8  E)  UNI 2010 - I Resolución: Ecuación de la posición: x = ASen (wt) x = 0,5 Sen(2  t) Sabemos: 2 2 V   A 2  x 2  V  2 0, 5  (0, 3) V  2  0, 4  V = 0,8  m/s

Respuesta: D) 0,8  m/s FÍSICA

FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA DESARROLLO DEL TEMA Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos experimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros sonidos que no podemos oír, los movimientos de un resorte largo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenómenos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuando es perturbado puede viajar o propagarse de una región del sistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmisión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es uno de los hilos unificadores más importantes que corren por toda la tela de las ciencias naturales. En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas que viajan dentro de algún material llamado medio. No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio. Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comportamiento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas. Este comportamiento forma parte de los cimientos de la mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas electromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto, podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el contexto de las ondas mecánicas.

I.

Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos que ésta experimenta una perturbación, la cual se propaga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimos que se ha generado una ¡Onda! Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.

II. TIPOS DE ONDA La Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. En la Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo. Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantes posteriores sucesivos. Dado que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal.

ONDAS MECÁNICAS Observemos una pequeña piedra que cae desde cierta altura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.

Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y regresa, produciendo una onda transversal. (b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, produciendo una onda longitudinal. (c) La tabla empuja a la derecha y regresa, produciendo una suma de ondas longitudinal transversal. LIBRO UNI

51

FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA

Exigimos más! Velocidad de propagación

En los 3 casos la onda solitaria se propaga a la derecha. En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubo con un pared rígida en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solo movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo del medio. Esta vez los movimientos de las partículas del medio son en la misma línea en que viaja la onda y decimos que se trata de una onda longitudinal. En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como una zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alteración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso los desplazamientos del agua tienen componentes tanto longitudinal como transversal. Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el sistema está en reposo, tendido en línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está en reposo con presión uniforme, y para el agua en una zanja es una superficie lisa y plana de agua. En cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuando se le desplaza, al igual que la gravedad tiende a llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuando se le desplaza. Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera, la perturbación siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagación o simplemente rapidez de la onda, determinada en cada caso por las propiedades mecánicas del medio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (La rapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven las partículas cuando con movidas por la onda). Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus partículas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configuración global de la perturbación ondulatoria. Tercera, para poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, debemos aportar energía realizando trabajo mecánico sobre el sistema. La onda transporta esta energía de una región del medio a la otra. Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra.

V  f   T

IV. ECUACIÓN DE UNA ONDA Si las partículas del medio tienen movimiento armónico, entonces la onda se rige por la siguiente ecuación: t x Y  Asen2    T 

Y  Asen (wt  kx)

(–) Si la onda se propaga a la derecha. (+) Si la onda se propaga a la izquierda. Cuando una onda choca con la frontera de su medio, se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pared de un edificio o un alcantarillado que ésta a cierta distancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, y regresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerda cuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, un pulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia nosotros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapan en la misma región del medio. Este solapamiento de ondas puede producir una interferencia. Si hay dos puntos o superficies de frontera, como en una cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos extremos, obtenemos reflexiones repetidas. En tales situaciones observamos que solo pueden ocurrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especiales determinadas por las propiedades y dimensiones del medio. Estas frecuencias especiales y las correspondientes configuraciones de ondas se denominan modos normales. Los tonos de la mayor parte de los instrumentos musicales están determinados por las frecuencias de los modos normales también explica por qué sentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué la voz amplificada de un cantante profesional puede romper una copa de cristal si canta la nota correcta.

V. INTERFERENCIAS DE ONDAS Es un fenómeno que consiste en el reforzamiento o destrucción de las ondas cuando se superponen. Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferentes centros de vibración que concurren simultáneamente en cierta región, se superponen propagándose como si no hubieran superpuestos (principio de superposición).

III. ELEMENTOS DE UNA ONDA Y: Desplazamiento y

A: Amplitud (Ymax)

P

 : Longitud de onda

V

A y

T : Periodo x

f : Frecuencia T: s

x

f : hertz f 1 T

LIBRO UNI

52

FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA

Exigimos más!

VII.ENERGÍA DE ONDAS A. Velocidad de las ondas La velocidad de propagación de las ondas mecánicas depende de las propiedades del medio en el cual se propaga la onda. En el caso de una onda que viaja en una cuerda tensada, el valor de su velocidad depende de la tensión (F) y de su masa por unidad de longitud (  ).

Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso combinado es la suma de los desplazamientos individuales.

V

F masa ;   longitud

Cuando una onda viaja a través de un medio, transporta energía capaz de realizar un trabajo. La potencia transmitida por una onda está dada por la siguiente ecuación: Potencia  1 2 A2 v 2 La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.

B. Superposición de ondas

(A) antes de la anulación completa.

Es un hecho experimental que, en muchas clases de ondas dos o más de ellas pueden propagarse en un mismo medio en forma independiente, es decir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho que las ondas actúen independientemente quiere decir que todo punto que sea alcanzado simultáneamente por dos o más ondas sufrirá un desplazamiento igual a la suma vectorial de los desplazamientos individuales que las ondas proporcionan. Este proceso de adición vectorial de los desplazamientos de una partícula se llama superposición.

(B) anulación completa.

VI. VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA Para el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas mecánicas solo depende de las propiedades del medio por el que se propaga la perturbación. Nosotros enfocaremos la atención en la determinación de la rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada. Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es la rapidez V de la onda está dada por: V

T

C. Interferencia

M

La palabra interferencia se refiere a los efectos físicos que resultan al superponer dos o mas trenes de onda. Para que se dé una interferencia que no varíe con el tiempo (estacionaria) se requieren las siguientes condiciones: 1. Las ondas deben ser la misma naturaleza. 2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia (velocidad).

L



M L

V

T 

T : Tensión (N)  : Densidad Lineal (kg/m)

¡No olvidemos! Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja, o sea propaga, de una región del espacio a otra. La rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda. Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o una combinación de ambas. En una onda periódica, la perturbación en cada punto es una función periódica del tiempo, y la configuración de la perturbación es una función periódica de la distancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y longitud de ondas definidas. En las ondas periódicas senoidales cada partícula del medio oscila en movimiento armónico simple. La función de onda sitúa cada punto en el medio en que se propaga la onda en cualquier instante. LIBRO UNI

F1 F2

d1

P

d2

Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo la misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y + y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A". Esto implica que la intensidad de la onda resultante es el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se superponen. 53

FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA

Exigimos más! A y

A y

d1

d1

A y'

A y'

d2

d2 d=(2 +1)/2

Y 2A

Y

d1

d1

d2

d2

Notemos que se obtiene el mismo resultado si las dos ondas tienen entre sí una diferencia de camino d, igual a un número entero de longitud de onda

Si las amplitudes de las ondas son diferentes, se

 : d  N

ondas.

obtiene una onda de igual frecuencia pero de amplitud igual a la diferencia de las amplitudes de las

N = 0, 1, 2, 3, ...

En este caso se dice que las ondas llegan en fase al punto "P" y que se produce una interferencia constructiva .

VIII. ONDAS ESTACIONARIAS Estas ondas se obtienen mediante la superposición de 2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan

A y d1

en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias presentan las siguientes características:

A y'

1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyo d2

movimiento es nulo. Denominados nodos. 2. La distancia entre dos nodos consecutivos es una

Y 2A

semi-longitud de onda ( / 2).

d1

3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia y

d2

fase pero con diferentes amplitudes. La amplitud de la partícula correspondiente depende de su po-

Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia de caminos iguales a  / 2, la suma de las elongaciones es siempre cero. Luego la intensidad de la onda resultante es nula. Observemos que el mismo efecto se obtiene si la diferencia de camino es un número impar de  / 2, es decir: d  (2N  1) / 2. (N = 1, 2, 3, ...)

sición, llamándose antinodos a los puntos de máxima amplitud. 4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertas frecuencias, las cuales dependen de las características del sistema oscilante. Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L"

A y

cuyos extremos se encuentran fijos los posibles vad1

lores de la longitud de onda estan dados por:

A y'

=

d2 /2

2L N

Por lo que las correspondientes frecuencias son:

Y d1

f=N

d2

 2Lv 

donde: N = 1, 2, 3, ... En este caso se dice que las ondas llegan al punto "P" en oposición de fase y que se produce una interferencia destructiva. LIBRO UNI

Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocida como, frecuencia fundamental (f1). 54

FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA

Exigimos más!

problemas resueltos Problema 1

Conclusión y respuesta

Se tiene una onda armónica que viaja hacia la derecha; Ymax e Ymin son los puntos más altos y más bajos de la onda; se observa que Ymáx – Ymin = 4 m; para "t" fijo se observa que la distancia entre crestas consecutivas es 2 m y para x fijo se observa que la onda oscila con una frecuencia de 3 Hz. Determine la ecuación de la onda sabiendo además que Y(0,0) = 0.

y(x, t) = 2sen(x – 6 t) m

UNI 2011 - I A)

1 Y(x, t)  4sen   x  t   3 

B)

Y(x, t)  4sen  x – 3t 

C)

x 1 Y(x, t)  2sen  – t  3 2 

D)

Y(x, t)  2sen  x – 6t 

E)

x  Y(x, t)  2sen   t  3 2 

Respuesta: D) y(x, t) = 2sen(x – 6 t)m Problema 2 En la figura se muestran 2 fotos tomadas en los instantes t1 = 10 m/s y t2 = 15 m/s, a una onda viajera que se desplaza a través de una cuerda a lo largo del eje x. Si se sabe que t2 – t1 < T, siendo T el periodo de oscilación de la onda, determine su rapidez de propagación (en m/s). (1 m/s = 10–3 s)

Ubicación de incógnita

Análisis de los datos o gráficos Del texto:

YA (x, t)  A sen (kx  t) YB (x, t)  A sen(kx  t)

Resolución Ecuación de la onda: Y(x; t)

Problema 3 Las ecuaciones de 3 ondas viajeras están representadas por:

YC (x, t)  A sen(kx  t  )

Con respecto a estas ondas se hacen las siguientes proposiciones: I. La superposición de YA e YB da como resultado una onda estacionaria de amplitud 2A. II. La superposición de Y A e Y C da como resultado otra onda estacionaria. III. La superposición de YB e YC da como resultado una onda de amplitud cero. Señale la alternativa que representa la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). UNI 2010 - I A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FFF

UNI 2010 - II A) 15 C) 30 E) 50

Resolución:

B) 20 D) 40

I.

YR = YA + YB YR = A sen (Kx – wt) + Asen(Kx + wt)

Resolución: Ubicación de incógnita Rapidez de la onda V. Análisis de los datos o gráficos

YR  2A Sen(Kx) Cos(wt) Es una onda estacionaria de amplitud "máxima" 2A. II. YR = YA + YC YR  A Sen(Kx  wt)  A Sen(Kx  wt  )

• t 2 – t1  5  10 –3 s



• t 2 – t1  T

YR  2A Sen Kx 

•   20 cm

 

  Cos wt  2 2



YR  2A Cos (Kx) Sen (wt)

0  2m f  3Hz

Operación del problema y(x, t) = Asen(kx – cot +  )

Operación del problema  V T T  2  t 2 – t1  T  10 x 10

–3

y  0, 0   0  0  sen    0

LIBRO UNI

III. YR = YB + YC YR  A Sen(Kx  wt)  A Sen(Kx  wt  )

s



  

YR  2A Sen Kx  wt   Cos   2 2 

Reemplazando:

V

Sigue siendo una onda estacionaria.

20 x 10 –2 10 x 10 –3

0

 20 m/s

Respuesta: B) 20 m/s 55

YR  0

Respuesta: A) VVV FÍSICA

FÍSICA

HIDROSTÁTICA DESARROLLO DEL TEMA Estudia la aplicación de las leyes de la mecánica a los fluidos en reposo.

I.

CONCEPTO DE PRESIÓN

de arista y masa 2 kg sobre la superficie hori-zontal de área 8 m2. (g = 10 m/s2)

Supongamos una superficie de área A y que sobre cada uno de sus puntos actúa una fuerza f perpendicular a la superficie. La resultante de todas esas fuerzas es una fuerza F también perpendicular a la superficie, y cuya magnitud es F   f . (El signo  que se lee sigma, indica suma). La fuerza F representa, por tanto, la fuerza total ejercida sobre toda la superficie.

Respuesta: 20 Pa

En este caso se llama presión a la fuerza normal ejercida por unidad de área de la superficie. Por consiguiente en nuestro caso la presión es: P F A

II. PRESIÓN HIDROSTÁTICA Cuando un recipiente contiene un líquido en equilibrio, todos los puntos en el interior del líquido están sometidos a una presión cuyo va lor depende exclusivamente de su profundidad o distancia vertical a la superficie libre del líquido. Supongamos un punto a la profundidad h de un líquido cuya densidad es  .

 F  P.A Fuerza de presión

Unidades F : fuerza normal (perpendicular) al área (N) A : área (m2)   P: presión  N  Pa : Pascal  2 m 

Observación Debe tenerse en cuenta que si en lugar de tener un sistema de fuerzas distribuidas por toda la superficie y cuya resultante es F, se tuviera una sola fuerza F aplicada sobre un sólo punto de ella, el concepto de presión carecería de significado. La presión existe únicamente cuando sobre una superficie actúa un sistema de fuerzas distribuidas por todos los puntos de la misma.

Puede probarse entonces que (descontando la presión en la superficie libre) la presión hidrostática P es: P   gh

Observación H O  103 Kg / m3  1g / cm3 2

Ejemplo: 1. Halle la presión que ejerce el bloque de 50 N que desliza sobre la superficie inclinada. Considere un bloque cúbico de 2 m de arista. Respuesta: 10 Pa 2. Halle la presión ejercida por el bloque cúbico de 1 m LIBRO UNI

Unidades:  : densidad (km/m3) g : aceleración de la gravedad (m/s2) h : profundidad (m) P : presión (Pa) 56

FÍSICA

HIDROSTÁTICA

Exigimos más! C.

Observación

Presión total o presión absoluta Es la suma de las presiones hidrostática y atmosférica.

La presión hidrostática solo depende de la profundidad. Así los puntos A, B y C que están a la misma profundidad que el punto P, soportan la misma presión al igual que todos los puntos de la recta L , por ello dicha recta recibe el nombre de isóbara. Para un punto en el interior del líquido la expresión se ejerce con igual intensidad en todas las direcciones.

R

H

A

Presión total en el punto A: PTOTAL PTOTAL = Ph + PO

III. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA

PTOTAL    g  H  Po

Si la densidad de un líquido es constante entonces:

D.

Fuerza hidrostática (Fh) La fuerza hidrostática causada por la presión hidrostática sobre una determinada área (A) se calcula así: Fh  Ph  A Las fuerzas hidrostáticas (Fh) en una determinada superficie sobre la cual actúa, lo hacen en forma perpendicular a dicha superficie.

La diferencia de presiones entre dos puntos de un líquido en equilibrio es proporcional a la densidad del líquido y al desnivel entre los dos puntos. P2 - P1  g (h2 - h1)

A.

Diferencia de presiones entre dos puntos (Pm > Pn)

Luego: Ph    g  H  Fh    g  H  A Pm - Pn  1 g H

B.

Observe que no depende de la forma del recipiente ni de la cantidad de líquido, sino únicamente de la profundidad y el área. Así; los 2 recipientes mostrados soportan presiones iguales y por tanto, el líquido ejerce sobre los fondos fuerzas iguales, ya que sus fondos son de áreas iguales y el líquido está al mismo nivel.

Pm - Pn  1 g  H1  2  g  H2

Presión atmosférica o barométrica (Po, Patm) Es una consecuencia del peso de la atmósfera sobre la superficie terrestre y es equivalente (al nivel del mar) a: Po  Patm  1atm  1Bar  105 Pa  76 cmHg

IV. VASOS COMUNICANTES Para líquidos no miscibles.

P1: Presión atmosférica normal = 1 atm P2: Presión atmosférica local P1 > P2  P1 - P2  aire  g  H

LIBRO UNI

57

FÍSICA

HIDROSTÁTICA

Exigimos más! Las presiones en 2 puntos son iguales si los 2 puntos cumplen con 3 condiciones: 1. Están al mismo nivel. 2. Pertenecen al mismo líquido. 3. Están comunicados "directamente" por el mismo líquido.

Observación

E : Empuje (peso de líquido desalojado) Vs : Volumen sumergido L : Densidad del líquido

La superficie que separa 2 líquidos se llama interfase.

E  L  g  Vs

Pa = Pb = Presión atmosférica

Pc  Pd  (No pertenecen al mismo líquido) Pe  Pf  (Pertenecen al mismo líquido)

El empuje es debido a la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior del cuerpo.

Observación

Observaciones • El empuje hidrostático actúa en el centro de gravedad de la porción del líquido desalojado. • Uno de los efectos del empuje hidrostático es una pérdida aparente de peso.

En un gas encerrado, las presiones en todos sus puntos son iguales. Para el siguiente gas encerrado:

PA  PB  PC  PD  PE  PGas

A: Centro de gravedad de la porción de líquido desalojado.

V. PRINCIPIO DE PASCAL Toda variación de presión en un punto de un líquido en equilibrio se transmite íntegramente a todos los otros puntos del líquido. La aplicación más importante de este principio es la prensa hidráulica que es una máquina simple cuyo objetivo es multiplicar las fuerzas mediante la siguiente relación: F1 S  1 F2 S 2

Lo que marca la balanza (R): Rw

F1; F2: fuerzas aplicadas S1 y S2: áreas de los émbolos

Lo que marca la balanza (R’)

También se cumple la siguiente relación en virtud de la invarianza del volumen. S1d1 = S2d2; donde d1 y d2 son los desplazamientos de los émbolos.

VI. PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un líquido experimenta una fuerza vertical dirigida hacia arriba denominada "fuerza de empuje", la cual es

R'  w E

numéricamente igual al peso del volumen del líquido desalojado. LIBRO UNI

Peso aparente

E: Pérdida aparente de peso 58

FÍSICA

HIDROSTÁTICA

Exigimos más!

problemas resueltos Problema 1

Conclusión y respuesta

Un cilindro hueco de altura 4 l flota en

Simplificando:

el agua como se muestra en la figura 1. La figura 2 muestra el mismo cilindro

x =

2l 5

Densidad del agua  1000

después de habérsele añadido un lastre

Respuesta: B)

que pesa la quinta parte del peso del cilindro. Entonces la altura x de la porción del cilindro que sobresale de la superficie del agua es igual a:

1 atm  76 cm de Hg  105

2l 5

(Densidad del aceite = 600 kg/m3)

UNI 2010 - II

A)

l 5

B)

2l 5

D)

3l 5

E)

3l 4

C)

l 2

kg m3

g = 9,81 m/s2

Problema 2 Un objeto tiene un peso aparente de 2,5 N cuando está sumergido en el agua. Cuando se sumerge en aceite su peso aparente es 2,7 N. Determine el peso real del objeto en N.

UNI 2011 - I

N m2

A) 3,0

B) 3,2

C) 3,4

D) 3,6

E) 3,8

UNI 2010 - I B) 8,25 D) 12,25

A) 6,45 C) 10,45 E) 14,45

Resolución: Análisis de los datos o gráficos

Resolución: Operación del problema Recordar que:

Resolución: Operación del problema En la figura 1:

En la figura 2:

Empuje = perdida aparente de peso = W – Wlíquido

Recordemos: P = Po + Dgh

En el agua: DH

2O

Operación del problema

Vg = W – 2,5N ......(1)

2 (76 cmHg) = 74,1 cmHg + Dgh 77,9 cmHg = Dgh ......... (1)

En el aceite: DA Vg = W – 2,7 N ...... (2)

Pero:

(1)  (2):

DH

2O

DA

A: área de sección del cilindro W: peso del cilindro



W – 2, 5N 10  W – 2, 7N 6

6W – 15N = 10W – 27N 12N = 4W  W = 3N

Respuesta: A) 3 N

P  1, 025.105

N .........(2) m2

(2) en (1):

1, 025  105

kg    N m   103   9, 81 2  h m2  m3   s 

Problema 3

Reemplazando "1" en "2": 6  P  g 3 lA  P  g(4 l  x)  1 L 5 L LIBRO UNI

En un lago, ¿a qué profundidad aproximadamente, en metros, la presión es de dos atmósferas, si en la superficie el barómetro indica 74,1 cm de Hg? 59

h

102, 5 m  10, 45 m 9, 81

Respuesta: C) 10,45 FÍSICA

FÍSICA

CALORIMETRÍA DESARROLLO DEL TEMA I.

CALORIMETRÍA Hasta el momento hemos estudiado algunos fenómenos que experimentan los cuerpos, analizándolos macroscópicamente..., pero existen fenómenos que no pueden ser explicados considerando a los cuerpos como tal. Como por ejemplo: el por qué se derrite un cubo de hielo al sacarlo del refrigerador, el por qué se calienta un clavo al golpearlo con el martillo, el por qué algunas tazas se quiebran al vertir el agua caliente en ellas, etc. Para entender estos fenómenos hay que analizar a los cuerpos como un gran conjunto de partículas (átomos o moléculas) y este es el objetivo de este capítulo de la física. En primer lugar debemos tener noción de ciertos conceptos y para ello consideremos lo siguiente:

Vemos que sus moléculas están dotadas de movimiento (movimiento térmico), entonces en virtud a ello, tienen energía cinética (E C). Además sus moléculas interactúan entre sí, por ello tiene energía potencial intermolecular; pero sabemos que las moléculas son agrupaciones de átomos, los cuales interactúan entre sí y debido a ello tienen energía potencial, de ligazón. Con lo explicado anteriormente, entendemos que el cuerpo tiene energía internamente, y a la suma de las energías cinéticas y potenciales de las moléculas de un cuerpo, se le denomina energía interna (U).

Observación Como todo cuerpo está conformado por moléculas, entonces, todo cuerpo tiene energía interna (U). La posición y la rapidez de las partículas (moléculas) que constituyen a un cuerpo cambian continuamente, es por ello, que es imposible calcular su energía interna.

¿La barra tendrá energía? Del gráfico, podemos afirmar que no tiene energía mecánica, debido a que la barra no presenta movimiento mecánico y además no está a una determinada altura respecto del piso; pero analicemos la barra internamente:

Entonces el hombre ante la necesidad de tener una idea de lo que sucede con las moléculas o átomos en el interior de un cuerpo, introduce parámetros macroscópicos, como la temperatura (T). "La temperatura nos indica la intensidad del movimiento de las moléculas en un cuerpo". Unidades (S.I.) Kelvin (K) o Grado Celsius (ºC). donde: K = 273 + ºC

Observación: Note que al determinar la temperatura de un cuerpo, tendremos una idea de la energía cinética de sus moléculas y por ende, una idea de su energía interna (U). LIBRO UNI

60

FÍSICA

CALORIMETRÍA

Exigimos más! A.

B.

Calor (Q)

Cambio en la temperatura Imagine que en un recipiente se vierten 2  de agua. Si debemos hervirla tendremos que entregarle cierta cantidad de calor. Pero, si quisiéramos hervir en dicho recipiente 5 litros de agua, tendríamos que suministrarle una mayor cantidad de calor.

Consideramos lo siguiente:

Luego:

Cantidad de calor suministrado (Q)

DP

Masa del cuerpo al cual se le entrega “Q” (m)

Ahora, imagine que en el recipiente se vierte agua y se le suministra cierta cantidad de calor, ello originará un cambio en su temperatura. Pero si le suministra una mayor cantidad de calor, el cambio de temperatura será también mayor.

Al introducir la esfera de metal dentro del recipiente, tendremos que la temperatura del agua se incrementa a la vez que su energía interna también se incrementa, mientras que para la esfera disminuye. Deducimos entonces que existe una transferencia

Luego:

de energía interna del cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura, a esta energía "intránsito"

Cantidad de calor suministrado (Q)

se le denomina calor (Q). La transferencia de energía interna no es indefinida,

DP

Cambio de temperatura que experimenta el cuerpo (T)

En conclusión:

cesa cuando los cuerpos alcanzan igual temperatura Q D.P. mT

[Temperatura de equilibrio (Te)]; en dicho instante, diremos que los cuerpos se encuentran en equilibrio

Para plantear la igualdad debemos multiplicarle una constante a la cual se le denomina calor específico (Ce):

térmico. Al final:

Q  Ce mT Q: Calor sensible [Calorías (cal)] m: masa del cuerpo (g) T : Cambio de temperatura (ºC)

II. CAMBIO DE FASE Al sacar un cubo de hielo de un congelador, vemos fácilmente que al cabo de un cierto tiempo, se derrite. Pero si analizamos sus moléculas antes y después de lo ocurrido, veremos que están conformados por las mismas moléculas de agua (H2O).

Además, por conservación de energía. QGanado  QPerdido

Esto es:

Q  0

¿Qué efectos trae consigo el calor sobre los cuerpos? Principalmente tres:

Esto significa, que una sustancia puede presentarse en distintas formas.

1. Cambios de temperatura. 2. Cambios de fase.

A la composición física homogénea que presenta una sustancia (a determinadas condiciones de presión y temperatura), se le denomina: fase.

3. Cambio en las dimensiones (dilatación térmica).

LIBRO UNI

61

FÍSICA

CALORIMETRÍA

Exigimos más! Las fases de una sustancia pueden ser:

A.

Fase Sólida Se caracteriza por la gran cohesión que existe entre sus moléculas (debido a sus enlaces); es por ello que las moléculas de las sustancias vibran débilmente y la sustancia tiene forma definida.

C.

Fase Gaseosa Tenemos conocimiento de que los gases ocupan el volumen total del recipiente que lo contiene y que son fácilmente compresibles. Esto se debe a que en esta fase, las fuerzas de cohesión que las moléculas presentan entre ellas son prácticamente despreciables.

B.

Fase Líquida Nosotros sabemos que los líquidos pueden expandirse libremente y adaptarse a la forma del recipiente que lo contiene, esto se debe a que las moléculas de un líquido oscilan con mayor libertad (comparada con la fase sólida), siendo en este caso comparables la energía cinética de sus moléculas y la energía potencial.

Observación Bajo ciertas condiciones (las cuales veremos más adelante) una sustancia puede experimentar un reordenamiento molecular, es decir, un cambio de fase.

Los cambios de fase pueden ser:

FASE GASEOSA

FASE SÓLIDA Sublimación Solidificación Fusión

Condensación FASE LÍQUIDA

Vaporización

Dentro de la vaporización, hay que tener presente que puede darse de 2 formas: a) Cuando por ejemplo nos lavamos las manos y deseamos que se sequen por sí solas, el agua se vaporiza en forma lenta y esto se da a cualquier temperatura. A este proceso de vaporización se le denomina evaporación. b) Cuando hervimos agua en casa vemos que empieza a vaporizarse rápidamente cuando llega a cierta temperatura; a este proceso de vaporización se le denomina ebullición. ¿Bajo qué condiciones se da un cambio de fase? Para responder, analicemos el siguiente experimento que se realiza a nivel del mar, donde la presión atmosférica es 1 atm.

LIBRO UNI

62

FÍSICA

CALORIMETRÍA

Exigimos más! T = -10 ºC

Hielo

T = 0 ºC

T = 0 ºC

Hielo agua líquida

Q1

Q2

Q2

Cuando le suministramos cierta cantidad de calor (Q1) al hielo, éste incrementa su temperatura hasta un instante en el que llega a ser 0 ºC. Luego, cuando le suministramos "Q2", vemos que el hielo empieza a derretirse, sin que cambie la temperatura (0 ºC) ... ¿por qué?

para cambiarla de fase, a dicha cantidad de calor se le denomina calor de transformación (QT), la cual es directamente proporcional a la masa de la sustancia:

... Debido a que la cantidad de calor que se le entrega al hielo, es absorbido por sus moléculas para romper los enlaces que existen entre ellas, en vez de incrementar su energía cinética de ellas ...

Para plantear a igualdad, le multiplicaremos una constante denominada calor latente (L):

Q T  D.P.m

Q T  L.m

Donde: QT: Calor de transformación o de cambio de fase (cal) L: Calor latente (cal/g) m: masa que cambia de fase (g)

Luego de esto decimos que el hielo está cambiando a fase líquida y su temperatura no cambiará hasta que todo el hielo ( a 0 ºC) se fusione completamente.

Observación El calor latente (L) depende de la sustancia con la que se trabaje o del proceso dentro del cual estemos. Por ejemplo, para el agua a la presión es de 1 atm. 1. Fusión - Solidificación (Cuando T = 0 ºC) Cuando llega a 100 ºC el agua empieza a cambiar de fase (se evaporiza). Percátese que la temperatura no cambia (se mantiene en 100 ºC) mientras se termina de vaporizar completamente el agua. Con todo esto ya podemos dar respuesta a la pregunta anteriormente:

L fusión  -L solificación  80 2. Vaporización - Condensación (Cuando T = 100 ºC)

L Respuesta: Un cambio de fase se da bajo ciertas condiciones (condiciones de saturación) de presión y temperatura (este último conocido como temperatura de saturación o de cambio de fase); las cuales se mantienen constantes durante el reordenamiento molecular. Luego: Cuando una sustancia se encuentra a condiciones de saturación, requiere de cierta cantidad de calor LIBRO UNI

cal g

vaporización

 -L

condensación

 540

cal g

¿Qué significa que: L  -L  80 cal / g? fusión solidificación

Respuesta Significa que por cada gramo de agua que se encuentra a condiciones de saturación (T = 0 ºC, P = 1 atm), se requiere agregarle o sustraerle 80 cal para fusionarlo o solidificarlo. 63

FÍSICA

CALORIMETRÍA

Exigimos más!

III. DILATACIÓN TÉRMICA Cambio en dimensiones de un cuerpo debido a un cambio en su temperatura. Por lo general se observa que al aumentar la temperatura de un cuerpo aumentan sus dimensiones. Para un sólido, dependiendo del número de dimensiones principales, se distinguen los siguientes tipos de dilatación:

Tipo

Leyes empíricas

Coeficientes de dilatación....

L (D.P.) Lo Lineal

=

Ecuaciones

L = L o T

L = cte Lo T

L = L o(1 +  T)

L (D.P.) T S (D.P.) So =

Superficial

S =  S o T

S = cte S o T

S = S o (1 + T)

S (D.P.) T V (D.P.) Vo =

Cúbica V (D.P.) T

V = Vo T

S = cte Vo T

V = Vo(1 + T)

Donde: 1. Los coeficientes de dilatación se expresan en C–1, F–1. 2. 3.

Para el caso de un sólido si:   1º C 1 se cumple que:   2   3 Los fluidos solo experimentan dilatación cúbica por lo que solo tienen coeficiente de dilatación cúbica.

problemas resueltos Problema 1 Se conecta una alarma a dos piezas de cobre como se muestra en la figura. Cuando ambas piezas de cobre choquen se activará la alarma. Determine el mínimo cambio de temperatura, en °C, para el cual la alarma se activará. El coeficiente de dilatación lineal del cobre es 16,6 x 10–6 °C–1.

Respuesta: B) 20,08ºC

Resolución: a 1000 1 2a

Problema 2

2 a

Alarma Para que se active la alarma las piezas 1 y 2 deben entrar en contacto. L1  L 2 

a 1000

2 a . T  a  T  a  103

UNI 2010 - I A) B) C) D) E)

(Coeficiente de dilatación lineal del cobre = 17 x 10–6 °C–1)

UNI 2009 - II A) 236,2

3

T  10 3

18,08 20,08 25,08 29,08 31,08

Un anillo de cobre debe ajustarse fuertemente alrededor de un eje de acero cuyo diámetro es 5,00 cm a 30 °C. El diámetro interior del anillo de cobre a esa temperatura es de 4,98 cm. ¿A qué temperatura debe calentarse el anillo para que ajuste perfectamente sobre el eje de acero, suponiendo que éste permanece a 30 °C?

B) 266,2 C) 296,2

LIBRO UNI

Reemplazando valores y operando:

D) 326,2

T  20, 08º C

E) 356,2

64

FÍSICA

CALORIMETRÍA

Exigimos más! Resolución: El diámetro del anillo debe aumentar de 4,98 cm a 5,00 cm, esto es L  0, 02 cm. Sabemos: L  T

0,02 cm = 4,98 cm (17x10 6 C 1 )T T  236, 2 C

Luego: Tf  T0  T Tf  30  236, 2 C

que están sujetas por hilos de 2 m de longitud cada uno, se las deja caer desde el reposo a partir de la proposición horizontal A. Las dos masas chocan en la posición B de manera completamente inelástica, quedando en reposo. Considerando que toda la energía en el choque se ha transformado en calor, ¿cuál es la temperatura de las masas (en °C) después del choque? La temperatura inicial de cada masa es 20 °C. (1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s2)

Tf  266, 2 C

C) 20,15

D) 21,15

E) 22,15

Resolución: Cambiando las unidades del Ce: Ce  3.102.

4,186J 103

 Ce  30  4,186 

J kg ºC

Como las masas adquieren cantidades de movimiento de igual valor pero sentidos opuestos, las masas quedan en reposo. Toda la energía potencial se convierte en calor:  Ep  Q  2 m gh  Ce 2 m T T 

Respuesta: B) 266,2 °C

 9, 81   2  gh  C e  30   4,186 

TF  20 º C  0,15 º C

Problema 3 Dos masas de plomo idénticas:

TF = 20,15ºC

 C  0, 03 cal   e g C  

LIBRO UNI

A) 18,15

UNI 2009 - I B) 19,15

Respuesta: C) 20,15 ºC

65

FÍSICA

FÍSICA

TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES DESARROLLO DEL TEMA Fundamenta teóricamente las leyes experimentales de los gases ideales lo cual permite interpretar físicamente la nación de temperatura.

I.

LEYES EXPERIMENTALES DE LOS GASES A. Ley de Boyle - Mariotte Para una masa dada de gas a temperatura constante, la experiencia demuestra que el volumen (V) del gas es inversamente proporcional a la presión (P) del gas.

B. Ley de gay - Lussac Para una masa dada de gas a presión constante, la experiencia demuestra que el volumen del gas es directamente proporcional a la temperatura (T) absoluta del gas: V T  V  const (Proceso isobárico) T

2. Todas las moléculas de un gas puro dado son iguales.

4. El número de moléculas es muy grande y no existe una fuerza apreciable entre ellas exceptodurante los choques. Debemos recordar que un mol de cualquier sustancia existe un número de moléculas igual al número de avogadro (NA = 6,022.1023).

5. Los choques de las moléculas son perfectamente elásticos, cuando chocan entre si o con las paredes del recipiente.

Por las dos leyes anteriores: V 1 y V T  V  k T (k  const) P P Con el volumen del gas a una presión y temperatura dadas depende de la cantidad de gas, en realidad es directamente proporcional al número de moles (n), la constante k debe ser proporcional al número de moles: k = nR, donde R se denomina constante universal de los gases ideales. Luego tenemos que:

LIBRO UNI

1. Un gas está constituido pro pequeñas partículas (moléculas) cuyas dimensiones son muy pequeñas en comparación con las del recipiente que contiene al gas.

La ausencia de fuerzas sobre las moléculas implica que ellas solo poseen energía cinética, siendo despreciable la energía potencial.

C. Ecuación de estado de un gas perfecto

R  8, 314

Para hacer el estudio molecular de un gas se establece ciertas hipótesis sobre su constitución interna:

3. Las moléculas del ga s están en constante movimiento y ese movimiento es completamente al azar (desordenado), es decir, no existe una dirección preferencial para el movimiento de las moléculas.

V  1  PV  const (Proceso isotérmico) P

PV  nRT

II. MODELO CINÉTICO DE UN GAS

J Mol.k

66

III. PRESIÓN DE UN GAS De acuerdo con el modelo molecular de un gas, la presión que él ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene se debe a los choques de las moléculas contra las paredes. En su incesante movimiento térmico un gran número de moléculas choca por unidad de tiempo, contra las paredes, por ser un número muy grande sólo percibimos su efecto medio, es decir, una fuerza continua que actúa sobre las paredes.

FÍSICA

TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES

Exigimos más! La cual puede ser comparada con la ecuación de estado de un gas ideal lo cual da:

Los cálculos dan para la presión: P

1 N 2 N  mv 2  (mv 2 )    3 V 3 V  2 

 

 

PV 

Don N es el número de moléculas, m la masa de cada moléculay v2 es el valor promedio de los cuadrados de las rapideces de las moléculas, es decir:

N   T  2  A ek  ó ek  3  R 3 R  2  NA

 T  3 KT  2 

Es decir la temperatura es una medida de la energía cinética molecular promedio (eK), donde la constante k recibe el nombre de constante de Boltzmann:

V 2  V22  ...  VN2 V2  1 N

K  R  1, 38  10 –23 J/k NA

Este resultado muestra que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de las moléculas ek  mv 2 /2



2 N Ne  nRT  RT 3 k NA

La raíz cuadrada de V 2 se conoce como rapidez cuadrática media de las moléculas, la cual esta dada por:



IV. INTERPRETACIÓN CINÉTICA DE LA TEMPERATURA.

Vrcm 

La ecuación dada por la presión de un gas ideal puede ser escrita como: PV  (2/3)Nek (ek  mv2 /2)

V2 

3KT  m

3RT M

Donde M es la masa molecular.

problemas resueltos Problema 1

ek 

Un tanque usado para llenar globos de helio tiene un volumen de 0,30 m3 y contiene 2,00 moles de gas de helio a 20° C. Asumiendo que el helio se comporta como un gas ideal. ¿Cuál es la energía cinética promedio de las moléculas?

UNI A) ek  6, 07  10 –21 J B) C)

ek  6, 08  10 –21 J ek  7, 08  10

–21

J

D) ek  3, 08  10 –21 J E)

ek  3, 08  10 –22 J

Resolución:

mv 2 3 3 J  KT  ek  (1, 38  10 –23 )(293K) 2 2 2 K

Respuesta: B) V  490 m/s Respuesta: A) ek  6, 07  10

–21

J

Problema 2 Calcular la rapidez cuadrática media de una molécula de nitrógeno a la temperatura de 0° C. (masa molecular (M) = 28 kg/kmol) UNI A)

V  440 m/s

B)

V  490 m/s

C)

V  420 m/s

D)

V  320 m/s

E)

V  330 m/s

Resolución: Sabemos que:

P n P  PNV  nN RT  N  N  nH  nN  H  PH nH  PN  PHV  nH  RT

2 eK  mV  3 KT  V2  3 R T 2 2 NAm

LIBRO UNI

V

Problema 3 Una tanque contiene 48 kg de nitrógeno (masa molecular.28 kg/kmol) a una presión de 4,50 atm. ¿Qué cantidad de hidrógeno (masa molecular: 2kg/kmol) a 3,50 atm contendría el mismo depósito a la misma temperatura? UNI A) 1 kg B) 2 kg C) 3 kg D) 4 kg E) 5 kg

Resolución: Empleando la ecuación de estado para cada gas.

V = 0,30 m3 n = 2,00 mol T = 293 K Recordamos que la energía cinética promedio está dada por:

 V  490 m/s

 eK  6, 07  10 –21 J

3RT donde M = NAm M

67

mH mN  PH   m  P    mH  MH  N   H  MH MN  PN   MN   PN  18 kg  kg     3, 5 atm   mH   2  1kg   kmol   28 kg / kmol   4, 5 atm   nH 

Respuesta: A) 1 kg

FÍSICA

FÍSICA

TERMODINÁMICA DESARROLLO DEL TEMA I.

PROCESO TERMODINÁMICO Se denomina proceso termodinámico a aquel conjunto de estados por los que atraviesa un sistema termodinámico para ir de un estado extremo a otro. Un proceso termodinámico se dice que se desarrolla en equilibrio (proceso cuasiestático) si el sistema recorre con una lentitud infinita una serie continúa de estados termodinámicos en equilibrio infinitamente próximos. La figura representa un proceso termodinámico en equi-

tura, y al lograr desplazar los límites móviles de la sustancia de trabajo (sistema). Cuando el sistema evoluciona de un estado termodinámico (1), hasta un estado final (2) el trabajo realizado por el sistema no depende sólo de los estados inicial y final, sino también de los estados intermedios, es decir, de la trayectoria. El trabajo realizado por el sistema, es numéricamente igual al área bajo la curva en el diagrama P – V.

librio pasando del estado (1) al estado (2). P1 V1 P2 V2  T1 T2

W12  Área

Observación: Se dice que un proceso, es un "proceso cíclico" cuando el estado final del proceso es el mismo estado inicial. Cuando sobre una sustancia se ha desarrollado un proceso cíclico se dice que ha experimentado un ciclo termodinámico.

Cuando el gas se expande (el volumen aumenta), el trabajo realizado es positivo. Si el gas se comprime (el volumen disminuye), el trabajo realizado por el sistema es negativo.

III. ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL (U) La clase anterior vimos que la energía interna de una sustancia se podía definir como la sumatoria de las energías asociadas a cada molécula que lo constituía. Esto es:

II. TRABAJO REALIZADO POR UN GAS IDEAL Cuando un gas encerrado experimenta un proceso de expansión o compresión, desarrolla un trabajo que dependerá de la presión que soporta y de los cambios producidos en su volumen. Este trabajo se explica porque las moléculas ejercen sobre las paredes internas del recipiente que lo contiene una presión, que también dependerá de la temperaLIBRO UNI

68

U   EK   Ep Pero en un gas ideal, la EP de cada molécula es mucho menor que su EK, esto es, su EP es casi despreciable frente a su EK; por lo tanto decimos que la energía interna de un gas se debe principalmente a la EK de sus moléculas, esto es, a su movimiento, a su actividad molecular, y por tanto a su temperatura. Se verifica que esta energía está definida por la temperatura a la que se encuentra un estado, de este modo, el cambio en FÍSICA

TERMODINÁMICA

Exigimos más!

V. TIPOS DE PROCESOS TERMODINÁMICOS

la energía interna de un gas es función principal del cambio producido en la temperatura.

A. Proceso isobárico (P = constante) Es aquel proceso termodinámico realizado por el sistema (gas ideal) evolucionado de un estado (1) hasta un estado (2), manteniendo constante la presión, para lo cual recibe o libera calor. Durante el proceso realiza trabajo y modifica su energía interna por consiguiente varía la temperatura.

U  f(T)  U ~ T

Entonces, podemos decir que en todo proceso termo-dinámico, la variación de la energía interna de c ie r t o s i st e m a, n o d e pe n d e d e l o s e s t ad o s intermedios, sola-mente de su temperatura en los estados inicial y final.

U  U2  U1 •

"La variación de la energía interna, es independiente del camino seguido durante el proceso termodinámico"

•

IV. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA Es una generalización de la ley de la conservación de energía que incluye la transferencia de energía calorífica en cualquier proceso. Cuando un sistema experimenta un cambio desde un estado a otro, el cambio en su energía interna  U , está dado por:

U  Q  W

Cantidad de calor entregado: Q  n • CP • T Trabajo realizado por el sistema: W = F. d. = (P. A.) d W = P. (Ad) = P(V2  V1) W = P • V

•

Variación de la energía interna: Primera ley de la termodinámica Q  W  U U  Q  W U  n • CP • T - P • V

•

Ley de Charles (P = constante)

V1 V2  T1 T2

donde Q es el calor transferido hacia adentro (o hacia afuera) del sistema y W es el trabajo realizado por (o sobre) el sistema. Aun cuando "Q" como "W" dependen de la trayectoria seguida desde el estado inicial hasta el estado final, la cantidad U , como lo dijimos anteriormente, es independiente de la trayectoria. La ecuación  U  Q  W se puede reorganizar así:

•

Diagrama: P – V

Q  W  U y el mensaje de esta ecuación es que en general: "En todo proceso termodinámico se cumple que la cantidad de calor entregado o sustraído a un sistema, es igual al trabajo realizado por o sobre el sistema más el cambio de la energía interna experimentado por el sistema".

B. Proceso isócoro (V = constante) Es aquel proceso termodinámico en el cual el sistema evoluciona de un estado (1) a un estado (2), manteniendo el volumen constante. En este proceso el sistema no realiza trabajo, el calor entregado sirve para incrementar la energía interna.

Q: calor entregado al gas El gas utiliza este calor para realizar trabajo sobre su entorno (desplazando el pistón) y variar su energía interna (variando su temperatura). LIBRO UNI

69

FÍSICA

TERMODINÁMICA

Exigimos más! • • •

•

Cantidad de calor entregado: Q = n • C V • T Trabajo realizado por el sistema: W = F. d pero: d = 0; W = 0 Variación de la energía interna: Primera ley de la termodinámica Q  W  U U  Q  W U  n • C V • T "Todo el calor sirve para incrementar su energía interna". Ley de Gay - Lussac (V = constante)

• •

Calor entregado: Q = 0 Trabajo realizado por el sistema:

V1  V2

P •V -P • V W 2 2 1 1 ; 1- 

P1 P  2 T1 T2

•



Diagrama P – V: W1 2 = Área = 0

Cp Cv

W   nCv  (T2  T1)

C. Proceso isotérmico (T = constante)

•

Es aquel proceso termodinámico, en el cual el sistema evoluciona del estado (1) al estado (2), manteniendo la temperatura constante. Todo el calor entregado al sistema se transforma en trabajo.

Variación de la energía interna: Primera ley de la termodinámica Q  W  U U  Q  W; pero : Q  0

•

U   W Ecuación general de los gases:

P1  V1 P2  V2  T1 T2

Además: P1  V1  P2  V2

•

La energía interna depende sólo de la temperatura: Si: T = constante = T1 = T2 U1 = U2 U  0

• •

V  Calor entregado al sistema: Q = n.R.T. Ln.  2   V1  Trabajo realizado por el sistema:

E. Isóbara, isoterma y adiabática La adiabática tiene mayor pendiente absoluta que la isoterma. Isoterma: P  V1 = constante Adiabática: P  V  = constante Isóbara: P  Vº = constante

Primera Ley de la Termodinámica Q  W  U W  Q  U

•

V  W  n  R TLn  2   V1  Ley de Boyle - Mariotte: P1  V1  P2  V2

•

Diagrama P – V



W12  Área

VI. MÁQUINAS TÉRMICAS

V  W1 2  n.R.T.Ln  2   V1 

Denominamos así a aquel sistema cuya sustancia de trabajo, funcionando en un ciclo, nos entrega un trabajo neto a cambio de una absorción neta de calor, en otras palabras, una máquina térmica es un sistema que recibe calor y desarrolla trabajo mientras se realiza un ciclo termodinámico.

D. Proceso adiabático (Q = 0) Es aquel proceso termodinámico, durante el cual no existe transferencia de calor, se aprovecha la energía interna de la sustancia (gas ideal) para realizar trabajo. LIBRO UNI

Cp 1 Cv

70

FÍSICA

TERMODINÁMICA

Exigimos más! cuerpo frío a uno caliente no violaría la primera ley de la termodinámica, pues se conservaría la energía; sin embargo, no ocurre en la naturaleza, ¿por qué? Es fácil convertir energía mecánica totalmente en calor; esto sucede cada vez que usamos los frenos de un coche para detenerlo. En la dirección inversa, hay muchos dispositivos que convierten calor parcialmente en energía mecánica (el motor de un coche es un ejemplo), pero ni los inventores más brillantes han logrado construir una máquina que convierta calor por completo en energía mecánica. ¿Por qué? La respuesta a ambas preguntas tiene que ver con las direcciones de los procesos termodinámicos y constituye la segunda ley de la termodinámica. Esta ley establece limitaciones fundamentales sobre la eficiencia de una máquina o una planta de potencia, así como en el aporte de energía mínima necesaria para operar un refrigerador. Así pues, la segunda ley atañe directamente a muchos problemas prácticos importantes.

El calor neto absorbido por el ciclo es: Q  Q1  Q2 | Q1 |  | Q2 | Proceso 1. A 2: Q1  W1  (U2  U1) 2. B 1: Q2  W2  (U1  U2 ) Sumando las ecuaciones para considerar el ciclo completo. Q1  Q2  W1  W2 | Q1 | - | Q2 | WNeto Área encerrada en el ciclo 1A2B1

VII.SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA La segunda ley de la termodinámica se puede enunciar de diferentes formas equivalentes. Desde el punto de vista de ingeniería; tal vez la aplicación más importante es en relación con la eficiencia limitada a las máquinas térmicas. Expresada de modo sencillo, la segunda ley de la termodinámica se puede enunciar de la siguiente forma:

“No es posible construir una máquina capaz de convertir, completamente y de manera continua, la energía térmica en otras formas de energía”.

A. Representación esquemática de una máquina térmica

Otras formas de enunciarla son: A) En una máquina térmica es imposible que, durante un ciclo, todo el calor suministrado sea convertido integramente en trabajo. B) Es imposible que exista una máquina térmica 100% eficiente. C) Es imposible que el calor pase por sí solo, desde una región de menor temperatura hasta otra de mayor temperatura, sin la ineludible utilización de trabajo.

VIII.DIRECCIÓN DE LOS PROCESOS TERMODINÁMICOS

Por conservación de la energía: | Q1 |  | Q2 | WNeto  WNeto | Q1 |  | Q2 |

Todos los procesos termodinámicos que ocurren en la naturaleza son procesos irreversibles; procesos que se desarrollan espontáneamente en una dirección pero no en otra. El flujo de calor de un cuerpo caliente a uno más frío es irreversible, lo mismo que la expansión libre de un gas que vimos. Al deslizar un libro sobre una mesa convertimos energía mecánica en calor por fricción. Este proceso es irreversible, pues nadie ha observado el proceso inverso (en el que un libro que inicialmente está en reposo

Luego la eficiencia será:

n

WNETO | Q1 |  | Q2 | | Q2 |   n 1 Q1 Q1 Q1

Muchos procesos termodinámicos se desarrollan naturalmente en una dirección pero no en la opuesta. Por ejemplo, el calor siempre fluye de un cuerpo caliente a uno más frío, nunca al revés. El flujo de calor de un LIBRO UNI

71

FÍSICA

TERMODINÁMICA

Exigimos más! sobre una mesa comienza a moverse espontáneamente y se enfrían el libro y la mesa) es la segunda ley de la termodinámica, la que determina la dirección preferida de tales procesos. A pesar de esta dirección preferida para todos los procesos naturales, podemos imaginar una clase de procesos idealizados que serían reversibles. Un sistema que sufre semejante proceso reversible idealizado siempre está muy cerca del equilibrio termodinámico dentro de sí y con su entorno.

A. Procesos isotérmicos 1  2, expansión a la temperatura T1, (el gas gana calor; Q1). 3  4, compresión a la temperatura T2, (el gas pierde calor; Q2).

B. Procesos adiabáticos (Q = 0) 2  3, expansión 4  1, compresión

IX. CICLO DE CARNOT Se llama así a aquel tipo de ciclo constituido por dos procesos isotérmicos y otros dos adiabáticos; los que se distribuyen de tal modo que dos son de expansión y los otros dos de compresión. Existe el principio de Carnot que establece y demuestra que ninguna máquina térmica trabajando entre dos temperaturas fijas, alta (T1) y baja (T2); puede desarrollar una eficiencia mayor que la del ciclo de Carnot.

C. Eficiencia del ciclo de carnot La eficiencia para este caso sólo depende de las temperaturas absolutas de los focos frío y caliente, así: n

T1  T2 T  n 1 2 T1 T1

Esta relación es válida sólo para una máquina ideal o reversible. (T1 y T2: en kelvin)

Observación: Q2 Q1

T  2 T1

(Relación de Kelvin)

problemas resueltos UNI 2009 - II

Problema 1 Una máquina térmica ideal de gas opera en un ciclo de Carnot entre 227 °C y 127 °C absorbiendo 6,0 x 104 cal de la temperatura superior. La cantidad de trabajo, en 103 cal, que es capaz de ejecutar esta máquina es:

Usando la relación de Kelvin Qf T Qf 400  f   QC TC QC 500

Luego: Qf = 48 x 103 cal

UNI 2010 - I A) 12

Nos piden:

B) 16

W = QC – Qf

C) 20

W = 60 x 103 – 48 x 103 = 12 x 103 cal

A) B) C) D) E)

–441,1 –451,1 –461,1 –471,1 –481,1

Resolución: Para un proceso adiabático: W

3

W = 12 x 10 cal

D) 28 E) 34

Respuesta: A) 12 x 103 cal

Resolución: Analizando: TC = 227 °C + 273 = 500 K Tf = 127 °C + 273 = 400 K QC = 6 x 104 cal = 60 x 103 cal

LIBRO UNI

Problema 2 Un mol de un gas ideal se expande a di a b át i c am e n te r ea l i za n d o u n trabajo de 6000 J. ¿Cuál es el cambio de tempe-ratura en grados kelvin del gas después de la expansión? R = 8,314 J/mol.K 72

 T 

PF VF  PI VI nRT  1  1 

W 1    nR

Para un gas monoatómico:

5    T  3

 6000    2  K  3

 4

1 8; 3

Para un gas diatómico: FÍSICA

 481,1 K

TERMODINÁMICA

Exigimos más!



7  T  5

 6000    2  K  5 1 8; 3 4

 

 180, 4 K

Nota: Se debe suponer que el gas es monoatómico.

Respuesta: E) 481,1 K Problema 3 Una máquina térmica "x" tiene la mitad de la eficiencia de una máquina de Carnot que opera entre las temperaturas de 67 °C y 577 °C. Si la máquina "x" recibe 40 kJ

LIBRO UNI

de calor por ciclo, el trabajo que realiza por ciclo en kJ es: UNI 2009 - I A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

T 1 B TA WNETO  Q ABS 2 Ahora reemplazamos a los datos:

Resolución: Dato: nreal

n  carnot 2

Pero: nreal

NETO T  W  ncarnot  1  B QABS TA

WNETO  40

1

340 850 2

NETO  12kJ Al final:  W

Respuesta: B) 12 kJ

Reemplazando el dato:

73

FÍSICA

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA I DESARROLLO DEL TEMA I.

CARGA ELÉCTRICA La carga eléctrica, al igual que la masa, es una de las propiedades fundamentales de las partículas de que está hecha la materia. Las propiedades de la carga eléctrica fueron descubiertas por los antiguos griegos a. de C., cuando al frotar ambar con lana, el ambar podía atraer a otros objetos. Actualmente, decimos que el ambar ha adquirido una carga eléctrica neta o se ha cargado. A lo largo de los años, muchos experimentos han demostrado que hay exactamente dos tipos de cargas, llamadas positiva y negativa; nombres sugeridos por Benjamin Franklin (1706-1790). La estructura de los átomos puede describirse en términos de tres partículas: el electrón (e–) cargado negativamente, el protón (p+) cargado positivamente y el neutrón (nº) que no tiene carga. La unidad del SI de la carga eléctrica es el coulomb (C). Así, tenemos: e-  -1, 6 •10-19 C

Luego, la carga eléctrica que tiene o adquiere un cuerpo viene dada por el exceso o déficit de electrones por la carga del electrón. Entonces, toda carga Q será: Q  n e

Donde: n: exceso o defecto de electrones. Observación: No se transfieren protones. La carga neta en un sistema no se crea ni se destruye solo se transfiere; esto es, si un cuerpo gana electrones, el otro pierde electrones (principio de conservación de la carga).

A. Fuerza de interacción entre cargas puntuales (Ley de Coulomb) Establece la dependencia entre la fuerza de interacción de dos partículas cargadas.

p  1, 6 •10-19C

F=K

q1 . q2 d2

Ley de Coulomb

Donde: e- : Carga eléctrica del electrón p+: Carga eléctrica del protón Un cuerpo en su estado natural, no cargado, posee un número de protones igual al número de electrones. Si tal cuerpo pierde o gana electrones se carga positivamente o negativamente; así: +++++ ---- -

# p  # e- (Eléctricamente neutro) q0

Donde: q1 y q2: cargas puntuales (en Coulomb: C) d: distancia de separación entre las cargas (en metros: m) K: constante de Coulomb en el vacío. K

 +++++ #p  #e (Eléctricamente positivo : perdió3e ) -q   3e+++++ ------

2   del vacío  0  8, 85  10 12 C   N.m2  

#p+ < #e- (Eléctricamente negativo : ganó2e-) q = +2e-

LIBRO UNI

1 ;  : constante de permitividad eléctrica 0 40

K  9  109

74

Nm2 C2

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA I

Exigimos más! Observación: Cargas de igual signo se repelen y cargas de signos opuestos se atraen.

II. CAMPO ELÉCTRICO Espacio que rodea a una carga eléctrica que cumple el papel de agente transmisor de la interacción.

Figura 1. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo en ese punto. El científico inglés Michael Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de líneas de campo; las llamó líneas de fuerza, pero es preferible el término líneas de campo. Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección  de E en cada punto y su espaciamiento da una  idea general de la magnitud de E , también en cada  punto. Donde E es intenso, dibujamos las líneas  muy juntas entre sí; donde E es débil, las dibujamos más separadas. En cualquier punto particular, el campo eléctrico tiene una dirección única, por lo que solo una línea de campo puede pasar por cada punto de este. En otras palabras, las líneas de campo nunca se intersecan. La Figura 2 muestra algunas de las líneas de campo eléctrico en un plano que contiene (a) una carga positiva única; (b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y una negativa (un dipolo); y (c) dos cargas positivas iguales. Estos diagramas se llaman mapas de campo. Se trata de secciones transversales de las distribuciones tridimensionales verdaderas. La dirección del campo eléctrico total en cada punto del diagrama es a lo largo de la tangente a la línea de campo eléctrico que pasa por el punto.  Las flechas indican la dirección del vector campo E a lo largo de cada campo. Se han dibujado en varios puntos de cada distribución los vectores campo reales. Observa que, en general, la magnitud del campo eléctrico es diferente en distintos puntos de una línea de campo dada. Una línea de campo no es una curva de magnitud constante del campo eléctrico. La figura muestra que las líneas de campo se alejan de las cargas positivas (ya que cerca  de una carga puntual positiva, E está dirigido hacia afuera de la carga) y se dirigen hacia las cargas negativas (ya que cerca de una carga puntual negati va, E está dirigido hacia esta la carga). En regiones donde la magnitud del campo es grande, como entre las cargas positivas y negativas en la Figura 2 b, las líneas de campo se dibujan muy juntas entre sí. En regiones donde la magnitud del campo es pequeña, como entre las dos cargas positivas en la figura 2 c, las líneas se dibujan más separadas entre sí.

En un punto del espacio existe un campo eléctrico, si sobre una carga qo colocada en dicho punto, se ejerce una fuerza de origen eléctrico. Q: carga creadora del campo q0: carga testigo o de prueba (comúnmente, q0 > 0) El campo generado por q0 es insignificante frente al campo generado por "Q". En un solo punto hay un solo campo (Principio de unicidad del campo).

A. Intensidad del campo eléctrico ( Ep ) EP 

F q0

Ep 

N C

Unidades (SI)

Para una carga "q0" cualquiera, ubicada en el punto "P", la fuerza eléctrica es como sigue:



F = q0  Ep Observación: En una distribución de cargas electrónicas se aplica el principio de superposición para hallar el campo eléctrico resultante en un punto.

B. Líneas de campo eléctrico El concepto de campo eléctrico puede ser un poco esquivo porque usted no puede percibir un campo eléctrico directamente con sus sentidos. Las líneas de campo eléctrico pueden ser de gran ayuda para visualizar campos eléctricos y para hacerlos parecer más reales. Una línea de campo eléctrico es una línea o curva imaginaria dibujada en de una región del espacio, de manera que su tangente en cualquier punto tiene dirección del vector de campo eléctrico en ese punto. La idea básica se muestra en la figura 1. LIBRO UNI

75

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA I

Exigimos más! En un campo uniforme, las líneas de campo son rectas, paralelas y uniformemente espaciadas, como en la figura 3.

Si tenemos una configuración de cargas eléctricas y se desea "visualizar" el campo eléctrico mediante las líneas de campo, su construcción se expresa mediante las siguientes reglas:

Figura 2

–

Parten de las cargas eléctricas positivas e ingresan a las cargas eléctricas negativas.

–

En otras palabras, las líneas de campo convergen o divergen de un punto del espacio.

Figura 3

–

El número de líneas son proporcionales a las magnitudes de las cargas.

–

La intensidad del campo es mayor donde las

Observación: ¡Cuidado! Es un error común pensar que si una partícula cargada con carga q está en movimiento en un campo eléctrico, la partícula debe moverse a lo largo de 

una línea de ese campo. Como E en cualquier punto es tangente a la línea de campo que pasa 



por ese punto, es cierto que la fuerza F  q E sobre

líneas de campo están más juntas.

la partícula y por consiguiente, la aceleración de la partícula, son tangentes a la línea de campo, pero aprendimos en el capítulo de dinámica que cuando una partícula se mueve sobre una trayectoria curva, su aceleración no puede ser tangente a la trayectoria. Así, en general, la trayectoria de una partícula cargada no coincide con una línea de campo. (La única excepción es cuando las líneas de campo son líneas rectas y la partícula se suelta del reposo,

–

como en la figura 3. ¿Puede ver por qué?) LIBRO UNI

Si el campo es uniforme, las líneas de campo son paralelas.

76

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA I

Exigimos más!

problemas resueltos Problema 1 Calcule aproximadamente la carga eléctrica que debería tener un protón (en C) para que la magnitud de la fuerza eléctrica sea igual a la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos protones. G  6, 67 x 10 11

K  9 x 109

UNI 2009 - II Nivel intermedio B) 24,14 D) 26,14

N  m2 kg2

A) 23,14 C) 25,14 E) 27,14

N  m2 C

El campo eléctrico en el punto P es cero. ¿A qué distancia, en cm, de Q1 está P?

8kq  5 1   2  25  L

D)

4kq  5 1   2  25  L

E)

kq  5 1   2  25  4L

Resolución:

2

Masa del protón, mp = 1,67 x 10–27 kg

C)

Veamos las direcciones de los campos eléctricos de cada carga en el punto "P".

Resolución:

UNI 2010 - I Nivel fácil A) 5,43 x 10–47 B) 1,43 x 10

Como: EP  0  E1  E2

–37

k 50 C

C) 2,23 x 10–27

x

D) 3,33 x 10–17

2



k 100 C

 x  10 cm2

2

  x  10 cm  2x2

 x  10 cm  x 2  x  10  2  1 cm

E) 6,13 x 10–7

Nos damos cuenta que E1 = E2 y E3 = E4; además:

 x  24,14 cm

Resolución: Graficando:

Respuesta: B) 24,14 cm Problema 3 Cuatro cargas de igual valor absoluto se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado L (ver figura). Calcule el valor del módulo del campo eléctrico en el punto P que se encuentra en el punto medio del lado del cuadrado. (k, constante de proporcionalidad eléctrica)

FElect = FGrav 2

Kq

2



d

qm

Gm2 d2 G K

E1  E2 

kq 1  5  2 

E3  E 4 

2

kq 1   2

2





4 kq 5L2

4kq L2

Ahora para hallar la intensidad de campo total en "P" descomponemos E2 y E1.

Reemplanzando valores y operando: q  1, 67  1027 

6, 67  1011 9  109

q = 1,43 × 10–37 C

Respuesta: B) 1,43 × 10

UNI 2008 - II Nivel difícil

–37

A) Problema 2 Dos cargas puntuales Q1  50C y Q2  100C están separadas una distancia de 10 cm.

LIBRO UNI

B)

kq  5 1   2  25  L

Del gráfico:

E TOTAL 

kq  5 1   2  25  2L

8kq 2

L



8 5 kq 8kg  5  1   2 2 25 L 25  L 

Respuesta: C)

77

FÍSICA

8kg  5 1   2  25 L  

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA II DESARROLLO DEL TEMA I.

POTENCIAL ELÉCTRICO (V)

V

Una carga eléctrica colocada en un campo eléctrico tiene energía potencial o electrostática debido a su interacción con el campo. El potencial eléctrico en un punto se define como la energía potencial eléctrica que adquiere cada unidad de carga colocada en dicho punto. Designamos el potencial eléctrico por "V" y la energía potencial eléctrica de una carga "q" por U. Luego: V

V  18  103 voltios  18 .103 V V  18 kV

III. POTENCIAL ELÉCTRICO TOTAL Es la suma algebraica de potenciales eléctrico que crea cada carga presente en un punto cualquiera. Ejemplo:

U q

Unidad (S.I.) : 1 voltio  V  

6 KQ N.m2 6 .10 C  9  109 . 2 d 3m C

Q2(+)

Q3(-) d2

1 joule  J  coulomb  C 

También:

Q1(+) U  Vq

d3 P

d1

VP  V1P  V2P  V3P KQ1 KQ2 KQ3 VP    d1 d2 d3

II. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL

El potencial total puede ser positivo, negativo o cero.

IV. TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO ELÉCTRICO El trabajo realizado por la fuerza que aplica el campo eléctrico sobre una carha no depende de la trayectoria seguida por la carga entre dos posiciones fijas. Por lo tanto es una fuerza conservativa.

Vp 

KQ d

Luego: Q: con signo.

E II

• •

Si Q(+)  Vp    Si Q(-)  Vp   

B

F=Eq III

Ejemplo:

WACampo   VA  VB q 8

Q = 6 . 10-6C ; d = 3 m

LIBRO UNI

I

A

78

trabajo con signo.

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA II

Exigimos más!

V. SUPERFICIE EUIPOTENCIAL (S)

WACampo  Trabajado de la fuerza del campo "(F = Eq)" 8

Es aqulla superficie donde todos sus puntos tienen igual potencial eléctrico. Las líneas de fuerza que representan al campo eléctrico son perpendiculares a la superficies equipotenciales y además el potencial eléctrico disminuye si nos dirigimos en el sentido de las líneas de fuerza.

sobre la carga "q" puntual desde la posición inicial A hasta la posición final B. Observaciones: 1. En el ejemplo el campo eléctrico es uniforme pero la fórmula se utiliza para cualquier campo electrostático. 2. El trabajo del campo es el mismo por las

E

trayectorias I, II, III.

B

A

3. WACampo B   VA  VB  q  VAq  VBq

S

WACampo B  EPA  EPB

El trabajo del campo es igual a la diferencia de energía

VA = VB = VC

A. Para una carga Puntual

potenciales eléctricas de "q" en los puntos A y B.

las superficies equipotenciales son esféricas y concéntricas donde la carga está en el centro. S2

IV. TRABAJO REALIZADO POR UN AGENTE EXTERNO

S1

y

A

E

F=Eq B

Fext

C

B

q A Además:

Despreciando el peso de la carga: WNeto  ECF  ECO

x

VS1 > Vs2

VA = VB; porque están en S1. VA = VB; porque están en S2.

B. Para un Campo Eléctrico Uniforme

F

WAext B    VA  VB  q

Las superficies equipotenciales son superficies planas. S2 S1

WAFext B   VB  VA  q F Trabajo realizado por la fuerza del agente WAext B  externo sobre la carga puntual "q" desde la posición inicial "A" hasta la final "B" a velocidad constante.

A x=B B

Caso Particular: Si A    infinito  VA  0 Luego:

E

F

ext  V q W B B

VA  VB  Ed Observaciones: F W ext 1. VB  B q El potencial en un punto es el trabajo que realiza el agente externo para trasladar cada una de las cargas desde el infinito hasta el punto, a velocidad constante. 2. El trabajo del agente externo es trasladar a "q" a velocidad constante desde el infinito hasta el punto, es igual a la energía potencial eléctrica que adquiere la carga en el punto. 3. El punto d el agente externo a velocidad constante no depende de la trayectoria seguida por la carga entre dos posiciones fijas. LIBRO UNI

VA  VB

Unidad (S.I): 1 voltio (V) = 1 N . m  1 V  1 N C m C Demostración:

d F = Eq

q A

E B

WACampo B   VA  VB  . q Eqd   VA  VB  . q VA  VB  Ed

79

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA II

Exigimos más! Energía potencial eléctrica almacenada en un sistema de dos cargas puntuales. La energía potencial almacenada puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo de las cargas q1 y q2.

Observación: 1. Las cargas positivas soltadas en un campo eléctrico tienden a moverse de mayor a menor potencial eléctrico y las negativas de menor a mayor potencial eléctrico.

En general Si el sistema consta de dos o más cargas, la energía potencial eléctrica del sistema se denomina como la sumatoria de las combinaciones de las energías de las cargas eléctricas tomadas dos a dos. Así, por ejemplo: Si tenemos el siguiente sistema de cargas: q2

VI. ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA PARA DOS CARGAS PUNTUALES Sea que se considere dos cargas puntuales en el espacio, libradas a sus interacciones mutuas, por lo tanto actuarán sobre ellas fuerzas eléctricas. Al desplazarse se realizará trabajo, si en el sistema existe la capacidad de realizar trabajo, entonces, el sistema almacenará energía que para nuestro caso será la energía potencial electrostática.

q3

q1 q1

q2

P

q4 USistemas  U12  U13  U14  U23  U24  U34

U12: Energía potencial eléctrica para un sisterma de dos cargas q1 y q2, separadas una distancia "d". Observaciones: 1. La energía potencial de un sistema de cargas nos

Fext : Trabajo realizado por una gente externo al W P

trasladar la carga q2 desde el infinito al punto P. U12 

F Wexterna

U12  q2 Vp



U12 



 q2 Vp  V

indica el trabajo realizado para formar el sistema

  q2Vp

de cargas y es independiente del orden en el cual se trasladan las cargas electricas.

Kq ; pero Vp  1 d

2. Si la energía potencial de un sistema de cargas es positiva significa que en el sistema predominan las fuerzas repulsivas, en caso contrario predominan

Kq1q2 d

las fuerzas de atracción.

problemas resueltos Problema 1 Dos cargas puntuales Q1  50C y Q2  100C están separadas una distancia de 10 cm. El campo eléctrico en el punto P es cero. ¿A qué distancia, en cm, de Q1 está P?

fuerza gravitacional entre dos protones. N  m2 G  6, 67 x 10 11 kg2

Como: EP  0  E1  E2 k 50 C x2



k 100 C

 x  10cm2

2

  x  10cm  2x2

 x  10 cm  x 2  x  10  2  1 cm  x  24,14 cm

UNI 2009 - II Nivel fácil B) 24,14 C) 25,14 E) 27,14

A) 23,14 D) 26,14

Resolución:

LIBRO UNI

Respuesta: B) 24,14 cm Problema 2 Calcule aproximadamente la carga eléctrica que debería tener un protón (en C) para que la magnitud de la fuerza eléctrica sea igual a la magnitud de la

80

K  9 x 109

N  m2

C2 Masa del protón, mp = 1,67 x 10–27 kg UNI 2010 - I A) 5,43 x 10–47 B) 1,43 x 10–37 C) 2,23 x 10–27 D) 3,33 x 10–17 –7 E) 6,13 x 10

Resolución:

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA II

Exigimos más! FElect = FGrav 2

Kq

2



Gm

d

d2

qm

G K

2

Reemplanzando valores y operando: q  1, 67  1027 

6, 67  1011 9  109

q = 1,43 × 10–37 C

Respuesta: B) 1,43×10–37 Problema 3

LIBRO UNI

Una pelota de ping pong colgada del techo (ver figura) es pintada con grafito (de manera que su superficie se vuelve conductora). Cuando la pelota está descar-gada se le acerca una carga negativa Q, sin tocar la pelota. Entonces la afirmación correcta es: UNI 2008 - II A) La pelota será rechazada por el efecto de la inducción de cargas. B) La pelota oscilará ya que las cargas inducidas cambiarán de signo cada vez. C) No pasará nada ya que la pelota está descargada. D) La pelota será atraída porque las cargas inducidas cercanas a Q serán

81

negativas. E) La pelota será atraída porque las cargas positivas inducidas estarán más cercanas a Q.

Resolución:

La carga Q induce cargas en la esfera de ping pong, y es atraído debido a que las cargas positivas inducidas están más cerca a trasladar Q. La pelota será atraída hacía –Q a las

FÍSICA

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA III DESARROLLO DEL TEMA I.

PROPIEDADES ELECTROSTÁTICAS DE LOS CONDUCTORES Una característica básica de los conductores es que en ellos siempre hay una gran cantidad de cargas libres o partadores móviles de carga (electrones y/o iones) los cuales bajo la acción de un campo eléctrico se desplazan con gran facilidad a través del conductor. Este desplazamiento dirigido de las cargas libres en el conductor, bajo la acción del campo, siempre se produce de tal manera que el campo en el interior del conductor se debilite. Como el número de cargas libres en un conductor metálico es enorme (1022 e  / cm3), su movimiento bajo la acción del campo se efectua hasta que el campo eléctrico en el interior del conductor desaparezca por completo. – Así pues, cuando un conductor se encuentra en un campo eléctrico, se electriza de manera que uno de sus extremos adquiere carga positiva y el otro negativa, ambas de igual magnitud. Esta electrización recibe el nombre de inducción electrostática o electrización por influencia. Cabe notar, que en este caso se redistribuyen los electrones del conductor por lo que al sacar el conductor del campo eléctrico sus cargas positivas y negativas se vuelven a repartir uniformemente y el conductor será electricamente neutro.

volumen equipotencial. En particular la superficie del conductor es una superficie equipotencial. 3. El campo eléctrico es perpendicular a la superficie externa del conductor en cada uno de sus puntos. 4. La carga neta del conductor, presentando una densidad superficial de carga () mayor en los lugares donde existan puntas o esquinas. 5. Si dos conductores cargados a diferentes potenciales se ponen en contacto, intercambian carga eléctrica hasta que sus potenciales se igualen. 6. Si el potencial del conductor se mantiene constante, entonces aisla electricamente su interior del exterior. Nota. La densidad superficial de carga () permite caracterizar la dist ribución de la carga electricamente sobre una superficie dada y se define como: 

Carga eléctrica Unidad del área

Unidad: cm–2 Para el caso de un conductor esférico se cumple: 

Q 4R 2

E

KQ R

V

–

2

 cte



 E

KQ R

Cuando el conductor posee una carga neta diferente de cero (conductor cargado o electrizado) y se encuentra en equilibrio, el conductor presenta las siguientes características: 1. En el interior del conductor el campo eléctrico es nulo. 2. Todos los puntos del conductor poseen el mismo potencial por lo que el conductor es un LIBRO UNI

82

FÍSICA

ELECTROSTÁTICA III

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II. CAPACITANCIA (C)

III. CAPACITADORES Los conductores aislados tienen poca capacitancia, por ejemplo una esfera de las dimensiones de la Tierra tiene solamente 7004 F de capacidad, además su capacitancia cambia cuando se acercan otros cuerpos cargados o cuerpos conductores. (cargados o neutros). Debido a esto en la práctica se emplean unos dispositivos denominados condensadores o capacitadores los cuales acumulan carga eléctrica y energía y cuya capacitancia no depende de las condiciones externas, es decir tiene un valor determinado. Todo capacitador esta formado por dos conductores, llamados placas o armaduras, en los que se acumulan las cargas. Las placas adquieren cargas de igual magnitud pero de signos opuestos cuando se establece una diferencia de potencial entre ellos. A la magnitud de la carga eléctrica que adquiere cualquiera de las armaduras se le denomina carga del capacitor.

La carga que se le comunica a un conductor se distribuye por su superficie de tal modo que la intensidad del campo dentro de él sea nulo. Esta distribución es única, es decir, las cargas de distinta magnitud se distribuyen análogamente en un conductor aislado (La relación de las densidades de carga en dos puntos arbitrarios de la superficie del conductor, cualquiera sea la magnitud de la carga, será la misma). Esto implica que el aumento en cierto número de veces de la carga conduce el crecimiento en el mismo número de veces de la intensidad del campo en cada punto del espacio que rodea el conductor. Respectivamente, el mismo número de veces aumenta el trabajo de traslación de una carga unitaria desde el infinito hasta la superficie del conductor, es decir, el potencial del conductor. Por lo tanto para un conductor aislado. q(o.p.)V  C 

unidad : faradio (F) 

q  Const V

Coulomb(c) voltio(V) Relaciones: (1) Q: Carga del capacitor. (2) V = V1 – V2: diferencia de potencial o voltaje. (3) Capacitancia: Q C  Cte V (4) Energía del capacitor cargado: V

Luego la capacidad es numéricamente igual a la carga que comunicada al conductor eleva su potencial en una unidad. El valor de la capacidad de un conductor aislado depende: 1. De su forma geométrica y dimensiones. 2. Del medio que rodea al conductor. * Para un conductor aislado la gráfica carga (Q) – potencial (V): Tg 

q c V

Área 

QV CV 2 Q2   2 2 2C

Para que la capacitancia del capacitor no dependa de los cuerpos que lo rodean, todo el campo eléctrico de sus cargas debe estar concentrado en el espacio entre las armaduras. Por ello la distancia entre las armaduras del capacitor debe ser pequeña comparada con las dimensiones líneales de las armaduras. Con estas condiciones la capacitancia depende de la forma geométrica de las armaduras, de su disposición mutua así como del dieléctrico de las armaduras, de su disposición mutua así como del dieléctrico (aislantes existentes entre las armaduras). Ejemplo: Capacitor plano o de placas paralelas 1, 2  Armaduras; 3  dieléctrico. S  Área de las armaduras. A. Para evitar los efectos de borde y obtener una capacitancia constante: d VB) Conductor metálico

A. Ley de Ohm: conductores metálicos

II. INTENSIDAD DE CORRIENTE (I) Caracteriza la rapidez con la cual se desplazan las cargas libres que forman una corriente. Determina la cantidad de carga que pasa por la sección transversal del conductor en la unidad de tiempo. I

V D.P. I 

Unidad: Ohm () 

Q t

Volt (V) Ampere (A)

B. Ley de Pouillet La resistencia de un conductor depende de dos factores: 1. Forma geométrica y dimensiones del conductor. 2. Del material que forma el conductor.

Unidad: Coulomb (C) Ampere (A) = Segundo (s)

LIBRO UNI

V = cte. I

86

FÍSICA

ELECTRODINÁMICA

Exigimos más! Para un conductor de sección recta uniforme: L A

A

A

• •

R.D.P.L 1 R.D.P A



R=

L A

•

"I" es común V  V1  V2  V3 R E = R1 + R 2 + R 3

B. Paralelo

Donde la cantidad "  " se denomina resistividad, y su valor depende del material empleado y de la temperatura.

IV. POTENCIA ELÉCTRICA (P) Determina la cantidad de energía que consume o suministra un dispositivo eléctrico en la unidad de tiempo.

P  I V

• •

Unidad: Watt (W) = Ampere (Volt) Para una resistencia (R) Ohmica ( V = IR) se tiene:

• P  IV  I2R  V 2 / R

" V " es común I = I1 + I2 + I3

1 1 1 1 = + + R E R1 R 2 R 3

VII.FUENTE DE ENERGÍA ELÉCTRICA

V. EFECTO JOULE

Llamada también generador, es un dispositivo que es capaz de establecer una diferencia de potencial y suministrar la energía necesaria para que las cargas libres formen una corriente.

Aplicación del principio de conservación de la energía. La energía consumida por una resistencia se transforma completamente en calor, por lo que la potencia se puede expresar como:

E. mecánica E. química M P=

Energía consumida Calor Generado (Q) = Tiempo Tiempo



G



VIII.FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM ;  ) Característica de un generador, la cual indica la energía mecánica, química, etc., que se transforma en energía eléctrica por unidad de carga eléctrica que circula por el generador. La fem es una característica del generador, y no depende de la intensidad de corriente que circule a través de este.

Donde: Q = Pt  Q = I2 Rt Unidades: Joule = W  s  A 2    s

Observación: 1. La cantidad de calor no depende del sentido de la corriente. 2. Para expresar "Q" en calorías, recordar: 1 J = 0,24 cal.

VI. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS A. Serie

 = Energía Carga

Unidad: Volt (V) = J/C LIBRO UNI

Energía eléctrica

87

FÍSICA

ELECTRODINÁMICA

Exigimos más! Observación 1. Todo generador, debido a los elementos que lo forman, presenta una resistencia interna (r).

V = Va – Vb =  – Ir

Carga del generador:

V = Va – Vb =  + Ir

2. El voltaje entre los polos de un generador depende de la intensidad y sentido de la corriente que circule a través de este. Descarga del generador:

Casos Particulares: I. I = 0 (circuito abierto) V   II. r = 0 (generador ideal) V   Luego, se tiene:  : Energía que suministra el generador V : Energía neta ganada o perdida

problemas resueltos Problema 1 Dos focos idénticos se colocan en serie y desarrollan una potencia de 100 W. Calcule la potencia, en W, que desarrollarían los focos si se conectan en paralelo. En ambos casos los focos se conectaron a la misma fuente de voltaje. UNI 2010 - I A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

Problema 2

Resolución:

Se desea medir la corriente que pasa

Recordar que:

por la resistencia R y el voltaje en di-

Voltímetro  se conecta en paralelo

cha resistencia. Determine cuáles de los circuitos cumplen con dicho objeti-

Amperímetro  se conecta en serie

vo, donde A representa un amperímeLuego las posibles conexiones son:

tro y V un voltímetro.

I)

Resolución: II)

PS 

V2 R equiv.

Pp 

serie

2 PS  V 2R

V2

III)

R equiv. paral.

PP 

V2 R 2

Respuesta: C) Solo III IV) Problema 3

 PP  4PS

UNI 2009 - I

las ideales de 1,5 V con un foco de

A) Solo I Reemplazando datos y operando:

B) Solo II

PP = 400 W

C) Solo III

Respuesta: D) 400 W LIBRO UNI

Los siguientes circuitos conectan 4 pifilamento incandescente. ¿En cuál de los siguientes circuitos alumbrará más el foco?

D) Solo IV

UNI 2008 - II

E) II y IV 88

FÍSICA

ELECTRODINÁMICA

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A)

D)

E)

B)

Aplicamos la ley de Ohm en el circuito:

Resolución El foco alumbrará más en aquel circuito en donde la potencia disipada (P) por este sea mayor esto es donde la corriente (I) que circula por el foco sea mayor.

C)

LIBRO UNI

89

I

4 R

Respuesta: E)

FÍSICA

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO I DESARROLLO DEL TEMA I.

MAGNETISMO Es aquella propiedad que presentan algunos cuerpos de atraer pequeñas limaduras de hierro. Debe su nombre a que fue originalmente estudiada en la ciudad de Magnesia, antiguo reino de Asia menor.

II. IMÁN 

Es todo cuerpo que tiene la propiedad de atraer limaduras de hierro, así como el de orientarse al ser suspendido en el aire desde su centro de gravedad.

B : Vector inducción magnética

E. Magnetismo Terrestre

A. Características • •

Son sustancias de óxido de hierro (Fe3O4). Poseen dos regiones (polos): polo norte y polo sur.

•

Los polos son inseparables.

B. Tipos Naturales y artificiales.

F. Experimento de Oersted Realizando investigaciones sobre la transmisión de corriente eléctrica a través de organismos vivos, Oersted descubrió que en los alrededores de una corriente eléctrica aparece siempre un campo magnético, cuya forma es de circunferencia alrededor de la corriente y cuyo sentido se determina de acuerdo a la regla de la mano derecha.

C. Polos magnéticos Vienen a ser las zonas del imán donde se concentra más intensamente su imantación. En un imán recto aparecen dos polos magnéticos: uno norte y otro sur: d L 12 Siendo de la distancia del polo al extremo próximo de la barra, y L es la longitud de la misma.

I

D. Campo magnético de un imán B

Perturbación o modificación del espacio alrededor del imán donde se manifiesta su poder magnetizante. El campo magnético se representa por líneas de fuerza, las cuales salen de los polos norte e ingresan a los polos sur. El vector intensidad de campo se graficará tangente a las líneas de fuerza y apuntando en la dirección el la que se movería a un polo norte. LIBRO UNI

Convención: I. Saliente I. Entrante 90

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO I

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III. LEY DE BIOT - SAVART - LAPLACE

Donde: N: número de espiras.

A. Segmento de corriente

Dirección de B. Regla de la mano derecha.

E. Fuerza magnética sobre una carga móvil

Bp 

Cuando una carga eléctrica penetra en un región donde existe un campo magnético se producirá una interacción entre el campo externo y el campo magnético de la propia carga. Como toda interacción esto originará una fuerza que actuará sobre la carga en movimiento, dicha fuerza es perpendicular al plano, que contiene al campo y a la velocidad.

 0I  Sen  Sen  4 d

Donde: o : permeabilidad magnética del vacío. o = 4 . 10-7 (Wb/A.m) (aire o vacío).

B. Caso particular Conductor rectilíneo infinitamente largo.

Caso particular – Fuerza magnética sobre un segmento de corriente Se puede considerar que un segmento de corriente no es más que el movimiento de cargas eléctricas, si sobre cada una de ellas actúa una fuerza magnética, se podrá afirmar que la fuerza magnética resultante sobre dicho segmento es la resultante de todas aquellas fuerzas.

Donde: r: distancia de B al conductor. I: intensidad de corriente eléctrica.

C. Para una corriente circular (espira)

– Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

D. Bobina o Solenoide

LIBRO UNI

91

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO I

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problemas resueltos

Problema 1

•

Una partícula de carga 4C y masa 0,4 mg es lanzada desde el origen de coorde-nadas con una velocidad inicial paralela al plano XY. Toda la región se encuen-tra bajo la  acción de un campo magné-tico B  2T k . C al c u le l as c om p o ne n t es d e l a velocidad inicial en m/s de esta carga si queremos que pase por el punto P(30, 40, 0) cm y perpendicularmente a la recta que une los puntos O y P. (1C  10 6 C)

UNI 2010 - I

Usando la relación:

Fmg  mac  qvB  m

•

v2  qB  R  mV R

Reemplazando:

4x106 x2  25x102  4x10 7 Vo Vo  5 m/s •

Los componentes serán:

 B = 0,12 Tesla Respuesta: D) 0,12 T



Problema 3

B = 2T

Respuesta: B) 2 T

B) 4i  3j

C)

3i  4j

E)

3i  4j

D) 4i  3j

Resolución:



Piden la velocidad inicial V o.

F – I: 1, 8  10 2 N  (3A)(5  10 2m)BSen90

V o  4ˆi  3jˆ m/s

A) 3i  4j

Considerando cualquier par de valores

Problema 2 Con el próposito de medir el valor de un campo magnético uniforme, se colocó en este campo un conductor rectilíneo, perpendicular a las líneas de inducción. Al medir la fuerza magnética que actuó sobre una porción del conductor, para diversos valores de la corriente que lo recorría, se obtuvieron los siguientes valores:

Se fabrica una bobina con 200 vueltas de alambre sobre una horma cuadrada, de tal manera que cada espira es un cuadrado de 18 cm de lado. Perpendicularmente al plano de la bobina se aplica un campo magnético c uya magn itud ca mbia linealmente de 0,0 T a 0,5 T en 0,8 s. Calcule la magnitud de la fuerza electromotriz inducida, en voltios, en la bobina. A) 2,05 D) 5,05

B) 3,05 E) 6,05

UNI 2009 - I C) 4,05

Resolución:  Nos piden: ind  N t Sabiendo que la longitud de esta porción del conductor es   5, 0 cm, determine con ayuda de la gráfica F vs I, el valor del campo magnético, en teslas.

UNI 2009 - I Vista superior

A) 0,06

B) 0,08

D) 0,12

E) 0,14

En nuestro caso A y  son constantes por lo que:   ACos B

C) 0,10

Resolución:

B   ind  N ACos    t 

Como nos piden la magnitud:

Re cor da r q ue en un co nd uct or rectilíneo que se mueve dentro de un camp o mag-n ético, aparece una fuerza magnética (F M) cuyo módulo viene dado por: F  ILBSen LIBRO UNI

Sabemos:   BACos

92

 0, 5  ind  200 x (18 x 10 2 )2 .1.    0, 8 

ind  4, 05V

Respuesta: C) 4,05 V FÍSICA

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO II INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA DESARROLLO DEL TEMA I.

III. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA EN UNA ESPIRA - LEY DE FARADAY

FLUJO MAGNÉTICO (  ) El flujo magnético viene a ser la cantidad de magnetismo que pasa a través de una superficie.

La variación del flujo produce la corriente inducida.

ino  N  t IV. LEY DE LENZ "En una espira el sentido de la corriente inducida es tal que su campo magnético se opone a las variaciones de flujo magnético exterior".

V. GENERADOR ELÉCTRICO Es la máquina que transforma alguna forma de energía en energía eléctrica. Incluye a las pilas voltaicas, máquinas electrostáticas, baterías térmicas, paneles solares, etc. En la actualidad predominan los generadores de corriente alterna (alternadores) debido a que permiten obtener corriente y tensiones eléctricas muy elevadas. Su funcionamiento se basa en el principio de inducción electromagnética. Analicemos el modelo simplificado de un generador de corriente alterna.

II. BARRA En el diagrama se muestra una barra conductora de longitud L moviéndose con velocidad en forma perpendicular a un campo magnético entrante.

LIBRO UNI

93

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO II -INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Exigimos más! ....mediante el flujo de vapor (en las centrales hidroeléctricas se aprovecha la caída de las aguas de los ríos) se hace rotar la turbina y por lo tanto también a las espiras, entonces el flujo magnético (inductor) que atraviesa el área limitada por las espiras, aumenta y disminuye, lo que induce una corriente eléctrica en las espiras obviamente variable con el tiempo lo que permite que el foco ilumine. ¡Se ha obtenido corriente alterna!

Para el generador anterior; la Ley de OHM será:

Observaciones

¡Ecuación de la intensidad de corriente de la corriente alterna! ¿Qué es la corriente alterna? Es aquella corriente eléctrica cuya intensidad y dirección varía con el tiempo, pero dependiendo de funciones armónicas (seno o coseno). Importante: Cuando un circuito sólo tiene resistores, las leyes de OHM y de Kirchoff se aplican tan igual como si se tratase de corriente continua. Ahora: ¿Qué tipo de corriente eléctrica llega a nues-tros domicilios? Corriente alterna, cuyo voltaje es variable como ya lo hemos explicado. Pero ¿Por qué los instrumentos de medición eléctrica no son capaces de oscilar al mismo ritmo de las elevadas frecuencias de corriente alterna, por ello los valores que nos indican son valores eficaces?

=IR Para cualquier instante: I

 I(t) = Imáxsen( t)

1. Corriente inducida se debe a una f.e.m. inducida entre "A" y "B", entonces por la ley de Faraday para la inducción electromagnética:



  Imáx sen(Wt) R

d .........(I) dt

2. A medida que la espira gire, el flujo magnético varía. En un instante cualquier "t", el flujo magnético se obtiene según:

= B ACos  ......(II)

  BA d (Cos) dt

como q =

t,

se obtiene:

¿Qué es la corriente eficaz?

 = B A  Sen(t)

Es una corriente equivalente (constante), con la cual se disipa la misma cantidad de calor que la que se disipa con corriente alterna. Experimentalmente se obtiene que la cantidad de calor disipada con una corriente eficaz es la mitad de la disipada por la máxima intensidad de la corriente alterna. Es decir:

 = rapidez angular con la que rota la espira. Conclusión La f.e.m. producida por un generador de corriente alterna es de la forma: (t) = máx . sen(t)

donde: xmáx = B A



1 Q  0, 24 I2ef Rt   0,24  I2máxRt 2

 

Observe el comportamiento senoidal de "  ".

De donde se obtiene: I Ief  máx 2

luego: V Vef  máx 2

Si consideramos sólo la resistencia eléctrica de las espiras, la representación del circuito será: Luego:

Un aspecto resaltante en el domicilio y la industria, es que no todos los dispositivos eléctricos y/o electrodomésticos funcionan con el mismo tipo de corriente eléctrica de igual intensidad, por ello se hace necesario LIBRO UNI

94

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO II -INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Exigimos más! transformar la corriente eléctrica mediante dispositivos, como los transformadores.

De la Ley de Faraday para la inducción electromagnética, se demuestra que las tensiones en arrollamiento primario y secundario dependen de la frecuencia, nú-

¿Qué es un transformador?

mero de espiras y el flujo inducido. VP = 4.44f . NP .  máx VS = 4.44f . NS .  máx VP = VS: valores eficaces de la tensión

Es aquel dispositivo que funciona con CORRIENTE ALTERNA y que mediante el fenómeno de INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, eleva o reduce el voltaje y la intensidad de corriente en los terminales de los enro-llamientos PRIMARIO y SECUNDARIO. Estos enro-llamientos están acoplados generalmente a un núcleo sólido o laminado de hierro o de acero, el cual sirve para intensificar el flujo magnético (confina las líneas del campo magnético que genera la corriente en el enrollamiento primario).

VP N  P VS NS



En los transformadores potentes modernos, las pérdidas totales de energía no superan a un 2 a 3 de allí que podemos considerar: Pentrada = Psalida VP . IP = VSIS 

I VP N  P  S VS NS IP

Observación: Durante el funcionamiento de un transformador, se disipa energía en los enrollamientos debido al efecto joule, pero en mayor cantidad en el núcleo, debido a:

...Debido a que la corriente de entrada es alterna, en el primario se establece un flujo magnético que es orientado por el núcleo hacia el secundario, donde se induce una corriente de acuerdo a inducción electro-magnética.

A. La histéresis Son pérdidas de tipo magnético debido al magnetismo residual del material. E-- se contrarrestra con aleaciones de hierro.

Esquema convencional de un transformar

B. Pérdidas por corriente parásitas Llamadas pérdidas por corriente Foucault. Esto se debe a las corrientes circulares que se generan en el hierro y pueden evitarse mediante el laminado del núcleo, asilándolos mutuamente por ejemplo por un baño de aceite.

problemas resueltos

Problema 1

A) 333 x 10 9

La magnitud del campo eléctrico de una

B)

333 x 10  6

onda electromagnética que viaja en el

C)

 x 104

vacío está descrita, en el Sistema Internacional de Unidades, por la relación:



E  100 sen 107 x   t 2





 7 E  100  Sen 10 x  t 2 E max



Emax  102 N C

D)  x 102 E) 10 

Usando: Emax  CBmax

Resolución:

102  3x108Bmax

Calcule aproximadamente, en dicho sistema de unidades, la amplitud de la onda

Piden la amplitud de la onda magnética.

magnética correspondiente.

Tenemos la magnitud del campo eléc-

UNI 2010 - I LIBRO UNI

 Bmax  333 x 10 9 T

Respuesta: A) 333 x 10–9 T

trico. 95

FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO II -INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Exigimos más! Según el problema:

Problema 2 Una partícula cargada con carga +q y energía cinética Tc viaja libremente en la dirección positiva del eje x acercándose al origen de coordenadas 0, en donde a partir del eje x positivo, existe un campo eléctrico E y un campo magnetico B constantes (ver figura). Considerando que los efectos de la grave-

TC 

2 TC 1 mv 2  v 2  2 m

D)

Si continuó su viaje en línea recta; entonces la fuerza resultante en el eje Y es nula. Entonces: FElect. = FMag.

dad son insignificantes, y que la partí-

E q  q Bv

cula continuó su viaje libremente se-

v

gún el eje x, determine la masa de la partícula.

... (*)

E)

F B

Resolución:

Elevando al cuadrado: F v 2    B

Campo magnético de un conductor rectilíneo.

2

La orientación del campo magnético viene dada por la regla de la mano derecha, para un conductor como el mostrado en la figura será.

Reemplazando de (*) y operando.

B Respuesta: C) 2 TC   E

A) B)

Tc

UNI 2008 - II

2

 B 2T   E B 2T   E T B  2 E B E

D)

c

E)

transportan corrientes eléctricas de igual intensidad i. Indique cuál de las siguientes figuras representa mejor el campo

2

Tc  B   2E

muy largos y aislados entre sí que se cruzan perpendicularmente. Los alambres

c

c

Problema 3 En la figura se muestran dos alambres

2

2

C)

2

magnético en el plano de alambres. 2

•

Indica un campo magnético perpendicular hacia afuera de la hoja.

•

Indica un campo magnético perpendicular hacia adentro de la hoja.

Además la intensidad del campo depende de la distancia según: o I B  2 d

UNI 2008 - I

Resolución

es decir el campo es innecesariamen-

Tener en cuenta las direcciones de los vectores velocidad (v), campo mag-

te proporcional a la distancia. Bajo esA)

tas consideraciones el campo para la

nético (B) y el movimiento rectilíneo

configuración dada será:

de la carga.

B)

C)

 

Respuesta: A) B  0 LIBRO UNI

96

FÍSICA

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA I DESARROLLO DEL TEMA En la óptica se estudia los fenómenos cuyo origen está en la luz. En particular la óptica geométrica estudia los fenómenos para los cuales se emplea la hipótesis de la propagación rectilínea de la luz. La experiencia permite establecer que la luz es una forma de la energía, ya que en todos los cuerpos en los cuales se engendra, se producen fenómenos donde alguna forma de energía se transforma en luz.

I.

n C V

III. REFLEXIÓN DE LA LUZ Cuando la luz llega a una superficie, es decir, cuando incide sobre ella, parte de la luz regresa al medio original y parte pasa al material que forma la superficie. La porción de luz que vuelve al medio de incidencia, y que se propaga en otra dirección, ha experimentado una reflexión y se denomina luz reflejada.

VELOCIDAD Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ La luz en un medio transparente homogéneo isótropo la luz se propaga en línea recta a velocidad constante. Un medio es homogéneo cuando tiene las mismas propiedades en todos sus puntos, e isótropo cuando todas sus direcciones son equivalente. Con respecto a la velocidad de propagación se tiene: 1. La luz se propaga en el vacío con una velocidad fija independiente del color, de valor C  3  10 8 m / s . 2. La velocidad de la luz en todo medio homogéneo, en una dirección dada, es constante; y, cuando el medio no es el vacío, es menor que en aquel y diferente para cada color.

 

1. Rayo incidente: I  AB 2. Rayo reflejado: R  BC

3. Normal (BN): perpendicular a la tangente en el punto de incidencia (B). 4. Ángulo de incidencia (i).

Debido a esta propagación rectilínea de la luz las direcciones de propagación se indican mediante líneas rectas a las que se denominan rayos de luz.

5. Ángulo de reflexión (r). Notemos que la reflexión consiste simplemente en la rotación del rayo de la dirección primitiva BD a la dirección definitiva BC, por el giro del ángulo  alrededor de B, de BD hasta BC. La reflexión obedece las siguientes leyes:

A. 1º ley

II. ÍNDICE DE REFRACCIÓN (n) Para un medio transparente se define el índice de refracción como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (C), y la velocidad de la luz en ese medio (V). LIBRO UNI

El rayo reflejado, el rayo incidente y la normal se encuentran en un mismo plano perpendicular a la perpendicular a la superficie reflectora en el punto de incidencia. 97

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA I

Exigimos más! Se denomina objeto al cuerpo a partir del cual se trazan los rayos de luz que inciden sobre el espejo. El objeto se encuentra ubicado en la zona real por lo que distancia del objeto al espejo es positiva. Se denomina imagen a la figura geométrica la cual se obtiene por: 1. El corte de los rayos reflejados, en este caso la imagen es real. Esta imagen se forma en la zona rela y para observarla es necesario ubicar una pantalla en la región donde se cortan los rayos. 2. El corte de las prolongaciones de los rayos reflejados, en este caso la imagen es virtual, se forma en la zona virtual y se puede observar directamente en el espejo aparentemente dentro de él.

B. 2º ley El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Cuando un haz de luz incide sobre una superficie lisa, plana, la luz es reflejada en una única dirección. En este caso, se denomina reflexión irregular o difusa.

En este caso la imagen presenta las siguientes características: 1. Imagen virtual y de igual tamaño que el objeto. 2. La distancia de la imagen al espejo es igual a la distancia del objeto al espejo. 3. La imagen es simétrica con el objeto respecto al espejo.

Notemos que la reflexión difusa es el resultado de muchas reflexiones regulares en gran número de pequeñas superficies próximas.

V. ESPEJOS ESFÉRICOS

IV. ESPEJOS

Casquete de esfera pulido. Si está pulido en la parte interior, es cóncavo y convexo en caso contrario. Elementos de un espejo esférico:

Toda superficie convenientemente pulida en la cual tiene lugar la reflexión de la luz, prácticamente sin difusión, se denomina espejo. Los espejos se clasifican según la forma geométrica de la superficie pulida. Para todo espejo se distinguen dos zonas:

A. Zona real Región que se encuentra delante del espejo, en esta región se propagan los rayos incidentes. En esta región toda distancia medida se considera positiva. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

B. Zona virtual Región que se encuentra aparentemente detrás del espejo. Toda distancia medida en esa región se considera negativa.

Centro de curvatura (C) Radio de curvatura (R) Vértice (V) Foco principal (F) Distancia focal (f = VF)  Eje principal xy Abertura (  )

Si la abertura es pequeña (   10 ) se cumple: fR 2 LIBRO UNI

98

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA I

Exigimos más! Formación de imágenes

D. Ecuaciones de los espejos esféricos

A. Rayos principales Rayos incidentes cuyos rayos reflejados pueden trazarse fácilmente. Estos rayos son: 1. Rayo paralelo (RP) Rayo que incide paralelo al eje principal: se refleja pasando por el foco. 2. Rayo focal (RF) Rayo que incide pasando por el foco; se refleja paralelo al eje principal.

o: distancia objeto i: distancia imagen

3. Rayo central (RC) Rayo que incide pasando por el centro; como llega perpendicular al espejo, el rayo reflejado coincide con el incidente.

f: distancia focal hi: altura de la imagen h0: altura del objeto 1. Ecuación de Descartes 1  1 1 f o i 2. Ecuación del aumento (A) A

B. Imágenes de un esjejo cóncavo 1. Objeto entre el vértice y el foco: im. virtual; derecha; aumentada. 2. Objeto en el foco; no se forma imagen. 3. Objeto entre el foco y centro de curvatura: im. real, invertida y aumentada. 4. Objeto en el centro de curvatura: im. real; invertida y de igual tamaño del objeto. 5. Objeto más allá del centro de curvatura: im. real: invertida y de menor tamaño que el objeto.

hi i  ho o

Convención de signos:

C. Imágenes de un espejo convexo Para cualquier posición del objeto la imagen es virtual derecha y de menor tamaño que el objeto.

problemas resueltos Problema 1 Se coloca un objeto a 3,0 m de un espejo esférico convexo cuya distancia focal es –0,25 m. Calcule aproximadamente el aumento de la imagen. UNI 2010 - II A) 0,055 B) 0,066 C) 0,077 D) 0,088 E) 0,099 LIBRO UNI

Resolución: Ubicación de incógnita El aumento del espejo. Análisis de los datos o gráficos Tenemos la distancia focal (f), la distancia objeto (o) y con la ecuación hallaremos la distancia imagen (i). Operación del problema 1 1  1 – 1 1  1 f i o 0, 25 i 3 99

Operando: i  – 3 m 13 Conclusión y respuesta – 3    i A  –  A  –  13   1 o 3 13  A  0, 077 aprox

Respuesta: C) A = 0,077 aprox FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA I

Exigimos más! Problema 2 A 40 cm de un espejo convexo de distancia focal 10 cm se coloca un objeto. Calcule la distancia (en cm) de la imagen al espejo. UNI 2009 - II A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Resolución: Ubicación de incógnita Identificamos que la incognita del problema es la distancia de separación del espejo a la imagen (i). Operación del problema Del problema:

Aplicamos:

Resolución:

1 1 1 1 1 1      f i o 10 i 40

Graficando el enunciado:

Operamos:

Respuesta: C) i = – 8 cm

1 1 1   f i o

Problema 3 Un objeto luminoso se encuentra entre una pared vertical y un espejo cóncavo de 1,2 m de distancia focal. Sabiendo que la imagen se forma sobre la pared, ¿a qué distancia (en m) de la pared se encuentra el espejo, si el objeto se ubica a 1,8 m de la pared? A) 0,9

UNI 2008 - II B) 1,8

C) 2,4

D) 3,6

E) 4,8

LIBRO UNI

Sabemos:

Ec. de Descartes

1 1 1   1, 2 x x  1, 8

Resolviendo: x = 3,6 m

Respuesta: D) 3,6

100

FÍSICA

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA II DESARROLLO DEL TEMA I.

REFRACCIÓN DE LA LUZ Modificación de la dirección de propagación de la luz

n senL  2 n1

cuando atraviesa la superficie de separación de 2 medios transparentes (interfase). Elementos:

III. LENTES ESFÉRICAS DELGADAS 1. Rayo Incidente (I)

Medio transparente limitado por dos superficies esféri-

2. Rayo refractado (R)

cas o por una superficie esférica y una plana. En el

3. Normal (N)

caso de lentes delgadas, su espesor es pequeño, en

4. Ángulo de incidencia (1)

comparación de los radios de curvatura de las superfi-

5. Ángulo de refracción (2)

cies esféricas que limitan el medio transparente. Si consideramos que el índice de refracción de la lente es

Leyes de refracción

mayor que el del medio que la rodea se tienen los

1. El rayo incidente, refractado y la normal son co-

siguientes tipos de lentes:

planares (plano de incidencia).

A. Convergentes o de bordes delgados 

2. Ley de Snell: n1sen1  n2sen2 Teniéndose los siguientes casos: a. Si n1  n2   2  1 b. Si n1  n2   2  1

II. REFRACCIÓN INTERNA TOTAL Este fenómeno se produce cuando la luz pasa de un medio de mayor índice de refracción a otro de menor índice de refracción y cuando el ángulo de incidencia supera un cierto ángulo denominado ángulo límite para los medios considerados: LIBRO UNI

101

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA II

Exigimos más! B. Convergentes o de bordes delgados 

B. Ecuaciones de una lente

C. Elementos de una lente 1. Ecuación de Descartes 1  1 1 f o i

2. Ecuación del fabricante 1 1 1   (n  1)    f R R  1 2

1. Centros de curvatura (C1; C2) 2. Eje principal (xy) 3. Radios de curvatura (R1; R2)

3. Ecuación del aumento (A)

4. Focos principales (F1; F2) 5. Centro óptico (O)

A

6. Distancia focal (f = 0F1 = 0 F2)

hi i  ho o

7. Índice de refracción (n) 4. Potencia (P)

IV. FORMACIÓN DE IMÁGENES

f  metro P1 f P  dioptria

A. Rayos principales

Convención de signos

1. Rayo paralelo (RP) Rayo que incide paralelamente al eje principal: el rayo emergente pasa por el foco imagen.

2. Rayo focal Rayo que incide pasando por el foco objeto; el rayo emerge paralelo al eje principal.

3. Rayo Central (RC) Rayo que pasa por el centro óptico emerge sin sufrir desviación. LIBRO UNI

102

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA II

Exigimos más! C. Imágenes de una lente divergente

1. Objeto entre el centro óptco y el foco (0    o): imagen virtuald erecha, aumentada.

Para cualquier posición del objeto la imagen es

2. Objeto en el foco (o = f) no se forma imagen.

virtual y de menos tamaño que el objeto.

3. Si f < o < 22; im. real, invertida y aumentada. 4. Si o = 2f: im. real, invertida y de igual tamaño

D. Imágenes de una lente convergente

que el objeto.

Se tienen los siguientes casos:

5. Si o > 2f: im. real, invertida, reducida.

problemas resueltos

Operación del problema

Problema 1

La distancia focal de una lente convergente es de 8 cm. Se coloca un objeto frente a la lente y se obtiene una imagen real e invertida. Si la distancia entre el objeto y su imagen es de 32 cm, calcula la distancia, en cm, de la imagen a la lente.

UNI 2011 - I A) 2

Sea "x" la distancia entre los lentes. Se sabe:

8

i  o

i  16 cm

32

o  16 cm

Nos piden: = 16 cm

C) 8

Respuesta: D) 16 cm

D) 16 E) 32 Problema 2

Resolución: Ubicación de incógnita Nos piden: la distancia de la imagen.

Análisis de los datos o gráficos

fA = 10 cm fB = 10 cm

Reemplazando y operando:

i

B) 4

Resolución:

Dos lentes A y B convergentes iguales, de distancia focal 10 cm, se colocan separados una distancia x. Un objeto se coloca a 15 cm del lado de la lente A (ver figura). Si la imagen final se forma a la misma distancia de la lente B, calcule x, en cm.

Como las lentes tienen la misma distancia focal y entonces la imagen del objeto respecto al lente A se encuentra en el medio de los lentes A y B. 1 1 1 1 1 1      f i  10 x 15 2  x  60 cm

Respuesta: B) 60 cm Problema 3 Un espejo esférico cóncavo produce una imagen real tres veces mayor que el objeto. Determine la distancia focal del espejo, en cm, si la distancia entre el objeto y su imagen es 20 cm.

 i  32 Dato: o

UNI 2008 - II

UNI 2010 - I Aplicamos: 1 1 1   f i o 1 1 1   8 i o

LIBRO UNI

A) 50

A) 7,0

B) 60

B) 7,5

C) 70

C) 8,0

D) 80

D) 8,5

E) 90

E) 9,0 103

FÍSICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA II

Exigimos más!

i  o  3x  x = 20 cm

Resolución: Ubicación de incógnita De la relación:

Aplicación la ecuación de los espejos: i  hi o ho

Podemos sacar la distancia focal que es lo que nos piden.

1 1 1 1 1 1      f i o f 30 10 1 4  f 30 Si: i = 3x y o = x Conclusiones

Operación del problema Entonces: i = 3o = 3x

LIBRO UNI

Entonces la distancia entre la imagen y el objeto es:

104

f = 7,5 cm

Respuesta: B) 7,5 cm

FÍSICA

FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS DESARROLLO DEL TEMA I.

VARIACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO La ley de Faraday dice que la variación de un campo magnético induce una corriente eléctrica. pero una corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas producido solamente por un campo eléctrico. Por tanto, la ley de Faraday se puede expresar como: Una variación del campo magnético produce un campo eléctrico. Este campo eléctrico se produce aunque no haya conductor ni materia, puede ser en el vacío; se produce en la región en donde ocurre la variación del campo magnético.

(Onda electromagnética) y E

B

II. VARIACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO La simetría de la naturaleza es notable en muchos fenómenos; Maxwell lanzó la idea de que también la ley inversa podría existir; osea: Una variación del campo eléctrico produce un campo magnético. Esta segunda ley de inducción no es una sorpresa para nosotros y puede mostrarse de la siguiente manera. Se sabe que una carga produce un campo eléctrico a su alrededor, por ejemplo en un punto P. Si la carga está en movimiento, el campo eléctrico en P es variable y además la carga produce un campo magnetico en P. Se puede interpretar este hecho diciendo qué cargas en movimiento, corrientes o variaciones del campo eléctrico producen un campo magnético.

El gran triunfo de Maxwell es haber puesto estas leyes en ecuaciones y unificar completamente la electricidad y el magnetismo. Una de las consecuencias fundamentales de la teoría es deducir que si las cargas son aceleradas se producen campos eléctricos y magnéticos variables que se propagan en el espacio a la velocidad de la luz. Este campo electromagnético variable conjunto de los dos campos se denomina por analogía con las ondas luminosas, ondas electromagnéticas. 105

x

La solución de onda plana, es una onda sinusoidal, para la cual las amplitudes de campo E y B varía con "x" y "t" (tiempo) de acuerdo con las expresiones E = E oCos(kx – wt) B = B oCos(kx – wt) donde: E o y B o  son los valores máximos de los campos

2  donde  es la longitud de onda  w=2  f  donde f es el número de ciclos por segundo. El ángulo (kx – wt)  se conoce con el nombre de fase.

k= • •

III. TEORÍA DE MAXWELL

LIBRO UNI

z

Se cumple:

Eo = C  E o = C.B o Bo

IV. PROPIEDADES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Un estudio experimental permite mostrar que las ondas electromagnéticas son idénticas a las ondas luminosas: 1. Se propagan en el vacío con la velocidad de la luz y dentro de un medio su velocidad es igual a la de la luz en ese medio. FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más! 2. Se reflejan y refractan con las mismas leyes de la luz. La reflexión de las ondas electromagnéticas se utiliza en el radar para dirigir y recibir haces de ondas por medio de espejos parabólicos. 3. Interfieren y se difractan exactamente como la luz. 4. Pueden producir ondas estacionarias. Si a cierta distancia de la fuente se pone una pantalla metálica, las ondas incidentes y reflejadas se suman y producen nodos y vientres de E y de B. Hertz en 1888 comprobó experimentalmente todas estas propiedades con gran exactitud. Los campos eléctricos y magnéticos se pueden evidenciar por sus efectos.

En general la velocidad de las ondas electromagnéticas dependen del medio en el c ual se pro pagan. Naturalmente en el vacío toma su máximo valor J.C. Maxwell demostró que las ondas electromagnéticas en el vacío se propagana con la velocidad de la luz (C). VCEM = C =

1

= 3  108m / s

oo

o = 4  10 –7 wb / A  Permeabilidad magnética en el vacío o = 8, 85  10 –12 C2 / Nm2  Permeabilidad eléctrica

en el vacío

V. VELOCIDAD DE LA ONDA ELECTROMAGNÉTICA El producto de la frecuencia de una onda por su lo ngitud de o nda es la velo cidad de la on da electromagnética (VOEM) VOEM = f =

Denominación

 T

VI. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Las ondas electromagnéticas cubren un rango de frecuencia o de longitudes de onda muy grande. Usualmente se les clasifica de acuerdo con la naturaleza de la fuente que los productos y de su efecto más importante al interaccionar con la materia. Esta clasificación no tiene límites bien definidos.

Rango de longitudes de ondas

Origen o fuentes

Radio frecuencia

........... - 30 cm

10 km

...........

Circuitos oscilantes

Microondas

........... - 1 mm

30 cm

...........

Dispositivos electrónicos

Infrarrojos

........... - 7 800 A

1 mm

...........

Átomos excitados térmicamente

Luz visible

........... - 4 000 A

7 800 A

...........

Exitaciones electrónicas

Ultravioleta

........... - 6 A

4 000 A

...........

Átomos y moléculas excitados

Rayos X

........... - 0,06 A

10 A

...........

Exitación de electrones internos o desaceleración brusca de electrones

Rayos

........... - 10 –1 A

1A

...........

Sustancias radiactivas y reactores nucleares

Para interpretar ciertos fenómenos de óptica, es necesario tener en cuenta la naturaleza ondulatoria de la luz

LIBRO UNI

106

FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más!

VII.DIFRACCIÓN Nos muestra que la luz se "curva" alrededor de los objetos. Si hacemos llegar un frente de ondas (por ejemplo ondas de agua) sobre una rendija, el resultado varía según el tamaño de la rendija. Sólo si la longitud de onda es mayor que el tamaño de la rendija se observa que el orificio se convierte en foco emisor de ondas dando lugar al fenómeno de la difracción.

Notemos que se obtiene el mismo resultado si las dos ondas tienen entre si una diferencia de camino  d, igual a un número entero de longitud de onda  . d = N N = 0; 1; 2; 3; ...

En este caso se dice que las ondas llegan en fase al punto "P" y que se produce una interferencia constructiva.

VIII.INTERFERENCIA La palabra interferencia se refiere a los efectos físicos que resultan al superponer dos o más trenes de onda. Para que se dé una interferencia que no varíe con el tiempo (estacionaría) se requieren las siguientes condiciones: (1) Las ondas deben ser de la misma naturaleza. (2) Las ondas deben poseer la misma frecuencia (velocidad). Consideremos que las ondas provienen de 2 focos puntuales distintos y que cada una recorre distancias diferentes. Supongamos que los focos producen los máximos y mínimos de las ondas al mismo tiempo, o sea que están en fase (focos coherentes).

Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo la misma distancia. la suma de las elongaciones Y = y + y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A". Esto implica que la intensidad de la onda resultante es el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se superponen.

Si las 2 ondas tienen entre si una diferencia de caminos igual a  / 2, la suma de las elongaciones es siempre cero. Luego la intensidad de la onda resultante es nula. Observemos que el mismo efecto se obtiene si la diferencia de camino es un número impar de  / 2, es decir:  d = (2N – 1)  / 2 (N = 1; 2; 3; ...). ).

En este caso se dice que las ondas llegan al punto "P" en oposición de fase y que se produce una interferencia destructiva.

Si las amplitudes de las ondas son diferentes se obtiene una onda de igual frecuencia pero de amplitud igual a la diferencia de las amplitudes de las ondas.

LIBRO UNI

107

FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más!

IX. POLARIZACIÓN Nos indica que las vibraciones luminosas son transversales. En las ondas transversales, existen multitud de planos posibles de vibración, si mediante algún mecanismo obligamos que la onda vibre en un solo plano, tenemos una onda polarizada. Así para la luz, que es la propagación de un campo eléctrico y magnético perpendiculares a la dirección de propagación, si interponemos un filtro especial solamente se deja pasar aquellas vibraciones que tengan un dirección determinada, obteniéndose luz polarizada.

Densidad de energía

B2 U = UE + UB = oE2 = o

electromagnética

Una cantidad muy empleada para medir la energía de una onda es su intensidad la cual se define como:

I = Potencia = CU Area

I = CoE2 =

CB 2 o

Considerando una onda sinusoidal se tiene que el valor medio de campo eléctrico (magnético) es igual a (1/ 2 ) de su valor maximo (Eo) o amplitud razón por la cual la intensidad de la onda esta dada por.

I = CU =

X. ENERGIA TRANSPORTADA POR O.E.M. Hemos visto que las O.E.M. están constituidas por campos eléctrico y magnético en movimiento. Con cada uno de ellos se relaciona energía, por lo que las O.E.M. llevan energía a través del espacio. Con el campo eléctrico se relaciona una densidad de energía dada por:  E2 Energía UE = = o Volumen 2

CoEo2 CB o2 = 2 2o

Intensidad media

Para el caso particular de una fuente puntual la cual emite uniformemente en todas las direcciones una potencia P, la intensidad esta dada por:

Densidad de energía eléctrica

Pero el campo eléctrico y magnético de una O.E.M. transportan la misma cantidad de energía por lo que la densidad de energía total esta dada por:

I=

Potencia P = Area 4r 2

FÍSICA MODERNA Surge como consecuencia de que no se podían explicar ciertos fenómenos físicos con la aplicación de las leyes de la mecánica clásica (Newtoniana); así si analizamos una partícula cuya velocidad es tan grande como la luz, la física clásica falla, si se analiza microscópicamente las partículas de un átomo, también falla. Surgieron entonces grandes científicos que dieron un gran avance a la ciencia. Albert Einstein, Max Planck, Niels Bohr, entre otros.

I.

RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Todos los cuerpos, sin importar que estén fríos o calientes, continuamente irradian ondas electromagnéticas. El "cuerpo negro" es un modelo ideal donde se considera que éste absorbe o emite totalmente la radiación electromagnética que en él incide. Podemos fabricar un "cuerpo negro" mediante una caja (fabricado de un material que resista altas temperaturas) a la cual se le practica un pequeño agujero. LIBRO UNI

108

FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más! Al medir la intensidad de la radicación emitida y el tipo de radiación por medio de su longitud de onda (  ), se llegan a obtener ciertas gráficas, tal como se muestra en la figura anterior. Surgieron muchas teorías para explicar el fenómeno. En 1900 el físico alemán MAX PLANCK pudo dar solución al problema del cuerpo negro, Planck calculó las curvas de radiación de cuerpo negro, por medio de un modelo que representa un cuerpo negro como un gran número de vibradores atómicos, cada uno de los cuales emite ondas electromagnéticas.

Como en la figura, los electrones se dirigen hacia el un electrodo positivo denominada colector y producen una corriente que se registra en el amperímetro. Debido a que los electrones son expulsados con ayuda de la luz, se denominan fotoelectrones y el fenómeno se denomina "efecto fotoeléctrico".

A fin de que hubiera concordancia entre las curvas teóricas y las curvas experimentales, Planck supuso que la energía "E" de un vibrador podrá asumir valores discretos. Es decir la energía esta cuantizada.

II. FOTONES Consideremos una típica radiación electromagnética perceptible a nuestro sentido de la vista, la luz, y su modelo corpuscular. El postulado básico para dar explicación a cierto fenómenos fue trabajado teóricamente por Albert Einstein, en la cual menciona que toda radiación electromagnética esté formada por paquetes de energía que se comportan como partículas las cuales se emiten desde todos los cuerpos luminosos y se le denominan FOTONES o CUANTOS.

¿Qué es un fotón? S on pequeñ ito s paqu etes de en ergía qu e s e comportan como si fueran partículas las cuales son transpo rtadas po r cu alquier tipo de radiac ión electromagnética. Cada fotón transporta una energía que depende únicamente de la frecuencia de la radiación y se evalúa así:

En 1905, Einstein presentó una explicación del efecto fotoeléctrico en la que aprovechó el trabajo de Planck sobre la radiación de cuerpo negro. En gran parte se debió a esta teoría, del efecto fotoeléctrico, que Einstein fue galardonado por el premio Novel de Física en 1921.

Explicación El electrón absorbe sólo un fotón, y esta energía es empleada para poder vencer la atracción del núcleo y la de los otros átomos (para lograr escapar del material) y la parte que resta le permite adquirir cierta rapiez, entonces por conservación de la energía:

Efotón  hf

Donde:

E fotón    EC max

E: Energía del fotón en joule (J).

Efotón: Es la energía asociada al fotón.

f: Frecuencia en hertz (Hz). h: constante de Planck.

 : Es la energía necesaria para escapar del material.

Ecmax: Energía cinética máxima del fotoelectrón.

h  6, 63  10 34 J  s

III. EFECTO FOTOELÉCTRICO Si se hace incidir una luz con una frecuencia suficientemente alta sobre una placa metálica, de ésta se emiten electrones. LIBRO UNI

109

A "  " se le conoce como "función de trabajo" y depende de cada material. Podemos hacer incidir una radiación cuya frecuencia sea "fo", de tal manera que los electrones desprendidos (fotoelectrones) logren escapar con las justas (Ec = O). FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más! 3. El número de electrones emitidos por segundo es una función lineal de la intensidad de la radiación que provoca la emisión.

Efotón    0  

hfo  

Aquella frecuencia que cumple con esta condición se le conoce como "frecuencia umbra (fo)". Entonces la frecuencia umbral es la frecuencia necesaria de la ra-diac ió n para qu e s e pro du zca el ef ecto fotoeléctrico". Según la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico, los fotones de luz pueden expulsar electrones de un metal cuando la frecuencia de la luz está por encima de un valor mínimo "fo".

V. RAYOS X Wilheim Conrad Roentgen (1895) encontró que una radiación altamente penetrante era emitida cuando elec tro n es c o n alta velo c idad golpeaban lo s materiales. Su naturaleza era totalmente desconocida, por lo que se llamo rayos X. Los rayos X forman parte del espectro de las radiaciones electromagnéticas cuya longitud de onda es del orden de los 10–8 m. Por tener, longitudes de onda muy cortas son muy penetrantes en la materia, siendo ésta su característica fundamental. Los rayos X se producen al chocar una corriente de electrones que se mueven a gran velocidad contra una placa metálica o punto focal; tras este choque, su energía cinética se transforma una parte en calor (99%) Y otra en rayos X.

IV. LEYES DEL EFECTO FOTOELÉCTRICO A. Ley de Lenard 1. La velocidad de los fotoelectrones es independiente de la iluminación. 2. La velocidad de los fotoelectrones es directamente proporcional a la frecuencia de la luz incidente. 3. Para cada metal existe una frecuencia mínima de emisión de fotoelectrones llamada frecuencia umbral. Recuerda:  : longitud de onda mínima o de corte.

V: voltaje potencial de corte. min 

1, 24  10 6 V

Propiedades de los rayos "x" B. Ley de Einstein 1. El cuanto de energía de un fotón es directamente proporcional a la velocidad de su fotoelectrón que lo desprende. 2. El número de fotoelectrones desprendido en cada unidad de tiempo es directamente proporcional al número de fotones incidente. LIBRO UNI

110

1. Son capaces de penetrar en la materia orgánica y absorberse en mayor o menor proporción según el número atómico, la densidad y el espesor de los elementos atravesados. 2. Producen luminiscencia (emisión de luz) al incidir sobre algunas sustancias. 3. Producen un efecto fotoquímico cuando chocan con suficiente energía contra la materia. FÍSICA

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más! 4. Pueden producir ionización cuando chocan con suficiente energía contra la materia.

VI. EL LÁSER El término "LASER" denota en lengua inglesa "Light

5. Producen efectos biológicos, son los efectos más

amplification by simulated emision of radiation" que significa:

importantes para el hombre; se estudian desde el

amplificación lumínica estimulada de radiación. La luz láser

aspecto beneficioso para el ser humano (radiote-

posee tres características que la diferencia de la luz ordinaria:

rapia) y desde el negativo, intentando conocer sus

1. Es monocromática.

efectos perjudiciales.

2. Es coherente.

problemas resueltos Problema 1 Determ ine aproximadamente el número de fotones por segundo que emite un láser He-Ne de longitud de onda de 632 nm y cuya potencia es de 3 mW. (h = 6,63 × 10–34 J.s; c = 3 × 108 m/s; 1 nm = 10–9 m)

UNI 2011 - I 3

A ) 34,26 × 10

14  n = 95, 32  10 fotones

Respuesta: C) 95,32 1014 fotones Problema 2 En un experimento de efecto fotoeléctrico, se ilumina un cátodo de oro con radiación de frecuencia 3,4 x 1015 Hz.

1. Por A. Einstein (efecto fotoeléctrico):

Frente al cátodo se coloca una placa

B) 67,21 × 107

Efotón =   Ec -------1

metálica a –1,0 V respecto al cátodo.

14

C) 95,32 × 10

¿Cuál es aproximadamente la máxima

D) 134,26 × 1026

velocidad (en 10 m/s) con la que un

E) 235,01 × 1034

fotoelectrón alcanza la placa?

2. En el recorrido: (cátodo - placa)

6

Función trabajo del oro:

Resolución:

5,1 eV

Ubicación de incógnita

Masa del electrón:

Nos piden: n

9,1 x 10–31 kg

Análisis de los datos o gráficos

h = 6,63 x 10–34 J.s

W  Ec  q  V  Ec

Operando

(6,63  1034)(3, 4  1015)J  (1,6  1019)(1)J

Sabemos que:

3  10

1 

632  10 9

Despejando y operando: 632  1014  n 6, 63

LIBRO UNI

1ev



9,1  10 31  V2 2

Respuesta: B) 1,66 x 106 m/s

Potencia 

n  6, 63  10 34  3  108

1, 6  10 19 J

Operando: V  1, 66  106 m s

Operación del problema

3

(2)

Reemplazamos:

= 5,1 ev 

Entonces:

 Ec - -1

:

E fotón  q  V    Ec

1 eV = 1,6 x 10–19 J

energía de los " n " fotones tiempo n  h  f 3  10 3  Pero : f  c t 

+

(2)

UNI 2009 - II A) B) C) D) E)

0,66 1,66 2,66 3,66 4,66

Problema 3 En un experimento de efecto fotoeléctrico se utiliza una placa de sodio y lu z u ltravioleta de f recu en cia 3  1015Hz determ ine apro ximada-

Resolución:

mente:

Operación del problema

I.

De la figura:

La función trabajo del sodio, en joules.

111

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ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Exigimos más! II. El potencial de frenado en voltios. –34

(h = 6,63  10

–19

J.s; e = 1,602  10

Resolución:

II. Calculemos el potencial de frenado (V):

C)

EFotón    e V

UNI 2007 - I

hf    e V

A ) 33,15  10 –20 ;

10,14

B)

36, 46  10–20 ;

10,14

C)

36, 46  10–20 ;

12, 41

D) 38, 63  10 –20 ;

12, 41

38, 63  10 –20 ;

13, 41

E)



LIBRO UNI

Reemplazando: (6, 63  10 –34 )(3  1015 )  36, 34

I.

Calculemos la frecuencia umbral.   h fO





  6, 63  10 –34 5, 5  1014    36, 46  10 –20 J

112



10–20  (1, 6  10 –19 ) V  V  10,14 volt

Respuesta: B) 36,46 x 10–20; 10,14

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