6 - Dimenzionisanje Greda i Stubova

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/1

PRORAČUN GREDA I STUBOVA

gG = b × g × γ b = 0.3 × 0.6 × 25

g=18.25

p=15.99

p=17.37

p=15.21

D

g=19.81

C

p=16.52

g=20.84

p=16.43

g=19.18

E

g=23.72

g=7.56

g=6.55

p=19.77

p=6.30

p=5.46

7.20

5.40

p=5.40

g=6.48

C

B p=16.70

G

p=15.57

g=19.69

F

C

g=20.03

p=19.77 g=18.69

p=20.37 p=16.41

g=23.72

p=5.88 p=5.86

g=7.03

g=24.44

p=5.40

g=6.48

A

g=7.06

g=19.72

2.40

B

L2 720 = = 60 cm 12 12

4

A

2.40

dG =

3

2

C

6.00

Pretpostavljena širina greda je 30 cm, a visina:

1

6.00

Na šemi desno je prikazano raspodeljeno stalno i povremeno opterećenje, izraženo u kN/m, koje se sa ploče POS 100 prenosi na pojedine grede. Pored ovog opterećenja, potrebno je dodati i sopstvenu težinu greda.

B

A

A

gG = 4.5 kN / m

5.40

1

3

2

1.80

4

1.1 PODUŽNE GREDE (OSE A-C) 1.1.1 OPTEREĆENO KRAJNJE POLJE p1 = 100 kN/m

L1 = 5.40 m A=238.5

L2 = 7.20 m

L3 = L1 = 5.40 m

B=331.9

170.1

C=-39.4

D=9.0

M 48.5

L1 = 5.4 m, L2 = 7.2 m ⇒ L2/L1 = 7.2/5.4 = 1.33 ⇒ interpolacija tabulisanih vrednosti L2/L1 = 1.3

⇒

M1 = -0.0591×p1×L12

L2/L1 = 1.4

⇒

M1 = -0.0569×p1×L12

L2/L1 = 1.33 ⇒

1.4 − 1.33 ⎞ ⎛ 2 M1 = −⎜ 0.0591 + (0.0569 − 0.0591) × ⎟ × p1 × L1 − 1 . 4 1 . 3 ⎝ ⎠

M1 = -0.0584×p1×L12 = -0.0584×100×5.42 = -170.1 kNm L2/L1 = 1.3

⇒

M2 = 0.0167×p1×L12

L2/L1 = 1.4

⇒

M2 = 0.0166×p1×L12

L2/L1 = 1.33 ⇒

1.4 − 1.33 ⎞ ⎛ 2 M2 = ⎜ 0.0167 + (0.0166 − 0.0167 ) × ⎟ × p1 × L1 1 .4 − 1 .3 ⎠ ⎝

M2 = 0.0166×p1×L12 = 0.0166×100×5.42 = 48.5 kNm

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

A= C=

M1 +

P6/2

p1 × L12 100 × 5.4 2 − 170.1 + 2 2 = 238.5 kN = L1 5 .4

D=

;

M2 48.5 = = 9.0 kN L1 5.4

M1 − D × (L1 + L2 ) − 170.1 − 9.0 × (5.4 + 7.2 ) = = −39.4 kN L2 7 .2

B = p1 × L1 − (A + C + D ) = 100 × 5.4 − (238 .5 − 39 .4 + 9.0 ) = 331 .9 kN

1.1.2 OPTEREĆENO SREDNJE POLJE p2 = 100 kN/m

L1 = 5.40 m A=-53.3

L2 = 7.20 m

L3 = L1 = 5.40 m

B=413.3

C=413.3

288

288

D=-53.3

M

L2/L1 = 1.3

⇒

M1 = -0.0931×p2×L12 = M2

L2/L1 = 1.4

⇒

M1 = -0.1107×p2×L12 = M2

L2/L1 = 1.33 ⇒

1.4 − 1.33 ⎞ ⎛ 2 M1 = −⎜ 0.0931 + (0.1107 − 0.0931) × ⎟ × p2 × L1 1 .4 − 1 . 3 ⎠ ⎝

M1 = -0.0990×p2×L12 = -0.0990×100×5.42 = -288 kNm = M2 A=D=

M 2 − 288 = = −53.3 kN L1 5 .4

B =C =

p2 × L2 − (A + D ) 100 × 7.2 − (− 53.3 − 53.3 ) = = 413.3 kN 2 2

Zamenom vrednosti opterećenja po pojedinim poljima: prvo polje:

g1 = 11.56 kN/m

;

p1 = 5.88 kN/m

drugo polje:

g2 = 28.94 kN/m

;

p2 = 20.37 kN/m

treće polje:

g3 = 28.22 kN/m

;

p3 = 19.77 kN/m

dobijene su vrednosti reakcija oslonaca i oslonačkih momenata grede POS 103 u osi C. 1.1.3 REAKCIJE OSLONACA POS 103 - STALNO OPTEREĆENJE A = [11.56×238.5 + 28.94×(-53.3) + 28.22×9.0]/100 = 14.6 kN B = [11.56×331.9 + 28.94×413.3 + 28.22×(-39.4)]/100 = 146.9 kN C = [11.56×(-39.4) + 28.94×413.3 + 28.22×331.9]/100 = 208.8 kN D = [11.56×9.0 + 28.94×(-53.3) + 28.22×238.5]/100 = 52.9 kN Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/3

1.1.4 REAKCIJE OSLONACA POS 103 - POVREMENO OPTEREĆENJE A = [5.88×238.5 + 20.37×(-53.3) + 19.77×9.0]/100 = 4.9 kN B = [5.88×331.9 + 20.37×413.3 + 19.77×(-39.4)]/100 = 96.0 kN C = [5.88×(-39.4) + 20.37×413.3 + 19.77×331.9]/100 = 147.5 kN D = [5.88×9.0 + 20.37×(-53.3) + 19.77×238.5]/100 = 36.8 kN 1.1.5 OSLONAČKI MOMENTI POS 103 - STALNO OPTEREĆENJE M1G = [11.56×(-170.1) + 28.94×(-288) + 28.22×48.5]/100 = -89.3 kNm M2G = [11.56×48.5 + 28.94×(-288) + 28.22×(-170.1)]/100 = -125.8 kNm 1.1.6 OSLONAČKI MOMENTI POS 103 - POVREMENO OPTEREĆENJE M1P = [5.88×(-170.1) + 20.37×(-288) + 19.77×48.5]/100 = -59.1 kNm M2P = [5.88×48.5 + 20.37×(-288) + 19.77×(-170.1)]/100 = -89.4 kNm Dijagrami momenata savijanja i transverzalnih sila usled stalnog i povremenog opterećenja: g2 = 28.94 kN/m

g1 = 11.56 kN/m

L1 = 5.40 m

Ag=14.6

g3 = 28.22 kN/m

L2 = 7.20 m

L3 = L1 = 5.40 m

Bg=146.9

Cg=208.8

L1 = 5.40 m

Dg=52.9

Ap=4.9

125.8

89.3

99.5

99.1

p3 = 19.77 kN/m

L2 = 7.20 m

L3 = L1 = 5.40 m

Bp=96.0

Cp=147.5

Mp 70.0

69.2

Tg

Tp

4.9

47.8

Dp=36.8

89.4

59.1

Mg

14.6

p2 = 20.37 kN/m

p1 = 5.88 kN/m

26.8

52.9

36.8 77.5

109.3

TGB,l = 14.6 – 11.56×5.40 = -47.8 kN

;

TPB,l = 4.9 – 5.88×5.40 = -26.8 kN

TGB,d = -47.8 + 146.9 = 99.1 kN

;

TPB,d = -26.8 + 96.0 = 69.2 kN

TGC,l = 99.1 – 28.94×7.20 = -109.3 kN

;

TPC,l = 69.2 – 20.37×7.20 = -77.5 kN

TGC,d = -109.3 + 208.8 = 99.5 kN

;

TPC,d = -77.5 + 147.5 = 70.0 kN

1.2 POPREČNE GREDE (OSE 1-4) p = 100 kN/m

L1 = 6.0 m = L2 L2/L1 = 1 M1 = -0.0625×p1×L12

L = 6.00 m

L = 6.00 m

2

M1 = -0.0625×100×6.0 = -225 kNm M − 225 C= 1 = = −37.5 kN L2 6 .0

A=

M1 +

A=262.5

B=375

M

C=-37.5

225

100 × 6.0 2 p1 × L12 − 225 + 2 2 = 6 .0 L1

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/4

A = 262.5 kN B = p1 × L1 − (A + C ) = 100 × 6.0 − (262 .5 − 37 .5 ) = 375 kN

Zamenom vrednosti opterećenja po pojedinim poljima: prvo polje:

g1 = 24.22 kN/m

;

p1 = 16.43 kN/m (polje A-B)

drugo polje: g2 = 24.19 kN/m

;

p2 = 16.41 kN/m (polje B-C)

dobijene su vrednosti reakcija oslonaca grede POS 105 u osi 2. 1.2.1 REAKCIJE OSLONACA POS 105 - STALNO OPTEREĆENJE A = [24.22×262.5 + 24.19×(-37.5)]/100 = 54.5 kN B = [24.22×375.0 + 24.19×375.0]/100 = 181.5 kN C = [24.22×(-37.5) + 24.19×262.5]/100 = 54.4 kN 1.2.2 REAKCIJE OSLONACA POS 105 - POVREMENO OPTEREĆENJE A = [16.43×262.5 + 16.41×(-37.5)]/100 = 37.0 kN B = [16.43×375.0 + 16.41×375.0]/100 = 123.2 kN C = [16.43×(-37.5) + 16.41×262.5]/100 = 36.9 kN 1.2.3 OSLONAČKI MOMENTI POS 105 M1G = [24.22×(-225) + 24.19×(-225)]/100 = -108.9 kNm M1P = [16.43×(-225) + 16.41×(-225)]/100 = -73.9 kNm Proračun statilčkih uticaja je ovde sproveden korišćenjem tablica za proračun oslonačkih momenata kontinualnih nosača sa 2 i 3 polja nejednakih raspona opterećenih jednako podeljenim opterećenjem (Prilog 5.3, Priručnik za primenu PBAB 87, Tom 2, str. 519, 520). U zaglavlju poslednje kolone donjeg dela tablice na str. 520 (oslonački moment M2) učinjena je štamparska greška: umesto oznake za opterećeno polje L1+L2 treba da stoji L2+L3. Proračun statičkih uticaja će u daljem biti vršen pomoću nekog od uobičajenih programa i neće biti detaljno obrazlagan. 1.3 PROVERA PRETPOSTAVLJENIH DIMENZIJA GREDA

Maksimalni moment savijanja i transverzalna sila se javljaju u gredi POS 103: maxMu maxTu

usvojeno:

= 1.6×125.8 + 1.8×89.4 = 362.2 kNm = 1.6×109.3 + 1.8×77.5 = 314.4 kN

MB 30

⇒

fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2 ; τr = 1.1 MPa

RA 400/500

⇒

σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 6 cm ⇒

k=

b/d/h = 30/60/54 cm

54 362.2 × 10 2 30 × 2.05

= 2.225 ⇒

ε b / εa = 3.5 / 8.882‰ µ = 22.883%

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

Aa = 22.883 ×

P6/5

30 × 54 2.05 × = 19.00 cm 2 100 40

usvojeno:

5RØ22 (19.00 cm2)

usvojeno: z = 0.9×h = 0.9×54 = 48.6 cm = const. τn =

⎧> τ = 0.11 kN / cm 2 314.4 = 0.216 kN / cm 2 ⎨ r 2 30 × 48.6 ⎩< 3 τr = 0.33 kN / cm

τRu = 1.5 × (0.216 − 0.11) = 0.158 kN / cm2 usvojeno:

m=2 ; α = 90º

θ =45º:

;

2 × au(1 ) eu = × 40 = 16.83 × au( 1 ) 30 × 0.158

URØ10 ⇒ eu = 16.83×0.785 = 13.2 cm usvojeno:

URØ10/12.5 (m=2)

Detaljno dimenzionisanje greda će biti sprovedeno nakon sračunavanja uticaja od horizontalnih dejstava (vetar, seizmika).1 1.4 PRORAČUN SEIZMIČKE SILE

Sprovodi se prema Pravilniku o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim područjima (u daljem: Pravilnik). Ukupna horizontalna seizmička sila S se određuje, prema članu 21. Pravilnika, kao: S = K×Q = Ko×Ks×Kp×Kd×Q

gde je:

K - ukupan seizmički koeficijent za horizontalni pravac Ko - koeficijent kategorije objekta (Ko=1, objekat II kategorije, član 4. Pravilnika); Ks - seizmičkog intenziteta (Ks=0.1, IX zona MCS skale, povratni period 500 godina, član 24. i član 6. Pravilnika, ovde zadato zadatkom); Kp - koeficijent duktiliteta i prigušenja (Kp=1, savremena konstrukcija od armiranog betona, član 27. Pravilnika); Kd - koeficijent dinamičnosti, prema članu 25. Pravilnika određen relacijom: 0.47 ≤ K d =

0. 7 ≤1 T

za tlo II kategorije (u skladu sa članom 9. Pravilnika). Ukoliko se ne vrši proračun perioda slobodnih oscilacija T, može se usvojiti maksimalna vrednost koeficijenta Kd (član 26. Pravilnika). Q - ukupna težina objekta, određena u skladu sa članom 19. Pravilnika, kao suma ukupnog stalnog i verovatnog povremenog opterećenja (G+P/2)

1

Preliminarnim proračunom najopterećenijih preseka greda za uticaje gravitacionih opterećenja pokazano je da su pretpostavljene dimenzije dovoljne, odnosno da se sračunata količina poprečne i podužne armature može bez problema smestiti u pretpostavljeni presek. Ukoliko ova faza proračuna pokaže da su preseci armirani izuzetno velikom količinom armature, potrebno je izvršiti korekciju dimenzija preseka u skladu sa ograničenjima proisteklim iz arhitektonskih ili tehnoloških zahteva. Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/6

1.4.1 PRORAČUN UKUPNE TEŽINE OBJEKTA 2

1

3

Ly = 2×6.0 = 12.0 m

4

A

2.4

Lx = 2×5.4+7.2 = 18.0 m C

C

6.0

površina ploče: A = 18.0×(12.0+2.4) + 1.8×6.0 = 270 m2 rezultanta jednako podeljenog opterećenja:

F

G

C

B

B

6.0

ΣG = 6.0×270 = 1620 kN ΣP = 5.0×270 = 1350 kN težina greda:

C

D

E

B

A

2.4

ΣL = 3×(5.4+7.2+5.4) + 4×(6.0+6.0) = 102 m

A

A 5.4

ΣGg = 0.3×0.6×25×102 = 459 kN

5.4

7.2

1

3

2

1.8 4

težina stubova (polovina će biti pridružena tavanici, odnosno temelju): ΣL = 12×6.0 = 72 m

⇒

ΣGs = 0.3×0.3×25×72 = 162 kN

Q = ΣG + ΣP/2 + ΣGg + ΣGs/2 Q = 1620 + 1350/2 + 459 + 162/2 = 2835 kN Ukupna horizontalna seizmička sila u nivou ploče POS 100: S = 0.1×1.0×1.0×1.0×2835 = 283.5 kN

U podužnom pravcu ovu silu prihvataju tri, a u poprečnom četiri rama jednake krutosti, spojeni krutom tavanicom koja obezbeđuje njhova jednaka pomeranja. Sile koje deluju na jedan podužni, odnosno poprečni ram su: S1X = 283.5/3 = 94.5 kN S1Y = 283.5/4 = 70.9 kN 22.34

H=100

22.34 22.34

dx

22.34

H = 6.00 m

22.34

[mm]

grede: b/d = 30/60 cm stubovi: b/d = 30/30 cm L1 = 5.40 m

L2 = 7.20 m

L3 = L1 = 5.40 m

Na skici gore je prikazan dijagram pomeranja podužnog rama usled dejstva horizontalne sile H=100 kN u vrhu. Usled seizmičke sile S1X = 94.5 kN pomeranje vrha konstrukcije je: dx = 94.5/100×22.34 = dx = 21.1 mm > H/600 = 1 cm Dopušteno pomeranje konstrukcije u podužnom pravcu je prekoračeno.

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/7

Na narednoj skici je prikazan dijagram pomeranja poprečnog rama usled dejstva horizontalne sile H=100 kN u vrhu. Usled seizmičke sile S1Y = 70.9 kN pomeranje vrha konstrukcije je: dx = 70.9/100×30.12 dx = 21.4 mm

30.12

H=100 30.12

30.12

30.12

Kao i kod podužnog rama, dopušteno pomeranje konstrukcije u poprečnom pravcu je prekoračeno.

dx [mm] grede: b/d = 30/60 cm stubovi: b/d = 30/30 cm

H = 6.00 m

dx > H/600 = 1 cm

Seizmičku silu je moguL = 6.00 m L = 6.00 m će smanjiti sračunavanjem vrednosti koeficijenta dinamičnosti Kd (u preliminarnom proračunu usvojena je njegova maksimalna vrednost Kd=1). Period oscilovanja konstrukcije u prvom tonu se može približno sračunati pomoću pojednostavljene Rejlijeve relacije:

T1 = 2 d gde je d – pomeranje u metrima vrha konstrukcije usled opterećenja horizontalnim silama jednakim težinama spratova. Ukupna težina konstrukcije je Q=2835 kN i potrebno ju je ravnomerno rasporediti na četiri poprečna rama (prvi ton oscilovanja konstrukcije će biti translacija u Y pravcu – pomeranje u tom pravcu je nešto veće), pa je traženo pomeranje: Q1Y = 2835/4 = 709 kN

⇒

d = 709/100×30.12 = 213 mm = 0.213 m

T1Y = 2 0.213 = 0.924 sec

⇒

Kd =

0 .7 = 0.758 2 0.924

Na isti način sračunava se i period oscilovanja konstrukcije u podužnom pravcu: Q1X = 2835/3 = 945 kN

⇒

d =945/100×22.34 = 211 mm = 0.211 m

T1 X = 2 0.211 = 0.919 sec

⇒

Kd =

0. 7 = 0.762 0.919

Sa sračunatom vrednošću koeficijenta Kd pomeranje vrha konstrukcije i dalje prekoračuje dopuštenu vrednost određenu članom 15. Pravilnika. Potrebno je povećati krustost ramova u oba pravca3. Usvojena je dimenzija stubova 40/40 cm, a greda 40/60 cm. Sa tim vrednostima korigovana je ukupna težina elemenata konstrukcije, a zatim u potpunosti ponovljen proračun horizontalnih pomeranja. ΣGg = 0.4×0.6×25×102 = 612 kN ΣGs = 0.4×0.4×25×72 = 288 kN Q = ΣG + ΣP/2 + ΣGg + ΣGs/2 = 1620 + 1350/2 + 612 + 288/2 = 3051 kN 2

Proračunom u programskom paketu Tower 6, dobijene su vrednosti T1Y=0.925 sec i T1X= 0.920 sec. Naravno, pomeranje konstrukcije se može smanjiti i projektovanjem dodatnih elemenata (armiranobetonskih zidova, spegova i sl.). Takva mogućnost ovde nije predviđena, odnosno nisu predviđene intervencije u usvojenoj dispoziciji konstrukcije. 3

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/8

H=100

54.5

109.0

88.8

d = 0.0778 m

M [kNm]

T1Y = 2 0.0778 = 0.558 sec Kd =

88.8

54.5

88.8

d = 763/100×10.2 = 77.8 mm

H = 6.00 m

Q1Y = 3051/4 = 763 kN

88.8

1.4.2 POPREČNI RAMOVI

0 .7 > 1 ⇒ usv . K d = 1 0.558

31.7

36.7

101.1

SY =1×0.1×1×1×3051 = 305.1 kN

L = 6.00 m

111.1

31.7 L = 6.00 m

B=0

A=-23.9

101.1

C=23.9

10.2

Seizmička sila u vrhu jednog poprečnog rama:

H=100 10.2

10.2

10.2

S1Y = 305.1/4 = 76.3 kN

dx [mm]

maksimalno horizontalno pomeranje:

grede: b/d = 40/60 cm stubovi: b/d = 40/40 cm

dx = 76.3/100×10.2 = 7.8 mm dx < 10 mm = H/600 = dxdop.

76.9

d = 76.3 mm = 0.0763 m

T1 X = 2 0.0763 = 0.552 s 0 .7 Kd = ⇒ usv . K d = 1 T SX =1×0.1×1×1×3051 SX = 305.1 kN

76.9

M 23.8 75.4

[kNm]

26.2

80.0 L1 = 5.40 m

A=-21.8

67.7

H = 6.00 m

67.7 67.7

d = 1017/100×7.5

67.7

H=100

50.1 26.8

Q1X = 3051/3 = 1017 kN

26.8 50.1

1.4.3 PODUŽNI RAMOVI

26.2 L2 = 7.20 m

80.0

23.8

75.4 L3 = L1 = 5.40 m

C=-14.4

B=14.4

D=21.8

7.5

H=100

7.5 7.5

S1X = 305.1/3 S1X = 101.7 kN

dx

dx = 101.7/100×7.5

7.5

[mm]

7.5

grede: b/d = 40/60 cm stubovi: b/d = 40/40 cm

dx = 7.6 mm < H/600 Pomeranja su u dopuštenim granicama, pa su pretpostavljene dimenzije elemenata i usvojene kao konačne. 1.5 PRORAČUN SILE OD VETRA

Vetar u podužnom pravcu AX = 2×6.0×6.0 = 72 m2

⇒ WX = w×AX / 2 = 2.0×72.0 / 2 = 72 kN

W1X = WX / 3 = 72.0 / 3 = 24 kN - sila koja deluje na jedan podužni ram Vetar u podužnom pravcu AY = (5.4+7.2+5.4)×6.0 = 108 m2

⇒ WY = w×AY / 2 = 2.0×108.0 / 2 = 108 kN

W1Y = WY / 4 = 108.0 / 4 = 27 kN - sila koja deluje na jedan poprečni ram Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/9

1.6 MERODAVNE KOMBINACIJE UTICAJA

Pri određivanju merodavnih kombinacija za dimenzionisanje, treba voditi računa o sledećem: -

uticaj stalnog opterećenja MORA biti uzet u obzir u svakoj kombinaciji;

-

vertikalno povremeno opterećenje p i vetar predstavljaju dva nezavisna povremena opterećenja, koji mogu, a ne moraju delovati na konstrukciju;

-

opterećenje vetrom i seizmičko opterećenje su alternativnog znaka. Ne uzimaju se istovremeno i ne kombinuju sa istim uticajem u dva ortogonalna pravca (ne kombinuju se uticaji Wx i Wy, odnosno Sx i Sy);

-

u kombinacijama uticaja koje sadrže seizmičko opterećenje razmatraju se sva ona opterećenja (u odgovarajućem intenzitetu) koja su korišćena pri proračunu masa. U konkretnom slučaju, radi se o ukupnom stalnom i polovini povremenog opterećenja. Pri dimenzionisanju se koristi jedinstven koeficijent sigurnosti γu = 1.3 nezavisno od dilatacije zategnute armature i ne uzima se u obzir povoljno dejstvo stalnog opterećenja.

1.6.1 POS 103 - DIJAGRAMI PRESEČNIH SILA 131.3

95.3

104.6

Mg

17.6

11.9

1.35

52.6

84.3

52.9

89.0 59.0

104.6

Tg 3.52

114.6 69.9

69.2

Mp

Tp

4.9

2.1

0.84

34.4

58.4

26.8

3.53

Ms

36.9

3.40

77.5

68.8

51.5

55.9

3.44

Ts

26.7

7.4

26.7 51.5

68.8

16.2

12.2

Mw

22.3

22.3

Tw

6.3

1.8

6.3 12.2

16.2

5.3

5.3

1.7 DIMENZIONISANJE POS 103

1.7.1 PRESEK U OSI 3 (GORNJA ZONA) Pored momenata savijanja od stalnog i povremenog opterećenja, u proračun se uzima veća vrednost momenta savijanja od vetra ili seizmike za presek 3levo ili 3desno koja zateže gornju ivicu (vrednosti za presek 3desno, za smer uticaja suprotan nacrtanim, tj. -X). Mu1 = 1.6×Mg + 1.8×(Mp + M-W) = 1.6×131.3 + 1.8×(89.0 + 12.2) = 392.2 kNm Mu2 = 1.3×(Mg +0.5×Mp + M-S) = 1.3×(131.3 + 0.5×89.0 + 51.5) = 295.5 kNm < Mu1 pretp. a1 = 6 cm ⇒

k=

b/d/h = 40/60/54 cm

54 392.2 × 10 2 40 × 2.05

= 2.469 ⇒

εb / εa = 3.025 / 10‰ µ = 18.104%

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

Aa = 18.104 ×

P6/10

40 × 54 2.05 × = 20.04 cm2 100 40

usvojeno:

6RØ22 (22.81 cm2)

1.7.2 PRESEK U OSI 2 (GORNJA ZONA) Analogno preseku 3, sa uticajima od stalnog i povremenog opterećenja se kombinuju uticaji vetra i seizmike za presek 2levo, za nacrtani smer uticaja, tj. X: Mu1 = 1.6×Mg + 1.8×(Mp + MW) = 1.6×95.3 + 1.8×(59.0 + 12.2) = 280.6 kNm Mu2 = 1.3×(Mg +0.5×Mp + MS) = 1.3×(95.3 + 0.5×59.0 + 51.5) = 229.2 kNm < Mu1 pretp. a1 = 5 cm ⇒

k=

b/d/h = 40/60/55 cm

55 280.6 × 10 2 40 × 2.05

Aa = 12.122 ×

= 2.973 ⇒

εb / εa = 3.138 / 10‰ µ = 12.122%

40 × 55 2.05 × = 13.67 cm 2 100 40 usvojeno:

4RØ22 (15.21 cm2)

1.7.3 PRESECI U OSAMA 1 I 4 (GORNJA I DONJA ZONA) Mu1 = ±1.8×MW = ±1.8×16.2 = ±29.2 kNm Mu2 = ±1.3×MS = ±1.3×68.8 = ±89.5 kNm > Mu1 S obzirom na alternativni znak momenta savijanja, presek treba armirati obostrano. pretp. a1 = 5 cm ⇒

k=

b/d/h = 40/60/55 cm

55 89.5 × 10 2 40 × 2.05

Aa = ±3.723 ×

= 5.266 ⇒

εb / εa = 0.99 / 10‰ µ = 3.723%

40 × 60 40 × 55 2.05 × = ±4.20 cm 2 < Aa ,min = 0.2 × = 4.80 cm 2 100 100 40

2RØ22 (7.60 cm2) - gornja zona 3RØ16 (6.03 cm2) - donja zona

usvojeno: 1.7.4 PRESEK U POLJU 2-3 (DONJA ZONA)

Preseci sa maksimalnim vrednostima momenata savijanja usled stalnog i povremenog opterećenja se gotovo poklapaju, dok su odgovarajuće vrednosti momenata savijanja usled vetra i seizmike praktično zanemarljive. Određivanjemaksimalnog momenta Mu u polju za merodavnu kombinaciju uticaja (G, P, +Wx) iz nulte tačke odgovarajuće transverzalne sile bi bilo lišeno svakog praktičnog smisla, pa se usvaja: Mu = 1.6×Mg +1.8×Mp = 1.6×84.3 +1.8×58.4 = 240.0 kNm ⎧ 40 + 20 × 16 = 360 ⎫ usvojeno: L0 ≈ 480 cm ⇒ B = min .⎨ ⎬ = 160 cm ⎩40 + 0.25 × 480 = 160 ⎭ Pretpostavlja se da će se neutralna linija naći u ploči: pretp. a1 = 6 cm

⇒

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

B/b/d/h/dp = 160/40/60/54/16 cm PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

k=

54 240 × 10 2 160 × 2.05

P6/11

εb / εa = 0.801 / 10‰ = 6.313 ⇒ s = 0.074 ⇒ x = 0.074 × 54 = 4.01 cm < d p = 16 cm µ = 2.575%

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa se potrebna površina armature određuje za pravougaoni presek širine B = 160 cm: Aa = 2.575 ×

160 × 54 2.05 × = 11.40 cm 2 100 40

6RØ16 (12.06 cm2)

usvojeno: 1.7.5 PRESEK U POLJU 3-4 (DONJA ZONA)

Slično kao za presek u polju 2-3, usvaja se da se mesto maksimalnog momenta Mu poklapa sa mestom maksimalnog momenta Mg, odnosno Mp. Sledi: Mwodg. = 16.2 - (16.2+12.2)×1.88/5.4 = 6.3 kNm Mu1 = 1.6×Mg +1.8×(Mp+Mw) = 1.6×52.6 +1.8×(34.4+6.3) = 157.4 kNm Msodg. = 68.8 - (68.8+51.5)×1.88/5.4 = 26.9 kNm Mu2 = 1.3×(Mg +0.5×Mp +Ms) = 1.3×(52.6 + 0.5×34.4 + 26.9) = 125.7 kNm < Mu1 Tačno određivanje maksimalnog momenta Mu Iz priloženih dijagrama momenata usled pojedinačnih dejstava očito je da se maksimalni moment u krajnjem polju javlja pri istovremenom dejstvu stalnog, povremenog i opterećenja vetrom u pravcu -X. Druga moguća kombinacija uticaja (stalno, povremeno i seizmika u pravcu -X) zbog manjih koeficijenata sigurnosti daje manji uticaj, što je pokazano i u približnom proračunu. Sledi: Tu = 1.6×55.9 + 1.8×(36.9-5.3) = 146.3 kN g = 0.4×0.6×25 + 23.72 = 29.72 kN/m ;

p = 19.77 kN/m

qu = 1.6×29.72 + 1.8×19.77 = 83.14 kN/m x0T = 146.3 / 83.14 = 1.76 m Mu,max = 146.3×1.76 - 83.14×1.762/2 + 1.8×16.2 = 157.9 kNm U razmotrenom slučaju određivanje tačne vrednosti maksimalnog momenta savijanja u polju je bez ikakvog praktičnog smisla.

⎧ 40 + 20 × 16 = 360 ⎫ usvojeno: L0 ≈ 380 cm ⇒ B = min .⎨ ⎬ = 135 cm ⎩40 + 0.25 × 380 = 135 ⎭ ⇒

pretp. a1 = 5 cm k=

55 157.4 × 10 2 135 × 2.05

B/b/d/h/dp = 135/40/60/55/16 cm

ε b / εa = 0.619 / 10‰ = 7.938 ⇒ s = 0.058 ⇒ x = 0.058 × 55 = 3.21 cm < d p = 16 cm µ = 1.619%

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa se potrebna površina armature određuje za pravougaoni presek širine B = 135 cm: Aa = 1.619 ×

135 × 55 2.05 × = 7.30 cm 2 100 40

usvojeno: Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

4RØ16 (8.04 cm2) PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/12

1.7.6 PRESEK U POLJU 1-2 (DONJA ZONA) Kako su momenti savijanja usled stalnog i povremenog opterećenja praktično jednaki nuli na najvećem delu raspona, usvojena je ista količina armature kao u preseku u osi 1 (merodavno seizmičko opterećenje). 3RØ16 (6.03 cm2)

usvojeno:

1.7.7 DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA Vertikalno opterećenje grede POS 103 po poljima Dodajući korigovanu sopstvenu težinu grede g0 = 0.4×0.6×25 = 6.0 kN/m opterećenju koje se sa ploče POS 100 prenosi na gredu POS 103 sledi: stalno opterećenje: polje 1-2: g1 = 6.0 + 7.06 = 13.06 kN/m polje 2-3: g2 = 6.0 + 10.04 + 14.4 = 30.44 kN/m polje 3-4: g3 = 6.0 + 9.32 + 14.4 = 29.72 kN/m povremeno opterećenje: polje 1-2: p1 = 5.88 kN/m polje 2-3: p2 = 8.37 + 12.0 = 20.37 kN/m polje 3-4: p3 = 7.77 + 12.0 = 19.77 kN/m granično računsko opterećenje: polje 1-2: qu1 = 1.6×13.06 + 1.8×5.88 = 31.48 kN/m polje 2-3: qu2 = 1.6×30.44 + 1.8×20.37 = 85.37 kN/m polje 3-4: qu3 = 1.6×29.72 + 1.8×19.77 = 83.14 kN/m S obzirom na odnos vrednosti transverzalnih sila usled vertikalnih opterećenja i seizmike, kao i manje vrednosti koeficijenata sigurnosti, seizmičke kombinacije nisu merodavne. Maksimalna transverzalna sila se javlja u preseku 3levo, za kombinaciju stalnog, povremenog i opterećenja vetrom u smeru +X: Tu3L = 1.6×114.6 + 1.8×(77.5+1.8) = 326.1 kN

3.82

λ=1.31

Nulta tačka dijagrama transverzalnih sila: x0,T = 326.1 / 85.37 = 3.82 m usvojeno: τn =

z = 0.9×h = 0.9×54 = 48.6 cm = const.

2 326.1 kN ⎧> τr = 0.11 kN / cm = 0.168 ⎨ 40 × 48.6 cm 2 ⎩< 3 τr = 0.33 kN / cm 2

0.11 ⎞ ⎛ λ = 3.82 × ⎜1 − ⎟ = 1.31 m 0.168 ⎠ ⎝

τ 3L Ru=0.87 τ r =1.1 τ 3L n =1.68

τ3RuL = 1.5 × (0.168 − 0.11) = 0.087 kN / cm2 usvojeno:

m=2 ; α = 90º ; θ =45º:

eu =

2 × au(1 ) × 40 = 23.09 × au( 1 ) 40 × 0.087

URØ8 ⇒ eu = 23.09×0.503 = 11.6 cm usvojeno: Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

URØ8/10 (m=2) PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/13

Na isti način sprovodi se proračun i za presek 3desno, za istu kombinaciju opterećenja: Tu3D = 1.6×104.6 + 1.8×(69.9+5.3) = 302.7 kN

τ 3D n =1.56 τ r =1.1

x0,T = 302.7 / 83.14 = 3.64 m usvojeno: z = 0.9×h = 0.9×54 = 48.6 cm = const. 2 302.7 kN ⎧> τr = 0.11 kN / cm τn = = 0.156 ⎨ 40 × 48.6 cm 2 ⎩< 3 τr = 0.33 kN / cm 2

τ 3D Ru=0.69

0.11 ⎞ ⎛ λ = 3.64 × ⎜1 − ⎟ = 1.07 m 0.156 ⎠ ⎝

τ

3D Ru

λ=1.07

= 1.5 × (0.156 − 0.11) = 0.069 kN / cm

3.64 2

m=2 ; α = 90º ; θ =45º:

usvojeno:

eu =

2 × au( 1 ) × 40 = 29.16 × au(1 ) 40 × 0.069

URØ8 ⇒ eu = 29.16×0.503 = 14.7 cm Maksimalno rastojanje uzengija, sračunato iz uslova zadovoljenja minimalnog procenta armiranja µuz,min = 0.2%: m × au( 1 ) 2 × 0.503 eu = = = 12.57 cm b × µuz ,min 40 × 0.2 × 10 − 2 usvojeno:

URØ8/10 (m=2)

Na isti način se osigurava i presek 2desno, za merodavnu kombinaciju stalnog, povremenog i opterećenja vetrom u smeru -X: Tu2D = 1.6×104.6 + 1.8×(71.0+1.8) = 295.2 kN usvojeno:

URØ8/10 (m=2)

Sledeća po veličini je transverzalna sila u preseku 4: Tu4 = 1.6×55.9 + 1.8×(36.9+5.3) = 165.4 kN τn =

165.4 kN = 0.085 < τr = 0.11 kN / cm 2 40 × 48.6 cm 2

Kako nije dostignuta računska čvrstoća pri čistom smicanju τr, nije potrebno osiguranje armaturom. U presecima 1 i 2levo transverzalne sile su još manje, pa ni u tim presecima nije potrebno osiguranje. Konačno usvajanje uzengija će biti izvršeno u skladu sa članom 60. Pravilnika o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim područjima: »... razmak uzengija u grednim nosačima ne sme biti veći od 20 cm, dok se u blizini čvorova, na dužini 0.2 od raspona razmak uzengija dvostruko smanjuje i ove uzengije zatvaraju preklopom po čitavoj kraćoj strani ("torzione" uzengije) ...« usvojeno:

URØ8/10 (m=2) na λ=150 cm (polje 2-3 uz ose 2 i 3) URØ8/10 (m=2) na λ=100 cm (polja 1-2 i 3-4) URØ8/20 (m=2) na ostalom delu nosača

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/14

1.8 DIMENZIONISANJE POS 104

1.8.1 DIJAGRAMI PRESEČNIH SILA 57.0

Mg

2.24

2.27

31.3

Tp

12.0

13.4

2.23

15.3 67.8

Ms

2.27

29.6

46.9 2.29

25.1

48.6

2.24

33.6

Mp

2.23

Tg

27.9

2.29

21.8

13.4

20.4

Ts

41.6

18.2

41.6

18.2

67.8

Mw

Tw

24.0

14.7

6.5

14.7

24.0

6.5

1.8.2 PRESEK U OSI B (GORNJA ZONA) Mu1 = 1.6×Mg + 1.8×(Mp + M-W) = 1.6×57.0 + 1.8×(25.1 + 14.7) = 162.8 kNm Mu2 = 1.3×(Mg +0.5×Mp + M-S) = 1.3×(57.0 + 0.5×25.1 + 41.6) = 144.5 kNm < Mu1 pretp. a1 = 5 cm ⇒

k=

b/d/h = 40/60/55 cm

55 162.8 × 10 2 40 × 2.05

Aa = 6.875 ×

= 3.903 ⇒

εb / εa = 1.438 / 10‰ µ = 6.875%

40 × 55 2.05 × = 7.75 cm 2 100 40

usvojeno:

4RØ16 (8.04 cm2)

1.8.3 PRESEK U POLJU B-C (DONJA ZONA) Mu1 = 1.6×Mg + 1.8×(Mp + M-W)

Tu = 1.6×29.6 + 1.8×(13.4-6.5) = 59.8 kN g = 0.4×0.6×25 + 7.03 = 13.03 kN/m

;

p = 5.86 kN/m

qu = 1.6×13.03 + 1.8×5.86 = 31.40 kN/m x0T = 59.8 / 31.40 = 1.91 m Mu,max = 59.8×1.91 - 31.40×1.912/2 + 1.8×24.0 = 100.1 kNm Mu2 = 1.3×(Mg +0.5×Mp + M-S)

Tu = 1.3×(29.6 + 0.5×13.4 - 18.2) = 23.53 kN qu = 1.3×(13.03 + 0.5×5.86) = 20.75 kN/m x0T = 23.53 / 20.75 = 1.13 m Mu,max = 23.53×1.13 - 20.75×1.132/2 + 1.3×67.8 = 101.5 kNm > Mu1

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

usvojeno: L0 ≈ 420 cm

pretp. a1 = 5 cm k=

P6/15

⇒

⎧⎪ 40 + 8 × 16 = 168 ⎫⎪ 420 B = min .⎨ ⎬ = 75 cm ⎪⎩40 + 0.25 × 3 = 75 ⎪⎭

⇒

B/b/d/h/dp = 75/40/60/55/16 cm

ε b / εa = 0.487 / 10‰

55 101.5 × 10 2 75 × 2.05

= 9.892 ⇒ s = 0.046 ⇒ x = 0.046 × 55 = 2.55 cm < d p = 16 cm µ = 1.038%

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa se potrebna površina armature određuje za pravougaoni presek širine B = 75 cm: Aa = 1.038 ×

75 × 55 2.05 40 × 60 × = 4.68 cm 2 < Aa ,min = 0.2 × = 4.80 cm 2 100 40 100

3RØ16 (6.03 cm2)

usvojeno:

1.8.4 PRESECI U OSAMA A I C (GORNJA I DONJA ZONA) Mu1 = ±1.8×MW = ±1.8×24.0 = ±43.2 kNm Mu2 = ±1.3×MS = ±1.3×67.8 = ±88.1 kNm > Mu1 S obzirom na alternativni znak momenta savijanja, presek treba armirati obostrano. Kako je moment savijanja manji od momenta u polju, i ovde je merodavna minimalna armatura: pretp. a1 = 5 cm ⇒

k=

b/d/h = 40/60/55 cm

55 89.5 × 10 2 40 × 2.05

Aa = ±3.723 ×

= 5.266 ⇒

ε b / εa = 0.99 / 10‰ µ = 3.723%

40 × 55 2.05 40 × 60 × = ±4.20 cm 2 < Aa ,min = 0.2 × = 4.80 cm 2 100 40 100

usvojeno:

±3RØ16 (±6.03 cm2)

1.8.5 DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA Maksimalna sila na nosaču se javlja u preseku Bdesno za kombinaciju stalnog, povremenog i opterećenja vetrom u pravcu -Y. Sledi: TuB,D = 1.6×48.6 + 1.8×(21.8+6.5) = 128.7 kN τn =

kN 128.7 = 0.066 < τr = 0.11 kN / cm 2 2 cm 40 × 48.6

Kako nije dostignuta računska čvrstoća pri čistom smicanju τr, nije potrebno osiguranje armaturom. U skladu sa članom 60. Pravilnika o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim područjima usvojeno: UØ8/10 (m=2) na λ=120 cm od oslonaca UØ8/20 (m=2) na ostalom delu nosača

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/16

1.9 DIMENZIONISANJE STUBOVA

Podužni ramovi - dijagrami momenata savijanja i reakcije oslonaca 68.8

78.2

78.2

68.8

H = 6.00 m

S=101.7

MSx 24.3

26.6

L1 = 5.40 m

81.4

L2 = 7.20 m

B=14.6

A=-22.2 W=24.0

26.6

16.2

81.4

24.3 76.7

L3 = L1 = 5.40 m

C=-14.6

18.5

D=22.2

18.5

16.2

H = 6.00 m

76.7

MWx 5.7 18.1

6.3 L1 = 5.40 m

19.2

A=-5.2

6.3 L2 = 7.20 m

B=3.4

19.2

5.7 18.1

L3 = L1 = 5.40 m

C=-3.4

D=5.2

Poprečni ramovi - dijagrami momenata savijanja i reakcije oslonaca 67.8

83.2

67.8

H = 6.00 m

S=76.3

MSy 31.7 77.2

36.7 L = 6.00 m

A=-18.2

L = 6.00 m

B=0

24.0

77.2

C=18.2

29.4

24.0

H = 6.00 m

W=27.0

84.8

31.7

MWy 27.3

L = 6.00 m

A=-6.5

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

30.0

B=0

L = 6.00 m

27.3

C=6.5

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/17

1.9.1 SILE U STUBOVIMA USLED VERTIKALNOG OPTEREĆENJA Grede su za vertikalno opterećenje tretirane kao kontinualni nosači preko četiri, odnosno tri oslonca, opterećeni sopstvenom težinom g0 = 6.0 kN/m (za usvojene dimenzije 40/60 cm) i opterećenjem sa ploča prema šemi datoj na početku priloga. Tako vertikalno opterećenje u stubovima izaziva samo normalne sile, jednake zbiru odgovarajućih reakcija podužne i poprečne grede. Reakcije oslonaca su prikazane tabelarno, sračunate najpre za podužne grede (POS 101 - 103), zatim za poprečne (POS 104 - 107) i konačno sabrane, čime su dobijene odgovarajuće vrednosti sila u stubovima usled stalnog i povremenog opterećenja. G 103 102 101

1 17.6 48.0 64.9

2 157.5 184.9 149.6

3 219.1 181.4 86.1

4 55.9 45.8 25.4

P 103 102 101

1 4.9 30.3 44.3

2 96.0 118.8 89.4

3 147.4 115.9 36.5

4 36.9 28.5 11.4

G C B A

104 27.9 95.5 29.6

105 58.0 192.5 57.9

106 58.6 189.1 55.3

107 63.8 144.2 23.1

P C B A

104 12.0 42.2 13.4

105 37.1 123.0 37.0

106 37.6 120.2 34.8

107 41.9 82.8 8.0

2231.8 C B A

1 45.6 143.5 94.5

2 215.5 377.4 207.5

3 277.8 370.5 141.4

4 119.7 190.0 48.5

1350.1 C B A

1 17.0 72.4 57.7

2 133.0 241.8 126.4

3 185.0 236.1 71.2

4 78.8 111.2 19.4

1.9.2 ODREĐIVANJE DUŽINE IZVIJANJA STUBOVA Efektivna dužina izvijanja predstavlja rastojanje prevojnih tačaka deformacione linije pritisnutog elementa, odnosno razmak nultih tačaka momenata savijanja II reda, i određuje se metodama elastične analize konstruktivnih sistema. Parametar nazvan vitkost opisuje osetljivost sistema na poprečne deformacije i određuje se kao odnos: λi =

Li i

;

i=

Ib Ab

gde je: i - poluprečnik inercije poprečnog preseka, momenta inercije Ib i površine preseka Ab. Prema članu 108. Pravilnika za beton i armirani beton vitkost se, u slučaju višespratnog okvira sa pomerljivim čvorovima može odrediti prema približnom obrascu: λi =

12 × δk × Ab h

gde je: δk - relativno horizontalno pomeranje posmatranog sprata u odnosu na donji, usled dejstva horizontalne sile H=1 koja deluje na vrhu konstrukcije, računato sa modulom elastičnosti betona Eb=1,0 Ab - zbir svih poprečnih preseka stubova posmatranog sprata h - teorijska spratna visina Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/18

S obzirom da su ranije sračunati dijagrami horizontalnih pomeranja usled sila H=100 u vrhu rama, sračunatih sa stvarnom vrednošću Eb, jasno je da treba aplicirati silu H=Eb u cilju određivanja traženog pomeranja. Sledi: podužni pravac Ab = 4×0.4×0.4 = 0.64 m2

(četiri stuba dimenzija 40/40 cm)

lk = h = 6.0 m; δk = Eb×(7.5 – 0) = 31500/100×7.5 = 2362.5 λi =

12 × δk × Ab 12 × 2362.5 × 0.64 = = 55.0 h 6 .0

poprečni pravac Ab = 3×0.4×0.4 = 0.48 m2

(tri stuba dimenzija 40/40 cm)

δk = Eb×(10.2 – 0) = 31500/100×10.2 = 3213 λi =

L 12 × δk × Ab 12 × 3213 × 0.48 = = 55.5 = i i h 6. 0

Efektivna dužina izvijanja je: i=

Ib b 40 = = = 11.5 cm ⇒ Ab 12 12

Li = λi×i = 55.5×11.5 = 640 cm ≈

1.07×h Kako je λi ≤ 75, konstrukcija spada u umereno vitke, pa se dokaz nosivosti može sprovesti nekim od približnih postupaka, npr. metodom dopunske ekscentričnosti. 1.9.3 DIMENZIONISANJE STUBA 1-C Statički uticaji za stub u preseku osa 1 i C su: vertikalno opterećenje:

G = 45.6 kN

;

P = 17.0 kN

seizmika, X pravac:

MSx = ±76.7 kNm

;

NSx = ±22.2 kN

seizmika, Y pravac:

MSy = ±77.2 kNm

;

NSy = ±18.2 kN

vetar, X pravac:

MWx = ±18.1 kNm

;

NWx = ±5.2 kN

vetar, Y pravac:

MWy = ±27.3 kNm

;

NWy = ±6.5 kN

Kako su uticaji alternativni, presek će biti armiran simetrično, a potrebna površina armature određena pomoću dijagrama interakcije za simetrično armirane preseke. Uticaji su gotovo podjednaki u oba ortogonalna pravca, a usvojena dimenzija stuba kvadratna, tako da će dimenzionisanje biti sprovedeno samo za Y pravac, a ista kolilčina armature biti usvojena i za X pravac. a.

kombinacija sa seizmičkim opterećenjem Mu = 1.3 × 77.2 = 100.4 kNm ⇒ mu =

100.4 × 10 2 = 0.076 40 × 40 2 × 2.05

17.0 46.7 ⎛ ⎞ − 18.2 ⎟ = 46.7 kN ⇒ nu = Nu = 1.3 × ⎜ 45.6 + = 0.014 2 40 × 40 × 2.05 ⎝ ⎠

a 2.05 ≈ 0.1 ⇒ µ1 = 0.083 ⇒ Aa1 = Aa 2 = 0.083 × 40 × 40 × = 6.83 cm 2 d 40 Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

b.

P6/19

kombinacija sa vetrom

Izvijanje se ne mora uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen makar jedan od uslova: λ < 25 e1 ≥ 3 .5 d e1 λ ≥ 3 .5 × d 75

za λ ≤ 75 za λ > 75

Kako je vitkost λ=55.5 > 25, prvi uslov nije zadovoljen. Ekscentricitet po teoriji I reda određen je izrazom: e1 =

27.3 27.3 ∑M = = = 0.395 m ∑ N 45.6 + 17.0 + 6.5 69.1

⇒

e1 0.395 = 0.988 < 3.5 = d 0.40

Kako je e1/d < 3.5, nije ispunjen ni drugi uslov pa se izvijanje mora uzeti u obzir. Ekscentricitet usled imperfekcije (netačnog izvođenja) se određuje kao: e0 =

l i ⎧≥ 2 cm ⎨ 300 ⎩≤ 10 cm

;

li = 6.4 m ⇒ e0 =

640 = 2.13 cm 300

Za pomerljive sisteme ekscentricitet usled netačnog izvođenja se određuje kao odstupanje od vertikale za ugao α definisan kao: tg α = 1/150 - za jednospratne okvire opterećenjem tg α = 1/200 - za sve ostale slučajeve e0 = h × tgα =

600 = 4 cm 150

⇒

opterećene

pretežno

vertikalnim

usvojeno e0 = 4 cm

Ekscentricitet usled efekata tečenja betona Ng /N = 45.6/69.1 = 0.66 > 0.2 ⎫ ⎪ λ = 55.5 > 50 ⎬ ⇒ ⎪ e1 / d = 0.988 < 2 ⎭

efekat tečenja betona se mora uzeti u obzir

Potrebno je najpre sračunati Ojlerovu kritičnu silu izvijanja stuba NE: π2 π2 NE = E b × I i × 2 ≈ E b × I b × 2 Li Li S obzirom da je površina armature nepoznata, a da se ne očekuje da ona bitno utiče na vrednost momenta inercije preseka (cca. 5%), dopušteno je i preporučivo Ojlerovu kritičnu silu izvijanja sračunati sa karakteristikama bruto betonskog preseka.

Ib =

b × d 3 40 × 40 3 = 213333 cm4 ; Eb = 31.5 GPa = 31.5×106 kN/m2 = 12 12

NE = 31.5 × 10 6 × 213333 × 10 −8 ×

αE =

Ng NE

=

45.6 = 0.0028 16192

;

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

π2 = 16192 kN 6.4 2

eg =

Mg N

=

0 =0 69.1 PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE GREDA I STUBOVA

P6/20

Za element srednje debljine dm: b/d = 40/40 cm ⇒ d m =

2×A 2 × 40 × 40 = = 20 cm O 2 × (40 + 40 )

pretpostavljenu starost betona u trenutku nanošenja opterećenja t0=28 dana, za element "napolju" (rel. vlažnost sredine 70%), sledi konačna vrednost koeficijenta tečenja ϕ∞ = 2.6 (čl. 59. Pravilnika BAB 87). Ekscentricitet usled tečenja betona eϕ se sračunava iz izraza:

⎞ ⎛ 1−ααE ×ϕ∞ × 2 .6 ⎛ 1−00.0028 ⎞ E ⎟ ⎜ eϕ = (e0 + eg ) × e − 1 ⎟⎟ = 0.03 cm − 1 = (4 + 0 ) × ⎜⎜ e .0028 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ Dopunski ekscentricitet Kako je λ ≤ 75, (oblast umerene vitkosti), moguće je koristiti metod dopunske ekscentričnosti za uvođenje u proračun efekata teorije II reda. Zavisno od odnosa e1/d, dopunski ekscentricitet ed se određuje iz jednog od sledećih izraza: 0≤

e1 < 0 .3 : d

ed = d ×

e λ − 25 × 0 .1 + 1 100 d

0 .3 ≤

e1 < 2 .5 : d

ed = d ×

λ − 25 ≥0 160

2 .5 ≤

e1 < 3 .5 : d

ed = d ×

λ − 25 ⎛ e ⎞ × ⎜ 3 .5 − 1 ⎟ 160 d⎠ ⎝

e1 55.5 − 25 = 0.988 ⇒ ed = 40 × = 7.61 cm d 160

Ukupan računski ekcentricitet: e2 = e1 + e0 + eϕ + ed = 39.5 + 4.0 + 0.03 + 7.61 = 51.14 cm

Za pretpostavljeno εa1 ≥ 3‰, koeficijenti sigurnosti imaju minimalne vrednosti, pa sledi: Nu = 1.6×45.6 + 1.8×(17.0+6.5) = 115.3 kN

⇒ nu =

115.3 = 0.035 40 × 40 × 2.05

Mu = Nu × e2 = 115.3×51.14 = 5895 kNcm

⇒ mu =

5895 = 0.045 40 × 40 2 × 2.05

a 2.05 ≈ 0.1 ⇒ µ1 = 0.034 ⇒ Aa1 = Aa 2 = 0.034 × 40 × 40 × = 2.78 cm 2 < 6.83 cm 2 d 40

Ovako sračunata armatura manja je od vrednosti dobijene za kombinaciju sa seizmičkim opterećenjem, pa je usvojeno: usvojeno:

±4RØ16 (±8.04 cm2)

Kako nije dostignuta računska čvrstoća pri čistom smicanju τr, nije potrebno osiguranje armaturom. U skladu sa članom 191. Pravilnika za beton i armirani beton, vezano za objekte visokogradnje u seizmičkim područjima, usvojeno je: UØ8/7.5 (m=2) na λ=100 cm od čvorova UØ8/15 (m=2) na ostalom delu stuba

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1

PRIMERI ZA VEŽBE