6-Cap 6. CIA - Cónicas - Parábola - Elipse - Hipérbola
April 11, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
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CIRC CIRCUN#E UN#ERENCI RENCIA"""" A""""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """"""""" """"""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""""""" """""""""""""" """""$$
1.1. Circu Circunfere nferencia ncia con centr centroo en el orige origen........ n............... .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ................. ..................... ...........22 1.2. Circu Circunfere nferencia ncia con cen centro tro desp desplazado lazado de dell origen.... origen........... .............. .............. ............... ............... .............. ............... ............................... .......................33 1.3. Ecuac Ecuación ión gener general al de la circunfere circunferencia... ncia.......... ............... ............... .............. ............... ............... .............. ............... ............... ..................... .......................... ............44 1.4. Anál Análisis isis para pos posicione icioness particu particulares lares de la circun circunferenc ferencia........ ia................ ............... .............. ............... ............... .............. .................... .............44 1.4.1. Centro en el origen del sistema cartesiano................................................................................................. cartesiano.......................................................................................................... .........44 1.4.2. Centro sobre el eje X....................................................................................................................... X..................................................................................................................................... .................... ......44 1.4.3. Centro sobre el eje ........................................................... ..................................................................................................................................... ................................................................................ ......!! 1.4.4. Circunferencia "ue pasa pasa por el origen origen del sistema cartesiano.............................................................................! cartesiano.............................................................................!
1.!. #a #angent ngentee a una circun circunferen ferencia cia desde un punto e$terno. e$terno........ .............. .............. ............... ............... .............. .............. ............... ............... ........... ....%% 1.%. Eje radica radicall de dos circunfer circunferencias. encias........ ............... ............... .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. ................................ .........................14 14
$"
C%NI C%NICAS" CAS"""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""""""" """""""""""""""""" """""""""""""""""" """""""""!& !&
'" *"
DE#I DE#INICI NICI%N %N (ENE (ENERAL RAL DE C%NI C%NICAS"" CAS""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""""""" """""""""$) $) +A +AR,-O R,-OLA""" LA"""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""""" """""""$) $)
."
ELI+ ELI+SE""" SE"""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """"""""" """"""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """"""""""" """"""'! '!
!.1. Ecuac Ecuación ión general de la Elipse Elipse........ ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .................. ...........33 33 !.2. &adio focal de la Elipse..... Elipse............ .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... ..................... .................4' 4'
6"
/I+E /I+ER-OL R-OLA"""" A""""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""""""" """""""""** **
0"
A+LI A+LICACI CACIONES ONES DE LAS C%NI C%NICAS"" CAS""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """""""""" """"""""""" """""""""""""""" """"""""""""""""""" """"""""""""" """".0 .0
(.1. Aplic Aplicacion aciones es de la paráb parábola.... ola........... ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... ............... .............. ............... ............... ................. ..........!( !( (.2. Aplic Aplicacion aciones es de la elipse..... elipse............ .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... ............... .............. ............................ .....................!( !( (.3. Aplic Aplicacion aciones es de la )ip*rbola )ip*rbola........ ............... .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ....................................... ....................................!+ !+
Cap. % , 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
-E/E#&0A AA0#CA !"
CIRCUN#ERENCIA" ugar -eom*trico de todos los puntos "ue e"uidistan de un punto fijo llamado centro. i consideramos un anillo5 el borde del anillo es la circunferencia5 si colocamos el anillo sobre un papel 6 pintamos dentro del anillo la figura plana "ue aparece sobre el papel es el c7rculo. 8er7metro de la circunferencia es9 Cia : π.; : 2π.&
!"!" !"!"
X? @X2 B 2 : & 2
Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.1..
Esc Escrib ribir ir la ecu ecuaci ación ón de de la circu circunfe nferen rencia cia con centro centro en en el origen origen 6
1.1.
&adio & : !.
4$ 5 $ 7 $..
1.2.
&adio & : 1'.
4$ 5 $ 7 !)).
Ejerci Eje rcicio cio %.2 %.2.. 2.1.
Circu rcunferencia con ce centro en el el oorrigen 6 radio : &.
;et ;eterm ermina inarr el rad radio io 6 eell u uga garr -e -eom* om*tri trico co de de llaa ecua ecuació ción9 n9
X2 B 2 : +1. Circunferencia con centro en el origen 6 radio & : D.
2.2.
X2 B 2 : %4. Circunferencia con centro en el origen 6 & : +.
Ejer Ej erci cici cioo %.3. %.3.
Enco Encont ntra rarr el conj conjun unto to de to todo doss los pu punt ntoo 8>X? 8>X? @ tales tales "ue "ue la suma suma de los cuadrados de las distancias de 8 a los ejes coordenados sea igual a 3%.
;istancia de 8>X? @ al eje 9
X.
;istancia de 8>X? @ al eje X9
uma de los cuadrados de las distancias9 4$ 5 $ 7 '6. Circunferencia con centro en el origen 6 radio & : %.
Cap. % , 2
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!" !"$" $"
Ci1c Ci1cu u2e 2e1e 1ec cia ia co co cet cet1o 1o 8esp 8espla la9a 9a8o 8o 8el 8el o1i3 o1i3e e"" i la circunferencia tiene el centro desplazado del origen del plano cartesiano5 en un punto C;< =>5 el ugar -eom*trico de la misma estará dado por el conjunto de puntos9 - : =>X? @>X , )@2 B > , @2 : & 2. Circunferencia con centro en C>)? @ 6 radio &. a ecuación de la circunferencia es de segundo grado en X e . 8ero no toda ecuación de segundo grado en X e corresponde a una circunferencia. Ecuación ormal >o Canónica@ de la circunferencia9
Ejer Ej erci cici cioo %.4. %.4.
4 ? ;>$ 5 ? =>$ 7 R $.
Enco Encont ntra rarr la Ec Ecua uaci ción ón de llaa Cir Circu cunf nfer eren enci ciaa con cen centr troo en el punt puntoo C>2? C>2? 3@ 6 radio & : 4.
>X , 2@2 B > , 3@ 2 : 1%.
Ejerci Eje rcicio cio %.!. %.!.
X2 B 2 , 4X , % , 3 : '.
En Encon contra trarr las coor coorden denada adass del cen centro tro C C>)? >)? @ @ 6 el radi radioo & de la la circu circunfe nferen rencia cia99 X2 B 2 , 3X B ! , 14 : '.
Agrupamos los t*rminos en X e 9 FX2 , 3XG B F2 B !G !G , 1144 : '. 2
u ueg egoo com comple pleta tamo moss los los cua cuadr drad ados os99
2
X − 3 − D + Y + ! − 2! − 14 = ' . 2 4 2 4 2
2
X − 3 + Y + ! = 4! 2 2 2
Coordenadass del centro9 Coordenada Ejerci Eje rcicio cio %.% %.%..
3 ! C 9 ? 2 − 2
4! R 2 9 2 .
En Encon contra trarr las las co coord ordena enadas das de C>) C>)?? @ 6 & de de la circun circunfer ferenc encia9 ia9 X2 B 2 B 4X B + , 2D : '.
Agrupamos t*rminos9 >X2 B 4X@ B >2 B + +@@ , 2D : '.
Comp Comple leta tamo moss cua cuadr drad ados os99
>X B 2@2 , 4 B > B 4@2 , 1% , 2D : ' >X B 2@2 B > B 4@2 : 4D Coordenadass del centro9 C? $< ? *> Coordenada
R 7 0.
Cap. % , 3
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!"'" !"'"
Ec Ecua uaci ció ó 3ee 3ee1a 1all 8e la ci1c ci1cu u2e 2e11ec cia ia"" a ecuación general de la circunferencia es de la forma9 4$ 5 $ 5 D4 5 E 5 # 7 ) Agrupamos los t*rminos en X e 6 completamos cuadrados9 2
$
$
>4 5 D4> 5 5 E> 5 # 7 ) 2
2
X + D − D 2 + Y + E − E 2 + F = ' . 2 4 2 4
2
D 2 + E 2 − 4 F X + D + Y + E 5 comparamos con la ec. normal9 = 2 2 4
>X , )@2 B > , @ 2 : & 2. Coordenadass del centro en función de los coeficientes9 Coordenada &adio de la circunferencia9 R = 2
D + E 2
2
− 4 F
4
h
= −
D 2
k = −
E 2
.
.
Análisis del t*rmino >;2 B E2 ? ? 4H@9 4H@9
!" !"*" *"
i >;2 B E2 ? ? 4H 4H@ I '
& I '9 Circunferencia real.
i >;2 B E2 ? ? 4H 4H@ : '
& : '9 #enemos un 8unto en el 8lano.
i >;2 B E2 ? ? 4H 4H@ J '
& J '9 Circunferencia imaginaria.
A Aál ális isis is p pa1 a1aa posi posici cio oes es p pa1 a1ti ticu cula la1e 1ess 8e la ci1 ci1cu cu2 2e1 e1e eci cia" a" 2
!"*"!" !"* "!"
2
Analizamos la ecuación general9
D 2 + E 2 − 4 F X + D + Y + E 5 = 2 2 4
6 la ecuación normal9
>X , )@2 B > , @2 : & 2.
Ce Cet1 t1oo ee eell o1i3 o1i3e e 8el 8el ssist istema ema ca1te ca1tesia siao" o" #enemos #enemos "u "uee ; 7 = 7 ) 4$ 5 $ 7 R $5 Ecuación Canónica de la CA.
!"*"$ "*"$""
Cet1 t1oo sso@ o@11e eell ee ee 4" #enemos C;< )> 4 ? ;>$ 5 $ 7 R $. ;esarrollamos esta ecuación9 X
2
+ Y 2 − 2hX + h 2 − R 2 = ' .
Cap. % , 4
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!"*"' "*"'""
Cet1 t1oo sso@ o@11e eell ee ee " #enemos C)< => 4$ 5 ? =>$ 7 R $. ;esarrollamos esta ecuación9 X
!"*"*" !"* "*"
2
+ Y 2 − 2kY + k 2 − R 2 = ' .
Ci1 Ci1cu cu2e 2e1e 1eci ciaa Bue pasa pasa po po11 el o1 o1i3e i3e 8el sis sistem temaa ca1 ca1tes tesia iao" o" a ecuación debe cumplirse para el 8unto de coordenadas coordenadas >'? '@9 > X − h@ 2 X
2
+ >Y − k @ 2 − R 2 = '
− 2hX + h 2 + Y 2 − 2kY + k 2 − R 2 = '
8ara X : : '5 tenemos "ue9 X
2
h
2
+ k 2 − R 2 = ' .
2 2 2 + Y 2 − 2hX − 2kY + >h + k − R @ = ' . i
h
2
+ k 2 − R 2 = ' en la ecuación general de la
circunferencia9 4$ 5 $ 5 D4 5 E 5 # 7 ) el t*rmino independiente debe ser nulo9 # 7
).
Encontrar el Ka Kallor de = para para "ue la Ecuación9 X2 B 2 , +X B 1' B : '
Ejer jercicio %.(.
represente una circunferencia de & : (.
Mto8o I9 X2 B 2 , +X B 1' B : '5 comparamos con la ecuación general9 X2 B 2 B ;X B E B H : ' D + E 2
R
2
=
4D =
2
; :
, +?
E : 1'?
H : .
− 4F
4
%4 + 1'' − 4k 4
, 4 : 32
= 7 ? .
Mto8o II9 Completamos cuadrados en X e 9 >X , 4@2 , 1% B > B !@2 , 2! B : ' >X , 4@2 B > B !@ 2 : 41 , : & 2. 41 , , : 4D
= 7 ? .
Cap. % , !
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!" !"." ."
Ta3 3e ete te a ua ua ci1c ci1cu u2e 2e1e 1ec cia ia 8es8 8es8ee u u p pu uto to ete ete1 1o" o" Lo3itu8 8e la 1ecta ta3ete a ua ci1cu2e1ecia ci1cu2e1ecia 8es8e u puto ete1o
Ejercicio %.+.
al puto 8e ta3ecia t a3ecia. ;ada una circunferencia con centro en C>)? @? radio & 6 la recta tangente a la misma en 8 #>X#? #@ "ue pasa por el punto 8 1>X1? 1@9 Calcular la longitud de la tangente desde el punto 8 1>X1? 1@ al punto de tangencia. a tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. 8#>X#? #@
81>X1? 1@
C>)?@
Consideremoss el triángulo de K*rtices 8 18#C9 >triángulo rectángulo@5 donde9 Consideremo >81C@9 )ipotenusa? >818#@ 6 >8#C@9 catetos9 >81C@2 : >818#@2 B >8#C@2 >81C@2 : d2 B & 2 d =
> X 1
d2 : >81C@2 – & 2
− h@ 2 + >Y 1 − k @ 2 − R 2
a longitud de la tangente desde un punto 8 e$terior a la CA es igual a la ra7z cuadrada de la ecuación de la misma con X e sustituidas por las coordenadas del punto dado. Ejerci Eje rcicio cio %.D. %.D.
;ad ;adoo el conju conjunto nto de de pares pares de ppunt untos os X e "ue pert perten enece ecenn al conjun conjunto to defin definido ido por9 =>X? @9 X2 B 2 B 2X B , 3 : '5 Calcular la longitud de la recta tangente "ue Ka desde 8>+? 4@ )asta el punto de tangencia.
8ara la ecuación dada9 X2 B 2 B 2X B , 3 : '5 tenemos9 ) : – ;2 : – 1? 1? d =
: – E2 : – 12?
> X 1 − h@ 2 + >Y 1 − k @ 2
− R 2 =
> + + 1@ 2
R 2
=
D 2 + E 2 −4 F 4
=
1( 4
5
+ >4 + 1 A 2@ 2 − >1( A 4@ 2 .
8 7 &F!$.
Cap. % , %
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Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.1'. '.
8ar 8araa el ttriá riángu ngulo lo de defin finido ido ppor or la lass rec rectas tas99 19 (X , : – 11? 29 X B : 1! 6 39 (X B 1( : – %!. ;eterminar9
1'.1.
os K*rtices. 8ara )allar el K*rtice A resolKemos el sistema formado por las ecuaciones de
? 8ara -: 139 -– $< – '>? 8ara C: 239 C: '$< – !0>. 1 ? 2D 129 A 2 2 1'.2. 1'. 2.
a in inter tersec secció ciónn >)? @ ddee las bbise isectr ctrice icess de los los ángulo ánguloss interio interiores res del del tr trián iángul gulo. o. Lisectrices de ángulos interiores del triángulo se interceptan en el icet1o. 8unt 8u ntoo de in inte ters rsec ecci ción ón 6 or orig igen en es está tánn al A>'5!? 145!@
mism mi smoo la lado do de cad cadaa rect recta9 a9 as 8 son J ' 6 ' 6 por ser radios de la cia
1
inscri ins cripta pta al triángu triángulo lo so sonn iguale igualess
2
entre si9 8! 7 8$ 7 8' ;istancia de >)? @9 a 19 L>,2? ,3@
3
a 3 es9
d 3
=
( h + 1( k + %!
−
33+
d 2
=
h + k − 1! 2
− + = (h k 11 5 − !'
5
.
( h − k + 11
d1 : d2 9
a 2 es9
C>32? ,1(@
d 1
−!
2
h k 1! = + −
3) B : 1%
2
>1@.
( h − k + 11 ( h + 1(k + %!
d1 : d3 9 R
1'.3. 1'. 3.
=
d 1
=
−! d 2
=
d 3
=
2
− 13
.
2
4) – ( ( : 13 >2@ R
=D
2 2
; 7 . = 7 !.
.
a Ecuac Ecuación ión de la cir circun cunfer ferenc encia ia ins inscri cripta pta al triá triángu ngulo. lo. 8ara9 C>!? 1@ 6 R =
D 2 2
5 tenemos9
> X − !@ 2 + >Y − 1@ 2
= +1 . 2
Cap. % , (
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1'.4. 1'. 4.
a Ecuac Ecuación ión de la la ci circu rcunfe nferen rencia cia circu circunsc nscrip ripta ta aall trián triángul gulo. o. os Kalores de X e de cada K*rtice deben satisfacer a la ecuación general de la cia9 X2 B 2 B ;X B E B H : '. 8ara A9
; B 2DE B 2H : – 44221.
>1@
8ara L9 2; B 3E – H : 13. 8ara C9 – 32; B 1(E – H : 1.313.
>2@ >3@
D
h
= − +1 ?
E =
2
D
=−
2
=
+1
k =
4
2
−
11 2
F =
?
− E = 11 2
R
4
2
=
− 221 2
D
2
2 + E − 4F
4
= !2+ .
2
X − +1 + Y − 11 = !2+ . 4 4
Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.11. 1.
Encon Encontra trarr la ecua ecuació ciónn de la cir circun cunfer ferenc encia ia circun circunscr script iptaa al triángul triánguloo defini definido do
por las rectas9 19 X B : +? 1? 29 A >%? 2@. 1;39 L >(? 1@.
29 2X B : 14 6 39 3X B : 22. 2;39 C >+? – 2@.
8ara A>%? 2@9
%; B 2E B H : – 4'
D 7 – 6
8ara L>(? 1@9
(; B E B H : – !'
E7*
8ara C>+? – 2 2@@9
+; – 2E B H : – %+
# 7 – !$
4$ 5 $ – 64 5 * – !$ 7 )4 – '>$ 5 5 $> $ 7 $.. Ejercicio Ejerc icio %%.12. .12.
Malla Mallarr la ec ecuaci uación ón de la la cir circunfe cunferenci renciaa circunsc circunscripta ripta al al triángulo triángulo de de lados9 lados9
19 2X 2X B , + : ' 29 X , , 1 : '
39 X , ( , 1D : '.
N*rtice A9 1 6 29 A>3? 2@. N*rtice L9 1 6 39 L>!? , 2@. N*rtice C9 3 6 29 >, 2? ,3@. 3; B 2E B H : , 13
>1@
!; , 22E E B H : , 2D
>2@
, 2; , 3E B H : , 13
>3@
X 2 + Y 2
Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.13. 3.
−
; : , +3?
E : +3?
H : , 313.
+ + 31 X + Y − = '. 3 3 3
8ar 8araa el triángu triángulo lo de defin finido ido por las rec rectas tas99 1? 2 6 3 cu6as ecuaciones son9
19 2X ? 3 B 21 : '?
29 3X ? 2 2 ? % : '?
39 2X B 3 B D : '.
Cap. % , +
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2
1
L>O1!2? 2@
1 !
3
@
C>'? O 3@
13.1. 3.1.
Encont contra rarr lo los K*rtic rticees. 1? 29 A>12? 1!@.
13.2 13.2..
1? 39 B>−
= m AB = 2 ?
2? 39 C>'? , 3@.
m3
= m BC = − 2 .
2
3
;ete ;eterm rmin inar ar el tipo tipo de triá triáng ngul ulo. o. Como
m AB
= −
Nerificar "ue L BC
13.!. 13. !.
? 2@ .
= m AC = 3 ?
m2
3
13.4.
2
;e ;ete term rmin inar ar las las ppen endi dien ente tess ddee ca cada da lado lado.. m1
13 13.3 .3..
1!
=
! 13 2
1 m BC
5 el triángulo es rectángulo.
> L AB @ 2
= > L BC @ 2 + > L AC @ 2 .
?
L AC
=%
13
?
L AB
= 13
13 2
.
Ca Calcu lcular lar eell pun punto to de de inter interse secci cción ón de de la lass bisec bisectri trices ces >ince >incentr ntro@. o@. d1 : d2 : d3? las tres son negatiKas5 punto 6 origen están al mismo lado de cada recta. d1 : d29 d1 : d39
2h − 3k + 21
−
=
13
2h − 3k + 21
−
13
=
3h − 2k − % 13 2h + 3k + D
−
13
– ) B : 3
>1@.
=7$
; 7 – !.
Cap. % , D
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13.%. 13. %.
En Encon contra trarr la ecu ecuaci ación ón de de la ccirc ircunf unfere erenc ncia ia in inscr script iptaa al triá triángu ngulo. lo. d1 : d2 : d3 : R
13.( 13.(..
=
13 ?
4 5 !>$ 5 ? $> $ 7 !'.
C>– 1? 2@.
;e ;ete term rmin inar ar llas as eecu cuac acio ione ness de las las m med edia iatri trice ces. s. D 1( ? 8end ? /ediatriz de AL9 8 /edio9 AB 8endient ientee de la /ediatriz /ediatriz99
M AB
=−3 .
/ediatriz de AC9 8 /edio9
M AC
=−2 .
4
AC > %? %@
/ediatriz de LC9 8 /edio9 BC −
13.+ 13.+..
2
? 8e 8end ndie ient ntee de la /edi /ediat atri riz9 z9
2
1 1! ? − ? 8endiente de la /ediatriz9 M BC 2 4
/ediatriz de 19 >AL@9
12X B + : D!.
/ediatriz de 29 >AC@9
2X B 3 : 3'.
/ediatriz de 39 >LC@9
12X , + : , 41.
3
= 2. 3
Ca Calc lcul ular ar eell pu punt ntoo de iint nter erse secc cció iónn me medi diat atric rices es.. #omamos #o mamos dos ecuaciones cuales"uiera de las mediatrices 6 resolKemos el sistema.
D 1( +uto 8e ite1secció me8iat1ices9 PIM ? . 4 2 13.D. 13. D.
En Encon contra trarr la ecua ecuació ciónn de llaa cir circu cunfe nferen rencia cia circ circuns unscri cripta pta al al triáng triángulo ulo.. 8ara A9
12; B 1!E B H : , 3%D
>1@
8ara L9 8ara C9
3'; , ++E E , 4H : 3E , H :
>2@ >3@
D 7 ? &G$?
E 7 ? !0?
X
2
+ Y 2 −
# 7 ? 6).
D X − 1(Y − %' = ' . 2
D ? 1( 4 2
C
241 D
R 2
=
21D( 1%
.
Cap. % , 1'
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Ejer Ej erci cici cioo %.14 %.14..
8ara 8ara eell tri trián ángu gulo lo de llad ados os99 19 : '? 29 3X , 4 : ' 6 39 4X B 3 : !'. Mallar9
14.1.
os K*rtices. 2! 139 B > 2 ? '@
129 A)< )> 14 14.2 .2..
a Ecua Ecuaci ción ón de las las Lis Lisec ectr tric ices es.. X – 3 3 : '?
14.3 14.3..
239 C< 6>.
2X B 4 – 2 2!! : '?
(X – – !' : '.
El 8u 8unt ntoo de inte inters rsec ecci ción ón de las las bis bisec ectr tric ices es..
Mto8o I9 resolKer el sistema formado por dos ecuaciones de bisectrices9
P >
1! 2
?
! 2
@.
Mto8o II9 8. de ntersección de Lisectrices9 Centro de la circunferencia inscripta al triángulo. d1 I '? d2 J '? d3 J '. d 1 = k . 3h − 4k 4h + 3k − !' d 2 = − d 3 = − ? ? −! ! ) : 1!2? : !2. 14.4. 14. 4.
a Ecuac Ecuación ión de la cir circun cunfer ferenc encia ia ins inscri cripta pta al triá triángu ngulo. lo. Centro9 C!.G$< .G$>? R 7 $F.. 2
2
X − 1! + Y − ! = 2! . 2 2 4
14.!. 14. !.
a Ecuac Ecuación ión de la cir circun cunfer ferenc encia ia ccirc ircuns unscri crita ta al triá triángu ngulo. lo. 8ara A)< )>9 H : '. 8ara -!$F.< )>9 D = − X 2
+ Y 2 −
2! 2
2! 2
. 8ara C< 6> 9 E : '.
X = '
2
X − 2! + Y 2 = %2! . 4 1%
Ejer Ej erci cici cioo %.1! %.1!..
Enco Encont ntra rarr las las ecua ecuaci cion ones es de las las ci circ rcun unfe fere renc ncia iass "u "uee pa pase senn po porr lo loss pu punt ntos os99 A>1? 2@ 6 L>3? 4@ 6 sean ta tangentes ngentes a la rec recta9 ta9 9 3X B ? 3 3 : '.
Cap. % , 11
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C>)? @9 es el centro de una de las
L>3? 4@
ci circ rcun unfe fere renc ncia ias? s? T9 es punto de #
C>)? @
tangencia. as distancias9 CA 7 C- 7 CT 7 R .
A>1? 2@
#omamos9 CA 7 C> h − 1@ 2
+ >k − 2@ 2 =
> h − 3@ 2
+ >k − 4@ 2
>) – 1@2 B > – 2@2 : >) – 3@2 B > – 4@2
;5=7.
>1@
#omamos9 CA 7 CT >h − 1@ 2
>3h + k − 3@ + >k − 2@2 =
2 >3h + k − 3@ >h − 1@ + >k − 2@ = 1'
2
2
1'
;$ 5 &= $ – 6;= – $; – '*= 5 *! 7 )>2@ ;e >1@9
):!,
>3@.
>3@ en >2@9
22 – D + ( : '
+a1a = ! 7 !:
;! 7 *
CIA!9
> X − 4@ 2 + >Y − 1@ 2
+a1a = $ 7 0G$9
;$ 7 'G$
CIA$9
X − 3 2
= $ 7 0G$"
C!*< !>
+ k − 3@ 2 >3h > R1 @ = 1'
2
= 1' .
= 1' .
C$'G$< 0G$> 2
Ejercicio Ejerc icio %.1%.
= ! 7 !
> R2 @
2
=
>3h + k − 3@ 2
1'
!
= . 2
2
( ! + Y − = . 2 2
Malla Mallarr las ec ecuaci uaciones ones de las cir circunfe cunferenci rencias as "ue pasen pasen por los los puntos puntos A>2? A>2? 3@ 6 L>3? %@ 6 sean tangentes a la recta9 9 2X B , 2 : '.
$64 ? $ 5 *. *. 7 )< Solució: 4$ 5 $ ? $6
4$ 5 $ ? $4 ? !) 5 $! 7 ).
Cap. % , 12
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.1(. (.
En Encon contra trarr la ecuació ecuaciónn de la CA "ue ppasa asa por por los punto puntoss 8>!? 3@? 3@? P>3? –1@ 6 &>%? 2@.
8ara 89 8ara P9 8ara &9 D 7 –
!; B 3E B H : – 34 34 >1@ 3; – E B H : – 1' 1' >2@ %; B 2E B H : – 4' 4' >3@ E 7 – $ # 7 !$
) : 4? : 1? & $ : !.
4$ 5 $ – 4 – $ 5 !$ 7 ). Ejer Ej erci cici cioo %.1+ %.1+..
4 ? *>$ 5 ? !>$ 7 ..
Mall Mallar ar el C>) C>)?? @ 6 el &a &adi dioo de la Cir Circu cunf nfer eren enci ciaa "ue pasa pasa por 8>1? 8>1? 1@ 6 es tangente a la recta #9 2X , , 3 : ' en el punto P>3? 3@. # P>3?3@ C>)?@
8>1?1@
L
a tangente a la CA T9 2X , , 3 : ' tiene pendiente mT 7 $? la perpendicular a ella >N@ pasa por el punto de tangencia P>3? 3@ 6 por el centro C>)? @ de la CA 6 tiene pendiente9 mN 7 – !G$? 8ara )allar su ecuación usamos los datos9 P>3? 3@ 6 mN9
N9 X B 2 , D : '. a pendiente de la cuerda +H es m+H 7 !5 su punto medio es9 X / : 2? / : 2. a mediatriz de esta cuerda pasa por >2? 2@ 6 por el C>)? @ de la CA5 su pendiente es
mM 7 , ! !. 6 su ecuación será9 L9 X B , 4 : '. #enemos un sistema con dos ecuaciones 6 dos incógnitas9 X B 2 : D >>11@
) B 2 : D
>1@
X B : 4 >2@
)B :4
>2@
8ara ) 6 tendremos9
; 7 , ! ! = 7 ..
& 2 : 2'.
Ecuación de la circunferencia9 4 5 !>$ 5 ? .>$ 7 $). Ejerci Eje rcicio cio %.1 %.1D. D.
En Encon contra trarr la ecuació ecuaciónn de la circ circunf unfere erenci nciaa "ue pase pase por A>'? A>'? '@ con & : 13 6 centro en C>–12? @.
>X – )@2 B > – @2 : & 2 Cap. % , 13
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8ara el punto A9 >12@2 B >@2 : 1%D tenemos9
>X B 12@2 B > – !@2 : 1%D.
8ara C$– !$< – .> tenemos9
>X B 12@2 B > B !@2 : 1%D.
8ara C!– !$< .>
!"6" "6"
144 B 2 : 1%D
= 7 ± ..
Ee 1a 1a8i 8iccal 8e 8e 8 8oos cci1 i1ccu u2e 2e11ecia cias" s" Es el lugar geom*trico de los puntos desde los cuales las rectas tangentes a ellas tienen igual longitud. Consideramos la ecuación de dos circunferencias9
CIA !:
X
2
+ Y 2 + D 1 X + E 1Y + F 1 = ' 5
CIA $:
X
2
+ Y 2 + D 2 X + E 2Y + F 2 = ' .
ea 8>X? @ un punto gen*rico del eje radical5 entonces tenemos9 8! 7 8$ X
2
+ Y 2 + D1 X + E 1Y + F 1 =
X
2
+ Y 2 + D2 X + E 2Y + F 2 .
EleKamos al cuadrado 6 agrupamos9
D! ? D$>4 5 E! ? E$> 5 #! 5 # $ 7 )5 la ecuación del ugar -eom*trico es la Ecuación de una &ecta5 de la forma9
A4 5 - 5 C 7 ) . Ejercicio Ejerc icio %.2'.
Enco Encontrar ntrar la la ecu ecuació aciónn de la fami familia lia de ccircun ircunferen ferencias cias "ue "ue pasan pasan por por los puntos puntos de intersección de dos dadas.
CIA !: X 2 + Y 2 + D1 X + E 1Y + F 1 = ' 5 CIA $: X 2 + Y 2 + D2 X + E 2Y + F 2 = ' ? tenemos dos Circunferencias "ue son secantes. X2 B 2 B ;1X B E1 B H1 B Q>X2 B 2 B ;2X B E2 B H2 @ : '
representa la flia de
cias ∀ Q ≠ –1. 8ara Q : –15 tenemos9
D! – D$>4 5 E! – E$> 5 #! – #$ 7 ).
Ecuación de la recta "ue es la cuerda comRn
a ambas circunferencia circunferencias. s. Ejercicio Ejerc icio %.21.
Malla Mallarr la ec ecuaci uación ón de la cir circunfe cunferenc rencia ia "ue pasa por el el punto de interse intersecció cciónn de las rectas9 19 3X B 4 : 2% 6 29 , X B ! : 4 6 tiene el centro en C>'? – 1@.
8unto de ntersección entre 1 6 29
476
7 $.
Cap. % , 14
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&adio9 distancia entre C>'? , 1@ 6 el punto >%? 2@9 Ecuación de la circunferencia pedida9
Ejercicio %.22.
R 2
= 4! .
4$ 5 5 !>$ 7 *..
Sn segmento de recta +H de lo long ngit itud ud 3 cmt cmt se mue ueKe Ke ap apo6 o6án ándo dose se tangencialmente sobre la circunferencia9 4$ 5 $ ? *4 5 6 5 & 7 ). i el e$tremo + es el punto de tangencia. TCuál es el lugar geom*trico "ue describe el punto HU.
En la ecuación de la circunferencia completamos cuadrados9 >4$ ? *4> 5 $ 5 6> 5 & 7 )
4 ? $>$ 5 5 '>$ 7 *? 8
PQ
=
3
; 7 $< = 7 – '< R 7 $.
P
PQ
2 =
D
8P2 : >X , 2@2 B > B 3@2 , 4 : D
4 ? $>$ 5 5 '>$ 7 !'
El punto H describe una circunferencia5 cu6a ecuación es9
4 ? $>$ 5 5 '>$ 7 !'?
con centro en9 C$< ? '> 6 radio9 R
=
13 .
Cap. % , 1!
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Ejerci Eje rcicio cio %.23 %.23..
8ar 8araa el # #riá riángu ngulo lo de KK*rt *rtice ices9 s9 A>4? A>4? 11@@ L>2 L>2?? –1@ 6 C>–1? !@5 ;eterminar9 23.1 3.1.
C>, 1? !@
8un unto to /ed /edio de cada la laddo.
'@? 8/AL9 >3? '@? A>4? 1@
23.2 3.2.
8/AC9 >32? 3@ ? 3@ ? 8/LC9 >12? 2@. 2@.
8en endi dieente de ca cadda la laddo.
mAL : 1? 1? mAC : – 4! 4!?? L>2? , 1@ L AB
23 23.4 .4..
=
+
23.3.
L AC
=
41
LC9 2X B , 3 : '.
/ de L9 +X B : 1! 1!..
/ de C9 !X B 4: 1! 1!..
El ba baric ricen entro tro >pu >punto nto de int inters ersecc ección ión de las me media dianas nas@. @.
=
+ X + X
X A
B
C
3
? XL : !3
Y B
=
Y A
+ Y B + Y C 3
? L : !3. !3.
ongit ngitud ud de ccaada media ediana na.. !3 M
A
23.+. 23. +.
.
Ec Ecuac uación ión ddee las med median ianas as >re >recta cta ""ue ue Ka del del K* K*rti rtice ce al punt puntoo medio medio ddel el lado lado opues opuesto@ to@..
X B
23.(. 3.(.
4!
AC9 4X B ! , 21 : '
/ de A9 2X B ( : 1! 1!.. 23.%. 23. %.
=
ongitud de de ca cada llaado.
Ecua Ecuaci ción ón de la rect rectaa ddee ccad adaa lad lado. o. AL9 X , , 3 : '
23.!. 23. !.
L BC
mLC : – 2 2..
=
2
%!
? M = B
2
? M C =
41 .
a ec ecuac uación ión de las las bis bisect ectric rices es de de lo loss án ángul gulos os del del triá triángu ngulo. lo. 13?? Lisect L9 1DX , 3 : 41? 41? Lisect C9 41X B 33 : 124. 124. Lisect A9 X , 1( : , 13
23.D. 3.D.
Sbicac icació iónn del del inc incentro ntro.. El incentro es el centro de la circunferencia inscripta al triángulo 6 es el punto de intersección de las bisectrices.
Mto8o !9 #omamos dos ecuaciones de las bisectrices 6 resolKemos el sistema9
Cap. % , 1%
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+$F'< )F&>. Mto8o $9 los tres lados del triángulo son tangente a la circunferencia inscripta5 por lo tanto la distancia del centro de la misma >)? @ a cada lado tiene igual Kalor. 8ara el lado AC9 d1 J ' 4h + !k − 21 1 d = − 41 d1 : d39
4 X + !Y − 21 41
=
8ara el lado LC9 d2 I ' ' 2h + k − 3 2 d = ! X − Y − 3 2
d2 : d39
; 7 $F'< = 7 )F&.
8ara el lado AL9 d3 J ' h − k − 3 3 d = − 2
>4 2
−
41 @ h + >! 2
>2 2
+
! @ h + > 2
−
+
41 @ k = > 21 2
! @ k = 3> 2
+
−3
41 @ .
!@ .
+$F'< )F&>.
23.1'. 23. 1'. Ec Ecuac uación ión de la ci circu rcunfe nferen rencia cia inscr inscript iptaa al trián triángul gulo. o. ;ados de la circunferencia inscripta al triángulo9 Centro9
23 ? 1'
. 1'
2
C CI 2
X − 23 1'
D
&adio9 RCI =
!
.
2
D ! + Y − = . 1' 4
23.1 23.11. 1. Ec Ecua uaci ción ón ddee la lass medi mediat atric rices es.. /ediatriz de AL9 X B : 3. 3.
/ediatriz de AC9 1'X , + : , D.
/ediatriz de LC9 2X , 4 : , (. (. 23.1 23.12. 2. Sb Sbic icac ació iónn del ccir ircu cunc ncen entr tro. o. Circuncentro9 es el punto de intersección de las mediatrices 6 es el centro de la circun cir cunfer ferenc encia ia cir circun cunscr script iptaa al triá triángu ngulo. lo. &es &esolK olKem emos os el sistem sistemaa forma formado do por dos ecuacioness de las mediatrices9 ecuacione XB:3
>1@
2X , 4 : , (
>2@
! ? 13 . % %
C CC
Cap. % , 1(
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23.13. 23.1 3. Ecua Ecuación ción de la circunfere circunferencia ncia circu circunscri nscripta pta al triángulo. triángulo. #omamos la Ecuación -eneral de la CA9 4$ 5 $ 5 D4 5 E 5 # 7 )? la cual debe C>, 1? !@
mAC: ,4! mLC: ,2 A>4? 1@
mAL: 1
L>2? ,1@
cumplirse para los puntos "ue son K*rtices del triángulo9 8ara A>4? 1@
4; B E B H : , 1(
>1@
8ara L>2? , 1@
2; , E B H : , !
>2@
8ara C>, 1? !@
, ; B !E B H : , 2%
>3@
#enemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas5 resolKemos por la &egla de
.GG' E 7 – ! !''G' Cramer9 D 7 – . X 2
+ Y 2 −
2
! 3
X −
13 3
# 7 – 6.
Y − % = ' si completamos
cuadrado en X e 9
2
X − ! + Y − 13 = 2'! . % % 1+
;atos de la circunferencia circunscripta al triángulo9
Centro9
! ? 13 . % %
C CC
&adio9 R 2 =
2'! 1+
.
Cap. % , 1+
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$"
C%NICAS" a intersección de un plano con la superficie de un cono circular recto "ue se e$tiende )acia el infinito a ambos lados del K*rtice5 forma una figura "ue se denomina C%NICA. a superficie del cono a cada lado del K*rtice se llama )oja o lado del cono.
α es el ángulo entre el eje 6 la generatriz del cono5 es el ángulo de conicidad.
9 inclinación del plano >"ue corta al cono@ respecto del eje del cono.
i V : D'W9 circunferencia >1oo@. e considera un caso particular de elipse.
i V I 9 elipse >mo1a8o@.
i V : 9 parábola >Je18e@.
i V J 9 )ip*rbola >a9ul@. i el plano pasa por el K*rtice del cono5 se puede comprobar "ue9
Cuando V I la intersección es un Rnico punto >el K*rtice@.
Cuando V : la intersección es una recta generatriz del cono >el plano será tangente al cono@.
Cuando V J la intersección Kendrá dada por dos rectas "ue se cortan en el K*rt K*rtic ice. e. El ángu ángulo lo form formad adoo por por la lass re rect ctas as ir iráá au aume ment ntan ando do a medi medida da "u "uee V disminu6e5 )asta alcanzar el má$imo >@ cuando el plano contenga al eje del cono >V : '@.
Cap. % , 1D
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'"
DE#INICI%N (E (ENERAL DE C% C%NICAS" Sna cónica es el lugar geom*trico de los puntos 8>X? @ tal "ue el cociente entre la distancia desde + a un punto fijo llamado foco #>c? '@5 +#5 diKidido por la distancia de
+ a una recta fija llamada ;irectriz5 +M5 es constante e igual a la e$centricidad > e@ de la cónica. a e$centricidad de una cónica es el cociente entre la distancia "ue e$iste entre un punto gen*rico >+@ de la cónica a un punto fijo llamado foco > #@5 diKidida por la distancia de ese punto >+@ a la recta directriz >M punto sobre la directriz@9
e =
PF PM
.
Aálisis 8e la ecet1ici8a8: e e K!
La ccóóica eess u u a el elips ipse L La C CIIA es u u ccaaso 8 8ee eellipse e 7 )>"
e7!
La cóica es ua pa1á@ola"
e!
La cóica es ua ;ip1@ola"
El Latus Rectum es la recta perpendicular al eje principal de la cónica "ue pasa por el foco 6 sus e$tremos tocan al ugar -eom*trico de la cónica.
*"
+AR,-OLA" ugar geom*trico de los puntos 8>X? @ "ue cumplen con la condición de "ue su distancia al foco de la parábola H>a? '@ es igual a su distancia a la recta directriz Y9 Y9 X : a? el foco 6 la re recta cta directriz e"uidistan e"uidistan del K*rtice de la pparábola. arábola.
+# 7 +M.
e
=
PF PM
=1
Cap. % , 2'
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Ejercicio Ejerc icio %%.24. .24.
En la ffigura igura dete determina rminarr la ecu ecuació aciónn de la paráb parábola5 ola5 aplica aplicando ndo la defini definición ción de de la misma.
8>X? @
d PF
/
=
> X − a @ 2
+ Y 2
&ecta ;irectriz9 Y9 X : , a. d PM
H>a? '@
d PF = d PM > X − a @ 2 + Y 2
Y EleKamos al cuadrado ambos t*rminos9 X
2
= X + a
> X − a @2
= X + a .
+ Y 2 = > X + a@2
− 2aX + a 2 + Y 2 = X 2 + 2aX + a 2 .
Y 2 = 4aX .
Ec Ecuac uación ión de la pará parábol bolaa con eje sobre sobre X5 K* K*rtic rticee en el origen origen del sistem sistemaa
de coordenadas? foco en #a< )>5 abertura )acia el lado positiKo del eje X. atus &ectum >ado &ecto@ LR 7 *a. Ejerci Eje rcicio cio %.2 %.2!. !.
;et ;eterm ermina inarr la ec ecuac uación ión de la pará parábol bolaa con eje sobre sobre X5 K*rtice K*rtice en el origen5 origen5 foco en #? a< )> 6 abertura )acia lado negatiKo del eje X.
=
d PF
d PM X
2
> X + a @2
+ Y 2 ?
&ecta ;irectriz9 Y9 X : a.
= X − a ?
+ 2aX + a 2 + Y 2 = X 2 − 2aX + a 2
> X + a @
2
Y
= −
2
+ Y 2 = > X − a@ 2
4aX .
Ejercicio %. Ejercicio %.2%. 2%. ;etermina ;eterminarr la ecua ecuación ción ddee la pa parábol rábolaa con eeje je sobre sobre 5 5 K*rtice K*rtice en el el origen? origen? 2%.1. foco en #)< a>5 abertura )acia lado positiKo del eje . d PF X
2%.2.
2
X 2
+ >Y − a@ 2 ?
d PM
= Y + a
X 2 = 4aY .
+ Y 2 − 2aY + a 2 = Y 2 + 2aY + a2
foco en #)< ? a>5 abertura )acia lado negatiKo del eje . d PF X
=
2
=
X 2
+ >Y + a@2 ?
+ Y 2 + 2aY + a 2 = Y 2 − 2aY + a 2
d PM X 2 =
= Y − a
− 4 aY .
+a1á@ola co J1tice e el o1i3eF ee so@1e el ee 4:
Y 2
4aX .
=±
Cap. % , 21
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+a1á@ola co ee pa1alelo al ee 4F J1tice e V;< =>9
>Y − k @ 2
= ±4a > X − h@ .
Abertura )acia B X9
>Y − k @ 2
= 4a> X − h@ ? H9=>) B a@? ? Y9 Y9 X : ) – a.
Abertura )acia , X9
>Y − k @ 2
= − 4a > X − h @ ? H9=>) , a@? ? Y9 X : ) + a.
Ecuación -eneral de la 8arábola9
C$ 5 D4 5 E 5 # 7 ) .
+a1á@ola co J1tice e el o1i3eF ee so@1e el ee :
X 2 = ±4aY .
+a1á@ola co ee pa1alelo al ee F J1tice e V;< =>9
> X − h@ 2
= ±4a >Y − k @ .
Abertura )acia B 9
> X − h @ 2
= 4a >Y − k @ ? H9=)? > B a@? Y9 Y9 : – a.
Abertura )acia , 9
> X − h @ 2
= − 4a >Y − k @ ? H9=)? > , a@? Y9 : + a.
Ecuación -eneral de la 8arábola9 Ejer Ejerci cici cioo %. %.2( 2(..
Y 2
A4$ 5 D4 5 E 5 # 7 ) .
;ada ;ada la ecua ecuaci ción ón de un unaa 8ará 8arábo bola la99 ;irectriz.
= + X ? 3
4a
= +? 3
a
= 2? 3
2 3Y = + X ?
)allar Hoco? & 6 &ecta
#:$G'< )>.
8arábola con K*rtice en V)< )>? eje sobre X5 mirando )acia X I '. El atus &ectum9 LR 7 *a 7 G'. &ecta ;irectriz9 LL: 4 7 – $G'. Ejerc jercic icio io %.2 %.2+.
;a ;adda la ecua cuación ión de una 8ará 8arábbol olaa9
;irectriz. Hoco9 4a : +? a : 2?
X 2 = +Y ?
)a )all llar ar Hoco Hoco?? & 6 &e &ect ctaa
#:)< $>.
8arábola con N*rtice en V)< )>? eje sobre 5 mirando )acia I '. El atus &ectum9
LR 7 *a 7 .
&ecta ;irectriz9
LL: 7 – $.
Cap. % , 22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejerci Eje rcicio cio %.2D %.2D..
Mal Mallar lar llaa ec ecuac uación ión ddee la paráb parábola ola ccon on fo foco co en en H9>'? H9>'? – 43@ 6 recta ;irectriz9 Z9 = 43.
N*rtice de la parábola9 V: V:)< )< )>? eje sobre 5 mirando )acia J ' X 2 = − 4 aY . 4
1%
3
3
H9>'? – a@ a = − LR = 4 a = X 2
.
= − 1% Y . 3
Ejercicio Ejerc icio %%.3'. .3'.
Malla Mallarr la ec ecuaci uación ón de la la pa parábol rábolaa con K*rtice K*rtice en N9 N9>3? >3? 2@ 6 foco en H9>!? H9>!? 2@. 2@.
mirando irando )acia X I '9 '9 > – @2 : 4a>X – )@ N9>)? @ ; 7 '< = 7 $ . Eje paralelo a X5 m 3 B a : ! a 7 $.
H9>) B a? @
LR 7 *a 7 .
>Y − 2@ 2 = +> X − 3@ .
Ejerci Eje rcicio cio %.3 %.31. 1. 31.1.
En Encon contra trarr los parám parámetr etros os ddee la parábo parábola9 la9
3X2 – DX – ! – 2 : '. a ecuación dada es de la forma9 AX 2 B ;X B E B H : '? completar completar cuadrados cuadrados en X para tener una ecuación de la fo forma9 rma9 >X – )@2 : 4a> – @?
3 ? − ( . 2 4
2
X − 3 = ! Y + ( ? Coordenadas del K*rtice9 ; 7 'G$? = 7 – 0G*. 2 3 4 LR
= 4 a = ! ? 3
a
=
! 12
.
H=)? > B a@
&ecta directriz9 Y9 : , a : – 13%?
31.2.
V
3 ? − 4 . 2 3
F
LL Z9 Y =
− 13 . %
2 – 4 B %X – + : '. a ecuación dada es de la forma9 C 2 B ;X B E B H : '? completamos cuadrado en para tener una ecuación de la fo forma9 rma9 > , @2 : 4a>X , )@9 > , 2@2 : , %>X , 2@.
= 7 $? ; 7 $ N>2? 2@
& : 4a : % a 7 ? 'G$.
H=>) – a@? #!G$< $>
LL: 4 7 ; 5 a 7 0G$.
Cap. % , 23
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Ejerci Eje rcicio cio %.3 %.32. 2.
Mal Mallar lar eecua cuació ciónn de la lass pa paráb rábola olass de Ho Hoco co en en H9>, H9>, 2? –1@ 6 cu6o atus &ectum es el segmento entre los puntos 81>, 2? 2@ 6 82>, 2? , 4@.
LR : : 7 *a? la longitud de & : 8182 7 6
a
3
=± 5 2
& es perpendicular al eje de la parábola5 el foco le biseca = 7 ? !. Eje paral paralelo elo a 45 la Ec Ecuac uación ión es de la for forma ma99 >Y − k @ 2 = ±4a> X − h@ . #enemos dos parábolas5 una con abertura )ac )acia ia B X 6 la otra )a )acia cia , X.
3
3
+a1á@ola co a@e1tu1a ;acia 4 K ) N1>)1? ,1@ F 1 h1 − ? − 1 = >−2?−1@ ? h1
3
1
2
2
V 1 −
− = −2 h1 = −
>Y + 1@
2
1 ? 2
2
− 1 .
1 = − % X + . 2
+a1á@ola co a@e1tu1a ;acia X I ' N2>)2? ,1@ F 2 h2 + ? − 1 = >−2?−1@ ? h2
3
(
2
2
V 2 −
+ = −2 h2 = −
>Y + 1@ 2
Ejer Ej erci cici cioo %.33 %.33..
2
( ?−1 . 2
( = % X + . 2
Mall Mallar ar la ecua ecuaci ción ón de las las pa pará rábo bola lass de foc focoo H9 H9>3 >3?? 4@ 6 atu atuss &e &ect ctum um es el segmento entre los puntos 81>, 1? 4@ 6 82 >(? 4@.
81>, 15 4@ 6 82 >(5 4@ eje paralelo a Ecuació9
LR 7 7 *a
a 7 ± $.
> X − h@ 2
= ±4a>Y − k @ .
H9 >3? 4@ : H=)? > ± a@ ; 7 '.
H=3? > B a@ : H9 >3? 4@ : H=3? > , a@ B 2 : 4 = ! 7 $
8arábola 19
2 > X − 3@ = +>Y − 2@ .
, 2 : 4 = $ 7 6.
8arábola 29
> X − 3@ 2 =
−+>Y − %@ .
Cap. % , 24
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Ejercicio Ejerc icio %%.34. .34.
Malla Mallarr la ec ecuaci uación ón de la pará parábola bola ccu6o u6o a atus tus &ectum &ectum >>&@ &@ es el seg segment mentoo entre los puntos >3? !@ 6 >3? ? 3@. 3@.
>3? !@ 6 >3? ? 3@ 3@ a posición de & indica "ue el eje de la parábola es paralelo al eje 45 2
entonces la ecuación de la misma será9 > ? @ @ : ± +>X ? )@. )@. & : 4a : +. 4a : +. #omamos a )9 8>3? !@9
>! , @2 : +>3 , )@ 2! , 1' B 2 : 24 , +)
, 1' B 2 : , 1 , +) 8>3? – 3@9
>– 3 , @2 : +>3 , )@ D B % B 2 : 24 , +)
% B 2 : 1! – +) +) >1@ , >2@9
>1@
>2@
tenemos9 ;! 7 !. , 1% : , 1% = 7 !? para este Kalor de = tenemos9
8ara N19>1? 1@
– !>$ 7 4 – !>.
#omamos a K )9 8>3? !@9
> ! , @2 : – +> +>3 , )@
, 1' B 2 : – 4 4DD B +)
>1@
8>3? – 3@9
>– 3 , @2 : – +>3 , )@
% B 2 : – 3 333 B +)
>2@
>1@ , >2@9
, 1% : , 1% = 7 !? para este Kalor de = tenemos9 tenemos9 ;$ 7 ..
8ara N29 >!? 1@
? !>$ 7 – 4 – .>.
Cap. % , 2!
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Ejercicio Ejerc icio %%.3!. .3!.
;ete ;etermina rminarr la ec ecuaci uación ón de la pa parábol rábolaa cu6 cu6oo K*rtice K*rtice esta esta sobre sobre la la recta9 recta9
L: '4 ? $ 7 )5 su eje es paralelo al eje X5 6 pasa por los puntos9 819 >35 !@ 6 829 >%5 ? 1@. 1@. Eje paralelo a X5 su ecuación es9 > ? @ @2 : 4a>X ? )@. )@. 8ara 819>35 !@9
>! ? @ @2 : 4a>3 ? )@ )@
2! ? 1' B 2 : 12a ? 4a 4a)
>1@
1 B 2 B 2 : 24a ? 4a 4a)
>2@
8ara 829>%5 ? 1@9 1@9 > ? ? 11 ? @ @2 : 4a>% ? )@
N>)? @ satisfacen la ecuación de 9 2 ? 3) : ' >1@ ? >2@9
24 , 12 : ? 12a 12a
h
=
2 k 3
>3@
a 7 = ? $
>4@
; 6 a en >1@9 >1@9 11 11 2 , +2 B 14( : ' a ec. tiene dos soluciones9 = ! 7 '
= $ 7 *&G!!.
8ara 1 : 35 calculamos9 )1 : 2? a1 : 1? la ecuación resultante es9 > – '>$ 7 *4 ? $>
$ ? 6 ? *4 5 !0 7 ).
8ara X : 39 > , 3@ : ± 2 1 : 3 B 2 : !?
819 >35 !@
8ara X : %9 > , 3@ : ± 4 1 : 3 , 4 : , 11?? 829 >%5 ,1@
8ara
k 2 =
4D 11
5 calculamos9
2 4D 1'+ D+ X − Y − = 33 11 11
8ara X : 39
Y −
8ara X : %9
Y −
4D 11
4D 11
=±
=±
% 11
%' 11
h2 =
D+ 33
?
a2 =
2( 11
2 : 3 , 2 : 1. 2 : 3 B 4 : (.
? la ecuación resultante es9
!! !!$ ? & ? !)4 5 .'& 7 ).
! 7 .?
819 >35 !@
1 : , 1? 829 >%5 ,1@
2 : 35D.
2 : D5D.
Cap. % , 2%
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Ejercicio Ejerc icio %%.3%. .3%.
Malla Mallarr la ec ecuaci uación ón de la la 8a 8arábol rábolaa de E Eje je )or )orizon izontal5 tal5 con con N*rtice N*rtice sobre la recta recta
9 (X B 3 – 4 : ' 6 pasa por los puntos 81>3? –!@ 6 82>32? 1@. Ec. gen*rica de la parábola9> – @2 : 4a>X – )@. 8ara 81>3? – !@
>– ! – @2 : 4a>3 – )@ )@
2! B 1' B 2 : 12a – 4 4aa)
>1@
8ara 82>32? 1@
>1 – @2 : 4a>32 – )@
1 – 2 B 2 : %a – 4 4aa)
>2@
N>)? @ satisface la ec. de la recta9
() B 3 – 4 : '
4 − 3k =
;e la Ec. >3@ despejamos ;
h
&estando >1@ – >2@9 12 – %a : – 24
a 7 * 5 $=
ntroducimos ; 6 a en la Ec. >1@9
!0= $ 5 !!*= 5 &0 7 )
(
2! + 1'k + k
2
4 − 3k = 12a − 4>4 + 2k @ (
= ! 7 – !
= $ 7 – &0G!0
8ara9 = ! 7 – !5 calculamos9 ;! 7 !? a! 7 $
> 5 !>$ 7 4 – !>.
H9=> H9=>)) B a@? a@? : : H=3? H=3? , 1 1
$ ? 4 5 $ 5 & 7 ).
8ara9
k 2
& : 4a 4a : +
= − D( 5 calculamos9 1(
h2 =
3!D 11D
>3@
? a 2 = −
12% 1(
2
Y + D( = − !'4 X − 3!D . 1( 11D 1(
Cap. % , 2(
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Ejerci Eje rcicio cio %.3 %.3(. (.
El cab cable le de suspen suspensió siónn de un pue puente nte co colga lgante nte toma toma la forma forma paraból parabólica ica55 los pilares tienen una altura de %' metros separados !'' metros5 el punto más bajo está a 1' metros del puente. Calcular la altura a +' metros del centro de la parábola.
Colocamos el sistema cartesiano de modo "ue el eje pase por el centro del puente. os pilares pasan pasan por los punto puntos9 s9 >, 2!'? '@ 6 >2!'? '@. El K*rtice está en N>'? 1'@. Como la parábola mira )acia arriba su ecuación será9 >X – )@2 : 4a> – @ @
4$ 7 *a – !)>
) : '? : 1'
8ara determinar el Kalor de [a\ usamos un punto cual"uiera de la parábola9 por ejemplo >2!'? %'@
4$ – !$.) 5 !$.)) 7 )
a 7 6$.G$
para X : +' m 7 !.F!$ m
>,2!'? %'@
>,2!'? '@
>2!'? %'@
>2!'? '@
Cap. % , 2+
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Ejercicio Ejerc icio %.3+.
Malla Mallarr la al altura tura ddee un ppunto unto de un arco parabólico parabólico de 1+ mts de altur alturaa 6 24 mts de base5 situado a una distancia de + mts del centro del arco.
#omamos el eje X en la base del arco 6 el origen en el punto medio del mismo? la parábola mira )acia )acia abajo5 toca aall eje X en los pu puntos9 ntos9 >, 12? '@ 6 >12? '@. N*rtice de la parábola en V)< !>. Ecuación general9
>X , )@2 : 4a> , @
8ara N>'? 1+@
X2 : 4a> , 1+@.
8ara determinar el Kalor de [a\ consideramos "ue la curKa pasa por 8 >12? '@9 144 : 4a>,1+@
a 7 – $
X2 : , 2> , 1+@.
Mto8o II9 X2 : , 4a> , 1+@
a 7 $.
X2 : , 2> , 1+@.
Cálc Cá lcul uloo ddee la la aalt ltur uraa ddel el arco arco para para X : + m de dell ccen entr tro9 o9
X2 : – + > – 1+@.
para X : + 7 !) m.
El a1co simple más 1esistete es el 8e 2o1ma pa1a@ólica . Ejercicio Ejerc icio %.3D.
Sn aarco rco parabó parabólico lico ttiene iene99 Altura Altura : 2! m 6 uz : 4' m. Calcula Calcularr altura altura del arco arco a + m de su centro.
#omamos el eje X en la base del arco 6 el origen en el punto medio del mismo? la parábola5 "ue mira mira )acia abajo5 toca al eeje je X en los puntos9 >, 2' 2'?? '@ 6 >2'? '@. El K*rtice de la parábola estará en N>'? 2!@. a ecuación general de la misma será9
>X – )@2 : – 4a> – @
) : '? : 2!
para >2'? '@
a7*
para X : + m
7 $! m.
Ejercicio %.4'.
X2 : 4a> – 2!@
4$ 5 !6 5 *)) 7 )
MoJimieto pa1a@ólico e el La9amieto ;o1i9otal desde >m@ del suelo con Kelocidad9 N >ms@9 Cap. % , 2D
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8arábola9
X
2
=−
2V
2
Y
g
;onde9 X9 distancia )orizontal desde el punto de lanzamiento >el alcance del pro6ectil@ N9 Kelocidad ms. g9 aceleración de la graKedad. 9 altura desde el suelo
MoJimieto so@1e el Ee 49
X : N'.t
MoJimieto so@1e el Ee 9
Y = Y '
Vecto1 8e posició9
r >t @
Veloci8a8 9 NX : N'
N : g.t
A3ulo9
θ
Alcace9
+
gt 2 2
Y = Y '
+
g X 2 > @ 2 V '
2
= V o t .i] + >Y o + gt 2
V
=
@ j]
> V X @ + >V Y @
2
2
gt = arctg V '
X
2
2V 2
= −
g
>Y − Y ' @ .
Sn objeto es lanzado en l7nea recta desde una altura de 3 m5 con una Kelocidad de
!'
ms. Calcular la distancia "ue alcanzará el objeto. Aceleración de la graKedad9 g : D5+1 ms2.
X
2
=−
2V g
2
Y
X 2
= − !''' > −3@ D5+1
4 7 '&F!
m
Cap. % , 3'
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."
ELI+SE" ugar geom*trico de los puntos "ue cumplen con la condición de "ue la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos > # 6 #@ es constante e igual a 2a.
+# 5 +# 7 $a. Ejercicio Ejerc icio %.41.
;ete ;etermina rminarr la ecua ecuación ción de la Elipse Elipse ccon on focos en9 H>c? '@ 6 HY>– c? '@. Cons Co nsid ider erar ar el pu punt ntoo ge gen* n*ri rico co 8> 8>X? X? @.
8>X? @ HY> –c? '@
NY>– a? '@
N*rtices sobre el eje ma6or9
H>c? '@
N>a? '@ 6 NY>– a? '@.
N>a? '@
ongitud del eje ma6or9 EM 7 $a.
N*rtices sobre el eje menor9 K>'? b@ 6 KY>'? – b@. ongitud del eje menor9 em 7 $@. Consideramos el triángulo rectángulo de K*rtices en9 C>'? '@? H>c? '@ 6 K>'? b@5 la $
$
$
)ipotenusa es [a\ de donde9 @ 5 c 7 a . ;ado "ue9 8H B 8HY : 2a9 > X − c@ + Y + > X + c @ + Y = 2 a 5 ;espejamos 6 eleKamos al cuadrado9 2
> X − c @ 2 X 2 −
2
2
− 2 Xc + c 2 + Y 2 = 4a 2 − 4a > X + c@ 2 + Y 2 + X 2 + 2 Xc + c 2 + Y 2
c a
2
+ Y 2 = 4a 2 − 4a > X + c@ 2 + Y 2 + > X + c@ 2 + Y 2
4 Xc − 4a 2
X
X
2
= −
4 a > X + c@ 2
2 + Y
;iKidimos por9 – 4a5
+ a = > X + c @ 2 + Y 2 EleKamos al cuadrado ambos t*rminos9 c
2
a
2
+ 2 Xc + a = X + 2 Xc + c + Y 2
2
2
2
2
2
a
2
− c = X > 2
2
a
− c2
2
a
2
@ + Y
2
2
;iKidimos por9 >a , c @ : b . X a
2
2
+
Y b
2
2
Ec"" Ca Ec Caó ói icca 8e la Elip Elipse se co co ce cet1o t1o e el o1i3 1i3e 8e
=1
coo18ea8asF coo18ea8a sF ee mao1 so@1e el ee 4 . E$centricidad9 e = PF = c = PM
&ectas ;irectrices9 Ejercicio Ejerc icio %%.42. .42.
X
a
a
2
− b2 a
< 1 .atus &ectum9 LR =
2b 2 a
.
a
= ± . e
;ete ;etermina rminarr la ec ecuaci uación ón canóni canónica ca de la El Elipse ipse con con Hocos Hocos en en H>'? c@ 6 HY>'? HY>'? , c@.
Eje sobre sobre ? tom tomam amos os un pun punto to gen gen*ri *rico co 8>X 8>X?? @. @. N*rti N*rtices ces99 N>'? N>'? a@ 6 NY>'? NY>'? – a@. ongitud del eje ma6or9 EM 7 $a.
Cap. % , 31
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em 7 $@.
N*rtices sobre el eje menor9 K>b? '@ 6 KY> – b? '@. N>'? a@
Consideramos el triángulo rectángulo de K*rtices9 C>'? '@? H>'? c@ 6 K>b? '@5 la )ipotenusa del mismo es [a\ de donde9 a2 : b2 B c2.
H>'? c@
8H B 8HY : 2a X 2
H>'? Oc@ X 2
X 2
+ >Y − c @ 2 = 2 a −
X 2
+ >Y − c@ 2 +
+ >Y + c @ 2
X 2
+ >Y + c@ 2 = 2a
EleKamos al cuadrado
+ Y 2 − 2Yc + c 2 = 4a 2 − 4a X 2 + > Y + c@ 2 + X 2 + Y 2 + 2Yc + c 2 Yc + a 2
EleKamos al cuadrado
= a X 2 + >Y + c@ 2
NY>'? Oa@
Y 2c 2
Y 2 >c 2
+ 2Yca2 + a 4 = a 2 > X 2 + Y 2 + 2Yc + c 2 @
− a 2 @ + a 4 = a 2c 2 + a 2 X 2
Y 2 >c 2
;iKidimos por9 – a2 b2.
− b 2Y 2 − X 2 a 2 = −a 2b 2 X b
2
2
+
Y a
− a 2 @ − X 2a 2 = a 2 >c 2 − a 2 @
2
2
=1
Ec"" Ca Ec Caó ói icca 8e la Elip Elipse se co co ce cet1o t1o e el o1i3 1i3e 8e coo18ea8asF coo18ea8a sF ee mao1 so@1e el ee .
Elipse co cet1o e el o1i3eF ee mao1 m ao1 so@1 so@1ee 4. X a
2
+
Y b
2
2
=1.
&ectas ;irectrices9
b
2
2
+
a
= ± . e
Y a
2
2
= 1 &ectas ;irectrices9
± Y =
a e
.
Elipse co cet1o 8espla9a8o 8el o1i3eF ee mao1 pa1alelo a 4 9 X
>
2
h
−2
a
@
Y
k
+ > b−2
2
@
=1
a @ Centro9 C>)? @.
N*rtices sobre eje ma6or9 NF>) ± a@? G &ectas ;irectrices >Z@9
X
Elipse co cet1o e el o1i3eF ee mao1 m ao1 so@1 so@1ee . X
2
X = h ±
a e
N*rtices sobre eje menor9 KF> ± b@? )G
.
Elipse co cet1o 8espla9a8o 8el o1i3eF ee mao1 pa1alelo a 9 > X − h@ 2 b
2
+
>Y − k @ 2 a
2
=1
a @ Centro9 C >)? @
N*rt N* rtic ices es ssob obre re eeje je m ma6 a6or or99 N F) F)?? > ± a@G N*rtices ssobre obre eje menor9 KF>) ± a@? G a
&ectas ;irectrices >Z@9
Y = k ± e
.
Cap. % , 32
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."!"
Ecuació 3e 3ee1al 8 8ee la Elipse" Es una ecuación de la forma9 AX2 B C 2 B ;X B E B H : '? donde el si3A> 7 si3C>. Es una ecuación de segundo grado en X e . o toda ecuación de segundo grado en X e corresponde a una elipse.
Ejerci Eje rcicio cio %.4 %.43. 3.
El sol es está tá en uno de los los foco focoss de la órbi órbita ta ligeram ligerament entee el7ptic el7pticaa de la tierra5 tierra5 la e$centricidad de la órbita es e 7 )F)!6!5 si a : 1!' $1' % Qm? Calcular9
43 43.1 .1..
a di dist stan anci ciaa ddee ssep epar arac ació iónn m m7n 7nim imaa >+e1i;elio@ e =
43 43.2 .2..
c a
c : e.a : 2.41!.''' m.
+e1i;elio:
a – c 7 !*0".."))) m.
a di dist stan anci ciaa ddee ssep epar arac ació iónn m má$ á$im imaa >A2elio@.
A2elio: a 5 c 7 !.$"*!."))) m" El planeta se mueKe más rápidamente en el peri)elio5 6 más lentamente en el afelio. Ejerci Eje rcicio cio %.4 %.44. 4.
a un unaa gira en una tra6 tra6ect ectori oriaa el7pt el7ptica ica55 con la #ierra #ierra en uno de los focos5 focos5 la longitud del eje mayor es 2a = 768.800 km y la longitud del eje menor men or de la órb órbita ita es 2b = 767 767.64 .640 0 km. Calcular la distancia de
separación má$ima 6 m7nima entre el centro de la Tierra y el centro de la Lna.
44 44.1 .1..
;i ;ist stan anci ciaa de de ssep epar arac ació iónn m m7n 7nim imaa >+e1i3eo@. ;eterminación de los parámetros9
2a : (%+.+'' m. a 7 '*"*)) =m. 2b : (%(.%4' m @ 7 ''"$) =m. ;istancia m7nima9 +e1i3eo: 44 44.2 .2..
c
= a 2 − b 2 5 c 7 $!"!) =m.
a ? c 7 '6'"$&$ =m.
;i ;ist stan anci ciaa de de ssep epar arac ació iónn m má$ á$im imaa >Apo3eo@9 ;istancia má$ima9 Apo3eo:
Ejer Ej erci cici cioo %.4! %.4!..
a 5 c 7 *).".). =m.
Mall Mallar ar la ec ecua uaci ción ón "ue des descr crib ibaa el ug ugar ar -eom* -eom*tri trico co de 8> 8>X? X? @ el cual cual se desplaza en el plano cartesiano de modo "ue la suma de las distancias de dic)o punto a dos puntos fijos definidos por sus coordenadas9 H>4? 2@ 6 HY> – 2? 2@ es permanentemente permanentem ente igual a +.
Cap. % , 33
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
8HY B 8H : 2a > X + 2@ 2
> X + 2@ 2
+ >Y − 2@ 2 = + −
> X − 4@ 2
+ >Y − 2@ 2 +
> X − 4@ 2
+ >Y − 2@ 2 = +
+ >Y − 2@ 2
04$ 5 !6$ – !*4 – 6* – *! 7 ) (>X2 – 2X@ B 1%>2 – 4@ , 41 : ' (>X , 1@2 , ( B 1%> , 2@ 2 , %4 , 41 : ' > X − 1@ >Y − 2@ + 1% ( 2
(>X , 1@2 B 1%> , 2@ 2 : , 112
2
=1
El ugar -eom*trico corresponde a una Elipse5 con Eje paralelo a X. Centro de la elipse9 C>1? 2@ ; 7 !< = 7 $X? 8>X? @ tal "u "uee el cocie cocient ntee de distancia de 8 a H>'? 4@ diKido por la distancia de 8 a la recta directriz Y9 : 2!45 es 4!.
;istancia9 PF =
X 2
;efinición general de cónica9 e = X
2
+ >Y − 4@ 2 Y
2! A 4
=
2!
;istancia9 PM =
+ >Y − 4@ 2 PF PM
4
= J 1 !
4
− Y
Elipse.
4 !
− X
2
D
+
Y
2
2!
=1.
Cap. % , 34
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
;a ;ada da la la si sigu guie ient ntee ec ecua uaci ción ón99 DX2 B 2!2 : 22!. ;eterminar9
Ejer Ej erci cici cioo %. %.4( 4(.. 4( 4(.1 .1..
El u uga garr -eo -eom* m*tr tric icoo ddee la la mi mism sma. a. ;iKidimos por 22!9
4( 4(.2 .2.. 4(.3. (.3.
c a
a
=
2
− b2 a
Y
2
D
= 1 Elipse9 a : !? b : 3? con E. ma6or sobre eje X.
ongitud del eje menor9 em: 6.
= '5+ .
El atus &ectum.
=
2b 2 a
: 35%.
os Hocos. H>c? '@ H> H>4? '@
4(.%.
2!
+
Calcu lcular lar la ee$$centr entric icid idaad.
LR
4(.!.
2
El semi semi eeje je m ma6 a6or or 6 eell ssem emii ej ejee m men enor or.. ongitud del Eje /a6or9 EM 7 !)
e=
4(.4.
X
HY>, c? '@ HY>, 4? '@.
os K*rtices. N>a? '@ N N>! >!?? '@ NY>, a? '@ NY>, !? '@. K>b? '@ K> K>3? '@
4(.(. 4(. (.
KY>, b? '@ KY>, 3? '@.
El uga ugarr ge geom om*tr *trico ico co corre rrespo sponde nde a uuna na ffunc unción ión o a una una rel relac ación ión.. Stilizando el criterio de la recta Kertical se Kerifica "ue corresponde a una relación. Y = ± 3 1 −
4(.+. 4(. +.
X 2 2!
8ara cada Kalor de X corresponden dos Kalores de .
a simetr simetr7a 7a ccon on resp respec ecto to a los ejes ejes 6 con con rresp espec ecto to al al orige origen. n.
Simet1ía co 1especto a 49 DX2 B 2!>, @2 : 22!. E$iste simetr7a con respecto a X. Simet1ía co 1especto a 9 D>, X@2 B 2!2 : 22!. E$iste simetr7a con respecto a . Sim" co 1especto al o1i3e9 D>,X@2 B 2!>,@2 : 22!. E$iste sim. respecto respecto al orig origen. en. 4( 4(.D .D..
Enco Encont ntra rarr eell ; ;om omin inio io 6 el el & &an ango go.. 2
Domiio9 Y =
X ±3 1 − ! 2
2
X 1 − ≥ ' , ! ≤ X ≤ !? ! 2
Y Ra3o9 X = 1 − ≥ ' , 3 ≤ ≤ 3? 3 3 Ejer Ej erci cici cioo %%.4 .4+. +. ;ada ;ada la ecua ecuaci ción ón99 2!X 2!X2 B 1%2 : 4''.
Y ±! 1 −
D 7 P? .< .Q. R 7 P? '< 'Q.
Cap. % , 3!
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
4+.1. +.1.
;efin efinir ir uga ugarr -eeom*tric trico. o. 8ara la ecuación9 2!X2 B 1%2 : 4''5 diKidimos por >4''@9 X
2
1%
2
+
Y
2!
= 1 . Corresponde a una Elipse con centro en el origen? a : ! 6 b : 45 eje ma6or
sobre . Eje menor sobre X. a e$centricidad9 e = c = a
a 2 − b2 !
= 3 5 e 7 )F6. !
os N*rtices sobre el eje ma6or9 V)< ± .>. os N*rtices sobre el eje menor9 J)< ± *>. os Hocos9 #)< ± '>. El atus &ectum9 LR = 4+.2. +.2.
2b 2 a
= %54 . El ;ominio9 D 7 P? *< *Q. El &ango9 R 7 P? .< .Q.
Análisi lisiss de la si sim metr7 etr7aa. E$iste simetr7a con respecto al eje X? al eje 6 con respecto al origen.
Sn se seggmento nto A- de longitud igual a 12 se desplaza de forma "ue A se apo6a constant const anteme emente nte sob sobre re 6 - sob sobre 4. Encontrar el lugar geom*trico "ue
Ejerc jercic icio io %.4 %.4D.
descr describe ibe 8>X? @ sit situad uadoo sob sobre re A- a + unidades de A. 8ara la ecuación obtenida9 Especificar si la misma es una función o una relación. Analizar la simetr7a de la ecuación con respecto a los ejes X 6 . AL : 12
A
A8 : +
8L : 4
#omamos #o mamos el triángulo rectángulo9 A++9 +>X?@ +
> AP Z @ 2
X Consideraamos los triángulos9 A++ 6 +-+ son
+ 2 %4 − X = 2Y ?
X
2
%4
+ X 2 = %4
2
+
Y
1%
-
semejantes entre si9
EleKa Ele Kamo moss aall cua cuadr drad ado9 o9
AP Z Y
=
2 + %4 − X 4 Y
+ = . 4
%4 , X2 : 42.X 2 B 42 : %4 >^ %4 %4@@
= 1 ugar -eom*trico9 Elipse? eje ma6or sobre X.
a figura corresponde a una &elación. Es im*trica respecto a los ejes coordenados 6 la origen.
Cap. % , 3%
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer Ej erci cici cioo %. %.!' !'.. !'.1. '.1.
;a ;ada da la la el elip ipse se ddee ec ecua uaci ción ón99 &4$ 5 !6$ ? '64 5 &6 5 '6 7 ). Mallar9
os ppaarám rámetro tros ddee la la m mis ism ma. Agrup rupamos tt**rminos en en X e 9
D>X2 , 4X@ B 1%>2 B %@ B 3% : '
Completamos cuadrados9
D>X , 2@2 , 3% B 1%> B 3@2 , 144 B 3% : '
D>X , 2@2 B 1%> + !@2 : 144 >144@ 2 2 >X − 2@ > + 3@ + = 1 ? ; 7 $? = 7 ? '? C$< ? '>? 1%
D
@ 7 ' >sobre @? em : 2b : %.
c
=
(
a 7 * >sobre X@? E/ : 2a : +?
? c : 25%. E$centricidad9 e =
c a
= '5% < 1 .
N*rtices ma6ores9 NY=>) , a@? 9 NY>, 2? , 3@?
N=>) B a@? 9 >%? , 3@.
N*rtic N*r tices es me menor nores es99 KY= KY=)? )? > , b9
K=) K=)?? > B b9 b9 K>2? K>2? '@.
Hocos9
KY> KY>2? 2? , %@?
HY=>) , c@? 9 H >, '5%? , 3@.
ongitud del latus rectum9 LR =
2b 2
H=>) B c@? 9 H>45%? , 3@.
: 45!.
a
!'.2.
El ugar -eeom*tric rico.
NY>,2? ,3@
K>2? '@ C>2? ,3@
X N>%? ,3@
KY>2? ,%@
!'.3.
;ominio 6 &ango. D:P? $< 6Q
!'.4 !'.4..
a ssim imet etr7 r7aa co conn resp respec ecto to aa99 Ej Ejes es X e ? al al or orig igen en..
Simet1ía co 1especto al ee 4 9
R:P? 6< )Q
DX2 B 1%>, @2 , 3%X B D%>, @ B 3% : '.
;iferente de la ecuación original5 no e$iste simetr7a con respecto al eje X.
Simet1ía co 1especto al ee 9
&? 4>$ 5 !6$ ? '6? 4> 5 &6 5 '6 7 ).
;iferente de la ecuación original5 no e$iste simetr7a con respecto al eje .
Simet1ía co 1especto al o1i3e 9 &? 4>$ 5 !6? >$ ? '6 ? 4> 5 &6? > 5 '6 7 ). ;iferente de la ecuación original5 no e$iste simetr7a con respecto al origen.
Cap. % , 3(
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer Ej erci cici cioo %. %.!1 !1.. !1.1. 1.1.
;a ;ada da la la el elip ipse se ddee ec ecua uaci ción ón99 DX2 B 42 , 1'+X , 32 B 244 : '. Mallar9
os ppaarám rámetro tros ddee la la m mis ism ma. D>X2 , 12X@ B 4>2 , +@ B 244 : '.
Agrup rupamos tt**rminos en en X e 9
2
Completamos cuadrados9 D>X , %@2 B 4> – 4@2 : 144 >X − %@ 2 1%
+
> − 4@ 2 3%
D>X , %@ , 324 B 4> – 4@ , %4 B 244 : ' >144@
C6< *>? a 7 6 >sobre @? @ 7 * * >sobre X@? c =
=1
2'
N*rtices ma6ores9 NY=)? > , a@5 V6< ? $>?
N=)? > B a@5 V6< !)>.
N*rtices menores9 KY=>) , b@? 5 J$< *>?
K=>) B b@? 5 J!)< *>.
Hocos9 c 7 *F.? HY=)? > , c@ 5 # 6< ? )F.?
H=)? >B c@ : # 6< F..
E$centricidad9 e =
c a
= '5(! %? 1'@
D:P$< !)Q. R:P ? $< !)Q.
KY>2? 4@
!1.3 !1.3..
C>%? 4@
K>1'? 4@
NY>%? , 2@ a sime simetr tr7a 7a ccon on res respe pect ctoo a E Eje jess X e ? al al or orig igen en..
Respecto a 49 DX2 B 4>, @2 , 1'+X , 32>, @ B 244 : '. o e$iste simetr7a. Respecto a 9 D>, X@2 B 1%2 , 3%>, X@ B D% B 3% : '. o e$iste simetr7a. Respecto al o1i3e9D>, X@2 B 1%>, @2 , 3%> , X@ B D%>, @ B 3% : '. o e$iste simetr7a con respecto al origen.
Cap. % , 3+
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer Ej erci cici cioo %.!2 %.!2.. !2.1. 2.1.
;ada ;ada la ecua ecuaci ción ón99 DDX X2 B 1%2 , 1'+X B 12+ B 43% : '. Mallar9
os ppaarám rámetro tros ddee la la m mis ism ma. >X − %@2 1%
D>X , %@2 B 1%> B 4@2 : 144. ) : %? : – 4? C6< – *>? E$centricidad? e = N*rtices9 Hocos9
c a
> + 4@ 2 D
= 1.
a 7 * >sobre X@? @ 7 ' >sobre @? c =
: '5%!.
atus &ectum? LR =
2b 2 a
(
5 c 7 $F6.
: 45!.
NY=>) , a@? 5 V$< – *>?
N=>) B a@? 5 V!)< – *> .
KY=)? > , b@5 J6< ? 0>?
K=)? > B b@5 J6< ? !>.
HY=>) , c@? 5 #'F*< – *>? H=>) B c@? 5 #F6< – *> . a
Ecuación Ecua ción ddee las ddirect irectrices rices >Y >Y@9 X = h ± .
X : 125'!?
e
!2.2.
+
X : , '5'!.
ugar -e -eom*trico?
X
Ee mao1 8e la Elipse
Ee meo1 8e la Elipse
D:P$< !)Q !2.3 !2.3..
R:P – 0< – !Q.
a ssim imet etr7 r7aa co conn resp respec ecto to aa99 Ej Ejes es X e ? al al or orig igen en..
Respecto a 49 DX2 B 1%>, @2 , 1'+X B 12+>, @ B 43% : '. o e$iste simetr7a. Respecto a 9 D>, X@2 B 1%2 , 1'+>, X@ B 12+ B 43% : '. o e$iste simetr7a. Respecto al o1i3e9 D> D>,, X@2 B 1%>, @2 , 1'+>, X@ B 12+>, @ B 43% : '. o e$iste simetr7a con respecto al origen. Ejerci Eje rcicio cio %.! %.!3. 3.
;et ;eterm ermina inarr la ecua ecuació ciónn de la pará parábol bolaa cu6o K*rtic K*rticee coincide coincide con el foco de X 2
abcisa positiKa de la elipse9
2!
Y 2
+
D
= 1 . u directriz es9 X ,1 : '.
Cap. % , 3D
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
8ara la elipse9
X 2 2!
+
Y 2 D
= 1 ? a : !? b : 3? c : 4
#*< )> foco de la elipse 6 K*rtice de la parábola? 6 considerando la directriz la ecuación gen*rica de la parábola es9 > , @2 : 4a>X , )@? do donde9 nde9 ) : 4? : '. X:),a
a:3
1:4,a
Ecuació pe8i8a 8e la pa1á@ola9 $ 7 !$4 ? *>. ."$"
Ra8io 2ocal 8e la Elipse" Es la recta "ue une el Hoco con un punto cual"uiera de la elipse.
Ejercicio Ejerc icio %.!4.
Malla Mallarr ecu ecuacio aciones nes de lo loss &a &adios dios foca focales les de de 8>2? 8>2? 3@ para la elipse elipse99
c 7 ± $.
2
1%
+
Y
2
12
= 1.
#± $< )>
&adio Hocal 8H9 8>2? 3@ 6 H>2? '@9
4 7 $.
&adio Hocal 8HY9 8>2? 3@ 6 H>, 2? '@9
'4 ? * 5 6 7 ).
Ejerci Eje rcicio cio %.!! %.!!..
X
Ca Calcu lcular lar pu punto ntoss de inter intersec secció ciónn de la lass eli elipse pses9 s9
4X2 B D2 : 3%
>1@
DX2 B 42 : 3%
>2@
>1@$D , >2@$49
%!2 : 1+'
Y =
±
% 13
<
X
2
D
+
X
Y
2
4
=±
= 1 6
% 13
X
2
4
+
Y
2
D
= 1.
.
8untos de intersección9 P 1 %13 ? %13
P 3 −
% 13
?−
13
%
% ? % . 13 13
P 2 − −
P 4
% 13
?−
. 13
%
Cap. % , 4'
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejerci Eje rcicio cio %.! %.!%. %.
Sn ar arco co semi semi el7 el7pti ptico co tiene tiene 1!' m de lu luzz 6 4! m de altu altura ra má$ má$ima ima55 calcula calcularr la altura de dos soportes Kerticales ubicados en [ c\. K>'? 4!@
N>, (!? '@
N>(!? '@
8arámetros9 a : (!? X 2
+
!%2!
Ejerci Eje rcicio cio %.! %.!(. (.
Y 2
c2 : a2 , b2?
b : 4!
c 7 6).
= 1 para X : %' 7 $0.
2'2!
;et ;eterm ermina inarr el lug lugar ar geo geom*t m*tric ricoo de los punto puntoss "ue diKide diKidenn a las ordena ordenadas das de los puntos de la circunferencia X2 B 2 : 2! en la relación 3!.
Y Z = X Z 2 2!
3 ! Y Z 2 2! 2 ! Y Y = 3 Y Z ? X : XY ueKa ecuación9 X Z + D
+
Ejerci Eje rcicio cio %.! %.!+. +.
Y Z 2 D
= 2!
= 1 ? Esta ecuación corresponde a una elipse.
;et ;eterm ermina inarr el lug lugar ar geo geom* m*tric tricoo de los punt puntos os "ue diKide diKidenn a las abcis abcisas as de los puntos de la circunferencia circunferencia X2 B 2 : 3% en la relación !%.
Y Z = Y ? X Z = X Z 2
+
2!
Y Z2
! %
%
X X =
!
X Z ueKa ecuación9
3% X Z 2 2!
+ Y Z2 = 3%
= 1 ? Esta ecuación corresponde a una elipse.
3%
Ejer Ejerci cici cioo %. %.!D !D..
;ete ;eterm rmin inar ar el u uga garr -e -eom om*t *tri rico co de 8> 8>X? X? @ ta tall "u "uee el pr prod oduc ucto to de la lass pendientes de las rectas "ue une unenn + con los puntos fijos A>3? , 2@ 6 L>, 2? 1@ es , %.
m PA
=
Y + 2
m PB
X − 3
=
Y − 1 X + 2
Y + 2 Y − 1 . X − 3 X + 2
= −%
64$ 5 $ + – 64 7 ' > X − 1 A 2@ 2 >!3 A +@
+
>Y + 1 A 2@ 2
= 1.
>1!D A 4@
Cap. % , 41
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer Ej erci cici cioo %.%' %.%'..
;ete ;eterm rmin inar ar la ecua ecuaci ción ón de la el elip ipse se55 cu cu6o 6oss ej ejes es so sonn pa para rale lelo loss a lo loss ej ejes es coordenados 6 "ue pasa por9 81>, %? 4@? 82>2? , 4@? 83>, +? 1@ 6 84>+? , 3@.
Ssamos la Ecuación general de la elipse9 AX2 B C 2 B ;X B E B H : '5 ecuación con ! incógnitas5 definimos "ue A 7 !5 entonces tenemos9 8ara 81>, %? 4@9
1%C , %; B 4E B H : , 3%
>1@
8ara 82>2? , 4@9
1%C B 2; , 4E B H : , 4
>2@
8ara 83>, +? 1@9
C , ++; ; B E B H : , %4
>3@
8ara 84>+? , 3@9
DC B +; , 3E B H : , %4
>4@
istema con 4 ecuaciones 6 4 incógnitas? para simplificar los cálculos )acemos9 >1@ , >3@9
1!C B 2; B 3E : 2+
>!@
>2@ , >3@9
1!C B 1'; , !E : %'
>%@
>4@ , >3@9
+C B 1%; , 4E : '
>(@
&esolKemoss el sistema formado por la ecuaciones >!@? >%@ 6 >(@ 6 obtenemos9 &esolKemo
C7*
D7?*
C< D E e la ecuació !>
$
$
4 5 * ? *4 ? ? &$ 7 ).
E 7 ? . %4 B 24 , 32 B H : , 3% > X − 2@ 2 >Y − 1@ 2 + 1'' 2!
# 7 ? &$.
= 1.
8arámetros9 ) : 2? : 1? a : 1'? b : !? c : +5(? e : '5+(? & : !.
Cap. % , 42
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer Ej erci cici cioo %.%1 %.%1..
Mall Mallar ar la ecu ecuac ació iónn de la fig figur uraa ge geom om*t *tri rica ca "u "uee pa pasa sa por lo loss ce cent ntro ross de las circunferenciass "ue son tangente a9 circunferencia
$." CIA$: 4 ? $>$ 5 $ 7 $."
CIA!: 4$ 5 $ 7 !
CASO I9 Consideramos 8>X? @ sobre el Centro de la CA tangente >Azul , &adio9 & 3@. CA19 C1>'? '@
& 1 : 1
CA29 C2>2? '@
& 2 : !. !.
& 2 : C28 B R ' R ' : & 2 , C28. C18 : & 1 B R '
& 1 C1
!−
−
C2
> X − 2@ 2 > X − 2 @ 2
2
X
+ 1% X + %4 = D X + DY
2
X 2 X 2
+ Y 2 − 1
+ Y 2 − %
− 4 X + 4 + Y 2 = X 2 + Y 2 − 12
X
− 4 X − 32 = − 12
+ Y 2
> X − 1@ 2 D
+ Y 2 =
+ Y 2 =
X + + = 3 X 2
C18 , & 1.
! , C28 : C18 , 1
R ' 8 R ' & 2
X
2
R ' :
+
2
X 2
2
+ Y 2 + 3%
+ Y 2
Y 2 +
= 1.
CASO II9 Consideramos 8>X? @ Centro de la CA tange tangente nte >Azul , &adio9 & 4@. & 2 : C28 B R * R * : & 2 , C28. C18 : R * , & 1 R * : 8C1 B & 1
! , C28 : 8C1 B 1 2
C1
C2
8
4−
1% − +
− 2!% X + 2!% + %4 Y 2 = 4'' − 1%' X + 1% X 2
2
− D% X + %4Y = 144
4+ X
6"
2
2
+ Y = X + Y > X − 2@ 2 + Y 2 + X 2 − 4 X + 4 + Y 2 = X 2 + Y 2
2
2
> X − 2@
−+
%4 X
2
> X − 2 @2
+ Y 2 = −2' + 4 X
> X − 1@ 2 4
+
Y 2 3
= 1.
/I+ER-OLA"
Cap. % , 43
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
ugar geom*trico de todos los puntos "ue cumplen con la condición de "ue la resta de su distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a.
+# ? +# 7 $a. El centro de la Mip*rbola está está en el origen del plano carte cartesiano9 siano9 Hocos están en H>c? '@ 6 HY>– c? o@? N*rtices del eje ma6or5 eje real o transKersal >eje transKerso@ están posicionados posicionad os en9 N>a? '@ 6 NY>, a? '@ 6 N*rtices del eje menor5 eje imaginario o conjugado están están posiciona posicionados dos en9 K>'? b@ 6 K>'? , b@.
K>'? b@
N>,a? '@
N>a? '@
H>c? '@
K>'? ,b@
Consideramos el triángulo rectángulo cu6os K*rtices son9 C>'? '@? N>a? '@ 6 K>'? b@5 la )ipotenusa del mismo es igual a [c\ de donde9 c$ 7 a$ 5 @$.
atus &ectum9 LR =
2b 2 a
E$centricidad9 e = PF = c = PM
a
a
2
+ b2 a
> 1.
Cap. % , 44
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejercicio Ejerc icio %.%2.
;ete ;etermina rminarr la ecua ecuación ción de llaa )i )ip*rb p*rbola ola de focos focos99 H>c? H>c? '@ 6 HY> HY>– c? '@.
+# ? +# 7 $a.
(
> X − c@ 2
> X − c @ 2
> X − c @ 2 + Y 2
+ Y 2 ) = ( 2a + 2
> X + c@ 2
+ Y 2 )
−
> X + c @ 2
+ Y 2 = 2a
2
+ Y 2 = 4a 2 + 4a > X + c@ 2 + Y 2 + > X + c@ 2 + Y 2
− 2 Xc + c 2 + Y 2 = 4a 2 − 4a > X + c @ 2 + Y 2 + X 2 + 2 Xc + c 2 + Y 2
X 2
− 4 Xc − 4 a 2 = −4 a
> X + c @ 2
Xc
+ Y 2 – 4a
a
+ a =
> X + c @
2
+ Y 2
2 2
X c a
a
2
−c
X 2 a
+ 2 Xc + a 2 = X 2 + 2 Xc + c 2 + Y 2
2
2
2
−
a 2 − c 2 2 = X 2 + Y a 2
Y 2 b
2
;iKidimos por9 b2 : c2 , a2.
= 1 Ec" Caóica /ip1@olaF Cet1o e el o1i3eF ee 1eal so@1e 4.
Lo3itu8 8el ee mao19 E/ : 2a. Ecuació 8e la 1ecta 8i1ect1i9 LL9 X = ±
Lo3itu8 8el ee meo19 em : 2b. a e
Latus Rectum9 LR =
2b 2 a
Ecuació 8e las Asítotas >si la ecuación de la )ip*rbola la igualamos a cero tenemos X Y X Y una diferencia de cuadrados@9 + − = ' a b a b
Y =
±
b a
X .
Ec" 8e la /ip1@olaF Ee Real pa1alelo a 4F cet1o 8espla9 8espla9a8o a8o 8el o1i3e C >)? @9 > X − h@ 2 a
2
−
>Y − k @ 2
N F>) ± a a@@? G
b
2
= 1. H F>) ± c@ c@? G
X − h + Y − k X − h − Y − k = ' As7ntotas9 b a b a
a
Z9 X = h ± . e
Y = k ±
b a
> X − h@ .
Cap. % , 4!
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejercicio Ejerc icio %.%3. X 2
;ete ;etermina rminarr la eecuac cuación ión ddee la )ip*rbola )ip*rbola de focos9 focos9 H>'? c@ 6 HY>'? , c@.
+ >Y − c @ 2 −
X 2
+ >Y + c@ 2 = 2a
;espejamoss 6 eleKamos al cuadrado ambos t*rminos9 ;espejamo
X 2
+ >Y − c @ 2 = 4a 2 + 4a X 2 + >Y + c@ 2 + X 2 + >Y + c@ 2
Y 2
− 2Yc + c 2 = 4a 2 + 4a X 2 + >Y + c@ 2 + Y 2 + 2Yc + c 2
− 4Yc − 4 a 2 = 4a
Yc
+ >Y + c@ 2 4a
X 2
a
+ a =
X
2
+ >Y + c@ 2
2 2
Y c a
+ 2Yc + a 2 = X 2 + Y 2 + 2Yc + c 2
2
2
Y c 2
2
Y a
2
−
2
−2 a a X b
2 2 2 − X = c − a
;iKidimos por9 b2 : c2 , a2.
2
2
= 1 .
Ec" De la /ip1@olaF Cet1o e el o1i3eF Ee 1eal so@1e .
Asítotas: Y = ±
a b
focos sobre el eje
X
Ec" 8e la /ip1@ola< Ee Real pa1alelo a F cet1o 8espla9a8o 8el o1i3e C;< => 9 >Y − k @ 2 a
2
> X − h@ 2
−
N F)? > ± a@ a@G
As7ntotas9
b
2
= 1. H F)? > ± c@ c@G
Y = k ±
a b
Z9
Y = k ±
a e
.
> X − h@ .
Ecuació 3ee1al 8e la /ip1@ola9
A4$ 5 C$ 5 D4 5 E 5 # 7 ) . si3A> 7 – si3C>"
Cap. % , 4%
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
8ara 8ara llaa ecua ecuaci ción ón *4$ ? 6*$ 7 $.65 ;eterminar9
Ejer Ejerci cici cioo %. %.%4 %4.. %4.1.
ugar -e -eom*trico. ;iKidimos por 2!%9
a 7 <
X 2 %4
Y 2
−
= 1 Mip*rbola? centro C>'? '@5 eje transKerso sobre X.
4
@ 7 $<
c 7 F$.
%4.2. 4.2.
8osic sición ión ddee lo los KK**rtic rticees.
V< )><
%4.3. 4.3.
8osic sición ión de los los foc focos os..
#c< )>: F$< )>
%4.4.
a ee$$centricidad.
e =
c
V? < )>
#? c< )>: ? F$< )>.
2b 2
LR 7 !.
?
%4.!. 4.!.
ongit ngitud ud del at atuus & &eectum tum.
%4.% %4.%..
a ecua ecuaci ción ón de la lass rect rectas as di dire rect ctric rices es.. LL Z9 X = ± .
%4 %4.( .(..
a ecua ecuaci ción ón de las las as7n as7nto tota tas. s.
LR
=
a
a e
Y =
J)< ? $>.
e 7 !F)$..
?
a
J)< $><
X > +
4 7 0F
4 7 ? 0F.
+ Y @> X − Y @ = ' 2
+
2
± X . 4
Ejercicio %.%!.Encontrar %.%!. Encontrar la ecuación de la )ip*rbola con C9>'? '@5 eje real sobre 55 6 pasa por los puntos 819>4? %@ 6 829 >1? –3@. 2
Ecuación de la )ip*rbola9
Y a 1%
2
−
X b
2
2
=1
3% 2 − 2 = 1 a b D 1 − 2 = 1 Db 2 2
8ara 819>4? %@9 8ara 829>1? – 3@9
a
b
3%b
2
− 1% a 2 = a 2 b 2 >1@. >2@.
− a 2 = a 2 b 2
&esolKiendo9 >1@ , 4>2@9 , 12a2 : , 3a2 b2 @$ 7 *? a$ 7 '6G.. c=
LR
2
a
=
+ b2 =
2b 2 a
Asintotas9
!% !
= 353 .
E$centricidad9 e =
c a
Y 2
X 2 − 3% A ! 4
= 1.
? e : 1524.
= 25D+ . Y X Y − + % A ! 2 % A !
X
= ' 2
Y =
3 !
X
Y = −
3 !
X
Cap. % , 4(
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
8ara 8ara llaa ecua ecuaci ción ón 6*$ ? *4$ 7 $.65 ;eterminar9
Ejer Ejerci cici cioo %. %.%% %%.. %%.1.
Higura geom*tric rica. Y 2 4
−
X 2 %4
= 1 Mip*rbola? Centro en el origen5 eje transKerso sobre el eje .
a7$
@7
c$ 7 6
c 7 F$. V)< ? $>
%%.2. %.2.
8osic sición ión ddee lo los KK**rtic rticees.
V)< $>
%%.3.
8osición de de lo los ffoocos.
#)< c>: )< F$>
%%.4.
a ee$$centricidad.
e =
%% %%.! .!..
a long longit itud ud de dell latu latuss rect rectum um..
%%.%. %.%.
Ecuac uación ión de de la las rreecta ctas ddir ireectric tricees. : ± ae.
%%.(.
Ecuación de las as7ntotas.
c a
J< )>
J ? < )>.
#)< ? c> : )< ? F$>.
e 7 *F!.
? LR
Y =
=
2b 2
LR 7 6*.
a
7 ± )F..
± X
focos sobre el eje .
4
Ejercicio %.%(.8ara la siguiente ecuación9 *&$ ? !64$ 7 0* Mallar9 %(.1.
N*rtices.
N>'? B 4@
NY>'? – 4@? K>(? '@
%(.2.
os focos.
H>'? +@
HY>'? , +@.
%(.3.
a e$centricidad.
e : 2.
%(.4.
atus &ectum.
& : 245!.
%(.! %(.!..
An Anal aliz izar ar llaa si sime metr tr7a 7a ccon on res respe pect ctoo a lo loss ej ejes es X e . .
Ejer Ejerci cici cioo %. %.%+ %+..
8ara 8ara llaa ecua ecuaci ción ón
X 2 1%
−
Y 2 D
= 1 . ;eterminar los parámetros.
a : 4?
b : 3?
c
N*rtices.
N9 >± a? '@
V: ± *< )>.
Hocos.
H9 >± c? '@
#: ± .< )>"
;irectrices.
e
As7ntotas.
Y =
Ejerci Eje rcicio cio %.%D. %.%D.
=
c a
=
! 4
=
a
2
KY>, (? '@
+b = ! 2
;irectrices9
LR
X =
=
2b 2 a
=
D 2
a
1%
e
!
± =±
± 3 X 4
8ar 8araa cad cadaa ecu ecuaci ación9 ón9 Ana Analiz lizar ar la rel relac ación ión en entre tre a5 b 6 c.
Cap. % , 4+
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
%D.1.
%D.2.
X 2 1%
X 2 1%
−
−
Y 2 D
Y 2 2'
=1
Y =
=1
3 X 2 4
Y =
− 1% a : 4? b : 3? c : !?
!
%
2 2' > X
− 1%@ a : 4? b : 454(? c : %? & : 1'.
4
! ±3.3!
%D.3.
X 2 1%
−
Y 2 4+
=1
Y =
(
% !
2 4+ > X
4
(
− 1%@ a : 4? b : %5D? c : +? & : 24.
! % ±!.1D ±(.(4
%D.4.
%D.!.
X
a : 4? b : 3? c : !
& : 45! N>'? ±4@ H>'? ±!@
$
$
$) – !64 7 '$)
$
X
=
$
X
±%
±(
2 2' >Y
− 1%@ a : 4? b : 4.4(2? c : %
% !
− 1%@ a : 4? b : %.D2? c : +
4
±%
& : 1'
±(
2 4+ >Y
=
±!
4
> Y 2 − 1%@ 4
4
±!
* – !64 7 06
Ejerci Eje rcicio cio %.( %.('. '.
= 3
±!
4
%D.%.
(
&$ – !64$ 7 !**
4
& : 45!.
& : 24
±+ ±12
;et ;eterm ermina inarr la ec ecuac uación ión de la tra tra6e 6ecto ctoria ria de un punto punto "ue se mueKe mueKe de maner maneraa "ue su distancia al punto >!? '@ es9
('.1 ('.1..
! !44 de de ssuu ddis ista tanc ncia ia a la la rrec ecta ta X , 1%! 1%! : '. '. > X − !@ 2
+ Y 2 =
! 4
> X −
1% !
@
X
2
− 1' X + 2! + Y 2 = 2
D X 2 + Y 2 − 1%
= −D
X 1%
2! 1%
> X
2
−
32 !
X +
2!% 2!
@
2
− Y D
=1
Cap. % , 4D
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
('.2.
>!3@ de su distancia a la recta9 > X − !@
2
1%
2
+ Y 2 =
D > X − @ X 2 ! 3 !
2 + 2! + Y = − 1' X
X 2
2
− Y = 1%
D X
X , D! : '.
D
2! D
> X
2
−
1+ !
X +
+1 2!
@
Y 2
− 1% = 1
Ra8io 2ocal 8e la ;ip1@ola 9 recta "ue une los focos con un punto de ella.
Ejercicio %.(1.
Mallar las ecuaciones de los radios focales f ocales de 8>
a 7 '?
@ 7 *?
c 7 ..
+# 7 0
%?4
3
@ para9
X 2 D
−
Y 2 1%
= 1.
+# 7 !'.
;iferencia entre los radios focales es igual a la longitud del eje ma6or. +# ? +# 7 6.
/ip1@olas cou3a8as9 si se cambian los ejes real e imaginario de ambas?
Ejercicio %.(2.
para encontrar la ecuación conjugada de una )ip*rbola se cambian los signos 2
2
de los coeficientes de X e . 8ara !? 'G a 7 '? @ 7 *? c 7 .. HF± !?
Y 2 1%
−
X 2 D
Asintotas9 Ejerci Eje rcicio cio %.( %.(3. 3.
a 7 *?
= 1.
Y − X Y + 4 3 4
X 2 D
−
Y 2 1%
= 1 5 encontrar su conjugada.
X Y X Y Asintotas9 − + = ' 3 4 3 4
@ 7 '?
c 7 ..
X
Y =
= ' 3
Y =
±
4 3
X
HF '? ± !G
± 4 X . 3
En Encon contra trarr el uga ugarr -eom*tr -eom*trico ico de los cent centros ros de las circunf circunfere erenci ncias as "ue son tangentes a las circunferencias con centro en C19>– 4? 3@ 6 & 1 : ! 6 C29 > 4? 3@ 6 & 2 : 2. CA19 >X B 4@2 B > , 3@2 : 2!
CA29 >X , 4@2 B > , 3@ 2 : 4
E$iste una circunferencia en el medio de ambas 6 tangente a ambas con los puntos de tangencia en9 8#19 >1? 3@ 6 8#29 >2? 3@ 2
CA39 >X , )@2 B > , @2 : 14
2
>1 , )@ B >3 , @ : 14. >2 , )@2 B >3 , @2 : 14 Cap. % , !'
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
1 , 2) B )2 , 4 B 4) B 4) , )2 : '2) : 3
; 7 'G$
=7'
Consideramos una circunferencia5
CA1
gen*rica5 tangente a C1 6 CA2
C25 con centro en C>X? @
C >,4?3@ 1
C2>4?3@ & 2
& 1 &
6 radio &9 Escribimos las distancias9
& CA -en*rica
C>X?@
C1C : >! B &@
>1@
C2C : >2 B &@
>2@
Macemos9 >1@ , >2@ C1C , C2C : >! B &@ , >2 B &@ : '" > X + 4@ 2
+ >Y − 3@ 2 −
> X + 4@ 2
+ >Y − 3@ 2 = 3 +
X 2
> X − 4@ 2
> X − 4@ 2
+ + X + 1% + >Y − 3@ 2 = D + %
1% X
−D= %
− 4@ 2 > X
+ >Y − 3@ 2 = 3 5
+ >Y − 3@ 2
> X − 4@ 2
EleKamos al cuadrado9
+ >Y − 3@ 2 + X 2 − + X + 1% + >Y − 3@ 2
EleKamos al cuadrado9
+ >Y − 3@ 2
2!% X 2
− 2++ X + +1 = 3%> X 2 − + X + 1%@ + 3%>Y − 3@ 2
22' X 2
− 3% >Y − 3@ 2 = 4D!
X 2 DA 4
−
>Y − 3@ 2 !! A 4
; 7 )< = 7 '< C/: )< '>
=1?
3
a
= 2?
c b
=
!! 2
?
c : 4?
+
e = a = 3
= 25( ?
& : 1+53.
Cap. % , !1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejerci Eje rcicio cio %.( %.(4. 4.
a ppend endien iente te de la ta tange ngente nte a una )ip )ip*rb *rbola ola99 @ 4 – a 7 a @ F es9 $
$
$
$
$ $
mT
=
b 2 X a 2Y
.
;emostrar "ue la tangente en 89 >X? @ biseca al ángulo formado por las rectas "ue Kan desde dic)o punto a los focos9 H>c? '@ 6 HY>– c9 '@. $
$
$
c 7 a 5 @ 8endiente de la recta 8H9 m PF
=
Y X − c
8end endien iente de la recta 8HY9 m PF Z
=
8>X? @
Y
α
X + c
β
A3u A 3ulo lo et1 et1ee 8os 8os 1ectas:
HY>Oc?'@
H>c?'@
tg θ = m2 − m1 1 + m1 m2
Angulo definido entre +# 6 la tangente por +4< >9 m1
= m PF Z =
tg α =
−
2
a Y
=m =
b X
T
2
a Y
Y X
2
b X
1+
m2
X + c
2
b X
2
Y
2
+c =
Y
a Y X
+ b 2 cX − a 2Y 2 b 2 X 2 − a 2Y 2 + b 2 cX = 2 2 2 2 2 2 a XY + a cY + b XY a XY + a cY + b XY 2
b X
2
+c
b 2 >a 2 + cX @ b 2 >a 2 + cX @ + b 2 cX = = tg α = 2 2 2 2 2 2 XY >a + b @ + a cY XYc + a cY cY >cX + a @ a 2b 2
tg α =
b2 cY
"
Angulo definido entre +# 6 la tangente por +4< >9 2
= m1 = m
b X
T
2
a Y
tg β =
−c
−
Y
1+
= m PF =
Y X − c
2
Y X
m2
X
−c
b X 2
a Y 2
b X 2
a Y
2
=
a Y
2
− b 2 X 2 + b 2 cX 2 = 2 2
XY >a
b
+
@
a cY
−
2
b cX
− a 2b 2
2
2
XYc
a cY
−
=
b
2
>cX − a 2 @
cY >cX
a
2
@
=
b
2
cY
−
Cap. % , !2
Cap. % !2
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
t3α 7 t3β
==>
α 7 β
LCDD"" LCDD
Cap. % !3
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Ejerci Eje rcicio cio %.( %.(!. !.
Sn Snaa se_a se_all lumi luminos nosaa parte parte de un pun punto to 8>' 8>'?? , +@ dirigi*n dirigi*ndos dosee al foco foco H>%? '@ de un espejo )iperbólico de ecuación9
X 2 1%
−
Y 2 2'
= 1 . ;eterminar9
(!.1 (!.1..
El ppun unto to ddel el esp espej ejoo )ipe )iperb rból ólic icoo do dond ndee in inci cide de eell ra6o. ra6o.
(!.2. (!. 2.
a ec ecuac uación ión ddee la rec recta ta de la ttra6 ra6ect ectori oriaa de la se se_al _al lumi luminos nosaa refleja reflejada da en el el espejo espejo 6 "ue se dirige al otro foco HY.
8arámetros de la )ip*rbola9 a2 : 1%? b2 : 2'? c : %. Hocos9 H>%? '@? HY> , %? '@. El ra6o "ue sale de 8>'? , +@ se dirige a H>%? '@ siguiendo la l7nea recta +# de ecuación9 +X , % , 4+ : '
>1@.
8ara determinar el punto del espejo )iperbólico donde incide el ra6o resolKemos el sistema de ecuaciones9 +X , % , 4+ : ' 2
>1@.
4 Y = > X − %@ 3
2
2'X , 1% : 32' >2@. +4 X 1 = = 4542 1D
2
en la Ecuación >2@9 1DX , (%+X B 3.'24 : ' X2 : 3% >se desprecia@.
8unto de incidencia sobre el espejo )iperbólico9 P
H
>
4' +4 @. ?− 1D 1D
#ra6ectoria #ra6 ectoria del ra6o reflejado "ue pasa por HY5 recta entre9
$)4 5 && 5!$) 7 ).
> P H
+4
1D
?−
4' 1D
@ 6 H>, %? '@
Cap. % !4
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Ejercicio %.(%.a recta directriz de una cónica es X B 1 : '? uno de los focos está ubicado en H>4? , 3@ 6 su e$centricida e$centricidadd e : 23. ;eterminar9 (%.1. %.1.
a ecuac uación ión de de la cón ónic icaa.
;efinición general de cónicas9
8/ : >X B 1@
e
2
PF
=
PF PM
2
3%
+
>Y + 3@ 2'
2 3
= > X − 4 @ 2 + >Y + 3@ 2
D=>X , 4@2 B > B 3@2: 4>X B 1@2. > X − +@
=
!>X , +@2 B D> B 3@2 : 1+'
2
=1
(%.2.
El centro de la cónica.
(%.3 (%.3..
a lo long ngit itud ud ddel el ssem emii ej ejee ma ma66or 6 ddel el ssem emii ej ejee men menor or.. a : %?
(%.4. (%. 4.
b
=
2'
?
) : +?
: , 3?
c:4
o oss K*rtic K*rtices? es? el otr otroo foc focoo 6 la lon longit gitud ud del lat latus us rectum rectum.. N=>) B a@? N N==14? , 3
NY=>) , a@? N=2? , 3
H=>) B c@? H= H=12? , 3
HY=>) , c@? HY=4? , 3
LR
=
2b 2 a
=
D>8H@2 : 4>8/@2.
2' 3
&ecta ;irectriz9 X : ) B ae : 1(
X : ) , ae : , 1.
C
Cap. % !!
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Ejer Ej erci cici cioo %.(( %.((..
Mall Mallar ar la ec ecua uaci ción ón "ue des descr crib ibaa el ug ugar ar -eom* -eom*tri trico co de 8> 8>X? X? @ el cual cual se desplaza en el plano cartesiano de modo "ue la resta de distancias del mismo a dos puntos fijos9 H>(? 1@ 6 HY> – 3? 1@ es permanentemente igual a +. 2
> X + 3@
8HY , 8H : 2a &4$ – '64 ? !6 ? !>$ 7 !)"
2
+ >Y − 1@
+
2
> X − ( @
2
+ >Y − 1@
=+
D>X , 2@2 , 1%> , 1@2 : 144. > X − 2@ 2 >Y − 1@ 2 1%
−
D
=1
ugar -eom*trico9 -eom*trico9 Mip*rbola. Eje X.
a 7 *< @ 7 '< c 7 .< ; 7 $< = 7 ! ? e =
c a
2
= ! = 152! < LR = 2b = D = 45! . 4
V; 5 a>< = : 6< !
V; ? a>< = : ? $< !
#; 5 c>< = : 0< !
V; ? c>< = : ? '< !
&ectas directrices9 Y9 X = h ±
a e
X 1 = 2 +
1% !
X − 2 − Y − 1 X − 2 + Y − 1 = ' As7ntotas9 3 4 3 4
X − 2 − Y − 1 = ' 3 4
DX , 4 , 14 : '
X − 2 + Y − 1 = ' 3 4
DX B 4 , 22 : '.
= !52
a
2
X 2
= 2 − 1% = −152 . !
Cap. % , !%
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejerci Eje rcicio cio %.( %.(+. +.
;ad ;ados9 os9 8>X? 8>X? @? @? un pu punto nto ffijo ijo fo foco co H>c? H>c? '@ 6 un ppunt untoo / de una una recta recta
X =
;emostrar ;emo strar "ue el uga ugarr -eom -eom*trico *trico del cociente cociente de distancia distancias9 s9 e =
PF
una cónica de e$centricidad e = ;istancia PF =
PF PM
X
2
>a
2
a
> X − c@ 2
=
X −
− c2 @ 2
2
2
a
+ Y 2 @ 2
+
X
Y >a
2
=
+ Y .
2
c
2
a
2
X
c > X − c@
a
2
− c2 @
2
2
2
2
a : b B c .
c
+ Y @ = 2
a
> X −
a
c
.
2
c
@
2
2
2
2
>a – c @ I ' e K ! 2
2
>a – c @ J ' e ! 8H : 8/ 9
X a
2
X a
+
2
2
2
−
> X − a @ 2
Y b
2
2
= 1.
2
Y b
2
= 1.
+ Y 2 = > X + a@
+ Y 2 = > X + a@ 2
− 2aX + a 2 + Y 2 = X 2 + 2aX + a 2
Y = +4aX 2
2
2
diKidimos por >a2 , c2@
+a1á@ola: se tiene para9 c : a e : 1
2
5 es
=1
/ip1@ola: a : c , b .
X
?
− 2cX + a 2
+ Y 2 = >a 2 − c 2 @
2
2
c
2
Elipse:
> X − a@
a
;istancia PM = X −
2
2
.
c
− 2cX + c + Y = 2
a
X
> X − c @
2
c a
PM
a
Ecuación de la +a1á@ola con K*rtice en el origen? H>a? '@ abertura )acia el
lado positiKo de las X 6 eje sobre el eje X5 recta directriz en X : – a.
Cap. % , !(
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
0"
A+LICACIONES DE LAS C%NICAS"
0"!"
Aplicacioes 8e la pa1á@ola" i la parábola está formada por un elemento reflector5 tendremos "ue un ra6o de luz "ue emerge del #oco e incide sobre la parábola se reflejará sobre ella 6 saldrá paralelamente al eje de la misma >perpendicular a la directriz@. os rra6os a6os "ue incidan sobre la parábola paralelos al eje se reflejarán en ella pasando por el foco. as parábolas se usan en los fenómenos donde interesa )acer conKerger o diKerger un ra6o de energ7a? Antenas parabólicas >Sn sat*lite enK7a información a la #ierra5 los ra6os serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la "ue se encuentra el sat*lite5 al reflejarse en el plato de la antena >blanca5 casi siempre@ los ra6os conKergen en el foco5 donde se encuentra un receptor "ue decodifica la información@5 Haros de autos >están formados por un paraboloide5 parábola en 3 dimensiones5 de espejos 6 una bombilla en el foco de este paraboloide@5 Mornos solares. os micrófonos de ambiente en algunos deportes tambi*n tienen forma paraboloidal. En algunas lámparas se puede moKer la bombilla del foco f oco 6 los )aces de luz diKergirán o conKergerán.
0"$"
Aplicacioes 8e 8e la el elipse" 8ara el estudio de las órbitas planetarias se usan ecuaciones de elipses >las orbitas de los cuerpos celestes son el7pticas@. a elipse tiene propiedades de refle$ión similares a la parábola5 si colocamos un emisor de ondas en un foco5 estas se reflejarán en las paredes de la elipse 6 conKergerán en el otr troo fo focco. En medic dicina ina se us usaa el itotri!tor para desinteg desintegrar rar `cálculos` `cálculos` renales >itot >i totrip ripsia sia@@ por medio medio de ond ondas as intra intra–ac acuát uática icass de c) c)o"u o"ue. e. e co coloc locaa un medio medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente5 en un foco se pone un generador de ondas5 el otro foco se localiza en los `cálculos` al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas conKergerán en el `cálculo` 6 este se desintegra. En las Ca!ia" o gaer#a" de los secretos9 estructuras con tec)os elipsoidales? se puede o7r a una persona "ue está en un foco desde el otro foco 6 las personas "ue están entre los dos focos no oirán nada.
Cap. % , !+
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
0"'"
Aplicacioes 8e la ;ip1@ola" as propiedades de refle$ión de la )ip*rbola son análogas a la elipse. i se dirige un )az de luz dirigido al Hoco >#@ de un espejo )iperbólico5 se reflejará r eflejará en la )ip*rbola antes de llegar a *l5 dirigi*ndose al otro Hoco > #@. i colocamos una fuente de luz en # el )az incide sobre la )ip*rbola 6 se refleja dando la impresión "ue proKiene de #.
Telescopios: Stiliza la parábola conjuntamente con la )ip*rbola. El )az incidente llega paralelamente al eje de un espejo parabólico5 se refleja al foco "ue coincide con el foco de un reflector )iperbólico5 6 antes de llegar a dic)o foco se refleja en el espejo )iperbólico llegando al otro foco de la misma5 donde está el ocular.
Locali Loc ali9a 9ació ció 8el lu3a1 lu3a1 8e 8o 8o8e 8e emaa emaa ua seal seal9 >U 8isp 8ispa1o a1o@ se ti tien enen en tr tres es estaciones estacion es de escuc)a9 escuc)a9 A? - 6 C. as esta estacion ciones es A 6 - coinciden con los focos de la ;ip1@ola ! >/!@. as estaciones - 6 C coinciden con los focos de la ;ip1@ola $ >/$@5 la fuente del sonido >S@ está en la intersección de /! con /$. E$iste una diferencia de las distancias "ue recorren ambas se_ales 6 eso ocasiona una pe"ue_a diferencia de tiempo >∆ T@ en la captación de las se_ales. Ecuación de la )ip*rbola9 +# ? +# 7 $a. Caracter7stica de la )ip*rbola la ;iferencia de distancias es constante.
Cap. % , !D
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejer jercicio %.(D.
En un pu punnto S del plano cartesiano cartesiano se emite una se_al se_al en un tiempo tiempo T)? se recibe la se_al en A en un tiempo TA? en el punto - en un tiempo T- 6 en C en un tiempo TC. ;eterminar la posición de S.
a fórmula para Nelocidad9 V = D . 8ara la ;istancia recorrida9 recorri da9 T a distancia de a A9
SA : N.>TA , T)@
>1@.
a distancia de a L9
S- : N.>T- , T)@
>2@.
a distancia de a C9
SC : N.>TC , T)@
>3@.
; : N.#. .#.
Macemos >1@ , >2@9 SA , S- : N>TA , T-@ : Q. i la ;iferencia de distancias es constante tenemos una Mip*rbola 19
SA , S- : N>TA , T-@ : 2a1. El punto S está sobre la rama de la ;ip1@ola ! con focos en A 6 L5 con una distancia entre K*rtices9
2a1 : N>TA , T-@.
Macemos >2@ , >3@9 S- , SC : N>T- , TC@ : C : 2a25 Mip*rbola 2. El punto S está tambi*n sobre la rama de la ;ip1@ola $ con focos en L 6 C5 con una distancia entre K*rti rtices9
2a2 : N>T- , TC@.
El puto S está e la ite1secció 8e las 8os ;ip1@olas.
Cap. % , %'
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Alberto Cadogan A. A. Prof. Titular Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas
Ejercicio Ejerc icio %%.+'. .+'.
En A A?? L 6 C e$iste e$istenn esta estacion ciones es de eescuc scuc)a. )a. C esta esta a %'' %'' m al este este de L 6 A está a %'' m al norte de L. El sonido del disparo de ca_ón ubicado en S llega a A 6 L simultáneamente 1 seg despu*s de )aber sido captado en C. ;eterminar las coordenadass del ca_ón. U@ica1 el sistema ca1tesiao mo8o Bue las estacioes - coordenada C est so@1e 4F 2ocos 8e ua ;ip1@olaF el o1i3e e la mita8 8e am@as" Veloci8a8 8el soi8o ''. mGse3"
X X
X
C
X
a
C
s
a
A
S
X
X
X
X
C 8osición de los focos9 C a s
-
L>, 3''? '@
C>3''? '@
A>, 3''? %''@.
a s
Hórmula de la distancia9 distancia 9
C
; : N.# N.#
SA : N.>TA , T)@ : S-. >El disparo proKeniente de S llega a ambas estaciones en forma simultánea@. 2
$B
= $A =
2
> X + 3'' @
+ Y
> X + 3'' @ 2
+ >Y − %''@ 2
> X + 3''@ 2
+ Y 2 = > X + 3''@ 2 + >Y − %''@ 2
SA , SC : N.>TA , TC@ : N>∆ T@ : N>1 seg@ : N : 33!. > X + 3''@ 2
4 7 $6$.
+ D'''' −
> X − 3''@ 2
+ D'''' = 33! .
Coordenadas de S9 $6$< '))> .
7 ')).
Cap. % , %1
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Lo%g Ra%ge 'a(igatio%@ us El sist sistem emaa de naKe naKega gaci ción ón LoRaN > Lo%g usaa la lass pr prop opie ieda dade dess de
refle$ión de la )ip*rbola9 se tienen dos estaciones de radio5 ubicadas en los focos de una )ip*rbola5 transmitiendo se_ales "ue son captadas por naKes en el mar. E$iste una diferencia en las distancias "ue recorren ambas se_ales 6 e$iste una pe"ue_a diferencia de tiempo en la captación de las se_ales. i el barco sigue una ruta de naKegación "ue mantenga constante la diferencia de tiempo se mantendrá constante la diferencia de distancias 6 entonces la ruta de naKegación será una )ip*rbola cu6os focos coinciden con las dos estaciones de radio. 8ara cada diferencia de tiempo se tiene una tra6ectoria )iperbólica diferente5 cada una lleKando al barco a un puerto diferente. as cartas de naKegación muestran las diferentes rutas )iperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. Ejer Ej erci cici cioo %.+1 %.+1..
;os ;os es esta taci cion ones es o o&a &a es está tánn se sepa para rada dass !' !''' m so sobr bree la co cost sta. a. Sn ba barc rcoo registra una diferencia de tiempo de '5'''+% seg entre las se_ales &A.
+1.1. +1. 1.
;et ;eterm ermina inarr los K* K*rtic rtices es de la )i )ip* p*rbo rbola la en cu cu6o 6oss focos focos están están la lass estaci estacione oness o&an. o&an. El barc barcoo na naKe Kega ga so sobr bree la rama rama de un unaa )i )ip* p*rb rbol olaa cu cu6o 6oss fo foco coss co coin inci cide denn co conn la lass posiciones de de las estacione estacioness de radio5 Keloc Kelocidad idad de la se_a se_all de radio9 3''.''' Qmseg. ;iferencia de ;istancia : Nelocidad.>;iferencia de tiempo@ ∆; : N.∆#. ∆; : >3''.'''@>'5'''+%@ : 2!+ m : 2a? la distancia entre K*rtices5 por la definición de
)ip*rbola9 2a : 2!+ +1.2 +1.2..
a : 12D
N>12D? '@
NY>, 12D? '@ .
T; T;ón ónde de el barco barco alca alcanz nzar aráá la costa costa si cont contin inRa Ra sobre sobre la tr tra6 a6ec ecto tori riaa )i )ipe perb rból ólic icaa "u "uee corresponda a la diferencia de tiempo arriba citadaU. H>2!'? '@
HY>, 2!'? '@
El barco llegará a la costa a 2!' , 12D : 121 m de la estación principal "ue está en H. H.
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