6 Campos Variables en El Tiempo PDF
August 22, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Solución de campos del Tipo IV
Campos variables en el tiempo
1.- Ecuaciones diferenciales para potencial eléctrico y magnético variable en el tiempo
Si los campos eléctrico y magnético varían en el tiempo, el conjunto de ecuaciones fundamentales esta dado por:
∂ B ∇ x E = − ∂t
∇ ⋅ B = 0
∇ ⋅ J = −
∇ ⋅ D = ρ
∂ D ∇ x H = J + ∂t
∂ρ ∂t
B = µ 0 (H + M) = µ H
P = ε E D = ε 0 E +
Luego, los campos E y B , H y D están acoplados, lo cual indica que en este caso la solución debe obtenerse simultáneamente para los campos eléctrico y magnético, esto es, para el campo electromagnético. electromagnético. Debido a este acoplamiento, como se verá posteriormente, resulta más fácil abordar la solución definiendo los potenciales eléctrico y magnético y planteando sus ecuaciones ecuaciones generales. generales.
1.1 Definición Definici ón de potenciales y ecuaciones diferenciales
Como: y puesto que se cumple para p ara un vector A :
∇ ⋅ B =0 ∇ ⋅ ∇ xA = 0
entonces podemos considerar que: siendo A : potencial potencial magnético vector
B = ∇ x A
Del rotor de E :
∇ x E = −
∂ (∇ x A)
∂t
luego:
∂ A ∇ x E + = 0 ∂t
Si el rotacional de un vector es nulo, el vector puede expresarse como el gradiente de una función escalar:
2
∂ A = −∇φ E + ∂t
eléctrico escalar, diferente diferente del caso estático pues es dependiente de t φ : función potencial eléctrico Para obtener las ecuaciones diferenciales para los potenciales magnético vector y eléctrico escalar, se reemplaza en las dos ecuaciones fundamentales restantes:
∂ A ∇ ⋅ ε E = ∇ ⋅ ε − − ∇φ = ρ ∂t
Luego:
−∇⋅
∂ A ρ − ∇ 2φ = ∂t ε
∇ ⋅ A = −µε
Escogemos (condición de Lorentz):
∂φ ∂t
Entonces: ∂ ∂ 2φ (∇ ⋅ A) = − µε 2 ∂t ∂t
que se reemplaza reemplaza en la ecuación ecuación anterior. Además:
∇ x A ∂ ∂ A B ∇ x H = ∇ x = ∇ x = J + ε − − ∇φ ∂t ∂t µ µ
Luego:
∂∇φ ∂ 2 A 2 ∇ x∇ x A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = µ J − µε − µε 2 ∂t ∂t
∇(∇ ⋅ A) = − µε
Y de la condición de Lorentz:
∂ (∇φ ) ∂t
Reemplazando en la ecuación anterior, finalmente obtenemos las ecuaciones generales para el potencial magnético vector A y el potencial eléctrico escalar φ en el caso de campos variables en el tiempo:
∂ 2 A ∇ 2 A − µε 2 = − µ J ∂t
∂ 2φ ρ ∇ 2φ − µε ∂t 2 = − ε
3
2.- Régimen Sinusoidal permanente 2.1 Representación fasorial para los campos alternos de frecuencia constante
Si los campos presentan una variación sinusoidal en el tiempo con frecuencia angular constante, empleamos una transformación del espacio del tiempo al espacio complejo, y trabajamos con campos vector fasor: jω t E donde E (r , t ) = Re E e Cada componente de cartesianas y polares:
E es compleja; expresado el campo en coordenadas
jφ y ˆ E ˆ + jˆ E + k = iˆ[ E + jE ] + jˆ E + jE ˆ e jφ x + jˆ E E (r ) = iˆ E + k ˆ E z e jφ z x y z xr xi yr yi + k [ E zr + jE zi ] = i E x y e
[
]
en general puede darse una fase arbitraria para cada una de ellas. Esto es, por ejemplo, para la componente espacial Ex : 2 E 2 e jω t e jφ x , t ) = Re ( E xr + jE xi ) e j ω t = Re E xr E x (r + xi
[
]
( )
2 E x r , t = E xr + E xi2 cos(ω t + φ x )
representación polar considerando φx la fase de esta componente en su representación j ω t Como en toda operatoria con fasores, el factor e generalmente no se escribe, dándolo por subentendido. Es importante no confundir las componentes reales e imaginarias de las componentes espaciales del vector, con las propias componentes espaciales. espacial es. Por ejemplo, Exr y Exi no son compone componentes ntes espa espaciales, ciales, sino sino que definen definen el
. Esta posible diferencia de fase entre las ángulo de fase de la componente espacial E x
distintas componentes espaciales de un fasor trae como consecuencia el problema de la determinación determinac ión del valor máximo para un campo vector fasor. de un campo eléctrico alterno, y E Consideremos solo dos componentes, E y x
para una posición (x0,y0) fija; con el fasor expresado en notación not ación compleja: = a + j b E x
= c + j d E y
y expresado como función del tiempo, puede escribirse: E x ( x0 , y 0 , t ) = a cos(ω t ) − bsen(ω t ) Ey ( x0 , y 0 , t ) = c cos(ω t ) − dsen(ω t )
4
a
c
Puede verse inmediatamente que si se satisface la condición: b = d entonces ambas componentes están en fase y el vector de campo tiene una única fase bien definida. En este caso se dice que el campo es circular en el punto (x0,y0) y su módulo se obtiene por raíz cuadrada de la suma cuadrática de sus componentes: E = E x2 + E y2
Si ambas componentes no están en fase, entonces el campo en el punto (x0,y0) es elíptico y debe distinguirse los módulos e inclinación de los ejes mayor y menor de la elipse. Expresando el módulo del campo como función del tiempo: M 2 = E x2 + Ey2 = (a cosω t − bsen ω t )2 + (c cos ω t − dsen ω t ) 2
= (a 2 + c 2 ) cos2 (ω t ) + (b2 + d 2 )sen 2 (ω t ) − 2(ab + cd )sen(ω t ) cos(ω t )
Los valores extremos de esta función se obtienen derivando d erivando con respecto de la variable (ωt) e igualando a cero. ∂M 2 )(cos2 (ω t ) − sen 2 (ω t )) = 0 = [2(b 2 + d 2 ) − (a 2 + c 2 )]sen(ω t ) cos(ω t ) − 2(ab + cd ∂(ω t )
Dividiendo por cos2(ωt):
[
]
2 (b 2 + d 2 ) − (a 2 + c 2 ) tg (ω t ) − 2(ab + cd )(1 − tg 2 (ω t )) = 0
= tg ( ω t ) se obtiene como solución: Considerando como incógnita: ρ = ρ =
K ± K2 +4
K =
(b 2 + d 2 ) − (a 2 + c 2 )
(ab + cd )
2
1
cos(ω t ) =
sen(ω t ) =
1 + ρ 2
ρ
1 + ρ 2
Las dos soluciones de ρ conducen a las inclinaciones α1 y α2 para los dos ejes, con: tg α 1 , tgα 2 =
a + b ρ c + d ρ
tg α 1 ⋅ tg α 2 = −1 1
1
[(a
+ c 2 ) ρ 2 + (b 2 + d 2 ) − 2(ab + cd ) ρ ]
y a los módulos:
M1 , M 2 =
Luego,
Emáx = Máx ( M1 , M2 )
1 + ρ
2
2
2
5
2.2 Ecuaciones diferenciales para los campos
Considerando régimen sinusoidal permanente permanente y campos vec vector tor fasor, el conjunto de ecuaciones de Maxwell se reduce a:
∇ x E = − jω B
∇ x H = J + jωε E
= ρ ∇ ⋅ D
∇ ⋅ B = 0
∇ ⋅ J = − jω ρ
Cuando ρ y J no son nulos, la generación de ecuaciones únicas para E y H solo conduce a ecuaciones no homogéneas complicadas. En el desarrollo que sigue se trabaja exclusivamente con los campos vector fasor.
Para obtener la ecuación diferencial para el campo eléctrico, tomamos doble rotor
de E :
∇ x(∇ x E ) = − ∇ x( jω B ) Del cálculo vectorial y de las leyes fundamentales:
∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − jωµ ∇ x H = − jωµ ( J + jωε E ) ρ ∇ − ∇ 2 E = − jωµ J + ω 2 µε E ε
ρ ∇ 2 E + ω 2 µε E = jωµ J + ∇ ε
Se obtiene la Ecuación de Helmholtz no homogénea para E . Esta ecuación indica que un campo eléctrico variable en el tiempo se genera por la presencia de cargas y/o corrientes variables variables en el tiempo.
Para obtener la ecuación del campo magnético, tomamos doble rotor de H :
∇ x(∇ x H ) = ∇ x J + jω ∇ xε E Ocupando el álgebra vectorial y las leyes fundamentales, se obtiene la ecuación de
Helmholtz no homogénea para H :
( )
∇ ∇ ⋅ H − ∇2 H = ∇ x J + jω ε (− jω µ H )
+ ω 2 µ ε H = ∇ x J ∇ H 2
6
Luego, un campo magnético variable en el tiempo se genera por corrientes variables en el tiempo. Se observa que las ecuaciones para los campos resultan complejas, por lo que es habitualmente difícil enfrentar su solución directamente. Por esta razón, generalmente no
encontramos los campos E y H directamente, sino que de preferencia calculamos potenciales escalares y vectoriales de los cuales se derivan los campos. La ventaja es usar procedimientos similares similares a los que usamos usamos para los campos estáticos. estáticos.
2.3 Ecuaciones para los potenciales en régimen sinusoidal permanente
Tenemos que:
∇ x E = − jω B
E + jω A = −∇ φ
y:
∇ x H = J + jωε E
podemos considerar
∴ E = − jω A− ∇ φ
∴ ∇ x( E + j ω A) = 0
(∇x∇ φ = 0 )
Entonces, puesto que además se cumple:
∇ x E = − jω ∇ x A
∇ x
∇ x A µ
= J + jωε (− jω A − ∇ φ )
Y según el cálculo vectorial:
∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A = µ J + ω 2 µε A − jωµε ∇ φ Escogemos (condición de Lorentz):
∇ ⋅ A = − jωµε φ
∴ ∇ ( ∇ ⋅ A) = − jωµε ∇ φ
∇ 2 A+ ω 2 µε A = − µ J
Quedando:
Nota: La condición condición de Lorentz no es arbitraria: arbitraria: desarrollando, se obtiene la condición de continuidad de corriente corriente y carga. carga. Aplicando el Laplaciano: Laplaciano:
∇ (∇ ⋅ A) = ∇ ⋅ ∇ A = − jωµε ∇ 2φ 2
y ∇ 2φ : Reemplazando: ∇ 2 A
2
7
∇ ⋅ (− µ J − ω 2 µε A) = − jωµε (−
ρ
− ω 2 µε φ )
ε
3 2 2 + jω µ ε φ − µ ∇ ⋅ J − ω 2 µε ∇ ⋅ A = jωµ ρ
) − ω 2 µε (∇ ⋅ A + jωµε φ ) = µ (∇ ⋅ J + jω ρ
Como el segundo paréntesis se anula, por condición de continuidad, el primer paréntesis también también debe anularse. Queda demostrado que la condición de Lorentz no es una condición independiente. A su vez la cuarta ecuación de Maxwell es:
∇ ⋅ D = ρ
∇ ⋅ ε E = ∇ ⋅ ε (− jω A − ∇ φ ) = ε (− jω ∇ ⋅ A − ∇ 2 φ )
Y de la condición de Lorentz:
− ω 2 µε φ − ∇ 2 φ =
ρ
Queda:
∇ 2 φ + ω 2 µε φ = −
ρ
ε
ε
La solución de tipo integral de las ecuaciones para A y φ es:
µ J ( x' , y ' , z ' ) − jω e A( x, y, z ) = r 4π
∫
φ ( x, y , z ) = r =
1
µε r
( x' , y ' z ') − jω ρ e υ 4πε r
∫
( x − x')2 + ( y − y ')2 + ( z − z ')2
x',y',z,': Coordenadas del punto fuente en ν´
. x,y,z: Coordenadas del punto donde se evalúa A y φ
d υ '
µε r
d υ ' ω µε = k
8
Como estamos estamos trabajando con fasores, para la representación representación en t se debe jωt multiplicar por e . y luego tomar tomar la parte parte real. Las soluciones e-jkr+jωt representan ondas propagándose radialmente radialmente desde el punto fuente fuente,, con amplitud decayendo con 1/r. Cuando ω = 0, las ecuaciones se reducen al caso estático: frecuencia angular nula . En este caso, H y E no están relacionados, como tampoco los potenciales. En el caso estático la forma integral de solución queda:
µ J ( x' , y ' , z ' ) A( x, y, z ) = d υ ' r 4π
∫
φ ( x, y, z ) =
1 4πε
∫
υ
ρ ( x' , y ' z ') d υ ' r
2.4 Caso Cuasi-estático
En el caso de frecuencia industrial: ω = 2 π f = 2 π 50 = 100 físicas son: µ = µ r µ 0 = µ r 4 π x10 −7 [ H / m] −12 ε = k ' ε 0 = k ' x8,854 x10 [F / m]
π
y las constantes
los materiales normales presentan valores: k ' ~ 80 µ r ~ 3000
de modo que el exponente en la expresión integral de los potenciales es: ω µ r ε
k ' µ r ⋅ r ⋅10
r ~
e
considerando r = 100 metros, entonces:
−6
− jω µε r
≈ 10
−4
r
≈ 1,01
Luego, en la práctica podemos reemplazar e-jω√(µε) r = 1 si estamos interesados en los campos en la vecindad de las fuentes fuentes (la extensión de la región es pequeña comparada ccon on la longitud de onda). Recordemos que para frecuencia industrial, la longitud de onda es: λ =
c f
=
8 3 x10 m / seg
50 c / seg
= 6000 km
Entonces, los potenciales a frecuencia industrial pueden determinarse por:
9
A( x, y, z ) =
φ ( x, y, z ) =
µ J ( x' , y ' , z ' ) d υ 4π r
∫
1 4πε
∫
υ
( x ' , y ' z ') ρ d υ '
r
Se observa que la forma matemática de solución es idéntica al caso estático, salvo por tratarse de fasores (complejos). Por lo tanto, como se verá rigurosamente luego, se visualiza que es posible aplicar las metodologías de solución de campos estáticos vistos anteriormente ( separación de variables, simulación de cargas, elementos finitos, diferencias finitas ), a los campos de frecuencia industrial, cuando la extensión del sistema estudiado es muy inferior a la longitud de onda. Estos potenciales y los campos derivados de estos potenciales se llaman cuasi estáticos ya que varían con el tiempo pero la frecuencia es suficientemente suficientemente baja, de modo que los efectos de propagación no son importantes para el rango de distancias de interés ( regiones pequeñas comparadas con la longitud de d e onda). Sin embargo, esta solución es válida por aproximación (sistemas “ pequeños” ); cuando se requiere una solución rigurosa, debe considerarse los efectos derivados de una frecuencia no nula. En este caso, debe aplicarse un método que considere el campo electromagnético, electromag nético, es decir, la asociación presente entre el campo eléctrico y el magnético.
3.
Método de Resolución por Series de Campos Variables en el Tiempo
Se puede desarrollar un método de aproximaciones sucesivas para evitar la solución simultánea de las ecuaciones de Maxwell, sustituyendo el acoplamiento bilateral por una serie finita de acoplamientos unilaterales. unilaterales.
Para ello, primero se desprecia el acoplamiento y los campos E y H se obtienen
como si fueran campos estáticos. Enseguida, la derivada en el tiempo de B , determinada estáticamente, se usa para obtener un término de corrección para E ; y separadamente, la
derivada en el tiempo de D , determinada estáticamente, se usa para determinar un término
de corrección correspondiente para H .
Luego, las derivadas en el tiempo de los términos de corrección de primer orden
usan para calcular términos de segundo segundo orden para E y H , de los cuales para D y B se usan a su vez se determinan términos de corrección corrección de tercer orden y así sucesivamente. Este procedimiento es válido en muchas situaciones. Sin embargo, se debe pagar un precio por evitar, de esta manera, la solución simultánea de las Ecuaciones de Maxwell: los campos quedan determinados por series infinitas que pueden no converger lo
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suficientemente rápido para casos prácticos. Una relativamente rápida convergencia puede esperarse solamente cuando las dimensiones del sistema electromagnético electromagnético en consideración son más pequeñas pequeñas que la longitud de la onda correspondiente a la fr frecuencia ecuencia de operación más alta. Consideremos régimen sinusoidal permanente, es decir, campos que varían en el tiempo de acuerdo a ondas sinusoidales de frecuencia constante. Usaremos por tanto la representación representa ción fasorial. Para estudiar el comportamiento de los sistemas electromagnéticos en función de la frecuencia,, se propone expresar frecuencia exp resar los vectores fasores de campo como serie de componentes:
E = E 0 + E 1 + E 2 + ...... + E k + ...
H = H 0 + H 1 + H 2 + ..... + H k + ...
E k = ω k ek , en que H k = ω k hk , siendo ek y hk vectores fasores de campo independientes de la frecuencia. La componente de orden k se puede interpretar como la contribución dello el tiempo. Por lotérmino tanto: correspondiente a la derivada de orden k no nula de la función en
2
E = e0 + ω e1 + ω e2 + ...... + ω k ek + ...
H = h0 + ω h1 + ω h2 + ..... + ω hk + ... 2
k
Los conjuntos de ecuaciones sucesivas para cada orden se obtienen reemplazando directamente directame nte en las ecuaciones ecuaciones de Maxwell complejas, la representación en serie para todos los campos:
∇ × E = − jωµ H ∇ × H = J + jωε E
∇ ⋅ ε E = ρ
∇ ⋅ µ H = 0
∇ ⋅ J = − jω ρ
Así por ejemplo, la primera ecuación queda: ∇ x (e
0
+ ω e
1
2 2
k k
k k
+ ω e + ...... + ω e + ...) = − jωµ (h0 + ω h1 + ω h2 + ..... + ω h + ...) 2
11
Y la segunda:
k k
∇ x (h0 + ω h1 + ω h2 + ..... + ω h + ...) = j0 + ω j1 + ω 2 j2 + ...... + ω k jk + ... 2
+ jωε (e
0
+ ω e
1
+
ω 2e
+ ...... + ω k e
2
k
+ ...)
estas ecuaciones se pueden escribir en la forma: ∇ x e
0
+ ω (∇ x e
1
+ jµ h0 ) + ω
2
(∇ xe
2
+ jµ h1 ) + ...... = 0
e ) + ω 2 (∇ xh − j − jε e ) + ...... = 0 ∇ x h0 − j0 + ω (∇ x h1 − j1 − j ε 0 2 2 1
Y en forma similar, todas las ecuaciones de Maxwell. Como estas ecuaciones deben t satisfacerse para cualquier frecuencia angular ω, los érminos individuales de la serie deben anularse separadamente, obteniéndose las ecuaciones para cada uno de los órdenes. Ecuaciones de orden cero:
∇ × e0 = 0
∇ × E 0 = 0
∇ × H 0 = J 0
0 ∇ ⋅ ε E 0 = ρ
∇ × h0 = j0 0 ∇ ⋅ ε e0 = ρ
∇ ⋅ µ H 0 = 0
∇ ⋅ µ h0 = 0
∇ ⋅ j0 = 0
∇ ⋅ J 0 = 0 Ecuaciones de orden uno:
0 ∇ ⋅ J 1 = − jω ρ
∇ × h1 = j1 + jε e0
∇ ⋅ µ H 1 = 0
= − jµ h0
1
∇ × H 1 = J 1 + jωε E 0 1 ∇ ⋅ ε E 1 = ρ
∇ × e
∇ × E 1 = − jωµ H 0
1 ∇ ⋅ ε e1 = ρ
∇ ⋅ µ h1 = 0
0 ∇ ⋅ j1 = − j ρ
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Ecuaciones de orden k:
∇ × ek = − jµ hk −1
∇ × E k = − jωµ H k −1
∇ × hk = jk + jε ek −1
∇ × H k = J k + jωε E k −1 = ρ k ∇ ⋅ ε E k
k ∇ ⋅ ε ek = ρ
∇ ⋅ µ hk = 0
∇ ⋅ µ H k = 0
k −1 ∇ ⋅ jk = − j ρ
k −1 ∇ ⋅ J k = − jω ρ
Las ecuaciones de orden cero son similares a las del caso estático, salvo por tratarse de fasores; por tanto, para su solución pueden emplearse las técnicas ocupadas para resolver campos del tipo I y del tipo II. De este modo se obtienen las primeras componentes de la serie. Por su parte, en las ecuaciones de orden k, el segundo miembro es conocido, luego para su solución se puede emplear las ttécnicas écnicas usadas para para resolver campos campos del tipo III. Podemos demostrar que E y H son series de potencia en ω. Las ecuaciones de orden cero no consideran ω, por lo tanto todos losérminos t de orden cero se pueden considerar como independientes de ω. En las ecuaciones de primer orden, todos los términos de orden cero están multiplicados por ω y ninguno de primer orden loá.estPor otra parte, las ecuaciones de primer orden deben ser válidas para cualquier ω. Luego, todos los érminos ét rminos de primer orden deben ser pro porcionales a ω. En forma análoga se llega a que los términos k de orden k son proporcionales a ω . Entonces podemos escribir:
2
k
E = e0 + ω e1 + ω e2 + ...... + ω ek + ...
H = h0 + ω h1 + ω h2 + ..... + ω hk + ... 2
k
El método es práctico en la medida que el número de términos de la serie sea reducido. En el caso de campos de frecuencia industrial, la aproximación con términos de orden 0 y 1 es normalmente normalmente suficiente suficiente para explicar el comportamiento comportamiento de sistemas sistemas también representables por elementos de circuito. Esta se denomina aproximación cuasi estática.
3.1 Aproximación cuasi estática
Los campos cuasi-estáticos son aquellos que varían lentamente con el tiempo. Dado el amplio espectro de variación de los campos electromagnéticos, se consideran en este grupo los campos que varían con frecuencia industrial. Los campos cuasi estáticos son representados por variaciones temporales de orden cero y de primer orden. Los términos
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cuasi- estáticos estáticos (orden 0 y 1) son suficientes para explicar el comportamiento normal de los elementos de circuito. Los términos de orden superior representan los efectos parásitos. Así, para campos cuasi-estáticos: cuasi-estáticos:
E = E 0 + E 1
H = H o + H 1
Considerando materiales lineales e isotrópicos, se cumple:
D = ε E
B
= µ H
Y las ecuaciones son: de orden cero :
∇ × E o = 0
de primer orden:
∇ × E 1 = − jωµ H o
∇ × H o = J o
∇ × H 1 = jωε E o + J 1
o ∇ ⋅ ε E
1 ∇ ⋅ ε E
o = ρ
∇ ⋅ µ H o = 0
∇ ⋅ J o = 0
1 = ρ
∇ ⋅ µ H 1 = 0
o ∇ ⋅ J 1 = − jω ρ
Luego, conociendo los campos “estáticos” o campos de orden cero J0, E0 y H0, se pueden derivar los campos de orden o rden 1, J1, E1 y H 1 , puesto que las relaciones que resultan son también también de tipo conocido: campos del del tipo II II o III. Los casos particulares interesantes son el caso del campo eléctrico en aislaciones y la relación de la teoría de campos con teoría de circuitos.
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3.2 Solución de campos cuasi estáticos en aislaciones imperfectas (reales)
Las aislaciones imperfectas se caracterizan por una conductividad eléctrica σ finita, una permeabilidad magnética prácticamente prácticamente equivalente a la del aire, µ ≈ µ0 y la respectiva permitividad dieléctrica dieléctrica ε . El procedimiento de solución en este este caso es el siguiente: siguiente: i)
Los campos de orden cero se determinan de las expresiones:
∇ × E o = 0
E 0
∇ × H o = σ E o
H 0
o ∇ ⋅ ε E o = ρ
∇ ⋅ µ H o = 0
Se puede observar que la fuente del campo magnético de orden cero,
Ho
, es la
pequeña corriente de conducción J o = σ Eo , del orden de micro Amperes en el caso de
aislacioness reales, por lo tanto, H o es pequeño. aislacione
ii)
Para los campos de orden 1 se tiene las siguientes ecuaciones:
∇ × E1 = − jωµ H o
∇ × H 1 = jωε E o + J 1
∇ ⋅ ε E1 = ρ 1
∇ ⋅ µ H 1 = 0
El término de corrección de orden 1 para el campo eléctrico Ε1 , se deriva
H 0 que puede considerarse considerarse despreciable, despreciable, anulando el rotor de Ε1 : de jωµ
∇xE1 = − j ω µ H0 ≈ 0
Luego, sin considerar carga de orden 1 (ρ1 = 0), entonces E 1 es muy pequeño y se puede despreciar despreciar frente a
Eo
,
+ E o ≈ E o E =E 1
y las ecuaciones generales para el campo eléctrico son:
∇ × E = 0
∇ ⋅ ε E = ρ Por tanto, de la primera ecuación se observa que el campo eléc eléctrico trico puede derivarse de una función potencial pot encial eléctrico φ fasor:
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E = −∇φ De la siguiente ecuación este potencial pot encial satisface: satisface:
∇ 2φ = − ρ ε
A su vez, el término de corrección de orden 1 para el campo magnético, H 1 se obtiene de:
∇xΗ1 = J1 + j ω ε Ε 0 = j ω ε Ε 0 considerando que no existe fuente de corriente de orden 1. En aislaciones reales, la
corriente de conducción J 0 = σ Ε 0 , que es fuente de Η 0 , puede ser de magnitud
comparable con la corriente de desplazamiento jω ε Ε 0 y por lo tanto tanto en el rotor de Η 1 no puede anularse. anularse. Luego, los campos magnéticos magnéticos de orden cero cero y uno son muy pequeños, pero comparables comparables entre si: = + H H o H 1 Y:
∇ × H = ∇ × Ho + ∇ × H1 = σ E0 + jωε E0
∇ ⋅ µ H = ∇ ⋅ µ Ho + ∇ ⋅ µ H1 = 0 En síntesis, puesto que:
E = E 1 + E o ≈ E o
H = H o + H 1
las ecuaciones generales para campos cuasi estáticos en aislaciones, resultan:
∇ × E = 0
∇ × H = (σ + jωε )E
∇ ⋅ ε E = ρ
∇ ⋅ µ H = 0
por lo tanto, el método de solución del campo electromagnéticoa electromagnéticoa frecuencia industrial indu strial en aislacioness imperfectas, aislacione imperfectas, es idéntico al al método usado en el caso caso estático, pero pero con dos variaciones importantes: 1) La función potencial pot encial eléctrico φ es un fasor fasor (modulo y ángulo) y los campos son VECTOR FASOR
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2) Las nuevas condiciones condiciones de borde en las fronteras dieléctricas dieléctricas son: nˆ × ( E 1 − E 2)= 0 a) De ∇ × E = 0 se obtiene:
continuidad de la componente tangencial del campo E .
b) De ∇ ⋅ µ H = 0 se obtiene:
nˆ ⋅ (µ 1 H 1 − µ 2 H 2 ) = 0
continuidad de la componente normal de B .
∇ ⋅ ε E = ρ se obtiene:
nˆ ⋅ (ε 1 E 1 − ε 2 E 2 ) = ρ s
c) De carga acumulada en la frontera dieléctrica.
d) De
∇ × H = (σ ++ jωε ) E se tiene, ocupando la identidad: ∇ ⋅ (∇ × H ) = 0
∇ ⋅ (σ + jωε ) E = 0 ⇒ nˆ ⋅ (σ 1 + jωε 1 ) E 1 − (σ 2 + jω 2ε 2 )E 2 = 0 que corresponde a la condición de continuidad de la componente normal de la densidad de corriente total y representa una nueva condición para el campo eléctrico. Luego, las condiciones de borde para el campo eléctrico son:
2)= 0 nˆ × ( E 1 − E
nˆ ⋅ (σ 1 + jωε 1 ) E 1 − (σ 2 + jω 2ε 2 )E 2 = 0
Y la carga acumulada en la frontera dieléctrica se obtiene de:
ρ s = nˆ ⋅ (ε 1 E 1 − ε 2 E 2 )
Se puede usar todos los métodos de solución de campo electrostático, cambiando ε por (σ + jωε ) ; en particular, son aplicables aplicables Simulación de cargas, cargas, Diferencias finitas, finitas, Elementos finitos. Normalmente no estamos estamos interesados en en el campo H en aislaciones. 3.2.1 Qué conclusiones se sacan cuando se aplica las últimas condiciones de borde?
Dependiendo de las magnitudes relativas de los parámetros que caracterizan eléctricamente los materiales, en muchos casos los efectos de campos cuasi estáticos en aislaciones pueden ser estudiados sobre la base de las nociones convencionales de electrostática electrost ática y en muchos casos la solución electrostática es válida. La última condición de borde es la única que puede p uede imponer cambio de fase para los campos al cambiar de medio. Esto ocurre cuando la conductividad σ y el producto (ωε ) son comparables entre sí. Para revisar esta situación, consideremos el siguiente caso:
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Un cuerpo de dimensión infinita en dirección perpendicular al campo E y caracterizado por σ y ε (dieléctr (dieléctrico ico con pérdidas). pérdidas). Las condiciones condiciones de borde para campo campo cuasi estático establece: E
J p σ ε
E i
1
nˆ ⋅ (σ 1 + jωε 1 )E1 − ( σ 2 + jωε 2 )E 2 = 0
⇒ jωε o E = (σ + jωε )E i jωε o E E i = σ + jωε
De acuerdo a los valores relativos de σ y ωε , se pueden distinguir dos casos extremos: σ > ωε : entonces:
E i =
jωε o
σ
E ⇒ σ E i = jωε o E
corresponde nuevamente a un problema de tipo “estático” en región conductora ε = 80ε o A frecuencia industrial (50 Hz) y aun suponiendo el mayor valor de (permitividad dieléctrica del del agua destilada) cualquier cuerpo con una conductividad: conductividad: µ S // m σ > 80 × 8.854 × 10 −12 × (2 × π × 50) = 0.222
o inversamente con resistividad ρ < 4 ,5[ M Ω − m] , se comporta como cuerpo conductor. Por lo tanto el terreno y suelo común, los organismos vivos y todos los objetos metálicos comunes, actúan como conductores perfectos frente a campos electromagnéticos de frecuencia industrial. Es decir, al introducir estos objetos en un campo electromagnético de frecuencia industrial, el campo eléctrico se distorsiona externamente y tiende a anularse internamente al objeto. Como veremos más adelante, este comportamiento cambia cuando aumenta la frecuencia.
18
En ambos casos anteriores la aproximación estática es plenamente válida. La transición ocurre cuando σ ≈ ωε : en este caso el campo se desfasa al cambiar de medio. Esta situación puede darse en el caso de aisladores contaminados superficialmente, por ejemplo, o en general en aislaciones degradadas.
3.3 Teoría de circuitos como aproximación cuasi estática.
Como los fenómenos descritos por la teoría de circuitos son claramente de naturaleza electromagnética, los conceptos y leyes de teoría de circuitos deberían ser derivables de las ecuaciones de Maxwell. Por otra parte, hay fenómenos electromagnéticos, electromagnéticos, como la radiación, que son descritos d escritos adecuadamente adecuadamente por las ecuaciones de Maxwell pero no por las leyes de circuitos. Por lo tanto, la teoría de circuitos puede considerarse describiendo una clase particular de soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Los conceptos y leyes de teoría de circuitos son mucho más antiguos que las ecuaciones de Maxwell y se remontan a la época en que la investigación experimental estaba limitada a fenómenos electromagnéticos relativamente lentos. Correspondientemente, la clase de soluciones de las ecuaciones de Maxwell que se describen adecuadamente con la teoría de circuitos, están caracterizadas por variaciones temporales lentas. Los campos cuasi-estáticos, representados únicamente por variaciones temporales de orden cero y primer orden, incluyen las soluciones de las ecuaciones de Maxwell que son descritas adecuadamente por la teoría de circuitos. Veremos como podemos relacionar las características características de los elementos usados en teoría de circuitos, con la aproximación cuasiestática de campos. campos. Considerando materiales materiales lineales e isotrópicos, se cumple:
= ε E B = µ H
D
J = σ E
Y las ecuaciones de orden cero son:
∇ × H o = J o
∇ × E o = 0
∇ ⋅ µ H o = 0
∇ ⋅ ε E o = ρ o
∇ ⋅ J o = 0
De las ecuaciones anteriores es evidente que en ausencia de la corriente de conducción ( J0 = 0 ; σ = 0; aislante perfecto) o cuando la conductividad es infinita (σ = ∞; conductor perfecto), no existe acoplamiento entre Eo y Ho. Estos campos son
19
independientes y se puede trabajar con ellos en forma separada. En este caso, puede clasificarse clasific arse las soluciones de las ecuaciones de orden cero en dos tipos básicos: 1) Soluciones del tipo eléctrico, caracterizadas por la ausencia de un campo magnético de orden cero: Campo eléctrico en un medio sin pérdidas, o con conductividad cero (aislante perfecto, σ = 0) Existe en este caso ρ0 y E0 , pero J0 y H0 son cero. Eo es conservativo (∇×Eo=0) y por lo tanto puede ser representado por un potencial p otencial escalar: escalar:
E 0 = −∇φ 0
El campo y el potencial po tencial de orden cero provienen de una cierta distribución de carga de orden cero, ρ0 de acuerdo a la ley de Gauss. Correspondientemente, la derivada en el tiempo de la carga de orden cero asociada con Correspondientemente, el campo eléctrico de orden cero, origina una corriente de primer orden., debido a la ecuación ∂ρ ∇ ⋅ J1 = − o ∂t Se concluye que la corriente de primer orden puede considerarse originada por la derivada en el tiempo del potencial de orden cero. Esta es justamente el tipo de relación funcional característico característico de la capacidad: I = C
dv dt
2) Soluciones de tipo magnético, caracterizadas por la ausencia de un campo eléctrico de orden cero: Campo magnético en un medio sin pérdidas magnéticas. (σ = ∞; conductor perfecto) Existe J0 y H0 pero
ρ0 y
E0 son cero. Y :
∇ × H o = J o
Un campo magnético de orden cero de este tipo, origina un E1 proporcional a su derivada, debido a la ecuación :
∂H o ∇ × E1 = − µ ∂t
Sin embargo este campo eléctrico no es conservativo, por lo tanto no puede representarse por un potencial escalar. Por otra parte, los campos no conservativos de este tipo pueden todavía ser representados por voltajes definidos adecuadamente, por lo menos en conexión con las componentes de circuito de interés práctico. Se concluye que E1 y cualquier voltaje asociado con él, puede ser considerado como originado por la derivada en el tiempo de la corriente asociada a Ho. Este es justamente el tipo de relación funcional característico de la inductancia.
20
dI V
=
L dt
Soluciones de los tipos anteriores pueden coexistir en la misma región del espacio pero ser totalmente independientes; por ejemplo, el campo eléctrico asociado con un condensador sin pérdidas y el campo magnético asociado con un inductor sin pérdidas son totalmente independientes aún cuando existan en la misma región del espacio. Un tercer tipo básico de soluciones de orden cero está asociado con la presencia de corrientes que dependen del campo eléctrico; esto ocurre con σ finito.
J o = σ E o
Luego:
∇ × H o = σ E o Se ha introducido un acoplamiento unidireccional entre el campo eléctrico de orden cero y el campo magnético de orden cero. Obviamente, debido a la característica unidireccional de acoplamiento, el campo eléctrico puede evaluarse primero, independientemente del campo magnético. Enseguida se evalúa Ho, una vez conocido σEo. Así, se tiene un tercer tipo de soluciones de las ecuaciones de orden cero: 3)
Soluciones caracterizadas por un campo eléctrico de orden cero y un campo magnético de orden cero acoplados por corrientes en un material de conductividad finita: existen J0 , H0 y E0 .
En el caso de las soluciones de tipo 3, el campo E0 origina un campo magnético H1, debido a la ecuación:
∂ E o ∇ × H 1 = ε ∂t
mientras Ho origina, debido a la ecuación ,
∂H ∇ × E1 = − µ o ∂t
un campo eléctrico E1. La intensidad de cada campo de primer orden puede ser despreciable o no al compararla con la intensidad del campo de orden cero del mismo tipo. Así, se tienen cuatro casos especiales diferentes: 3(a) Ambos campos de primer orden son son despreciables comparados comparados con los de orden cero:
E 1 = 1 2 E ⋅ J c = 1 2 σ E
Densidad de Potencia Disipada Media :
2
*
2
- Densidad de Potencia Media de Fuente:
E ⋅ ( J * − J c )) < ps >= − 1 Re( 2
- Densidad de potencia potencia reactiva reactiva de fuente: fuente:
qs = − 1 Im( E ⋅ ( J * − J c )) 2
-
< W >= 1 ε E dv
Energía Eléctrica Media en V :
e
∫
V
4
2
*
*
27
- Energía Magnética Magnética media en V :
< W m >= ∫ V
- Potencia Media disipada en V :
2
1 µ H dv 4
2
< Pd >= ∫ 1 2 σ E dv V
-
< Ps >= − Re ∫ 1 2 E ⋅ ( J * − J c* ) dv
Potencia media de Fuente en volumen V :
V
- Potencia reactiva reactiva de fuente en V :
* Qs = − Im 1 E ⋅ ( J * − J c ) dv 2
∫
V
< P >= − Re ∫ 1 2 E × H * ⋅ nˆds
- Potencia media que Fluye Fluye al Interior de V
S
Q = − Im 1 ( E × H * ) ⋅ nˆds S 2
- Potencia reactiva que fluye al interior interior de V
∫
El significado físico de la potencia reactiva se observa claramente con el siguiente teorema:
Teorema de Poynting complejo.
∇ ⋅ P = ∇ ⋅ 1 2 ( E × H * ) = 1 2 ( H * ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ × H * )
Y como ∇ × E = − jωµ H
∇ × H * = J * − jωε E * Tenemos que
∇ ⋅ P = 1 2 [ H * ⋅ (− jωµ H ) − E ⋅ ( J * − jωε E * ) ]
2
2
∇ ⋅ P = − 1 2 ( E ⋅ J * ) − 2 jω ( 1 4 µ H − 1 4 ε E )
Separando parte real e imaginaria:
28
− Re(∇ ⋅ P ) = 1 Re( E ⋅ J * ) 2
− Im(∇ ⋅ P ) = 1 Im( E ⋅ J * ) + 2ω (< wm > − < we >) 2
El segundo miembro de la ecuación correspondiente a la parte real, representa el valor medio de E J, o sea la densidad media de la potencia electromagnética transformada en alguna otra forma forma de energía (si es positiva) positiva) o viceversa (si (si es negativa). negativa). Como en general debiera considerarse la presencia de fuentes:
J = J c + J s = σ E + J s
Se tiene que:
2
1 Re( E ⋅ J * ) = 1 σ E + 1 Re( E ⋅ J *s ) 2 2 2
− Re(∇·P) = < pd > − < ps > el segundo miembro corresponde a la diferencia entre la densidad de potencia media disipada y de fuente. A su vez, el primer término en el segundo segundo miembro de la ecuación ecuación correspondiente a la parte imaginaria, es la densidad de potencia reactiva asociada con la densidad de potencia media de la ecuación ecuación real. Resulta Resulta enteramente de las corrientes de fuente debido debido a que la corriente de conducción está en fase con el campo eléctrico:
* 1 1 Im( E J * ) = 1 Im(σ E ⋅ E * ) + ⋅ Im( E ⋅ J s ) = 1 Im( E ⋅ J * ) 2 2 2 2
− Im( ∇ ⋅ P ) = 2ω ( < wm > − < w e >) − q s q s es la densidad de potencia reactiva de fuente. fuente. Integrando en un volumen V encerrado encerrado por una superficie S, tenemos:
− ∫ Re(∇·P)dv = − Re ∫ P ·nˆ ds =< P >=< Pd > − < Ps > V
S
− ∫ Im(∇·P) dv = − Im ∫ P ⋅ nˆds = Q = 2w(< W m > − < W e >) − Qs V
S
La primera ecuación dice que la suma de la potencia media que fluye hacia el interior de V a través de la superficie y la potencia media suministrada las fuentes situadas dentro de V es igual a la potencia media disipada en V:
<
>=< P
d
>+< P
> P
s
29
La segunda ecuación dice que la suma de la potencia reactiva que fluye dentro de V a través de su superficie y la potencia reactiva suministrada por las fuentes situadas dentro de V es igual a 2 ω veces la diferencia entre la energía magnética media y la energía eléctrica media almacenada en V. Así, esta segunda ecuación da una interpretación física para la potencia reactiva o componente imaginaria asociada asociada con la potencia media. media.
5. Concepto de Impedancia
Sea un sistema electromagnético de 2 terminales encerrado por una superficie S, como se indica en la Fig. 3.4 . Se supondrá que se puede definir en la superficie S un voltaje y una corriente terminal. I + V -
S Circuito Lineal Pasivo
Z
V
Fig. 3.4: Sistema Electromagnético Electromagnético de dos terminales. Luego, se puede identificar el flujo a través de S hacia el interior de V del vector v ector Poynting complejo con la potencia compleja de entrada al sistema tal como se define en teoría de circuitos.
− ∫ P ⋅ nˆ ds = + jQ = 1 2 VI * S
Utilizando las direcciones de referencia de la figura se puede expresar (como el circuito es pasivo, no tiene fuentes): 1 VI * 2
=< Pd > + j 2ω ( − < W e >)
Donde: Pd :: Representa la potencia media disipada en V, o sea la potencia media total en las resistencias. : Representa la energía energía magnética media almacenada almacenada en V, o sea la energía media total almacenada en las inductancias. : Representa la energía eléctrica eléctrica media almacenada almacenada dentro de V, o sea la energía media total, almacenada en los condensadores. Introduciendo la impedancia Z del circuito tenemos, por definición: V = ZI
30
Luego, dividiendo la ecuación de potencias por I2 /2 resulta: VI * I
2
2
= Z =
I
2
[< Pd > + j 2ω ( − < W e >)]
Y como Z = R + jX, se tiene: X=
R=
2
4ω
(< Wm > − < We >)
I 2
2 < Pd >
Estos resultados están limitados solamente por el requisito que sea posible definir V e I en los terminales del circuito. No es necesario que el sistema electromagnético dentro de S sea analizable como circuito. La expresión para la admitancia de entrada se obtiene en forma similar: similar: * 1 VI =< P > − jQ =< Pd > + j 2ω ( − < W m >) 2
Dividiendo por V2 /2 se tiene: 2
IV *
=Y =
[< Pd > + j 2ω (< We > − < W m >) ]
2
2
Luego, la conductancia G y la susceptancia B quedan dadas dad as por: G=
2 < Pd >
V
B=
4ω
V
2
2
(< W e > − < W m > )
Se concluye que la impedancia de entrada y la admitancia de entrada son puramente reales cuando el sistema almacena, en promedio, iguales cantidades de energía eléctrica y magnética. Un sistema operando en esta condición se dice que está en resonancia.
< W m >= 1 4 ω L I I
2
< W e >= 1 4 ω C
2
31
Fig. 3.5: Circuito R L C.
La resonancia ocurre cuando la frecuencia de excitación es: ω o =
1 LC
El uso de práctico de la teoría de circuitos presupone que el comportamiento idealizado de resistencias, capacidades e inductancias puede ser obtenido físicamente con un suficiente grado de aproximación. Obviamente, los dispositivos físicos pueden comportarse como elementos de circuito idealizados en un rango limitado de frecuencias. Por ejemplo, la ecuación: Z=
2 I
2
[< P
d
> + j 2ω Wm > − < We >)] (<
indica que una resistencia deja de comportarse como una resistencia ideal cuando la frecuencia angular ω es tan alta que el producto de ω y la energía eléctrica o energía magnética asociada con ella es comparable a la potencia disipada. En forma similar, una inductancia deja de ser ideal cuando la energía media asociada con el campo eléctrico (producto de variaciones temporales del campo magnético) llega a ser comparable con la energía media asociada con el campo magnético. Por ejemplo, una inductancia ideal no puede realizarse físicamente a frecuencias bajas ya que qu e la potencia disipada en el alambre que forma el conductor llega a ser mayor que qu e el producto de ω y la energía media.
6. Expresiones en serie de potencias en
.
Cuando E y H están expresados como serie de potencias en ω, las expresiones de potencia, energía e impedancia también se desarrollan desarrollan en potencias deω.
Partiendo por el vector Poynting complejo:
P
=
1
*
2 ( E x H )
32
Y usando la serie de potencias en ω para la representación de los campos:
P=
1 2
(e0 + ω e1 + ω 2 e2 + ...... + ω k ek + ...) h * 0 + ω h *1 + ω 2 h * 2 + ..... + ω k hk + ...) x (
*
Haciendo el producto cruz podemos obtener:
P = P0 + P1 + P2 + ....
Donde:
P0 =
P1 =
P2 =
1 2 1 2 1 2
(e0 x h0 ) = ω (e
*
0
x h
* 1
1
( E 0 x H O* )
2
+ e
1
*
x h0 ) =
1 2
*
( E 0 x H + E 1 x H O* )
ω 2 (e0 x h2 + e2 x h0 + e1 x h1 ) = *
* 1
*
1 2
( E 0 x H 2* + E 2 x H O* + E 1 x H 1* )
En forma similar, se obtiene obti ene la densidad total de d e energía eléctrica.
1
2
< we >= ε E =< we 0 > + < we1 > +... 4
Donde:
< we0 >=
1 4
ε e
2
0
1
= ε E 0 4
1
2
* * < we1 >= ωε (e 0 ⋅ e1 + e1 ⋅ e0 )
4
0 ⋅ E 1 ⋅ E 0 * ) = 1 ε Re( E 0 ⋅ E 1* ) 1* + E < we1 >= 14 ε ( E 2
Expresiones análogas resultan para la densidad de potencia disipada y para la densidad total de energía magnética. Finalmente, para las densidades de potencia de fuente: 1 < p s > + jq s = − ( E ⋅ J * ) 2
s
= (< p s 0 > + jq s 0 ) + ( + jq s1 ) + ... Donde
33
1 * (< p s 0 > + jq s 0 ) = − E 0 ⋅ J s 0 2 1 * * (< p s1 > + jq s1 ) = − ( E 0 ⋅ J s1 + E 1 ⋅ J s 0 ) 2 igu al a la su ma d e lo s índices su b Y cada término es proporcional a la potenciaωdeig involucrados en cada producto.
Y así podemos expresar cualquier relación; por ejemplo, el teorema de Poynting complejo:
1 2
∇ ⋅ P = − ( E ⋅ J * ) − 2 jω (< wm > − < we >) = < p S > − < pd > + j[q S − 2ω {< wm > − < we >}]
Se obtiene:
∇ ⋅ P0 = (< p > − < p so
∇ ⋅ P1 = (< p
s1
∇ ⋅ P2 = (< p
s2
>) + jq do
> − < p
d 1
> − < p
d 2
so
>) + j[ q
>) + j [ q
s2
s1
− 2ω (< wm 0 > − < we 0 >) ]
− 2ω (< wm1 > − < we1 >) ]
Es importante destacar que el vector Poynting de orden k esta asociado con las densidades de energía energía de orden (k –1) Las expresiones expresiones de la impedancia impedancia Z y la admitancia admitancia Y también pueden expandirse en series, sustituyendo los términos por las series apropiadas. Para la impedancia de orden k se obtiene la siguiente expresión: Z K =
2 I 0
2
[ K + j 2ω ( < W m > K −1 − K −1 )]
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