5resumen de Problemas Para Resolver 2da Parte

Problemas de programación lineal Problemas de formulación de modelos 1.

 Enigma S.A.  fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de S/. 12 por cada unidad que vende del producto 1 y de S/. 4 por cada unidad del producto 2. os requerimientos en t!rminos de horas de traba"o para la fabricaci#n de estos productos en los tres departamentos de  producci#n se muestran de manera manera resumida en la siguiente tabla$

Departamento A B C

Producto 1 1 1 2

Producto 2 2 3 3

os supervisores de estos departamentos han estimado que tendr%n las siguientes disponibilidades de horas de traba"o durante el pr#&imo mes$ '(( horas en el depa depart rtam amen ento to )* +(( +(( hora horass en el depa depart rtam amen ento to , y 2 ((( ((( hora horass en el depar departam tament ento o -. )dem%s* dem%s* las las condic condicio iones nes partic particula ulares res del merca mercado do de los  productos indican que todo los productos producto s que se fabrique ser%n vendidos. Si la compañía est% interesada en ma&imiar las ganancias y suponiendo que todo lo producido se vender%* desarrolle el modelo de programaci#n lineal correspondiente.

2.

a firma Análisis Financiero S.A.  es una empresa de inversiones que mane"a las carteras de acciones  para diversos clientes. n cliente nuevo acaba de solicitarle que mane"e una cartera de S0 '( (((. l cliente desea* como estrategia inicial de inversi#n* restringir la cartera a una combinaci#n de las tres acciones cuyas características principales se muestran en la siguiente tabla$

Acción Blue chip Best Regular

Precio por acción (US$) 50 30 35

Rendimiento anual estimado por acción (US$) 6 4 5

Inversión máxima  posile 50 000 45 000 30 000

ormule un modelo de programaci#n lineal para el problema de inversi#n si el cliente desea ma&imiar el rendimiento anual total.

3.

a Cámara de Comercio  patrocina peri#dicamente programas educativos. n estos momentos se est%n elaborando los planes promocionales para los programas del presente año. as alternativas de  publicidad incluyen anuncios en televisi#n* radio y peri#dicos. ) continuaci#n se muestran las estimaciones de audiencia* los costos y las limitaciones sobre el uso m%&imo de los medios son$ !edio Televisión Radio Periódico Audiencia por anuncio 100 000 1 000 40 000 Costo por anuncio !en nuevos soles" 2 000 300 600 #so $%&i$o del $edio !n'$eros de avisos" 10 20 10

3

ara ara asegur asegurar ar una utili utiliaci aci#n #n equil equilibr ibrad adaa de los los medio medioss pub public licit itari arios* os* los los anuncios por radio no deben rebasar el 5(6 del n7mero total de anuncios que se autoricen. autoricen. )dem%s* )dem%s* se requiere que el n7mero de avisos en televisi#n constituya cuando menos el 1(6 del n7mero total de anuncios autoriados. Si el presupuesto disponible disponible para el año es de S/. 2( (((* presente un modelo de  programaci#n lineal que ma&imice la audiencia obtenida por los avisos en los medios.

4.

Cannes S. A.  proporciona alo"amiento por una noche para mascotas. na característica particular en calidad d del cuidado cuidado que recibe reciben n las mascot mascotas* as* incluy incluyend endo o una e&celent e&celentee Cann Cannes es S. A. es la calida alimentaci#n. a comida para perros de la perrera se elabora meclando dos alimentos de marca para  perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una 8dieta para perros balanceada9$ os datos para las dos comidas para perros son las siguientes$

"omida para perros (uau *ni++

"osto por on#a 0 )0 6 0 )0 5

Protenas (%) 30 20

&rasa (%) 15 30

l gerente desea asegurarse de que los perros reciben por lo menos 5 onas de  proteínas y como mínimo 3 onas de grasas cada día y quiere hacerlo al menor  costo. De acuerdo a lo planteado formule el modelo de programaci#n lineal. 5.

fabrica raquetas raquetas desde tamaño tamaño normal normal y grande grande.. as raquetas raquetas de la empres empresaa son Sport Sport S.A. S.A. fabrica e&tremadamente ligeras debido al uso de una aleaci#n especial de magnesio y grafito. 









-ada raqueta de tamaño normal utilia (*125 :g. de aleaci#n especial y cada raqueta grande utilia (*4 :g. de aleaci#n especial. ara ara el siguie siguiente nte perio periodo do de produc producci ci#n #n de dos seman semanas as s#lo s#lo hay disponible '( :g. de aleaci#n especial. -ada -ada raqu raquet etaa de tama tamaño ño norm normal al ocup ocupaa 1( minu minuto toss de tiem tiempo po de fabricaci#n y cada raqueta tamaño grande utilia 12 minutos. as contribuciones a la utilidad son de 01( por cada raqueta normal y 015 por cada raqueta grande y est%n disponibles 4( horas de tiempo de  producci#n por semana. se mana. a admi admini nist stra raci ci#n #n ha espe especi cifi fica cado do que que por por lo meno menoss 2(6 2(6 de la  producci#n total debe deb e ser de la raqueta de tamaño ta maño est%ndar.

Suponiendo que debido a la naturalea 7nica de los productos* la empresa vender% todas las raquetas que  puede producir* se pide que desarrolle el modelo de programaci#n lineal que ma&imice la contribuci#n a la utilidad las dos siguientes semanas. 6.  Aerolíneas S.A.  est% considerando la posibilidad de adquirir aviones comerciales en el mercado mundial a S)* ;nglaterra o 2? n'$ero de productos 2 a +aricar el pró&i$o $es ,a& 12 >1 @ sueto a ? >1 >1  2 >1

4 >2 @ 2 >2 ≤ 00 @ 3 >2 ≤ 600 @ 3 >2 ≤ 2 000 >1 ) >2 ≥ 0

!horas disponiles del departa$ento A" !horas disponiles del departa$ento B" !horas disponiles del departa$ento C" !condición de no negatividad"

Se pide obtenga la soluci#n #ptima aplicando el m!todo gr%fico.

29.

-on el modelo obtenido en el problema 4* Fcu%l es la mecla de costo mínimo de los alimentos para  perros y cu%l es el costo de la meclaG

>1? Cantidad diaria del ali$ento (uau !en on:as" >2? Cantidad diaria del ali$ento *ni++ !en on:as" ,in 0)06 >1 @ 0)05 >2 sueto a ? 0)30 >1 @ 0)20 >2 ≥ 5 0)15 >1 @ 0)30 >2 ≥ 3 >1 ) >2 ≥ 0

30.

!re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as" !!re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as" !condición de no negatividad"

)l resolver el problema 5 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal$

>1? cantidad de ra7uetas nor$al a + aricar las pró&i$as dos se$anas >2? cantidad de ra7uetas grande a +aricar las pró&i$as dos se$anas ,a& 10 >1 @ 15 >2 sueto a ?  0) >1  @ 0)2 >2 ≤   0)125 >1  @ 0)4 >2 ≤ 10 >1  @ 12 >2 ≤ >1 ) >2 ≥

0 0 4 00 0

!$e:cla de producción" !aleación disponile" !tie$po disponile" !condición de no negatividad"

F-u%ntas raquetas de cada tipo deber% fabricar la empresa en las dos siguientes semanas a fin de ma&imiar la contribuci#n total a la utilidadG. F-u%nto sería dicha contribuci#nG tilice el m!todo gr%fico para responder las preguntas.

31.

ara el modelo obtenido en el problema '* determine gr%ficamente la soluci#n #ptima. >1? proporción del +ideico$iso invertido en onos >2? proporción del +ideico$iso invertido en acciones

,a& 0)06 >1 @ 0)10 >2 sueto a ?

15

>1 ≥ 0)30 0)06 >1 @ 0)10 >2 ≥ 0)0-5 >1 @ >2  1 >1) >2 ≥ 0

32.

!$ni$a proporción invertida en onos" !rendi$iento total $ni$o" !la su$a de las proporciones da la unidad" !condición de no negatividad"

l modelo obtenido en el problema 11 fue el siguiente$

>1? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento A >2? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento B ,in sueto a? 500 >1 @ 300 >1 @ 500 >1 @

1)5 >1 @ 0)6 >2 200 >2 ≥ 6 000 200 >2 ≥ 4 000 100 >2 ≥ 3 500 >1) >2 ≥ 0

!re7ueri$iento diario $ni$o de u de carohidratos" !re7ueri$iento diario $ni$o de u de protenas" !re7ueri$iento diario $ni$o de u de grasas" !condición de no negatividad"

Determine gr%ficamente la soluci#n #ptima del problema.

33.

)l resolver el problema 12 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal.

>e? n'$ero de e7uipos ; a +aricar el pró&i$o $es >+ ? n'$ero de e7uipos D a +aricar el pró&i$o $es ,a& 5000 >e @ 4000 >+ sueto a? 10 >e @ 15 >+ ≤ 150 20 >e @ 10 >+ ≤ 160 30 >e @ 10 >+ ≥ 135 >e  3 >+ ≤ 0   >e @ >+ ≥ 5 >e) >+ ≥ 0

a  b c d

34.

!horas disponiles 1? n'$ero de avisos en radio >2 ? n'$ero de avisos en televisión

35.

,a& >1 @ 26 > 2 sueto a? 10 >1 @ 200 > 2 ≤  10 000 !presupuesto" >1 E 3 >2 ≥ 0 !poltica de la co$pa/a" >1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad" l modelo obtenido en la soluci#n del problema 1K es$ >1? n'$ero de clientes nor$ales contactados las pró&i$as dos se$anas

1+

>2? n'$ero de clientes nuevos contactados las pró&i$as dos se$anas ,a& >1 @ >2 sueto a ? 5 6

 >1 @

>2

≤

0

!tie$po disponile"

125 6

>1 @  >2 ≥ 00  0)5 >1 @ >2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0

!ingreso re7uerido" !contacto con los clientes" !condición de no negatividad"

a. btenga la gr%fica de la regi#n factible.  b. 1? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,100 la siguiente se$ana >2? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,200 la siguiente se$ana ,a& 3)5 >1 @ )625 >2 sueto a? 2 >1 @ 1)25 >2 ≤ 1000 ≤ 15 0)05 >1 0)05 >1 ≥ 5 0)025 > 2 ≤ 10 0)025 > 2 ≥ 5 > 1) >2 ≥ 0

!$ateria pri$a disponile" !tie$po disponile de ,100" !tie$po de +unciona$iento de ,100" !tie$po disponile de ,200" !tie$po de +unciona$iento de ,200" !condición de no negatividad"

Bodelo 2$ >1? tie$po asignado a la $%7uina ,100 la siguiente se$ana !h" >2? tie$po asignado a la $%7uina ,200 la siguiente se$ana !h" ,a& -0 >1 @ 345 >2 sueto a? 40 >1 @ 50 >2 ≤ 1000 ≤ 15 >1 >1 ≥ 5 >2 ≤ 10 >2 ≥ 5 >1) >2 ≥ 0

37.

!$ateria pri$a disponile" !tie$po disponile de ,100" !tie$po de +unciona$iento de ,100" !tie$po disponile de ,200" !tie$po de +unciona$iento de ,200" !condición de no negatividad"

ara el problema 21 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal$

1=

,a& 1)04 >1 @ 1)1 >2 sueto a? 032 >1 @ 024 >2 ≤ 100 00 >1 @ 016 >2 ≤ 3000 > 1) >2 ≥ 0

Se pide que encuentre e interprete la soluci#n #ptima y el valor #ptimo del modelo.

38.

ara el problema 22 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal

,a& 0)03 >1 @ 0)04 >2 sueto a? 5 >1 @ 4 >2 ≤ 1 200 000 >1 ≥ 30 000 >2 ≥ 10 000 0)25 >1 E 0)40 > 2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0

Se pide encuentre la soluci#n #ptima

39.

ara el problema 23 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal

,a& 100 >1 @ 150 > 2 sueto a ? 30 >1 @ 20 >2 ≤ - 200 45 >1 @ 15 >2 ≤ - 200 0) >1 E 0)2 > 2 ≥ 0 >1 E 3 >2 ≤ 0 >1 ) >2 ≥ 0

Se pide encuentre la soluci#n #ptima

40.

-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.

,a& >1 @ 2 >2 sueto a ? >1 @ 4 >2 ≤ 21  2 >1 @ >2 ≥  3 >1 @ 1)5 >2 ≤ 21 2 >1 @ 6 >2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0

a. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo.  b. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones. c. Suponga que la funci#n ob"etivo se modifica a ,a& 5>1 @ 2>2* encuentre la nueva soluci#n #ptima y el nuevo valor #ptimo. 41.

-onsidere el siguiente programa lineal.

1'

,a& 5> 1 @ - >2 sueto a ? 2 >1 @ >2 ≥  >1 2 >1  3 > 2 ≤ 3 >1 @ 2 >2 ≤

3 @ 5 >2 6 35

≥

4

3 =

 >1 @ >2 ≤ 10 >1) >2 ≥ 0

a. Determine la soluci#n #ptima.  b. 1 en la funci#n ob"etivo. c. Suponga que el coeficiente de >1 en la funci#n ob"etivo se reduce a 2. F-u%l ser% la nueva soluci#n #ptimaG d. -alcule los precios duales de la segunda y cuarta restricci#n.

42.

-onsidere el programa lineal$

,in >1 @ >2 sueto a ? >1 @ 2 >2 ≥ 6 3 >1 @ >2 ≥ 6 >1  12 >2 ≤ 0 >1 @ >2 ≤ 10 >1 @ 6 >2 ≥ 12 >1 ) >2 ≥ 0

a.  b. c. d. e.

43.

Determine la regi#n factible. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones. -alcule el rango de optimalidad para el coeficiente de >2. Suponga que el coeficiente de la variable >2 en la funci#n ob"etivo se reduce a 1/3. ncuentre la nueva soluci#n #ptima.

-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.

,in 5 >1 @ 2 >2 sueto a ? 3 >1 @ 6 >2 ≥ 1 5 >1 @ 4 >2 ≥ 20  >1 @ 2 >2 ≥ 16 - >1 @ 6 >2 ≤ 42 >1 ) >2 ≥ 0

a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo.  b. F-u%les son los valores de holgura o e&cedente asociados a cada restricci#nG c. F-u%l es el rango de variaci#n del coeficiente de >2 en la funci#n ob"etivo de manera que la soluci#n #ptima no cambieG

1K

d. Si simult%neamente los coeficientes de >1 y >2 cambian a 2*5 y 1 respectivamente* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG e. Si el coeficiente de >1 se reduce a 2* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG

44.

-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.

,a& 30 >1 @ 10 >2 sueto a ? 2 >1 @ >2 ≤ 4 2 >1 @ 2 >2 ≤ 6 >1) >2 ≥ 0

a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo.  b. ;ndique los valores de holgura y/o e&cedentes de las restricciones. c. Banteniendo todos los dem%s datos como est%n* Fcu%l debe ser la utilidad  por unidad del producto cuyo valor #ptimo actual es cero* para que el  producto se encuentre en la soluci#n #ptima en un nivel positivoG d. F-u%ntos v!rtices #ptimos e&isten luego del cambio descrito en ?c@G. F-u%les son estosG e. n el problema original* Fen cu%nto puede cambiar ?aumentar y/o disminuir@ el lado derecho de la segunda restricci#n para que cambie la soluci#n #ptimaG f. -onteste la parte ?e@ para el lado derecho de la primera restricci#n. g. F-#mo e&plica la diferencia entre las partes ?e@ y ?f@G h. F-u%l ser% el efecto de agregar la restricci#n 4N1 L N2 M 4 al modelo originalG i. F-u%l ser% el efecto ?sobre la soluci#n #ptima@ de agregar la restricci#n 3 N1 L 3 N2 ≤ 15 al modelo originalG

2(

Problemas con solución por computadora 45.

Desarrollado el modelo del problema 12* mediante la computadora se obtuvo el siguiente reporte$

Max 5000 xe + 4000 xf  subject to 10 xe + 15 xf = 5 0 x1 + 150 x2 + /5 x3 + 1/5 x4 >= 100 45 x1 + 25 x2 + 20 x3 + 3/ x4 >= 30 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 511*1111

1)

#'"'B(E .1 .2 .3 .4

#'(%E 0*2525 0*/03/04 0*03/03/ 0*000000

O

(' O %(% 0*000000 31*666666 0*000000 0*000000

2) 3) 4) 5)

&O* "!E'!"O&=

E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000 1*111115 ,%'( "E -44*444443 0*000000 -4*444445 -155*55555/

1

'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3 .4

O 2 3 4 5

OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 700*00000 223*63633/ 0 66*74/724 400*00000 75*/1424 0 "&$"&"!8 600*00000 0 500*00000 0 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E  "&E'E 5*000000 2*3/5000 100*00000 31*666666 0 0*/14276 30*000000 0*250000 1*000000

'((O'B(E ,EE'E 120*000007 300*000031 117*26241 1*11110/

'((O'B(E ,EE'E 0*250000 "&$"&"!8 /*000000 0*0434/7

Se pide$ a. ncuentre la soluci#n #ptima del modelo.  b. ncuentre el valor #ptimo del modelo. c. Si el requisito del elemento , es 1((* Fpor qu! se debe usar m%s de 1(( si esto eleva el costoG

22

d. FOu! acciones debería tomarse para reducir el costo mínimo a 05(( d#lares o menos por tonelada de meclaG e. FOu! sucede si el precio de mineral de la mina 2 aumenta m%s a 05((G f. F-u%nto tendría que disminuir el costo del mineral de la mina 4 para decidir  comprarloG 47.

n un problema de mecla de fabricaci#n de productos* &1* &2* &3 y &4 son unidades de los  productos 1* 2* 3 y 4 respectivamente y el modelo de programa de programaci#n lineal que ma&imia la utilidad en unidades monetarias para la pr#&ima temporada es$

Max 4 x1 + 6 x2 + 3 x3 + x4 subject to x1 + 2 x2 + 4 x3 + 3 x4 ≤ 550 :;oas de a ?@u9na ') 4 x1 + x2 + 2 x3 + x4 ≤ /00 :;oas de a ?@u9na B) 2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 ≤ 200 :;oas de a ?@u9na ) end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 527*5/14

1)

#'"'B(E .1 .2 .3 .4

#'(%E 35*/1427/ 0*000000 127*5/142 6 0*000000

E,%E, O! 0*000000 0*14275/ 0*000000 3*5/142

O

(' O %(% 0*000000 300*00000 0 0*000000

,%'( "E

2) 3) 4)

&O* "!E'!"O&=

0*275/14 0*000000 1*75/143

1

 '&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3 .4

O 2 3 4

OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 4*000000 2*000000 6*000000 0*142000 3*000000 12* 1*000000 3*5/1000 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E  "&E'E 550*00000 250*000000 0 "&$"&"!8 /00*00000 150*000000 0 200*00000 0

'((O'B(E ,EE'E 0*100000 "&$"&"!8 0* "&$"&"!8

'((O'B(E ,EE'E 44* 300*000000 62*500000

23

a. F-u%l es la soluci#n #ptima y cu%l es el valor #ptimoG  b. FOu! restricciones tienen restricciones limitantesG ;dentifique e interprete el rango de optimalidad de la contribuci#n de cada producto. c. ;nterprete los precios duales de las restricciones. d. ;nterprete el siguiente resultado$ RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT

ALLOWABLE

ALLOWABLE

RHS

INCREASE

DECREASE

"&$"&"!8

300*000000

3

/00*00000 0 e. ;nterprete los costos reducidos reportados. 48.

 Mercurio Sport  S.A. tiene que determinar cu%l es la cantidad id#nea de balones de f7tbol  Ases ?&1@*  ,ólidos ?&2@ y Crac!  ?&3@ a producir a fin de ma&imiar las utilidades. as restricciones incluyen limitaciones en la capacidad de producci#n ?tiempo disponible en minutos@ en cada uno de los departamentos ?corte y teñido* costura e inspecci#n y empaque@* así como la restricci#n que requiere la producci#n de por lo menos 1((( balones de f7tbol  Ases. ) continuaci#n se presenta el modelo de  programaci#n lineal y el reporte de computadora de la soluci#n del modelo$

Max 3 x1 + 5 x2 + 4 x3 subject to 12 x1 + 10 x2 + 7 x3 iendas nacionales de menudeo. edidos por correo.

3=

Debido a los diferentes costos de distribuci#n y promocionales* la rentabilidad del producto variar% seg7n el canal de distribuci#n. )dem%s el costo de  publicidad y el esfuero de ventas personales requerido variar%n de acuerdo con los canales de distribuci#n* tal como se muestra$ "anal de distriución