5_Líneas y Puntos Notables

 Triángulos  T riángulos II: Líneas y Puntos Notables

1. Altura

2. Mediana

Segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prologación.

Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Int. Ext.

B Mediana BM

Coincide con un cateto

 A

C

M

Baricentro

Ortocentro Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H : Ortocentro

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G : Baricentro Teorema      

B

H

S

BG=2GM  AG=2GN CG=2GS

N

G

H  A

H

M

C

PARA RECORDAR  – Todo triángulo tiene un solo baricenPARA RECORDAR tro. Todo triángulo tiene un solo ortocentro.  – Divi Divide de a cada medi mediana ana en rela relación ción  – Es un punto interior si el triángulo es como 1 es a 2. acutángulo.  – El bar baric icent entro ro es si siem empre pre un pu punt nto o  – Es un punto exterior si el triángulo es interior. obtusángulo.  – Es llllam amad ado o ta tamb mbié ién n gr grav avic icen entr tro o o  – Si es rectángulo está en el vértice del del centro de gravedad de la región trianángulo recto. gular.

3. Bisectriz

4. Mediatriz

Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.

Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.

B interior 

 A

D

α α

β

B

β

exterior 

C

E

C

 A

Incentro Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo. B

β β

 A

L

I = incentro

I

α α

γ

↔

L : Mediatriz de  AC

Circuncentro Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. C: Circuncentro

γ C

PARA RECORDAR

 – Todo triángulo tiene un solo incentro.  – El incentro equidista de los lados del triángulo.  – El incentro es siempre un punto interior al triángulo.

O O

Excentro Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo. B

 A

β β

α α

E

φ

φ

C

E : Excentro relativo a BC PARA RECORDAR  – Todo triángulo tiene tres excentros.  – Los excentros son siempre puntos exteriores al triángulo.

O

PARA RECORDAR  – Todo triángulo tiene un solo circuncentro.  – El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.  – Es un punto interior si el triángulo es acutángulo.  – Es un punto exterior si el triángulo es obtusángulo.  – Si es rectángulo está en el punto medio de la hipotenusa. O

O

Observaciones

O

 – Para ubicar un punto notable sólo es necesario trazar dos líneas notables de la misma especie.  – En todos los triángulos isósceles, si se traza una de las cuatro primeras líneas notables hacia la base, dicha línea cumple las mismas funciones que las otras.  – En todo triángulo equilátero el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden.  – En todo triángulo isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el excentro relativo a la base, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Propiedad Si: "O" es circuncentro ⇒ x = 2α

5. Ceviana Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. B

Propiedades con líneas notables 1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores. a°

exterior 

interior 

a

x°

α α  A

D

C

E

2.

Cevacentro Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo. C: Cevacentro o punto ceviano

β β

 Ángulo formado por dos bisectrices exteriores a

B

S

x = 90º + 2

α

α

β

N

x = 90º – a

β

2

x°

C

3.  A

M

D

 Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior.

PARA RECORDAR Todo triángulo tiene infinitos cevacentros.

x°

a°

a

x=2 α

α

β

β

4.

6.

a°

a°

ω°

ω°

φ° φ°

x = 45º – a

4

β° β°

α° α°

x=

x°

α° α°

x° 7. 5.

a+b 2

β° β°

b°

 Ángulo formado por una altura y una bisectriz interior. B

x°

x° a°

b°

x=

x=

a+b 2

a α° α°

β° β°

 A

α −β 2

a H

D

C

PROBLEMAS APLICATIVOS

6. Calcule “x”. Si: E: Excentro

1. Calcule “x”. Si: I: Incentro

E

a) 45° b) 35° c) 75° d) 65° e) 55°

40° I x x

40° x

x

a) 15 b) 25 c) 30 d) 60 e) 50

7. Calcule del mayor valor entero de “x”.

Si: E: Excentro

2. Calcule “x”. Si: E: Excentro

a) 60° b) 50° c) 70° d) 40° e) 55°

E

80

x

E

3

4

x

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

8. Calcule “x”. Si O es circuncentro.

a) 12 b) 6 2 c) 6 3 d) 18 e) 24

3. Calcule “x”, si G es baricentro.

a) 30° b) 60° c) 53° d) 45° e) 53 2

B x

G  A

C

60° O 6 x

9. Calcule “x”. Si O es circuncentro.

4. Calcule “x”. Si: O es circuncentro del

triángulo. a) 30° b) 70° c) 60° d) 50° e) 80°

80° O x

8

x O

45°

a) 12 b) 6 2 c) 8 2 d) 16 e) 24

10. Calcule “x”. Si: G es baricentro.

 AB=2GM B

5. Calcule “x”. Si: H es ortocentro.

a) 8° b) 9° c) 15° d) 12° e) 18°

B x 2x

H

α α

 A

C

x M 20°  A

G

a) 70° b) 80° c) 50° d) 20° e) 60° C

11. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si:

G es baricentro.

15. ABCD es un romboide. Calcule “x”, si C es excentro de D ABD. B

C

3

4

x

G  A

x

a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

c) 10

12. Calcule “x”, si I es incentro.

D

a) 130° d) 120°

b) 140° e) 150°

c) 160°

PROBLEMAS  PROPUESTOS

x I

1. En la fgura, calcule “x”. Si: O es cir -

cuncentro. 8x

a) 25° d) 45°

b) 36° e) 90°

O

c) 72° x

13. Calcule “x”. Si I es incentro y E es ex centro del D ABC. B

E

a) 10° d) 8°

c) 15°

2. En la fgura, calcule “x”. Si: H es orto-

centro.

x 12

3x

I 5

H

 A

C

a) 8 d) 20

b) 12° e) 9°

b) 12 e) 15

6x

c) 13

14. Calcule “x”, si E es excentro del D ABC. B x

θ

a) 15 d) 9

b) 12 e) 10

c) 8

3. En la fgura, calcule “x”. Si: G es bari-

centro.

E 2x 2m 3m G

θ

 A

8x

C

a) 45° d) 30°

b) 15° e) 40°

c) 20°

a) 9 d) 10

b) 15 e) 18

c) 12

4. En la fgura, calcule “x”. Si: I es incentro.

8. En la fgura, mBDC=70°

calcule

40°

Si:

C B

I

α

x

a) 24° d) 10°

“x”.

b) 18° e) 20°

θ

α

θ

c) 15° x D

5. En la fgura, calcule “x”. Si: E es excentro del D ABC.

a) 30 d) 35

B

b) 20 e) 45

c) 40

E

9. En la fgura, calcule “x”.

80°

x  A

a) 55° d) 60°

4x

3x

C

3x

b) 65° e) 53°

c) 75°

2x

a) 10 d) 12

6. Calcule “x”. Si: I es incentro del D ABC. B

b) 4 e) 6

10. En la fgura, calcule “x”. Si: I es incen tro del D ABC. B

x I α

c) 8

x θ

α

I θ

 A

C

a) 71,5° d) 53,5°

b) 63,5° e) 27,5°

c) 22,5°

7. En la fgura, calcule “x”. Si BR es bi-

sectriz del ángulo ABC.

 A

C

a) 71,5° d) 53,5°

b) 63,5° e) 27,5°

c) 53,5°

11. En la siguiente fgura, calcule “x”.

B x

x

α ω 

ω 

α

α

ω 

 A

R

C

b) 26 e) 18

2ω 

θ

52°

a) 19 d) 15

α

θ

c) 13

a) 35° d) 30°

b) 18° e) 15°

c) 20°

14. En un triángulo ABC, donde m  A=78° y mB=24. Si: O es circuncentro e I es incentro. Calcule la m OAI. a) 27° b) 14° c) 23° d) 32° e) 37°

12. En la siguiente fgura, calcule “x”.

80° 30°

x

10°

a) 20° d) 40°

b) 25° e) 30°

c) 50°

13. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si: “O” es circuncentro del triángulo

 ABC.

B

15. En un triángulo ABC, AB=BC, mB=44°. I : incentro H : Ortocentro Calcule la mIAH. a) 4° b) 6° c) 8° d) 10° e) 12°

θ

x O

 A

a) 120° d) 90°

θ

C

b) 100° e) 80°

c) 96°

CLAVES 

1.e

2.c

3.e

4.b

5.e

6.b

7.b

8.c

9.c

10.b

11.c

12.e

13.c

14.d

15.e

1.a

2.e

3.d

4.e

5.b

6.c

7.a

8.c

9.e

10.a

11.d

12.c

13.d

14.a

15.e