Matemáticas Matemáticas financieras
UNIDAD V. AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Definiciones y sistemas de amortización El término amortización significa significa saldar una deuda gradualmente gradualmente por medio de pagos periódicos, generalmente iguales, y que se realizan mediante intervalos de tiempo iguales. Existen ciertas variantes en dichos casos los cuales analizaremos en este tema.
Ejemplo 1. Una persona contrae una deuda de $95,000 bajo una tasa de interés del 18% anual convertible semestralmente, que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, R el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. Determine el valor de los pagos “R”. Solución: Esta operación se puede clasificar como anualidades vencidas; ya que el primer pago se realiza realiza dentro de 6 meses. Como la deuda se contrae al inicio de la operación se clasifica como capital o valor presente; la fórmula que debemos usar es: 1 − ( 1 + i ) -n C=R i Por lo tanto despejando R:
1 − ( 1 + i ) 0.18 2 = $21,177.38 R=$95,000 0.18 -6 1 − 1 + 2 ÷
R=C
i
-n
5.1. Definiciones Definiciones y sistemas de amortización amortización
Ejemplo 2. Una empresa obtiene un préstamo con valor futuro de $700,000 que debe liquidar al cabo de 6 años, se decide realizar rese reserv rvas as anua anuale less para para liqu liquid idar ar esa esa deud deudaa al mome moment ntoo de su vencimiento. El dinero que se deposite como fondo rinde 16% de interés anual (capitalizable al año). Determine el valor de los pagos que deben realizarse si éstos son iguales y vencidos. Solución: En este caso se esta relacionando los pagos con un valor futuro o monto, como los pagos también son vencidos, se requiere requiere aplicar la siguiente ecuación: ( 1+i ) n − 1 M=R
i
Despejando los pagos R:
0.16 = $700,000 = $ 7 7 , 9 7 2 .9 1 6 ( 1+i ) − 1 ( 1+0.16) − 1
R=M
i
n
Respuesta: R = $77,972.91 Ahora nuestra primera diferencia importante: AMOR AMORTI TIZA ZACI CIÓN ÓN.. Se refi refier eree a la extin extinci ción ón medi median ante te pagos pagos periódicos de una deuda actual (valor presente o capital) ca pital) FONDO FONDOS S DE AMORTI AMORTIZAC ZACIÓN IÓN.. Son acumula acumulacio ciones nes de pag pagos os periódicos para liquidar una deuda futura.
La respuesta es R = $21,177.38
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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5.1. Definiciones y sistemas de amortización
Dado que amortizar significa liquidar una deuda mediante pagos periódicos que incluyen intereses; en esta unidad se verán únicamente operaciones de amortización.
Actividad 5.1. Resumen de sistemas de amortización. Investiga los conceptos vistos de sistemas de amortización en algún libro ya sea electrónico o impreso.
En la unidad siguiente se verán casos de fondos de amortización, los cuales son acumulaciones de pagos para liquidar una deuda futura.
El resumen debe contener los conceptos de: 1.- Amortización 2.- Fondos de amortización 3.- Clasificaciones de amortizaciones.
Las amortizaciones se clasifican:
Amortización gradual. Es la mas usada para liquidar deudas con pagos periódicos dado que éstos tienen la misma frecuencia y los pagos son iguales. Tal como se notará en las tablas de amortización, los pagos deben ser mayores que los intereses producidos en el primer periodo, de lo contrario la deuda crecería indefinidamente. Amortización constante. La cantidad que se amortiza es la misma en cada periodo de pago, por lo cual los pagos en la renta se reducen a lo largo del tiempo; nuevamente es conveniente verlo en una tabla de amortización para comprender la diferencia.
Entrega tus resultados en forma de RESUMEN, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones:
[email protected];
[email protected];
[email protected] y
[email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “5.1. Definiciones y sistemas de amortización”.
Amortización con renta variable. La renta puede ser creciente a lo largo del tiempo siguiendo una progresión geométrica o decreciente.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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5.1. Definiciones y sistemas de amortización
Amortización gradual
Tablas de amortización
Dado que los pagos son iguales (R) y se realizan a intervalos iguales de tiempo, podemos usar las ecuaciones de anualidades ordinarias.
Continuando con el ejemplo del tema anterior donde se vio el siguiente caso:
Ejemplo 1. Calcule el valor de los pagos para saldar una deuda de $4,000 contratado a 42% anual convertible bimestralmente; si la deuda debe saldarse en un año haciendo pagos bimestrales y el primero de ellos se realiza dentro de 1 bimestre. Solución: 1 − ( 1 + i ) -n C=R i Despejando R:
Ejemplo 1. Calcule el valor de los pagos y la tabla de amortización para saldar una deuda de $4,000 contratado a 42% anual convertible bimestralmente; si la deuda debe saldarse en un año haciendo pagos bimestrales y el primero de ellos se realiza dentro de 1 bimestre. Solución: 1 − ( 1 + i ) -n C=R i Despejando R:
0.42 i 6 = $839.18 = R=C $4,000 -n -6 1 1 i 0.42 − + ( ) 1 − 1 + 6 ÷
0.42 i 6 = $839 .18 = R = C $ 4 , 000 −n 0.42 −6 1 − (1 + i ) 1 − 1 + 6
RESPUESTA: $839.18
RESPUESTA: $839.18
Para tener una visión de cómo se relacionan los intereses, pagos y saldos insolutos, se requiere realizar una tabla de amortización, lo cual se verá en el siguiente tema.
La tabla de amortización queda con los siguientes encabezados: Fecha
Pago
Identifica el Valor momento en pago el que ocurre la operación
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Interés sobre Amortización Saldo el saldo del Interés que Reducción Saldo final se ha del saldo del periodo o generado por fecha el saldo aún sin pagar
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Fecha o bimestre transcurrido Inicia la operación (0) 1 2 3 4 5 6
Pago
5.1. Definiciones y sistemas de amortización
Interés sobre el Amortización saldo
Saldo $4,000
$839.18 $839.18 $839.18 $839.18 $839.18 $839.18
$280.00 $240.86 $198.97 $154.16 $106.21 $54.90
$559.18 $598.33 $640.21 $685.02 $732.98 $784.28
$3,440.82 $2,842.49 $2,202.28 $1,517.26 $784.28 $0.00
Descarga la tabla anterior en EXCEL con todo y sus fórmulas. http://marcelrzm.comxa.com/MateFin/TablaAmortizacion.xls
Observa en YOU TUBE la explicación de cómo crear esta tabla de amortización en el siguiente link: http://www.youtube.com/watch?v=98dnlwxc6JQ
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Ejemplo 2. Una persona contrae una deuda de $95,000 bajo una tasa de interés del 18% anual convertible semestralmente, que amortizará mediante |6 pagos semestrales iguales, R el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. Determine el valor de los pagos “R” y realice la tabla de amortización. EL ESTUDIANTE REALIZARÁ ESTE EJERCICIO BAJO LA SUPERVISIÓN DEL DOCENTE
5.1. Definiciones y sistemas de amortización
Ejemplo 3. Una deuda de $1,000 se debe amortizar en 12 meses haciendo 3 pagos de $350 y un último pago que salde la deuda al cabo de 12 meses. Si el tipo de interés es del 20% capitalizable trimestralmente; elabore una tabla de amortización para la deuda. Los datos son los siguientes: C = $1,000 PLAZO: $12 MESES R = $350 (SOLO 3 PAGOS) R =? (último pago que salda la deuda) i = 20%anual capitalizable al trimestre Por lo tanto la tabla queda de la siguiente forma: Periodos Pago Intereses Amortiza trimestra trimestra ción les l transcurr idos
Saldo
0
-
-
-
1000
1
350
50
300
700
2
350
35
315
385
3
350
19.25
330.75
54.25
4
56.9625
2.7125
54.25
0
Nuevamente se ponen las siguientes herramientas de aprendizaje a la disposición del alumno para este ejemplo: Descarga la tabla anterior en EXCEL con todo y sus fórmulas. http://marcelrzm.comxa.com/MateFin/TablaAmortizacionEjemplo3.xls
Observa en YOU TUBE la explicación de cómo crear esta tabla de amortización en el siguiente link: http://www.youtube.com/watch?v=e42GjH0VETI Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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5.1. Definiciones y sistemas de amortización
valor del pago faltante
Ejemplo 4. Para saldar una deuda de $1,800 se realizan pagos vencidos de $119 bajo una tasa del 32.4% anual convertible mensualmente; determine cuantos pagos se deben de realizar y en caso de que sobrara un saldo que se pague con una fracción o valor menor del pago normal ($119) determine el valor del último pago que debe saldar la deuda. Solución: Dado que son pagos vencidos se utiliza la ecuación: 1 − ( 1 + i ) -n C=R i
valor futuro de valor futuro de los = − la deuda mes 19 19 pagos realizados Expresión para determinar el monto en anualidades vencidas
19 ( 1+i ) n − 1 0.324 Pago faltante =$1,800 1 + ÷ − R i 12 0.324 19 19 1+ ÷ − 1 12 0.324 − $119 = $81.80 Pago faltante =$1,800 1 + ÷ 0.324 12 12
Despejando el valor de “n” tal como se vio en el tema 4.3:
iC R n=Log ( 1 + i ) Log 1-
0.324 $1,800 12 ÷ Log 1- $119 n== 19.70 0.324 Log 1 + 12 ÷ Es decir se requieren 19 pagos enteros de $119 y un pago que represente una fracción menor de $119 ¿Cuánto debe ser ese valor? Se puede determinar con la siguiente ecuación:
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Actividad 5.2. Tablas de amortización. Realice los siguientes ejercicios: 1.- Una deuda de $12,000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales vencidos e iguales; con una tasa de interés del 4% bimestral sobre saldos insolutos. Determine: a) El importe de los pagos b) Construir la tabla de amortización 2.- Para una deuda de $23,000 contratada a 27% anual a pagar mediante 3 pagos anuales vencidos de $10,000 y un pago final que salde la deuda al término de los 4 años, determine: a) El valor del último pago b) Construir la tabla de amortización 3.- Hacer un cuadro de amortización de pagos mensuales vencidos de $1,025 hasta la extinción total de la deuda de $5,800 pactada a 20% anual convertible mensualmente calculando también el pago final que extinga la deuda.
5.1. Definiciones y sistemas de amortización
Ejercicios adicionales sobre amortización: 1. Para vacacionar una persona consigue un crédito de $35,000 a pagar en 4 mensualidades vencidas a una tasa del 12.5% anual capitalizable al mes. Elabore una tabla de amortización. Solución disponible en video:
http://www.youtube.com/watch?v=AasF18mQo5E
2. Para saldar una deuda de $90,000 se realizarán pagos mensuales vencidos de $10,000 bajo una tasa de interés del 4% anual capitalizable al mes. Determine: a) Cuantos pagos enteros de $10,000 deben realizarse y b) Cuál es el valor del pago menor de $10,000 que debe realizarse para saldar la deuda. 3. Para una deuda de $90,000 se realizarán 3 pagos trimestrales de $30,000 y un último pago que salde la deuda; si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable al trimestre, determine: a) El valor del último pago que salde la deuda. b) La tabla de amortización de los pagos
4.- El lic. Montiel adquiere un condominio que cuesta $185,000; paga el 30% de dicho valor de contado (es decir de forma inmediata) y el resto de la deuda mediante pagos mensuales vencidos en un plazo de 3 años; la tasa es del 14% anual capitalizable mensualmente. Elabore la tabla de amortización para la operación anterior. Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones:
[email protected];
[email protected];
[email protected] y
[email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “Actividad 5.2. Tablas de amortización”. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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