57296123-CINETICA-PLANA-DE-LOS-CUERPOS-RIGIDOS.docx

Cuerpos Rígidos en el Plano.

Dinámica

CINETICA PLANA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Acercamiento

Pa"a#ras c"aves

La se!unda "e$ de ne%ton

$uerza" aceleraciones" )la velocidad y tiempo pueden ser  considerados en algunos casos+ $uerza" distancia" velocidad

Tra#a&o'ener!a Impu"so'$ cantidad de movimiento

$uerza" tiempo" velocidad"

INTRODUCCION: La Cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslación y rotación de dichos cuerpos. En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación ms para especificar el estado de rotación del cuerpo. !sí pues"  para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitar dos ecuaciones de fuerza y una de momentos" o sus equivalentes. Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas que act#an en un cuerpo rígido" la forma y la masa del mismo" y el movimiento  producido.

Ecuaciones de movimiento de un cuerpo r!ido y

$% $&

$' o

G 

$( o

x

z )$ig.&*.&+

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Considérese un cuerpo rígido en el que act#an varias fuerzas externas $&" $(" $'",, )$ig. &*.&+. -e puede suponer que el cuerpo se compone de un gran gran numero numero n  de partículas de masa mi )i / &" (", (",, ," n+ y que los resultados obtenidos son validos para un sistema de partículas )$ig. &*.(+. -i se considera en primer lugar el movimiento del cuerpo de masa G  del cuerpo con respecto al sistema de referencia ne0toniano 1 xyz " entonces escribimos2 3$ / m4

)&*.&+

donde m es la masa del cuerpo y ( es la aceleración del centro de masa G . 5olviendo ahora al movimiento del cuerpo con respecto al sistema de  y6 z   z 6" referencia centroidal G  x6 y 6" y escribimos2 3)G / *6G

)&*.(+

y6 y mi G

+,

z66 o

z

x

)$ig. &*.(+

donde 76G representa la razón cambio de 7 G" la cantidad de movimiento angular con respecto a G  del   del sistema de partículas que forman el cuerpo rígido. En lo que sigue. -e har referencia a 7 G  simplemente como la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido con respecto a su centro de masa masa G . 8untas" las ecuaciones )&*.&+ y )&*.(+ expresan que el sistema Cuarto semestre

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de las fuerzas externas es equipolente al sistema compuesto por el vector  m4 fijo en G  y  y del par de momento 76 G )$ig. &*.'+. 9G  $% $& mā

o

G 

/

$'

G o

$( )$ig.&*.'+

:as ecuaciones )&*.&+ y )&*.(+ son validos en el caso ms general del movimiento de un cuerpo rígido.

Cantidad de movimiento an!u"ar de un cuerpo r!ido en movimiento p"ano y6 y v´ Δ i mi r´ 

x6

G 

x

•

)$ig. &*.%+

Considérese una placa rígida en movimiento plano. -i se supone que la  placa se compone de un gran numero n de partículas ; i de masa mi" se observa que que la cantidad cantidad de de movimiento movimiento angular angular *G  de  de la placa alrededor  de su centro de masa G  se   se puede calcular considerando los momentos con respecto a G  de  de las cantidades cantidades de movimiento movimiento de las partículas de la placa en su movimiento con respecto a cualquiera de los sistemas de referencia  y6 )$ig. &*.%+. -i elegimos este ultimo" escribimos< 1 xyz o Gx6 y n

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7G  /  / 3 )r6i = v6i mi+ i/l 

)&*.'+

donde r6i y v6i mi  denotan" respectivamente" el vector de posición y la cantidad de movimiento lineal de la particula ; i con respecto respecto al sistema sistema de  y6.;ero como la particula pertenece a la placa" se referencia referencia centroidal centroidal Gx6 y tiene v6i / ω = r6i" donde ω es la velocidad angular de la placa en el instante considerado. Escribimos< n

7G  /  / 3 [r6i = )ω = r6i+ mi]  i/l 

)&*.%+

-i se recurre a la figura &*.%" fcilmente se verifica que la expresión obte ob teni nida da repr represe esent ntaa un vect vector or de la mism mismaa direc direcci ción ón que ω  )es decir"  perpendicular a la placa+ y de magnitud igual a ω3r6i mi. >ecordando que :a suma 3r6i mi representa el momento de inercia ? de la placa con respecto a un eje centroidal perpendicular a la placa" se concluye que la cantidad de movimiento angular 7G  de  de la placa con respecto a su centro de masa es<

*  /  / ? ω 

)&*.%+

G 

!l diferenciar ambos miembros de la ecuación )&*.%+ se obtiene<

- / ? ω / ?α   G 

)&*.@+

!sí pues" la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular de la  placa esta representado por p or un vector de la misma dirección que α )esto es"  perpendicular a la placa+ y de magnitud ?. -e debe tener presente que los resultados obtenidos en esta sección se dedujeron para una placa rígida en movimiento plano.

)O.I)IENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO/ PRINCIPIO DE D,ALE)0ERT y $& $( G o

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$' $% o

x )$ig. &*.@+

Considérese una placa rígida de masa m que se mueve bajo la acción de varias fuerzas externas $&" $(" $'",,.." contenidas en el plano de la placa )$ig. &*.@+. Con la sustitución de -G de la ecuación )&*.@+ en la ecuación )&*.(+" y escribiendo las ecuaciones fundamentales de movimiento )&*.&+ y )&*.(+ en forma escalar" e scalar" tenemos< 3$x / māx 3$y / māy 3)G / ?α   )&*.*+ 2 2 :as ecuaciones ecuaciones )&*.*+ )&*.*+ demuestran demuestran que la aceleración aceleración del centro de masa G  de la placa y su aceleración aceleración angular  se obtiene con facilidad una vez que se determinan la resultante de las fuerzas externas que act#an sobre la placa y su momento resultante con respecto a G . Aadas las condiciones iniciales apropiadas2 se obtiene entonces las coordenadas B y  del centro de masa y la coordenada angular  θ de la placa" mediante integración en cualquier  inst instan ante te t . ;or tanto" el movimiento de la placa queda definido por  completo por la resultante y la resultante de momentos con respecto a G  de  de las fuerzas externas que act#an sobre ella. Considérese" Considérese" en particular particular"" el sistema sistema de fuerzas externas externas que act#an act#an sobre un cuerpo rígido )$ig. &*.*a+ y el sistema de las fuerzas efectivas asociadas con las partículas que forma el cuerpo rígido )$ig. &*.*b+ $(

$& G o

$'

1

oG 

$% )$ig. &*.*a+

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)mi+ai

)$ig. &*.*b+

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Ae este modo se" puede establecer que las fuerzas que las fuerzas externas que act#an sobre un cuerpo rígido equivalen a las fuerzas efectivas de las diversas partículas que forman el cuerpo. Este enunciado se conoce como principio de A6!lembert" en honor al matemtico francés 8ean le >ond d6!lembert )&D&D&DF'+" aun cuando el enunciado original de d6!lembert fue escrito en una forma un poco diferente. El echo de que el sistema de fuerzas externas es equivalente al sistema de fuerzas efectivas se ha recalcado con el uso de un signo igual en la figura &*.* y también en la figura &*.D" donde al utilizar los resultados obtenidos con anterioridad en esta sección" se remplazaron las fuerzas efectivas con un vector mā vinculado al centro de masa G   de la placa y un par de momento ?α . $& mā $( G  G o / ?α . $' $% )$ig. &*.Da+

)$ig.&*.Db+

TRASLACION<

$&

mā

$(

/

G o

$'

G 

$% a

b )$ig. &*.F+

En el caso de un cuerpo en traslación" la aceleración angular de este es idéntica a cero" y sus fuerzas efectivas se reducen al vector m ā fijo en G  )fig&*.F+. Ae este modo" la resultante de las fuerzas externas que act#an sobre un cuerpo rígido en traslación pasa por el centro de masa del cuerpo" y es igual a mā.

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ROTACI2N CENTROIDAL

$( $& G o

?α . G o

/

$' $% a

b )$ig. &*.G + >otacion centroidal

Cuando una placa o" ms generalmente" un cuerpo simétrico con respecto al  plano de referencia" gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia y que pasa por su centro de masa G " se dice que el cuerpo se encuentra en rotación centroidal. Como la aceleración ā es idéntica a cero" las fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par ?α )$ig.&*.G+. ;or lo tanto" las fuerzas externas que act#an sobre un cuerpo en rotación centroidal equivalen a un par de momentos ?α . )O.I)IENTO PLANO GENERAL !l comparar la $ig. &*.D con las figuras &*.F y &*.G" se observa que desde el punto de vista de la cinética" el movimiento plano ms general de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puede ser  reemplazado por la suma de una traslación y una rotación centroidal. -e debe seHalar que este enunciado es ms restrictivo que el enunciado similar   planteado con anterioridad desde el punto de vista de la cinemtica" puesto que ahora se requiere que se seleccione el centro de masa del cuerpo como  punto de referencia. En las ecuaciones )&*.*+" se observan que las dos primeras ecuaciones son idénticas a las ecuaciones de movimiento de una particula de masa m en la que act#an las fuerzas dadas $&" $(" $'",," de este modo" se comprueba que el centro de masa G de un cuerpo rígido en movimiento plano se mueve como si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en dicho  punto" y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre el. -e recuerda que este resultado ya se obtuvo en el caso general de un sistema de Cuarto semestre

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 partículas no necesariamente conectadas entre si" también se observa que el sistema" de las fuerzas externas" en general" no se reducen a un solo vector  mā con origen en G . ;or consiguiente" en el caso general del movimiento  plano de un cuerpo rígido" la resultante de las fuerzas externas que act#an sobre el cuerpo no pasan por el centro de masa de este. ;or ultimo" se ve que la #ltima de las ecuaciones )&*.*+ seguiría siendo valida si el cuerpo rígido" al estar sometido a las mismas fuerzas aplicadas" no pudiera girar alrededor de un eje fijo que pasa por G. !sí pues" un cuerpo rígido en movimiento plano gira alrededor de su centro de masa como si este punto estuviera fijo.

E3ERCICIOS 1. :os collarines I y A se conectan por medio de pasadores a la barra !IA y pueden deslizarse a lo largo de varillas fijas. En el instante que se muestra" la velocidad angular de la barra es cero y la aceleración del  !t   s (

 punto A es igual a (%  hacia la derecha. Aetermine a+ la aceleración angular de la barra" b+ la aceleración del punto I" c+ la aceleración del  punto !.

 Datos:

# "arra = J a D

= (%  !t  ( →  s

α "arra = K

a+

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Cuerpos Rígidos en el Plano. a $ = K

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 b+ c+

a % = K

 Solución:

a $ = a D + a $ L D a $ = a D + a $ L D t  + a $ L D n ( a $ = a D + α  $D × r  $ L  D − # "arra .r  $ L D

a $ Cos*J°i − a $ &en*J ' = (%i + α  $D ( × ( − &.@Cos'J°i + &.@&en'J° ' ) a $ Cos*J°i − a $ &en*J ' = (%i − &.'α  $D  ' − J.D@α  $D i i ⇒ a $ Cos*J° = (% − J.D@α  $D  ' ⇒ −a $ &en*J = −&.'α  $D → α  $D =

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a $ &.@

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Cuerpos Rígidos en el Plano. *  $ = *  D + *  $ L D

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*  $ = *  D + # "arra × r  $ L D *  $ = *  D deri)ando a $ = a D = (% a $ = (%

α  $D = α  $D

 !t   s (

 !t  ∠(%J°  s (

a $

=

(%

&.@ &.@ = &* rad  (  s

= a D + a % L D a % = a D + a % L D t  + a % L D n ( a % = a D + α  %D × r  % L D − # "arra .r  % L D − a %  ' = (%i + &*( × ( − 'Cos'J°i + '&en'J° ' ) − a %  ' = (%i − %&.* ' − (%i i⇒J=J  ' ⇒ −a % = −%&.* a %

a %

= %&.*  !t  ( ↓  s

2. -i la manivela !I rota alrededor del punto ! con una velocidad angular de GJJJ rpm en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj" determinar la aceleración del pistón ; cuando M/&(JN.

Aatos< O/GJJ rpm M/&(JN a/K Cuarto semestre

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-olución<

GJJ

rpm min

P

&m *J s

P

(π rad  re)

= G%.(%DD rad  L s

a $ = a % + α  %$ xr  $ L  % − ω ( P r  $ L  % a $ = ω  P r  $ L  % = ( P )G%.(%DD+ = &DD*@.(@in L s (

(

(

Biela BD a d 

= a $ + a D L $

(  senβ 

=

*  sen *J

 sen*J

⇒  senβ  = ( P

*

β  = &*.DDFN *  D *  D

= *  $ + *  D L $ = *  $ + #  $D × r  D L $

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*  D

=

*  $

=

Dinámica

*  D L  $

 sen%*.DFN  senD'.((N  sen*JN *  P sen%*.DFN *  D =  $  senD'.((N &FF.@J P sen%*.DFN *  D =  senD'.((N *  D = &%'.(Fin L s

*  D L $

ω  $D

= ω  $D xr  $ L D ⇒ ω  $D =

*  $D

 sen *J *  D &%'.(F = = ⇒ ω  $D  sen %*.DFN  sen %*.DFN r  $ L D

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= '(.DD rad  L s (

*

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Cuerpos Rígidos en el Plano. a D = a $ + a D L  $ a D L $ t  = α  $D × r  D L  $ = *α  $D in L s

Dinámica (

( ( ( a D L $ n = ω  $D .r  $ L  D = * P )'(.DD+ = *%%'.('in L s

a D = a $ + α  $D × r  D L $ − ω  $D .r  $ L D (

a D = (&DDD*@.(@2*JN ) + ( *α  $D 2D'.((N ) + ( *%%%'.('2&*.DDN ) i ⇒ a D = −&DD*@.(@ cos *JN −*α  $D cos D'.((N −*%%'.(' cos&*.DDN

− a D = −DJ@D.'(F − *α  $D cos D'.((N  ' ⇒ J = −&DD*@.(@ sen*JN +*α  $D senD'.((N +*%%'.(' sen&*.DDN &'@(*.JFG = *α  $D senD'.((N

α  $D = ('@%.*Jrad  L s − a D = −DJ@D.'(F − * P ('@%.* P cos D'.((N − a D = −&&&'@.G'in L s ( = −G(D.GG !t  L s (

3.- -i en el instante que se muestra la barra !I tiene una

velocidad angular constante de % radLs en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj" determinar la aceleración angular a+ de la barra IA" b+de la barra AE. Aatos< O!I / % radLs

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#  %$ = #  %$ (  = % rad  (   s #  $D = #  $D (  #  DE  = #  DE (  *  D = *  $ + *  D L $ #  DE (  P r  D = #  %$ ( P r  $ + #  $% ( P r  D L  $ #  DE (  P ( − J.J*i − J.&( ' ) = %(  P ( − J.(  ' ) + #  $ > D (  P ( J.&*i )

− J.*#  DE  ' + J.&(#  DE i = J.Fi + J.(*#  $D  ' i < J.&(#  DE  = J.F  ' < & − J.J*#  DE  = J.&*#  $D #  $D = #  $D

− J.J*)*.**+

J.&* = −(.@rad  L s = (.@rad  L s

= J α  $D = α  $D (  α  DE  = α  DE (  α  %$

a D = a $ + a D L $ ( a D = α  DE (  × r  D − ω  DE  .r  D

a D = α  DE (  × )−J.J*i − J.&( ' + − *.** P )−J.J*i − J.&( ' + (

a D = −J.J*α  DE  ' − J.&(α  DE i + (.**i + @.'( '

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Cuerpos Rígidos en el Plano. ( a $ = α  %$ ( × r  $ − ω  .r  $

a $ a $

Dinámica

= J − % ( ( − J.( ' ) = '.( '

( a D L  $ = α  D$ ( × r  D L $ − ω  D$ .r  D L $ (

a D L  $ = α  D$ ( × )J.&*+ − ( − (.@) P )J.&*i+ a D L  $ = J.&*α  D$ − i

− J.J*α  DE i + J.&(α  DE  + (.**i + @.'( ' = '.( ' + J.&*α  D"  ' − i ( i < J.&(α  DE  + (.** = −& ⇒ α  DE  = −'J.@rad  L s

 ' < −J.J*α  DE  + @.'( = '.( + J.&*α  D$ J.&*α  D$ = (.&( − J.J*( − 'J.@)

α  DE  = (%.D R%D L & (

4. -i en el instante que se muestra la varilla !I tiene una

velocidad angular constante de *radLs en el sentido de movimiento de las manecillas del reloj" determine la aceleración del punto A.

Datos: #  %$ = * rad  )cte+  s

a D = K

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Cuerpos Rígidos en el Plano. Solución:

Dinámica

#  %$ = #  %$ (  = % rad  (   s #  $D = #  $D ( 

#  DC 

= #  DC ( 

*  D = *  $ + *  D L $

#  DC (  P r  D

= #  %$ ( P r  $ + #  $D ( P r  D L $

= *( P ( J.'D@ ' ) + #  $D ( P ( J.G'D@i + J.'D@ ' ) − J.D@#  DC i = −(.(@i + J.G'D@#  $D  ' − J.'D@#  $D i i < −J.D@#  DC  = −(.(@ − J.'D@#  $D  ' < J = J.G'D@#  $D #  $D = J #  DC  = 'rad  L s #  DC (  P ( J.D@ ' )

= J α  $D = α  $D (  α  DC  = α  DC (  α  %$

a D a D a D a D

= a $ + a D L $ ( = α  DC ( × r  D − #  DC  .r  D = α  DC ( × )J.D@ ' + − ' ( P )J.D@ ' + = −J.D@α  DC i − *.D@ '

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Cuerpos Rígidos en el Plano. ( a $ = α  %$ (  × r  $ − #  %$ .r  $

Dinámica

a $ = J − * ( ( J.'D@ ' ) a $ = −&'.@ '

a D L $ a D L $ a D L $

= α  D$ ( × r  D L $ − #  D$( .r  D L $ = α  D$ ( × )J.G'D@i + J.'D@ ' + = J.G'D@α  D$  ' − J.'D@α  D$ i

J.D@α  DC i − *.D@ ' = −&'.@ ' + J.G'D@α  D$  ' − J.'D@α  D$ i i < −J.D@α  DC  = −J.'D@α  D$  ' < −*.D@ = −&'.@ + J.G'D@α  D$

α  D$ = D.( rad  α  DC 

 s ( = '.* rad  (  s

a D = −J.D@α  DC i − *.D@ ' a D = −J.D@)'.*i + − *.D@ ' a D = −(.Di − *.D@ '  !t  (  s a D = FD.&( in (  s a D = D.(*

5. Qn cilindro de D@ mm de radio es solidario de un cilindro de &(@ mm de radio como se muestra. Qno de ellos rueda sin deslizar sobre la superficie que se representa y el otro tiene una cuerda arrollada en su torno. -abiendo que del extremo E de la cuerda se tira hacia la izquierda con una velocidad de &@J mmLseg. 7allar< a+ 5elocidad angular de los cilindros  b+ 5elocidad de su centro

DATOS

> !/ D@ mm > I/ &(@ mm 5E / &@J mmLseg O! / K

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Cuerpos Rígidos en el Plano.

Dinámica

O I/ K

-1:QCR1S< *  E 

#  %

=

#  %

  &@J mm seg         =

#  %

=(

#  $

=

#  $

  &@J mm seg         =

#  $

= &.(

 R %

D@mm rad 

 seg 

*  E   R $

&(@mm rad 

 seg 

6. Qn automóvil viaja hacia la derecha a la velocidad constante de FJ TmLh. -i el dimetro de las ruedas es @*J mm. 7allar la aceleración. a+ del punto I" b+ del  punto C" c+ del punto A.

DATOS: 5! = FJ Tm

h

= ((.(( m

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s

a D

= a % + a D = aa + a D + a D

a D

= +( + a D

a D

= &D*' m

 %

 %

 %

 %

 s ( Escuela de Ingeniería de Mantenimiento

Cuerpos Rígidos en el Plano. 5I = 5! + 5I

Dinámica

!

5! + OIr I OI =

5!

=

((.(( m

s J.(FJm

r I

OI = DG.'@ rad

s

[

↓= − DG.'@T rad

s aC  = a $ + aC  = aa + aC  + a $

= ((.((i + ( − DG.'@T )( J.(F j) 5I = ((.((i + ((.((i = %%.%%i

 %

5I

 %

 %

aC  = a % + α (r  $ + +( r  $  %

 %

aC  = +DG.'@( + J"(Fm

5C

= 5! + 5C = 5! + O.r C !

aC  = &D*' m ( ↑  s !

= ((.((i + ( − DG.'@T )( − J.(F j) 5C = J 5C

a D = a % + a D = aa + a D + a D 5A = 5! + 5A = 5! + O.r A !

 %

!

5A = ((.((i + [ − DG.'@T ][ − J.(FCos*J i + J.(F-en*J  j] 

5A = %(.G m

s

a D = + + a D

 %



 %

*JW

a D = &D*' m (  s

&@W

7.

El movimiento de una manivela oscilante est definido por  sen( π t L , ) − ( J.@θο   ) sen( (π t L , ) " dondeθ   en radianes y t en segundos.

θ  = θο 

θ 

-abiendo que J / * rad y U / % s" hallar la coordenada" la velocidad y la aceleración angulares de la manivela cuando )a+ t / J" )b+ t / (s. A!U1-<

( , ) − ( J.@θο )  sen( (π t  , )

θ  = θο  sen π t 

θ  en rad 

-1:QCRVS<

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 %

(

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Cuerpos Rígidos en el Plano. t  en  seg . EC AE: X15RXRESU1

Dinámica

θ  = θο  sen( π t  , ) − ( J.@ θο )  sen( (π t  , )

 ( , ) − ( J.@θο ) cos( (π t  , ) ( (π  , )

ω  = θ  = θο  cos( π t  , ) π 

θο  = * rad 

si

&+ U/%s

(+

π  π  θο  cos( π t  , ) − θο  cos( (π t  , ) ,  ,  π  π  = θ  = − θο  sen (π t  , ) (π  , ) + θο  sen ( (π t  , ) ( (π  , ) ,  , 

ω  =

∞

θ  = K +=K

∞=−

∞=K

'+

π ( (

, 

θο  sen ( π t  , ) +

(π ( (

, 

θο  sen ( (π t  , )

a+ t / J.@  b+ t / (@

a+ t / J s

&+ θ  = *  sen ( π  P J %) − J.@ P * P sen ( (π  P J %) = J rad  (+ ω  = '+

π  %

∞=−

P * cos( J) −

π ( %

(

π 

P * cos( J) = &.@π  − &.@π  = J rad   s %

P *  sen( J ) +

(π ( %

(

P *  sen( J) = J rad  (  s

 b+ t / ( s

Cuarto semestre

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Cuerpos Rígidos en el Plano.

(

θ  = * P  sen ( π  ( %) − J.@ P * P sen (π  P (

Dinámica

%

 π  P &FJ°  − '  sen  π  P &FJ°  = * − J = * rad       π  π  (         π    ( &FJ°  − π  P " cos  (π  ( P &FJ°   ω  = P * cos  π  P P      π  π  % % % %        

θ  = * P sen 

ω  = J −

π  *( − &) %

= %.D& rad  s

       ( ( (   ( &FJ   (π  π   (π  P ( P &FJ°     ∞ = − ( P *  sen  π  P P + P *  sen    ( π    % %   % π    %          ∞

π ( (π ( = − P *(&) + P * P ( J) &* &*

= −'"DJ rad   s (

8. Cuando se arranca un motor eléctrico" éste alcanza su velocidad nominal de ''JJ rpm en * seg" y cuando se apaga el motor" éste tarda en detenerse FJ seg. -uponiendo un movimiento uniformemente acelerado" hallar<

El n#mero de vueltas que da el motor  a+ 7asta alcanzar su velocidad nominal  b+ 7asta detenerse

A!U1-< ωn / ''JJ rpm

→ →

a+ nrev / K  b+ θ / K c+ θ / K

Cuarto semestre

→ →

t / * seg )arranca+ t / FJ seg )apaga+ / ''JJ rpm ω / J ωn

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SOLUCION  -I,ER%-a + &

θ  = θ J + α t ( (

→ θ J = J

&

( G.&* re) L s ) ( * seg ) ( θ  = &*@ )ueltas θ  =

α  =

ω  − ω o

(

t 

α  = ''JJ

re) min t 

P

& * seg 

P

&min t  *J seg 

α  = G.&* re)

 seg (

 -I,ER%- "+

α  = α  =

ω  − ω o t  − @@ re) L s FJ seg 

α  = J.*F re) (  s

&

θ  = θ o + α  t ( (

θ  =

J.*F re) L s

(

( FJ seg ) (

(

θ  = ((J re)

Cuerpo rígido Un cuerpo rígido no es más que un sistema de partículas donde las distancias entre ellas permanecen invariable por lo tanto aplica todo lo de un sistema de partículas que !a se estudi"# $a descripci"n del movimiento de un cuerpo rígido en el espacio es materia de otro curso %&ecánica racional'# (or a)ora nos limitaremos a la descripci"n del movimiento plano de un cuerpo rígido es decir cuando todas las velocidades son paralelas a un plano *+o# Como se e,plicará la novedad respecto a un sistema de partículas es la orma

Cuarto semestre

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especí*ca como se calculan el momentum angular ! la energía cin.tica del cuerpo no )abiendo más cambios de ondo# $a cinemática del cuerpo rígido es una cuesti"n previa que debe ser e,plicada# $a rigide/ del cuerpo introduce simpli*caciones a la descripci"n del movimiento de ese sistema de partícula pues no es necesario conocer las posiciones ni el movimiento de cada una de ellas sino que el movimiento de unas pocas determina el de todas#

0#1# Cuerpo rígido continuo 2ste es un concepto ideali/ado donde nos olvidamos de las partículas reales que componen el cuerpo los átomos o mol.culas ! el cuerpo es reempla/ado por un continuo de masa donde las 3part45culas3 son elementos in*nit.simos de volumen d6 que tiene alguna cantidad de masa tambi.n in*nitesimal que llamaremos dm# $a rigide/ se establece aquí manteniendo constantes las 178 Dinámica del cuerpo rígido distancias entre los puntos de este cuerpo# 2sta es otra ideali/aci"n porque en la vida real no e,isten cuerpos rígidos# Todos loscuerpos son deormables en alguna medida#

0#9# Cinemática de un cuerpo rígido en el espacio Un cambio arbitrario de posici"n de un cuerpo rígido en el espacio puede siempre ser reducido a una traslaci"n paralela seguida de una rotaci"n en torno a un e+e *+o# Sin embargo este )ec)o no es tan simples entender# $a cinemática ! dinámica de un cuerpo rígido en el espacio es normalmente un tema di*cil de comprender por los alumnos# (or esa ra/"n en este curso nos limitaremos a anali/ar la dinámica ! cinemática de un cuerpo rígido en dos dimensiones# Cuando un cuerpo tal como una lámina se mueve sobre un plano *+o el ángulo que el cuerpo gira se de*ne entre alguna línea *+a en el Cuarto semestre

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cuerpo con alguna línea *+a en el plano#

0#8# Cinemática plana de un cuerpo rígido 0#8## Despla/amientos de un cuerpo rígido (ara despla/amientos de un cuerpo rígido en un plano las cuestiones son más simples pues es bastante evidente que un cambio de posici"n de un cuerpo rígido en un plano puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslaci"n paralela ;A;